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Titolo: Per il Prof. Fabri

Mi scuso per il Subject anti-Netiquette
Ho incontrato di nuovo quel laureando in Fisica che l'altra volta mi chiarì
tanto le idee e si guadagnò da te la considerazioe di essere "abbastanza
preparato":
Gli ho posto un mare di domande ed ho appuntato le risposte.
Se lui ha detto cose giuste (e la conferma la chiedo a te ed agli altri
utenti di isf) è evidente che io ero mille miglia lontano dalla
possibilità di capire quello che tu mi scrivevi qui.
Ecco in breve il discorso di questo "tutor", fan di Feynman
Il fotone è una entità fisica. Non ha nessun senso riferirsi ad esso nè come
particella nè come onda, visto che queste sono categorie applicabili ad
oggetti macroscopici. Ad es. nell'esperimento degli elettroni sparati contro
le due fenditure, diciamo che l'elettrone arriva in "blocco" sul rivelatore,
ma che la distribuzione di probabilità di arrivo di essi sul pannello
d'arresto va come la intensità di un unda che è passata per le due
fenditure, subendo diffrazione, interferenza, ecc ecc. IN questo senso non
facciamo
altro che prendere delle cose che succedono nel mondo macrsocopico
(pallottole ed onde d'acqua) ed applicarle ad una scala a cui essi non
significano molto. Quindi il fotone, il protone, l'elettrone, ecc. non sono
piccole pallottole nè piccole onde d'acqua: sono semplicemente fotoni,
protoni, elettroni, ecc. Quindi il fotone *non* è una particella, *non* è
un'onda, *non* è neppure tutte e due le cose assieme o ora una ed ora
l'altra. E' una "cosa" che a volte si comporta come onda ed a volte come
particella, pur essendo tutt'altro. IN realtà quanto appena detto vale
paradossalmente anche per "particelle" come elettroni, protoni, ecc. Ed a
rigore anche per pallottole, libri ed elefanti
Il fotone è un quanto di energia elettromagentica. Viaggia alla velocità
della luce. Non ha massa, non ha dimensioni, non ha densità e non ha forma.
E' un quanto di energia e.m. che viaggia nello spazio.
Come rappresentarlo? Così:
Un pacchetto d'onde 3d che per semplicità considereremo ad estensione 1D, di
lunghezza Delta(x); una regione dello spazio (della retta in 1D) in cui al
tempo t c'è una probabilità non nulla di rivelare la presenza del fotone (o
elettrone, ecc). Nel tempo questa regione di spazio si muove e può anche
cambiar forma ed estensione. Quindi diremo che la funzione che esprime la
probabilità di trovare al tempo t nello spazio il fotone è del tipo
psi(x,y,z,t) o nella nosra semplificazione 1D psi(x,t). In realtà la
probabilità è legata al quadrato dell'ampiezza psi di quest'onda nel punto
(x,y,z) al tempo t.
La freq. di un pachetto d'onde non è univoca. Trasformando con Fourier il
pacchetto d'onde (funzione dello spazio e del tempo) avremo il suo dominio
delle freq. e quindi il suo spettro.
Lo spettro del pacchetto è anche lo spettro dell'energie possibili per il
fotone (o meglio quantità di moto), ognuna con un probabilità defintà.
I pacchetti d'onde non sono statici, ma mutano di dimensione (che in realtà
è la regione di spazio entro la quale la pprobabilità di trovare il fotone è
non nulla) e di spettro. Ad esempio un elettrone che passa attraverso un
foro o un fotone che attraversa un prisma o che viene rivelato da un
rivelatore, vedrà la sua funzione d'onda mutare nel tempo e nello spazio.
Non è importante sapere cosa succede tra una emissione del fotone e la sua
rivelazione: è importante che se riveliamo il fotone e/o ne misuriamo
l'energia, troveremo che l'incertezza circa la sua quantità di moto e quella
relativa alla sua posizione devono rispettare la relazione di
indeterminazione. E se aumentiamo la precisione di misura di una delle due
grandezze, riduciamo proporzionalmente quella dell'altra.
La misurazione interferisce con il pacchetto d'onda, mutandone dimensioni e
"forma": tuttavia non bisogna cadere nel tranello di chi crede che sia
necessario un osservatore senziente perchè avvenga ciò: sono caratteristiche
che prescindono dalla conoscenza umana; sono caratteristiche intrinseche
delle osservabili quantistiche. In effetti sono molteplici e differenti le
diverse intepretazioni del fenomeno e spesso sono ispirate da "filosofie"
varie (antropocentrismo, ad. es). La nostra è una posizione minima, che si
attiene ai fatti e non specula su cose come "cosa sia la realtà del fotone",
"cosa sia l'elettrone mentre esiste per i fatti suoi prima di essere
rivelato", ecc.
ATTENZIONE! Non bisogna confondere la funzione d'onda con un pezzo di campo
e.m. Non bisogna neanche pensare che essa sia quell'onda che vediamo subire
diffrazione nel passaggio di un fotone attraverso una fenditure. E' un'onda
diversa. Che ha la caratteristica che se elevata al quadrato dà una misura
della probabilità di trovare la particella nel punto dello spazio
considerato, e se trasf. con F, ci dà lo spettro delle energie possibili per
il fotone e quindi una misura dell'incertezza, deltaE, circa la sua energia.
Brevissime domande...(fuorchè la prima e la quinta))
1) una lente che focalizza i raggi di luce in un punto, si può dire che
modifichi, attraversata da un fotone, la sua funzione d'onda (il suo
"pacchetto" d'onda)? Al di la della lente dovrebbe essere molto più
probabile per il fotone finire nel fuoco che in un punto differente.
Premetto che credo di caver capito che per l'indeterminazione di H. si ha
che se un rivelatore a banda stretta mi rivela la presena di un fotone, ecco
che tanto più è stretta la banda di sensibilità del rivelatore e tanto
maggiore deve essere l'indeterminazione circa la parte di superficie del
rivelatore stesso che ha raccolto il fotone. Nel  caso di una lente,
posizionando nel fuoco un rivelatore a banda molto stretta, coem stanno le
cose? Ho che i fotoni dovrebbero "passare" con elevatissima probabilità per
il fuoco (che è puntiforme) e quindi dovremmo avere una buona consocenza
della sua posizione; tuttavia la stretta banda di sensibilità fa si che
anbche le'nergia sia ben determinata. Come stanno realmente le cose? Cosa
avviene al fotone che attraversa la lente?
2) Lo spettro delle freq. del pacchetto d'onda 1D come visto sopra, dovrebbe
avere le dimesnioni di una densità di energia (o potenza). Inoltre
l'indetermionazione dell'energia del fotone deltaE dovrebbe corrispondere
all'ampiezza di tutta la banda. Come si passa da questa (la densità di
energia) alla "probabilità di energia" (la prob, cioè, che il fotone abbia
questa o quella energia)?
3) cambia qualcosa in termini di spettro di freq. se operiamo su un
pacchetto d'onda reale e quindi 3D anziche 1D (come nelle nostre
semplificazioni)?
4) Se non si può dire quale sia la traiettoria del fotone, come si fa a dire
che esso si muove di moto rettilineo? Potrebbe seguire qualunque strada
dall'emissione alla rivelazione.
5) Fino ad ora ho incontratto due tipi di rivelatori. Il semplice
spettrografo che al di la di un prisma ha un monocromatore che seleziona una
porzione limitata di spettro e ne conta i fotoni ricevuti nell'unità di
tempo. Poi abbaimo i rivelatori veri e propri di fotoni che sono dei
dispositivi che assorbono fotoni in una certa banda: se c'è sovrapposizione
tra le due bande (quella del fotone e quella del rivelatore, allora c'è una
probabilità non nulla che il fotone venga assorbito. Una volta assorbito
possiamo dire che di certo la energia "scelta" dal fotone nell'ambito di
quelle a lui disponibili è compresa nella banda di sensibilità del
rivelatore. Giusto fin qui?
Ho un emettitore fotonico puntiforme e così cospargo lo spazio circostante
di una matrice di rivelatori: più sono piccoli ed a banda stretta, maggiore
è la risoluzione del dispositivo. E' ovvio che dovrò mettere moti rivelatori
uguali in banda un po' ovunque nella matrice di rivelatori, altrimenti
potrei non leggere il fotone ad energia Ei solo poichè èsso è andato a
finire non in direzione del rivelatore giusto. Opure potrei metterne alcuni
solo da una parte, scegliendo di ignorare semplicemnte i fotoni emessi non
verso la matrice di rivelazione. Ad esempio nella retina abbiamo tre diversi
coni a banda ampia e parzialemnte sovrapposta in una matrice in cui queste "
terne" sono rieptute molte volte e ciò perchè l'occhio deve rivelare un
pattern bidimensionale di fotoni, tutti contemporaneamente. I coni hanno una
sensibilità diversa per le diverse freq. e cio' non significa che la
risposta di un cono sia diversa a seconda della lunghezza d'onda che lo
copisce, ma solo che la probabilità di rivelazione è diversa da punto da
freq. a freq.
La domanda è: perchè è necessario mettere più rivelatori a banda stretta per
avere una alta risoluzione di freq.? Non è pensabile costruire un rivelatore
capace di assorbire i diversi fotoni e rispondere semplicemente "questo
fotone ha una freq. copmpresa tra X e Y"? La mia domanda in particolare è:
il fatto che un rivelatore non possa fare tutto da solo è un limite
tecnologico o puramente fisico? E' pensabile ocstruire un rivelatore solo ad
alta risoluzione?
Io pesnavo, alla luce della lunga premessa di prima, che se avessi due fasci
di luce quasi monocromatica a diversa freq. (m e n)  e conoscessi il umero
di totoni per unità di tempo di ciascun fascio, potrei utilizzare un solo
rivelatore a banda larga per capire se la luce proiettata sul rivelatore è
quella a freq. m o quella a freq. n, sfuttando la diversa sensibilità del
rivelatore alle diverse energie (freq.). Certo questo sarebbe macchinoso e
richiederebbe delle info importanti sin dall'inizio ( due luci distinte a
banda stetta, il numero di fotoni di ogni fascio inviato, la curva di
sensibilità del rivelatore ecc. Tuttavia con questo espediente avrei la
possibilità di riconoscere come differenti due diverse freq. comprese nel
range di sensibilità del rivelatore e cioè ne avrei aumentato il potere di
risoluxione tra le varie energie.  No?
6) quando Feynam parla di pallottle dice che non vediamo diffrazione ed
interferenza per via della piccola lunghezzaa d'onda dell'ogetto: come si
calcola questa lungjhezza d'onda e *soprattutto* che relazione ha con le
citate caratteristiche del pacchetto d'onda viste sopra?
7) Ultimissima cosa: se è vero che attraversare una lente può alterare lo
spettro del pacchetto d'onda, un fotone che entra nella nostra pupilla,
attraversa lenti varie, ecc, quando impatta sulla retia, come si può dire
che veicoli ancora le informazioni che veicolava alla sua emissione dalla
sorgente? Se la funzione di riflettanza dice che i fotoni devono avere un
certo spettro (o meglio devono "formare" un certo spettro), questo dovrebbe
arrivare tale e quale alla retina, no? Altrimenti che informazioni circa la
superficie riflettente porta con se?
Scusate la lunghezza e grazie per l'aiuto che mi darete!

