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Titolo: MQ - oper. traslazioni - t. di Noether

Salve, 
 
qualcuno potrebbe essere così gentile da chiarirmi, o dare un link ad una pag. web chiarificatrice, la relazione tra (mi interessa il "perché", ovvero il "come si fa a mettere in relazione/dedurre che... "):
1. operatore delle traslazioni spaziali;
2. operatore quantità di moto p;
3. teorema di Noether su invarianza per traslaz. spaziali della Lagrangiana-conservazione di p. 
4. (Eventuale e non obbligatoria :-) ): C'è una relazione tra il teorema di indeterminazione ∆p ∆x>=(hbar/2) e 1., 2., 3.? 
 
--
Wakinian Tanka

 che... "):
All'incirca una parte non trascurabile di un corso non introduttivo di
m.q. :-)
Guarda un po' se questo ti basta:
 
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Punti 1 e 2.
 
Conviene partire all'inverso: definire prima le traslazioni, poi
l'impulso.
Indico con U(a) l'operatore che trasla uno stato di a (reale
qualsiasi).
U(a)|s> = |s'>
dove |s'> è il traslato di |s>.
U(a) esiste ad è unitario (teorema di Wigner).
(Introduzione molto sommaria: vedi
http://www.sagredo.eu/lezioni/gruppi
 
capitoli 1 e 2 per un'esposizione più completa.)
 
Anzi U(a) è un gruppo commutativo, additivo sul parametro a:
U(a)U(b) = U(b)U(a) = U(a+b).
In particolare
U(a)U(-a) = U(0) = I
quindi U(-a) è l'aggiunto di U(a).
 
Su dimostra che esiste uno e un solo op. autoaggiunto P tale che
U(a) = exp(-iaP).
Osservo che U commuta con P e che
dU(a)/da = -iPU(a) = iU(a)P
dU(-a)/da = iPU(-a).
 
Sia q l'op. posizione, |x> i suoi autovettori:
q|x> = x|x>.
Per definizione
U(a)|x> = |x+a>
qU(a)|x> = q|x+a> = (x+a)|x+a> = (x+a)U(a)|x> =
   U(a)(x+a)|x> = U(a)(q+a)|x>
e dato che |x> è una base
qU(a) = U(a)(q+a)  (*)
U(-a)qU(a) = q+a.
Deriviamo:
(dU(-a)/da)qU(a) + U(-a)q(dU(a)/da) = 1
iPU(-a)qU(a) - iU(-a)qU(a)P = 1
iP(q+a) - i(q+a)P = 1
qP - Pq = i.
Dunque
P = p/h (scrivo h per hbar)
ossia
U = exp(-iaP/h).
 
E' questo il legame tra traslazioni e impulso.
 
============================================
Punto 3.
 
Qui non capisco esattamente che cosa cerchi.
 
Lagrangiana invariante per trslazioni spaziali: sottocaso di una
lagrangiana con una coord. ignorabile, ossia L non dipende da q1.
In questo caso il teorema di Noether dice che @L/@q1' è una costante
del moto (q1' sta per dq1/dt).
Com'è ovvio, nella forma hamiltoniana @L/@q1' non è che p1, momento
coniugato a q1,
Se l'energia cinetica ha la forma
T = (m/2)*(dq1/dt)^2 + termini che non contengono dq1/dt
allora
p1 = m*dq1/dt
è la corrisp. componente della q. di moto.
 
============================================
Punto 4.
 
Direi nessuna. Il teorema segue dalla rel. di commutazione
qp-pq = ihI. (+)
 
Potrebbe darsi (non ho controllato) che si possa anche partire dal
teorema di Robertson-Schroedinger, usando la coppia q, U(a) e la (*):
[q,U(a)] = a U(a).
Questo perché la (+) vale solo nel dominio di qp-pq, mentre la (*)
vale in tutto il dominio di q.
Ma forse non ha importanza.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Qui non capisco esattamente che cosa cerchi. 
 
 
Una sorta di corrispondenza tra il t. di Noether applicato a traslazioni x della lagr. L in MC (mecc. class.)  e il fatto che dall'operatore p si costruisca l'operatore traslazione e il fatto che ∆x∆p≥ hbar/2, in MQ. 
Che deve essere in relazione con il fatti che una grandezza A in MC diventi (ovvero, possa essere definibile come)  l'operatore e{-iA/hbar}  in MQ. 
Ciao e grazie della risposta. 
 
