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Titolo: Paradosso dei gemelli + domanda sul tempo

 Ciao, Valter
Integrare lungo una linea di universo non massimale in una varietà
lorentziana ? No, integrare lungo una geodetica in una varietà rienmanniana
(spazio-tempo curvo) !
Va bene, su una cosa siamo d'accordo: e cioè che il tempo proprio dipende
dalla *forma* della linea di universo, e quindi cambia a seconda di come
l'osservatore non inerziale sente le accelerazioni.
Io pero' faccio un discorso fisico, non matematico. E' lecito fisicamente
distinguere tra un un osservatore in moto accelerato e un osservatore in
presenza di campo di gravità (localmente...), soprattuto alla luce del
principio di equivalenza (se vogliamo dare un significato fisico a tale
principio)? Matematicamente si puo' calcolare l'intervallo lungo una
geodetica in uno spazio-tempo curvo oppure lungo una non-geodetica in uno
spazio-tempo piatto. Ma perché dal punto di vista fisico trattare i due casi
differentemente ?
Seconda considerazione.
Io vedrei come fisicamente rilevanti solo gli eventi. Le quattro dimensioni
le vedrei come semplici parametri per esprimere le relazioni causali tra
eventi. Tali relazioni causali sarebbero *isomorfe* alla geometria dello
spazio-tempo di Rienman. Alla luce di questo, che differenza c'è tra una
serie di eventi (linea di universo) di un S.d.R. accelerato e una linea di
universo geodetica in un campo gravitazionale, visto che i rapporti causali
sono gli stessi ?
Terza considerazione.
Credo che sarebbe meglio vedere il tutto alla luce del fatto che la gravità
nasca dall'invarianza della lagrangiana per trasformazioni locali di gauge
delle coordinate. Ne ridiscuteremo, spero.
Una domanda finale. Qualcuno saprebbe spiegarmi perché esiste una dimensione
di tipo tempo, completamente diversa dalle dimensioni spaziali, e perché una
sola ?
Ciao
Luca/spero di non essere stato troppo noioso.

 Luca/spero di non essere stato troppo noioso.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Ciao
Luca

 Tu cosa ne pensi ?
E' difficile riapondere, per dare una risposta bisognerebbe avere
esperienza o solo immaginare una situazione in cui il tempo e lo spazio 
si equivalgano e "poi" accada "qualcosa" (un processo fisico) che li  
distingua. Ma puoi capire che ci sono dei problemi a pensare il mondo 
fuori dalle categorie spaziotemporali e causali solite, per cui la 
questione e'difficilissima da abbordare. Esistono lavori sul problema 
del "cambio di segnatura" dello spaziotempo che indagano su possibilita'
in tale direzione. Ed esistono 
anche lavori in cui si moltiplicano le dimensioni dello spaziotempo 
prendendo piu' di una diumensione temporale. Pero' io non me ne sono mai 
occupato per cui non ti saprei dire. Per il genere di ricerca che svolgo
io *assumo* che lo spaziotempo sia fatto come sappiamo e procedo da tale
assunzione. 
  Ciao; Valter

