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Titolo: Paradosso dei gemelli

Sto seguendo da tempo l'interessante dibattito sul paradosso dei
gemelli. C'è chi lo vede come il tallone d'Achille della relatività, e
chi invece lo ritiene solo un particolare irrilevante, per nulla
inficiante la validità della teoria. Vorrei fare alcune considerazioni a
riguardo, prendendo spunto dal passato. Come tutti sanno, per tutto il
medioevo la scienza ufficiale sostenne con fermezza che la Terra era al
centro dell'universo. In realtà già nel III° secolo avanti Cristo
l'astronomo greco Aristarco aveva proposto un modello eliocentrico. La
sua ipotesi venne però rifiutata dai dotti del suo tempo. E così il
sistema geocentrico di Aristotele, perfezionato da Tolomeo, la fece
franca per ben 17 secoli.  Ma tale idea non era la sola perla ereditata
dal pensiero Aristotelico. Un altro micidiale concetto era la
convinzione che i corpi lanciati in aria seguissero traiettorie
rettilinee. E allora come facevano a tornare giù direte voi? Semplice, a
un certo punto invertivano la rotta e ricadevano al suolo. Tutto questo
derivava dalla radicata convinzione che solo ai corpi celesti spettasse
il privilegio di compiere percorsi circolari perfetti, ritenuti divini
per concetti risalenti addirittura a Pitagora: armonia delle sfere e via
dicendo. Certo era difficile per gli uomini di allora, dotati di
limitati mezzi d'indagine, rendersi conto che il modello eliocentrico
era sbagliato. Però uno sguardo un po' più attento ad una freccia
lanciata in alto che ricadeva al suolo avrebbero anche potuto darlo. Per
accorgersi così che in realtà la traiettoria che descriveva era una
parabola, e non una ridicola serie di tratti rettilinei. Ma non lo
fecero. Perchè? Erano più stupidi di noi? Dall'esame delle loro capacità
craniche si direbbe di no. La spiegazione più verosimile è che fossero
accecati dai loro stessi preconcetti. Guardavano le cose con gli occhi
del pregiudizio, non con quelli della ragione, scambiando per fenomeni
oggettivi quelli che invece erano solo parto delle loro menti.  E se
qualcuno un po' più lungimirante, e potete scommetterci che qualche
rompiscatole ci sarà pur stato, tentò di spiegare agli altri che le cose
non stavano come credevano, probabilmente venne zittito dai dotti del
tempo con argomentazioni tipo: -il modello Aristotelico Tolemaico
funziona, quindi bisogna accettarne anche tutte le conseguenze e
paradossi- Oppure:  -fior di scienziati l'hanno perfezionato per secoli.
Chi sei tu per metterlo in discussione?- e via di questo passo.
Osservando la situazione odierna, non posso fare a meno di notare
preoccupanti similitidini col passato. La relatività porta ad
inquietanti paradossi. Ma invece di rivedere la teoria, ci si attacca a
tutto pur di salvarla. Così per risolvere in qualche modo il paradosso
dei gemelli generato dalla relatività ristretta, si ricorre alla
posteriore teoria della relatività generale:  la prova dell'oggettività
del moto relativistico del gemello astronauta rispetto alla Terra,
consisterebbe proprio nelle accelerazioni da questi subite nel suo
viaggio spaziale. Lodevole salvataggio in extremis, anche se dal punto
di vista logico causale risolvere i paradossi generati da una teoria che
si occupa esclusivamente di sistemi inerziali, tirando in ballo le
accelerazioni, mi sembra un po' discutibile (quanto a feed back casuale
mi ricorda la curiosa proposta di un tizio per costruire finalmente la
macchina del tempo: lasciar detto ai posteri di tornare indietro nel
tempo a dirci come farla, appena siano riusciti a realizzarla in un
lontano futuro). Ed è po' come dire, la teoria funziona, a patto di non
usarla. Questo perchè nell'universo tutto sta muovendosi a velocità
impressionanti. Quindi, per stabilire quale di due corpi sia realmente
in moto rispetto ad un'altro, seguendo tale logica, dovremmo andare a
verificare la storia di tutte le accelerazioni subite precedentemente da
entrambi, addirittura dal Big Bang in poi. Infatti se è vero che il
gemello che si allontana dalla Terra, per raggiungere una velocità
prossima a c deve obbligatoriamente accelerare, è anche vero che la
Terra, col nostro sistema solare, e Via Lattea annessa sta probabilmente
muovendosi a velocità relativistiche rispetto ad altre zone
dell'universo. E' plausibile che in passato intere galassie abbiano
subito forti accelerazioni e-o continuino a subirle. Lo stesso Big Bang
non è forse stato un'enorme accelerazione istantanea?  Come si può
allora considerare la Terra assolutamente ferma rispetto al gemello
austronauta. Potrebbe perfino accadere che il gemello spaziale si
allontani proprio nella direzione opposta al moto della Terra rispetto
al resto dell'universo, portandosi così di fatto ad una velocità minore
di quella di partenza. Allora dovrebbe essere il gemello sulla Terra ad
invecchiare meno. Ma la relatività ristretta non tiene affatto conto
della direzione del moto di un corpo, solo della sua velocità.
Nel celeberrimo libro di Orwell, "la fattoria degli animali", un giorno
viene affisso da alcune bestie assetate di potere il seguente cartello:
-tutti gli animali sono uguali, ma alcuni sono più uguali degli altri.-
Parafrasando in fisica relativistica, si potrebbe dire: -tutti i moti
sono relativi, ma alcuni sono più relativi degli altri.-
Perdonatemi se ho detto bestiate e fatemi sapere cosa pensate in
proposito.
Ciao a tutti,
Daniele


