Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Equazioni di Maxwell sono invariati?

Buongiorno a tutti,
Riuscireste a spiegarmi perché sono invariati le equazioni di Maxwell?
Se ho una domanda del genere come potrei rispondere in modo sintetico ed efficace?

 sintetico ed efficace?
Sarebbe impossibile anche provare a risponderti senza avere nessuna
notizia su di te: età, livello di studi...
Farò quindi una congettura, in bsse al modo come formuli la domanda:
che tu sia in attesa dell'orale alla maturità.
Congettura rafforzata dal 98 nel tuo nick, assumendo che sia l'anno di
nascita.
Se poi sbaglio, pazienza.
 
Per cominciare, correggo "invariati" che hai scritto due volte:
intendevi "invarianti".
Questa parola in fisica (anche in matematica) significa "che non
varia".
Però con significato simile si usa anche "invariabile" o "costante".
Tuttavia "invariante" ha un uso specifico, che bisogna chiarire.
Anche perché la tua domanda va un po' discussa: è sicuro che ti serva
sapere *perché* sono invar. le eq. di Maxwell?
O non piuttosto che cosa questo significa? Come facciamo a dirlo?
 
E qui nasce un altro problema (non perdere la pazienza: è una
deformazione professionale quella di voler sempre chiarire, precisare
:-) ).
Che cosa sai delle eq. di Maxwell?
Nella mia ipotesi, è quasi certo che tu non abbia mai visto le *vere*
eq. di Maxwell.
E' assai probabile che ti siano state presentate in quella che si
chiama "forma integrale".
Provo a elencarle descrivendole in parole, ed eventualmente mi farai
sapere se ho visto giusto.
 
1) La legge di Coulomb.
2) Non esistono poli magnetici liberi.
3) Legge d'induzione di Faraday-Lenz-Neumann.
4) Legge di Biot-Savart per il campo magnetico prodotto da una
corrente.
 
L'ordine in cui le hai viste probab. non è questo, ma la mia scelta
deriva dalla necessità di approfondire sulla 4).
Dovresti sapere che qui s'innesta la fondamentale scoperta di Maxwell:
la legge 4) non può valere sempre nella forma semplice (circuitazione
del campo magnetico = corrente concatenata).
Occorre invece aggiungere alla corrente (di conduzione) concatenata un
nuovo tipo di corrente, che M. chiama (e noi dopo di lui) /corrente di
spostamento/.
Dovresti anche sapere che una volta scritte le 4 equazioni con la
forma corretta della 4), M. con un po' di manipolazioni matematiche
arriva a prevedere che debbono esistere /onde elettromagnetiche/, e ne
sa anche dare la velocità.
E scopre che entro gli errori delle misure allora disponibili, questa
velocità (nel vuoto) *coincide con quella della luce*.
 
Dopo questa divagazione, torniamo al tuo problema.
Dunque "invariante" significa "che non varia".
Ma "non varia" in che senso?
Bisogna sempre intendere che non varia mentre si fa variare
qualcos'altro.
Per es. potrebbe essere il tempo: potremmo voler dire che le eq. di M.
oggi sono fatte in un modo, e domani in un altro?
Per es. che oggi la forza tra due cariche è correttamente
rappresentata dalla legge di Coulomb, ma domani, o fra un secolo,
oppure 1000 anni fa, questo non sarà più vero, o non era vero?
No di certo: del resto gli esperimenti di Coulomb risalgono a oltre
due secoli fa...
Dunque si deve trattare di un altro tipo di variazione.
Sarà forse una variazione nello spazio?
Magari ci chiediamo se le eq. di M., che valgono qui, valgono anche in
America, in Giappone, in Australia?
Oppure se valgono su Marte?
O in un'altra galssia?
 
Attento: qui di soppiatto ho introdotto un elemento nuovo.
Te ne sei accorto?
Finché parlo di America, Giappone, Australia, sto sempre pensando a
laboratori *fermi* sulla Terra.
Passando a Marte ho cambiato le carte in tavola, perché Marte gira
intorno al Sole per i fatti suoi, in un'orbita diversa dalla Terra: in
generale un laboratorio fermo su Marte *si muove* rispetto alla Terra.
 
