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Titolo: La spigolosità matematica degli oggetti puntiformi

Il calcolo del tempo di caduta di un oggetto puntiforme di massa m, posto
a distanza d da una massa M, sempre puntiforme, con M >>> m, da un punto
di vista matematico presenta delle difficoltà, almeno per me, inaspettate.
Intanto non mi è proprio riuscito di trovare un integrale particolare in
forma esplicita (ovvero y = y(t), in pratica l'equazione oraria del moto)
dell'equazione differenziale non lineare di secondo grado che descrive
matematicamente il problema 
y'' = -GM/y^2 (1)
BTW risulta invece abbastanza agevole trovare un integrale particolare
dell'equazione modificata con il segno + a secondo membro, che descrive il
caso di una forza repulsiva con la stessa forma della forza
gravitazionale.  
 
E' altresì abbordabile, sebbene non proprio immediata, la determinazione
dell'integrale generale della (1) 
[così come dell'equazione più generale y'' = f(y) , con f(y) qualsiasi]
in forma implicita, da cui si ottiene facilmente il tempo tff (tempo di 
free-all sull'oggetto massiccio centrale).
L'equazione oraria del moto in forma implicita risulta essere la seguente:
L*pi/2 + sqrt[y*(L - y)] - L*arctg[sqrt(y)/sqrt(L - y)] = t  (3)
dove L è la distanza iniziale tra le due masse puntiformi e la velocità
iniziale è nulla al tempo t = 0 .
Confesso che non ci ho provato seriamente (esistono delle formule di
trasformazione che coinvolgono l'arctg che potrebbero aiutare), ma
esplicitare nell'equazione trascendente (3) la dipendenza da t di y non mi
sembra banale (sempre ammesso che sia fattibile).
E pensare che tutto questo ambaradam salta fuori per un "banale" problema
di meccanica che coinvolge due masse puntiformi (la spigolosità matematica
cui alludevo nel titolo appunto)!
A riprova della frequente maggiore trattabilità degli oggetti matematici
"lisci", la risoluzione del problema analogo a quello di partenza, in cui
la massa puntiforme M s'immagina distribuita omogeneamente, con densità
rho* costante, in una sfera di raggio L, con il corpo di prova di massa m
posto inizialmente sulla superficie, non presenta alcuna difficoltà,
infatti la (1) si riduce all'equazione dell'oscillatore armonico:
y'' = - GM(y)/y^2 = - (4*pi*G*rho*/3)*y   (4)
la cui soluzione (con la condizione iniziale (y(0)  = L ; y'(0) = 0)
è (equazione oraria del moto):
y(t) = L*cos(w*t) , con w = (4*pi*G*rho*/3)^(1/2)  
Saluti,
Aleph   
 
-- 
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 ...
Non so se la questione sia davvero quanto l'oggetto e' "liscio".
Osservo che il tuo problema di partenza e' un caso limite (mom.
angolare nullo) del classico problema di Keplero, che da' anch'esso
luogo a una relazione non invertibile, la famosa equazione di Keplero:
M = E + e * sin(E)
e e' l'eccentricita'; M e' l'anomalia media, che e' funzione lineare
del tempo; E e' l'anomalia eccentrica, legata in modo semplice
(e invertibile) all'anomalia vera e alla distanza del corpo dal centro
di forza.
 
-- 
Elio Fabri

 y'' = -GM/y^2 (1)
La (una delle?) soluzione č
y= (9/2*GM)^(1/3) * t^(3/2) + a *t + b
dove gli ultimi due sono i termini che trovi con le costanti iniziali.
Se al posto del meno metto il piů ottengo la stessa soluzione a meno
di un meno davanti a tutto.

 cui alludevo nel titolo appunto)!
Tu _credevi_ che la meccanica newtoniana fosse banale eh?  :-)
E se ti dicessi che esiste (almeno) un paradosso anche in meccanica
newtoniana?

Luca85 ha scritto:
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
Prova ad eseguire le derivate per bene e vedrai che non ci sei andato
neppure vicino.  
Che la tua "soluzione" sia sbagliata lo vedi anche qualitativamente:
al crescere di t la y, nel tuo caso cresce (il termine t^(3/2) domina),
mentre invece deve tendere a zero: il corpo di prova deve cadere nella
massa puntiforme centrale.


 newtoniana?
Immagino più di uno. Sicuramente è paradossale il concetto stesso di massa
puntiforme che implica un'autonergia infinita e, similmente, che dal
sistema delle due masse puntiformi di cui sopra si possa estrarre energia
infinita; penso se ne rendesse già bene conto lo stesso Newton
In effetti da questo semplice paradosso si potevano trarre delle
informazioni importanti:
1) o la legge di gravitazione a piccole distanze ha un andamento diverso
dall'inverso del quadrato;
2) o il concetto di massa puntiforme non corrisponde alla realtà fisica
degli oggetti materiali, ma è solo un'approssimazione (oggi sappiamo che
questo punto è senz'altro vero).  


