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Titolo: Derivata di un punto

Buongiorno a tutti.
Ho qualche problema con il concetto di derivata di un punto.
Io faccio la derivata sulle coordinate di un punto, se questo si sposta io 
vedo il cambiamento di coordinate e lo relaziono al tempo. Ma cosa si 
intende per spostamento? la distanza fra i due momenti? Se ho un punto in 
R^1 non ho problemi perché lo tratto come una funzione normale, ma se sono 
in R^2, ad esempio, devo considerare la distanza fra i due momenti, o 
soltanto componente per componente?
Inoltre sul libro definisce la derivata come il prodotto fra lo spostamento 
relativo ad un lasso di tempo PER l'inverso di tale lasso di tempo. E poi in 
una nota a fondo pagina viene messo in evidenza che praticamente si tratta 
del rapporto incrementale come per le funzioni numeriche, ma che in realtà 
si tratta del prodotto sopra citato.
Dove sta la differenza nei due casi?
Ciao e grazie! 

"Vin" <sandrosky@v.n> ha scritto nel messaggio 
news:sq%Md.29262$2h5....@tornado.fastwebnet.it...
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Ciao Vin,
mi sembra che tu stia confondendo il concetto generale di derivata con la 
definizione fisica di velocità (che costituisce solo un esempio )...
Considera la funzione x(t) (con x : R-->R): si tratta di una funzione 
definita sull'asse R a valori in R interpretabile come legge oraria del moto 
di un corpo che si muove in un mondo unidimensionale. La t variabile 
indipendente rappresenta il tempo, mentre la var dipendente x rappresenta la 
posizione rispetto ad un punto fissato di riferimento. x(t) allora mi indica 
in quale posizione si trova il mio corpo all'istante t.
Supponiamo che il corpo si trovi in x_1 = x(t_1) all'istante t_1 e in x_2 = 
x(t_2) all'istante t_2 con   t_2 = t_1 + Dt:
Lo spostamento del corpo nell'intervallo di tempo Dt = t_2 - t_1  è  Dx = 
x_2 - x_1
Il rapporto incrementale della funzione è per definizione (generale) il 
rapporto tra la variazione della variabile dipendente e la variazione della 
variabile indipendente: in questo caso esemplificativo il rapporto 
incrementale è vm =Dx / Dt e rappresenta fisicamente la velocità media del 
corpo.
La derivata della funzione x(t) nel punto t_1 è (se esiste) il limite del 
rapporto incremetale al tendere a zero dell'incremento Dt della variabile 
indipendente. In generale !!!
Nell'esempio questo numero che si indica con x'(t_1) rappresenta la velocità 
istantanea del corpo all'istante t_1 ed è la velocità a cui solitamente ci 
si riferisce (v=dx/dt   dove "d" minuscolo indica che la variazione D è 
infinitesima ) !!
Precisato cosa si intende per velocità istantanea nel caso unidimensionale, 
si può generalizzare al caso multivariato (es. n=3)!!
La legge oraria di un corpo che si muove in 3 dimesioni è una funzione X(t) 
: R-->R^3  cioè è definita sull'asse reale R (il tempo t) ed assume valori 
in R^3 (X è un vettore a 3 componenti che rappresentano le coordinate 
spaziali della posizione, cioè X=(x,y,z))
X(t) è un modo semplificato per dire (x(t),y(t),z(t))
Supponi che all'istante t_1 il corpo si trovi in 
X_1=X(t_1)=(x(t_1),y(t_1),z(t_1)) e all'istante t_2 il corpo si trovi in 
X_2=X(t_2)=(x(t_2),y(t_2),z(t_2)).
In questo caso lo spostamento è dato dal vettore X_2-X_1= (x_2-x_1, y_2-y_1, 
z_2-z_1)
Si può allora definire una velocità media o istantanea analogamente a quanto 
fatto al caso unidimensionale...
La velocità media sarà allora un vettore 3-dim VM=( Dx/Dt , Dy/Dt , Dz/Dt) = 
(vm_x , vm_y , vm_z ) dove vm_x è la velocità media nella direzione x, vm_y 
nela direzione y e vm_z nella direzione z ( è la composizione dei tre moti 
unidimensionali)
Per analogia la velocità istantanea è un vettore 3-dim V=( dx/dt , dy/dt , 
dz/dt) = (v_x , v_y , v_z )
Spero di essere stato abbastanza chiaro
Ciao Giorgio

Grazie mille!
Ciao e alla prossima