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Titolo: perché alla natura piacciono tanto seni e coseni?

In fisica i seni e coseni sono le oscillazioni "per eccellenza"....
rispettano un'equazione differenziale di secondo ordine molto semplice,
sono basi ortogonali per lo spazio delle funzioni periodiche continue,
fourier è comodissimo e permette di scomporre davvero senza problemi i
segnali periodici....
ora io vi chiedo, perché alla natura piacciono tanto i seni e i
coseni....anzi, più precisamente, perché ad esempio, quando si dice
che l'energia di un fotone è E=hf, si intende che f sia la frequenza
di onda em sinusoidale?
Da questa relazione discendono un SACCO di cose, tra cui anche il
principio di indeterminazione (che è quasi una conseguenza "banale"
della teoria delle trasformate di fourier)....ma perché è tutto in
funzione di seni e coseni?
prima di incontrare E=hf credevo usassimo seni e coseni per comodità
di conti, e non credevo che avessero questa importanza....

 della teoria delle trasformate di fourier)....
Insomma...in realtà è una conseguenza meno banale dei commutatori in
meccanica quantistica: se il commutatore tra due operatori A e B (che
rappresentano le osservabili a e b) è iC (con C che potrebbe essere un
operatore a sua volta), allora il prodotto (sotto radice) tra i quadrati
degli scarti, intesi come valore di aspettazione, è 1/2*modulo del
valore di aspettazione di C.
Applicato al caso tipico di x e p, poichè il commutatore è
i*accatagliato, si ottiene proprio deltax*deltap=1/2*accatagliato, che è
il principio di indeterminazione cui ti riferivi.
-- 
"I can accept failure, everyone fails at something. 
But I can't accept not trying." (M. Jordan)

di onda em sinusoidale?
Mi permetto di rispondere con un'altra domanda: non sarà che i seni e
i coseni piacciono molto al "filtro" dei nostri modelli cognitivi, che
li usano per interpretare le regolarità della natura? (Sempre che non
sia OT, spero di no).
[Sto solo riciclando una delle idee dell'interessantissimo "Da dove
viene la matematica", di G.Lakoff e R.Nunez, ed. Bollati Boringhieri].
Ciao
-- 
Francesco Giannici
www.mmax.org/iamr
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 di onda em sinusoidale?
La ragione profonda dell'importanza di seni e coseni sta in due cose:
a) la grande abbondanza di teorie lineari
b) l'esistenza di invarianza per traslazioni (nel tempo e nello spazio).
Infatti se hai un gruppo di traslazioni (per es. nel tempo) le
rappresentazioni irriducibili (unitarie) del gruppo sono date dalle
funzioni exp(iwt) (w reale).
E se la teoria e' lineare con queste rappr. irriducibili fai tutto.
 
-- 
Elio Fabri

 b) l'esistenza di invarianza per traslazioni (nel tempo e nello spazio).
A me pare che la seconda sia piu' importante della prima, perche' con la 
sola linearita' qualunque insieme di funzioni ortogonali andrebbe bene.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

Ciao Francesco, domanda interessantissima la tua e ti ringrazio per il
libro che hai citato. Lo comprerò di sicuro...


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

Ecco appunto riguardo le funzioni ortogonali...non me la sento di
mettermi a studiare analisi funzionale, ma intuitivamente, se una base
ortogonale dello spazio delle funzioni periodiche continue sono i seni
e coseni, non potrei vedere tutte le altre basi ortogonali, anzi,
ortonormali, come ottenute da riflessioni e rotazioni della base
canonica di seni e coseni, come si ha nella geometria di spazi a
dimensione finita?
Per quanto riguarda la conseguenza "banale", non so nulla di teoria
degli operatori, ma ho visto in teoria dei segnali che quando campioni
un segnale x(t) per un intervallo di tempo Dt, hai un'indeterminazione
sulla trasformata di fourier dell'intero segnale (che suppone di
conoscerlo da t meno infinito a t +infinito).
Una volta che stabilisci che l'energia č data da hf, anzi per un
segnale non sinusoidale ma con tdf, č data dall'integrale di
h*f*modulo della tdf del segnale, per f che va da 0 a +infinito, dalla
teoria delle tdf vedi che hai un'indeterminazione sul valore di questo
integrale tanto piů grande tanto piů piccolo č l'intervallo dt.
Insomma, detto banalmente, dalla sola relazione E=hf e dalla teoria
matematica delle tdf si puň dedurre il principio di indeterminazione
(DE*Dt>=..)

