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Titolo: Doppler nella luce

Abbiate pazienza con un povero ignorante che si è messo a leggere
libri di divulgazione.
Mi è facile capire il Doppler nel suono. Io mi immagino il suono di
una sirena come un flusso "continuo" di oscillazioni trasmesse da un
altoparlante alle molecole dell'aria che stanno fra me e la sirena e
non mi è difficile "vedere" le oscillazioni restringersi o allargarsi
a seconda del moto relativo fra me e la sorgente.
Ma un raggio di luce è assimilabile a un'onda sonora? L'onda sonora
non è assoggettata alla costanza di velocità propria della luce.
L'onda sonora poi non mi pare si configuri per la singola molecola
d'aria, mentre il singolo fotone è perlomeno "anche" un'onda. Mi
parrebbe perciò il caso di ragionare sul Doppler del singolo fotone,
ma a questo punto la figura di onda "continua" non riesco più ad
immaginarmela.
Ora, supponendo che la "frequenza" (o si dice il "colore"?) sia un
fatto riconoscibile in ciascun fotone (salvo vostra confutazione) e
supponendo di disporre di improbabili strumenti di misura, proseguo
nella mia confessione d'ignoranza.
Sono su di un treno fermo. Davanti a me, lontano lontano, c'è un altro
treno, fermo pure lui, che mi spara addosso un fotone alla volta. I
fotoni scorrono ondeggiando a lato del mio finestrino laterale dove ci
sono due tacche: la prima attiva un orologio al passare del fotone e
la seconda lo disattiva. Inoltre il finestrino è in grado di contare
le oscillazioni del fotone nel tratto fra le tacche.
Rilevo il tempo di transito fra le tacche, misuro la distanza fra le
medesime tacche, faccio due conti e trovo che il fotone viaggia a
300.000 km al secondo. Annoto pure il numero delle oscillazioni.
La Scienza mi dice che se io mi lancio a folle velocità verso l'altro
treno oppure se è l'altro treno sparatore di fotoni che mi si avventa
contro, il fotone transiterà fra le tacche sempre nello stesso tempo,
cioè sempre con velocità di 300.000 km al secondo. Invece la Scienza
mi dice che il numero delle oscillazioni fra le tacche aumenterà
(Doppler d'avvicinamento, identico nei due casi).
Bene. Suppongo di andare  "incontro" ai fotoni sparati dal treno
fermo. Accetto (a malincuore) la costanza della velocità della luce.
Accetto invece di buon grado il fatto che la frequenza dei fotoni
aumenti: io vado "incontro" alle onde ed è naturale pensare che esse
"arrivino più rapidamente". Però mentre per la velocità della luce
devo forzare il mio buon senso e negare che la mia velocità si sommi
con quella della luce, per la questione "Doppler" mi si permette di
dar retta al mio buon senso. Ecco quindi la prima domanda:
1) Se mi avvicino ad una fonte luminosa è la mia velocità di
avvicinamento che determina il "Doppler" nonostante che la medesima
velocità di avvicinamento non influisca sulla velocità della luce? E
se sì, come mai?
Suppongo ora che sia il treno sparatore di fotoni che procede verso di
me. In questo caso accetto (volentieri) la costanza della velocità
della luce perché essa è  "anche" un'onda e si sa che le onde fanno
tutte così. In prima battuta pure il fatto che la frequenza aumenti
non mi disturba: difatti mi viene subito in mente ciò che succede con
la sirena di un'ambulanza in avvicinamento. Però, in seconda battuta,
avendo deciso di ragionare sul singolo fotone, non posso fare un
parallelo con una sirena.
Allora cosa succede al singolo fotone? Scocca di botto e subito vive
di vita propria? Esce invece (relativamente) pian-piano dal filamento
della lampadina e prima di distaccarsi genera almeno un paio d'onde di
modo che esse possano essere "schiacciate" dalla velocità del treno?
Di qui la seconda domanda:
2) Come mai  la costanza della velocità della luce emessa da un treno
in avvicinamento mi porta a pensare ad un fotone che "scocca di
botto", mentre l'effetto "Doppler" mi fa pensare ad un fotone generato
in un certo lasso di tempo? C'è una spiegazione più sensata?
Immagino d'aver così dichiarato la mia incompetenza. Però ho pure
l'impressione che i testi divulgativi dimentichino di dire le cose
fondamentali. Sembra quasi che ci propinino la "buona novella" e che
noi si debba solo inchinarci ed ossequiare. O sono matto?
gino

