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Titolo: Accelerazione centripeta

Ciao, sto ristudiando la cinematica, giusto per essere un p� meno
ignorante in fisica di quanto non sia diventato.
Cmq, ho due problemi con l'accelerazione centripeta.
1. perch� il verso dell'accelerazione centripeta � *verso* il centro
della circonferenza? E' una convenzione o tale verso esce fuori da
precise operazioni matematiche? Il testo su cui sto studiando (Amaldi,
La Fisica per Licei Scientifici, terza edizione, ristampa del 1995)
dice [...] Inoltre, come risulta dalla figura (senza fare riferimento
a quale n.d.r.), 'a' � in ogni istante diretto verso il centro O.
[...]
Ma dalla figura da cui *dovrebbe* risultare ci� in realt� non risulta
nulla. Ovvero � disegnato un vettore 'v' tangente alla circonferenza,
e va bene, poi perpendicolare ad esso un vettore 'a' diretto verso O;
ma perch� proprio *verso* O?
2. perch� il valore di tale accelerazione � (v^2)/r? Da dove salta
fuori tale formula?
Premetto che sto studiando passo passo e ho capito perfettamente tutto
finora circa il moto circolare uniforme, mi � chiaro che la velocit�
angolare � w = (2*pi_greco) / T e che la velocit� scalare � v = wr; ma
proprio non riesco a capire perch� a = (v^2)/r. L'Amaldi fa una
proporzione, che come la spiega sembra uscita dalla testa di un matto
(non so se avete il testo sottomano, ma � assurdo il modo in cui la
spiega, perch� NON spiega proprio niente):
v / r = a / v
dove v non si capisce bene cosa sia, facendo riferimento a due figure
dove nella prima 'v' � il vettore velocit� e nella seconda il raggio
di una circonferenza!!!
Qualcuno me lo pu� spiegare passo passo?
Grazie.

 precise operazioni matematiche? 
Viene fuori anche con i conti, basta fare la derivata vettoriale della 
velocita` del punto e salta fuori il vettore che punta verso il centro.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, dar�ber mu� man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 La Fisica per Licei Scientifici
Prima di rispondere, vorrei sapere: e' quello che tratta il moto 
circolare uniforme usando l'odografa di Hamilton (quello per i classici 
lo tratta cosi')? Ovvero tracciando la figura formata dall'estremita' 
del vettore posizione (velocita' ecc.)?

 circolare uniforme usando l'odografa di Hamilton?
Direi che tutte le edizioni dell'Amaldi - almeno a partire dal 1994 - utilizzano quella procedura. Posso testimoniare che in generale funziona, didatticamente parlando.
Paolo

 funziona, didatticamente parlando.
Dal lato studente - lo avevo come testo al liceo, ben prima, ahime', del 
1994 - posso confermare che funziona. Venendo alle domande di Giulio:
Nota che 1) se l' estremita' del vettore r percorre un cerchio a 
velocita' angolare uniforme w, allora - come Amaldi dimostra, se non 
ricordo male - anche l'estremita' del vettore v percorre un cerchio alla 
stessa velocita' angolare w (e nello stesso senso); 2) tra i due vettori 
si ha uno sfasamento di pi/2 (questo segue dall'ortogonalita' di r e v).
Ma la relazione tra accelerazione e velocita' e' la stessa che 
intercorre tra velocita' e posizione: in entrambi i casi il primo 
vettore e' la derivata rispetto al tempo del secondo. Ne segue che 
possiamo ripetere lo stesso ragionamento ponendo a al posto di v e v al 
posto di r, concludendo che: 1) anche l'estremita' del vettore a 
percorre un cerchio a velocita' angolare uniforme w; 2) tra i due 
vettori si ha uno sfasamento di pi/2 (questo segue dall'ortogonalita' di 
a e v).
Combinando le due cose vedi che 1) il vettore a percorre un cerchio a 
velocita' angolare uniforme w, 2) tra i vettori a e r si ha uno 
sfasamento di pi. Quindi a ed r sono antiparalleli. Quanto alla 
proporzione a/v=v/r discende dal fatto gia' detto che la relazione tra 
accelerazione e velocita' e' la stessa che intercorre tra velocita' e 
posizione, combinata col fatto che in questo caso i vettori hanno la 
stessa direzione.

