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Titolo: Cambiamenti di riferimento e trasformazioni di coordinate lagrangiane

Cito da un'e-mail del prof. Fabri:
 
"Invece nel problema che state discutendo inutilmente il "rif. del Sole" non ruota: ha solo un moto traslatorio, con S che percorre una 
traiettoria ellittica intorno al cdm G.
C'è in realtà una ragione più profonda per cui è scorretto trattare la trasf. in questione come un cambiamento di rif. Non ve la dico: vediamo 
se qualcuno ci arriva :-)"
 
_A me ora_ viene in mente solo un motivo, che nella trasformazione
standard di coordinate lagrangiane del problema a 2 corpi,
(r1, r2) -> (R, r), si conserva il n. di g.d.l. e la descrizione
completa del problema, cioè non si perdono le informazioni sul
moto del c.d.m., nel cambiamento di riferimento che è stato invece
utilizzato anche dal sottoscritto nell'altro thread (da quello del
c.d.m. a quello non inerziale e non rotante solidale a una particella)
si perdono sì le informazioni sul moto del c.d.m. ma questo cambiamento
di riferimento è comunque sufficiente allo scopo che era dimostrare
come le orbite del sistema kepleriano legato rimangano chiuse anche
nel riferimento non rotante solidale a uno dei 2 corpi.
 
Però la tua affermazione sulla "scorrettezza" del procedimento mi fa
immaginare che ci sia altro...;-)
 
Nota: ho preferito aprire una nuova discussione sul ng piuttosto che
replicare in e-mail perché l'argomento mi sembra di interesse comune
e indipendente da quello dell'altro thread citato.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Però la tua affermazione sulla "scorrettezza" del procedimento mi fa
 > immaginare che ci sia altro...;-)
Infatti secondo me c'è dell'altro.
Non voglio ancora rivelare del tutto il mio pensiero, ma ti do qualche
altro indizio.
Quando definisci un cambiamento di rif. devi definire il nuovo rif.
Secondo te quali parametri sono ammessi per definirlo, e qujali non
sono ammessi?
(Tieni presente che il fine ultimo è di studiare i moto di un sistema
di uno o più corpi.)
-- 
Elio Fabri

 si perdono sì le informazioni sul moto del c.d.m. ....
 
 
Sono curioso di conoscere le obiezioni di Elio. Io non ne vedo.
 
La tua non funziona. Il cambio di sdr non è la trasformazione
(r1, r2) -> (R, r)
R è la posizione del cdm nel sdr inerziale!
Piuttosto, a partire da r1,r2 ogni punto x del sistema inerziale passa 
ad avere coordinate x-r1 nel sdr di r1 (con origine delle coord. in r1).
Quindi il cdm va a finire in R-r1.
 
Naturalmente i sdr non sono solo sistemi di coordinate. Ma in meccanica 
classica non c'e' nessun vincolo che impedisca di costruire il sdr 
non-inerziale a partire dal corpo r1. Sui tempi non c'e' nessun problema 
e la costruzione mentale corrispondente a qualsiasi sdr della meccanica 
classica si può portare aventi esattamente conme in un sdr inerziale.
 
Inoltre, come ho fatto notare più di una volta, la trasformazione 
"cinematica) dei due vettori posizione (r1,r2)->(0,r) è pianamente 
consistente con la riscrittura della dinamica newtoniana in un sdr 
non-inerziale, previa introduzion di una forza inerziale legata all' 
accelerzione del corpo di riferimento nel sistema inerziale.
 
What else?
 
Giorgio

 What else?
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Io ipotizzavo che l'obiezione di Elio fosse proprio relativa a ciò,
 > copio e incollo il messaggio che stavo scrivendo in risposta a lui
 > quando ho letto il tuo:
Avevo in mente una cosa di cui non sono più tanto convinto :)
Si può certamente pensare un rif. in moto qualsiasi, ma mi pareva
dovesse trattarsi di moto *noto*, indip. da quello del sistema in
studio.
Nel nostro caso il rif. S non soddisfa questo requisito, perché siamo
proprio interessati a determinare il moto di S nel rif. del cdm.
Ma come ho già detto. non mi sembra più necessario porre questa
condizione. Mah...
 
Approfitto dell'oaccasione per informarvi che nel sito
http://www.sagredo.eu/figure
 
Troverete una figura pub-fig33.pdf che mostra le traiettorie e le
posizioni dei corpi a un certo istante nel rif. del cdm G e poi in
quello del Sole S.
Per voi la figura risulterà ovvia. ma non pare sia così per tutti...
In pub-fig33.txt c'è una sommaria spiegazione (con un inconveniente
tecnico che non mi riesce di capire :-( ).
-- 
Elio Fabri

 condizione. Mah... 
La perplessità resta.
Un riferimento ha bisogno di essere definito operativamente?
 
In questo senso il riferimento del centro di massa - riferito pre-galileanamente alle "stelle fisse"- ha una certa chance di poter essere determinato, anzi, di poter diventare un sistema di coordinate.
 
