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Titolo: Rotore rigido reale ... dubbi

 
Avrei una domanda.
Ammettiamo che si potesse costruire un disco, piatto, 
sottile, rigido, da "operare" nel vuoto assoluto siderale.
Per rigido intendo cmq un materiale reale, tipo diamante, o 
titanio o magari grafene stratificato.
 
Chiamiamo "R" il raggio di questo disco e "r" il raggio di 
un ingranaggio solidale ad esso con cui metterlo in 
rotazione. Con "R" >>> "r" per avere un enorme effetto di 
demoltiplica. Supponiamo però che il rapporto non sia tale 
da causare rottura dell'ingranaggio.
 
Chiamiamo Omega la velocità angolare di rotazione, e "V" la 
velocità periferica.
 
Ora classicamente mi pare che l'energia cinetica 
immagazzinata cresca col prodotto del momento d'inerzia, I * 
Omega^2.  (non ho controllato, magari ricordo male).
 
Supponiamo di lavorare nel vuoto in modo che non ci siano 
resistenze e perdite passive.
E supponiamo anche di poter fare accelerare il disco con 
lentezza, con infinita pazienza in modo da non sollecitare i 
materiali oltre la rottura degli ingranaggi.
 
Mi chiedevo con che legge aumenterebbe l'energia man mano 
che la periferia di questo disco raggiungesse la velocità 
della luce.
Nota : malgrado le premesse cautelari, non ho la più pallida 
idea (e a naso sospetto che non si possa garantire, che il 
disco non si strappi per forza centrifuga, che a differenza 
degli attriti non è eliminabile. Qui quindi chiederei una 
"sospensione del giudizio" d'ufficio.
 
Io non so fare nessun calcolo, ma ho sempre sentito citare 
effetti come il fatto che la massa tende all'infinito man 
mano che la velocità di un corpo massivo tende a quella 
della luce.
Immaginerei quindi che a velocità elevate il disco cessi di 
aumentare energia semplicemente col quadrato della velocità 
angolare, ma che "variando la massa" (non capisco realmente 
cosa significhi) vari anche "I".
 
Vorrei capire se l'energia tenderebbe all'infinito ponendo 
un limite invalicabile a prescindere dal fatto che 
probabilmente, e ben prima, il rotore si strapperebbe per 
eccesso di tensione centrifuga ...
 
Qualcuno se la sentirebbe di scrivere una legge del variare 
dell'energia al variare della omega valida per valori di 
omega tali che la periferia tenderebbe a velocità 
relativistiche ?
 
ciao
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)
 
 
---
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 relativistiche ?
 
Consideriamo un disco rigido sottile *omogeneo* avente
massa M e raggio R, sia w la velocita' angolare di
rotazione intorno all'asse di simmetria, l'energia cinetica
relativistica di rotazione e' (pongo a = w R / c):
 
(1)  T = c^2 int 1/sqrt(1 - v^2/c^2) dm - M c^2 =
c^2 int_{0}^{R} 1/sqrt(1 - w^2/c^2 r^2) 2M / R^2 r dr
- M c^2 =
M c^2 [2(1 - sqrt(1 - a^2)) / a^2 - 1],
 
se a << 1, sviluppando al secondo ordine in a^2 si ottiene:
 
(2)  T ~= M c^2 a^2 / 4 = 1/2 I w^2
 
cioe' il valore classico dell'energia cinetica di rotazione,
mentre nel limite a --> 1- allora T --> M c^2-, quindi si
ottiene che nel caso relativistico, diversamente da quello
classico, l'energia cinetica di rotazione e' limitata
superiormente, anche se per ogni dato possibile valore
di w l'energia cinetica relativistica e' maggiore di quella
classica.
 
In questo grafico:
 
http://www.filedropper.com/immagine
 
 
si puo' vedere come variano l'energia cinetica di rotazione
relativistica Tr e quella classica Tc per lo stesso corpo rigido
in funzione del parametro a.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 
 

 relativistiche ?
 
C'i sono almeno altri tre Grossi problemi (almeno per me):
1. Nel computo dell'energia totale ci va messa anche la tensione elastica del materiale, che a v relativistiche non e' piu' trascurabile, anzi.
 
 
2. Non so con quali ipotesi e' possibile ancora scrivere, nel caso relativistico, che v = w*r dove v e' la velocita' periferica di un punto massa che ruota, a distanza r, attorno ad un punto fisso (w e' la vel. angolare). Forse, accelerando ogni parte del disco in maniera differente, questo e' possibile, ma non saprei come.
3. Non so (come conseguenza di 2.) come scrivere la densita' del materiale in funzione di r e di w.
 