 Scusate la lunghezza e grazie per l'aiuto che mi darete!
Spero sia sufficiente, non potro' sempre dedicarti tanto tempo.
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 nella localizzazione del fuoco
Mi chiedevo solo se questa imprecisione ha a che fare col principio di
indeterminazione. Per me, infatti, se il fuoco fosse perfettamemente
puntiforme, avremo definito con esattezza la posizione del fotone. E se nel
fuoco ci fosse un rivelatore, sapremmo contemporaneamenmte posizione esatta
e quantitą di moto nei limiti della sensibilitą del rivelatore, cosa cmq
impossibile per il principio di indeterm. Ma forse questo discorso č
sbagliato, ma non capisco perchč!
Grazie di cuore
* per "potenza" intendo l'energia in rapportio al tempo; e per "intensitą"
la potenza in rapporto alla superficie attraversata dall'onda

 dall'onda
Spero non vorrete lasciarmi "solo" prorpio adesso che stavo capendo
qualcosa?
Spero risponderete almeno al post a cui sto risposndendo anch'io adesso.
Grazie mille.

 
-   Gianmarco Bramanti wrote:
-> Dice Feynmann: [cut] Altrimenti la loro descrizione richiede
l'opportuna
-> considerazione dei gradi di liberta' strutturale.
-Perfetto! 
Quest'ultima parte però non è riferita a Feynmann. 
-> Sia pure, pero' a me questa spiegazione fa sorgere una domanda:
-> cosa e' un quanto?[cut] in un'altra risposta
-> questa probabilita' ha la forma di un campo di ampiezza di
-> probabilita'.
-Sono cose che non ancora studio e quindi accetto l'approssimazione del
-tutor.
D'accordo puoi comunque stampare le osservazioni che facevo e 
rileggerle poi con calma e tornare a scrivermi quando gli inevitabili
dubbi riaffioreranno. Io ne conserverò una copia per conto mio, perchè
sospetto di avere scritto varie frasi che decontestualizzate potrebbero
trarre in inganno o essere misleading (fuorvianti).
-> Non e' necessario pensare al movimento della regione di spazio,
-> e' sufficiente pensare all'evoluzione nel tempo [cut] i punti per i
quali
-il modulo quadro di osservare
-> un fotone supera una soglia minima.
-Perfetto!
-> No. Questa e' una confusione che ti trascini dietro gia' dal contesto
-> classico. Ripeto: un conto e' la trasformata di Fourier dell'ampiezza
-> di campo, un altro conto e' la trasformata di Fourier della densita'
-> di energia o del flusso di energia.
-Hai ragione!
-2 cose, una di ordine matematico ed una di ordine fisico.
-1) Su Fourier so due cose:
-- se il segnale A(x,t) che trasformo è periodico (o peridocizzato),
posso
-fare lo sviluppo in serie ed ottenere così uno spettro discreto (anche
-composto da una infinità numerabile di armoniche).
- Sulle ordinate del mio spettro avrò la medesima grandeza fisica A
-(ampiezza) così cge sommandole le armoniche (sovrapposizione) posso
-riottenere il segnale A(x,t). Questo spettro mi dice qual è il
contributo
-delle diverse frequanze all'ampiezza (quale ampiezza? quella media?)
del
-segnale originario. Se penso ad un segnale 2D o 3D del tipo A(x,y,z,t),
ecco
-che il discorso è lo stesso, ma le armoniche questa volta sono
anch'esse 2D
-o 3D.
Lo spettro di Fourier, o per meglio dire la funzione complessa che 
corrisponde alla trasformata di Fourier è una densità. Questa densità
pesa il contributo del range di frequenze prossime al valore della
variabile in misura proporzionale alla misura del range con il
coefficiente
dettato dalla trasformata di Fourier. In 1D f(k,om) d_k d_om in 
3d f(k)d^3k d_om L'ampiezza ottenuta dall'integrale 
f(k,om) exp(i*k*x-i*om*t) d^3k d_om
non è l'ampiezza media bensì l'ampiezza esatta. Per essere precisi 
la trasformata di Fourier è nella generalità dei casi una misura,
questa misura può essere espressa per mezzo della misura euclidea
e di una densità. In virtù di un teorema  risulta che
se la funzione di partenza ha quadrato sommabile questa densità è una 
funzione a quadrato sommabile. Se invece la funzione di partenza è
periodica non è a quadrato sommabile e la densità di misura è la
somma di delta di Dirac in punti discreti dello spettro multipli
di un set di frequenze fondamentali. Sono i cosiddetti punti del
reticolo reciproco. Storicamente il teorema di Fourier fu dimostrato
per funzioni periodiche, ed anche nei corsi di matematica viene 
dimostrato prima dei teoremi più generali sulle trasformate di
Fourier. Cosa succede quando periodicizzi una funzione definita 
su un supporto limitato, o comunque a quadrato sommabile? 
Succede che scegli un periodo arbitrario. Cosa succede quando
aumenti il periodo? Che le frequenze coinvolte sono multipli interi
di una frequenza fondamentale che è inversa del periodo, quindi
quando il periodo cresce la frequenza fondamentale (la prima
armonica) diventa più piccola. Se fissi un intervallo di 
frequenze e per valori abbastanza grandi del periodo sommi
le ampiezze delle varie delta di dirac entro l'intervallo 
scopri che la somma di queste ampiezze è descritta bene dall'ampiezza
della trasformata di Fourier moltiplicata per l'ampiezza dell'intervallo
di frequenze che hai considerato e che l'ampiezza delle singole 
delta di Dirac diventa più piccola in misura che aumenti il periodo. 
Questa circostanza non cambia però che stiamo confrontando una serie 
che dà luogo ad una funzione periodica con un'integrale di ampiezza
che dà luogo ad una funzione aperiodica. Il fatto che si verifica questa
"stranezza" dipende dal fatto che l'intervallo sul quale la funzione 
aperiodica si sovrappone alla funzione periodica sta aumentando,
tuttavia
le due funzioni sono distinte. 
- se il segnale è aperiodico, posso fare una TdF. Ottengo uno spettro
-continuo e le singole armoniche hanno tutte _singolarmente_ ampiezza
nulla.
Vero: se una funzione periodica apparisse individualmente 
con un peso finito darebbe un contributo infinito al modulo
quadro. 
-Suelle ordinate mi aspetto una "densità di ampiezza". Cioè si può
parlare di
-contributo all'ampiezza del segnale originario non già della singola
-armonica, ma di una banda continua di ampiezza desiderata.
Perfetto. Facciamo insieme questo esercizio: calcoliamo
l'antitrasformata
di Fourier di f(k) per un intervallo fra k1 e k2 in cui f(k) è circa
costante. Int_(k1,k2) f(k) exp(ikx) dk = f(k)
[exp(ik2*x)/ix-exp(ik1*x)/ix]
ed osserviamo con un poco di esercizio di algebra complessa e 
trigonometria che il modulo del numero complesso in parentesi quadra
vale 2 sen[(k2-k1)x]/x mentre la fase sarà exp(i(k2+k1)x/2)
(è utile riferirsi al piano di Argand per valutare la fase della
differenza
fra exp(ik1x)-exp(ik2x) )  Se ora poniamo k1 = k-dk/2 e k2 = k+dk/2
abbiamo: f(k) exp(ikx/2) sen(dk x/2)/(x/2). Allora questo che abbiamo
calcolato è il contributo all'ampiezza del segnale originario della
banda continua di ampiezza dk intorno alla frequenza k. Come vedi 
non è una funzione periodica, però è una funzione a quadrato integrabile
che tende a zero ad infinito. La larghezza caratteristica di questa
funzione è inversamente proporzionale a dk, allora quando infittisci
la partizione di Riemann dell'integrale la larghezza della funzione
integrata cresce.
 Integrando la
-densità di ampiezza lungo una banda di spettro, ottengo la "parte" di
-ampiezza con cui - al segnale originario - contribuisce la banda
-considerata. Al tendere dell'ampiezza di banda a zero, tende a zero
anche
-l'area sottesa alla curva spettrale e quindi il valore di ampiezza
-"ascrivibile" all'intervallo di freq. considerato.-
-Mi sembra ovvio (solo ora) da quanto appena detto cvhe ovviamente lo
spettro
-che opttenaimo dalla TdF di una ampiezza di campo non è lo spettro
della
-densità di energia o di potenza o di intensità. *
Certo. 
-Premesso quanto sopra (aspetto matematico del problema - di cui chiedo
-conferme/smentite), passiamo al punto 2), quallo fisico.
-Il famoso tutor premetteva al suo discorso una precisazione: il suo non
era
-a rigore un approccio quantomeccanico, ma un approccio classico di
meccanica
-ondulatoria (alla Schrodinger). A quanto pare, storicamente. fu Dirac
ad
-operare una sintesi tra meccanica ondulatoria secondo S. e meccanica
delle
-matrici di Heisenberg, dando vita alla meccanica quantistica. Questa,
poi,
-si è molto evoiluta nel tempo, fino ai giuorni nostri.
-Qual è quest'approccio?
L'approccio ondulatorio è quello costruito da Schroedinger sulla
base della interpretazione della meccanica in analogia con 
l'ottica. Schroedinger deriva un'equazione d'onda. Non fu subito 
capace di una interpretazione di questa onda. L'idea è che un'ondina
di DeBroglie ha energia cinetica h^2 k^2/2m dunque l'analogia è
fra impulso e h numero d'onda e questo si impara in linea di principio
dalle esperienze di diffrazione su oggetti materiali, e che la stessa 
ondina ha energia h^2 k^2/2m + V(k) l'analogia è fra h frequenza ed 
energia. 
-C'è una equazione (eq. di S.) che descrive l'evoluzione
spazio-temporale di
-una grandezza che indichiamo con psi:
-psi(x,y,z,t) o, nella semplificazione 1D:
-psi(x,t).
-Psi descrive una regione di spazio di dimesnioni e forma variabili nel
tempo
-(pacchetto d'onda) che viaggia nello spazio vuoto alla velocità della
luce
-con percorso rettilineo.-
No la velocità di gruppo dell'onda è d om / dk   
La velocità di fase della singola onda è om/k. 
In assenza di forze agenti sulla particella
la velocità di fase vale hk/2m mentre 
la velocità di gruppo vale hk/m cioè nella
meccanica ondulatoria di Schroedinger le velocità
di fase e di gruppo nel vuoto sono una metà dell'altra
per tutte le particelle materiali. In particolare per
l'analogia di hk con p risulta che la velocità di gruppo
è proprio la velocità di una particella di impulso p. 
Mentre la velocità di fase (quella di moto del fronte 
d'onda delle singole ondine è metà della velocità del 
gruppo). 
-Cosa è psi? E' una ampiezza di probabilità! Non è una probabilità, ma
una
-ampiezza di prob. Psi ha la prorpietà che elevata al quadrato fornisce
*non*
-la probabilità di trovare la particella, che essa "descrive", in
ciascun
-punto della regione di spazio occupata dal paccheto d'onda, ma la
*densità*
-di probabilità di trovare la particella il quel punto. Semplificando in
una
-dimensione,
-la psi^2 ci dice che la probabilità di trovare la particella
nell'intervallo
-x2-x1 è il risultato dell'integrale di psi^2 lungo x2-x1. Non avrebbe
senso
-parlare di una probabilità finità in ogni singolo punto della lunghezza
-deltax del pacchetto d'onde 1D. Ha senso invece parlare di densità di
-probabilità in ciascun punto del medesimo.
-L. De Broglie, stabilì la seguente relazione tra lunghezza d'onda Y e
-quantità di moto p:
-p = h/Y
-da cui ricaviamo l'energia associata alla particella con quantità di
moto p:
-E = hc/Y
Quelle che hai riportato qui sono le relazioni fra impulso 
energia e lunghezza d'onda, velocità, frequenza per 
"quanti di luce". Fu dalla necessità di conciliare queste
relazioni con quelle trovate per particelle materiali che
nacque l'esigenza di una equazione d'onda relativistica. 
Nel bel libro "meccanica ondulatoria" di Pauli le equazioni
di Klein-Gordon sono derivate proprio per questa via e
vogliono essere la generalizzazione delle equazioni di 
Schroedinger al caso relativistico. 
In tal caso l'impulso rimane hk l'energia h om ma la relazione
nel vuoto fra p ed E è legata all'invariante relativistico:
p^2-(E/c)^2 = m^2. Sempre in quel libro Pauli mostra che 
lo sviluppo dell'energia cinetica dall'energia complessiva
richiede di introdurre una frequenza naturale associata
alla massa. Questo shift di frequenza non modifica le 
relazioni differenziali per la velocità di gruppo nel
limite di basse energie. 
-Il punto è che noi non disponiamo di una Y per il nostro pacchetto
d'onda,
-ma infinite. Questo dipende da Fourier - a rigore - e non da qualcosa
di
-intrinsecamente quantistico.
Esatto. E' per questo che quello di cui occorre parlare è 
velocità di gruppo. Ampiezza di probabilità di misurare l'impulso
k, ampiezza di probabilità di misurare l'energia, ampiezza di 
probabilità di misurare la posizione, etc...
Lo sforzo di Dirac ha mostrato che anche questa formulazione
deve essere superata. Fu a partire dall'equazione di K.G. che
