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Titolo: Paradosso di zenone quantistico

 
 
 
Nel Griffiths di MQ (Introduzione alla Meccanica Quantistica) paragrafo 12.5 (della seconda edizione in italiano) parla del fenomeno a volte chiamato "effetto della pentola troppo guardata": se si effettuano due misure molto ravvicinate su un sistema in uno stato eccitato, la probabilita' di transizione al livello fondamentale e' minore di quella che si avrebbe, dopo un pari intervallo di tempo, se sul sistema non fosse stata effettuata alcuna misura!
 
 
 
La probabilita' di transizione, per tempi molto brevi, infatti, e' proporzionale a t^2: P_2->1 = at^2 quindi la probabilita' che il sistema si trovi ancora Nello stato eccitato e' 1-at^2. La probabilita' che dopo due misure si trovi ancora Nello stato eccitato e' quindi (1-at^2)^2 ~= 1-2at^2 mentre se non fosse stata eseguita la prima misura tale probabilita' sarebbe stata di 1-a(2t)^2 = 1-4at^2, minore della precedente!
 
 
Ora, la mia domanda e': in assenza di "variabili nascoste" cosa differenzia lo stato eccitato lasciato a se' da quello su cui e' stata effettuata una misura?
 
--
BlueRay

 effettuata una misura?
 
Lo stato eccitato lasciato a se' per un po' di tempo non e`
piu' realmente uno stato eccitato, e` una combinazione
lineare di eccitato e non eccitato. E` come se tu misurassi
la polarizzazione (verticale o orizzontale) di un fotone la
cui polarizzazione ruotasse nel tempo (magari perche' passa
attraverso sostanze che ruotano la polarizzazione). Diciamo
che alla fine del percorso metti un filtro polarizzatore
verticale e un rivelatore (che presumiamo per semplicita`
abbia un rendimento del 100%); la probabilita` che il fotone
venga rivelato dipende dal suo angolo di polarizzazione (in
effetti da cos(angolo)^2, cioe` 1-sen(angolo)^2, che per
angoli piccoli e proporzionali al tempo e` approssimabile con
una formula del tipo 1-at^2). Raddoppiando la lunghezza del
percorso la probabilita` di rivelazione finale diventa
1-4at^2; inserendo un altro filtro polarizzatore a meta`
strada aumenta pero` a 1-2at^2.
Se torniamo ai coseni e consideriamo l'ampiezza di
probabilita` (cioe` la radice quadrata della probabilita`),
tutto il discorso si condensa in: cos(alfa)^n > cos(n*alfa).
Puoi visualizzare graficamente la cosa in questo modo: c'e`
un punto che ruota nel piano cartesiano, con coordinate
iniziali (x=1,y=0), quindi con una legge oraria del tipo
(x=cos(at),y=sin(at)), pero` in qualsiasi momento puoi
"schiacciarlo" proiettandolo sull'asse x, azzerando
semplicemente la sua y; quando lo fai, le sue coordinate
diventano (r,0) dove r=cos(at), e il punto ricomincia a
ruotare dalla nuova posizione (ad angolo zero).
Allora cos(n*alfa) e` semplicemente il valore di x che
ottieni proiettando il punto solo una volta alla fine di una
rotazione di n*alfa, mentre cos(alfa)^n e` il valore finale
che ottieni se lo proietti n volte, una dopo ogni rotazione
di alfa.
Le coordinate x e y rappresentano i coefficienti della
combinazione lineare di stati. Lo stato finale non e`
normalizzato perche' stiamo ignorando tutti gli stati a cui
si arriva dopo una qualsiasi misura con esito "negativo".
 
Ciao
Paolo Russo

 [BlueRay:]
 Ora, la mia domanda e': in assenza di "variabili nascoste" cosa
 differenzia lo stato eccitato lasciato a se' da quello su cui e' stata
 effettuata una misura?
 
Paolo Russo: 
 Lo stato eccitato lasciato a se' per un po' di tempo non e`
 piu' realmente uno stato eccitato, e` una combinazione
 lineare di eccitato e non eccitato.
 
