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Titolo: R: Teoria del Caos

 Jane Gallagher
Giusto qualcosa... quel poco che mi pare di ricordare :-)
Osserva le coste su di una cartina geografica, sono molto frastagliate.
Prendi una cartina con una scala maggiore: sono ancora frastagliate allo
stesso livello, ingrandisci ancora ecc... Ad ogni ingrandimento la
lunghezza aumenta sempre di piu'. Se una formica dovesse percorrere lo
stesso tratto di mare tenendosi appena discosta da esso, scoprirebbe che
sono ancora piu' lunghe, sono ancora frastagliate nel loro essere
frastagliate, nel loro essere frastagliate ecc..   Il caos e' caotico
allo stesso modo ad ogni scala di grandezza. Il caos e' "ordinato" nel
suo essere caotico :-)
Prendi un triangolo equilatero, ad ogni lato disegna ancora un triangolo
grande 1/3 di quello originario,, continua disegnando triangoli sui lati
cosi' ottenuti, triangoli sempre piu' piccoli che pero' fanno aumentare
sempre di piu' la lunghezza totale che tende addirittura all'infinito
pur essendo relegati in un'area relativamente poco piu' grande!
Il disegno che crea un fenomeno "caotico" e' proprio questo: un
frattale.
Osserva un cavolfiore: la piu' piccola struttura alla sua periferia
rispecchia fedelmente l'intera struttura del cavolfiore.
Il caos puo' essere scatenato, anzi lo e' sempre, da cause strettamente
deterministiche: pero' oltre  tre variabili si ha il caos. Se con una
stecca da biliardo colpisci la pallina, si puo' prevedere abbastanza
facilmente dove adra' a finire, se la pallina ne colpira' un'altra pure
per questa non sara' difficile prevedere dove finira', il calcolo sara'
solo un po' piu' complesso, se pero' questa seconda pallina ne colpisce
una terza e' impossibile la previsione, non per la difficolta' del
calcolo ma perche' si e' ormai nel caos, che ha quest'altra importante
caratteristica: basta una lievissima variazione iniziale in un certo
processo perche' il risultato finale si allontani in modo esponenziale
rispetto ad un altro processo inizialmente leggerissimamente diverso.
Per quello e' cosi' difficile fare le previsioni metereologiche oltre un
giorno o due, non si puo prendersela con i metereologi :)
Immagina una ruota a cui sono appesi dei secchi bucati; alla sommita' di
questa fai scendere un filo d'acqua: alla piu' lieve variazione del
flusso non si puo' prevedere da che parte finira' per girare la ruota,
puo' addirittura cambiare di punto in bianco rotazione, nel senso: se il
flusso d'acqua e' abbastanza consistente  l'acqua  riuscira' a a
riempire i secchi prima che questi si svuotino  attraverso il buco e il
peso dei secchi fara' girare la ruota verso destra, si puo' trovare un
equilibrio in questo: la giusta quantita' di acqua perche' giri in modo
continuo e uniforme, basta pero'un lievissimo cambiamento nel flusso che
la direzione cambia bruscamente e puo' continuare a farlo in un senso o
nell'altro imprevedibilmente, siamo ormai nel caos! Come la
fibrillazione del cuore: tutte le cellule cardiache sono sincronizzate
ma basta una cellula che se ne discosti appena un po'  e puo' provocare,
da sola, una crisi cardiaca che getta tutte le altre nel caos. Per
questo in cardiologia e' utile lo studio del caos, stesso discorso per
l'epilessia.
Ci sono pure delle sempllici equazioni che raffigurate su di un piano
cartesiano e partendo da certi valori "critici" continuamente reiterati
(ovvero la soluzione di questa e' il nuovo valore) danno dei disegni
caotici  da restare letteralmente a bocca aperta e ingrandendoli sempre
piu' si scoprono sempre maggiori complessita' e meraviglie, tipo gli
insiemi di Julia (ci si potrebbero fare dei bei gioiellini) o quelli di
Mandelbrot che sembra un pupazzo di neve ma se vai ad ingrandire i suoi
bordi... ragazzi! Che robe!
Poi ci sono gli attrattori.
Raffigurando su di un piano cartesiano  (piano delle fasi si chiama) il
movimento di un pendolo semplice quello che se ne ricavera' sara' una
linea curva che verra' "attratta" dallo 0, perche' prima o poi si
fermera'.
Un processo caotico invece produce sul piano delle fasi degli
"attrattori strani" nel senso che l'attrattore non e' costante come
nell'esempio precedente e la forma che ne verra' fuori e' un disegno
come di ali di farfalla (il famoso attrattore di Lorenz) la cui linea
non passa MAI nello stesso punto; per quanto lo si porti avanti nel
tempo, non passa MAI nello stesso punto, viene fuori cosi' un groviglio,
sempre piu' fitto ma sempre passante da punti diversi.
Io il caos, per quel poco che credo di averci capito (ogni correzione a
quanto sopra e' graditissima) mi piace un sacco.
Ciao ciao :-))
     Mara

 quanto sopra e' graditissima) mi piace un sacco.
Io speriamo che me la cavo :-)))
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa

S', tutto giusto. Perň č meglio se leggi CAOS di Gleick.
Ernesto

oltre  tre variabili si ha il caos.
Ci sono sistemi caotici con una sola "variabile". Pensa a x->rx(1-x)
per r abbastanza grande, o il shift map piu' semplice (manda la successione
infinita di 1 e 0 s_1, s_2, ... a s_2, s_3, ...)
Vedi i libri di Devaney e/o Barnsley su
http://www.mistral.co.uk/ghira/recmathslibri.html
Meglio Devaney per questioni sul caos e basta.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
I'm sure they'll listen to Reason. (H. Protagonist)

     Mara
Suggerisco allora la seguente lettura:
Ian Stewart
"Does God play dice?
The new mathematics of chaos"
New Edition,
Penguin Books, £8.99
saluti caotici,
Peltio

 wrote
............................................................................
...
............................................................................
Ciao ciao :-))
     Mara
Mara è stata bravissima a fare il sunto di un libro:IL CAOS Le leggi del
disordine. A cura di Giulio Casati.Edito da: LE SCIENZE SpA.EDITORE Saluti
disordinati Antonio

 Ernesto
Grazie :-) Questo l'ho letto, al mio solito in modo un po' ingordo e
arruffone. Molto bello, poi pero' mi resta in mente sempre troppo poco,
purtroppo. Comunque i libri che leggo li acquisto sempre,  non me li
faccio mai prestare, perche' devo "possederli"... cosi' dopo posso
sempre riguardarli.
Ciao ciao :-))
    Mara

 Peltio
Grazie molte... c'e' solo in inglese?
   Ciao ciao :-))
     Mara


	Ciao,
	Un Alex integrabile.

purtroppo. Comunque i libri che leggo li acquisto sempre, 
Un autore che credo fantastico per questo genere di divulgazione è
Paul Davies... se ne è già parlato per caso ?? Sono libri che anche io
ho divorato e posseduto ( non carnalmente ma quasi :)) e che anche io
credo di dover possedere perchè riguardarli mi è necessario... sono
così tanti i concetti espressi che una sola lettura non lascia altro
che un enorme fascino per la scienza.
Perchè ho sempre la sensazione di imparare più da questi libri che da
tutti i libri di fisica teorica che sto studiando ? 
Perchè non riesco a voltare le pagine quando mi trovo a studiare
teoria dei gruppi ?? E non riesco a tenere le pagine farme se Dawkins
mi spiega il dilemma del prigioniero o Hofstadter mi illustra il
fascino degli strani anelli ?
Come vorrei anche io ricordare tutto quello che leggo da questi
strordinari divulgatori !!
Wentu

 successione infinita di 1 e 0 s_1, s_2, ... a s_2, s_3, ...)
La colpa e' mia ;)
Il discorso delle 3 variabili l'ho insegnato io a Mara, in riferimento
ai sistemi di eq. differenziali del primo ordine.
Un sistema con meno di 3 equazioni (funzioni incognite) non e' mai
caotico.


caotico.
Confesso che non so quasi niente di sistemi caotici continui. Quasi
tutti gli esempi che conosco sono discreti. (beh, il tempo
e' discreto. lo spazio degli stati puo' anche essere continuo).
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
It is a sobering thought, for example, that when Mozart was my age, he had
been dead for two years. (T. Lehrer)

 gradi di liberta' elevato non esclude l'integrabilita'.
Sebbene quello che scrivi sia ineccepibile del punto di vista astratto,
resta che i sistemi integrabili sono l'eccezione, non la regola. Anzi,
direi un insieme di misura nulla, se sapessi come definire una misura.
Questo va messo in evidenza, perche' oggi potrebbe essere considerato
banale, ma non lo era alcuni decenni fa.
Tanto per fare un esempio, il solito Landau (Meccanica) non fa il minimo
cenno alla non integrabilita': tratta i sistemi a piu' gradi di liberta'
come se fossero tutti integrabili. Non lo dice esplicitamente,
beninteso, ma prima parla di seperabilita' "in un buon numero di casi
importanti"; poi ragiona solo di quelli, introducendo le variabili di
angolo-azione, ecc.
Solo nell'ultima pagina ricorda che esistono anche sistemi non
separabili (non integrabili) ma ecco che cosa c'e' scritto (ed.
inglese):
"If the Hamiltonian of the system differs only by small terms from one
which allows separation of the variables, then the properties of the
motion are close to those of a conditionally periodic motion, and the
difference between the two is of a much higher order of smallness than
that of the additional terms in the Hamiltonian".
Alla faccia di Kolmogorov e C.!
Nessuna meraviglia che Arnol'd appena puo' dica peste e corna del Landau
:)
Pero' generazioni di fisici (incluso il sottoscritto) sono stati educati
a queste idee.


 infinita di 1 e 0 s_1, s_2, ... a s_2, s_3, ...)
Solo per sistemi a tempo discreto, invero...
--
The more we know
The less we show

 Io speriamo che me la cavo :-)))
--


 caotico.
Non so se e' gia' stato detto (ho beccato il thread in fase di
sparizione), ma un sistema a 2 variabili con una modulazione esterna
puo' essere caotico. La terza dimensione che permette di "ripiegare"
l'attrattore diventa la modulazione. (Esempio: laser a CO2 a perdite
modulate).
Ciao,
Alberto
--
Alberto BARSELLA
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** Beliefs are dangerous. Beliefs allow the mind to stop functioning.
A non-functioning mind is clinically dead.  Believe in nothing... **