 (spazio-tempo curvo)!
Sembra che Valter non si sia accorto di questo fondamentale errore del
nostro amico: egli crede che nel rif. accelerato lo spazio-tempo sia
curvo!!
Non te la prendere per questo, Luca: e' un errore che ha una storia
antica e rispettabile, visto che risale allo stesso Einstein...
Ma solo la presenza di materia puo' incurvare lo spazio-tempo, non il
fatto che tu stia a fare le tue misure in un riferimento o in un altro.
Cambiare riferimento significa solo cambiare coordinate; cambiera'
l'espressione del tensore metrico, e le componenti di tutti i tensori.
Ma se il tensore
di Riemann e' nullo in un riferimento, e' nullo pure nell'altro.
Dato che siamo d'accordo che nel rif. inerziale la metrica e' quella di
Lorentz (quindi spazio-tempo piatto) lo stesso e' vero per qualsiasi
riferimento.
Quindi, in particolare, niente deviazione di geodetiche...
E ora vediamo come io tratterei il problema dei gemelli, mettendomi nel
rif. del gemello B.
Siano (x,t) le coordinate nel rif. A (trascuro le altre due coord.
spaziali): allora ds^2 = dt^2 - dx^2 (c=1, per alleggerire le formule;
usero' notazioni TeX, sperando che questo non sia un problema).
Sia x(t) la legge oraria del gemello B, \tau il suo tempo proprio;
introduco la funzione h(\tau) definita da dx/d\tau = \sinh h, dt/\tau =
\cosh h (notare che \cosh h non e' che il solito \gamma; h e' la
rapidita').
Voglio definire prima di tutto un riferimento *rigido* che si muove
insieme a B. Siano \xi, \eta le coord. spaziale e temporale nel rif.
cercato. La trasformazione e':
x = \int_0^\eta \sinh h(\eta') d\eta' + \xi \cosh h(\eta)
t = \int_0^\eta \cosh h(\eta') d\eta' + \xi \sinh h(\eta).  (1)
Infatti per \xi=0 si ha
dx = \sinh h(\eta) d\eta
dt = \cosh h(\eta) d\eta
e da queste si vede che il punto \xi=0 si muove proprio come B, e il suo
tempo
proprio e' \tau = \eta.
Per la metrica nelle coord. \xi, \eta:
ds^2 = [1 + \xi h'(\eta)]^2 d\eta^2 - d\xi^2.
Questa mostra che eventi con la stessa \eta hanno separazione spaziale
\xi, ossia \xi e' proprio la distanza misurata nel rif. accelerato.
Se accanto al punto B, con la legge oraria detta, consideri un punto B',
con legge oraria data dalle (1) per \xi fissato, vedi che dx/dt e' lo
stesso per B e per B' a parita' di \eta, quindi il rif. tangente a B lo
e' anche a B', e in questo rif. la distanza BB' e' appunto \xi.
Cio' per dimostrare che le (1) definiscono il rif. richiesto.
Nota: sempre dalle (1) si vede che la legge oraria di B' *e' diversa* da
quella di B, ossia la loro distanza, misurata nel rif. inerziale, varia.
Visto da A, il rif. accelerato no appare rigido, il che e' ovvio, dato
che esiste la contrazione di Lorentz.
Ora vediamo che tempo misura B. Ho gia' detto che \tau = \eta.
Se x(0) = 0 e poi x(T) = 0, ossia se B lascia A al tempo t=0 e lo
ritrova al tempo t=T, abbiamo dalla seconda delle (1), per \xi=0:
T = \int_0^\tau \cosh h(\tau') d\tau' > \tau.
Dunque non c'e' simmetria: l'orologio di A segna un tempo piu' lungo!
Piu' quantitativamente, supponiamo che il moto di B sia uniforme salvo
dei brevi tratti che trascuro nell'integrale: allora
T = \int_0^\tau \gamma d\tau' = \gamma \tau
come si doveva dimostrare.
Commento: dove ho usato la RG? Non ho mai parlato ne' di pr. di
equivalenza, ne' di campo gravitazionale. Ho solo introdotto un nuovo
sistema di coordinate, che ho interpretato come associato al riferimento
solidale a B.
Il tuo uso del PE e' in realta' al rovescio del giusto: il PE si puo'
usare per capire che cosa succede in un campo grav., sapendo che cosa
succede in un rif. accelerato (e' appunto cosi' che Einstein previde il
redshift). Tu invece pretendi di ricavare quello che si vedra' in un
rif. accelerato equiparandolo a un rif. in cui sia presente un campo
gravitazionale, e dando per noto che in questo caso il tempo ... il
tensore metrico ...
Nota bene: dico "tu", ma so che non hai fatto altro che ripetere quanto
sta scritto in molti libri. Fortunatamente, non in tutti.
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

 curvo!!
Ciao, si e' vero, non avevo capito che Luca non avesse capito questo
punto infatti gli avevo ancora chiesto spiegazioni.
Grazie del'intervento, forse ora sara' piu' chiaro per Luca.
Ciao, Valter
Sent via Deja.com
http://www.deja.com/

