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Titolo: propagazione nel vuoto

Io ritengo che il concetto di azione a distanza, campo, e propagazione nel
vuoto siano fondamentalmente non fisici.
Ciò è particolarmente evidente nel caso della radiazione elettromagnetica:
come può un'onda propagarsi nel vuoto ?
Il realtà il vuoto non è vuoto, ma popolato di coppie e+e-, come previsto
dalla teoria quantistica.
L'espressione della costante di struttura fine (dimensionalmente corretta!):
e^2/hc=1/137
ci dice che la velocita' della luce c si scrive in termini delle proprietà
del fluido
di coppie elettrone-positrone in cui la perturbazione si propaga.
Se nessuno porta obiezioni valide alle mie affermazioni, assumerò di avere
ragione.
Justinian

ragione.
Metodo un po` poco scientifico, ma li` vedi un po' tu... ;-)
Ciao
-- 
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           Alessandro ORLANDI
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Ci sono pero' due fenomeni distinti, uno e' quello che dici tu: la
propagazione nel vuoto di un fotone unico e basta: in assenza di
elettroni-positroni REALI non succede niente qualunque cosa dicano i
diagrammi singolarmente sulla produzione di coppie virtuali 
elettrone-positrone un fotone reale da solo e' stabile punto e basta
(non puo' nemmeno decadere in piu' fotoni senza violare le leggi di
conservazione perche' e' proibito dalla teoria quando vai a calcolare lo
"spazio delle fasi"). 
Altra cosa e' quando si ha piu' di un fotone reale iniziale (almeno
due!) e si parte dall'assenza di elettroni-positroni reali. In questo
caso si ha il fenomeno della "polarizzazione del vuoto": i fotoni
iniziali interagiscono tra di loro per diffusione tramite il campo di
Dirac che rimane comunque nello stao di vuoto! 
All'ordine perturbativo diagrammatico piu' basso cio' accade "creando 
coppie virtuali" e+ e- che alla fine si riannichilano producendo
nuovamente i fotoni iniziali REALI, ma con momenti ed energie diverse.
Le varie coppie e+ e- sono "virtuali" perche' NON soddisfano principi di
conservazione dell'energia o dell'impulso come si prova subito dalla
struttura del "vertice d'interazione", quindi non si puo' prendere
"alla lettera" questo "sottoprocesso" . Tuttavia la polarizzazione del
vuoto si osserva davvero e questo significa che il diagramma detto e'
solo uno di tanti altri la somma dei contributi dei quali descrive il
processo reale mediato dal vuoto elettronico!
Ciao, Valter Moretti

come può un'onda propagarsi nel vuoto ?
Beh, una palla da tennis puo' benissimo propagarsi nel vuoto! Perche' ti
meravigli del fatto che un'onda e.m. non possa farlo :-)) ?
Talvolta occorrerebbe far si che il nostro intuito non "esiga" che le cose
vadano come ad esso piacerebbe (infatti le onde le abbiamo sempre viste
propagarsi nell'acqua, nell'aria,...), ma occorre educarlo alla comprensione
di fenomeni via via superiori...!
R.G.

Alessandro,
Grazie per aver discusso il mio messaggio un pò strampalato.
Il punto fondamentale è che credo che la fisica moderna si limiti
a una descrizione troppo formale degli esperimenti.
So che la teoria dei campi riproduce bene i dati (vedi sezioni
d'urto), ma mi chiedo se non manchi qualcosa di fisico.
Ad esempio il principio di indeterminazione prevede la possibilità
dell'esistenza di
coppie e+e- su scale e tempi abbastanza piccoli: dx*dp=h,dE*dt=h.
Dunque non è forse più fisico pensare che queste coppie non sono virtuali,
ma esistono realmente, e l'onda e.m. si propaga in questo 'mare' di coppie ?
Si puo' probabilmente costruire una teoria partendo da questa 'visione'
fisica,
e riprodurre altrettanto bene le sezioni d'urto (se questo non è vero, dammi
pure il
controesempio).
Prendiamo ad esempio l'espressione della costante di struttura fine:
e^2/hc=1/137
Qui è fondamentale notare che 1/137 è un numero senza dimensioni.
Anche (e^3/hc) è una costante, ma ha delle dimensioni fisiche, non è un
numero puro.
Possiamo riscrivere l'eq. di sopra nel modo seguente:
c=137*e^2/h
Questa equazione è dimensionalmente corretta e lega tra loro tre costanti
fondamentali della fisica: e,h,c.
Essa si puo' confrontare con quella che esprime la velocità del suono
nell'aria c_s in funzione
dei parametri fisici del mezzo di propagazione (densità, temperatura, ecc.).
(Non so se hai mai
sentito di parlare del metodo 'dimensionale' per ricavare l'espressione
approssimata di una grandezza,
una volta noti i parametri fisici da cui puo' dipendere: se applicassimo
questo metodo al mare di coppie,
otterremmo esattamente l'espressione di c data sopra).
Non è forse che questa equazione ci sta dicendo che la velocità della
perturbazione elettromagnetica
dipende dai parametri fisici del mare di coppie in cui si propaga ?
In effetti i parametri di questo 'mezzo'
sarebbero proprio la carica dell'elettrone e, attraverso il principio di
indeterminazione, la costante di
Planck (forse dei calcoli un pò più dettagliati potrebbero mostrare perchè
la massa dell'elettrone
non compare).
In questa visione inoltre la velocità della luce non sarebbe più una
costante della natura che piove
dal cielo, ma sarebbe una grandezza derivata: un passo in avanti non
trascurabile !
Justinian


mmmh... 
si osserva la polarizzazione del vuoto o si osserva il Lamb Shift
che pare essere spiegato esaurientemente dalla polarizzazione ? 
:-P
Ciao e grazie per l'interessante ripasso di QED: mi fa piacere ogni tanto
postare e leggere qualcosina di un po` piu` denso di F=ma (che per altro
mantiene sempre il suo fascino... ) 
;-)
-- 
           Alessandro ORLANDI
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*	Non esistono cose impossibili:					*
*	al massimo esistono cose che richiedono un tempo infinito.	*
*************************************************************************

processo reale mediato dal vuoto elettronico!
Ecco un processo, la polarizzazione del vuoto che si verifica ad esempio ad
altissimi
campi magnetici, che si potrebbe descrivere egregiamente nell'ambito del
'fluido'
di coppie e+e-.
E che dire della creazione di coppie dovuta a due fasci laser molto intensi
incidenti ?
Justinian

