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Titolo: Chiarimenti sul principio di minima azione.

Nel cercare informazioni sul principio di Hamilton mi sono imbattutto su 
questo sito 
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/PrincipioDiMinimaAzione.htm
 
dove viene riportata una spiegazione del principio di minima azione.
Quasi sul finire della spiegazione l'autore afferma che il "moto reale" 
fra il punto iniziale ed il punto finale è quello per cui l'area, 
formata dal grafico della lagrangiana L, è minima. Poi continua "Le 
varie funzioni orarie possibili determinano grafici della lagrangiana 
con relative aree via via diverse. il moto avverà solo con l'equazione 
oraria che rende minima quell'area.....il principio di minima azione si 
esprime affermando che l'integrale (l'azione) deve essere minimo."
Una cosa, tra le tante altre :-), che non ho capito è che per quella 
particolare funzione oraria scelta il punto sarà soggetto a particolari 
forze e conseguenti velocità che saranno peculiari per ogni legge 
oraria, quindi, dov'è che si effettua la scelta? Se ad ogni funzione 
oraria è associata una lagrangiana perchè devo considerare quella per 
cui l'area del grafico della lagrangiana sia minimo, se ad ogni funzione 
oraria corrisponde una altro moto? Perchè mettere insieme le diverse 
funzione orarie che non hanno niente in comune se non il tempo e 
posizione iniziale e tempo e posizione finale?
Naturalmente da queste domande si evince che non ho colto l'essenza del 
principio di Hamilton spero che riusciate a farmelo capire.
Grazie
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 oraria, quindi, dov' che si effettua la scelta?
Quando si effettua lavariazione, si intende, di solito, a fissare
posizione ed istante iniziale e posizione ed istante
finale della traiettoria. Il resto e' arbitrario. Il che significa che
ti scegli una traiettoria *qualunque* e ti
calcoli l'azione (fisate gli estremi come su scritto). Poi ti scegli
un'altra traiettoria che rispetti quelle condizioni
e vedi se l'azione e' diversa o meno.
Il campo di forze e la forma matematica dell'energia cinetica (che ti
permettono di calcolare la lagrangiana) ti
determinano il moto una volta nota la posizione iniziale e la
velocita' iniziale, qui invece la velocita' iniziale non
ce l'hai ed inoltre e' fissa la posizione finale, dunque e' un
problema di tipo differente.
Il calcolo delle variazioni ti permette di concludere che, sotto
opportune altre ipotesi, l'azione e' stazionaria sulla
traiettoria reale e le equazioni di Lagrange che se ne deducono:
d/dt (@L/@q'_i)  =  @L/@q_i
q_i = i-esima coordinata generalizzata
q'_i = derivata temporale di q_i
L = lagrangiana
ti permettono di trovarla, questa traiettoria reale.
Facciamo un esempio: all'istante t = 0, lancio un proiettile con un
cannone, inclinazione 45°, dal punto di coordinate
(0,0) e voglio colpire il punto di coordinate (100,0) all'istante t 7. Quale sara' la traiettoria del proiettile?
Tenuto conto che l'energia potenziale e' mgy, la lagrangiana, che e' T
- V,
dove T e' l'energia cinetica e V e' l'energia potenziale, si scrive:
L = m/2 (x'^2 + y'^2 - 2gy)
Calcoliamo le derivate di L rispetto alle due coordinate generalizzate
(x e y) e rispetto alle loro velocita':
@L/@x = 0  ;  @L/@y = -mg
@L/@x' = mx'  ;  @L/@y' = my'
Allora le due equazioni di Lagrange sono:
1. d/dt (mx') = 0
2. d/dt (my') = -mg
Dalla prima si ricava che x' e' costante: x' = V0x, ovvero x(t) V0x*t
dalla seconda si ricava l'equazione differenziale:
y'' = - g
che integrata da':
y(t) = V0y*t - 1/2 g*t^2
Le due equazioni che hai trovato:
|x(t) = V0x*t
|
|y(t) = V0y*t - 1/2 g*t^2
sono le note equazioni del moto in un campo gravitazionale uniforme.

 ...
Vedo che ti ha gia' risposto cometa luminosa, ma secondo me e' andato
troppo oltre rispetto al tuo problema.
In effetti Amadori ha mancato di spiegare con chiarezza che cosa sia
questa misteriosa "lagrangiana".
cometa luminosa te l'ha detto: intanto la trattazione lagrangiana non
e' possibile per qualsiasi problema di meccanica. Per es. non lo e' se
sono presenti forze d'attrito.
Il caso piu' semplice e comune e' quello in cui le forze agenti siano
*conservative*, e allora la lagrangiana e' semplivemente la differenza
tra en. cinetica ed en. potenziale.
C'e' *una sola* lagrangiana per un dato problema, e per una data legge
oraria del moto (non solo traiettoria, ma anche legge temporale con
cui e' percorsa) tu puoi istante per istante calcolare T e V, fare la
differenza ottenendo L, e poi eseguire l'integrale (azione) fra i due
istanti t1 e t2: l'area di cui parla Amadori.
Quindi puoi confrontare gli integrali ottenuti per diverse leggi
orarie e vedere quale sia quella per cui l'azione e' minima.
(Parentesi: e' vero che a rigore l'azione non e' sempre minima, ma solo
stazionaria; pero' in molti casi semplici e' effettivamente minima,
quindi possiamo tralasciare la complicazione per capire l'essenziale
del discorso.)
Spero che questo ti abbia aiutato a capire meglio.
 
