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Titolo: un semplice esercizio di meccanica

Un proiettile di massa m e velocità v attraversa un pendolo di massa M
e lunchezza l ed emerge con velocità v/2. Con quale velocità minima
deve avere il proiettile perché il pendolo possa compiere un giro
completo?
A me viene v>(4M/m)*sqrt(lg) ma non torna. Grazie a chiunque mi
aiuterà. Roberto

 cenere07
E' un problema classico e sono altrettanto classici i 2 errori:
1) Utilizzare la conservazione dell'energia cinetica invece della
consarvazione della quantita'
di moto. La prima vale solo nel caso di urti elastici la seconda vale
"sempre".
2) Assumere che il pendolo debba arrivare in cima a velocita' nulla, il che
sarebbe vero se
l'asta fosse rigida, ma qui c'e' un filo.... Per cui occorre imporre che la
velocita' di arrivo
in cima sia tale che l'accelerazione centripeta uguagli g o, se preferisci,
che la forza centrifuga
bilanci la forza peso.
Prova a rivedere il problema alla luce di quesste 2 considerazioni, se hai
ancora problemi vedremo.
La domanda finale o non l'ho capita bene o mi sembra banale: certo che no/
Ciao.
Fabrizio.
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Inviato via 
http://usenet.libero.it

 "sempre".
Anche quello che hai appena scritto e' un errore...
A tua parziale giustificazione, si puo' dire che e' ancora piu' comune!
Saluti
Woodridge
-- 
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Un atroce dubbio: non dirmi che e' sbagliata la "consarvazione" della
quantita' di moto!!



Be' allora... sii piu' chiaro: ho paura di non essere sicuro su cosa intendi
(e
questo e' ancora piu' grave!): non vorrei incorrere in
futuro nello stesso errore, potresti spiegarti meglio?
Grazie.


 A tua parziale giustificazione, si puo' dire che e' ancora piu' comune!
Vuoi dire che la conservazione dell'impulso non vale sempre?

Chiedo scusa a Frisio se non sono stato subito esplicito, e' un
periodaccioo per me e ho scritto il primo intervento in tutta fretta.
Ebbene si, non e' sempre vero che negli urti si conserva la quantita' di
moto. Non SEMPRE.
Come voi mi insegnate, un urto e' un'interazione tra due sistemi in cui
questi si scambiano forze "molto intense" in un tempo "molto breve". La
traduzione di questi due "molto" e' la seguente: l'effetto delle forze
esterne al sistema costituito dai due sistemi urtanti e' in genere
trascurabile.
Ecco il punto: in genere, ma non in generale!
Piu' precisamente e piu' formalmente, si distinguono, tra le forze
esterne, quelle impulsive e quelle non impulsive. Le prime sono quelle
forze in grado di presentare "picchi" di intensita' in un tempo "molto"
breve, e dunque il loro effetto si fa sentire nell'urto. Le seconde non
sono invece in grado di fare cio', hanno un loro valore piu' o meno
definito o limitato, e sono trascurabili nell'urto. Tra le seconde ci
sono piu' o meno tutte le forze piu' comunemente descritte nella
fenomenologia: peso, elastica, attrito, elettrica et similia. Le
rappresentanti piu' comuni delle forze impulsive, invece, sono le
reazioni vincolari. Un vincolo (parete, binario, perno...), infatti, e
in grado di "rispondere" a forze comunque intense con una pari
intensita' (posto, ovvio, che non si arrivi alla rottura del vincolo).
Che c'entra con la coservazione della quantita' di moto?
Semplice: se la risultante delle forze esterne a un sistema fisico e'
nulla, la quantita' di moto del sistema si conserva.
Quindi, se nell'urto le forze esterne sono trascurabili, si conserva la
quantita' di moto complessiva. Questo pero', per quanto detto, non
accade sempre, ma solo in assenza di forze esterne impulsive.
Tanto per uscire dall'astratto, possiamo fare un paio di esempi se vi
va.
L'autore del thread, roberto, parlava di un pendolo semplice urtato da
una massa puntiforme m. La m urtava con velocita' v e emergeva con
velocita' v/2.
Ecco, il pendolo e' un esempio classico del discorso fatto. Il pendolo
e' vincolato a un perno. In generale, non si conserva la quantita' di
moto, perche' c'e' la reazione vincolare del perno che e' impulsiva. Si
conserva pero' il momento angolare rispetto al perno, perche' il momento
della forza impulsiva vincolare rispetto al perno e' nullo (essendo il
perno il punto di applicazione). Pertanto, per calcolare la velocita' V
con cui e' messo in moto il pendolo (diciamo l la lunghezza del filo del
pendolo, M la massa), l'equazione FORMALMENTE corretta da impostare e'
quella della conservazione del momento angolare:
m*v*l = m*v/2*l + M*V*l
Il saggio Frisio obiettera': "bella perdita di tempo... se semplifico l
riottengo l'equazione della conservazione della quantita' di moto!". :-)
Giusto, e percio' io ho evidenziato l'avverbio FORMALMENTE: perche' in
questo caso (in questo) la questione era solo formale.
Cio' accade per due motivi:
1) il pendolo in questione e' un pendolo semplice, cioe' una massa
puntiforme legata al perno da un filo privo di massa;
2) la particella m urta il pendolo ortogonalmente al filo (la m si
muoveva in orizzontale, il pendolo era a riposo, col filo in verticale).
Infatti il filo esercita la sua reazione solo se si tenta di allungarlo
(vincolo unilaterale). In altre parole, "nell'istante" dell'urto la m
non tende a "tirare" il filo (piu' formalmente: la forza impulsiva non
agisce sulla componente orizzontale del vettore quantita' di moto, che
in questo esempio e' l'unica non nulla). E' pero' chiaro che se la m
colpisse dall'alto (non necessariamente in verticale, anche con un
angolo), il filo reagirebbe e la quantita' di moto non si conserverebbe
(caso estremo per convincersi: urto completamente anelastico con m
incidente dall'alto sulla verticale... e ovviamente filo che non si
rompe: m e M rimangono incollate e immobili, e la m*v iniziale e'
diventata zero alla fine).
Piu' interessante e meno speculativo il caso di un pendolo composto,
cioe' un sistema esteso massivo vincolato a un perno e libero di
ruotarci attorno. In questo caso l'equazione della conservazione della
quantita' di moto (in cui V sarebbe la velocita' del centro di massa)
sarebbe del tutto errata. L'equazione corretta e' SOLO quella del
momento angolare conservato, che si scrive:
m*v*l = m*v/2*l + I*w
con l distanza perno-punto di impatto, I momento di inerzia del pendolo
composto rispetto al polo perno e w (leggi: omega) velocita' angolare
con cui ilpendolo massivo e' messo in rotazione dall'urto.
Scrivere:
m*v = m*v/2 + M*V
e' in questo caso ERRATO.
Caso estremo per convincersene: se il perno e' nel centro di massa del
corpo esteso e m colpisce in periferia, il pendolo composto ovviamente
e' messo in rotazione, ma altrettanto ovviamente V=0 (il centro di massa
e' imperniato).
Il problemino dell'urto di un punto materiale su un'asta rigida
imperniata lo si trova comunque in varie salse su svariati testi di
meccanica classica.
Tanto per non dare l'impressione di voler sparare alle mosche col
cannone: se non volete pensare al pendolo, pensate all'urto di un punto
materiale su una parete: il punto rimbalza indietro, la parete,
vincolata al pavimento, non si muove, il che significa che la quantita'
di moto non si conserva (si conserva solo tangenzialmente alla parete,
perche' questa reagisce con una reazione solo lungo la normale).
Perdonatemi se vi ho tediato.