 immaginarmela.
Per oggetti come i fotoni (che non solo sono relativistici ma
addirittura ultrarelativistici, cioé sono nel limite estremo) è
necessario usare la relatività. L'effetto doppler che usi normalmente
per il suono fallisce con la luce. Bisogna usare le trasformazioni di
lorentz per dimostrare l'effetto doppler relativistico. Non credo che
esista una sola persona al mondo capace di *immaginare* un fotone. Il
simbolismo della relatività è molto solido e coerente ma anche molto
astratto. Io personalmente faccio una fatica immane a immaginarmi i
fenomeni relativistici. So ottenre le trasformazioni di lorentz dalla
costanza della velocità della luce, e so applicarle per ricavare
risultati e risolvere paradossi. Ma non sento per niente di aver
capito la relatività. Anzi dichiaro di non averla affatto capita. Io
mi fermo qui anche perché non ho tempo. Nel tuo (lunghissimo :-)) post
mi sembra che cerchi di riflettere su un modo per ricavare la formula
per l'effetto doppler relativistico. Io lo ho ricavato applicando con
attenzione le trasformazioni di Lorentz ma non so se qualcuno ti
risponderà sulla scia del tuo ragionamento correggendolo o
respingendolo. Ti dico solo che in ragionamenti di questo tipo occorre
fare un'attenzione mostruosa alle procedure operative che si sceglie
di fare per effettuare le misure. Puoi benissimo (anzi devi) fare
ideali esperimenti mentali ma devi cmq chiederti: "cosa intendo di
preciso quando dico che qualcosa viaggia a tot velocità?" o "cosa
intendo di preciso quando dico che i due orologi segnano tot tempi
diversi o che sono sincronizzati?", ecc.. Alla fine il modo giusto di
procedere coinvolge inevitabilmente le procedure di sincronizzazione
dei reticoli di orologi per mezzo di lampi di luce di
sincronizzazione... Ciao!

 sincronizzazione... Ciao!
Grazie, commento molto bello e chiaro (nei limiti della mia capacità
di comprendere, fra l'altro non sono del mestiere)
Poichè questo post è stato trattenuto dal moderatore (non sapevo di
questa cosa) l'ho mandato anche a if.free.scienza.fisica. Là ho
ricevuto qualche commento e ho anche imparato qualcosa. L'argomento si
è parecchio ridimensionato.
Se gradisci posso trascrivere l'ultima questione.
Gino

 wrote:
Pardon!  mi autorispondo per capire le regole vigenti, cioč se ogni
volta si viene moderati :-)

