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Titolo: Francoise Balibar - Dall'etere ai quanti

Leggendo questo libro come da intestazione, ad un certo punto c'è scritto :
 
 
Per poter dare al suo sistema una formulazione matematica, Newton dovette inventare il concetto quoziente differenziale e presentare le leggi del moto sotto forma di equazioni differenziali totali - il che è forse il progresso intellettuale più considerevole che fu dato di realizzare a un uomo. Le equazioni alle derivate parziali non erano necessarie per questo, e Newton non vi ha fatto sistematicamente ricorso.
 
 
Apparirà chiaro: se Einstein introduce una distinzione tra due tipi di equazioni, "differenziali totali" e "alle derivate parziali", è allo scopo di arrivare alla seguente conclusione :
 
 
 
Prima di Maxwell, ci si rappresentava la realtà fisica nella misura in cui essa doveva rappresentare i processi naturali - come costituita di punti materiali, obbedienti a equazioni differenziali totali. Dopo Maxwell, la realtà fisica è rappresentata da campi continui, che non è possibile interpretare in maniera meccanicistica e che obbediscono a equazioni alle derivate parziali.
 
 
Domanda : sto studiando le equazioni differenziali dal punto di vista della Matematica, ma ora vorrei inquadrarle dal punto di vista della Fisica e col vostro aiuto capire bene i brani che ho trascritto all'inizio.
saluti
af44

 Domanda : sto studiando le equazioni differenziali dal punto di vista della Matematica, ma ora vorrei inquadrarle dal punto di vista della Fisica e col vostro aiuto capire bene i brani che ho trascritto all'inizio.
 
Posso darti solo un consiglio. Lascia stare Balibar che probabilmente ha 
dimenticato quello che dovrebbe aver imparato all' Ècole Normale.
Piuttosto, se vuoi cominciare a vedere come si usano in fisica equazioni 
differenziali (a derivate totali e parziali) comincia con la meccanica 
classica del punto e dei sistemi continui. Ti renderai conto che M. 
d'Alembert o Herr Euler usavano eq. a derivate parziali molto prima di 
Mr Maxwell. E in più, le equazioni dell' idrodinamica permettono di 
capire molto del formalismo e della traduzione fisica delle equazioni 
dell' elettromagnetismo.
 
Giorgio

Giorgio Pastore ha scritto:
 > Posso darti solo un consiglio. Lascia stare Balibar che
 > probabilmente ha dimenticato quello che dovrebbe aver imparato all'
 > École Normale. Piuttosto, se vuoi cominciare a vedere come si usano
 > in fisica equazioni differenziali (a derivate totali e parziali)
 > comincia con la meccanica classica del punto e dei sistemi continui.
 > Ti renderai conto che M. d'Alembert o Herr Euler usavano eq. a
 > derivate parziali molto prima di Mr Maxwell. E in più, le equazioni
 > dell'idrodinamica permettono di capire molto del formalismo e della
 > traduzione fisica delle equazioni dell' elettromagnetismo.
Vedo che Giorgio ha scritto molto di quello che avrei scritto io,
incluso il giudizio su M.me Balibar.
Il libro non l'ho letto ma alcune frasi che si trovano nell'articolo
di Wikipedia su Balibar, sono già sufficienti.
 
Avrei però bisogno di un chiarimento. La frase che inizia "Prima di
Maxwell" è di Einstein o di Balibar?
In entrambi i casi è una sciocchezza, come ha già fatto notare
Giorgio.
Anni fa ebbi occasione di consultare le opere di Eulero (c'è la
raccolta completa nel "fondo Truesdell" presso la biblioteca della
Normale).
Più per caso che in modo deliberato, capitai su uno scritto di Eulero
sulla meccanica dei fluidi. La cosa che mi colpì di più fu che non
solo c'erano le equazioni che oggi chiamiamo "di Eulero", ma che erano
scritte quasi esattamente con le notazioni che usiamo ancor oggi.
(Quasi, perché Eulero non usa il simbolo di derivata parziale, che non
era ancora stato inventato; ma il concetto c'è.)
 
In ogni caso, il sistema continuo come modello di corpi fisici reali
era già nato un secolo prima di Maxwell. Non vedo poi perché un
modello continuo cessi di essere meccanicismo. Questo consiste nel
ridurre tutti i fenomeni naturali ad azioni meccaniche, di forze tra
costituenti elementari.
 
