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Titolo: riferimento rotante, per Elio e Paolo Sirtoli

Ciao a tutti,
   mi sono messo a ripensare ad alcune questioni
delle quali ho discusso qui sopra diverse volte,
specialmente con Elio (ma anche con Paolo Sirtoli).
Si tratta del sistema di quiete con l'osservatore
rotante. La question è in realtà
connessa alla convenzionalità della nozione
Einsteiniana di sincronizzazzione a distanza come
sono finalmente stato in grado di comprendere
ed ho capito alcune cose che non avevo  mai capito
(ma nemmeno Elio se non  lo ha fatto senza dirmelo)
e che ora riassumo.
In estrema sintesi: si puo' definire lo spazio di
quiete con il riferimento rotante, al contrario
di quello che Io ed Elio abbiamo creduto,
anche se Elio era meno convinto di me...
e viene una metrica non euclidea.
Partiamo da Adamo ed Eva o quasi.
Assumo primitiva la nozione di orologio ideale
ed assumo che gli orologi ideali "puntiformi"
in evoluzione descrivano linee di universo
nello spaziotempo che, per il momento, e' solo uno
spazio quadridimensionale (varietà differenziabile,
ma non entrerò subito in troppi dettagli
matematici perché vorrei rimanere vicino alla fisica).
Immaginerò di poter disporre di tali orologi in ogni
evento dello spaziotempo ed animati del moto
arbitrariamente scelto.
Prima di tutto ci interessa definire la geometria
dello _spazio di quiete_ con un orologio, per il
momento nel suo immediato intorno, prescindendo
da ogni nozione di sincronizzazione a distanza
che è convenzionale.
Bisogna stabilire quando un'altra linea di universo
prossima a quella dell'orologio descrive l'evoluzione
di un secondo orologio che si trova in quiete con
il primo. Notare che la nozione di quiete che definisco
ora deve essere valida per un periodo di tempo,
non solo per un istante.
Dirò che l'orologio A è in quiete con l'orologio B
se siamo nella seguente situazione.
(A e B indicano propriamente le linee di universo
degli orologi).
Al variare del tempo misurato su A, lancio continuamente
segnali luminosi da A a B in _una direzione fissata_ e
B li riflette indietro nella stessa direzione in cui
li riceve. Se A riceve indietro il segnale ed il tempo
di andata e  ritorno, misurato con l'orologio di A,
risulta essere costante, dico che B è in quiete con A.
Ammetterò, perché l'esperienza lo prova, che la relazione
di "essere in quiete con" sia una relazione di equivalenza
cioé valga:
(1) Riflessività: A è in quiete con A,
(1) Simmetria: se A è in quiete con B, B lo è con A,
(2) Transitività: se A è in quiete con B e B lo è con C,
      allora A lo è con C.
Ora ricordo un altro fatto sperimentale:
Invarianza di c su percorsi chiusi:
"la velocità della luce ha valore costante noto,
che indico con c, quando misurata su un percorso
chiuso usando un unico orologio."
Questo è un fatto fisico che prescinde dal problema
della sincronizzazzione a distanza,
su cui Bruno Cocciaro insiste molto a ragione.
Uso il postulato suddetto per definire la distanza
tra orologi in quiete relativa:
Se ho due linee di universo relative ad orologi in
quiete relativa, definisco la distanza tra di essi
come
                    c dT
dove c è la velocità della luce e dT è il tempo
totale misurato da A per un segnale che parte da A
arriva a B e viene riflesso verso A istantaneamente.
Per orologi in quiete abbastanza "vicini" (avrei
bisogno di una qualche nozione topologica per parlare
di vicinanza, ma non voglio discuterla),
l'esperienza  fisica  assicura che la distanza
sopra definita e' davvero una distanza matematica
d(A,A)=0,
d(A,B)= d(B,A),
d(A,B) =< d(A,C) + d(C,B)
Nota: non e' detto che ogni orologio animato di moto
arbitrario abbia uno spazio di "quiete esteso".
A posteriori, sappiamo
comunque che cio' sicuramente accade per orologi in moto
inerziale in Relatività Speciale (RS): a posteriori
possiamo dire che tutti gli altri orologi in quiete con
esso sono quelli in moto inerziale con la stessa
quadrivelocità, ma situati in posti diversi.
In generale si potrà sperare di parlare solo di spazio di
quiete "infinitesimo" attorno ad una linea di universo.
E non è detto che esista  nemmeno quello visto che la nozione
di spazio di quiete richiede un intervallo temporale finito...
Ora ATTENZIONE: non ho usato fino ad ora alcuna nozione
di sincronizzazzione a distanza. Il prezzo che pago:
Elio lo avrà gia' capito, è il seguente. Ammettendo di
avere una manciata di orologi A, B, C,...che le cui
linee di universo non si interescano e riempono una
regione dello spaziotempo (tecnicamente una congruenza)
ed ammettendo che esista lo spazio di quiete comune a
tutti gli orologi, non ho un modo univoco per identificare
questo spazio di quiete con una ipersuperficie
tridimensionale che interseca tutte le linee di universo!
A,B,C... sono in  linee di universo e la
distanza spaziale è una distanza _tra linee di universo_.
Tuttavia, se A,B,C... sono linee di universo di orologi in
quiete relativa che riempono una regione di spaziotempo,
posso scegliere, in infiniti modi, un evento su ciascuna
linea e l'insieme di tali eventi  dotato della distanza d
suddetta definisce uno spazio metrico (almeno localmente).
Se scelgo gli eventi in modo regolare, posso effettivamente
costruire un'ipersuperficie tridimensionale che interseca
ogni linea una volta sola.
Questa ipersuperficie e' dotata, (almento in  piccolo),
della metrica detta. (Volendo fare le cose per bene
doto questa superficie di un tensore metrico euclideo, ma
non mi dilungo).
N.B. Questa metrica, non sarà, se sviluppiamo la
relatività speciale nel formalismo solito, quella indotta
sull'ipersuperficie dalla metrica dello spaziotempo, anzi,
non vedo motivi forti a questo punto perché la superficie
non si possa prendere NON di tipo spazio.
Passiamo alla sincronizzazzione. Voglio sincronizzare
due orologi A e B a distanza in quiete relativa.
Questo significa che quando l'orologio a segna t_0 devo
fare partire un segnale da  A in quell'istante
che arrivi a B e che, tramite un opportuno meccanismo,
sposti, istantaneamente,  "le lancette di B" a t_0 se,
quando il segnale giunge a B il tempo segnato non è
t_0.
Vediamo la questione dal punto di vista geometrico.
Prendiamo la solita congruenza di linee di universo
descriventi orologi, che assumiamo essere tutti in quiete
relativa. Possiamo descrivere la congruenza con 4
coordinate, una è il tempo segnato dagli orologi t e tre
coordinate etichettano i diversi orologi. Indichiamo queste
ultime con x,y, z senza alcun riferimento con coordinate
cartesiane!
Se X^1,X^2,X^3,X^4 sono coordinate nello spaziotempo, la
congruenza è data da
X^i = X^i(t,x,y,z)
Ogni nuova procedura di sincronizzazzione puo' solo
alterare l'origine del tempo su ogni linea della
congruenza
t -> t + f(x,y,z)
il cambiamento dipende dalla linea di universo.
La scelta della funzione f è completamente arbitraria.
Fatta una scelta, uno spazio di quiete globale al tempo t
può essere identificato con la sottovarietà a t costante.
Vorrei fare notare che non cè alcuna costrizione fisica
a scegliere una f piuttosto che un'altra e la nozione di
spazio di quiete prescinde completamente dalla definizione
di sincronizzazzione a distanza scelta.
Se si usa la procedura di sincronizzazzione a distanza
che impone che la velocità della luce sia ancora c
anche misurata con orologi a distanza, si arriva alla
formulazione standard della relatività e si vede che tutta
la geometria fisica  è gestita da una metrica lorentziana
g che è individuata univocamente da tutto quanto detto
fino ad ora in aggiunta alla scelta Einsteniana
della sincronizzazione. In particolare, g e' l'unica metrica
lorentziana tale che l'ascissa curvilinea delle curve
descriventi l'evoluzione degli orologi coincide con il c
volte il tempo stesso segnato dagli orologi (a meno dalla
scelta dell'origine) e tale che lo spazio di quiete
ad una liea di universo nell'evento p sia ortogonale
ad essa in p.
