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Titolo: GPS e relativita'

Ho letto su un recente numero de "Le Scienze" che il Global Positioning
System (GPS) basato su 24 satelliti dotati di orologio atomico "tiene 
conto" delle correzioni relativistiche. Queste ammontano a:
- circa +45E-6 s al giorno per l'effetto gravitazionale (RG);
- circa - 7E-6 s al giorno per l'effetto cinematico (RR).
Complessivamente la teoria prevede che l'orologio in orbita anticipi di 
38E-6 s al giorno rispetto agli orologi terrestri. 
Si tratta di un effetto notevole, che supera di due ordini di grandezza 
quello osservato nell'esperimento di Hafele-Kaeting.
Poiche' il GPS compensa errori di vario tipo usando anche stazioni di 
riferimento terrestri, non mi e' pero' chiaro quali siano le variazioni
di frequenza effettivamente osservate. Qualcuno sa dove si possano 
reperire i riscontri sperimentali?
Ho anche qualche dubbio riguardante l'applicazione della RG.
Ho provato a ricalcolare i dati teorici per satelliti a 20000Km di 
altezza; lo shift cinematico e' corretto, lo shift gravitazionale 
quadra considerando il potenziale ridotto ad 1/4 di quello terrestre.
Ma i satelliti in moto libero non andrebbero considerati soggetti 
a potenziale nullo? Questo porterebbe a +60E-6 s al giorno lo shift 
gravitazionale. Sbaglio?
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

Nell'attesa che qualche volenteroso risponda alle tue domande nient'affatto
banali, ti consiglio un bel libro che è una raccolta di saggi nella quale
(oltre a tanta relatività, spiegata in maniera divulgativa) c'è un saggio
tutto dedicato al GPS dalla definizione alle correzioni Sagnac.
F. Selleri - LA NATURA DEL TEMPO (Propagazioni super-luminali, paradosso dei
gemelli, teletrasporto) - Edizioni DEDALO
Ti posso anche indicare alcuni riferimenti bibliografici
DANA P.H, Benrod P.M.
"The role of GPS in precise time and frequency dissemination"
<<GPS World>>, 38-43 luglio-agosto 1990
FEES W.A, STEPHENS S.G.
"Evaluation of GPS ionospheric time-delay model"
<<IEEE Transactions on Aerospace and Electronic System>> AES-23, 3, maggio
1987.
Sperando di esserti stato di aiuto (anche se in minima parte) ti saluto.
--
Roberto


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


Pier Luigi Lombardi

 č piů vecchio di lui?
Al contrario: lo trova piu' giovane.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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

 gravitazionale. Sbaglio?
La variazione di energia:
[-GM/R + GM/(R+H)] * (h ni)/ c^2
si traduce in una variazione relativa di frequenza:
[-GM/R + GM/(R+H)]/c^2 dunque a quota maggiore frequenza minore
In S.I.
G = 6.7*10^(-11) N*m^2*kg^(-2)
M = 6 e 24 Kg
R = 6400 Km
H = 20200 Km
c = 2.97 e 8 (m/s)^2
5.4 e -10
Trovo +46.7 e (-6) s/day
La velocita' del satellite e' data da:
GM/(R+H) = v^2
e vale 3887.5 m/s
contro i 457.9 m/s a livello del suolo.
Per un valore di v/c pari a 13 e (-6)
ed un gamma pari a 1/sqrt( 1+ 1.71 e(-10))
Dunque la correzione relativa di origine
cinematica risulta in un termine di circa
-7 e (-6) s/day.
Usando la metrica di Schwarzshild e tenendo conto della
conservazione dell'energia e del momento angolare,
che sono definite come variabili canoniche coniugate
con le variabili di angolo zenitale e tempo, assumendo
per lagrangiana m^2 ds^2 ed un moto circolare sul piano
equatoriale, trovo:
phi' = L/mr^2
t' = E/[(mc^2)*(1-2GM/rc^2)]
Dove le derivate sono intese rispetto al tempo misurato
dal satellite. Mentre L ed E sono momento angolare ed
energia totale. Dalla terza equazione trovo, imponendo
r' = 0 l'equazione
di Keplero che risulta essere un'equazione relativisticamente
esatta. Adesso se voglio L ed E in termini di r e dunque finalmente
t' in termini di r occorre utilizzare un'ulteriore equazione: in effetti
mi accorgo che nell'imporre r'=0 ho scartato un'equazione che
e' essenzialmente la versione relativistica dell'equazione di Newton,
che pero' non mi riesce ancora di esprimere in forma semplice.
Cioe' quello che trovo e' che la densita' lagrangiana si annulla
su una geodetica circolare. Ovvero che
r phi' = sqrt(1 - 2GM/rc^2)
cioe' che r d phi/ dt = sqrt(1 - 2 GM/rc^2).
E non so come interpretare questa equazione.


