Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: congettura di Poincare'

Salve a tutti,
ho sentito che recentemente e' stata dimostrata (dal solito russo?) una
congettura di geometria differenziale formulata da Poincare' che
riguarda la sfera usando argomenti di teoria conforme: qualcuno di voi
sa dirmi di piu' e meglio al riguardo?
In particolare qual e' (anzi era) la congettura(-teorema)?
E se questi argomenti di teoria conforme hanno a che fare con la
fisica?
Grazie e saluti.

 In particolare qual e' (anzi era) la congettura(-teorema)?
Perchè "dal solito russo"? :-)
Comunque è vero, si tratta della congettura di Poincaré (che forse ora
verrà chiamata "teorema di Perelman"): ogni varietà tridimensionale
compatta e semplicemente connessa è omeomorfa a una sfera. Non mi
risulta però che c'entri la teoria conforme (anche perchè si lavora su
R, non su C...), casomai la geometria Riemanniana.
Per saperne di più: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Poincare_conjecture
Da notare che in realtà Perelman ha dimostrato un risultato più generale
(e IMHO ancora più bello), la congettura di Thurston
(
http://en.wikipedia.org/wiki/Thurston%27s_geometrization_conjecture
)
di cui la cong. di Poincaré è "solo" un corollario.
Quanto alle possibili applicazioni fisiche, così su due piedi mi viene
in mente la relatività generale (le varietà tridimensionali mi fanno
pensare a sezioni dello spazio-tempo a t costante...)
-- 
ws

argo ha scritto:

http://it.wikipedia.org/wiki/Congettura_di_Poincar%C3%A9#Motivazione_ed_enunciato_della_congettura

 pensare a sezioni dello spazio-tempo a t costante...)
E in matematica invece ha un certo impatto, ha delle conseguenze
interessanti?
Grazie, saluti.

 interessanti?
E' certamente importante di per sè: i matematici vivono per classificare
e la congettura di Thurston è un risultato molto forte in questo senso,
perchè ci dice che una qualunque varietà tridimensionale (chiusa) può
ammettere al più un numero finito (precisamente 8) di geometrie diverse.
Quanto alle possibili conseguenze, time will tell...
-- 
ws

 umano come "ispirato dalla teoria delle stringhe"...
In realta' e' il modello sigma nonlineare che ha, per qualunque numero di
componenti e per D=2 (che assicura la rinormalizzabilita', in relta' il
modello e' rinormalizzabile in D=2+epsilon), una funzione beta
proporzionale al tensore di Ricci (al primo ordine, imponendo epsilon=0)
da cui l'equazione del flusso di Riemann che e' un'equazione del gruppo di
rinormalizzazione. Il relativo calcolo e' dovuto a Friedan nel 1980 circa
(pubblicato su Annals of Physics ma si trova in formato PDF tramite lo
SPIRES). 
L'idea di usare i flussi di Riemann non e' di Perelman ma di Hamilton, un
matematico americano.
In teoria delle stringhe si impone l'invarianza conforme annullando
l'evoluzione del flusso di Riemann e ottenendo cosi' le equazioni di
Einstein. Questo perche' l'invarianza conforme garantisce poi
l'unitarieta' e la conservazione della probabilita' nei calcoli di
scattering necessarie se si vuole fare teoria dei campi quantizzati
standard. Questo ha la controindicazione che la teoria e' consistente solo
se le equazioni di Einstein che cosi' si ottengono hanno dimensione d=26,
detta anche dimensione critica. Inoltre nella teoria e' presente
un'eccitazione tachionica e dunque lo stato fondamentale appare instabile.
Questa e' in soldoni la teoria della stringa bosonica. 
Dunque modello sigma nonlineare e teoria delle stringhe sono collegati per
d=26 assumendo l'invarianza conforme a tutti gli ordini dello sviluppo
perturbativo.
Resta comunque affascinante, anche se il rpbolema appare ancora aperta,
questa relazione tra un modello in due dimensione e le equazioni di
Einstein che cosi si ottengono anche nelle 4 dimensione canoniche.
Piero
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it