Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Quanto sono strani i fotoni!

Molti di voi non immaginano neppure quanto.
L'avere massa nulla non e' che una delle stranezze, anche se da' tanto
da pensare a tanti: c'e' chi crede che togliere la massa significhi
togliere realta', e c'e' invece chi pensa che sia una stimmata di
"purezza" (quante volte avrete letto la stupidissima espressione
"energia pura"?)
Dalla massa nulla seguono altre stranezze: non si puo' definire in modo
chiaro la posizione di un fotone. E non facciamo confusione: non si
tratta della solita questione connessa col pr. d'indeterminazione; qui
c'e' una difficolta' piu' profonda e particolare. E' proprio
l'osservabile "posizione" che per un fotone non puo' essere definita
(niente filosofia, per favore: si tratta di una questione squisitamente
tecnica). Invece non c'e' nessuna difficolta' con l'impulso.
Poi un fotone condivide tutte le "stranezze" delle particelle
quantistiche, circa la specificazione del suo stato.
Per es. *non e' vero* in assoluto che un fotone abbia sempre una precisa
energia: puo' benissimo essere in uno stato in cui l'energia non e'
definita, anzi questa e' la regola.
La stessa cosa succede con l'impulso; anzi puo' accadere che un fotone
abbia energia quasi esattamente definita e impulso completamente
indeterminato (fra un momento faro' un esempio concreto).
Come puo' succedere questo? Semplicemente perche' l'energia e' uno
scalare e l'impulso un vettore, per cui puo' accadere che il *modulo*
dell'impulso sia ben definito, ma la sua direzione sia del tutto
indeterminata.
E' quello che succede quando un atomo emette un fotone.
Dato che l'atomo passa da uno stato di energia a un altro, con energie
*quasi* esattamente definite, lo stesso e' vero per il fotone che esce.
Pero' la direzione in cui il fotone viene emesso *non e' definita*, che
non e' la stessa cosa come dire che non e' conosciuta. 
Non bisogna pensare a un'indeterminazione statistica, del tipo "se ho
tanti atomi, uno emette il fotone in una direzione, uno in un'altra, per
cui complessivamente ho tante direzioni possibili, ma ciascun fotone
esce in una direzione precisa". Niente affatto: e' proprio lo stato del
singolo fotone che non ha impulso (quindi direzione) neppure
approssimativamente determinata.
Un esperimento ideale chiarira' quello che ho in mente. Nella figura, A
e' l'atomo che emette; S1 S2 S3 sono specchi, B uno specchio
semiriflettente, R un rivelatore
           S1        A        S2
             /       @       \
             \               X        * R
           S3                 B
Un fotone emesso da A puo' compiere il percorso A S1 S3 B R, oppure il
percorso A S2 B R. A seconda di come sono aggiustate le distanze, la
probab. che il fotone arrivi in R puo' andare da zero a un massimo, che
non e' il doppio di quella che avrei ostruendo uno dei due percorsi, ma
il quadruplo! 
Questo e' un tipico esempio d'interferenza.
Altra stranezza dei fotoni: immaginate una stella e due telescopi
separati, che ricevono luce da quella stella. Possiamo registrare i
tempi di arrivo dei fotoni a ciascun telescopio, e in particolare
misurare la prob. che essi ricevano *insieme*, un fotone ciascuno
(quella che si chiama una coincidenza).
Ebbene: questa prob. *dipende* da dove si trova la stella (dalla
differenza della sua distanza dai due telescopi).
In questo caso due fotoni in qualche modo si influenzano a vicenda,
sebbene uno sia stato rivelato da un telescopio, e uno dall'altro.
Esperimento ideale? Niente affatto: questo si fa, da piu' di 40 anni, e
si chiama "interferometro di Hanbury-Brown e Twiss".
Tutto dipende dal fatto che i fotoni sono "bosoni", e lo stato di due
fotoni e' cosa diversa dai due stati di ciascun fotone preso a se'. In
termini piu' tecnici, occorre considerare uno stato del campo e.m. con
due fotoni presenti.
Non si puo' ridurre il campo e.m. a fotoni visti uno per uno, e d'altra
parte il campo e.m. e' un oggetto quantistico, che non si puo' capire
soltanto in termini classici (eq. di Maxwell).
La piu' parte di quelli che leggono avranno capito poco o niente, lo so.
Ma volevo mostrare, riferendomi a situazioni reali, che i fotoni non
sono cose di cui si possa parlare in modo intuitivo, con vaghi
riferimenti a una qualche immagine di particelle. Occorre una precisa
teoria.
Altrimenti si fanno solo pericolosi giochi di parole, con i quali si
dimostra tutto e il contrario di tutto.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa

 l'osservabile "posizione" che per un fotone non puo' essere definita
Ciao, da quanto leggo immagino che quindi sei arrivato in fondo
alla questione che ci eravamo posti tempo fa.
Come si prova dunque che l'operatore posizione non e' definibile?
Vale anche in assenza di spin  (sempre massa nulla)?
Ciao, Valter