 volta si viene moderati :-)
Questa era una cosa che non avevo capito bene neanch'io, ma anche
senza avere studiato la dimostrazione formale si potrebbe capire in
termine di due effetti: ritardo variabile dovuto al moto della
sorgente, e effetto dovuto alla relatività dei tempi.
Primo effetto: le onde portano un certo tipo di informazione, e
quest'informazione ti arriva in ritardo. Tanto più la sorgente si
allontana, tanto più diventerà lungo il ritardo. Hai quindi che lo
"sfasamento" tra segnale emesso e segnale ricevuto è variabile, questo
ti crea la distorsione Doppler che c'è anche nel suono.
Formalmente, nel caso delle onde piane (propagazione in una sola
direzione):
la sorgente si sposta con un certo moto x(t). Tu stai in x=0.
La sorgente emette un segnale variabile nel tempo dato da f(t). (NOTA:
Il "t" è quello del tuo sistema di riferimento, non quello della
sorgente)
Quello che tu percepisci è dato da:
f(t-x(t)/c)
Caso semplice: moto rettilineo uniforme:
x(t)=v*t
quindi in questo caso quello che tu percepisci è:
g(t)=f(t-v*t/c)
g(t)=f[(1-v/c)*t]
come vedi c'è un fattore di distorsione pari a (1-v/c).
Se consideriamo anche la relatività dobbiamo tenere conto che il tempo
nel riferimento della sorgente non coincide necessariamente con il
tempo nel tuo riferimento, e questo causerà una distorsione aggiuntiva
del segnale.
Per calcolare questa distorsione: usando la teoria della relatività
puoi calcolare il tempo nel riferimento della sorgente a partire dal
tuo, se conosci anche la posizione relativa della sorgente e la sua
velocità relativa (relative a te):
T=h(t,x,v)
Nel riferimento della sorgente, l'emissione di segnali è data dalla
relazione:
F(T)
mentre nel tuo sarà dato da:
f(t)=F[h(t,x(t),dx/dt)]
Questa è la seconda parte della distorsione, e con questo hai finito...