 
 
 
Se accetti la premessa che il calcolo che faro' e' irrealistico per tutti e 4 i punti che ho descritto, e quindi ti va bene lo stesso assumendo che il materiale non si rompa, trascurando l'energia dovuta alla tensione elastica del materiale,  assumendo che valga ancora v = w*r e che la densita' di massa rho del disco rimanga costante ed uniforme (costante significa che non varia nel tempo, uniforme che non varia con r), quello che viene fuori e' quanto segue.
 
Sia M la massa del disco, s il suo spessore, R il suo raggio e rho la sua densita'.
Considero un elemento di massa dm costituito da un anello di larghezza infinitesima a distanza r dal centro.
 
dm = 2*pi*r*s*rho*dr
 
tale anello si muovera' ad una velocita' periferica v = w*r quindi la sua energia **totale** vale: 
 
dE = gamma*dm*c^2
 
dove gamma = 1/sqrt(1- v^2/c^2) = 1/sqrt(1- w^2*r^2/c^2).
 
Integrando tra r = 0 ed r = R:
 
E = (2*pi*r*s*rho*c^4/w^2) * [1 - sqrt(1 - w^2*r^2/c^2)]
 
Quindi la sola energia cinetica vale:
 
T = E - M*c^2 = 
 
= (2*pi*r*s*rho*c^4/w^2) * [1 - sqrt(1 - w^2*r^2/c^2)] - M*c^2.
 
 
Ho gia' verificato che a basse velocita', approssimando la radice quadrata, quella espressione si riduce a (1/2)*I*w^2, con I = (1/2)*M*R^2, come deve essere.
 
 
Pero' tieni presente che **come minimo** nel computo dell'energia di cui sopra, manca l'energia dovuta alla tensione elastica (che nei casi "normali" si chiamerebbe "energia potenziale elastica").
 
Ciao.
 
--
BlueRay

 in funzione del parametro a.
 
Io vedo solo un rubinetto che gocciola! :-D

 Io vedo solo un rubinetto che gocciola! :-D
 
Davvero?
Dovresti selezionare "download this file" e
superare il resto della trafila ecc. ecc..
 
Nota: gia' che ci sono, preciso che per corpo idealmente
rigido intendevo che durante la rotazione sarebbero dovute
intervenire delle forze esterne per mantenere costanti
le dimensioni e uniforme la distribuzione di massa del
corpo nel riferimento del laboratorio.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 
 


 
 


Posso supporre che a velocita' della luce qualsiasi materiale si trasformi in luce , quindi il disco subirebbe un cambiamento di stato fisico , come l'acqua passa dal solido(ghiaccio) al liquido , la ruota passerebbe da diamante a stato luce.

 sopra, manca l'energia dovuta alla tensione elastica (che nei casi "normali" > si chiamerebbe "energia potenziale elastica").
 
Pero' adesso mi viene un dubbio: forse quel termine di energia, chiamiamolo
 
E(el), va come aumento di massa (sempre di massa invariante si parla)? In tal caso l'energia cinetica sarebbe: T = E + E(el) - (M*c^2 + E(el)) = E - M*c^2 cioe' proprio quella scritta prima che allora sarebbe esatta (da questo punto di vista).
 
--
BlueRay 

 quella cinetica ?
 
Si. Nel caso relativistico l'energia cinetica si definisce in quel modo: energia totale meno energia "a riposo".
 
--
BlueRay


 
 


 indagherei volentieri)
 
 
Con i fili, o meglio, con "le fibre" si ottiene qualcosina di piu' ma sono sempre "briciole" in confronto alle energie che idealmente si otterrebbero a velocita' relativistiche (ma che non potremo mai ottenere).
 
Ciao.
 
--
BlueRay

 classica.
 
Secondo me questo calcolo è inapplicabile al caso del disco rotante, che può essere trattato in maniera coerente solo all'interno della RG.
 
Einstein utilizzo il disco rotante come esempio illuminante in diversi suoi lavori, anche divulgativi, sulla RG, ma i suoi effetti problematici per la RR furono notati in precedenza già da Ehrenfest:
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_paradox
 
 
Saluti,
Aleph
 

 Ciao.


 velocità relativistiche ?
 
