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Titolo: Traiettoria a tempo min.

Mi ricordo che anni fa quando ero al liceo ci hanno portato ad una
mostra matematica. Tra le varie "attrazioni" esposte vi era quella che
chiamerei "traiettoria a tempo minimo", ovvero la curva che dovrebbe
seguire un punto materiale per andare da una posizione ad un'altra. 
In pratica si considerino i due punti P1(x1,y1) e P2(x2,y2) con y2<y1.
Quello che si cerca e' la traiettoria che dovrebbe percorrere il punto
materiale per andare da P1 a P2 (chiaramente senza spinta, solo con la
forza gravitazionale). Quello che era "impressionante" e' che la gente
tendeva a dire che la traiettoria migliore era la retta che congiungeva
i due punti, mentre si poteva sperimentare con due biglie che una
traiettoria piu' parabolica (che scendeva sotto y2) era piu' veloce. Il
nostro sore di mate disse che fu uno dei primi grandi risultati del
calcolo infinitesimale e che la curva, se non ricordo male, doveva
essere una cicloide. 
Ora la domanda: io non sono mai riuscito a calcolare la formula di
questa traiettoria (pur avendo fatto i corsi di analisi), probabilmente
perche' non sono mai riuscito ad impostare il calcolo correttamente.
C'e' qualcuno che puo'  spiegarmi come ci si arriva oppure darmi
semplicemente una dritta? 
Grazie e ciao
Scola

 semplicemente una dritta?
ho fatto una ricerchina con google: il seguente file dovrebbe soddisfarti
http://www.mat.uniroma3.it/didatticacds/corsi/didattica_interattiva/aa_00_01
/fm2/
exe-1.ps
ciao
--
 Paolo Sirtoli
 Homepage:    
http://www.vialattea.net/sirtoli
 Divulgazione scientifica:   
http://www.vialattea.net
 Societa' Astronomica Orobica:  
http://www.vialattea.net/sao

 semplicemente una dritta?
ho fatto una ricerchina con google: il seguente file dovrebbe
soddisfarti
http://www.mat.uniroma3.it/didatticacds/corsi/didattica_interattiva/aa_00_01
/fm2/
exe-1.ps
Non sono riuscito ad entrare nel sito (mi dicono "forbidden", senza dare
istruzioni), e quindi non so se oltre a fornire la soluzione del
problema, vi viene fatto anche uno studio sulle altre caratteristiche
cinematiche, oltre alla traiettoria, del punto materiale in caduta lungo
il percorso ciloidale.
Mi resta quindi la curiosità: si tratta di questo.
Riferiamoci al caso particolare in cui il tracciato di minor tempo (la
forma del piano lungo cui il punto cade) è esattamente mezzo arco
cicloide rovesciato, per cui i punti A (partenza) e B (arrivo)  hanno
rispettivamente coordinate cartesiane A(0,2) B(pigreco,0).
Si può dimostrare che l'andamento della velocità del punto (e
conseguentemente la sua accelerazione) è lo stesso del punto in moto
cicloidale della circonferenza che rotola a velocità costante su di una
retta? Per comodità scrivo qui di seguito le equazioni in questione.
1) Velocità (scalare)
y=sqr[2-2cos(x)]          equivalente a abs[2sin(x/2)]
2) Accelerazione (tangenziale) (derivata della precedente funzione)
Y'=sin(x)/sqr[2-2cos(x)]  equivalente a cos(x/2) raddrizzato ad ogni
periodo pari.
Grazie.
Luciano Buggio
www.scuoladifisica.it
 
-- 
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http://www.Mailgate.ORG

E' noto come problema della brachistocrona e si risolve con il calcolo 
delle variazioni. Sono dati due punti A e B nel piano {x,y}: A={0,0};
B={a,b<0}. L'equazione della curva (con parametro il tempo t) è:
y=c1*(1-Cos[t]), x=c1*(t-Sin[t])-c2, con c1=a/(t*-Sin[t*]) che sono, 
ti ricordi bene, delle cicloidi. Il valore t* è soluzione 
della equazione: {(1-Cos[t])/(t-Sin[t])} =b/a. Si dimostra che tale
 valore esiste ed è unico.
Saluti
Fabio


Scola
si', e' la cicloide; guarda
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cycloid.html
il risultato a cui si riferiva il prof. credo sia il calcolo delle
variazioni
ciao, Lorenzo