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Titolo: Onda Tiangolare e fen. di Gibbs

Salve a tutti,
piu' precisamente "dispari e a valor medio nullo", sia g(a*t),
dove a = 2*pi*f (f = frequenza).
La prima cosa che vorrei chiedere e' se esiste una forma semplice
di rappresentazione. Mi sembrava di aver trovato arcsin(sin(a*t)),
tuttavia arcsin(x) assume inf. val. per ogni x.
Seconda cosa; se volessi usare lo svil. in serie di Fourier, S_oo e
g(a*t), visto che qst'ultima e' continua, coinciderebbero in ogni punto
(ne sono praticam. certo, ma ve lo chiedo, v. sotto).
Inoltre, dalla definizione e' facile vedere che g'(a*t) e' un'onda
quadra pari, mentre il suo svil. in serie di F. presenta il feno-
meno di Gibbs nei punti di disc.; ora, tale svil. e' identico a
S'_oo, per cui mi viene il dubbio che in un intorno piccolo a pia-
cere (destro o sinistro) di tali punti l'inclinazione della curva
ottenuta da S_oo non coincida con quella di g(a*t). Mi rendo conto
che il tipo di conv. in s. di F. nn e' "puntuale", ma "in media",
per cio' vi chiedevo sopra se davvero g(a*t) e S_oo coincidono; in
altri termini, il fen. di Gibbs si riperquote anche sull'integrale
della generica funzione, anche se quest'ultimo genera una funzione
 continua ? E, se cosi' fosse, anche sugli integ. successivi ?
In termini piu' pratici, se g(a*t) fosse un segnale di tensione,
applicando ai capi di un condensatore la forma g(a*t) avrei con
certezza una corrente il cui andamento e' precisam. l'onda quadra;
ma, (ammettiamo pure che sia possibile) applicando S_oo, non
 ottengo l'onda quadra, giusto ?
Piu' in generale, data una g(t) che, nell'intervallo di interesse,
oltre a soddisfare la cond. di Dirichlet, e' anche continua, nn si
puo' essere sicuri che il suo svil. in s. di F. sia intercambiabile
con g(t), e' cosi'?
Grazie dell'attenzione,
Patrizio
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Inviato via 
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 con g(t), e' cosi'?
Non credo, secondo me puoi stare abbastanza tranquillo e intercambiare come
vuoi, basta che ti porti dietro infiniti termini ;-)
Bye
Hyper

 Hyper
Ciao


  prima di proseguire dovremmo chiarirci su qst punto.
Si. Allora, io parlavo in termini pratici, da fisico non da matematico. E'
vero che rigorosamente parlando, non si ha convergenza puntuale. Quindi, se
ad esempio prendi un'onda quadra, avrai sempre delle oscillazioni a
frequenza crescente (si schiacciano sempre di piu' verso il punto di
discontinuita') e dei punti in cui S_n e' diversa dalla tua funzione anche
nel limite n->oo. Se pero' pensi alla propagazione di questa differenza
(come mi sembrava di aver capito) ad esempio integrando una funzione
discontinua o integrando il suo sviluppo di Fourier, queste nel limite n->oo
coincidono. Non so darti la dimostrazione matematica (che comunque esiste),
ma posso farti un esempio banale.
Sia f(x) = onda quadra e S_k(x) = sviluppo dell'onda quadra troncato a k
termini.
Vogliamo valutare \int_0^\infty f(x) \exp(-x) e confrontarlo con
\int_0^\infty S_k(x) \exp(-x), in particolare nel limite k->\infty.
Beh, non sto nemmeno a sviluppare troppo i calcoli...se integri
l'esponenziale direttamente hai
\int_0^1 \exp(-x) - \int_1^2 \exp(-x) +...ecc.
che ti da \int_0^1 exp(-x) moltiplicato per \sum exp(-n) (-1)^n (basta
cambiare variabile a tutti gli integrali) che come risultato da
e/(e+1) (e-1)/e = (e-1)/(e+1)
Se integri lo sviluppo di Fourier con l'esponenziale hai
4/\pi \sum_{n=0}^k 1/(2n+1) \int_0^\infty \sin[(2n+1) \pi x] \exp(-x) =
4 \sum_{n=0}^k 1/[\pi^2 (2n+1)^2]
che nel limite k->\infty fa ancora (e-1)/(e+1). Se non fai il limite, hai
una certa differenza, che cmq tende a zero al crescere di n, nonostante f(x)
e S_k(x) differiscano in un certo qual senso. Quindi, in questo caso non hai
propagato nessun errore derivante da Gibbs.
Bye
Hyper

Hypermars ha scritto:
 > Si. Allora, io parlavo in termini pratici, da fisico non da
 > matematico. E' vero che rigorosamente parlando, non si ha convergenza
 > puntuale.
Solo su questo punto: come ho gia' spiegato a Patrizio, invece la
convergenza puntuale c'e'. Non e' uniforme, ma c'e', proprio perche'
il "guizzo" di Gibbs si stringe verso la discontinuita' e quindi in un
punto dato finisce per non avere effetto.
Per il resto, sono d'accordo.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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