Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Variazione relativistica dei tempi satelliti in orbita

 
 
Sia dato un riferimento, non inerziale, con origine nel polo Nord geografico terrestre, solidale alla Terra, ovvero che ruota attorno all'asse terrestre con la stessa velocità angolare w (che si assume esattamente costante). L'asse z è diretto come l'asse geografico terrestre, con verso uscente dal polo, e l'asse x diretto (per esempio) verso la longitudine 0, cioè il meridiano di Greenwich. 
 
 
Un satellite artificiale ruota attorno a z, a distanza r, dell'ordine di grandezza del raggio terrestre, nel piano X-Y, alla velocità angolare w della Terra. 
 
Siano dati due orologi, A posto nell'origine degli assi (al polo Nord) e B sul satellite, più degli apparati di ricezione e trasmissione dei segnali assieme agli orologi. 
 
 
All'istante in cui l'orologio A segna t_0 = 0 riceve un segnale da B indicante che esso segna t'_0 = 0. B del resto invia segnali ad A in modo continuo, senza interruzioni. 
 
 
Domanda: assumendo che gli orologi abbiano precisione adeguata, ad un istante t_1 > 0 (ad esempio t_1 = 1, unità di misura qualunque) il segnale da B indica t'_1 minore, uguale o maggiore a t_1?
 
--
Wakinian Tanka 

 Un satellite artificiale ruota attorno a z, a distanza r, dell'ordine di grandezza del raggio terrestre, nel piano X-Y, alla velocità angolare w della Terra.
Direi che un satellite artificiale non possa essere su quell'orbita! Il 
centro di massa della terra deve essere nel piano dell'orbita.
 
-- 
Wovon man nicht sprechen kann...
 
-- 
This email has been checked for viruses by AVG.
https://www.avg.com
 


Usiamo la metrica di Schwarzschild (in unità geometrizzate):
 
dtau^2 = (1 - 2M/r)dt^2 - dr^2 / (1 - 2M/r)
- r^2(dtheta^2 + sin(theta)^2 dphi^2),
 
sia A l'orologio al polo Nord, B quello sul
satellite (che deve avere i motori continuamente
accesi, per avere quella linea di universo),
sia R il raggio della Terra, w la velocità angolare
(considero la distanza del satellite dall'asse z
pari al raggio della Terra):
 
dtau_A^2 = (1 - 2M/R)dt^2
 
dtau_B^2 = (1 - sqrt(2)M/R)dt^2
- R^2 dphi^2 = (1 - sqrt(2)M/R - w^2 R^2)dt^2
 
dtau_A > dtau_B  <=>
-2M/R > - sqrt(2)M/R - w^2 R^2  <=>
(sqrt(2) - 2) M/R + w^2 R^2 > 0,
 
sostituendo i valori
M/R = 6.9*10^-10
w^2 R^2 = 2.4*10^-12
risulta che si ha dtau_A < dtau_B cioè l'orologio
sul satellite "va avanti" rispetto a quello al polo
Nord.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

 centro di massa della terra deve essere nel piano dell'orbita. 
 
 
Naturalmente, come ha fatto notare G. Bibbiani, il satellite dovrà esser dotato dei mezzi che gli permettano di stare in quell'orbita. Se vuoi chiamala navicella spaziale o come preferisci.  
 
--
Wakinian Tanka

 sul satellite "va avanti" rispetto a quello al polo 
 
 
Ok. Vediamo se ho afferrato. Se M = 0 abbiamo il caso di due orologi in un riferimento rotante, uno sull'origine e l'altro a distanza R dall'asse di rotazione. Allora dtau_A = dt, 
dtau_B = sqr(1-w^2R^2) dt < dtau_A
ovvero l'orologio sul satellite viene "visto" muoversi più lentamente dall'altro. 
E' corretto? 
 
--
Wakinian Tanka

 lentamente dall'altro. E' corretto?
 
Certo, in quel caso lo spaziotempo è piatto
e si ritrova la consueta "dilatazione del tempo".
