Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Interpretazione geometrica delle funzioni generatrici

Ciao ciao !!
Non so se ho capito bene:
1. premesso che l'integrazione di un sistema di equazioni differenziali
del primo ordine equivale alla ricerca delle curve integrali di un
campo
vettoriale
2. un tale sistema è hamiltoniano sse le sue componenenti
sono le derivate parziali (trascuriamo, per semplicita', i segni -) di
una funzione che è, appunto, l'hamiltoniana del sistema
3. nel caso di un sistema ad un grado di libertà l'hamiltoniana H H(q p)
rappresenta geometricamente una superficie  z = z(x y) ed una
trasformazione
Q = Q(q p) P = P(q p) è canonica sse trasforma il campo vettoriale in
un altro
anch'esso avente componenti uguali alle derivate parziali di una
funzione
Z = z(Q P)
[ 4. equivalentemente si potrebbe dire che una trasformazione è
canonica sse
muta un campo la cui forma differenziale pfaffiana elementare
X(p q) dx + Y(p q) dy
è un differenziale
esatto in un altro in cui essa è ancora un differenziale esatto ]
Ma a questo punto mi chiedo:
5. la funzione generatrice di una trasformazione canonica
G = G(q Q) G = G(q P) G = G(p Q) G = G(p P)
ammette anch'essa una semplice interpretazione geometrica in termi dei
campi e delle superfici di cui abbiamo appena detto ??
Grazie per l'attenzione. Ciao.

 campi e delle superfici di cui abbiamo appena detto ??
No perche' - come ho appena detto - la trasf. canoinicna e' defnita in
modo indip. dall'hamiltoniana.
G e' definita da
dG = p dq - P dQ
oppure
dG = p dq + Q dp
ecc.
 
-- 
Elio Fabri

 P = 2p.
...
Credo che preliminamente ad ogni ulteriore discussione dovreste 
chiarire meglio il significato dei termini.
Se non sbaglio quella  che Elio  chiama trasf.  canonica è  un caso 
particolare di quella cui fa riferimento giovanna.velanti.
Se  non ricordo male in letteratura si distingue tra tr.  canoniche 
(quelle di giovanna)  e quelle completamente canoniche o  "canoniche 
univalenti" (quelle di Elio).
Molti risultati continuano a valere anche per le tr.  canoniche senza 
ulteriore specificazione.  Certo, le parentesi di Poisson o di Lagrange 
tra variabili coniugate non varranno delta_ij  ma delta_ij per una 
costante.  Non è  un argomento che ho sotto mano (sono passati molti 
anni da quando ho studiato meccanica e dovrei andare a rileggermi un 
paio dei miei testi preferiti di meccanica analitica ma non ne ho il 
tempo) ma credo che l'  interpretazione geometrica che giovanna sta 
cercando sia strettamente connessa alle trasformazioni di contatto.
Giorgio


--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 Giorgio


 queste trasformazioni ed invece spesso si tratta di una semplice confusione.
Una discussione chiara e che non fa confusione la si trova in un 
libricino di Gamtmacher ("Lectures in analytical mechanics", l' 
originale e' russo ma io ne ho una traduzione inglese delle solite 
benemerite edizioni MIR. BTW,  a parte questo punto,  è  un vera 
miniera di informazioni su aspetti della meccanica analitica che in 
genere vengono messi da parte o  omessi. P.  es il metodo di Appel  per 
sistemi con vincoli anolonomi,  la formulazione di Routh,  etc...).
Per quel che ricordo invece,  non mi sembra di aver trovato una 
discussione completa di tutte  le  conseguenze collegate ad una 
definizione simplettica  ed una " indebolita in senso conforme" come 
giustamente la chiami tu.
Proverò  ad  approfondire l' argomento con i miei amici "meccanici" 
appena possibile. Se  ci imparo qualcosa di interessante lo posterò.
Giorgio

 con vincoli anolonomi, la formulazione di Routh, etc...).
Gantmacher non lo conosco. Lo cerchero'.
Insomma tutti russi: il "magnifico" ma confusionario Landau, come
Arnol'd e Gantmacher che invece hanno idee chiare :-))
 
