Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Traiettoria

Come si calcola passaggio per passaggio la traiettoria del problema???
Un punto si muove nel piano OXY secondo la seguente legge oraria: x = t^2, y
= (t-1)^2
Trovare la traiettoria
---
Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (
http://www.grisoft.com
).
Version: 6.0.708 / Virus Database: 464 - Release Date: 18/06/2004

 Trovare la traiettoria
Passaggio per passaggio ;-)
1° passaggio: isoli il parametro t nella prima equazione
2° passaggio: sostituisci il valore di t cosi' ricavato nella seconda equazione
3° passaggio: come risultato si e' ottenuta l'equazione della traiettoria, che
associa ad ogni valore di x non negativo il corrispondente valore di y.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere inserire una sottolineatura
tra nome e cognome

 Trovare la traiettoria
A rigore, bisognerebbe dire che chi ha formulato il problema in questo
modo non conosce la matematica.
Infatti quello che hai scritto non e' che un'eq. della traiettoria,
nella forma che si chiama "parametrica".
Ovviamente la richiesta era: "trovare l'eq. cartesiana della
traiettoria".
Risposta: elimina t tra le due equazioni.
Pero' attento: c'e' qualche trabocchetto!
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

Trovare la traiettoria
La traiettoria e` un arco di parabola con asse inclinato
e punto di partenza in (0; 1)
Come trovarla te l'han gia` detto.
[Non essendo stato indicato il f/u, scelgo io qui su isf]
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 mi sa che me lo sono perso per strada... :(
Credo si riferisse al fatto che quella da te scritta č solo una parte
della soluzione. Infatti da:
x=t^2
si ricava sě:
t=sqrt(x)
ma anche
t=-sqrt(x)
Da cui:
y = x +/- 2*sqrt(x) + 1
Ciao
Giacomo
P.S. (banale e pignola): non c'č bisogno di sviluppare il quadrato per
avere y=y(x)!  :-)

 sa che me lo sono perso per strada... :(
Eh, mi sa che me l'ero perso anch'io, quando ho spedito il primo messaggio,
poi, quando ho letto del trabocchetto...
Quando ricavi t dall'equazione x = t^2, le soluzioni per t sono due
(t = SQRT(x) e t = -SQRT(x), con x>=0),
quindi la traiettoria e' rappresentata dalle *due* equazioni
y = x - 2*SQRT(x) + 1    (x >= 0)  e
y = x + 2*SQRT(x) + 1    (x >= 0)
portando a sinistra il termine x + 1 si ottiene:
y - x - 1 = -2*SQRT(x)  e
y - x - 1 = 2*SQRT(x)
elevando al quadrato i due membri si ottiene l'unica equazione:
x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 2y + 1= 0
che e' l'equazione di una parabola.



Del trabocchetto non ho idea...forse si riferisce al fatto di togliere il
segno di radice da x elevando al quadrato e facendo da un lato il quadrato
di un trinomio.
Comunque Grazie a tutti

che e' l'equazione di una parabola.
Questa OK, ma e` equivalente all'originale parametrica
solo a patto d'intenderla limitata al primo quadrante.
Il punto (0,1) e` infatti punto di partenza della
irrazionale y=[1-sqrt(x)]^2.


che e' l'equazione di una parabola.
Questa OK, ma e` equivalente all'originale parametrica
solo a patto d'intenderla limitata al primo quadrante.
Il punto (0,1) e` infatti punto di partenza della
irrazionale y=[1-sqrt(x)]^2.
=-=-=-=-=-=-=-=-=- /avevo scritto -=-=-=-=-=-=-=-=-
L'equazione:
x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0
a differenza della irrazionale e della parametrica, da`
due valori y per ogni x anche limitandosi ai valori
positivi di quest'ultima[*].
Di tali valori si deve accettare solo il minore, per cui
ho sbagliato dicendo che nel primo quadrante e`
equivalente.
[*] E` infatti una parabola avente per asse la bisettrice
del primo e terzo quadrante e tangente gli assi in (0,1)
e (1,0).


 irrazionale y=[1-sqrt(x)]^2.
Non ho capito (o non ricordo): che intendi qui per "irrazionale"? E
comunque, che c'entra con i quadranti? La curca da te scritta sta
comunqeu nel primo quadrante...
Ciao
Giacomo

 equivalente.
Ancora questa distinzione del primo quadrante: tutto quello di cui si
sta parlando sta solo nel primo quadrante... mi torna in mente una
barzelletta di un pastore che aveva percore bianche e percore nere! ;-P
Ciao
Giacomo

Ma questa parabola sta nel primo quadrante! Che tu la limiti o no...
Che questo che ho scritto fosse sbagliato, l'ho gia` detto
nell'altro post dove ora ti rispondo.