-- 
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.

Elio ti ringrazio per il tuo intervento.
Faccio qualche premessa.
Sto studiando, per diletto, le dispense di Galgani "appunti di meccanica 
razionale 1". Nell'affrontare il capitolo che riguarda gli argomenti 
relativi al principio di minima azione sono stato condizionato dalle 
letture fugaci che avevo fatto in precedenza. La cosa che mi era rimasta 
impressa e che il principio di minima azione si concretizzava nella 
"scelta" che faceva la natura di determinati moti rispetto ad altri in 
termini di economicita' di qualche grandezza.
Ritornando al sito citato in precedenza quello che non riesco a capire 
e' questa frase. "Le varie funzioni orarie possibili determinano grafici 
della lagrangiana con relative aree via via diverse. Il moto
avverra' solo con l'equazione oraria che rende minima quell'area !!!"
Ma se sono possibili diverse funzioni orarie esse non stanno gia' a 
dimostrare che sono possibili diversi moti? Perchè sceglierne solo uno 
possibile?
Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge ed è molto probabile che anche se 
stia cercando di studiare il Galgani ci abbia capito poco.


 cannone, inclinazione 45°, dal punto di coordinate
Si ho capito l'esempio.
Forse non ho esplicitato bene il problema o forse hai cercato di 
rispondermi ma non ho capito in pieno la tua risposta.
Io no riesco a capire come da questa affermazione, presente sul sito, 
"fra le varie possibilita' di moto inanimato, la natura sceglie sempre 
il cammino piu' vantaggioso". Derivato tutto il resto.
Cioè da dove si evince che "...la natura sceglie sempre il cammino piu' 
vantaggioso"
Grazie per l'eventuale risposta.


 possibile?
Francamente faccio fatica a capire dovi stia la tua difficolta'.
Proviamo ad aggirare il problema, parlando (apprentemente) d'altro.
Considera un oscillatore armonico, e dimentica azione e lagrangiana.
Ti domandi: come si move questo oscillatore?
Ossia vuoi conoscere la funzione x(t), fra tutte quelle possibili, che
rappresenta il moto reale di quell'oscillatore, di data massa, data
costante elastica, e con date condizioni iniziali.
Sai benissimo come fare: scrivi F=ma, la consideri come un'eq. diff.
(di secondo ordine) per la funzione x(t), risolvi il problema
di Cauchy con le date cond. iniziali, et voila': hai trovato la legge
oraria del moto.
Perche' non ti poni lo stesso problema?
Anche qui "sono possibili diverse funzioni orarie", ma tutte tranne
una non soddisfano l'equazione e le cond. iniziali.
Nel caso del princ. variazionale e' lo stesso: sono "possibili"
infinite x(t), ma solo una rende minima l'azione.


 vantaggioso"
"Piu' vantaggioso" non so quanto appropriato sia in questo caso, direi
solo che l'azione e' minima (piu' precisamente, stazionaria, come
avevo scritto).
Nell'analogo ottico di cui ti ho fatto un accenno, il
"piu' vantaggioso" ha invece un significato piu' intuibile: significa
che la luce sceglie il percorso di minor tempo di percorrenza
(principio di Fermat).
--
cometa_luminosa