Ciao,
in realtà alla natura NON PIACCIONO AFFATTO seni e coseni, sono solo un
utile strumento di calcolo: essi infatti, come dici tu stesso, sono
soluzioni di un'equazione differenziale molto semplice e LINEARE. Ora, la
stragrande maggioranza dei fenomeni che avviene in natura, sono descrivibili
da equazioni differenziali NON LINEARI, le cui soluzioni ondulatorie NON
SONO SENI E COSENI.
Tuttavia, essendo il più delle volte estremamente complicato avere a che
fare con equazioni non lineari, si preferisce LINEARIZZARE le equazioni,
trascurando opportunamente gli effetti non lineari, ecco allora come le
soluzioni oscillatorie che si trovano sono i seni e i coseni, che a questo
punto sono solo idealizzazioni utili per semplificare (e di molto) i
calcoli.
Tanto per farti un esempio, prendi uno dei più semplici oscillatori presenti
in natura: il pendolo semplice. Anche in questo caso semplicissimo
l'equazione del moto non è lineare, e quindi le soluzioni non sono seni e
coseni. Se tu però consideri piccole oscillazioni, ecco che linearizzi
l'equazione e ti ritrovi il moto armonico come soluzione, ma è
un'approssimazione per oscillazioni molto piccole.
In realtà, l'unico esempio che mi sovviene ora in cui un'equazione sia
davvero lineare, è quello delle onde elettromagnetiche nel vuoto. Se tu però
già consideri le onde elettromagnetiche propagantesi in un mezzo, allora in
generale le tue equazioni non saranno lineari e i seni e i coseni non
saranno più soluzioni esatte.
Un caso emblematico è poi dato dalle onde del mare, che sono non lineari
(nel senso che le equazioni differenziali di cui sono soluzione non sono
lineari) per eccellenza: in effetti in mare non vedi propagarsi onde
sinusoidali. Le onde marine sono descrivibili entro certi limiti da funzioni
note come onde cnoidali e onde di Stokes.
Ciao
Danko


 matematica delle tdf si può dedurre il principio di indeterminazione
Per i fotoni, ma nel caso generale lo dimostri senza neanche sapere che 
cosa sia un radiante.


 bene.
A me invece pare difficile stabilire una graduatoria tra due
condizioni entrambe necessarie.
Che te ne faresti dell'invarianza senza linearita'?
Tutto l'armamentario delle rappresentazioni dei gruppi si puo' usare
solo in un ambiente lineare...
 
-- 
Elio Fabri

 semplificare (e di molto) i calcoli.
Vero, ma a mio parere non e' tutto qui.
Voglio dire che l'ambito lineare fornisce un apparato concettuale
assai vasto, sul quale poi si possono basare costruzioni piu'
complesse.
Ma almeno nella fisica come la conosciamo non potresti assolutamente
farne a meno.
Debbo fare esempi o e' abbastanza chiaro?
Detto in termini piu' filosofici, non condivido una posizione
strettamente strumentalista.
 
-- 
Elio Fabri

funzioni exp(iwt) (w reale).
Provo a girare la frittata , cioč a guardare la cosa da un altro punto
di vista.
exp(i*pigreco)=-1  , come si vede facendo lo sviluppo di taylor in
polinomi
Il fatto che esponenziale e trigonometrica siano legati ha qualcosa di
'magico': perchč mai dovrebbe esserci un legame?
Qualcuno sa se c'č e quale č il motivo per cui sono collegate?
L'esponenziale č invariante per derivate o integrale, e il seno
'quasi'.... sospetto che con conoscenze teoriche superiori alle mie si
possa dimostrare, partendo dall'invarianza, qualcosa del tipo che
queste funzioni devono esistere ed essere uniche.
Ovvero
Ip: sia f tale che derivata(f)=integrale(f) , f monotona
    sia g tale che derivata(g)=integrale(g+pigreco/2), g periodica
Th: f e g  esistono uniche ; f=exp , g=sen
Il tutto nel contesto di un gruppo di operatori lineari su funzioni.
Altra cosa : in questo discorso ci sono 2 costanti, e e pigreco.
Devono essere per forza queste? IMO e si , pigreco no.