 conservazione!).
Scusa, a me non sembra troppo "simile". Per esempio, l'interpretazione
dei dati del deep inelastic ti dice (imho) che stai "osservando" quarks
(e gluoni). Il fatto che non si possa osservare una carica di colore
"nuda" non mi sembra un'impossibilita' di principio, ma solo una
conseguenza della dinamica del colore. Insomma, non li puoi osservare se
ti metti a distanze (molto) maggiori di un fermi. E questo in pratica
significa che non li puoi osservare tout-court (se per osservare intendi
vedere una traccia in un rivelatore etc). Se la tua sonda (il deep
inelastic) scende sotto il fermi, allora li osservi.
In fondo succede la stessa cosa (anzi, no, una cosa simile) con la Z.
Mica osservi la Z. Osservi i prodotti del suo decadimento.
Insomma, "osservare", oggi come ieri, secondo me va preso con un grano
di sale :-)
ciao

 :-P
La polarizzazione del vuoto si osserva davvero... (E' diverso dal Lamb
Shift, dove hai elettroni reali: in fenomeni osservabili della
polarizzazione del vuoto NON ci sono elettroni (reali)!).
Per farti un'idea quantitativa dai un'occhiata al Jeckson di
elettrodinamica (classica!) che ne parla un po' nell'introduzione o nel
primo capitolo, non mi ricordo bene.
 Ciao, Valter


 Ciao, si, concordo con te non sono cose molto simili: i due concetti di
 "inosservabilita'" sono diversi...grazie dei commenti.
 Valter

...

Questo è vero, ma è anche vero che se si può formulare una teoria intuitiva
che spiega altrettanto bene i dati sperimentali
che una teoria non intuitiva, allora si dovrebbe senz'altro preferire la
teorìa intuitiva.
Altrimenti la Fisica si riduce a un arido gioco di postulati e
dimostrazioni, senza avere l'eleganza
e la generalità della matematica: io credo che proprio questo sia il motivo
della
crisi della fisica moderna.
Justinian

R.G.
Non mi pare che il nostro amico si meravigli: mi pare che si chieda se in virtu`
di certe equazioni non abbia senso chiedersi se le o.e.m. si propaghino o meno
in un qualche tipo di mezzo: la cosa e` ben diversa.
Tu semplicemente hai accettato che le o.e.m. si propaghino nel vuoto, ma un buon
spirito scientifico impone di avere il coraggio di mettere in discussione anche 
i principi e le leggi piu` consolidate: e l'obiezione di Justinian mi pare lo
faccia su argomenti sensati seppur tutti da verificare, sviscerare, etc.
Ciauz
-- 
           Alessandro ORLANDI
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

giorno si scoprisse che anche le onde e.m. lo fanno.... ;-)
Uno dei punti che mi chiedevo  riguardo all'idea della propagazione nel gas
di e+e- è se
vi sia contraddizione con la costanza della velocità della luce in tutti i
sistemi di riferimento
inerziali.
Forse no, perchè essendo il gas di coppie conseguenza del principio di
indeterminazione,
ed essendo tale principio lo stesso in tutti i sistemi di riferimento
inerziali, pure
la velocità di propagazione dovrebbe essere la stessa. Dunque queste coppie,
se esistono
realmente, avrebbero proprietà diverse dal tradizionale 'etere'.
Justinian
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Attenzione: 
nello scattering fotone-fotone e` possibile ottenere e+e- anche dal punto di
vista diagrammatico:
   __e+
~~|__
~~   e-
ma questo non depone assolutamente in favore del fatto che il vuoto sia
popolato fisicamente di e+e-. (Non depone neanche contro..)
-- 
           Alessandro ORLANDI
e-mail   : 
a.or...@FAQTHESPAM.iol.it


R.G.
Anche la meccanica statistica, che assume i gas costituiti da molecole,
potrebbe
sembrare un puerile tentativo di descrivere i fenomeni termodinamici
applicando la meccanica
classica a fittizie particelle microscopiche.
Tuttavia la meccanica statistica ha costituito un notevole passo avanti per
la fisica moderna
(anche se, da un punto di vista pratico, il comportamento di un gas era già
ben descritto dalla
termodinamica in termini di grandezze macroscopiche, come pressione, volume,
temperatura).
Allo stesso modo potrebbe darsi che interpretare la propagazione delle onde
e.m.
come dovuta alla presenza di un gas di coppie e+e- risulti illuminante per
gli sviluppi
futuri della fisica (che ultimamente di sviluppi ne ha avuti ben pochi).
Questo anche se
la teorìa dei campi già descrive egregiamente le sezioni d'urto misurabili.
Justinian

..