Rispetto a tale riferimento, quello del Sole non ha riferimenti esterni "fissi". Se abbiamo un laboratorio gli strumenti dovranno pur essere orientati in qualche modo: è il "vassello" di Galileo. Ma il moto dei pianeti non è mai stato calcolato dal mare in tempesta.
 
Più semplice da definire sarebbe un riferimento centrato sul Sole e con e con asse "fisso" nella direzione del raggio vettore Sole-pianeta: ci sarebbe qualcosa di concreto su cui operare. Con qualche complicazione di calcolo.
 
 
Quello invece che eredita le direzioni dal rif. del cdm non ha nulla di costruttivamente valido sul piano del laboratorio posto sul Sole: "stelle fisse", cdm e pianeta sarebbero in continuo variare con un criterio non interno (per inciso questa è l'origine del fraintendimento di C. e del chiamare riferimento "non inerziale" qualcosa che invece è un ibrido).
Più facile sarebbe chiamarlo non "riferimento" ma "sistema di coordinate", definito esternamente al Sole e in modo puramente matematico. 
Resta il problema di definirlo. Si potrebbe farlo in due modi:
a) come sistema solidale al rif. centrato sul Sole con asse Sole-pianeta ma in mutevole (contro)rotazione rispetto ad esso:
 
b) come sistema "artificiale" costruito a partire dal rif. del cdm (operativamente determinato) con una traslazione dipendente dal tempo individuata dal vettore cdm-Sole.
In sintesi: una qualche definizione deve pur esser data.
Furio Petrossi

 b) come sistema "artificiale" costruito a partire dal rif. del cdm (operativamente determinato) con una traslazione dipendente dal tempo individuata dal vettore cdm-Sole.
 
E anche questa può andare.

Giorgio Pastore ha scritto:
 > ...
 > E anche questa può andare.
 
Non intervengo in risposta a questo post o ai precedenti, ma per
riprendere il discorso dove l'avevo lasciato.
Vi ricordo che cosa avevo scritto il 10:
 > Avevo in mente una cosa di cui non sono più tanto convinto
 > Si può certamente pensare un rif. in moto qualsiasi, ma mi pareva
 > dovesse trattarsi di moto *noto*, indip. da quello del sistema in
 > studio.
 
Ora credo di aver ricostruito il mio problema e lo espngo sul solito
esempio di Sole (S) + pianeta (P).
La questione era se si possa usare il rif. non inerziale che trasla in
modo che in esso S sia fermo.
Riscriverò qualche formula ridefinendo le notazioni.
mS e mP sono le masse.
rS e rP i vettori dal cdm G a S, P risp.
Si ha
mS rS + mP rP = 0
da cui
rS = -(mP/mS) rP.
Pongo poi
r = rP - rS = (1 + mP/mS) rP = (M/mS) rP = -(M/mP) rS  (1)
dove
M = mS + mP mentre aS, aP sono le accelerazioni:
aS = rS", aP = rP".
 
Nel rif. G le eq, del moto sono
 
mS aS = -(G mS mP/|r|^3) r
mP aP = (G mS mP/|r|^3) r
 
che si semplificano in
 
aP = (G mS/|r|^3) r   (2)
aS = -(G mP/|r|^3) r  (3)
 
Passiamo al rif. S. Questo si muove rispetto al rif. inerziale G con
accel. aS.
Quindi l'eq. del moto di P, con vettore posizione r e accel. a = r" è
 
mP a = -(G mS mP/|r|^3) r - mP aS
 
che si semplifica in
 
a = -(G mS/|r|^3) r - aS
 
Ed ecco il problema: in questa eq,. scritta nel rif. S, interviene la
forza apparente che dipende da aS (accel. di S nel rif. G).
Ovviamente possiamo ricavare aS dalla (3), ma ciò significa che non è
possibile ricavare *autonomamente* l'eq. nel rif. S, senza appoggiarsi
su quelle del rif. G.
Non è vietato farlo, e procediamo:
 
a = -(G mS/|r|^3) r - (G mP/|r|^3) r = -(G M/|r|^3) r. (4)
 
Alla (4) si poteva per\`o arrivare in un sol colpo sottraendo la (3)
dalla (2), senza tirare in ballo il rif.,\ non inerziale~S.
-- 
Elio Fabri

 cui, l'effetto di parallasse lo puoi trascurare 
 
 
Non ho dubbi, anche se questo effetto tra 51 Cygni e Vega è di 0,129″ (non molto eh!). Però qui si cercava di non trascurare nulla... preferisco i quasar lontani...
 
Ovviamente il moto dei pianeti lo abbiamo studiato in questo modo. Studiarlo in altro modo porta solo a inutili complicazioni, anche se si può fare.
 
 
Ed è questo che ci permette di fare la semplice operazione di ottenere l'orbita del pianeta attorno al Sole come semplice combinazione lineare delle ellissi di Sole e pianeta attorno al cdm [punti (xp(t)-xs(t),yp(t)-ys(t)) con coordinate dal cdm], con semplici conseguenze su velocità e accelerazioni, in particolare sull'accelerazione "relativa" tra Sole e pianeta calcolata dal cdm. O di fare il contrario.