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Titolo: esempi semplici in MQ

Salve gente! 
Sto cercando di preparare meccanica quantistica (non relativistica).
I problemi che ho incontrato non sono tanto nel capire il formalismo (per
ora abbastanza semplice) ma nel pensare fisicamente a cosa esso
corrisponda.
Un esempio: Il potenziale unidimensionale a scalino.
Si scrive l'eq di Shrod. e si trova la funzione d'onda... ma cosa
rappresenta fisicamente questa funzione d'onda? 
Io so che in meccanica quantistica la funzione d'onda di una particella non
è un'onda pura ma una sovrapposizione di infinite onde pure. Solo così si
ha un pacchetto d'onda localizzato, che è appunto ciò a cui dobbiamo
pensare quando parliamo di particelle in MQ.
Ora dal libro mi pare di capire che la phi(x,t) che risolve l'eq di Shrod.
del problema con il potenziale a scalino sia la funzione d'onda di alcune
particelle sparate da un cannoncino posto a distanza infinita.
Ma se per una sola particella la funzione d'onda non e' formata da un'onda
sinusoidale (cosinusoidale), come puo' esserlo la funzione d'onda di
particelle tante a piacere sparate da un cannoncino? 
Che cosa e' realmente, fisicamente quella phi(x) o piu' in generale phi(x,t)
soluzione della eq di Shrodinger? 
Grazie a chi risponde! 
Mic.

 soluzione della eq di Shrodinger? 
Per le ragioni di cui sopra ho difficolta' a risponderti direttamente. 
Quello che ti posso consigliare e' di dimenticare il cannoncino.
Per quel che riguarda l' interpretazione fisica delle funzioni d' onda 
non ci sono differenze tra il caso con o senza scalini o potenziali di 
sorta. La phi(x,t) e' sempre l' ampiezza di probabilita' relativa a 
trovare una particella in un intorno di x al tempo t. E in quanto tale 
ci aspettiamo che sia e rimanga una funzione a quadrato integrabile.
Il problema di cosa fa una particella descritta da una phi(x,0) 
arbitraria al tempo 0 che evolve in un potenziale a scalino
e' un problema che potrebbe essere risolto anche senza analisi di 
Fourier. Tuttavia la cosa e' tecnicamente un po' complessa. Poiche' e' 
possibile applicare l' analisi di Fourier al problema in questione, 
spesso il problema viene riformulato in termini di scattering di onde 
piane da una scalino (con tutto il marchingegno di coefficienti di 
riflessione e trasmissione etc...). Una volta che so cosa fa una singola 
onda piana, posso sempre ricostruire la dinamica del mio pacchetto 
sovrapponendo le soluzioni per le singole componenti.
Ecco, credo che il tuo "cannoncino a distanza infinita" dovrebbe 
rappresentare in modo pittorico il fatto che ci si concentra su un' onda 
piana alla volta. Onestamente preferirei dirlo chiaramente .
Non so se questo e' sufficiente pe raiutarti nel  tuo processo di 
comprensione.
Ciao
Giorgio

 rappresentata come una sovrapposizione di infinite onde pure. "
Ovviamente volevo dire "onde piane". :-)
Giorgio

soluzione della eq di Shrodinger?
Te l'ho detto sopra.
la Psi(x,t) è la soluzione dell'eq di S. e non ha significato fisico, il suo
modulo al quadrato rappresenta la densità di probabilità di trovare la
particella in un certo punto ed in un certo istante.
Spero di averti chiarito un pochino le cose, ovviamente se vuoi capire
meglio ti consiglio di prenderti dei buoni libri o di leggerti post di gente
che ne sa un po' più di me sulla meccanica quantistica.
Ciao.

 comprensione.
 
Posso di certo affermare che mi e' molto utile il vostro aiuto.
Grazie
Mic

 gente che ne sa un po' più di me sulla meccanica quantistica.
Ti ringrazio dell'aiuto, se ti va di rispondermi ancora ti ringraziero'
anche di piu'! :) 
CIAO

anche di piu'! :)
Figurati.
Ciao.

 Se conosci la quantità di moto dovresti ricavarti E.
Si tutto il procedimento mi e' chiaro, quello che continuo a non capire e':
Perche' se una particella NON è rappresentata da un'onda piana, impostiamo
il problema in termini di onde piane e troviamo la soluzione in termini
sempre di onde piane e poi diciamo che abbiamo una certa probabilita' di
trovare la particella qui e qua'.
E' questo il punto che non mi va giu'.. provo a riesprimermi meglio:
Vogliamo studiare come si comporta una particella quando incontra un
"potenziale a gradino".
Sappiamo che una particella in MQ e' descritta da un pacchetto d'onda: una
serie di onde piane.
Mi aspetto che per studiare il comportamento della particella dovremo
studiare come evolve il pacchetto d'onda intero, non solo una delle onde
piane che lo compongono.
Mi aspetto altresi' che il risultato sia anche esso un pacchetto di onde
piane.
Invece che succede? Si studia un'onda piana singola... e la soluzione è
un'altra onda singola... perche'? 
Forse penso troppo classicamente? 
Mic