Sono felice di sapere che non sono l'unico "idiota" a pensare certe cose. In
effetti anche io mi sono posto una domanda del genere, più in particolare
mi chiedevo per quale motivo fisico la velocità della luce (o di un onda
elettromagnetica generica) nel vuoto avesse un valore come quello che
effettivamente ha (non cominciatre ha storcere il naso e non ribattete con
cose del tipo: è solo una questione di unità di misura perhcè se la metti in
cubiti su ore viene un valore diverso...). Ovvero: la velocità di
propagazione di una perturbazione nell' aria ha un ben determinato valore
condizionato dalle caratteristiche dell' aria stessa (pressione temperatura
..), lo stesso accade per perturbazioni in oggetti rigidi in cui le
condizioni derivano dal valore del modulo di Young; ma allora perchè non è
possibile ricondurre la velocità di propagazione della perturbazione nel
campo elettro-magnetico nel vuoto alle caratteristiche intrinseche del
vuoto?
Cerco di spiegarmi meglio: la velocità c delle onde EM nel vuoto è dovuto
(parlo con le conoscenze che finora mi competono) alle costanti  epsilon e
mu (mi per chi vuole) dielettrica e magnetica nel vuoto che guarda caso
ridanno paro paro il valore della costante c: non è questo un indizio
chiarissimo che le proprietà elettriche e magnetiche del vuoto condizionano
la propagazione delle onde EM!? Lo so che evidentemente osceno parlare di
proprietà EMtiche del vuoto data la sua definizione ma la questone mi sembra
ben posta in quanto è comunque compresa la spiegazione del motivo per il
quale le normali onde non si propagano nel vuoto:
le proprietà elettriche e magnetiche non sono per cosi dire proprietà
"massive" come lo sono il modulo E di Young o la temperatura per cui
perturbazioni che sollecitano queste proprietà non vengono trasmesse.
Oltretutto le osservazioni fatte da Justinian riguardo la CDSF e la sua
relazione con c mi sembrano fondalmentalmente corrette. Se qualcuno che è
nettamente più informato di me (e ce ne, come se ce ne ! :-() e che
comprende il nostro (mi associo brutalmente con Justinian e Jago(AiR)) punto
di vista è così benevolo da portarmi delle spiegazioni su questi argomenti
gli sarei molto grato!
P.S.   Questo non centra assolutamnete nulla con la fisica però la mia
coscienza mi impone di disturbarvi: mentre vi scrivo sto ascoltando quella
boiata del Maurizio Costanzo Show sono presenti il figlio di Dario Fo
(almeno credo) e Cinzia Leone con un altro (il conduttore di Black out
..bo!), il figlio di Fo si sta sublimamente vantando della sua non conscena
di cosa siano le eq. di primo grado perchè tanto non gli sono mai servite
nella vita, quell'altro solerte gli ribatte con: "io non conosco i logaritmi
e non so fare le divisioni!"; tutto questo per dibattere sul tema dell'
insegnamento della matematica sui libri per ragazzi (secondo loro troppo
difficili).
Direi che ogni commento su questi atteggiamenti è superfluo. Scusate per lo
sfogo passionale ( anche al moderatore:-))).
Adriano Amaricci                                          /\
amar...@tiscalinet.it
                                  /  \
BUONE FESTE A TUTTI!!!!
                                                                      /
\           (un saluto particolare ai moderatori ed al buon
                                                                     / _ _\
Elio Fabri di cui aspettavo (credo tutti) il ritorno:-)))
                                                                         ||
                                                                        ^^

Sinceramente non capisco quasi nulla di questa discussione.
In qualche modo si cerca di vedere il "mare di coppie virtuali e+ e-"
(ma allora mettiamoci anche tutte le altre particelle virtuali 
di tutti gli altri campi e *anche* i fotoni virtuali...) come "mezzo
della propagazione" delle onde EM e si fa il paragone con il suono
nell'aria e roba simile.
Cosa e' una particella virtuale? Non si osserva *per principio*!
perche' non e' un oggetto fisico: viola leggi di conservazione, puo'
avere massa negativa ecc... Per ora e' solo un oggetto matematico che
esce fuori da una interpretazione di certi utili disegnini inventati da
Feynman che rappresentano termini di una serie la cui sola somma
puo' avere, in certi casi, significato. Questo accade quando la teoria
e' "perturbativa" cioe', per esempio quando non contiene "istantoni" e
non ha "vuoto classico degenere"...E anche in questi casi ci sono
problemi seri perche' ciascun termine della serie diverge e bisogna
"rinormalizzarlo" (= togliere delle infinita' solo ad un numero finito
di parametri, dandogli "a mano" i valori sperimentali,  in modo
fisicamente sensato ed in modo che la teoria rimanga "predittiva", cioe'
si possano comunque prevedere i valori di altri (infiniti) parametri.)
Ci sono teorie "non rinormalizzabili" come la gravita' quantistica
ingenua, e, infine anche quando si puo' rinormalizzare, la serie dei
termini rinormalizzati a sua volta diverge spesso  e bisogna
rimaneggiarla in vario modo, per esempio con la "risommazione di Borel"
oppure prenderla come una semplice serie asintotica. 
Tutto questo per fare capire che le particelle virtuali sono solo
l'ultimo pezzettino di una costruzione con molti problemi interpretativi
(anche se ha dato risultati eccellenti specialmente nella QED (dove la
serie rinormalizzata DIVERGE ciomunque!)).
Ma a parte tutti questi enormi problemi, la domanda  e': *cosa* e' che
oscillerebbe in questo mezzo di particelle virtuali?
Nell'aria sono onde di pressione, nel mare di particelle virtuali
cosa e'che oscilla? Non si puo' rispondere il campo EM perche'
ci morderemmo la coda! Bisognerebbe spiegare *che cosa e'* il campo
EM *in termini* di coppie virtuali, io non vedo proprio come fare e
nemmeno a che cosa servirebbe. Non avremmo un mezzo "meccanico"
(come l'aria) in cui si propaga una perturbazione di una sua qualita'
(pressione), ma avremmo un mezzo di "enti matematici inosservabili per
principio" in cui si hanno delle onde di qualche sua "qualita'".
Poi c'e' un'altra questione piu' sottile: appena si introduce la
gravita' non ha piu' nemmeno senso il concetto di particella *reale*
(nel senso delle particelle associate ai campi quantistici) perche'
queste sono definite attraverso il gruppo d'invarianza di Poincare' 
che non ha piu' senso nello spaziotempo con gravita'. E fino ad oggi non
c'e' nemmeno un concetto "approssimato" univoco di particella in tale
situazione figuriamoci le particelle virtuali....Non e' che sia un male:
questi problemi definitori sono quelli che alla fine "permettono" la
radiazione di Hawking dei buchi neri, ma non risolvono problemi di
fondo.
In ogni caso: nello spaziotempo con gravita' il campo elettromagnetico
si propaga ugualemnte, e in tal caso non ci sono particelle definite in
modo univoco, figuriamoci se ci sono "particelle virtuali"  definite
in modo non ambiguo. Come possiamo allora pensare che il campo EM si 
"propaghi" attraverso tale "mezzo"?
Ciao, Valter Moretti

gli sarei molto grato!
Anche a me piacerebbe sentire qualche critica cattiva, all'americana, a
questa idea.
Justinian

popolato fisicamente di e+e-. (Non depone neanche contro..)
Sono pienamente d'accordo: anche la termodinamica macroscopica descrive
bene la legge dei gas perfetti e i dati sperimentali, ma non ci dice nulla
sulle
caratteristiche microscopiche delle particelle che compongono un gas
perfetto.
Nel caso della meccanica statistica si riuscì a trovare un esperimento che
dimostrò
l'esistenza delle molecole (vedi il moto browniano). Magari si potrebbe
ideare un esperimento
che permetta di verificare se le coppie esistono veramente. Già una verifica
diretta della
polarizzazione del vuoto sarebbe un passo avanti.
Inoltre a me sembra carino pensare che la coppia e+e- c'è già, e il forte
campo elettrico dei
due fotoni incidenti non fà altro che separarla (opinione personale si
intende).
Justinian

principio" in cui si hanno delle onde di qualche sua "qualita'".
Io direi che le coppie sono molto difficili da osservare, non inosservabili
per principio. Almeno questo si deduce dal principio di indeterminazione,
Il vuoto potrebbe essere un 'mezzo', popolato da coppie che muoiono e
nascono
in continuazione, con frequenza e densità date dal principio di ind..
Ad esempio io potrei interpretare la 'creazione' di coppie data da due
fotoni incidenti,
come estrazione di coppie dal mezzo: dunque le coppie sono osservabili, pur
di usare
le energìe previste dal principio di ind..
Anche l'elettrone nello stato fondamentale dell'atomo di idrogeno non si
osserva e non emette
energìa, finchè non gli viene ceduta l'energìa necessaria per farlo salire
allo stato eccitato più vicino.
Justinian

