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Titolo: Un tappo di sughero

Immaginiamo un tappo di sughero galleggiante in acqua.
Per questioni legate alla tensione superficiale (e anche in parte per
questioni gravitazionali) si deve compiere un certo lavoro per sollevarlo
leggermente. Ipotizziamo di spendere un certo lavoro L per alzare il tappo
di deltah.
A questo punto lasciamo il tappo e osserviamo l'evoluzione del nostro
sistema.
Facciamo l'ipotesi che non ci siano attriti, eventualmente ipotizziamo il
tappo incollato ad una membrana elastica infinitamente estesa e supponiamo
che la membrana possa vibrare senza attrito.
Il tappo iniziera' naturalmente ad oscillare e sul pelo dell'acqua si
osserveranno delle onde che si allontanano sempre piu' dal tappo stesso.
L'energia immagazzinata grazie al lavoro L che abbiamo compiuto dall'esterno
inizialmente e' "concentrata" in prossimita' del tappo: all'istante iniziale
(trascurando l'energia gravitazionale) ce la ritroviamo tutta come energia
elastica della membrana la quale ha curvatura non nulla solo in prossimita'
del tappo, dopo un quarto di periodo della prima oscillazione ce la
ritroviamo in gran parte come energia cinerica del tappo che sta oscillando
e la restante parte come energia elastica.
Poiche' ad ogni oscillazione "parte" una nuova onda, e poiche' l'energia
immagazzinata nelle onde di superficie si propaga verso l'esterno, e' ovvio
che con l'andare del tempo l'energia "del tappo" diminuisce sempre di piu'
(con "energia del tappo" possiamo intendere l'energia cinetica che ha il
tappo quando passa per la posizione di equilibrio).
La riflessione che faccio, in forma di domanda, e' la seguente:
il problema sopra esposto puo' farci concludere che e' impossibile che i
tappi di sughero oscillino in acqua in quanto se anche non fossero
all'equilibrio in un dato istante pian pianino la loro energia verra'
irradiata tutta? Possiamo dire che se cedessimo una energia L al tappo dopo
un po' il tappo sara' fermo e sull'acqua ci ritroveremo delle onde la cui
energia totale sara' pari ad L?
A me pare che tali conclusioni si possano si' trarre ma al prezzo di
aggiungere una pesantissima ipotesi: dobbiamo immaginare che il nostro
sistema sia totalmente descritto dai componenti che abbiamo preso in
considerazione. In particolare dobbiamo ad esempio ipotizzare che l'acqua in
cui e' immerso il sughero sia quella di un oceano infinitamente esteso in
quanto se per caso fosse l'acqua di una bacinella allora le onde che si
propagano dal tappo prima o poi tornerebbero e noi, nella nostra descrizione
***non abbiamo tenuto conto*** della interazione fra il tappo e le onde che
il suo moto ha generato.
Se anche l'acqua fosse quella di un oceano infinitamente esteso ma il tappo
non fosse solo in questo oceano, se nell'oceano fossero disposti un certo
numero di tappi per unita' di superficie i quali in un dato istante avessero
in media una energia E, sara' vero che il tappo iesimo iniziando ad
oscillare generera' delle onde che, in un certo senso, non torneranno piu',
ma esso sara' certamente investito da tutte le altre onde generate dagli
altri tappi j con j diverso da i.
Immagino sia chiaro dove voglio andare a parare:
chiudiamo due cariche di intensita' uguali e segno opposto all'interno di
una cavita' avente le pareti perfettamente riflettenti. Possiamo anche
immaginare la carica positiva fissa in un dato punto e la negativa libera di
muoversi. L'esterno della cavita' ha massa infinita, cosi' non rincula
quando viene investito dalle onde che si riflettono all'interno, in sostanza
dalla cavita' non esce energia in alcun modo (similmente potremmo immaginare
una situazione nella quale esca tanta energia quanta ne entra). La carica
negativa iniziera' ad orbitare attorno alla positiva, il suo moto sara'
accelerato quindi la carica "perdera' energia" per irraggiamento, ma questo,
mi pare, sara' solo l'inizio della storia. Anche il nostro tappo di sughero
inizialmente perde energia, poi, dopo un po', si instaurera' una situazione
di equilibrio dinamico: non essendoci attrito all'equilibrio si avra' un po'
di energia elastica e un po' di energia del tappo.
Per il tappo nella bacinella si possono anche individuare delle situazioni
stazionarie: dati massa del tappo, accelerazione di gravita', tensione
superficiale del liquido, raggio della bacinella, si potranno individuare le
frequenze di risonanza alle quali saranno associate le autosoluzioni e,
sotto ipotesi che immagino siano abbastanza generali, si potra' esprimere
una qualsiasi soluzione come combinazione lineare delle autosoluzioni.
Quello che io non ho mai capito e' dove sta la sostanziale differenza fra il
problema del moto del tappo di sughero nella bacinella e il problema di due
cariche, una fissa nell'origine e l'altra orbitante attorno ad essa. Non
capisco quale e' il motivo per il quale nel secondo caso si conclude che
l'elettrodinamica classica non puo' dar luogo a soluzioni stazionarie mentre
la stessa conclusione non si ha per il primo caso. A me pare che nel
discorso che viene fatto spesso nei libri di testo si trascurino totalmente
gli effetti dovuti all'interazione fra le onde generate dalla carica
accelerata e la cavita' in cui e' immersa (e le successive conseguenze che
tali interazioni avranno con la carica stessa). Immagino che possano anche
esserci dei motivi a supporto di una semplificazione cosi' brutale, pero' io
tali motivi non li ho mai letti da nessuna parte.
Inoltre a me pare che finche' non si dara' un definizione di sfera rigida di
raggio finito r il problema delle due cariche nella cavita' non potra'
essere risolto. Ammettendo che il sistema riesca a trovare una soluzione
stazionaria si potra' sperare che tale soluzione non preveda velocita'
relativistiche per la carica in moto, cosi' definire la sfera rigida in
sostanza non costituira' problema, ma se diciamo che la carica in moto
seguira' orbite a raggio sempre minore con velocita' sempre maggiore allora
dovremo necessariamente fare i conti con una carica (che verosimilmente
dovremmo descrivere come sferetta rigida) che raggiunge velocita'
relativistiche.
Grazie in anticipo a chi vorra' illuminarmi.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 la stessa conclusione non si ha per il primo caso. 
*Credo* che il motivo sia l'enorme numero di modi del campo 
elettromagnetico presente in un ambiente di dimensioni "normali" 
(macroscopiche): le soluzioni di equilibro classiche dovrebbero essere 
completamente diverse dalle configurazioni osservate, e conterrebbero 
delle frequenze molto alte e non osservate.
Comunque a parte la sparata che ho scritto sopra il caso in cui un atomo 
  interagisce con pochi modi della radiazione e' stato studiato da 
Jaynes e Cummings (problema del "micromaser"), e il risultato e' che 
l'energia viene scambiata tra atomo e campo in maniera periodica; 
ovviamnte si intende atomo eccitato in senso quantistico, con per esmpio 
solo due livelli energetici attivi.

