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Titolo: cariche e campi in elettrodinamica....le cariche non interagiscono con se stesse?

Considerate questo caso:
abbiamo una carica che viene mantenuta da una forza esterna in moto
circolare uniforme.
Possiamo calcolare il campo tramite i potenziali ritardati che si
ottengono con la gauge di lorentz:
rot(A)=B
div(A)=-(1/c^2)*DV/Dt
E=-grad(V)+DA/DT
con queste condizioni e dalle equazioni di maxwell si arriva a due
equazioni d'onda di d'Alembert per V e per A, dove le rispettive
sorgenti sono rho/epsilon e mu*J
Esprimiamo i potenziali:
usiamo coordinate cilindriche: il moto sta su una circonferenza di
raggio R centrata nel centro degli assi, nel piano z=0
l'angolo formato dalla carica al tempo t è pari a w*t
sia tau(r,theta,z,t) il ritardo con cui un punto di coordinate r e
theta sente i potenziali generati dalla carica:
i potenziali possono essere espressi come:
V(r,theta,z,t)=(1/4piepsilon)*q*1/(c*tau)
Ar(r,theta,z,t)=(mu/4pi)*q*w*R*1/(c*tau)*(-sin[w(t-tau)-theta])
Atheta(r,theta,z,t)=(mu/4pi)*q*w*R*1/(c*tau)*cos[w(t-tau)-theta]
Az=0
il ritardo tau è soluzione di questa equazione:
(c*tau)^2=R^2+r^2-2*r*R*cos[w(t-tau)-theta]
questa soluzione esiste sempre e se wR<c (condizione relativistica)
allora è anche unica.
ora volevo vedere che valore ha il campo elettrico E nel punto in cui
sta la carica, ossia di coordinate cilindriche:
r=R
theta=wt
z=0
voglio sapere la componente della forza che la carica subisce dal campo
elettromagnetico. la forza che la carica subirà da B sarà ortogonale
alla velocità (che sta lungo theta), quindi ha componente nulla su
theta.
mi interessa quindi solo la componente theta di E:
E=-grad(V)-DA/Dt
(ricordiamo che in coordinate cilindriche gradV_theta=1/r*DV/Dtheta)
facendo i conti ho provato a fare il limite per r e theta che tendono a
R e w*t, ma mi vengono dei valori infiniti.
del resto credo che avrei dovuto aspettarmelo: tendendo al punto in cui
sta la carica V tende all'infinito quindi anche il suo gradiente
tenderà all'infinito.
Allora vi chiedo, come cavolo faccio a sapere il campo elettrico che la
carica sente nel punto in cui si trova?
Notate una cosa interessante però:
dalla forma dei potenziali vedete che è sempre la stessa funzione che
"ruota" e "trasla":
DV/Dt+DV/Dtheta*w=0
DA/DT+DA/Dtheta*w=0
allora la quantità di moto totale del campo sarà costante,
semplicemente ruoterà a velocità angolare w:
dp_campo/dt=w(prodottovettore)p_campo
e l'energia totale del campo sarà costante (l'integrale totale nello
spazio della densità di energia non cambierà valore).
Se l'energia del campo è costante, allora mi aspetto che nel punto in
cui si trova la carica il campo elettrico tangenziale sia nullo
(infatti la variazione di energia totale del campo è dato dal lavoro
fatto dal campo sulle cariche).
Quindi mi basterebbe applicare una forza ortogonale alla velocità
della carica, di intensità opportuna, per mantenerla in questo moto
circolare uniforme.
Comunque il mio dubbio resta: usando i potenziali ritardati con gauge
di lorentz, come cavolo si calcolano i campi nei punti in cui stanno le
cariche generatrici stesse?