Poiche' concordo con quanto e' contenuto in questo messaggio, ho
quotato solamente le ultime due righe esclusivamente per una questione
di riferimento ed indirizzamento della risposta.
Arrivato quindi al termine della lettura di quanto sopra riportato in
omissione, una domanda mi e' sorta spontanea ed irrefrenabile: ma e'
mai possibile che molti portino dentro di loro queste convinzioni e
nessuna di queste persone abbia mai lontanamente pensato ad un errore
d'impostazione, di struttura, concettuale, delle dimensioni fisiche
utilizzate nella scienza della fisica?
Mi domando: siete tutti veramente cosi' determinati nel continuare a
non prendere seriamente in considerazione e scartare sistematicamente
a priori in modo cosi' intransigente la soluzione da me piu' volte
suggerita ed avanzata, secondo la quale la dimensione che viene
attribuita e fatta corrispondere al tempo, potrebbe invece essere una
dimensione fisica completamente fittizia anziche' una dimensione
fisica concreta e reale?
Come e' possibile continuare ad andare avanti cosi', creando un legame
di stretta interdipendenza (lo spaziotempo) fra una dimensione
concreta e reale come lo spazio ed una la cui esistenza non e' neppure
mai stata accertata sperimentalmente, essendo impossibile fornire una
campionatura concreta del tempo od anche solo un sistema per la sua
identificazione?
E' mai possibile che nessuno si sia mai posto il problema della
"identificazione" della dimensione fisica del tempo, la quale deve
necessariamente essere *preliminare* alla sua quantificazione?
Qualcuno e' in grado di dirmi come si "identifica" un'ora, un minuto
od un secondo?
Preciso che non m'interessa la "quantificazione" (cioe' il valore
segnato dai cosiddetti orologi) ma la "identificazione" del tempo, la
sua nozione, la possibilita' concreta della sua campionatura.
Grazie in anticipo a coloro che risponderanno.
Claudio Pipitone
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Attenzione: per rispondere via E-mail rimuovere i caratteri x-x
inseriti per falsare l'indirizzo ai fini "anti-spam".
E' disponibile la chiave PGP.

Daniele
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
email:nospamb....@leonet.it
      togliere "nospam" per avere il
corretto indirizzo.
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Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
Li spingemmo oltre il bordo. E volarono.
---------------------------------------------     (G. Apollinaire)

Ad ogni modo non me la prendo.
Se in questo passaggio fai riferimento al tuo scambio di post con me, dirò
che ti ho già risposto in due modi, di cui il primo poteva essere affetto da
divagazione filosofica, ma non mi pare, mentre il secondo entrava
esattamente nel merito.
Se mai tu nel rispondermi dicevi di esserti perso, quando avevo introdotto
il secondo osservatore, bada bene in moto rettilineo uniforme (non
accelerato) , e poi, come hai ribadito in questo post, ti sei ribellato a
questa introduzione ritenendola immotivata, e hai cambiato tesi parlando del
fatto che il rallentamento del tempo sarebbe dimostrato dall'esperimento con
gli orologi sugli aeroplani.
Comunque, se sei seriamente intenzionato a discutere del paradosso dei due
gemelli, possiamo ancora provare a chiarire.
Cerchiamo di metterci d'accordo almeno sul contesto sul quale ragionare.
Il paradosso sostiene che il gemello viaggiatore tornerà dal viaggio più
giovane.
Ciò dovrebbe valere per qualunque osservatore in moto inerziale.
Tu sostieni che il sistema è asimmetrico per via delle accelerazioni subite
dal gemello viaggiatore, e te ne do atto.
Però confermi che di queste accelerazioni non va tenuto un conto matematico,
come sarebbe in RG, ma solo del fatto che rendono il sistema asimmetrico.
Infatti non le conteggi nel tuo post, né le riporta Einstein nella
relatività ristretta, per il calcolo del ritardo temporale del gemello
viaggiatore.
Poi descrivi l'esperienza vista dal riferimento terrestre, e i conti tornano
perfettamente.
Perché però poi rifiuti di considerarla dal punto di vista di un osservatore
inerziale che viaggi alla stessa velocità dell'astronauta, bada bene, solo
durante il viaggio di andata, ché poi l'astronauta torna indietro, mentre
l'osservatore continua il suo moto inerziale?
Ti ripeto quello che si osserverà dai due punti di vista.
Utilizzo il termine velocità dimezzamento per intendere quella velocità
prossima a "c" alla quale in base alle equazioni di Einstein le lunghezze
dimezzano, e dimezza pure la velocità di scorrimento del tempo.
Non uso le formule, non perché non le conosca, ma perché in questo formato
grafico risultano illeggibili e impediscono di concentrarsi sul filo logico.
Stabiliamo pure in anticipo che sia durante il viaggio di andata, sia
durante quello di ritorno, l'orologio a Terra batterà 100 colpi, 200 in
tutto.
1) Osservatore in quiete rispetto alla Terra:
Il viaggiatore parte verso destra a velocità dimezzamento, a tale velocità
l'orologio di
bordo viaggia ad andatura dimezzata, pertanto durante l'andata sia a Terra,
sia per qualunque osservatore in quiete rispetto ad essa  arriveranno
cinquanta impulsi dall'orologio di bordo. Idem nel viaggio di ritorno.
50+50=100 contro i 200 dell'orologio a Terra.
Pertanto al suo ritorno a Terra il gemello viaggiatore sarà più giovane di
100 impulsi.
2) Osservatore in moto rettilineo uniforme verso destra a velocità
dimezzamento, rispetto alla Terra:
secondo lui, che a suo parere è fermo, la Terra sta viaggiando verso
sinistra a velocità dimezzamento, pertanto l'andatura del tempo sulla Terra
è dimezzata, e quindi sia durante il viaggio di andata che di ritorno
dell'astronauta, l'orologio a Terra gli invierà 50+50=100 impulsi. Quando
l'astronauta parte, rispetto a lui in realtà si ferma, pertanto il tempo di
bordo riprenderà a scorrere regolarmente, e mentre la Terra gli invia i
primi 50 impulsi, dall'orologio di bordo ne riceverà 100 (viaggio di
andata).
a questo punto l'astronauta per tornare a Terra avrà bisogno di viaggiare
verso sinistra a velocità superiore a quella di dimezzamento, velocità che
sarà intermedia tra quella di dimezzamento e "c", (nel precedente post l'ho
chiamata di quarteggiamento, e credo che a conti fatti il termine sia
giusto, ma ad ogni modo non ha importanza), dato che tale velocità è
inferiore a "c", alcuni impulsi dell'orologio di bordo raggiungeranno
l'osservatore durante il viaggio di ritorno.
Poiché da Terra questo osservatore ha ricevuto 100 impulsi, mentre da bordo
ne ha ricevuti 100+ alcuni, dedurrà che il viaggiatore è più vecchio del
gemello a Terra di alcuni impulsi.
Ora a me pare indiscutibile che tale ragionamento dimostri che chi sia più
vecchio tra i due gemelli, dipende essenzialmente da quale osservatore in
moto inerziale sia a giudicare.
Questo non è possibile in quanto il presupposto principe della RR è che
per qualunque osservatore in moto inerziale i fenomeni debbano svolgersi con
i medesimi risultati, anche se la descrizione dei tempi e delle distanze
appaiono diversi.
Ora, se tu o chiunque altro ha qualcosa da correggere su questo mio
ragionamento, sarò felice di discuterne ancora.
Ciao, Mauro.

