Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: SL(2,C) ed SO(3,1)+ primo sketch

 costanti di struttura vengono diverse !!!
Ma io non è che questa cosa me la sono inventata. L'equivoco nasce
dal fatto è che è usuale, in fisica teorica, classificare le
rappresentazioni
irriducibili del gruppo di Lorentz in termini delle rappresentazioni
irricucibili
di un altro gruppo: SU(2) X SU(2) per l'appunto, senza dire chiaramente
cosa si sta facendo. Il trucco è di mostrare che
dati i generatori J e K del gruppo di Lorentz, risulta che J+iK e J-iK
formano
due set di operatori che commutano un set con l'altro ed al proprio interno
hanno l'algebra di Lie di su(2). Penso che questa cosa dovrebbe lasciar
perplesso
ogni studioso, perchè l'algebra del gruppo di Lorentz è un'algebra su R,
introducendo l'unità immaginaria di fatto si accede ad un'altra algebra che
non è isomorfa alla prima, come algebra su R. Ma questo dettaglio è lasciato
in disparte, suppongo perchè la costruzione mira a classificare le
rappresentazioni
proiettive su uno spazio di raggi ottenuto a partire da uno spazio di
Hilbert con
l'arbitrarietà della fase. Quindi K ed iK hanno la stessa azione a livello
proiettivo,
ma sono operatori ed algebre distinte. Ad ogni modo fino a che punto è
lecito
adoperare uno spazio proiettivo come spazio delle fasi per un sistema
fisico?
Seguiamo quello che dice il libro di Ryder: egli nota che le regole di
commutazione di K_k = i s_ k, con J_k = s_k, posto che
s indichi le matrici di Pauli, sono esattamente quelle di SO(3,1). E,
conclude: quindi il gruppo di Lorentz è essenzialmente SU(2) x SU(2).
(come cercava di avvisare Filberto) Che significa questa affermazione?
E dunque nota che exp( a^k s_k) con a^k complesso ed s_k matrici di Pauli
ed exp(a*^k s_k) (a*^k == (a^k)* è il complesso coniugato di a^k) sono
due rappresentazioni inequivalenti del gruppo di Lorentz. E da qui poi
si prosegue sulla strada nota della teoria di Dirac. Ad ogni modo che
cosa sta facendo Ryder? Cosa significa che SO(3,1)+ è essenzialmente
SU(2) x SU(2)? Di certo non è lo stesso gruppo, di certo non è nemmeno
isomorfo, e nemmeno SL(2,C) è isomorfo ad SO(3,1)+. Tuttavia un nesso
fra SL(2,C) ed SO(3,1)+ c'è. Qui si applica il
teorema che citavo dal B.C. Hall:
infatti SL(2,C) è semplicemente connesso e la sua algebra di Lie complessa
può essere rivista come algebra di Lie reale isomorfa all'algebra di
Lie reale di SO(3,1)+ quindi esiste un unico omomorfismo di SL(2,C) in
SO(3,1)+
che conserva fedelmente la rappresentazione esponenziale in un intorno
dell'identità
dove valga la formula di Baker, Hausdorf, Campbell.
Partiamo da SL(2,C). Che è un gruppo di Lie con algebra di Lie complessa.
E' un teorema generale che la complessificazione di un algebre di Lie reale
può essere estesa univocamente ad un algebra di Lie complessa. Nel
senso che le combinazioni lineari a coefficienti complessi dei generatori
dell'algebra di Lie, reale, iniziale verificano l'identità di Jacobi, è
facile
riconoscere in particolare che sl(2,C) è un'algebra di Lie complessa
che risulta dalla complessificazione di su(2).
Chiamiamo J_i tre generatori hermitiani anticommutanti di su(2)
ovvero, ad esempio, le tre matrici di Pauli.
Per la cronaca su(2) si chiama una forma reale compatta di sl(2,C). Ovvero
è una sottoalgebra reale, che permette di esprimere tutti gli elementi di
sl(2,C)
come X_1 + i X_2 (X_1 ed X_2 in su(2)), ed è algebra di Lie di un gruppo
compatto semplicemente connesso. L'esistenza di una forma reale compatta
in un algebra complessa permette naturalmente di riconoscere una
struttura di algebra di Lie reale di dimensione doppia. Nella fattispecie
ogni elemento di sl(2,C) può essere espresso univocamente come
una combinazione lineare a coefficienti reali di elementi di su(2) e di
i*su(2).
 
E per ora mi fermo con questo primo sketch. Per arrivare a mostrare che
SL(2,C) è un doppio rivestimento di SO(3,1)+ e per arrivare poi
alle rappresentazioni irriducibili finito dimensionali di SL(2,C) in
termini di quelle di SU(2) x SU(2) mi riservo di studiare la trattazione
di Fulton Harris di SL(2,C) in termini di PSL(2,C) (rappresentazione
proiettiva) e di rileggere quello che dice Weinberg su questo argomento.
Nel frattempo spero che qualcuno che ha le idee più chiare e sintetiche
abbia voglia di scrivere due tre parole al riguardo.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 non è isomorfa alla prima, come algebra su R.
Si, come dico anche io sopra.
Le altre cose le devo pensare ed ora non ho tempo...
Ciao, Valter