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Titolo: Traiettoria di una nave sulla superficie terrestre

Salve a tutti, vorrei porvi un quesito: Ho letto che i naviganti usano
definire lossodromia la curva che percorre una nave sul mare, ad esempio
partendo da un punto dell'equatore e mantenendo una rotta costante (ad
esempio 45° Nord) la nave traccia una curva che in assenza di terre emerse
circumnaviga la l'emisfero boreale avvitandosi intorno al polo e
reggiungendo quest'ultimo all'infinito. Supponendo la terra sferica e
completamente ricoperta d'acqua in assenza di venti e correnti, la mia
domanda è la seguente: il moto apparentemente contorto della nave (potrebbe
girare seguendo una circonferenza massima e ricongiungersi nel punto di
partenza) da cosa è giustificato?
Grazie.

 wrote in message
news:c3bvk7$26dotv$1...@ID-162091.news.uni-berlin.de...

La lossodromica e' appunto la curva a spirale che hai citato tu e si ottiene
tenendo costante l'angolo in bussola (declinazione magnetica a parte).
Si definisce invece rotta "ortodromica" l'arco di cerchio massimo che
collega due punti qualsiasi, in altre parole, quella che si percorre tenendo
il timone rigorosamente diritto!!!
E' ovvio che lungo questa rotta la direzione di bussola cambia
continuamente.
E' intuitivo che essa e' la rotta piu' breve tra due punti (purche' si
percorra l'arco piu' corto dei due).
Saluti
Mino Saccone


Premettendo che sono stato in nave la bellezza di tre volte in tutto, la
"lossodromica" e' giustificata dal fatto che e' molto piu' semplice da
seguire della "ortodromica" (le correzioni fanno comunque perdere tempo) e
che e' un'ottima approssimazione per distanze brevi.
Gio

 Gio
Non mi sono spiegato bene e me ne dispiaccio. Volevo sapere come esce fuori
la spirale della lossodromica, se c'entra la forza centrifuga della Terra la
non perfetta sfericità o che ne so se c'entra l'accelarazione di Coriolis,
insomma una spiegazione più fisica!
Grazie ancora!


Ti sbagli, perchč mantenere il timone perfettamente diritto e mantenere una
rotta costante č esattamente la stessa cosa!
In questo caso si parla di lossodromia.
Ha ragione Giovanni, per seguire il percorso piů breve cioč l'ortodromia
dovremo continuamente correggere il nostro timone e quindi la nostra
rotta!!!
Ciao

 
Ci provo: innanzitutto la forma della lossodromica non c'entra nulla con 
il movimento della Terra, ma solo la sua geometria.
Non conosco una spiegazione rigorosa, ma mettiamola cosi'. Supponiamo di 
seguire una lossodromica che va a Nord tagliando i paralleli con 
un'inclinazione di 45 gradi. Allora si puo' capire che non si tornera' 
mai su punti per cui si e' gia' passati perche' la lossodromica va 
sempre verso punti che hanno latitudine piu' alta. Quindi la 
lossodromica o raggiunge il Polo (Nord in questo caso) o ci va vicino. 
Che non raggiunga il Polo si puo' vedere cosi': se si traccia una linea 
che va da un punto qualunque della Terra fino al Polo Nord, questa linea 
  nelle vicinanze del Polo dovra' essere orientata a 90 gradi verso Nord 
(almeno nei casi che riesco ad immaginare io: magari c'e' qualche caso 
piu' complesso di cui non mi sono accorto? Giro la domanda al NG); 
allora questa linea non puo' essere la lossodromica che abbiamo 
considerato in partenza perche' quella tagliava i paralleli a 45 gradi.
Se uno proprio vuole puo' calcolare quanti gradi di latitudine guadagna 
una lossodromica per ogni grado di longitudine, e questa deve risultare 
una funzione decrescente della latitudine: ma io il conto non l'ho fatto :-)
Poi si vede facilmente che l'ortodromica (il cerchio massimo) non puo' 
essere una lossodromica perche' se ha una parte nell'emisfero Sud e una 
nell'emisfero Nord vuol dire che in alcune zone "viaggia" da Sud verso 
Nord e in altre da Nord verso Sud.
Gio

 rotta costante è esattamente la stessa cosa!
Non ne sono molto convinto (sono Giovanni sotto falso nome). Mantenendo il
timone diritto intuitivamente si percorre una "retta" sulla sfera, che e'
una ortodromica. Quindi mantenere il timone diritto fa cambiare angolo di
rotta. D'altronde perche' la nave sulla Terra dovrebbe sapere qualcosa
dell'esistenza del Polo Nord????

 rotta!!!
Credo proprio che ti stia sbagliando e invece abbia ragione mino :-).
Oltre che a fare i conti sulla superficie sferica (neanche troppo 
complicati), un modo semplice per vederlo, utile quasi sempre quando si 
cercano solo delle risposte "qualitative" e` quello di vedere un 
comportamento al limite della situazione.
Nel nostro caso cosa capita se si segue una lossodromia per tempi 
lunghissimi? (ovviamente si suppone che non ci siano terre emerse). La 
rotta si avvicina asintoticamente al polo, girandoci attorno, 
percorrendo la spirale lossodromica. Il raggio di quella spirale diventa 
sempre piu` picccolo di mano in mano che ci si avvicina al polo. Per 
tenere una rotta a spirale con raggio della spirale che tende a zero, su 
una zona localmente piana (basta avvicinarsi sufficientemente al polo) 
bisogna dare timone!
Dato che nel nostro caso tutte le funzioni coinvolte sono 
ragionevolmente buone (almeno di classe C1), anche quando siamo lontani 
dal polo si deve dare timone per tenere la lossodromica.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 ha scritto nel messaggio
news:c3ee5u$25fluo$1...@ID-162091.news.uni-berlin.de...

