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Titolo: dubbio su SU(2)

Ho le idee un po' confuse su SU(2):da una parte è definito come il gruppo
associato all'algebra del momento angolare;dall'altra come il gruppo delle
matrici 2X2 unitarie e di determinante 1:come si conciliano queste due cose
dato che già per j=1 le matrici che rappresentano gli operatori di momento
angolare sono 3X3 ?

 angolare sono 3X3 ?
In effetti qui entrano in ballo diversi concetti distinti: algebra di
Lie in astratto, algebra di Lie di un gruppo, definizione astratta o
concreta di un gruppo, omomorfismo tra gruppi, rappresentazioni...
Vediamo.
Se definisci l'algebra partendo dagli operatori di momento angolare, hai
un'algebra di Lie astratta (definita solo dalla relazioni di
commutazione).
Poi ti puoi chiedere: un'algebra di Lie definisce un gruppo? La risposta
e' che il gruppo non e' sempre unico. Lo e' se aggiungi il requisito che
sia semplicemente connesso.
Nel caso in questione viene fuori SU(2), che naturalmente puo' essere
definito per suo conto, per es. come hai detto. Nota che la definizione
di SU(2) mediante matrici unitarie 2x2 ecc. e' astratta nel senso che la
usi solo per ricavare le proprieta' del gruppo.
Pero' esiste un altro gruppo che ha la stessa algebra di Lie: e' SO(3)
(matrici reali ortogonali a det. = 1). SO(3) e' connesso, ma non
semplicemente connesso. E' localmente isomorfo a SU(2), ma tra i due
esiste una relazione 2 a uno: un omomorfismo che manda due elementi di
SU(2) in uno stesso elemento di SO(3). 
Quanto alle rappresentazioni, queste detto in breve non sono che gruppi
di matrici in relazione di omomorfismo col gruppo dato. Dal momento che
SU(2) ha un solo sottogruppo invariante, con due soli elementi (I e -I),
per una rappr. ci sono due sole possibilita':
a) e' isomorfa, ossia fedele
b) e' omomorfa, ossia non fedele, ma isomorfa a SO(3).
Le rappr. (irriducibili) di SU(2) sono classificate dal numero j (2j
intero) da 0 in poi; la rappr. j ha dimensione 2j+1.
Le rappr. con j intero non sono fedeli, le altre lo sono.
Ecco spiegato il perche' dell'ultima domanda: j=1 significa matrici 3x3.
Nota che SO(3) e' il gruppo delle rotazioni nello spazio 3-dim., e
naturalmente una rotazione di 360 gradi coincide con l'identita'. Pero'
l'omomrfismo con SU(2) causa uno scherzo: se consideri gli elementi di
SU(2) che corrispondono a rotazioni di angolo via via crescente da 0 a
2pi, trovi matrici 2x2 che partono dall'identita' e finiscono con -I.
Ossia: un percorso chiuso in SO(3) non corrisponde a un percorso chiuso
in SU(2).
Questo ha a che fare col fatto ben noto che in un sistema di momento
angolare semiintero, il vettore di stato dopo una rotazione di 2pi non
ritorna identico, ma cambia di segno.
Spero di non averti confuso ulteriormente le idee :)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Ciao Elio e altri,
visto che si parla di SU(2) ne approfitto per fare anche io una domanda:
secondo voi il fatto che SO(3) non sia semplicemente connesso ha una 
qualche significato fisico o e' semplicemente un accidente matematico?
Non rispondetemi semplicemente dicendo che se considero in un opportuno 
contesto le rappresentazioni di SO(3) anziche' quella di SU(2) non 
ottengo gli spin semidispari...vorrei qualche giustificazione fisica 
"classica".
Scusate la vaghezza della domanda e buon fine anno a tutti
ciao
slacky