Condivido l'analisi storica del pregiudizio. Il bravo Aristotele
approvava la schiavitų, negava l'anima delle donne e riteneva che un
chilo di legno cadesse pių piano di un chilo di ferro. Le prime due
cose sono imputabili alla sua epoca, non la terza. bastava
controllare.
Sto leggendo per la seconda volta un libro scritto da Walter Cassani:
egli suppone che la massa sia un fenomeno solo ondulatorio. Tutto
sembra filare logico. Egli dice che i Fisici contemporanei si
rifiutano di "guardare nel cannochiale di Galileo".
E' possibile?
E.


Da parte mia concordo e non ho nulla da aggiungere a quanto gia' detto
nel mio precedente messaggio del 17/05/199 Subject: Re: il paradosso
dei due gemelli (seconda), in cui ho posto anch'io la tua medesima
questione, cioe' quella dell'osservatore "terzo" rispetto agli altri
due.
Dovremmo quindi ora essere almeno in due su questa stessa posizione...
Ciao.


 ragionamento, sarņ felice di discuterne ancora.
Il tuo ragionamento e' viziato dal fatto che per l'osservatore del caso
2 il tempo in cui l'astronave e' ferma non e' affatto uguale al tempo in
cui si muove verso la terra: facendo i calcoli tale tempo e' 7 volte
maggiore dell'altro e la velocita dell'astronave e' tale per cui il
fattore di dilatazione gamma e' uguale a 7. Tenendo conto di questo e
facendo i vari calcoli si trova che non c'e' nessuna contraddizione:
lascio a te la facile verifica.
Ora pero' mi permetto di darti alcuni consigli, visto che il tono di
alcuni tuoi post non mi e' molto piaciuto. Infatti il tuo atteggiamento
puo' essere a volte ritenuto offensivo da chi si occupa seriamente di
fisica: scusa la franchezza, ma e' un insulto all'intelligenza dei
fisici credere che "paradossi" cosi' banali possano essere sfuggiti ad
un secolo di ricerca e di accurata verifica. Voglio pero' credere che
anche certe affermazioni un po' sopra le righe siano dovute piu' che
altro ad ingenuita' e, probabilmente, alla giovane eta'.
Quindi, se vuoi seriamente interessarti alla relativita' che tanto ti
appassiona, comprati un buon libro: ce ne sono di ottimi e la
relativita' ristretta e' alla portata di chiunque con una decente base
liceale in matematica e fisica. Pero' bisogna studiare seriamente e
farsi i calcoli, lasciando da parte l'intuizione che qui porta
decisamente fuori strada.
Se capisci l'inglese puoi anche consultare le eccellenti pagine web con
le FAQ dei newsgroups sci.physics e sci.physics.relativity:
 
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/faq.html
dove, fra l'altro, troverai la piu' dettagliata ed esauriente
spiegazione del paradosso dei gemelli che io abbia visto.
Dopo aver fatto tutto questo, se ti rimarranno dei dubbi rivolgiti pure
a questo NG, magari usando modi meno presuntuosi, e vedrai che qualcuno
ti rispondera'. Temo infatti che il silenzio da te lamentato nel tuo
post "La fisica moderna fra scienza e fede" (il cui tono mi pare
francamente delirante) sia dovuto piu' che altro al fatto che chi
potrebbe risponderti compiutamente non ha molta volta di mettersi
discutere con uno che, scusa anche qui se sono sincero, ha tutta
l'apparenza di essere ignorante e presuntuoso. Succede quindi che ti
rispondano o studentelli ancora insicuri, che magari ne sanno meno di
te, oppure millantatori di professione, che sperano in realta' di
convertirti a qualche loro strampalata teoria.
Sperando di esserti stato utile.
M.


