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Titolo: Non mi torna.

Se ho ben capito il PE afferma che un riferimento accelerato, di
accelerazione a, lungo l'asse x (direzione positiva) e' equivalente a un
riferimento in cui sia presente un campo gravitazionale, di intensita' a
(direzione *negativa*) lungo lo stesso asse x.
Un effetto noto legato alla presenza di campo gravitazionale e' che due
orologi fissi uno in x=0 e uno in x=L non saranno sincroni ma il secondo
(quello in x=L) ritardera' rispetto al primo (se il campo gravitazionale e'
diretto nel verso negativo delle x).
Stessa cosa dovremmo ritrovare in un riferimento accelerato. Pero' io trovo
esattamente l'opposto (cioe' trovo che l'orologio piu' lento e' quello in
"basso", non quello in alto). Questo e' quello che non mi torna.
Immaginiamo un riferimento inerziale e in esso un punto P che abbia la legge
oraria (x>0)
x^2-t^2=A^2;
c=1, A=1/a, cioe' il punto si muove di moto uniformemente accelerato di
accelerazione 1/A diretta nel verso positivo delle x.
Immaginiamo altri due punti, S e T, che all'istante t=0 si trovino
rispettivamente in A-L e A+L.
I segmenti SP e PT siano gli estremi di regoli (entrambi lunghi l) che si
muovono di moto uniformemente accelerato (cioe' nella maniera esposta nel
Rindler).
Le leggi orarie degli estremi S e T saranno rispettivamente:
x^2-t^2=(A-L)^2    e
x^2-t^2=(A+L)^2.
All'istante t0 da P partono due fasci di luce, uno verso A e l'altro verso
T. Entrambi i fasci, dopo riflessione, tornano verso P.
Il fascio che fa la strada PTP arriva prima di quello che fa la strada PSP,
cioe' l'orologio costituito dal regolo SP e' piu' lento dell'orologio
costituito dal regolo PT. Pero', nelle convenzioni adottate, il regolo SP
sarebbe quello che e' piu' "in basso"; come mai ?
Per il resto le cose mi pare che tornino come devono:
detti
(tin,xin) l'evento relativo alla partenza dei due fasci di luce
(t1,x1) l'evento relativo all'arrivo del fascio PTP (quello che arriva
prima)
(t2,x2) l'evento relativo all'arrivo del fascio PSP,
ottengo
(t1-tin)^2-(x1-xin)^2=A^2*[(1+eps)^2+(1+eps)^(-2)-2]
con eps=L/A, e, in prima approssimazione si ottiene (come deve, essendo il
regolo lungo L):
(t1-tin)^2-(x1-xin)^2=4*L^2;
inoltre:
(t2-t1)^2-(x2-x1)^2=A^2*[1/(1-esp^2) - (1-esp^2)]^2
che in prima approssimazione vale 4*L^4/A^2.
Cioe' il "ritardo" nell'unita' di tempo (deltaT/T) e' pari a L/A, ovvero,
essendo A=1/a (con a=accelerazione),
deltaT/T=L*a, cioe' (ricordando che sopra si e' usato c=1) la usuale
L*a/c^2.
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 torna.
Non c'e' niente di piu' nobile che trovare un risultato giusto andando
in cerca di quello sbagliato :-))
Il redshift c'e' dal basso verso l'alto: dunque quale orologio ritarda?
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 "basso", non quello in alto.
e infatti è così: se stai dentro un treno accelerato
(cioè che aumenta la sua velocità rispetto a un
sistema inerziale K ) ti accorgi che gli orologi di
coda ritardano rispetto a quelli di testa.
Confesso di non aver riflettuto sull' esperimento mentale
che proponi perchè a prima vista mi è sembrato
molto complicato e non avevo voglia di faticare...
portando al risultato giusto, è possibile che sia giusto.
Comunque ce n'è uno molto più semplice: quello
del disco rotante. Lo conosci sicuramente.
Ciao,
Corrado

 Elio Fabri


 Beh, quello che ritarda e' quello che sta in alto no?
Noo..ooo...
Te lo dobbiamo dire in musica? :-))


 Corrado
Grazie, ciao.


