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Titolo: espansione universo e tensione oggetti rigidi?

Buon giorno, scusate la dmanda ingenua.
Immaaginiamo di avere un sasso rigido, in un vuoto intergalattico,
sufficientemente lontano da qualunque altro oggetto in modo da poter
considerare trascurabili tutte le interazioni con altri oggetti.
Immaginiamo che il sasso trascorra indisturbato miliardi di anni.
La mia domanda è:
se l'universo si espande e i punti dello spazio si allontanano, nel corso di
miliardi di anni, cosa accade al sasso?
Si espande? Oppure, si spacca? Insomma, è sottoposto a tensione?
 
Grazie a chi vorrà rispondermi.
 

 Grazie a chi vorr� rispondermi.

 Grazie a chi vorrï¿½ rispondermi.
 
nulla, anche se prob. ï¿½ una cazz.
Massimo 

 Si espande? Oppure, si spacca? Insomma, � sottoposto a tensione?
La risposta sbrigativa �: se riuscisse davvero a non essere soggetto a
nessuna interzione, si spaccherebbe.
Perch� ho messo il "se"?
Perch� un sasso nel vuoto intergalattico non potrebe restare integro,
come minimo perch� evaporerebbe (forse).
 
Ma ora vediamo di giustificare la risposta.
Supponi di sostituire il tuo sasso con una nuvola di atomi vicini, che
non producano nessuna forza uno sull'altro.
L'espansione li farebbe allontanare, anche parecchio se hai miliardi di
anni a disposizione.
 
Nel sasso reale invece gli atomi stanno insieme a formare un solido
perch� ci sono forze attrattive, e quindi il sasso non si espande
seguendo l'espansione generale.
Per� queste forze attrattive hanno un limite, e infatti un sasso che
venga tirato da due parti (non facile da fare, ma con opportune
macchine e lavorazioni si fa) finisce per cedere e rompersi.
 
La stessa cosa succede se l'attrazione � necessaria semplicemente per
coservare la dimensione originaria del sasso: fino a un certo punto il
sasso si dilater� leggermente, in modo elastico. Ma questa condizione
avr� terimne quando si raggiunge il carico di rottura.
Avendo i dati meccanici sul materiale del sasso si potrebbe anche
calcolare quanto tempo impiegher� a rompersi.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
Ma si espanderebbe anche ogni singolo atomo? E le singole particelle?
 
--
cometa_luminosa

Come si sa, la notte porta consiglio, e ripensandoci mi sono
accorto di aver scritto cose a dir poco affrettate; a dirla tutta,
sbagliate.
Perciò fate conto che il post precedente non esista, e ricominciamo da
capo...
 
Come primo passo, supponiamo di sostituire il sasso con una nuvola di
atomi vicini, che non producano nessuna forza uno sull'altro.
Supponiamo anche, per semplicità, che il sasso abbia forma sferica
(come la mucca della barzelletta :-) ).
Che cosa accadrà agli atomi al passare del tempo?
 
Dato che non sono soggetti a forze, si muoveranno liberamente; ma non
di moto rettilineo uniforme, perché siamo in uno spazi-tempo curvo.
Seguiranno invece delle /geodetiche/, su cui non occorre entrare in
dettagli. Basti sapere che la distanza di un atomo alla cordinata r si
allontanerà dal centro della sfera con la legge
 
dr/dt = H*r  (1)
 
dove H è la costante di Hubble: non ho fatto altro che scrivere la
/legge di Hubble/.
Stando ai dati attuali, il valore di H è 70 km/s/Mpc, che convertito
in unità SI fornisce
 
1/H = 4.3*10^17 s
 
pari a circa 13.5 miliardi di anni.
Questo è detto /tempo di Hubble/: non è l'età dell'universo, ma ne
differisce poco.
 
La (1) ci darebbe la variazione di r nel tempo, se conoscessimo H a
tutti i tempi. In effetti la funzione H(t) è nota, ma è troppo
complicata per usarla nei conti che voglio fare, e che mi servono solo
per indicare all'ingrosso quello che ci si deve aspettare per il
destino del sasso.
Per di più la variazione di H è modesta: dal valore attuale che ho dato
sopra, andrà lentamente diminuendo fino a poco meno di 60 km/s/Mpc.
(Questo almeno se crediamo all'attuale "modello di concordanza".)
E' dunque lecito, per i nostri scopi, assumere H costante.
 