Credo di avere risolto il dubbio in parte, ma avrei bisogno di
conferma...
Allora, in questo caso c'è una carica sola, e la forza applicata alla
carica dal campo (campo elettrico + forza di lorentz) è
necessariamente pari all'opposto della derivata nel tempo della
quantità di moto totale del campo.
F_carica=-dp_campo/dt
Dalla forma dei potenziali vediamo che i campi "ruotano e traslano",
ossia dopo un tempo dt, i nuovi campi saranno ottenuti dal campo
precedente applicando una traslazione (pari allo spostamento della
carica nel tempo dt) e una rotazione (attorno all'asse dato dal vettore
w, di un angolo w*dt).
Per questo motivo la quantità di moto totale non cambierà in modulo,
cambierà soltanto in direzione. Più precisamente:
dp_campo/dt=w(prodottovettore)p_campo
Sappiamo inoltre che la variazione di energia totale del campo è pari
all'opposto del lavoro fatto dal campo sulla carica:
dE_campo/dt=-F_carica(prodottoscalare)v_carica
Ma dato che il campo semplicemente ruota e trasla, la sua energia (data
dall'integrale della densità di energia in tutto lo spazio) rimane
costante!
Quindi:
F_carica(prodottoscalare)v_carica=0
Per cui dalle equazioni:
F_carica=-w(prodottovettore)p_campo
F_carica(prodottoscalare)v_carica=0
vediamo che F_carica è ortogonale al vettore w e alla velocità della
carica v (che è in moto circolare uniforme), per cui è
necessariamente diretta lungo il raggio della circonferenza su cui
viaggia la carica!
Se vogliamo mantenere la carica in moto circolare uniforme dovremo
quindi semplicemente applicare una forza esterna diretta anch'essa
lungo il raggio, in modo che la risultante sia pari alla forza
centripeta.
Comunque abbiamo visto che NON dobbiamo fare lavoro sulla carica per
mantenerla in moto circolare uniforme.
Ovviamente nella realtà questo caso è poco applicabile perché
dovremmo avere una sola carica nello spazio, e il campo dovrebbe avere
all'istante iniziale esattamente la forma prevista da quei potenziali.
Torniamo a un dettaglio:
abbiamo dedotto che F_carica è diretta lungo il raggio della
circonferenza.
Per questo immagino si possa dedurre, grazie all'equazione:
F_carica=-w(prodottovettore)p_campo
che p_campo è parallela alla velocità della carica, senza stare a
calcolare l'integrale della densità di q.d.m. del campo.
Ora vorrei sapere, p_campo ha verso concorde o discorde alla velocità
della carica? C'è un modo veloce per vederlo? Intuitivamente direi che
è concorde.
A proposito, notiamo una cosa: i campi sono determinati da q, da w e da
R. Più precisamente la q.d.m. del campo è proporzionale a q^2, per
cui non dipende dal segno della carica. Non dipende assolutamente dalla
massa della carica.

Altra cosa interessante: supponiamo di porre un'altra carica q', su una
circonferenza di raggio R', su una circonferenza che sta in un piano
parallelo al piano in cui sta il moto di q, e il cui centro sta sullo
stesso asse. q' si muove anch'essa di moto circolare uniforme alla
stessa velocità angolare di q, pari a w.
L'angolo formato dai raggi vettore di q e q' è pari a alfa. La
distanza tra i due piani è h.
Se supponiamo che delle forze esterne mantengano le cariche nei loro
rispettivi moti circolari uniformi, abbiamo una situazione simile a
prima: il campo "ruota" anche questa volta, l'energia totale rimane
costante e la quantità di moto totale del campo ruota a velocità
angolare w.
Ora notate bene una cosa: la quantità di moto della sovrapposizione
dei due campi NON è la somma della quantità di moto dei singoli
campi. Per cui, vorrei sapere se scegliendo q', R' , alfa e h opportuni
riusciamo ad avere le seguenti condizioni:
-la quantità di moto totale del campo è nulla
-la forza esercitata dal campo su ognuna delle cariche è diretta lungo
il rispettivo raggio vettore, verso il centro della circonferenza.
Scegliendo quindi le masse m e m' opportunamente si potrà avere quindi
che le forze sono pari esattamente alle forze centripete necessarie.
Ora questo è un problema piuttosto complesso, ma vorrei chiedere a
qualcuno che sa maneggiare lagrangiane, specialmente nel campo
elettromagnetico coi potenziali con gauge di lorentz, per trovare più
facilmente le soluzioni

 circolare uniforme.
Per quanto ho appena detto, non basterebbe: la carica perderebbe
energia.
 
-- 
Elio Fabri

Se si fa l'approssimazione per cui c tende a infinito, ponendo mu=0,
abbiamo un campo coulombiano e la meccanica non relativistica.
La soluzione si trova in modo abbastanza semplice: h=0, alfa=pigreco, e
q*q'<0
dati m e m'
(1/4piepsilon)*|q*q'|/(R+R')^2=m' * w^2 * R'
(1/4piepsilon)*|q*q'|/(R+R')^2=m * w^2 * R
m * R=m' * R' ossia il centro della circonferenza è dato dal centro di
massa del sistema formato dalle due cariche, che resta fermo perché le
forze sono uguali e opposte.
(1/4piepsilon)*|q*q'|/(R+R')^2*(1+m/m')=m*w^2*(R+R')
(1/4piepsilon)*|q*q'|/(R+R')^2*(1/m+1/m')=w^2*(R+R')
(1/m+1/m')=1/m_ridotta
la famosa massa ridotta dei sistemi a due punti materiali....
(R+R')^3=(1/4piepsilon)*|q*q'|/(w^2*m_ridotta)
(R+R')=[(1/4piepsilon)*|q*q'|/(w^2*m_ridotta)]^(1/3)
R=(R+R')*m_ridotta/m
R'=(R+R')*m_ridotta/m'
ora intuitivamente penso che se si trovano soluzioni per c che tende a
infinito, probabilmente si trovino anche per c finito. Per cui avremmo
un bel sistemino a due cariche (probabilmente di segno opposto) che si
muovono intorno al loro centro di massa (relativistico).
Affinché sia stabile abbiamo bisogno che la somma di:
dp_campo+dp1/dt+dp_2/dt=0
necessaria affinché questo sistema rimanga stabile senza forze
esterne.
dp1/dt e dp2/dt devono essere pari alle rispettive forze centripete.
Ora domanda particolare (sempre che qualcuno alla fine risponda a
questo post)...
se devo calcolare dp1/dt, è semplicemente pari a q1*(E di 2 su 1 + v1
x B di 2 su 1), dove per E 2 su 1 intendo il campo riferito alla
sorgente q2, nel punto in cui si trova 1?
Oppure c'è anche una forza di interazione ritardata della carica con
se stessa? Immagino sia improbabile se wR<c per entrambe le cariche

Un altro modo di vedere come la forza di brehmstrahlung viene
compensata: possiamo supporre che la qdm totale del campo esterno abbia
una componente lungo r, p_r.
Dato che la p del campo ruota, la carica subirà una forza lungo theta
pari a: -w*p_r
Sia F_b la forza di brehmstrahlung che la carica sente lungo theta:
basta porre:
F_b-w*p_r=0

(c*tau)^2=R^2+r^2-2*r*R*cos[w(t-tau)-theta]+z^2
tau è una funzione di r, theta, z e t e si trova risolvendo
l'equazione sopra, che ammette sempre soluzione e se wr<c la soluzione
è anche unica.
V(r,theta,z,t)=(1/4piepsilon)*q*1/(c*tau)
il potenziale va come 1/r ed è riferito alla posizione della carica al
tempo t-tau. l'informazione ha percorso la distanza r a velocità c in
un tempo tau per arrivare alla carica, quindi posso scrivere r=c*tau
il potenziale vettore è parallelo al vettore J al tempo t-tau, e
questo vettore forma un angolo pari a alfa=wt-wtau-theta con il nostro
raggio vettore.
La componente r di J è pari a -qwR*sin(alfa) e la componente theta è
pari a qwR*cos(alfa). dividiamo il tutto per il solito r=c*tau e
moltiplichiamo per mu/4pi, e otteniamo così il potenziale vettore.
Poi, punto più importante. Non è scritto da nessuna parte che una
carica accelerata debba perdere potenza per forza: dipende dalla
situazione, come ad esempio l'anello continuo di carica che ruota a
velocità angolare costante. E' vero che la carica irraggia, però
dobbiamo contare anche la potenza entrante dal campo in quell'istante.
Qui abbiamo la nostra carica, che per IPOTESI è MANTENUTA da una forza
ESTERNA in questo moto circolare uniforme.
I potenziali elettrodinamici hanno questa forma particolare per cui
"ruotano" anche essi a velocità angolare w. Data la simmetria della
situazione (ripeto, mantenuta tale da una forza esterna) anche il campo
nel punto in cui si trova la carica "ruota", idem per la densità
locale di energia e di quantità di moto.
Per cui l'energia totale dovrebbe rimanere costante.
Immagino che se supponiamo la carica puntiforme, la densità di energia
e di qdm nel punto in cui sta la carica divergano, in modo che nella
regione infinitesima in cui sta la carica sia contenuta una qdm finita
e un'energia finita.
Però se la carica viene mantenuta in questo moto anche questa energia
e qdm "ruoteranno".
Se volete ancora scomporre la forza che la carica subisce in forza di
brehmstrahlung e forza dovuta al campo esterno, anche queste
ruoteranno. La forza di brehmstrahlung dipende dall'accelerazione,
anch'essa un vettore "rotante".
Quello che stupisce è che se l'energia totale è costante allora la
forza che la carica subisce dal campo è ortogonale alla velocità.
Sapendo inoltre che è ortogonale a w, deduciamo che la forza è
diretta lungo il raggio della circonferenza. Allora dovremmo applicare
semplicemente una forza lungo r in modo che la risultante sia la forza
centripeta.
Come si spiega che stiamo mantenendo una carica in moto circolare
uniforme senza fare lavoro?
Ripeto, chi cavolo ha detto che bisogna per forza fare lavoro? Dipende
da com'è il campo em nello spazio in quell'istante. E questo campo ha
una forma tale da non assorbire potenza dalla qdm.
Se volete un altro esempio: il solito anello circolare continuo di
carica che ruota a velocità angolare costante. La forza che subisce
ogni elemento di carica dal campo esterno è data da qE+forza di
lorentz. La forza di lorentz è ortogonale alla velocità, e in questo
caso E è anch'esso ortogonale alla velocità. Quindi se vogliamo
mantenere questa struttura stabile dobbiamo applicare una forza esterna
anch'essa ortogonale alla velocità (la risultante è una forza
centripeta). Non dobbiamo fare lavoro per mantenere questa situazione
stabile.

ho espresso in modo alquanto disordinato le mie idee. Ripropongo in
forma schematica:
A: se una carica q ha un'accelerazione a, perderà per brehmstrahlung
una potenza secondo una certa funzione. Questo significa che nel punto
in cui sta la carica ci sarà un campo elettrico tale che qEscalarv=-W
dove W è la potenza uscente dalla carica.
1-la densità di energia nel punto in cui sta la carica è ancora data
dalla formula 1/2*[epsilon*E^2+1/mu*B^2]?
2-il campo E e il campo B nel punto in cui sta la carica sono
indeterminati, ma posso almeno sapere se sono finiti o infiniti, e se
sono infiniti l'energia contenuta nella regione infinitesima occupata
dalla carica è finita o infinita?
B: come viene ricavata la formula per la potenza di brehmstrahlung per
una carica puntiforme? Sarebbe corretto ricavarla secondo questi passi:
1-Suppongo che la carica abbia viaggiato di moto rettilineo uniforme a
velocità v_0 per t che va da -infinito a 0. A t=0 la carica inizierà
ad accelerare.
2-Calcolo l'equazione del moto x(t).
3-Grazie alla conoscenza di tutto il passato di x(t) posso calcolare i
campi con i potenziali ritardati.
4-Supponendo l'accelerazione finita (non impulsiva), suppongo anche che
i campi E e B nel punto in cui sta la carica siano finiti, o in genere
tali per cui sia trascurabile l'energia e la quantità di moto
contenuta nella regione infinitesima in cui sta la carica.
5-Calcolo quindi l'energia totale U(t) del campo elettromagnetico con
un integrale della densità di energia in tutto lo spazio tranne nella
regione infinitesima occupata dalla carica.
6-La potenza uscente per Brehmstrahlung sarà data da dU/dt.
C: torniamo al nostro caso di carica mantenuta in moto circolare
uniforme.
1-Supponendo che i campi E e B nel punto in cui sta la carica, seppur
indeterminati, siano determinati da q, dalla sua velocità e dalla sua
accelerazione, posso supporre che dato che v e a rimangono costanti in
modulo e ruotano, anche E e B ruoteranno.
2-La densità di energia nel punto in cui sta la carica quindi rimarrà
costante.
3-L'energia totale del campo, considerando anche la regione in cui sta
la carica, è una costante. Se il campo facesse un lavoro sulla carica,
dove andrebbe a finire quest'energia? Se ci fosse un'onda
elettromagnetica irraggiata dalla carica, non dovrei vederla nelle
espressioni dei potenziali V e A?
4-è possibile, nel caso che ci sia perdita di energia, che
quest'energia entri nel campo nel punto in cui sta la carica e esca a
una distanza infinita? Più precisamente il flusso del vettore di
Poyinting attraverso una superficie posta all'infinito potrebbe essere
finito e non infinitesimo.
5-supponendo che l'energia vada effettivamente a finire a distanza
infinita, non mi torna con questa idea intuitiva: la carica quando
accelera irraggia in modo che dopo un tempo infinito il campo si
assesti sul nuovo valore della velocità della carica. Se suppongo che
la carica abbia SEMPRE viaggiato di moto circolare uniforme, per t che
va da -infinito ad adesso, e che il campo abbia la forma data dai
relativi potenziali ritardati, non potrei avere un campo che a tutti
gli effetti non assorbe energia dalla carica?

