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Titolo: inerzia in relatività generale.

Nell'articolo del 1917: Considerazioni cosmologiche sulla relativit�
generale. Einstein introduce una nozione di inerzia che mi lascia
molto perplesso. Un'inerzia che dipenderebbe dalla curvatura. In breve
egli considera le componenti del quadrimpulso nella forma seguente:
p_m = M sqrt(-det(g)) g_{m,n} dx^n/ds
dove M � la massa invariante. Quindi assume, il che � sempre possibile
per una opportuna scelta delle unit� di misura locali, che valga la
convenzione che  sqrt(-det(g)) = 1. Inoltre assume che il campo
gravitazionale sia spazialmente isotropo (ed implicitamente
indipendente dal tempo) e da questo conseguirebbe che la metrica pu�
essere espressa nella forma:
-A(dx^2+dy^2+dz^2)+Bdt^2 = ds^2 = g_{m,n} dx^m dx^n
Dove A e B sono funzioni delle coordinate spazio-temporali medesime.
Quindi, osserva, nel limite di bassa velocit� potendo confondere il
tempo proprio con sqrt(B) dt, risulta che la parte spaziale del
quadrimpulso vale:
M [A/sqrt(B)] dx^i/dt
mentre la parte di energia vale:
M sqrt(B)
A questo punto dice questa cosa strana: dalle espressioni per la
quantit� di moto, segue che M A/sqrt(B) funge da massa di riposo.
Questo � quello che dice Einstein appunto. Ma questa nozione di massa
di riposo evidentemente non coincide con la massa invariante, e non mi
� chiaro affatto quale ne sia il contenuto operativo. Infatti �
evidente che una data porziuncola di spazio tempo tutte le masse
sarebbero modificate dal medesimo fattore, quindi nessun esperimento
in loco potrebbe stabilire un'alterazione della massa rispetto ad un
campione. E d'altronde le geodetiche sarebbero comunque pressoch�
inerziali in questo sistema di coordinate. Per non dire che questa
massa di riposo risulta moltiplicata per un fattore dimensionale.
D'altra parte, in effetti, un raggio di luce che si propaghi verso
regioni in cui la massa di riposo tende a zero avrebbe una velocit�
variabile in accordo a questa scelta di coordinate, data da sqrt(A)/
sqrt(B). Del resto � evidente che con la convenzione adottata il tempo
t che compare nella metrica non � il tempo misurato dagli orologi nel
punto assegnato. Quale � allora l'interpretazione operativa di questa
coordinata t?
Occorre fare attenzione ad una ipotesi implicita adottata da Einstein,
egli infatti pensa ad un universo statico, in tal caso le funzioni A e
B possono dipendere dalle coordinate spaziali, ma non dalla coordinata
temporale t che sar� il tempo universale. Per questa ragione
l'intervallo fra due impulsi che partono con intervallo T sono
ricevuti con il medesimo intervallo di tempo t pari a T quando
arrivano a destinazione, ma in termini del tempo proprio risulta
quindi l'intervallo: sqrt(B) T. Se perci� pensiamo alla propagazione
di un pacchetto luminoso tale che valga, in buona sostanza
l'approssimazione dell'iconale, risulta che l'energia associata al
pacchetto medesimo � cambiata dal valore iniziale per un fattore 1/sqrt
(B). Usando l'energia di questi ipotetici fotoni tutti uguali come
unit� di misura dell'energia otteniamo effettivamente che l'energia
che pu� essere prodotta da un medesimo esperimento chimico in due
luoghi diversi differisce per un fattore sqrt(B) coerentemente a
quanto indicato dalla formula del quadrimpulso adottata da Einstein.
Analogamente se consideriamo con unit� di misura del tempo il periodo
di questi fotoni otteniamo che il medesimo intervallo temporale
misurato dagli orologi collocati nei due punti differisce in termini
di questa unit� di tempo per un fattore sqrt(B).
Per quanto riguarda le unit� di misura delle lunghezze risulta
determinata dalla scelta convenzionale sqrt(-g) = 1. In pratica, in
accordo a questa scelta convenzionale, l'unit� di misura adottata in
due luoghi diversi  differisce del fattore 1/sqrt(A) = 1/(B)^(1/6), se
misurata con i medesimi righelli, in altri termini l'unit� di
lunghezza � scelta in modo che la densit� di energia dei fotoni
rimanga costante (ammesso che valga l'approssimazione dell'iconale) da
un punto all'altro dello spazio, anche a costo di rinunciare alla
invarianza della lunghezza dei righelli trasportati.  Per quanto
riguarda la nomenclatura il sistema di coordinate utilizzato da
Einstein � un sistema di coordinate a sezioni spaziali conformi
euclidee (che non � la stessa cosa che dire sezioni euclidee).
Quindi nel 1917 Einstein aveva in mente questa nozione di inerzia.
Come andrebbe interpretata?

