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Titolo: Grado di degenerazione

Salve, ho alcuni problemi nello stabilire il grado di degenerazione in
problemi 3D di meccanica quantistica.
Se non mi sbaglio il grado di degenerazione dovrebbe essere il numero
massimo di autovettori distinti corrispondenti ad un unico autovalore.
Sempre che la definizione sia corretta non riesco in pratica ad applicarla:
per esempio oscillatore armonico 3D in generale lo spettro dell'energia
dovrebbe essere E=E1+E2+E3 con E1=hW1(n1+1/2)  (con W intendo omega
pulsazione) e così uguale per E2 e E3 che sono gli autovalori dell'energia
nei singoli casi 1D. Nel caso 1D non credo ci siano problemi e non c'è
degenerazione (ad ogni n corrisponde solo 1 autovalore) ma supponiamo di
avere E=n1+n2+n3... cosa posso dire del grado di degenerazione? Direi che si
può andare a tentativi per i primi livelli...ma ho trovato un esercizio che
mi chiede il grado di degenerazione per il livello n-esimo...
Grazie a chi vorrà aiutarmi
Paolo

 Paolo
Per quanto riguarda l'oscillatore armonico, come abbiamo
detto, per il caso unidimensionale ogni autovalore
ha degenerazione uno in accordo con il teorema di Liouville.
Per l'oscillatore armonico in dimensione maggiore di uno
sei in una situazione differente. Puoi osservare che esiste
una unica autofunzione associata ad ogni terna n1,n2,n3.
Ma le terne compatibili con il medesimo autovalore sono
condizionate solo dalla richiesta
(n1+1/2)\omega1+(n2+1/2)\omega2+(n3+1/2)\omega3 = E
se le tre frequenze sono uguali, come č nel caso isotropo,
la condizione č n1+n2+n3=n. Il problema č allora quello
di trovare il numero di terne compatibili con questa
decomposizione. Queste sono contate dal numero di
modi di suddividere n oggetti in tre gruppi utilizzando
due separatori. Si tratta di C(n+2,2) modi. Pertanto
la degenerazione vale (n+2)(n+1)/2 = [n^2+3n+2]/2.
Dovrebbe esistere un modo di ottenere lo stesso risultato
scrivendo il problema in coordinate polari. In questo
caso infatti la parte radiale del problema si riduce
ad un problema di Liouville e la degenerazione č data
solo dal contributo angolare. Se stai studiando istituzioni
(ma io ho visto il tuo nome altre volte su questo ng e
dal livello delle domande giudico che sei ben oltre
istituzioni) ti accorgerai che questo č praticamente
l'unico modo per valutare la degenerazione dei livelli
per l'hamiltoniana dell'atomo di idrogeno (e per i
problemi coulombiani centrali in genere). In quel caso
trovi che al variare di l hai (2l+1) diversi valori di
lz e compatibili con lo stesso valore di n hai esattamente
tutti i valori di l che vanno da 0 fino ad n-1 se sommi
i primi n-1 numeri dispari trovi n^2. Questo problema era
giŕ stato risolto dai pitagorici, la fisica dell'atomo di
idrogeno non č ancora stata completamente risolta.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 degenerazione per il livello n-esimo...
Questo non e' un prblema di m.q., ma di aritmetica...
Trovare quante scelte di n1, n2, n3, tutti >= 0, danno per somma un
certo n.
Se fossi in 2 dim. sapresti farlo?
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 i primi n-1 numeri dispari trovi n^2.
questo argomento lo stiamo vedendo adesso... mi sto però accorgendo che c'è
moltissimo da fare...però è roba molto bella mi pare!
Grazie epr l'interessamento Paolo

 Se fossi in 2 dim. sapresti farlo?
Alla fine penso di averlo risolto anche se non mi maniera proprio
ortodossa... in 2 dim sarebbe n1+n2=n e dovrebbero esserci (n+1) coppie..o
mi sbaglio?
Grazie anche a te per la risposta
paolo