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Titolo: campi elettromagnetici e relatività

Mi hanno posto un quesito a cui pensavo di aver trovato la risposta 
corretta, ma non mi tornano i conti. Il quesito chiedeva di considerare 
di correnti rettilinee di cariche (non due fili percorsi da correnti, 
solo i portatori) dello stesso verso, che quindi si attraggono, e 
spiegare l'apparente paradosso secondo cui, in un riferimento che si 
muove parallelamente alle cariche e alla stessa velocità, la forza 
dovrebbe essere quella elettrostatica, quindi repulsiva.
Io ho schematizzato così.
Consideriamo una fila di particelle cariche ferme equidistanziati a una 
distanza L, e una particella di uguale carica q ferma a distanza r dalla 
retta congiungente gli elettroni:
       L
     |---|
°   °   °   °   °   °   ° q
         | r
         °
Per le leggi dell'elettrostatica, l'elettrone solitario sente una forza 
*verso il basso* di modulo
               1     q^2
        F = ------- ----    (1)
            2pi*eps  Lr
dove esp è la costante dielettrica del vuoto.
Se ci mettiamo in un riferimento che si muove a velocità v verso 
sinistra, vedremo traslare la fila di cariche e la carica solitaria 
rigidamente a velocità v verso destra.
Possiamo considerare la fila di cariche come una corrente di intensità 
I=qv/L, che genera a distanza r un campo magnetico
            mu  I    mu  qv
       B = --- --- = --- ---
           2pi  r    2pi Lr
che a sua volta esercita sulla carica solitaria in moto una forza di modulo
                  mu  q^2 v^2
       F = qvB = --- --------  (2)
                 2pi    L r
diretta *verso l'alto*.
Fin qui l'apparente paradosso: in un riferimento ci sarebbe una forza di 
natura elettrostatica e in un altro di natura magnetica, non uguali.
Gli errori sono due: nel calcolo della corrente e nel fatto che bisogna 
considerare, anche nel riferimento in moto, anche le forze elettriche e 
non solo quelle magnetiche.
Infatti, un filo reale è globalmente neutro perché per ogni portatore 
c'è uno ione di carica opposta, ma in questo esempio c'è solo una fila 
di cariche: bisogna quindi aggiungere la forza coulombiana tra fila e 
carica solitaria, che è diretta verso il basso e sommata a quella 
magnetica deve dare la forza trovata nel caso 1.
Nel riferimento in moto, la forza coulombiana non è la (1), perché la 
distanza tra le cariche è L'=L*sqrt(1-v^2/c^2), quindi la densità 
aumenta, e così il valore della forza.
Quindi qualitativamente le cose sembrano tornare.
Però, sostituendo a L nelle formule precedenti L' e usando l'uguaglianza 
mu*esp = 1/c^2, la forza risultante misurata nel riferimento in moto mi 
risulta:
               1     q^2
        F = ------- ---- * sqrt(1 - v^2 / c^2)
            2pi*eps  Lr
cioè la (1) moltiplicata per un fattore sqrt(1 - v^2 / c^2).
Dove ho sbagliato?
ciao
--
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurità"
http://amnestypiacenza.altervista.org
Errori nei test di ammissione alla SSIS
http://gnappa.netsons.org/quesitissis/index.php

 repulsiva.
...
Non e' un paradosso, due correnti parallele
di soli portatori di cariche tutte dello stesso segno
e con la stessa velocita' si respingono,
cio' diventa evidente nel riferimento in cui
le cariche di uno dei due fasci sono in quiete,
in questo riferimento la forza agente sulle cariche in
quiete e' solo elettrostatica e quindi repulsiva.
Una buona trattazione dell'argomento si trova ad es.
su La Fisica di Berkeley, vol. 2, parte prima.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 dove esp è la costante dielettrica del vuoto.
Ciao.
Scusa ma gia' questa formula non mi torna: essa e' invariante per
traslazioni
lungo x mentre la tua distribuzione di carica e' solamente periodica
di periodo L.
 Anche se considero tale formula come valutata per un certo x
particolare, magari alla stessa x di una carica della filo, come
sembra dalla figura,
non sono sicuro che il tuo risultato sia giusto comunque per la serie
discreta (ho provato a sommarla con mathematica ma non ce la fa),
mentre mi ricorda quello per una distribuzione continua uniforme di
cariche.
Mi sbaglio? Puoi per favore chiarire questo punto? Poi magari
discutiamo del resto.

