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Titolo: SOS Hermite...

l'equazione y"=x^2y    (y"= derivata seconda di y rispetto ad x...) come
si risolve?
un precedente messaggio e' rimasto senza risposta: troppo facile  ?
Sui libri i passaggi non ci sono, a lezione i passaggi vengono saltati e
se vai al ricevimento il prof ti etichetta come ignorante(e sono almeno
tre punti persi per l'esame...).
Buon lavoro
-- 
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> l'equazione y"=x^2y (y"= derivata seconda di y rispetto ad x...)
Intendendo x ^ (2y)
log x = z ==> x = exp z ==> dx/dz = exp z perciň (dx) ^ 2 / (dz) ^2 =exp 2 z
d^2 y / dx^2 = d^2 y / dx^2 * (dx)"2 / dz^2 = exp 2z x^2y
   2
d y
____ = exp 2z exp log x ^ 2y = exp 2z exp z * 2y = exp 6 z y
    2
dz
Lo integri 2 volte.
Ciao
Mario - (
mari...@inwind.it
)
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Inviato via 
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Intendendo x ^ (2y)
Purtroppo non va intesa cosi'. Giovanni chiede chiarimenti su come si
risolve l'equazione dell'oscillatore armonico unidimensionale
quantistico, dunque vuole risolvere:
y'' - (x^2) y = 0
Tuttavia questa non e' l'equazione esatta. Il problema e' il seguente:
dobbiamo risolvere y'' - (x^2 - c)y = 0          (1)
con c costante. Questa equazione differenziale non ha punti singolari
al finito, perche' tutti i coefficienti sono costanti al finito.
L'unica singolarita' puo' essere all'infinito.
Dunque studiamo come si comporta la soluzione all'infinito, in cui il
termine costante diventa trascurabile.
Ecco allora che troviamo:
(2) y'' - (x^2)y = 0
Ora e' facile vedere che per x ---> +/- \inf
una funzione del tipo y = H(x) exp(+/- x^2/2)
risolve l'equazione (2) con H(x) funzione di x da determinare. Come si
fa a vederlo? Beh se sostituisci la soluzione proposta e fai due
derivate vedi che l'equazione e' soddisfatta nel limite x ----> +/-
\inf
Oppure provi a graficare la soluzione.
Naturalmente H(x) dovra' essere una funzione opportuna che soddsfi il
vincolo appena imposto.
Delle due soluzioni possibili (corrispondenti ai due segni diversi)
dobbiamo scegliere quella con segno negativo dell'esponente perche' una
funzione di probabilita' del tipo exp(x^2) non e' a quadrato sommabile,
dunque non ha corrispondente fisico.
Ecco che allora abbiamo la forma della soluzione:
y = H(x)exp( - (x^2) /2)
Per determinare H(x) sostituiamo la soluzione nell'equazione (1) e
troviamo un'equazione per H(x).
Possiamo cercare una soluzione con H(x) rappresentata da una serie di
potenze nell'intorno dell'origine e raggio di convergenza infinito. Si
vede pero' che in questo modo troviamo una H(x) che cresce piu'
velocemente di exp(-x^2) e non avremmo piu' una soluzione a quadrato
sommabile.
Allora *dobbiamo imporre che H(x) sia un polinomio* e troviamo cosi'
una nuova equazione per H(x). Ma ancora piu' importante: troviamo lo
spettro degli autovalori! E_n = hv( n + 1/2)
La nuova equazione per H(x) e' l'equazione di Hermite, di cui
conosciamo la soluzione: i polinomi di Hermite. Ecco quindi trovati gli
autostati dell'oscillatore. Il problema e' risolto completamente.
Spero di essere stato d'aiuto. Saluti.

 Spero di essere stato d'aiuto. Saluti.
mille grazie per la gentilezza e la pazienza.
Ora leggerò con attenzione.
Giovanni
P.S: ma perché questi passaggi vengono regolarmente saltati nei libri ? (e
a lezione...)



Prego. Che i passaggi vengano saltati nei libri non mi stupisce
(altrimenti ci vorrebbe un solo libro per l'oscillatore armonico!) ma
che vengano saltati a lezione mi sembra alquanto sconveniente. Per
fortuna il mio professore non saltava una virgola e i miei appunti sono
ancora un solido riferimento!
Saluti

 sono ancora un solido riferimento!
Secondo me non va bene nemmeno che vengano saltati nei libri, e ai
miei tempi non era cosi'.
Per es. lo Schiff tratta in dettaglio l'argomento di cui si e' parlato,
e lo stesso il Landau.
D'altra parte una trattazione (almeno in qualche caso) del classico
problema di Sturm-Liouville mi sembra indispensabile per dare
significato concreto al problema degli autovalori.
Quali sono i libri che lo saltano?
Ricordo pero' che meno di due anni fa scopersi con un certo
raccapriccio che i notri studneti del terzo anno non avevano visto,
nel corso di mecc. quantistica 1, la soluzione dell'eq. di Schr. per
l'atomo d'idrogeno.
 
-- 
Elio Fabri

 ...
Ora avrete potuto vedere che avevo gia' scritto una risposta
praticamente uguale, sabato 4.
Non lo dico per rivendicare una priorita' :-) ma per segnalare che 4
giorni di ritardo sono davvero troppi: per la pazienza del
richiedente, ma anche per chi risponde e si sente frustrato, con la
sensazione di aver fatto un lavoro inutile...
 
-- 
Elio Fabri