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Titolo: Subject: Re: Cos'e' la temperatura?

Vorrei dire la mia sul tema.
Non credo si possa dire che il postulato zero *definisce* la
temperatura.
E' ovvio che usando solo quel postulato posso dire quando due corpi
hanno la stessa temp., ma non quanto questa vale. Non c'e' solo la
questione della scala: qualunque funzione della temp., anche non
monotona, sarebbe compatibilecol postulato.
Se posso esprimermi in termini matematici, il post. 0 definisce una rel.
di equivalenza fra stati termodinamici, quindi una partizione
nell'insieme degli stati. Percio' ogni funzione di stato che assuma
valori diversi su stati di sistemi che *non sono* tra loro in equil.
termico va bene come temperatura.
In particolare, il post. 0 non permette neppure di dire quale tra due
sistemi abbia temp. maggiore!
La sola via per dare un definizione non ambigua di temper., priva
dell'arbitrarieta' delle scale empiriche, discende dal secondo
principio.
Scelta ad arbitrio *una* temperatura, tutte le altre sono determinate
dalla misura del rendimento di una macchina di Carnot.
Forse non e' noto a tutti, ma da tempo la definizione ufficiale di
temper. nel SI e' questa: si assegna il valore 273.16 K al punto triplo
dell'acqua, e questo basta.
(Incidentalmente, lo zero centigrado e' fissato a 273.15 K: non coincide
col punto triplo.)
Non vorrei entrare sulle considerazioni didattiche circa l'opportunita'
di partire da un approccio microscopico o macroscopico; ma non condivido
alcune obiezioni che sono state fatte a una definizione statistica di
temperatura.
Grosso modo si dovrebbe procedere cosi': dimostrare che un sistema in
contatto termico con un altro di capacita' termica molto maggiore (in
sostanza, che abbia molti piu' gradi di liberta') ha una distribuzione
di equilibrio per la sua energia (dovrei spiegare che cos'e' un insieme
di Gibbs, ma al solito non si puo' spiegare tutto a chi non lo sa, e chi
lo sa non ne ha bisogno ;-) ).
Questa distribuzione e' quella "canonica", nella quale figura un
parametro, usualmente indicato con beta, che si dimostra essere uguale a
1/kT con la definizione termodinamica di T.
Se il sistema e' composto di molte parti debolmente interagenti (gas,
insieme di spin...) la stessa distribuzione con lo stesso beta vale per
le energie delle singole parti. In termini semplici, l'intero sistema fa
da termostato per ciascuna parte.
In questo modo la temper. puo' essere definita per sistemi "insoliti", e
puo' anche assumere valori "insoliti". Di questo dico nel post che
segue.
Anche se la storia e' andata dalla termometria alla termodinamica e la
mecc. stat. e' nata dopo, questa non e' di per se' una buona ragione per
considerare "fondamentale" la termometria. "In realta'" la temperatura
*e'* il parametro che figura nella distrib. canonica: e' la mecc. stat.
che "spiega" perche' vale il postulato 0 (quanto al secondo principio,
meglio non approfondire, perche' non la finiremmo piu'...).
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
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non la finiremmo piu'...).
La meccanica statistica, in particolare considerando un sistema
canonico spiega il principio 0 se ti metti nelle ipotesi di un sistema
canonico: devi avere un sistema termodinamico a contatto con
un serbatoio termico con cui scambia calore.
Senza l'ipotesi del serbatoio termico non hai la distribuzione di
Boltzmann e devi usare un sistema microcanonico dove la temperatura
e' definita in modo piu' complicato. Pero' il principio zero funziona
anche in assenza di un serbatoio termico... (e' per questo che hai
usato le virgolette in "spiega"?).
Ciao, Valter