 ti crea la distorsione Doppler che c'è anche nel suono.
Nel suono mi è chiaro, ma la velocità del suono dal punto di vista
dell'uditore, varia al variare delle velocità relative fra emittente e
uditore, cosa che invece non succede con la luce.
Quanto alle tue notazioni matematiche purtroppo io sono in difficoltà,
non sono del mestiere.
Avevo proposto la questione anche in free.it.scienza.fisica (non avevo
capito che qui passa del tempo a causa della moderazione). Trascrivo
una sintesi di cosa avevo capito e delle mie perplessità (naturalmente
dovute alla mia mancanza di preparazione). Utilizzo un pezzo di
lettera che ho scritto a un prof di matematica-fisica "eretico", di
quelli che dubitano della Relatività (che però non mi ha risposto).
Grazie per il tuo commento,
Gino
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Gentilissimo Professor.........
mi scusi se la disturbo nuovamente e non mi meraviglierò se mi
cestinerà senza pietà.
Ma forse quanto segue può incuriosirla.
Una tale, pure lui perplesso di fronte alla costanza della velocità
della luce, mi aveva detto: "Non ti confondere col Doppler della luce,
che è cosa di cui non si può dubitare". Allora ho chiesto ai "gruppi"
di fisica in Internet: "Se mi avvicino ad una fonte luminosa, come può
la mia velocità di avvicinamento causare il Doppler nonostante che
essa non influisca sulla velocità della luce medesima?" Ho ricevuto
molte risposte, ma, batti e ribatti, mi sono ritrovato più confuso di
prima.
Sintetizzando, mi hanno detto che il Doppler relativistico si calcola:
f' = f*Rad[(1+v/c)/(1-v/c)]    dove f = frequenza della luce nel
riferimento della sorgente e v = velocità di avvicinamento
mentre quello non relativistico è:
f' = f*(vo+v)/vo    dove vo=velocità dell'oggetto emesso dalla
sorgente
Per cercare di capire mi sono fatto un "esperimento":
Io sono l'osservatore e me ne sto alla guida di un treno su di un
binario diritto e ben lungo. Nel binario di fianco c'è un altro treno
rivolto verso di me che ogni minuto mi spara una raffica di mitra: 4
colpi in un secondo che viaggiano a 100 mt/s.
Entrambi i treni sono fermi;  io verifico la frequenza dei colpi e
trovo 4/s.
Se uno dei due treni avanzasse a 50 mt/s i colpi transiterebbero con
una velocità di 150 mt/s, la raffica per me durerebbe 0,66666...
secondi (ci sono faticosamente arrivato usando delle striscioline di
cara quadrettata e solo dopo ho capito che dovevo fare 100/150...)
quindi  la frequenza sarebbe  4/0,66666...=6/s.
E così ho capito la formula ricevuta: 4*(100+50)/100=4*1,5=6
Cosa succederebbe se invece di pallottole si trattasse di onde
luminose e se la velocità limite fosse c=100 mt/s?.
Coi treni fermi: vedrei la luce per 1 secondo e conterei 4
oscillazioni, come per le pallottole.
Ma se uno dei due treni avanzasse a 50 mt/s mi si dice che la luce
deve per me transitare ancora a 100 mt/s.
Ciò significa che la velocità d'avvicinamento non dev'essere aggiunta
a quella della luce.
Per simmetria, a me viene da pensare che anche la frequenza della luce
dovrebbe essere lasciata in pace.
Invece mi si dice che va applicata la formula  f' = f*Rad[(1+v/c)/(1-v/
c)]    cioè    4*Rad[(1+50/100)/(1-50/100)]=4*1,732=6,9
(Poiché 50/100=150.000/300.000, mi pare chiaro che usare valori veri
non modificherebbe il risultato).
Anche la differenza fra 6 e 6,9 per me è fonte di confusione, ma
immagino sia dovuta alla contemporanea contrazione relativistica dei
tempi e delle lunghezze e non sono certo così pazzo da mettermi a
discutere sull'algebra di Einstein. In ogni caso, mi sono detto, se ci
sono delle "esperienze" che confermano il Doppler relativistico, ciò
taglierebbe la testa al toro (e questo credo sarebbe un'ulteriore
conferma della Relatività Ristretta). Ho allora chiesto agli
internettiani se ci sono prove sperimentali:  l'argomento più
significativo mi è sembrato l'Autovelox (che funzionerebbe misurando
le variazioni di frequenza di microonde sparate alle auto) argomento
però contestato da taluni. Addirittura qualcuno ha detto che il
Doppler della luce non ha niente a che fare con la relatività.
Arrivo quindi allo scopo della mia lettera chiedendole: esiste o non
esiste una prova certa del Doppler in relativistico?
Se con avvicinamento al 50% di c una frequenza di 4/s passa a 6,9/s
con l'1%       4*Rad[(1+1/100)/(1-1/100)]=4*Rad1,0202=4*1.01=4,04/s
con il 99%       4*Rad[(1+99/100)/(1-99/100)]=4*Rad199=4*14=56/s
Un suo chiarimento su quanto precede sarebbe graditissimo.
...........................(poi rifrerivo di altre discussioni in
internet)
........ Io ne ho ricavato l'invito a lasciar perdere il fotone dato
che nessuno sa cosa in realtà esso sia e soprattutto l'invito di non
stare a distinguere fra chi è che si muove e chi sta fermo in quanto è
postulato fondamentale della Relatività.
Avranno certamente ragione, ma visto che mi hanno pure confermato che
un impulso luminoso non è assimilabile ad un impulso sonoro e che
l'onda luminosa non deriva dall'oscillazione di un insieme di fotoni
così come invece succede all'onda sonora nei confronti delle molecole
d'aria, mi pare che le onde luminose debbano essere addebitate al
comportamento dei singoli fotoni i quali quindi dovrebbero avere la
loro brava frequenza ed eventualmente essere individualmente soggetti
al Doppler! O sbaglio? Fra l'alto quelli della quantistica non fanno
altro che parlare dell'esperimento della doppia fenditura quando si fa
transitare un fotone per volta! Quindi i fotoni si riescono a
maneggiare.
Quanto alla questione "chi si muove e chi è fermo" a me parrebbe che
ci siano situazioni in cui la cosa è rilevabile. Ad es.: sono un
astronauta, rilevo il Doppler della luce di una stella (certo non
posso sapere se dipende da me e/o dalla stella) e poi accelero in
direzione della stella. Se ora rilevo il Doppler, la differenza con
quello di prima mi sembra di poterla attribuire alla mia accelerazione-
movimento. Magari è una considerazione che non serve a nulla.
Se è arrivato fin qui, grazie per la sua pazienza.
Molto cordialmente,