Ciao, Valter Moretti
Hai perfettamente ragione.
Il punto e` che le teorie fin qui elaborate *suggeriscono* interpretazioni
probabilmente e sostanzialmente sbagliate (come quella della propagazione
di un o.e.m. in un gas di e+e-): pero` a volte per convincersi del fatto
che un'interpretazione fa cilecca, puo` essere utile portarla avanti fino
a quando si arriva a scoprire che si creano piu` problemi di 
quanti se ne risolvano.
Non credo che ci voglia molto a far vacillare la teoria del gas e+e-: ma
anziche` farlo dicendo che le cose stanno cosi` e cosa` (secondo la Fisica
odierna) trovo piu` divertente, interessante e demolitivo, far vedere che
questa "teoria e+e-" non e` abbastanza solida, sebbene a prima vista sembra
spiegare bene una manciata di cose (il che, non basta...)
Ciao.
-- 
           Alessandro ORLANDI
e-mail   : 
a.or...@FAQ.THE.SPAM.iol.it



L'idea di fondo penso sia quella di pensare i fotoni come una perturba_
zione che si propaga nel "vuoto e+e-" tramite il rilassamento e la
distensione di coppie e+e-;
vedile cosi`: e+_/\/\/\/\_e- carina no ? :-)
Il fatto che l'idea sia questa non significa che la condivida, mi limito
a discuterla volentieri con te, Justinian e gli altri.
Anzi secondo me come modello non puo` funzionare e sottoscrivo, tanto
per cambiare, quanto hai scritto nella presente.
Le mie obiezioni sono presenti in un altro post, se mai arrivera`...


realmente, avrebbero proprietà diverse dal tradizionale 'etere'.
Sebbene favorevole a discutere della possibile esistenza di questo gas e+e-
mi sto convincendo sempre di piu` che un tale gas non possa esistere.
Facciamo un modellino semi-classico (fatto su argomenti di plausibilita`):
1) ammettiamo che esistano le coppie e+e- e che popolino il "vuoto";
2) come sono fatte queste coppie ?
	2a) proposta: sistema binario di e+e- che ruotano intorno al centro di
	massa (bisogna rifare poi la trattazione quantistica... e qua c'e` gia`
	uno sgambetto e chi sa come nasce la teoria dei campi, lo intravede)
	Sarebbe bello fare 2 contici, anche classicamente per capire come sono 
	fatte queste coppie...
3) l'ipotesi (1) e (2a) implicano che la carica del vuoto sia nulla (bene!)
	3a) OBIEZIONE: globalmente la craica del "vuoto" sarebbe nulla pero`
	bisognerebbe verificare effetti locali (sulla scala della lunghezza
	delle coppie e+e-)...
4) PROBLEMA: accolta l'ipotesi (1) il "vuoto" dovrebbe avere MASSA INFINITA...
	4a) a differenza del caso delle coppie VIRTUALI, qui non si puo` riscalare
	la massa, perche`, accolta l'ipotesi (1), le coppie ci sono e basta,
	non si puo` piu` parlare di massa che "si crea e si distrugge" a spese
	dell'energia del fotone;
	4b) si puo` pensare che nella creazione di coppie e+e- l'energia del fotone
	venga assorbita per rompere l'energia di legame e+e-, ma rimane irrisolto
	il problema della massa infinita del "vuoto".
5) PROBLEMA: accolta l'ipotesi (2a) il sistema binario e+e- dovrebbe avere un 
momento magnetico e nel "vuoto" ci sarebbe un bel bordello.
	5a) sarebbe bello sapere se questo momento magnetico (fatti due conti) sia
	riconducibile a qualcosa di sperimentalmente noto (Spin o altro...)
	Qui passo la palla ai piu` audaci....
	5b) si puo` pensare che mediando sugli orientamenti possibili del piano di
	rotazione delle coppie e+e-, si ottenga per il "vuoto" un momento magnetico
	nullo.
6) ...
Tutto questo e` molto fantasioso e provocatorio, ma mi sembra sufficiente a far
vedere che come modello il "Gas e+e-" fa acqua da tutte le parti
(anzi: elettroni da tutte le parti...)
A parte scherzi, mi pare che crei piu` problemi di quanti ne risolva, pero` lo 
trovo lo stesso affascinante e stimolante.
Ciauz.


 fondo.
Qui avrei una domanda: mi pare di capire che quando parli di campi in
uno spazio-tempo non piatto, la metrica e' data a priori, non e'
modificata dalla presenza dei campi.
Se e' cosi', si aggiungerebbe un ulteriore problema se si volesse essere
coerenti, e ricordare che anche i campi modificano la metrica...
Dico bene?
Inoltre: dato tutto quanto precede, che cosa esattamente e' una QFT in
uno spazio-tempo curvo?
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
-------------------
Per rispondere, togliere le q dall'indirizzo
To reply, delete all q's from e-mail address

