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Titolo: non mi torna un verso

ciao,
vi propongo come sempre un quesito preso dai test di ammissione della 
ssis... so che vi mancava :-)
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Due persone, indicate con A e B, si trovano su una piattaforma 
orizzontale rotante in senso antiorario. B è sul bordo della 
piattaforma, A è collocato al centro. B lancia radialmente, verso A, un 
disco che si muove senza attrito. B vedrà il disco:
A) muoversi in linea retta lungo il raggio
B) muoversi verso la sua destra
C) muoversi verso la sua sinistra
D) non si può rispondere senza conoscere la velocità angolare della 
piattaforma
E) nessuna delle precedenti risposte.
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Io ho visualizzato B che lancia il disco quando si trova nel punto più 
basso della piattaforma (basso rispetto al disegno). Quindi il disco, in 
un riferimento fisso, sale in linea retta verso il centro, perché non 
c'è attrito, e intanto B si muove sulla piattaforma verso destra, perché 
la piattaforma ruota in senso antiorario. Quindi B vede il disco 
muoversi verso la sua sinistra.
La soluzione invece dice B, cioè verso destra :-(
Allora ho pensato: sarà perché sono mancina e vedo le cose a rovescio 
:-), faccio i conti così non posso sbagliare.
Chiamo 1 il riferimento in cui l'asse di rotazione della piattaforma è 
fisso, e 2 il sistema solidale con la piattaforma, che ruota di velocità w.
Quindi la velocità v2 del disco letta da B è:
              v2 = v1 - w x r
dove r è il vettore posizione del disco rispetto al riferimento 2.
Quindi, nella situazione descritta sopra, i vettori sono orientati:
      ^
v1:  |       w:  uscente           r:  |
                                        v
cioè w x r = -->
quindi la velocità v2 vista da B è orientata verso sinistra.
E' sbagliata la soluzione o ho sbagliato io due volte?
Grazie :-)
-- 
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurità"
http://amnestypiacenza.altervista.org

Mi sa che hai sbagliato tu...
 Mettiti nel sistema ruotante, solidale con B. B Guarda verso il centro e 
spara il disco verso il centro. La forza di Coriolis che agisce sul disco è 
direttamente proporzionale al prodotto vettoriale della velocità del disco 
(che è verso il centro) per la velocità angolare della piattaforma (verso 
l'alto, visto che il verso di rotazione è antiorario).
F=2m(v x w)
Applicando la regola della mano destra è facile verificare che il verso 
della forza di coriolis è verso destra.
In alternativa, con un ragionamento più intuitivo e meno rigoroso, pensa che 
quando il disco parte, ha velocità tangenziale massima trovandosi sul bordo 
della piattaforma. Essendo l'attrito trascurabile, tende a mantenerla anche 
mentre viaggia verso il centro della piattaforma, dove la velocità 
tangenziale della piattaforma è inferiore. Quindi l'effetto osservabile è 
che, mentre il disco viaggia verso il centro, acquista velocità tangenziale 
nello stesso verso della rotazione, che, nel caso di un moto antiorario, 
guardando verso il centro, significa verso destra.
Ciao
 KV 

 La soluzione invece dice B, cioč verso destra :-(
Potrebbe essere solo una questione di convenzione sul verso della
direzione radiale rispetto al quale B si riferisce:insomma B guarda A o
guarda verso l'esterno?
Ciao.

 un riferimento fisso, sale in linea retta verso il centro, ...
Impossibile. Nel sistema fisso (non rotante) il disco ha una componente 
orizzontal pari alla velocità  istantanea di B nel punto più  basso. 
Basta che pensi a che succede (nel sistema fisso)  se B,  che ha il 
disco in mano,  invece di lanciarlo verso il centro lo lascia andare. 
Secondo il tuo ragionamento resterebbe fermo. Anche nel sistema rotante 
manca qualcosa al tuo ragionamento: la forza di Coriolis.
Detto questo,  ho l'  impressione che ci sia qualcosa che non torna con 
la soluzione. Per piccole velocità  radiali (nel sistema rotante) mi 
sembra che la soluzione "verso destra" torni.  Ma per grandi velocità 
non ne sono sicuro.  Però   è  stata una gionrata dura e quindi non 
escludo di aver fatto quelce errore stupido.  Ricontrollerò  domani con 
calma...
Giorgio

 non ne sono sicuro. 
Considerando v2 = v1 - w x r, io direi piuttosto che torna per piccole 
velocità angolari della piattaforma, altrimenti la velocità iniziale è 
verso sinistra, e successivamente la forza di coriolis tende a 
riportarlo verso destra, mentre il moto radiale in ogni caso è di 
avvicinamento a poi allontanamento dal centro, come si vede bene 
mettendosi nel riferimento 'fisso', che vede il disco attraversare la 
piattaforma lungo una corda.


