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Titolo: Eq. integrale

Qualcuno ha suggerimenti su come risolvere la seguente eq. integrale?
f(x) = \int_{-a}^a dy g(y) \sqrt{f(x) + (x-y)^2}
(l'incognita e' g.)
Su f(x) si sa questo:]
- e' continua su tutto R
- e' nulla per |x|>a
- e' positiva e C-infinito per |x|<a.
Thx
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Elio Fabri
c/o Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 - e' positiva e C-infinito per |x|<a.
Un idea che mi viene sarebbe quella di introdurre la funzione h(x,y) tale
che
\frac{d h(x,y)}{dy} = \sqrt{f(x) + (x-y)^2}
In questo modo l'integrale diventa
\int_{h(x,-a)}^{h(x,a)} dz \gamma(z)
laddove \gamma(z) = g(y(z)) e y(z) e' l'inversa di h(x,y) in y.
L'idea sarebbe di risolvere in \gamma e poi cercare di invertire h.
Francamente non ho controllato le condizioni di invertibilita' di h in y,
ne' se il cambio di variabili sia definito benebene dappertutto in
R \times ]-a,a[
Hope this helps.
bye^2,     mr

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 - e' positiva e C-infinito per |x|<a.
...
 
Ma il termine sqrt{f(x) + (x-y)^2} moltiplica o divide g(y)?
Saluti,
Aleph
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Aleph ha scritto:
 > Ma il termine sqrt{f(x) + (x-y)^2} moltiplica o divide g(y)?
Moltiplica.


 integrale è nullo.
...
No, la soluzione di sopra, per x > a o x < -a ammette come soluzione
unicamente la soluzione banale g(y) = 0, come si vede immediatamente
sviluppando l'integrando della (*) nei due termini componeneti. 


 (l'incognita e' g.)
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
Ho trovato una soluzione all'equazione piu' generale (non so se e'
d'aiuto):
f(x)=int_{-a}^a dy g(x,y)sqrt{f(x)+(x-y)^2}
ed e'
g(x,y)=(1/(2a))*sqrt{f(x)+(x-y)^2}+x^2+a^2/3-(x^2+a^2/3)/int_{-a}^a dy
sqrt{f(x)+(x-y)^2}
che e' facilissima da trovare e da' per g(x,y) la forma tipica
bidimensionale di un kernel di un'equazione integrale.
Credo pero', e questo Elio dovrebbe confermarlo, che si richieda g
funzione solo di y. In questo caso non so se la soluzione esista.
Piero
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 (l'incognita e' g.)
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Riscrivo qui la soluzione perche' non sono convinto di averla scritta
correttamente nel post precedente:
g(x,y)=(1/(2a))*sqrt{f(x)+(x-y)^2}-(x^2+a^2/3)/[int_{-a}^a dy
sqrt{f(x)+(x-y)]^2}
che si ottiene cercando la soluzione nella forma
g(x,y) = C1*sqrt{f(x)+(x-y)^2}+C2(x)


 Moltiplica.
...
E' già più trattabile ma, come ho scritto a Tetis in un altro intervento,
vedo una complicazione notevole (oltreché inusuale) nel fatto che il
nucleo contiene il termine noto f(x) in forma implicita.
Se specifichi in maniera esplicita la forma di f(x) allora l'equazione
diventa un'equazione di Fredholm del primo ordine a tutti gli effetti e in
alcuni casi è probabilmente possibile risolverla, ma se cerchi una
soluzione generale la vedo dura.
Saluti,
Aleph 
P.S.: Ma da dove salta fuori?


 - e' positiva e C-infinito per |x|<a.
Una classe di soluzioni approssimate si trova imponendo che 
il termine noto f(x) >> 4*a^2.
 
