Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Problema con radiazione di multipoli

Sono alle prese da qualche giorno con un problema che non so risolvere.
Riguarda lo sviluppo in multipoli della radiazione di un sistema di
cariche e correnti, e pi� precisamente la dipendenza dall'origine
scelta per il calcolo dei multipoli.
 
Partiamo dall'inizio.
Il termine di ordine pi� basso � quello di dipolo elettrico.
Si sa che il momento di dipolo el. dipende dall'origine scelta, a meno
che la carica totale non sia nulla.
Per� qui non c'� problema, perch� la dipendenza dall'origine � prop.
alla carica totale, che anche se non � nulla � costante, per cui non
contribuisce al campo di radiazione che dipende dalla derivata seconda
rispetto al tempo del momento di dipolo.
 
Se per� passiamo al quadrupolo nascono i guai...
Il momento di quadrupolo dipende dall'origine attraverso un termine
prop. alla carica, e questo non disturba. Ma c'� anche un termine
prop. al momento di dipolo; e a meno che questo non sia nullo per suo
conto, non si annullerano in generale neppure le sue derivate rispetto
al tempo.
Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
dell'origine, il che appare assurdo.
 
Problema analogo si presenta anche per il dipolo magnetico.
Avevo anzi sospettato che i due etfetti, per quadrupolo e per dipolo
magnetico, potessero compensarsi, ma non pare che sia cos�, e d'altra
parte si tratta di armoniche sferiche vettoriali diverse: quindi come
potrebbe esserci compensazione?
 
 
-- 
Elio Fabri
 
From

 potrebbe esserci compensazione?
 
Non sono sicuro però che si possa trascurare l'effetto sui potenziali 
vettoriali (che dipendono dai momenti magnetici) ai fini del calcolo 
corretto del campo elettrico e viceversa, cambiando il centro dello 
sviluppo del potenziale elettrico... il vincolo di gauge come si 
trascrive-trasforma? Cioè è vero che al livello dei quadrupoli 
magnetici e dei quadrupoli elettrici non c'è relazione diretta, ma fra 
momenti di multipolo di ordine differente, dei due tipi non mi sento di 
escludere dei vincoli.
 

 dell'origine, il che appare assurdo.
 
Non mi sembra poi tanto assurdo. Pensa al caso piu' semplice possibile, 
carica singola ferma. Quando ne calcoli il campo in un punto R con lo 
sviluppo in multipoli, in sostanza calcoli una serie di Taylor *nel 
dintorno del caso* in cui la carica sarebbe all'origine. Se cambi 
l'origine, cambia il valore iniziale e tutte le derivate, ma la serie 
converge egualmente. Pero' i suoi termini non restano mica eguali! A 
grandi distanze puoi troncare la serie dopo il primo termine non nullo 
perche' tutti gli altri sono infinitesimi di ordine superiore in 1/R, ma 
a distanze dall'origine appena superiori alla distanza della carica 
dall'origine no, per trovare il valore esatto devi considerare anche i 
termini seguenti; cambiando l'origine, la variazione del termine di 
quadrupolo va in parte a compensare le variazioni dei termini di 
monopolo e dipolo, in parte e' compensata dalla variazione dei termini 
di multipolo successivi.
 
Nel caso che consideri, in cui le variazioni nel tempo dei primi due 
termini sono nulle, a breve distanza la variazione della variazione nel 
tempo del primo termine non nullo, quello di quadrupolo, e' compensato 
dalla variazione della variazione nel tempo di tutti i termini 
successivi. Poi, a distanze "grandi", tutto torna a posto anche 
troncando al primo termine non nullo.
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 Elio Fabri
 
Omega 

 ...
E' passato un tempo incredibilmente lungo dalle vostre risposte, ma
non dovete credere n� che le abbia snobbate n� che abbia abbandonato
il problema.
Per� ora non vi rispondo; dico solo che ho la sensazione che non
abbiate colto la vera natura del problema, che non ha niente a che
fare coi multipoli statici.
Oppure non ho capito io quello che avete scritto...
 
Nel frattempo mi sono messo a calcolare l'espressione *esatta* dela
potenza irraggiata da un osc. armonico lineare, senza nessuna
approssimazione.
Lo scopo � di confrontarla coi vari termini di multipolo, che in
questo caso sono solo elettrici, anche se riferisco l'oscillatore a un
origine che non sia il centro dell'oscillazione, purch� allineat con
questa.
Ci sto mettendo un po' perch� purtroppo ora faccio frequenti errori
nei calcoli, e quindi debbo ricontrollare tutto, se possibile trovando
pi� strade per arrivare allo stesso risultato. E cos� il tempo passa
:-(
 
 
-- 
Elio Fabri
 
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
di un altro ancora ... quanti orologi! Come se l� il tempo fosse una
realt� molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.

 questa.
Il calcolo l'avrei finito, ma sono nei guai peggio di prima.
 
