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Titolo: Il paradosso dei gemelli

Dico la mia a proposito.
Intanto, per quanto ne so, il supposto paradosso e' gia' stato verificato
sperimentalmente (certo uno puo' sempre immaginare che gli esperimenti
siano stati fatti male, il dubbio non va mai male, ....).
Se crediamo nella validita' della prova sperimentale, dal punto di vista
speculativo non si pone il problema se sia corretto o no quanto affermato
dal famoso paradosso, ma solo di capire dove sbaglia chi afferma
che il paradosso dei gemelli e' veramente paradossale.
Il punto centrale e' che in un sistema di riferimento accelerato
lo spazio-tempo si deforma e si deve essere cauti nel trarre conclusioni.
Si puo' dire che la accelerazione non c'entra niente ma prima bisogna
sapere come si deforma lo spazio-tempo e poi, eventualmente, concludere
che la accelerazione non c'entra. In un sistema di riferimento (quello
accelerato) lo spazio-tempo si deforma, nell'altro no.
Qui e', mi sembra, l'origine della asimmetria.
Poiche' non ne so niente di relativita' generale e poco di sistemi
accelerati (ma abbastanza da capire che essi vanno trattati con le molle)
ho pensato alla seguente dimostrazione che fa uso solo di relativita'
ristretta (trasformazioni di Lorentz fra sistemi in moto relativo uniforme).
Le accelerazioni necessarie le considero tutte istantanee (ovviamente
"localmente" istantanee).
G e G' si trovano nella posizione x=0, x'=0 nell'istante t=0, t'=0.
Sono entrambi fermi. Prima che G' si metta in viaggio i due concordano
che emetteranno segnali luminosi (l'uno verso l'altro) ad una fissata
frequenza che chiameremo omega.
E' chiaro che se alla fine del viaggio i due avranno inviato un numero di
segnali diverso allora il tempo non sara' trascorso in eguale quantita'
per i due.
Precedentemente i due erano andati nella posizione x=d e avevano
dato ordine a M (che rimarra' fermo in tale posizione) di dare a G' un
impulso tale da fargi invertire la sua velocita' quando (all'istante in cui
M vedra' il suo orologio segnare t=d/v) G' passera' da lui.
G' parte.
G vede G' andare alla velocita' v; G' vede G andare alla velocita' -v.
Siano beta=v/c e gamma=1/((1-beta^2)^.5).
Per effetto dello shift doppler G vedra' il segnale che arriva da G' alla
frequenza omeg1=gamma*(1-beta)*omega;
per lo stesso motivo G' vede il segnale che arriva da G alla frequenza
omeg1'=gamma*(1-beta)*omega.
Quando l'orologio di G' segna le t'=d/(v*gamma) G' incontra M
(che aveva visto finora avvicinarsi alla velocita' -v; G si allontanava e
M si avvicinava) che gli da' un colpo il cui effetto e' che G' vedra',
da ora in poi, G avvicinarsi alla velocita' v (non piu' allontanarsi a
velocita' -v) e M allontanarsi alla velocita' v.
Da ora in poi G' vedra' i segnali provenienti da G alla frequenza
omeg2'=gamma*(1+beta)*omega (sempre per lo shift Doppler),
ma anche G vedra' i segnali provenienti da G' alla stessa frequenza
omeg2=gamma*(1+beta)*omega.
Sembra tutto simmetrico e che quindi non si possa arrivare alla
conclusione che un gemello alla fine sara' piu' vecchio.
Invece non e' cosi'.
G' arriva da M all'istante t1'=d/(v*gamma), poi tornera' indietro
per percorrere la stessa strada a velocita' uguale (e cambiata di segno).
