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Titolo: Geometria dell'universo

Riporto qui di seguito una parte di alcune pagine trovate in
internet :
L' equazione del campo di Einstein che determina la geometria
dell'universo (senza la costante
 cosmologica) e' :
Ruv - 1/2g uv R = - 8 (pi greco) G T uv
Pero' se facciamo l'ipotesi che l'universo sia omogeneo, isotropico e
a curvatura costante questa formula tensoriale (ricordando che R uv ,
g uv , T uv sono tensori, cioe' rappresentano configurazioni di
elementi e non singoli numeri), si semplifica e diventa una equazione
differenziale scalare scritta nel modo seguente :
(R' / R)^2 + k/(R)^2 = ( 8 pigreco G / 3) P
Dove P = densita' dell'universo = 5x10^-30 g/cm^3
        R = e' uno scalare che misura la grandezza dell'universo
        R' = e' la derivata di R che misura la velocita' con cui la
grandezza dell'universo cambia
        K = curvatura dell'universo che puo' assumere valori K=0  K=1
K= -1
        Pi greco = 3,14.................
        G = costante gravitazionale = 6,67 x 10^-11 m^3 x Kg^-1 x s^-2
Ora io vi chiedo per quanto riguarda invece R quale valore devo
inserire nella formula ?
E quale valore avra' la sua derivata R' ? che devo inserire nella
formula ?
Ma poi ho anche una perplessita' riguardo a K/(R)^2 , se abbiamo detto
che K = 0 , 1 , -1
avro'  0 diviso (R)^2 che da' zero ,oppure 1 diviso (R)^2  (anche se
non so quanto vale R ma di certo e' un numero grandissimo ,elevato poi
al quadrato.......) avro' come risultato praticamente zero e lo stesso
vale se pongo K =-1
Quindi nella formula (R' / R)^2 + k/(R)^2 = ( 8 pigreco G / 3) P  quel
K/(R)^2 cosa ci sta a fare ?
Naturalmente non e' che voglio correggere la formula.......ci
mancherebbe ! E' solo per dirvi che non ho capito un cavolo e vi sarei
molto grato se qualcuno mi aiutasse a capire .
Luca

 K/(R)^2 cosa ci sta a fare ?
Tiene conto della eventuale curvatura su vasta scala, nel senso della
geometria degli spazi di Riemann, dell'Universo in cui viviamo.
Saluti,
Aleph
-- 
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 questi ultimi vanno a zero molto pi� velocemente.
...
Sorry, questo l'ho detto male.
In realt� il termine che sicuramente va a zero pi� velocemente (come 1/R^3
per la precisione) del termine di curvatura � il termine di densit�
(quello a secondo membro).
Il primo termine a primo membro va a zero prima del termine di curvatura
solo se K = 1 (caso dei modelli di universo chiusi); se K = -1 invece i
due termini vanno a zero con la stessa velocit� (infinitesimi dello stesso
ordine per R --> oo) . 


 K/(R)^2 cosa ci sta a fare ?
Vedo che Aleph ti ha gi� risposto, da parte mia aggiungo solo qualche
dettaglio matematico; la trascurabilit� del termine di curvatura K / R^2
dipende dal caso che consideri; se consideri l' universo primordiale, cio�
molto antico, allora R --> 0 , perch� R � tanto pi� piccolo quanto pi� 
l'universo
� giovane, e qui per giovane intendo semplicemente "vicino all'istante t = 0
in cui � cominciata l'espansione (e non dico "in cui � cominciato 
l'universo"
come molti fanno, perch� non � detto che i teoremi di Hawking e
Penrose sulle singolarit� siano applicabili all'universo reale).
In tal caso la radiazione predomina sulla materia e per la legge di Stefan 
hai
D = a T^4 ( T � la temperatura assoluta e a la costante di Stefan-Boltzmann)
e quindi la ( 2 ) ti d�:
( R ' ) ^2  +  K  =  b R^2 T^4                     ( 3 )
dove b = costante.
Ora, siccome l'espansione � adiabatica e quindi  R T non cambia nel tempo,
la ( 3 ) ti d�:
( R' ) ^ 2   +  K  =  q / R^2                             ( 4 )
con q = costante.
E' chiaro che se R  -->  0 , il secondo membro predomina
su K che � costante, e quindi puoi trascurare K e scrivere:
( R' )^2  =  q / R^2              ( 5 )
che integrata ti d� la legge di espansione  R / t^(1/2) = costante
e (per la TR = costante) ti d� la famosa legge che lega la temperatura
al tempo,  T t^(1 / 2 )  = costante, e che finora ha resistito a tutti i 
test
osservativi.
Quindi come vedi nell' universo molto antico � lecito
trascurare la curvatura K / R^2 dello spazio.
Quando per� R cresce, la materia predomina sulla radiazione
e la curvatura non � pi� trascurabile (tranne ovviamente
che nel caso euclideo, K = 0 ).
Lo vedi subito dalla ( 2 ), mettendoci dentro   D R^3 = costante
(perch� DR^3 � proporzonale alla massa della materia contenuta
nel volume R^3, massa che si conserva nel tempo) ; hai
( R ' ) ^2  +  K  =  C / R                           ( 6 )
C = costante
Se l'espansione progredisce verso l'infinito (R --> infinito)
il secondo membro tende a zero e ti resta, al limite:
R'  =  sqrt ( - K )                                       ( 7 )
che implica K = 0 (spazio piatto)  oppure K = -1 (spazio iperbolico).
ed esclude lo spazio chiuso ( K = + 1 ) ; questo perci� non ammette
R --> infinito e infatti se integri la ( 6 ) con K = +1 ti trovi una R ( t )
che raggiunge un massimo ( = sqrt C ) e poi diminuisce fino a R = 0.
Il diagramma R - t � una cicloide.
Come vedi nel caso dominato dalla materia � impossibile
trascurare la curvatura (quando c'�) dello spazio.
Ciao
Corrado