Non e' un sistema orbitante, ma e' un esempio migliore
di corpo "rigido" in rotazione veloce:
 
https://www.nrao.edu/pr/2006/mspulsar/
 
 
questa stella di neutroni avente diametro d = 20 miglia e frequenza
di rotazione f = 716 Hz ha una velocita' periferica dell'ordine di:
 
v = pigreco * d * f = 0.2 c.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 
 
 
 
 
So solo che stelle nel bordo della nostra galassia ruotano attorno al centro a v dell'ordine dei 200km/s. Sicuramente v piu' alte sono quelle di corpi orbitanti da vicino attorno a buchi neri (BH = Black holes) ma e' molto difficile fare simili osservazioni perche' i BH stanno al centro delle galassie, quindi oscurati da polveri, gas, astri. Pero', riuscendo ad osservare una sola stella orbitante vicino ad un BH, se la si vedesse emettere radiazione fortemente spostata Doppler, periodicamente red-shifted e blue-shifted, significherebbe che sta orbita di ad alte v, e per sapere a quali v, il conto si fa alla svelta.
 Ciao.
 
--
BlueRay

 ipotizzato in un'altro post, ma rimane costante.
 
 
La sollecitazione interna nel materiale č proporzionale al
quadrato della V periferica.
 
 
-- 
AIOE łżł  


Scusa ma detto cosi', senza precisare altro, a me questo non dice nulla: io so che la forza centrifuga va come m*v^2/R, quindi se R aumenta, la forza centrifuga, e quindi la sollecitazione interna, potrebbe non aumentare (aumentando R) anche facendo tendere v alla velocita' della luce ( in realta' poi si dovranno usare le equazioni relativistiche, ma e' per illustrare l'idea) Se ad es prendi due corpi di massa uguale (1/2)m, collegati tra loro con un cavo di massa trascurabile (questo sara' un po'un problema aumentando la lunghezza) e, in qualche modo (poco pratico nella realta') li fai ruotare attorno al centro di massa del sistema aumentando v ed R in modo che v^2/R rimanga costante, la F. centrifuga rimane costante mentre l'energia cinetica, cosa fa? Te lo lascio come semplice esercizio.
Ciao.
 
--
BlueRay

 quindi oscurati da polveri, gas, astri.
Cerca su wikipedia "supermassive black holes".
Ci troverai notizie sul buco nero al centro della nostra Galassia, e
una figura con le orbite di stelle osservate (in infrarosso).
Nota in particolare S2.
I dati non sono completi, ma c'è periodo orbitale, distanza al
perielio e massa del BH.
Quanto basta per calcolare la velocità, direi.
 
 
-- 
Elio Fabri


 
 


 senza per questo stirare ulteriormente il cavo da traino.
 
Adesso ti pongo un piccolo quesito al quale vorrei che tu rispondessi, intuitivamente o come credi, in base a quello che hai appena scritto:
 
<<Nello spazio, lontano da altre influenze, un razzo A e' collegato tramite un filo, ad un razzo identico B (il filo e' inizialmente teso).
 
 
Pero', a t = 0, entrambi i razzi partono con la stessa identica accelerazione e mantengono in seguito la stessa potenza del motore, sono programmati per mantenere lo stesso identico comportamento; la sola differenza e' che hanno coordinate spaziali e temporali differenti (anche temporali, in RR) che continuano a mantenere indefinitamente, ammesso di avere un sistema di propulsione che glie lo consenta.
 
Che fa il filo? Rimane alla stessa tensione iniziale, si allenta, si spezza?>> 
 
 
In base a quello che risulta (che per ora non ti scrivo), non mi e' chiaro cosa succederebbe se invece di un filo si trattase di un cavo robusto e il razzo A trainasse il razzo B, ovvero, non mi pare scontato come sembri pensare. 
 
--
BlueRay

 classica.
 
 
E questo appare del tutto privo di senso: perché l'energia cinetica rotazionale di un disco dovrebbe tendere a un valore finito se la velocità della periferia tende a c ?
 
 
Prendi una massa puntiforme m e falla ruotare su un piano a distanza R costante da un punto O (in pratica ruota sul contorno di un cerchio di raggio R), cosa succede all'energia cinetica della massa quando v -> c ?
Va all'infinito.
 
E allora perché l'energia cinetica della massa distribuita in modo omogeneo alla periferia di un disco dovrebbe comportarsi diversamente?
 
Saluti,
Aleph
 
 


 
 


 diversamente?
 
Perche' la *distribuzione* di massa e' diversa nei due casi,
nel caso del p.m. abbiamo una delta di Dirac, nel caso del
rotatore una densita' *finita* ovunque, l'energia cinetica rimane
finita perche' per qualsiasi valore di r < R la velocita' rimane
superiormente limitata dal valore c r / R < c quando la velocita'
periferica tende a c-, mentre l'unica parte del rotatore la cui
velocita' tenda a c e' lo strato sul bordo curvo avente spessore
nullo e *massa nulla*.
 