Dirac si pose il problema di risolvere il seguente esercizio
matematico: trovare una coppia di operatori differenziale 
lineari in k ed omega che agisse su onde di spin tali che il
prodotto di questi operatori differenziali fosse l'equazione di
Klein Gordon per ciascuna componente. Risolto questo esercizio
si trovò le equazioni di Dirac. Perchè non basta l'equazione
di Klein Gordon? 
A questo proposito citiamo le parole di Dirac: "Ricordo che una
volta che mi trovavo a Copenhagen Bohr mi chiese a cosa stessi
lavorando ed io dissi che stavo provando ad ottenere una 
soddisfacente teoria relativistica dell'elettrone, e Bohr disse
allora: "Ma Klein e Gordon hanno già fatto ciò!" Quella risposta
in un primo momento mi disturbò piuttosto. Bohr sembrava abbastanza
soddisfatto della soluzione di Klein, ma io non lo ero a causa 
delle probabilità negative a cui conducevano. Tenni duro, preoccupato
di ottenere una teoria che avesse solo probabilità positive". 
Arrivare a studiare tutto questo richiede un percorso 
di tutto rispetto a partire dalla fenomenologia dell'elettrone
con lo spin, e la teoria di Uhlenbeck, etc... Oppure si può
partire dalla soluzione di Dirac. O  meglio dalle soluzioni 
più avanzate, ad esempio dal fatto noto già da prima di Dirac
che il gruppo di Lorentz può essere studiato in termini dell'algebra
di Clifford del gruppo di spin Spin(4) e che questo gruppo contiene
naturalmente l'algebra di due particelle di spin 1/2. 
Occorre poi richiedere la simmetria per parità ed allora si 
scopre che l'elettrone ed il positrone sono nella somma diretta
delle rappresentazioni fondamentali del gruppo di Lorentz. 
Purtroppo non esiste alternativa ad affrontare lo studio della
teoria dei gruppi se si vuole comprendere appieno tutta la
portata degli sviluppi introdotti dalle equazioni di Dirac. 
Per converso studiata la teoria dei gruppi diventa abbastanza
semplice classificare tutte le equazioni relativisticamente
invarianti. In termini di invarianti di Casimir. 
-Abbiamo precisamente un intervallo continuo di Y, ciascuna con una
*densità*
-di probabilità ben precisa, cioè con una probabilità per unità di
lunghezza
-d'onda (o di freq.).
-Ciò vuol dire che oltre ad avere una incertezza sulla posizione
delta(x),
-abbiamo anche una incertezza sulla quantità di moto e quindi
sull'energia
-deltaE
-delta(p) = h/deltaY
-deltaE = hc/deltaY.
-Si dimostra che:
-delta(x) * delta(p) > h   (principio di indeterminazione)-
-Se il mio pacchetto d'onda si estende all'infinito (nello spazio e nel
-tempo) fino a diventare un'armonica, ecco che avrò, trasformando, una
delta
-di Dirac e quindi una quantità di moto determinato alla perfezione. Ma
sarà
-infinita l'indeterminazione sulla posizione. Viceversa, se restringiio
il
-pacchetto, impongiio allo spettro di allargarsi sempre di più,
ricevendo il
-contributo da armoniche di sempre maggior freq.
La relazione di indeterminazione è una proprietà della trasformata
di Fourier e del fatto che in base al principio di corrispondenza
stabilito da DeBroglie l'impulso va interpretato come -ih d/dx. 
Puoi trovare una discussione di questo punto ad esempio sul libro
di Sakurai. Però in virtù della interpretazione dell'onda come
onda di ampiezza di probabilità occorre imporre che l'integrale
su tutto lo spazio del modulo quadro valga uno. Questa condizione
non è compatibile con una onda piana di ampiezza finita. Ed in
effetti la meccanica quantistica va elaborata in spazi
di funzioni a quadrato integrabile. Questi spazi di funzioni
possono essere dotati della struttura di spazi di Hilbert. Le
delta di Dirac non sono elementi di questo spazio, ma sono invece
strumenti ausiliari il cui uso richiede di familiarizzare con 
la nozione di distribuzione. 
- Se trasformo con Fourier psi, coerentemente con quanto detto sopra,
dovrei
-avere una "densità di ampiezza di probabilità". Integrando psi lungo un
-intervallo di freq. deltaY, ottengo il contributo all'ampiezza del
-pacchetto, della banda di freq. considerata. Ora però sono alla ricerca
di
-una funzione che trasformata con Fourier mi di lo spettro della
*densità* di
-probabilità. 
Bhe, questa per definizione è l'antitrasformata della funzione 
modulo quadro di psi. (se usi la definizione simmetrica di 
trasformata ed antitrasformata l'antitrasformata è proprio la
trasformata di Fourier). Però cercherò di convincerti che in questa
situazione non è questa la grandezza di principale interesse, come
non lo era nel caso dello spettro dell'energia dei fotoni. Quel che 
conta di questa trasformata è in un certo senso la componente di 
frequenza zero. Mi sembra che a guidare il tuo sforzo sia il 
tentativo di stabilire una analogia fra la funzione d'onda e 
la densità di energia ed impulso per un'onda elettromagnetica. 
Allora andiamo con calma. Vedremo che l'analogia che permetteva
di identificare lo spettro con il modulo quadro della trasformata
di Fourier è salva. 
Tuttavia occorre tenere presente che esiste un gap fra la direzione che
seguiremo qui e quella seguita comunemente sui libri. Cercherò di 
spiegare in che consiste e come superarlo per quel che mi riesce. 
In primo luogo vediamo da dove origina il gap fra l'elettromagnetismo
e la meccanica ondulatoria, osserviamo che in meccanica quantistica 
ondulatoria usiamo |psi|^2 mentre in elettromagnetismo usiamo le densità
di energia espressa a partire dagli elementi reali. 
In secondo luogo il significato delle due grandezze è differente, in un
caso si trattava di densità di energia, nell'altro di densità di
probabilità.
Quello che notavamo nel caso dell'elettromagnetismo è che alla densità
di
energia in un punto contribuiscono i valori medi di E*(k) E(-k) ovvero 
|E(k)|^2 in virtù della identità E(k)=E*(-k). Nel caso dell'equazione di
Schroedinger c'è una differenza: se psi(x,t) è soluzione psi*(x,-t) 
è pure soluzione, mentre non lo è psi*(x,t). In terzo luogo esiste
un gap fra il punto di vista ondulatorio ed il punto di vista secondo
il quale gli stati fisici devono essere descritti a prescindere dalla
particolare rappresentazione, la ragione di ciò dipende dalla
circostanza
che la meccanica ondulatoria corrisponde ad un particolare modo di 
estrarre l'informazione da un sistema fisico che può essere rivisto
sotto molti e differenti rispetti. Ma torniamo alla differenza
fra la funzione d'onda ed il campo elettromagnetico per quanto
riguarda la natura complessa delle funzioni d'onda. 
Questa differenza si verifica perchè le equazioni di Maxwell sono
del secondo ordine, mentre le equazioni di Schroedinger sono del
primo ordine ed il termine di primo ordine contiene una unità
immaginaria.
Ne segue che diversamente che nel caso elettromagnetico
non possiamo considerare onde a valori reali. In altre parole 
l'analogia di De Broglie guida ad una equazione essenzialmente 
complessa con soluzioni essenzialmente complesse. Diversamente, 
l'equazione di Klein Gordon, ovvero la prima equazione candidata 
ad essere una formulazione relativistica per la meccanica quantistica 
è una equazione del secondo ordine come le equazioni di Maxwell. Lo 
sviluppo di Taylor della radice quadrata conduce ad una equazione 
essenzialmente complessa. L'esercizio è: 
sqrt(p^2+m^2) = m sprt(1+ p^2/m^2) = m (1+p^2/2m^2) = m + p^2/2m.  
Con questa radice scegliamo l'approssimazione di una delle due 
soluzioni della equazione di Klein Gordon. La corretta interpretazione
di questa scelta è stata una sfida formidabile in parte ancora 
aperta per i fisici teorici del novecento. Ed i suoi tentativi
di soluzione hanno condotto alla formulazione della teoria dei
campi quantistici, come accennavo prima.
Avevamo poi un'altra condizione utile quando consideravamo lo spettro
di energia per un campo elettromagnetico variabile, che questo campo
è stazionario. Ora la funzione d'onda non è stazionaria. Siamo dunque
di fronte ad un nuovo problema. Non di meno la soluzione di questo
problema, ovvero l'interpretazione delle rappresentazioni di impulso 
è più semplice. 
Anzitutto: psi(x,t) = Int psi(k,om) exp(i[k*x-om*t])
Esiste una proprietà che abbiamo già utilizzato parlando di densità
di energia. Ed è che l'integrale del modulo quadro di TFpsi(k),
trasformata di Fourier della funzione psi(x) coincide con l'integrale
del modulo quadro di psi(x). In quel contesto avevamo usato 
questa proprietà per dire che la densità di energia è uguale alla
somma delle densità di energia relative alle diverse componenti 
impulsive. 
Per tenere a fondo l'analogia occorrerebbe uno spettrometro di impulso;
la condizione di stazionarietà dovrebbe poi essere sostituita
con una condizione di identità delle funzioni d'onda dei diversi
esperimenti di rifrazione. In modo da potere fare una statistica
su diverse misure di impulso. Infatti si verifica che 
|psi(x,t)|^2 = |Int psi(k,om) exp(i[k*x-om*t])|^2 = 
Int Int psi*(k,om) psi(k',om') exp(i[(k-k')*x-(om-om')*t])
Dal punto di vista pratico quello che conta è la probabilità di
misurare una particella in una certa direzione. Bene se in 
quella direzione noi riceviamo solo particelle di impulso k
(grazie al magico spettrometro di impulso) noi abbiamo da 
considerare l'integrale in t e l'integrale su una regione di
spazio. Il risultato è che questa probabilità è proprio 
|psi(k,om(k))|^2. 
L'analogia può essere spinta più a fondo studiando il problema
della misura di grandezze quantistiche in modo astratto
in spazi di Hilbert e considerando i valori medi delle grandezze
considerate, nonchè la rappresentazione in termini di impulso
e posizione, e sviluppando la teoria delle osservabili. In 
questo quadro una maggiore generalità di situazioni può essere
presa in considerazione.
Scopriamo allora che come abbiamo dato senso alla probabilità
di misurare l'impulso p in termini del modulo quadro di psi(k,om(k))
allo stesso modo possiamo dare significato al valore medio di k 
in termini di Int k |psi(k,t)|^2. E che questo corrisponde, nella
rappresentazione delle coordinate a valutare l'integrale di 
Int psi*(x,t) (-ih grad) psi(x,t) d^3x*dt. Ed ancora possiamo
dare significato alla misura di una grandezza come il momento angolare
che è dato da r*p o il momento di dipolo, e costruire tutta una
serie di rappresentazioni differenti ed equivalenti a quella in
termini duali di posizione ed impulso. 
Allora a questo punto conviene che tu prenda in considerazione la
lettura di un libro di fondazione, che può essere il Dirac ad 
esempio, il Sakurai, lo Schiff, il Messiah, le dispense di E.E. Picasso,
oppure
qualche altro libro suggerito dal tuo tutor. In ogni caso ti accorgerai
che esiste una difficoltà ad iniziare lo studio della meccanica
quantistica
su un libro come Landau, ma nel seguito scoprirai che quel libro è una
preziosa miniera. Un consiglio molto vivo è quello di guardare con 
attenzione e senza pregiudizio la letteratura francese più recente
sulla meccanica quantistica, in particolare il libri di esercizi
difficili
ma molto belli di Dalibard e 
Cioè una funzione che integrata nell'intervallo deltaY mi dia
-la probabilità che la particella abbia una Y compresa in deltaY.
L'integrale
-di questa funzione deve (ovviamnete!) annullarsi col tendere zero di
deltaY
-(probabilità che la particella abbia un esatta Y, una Y "puntiforme") e
deve
-essere ugualwe ad 1 nel caso in cui volessi ntegrare lungo tutto lo
spettro.
-Stesa cosa valeva per psi^2 per quanto riguarda la posizione della
-particella: integrando lungo tutto delta(x) la psi^2 ottengo una
probabilità
-uguale ad 1!-
No. In verità questo è un punto delicato. Trovare una psi il cui modulo
quadro vale delta(x) è un problema matematico formidabile in teoria
delle distribuzioni, e a dire il vero credo non ammetta soluzione. La
difficoltà può essere evidenziata considerando la trasformata di Fourier
di delta(x) dovremmo trovare una funzione la cui autoconvoluzione 
è la funzione costante 1(k). Chiedo conferma ai metodisti del ng, ma
mi sembra che questo problema non ammetta soluzione. Esiste invece 
una distribuzione data da delta(x-x0) che moltiplicata scalarmente 
per psi(x) fornisce psi(x0). 