Naturalmente a  G' sembra di "essere arrivato troppo presto", per
percorrere una distanza d credeva di dover impiegare un intervallo
di tempo pari a d/v, ma il sistema di S ha contratto le lunghezze e
cosi' si e' trovato da M in "anticipo". A G' sembra anche strano il fatto
che l'orologio di M segni le ore d/v; nello stesso istante (t1'=d/(v*gamma))
G' vede l'orologio di G segnare le ore d/(v*gamma^2) (G' vede l'orologio
di G andare piu' lento di un fattore gamma, come noto); questo non
significa che G' vede l'orologio di M scorrere piu' velocemente del suo,
lo vede scorrere piu' lentamente di un fattore gamma (come l'orologio
di G), solo che e' "messo male", "va avanti e scorre lentamente";
a G' sembra che gli orologi del sistema di riferimento fermo, quello
di G e di M, siano stati sincronizzati male.
Il viaggio di ritorno (essendo uguale a quello di andata) si concludera'
all'istante t2'=2*t1'=2*d/(v*gamma).
A questo punto la "frittata" e' fatta. Alla fine del viaggio G' avra' emesso
un numero di segnali pari a N=omega*t2'=2*d*omega/(v*gamma) e
avra' ricevuto da G un numero di segnali pari a
N'=omeg1'(t1'-0)+omeg2'(t2'-t1')=
[gamma*(1-beta)*omega]*d/(v*gamma)+[gamma*(1+beta)*omega]*d/(v*gamma)=
2*d*omega/v.
Come si vede il numero di segnali ricevuti da G' (emessi da G)
e' superiore rispetto a quelli ricevuti da G (emessi da G') per un fattore
gamma: N'=N*gamma.
Cioe' G e' piu' vecchio perche' ha emesso piu' segnali.
Analizziamo cosa vede G.
G riceve segnali da G' a partire dall'istante iniziale t=0 fino all'istante
in cui non ricevera' il segnale che e' partito quando G' era nella posizione
x=d; in quell'istante M (che ha l'orologio sincronizzato con G) segnava
le t=d/v; poiche' i segnali viaggiano a velocita' c, tale segnale arrivera'
da G all'istante t1=d/v+d/c. Nell'istante in cui terminera' il viaggio di G'
l'orologio di G segnera' le ore t2=2*d/v (G' percorre in totale, fra andata
e ritorno, una distanza 2*d viaggiando alla velocita' v).
Quindi alla fine del viaggio G avra' emesso un numero di segnali pari
a N'=omega*t2=2*d*omega/v e avra' ricevuto da G' un numero di segnali
pari a N=omeg1(t1-0)+omeg2(t2-t1)=
[gamma*(1-beta)*omega]*(d/v+d/c)+[gamma*(1+beta)*omega]*(d/v-d/c)=
2*d*omega/(v*gamma).
Cioe' anche G (ovviamente) e' daccordo con G' sul numero di segnali
emessi in totale da entrambi (ed e' quindi d'accordo nel sostenere
che egli e' piu' vecchio).
L'errore che compie chi considera simmetrica la faccenda sta nel
confondere gli orologi di M e di G. Il problema non e' simmetrico
perche' la accelerazione avviene nell'istante in cui G' e' a meta'
del suo viaggio e il suo orologio segna effetivamente la meta'
di quanto segnera' alla fine (e l'orologio di M segna la meta' di
quanto segnera' alla fine l'orologio di G) ma tale cambiamento
avra' effetti su G quando il suo orologio segnera' piu' della meta'
di quanto segnera' alla fine.
G' vede arrivare il filmato della vita di G per meta' del tempo
(del tempo totale che, secondo lui, e' stato necessario per il viaggio)
alla frequenza lenta omeg1'=gamma*(1-beta)*omega=omeg1
e per l'altra meta' del tempo alla frequenza veloce
omeg2'=gamma*(1+beta)*omega=omeg2.
Invece G vede arrivare il filmato della vita di G' per piu'
della meta' del tempo alla frequenza lenta e per meno
della meta' del tempo alla frequenza veloce. Inevitabilmente
G avra' osservato una pellicola piu' breve di quella osservata da G'.
Mi scuso per la lunghezza.
Con un po' di diagrammi spazio-tempo tutto sarebbe piu' facile
da esporre.
--
Bruno Cocciaro
email:nospamb....@leonet.it
      togliere "nospam" per avere il
corretto indirizzo.