Grazie per la spiegazione e mi scusi se l'ho fatta *lavorare* (niente male,
pero', per un informatico (!) di 32 anni!). Devo pero' confessare che il suo
punto di vista (condiviso anche da Moretti) non mi era affatto nuovo (v.
Wheeler). Effettivamente il mio punto di vista non è farina del mio
sacco...ma non voglio comunque dare colpe ad altri e mi assumo io tutta
quanta la responsabilità della mia presa di posizione. Porti pazienza (forse
sono un po' duro di comprendonio), ma per me è difficile concepire che lo
spazio-tempo non sia curvo in un SR accelerato piuttosto che credere che sia
piano, senza che vi sia una differenza fisicamente osservabile tra le due
visioni. Certo, perlomeno localmente (al primo ordine, matematicamente
parlando...), ma io l'ho sempre specificato il localmente. Certo, se non si
considera piu' il localmente...le cose cambiano, e fisicamente è
distinguibilissimo un campo gravitazionale da un SR accelerato (forze di
marea).
Una domanda: il tensore di Riemann è funzione delle derivate seconde delle
componenti di g. E' possibile scrivere la metrica per un SR. accelerato che
non sia una metrica di uno spazio-tempo piatto (g00=1, gii=-1, segnatura
+,-,-,- oppure -,+,+,+), come se fosse uno spazio-tempo curvato dalla
gravità e quindi calcolare un tensore di Riemann non nullo. A questo punto
lei mi dirà che in realtà lo spazio-tempo è piatto, g è quello di uno
spazio-tempo piatto e che il tensore di Riemann si annulla, e che cambiare
riferimento significa solo cambiare coordinate (non ha quindi un significato
fisico, anche se io sento una forza diversa... (mah!)). Ma io leggo su L.D.
Landau quanto segue: "L'annullarsi del tensore di curvatura o meno è quindi
un criterio sufficiente per stabilire se uno spazio quadridimensionale sia
piatto o curvo (L.D. Landau, Teoria dei Campi, p. 342). E ancora: "[...]
sebbene sia possibile in uno spazio curvo scegliere un sistema di coordinate
localmente geodetiche(per un punto dato), il tensore di curvatura non si
annulla affatto in questo punto".
Come è possibile tutto questo ?
A questo punto dovrei dire di non essere d'accordo sul fatto che cambiare di
riferimento significa solo cambiare di coordinate...ma tant'è.
Grazie ancora della pazienza e delle (spero) future delucidazioni.
Luca

 riferimento significa solo cambiare di coordinate...ma tant'è.
Perche`?
Ciao, Valter

[Perché mi hai tagliato il resto, che era la parte piu' importante ?]
Dopo attenta riflessione, aggiungerei questo. Da dove proviene la forza che
sentiamo su un auto che ad esempio sta facendo una curva ? Ma è chiaro:
dallo sportello dell'auto. Da dove proviene la forza di gravità che sentiamo
sulla terra ? E' chiaro: dalla superficie solida della terra. In entrambe i
casi, lo sportello dell'auto oppure la superficie della terra deviano la
nostra linea di universo dall'essere una geodetica nello spaziotempo piatto.
Se non ci fossero sportello dell'auto risp. superficie della terra saremmo
in *caduta libera* , non sentiremmo alcuna forza ==> saremmo in un rif.
inerziale. Ma allora perché trattare i due casi in modo diverso ? Credo che
siano solo due punti di vista e nulla piu', indistinguibili fisicamente, e
leciti entrambe, che sottendono la stessa realtà fisica.
Immagina di vedere una superficie di gomma dall'alto, con disegnata sopra
una linea retta. Ora incurviamo la superficie. Vedremmo la nostra linea
diventare curva. Se non ci sono altri particolari, quali ombre, o
disomogeneità sulla superficie o alcunché di fisicamente osservabile, come
potremmo scegliere tra il dire che trattasi di linea retta su una superficie
curva oppure di linea curva su una superficie piatta ?
Ciao
Luca