Descrizione: una carica q si muove di moto armonico, con legge
x = A cos(wt).
Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1.
Pongo b = Aw/c (� la velocit� massima).
 
Per la potenza media irraggiata parto dalla potenza istantanea
 
W = (Z0 q^2) /(6 pi c^2) g^6 a^2  (1)
 
([14.26] di Jackson, semplificata perch� velocit� e accel. sono
parallele).
Qui a � l'accelerazione istantanea, g � il solito gamma.
 
Medio la (1) su un periodo, e ottengo (salvo errori!)
 
Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) b^2 (1 - 3 b^2/4) (1 - b^2)^{-3/2}).
 
Ora i successivi multipoli dovrebbero coincidere coi termini dello
sviluppo in serie di b^2:
 
Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) (b^2 + (3/4) b^4 + ...
 
Il primo termine mi torna con la formula della potenza irraggiata da
un dipolo, ma il secondo non torna col quadrupolo :-(
 
Any idea?


 Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1.
 
Questa non l'ho capita: o hai normalizzato tante grandezze oppure volevi 
scrivere Aw < c
 
-- 
 
Franco
 
Wovon man nicht sprechen kann, dar�ber mu� man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 Pongo b = Aw/c (è la velocità massima).
La riscrivo:
 
Non faccio nessuna ipotesi su A e w, a parte assumere Aw < c.
Aw è infatti la velocità massima. Per brevità pongo b = Aw/c.
 
Ma sulla sostanza del problema non mi dici niente? :)
 
 
-- 
Elio Fabri
 
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
di un altro ancora ... quanti orologi! Come se lì il tempo fosse una
realtà molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.

 Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1
 
Aw < 1? Hmmm, dimensionalmente non quadra.

 Any idea?
 
Solo un dubbio, spero di non aggiungerlo inutilmente a quelli che 
certamente hai già elaborato autonomamente.
 
Quando Jackson calcola la potenza irradiata osserva preliminarmente che 
il campo elettrico consta di due parti: una è la parte di 
accelerazione, l'altra la parte di velocità. Nota che la parte di 
velocità va come 1/R^2 mentre la parte di accelerazione va come 1/R e 
di conseguenza tiene solo il secondo termine.
 
Notare che R è la distanza dalla sorgente (non dal centro di sviluppo).
 
In realtà la separazione fra il termine velocità ed il termine 
accelerazione è che io sappia in parte arbitraria, se ai fini del 
calcolo della potenza di dipolo non importa conoscere la parte di 
velocità, tuttavia il campo elettrico di velocità ed il campo magnetico 
di radiazione risultano ortogonali e quindi contribuiscono ad un 
termine 1/R^3 nel vettore di Poynting.
 
Del resto in che modo i campi di multipolo, avendo un andamento 
decrescente più veloce di 1/R contribuiscono al flusso di radiazione se 
non in termini di energia reattiva? (cioè il flusso netto asintotico 
dovrebbe venire solo dai termini di dipolo se non erro, perché solo 
quella parte di flusso rimane costante al variare della distanza) 
quindi la grandezza che stai considerando, la potenza di dipolo che è 
la parte costante del flusso, non mi sembra che possa contenere tutte 
le informazioni che servono alla stima degli effetti di multipolo.
 
Non occorre quindi tenere in considerazione il campo di velocità nella 
stima degli effetti di multipolo?
 

 Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) b^2 (1 - 3 b^2/4) (1 - b^2)^{-3/2}).
 
Z0 cosa indica?
 
Posso confermare che la media sul periodo è questa che ha scritto. 
Oltre che con il calcolo diretto si trova con l'integrale necessario 
già tabulato sul Gradshteyn, formula 3.681.
 
Nel merito della questione non so che dire, non mi è chiaro al momento 
come esplicitare le formule per i termini di multipolo radiativo, ( ma 
adesso ho più chiaro quale ne è la struttura ed ho messo da parte un 
delirio sul ruolo dei termini che non vanno come 1/r ) in particolare 
le formule esatte (16.91 e 16.92 di Jackson) mi sembrano difficili da 
gestire senza un particolare impegno dedicato, mentre le formule 
approssimate valgono per k r_max << 1 che nel nostro caso si traduce in 
k A = omega A/c << 1 che somiglia alla tua condizione beta < 1 ma ne 
differisce per il rafforzativo. Del resto però è vero che dalla formula 
esatta più generale il limite con beta << 1 dovrebbe scaturire.
 
