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Titolo: Cosa è quantizzato?

Tutte le volte che ho sentito parlare di quantistica, ho sentito parlare di
funzioni d'onda, spazi hilbertiani, ecc... tutte cose "continue" ossia non
quantizzate. Mi chiedo, qual'è la grandezza fisica che effettivamente è
quantizzata, ossia presente solo come multiplo intero di una fondamentale?
Una sicuramente è la carica elettrica, ma le altre?

 ha scritto nel messaggio
news:O3p0b.107266$cl3.3...@news2.tin.it...


 ha scritto nel messaggio
news:O3p0b.107266$cl3.3...@news2.tin.it...
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Dipende dai casi. Per esempio in un atomo isolato sono quantizzate le
energie degli elettroni ed i loro momenti angolari orbitali (e di spin,
ovviamente).
Mauro P.

ricky ha scritto:
 > Tutte le volte che ho sentito parlare di quantistica, ho sentito
 > parlare di funzioni d'onda, spazi hilbertiani, ecc... tutte cose
 > "continue" ossia non quantizzate. Mi chiedo, qual'è la grandezza
 > fisica che effettivamente è quantizzata, ossia presente solo come
 > multiplo intero di una fondamentale? Una sicuramente è la carica
 > elettrica, ma le altre?
John ha scritto:
 > La quantizzazione è espressa innanzitutto dai numeri quantici e ce ne
 > sono veramente tanti. Carica elettrica, numero leptonico, barionico,
 > stranezza, isospin, spin, ecc. ecc.
 > ...
 > Il fatto che la funzione d'onda spaziale non sia quantizzata è dovuto
 > al fatto che lo spazio (almeno in meccanica quantistica non
 > relativistica, poi non so) è un continuo, così come siamo sempre stati
 > abituati a pensarlo. Di conseguenza anche lo spazio di Hilbert, che è
 > lo spazio delle funzioni d'onda.
 > Spero di essere stato d'aiuto, ma anch'io ho qualche dubbio,
Mauro Prencipe ha scritto:
 > Dipende dai casi. Per esempio in un atomo isolato sono quantizzate le
 > energie degli elettroni ed i loro momenti angolari orbitali (e di
 > spin, ovviamente).
Ecco come la metterei io.
In primo luogo distinguerei quantizzazioni come quelle di cui parla
John, che non vengono fuori da "particolari hamiltoniane", ma
possono essere spiegate solo in un contesto alquanto piu' complesso,
ossia la teoria quantistica dei campi.
Restando al caso piu' semplice, per es. quello di una o piu'
particelle (elettroni, nuclei, a formare atomi o molecole) e' vero,
come dice Mauro, che un po' dipende dai casi, per cui la situazione
apparira' certo alquanto complicata a chi non sia abbastanza addentro.
Ci sono grandezze che a volte sono quantizzate, a volte no. E anche
quando lo sono, non vanno per "quanti" uguali.
L'esempio piu' ovvio e' l'energia di un atomo isolato, che possiede
infiniti livelli discreti, ma tutt'altro che equidistanti; e poi un
"continuo" di livelli corrispondenti agli stati ionizzati.
Invece il momento angolare e' *sempre* quantizzato, ma in un modo non
semplice, perche' bisogna distinguere tra modulo e componenti...
Poi ci sono grandezze come la q. di moto, per le quali ha anche poco
senso parlare di quantizzazione, perche' salvo casi eccezioanli
(particelle libere) non hanno neppure valori definiti (non sono
costanti del moto).
Tutto questo non ha molto a che vedere col fatto che la struttura
matematica di base della m.q. e' uno spazio di funzioni (sp. di
Hilbert). Quelli che sono o non sono quantizzati sono in realta' gli
autovalori degli operatori definiti su questo spazio.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 Una sicuramente č la carica elettrica, ma le altre?
C'e' da dire che lo spazio di Hilbert possiede una caratteristica che lo
rende "discreto" in maniera naturale. Infatti esso possiede una base
ortonormale "numerabile"; e' cioe' possibile esprimere qualunque vettore
dello spazio di Hilbert come la combinazione lineare di vettori che fanno
parte di un insieme infinito ma numerabile.
Un insieme si dice "numerabile" quando i suoi elementi si possono mettere in
corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (si possono, dunque,
contare).
Quindi lo spazio delle funzioni d'onda, che a prima vista appare continuo,
ha delle caratteristiche "discrete".
E' questa proprieta' di possedere una base numerabile che comporta, dal
punto di vista matematico, la possibilita' che certe grandezze fisiche siano
quantizzate.
                Gio

