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Titolo: Problema da cui non riesco ad uscirne (fluidi)

Ciao a tutti,
ho questo problema che non riesco a rappresentarmi correttamente:
"Un corpo rigido costituito da un materiale avente densità tripla di quella 
dell'acqua e' immerso in un recipiente pieno d'acqua. Viene lasciato cadere 
da un'altezza h rispetto al fondo, e raggiunge il fondo con velocita' v = 
1.5 m/s. Determinare l'altezza h sapendo che l'8% dell'energia cinetica 
finale del corpo e' stato ceduto all'acqua durante la caduta."
Io ho ragionato cosi':
Inizialmente il corpo e' immerso nell'acqua ad un'altezza h dal fondo ed e' 
tenuto fermo da una qualche forza che controbilancia la risultante tra la 
forza peso del corpo e la spinta di archimede dell'acqua sul corpo.
Successivamente il corpo viene lasciato cadere e istante per istante le 
forze che agiscono sul corpo sono la forza peso del corpo stesso e la solita 
spinta di Archimede (primo dubbio: le forze di pressione giocano un qualche 
ruolo?). Poiche' il lavoro totale delle forze che agiscono sul corpo e' 
uguale alla variazione di energia cinetica ottengo: L_p + L_a = E_k (con L_p 
= lavoro della forza peso; L_a = lavoro della forza di Archimede; E_k = 
energia cinetica finale, dato che quella iniziale e' nulla).
Questa relazione l'ho tradotta cosi' (con 'r' indico la densita' dell'acqua, 
con V il volume del corpo e con g l'acc. di gravita'):
3*r*V*g*h + r*V*g*h = (1 / 2)*r*V*v^2
Dobbiamo ora tener conto che l'8% dell'energia cinetica e' assorbita 
dall'acqua..... io ho tolto dal secondo membro l'8% di (1 / 2)*r*V*v^2, 
ottenendo:
4*g*h = 92/100 1/2 v^2
=======> h = (23 / 200)*(v^2 / g) = 2.6cm. Inutile dire che il risultato e' 
sbagliato (quello corretto e' h = 18.6cm).
Sapreste indicarmi dove si annida l'errore?
Grazie,
fadeh

> 3*r*V*g*h + r*V*g*h = (1 / 2)*r*V*v^2
Qui ho sbagliato i segni: 3*r*V*g*h - r*V*g*h = (1 / 2)*r*V*v^2. Ma il 
risultato non viene comunque...
fadeh 

 dell'energia cinetica finale del corpo e' stato ceduto all'acqua durante la caduta."
Usiamo la conservazione dell'energia:
quando il corpo di volume V e' affondato di un'altezza h, un pari
volume di acqua e' salito di h, quindi se ro e' la densita' dell'acqua,
la forza di gravita' ha eseguito un lavoro totale
L = 3 ro * V * g * h - ro * V * g * h = 2 ro * V * g * h,
per il teorema dell'energia cinetica questo lavoro (meno l'8%)
e' uguale all'energia cinetica finale posseduta dal corpo avente velocita' v,
0.92 L = 0.92 * 2 * ro * V * g * h = (1/2) 3 ro * V * v^2,
semplificando e sostituendo si trova:
h = 3 / 4 / 0.92 / g * v^2 = 0.19 m.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

Energia potenziale iniziale = Energia cin finale + lavoro Forza archimede +
Lavoro perso per effetto delle resistenze viscose (8%)
3 rho Vol g H = 1/2 * 3 rho Vol v^2 + rho Vol g H + 0.08 * 1/2 3 rho Vol v^2
Da cui
H = 3/2 * 1.08 * v^2 / (2 g) = 18.58 cm
Ciao.
Fabrizio.
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 sbagliato (quello corretto e' h = 18.6cm).
il risultato cmq è 7.9 cm che è sbagliato lo stesso.. il ragionamento sembra
giusto

fadeh ha scritto:

Io farei così:
Ei = Ef + Ed
dove
Ei=energia iniziale,
Ef=energia finale,
Ed=energia dissipata
Ei = 3 r V g h - r V g h = 2 r V g h  (la massa che si sposta è di 2 r 
V, non di 3 r V !)
Ef = 1/2 3 r V v^2 = 1,5 r V v^2
Ed = 0,08 1/2 3 r V v^2 = 0,12 r V v^2
da cui
2 r V g h = 1,5 r V v^2 + 0,12 r V v^2
h = 0,81 v^2 /g
h = 0,81 2,25 /9,8  m = 0,186 m = 18,6 cm
cvd
Ciao.

