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Titolo: Insuperabilità di c

 
Approfitto di una cosa che leggo spesso sui social (Facebook in particolare) per chiedere un chiarimento sui rapporti logici tra i vari postulati/formule  che caratterizzano la RR.
La domanda è un classicissimo: "perchè non si può superare c?"
Risposte classiche da gruppo Facebook:
1) è un postulato, non c'è un perchè
 
 
2) ce lo dice la celebre equazione E=mc2. Quando immetto energia con l'intento di accelerare il corpo la massa aumenta all'aumentare della velocità, tendendo all'infinito, quindi mi servirà un'energia infinita (sono parole mie, con cui cerco di riassumere molte risposte lette, ma credo e spero sia una sintesi accurata).
 
 
Per come l'hanno "raccontata me", il postulato è l'invarianza di c per diversi sistemi di riferimento, e l'insuperabilità di c ne deriva ( riscrivo la F=ma in forma invariante per trasformazioni di Lorentz e scopro che si ottiene  c come velocità asintotica).
 
Inoltre, non vedo nella celeberrima equazione alcun legame (almeno, non vedo legami evidenti a me)con la questione "insuperabilità", o, perlomeno, non attraverso quel modo di raccontarlo, visto che la massa è la massa invariante e la relazione vale solo per riferimenti di quiete.
 
E' possibile, per altra via, ricavare l'insuperabilità di c dalla famosa equazione?
 

 
 
2) Se si intende che lì m stia per la massa relativistica di un corpo
(modellizzato come punto materiale) avente massa invariante m0 non nulla
allora sì, m = gamma m0 e se v -> c allora gamma -> +oo e E -> +oo J
(v. storico esperimento didattico di Rossi-Hall).
Io però preferisco intendere per massa sempre quella invariante.
 
3) Se si assume che la sincronizzazione standard abbia un significato
fisico (per me sì) allora l'esistenza della velocità limite deriva dal
fatto che moti superluminali determinerebbero una violazione della
causalità (l'effetto precederebbe la causa) in opportuni riferimenti.
 
4) Tutti gli esperimenti finora condotti su particelle di varia massa
hanno portato a riconoscere l'esistenza di una velocità limite pari a c,
questo secondo me è il risultato che fondamentalmente ci fa
postulare l'esistenza della velocità limite pari a c.
 
Poi, naturalmente, tutte le leggi fisiche sono vere provvisoriamente...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 
Non mi pare necessario, credo che basti l'invarianza. 
 
--
Wakinian Tanka

 (v. storico esperimento didattico di Rossi-Hall).
 
Sorry, rileggo e correggo un lapsus, ovviamente era W. Bertozzi:
 
https://muj.optol.cz/richterek/data/media/ref_str/bertozzi1964.pdf
 
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 La domanda è un classicissimo: "perchè non si può superare c?" 
 
 
Sia K un riferimento inerziale. Ipotizziamo che in K sia possibile emettere un segnale superluminale S_and nella direzione vec{n}. Diciamo v (con v>c) la velocità di S.
 
(*) Si *assume* che in un qualsiasi altro riferimento inerziale K' si possa emettere un analogo segnale, di velocità v>c, diretto verso qualsiasi direzione vec'{n}.
 
 
Basandosi sui postulati della RR e assumendo la (*) si può dimostrare che, per ogni v>c, è sempre possibile determinare un valore beta (con 0<beta<1) tale che, detto K' il riferimento inerziale in moto a velocità vec{v}=beta*c vec{n}, si possa avere la seguente catena di eventi
1) dal punto P di K viene emesso S_and in direzione vec{n};
 
2) S_and viene rilevato da un ricevitore posto in un certo punto Q di K' e, simultaneamente alla ricezione di S_and, da Q viene emesso un segnale superluminale S_rit (di velocità v in K') in direzione -vec{n};
3) S_rit viene rilevato da un ricevitore post nel punto P di K *prima* della emissione di S_and.
 
Quanto detto sopra è un evidente paradosso causale.
 
Comunemente la (*) viene considerata conseguenza del principio di relatività, per questo si ritiene che dai postulati della relatività segua che l'esistenza di segnali superluminali portino necessariamente a paradossi causali.
 
