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Titolo: Campo elettrico dell'elettrone e meccanica quantistica

Salve a tutti.
Mi piacerebbe avere il vostro aiuto per il mio dilemma seguente.
Consideriamo un elettrone emesso da una qualche sorgente in un dato contesto. Dalla meccanica quantistica ricaviamo la sua funzione d'onda.
 
Consideriamo ora un tempo T. Sappiamo che il modulo al quadrato della funzione d'onda, al tempo T, esprime la probabilit�, a fronte di una misura, di trovare l'elettrone in una data regione.
 
Supponiamo di non svolgere nessuna misura di posizione prima del tempo T e consideriamo solamente il campo elettrico (trascurando quello magnetico per semplicit�).
Il mio quesito �: come calcolare il campo elettrico dell'elettrone al tempo T?
E' su questo problema che chiedo il vostro aiuto.
 
La soluzione che ho trovato io � la seguente e ve la espongo per verificare se essa contiene degli errori o � addirittura concettualmente sbagliata.
 
Dunque si consideri il tempo T. Noi ignoriamo assolutamente la posizione dell'elettrone in quell'istante, dato che � completamente indeterminata e che non abbiamo fatto nessuna misura di posizione.
Pertanto non abbiamo una posizione puntuale da utilizzare per calcolare il campo elettrico attraverso la ben nota legge.
 
 
La meccanica quantistica ci dice (sperando di non sbagliare) che l'elettrone si deve considerare in ogni posizione possibile all'interno delle regioni per le quali il modulo della funzione d'onda sia maggiore di zero e che il quadrato di tale valore fornisce la probabilit� di trovarlo all'interno di quelle regioni.
 
Quindi considero ogni regione infinitesima dello spazio e calcolo il campo elettrico come se l'elettrone fosse effettivamente all'interno di tale regione. Essendo la regione infinitesima, posso ben parlare di posizione puntuale dell'elettrone.
 
Il campo elettrico cos� calcolato per� lo aggiusto moltiplicandone l'intensit� per il modulo al quadrato della funzione d'onda in quella regione.
 
Ripeto questo calcolo per ogni regione infinitesima e poi eseguo la somma (vettoriale) infinita di ogni campo elettrico risultante (ovvero, eseguo un integrale).
Il risultato dovrebbe essere, a meno di errori concettuali e di impostazione, il campo elettrico complessivo creato dall'elettrone al tempo T.
 
 
L'idea � quella di pesare ogni campo elettrico "potenziale" con la probabilit� di trovare, con un'ipotetica misura, l'elettrone proprio in quella regione infinitesima. Ovviamente, dato che l'elettrone pu� trovarsi in qualsiasi posizione, devo considerare tutti i possibili campi elettrici, pesando di pi� per� quei campi associati a posizioni pi� probabili dell'elettrone.
Questo mio ragionamento � corretto, oppure � completamente sballato?
Se � vera l'ultima affermazione, qual � la giusta soluzione?
Grazie in anticipo a tutti coloro che vorranno intervenire.
Ciao.
 
Sergio.


 
Direi che � sostanzialmente giusto. Il risultato � giusto, ma c'� una
imprecisione/errore concettuale. L'elettrone � effettivamente presente
ovunque nello spazio. Non � che � in un solo posto ma tu non lo sai.
Quindi concettualmente non devi pensare che ci siano svariati campi
elettrici ognuno generato da un elettrone "intero" e poi pesare per la
probabilit� che quello sia il campo elettrico giusto.
Devi piuttosto pensare che l'elettrone sia disperso nello spazio nel
modo descritto dalla funzione d'onda. Quindi immaginare un solo campo
elettrico generato dalla carica tutta sparpagliata nello spazio.
 
Numericamente il risultato � lo stesso. Quello che integri sarebbe in
entrambi i casi  eps*q/r^2*|psi|^2
 
Una cosa che potrebbe interessarti a questo punto � che succede se hai
due elettroni. Non sommi i campi elettrici dei singoli elettrone ma
sommi le due funzioni d'onda e solo a quel punto ne fai il modulo al
quadrato.

 quadrato.
Uhmmmm...
Hai scritto una c... grossa come una casa!
Hai visto mai sommare le f. d'onda di due particelle? Pensaci...
Ti do un altro indizio: come sai la f. d'onda � definita a meno di un
fattore di fase, che pu� anche essere -1.
Se cambi il fattore di fase per una particella e non per l'altra, gli
stati restano invariati, ma la somma?
 
 
-- 
Elio Fabri

 Hai visto mai sommare le f. d'onda di due particelle? Pensaci...
 
Giusto, hai ragione. E' che � un po' tanto che non faccio questi
conti. Comunque il concetto che avevo in testa, e che m'� uscito
sbagliato, era di considerare una funzione d'onda di tutto il sistema,
in cui le particelle facciano interferenza tra di loro.
Che se ricordo correttamente per ricavare l'equazione di Schroedinger
per due elettroni si fa una funzione d'onda somma "psi1+psi2" sommando
le due psi per i due elettroni e poi imponi che i due elettroni siano
indistinguibili. Quindi li sommi. Non facendo due equazioni di
Schroedinger separate...
In questo modo ottieni una funzione d'onda complessiva del sistema,
con due elettroni che fanno interferenza tra di loro.
Comunque io avevo capito che l'OP intendesse un caso con un elettrone
libero nel nulla, una particella singola, non il caso di elettroni in
un campo (ad. es. quello del nucleo)

 
 
 
Grazie mille Luca ed Elio per il vostro interessamento e le vostre risposte. E grazie Elio per la tua spiegazione esaurientissima, come al solito. Ora ho le idee un po' pi� chiare. In effetti dovevo arrivarci da solo a considerare il potenziale elettrico in luogo del campo perch�, come dici giustamente tu, le energie vengono considerate dall'equazione di Schroedinger che a sua volta determina l'evoluzione della funzione d'onda. E sopratutto (fondamentale) di ragionare in termini di stati e di osservabili.
Grazie davvero ancora per la pazienza che mettete nel rispondere ai miei quesiti.
Ciao!