-------------------------------------------------------------------------
Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
Li spingemmo oltre il bordo. E volarono.
---------------------------------------------     (G. Apollinaire)

cosi' si e' trovato da M in "anticipo".
Quindi, penso di non interpretare male il tuo pensiero riassumendo così:
nel momento dell'impulso acceleratore le distanze prima misurate in quiete
si dimezzano ed ecco perché G' pensa di essere arrivato troppo presto, in
realtà è
il suo tempo ad essere stato rallentato.
Egli penserà di aver viaggiato a "2c" mentre nella realtà è passato più
tempo.
Sono d'accordo con te e penso che raffiguri il pensiero di Einstein.
Se un osservatore abbastanza lontano e sulla perpendicolare del segmento x-d
avesse osservato la scena avrebbe visto G' muoversi a velocità "c" andata e
ritorno
ed emettere segnali a frequenza dimezzata.
Rimane un problema : noi vediamo nel cosmo innumerevoli galassie
allontanarsi da noi a velocità relativistica.
Col tuo ragionamento, i miliardi di anni trascorsi per noi dal Big-Bang, per
loro sono stati pochi milioni.
Se sia noi che loro avessimo un orologio che sta misurando il tempo
trascorso dal
Big-Bang e decidessimo di confrontarli incontrandoci a mezza strada, cosa
pensi che
indicherebbero i due orologi?
Io penso, per questioni di simmetria dell'universo, che indicherebbero lo
stesso tempo,
ma col tuo ragionamento il loro dovrebbe essere enormemente più indietro.
Se fosse vero quel che sostieni, noi ci troveremmo in un sistema di
riferimento privilegiato, l'unico fermo in tutto il cosmo, e l'unico per il
quale il tempo scorre alla velocità propria.


A mio parere l'asimmetria consiste solamente in un'accelerazione del
moto interno dell'orologio a causa delle accelerazioni a cui lo
strumento e' stato sottoposto; dall'esperimento mi pare si possa
trarre solamente la conclusione che l'orologio sottoposto ad
accelerazione non e' piu' sincronizzato con l'orologio campione
mediante il quale e' stata eseguita la taratura iniziale.
Si rileva quindi una perturbazione del moto interno dell'orologio
quando questo venga accelerato, la cui magnitudo dipende
esclusivamente dal tipo di orologio (un pendolo od un orologio al
quarzo ridentiranno in modo molto diverso fra di loro...).
Mi pare persino ovvio e non un paradosso il fatto che il moto uniforme
che si svolge all'interno dell'orologio e che ne caratterizza il
funzionamento, risulti perturbato quando l'orologio stesso venga
accelerato.
Claudio Pipitone
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Caro Claudio,
mi sembra che tu abbia troppa poca fiducia nei confronti degli
sperimentatori. E' chiaro che avranno preso tutte le precauzioni del
caso per escludere o ridurre al minimo gli effetti delle accelerazioni
sugli orologi. (Tipo non prendere orologi a pendolo :-))
Non è difficile pensare a dei modi per aggirare le tue obiezioni, tipo
portare due aerei alla stessa velocità con le medesime accelerazioni,
fermare dopo un certo tempo uno dei due, e dopo un certo intervallo di
tempo fermare il secondo sottoponendolo alle stesse accelerazioni del
primo. A questo punto la differenza di tempo misurata non potrebbe
essere imputata alle accelerazioni, a meno che tu non voglia mettere in
dubbio l'invarianza per traslazioni temporali della fisica.
In ogni caso, ci sono tantissime altre conferme della "dilatazione dei
tempi" (oltre che prove teoriche indiscutibili una volta ammesse le
premesse di principio di relatività e costanza della velocità della
luce).
Basti pensare ai mesoni prodotti dai raggi cosmici, che se non fosse per
questo effetto relativistico, non "farebbero in tempo" ad arrivare
"vivi" al suolo, cosa che invece fanno regolarmente. (Beati loro.)
Ciao,
Frengo. 