-- 
Elio Fabri

 Riprendo l'argomento piu' sotto.
Riporto dal testo di Antonio Romano (non è  un russo :-) "Lezioni di 
Meccanica Razionale" (Liguori, 1977,  ma credo che adesso ce ne sia una 
versione aggiornata):
"Def: si chiamano coordinate canoniche quei sistemi di coordinate locali 
su P2n (lo sp. delle fasi)in cui le eq.  del moto conservano la forma 
\dot p = -dH/dq
\dot q =  dH/dp
Si indica con alfa_c l'  atlante canonico (costituito da carte 
canoniche)  per P2n.
Si  definiscono trasf canoniche tutte le strasf tra carte di alfa_c.
In più  si definisce trasf.  completamente canonica una trasf.  che sia 
canonica e in più tale che la funzione di Hamilton K relativa alla carta 
(V,(Q,P)) coincide in U intersezione V  con la trasformata della funz. 
di Hamilton H relativa ad U a meno di una funzione localmente costante."
Dopo di che passa a dimostrare che una trasf è  completamente canonica 
se e solo se le parentesi di poisson delle nuove Q e nuove P sono zero e 
quwelle delle Q_i P_j  danno delta_ij. Nonché che cond necesaria e suff. 
  perché  le trasf  dalle vecchie alle nuove p e q definiscano una trasf 
  compl. canonica è  che Q_k dP_k = q_k dp_k + df  con  df differensiale 
di na funz   definita sullo sp.  delle fasi. Infine perché  una trasf. 
sia completamente canonica è  necessario e sufficiente che  sia 
simplettica, cioè  lasci invariata la 2-forma fondamentale dello spazio 
P2n.
Gantmacher  considera il caso generale di Hamiltoniane dipendenti anche 
dal tempo e  usa la stessa def.  di trasf  canonica e mostra che in 
generale una trasf.  è  canonica sse vale (Q_k dP_k -Kdt)= c(q_k dp_k - 
Hdt) + df
dove K  e H  sono le hamiltoniane nelle QP    e qp  rispettivamente. 
Dopo di che le trasf   completamente canoniche coincidono con il caso 
c=1  che Gantmachier chiama "univalente" (avendo battezzato con c la 
valenza della trasf. canonica).
Alla luce di questo,   io considererei la posizione di Arnol'd come 
spostata verso le trasf. completamente canoniche ma non vedo un "errore" 
  nella posizione di Landau (che poi non sia chiaro,  è  un altro 
discorso...).
Giorgio

 Elio Fabri



--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 di prima.
Rettifica:
grad_V H(v(V),t) = J^t(-1) grad_v H(v,t)
J^t(-1) sta per J trasposto alla meno uno.
mentre V' = J v' e quindi la condizione simplettica:
J^t S J = S.
(come faro' a ricordarmi come si connette
la regola di trasformazione dei gradienti alla
regola di trasformazione dei vettori senza
usare gli indici dovro' impararlo un giorno
se qualcuno conosce un trucco, benvenga)


 essere (Q_k dP_k -Kdt)= c(t) (q_k dp_k) - Hdt + df ? 
Mi sembra che Gantmacher non facesse piovere dal cielo la formula ma 
usasse il teorema di Lee Hwa Chung sulla unicità  degli invarianti 
integrali  per dedurre che c  deve essere una costante. Purtropo però 
non ho il tempo in questo periodo per riprendere in mano l'  approccio 
di Gantmacher e verificarne direttamente la validità. La mia 
puntualizzazione era piuttosto nel senso che la definizione data 
inizialmente dall'   OP  di trasf. canoniche non era completamente 
campata per aria.
Giorgio


