Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Nuntio vobis gaudium magnum!

Il "gaudium" deriva dal fatto che sono finalmente arrivato in fondo a
un conto che mi stava impegnando da (troppo) tempo.
Del problema avevo già parlato in un thread del 5, intitolato "Mi
aiutate a risolvere un dubbio?" dove chiedevo lumi su un punto
particolare. Su quel punto non ho avuto molte risposte, esattamente due:
- una privata da Paolo Bellia, che però non è stata risolutiva
- un'altra da Vic Damone, che mi suggeriva di chiedere a Jackson...
Comunque il dubbio su quel punto è superato: mi sono convinto che i
termini ci vogliono entrambi. Anche per le ragioni che vedrete fra poco.
 
Per chi non lo ricordasse, riassumo il problema.
Mi ero chiesto se per la radiazione emessa da un sistema di cariche e
correnti, lo sviluppo in multipoli equivalga a quello in serie di
potenze del rapporto beta = wa/c (w frequenza, a dimensione tipica del
sistema).
Il dubbio era originato dal fatto che secondo il Landau (vol. 2,
formula (71.5) dell'edizione inglese) la risposta sembrerebbe
affermativa, mentre secondo il Jackson, che tratta il problema molto
più a fondo, si direbbe il contrario.
 
Per risolverlo, avevo deciso di calcolare /senza approssimazioni/ la
radiazione di un oscillatore armonico. In questo caso con a indico
l'ampiezza dell'oscillazione, e beta (che ora indicherò con b per
brevità) è la velocità max divisa per c.
Il calcolo esatto non è difficile, e fornisce una formula che non
trascrivo, e che sviluppata in serie di b è
 
W = K (b^2 + 3 b^4/4 + 3 b^6/4 + 25 b^8/32 + ...)  (*)
 
dove K è una costante che non occorre qui precisare.
Il primo termine si verifica coincidere con la ben nota formula della
radiazione in appr. di dipolo per piccola ampiezza; ma quelli da
studiare erano i termini successivi.
 
Ho quindi sviluppato il calcolo esatto dei vari termini di multipolo
(soltanto elettrici, in questo caso) tenendo anche conto che occorre
distinguere i contributi alle diverse frequenze.
Infatti il dipolo e tutti i multipoli dispari irraggiano sulla
fondamentale e su tutte le armoniche dispari, mentre il quadrupolo e
tutti i multipoli pari irraggiano sulle armoniche pari.
I contributi di ciascun multipolo per ciascuna armonica si sommano
incoerentemente nella potenza totale.
 
Seguendo le formule di Jackson, si ottiene il coeff. a_{nl} del
multipolo di ordine l per l'armonica n-ma, come serie di potenze in b.
(Nel calcolo ho conservato entrambi i termini che appaiono nella
[9.168] di Jackson: il fatto che alla fine abbia ottenuto accordo
prova a posteriori che i termini soni entrambi necessari).
E' quindi possibile confrontare ciascun termine della (*) con quelli
che si ottengono sommando i contributi per i diversi n e l.
Più in dettaglio:
- il termine in b^2 proviene da solo a_{11}
- il termine in b^4 proviene da a_{11} e a_{22}
- il termine in b^6 proviene da a_{11}, a_{22}, a_{31}, a_{13}, a_{33}
e qui mi sono fermato.
 
Dopo innumerevoli errori di calcolo, sono riuscito a ottenere perfetto
accordo con la (*) e quindi posso trarre la seguente conclusione:
 
Lo sviluppo in potenze di b /non corrisponde/ allo sviluppo in
multipoli: ogni termine di multipolo (per una data armonica) è una
serie di potenze in b, mentre a ogni termine di dato ordine in b
contribuiscono più multipoli e più armoniche.
 
Se qualcuno fosse interessato a maggiori dettagli e a tutti i calcoli,
troverà (per qualche tempo) il file
http::/
www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/temp/osc-rel.pdf
 
Sicuramente un ottimo modo per passare la sera del 31 :-D
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
 
saluti
Massimo 

 ...