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Spiegazione ineccepibile.
In effetti l'espressione conservazione della quantita' di moto
si presta a malintesi; per conservazione di quantita' di moto io intendo
dire
considerando anche l'impulso di forze esterne, in effetti la parola
"bilancio" e'
piu' appropriata e piu' corretta, il sempre si riferiva a quello.
Certamente scrivendo subito bilancio avrei fatto molto meglio.
Grazie a Woodridge per aver chiarito, chiedo scusa a tutti se la mia scarsa
precisione
ha generato equivoci.


 Certamente scrivendo subito bilancio avrei fatto molto meglio.
...meglio in effetti... pero'... scusa... e' un po un tentativo di
salvarsi in calcio d'angolo no?... :-) ...perche'...
1) Quello che tu chiami "bilancio", e i libri di fisica preferiscono
invece chiamare teorema dell'impulso, vale sempre, ma proprio sempre,
anche senza parlare di urti, e non e' quindi una prerogativa di questi
(come invece lo e' la conservazione della quantita' di moto finche' non
ci sono forze esterne impulsive).
2) Pur tenendo conto di questo "bilancio": tenendo conto di come era
partito il thread, l'equazione del "bilancio" non ti serve per risolvere
un problema d'urto, perche' le forze coinvolte negli urti non le
conosci, a maggior ragione non conosci l'intensita' delle forze esterne
impulsive, a ragione ancora maggiore non conosci l'impulso di queste.
Giusto per fare un "bilancio" delle cose:
negli urti, non vale in generale la conservazione dell'energia,
applicata da Roberto e smentita da Frisio: e' applicabile solo se si sa
esplicitamente che l'urto e' elastico;
la conservazione della quantita' di moto e' applicabile in genere, ma
non in generale: non lo e' quando ci sono forze esterne impulsive;
in quest'ultimo caso, il problema si affronta con altre conservazioni,
tipo quella del momento angolare, o di una sola componente della
quantita' di moto, o in altri modi a seconda del problema specifico.
Chiudiamo qui il "bilancio"?
:-)


 Woodridge
Ciao.
