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Titolo: particella in un campo elettrico e magnetico

----------------- Caso 1 -----------------
Una particella di carica q si trova in una regione in cui vi e' un campo 
elettrico E = ( 0 , E_0 , 0 ).
Le equazioni del moto sono
m x'' = 0
m y '' = q E_0
mz'' = 0
----------------- Caso 2 -----------------
Una particella di carica q si trova in una regione in cui vi e' un campo 
magnetico B = ( 0 ,0 , B_0 ).
Le equazioni del moto sono
m x'' = q B_0 y'
m y '' = - q B_0 x'
mz'' = 0
----------------- Caso 3 -----------------
Una particella di carica q si trova in una regione in cui vi sono un 
campo elettrico E = ( 0 , E_0 , 0 ) ed uno magnetico
B = ( 0 ,0 , B_0 ).
Le equazioni del moto sono
m x'' = q B_0 y'
m y '' = q E_0 - q B_0 x'
mz'' = 0
----------------- Dilemma -----------------
Le equazioni del moto del caso 3 si riducono a quelle dei casi 1 e 2 
quando, rispettivamente, B_0 o E_0 tendono a zero. E ci siamo.
Le soluzioni delle equazioni del moto del caso 3 restituiscono quelle 
del caso 2 per E_0 che va a zero. E ci siamo.
Le soluzioni delle equazioni del moto del caso 3 NON restituiscono 
quelle del caso 1 per B_0 che va a zero, perche' contengono B_0 al 
denominatore.
Come e' possibile un' asimmetria del genere ?! Cosa mai la origina ?
----------------- Saluti etc. -----------------
Per chi fosse interessato ai dettagli dei calcoli che mostrano quanto 
sopra detto e' disponibile un notebook di Mathematica che posso postare qui.
Vi ringrazio per l'attenzione e vi saluto cordialmente.
Federico

 denominatore.
Io ho provato a prendere il limite per B->0 nel caso di particella 
inizialmente ferma ed il limite e' quello giusto: le equazioni per B->0 
si riducono effettivamente a quelle in assenza di B. In sostanza, 
bisogna dimostrare che lim{x->0}[1/x(1/x sen x)]=0, che pero' e' facile.

 lim{x->0}[1/x(1/x sen x)]=0
Scusa, ho scritto male. E' lim{x->0}[1/x(1-1/x sen x)]=0

 Come e' possibile un' asimmetria del genere ?! Cosa mai la origina ?
Bel problema!
Risolvo il caso 3.
Pongo h = q E_0 / m, k = q B_0 / m,
le equazioni del moto diventano:
x'' = k y'
y '' = h - k x'
z'' = 0,
che hanno soluzione, per le date condizioni iniziali sulle posizioni
e sulle velocita':
x(t) = x_0 + [ht + y'_0 (1 - cos(kt)) + sin(kt) * (x'_0 - h / k)] / k
y(t) = y_0 + [y'_0 * sin(kt) + (x'_0 - h/k) * (cos(kt) - 1)] / k
z(t) = z_0 + z'_0 * t,
nel limite per B_0 -> 0, cioe' per k -> 0, si ottiene:
x(t) = x_0 + x'_0 * t
y(t) = y_0 + y'_0 * t + 1/2 * h * t^2
z(t) = z_0 + z'_0 * t,
cioe' le equazioni orarie in presenza del solo campo elettrico,
nel limite per E_0 -> 0, cioe' per h -> 0, si ottiene:
x(t) = x_0 + [y'_0 (1 - cos(kt)) + sin(kt) * x'_0] / k
y(t) = y_0 + [y'_0 * sin(kt) + x'_0 * (cos(kt) - 1)] / k
z(t) = z_0 + z'_0 * t,
cioe' le equazioni orarie in presenza del solo campo magnetico.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 denominatore.
Non esattamente.
Per semplicita' (ma l'essenza non cambia), poniamo x(0) = y(0) = z(0)
= 0 e lo stesso con le velocita' iniziali: x'(0) = y'(0) = z'(0) = 0.
Allora la soluzione e':
x(t) = (E_0/B_0) t [1 - cos(wt)]
y(t) = -(E_0/B_0) t sen(wt)
dove w = qB_0/m
Se B_0 tende a 0, devi sviluppare il sen(wt) e cos(wt):
sen(wt) ~ wt
cos(wt) ~ 1 - (wt)^2/2
percio':
x(t) ~ (E_0/B_0) t [(wt)^2/2] = (1/2)(q/m)^2*E_0*B_0*t^3
y(t) ~ -(E_0/B_0) t sen(wt) = -E_0*(q/m)*t^2
che, per B_0 che tende a 0 si riducono a:
x(t) = 0
y(t) = -E_0*(q/m)*t^2
che sono proprio le soluzioni del tuo Caso 1.
Ciao.


Vero, vero, vero. Dopo aver postato qui avevo infine ottenuto il 
risultato giusto facendo il limite con Mathematica ...