 fuori tale formula?
Dall'eguaglianza, geometricamente ovvia, |Deltav|/|v| = |v|*Deltat/r 
(approssimata, ma che tende all'esattezza per Deltat->0).
-- 
TRu-TS


Se applichi il tuo vettore accelerazione che adesso sai essere rivolto verso 
il centro
della circonferenza al punto P che si muove l'accelerazione diventa
coincidente con il raggio r


Enrico SMARGIASSI ha scritto:

Due anni fa avevo il Walker... era spiegata molto chiaramente, ma francamente
non mi ricordo piu' i passaggi. Mi ricordo solo che calcolava due vettori
velocita' tra cui c'era un angolo alfa. Calcolando il limite per alfa -> 0
(c'era di mezzo un sin(alfa)/alfa...) si otteneva v^2/r.
Domani, tra un ripasso di matematica e uno di filosofia, vedo di ritrovarlo e
postare la dimostrazione, che ribadisco era molto chiara.
Astro

 del vettore posizione (velocita' ecc.)?
Ciao, no, non fa riferimento ad alcuna odografa di Hamilton, voglio
dire almeno non la chiama cos�. La figura la fa fissando un centro O,
tracciando un raggio 'r' e facendo girare questo raggio in senso
antiorario (pag. 69 della Terza Edizione, ristampa 14 del 1993).
La critica che sto muovendo al testo � questa, precisamente: derivare
una formula usando una variabile che ha due significati fisici
completamente diversi.
Ho fatto la scansione delle due pagine in questione cosi potrete
vedere voi stessi come l'Amaldi derivi la formula. Ci� che non mi
torna nella proporzione citata � la variabile 'v', perch� prima � un
vettore velocit�, poi un raggio.
Pagina 68 - 
http://www.imageshare.web.id/images/jtb38hlg9m1fomii9gmw.jpg
Pagina 69 - 
http://img222.imageshack.us/img222/8802/scansione0004.jpg
Quello che vorrei sapere � come si ricavi, passo passo, la formula in
questione.
Grazie.

 stessa direzione.
Ciao Enrico, ieri sera ho fatto un post in cui metto i link alla
scannerizzazione delle due pagine dell'Amaldi in questione. Il
moderatore ancora non ha passato il post, spero lo faccia presto
perch� ho bisogno di capire.
Quanto a ci� che hai scritto tu, scusa ma non ci ho capito niente :-(

 2. perch� il valore di tale accelerazione � (v^2)/r? 
Un punto che si muove in moto circolare su un cerchio di raggio r con 
velocit� angolare w l'equazione oraria:
x = r cos wt
y = r sin wt
La sua velocit� �:
x' = - wr sin wt
y' =   wr cos wt
che ha modulo wr. L'accelerazione �:
x'' =  - w^2 r cos wt
y'' =  - w^2 r sin wt
che � un vettore di norma w^2 r = (wr)^2/r = v^2 /r
e ha direzione opposta alla posizione, cio� verso il centro della 
circonferenza.
E.

 Pagina 69 - 
http://img222.imageshack.us/img222/8802/scansione0004.jpg
OK, visto. Potresti per favore indicare riga per riga i punti che non ti 
sono chiari? A me e' sempre sembrato chiaro, ma ovviamente il mio punto 
di vista e' molto particolare...