-Insomma, come hai notato, dovrei aver capito che la la funzione che
cerco
-*non* coincide con la TdF dell'ampiezza di campo psi. Ma allora, quale
-funzione devo trasformare per avere la curva spettrale da me cercata
(quella
-delle densità di probabilità riferita alle quantità di moto/lunghezze
-d'onda/energia)?
Esiste una proprietà che abbiamo già utilizzato parlando di densità
di energia. Ed è che l'integrale del modulo quadro di TFpsi(k),
trasformata di Fourier della funzione psi(x) coincide l'integrale
di psi(x). Esiste in verità anche un analogo dello spettrometro
di frequenza del caso ottico ed è uno spettrometro di impulso 
basato sull'uso di una barriera di potenziale, solo che un oggetto
del genere non è di facile impiego e realizzazione per singoli
oggetti. L'idea è che una linea che separi due regioni con potenziali 
differenti determina uno splitting delle diverse componenti di impulso 
analogo a quello causato da un prisma. La differenza sta nel fatto che
in questo caso la rifrazione è all'incontrario. Ciò detto la risposta
alla tua domanda, supportata dalla teoria delle rappresentazioni 
è che quello che devi considerare per conoscere la distribuzione
di ampiezza di probabilità delle diverse componenti di impulso è
proprio la trasformata dell'ampiezza di posizione. Ovvero la 
psi(k,om).
-Questo tutor ha poi aggiunto due accenni alla MQ vera e pprorpia. Mi ha
-parlato di spazi  vettoriali duali e di combinazioni lineari di
funzioni
-d'onda (considerate come vettori), a mezzo di scalari complessi. Anche
se io
-mi sono domandato: non basta l'eq. di S. a descrivere ad es. una
particella
-che attraversa lo schermo con due fenditure? Perchè combinare
linearmente la
-psi dell'elettrone passa attraverso la fenditurta A (la B essendo
chiusa)
-con la psi dell'elettrone che passa la B (la A essendo chiusa)??
Esiste una struttura astratta che vale in particolare anche nel caso
della
meccanica quantistica, ma che ha una validità più generale ed ha
permesso
l'estensione e la costruzione della meccanica quantistica. Questa
struttura
fu messa in evidenza dal lavoro di Dirac e contestualmente dallo sforzo
di
vari fisici teorici, uno dei contributi più significativi è stato quello
di Von Neumann. Questa struttura ha una validità più generale e riguarda
anche sistemi in cui è difficile parlare di posizione, come ad esempio 
il campo elettromagnetico. Si tratta del linguaggio degli stati e degli
operatori associati. Un esempio di formulazione quantistica
dell'elettromagnetismo
comporta la definizione dell'operatore campo elettrico e dell'operatore
campo
magnetico. Gli operatori di campo tuttavia si distinguono dalla funzione
d'onda per via delle differenti equazioni a cui obbediscono e per altre
particolarità legate con il principio di indeterminazione che deve
essere
formulato in modo più generale, e permettono di recuperare questa
nozione
solo sotto particolari ipotesi che non valgono ad esempio nel caso del 
campo elettromagnetico.
-Mi ha anche accennato all'interpretazione che in questo contesto ha il
-principio di Indeterminazione: il collasso sul particolare autostato
-corrispondednte all'autovalore misurato, ecc.
-Ma erano cenni e basta...
-Ad ogni modo mi ha spiegato che la misurazione è un evento traumatico
per il
-sistema e determina il collasso del pacchetto d'onda sui valori delle
-osservabili che poi vengono effettivamente misurati. Il tutto sempre
nel
-rispetto dell'indeterminazione.
-A questo punto vorrei spendere due parole sul discorso classico. Sto
-leggendo ancora quello che mi hai altrove spiegato su TdF di ampiezza
di
-campo e.m. e TdF della densità di energia.
-Tuttavia mi sembra chiaro che, analogamente a quanto detto prima
nell'ambito
-quantistico, si possa dire che se considero un pezzo di campo e.m.
-delimitato nello spazio, per ogni suo punto, avrò una ampiezza -
evolventesi
-col tempo - del campo elettrico (e di quello magnetico) E (x,y,z,t). La
TdF
-di questa funzione mi da lo psettro delle ampiezze di campo e ad esso
si può
-applicare _tutto_ quello che ho detto circa la TdF di psi (comprese le
-semplificazioni 1D).
Esatto. Tieni però presente che la TdF non ti dà lo spettro delle
ampiezze
di campo, dà di più, dà le componenti delle ampiezze di campo associate
con
una certo pseudo-stato di impulso. La questione della misurazione pure 
conservando le proprietà formali della interpretazione di Cophenaghen
che
contengono nella sostanza la riduzione del pacchetto d'onda ha
condotto ad una nuova formulazione del concetto di evoluzione temporale
di
un sistema quantistico complesso nell'atto della misura. Questo
inquadramento,
non ancora completo, consente in un certo senso di relativizzare la
misteriosa
postulazione della riduzione del pacchetto d'onda in termini di una
trattazione
a molti corpi. L'emergenza di proprietà statistiche come la decoerenza o
la non linearità statistica del processo di misura consentono di
inquadrare
diversamente il processo di misura. A questo proposito è istruttivo
proprio
il libro di Dalibard che ho avuto modo di leggere qualche tempo fa. 
-Integrando lo psettro risultante nell'intervallo deltaY, ottengo il
-contributo all'ampiezza del mio campo delle armoniche (1-, 2- o 3D)
comprese
-in deltaY.-
-Ora tu hai cercato di spiegarmmi che c'è una serie di passaggi da fare
su
-E(x,y,z,t) per ottenere una funzione - che chiamero' J - che
trasformata con
-Fourier, mi dia lo spettro della densità di energia (o di potenza o di
-intensita*). Immagino che questa funzione J potrebbe darmi la densità
di
-energia in ogni punto dello spazio. Così integrandola nello spazio
potrei
-avere l'energia (o la potenza o l'intensità*) di un volumetto stabilito
(nel
-tempo stabilito). Come vedi sto cercando di vedere se il parallelismo
con
-psi e psi^2 regge....e fino a che punto. Trasformando J dovrei avere lo
-spettro delle densità di energia: integrando lo spettro su deltaY
sapere,
-invece, quanta energia è associata a quell'intervallo di Y.-
Si direi che questa intuizione è corretta, tranne che ora la trasformata
dovrebbe dare la densità di volume dello spettro, che è per definizione
una densità nell'unità di volume e nell'unità di intervallo di
frequenza.
E mi sento di proporre come candidata la funzione E*(x,t)E(x,0) analogo,
nel caso elettrico, del valore medio del campo scalare f*(x,t)f(x,0) su
uno
stato e che è pari a phi*(x,t) phi(x,o) la cui trasformata di
Fourier nel tempo fornisce la densità di probabilità di misurare 
un'energia omega nel punto x.  
-Mi domando:
-- esiste realmente J?
-- come si arriva a J da E(x,y,z,t)? Questo dopvresti avermelo detto
-nell'altro thread: giusto?-
Esatto. E' il teorema di Wiener Kintchine. 
-Ora dovrebbe andar meglio, no?
-> In accordo con l'equazione di Dirac.
-Avrei detto, in linea con quanto soppra. di Schrodinger.
E' un discorso sottile e difficile. L'equazione di Dirac è
la corretta equazione del moto per gli elettroni, sotto opportune
ipotesi si può costruire dall'equazione di Dirac una grandezza phi(x,t)
che obbedisce ad una equazione di Schroedinger, questa equazione è
essenzialmente imparentata con lo sviluppo ad energia positiva 
dell'equazione di Klein-Gordon, ma il modo migliore di procedere 
dal campo di Dirac e costruire una funzione che obbedisce all'equazione
di Schroedinger. 
-> Quello che sappiamo e' ad una scala talmente macroscopica rispetto
-> al livello atomico, che sapere prevedere cosa succede con schemi "di
-> fortuna" sviluppati a questo nostro livello umano di conoscenza ha
-> del miracoloso, di questo strano miracolo non finiro' mai di
-> stupirmi, senza ritenere con questo di sapere cosa sia un elettrone,
-> oltreche' un'invenzione della nostra fantasia avallata da dati
-> sensibili misurati (per molti da altri) in laboratorio e da un
-> quadro ipotetico deduttivo che usa strumenti avanzati di conoscenza
-> matematica.
-Bellissima riflessione....
Grazie.
->> ATTENZIONE! Non bisogna confondere la funzione d'onda con un pezzo
->> di campo e.m. Non bisogna neanche pensare che essa sia quell'onda
->> che vediamo subire diffrazione nel passaggio di un fotone attraverso
->> una fenditure. E' un'onda diversa.
-Qui ho commesso un errore. Il tutor, in effetti, diceva prorpio il
-contrario. E cioè che è prorpio il pacchetto d'onda a subire ciò che
-normalmente subiscono le onde: ad esempio la diffrazione attraverso le
-fenditure con successiva interferenza. Quindi bisogna immaginare il
-pacchetto d'onda come capace di riflessione, rifrazione, ecc. Dal
-comportamento probabilistico di questo pacchetto e dall'effetto
statistico
-di una moltitudine di pacchetti, deriva quanto osserviamo in ottica, ad
es.-
Mi ripeto. Occorre stare attenti a mescolare i livelli. Quello che
osserviamo in ottica è prodotto da un tipo di campi differente dai
campi di materia che producono la dinamica che osserviamo per particelle
materiali. La differenza è data essenzialmente dalle diverse equazioni
a cui obbediscono e dalla particolarità della massa nulla. L'analogia
formale sul piano dei campi è praticamente completa, mentre sul
piano delle equazioni d'onda per le densità e dell'interpretazione 
delle soluzioni richiede delle attente distinzioni. In particolare 
mentre per particelle massive la misura di cento particelle richiede 
la presenza di una certa quantità minima di massa, per quanto riguarda 
i fotoni questo non è vero, si possono misurare cento fotoni di 
frequenza molto bassa o centomila di frequenza ancora più bassa 
estraendoli dallo stesso campo. Nel caso di particelle materiali 
esiste un limite superiore dato dalla massa complessivamente presente. 
In particolare questo comporta che l'interpretazione della funzione
d'onda di fotodetezione in termini di funzione d'onda di un solo fotone
sia ammessa solo se utilizziamo detectors selettivi. 
-> A patto di una elaborazione ulteriore della trasformata. Attenzione,
-> perche' probabilmente il tuo tutor ha chiaro questo passaggio,[cut]
-> Un altro ancora la densita' di energia che puoi andare a misurare
-> senza riguardo al numero di fotoni effettivamente misurati.
-Questo credo sia quanto ti chiedo più sopra.-
Nel caso classico basta considerare il modulo quadro della 
trasformata di fourier del campo, e questa è uguale alla media
della componente di frequenza omega della trasformata della
funzione di correlazione a due tempi . Cioè 
<Int (Int E*(x,om') e^(-i om' t) E(x,0) ) e^(i om t) dt> =
|E(x,om)|^2 
Nel caso quantistico quel che cambia è l'interpretazione delle
parentesi angolari. Come valor medio sullo stato del campo
elettromagnetico considerato.
-> Esiste una nota aberrazione cromatica [cut]comporta una
-> dispersione quantistica ineliminabile, che comporta una imprecisione
-> nella localizzazione del fuoco
-Mi chiedevo solo se questa imprecisione ha a che fare col principio di
-indeterminazione. Per me, infatti, se il fuoco fosse perfettamemente
-puntiforme, avremo definito con esattezza la posizione del fotone. E se
nel
-fuoco ci fosse un rivelatore, sapremmo contemporaneamenmte posizione
esatta
-e quantità di moto nei limiti della sensibilità del rivelatore, cosa
cmq
-impossibile per il principio di indeterm. Ma forse questo discorso è
-sbagliato, ma non capisco perchè!
Ha a che fare esattamente con la natura ondulatoria dei campi, e con
la circostanza che i campi sono operatori che obbediscono a delle regole
di commutazione. La formulazione lagrangiana della teoria conduce entro
la teoria dei campi ad un teorema di indeterminazione. Questo teorema è
essenzialmente conseguenza delle regole di commutazione per gli
operatori
quantistici che descrivono e i campi, contestualmente con le equazioni
d'onda del sistema. Quindi la risposta è si, essenzialmente la forma
ondulatoria, con il principio di Huyghens e con le relazioni di 
indeterminazione sono conseguenza simultanee di una densità di energia 
conservata e delle regole di commutazione per i campi. 
-Grazie di cuore
-* per "potenza" intendo l'energia in rapportio al tempo; e per
"intensità"
-la potenza in rapporto alla superficie attraversata dall'onda
 