 monotona, sarebbe compatibilecol postulato.
Non sono d'accordo: basta pensare ad una funzione di T come
f1(T)=cost. oppure  f2(T)=abs(sen(k*T)) ( [k]=[T]^-1). Supponiamo
che il mio "termometro", una volta che ha raggiunto l'equilibrio
termodinamico con un corpo C a temp. Tc ( fatte salve le precisazioni
sul rapporto fra le due capacità  termiche), mi dia in uscita f2(Tc).
Allora prendo due corpi A e B a temperature Ta e Tb diverse, ma tali
 che Tb-Ta=2*n*pi/k:  misuriamo Ta col "termometro", poi,
magari dopo aver misurato la  temperatura di altri corpi,  misuro Tb e
 ho lo stesso valore che avevo  avuto per A. Mettendo a contatto
 termico A e B , vedo chiaramente  che f2 non è compatibile con il
postulato 0. Difatti A e B son all'equilibrio con il "termometro" che io
credo,dalla lettura, stare sempre nello stesso stato di equilibrio
termodinamico: dopodichè a 'sto punto per il principio zero mi
stupisco non poco di notare che A e B non  sono all'equilibrio fra
 loro (potrei vedere che per esempio A si dilata).
Se poi  considero f1, o qualsiasi funzione continua e costante a tratti, le
cose non possono che peggiorare.  Il problema si può ripresentare con
qualsiasi funzione di T che sia continua in un intervallo I e ivi non
iniettiva: allora dovrò richiedere l'iniettività. Ma una funzione continua ,
definita in un intervallo, ivi iniettiva, è invertibile, e dunque, per
un teorema sulle funzioni (reali) continue in intervalli ed ivi invertibili,
monotona: allora si torna alla fine all'ipotesi di monotonia che avevi
scartato.
L'unica possibilità di scamparsela sarebbe pensare ad f discontinua oppure
non definita su di un intervallo (ad esempio su dei punti isolati...):
insomma a me pare che in molti casi "ordinari" il solo principio 0 permette
di definire una scala che è almeno monotona in T. O forse non ti ho
capito bene?
Ciao

Forse vado un poco OT...
Se fossi un docente di Fisica (specie di Fisica Generale... ) avrei i sudori
freddi a dover spiegare concetti come Temperatura, Forza etc...
Introdurre l'entropia, in confronto, sarebbe quasi una passeggiata...
hi
Alberto d'Onofrio


Ciao, non lo sapevo,
come si dimostra che se una funzione da R in R e' continua e
iniettiva allora e' monotona?
Non serve qualcosa di piu' nelle ipotesi?
Ciao, Valter

 wrote in message
38D65827...@science.unitn.it...

Non ci vogliono altre ipotesi, oltre quelle che ho fatto, e cioè che f da R
in R sia continua in X intervallo di R e ivi iniettiva. Ti riporto la
dimostrazione:
Poichè f è iniettiva in X, allora esiste l'inversa di f, definita inY=f(X):
anche se non serve direttamente nella dimostrazione, osservo che
Y è anch'esso un intervallo, poichè una funzione continua definita
in un intervallo ha per codominio un intervallo. Ciò appurato, inizo
a far vedere che dato [a,b] contenuto in X, f è ivi monotona
 strettamente. Poichè f è iniettiva , risulta f(a)<>f(b), p. es. f(a)<f(b).
Sia x_0 appartenente ad [a,b]: deve essere f(a)<f(x_0)<f(b).
Difatti se per esempio ho f(x_0)<f(a), allora poichè una funzione
continua in un compatto assume tutti i valori compresi fra quelli assunti
negli estremi, dovrei avere, considerando i due compatti I1=[a,x_0] e
 I2= [x_0,b], che detto h un reale tale che f(x_0)< l <f(a), esistono
un punto interno di I1 ed un punto interno di I2 in cui f è uguale ad h,
ma ciò fa a botte con l'invertibilità.
Siano allora x_1 ed x_2 punti di [a,b] con x_1 < x_2, per quanto visto è
f(a)<f(x_2)<f(b) e , poichè a < x_1 < x_2, concludo che f(a)<f(x_1)<f(x_2),
perchè posso rifare, per x_1 ed [a, x_2], lo stesso discorso fatto per x_0 e
[a,b]. Dunque f è strettamente crescente in [a,b] < X. Per l'arbitrarietà di
a e  b, deduco che presi x'<x'' a piacere in X, è f(x')<f(x''), cioè f è
strettamente monotona in X.
Se inizialmente supponevo f(a)>f(b), avrei avuto che f era strettamente
decrescente in X.
Ciao