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Titolo: Probolema di Relativita' Ristretta

Salve a Tutti  ho il seguente quesito da porvi: come si puo' ricavare
una
generica trasformazione di boost? Per esempio se vogliamo trovare una
trasformazione di Lorentz che mi faccia passare il quadrivettore impulso
dalle componenti (M,0,0,0) alle componenti (M',p1,p2,p3) possiamo
considerare tale trasformazione come il risultato di tre trasformazioni
consecutive lungo gli assi x,y,e z come ci suggerisce la teoria dei
gruppi e in questo caso cosa va scritto nella radice quadrata delle
singole trasformazioni?Forse v1 , v2 e v3 rispettivamente per ogni
singola trasformazione? Dove v=(v1,v2,v3) e' il vettore velocita di un
sistema di riferimento rispetto all'altro.
Grazie per le risposte!
Saluti Corrado

corrado wrote:

Non ho capito bene cosa chiedi. Comunque ti dico la formula finale
la trasformazione di puro boost che manda (M,0,0,0) alle componenti (M',p1,p2,p3)
ha la forma seguente. Poni r = p/M' dove p e` il tuo vettore (p1,p2,p3).
Sotto con vv indico la matrice 3x3 che ha tutti i prodotti di due componenti di r
nelle locazioni ovvie e I e' la matrice identita` 3x3.
Infine g = sqrt(1+ r^2).(Nota che quindi M' e` dato da gM)
Pongo c=1 e uso la segnatura -+++
g   | r1 r2 r3
--------------------
r1  |
r2  | I + rr/(1+g)
r3  |
spero si legga!
La matrice inversa si ottiene cambiando semplicemente segno a r.
r si puo` anche scrivere come gv, dove v e` la velocita` del
riferimento in cui il quadri impulso e`  (M',p1,p2,p3)
rispetto a quello in cui il quadrimpulso e` (M,0,0,0)
(cioe` quello fermo con la particella). E g, in funzione di v
risulta al solito essere 1/sqrt(1-v^2).
Tutte le matrici di Lorentz (ortocrone) che mandano (M,0,0,0)
alle componenti (M',p1,p2,p3) le ottieni componendo la matrice di
sopra con una rotazione 3x3, R. Cioe`
g1| 0 0 0
------------
0 |
0 |   R
0 |
che puoi mettere prima o dopo. Il determinate della matrice
di Lorentz ottenuta e` lo stesso che della matrice R (che puo`
essere una rotazione propria o impropria).
In ogni caso ti sconsiglio di fare uso delle tre strasformazioni
di lorentz speciali per decomporre una generica trasf di Lorenz
(e` sempre un lavoroaccio). Ci sono due teoremi di fattorizzazione
del gruppo di Lorentz. Uno e` quello che dici tu basato sulle
tre trasf. speciali. L'altro e` quello che ho usato io:
ogni trasf del gruppo di lorentz e` il prodotto di una trasf. di
puro boost della forma data sopra, piu` una rotazione come ho
scritto sopra. Queste due matrici, purche` scegli dove mettre
la rotazione (davanti o dietro al boost) sono determinate
in modo univoco dalla trasf di lorentz che fattorizzi.
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 Sotto con vv indico 
Scusa volevo scrivere rr invece di vv... ma lo avri capito da solo
Ciao, Valter
-- 


Ti ringrazio per la risposta ma vorrei riuscire a ricavare in modo
costruttivo la formula che mi serve e in particolare quella che usa le
tre trasformazioni speciali potresti accenarmela a livello metodologico
o indicarmi dei testi che l'affrontano?
Grazie!

corrado wrote:

Ciao, l'unica dimostrazione che conosco del teorema di
fattorizzazione con (tre rotazioni) e tre trasformazioni
speciali e` basata su un teorema di algebre di Lie
(esistenza delle coordinate Riemanniane di primo tipo).
Sarebbe come ammazzare una mosca con una pistola.
Forse Elio ha qualche dimostrazione piu` elementare.
Mi pare che sul Jackson di elettrodinamica ci sia
qualcosa nel capitolo di Relativita`, ma non ho il libro
sotto mano e non posso controllare. Ti consiglio di
procurartelo e di guardarci.
Il teorema di decomposizione tramite una rotazione e
un puro boost invece si dimostra a martellate prima
decomponendo le matrici del gruppo di Lorentz in matrici
con 4 blocchi come ho indicato e scrivendo le equazioni
per ciascuno dei blocchi che si ottengono imponendo la
definizione del gruppo di Lorentz. Quindi si risolvono
tali equazioni matriciali (e` una menata) e il teorema
di decomposizione viene fuori naturalmente.
Tra l'altro secondo me la forma con cui ti ho presentato
io la decomposizione e` quella che serve in meccanica
quantistica quando ti occupi delle rappresentazioni
unitarie del gruppo di Lorentz. (La rotazione della
decomposizione e' legata alla cosidetta "rotazione di
Wigner"...)
(Devo aggiungere che il teorema di decomposizione
in rotazione piu` boost assomiglia molto ad un teorema
che si dice di "decomposizione polare"di matrici e che
ha una dimostrazione istantanea se
uno conosce la teoria spettrale...
Ci ho pensato un po` ma non sono mai riuscito a
dimostrare he i due teoremi sono legati.)
Ciao, Valter


corrado ha scritto:

