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Titolo: Bobine di Helmholtz

Ciao a tutti,
vi vorrei sottoporre un esercizio che non so proprio come risolvere: devo
verificare l'uniformità del campo magnetico prodotto da due bobine nella
configurazione di helmholtz. I dati che conosco sono il numero di spire
delle due bobine: N=20 la corrente che le attraversa I=2,5A e il raggio
R=20cm.
Devo verificare come varia il campo nell'intorno del punto Xo=R/2!
Ecco... non so neanche da dove partire!
Qualcuno mi sa dare una mano!?
Grazie in anticipo,
Saluti,
Francesco

Una possibile soluzione e' quella di scrivere il campo generato da ognuna
delle due bobine e farne la somma : risultera' conveniente coniderare un
sistema di riferimento con  origine nel punto al centro fra le bobine.
Si tratta di verificare che in quel punto B e' costante : da un punto di
vista analitico corrisponde a far vedere che la funzione B(x) e'
approssimabile ad una costante : io ho risolto il problema facendo un
calcolo numerico con un foglio elettronico : sara' meno elegante per un
matematico, ma risponde alllo scopo.

Domenico ha scritto:

Ho qualche obiezione.
Per cominciare, a me pare che la tua soluzione sia poco soddisfacente
per un fisico almeno quanto per un matematico, e mi spiego.
Premetto che dire "approssimabile a una costante" non significa
niente: qualunque funzione continua e' approssimabile a una costante.
Si tratta di vedere _quanto buona_ e' l'approssimazione.
E questo e' il punto: la cosa interessante e' che la disposizione di
H. e' quella che da'la migliore approssimazione possibile, perche' nel
centro annulla (come e' gia' stato detto) tutte le derivate fino alla
terza inclusa.
Capire questo e' molto meglio che mostrare *in un caso particolare*
quanto sia buona l'approssimazione.
Incidentalmente, se lo scopo delle bobine di H. fosse solo di rendere
quanto piu' omogeneo possibile il campo sull'asse in un dato intervallo,
la disposizione di H. non sarebbe la migliore: converrebbe metterle un
po' piu' vicine.
Ma si puo' dimostrare, sfruttando il fatto che div B = 0, che con la
disposizione di H. il campo e' quasi uniforme *anche fuori dell'asse*.
In questo senso, quella di H. e' davvero la soluzione migliore.
Commento finale: meno male che ai tempi di H. non c'era il foglio
elettronico :-))
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 In questo senso, quella di H. e' davvero la soluzione migliore.
Grazie Elio per la tua presentazione molto chiara e didattica. Ho provato a
valutare l'uniformita' radiale del campo, e mi chiedevo se dovesse venire
anch'essa qualcosa che va come r^4. Dal tuo suggerimento sulla divergenza,
che implica derivate prime uguali e di segno opposto [d/dr B(r,z) + d/dz
B(r,z) = 0], mi verrebbe da dire che anche le derivate radiali, nel punto
z=R/2, si annullano tutte fino alla quarta esclusa. Invece il calcolo
diretto sembra indicare un campo radiale che va come r^2. Qual'e' il grado
corretto di uniformita' radiale?
Bye
Hyper

Ovviamente l'approccio indicato da Elio e' quello piu' corretto : provate
pero' a calcolare  ( ovviamente a mano ) la derivata prima, seconda e terza
della funzione B(x) che esprime il campo nel punto x=0
........
credo che il tempo che occorra sia eccessivo specie se la dimostrazione che
si vuole si rivolge a ragazzi di liceo ( il mio approccio era in quella
direzione) ...
Onestamente i calcoli li ho fatti con Derive ... beh vengono fuori certe
formulette affatto microscopiche ...

Hypermars ha scritto:
 > Grazie Elio per la tua presentazione molto chiara e didattica. Ho
 > provato a valutare l'uniformita' radiale del campo, e mi chiedevo se
 > dovesse venire anch'essa qualcosa che va come r^4. Dal tuo
 > suggerimento sulla divergenza, che implica derivate prime uguali e di
 > segno opposto [d/dr B(r,z) + d/dz B(r,z) = 0], mi verrebbe da dire che
 > anche le derivate radiali, nel punto z=R/2, si annullano tutte fino
 > alla quarta esclusa. Invece il calcolo diretto sembra indicare un
 > campo radiale che va come r^2. Qual'e' il grado corretto di
 > uniformita' radiale?
Primo: la div in coordinate cilindriche non e' quella che hai scritto:
devi tener conto che B e' un vettore, con le componenti r e z, e la
div e' @B_r/@r + @B_z/@z + B_r/r.
Secondo: non l'avevo detto ma occorre anche tener conto che rot B = 0.
Questo da' l'equazione
@B_r/@z = @B_z/@r.
Fatto questo, scrivi B_r e B_z come serie di potenze in r e z,
fermandoti ai termini di 4^ grado. Un bel po' di termini possono
essere eliminati a priori per simmetria.
A conti fatti, dovresti trovare che in B_z sopravvivono solo i termini
in r^4, r^2*z^2, z^4; in B_r i termini r^3*z e r*z^3.
Inoltre tutti questi termini hanno coefficienti legati fra loro:
siccome quello in z^4 di B_z lo conosciamo, sono noti anche tutti gli
altri.
Tutto questo se non ho sbagliato i conti...


Domenico ha scritto:
