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Titolo: Buche di Potenziale

Salve a tutti. Sono alle prese con lo scritto di Istituzioni di Fisica
Teorica, però non riesco ancora a chiarimi un problema, ossia come risulta
quantizzata l'energia di una particella in una buca di potenziale a pareti
finite.
Sebbene il problema mi è chiaro con le pareti infinite,( nel caso di E<0)
non riesco a giungere ad una conclusione nell'altro caso citatovi, poichè
giungo alla  formulazione di equazioni trascendentali, (imponendo la
continuità della fuzione e della sua derivata sui punti di confine della
bariera), che posso solo dare degli estremi grafici ma senza alcuna
soluzione esatta, quindi non sò come procedere.
Grazie.
cogi...@tin.it

Giancaspro Corrado wrote:

Ciao,  la buca ha pareti  rettangolari immagino.
Le equazioni (non differenziali) trascendenti non le puoi evitare, ma
cio' non toglie che le soluzioni esistano e tu le possa individuare
per via grafica.  In questo caso non hai  quindi una soluzione scritta
con tutti i numeretti esplicitamente, ma non e' un grosso problema no?
Ciao, Valter


Beh, è strano che ti vengano fuori delle eq. trascendenti. Il problema è un
classico di istituzioni.
Per semplificare il calcolo ti consiglio di descrivere la funzione V(x) in
modo simmetrico: x=-a e x=a sono gli estremi della buca; poi osserva quanto
segue:
Gli autovalori discreti di H sono non degeneri (lo si può dimostrare in
virtù del fatto che il sistema è unidimensionale), H commuta con P quindi le
autofunzioni saranno anche autofunzioni di P (esse saranno quindi o pari o
dispari)
Ciò ti riduce il numero di costanti da determinare con le condizioni di
raccordo sulle autofunzioni.
Separi il problema in autofunzioni pari e dispari.
Esempio per le pari:
f=B exp (k1x)  x<a
f=A cos (kx) a<x<a
f=B esp (-k1x) x>a
(L'assenza di degenerazione consente la scelta di funzioni REALI)
La costante di normalizzazione non serve determinarla per trovare gli
autovalori (quindi lascia pure A o B indicato).
Puoi osservare che esiste sempre almeno uno stato discreto (fondamentale),
potresti dimostrarlo e puoi osservare anche la legge che determina il numero
di stati discreti.
Ciao Claudio

 
Ciao, le equazioni trascendenti vengono fuori quando vai a determinare
i valori dell`energia che sono autovalori dell`hamiltoniano. 
Per ottenerli devi imporre che un certo determinante (quello associato
al sistema omogeneo che determina i coefficienti davanti ai singoli
pezzi di soluzione) sia nullo. Ottieni un`equazione nell` energia
che solitamente e` trascendente (a causa della condizione sulla
derivata logaritmica...)
Ciao, Valter

Scusa,
non so cosa significhi *esattamente* equazioni trascendenti.
Io l'avevo interpretate come equazioni che non si possono risolvere per via
algebrica e non mi sembra proprio il caso in questione.
Vengono equazioni differenziali lineari del secondo ordine in una variabile,
tipo quelle dell'oscillatore armonico.
Ciao Claudio

 segue:
Precisazione:
Ho inteso dal messaggio iniziale che la buca fosse rettangolare dato che
c'è scritto: "(imponendo la continuità della fuzione e della sua derivata
sui punti di confine della bariera)".
ed i punti sono due x=-a e x=a come ho scritto.
Se la buca non fosse rettangolare si può dimostrare tuttavia che esiste
sempre almeno uno stato legato corrispondente ad un autovalore discreto
dell'energia.
Ciao Claudio