 esmpio solo due livelli energetici attivi.
In ambito quantistico, a quanto ricordo, problemi del genere sono
studiati da decenni.
Lo scambio periodico che dici e' una soluzione particolare.
Quello che succede e' che i livelli dell'atomo si combinano con quelli
del campo, e vengono "splittati".
L'oscillazione non e' che lo stato non stazionario sovrapposizione di
due stati di energie vicine.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 Elio Fabri
Ciao.


 quindi quella condizione al bordo va imposta.
Non capisco questa tua ultima affermazione: la condizione al contorno 
che non esca energia va imposta se il contenitore e' impermeabile alle 
onde e.m., ma questa non e' la condizione sperimentale, dove invece si 
usano contenitori trasparenti, o nessun contenitore (come nelle 
osservazioni astrofisiche). Si tratta quindi di un dato che va spiegato 
a partire dalle assunzioni teoriche.
Riguardo al resto, io ragionerei cosi': il fatto che lo spettro delle 
molecole risulti sperimentalmente quasi identico in un range amplissimo 
di pressioni e densita' (purche' basse) mostra che possiamo con 
eccellente approssimazione analizzare il problema degli spettri atomici 
e molecolari come se atomi e molecole fossero isolati. Ed allora la 
scappatoia dei moti elettronici combinati in modo tale da minimizzare 
l'emissione e.m. non si puo' invocare per l'idrogeno, che ha un solo 
elettrone.
Per quel che concerne gli atomi a molti elettroni si puo' invece 
elaborare un modello planetario nel quale questa minimizzazione  si 
ottiene: fu in effetti fatto agli inizi del XX secolo, ma gia' allora si 
obietto' che le orbite sarebbero state violentemente perturbate dagli 
urti intermolecolari, in contrasto con la notevolissima stabilita' degli 
spettri osservati. Io direi poi che un sistema a molti elettroni, non 
essendo integrabile, non potrebbe mantenere quelle precise orbite a 
lungo. Ignoro quali siano gli esponenti di Lyapunov per un atomo di 
Rutherford, ma il fatto che il periodo di rivoluzione in tale modello 
sia dell'ordine di 10^(-16) secondi, ed il fatto che le interazioni e-e 
sono forti, direi che garantisce l'insorgere del caos in una frazione di 
secondo.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 quindi quella condizione al bordo va imposta.
Non capisco questa tua ultima affermazione: la condizione al contorno


 Enrico Smargiassi


 contenitore perfettamente riflettente
A me pare proprio di no. Con questa assunzione imponi che il sistema sia 
adiabatico (oltre ad altre cose, forse meno importanti, come la 
quantizzazione dei modi e.m.), cosa lontana dall'essere vera.
Pero' forse non ci stiamo capendo.


 l'interazione corda pallina.
Io avrei seguito una strada tutta diversa: quella di scrivere la
lagrangiana, e da li' derivare le equazioni del moto.
Se u(x) e' lo spostamento della corda dalla posizione di equilibrio, e
X la posizione della pallina, dovresti solo scrivere le energie
cinetiche e potenziali.
L'interazione si riduce al vincolo u(0)=X.


 Pero' forse non ci stiamo capendo.
Ecco appunto, non ci si stava capendo nel senso che quanto detto sopra e'
vero ?
Se si', non ne segue come conseguenza necessaria che una descrizione
classica realistica dovrebbe ipotizzare la conservazione dell'energia
contenuta all'interno del contenitore di gas, cioe' che se una descrizione
classica da' come risultato che tale energia non si consevra la "colpa" non
e' della descrizione classica ma di noi che la abbiamo utilizzata male dando
condizioni al bordo scorrette (ad esempio ipotizzando che gli atomi non
assorbano energia dagli urti con il contenitore)?


 Elio Fabri
Colgo l'occasone per ringraziare sia te che John Travolta Sardus ed Enrico
Smargiassi per l'attenzione ricevuta.


 assorbano energia dagli urti con il contenitore)?
Ok, credo di aver capito. Il problema che vedo e' che non puoi supporre 
che protoni ed elettroni siano in equilibrio termico, perche' il 
potenziale e-p non e' limitato inferiormente. Un singolo atomo percio' 
raggiungerebbe un minimo di energia, supponendo che l'elettrone fermi la 
sua caduta sulla superficie del nucleo (10^(-15) metri di raggio), solo 
dopo avere emesso qualcosa come un MeV di energia. Almeno, questo e' 
cio' che mi viene in mente ora, continuero' a pensarci.


 anche in questo caso, non so trattare l'interazione corda pallina.
Puo' darsi che la difficolta' dipenda dall'aver pensato a oscill.
trasversali?
Se chiami y(x) lo spostamento (longitudinale) del punto x della corda
dalla sua osizione di equilibrio, e chiami Y lo spostamento della
pallina, il vincolo e' semplicemente y(0) = Y.
Non l'avevo gia' detto?
Non ho provato a scrivere niente, per cui non posso escludere che
salti fuori qulche intoppo imprevisto. A prima vista non mi pare.


 cio' che mi viene in mente ora, continuero' a pensarci.
Anche qui, volendo impedire all'elettrone di raggiungere orbite a raggi
minori del raggio del protone (a parte il fatto che l'elettrone sarebbe
ultrarelativistico a quel punto (ipotizziamo il protone fermo, l'abbiamo
"inchiodato" in un punto) e se l'elettrone lo immaginiamo come una sferetta
rigida ... un'asta rigida in moto rettilineo uniforme lo sappiamo come si
"deforma", ma una sferetta in moto circolare uniforme che fa? Ci sarebbe
anche da tenere conto del fatto che i punti della sferetta piu' vicini al
centro dell'orbita, seguendo un'orbita a raggio minore, avranno una
accelerazione diversa, verosimilmente maggiore, rispetto ai punti che si
trovano piu' lontani dal centro) si arriverebbe ad altri paradossi.
L'elettrone continua a ruotare, quindi continua ad emettere energia che non
puo' piu' essergli fornita dall'energia potenziale (il raggio non puo' piu'
diminuire), non puo' che prenderla dall'energia cinetica, cioe' l'elettrone
per emettere dovrebbe rallentare, poi se rallenta aumenta il raggio della
sua orbita, cioe' l'energia cinetica non se ne va solo in radiazione ma
anche in un incremento di energia potenziale, a quel punto l'elettrone non
e' piu' a contatto con il protone cosi' potrebbe di nuovo ricominciare a
spendere energia potenziale per mandarla in radiazione e incremento di
energia cinetica, e cosi' via. Il punto e' che tale processo non puo' in
ogni caso andare avanti all'infinito. Se inizialmente l'energia a
disposizione era finita (come si dovrebbe verosimilmente imporre, almeno
cosi' parrebbe a me) qualsiasi processo radiativo non puo' andare avanti
all'infinito (ad un certo momento finisce l'energia a disposizione, non c'e'
piu' nula da irraggiare). Tutto cio' mi pare che derivi necessariamente
dalla elettrodinamica classica con l'aggiunta della ipotesi di particelle
non puntiformi (cioe' di particelle che, nel loro riferimento, non "vedono"
attorno ad esse una energia di campo (integrale di E^2 sul volume)
infinita).