 Io ho ragionato cosi':
Ti dico come ragiono io.
L'accelerazione risultante sul corpo è data da:
ac = F/mc = (1 - rho_a/rho_c)*g = (2/3)*g (l'accelerazione è costante)
Il lavoro complessivo compiuto da F (senza la forza di attrito) è 
(Devi considerare che non tutto il lavoro compiuto da F va ad incrementare
la variazione di energia cinetica ma solo una parte, secondo quanto
specificato nel testo).
L = F*h = mc*ac*h = (1/2)*mc*vf^2 + (8/100)*(1/2)*mc*vf^2 =
= 0,54*mc*vf^2 (*)
da cui:
h = (0,54*vf^2)/ac = (0,81*vf^2)/g .   
Applicando direttamente il teorema delle "forze vive":
L = Delta T (variazione di energia cinetica tra l'istante iniziale e
quello finale) devi considerare non il lavoro compiuto sul corpo da F,
bensì dalla risultante totale delle forze agenti sul corpo Rt = F + Fa
(dove Fa rappresenta la forza d'attrito che ha segno opposto ad F).
Comunque il tutto si riduce a una scrittuta formalmente diversa, in un
passaggio intermedio, di quanto scritto nella (*).  
Non ho fatto i conti, quindi lascio a te la verifica numerica del
risultato.
Saluti,
Aleph
 
-- 
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

 ... il risultato ... corretto e' h = 18.6cm ...
Io farei così:
Ei = Ef + Ed
dove
Ei=energia iniziale,
Ef=energia finale,
Ed=energia dissipata
            Ei = 3 r V g h - r V g h = 2 r V g h
(la massa che "cade" è di 2 r V, non di 3 r V , perché una massa r V di 
acqua risale ad occupare il posto lasciato libero dal corpo rigido)
            Ef = 1/2 3 r V v^2 = 1,5 r V v^2
(anche se credo che, per correttezza, andrebbe considerata anche 
l'energia cinetica dell'acqua che risale, cioè dovrebbe essere
Ef = 1/2 3 r V v^2 + 1/2 r V v^2 = 2 r V v^2.
Ma così facendo, non ti troveresti più.
Allora, tenendo presente ciò, "attacca i buoi, dove vuole il padrone", e 
non la consideri; tieni conto però che, considerando tale contributo ad 
Ef, cambierebbe anche Ed)
             Ed = 0,08 Ef = 0,08 1,5 r V v^2 = 0,12 r V v^2
da cui
2 r V g h = 1,5 r V v^2 + 0,12 r V v^2
h = 0,81 v^2 /g
h = 0,81 2,25 /9,8  m = 0,186 m = 18,6 cm
che è il risultato dato dal libro
PS Considerando il contributo di energia cinetica dell'acqua che risale, 
se non erro, si ha:
Ef = 2 r V v^2
Ed = 0,16 r V v^2
h = 24,8 cm
Ciao.

 Sapreste indicarmi dove si annida l'errore?
Ciao,
secondo me fai 3 errori:
1) sbagli il segno del lavoro della forza di attrito
2)sbagli di un fattore 3 la massa che appare nel termine cinetico
3) l'8% va aggiunto e non sottratto.
Se fai queste correzioni torna il risultato che dicevi (l'ho
verificato).
Comunque la strada migliore forse e' quella con la conservazione
dell'energia.
Saluti.

 cinetica.
Picio che sono. Di questo non me ne ero accorto ma... vedi punto 1 :)
Grazie ancora a tutti,
fadeh 

 Sapreste indicarmi dove si annida l'errore?
Io ne ho trovati due:
1) la forza di Archimede e' verso l'alto, quindi fa lavoro negativo.
2) Non dovevi prendere il 92% dell'energia cinetica calcolata con la
velocita' finale, ma l'inverso: i 100/92.
Pero' mi pare che anche con queste correzioni i numeri non tornino.
Ma non ho controllato i tuoi conti.
 
-- 
Elio Fabri