Giovanni Piredda ha scritto:
 > C'e' da dire che lo spazio di Hilbert possiede una caratteristica
 > che lo rende "discreto" in maniera naturale. Infatti esso possiede una
 > base ortonormale "numerabile"; e' cioe' possibile esprimere qualunque
 > vettore dello spazio di Hilbert come la combinazione lineare di
 > vettori che fanno parte di un insieme infinito ma numerabile.
Debbo dire che la tua interpretazione matematica non mi persuade...
Non vedo che cosa impedirebbe a un operatore di avere autovalori
discreti (almeno in parte) anche se lo spazio di H. non fosse
separabile.
 > Quindi lo spazio delle funzioni d'onda, che a prima vista appare
 > continuo, ha delle caratteristiche "discrete".
Non e' che "a prima vista" appare continuo: la continuita' e' una
caratteristica topologica ben precisa.
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Non c'entra nulla come gia' fatto notare da Elio: prendi uno spazio di
Hilbert non separabile e considera un proiettore ortogonale P. Si
tratta
di un operatore limitato autoaggiunto il cui spattro e' puramente
discreto
e costituito dai due soli autovalori 0 e 1 e questo anche se lo spazio
non e' separabile. Le questioni di separabilita' e spettro degli
operatori
autoaggiunti sono in scorrelate (inoltre il teorema spettrale non
necessita dell'ipotesi di separabiltia' anche se su molti testi essa
e' richiesta
per semplificare le dimostrazioni). 
La richiesta di separabilita' invece gioca un ruolo (fisico) 
importante nel teorema di Stone - Von Neumann (e generalizzazioni di 
Nelson nella teoria delle rappresentazioni unitarie dei gruppi) 
che dice che se in uno spazio di H. esistono due operatori con la
stessa algebra di commutazione dell'operatore posizione ed impulso
(per esempio in una dimensione) e se valgono altre opportune
ipotesi tra cui la separabilita' dello spazio, allora lo spazio di
Hilbert
e' unitariamente isomorfo ad un L^2(R^p) (p=1 in una dimensione) e
l'isomorfismo unitario trasforma i due operatori diventano proprio
posizione
ed impulso della formulazione elementare della MQ.
Ciao a tutti, Valter

>
Ciao, mi sono incuriosito ... e spero che tu abbia altri 5 minuti. 
Prendiamo il caso di uno spazio di Hilbert non separabile (nelle lezioni 
che ho seguito io, di Giancarlo Ghirardi a Trieste, la separabilita' era 
data tra gli assiomi di definizione dello spazio di Hilbert; ma grazie 
al vostro stimolo ho controllato su altre fonti che danno come 
definizione "spazio lineare, dotato di prodotto scalare, completo 
rispetto alla metrica indotta" ).
Puo' esistere in questo spazio un operatore autoaggiunto il cui spettro 
sia continuo e i cui autovettori siano tutti propri? Correggimi se 
sbaglio, ma allo spettro continuo per un operatore autoaggiunto in uno 
spazio di Hilbert separabile corrispondono autovettori impropri.
             Giovanni
-- 
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Abbiamo scelto il tuo nome: ti piace ballare, sei sardo e conosci l'inglese.
Gaspare, 1994

