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Titolo: Equazione delle onde

Le derivate seconde (derivate parziali, ovviamente) della perturbazione y
rispetto alla coordinata spaziale x e alla coordinata temporale t sono
proporzionali, e la loro costante di proporzionalita' e' pari al quadrato
della velocita'. Dal punto di vista matematico non ho nulla da eccepire, non
capisco pero' il significato e le conseguenze fisiche di questa equazione.
Qualcuno disposto a darmi lumi, per favore?
Ciro

 says...

Bè il significato fisico sta funzione f(x-vt) o f(x+vt) che risolve 
l'equazione. Una funzione che rispetta questa espressione (e che quindi 
risolve l'eq delle onde) si propaga nello spazio e nel tempo
-- 
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 quindi risolve l'eq delle onde) si propaga nello spazio e nel tempo
Ma dal punto di vista fisico quale informazione aggiuntiva ci da il sapere
che le derivate (parziali) di secondo grado rispetto al tempo e allo spazio
sono tra loro proporzionali? Il dubbio e' tutto qua. Che poi l'onda si
propaghi nel tempo e nelo spazio, non fa una grinza :-)
Ciro

 poi l'onda si propaghi nel tempo e nelo spazio, non fa una grinza :-)
Scusa, ma non capisco la tua domanda.
Dire che l'eq. e' fatta in quel modo, e dire che la sua piu' generale
soluzione e' del tipo f(x-vt) + g(x+vt), con f e g funzioni
arbitrarie, e' la stessa cosa.
Percio' anche il conteuto fisico e' lo stesso.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 Percio' anche il conteuto fisico e' lo stesso.
Vediamo se riesco ad essere piu' chiaro.
Io ho un onda, che puo' essere progressiva o regressiva, e per essere
definita tale deve soddisfare una equazione del tipo f(x-ut) o f(x+ut).
f e', appunto, una funzione arbitraria. Se calcolo le derivate parziali di
primo grado su entrambe, noto che mentre sono uguali rispetto allo spazio,
differiscono net tempo di un segno -, ovvero sono opposte. Calcolando invece
le derivate parziali di secondo ordine, sempre rispetto allo spazio e al
tempo, queste risultano non solo uguali tra onda progressiva ed onda
regressiva, ma sono anche tra loro proporzionali, ovvero la derivata
parziale di secondo ordine rispetta al tempo e rispetto allo spazio sono
proporzionali, con un coefficiente di proporzionalita' pari al quadrato
della velocita' u.
Vorrei capire se l'aver definito in questo modo le onde (ovvero anche
mediante il calcolo delle derivate parziali di primo e secondo grado)
semplicemente mi serve ad affermare che un'onda per essere tale deve
soddisfare queste condizioni, oppure se ho ottenuto qualche infomazione
fisica in piu' osservando questa proporzionalita'.
Grazie
Ciro

...

