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Titolo: Filo in campo gravitazionale non uniforme

Ciao amici
 
Ho letto sull'altro forum un topic sulla forma assunta dei fili 
in un campo gravitazionale quando la lunghezza del filo non è 
trascurabile rispetto al raggio della terra e vorrei capire 
come studiare il problema. Trovate qui sotto rispettivamente la 
figura a cui mi sono riferito e i calcoli. Mentre scrivevo le 
equazioni mi sono accorto che P e fi non servono però 
potrebbero essere utili se la discussione chiamerà in causa 
quegli enti.
 
https://www.dropbox.com/s/cutr5cxuj1sblb5/catenaria_1_figura.jpg?dl=0
 
 
https://www.dropbox.com/s/5fgccww095rasab/catenaria_2_formule.jpg?dl=0
 
 
Ho ragionato tentando di imporre l'equilibrio alla traslazione 
di una porzione di filo. Per farlo serve calcolare il suo peso 
e quindi ho scritto la relativa formula per una lunghezza 
infinitesima. Se ho controllato bene, dalla figura manca solo 
la densità di massa per unità di lunghezza, ro nelle formule, e 
la massa della terra M. Ho inoltre distinto le normali 
variabili x,y da quelle necessarie all'integrazione.
 
La [1] da il valore della forza agente sull'elemento di filo e 
la [3] dopo il passaggio intermedio [2] la sua componente 
verticale. Non resta che considerare il punto generico (x,y) e 
calcolare il peso del filo dal punto di minimo al punto 
considerato. Mi viene fuori la formula [4]. Adesso basta 
imporre le condizioni di equilibrio, dividere una relazione per 
l'altra e si arriva alla [6].
 
Di qui in poi non so come andare avanti. Ammesso che sia lecito 
portare fuori dal segno di integrale i termini che non 
contengono la variabile di integrazione, l'integrale mi sembra 
non calcolabile con funzioni elementari.
 
Per essere sicuro l'ho dato in pasto a matlab che mi ha 
semplicemente restituito l'espressione che avevo dato in input 
(cosa che fa appunto in questi casi).
 
Come prima cosa è verosimile che io abbia sbagliato i calcoli 
perchè una formula complessa deve sempre far sospettare questo. 
Nel caso che i calcol siano più o meno giusti come si fa ad 
andare avanti?
 
Spero che sia un problema non del tutto stupido perchè vorrei 
riprendere a interessarmi di meccanica, non ce la faccio più 
con l'elettromagnetismo e ho bisogno di una "vacanza" mentale.
 
Grazie, A.

 .....
 
Esaminare una pagina di formule commentate su un testo separato e' faticoso e 
snervante: benvenuto su isf, ma non stupirti se pochi ti risponderanno!
 
Il problema che proponi e' poco realistico, ma formalmente assai interessante ed 
impegnativo. Le prime tre formule che scrivi sono comprensibili, ma non offrono
da sole un approccio adeguato alla risoluzione del problema.
 
Siamo alle prese con un problema di statica dei fili flessibili ed inestendibili.
Le funzioni incognite sono la "curva funicolare" e la "tensione" della fune in ogni
suo punto. Per risolverlo bisogna imporre le condizioni di equilibrio per _ogni_ 
elemento ds della fune, il che porta a scrivere un sistema di (due o tre) equazioni 
differenziali di secondo ordine: iqc due essendo la curva funicolare piana.
 
Non conviene riscoprire il mondo daccapo, chi volesse davvero cimentarsi con tale
difficile problema dovrebbe almeno conoscere le nozioni base di statica dei fili, 
studiando la nota teoria della catenaria (che richiede le stesse nozioni fisiche,
ma si risolve matematicamente con una equazione differenziale del primo ordine).
 
Per quanto riguarda specificamente il problema proposto, prevedo che scrivere il
sistema di equazioni differenziali risolventi non sia difficile, ma che la sua
riduzione alle quadrature sia proibitiva in coordinate cartesiane. 
L'uso di coordinate polari dovrebbe sfruttare meglio le simmetrie del problema.
 
Non ho ancora avuto tempo di occuparmene, ma prima o poi ci provero'...    :-)
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 provero'... :-)
Io ci sto lavorando da un po' di giorni e ho praticamente finito.
E' possibile dare l'equazione polare con funzioni elementari.
 
Il trucco è stato di scrivere integrali primi, guidato dalla
strettissima analogia con un problema di dinamica in campo centrale.
 
Non è il caso di scrivere le formule senza TeX. Ma come ho detto sono
quasi in fondo e metter\`o la soluzione sul mio sito.
Un pochino di pazienza :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 problema.
Problema vecchio e ben noto, parte di quello va sotto il nome di spirali 
di McLaurin, per le catenarie in un potenziale r^n.
 
https://is.gd/ckAYbn
 
 
qua trovi una discussione completa, ad esempio.

 problema.
 
Non so. Credo di aver vaghissimamente intuito il procedimento 
seguito dal prof Fabri e sarebbe comunque per me interessante 
se qualcuno traesse le conseguenze di quello che ho seguito io 
con le ovvie correzioni del caso. Arrivare alla soluzione per 
due vie così tanto diverse sarebbe un ottimo esempio di stile 
a-la-Fermi, o forse no.
 
Grazie per tutto...................

 Grazie per tutto...................
 
Grazie a te per avere proposto su isf questo bel problema di meccanica.


 nella (7).
 
Peccato, avevo la speranza che si potesse arrivare almeno a un 
equazione integrodifferenziale (all'inizio, come sai dal primo 
post non passato l'avevo ipotizzato) ma se il vizio di 
impostazione è così profondo come non detto................. Mi 
leggerò la soluzione con grande piacere. Ciao,
 
A.

 credo ci si possa mettere tanto.
 
Ho letto il tuo link. La lezione di Maslanka sembra diretta a studenti di un corso
propedeutico di fisica generale (la soluzione della semplice equazione differenziale
risolvente viene addirittura suggerita e proposta per una verifica...). 
Con notevole abilita' didattica l'autore adotta vari accorgimenti, che rendono la 
lezione molto facile da seguire pedissequamente fino al risultato finale (catenaria).
 
Le troppe semplificazioni formali (utili solo nel caso particolare) tendono pero' a 
mascherare la logica generale dei problemi di statica dei fili: non mi stupisce che 
tu non sia riuscito ad adattare tale schema ad un campo di forze non uniforme. 
 
In breve (per curve funicolari piane) le funzioni incognite sono x(s), y(s), T(s).
Le equazioni da scrivere sono le due condizioni di equilibrio  orizz. e verticale
per un tratto di fune qualsiasi, nonche' quella relativa alla lunghezza di un arco
(dx/ds)^2 + (dy/ds)^2 =1  alias  ds = dx * sqrt(1 + y'^2).
Tre equazioni in tre incognite: teoricamente il gioco e' fatto.
Ma se si procede con il paraocchi ci si trova alle prese con vari integrali tra un 
punto fisso ed un punto generico s. Eseguendo una derivazione rispetto al parametro
s gli integrali scompaiono e si ottiene il set di equazioni differenziali risolventi. 
Prova a riscrivere il testo di Waslanka evidenziando questa logica, prima di tentare
di adattarlo ad un campo radiale. 
