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Titolo: caduta libera

Vorrei che qualcuno mi aiutasse a risolvere questo quesito: Lasciando
cadere due biglie uguali dall'alto della Torre DI Pisa a distanza di
un secondo l'una dall'altra , come varia (se varia) la distanza
durante la caduta ?
Vi prego aiutatemi

 wrote in message
news:7eb22a4.04092...@posting.google.com...

Se trascuriamo l'attrito dell'aria, aumenta linearmente nel tempo.
Scrivi le due leggi orarie, sottrai la seconda dalla prima e verificalo.
Saluti
Mino Saccone

Antonella ha scritto:

Ti do un aiutino :)
Pensa a un punto intermedio della torre: a che distanza di tempo ci
passeranno le due biglie?
Sai dire quanto saranno distanti in quel momento?
Questo senza fare calcoli.
Dato che non ci hai detto a che livello di studi sei, di piu' non e'
il caso di dire...
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 Mino Saccone
Tante grazie per la risposta, ma sono interessata a conoscere come varia
la distanza tra le due biglie considerando anche l'attrito dell'aria.
Sarei contenta se mi rispondessi presto.. grazie! :)

 Sarei contenta se mi rispondessi presto.. grazie! :)
Allora non ti resta che impostare e risolvere un'eq. differenziale col
termine di smorzamento che, per sfortuna  e' proporzionale al quadrato della
velocita' e non alla prima potenza.(Alla velocita' di una biglia pesante che
cade nell'aria, il numero di Reynolds mostra che siamo in regime
turbolento).
Qualitativamente parlando:
In una prima manciata di secondi le due biglie si distanziano tra loro.
Poi le velocita' tendono asintoticamente alla stessa velocita' limite,
quella alla quale la resistenza dell'aria uguaglia il peso della biglia, e
la distanza tra le due non varia piu'.
Confesso di non aver mai tentato di risolvere analiticamente l'equazione e
non so neanche se e' possibile.
La soluzione numerica e' invece possibilissima. Otterrai la legge oraria di
una biglia. Sai che la seconda avra' la stessa legge con 1 secondo di
ritardo. Quindi, numericamente, dovresti trovare come varia la distanza nel
tempo.
Troverai una curva che parte dalla distanza di poco meno di 5m, aumenta nel
tempo (sempre piu' lentamente) per poi tendere ad un asintoto orizzontale.
Saluti
Mino Saccone

 non so neanche se e' possibile.
Si`, e` possibile, l'eq e` a variabili separabili, di questo genere:
v dv/dx= g - k v^2
E poi introducendo il tempo si riesce a trovare x(t). Oppure ancora 
meglio dv/dt = g - k v^2
C'era stato un thread un paio di anni fa
http://groups.google.com/groups?hl=en&lr=&ie=UTF-8&selm=3C8FE930.711941B6%40hotmail.com
su altezze dei palloni calciati in verticale.
Ciao.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 Ciao.
premetto che non c'entra niente.... non conosco il tedesco, ma per caso
abbiamo la stessa firma?
-- 
"su ciň di cui non possiamo parlare, dobbiamo tacere.."
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

...

Salve sono ancora io !!
Grazie ai vostri utili consigli ho provato a risolvere il quesito da
me posto !!
Potreste aiutarmi a capire se la mia soluzione è giusta ??
Se si trascura l'attrito dell'aria si ha che le 2 biglie si muovono di
moto uniformemente accelerato e risulta che la distanza tra le biglie
aumenta di una stessa quantità (pari a 9.8 m/s) in intervalli
successivi di tempo uguali (pari a 1s).
Questo lo si può capire scrivendo le leggi orarie rispettivamente 
della 1° biglia:  y1=y0 + v0t1 + 1/2gt1^2  
della 2° biglia:  y2=y0 + v0t2 + 1/2gt2^2  (quella che parte dopo 1s)
Assumendo che le 2 biglie partono da ferme e dalla stessa posizione
iniziale si ha e
sottraendo la 2° equazione dalla 1° si ottine: D= 1/2g(t1^2 - t2^2)
che rappresenta
la distanza tra le 2 biglie. Allora si ha:
 t1=1s t2=0s   D= 4.9 m/s
                                in ogni intervallo D aumenta di 9.8
m/s
 t1=2s t2=1s   D= 14.7 m/s
 t1=3s t2=2s   D= 24.5 m/s
Invece, se non si trascura l'attrito dell'aria si ha che in una prima
fase le 2 biglie si muoveranno di moto acceletrato e la distanza
varierà ossia aumenterà in intervalli successivi di tempo uguali
mentre dopo che la 1° biglia avrà raggiunto la velocità limite la
distanza diminuirà fino a che anche la 2° non avrà raggiunto la
velocità limite.
Quando entrambe avranno raggiunto la velocità limite la distanza non
varierà più e resterà costante fino a che la 1° biglia non raggiungerà
il suolo.
In questo caso la distanza diminuerà ancora e si annullerà quando la
2° biglia toccherà terra.
Se ci sono errori comunicatemelo tranquillamente...così sarà sicura si
aver scritto le cose per bene !!  Grazie in anticipo

...