 minori del raggio del protone
Ma questo non e' necessario. L'elettrone nello stato fondamentale dell' 
atomo H e' a 13.6 eV dal livello "slegato"; se si trovasse a contatto 
col protone si troverebbe a circa un MeV sotto. Per arrivare a ridosso 
del protone e termalizzarsi deve perdere tutta questa energia, cioe' 
emettere raggi X duri nel giro di pochi secondi. Ovviamente questo non 
accade.
 > a quel punto l'elettrone non
 > e' piu' a contatto con il protone cosi' potrebbe di nuovo ricominciare
 > a spendere energia potenziale per mandarla in radiazione e incremento
 > di energia cinetica, e cosi' via.
Ma se non ho capito male questa energia sarebbe dovuta all'agitazione 
termica e basta, quindi l'elettrone resterebbe intrappolato ad una 
distanza di pochi centesimi di eV dal fondo della buca, con un'energia 
di legame di circa un MeV. Iutile dire che questo non e' affatto l'atomo 
di idrogeno che si osserva.


 Elio Fabri
Ciao.



 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 è garantito come conseguenza insieme con la conservazione dell'energia.
Beh ma la EQ2 del mio precedente post riguarda proprio la y(t) che li' viene
chiamata ETA(0,t).
La risultante delle tensioni e' proprio -K*ETA(0,t)+2T*abs( @ETA(0,t)/@x)
(dove con ETA intendiamo qua la sua parte pari).
La trattazione lagrangiana l'ho provata e minimizzando l'azione si ottengono
proprio le EQ1 e EQ2 che ho riportato nel precedente post.


 proprio le EQ1 e EQ2 che ho riportato nel precedente post.
Perfetto.


 funzioni lisce riesci ad approssimare le spigolosita'.
Ah certo, ma il punto e' che la base a funzioni derivabili non va bene in
quanto non e' una base fatta di soluzioni dellle equazioni del moto.
Provo a ripetere entrando meglio nei dettagli.
Le equazioni del moto sono:
-mu @^2ETA(x,t)/@t^2+T @^2ETA(x,t)/@x^2=0 (EQ1)
e
M @^2ETA(0,t)/@t^2-2T ( @ETA(0+,t)/@x - @ETA(0-,t)/@x)+K ETA(0,t)=0 (EQ2).
La ETA e' definita fra -l/2 e l/2.
Vogliamo esprimere la ETA(x,t) come combinazione lineare di
ETAi(x,t)=EXi(x)*ETi(t) dove con ETAi intendiamo, per ogni i, una soluzione
delle equazioni del moto.
Certamente le EXi(x)=sin(ki*(x-l/2)) con ki=i*pigreco/l, i naturale,
costituiscono una base per le funzioni definite fra -l/2 e l/2, pero' ... se
proviamo ad imporre EQ1 troviamo, a parte una eventuale fase,
ETi(t)=cos(omi*t) con omi=ki*(T/mu)^(0.5).
Passando ad imporre EQ2 otteniamo che per i valori pari di i le ETAi(x,t)
soddisfano l'equazione essendo nulli tutti e tre gli addendi che compaiono a
sinistra di EQ2. Cioe' le funzioni dispari della base suddetta soddisfano
alle equazioni del moto.
Per le i dispari (cioe' per le funzioni pari della base) la situazione e'
nettamente diversa. Si ha:
M @^2ETA(0,t)/@t^2=-M*(omi^2)*ETAi(0,t),
2T ( @ETA(0+,t)/@x - @ETA(0-,t)/@x)=0
quindi la ETAi(x,t) (con i dispari) risolve EQ2 solo se omi=(K/M)^(0.5),
cioe' se ki=[(mu*K)/((T*M))]. Essendo mu,K,T e M parametri fissi cio' vuol
dire che al massimo esiste un solo valore di i dispari che da' luogo ad una
ETAi che risolve EQ2 (cioe' l'unico valore di i che rende
ki=[(mu*K)/((T*M))], pero' in generale non ne esiste nemmeno uno). In breve
le ETAi con i dispari (cioè le funzioni pari della base) *non risolvono*
EQ2.
Ne segue che la generica ETA(x,t) deve essere intanto vista come somma della
sua parte pari+ parte dispari. Per la parte dispari come base vanno
benissimo le ETAi (con i pari) viste sopra. Per la parte pari si deve
trovare un'altra base. La base proposta da me e' la seguente:
ETAi(x,t)=sin[ki(abs(x)-l/2)]*cos(omi*t).
Imponendo EQ1 ed EQ2 si trovano le ki ammesse:
cotan(ki*l/2)=(M/mu)*(k/2)-(K/T)*(1/(2*k))   (EQ3).
Quindi in totale le ki ammesse sono quelle che risolvono la EQ3 (che servono
a definire le funzioni che danno la base per la parte pari della ETA) oltre
alle ki=i*pigreco/l con i pari (che servono a definire le funzioni che danno
la base per la parte dispari della ETA).
Si pongono comunque (almeno ai miei occhi) i problemi di cui parlavo qualche
post fa:
1) chi ci garantisce che le sin[ki(abs(x)-l/2)]*cos(omi*t) con ki date da
EQ3, costituiscono una base per la parte pari della ETA?
2) come si fa, data una qualsiasi ETA(x,t=0) pari, a trovarne i coefficienti
Ai dello sviluppo nelle sin[ki(abs(x)-l/2)]?


 Ciao.

 coefficienti Ai dello sviluppo nelle sin[ki(abs(x)-l/2)]?
Prima di tutto la relazione di ortogonalita'.
Si scrive cosi':
\int_0^{l/2} EXi(x)*EXj(x) dx + (M/(2*mu))*EXi(0)*EXj(0) = 0
(la dipendenza da t non va considerata nell'ortogonalita).
Questo fa capire quale sara' la risposta alla domanda 2):
sia f(x) una generica funzione pari: avrai
f(x) = \sum ci*EXi(x)  (+)
con
ci = \int_0^{l/2} f(x)*EXi(x) dx + sqrt(M/(2*mu))*f(0)*EXi(0)
(A meno di qualche costante di normalizzazione, che non ho calcolato...).
La (+) va dimostrata: se vale dimostra la completezza della base.
Non ci ho provato, ma dovrebbe essere vero.
Poi bisognerebbe riprendere il filo... Perche' avevo proposto questo
conto?