Claudio Pipitone
Ciao.



Non conosco questi esperimenti; ma non vorrei che fossero anch'essi
viziati dal momento che molto ci sarebbe da dire anche sui moti
ondulatori e sull'apparente spostamento longitudinale delle onde
trasversali (tutte quelle elettromagnetiche, per intenderci...).
Ancora di piu' ci sarebbe da dire sulla liceita' di attribuire energia
cinetica ai fotoni intesi come pacchetto d'onda, dal momento che
l'unico moto reale presente un pacchetto d'onda e' quello relativo ai
suoi cinematismi trasversali ed moto longitudinale del pacchetto
d'onda lungo la direzione di propagazione dell'onda stessa, resta ed
e' esclusivamente apparente e non reale.
Puo' quindi un fotone, considerato onda (e non pallina..., per
intenderci), considerarsi portatore di energia cinetica lungo la
direzione della propagazione dell'onda, essendo questo un moto
apparente e non reale?
E' lecito, secondo te, utilizzare il principio della conservazione
dell'energia:
	E = p*c			(1)
	E = h*f			(2)
              E = p*c = h*f		(3)
da cui concludere che
              p = h*f/c		(4)
Non vorrei qui innescare di nuovo il putiferio che a suo tempo si era
scatenato su it.scienza; ho gia' preso atto a suo tempo che la (4) e'
ritenuta lecita da molti ma, personalmente, continuo a non essere
convinto che si possa trasferire in energia cinetica longitudinale,
cioe' lungo la direzione di propagazione dell'onda, il moto apparente
dell'onda stessa e far cosi' esprimere dalla (1) un'energia cinetica
apparente...
A me pare questa una contraddizione nei termini!
L'energia cinetica contenuta genericamente in un'onda (energia
concreta e non apparente) si deve esprimere correttamente, secondo me,
*esclusivamente* mediante la (2), espressione dell'energia cinetica
prodotta dall'onda con il suo specifico moto trasversale alla
direzione della sua propagazione apparente e conseguentemente la (3) e
la (4) sono false, perche' affinche' venga conservata l'energia
cinetica di un moto concreto e reale quale quello trasversale alla
direzione della propagazione dell'onda, occorre che il moto stesso si
mantenga concreto e reale sotto una forma diversa eventualmente
esprimibile attraverso la (1), mentre il moto longitudinale dell'onda
(e dei pacchetti d'onda) lungo la direzione della sua propagazione,
non essendo un moto reale e concreto, rende inapplicabile la (1) che
presupporrebbe l'esistenza di una enegia cinetica prodotta da un moto
reale e concreto nella direzione della propagazione dell'onda e quindi
anche la (3) e la (4) sono false.
Mi scuso per essermi dilungato un po'; spero che i moderatori non
ritengano prolisse e noiose le mie argomentazioni.
Ciao.



Caro Bruno,
non ho nulla da obiettare a quanto tu hai osservato; sostanzialmente
concordiamo entrambi nel pretendere di vederci chiaro!
Anche detto brutalmente come hai fatto tu (gli orologi si sfasciano)
effettivamente a me pare sia proprio cosi', salvo usare orologi di
particolare robustezza e mi pare strano che non si debba concordare
unanimamente, anche in teoria, su un inevitabile, prevedibile teorico
sfasamento degli orologi sottoposti ad accelerazioni, sfasamento piu'
evidente o meno a seconda della robustezza degli orologi stessi in
relazione alle forze esterne applicate.
Come possiamo pretendere, anche solo prendendo in considerazione
l'aspetto esclusivamente teorico del problema, che neppure una
piccolissima frazione dell'accelerazione esterna applicata
all'orologio non si trasmetta al movimento interno dell'orologio
stesso?
Chi puo' escludere cio' in teoria, anche a prescindere dall'evidenza
sperimentale?
