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Titolo: linearita' in MQ

Quanto e' irrinunciabile il principio di sovrapposizione in MQ?
Perche' lo spazio degli stati deve essere lineare?
Si puo' in generale indebolire la richiesta e chesso' chiedere che
solo gli stati asintotici formino uno spazi lineare?
Equazioni non lineari (e non relativistiche) come la Gross-Pitaevskii
come si conciliano con la linearita' dello spazio degli stati?
Quello che chiedo e' quanto e' solida la richiesta di linearita' in
MQ.
Grazie , ciao.

 Perche' lo spazio degli stati deve essere lineare?
La linearità della MQ, ossia delle funzioni psi, o autovettori etc..
è dovuta al fatto che le funzioni devono essere a quadrato integrabili
tra + e - infinito, altrimenti non rappresenterebbero una probabilità,
devono quindi appartenere allo spazio vettoriale LINEARE L2
 se rinunci a questo allora potresti avere probabilità infinite o non
calcolabili
cosa che non ha senso a quanto ne sò.
Ciao,
Mirko


Questo e' vero fino a un certo punto. Gia' solo per l'operatore
posizione hai dei problemi (la delta non sta certo in L2). In generale
ti tocca ricorrere al rigged hilbert space, detto anche  terna di
gel'fand, e devi considerare anche lo spazio delle distribuzioni

 gel'fand, e devi considerare anche lo spazio delle distribuzioni
Ma no, non č necessario passare alla teoria dei rigged Hilbert spaces,
anche se č comodo in alcuni calcoli... Puoi lavorare benissimo con la
decomposizione spettrale di X a valori di proiezione, senza assumere
che X ammetta autovettori (e non li ammette in L^2, essendo il suo
spettro puramente continuo).
   Ciao, Valter


Richiedendo la linearita' degli stati questi dovranno essere
rappresentati in spazi lineari come ad esempio L^2.
Pero' richiedere che due stati v1 e v2 siano rappresentati da vettori
in
L^2 senza richiedere a priori la linearita' non autorizza a
riconoscere come stato fisico anche v1+v2.
(un po' come accade nello spazio di due particelle identiche che e'
piu' piccolo del prodotto tensore degli spazi ad una particella).
La mia domanda dunque non cambia.
Grazie e ciao.

Senza la linearità perderesti la possibilità di descrivere fenomeni di
interferenza...
Davide

    Ciao, Valter
Si, ho capito, perņ mirko parlava proprio degli autovettori e della
loro appartenenza a L^2 come proprietą caratteristica, il che vale
solo per lo spettro discreto. Mi sembra naturale e immediato ampliare
lo spazio delle autofunzioni, anche se la teoria delle distribuzioni
mi pare sia di nascita recente (sicuramente post introduzione della
delta di dirac).
P.S. Fatibene mi ha spiegato la storia dello "spaghetti
monster"....affibiandoti  un "Panther" Moretti....quasi quasi ordino
la maglietta, in fondo č una buona causa :)

 interferenza...
Capisco il ruolo dell'interferenza.
Pero' anche un'interferenza non lineare potrebbe essere possibile.
Quello che mi chiedo e' quanto sono accurate le misure per essere
convinti
ragionevolmente della linearita'. Quali sono gli esperimenti chiave o
i principi irrinuncabili e perche'?
E poi ripeto: ed equazioni non lineari e non relativistiche come la
Gross-Pitaevskii
oppure l'approssimazione Thomas-Fermi come si aggiustano con  la
linearita' della MQ?
Ciao


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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 alla QED :-)
Uhm, non credo siano cose collegate.
Infatti anche se i diagrammi a 4 fotoni in QED contassero qualcosa lo
spazio degli stati
sarebbe comunque lineare. Quello che cambia e' che l'evoluzione
temporale-spaziale dei campi sarebbe non lineare ma questi rimangono
operatori lineari su uno spazio di Hilbert. Insomma la seconda
quantizzazione risolve cosi' le non-linearita'.
E' il motivo per cui sono interessato esclusivamente alle non
linearita' in MQ non relativistica.
Ciao.


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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


Ciao,
premetto che non so moltissimo sulla teoria dei RHS.
In ogni caso ho piu' volte trovato delle referenze (come queste: R de la 
Madrid, Eur. J. of Physics, 26, 287--312 (2005); tesi di laurea dello stesso 
autore qui: 
http://www.physics.ucsd.edu/~rafa/dissertation.html
 ) dove viene 
spezzata non una ma molte lancie in favore di un approcio con i RHS alla 
meccanica quantistica. Ci sono anche diversi libri di testo di QM (citati 
nella tesi) che usano questo approcio.
Credi quindi che la teoria con normale spazio di Hilbert sia del tutto 
adeguata (non voglio dire in pratica, ma dal punto di vista logico-formale)?
Ad esempio, non pensi sia un po' brutto che gli autostati di x o di p 
(particella libera, la cosa "piu' semplice del mondo") non siano di per se' 
stati possibili nella formulazione in spazio di Hilbert? (Chiaro che dal 
punto di vista pratico uno puo' sempre dire che stati del genere sono 
non-fisici etc., ma se questo puo' essere rimediato senza troppi problemi 
con i RHS non vedo perche' non farlo, o no?)
Lorenzo 

 la maglietta, in fondo è una buona causa :)
Perché "Panther"?
Rispondimi privatamente se vuoi, questo è del tutto OT qui.
Ciao, Valter

