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Titolo: Calcoli con grandezze fisiche e unità di misura

Ciao
dunque sto scrivendo un programma per la generazione, 
esecuzione e correzione di semplici problemi numerici (di 
chim barra fis)
La gestione numerica "pura" non mi crea alcuni problemi.
Con alcune operazioni invece, non so come comportarmi circa 
la componente dei dati che rappresenta le unità di misura.
No prob con operazioni tipo
addizione sottrazione
moltiplicazione divisione
potenze e radici intere (anche ad indici RAZIONALI *)
ma alcuni operatori che di slancio ho aggiunto lavorando al 
solo solutore numerico, nell'essere trasposti alle 
componenti "dimensionali" dei dati mi hanno colto in castagna.
Esempi : molte funzioni unarie intrinsece
(come trigonometriche e loro inverse, iperboliche e loro 
inverse, log_10, Ln, exp_10, Exp) mi forniscono risultati a 
cui non so assegnare un significato fisico.
Non so se cancellare le unità di misura, mantenere quelle 
dell'operando, o se, come sospetto, ci siano regole da 
valutare caso per caso.
Ad es. ha significato passare ad una 
f.ne
 trigonometrica un 
operando che NON sia un angolo ? Se non ne ha, sono a posto 
: valuto le dimensioni, e se non corrispondono a [rad] 
allora ritorno errore. Idem per una arcsin (valuto se 
l'operando è [rad^-1] e se non lo è ritorno errore.
Già mi è più critico intuire con una tan(X).
E le funzioni iperboliche che significato hanno ? Hanno 
restrizioni sull'operando ? Sono sempre archi, vero ?
Poi sfumo nel delirio quando penso a e^X o Ln(X) ... che 
minchia di dimensioni fisiche hanno senso per gli operandi ? 
E il calcolo, che dimensioni fisiche deve assegnare al 
risultato ?
LA cosa mi mette in crisi perché penso che un domani, oltre 
a problemini banali, magari vorrei mettere procedimenti sul 
pH, sui tamponi, sull'elettrochimica : ci sono miriadi di 
esponenziali e di logaritmi annidati nei calcoli, ma non ho 
idea del loro senso fisico passo per passo.
Molto spesso i termini logaritmici mi compaiono in somme e 
differenze, e allora implicitamente dico : affinché siano 
omogenee, queste somme o differenze devono contenere Log o 
Exp che danno risultati omogenei con gli altri addendi.
Ma cmq non so dedurre le dimensioni degli operandi. Ad es. 
quando ho un RAPPORTO di concentrazioni ad argomento, si 
avrebbe il Log di un numero puro. E curiosamente quel numero 
puro, dopo il calcolo, riprende per magia delle dimensioni 
fisiche.
Es. con 
eq.ne
 di Nernst
E(V) = E°(V) + RT/nF * Ln(conc_ox^nox / conc_red ^ nred)
R (J/mol °K)
T (°K)
F (C/mol)
n (mol e-/mol minima ox,red)
su questo coeff. n ho dei dubbi.
Da chimico semplificare moli di oggetti diversi mi fa 
storcere il naso assai perché si perde il significato, ma 
forse è lecito, ed n allora diventa adimensionale.
Ora sembrerebbe, ma mi dovete spiegare bene, che quel 
coefficiente moltiplicativo del logaritmo abbia già 
dimensioni in VOLT (mi resta J/C).
Allora il prodotto (per essere omogeneo col resto deve 
essere in VOLT) contiene un termine logaritmico 
adimensionale. Eppure il suo argomento non lo è per niente.
Anzi non ha una dimensione univoca.
Dipende dai valori di nox e nred, i due esponenti.
Solo se sono uguali la concentrazione al numeratore si elide 
con quella al denominatore, ma in generale no.
L'argomento del logaritmo ha le dimensioni di
(mol / L)^(nox-nred) che non è un numero puro.
Come funge sta faccenda ?
Idem per esponenziali ed altro.
Voi ci avrete di certo già ragionato per bene, io me ne son 
reso conto solo dovendo codificare. Non si sgarra, quando 
codifichi ogni più piccola incertezza viene al pettine
grazie di ogni commento e suggerimento
ciao
Soviet

 (mol / L)^(nox-nred) che non è un numero puro.
...
La formula di Nerst generale contiene il rapporto delle attività  che 
sono adimensionali (esponenziali di potenziali chimici divisi per kT). 
Nel passare da attività  a concentrazione (valido a basse 
concentrazioni) le concentrazioni sono divise per una concentrazione di 
riferimento (vado a memoria) e quindi questo dovrebbe permettere di far 
tornare le formule.
Giorgio

 numerico, nell'essere trasposti alle componenti "dimensionali" 
A me piace tagliare la testa al toro in questo modo:
Sono funzioni analitiche, no?
Sono dunque esprimibili in termini di serie di potenze, giusto?
Beh, quali sono le dimensioni tali per cui x, x^2, x^3,... sono tra 
loro dimensionalalmente compatibili?
<pausa di riflessione>
Ne deduco che le grandezze di funzioni analitiche, che non siano 
semplici potenze (implicitamente omogenee in quanto somme di un solo 
termine), devono avere argomenti necessariamente adimensionali.
Dunque, se ho una grandezza dotata di dimensioni fisiche all'interno 
dell'argomento di una funzione come Exp, Log, Sin, Etc (la famosa 
funzione Etc[x] :-) )dovrò anche avere un coefficiente che mi rende 
adimensionale il tutto.
I radianti secondo me barano: sono dei rapporti tra lunghezze, quindi 
fisicamente adimensionali, come anche le moli che sono numeri puri. 
Penso sia solo questione di convenzioni (e comodità) attribuirvi una 
'dimensione'.
En passant, perchè parzialmente legato a questo discorso: date 
un'occhiata a questo (oramai sono al limite della demenza senile e non 
ricordo più se l'avevo già segnalato)
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-098-street-fighting-mathematics-january-iap-2008/
Qui il libro
http://mitpress.mit.edu/books/full_pdfs/Street-Fighting_Mathematics.pdf
Non è uno sballo?
:-)

 :-)
Effettivamente il libro vale, ma l'argomento dimensionale usato nel 
problema del primo link mi lascia un po' in dubbio. Ne avevo visto uno 
simile per la determinazione del periodo di un pendolo semplice: dato 
che le uniche grandezze rilevanti sono l ([m]), g ([ms^-2]) e m ([kg]), 
e stiamo cercando un *tempo*, via la massa che non e' possibile 
eliminare, e dev'essere per forza T proporzionale a sqrt(l/g).
E se ci fosse di mezzo una costante universale dimensionale?
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 E se ci fosse di mezzo una costante universale dimensionale?
L'argomento rigoroso prende le mosse da un elenco di grandezze utili 
nella descrizione di un pendolo semplice: m, l, g, T, alpha (ampiezza).
Intuitivamente tale elenco "potrebbe" essere completo: *se* si ammette 
che tali 5 grandezze (derivate da 3 grandezze fondamentali) siano legate
da una relazione, allora un noto *teorema* del calcolo dimensionale 
assicura che tale formula deve potersi esprimere come una relazione tra 
5-3=2 grandezze adimensionali. Essendo iqc alpha e T^2*g/l le sole 
grandezze adimensionali possibili, la formula deve essere del tipo:
F(alpha,T^2*g/l) = 0        ovvero:   T^2 = f(alpha)*l/g
Al di la' di questa "formattazione" il calcolo dimensionale non va.
La meccanica razionale mostra che  f(alpha) e' una funzione ellittica.
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)

 Giorgio

 E se ci fosse di mezzo una costante universale dimensionale?
Non e' una novita'... *Tutte* le cosiddette "dimostrazioni
dimensionali" debbono fare ipotesi su quali grandezze possono
intervenire.
Per es. devi assumere che nel periodo del pendolo non intervangano ne'
c, ne' G, ne' tanto meno h...
E questo te lo dice *la fisica*.
Ossia una dimostr. dimens. la puo' fare solo uno che di fisica ne sa
gia' parecchia...
PS che puo' capire solo Soviet_Mario.
Oggi pomeriggio ho visto in TV un documentario dal quale ho appreso
che cosa erano i "brentau", e ho visto Piazza della Bollente.
 