Non penso occorra essere dei professori di meccanica razionale o di
dinamica, per rendersi conto che la teoria della fisica prevede che
*sicuramente* una frazione dell'accelerazione esterna non potra' fare
a meno di trasmettersi al moto interno dell'orologio e che quindi la
sfasatura obbligatoriamente *debba* prodursi, coerentemente con la
teoria fisica della dinamica e delle leggi fisiche che governano
l'azione delle forze che generano i moti...
Ora la mia domanda e': la sfasatura e' dovuta esclusivamente alla
ripercussione dinamica interna, certamente esistente, delle forze
esterne, oppure possiamo *dimostrare* che la sfasatura e' *anche*
l'effetto di una concreta e reale contrazione di una grandezza fisica,
anch'essa reale e concreta, esattamente, univocamente ed
inequivocabilmente identificabile nella dimensione temporale?
Questo e' il punto sul quale, comunque, mi pare entrambi concordiamo;
con la differenza che tu sei molto piu' fiducioso di me sull'effettiva
dimostrabilita' che la sfasatura sia esclusivamente l'esatta
conseguenza della contrazione della dimensione fisica temporale
(sempreche' esista concretamente tale supposta dimensione fisica)
mentre io, in attesa di leggere da qualche parte l'esatta
dimostrazione che la sfasatura sia inequivocabilmente imputabile alla
contrazione del tempo in quanto dimensione fisica reale e concreta,
rimango molto piu' scettico di te.
P.S.
Anch'io come te ho la mentalita' dello sperimentatore, in un campo
tecnico pero' ove la fisica relativistica, per adesso, non e' molto
influente (sono perito ed esperto nel settore informatico ed abilitato
a svolgere perizie tecniche in tale settore...).
Puo' anche essere che il mio scetticismo al limite della pignoleria
sia una mia piccola deformazione professionale, dal momento che il
perito che si accinge ad esaminare un evento da sottoporre a perizia
tecnica deve, per principio e per dovere d'ufficio, dubitare di tutto
e di tutti a priori, ma ti garantisco che in questo caso non sono
assolutamente di parte, neppure "pro domo mia" dal momento che nel
campo specifico della fisica non ho nessun orticello da coltivare ne'
interessi di bottega da difendere; poiche' la fisica e' solamente uno
dei miei migliori hobby, l'unico mio desiderio e' ottenere chiarezza
per mia intima soddisfazione, che sarebbe identica anche nel caso mi
rendessi conto che il mio scetticismo era eccessivo.
Sto quindi attendendo (esattamente come presumo anche tu lo sia) di
leggere informazioni sufficientemente motivate e circostanziate da
sgombrare ogni possibile dubbio o scetticismo.


apparente e non reale?
No!
Ciao, Mauro.


Quale e' allora il motivo, secondo te, per il quale e' stato applicato
il principio della conservazione dell'energia cinetica in questo modo?
Quando si parla di energia cinetica non mi pare possibile prescindere
dall'esistenza di un moto reale e concreto...
E tale reale e concreto moto nella direzione longitudinale di
propagazione dell'onda, cioe' nel caso specifico dell'onda luminosa ed
elettromagnetica, non esiste affatto!
Molti invece sostengono che:
	E^2 = M0^2 c^4 + p^2 c^2             (1)
dove p e' l'impulso della particella.
Per partcelle con massa a riposo diversa da zero si ha:
	p = M0 v / sqrt(1 - v^2/c^2)           (2)
Sostituendo questa espressione nella (1) si ottiene dopo pochi ed
elementari passaggi:
	E^2 = M0^2 c^4 / (1 - v^2/c^2)       ossia
	E   = M0^ c^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)
Poiche' secondo i fautori di questa tesi, questa espressione e' valida
solo per particelle massive, fer i fotoni si ha M0 = 0 ed in questo
caso la formula (1) fornisce il valore corretto(?):
	E^2 = p^2 c^2    ossia    E = p c
per cui, venendo al dunque, essi sostengono che:
	E = p*c			
	E = h*f
ove f=frequenza			
              E = p*c = h*f		
da cui concludono che:
              p = h*f/c	
Non sono queste delle errate conclusioni?