Un dubbio ulteriore che non riesco ad accantonare riguarda 
l'interferenza: se è vero che le funzioni armoniche relative a termini 
di multipolo differenti sono ortogonali, tuttavia nel calcolare la 
potenza irradiata da un multipolo puro si suppone di trattare un'onda 
incidente pressoché monocromatica e delle interferenze si tiene conto 
con il calcolo dei coefficienti di fase, che in genere portano per 
esempio a riconoscere un "tempo di scattering" nel gruppo. Nel caso di 
una sorgente che si muove ad una data frequenza però non so come 
procedere, forse mi sto solo incartando in un quarto di coriandolo, ma 
ne scrivo perché magari hai un modo semplice per fugare questi dubbi, 
dato che dici di aver fatto il conto.


 Aw < 1? Hmmm, dimensionalmente non quadra.
 
In unità naturali le unità di spazio e di tempo sono inversamente 
proporzionali e la velocità della luce è unitaria
 

 il conto.
Se avessi capito il tuo dubbio...
Perché tiri in ballo lo scattering?
Qui hai una sorgente in moto prestabilito (armonico nel mio caso).
Puoi calcolare i campi o dai potenziali ritardati o da quelli di
Lienard-Wiechert, separando i multipoli (Jackson docet).
E poi calcoli l'energia emessa.
 
Landau procede diversamente: scrive i pot. ritardati e sviluppa gli
integrali in serie di r/c.
E questo è il punto: questi non sono multipoli!
 
 
-- 
Elio Fabri
 
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
di un altro ancora ... quanti orologi! Come se lì il tempo fosse una
realtà molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.

 E questo ï¿œ il punto: questi non sono multipoli!
 

 dell'origine, il che appare assurdo.
 
Non mi sembra poi tanto assurdo. Pensa al caso piu' semplice possibile, 
carica singola ferma. Quando ne calcoli il campo in un punto R con lo 
sviluppo in multipoli, in sostanza calcoli una serie di Taylor *nel 
dintorno del caso* in cui la carica sarebbe all'origine. Se cambi 
l'origine, cambia il valore iniziale e tutte le derivate, ma la serie 
converge egualmente. Pero' i suoi termini non restano mica eguali! A 
grandi distanze puoi troncare la serie dopo il primo termine non nullo 
perche' tutti gli altri sono infinitesimi di ordine superiore in 1/R, ma 
a distanze dall'origine appena superiori alla distanza della carica 
dall'origine no, per trovare il valore esatto devi considerare anche i 
termini seguenti; cambiando l'origine, la variazione del termine di 
quadrupolo va in parte a compensare le variazioni dei termini di 
monopolo e dipolo, in parte e' compensata dalla variazione dei termini 
di multipolo successivi.
 
Nel caso che consideri, in cui le variazioni nel tempo dei primi due 
termini sono nulle, a breve distanza la variazione della variazione nel 
tempo del primo termine non nullo, quello di quadrupolo, e' compensato 
dalla variazione della variazione nel tempo di tutti i termini 
successivi. Poi, a distanze "grandi", tutto torna a posto anche 
troncando al primo termine non nullo.
 
 
P.S. non sono ancora riuscito a capire il *nuovo* problema che lamenti 
(anche perche' non avevo sottomano il Jackson, me lo sono procurato ora 
ma e' settimana di regate :-)
 
Comunque ribadisco che secondo me in uno sviluppo in multipoli i singoli 
termini non hanno significato fisico e cambiano cambiando l'origine; e' 
la loro somma che deve restare sempre la stessa.
 
(Speravo in un intervento di Tetis, che nel calcolo analitico si muove 
molto piu' disinvoltamente di me, ma temo che sia rimasto vittima anche 
lui del black-out di settembre, per cui lo invito a ripostare).


 spazio di Lorentz.
Questo non l'ho capito, prima di tutto perché non so quale sia la tua
formula 16.92.
Posso dire che Jackson a un certo punto fa notare che la potenza
irraggiata è invariante, ma penso tu abbia in mente qualcosa di
diverso.
 
Comunque grazie a tutti e due, e restate in attesa di notizie :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 del caso* in cui la carica sarebbe all'origine. 
 
Vero nel caso statico, ma se guardi come è definito il coefficiente di 
multipolo (l,m) in termini del campo e come dipende dalle sorgenti non 
è affatto scontato che tu pervenga ad una serie di Taylor delle 
sorgenti, anzi... il problema mi pare sia proprio quello di spiegare 
come dialoga lo sviluppo di Taylor delle sorgenti (della componente di 
Fourier di una data frequenza, oppure viceversa la componente di 
Fourier di una data frequenza dello sviluppo di Taylor, "domanda: 
coincidono le due locuzioni?") con la componente multipolare del campo, 
nel senso che quando definisci in generale uno sviluppo in multipoli il 
centro rigoroso del discorso non sono le sorgenti ma la struttura dei 
campi liberi che risolvono le equazioni, nel caso statico risolvi 
equazioni di Laplace, ma nel caso dinamico ci sono altre equazioni (di 
Helmoltz) una per ogni componente di frequenza di conseguenza la parte 
radiale dei campi non è più la solita potenza di 1/r, ma è una funzione 
che dipende anche da k=omega/c e quindi non è più immediato riconoscere 
nel campo polinomi armonici di derivate di una funzione di Green che 
solitamente tradurresti in momenti della distribuzione.


 diverso.
 
