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Titolo: Pendolo semplice relativistico

Scusate l'ignoranza, ma non riesco a scrivere la formula del periodo del pendolo semplice in caso di accelerazione di gravità molto grande.
Potete aiutarmi?

 grande.
Che cosa ti fa pensare che la formula debba cambiare?
E poi, non hai ancora imparato che "molto grande" non significa
niente?
Devi dire "molto grande rispetto a ...". A che cosa?
Altrimenti il problema non è definito e nessuno ti può rispondere.
 
Del resto, spero tu sappia che anche sulla Terra la formula del
periodo (per piccole oscillazioni, suppongo tu intendessi) è valida
solo se si fanno certe ipotesi,
Che in pratica sono sempre ben soddisfatte; ma parlando in generale, e
pensando di spostare il problema ad altri ambiti non definiti, queste
ipotesi diventa necessario precisarle.
 
 
-- 
Elio Fabri


Heilà, Elio! Come stai?
 
Intendevo accelerazione di gravità molto grande rispetto alle velocità in gioco.
 
Classicamente, la velocità massima raggiunta dalla massa oscillante è proporzionale alla massima altezza raggiunta durante l'oscillazione ( energia potenziale che diventa energia cinetica). Ciò anche fuori dall'ipotesi di angolo piccoli ( angoli che si confondono con il loro seno).
Non c'è limite alla velocità, all'aumentare di G. E ciò è un'assurdo.
Per questo penso che la formuletta del periodo debba cambiare, in caso relativistico.
Ma non riesco a scrivere la formula corretta.
 
ReBim
 

 
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 possono confrontare una accelerazione ed una velocità ?
 
Non si può, sono grandezze dimensionalmente diverse.
 
 
L'unica possibilità sarebbe considerare la variazione di velocità in un certo tempo, cioè in pratica considerare ancora un'accelerazione: per esempio, nota la velocità massima, se proprio non si vuole considerare la derivata, si potrebbe considerare
 
[vel. max - 0 (vel. minima)]
diviso
il tempo in cui si verifica tale variazione (un quarto di periodo del pendolo)
 
Ciao.
-- 
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
ID DMR: 2228273
 
 

 Ma non riesco a scrivere la formula corretta.
La formula sarà l'ultima cosa: prima bisogna aver chiaro il quadro
d'insieme.
Per es. io ti avevo chiesto in quali ipotesi la solita formuletta è
valida.
Risposta che non hai dato: non bastano le piccole oscillazioni,
occorre che lungo la traiettoria del corpo g si possa considerare
costante.
Certo sulla Terra è difficile uscire da questa situazione semplice.
Con h di qualche km g varierà attorno all'1 per mille, e se fai misure
precise potresti accorgertene. Ma quanto dovrebbe essere lungo il
pendolo?
O viceversa: che precisione di misura occorre per avvertire un effetto
relativistico in laboratorio?
Sapresti tentare una stima?
 
Comunque facciamo un po' di fantascienza (però seria, senza violare
leggi fisiche note).
Trasferiamoci su una stella di neutroni.
Massa = quella del Sole.
Raggio: 10 km.
Supponiamo che il nostro apparato meccanico sia in grado di resistere
alla forza di gravità.
A questo punto la tua domanda diventa un po' più definita, ma non
ancora del tutto.
Certamente in quell'ambiente la meccanica newtoniana ce la possiamo
scordare, ma possiamo ancora usarla come guida per stimare ordini di
grandezza.
Per es.: che lunghezza del pendolo e che ampiezza di oscillazione ci
vorranno per avere effetti relativistici, diciamo dell'1% ?
Vuoi provare?
 
 
-- 
Elio Fabri
 
X-Mozilla-Status: 0800
X-Mozilla-Status2: 00000000
X-Mozilla-Keys:                                                                                 
FCC: m

 cambiare, in caso relativistico.
 
NOTA vedo che Elio ti ha già dato una risposta,
comunque ormai scrivo il calcoletto che ho
fatto e che per i motivi anche da lui esplicitati
ha solo un valore formale...
 
Consideriamo un punto materiale di massa m
vincolato a muoversi senza attrito su una
traiettoria circolare di raggio r in un
piano verticale e soggetto a un potenziale
opportuno ("pendolo nel campo di gravità g")
sia a l'angolo formato con la verticale,
supponiamo che valga la conservazione dell'energia
meccanica per questo particolare potenziale
(uso unità con c = 1, sia gamma = 1/sqrt(1 - v^2)):
 
E = gamma m - m g r cos(a)  =>
 
E / m = gamma - g r cos(a) = 1 - g r cos(a_m)
 
avendo indicato con a_m l'ampiezza angolare
del moto, si ha:
 
v = sqrt(1 - 1/gamma^2)
 
posto:
 
gamma(a) = 1 + g r (cos(a) - cos(a_m)),
 
sostituendo v = r da/dt e separando le variabili:
 
dt = r gamma(a) / sqrt(gamma(a)^2 - 1) da,
 
integrando si ottiene il periodo:
 
T = 4 int_{0}^{a_m} r gamma(a) / sqrt(gamma(a)^2 - 1) da.
 
Consideriamo alcuni valori limite di T:
 
a) nel limite di piccole oscillazioni a_m -> 0+
allora gamma(a) -> 1, gamma(a)^2 - 1 ~=
2g r (cos(a) - cos(a_m)) ~= 2 g r (a_m^2 - a^2),
e sostituendo e integrando si ottiene
T ~= 2 Pi sqrt(r / g), cioè il valore classico.
 
b) per valori di a_m non troppo vicini a 0 o
a Pi, nel limite per cui il massimo valore
di gamma sia >> 1 (CN è g r >> 1), allora
T ~= 4 int_{0}^{a_m} r da = 4 a_m r che è
direttamente proporzionale a r.
 
c) nel limite a_m -> Pi-, cioè il pendolo
parte quasi dalla verticale al disopra
del "punto di sospensione", facendo una
sostituzione analoga a quella del punto a)
(si pone a_m = Pi - x, e si studia
l'integrale in un intorno sinistro di
a_m facendo tendere x a 0), si ottiene
T -> +oo, come giusto dato che il pendolo
inizialmente fermo alla massima quota
rimarrebbe in quiete dunque non è possibile
che il pendolo raggiunga la sommità con
velocità finale nulla in un tempo finito
data l'unicità della soluzione del moto
e dato il principio di invertibilità
del moto.
 
V. anche la relazione tra a_m e T calcolata
numericamente e rappresentata graficamente,
per i parametri r = 1 s, g = 100 s^-1:
 
https://drive.google.com/open?id=16bgtCVWN3r1_q6fQsuexwCM3lFbAi1y7
 
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

 comune, ergo il confronto come si dovrebbe effettuare ?
 
Quando ho scritto " gravità molto grande rispetto alle velocità in gioco"  intendevo:
 
accelerazione di gravità grande abbastanza da non rendere più applicabile la descrizione non relativistica del moto. Pensavo che, dato il contesto ed i titolo della discussione, ciò fosse chiaro.