In tal caso la (*) che si può riscrivere come:
sqrt[f(x)] = int_{-a}^a dy g(y) sqrt{1 + [(x-y)^2]/f(x)} (**)
diventa all'ordine più basso (ordine zero) in [(x-y)^2]/f(x) 
sqrt[f(x)] = int_{-a}^a dy g(y) (***)
che ammette, per f(x) costante una classe di soluzioni molto ampia (in
pratica basta che g(y) sia una funzione non dispari e a integrale positivo
opportunamente normalizzata.
Saluti,
Aleph


 (l'incognita e' g.)
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
Aggiungo un'ulteriore soluzione esatta oltre che una semplice analisi.
L'equazione data puo' essere valutata a diversi valori di x. Per esempio
possiamo considerare i valori +/- x0 contenuti nell'intervallo |x|<a (dove
per ipotesi la f(x) non si annulla) che danno
f(x0)=int_{-a}^a dy g(y) sqrt{f(x0) + (x0-y)^2}
e
f(-x0)=int_{-a}^a dy g(y) sqrt{f(-x0) + (x0+y)^2}
e si vede che la soluzione g(y) dipende dai diversi valori della f(x).
Dunque e' plausibile ammettere che g(y) dipenda anche da x affinche' la
suddetta equazione ammetta una soluzione.
La soluzione puo' anche essere scritta nella forma
g(x,y)=C(x)/sqrt{f(x) + (x-y)^2}
che da' sostituendo
g(x,y)=f(x)/(2a*sqrt{f(x) + (x-y)^2})
che e' anche soluzione dei due casi particolari considerati.
Piero


 P.S.: Ma da dove salta fuori?
Domanda prevedibile ;-)
Nasce da un problema di idrodinamica (che si puo' anche vedere come
problema di elettrostatica.
Considera un solido a simmetria cilindrica, immerso in flusso di
liquido perfetto incomprimibile, di data valocita' asintotica
(parallela all'asse di simmetria).
Ammesso che abbia senso considerare il caso di flusso irrotazionale,
ho scoperto di recente che esiste un metodo di Rankine per risolverlo.
(Una cosa che Landau non dice!)
La tecnica e' di trovare una distribuzione di sorgenti e pozzi interna
al solito, lungo l'asse, che produca, insieme col flusso asintotico,
la giusta condizione al contorno.
Se uso coord. cilindriche (r,z), e se chiamo r = h(z) l'equazione del
contorno del solido, ne risulta la condizione
2 \pi u h^2(z) = - \int_{-a}^{+a} s'(z_1) dz_1 \sqrt{h^2(z) + (z - z_1)^2}
dove u e' la velocita' asintotica, [-a,a] e' l'intervallo occupato dal
solido, s(z) e' la densita' lineare della sorgente (nell'eq. figura la
sua derivata).
La forma che vi avevo scritta e' solo travestimento di questa.
Una cosa non avevo detta (di proposito): sospetto che nei casi utili
la soluzione sia una distribuzione.
Esempio: se il solido e' una sfera la soluzione e' nota:
s(z) = 2 \pi a^3 \delta'(z).
(Avete letto bene: la derivata di una delta, ossia un campo di dipolo.)
Nella forma che vi avevo data, avremmo f(z) = a^2 - r^2.
 
-- 
Elio Fabri

 Aleph


 pari, con integrale nullo.
...
Ma no! La x nel primo integrale la devi portare fuori dall'integrando!
La (*) si riscrive così:
0 = x*int_{-a}^a dy g(y)- int_{-a}^a dy g(y)*y
che equivale all'equazione di primo grado
0 = A*x + B 
la quale dovendo essere soddisfatta per ogni x > a (o x > -a) implica che
entrambi i coefficienti A e B debbano essere indipendentemente nulli,
ovvero:
A = int_{-a}^a dy g(y) = 0
e 
B = int_{-a}^a dy g(y)*y = 0
La tua condizione annulla solo B non A, perché l'integrale di una funzione
pari esteso su un intervallo simmetrico non è mai nullo a meno che,
appunto,
non sia g(y) = 0.
Il resto che hai scritto lo voglio meditare meglio.


 non sia g(y) = 0.
Partivo dall'ipotesi che g(y) fosse dovesse essere non negativa,
condizione ovviamente non richiesta.


 Aleph
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 Nella forma che vi avevo data, avremmo f(z) = a^2 - r^2.
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