Allora la (1) ci dà
 
r(t) = r(t0)*exp[H*(t-t0)]  (2)
 
cioè un'espansione con legge esponenziale, con costante di tempo di
oltre 10 miliardi di anni.
 
Conviene sviluppare in serie la (2), per capire che cosa succede a
tempi non troppo lontani:
 
r(t) = r(t0) * [1 + H*(t-t0) + H^2*(t-t0)^2/2 + ...].  (3)
 
La (3) mostra una velocità iniziale non nulla r(t0)*H che però
possiamo far sparire cambiando le condizioni iniziali.
Ma ci\`o richiede un calcoletto non proprio semplice, che non ho
ancora finito...
 
Perci\`o, a una prossima puntata.
 
 
-- 
Elio Fabri

 dettagli.
 
[...] 

 Si espande? Oppure, si spacca? Insomma, è sottoposto a tensione?
 
 
In base alla teoria della R.G. applicata alla discussione di casi analoghi l'effetto dell'espansione universale è praticamente ininfluente alle scale più piccole, dove agiscono altre forze a contrastare l'espansione, come la forza di coesione nel caso del sasso.
 
 
 
Recentemente tuttavia il problema è stato riproposto in chiave moderna a seguito di un lavoro (Caldwell et al. 2003), in cui nell'ambito teorico dei modelli cosmologici in espansione accelerata si prevede l'eventualità, denominata "big rip" (lett. grande strappo: in cosmologia qualsiasi cosa succeda è sempre *grande*), che ogni oggetto, anche il tuo sasso isolato, venga alla fine frantumato dall'azione dell'espansione cosmica.
 
Saluti,
Aleph

 Perci\`o, a una prossima puntata.
Pensandoci meglio, mi sono accorto che tutto quello che serve è quanto
ho citato sopra, più la giustificazione che prendere H costante non è
troppo sbagliato.
Il resto che ho scritto domenica non era necessario.
 
Dalla (1), derivando una seconda volta, ottengo
 
d^2r/dt^2 = H * dr/dt = H^2 * r.  (2)
 
La (2) mostra non solo che la nuvola di atomi si espande, ma anche che
l'espansione è *accelerata*.
 
Se voglio impedire l'espansione del sasso, debbo aplicare a ciascun
atomo una forza opportuna, che produca un'accelerazione opposta alla
(2), ossia
 
F = -m * H^2 * r.
 
Nel sasso reale tale forza sarà prodotta dagli atomi adiacenti, e
l'insieme di queste forze produrrà uno stato di *tensione* nel sasso.
Vediamo di stimare questa tensione.
 
Sia n la densità numerica degli atomi; in un volumetto di base dS e
altezza dr ci sono n*dS*dr atomi, e la forza richiesta per questo
volumetto è
 
-m * n * dS * dr * H^2 * r.
 
m*n è la densità rho del sasso, e la forza scritta non è che il
gradiente radiale della tensione T, moltiplicato per dS e dr. Quindi
 
dT/dr = -rho * H^2 * r
 
T = rho * H^2 * (R^2 - r^2)/2
 
dove R è il raggio del sasso, e ho usato il fatto che alla superficie
la tensione è nulla.
Il massimo della tensione si ha al centro (r=0):
 
Tmax = rho * H^2 * R^2 / 2.
 
Prendiamo un sasso di raggio 10 cm, con rho = 3000 kg/m^3; col valore
di H dato sopra, abbiamo
 
Tmax = 8*10^(-35) Pa.
 
Se il sasso è in grado di sopportare una simile tensione, resta intero.
Solo si dilata leggermente :-)
 
Se anche pensate la Terra al posto del sasso, trovate
 
Tmax =~  10^(-18) Pa.
 
Possiamo anche chiederci che effetto avrà l'espansione sul sistema
solare.
Per es. l'accel. (2) per la Terra rispetto al Sole vale
 
8x10^(-25) m/s^2
 
contro l'accel. dovuta alla gravità solare, che è 6*10^(-3) m/s^2.
Per i pianeti esterni si trova un rapporto parecchio maggiore, perché
va come R^4, ma comunque sempre minuscolo.
 
 
-- 
Elio Fabri