Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: problemi con i gruppi ad un parametro di operatori unitari

Ciao a tutti, vi scrivo per sottoporvi un problema.
Sia A un operatore autoaggiunto (non necessariamente limitato) e x
appartenga al dominio di A, definito in uno spazio di Hilbert H; si
consideri la funzione
X(t)=(x,exp(-itA)x) per t reale.
Date le due proposizioni P="A è un operatore limitato su H" e Q="X è una
funzione analitica", vorrei un aiuto per decidere se esistono delle
implicazioni tra le due.
Molte grazie.

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
Se ti interessa consultare testi sull'argomento ti consiglio vivamente il
Reed-Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics", Academic Press (mi
sembra il secondo volume ma non ci giurerei).
Comunque per quanto riguarda il tuo problema specifico, eccoti un utile
teorema (tratto del libro citato in precedenza:
TEOREMA
A operatore autoaggiunto, U(t) = exp(itA)
1) per ogni t reale U(t) e' un operatore unitario e U(t+s)=U(t)U(s) per ogni
t,s reali.
2) se v e' un vettore dello spazio di Hilbert, U(t)v tende a U(s)v per t che
tende a s (chiaramente in norma Hilbert)
3) se u (vettore in H) appartiene al dominio di A, (U(t)u - u) / t  tende a
iAu per t che tende a 0
4) se esiste il limite per t che tende a 0 di (U(t)u - u) / t allora u
appartiene al dominio di A
Non ho pensato a lungo alla soluzione del tuo problema, ma a prima vista, la
risposta sta tutta nelle proprieta' 3) e 4), infatti se A e' limitato il suo
dominio e tutto lo spazio di Hilbert e allora la 3) ci dice che la funzione
e' analitica (se e' analitica U(t)u a maggior ragione (per la continuita'
del prodotto scalare) lo sara' (u,U(t)u)), mentre se la funzione e'
analitica per un certo x allora la proprieta' 4) ci assicura che x
appartiene al dominio di A ossia che A su x e' limitato, se la cosa vale per
l'intero H evidentemente A e' limitato.
Non so se sono stato chiaro, comunque, dai una letta al libro...sara'
senz'altro piu' chiaro dei miei farfugliamenti :-).
A presto,
Martin Sileno

 

Ciao Martin, si e' discusso  sul problema su it.scienza.matematica e
abbiamo dato due dimostrazioni diverse per
P => Q ma anche ho dato una dimostrazione per Q => P quando Q e'
rafforzato richiedendo che l'analiticita' vale per tutti gli x.
(purtroppo mi sembra che siano spariti quasi tutti i posts di
it.scienza.matematica e di 500 circa che erano sono rimasti un centinaio
per cui non riesco piu' a trovare i posts in questione).
Quello che non capisco in quello che dici (il teorema che citi e' 
l'inverso del "teorema di Stone") e' come fai a dire che 3) implichi
l'analiticita' della funzione in questione se A e' limitato.
Cio' sarebbe vero se il limite nel punto 3) fosse calcolato per t
complesso esistendo la funzione in questione in un intorno complesso di
t=0, ma il teorema che citi non lo dice. E' vero che se A e' limitato
allora la funzione e' definita per t complesso e il limite si puo'
calcolare anche per t complesso, ma e' proprio questo che bisogna
provare!
L'uso del punto 4 implicherebbe come sostieni la limitatezza di A.
Tuttavia il punto 4 lavora nella topologia forte, mentre il
problema posto e' dato usando la topologia debole. Quindi il fatto
che Q => P quando la proprieta' Q vale per tutti gli x e' un po' 
(solo un po') piu' complicata da provare.
Ciao, Valter Moretti
 
Dipartimento di Matematica
Universita' di Trento