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Titolo: Esiste l'infinito?

Anche se sarebbe un po' filosofico, secondo voi esiste l'infinito? Intendo
dire: l'universo, d'accordo, forse sì. Ma le rette, le semirette, i piani...
(anche se è geometria), secondo voi esistono sul serio? O sono solo quei
concetti primitivi che dobbiamo per forza prendere per veri, giacchè su
nessun libro spiega cosa sia in realtà una retta (se non un elemento
primitivo)? Grazie a tutti coloro che (spero) mi risponderanno.
Alessandra

 primitivo)? 
E questo e' il punto cruciale della questione. 
Da un punto di vista matematico, la geometria continua a *funzionare* 
qualunque *significato* associamo alle parole "punto", "retta", "piano"
etc purche' le loro relazioni formali, cosi' come definite dagli assiomi
continuino a valere. Cosi', ad esempio, possiamo pensare alla familiare
geometria euclidea come il sistema assiomatico-deduttivo corrispondente
agli assiomi di Euclide (incluso il famigerato V postulato sulle
parallele). Un "modello" di questa geometria e' dato dagli "oggetti"
geometrici che abitualmente associamo a punti e rette, per esempio, la
somma degli angoli interni di un triangolo e' 180 gradi. Pero' possiamo
costruire facilmente un modello di geometria non euclidea se associamo a
punto il significato di punto sulla superficie di una sfera e a "retta"
i cerchi massimi sulla stessa. Otteniamo l' esempio piu' semplice di
sistema che soddisfa tutti i postulati di euclide tranne il V (per
esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo e' > 180 !).
Naturalmente e' possibile verificare sperimentalmente se, data una
associazione tra concetti della geometria e enti fisici, siano
verificati opportuni sistemi di assiomi. 
Quello che voglio dire e' che, mentre non ha senso verificare la verita'
di un teorema  se non dal punto di vista logico-formale, HA senso
verificare sperimentalmente se un determinato insieme di enti fisici
(regoli rigidi, raggi luminosi o altro) costituisce un modello per una
geometria o un' altra.
Fatta questa prima distinzione tra *esistenza* in senso fisico ed
*esistenza* matematica, aggiungerei che l' infinito e' comunque un
concetto "difficile".
Dal punto di vista fisico, viene spesso utilizzato solo allo scopo di
semplificare la trattazione matematico-formale.
Dal punto di vista matematico, e' un concetto che ha subito una
lunghissima evoluzione in parte centrata proprio sulla portata e
significato da attribuire alla parola "esistenza".
Se a qualcuno interessa posso recuperare qualche riferimento, ma
probabilmente la discussione a riguardo sarebbe piu' appropriata su it.scienza.matematica.
Ciao 
Giorgio Pastore

no dimostrare il teorema mediante deduzioni logiche.
Cioe', se non ho frainteso completamente cio' che intendi, si possono
costruire infiniti tipi di geometrie, basandosi su assiomi anche del
tutto lontani dall'esperienza sensibile, fermo restando che questi
assiomi vengano rispettati nella costruzione di questa nuova
geometria?
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Don-K-boy/ICQ 47875651

dire: l'universo, d'accordo, forse sě.

 geometria?
Esattamente. Di fatto e' la conclusione a cui e' arrivata la geometria
nel corso del diciannovesimo secolo. Prima Bolyai & Lobatchevski hanno
mostrato che si poteva avere  la geometria anche senza il V postulato di
Euclide. E questo e' stato il salto qualitativo piu' importante perche'
ci si e' svincolati dall' idea che la geometria debba necessariamente
dire qualcosa sul mondo fisico. Poi, con Gauss, Riemann e molti altri la
geometria e' evoluta fino alla "sistemazione" teorica contenuta nel
famoso (stracitato e quasi mai letto) programma di Erlangen di Klein in
cui Klein definisce le geometrie come lo studio  e la classificazione
degli invarianti rispetto a gruppi generali di trasformazioni. 
A quel punto la geometria euclidea e' diventata solo un caso particolare
in cui si prenda come gruppo delle trasformazioni quello delle isometrie
di uno spazio a curvatura nulla. Ma allo stesso modo si puo' parlare di
geometrie molto piu' "astratte" in cui i gruppi di trasformazioni sono
completamente diversi e operano su spazi molto piu' complicati.
Dal punto di vista di un fisico, questo approccio e' stato estremamente
utile perche', da un lato ha permesso di separare la struttura
logico-deduttiva della geometria (problema matematico) dal problema
della verifica sperimentale di quali sono le relazioni geometriche
sperimentali tra enti fisici (problema fisico); dall' altro ha aperto la
strada a tutta una serie di "nuove geometrie" estremamente utili per la
modellizzazione di fenomeni fisici. Giusto per darti un' idea, penso
all' approccio in cui si e' cominciato a considerare come oggetti
geometrici, non solo gli insiemi  di punti dello spazio fisico ma anche
i possibili campi fisici ad essi associati. Le geometrie rilevanti, note
come geometrie degli spazi fibrati, costituiscono il terreno naturale
per discutere molte delle proprieta' fisiche dei campi indipendentemente
dalla scelta dei sistemi di coordinate.
( Per gli addetti ai lavori: non e' preciso al 100% ma penso funzioni
all' ordine 0 )
Ciao
Giorgio Pastore

Darth Vader
ICQ: 6486772 | FidoNet: 2:335/801.79
[Darth.Vader(at)TiscaliNetDOTit]

geometria e' evoluta
Cmq poi, se non sbaglio, la geometria di Riemann ha trovato
applicazione anche nella descrizione del mondo fisico, nella
relativita' di Einstein, giusto? Quindi le geometrie non euclidee (e
la matematica non cantoriana), che per ora sembrano del tutto
astratte, in linea di principio potrebbero trovare applicazione in
seguito. Volevo chiedere: la geometria di Riemann e' un caso isolato
nel campo delle conoscenze matematiche che hanno trovato applicazione
anche in seguito? Se no, quali altri casi ci sono? Ho sentito anche
dire di geometrie che sono state create praticamente dal nulla per
spiegare determinati fenomeni fisici, ma sinceramente mi sembra
un'esagerazione...
Attenzione con i paroloni, che sono solo un liceale :)))
--
Don-K-boy/ICQ 47875651
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 un'esagerazione...
Non e' un' esagerazione. Non sempre i matematici lavorano "a futura
memoria". C'e' stata e c'e' tuttora anche una gran quantita' di
motivazioni fornite dalla fisica alla matematica.
Giorgio Pastore