BUONE FESTE A TUTTI!!!!
E ora una parola su quella trasmisisone TV: l'intento di Fo era buono,
ma poi è caduto nel solito equivoco della "cultura coranica".
ma non avete sentito Sgarbi in parlamento sostenere cche Mussi è un
colto perchè ha citato una commedia di Plauto (lui dice di Terenzio)
pronunciandone il titolo che suona più o meno come
"Heautontimorumenos"?????      
Questi poveretti si credono colti se sanno pronunciare bene una folle
parola di greco antico. Purtroppo dovrebbero governare l'Italia.
Ernesto


uno spazio-tempo curvo?
bella domanda. dopo tre anni di tesi sull'argomento non l'ho ancora capito
bene :-). il concetto e` che su uno spazio-tempo curvo la determinazione
dello stato di vuoto dipende dall'osservatore. se cambi il sistema di coordinate
ti trovi un'altro stato di vuoto e il vuoto precedente non e` piu` annichilito
dal sistema precedente. per determinare uno stato di vuoto ragionevole 
usualmente si applicano condizioni "esterne", tipo condizione di hadamard,
condizione adiabatica (vedi birrel e davies).
diverso e` il discorso se lo spazio-tempo e` massimamente simmetrico. in questo
caso ogni osservatore vede il vuoto come vuoto, pero` anche in questo caso
c'e` liberta` nella determinazione del vuoto e bisogna comnunque ricorrere
a condizioni esterne.
comunque il concetto di particella su uno spazio-tempo curvo e` molto ambiguo.
anche divertente, direi. come ho detto prima rimando gli interessati alla
lettura del birrel e davies.
scusate il delirio ma vengo da due giorni di mangiate e bevute veramente
notevoli.
ciao
-- 
chicco

uno spazio-tempo curvo?
E` una teoria per principio approssimata: si assume che esiste un campo
gravitazionale descritto dalla RG e si costruisce sopra una teoria dei
campi quantistica (altri campi + gravitone linearizzato) piu` o meno
come nello spaziotempo classico, partendo da uno stato di vuoto scelto
con qualche criterio per esempio invarianza sotto un certo gruppo di
isometrie. Dico subito che in generale non c`e` un unico stato possibile
e che le teorie fatte su stati di vuoto diversi non sono quasi mai
unitariamente equivalenti, per cui si deve lavorare con C* algebre e
l`analogo del teorema GNS (dimostrato da B.S. Kay R. M. Wald nel 91) per
fare le cose per bene. Il concetto di particella non si prende nemmeno
in considerazione o meglio se ne usano definizioni piu` deboli basate
su gruppi di simmetrie piu` piccoli. E si scoprono molte stranezze
come il teorema di Sewell-Bisognano-Wichmann dove si prova che il vuoto
di Minkowski e` uno stato termico (pieno di particelle) per un
osservatore uniformemente accelerato nello spazio di Minkowski.
Questo risultato e` in realta` molto generale e ci sono alcuni 
teoremi che valgono per spaziotempo con orizzonte degli eventi di
Killing biforcato (Haag-Narnhofer-Stern,Hessling,Sewll,Kay-Wald),
 in cui si prova che esistono solo certi stati regolari in tali 
ambienti e che per certi osservatori sono visti come stati termici 
(per la varieta` di Kruskal lo stato regolare e` quello di
Hartle-Hawking che e` visto come uno stato termico [radiazione di
Hawking]
per osservatori infinitamente lontani dal buco nero che quantizzano
"come se fossero" nello spazio di Minkowski). Nel 96 io e poi 
S.Steidl ed io nel 97 abbiamo esteso alcune di questi risultati a casi
di varieta` con orizzonte di Killing non biforcato (buchi
neri estremi per esempio) mostrando che al contrario di quanto diceva
Hawking, la loro temperatura ovvero quella degli stati naturali dei
campi intorno ad essi,  e` esattamente nulla (gli articoli sono su
Class.Quant.Grav.)
Per i motivi detti sopra, nella teoria dei campi in spaziotempo curvo si
lavora praticamente solo  con quantita` locali come il valore mediato
sul campo del tensore energia impulso in un evento per un determinato
stato quantistico di campo. Quest`ultimo e` la sorgente gravitazionale
per la back reaction di cui sopra. Gia` a livello di teoria libera (in
questo ambito si dice teoria "quasi-libera") ci sono dei problemi di
rinormalizzazione delle quantita` locali  perche` il normal ordering non
ha piu` senso in generale (e` riferito pesantemente ad uno stato di
vuoto assoluto che non esiste). Esiste una teoria assiomatica (pero` un
po` troppo debole) della rinormalizzazione del tensore  energia impulso
dovuta a R. M. Wald e alcune teorie pratiche (per fare i conti) che
rispettano i suoi assiomi.
Dato che e` o forse dovrei dire e` stato il mio campo di ricerca,
aggiungo qualcosa riguardo ad alcuni dei miei contributi. Io ho 
lavorato in questo campo (rinormalizzazione del tensore energia impulso)
in pratica, estendendo, una procedura basata sulla teoria zeta di
Riemann (che gia` Hawking aveva usato per l`azione effettiva). Piu` di
recente ho provato l`equivalenza di tale approccio con quello del 
point-splitting di Wald ed altri dandone una versione improved di
quest`ultimo. Ed ho provato alcune congetture matematiche riguardo a
tutti questi argomenti, in particolare mi sono occupato di definire ed
usare la "rotazione di Wick" nello spaziotempo curvo (quasi tutto 
quanto ho detto e` pubblicato o in pubblicazione  su Phys Rev D, 
Commun Math Phys e J. Math Phys).
Una cosa interessante e` che in tutti i casi noti (per es. usando il mio
appproccio basato sulla funzione zeta lo abbiamo provato anche per il
buco nero BTZ in 3 dimensioni), quando si calcola la back-reaction
dovuta ad un campo quantistico, in uno spaziotempo con una singolarita`
nuda si crea un orizzonte degli eventi che la scherma! Questo fa pensare
che il "principio di censura cosmica" sia di origine quantistica, ma non
esiste una prova generale. Inoltre i tensori energia impulso quantistici
(cioe` valori medi quantistici locali dell`operatore tensore E-I)
violano quasi tutte le condizioni di positivita` del tensore energia
impulso della materia richiesti in RG. Per esempio nel caso della
radiazione termica emessa da un buco nero, questa e` possibile perche`
nello stato quantistico di materia attorno al buco nero, c`e` una
regione dell`ordine della lunghezza di Planck dove il tensore energia
impulso viola la dominant energy condition (viola anche le altre due) e
il flusso di energia impulso rispetto al vettore di Killing tempora
le di Schwarzschild attorno all`orizzonte degli eventi diventa un
quadrivettore di tipo spazio! Ecco perche` esce qualcosa dal buco nero,
perche` quello che esce viola la causalita`!
 Vabbe` mi fermo qui.
Vorrei dedicare a tutto il NG la presente "poesia" per buon augurio di
un nuovo millennio. Come vedrete si tratta di una parodia tratta dal
film Blade Runner. Dalle ultime parole del "replicante" Roy Batty,
liberamente adattate alla mia attuale carriera :-)
  "I`ve seen things you Physicists wouldn`t believe true:
  Electric devices on fire off low-energy laboratories.
  I wached the Super Symmetry glitters in the dark near the
  Physics-library gate...
  All those events will be lost in spacetime...
  like toner in laser printers.
  Time to become a Mathematician"
  Ciao a Tutti, Valter Moretti

 fotoni incidenti,
Aspetta cosa sono i fotoni? Io ero rimasto al campo di vuoto degli
elettroni e il campo elettromagnetico *classico* doveva essere una 
perturbazione del "mare delle coppie" ora tu stai quantizzando il campo
EM e mi parli di fotoni, ma se non mi hai ancora detto cosa e'
la versione classica. Mi sfugge veramente qualcosa in tutto quello che
stai dicendo.
Ciao, Valter e buon 2000!