 
Personalmente ritengo che sia un grave errore considerare la (*) conseguenza del principio di relatività. La (*) vale *solo* per fenomeni che siano sotto coperta ma il principio di relatività, ovviamente, non pretende che tutta la fisica debba necessariamente essere sotto coperta.
 
Dal teorema visto sopra segue esclusivamente che i fenomeni superluminali, qualora esistessero, non potrebbero essere fenomeni sotto coperta. Cioè *non* è vero che dai postulati della RR seguirebbe l'impossibilità di segnali superluminali.
 
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (Anonimo, attribuito a G. Apollinaire)

 E' possibile, per altra via, ricavare l'insuperabilità di c dalla famosa equazione?
 
 
No, non credo proprio. Ammettere un segnale a v > c porterebbe la
 teoria a incongruenze epistemologiche: violazione del principio
 di causa-effetto. Questo è l'unico motivo dell'insuperabilita.
 
-- 
anth

 
Forse, però non capisco questo. 
Sia A un corpo che si muove a velocità superluminale V, costante, nel vuoto, in un riferimento inerziale K. 
 
 
Scelgo un riferimento inerziale K' solidale ad A ed un sistema di coordinate in K' tali che l'asse X sia parallelo al vettore velocità V del corpo A nel riferimento K e l'origine in A. Nell'origine c'è una sorgente laser che emette un raggio nelle x positive. Per l'invarianza della velocità della luce (II postulato) il raggio si allontana da A, secondo le x positive, a velocità c. 
 
 
Ma nel riferimento K, invece, si misurerebbe il raggio muoversi nelle x positive a velocità /inferiore/ a quella di A, ovvero sarebbe A ad allontanarsi nelle x positive rispetto al raggio di luce. Detto in termini più suggestivi, se da dove si trova A mandi un raggio di luce in avanti quello va indietro! 
 
--
Wakinian Tanka 

 Scelgo un riferimento inerziale K' solidale ad A ....
 
Come fai a sapere che esiste? già quello con velocità pari a c non esiste...
 
Giorgio

 Scelgo un riferimento inerziale K' solidale ad A 
 
I tachioni esistono o no, ma anche ammesso che esistano non si
può ipotizzare a priori che a loro si possa associare un riferimento
(sistema di corpi materiali e strumenti, "laboratorio",
come gli altri riferimenti della RR) di quiete, dato che
sappiamo che i corpi materiali devono avere velocità
minori di c relativamente a un riferimento inerziale.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 Scelgo un riferimento inerziale K' solidale ad A 
 
Ti hanno già risposto sia Pastore che Bibbiani.
 
 
 
 
I riferimenti "contengono" strumenti di misura. In particolare contengono come minimo dei misuratori di distanza, cioè dei regoli. Direi che un "telaio" fatto di regoli connessi l'un l'altro ai loro estremi, in un qualche modo, definisca un riferimento. Il riferimento si dice poi inerziale se i regoli del telaio non sono soggetti a stress, cioè sono in "moto libero" (e qui nasce tutta la questione se sia possibile o meno che un corpo esteso come un regolo possa essere non soggetto a stress, o se sia possibile solo localmente, o sotto quali condizioni si possa eventualmente dire che sia possibile anche globalmente ...).
 
 
 
 
 
 
Certo, se volessimo fare astronomia, io non saprei dire cosa dovrebbero essere questi telai di regoli (o con cosa si dovrebbero sostituire), ad ogni modo, rimanendo all'interno delle nostre rassicuranti "maggiori stanze che siano sotto coperta" dei navigli galileiani, stanze che chiamiamo riferimenti inerziali (e indichiamo sotto con K, K' ...), possiamo dire una serie di cose (alcune le diciamo vere perché le assumiamo provate sperimentalmente e le chiamiamo postulati della RR, altre le deduciamo). Fra le cose che si possono dire c'è che un eventuale segnale che risultasse essere superluminale in K, risulterà superluminale in qualsiasi altro K'. Cioè nessun riferimento inerziale (nessun regolo, nessun corpo dotato di massa, nessun "ente" che potrebbe essere fermo relativamente a un qualche riferimento inerziale) potrà mai essere in quiete relativamente ad alcun segnale superluminale.
Si prova facilmente in questo modo:
 
