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Titolo: caduta dei gravi

Su sollecitazione di un amico ho cercato di calcolare esattamente
l'accelerazione iniziale di due gravi diversi che cadono sulla terra,
misurata in relazione alla velocita' di avvicinamento tra il grave e il
suolo. Riporto qui di seguito il ragionamento e i calcoli, cheidendo a
chi ne ha voglia di controllarne l'esattezza.
ovviamente e' un calcolo in cui non si tiene conto di moltissimi fattori
presenti in realta', le ipotesi comunque dovrebbero risultare evidenti
(assenza di attriti, terra considerata ferma ecc. ecc.).
N.B. Il calcolo dell'accelerazione della Terra puo' essere impreciso
dato che non sono sicuro di aver tradotto correttamente i chilogrammi in
newton.
Vale comunque la proporzione stabilita tra i due casi.
Ricordiamo per cominciare che secondo la legge della gravitazione
universale di Newton due qualsiasi corpi di massa m1 ed m2 (considerati
puntiformi) si attirano reciprocamente con una forza direttamente
proporzionale alle masse stesse ed inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza (r), cioe'
F = G * m1 * m2 / r^2.
G e' la costante di gravitazione universale e vale 6,67 * 10^-11
N*m^2/Kg^2.
Consideriamo due corpi alla stessa distanza dalla Terra.
Sia M la massa della Terra, M1 la massa del primo corpo ed M2 la massa
del secondo corpo.
M = 5,97 * 10^24 Kg.
Poniamo M1 = 10 Kg, M2 = 11 Kg.
La forza di attrazione tra M1 ed M vale quindi F(M1,M) = 10 Kg, cioe'
98,1 N.
La forza di attrazione tra M2 ed M vale quindi F(M2,M) = 11 Kg, cioe'
108 N.
L'accelerazione impressa ad M1 ed M2 nell'istante considerato quindi
vale:
a(M1) = 98,1/10 = 9,81 m/sec^2
a(M2) = 108/11 = 9,81 m/sec^2
Se per semplificare il calcolo consideriamo di svolgere i due
esperimenti in tempi diversi, abbiamo che l'accelerazione impressa alla
Terra per l'azione attrattiva di M1 vale:
a(M(M1)) = (10/11)*a(M(M2)).
Esattamente, l'accelerazione di M sotto l'effetto di M1 sara'
a(M(M1)) = 98,1/(5,97*10^24) = 1,64*10^-23 m/sec^2
mentre l'accelerazione di M sotto l'effetto di M2 sara'
a(M(M2)) = 108/(5,97*10^24) = 1,81*10^-23 m/sec^2
Questo significa che la velocita' di avvicinamento tra M ed M1 sara'
minore della velocita' di avvicinamento tra M ed M2.
Ripetendo il calcolo a partire dalla legge di gravitazione, considerando
i due corpi a livello del suolo, (la distanza r vale quanto il raggio
terrestre, cioe' 6,37 * 10^6 m), si ottiene:
F(M,M1)= 6,67*10^-11 * 5,97*10^24 * 10 / (6,37*10^6)^2 = 98,1 N
e
F(M,M2)= 6,67*10^-11 * 5,97*10^24 * 11 / (6,37*10^6)^2 = 108 N.
Le accelerazioni risultano quindi come nel calcolo precedente.
L'unica possibilita' di ottenere la caduta perfettamente simultanea di
due gravi di peso diverso su un pianeta e' di realizzare i due gravi
come corpi concentrici (per esempio, una semisfera cava al cui interno
viene tenuta sospesa una sfera di peso diverso, con i baricentri
coincidenti). In questo caso infatti le due forze di attrazione (quella
tra M ed M1 e quella tra M ed M2) si sovrappongono e quindi la Terra
accelera allo stesso modo verso i baricentri dei due corpi. Percio' i
due baricentri cadranno simultaneamente, anche se naturalmente la
semisfera tocchera' il terreno per prima.
--
Federico Spanò
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"Tutti conosciamo la stessa verita'; la nostra vita e' come scegliamo di
distorcerla"
(Woody Allen)

 due baricentri cadranno simultaneamente
Ovviamente questo non e' vero, sempre rimanendo in teoria dovrebbe
essere semmai un cilindro cavo con un altro al suo interno.


 come corpi concentrici ......
????
Scusa forse non ho le carte in regola per risponderti, ma poichè ho letto
da poco "Levoluzione della fisica" di Heinstein ti dirò quello che ho
capito.
Il fatto è che un corpo attrae con più forza se ha massa maggiore,
ma allo stesso tempo oppone anche maggior resistenza a qualsiasi forza
che voglia cambiare il suo stato di moto o di quiete.
In parole povere se tu vuoi spostare un sasso di un Kg fai meno
fatica che a spostarne uno da un  quintale.
Lo stesso accade per la terra:
fa meno fatica ad accellerare un corpo leggero di uno pesante,
ma poichè quello più pesante subisce un'attrazione gravitazionale
più forte, i due effetti opposti si annullano a vicenda.
E' per questo che quando si parla di g non si fa riferimento alla
massa sulla quale viene esrcitata, almeno se la massa è abbastanza
piccola che i suoi effetti gravitazionali sulla terra siano trascurabili.
Spero di aver capito il senso della tua domanda e di averti risposto.
Ciao
Giorgio

 wrote :
| Scusa forse non ho le carte in regola per risponderti, ma poichè ho letto
| da poco "Levoluzione della fisica" di Heinstein ti dirò quello che ho
| capito.
Federico si riferiva al fatto che esiste anche un'attrazione tra i due
corpi lasciati cadere simultaneamente.
La cosa ovviamente cambia se cronometri due cadute indipendenti.


si, e in questo caso mi sembra che lui (F.Spano') tenga conto anche
dell'attrazione che subisce la terra da parte del grave.

A chi mi ha risposto devo purtroppo dire che non hanno capito la mia
domanda e quindi non mi hanno risposto.
La mia domanda era semplicemente: ho fatto i calcoli giusti?
Se qualcuno ha tempo di rispondere gli saro' grato, anche se ormai sono
sicuro di aver fatto i ragionamenti giusti.
Saluti a tutti
--
Federico Spanò
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la nostra vita e' come scegliamo di distorcerla"
(Woody Allen)
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