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Titolo: termoproblema

Non sono un fisico ! (ve ne accorgerete subito).
pero' la fisica mi piace .
da qualche giorno mi arrovello con questo problema di termodinamica
E' noto che con Q = C*m*delta T, si determina la energia che si deve fornire
ad un corpo x per portarlo a temperatura  T .
la formula indica che alla temperatura T ci si arriva dopo il tempo insito
in Q = P * t.
E' ovvio che per t che tende ad infinito , T tenderà ad infinito.
Allora entrano in gioco le perdite del sistema. Infatti il senso pratico di
osservazione mi dimostra che dopo un tempo t1 la temperatura non salirà piu'
pur continuando a fornire la energia di cui sopra.
Immagino anche che le leggi che regolano il fenomeno di dispersione saranno
di tipo esponenziale del tipo(1-e-t/T).Io pero' non ho trovato traccia di
questa formula.
Infatti note le perdite del sistema ,come faccio a determinare la
temperatura finale e sopratutto il tempo ?Qualcuno di voi mi aiuterebbe a
capire? grazie molte.
mizar

 pur continuando a fornire la energia di cui sopra.
Tu continui a fornire energia, ma il corpo, che si sta scaldando 
rispetto all'ambiente, emette a sua volta energia, per esempio sotto 
forma di radiazione, oppure scalda l'aria intorno e partono dei moti 
convettivi che portano via energia, oppure ancora l'oggetto che stai 
scaldando e` a contatto con qualche altra cosa e il calore se ne va per 
conduzione.
Quando l'energia che fornisci e` uguale a quella che viene portata via 
con i meccanismi che ti ho detto prima (o anche altri), la temperatura 
finisce di crescere e sei in una situazione di equilibrio: tanto calore 
entra, tanto ne esce.
Per calcolare questa temperatura di equilibrio di solito basta una 
equazione algebrica. Se invece vuoi sapere come varia nel tempo la 
temperatura del corpo, se sale esponenzialmente o con altra legge, 
quanto in fretta, servono le equazioni differenziali.
A seconda di quanta matematica sai, si puo` andare avanti in modi 
diversi (e in qualche caso ci si deve fermare :-( ).
-- 
Franco
Um diesen Satz zu verstehen, muß man der deutschen Sprache mächtig sein.

 entra, tanto ne esce.
grazie del consiglio Franco
purtroppo non mastico le equazioni differenziali.
...ma la questione sta appunto nel perchè l'equilibrio non nasce già da
subito, voglio dire, le perdite per convezione , irraggiamento e conduzione
sono già li pronte a sottrarre calore subito e non si dovrebbe aspettare il
tempo t1.
è come se cercassi di riempire un secchio bucato con l'acqua , la perdita
incide subito sul livello di acqua  raggiunto a parità di flusso di entrata
costante.
che ne dici ? è meglio se continuamo usando formule (semplici) onde evitare
malintesi ?
ciao
mizar


 tempo t1.
La quantita' di calore scambiato per convezione si scrive di solito come:
hS(Ts-Too) dove h e' il coefficiente di scambio termico che dipende da mille
cose
(stato della superficie di scambio, velocita' relativa tra superficie e
fluido, fluido
che scambia ecc) S la superficie di scambio, Ts la temperatura della
superficie
e Too la temperatura del fluido abbastanza lontano dalla superficie. Come
vedi
all'inizio, quando la superficie e' fredda, Ts e' piccolo e il calore ceduto
e' poco.
Poi man mano quando il corpo si scalda, anche il calore ceduto per
convezione aumenta.
Lo stesso succede con gli altri processi di scambio termico. Per la
conduzione appare
un gradiente di temperatura nell'espressione del calore scambiato, gradiente
che sara'
tanto piu' alto quanto piu' si scalda il corpo. Per quanto riguarda
l'irraggiamento, la potenza
ceduta cresce con la quarta potenza della temperatura del corpo stesso. E'
naturale che
 la potenza ceduta non sia costante ma dipenda dalla temperatura. Se fosse
invece costante
sarebbe sufficiente fornire una potenza termica maggiore per far crescere la
temperatura indefinitamente.
Se vuoi calcolare la tempertura di equilibrio ti basta una matematica
semplice, mentre se vuoi
calcolare come la temperatura evolve nel tempo le equazioni differenziali
sono necessarie.
Flavio

 e Too la temperatura del fluido abbastanza lontano dalla superficie.
***********
grazie anche a te Flavio
incomincio a capire meglio !
mizar