Sicuramente no: la ragione ti e' gia' stata spiegata.
La soluzione non e' unica: puoi sempre fare una rotazione attorno alla
velocita' relativa.
Una soluzione e' (per M=1; altrimenti e' facile generalizzare):
M'    p1                   p2                   p3
p1   1 + p1^2/(M'+1)  p1*p2/(M'+1)     p1*p3/(M'+1)
p2   p1*p2/(M'+1)     1 + p2^2/(M'+1)  p2*p3/(M'+1) 
p3   p1*p3/(M'+1)     p2*p3/(M'+1)     1 + p3^2/(M'+1)
Come si trova?
a) Si osserva che la prima colonna e' data dalla condizione richiesta;
si sa che deve essere una matrice di Lorentz, che potra' contenere solo
il vettore (3-dim.) (p1,p2,p3) e il tensore delta_{ij}, e si macina un
po'...
Oppure
b) Si cerca il libro giusto ;-)
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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sistema di riferimento rispetto all'altro.
Vedo su it.scienza.matematica che cerchi di ricostruire (tramite
complicazioni analitiche piuttosto inconcludenti) i risultati che ti
sono stati esposti da E.Fabbri e W.Moretti. 
Ti propongo un approccio diverso. 
Notazioni usate:
Quadrivettori R=(r,ct)=(x,y,z,ct)   P=(p,E/c)=(p1,p2,p3,E/c) 
Trivettori: r=(x,y,z)   p=(p1,p2,p3)  v=(v1,v2,v3)
Prodotto scalare di trivettori: r*v = x v1 + y v2 + z v3
Fattore di Lorentz:  gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2) 
Confesso che nemmeno conoscevo il termine "matrice di boost", ma in
definitiva tu stai semplicemente cercando di scrivere una generica
trasfomazione di Lorentz, per un sistema di riferimento S' dotato di una
velocita' qualsiasi (v1,v2,v3) rispetto ad un altro riferimento S.
Infatti la conoscenza delle componenti del quadrivettore impulso individua
univocamente la velocita' della particella: v = pc^2/E
Le trasformazioni di Lorentz si possono scrivere in forma vettoriale:
 r' = L r  - gamma t 
 ct' = gamma (ct - v*r/c) 
ove L e' un operatore lineare agente sugli ordinari trivettori completamente
caratterizzato da:
- autovalore gamma per i trivettori paralleli a v^;
- autovalore    1     per i trivettori ortogonali a v^.
Ogni trivettore r puo' essere evidentemente decomposto nella somma di un
vettore parallelo e di uno perpendicolare a v:
 r = (r*v/v^2)v  + [ r - (r*v/v^2)v ]
Da qui si ottengono subito le trasformazioni di Lorentz in forma generale:
 r' =  r + [gamma - 1] (r*v/v^2) v  - gamma t
 ct' = gamma (ct - v*r/c)    
 
Ovviamente esse valgono per ogni quadrivettore: (r,ct), (p,E/c) ecc.
Personalmente preferisco dimostrare le formule suddette direttamente con 
ragionamenti di simmetria e con il postulato di costanza della c. Poi basta
porre v=(v,0,0) per ottenere subito le solite formule per la configurazione
standard, cioe' con S ed S' in moto relativo nella direzione x=x'.
Ma e' piu' tradizionale procedere alla rovescia, cioe' arrivare ad esse
trascrivendo trascrivendo in forma vettoriale le usuali formule di Lorentz,
ponendo x = (r*v)/v ecc.
L'uso del formalismo vettoriale e' vantaggioso poiche' non dipende da una
scelta prefissata degli assi spaziali. Ponendo v=(v1,v2,v3) anziche'
v=(v,0,0) si ottengono subito le formule generali anziche' quelle standard.
Non c'e' alcun bisogno di ricorrere a faticose tecniche gruppali.
Con calcoli brevi ed elementari puoi ottenere la matrice 4x4 dei
coefficienti della tua trasformazione di boost, tale e quale a come ti e'
stata scritta da E.Fabbri e W.Moretti.
Ciao e buon lavoro!
-- 
 Elio Proietti        
Debian GNU/Linux

Mi sono concesso qualche errore tipografico. In particolare, nella formula
vettoriale manca evidentemente una v. La formula corretta e':
 r' = L r - gamma v t 
Trasformazioni di Lorentz generali:
 r' = r + [gamma - 1] (r*v/v^2) v  - gamma v t 
 ct'= gamma (ct - v*r/c) 
