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Titolo: Principio di Huygens-Fresnel

Per il principio di Huygens-Fresnel ogni punto di un fronte d'onda
genera onde secondarie con intensita' proporzionale a (1+cosX) dove X
e' l'angolo tra il fronte sorgente e la direzione considerata.
Ora, sappiamo che per la diffrazione, un diaframma circolare produce
una figura di diffrazione il cui disco di airy sara' dato da
1.22*(lambda)/D dove D e' il diametro del diaframma per cui con un
D=120mm avremo un disco di circa 1" d'arco (1/3600 di grado) per luce
di colore verde.
Guardando in un telescopio, si scopre che una grossa percentuale di
luce (circa il 90% ma non e' un valore critico) finisce dentro il disco
di airy!!
Come si conciliano le due cose??
Huygens diffonde la luce di ogni punto sui 360 gradi (preferendo la
direzione di provenienza dell'onda MA non in modo cosi' netto da far si
che tutta la luce finisca in un cono di pochi secondi d'arco)
La diffrazione e l'esperienza dicono che invece gran parte della luce,
che passa per l'obbiettivo/diaframma, finiscono nel disco di airy ...
dove sta' l'inghippo???
Spero di aver reso l'idea di quale sia il mio dilemma.
Grazie mille 
Alessio C.

Come si conciliano le due cose??
Credo che ti sfugga il fatto che devi fare un integrale dei contributi di
tutti i punti del fronte d'onda. E che l'integrale tiene conto delle
distanze dei punti che generano le 'ondine' dal punto in cui vuoi valutare
il campo.
Nell'approssimazione di Fraunhofer, per dire, il fattore di direzionalità
viene ritenuto costante e pari a 2. E il disco di Airy salta fuori
dall'integrazione con quel fattore costante.
saluti,
Peltio
che la formula per l'ampiezza del campo complesso è un po' noiosa da
scrivere in ASCII, ma la trovi su qualsiasi libro di fisica che tratti di
elettromagnetismo (nota: a seconda che si usi i(k.r - w t) o i(w t - k.r)
ti trovi una i al denominatore o al numeratore).
F/UP su ISF
(il crosspost è male)

 1.22*(lambda)/D
Il valore che tu indichi è solo l'angolo del primo zero della
figura di diffrazione. Chiaramente c'è poi tutto il resto...
Lo stesso discorso vale per una fenditura verticale: se tu aumenti
la distanza tra le pareti della fenditura il lobo principale
di diffrazione si restringe sempre più, ma la quantità totale
di luce che passa aumenta.

dall'integrazione con quel fattore costante.
Capisco l'artificio, entro il piccolo cono del disco di airy il fattore
(1+cos X) e' praticamente sempre uguale a 2 essendo X sempre prossimo
a zero, ma questo conferma che il cono e' strettissimo e dunque non
possa
trasportare tutta l'energia entrante!
Dove sbaglio?
Grazie
Alessio

energia molto simile (poco minore) di tutta quella entrante??
L'energia della sorgente viene ridistribuita in tutte le direzioni. Quella
diffusa dall'apertura dipende dalla posizione della sorgente. Il contributo
dele ondine sferiche (sto ancora trascurando il fattore di fase) è tale da
fornire un contributo maggiore lungo certe direzioni. Se vuoi vedere il
disco di Airy di una stella, devi puntare il telescopio nella sua direzione.
E comunque il disco di Airy lo vedi una volta che focalizzi la luce, ad
esempio con la lente convergente del tuo occhio. Forse era questo il
problema?
saluti,
Peltio

problema?
Fraunhofen e l'uso di lenti convergenti sono lo stesso fenomeno, il
primo
senza lente focalizza all'infinito l'altro focalizza nel fuoco ma
entrambi
producono un disco di Airy delle stesse dimensioni angolari!
Se preferisci vederlo con la lente per me va benissimo ... pero' per
ora
non ho ancora capito come mai il disco di Airy sia tanto luminoso
quando
Huygens sembrerebbe dire il contario!
Grazie, spero riusciai a chiarirmi le idee
Alessio C

di luce che passa aumenta.
Vero, ma non vedo l'attinenza con il mio problema.
Il lobo principale si restringe ma la luce tende a concentrarcisi,
il problema e' lo stesso siamo d'accordo ... pero' il mio problema
rimane
L'ho riformulato in varie salse nell'ultima risposta data a Peltio,
se hai voglia di leggerla magari sai darmi una dritta anche tu
Grazie 
Alessio

 Alessio
Ricapitolando: abbiamo un fronte d'onda piano che incide su una
apertura circolare. La figura di diffrazione di Fraunhofer (in questo
caso le funzioni di Bessel che costituiscono i dischi di Airy) la si
osserva,
a rigore, a distanza infinita, o comunque molto maggiore del rapporto
tra l'area dell'apertura e la lunghezza d'onda. La lente permette di
creare questo campo nel suo piano focale, anzichè all'infinito.
E' anche assodato, come anche tu hai detto, che all'interno del
secondo anello scuro (zero) di diffrazione finisce più del 90%
della luce incidente.
Ora, il tuo dubbio se non ho capito male è: come è possibile che
quasi tutta la luce finisca all'interno di una zona localizzata nell'
intorno
dell'asse di propagazione, se il principio di Huygens afferma che
ogni punto di un fronte d'onda produce delle ondine sferiche che,
per definizione, si propagano in modo isotropo in tutto lo spazio?
Devi considerare che l'idea iniziale di Huygens fu completata da
Fresnel, che intuì che le ondine, per produrre il fronte d'onda
successivo, dovessero *interferire*. Il risultato di questa interferenza
è proprio il disco di Airy, nel nostro caso. C'è poco da fare: se hai
dei dubbi al riguardo devi seguire tutti i passaggi matematici che
partono dall'idea di Huygens, poi passano attraverso l'idea
di interferenza di Fresnel (vedi il famoso esperimento di Arago),
poi vengono completati dall'integrale di diffrazione di
Fresnel-Kirchoff il quale, da ultimo, è soggetto alle varie
semplificazioni nel caso limite della diffrazione di Fraunhofer.
Se vuoi collegare ciò che osservi (disco di Airy) all'idea base
del *modello matematico* di Huygens, l'unica cosa da fare
è seguire tutti questi passaggi; raccontarla a parole non mi sembra
una via praticabile.
Tutti i passaggi matematici che ti ho detto li trovi, ad esempio,
su "Principles of Optics" di Born-Wolf. Ti avverto però che alcuni
passaggi sono piuttosto pesantini...
ciao

A me pare che tu non abbia capito una cosa fondamentale: che il pr. di
Huygens-Fresnel, applicato a questo problema come a qualsiasi altro,
richiede di sommare/integrare le _ampiezze_ delle onde provenienti
dalle diverse parti dell'apertura.
L'energia/intensita' e' quadratica nell'ampiezza, e il quadrato di una
somma non e' la somma dei quadrati: puo' essere molto maggiore ma
anche molto minore.
Percio' non puoi ragionare sommando le energie delle singole onde.
Ad es. nel caso del disco di Airy le singole onde esistono con
ampiezze non nulle in una grande estensione, ma quasi ovunque quando
le sommi danno un risultato piccolissimo o nullo.
Solo sull'asse o in vicinanza, in una regione appunto dell'estensione
del disco di Airy, le singole onde sono in fase, per cui le ampiezze
danno una risultante molto maggiore.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Percio' non puoi ragionare sommando le energie delle singole onde.
Questo e' chiaramente vero ma la fonte dei miei guai era diversa,
almeno credo, infatto quello che ritenevo (e davo per scontato) era
che le singole onde secondarie trasportassero nel loro complesso
una energia pari a (E^2 / S) * dS ma da questo risultava
impossibile che la somma di tutte le "ondine" potesse, in un'area
riesterra come il disco di Airy, avere tutta E^2 (Dove E e' ovviamente
tutta l'energia entrante per la superfice/diaframma/lente S)
In realta' se si integra sulla sfera il contributo di ciascuna ondina
si scopre che questo e' molto maggiore ... credo per conpensare
il fatto che la maggioranza di questa "energia" alla fine si perda
per interferenza ... ma dovendosi conservare l'energia totale entrante
(mediata sul periodo) allora i conti tornano.
In effetti il mio libro percorre una strada mista, prima dice come sono
fatte le ondine poi pero' non usa la loro intensita' ma solo la fase e
calcola l'intensita' dei singoli lobi assumendo che tutta l'energia
entrante
finisca su di loro ... come deve essere.
Non vorrei cantare vittoria troppo presto ma comunque vi rigrazio
per l'assistenza
Alessio
PS: In effetti credo che in definitiva tu mi abbia detto la soluzione,
io l'ho solo mappata sul mio problema specifico.