sappiamo che risulta invariante (o, se vogliamo, andrebbe eventualmente visto come dai postulati tale invarianza segue indipendentemente dall'essere |vec{dx}|<c dt o meno)
d^2=(c dt)^2-|vec{dx}|^2
 
 
dove vec{dx} è il vettore spostamento fra il punto in cui avviene l'evento iniziale e quello in cui avviene l'evento finale, mentre dt è la differenza fra l'istante segnato dall'orologio fisso nel punto in cui avviene l'evento finale e quello segnato dall'orologio fisso nel punto in cui avviene l'evento iniziale (orologi sincronizzati secondo relazione standard).
 
Qualora fosse |vec{dx}|>c dt, allora il segnale S, che ha percorso il tragitto vec{dx}, arriverebbe a destinazione prima di un eventuale segnale luminoso che sia partito simultaneamente a S (dallo stesso punto).
Dall'invarianza di d^2 segue
(c dt)^2-|vec{dx}|^2=(c dt')^2-|vec{dx'}|^2<0 <=> |vec{dx'}|>c dt'
cioè S sarebbe superluminale in ogni K'.
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 Scelgo un riferimento inerziale K' solidale ad A
 
Stop: si avrebbe beta > 1, e quindi gamma immaginario. 
 
-- 
anth

 
 
 
 
 
E chi ti dice che non si può superare c? In realtà la formulazione della relatività speciale nei libri di testo, nonché a livello divulgativo, è alquanto limitata. Ci si limita alla formulazione della cosidetta "relatività speciale ristretta" mentre esiste anche una "relatività speciale estesa" (estesa appunto ai moti superluminari e all'antimateria). Questa estensione è dovuta soprattutto ad una scuola italiana che aveva come riferimento principale il mio amico grande fisico teorico Erasmo Recami, purtroppo mancato due anni orsono. La chiave della questione è che c è una velocità limite, non una velocità massima. Ecco qui un  articolo divulgativo in proposito scritto dallo stesso Erasmo oltre 20 anni orsono:
https://cds.cern.ch/record/470948/files/SCAN-0010144.pdf
 
Cari saluti,
Christian Corda


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... e quindi l'esistenza di corpi massivi con v > c non è ammessa :-) 
Se invece tale corpo avesse massa nulla, per la RR dovrebbe muoversi a c. 
Beninteso: so che ducono "tutti" che la RR non esclude l'esistenza di tachioni, volevo solo ragionare un pò. 
 
Per ora rispondo solo a te perché sei stato il più conciso di tutti ;-) Con più calma e tempo studio meglio quello che hanno scritto gli altri. 
(Ho l'impressione che ci conosciamo già ma tu avevi altro nick... ;-) 
 
--
Wakinian Tanka 

Mi sono già perso in difficoltà più grandi di quelle che preventivavo...
ma ricordo che, pur divagando un po', la domanda è semplicemente:
 
se alla domanda: come mai c è insuperabile?
 
si risponde: "ce lo dice la celeberrima e=mc2"
 
 
possiamo ribattere che no, non ce lo dice E=mc2, e che inoltre leggerla a quel modo (energia immessa nel sistema e che fa aumentare la massa ma non la velocità) è una gran boiata?

 È un errore anche questo.
 
 
Di tutte le cose che ho scritto nel post, questa è l'unica che non riporta spiegazioni di altri ma quello che ho studiato io (in particolare è un riassunto, brutale finchè si vuole, di Sei pezzi meno facili). 
Come mai è errata?

 
https://cds.cern.ch/record/470948/files/SCAN-0010144.pdf
 
 
 
Questa sintetica esposizione 
https://mazur.harvard.edu/sites/projects.iq.harvard.edu/files/mazur/files/talk_2570.pdf
 dice che la velocità dei segnali elettromagnetici è sempre esattamente uguale a c
 
La ragione fisica è che una piccola parte di ogni discontinuità del campo e.m. si propaga prima che i sistemi materiali reagiscano ad essa.

 Christian Corda
 
Non *velocità massima* però pur sempre *limite invalicabile*, da ambo i lati.
 
