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Titolo: Invariante di lorentz d^3 k / omega (?)

Salve a tutti,
Nella sezione 14.7 dell'Elettrodinamica Classica di Jackson leggo che
la quantità d^3 k / omega per  un volume nello spazio dei
quadrivettori d'onda per un'onda elettromagnetica è Lorentz-
invariante.
Se ho capito bene, questo vuol dire che il "volume" dk_1 x dk_2 x
dk3 / k_0 attorno al vettore d'onda (k_0, k_1, k_2, k_3) è invariante.
Non sono riuscito a dimostrare la cosa, che anzi così com'è non mi
sembra vera!
Qualcuno può aiutarmi? Grazie!
Davide

 sembra vera!
Se con k0 intendi  k0=sqrt[k1^2+k2^2+k3^2] allora hai l'identita' (con
un certo abusio di notazione)
d^3k / k_0 = 2 d^4k delta(k^2-m^2)theta(k0)
dove delta(x) e' la delta di Dirac, la theta(x) e' la funzione
''segno'' di Heaviside e k^2=k0^2-k1^2+k2^2+k3^2.
Il mebro di destra e' invariante perche' d^4k trasforma con lo
Jacobiano che e' uno in Lorentz,
k^2-m^2 e' invariante perche' ' un modulo quadro, la theta e'
sensibile solo al segno di k0 e
quello non viene cambiato per boost.
Ciao.


C'è anche un altro modo più semplice: ogni trasf. di Lorentz è il
prodotto di due rotazioni nello spazio a 3d con in mezzo una trasf.
speciale di Lorentz lungo l'asse z. Le 3-rotazioni lasciano banalmente
invariante la misura dk^1dk^2dk^3 ma anche k0=sqrt[k1^2+k2^2+k3^2] che
è invariante per rotazioni per costruzione. La trasformazione speciale
di Lorentz altera dk^3 e k^0 dello stesso fattore come si prova
immediatamente, lasciando dk^1dk^2 invarianti,  per cui d^3k / k_0
rimane invariato.
Ciao, Valter


Non è proprio semplicissimo come ricordavo. Per tale motivo riporto i
calcoli che mi sono rifatto esplicitamente.
Poniamo, mettendo anche una massa m (che nel caso in esame si sceglie
nulla) per avere una dimostrazione del tutto generale valida
anche per particelle con massa,
   k0 = (k1^2 + k2^2 + k3^2 + m^2)^(1/2)                 (0)
 La misura invariante per il gruppo di Lorentz ortocrono O(1,3)^
[cioé che non inverte l'ordine temporale]) è
  dmu :=  dk1 dk2 dk3 / k0
Mostriamo tale invarianza. Come dicevo se L è in  O(1,3)^ , allora
esistono due matrici di rotazione spaziali R,R' in SO(3), pensate
come
trasformazioni di Lorentz che agiscono come l'identità sull'asse
temporale, ed una trasformazione speciale di Lorentz lungo l'asse z,
L_z, per cui
      L = R L_z R'
L'invarianza della misura  dmu sotto l'azione di R e R' è ovvia (dato
che la misura di Lebesgue dk1 dk2 dk3 è invariente per rotazioni e K0
è uno   scalare sotto rotazioni). Rimane da provare che la misura è
invariante anche sotto L_z e questo completa la dimostrazione
componendo le tre invarianze ottenute. Come sappiamo L_z si scrive
come
 c      1    1    s
 0      1    0    0
 0      0    1    0
 s      0    0    c
dove c = cosh a e s = sinh a per qualche numero reale a.
Sotto l'azione di L_z si trova
k0 -> k'0 = c k0 + s k3                        (1)
k1 -> k'1 = k1
k2 -> k'2 = k2
k3 -> k'3 = s k0 + c k3                        (2)
da queste abbiamo che dk1=dk'1 e dk2 = dk'2. Inoltre (2) implica  che
       dk'3 = (s dk0/dk3 + c) dk3  = (s k3 + c k0) dk3/k0
(3)
dove abbiamo tenuto conto di (0) nel calcolo di dk0/dk3.
In definitiva, usando (1) e (3) si trova
dk'1 dk'2 dk'3 / k'0   = dk1 dk2 dk'3 / k'0   = dk1 dk2  [(c k0 + s
k3) dk3/k0] /  (c k0 + s k3) =      dk1 dk2 dk3 / k0
QED
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

  s      0    0    c
Ciao, Valter

Mi pare che abbiate omesso di osservare una cosa.
L'invarianza sussiste ponendo
omega = sqrt(m^2 + k1^2 + k2^2 + k3^2)
per qualunque m, zero incluso.
In particolare argo doveva essere coerente: se pone
k0=sqrt[k1^2+k2^2+k3^2]
poi la "m" non ci vuole nelle sue formule...
-- 
Elio Fabri

 wrote:
1> Mi pare che abbiate omesso di osservare una cosa.
2> L'invarianza sussiste ponendo
3> omega = sqrt(m^2 + k1^2 + k2^2 + k3^2)
4> per qualunque m, zero incluso.
Mi pareva di averlo scritto! Ma forse non ho capito cosa hai detto.
In quello che ho scritto omega si chiamava sempre k^0 (con massa o
senza).
Ciao, Valter

 poi la "m" non ci vuole nelle sue formule...
Hai ragione, e' una svista che capita quando pensi una cosa,
la scrivi su un foglio e poi cerchi di riassumerla  nel post.
Grazie della precisazione.
Ciao