La spiegazione non è fisica, ma geometrica! Se provi ad andare ad esempio a
NE, a 45° lungo la superficie di una sfera, e separi i due moti verso nord e
verso est, ottieni proprio la spirale che dici. In pratica hai la
combinazione di un moto circolare uniforme, (verso est) e un moto di
avvicinamento al polo nord, che quindi riduce il raggio fino a convergere al
polo, per t->infinito.
Mantenere fisso l'angolo non significa quindi muoversi su un cerchio
massimo. Questo deriva direttamente dalla diversa struttura delle coordinate
sferiche, rispetto a quelle ortogonali.
Ciao
Andrea

Andrea ha scritto:
 > La spiegazione non è fisica, ma geometrica! Se provi ad andare ad
 > esempio a NE, a 45° lungo la superficie di una sfera, e separi i due
 > moti verso nord e verso est, ottieni proprio la spirale che dici. In
 > pratica hai la combinazione di un moto circolare uniforme, (verso est)
 > e un moto di avvicinamento al polo nord, che quindi riduce il raggio
 > fino a convergere al polo, per t->infinito.
 > Mantenere fisso l'angolo non significa quindi muoversi su un cerchio
 > massimo. Questo deriva direttamente dalla diversa struttura delle
 > coordinate sferiche, rispetto a quelle ortogonali.
Aggiungo un altro argomento: un cerchio massimo obliquo ha un punto di
massima latitudine (e uno di minima, negativa). In quei punti e'
tangente al parallelo, quindi la rotta e' a 90 gradi.
Calcolare l'eq. della lossodromica non e' difficile.
Dato che l'angolo rispetto al meridiano e' costante, e' anche costante 
il rapporto dello spostamento lunto il prallelo a quello lungo il meridiano:
\sin\theta d\phi = k d\theta.
Questa eq. differenziale s'integra facilmente, e da'
\phi = \phi0 + k \ln\tg(\theta/2).  (1)
Si vede che quando \theta --> 0 \phi va a oo, il che vuol dire che la
lossodromica fa infiniti giri attorno al polo.
Incidentalmente, dalla (1) si capisce il perche' della proiezione di
Mercatore, che porta in ordinata proprio |\ln\tg(\theta/2)|.
In questo modo la lossodromica diventa una retta.
A quei tempi l'unica navigazione possibile era appunto la
lossodromica, e con una carta di Mercatore diventava facile calcolare
la rotta per raggiungere un dato porto.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 Giammi wrote:
[mega snip]
Faccio un tentativo di portare un po' di chiarezza nel discorso (sperando di
non ottenere l'effetto opposto) citando il "Capasso - Fede, Navigazione ad
uso degli Istituti Nautici e dei Naviganti, vol. 1, Ed. Hoepli 1971"
Saluti,
Carlo
[da pag. 112] Lossodromia
Usando quale mezzo di orientamento la bussola, che in ogni punto nel quale
la nave si trova indica la locale direzione del Nord, e navigando, come si
fa normalmente, in modo di mantenere la linea di fede sempre in
corrispondenza di uno stesso tratto della graduazione della rosa, la nave si
sposta conservando una stessa prora bussola e, di conseguenza, una stessa
prora vera (almeno finché non vari sensibilmente la declinazione).
Ammettendo ancora che eventuali angoli di scarroccio e deriva abbiano valori
costanti, si conclude che la nave si sposta da un punto ad un altro
mantenendo costante l'angolo di rotta vera. Da questa fondamentale
considerazione si deduce la natura geometrica della linea che la nave segue
sulla super­ficie terrestre: deve trattarsi di una linea orientata in ogni
suo punto secondo uno stesso angolo Rv, ossia formante un angolo costante
con tutti i successivi mieridiani che incontra. A tale lirica si dà il nome
di Lossodromia (rombo obliquo).
La nave naviga dunque da un punto ad un altro della superficie terrestre
percorrendo un arco di lossodromia. Navigazione lossodromica dicesi la
navigazione condotta sulle lossodromie. Di essa dovremo imparare a risolvere
i problemi principali.
Possiamo dare un'ultima definizione dell'angolo di rotta; definizione che
riteniamo debba considerarsi come la piu semplice e la più rigorosa dal
punto di vista matematico: rotta è l'angolo costante che forma con i
meridiani la lossodromia seguita dalla nave. Tale rotta, che e quella
secondo cui sì naviga comunemente, dicesi rotta lossodromica.
Notiamo che per un punto della suprificie terrestre si possono far passare
infinite lossodromie, formanti ciascuna un certo angolo col meridiano.
In particolare sono lossodromie quelle corrispondenti agli angoli 0° o 180°,
90° o 270°, ossia i meridiani, i paralleli e l'equatore. Ed è noto clic i