 Perche`?
perché in un sistema di riferimento non sento nessuna forza, mentre
nell'altro, quello accelerato, la sento.
Ciao
Luca


  Infatti senti la forza che ti fa accelerare, o nello spazio curvo, la
  forza che ti distoglie dal moto geodetico di caduta libera. Per accelerare
  ovvero non essere in caduta libera, devi presupporre che ci sia una forza 
  che te lo permette: e' quella che senti.
  Ciao, Valter

 curva oppure di linea curva su una superficie piatta ?
Secondo me invece l'esempio piu' calzante e' il seguente: una formica e'
su una sfera di raggio molto grande tanto che crede che sia piatta fino 
a quando si muove in intorni piccoli della posizione iniziale. Tuttavia
si accorge che se disegna una "retta" tratto a tratto (con un piccolo 
righello trasportando parallelamente il righello al tratto di "retta"
gia' costruito e disegnando il tratto successivo) e la prolunga quanto 
possibile, alla fine scopre che la retta si ricongiunge  al punto
da cui e' partita. 
Quindi "localmente" la superficie sferica e' come quella curva, ma se 
consideri regioni piu' grandi scopri che non e' curva. 
E il fatto che sia curva o meno NON e' un punto di vista, se e' curva 
e' curva e basta :-)
Ciao, Valter


Ma insomma adesso devo proprio arrabbiarmi!
Quante volte ho ripetuto che il mio discorso valeva localmente ? Almeno 4
volte. Ma niente...non c'è piu' sordo di chi non vuol sentire.
Infatti mi hai anche tagliato la seguente frase nel mio post successivo:
"insomma il punto è che devo abbandonare il localmente. Allora si' è vero
che in un campo gravitazionale R non è nullo, c'è deviazione geodetica, e
quindi lo spaziotempo è curvo."
E no. Non ci siamo. Io accetto volentieri che venga corretto e che mi si
spieghi come stanno le cose veramente (sono qui per questo, io, e voi ...?).
Ma che mi si travisi e in piu' mi si tagli in questo modo, è per me
offensivo!
Questo genere di giochetti riservatevelo per altri, non per me!
Ho già detto questo a Elio Fabri, che in almeno una occasione a fatto una
affermazione in risposta ad una mia osservazione, affermazione che io facevo
piu' avanti ma che naturalmente lui mi aveva tagliato (Fabri, se vuole sono
pronto a dirle quale).
Prima di rispondere ad un  post, leggerlo p.f. attentamente e assicurarsi
che il cervello sia collegato alla mano. Grazie.
Luca :-)


Come sopra. Da dove proviene questa forza?
Ciao
Luca

   Ciao, allora diciamo che c'e' qualche strana incompatibilita'
   di linguaggio che non mi permette di capirti e forse anche viceversa.
   Mi dispiace: mi e' sempre sembrato di agire onestamente, ma 
   evidentemente  non riusciamo a capirci. Rinuncio a cercare di spiegarti 
   come funzionano le cose in RG.
   Ciao, Valter

 wrote in message
3A8A3754...@science.unitn.it...

