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Titolo: Time reversal del commutatore [p,x]

Salve,
la relazione  [p,x] = -I h_bar   (h_bar -> h tagliato) e' invariante 
rispetto ad una trasformazione time-reversal?
Secondo il Messiah lo e' solo se aggiungiamo la regola  I -> -I 
(rispetto al time-reversal)
Mi sembra una ipotesi 'ad-hoc'. Chi mi aiuta a chiarire le idee?
thanks  S.


Ciao, il Messiah secondo me hafatto un casino (come in altre parti 
matematiche se ricordo bene... ricordo casini vari di confusione tra 
somma diretta e prodotto tensoriale).
Se il sistema fisico studiato e' invariante per time reversal
allora il formalismo (= relazioni di commutazione)e  le probabilta'
devono essere invariate sotto lazione del timereversal
(e poi la soluzione time-reversed deve ancora essere soluzione dell'eq.
di H).
IL fatto che la trasf. conservi la norma implica,
secondo il teorema di Wigner che puo' essere rappresentato o da una 
trasformazione  unitaria oppure da una antinunitaria. Detta U tale 
trasformazione deve essere, proprio per definizione di time-reversal
X'= UXU^* = X e P' = UPU^* = -P ed inoltre deve *conservare* la 
relazione di commutazione tra P' e X' che devono essere le solite.
Segue immediatamente che U deve essere anti unitario.
Ciao, Valter

 Segue immediatamente che U deve essere anti unitario. 
Ma come fai a *dimostrare* che la relazione di commutazione vale? Lo 
sporco trucco del messiah (I -> -I) e' ad-hoc per mantenere proprio la 
relazione di commutazione. E' proprio necessario? o il suo ragionamento 
e' sbagliato...?
ciao S.

 e' sbagliato...?
Ciao, scusa ieri ero di fretta e mi sono espresso malissimo (ho 
criticato il tuo libro ma io ho fatto di peggio :-(().
Non volevo dire che nil libro dice cose sbagliate, ma che le dice
in modo contorto. E non volevo dire che X' e P' soddisfano le stesse 
relazioni di commutazione di X e P per "conservare"intendevo che le 
relazioni sono quelle che ottengo mettendo U e U* dai lati alle 
relazioni solite... Meglio che parto da Adamo ed Eva.
Quando applico il time reversal o qualunque altra trasformazione che 
descrive una simmetria, alle osservabili A di un sistema fisico riferito 
ad un certo sistema
di riferimento S, passo ad osservabili modificate
A -> A' riferite ad un altro sistema di riferimento che deve essere
ugualmente buono per descrivere la fisica.
Rispetto a questo nuovo sistema di riferimento gli stati trasformati 
|f>' = U|f>
devono avere le stesse proprieta' osservabili degli stati non 
trasformati  rispetto alle nuove osservabili:
'<f|A'|f>' = <f|A|f>  (1)
e mantenere le probabilita' di transizione
|<f|g>| = |<f'|g'>|   (2)
Quest'ultimo punto, attraverso il teorema di Wigner dice che la 
trasformazione U di sopra deve essere lineare o anti lineare
piu' precisamente unitaria oppure antiunitaria
(cioe', nel secondo caso, anti-lineare che preserva la norma).
E quindi affinche' valga (1) deve anche essere
A' = UAU^{-1}
Si vede facilemnte che se la simmetria e' continua
gli operatori U devono essere unitari.
Ora veniamo al time-reversal che e' invece una trasformazione
discreta. Per definizione deve valere
X':= UXU^{-1}=  X
P':= UPU^{-1}= -P
D'altra parte vale anche, a parte le h,
[X,P] = iI
Applicando U e U^{-1}:
U[X,P]U^{-1}=UiU^{-1}
lavorando sul  primo membro abbiamo
[UXU^{-1},UPU^{-1}] = UiU^{-1}
ossia
[X,-P]= UiU^{-1} ossia [X,P]= - UiU^{-1} ossia
iI = - UiU^{-1}
Ora se U fosse unitaria, portando a sinistra di U la i non succederebbe 
niente e avrei l'assurdo
iI= -iI
quindi U deve essere per forza antiunitaria e le relazioni di 
commutazione tra X' e P' hanno il segno opposto a quelle solite.
Questo e'tutto quanto si puo' dire senza fare
arzigogolamenti.
Un punto importante e' che una volta *definito* il time-reversal,
come detto sopra, non e' detto che il sistema fisico sia invariante 
sotto il time-reversal: questa e' proprieta' e' una proprieta' della 
dinamica.
Invarianza per inversione temporale significa
che una soluzione dell'eq. di Schroedinger
se time-reversed e' ancora una soluzione dell'equazione di Schroedinger.
Se l'hamiltoniano non dipende dal tempo, cio' e' equivalente a dire
UH = HU. E questo puo' essere vero o no a seconda del sistema fisico.
Ciao, Valter