-- 
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.
Fro

 che cosa erano i "brentau", e ho visto Piazza della Bollente.
sorgente termale?
-- 
Ora se 1000(1)/1000(1) facesse 1.
Quanto farebbe 1000(i)/1000(i) ??

 usare da chissà quanto.
Uhm... in questa formulazione, dai tempi di Chimica al I anno di Fisica, 
temo... molto tempo fa...
Ricordo però che a suo tempo mi ero posto il tuo stesso problema e mi 
sembrava che ripartendo dalle formule originali le questioni 
dimensionali tornassero. dovrei riprendere in mano la questione. Come 
esercizio non sarebbe male. Non credo però di riuscire a farlo a breve.
Giorgio


LOL ... io non lo sono cosa siano i brentau !
In effetti lavoro a Acqui, ma non sono di Acqui (e abito 
vicino ma in campagna, ad Acqui non vado praticamente mai 
... si, so giusto come è fatta piazza della bollente, ma 
sono una specie di eremita isolato). Una perla a un porco 
quindi :) eh he he
ciao
Soviet

 Giorgio

 gia' parecchia...
infatti: per questo mi lasciano in dubbio i problemi risolti con 
l'analisi dimensionale rivolti ai principianti o al largo pubblico, mi 
sembra dicano: "vedete com'e' facile?" quando non lo e'.


 piu' elastico.
...
Mi sembra che i due punti di vista si concilierebbero riconoscendo  che 
si possono usare *unità*  diverse anche per quantità *a dimensione 0* 
(adimensionali). Che è poi un modo diverso e succinto di riprendere la 
mia posizione nella discussione del 2003 ;-)
Giorgio

 che azz°°@@##??!! succede ?
Confesso la mia totale ignoranza in materia e purtroppo non posso darti 
un aiuto diretto. Ma non si trattera' per caso di una di quelle 
trattazioni gergali cui accennavo sopra, che maschera il fatto che Keq 
in realta' e' moltiplicata per una costante *dimensionale* che "per 
caso" (a seguito delle unita' di misura adottate) risulta numericamente 
pari a 1?
Ho dato un'occhiata, capendoci poco, alla formula di Nernst: ma ho 
trovato che qui
http://it.wikipedia.org/wiki/Attivit%C3%A0_%28chimica%29
dicono chiaramente che le attivita' chimiche *sono* adimensionali. Se le 
sostituisci con le concentrazioni, non ci dovrebbe essere anche qui una 
costante dimensionale che mette a posto le dimensioni?
ciao



Dunque, non so, ma non mi pare che questo controllo 
dimensionale che devo fare coincida con l'analisi 
dimensionale. Diciamo solo che i ragazzi devono usare 
formule, non inventate da loro, ma date per buone, e 
nell'infilarci dentro gli opportuni valori devono stare 
attenti a che i dati abbiano le dimensioni attese. Questo 
dovrebbe potersi fare.
P.S. dolorosamente osservo che la mia antica spina nel 
fianco dei logaritmi dimensionali e le costanti di 
equilibrio sono cascate nel vuoto.
Ora vi pregherei di darmi qualche parere. Ho il timore che 
molti abbiano eccome delle opinioni, ma non si vogliano 
esporre. Non credo che questo costituisca reato anche quando 
non sia condivisa o universalmente accettata, lol.
Cioï¿œ mica ï¿œ un lavoro scientifico. Devo solo fare delle 
scelte sui controlli da fare, ma alla fine ï¿œ un programma 
didattico e qualche forzatura (spero la migliore grazie a 
voi) la devo pur fare per rendere le cose commestibili ai 
ragazzi.
Mi autocito e rilancio un sample che avevo messo in un post 
di risposta a Giorgio Pastore :
<QUOTE>
Ah ... perï¿œ rimane da chiarire il discorso dei logaritmi 
delle costanti di equilibrio, che sono funzioni delle conc. 
molari. Anche ammettendo che le moli siano adimensionali (e 
non lo ammetto cmq), resta il fatto che ci siano al denom. 
dei volumi, e quelli adimensionali non lo sono di sicuro.
Es.
4 NH3 + 3 O2 --> 2 N2 + 6 H2O
Keq = [N2]2 + [H2O]6 / [NH3]4 + [O2]3
[Keq] = [mol/L]^((6+2)-(4+3)) = [mol/L]1
Ln(Keq) = -DGï¿œ/RT
il secondo membro ï¿œ adimensionale
il primo DEVE diventarlo
l'argomento del logaritmo non lo ï¿œ ...
che azzï¿œï¿œ@@##??!! succede ?
</QUOTE>
E anche se non ho voglia di indagare troppo, ho il sospetto 
che non sia il solo caso di questo problema.
Diamo quindi per tacito che per trigonometriche dirette 
possa accettare in input angoli (convertiti a rad) e numeri 
puri, e che l'output (lo ammetto, per me sorprendentemente) 
sia sempre adimensionale a prescindere (ï¿œ proprio questa 
invarianza nell'output con input dimensionalmente diversi 
che mi perplime ... Tommaso Russo definisce due distinte 
serie, una italica con la maiuscola, l'altra latina (?) con 
la minuscola, ma non ï¿œ una strada percorribile). Dovendo 
implementare una sola serie mi regolo come segue. Alla fine 
basta dichiararlo, la responsabilitï¿œ ï¿œ mia.
Con le trig. inverse accetto in input solo numeri puri, e 
come output ho SEMPRE angoli. Anche qui ok, faccio cosï¿œ, 
anche se dentro non mi sembra l'esatto inverso di sopra, 
perchï¿œ mi aspetterei un possibile duplice output, o angolo o 
adimensionale (quando l'uno e quando l'altro trascende la 
mia fantasia cmq ... non mi piace la non simmetria di 
comportamento, tutto qui).
Con le iperboliche non ho capito troppo bene. Tantomeno con 
le loro inverse.
Come dicevo mi resta anche la spina nel fianco dei logaritmi 
ed esponenziali, perchï¿œ mi pare che esista almeno una 
formula (tra l'altro un pilastro della termodinamica, la 
legge di Guldberg Waage) che "pare" (dico pare per cautela, 
ma a me sembra certo) avere dei logaritmi con argomento 
dimensionato.
Uffi
Ciao e grazie del vespaio (che non pensavo di sollevare)
Soviet

 un metodo di lavoro che detesto....
Meno male! Lasciamo siffatta paccottiglia ai tecnici...
Nelle pubblicazioni del BIPM formule siffatte sono chiamate "numerical
value equations" (formule tra misure), in contrapposizione con le 
"quantity equations" (formule tra grandezze, indipendenti dalla scelta
delle unita' di misura).
Il tuo formalismo Sen(x,U) pero' non mi piace: e' un po' pesante e fa
perdere di vista il fatto fondamentale: ad *ogni* funzione f:R->R si puo'
associare una quasi-omonima funzione F:G->R  *se e solo se*  G e' una 
(qualsivoglia) classe di grandezze *adimensionale*.
Mi pare che sulla suddetta affermazione siamo d'accordo.
Personalmente la sottoscrivo anche a prescindere dall'analiticita' della 
funzione f e soprattutto senza rinunciare ad asserire che le grandezze 
adimensionali non sono numeri (apropos: sono davvero l'unico a dirlo?).


 adimensionali non sono numeri (apropos: sono davvero l'unico a dirlo?).
io non ho capito cosa intendi. Che vuol dire che non sono 
numeri ? Cioï¿œ, cosa ï¿œ un numero ? Cosa ï¿œ una grandezza 
adimensionale ?
Tipo, pigreco non ï¿œ un numero irrazionale ? E quel numero 
3,14..etcetc, in che relazione sta con la grandezza pigreco 
(se ï¿œ una grandezza) ?
Minchia son venuto a farmi snebbiare le idee, ma ammetto che 
il parto ï¿œ molto laborioso :)
ciao
Soviet