 Il "gaudium" deriva dal fatto che sono finalmente arrivato in fondo a un conto che mi stava impegnando da (troppo) tempo. Del problema avevo gi� parlato in un thread del 5, intitolato "Mi aiutate a risolvere un dubbio?" dove chiedevo lumi su un punto particolare. Su quel punto non ho avuto molte risposte, esattamente due: - una privata da Paolo Bellia, che per� non � stata risolutiva - un'altra da Vic Damone, che mi suggeriva di chiedere a Jackson... Comunque il dubbio su quel punto � superato: mi sono convinto che i termini ci vogliono entrambi. Anche per le ragioni che vedrete fra poco. Per chi non lo ricordasse, riassumo il problema. Mi ero chiesto se per la radiazione emessa da un sistema di cariche e correnti, lo sviluppo in multipoli equivalga a quello in serie di potenze del rapporto beta = wa/c (w frequenza, a dimensione tipica del sistema). Il dubbio era originato dal fatto che secondo il Landau (vol. 2, formula (71.5) dell'edizione inglese) la risposta sembrerebbe affermativa, mentre secondo il Jackson, che tratta il problema molto pi� a fondo, si direbbe il contrario. Per risolverlo, avevo deciso di calcolare /senza approssimazioni/ la radiazione di un oscillatore armonico. In questo caso con a indico l'ampiezza dell'oscillazione, e beta (che ora indicher� con b per brevit�) � la velocit� max divisa per c. Il calcolo esatto non � difficile, e fornisce una formula che non trascrivo, e che sviluppata in serie di b � W = K (b^2 + 3 b^4/4 + 3 b^6/4 + 25 b^8/32 + ...) (*) dove K � una costante che non occorre qui precisare. Il primo termine si verifica coincidere con la ben nota formula della radiazione in appr. di dipolo per piccola ampiezza; ma quelli da studiare erano i termini successivi. Ho quindi sviluppato il calcolo esatto dei vari termini di multipolo (soltanto elettrici, in questo caso) tenendo anche conto che occorre distinguere i contributi alle diverse frequenze. Infatti il dipolo e tutti i multipoli dispari irraggiano sulla fondamentale e su tutte le armoniche dispari, mentre il quadrupolo e tutti i multipoli pari irraggiano sulle armoniche pari. I contributi di ciascun multipolo per ciascuna armonica si sommano incoerentemente nella potenza totale. Seguendo le formule di Jackson, si ottiene il coeff. a_{nl} del multipolo di ordine l per l'armonica n-ma, come serie di potenze in b. (Nel calcolo ho conservato entrambi i termini che appaiono nella [9.168] di Jackson: il fatto che alla fine abbia ottenuto accordo prova a posteriori che i termini soni entrambi necessari). E' quindi possibile confrontare ciascun termine della (*) con quelli che si ottengono sommando i contributi per i diversi n e l. Pi� in dettaglio: - il termine in b^2 proviene da solo a_{11} - il termine in b^4 proviene da a_{11} e a_{22} - il termine in b^6 proviene da a_{11}, a_{22}, a_{31}, a_{13}, a_{33} e qui mi sono fermato. Dopo innumerevoli errori di calcolo, sono riuscito a ottenere perfetto accordo con la (*) e quindi posso trarre la seguente conclusione: Lo sviluppo in potenze di b /non corrisponde/ allo sviluppo in multipoli: ogni termine di multipolo (per una data armonica) � una serie di potenze in b, mentre a ogni termine di dato ordine in b contribuiscono pi� multipoli e pi� armoniche. Se qualcuno fosse interessato a maggiori dettagli e a tutti i calcoli, trover� (per qualche tempo) il file http::/
www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/temp/osc-rel.pdf
 Sicuramente un ottimo modo per passare la sera del 31 :-D -- Elio Fabri
 
Ciao, ho dato un'occhiata ai calcoli, complimenti.
 
Secondo me il fatto che non ci sia corrispondenza univoca tra termini di multipolo e espansione in serie � dovuto al fatto che assumi una legge del moto delle cariche lineare.Prova con qualche legge in cui appare il segno "+"

 Jackson... ;)
Perch� sarebbe un risultato pi� semplice, o per qualche altro motivo? :)
 
Tra l'altro c'� da dire che Jackson non � troppo chiaro...
Se hai la pazienza di scorrere il terribile Cap. 9, vedrai che in un
primo tempo procede con uno sviluppo in potenze di ka, e da quello
sviluppo tira fuori dipolo e multipoli vari; facendo quindi credere
(anche se lui non lo dice) che i multipoli siano appunto i termini
dello sviluppo.
Nella seconda parte del capitolo riparte daccapo, scrivendo la
soluzione generale, lo sviluppo in armoniche sferiche, ecc.
L� si vede che i coeff. dei multipoli contengono funzioni sferiche di
Bessel, che solo all'ordine pi� basso in ka riproducono i multipoli
statici.
Ma mica lo dice :-<
 
Tra l'altro, questo mi ha posto un problema di altra natura.
Visto che Landau sbaglia, e che Jackson � corretto ma tutt'altro che
chiaro, potrebbe anche valere la pena di pubblicare quello che ho
trovato, per es. su Eur. J. of Physics.
Ma d'altra parte non c'� niente di originale, e sono pronto a
scommettere che troverei almeno un referee che direbbe "la questione �
ben nota" e sconsiglierebbe la pubblicazione.
Dato che non ho voglia di perderci altro tempo, non ne far� niente.
 