--
Wakinian Tanka 

...  il fatto che dall'operatore p si costruisca l'operatore traslazione e il fatto che ∆x∆p≥ hbar/2, in MQ. 
 
Ad esempio, un tuo ex studente :-) scrive, al par. 6.4 - pag. 99 di Lezioni di Meccanica Quantistica:
 
https://ibb.co/HdQTx3Q
 
 
(vedi le due righe indicate con il colore) 
 
 
che: "... poiché p-tilde=p,  se esistesse uno strumento (microscopio) che misura [suppongo intenda: in modo esatto] la quantità di moto p, esso dovrebbe essere invariante per traslazioni, quindi infinitamente esteso". 
Ma questo "strumento infinitamente esteso" a me, intuitivamente, fa subito pensare ad una indeterminazione infinita nella pisizione. 
 
--
Wakinian Tanka

 subito pensare ad una indeterminazione infinita nella pisizione.
Ti potrei rispondere evadendo la questione, ad es. così:
In quella frase è presente quello che i logici di lingua inglese
chiamano "condizionale controfattuale".
"Se esistesse ..."
Ma non esiste, quindi non puoi dedurre niente da quell'ipotesi.
O peggio ancora, citando invece i logici medievali: "ex falso sequitur
quodlibet".
Quindi è un grave errore di metodo assumere in un ragionamento
un'ipotesi falsa.
 
Ma preferisco prendere il toro per le corna, osservando una cosa che
mi pare Picasso non metta bene in chiaro (o almeno non l'ho vista).
Il fondamento delle rel. d'indet. *non sta* nell'impossiblità di
misurare qualcosa.
Da un ragionamento basato su strumenti di misura puoi concludere solo
questo:
 
- Se faccio una misura d'impulso di precisione assoluta, lo stato
*dopo la misura* ha una posizione completamente indeterminata.
Questo è vero, in modo elementare.
Dato che lo stato dopo la misura avrà una f. d'onda exp(ipx/hbar), la
densità di prob. è uniforme su tutta la retta reale.
 
Ma il *teorema* che chiamiamo rel. d'indet. dice una cosa diversa:
- *Non esiste alcuno stato* in cui Dq*Dp < hbar/2.
Qui Dq e Dp hanno una definizione precisa come valori medi di
osservabili, e il teorema *non parla di misure*.
 
Immagino tu sappia che scrissi qualcosa in proposito, anche se in forma
semidivulgativa, qualche anno fa: candela 81, pag. 9.
E anche lì è detto chiaramente (almeno spero :-) ) ciò che sto dicendo
ora.
 
 
-- 
Elio Fabri

 ora. 
 
Sembra incredibile, ogni volta che li rileggo ne apprendo qualcosa un più, nel senso che mi è più chiaro. In questo caso:
 
 
"... Occorre invece dire che nella definizione di stato della m.q. e` implicito il fatto che non ha senso attribuire a un corpo valori determinati di posizione e velocita` (come faceva la meccanica classica)... "
 
Cosa che sapevo già, ma qui  fai capire chiaramente da dove viene fuori. 
Grazie Elio. 
 
--
Wakinian Tanka 

 in una qualche relazione stretta con il misurare?
Questa è una domanda sottile, che riguarda l'esattta formulazine dei
postulati.
 
Se fai la distinzione tra postulati della teoria e postulati
interpretativi, vedi che la rel. d'indet. dipende solo dai primi, che
non dicono niente su misure.
Quello che tu citi è un postulato interpretativo.
Ti suggerisco di rileggere
http://www.sagredo.eu/lezioni/fmq
 
primi due capitoli, soprattutto il secondo.
 
Qui sono io che ti ringrazio, perché la tua domanda (o la risposta?)
mette in chiara evidenza la necessità epistemologica di avere due
classi distinte di postulati.
Quando tenni quelle lezioni non l'avevo così chiaro :-(
 
 
-- 
Elio Fabri

... 
Grazie Elio, sempre molto chiaro ed esauriente, come nel tuo stile. 
Ciao 
 
--
Wakinian Tanka