Questi due laboratori (e tutti gli altri che puoi immaginare) sono
diversi /sistemi di riferimento/, e quindi la domanda ora diventa:
 
"possiamo pensare che le eq. di Maxwell siano valide in qualunque
sistema di riferimento?"
 
Da un punto di vista sperimentale, ciò vuol dire che se facciamo un
esper. di elettromagnetismo qui, o lo facciamo su Marte, non ci
aspettiamo risultati diversi: sia qui, sia su Marte, i risultati
saranno in accordo con le eq. di Maxwell.
A rigore l'unico modo di saperlo è di fare la prova.
Se torna, diremo che
 
"Le eq. di Maxwell sono invarianti rispetto a un cambiamento di
riferimento."
 
Beh, ora non ti puoi aspettare che io costruisca un intero corso
sull'argomento :-)
E del resto avevi chiesto una risposta "sintetica ed efficace".
Bene. Prima di arrivare a una tale risposta, debbo farti una domanda
io (e mi risponderò da solo, per non aspettare qualche giorno).
Conosci il /principio di relatività/ (PR)?
 
Debbo supporre di sì, e che tu lo conosca più o meno in questa forma:
 
"Tutte le leggi fisiche sono le stesse in qualunque riferimento
*inerziale*."
 
Ovvero:
 
"Tutte le leggi fisiche sono invarianti nel passaggio da un rif.
inerziale a un altro."
 
E' chiaro che se il PR è valido, anche le eq, di Maxwell sono
invarianti.
 
Però si potrebbe obiettare: ma il PR ce lo siamo sognato la notte?
(Non noi, si capisce: magari prima Galileo, poi Einstein...)
Certo che no: il PR è la sintesi di tutto ciò che abbiamo potuto
sperimentare.
Ai tempi di Einstein non era molto, oggi è molto di più.
Quella che per E. è stata un po' una scommessa, dopo un secolo ha
ricevuto una quantità di conferme e nessuna smentita.
 
Ti faccio un solo esempio.
Ci sono nella Galassia stelle che si muovono a oltre 500 km/s rispetto
al Sole. Se poi cambi galassia, le velocità possono essere parecchio
maggiori.
Se nel rif. di una di quelle stelle le eq. di M. fossero diverse, ce
ne saremmo accorti: per es. le proprietà della luce che ci arriva
sarebbero diverse.
Invece noi riusciamo a studiare come sono fatte stelle anche
lontanissime, usando tutte le stesse leggi fisiche (eq. di M. incluse)
che valgono qui sulla Terra.)
 
Riassumendo, la risposta sintetica ed efficace potrebbe essere questa.
In base a tutti i fatti sperimentali noti, siamo autorizzati a
enunciare il PR (vedi sopra).
Questo principio riguarda *tutte* le leggi fisiche, quindi anche le
eq. di Maxwell: è l'esperienza che prova l'invarianza delle eq. di
Maxwell.
 
Viceversa, le leggi di Newton della meccanica *non sono invarianti*
(anche di questo ci sono ormai moltissime prove sperimentali).
Quindi è stato necessario cambiarle: solo per velocità piccole
rispetto a c le leggi di Newton sono ancora un'approssimazione
accettabile.
 
Potrei fermarmi qui, ma mi rimane un dubbio: potrebbe darsi che tu
abbia sentito enunciare l'invarianza in un altro modo:
 
"Le eq. di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz."
 
Spero di no, perché capire questo è parecchio più complicato.
Direi impossibile con la matematica che possiedi se sei un liceale.
Però so che per molti insegnanti la relatività è innanzitutto trasf.
di Lorentz, quindi potrebbe darsi che il mio dubbio non sia infondato.
Sarebbe un peccato, perché in questo caso una risposta sintetica ed
efficace non te la potrei dare.
 
 
-- 
Elio Fabri