Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Il disco rigido e' un ginepraio, ma l'asta rigida e' noto come accelera ?

Preciso la domanda:
un'asta "rigida" lunga d, accelera "istantaneamente", cioe', vista da
un sistema di riferimento S (dove l'asta si trovava in quiete prima di
accelerare), la velocita' di un estremo dell'asta (chiamiamolo estremo
O), passa istantaneamente da 0 a v. Quale e' la legge oraria, vista
nel sistema S, dell'altro estremo dell'asta (estremo F) ?
Prima di mandare le mie considerazioni a proposito, cioe' prima di
mandare il solito pacco di una decina di mega :-( (ci provo ma non ce
la faccio a essere piu' conciso, trovo sempre dei punti che mi pare
vadano precisati .... e i mega aumentano) chiederei al gruppo se la
domanda in oggetto ha una risposta nota e dove potrei eventualmente
trovarla. Per inciso, noto solamente che a me pare che la risposta
alla domanda debba essere "si' ", cioe', per quanto riguarda il disco
rigido in rotazione, ha detto qui Fabri tempo fa che il problema ha
impegnato fior fior di teorici e che e' a tutt'oggi irrisolto, ma il
problema dell'asta invece e' risolto, si' ????
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)


consiglio di vedere su Google:
http://groups.google.com/groups?hl=en&lr=&safe=off&group=it.scienza.fisica
 un vecchio post di titolo:
"velocita della luce e seghe mentali fisiche su trasmissione della forza"
Saluti
Mino Saccone

 alla domanda debba essere "si' ", 
E' implicito in cio' che ho scritto che la risposta e' si'.
Dove trovarla? In qualche mio vecchio quaderno :-))
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

 nel sistema S, dell'altro estremo dell'asta (estremo F) ?
    Prima che mandi le tue considerazioni, vorrei fare io delle
considerazioni.
    Indipendentemente dalla corretta legge oraria dell'altro estremo,
l'estremo F prima dell'accelerazione deve avere coordinate lo, mentre dopo
un determinato tempo, noi sappiamo che deve avere una lunghezza contratta.
    Ora spesso capita di possedere la caratteristica ingresso-uscita di un
sistema, come in questo caso, ma di non conoscere le corrette relazioni
matematiche, allora si fa un lavoro di sintesi, infatti questo equivale a
conoscere la risposta al gradino di un dato sistema, anche se in prima
analisi non sappiamo se č un sistema del primo o di ordine superiore.
    Quest'ultima affermazione equivale a dire che non sappiamo se la vera
risposta č di tipo esponenziale o esponenziale smorzata.
    La cosa piů stravagante, indipendentemente da dal tipo di risposta, č
che indipendentemente al fatto che la contrazione effettiva si ha dopo un
tempo infinito, tutti i sistemi di questo tipo, se sono elettrici hanno
internamente una resistenza elettrica, se meccanici prevedono un attrito
viscoso.
    Ora nel nostro caso ideale dov'č l'attrito???????????
    Io un'idea la esprimo in " Spazio tempo" di 
http://www.elettrogravitazione.it/
 , ma la mia č solo una storia
fantastica, ma forse non troppo.
    Michele Falzone
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

