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Titolo: Dirac Delta Representation

Come si dimostra che questa
http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta/09/0005/
converge ad una nel limite in cui epsilon tende a 0?
Antonio


Posto
g_epsilon (x) = 1/sqrt{2 Pi i epsilon} exp(i x^2/(2 \epsilon))
per fare vedere che tende alla delta bisogna prendere una funzione C 
infinito a supporto compatto in R f(x) e far vedere che
lim_ epsilon-> 0^+   int_R g_\epsilon (x) f(x) dx = f(0)
Effettuiamo la semplice sostituzione x= sqrt(i epsilon) t   e otteniamo
lim_epsilon -> 0^+ int_R 1/sqrt(2 Pi) e^{-t^2/2} f(sqrt(i epsilon) t) dt.
Ora si può chiaramente applicare il teorema della convergenza dominata di 
Lebesgue (f è C infinito a supporto compatto) per portare il limite sotto il 
segno di integrale, e allora otteniamo
f(0) int_R 1/sqrt(2 Pi) e^{-t^2/2}  dt = f(0). 


Ciao,
Se per convergenza intendi la convergenza debole nello spazio delle
distribuzioni, basta che consideri una funzione test, diciamola phi(x)
e l'applichi alla delta ed alla funzione approssimante che hai nel
limite, diciamola f_epsilon(x). Per la prima otterrai phi(0), per la
seconda \int phi(x) f_epsilon(x) dx. Noterai poi che l'integrale \int
f_epsilon(x) dx è un numero finito (se non sbaglio proprio il numero
1) e quindi phi(0) lo potrai anche scrivere come \int phi(0)
f_epsilon(x) dx. A questo punto considera la differenza tra i due
integrali e fai una piccola maggiorazione. La differenza diverrà
\int [phi(x) - phi(0)] f_epsilon(x) dx
ed ora si tratta di capire se si può applicare il teorema della
convergenza dominata di Lebesgue. Per questo, puoi ricordare che
phi(x) è una funzione C infinito a supporto compatto, sicché puoi
applicare ad esempio il teorema del valor medio di Lagrange a phi(x)
per ottenere phi'(c)x e da qui il teorema della convergenza dominata
di Lebesgue di applica praticamente a bomba.
Spero di averti aiutato almeno in parte.
Andrea

 wrote:

1. Fissato x diverso da 0, fai il limite per epsilon che va a zero e
verifica che e' uguale a zero.
2. Calcola con l'analisi complessa l'integrale tra -oo e +oo di quella
quantita' e verifica che e' uguale ad 1.
3. prendi una funzione test f(x) sufficientemente buona (quanto deve
essere buona dipende dal tipo di definizione della delta di Dirac, in
questo caso non me lo ricordo, ma basta consultare un qualsiasi testo
o dispense di Metodi Matematici per la Fisica, es. il Rossetti) e
calcola l'integrale tra -oo e +oo di f(x)*delta(x) e verifica che fa
f(0).
Se la delta e' abbastanza buona, potresti anche prendere una f(x) che
presenta una discontinuita' del primo tipo in un punto x' e allora
l'integrale farebbe la media aritmetica tra il limite dx e quello sx
della f(x) in x'.
--
BluRay = cometa_luminosa

 wrote:

Una traccia è considerare che gli integrali di Fresnel di Cos(x^2) e
Sen(x^2) convergono entrambi a rad(2/pi). E ricordare che rad(i) (1+i)/sqrt(2). Fatto ciò è semplice scegliere le funzioni test ed
applicare il teorema di convergenza dominata per mostrare che il
limite degli integrali di Lebesgue ed il limite degli integrali
impropri di Riemann coincidono. E' preferibile resistere alla
tentazione di sostituire la la variabile d'integrazione reale con una
complessa a meno di non potere mostrare che l'integrale sul nuovo
cammino complesso coincide con l'integrale sull'asse reale e questo
ovviamente dipende da ipotesi forti, ma come visto non necessarie,
sulle funzioni test. Una volta mostrato che il funzionale integrale si
comporta correttamente sulle funzioni test basta estenderlo allo
spazio funzionale più ampio di interesse per continuità (nella
opportuna topologia) come si fa di consueto.