Ancora questa distinzione del primo quadrante: tutto quello di cui si
E che diamine.. ma se ho scritto proprio per marcare il
mio errore: *"ho sbagliato dicendo.."*


 Vedi se ne trovi qualcuno tu scritto in qualche testo.
Ma scusa, l'origine dei tempi non e' del tutto arbitraria?
Se per es. stai studiando il moto di un pianeta, dove lo metti t=0?
Alla creazione del sistema solare? :-)
Il fatto e' che se si dice che un corpo si muove in un certo modo,
occoire precisare l'intervallo di tempo nel quale il moto e' definito
cosi'.
Puo' anche essere da -oo a +oo, ma bisogna dirlo.
Altrimenti la traiettoria non e' l'intera parabola, ma solo un arco.
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
From

 nell'altro post dove ora ti rispondo.
Hai ragione, ma io per la fretta ho scritto questo prima di leggere
l'altro... scusa.
Ciao
Giacomo

>Di tali valori si deve accettare solo il minore
e quindi sembrava che tu dicessi di aver sbagliato prchè si doveva
accettare solo un valore della y, e non perchè la parabola stava
comunque nel primo quadrante (come ti facevo notare). Tutto qui...
Ciao
Giacomo

Altrimenti la traiettoria non e' l'intera parabola, ma solo un arco.
La nozione di tempo in meccanica e` sempre quella di una
durata, ergo un tempo negativo non dovrebbe avere molto
senso.. o perlomeno il definirlo sarebbe IMHO molto
originale assai.


 Altrimenti la traiettoria non e' l'intera parabola, ma solo un arco.
E' tutto, ovviamnte, vero, ma lo è anche il fatto che spessissimo non
indicare il dominio significa assumere tutto il dominio su cui la
funzione è definibile... per quella che è la mia esperienza, è una
questione di "quasi convenzione".
Giacomo

bizzeffe!
Confondi tu.
Una cosa e` la geometria, un'altra la cinematica.
Guarda, il caso piu` banale e piu` conosciuto:
(1)	x=r cos(omega t);  y=r sen(omega t)
Questa IMHO puo` solo interpretarsi come cfr. percorsa
a partire da t=0, ergo dal solito (1;0), e facendo
infiniti giri.
E questo se nessuno s'e` preso la briga di precisare
l'intervallo di tempo del moto.
Tu pero` dici: "Ma il punto parte da P_0=(0;-1), dunque
devo necessariamente assumere tempi negativi, cioe` porre
per l'istante iniziale t_0=-pi/2/omega".
Ebbene, io ritengo che se parte da questo P_0, allora e`
corretto fare invece quest'altra sistemazione.
Cambiamo la (1) in quest'altra:
(2)	x=r cos(omega t - pi/2);  y=r sen(omega t - pi/2)
In questa t_0 l'ho posto *io studioso* a zero,
coerentemente con quanto ho precisato ieri - in
risposta a EF - sulla nozione di tempo in fisica.
Avrei potuto scegliere anche t_0=10, giammai pero`
negativo.
[ma ripeto: IMHO e per quel che mi risulta]
La traiettoria: x^2 + y^2 = r^2, non contiene informazioni
sulla legge di percorrenza, a meno che - sempre per non
volere a tutti i costi le equazioni parametriche - non si
consideri quest'altra:
[scrivo a un giro per non appesantire]
(3a)	y=-sqrt(r^2-x^2)
per: 0 < t < pi/2/omega; oppure: 3pi/2/omega < t < 2pi/omega.
(3b)	y= sqrt(r^2-x^2)
per: pi/2/omega < t < 3pi/2/omega.
A patto, ovviamente, di intendere pero`: x=x(t), con
la x(t) presa dalla (2).