 lettura del birrel e davies.
Ciao, permettimi qualche piccola osservazione, anche per rispondere in
modo un po' piu' completo (o almeno dare un'idea) a Elio su cosa diavolo
sia e quali siano i problemi aperti della QFT in curved spacetime.
In realta' non c'e' alcun modo
generale di associare stati di vuoto ad "osservatori" o "sistemi di
coordinate". Si riesce a fare qualcosa di piu'debole o forte a seconda
dei punti di vista. Gli stati di vuoto vengono associati a campi di
vettori di Killing con la condizione che gli stati restino "invariati"
sotto l'azione del gruppo di isometrie associate ai vettori (e cio'
non definisce in modo univoco gli stati!).
Poi ci sono osservatori pìarticolari che ammettono delle linee integrali
ai campi di Killing come (alcune delle) coordinate, solo in *questo
senso* c'e' un legame tra stati di vuoto e osservatori o coordinate.
Costruendo le particelle il generatore dell'azione della simmetria 
considerata su una particella si puo' pensare come una pseudo-energia 
se il vettore di Killing era temporale o un pseudoimpulso se e' spaziale
o cose simili a seconda dell'algebra di Lie se ci sono piu' vettori di
Killing. Poi ci sono distinzioni fini tra stati di vuoto (che possono
anche essere "termici" cioe' KMS) e stati fondamentali
(vedi il celebre Physics Report di Kay & Wald del 91 o 92)...
Quando la varieta' e' massimalmente simmetrica allora, come
correttamente affermi, accade qualcosa di analogo a quanto accade nello
spazio di Minkowski: e' possibile definire dei vuoti invarianti sotto un
gruppo completo di isometrie e per tutti gli osservatori connessi dal
gruppo delle isometrie (e solo quelli!!!) il concetto di particella (e
numero di particelle) e' assoluto quando e' riferito a quel vuoto. Pero'
ci sono anche qui dei problemi, per esempio se ricordo bene lo spazio di
deSitter ammette due possibili stati di vuoto invarianti sotto tutte le 
isometrie...
Quando non ci sono gruppi di isometrie non c'e' proprio niente da fare
per scegliere uno stato piuttosto che un altro e conviene rinunciare al
concetto di particella.
La condizione di Hadamard che tu citi, invece e' una condizione locale
che serve a ridurre il numero degli stati fisicamente ammissibili
(algebrici! ricordo che bisogna lavorare a livello di C*-algebre per
fare bene queste cose) dicendo che questi o meglio le loro funzioni di
Wightman a due punti devono avere un particolare comportamento per punti
"vicini", questo comportamento e' quello che ci si aspetta pensando che
lo spazio  tenda a diventare sempre piu' piatto per piccole distanze.
In piu' la condizione di Hadamard assicura (ma e' solo sufficiente) 
che il tensore energia impulso mediato su questi stati sia
rinormalizzabile secondo la procedura del "point-splitting" che e' nota
rispettare gli assiomi di Wald (ma e' piu' forte di questi a causa del
minor numero di controtermini che vengono fuori rispetto a quelli
ammessi da Wald). 
In realta' c'e' una vastissima letteratura sulla condizione di Hadamard
e ne esistono diverse definizioni non sempre equivalenti, ne ho discusso
direttamente con Bernard Kay e, molto meno, con Bob Wald.
In tutta franchezza io NON sono nemmeno certo che alla luce della
definizione data sul Phys. Rep. di sopra stati di Hadamard esistono
in una generica varieta' spaziotemporale.
C'e' un teorema di Verch che assicura che addirittura esistono e formano
un insieme denso nello spazio degli stati algebrici, ma non e' chiaro
(almeno a me) quale definizione e' stata usata. 
Poi c'e' il problema della simmetria dei coefficienti dello sviluppo
di Seeley-deWitt (che conoscerai bene visto che parli di condizioni
adiabatiche) che e' stato fondamentale nel provare che se uno stato 
e' di Hadamard ad un certo "istante" lo e' per sempre (teorema di
Fulling-Sweeny-Wald pubblicato su Commun. Math. Phys. a meta' degli anni
80 quindi prima della definizione odierna che e' del 91-92  data nel
report di sopra, ma Kay mi ha assicurato che il teorema funziona anche
con la nuova definizione). La stessa proprieta' e' fondamentale per
provare che il tensore energia impulso rinormalizzato con il
point-splitting e' conservato (vedi ultimo libro di Wald sulla QFT in
curved spacetime). La simmetria di tali coefficienti e' stata
presa per assunto e tutti si sono di fatto dimenticati di provarla
per piu' di 20 anni (alla fine l'ho fatto io in due anni di lavoro dopo
diverse discussioni con Kay, Wald, Avramidi, Giampiero Esposito e gente
di quel calibro su due articoli su Commun. Math. Phys.). Come vedi
ci sono ancora molte cose da fare e non tutto quello che si dice essere
stato provato (specialmente sul Birrell&Davies) lo e' stato fatto
davvero.  
Poi c'e' il problema della formulazione euclidea con al quale ho
lavorato per alcuni anni: le tecniche piu' eleganti di rinormalizzazione
basate sulla zeta-function spettrale funzionano solo su varieta'
euclidee, e la rotazione di Wick si riesce a fare solo consistentemente
e globalemnte in spaziotempi "statici" rispetto al vuoto statico
ottenuto da qualche estensione autoaggiunta dell'operatore euclideo del
moto (questa estensione e' unica se la varieta' e' compatta). La
rotazione di Wick
sui tensori E-I euclidei rinormalizzati con la zeta function in questi
casi produce lo stesso risultato del point-splitting Lorentziano (c'e'
un miuo recente articolo su J. Math. Phys. e un'altro su Commn. Math.
Phys. dove provo queste cose) e ne fornisce una versione migliorata
perche' determina completamente il termine che fornisce l'anomalia
conforme. Questa versione improved del point-splitting dovrebbe
funzionare anche se la sezione spaziale della varieta' non e' compatta
ma non ho mai avuto tempo di provarlo, (sarebbe un bell'argomento per
una tesi!). Recentemente ho capito che e' possibile definire
una rotazione di Wick anche se la varieta' non e' statica, ma non ho
ancora capito come si possa usare fisicamente (eccetto per una 
applicazione...).  
 Ciao, e auguri per la tesi! Ma dove e  con chi la stai facendo??
Valter

c'č qualcuno che abbia informazioni relative ad una teoria quantistica dello
spazio?

