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Titolo: Geodetiche e parametrizzazione

Sono alle prese con un esame e mi vorrei porvi alcune domande. Mi potreste
dire chiedile ad un docente, ma ho già chiesto senza una spiegazione che mi
ha soddisfatto.
Veniamo al dunque.
1) Supponiamo di avere una varieta di Riemann, quindi con un tensore metrico
definito positivo. Vogliamo determinare le equazioni parametriche delle
geodetiche su di una varietà. Supponiamo di avere un punto X a cui associamo
un valore del parametro t1 e un punto Y a cui associamo un valore t2.
A questo punto la letteratura procede in vari modi. Li elenco per gradi di
approssimazione.
Scritto il funzionale solito (int_{t1}^{t2}f(q,q')dt) viene calcolata la
variazione infinitesima rispetto alle euazioni parametriche della curv q e
q', con la solita introduzione del delta minuscolo, si passa il delta sotto
l'integrale e si effettuano variazioni infinitesime sull'argomento, alla
fine si arriva alle equazioni di lagrange. In tutto questo procedimento non
si considerano variazioni degli estremi di integrazione, mi sembra che
questa scelta è un po' arbitraria, nel senso che tra le varie curve su cui
effettuo le variazioni dovrei scegliere anche una che abbia una
parametrizzazione tale da variare gli estremi di integrazione.
2) Il secondo procedimento sembra tener conto di questo.
In questo caso scritto l'integrale di cui sopra, si definisci una variazione
un famiglia di curve parametrizzata da un parametro t (parametro della
curva) e un parametro s, parametro della famiglia che seleziona la curva
desiderata. Si sostituisce nell'integrale le funzioni q(s,t) e q'(s,t) e
agli estremi t1(s) e t2(s). A questo punto si deriva l'espressione ottenuta
rispetto ad s e nella derivazione compaiono termini dipendenti dai ti(s) e
un termine in forma integrale il cui argomento è dato dalle equazioni di
lagrange.
A questo punto sembra tutto perfetto, nel senso che abbiamo tenuto conto
della variabilità degli estremi di integrazione. Ma ecco che il testo a
questo punto fa un'ipotesi aggiuntiva, ossia che la variazione f(s,t) (ossia
la famiglia di cui prima) sia tale che t1(s) = t1(0) = t1 e t2(s) = t2(0) =
t2, e ricava le equazioni di lagrange. Di fatto ci siamo messi nelle stesse
condizioni di prima, anche se attraverso un procedimento piu' rigoroso.
Quello che chiedo, non esiste un modo per minimizzare il funzionale senza
imporre le ultime restrizioni??? E far poi notare che il risultato è
indipendente dalla scelta della parametrizzazione?? (Come ovviamente
doivrebbe essere).
Se non siete troppo stanchi vi pongo quest'altro problema. Supponiamo di
essere riusciti a risolvere il problema di cui sopra. Consideriamo una
varietà lorentziana, in tal caso la metrica è indefinita, dunque quando
definizmo il funzionale da minimizzare dobbiamo (scegliere?? questa è la
domanda) se le curve su cui effettuiamo variazioni sono di tipo luce, tempo
o degeneri. Cosa mi impedisce, a questo livello di discussione, ossia
puramente matematico, di considerare curve per un tratto degenerti e per un
tratto time-like o space-like?? Data una varietà e due punti su di essa
trovo una geodetica per ogni classe di curva?? Ossia una degenere una
time-like e una space-like??
Oppure esiste un metodo di minimizzazione rispetto ai tre tipi. Ossia
minimizzo il funzionale e il risultato dela minimizzazione puo' essere una
curva degenere space -like o time-like??
Spero che abbiate sufficiente pazienza da rispondermi, milioni di
ringraziamenti Biagio