Scusate se sono un po' lento..il trucco sta tutto nel flusso del
vettore di poyinting all'infinito.
Per r che tende a infinito il mio potenziale V va come 1/r: non importa
a quale punto si riferisca della circonferenza, perché a grandi
distanze la carica sembra stare ferma in un punto.
Quindi grad(V)~1/r^2
A~J*1/r
DA/Dt~w*J*1/r
rot(A)~1/r^2
per cui:
E~a/r^2+b/r
B~1/r^2
Per cui il vettore di poyinting sarà circa:
S~(a/r+b/r^2)*c/r^2=a*c/r^3+b*c/r^4
S*r^2~a*c/r+b*c/r^2
per cui vediamo che il flusso totale all'infinito è infinitesimo. La
differenza rispetto al caso del dipolo oscillante sta appunto nel fatto
che qui il vettore di poyinting decresce più rapidamente di 1/r^2.
Detto questo mi pare quasi dimostrato che non ci sia energia uscente
dalla carica

 rot(A)~1/r^2
Sbagliato.
Nel calcolare le derivate spaziali devi tener conto che r entra anche
in t-r/c, e quindi rot(A) contine un termine che va come (dj/dt)/r.
Tanto E come B hanno termini in 1/r (prop. all'accelerazione della
carica) e percio' il flusso di S non va a zero.
Ma quello che non capisco e' perche' non guardi (come ho gia' detto
tre volte) un qualsiasi libro...
Non dobbiamo inventare niente: sono cose note da almeno un secolo.
 
 
-- 
Elio Fabri

mi scuso, non ho riguardato libri perché finora avevo solo visto
trattazioni che usavano la formula di larmor per la potenza di
brehmstrahlung, mettendo come accelerazione l'accelerazione centripeta,
ma non calcolavano esplicitamente il campo di una carica in moto
circolare uniforme. Credevo che tutti i libri facessero cosě, pensando
che non avessero provato a calcolare il campo stesso (supponendo la
carica mantenuta in tale moto).
In genere esistono sistemi di cariche in moto periodico, che si
mantengono tali autonomamente (cioč ogni carica č soggetta solamente
alla forza del campo elettromagnetico generato dal sistema di cariche
stesso)?
Escludiamo le soluzioni banali per distribuzioni di carica continue e
tali per cui il sistema sia stazionario (es: anelli, sfere rotanti,
ecc..).
Anzi, formuliamo in maniera piů precisa: esistono distribuzioni di
carica e di corrente tali per cui:
rho(x,y,z,t+T)=rho(x,y,z,t)
J(x,y,z,t+T)=J(x,y,z,t)
con DJ/Dt e Drho/Dt diversi da zero,
supponendo che il sistema non sia soggetto ad altre forze che quelle
dovute al campo elettromagnetico generato dalle distribuzioni rho e J
stesse?
Immagino che qui una formulazione lagrangiana (magari coi
quadripotenziali) farebbe comodo...

La mia formula NON č sbagliata, perché sto usando i quadripotenziali
con gauge di Lorentz, mentre lei si ostina a usare quelli di
Liénard-Wiechert!!!!
http://scienceworld.wolfram.com/physics/ElectricPotential.html
http://scienceworld.wolfram.com/physics/MagneticVectorPotential.html
http://scienceworld.wolfram.com/physics/LorenzGauge.html
Questi potenziali sono soluzione dell'equazione di d'Alembert con
sorgenti rho/epsilon e mu*J:
(1/c^2)*D^2V/Dt^2-div(grad(V)=f(x,y,z,t)
V(x,y,z,t)=(1/4pi)*integrale di f(x',y',z',t-d/c)*1/d in dx'dy'dz'
d=[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^(-1/2)

scusate gli ultimi due messaggi sono stati postati in ordine
inverso...prima era il post un po´ incavolato, poi quello di scuse.
Mi scuso ancora per non avere guardato sui libri le dimostrazioni.
Comunque credo di avere capito che fisica e´meglio lasciarla a chi se
ne intende...altrimenti si sprecano energie per capire cose che in
realta´sono banali
Ho fatto il primo anno di fisica a pisa, e gli esami li ho fatti
discretamente. A volte mi lamentavo della difficolta´(gli studenti non
sono portati per mano come a ingegneria), ma in effetti la
difficolta´e´ fondamentale per fare selezione. E´giusto che siano
solo le persone piu´in gamba a occuparsi di fisica, perche´altrimenti
un fisico mediocre non produrra´mai nulla.