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Titolo: Splash!

    Una curiosità, per una volta tanto non legata a fotoni e compagnia bella 
;). Prendiamo una sfera di acciaio (peso P) e facciamola cadere in acqua 
(nel mare, ad esempio), da una certa altezza (h). Supponiamo pure l'assenza 
di aria. Calcolare quanto ci mette a raggiungere l'acqua e con che velocità 
è abbastanza semplice. La mia domanda è: come si calcola la profondità alla 
quale arriverà? Direi che... non so che pesci pigliare ;)))).
Stefano 

A parte gli scherzi, se ammettiamo che la densità della sfera sia inferiore
a quella dell'acqua, si potrebbe procedere ad un primo calcolo di massima
in questo modo:
Nota la velocità con la quale la sfera arriva sulla superficie del liquido,
è possibile calcolarne l'energia cinetica come:
EC=(1/2)*M*v^2
La sfera si fermerà, per poi risalire, quando l'energia cinetica sarà stata
completamente consumata dalle forze resistenti:
1) spinta idrostatica
2) attriti con il liquido.
Se ammettiamo di trascurare questi ultimi, i il lavoro fatto dalla spinta
idrostatica si calcola  agevolmente. 
Una volta che la sfera è completamente immersa, la spinta idrostatica è
costante, ed è pari a V*rho, dove V è il volume della sfera, e rho il peso
specifico del fluido.
Per un generico affondamento H, l'energia richiesta è quindi V*rho*H.
Essendo H la nostra incognita, si ottiene che 
H= EC/(V*rho).
NB: Notare che stiamo trascurando la fase in cui la sfera è parzialmente
immersa nel fluido. Tenerne conto non comporta problemi concettuali, ma
solo una leggera complicazione nel calcolo. La fase di parziale
affondamento richiede una energia pari a:
rho* Integrale(Vi(h))dh 
con la variabile di integrazione h compresa tra h=0 e h=diametro della
sfera.
Vi(h) è il volume immerso quando il bordo inferiore della sfera penetra di
una distanza h nel bordo libero della superficie liquida. Con un po' di
arrovellamento geometrico non è difficile trovarne l'espressione analitica.
NB: non ho ancora fatto le ferie, tre giorni all'alba, e sono piuttosto
fuso: se mi è scappata qualche fesseria me ne scuso in anticipo e mi
cospargo il capo di cenere :-)

 quale arriverà? 
Io direi che arriva... a toccare il  fondo :-) Forse volevi sapere /in
quanto tempo/ ci arriva!

 quale arriverà? Direi che... non so che pesci pigliare ;)))).
Si calcola notando innanzitutto se il peso specifico della sfera è maggiore
o minore del peso specifico dell'acqua di mare che prendi in considerazione.
Nel nostro caso il problema è di facile risoluzione in quanto l'acciaio a un
peso specifico maggiore di quello dell'acqua (nota che non conta
assolutamente il peso che il corpo ha, ma solo il rapporto massa/volume,
ossia il peso specifico); quindi la sfera in questione affonderà toccando il
fondo del mare. Quindi, sapendo quanto è profondo il fondo del mare sai
anche a che profondità arriverà la tua sfera. È da notare che se (nonostante
la sfera abbia un peso specifico maggiore dell'acqua in superficie) si vuole
tenere conto del fatto che la densità dell'acqua varia con la profondità,
allora la sfera arriverà ad una profondità che è proprio quella alla quale
l'acqua a quella densità; devi quindi conoscere la legge con cui varia la
densità dell'acqua in funzione della profondità.
Se invece il corpo ha un peso specifico minore dell'acqua, allora il
problema diventa molto più complesso; sicuramente devi almeno risolvere
un'equazione differenziale, ma non è tutto; si dovrebbe anche studiare cosa
accade nel tempo in cuio la sfera e in parte in acqua ed in parte fuori;
inoltre poi si dovrebbe considerare il fatto che anche quando è
completamente in aqua, per via del tuffo che ha fatto, si porterà dietro
qualche bollicina, muoverà l'acqua in modo difficilmente descrivibile, ci
saranno delle onde riflesse dal fondo ecc. Insomma il problema non si
risolve esattamente ma solo per approssimazione; quanto maggiore è la
precisione con cui vuoi sapere il risultato tanto maggiore sarà il grado di
complessità richiesto.
Ciao
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 profondità alla quale arriverà?
Ciao,
 sarai d´accordo che una sfera d´acciaio piena si ferma solo quando tocca
il fondo! Ma ovviamente pensavi ad una sfera cava, abbastanza leggera per
galleggiare ...
Direi che non e´ banale!
Innanzitutto, proviamo a trascurare l´attrito, quindi le uniche forze in
gioco sono il peso (P) e il principio di Archimede: allora e´ facile! Sai
che velocita´ ha sulla superficie (v0), conosci la spinta di Archimede
(A), e´ fatta!
	a = ( P - A )/m t = v0 / a
La parte non banale e´ l´attrito; ad occhio direi che non puoi
trascurarlo; soprattutto direi che l´impatto iniziale la rallenti gia´
parecchio ... Attendo le altre risposte!
 Ciao
 Federico