Scusate se mi inserisco nel vostro discorso, ma gradirei sapere se
state parlando di astronavi in "carne ed ossa" con i loro bravi motori
di spinta, di frenata, direzionali, come tutte le brave astronavi
posseggono ed utilizzano per muoversi, o parlate di astronavi prive di
questi attributi e dotate di proprieta' motorie che certamente non
appartengono alla realta' dell'avionica e dell'astronautica ne' di
oggi ne' di domani ed appartenenti invece ad una vostra situazione
ipotetica che pero' non e' corrispondente minimamente alla realta'?
Perche' non provate a farvi i calcoli almeno due volte, per vostra
sicurezza, la prima volta assumendo un'accelerazione di 1g di spinta
costante dell'astronave (in accelerazione ed in decelerazione) e la
seconda volta di 100g in entrambe le situazioni e sara' facilmente
verificato che poiche' le traiettorie sono identiche, al variare
dell'accelerazione varia anche il tempo trascorso dal momento iniziale
a quello finale del moto...
Dubito pero' che sia stato proprio il tempo a dilatarsi od a
contrarsi...


Ciao, Mauro.


lascio a te la facile verifica.
Vorrei proprio sapere come li fai tu i calcoli.
Per l'osservatore 2 i tempi in cui l'astronave è ferma e in cui torna verso
Terra sono perfettamente identici, quello che varia è la velocità
dell'astronauta, e te lo dimostro.
L'osservatore 2 è in un sistema di riferimento inerziale, come pure la
Terra.
Il rapporto tra le lunghezze misurate, i tempi e le velocità tra i due
sistemi di misura sono alterati dalle velocità relative, ma poiché queste
velocità restano costanti per tutto il tempo dell'esperimento, anche questi
rapporti sono costanti.
Il tempo che ci mette l'astronauta a raggiungere la boa, visto da Terra è
perfettamente uguale  a quello che gli occorre per il ritorno, pertanto lo
stesso varrà anche per l'osservatore 2.
In altre parole, secondo Terra potrà averci messo un anno all'andata ed uno
al ritorno, mentre secondo l'osservatore 2 potrebbe aver impiegato mezzo
anno all'andata e mezzo al ritorno, o sette volte di più come dici tu, ma
per tutti e due  i
riferimenti i tempi di andata sono uguali ai tempi del ritorno.
Ciao, Mauro.

me).
Ho appena finito di scrivere due risposte sullo stesso tema a Maurizio
Frigeni, e mi è sembrato di capire leggendo questo tuo post che opponi la
stessa contestazione che mi fa lui.
Cioè che i tempi di andata e di ritorno del viaggiatore, visti dal secondo
osservatore non siano uguali.
Vista la tua buona disponibilità di insegnante, scusami se approfitto, ma
vorrei tanto che tu mi facessi capire bene il mio errore.
A lui ho appena risposto che poichè i sistemi di riferimento della Terra e
del secondo osservatore sono inerziali, anche se ci saranno differenze
notevoli nei giudizi sulle lunghezze, sul tempo e sulle velocità, i rapporti
tra questi giudizi saranno costanti, pertanto, se per gli osservatori a
Terra il viaggio di andata dura quanto quello di ritorno, ciò deve essere
vero anche per l'osservatore in moto rettilineo uniforme rispetto alla
Terra. Cioè tempo d'andata = tempo di ritorno, anche se entrambi i tempi
possono essere decupli di quelli misurati a Terra.
Per quanto alle volte posso aver manifestato arroganza nel dichiarare le mie
idee, ti garantisco che a nessuno potrebbe far piacere più che a me capire
dove sbaglio, anche perchè fare il "bastian contrario" tutta la vita non è
una posizione comoda.
Anche a me piacerebbe, leggendo una rivista di fisica, poter credere in
tutte le fantastiche teorie che vi si raccontano.
E' stato proprio il mancato chiarimento di questo paradosso ad impedirmi di
guardare la fisica senza sospetto.
Purtroppo io ero uno di quegli studenti che come dici tu, non sono disposti
ad accettare nulla senza prima averlo capito fino in fondo, e purtroppo non
ho incontrato nella mia vita nè insegnanti, nè libri che riuscissero a
chiarire i miei dubbi.
conto sulla tua disponibilità,
Ciao, Mauro.

contrarsi...
La semplificazione del problema con l'utilizzo dell'impulso, della quale
stiamo discutendo, dovrebbe proprio servire a capire meglio dove
differiscono i nostri punti di vista.
Mentre la constatazione che il viaggiatore deve in qualche modo accelerare
può essere considerata a giustificazione della rottura di simmetria del
sistema, l'introduzione del calcolo delle accelerazioni ci porterebbe
immediatamente a passare dalla relatività ristretta a quella generale.
Ad ogni modo, il mio articolo iniziale, da cui ha preso avvio questa
discussione,
prevedeva anche questa situazione, e a mio parere dimostrava senza ombra di
dubbio che anche considerando le accelerazioni il paradosso restava tale.
Per quanto riguarda poi la dilatazione del tempo dovuta alle accelerazioni,
io sarò disposto anche ad ammetterla come reale, semprechè qualcuno riesca a
farmi capire dove si risolve questo stramaledetto paradosso.
Ciao, Mauro.