 Che te ne faresti dell'invarianza senza linearita'?
Te ne fai, te ne fai :-) Prova a risolvere 
p.es
. le equazioni di 
Hartree-Fock in un sistema con condizioni periodiche al contorno e 
vedrai che seni e coseni ti tornano piuttosto comodi (non solo per 
ragioni di invarianza, naturalmente, ma anche per quelle).
Comunque io stavo commentando sulla presunta "predilezione per seni e 
coseni" e volevo far notare come la linearita' delle equazioni di per 
se' non dia vantaggi a queste funzioni rispetto ad altri insiemi di 
funzioni ortogonali; l'invarianza per traslazioni si'. In questo senso 
(soggettivo, lo ammetto) la seconda e' "piu' importante".


 Debbo fare esempi o e' abbastanza chiaro?
Se ho capito correttamente quello che mi stai dicendo allora è abbastanza
chiaro :-).


potete farmi un altro esempio di base ortogonale dello spazio delle
funzioni periodiche reali e continue, che sia diverso da
sin(k*2pi/T*t+phi) e cos(k*2pi/T*t+phi) ?
non è possibile che si ottengano tramite "isometria" dalle basi
sinusoidali?
Definisco isometria una funzione a due variabili t e tau tale che:
integrale di f(xsi,tau)f(xsi,t) in de xsi, per xsi che va da 0 a T delta (t-tau)
e applicare la rotazione a una funzione x(t) significa fare:
integrale di f(tau,t)x(tau) in de tau per tau che va da 0 a T
in sostanza ho cercato degli analoghi delle matrici: il primo integrale
sarebbe il prodotto della matrice di isometria per la sua trasposta,
che mi da la matrice identità.
il secondo integrale sarebbe il prodotto della matrice di isometria per
il vettore da spostare

c'ho speso un bel po' sulla relazione di eulero. in teoria potresti
semplicemente definire l'esponenziale tramite il suo sviluppo di
taylor, e conoscendo gli sviluppi di taylor di cosx e sinx dimostri la
relazione:
e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)
questo è il modo più "banale"
ho trovato una mezza dimostrazione elementare (non ricorre a derivate):
allora, scriviamo i numeri complessi in forma polare:
rho= modulo del numero complesso z
rho=|z|
rho*cosx=Re(z)
rho*i*sinx=Im(z)
x=arg(z) (angolo formato dal vettore complesso con l'asse dei
reali...definito da arctan(Im(z)/(i*Re(z))
se moltiplichi due numeri complessi z e w, se li scrivi in forma polare
puoi notare grazie alle semplici formule di addizione per seno e coseno
che il numero complesso risultante forma un angolo pari alla somma dei
due rispettivi angoli di z e w:
[1] arg(z*w)=arg(z)+arg(w)
|z*w|=|z|*|w|
la relazione [1] ti dice MOLTO:
sia f(x) la funzione che ti associa a x reale il numero complesso di
modulo unitario pari a:
f(x)=cos(x)+i*sin(x)
abbiamo visto che:
f(x+y)=f(x)*f(y)
e sappiamo che f(x) è continua (è somma di due funzioni continue)
mettendo insieme queste due proprietà puoi dedurre che è un
esponenziale (non sai ancora la base però).
Per dimostrarlo:
notiamo che:
f(x-y)=f(x)/f(y)
infatti: f(x)=f(x-y+y)=f(x-y)*f(y)
poi notiamo che:
siano m e n interi relativi:
f(nx)=f(x+x+x...+x)=f(x)*f(x)*f(x)*...f(x)=[f(x)]^n
e sappiamo che vale anche per n negativo
f[n*m/n*x]=[f(m/n*x)]^n
f[n*m/n*x]=f(mx)=[f(x)]^m
[f(m/n*x)]^n=[f(x)]^m
f(m/n*x)=[f(x)]^(m/n)
quindi possiamo affermare che per q razionale qualsiasi:
f(qx)=[f(x)]^q
è valida anche per q=0, infatti
f(x)=f(x+0)=f(x)*f(0)
da cui segue che f(0)=1 (perché f(x) non è sempre nulla)
quindi f(0*x)=[f(x)]^0=1
ok!
allora dicevamo, abbiamo dimostrato grazie alla sola proprietà che
f(x+y)=f(x)*f(y) che f(qx)=f(x)^q per q razionale qualsiasi.
ora per dimostrare che f(rx)=f(x)^r per r reale qualsiasi, prendiamo
una successione di razionali q che converge al numero irrazionale r.
sappiamo che per ogni elemento q della successione f(qx)=f(x)^q, e
sappiamo che f(x) è continua, per cui deduciamo che f(rx)=f(x)^r
ora che sappiamo che:
f(rx)=f(x)^r,
possiamo riscrivere f(x) come
f(x)=f(1)^x
per cui voilà, abbiamo dimostrato che la funzione:
cos(x)+i*sin(x)=f(1)^r
dove f(1)=cos(1)+i*sin(1)
manca ancora dimostrare che f(1) è proprio e^i, però puoi già vedere
perché i numeri complessi siano legati all'esponenziale: viene tutto
da quell'addittività degli angoli nelle moltiplicazioni e dalla
continuità.
Purtroppo credo che per dimostrare che la base è proprio e^i non si
scappi dall'analisi, e questo perché il numero e stesso è definito
dall'analisi.
un modo potrebbe essere che se tu dici che la relazione:
d[a^x]/dx=ln(a)*a^x
vale anche per a complesso, allora puoi vedere chiaramente che:
df/dx=-sin(x)+i*cos(x)=i*f(x),
da cui ln(a)=i
tutti i metodi a questo punto credo siano simili, si basano sull'idea
che puoi definire il limite (a^x-1)/x per x tendente a 0 anche per a
che non è reale