 Come andrebbe interpretata?
Non lo so, ma a quanto ne so il tema dell'interpretazione dell'inerzia �
tuttora un problema bene aperto (anche se non sono minimamente aggiornato
sugli sviluppi recenti).
Ricordo (spero di ricordare bene) che uno dei motivi per cui fu proposta
la teoria scalar-tensoruiale di Brans-Dicke era connesso proprio al
problema dell'inerzia e al fatto che gli autori volevano realizzare una
teoria che fosse realmente conforme al Principio di Mach.
Saluti,
Aleph 
 
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 caso di campi forti?
Non capisco bene cosa vuoi dire, se ti riferisci alla massa invariante
di un punto materiale,
la nozione � "la stessa" che hai in RS proprio per il principio di
equivalenza.
E' la massa misurata nel sistema localmente inerziale in quiete con il
punto materiale.
Se l'oggetto � esteso allora cominciano i guai...
Inoltre tutto questo ha senso se assumi che il "campo gravitazionale"
generato sia trascurabile.
Se ne tieni conto allora devi usare delle nozioni di massa ben pi�
sofisticate che si ricavano dalla mettrica all'infinito spaziale,
come la massa ADM.
In generale, non � affatto evidente che tale nozione corrisponda alla
massa della sorgente, definita come
qualche densit� di massa invariante...gi� la positivit� della massa
ADM � stata un grosso problema
per diverso tempo.
Riguardo alle questioni sollevate da Tetis, mi sembrano un ramo morto
della relativit�, una di quelle
strade seguite da Einstein e poi abbandonate, perch� insostenibili
(come si vede dal fatto che considera
sistemi di coordinate con deg g =1 (mi pare si chiamasse "teoria
unimodulare").
Ciao, Valter

 teoria che fosse realmente conforme al Principio di Mach.
Ricordo Brans-Dicke a proposito di un libro di Barrow che aveva a che
fare con la cabbala fiorita sulla costante di struttura fine, mi pare
che il modello di Brans-Dicke permettesse di fare un gioco semi-serio
il cui risultato si approssimava alla costante di struttura fine,
nientemeno che muovendo da uno dei tantissimi scarabocchi di
Eddington. Ma purtroppo non conosco quasi per nulla la teoria Brans-
Dicke che � poco supportata dalle evidenze e per molti versi � esclusa
per motivi di semplicit�.


 Ciao, Valter

 Di piu' non so dire :-(
Io, certamente, ancor meno sul piano della comprensione del
funzionamento della teoria.
So che sono stati fatti degli sforzi per tentare di superare questa
difficolt� per esempio postulando che il gruppo di simmetria includa
espressamente i campi come soggetti attivi delle trasformazioni ma gli
sviluppi tendono a ribadire a livello pi� sofisticato che lo spazio-
tempo � in qualche misura causa primitiva e non pura relazione se mi
si passan queste parole.
Un professore disse, Silvio Bergia, se non erro: "che si dice spesso
che la relativit� generale � difficile ed � vero, ma non si dice che
il modo in cui Einstein ci arriv� rende le cose molto pi� difficili".
Temo di vedere bene cosa intendesse, senza per� riuscire a rassegnarmi
al fatto che in queste difficolt� non ci sia qualcosa di buono e
qualche prospettiva per una comprensione pi� ampia.