Vorrei dire la mia su questo lungo thread.
Mauro e' gia' stato (secondo me a ragione) criticato per un
atteggiamento un po' troppo presuntuoso verso una scienza che non
conosce abbastanza. Non insistero' su questo.
Quanto al problema in se', io prima di tutto osserverei che il tempo
segnato da un orologio (tempo proprio) e' invariante per trasf. di
Lorentz: quindi *deve* risultare lo stesso qualunque sia il sistema di
riferimento (inerziale) in cui lo si calcola.
Per questa ragione un fisico "furbo" sceglie il rifer. piu' semplice, e
non si preoccupa di rifare il conto in altri rif.: sa che verra'
certamente uguale...
Naturalmente niente vieta di controllare; ma se uno trova un risultato
diverso, deve sapere che ha certamente sbagliato, non che ha dimostrato
qualche errore nella relativita'.
Altro punto: nel calcolo che dicevo sopra e' dato per scontato che la
marcia dell'orologio non venga influenzata da eventuali accelerazioni.
Questo e' stato discusso nel thread, ma secondo me la questione e'
piuttosto ovvia.
Sappiamo bene che ci sono orologi *reali* che risentono di
un'accelerazione: non solo quelli a pendolo (che in uno spazio vuoto, in
un'astronave non accelerata, semplicemente non oscillano...) ma anche
gli orologi a bilanciere, quelli a quarzo ... anche gli orologi atomici.
I punti da osservare sono pero' tre.
1) Un buon orologio e' quello che risente poco di disturbi esterni
(accelerazioni incluse). Questo si puo' verificare, e si puo' anche
capire dal suo principio di funzionamento.
E' percio' lecito pensare a orologi ideali, allo stesso modo come si
pensa a vincoli privi di attrito, ecc.
2) E' viceversa inspiegabile come un'accelerazione possa influire *allo
stesso modo* su orologi diversi, come sarebbe necessario se si volesse
far intervenire l'accel. nel paradosso.
3) Comunque si possono realizzare le condizioni del paradosso in modo
tale che le accelerazioni diventino piccole quanto si vuole. O meglio:
l'accel. dura un certo tempo. Il moto successivo puo' durare quanto si
vuole. Lo scarto fra i due orologi dipende dalla durata totale del
viaggio, quindi non si puo' spiegare con l'accel.
Finisco con una notizia: dato che si e' parlato dell'esper. di Hafele e
Keating, ricordo che in quel caso il viaggio duro' un po' piu' di due
giorni, e lo scarto fra i due orologi fu all'incirca 300 nanosecondi.
Ecco perche' senza orologi atomici sarebbe stato difficile vederlo...
------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa

 immediatamente a passare dalla relatività ristretta a quella generale.
Anche questo e' del tutto falso: le accelerazioni infinite si
introducono in questo esempio solo per rendere piu' semplici i calcoli,
non perche' la RR non possa trattare il caso generale.
Ti ripeto il mio consiglio: procurati un buon libro, perche' discutere
cosi' su usenet puo' essere produttivo per piccoli dubbi isolati, ma non
funziona quando e' tutta la materia che non ti e' chiara.
Mi pare di capire che non sei un giovincello ed hai una laurea (in
medicina?). Potresti allora comprarti un libro del primo anno di
universita' che tratti queste cose in modo accessibile: mi pare che "La
Fisica di Berkeley, vol.1" (Zanichelli) potrebbe fare al caso tuo, se
esiste ancora. O forse qualcun altro ti potra' suggerire qualcosa di
meglio.
M. 

chiarire i miei dubbi.
Scusa, ma se il problema lo devi capire tu, perche' cerchi la "pappa
pronta"? Voglio dire : se vuoi capire una cosa... te la devono far
capire gli altri e se non te la fanno capire, la "colpa" e' sempre
degli insegnanti che hai avuto (cosa possibile) o dei libri che forse
non trattavano *bene* la questione (altra cosa sempre possibile)?
Comunque per il "paradosso dei gemelli" ti mando, come mio consiglio,
la lettura di questo testo (magari ce ne saranno di migliori, ma per
il momento mi viene in mente solo questo perche' e' abbastanza chiaro
e semplice) :
"introduzione alla relativita' ristretta" di R. Resnick (casa editr.
Ambrosiana, Milano) nell'Appendice B ("il paradosso dei gemelli") 
Ciao : Goffredo Pierpaoli
Per rispondere via email mettere ri al posto di ti

