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Titolo: cinematica relativa

Forse la domanda apparirà banale. Ma ci ho pensato intensamente più di
una volta in treno tornando da lavoro, e non ne sono venuto a capo (né
mi ha risolto il problema cercando con google). Mi sono un po'
impuntato e la cosa comincia a diventare frustrante :-)
Vengo al dunque.
Consideriamo 2 sistemi di riferimento ortonormali avente origine
comune e rotanti l'uno attorno all'altro.
Chiamiamo F (di "fisso") uno di questi due sistemi, e supponiamo che
il secondo sistema ruoti con velocità angolare w (non c'è la omega
nella tastiera... uso il w!). Il vettore w è fisso nel sistema F.
Ora considero un punto P in moto. Siano i, j e k i tre versori del
sistema rotante (che chiamo arbitrariarente "mobile") M. Il vettore r
che individua il punto in moto deve essere combinazione lineare di i,
j e k:
r = r_x i + r_y j + r_z k
Derivando rispetto al tempo abbiamo
v = dr_x/dt i + r_x di/dt + dr_y/dt j + r_y dj/dt + dr_z/dt k + r_z dk/
dt
ma  dr_x/dt i + dr_y/dt j + dr_z/dt k coincide con la derivata di r
rispetto al tempo, secondo il sistema di riferimento M (si può
mostrare che coincide col rapporto tra lo spostamento infinitesimo e
il tempo infinitesimo) quindi
v = v_M + r_x di/dt +  r_y dj/dt + r_z dk/dt
da qui in avanti non so può dove andare a parare. Dovrei sfruttare il
fatto che la derivata temporale di un vettore a modulo costante (come
i versori) è data da un prodotto vettoriale facile da dimostrare. Ma
ciò vale solo se w è costante, quindi per il sistema F. Mi mette un
po' in crisi l'idea di mescolare in una stessa equazione coordinate
prese da due sistemi di riferimento diversi (anche se di fatto è ciò
che accade, banalmente, nelle trasformazioni di galileo).
Mi piacerebbe, se non la dimostrazione, almeno la soluzione del
problema (poi potrei provare a pensarci su ancora un po', però mi
piacerebbe anche qualche conto se avente tempo e voglia :-)). Quale
equazione mette in relazione le velocità nei due sistemi di
riferimento diversi? Ciascun vettore in tale equazione in quali
sistemi di riferimento va misurato?

 sistemi di riferimento va misurato?
La relazione in termini generali e' molto semplice:
v_F = (v_M) + v_rel
dove v_F e' chiaro che cosa significa.
v_M anche, e la parentesi la spiego tra un momento.
v_rel e' la velocita' del punto di M che all'istante considerato si
trova a coincidere con P.
Perche' ho scritto (v_M) e non semplicemente v_M?
perche' sono due cose diverse.
v_M sarebbe il vettore velocita' di P rispetto a M.
Ma questo vettore va *trasformato* al rif. fisso; nel tuo esempio con
una rotazione.
Suggerimento: prova a ragionare con le componenti fin dall'inizio,
senza introdurre i vettori i,j,k.
Avrai le coordinate x_M, y_M, z_M di P rispetto a M, e anche x_F, y_F,
z_F rispetto a F.
Scrivi le relazioni tra queste due terne di coordinate; deriva
rispetto al tempo, e poi cerca d'interpretare il risultato...
Poi magari ne riparliamo.
 
-- 
Elio Fabri

vedo ora la risposta grazie. Ci rifletterò senz'altro. Intanto butto
un ragionamento che mi era venuto (il punto di partenza era
un'equazione ix+jy+kz=i'x'+j'y'+k'z') ma che forse mi portava su un
binario morto... (finale a sorpresa con nove prodotti vettoriali
diversi... :-O)
Innanzitutto credo che il problema vada impostato in questo modo.
Consideriamo un sistema di riferimento S caratterizzato da una terna
ortonormale ijk e un riferimento S' avente origine comune a S e
caratterizzato da una terna ortonormale i'j'k'. Supponiamo che i
versori primati (come qualsiasi altro vettore fisso in S') ruoti con
velocita' angolare w nel sistema S (a proposito, la situazione è
simmetrica, invertibile, come nel moto rettilineo?). Queste sono le
premesse
Consideriamo ora un generico punto in moto. Sia che descriviamo la sua
posizione come combinazione lineare di ijk sia che lo descriviamo come
combinazione lineare di i'j'k', il vettore posizione deve essere lo
stesso. Quindi
ix+jy+kz=i'x'+j'y'+k'z'
deriviamo rispetto al tempo (NON POTENDO FARCI SOPRA I PUNTINI, E
TROVANDO TERRIBILMENTE LUNGHE LE ALTRE NOTAZIONI, DA QUI IN AVANTI LE
COSE DERIVATE LE SCRIVO CON LA MAIUSCOLA)
Ix+iX+Jy+jY+Kz+kZ=I'x'+i'X'+J'y'+j'Y'+K'z'+k'Z'
Poniamoci nel sistema S, nel quale i versori ijk sono fissi, e
riordianiamo così
(Xi+Yj+Zk)=(X'i'+Y'j'+Z'k')+(x'I'+y'J'+z'K')
I versori di S' sono per ipotesi versori fissi ruotanti in S, e in
quanto tali sono scrivibili come prodotto vettoriale tra un vettore w
(uso la w come omega...) fisso in S e il vettore stesso. Così x'I'=w
[vettoriale] (x'i') ed espressioni analoghe valgono per le altre
componenti. Riordinando e scrivendo per esteso w giungiamo così a
(Xi+Yj+Zk)=(X'i'+Y'j'+Z'k')+(w_x i + w_y j + w_z k) [vettoriale]
(x'i'+y'j'+z'k')
dove w_x, w_y e w_z sono delle costanti perché w è per ipotesi un
vettore fisso in S, quindi è fisso il modo in cui combinare i versori
per ottenerlo. L'ultimo termine si traduce in una somma di nove
prodotti vettoriali sui quali non so esprimermi. Ho sbagliato? Come
pervengo a quella bella formula stringata (sapete bene dove voglio
andare a parare) che compare sui libri? Innanzitutto proverò a
riflettere su quanto mi è stato scritto.

Ho provato a riflettere ma non capisco. In particolare mi sfugge
totalmente come sia possibile parlare di componenti senza introdurre i
versori (mi sembra cosě... autocontradditorio! Parlare di una terna di
coordinate senza parlare di una terna di versori ai quali essa si
riferisca mi sembra cosě senza senso...). Dirac risponderebbe che
questa č un affermazione e non una domanda, tuttavia vi chiedo di
essere cosě gentili di provare a spiegare con parole diverse...