una via praticabile.
... che in definitiva significa dire che il principio di
Huygens-Fresnel
e' qualche cosa di diverso da quello che ci siamo raccontati ed
aggiungo io da quello descritto del mio libro di fisica II di
ingegneria,
per cui le normali formule che descrivono l'interferenza in realta'
non sono corrette almeno sul piano quantiativo ... descrivono bene
la forma dei lobi ma non le intensita'!
Ovviamente, faccio molta fatica ad accettare questa interpretazione
MA ribadisco e chiedo conferma ... anche tu sei d'accordo con me
che l'incongruenza esista ovvero che il mio dubbio, come tu
stesso l'hai enunciato e' sensato?!?!
"come č possibile che quasi tutta la luce finisca all'interno di
 una zona localizzata nell' intorno dell'asse di propagazione, se
 il principio di Huygens afferma che ogni punto di un fronte d'onda
 produce delle ondine sferiche che, per definizione, si propagano
 in modo isotropo in tutto lo spazio? "
Perche' Huygens afferma proprio questo (almeno sul mio libro)
ed il disco di Airy incece ha proprio il 90% dell'energia!!!
Non lo dico per aver ragione, anzi ... vorrei capire invece se non
ho frainteso il tuo ragionamento.
Sarei felice di approfondire il discorso, come tu suggerisci, ma le
premesso nel farlo sono che la formulazione del principio di
Huygens che troverei, alla fine, sarebbe in qualche modo
parecchio diversa da quella riportata sui libri ... vero?
Per ora i miei dubbi purtroppo non sono diminuiti :-(
Alessio

la somma non potra' che essere minuscola rispetto a quella entrante!!
Allora, le onde secondarie vengono diffuse su una sfera (nell'ipotesi di
fattore di obliquità massimo), ma la loro ampiezza dipende dalla posizione
della sorgente e del punto di osservazione: quindi se tu sei 'in linea' con
la stella, hai un contributo maggiore; se sei 'fuori linea' hai un
contributo minore. La composizione di questi contributi è tale quindi da
essere maggiore quando sei in linea (ossia vicino al centro del disco di
Airy) e minore man mano che sorgente (la stella) e punto di osservazione
sono disallineati. A me sembra una cosa naturale che l'energia finisca
solo in un intorno di una certa direzione.
(e lo puoi vedere anche senza considerare la diffrazione dall'apertura)
Come avevo scritto prima, secondo me (ma forse mi sbaglio) tu non stai
considerando il contributo dato dalle distanze r ed R alla 'direzionalità'
del risultato (scusa i termini imprecisi, ma non riesco a trovare parole per
descrivere questo concetto geometrico). Si fa prima a guardarlo con
sorgente e punto di osservazione al finito: l'integrale di Huygens-Fresnel
dice che il campo nel punto P per effetto della sorgente sferica in S che
illumina l'apertura sigma è dato dall'integrale esteso alla superficie sigma
dei contributi di onde date da
    K A/R Exp[I k R] Exp[i k r]/r f[alfa, beta] dS
Dove
    A/R Exp[I k R] è l'ampiezza dell'onda sferica generata da S rilevata nel
generico punto Q dell'apertura sigma. Nota che dipende da R, che è funzione
della posizione relativa di sorgente S e punto Q, quindi della sua posizione
rispetto all'apertura.
    Exp[i k r]/r è il contributo di onda sferica generata dal generico punto
Q dell'apertura. La sua ampiezza può essere vista come il prodotto
dell'ampiezza ricevuta da S (quella sopra indicata), moltiplicata per la
costante K (che sarà -I/lambda) e per dS oltre che per un fattore di
obliquità
    f[alfa,beta] che possiamo tranquillamente ritenere pari a 1 nella
maggior parte dei casi (io metto il fattore 1/2 nel fattore di
obliquità).
Bene, sono quelle r ed R a farti concentrare l'energia in determinate zone e
non in altre, nella fattispecie nelle zone in cui r ed R 'sono minimi' (ci
vuole un disegno, mi spiace, a parole diventa troppo lungo, ma se fai un
disegno dovresti vedere che la condizione migliore si ha quando S e P sono
allineati rispetto al centro della apertura). Il fattore di obliquità fa ben
poco se rimani vicino all'asse con sorgente e punto di osservazione
simmetrici rispetto al centro dell'apertura circolare (la pupilla del tuo
telescopio).
Prova a calcolarti qualche contributo a mano, per una decina di punti
disposti via via più lontano dall'asse che collega la sorgente al centro
dell'apertura circolare e vedrai come il contributo va scemando, nonostante
il fattore di obliquità costante e pari ad 1.
saluti,
Peltio
tutto questo nel caso di apertura circolare, quindi radialmente simmetrica.
Nel caso di apertura qualunque l'enrgia viene distribuita in maniera
diversa, e la forma che ottieni può concentrare l'energia anche lontano
dalla congiungente (pensa alla fenditura rettangolare: più stringi in
una direzione e più ti si allarga la figura di diffrazione). Nell'approx
di Fraunhofer ti trovi la TdF della funzione caratteristica dell'apertura.

 Alessio
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