Corretto. Grazie a te. 


 2) la probabilita' di rivelazione
Quello che ho trovato io è che i coni hanno una sensibilità variabile alle
diverse lunghezze d'onda. Lo psettro di sensibilità è ampio. Se un fotone
quasi-monocromatico colpisce un cono si avrà una risposta proporzionale alla
sensibilità del cono per quella lunghezza d'onda. Cioè: se la massima
sensibilità del cono è a 380 nm e quelle minime a 320 e 410 (quindi 380 è un
picco di uno spettro continuo), ecco che se il mio fotone ha una lunghezza
d'onda di ca. 385 nm, la sua probabilità di interagire con il cono sarà
maggiore che se avesse una lambda di 325 o 407. Quindi in realtà la diversa
risposta dei coni va posta nei termini di una diversa probabilità di
rivelazione dei fotoni. Se il fotone avesse una banda ampia di energie
(rispetto allo spettro di sensibilita del rivelatore retinico), ecco che si
avrebbe una sovrapposizione delle due curve (quella di sensibilità spettrale
del cono e quella di spettrale del fotone): a seconda dell'entità della
sovrapposizione e della regione di sovrapposizione (se cioè il fotone (il
suo spettro!) si sovrappone alle regioni della curva di sensibilità che
hanno basse sensibilità o a quelle ad alte sensibilità), avremo una risposta
maggiore o minore (semprte in termini probabilistici. Quindi è importante in
un certo senso l'area di sovrapposizione.
Grazie