 verso destra.
Ho l' impressione che stai facendo un po' di confusione tra sistemi di 
rif.  diversi. O sei in quello inerziale e allora non c' e' Coriolis ma, 
nel tuo esempio, c' e' una componente verso destra della velocità.  O 
sei in quello rotante (non inerziale)  e allora devi tener conto anche 
di Coriolis ma la velocità  iniziale non ha componenti verso destra. 
Convengo che l' analisi in quello inerziale dovrebbe essere 
sufficientemente semplice.
Allora.  Nel sist.  inerziale, B si muove secondo la legge oraria
x_B(t) = R sin(w t)
y_B(t) = -R cos(w t)
(Ho scelto la fase in modo che all' istante zero si trovi nel punto in 
basso della circonferenza).
Il disco, lanciato con velocità radiale v0 nel sistema rotante all' 
istante t=0,  ha velocità costante (nel sistema inerziale)
vx = wR
vy = v0
Poiché  parte da (0,-R)  la sua legge oraria sarà:
x_d(t) = wR t
y_d(t) = -R + v0 t
Il problema diventa quindi quello di decidere,  sulla base delle due 
leggi orarie, se disco rimane o meno sempre dalla stessa parte di B.
Qui secondo me cominciano i problemi del problema :-)
Infatti,  dai dati che hai riportato, si potrebbe arguire 
tranquillamente che qualsiasi risposta vada bene. Manca qualsiasi sull' 
intervallo di tempo che si deve considerare e soprattutto qualsiasi 
informazione sullo stato di rotazione di B: forse è  sempre rivolto 
verso A ma potrebbe invece non ruotare nel sistema inerziale, potrebbe 
dare le spalle ad A,  ruotare sia nel sistema inerziale sia in quello 
rotante....
Se l' ipotesi (non espressa)  fosse che B  è  costantemente rivolto 
verso A e quindi verso il centro della piattaforma, la risposta corretta 
è  effettivamente B  ma solo per un intorno dell' istante del lancio. 
Sicuramente,  quando B sarà  in (0,R) e quindi ruotato di 180 gradi 
rispetto alla posizione iniziale, il disco sarà  alla sua sinistra.
Se l' ipotesi fosse che B  non ruota allora il " muoversi verso destra" 
per tutti i tempi  deriva banalmente dal fatto che x_d(t) > x_B(t) per 
tutti i tempi t>0.
Insomma,  mi sembra un altro esempio di problema formulato in modo poco 
preciso per la tua collezione :-)
Giorgio

 Insomma,  mi sembra un altro esempio di problema formulato in modo poco preciso per la tua collezione
che bello, li trovo anche quando li sbaglio :-P


 
Stavo finalmente riordinando le idee per scrivere un commento e 
pubblicare anche questo quesito... ma c'è ancora qualcosa che non mi 
torna. Mi sembrava che avessimo concluso che per un tempo 
sufficientemente breve, B vedesse comunque il disco andare verso la sua 
destra, se B stando sul borso guarda sempre verso il centro A. Però mi 
sembra invece che dipenda dalla velocità con cui B lancia il disco verso 
il centro.
Infatti, riferendosi a questa figura:
http://gnappa.netsons.org/quesitissis/quesiti/fis_emiVI49_1.png
si vede che dopo un tempo t, B si è spostato lungo l'arco da B0 a B. Per 
sapere se B vede il disco alla sua sinistra o alla sua destra, bisogna 
vedere se il disco, dopo un tempo t, si trova 'al di qua' o 'al di là' 
del segmento AB.
Il disco ha componente x della velocità pari a wR, quindi dopo un tempo 
t ha percorso una distanza lungo x pari a wRt. Essendo il segmento 
B0C=R*tg(wt)>Rwt, il disco non può oltrepassare il segmento AB grazie 
alla sola velocità tangenziale. Quindi B vede il disco a destra o a 
sinistra a seconda che la velocità radiale che gli imprime sia 
sufficiente o meno a fargli percorrere nel tempo t un tratto in 
verticale tale che gli faccia superare il segmento AB.
Dico bene?
Se è così, allora il problema è veramente indefinito, non si può salvare 
dicendo che sottointendeva i primi istanti dopo il lancio.



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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