Soviet_Mario ha scritto:
 > dunque, purtroppo lo stiamo perdendo ... :-)
Parlavi di me?
Se si', e' vero, nel senso che non ce la faccio proprio a tenervi
dietro.
Avrei un sacco di cose da dire, ma non me la sento di passare la
giornata a scrivere qui (come sarebbe necessario...)
Per cui rispondo a qualche questione sparsa, e pazienza.
 > dunque, nel programma le scritture saranno di tipo in
 > apparenza solo matematico. Sin(X) e stop. Ma X avrà
 > associata una descrizione a parte, indipendente dall'uso
 > sintattico, come a dire dei metadati, che saranno
 > confrontati (match) coi tipi attesi per l'operatore
 > (unario), e il verdetto dipenderà dal match o non match
Una curiosita': che linguaggio intendi usare?
Per cose come questa sembrerebbe ideale un linguaggio a oggetti.
Io ne so pochissimo, anche se in tempi lontani (30 anni fa e oltre)
provai a fare qualcosa col primo linguaggio a oggetti in assoluto: si
chiamava "Smalltalk".
Ma da quel poco che ne so, mi sembrerebbe naturale definire una classe
"grandezza fisica", con un valore e un'unita' ... e mi fermo qui.
 > costante PURA pigrecocentottantesimi
Naturalmente per me questa non e' una costante "pura", ma lo sapete
gia'.
Sono rimasto stupefatto a scoprire che discutevamo di queste cose
oltre 7 anni fa :-(
 > Concretamente devo implementare un'unica scrittura per le
 > funzioni, che siano analitiche, trascendenti
Qui ti ci vuole un ripassino di matematica :-)
Una funzione R --> R (definita sui reali e a valori reali) si dice
analitica se ammette una serie di Taylor (che converge alla funzione
su un qualche intervallo).
Si dice trascendente se non e' algebrica, ossia se non e' costruita
con somme, prodotti, potenze (anche a esponente razionale).
Percio' una f. puo' benissimo essere analitica e trascendente, e lo
sono proprio tutte quelle che ti preoccupano :-)
Ci sono tante ragioni per cui non mi soddisfa pensare a una funzione
Sin() dagli angoli ai reali.
Per es.: perche' trattare diversamente le f. iperboliche?
Soprattutto visto che cos(x) = cosh(ix) ecc. ?
Poi una funzione sin o cos puo' risultare da un problema in cui non
c'e' nessun angolo: tipicamente, come soluzione di un'eq.
differenziale tipo f" + w^2 f = 0.
 > Ah ... però rimane da chiarire il discorso dei logaritmi delle
 > costanti di equilibrio, che sono funzioni delle conc. molari. Anche
 > ammettendo che le moli siano adimensionali (e non lo ammetto cmq),
 > resta il fatto che ci siano al denom. dei volumi, e quelli
 > adimensionali non lo sono di sicuro.
 > ...
Ho dato una scorsa a un paio di libri che ho in casa:
"Termodinamica" di Guggenheim
(quest'altro ti piacera' molto :-) )
"Chimica Fisica" di Ya. Gerasimov, membro corrispondente
dell'Accademia delle Scienze dell'URSS (ed. MIR in inglese).
Entrambi scrivono formule come quelle che citi; ma Guggenheim si
sforza di fare le cose un po' pulite, mentre Gerasimov fa un casino
orrendo.
Non posso dire di aver capito la cosa a fondo, ma direi che per es. la
Kp (per le reazioni in fase gassosa) e' in realta' il rapporto tra la
vera Kp e quella definita con le pressioni standard di 1 atm, che
ovviamente vale sempre 1 (con dimensioni che sono una potenza di una
pressione...).
In realta' i casini cominciano dalle espressioni dell'entropia o dei
potenziali chimici, da cui segue tutto il resto.
Non so se ti puo' consolare, ma la stessa cosa si presenta anche in
campi del tutto diversi, tutte le volte che ci sono relazioni
logaritmiche.
Ad es. in astronomia trovi spesso una formula
M = m + 5 - 5*(log D)
dove M e' la magnitudine assoluta, m la magn. apparente, D la distanza.
La formula e' corretta solo se la distanza e' espressa in parsec.
Nei miei appunti di astronomia pero' la trovi cosi':
M = m - 5*log(D/10pc).
 > Con le iperboliche non ho capito troppo bene. Tantomeno con
 > le loro inverse.
Il mio punto di vista e' ovvio, credo: in *tutti* i casi argomento e
risultato sono numeri puri.
Quanto alle dimensioni, mi piacerebbe esporre il mio punto di vista
sulla situazione che risulta dalle definizioni del SI, che a mio
giudizio e' a dir poco caotica...
Pero' confesso che ci sono aspetti su cui non ho le idee chiare.
Di sicuro non sono d'accordo con Tommaso:
 > Beh... e' il numero di molecole espresso in multipli di Na, che
 > dimensioni dovrebbe avere?
Per il SI la mole e' l'unita' della q. di materia, una delle 7
grandezze fondamentali.
N_A non si deve chiamare "numero di Avogadro", ma "costante di
Avogadro", e vale circa 6x10^23 mol^(-1).
Il mio dubbio e' se sia corretto dire che la q. di materia e' una gr.
fondamentale, ma *di certo* non e' adimensionale.
PS. I brentau (che pare esistessero ancora a meta' del secolo scorso)
erano uomini che portavano le "brente", recipienti di circa 50 litri
in cui mettevano l'acqua calda presa alla Bollente, e la distribuivano
nelle case.
Trovi notizie sul sito della ProLoco di Acqui Terme.


 che azz°°@@##??!! succede ?
Ciao Mario,
come ti hanno già fatto notare, il principio di base è sempre quello: le 
funzioni richiedono argomenti adimensionali, e restituiscono valori 
adimensionali.
E se a volte sembra che le dimensioni non tornino, è perché c'è qualche 
fattore costante dotato di dimensioni opportune, al limite implicito.
Esempio banale: disegno su un foglio la parabola y=x^2, in modo che le 
coord. x e y siano in cm.
Apparentemente ho un errore dimensionale: cm contro cm^2, nonostante ciò 
tale parabola esiste tranquillamente.
La spiegazione è che l'eq. completa è y=a*x^2, con a=1 cm^-1.
Nel tuo esempio delle costanti di equilibrio, tale costante risulterebbe di 
dimensioni diverse in base ai coefficienti stechiometrici
variando quindi da reazione a reazione, il che sarebbe abbastanza strano...
In questi casi c'è sempre un fattore di riferimento implicito, come racconta 
anche wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_equilibrio
dove afferma anche che la formula esatta coinvolge, al posto delle 
concentrazioni molari, le attività (che sono adim.)
http://it.wikipedia.org/wiki/Attivit%C3%A0_%28chimica%29
e spiega inoltre:
"[...] Implicitamente tale concentrazione molare viene divisa per una 
concentrazione di riferimento unitaria C° o C? in modo da rendere 
adimensionale il rapporto stesso e permetterne ad esempio il calcolo del 
logaritmo."
Purtroppo comincio a dimenticarmi la chimica del liceo, ma i principi sono 
quelli! ;-)
Ciao
Andrea

 il parto è molto laborioso :)
Tranquillo, scrivo su isf-ism da una decina di anni e non credo di essere
considerato un troll, ma sembra proprio che io sia l'unico eretico pronto
a sostenere che le grandezze adimensionali non siano numeri "puri".
C'e' di peggio: la brochure S.I. edita dal BIPM mi smentisce!
Ad esempio, il famigerato "rad" era un tempo considerato dal S.I. "unita' 
supplementare" (che non s'e' mai capito bene cosa volesse dire).
Oggigiorno la brochure S.I. scrive "the radian and the steradian have 
been identified by the CGPM as special names for the coherent derived 
unit one to be used to express values of plane angle and solid angle".
Secondo il BIPM le grandezze adimensionali sono numeri, l'unita' di 
misura di tutte le grandezze adimensionali e' il numero 1, il simbolo rad
e' solo un modo diverso per scrivere il numero 1 e si lascia all'utente
la possibilita' di aggiungerlo o toglierlo dalle formule per soddisfare
consuetudini o esigenze estetiche. 
Da un punto di vista prettamente pratico quest'impostazione e' (quasi) 
priva di inconvenienti ed in campo *normativo* il BIPM puo' deliberare a 
suo piacimento. Insomma, nel tuo programma puoi trattare le grandezze 
adimensionali come variabili numeriche, sarai in regola con la legge ed
incapperai solo in lievi stranezze formali. 
Dal punto di vista *logico* pero', le camaleontiche proprieta' del simbolo
rad che "conviene" aggiungere o togliere dai risultati in base a ragioni 
"intuitive", puzzano di bruciato; e dal punto di vista logico non esiste 
alcun "ipse dixit",  neppure nei confronti dell'autorevole BIPM ed
ovviamente anche nei confronti di Pangloss.       ;-)
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
bb

 F(alpha,T^2*g/l) = 0        ovvero:   T^2 = f(alpha)*l/g
Ok. Quindi la T^2 = l/g viene fuori dalla considerazione dell'isocronia 
delle piccole oscillazioni, risultato che piu' fisico di cosi'...