 Elio Fabri


 conto?
Bruno stava parlando di un atomo in una scatola che dissipa energia
e si chiedeva se non sia che tenendo conto dei campi non ci si possa
spiegare la stabilita' dell'atomo. La sua idea era che dopo un poco che
dissipa energia potrebbe succedere che l'elettrone comincia a ricatturarne
senza poter mai cadere sull'atomo. Almeno questo era quello che avevo
inteso. Complimenti, comunque.



 


 un sistema completo su un intervallo.
Quali sarebbero queste ipotesi che garantiscono la completezza? E che
c'entra la commensurabilita' o meno delle frequenze?
Ciao



 


 di simmetria temporale della teoria di base.
OK, se ho ben capito si tratta comunque di roba un po' dura da mandare giu'.
Ciao.


 sospettare che tu abbia usato un altro prodotto scalare. Quale ?
Io ho scritto integrale da 0 ad l/2
di sen(kx)sen(k'x). Nota che non cambia
niente se calcoli questo integrale oppure
l'integrale da l/2 a zero delle funzioni
che formano la base. Cambia tutt'al più
un segno.


 siano ortogonali, sono d'accordo con te (e' il problema che non riesco a
ops, qua volevo dire EXi(x)=sin(ki*(|x|-l/2)) con ki soluzione di
cotan(ki*l/2)=(M/mu)*(ki/2)-(K/T)*(1/(2*ki)).
Ma spero si capisse dal contesto.


 un segno.
Le funzioni di cui stiamo discutendo, le EXi(x), sono tutte pari, quindi
eseguendo l'integrale fro 0 e l/2 o fra -l/2 e 0 non cambia nulla in ogni
caso. Il punto e' che l'integrale non si annulla mai. Questo prodotto
scalare, che poi e' quello usuale, non rende ortogonali le funzioni in
esame, ce ne vuole un'altro.


 cotan(ki*l/2)=(M/mu)*(ki/2)-(K/T)*(1/(2*ki)) (dove con completezza si
Aridaje, ma non ci indovino mai :-(((.
Sono sempre le solite funzioni ovviamente:
EXi(x)=sin(ki*(|x|-l/2)).
Stavolta avevo dimenticato il valore assoluto.


 esame, ce ne vuole un'altro.
Quello che ho trovato io per esempio, che poi non so
se e' lo stesso che ha proposto Fabri. Ti ho spiegato
come ritrovarlo, dovresti riuscire a ritrovarlo.


 Stavolta avevo dimenticato il valore assoluto.
Ovvero anche sin(ki*|x*sign(x)-l/2|) e puoi anche
togliere il valore assoluto. Se vuoi. Insomma per
dire sono quelle funzioni che si muovono
sinusoidalmente, valgono zero ai bordi ed hanno
numero d'onda ki, e sono incollate in zero.
Saluti Tetis


 -2*K/T sen(kl/2) sen(k'l/2) che sarebbe null'altro che -2*K/T f(0) g(0).
Riscritto su un foglio di carta anche questo ed ecco:
-M/mu sen(kl/2) sen(k'l/2)
Allora il prodotto scalare che fa al nostro scopo e':
Int(-l/2,l/2) f(x)g(x) dx + M/mu f(0)g(0).
e la costante di normalizzazione risulta:
A(k_i) = 1/sqrt {l/2 + [(M/mu) + (K/T)(1/k^2)] sen^2(kl/2)}
Ti risulta o non ti risulta che e' quello che diceva Fabri?
Adesso considera la funzione sin[pi/l (|x|-l/2)] e calcola
i prodotti scalari con le funzioni della base. Ne risultano
i numeri
[cos(k_i l/2) + M/mu sen(k_i l/2)]*A(k_i)
ricordando ancora che:
tan(k_i l/2) = 2k_i /[M/mu k_i^2 - K/T]
Trovi un'espressione per i coefficienti che puoi
scrivere in termini di k_i e di J_i=R_i^2 dove R_i
e' il rapporto fra la frequenza propria dell'oscillatore
associato con la massa centrale in condizioni libere e
la sua frequenza propria associata con il modo k_i,
ovvero R_i^2 = (Mu/T)/(om_i)^2 espressamente:
{1+2/[k_i*(1-J_i)]} / sqrt( l/(2cos^2(kl/2) + 2(1+J_i)/[k_i*(1-J_i)])
Il cui comportamento asintotico per alti numeri d'onda e'
cos(k l/2) * sqrt(2/l) questo dimostra che per condizioni
iniziali regolari della forma della stringa i contributi di frequenza
elevata sono dominanti e di tipo distribuzionale. Distribuzionale
perche' questa serie di coefficienti non e' a quadrato sommabile.


Scusate se non seguo la discussione, ma intervengo seguendo un mio
filo...
E' che faccio fatica a seguire e non ho tempo.
A Bruno direi che della mia ortogonalita' sono ormai sicuro.
Se non l'hai trovata, puo' essere solo questione di conti, tipo
formule di prostaferesi o simili.
Sono anche sicuro della completezza, sebbene non sappia (o abbia
dimenticato) che cosa dice il teorema di Weierstrass-Stone.
Ci sono arrivato a modo mio, per una strada non rigorosa (da
fisico :) ).
Vorrei quindi fare un passo avanti.
Sicuramente si puo' trovare l'evoluzione nel tempo di qualsiasi
configurazione iniziale.
Dato che le frequenze sono incommensurabili, direi che si possa anche
dire che l'evoluzione temporale e' "quasi periodica", nel senso che
comunque scelto un epsilon, si trova un tenpo T tale che le
configurazioni a t e a t+T differiscono per meno di epsilon.
(Pero' non chiedetemi la dimostrazione...)
E' un po' il teorema del ritorno di Poincare', ma piu' forte, per due
ragioni:
a) che questo e' un sistema con infiniti gradi di liberta'
b) che esiste un "quasi periodo", cosa che il t. di Poincare'
in generale non asserisce.
Conseguenza fisica: l'energia oscilla tra pallina e corda, non c'e'
nessun trasferimento irreversibile.