Salve sono ancora io !!


su altezze dei palloni calciati in verticale.
Ho guardato, ma per l'equazione di moto avete solo
indicato il modo, e non calcolata.
Con due quadrature ci si arriverebbe si` facilmente, solo
che presentano entrambe qualche problema per le condizioni
iniziali: l'istante t=0 sembra interdetto.
Cio` puo` essere a mio avviso anche in accordo col range
di validita` della legge stessa della forza: dv/dt=g-kv^2,
che dovrebbe perdere validita` per velocita` troppo basse.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 che dovrebbe perdere validita` per velocita` troppo basse.
Chissà perchè, mentre il caso di Stokes lo trattano bene
più o meno tutti, questo caso della dipendenza quadratica 
mette in difficoltà diverse persone. Su di un libro (per
fortuna un caso più unico che raro) trovai scritto che,
se D=k*V^2, la velocità limite di caduta veniva raggiunta
in tempo finito.

in tempo finito.
Non ti seguo.. quale caso di Stokes e perche' un
tempo infinito, oppure i paracadute fanno solo finta
di funzionare?


 di funzionare?
Stokes ha trovato la legge che esprime la dipendenza della
forza di resistenza D dalla velocità nel limite Re -> 0, che
è la classica espressione lineare D = 3*pi*d*mu*V dove d è
il diametro della biglia, mu la viscosità dinamica dell'aria,
V la differenza di velocità fra biglia e aria. E nel caso
lineare l'equazione differenziale e la discussione sono
arcinote a tutti, così come il fatto che ci vuole un tempo
infinito per raggiungere la velocità limite, anche se "in
pratica" per t maggiore di tre o quattro volte la costante di
tempo del sistema, la velocità è già "vicinissima" a quella
limite (stesso identico caso della scarica del condensatore
sulla resistenza).  
Nel regime "idraulico" (?) la dipendenza di D da V è
quadratica, quindi il sistema non è lineare e a priori non
sappiamo se le stesse conclusioni valgono ancora: essendo
ora la resistenza aerodinamica più grande, potremmo anche
scoprire che Vt viene raggiunta in tempo finito. Invece,
come dovresti aver capito osservando la soluzione di
Bronzetti, pure qui ci vuol un tempo a rigore infinito, in
pratica "piuttosto breve" per biglie "massicce". Dunque 
nessun problema per quanto riguarda i paracadute.
Ciao,
Andrea

nessun problema per quanto riguarda i paracadute.
Si`, mi ero espresso male.. intendevo che fintanto che
e` valido il regime idraulico [*] la velocita` ha un
ben preciso limite, noto a priori.
Non in quel post, ma da questa espressione della
velocita`: kv = 1 - 2/[1 + e^(2kgt)], si vede infatti
benissimo che essa si mantiene sempre inferiore alla
velocita` 1/k; la raggiunge per t=inf.
[*]
Come alias per la piu` tipica dipendenza da v^2.. forse
non s'usa piu`:-(


 Nel regime "idraulico" (?) la dipendenza di D da V è quadratica,
Non ero intervenuto finora, ma mi sembra che una piccola messa a punto
sia necesaria.
La legge di Stokes e' una legge limite, valida a piccole velocita',
ossia quando il moto possa essere considerato laminare.
Piu' esattamente il limite pratico di validita' si esprime mediante il
numero di Reynolds Re.
Invece *non esiste* nessun campo di velocita' in cui la legge della
resistenza sia veramente quadratica: esiste solo un campo di valori di
Re (dipendente in modo importante dalla forma del corpo) in cui la
legge quadratica e' _grossolanamente_ applicabile.
Per una sfera si puo' dire che la legge di Stokes vada bene per Re<1, e
un po' piu' all'ingrosso per Re<10.
La legge quadratica va _all'ingrosso_ bene per 10^3 < Re < 10^5.
Intorno a 2x10^5 la resistenza crolla bruscamente, di un fattore 4.
Se poi la sfera e' "picchiettata" (non so come si dice: es. palle da
golf) le cose cambiano, in senso favorevole.
Morale della favola: fare conti con la legge quadratica per
l'andamento della velocita' nel tempo ha ben poco senso.
Ne ha di piu' per il calcolo della velocita' limite, se siamo nel
campo giusto per Re.