 Trovi notizie sul sito della ProLoco di Acqui Terme.
Ah ! Certo che se un giorno decidi di andare ad Acqui, sarei 
molto onorato di fare un salto solo per incontrarti (e 
magari x un Brachetto, un rosso frizzante famoso di Acqui)
ciao
Soviet

 idem. Sono d'accordo.
Credo di aver capito il busillis.
Elio (ovviamente :-) ha ragione, ma ho ragione anch'io: semplicemente 
parliamo di due cose diverse.
La grandezza fisica di cui stiamo parlando e' la "quantita' di una data 
sostanza pura" che puo' prendere parte ad una reazione chimica: 
intuitivamente, e' proporzionale al numero di molecole della sostanza 
presente nella provetta.
La mole e' una delle sue possibili unita' di misura, ed e' una quantita' 
di sostanza formata da un numero di molecole pari al numero di atomi di 
C_12 la cui massa totale e' 12 grammi.
Fin qui Elio.
Poi c'e' un'espressione, che si trova spesso nelle formule dei testi di 
chimica, 
p.es
. nella forma "moli di HCl". Che *non* e' una quantita' di 
HCl con le dimensioni di una mole, ma *un numero puro*: il numero di 
moli di HCl contenute nella quantita' cosiderata. E' la quantita' di 
HCl, ma *misurata in moli*, ossia il rapporto
(Quantita' di HCl considerata)/(1 mole di HCL). Adimensionale.
Penso proprio che, dicendo "moli", Soviet_Mario parlasse di queste 
locuzioni.
Lo stesso identico discorso vale per le concentrazioni. [A] non e' la 
concentrazione della sostanza A presente nella soluzione, ma la 
concentrazione *misurata in moli/litro di soluzione*. Altro numero puro, 
pari a: C(A)/((1 mole di A)/(1 litro)). Ovvio che puo' essere elevato a 
un esponente diverso da 1 senza problemi.
La cosa risulta piu' chiara ed evidente quando si parla di pressioni 
parziali in miscela gassosa:
Un libro che ho sottomano (*) deriva cosi' la costante di equilibrio in 
questo caso (pg. 412, cap.15.5):
(p_C/P_0)^c (p_D/P_0)^d / (p_A/P_0)^a (p_B/P_0)^b = costante = K_p*
Poi prosegue:
"K_p* rappresenta la costante termodinamica di equilibrio e risulta 
essere adimensionale.
K_p* puo' anche essere scritta come segue:
K_p* = (p_C)^c (p_D)^d / (p_A)^a (p_B)^b   (1/P_0)^(c+d-a-b)
      =  K_p   (1/P°)^(c+d-a-b)
abbiamo gia' detto che P° = 1 atm, quindi:
   (1/P°)^(c+d-a-b) = (1 atm)^-(c+d-a-b)
*se quindi* [grassetto mio] *esprimiamo le pressioni parziali in 
atmosfere*, il valore numerico di K_p coincidera' con quello di K_p*, ma 
sara' dimensionale. Precisamente K_p sara' espressa in atm^(c+d-a-b)"
IN SOSTANZA, RIASSUMO:
la formula
K_p = (p_C)^c (p_D)^d / (p_A)^a (p_B)^b
da' il valore numerico esatto di K_p* solo se p_A, p_B, p_C, p_D sono le 
pressioni parziali dei composti A,B,C,D *espresse in atmosfere*, ossia 
sono i valori adimensionali  p_A/p_atm, p_B/p_atm, p_C/p_atm, p_D/p_atm.
Nello stesso libro, nella trattazione della costante di equilibrio 
basata sulle concentrazioni, questo discorso non viene fatto: lo stesso 
testo si limita a definire
    " K:= [C]^c[D]^d / [A]^a[B]^b
dove i simboli [] indicano le concentrazioni in mol*l^-1 ".
Un altro libro che ho sottomano (**) non si pone neanche il problema. A 
pag. 303, cap.9.15, trovo scritto alla lettera:
"si trova che
          deltaG-deltaG° = R T ln(P/P°)
da cui, essendo P° = 1 atm, si ha
         deltaG = deltaG° + R T ln P "
Con tanti saluti alla dimensione di P.
A parte le considerazioni sulla comprensibilita' di quanto sopra per un 
ventenne, mi par chiaro che i testi di Chimica si riportano al piu' 
presto possibile alle unita' di misura standard (per la Chimica: moli, 
litri, atmosfere...) proprio per poter dare formule numeriche usabili 
senza farsi troppe domande: quelle formule che l'altro Elio, Pangloss, 
ha decritto efficacemente come ""numerical value equations" (formule tra 
misure), in contrapposizione con le "quantity equations" (formule tra 
grandezze, indipendenti dalla scelta delle unita' di misura)." Si tratta 
di un gergo da topi da laboratorio, che non ha nulla a che fare con la 
koine' delle grandezze indipendenti dalle unita' di misura.
(Non che i fisici ne siano tutti indenni, eh...)
BTW, anche se lo Schiavello-Palmisano un abbozzo di analisi dimensionale 
la fa, a pg.320, esempio 12.7, trovo scritto:
moli di NaCl = 55,0 g / 58,44 g mol^-1 = 0,940 mol
Chiaro che dovrebbe essere riscritta, o cosi' o pomi':
quantita' di NaCl = 55,0 g / 58,44 g mol^-1 = 0,940 mol  oppure
moli di NaCl = 55,0 g / 58,44 g  = 0,940 .
E non l'ho certo letto tutto. Poi ti credo che Soviet_Mario sbatta la 
testa contro il muro...
Al confronto, la voce di Wiki in italiano citata da Andre almeno 
all'inizio la dice giusta. Poi pero', si sa, ogni voce di Wiki e' 
scritta a piu' mani, e se gli autori parlano gerghi diversi...
Pangloss, che i chimici siano tutti tecnici?
P.S. Soviet, se su questo raggiungiamo un chiarimento, io un'idea di 
come impostare il tuo programma ce l'avrei.
(*) M.Schiavello, L.Palmisano
Fondamenti di Chimica
III edizione, 2010
Edises, Napoli
ISBN 9788879595544
(**) A.M. Manotti Lanfredi, A.Tiripicchio
Fondamenti di Chimica
Seconda edizione, 2006
Casa Editrice Ambrosiana, Rozzano(MI)
ISBN 88-408-1347-0


 Meccanica Razionale ho sottomano il Finzi, lo trovo li'?
Purtroppo non conosco un solo libro decente di calcolo dimensionale,
mi baso su appunti di varia provenienza opportunamente rielaborati.
Comunque se cerchi con google "Buckingham theorem" trovi il teorema
da me usato sulla wiki inglese.


 Questo e' molto interessante e non lo sapevo. Hai un riferimento? 
PW Bridgman, Dimensional Analysis, credo che si trovi anche in rete.

 ...
Ma questa non e' affatto una novita'!
Anzi, non saprei dare le prove, ma sono convinto che in passato la
posizione ufficiale in materia di grandezze e unita' fosse che nelle
formule dovessero sempre comparire *solo le misure*, quindi numeri
puri.
Poi e' stata cambiata.
Lascio stare le ragioni che hanno portato il BIPM a cambiare punto di
vista, perche' non le conosco.
Ma a questo proposito vorrei che si tenesse sempre presente che il BIPM
e' un'autorita' internazionale in materia, solo e nel senso che
stabilisce le regole e convenzioni che in tutti il mondo si dovrebbero
adottare.
Ma questo non ne fa necessariamente un'autorita' *scientifica*.
Infatti le deliberazioni del BIPM sono necessariamente dei compromessi
fra numerose esigenze, spesso contrastanti:
- argomenti logico-scientifici
- opportunita' metrologiche (che cosa e' piu' facile misurare?)
- usi piu' o meno consolidati
- pretese di vari Paesi a conservare le proprie abitudini
- esigenze genericamente pratiche
- ...
Comunque per me la ragione essenziale che mi fa preferire l'uso oggi
stabilito e' che e' l'unico compatibile con l'uso *coerente* di un
sistema di unita'.
Se ci si limita al "numero di ..." a parte il fatto che allora sarebbe
giusto essere coerenti, e parlare allo stesso modo di "numero di
volt", di "numero di metri", ecc., l'inconveniente principale e' che
quello che si scrive dipende dalle unita' adottate, e diventa un
casino quando (come fanno spesso i chimici) queste unita' non sono
quelle SI e non formano neppure un sistema coerente: pressioni misurate
in atm, volumi in litri, energie in chissa' che :-(