Ciao, scusa per la trattazione matematica che ti ha reso le cose meno
chiare.
Il fatto è che la velocità della luce è una cosa, l'andamento del
segnale di origine è un'altra.
Non ti conviene fare l'analogo con oggetti come i proiettili perché la
velocità della luce è sempre quella.
Per non complicare, usa un esempio in una sola dimensione,
semplicemente fai che sei fermo su un binario e vedi un treno su
questo binario che si allontana da te a velocità pari a metà della
velocità della luce. Sul treno c'è una lampada puntata verso di te,
che manda impulsi luminosi con una certa periodicità. Sul treno c'è un
omino che decide come regolare la periodicità del segnale.
L'omino decide di regolare la periodicità a 60 secondi (nel suo
riferimento). Nel tuo riferimento questa periodicità sarà diversa,
credo più lunga, quindi l'intervallo tra un impulso e quello dopo è
più lungo.
Inoltre il treno si sta allontanando da te, quindi per arrivare a te
la luce dovrà percorrere una distanza sempre più grande, per questo
dovrai aspettare sempre di più per ricevere il prossimo impulso!
Ora spero che sia chiaro...
Ci sentiamo
Bruno

Se proprio vuoi vedere nel dettaglio, in elettromagnetismo vedi che la
luce è un'onda elettromagnetica nel senso che porta con se variazioni
di campo elettrico e magnetico.
I campi elettrico e magnetico che misuri possono variare anche a
seconda del sistema di riferimento, e credo che anche la loro
polarizzazione cambi: questi sono effetti che fanno percepire a te un
segnale diverso rispetto a quello della sorgente, comunque una volta
che conosci le equazioni fondamentali dell'elettromagnetismo e la
relatività, ricavare l'effetto doppler relativistico diventa
abbastanza diretto.

Non è importante conoscere la formula esatta delle trasformazioni di
relatività per capire la parte relativistica dell'effetto doppler,
basta sapere appunto che la durata del periodo tra due impulsi di luce
cambia a seconda dell'osservatore.
Se ti interessa, per ricavare la formula esatta della trasformazione
dei tempi, puoi usare gli "intervalli".
I matematici che studiarono la relatività ristretta trovarono una
formulazione matematica più semplice, anzi, tante formulazioni
alternative, in cui tu parti da certe ipotesi sullo spazio e sul tempo
e sulle quantità che restano le stesse per tutti i sistemi di
riferimento.
Una di queste due quantità è la velocità della luce, l'altra è
l'intervallo.
L'intervallo è una "distanza" tra due eventi. Per evento si intende
appunto un fenomeno che avviene in un preciso istante in un preciso
luogo. Le coordinate nello spazio e nel tempo di questo evento in
generale non sono le stesse a seconda dell'osservatore.
definizione di intervallo tra due eventi di coordinate:
(x1,y1,z1,t1) e
(x2,y2,z2,t2):
D=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2-c*(t2-t1)^2
e D è un'invariante.
Nel riferimento del treno, hai una lampada ferma che lancia impulsi a
intervalli costanti di durata T.
Considera l'evento 1 l'emissione di un impulso di luce e l'evento 2
l'emissione di quello successivo:
nel riferimento del treno, la lampada è ferma, quindi l'intervallo è
pari a:
D=0+0+0-c*T^2=-c*T^2
nel tuo riferimento, il treno si sposta lungo x a velocità v, e puoi
usare il fatto che D è invariante per ricavare il periodo nel tuo
sistema di riferimento:
D=(v*t)^2+0+0-(c^2*t^2)=(v*t)^2-(c^2*t^2)
cioè
-c^2*T^2=(v*t)^2-(c^2*t^2)
cioè
t^2=T^2 / [1-v^2/c^2]
cioè
t=T * 1 / [1-v^2/c^2]^ (1/2)

