Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Moti relativi (Mazzoldi-Nigro-Voci)

Ciao a tutti,
scrivo perchè proprio non riesco a capire un passaggio del suddetto
manuale, magari qualcuno può aiutarmi...
Nel capitolo sui moti relativi (nella seconda edizione è il 3, da
pagina 90) si dà l'importante relazione fra la posizione di un punto
misurata in sistema considerato convenzionalmente fisso Oxyz e la
posizione dello stesso punto misurata in un sistema mobile rispetto al
primo O'x'y'z': r=r' + OO' (sono vettori, non so come indicarli,
scusate...).
Subito dopo l'autore esprime in componenti i tre vettori della
suddetta relazione:
r=xu(x) + yu(y) + zu(z), 
r'=x'u(x') + y'u(y') + z'u(z'),
OO'=x(O')u(x) + y(O')u(y) + z(O')u(z)
con u(x),u(y) e u(z) versori del sistema "fisso" Oxyz e u(x'),u(y') e
u(z') versori del sistema mobile O'x'y'z'.
Nelle tre righe successive gli autori scrivono:
"Assumiamo, in accordo con la convenzione che il primo sistema sia
fisso, che i versori u(x),u(y) e u(z) siano indipendenti dal tempo;
tali non sono invece i versori degli assi del sistema mobile (cioè:
u(x'),u(y') e u(z'). "
E qui già comincio a perdermi, e pongo quindi la prima domanda: anche
se gli autori non lo scrivono esplicitamente, immagino intendano che i
versori di O'x'y'z' non sono indipendenti dal tempo RISPETTO al primo
sistema Oxyz, giusto? infatti un osservatore solidale con il sistema
fisso vede effettivamente "cambiare" nel tempo i versori di O'x'y'z',
no?
Viene poi definito il vettore "velocità assoluta", cioè la velocità
del punto rispetto al sistema fisso Oxyz:
v=dr/dt=(dx/dt)u(x)+(dy/dt)u(y)+(dz/dt)u(z)
poi la velcotià relativa", cioè la velocità del punto rispetto al
sistema mobile O'x'y'z':
v'=(dx'/dt)u(x')+(dy'/dt)u(y')+(dz'/dt)u(z')
e infine la velocità dell'origine O' (del sistema di riferimento
mobile) rispetto il sistema fisso Oxyz:
v(O')=dOO'/dt=(dx(O')/dt)u(x)+(dy(O')/dt)u(y)+(dz(O')/dt)u(z)
Bene, nessun problema, definizioni semplici e già studiate nei
capitoli precedenti: noto subito però che nelle serie di uguaglianze
scritte sopra, nel caso della "velocità relativa", manca l'uguaglianza
con la derivata rispetto al tempo del vettore posizione r' (cioè manca
un "dr'/dt" che sarebbe l'analogo, negli altri due casi, di dr/dt e
dOO'/dt).
Ora gli autori, dopo questi preliminari, derivano rispetto al tempo la
relazione di partenza,  r=r' + OO' .
Al primo membro ritroviamo la "velocità assoluta" dr/dt, mentre al
secondo membro troviamo: dOO'/dt (di cui abbiamo già i tre componenti,
definiti sopra) e dr'/dt
Bene, ecco che salta fuori quel famoso dr'/dt! però si scompone non in
3, bensì in 6 componenti: i tre della "velocità relativa":
(dx'/dt)u(x')+(dy'/dt)u(y')+(dz'/dt)u(z')
più i seguenti tre termini:
x'(du(x')/dt) + y'(du(y')/dt) + z'(du(z')/dt)
E infatti poi scrivono: "Osserviamo che dr'/dt non coincide con v'
(velocità relativa) in quanto nella variazione di r' compaiono non
solo le derivate delle coordinate, ma anche quelle dei versori degli
assi del sistema mobile, che forniscono gli ultimi tre termini (quelli
sopra)"
In pratica è la derivata di un prodotto. 
Da ciò immagino che anche i versori di O'x'y'z' siano dipendenti dal
tempo: ritorniamo quindi alla mia prima domanda posta più sopra, cioè
si intende (implicitamente) che dr'/dt sia riferita al sistema fisso
Oxyz, da cui "si vede muovere" sia r' che i versori di O'x'y'z'.
Ma ora mi chiedo: da dove viene fuori questa implicazione, che cioè
dr'/dt è riferita al sistema fisso Oxyz? Forse dall'operazione di
derivazione per ambo i membri di  r=r' + OO' ???
Chiedo questo perchè, di primo acchito, dr'/dt la immagino
semplicemente come la velocità del punto RISPETTO al sistema mobile
O'x'y'z', in cui i versori u(x'),u(y') e u(z') sono ovviamente
indipendenti dal tempo; e quindi, essendo costanti, non
aggiungerebbero ulteriori termini all'operazione di derivazione di
r=r' + OO'.



 ...
Forse puo' aiutarti pensare, invece che alla valocita', allo spostamento
di P in un intervallo dt.
E magari pensare dapprima a un caso particolare: che O' coincida
sempre con O, e che P sia fermo rispetto al rif. mobile.
E' chiaro che in questo caso P si muove rispetto al rif. fisso solo
perche' il rif. mobile ruota, e quindi i suoi versori, _visti da
Oxyz_, cambiano nel tempo.
Percio' i tre termini che ti disturbano sono proprio quelli necessari,
in questo caso particolare, per far venir fuori la velocita' giusta.
Dopo di che non sara' difficile estendere il ragionamento al caso
generale.
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
X-Mozilla-Status: