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Titolo: formula capacità universale

In base alla mia seppur breve esperienza ho notato che normalmente per
calcolare la capacità di un condensatore si usa la nota formula
C=eps*S/d. Tutto può filare liscio finché si tratta di condensatore
piano, ma mettiamo caso che debba calcolare la capacità di un
condensatore di forma qualsiasi: esiste una formula che permette di
fare ciò, senza ricorrere a misure sperimentali sul campo? Il mio
intuito scientifico mi suggerisce che così come per un corpo di forma
qualsiasi si può calcolare il momento di inerzia di massa, per lo
stesso corpo, definiti 2 elettrodi e un dielettrico deve essere
possibile calcolarne la capacità. Qualcuno sa mettere luce
relativamente a questo mio quesito?

Da non troppo esperto ti rispondo che dovrebbe trattarsi di risolvere
un'integrale.
Se immagini di suddividere le armature in n superfici tanto piccole da
essere approssimabili ad una superficie piana allora la tua capacità
complessiva e la somma delle n capacita a distanza diverse. Chiaramente piu
la superficie diventa piccola piu la precisione del risultato converge verso
quello "vero". Se la tua superficie diventa così piccola da raggiungere
ipoteticamente 0 allora la sommatoria dovrebbe diventare un'integrale
(tenendo conto di d che varia).
Chiaramente non sempre è possibile risolvere analiticamente il problema, per
superfici complesse sarà necessaria una risoluzione numerica simile a quella
che ti ho frettolosamente mostrato.
Spero qualcuno tiri fuori anche l'integrale adesso :) , Ciao Emiliano.


 ha scritto nel messaggio
news:cq1pg2$r3k$1...@lacerta.tiscalinet.it...


 complessiva e la somma delle n capacita a distanza diverse.
Non e' cosi', per almeno due ragioni.
La prima e' che se prendi infinitesime le aree, ma resta costante la
distanza dei conduttori, la formula del condenztore piano non vale.
La seconda e' che non e' detto che le cariche sugli elementi di area
affacciati siano opposte, come nel condensatore piano: questo e' vero
solo per i conduttori in totale.
(In realta' si tratta dello stesso problema.)
Per capire la natura del problema in generale, precisiamo anzitutto la
definizione di condensatore.
A rigore occorre che uno dei due conduttori circondi completamente
l'altro; altrimenti avremo delle linee di forza che possono andare da
altre parti, le due cariche non saranno piu' necessariamente opposte, e
le cose si complicano (occorre definire i coefficienti di capacita',
ecc.
Dopo di che il problema e' diventato quello di trovare la funzione
potenziale nello spazio frapposto, sapendo
a) che il suo laplaciano e' nullo
b) che assume valore dato e costante su ciascuno dei due conduttori.
Si tratta del "problema di Cauchy", arcistudiato, per il quale
esistono soluzioni analitiche in certi casi, e vari metodi di calcolo
numerico in altri.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Non capisco questa tua affermazione, stai cercando di dire che per aree non
infinitesime vale il mio ragionamento o no? Se questa ipotesi è vera non ne
comprendo il motivo... Potresti spiegarlo?
Emiliano.


 numerico in altri.
Ciao, Elio,
ottima spiegazione, solo un appunto: si tratta del problema di
Dirichelet, non di Cauchy. La terminologia qui è importante,
perchè si dimostra che proprio per l'equazione di Laplace il
problema di Cauchy è mal posto nel senso di Hadamard,
mentre quello di Dirichelet è ben posto. Questo è conseguenza
del carattere ellittico dell'equazione fondamentale
dell'elettrostatica. Non avrebbe pertanto senso considerare
problemi di Cauchy in elettrostatica, mentre ne ha ad esempio
in elettrodinamica poichè il carattere delle equazioni di
Maxwell è iperbolico.
Ciao,
Andrea 

 si tratta del problema di Dirichelet, non di Cauchy.
Acc... hai ragione. Lapsus. Grazie della correzione.
Quello che hai scritto dopo, temo che per i nostri interlocutori sia
... arabo :)


 .... arabo :)
Per la questione della buona posizione secondo Hadamard, o per le
equazioni alle derivate parziali? Lo chiedo perchè mi piacerebbe leggere
qualcosa a riguardo dell'applicazione in questo campo. 
ciao!
Nicola
-- 
"su ciò di cui non possiamo parlare, dobbiamo tacere.."
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 Nicola
Ciao, Nicola,
ti riferisci all'applicazione della teoria delle equazioni differenziali all
derivate parziali (PDE) al campo dell'elettrostatica? In questo caso
le leggi di bilancio sono solo l'equazione di Laplace o quella di
Poisson, e l'unica nonlinearità può essere data dalle relazioni
costitutive, pertanto si lavora bene con la teoria del potenziale. Ti
consiglio di cercare in rete gli appunti di Claudio Serpico,
"teoria dei campi e del potenziale".
Se invece ti riferivi al problema + generale della classificazione
delle PDE dell'elettromagnetismo, e di molte altre PDE che
ricorrono nella fisica matematica, ed al problema a questi
strettamente legato della buona posizione secondo Hadamard
dei problemi differenziali, allora due splendidi testi, molto
semplici, sono:
1)Ockendon, J., Howison, S., Lacey, A., Movchan, A.,
"Applied Partial Differential Equations", Oxford University Press,
2003.
2)Sobolev, S. L., "Partial Differential Equations of Mathematical
Physics", Dover, 1989 (molto economico).
Se vuoi "farti male" con testi sulla teoria matematica rigorosa
delle PDE, allora puoi vedere i seguenti testi:
1)Fritz John, "Partial Differential Equations", Springer-Verlag, 1982;
2) M. Renardy, R. C. Rogers, "An Introduction to Partial
Differential Equations", Springer-Verlag, 2a ed., 2004;
3) "Partial Differential Equations", L. Evans, AMS, 1998.
Sono ordinati secondo la loro difficoltà, che corrisponde anche
alla proporzione fra risultati teorici (esistenza, unicità, regolarità,
disuguaglianze energetiche, principi di massimo e minimo, ecc.)
e metodi per risolvere praticamente un dato problema
differenziale, e fra teoria classica (soluzioni forti, curve
caratteristiche, ecc.) e teoria moderna (analisi funzionale, calcolo
variazionale).
Ciao,
Andrea

 Andrea
Grazie per i consigli! Diciamo che sto iniziando a sentir parlare di
Hadamard e sto seguendo un corso sulle PDE ( o EDP :) ) Guarda caso il
testo di riferimento, che non credo useremo tutto, ma che terrò per
finirlo in futuro, è l'Evans. Dei libri che consigli tu mi incuriosisce
quello di Sobolev. Sostanzialmente quindi ero interessato al secondo
aspetto di cui parlavi, più che altro per scarsezza in fisica, però!
ciao 