Ciao, Ciro,
non sono sicuro di aver capito il tuo problema: vediamo se riesco ad
aiutarti comunque. Allora, il fatto che le derivate ecc. siano
proporzionali non ci dice *nulla* riguardo all'esistenza delle onde,
ciò che è importante è che siano proprorzionali mediante un
coefficiente positivo, che difatti è la velocità dell'onda al
quadrato. Per esempio un'altra equazione differenziale alle derivate
parziali lineare che di certo conosci, l'equazione di Laplace
u_xx+u_yy = 0, presenta anch'essa derivate seconde rispetto all'una e
all'altra variabile indipendente proporzionali, solo che il
coefficiente di proporzionalità è negativo, ed allora non esistono
soluzioni *reali* in forma di onda (se cerchi anche soluzioni
complesse, cambia tutto). La ragione di ciò ti dovrebbe essere chiara
se hai studiato la teoria delle caratteristiche, il teorema di
Cauchy-Kowaleskaya e quello di Holmgren, che fanno parte della teoria
"classica" delle equazioni differenziali a derivate parziali. Se
queste cose non le hai fatte, magari il seguente "giochino" ti può
aiutare:
a) consideriamo un'equazione più semplice, la cosiddetta equazione di
advezione lineare 1) u_t+|v|*u_x=0 . Essa ti dice che il valore di    
        u(x,t+dt) è pari ad
u(x,t)-|v|*dt*u_x(x,t)=u(x,t)-dx*u_x(x,t)=u(x-dx,t), cioè che il
valore che al tempo t+dt troverai nel punto x è quello che al tempo t
si trovava ad una distanza dx pari proprio a |v|*dt, Cioè tutta la
"forma" della soluzione, vista come funzione di x, si è spostata nel
senso delle x positive del tratto |v|*dt, e dunque la soluzione si
muove come un'onda di velocità |v| nel verso delle x crescenti. O
altrimenti puoi dire che poichè u_t=-|v|*u_x, se fissi la tua
attenzione su di un dato punto e fai passare del tempo oppure fissi la
tua attenzione su di un dato istante e fai variare x, otterrai delle
variazioni di u che sono proporzionali: questo intuitivamente è il
comportamento di un'onda, pensa alla classica onda sinusoidale
u=sen(x-|v|*t) che si comporta nello stesso modo (va su e giù come la
funzione sen(y)) se fissi x e vedi come u varia con t oppure
viceversa.
Meno rozzamente, puoi dire che se il tuo operatore differenziale è 1)
u_t+|v|*u_x=0, allora lo puoi scrivere come
(1/sqrt(1+v^2),-|v|/sqrt(1+v^2))*(grad(u))=0 dove * è il prodotto
scalare e grad(u) è il vettore le cui componenti sono u_t e u_x. Tu
stai dicendo allora che grad(u) ed il versore nello spazio-tempo
(1/sqrt(1+v^2),-|v|/sqrt(1+v^2)) sono ortogonali: per cui se ti sposti
nello spazio-tempo lungo questa direzione, allora u non cambia. Ma
spostarsi lungo una data direzione nello spazio-tempo vuol dire che ti
stai muovendo con una certa velocità, che nel tuo caso è proprio v.
Per cui fai il seguente cambio di variabili: t'=t, x'=x-|v|*t (hai
presente i cambi fra sdr galileiani, no?) e applichi il teorema delle
derivate a catena, hai che u_t+|v|*ux=-|v|*u_x'+u_t'+|v|*u_x'=u_t'=0
cioè nel riferimeno che si muove di velocità v nella direzione delle x
positive, u non cambia col tempo per cui la soluzione è un'onda *che
si muove con velocità |v| nella direzione delle x positive*.
b) Spero con questo "papiello" di averti fatto vedere che fisicamente
se u_t e  u_x (derivate *prime*!) sono proporzionali con un
coefficiente di proporzionalità *negativo*, allora la soluzione si
muove come un'onda nel verso delle x positive. Se invece l'operatore
differenziale è 2) u_t-|v|*u_x=0, rifai il discorso di prima e hai che
l'onda si propaga con velocità |v| nel verso delle x negative. Ora, se
tu derivi entrambe le equazioni 1) e 2) rispetto ad x, ottieni,
sfruttando le equazioni stesse, l'equazione delle onde, cioè
3) u_tt+|v|^2*u_xx = 0
Quindi sia un'onda che si propaga verso "destra" (cioè che soddisfa la
1)) che una che si propaga verso "sinistra" (cioè che soddisfa la 2))
soddisfano la 3), in cui il coefficiente di proporzionalità è
positivo. Il viceversa non è vero, naturalmente, come d'altronde era
prevedibile perchè nel derivare perdi informazioni. Quindi, se le
derivate seconde sono proporzionali mediante un coefficiente di
proporzionalità *positivo*, allora la soluzione più generale
dell'equazione è u(x,t)=f(x-|v|*t,x+|v|*t).
Ciao,
Andrea

 dell'equazione è u(x,t)=f(x-|v|*t,x+|v|*t).
                                         ^^^^^^^^^^^^^^^
u(x,t) = f(x-|v|*t)+g(x+|v|*t).
Ciao,
Andrea

 [CUT]
Bč, tu vuoi una spiegazione delle onde sotto un'altro punto di vista, non 
ti accontenti di quello classico.
Quello che ti posso consigliare č di farti una lettura sul feynman 
(probabilmente vol 2), lě dovresti trovare quello che cerchi