Ah, ecco! Questo a cosa e' dovuto? All'interazione con il campo em nello stato di vuoto? (fluttuazioni quantistiche del campo?)

Sei stato illuminante!
Grazie.
Ciao.
 
--
BlueRay

 nello stato di vuoto? (fluttuazioni quantistiche del campo?)
Ma per carità!
 
Un'esposizione un po' più ampia di quella che posso fare qui la trovi in
http://www.sagredo.eu/articoli/fotoni.pdf
 
all'inizio della seconda parte.
Guarda in particolare il punto 4.
 
Qui interessa esaminare un più in dettaglio il caso b): atomo in uno
stato eccitato, e campo nello stato di vuoto.
A causa dell'interazione fra atomo e campo, questo *non è* uno stato
stazionario, quindi evolve nel tempo.
Chiamiamolo |n,0>, dove n indica il livello atomico, 0 il n. di fotoni
presenti.
Al generico istante t successivo, avremo
a(t) |n,0> + b(t) |n',1>
dove n'<n, e 1 indica che è presente un fotone.
Bisognerebbe essere molto più precisi, perché n' non sarà in generale
unico, e del fotone occorrerebbe precisare qualche osservabile:
impulso, polarizzazione...
Qundi avremo in generale una somma di più termini, ma sorvoliamo.
 
Quello che dice Griffiths è che al primo ordine in t ci si deve aspettare
a(t) = 1 + serie di potenze in t
b(t) = qt + O(t^2)
e inoltre
|a|^2 + |b|^2 = 1.
 
Avremo allora
a(t) = 1 + kt + k' t^2 + ...
|a|^2 = 1 + 2 Re(k) t + (|k|^2 + 2 Re(k')) t^2 + ...
|b|^2 = |q|^2 t^2 + ...
e quindi
Re(k) = 0
|k|^2 + 2 Re(k') = |q|^2
 
|a|^2 = 1 - |q|^2 t^2
|b|^2 = |q|^2 t^2.
 
 
-- 
Elio Fabri

 |b|^2 = |q|^2 t^2.
 
E la probabilita' della transizione: |n,0> --> |n',1> come si calcola?
Ciao e grazie.
 
--
BlueRay

 effettuata una misura?
Nel primo caso, al tempo t lo stato è uan sovrapposizione di |1> e |2>.
 
Nel secondo la misura ha prodotto un effetto di /decoerenza/ per cui al
posto della sovraposizione hai una miscela statistica (non so se a quel
punto G. ha trattato le miscele statistiche, o se lo fa prima o poi:
operatori densità, ecc.).
Questo se il risultato della misura *non è stato* acquisito dallo
sperimentatore. Altrimenti lo stato sar\`a semplicemente |1> oppure
|2>, con le dovute probabilità.
 
 
-- 
Elio Fabri

 nello stato di vuoto? (fluttuazioni quantistiche del campo?)
 
Di QED so poco o nulla. In generale penso sia corretto dire
che l'interazione con il campo EM faccia si' che lo stato
eccitato non sia piu' esattamente un autostato del sistema
complessivo comprendente anche il campo, per cui e` normale
che si evolva nel tempo, ma piu' in la` non so andare.
Dal poco che ho letto, si puo` vederla come un'interazione
con particelle virtuali (dovute a fluttuazioni quantistiche),
ma non si e` necessariamente obbligati a vederla cosi':
sarebbe piu' che altro un'interpretazione. Questo mi ha
sempre lasciato un po' perplesso, ma non ho avuto il tempo di
approfondire la faccenda e non sono sicuro neanche di queste
poche righe.
Forse cercando nei post degli anni passati potresti trovare
qualcosa di Elio Fabri a riguardo.
 
Ciao
Paolo Russo

BlueRay

Non dimenticherei che la misura è *sempre* un'interazione, e ogni 
interazione modifica poco o tanto un sistema, che quindi reagirà in modo 
diverso a una successiva misura ravvicinata. Il concetto di 
"ravvicinata" si riferisce al fatto che il sistema può volere del tempo 
per recuperare il suo equilibrio.
Quindi la cosa non mi sembra strana né degna di tanti calcoli.
 