 Pero' la direzione in cui il fotone viene emesso *non e' definita*, che...
Qui intendi dire quando un elettrone passando ad un livello energetico (o orbita) superiore, nel ritornare "al suo posto" emette
energia?

 "energia pura"?)
Con ciň hai chiarito molti punti su cui sbagliavo (se non tutti).
Grazie  e a risentirci.
Mauro

 Universita' di Pisa
Vale anche se l'atomo nello stato fondamentale non e' completamente
"simmetrico"?
-- 
-----------
"No, dico: tu tu, che mestiere fai?"  --- Toto'

 l'impulso?
Beh, che io sappia, per la particella in una scatola e' importante il
fatto che uno deve fissare le condizioni al contorno.
E' importante perche' supponiamo di fissare le condizioni di annullamento
ai bordi (per la f. d'O.): allora possiamo pensare di mettere tante
scatole adiacenti, nel senso che ogni faccia di ogni scatola abbia
un'altra scatola vicino.In questa maniera artificiale uno ha ricreato la
situazione di un cristallo, o se preferisci, la stessa situazione che ti
porta a dire che il momento angolare e' quantizzato: il problema e'
invariante per traslazioni di un certo *passo reticolare* (in genere ce ne
sara' uno per ognuna delle tre direzioni).Percio' si possono conservare
solo *certi* impulsi: cioe' una infinita' numerabile. 
Pero' questo non vuol dire che si possano definire solo certi impulsi etc.
Infatti nelle definizioni dell'impulso non rientra il fatto che si debba
per forza conservare ... Puo' venire definito come il generatore delle
traslazioni infinitesime senza ulteriori richieste. 
Almeno mi sembra che le cose stiano cosi' :-)
   grazie per lattenzione
                      bye     mr

 emette energia?
Si'.
-------------------


 Vale anche in assenza di spin (sempre massa nulla)?
Lo sapevo :-))
No, non c'e' niente di nuovo.
Ma resto convinto di quanto ti avevo gia' detto a suo tempo (mi pare).
Il problema nasce tutto e solo (secondo me) dal fatto che manca uno
stato di elicita' (quella nulla). Percio' non vedo problemi ne' per spin
0 ne' per spin 1/2.
Attenzione: nel caso di spin 1/2 a condizione che siano ammesse entrambe
le elicita', cosa che non e' vera per i neutrini, se hanno massa nulla.


 fino a che punto), posso allora definire anche l'impulso?
Premetto che l'invarianza non c'entra: anche un osc. armonico non e'
invariante per traslazioni, ma l'impulso ce l'ha.
Il problema che poni e' ben noto e implica una certa quantita' di
sottigliezze matematiche: il punto e' che l'operatore derivata, che
dovrebbe rappresentare l'impulso, non e' autoaggiunto.
Pero' possiede infinite estensioni autoaggiunte...
E qui mi fermo, perche' confesso che non ho ancora capito bene come la
cosa procede :(
Chissa' se qualcuno (il solito Valter?) puo' dare altri lumi?


La piu' parte di quelli che leggono avranno capito poco o niente, lo so.
Bravo! Giusto quello che mi passava per la mente leggendo questo messaggio!
Intento a capirci qualcosa, a trarre qualche spunto per le mie conoscenze,
pensavo giusto a CHI era indirizzato quel messaggio, CHI lo "poteva"
comprendere a fondo. Era un messaggio rivolto a tutti? In quel caso allora
per un attimo mi chiedevo se ero a "posto" io con la mia mente. Poi ho letto
questa frase, che non nego mi abbia risollevato un pò.
Se devo trarre delle conclusioni, (non ho la minima idea se possano o no
interessare all'autore) questo messaggio mi è servito certamente a qualcosa;
non certo a rischiarire le mie conoscenze sui fotoni, ma (cosa, per me,
forse altrettanto importante) a farmi un'idea di un mondo ancora più
complesso di quanto immagginassi prima, ad aumentare la mia consapevolezza
di "ignoranza". Personalmente più "leggo" di quanto sia complesso il mondo
fisico, più sono, in un certo senso, compiaciuto pur non comprendendo bene
questa complessità, ma ansioso di doverla e poterla studiare adeguatamente
quando verrÃ il momento.
Credo che, quando si faccia opera di divulgazione scientifica, la
complessità dell'attuale conoscenza del mondo non debba essere minimamente
omessa, anche a rischio di non farsi comprendere, ma cercando di esporre i
concetti con mezzi preferibilmente accessibili alla maggior parte. Forse
queste ultime due righe possono essere fonte di equivoci. Quello che voglio
dire (detto in parole povere) è che non si deve rendere il mondo più
semplice di quello che realmente la fisica moderna ipotizza. In questo modo
forse in un certo senso si "mente" al lettore, facendogli credere ciò che
non è.
E' un argomento che mi suscita molte riflessioni, ma non vado oltre.
Dico solo che questo messaggio mi è stato utile, anche se non ci ho capito
niente :-)
Ciao


  Ciao, non ci ho mai pensato tanto, ma ecco quello che mi viene
  in mente in un'analisi rapida.
  Premesse e commenti.
  1) Quasi tutti gli operatori della meccanica quantistica
  che rappresentano osservabili  NON sono autoaggiunti, ma sono
  simmetrici (= hermitiani e definiti su una varieta' lineare densa) e
  *essenzialmente autoaggiunti*. Cio' significa che ammettono aggiunto
  e l'aggiunto e' autoaggiunto. Inoltre significa anche che ammettono
  un'UNICA estensione autoaggiunta (l'operatore aggiunto stesso).
  Questa proprieta' dipende strettamente dal dominio dell'operatore
  simmetrico iniziale.
  2) Cosi', nello spazio euclideo R^3, gli operatori di derivazione 
  nelle tre coordinate moltiplicati per -i (h tagliato) definiti sullo 
  spazio delle funzioni (Cinfinito)
  a decrescenza rapida (oppure su quelle C infinito a supporto
  compatto [si ottiene in questo caso alla fine lo stesso operatore
  autoaggiunto]) definiscono operatori simmetrici essenzialmente
  autoaggiunti. Gli operatori impulso non sono quindi tali derivate,
  ma le loro estensioni autoaggiunte date dai loro operatori aggiunti.
  Il dominio degli aggiunti sara' in generale piu' grande e lavorera'
  su funzioni nemmeno derivabili. 
  3) Il fatto che si lavora con le estensioni aggiunte e non con gli 
  operatori di partenza e' cio' che richiede quelle strane condizioni
  sugli autovettori (propri) dell'hamiltoniano dell'atomo di idrogeno
  (lemmi di Kato):
  in realta' non stiamo cercando gli autovettori di 
  Laplaciano + potenziale, ma del suo aggiunto...
 
  4) Nella MQ si assume che esista una varieta' lineare densa 
  invariante rispetto a tutti gli operatori  considerati (e che 
  quindi) stia nei loro domini. Su tale varieta' valgono le relazioni
  di commutazione. Nel caso della particella libera, tale varieta'
  e' per esempio lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida.
  Veniamo al problema in questione. Consideriamo la particella
  nella scatola. Solitamente si assumono condizioni al contorno
  sulle funzioni d'onda ai bordi della scatola di annullamento o 
  periodicita'. In realta' quando pero' si completa lo spazio per 
  avere un L^2 lo spazio ottenuto e' lo stesso in entrambi i casi.
  Le condizioni di periodicita' invece sono correttamente usate nel 
  definire i domini iniziali degli operatori.
 
  Nel definire l'operatore impulso la strada e' la solita: si parte
  dalla derivata con fattori i ecc.. e si cerca un dominio in cui
  tale operatore sia autoaggiunto oppure essenzialmente autoaggiunto.
  Quello che si vede e' che, esistono SEMPRE estensioni autoaggiunte
  di tale operatore purche' il dominio sia scelto decentemente
  (per esempio le funzioni Cinfinito
  che si annullano sul bordo), e questo e' dovuto al fatto che gli 
  operatori considerati sono simmetrici e commutano con un operatore
  antiunitario di coniugazione (per es coniugazione complessa +
  cambiamento di segno dell'argomento per scatola cubica con centro
  nell' origine). Tuttavia eccetto sostanzialmente un caso, tali 
  operatori ammettono piu' di un estensione autoaggiunta (e questo 
  segue studiando gli autovalori +- i per l'operatore aggiunto, ed
  e' dovuto alla limitatezza della scatola).
  C'e' un caso (non sono sicuro che sia proprio l'unico caso, ma sono 
  sicuro che imponendo annullamento al bordo della scatola
  si hanno piu' di un estensione autoaggiunta) che produce una
  unica estensione autoaggiunta.  Questo si ha proprio perche' 
  l'operatore di partenza e' essenzialmente autoaggiunto.
  La situazione  e' quella in cui si 
  definisce il dominio iniziale come le funzioni *periodiche* C 
  infinito (si puo' abbassare l'ordine di differenziabilita').
  La dimostrazione si basa su un teorema di Nelson piuttosto semplice.
  Dal punto di vista fisico gli autostati di tale operatore impulso
  descrivono particelle che girano su di un toro piuttosto che 
  in una scatola. 
  Se non ricordo male, ma sono quasi sicuro, la fregatura e' che ora,
  definendo l'operatore posizione nel modo piu' ovvio, accade la 
  disgrazia che non esiste piu' alcun dominio comune ed invariante
  per entrambi gli operatori per cui non ha piu' senso scrivere
  le relazioni di commutazione di tali operatori.
  Alternativamente uno potrebbe definire l'operatore impulso
  scegliendo una delle tante estensioni autoaggiunte della derivata
  definita su funzioni smooth che si annullano sul bordo della 
  scatola. In tal caso si possono verificare le relazioni di 
  commutazione, ma lavorare rigorosamente e' una cosa infernale
  perche' l'uso della derivata e' altamente ambiguo per indicare
  l'impulso.
  Dal punto di vista unitario, definendo le traslazioni nella scatola
  in modo "torico"( cioe' una funzione che sparisce oltre il bordo 
  destro in seguito ad una traslazione troppo lunga ricompare nella 
  scatola dal bordo sinistro) si trova subito che il generatore
  autoaggiunto di tali traslazioni altro non e' che l'impulso
  "buono" definito sulle funzioni periodiche di sopra.
  Da cio', per il teorema di Stone, mi pare che la scelta di un 
  altro operatore impulso NON puo' dar luogo alle traslazioni 
  usuali *all'interno* della scatola (dovrei pensarci un po'
  con calma perche' non e' completamente ovvio).
  Ciao, Valter

 facendogli credere cio' che non e'.
Non potrei essere piu' d'accordo. C'e' una frase, attribuita ad
Einstein, e che e' un po' il mio credo in questa materia:
"Things should be made as simple as possible, but no simpler"
Capito l'inglese? :-))


 ...
Ma insomma, c'e' un modo matematicamente pulito e decentemente semplice
di fare la m.q. di una particella in un solo grado di liberta' (e mi
scuso se chiedo troppo...)
Ultima domanda: e' vero quello che credo di sapere, ossia che su una
semiretta la derivata non ha estensioni autoaggiunte?
Se e' vero, ha un qualche significato fisico?


 Se e' vero, ha un qualche significato fisico?
secondo me ci sono solo due casi: o la meccanica quantistica
si puo' formulare in termini di operatori non autoaggiunti oppure
non esiste l'operatore impulso (o almeno non e' la derivata per -i)
sulla semiretta. Ma credo che sia la stessa risposta che ti sarai 
gia' dato tu.
E poi io ormai sono un matematico! Anche se ho ancora un piede nel
corso di Fisica II, ho tradito la fisica, quest'ultima tua
domanda e' priva di senso per me ;-)
Spero di essere stato comprensibile almeno per te.
Ciao, Valter

 
   Scusa ovviamente ho dimenticato di mettere nelle ipotesi che
   C commuta con A come avevo detto nell`altro post.
   Ciao, Valter

 gli indici di difetto d+ e d- di A sono uguali.
Come dovevasi dimostrare: almeno agli indici di difetto avrei dovuto
arrivarci :-(
Quanto agli operatori antilineari, in realta' sono un mio vecchissimo
pallino, che ogni tanto ritorna in varie forme...


 pallino, che ogni tanto ritorna in varie forme...
