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Titolo: help me!

Salve a tutti!
Sto studiando gli spettri di potenza di fourier. Ossia i grafici dei famosi
domini delle frequenze. In una dimensione tutto ok. Nella fourier
bidimensionale, proprio non riesco a raffigurarmi mentalmente le armoniche
bidimensionali. Come sono??? Mi è venuta in mente una specie di gonnellina
plissettata....insomma, sì, una fisarmonica. Una infinità di piani a
fisarmonica, con frequenza ed ampiezze variabili ed orientati in vario modo,
se sommati, darebbero la funzione bidimensionale che voglio sintetizzare a
partire da quelle armoniche, giusto? Quando poi ho lo spettro bidimensionale
(che è un grafico polare), al variare dell'angolo che il raggio "rotante"
forma con il sistema di riferimento, dovrei tagliare le varie fisarmoniche
in vario modo. Se taglio una fisarmonica con un raggio parallelo a creste e
ventri, non ricevo (nello spettro dico)il contributo di quella armonica; se
la taglio perpendicolarmente a creste e ventri, ho un contributo di
quell'armonica alla sua frequenza "massima"; se la taglio obliquanmente,
"vedrò" frequenze diverse (comprese tra 0 - raggio parallelo a creste e
ventri - ed il massimo per quella armonica - raggio perpendicolare a creste
e ventri), ma sempre "utili" alla sintesi. Corretto tutto ciò?
Grazie

 ...
Qui sbagli.
Non devi tagliare: ogni armonica bidimensionale ha i piani di ugual
fase ortogonali al vettore frequenza.
Quindi per ogni direzione di questo vettore contano solo le frequenze
che hanno le "pieghe" ortogonali a quel vettore.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 che hanno le "pieghe" ortogonali a quel vettore.
Questa è bella! E spiega anche tante cose che vedevo utilizzando il mio
software e che avrei forse dovuto intuire.....! Vabbè! Cmq intedi dire
questo? Cioè che ogni direzione del raggio "legge" solo le armoniche
bidimensionali con creste e ventri ("pieghe") perpendicolari ad esso? Se ad
esempio nel mio software faccio la fft bidimensionale per un disegno
costituito da una solo linea verticale, ossia in modo tale che solo
muovendosi orizzontalemnte si incontrino "differenze" di luminosità, ma non
verticalmente, ecco che il mio grafico è una linea orizzontale.....ora
capisco il perchè :-). Quindi , concludendo, eccho che quando io scelgo un
raggio, scelgo in realtà di considerare tutte e sole le frequenze di tutte e
sole le sinusoidi bidimensionali che nell'immagine a cui applico la fft,
sono ortogonali a quella direzione???
Che carino....

 due componenti.
Mi domandavo: ma il vettore (x1,y1) ed il vettore (-x1,-y1), non dovrebbero
indicare le medesime armoniche bidimensionali? Certo: il primo è positivo ed
il secondo negativo, ma entrambi hanno la medesima direzione e quindi sono
ortogonali alle medesime armoniche: cosa li distingue (in termini di
caratteristiche delle armoniche)??
Grazie

 due componenti.
Mi domandavo: ma il vettore (x1,y1) ed il vettore (-x1,-y1), non dovrebbero


 distingue (in termini di caratteristiche delle armoniche)??
La risposta l'hai gia' avuto in ism.
Dalla formula della F(p,q) che ho scritta sopra puoi verificare
imediatamente che se f(x,y) e' reale allora F(p,q) e F(-p,-q) sono
coniugate.
Quindi se f e' reale un semipiano in (p,q) ti da' tutte le inormazioni
necessarie e sufficienti per ricostruire f.
Incidentalmente: sempre a meno di coefficienti
f(x,y) = \int dp dq exp(ipx+iqy) F(p,q).