 un'altra onda singola... perche'? 
Per lo stesso motivo per cui si studiano le onde piane tout court (in 
elettromagnetismo, in MQ, in acustica...)
Se hai delle equazioni d' onda lineari, le sovrapposizioni di soluzioni 
sono ancora soluzioni (che obbediscono a diverse condizioni iniziali).
Cosi', anche se le onde piane non esistono, e' comodo introdurle perche' 
qualsiasi soluzione puo' essere ottenuta da un' opportuna 
sovrapposizione. Questo e' vero per problemi di propagazione in mezzi 
omogenei o inomogenei.
Il caso del potenziale a scalino corrisponde a due mezzi diversi 
ciascuno con proprieta' diverse in un semispazio. Funzioni piu' semplici 
che soddisfano l' eq. d' onda e le condizioni alla frontiera dei due 
mezzi sono onde piane opportunamente raccordate. Per risolvere un dato 
problema ai valori iniziali (cauchy) si possono sempre sovrapporre 
queste soluzioni "a onda piana" in modo da ottenere il comportamento di 
un pacchetto d' onda fisico.
A posteriori il tutto puo' essere reinterpretato come descrivere il 
comportamento di un flusso uniforme di particelle proveniente dall' 
infinito (in modo da giustificare i fronti d' onda piani).
Capisco il tuo disorientamento che in parte deriva dalla trattazione 
frettolosa che vien fatta in molti libri di MQ. Ricordo che da qualche 
parte (Messiah ??) c'era una discussione decente della cosa. Domani 
controllero' e se riesco a spremere qualcosa dai pochi neuroni 
sopravvissuti aggiungero' qualche riferimento.
Giorgio

Giorgio Pastore ha scritto:
 > ...
 > Capisco il tuo disorientamento che in parte deriva dalla trattazione
 > frettolosa che vien fatta in molti libri di MQ. Ricordo che da qualche
 > parte (Messiah ??) c'era una discussione decente della cosa. Domani
 > controllero' e se riesco a spremere qualcosa dai pochi neuroni
 > sopravvissuti aggiungero' qualche riferimento.
Era Messiah, infatti.
I miei neuroni saranno ancora meno, pero' ho scovato gli appunti del
mio corso di FT del '69, dove la teoria dello scattering e' fatta
proprio secondo una linea vicina a Messiah.
Posso forse provare ad accennare almeno le idee portanti.
Prima di tutto, Michelangelo ha ragione, e anche a me non piaceva lo
scattering trattato con onde piane, come si trova quasi dappertutto.
La situazione fisica reale e' che una sorgente di particelle (il
cannoncino) emettera' una successione di pacchetti, i quali viaggiano
(siamo in una sola dimensione) nel verso positivo dell'asse x,
partendo da un valore negativo grande. A un certo punto incontrano una
barriera o un gradino, e si vuol sapere che fine fanno.
Se non ci fosse il potenziale, sarebbe naturale sviluppare il
pacchetto in onde piane.
A essere precisi, bisogna dire "in autofunzioni dell'impulso", ma
diciamo pure "piane", che e' piu' breve.
Il nostro pacchetto conterra' un insieme di componenti di Fourier
intorno a un valore medio, e si assume che il pachetto sia "quasi
monocromatico", per cui la larghezza della distribuzione in k sia
piccola. Questo e' essenziale per certe approssimazioni nel seguito.
Sempre in assenza di potenziale, il pacchetto avanzera' con la
velocita' di gruppo, cosa che si dimostra con la tecnica solita:
si scrive
\psi(x,0) = \int \phi(k) exp(ikx) dk
e poi
\psi(x,t) = \int \phi(k) exp(ikx-wt) dk
dove w e' l'energia (htagliato=1) k^2/2m.
Si fa per w l'appross. lineare attorno al centro k0 del pacchetto, ecc.
Ma c'e' il potenziale: allora exp(ikx-wt) non e' piu' soluzione
dell'eq. di Schr.
Assumo che il potenziale sia diverso da 0 solo per 0<x<a.
Bene: ci sara' allora una soluzione u(k,x) che sofddisfa le seguenti
condizioni:
1) per x<0 u(k,x) = exp(ikx) + B(k)*exp(-ikx)
2) per x>a u(k,x) = C(k)*exp(ikx)
Si dimostra che questa soluzione e' unica.
Allora se poniamo
\psi(x,0) = \int \phi(k) u(k,x) dk
possiamo dire che si riottiene la stessa \psi(x,0) di prima,
perche' \phi(k) e' sensibilmente diversa da 0 solo attorno a k0.
Sembrerebbe che possa disturbare il termine che moltiplica B, ma il
fatto e' che
\int B(k) \phi(k) exp(-ikx) dk =~
B(k0) \int \phi(k) exp(-ikx) dk = B(k0) \psi(-x,0)
e' nulla per x<0 (-x>0). Stesso discorso per il temine in C.
Dopo di che abbiamo
\psi(x,t) = \int \phi(k) u(k,x) exp(-iwt) dk
e occorre analizzare questa per tempi >0.
Si vede che c'e' una prima fase in cui il pacchetto si muove come se
la barriera non ci fosse; poi c'e' l'interazione con la barriera, e a
tempi sufficiente avanzati risulta che il pacchetto e' diviso in due:
una parte e' il pacchetto riflesso, moltiplicato per B(k0); l'altra e'
il pacchetto trasmesso, moltiplicato per C(k0).
Ne segue che |B(k0)|^2 e' la prob. di riflessione  e |C(k0)|^2 quella
di trasmissione.
Un'analisi del tutto simile, amche se piu' complicata, si fa anchein
tre dimensioni.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Elio Fabri wrote:
[discussione del tunneling di pacchetti d'onde]
Vorrei anche segnalare che sullo Schiff di Meccanica Quantistica 
sono riportati dei "film" di una particella che attraverds (o 
meno) barriere di potenziale. Io stesso per la tesi di laurea mi 
feci il calcolo nel caso risonante, che e' piuttosto interessante.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia