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Titolo: Principio di Fermat

Nei libri di fisica si trova in genere la seguente formulazione, o una
equivalente, del principio di Fermat:
"Il percorso seguito dalla luce per andare dalla posizione A alla posizione B
e' quello che rende minimo il tempo di percorrenza (O COMUNQUE NE ANNULLLA LA
DERIVATA)"
Quello che vorrei sapere e': qual e' esattamente il significato fisico di
quest'ultima precisazione? Quand'e' che la luce (o un'onda elettromagnetica)
segue ad esempio il percorso che rende massimo il tempo di percorrenza?
Grazie, ciao.
Massi
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Ti farò un esempio: ci sono sulla spiaggia due ragazzi, uno appassionato di
fisica (un poco tracagnotto) ed uno appassionato di educazione fisica
(superfusto ma molto ignorante).
Si trovano ad una distanza di circa 20 m dall'acqua del mare, sulla spiaggia
appunto.
Davanti a loro, distante 20 dalla riva, in acqua, e spostata di circa 100 m
sulla sinistra rispetto alla perpendicolare all'acqua passante per il punto
occupato dai due ragazzi, una bella ragazza comincia a chiedere aiuto perché
ha un crampo e non riesce più a nuotare.
Entrambi i ragazzi cominciano a correre. Il culturista va in linea retta
verso la ragazza (cioè fa meno strada).
Il fisico invece fa materialmente più strada, perché allunga il suo percorso
sulla terra ed accorcia quello nell'acqua, ed alla fine impiega meno tempo e
salva la ragazza con lieto fine, matrimonio e vissero felici e contenti (il
culturista si iscrive a fisica).
Ecco, la luce si comporta così, solo che i suoi "calcoli" sui percorsi sono
molto più accurati.
Feynman, padre di un modo molto elegante e quantistico di descrivere il
fenomento (Feynman, QED, Adelphi) dice che la luce "annusa" tutti i percorsi
possibili (quindi anche quello che passa per l'equatore!) con i suoi fotoni
e poi sceglie quello giusto!
Filippo Filippini

segue ad esempio il percorso che rende massimo il tempo di percorrenza?
Questo principio e' un caso particolare del piu' generale "principio
di minima azione":
Se non conosci il metodo matematico noto come "calcolo delle
variazioni" ti verra' un po' difficile comprendere la questione.
Il principio di minima azione dice che in un sistema in cui H si
conserva e':
DELTA integrale fra t1 e t2 della sommatoria risp. ad i di ( p con i
per q punto con i) in dt = 0
(scusate ma... come si scrive in ascii?????)
DELTA rappresenta una variazione con spostamenti reali del sistema,
cioe' ogni traiettoria variata deve essere una traiettoria possibile
per il sistema.
Dunque se H si conserva, deve conservarsi anche sulle traiettorie
variate e quindi puo' cambiare il tempo di percorrenza e la velocita'
del punto-sistema, purche' H rimanga costante.
Se non ci sono forze esterne, oltre ad H si conserva anche T e quindi
il principio si puo' scrivere come:
DELTA (t2 - t1) = 0
Cioe': il sistema percorre quella traiettoria (fra tutte quelle
possibili) che minimizza il tempo di transito.
Questo perche' (nel caso non relativistico) la sommatoria dentro
l'integrale e' uguale a 2T.
NOTA: t (minuscolo) = tempo, T (maiuscolo) = energia cinetica, H =
hamiltoniana

quest'ultima precisazione?
Posso azzardare:
se la luce va da A a B riflettendosi via C (anziche' direttamente), il
percorso comunque in line retta non corrisponde alla minima percorrenza in
assoluto (che e' il raggio diretto) ma ad un minimo locale (derivata
comunque nulla)
ciao
Renato Croci
Roma - Italy
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 tempo di percorrenza?
Mi sembra che le risposte che hai avuto finora non abbiano risposto alla
domanda.
L'enunciato esatto (moderno) del pr. di F. dice infatti che il tempo e'
*stazionario*, o *estremale*: con cio' s'intende che la variazione del
tempo e' di secondo ordine rispetto allo spostamento del percorso.
Non si dice che sia minimo in generale, perche' non e' vero: e' vero
solo se i due punti estremi sono "abbastanza vicini".
Tu chiedi un esempio: eccolo.
Considera una comune lente convergente. Metti la sorgente di luce A, per
esempio, sull'asse ottico a distanza dalla lente doppia della focale, e
considera il raggio che arriva in un punto B ancora sull'asse ottico, a
distanza maggiore del doppio della focale.
E' ovvio che il raggio in questione percorre l'asse ottico (per
simmetria).
Meno ovvio (bisogna fare qualche conto) e' che il cammino ottico, ossia
il tempo, in questo caso e' *massimo* per quel raggio rispetto alle
altre curve che uniscono A e B.
Altro esempio, non so se piu' semplice o meno semplice.
Superficie sferica riflettente (specchio convesso). Il punto A sia preso
lontano dallo specchio, e lo stesso B (non ho calcolato quanto
lontano...).
Di nuovo il raggio riflesso che unisce A con B ha lunghezza *massima*
rispetto alle altre spezzate ACB, dove C sta sulla superficie.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa

 solo se i due punti estremi sono "abbastanza vicini".
Sei sicuro che sia sufficiente la vicinanza degli estremi per avere
un minimo vero? io non l'ho mai sentito questo (ma potrebbe essere 
ovviamente vero lo stesso :-)).
La "vicinanza" degli estremi assicura che ci sia  un unico percorso
che connette gli estremi che risolve le equazioni considerate
nell'intorno considerato, ma non mi pare che assicuri il fatto
che tale percorso sia anche minimo del tempo. Per vedere se
e' un minimo bisogna studiare la variazione seconda del funzionale
(e a volte non basta nemmeno quella)...
Ciao, Valter Moretti

 Ciao, Valter Moretti
 Invece avevi ragione! Mi sono rivisto un po' di cose di quando
 studiavo meccanica analitica: la teoria dell'iconale comporta 
 che se i due estremi sono sufficientemente vicini, il funzionale 
 tempo e' effettivamente 
 minimizzato dalla traiettoria del raggio luminoso. Basta vedere
 come e' scritta la soluzione della funzione iconale per superfici
 a iconale costante "vicine"...
 In meccanica si ha un fatto analogo con il principio di Maupertuis
 dove pero' il funzionale da stazionarizzare e' qualcosa di piu'
 complicato (NON e' l'azione come spesso si dice erroneamente:
 il principio di "minima" azione e' un'altra cosa!). Si 
 vede che in tal caso, se l'energia cinetica del sistema e' una forma 
 quadratica nelle "q punto" e la forma della 
 lagrangiana e' canonica (E. cinetica- E. potenziale), allora il
 funzionale e' nuovamente MINIMO per la traiettoria effettiva del
 sistema, purche' la configurazione iniziale e finale siano vicine
 a sufficienza. Questa proprieta' di minimo  non si ha in generale
 se l'energia cinetica non e' quadratica. 
 Ricordo che questa analogia ottica/meccanica e' in realta' 
 profondissima ed e' una delle vie piu' belle, a mio parere, per 
 arrivare all'equazione di Schroedinger partendo dalla meccanica 
 classica...
 Ciao a tutti,
 Valter Moretti
 Ciao, Valter

  a iconale costante "vicine"...
Avevo preparato la risposta, ma me l'hai bruciata sul tempo :-))
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