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Titolo: Sulle leggi della fisica

Salve a tutti,
da un po' di tempo mi assilla una domanda a cui non riesco trovare
risposta, ve la formulo nella speranza che qualcuno mi sappia dare una
risposta o per lo meno un'opinione confortante !!
Perchè in tutte le leggi che ho visto finora (sono al 2° anno di fisica,
ma questo non importa, non credo che sia solo un fatto di 'quantità' di
conoscenza ma qualcosa di più profondo) le grandezze fisiche appaiono
con un esponente intero ?
[quelle in cui ci sono esponenti frazionari tipo la radice, basta
elevare ad un opportuno esponente, nel caso della radice l'esponente è 2
ovviamente..]
Ad esempio la legge di Coulomb o quella della gravitazione universale di
Newton dicono che la forza in gioco tra due corpi etc... è inversamente
proporzionale al quadrato della distanza cioè F ~ 1/r^2 e non F ~
1/r^2,00000000001  o F ~ 1/r^1,999999999. Sottolineo che l'esponente è
ESATTAMENTE 2 e non è un'approssimazione.
[chiaramente mi si potrà ribattere, facendo crollare la mia domanda, che
per ora è 2 ma quando avremo strumenti di misura più precisi potremo
scoprire che era 2,...mille zeri....1 ma sinceramente ho i miei dubbi,
non so perchè]
Anche nella 3a legge di Keplero ritroviamo questo fatto T²/r³=costante e
anche qui è stupefacente; una legge (come anche le altre...) derivata da
fatti sperimentali,osservazioni, da misure e quindi da approssimazioni è
paradossalmente "esatta" (nel senso esponenti interi) com'è possibile ?
Com'è possibile che nella natura fossero già intrinsechi i numeri interi
(o, non per niente, naturali...) a noi così familiari ?
Tutto ciò mi lascia perplesso e affascinato.
Sperando di non avervi annoiato, vi saluto !!
--
Ludovico: 
Su...@tin.it
Web page: 
http://members.xoom.com/Ludos/index.html
Da dove proviene l'ordine e la bellezza che vediamo nel mondo ?
Isaac Newton

La scienza lavora sempre per approssimazioni:
ti immagini, da una funzione tracciata sperimentalmente estrapolare una
legge con esponenti non interi ?
Non sono un matematico ma così a prima sensazione quando si cerca una legge
fisica lo si fa già per approssimazione, inoltre credo ci sia anche una
spiegazione matematica alla tua affermazione.
Aspettiamo che si pronunci un esperto.
Ciao Piero.

...


Non ho una risposta ma solo un paio di riflessioni.
Le leggi fisiche molto spesso si esprimono in forma differenziale, in
quanto
noi misuriamo variazioni di grandezze (e quindi nelle leggi che
formuliamo
appaiono i dx, dt, dE...). Da questo si puo' dedurre come partendo da
una
legge in cui le dipendenze sono del tipo A=B^N si finira' (con
integrazion e
derivazioni) sempre a una legge con esponente intero se N inizialmente
era
intero.
Un esempio e' dato proprio dalla legge di gravitazione e dalla terza di
Keplero da te citate; la seconda fu ricavata sulla base di osservazioni
astronomiche, quindi e' una legge sperimentale, logico quindi che gli
esponenti siano interi. Ma il buon Isacco dimostro' che la terza (e
anche le
altre due) di Keplero altro non era che una logica conseguenza della sua
legge di gravitazione. Quindi se vuoi stupirti per la presenza di
esponenti
interi in diverse leggi della fisica, devi prima pensare che molti di
questi
esponenti sono conseguenza di pochi esponenti interi presenti nelle
"leggi
fondamentali".
Un altro appunto: la legge che mi da' la forza di attrito viscoso per
esempio e' del tipo F=-aV per piccole velocita', mentre per V piu'
elevate
(moto vorticoso) mi pare si usi F=-bV^2, ovviamente ne' l'una ne'
l'altra
sono esatte, sono semplicemente delle approssimazioni utili per
facilitarci
i conti.
La legge esatta non ha quindi dipendenza "semplice". Lo stesso puo'
dirsi
circa la legge di Hooke.
Circa il fatto poi che la legge di coulomb abbia proprio esponente 2 al
denominatore, posso dirti che non e' 2 solo perche' cosi' ci fa comodo
(se
cosi' non fosse addio teorema di gauss, per esempio), sono state
eseguite
delle misure molto precise (questo e' legato alla eventuale massa del
fotone) che hanno mostrato che se 2 fosse invece 2+a, allora questo "a"
deve
essere inferiore a 10^-15.
Non mi viene in mente altro.

Il problema da te esposto si riporta tale e quale anche ai valori delle
costanti rilevate nell'universo; perché la costante di Gravitazione
Universale ha proprio questo valore e non un altro? perché la costante di
Struttura Fine ha proprio questo valore e non un altro? perché la costante
di Plank ha questo valore e non un altro? perché la velocità della luce è
proprio questa e non un altra? perché il Pi greco è un numero irrazionale e
non semplicemente un numero decimale?
Ti posso rispondere con quella che viene definita Teoria Antropica, anche se
in realtà non è una vera risposta.
La teoria cerca di spiegare che l'universo in cui viviamo si basa su
costanti e leggi fisiche che rimangono inalterabili mentre tutto il resto
cambia. Forse esistono altri universi con leggi e costanti ed esponenziali
differenti dai nostri, ma il nostro dopo circa 15 miliardi di anni ha dato
luogo all'Uomo, parte dell'universo che si interroga sul Tutto.
Se la forza di gravitazione non fosse inversamente proporzionale al quadrato
della distanza, tra l'altro misurata con una precisione che non ha eguali
per nessun altro valore, cambierebbero le iterazioni tra le masse e di
conseguenza l'universo non sarebbe così come lo conosciamo noi uomini.
Con valori inferiori di esponente si otterrebbe una forza gravitazionale
maggiore e probabilmente se così fosse avvenuto l'universo si sarebbe spento
in breve tempo. Con valori superiori di esponente probabilmente non si
verificherebbero neppure le condizioni necessarie per le reazioni nucleari
necessarie alla creazione delle stelle.
Il tutto si ripete per tutte le leggi e tutte le costanti che governano
l'universo.
Non è un caso da poco che il "Caso" abbia creato l'universo che ora dà
origine anche all'Uomo, ecco il perché la teoria viene chiamata Antropica.
Per pura aneddotica, alcuni studiosi hanno valutato che tra leggi e costanti
la probabilità di ottenere proprio il nostro universo è paragonabile a
quella di scoprire su una parete di una caverna la prima pagina della
"Divina Commedia" creata per effetto naturale dagli agenti percolanti.
In ultimo, ma non meno importante, non è quanto meno strano e meraviglioso
che i nostri mezzi matematici possano aiutarci a spiegare l'universo in modo
così relativamente semplice?
Eliah


Se tu fai un plot dei dati in scala doppio-logaritmica dei dati se questi
sono legati da una legge di tipo
y=x^p
con p qualsiasi reale, ottieni una retta di pendenza p.
Esistono molti sistemi che hanno questo tipo di comportamento, soprattutto
nei modelli della meccanica stastitica moderna, in cui ci si diletta con le
leggi di scala etc.
ciao
Franz