Mi sembra invece molto strano il riferimento a Zenone di Elea (o ti 
riferivi a un altro? A Zenone di Cizio stoico?) Se parli di paradossi si 
tratta di Zenone di Elea che ne ha formulati diversi, alcuni dei quali 
tuttora inattaccabili: a quale eventualmente ti riferisci? Quello più 
noto di Achille, quello della freccia? Quello del discreto? Ecc.
Fammi capire.
 
Omega

 Che c'è di strano se si ottengono risultati diversi?
 
 
 
Si, ma quello che non avevo ancora afferrato e che anche Paolo Russo mi ha aiutato a comprendere e' che lo stato varia nel tempo, anche senza fare alcuna misura, io invece finora credevo che lo stato variasse soltanto "nel momento esatto" in cui decade, ovvero che passasse "di scatto" da |n,0> a |n',1> e allora mi chiedevo che cosa differenziasse lo stato |n,0> subito dopo una misura, da uno stato sempre |n,0> ma dopo un certo tempo t.
 
 
Ora ho capito che *non e'* sempre lo stesso stato |n,0>, anche se la transizione non e' ancora avvenuta, ma evolve nel tempo e diviene una combinazione lineare 
 
a(t)|n,0> + b(t)|n',1>; dopodiche', sempre spontaneamente, decade a |n',1> (forse in modo continuo, nel senso che a(t) tende a zero e b(t) tende ad 1, entrambi in modo continuo?). Ho capito bene?
 
 
 
 
Non sono arrivato come studio fino a li', che praticamente e' la fine del libro, ma ho solo curiosato nelle ultime pagine, a partire dalle perturbazioni dipendenti dal tempo e poi alcune cose (in appendice nella versione inglese) che trovo molto interessanti, come EPR, il teorema di Bell, la questione di cosa sia una misura, tutte cose che sono trattate ad un livello non tecnico e che quindi posso gia' "capire" senza la necessita' di avere buona dimestichezza con il formalismo ed i concetti.
 
BlueRay:
 Ora, la mia domanda e': in assenza di "variabili nascoste" cosa
 differenzia lo stato eccitato lasciato a se' da quello su cui e' stata
 effettuata una misura?
 
Fabri:
 Nel primo caso, al tempo t lo stato è uan sovrapposizione di |1> e |2>.
 Nel secondo la misura ha prodotto un effetto di /decoerenza/ per cui al
 posto della sovrapposizione hai una miscela statistica (non so se a quel
 punto G. ha trattato le miscele statistiche, o se lo fa prima o poi:
 operatori densità, ecc.).
 Questo se il risultato della misura *non è stato* acquisito dallo
 sperimentatore. 
 
BlueRay:
 
Su quest'ultima cosa che hai scritto non ti seguo, anche se avevo letto qualcosa su Scientific American tempo fa (ma se una cosa non la capisco bene non me la ricordo neanche :-) )
 
Fabri:
 Altrimenti lo stato sara' semplicemente |1> oppure |2>, con le dovute 
 probabilità.
 
Grazie,
ciao.
 
--
BlueRay

Paolo Russo ha scritto:
 > Di QED so poco o nulla. In generale penso sia corretto dire che
 > l'interazione con il campo EM faccia si' che lo stato eccitato non sia
 > piu' esattamente un autostato del sistema complessivo comprendente
 > anche il campo, per cui e` normale che si evolva nel tempo, ma piu' in
 > la` non so andare.
Comunque, fin qui approvo :-)
 
 > Dal poco che ho letto, si puo` vederla come un'interazione con
 > particelle virtuali (dovute a fluttuazioni quantistiche),
Questo invece non lo posso condividere, per più ragioni.
 
La prima non è proprio scientifica: io *odio* le fluttuazioni
quantistiche :-)
Intendo dire che odio l'uso che ne viene fatto, spec. nella
divulgazione ma non solo, che trovo semplicemente mistificante.
 