 Bruno
Chiarissimo!
Però mi domando se sia possibile assimilare alle pulsazioni di un faro
la cosiddetta "frequenza" di un raggio luminoso.
Ora ci rifletto, ma capisco che prima di riflettere dovrei
"studiare"....
Ti confesso che avevo posto la stessa domanda al sito di un professore
di matematica-fisica (un po' "eretico" in verità) il quale proprio
oggi mi risponde (non ci speravo più) che il problema posto a suo
giudizio è un casino infernale (mia traduzione di parole più
scientifiche e garbate) e chiederà a un collega di lui più esperto.
Sig! Cosa sono mai andato a pestare!
Intanto grazie.
Gino

Ciao,
volevo dirti che ho detto una cavolata pazzesca!
Nell'esempio che ti ho dato del treno e degli impulsi sembrava che il
segnale che tu percepissi diventasse non periodico (perché
apparentemente dovevi aspettare sempre di più tra un periodo e
l'altro). Tutto ciò è sbagliato perché, mentre tu aspetti che il
segnale N ti arrivi, il trenino può fare in tempo a emettere i segnali
successivi.
Per risolvere il problema può essere d'aiuto vedere quanto sono
distanziati nello spazio i "picchi" di luce.
Se due picchi sono distanziati nello spazio di una lunghezza "d",
quello più indietro arriverà d/c secondi dopo quello davanti, giusto?
Vediamo allora di calcolare d.
Diciamo che nel tuo sistema di riferimento c'è una sorgente luminosa
che emette impulsi con periodo "p", e che si allontana da te lungo un
binario a velocità "v".
Diciamo che tu sei all'estremo sinistro del binario, e il treno
viaggia verso destra.
A un certo tempo t, il treno emette un impulso. Chiamiamo A il punto
esatto nello spazio in cui la sorgente ha emesso questo impulso. "p"
secondi dopo la sorgente emette un altro impulso. Quanto sono
distanziati nello spazio i due segnali successivi?
L'impulso precedente si è già allontanato dal punto A, è a sinistra
del punto A, a distanza cp da esso. Il treno intanto si è allontanato
dal punto A, è a vp metri a destra di A. Quindi in totale la distanza
tra i due picchi di luce è:
d=cp+vp
Ora questi due picchi continueranno a viaggiare verso di te a velocità
c. Quindi tu riceverai il secondo impulso d/c secondi dopo il primo.
q=(cp+vp)/c=(1+v/c)*p
Come vedi questo intervallo di tempo non dipende da quanto la sorgente
è lontana da te, dipende solo dalla velocità con cui si allontana.
Questa è la spiegazione dell'effetto doppler classico (credo)...

 Sig! Cosa sono mai andato a pestare!
Permettimi di essere molto scettico su quello che dici della risposta
del prof. ecc.
Se fosse vero (ripeto, *se*) ne potrei solo concludere che il
suddetto prof. e' poco competente ma scientificamente onesto.
Che sia un casino infermale non e' affatto vero.
Probabilmente lo sarebbe cercare di fartelo capire, ma questo e' un
altro discorso :-)
 
-- 
Elio Fabri

 altro discorso :-)
E' verissimo che io ho difficoltà di comprendonio e pure gravi carenze
d'informazione. Credo proprio smetterò di rompere in questi gruppi,
infatti ormai mi sono convinto che quando si arriva al nocciolo delle
questioni molti fra quelli che se ne occupano professionalmente
ammettono che ci sono cose ancora da comprendere e sperano nello LHC
(e non mi riferisco solo al prof eretico). Io credevo invece che fosse
tutta colpa mia. Così pare non sia e posso perciò mettermi il cuore in
pace. Ti ringrazio anche per aver inutilmente tentato di farmi capire
come mai le onde possano interferire senza distruggersi.
Se vuoi divertirti alle mi spalle puoi trovare in
http://digilander.libero.it/selmigino/Vaneggi.doc
buona parte di quello che non ho capito (ci sono anche le lettere
ricevute dal professore eretico).
Ringrazio e saluto tutti molto cordialmente
Gino
PS. metto questo commiato anche in free.it.scienza.fisica. visto che
avevo posto la questione pure di la.
Certo che questo gruppo "moderato" è un po' strano dal mio punto di
vista, forse serve a costringere la gente a pensare prima di
rispondere.