 giovane chi piu' accelera.
Forse non ho capito bene cosa intendi, ma io non
scriverei una frase del genere:
considera il razzo accelerato: tutti i suoi punti hanno
la stessa accelerazione eppure gli orologi nei vari punti
non possono mantenere la sincronia...non è quindi la
diversità di accelerazone a determinare il fenomeno!
Qui infatti il fenomeno c'è, ma non c'è diversità di
accelerazione.
Passiamo alla gravità:
per il principio di equivalenza, " accelerazione di gravità "
e " intensità del campo gravitazionale" sono sinonimi.
Quindi se dici che è più giovane chi più accelera
è come se dicessi "è più giovane chi è immerso in
un campo gravitazionale più intenso":
in realtà non è così: ciò che causa l'effetto della
mancanza di sincronia degli orologi (e la diversa frequenza
della luce) è la differenza di potenziale gravitazionale
tra i due punti in cui si trovano i due orologi (o le due
sorgenti di luce), non la diversa intensità del campo:
e infatti puoi avere benissimo due punti a diverso potenziale,
ma con identica intensità di campo: è il caso del campo
uniforme.
Ed è anche il caso del razzo accelerato, che per il principio
di equivalenza poi equiparare a un sistema in quiete
in un campo gravitazionale uniforme.
Se il campo è non uniforme, la cosa sostanzialmente
non cambia: il responsabile della diverso "andamento
del tempo" è sempre e solo la differenza di potenziale,
non la differente intensità di campo.
A dir la verità il discorso che ti sto facendo non è
del tutto corretto perchè in RG non esiste un "potenziale"
gravitazionale, o almeno non un solo potenziale (come invece
avviene nella teoria di Newton) dato che il tensore metrico
ha più di una componente (a meno che non chiamiamo
queste componenti col nome di "potenziali" come antica-
mente si faceva: lo leggo in un libro di Eddington del
1921) quindi diciamo che se ci mettiamo in condizioni tali
da poter usare l'approssimazione newtoniana, si può
identificare il termine  - G M / r ( M = massa, r = distanza)
col potenziale newtoniano, e quindi G M / r^2
con l'intensità del campo gravitazionale.
Ora, sai bene che il redshift (e quindi la mancanza
di sincronia degli orologi lontani) dipende in modo
cruciale dalla componente tempo-tempo del tensore
metrico, cioè da
g_00  = 1 - 2 GM /r c^2                        ( 2 )
come è ovvio dato che è questa la componente "attaccata"
al differenziale  d t  della coordinata tempo t, nel ds^2.
Come vedi in g_00 compare il potenziale
( - G M / r ), e non il campo G M / r^2.
Non c'è nessun termine quadratico in r.
Puoi vederlo in molti altri modi, per esempio
considerando un orologio K* in moto circolare
attorno a un altro orologio K, in quiete in un sistema
inerziale. Il rapporto fra la frequenza (propria)
di K e la frequenza (misurata da K) di K* è
F* / F  =  sqrt ( 1 - v^2 / c^2)                ( 3 )
la differenza di potenziale centrifugo fra K e K*
è   Pc    =  - v^2 / 2  e quindi la ( 3 ) si scrive:
F* / F = sqrt ( 1  +  Pc / c^2 )                ( 4 )
ma per il principio di equivalenza lo stesso
rapporto deve valere se K* è immerso in
un campo gravitazionale con differenza di potenziale
gravitazionale tra K* e K Pg = Pc , e quindi
F* / F = sqrt ( 1 + Pg / c^2 )               ( 5 )
come vedi quel che conta è solo la differenza di
potenziale gravitazionale tra i due orologi, non la
differenza di campo gravitazionale.
Ciao,
Corrado

 alle masse". In sostanza e' piu' giovane chi piu' accelera.
Bruno, io sto ancora studiando, come te, ma forse il seguente
argomento potrebbe contribuire alla tua comprensione; a meno che non
sia completamente sbagliato, ma allora contribuira' alla mia. Nel
seguito pongo c=1; V(z) e' il potenziale gravitazionale e dz puo'
andare da un micron ad un megaparsec, come al solito ...
Immagina che per qualche motivo la luce debba muoversi lungo l'asse z
in maniera che la seguente quantita' sia sempre nulla:
        ds^2 = g00*dt^2 - dz^2 =(1+2V)*dt^2 - dz^2
cioe' ds=0  (la geodetica). Nel moto libero si puo' porre V(z)=0 e si
otterra' dunque  dz/dt=+1 (o -1), come dev'essere per la luce.
Dato che il tempo universale "t" non compare in V(z),  l'onda che in
un "secondo universale" dt=1 fa un'oscillazione completa ( w0=1Hz ),
fara' sempre quell'unica oscillazione al secondo lungo tutto il
raggio.  Da questo punto di vista, la frequenza e l'energia dell'onda
non cambiano, come non cambiano quelle di una particella massiva. Il
motivo e'  semplicemente l'invarianza temporale: il campo e' costante
(manca t) e nessun altro puo'  scambiare energia col fotone; la quale
deve dunque conservarsi.
D'altra parte pero', quel che conta per un osservatore locale e' il
ritmo con cui si susseguono, in uno stesso punto, le creste
dell'onda, la cui distanza e' regolata dalla velocita' di fase
dell'onda stessa.  Se poni ds=0, dall'equazione precedente trovi che,
ad un stesso dt=1 ("periodo universale") corrispondono diversi
dz=Sqrt[1+2V] ("distanza tra due creste") lungo il raggio.  Ne
consegue che la lunghezza d'onda aumenta quando aumenta V(z). A conti
fatti, la frequenza propria w(z) dimuisce come 
w(z)=w0/Sqrt[1+2V(z)].
Si potrebbe dire che il campo riduce la velocita' di fase da "c" a
c/Sqrt[1+2V(z)] e che i suoi effetti si possono descrivere 
introducendo un "indice di rifrazione equivalente" n=Sqrt[1+2V(z)]?
Ah, saperlo! Ma forse si, dato che in altri campi (nella teoria dello
scattering, ad esempio) questo si fa regolarmente.
Michele
-- 
Signature under construction. 

