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Titolo: Curvatura dello spaziotempo provocato da una massa

Ciao,
se aprite questo link :
https://wiki.sagredo.eu/doku.php/curvatura_dello_spazio-tempo
 
il Prof. Fabri parla di curvatura dello spaziotempo prodotto da una massa.
Egli poi suggerisce dei problemi : calcolare il raggio di curvatura Rc prodotto dalla terra, dal Sole,nana bianca e stella di neutroni,
servendci credo delle formule da lui indicate ,la (9) e la (10).
Ho provato a fare i calcoli ma sono andato nel pallone.
Comunque più che i valori dei risultati, mi servirebbe capire/visualizzare il senso dei risultati, siano essi (per es.) 
100 m, 200mm o 1000m.
grazie
Alberto

af44...@gmail.com
 ha scritto:
 > se aprite questo link :
 > 
https://wiki.sagredo.eu/doku.php/curvatura_dello_spazio-tempo
 
 > il Prof. Fabri parla di curvatura dello spaziotempo prodotto da una
 > massa.
 > Egli poi suggerisce dei problemi: calcolare il raggio di curvatura Rc
 > prodotto dalla terra, dal Sole,nana bianca e stella di neutroni,
Prima di tutto una precisazione.
Tu scrivi "il prof. Fabri parla ... egli poi suggerisce ..."
Ma non è esatto: quella che citi è una versione certamente ispirata
alle mie lezioni, ma come dice Roberto Puzzanghera nella finestra
iniziale
 
"riprende la lezione 10 [...] al fine di semplificare gli aspetti
matematici e rendere accessibile l'argomento ai miei studenti della
scuola secondaria superiore."
 
Lascio a Roberto, che conosce i suoi polli molto meglio di me, questa
valutazione. Ma il mio discorso in qualche punto è un po' diverso e in
particolare nella mia lezione non c'è il problema che ti turba.
Avrei potuto benissimo mettercelo, ma ho preferito proporre altre cose.
Nota bene, questa non vuol essere una critica a Roberto, ma a ciascuno
il suo: quello che hai letto l'ha scritto Roberto, non io.
 
 > servendoci credo delle formule da lui indicate, la (9) e la (10).
 > Ho provato a fare i calcoli ma sono andato nel pallone.
Infatti. Meglio la (9), perché usa dati che puoi trovare facilmente.
Però io prima di pensare a rispondere alla tua domanda, vorrei capire
perché sei andato nel pallone.
Perché non hai i dati? Ma li puoi trovare facilmente su wikipedia.
(Un consiglio: usa la versione inglese, molto più affidabile.)
Non oso pensare che tu non sapessi come usare la (9).
Di te non so niente, ma si tratta di matematica al massimo di prima
liceo...
 
 > Comunque più che i valori dei risultati, mi servirebbe
 > capire/visualizzare il senso dei risultati, siano essi (per es.) 100
 > m, 200mm o 1000m.
Io invece credo che sia importante che tu veda quei numeri, perché ti
daranno anche lo spunto per capire quello che chiedi.
Piuttosto, non capisco che "senso dei risultati" stai cercando,
diverso da quello c'è già spiegato in quegli appunti..
-- 
Elio Fabri


Gentile prof. Fabri,
ho rifatto i conti e mi viene 1.7*10^11m
Poi mi sono accorto rileggendo la sua lezione 10 (
http://www.sagredo.eu/Q16/lez10.pdf
)
che lei in effetti già dava il risultato.
Ora al di la del conteggio aritmetico che avevo sbagliato da co...one,
per me viene la parte più difficile da capire.
Attorno alla Terra per un raggio di 1.7*10^11 m c'è una distorsione dello spazio tempo,
ma <fisicamente> cosa significa ?
Spero di riuscire a trovare le parole adatte per spiegare cosa voglio dire.
Una particella o massa qualsiasi che si trova all'interno di questo raggio in che modo ne risente ?
Se la particella o massa che stava viaggiando dal profondo universo entra in questo campo di azione
viene in qualche modo alterato il suo moto che in precedenza era in linea diretta ?
Ma mi rendo conto mentre scrivo che questo risentire della distorsione dello spaziotempo altro non è
che la gravità esercitata dalla Terra senza scomodare lo spazio tempo. Ma allora il nocciolo
della questione (per me) è capire la differenza che subisce una massa tenendo conto solo delle gravità
e poi tenendo conto della distorsione spazio tempo.
Alberto


Ciao,
Con le formule (9) e (10) si calcola che il Rc vale 1.7*10^11m.
Come si presenta lo spaziotempo 1 metro più in là ?
Non ho idea se posso fare gli esempi di Alberto che mi ha preceduto parlando di una particella
o comunque più in generale di una massa che si trova all'interno di quel raggio 1.7*10^11m.
e di una massa che si trova un poco più in là...
Bruno


Anche no.
Premesso che sono un dilettante della fisica, mi chiedo: cos'è il raggio di curvatura di una curva?
E' il raggio della circonferenza che approssima la curva in un tratto di lunghezza tendente a zero.
Nello spazio 2d sarà una sfera che approssima la curvatura del piano.
Nello spazio 3d sarà una ipersfera 4d che approssima ....
 