osservatore non siano uguali.
Allora, riepiloghiamo:
G rimane fermo, M rimane fermo a distanza d da G;
G' e M' partono a velocita' v in direzione di M;
quando G' e M' arrivano da M, G' riceve un impulso tale da
far apparire (a G e a M) la sua velocita' cambiata di segno;
G' torna da G mentre M' continua indisturbato nel suo viaggio.
Durante tutto il viaggio sia G che G' emettono segnali
luminosi alla frequenza omega.
Si danno per scontate le trasformazioni di Lorentz.
Si da' anche per scontato che valga lo shift Doppler
relativistico, (ma questo credo che si possa dedurre
dalla costanza della velocita' della luce e dalle trasformazioni
di Lorentz; quindi non e' una ipotesi aggiuntiva)
cioe' che, se una sorgente emette luce a frequenza omega,
un osservatore, che si muove a velocita' v rispetto alla
sorgente, riceve luce alla frequenza
omega'=omega*gamma*(1-beta) o
omega'=omega*gamma*(1+beta)
a seconda che osservatore e sorgente si allontanino o avvicinino.
Facendo calcoli banali si verifica che:
G' raggiunge M quando l'orologio di M segna t1=d/v
(nello stesso istante M sa che anche l'orologio di G
segna t=d/v, perche' e' nello stesso suo sistema di riferimento
e hanno sincronizzato gli orologi);
G' torna da G quando l'orologio di G segna t2=2d/v;
nello stesso istante un M', visto da un osservatore posto
nel sistema di riferimento di G e M, si trovera' nella posizione x=2d.
Da calcoli un po' meno banali (trasformazioni di Lorentz) si verifica che:
G' raggiunge M quando gli orologi di G' e di M' segnano t1'=d/(gamma*v);
G' torna da G quando l'orologio di G' segna t2'=2d/(gamma*v).
Come detto sopra, nello stesso istante, gli osservatori posti nel
sistema di riferimento di G e di M (nota bene il fatto che si deve
sottolineare il sistema di riferimento quando diciamo "nello stesso
istante", altrimenti quello che diciamo non ha significato) vedranno
M' nella posizione x=2d e si puo' vedere che (trasformazioni di
Lorentz) l'orologio di M' segna anche esso t2'=2d/(gamma*v), va pero'
precisato che M'
         non riceve gli ultimi segnali luminosi (da G e da G'),cioe'
         i segnali che emettono quando si ritrovano a fine viaggio,
         quando il suo orologio segna le t2'=2d/(gamma*v),
semplicemente tali segnali partono da G e da G' quando l'orologio
di G' segna t2'=2d/(gamma*v) (e quello di M' pure), poi pero' deve
passare ancora tempo prima che tali segnali vengano ricevuti.
Si puo' osservare da un qualsiasi sistema di riferimento (G, G' o M')
e si arrivera' sempre alla stessa conclusione; probabilmente
la cosa piu' semplice e' osservare dal sistema di riferimento di G:
quando l'orologio di G segna t2=2d/v parte il segnale luminoso
che viaggia a velocita' c che, per raggiungere M', che dista 2d
e viaggia alla velocita' v, necessita di un tempo pari a
2d/(c-v), quindi arrivera' all'istante t2+2d/(c-v)=2dc/(v(c-v));
dalle trasformazioni di Lorentz si ottiene che tale evento avviene
quando l'orologio di M' segna l'istante 2dc/(gamma*v*(c-v)).
E' questo l'istante in questione, quello che Maurizio Frigeni
diceva essere sette volte maggiore di quello da te considerato.
In effetti il rapporto dei due istanti, a conti fatti, nella ipotesi
gamma=2, cioe' beta=0.5*3^(0.5),da':
c/(c-v)  =  1/(1- 0.5*3^(0.5) )  =   7,464..
In tale istante M' riceve il segnale numero
omega*gamma*(1-beta)*   2dc/(gamma*v*(c-v))  =  omega * 2d/v
da G (Infatti G, avendo emesso segnali durante il viaggio a frequenza
omega, ed essendo durato il viaggio, per lui, un tempo pari a 2d/v,
concorda nel dire che alla fine lui ha emesso omega * 2d/v segnali,
concorda nel dire che la sua "eta' "  e'  pari a omega * 2d/v);
nello stesso istante M' riceve anche l'ultimo segnale da G' il
quale gli ha spedito segnali alla frequenza (inalterata) omega
finche' G' e M' viaggiano insieme, cioe' fino all'istante t1'=d/(gamma*v)
e alla frequenza
omega$=omega*gamma$*(1-beta$)
dall' istante t1' fino all'istante 2dc/(gamma*v*(c-v)),
dove
gamma$=(1-beta$^2)^(-0.5)
beta$="velocita' quarteggiamento"/c
e la "velocita' quarteggiamento", cioe' la velocita' alla quale M'
vede allontanarsi G' una volta ricevuto l'impulso, vale, come detto in
un precedente post,  -2*beta*c/(1+beta^2);
a conti fatti, in totale M' riceve da G' un numero di segnali pari a:
omega * t1'    +    omega$  *  (2dc/(gamma*v*(c-v))  -  t1')  =
sviluppando i calcoli  =  2 d / (gamma*v)
cioe' alla fine M' avra' ricevuto da G un numero di segnali
pari a gamma volte quelli ricevuti da G'.
Alla fine G, G' e M' sono tutti e tre d'accordo sul numero totale
di segnali emessi da G e da G'.
Una ultima cosa. Nell'ultimo post probabilmente ho un po' esagerato
nel definire assolutamente intuitiva la teoria della relativita'. Io credo
che
in effetti lo sia, ma, da quanto affermavo li', sembrava che la teoria
dovesse
essere corretta a meno di non ammettere la possibilita' (molto poco
intuitiva) di trasmissione di segnali a velocita' infinita. In questi
termini
la cosa e' falsa: dalla impossibilita' di trasmissione di segnali a
velocita'
infinita non segue necessariamente la teoria della relativita'.
In verita' la base e' la costanza della velocita' della luce (oltre al fatto
gia' noto a Galileo che i sistemi di riferimento inerziali sono tutti
equivalenti tra loro, ma su questo, cioe' su quali sono le ipotesi minime
sulle quali si puo' fondare tutta la relativita' ristretta, c' e' certamente
nel gruppo chi sapra' dirti molto meglio di me) cioe' il fatto che la luce
si vede viaggiare a velocita' c da qualsiasi sistema di riferimento; se si
considera
intuitivo questo lo diventa anche il resto.