Chiarito il punto, fra l'altro dopo avere risposto ripensavo al
fatto che a suo tempo Gantmacher mi aveva convinto, in prima
battuta e reso dubbioso in fase di approfondimento. Adesso posso dire
con cognizione di causa che cosa mi tormentava allora. Gantmacher
usava un formalismo aperto alla dipendenza dal tempo ed a trasformazioni
canoniche generali e poi pero' concludeva con un argomento di
conservazione in cui, se non erro, si specializza un risultato che
in potenza e' piu' generale.
Anch'io purtroppo non ho il tempo di rivedere il dettaglio della questione,
ma ricordo di essere ammattito per un poco nel cercare di conciliare
questa storia del fattore di valenza costante con l'idea intuitiva che
ci dovesse essere una trasformazione che conservava la struttura
canonica di equazioni per sistemi lagrangiani con energia non conservata
e che tuttavia ammettesse come costante del moto una hamiltoniana
riscalata.
Andando fuori tema sull'onda dei ricordi ho ritrovato questi
pensieri sparsi. Ve li partecipo cercando, come al tempo,
una qualche sponda.
Ricordo anche che avevo lasciato da parte la questione perche'
trovavo un poco frustrante non riuscire a riportare questa intuizione nel
quadro lagrangiano, ed anche il fatto che il tipo di sistemi dissipativi che
potevo prendere in considerazione erano evidentemente una classe
molto limitata rispetto alle concrete situazioni pensabili. Usando le forze
generalizzate infatti si va fuori dal contesto Lagrangiano ed Hamiltoniano
e mi mancava un analogo delle trasformazioni canoniche per le equazioni
di Routh.
Grazie a Goldstein poi avevo scoperto che i potenziali generalizzati
ammettono una variante dissipativa, ma perche' diamine allora
sono cosi' limitativi? Non tanto da escludere lo studio di una biglia
in moto laminare in aria ma abbastanza da escludere il caso turbolento.
Cominciai a pensare che il problema fosse
nell'ordine di derivate contenute nella lagrangiana. Trovai conferma
a questa intuizione sfogliando il libro di Gelfand Fomin, ma mi
arenai sulla spinosa domanda: perche', allora, nelle equazioni di Newton
entrano solo le derivate seconde? Ma poi non e' mica vero, pensavo che
entrano solo derivate seconde, ovvero se consideriamo sistemi vincolati
con le derivate seconde possiamo trovare anche derivate di ordine superiore,
solo che le derivate di ordine superiore sono effetto dei vincoli, cercando
di
combinare equazioni nel tentativo di fare risaltare condizioni di
compatibilita'
particolarmente semplici che coinvolgessero derivate di ordine superiore
al secondo scoprii che era piu' facile andare in confusione
con equazioni non lineari.
Lasciai da parte la non linearita' che mi sconvolgeva sempre un
poco abituato e com'ero alla linearita' dell'elettromagnetismo.
E cominciai a interrogarmi sulla conservazione dell'energia e sul
significato della dissipazione di energia. Ad un certo
punto arrivo' la teoria dei campi, poi la formulazione lagrangiana
dell'elettromagnetismo, tutto sembrava andare a posto,
e poi il corso di teoria delle probabilita', gli integrali di Ito e
la formulazione di Feynman della dinamica lagrangiana.
A questo punto la protesta interiore era diventata: se la legge
di Gauss dei grandi numeri implica equazioni del secondo ordine
perche' la dinamica turbolenta puo' comportare anche dissipazioni
non lineari? Capivo con l'intuizione che c'era qualcosa che
andava come se andasse a caso e qualcosa che andava in modo
ordinato. Ma fino quando lessi il libro di Ruelle ed incontrai
il principio del min/max cominciai a pensare nuovamente che
casualita' e causalita' non sono questioni categorie del tutto
ovvie. Sul libro di Attle venni a conoscenza delle difficolta' di
ricondurre le equazioni di Navier Stokes ed altre forme non lineari
al formalismo lagrangiano, ma sono equazioni approssimate o
e' il caso lagrangiano che e' un limite di schemi non lagrangiani?
In normale trovai il libro di Prigogine con i suoi interrogativi
profondissimi.Cominciai ad acquisire la consapevolezza che
i sistemi dinamici sono una classe del tutto generale in cui il
caso Hamiltoniano puo' essere pensato come un caso particolare,
emergente da dove e come? D'altra parte alcuni sistemi Hamiltoniani
ammettono teorie efficaci che sono a loro volta Hamiltoniane o quasi
tali su certe scale piu' grandi.
Gianmarco.


 riscalata.



--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

1. premesso che l'integrazione di un sistema di equazioni differenziali
[..]
Che č 'sta roba? ;-)
A che materia l'hai incontrata? I.e. di che ambito si tratta?
Ciao, mi incuriosisce...


--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 Altrimenti e' sempre possibile estendere il controesempio.
Posso forse fare il punto su questa congerie di questioni.
Comincero' riconoscendo un errore: vale la
circostanza che il caso di trasformazioni canoniche dipendenti
dal tempo non rientrerebbe in questa definizione. Ho sbagliato
nel ricalcare la definizione di trasformazioni completamente
canoniche, data da Gallavotti, per il caso dipendente dal tempo.
Quella definizione non si estende immediatamente al caso dipendente
dal tempo per la circostanza che dall'identita' pdq - PdQ - (H-K)dt = df
segue che H e K possono differire per una derivata parziale di f rispetto
al tempo. La definizione che
proponi, invece, e' vincolante per le trasformazioni canoniche nel caso di
trasformazioni di contatto. Ovvero X(x,0) = x . Vediamo come si puo'
ragionare conseguentemente e senza richiedere condizioni aggiuntive
sulla base della definizione detta sopra. Un modo e' quello basato sulla
correzione dell'argomento di Gantmacher. Ha il pregio di essere molto
"visivo" lo svantaggio di non ammettere una formulazione algebrica
altrettanto "conseguente".
Riprendiamo le conclusioni del discorso che avevo scritto in un
altra risposta, a Giorgio, perche' sono corrette,
il teorema dimostrato sul libro di Fasano Marmi permette di concludere,
coerentemente:
 {A,B}_x = a(t) {A,B}_X.
 conseguentemente risulta anche:
(P_k dQ_k -Kdt)= a(t) (p_k dq_k - Hdt) + df
Il ragionamento che facevo per ricavare la prima identita'
e' superfluo, benche' corretto (il fattore a(t) nel lemma invocato
non dipende dalla Hamiltoniana), e' sufficiente ricordare che nella
dimostrazione data da Fasano e Marmi si incorre nell'identita':
J S J^t = a(t) J
dove J e' lo Jacobiano della trasformazione X(x,t) = @X/@x.
 
A questo punto occorre solo osservare che, per ipotesi,
la forma canonica delle equazioni X'=0, corrispondenti
ad una Hamiltoniana della forma H(x,t) = f (t) e' conservata,
ovvero esiste K_0(X,t) in modo che X' = @X/@t = S grad_X K_0
Rifrasando allora il teorema di conservazione dell'elemento
dQ ^ d P per evoluzione temporale indotta da K_0
risulta che a(t) deve essere una costante.
Abbiamo visto con Giorgio, correggendo le osservazioni
di Gantmacher che questa conclusione e' ottenibile in
altro modo.
Il trucco per dimostrare il teorema di cui sopra
consiste nel ricondursi, a partire dalle equazioni
del moto alla forma:
grad_x H = - S J^(-1) S J^t(-1) grad_x (K(X(x,t),t) - K_0(X(x,t),t))
da cui:
J^t S J S grad_x H = grad_x (K(X(x,t),t) - K_0(X(x,t),t))
e quindi applicare il lemma riferito a Giorgilli, et al.:
" se per ogni H risulta che
il rotore della forma differenziale A(x,t) dH, dove A e'
una matrice, si annulla allora A(x,t) = a(t) I "
A questo punto un'osservazione sulla funzione K_0:
Notiamo che dalla identita' :
(P_k dQ_k -K_0 dt)= a (p_k dq_k) + df
segue K_0 (P, Q , t ) = - @f / @ t (Q, q, t) | _(Q,q(Q,P,t), t)
 Ovvero sussiste questo nesso fra la funzione generatrice
e l'Hamiltoniana che corrisponde all'Hamiltoniana nulla, anche
se non e' affatto scontato, mi sembra,
risalire alla forma di f dalla forma di K_0.
Dato che possiamo scegliere arbitrariamente Q(q,p,0) P(q,p,0),
purche' compatibilmente con l'omogeneita' della forma volume.
Rimane invece il fatto che le funzioni generatrici sono uno strumento
estremamente versatile nella costruzione di trasformazioni canoniche,
per quanto, se scelte a caso, possano risultare in funzioni a piu' valori.
Ad esempio:
f(Q,q,t) = (Qqt)^2