Una curvatura di raggio 1.7 x 10^11 m ( 170 miliardi di km!!) è ben poca cosa per la luce, ma per noi umani è sufficiente a tenerci attaccati alla superficie terrestre.

af44...@gmail.com
 ha scritto:
 > ho rifatto i conti e mi viene 1.7*10^11m
E gli altri casi? Ripeto che è molto utile vedere quei numeri.
 
 > Poi mi sono accorto rileggendo la sua lezione 10
 > (
http://www.sagredo.eu/Q16/lez10.pdf
) che lei in effetti già dava il
 > risultato.
Eh già... E c'è anche un commento.
 
 > Attorno alla Terra per un raggio di 1.7*10^11 m c'è una distorsione
 > dello spazio tempo, ma <fisicamente> cosa significa ?
Non è affatto così, e non riesco a capire da dove hai tirato fuori
quest'idea.
Questo non lo trovi né nella mia lez. 10, né nella "semplificazion"e
di Roberto.
Al contrario, c'è una spiegazione piuttosto ampia di che cosa
significa "curvatura" e su che cosa ha a che fare col moto di un corpo
in caduta libera.
 
Mi viene da pensare che tu abbia letto molto frettolosamente, saltando
intere pagine :-(
Beh, così non funziona, non puoi sperare di capire qualcosa senza
leggere con attenzione, direi studiare.
Queste non sono barzellette: si tratta di risultati profondi, che c'è
voluta una mente come quella di Einstein per concepire.
Il sottoscritto, e in seconda battuta Roberto, ci siamo sforzati di
mettere la sostanza di questa scoperta alla portata di uno studente di
liceo. Ma bisogna che lo studente abbia voglia di studiare...
Se non è così, farà meglio a impiegare il suo tempo in altri modi.
E anch'io posso trovare modi migliori d'impiegare il mio, piuttosto
che faticare a spiegare a chi non ha voglia di sforzarsi per capire.
 
Scusa la durezza, ma per me è offensivo vedere trattato così il mio
lavoro.
Resto sempre a disposizione se avrai domande *serie*.
-- 
Elio Fabri

"Io Noi" ha scritto:
 > Premesso che sono un dilettante della fisica, mi chiedo: cos'è il
 > raggio di curvatura di una curva?
 > E' il raggio della circonferenza che approssima la curva in un
 > tratto di lunghezza tendente a zero.
 > Nello spazio 2d sarà una sfera che approssima la curvatura del piano.
 > Nello spazio 3d sarà una ipersfera 4d che approssima ....
Quelle che poni sono questioni matematiche, che è perfettamente
possibile spiegare con mezzi elementari, ma non è facile farlo in
poche parole.
Il punto centrale è imparare a distinguere tra curvatura "intrinseca"
ed "estrinseca".
Un'esposizione piuttosto ampia la trovi nel sito segnalato da Roberto:
 
https://www.paololazzarini.it/geometria_sulla_sfera/geo.htm
 
 
anche se purtroppo lo trovo manchevole proprio nel punto che più
interessa per la RG.
Cerco di supplire un po', ma non è facile per le limitazioni di questo
ambiente.
 
Cominciamo dalla prima frase che ho citato.
Parli del raggio di curvatura di una curva. Bene questa non interessa,
perché è una curvatura estrinseca.
Mi spiego: prendi un filo (praticamente inestensibile) e poggialo su
un tavolo (piano).
Questo puoi farlo in molti modi:
- puoi stenderlo tirato tra le mani (retta: curvatura nulla)
- puoi stenderlo ad arco (circonferenza: raggio di curvatura quello
che vuoi
- puoi disporlo a mo' di serpente (curvatura variabile lungo il filo,
tra zero e un massimo nei due versi di concavità).
Questi esempi illustrano il fatto che *una curva non ha curvatura
intrinseca, ma solo estrinseca*.
 
Poi tu passi a una superficie, e scrivi
 > Nello spazio 2d sarà una sfera che approssima la curvatura del piano.
Questo è alquanto confuso. Dovevi dire che stai studiando una
superficie (una sfera o altro, v. il link che dato sopra) in un
ambiente 3D.
Una sfera ha un solo raggio di curvatura, che è lo stesso in tutti i
suoi punti.
Le cose si complicano se pensi a una superficie diversa: un cilindro,
un ellissoide, un toro, ma anche una superficie meno regolare, diciamo
una patata.
In questo caso succedono due cose:
a) Può darsi che la superficie non sia *omogenea*, e allora la
curvatura varia da punto a punto. Tra gli esempi che ho dato, a parte
la sfera la sola sup. omogenea è il cilindro circolare.
b) Anche in un dato punto, non te la puoi cavare con una sola
curvatura: ne occorrono due. Per maggiori dettagli ti rimando a
Lazzarini.
 