 Puo' esistere in questo spazio un operatore autoaggiunto 
 > il cui spettro sia continuo e i cui autovettori siano tutti propri?
Ciao, la risposta e' no perche' per definizione
se lo spettro e'puramente continuo non ci possono essere autovalori propri.
La definizione delle varie parti dello spettro
(la definizione classica, ne esistono altre) e' la seguente,
considera un operatore lineare
A : D(B) -> B
dove B e' uno spazio vettoriale topologico (per cui il
caso in cui B e' di Hilbert e' incluso) e D(B) e' un sottospazio 
(generalmente non chiuso) di B.
Se x e' un numero complesso si dice che x e' nell'insieme
risolvente di A se valgono insieme le seguenti tre condizioni
1) la chiusura dell'insieme dei vettori (A- xI)u, per u che
varia in tutto D(B), e' B stesso,
2) esiste l'operatore inverso (A - xI)^{-1}
3) (A - xI)^{-1} e' un operatore continuo.
Il complemento dell'insieme risolvente di A si dice spettro 
dell'operatore A.
Se x appartiene allo spettro di A allora:
a) x e' un elemento dello spettro puntuale (o discreto) se
A-xI non e' invertibile, cioe' se non vale (1).
(su certi testi viene distinto il caso discreto da quello
puntuale che e' sopracaso dell'altro, ma non mi addentro)
E' chiaro che cio' significa che x e'un autovalore (proprio!)
di A e che quindi c'e' qualche autovettore (proprio) con quell'autovalore.
b) x e' un elemento dello spettro continuo se valgono
le condizioni (1) e (2) ma non (3).
Si puo' mostrare, nel caso che B sia di Hilbert e A
autoaggointo, che se x e' nello spettro continuo,
ammette almeno un autovettore improprio definito
in modo opportuno (esistono diverse procedure per
definirli in particolare quella basata sulle
"triplette di Gelfand", ma esistono risultati
piu' elementari che non tirano nemmeno in causa il
concetto di distribuzione)
c) x e' un elemento dello spettro residuo se valgono
(2) e (3) ma non (1).
Come vedi, per definizione le tre parti dello spettro sono
disgiunte.
Di conseguenza, per definizione e' impossibile che ci
siano autovettori propri se lo spettro e' tutto continuo.
Puo' accadere un'altra cosa pero': puoi costruirti
un operatore autoaggiunto con spettro puramente discreto
che sia denso in un intervallo reale. Basta, per esempio,
che lo spettro (discreto) sia costituito da tutti i numeri
razionali di [0,1]...
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