> psi(k,om(k))|^2.
Mi serve uina chiave di lettura del tuo splendido post (di cui ti
ringrazio).
Puoi fornirmela dicendomi se sono corrette le 2) affermazioni seguenti (il
che signiìficherebbe che ho capito + o - il tuo discorso)
1) In altre parole mi hai parlato di due tipi di psi che sono l'una la TdF
dell'altra. La *prima* è la classica psi(x,y,z,t), la *seconda* è psi(k,
om), con k = vettore d'onda ed om = pulsazione. E dove k ed om sarebbero le
variabili trasformate di spazio e tempo (e viceversa, ovviamente)..
2) Se facciamo la trasformata di Fourier della (*prima*) funzione d'onda di
una particella, otteniamo una funzione che rappresenta l'ampiezza di
probabilità per la quantità di moto * (la *seconda*). Allora, il modulo
quadrato di questa funzione è la densità di probabilità per la quantità di
moto, proprio come il modulo quadro della *prima* è la densità di
probabilità per la posizione.
3) Ecco dunque che le distribuzioni di probabilità per la posizione e per la
quantità di moto sono strettamente connesse l'una all'altra
* l'impulso e l'energia essendo legati a k e om dalle note relazioni
Corretto

 Corretto
Ecco quello che hai scritto accanto alla stellina è la nota 
dolente della teoria di Schroedinger. Cioè generalmente è vero 
che l'impulso è legato a k ed è vero che l'energia è legata ad 
omega, secondo relazioni note, mentre se non siamo nel vuoto 
non è vero che sono facilmente note le relazioni fra k ed om. 
Per contro questa difficoltà è la nota saliente della formulazione 
quantistica di Dirac Heisenberg...è dall'inquadramento
e dal superamento di questa difficoltà in una formulazione generale 
che dipende l'edificio della meccanica quantistica e della teoria 
dei campi. 


 dei campi.
Capisco. Ma l'approccio che stiamo seguendo qui (alla schrodinger),
ignorando tutto quello a cui tu accennavi (campi, ecc), è totalmente
sbagliato  e conserva un valore solo storico oppure ha ancora qualche
valore?
Ti ringrazio per tutto quello che mi hai spiegato: moltissime cose ora sono
più chiare.
Ho visto però due cose a cui non crdo tu in fin dei conti mi abbia risposto
(e mi scuso se non dovesse essere così):
1) perchè fare una combinzione lineare di funzioni d'onda? Non basterebbe
descrivere il sistema con una sola funzione d'onda che dia lo stesso
risultato? Leggop che si combinano la psi per l'elettrone che attraversa la
fenditura A (con B chiusa) e quella dell'elettrone che attraversa la fend. B
(con a chiusa): non si può ottenere con l'eq. di S. una psi che descriva il
sistema in cui l'elettrone va contro il pannello con A e B aperte ed
ottenere lo stesso risultato? E' una questione di opportunità matematica o
c'è una ragione fisica?
2) non mi hai detto, in un altro thred, quanto è ampia la banda spettrale di
ogni singolo fotone emesso da un corpo nero: ossia qual è il suo range di
energia (e quindi la sua indeterminatezza, giusto?)
3) questa è una cosa nuova che ho postato con altro titolo, ma che forse per
un prob. tecnico del mio PC non è stata inviata: te la riporto qui.
Se voglio "sommare" (con Fourier) delle armoniche per ottenere un'onda 3D,
devo usare, immagino, delle armoniche altrettanto 3D. Ma come sono fatte
queste?
Le 1D sono le classiche sinusoidi che si trovano su tutti i libri. Le 2D
sono "piani ondulati" in una sola direzione (come le "costine" di un
pantalone in velluto). E le 3D come immaginarmele? Io penso che in tutti e
tre i casi debbano essere onde dipendenti da una sola direzione (onde
piane), diciamo x.
Muovendoci lungo y (per le 2- e 3D) o lungo z (per le 3D), al tempo t,
l'ampiezza non deve variare. Allora pensavo di ottenere le 3D sovrapponendo
infinite onde 2D lungo z. In tutti i casi si dovrebbe trattare di onde piane
ed un pezzo 3D di armonica 3D (la quale ha estensione spaziale e temporale
infinita
per definizione), potrebbe essere riprodotta in un contenitore (un
parallelepipedo) di acqua, un acui parete vibra avanti ed indietro
parallelamente a quella che ha di fornte. In tal modo si generano onde piane
che si portano dalla parete vibrante alla dirimpettaia. Io fino a ieri
pensavo (ingenuamente) che tale onda da "laboratorio di fisica" riguardasse
solo la superficie (un'onda 2D). In realtà è ovvio che il medesimo movimento
deve aversi per ogni altezza z del recipiente relativa ad una coppia (x,y).
Se il liquido fosse ideale probabilmente ogni punto di una medesima
verticale assumerebbe al tempo t, il medesimo valore di ampiezza. E'
corretto tutto cio?
Grazie