 Ciao
grazie e ciao


 Dove ho sbagliato?
Mi pare da nessuna parte: la forza *non* e' invariante.
===
M.

 riferimento in cui esse sono ferme.
Infatti non lo deve essere. C'era stato un thread l'anno scorso (meta' 
aprile, titolo "paradosso relativistico della forza tra 2 elettroni in 
moto") proprio su questo argomento: 
http://tinyurl.com/6g36fq


Aspettando tue nuove sulla esatta comosizione geometrica che avevi in
mente, ho rifatto il tuo conto nel caso pu' generale compatibile con
la tua situazione in modo da estendere le tue conclusioni.
Nel sistema di rif. solidale alla singola carica hai  campo
elettrico
E=(0,E_y,0) e magnetico B=(0,0,0), che esercitano una forza eE sulla
carica.
Nel sistema in moto con velocita' v=(v_x,0,0) per trovare i nuovi
campi basta applicare le trasformazioni di Lorentz al tensore
elettromagnetico F che e' della forma F_{0i}=E_i, F_{ij}=0 nel sist.
della carica. Facendo cosi' (semplice prodotto di matrici L^TFL dove L
e' la matrice 4x4 di Lorentz del boost) ottieni che la forza nel
sistema in moto e' la vecchia moltiplicata per il fattore sqrt(1 -
v^2 / c^2) come da te scritto (se la distibuzione delle cariche non e'
continua e uniforme fino all'infinito avra che questo risutato vale
solo al temo zero nel punto simmetrico rispetto alla distribuzione di
carica). Dunque confermo il tuo risultato. Come hanno gia' detto altri
la forza non e' un invariante relativistico qundi il risutato non deve
sorprendere. Direi che si ottine ancora una volta lo stesso risultato
di sopra dalla definizione relativistica di forza e dalla legge di
trasformazione del 4-impulso. ciao

 discutiamo del resto.
sì, ha ragione, ho considerato il caso semplice della carica messa in 
corrispondenza di una della fila, in modo che per simmetria il campo 
fosse perpendicolare alla fila, ma poi ho applicato il teorema di gauss 
come si fa per la distribuzione continua, assumendo che il campo sia 
uniforme lungo tutta la superficie cilindrica, cosa che non è.
Allora la forza si può calcolare così.
-2L  -L  0   L  2L   3L
  °   °   °   °   °   °   ° q
          | r
          °
Sommo il contributo della carica in 0, più quello della coppia distante 
L, più quello della coppia distante 2L, ecc...
              __+oo
      q^2     \             r
F = -------  /___   -----------------
     4pi eps  k=-oo   (r^2+k^2L^2)^3/2
Suppongo sia questa la serie discreta che dicevi che hai provato a 
sommare. Se la somma della serie fosse 2/(Lr) saremmo a cavallo :-)
Ma se L=r=1 dovrebbe essere che sum(1/(1+k^2)^(3/2))=2, cioè che
1+2*sum(1/(1+k^2)^(3/2),1,+inf) = 2, ma calcolando la somma ad esempio 
fino a 100 si supera già 2.
Quindi i conti con una fila discreta non si riescono a fare?
Allora consideriamo una una distribuzione lineare continua, mi sembra 
che in questo caso le espressioni che ho scritto nel primo post non 
vadano modificate, se non sostituendo q/L con la densità lineare l.
grazie e ciao


 link? :-)
Sorry, no.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Dove ho sbagliato?
I conti sono perfetti. L'errore lo fai quando ti aspetti di trovare la
stessa forza.
Non e' cosi', perche' la forza non si trasforma come un 4-vettore.
Per un 4-vettore le componenti spaziali trasversali rispetto al moto
relativo dei due rif. sono invarianti.
Invece la forza non e' un 4-vettore: lo diventa se la moltiplichi per
gamma.
Risultato: e' invariante la componente longitudinale, mentre quelle
trasversali si trasformano proprio come hai trovato.
 