A  me sembra che per piccoli tempi non ci siano dubbi.
Riprendiamo la descrizione dei due moti nel sistema inerziale:
B si muove secondo la legge oraria
x_B(t) = R sin(w t)
y_B(t) = -R cos(w t)
e il disco secondo la:
x_d(t) = wR t
y_d(t) = -R + v0 t
Possiamo semplificarci la vita scegliendo opportunamente le unità  di 
tempo (w^-1)  e di lunghezza (R).  Abbiamo quindi in tutta generalità:
x_B(t) = sin(t)
y_B(t) = - cos(t)
e il disco secondo la:
x_d(t) =  t
y_d(t) = -1 + v0 t
(in realtà  adesso v0  esprime la velocità  con cui è  lanciato il disco 
(positiva se verso l' alto) nelle nuove unità.  Quello che abbiamo 
guadagnato è  che c' è  evidentemente un solo parametro rilevante (v0).
Come facciamo a sapere se il disco è  a sx o dx di B ?
Prendiamo la retta che passa per l' origine (il centro del disco) e per 
la posizione istantanea di B. La sua equazione  varierà  nel tempo. Un 
minimo di geometria ci convince che la rappresentazione
(tg(t))*y + x = 0  [RR] è la nostra retta (la rappresentazione diviene 
singolare per t = pi/2  ma a noi interessano solo i piccoli t.
Ad ogni t la retta [RR]  divide il piano  in due semipiani e,  almeno 
dfino a t=pi/2,  tutti i punti le cui coordinate (x,y)  sostituite nell' 
equazione di [RR]  danno un risultato positivo sono nel semipiano destro 
rispetto a B.
Vediamo allora che segno prende [RR]  se la valutiamo in corrispondenza 
alle coordinate istantanee del disco (x_d,y_d):
(tg(t))*(-1+v0*t) + t
se prendiamo l' espansione a piccoli t  della tangente (tg(t) = t + 
t^3/3+...
vediamo che il termine dominante a piccoli t è:
v0*t^2,  che è  positivo se v0  lo è.
Quindi la mia conclusione. (Salvo errori)
In realtà  il ragionamento che avevo fatto  inizialmente era meno "forza 
bruta".  Partivo dalla constatazione che in un tempo dt  B  si muove 
lungo il tuo segmento B0-C (= vel. tangenziale*dt) e il disco lungo l' 
ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti B0-C  e (vel 
verticale)*dt,  pertanto mi sembrava comunque chiaro che dovesse 
trovarsi sempre a dx.
Giorgio

 trovarsi sempre a dx.
B non si muove lungo il segmento B0-C, ma lungo l'arco B-B0, e neanche 
la componente orizzontale del moto del disco è il tratto B0-C, ma è un 
tratto più breve, è questo che mi ha fatto pensare che per una v0 
sufficientemente piccola il disco possa rimanere a sinistra di B.



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 sufficientemente piccola il disco possa rimanere a sinistra di B.
Se B  si muove di meno di B0-C, e  se il disco sta a dx  già nel caso 
B0-C,  allora a maggior ragione il disco deve stare alla destra. :-)
Giorgio

 B0-C,  allora a maggior ragione il disco deve stare alla destra. :-)
ma veramente mi sembrava di aver mostrato che il disco sta a sinistra di 
B perché non raggiunge la retta che passa per A e per B....


 della posizione attuale del segmento AB.
Dunque, se ho capito bene, sempre riferendomi a questa figura:
http://gnappa.netsons.org/quesitissis/quesiti/fis_emiVI49_1.png
stai dicendo che è vero che in orizzontale il disco si muove lungo il 
segmento B0-C senza raggiungere C, ma comunque, visto che percorre un 
tratto lungo come l'arco B0-B, si deve trovare tra la proiezione di B su 
B0-C e C, quindi la velocità v0 sufficiente a non farlo uscire dalla 
piattaforma è anche tale da portarlo alla destra di B.
Giusto?
Quindi a voler essere pignoli, il testo del problema doveva specificare 
che il disco non cade dalla piattaforma :-)


 termine che potrebbe renderti l'espressione negativa.
...
La soluzionee'  il concetto di "intorno". Se riduci sufficientemente t 
troverai un intorno di t=0,  magari piccolissimo,  in cui l' 
espressione e'  sempre positiva (se lo e'  v0).
Giorgio


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 il bordo nell'estremo della corda prima che in quel punto giunga B,
Questo argomento e'  sicuramente piu'  semplice.
Giorgio

 primo ordine (se v0 e'  diversa da zero)
... componente dello spostamento di B ...


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 chi sta in B e guarda verso A lo vede a destra.
Bene, adesso ho messo insieme tutti i pezzi e ho capito, grazie.
Adesso vorrei capire anche l'argomentazione meno geometrica e più 
'analitica' di giorgio pastore, ho l'impressione che mi stia perdendo in 
un bicchierino d'acqua :-)


 e'  sempre positiva (se lo e'  v0).
Certo, adesso che l'ho capito non so più cosa mi dava difficoltà prima: 
il termine che trascuro troncando non può rendere l'espressione 
negativa, perché essendo un infinitesimo del termine che tengo, è 
minore in modulo, quindi il fatto che sia positivo o negativo non cambia 
il segno dell'espressione.
Grazie per la pazienza.


 
Alla fine ce l'ho fatta:
http://gnappa.netsons.org/quesitissis/quesiti/fis_emiVI49_1.php
Per chi ha voglia, gradirei un commento al mio commento :-)
Più che altro se ci sono ancora errori, e se è il caso di infierire 
anche sul fatto che il testo non specifica com'è rivolto B.
Grazie



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 punto esterno alla piattaforma. 
la proiezione della velocità sul raggio non è la velocità radiale? 
Intendevi quella trasversale? Cioè B vede il disco alla sua sinistra 
solo dopo che questo è uscito dalla piattaforma, se potesse proseguire 
con il suo moto.