Credo che la definizione di curvature principali ecc. sia dovuta a
Eulero, più di 200 anni fa.
Ma siamo sempre nell'ambito delle curvature *estrinseche*: la
superficie viene studiata mediante misure fatte nello spazio 3D.
 
Il passo successivo, per noi fondamentale, lo fa Gauss, quasi
esattamente 200 anni fa.
 
La prima osservazione è che tra gli esempi di superfici che ho dato
sopra solo il cilindro è *sviluppabile* in un piano. O inversamente,
si può prendere un foglio piano e avvolgerlo in forma di cilindro,
senza stirarlo né piegarlo in alcun modo (si può anche avvolgerlo a
forma di *cono*).
 
Si scopre che le superfici sviluppabili sono tutte e sole quelle che
hanno nulla una delle curvature principali, e quindi anche nulla
k=1/(r1*r2).
Questa si chiama anche "curvatura gaussiana", e la ragione del nome
sta nel "theorema egregium" di Gauss:
 
"a differenza delle curvature principali, che sono estrinseche, la
curvatura gaussiana può essere calcolata con sole misure *sulla
superficie*, senza far intervenire lo spazio 3D in cui è immersa"
 
In una parola, la curvatura gaussiana è *intrinseca*.
Una conseguenza è che
- due superfici che possano essere deformate l'una nell'altra senza
stiramenti o sovrapposizioni (si dice "isometriche") hanno punto per
punto la stessa curvatura gaussiana.
(Nota che l'inversa non è vera: esiste almeno un controesempio, che
trovi dappertutto, di due superfici che hanno la stessa curvatura
gaussiana ma *non sono* isometriche.)
 
Forse 20 anni dopo arriva Riemann. Mentre Gauss si era occupato solo
di superfici (2D) immerse nel comune spazio euclideo 3D, Riemann
immagina spazi euclidei a qualsiasi numero di dimensioni, e in essi
"superfici" di qualunque numero di dimensioni.
Scopre che se la "superficie" ha un numero di dimensioni n>2, non
basta una sola curvatura per descriverne le proprietà intrinseche: ce
ne vogliono n^2(n^2-1)/12: 6 per n=3, 20 per n=4. L'insieme di queste
curvature prende il nome di "tensore di Riemann". Il caso n=4 è
importante perché è quello dello spazio-tempo.
 
In realtà Riemann fa un altro passo essenziale: scopre che si possono
descrivere tutte le proprietà intrinseche di quelle che oggi si
chiamano "varietà riemaniane" senza bisogno di tirare in ballo un
eventuale spazio euclideo in cui sono immerse.
 
Ci si può chiedere: è sempre possibile immergere una varietà
riemanniana in uno spazio euclideo con più dimensioni?
La risposta affermativa è arrivata molto più di recente, a metà del
secolo scorso e oltre, con dei teoremi di Nash e altri.
Ma siccome ne so troppo poco, anzi non ho affatto le idee chiare, non
vado oltre.
Mi limito solo a osservare che il tema dell'immersione è
*esclusivamente matematico*. Il fatto che uno spazio-tempo possa
essere immerso in uno spazio (pseudo)euclideo a numero maggiore di
dimensioni non implica in alcun modo che queste dimensioni abbiano
esistenza fisica.
 
Conviene invece tornare alla fisica vera e propria, anche per
dissipare eventuali equivoci.
Lo spazio-tempo è una varietà a 4 dimensioni, quindi il tensore di
Riemann ha 20 componenti indipendenti.
In certi casi ci si può restringere a meno dimensioni, per es. 2, come
negli esempi che hai visto, dove le coordinate sono t e z.
Con questa restrizione siamo tornati a una varietà 2D, dove una sola
curvatura (intrinseca) basta.
 
Però già per studiare gli effetti della gravità della Terra non ci si
può limitare a questo: nell'ascensore in caduta libera possiamo
studiare le due palline posta una sopra l'altra e scoprire che si
allontanano (curvatura negativa), ma possiamo anche guardare due
palline affiancate alla stessa altezza, e in quel caso scopriamo che si
avvicinano.
Dunque mentre la curvatura nella sezione (z,t) è negativa, quella
nella sezione (x,t) (o anche (y,t)) è positiva, ed è la metà in valore
assoluto.
Perciò dire che lo spazio-tempo è iperbolico (curvatura negativa) è
sbagliato.
 
 > Una curvatura di raggio 1.7 x 10^11 m (170 miliardi di km!!) è ben
 > poca cosa per la luce, ma per noi umani è sufficiente a tenerci
 > attaccati alla superficie terrestre.
Per cominciare, sono 170 *milioni* di km, non miliardi.
Poi, attento a non confondere la curvatura dello spazio-tempo con la
curvatura di un raggio di luce!
Primo: è diverso il concetto: la prima (più esattamente "le prime") è
*intrinseca*, la seconda (come la curvatura di qualsiasi linea 1D) è
estrinseca.
Secondo: è molto diverso il valore.
Un raggio di luce deflesso dalla gravità terrestre, nel punto più
vicino alla Terra ha un raggio di curvatura di circa 10^16 m.
-- 
Elio Fabri