uno spazio-tempo curvo?
E` una teoria per principio approssimata: si assume che esiste un campo
gravitazionale descritto dalla RG e si costruisce sopra una teoria dei
campi
quantistica (altri campi + gravitone linearizzato) piu` o meno come nello
spaziotempo classico, partendo da uno stato di vuoto scelto con qualche
criterio
per esempio invarianza sotto un certo gruppo di isometrie. Dico subito che 
in generale non c`e` un unico stato possibile e che le teorie fatte su
stati di vuoto diversi non sono quasi mai unitariamente equivalenti, per
cui si deve lavorare con C* algebre e l`analogo del teorema GNS
(dimostrato da B.S. Kay e R. M. Wald nel 91) per fare le cose per bene. Il



rispetto al vettore di Killing temporale di Schwarzschild attorno
all`orizzonte degli eventi diventa un quadrivettore di tipo spazio! Ecco
perche` esce qualcosa dal buco nero, perche` quello che esce viola la
causalita`!
 
 Vabbe` mi fermo qui.
Vorrei dedicare a tutto il NG la presente "poesia" per buon augurio di un
nuovo millennio. Come vedrete si tratta di una parodia tratta dal film
Blade Runner, dalle ultime parole del "replicante" Roy Batty, liberamente
adattate alla mia attuale carriera :-)
  "I`ve seen things you Physicists wouldn`t believe true:
  Electric devices on fire off low-energy laboratories.
  I watched the Super Symmetry glitters in the dark near the


Ciao, Valter e buon 2000!
OK, sono d'accordo che l'idea fà un pò acqua, e che se fosse credibile
qualcuno l'avrebbe già sviluppata. Tuttavia la discussione mi pare
estremamente interessante.
Justinian

  Ciao a Tutti, Valter Moretti
 Bella parodia, bella poesia.


ti rispondo via mail.
ciao


caro edoardo, lo sai che il sale fa male?

stai dicendo.
Nel mio discorso fotone=perturbazione nel mezzo di coppie.


Ciao Justinian, in tutta franchezza non sono in grado di capire quello 
 che dici al di fuori di qualche pura e vaga analogia che pero' non vedo 
 come si possa quantificare in una teoria fatta di proposizioni e 
 formule. Riguardo all'identita' fotone = perturbazione 
 coppie, non funziona. Funzionerebbe al limite onda elettromagnetica = 
 perturbazione (ma secondo me a meno che tu non lo provi non funziona 
 nemmeno questo). I fotoni NON sono le onde elettromagnetiche (che 
 invece correttamente sono perturbazioni del campo EM classico).
 Per passare dalle onede EM ai fotoni la strada e' piuttosto 
 complicata, molto piu' complicata che per le altre particelle, perche' 
 la "seconda  quantizzazione" non e' qui cosi' ovvia a causa 
 dell'invarianza di gauge che si accoppia in modo "perverso" con 
 l'invarianza sotto il gruppo di Lorentz e, per esempio per mantenere 
 la covarianza a vista della teoria, bisogna inventarsi procedure 
 matematiche nuove che escono dal normale spazio di Fock-Hilbert...
 (il cosiddetto formalismo di Gupte-Bleuler per esempio...)
 
 Se sei in grado di sviluppare la tua idea in una teoria fisica e
 matematica ok, fallo e mandalo ad una rivista. Io, in tutta franchezza,
 da quello che tu dici, insieme a quello che conosco, non sono in grado 
 di tirare fuori nulla, pero' non ho la scienza infusa e potresti avere 
 ragione tu. Ma se tu che devi dimostrarlo non puoi accontentarti 
 di noi che possiamo fare o non fare obbiezioni alla tua idea: e' cosi' 
 che funziona, chi ha una proposta deve provarla per esempio mostrando 
 come la nuova teoria  prevede fenomeni nuovi possibilmente 
 *quantitativi* o spieghi quantitativamente fenomeni fino al momento 
 inspiegabili, non e'compito degli altri nella comunita' scientifica di 
 cercare di provare che l'idea funziona o non funziona. 
 Nel lavoro di ricerca, parlo per eseprienza personale, ci sono un 
 mucchio di idee che vengono in mente, normalemnte il 90% sono 
 sbagliate, il 95% non si riescono a portare avanti anche se all'inizio 
 sembravano geniali, di quel misero 5% si riesce a tirare fuori qualche 
 articolo, pubblicabile, per anno. 
 
 Non conosco la tua cultura fisica e matematica, che cosi' ad occhio 
 mi sembra di uno che frequenta i primi anni di universita' forse
 alle prese con l'esame di istituzioni di fisica teorica...  
 Ma se sei sicuro della tua intuizione, continua a studiare e cerca di
 tirare fuori "i numeretti" che per Feynman significavano "buona 
 fisica".  Io ho gia' detto la mia diverse volte, puoi aspettare i 
 pareri di tutti gli altri su questo NG, ma per propagare le proprie 
 idee all'interno del mondo scientifico "ufficiale" non e' questo il 
 posto (anche se puo' essere questo il posto per 
 discuterne informalmente come abbiamo fatto fino ad ora), bisogna 
 scrivere e pubblicare un articolo su qualche rivista tecnica.
 Auguri, Valter Moretti.


