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Titolo: limite ultra-thin dell'energia magnetostatica

Il post e' un follow-up di un mini-thread su ISM uscito male.
Vorrei che mi aiutaste a capire un problema fisico-matematico. La prendo
alla lontana.
Prendiamo un dischetto sottile di materiale magnetico di raggio R, spessore
t, aspect ratio a=t/R, saturazione M. Assumiamo che sia presente un campo
applicato perpendicolarmente all'asse del disco di intensita' sufficiente a
saturarlo completamente. Il dischetto e' quindi uniformemente magnetizzato.
Scegliamo l'asse x lungo la direzione del campo applicato.
Vogliamo calcolare la self-energy del dischetto magnetizzato
E = mu0/2 \int M.H dV
nel limite ultra-thin t->0, dove H e' il campo di s(de)magnetizzazione
generato da M.
Risulta che l'energia e' esprimibile come:
E = E0 I(a)
con E0 = pi/2 mu0 M^2 R^2 t, e
I(a) = 1/a \int dq/q^2 J1(q)^2 [aq-1+exp(-aq)]
con q da zero a infinito.
Tutto quanto sopra era preliminare, ed e' tutto okay.
Il problema nasce quando voglio determinare il limite a->0. Se prima faccio
l'integrale (e' risolvibile con integrali ellittici) e poi sviluppo, ottengo
un andamento del tipo
I(a) ~ a log(a)
Se invece faccio prima il limite dentro l'integrale, espando per a piccolo
la parentesi quadra, e mi determino gli ordini successivi in a, ho due
grossi problemi:
1) al prim'ordine ho I(a) ~ a, ovvero perdo il logaritmo.
2) gli ordini successivi non convergono (mentre posso sviluppare fino ad
ordine arbitrario la soluzione esatta di I(a) espressa con integrali
ellittici).
Vorrei capire perche' succede cio'. E, da un punto di vista
formale-notazionale, imparare come si chiama la convergenza di un integrale,
come I(a) che *non* permette la procedura mostrata (espandere dentro e
calcolare separatamente gli ordini successivi). Si chiama convergenza
condizionata? (condizionata a cosa esattamente?) convergenza debole? (quanto
debole?) non-uniforme? puntuale? lenta?...
Un'ultima nota. Di solito, la procedura di espandere l'esponenziale dentro
all'integrale funziona: esempio (il primo che mi viene, forse e' troppo
banale)
I(a) = \int exp(-x) exp(-a x) = 1/(1+a)
Sviluppo "dopo"
I(a) = 1/(1+a) =  1 - a + a^2 - a^3 + ...
Sviluppo "prima"
I(a) = \int exp(-x) (1 - a x + 1/2 a^2 x^2 + ...) = 1 - a + a^2 - a^3 + ...
Quando si puo' fare? questa convergenza e' evidentemente piu' "forte" (in un
qualche senso che sicuramente in matematica e' perfettamente chiaro e
quantificato). Come si chiama?
Grazie,
Bye
Hyper

 Hyper
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 Ma il fatto che E possa esprimersi in questo modo come si dimostra ?
Eh ci vuole un po'. E' una procedura non molto usata in magnetismo (mentre
ad es. in altri casi con campi coulmbiani e' abbastanza standard) basata
sulla descrizione reciproca (Fourier) dei potenziali, in questo caso il
potenziale vettore, e dei campi, in questo caso la magnetizzazione. E' molto
fruttuosa, ad es. ha portato ad alcune soluzioni analitiche (nello spazio
reciproco, per quello reale basta poi una FFT) che erano considerate
impossibili (tensore di smagnetizzazione per poliedri e particelle
faccettate e altro).
Se sei interessato posso mostrarti lo schema della procedura.
Bye
Hyper

 I(a) = 1/a \int dq/q^2 J1(q)^2 [aq-1+exp(-aq)]
con a=t/R (R raggio, t spessore del disco).
I(a) sarebbe (1/a) * \int F(q) dq
dove
F(q) = { [J1(q)/q]^2 } * [a*q - 1 + exp(-aq) ]
dove J1 e' la funzione di Bessel di prima specie di ordine 1.
E' cosi' ?
Poi, quando dici
"dove H e' il campo di s(de)magnetizzazione generato da M."
gradirei sapere se intendi la seguente cosa:
esiste un campo "esterno", generato da una qualche sorgente (ad esempio
potremmo pensare ad un solenoide percorso da corrente nota), che possiamo
chiamare Be. Poi esiste il disco magnetizzato, di magnetizzazione M
uniforme, che genera anche esso un campo che possiamo chiamare Bi (in ogni
punto dello spazio il campo sara' dato dalla somma Be+Bi). La M immagino sia
uniforme a causa del fatto che il campo totale (Be+Bi) si suppone molto
intenso cosi' che la M e' ovunque la massima possibile.
La H suddetta sarebbe Bi - 4 pi M ?


 E' cosi' ?
Dimenticavo.
e l'integrale e' fra gli estremi q=0 e q= + infinito ????


 La H suddetta sarebbe Bi - 4 pi M ?
Non proprio. Vedi sopra.
Bye
Hyper

 valido, te le mando in pvt.
Si' e' valido, grazie.



 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 importanti?
Lo sono, in assenza di campo. Infatti, la determinazione del ground-state in
assenza di campo in nanostrutture di forma non-ellissoidale e' uno dei
problemi aperti. Alcune soluzioni semi-analitiche per la configurazione
quasi-uniforme a minima energia in nanodischi sono uscite in letteratura
solo pochi anni fa.
Bye
Hyper