-- 
Elio Fabri

 scontato che i due fasci di cariche si attraessero,
Ma non e` cosi': si respingono in tutti i sistemi di
riferimento, perche' la forza magnetica non arriva mai a
superare quella elettrica. Arriverebbe ad eguagliarla se le
cariche si muovessero alla velocita` della luce.
Lo so che e` poco intuitivo perche' siamo abituati a pensare
che una corrente anche piccola (e lenta: mm/s) produca forze
magnetiche apprezzabili, dello stesso ordine di grandezza di
quelle elettriche, ma in realta` gli elettroni di conduzione
hanno una carica complessiva enorme, che se non fosse
neutralizzata dai nuclei produrrebbe forze elettriche
colossali.
Quindi in sistemi di riferimento diversi le cariche si
respingono con forze diverse e si allontanano (se sono libere
di farlo) di una distanza tot in tempi diversi, ma la cosa
quadra perfettamente con il solito effetto relativistico di
dilatazione temporale.
Ciao
Paolo Russo

 Dove ho sbagliato?
Mi pare che tutto torni: l'importante è che il moto della carica sia tale da 
mantenere indistinguibili i due sistemi di riferimento.
La forza può anche avere modulo diverso.
Sappiamo che:
1) F = dp/dt
2) p = m*gamma*v
Possiamo ad esempio verificare che l'accelerazione iniziale della carica è 
la medesima in entrambi i casi.
L'accelerazione verticale, nel sistema in quiete è data da:
Fy = m* dgamma/dt *v + m*gamma*dvy /dt
all'istante iniziale v=0 e gamma=1  = = > Fy = m*dvy /dt
nel sistema in moto gamma ha valore sqrt(1 - v^2 / c^2), per cui restiamo 
con:
Fy =  m*gamma*dvy /dt
Di conseguenza, avendo tu ottenuto per F due espressioni che differiscono 
per il solo fattore moltiplicativo gamma, avrai la medesima accelerazione 
per entrambi i casi.
In tal modo, osservando il comportamento della carica, non potrai stabilire 
di essere in un sistema in quiete o in moto rettilineo uniforme, che alla 
fine è il caposaldo di tutte
le formule di conversione fra un s. di rif. e l'altro.
Ciao
Andrea 

Ringrazio tutti, ora è chiaro :-)
Mi rimane la curiosità che ponevo ad argo (post del 9/5, ore 18.51), 
cioè se si riesca a fare un calcolo abbastanza semplice della forza nei 
due riferimenti anche nel caso della fila discreta al posto di una 
distribuzione continua.


 Quindi i conti con una fila discreta non si riescono a fare?
Si' che si possono fare, pero' non devi aspettarti che siano esattamente 
gli stessi che nel caso di una distribuzione continua. Dopotutto, sono 
casi fisicamente diversi, che tenderanno a dare lo stesso risultato solo 
se la distanza dei fili e' grande rispetto alla distanza tra le cariche 
in un filo.

 gli stessi che nel caso di una distribuzione continua.
Ciao,
non so se si puo' scrivere in forma semplice o di alcune funzioni +-
note,
dovresti riuscire a sommare una serie del tipo
sum_{n=0}^{oo}1\[n^2+x^2]^{3/2},
che mi sembra arduo...
Comunque, per ganppa, come ho scritto nel post, il risultato e'
generale
e prescinde dalla realizzazione specifica purche' appunto
si verifichino le condizioni che avevo adottato.
Ovvero che nel sistema solidale alla carica, il campo elettrico dove
si trova la carica sia
E=(0,E_y,0) e magnetico B=(0,0,0): da questo semplicemente usando le
trasformazioni del tensore F
si conclude che la forza sulla carica nel sistema in moto con
velocita' v=(v_x,0,0) e' sqrt(1 -
v^2 / c^2) volte quella del sistema solidale, al tempo t=0.
Nulla importa circa la distribuzione di carica che generi
nel punto della carica i campi E e B di cui sopra,
ne' che siano frutto di distribuzioni continue o discrete.
ciao.