M.
Più utile ancora potresti essere se dopo che ti saranno sbollite le ire
troverai il coraggio di rivedere, non dico tutte le tue affermazioni, ma
almeno quella fondamentale in cui mi dai dell'idiota per non aver preso in
considerazione il modo di valutare il tempo da parte del secondo
osservatore.
Ribadisco che egli è solo un testimone degli "impulsi tempo" che gli
arrivano dallaTerra e dall'astronave. Di come tu pretenda che scorra il
tempo a casa sua, non solo non interessa a me e non dovrebbe interessare
neanche a te, ma non interessa sicuramente a nessuno. Egli deve solo dire se
secondo lui è più vecchio il gemello  sedentario o quello astronauta.
Ciao, Mauro.

 a tale indirizzo?
??? Non capisco di che cosa tu stia parlando. Forse mi confondi con
qualcun altro. Se conosci bene l'inglese ti ripeto l'invito a leggere
quel sito.
M.

 pubblicamente in questo stesso newsgroup
Stasera non ho nulla di meglio da fare: vediamo se riesco a farti capire
dove sbagli.
Ricapitoliamo: c'e' un osservatore sulla Terra (sistema inerziale S) e
c'e' un astronave che parte con velocita' V, tale che il relativo
fattore di dilatazione e' gamma = 2 (e dunque beta^2 = (V/c)^2 = 3/4).
Dopo che all'orologio in S saranno trascorse 100 unita', all'orologio di
bordo saranno trascorse 50 unita'; a questo punto l'astronave inverte la
rotta e torna verso la Terra con la stessa velocita' V: arrivera' a
Terra dopo che al suo orologio saranno trascorse altre 50 unita', mentre
l'orologio in S avra' segnato 100 unita'. 
Quindi: per l'orologio in S sono trascorse 200 unita' e per quello
sull'astronave 100. Tutto OK.
Osserviamo ora tutta la scena dal sistema S', che si muove con la stessa
velocita' V che ha l'astronave nella prima parte del suo viaggio.
L'orologio in S' e' sincrono con quello dell'astronave nel viaggio di
andata, quindi per S' il viaggio di andata dura 50 unita' temporali.
Quante unita' segnera' in questo istante l'orologio in S? Semplice:
siccome gamma = 2, per l'osservatore in S' l'orologio in S ha battuto 25
unita'!
Impossibile! - dirai tu - il viaggio di andata in S durava 100 unita'!!
Il punto e' che eventi simultanei in S non lo sono in S'. Per S il 100mo
battito del suo orologio e' contemporaneo con il 50mo battito
dell'orologio in S', mentre per S' il 50mo battito del suo orologio e'
contemporaneo con il 25mo battito in S. Questo e' il punto cruciale.
A questo punto l'astronave inverte la rotta: rispetto ad S' avra' ora
una velocita' V' che possiamo calcolare con la formula di addizione
relativistica:
                V' = 2V/(1 + V^2/c^2)
Un semplice calcolo mostra ora che il fattore di dilatazione relativo a
questa velocita' e' gamma' = (1 - V'^2/c^2)^(-1/2) = 7.
Il viaggio di ritorno dura 50 unita' temporali secondo l'orologio
dell'astronave, e quindi 50*7 = 350 unita' secondo l'orologio in S'.
L'orologio in S segnera' una durata meta' di questa, come prima, e cioe'
175 unita'. A questo punto l'astronave e' tornata al punto di partenza:
per l'orologio in S sono passate 25 + 175 = 200 unita', per l'orologio
sull'astronave sono passate 50 + 50 = 100 unita' e per quello in S' sono
trascorse 50 + 350 = 400 unita'. 
Come vedi, nessun problema: la differenza di tempo segnata dai due
orologi a Terra e sull'astronave e' sempre la stessa. La dimostrazione
e' completa...
M.

meglio.
Grazie del consiglio, ma è quello il libro che a suo tempo ha finito di
convincermi che la relatività è sbagliata.
Scusa se mi limito a queste risposte lapidarie, ma nel frattempo ho inviato
un altro post in cui spero di chiarire la mia posizione definitivamente.
Spero comunque che queste discussioni siano servite a chiarire la materia a
qualcun altro, se non a te e a me.
Grazie comunque per le tue rispostre.
Ciao, Mauro.

Ecco perche' senza orologi atomici sarebbe stato difficile vederlo...
Non mi dimostra nulla, ma non ho nulla da eccepire.
Ciao, Mauro.