 alle masse". In sostanza e' piu' giovane chi piu' accelera.
Bruno, io sto ancora studiando, come te, ma forse il seguente
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Michele
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Signature under construction.

Avrei diversi commenti da fare a quello che hai scritto, ma non ho il
tempo, almeno fino a venerdi'.
Sorry...


 Michele
Ciao.


 Corrado
Ciao.


 Ah, saperlo!
Si sa ! La risposta è sì. Vedi per esempio
Landau & Lifshitz " Teoria dei Campi "
problema alla fine del capitolo 10
(p. 339 nell'edizione in francese MIR che ho
io). Alla fine dice:
< On peut dire que, pour ce qui est de son
action sur le champ électromagnétique, un
champ gravitationnel statique joue le role de
milieu de perméabilité électrique et magnétique
epsilon = mi = 1 / h^1/2 >  ( h = g 00)
[cioè: si può dire che per quanto riguarda la
sua azione sul campo elettromagnetico, un
campo gravitazionale statico gioca il ruolo
di un mezzo dotato di permeabilità elettrica
e magnetica epsilon = mi = 1 / h^1/2 ]
Sia chiaro però che _localmente_  la velocità della luce
è sempre rigorosamente c: voglio dire che se ti metti
in un punto qualunque del campo gravitazionale
e misuri la velocità del fotone mentre ti passa vicino,
trovi esattamente c. Questo non succederebbe in un
mezzo con indice di rifrazione reale: se infatti ti
immergi in una piscina e misuri la velocità della luce
"bagnata" che ti passa davanti non trovi c, ma c / n
con n indice di rifrazione dell'acqua. E infatti
Landau & Lifshitz avvertono (qualche riga prima):
che l'analogia tra campo gravitazionale e materiale
rifrangente è puramente formale:
< Notons l'analogie (purement formelle, bien entendu)
entre les équations (5) (6) [che non ti trascrivo qui]
et les équations de Maxwell du champ électromagnétique
dans un milieu matériel >.
[notiamo l'analogia (puramente formale, sia chiaro)
tra le equazioni (5), (6) e le equazioni di Maxwell del
campo elettromagnetico in un mezzo materiale ]
Ciao,
Corrado

 trovi esattamente c. 
Il problema per me e' farmene una rappresentazione. Correggimi se
questa impostazione non e' corretta:
Se potessi davvero vedere la luce mentre va verso la stella, *nelle
mie* coordinate (r,t) scoprirei che: 1) la luce "rallenta"
indefinitamente  da v=dr/dt=1 (all'infinito) a v=dr/dt=0 (orizzonte
degli eventi) 2) la sua frequenza (ed energia) sarebbe sempre la
stessa.
Un osservatore a cavallo del fotone: 1)  non si accorgerebbe  di
cavalcare una lumaca 2) vedrebbe il colore del fotone virare verso il
blu.  
E' giusto? Lo chiede perche' e' poco istintivo che qualcosa *rallenti*
mentre va in direzione della stella, quasi fosse respinto, e non
attratto come ci indurrebbe a credere l'equivalenza massa-energia.


