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Titolo: Analisi dimensionale

Girovagando in internet ho trovato un sito (Scienzapertutti),
dove c'era una domanda sul raggio di Bohr e relativa risposta :
Ho letto su un libro divulgativo che per trovare il valore del raggio
dell’elettrone intorno al nucleo (o raggio di Bohr), si usa la
seguente formula:
r = (h/2π)2
------------
(me2)n2
dove :
h/2π dovrebbe essere h tagliata di valore 1,055....
m = massa dell’elettrone di valore 9,11.....
e = carica dell’elettrone 8,199....
n = numero quantico che può essere 1,2,3,4,5,6,7 (per semplicità si
può assumere il valore 1)
Il risultato di questa formula dovrebbe essere un raggio di 53
Angstrom. Ora io per curiosità ho provato a fare il calcolo, ma o
commetto un errore matematico oppure i valori che uso non sono esatti,
perché quel valore di 53 non mi viene......Mi potreste aiutare ?
(Antonella Capuano) (2061)
 Innanzi tutto ci complimentiamo con la nostra web-nauta per aver
voluto controllare il valore del calcolo, purtroppo la formula che ha
trovato sul suo libro di divulgazione (ma quale?) non è corretta.
Esiste un metodo per controllare le formule, anche le più complicate,
senza entrare nel merito dei conti. Tale metodo si chiama "analisi
dimensionale". In pratica si controllano solo le dimensioni (metri,
secondi, grammi, etc...) delle variabili coinvolte. Facciamo un
semplice esempio: volendo scrivere una formula per misurare la
velocità di un’automobile ci aspettiamo che il risultato sia espresso
in chilometri orari. Di conseguenza la formula “dovrà “ essere
espressa come un rapporto di un lunghezza diviso per il tempo.
Per quanto riguarda la formula relativa al "raggio di Bohr ", ci si
aspetta, dimensionalmente, una lunghezza. La formula riporta dal
nostro web-nauta non è dimensionalmente corretta. Manca quindi
qualcosa. La formula esatta prevede infatti una costante dimensionale
ko che risolve il nostro problema.
               h(tagliata)^2
 r = ------------------------ = 0.59 x 10^-10 metri
                mKo e^2
dove:
h è la costante di Planck-tagliata = 1.055 × 10^-34 [Joule x secondi]
m: è la massa dell'elettrone = 9.109 × 10^-31 [chilogrammi]
ko: è la costante di Coulomb = 8.988 × 10^9 [Joule x metri /
Coulomb^2] (meglio conosciuta come dove ε è la costante dielettrica)
e: è la carica dell'elettrone = 1.602× 10^-19 [Coulomb]
Dall'analisi dimensionale viene ora fuori che:
                              Joule^2 x secondi^2
metri =  ----------------------------------------------------
                                    Joule x metri
            chilogrammi x ----------------------- x Coulomb^2
                                     Coulomb^2
considerando che, dimensionalmente,
                             Joule x secondi^2
chilogrammi = ---------------------------------  (1)
                                    metri^2
tutto torna come volevamo!
Ora se possibile vorrei chiarirmi quest'ultimo punto (1)
                         Joule x secondi^2
chilogrammi =----------------------------- ????????????????
                                metri^2
Luca

                                 metri^2
Di solito e' il Joule che si definisce per mezzo di chilogrammi metri
e secondi  :-)
Comunque e' corretto:
Forza = massa per accelerazione => N = kg * m * s^(-2)
Energia = Forza per spostamento => J = kg * m^2 * s^(-2)
da cui kg = J * s^2 *m^(-2).
--
cometa_luminosa

 Luca
Come ti è già stato risposto Kg (m/s^2) è la forza, quindi Kg m^2/s^2
è l'unità di lavoro-energia del S.I. che si chiama Joule e si indica
J. Quindi
Kg = J s^2 m^(-2).
un modo più immediato di riconoscere che dimensionalemente l'equazione
è corretta è notare che Joule è l'unità di energia, Kg è l'unità di
massa e m/s è l'unità di velocità quindi per l'equazione E = mc^2
quella espressione è corretta.

 pigrizia tipografica)
Beh, anche qui c'e' un po' di guazzabuglio :-)
E' corretto scrivere "6,63 e-27" intendendo "6,63x10^(-27)". E' la
notazione "esponenziale" o "floating" in uso nei linguaggi di
programmazione, ma piu' o meno tutti la conoscono.
Invece non devi scrivere "9.1 e^(-28)": non stai elevando alla potenza
-28 il numero di Eulero!
Infine, sembra che tutti ignorino che l'unita' angstrom (10^(-10) m)
non e' piu' in uso nel SI (per l'esattezza, e' un'unita' "tollerata"):
il raggio di Bohr andrebbe scritto 0.053 nm o 53 pm.
 
--
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.