[News contenente allegato sospetto "frown.gif" eliminato dal moderatore Saggese]
Elio Fabri wrote:
 >> Premessa: hai aperto due threads sullo stesso arogomento in due
 >> diversi NG.
Hai ragione. E' l'ansia per le risposte (che sono più lente,
comprensibilmente, in un NG moderato (per quanto efficiente)
 >> Ma se capisco bene, tu sullo schermo hai una rappresentazione
 >> bidimensionale, con l'intensita' proporzionale (dici tu) alla densita'
 >> di potenza.
 >> Ma le coordinate polari ce le aggiungi tu: perche' non lo leggi con
 >> coordinate cartesiane?
Eggià! Le coordinate polari le ho "intuite" dal fatto che i valori numerici
che si possono leggere nella finestra dei valori, sono:
  - theta
  - la frequenza
  - il valore assunto dal punto.
In attesa della tua risposta, ho riflettuto e fatto esperimenti. In effetti
il grafico può essere visto benissimo come un normale grafico cartesiano.
C'è un'origine e due assi, x ed y.
L'asse delle z, che dovrebbe riportare la densità di potenza non c'è poichè
al suo posto vi è il livello di grigio del punto (che può essere letto, come
ti dicevo, col mouse. Quello che ho capito è questo. Il modulo del vettorer
frequenza (che io chiamo raggio...perdonami....:-( ) ci dà la frequanza
dell'armonica bidimensionale che ha creste e ventri perpendicolari al
vettore medesimo. Ricordi quando dicevo di "tagliare" le armoniche? Bhe,
sbagliavo, tu mi hai corretto. Ma credo che cmq fosse vero in parte, nel
senso che le due componenti di frequanza su x ed y in effetti sono la
frequenza, vista in sezione, dell'armonica bidimensionale. Se le pieghe
dell'armonica a frequenza g sono perpendicolari all'asse x, ecco che il
vettore frequanza appartiene all'asse stesso e sulle x trovo il valore g,
mentre sulle y trovo zero. Se il vettore frequanza, di modulo g, lo porto a
45 gradi, ecco che su x ed y ho dei valori di frequenza uguali fra loro e
compresi tra la frequenza g e zero, e così per tutte le varie direzioni del
vettore frequenza. Quindi, se scelgo un  punto del piano XY, avrò che il
vettore che ha la punta in quel punto indicherà col suo modulo la frequenza
dell'armonica bidimensionale con creste e ventri ortogonali alla direzione
del vettore medesimo.
Secondo problema. Si poneva il problema del significato da attribuire
all'opposto di ogni dato vettore. Innanzi tutto avevo già verificato
"sperimentalmente" che il valore assunto dalla funzione in (x,y) era lo
stesso che in (-x,-y). In realtà quindi il mio grafico è simmetrico attorno
ad ogni piano passante per l'origine ed ortogonale alla coppia v/-v (v =
vettore freq.).
Però mi sembrava strano che trattavasi di un "dplicato" punto e basta. E
così ho rimosso prima un intero quadrante del mio grafico (X+Y+), poi ho
fatto la fft inversa ed ho visto il risultato. Ho poi rifatto lo stesso
procedimento togliendo i vettori opposti ai precedenti (quelli del piano
X-Y-). Il risultato era diverso. Perciò mi verrebbe di concludere che, se è
vero che un semipianop è sufficiente per ricostruire f, è anche vero che i
quadranti opposti del grafico portano contributi differenti alla f. Mi è pi
arrivata le risposta su ism, che trattasi delle opposte semisinusoidi
(positiva e negativa). Quindi il vettore v punta verso tutte le creste a
frequanza g ed il vettore -v punta verso tutti i ventri a frequenza g:
giusto?
Terzo problema. Io credo di averti dato informazioni sbagliate. Ti ho
infatti detto che la luminosità dei punti (o il valore della variabile
dipendente z, se parliamo di grafico 3D, era la densità di potenza. In
realtà su ism mi hanno spiegato che quel mio grafico viene fuori da una FFT
e quindi è un spettro delle ampiezze (dal quale si può ottenere quello di
potenza). Quindi i miei valori letti "col mouse" sono le ampiezze delle
creste (o dei ventri), ossia le distanze tra la linea delo zero e la sommità
di una cresta (o di un ventre), giusto?
 >> Avrai potemza * tempo2.
In realtà io ti ho fatto l'esempio di un segnale bidimensionale nel tempo,
ma in realtà il mio grafico e la mia fft sono su funzioni spaziali
(armoniche spaziali, frequanze spaziali che si misurano in cicli/grado
.....c/g ecc), ma il succo del discorso è lo stesso. Le dimensioni saranno
potenza*(c/g)2 per lo psettro di potenza e ampiezza*(c/g)2 per lo spettro
della fft, no?
 >> Io direi che ogni punto del grafico legge una particolare armonica. Certo!
 >> Questo non lo capisco.