 
-- 
Elio Fabri

Appena messo il paper in rete, ho scoperto un errore, per fortuna non
difficile da correggere.
A pag 8, le espressioni per W31, W13, W33 portano un b^4 che invece
doveva essere b^6.
Ho corretto il pdf, ma chi l'avesse gi� scaricato fa forse prima a
correggere a mano.
 
Tanto che ci sono, facci anche notare che se � vero che il termine in
b^4 proviene da a_{11} e a_{22}, si vede per� dale espressioni di W11
e W22 che il contributo del quadrupolo � 16 volte maggiore di quello
del dipolo.
Analogamente, i contributi di W11, W22, w31, w13, w33 stanno nei
rapporti 17 : -2560 : 5103 : 8 : 5832.
Da questo per� non si possono trarre conclusioni generali: mi aspetto
che con una diversa distribuzione e moto delle cariche si potrebbero
ottenere risultati del tutto diversi.
-- 
Elio Fabri

 pi� a fondo, si direbbe il contrario.
Ora credo di aver ricostruito l'origjne dell'errore nel Landau.
Mi piacerebbe che qualcuno controllasse, e perci� riassumo qui sotto
il ragionamento di LL, come l'ho capito.
 
Siamo nel Cap. 9, e la formula rilevante � la (66.2), che d� il
potenziale vettore in funzione della densit� di corrente.
Essenziale che nell'integrale la densit� di corrente j va calcolata a
tempi ritardati, che naturalmente variano da punto a punto nel dominio
d'integrazione.
Nel �67 si fa il calcolo in appr. di dipolo, e con questo LL intendono
che la differenza fra i ritardi sia del tutto trascurabile, cosa
valida al imite ka --> 0, o in altre parole valida all'ordine pi� basso
in ka.
Gi� qui c'� da notare che Jackson intende il contributo di dipolo
elettrico in modo diverso: come il termine l=1 in uno sviluppo in
armoniche sferiche.
Le due cose coincidono solo parzialmente, perch� il multipolo di
ordine l d� campi che vanno come (ka)^l, e quindi il termine di ordine
pi� basso si ottiene per l=1; per� l=1 produce anche termini che vanno
con potenze dispari superiori di ka; cosa alla quale LL non fanno alcun
cenno, amzi sembrano ignorare...
 
Il vero problema nasce per� al �71, dove si trova l'espressione dei
campi all'ordine successivo (formule (71.4)).
Queste in s� sono giuste, ma i guai spuntano subito dopo, quando LL
usano quelle espressioni per calcolare l'energia irraggiata, integrata
su tutto l'angolo solido.
Dalla (66.6) si ha che l'intensit� in una data direzione � prop. a H^2,
quindi occorre mediare H^2 su tutte le direzioni. LL scrivono:
"In averaging the square of the magnetic field, all cross-products of
the three terms in H vanish, so that remain only the mean squares of
the three."
E da qui ottengono la (71.5) incriminata...
 
Dov'� l'errore? Basta osservare che nella (71.4) per H compaiono il
termine di dipolo elettrico, che va come ka, e poi quadrupolo
elettrico e dipolo magnetico che vanno come (ka)^2.
Nella (71.5) l'energia irraggiata contiene un primo termine che va come
(ka)^2 e i due successivi che vanno come (ka)^4.
Ma se vogliamo l'energia fino al quarto ordine, dobbiamo prendere i
campi fino al terzo, perch� quadrando il doppio prodotto tra primo
ordine e terzo ordine si ha un quarto ordine *che non si annulla*.
Infatti il contributo al terzo ordine nei campi viene anche dal dipolo
elettrico (inteso come l=1) che *non � ortogonale* a quello di primo
ordine.
Bisognava quindi prolungare lo sviluppo (71.3) e quindi (71.4) con un
ulteriore termine...
 
Che ne dite?
 
 
-- 
Elio Fabri

 Dato che non ho voglia di perderci altro tempo, non ne farň niente.
 
Egoista!
Certo i referee a volte fanno un pessimo lavoro. Ma riviste come Eur. J. 
of Physics o Am. J. of Physics sono fatte apposta per risultati magari 
non originali ma presentati in modo didatticamente significativo. E 
concordo sulla "sporcizia" di Jackson. Io farei un tentativo su una e 
sull' altra. Se poi trovi dei referee s....zi. Pazienza. Alla peggio 
metti tutto sugli ArXive.
 