c'è una ragione fisica?
2) non mi hai detto, in un altro thred, quanto è ampia la banda
spettrale di
ogni singolo fotone emesso da un corpo nero: ossia qual è il suo range
di
energia (e quindi la sua indeterminatezza, giusto?)
http://spiff.rit.edu/classes/phys440/lectures/lines/lines.html
Questo perchè non lo so, non conosco la densità della fotosfera, e non 
sono capace di fare un modello radiativo comprensivo della fotosfera 
superiore e della cromosfera, non so se è misurabile in modo onesto. In
generale la radiazione di corpo nero è un vero e proprio "gas" di 
fotoni, un sistema a moltissimi fotoni prodotti da tantissimi processi 
differenti e non necessariamente isolabili. 
Ora sebbene lo spettro di corpo nero dipenda in linea di principio solo
dalla temperatura la verità per lo spettro solare è che questo è solo in
prima approssimazione uno spettro di corpo nero, e più in generale la 
composizione fotonica di uno spettro di corpo nero dipende dai dettagli
costitutivi del materiale. 
Se guardiamo uno spettro solare non possiamo indovinare da questo la
lar-
ghezza caratteristica dei singoli processi però possiamo capire che ci 
sono atomi nella superfice del sole, dall'ampiezza delle righe possiamo
stimare la quantità delle diverse specie atomiche, dalla larghezza e 
dalla forma delle righe il tipo di dinamiche. 
I fotoni associati al plasma possono avere righe molto larghe. Se però 
andiamo a pensare solamente alla luce emessa da atomi abbiamo che gli 
atomi di idrogeno nel secondo eccitato hanno un tempo di vita medio di 
circa dieci nanosecondi (.1 GHz) con lunghezza d'onda corrispondente
al giallo, (ordine del THz), hanno un tempo di cammino libero medio che
per esempio in un gas di densità paragonabile a quello terrestre è di 
un decimo di nanosecondo 10 GHz, ed hanno una temperatura di 5500 K 
ovvero circa 1000 m/s di velocità e quindi un doppler dell'ordine del
decimo di GHz.(per me è difficile capire se il doppler può riguardare o
meno il singolo evento fotoemissivo) La densità della fotosfera quanto 
sarà? Tenendo conto che l'idrogeno è molto leggero, che la forza peso è
circa due ordini di grandezza maggiore che a terra che la temperatura
è un ordine di grandezza maggiore che a terra, direi che non sarà
troppo meno di quella terrestre. Quindi che il doppler conti o meno
la larghezza di riga sarà dell'ordine di 10 GHz. 
3) Se voglio "sommare" (con Fourier) delle armoniche per ottenere
un'onda 3D,
devo usare, immagino, delle armoniche altrettanto 3D. Ma come sono fatte
queste? 
Tieni presente che un conto è un'onda ed un'altro una funzione dipenden-
te dal tempo. Un'onda è caratterizzata da un'equazione di D'alembert, se
piana ha un numero d'onda ed una frequenza ed un verso di propagazione.
Piana significa che a tempo dato è costante lungo un piano ortogonale 
alla direzione di propagazione. Con le funzioni piane: cos(kx) sen(kx) 
dove k ed x indicano due vettori puoi rappresentare qualunque funzione 
di x. E non c'è limite al numero di dimensioni. Inoltre il cos ed il 
sen sono rispettivamente la parte reale ed immaginaria di exp(ikx) che 
sono quindi un sistema completo. Per descrivere una funzione ad una 
componente bastano le funzioni scritte, per due componenti ne occorre 
una coppia ordinate in un vettore, per 3 componenti come quando vuoi 
descrivere lo spostamento nello spazio del moto dei punti di un materia-
le inteso come un continuo ne occorre una terna. Per un campo elettro-
magnetico ne occorre a priori una sestina tre per il campo elettrico e 
tre per quello magnetico, le equazioni del moto (in questo caso 
le equazioni di Maxwell) equivalgono a dei vincoli fra queste sei com-
ponenti. La trasformata di Fourier sembra incredibile però è vera. 


 ponenti. La trasformata di Fourier sembra incredibile però è vera.
Io vorrei figurarmi la cosa. Immaginarla! Allora....
Se ho un'onda A(x,t), unidimensionale, le armoniche saranno sinusoidi
unidimensionali. Se le sovrappongo tutte, ottengo la mia onda 1D (o meglio
la funzione del tempo e di x che mi descrive la mia onda).
Se ho un'onda A(x,y,t), bidimensionale, ecco che ho per armoniche delle
armoniche bidimensionali. Non sono sinusoidi 1D, ma sinusoidi 2D. Che
dovendo essere, come richiesto da fourier, piane, avrenno la forma di una
superficie ondulata siunusoidalemnte in una sola direzione (per vederle,
vedi pagina 12.9 di 
http://archeo4.arch.unipi.it/Jacob/EBOOK/cap12.pdf
 , non
ho trovato altro).
La mia domanda è: per le onde del mondo reale, che sono tridimensionali, le
armoniche (onda piane 3D), che forma hanno? Io cerco la forma di quelle
armoniche 3d ad estensione infinita, che sovrapposte mi danno la funzione
che descrive, per es., al tempo t, i valori dell'ampiezza di campo in ogni
punto del volume considerato (il pezzo d'onda 3D cioè, fotografato al tempo
t, di cui ho fatto la trasformata di fourier dell'ampiezza di campo).
Grazie ancora

 un'onda piana varia lungo usa sola direzione, al tempo x.
Correggo: al tempo t, ovviamente.
Mi č nel frattempo venuta in mente un'altra cosa.
Forse tu stai cercando di dirmi che le normali sinusoidi 1D, combinate in
vario modo, mi danno anche funzioni del tipo A(x,y,z,t), cioč 3D. E che
quindi non č necessario ricorrere ai concetti di sinusoidi a piů dimensioni
della prima. Tuttavia, se considero sinusoidi del tipo rappresentato nel pdf
che ti ho linkato, cmq ottengo il medesimo risultato (dalla oro
sovrapposizione) che ottengo se ricorro ad una coppia di funzioni sinusidali
(classiche, 1d)..mi pare. Allora questo puň dare consistenza alla mia
richiesta di immaginare adesso armoniche 3D. Sbaglio?

 Per questo vale quel che vale [cut] per tutta la fisica. Una teoria più
Una curiosità ancora. Quando in laboratorio si fa una spettrofotometria di
un campione di luce, come descrive mario L. in un altro thread, si ottiene
uno spettro in cui ogni colonnina dell'istogramma ci dice quanti fotoni sono
stati rivelati per quella banda. Da questo istogramma, come si passa ad una
funzione continua che esprima la densità di energia o potenza in funzione
della lunghezza d'onda (cioè la TdF delle densità di energia)? Piuttosto
dimmi solo se si può fare, poi con calma affrontiamo, se ti va, il come.
Oppure dammi solo qualche accenno.
Poi, immagino, questa funzione continua possa essere usata per ottenere la
TdF dell'ampiezza di campo elettrico (mi pare a mezzo di quel teorema che
legherebbe le due TdF), no?
Grazie

 richiesta di immaginare adesso armoniche 3D. Sbaglio?
Se usi cos(k x+phi) hai una rappresentazione completa equivalente
per via dell'identità: cos(kx) cos(phi) - sen(kx) sen(phi).
Poi questa è ancora equivalente a:
exp(ikx) [cos(phi)-sen(phi)]/2 + exp(-ikx)[cos(phi)+sen(phi)]/2
il vantaggio delle funzioni exp(i k x) è che vale la fattorizzazione:
exp(i kx * x + i ky * y + i kz * z) = exp(i kx * x)exp(i ky * y)exp(i kz *
z).
C'è però un problema con le proiezioni, cioè la determinazione
dei parametri di fase phi. Usando sia cos che sin trovi la fase
dal confronto dei coeffiecienti dell'uno e dell'altro.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 legherebbe le due TdF), no?
No. Lo spettro contiene meno informazione di quella che serve.
Se anche, idealmente tu riuscissi a misurare da un segnale
continuo una funzione continua che corrisponde al modulo quadro
di f(k,t) non avresti informazioni sulla fase di f(k,t). Nel caso di
campi elettromagnetici è un altro conto. Se poi f(k,t) rappresenta
una ampiezza di probabilità sai già che quello che misuri è un
campione statistico con distribuzione data da determinare.
E qui entra in gioco fisichetta 1 con i cenni di teoria dei campioni.
Ti dico già che non puoi determinare la distribuzione. Puoi ottenere
dei guess che approssimano la distribuzione con un certo errore.
Alcune distribuzioni sono talmente dispettose che quando ne cerchi
i parametri con programmi sofisticati molto più di quelli per la mia
HP28S ottieni una classe di equivalenza. E' il problema del mal-
codizionamento della determinazione dei parametri distributivi.
Cerchi dei parametri e ne trovi altri che danno la stessa forma,
ma che hanno un significato fisico differente. Quando capita questo
significa che stai guardando il problema da un punto di vista parziale
che non mappa tutta la fisica del problema. In questo caso noi (più
avanti non a fisichetta uno) si usava delle verifiche incrociate. Allora
questo è il motivo per cui si usa misurare oltrechè l'ampiezza, la fase
del fenomeno. Nel caso in cui valga l'approssimazione classica
affrontavo il problema misurando direttamente l'ampiezza dei campi,
lo strumento che usavo era basato sull'uso di un misuratore di potenza
e di un lock-in sincronizzato su un segnale di riferimento. Quello che
misuravo era la risposta.