meridiani e l'equatore sono altresì circoli niassimi della terra sferica;
sono essi le sole linee che siano lossodromie e circoli massimi ad un tempo.
Vedremo in seguito che tutti gli altri circoli massimi sono caratterizzati
dal fatto di tagliare i meridiani secondo angoli continuamente variabili.
Immaginando di prolungare indefinitivamente una lossodromia passante per un
punto A (fig. 77)
[nota: la fig.77 fa vedere come nel caso descritto la lossodromia sia una
spirale verso il polo]
corrispondente ad un certo angolo Rt, (diverso da 0°, 90°, 180°, 270°) si
constata che essa tende ad av­vicimirsi sempre più ai poli, avvolgendosi
come una spirale attorno ad essi, ma senza mai raggiungerli. Possiamo
spie­gare in modo elementare perché tale linea non possa passare per un polo
riflettendo sul fatto che la sola direzione con la quale si può raggiungere
un polo è quella del meridiano, corrispondente ad Rv = 0 (polo Nord) o Rv =
180° (polo Sud); mentre la lossodromia considerata è vincolata alla
condizione di formare con tutti i meridiani un angolo costante diverso da
tali valori. Si dice che i poli sono punti asinitotici o asintoti delle
lossodromie.
Notiamo fin d'ora che il comportamento della lossodromia sulla superficie
sferica rammenta quiello di una curva piana studiata dalla Geometria
Analitica: la spirale logaritmica, definita dalla proprietà di tagliare con
un angolo costante tutte le rette uscenti da un punto. Vedremo, infatti, che
su un particolare tipo di rappresentazione piana della superficie terrestre
(la proiezione stereografica) la lossodromia è rappresentata da una spirale
logaritmica.
[da pag. 199] Concetto fondamentale - Risparmio di cammino - Determinazione
della distanza.
L'arco di lossodromia che unisce due punti A e B della superficioe sferica
non rappresenta la più breve distanza fra di essi.
E' infatti ben noto, dalla geometria della sfera, che la linea più breve che
su tale superficie unisce due punti è l'arco di circolo massimo (< 180°) fra
questi compreso. Considerando la Terra sferica, tale arco rapprsenta dunque
il più breve percorso fra il punto di partenza A e il punto di arrivo B;
percorso che, se altri motivi non si opponessero, converrebbe sempre
seguire.
Ma conviene subito osservare che l'arco di circolo massimo congiungente due
punti A e B della sfera taglia tutti i meridiani secondo gli angoli diversi
R1, R2, R3, ecc., onde una nave che volesse seguirlo rigorosamente sarebbe
costretta a cabiare rotta continuamente.
Essa manterrebbe la prua sempre dritta sul punto di destinazione, ma
formerebbe un angolo continuamente variabile coi meridiani.
E' ovvia l'impossibilità di realizzare un tale sistema di navigazione,
almeno fino a quando lo strumento essenziale di governo sarà la bussola
[senza computer e GPS, aggiungo io], usando la quale si sarà sempre
vincolati a mantenere la linea di fede, ossia la prua, formante un angolo
costante con l'ago, ossia il Nord, ed a seguire quindi una lossodromia.
In pratica, volendo navigare secondo il più breve percorso, si segue,
dunque, non il vero e proprio circolo massimo A B, bensì una linea AL', AL''
, AL''', . , A B, composta di più archi di lossodromia ed avente un certo
numero di punti L', L'', L''', comuni col circolo massimo; ossia si naviga
secondo una spezzata lossodromica i cui vertici sono situati a conveniente
intervallo sul circolo massimo. E' chiaro quindi che il risparmio di cammino
rispetto al percorso lossodromico da A a B è tanto maggiore quanto più
grande è il numero degli archi della spezzata: infatti quanto più grande è
il numero di questi, tanto più la lunghezza della spezzata diminuisce
avvicinandosi a quella di circolo massimo. E' a tale tipo di navigazione che
si dà il nome di navigazione ortodromica.
Essa viene compiuta, non solo quando il risparmio di cammino sia tale da
compensare il lieve inconveniente dei vari cambiamenti di rotta che si
rendono necessari; ma soprattutto, quando le condizioni meteorologiche,
geografiche, oceanografiche del nuovo percorso non siano tali da annullare
il vantaggio costituito dal detto risparmio.
Conviene subito dire che l'arco di circolo massimo che unisce due punti si
trova sempre, rispetto all'arco di lossodromia che unisce gli stessi punti,
dalla parte del polo dell'emisfero nel quale i due punti sono situati; e se
questi sono situati in emisferi opposti, tagli l'equatore in un punto
prossimo a quello in cui questo cerchio è tagliato dalla lossodromia.