 come ritrovarlo, dovresti riuscire a ritrovarlo.
Ohhh, finalmente!!!
Io ottengo risultati diversi dai tuoi (forse a causa di quel fattore 2).
Comunque grazie a te ho finalmente capito come cavolo devo fare per
determinare questo prodotto scalare. Fra l'altro, guarda caso, ottengo
esattamente il prodotto scalare che proponeva Elio. Ne segue che, quando nel
mio intervento del 6/11 dicevo che il prodotto scalare fra EXi(x) e EXj(x)
non mi dava 0 ma mi dava
sin[(ki-kj)*(l/2)]/(ki-kj)+(M/(2*mu))*sin[ki*(l/2)]*sin[kj*(l/2)]
evidentemente sbagliavo il calcolo (mi ero dimenticato un addendo in una
somma).
Poiche' nel prodotto scalare proposto da Elio, cioe'
\int_0^{l/2} EXi(x)*EXj(x) dx + (M/(2*mu))*EXi(0)*EXj(0),
non compare il rapporto T/K ne avevo dedotto che quello non poteva essere il
prodotto scalare che rendeva ortogonali le EXi(x) (pensavo che fosse un
prodotto scalare utile per qualche altro motivo che non capivo, ma non il
prodotto scalare che cercavo io), invece a far bene i calcoli si vede che il
rapporto T/K si semplifica. Non ho la minima idea di quale potrebbe essere
il significato fisico di cio', cioe' del fatto che il rapporto T/K non
appare nella espressione del prodotto scalare.
Riassumo il tutto riordinandolo un po', dando anche il valore del fattore di
normalizzazione che Elio aveva tralasciato (fattore che naturalmente mi
viene diverso da quello che ottiene Tetis avendo io ottenuto, come detto, un
prodotto scalare diverso dal suo (e uguale a quello ottenuto da Elio)):
l: lunghezza della corda,
mu: densita' di massa della corda,
T: tensione della corda,
M: massa del corpo fisso al centro della corda,
K: costante elastica della molla,
detti:
rm=(l*mu)/M
rK=(l*K)/T
la condizione sui numeri d'onda assume la forma
cotan(si)=(si/rm)-rK/(4*si)       (E**)
si e' legato al numero d'onda ki dalla si=ki*(l/2).
Le autofunzioni pari, normalizzate, sono:
EXi(x)=(1/Ni)*sin[si*((2/l)*|x|-1)]
dove
Ni=SQRT (1/2)* SQRT { 1+(1/rm)*[sin(si)]^2 + 4*rK* [sin(si)/si]^2 }.
Il prodotto scalare (che rende ortogonali le EXi(x) viste sopra) fra le
funzioni f(x) e g(x) e' dato da:
(2/l) * \int_0^{l/2} f(x)*g(x) dx + (1/rm)*f(0)*g(0)
ne segue che il coefficiente ai dello sviluppo per una data ETA(x) pari
sara':
ai = (2/l) * \int_0^{l/2} ETA(x)*EXi(x) dx + (1/rm)*ETA(0)*EXi(0).
Calcolati numericamente i valori si dalla (E**) si ottengono i coefficienti
ai dall'integrale ora visto e l'evoluzione temporale del nostro sistema, che
all'istante iniziale era descritto dalla corda ferma avente profilo dato
dalla ETA(x), sara':
ETA(x,t)=\sum ai*EXi(x)*cos(omi*t)
dove omi=2*(si/l)*(T/mu)^0.5.
E ora, finalmente, sempre che il mio amico Michele, che sara' certo in
ascolto, mi dara' una mano (lui sa usare Mathematica e Java, io no :-( ),
potro' divertirmi a vedere questa corda oscillare !!!


 E' un po' il teorema del ritorno di Poincare'...
Potresti darmi qualche indicazione bibliografica su questo
teorema e il suo contesto? Ho trovato citazioni non tecniche,
ma vorrei capirci qualcosa di piu' specifico. Insomma, vorrei
studiarlo.
Grazie,
Paolo Cavallo

 fisico :) ).
Sarei curioso. Ad ogni modo il teorema di Weierstress Stone e' un teorema
da Fisico. Ricordo che quando il prof G.M. li' a Pisa lo enuncio' durante le
esercitazioni di metodi ebbi un sobbalzo di gioia. Lo conoscevo prima ancora
di averlo visto enunciare. Ritengo che capiti con pochi teoremi al giorno
d'oggi.
    Carissimi saluti da Tetis.


 Elio Fabri
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

 i numeri
Ma perche' vuoi sviluppare questa funzione in serie delle EXi(x)?
E' chiaro che se sviluppi una funzione derivabile in serie di funzioni non
derivabili otterrai che i contributi relativi alle alte frequenza non
saranno trascurabili.
La sin[pi/l (|x|-l/2)] e' una forma d'onda che non ha alcun interesse
specifico per il problema in questione, o meglio, lo ha solamente nel caso
in cui risulti essa stessa risulti autofunzione (nel qual caso lo sviluppo
in serie e' chiaramente banale), cioe' quando rm*rK=pigreco.
Nel post che ho scritto ieri sera ho analizzato proprio queste funzioni
derivabili e cosa si potrebbe dire quando esse fanno parte dell'insieme di
autofunzioni.



 


 teorema di Kac.
Perche' l'equipartizione avvenga secondo distribuzione gaussiana
occorre tuttavia un'ipotesi sulla distribuzione delle frequenze
che in questo caso e' verificata ragionevolmente solo per le
frequenze intorno alla risonanza. In altre parole i modi le cui
frequenze sono piu' prossime alla frequenza dell'oscillatore
centrale sono dissipati piu' rapidamente e la loro energia sara'
resa con un quasi periodo legato al massimo comun divisore
di due funzioni delle approssimazioni razionali delle frequenze.
Per i modi di frequenza piu' alta se uno va a studiare come sono
distribuite le frequenze trova che man mano che crescono piu'
diventano prossime ad essere equispaziate. In tal caso
l'equipartizione avviene con una distribuzione non esponenziale
direi. Per quanto possa apparire paradossale la parte veloce del
sistema mostra una quasi periodicita' soggetta ad una
decoerenza. In parole piu' spicciole i punti interni al quasi periodo
fondamentale del sistema (che e' quello della corda libera) sono
scorrelati, ma lo stesso studio comparativo fra un periodo ed il
successivo mostra una correlazione decrescente.


 agli estremi.
Esattamente, mi sembrava di averlo detto chiaramente. Sono modi di
oscillazione in cui corda e massa centrale sono disaccoppiati. L'idea e' che
si abbiano diverse scale temporali: sulla scala "veloce" tutti i modi
risonanti oscillano (ad una qualsiasi ampiezza) alla loro frequenza che
assume tutti i valori dati dalle soluzioni di cotan(s)=s/rm-rK/(4*s); sulla
scala "lenta", si ha che la (lenta) variazione della costante elastica
"costringe" i modi a cercare la frequenza giusta (cioe' la K giusta, cioe',
vista la supposta dipendenza di K dall'ampiezza dell'oscillazione, l'energia
giusta) cioe' la frequenza che rende molla e corda disaccoppiate cosi' che
si smorzi anche la variazione lenta di K (cioe' l'ampiezza dell'oscillazione
smette di variare, cioe' quel dato modo si fissa ad una data energia).
In sostanza il modo pompa energia sulla corda o succhia energia dalla corda
a seconda che l'energia del modo sia maggiore o minore di quella "giusta",
cioe' di quella che renderebbe corda e molla disaccoppiate.
Cioe' le equazioni del moto scritte nei precedenti post sono solamente le
equazioni del moto "veloce". Quello che sto supponendo e' che la dinamica
lenta non sia stata presa in considerazione dalla lagrangiana. Quando dicevo
che si suppone che "il padre eterno abbia fatto cosi' le molle" intendevo
dire che deve esserci una dinamica lenta che deve rendere conto di quella
dipendenza della costante elastica dall'ampiezza delle oscillazioni. O
meglio, intendevo dire che se le molle le osserviamo solo su dati stati
stazionari, vuol dire che deve esserci tale dinamica lenta: la dinamica
lenta permette al sistema di "cercare" il modo di "sistemarsi", cioe' di
modificare i modi che danno luogo a continuo scambio di energia fra molla e
corda trasformandoli pian pianino in modi in cui c'e' disaccoppiamento.


 studiarlo.
Arnol'd: "Metodi matematici della meccanica classica", pag. 73.


 capiti con pochi teoremi al giorno d'oggi.
Ma insomma che dice 'sto teorema?
Quanto a G.M., credo di sapere chi e' ;-)
Quanto al mio metodo, eccolo.
Ho modificato il problema trasformandolo in uno senza singolarita'.
Assumo che la corda abbia una densita' mu(x) variabile con x, che poi
nel caso originario sarebbe mu+M*delta(x)
Assumo anche che la molla sia distribuita inmodo continuo, con
constante k(x), che sarebbe in origine K*delta(x).
Fatto questo, l'eq. diff. per una soluzione di frequenza w e':
-T*y" + k(x)*y = w^2*mu(x)*y
ossia un'eq. "simil-Schroedinger", comunque un problema di
Sturm-Liouville.
Per quest'eq. non ci sono problemi, ma poi bisogna passare al limite,
e qui mi comporto da fisico ;-)


 i modi normali.
Vediamo che cosa ho capito.
A me sembrerebbe che non ci voglia Landau per un n. finito di gradi di
liberta', ma forse mi sfugge qualcosa.
Quanto alle funzioni quasi periodiche, ricordo di aver letto tanti
anni fa i libro di Harald Bohr (fratello di Niels) nel quale se
ricordo bene c'era un teorema del tipo:
condizione n. e s. perche' una funzione sia quasi periodica e' che sia
la somma di una serie di Fourier generalizzata.
Quello di cui non sono sicuro e' il tipo di convergenza richiesto per la
serie.
Quanto al resto, ho capito poco ma direi che hai ragione sul fatto che
teorema del ritorno e quasi periodicita' non hanno a che fare con
l'irreversibilita': e' la famosa questione del teorema H, e il
paradosso si risolve appunto pensando alle scale dei tempi.
Il ritorno ci puo' essere, ma dopo un tempo spropositatamente lungo.
Anzi non so come vadano le cose con infiniti gradi di lib.


 Elio Fabri


 una funzione Cn=sin[hn*(x-l/2)]  con  (n-1)*pi/l<hn<(n+1)*pi/l si ottiene
la
anche qua ci vuole
Cn=sin[hn*(|x|-l/2)].
Probabilmente era chiaro in quanto e' sempre delle solite funzioni che si
sta parlando, comunque, per correttezza ho pensato di precisare.


 
 
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 lenta non sia stata presa in considerazione dalla lagrangiana. 
Se dici la dinamica in regime non dissipativo posso essere d'accordo 
per meta'.  Cioe' stiamo considerando le equazioni dinamiche del moto
del sistema elastico nella situazione astratta in cui il moto si svolge
rapidamente rispetto all'instaurarsi delle dissipazioni ed in cui tutte
le dinamiche di trasferimento di energia sono lineari ovvero non mesco-
lano k differenti gli uni dagli altri. In altri termini stiamo studiando
i primissimi momenti della dinamica. Pero' vedi che dipende dalle situa-
zioni perche' potrebbero esistere sistemi in cui la dissipazione puo' 
essere considerata davvero nulla. Eccetto che... potrebbe essere causata
da eventi singolari in cui si producono altri campi, oppure le equazioni
lineari non sono piu' applicabili ed il trasferimento di energia avviene
entro lo stesso campo, ma fra modi che prima erano ortogonali.  


 > e qui mi comporto da fisico ;-
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

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http://arianna.libero.it/usenet/

 no :-( ), potro' divertirmi a vedere questa corda oscillare !!!
La corda oscilla qui:
 
http://mulinux.sunsite.dk/tmp/tappo/
se quello che si vede puo' dirsi ... oscillare.
Michele
-- 
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http://arianna.libero.it/usenet/

 al prodotto scalare ordinario.
 
Mi sembra solo che rimanga aperta la questione dell'interpretazione
fisica di questo prodotto scalare. E quello che comporta la
differenza fra questo prodotto scalare e quello associato con
l'energia parziale. In particolare gli indici relativi alle frequenze
piu' alte.
Ho trovato che esiste un personaggio che studia da molto tempo
questo genere di problematiche associate con la mancanza di
regolarita' delle soluzioni di problemi iperbolici.


 parametro. 
Basta pensare alle matrici simmetriche.
Perche' le matrici simmetriche (auto-aggiunte) producono una base di
autovettori ortogonali?  Perche' (y,Ax)=(Ay,x). Infatti, se x ed y
sono autovettori con autovalori diversi a(x) e a(y), avresti:
        a(x)*(x,y)=a(y)*(x,y)
da cui ne consegue l'ortogonalita' degli autovettori: (x,y)=0.
Nel nostro caso abbiamo il problema Av=a*Rv, dove A ed R  sono due
matrici, con A auto-aggiunta rispetto al normale prodotto (x,y).
Detto <x|y>=(x,Ry) il  prodotto scalare con matrice associata R, se x
ed y sono due autovettori si puo' scrivere:
        (y,Ax)=a(x)<y|x>
        (x,Ay)=a(y)<x|y>
Essendo A auto-aggiunto, i due secondi membri devono coincidere, da
cui <x|y>=0.