Bruno Cocciaro


 Dove trovarla? In qualche mio vecchio quaderno :-))
:-) e' anche a questo che servono le news ... uno li mette li' i suoi
appunti, cosi' li ritrovera' sempre, almeno finche' google continuera' a
servirci.
Bene, allora, visto che la domanda sembra avere risposta nota, ma il vecchio
quaderno di Elio e' un po' problematico da rintracciare :-), almeno per me,
provo a postare i miei di appunti nella speranza che qualcuno abbia la
pazienza di darci una occhiata e possa darmi un parere. A me pare proprio
che le cose debbano andare come scrivo sotto.
_____________
Nel seguito farņ l'ipotesi che se un corpo varia la propria velocitą
"istantaneamente", cioč in un intervallo di tempo sufficientemente
piccolo nel sistema di riferimento del corpo, allora la sua posizione
non varierą apprezzabilmente e questo sarą vero in tutti i sistemi di
riferimento. Farņ cioč la seguente ipotesi:
se
il corpo C si trova in un certo sistema di riferimento S nella
posizione x  all'istante t  e si muove alla velocitą v  rispetto al
corpo C' che si trova nello stesso punto ma in un altro sistema di
riferimento S', siano x'  e t'  rispettivamente la posizione e l'
istante ad esso associati ( x, t, x' e t'  saranno allora legate dalle
trasformazioni di Lorentz) e se la velocitą v  si annulla all'istante
t+Dt ,
allora,
detta x+Dx  la posizione in cui C vede C' all'istante t+Dt  nel suo
sistema di riferimento, e detti t'+Dt'  l'istante in cui C' vede
fermarsi C e x'+Dx' la posizione in cui C' vede C all'istante t'+Dt',
al tendere a zero di Dt  tendono a zero anche Dt' , Dx  e Dx' .
In sintesi, alla fine della decelerazione "istantanea" C e C' si
trovano ancora nella stessa posizione e i loro orologi segnano ancora
gli stessi istanti che si avevano prima della decelerazione;
naturalmente se la posizione e/o gli istanti che segnavano i due corpi
prima della decelerazione erano diversi, lo saranno ancora dopo la
decelerazione. In sostanza, poiché alla fine della decelerazione i due
corpi hanno velocitą relativa nulla, l'unica differenza che si potrą
riscontrare alla fine della decelerazione fra i sistemi di riferimento
di C e di C' sarą una (eventuale) traslazione (sia spaziale che
temporale).
Quanto detto fin qui immagino sia dimostrabile in qualche maniera, ma qui lo
assumo, per semplicita'.
Passiamo finalmente alla sostanza del problema.
Supponiamo di mettere in moto un'asta rigida. Prima del moto l'asta,
lunga d , si trova con un estremo nell'origine (chiamiamolo estremo O)
e con l'altro estremo (estremo F) nel punto di ascissa x=d . Sia S il
sistema di riferimento rispetto al quale l'asta č in quiete fino all'
istante t=0 . All'istante t=0  l'estremo O dell'asta subisce una
accelerazione istantanea che lo porta alla velocitą  v. Avendo subito
una accelerazione istantanea il suo sistema di riferimento cambierą ma
non cambieranno i valori che O associerą a posizione e istante alla
fine della accelerazione: O vedrą, nel suo sistema di riferimento,
x'=0  all'istante t'=0 . Da questo istante in poi O eseguirą un moto a
velocitą v , quindi la sua legge oraria sarą, nel sistema S, t=x/v ;
nel sistema di riferimento di O, ovviamente, la legge oraria sarą x'=0
. Ho opportunamente detto "sistema di riferimento di O", non
sistema di riferimento dell'asta rigida, in quanto l'asta, avendo una
lunghezza non nulla, non puņ istantaneamente mettersi in moto in ogni
suo punto. Ad esempio č ovvio che l'estremo F non puņ mettersi in moto
all'istante t=0 ; bene che vada, cioč se "l'informazione di mettersi
in moto alla velocitą v " viaggia lungo l'asta alla velocitą della
luce, F si metterą in moto all'istante t=d/c , dove c  indica la
velocitą della luce. Il sistema dell'asta, finché tutti i punti dell'
asta non hanno finito di accelerare e avranno quindi tutti la stessa
velocitą, non č definito, in quanto ogni punto dell'asta definirą un
sistema di riferimento. Finché l'estremo F non si muove, il suo
sistema di riferimento sarą S, quindi la sua posizione sarą  x=d
almeno fino all'istante t=d/c . Supponiamo che all'istante t=d/c  l'
estremo F si metta in moto in maniera tale da raggiungere, nel pił
breve tempo possibile, la corretta velocitą (e anche la corretta
posizione). Notiamo che il sistema di O vede F nel punto
x'=gamma*(1-beta)*d  all'istante in cui F si mette in moto (istante
che F, nel suo sistema, chiama, come detto, t=d/c ) istante che per O
vale t'=gamma*(1-beta)*(d/c)  (basta eseguire le trasformazioni di
Lorentz per accorgersi di ciņ). Dunque il sistema di O vede, all'
istante t'=gamma*(1-beta)*(d/c) , due diversi punti dell'asta, F e il
punto di ascissa x'=gamma*(1-beta)*d , nella stessa posizione; se
entrambi questi punti facessero parte dello stesso sistema di
riferimento (cioč se non fossero in moto relativo) allora risulterebbe
violata l'ipotesi di rigiditą dell'asta. Evidentemente i due punti
dell'asta sono in moto relativo. Questo significa che F, quando si
mette in moto (all'istante t=d/c ) *non* si mette in moto
istantaneamente alla velocitą v .
Facciamo l'ipotesi che si metta
in moto istantaneamente alla velocitą  c (ovviamente tale velocitą si
potrą riferire sia rispetto al sistema di riferimento S che rispetto
al sistema di O).
Questa e' l'ipotesi di rigidita' dell'asta; si potrebbe anche non fare,
cioe' si potrebbe immaginare che i punti dell'asta in realta', quando si
mettono in moto, partano a velocita vel con v<vel<c (con cio' implicitamente
si dice che v deve essere minore, non solo di c, ma anche della velocita'
vel di propagazione delle onde elastiche nell'asta, cioe', se v>vel allora
l'asta si rompe di sicuro), poi, una volta raggiunta la corretta posizione,
i punti dell'asta iniziano a muoversi alla velocita' v. Aste di questo tipo
potrebbero dirsi, forse non "rigide" (o forse si', in una qualche accezione
del termine), ma ugualmente "buone" come misuratrici di distanze, in quanto
portate da un sistema di riferimento ad un altro, alla fine del processo di
accelerazione (che per loro sara' piu' lungo rispetto al processo di
accelerazione di un'asta "rigida" nella quale i punti si mettono in
movimento alla velocita' c) avranno ancora, nel nuovo sistema di
riferimento, la stessa lunghezza che avevano nel sistema di riferimento in
cui erano all'inizio. Non ho fatto i conti, ma immagino proprio che per aste
di questo tipo, alla fine del processo di accelerazione, gli orologi non
saranno piu' sincronizzati; cioe', posto che sia in O che in F fossero degli
orologi sincronizzati prima della accelerazione dell'asta, alla fine,
immagino, l'orologio posto in O segnera' un istante diverso da quello posto
in F, che e' come dire che gli orologi posti sull'asta avrebbero bisogno di
una nuova sincronizzazione dopo il processo di accelerazione. Questa cosa
invece non avviene per le aste "rigide": per esse, come vedremo in seguito,
finita la accelerazione, gli orologi saranno tutti sincronizzati, cosi' come
erano prima della accelerazione.
Andiamo avanti allora nella analisi di cio' che succede (o almeno di cio'
che a me sembra accada) all'estremo F, nella ipotesi di asta rigida, dopo
che lo stesso si e' messo in moto alla velocita' c:
l'estremo F manterrą tale velocitą finché O non lo
"vedrą" nella corretta posizione, la "sua" posizione , la posizione d
(secondo F egli ha "sempre" avuto la posizione d , erano gli altri che
gli associavano posizioni diverse); F assumerą, nel sistema di O, la
posizione x'=d  all'istante t'=d/c . Ricordiamo che F si sta muovendo
alla velocitą della luce, quindi i suoi orologi sono fermi cioč
segnano sempre l'istante d/c  mentre la sua posizione, nel "suo"
sistema, č ovviamente d . L'istante che O chiama t'=d/c  č dunque l'
istante buono affinché F deceleri istantaneamente da c  a v  (secondo
il sistema di riferimento S) cioč si porti nel sistema di O. Essendo
istantanea l'accelerazione, F si ritroverą nel nuovo sistema (quello
di O) con la stessa posizione che aveva prima di accelerare ( x'=d) e
con gli orologi che segnano lo stesso istante ( t'=d/c).
Finalmente tutta l'asta si č portata alla velocitą  v (secondo il
sistema di riferimento S) e ha tutti gli orologi sincronizzati (nel
sistema di O, che č ora il sistema di tutta l'asta).
Dall'inizio di tutto il processo č trascorso un intervallo di tempo
pari a t'=d/c  secondo l'asta (ora si puņ parlare di sistema di
riferimento dell'asta in quanto tutti i punti di essa si muovono alla
stessa velocitą), pari a t=gamma*(1+beta)*(d/c)  secondo il sistema di
riferimento S. Notiamo che, alla fine di tutto il processo, dal
sistema di riferimento S si vede O nel punto di ascissa
xo=beta*gamma*(1+beta)*d  e F nel punto xf=gamma*(1+beta)*d ; come
deve essere si ha xf-xo=d/gamma . L'asta alla fine del processo di
accelerazione appare contratta di un fattore gamma .
_________________________
Ringrazio anticipatamente quanti avranno la pazienza di mandarmi un
qualsiasi commento.
Chiudo con una domanda:
Il fatto che in relativita' ***si possano*** definire corpi rigidi e'
comunemente accettato???
Tempo fa su una questione in qualche modo connessa a questa (si parla del
disco li') Elio mi disse che Landau sbagliava, indotto in errore dallo
stesso Einstein. Li' la questione era pero' un pochino diversa e Landau la
chiudeva dicendo che in relativita' e' impossibile definire corpi rigidi.
Questa impossibilita', e' accettato che non ha ragione di essere ???
A me pare che non solo i corpi rigidi si possano definire, ma che
assolutamente si ***devono*** definire.
Ma l'ho fatta gia' troppo lunga mi pare :-).