Ovviamente quanto sopra vale nel caso *ideale* gia'
descritto di distribuzione di massa costantemente
uniforme.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 
 

 yield" del filo)
 
 
 
Visto che si parlava di "trainamento" ho creduto che il setting fosse scontato: due razzi allineati, uniti da un filo che congiunge la coda di quello davanti con la punta di quello dietro. Inoltre ho parlato di "filo" perche' fosse chiaro che si spezzasse se la distanza tra la coda del primo e la punta del secondo aumentasse anche di poco, diciamo anche solo di 1 cm.
Ciao.
 
--
BlueRay

 Ciao.


 
Be', comunque ti ringrazio per avermi ... dato spago :-)
 
In effetti il filo si spezza. Ma non ti preoccupare se non lo capisci: il fisico scozzese John Bell che ha inventato questo "paradosso" ("Bell's spaceship paradox") dette molto ... filo da torcere ai fisici del CERN a cui lo propose.
https://en.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_spaceship_paradox
 
 
--
BlueRay


Qui non l'ho detto ma mi riferivo ad un moto rettilineo, a differenza del caso precedente di disco rotante.
 
--
BlueRay

 sembra proprio difficile.
 
Hai ragione tu, perche' io *pensavo* alle masse dei costituenti
elementari del rotatore (i dm nell'integrale per l'energia) ma
ho fatto riferimento scorrettamente alla "massa"; anche la
M che compare nel calcolo dell'energia cinetica del rotatore
e' da intendersi come somma delle masse elementari.
La massa totale (energia nel riferimento del centro degli impulsi)
del sistema ovviamente varia, le masse dei costituenti elementari
no, la variazione della massa totale e' in questo caso ipotizzata essere
dovuta all'aumento di energia cinetica dei detti costituenti e la situazione
e' analoga a quella per cui la massa dell'acqua contenuta in un
bicchiere aumenta (in teoria, per il momento questa misura non e'
ancora realizzabile con sufficiente precisione) se si scalda l'acqua
anche se le masse delle molecole di acqua rimangono invariate.
Come scrivevo in precedenza, in questo modello ideale si ipotizza che
agiscano sul rotatore opportune forze esterne in modo che all'aumentare
della velocita' angolare la distribuzione di massa rimanga invariata nel
riferimento del laboratorio, altrimenti se si dovessero considerare i
potenziali di interazione interna al rotatore allora questo non si potrebbe
considerare un corpo "rigido" e anche il calcolo dell'energia sarebbe 
diverso.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 uniforme.
 
Modello che fisicamente è inconsistente.
 
Saluti,
Aleph

 Modello che fisicamente è inconsistente.
 
Non concordo.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 
 

 differenti (anche temporali, in RR)
Questo non ha senso.
I razzi sono oggetti, corpi, non eventi.
Quindi non hanno "coordinate".
Nella stessa schematizzazione in cui un evento diventa un punto dello
spazio-tempo (e perciò lui sì, che ha coordinate) un oggetto diventa
una /linea/ (di tipo tempo).
Quindi avrà casomai una /legge oraria/, ossia delle funzioni x(t) ecc.
Nel caso dei due razzi, che si muovono allo stesso modo, succede che
le loro leggi orarie differiscono solo per una costante:
x1(t) = x2(t) + a.
Quindi *allo stesso istante* di quel rif. hanno la stessa velocità e
la stessa accelerazione.
Anzi è vero il viceversa: siccome per t=0 avevano la stessa velocità
(nulla) e i motori assicurano la stessa accel. a tutti i tempi, ne
segue che le vel. resteranno le stesse e le posizioni diferiranno solo
per una costante.
In un altro rif. le cose non sono così semplici.
 
 
-- 
Elio Fabri
 
Fr

 
https://en.wikipedia.org/wiki/Bell%27s_spaceship_paradox
 
 
 
(non ho capito niente)
 
Ma il filo č senza massa?
 
Perché se no per accelerarlo bisogna tirarlo da davanti perché
non si puň spingerlo da dietro.
 
Per spingerlo il collegamento dovrebbe essere una barra.
 
 
-- 
AIOE łżł  

 
https://en.wikipedia.org/wiki/Bell's_spaceship_paradox
 
 
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/BellSpaceships/spaceship_puzzle.html
 
 
https://www.physicsforums.com/threads/bells-spaceships-paradox-explained.236681/page-4
 
 
--
BlueRay
 
http://www.desy.de/user/projects/Physics/Relativity/SR/spaceship_puzzle.html