 Ciao e grazie del vespaio (che non pensavo di sollevare)
E' stato utilissimo, non solo per te, ma anche per un paio di studenti 
qui vicino che stanno affrontando separatamente proprio le equazioni di 
equilibrio :-)
OK, ora la /pars construens/.
Tratto per primo un programma che tratti *solo* problemi di Fisica, si 
capira' dopo perche'.
Nel corpo del programma userai solo "numerical value equations".
Questo significa che, prima di scrivere la prima riga di codice, devi:
  - definire esattamente le unita' di misura che userai per ogni singola 
grandezza. Nel caso della Fisica, puoi limitarti a usare strettamente le 
unita' di misura del SI: m, Kg, s, A (o C), K, e le loro derivate: ti 
semplifichera' la vita sia nell'implementazione delle formule, sia nel 
reperimento dei valori numerici delle costanti universali. Ma, 
ovviamente, puoi fare anche scelte diverse: l'importante e' che poi tu 
rispetti la scelta fatta nell'implementazione di tutte le formule che 
userai. Sarai facilitato dal fatto che la maggior parte dei testi di 
Fisica usa "quantity equations", equazioni fra grandezze, assegnando 
alle costanti universali un simbolo piuttosto che esprimerle 
numericamente (dando per implicite le loro unita' di misura) o 
dimensionalmente (
p.es
. scrivendo 1.3806504*10^-16 erg K^-1 al posto di 
k_B). Per cui potrai assegnare il giusto valore numerico alle variabili 
o simboli "costanti universali" G, kB, eps_0, mu_0, h, hbar... e 
trascrivere le formule esattamente come le leggi.
  - DOCUMENTARE LA TUA SCELTA. Questo e' un punto fondamentale per la 
manutenibilita' e la modificabilita' del software. Poche righe di 
commento messe con grande evidenza all'inizio del main saranno 
sufficienti. Ma se non ce le metti, *sicuramente* prima o poi ti 
capitera' di apportare modofiche usando "numerical value equations" 
buone solo in un set di unita' di misure diverse.
  (Mi e' capitato di recente di cercare di capire che cavolo di unita' 
di misura usava un programma di simulazione del comportamento di 
nanotubuli di piombo sottoposti a trazioni e temperatura diverse. La 
persona che mi chiedeva  aiuto in merito doveva introdurre una rotazione 
del sample fino a un valore prefissato di omega, aggiungendo a ogni step 
un momento della QDM ad ogni atomo. L'unica unita' di misura di cui 
eravamo certi e' che la temperatura veniva misurata in K. Dall'ispezione 
del sorgente, e dal valore di kB, fu possibile capire che l'energia 
veniva espressa in keV. Sul resto, nebbia. Alla fine di una lunga 
indagine riuscimmo a contattare l'estensore della prima versione e 
scoprimmo che le distanze venivano espresse in angstrom, le masse in 
dodicesimi della massa dell'atomo C_12 e i tempi in nanosecondi :-( )
  - A questo punto hai due scelte:
1) dici ai ragazzi che *tutte* le quantita' che verranno immesse come 
dati di input *dovranno* essere misurate nelle unita' di misura del SI. 
m, m^2, m^3, Kg, rad, joule, newton, pascal eccetera. Banditi i grammi, 
i cm, i litri, i gradi, le atmosfere, yarde, pinte, galloni, angstrom, 
barn et citara. Se hanno dati in queste unita' di misura esotiche, 
devono prima di tutto convertirle in quelle del SI. Magari usando 
google: 
p.es
.
http://www.google.it/search?q=3+atm+in+pascal
oppure con un convertitore che fornisci tu.
Io preferisco questo metodo perche' lo trovo molto educativo (e anche 
Elio Fabri e' d'accordo, mi pare). Pero' mi pare troppo restrittivo 
(almeno per quanto riguarda gli angoli misurati in gradi, i celsius vs i 
kelvin, e simili unita' d'uso comune), per cui passerei almeno in parte 
alla seconda scelta:
2) consenti loro di introdurre i dati come valore numerico *e* unita' di 
misura, scegliendo queste ultime da un elenco  - stretto o largo, a 
scelta tua - di simboli ammessi (e DOCUMENTATI) o da menu', convertendo 
immediatamente ogni grandezza nelle unita' di misura usate internamente 
per i calcoli successivi.
2.b) in questo caso, pero', dovresti anche memorizzare le unita' di 
misura usate per gli input in una tabella di "unita' di misura 
preferite", per evitare all'utente lo shock di introdurre i dati di un 
problema in atmosfere e ottenere un risultato in pascal. Ovviamente 
potresti trovarti di fronte al problema di aver memorizzato due (o piu') 
unita' "preferite" per la stessa grandezza, 
p.es
. cm e anni luce. In 
questo caso una soluzione intelligente potrebbe essere di usare per 
l'output l'unita', fra quelle "preferite", con cui il log_10 della 
misura e' piu' prossimo a 1,5 (dando cosi' preferenza a numeri "umani", 
di ordine di grandezza fra unita' e migliaia).
A questo punto pero' ti trovi nella necessita' di inserire nel progetto 
anche equazioni e problemi tratte da libri di Chimica. E qui i problemi 
sono due: uno riguarda i ragazzi, l'altro te.
  - Per i ragazzi: la maggior parte dei problemi che ho visto da' i dati 
in litri (talvolta anche millilitri o cc), moli/litro, grammi (milliKg? 
:-), atmosfere, piccole o grandi calorie, eccetera. Spesso anche 
temperature in celsius anziche' kelvin.  Trasformare preliminarmente 
questi dati in unita' SI credo che per loro sia un compito sovraumano, e 
penso anche al di fuori degli obbiettivi didattici. O sviluppi un 
*diverso* progetto, solo per la Chimica, in cui usi anche internamente 
queste unita' di misura e le imponi ai ragazzi, o, per fare un unico 
progetto, fai decisamente la scelta 2).
  - Ma, come abbiamo visto, nei testi di Chimica troverai 
prevalentemente "numerical value equations" basate su una scelta 
precedente delle unita' di misura usate, che coincidono solo in piccola 
parte (mol, K) con quelle del SI, e per il resto anticipano quelle che 
vengono usate nei problemi.
Dopo quello che abbiamo visto, *tu te la senti* di trasformare tutte 
queste equazioni in equazioni fra grandezze, in modo da poter poi 
scrivere senza problemi equazioni numeriche si', ma basate sulle unita' 
di misura del SI?
Questo significa, ad esempio, traformare tutte le "pressioni misurate in 
atmosfere" in P/P° con P°=101325 Pa, tutte le "concentrazioni misurate 
in mol/litro" in C/C° con C°=1000 mol/m^3, et cetera et cetera et 
cetera... (e sicuramente non ho visto nei libri consultati tutte le 
possibilita', ce n'e' sicuramente qualche altra che ti fara' uscire 
pazzo...). E significa sopratutto *ricordarsi* (DOCUMENTARE) questa 
convenzione, che dovra' essere usata per qualsiasi aggiunta o modifica 
successiva.
Visto che i chimici hanno creato un *loro* mondo di equazioni numeriche 
con il presupposto di aver adottato un *loro* set di unita' di misura 
(anche se non coerenti), e che per questo nelle loro formule troverai 
spesso costanti dimensionali espresse in forma numerica, mi sa che 
l'unica strada non troppo impervia e' di adeguarsi, cercare di spiegare 
quanto sopra ai ragazzi, e separare i due progetti. Nel secondo 
progetto, potrai usare anche internamente le unita' di misura tipiche 
dei testi di Chimica, e limitare a quelle piu' comuni nei laboratori di 
chimica le unita' di misura ammesse per l'input.
Mi associo ad Elio nel farti gli auguri, ne avrai bisogno...
ciao


 (Quantita' di HCl considerata)/(1 mole di HCL). Adimensionale.
L' unità  di misura della quantità di materia è  la mole. Ma non va mai 
indicata da sola. Va sempre specificato "moli di che".
Allora, esattamente come uno non direbbe mai che una canna da pesca 
lunga 3 m vuol dire ha ha una lunghezza con le dimensioni di un metro 
(si confonderebbero unità  e dimensioni in modo indebito, a parte altre 
considerazioni) non credo che diresti che 3 m è  adimensionale perché 3 
è  il rapporto tra lunghezza della canna e quella del metro campione. 
Anche se l' untima proposizione `e  indubitabilmente vera.
A me sembra che quello delle moli è lo stesso problema dei radianti e 
che la soluzione che in diverso modo, io e, per quel che mi sembra di 
capire, Pangloss (ma prima Arons, e probabilmente non l' ha inventata 
neanche lui) proponiamo sia la più pulita.
Lasciamo stare una volta per tutte i numeri "puri". Servono solo a far 
confusione. I numeri sono numeri e basta. E ogni misura, in quanto 
rapporto tra quantità  omogenee  dà  luogo ad una componente numerica. 
Piuttosto, a quel numero che misura una quantità fisica vengono 
associati 2 attributi: unità  di misura e "dimensione fisica". E le 
dimensioni sono cosa diversa dalle unità di misura.
Giorgio

 dimensionali.
Questo e' sicuramente vero in pratica, ma a rigore non sarebbe
necessario. Si potrebbe benissimo usare la legge di Guldberg-Waage,
espressa con le concentrazioni, per definire una costante di
equilibrio dotata di dimensioni.
Ammetto che questa puo' apparire una fisima da fisico :) pero' mi
domando: i chimici non sono tenuti a rispettare le delibere del CIPM?
E visto che l'uso del SI e' obbligo di legge in contratti e perizie,
come se la cavano i periti chimici se sono stati abituati come
sappiamo?
(Questo solo per insinuare dei dubbi... Poi Soviet_Mario fara' bene a
continuare come fanno tutti, altrimenti si troverebbe in guai pratici,
a essere guardato storto dai colleghi :-) )
Sulla "pars construens" sarei complessivamente d'accordo, anche se non
mi pare per niente facile...
Specialmente necessaria la documentazione: ci ho sbattuto il naso
innumerevoli volte, per cose che avevo scritto io stesso un po' di
anni prima :-(
Una sola obiezione: "kg", non "Kg".