 ...
Infatti ho fatto prima a rifare il conto ;-)
Quello che hai scritto non l'ho letto in dettaglio: era troppo lungo, e
scorrendolo mi pare che non cogliesse gli aspetti essenziali della
questione. Non mi sembra che si possa ne' si debba pensare ai sistemi di
riferimento che tu introduci, ecc.
Io ragiono cosi'.
In un primo tempo, dimentichiamo l'ipotesi di sbarra rigida:
supponiamola invece perfettamente elastica,
Allora quello che succede e' semplicemente che _in media_ la sbarra si
muovera' con la velocita' v dell'estremo sinistro, ma sovrapposto a
questo moto ci saranno delle onde elastiche che viaggiano avanti e
indietro sulla sbarra, alla velocita' del suono. Se la sbarra e' ideale,
le onde durano all'infinito; altrimenti pian piano si smorzano, e resta
solo il moto rigido con velocita' v.
La ragione delle onde e' che la velocita' imposta all'estremo sinistro
non si tramette istantaneamente a tutta la sbarra, ma prende appunto la
forma di un'onda che viaggia verso destra. Arrivata all'altro estremo
l'onda si riflette, ecc.
Se potessi fare delle figure (o meglio ancora un'animazione) tutto
sarebbe molto piu' chiaro...
Ora introduciamo l'ipotesi di corpo rigido (relativistico). Questa e'
molto semplice: e' un corpo in cui la velocita' del suono vale c.
Percio' non cambia niente, salvo appunto la velocita' delle onde.