Facendo altre scelte verrebbe fuori
qualcos'altro, ma dato che possiamo sempre fare quella
scelta della sincronizzazione, facciamola ed usiamo la
metrica di Einstein.
Per esempio, con la metrica einsteiniana segue che,
in coordinate t,x,y,z suddette, la distanza nello spazio
di quiete con un orologio è individuata dal tensore
metrico tridimensionale (uso la sgnatura -+++ e pongo c=1)
s_{pq} = g_{pq}+ g_{tp}g_{tq}   (1)
con p,q =x,y,z, dove ho scelto una qualsiasi
ipersuperficie 3D che interseca la congruenza
e l'ho parametrizzazta con x,y,z che sono
coordinate su di essa.
Notare che la metrica s esiste indipendentemente
dalla metrica g.
Notare anche che la richiesta che la congruenza
descriva orologi in quiete relativa diventa la richiesta
che s_{pq} non dipende da t.
Tale richiesta è evidentemente invariante sotto
trasformazioni
t-> t' = t+ f(x,y,z)
x-> x' = x'(x,y,z)
y-> y' = y'(x,y,z)
z-> z' = z'(x,y,z)
che esprime anche l'invarianza per ridefinizione
della nozione di sincronizzazzione a distanza.
Con la sincronizzazzione Einsteniana c'e' una nozione di
spazio di quiete privilegiata (ma convenzionale) che è
quella per cui la velocità della luce su percorsi aperti
è sempre c. Si verifica facilmente che questo
equivale a dire, come detto sopra,  che lo spazio di quiete
per una linea di universo (quindi di tipo tempo) nel punto
p è il sottospazio dello spazio tengente in p allo
spaziotempo, ortogonale alla linea di universo.
Si vede quindi che, in tale spazio di quiete s_pq coincide
con la metrica indotta da g_pq.
Ora, data una congruenza di linee di universo che descrivono
orologi in quiete relativa, non è affatto detto che si possa
imporre la sincronizzazzione alla Einstein. Ciò accade
in relatività speciale usando orologi in moto inerziale, ma
non è affatto detto che ciò accada per altre scelte.
La possibilità dipende dalla situazione fisica.
Questo fatto però non inficia la nozione di spazio di quiete,
che continua ad esistere.
Una situazione sulla quale si discute da tantissimo
(anche a livello di quantizzazzione...) è quella del
riferimento rotante.
Mi metto in RS e considero un riferimento Minkowskiano con
coordinate cilindriche t', r', z', phi'.
Passo ad altre coordinate
t =t', r=r', z= z', phi= phi' + a t
con a>0.
Le nuove coordinate definiscono il sistema di riferimento
rotante.
Mettiamo idealmente un orologio per ogni fissata terna
di coordinate r, z, phi in quiete con il riferimento
rotante. Si puo' dimostrare in vari modi che è
IMPOSSIBILE imporre la sincronizzazzione einsteniana
di questi orologi (mi pare che io ed Elio avessimo due
dimostrazioni diverse, ma il risultato era lo stesso).
Ma noi ce ne possiamo impippare decisamente, visto
che nessuno ci costringe a scegliere una sincronizzazzione
piuttosto di un'altra e la nozione di spazio di quiete
e geometria in esso prescinde dalla scelta della
sincronizzazzione.
Vediamo se esiste uno spazio di quiete con il riferimento
rotante e quale metrica ha.
Parametrizzando le curve a t costante nel tempo proprio
e poi calcolando la metrica nello spazio di quiete con la
formula (1), si ottine che essa ha elemento di linea dato
da:
    ds^2 = dr^2 + dz^2 + r^2 d phi^2/sqrt(1-a^2r^2)
che e' una metrica non euclidea come diceva Einstein e non
dipende dal tempo (proprio). Quindi ESISTE il riferimento di
quiete con l'osservatore rotante ed è dotato di una metrica
non euclidea.
   Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Università di Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
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 arriva a B e viene riflesso verso A istantaneamente.
Ovviamente ho dimenticato un fattore 1/2 davanti a c dT.
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