Nel 1947 sulla rivista "Physical Review", Alfred Schild pubblicò un
articolo teorizzando uno spazio discontinuo. Poi su "Canadian Journal
of Mathematics" Schild scrisse un articolo più completo sul suo
modello di spazio-tempo reticolare.
Questa teoria è stata poi ripresa da Walter Cassani per la sua "Teoria
Ondulatoria di Campo" che incontra però la disapprovazione di quasi
tutti gli addetti ai lavori. Io non sono in grado di giudicarla, ma da
lettore, mi parve assai intrigante.
Ernesto


Sono quasi sei anni che cerco critiche, costruttive o distruttive che
siano, per una nuova sintesi (Teoria dello Spazio Quantizzato) che e' il
risultato
di quasi trenta anni di studio e sperimentazione (personale e del mio gruppo
di ricerca).
Negli ultimi tempi ho potuto costatare, anche grazie ad Internet, che nel
panorama della Scienza ci sono diversi  scienziati-studiosi  a volte
irrequieti, ritenuti scomodi,
che cercano di comunicare i loro innovativi pensieri, ne cito alcuni :
Walter Cassani (Teoria Ondulatoria del Campo)
Antonino Ciancitto (Teoria dei Fotoni e degli Elettroni)
E. Laureti (Propulsione Non Newtoniana)
Renato Palmieri (Fisica Unigravitazionale)
Italico Paludet (L'Analogico) (non ancora contattato)
Giuliano Preparata (Fusione Fredda)
Con molti di questi  ho cercato di entrare in contatto, ma a parte
l'eccezione dei Proff. Emidio Laureti e Renato Palmieri (con cui stiamo
collaborando), nella maggioranza dei casi ho avuto uno scarsissimo
interessamento , quasi  esponessi  ragionamenti astrusi o privi di
significato o ancora fossi un avversario da tenere a bada.
Ho provato anche con scienziati affermati, ma, con ancora minore
considerazione sono stato liquidato.
Non cerco gloria o pubblicita‘ ma mezzi , comunicazione e condivisione,
vorrei dare e ricevere giusto confronto da tutti e per tutti , deve vincere
la Scienza,
l’Unificazione.
Sicuramente l’unione di piu’ forze ci porterebbe  con grande accelerazione
verso nuovi orizzonti.
La mia esperienza di elettronico sperimentale  e’ sfociata nella teoria
principalmente per l’ostinato approfondimento della realta’ fisica,  e mi ha
portato ad
averne una visione estremamente concreta, lontana da concetti astratti.
Espongo  brevemente  una delle risultanze piu' evidenti della T.S.Q. : Lo
Spazio non e' vuoto,  e  per tale condizione ha una frequenza di risonanza
che corrisponde allo spin dell'elettrone.
Tradotto in formule :
Dato:
pi=3.1415
mu0=permeabilita' magnetica del vuoto
4*pi*10^-7 Henry/metro
Epsilon0=costante dielettrica del vuoto
8.8541*10^-12 Farad/metro
h = Costante di Planck 6.63 * 10^-34 Joule*secondi
Lambdae=Lunghezza d'onda Compton per l'elettrone
2.4263*10^-12 metri
f0 = 1 / (2*pi*( L*C)^0.5)                          (1)
E = h*f                                                        (2)
La formula (1) determina la frequenza di risonanza
di un circuito Induttanza-Capacita'
La formula (2) determina l'energia del quanto di
azione di Planck alla frequenza f
sostituendo nella (1) i parametri del "vuoto" :
L= (mu0*Lambdae)/(2*pi)
C= (epsilon0*Lambdae)/(2*pi)
la f0 che si ottiene e' proprio uguale alla frequenza Compton per
l'elettrone.
Mettendo nella (2) la f0 cosi' ottenuta, si ha come risultato
E=8.187 * 10 ^-14 Joule
che risulta essere esattamente l'energia-massa di un elettrone.
L’esatta quantita’ del quanto di energia di Planck  applicato ai fotoni
sulla frequenza Compton dell’elettrone puo’ dar luogo a un “fotone stabile”,
in risonanza con lo Spazio, l’elettrone.
(cio’ vale anche per il nucleone(protone)  seconda risonanza dello Spazio)
materia = onda(energia) stazionaria nel quanto di Spazio
Si puo’ quindi sintetizzare che lo Spazio e’ quantizzato/abile, ed  ha  una
frequenza di risonanza .
La frequenza di risonanza dello Spazio e’ l’elettrone.
Da questi semplici ragionamenti e risultanze e' stata trasposta la
quantizzazione dall'energia allo Spazio, che e' il vero quantizzatore.
L'energia appare essere quantizzata, perche' e' il suo “contenitore” (lo
Spazio) ad esserlo.
La materia risulta quindi essere un’onda stazionaria in risonanza nel quanto
di Spazio individuato.
La Teoria dello Spazio Quantizzato potrebbe essere il trampolino di lancio
per :
* L' unificazione dei campi
* La propulsione nello spazio classicamente non Newtoniana
* La produzione di energia pulita e a basso costo
Ci sono molte altre implicazioni (anche cosmologiche) ma non mi dilungo
avro'
tempo di iscuterne e sperimentarle nei luoghi e nei modi opportuni.
per ulteriori dettagli chiunque puo' contattarmi direttamente o visitare il
sito:
http://www.geocities.com/Capecanaveral/Hall/4138
Cordiali Saluti
Francesco Santandrea


Non riesco a capire alcune cose:
- perche' nel gas virtuale si propaghi una perturbazione ci dev'essere un
fenomeno fisico analogo alla pressione dei gas reali; in tal caso qual'e' ?
- gli urti tra particelle virtuali sono governati da quali leggi ?
Per essere piu' esplicito ho l'impressione che tu voglia sopprimere anche il
campo elettrico, altrimenti non vedo la semplificazione del modello che
proponi.
Ciao.
----------------------
Daniele Onorati
daniele...@tin.it
dono...@tin.it
ono...@freemail.it
----------------------

 fare una domanda a Valter Moretti riguardo la risposta data ad Elio: mi ?
(Taglione)
Caro Adriano, vedo solo ora il tuo post, mi fai un mucchio di domande
difficili!
Appena ho un po' piu' di tempo vedo di rispondere una ad una.
Ciao, Valter Moretti

 lettore, mi parve assai intrigante.
Su it.scienza ho avuto una breve discussione con Cassani su questo
articolo di Schild (la discussione e' stata interrotta sul piu' bello
proprio da Cassani, che da allora non si e' piu' fatto vivo su
it.scienza). Di fatto mi pare che Cassani abbia travisato i risultati
ottenuti da Schild in questo articolo.
ciao,
	Em.