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Titolo: Landau... che fatica!

Non vi sono probabilmete nell'intero panorama letterario fisico libri
tanto affascinanti ed ermetici quanto quelli scritti da landau.
In particolare avanzo nn senza difficoltà nella lettura della seconda
parte del volume dedicato alla teoria dei campi.
Un punto mi ha lasciato alquanto perplesso: cosa vorrà dire il fisico
russo per giustificare la genesi della formula (91,2) a pg 340, in
relazione con la definizione di variazione di un quadrivettore per
trasporto infinitesimo?
Se qualcuno potesse darmi una mano nella interpretazione delle sue
parole, mi aiuterebbe a compiere un altro piccolo passo.

 trasporto infinitesimo?
Io possiedo l'ed. inglese, e la (91.2) sta a pag. 300. Dice:
@A_i/@x_i = Gamma^n_{il} A_n.
E' quella?
Se non e' quella, cerca di darmi qualche ulteriore indizio...
 
-- 
Elio Fabri

 parole, mi aiuterebbe a compiere un altro piccolo passo.
Non so di preciso quale e' il punto dove ti sei impantanato
logicamente... ma cerco di trarti fuori in maniera veloce.
Allora, in uno spazio "piatto" come quello che tutti i giorni
sperimenti, euclideo, per sapere di quanto varia un campo vettoriale
lungo una curva operi il trasporto parallelo. Misuri il vettore in un
punto, quindi lo misuri in un punto prossimo e vedi di quanto questi 2
vettori sono diversi. Ma questo confronto non vale a meno che non porti
a far coincidere le origini dei 2 vettori, allora puoi vedere a quanto
ammonta la variazione. Orbene in uno spazio euclideo non ci sono
problemi, in uno spazio "curvo" le cose cambiano, poiche' trasportare
un vettore (questo e' un esempio) potrebbe implicare che esso varii in
relazione a quella stessa distorsione che gli impone la curvatura dello
spazio nel quale giace.
Allora per confrontare il campo in due punti diversi dello spazio devi
far in modo di confrontare solo la variazione intrinseca del campo,
avendo cura di tenere in considerazione la variazione estrinseca dovuta
allo spazio.
Da qui in poi il discorso e' abbastanza semplice quando supponi di
approssimare la variazione estrinseca, per piccoli spostamenti, come
lineare nello spostamento e nel vettore stesso.
Cosi', se prendi un campo e ne misuri il valore in un punto ottieni un
valore. Ti aspetti che tale valore possa variare in un piccolo intorno
di tale punto, ma che debba ritornare al valore che hai misurato in
partenza qualora le tue misure vengano effettuate lungo una traiettoria
chiusa che ritorni da dove sei partito.
Ad esempio, prendi coma da libro, una varieta' 2-D come la sup. sfera e
trasporta lungo una curva chiusa un vettore: ex parti da un punto che
sia sull'equatore vai al polo e ridiscendi di nuovo all'equatore lungo
2 meridiani sfalsati di 90 gradi, indi lungo l'equatore ritorna al
punto di partenza: il vettore che hai trasportato sempre parallelamente
a se' non coincide piu' con quello originario, quanto vale la sua
variazione?

trasporto infinitesimo?
I testi di Landau sono famosi per l'eccesso di sintesi e la mancanza
di chiose esplicative alle formule.
Cosa non ti torna, di preciso? forse che dall'espressione di una
variazione si possa ricavare direttamente quella di una derivata
parziale? se i simboli di Christoffel indicassero veri tensori
probabilmente avresti ragione a perplimerti, ma siccome non e'
cosi'... :-)
L'apparente arbitrarieta' di quel passaggio matematico mi ricorda un
po' la definizione di entropia termodinamica di un sistema a partire
dal primo principio. Anche li' un differenziale salta fuori dal
rapporto di una variazione con una grandezza "canonica" (la
temperatura, una funzione dello stato del sistema).
Gianluca Cruciani

 trasporto infinitesimo?
Mi scuso per nn avere dato indicazioni più precise sul punto in
questione... faccio riferimento al paragrafo 91 della edizione italiana
quando viene mostrato come, trasportando parallelamente un vettore
lungo una linea chiusa formata da geodetiche si ottiene una variazione
complessiva del vettore nel sovrapporre quello finale a quello
iniziale. Il discorso è abbastanza chiaro logicamente, solo il punto
in cui dalla definizione di variazione di un quadrivettore covariante
per trasporto parallelo ricava "magicamente" una espresione della
derivata parziale del vettore medesimo in relazione alle componenti
della connessione affine, appunto il passaggio 91.2, mi lascia un pò
perplesso.