Se ti riferisci ad una sfera di acciaio piena non preoccuparti: 
tocchera' il fondo, non importa il peso (l'acciaio e' piu' denso 
dell'acqua).
Se invece la sfera e' cava dipende dal volume: se sposta un volume 
d'acqua il cui peso Pa e' maggiore del peso della sfera allora 
quest'ultima galleggera'.
 >A<

Ciao,
direi che la sfera raggiungera' il fondo essendo la sua densita'
maggiore di quella dell'acqua.
Se vogliamo invece ottenere una legge oraria per una sfera di generica
densita' d, possiamo procedere nel seguente modo.
Prendendo come riferimento un asse x con origine sul pelo dell'acqua e
orientato verso il fondo, e dette a e v rispettivamente accelerazione e
velocita', l'equazione del moto all'interno dell'acqua è dato
dall'equazione
ma = -Kv + P - A
dove Kv rappresenta la forza di attrito, P=mg il peso e A=DV la spinta
di Archimede
(D densita' dell'acqua, V volume).
Otteniamo allora
ma = -Kv + mg (1 - D/d)
Come condizioni iniziali avremo
x(t=0) = 0
v(t=0) = v_0 (velocita' iniziale)
Penso che la difficolta' del problema consista nella determinazione di
v_0, che risultera' dall'impatto della sfera con l'acqua, poiche' si
dovrebbe tenere conto sia dell'urto con la superficie del fluido sia
del fatto che la spinta di Archimede varia mentre il corpo affonda.
Ciao
Riccardo

 galleggiare ...
...
    Preciso che avrei voluto sapere la profondità alla quale arriva per 
effetto della sola energia cinetica accumulata, dopodiche ovviamente 
inizierà ad affondare, se di peso specifico superiore a quello dell'acqua, o 
tornerà in superficie, se di peso sp. inferiore.
    Ringrazio tutti per le risposte.
Stefano
PS: mi serve per un software (un gioco) 

 del fatto che la spinta di Archimede varia mentre il corpo affonda.
Poi credo che si debba tenere anche conto degli effetti della "turbolenza" 
dell'acqua mossa sopra la sfera... ma questo non credo che sia facilmente 
calcolabile. Forse dovrei simulare il moto con un automa cellulare...
Stefano 

 dell'acqua, o tornerà in superficie, se di peso sp. inferiore.
Ciao,
 detta cosi' e' comunque sporca :-))
Indipendentemente dalla sua energia cinetica iniziale, una sfera d'acciaio 
piena non si ferma mai in acqua. Con quel "dopodiche", sembra quasi che la 
spinta di Archimede all'inizio derva solo per rallentare la sfera, e poi 
ci si mette di mezzo anche la forza peso ... No, il peso c'e' sempre!
Tra l'altro, essendo il peso maggiore del modulo della spinta di 
Archimede, la palla cadrebbe con accelerazione costante se non ci fosse 
l'attrito. Ma l'attrito c'e', e magari dopo un po' la palla raggiunge la 
velocita' di regime e smette di accelerare. Sarebbe carino sapere quanto 
ci mette a raggiungere questa velocita', ma e' impossibile se non si 
conosce l'attrito.
 Ciao
 Federico
PS: quando il gioco e' pronto, manda l'URL !!

Vedo che avete pensato a tutto, ma avete tutti dimenticato una cosa.
So che e' poco nota, pero' e' importante.
Sto parlando dell'aumento apparente di massa della sfera.
E' un fenomeno che si presenta nel moto di un corpo solido in un
fluido, e non ha niente a che vedere con la viscosita'.
Tutto dipende dal fatto che se il corpo si muove si deve per forza
muovere anche il fluido, per fargli posto.
Risultato: accanto all'en. cinetica del corpo occorre conteggiare
anche quella del fluido, e se il corpo cambia velocita' c'e' anche un
incremento di velocita' del fluido.
Nel caso di una sfera in un fluido infinito (perfetto e
incomprimbile), tutto va come se la massa della sfera venisse
aumentata per meta' della massa del fluido spostato.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 aumentata per meta' della massa del fluido spostato.
Quindi, se ho capito bene, l'energia cinetica di un corpo sferico di massa
M e volume V che si sposta a una velocità u dentro un fluido di densità rho
è 
(0.5)*(M+0.5*rho*V)*u^2 ?
Grazie per la precisazione! Può per caso dirmi come viene chiamato il
fenomeno in inglese? Vorrei cercare di approfondire (è il caso di dirlo) la
cosa in rete.

 fluido, e non ha niente a che vedere con la viscosita'.
uscendo un attimo di tema...se ricordo bene alcune vecchie
teorie dell'etere prevedevano un aumento di massa dei corpi
in moto proprio per un effetto del genere, cioè per il trasci-
namento dell'etere da parte del corpo. Anche la teoria di
Lorentz prevedeva un aumento di massa ma non so se il
meccanismo sottostante fosse di quel tipo (ne dubito, essendo
la sua una teoria molto più raffinata delle altre).
Erano vaghi presentimenti della nuova dinamica relativistica
ormai alle porte.
bye
Corrado

 dirlo) la cosa in rete.
Nel vol. 6 del Landau, che io ho in ed. inglese, la questione e'
trattata nel par. 11, e la massa addizionale e' chiamata "induced
mass".
Che vuoi di meglio per approfondire?
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