 Quanto a ci� che hai scritto tu, scusa ma non ci ho capito niente :-(
Non e' facile senza un disegno... Vedro' il tuo altro post e cerchero' 
di commentare a partire da quello.

 questione.
Una volta capito il significato grafico delle due figure in 5.20, potrai seguire 
facilmente il ragionamento che ti ha fatto Smargiassi (che evidentemente ricorda 
molto bene l'Amaldi :-). Quando arrivi alla a/v=v/r (non vettori, ma loro 
moduli), l'ultimo passo e' a=v^2/r.
Ciao
-- 
TRu-TS

Giulio Severini ha scritto:
http://it.wikipedia.org/wiki/Accelerazione_centripeta
credo (spero) che possa esserti utile; cmq googlando con le parole
"Accelerazione centripeta" mi sono usciti molti altri siti in italiano;
sicuramente qualcuno che espone l'argomento in modo sufficientemente
chiaro lo dovresti trovare.
Ciao
-- 
"I have learnt to use the word impossible with the greatest caution"
Wernher von Braun
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it


Ciao Enrico,
riposto le due scansioni perch� ho visto che la pagina inviata a
imageshare non risulta visibile (mah!)
PAG. 68 - 
http://img198.imageshack.us/img198/7589/scansione0011v.jpg
PAG. 69 - 
http://img222.imageshack.us/img222/8802/scansione0004.jpg
Allora, se riesci a vedere le due pagine, cerca di seguirmi cos� ti
spiego cos'� che mi ha lasciato perplesso del testo.
Il paragrafo 5.19 esordisce cos�:
Gi� sappiamo che [...] ecc... - e qui � chiaro.
Poi prosegue:
[...] Sia v il vettore velocit� del punto P (figura 5.20) [...]
e nella figura 5.20 possiamo appunto vedere la prima circonferenza di
centro O, raggio senza letterina, i due punti P e P' e i vettori
velocit� v. (Perch� disegnare anche P' se non viene citato nella
spiegazione? Mistero).
Quindi il testo prosegue:
[...] Se, quindi, a partire da un punto M, [...]
Ecco, ora mi domando: ma perch� cambiare i nomi delle cose ora? Che
bisogno c'� di questa seconda circonferenza? Perch� dire 'da un punto
M' invece del pi� logico 'dal centro', visto che nella figura 5.20,
nella seconda circonferenza, M � il centro? Mistero.
[...] si traccia il vettore v [...]
Alt. v, ora, � il raggio della circonferenza!!! e infatti:
[...] si vede che, man mano  che il punto  P (P??? ma nella seconda
circonferenza c'� un punto Q!!!) si sposta sulla circonferenza (ma
quale allora???) l'estremo Q (??? e che c'entra Q ora, che sta
nell'altra circonferenza???) di v descrive di moto uniforme una
circonferenza di raggio v (ATTENZIONE, ora v p un raggio, come detto
prima!!!) intorno al centro M (ora lo chiama centro, prima lo chiamava
'un punto!!!').
Dopo tutta questa terribile confusione di lettere e circonferenze il
testo prosegue con:
[...] Ricordando, ora, che nel moto uniformemente accelerato [...]
e butta gi� due formulette
a = dv / dt e v = ds / dt
dove v in questo caso presumo sia la velocit� scalare
[...[ L'accelerazione a quindi, in un certo senso, � la velocit� della
velocit�; essa sar� perci� rappresentata dal vettore a (O.o), velocit�
del punto Q (?, ma non era P il punto prima?!?! Prima P, poi Q....
boh) nel suo moto sulla circonferenza di centro M (OK) e raggio v (??
ora il raggio si chiama v??? BENE. Ma attenzione DOPO!). Quindi,
determinando il valore, la direzione e il verso di questo vettore (si
sta parlando di a non di v), avremo determinato in modo completo
l'accelerazione del punto originale P (ehhhhhhh???????). [...]
Il testo prosegue, come puoi vedere dalle scansioni, fino ad arrivare
alla relazione:
v / r = a / v
che porta ad avere a = v^2 / r
Ora, l'unico modo perch� tutto questo orribile casino torni � che
l'Amaldi, nella figura 5.20, abbia in mente questo: presa la prima
circonferenza di centro O e raggio r, il vettore velocit� v,
muovendosi il punto P, diventi a sua volta raggio della seconda
circonferenza!!! Ma sinceramente questo *ingranaggio* non riesco a
visualizzarlo!!!
Spero di essere stato abbastanza chiaro nell'esporre i miei dubbi.
Grazie mille :-)

 velocit�
ovvero che il rapporto tra r e v=dr/dt e' lo stesso che intercorre tra v 
e a=dv/dt.
Non so se mi sono fatto capire, piu' chiaro di cosi' non so se mi riesce 
di essere. Certe volte uno sente la mancanza di una lavagna e dei vecchi 
gessetti...