 indicata da sola. Va sempre specificato "moli di che".
Una volta che il SI prende la quantità  di materia  come grandezza 
fondamentale, il numero di moli ha dimensione "quantità  di materia".
Se indico 2.5 mol di HCl sto parlando di una quantità  il cui valore 
numerico (il rapporto di commensurabilità  con l' unità  di misura, 
mol,  è  2.5 (che è  ovviamente un numero) e le cui dimensioni sono 
"quantità  di materia"). E' una scelta convenzionale. Ma una volta 
fatta, così è. Naturalmente, aver specificato l' unità  mol per la 
grandezza quatità  di HCl,  implica che il rapporto (Quantita' di HCl 
considerata)/(Quantità di HCl nell' unità  di misura) = 2.5. 2.5 è  un 
numero. In quanto tale non è   né  dimensionale né  adimensionale.
2.5 mol  indica invece una quantità  di materia ed è  quindi dimensionale
In breve, anche se con un po'  di ridondanza, ma utile per far 
chiarezza, qualunque misura viene condensata nela tripla 
(numero==rapporto di proporzionalità con l' unità  di misura, unità  di 
misura, dimensione fisica). La dimensione fisica dipende non solo dalla 
grandezza in questione ma da quali altre grandezze sono state scelte 
come fondamentali in un sistema di unità.
Per alcune quantità può succedere che la grandezza e quindi l' unità  di 
misura possa essere adimensionale.
Giorgio

...
Scusa ma ho pasticciato col draft ed e' partito un messaggio ancora in 
lavorazione, poco comprensibile e che mette insieme elaborazioni diverse 
e parziali di una risposta che cercavo di mettere in forma chiara.
Adesso non ho tempo per rimettere insieme il discorso. Provvedero' 
domani. Il caso delle moli e dei radianti non sono identici. L' ultimo 
commento sui numeri puri e' invece OK
Giorgio

 dimensioni sono cosa diversa dalle unità di misura.
Anche qui non capisco bene cosa hai scritto. Io direi che la misura di
una quantita' fisica dimensionale dev'essere composta da due elementi,
un numero (puro) e un'unita' di misura *con le stesse dimensioni*,
mentre a quella di una quantita' adimensionale basta il solo numero (e
in questo caso l'unita' di misura e' implicitamente l'unita', non la
decina o la dozzina).
ciao
-- 
TRu-TS

 neanche lui) proponiamo sia la più pulita.
Citi forse Arnold Arons? A cosa ti riferisci esattamente?
Per me il "rad" e' semplicemente l'unita' di misura coerente degli angoli
(obbligatoria in ogni sistema di unita' con angolo grandezza derivata). 
Adimensionalita' significa solo che tale unita' e' *indipendente*  dalla 
scelta delle unita' fondamentali del sistema: *non* significa affatto
che gli angoli (ed il campione rad) siano numeri puri.
La questione della mole si pone in termini diversi.
Il termine "mole" nasce storicamente come "short for" grammo-molecola;
la mole era cioe' intesa (ed a volte lo e' tuttora) come  un'unita' di
massa (fuori da CGS, MKS ecc.) per composti chimicamente definiti.
In seguito il S.I. introduce una nuova grandezza primitiva, denominata
"quantita' di materia" ed associa ad essa l'unita' fondamentale "mol".
La dimensionalita' di una grandezza non e' un concetto assoluto: nella
base dimensionale S.I. oggi figurano separatamente Kg e mol.
O ci si adegua completamente, o nascono casini...
Ad esempio, *se* l'equazione di stato dei gas perfetti pv = nRT e' intesa
come "quantity equation S.I.", chiamare n "numero di moli" e' fuorviante,
poiche' in quest'ottica n non e' un numero, ma e' invece una grandezza 
(neppure adimensionale!): una quantita' di materia (da misurare in mol).


 come "quantity equation S.I.", chiamare n "numero di moli" e' fuorviante,
un po'. Ma non è  troppo lontano (linguisticamente) dalla locuzione 
"lunghezza in metri" e comunque è  un uso radicato. E mentre sulle 
grandezze fondamentali e unità di misura in qualche modo si riesce ad 
incidere, mi sembra che un fisico debba convivere con un linguaggio che 
è  una stratificazione di concetti e termini introdotti su tutto l' arco 
della storia della fisica.
Giorgio

 misura dell'angolo *in radianti*.
Perï¿œ per chiarezza occorre stabilire come si definisce la funzione seno.
Di fatto i radianti entrano in gioco solo quando si connette la funzione 
seno alle proprietï¿œ  della circonferenza. Questa puï¿œ intervenire 
immediatamente (circonferenza trigonometrica) o solo dopo aver 
dimostrato le principali propieta'  della funzione definita attraverso 
un' equazione differenziale o un integrale o una serie di potenze.
Giorgio

 della storia della fisica.
Conviverci dobbiamo, visto che questi concetti e termini sono usati in
parecchi libri di Fisica (per non parlere di quelli di Chimica, e dei
testi storici originali) che altrimenti diventerebbero illeggibili: ma
per una Fisica coerente con la scelta di scrivere *solo* equazioni fra
quantita', quell'n andrebbe eliminato e sostituito da un altro simbolo
indicante la "quantita' di sostanza".
ciao


 Ok per la prima parte. Ma la quantità  di materia non è omogenea a massa.
Certo che no, forse non ci siamo capiti. Nel S.I. quantita' di materia e
massa sono grandezze primitive distinte (e compaiono entrambe nei calcoli
dimensiomali).


Stasera ho deciso di dedicare il mio intervento a un tema monografico:
invece di scrivere commenti su cose che avete scritto (ne avrei...)
preferisco farli indirettamente, con una breve esposizione del mio
punto di vista generale sulla questione unita', grandezze, dimensioni.
Cosi' risultera' anche chiaro perche' a mio avviso il SI sia per
diversi aspetti un bel pastrocchio...
1. A mio parere grandezze fondamentali o derivate, unita' e dimensioni
sono tutte interconnesse.
Un sistema di unita' richiede anzitutto che si fissino le _grandezze
fondamentali_, ossia quelle per le quali si definiscono unita' di
misura *indipendenti tra loro*, e basate su campioni (naturali o
artificiali, non importa).
La scelta di quali siano le gr. fondam. e le relative unita' *e' del
tutto arbitraria*.
2. Dopo di che, si useranno alcune _leggi fisiche_ per definire le
_grandezze derivate_ (esempio tipico: F=ma) e relative unita'.
Dato che non tutte le leggi fisiche, ma soltanto un piccolo numero,
saranno impegnate per definire le grandezze derivate, le rimanenti
saranno relazioni fra grandezze gia' definite, e in generale
conterranno delle *costanti di proporzionalita': le _costanti
universali_.
3. La _dimensione_ di una grandezza fisica indica semplicemente il
modo di trasformarsi della sua unita' sotto cambiamento delle unita'
fondamentali.
In particolare, una _grandezza adimensionale_ e' *invariante* per
cambiamenti di unita'.
Pertanto una gr. adim. *non ha unita' di misura*, e non riesco a
capire l'affermazione che leggo, secondo cui invece ci possono essere
unita' di misura per le gr. adim.
4. Un corollario di quanto ho scritto e' che nel SI diverse cosiddette
gr. fondam. in realta' non lo sono: la lunghezza, a corrente
elettrica, l'intensita' luminosa, la quantita' di materia.
La lunghezza ha un'unita' definita in base all'unita' di tempo.
La corrente elettrica ha un'unita' definita in base a quelle di
lunghezza e forza.
L'intensita' luminosa ha un'unita' definita in base all'unita' di
area. (Questo pero' si risolve facilmente: la vera grandezza fondam.
e' la _luminanza_, un tempo "brillanza").
La quantita' di materia ha un'unita' definita in base all'unita' di
massa. (Si potrebbe definire una "quantita' specifica di materia": q.
di materia per unita' di massa, che non mi pare sia mai stata definita
ne' usata...)
5. Da quanto sopra segue la mia posizione a proposito degli angoli.
Due scelte sarebbero coerenti:
a) Considerare l'angolo una gr. fondam., con la scelta fra tante
possibili unita'.
b) Definire l'angolo come grandezza derivata (arco/raggio) e in tal
caso abbiamo una gr. adim., *senza unita' di misura*.
Mi pare che sia tutto.
Naturalmente attendo con interesse obiezioni, commenti...