 blu.
sм,  se l' osservatore и in un punto P1 con r = r(1) = costante
e misura l'energia di un fotone che proviene da un punto P2
situato in r = r(2) = costante > r(1) (intendendo che in r = 0
c' и la sorgente del campo).
In tal caso P1 trova che un fotone emesso da P2 in una
certa transizione atomica, quando raggiunge P1 ha
un' energia maggiore di quella che, sempre secondo le
misure di P1, ha un fotone emesso nella stessa transizione
da un uguale atomo, fermo vicino a P1.
In altri casi, bisognerebbe vedere caso per caso.
bye
Corrado

 finale.
Mi sa che qua ci vada "dopo moto in caduta libera", non "dopo moto
qualsiasi".
Permane il fatto che li' e qui sono vicini cosi' come istante iniziale e
finale, pero' da li' a qui l'orologio deve muoversi in caduta libera.
Aspetto fiducioso che qualcuno mi dia gentilmente conferma (o smentita).
Se cosi' fosse rimarrebbe solamente il problema di accordarsi su come
utilizzare regoli e orologi per assegnare le "giuste" etichette (giuste nel
senso di confacenti all'accordo stabilito) da associare alle parole "li' in
quel dato istante". Cosi' finalmente si potrebbe dire che la metrica e'
proprio quella perche', posto l'accordo secondo il quale abbiamo messo le
etichette, l'orologio che era li' all'istante iniziale e arriva qui
all'istante finale misura, dall'inizio alla fine, proprio l'intervallo di
tempo dS.


 e come è andata a finire?
Male, mi pare.
Dato che ci sei, ti volevo chiedere un'altra cosa sulle geodediche: e'
possibile risalire (e con quali limitazioni) dalla geodetica alla
metrica? Voglio dire, avendo l'equazione parametrica { r(s), t(s)}
per il moto radiale (tanto per fare un esempio), quali operazioni
fare su r(s) e t(s) per avere una g_ij(r,t) compatibile con essa?


 smentita).
Mi associo in questa attesa. Anzi, nel caso che il protocollo non
venga cestinato, e sapendo quanto ti piacciono, ti faccio una bella
applet Java, dove si vede l'orologio che cade e tutto il resto, e te
la mando. eh? 


 RG
E se invece di fermarti tu provassi ad andare avanti
infischiandoti almeno provvisoriamente dei dubbi?
Ti dice niente la frase:
 " li spingemmo oltre il bordo e volarono ?  "    :-)
Tra parentesi: nelle avventure intellettuali posso
essere d' accordo (con riserva, però: valutando caso
per caso) ma in quelle fisiche certamente no:  per esempio,
non getterei mai in acqua contro la sua volontà qualcuno
che non sa nuotare sperando che così impari a nuotare...
questo "metodo"  è una gran bestialità: me l' ha detto più
di una persona che ne è stata vittima e che da allora non ha
più voluto saperne di nuotare.
bye
Corrado

 bye


 trovarla, con dimostrazione?)
Si trova di certo in Rindler, vistoche tutti parlano di "spazio di
Rindler".
Si trova anche nei miei appunti.
Suppongo che ci sara' da discutere sulla definizione di rigidita'...
Comunque il rapporto delle accelerazioni e' esattamente lo stesso
di quello delle frequenze.


 Elio Fabri


 Corrado
Ciao e ... tu inizialmente ti scusavi per il ritardo, mi sa che ti ho
superato alla grande. Scusa.


 spazio-tempo sara' una retta parallela alla bisettrice.
Mica vero: se ripeti la procedura di sincronizzazione dopo un po'
avrai una sorpresa...
Per cavartela, dovrai dire che che i diversi orologi marciano a
diversa velocita', e chiederai che vengano opportunamente regolati.
Ma a questo ci sono due obiezioni.
Una di principio: scopriremmo che gli orologi nei punti P e Q non
vanno d'accordo, sempre alo stesso modo, *comunque siano stati
fabbricati*. E questo e' quanto meno strano...
Ma poi scopriremmo anche che avendo piu' orologi allineati, ognuno
alla stessa distanza dal precedente, il rapporto delle loro "marce"
non e' costante (1 + gh/c^2) ma varia da poppa a prua (decresce).
Qui la metrica c'entra e come...


 Elio Fabri
Ciao e ... grazie per le lezioni gratis :-). Avrei fatto meglio a seguire le
tue lezioni all'epoca (le seguii, ma si trattava delle esercitazioni di
meccanica analitica), ma allora avevo l'impressione che piu' o meno tutta la
fisica teorica non fosse roba per me. Solo dopo diversi anni pensai che
leggere la fisica teorica in chiave sperimentale (cioe' avendo sempre ben
presente di quali esperimenti sta trattando quel dato aspetto di quella data
teoria) e' decisamente piu' facile.
