Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Dubbi su kernel degeneri e equazioni integrali di fredholm per scattering ottico

Salve a tutti.
Scusate innnanzitutto se posto un argomento meno fisico del solito,
anche se per quanto mi riguarda tocca un problema fisico molto
tangibile cioé l'inversione di dati di scattering ottico.
Ho postato i miei dubbi in it.scienza.matematica ma non ho ottenuto
risposte. Magari qualche volenteroso puó aiutarmi a chiarirmi le idee.
Leggendo il libro di Groetsch "Inverse Problems in Math Sciences"
mi sono imbattuto in questo problema.
Integrale{ k(s,t)*x(t)*dt } = y(s) ; 0<= t <= 1
Mostrare che, se il kernel k(s,t) é degenere, non esiste
soluzione se y non giace nello span di {S_1...S_n}.
k(s,t) é degenere se é esprimibile come 
Somma_j{ S_j(s)*T_j(t) }
Quello sopra era il post originale al quale dopo un paio di giorni é
seguito quello con le mie personali elucubrazioni in latex.
\documentclass[a4paper]{report}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb, epsfig}
\usepackage{latexsym}
\begin{document}
direi che se $y$ appartiene allo spam di $S_i$
scrivo $$y(s)=\sum_iS_i(s)a_i(s)$$
se no esiste un altro spazio di
funzioni (credo ortogonali a $S$),  $V$ per cui
$$y(s)=\sum_iS_i(s)a_i(s)+\sum_jV_j(s)b_i(s)$$
Giusto? 
L'equazione di partenza e':
\begin{eqnarray}
\label{lello}
  \int_0^1K(s,t)x(t)dt&=&\int_0^1\sum_i S_i(s)T(t)x(t)dt=y(s)\\
&=&\sum_iS_i(s)a_i(s)+\sum_jV_j(s)b_i(s)
\end{eqnarray}
il che significa:
\begin{eqnarray}
\sum_i
S_i(s)\left[\sum_i\int_0^1T(t)x(t)dt-a_i(s)\right]=\sum_jV_j(s)b_i(s)
\end{eqnarray}
Ora se si riesce a trovare un argomento per cui due spazi di funzione
$S$ e $V$ (dovrebbero essere ortogonali, giusto?)  non possono
generare delle soluzioni comuni (sembra ragionevole pero' non sono
sicuro) allora l'unica possibilita' per risolvere l'equazione e' che
$\sum_i
S_i(s)\left[\sum_i\int_0^1T(t)x(t)dt-a_i(s)\right]=\sum_jV_j(s)b_i(s)=0$.
Si vede che se $\sum_jV_j(s)b_i(s)=0$ 
allora
$$\sum_i\int_0^1T(t)x(t)dt=a_i(s)$$
e questa dovrebbe essere risolubile. Ci devono essere delle altre
condizioni: mi pare troppo semplice. E che succede se il kernel non e'
degenere?
\end{document}
grazie mille.
neurino
neurino

 
Ciao.
Quello che devi provare equivale alla seguente
proposizione.
"Se il kernel k(s,t) e' degenere e se l'equazione in x
Integrale{ k(s,t)*x(t)*dt } = y(s) ; 0<= t <= 1
ammette una soluzione, allora y e' una combinazione
lineare di S_1,S_2,...,S_n,
dove k(s,t)= Somma_j{ S_j(s)*T_j(t) }"
Dimostrazione.
Sia x una soluzione nel caso degenere, allora vale
Integrale{ k(s,t)*x(t)*dt } = y(s)
ossia
Integrale{Somma_j{ S_j(s)*T_j(t) }*x(t)*dt } = y(s)
ossia, scambiando il simbolo di somma con quello di integrale
(la somma e' finita) ed estraendo le funzioni
(S_j(s)*)*= S_j(s) che non dipendono dalla variabile di integrazione:
Somma_j S_j(s) Integrale{T_j(t)*x(t)*dt } = y(s)   (1)
Definite le costanti C_j := Integrale{T_j(t)*x(t)*dt}
La (1) si riscrive
y(s) = Somma_j C_j S_j(s)
che e' la tesi.
QED
Tutto funziona se l'indice j spazia in un insieme finito, altrimenti
bisogna stare attenti e fare ulteriori ipotesi sulla funzioni e sulla
convergenza delle serie per poter scambiare l'integrale con la serie
usando il teorema di Fubini-Tonelli.
Ciao, Valter