Vorrei però approfondire la questione matematica delle derivate
"totali" e "parziali".
Intanto a me non risulta che nessun matematico usi il termine
"derivata totale", che invece alcuni fisici usano (non io).
Comunque la ragione e il significato di questo termine si capiscono in
casi che non sono quelli dei sistemi di punti discreti, ma proprio
quelli del continuo.
 
Chiarisco. Nella meccanica del punto e dei sistemi di punti si ha
(quasi) sempre a che fare con funzioni di una sola variabile
indipendente (il tempo), ossia con funzioni R --> R.
I singoli punti (es. i pianeti) vengono distinti mediante un indice.
Invece nella meccanica dei continui i punti del corpo, che sono
un'infinità continua, vengono distinti mediante le loro cordinate
cartesiane.
Ne segue che tutte le grandezze dipendono, oltre che dal tempo, anche
da queste coordinate; sono quindi funzioni R^4 --> R.
 
Esempio: se fotografiamo la velocità dell'acqua di un fiume, il
risultato sarà un "campo vettoriale", ossia, per dirla nel modo più
elementare, tre funzioni di x,y,z. Inoltre il risultato della foto
dipende dal tempo, quindi avremo tre funzioni v_x(t,x,y,z) ecc.
Guarda caso, questo si chiama "punto di vista euleriano".
 
Se vogliamo applicare la seconda legge della dinamica dobbiamo
calcolare l'accelerazione di ciascun punto partendo dal campo di
velocità.
 
Un punto è contraddistinto dalle sue coordinate; ma siccome il punto
si muove, le sue cordinate variano nel tempo. Se vogliamo seguire il
punto, dovremo sostituire al posto di x,y,z le funzioni del tempo che
rappresentano la *legge oraria* di quel punto, e avremo
v_x(t,x(t),y(t),z(t)).
Per calcolare l'accelerazione dovremo derivare questa rispetto a t,
ottenendo
 
a_x(t,x,y,z) = @v_x/@t + (@v_x/@x)(dx/dt) + (@v_x/@y)(dx/dt) +
                  (@v_x/@z)(dx/dt).
 
Questa formula, che trovi in tutti i testi di fisica odierni, la trovi
quasi identica in Eulero.
 
Qui capisci il perché di "totale": il primo termine a secondo membro è
la derivata parziale, in cui si fa variare t, tenendo fisse x,y,z. Ma
per calcolare la giusta velocità devi tener conto del fatto che anche
x,y,z dipendono da t.
Questo ha senso.
Non ha invece alcun senso chiamare "totale" la semplice derivata di
una funzione di *una sola* variabile.
Avrai quindi da un lato le equazioni differenzali ordinarie (non
totali) e dall'altro quelle a derivate parziali.
In lingua inglese sono correttamente in uso gli acronimi ODE e PDE:
"ordinary differential equation e partial differential equation.
 
Nota il cambiamento di punto di vista: mentre prima x,y,z erano
coordinate di un punto, ossia numeri, ora sono diventate funzioni del
tempo, perché *si segue il moto di ciascun punto*.
Mentre il primo è detto "punto di vista euleriano", il secondo è detto
"lagrangiano".
Va detto che Eulero e Lagrange sono contemporanei, nel senso che le
loro vite si sono parzialmente sovrapposte; ma Lagrange era di circa
30 anni più giovane.
-- 
Elio Fabri

Riprendo questa discussione perchè in biblioteca mi è capitato sottomano
il libro di Francoise Balibar.
Ho letto i giudizi non entusiasti di Pastore e Fabri, tuttavia se volete c'è altro materiale su cui discutere.
Subito dopo la parte che ha trascritto af44 , il testo continua in questo modo :
 
" Ma innanzitutto: in che cosa consiste la differenza tra equazioni differenziali totali e equazioni 
alle derivate parziali ? Questo interrogativo ci porterà per un poco sul versante della tecnica; ma
il lettore si rassicuri, non durerà; in ogni modo, non si tratta di usare concetti matematici, ma
semplicemente di comprendere l'idea sulla quale si basano. Bisogna innanzitutto notare che i due
tipi di equazioni sono equazioni differenziali, ossia che esse fanno dipendere il valore che una
certa grandezza fisica assume in un determinato punto P dal valore che essa assume in un
punto, o in più punti, immediatamente vicini. La differenza tra i due tipi di equazioni riguarda
precisamente questa delimitazione: un punto o più punti. Nel primo caso, si parla di differenziale
totale, nella misura in cui il valore della grandezza considerata in un solo punto immediatamente 
vicino al punto P determina< totalmente> il suo valore in P. Nel secondo caso, si parla di
differenziali (o derivate) parziali, nella misura in cui la conoscenza del valore della grandezza
considerata in un solo punto vicino a P non è sufficiente a determinare il suo valore nello stesso 
punto P, e quest'ultimo è determinato soltanto se si conosce il valore della grandezza
consideratan tutti i punti vicini a P, in un dominio di dimensioni infinitamente piccole
attorno a P.
Dario

 Ho letto i giudizi non entusiasti di Pastore e Fabri, tuttavia se volete c'è altro materiale su cui discutere. 
 
Sono curioso. Su quale aspetto di quello che dice Balibar secondo te c'è da discutere? Perché?

 
 
Io capisco il desiderio di voler esprimere dei concetti complessi in modo semplice, ma più semplice di un certo minimo, is /mission impossible/. 
Ma fa tanto più fatica imparare il concetto di derivata? Penso proprio di no... 
 
--
Wakinian Tanka 

Dario Sorrentino ha scritto:
 > Ho letto i giudizi non entusiasti di Pastore e Fabri,
Per quanto mi riguarda, questo è ciò che si chiama un "eufemismo".
 
 > Subito dopo la parte che ha trascritto af44, il testo continua in
 > questo modo:
 > "Ma innanzitutto: in che cosa consiste la differenza tra equazioni
 > differenziali totali e equazioni alle derivate parziali? Questo
 > interrogativo ci porterà per un poco sul versante della tecnica; ma
 > il lettore si rassicuri, non durerà; in ogni modo, non si tratta di
 > usare concetti matematici, ma semplicemente di comprendere l'idea
 > sulla quale si basano.
Questa frase è tutto un programma.
Accingendomi a commentare questo brano, mi sono proposto due domande
(retoriche):
 
1) Riesce a proporre un'accettabile spiegazione del problema cui
rispondono le eq. diff.?
2) Il risultato è comprensibile per il lettore cui presumibilmente si
rivolge?
La mia risposta è un deciso *no*, a entrambe le domande.
 
Alberto Rasà ha scritto:
 > Io capisco il desiderio di voler esprimere dei concetti complessi in
 > modo semplice, ma più semplice di un certo minimo, is /mission
 > impossible/.
 > Ma fa tanto più fatica imparare il concetto di derivata? Penso proprio
 > di no...
Il problema non è  derivata. Un'eq. diff. è qualcosa di più profondo.
E per poterlo spiegare bisogna prima averlo capito...
 
Mentre pensavo a come rispondere ai vostri post, mi è tornato in mente
che in una qualche epoca passata dovevo aver scritto una spiegazione
di che cos'è un'eq.diff. Poi il ricordo si è precisato, e ho ritrovato
lo scritto:
http://www.sagredo.eu/candela/candel27.pdf
 
 
Chiarisco, per chi non lo sapese, che "La candeka" era una rubrica
fissa che tenevo su una rivista i cui lettori erano prevalentemente
insegnanti di scienze nella s.s.s., quindi laureati in biologia o
chimica.
A posteriori, dopo alcune esperienze fatte, non credo che quella
puntata (gennaio 2000) fosse alla portata dei miei lettori, anche se
in teoria titolati di una laurea nel cui curriculum c'erano corsi di
calcolo differenziale e integrale.
Ma se la leggete potete almeno vedere come affrontavo il problema: il
"circolo vizioso" posto da problemi come la seconda legge della
dinamica e molti altri (ci sono diversi esempi).
Preciso anche che il vero tema di quella puntata era discutere il
significato di "sistema retto da leggi lineari".
Mi premeva mostrare che leggi lineari non implica andamento lineare
nel tempo; anche per sottolineare quanto sia diffusa - nelle persone
cosiddette "colte" che sproloquiano di scienza - la confusione tra le
due cose.
-- 
Elio Fabri


 
 
Certo, ma il concetto di derivata è l'inizio. Capito quello, è semplice passare ai concetti di derivata della derivata = derivata seconda, ecc. e infine a quello di equazione differenziale. Inoltre da li non è difficile poi arrivare alle derivate parziali e alla derivata totale, se proprio uno vuole introdurre anche queste. 
Ciao.
 