La potenza è un'invariante da cui si ottiene l'espressione 
relativistica per il caso di particella accelerata (nella mia edizione 
questo Jackson lo fa vedere nel capitolo 14), ma naturalmente le 
sezioni euclidee e le funzioni armoniche sferiche rispetto al centro 
delle coordinate non sono invarianti quindi non è nemmeno detto che 
cambiando sistema di riferimento le potenze associate ad un dato 
multipolo rimangano invarianti.


 abbia qualche senso separarli, 
 
 
con le guide d'onda queste cose si percepiscono meglio che con un approccio secco
IL TRUCCO?
 
tutto sta a valutare i fenomeni di interferenza, confrontando quello che succede alle sorgenti con quello che ottieni man mano nello sviluppo in autofunzioni armoniche del campo.... con la furbizia di far variare a tuo vantaggio la sezione della guida d'onda.
 
 
Se ad esempio vedi  tutti gli elementi della sorgente che emettono in fase perche' ti metti lontano non puoi conoscere la sotto-struttura della sorgente dalla stessa radiazione che misuri --> 
 
 
se poi ti muovi (tipo + avanti o + indietro in prossimita' di una strozzatura) in maniera tale che quello che ti arriva non e' piu' esente da interferenza allora te ne viene piu' facile conoscere i dettagli della struttura del sorgente proprio perche' puoi analizzare l'interferenza della radiazione, in particolare vedrai che una cosa e' il vettore di poynting e un'altra cosa e' la distribuzione delle sorgenti.
 
In termini matematici
hai da un lato la forma dell'integrale di volume della sorgente (corrente) con il fattore exp(-ik _nv_) / c  
in cui <<puoi>> sviluppare
 
 
dall'altro invece dove hai gia' sviluppato un campo em qualsiasi in armoniche sferiche e di li' risalire a ritroso per ritrovare le corrispondenze con la sorgente.... indubbiamente le cose si mischiano assai
non hai in sostanza una corrispondenza semplice unoauno

 un'altra cosa e' la distribuzione delle sorgenti.
 
in effetti l'unica cosa che mi sembra chiara ï¿œ che un conto ï¿œ il campo 
emesso da una distribuzione di carica e correnti con un certo momento 
di multipolo (lm) ed un altro conto ï¿œ il coefficiente di multipolo (lm) 
del campo. Le due cose sono quasi identiche solo se si considera una 
distribuzione che si muove "lentamente" nel senso che la lunghezza 
d'onda corrispondente ad un periodo cT >> r_max. Cioï¿œ, appunto se sono 
trascurabili le interferenze fra le onde emesse dalle cariche nei 
diversi momenti del moto.
 
Questo fa il paio con la circostanza che nella diffusione vediamo solo 
il momento di multipolo, ovvero il sistema di scattering si comporta 
come un punto di dato momento di multipolo, e non i dettagli della 
struttura interna fin tanto che la lunghezza d'onda della radiazione 
incidente non approssima le dimensioni del sistema. Per frequenze piï¿œ 
alte e distribuzioni statiche occorre calcolare il cosiddetto fattore 
di struttura, che tiene appunto conto dell'interferenza fra lo 
scattering da parte di diversi punti della sorgente, nella 
spettroscopia risolta nel tempo invece il fattore di struttura non 
basta piï¿œ perchï¿œ ï¿œ essenziale considerare i dettagli del moto delle 
sorgenti che non dipendono solo da k, ma anche esplicitamente dal 
tempo.
 

Vado a memoria perche' questi calcoli (e precisamente per propagazioni in strutture e/o cavita') li avevo tirati giu' parecchi anni fa.
Avevo notato proprio quello che l'OP sta valutando
 "sembra" che l'energia trasportata in prima istanza da una certa componente dello sviluppo non possa essere considerata slegata, cioe'
 
presa una guida d'onda o una cavita' mi veniva che se in alcuni punti l'energia diventava immaginaria allora stavo semplicemente tralasciando (nella considerazione energetica) le "componenti nascoste" dello sviluppo.
 
 
Questo fenomeno pero' era ciclico, e si verificava ogni volta che le dimensioni tipiche della struttura erano comparabili con l'oscillazione propria della componente. Questo nei modi TM TE TEM era piu' comodo da vedere mentre nei modi R Y piu' difficile, pero' il rovescio della medaglia e' che lo sviluppo R Y e' piu' facilmente ricollegabile alla distribuzione delle sorgenti J di quanto non sia lo sviluppo T
legendre vs laguerre