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Titolo: Notazione per il calcolo tensoriale

   Ammirati Colleghi
--- PROTASI ---------------
Sto seguendo il corso di metodi e, qualche giorno fa, si e' fatta menzione
di questo gruppo; ne ho appreso cosi' dell'esistenza e provo a a postare
invocando sollievo per la mia ignoranza.
--- PREMESSA ---------------
La convenzione di somma di Einstain, ad onta dell' apparente semplicita',
mi sembra sollevare questioni di una certa delicatezza.
--- INTERROGATIVO ---------------
La regola dice che la somma va intesa su indici ripetuti, qualunque ne 
sia la natura,
o va presa solo se uno dei due e' controvariante e l'altro covariante ??
--- PREOBLEMATICA ---------------
Alcuni testi di algebra (multi)lineare legano la posizione degli indici 
alla regola della
gallina:
"La gallina e' una animale BASSO che COVA le uova e fa COcode'"
quindi un indice in _BASSO_ e' _COVA_riante e di _CO_lonna.
Ma davvero non so se la cosa abbia senso: la posizione di un indice
dovrebbe essere dettata dalle sue proprieta' di trasformazione, non
da una convenzione tipografica sulla rappresentazione tabulare
bidimensionale (ove esista) delle componenti dell'oggetto.
--- ESEMPIO ---------------
Ad esempio, se considero una forma bilineare su uno spazio vettoriale V
di dimensione finita n, fissata una base, rimangono determinate n^2
componenti della forma nella base naturale nello spazio dei tensori
covarianti di rango 2 su V. Cioe' ho due indici entrambi di covarianza.
L'azione della forma phi e' rappresentata da
phi(u,v) = (u^h)(v^k)(phi_hk). Tutto Ok.
Ma se desidero a tuti i costi evocare la 'matrice rappresentativa' della 
forma
in detta base uno dei due indici deve per forza essere deportato in alto
per essere di riga ed avrei
phi(u,v) = (u^h)(v^k)(phi_h^k). E non va bene a meno che non si intenda
la convenzione di somma estesa ad indici ripetuti di poisione arbitraria.
--- CONCLUDENDO ---------------
Mi pare ragionevole "fare le cose per bene" attenendosi alla regola
della somma su indici di natura diversa e disattendendo le norme
"tipografiche". Mi confortate in questa conclusione o pensate che stia
sbagliando ?
--- PREOCCUPANDOSI PER L'AVVERNIRE  ---------------
Potreste, per farvore darmi indicazioni sulle difficolta' citate nella frase
"The notation was introduced by Roger Penrose as a way to use the formal 
aspects
of the Einstein summation convention in order to compensate for the 
difficulty
in describing contractions and covariant differentiation in modern 
abstract tensor
notation, while preserving the explicit covariance of the expressions 
involved."
tratta da:
http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_index_notation
 ?
--- RINGRAZIAMENTI E SALUTI  ---------------
Vi sono grato per l' (eventuale!) attenzione dedicatami e vi
saluto cordialmente.
    Imago Mortis
--- P.S.-----------------------
La gallina di cui sopre e' un animale basso perche' non e' una giraffa.
L'espressione non ha sottintesi morali.
Tutto politically correct per l'operoso volatile.
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senti, perche' non dai un'occhiata alle mie dispense, le seconde che
trovi
partendo dall'alto, alla pagina web:
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 phi(u,v) = (u^h)(v^k)(phi_h^k). 
Probabilmente devi metterci un g_{kl} per abbassare l'indice k della 
matrice. Infatti se vuoi trasformare un'applicazione lineare in una 
forma, devi fare ricorso al prodotto scalare. Nel caso euclideo g_{kl} è 
l'identità, e quindi in pratica la formula è la stessa, ma ti salva la 
regola degli indici ripetuti.
E.

    Ammirati Colleghi
Grazie per la risposta; mi sono fiondato sulle
dispense, che leggero' avidamente.
    Buono studio.