 e' la _luminanza_, un tempo "brillanza").
valeva per la vecchia definizione, data col cm^2 di platino al punto
di fusione.
Ora la definizione e' del tutto diversa, e caso mai dovrei dire che
l'intensita' luminosa e' legata alla potenza, anzi e' addirittura una
potenza.
La questione generale richiede un discorso piu' lungo. Qui anticipo
solo che si puo' vedere la definizione di unita' come il metro o la
mole in modo diverso da come la vedevo.
Mi riprometto di spiegarmi meglio in un prossimo post.


...
nessun commento/obiezione per ora... ma qualche domanda:
Qual è il numero *minimo* di grandezze fondamentali *indipendenti*
necessario per "costruire" la fisica tuttora nota? (si... lo so minimo
e
indipendenti sono ridondanti...)
o meglio...
quale il minimo num. di gr. fond. per "costruire" la relatività
ristretta?
quale il minimo num. di gr. fond. per "costruire" la relatività
generale?
quale il minimo num. di gr. fond. per "costruire" il modello standard?
...
Poi ci si potrebbe domandare: fra le molte scelte arbitrarie, quale
sarebbe
una "buona" scelta per non "complicare" il formalismo delle varie
teorie?
Sandro

 Mi riprometto di spiegarmi meglio in un prossimo post.
bene, aspetto/iamo allora
ciao
Soviet

 unita' di misura per le gr. adim.
Com'era semplice la vita quando a scuola (tanti anni fa...) mi dissero
che il radiante e' un angolo al centro corrispondente ad un arco di
circonferenza lungo quanto il raggio e che 1rad = 57°17'... 
E invece no! Parafrasando Orwell in "1984", secondo il "Grande Fratello"
BIPM il radiante e' solo un nome diverso dato al numero 1 per rendere 
piu'logorroiche le misure angolari: il radiante non esiste piu', anzi
non e' mai esistito, e' stato "vaporizzato". 
Sto scherzando, mentre dovrei giustificare le mie affermazioni, ma i 
limiti espressivi del modo testo mi impediscono di argomentare in modo 
completo e rigoroso su un ng. Posso solo dire che quanto sostengo sulle
grandezze adimensionali si basa su un'analisi accurata del concetto di
grandezza derivata.


 unita' di misura per le gr. adim.
C'e' chi distingue tra grandezze adimensionali e numeri puri (
p.es
. 
Fazio nel suo "Manuale delle unità  di misura"). Secondo me, anche 
questo segnala l' utilità  di introdurre unità di misura per quantità 
adimensionali (che è  quello che dice anche il BIPM).
Gli angoli in radianti devono essere grandezze adimensionali perchè 
rapporto di due lunghezze.
Tuttavia le  quantità di cui si fa il rapporto per definire un angolo 
non sono obbligatoriamente la lunghezza di un arco di circonferenza  e 
quella del raggio. Potrei definire ugualmente bene un' unità di misura 
per angoli, analoga al radiante (chiamiamola rad2), come rapporto tra 
area del settore circolare sotteso dall' arco e quadrato del raggio. Per 
funzionare funziona ma le misure di tutti gli angoli in rad2 sono metà 
di quelle in rad. Ovvero tutto si comporta esattamente coe nella 
situazione in cui ho due diverse unità  di misura, una doppia dell' atra.
Giorgio

 di vista diverso.
Volevo fare alcune osservazioni basate sul mio prediletto Sena ma ora 
attendo. Non manco pero' l'occasione di dedicarti la prima istanza della 
mia firma in versione lunga, che riservero' alle risposte ai post degni 
della mia cassapanca.
(Nota esplicativa: i Greci usavano (e credo molti usino ancora) le 
cotogne come noi usiamo i sacchetti di lavanda.)
-- 
TRu-TS
incoraggiate coloro che vogliono
rendere vigile la vostra mente
mettete al sicuro i loro pensieri
nel chiuso di una bella cassapanca
poi aggiungeteci mele cotogne
e per un anno intero i vostri panni
sapranno di fragrante intelligenza
   Aristofane, Le Vespe, ca 440 ac
   Versione endecasillaba di P. Rumiz


 filamenti monocristallini se confrontate con specimen di materiali reali.
Mi spiace, ma il "mio referente" era uno studente che doveva sostenere 
un esame di Simulazioni Atomistiche, ed era stato richiesto di apportare 
quella modifica alla simulazione come home assignment a scopo di pura 
esercitazione, senza alcun riferimento alla ricerca di cui il programma 
era strumento. Svelato l'arcano delle unita' di misura usate 
internamente, dimostrato di saper apportare la modifica in Fortran 90 e 
incassato un 29 sul libretto, ha riformattato la partizione del cervello 
usata entro le 24 ore :-)
Posso segnalarti invece l'home page del docente:
http://www.fisica.uniud.it/~ercolessi/
forse ci trovi qualcosa di tuo interesse e connesso alla tua tesi.
Ciao


 e non anche rapportata alla superficie ?
No, perche' ora una candela e' una sorgente monocromatica, di data
frequenza, che emetta una potenza di 1/630 W.


 varie teorie?
Il problema e' che quella che risulta una buona scelta per una certa
teoria, non lo e' altrettanto per un'altra.
Per es. in mecc. quant. relativistica risulta molto comodo scegliere
unita' tali che c e hbar valgano 1.
In rel. generale invece conviene avere uguale a 1, oltre a c, la
costante di gravitazione G.
Ma se pretendi entrambe le cose, tutte le unita' risultano fissate, e
per es. l'unita' di massa diventa la massa di Planck, che e'
piccolissima per le applicazioni astrofisiche e cosmologiche, mentre
e' troppo grande per la fisica delle particelle.


...
Non capisco... si potrebbe quindi fare tutto solamente con grandezze
derivate ( ?da cosa se non ci sono grandezze fondamentali? ) ?
Sandro

 La lunghezza ha un'unita' definita in base all'unita' di tempo.
E di conseguenza non si puo' ritenere la lunghezza una gr. fondam.
Ripensandoci, mi era venuta in mente una possibile obiezione.
Leggiamo la definizione del metro:
"The metre is the length of the path travelled by light in vacuum
during a time interval of 1/299 792 458 of a second."
Questa puo' essere interpretata cosi': il metro e' definito come lo
spazio percorso dalla luce in un certo intervallo di tempo, che
chiamero' tau.
Questo intervallo di tempo e' definito, in termini della gia' definita
unita' di misura del tempo, come 1/299 792 458 di un secondo, ma cio'
non significa che l'unita' di lunghezza sia vincolata a quella di
tempo, in quanto nella definizione il secondo entra solo per precisare
quanto e' lungo l'intervallo tau, che ha significato in se', a
prescindere dall'unita' di tempo.
La stessa osservazione si puo' fare in tutti gli altri casi che avevo
citato (corrente elettrica, intensita' luminosa, quantita' di materia)
e non sto a ripetermi.
Pero' dopo aver concepito questa obiezione l'ho anche confutata come
segue.
Supponiamo che in futuro si trovi conveniente ridefinire il secondo
(questo non e' affatto assurdo, visto che da tempo si sono ventilate
altre definizioni, o basate su diversi orologi, oppure anche sulle
pulsar...).
Certamente la nuova definizione verrebbe costruita in modo tale da
mantenersi vicina quanto possibile a quella attuale, ma tuttavia
il "nuovo secondo" sarebbe leggermente diverso da quello attuale.
Questo aprirebbe un dilemma per la definizione del metro. Secondo
l'interpretazione che ho proposto sopra, l'intervallo tau non sarebbe
esattamente 1/299 792 458 nuovi secondi, ma un numero leggermente
diverso: si dovrebbe percio' riscrivere la definizione del metro:
"The metre is the length of the path travelled by light in vacuum
during a time interval of ... of a new second."
Oppure si potrebbe decidere di non cambiare la frase, con la
conseguenza di avere un "nuovo metro", definito col nuovo secondo.
Quale sarebbe secondo voi la scelta?
Io non ho dubbi: la seconda alternativa sarebbe assai piu' pratica e
piu' stabile.
Infatti la prima avrebbe tra l'altro il difetto che un'eventuale
rideterminazione del rapporto tra nuovo e vecchio secondo
obbligherebbe a riscrivere la def. del metro...
Ma se si adotta la seconda alternativa, significa che l'unita' di
lunghezza *e' agganciata* a quella di tempo, anche se con un fattore
numerico nella definizione che le lega.
Quindi l'unita' di tempo non e' indip. e la lunghezza *non e' una gr.
fondamentale*.
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 derivate ( ?da cosa se non ci sono grandezze fondamentali? ) ?
Che si potrebbe, mi pare evidente: vedi obiezioni?
Se ti preoccupa che tutte le gr. sarebbero "derivate", ti rispndo che
non bisogna impiccarsi alle parole.
Ovvio che si parla di gr. derivate se esistono gr. "non derivate"; in
caso contrario, la distinzione semplicemente non si pone.