 Cosi' hai i due d\tau dei due orologi da confrontare.


 Questo per il satellite in orbita.
Grazie anche da Tetis, mi ero perso e
non ritrovavo questo passaggio. Rimango
con due perplessita': queste equazioni
funzionano per orbite con raggio maggiore di
due e di tre raggi di Scwharzshild. Come si
deve interpretare questo? Non e' possibile
tenere in moto circolare un satellite sotto
3 raggi di Schwarzshild? Se si che cosa ci
insegna l'altro limite di 2 raggi di Schwarzshild?


 Cosi' hai i due d\tau dei due orologi da confrontare.
Riscrivendo la formula approssimata tratta dalla metrica di Schwarzschild
nella forma:
d\tau = dt * [ 1 - GM/(c^2 r) - (r^2*\omega^2)/2c^2 ]
ho notato che essa e' identica all'algoritmo da me usato, ottenuto con 
metodi elementari! Per l'effetto cinematico ho scritto:
[d\tau /dt]_c = 1 - \gamma = - v^2/2c^2 = - (r^2*\omega^2)/2c^2
mentre per il red shift gravitazionale ho scritto:
[d\tau /dt]_g = sqrt(-g_oo) = 1 + phi/c^2 = 1 - GM/(c^2 r) 
Sommando i due effetti ottengo una formula identica alla precedente.
Se ne conclude che per l'orologio atomico in orbita, soggetto ad un 
campo gravitazionale nullo, si deve assumere il potenziale \phi = -GM/r 
(e non \phi=0). Le ragioni di tale assunzione forzata mi sembrano ambigue
nello schema elementare (sei d'accordo?), mentre sono limpide in quello 
di Schwarzschild.
Grazie per la tua risposta, chiara e completa.


 vecchio
mi correggo.
č piů giovane di lui?
chiedo scusa per l'errore, anche se si capisce che mi riferivo a questa
situazione.
 Pier Luigi Lombardi

 che č rimasto a terra?
No, accade il contrario, la gravitazione ha iqc un effetto prevalente.


 gravitazione. Non ho rifatto i conti.
Non ho certo scomodato la metrica di Schwarzschild per calcoli sul campo
gravitazionale terrestre. Iqc e' sufficiente un'approssimazione di primo
ordine, cioe' l'uso di una metrica lorentziana salvo che per il termine:
g_oo = -1 - 2*phi/c^2
Se in particolare phi e' il potenziale newtoniano sulla superficie 
terrestre, alla quota dei satelliti del GPS il potenziale e' phi/4. 
Per questa via ottengo esattamente i dati numerici pubblicati.
Il riferimento nel quale si trova l'orologio del satellite e' 
localmente privo di gravitazione (al primo ordine di approx), percio' 
in esso io avrei posto g_00 = -1 anziche' g_oo = -1 -2*(phi/4)/c^2
Non e' una questione di spiccioli, ma di concetti, vorrei capire...
Anche l'aspetto sperimentale della questione mi sembra importante. 
Il MTW p.1131 definisce la RG "a theorist's Paradise, but an 
experimentalist's Hell". Ebbene, mi sembra che il GPS possa offrire 
risposte sperimentali molto stringenti.


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Ti ringrazio
Pier Luigi Lombardi

 limpide in quello di Schwarzschild.
D'accordo: vedi sopra.


 costante), invecchia di più del gemello che rimane a terra?
Che cosa si risponde a una domanda del genere?
Se dico "perche' si'" forse non ti soddisfa, ma che altro posso dire?