 ringraziamenti Biagio
Spero di averla avuta.Ciao, Valter

Non sono un guru della matematica nè della fisica, ma spero che la mia
risposta possa almeno parzialmente interessarti, con l'avvertenza che
espongo opinioni molto personali e quindi contestabili.
Il problema specifico che poni è quello delle geodetiche, ma sembra
allargarsi al calcolo variazionale in generale.
Le notazioni che adotti sono quelle usuali in meccanica analitica:
richiamano il principio di Hamilton e le equazioni di Lagrange, con
variabile t tempo ed estremi di integrazione t1 e t2 "fissi" per ipotesi,
nel qual caso la tua critica sulla variabilità degli estremi non regge. Ma,
per rimanere nella meccanica analitica, quando si considera la  variazione
dell'integrale di azione gli estremi non sono fissi e le conseguenze
matematiche cambiano. Posso solo fare riferimento al solito Goldstein
Classical  mechanics.
Le geodetiche sono definite negli spazi di Riemann (non necessariamente a
metrica definita) come curve estremali. Nella famiglia F di tutte le curve
regolari passanti per due punti A e B "fissi" sono dette geodetiche le curve
per le quali la variazione dell'integrale che esprime la lunghezza dell'arco
di curva AB è nulla. Non si pretende che tale lunghezza sia minima, nè che
la curva sia unica (sebbene queste siano le circostanze più comuni).
Le procedure di calcolo variazionale che tu riassumi dimostrano in modo
ineccepibile che se una curva è estremale allora essa soddisfa
necessariamente le equazioni di Euler, cioè nel caso specifico la nota
equazione delle geodetiche scritta con i simboli di Christoffel.
A rigore non provano che la condizione sia sufficiente, cioè che se una
curva soddisfa l'equazione delle geodetiche allora essa è estremale (che non
sia provato il carattere minimale è ovvio). Questo è, a mio parere, il
significato implicito nella tua richiesta di dimostrare l'indipendenza dalla
parametrizzazione: bisognerebbe ulteriormente mostrare che se una curva è
estremale rispetto ad una generica famiglia parametrica di curve F(k),
allora essa è estremale anche rispetto alla famiglia non parametrizzabile  F
di tutte le curve regolari passanti per A e B. Sarà anche una conseguenza
intuitiva, ma la lacuna logica sussiste ed io al momento non sono in grado
di colmarla. Mi risulta tuttavia che la cosa possa essere fatta, cioè che si
possa dimostrare rigorosamente anche  il carattere sufficiente delle
equazioni di Euler per una curva estremale (a variazione nulla).
Personalmente preferisco la definizione delle geodetiche basata sulla
derivata intrinseca. Una curva nello spazio di Riemann è geodetica se la
derivata intrinseca del suo vettore tangente è identicamente nulla.
L'equazione delle geodetiche ne discende con immediatezza e senza problemi
(tipo quelli che tu accenni per metriche indefinite). La proprietà estremale
delle geodetiche diviene un teorema indipendente.
Purtroppo la derivazione intrinseca poggia sul macchinoso concetto di
spostamento parallelo di Levi-Civita, che però può diventare elegante se
introdotto assiomaticamente come fatto da Weil. Per uso privato io taglio
corto e definisco in modo assiomatico diretto la derivata intrinseca, con il
che l'equazione differenziale delle geodetiche salta fuori con rigore logico
e quasi senza calcoli, ma qui sto scivolando verso forme di misticismo
fisico che davvero non possono interessarti!
Elio Proietti
[indirizzo e-mail senza news]

 Una volta definite le geodetiche in questo modo,
già appunto, è questo che volevo dire. Se trovassi un procedimento che
arrivasse alle equazioni di eulero-lagrange per la lagrangiana
l=sqrt(g(mu)(nu)X(mu)X(nu)) dove X è il campo tangente alla curva senza
richiedere l'imposizione degli estremi della parametrizzazione otterrei, che
"a vista" la geodetica è indipendente dalla parametrizzazione ma dipende
solo dal supporto.
Grazie per l'aiuto. Un metodo che mostra questo, tra l'altro, mi sembra di
averlo trovato. Lo si utilizza quando si tratta il teorema dell'azione
ridotta in meccanica analitica (ovviamente li' si parla di tutt'altro),
sostituendo alla lagrangiana fisica la lagrangiana metrica che ho riportato
sopra.