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Titolo: piccole oscillazioni in ambito lagrangiano

   Ammirati Colleghi
Cito dalle dispense del prof. Moretti, relativamente alla teoria delle 
piccole oscillazioni in ambito lagrangiano:
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  A questo punto nasce naturalmente una domanda (che spesso non ci si 
  pone nemmeno commettendo un pericoloso errore di logica). A parita' di 
  condizioni iniziali, le soluzioni delle equazioni di Eulero - Lagrange 
  associate alla lagrangiana approssimata L0, sono delle buone 
approssimazioni delle soluzioni delle analoghe equazioni per la 
lagrangiana non approssimata L, (almeno fino a quando tali soluzioni ri-
mangano vicine alla configurazione di equilibrio e con velocita' 
piccole)? La risposta e' positiva e tale analisi puo' essere intrapresa  ...
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Effettivamente da tempo la faccenda mi angustiava le meningi. E' 
possibile avere un riferimento per approfondirla? Thanks! Ah, visto che 
se me lo menzionate, naturalmente lo avete gia' letto, vi chiedo se se 
ne possa, plausibilmente, venire a capo entro due o tre giorni di 
perenne travaglio.
   Sodales atque omnes legentes ex animo saluto.
   Imago Mortis

 possibile avere un riferimento per approfondirla?
Ciao, ora non posso controllare, ma mi pare che gi� sul libro di
Arnold di fondamenti matematici della meccanica classica ci sia un
teorema corrispondente (forse in formulazione di Hamilton, ora non
ricordo bene).
Ciao, Valter

   Ammirati Colleghi
Forse ho capito; la mia ipotesi e' questa:
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-- 1 --
il problema di Cauchy iniziale PDC(I) e' equivalente ad una equazione di 
Volterra EV(I)
-- 2 --
il problema di Cauchy linearizzato PDC(L) e' equivalente ad una 
equazione di Volterra EV(L)
-- 3 --
in entrambi i casi la successione dele approssimanti di Picard converge 
uniformemente alla soluzione, nel ben noto intorno del punto iniziale
-- 4 --
ma nella successione delle approssimanti relative a EV(L) l'integrando 
e' la derivata di quello in EV(I)
-- 5 --
quindi si ottiene subito che la soluzione di EV(L) e' la derivata di EV(I)
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Ove quanto sopra fosse corretto, la struttura lagrangiana del sistema di
equazioni differenziali non verrebbe mai evocata, quindi la deduzione 
dovrebbe valere per ogni sistema. Ma non sono proprio sicuro. Vado a 
ricontrollare i calcoli ...


Ciao, non ho capito bene quello che hai scritto. Secondo me, ma non ci
ho pensato mai bene, la procedura che si pu� usare � la seguente.
Prima di tutto ti scrivi le equazioni di Hamilton o Lagrange al
prim'ordine in forma normale
(nel primo caso lo sono gi� automaticamente). Poi fai la
linearizzazione della funzione a secondo membro attorno a qualche
punto dello spazio delle fasi.
Se la funzione che appare a secondo membro dell'equazione
differenziale � abbastanza regolare, hai una stima sull'errore che
commetti che ottieni direttamente dalla formula del resto dello
sviluppo di Taylor in pi� variabili. A questo punto usi le stime
basate sul "Lemma di Gronwall"
(teorema 3.6) ed espilcitate nel teorema 3.7 delle mie
dispense...Probabilmente ci sar� anche un approccio pi� preciso, ma
gi� questo dovrebbe funzionare.
Ciao, Valter