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Titolo: Dal Born, Wolf, Principles of optics

Salve,
 
sto leggendo per mio personale interesse il libro citato in oggetto che ho scaricato in .pdf su Archive, l'edizione che ho è la quarta del 1970. Come è noto è un famoso libro sull'ottica geometrica.
 
 
 
Ad un certo punto, a pag. 5 esattamente, quando ricava le condizioni al contorno per D, spostamento elettrico, spiega come la discontinuità può essere sostenuta o da una dendità superficiale di carica elettrica oppure come si potrebbe introdurre una densità di volume che però va ad infinito, che viene trattata con il delta di Dirac. 
 
 
Dice che se la superficie relativa alla discontinuità è data da F(x,y,z) = 0, allora tra la densità di volume r_v e di superficie r_s c'è la relazione, che a me è sembra molto interessante
 
r_v = r_s|grad(F)|u(F) con u(F) delta di Dirac
 
poi fa una cosa simile anche per la densità di corrente elettrica.
 
Ricava la suddetta relazione dicendo 
 
" [...] and using the relation 
 
dF = |grad(F)|dh (1)
 
and the sifting property of the delta function." 
 
 
Ora quello che a me non è tanto chiaro è come si ricava la (1); cioè io per conto mio ho fatto dei calcoli che prevedono integrali superficiali ecc. ed ho ottenuto un risultato simile, che però non mi convince tanto.
 
Gentilmente qualcuno vorrebbe chiarirmi le idee ?
 
 
 
Per favore non scrivete peginate di cose per spiegarmi gli integrali, quelli doppi, quelli tripli, quelli quadrupli, quelli quintupli, ..., quelli di linea, quelli di superficie, la teoria delle distrubuzioni, le equazioni di Maxwell, il gradiente, la divergenza, il rotore, l'operatore nabla, e via discorrendo.
 
Mi interesserebbe solo il particolare dettaglio matematico.
 
Grazie 1000
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
In queste cose spesso mi sbaglio, ma provo, in caso qualcuno mi correggera'.
 
La relazione generale tra derivata direzionale della F lungo una 
direzione t e gradiente della F e'
 
dF/dh = grad(F) /dot t
 
dove con /dot ho indicato il prodotto scalare, con h la coordinata lungo 
la direzione individuata dal vettore t (che prendo di lunghezza uguale 
ad uno).
 
Considero che il gradiente e' perpendicolare alle superfici di livello. 
Se anche t e' perpendicolare alle linee di livello (credo che questo sia 
presupposto nella trattazione di B&W) allora
 
dF/dh = |grad(F)|
 
e
 
dF = |grad(F)| dh
 
dove dh e' uno spostamento piccolo in direzione perpendicolare alla 
superficie di livello d F.
 
Credo sia interessante anche una discussione intuitiva della relazione
 
r_v = r_s|grad(F)|u(F)
 
Nei prossimi giorni dovrei avere il tempo per svilupparla e scriverla.
 
 
Nota, il B&W e' ostico come libro per imparare l'ottica (geometria o 
ondulatoria), probabilmente si trovano libri piu' accessibili gratis in 
rete.
 

 Ora quello che a me non è tanto chiaro è come si ricava la (1); 
 
Mi sembra ci sia poco o nulla da ricavare. La (1) esprime un fatto
geometrico: dF è proporzionale alla proiezione dh sulla coordinata h,
perpendicolare al piano tangente la superficie F = 0. Ciò è del tutto
immediato, stante la definizione del piano tangente a F = 0 come kernel
di dF.
Anche il fattore di proporzionalità |grad(F)| è immediato dalla
definizione del gradiente data da
 
<grad(F),x> = dF(x).
 
-- 
IN EURO NULLA SALUS
 
F R E E    A H E D

 <grad(F),x> = dF(x)
 
 
che indica esattamente ? Io le <...> le ho sempre viste usare per indicare il prodotto scalare, per es. <v1, v2> = v1 scalar v2, una notazione simile ai bra-ket

 notazione simile ai bra-ket
 
dF è come detto un'applicazione lineare R^3 -> R;  grad(F) è l'unico
vettore tale che il prodotto scalare <grad(F),v> = dF(v) per ogni v in
R^3.
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