 ...
Non volevo "impiccarmi" alle parole...
Provo a spiegare ritornando alla domanda che mi ponevo:
   Qual è il numero *minimo* di grandezze fondamentali *indipendenti*
   necessario per "costruire" la fisica tuttora nota?
Mi verrebbe da dedurre (magari sbagliando) che il Sistema
Internazionale
preveda almeno 7 grandezze fondamentali *indipendenti*.
La scelta del SI di queste 7 è stata:
   length
   mass
   time, duration
   electric current
   thermodynamic temperature
   amount of substance
   luminous intensity
tramite le quali vengono "costruite" le teorie fisiche.
Direi inoltre che il fatto che nel corso degli anni, alcune di queste
grandezze
fondamentali siano state ridefinite in base ad altre grandezze non
sembrerebbe
togliere nulla al fatto che si abbia bisogno di almeno 7 grandezze
*indipendenti*.
Riprendendo l'esempio del metro che fai in un'altra tua risposta in
questo thread,
è vero che è ora definito come "una velocità per un tempo" ...ma
probabilmente
questo è stato fatto per la semplice "comodità" di considerare la
velocità della
luce come costante...
Sembrerebbero quindi solamente scambiate alcune grandezze fondamentali
con altre derivate (qualcuna che prima era fondamentale ora è derivata
e viceversa)
ma il numero minimo di gr. fond. indipendenti rimarrebbe 7.
Sandro

 7.
Spiegami allora come mai per lunghissimo tempo la fisica (inclusi
elettromagnetismo, relativita', mecc. quantistica si e' basata solo su
*tre* gr. fondam. (al piu' 4, se vogliamo includere la temperatura).
La quantita' di materia e' un'invenzione recente; la candela non
esisterebbe se non ci fosse la necessita' pratica di raccordare con la
fisica le sensazioni visive dell'occhio *umano*.
Ripeto per tua comodita' la mia posizione, diametralmente opposta alla
tua: la scelta di quali e quante gr. fondam. e' del tutto libera e
arbitraria, e *non ha alcun significato fisico*.
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 arbitraria, e *non ha alcun significato fisico*.
Suppongo pero` che attribuisca alla scelta delle grandezze fondamentali 
almeno qualche comodita` dal punto di vista dei calcoli oppure della 
realizzazione dei campioni delle unita`.
Non vedo il problema che segnali sulla definizione delle unita` fatta 
dal SI. Un conto sono le grandezze fondamentali (ad esempio L T M, 
oppure L T F) un conto e` come si realizza il campione dell'unita`.
Non mi pare che cambi molto se il metro e` definito come distanza fra 
due tratti su una sbarra, oppure con la velocita` della luce, oppure 
come si definisce il piede o la parasanga. Sempre lunghezze sono, i 
risultati dell'esperimento di costruzione del campione di lunghezza sono 
comunque sempre (equivalenti a) "due tratti" su una sbarra.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 comunque sempre (equivalenti a) "due tratti" su una sbarra.
Su questo non potrei che ripetermi...
Se gli argomenti che ho portato non ti convincono, dovresti spiegarmi
perche'.
Vedi in particolare quello che ho scritto il 21: l'obiezione e la
relativa confutazione.


 relativa confutazione.
Vedo piu` separata la scelta della grandezza fondamentale dal modo con 
cui realizzare l'unita` di misura di quella grandezza. Se si decide (per 
consuetudine, per comodita`, per motivi teorici, per facilita` di 
realizzare un campione) che la lunghezza sia una grandezza fondamentale, 
quella rimane fondamentale indipendentemente da come si realizza il 
campione.
La realizzazione del campione e` un esperimento che da` come risultato 
l'equivalente di due tratti su una sbarra. Non ha importanza come viene 
realizzato l'esperimento, basta che fornisca una distanza stabile, con 
poco rumore e facilmente riproducibile, vale a dire ricostruibile o 
trasportabile.
Per i lettori accidentali, la definizione del piede come lunghezza del 
piede del re non era stabile, e non era neanche riproducibile. La 
lunghezza del piede definita come media della lunghezza dei piedi dei 
primi 12 adulti maschi che uscivano dalla messa in chiesa una certa 
domenica dell'anno non era stabile ma riduceva il rumore con 
l'operazione di media ed era facilmente riproducibile.
La definizione di distanza fra due tratti tracciati su un regolo di 
ferro messo in un certo muro e` piu` stabile e precisa rispetto ai casi 
precedenti, ma non e` riproducibile. Si migliora la stabilita` e il 
rumore con la sbarra di platino iridio usata per la definizione del 
metro, ma la riproducibilita` e` sempre pessima. Di campione ce n'e` 
solo uno!
La definizione basata sulla lunghezza d'onda di una particolare 
radiazione rendeva il campione piu` stabile, preciso e riproducibile da 
qualunque laboratorio metrologico. Infine la definizione attuale con la 
velocita` della luce e il tempo riduce il rumore sulla costruzione 
dell'unita` di misura ed e` riproducibile in un qualunque laboratorio 
metrologico.
Se trovo una tecnica che mi permette ad esempio di ridurre il rumore 
nella costruzione dell'unita` di misura, utilizzo la nuova tecnica 
cercando di fare in modo che la nuova definizione dell'unita` sia la 
piu` vicina possibile a quella precedente.
Una nuova definizione potrebbe anche non contenere il tempo (anche se la 
vedo improbabile perche' il tempo attualmente e` la grandezza che si 
riesce a misurare con migliore risoluzione e precisione).
Se per definire il metro uso una unita` di tempo, e questa cambia, 
cambio il coefficiente della definizione di metro. Sono quindi piu` 
favorevole alla prima soluzione che avevi proposto nel messaggio del 21.
Voglio dire che la costruzione dell'unita` di misura e` solo un 
accidente, anche se si basa su un'altra grandezza, non e` detto che 
debba cambiare se cambia la prima grandezza.
Il secondo e` cambiato un paio di volte, senza che il metro cambiasse. 
Ore che la definizione di lunghezza contiene il tempo secondo me 
continua a rimanere una grandezza fondamentale, possibilmente della 
stessa lunghezza, anche se cambia l'unita` di tempo.

 cui realizzare l'unita` di misura di quella grandezza.
Ho l'impressione che in questo thread al termine "grandezza fondamentale"
siano attribuiti *significati alquanto diversi* dai vari partecipanti,
con gli equivoci che ne derivano.
L'OP potrebbe aprire un nuovo thread (questo sta diventando troppo ampio 
e dispersivo) per convenire una terminologia comune: occorre chiarire
cosa vogliamo intendere per grandezza primitiva, grandezza derivata, 
grandezza fondamentale, unita' fondamentale, unita' derivata ecc.
Il problema posto dall'OP non andrebbe inoltre posto per "tutte le teorie
fisiche" (!), sarebbe molto piu' chiara una prima discussione limitata 
(per esempio) alle sole grandezze ed unita' della meccanica newtoniana. 
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 debba cambiare se cambia la prima grandezza.
Certo che non e' detto, e infatti ho prospettato le due alternative.
Ma che tu sia piu' favorevole alla prima, non ha molto interesse
(scusa...) bisogna vedere come si comportera' il CIPM.
Hai visto la "Draft Resolution A" nel sito del BIPM? Enuncia le
intenzioni del CIPM perl'immediato futuro, e va in direzione della
seconda scelta, non della prima.
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