Ok. No, dai, non ti arrabbiare. Scusa il mio sfogo, ma se c'è qualcosa che
mi fà perdere le staffe, è che mi si metta in bocca il contrario di quanto
ho detto trascusando quello che ho detto veramente (si chiama *omissione* ed
è una pratica largamente diffusa, purtroppo...anche se fatta in buona fede è
sempre la forma di censura piu' subdola e pericolosa. E' per questo motivo
che non sopporto quando qualcuno taglia troppo allegramente un post).
Comunque ti devo dire che da parte mia capisco benissimo quello che dici tu
ed Elio Fabri (capisco meglio quello che mi dice Fabri, pero'...), e ora
sono praticamente daccordo su tutto quanto avete detto.
Grazie delle spiegazioni.
Direi di chiudere qui questa discussione che non ha piu' motivo di essere
proseguita, oramai.
Ciao
Luca

 
Ciao, non sono arrabbiato a meno che tu non mi accusi di cose
che non ho fatto: se ti ho messo  in bocca cose che 
non hai detto, mi dispiace, sappi che *non l'ho fatto consapevolmente*. 
Il fatto di tagliare i post e' praticamente obbligatorio: se riporto tutto
il tuo post e quello che scrivo e' meno di quanto hai scrutto tu, 
il messaggio viene automaticamente rifiutato (almeno a me capita cosi'.).
Quindi spesso devo tagliare qualcosa.
Purtroppo pero' quello che e' importante per te puo' non sembrarlo 
per me e viceversa e i tagli (che riguardano cose che in quel momento
non mi sembrano essenziali, o che comunque sottointendo) possono creare
fraintendimenti. Ti ripeto che non c'e' comunque nessuna volonta' di 
censura o di farti dire quello che non vuoi. Comunque mi basta sapere 
che almeno un po' ci siamo capiti...Lo credo che capisci meglio Elio:
sono tanti anni che si occupa (anche) di didattica della fisica ed ha 
una grande capacita' di immedesimarsi nella mente dell'interlocutore. 
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Ciao
Luca :-)
P.S.: mi piacerebbe passare all m.q. ora. Postero' in proposito qualche
considerazione e alcune domande.

 Fai parte della white list ? 
Si, da sempre, pero' le cose non vanno come dici: spesso mi vengono
*automaticamente* rifiutati post quando non sono prodotti come si deve...
1> Se no, entraci e allora probabilmente non ti
2> rifiuteranno i post. In alternativa puoi mettere dei numerini all'inizio
3> delle frasi alle quali rispondi, per *ingannare* il robomoderatore.
4> (Fabri lo fa di tanto in tanto)
Si lo faro', grazie del consiglio. Anzi lo faccio subito
come vedro'
1> Ciao
2> Luca :-)
 
3> P.S.: mi piacerebbe passare all m.q. ora. Postero' in proposito qualche
4> considerazione e alcune domande.
OK, anche quello e' il mio campo di ricerca, magari ti sapro' rispondere...
speriamo di non fraintenderci un'altra volta.
Ciao, Valter

 nell'altro, quello accelerato, la sento.
Il problema e' che tu credi di poter identificare forza e curvatura,
mentre non e' cosi'.
Nel formalismo della RG la seconda legge di Newton (F=ma) e' sostituita
dell'equazione delle geodetiche, che penso tu conosca. In questa
equazione intervengono i coeff. di connessione (CC), che *non sono* un
tensore.
Cio' vuol dire che e' possibile avere CC nulli in un sistema di
coordinate e non nulli in un altro, *nello stesso punto*. La scelta
delle coord. geodetiche di Riemann serve appunto a questo: annulla i CC
in un punto.
In realta' si puo' fare di piu': li si puo' annullare lungo una
geodetica (ma non fuori di questa, se lo spazio-tempo e' curvo).
Fisicamente, cio' accade quando usuamo le coordinate di un rif. in
caduta libera (localmente inerziale). Infatt in questo rif. la gravita'
sparisce.
Viceversa: anche se lo spazio-tempo e' piatto, in un sistema di coord.
arbitrario i CC non sono nulli, quindi l'eq. delle geodetiche mostra la
presenza di una forza apparente.
La forza va e viene cambiando riferimento, proprio perche' i CC non sono
un tensore.
Le componenti del tensore di Riemann contengono derivate dei CC, per cui
il fatto che i CC siano nulli in un punto (o anche su una curva) non
dice niente circa l'annullarsi del t. di Riemann, e viceversa: e'
perfettamente possibile avere CC ovunque non nulli e t. di R. nullo.