 infinite x(t), ma solo una rende minima l'azione.
Caro Elio cercherò di farti capire i miei dubbi anche usando un 
linguaggio "brutale".
Se per determinate condizioni iniziali è possibile, nel senso che nella 
realtà si verifica, solo quel particolare moto non capisco perchè 
confrontare questo particolare moto, cioè funzione oraria, con le altre 
che tanto non sono possibili, cioè non accadono in natura. A me sembra 
di capire, e non so se sbaglio, che per ogni determinata funzione 
oraria, che soddisfa l'equazione e le condizioni iniziali, l'azione sarà 
minima. Questa è una caratterizzazione che certamente mi sarà utile in 
argomenti che affronterò in futuro, spero, ma che al momento mi sembra 
solo un processo matematico privo di una qualche utilità. Una cosa del 
tipo. Considero il punto iniziale q1 e il punto finale q2. Consideriamo 
il moto che si svolge partendo al tempo t1 in q1 fino al punto q2 al 
tempo t2. I moti possibili saranno infiniti e dipenderanno dalle 
condizioni iniziali. Quello che si realizzerà nella realtà sarà solo uno 
legato a quelle particolari condizioni iniziali. Allora che faccio 
considero anche i moti che non si sono verificati, calcolo l'azione per 
essi, e mi rendo conto che l'azione è minima per il moto che realmente 
si è verificato in natura? Non lo so c'è qualcosa che mi sfugge e non 
riesco a capire. Soprattutto per l'affermazione che la natura "sceglie 
propio quel moto". Forse sto facendo troppa confusione e non ne riesco 
ad uscire.
Adesso ripropongo l'esempio che fa anche Galgani. Scusami per la 
notazione che, forse non sarà appropiata.
Caso della particella libera vincolata ad una retta in assenza di forze 
attive. La lagrangiana sarà 1/2v^2 con m=1. Consideriamo i moti 
nell'intervallo t0=0 e t1=1 con x(0)=0 e x(1)=1. Esisteranno infiniti 
moti. Per esempio x(t)=t o x(t)=t^2 o in generale x(t)=t^n. Se 
consideriamo il moto x(t)=t^2 l'azione S=2/3. Per x(t)=t^n S=0,5 
n^2/(2n-1). Per x(t)=t S=1/2. Quindi considerando tutti moti del tipo 
t^n, con n=1,2..., per la funzione x(t)=t l'azione sarà minima rispetto 
a quelle che soddisfano i moti su descritti.
Che significa fisicamente questo? C'è qualche particolarità che dovrei 
cogliere?
Scuasami per questo lungo post, spero almeno di aver esplicitato i miei 
dubbi. Se non sono riuscito nell'intento spero che vorrai continuare a 
rispondermi anche successivamente.


 possibile?
Penso sia semplicemente un'indeterminazione del termine "possibile" nel 
linguaggio naturale. "Fisicamente possibile" e' una sola funzione 
oraria, quella che si realizza in realta'. Le altre "possibili" 
probabilmente stanno a significare solo "concepibili", "tracciabili" o 
simili.
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni


Ne approfitto per una domanda:
esiste un teorema di esistenza e unicita' della soluzione del moto
anche nella formulazione variazionale della meccanica?
Ad occhio sembra di si', visto che il principio di stazionarieta'
dell'azione porta alle equazioni di Lagrange, per cui vale il teorema
di esistenza e unicita'.
Ma e' possibile dimostrare l'esistenza e l'unicita' dalla formulazione
variazionale, senza dover passare dalla formulazione integrale alla
formulazione in termine di equazioni differenziali?

 Fermat).
Ho gia' detto all'OP che io aborro questo linguaggio
sette-ottocentesco (forse anche seicentesco: Fermat) sulla "natura"
che cercherebbe la via piu' economica...


 formulazione in termine di equazioni differenziali?
Cosa sia possibile fare senza dover passare ecc. non lo so, ma
l'equivalenza in materia di esistenza e unicita' non sussiste perche'
sono diverse le condizioni.
In sostanza tu chiedi: fissate q(t1)=q1 e q(t2)=q2, e' possibile
scegliere q'(t1)=q'1 in modo che la soluzione (esistente e unica)
dell'eq. diff. con condizioni iniziali q1 e q'1, assuma il valore q2
al tempo t2?
In generale la risposta e' negativa, tanto per l'esistenza come per
l'unicita'. Forse qualche controesempio riesci a trovarlo da solo ;-)
A quanto ne so, credo si dimostri che per un dato sistema la risposta
e' invece affermativa se fissi t2 in un intorno abbastanza piccolo di
t1. Ma non ho mai visto la dimostrazione.


 cogliere?
Che cosa significa *fisicamente* F=ma?
Sono soltanto le risposte a due domande diverse: una con le condizioni
iniziali, l'altra con le condizioni al contorno.


 simili.
Ti ringrazio Tommaso per la risposta.
In effetti la fonte delle mie perplessità era proprio quel termine 
"possibile". Purtroppo studio male e anche se il termine non era il più 
adatto potevo arrivare al giusto ragionamento per altre strade.


 iniziali, l'altra con le condizioni al contorno.
Ok, perfetto, adesso ho capito e non so come ringraziarti.
Ciao

 cometa_luminosa
Ciao e grazie.
Quantum Leap


 cogliere?
Dovresti cogliere il fatto che tra tutte le traiettorie definibili
matematicamente (in questo come in casi analoghi), la traiettoria reale
che si realizza compiendo l'esperimento è quella che rende minima il
funzionale che definiosce l'azione.
Saluti,
Aleph
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 infinite x(t), ma solo una rende minima l'azione.
Ti ringrazio Elio penso, adesso ,di aver capito.
Era i termini "traiettorie possibili" che mi traevano in inganno.
Pensavo che possibile significasse egualmente verificabili dati i tempi 
e le posizioni, iniziali e finali.
Purtroppo studiare poco e male porta a questo genere di confusione.
Fortunatamente ci siete voi del gruppo.
Quantum Leap


 dato fastidio.
Concordo, e' un modo sbagliato di descrivere le cose, in fisica.
--
BlueRay.