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Titolo: Problea cretino? :)

Questo il testo
Un disco di fronte ad uno specchio
Nel punto focale di uno specchio concavo di raggio di curvatura r = 2
m e diametro di apertura d = 0.5 m, e' posto uno schermo circolare in
modo tale che tutti i raggi incidenti paralleli all'asse ottico
principale e riflessi dallo specchio lo raggiungono.
Determina il diametro dello schermo.
Quale frazione della luce incidente raggiunge lo schermo posto nella
stessa posizione se il suo diametro e' solamente un ottavo di quello
del primo caso?
Ora, se non sbaglio i conti (ed a questi livelli spererei davvero di no), un
raggio proveniente da distanza infinita è sempre riflesso nel fuoco. Se io
lo schermo lo piazzo per l'appunto nel fuoco, tanto vale prenderlo
puntiforme, no? Cioè diametro = 0!!!
Dov'è che sbaglio?
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Per avere un fuoco "puntiforme", per fascio parallelo
diretto come il suo asse,  lo specchio dovrebbe essere
parabolico e non sferico.
Il fascio di raggi riflessi da uno specchio sferico
inviluppa una curva che si chiama "caustica di riflessione".
Se ne puo' vedere un pressapoco sulla superficie del latte
in un bicchiere di vetro illuminato di fianco.
Gia' la determinazione del "punto focale" dove posizionare
lo schermo e' opinabile in uno specchio sferico. Assumiamo
la parte centrale dello specchio (infinitesima e quindi
assimilabile al paraboloide di cui sopra) e allora il fuoco
si trova a r/2 dal vertice dello specchio.
Passato un piano perpendicolare all'asse per il fuoco,
immaginiamo che lo schermo giaccia su di esso. Calcoliamo il
punto estremo della caustica considerando il raggio che
dall'infinito si riflette sul bordo dello specchio e
calcoliamo il punto di impatto col piano di cui sopra. La
distanza di questo punto dal fuoco sara' il raggio richiesto
dalla prima domanda.
Per rispondere alla seconda prendiamo il punto distante 1/8
di quello precedente e facciamo il calcolo a ritroso
individuando il punto dello specchio in cui e' riflesso
questo raggio.
Il rapporto tra la superficie del cerchio  passante per il
punto trovato e quella del cerchio di diametro uguale a
quello dello specchio dara' la frazione di luce incidente su
questo schermo piu' piccolo.
Auguri!
Mino Saccone

 writes:
S> Ora, se non sbaglio i conti (ed a questi livelli spererei davvero di
S> no), un raggio proveniente da distanza infinita è sempre riflesso nel
S> fuoco. Se io lo schermo lo piazzo per l'appunto nel fuoco, tanto vale
S> prenderlo puntiforme, no? Cioè diametro = 0!!!
Questo sarebbe vero se lo specchio fosse parabolico, ma per uno specchio
sferico cosi` "aperto"  (f/2) l'aberrazione sferica fa si`  che il punto
focale non sia  in realta` un "punto" [*]  ma una figura tridimensionale
detta "caustica": mettendo un disco alla distanza della lunghezza focale
teorica (1/2  del raggio  di curvatura) quella  che si ottiene  e` l'im-
magine di un disco.
Purtroppo non ricordo le formule per il calcolo delle dimensioni di tale
disco... Usando un modello "geometrico" per l'ottica, dovresti calcolare
a  che distanza  dall'asse ottico  incide un  raggio  riflesso rispetti-
vamente dal  bordo dello specchio  e da una  zona nei pressi  del centro
(ovviamente il  tutto alla  distanza del punto  focale, 1 metro  nel tuo
caso).
	[*]  anche nel caso  di un  paraboloide perfetto  l'immagine nel
	punto focale non sarebbe un punto, ma un cerchio (disco di Airy)
	circondato da anelli  luminosi via via piu` deboli  e causati da
	fenomeni  di  diffrazione.  L'ottica  geometrica  non  considera
	questi fenomeni.
Saluti,
Luca Polo.
-- 
Luca.Polo @ 
gest.unipd.it
Associazione Astrofili del Basso Vicentino "Edmund Halley"
http://halley.astrofili.org
 -- 
http://digilander.iol.it/aabv
 
e-mail: 
hal...@astrofili.org
 

 dalla prima domanda.
Che è quello che ho fatto, in effetti mi sono reso conto subito dopo di come
risolverlo, ma non è venuta una bella cosa (tipo 4 mm di schermo!), non è
che c'è una formula "corretta" dell'ottico che comprenda anche le
aberrazioni?



Beh, non ho valori di riscontro, ma un raggio di 4 mm non mi pare
cosi' sbagliato, per lo meno non tanto da farmi sobbalzare sulla
sedia.
La formula "corretta per le aberrazioni" e' piu' o meno quello che si
e' fatto. L'aberrazione consiste proprio nel fatto che l'immagine di
un punto all'infinito non puo' essere raccolta (ancora puntiforme)
dovunque si metta lo schermo. Cio' si chiama infatti "aberrazione di
sfericita'". Tutto questo si badi bene in pura ottica geometrica senza
quindi fenomeni di diffrazione. Questi sarebbero comunque dell'ordine
lambda * f con lambda circa mezzo micron e f = 2 quindi dell'ordine
del micron, molto poco rispetto ai 4 mm dovuti alla sfericita'!
Saluti
Mino Saccone