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Titolo: Cubo galleggiante

Salve,
    La condizione di stabilita' e' che la risultante delle forze e delle
coppie sia nulla.
Pertanto il baricentro dev'essere sulla verticale del centro di spinta
(baricentro della
parte immersa) e la distanza tra baricentro e centro di spinta
dev'essere minima
(rispetto a piccole variazioni della posizione).
Fin qui, basta copiare da un testo.
Il problema e' che il cubo non e' affatto costretto a galleggiare con
due facce parallele
alla superficie, come mi ha gentilmente spiegato un cubetto di legno,
rifiutandosi di
stare in quella posizione.
Ho calcolato la posizione di baricentro e centro di spinta per 5 casi
limite.
Difficile spiegarsi senza disegni, comunque provo.
A) 2 facce parallele alla superficie;
B) 2 facce verticali, con due diagonali verticali e due orizzontali;
C) uno spigolo al pelo dell'acqua, un altro della stessa faccia emerso e
piu' in altro;
D) diagonale principale verticale (una piramide emergente);
E) un vertice al pelo dell'acqua, un vertice opposto sulla stessa faccia
alla massima altezza,
i rimanenti due a meta'.
Si tratta di calcolare i volumi dei solidi coinvolti e i loro
baricentri: un esercizio di geometria
non particolarmente difficile.
La (mia) conclusione e' che la distanza minima varia da caso a caso al
variare di d,
secondo
curve differenti. Il minimo dipende da d e quindi il cubo galleggia in
modi diversi a
seconda della densita'.
Per 1> d > 0.78144996 (circa), il cubo ha la massima stabilità
galleggiando nel modo A,
tra questo valore e 0.76357235 (circa), la stabilità è massima
galleggiando nel
modo E, fino a 0.73136657 (circa) la stabilità è massima galleggiando
nel modo C, mentre per valori inferiori è il modo B a prevalere. Il modo
D non e' mai il migliore.
A parte il fatto che non mi sento troppo sicuro dei calcoli di cui
sopra, c'e' il problema
che queste sono 5 posizioni limite: in teoria la minima distanza tra
baricentro e centro
di spinta potrebbe essere raggiunta con una posizione intermedia.
Le differenze di densita' in gioco sono piccole; sono un pessimo
sperimentatore e
non credoche una verifica sperimentale sia alla mia portata.
Calcolare la posizione del baricentro e il volume della parte emersa
come funzione
degli angoli formati dagli assi del cubo con un sistema di riferimento
(asse z verticale)
mi sembra terribilmente complesso.
Esiste una scorciatoia? Possibile che abbia veramente inventato io un
problema tanto
"ovvio"?
Suggerimenti e critiche (anche feroci) sono ben accette.
Mauro Fiorentini
mfior...@etnoteam.it

Salve, ho inventato un banale problemino, col risultato di accorgermi di
non riuscire a
risolverlo.
Pensare che e' un problema di statica!
La domanda e' questa: dato un cubo uniforme di spigolo unitario e
densita' d, che galleggia
in acqua (densita' = 1), di quanto sporge la parte emersa?
(equilibrio stabile, cubo insolubile, tensione superficiale
trascurabile: niente trucchi).
Il quesito vale per 0.5 <= d < 1.
Attenzione, non e' cosi' facile come sembra.
Puo' darsia sia un classico di idraulica, ma non essendo un esperto del
settore non ho idea.
Riporto le mie conclusioni in un messaggio separato per non guastare il
divertimento
chi ci volesse provare.
Ringrazio chi mi mandera' la soluzione o un riferimento bibliografico.
Mauro Fiorentini
mfior...@etnoteam.it

 Attenzione, non e' cosi' facile come sembra.
   Mi sbagliero' ma a me sembra facile, poiche' stiamo parlando di
statica allora dobbiamo studiare la situazione a cubo fermo quindi sia
l'accelerazione sia la forza viscosa sono nulle.
Allora l'equilibrio e' dato dall'uguagliarsi dei moduli del peso del
cubo (che e' rivolto verso il basso) (valore del modulo del peso del
cubo densita' cubo(d)*volume(1)=d) con il peso della parte immersa se
fosse piena d'acqua (spinta di Archimede rivola verso la'lto) (il valore
del modulo della spinta di Archimede e' densita acqua(1)*volume parte
immersa(1-h) dove h rappresenta l'altezza della parte emersa) allora
l'equazione da risolvere e'
d=1-h (ho omesso le dimensioni per semplicita')
quindi h=1-d (per d che va da .5 a 1 h va da .5 a 0)
Saluti
Nicola

Attenzione, non e' cosi' facile come sembra.
Un punto fondamentale e' che il cubo assume la posizione che rende minima la
quota del suo baricentro (cioe' la coordinata verticale del centro del cubo
rispetto al pelo dell'acqua), ovviamente mantenendo costante il volume immerso
che e' pari a d.
Un esame veloce mi suggerisce che:
1 - se d < 0.086 (circa) -> faccia parallela all'acqua
2 - se 0.086 < d < (boh, comunque meno di 0.1666) -> spigolo parallelo
all'acqua
3 - se boh < d < 0.1666  -> angoli opposti sulla stessa verticale
4 - se 0.1666 < d < 0.5  -> ancora non lo so ma per intuizione direi come il
caso 3
Un cubo di polistirolo sembra d'accordo con me sul caso d < 0.086.
Per capire cosa succede con  0.5 < d < 1  basta scambiare acqua e aria (e
ribaltare il sistema) e considerare che la soluzione che per d < 0.5 era la
peggiore (perche' massimizzava la distanza del centro del cubo sopra il pelo
dell'acqua) ora diventa la migliore (perche' massimizza la distanza sotto il
pelo dell'acqua minimizzando cosi' la quota).
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Marco Coletti
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