 la x(t) presa dalla (2).
Se devo essere sicnero, quello che confonde il formalismo matematico con
al fisica mi apre sia tu. Dichiari più volte nel discorso precedente che
il tempo deve partire da t=0, ma non spieghi mai perchè (il massimo
della spiegazione è un "IMHO"...).
Io adesso provo a spiegarti perchè secondo me questo non è vero, e
vediamo perchè l spiegazione non ti convince.
Se è vero che i tempi sono sempre positivi, significa che l'origine dei
tempi non è arbitraria... ma allora qual'è l'istante che corrisponde a
t=0? La sola risposta possibile è "l'inizio di tutto", perchè qualsiasi
altro istante ne avrebbe di precedenti, che dovrebbero essere
etichettati con un "t" negativo. Il problema è però che in fisca
classica il tempo è infinito tanto nel futuro che nel passato, quindi
adesso a che istante sono?
Scusa la franchezza, ma la tua affermazione mi sembra tanto più
palesemente sbagliata quanto più ci penso... prova a risolvere un
qualsiasi problema "reale" con il tuo concetto di tempo con origine
assoluta: ti troverai a dover per forza porre un'origine dei tempi, e
non potrai metteral a -oo perchè senno non puoi fare i conti. Allora? La
metterai in un istante comodo, magari all'istante in cui il sistema
diventa epr te interessante, ma in questo modo neghi che quel sistema
esistesse prima di quell'istante, perchè sarebbe essitito ad un tempo
negativo, che sotieni non esista... insomma, è una contraddizione
continua! Non vedo come se ne possa uscire...
Ancora una volta, ti invito a vedere il parallelo con una coordinata
spaziale: l'unica differenza è che su quella temporale ci si può
spostare solo in verso, ma questo non ha niente a che fare con
l'arbitrarietà dell'origine dei tempi...
Ciao
Giacomo

 preoccuparsi di che cosa avro' voluto dire, del segno di t, ecc.
Mi fa piacere che ti sia divertito :)
....io, dal canto mio, credo non dimentichero' piu' che non mi devo 
mangiare il segno meno quando si fa una radice quadrata!! :)
....bisognerebbe farle piu' spesso queste "bischerate" [come ha scritto 
qualcuno] *costruttive*!
Dan

vediamo perchè la spiegazione non ti convince.
Ho letto quanto segue e ti ringrazio, ma aggiungo che non
mi convince.
Chiedi un motivo? Be', anche qui devo ripetermi: trova un
testo di meccanica classica, a livello elementare o top,
in cui sia scelto un istante iniziale negativo.
E se poi me lo indichi mi fai pure un piacere.


vediamo perchè la spiegazione non ti convince.
Si`, ho letto il seguito ed e` vero che non mi convince.
Il motivo credo sia dovuto alla mia desuetudine a questa
sistemazione del tempo che tu esponi.


Vedi la risposta all'altro post: i due sono comparsi
contemporaneamente... scherzi della moderazione! :-)
Giacomo

 E se poi me lo indichi mi fai pure un piacere.
Credo che non sia rilevante.
Ciao
Giacomo
P.S. Se qualche altro competente partecipante del NG segue la
discussione, non mi dispiacerebbe che intervenisse: mi trovo infatti a
difendere a spada tratta una posizione che a pare del tutto ovvia... ma
a quanto pare non è così, e se sto prendendo una cantonata tremenda
vorrei che mi si facesse notare prima che sia troppo tardi!

 vorrei che mi si facesse notare prima che sia troppo tardi!
Guarda che io la mia l'ho detta il 25-6. Poi non sono piu'
intervenuto, perche' mi pareva tempo perso.


Beh, una presa di posizione su cosě forte e cosě ingiustificata (nel
Ormai il discorso e` OT, sull'argomento di fisica invece
non ho altro da aggiungere.


intervenuto, perche' mi pareva tempo perso.
 
A tempo perso dai un'occhiata alle Lezioni di Meccanica
razionale di Levi-Civita.
A pagina 120 cio` che dice conferma il mio punto di vista.


 intervenuto, perche' mi pareva tempo perso.
E' vero, hai ragione... ma mica ci sei solo tu! ;-)
Anche se devo dire che il tuo parere è da considerarsi oggettivamente
molto auterevole...
Ciao
Giacomo

 vorrei che mi si facesse notare prima che sia troppo tardi!
Ti rispondo privatamente segnalandoti alcuni threads dello scorso anno nei
quali immagino che tu possa trovare in qualche modo una risposta al dubbio
che ti stai ponendo.
Non segnalo pubblicamente i threads in quanto non mi sfiora nemmeno
lontanamente l'idea di correre il benche' minimo rischio di ritrovarmi
ancora una volta ad avere la fortissima sensazione di parlare con un muro.
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 A pagina 120 cio` che dice conferma il mio punto di vista.
Ci ho dato un'occhiata io. Si tratta della tradizionale discussione 
della caduta dei gravi (con velocita' iniziale arbitraria). Ponendo 
l'istante iniziale uguale a 0, evidentemente non ha senso *in questo 
caso* parlare di cosa succede a t<0, visto che la cadutanon e' ancora 
iniziata e nulla sappiamo, ne' ci interessa sapere, di come il grave e' 
finito li'. Questo nulla implica sul significato, o mancanza di esso, di 
tempi negativi in altri problemi, per esempio quello gia' citato del 
moto dei pianeti.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 muro.
Come ti capisco... eppure io ci sono già cascato almeno due volte su
questo NG!  :-(
Ciao
Giacomo