Ciao. PF

 
 
 
 
 
 
Infatti non lo so, sono partito dal presupposto intuitivo, ma tutto da dimostrare, che se esiste un corpo A di massa non nulla (che m fosse non nulla ero sicuro di averlo scritto nel post di cui sopra, invece ora mi accorgo di no, uff! ) che si muove a velocità V, sia possibile trovare altri corpi con masse non nulle, con la stessa velocità V, disposti a distanze fisse e ognuno trasportante un orologio sincronizzato con tutti gli altri. Perché trasportante un orologio? Intuitivamente perché se ho delle particelle, superluminali o meno, di velocità V e con massa m non nulla, posso in via di principio aggregarne moltissime in modo che formino un unico corpo con velocità V ed in modo da poter costruire con esse un orologio corredato di dispositivi di sincronizzazione. 
 
--
Wakinian Tanka

 
 
Se sappiamo questo allora la tesi che i tachioni non esistono è già dimostrata: se infatti non stessimo parlando di "corpi materiali" (ovvero: corpi con m non nulla) ma di corpi con m = 0, allora sappiamo che questi per la RR dovrebbero muoversi a c.
 
--
Wakinian Tanka

 La ragione fisica è che una piccola parte di ogni discontinuità del campo e.m. si propaga prima che i sistemi materiali reagiscano ad essa.
 
In realtà i precursori (la piccola parte che si propaga sempre a 
velocità c) non coincide col "segnale" che è definibile come centroide 
dell'impulso eletromagnetico e che può avere velocità anche minore di c.
 
Ma questo cosa ha a che fare con velocità superluminali?
 
Giorgio

 E=mc2, e che inoltre leggerla a quel modo (energia immessa nel sistema e che fa aumentare la massa ma non la velocità) è una gran boiata?
 
 
Può non essere una boiata, cerca "inerzia dell'energia" e "difetto
 di massa", che non c'entrano nulla con la massa relativistica
 d'un tempo.
 
-- 
anth

 Se sappiamo questo allora la tesi che i tachioni non esistono è già dimostrata: se infatti non stessimo parlando di "corpi materiali" (ovvero: corpi con m non nulla) ma di corpi con m = 0, allora sappiamo che questi per la RR dovrebbero muoversi a c.
 
Io non _so_ nulla dei tachioni, però la
cosa è un po' più complicata:
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Mass#Tachyonic_particles_and_imaginary_(complex)_mass
 
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 Christian Corda
 
L'articolo divulgativo citato contiene varie imprecisioni riguardanti l'assiomatica
della relatività speciale (ristretta o estesa che sia).
Ad es. i postulati 1) e 2) citati a pag.1 sono necessari ma non sufficienti per 
provare l'esistenza di una velocità invariante  per cambiamenti di riferimento 
inerziale e meno che mai per trarre conclusioni sulla dipendenza (dinamica)
dell'energia totale dalla velocità di una particella.
Siffatte imprecisioni sono perdonabili in un articolo divulgativo, ma dove si può
trovare un'esposizione completa e rigorosa della teoria di E.Recami?
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)


Le velocità superluminali misurate sono sempre degli artefatti: la parte dell'impulso luminoso che è arrivata nel punto in cui la luce viene rilevata è sufficiente per ricostruire il resto a patto che l'impulso, come funzione del tempo a posizione fissata, sia una funzione analitica.  È questa ricostruzione che viene misurata come "impulso che si è mosso a velocità superluminale", ed la misura è appunto un artefatto. Se nel punto di partenza l'impulso luminoso (sempre visto come funzione del tempo) ha un punto di non analiticità (quindi informazione), l'impulso ricostruito continua ad essere quello che sarebbe stato se il punto di non analiticità non ci fosse stato, fino al tempo L/c dall'istante in cui si è presentato il punto di non analiticità (L è la distanza partenza-arrivo).
 
Questa è la spiegazione anche per le velocità di gruppo negative, osservate per esempio in
 
George M. Gehring et al. , Observation of Backward Pulse Propagation Through a Medium with a Negative Group Velocity. Science312,895-897(2006). DOI:10.1126/science.1124524
;-)
 
 


Un tachione *non* è (non può essere) un corpo di massa non nulla e nemmeno un "corpo" di massa m=0.
 