--
Wakinian Tanka

 
 
 
Ho la netta impressione che uno dei concetti della "candela 27", cioè il circolo vizioso che le eq. diff. permettono di superare, lo hai descritto in un post su isf sul tema, forse, orbite dei pianeti. Però non sono riuscito a trovarlo. Forse tu te ne ricordi?

il lettore si rassicuri, non durerà;
 
Dura anche troppo. Farraginoso, ma soprattutto inutile. Penrose ha
fatto scuola. Ciao

 Subito dopo la parte che ha trascritto af44 , il testo continua in questo modo :
 
...
 
Mi sono preso un po' di tempo per ponderare meglio il mio giudizio, 
incluso investire 13 euro per leggere il libro della Balibar.
 
Devo dire che il mio giudizio è fortemente peggiorato. Tuttavia non 
penso di aver veramente buttato i 13 Euro. Avere sotto mano un esempio 
come questo di come NON si fa divulgazione vale la cifra.
 
Vorrei però aggiungere qualche motivazione al giudizio e qualche 
commento collaterale.
 
In un primo momento ho pensato che l'autrice potesse essere in quello 
stato che io chiamo "di aver dimenticato i "fondamentali". E' una strana 
condizione cognitiva per cui persone che hanno avuto una formazione 
specifica rigorosa, ad un certo punto della loro vita professionale si 
comportano come se l'avessero dimenticata, infilando strafalcioni che 
costerebbero l'esame ad uno studente. L'ho vista diverse volte in 
docenti di fisica e non solo in ambito divulgativo (lì il campione resta 
Zichichi). Tuttavia certe affermazioni nel libro sono alquanto estreme.
 
  A parte la fantasiosa caratterizzazione di derivate totali e parziali 
in base al numero di punti rilevanti [per Elio: sulla nomenclatura, 
anche i matematici, sebbene con minor frequenza dei fisici, usano il 
termine derivata totale], ci sono altre perle. P.es. che le ODE siano 
adatte a descrivere una realtà discontinua-discreta. O che le equazioni 
alle derivate parziali siano adatte a descrivere le linee di forza di 
Faraday. Frase che avrebbe senso se fosse formulata come "le eq. a 
derivate parziali sono adatte a descrivere i campi rappresentati da 
Faraday mediante le linee di forza". Ma senza la precisazione la frase è 
sbagliata alla grande (le eq. differenziali per le linee di forza sono 
ODE, non PDE).
 
Ho difficoltà a pensare che L'autrice non conosca abbastanza la 
descrizione fisico-matematica. Penso piuttosto che, come mi è successo 
di sentire anche da parte di altri storici della scienza, cerchi di 
"forzare" la traduzione del formalismo nel linguaggio ordinario per 
passare dei concetti che a lei sembrano centrali sull' argomento.
Con questo non intendo giustificare queste "licenze poetiche". Le trovo 
anzi particolarmente gravi perché possono indurre delle vere 
incomprensioni di aspetti fondamentali della descrizione matematica e 
della stessa fisica.
 
Però, al di là delle licenze poetiche dell'autrice, un aspetto che mi ha 
colpito sono certe affermazioni che, sembrerebbero risalire direttamente 
ad Einstein. In particolare, frasi apparentemente attribuite ad E. (ma 
non viene dato un riferimento bibliografico preciso) come
 
"Per poter dare al suo sistema una formulazione matematica, Newton 
dovette inventare il concetto di quoziente differenziale e presentare le 
leggi del moto sotto forma di equazioni differenziali totali il che è 
forse il progresso intellettuale più considerevole che fu dato di 
realizzare a un uomo. Le equazioni lle derivate perziali non erano 
necessarie per questo, e Newton non vi ha fatto sistematicamente ricorso."
 
sembrano voler veicolare un particolare punto di vista di E. sulla 
questione più che fornire una spiegazione.
 
Giorgio