1> > Fai parte della white list ?
2> Si, da sempre,
ahi! certe cose non si dicono in pubblico !
2> pero' le cose non vanno come dici: spesso mi vengono
3> *automaticamente* rifiutati post quando non sono prodotti come si
deve...
il divertente e' che il robomoderatore ora talvolta lascia "passare"
post pieni zeppi di quotations. 
Esempio pratico: post del 2/1/2001 h9e30 , mittente:  Lucarciof 
titolo: "Re: Possibile granularità dello spaziotempo"
contenuto:
12 righe con ernesto ha scritto etc..
12 righe di quotations
+
"Sottoscrivo !
Luca"
Ipotesi possibili:
1)Lucarciof e' in WL ed il robom. ora, alle persone in WL,  *non*
  controlla la percentuale di quotations. 
2)il robomoderatore funziona benissimo e non controlla piu' la
summenzionata percentuale,
  anche per quelli non in WL.
3)il robobmoderatore non funziona. va a simpatie ed antipatie. urge
trovarne uno migliore.
4)Simile all'ipotesi 1, con questa variante: Lucarciof e' VM  ;)))
 
ciao
a.

 Luca/spero di non essere stato troppo noioso.
Non sei stato noioso, ma non ho capito se vuoi una risposta fisica o
una matematica...anche perchè ogni tanto ho qualche difficoltà a capire
la differenza fra queste due...
Vittorio Barone Adesi
--
Perche' il cielo e' rosso al tramonto?
Questione di romanticismo.


Grazie Fabri. In effetti ho capito il mio errore quando mi ha detto che il
tensore di Riemann puo' essere nullo anche in un sistema accelerato (lo
avevo dimenticato...).
Questa sua ultima spiegazione è ora per me chiarissima.
Ciao
Luca :-)


Ciao


Domanda da un miliardo!
Riproporrei la domanda cosě, sperando che mi rispondiate.
Possono esistere
altre configurazioni "stabili" ed allo stesso
tempo "semplici" come una
sola dimensione di tipo tempo
completamente diversa da quelle spaziali?
Matematicamente intendo.
Perchč se non ne possono esistere altre stabili,
se mai sono
esistite possono essere "finite" da sole.
Se ne possono
esistere di altri tipi, ma molto piů complicate,
magari non ci sono perhč
"č stato troppo difficie" che siano
"nate" per caso, come quella in cui
viviamo.
Giusto?
Buon lavoro a tutti, ciao!
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.iol.it

 wrote:
Chiedo a voi che sembrate saperla lunga:
La velocità massima nel vuoto è "c". Anche l'accelerazione non può
essere superiore a "c". Quindi anche l'accelerazione di gravità non
può superare "c", giusto?
Se i BH possono avere una massa grande a piacere costretta in un punto
adimensionale o quasi, la loro forza attrattiva , dentro l'orizzonte
degli eventi, è uguale per qualsiasi BH? Ossia sempre uguale a "c"?
E perchè le foze mareali non contraddicono il principio di equivalenza
accelerazione=gravità?
Per la dimensione tempo: essa non sembra diversa da quelle spaziali se
in determinate condizioni di grande gravità una delle spaziali può
diventare percorribile solo a senso unico in avanti e quella temporale
a doppio senso. Dimensione spaziale e temporale diventano
intercambiabili. Non è così?
Grazie per l'attenzione.
Ernesto

Ciao Vittorio
Ti ringrazio. Ma il mio errore, come mi hanno già fatto notare Fabri e
Moretti, era di pensare che un s.r. accelerato curvasse lo spazio tempo,
cosa che non è vera (assenza di gravità =>tensore di Riemann nullo in TUTTI
i s.r.)!
Luca