 capisci la costruizione della prima circonferenza.
Si, alla fine l'altra notte l'avevo capito, anche se non ne ero
sicuro.
Per� non riesco proprio a vedere come faccia l'estremit� di v nella
prima figura a fare una circonferenza al muoversi di P, cio�, non
riesco mentalmente a derivare la seconda circonferenza dalla prima. V,
muovendosi, mi pare descriva tutto fuorch� una circonferenza. Ti
chiedo troppo di farmi un disegno che mostra come si costruisce la
seconda circonferenza dalla prima, di scansionarlo e di metterlo
online?
Grazie :-)

 V, muovendosi, mi pare descriva tutto fuorch� una circonferenza.
Si' che la descrive, ma devi fare attenzione a traslare i vettori v(t) 
in modo che ad ogni t il loro punto di applicazione sia lo stesso 
(ovvero M, il centro della seconda circonferenza). Questo non altera i 
discorsi sulla *direzione* dei vettori, ma rende la cosa molto meglio 
visualizzabile.

 muovendosi, mi pare descriva tutto fuorchï¿œ una circonferenza.
E' il teorema del giro completo della tartaruga! :-)
http://www.yukoncollege.yk.ca/~srudge/comp052/ideas.html
(punto 3)
La figura di sinistra mostra una tararuga che si muove di moto uniforme 
lungo una circonferenza, portando sempre una freccia puntata dritta 
davanti e se' (la sua velocita'). La figura di destra mostra come si 
muove questa freccia *nel sistema di riferimento della tartaruga*. 
Siccome la tartaruga percorre archi eguali in tempi eguali, anche la 
freccia "gira" di angoli eguali in tempi eguali, ossia la sua punta (nel 
sistema di riferimento della tartaruga) descrive un cerchio con moto 
circolare uniforme.
Nota che nella figura di sinistra la velocita' e' diretta verso Nord 
quando la tartaruga si trova nella estrema poosizione Est del cerchio, 
mentre nella figura di destra la velocita' e' diretta verso Nord 
(ovviamente) quando la sua punta si trova nell'estrema posizione Nord 
del *suo* cerchio. Se assumi queste due posizioni come iniziali, puoi 
far girare la tartaruga di 30ï¿œ in 30ï¿œ e vedere che anche la sua 
velocita' ruota a ogni passo di 30ï¿œ.
-- 
TRu-TS

 della circonferenza?
Anche se sono fuori tempo massimo :-) vorrei aggiungere un piccolo 
contributo al thread.
Personalmente vedo  piu'  "semplice"  (per convincersi della cosa) 
considerare il moto circolare uniforme come limite di un moto rettilineo 
uniforme a tratti in cui un punto materiale descrive un poligono 
regolare inscritto nella circonferenza senza essere soggetto a forze (a 
parte urti elastici contro le pareti).
Siccome in un urto elastico contro una parete liscia la velocita'  prima 
e dopo l'  urto ha lo stesso modulo, e la  componente della velocita' 
perpendicolare alla tangente nel punto di impatto viene invertita, e' 
abbastanza intuitivo,  nel caso di urti contro una parete circolare, che 
l'  accelerazione sia sempre radiale e punti verso il centro.
Volendo,  l' argomento puo'  essere spinto  fino a calcolare il modulo 
dell'  accelerazione.
Naturalmente le difficolta'  concettuali si conservano. Questo delle 
poligonali e'  un modo per fare i limiti (o e derivate)  senza darlo 
troppo a vedere.  Rispetto al metodo dell'  odografa ha, secondo me, il 
pregio di non richiedere un'  operazione assolutamente non banale per un 
principiante che e'  il cambio di prospettiva tra vettori applicati e non.
Giorgio