Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Stabilita' termodinamica 2

Mi permetto di riproporre questo quesito all'attenzione del NG perche'
forse, a causa di una ritardata valutazione del messaggio da parte del
moderatore di soli 5 giorni (per la precisione 4 feriali e 1 festivo),
e' passato inosservato.
Nella speranza di aver piu' fortuna questa volta :-P il quesito e'
questo:
Non riesco a spiegarmi un' apparente incongruenza della stabilità in
termodinamica.
Si supponga di avere un sistema trmodinamico il cui modello sia
rappresentabile mediante tre soli gradi di libertà e si consideri di
tale sistema termodinamico l'energia interna U, questa è una funzione di
tre variabili M, V ed S dove con M si è indicata la massa, con V il
volume e con S l'entropia del sistema termodinamico e quindi si potrà
scrivere U=U(M,V,S). In assenza di cambiamenti di fase si puo' affermare
che la funzione U è omogenea di primo grado e che è continua con tutte
le sue derivate. 
Se si considera l'energia interna specifica, ossia riferita all'unità di
massa che si conviene di indicare con la lettera minuscola u
l'espressione della funzione energia interna si semplifica perché può
essere scritta come dipendente da sole due delle tre precedenti
variabili, sia pure specifiche (ossia riferite all'unità di massa). 
Tale funzione allora verrà scritta formalmente come u=u(v,s). 
Sotto tali ipotesi si può affermare che l'energia interna specifica e
possibile scriverla come u=u(s,v). 
Si postula inoltre che nei limiti del modello adottato @U/@S=@u/@s=T>0
dove con T si è indicata la temperatura e con @ la derivata parziale (si
e' preferito non adottare la notazione in TeX che avrebbe appesantito la
scrittura). 
Affinché il sistema termodinamico sia in equilibrio dovrà essere minima
l'energia interna specifica del sistema.
Tale condizione si afferma che è soddisfatta quando il du=0 e il d(du)>0
per ogni s e v dove con d(du) si è inteso indicare il differenziale
secondo della funzione u. 
Ora le mie domande sono due:
1) mi è noto che affinchè un punto di una funzione di due variabili sia
di minimo deve necessariamente essere un punto stazionario ossia la
funzione in quel punto deve avere il gradiente nullo. Se quindi si
verifica l'equilibrio temodinamico di un sistema come quello descritto
precedentemente dovra' essere @u/@s=@u/@v=0 ma ciò compotrerebbe
fisicamente di
condurre il sistema ad una temperatura T=0 !! il che mi sembra molto
strano. 
2)Supponendo il sistema in equilibrio allora l'energia u è minima e
quindi du=0 e d(du)>0 non per ogni s e v ma solo per il punto s* e v* di
minimo e viceversa posso affermare che se du=0 e d(du)>0 allora il
punto e di minimo?
Vi ringrazio si d'ora per le eventuali risposte
Marswalker
--
Marswalker 
"La teoria è quando si sa tutto e niente funziona. La pratica è quando
tutto funziona e nessuno sa il perché. In questo caso, abbiamo messo
insieme la teoria e la pratica: non c'è niente che funziona... e nessuno
sa il perché!"  Albert Einstein

 strano. 
...
Effettivamente se formuli cosi' i principi variazionali della 
termodinamica suonano strani e sarebbero immediatamente contraddetti 
dall' esperienza.
Il punto e' che quella che e' min o max NON e' il potenziale 
termodinamico come funzione delle sue variabili naturali (u e v per l' 
entropia, s e v per l' energia interna, p e T per il potenziale di 
Gibbs...) ma il potenziale termodinamico come funzione di qualsiasi 
variabile che implementi un vincolo sul sistema.
Esempio pratico: sistema isolato caratterizzato da una energia U e 
volume V. Il pot termodinamico e' l' entropia. Questa, per un sistema 
omogeneo e' un numero, funzione di U e V ( a N fissato). Non varia 
niente e non c'e' max o min. Pero' se vincoliamo lo stesso sitema 
mediante un parete interna adiabatica in modo da avere l' energia 
suddivisa in U1 e U2  tali che U1+U2=U, abbiamo tanti sistemi 
caratterizzati da V,U e valori diversi du U1 ( U2 si ottiene come U - 
U1). A quale di queste partizioni dell' energia  totale in U1 e U2 
corrispondera' lo stato di entropia massima (equilibrio in assenza di 
vincolo )? Basta fare un po' di conti sui due sottosistemi per scoprire 
che la condizione di max di S diviene quella dell' uguaglianza delle 
temperature dei due sottosistemi.
Il metodo si estende analogamente a qualsiasi altro potenziale e vincolo 
immaginabile.
Purtroppo spesso si omette di enunciare chiaramente i principi di minmax 
col risultato di generare grande confusione sul significato degli stessi.
Ciao
Giorgio

 Giorgio
Cordiali saluti
Patrizio
P.S.
Se Lei avesse delle sue disp. sull'argomento, sarei molto interessato.
mail: 
patrizio...@libero.it

 Se Lei avesse delle sue disp. sull'argomento, sarei molto interessato.
Su internet e nel lavoro, preferisco il tu minuscolo :-)
No, non ho dispense di termodinamica. L' anno scorso avevo tenuto alcune
lezioni per il dottorato ma non ho mai trovato il tempo di ripulire i
miei appunti. Chissa', forse prima o poi riusciro' anche a metterli
on-line... ma non ci contare troppo.
Giorgio

 Giorgio
Molte grazie per le info
Patrizio
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.libero.it