 >> Che vuol dire "scelgo un raggio"?
 >> In che modo lo scegli? Capisco che col mouse si possa scegliere un
 >> punto, ma un raggio?
Io chiamavo raggio il vettore freq......mah.....:-)
Infine: il mio
piano "delle frequznze" XY, l'ho diviso in quattro quadranti, come detto:
X+,Y+    X+ Y-
X-Y+      X-Y-: come faccio a sapere quali di questi rappresentano le
semisinuisoidi positive e quali le negative???
Qui ti faccio "arrabbiare"....
C'è una cosa che non ho capito e che nessuno riesce a farmi capire....ci
proveresti tu.....te ne prego.
Perchè le energie delle infinite armoniche è individualmente zero se la loro
ampiezza individuale, nello spettro delle ampiezze, non è zero??? Il mio
discorso è: ogni armonica ha una energia correlata alla sua ampiezza (ed il
mio libro dice anche alla sua frequenza). Visto che l'ampiezza di ognuna
delle infinite armoniche nello spettro delle ampiezze (quello che mi vien
fuori dalla FFT e non quello della densità di potenza) è finita, sarà finita
anche l'energia dell'armonica medesima. Bene! Ripeto: lo psettro delle
ampiezze ci dice che ci sono infinite armoniche di ampiezza ciascuina finita
e quindi di energia ciascuna finita. Come mai quando si va poi a fare lo
psettro di potenza si ha che le energie delle singole armoniche è zero ed ha
senso solo parlare di energia di "banda" (integrando) da una freq.
all'altra? Io quando penso alla trasformata dii fourier, pensop ad esempio
ad un rumore brusco. Un segnale insomma di durata limitata nel tempo ed
aperiodico. Faccio la FT ed ottengo tutte le armoniche, ciascuna di ampiezza
finita (e mi verrebbe da dire di energia finita), che mi danno con la loro
interferenza (somma) il mio ruimore istantaneo e che si cancellano del tutto
nel tempo che precede e segue il mio rumore. Mi viene da chiedermi: ma qual
è il significato fisico di tutto ciò?. So ad esempio che se un tale rumore
si provocasse in una stanza piena di infiniti diapason a tutte le freq,
questi risuonerebbero. Ciò mi sembra molto fisico e poco astratto. Ma poi mi
domando: un rumore, per quanto fourier ce lo faccia vedere come somma di
mille armoniche, mica realmente viene fuori perchè infiniti diapason si
mettono a suonare in modo tale da produrre le infinite armoniche con i
giusti rapporti di fase, freq. ed ampiezza necessari a sintetizzare il mio
rumore. Insomma, non capisco il significato fisico di questa TF. E credo che
questo mio problema sia collegato con quello della somma delle infinite
armoniche di ampiezza ed energia finita. Infatti penso: se relamente
mettessi in una stanza immensa i miei infiniti diapason e riuscissi a fare
una sintesi di fourier "fisica", di fatto otterrei il mio rumore......, ma è
altrettanto verò che ciò implicherebbe davvero, fisicamente parlando, una
energia infinita. Dovrei infatti far suonare infiniti diapason ed in questo
caso il discorso della finitezza dell'ampiezza e della fase di ogni armonica
lo vedo ben chiaro. Poi però mi si perde improvvisamente davanti a questa
considerazione: il mio rumore è un segnale con una energia finita; dove è
finita la mia infinita energia veicolati dai miei infiniti diapason???? Io
credo che tu abbia capito il mio problema e confido che potrai aiutarmi. Una
esposizione diversa, poichè non ancora elaborata (come quesito) di questo
problema te l'ho postata alla fine del thread su isf: o.e. ed Elio Fabri
(dacci  una occhiata se non sto abusando troppo della tua gentilezza)
Grazie di cuore.

 punto, ma un raggio?
Io chiamavo raggio il vettore freq......mah.....:-)
Infine: il mio
piano "delle frequznze" XY, l'ho diviso in quattro quadranti, come detto:
X+,Y+    X+ Y-
X-Y+      X-Y-: come faccio a sapere quali di questi rappresentano le
semisinuisoidi positive e quali le negative???
Qui ti faccio "arrabbiare".... :-(


 all'altra? 
Perche' in realta' la TdF non ti da' lo spettro delle ampiezze, ma la 
densita' spettrale delle ampiezze. Se vuoi calcolare la potenza del 
segnale puoi farlo solo in una banda, integrando dal densita' spettrale 
di potenza che come ti hanno detto e' il quadrato del modulo della 
densita spettrale delle ampiezze. Per di piu' devi ricordarti che quando 
fai una FFT in realta' fai la trasformata di un segnale discreto 
periodico (il segnale e' considerato periodico), quindi il risultato 
della tua FFT e' anch'esso un segnale discreto e periodico.

 periodico.
Quello che hai scritto qui sopra è ostrogoto per me :-)
Ciao