 
I corpi di massa m possono sempre essere in quiete rispetto a un certo orologio. In un dato riferimento K, si dice quantità di moto del corpo la grandezza
(*) vec{p}=m*vec{Dx}/Dtau
 
dove vec{Dx} è lo spostamento in K del corpo e Dtau è l'intervallo di tempo misurato dall'orologio in moto col corpo mentre lo stesso si sposta di vec{Dx}. Ovviamente se il corpo è fermo in K si ha vec{Dx}=0 => vec{p}=0.
Si definisce la grandezza E come
E=m*c^2 Sqrt[1+(vec{Dx}/cDtau)^2] => E^2=(m*c^2)^2 + c*2 vec{p}^2.
 
 
 
Già con i fotoni le cose vanno necessariamente modificate. Non esistono orologi in quiete coi fotoni e la quantità di moto di un fotone non si può definire mediante la (*), per quanto sia comunque definibile in altro modo. Sperimentalmente si osserva che continuano a valere i teoremi di conservazione di energia e quantità di moto e diciamo che al fotone è associata l'energia
E=|vec{p}| c
(cioè continua a valere la E^2=(m*c^2)^2 + c*2 vec{p}^2 dove, per i fotoni, si ha m=0).
 
 
 
 
 
 
 
Per quanto riguarda i tachioni, a mio modo di vedere, *prima* di parlarne si dovrebbe dare loro "diritto di cittadinanza", cioè i tachioni andrebbero inseriti in un quadro teorico tale che la loro esistenza non dia luogo ad assurdi come i paradossi causali i quali, per quanto si possano probabilmente considerare non assurdi dal punto di vista logico, dovrebbero essere considerati assurdi secondo un qualche criterio che forse andrebbe definito e che comunque renda conto del fatto che la fisica verrebbe minata alla base qualora si ammettesse la possibilità di paradossi causali. Poi, ovviamente, il padreterno fa come vuole, non siamo noi a decidere cosa può e cosa non può fare la natura. Però, allo stato attuale delle nostre conoscenze, secondo me dovremmo ammettere che il nostro cervello non sia in grado di comprendere-accettare visioni del mondo nelle quali siano ammessi paradossi causali.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sempre secondo il mio modo di vedere, *non sono* modelli che danno diritto di cittadinanaza ai tachioni il cosiddetto "principio di reinterpretazione" (cioè quello ripreso fra gli altri da Recami, citato sopra da Corda) o i modelli di cui si parla nel link recentemente citato da Bibbiani, 
https://en.wikipedia.org/wiki/Mass#Tachyonic_particles_and_imaginary_(complex)_mass
, modelli nei quali i "campi tachionici" e le "masse immaginarie", direi che siano introdotti come semplici strumenti matematici dei quali a me pare che difficilmente si riesca a cogliere il contenuto fisico. Quelli, a mio avviso, andrebbero visti come tentativi per dare "un po' di" diritto di cittadinanza ai tachioni. Tentativi viziati dal fatto che non si accetta (forse si accetterebbe se l'argomento "convenzionalità della simultaneità" fosse conosciuto quanto, a mio avviso, dovrebbe essere) che l'ordinamento temporale indotto dalla sinconizzazione standard *non è* l'ordinamento causale e che, come conseguenza, l'ordinamento causale, quando ci sono tachioni di mezzo, *va cercato altrove*, non nell'ordinamento temporale indotto dalla sincronizzazione standard. La mia proposta è che l'ordinamento causale, quando ci sono di mezzo i tachioni, sia stabilito dal vettore quantità di moto del tachione (notiamo per inciso che anche quando gli "enti" che trasportano l'informazione sono i fotoni, cioè nell'elettromagnetismo, l'ordinamento causale è stabilito dal vettore quantità di moto dell'ente che trasporta l'informazione, cioè il fotone, e anche per un sistema di palline da biliardo che urtano fra loro e con le sponde del biliardo, l'"informazione" fra un urto e il succesivo viene portata dalle palline e l'ordinamento causale fra gli urti è stabilito dal verso della quantità di moto delle palline).
Di tutto questo parlo diffusamente in due lavori:
"Shut yourself up below decks ...", Phys. Essays, Volume 26: Pages 531-547, (2013) 
https://arxiv.org/abs/1209.3685
, e
 
"The principle of relativity, superluminality and EPR experiments. "Riserratevi sotto coverta ..."" 
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/626/1/012054
 (2014)
 
per quanto il nocciolo sia già in un lavoro che, in un inglese improbabile, scrissi nel 2005: "Tachyons and EPR correlations" 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/0512202
.
 