 seriamente l'effetto Lense-Thirring e non posso dire di averlo capito.
Nel frattempo che arriva la pi� articolata risposta che ho inviato
ieri sera ritengo possa giovare un passo tratto da uno scritto di
Carlo Rovelli di qualche anno fa, che trovo molto utile. Il capitolo
in questione sarebbe pi� utile leggerlo tutto e meditarlo. Non tutti i
punti che riporto qui mi sono chiari al 100% e li sottolineo quando �
il caso. Spero che qualcuno che lo conosce o che abbia approfondito
questi punti si trovi a passare da queste parti e possa chiarire. In
caso contrario vedr� di scrivergli. Per il resto penso che comunque la
discussione possa trarne giovamento, conferma la gran parte delle cose
dette da Elio Fabri, chiarisce alcuni punti che fecero penare Einstein
e propone delle direzioni di approfondimento.
Pregiudizi veri e falsi sulla relativit� generale.
1) Le stelle distanti possono influire sui riferimenti locali
inerziali.
Vero. Perch� la materia influisce sul campo gravitazionale.
2) I sistemi localmente inerziali sono completamente determinati dal
contenuto di materia dell'universo.
Falso. Il campo gravitazionale ha dei gradi di libert� indipendenti.
3) La rotazione del sistema di riferimento inerziale dentro un razzo
rotante � in effetti trascinata dal razzo e questo effeto aumenta con
l'aumento della massa del razzo.
Vero. Infatti questo � l'effetto di Lense-Thirring: una massa rotante
tascina il riferimento inerziale nelle sue vicinanze.
4) Nel limite in cui la massa del razzo � grande, il sistema inerziale
all'interno ruota con il razzo.
Dipende: dipende dai dettagli del modo in cui viene effettuato il
limite.
5) Non pu� sussistere una rotazione globale assoluta dell'universo.
Falso: Einstein riteneva fosse vero, ma la soluzione di Goedel � un
controesempio.
6) In assenza di materia non ci sarebbe inerzia.
Falso: ci sono soluzioni di vuoto alle equazioni di campo di Einstein.
7) Non c'� moto assoluto, solo moto relativo rispetto a qualcos'altro,
per questa ragione l'acqua nel razzo non ruota in termini assoluti,
ruota rispetto ad alcune entit� fisiche dinamiche.
Vero. Questa � l'idea base della relativit� generale.
8) Il sistema di riferimento inerziale � completamente determinato dai
campi dinamici nell'universo.
Vero. In fatti questa � esattamente l'idea chiave di Einstein.
Mi sembra che il punto 2) chiarisce e precisa il senso in cui Einstein
scriveva che l'inerzia (leggiamo per un attimo sistemi inerziali)
sarebbe influenzata ma non determinata dalla materia.
Quello che non capisco esattamente � il punto 3) probabilmente per mia
ignoranza rispetto allo stato di avanzamento della conoscenza
dell'effetto di Lense Thirring, ma sono certo che i primi calcoli di
Lense e Thirring non dicono affatto questo. Dicono che in
approssimazione di campo debole dentro un guscio sferico rotante c'�
una forza di Coriolis uniforme che � come se fosse prodotta dalla
rotazione del sistema inerziale interno questo s�, ma dicono anche che
c'� un termine di secondo ordine nella velocit� di rotazione che non
pu� essere identificato con una forza centrifuga di un riferimento
inerziale anzi con una rotazione pu� essere eliminata solo una parte
di questo termine di secondo ordine e solo nei pressi del centro del
guscio, e quando lo si sia eliminato rimarrebbe un termine di
Coriolis. Per la stessa ragione non ho affatto chiaro in quali casi il
punto quattro ha risposta affermativa. Sul punto 5): sono quasi
assolutamente ignorante.
Il punto 6) era esattamente il centro problematico dell'articolo di
Einstein del 1917.
Sul punto 7) ed 8) la questione centrale oggetto delle difficolt�
discusse da Einstein nel 1917 � che: anche se non c'�, nella
relativit� generale una identificazione assoluta dello spazio tempo,
ma solamente una identificazione dinamica di eventi connessi da linee
d'universo esplorabili in modo deterministico, tuttavia lo spazio
tempo della relativit� generale, per via dei gradi di libert�
intrinseci al campo gravitazionale, non � puramente relazionale nel
modo  che  Einstein aveva forse solo vagheggiato(*), nel senso che la
specificazione dello stato di moto della materia continua ad avere
bisogno di una  specificazione di alcuni gradi di libert�, non
vincolabili alla materia,  che appartengono al campo gravitazionale.
Rispetto a Newton il progresso consiste in questo: spazio-tempo e
materia, pur rimanendo distinti, non sono pi� indipendenti. La nozione
assoluta di spazio tempo � indebolita dalla covarianza generale o, se
risulta pi� chiaro, dal fatto che la teoria � invariante per
trasformazioni continue e differenziabili. Questa invarianza significa
che la possibilit� di scegliere arbitrariamente un sistema di
coordinate non � una mera questione nominale, ma definisce una
equivalenza genuina fra situazioni che prima di Einstein erano
considerate affatto distinguibili. Detto questo occorre precisare che
esistono degli invarianti rispetto all'azione dei diffeomeomorfismi.
(*) "nella meccanica classica vi � un innato difetto epistemologico,