 incomincio a capire meglio !
Evviva! Cosi` posso provare a confonderti le idee :-). Avevo in mente un 
approccio piu` soft, ma ne faro` uno piu` duro.
Simboli usati. T e` la temperatura, t e` il tempo, D leggilo delta e 
vuol dire variazione o intervallo. DT e` quindi una variazione di 
temperatura, Dt un intervallo di tempo. Pth e` la potenza termica che 
spingi dentro, Ta la temperatura ambiente, To la temperatura dell'oggetto.
Per analizzare cosa capita, guardiamo un intervallo di tempo Dt corto 
rispetto al tempo nel quale si evolve il fenomeno (ad esempio se si 
scalda uan pentola di acqua, prendiamo ad esempio un secondo, se 
scaldiamo un ago su una candela, prendiamo un intervallo di tempo molto 
piu` corto).
Vediamo che cosa capita durante Dt. L'energia fornita vale Pth*Dt. Nello 
stesso intervallo di tempo, il corpo butta fuori verso l'esterno una 
energia pari a h*S*(To-Ta)*Dt (formula di flavio).
All'inizio del riscaldamento To=Ta e quindi il corpo non emette nulla. 
Poi, di mano in mano che si scalda, l'energia emessa aumenta.
All'equilibrio, la potenza che entra e` uguale a quella che esce, e 
quindi Pt*Dt=h*S*(To-Ta)*Dt e il corpo e` in equilibrio termico, non si 
scalda piu`. Puoi semplificare Dt e trovare la condizione di equilibrio.
Durante la fase di riscaldamento, l'energia che entra durante ciascun Dt 
e` maggiore di quella che viene emessa durante lo stesso Dt. Dove va a 
finire questa differenza? Questa differenza di energia e` quella che va 
a scaldare il corpo, quella che tu hai scritto nel primo messaggio Q=C m 
DT. Forse e` meglio scrivere DQ=C m DT, perche' stiamo considerando un 
passo di aumento di temperatura, che richiede una variazione di energia 
immagazzinata.
Allora l'equazione per un generico intervallo di tempo diventa qualcosa 
del tipo: l'energia che entra meno quella che esce e` quella che va a 
scaldare il corpo.
[Pth-h*S*(To-Ta)]*Dt=C m DT
Allora possiamo calcolare quanto cambia la temperatura: cioe` possiamo 
trovare DT, di quanti gradi varia la temperatura in ogni intervallo Dt.
DT= Dt*(Pth-h*S*(To-Ta))/(C m)
oppure qual e` la velocita` di variazione della temperatura (ad esempio 
in gradi al secondo)
DT/Dt=(Pth-h*S*(To-Ta))/(C m)
per vedere come va la temperatura nel tempo, puoi quindi costruire una 
tabella con tante righe (ad esempio usando excel) ognuna delle quali 
rappresenta un intervallo Dt.
All'inizio hai To=Ta, vuol dire che tutta la potenza che entra nel primo 
intervallo va tutta solo a scaldare il corpo. Calcoli quindi di quanto 
varia la temperatura DT considerando To=Ta. E questa e` l'equazione del 
tuo primo messaggio.
Nel secondo intervallo, la temperatura iniziale dell'oggetto vale 
To=Ta+DT l'oggetto si e` scaldato nel precedente Dt del DT che hai 
trovato prima. Calcoli allora un nuovo DT del secondo intervallo. Qui il 
corpo si scalda di meno rispetto all'intervallo precedente, perche' 
essendo gia` un pochino caldo, dissipa un po' di energia verso l'ambiente.
Una volta trovato il DT nel secondo intervallo di tempo, lo sommi alla 
temperatura che avevi alla fine del primo intervallo, e hai la 
temperatura che devi usare come condizioni iniziale per il terzo 
intervallo Dt. E cosi` via.
I conti che ti ho raccontato sono tanto migliori quanto piu` corto e` 
l'intervallo Dt. Quella che ti ho mostrato sopra e` la soluzione 
numerica al problema del riscaldamento. Nota che se cambi Pth durante il 
riscaldamento (alzi il gas) o spegni il riscaldamento (Pth=0) basta far 
cambiare da una certa riga in avanti il valore di Pth ma l'equazione 
rimane sempre la stessa.
Bene, con questo penso di aver confuso abbastanza le idee. Aggiungo un 
paio di dettagli. L'equazione di dissipazione h*S*(To-Ta) vale solo per 
particolari condizioni (ad esempio dissipazione per conduzione). 
Irraggiamento, convezione hanno equazioni molto piu` complicate, ma la 
cosa non ha molta importanza, basta scrivere che l'energia che entra 
meno quella che esce e` quella che va a riscaldare l'oggetto.
Se al posto di considerare intervalli di tempo finiti (Dt) si "passa al 
limite" per intervalli infinitesimi, l'equazione DT/Dt=... diventa 
l'equazione differenziale del riscaldamento.
Le equazioni differenziali in alcuni casi si sanno risolvere 
"analiticamente" si trova una formula risolutiva assolutamente generica 
(tipo 1-e^-t/tau che citavi tu). In altri casi invece non si sanno 
risolvere in generale, ma solo in forma numerica. Quello che ti ho 
indicato prima, e` un possibile metodo per risolvere numericamente una 
equazione differenziale: si torna a considerare un intervallino corto ma 
di durata finita (un secondo, ad esempio).
Quello che ti ho indicato e` un modo MOLTO primitivo di soluzione 
numerica, ma vale la pena di divertirsi un po' sopra, usando ad esempio 
excel.
Buon divertimento!


Franco wrote
........Quello che ti ho indicato e` un modo MOLTO primitivo di soluzione
numerica, ma vale la pena di divertirsi un po' sopra, usando ad esempio
excel.
Buon divertimento!
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Ok franco, siccome domenica non sapevo cosa fare ora lo so !, speriamo che
pero' piova perchè se fa bello....forse ti fischieranno le orecchie.
scherzo ! grazie mille per la spiegazione esaustiva, la provo subito.
approfitto per informarti che i miei limiti di calcolo matematico si fermano
alle derivate ed integrali , un po di trasformate di Laplace ma niente di
piu' (roba semplice, insomma da liceo scientifico)
ciao da
mizar