 
 
 
Detto ciò, una volta definito un possibile quadro teorico che "dia cittadinanza" ai tachioni, va visto se quel quadro è compatibile o meno coi postulati della RR. Nei lavori suddetti mostro che il quadro teorico lì assunto (cioè l'esistenza di un riferimento privilegiato che faccia da supporto ai fenomeni superluminali, riferimento del tutto analogo a quello in cui l'aria è in quiete che fa da supporto ai fenomeni sonori) è perfettamente compatibile coi postulati della RR.
 
A questo punto va visto cosa va modificato una volta introdotti i tachioni (analogamente, ad esempio, alla definizione della quantità di moto dei fotoni che non può essere data dalla (*) e va definita in altro modo):
l'invariante
E^2 - c*2 vec{p}^2
 
che è nullo per i fotoni e positivo per gli enti dotati di massa (per i quali l'invariante vale (m*c^2)^2), è sempre negativo per i tachioni. Si può porre
E^2 - c*2 vec{p}^2 = - M^2 c^4 => E = (+-) Sqrt[c*2 vec{p}^2 - M^2 c^4] (cioè, niente masse immaginarie di contenuto fisico ignoto)
 
 
poi va visto come si fa, posto il quadro teorico suddetto, a scegliere il segno della E che, in generale, per un tachione *può essere* sia positivo che negativo. Ne parlo in maniera troppo succinta nel paragrafo 5.5 del lavoro del 2014 e in maniera forse minimamente più dettagliata (ma con notazioni tremende) nella seconda appendice del lavoro del 2005.
Nel paragrafo 2.2.2 del lavoro del 2014 parlo del cosiddetto "principio di reinterpretazione".


 ;-)
 
Sì, ho capito che ti riferivi a valori anomali della velocotà di gruppo 
di onde e.m. ma io do per scontato che i tachini non hanno a che fare 
con fotoni o onde e.m.
 
Per quello che ne so, si tratterebbe di particelle non escluse da nessun 
principio fisco noto, anche se non osservate. Non mi risulta che chi ha 
esaminato il problema dei tachioni lo abbia fatto nell' ambito dell' 
elettromagnetismo. Ma potrei sbagliarmi.
 
Giorgio

 
 
 
Ce l'avevo con la "terza prova" dell'articolo divulgativo di Recami, quella sul tunnelling dei fotoni. Ma adesso sono incerto.
 
 
 
 
 
 
Da una parte, il tunnelling dei fotoni avviene solo in presenza di un mezzo materiale, quindi rientra nel ragionamento sulla propagazione della luce nei mezzo materiali (i segnali si muovono sempre a velocità c). Dall'altra, supponiamo che una regione in cui la propagazione avviene per tunnelling separi due regioni in cui la propagazione è "normale": vorrei vedere con un calcolo quanto ci mette un impulso dapprima completamente confinato nella prima di queste due regioni ci mette a raggiungere la seconda regione. Magari nei coefficienti che "premoltiplicano" le onde evanescenti per saldare le soluzioni nelle tre regioni ci sono abbastanza fasi per far sì che ci sia il ritardo giusto ... o magari è qualche altra cosa; credo appunto che un calcolo chiarisca.
 
 
Per quanto riguarda la "quarta prova", le onde nello spazio libero che si proagano con velocità maggiore di c, invece non so. Ho trovato l'articolo ma ho bisogno di tempo per leggerlo:
 
Observation of Superluminal Behaviors in Wave Propagation
D. Mugnai, A. Ranfagni, and R. Ruggeri
Phys. Rev. Lett. 84, 4830 (2000)