Giorgio
 

 troverï¿œ (per qualche tempo) il file


 convenga non pubblicare il tuo risultato.
 
Non solo: male che dovesse andare offriranno l'opzione di
mettere l'articolo nelle varie sezioni "comunicazioni dei
soci".
 
Non posso dire se la pubblicazione possa considerarsi
garantita o meno perché vorrebbe dire avere le capacità
per poter comprendere l'articolo, ma la vocina del mio
intuito mi dice che è qualcosa che su una rivista ci
dovrebbe proprio andare.
 
-- 
Una volta ho chiesto la differenza tra
l'incesto e l'incendio. Non credo di aver
capito troppo bene perché dopo un po' ho
dato fuoco a mia sorella (Pippo Franco)

 nome suo.
 
Guarda, subito. Appeno riesco a capirlo lo scrivo a Eur. J. of Physics e 
Am. J. of Physics.
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

  Dato che non ho voglia di perderci altro tempo, non ne far� niente.


 - un'altra da Vic Damone, che mi suggeriva di chiedere a Jackson...
 
Non era una stupidaggine. Jackson non e' Eistein o Landau nel senso che e'
 
ancora vivo ed ha una mail che si puo' facilmente trovare 
http://www-
 
theory.lbl.gov/jdj/
.  Certo e' anziano pero' credo che sia ancora attivo
nella 
scienza. Inoltre potrebbe anche dirti se questo lavoro vale o no una 
pubblicazione .
 
-- 
 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it
 
 

 Ma mica lo dice :-<
 
 
Certo che ï¿œ strana questa cosa. Nell'edizione che ho io che ï¿œ 
precedente a quella che hai detto non solo lo dice, ma scrive 
esplicitamente la formula, inoltre lo sviluppo in serie di potenze che 
dici, valido per il limite kr --> oo lo introduce all'inizio del 
capitolo 9 dove scrive questa frase:
 
"Anche senza mettere in azione tutto il meccanismo dei campi di 
multipolo vettoriale, descritto nel capitolo 16, ne possiamo utilizzare 
quanto basta per i nostri scopi immediati. "
 
segue una formuletta, 9.11 con dentro le funzioni di Bessell.
 
Sempre nel capitolo 9 si trova un paragrafo dal titolo campi di dipolo 
magnetico e quadrupolo elettrico in cui illustra gli stessi trucchi 
usati da Landau per cavar fuori i campi elettrici e magnetici al 
secondo ordine di sviluppo nel limite kr --> oo.
 
Ma nello scrivere la potenza irradiata, diversamente da quel che fa 
Landau si concentra sui termini puri, quindi solo momento di quadrupolo 
magnetico, perchï¿œ il dipolo magnetico, dice, si riconduce al dipolo 
elettrico con la simmetria E --> B, B --> -E, p --> m.
 
 
Non mi spiego come mai in un'edizione successiva sia finito tutto nello 
stesso capitolo.
 

 Che ne dite?
 
Dico che qualitativamente sono d'accordo perï¿œ quantitativamente non ho 
ancora visto i termini ulteriori ed il risultato generale corretto, nï¿œ 
l'ho confrontato con l'espressione generale di Jackson. Perï¿œ questa 
possibile "svista" di Landau l'avevo notata giï¿œ nel '92 preparando 
fisica II solo che non ero sicuro, infatti avevo cercato delle formule 
piï¿œ precise, ma di quello che scriveva Jackson all'epoca non avevo 
capito pressochï¿œ nulla.
 
Torno a fare qui una domanda che avevo proposto giï¿œ nel post del 3 
Gennaio: ma nel tuo pdf come mai compare solo a_E e non vedo traccia di 
a_M ?
 

 ...
Non l'avevo preso per una stupidaggine, ma non mi sembra il caso di
scomodare Jackson, visto anche quello che sta venendo fuori (v. Tetis)
sulle differenze fra diverse edizioni.
 
 
-- 
Elio Fabri

 all'epoca non avevo capito pressoché nulla.
Invece io mi ero tanto fidato di Landau che avevo riportato la (71.4)
corretta e la (71.5) sbagliata nelle mie lezioni di RG (v. per es.
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/irg/irg20.pdf
 
prima pagina.
Debbo dire che ero stato tratto in inganno da "Gravitation", che anche
se non riporta quelle formule scrive cose che lasciano pensare allo
stesso approccio (v. l'inizio del cap. 36).
 
 
-- 
Elio Fabri