questo NG!  :-(
Stai tranquillo che non avrai occasione per una terza
volta. Evitero` ogni tuo post come faccio gia` da tempo
coi signori BC e ES.


 coi signori BC e ES.
Se questo ti fa piacere...
Dal canto mio preferisco di gran lunga confrontarmici, con le persone,
piuttosto che scansarle. Ma anche senza andare a frugare in threads
altrui, devo dire che il modo di porti che hai avuto con me mi mette un
tantino in difficoltà: hai fatto delle affermazioni piuttosto "forti"
senza preoccuparti di giustificarle, ma trincerandoti dietro un "è una
mia opizione".
Beh, che dicessi se io affermassi che IMHO 3+2 fa 6? O che, tanto epr
tornare più vicini al nostro argomento di discussione, l'energia
potenziale IMHO ha senso solo se definita negativa (o positiva, tanto fa
lo stesso)?
Se volgiamo metter su una base logica e un linguaggio sul quale
confrontarci (tutti, come comunitàscientifica) c'è bisogno di trovare
una struttura comune, le cui caratteristiche vanno dedotte da alcune
regole fondamentali, e alla luce di queste vanno giustificate tutte le
afferamzioni.
Se tu rifiuti questo modo di porsi, va benissimo: solo che io non posso
che constatare l'inutilità (per me) di intavolare con te una discussione
sulla base di affermazioni non giustificate. Sarebbe come se cercassi di
dimostrarti che il cioccolato è più buono della marmellata... eppure
questo caso sarebbe meno "assurdo", perchè non potrei giutificare
afferamazioni che per loro natura non possono essere oggettivamente
giustificate, mentre nel nostro caso le affermazioni sì che hanno modo
di essere inquadrate e giustificate (o smentite) all'interno di una
struttura logica, solo che tu ti rifiuti di farlo...
Quindi non me ne volere, ma come posso spendere il mio tempo (più di
quello che abbia già fatto) a fare un cosa che ritengo inutile?
Ciao
Giacomo

lo stesso)?
Ma no.. riguarda bene i miei reply.
Comunque riassumo nuovamente.
Che sia uniforme e che scorra in un sol verso mi sembra OK
per tutti.
Resta il punto dell'istante iniziale.
Al riguardo (e te l'ho chiesto piu` volte!) non sembra che
ci sia un qualche autore che faccia partire i tempi da un
istante iniziale negativo. [*]
Percio` ti dissi che infatti e` una durata: quella cioe`
del fenomeno che si studia, e non e` quindi legata alla
eta` dell'universo o al tempo civile.
[*] E questo si ricollega ed esaurisce l'altra questione
in esame: se ti do un'equazione e nulla preciso
sull'intervallo dei tempi.
Ebbene, allora si deve *IMHO* ritenere tra zero e
infinito e non tra meno infinito e piu` infinito, perche'
se ci fosse indicato esplicitamente l'intervallo, esso
normalmente inizierebbe dall'istante zero.
In altre parole interpreto l'omissione dell'intervallo
dei tempi non come un errore, ma come una pigrizia, e di
conseguenza "leggo" 0-inf in accordo con l'uso standard.
E ancora, per maggior chiarezza: se uno dovesse invece
scrivere un'equazione da intendere valida in tutto l'asse
dei tempi, allora io credo che sarebbe il caso che lo
indicasse esplicitamente.


 indicasse esplicitamente.
Vedi sopra..
Ciao
Giacomo

(anche riassunta, mi fido che non ne traviserai il senso)
Se mi dai un recapito ti invio le fotocopie, ma non me
la sento di trascrivere e non mi fido io di come potrei
riassumere. Oppure per email dallo scanner, ma scrivimi
perche' se non sbaglio non indichi nessun reply-to.


L'indirizzo pubblicato è giusto (eccetto la ben distinguibile misura
anti spam), altrimenti puoi scrivermi a:
giacomo [punto] ciani [at] studio-elle [punto] com