 Sono d'accordo.
Non proprio o non solo.
La mia posizione e' piuttosto epistemologica...
Penso che la struttura concettuale della teoria si basi in modo
determinante su cio' che si capisce nel limite lineare.
Praticamente tutti i concetti con cui trattiamo le onde nascono da li'.
Si potrebbe speculare su una teoria che nasca intrinsecamente come non
lineare, ma ne conosco un solo esempio: la RG.
(Sebbene lo stesso Einstein abbia derivato le prime conseguenze
passando subito all'approssimazione lineare...)
 
-- 
Elio Fabri

 ...
Hai ragione... alla natura non piacciono seni e coseni, li USA e basta!
Senza scomodare equazioni differenziali... la proiezione di un moto
circolare
uniforme su una retta complanare al moto circolare stesso Č una
sinusoide!
ciao
Sandro


Ciao!
Bravo... hai ragione. Mi sembra però che tu non abbia capito di cosa sto
parlando, infatti il tuo esempio è fuori luogo.
Potrei allora chiederti: dov'è che in natura vedi un MOTO CIRCOLARE
UNIFORME? Risposta: DA NESSUNA PARTE! E' un caso idealizzato. Esattamente
come seno e coseno.
Le equazioni differenziali le devi scomodare per forza: le leggi del moto
sono soluzioni di equazioni differenziali, in genere non lineari (a parte
eqMx, vedi mio post). E' questa non linearità intrinseca nella Natura che
impedisce che esistano seni e coseni.


 Praticamente tutti i concetti con cui trattiamo le onde nascono da li'.
Ciao Elio, è vero che i concetti base sulla fisica delle onde si possono
trattare nell'approssimazione lineare, tuttavia, quando consideri
INTERAZIONI tra onde, sei obbligato a considerare efetti non lineari.
Altrimenti il principio di sovrapposizione ti impedisce di avere
trasferimento di energia tra pacchetti d'onda diversi.
Mi sembra che lo stesso concetto sia alla base delle interazioni tra
particelle nella teoria dei campi (sono un po' arrugginito di QED ma ne sono
sicuro al 99% :-)).
Ciao


 ne sono sicuro al 99% :-)).
Temo che proprio non ci capiamo...
Non so come spiegarmi meglio.
Mi spiace, ma a volte succede.
 
-- 
Elio Fabri