 Lorenzo
Ciao, Valter


Ciao, questo mi porta a farti una domanda di RG. La formulazione
dell'equazione di maurer-cartan  puo' essere ricavata con una
trattazione di natura "gruppale" e quindi algebrica; in generale
tutta la geometria differenziale necessaria alla RG puo' essere
ricavat lavorando  con le algebre di Lie e i loro generatori. In
pratica mi faccio tutta la RG senza fare una derivata (piu' o meno).
Questo approccio alla lunga si rivela fruttuoso\comodo\utile?

 le distribuzioni di Schwartz...ma questo lo saprai già.
Quello che pensavo e' che il modo rigoroso per formulare queste 
"estensioni deboli" dello spazio di Hilbert dove le distribuzioni sono 
introdotte in modo rigoroso (per es. come funzionali lineari sulle 
funzioni a supporto compatto etc. etc.) e' proprio la teoria dei RHS, mi 
sbaglio? Cioe', e' possibile fare questa estensione in modo semplice ma 
sufficiente per poter trattare "bene" autofunzioni del momento (per es.) 
in una maniera che non e' la teoria dei RHS?
Nei libri quando sono esposti i principi della MQ generalmente si 
richiede che la funzione d'onda sia normalizzabile, ma poi in effetti si 
trattano stati non normalizzabili (scattering, etc.) senza troppe 
precisazioni. E' questo stato di cose che non mi piace molto. Mi sembra 
ci siano queste possibilita':
1) Si insiste sulla normalizzabilita' e allora, in principio, stati non 
legati dovrebbero essere rappresentati per esempio da pacchetti 
gaussiani (per es.) e l'onda piana rappresenta un caso limite non 
realizzabile fisicamente, che pero' possono essere usati un po' alla 
buona avendo in mente un qualche processo di limite.
2) Si rinuncia alla normalizzabilita', accettando stati 
non-normalizzabili come possibili stati del sistema per i quali valgono 
regole un po' diverse (per es., |psi(x1)|^2 /|psi(x2)|^2 rappresenta la 
densita' di probabilita' relativa dei due punti x1 x2, etc).
Ti saresti per la 1), se ho capito male?
Lorenzo

On Dec 2, 6:53 pm, Lorents <lore...@amp.te> wrote:
1> Quello che pensavo e' che il modo rigoroso per formulare queste
2> "estensioni deboli" dello spazio di Hilbert dove le distribuzioni
sono
3> introdotte in modo rigoroso (per es. come funzionali lineari sulle
4> funzioni a supporto compatto etc. etc.) e' proprio la teoria dei
RHS, mi
5> sbaglio? Cioe', e' possibile fare questa estensione in modo
semplice ma
6> sufficiente per poter trattare "bene" autofunzioni del momento (per
es.)
7> in una maniera che non e' la teoria dei RHS?
Ciao,
nel caso in cui lo spazio di Hilbert sia un L^2(R^3), puoi
semplificare (specialmente gli aspetti topologici) pensando
direttamente i funzionali lineari che dici come distribuzioni di
Schwartz, senza farla tanto lunga. Il Caldirola-Cirelli-Prosperi usa
questo punto di vista.
1> Nei libri quando sono esposti i principi della MQ generalmente si
2> richiede che la funzione d'onda sia normalizzabile, ma poi in
effetti si
3> trattano stati non normalizzabili (scattering, etc.) senza troppe
1> precisazioni. E' questo stato di cose che non mi piace molto. Mi
sembra
2> ci siano queste possibilita':
1>
2> 1) Si insiste sulla normalizzabilita' e allora, in principio, stati
non
1> legati dovrebbero essere rappresentati per esempio da pacchetti
2> gaussiani (per es.) e l'onda piana rappresenta un caso limite non
1> realizzabile fisicamente, che pero' possono essere usati un po'
alla
2> buona avendo in mente un qualche processo di limite.
1>
2> 2) Si rinuncia alla normalizzabilita', accettando stati
1> non-normalizzabili come possibili stati del sistema per i quali
valgono
2> regole un po' diverse (per es., |psi(x1)|^2 /|psi(x2)|^2
rappresenta la
2> densita' di probabilita' relativa dei due punti x1 x2, etc).
2>
1> Ti saresti per la 1), se ho capito male?
2>
1> Lorenzo
Ciao, a me andrebbe bene anche 2. Basta che sia chiara la fisica
sottostante: le funzioni d'onda non ormalizzabili non possono essere
interpretati come veri stati, tuttavia in certi calcoli si arriva piu'
facilmente alla fine  (come nel calcolo delle ampiezze di scattering)
usando questo tipo di funzioni. invece che pacchetti normalizzati.
Quello che dicevo e' che se uno vuoile poi fare davvero rigorosamente
uso delle funzioni d'onda non normalizzate (quindi autofunzioni in
senso debole),
le procedure diventano complitatissime. Io molto spesso uso 2 nei
calcoli brutali (lavorando in modo abbastanza "sportivo"), ma se devo
scrivere poi le cose in forma di teorema trascrivo tutto, alla fine,
nel modo 1.  Secondo me un fisico teorico deve essere capace di
saltare tra i due formalismi all'occorrenza.
Ciao, Valter