 fuori radicali negativi.
Non mi pare che ci sia bisogno di ricalcolare la soluzione: se z(t) 
soddisfa z"=k/z^2, allora y(t)=-z(t) deve per forza soddisfare y"=-k/y^2.
In ogni caso, non capisco bene questa insistenza sulla "risolubilita' 
analitica" delle equazioni, concetto che e' puramente convenzionale e 
privo per tanto di reale interesse.

 massa puntiforme centrale.
Ho provato a derivare e vedo bene che č palesemente sbagliata(oltre
alle altre considerazioni)
Non so dove ho sbagliato quando ho postato perchč avevo controllato
ben due volte!!
Comunque concordo anche io con chi dice che la soluzione se č
trovabile col piů dovrebbe essere facilmente trovabile anche col piů.
Basta mettere un meno davanti a tutto. Rimane nella derivata e
sparisce nel termine al quadrato!
(In questi giorni riprovo a fare i conti e li controllo meglio.)
Saluti

 privo per tanto di reale interesse.
E' pura e semplice curiosità intellettuale.
Quanto poi alla tua opinione secondo cui in fisica e/o in matematica le
soluzioni analitiche abbiano un interesse puramente convenzionale,
dovresti andarlo a dire (a esempio) agli specialisti di RG, che per una
(ulteriore) soluzione analitica delle eqauzioni di campo venderebbero
senza tentennamenti le loro madri ai beduini.
Un'ultima notazione sociologica che vorrei fare riguarda la maggiore
tentenza europea e americana a risolvere numericamente le equazioni,
rispetto all'approccio maggiormente analitico tipico dei Paesi dell'est.
Il mio relatore di tesi (svariati anni fa), che per un certo periodo
lavorò con un cosmologo polacco, mi diceva che mentre lui, con il computer
e numericamente, era in grado di risolvere quantitativamente gli integrali
e/o le equazioni differenziali in un pomeriggio, il suo omologo dell'est
ci metteva qualche giorno in più, ma molto spesso (al decimo cambio di
variabile) era in grado di scodellare una soluzione analitica. 
Ricordo che il mio rerlatore spiegava allora (adesso probabilmente molte
cose sono cambiate) questo fenomeno con l'effetto "scarsità" (di risorse e
di computer) che colpiva particolarmente gli stati dell'ex comecon. 
Ti lascio indovinare quale dei due approcci (numerico vs analitico)
riportassero poi negli articoli che producevano per le riviste
scientifiche.  


 senza tentennamenti le loro madri ai beduini.
Che di solito le soluzioni analitiche siano piu' pratiche nessuno lo 
mette in dubbio. (Dico "di solito" perche' ci sono eccezioni. Posso 
indicarti soluzioni "esatte ed analitiche" di certi problemi lunghe 30 
pagine a stampa e che pertanto non sono in realta' meglio di una 
soluzione numerica. Ed un fisico matematico potrebbe trovare 
perfettamente maneggevole una soluzione in termini della Gamma di 
Eulero, nonostante sia una soluzione "non analitica"). Ma il punto non 
e' sulla praticita', ma sulla "spigolosita' matematica" di tali 
soluzioni, o di tali problemi, che non trovo connessa con l'analiticita' 
(concetto, appunto, convenzionale) delle soluzioni. Una funzione come 
1/x, che ha primitiva analitica, e' ben piu' "spigolosa" di una funzione 
come la Gaussiana, che una primitiva analitica non ce l'ha.
Per di piu', ci sono esempi in cui oggetti puntiformi ti danno soluzioni 
analitiche mentre oggetti estesi no. Il primo che mi viene in mente e' 
l'eq. di Schroedinger per una buca di potenziale, che ha soluzione 
analitica se V(x)=delta(x), ma non ce l'ha per quasi nessun'altra forma.

 di computer) che colpiva particolarmente gli stati dell'ex comecon.
Non so quale sia la tua eta' ne' di che epoca stiamo parlando, ma ti
assicuro che fin dai primi PC in Russia non stavano certo a guardare
gli altri usarli; anzi, se qui tu conoscevi un tipo di computer e un
sistema operativo, li' gia' se li montavano da soli e si facevano da
soli i programmi...e quelli che non potevano farseli, potevano sempre
contare sui programmi originali "craccati". Una decina di anni fa ero
a San Pietroburgo; parlando del piu' e del meno, dissi che li' avrei
potuto trovare lavoro come insegnante di informatica (facevo questo
lavoro qui in italia); si misero a ridere, e uno mi rispose: "qui
_tutti_ sanno usare il computer".
Mi sembra un po' una leggenda quello che dici

 neppure vicino.  
Ecco qual'era il trucco!
Ho sbagliato a copiare l'esponente dal foglio.... Ho scritto 3/2 al
posto che 2/3...

 sparisce nel termine al quadrato!
Certo, su questo siamo d'accordo.
L'integrale particolare che avevo trovato in prima battuta l'ho scritto
esplicitamente nel primo post in risposta a Smargiassi e vale, mutatis
mutandis, con entrambi i segni, ma osservandone la forma è chiaro come mai
l'avessi subito scartato: esso descrive l'equazione del moto di una carica
puntiforme che (a ogni distanza fissata dalla massa  puntiforme centrale)
ha una velocità iniziale verso l'esterno pari alla velocità di fuga e non
il moto di caduta libero verso la massa centrale cui ero interessato.
Aggiungo anche che, almeno nei pochi testi che ho consultato, viene
riportata l'espressione del tempo di tff senza ricarvarla esplicitamente
dall'equazione dinamica del moto, mentre non viene menzionata neppure
(forse perché non particolarmente utile dal punto di vista fisico o forse
perché non sufficientemente compatta) l'equazione oraria del moto.
E' anche per questo che mi sono deciso a postare: se per caso in futuro vi
servisse la soluzione a questo problema sapete dove andare a cercare :).


 analitiche mentre oggetti estesi no.
...
Certo che sì, mai sostenuto il contrario.
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Luca85 ha scritto:
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
Non basta, devi anche togliere i termini a*t e b (ovvero a=b=0) altrimenti
la soluzione (che in ogni caso non risolve il mio problema iniziale) è
sbagliata.
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 soli i programmi... 
Da quanto scrivi deduco che tu sia piuttosto giovane e mi sento di darti
un consiglio spassionato: prima di parlare di leggende a proposito di cose
che non conosci o ti suonano strane prova a documentarti prima.
Il periodo cui mi riferisco risale a circa 20-25 anni fa e almeno una
delle persone che ho citato in forma anonima le ho conosciute
personalmente e piuttosto bene.
Ti ricordo inoltre che all'epoca la Guerra Fredda non era ancora finita e
vigeva un embargo molto stretto sul commercio di tecnologia occidentale
(soprattutto hardware e software) con i Paesi dell'est. 
Inoltre, sebbene la ex Unione Sovietica spendesse (relativamente al
proprio PIL) ingenti cifre nel campo degli armamenti e in determinati
settori della ricerca scientifica, i suoi budget non erano paragonabili a
quelli occidentali (europei e usa); ti rammento altresì che la Guerra
Fredda finì proprio perché la ex Unione Sovietica crollò economicamente.
Ergo quando ti dico che i Paesi ex Comecon, all'epoca, non avevvano soldi
a sufficienza per imbastire numerosi centri di calcolo, come era la regola
qui da noi e ancor più negli Usa e in Giappone, so cosa dico.
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Ma te ci sei mai stato li' a vedere cosa facevano effettivamente? E'
sicuro che non avessero i soldi per comprare i centri di calcolo che
c'erano qui o negli USA o in altri posti, ma non sono cosi' sicuro che
non potessero fare, con altri mezzi, la maggior parte dei calcoli che
si potevano fare qui, a parte le cose di punta. Per cercare per via
numerica le soluzioni di un'equazione differenziale "normale" non c'e'
mica bisogno di supercomputer con centinaia di processori in
parallelo. Se poi l'equazione non e' "normale" di sicuro ne' Russi ne'
altri potevano trovarne delle soluzioni per via analitica.

Vorrei proporvi un punto di vista diverso, non basato tanto sulla
maggiore o minore dipsonibilita' di strumenti di calcolo, quanto su
un'evoluzione dell'approccio generale alla ricerca.
Infatti quella che sembrate considerare una peculiarita' della scuola
russa, io la vedo piuttosto come tipica della scuola europea
(soprattutto tedesca) rispetto a quella americana.
La transizione e' avvenuta gradatamente a partire dal dopoguerra,
appunt in concomitanza dell'egemonia assunta dalla scuola USA, col su
approccio piu' empirico-pragmatico.
Badate che non intendo disprezzarlo: in molte situazioni ha portato
aria nuova, ma ha anche prodotto un cambiamento di mentalita' che si
e' diffuso - soprattuto nella fascia inferiore dei ricercatori e in
moltissimi studenti - secondo cui cio' che conta e' il risultato, e
non ha senso cercare di capire di piu'.
Mi fermo qui, ma ovviemnte il discorso potrebbe essere moltopiu'
lungo...
-- 
Elio Fabri