 se quello che si vede puo' dirsi ... oscillare.
Bhe, con quella condizione iniziale... hai provato con un'onda triangolare?
Si
vede comunque trasferimento di energia verso la corda elastica, ma la
situazione e' un po' meno rumorosa. Rimane da interpretare il prodotto
scalare.
L'energia totale e la densita' di energia nella corda elastica e nella
masserella
potrebbero essere due grandezze interessanti da monitorare. Allo scopo, da
un punto di vista strettamente teorica basta scrivere l'andamento
dell'energia
della masserella. Un sistema modello con una massa maggiore nel centro ed
infinite molle e masse attaccate da un lato rispetto alla massa prende il
nome
di modello di Rubin.


 triangolare? 
Inizialmente, avevo provato proprio con la corda pizzicata
triangolarmente, ma mi e' subito apparso un caso troppo speciale.
Funzionava  troppo bene: rimaneva triangolare anche per parecchio
tempo. 
La spiegazione e' che l'autosoluzione a frequenza piu'  bassa  e' di
forma pressocche'  triangolare. L'algoritmo non faceva che
selezionare (in pratica) quest'unica componente, moltiplicandola per
un coefficiente di scala.
En passant: non capisco che cavolo stiamo dimostrando. Mah!
Comunque, grazie a questo esercizio e grazie all'osservazione di Fabri
relativamente al prodotto scalare, ho scoperto il risultato di
Sturm-Liouville, che (ammetto)  non conoscevo.
Quando Fabri ha fornito il prodotto scalare, cosi', a colpo, dentro di
me sentivo che doveva trattarsi di un risultato generale e che le
formule di prostaferesi  erano mera apparenza, buone per ingannare
me, o Bruno, ma non un vero conoscitore della materia.
L'opinione di Bruno (espressami in via privata) era che effettuato
l'integrale di f(x)g(x) si trovasse -mu*f(0)*g(0) e che quindi
bastava sottrarne il valore per avere un integrale nullo, e dunque
l'ortogonalita'. Ma questo metodo di dimostrazione implicava il
calcolo effettivo dell'integrale e l'uso dell'orrendo armamentario
trigonometrico di cui prima: Fabri *non poteva* aver fatto questo,
altrimenti non era Fabri!
E infatti, Fabri si era servito di un noto risultato della teoria
delle equazioni differenziali, per poi sornionamente aspettarci ...
al varco :-)


 Basta pensare alle matrici simmetriche.
Grazie Michele.
In verita' di questo risultato piu' che un presentimento avevo
una cognizione rimossa, il compito di metodi con cui fui ammesso
al mio esame orale chiedeva di considerare un operatore autoaggiunto
su un intervallo... e testare la completezza e l'ortogonalita' di una
base...
Solo che fino a quando non ho riletto sulla tua nota di ieri la
dimostrazione
dell'ortogonalita' una specie di muro mi impediva di ritrovare quel
risultato. Il motivo e' che non ho mai digerito ad un livello spicciolo
e concreto quella dimostrazione. Ed ancora sto cercando questo.
Quando ho ritrovato il teorema di Sturm Liouville quello che non ho
capito e' il significato fisico del prodotto scalare. Rispetto a questo
continuo a chiedermi cosa significa. Il punto chiave e' certamente
il fatto che mu(x) e' la densita' che moltiplica la derivata temporale,
insieme al fatto che l'hamiltoniana non dipende esplicitamente dal
tempo, insieme alla proprieta' di autoaggiunzione della buona
hamiltoniana. Ma questo e' solo un punto.
Un altro punto che mi poneva difficolta' nel considerare il
problema con la discontinuita' e' come ottenerla come caso limite
di un normale problema di Sturm - Liouville e come dobbiamo
trattare la tensione. In termini distribuzionali la derivata seconda
di una funzione con derivata discontinua e' una delta, quindi non
comporta difficolta' anche l'assumere la tensione costante. Questo
e' importante perche' una tensione che dipende dal punto ci porterebbe
fuori dallo schema di Sturm Liouville. Infatti un termine
moltiplicativo sulla derivata seconda non permetterebbe di passare
la derivata seconda dalla seconda funzione alla prima funzione
con la tecnica di integrare due volte per parti e sfruttare il vincolo che
la derivata al bordo e' nulla. Tuttavia una tensione variabile non sarebbe
fuori dal mondo, basterebbe considerare un materiale disomogeneo.
Potremmo sempre ricondurci ad un problema di Sturm Liouville, ma
occorrerebbe dividere per T(x). Ed in tal caso il peso non sarebbe
mu(x) ma sarebbe mu(x)/T(x). Cio' detto io continuo a pensare che
la valutazione diretta del prodotto scalare nasconda il carattere generale
del risultato, ma questo si verifica solo perche' non abbiamo fornito
una interpretazione fisica per il prodotto scalare in questo caso.
Ho scomodato la costruzione di Picard perche' io penso che questa
avvicini a comprendere il contenuto piu' profondo del teorema di
Sturm-Liouville. Infatti questa costruzione puo' essere pensata come
una costruzione iterativa che da una evoluzione generica sfronda
le componenti che non obbediscono alle leggi di conservazione fino
ad ottenere una evoluzione conservativa. Quindi non credo che la
valutazione diretta del prodotto scalare sia solo fumo negli occhi.
Nel caso specifico con tensione costante quello che credo e' che
esista una relazione fra l'energia della masserella e l'energia della
cordicella e che possiamo mettere in relazione il rapporto mu(x)/T
con la relazione costitutiva quasi impulso ed energia e l'integrale
del modulo quadro di u con l'energia potenziale. Il significato
di queste grandezze e' legato con l'equazione di continuita' che
esprime la conservazione dei momenti. Penso sia questo il motivo
per cui Fabri aveva consigliato di impostare il problema in termini
lagrangiani.


Penso sia questo il motivo per cui Fabri aveva consigliato di
impostare il  problema in termini lagrangiani.
Beh, questo consiglio, proprio come quello di "tenersi leggeri a
pranzo", vale sempre, anche se non sei in dieta :-)
Michele
P.S.
Notavo, en passant, che a questo problema ci stiamo interessando
soltanto noi quattro "pisani". Se anche Paolo Cavallo proviene
dall'ateneo pisano, allora siamo in cinque.
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Signature under construction. 

 
 


 varco :-)
A questo punto la cosa per me piu' vantaggiosa e' di non aggiungere
commenti :-)))


 da teti: tetis.
Escursione OT.
Ho trovato una traduzione di Esiodo.
LE NEREIDI (Esiodo)
E nacquer da Nerèo, nel ponto ove mai non si miete,
altre piacevoli Dee, cui madre fu Dòride, prole
d' Ocèano eccelso fiume, famosa per bella cesarie:
Prima, Reginadeiventi, Salvezza, Bonaccia, Anfitríte,
Tètide, Donibella, Velocesuiflutti , Azzurrina,
Grotta la snella, Fiorente l'amabile, Metadisguardi,
Bellavittoria dal braccio di rose, Dilettodeicuori,
Tuttadimiele vezzosa, Rifugiodeiporti, Miranda,
Regala, Solcalonda, Munifica, Regnasuicapi,
Isolabella, Spiaggia , Potenza, la braccia di rose
Mentemaretta, e Corrisuivortici tutta dolcezza,
Dòride, Girapupilla, la dolce a veder Galatea,
e Frenalonde che i flutti del mare cosperso di nebbia
agevolmente, e i soffi del vento gagliardo raffrena,
con Anfitrite dai vaghi malleoli , con Placamarosi,
Maretta, e Riva bellacorona, e Signoradelmare,
e Glaucanorma amica del riso, e Travalicaponto,
e Pianastesa, e Belladistesa, e Signoradigenti,
e Multimperia, e Scioglidaitriboli, e Liberidea,
Giuradinò, bellezza immune da pecca, ed Arena
di grazïose membra, Menippe divina, Isolina,
e Buonarotta, Prudenza, Giustizia ed Immunedainganno,
che uguale è per finezza di mente, al suo padre immortale.
Queste le figlie sono di Nèreo immune da pecche:
sono cinquanta, esperte fanciulle nell'opere egregie.
Come vedi dice che sono cinquanta ma ne nomina
cinquantuno. Inoltre i nomi che emergono non sono
quelli che cita Omero, almeno non sono direttamente
riconoscibili. Nel Crizia Platone descrive il tempio
principale di Atlantide e dice: "Il tempio di [...] poseidone aveva nella
figura un che di barbarico. Fu rivestito d'argento in tutta la parte
esterna, ad eccezione degli acroterii che erano d'oro, l'interno era
d'avorio, variegato d'oro, argento ed oricalco, le altre parti pareti
colonne e pavimento erano rivestite di oricalco. Nel tempio erano
statue d'oro, Poseidone era in piedi su un carro, auriga di sei
cavalli alati, tanto grande da toccare con la testa il soffitto del
tempio, tutt'intorno cento nereidi su delfini".
Qui le nereidi erano cento. Rielenco per confronto quelle citate
da Omero:
Cimotoe, Speio, Glauconome, Nausitoe, Alie, Erato, Sao, Anfitrite,
Eunice, Teti, Eulimene, Agave, Eudore, Doto, Ferusa,
Galatea, Actea,Pontomedusa, Ippotoe, Lisianassa, Cimo,
Eione, Alimede, Plessaure, Eucrante, Proto,Calipso,
Panope, Cranto, Neomeris, Ipponoe, Ianira, Polínome,
Autonoe, Melite,Dione, Nesea, Dero, Evagore,
Psamate, Eumolpe, Ione, Dinamene, Ceto e Limnoria
Ho una curiosita' che ho rivolto al ng di lettere classiche:
esiste un nesso fra le denominazioni di Esiodo e quelle
di Omero. Spero proprio che il buon Massimo Manca
accetti di pubblicare la lettera e di dare una risposta ai vari
quesiti.
Avevo dimenticato di commentare la parola in minuscolo.
Se le Nereidi erano 50-51 i teti erano molti di piu'. I teti erano
il ceto povero uno dei quattro ceti: pentacosiomedimmi,
cavalieri, zeugiti e teti nell'Atene antica furono importantissimi al
tempo della resistenza ai Persiani, ricostruirono la
flotta ateniese e difesero la loro Atene combatterono al fianco
di Temistocle contro Dario. La loro storia si intreccia con quella
di Solone, fu infatti Solone a cambiare la funzione sociale dei
teti attribuendo loro un ruolo nella vita della citta'. Poi c'e' un
paesino sardo che si chiama Teti ed ancora c'era Teti (tutmosis).
Poi c'e' un Tetis portale su internet ed un codice per fluidi
compressibili, ed ancora una citta' del Nepal, ed ancora un
personaggio dei cartoni giapponesi.
Il Tetis che compare qui
invece e' solo il mio nick e non trovi informazioni
al riguardo in internet.
Ora veniamo alle questioni scientifiche.
Mi sto chiedendo questo: esiste un modo per
imporre le condizioni al bordo nel problema
della corda elastica come limite di una stringa
illimitata? La risposta e' ovviamente si, ma il
problema e' la forma delle autofunzioni. Infatti
nel caso illimitato la stringa ha uno spettro continuo
e le autofunzioni sono autofunzioni improprie.
Quello che mi chiedo e' allora come avvenga il
passaggio al discreto. L'idea e' che si verifichi
qualcosa di simile a quanto avviene per il caso di
una doppia buca con bordi infiniti in cui il potenziale
al centro viene gradualmente alzato. In quel caso
succede che i livelli pari e dispari diventano via via
piu' vicini fino a degenerazione. Ed ha significato
trattare le singole buche indipendentemente una
dall'altra. Nel caso della corda elastica mi aspetto che
la degenerazione dei modi limite sia infinita ed ha
significato trattare solo la parte interna al dominio -l/2, l/2
che rimane comune ai diversi modi degeneri. Tuttavia
a che serve questo ampliamento? A me sembra che
permetta di comprendere meglio il fatto che esiste una
quasi simmetria che gioca un ruolo importante nella formulazione
del problema di Sturm Liouville: e' una quasi simmetria
importante legata alle traslazioni. Il modo che avevo escogitato
per studiare questa transizione e' di utilizzare la sostituzione
diretta che riduce il problema di Sturm Liouville ad un problema
di Schroedinger e studiare come cambia il potenziale efficace
quando aumento la costante k(x) esternamente all'intervallo.
Correggetemi se pensate che sbagli direzione. Non sono affatto
sicuro che sia una direzione illuminante.
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 1
Ma qua non deve ipotizzarsi un legame fra le coppie r,t e r_e,t_e?
Legame che renda conto del fatto che, se r=1,t=0 allora, ad un certo punto,
cioe' dopo che abbiamo pompato all'interno del contenitore una certa
quantita' di energia, dovra' divenire nullo anche t_e ? Insomma, il
contenitore non puo' esplodere, ad un certo punto o diminuisce r o annulla
t_e, senno' come fa a raggiungere l'equilibrio?
Ciao.


> da teti: tetis.
"Tetide", almeno, non mi sembra un nuovo nome. Mi sembra del tipo
"Pelide", etc, l'avrei tradotto cioe' con  "della stirpe di Teti".


 da molle vicine
Infatti. Scrivendo le derivate secondo come differenze finite, il
problema si trasforma in un ensamble di oscillatori. M e' la matrice
simmetrica associata al blocco delle derivate temporai, K a quelle
spaziali. La condizione sugli autovalori diventerebbe |K-w^2*M|=0,
con delle condizioni aggiuntive che i due oscillatori in testa e in
fondo alla corda non oscillino affatto.