Ma questo e' il punto. La relativita' ristretta e' basata sul fatto
sperimentale che la velocita' della luce e' la stessa per tutti gli
osservatori inerziali, e in qualunque direzione si propaghi.
Naturalmente non voglio aprire una lunga discussione su Michelson ecc.
ma se uno pensa che gli impulsi luminosi abbiano velocita' diverse per
diversi osservatori sicuramente non sara' in accordo con la RR, che
comunque ha avuto molte ulteriori conferme.
Saluti.
Maurizio

Maurizio Frigeni ha scritto nel messaggio:
Tutte cose esattissime!
Devo dire che uno studio così lineare e soddisfacente del
paradosso dei due gemelli, in tanti anni, non lo avevo mai trovato.
Il tuo post l'ho salvato sull'hard e mi piacerebbe trovare sui libri di
testo del futuro una spiegazione altrettanto chiara.
Ciò premesso provo a fare un riassunto del risultato dei tuoi calcoli così
da chiarire meglio la questione.
S=riferimento a terra (sistema inerziale "fermo")
S'=riferimento osservatore (moto inerziale rispetto ad S)
A=riferimento astronauta (gemello viaggiatore) (moto inerziale
alternativamente in due direzioni opposte)
Tempi giudicati di andata e ritorno dell'astronauta.(unici eventi
confrontabili)
TS=tempo terrestre                   andata 100            ritorno 100
TS'=tempo osservatore             andata 50             ritorno 350
TA=tempo astronauta                andata 50             ritorno 50
TAS=tempo astronauta giudicato da terra   andata 50   ritorno 50
TAS'=tempo astronauta giudicato da osservatore   andata 50   ritorno 50
TSA=tempo terrestre giudicato da astronauta         andata 25?  ritorno 25?
TSS'=tempo terrestre giudicato da osservatore      andata 25    ritorno 175
TS'S=tempo osservatore giudicato da terra      andata 50 ritorno 50
TS'A=tempo osservatore giudicato da astronauta  andata 50?  ritorno 7, 1?
-------------------------------------------
Da questo si potrebbe dedurre che:
1)  da TS=100+100 e TAS=50+50 da terra si giudica l'astronauta più giovane
     di 100/200 unità di tempo.
2) Da TSS'=25+175 e TAS'=50+50 l'osservatore giudica l'astronauta più
giovane
     di 100/200 unità di tempo, in perfetto accordo con il giudizio della
terra.
3)  da TA=50+50 e TSA=25+25 l'astronauta giudica di essere più vecchio
      del gemello a terra di 100/50 unità di tempo.
------------------------------------------
Commento.
Ho messo il punto interrogativo su alcune deduzioni , in quanto
mi pare mancassero nel tuo calcolo, ma credo di aver usato il tuo stesso
procedimento per ricavarle.
A questo punto riconosco che pare perfettamente inutile l'introduzione di
"osservatore", tanto deduce le stesse cose che deducevano da terra.
Rimane il problema delle deduzioni di "astronauta", che però mi pare di aver
capito che non fa fede in quanto soggetto ad impulsi, se non ad
accelerazioni.
Debbo dedurne che le equazioni rispetto a lui non siano invarianti?
Certo che ammettendo che al momento dei tre impulsi,vista pure la violenza
degli stessi, avesse perso conoscenza per un breve attimo, il destino gli
riserverebbe una strana sorpresa, quando all'arrivo, dopo essere stato
convinto per tutto il viaggio che il gemello a Terra fosse più giovane di
lui, lo ritrovasse invece più vecchio.
----------------------------------------------------------------
L'analisi accurata di questo caso mi ha chiarito il fatto che quei
comportamenti che alle volte possono lasciare l'impressione di effetti
ottici, secondo Einstein sono del tutto reali. Cioè, spazio e tempo sono
realmente diversi per due osservatori in moto inerziale tra loro.
Due osservatori, che dopo aver girovagato nello spazio a bordo del medesimo
modello di astronave, avessero oramai perso il conto delle accelerazioni
subite e si trovassero ad incrociarsi in un tratto in cui si stanno
spostando in modo inerziale, ma con velocità diverse, non avrebbero alcuna
possibilità di verificare chi dei due è nel
giusto, a meno di non interagire direttamente l'uno sull'altro.
Se ognuno dei due scattasse una foto all'altro, potrebbero agevolmente
dimostrare entrambi che l'astronave dell'altro è più corta, ed entrambe le
cose sarebbero vere.
Non si tratterebbe di effetti ottici.
Il tutto però crolla improvvisamente nel momento in cui si decide di
interagire.
Se uno qualunque dei due decidesse, visto che l'altra astronave è lunga la
metà della sua, di catturarla al volo con un retino da farfalle, lungo
altrettanto, la vedrebbe realmente entrare nel retino, solo che quando
finalmente fosse riuscito a fermarla, questa avrebbe ripreso le dimensioni
originarie e avrebbe steso allo spasmo la rete.
Ma l'altro, vedendo il retino lungo la metà della propria astronave avrebbe
giurato di non poterci entrare. E dato che anche i suoi di rilevamenti sono
reali in realtà non sarebbe stato catturato.
Ora il paradosso dei due gemelli lascerebbe pensare che il tutto si possa
agevolmente risolvere non dando credibilità all'astronauta, in quanto
sappiamo che viene accelerato, ma nel caso di cui sopra, per saperlo
dovremmo ricostruire tutte le accelerazioni subite dai due, ma anche ammesso
che questo fosse possibile, il problema rimarrebbe se dovessimo scoprire che
il moto "reale" è metà per uno.
Come si può ben vedere, daltronde, questo escamotage di risalire a chi è
stato accelerato, introduce questo concetto di "moto reale" che è antitetico
al concetto stesso di relatività.
In altre parole stiamo usando una teoria che a rigori non è predittiva, e
qualora lo fosse non sarebbe relativistica.
Fatemi sapere...
Ciao, Mauro.

 qualora lo fosse non sarebbe relativistica.
Confesso che non ho capito quale sia il problema e che cosa significhi
per te "moto reale"...
M.