Ciao, ora
che ho un po' di tempo volevo aggiungere qualcosa.
In particolare volvo dare un esempio di spazio di H. non separabile.
Si prendano un'infinita'di copie dello spazio dei numeri complessi
etichettate su x, C_x, dove x e' un numero reale arbitrario.
Consideriamo poi lo spazio vettoriale delle infinituple di complessi,
uno per ogni C_x, con la solita struttura di spazio vettoriale
sul campo complesso (cioe' somma di vettori e prodotto per scalare
dato nel solito modo).
Consideriamo il sottospazio S fatto dalle infinituple con ciscuna
solo un numero finito di componenti non nulle.
In questo spazio si definisce il solito prodotto scalare hermitiano
(V,U) := somma su x in R di U*_x V_x
dove V= {V_x} e U={U_x} e * indica la coniugazione complessa.
La somma ha senso perche' solo un numero finito di addendi e' non nullo
per costruzione. Sia infine H il completamento rispetto alla topologia
indotta da (,) dello spazio S con il prodotto scalare detto.
Per costruzione H e' uno spazio di Hilbert.
Mostriamo infine che non e' separabile.
Basta dimostrare che H non ammette alcun sottoinsieme che sia insieme 
denso ovunque e numerabile.
Per provare cio' consideriamo tutti i vettori di H che indicati ciascuno 
con 1_x al variare di tutti gli x reali: 1_x abbia solo la componente 
x-esima non nulla e di valore 1 per definizione.
E' chiaro che l'insieme dei vettori 1_x e' non numerabile
perche' x varia nei reali che non sono numerabili. E' anche chiaro
che facendo il prodotto scalare (1_x,1_y)= delta di Kroneker_xy
Da cio', usando il teorema di Pitagora e la disuguaglianza triangolare
si vede subito che se S_x e' una palla centrata in 1_x con raggio
e< 1/sqrt2 S_x e S_y non hanno intersezione (dove S_y e' l'analoga
palla per y).
Se X e' un sottoinsieme denso in H ci deve essere un elemento
di X in ogni palla S_x. ma dato che le palle S_x sono disgiunte al
variare di x, X deve avere cardinalita' maggiore o uguale a quella
dei reali (l'insieme in cui varia x). Quindi X non puo' essere 
numerabile. Alla prossima.
Ciao Valter
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Valter Moretti ha scritto:
 > Ciao, ora
 > che ho un po' di tempo volevo aggiungere qualcosa.
 > In particolare volvo dare un esempio di spazio di H. non separabile.
 >
 > Si prendano un'infinita'di copie dello spazio dei numeri complessi
 > ...
Guarda la coincidenza! In ism e' stata osta la stessa questione:
c'era chi pensava che un sp. di H. sia separabile *per definizione*.
Per mostrare che non e' vero, ho usato lo stesso esempio.
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  Ciao, io su quel NG non ci scrivo piu', pero' se si vuole
continuare la discussione su questo, ora ch ho un po' di
tempo, sarei anche interessato, visto che ho pensato molto
a quel genere di argomenti in passato.
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 Per mostrare che non e' vero, ho usato lo stesso esempio.
Ciao, si sono andato a vedere ed e' essenzialmente lo stesso
esempio, in effetti non credo che ce ne siano molti altri!



Ciao,
bene, io non ho ancora fatto in tempo a riflettere bene su tutte le risposte
che mi sono state date, pero' questo non mi trattiene dal porre di nuovo la
domanda che ho posto su ism (anche perche' mi pare che non sia stata data,
la', una risposta definitiva).
Il punto di collegamento con la fisica e' dato dal fatto di cosa c'entri la
separabilita' dello spazio nelle condizioni di quantizzazione (e ovviamente
mi sono accorto che sia Valter Moretti che Elio Fabri pensino che non
c'entri molto; ma io mi voglio chiarire le idee)
La domanda e' : sono vere le seguenti affermazioni?
Caso "spazio di Hilbert separabile".
L'insieme degli autovalori dello spettro discreto e' vuoto o finito o
numerabile.
L'insieme degli autovalori dello spettro continuo e' vuoto, oppure continuo.
Caso "spazio di Hilbert non separabile".
L'insieme degli autovalori dello spettro discreto puo' essere vuoto,
finito, numerabile o continuo.

 
Non ci ho mai pensato all'ultimo caso, pero' mi pare possibile se per 
continuo intendi che abbia la cardinalita' del continuo.
Un esempio  si dovrebbe costruire con lo spazio di Hilbert non 
separabile che ho  esibito in un precedente post. Riferendomi a quel 
post mi pare che basti considerare l'operatore che in nutazione di Dirac 
e' dato da:
somma_x (tanh x) |1_x><1_x|
definito nel sottospazio denso dei vettori con un numero finito di 
componenti. Questo operatore e' sicuramente limitato per costruzione
ed ammette un'estensione autoaggiunta che dovrebbe avere spettro 
puntuale di cardinalita' continua dato da (-1,1).
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 esempio, in effetti non credo che ce ne siano molti altri!
guarda un po' il libro Analisi Reale e Complessa di Rudin e fra gli 
esercizi del capitolo sugli spazi di Hilbert ne troverai proprio uno in 
cui si esibisce esplicitamente uno spazio di Hilbert non separabile.
ciao
slacky
P.S.
non vorrei sbagliare libro, non ce l'ho sott'occhio al momento
-- 
Scusate se sono rude e diretto, ma io comunico solo cosi'... :-(
Linux user #312588
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