 Sez. Astronomia e Astrofisica
Ciao


 spazio S' che e' quello al quale e' "incollata" l'asta.
Per me proprio no: I soli rif. ammessi sono quelli inerziali, che
comunque descrivono un'unico e solo spazio-tempo.
L'asta non definisce un rif. inerziale, quindi non di puo' fare nessun
ragionamento riferendosi all'asta.
Percio' io imposto il problema in tutt'altro modo: l'asta e' un sistema
continuo, con determinate proprieta' meccaniche, che vengono individuate
assegnandone il tensore energia-impulso.
La schematizzazione piu' semplice e' quella del fluido perfetto, dotato
di densita' e pressione.
Le proprieta' meccaniche vengono assegnate specificando come la
pressione dipende dalla densita' (se il fluido fosse viscoso, potrebbe
anche esserci una dipendenza dalla velocita').
Assumo che ci sia una densita' di riposo rho0, e che la pressione sia
prop. agli scostamente da questa densita' di riposo: p = k(rho - rho0). 
La costante k e' il quadrato della velocita' delle onde elastiche
nell'asta.
Asta rigida significa il piu' grande valore possibile per k, che e'
ovviamente c^2.
A questo punto ho l'espressione del tensore energia-impulso (non la
scrivo); annullandone la divergenza ottengo le equazioni del moto.
Per arrivare al risultato che ti avevo detto, ho fatto a questo punto
un'approssimazione: che la pressione sia piccola, ossia sia piccola la
deformazione; il che equivale a imporre che in ogni punto la velocita'
della sbarra sia << c.
Senza questa approssimazione le eq. del moto sono assai piu' complicate;
puo' darsi che si risolvano, magariche la soluzione sia ben nota, ma io
non la conosco...
E' ovvio che nelle mie ipotesi, data la perfetta elasticita' della
sbarra, le onde non si possono smorzare mai.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 Elio Fabri
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