Secondo: le particelle virtuali hanno un senso in certe situazioni, ma
solo in certe situazioni. Spiego meglio tra poco.
 
 > ma non si e` necessariamente obbligati a vederla cosi': sarebbe piu'
 > che altro un'interpretazione.
Penso di sapere a che cosa ti riferisci, ma anche questa
"interpretazione dell'interpretazione" è un fraintendimento di qualcosa
che può avere senso, ma solo nel quadro di un discorso tecnico ben
preciso.
Purtroppo non posso essere più chiaro in questo contesto.
 
Torno sulle particelle virtuali.
Per fortuna nel nostro problema (emissione di un fotone da parte di un
atomo in stato eccitato) non ce n'è traccia e non ce n'è bisogno.
Il processo è di primo ordine, con un solo vertice (se pensi a un
diagramma di Feynman). Una particella virtuale può essere presente solo
come "linea interna" tra due vertici, quindi solo in processi dal
secondo ordine in su.
 
Quello che invece ha perfettamente senso è il tuo discorso iniziale,
che tecnicamente si precisa nella /teoria delle perturbazioni/.
Si assume che la hamiltoniana del sistema complessivo consista di due
parti, H0 e H1, con proprietà molto diverse:
 
1) H0 ammette una soluzione esatta, per es. per gli autovalori e per
gli autostati.
Nel nostro caso, si scinde nella somma di due ham. che riguardano due
parti separate del sistema:
- l'atomo isolato
- il campo e.m. nel vuoto.
Abbiamo quindi due spazi di H. distinti, e lo spazio di H. del sistema
totale è il /prodotto tensoriale/ dei due.
Gli autostati di H0 si scrivono indicando i numeri quantici dell'atomo
e quelli del campo (numero e stato dei fotoni presenti): ecco il
significato di |n,0> e di |n',1>.
 
2) H1 è il termine d' *interazione*, che si assume "piccolo" in un
senso da precisare.
La presenza di H1 produce l'effetto che hai detto: gli stati come
|n,0> non sono più stazionari, ma evolvono, ecc.
 
L'idea portante della teoria delle perturbazioni è che si possa
analizzare il sistema "per gradi":
- all'ordine 0 si trascura del tutto H1
- all'ordine 1 gli effetti di H1 vengono calcolati al primo ordine in
un qualche parametro (che nel caso presente potrebbe essere la
"costante di struttura fina", o forse la sua radice quadrata
- degli ordini successivi non ci occupiamo, ed è lì che compaiono le
particelle virtuali, ma anche i ben noti guai che vanno sotto il nome
di "catastrofe ultravioletta"...; nonché la "soluzione" nota come
"rinormalizzazione".
 
Il nostro problema può venire adeguatamente trattato al primo ordine,
sempre che non interessi un'approssimazione più alta, ossia quelle che
vengono chiamate "correzioni radiative".
(Disclaimer: quanto ho scritto è tutt'altro che preciso, anzi in certi
punti decisamente rozzo. E' solo il meglio cha abbia senso fare in una
sede come un NG, o forse il meglio che *io* sono capace a fare...)
-- 
Elio Fabri

 capisco bene non me la ricordo neanche :-) )
Lo sospettavo, in realtà...
Anche perché è un argomento che spesso viene messo da parte.
Se non vado errato, nel Grffiths manca del tutto.
Nel Dirac lo trovi alla fine del cap. 5: "The Gibbs ensemble".
Senza questo strumento:
a) non si fa la mecc. stat. quantistica
b) non si capisce decentemente la teoria q. della misura
c) non si riesce a parlare in modo corretto di stati intrecciati ecc.
d) in particolare, il concetto che in epoca relativamente recente ha
acquistato il nome di "decoerenza" nn può essere formulato in modo
chiaro.
Vedi tu...
 
 
-- 
Elio Fabri

Qui dice buona parte (e pari pari, sicuramente lo ha copiato da li') di quello che scrive Griffiths in quel paragrafo:
 
http://thegravityroom.blogspot.it/2012/07/quando-le-misure-contano-effetto-zenone.html?m=1
 
 
--
BlueRay