 possibilie?
Posso inviarti all'indirizzo e.mail del tuo account news un file jpg di ca.
80 kb che ho ricavato dal pdf che non riesci ad aprire?
Rispondimi qui, poichè la mia e.mai (quelal che risulta nei miei post, è
intasata di spam e non l'apro da tempo.
Grazie


 


 visibile?
Ops, mi era sfuggita questa domanda. No,
perchè, il visibile sta in un range di frequenze
di qualche THz. O sbaglio? Facciamo conto
di guardare un bel giallo di lunghezza d'onda
600 nm la frequenza a me torna
(3e8)/600e-9 =.5 e 15 /s ovvero .5 THz.
Forse però ho sopravvalutato il tempo di
cammino libero medio, e sottovalutato
la velocità media degli atomi di idrogeno.
Però insomma gli ordini di grandezza dovrebbero
essere da quelle parti.


 sarà saturo. Poi è istruttivo riassumere.
E' una immagine: cme faccio a riassumerla? Te l'ho pubblicata su questa
pagina web
http://it.geocities.com/depositofile2004/
Come vedi si tratta di armoniche bidimensionali. Onde piane a due dimensioni
considerate come "le cose" da sommare per avere una funzione A(x,y,t). Ecco
perchè io cercavo le "cose" da sommare per avere la funzione A(x,y,z,t).
Sotto te le fa vedere con l'ausilio della terza dimesnione, ma sempre di
sinusoidi bidimensiopnali si tratta.
Ora: quando tu combini sinusoidi 1D per avere funzioni A(x,y,t) (come
spiegato ieri), di certo fai una cosa equivalente che se usassi sinusoidi 2D
come quelle riportate da me. Quali le relazioni. E in caso 3D?
GRazie

 essere da quelle parti.
E' vero! Quindi possimao dire che i fotoni solari necesari a ricoprire la
banda del visibile, siano molti. Ognuno contribuisce con una banda di
ampiezza di una decina di GHz. Sicuramente queste bande si sovrapporranno
ampiamente, così nel totale abbiamo la banda continua del visibile: giusto?

 ampiamente, cosě nel totale abbiamo la banda continua del visibile: giusto?
No questo discorso riguardava, come dicevo, i fotoni emessi da transi-
zioni fra i livelli discreti degli elettroni negli atomi ricombinati, 
sul sole perň esiste una componente ionizzata, molto difficile da de-
scrivere. Gli ioni hanno un continuo di livelli accessibili nelle tran-
sizioni. La parte piů minuta del moto turbolento della componente ionica
che contiene i fattori di struttura per i processi fotoemissivi nel 
continuo č complessa, e non puň riguardare un singolo fotone. Di certo
chi sappia la struttura di banda di questa componente č il candidato 
ideale a dire se il Doppler contribuisce nella fotoemissione singola.


 nella fotoemissione singola.
No, aspetta: la mia domanda è più semplice. Io chiedo solo due cose:
1) se prendo un generico fotone solare e lo invio su un prisma, questo verrà
deviato lungo una certa direzione. Se poi prendo lo stesso fotone
(idealmene) e lo rimando, otterrò una nuova deviazione. Se faccio un grafico
del numero di fotoni per posizione (perchè magari ho messo una batteria di
rivelatori oltre il prisma) ecco che ottengo la distribuzione spettrale di
quel singolo fotone, commisurata alla sua indeterminazione nell'energia
deltaE = deltaf * h
f = frequenza.
Quanto mi devo aspettare ampia in media questa banda deltaf?
2) una volta xche ho visto lo spettro di *un tipo* di fotoni, mi chiedo:
quanti tipi di fotoni esistono (sempre in termini di spettro di ciascuno)?
Hanno tutti in media la medesima ampiezza spettrale? Gli spettri dei diversi
tipi di fotoni si sovrappongono, molto, poco?
Certo è che se anzichè riinviare sempre lo stesso (tipo di) fotone sul
prisma, invio una miscela solare di fotoni, otterrò lo spettro intero della
luce. E considerando che in questa miscela ci saranno 100 fotoni del primo
tipo, 200 del secondo, 352 del terzo, 96 del quarto (ovviamnete esempio
schematico), è evidente che lo spettro così ottenuto è la somma degli
spettri di ogni singolo (tipo di) fotoni.
Io mi riferisco ai fotoni che dal sole arrivano a casa mia, comunque siano
emessi. E michiedo questi benedetti fotoni quanto ampia abbiano la loro
banda spettrale nel sensoindicato sopra.
Grazie
2)

 banda spettrale nel sensoindicato sopra.
 Grazie. 


 tutti dello stesso genere.
Appunto quello che cerco di dire con il concetto di sovrapposizione delle
bande dei fotoni di diverso genere.
Grazie ancora

 
http://it.geocities.com/depositofile2004/
Gianmarco, riesci a visualizzare lģimmagine?

 GRazie
Cerca di spiegar meglio quale difficolta' trovi nel figurarti
la situazione in tre dimensioni. Puoi vedere l'interno di un
quadrato? Puoi vedere l'interno di un cubo? Se non usassi la
terza dimensione per rappresentare l'intensita' del campo come
faresti a vedere le ondine? Conoscevo un pregiato signore  
che parlava di oggetti in sette dimensioni come se li
vedesse, perche' aveva maturato un linguaggio che gli permetteva
di astrarre verbalmente da una dimensione ad un altra, senza lasciarsi
frenare dalla impossibilita' fisica di vedere oltre. Pero' non cercava
di immaginarsi gli oggetti di cui parlava. Ne' ha mai cercato di 
disegnarne uno, ne disegnava le sezioni, illustrava le analogie
rappresentabili su un foglio dei suoi passi di astrazione mentale, ma 
non cercava di convincersi che siccome posso rappresentare con un 
disegno un'onda bidimensionale posso disegnare un'onda tridimensionale,
perche' mai dovresti tentare tu questa impresa quasi impossibile? Dico 
quasi perche' io me le figuro benissimo le onde in tre dimensioni, ma
come vettori su una griglia trasparente e non trovo molto istruttivo
questo genere di rappresentazione. Non tanto quanto i disegni di 
C. Jacob almeno. 


 ed ora quest'altre, ognuna con un probabilità.
Ed e' giusto quel che hai capito. Non pensare pero' di poter capire 
l'ottica di una lampadina da questo discorso valido per un atomo e per
una sorgente specifica e controllabile. Le transizioni possibili per gli
elettroni di una lampadina sono molte di piu' che quelle per un singolo
atomo. Questo facilita la comprensione statistica dello spettro in 
termini di radiazione di corpo nero ma rende praticamente insensato ogni
argomento valido per un singolo fotone. Quello che domina sono le inter-
ferenze aleatorie ed emergono fenomeni come quello alla base
dell'Hanbury
Brown Twiss di correlazione a distanza dovuta all'indistinguibilita'. 
Visto che ti sei trovato bene con Fabri dai un'occhiata alle cose che ha
scritto sull'ftp Osiris. Li' trovi un racconto oltre che delle bizzarrie
dei fotoni anche dell'esperienza di Hanbury Brown. Poi se vuoi rimanere
a livello divulgativo, ma elevato passa al Feynmann QED un libro
prezioso
e gradevole. Poi se vuoi cerca in rete qualcosa sull'Hanbury-Brown. Ora
siccome devo lasciarti e non potro' risponderti per qualche tempo ti 
lascio dei compiti: leggi gli appunti di Fabri, vedi se riesci ad acce-
dere alle esperienze virtuali sull'interferenza che sono su quel sito. 
Poi vedi se riesci a trovare il Feynmann. Pero' se sei uno studente di 
fisica ti consiglio di riservare solo il tempo libero a queste attivita'
e di studiare con cipiglio severo un libro di meccanica quantistica. 
C'e' un libro di ottica dello stesso Feynmann per universitari, risente
un poco del fatto di essere stato scritto negli anni sessanta ed a volte
si ha la sensazione di vedere un purosangue legato troppo stretto dalle
briglie della comune ignoranza.  


 C. Jacob almeno.
Hai ragione perfettamente. Ma forse posso farti una domanda che ha più la
funzione di farti comprendere le mie perplessità. Quale funzione A(x,y,z,t)
descrive un'armonica? Parlo di un'armonica 3D quindi che esiste da sempre e
per sempre ed ha estensione infinita nello spazio. Immagino che trattasi di
un'onda piana che procede in una direzione ad una velocità v.
Combinando sinusoidi di questo tipo (per freq., ampiezza, orientamento e
fase), dovrei riuscire ad ottenere qualsiasi tipo di onda 3D. Giusto?
Grazie

 esempio, cambi il suo spettro di emissione.
Certo, capisco. Ma posso continuare a dire che nella miscela di fotoni
emessi, ogni singolo fotone - una volta emesso - si comporti in maniera
piuttosto indipendente dagli altri? Che cammini rettilineamente per i fatti
suoi e che conservi fino alla eventuael rivelazione la stessa distribuzione
di probabilità dell'energia? Abbiamo cioè detto che il fotone ha una
indeterminatezza nella sua energia deltaE: la mia domanda è:
- l'entità di deltaE è determinato all'atto di emissione o può variare a
seconda della storia del fotone, dei suoi "rapporti" con gli altri fotoni,
con oggetti vari che incontra, ecc?
- la densità di probabilità di ogni valore di energia compreso in deltaE,
rimane anche'essa costante? O ci sono situazioni che possono far aumetare ad
es. la probabilità che il fotone si manifesti con una certa energia prima
poco probabile?