Pier Luigi Lombardi

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Pier Luigi Lombardi

 D'accordo: vedi sopra.
Grazie ancora per il tuo schema di calcolo, che con la sua formulazione 
rigorosa ha sciolto ogni mio dubbio.


 e quindi i due gemelli sono invecchiati in eguale misura?
Premesso che vale quanto ho gia' detto, ossia che quello che capita ai
genelli non e' certo influenzato dall'aver vicino questo o
quell'orologio, la risposta e' no.
Quello che capita ai gemelli capita allo stesso modo a *tutti* gli
orologi, comunque costruiti.
E' anche per questa ragione che si capisce come sia insensato parlare
di "orologi che rallentano": messa in questi termini, sembra davvero
una magia.
Tutti gli orologi, per ragioni del tutto misteriose, dovrebbero
risentire del moto, o del campo gravitazionale, nella stessa identica
misura.
Preposterous!


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Ti ringrazio
Pier Luigi Lombardi

"Elio Fabri" ha scritto:
la storia dei gemelli è sempre molto interessante.
Una curiosità (se non è troppo stupida): in un sistema ideale perfettamente 
simmetrico, abbiamo due oggetti identici, distanti X, che si muovono uno 
verso l'altro con moto rettilineo uniforme e velocità relativa prossima a 
quella della luce. Nel momento in cui si incontrano ognuno dovrebbe 
percepire l'altro come più giovane, esatto?
Grazie e Buone feste.
MT 

 MT
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 ognuno dovrebbe percepire l'altro come più giovane, esatto?
sì esatto, finchè continuano a viaggiare.
Ma se nel momento in cui si incontrano
uno dei due ( A ) schiaccia i freni e si ferma
(cioè, diventa fermo rispetto all'altro, B )
A si scopre più giovane di B e B si scopre
più vecchio di A.
La frenata ha rotto l'incanto.
Buone feste anche a te
Corrado

 piů vecchio di A.
Quindi nel caso in cui frenino entrambi (cioč se la simmetria del sistema 
rimane) A e B si percepiranno come coetanei?
Grazie ancora.
MT
---
PS: nel mio precedente messaggio ho omesso un [cut] e sembra che sia Elio 
Fabri a formulare la domanda. Mi scuso. 

 Corrado
Ciao, auguri anche a te.


 Grazie ancora.
di niente,
Corrado

 tra i due (...)
Scusa, ho dimenticato una virgola! Era più chiaro scrivere:
""   se c'è simmetria (virgola), alla fine non ci sarà ecc ecc  ""
altrimenti sembra che la simmetria sia solo alla fine:
invece nell'ipotesi che hai fatto la simmetria c'è sempre,
sia durante il viaggio sia alla fine.
Aveva ragione Giacomo Leopardi: una virgola ben sistemata
può illuminare tutta una frase (e la sua mancanza, aggiungo,
può renderla oscura).
riciao e auguri.
Corrado

 dici che la frenata ha "rotto l'incanto".
vedi sopra. Ripropongo l'esempio dei due corpi inizialmente
in quiete reciproca, e sferici; poi si mettono a ruotare uno rispetto
all'altro, e ognuno dei due vede l'altro girare, ma solo uno si deforma.
Perchè solo quello? Eppure cinematicamente non dovrebbero esserci
differenze fra i due ! la dissimmetria si spiega solo se introduci la
rotazione assoluta (cioè relativa allo spazio assoluto, o alla materia
lontana, come preferisci) e conseguenti forze centrifughe. Anche qui
non vedo una via di uscita se trascuri la dinamica.
ciao e buon anno,
Corrado

 Corrado
Ciao, auguri anche a te.


 possibile dire chi percepisce l'altro piu' giovane).
Scusa ma non sono d'accordo. Emmeti parla di "un sistema ideale
perfettamente simmetrico, con due oggetti identici". Un esempio è quello di
due gemelli che si accordano, sincronizzano i rispettivi orologi, si
salutano, salgono su due astronavi e si allontanano l'uno dall'altro in modo
assolutamente simmetrico dal punto di partenza (cioè con le stesse
accelerazioni, ecc.) fino a raggiungere una distanza maggiore di X l'uno
dall'altro. Quindi cominciano ad avvicinarsi fino a raggiungere, alla
distanza X, la condizione posta da emmeti (nella quale si muovono uno verso
l'altro con moto rettilineo uniforme e velocità relativa prossima a quella
della luce). Francamente non capisco quali dati essenziali mancano.
Sr-i

 Sr-i
Ciao.