 "classica".
Non so se afferro che cosa hai in mente.
Sul piano strettamente classico, ci sono dei giochetti che si possono
fare, legati al carattere di connessione di SO(3).
Te ne descrivo uno che usavo fare ai miei studenti quando parlavo di
queste cose.
Prepara due dischetti A e B, per es. di cartone, e collegali per mezzo
di un nastro (di carta o di stoffa) lungo circa 40 cm, attaccato al
centro dei due dischetti.
Avrai una disposizione come questa:
   |                            |
 A |============================| B
   |                            |
Ora ruota uno dei due dischetti attorono alla retta AB, di 360 gradi.:
il nastro si attorciglia, e non sembra ci sia niente di notevole da
dire...
Ma se fai un secondo giro, con un po' di prove scoprirai che sipuo'
"cancellare" la torsione del nastro muovendo uno dei dischetti *senza
farlo ruotare*, ma con sole traslazioni.
Questo ovviamente non era possibile con un solo giro, o con un numero
dispari di giri.
Ecco un caso in cui una rotazione di 360 gradi non "equivale"
all'identita', una rotazione di 720 gradi si'.
Il caso quantistico forse non lo vuoi sentire, ma ti ricordo che ci sono
prove sperimentali che una rotazione di 360 gradi cambia il segno del
vettore di stato per un sistema di spin 1/2.
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 vettore di stato per un sistema di spin 1/2.
si, questo lo so, ma mi aspettavo qualche esempio tipo quello che mi hai 
fatto.
ciao
slacky

 Altri giochini simpatici da suggerire? hai in mente qualche lettura?
Non saprei. Mi pare di ricordare che quel gioco lo trovai su "Scientific
American", molti molti anni fa, nei "giochi matematici", naturalmente
senza spiegazione seria.
Lo trovai divertente e lo presentai molte volte a lezione. Non ho mai
saputo cosa ne pensassero gli studenti :)
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 farlo ruotare*, ma con sole traslazioni.
Ho seguito l'esempio, ed ho però ancora poco chiaro come a queste
trasformazioni si possa associare un cammino in SO(3).
Quel che mi sembra chiaro è che SO(3) ha una struttura più
semplice di un toro, ma anche su questo ho difficoltà di visualizzazione.
A me sembra infatti che sul toro possano essere tracciati tre tipi
di cammini che non sono riducibili uno all'altro. Mentre SO(3) supporterebbe
due soli tipi di cammini. D'altra parte nulla mi vieta di pensare SO(3)
parametrizzato
dagli angoli di Eulero. Ora non riesco a "vedere" se l'insieme dei
parametri,
dopo aver fatto tutte le identificazioni fra quegli insiemi di angoli che
corrispondono
alla medesima rotazione, descriva un volume immerso in R^3 o in dimensione
superiore. Mi sembra già tanto essermi reso conto che SU(2) è semplicemente
connesso. Il passo avanti è questo: come mai degli oggetti nello spazio E^3
non abbiamo la percezione che possano essere cambiati da una rotazione di
un angolo giro, mentre questo può verificarsi con oggetti quantistici?
E se ne avessimo percezione, come cambierebbe la nostra immaginazione dello
spazio? Spero di aver colto il pensiero di Slacky. A me personalmente poi
rimane
ancora un'altra fisima: ma questo fatto che SU(2) è semplicemente connesso
ha a che fare forse col fatto che in 4 dimensioni non è possibile
distinguere fra terne
destre e terne sinistre?
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Inviato via 
http://usenet.libero.it

 distinguere fra terne destre e terne sinistre?
Non direi. La distinzione terna destra/terna sinistra prova che O(3) non
e' connesso (per archi): non puoi passare con continuita' da una matrice
con det. +1 a una con det. -1.
Invece SO(3) e' connesso. 
La non-( semplice connessione) e' una proprieta' piu' sottile...
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 nastro puo' poi essere disfatta *senza muovere i dischi*.
Penso di aver capito qualcosa.
In verità questo gioco dimostra proprio che quel cammino chiuso
in SO(3) può essere ridotto all'identità con una trasformazione continua.
Occorre aggiungere qualche
parola per renderlo chiaro. Scegliamo la lunghezza relativa della sezione
del nastro
come parametro, la direzione delle sezioni come primo asse, dell'asse
mediano
del nastro come secondo asse, del loro prodotto vettore come
terzo asse. Una terna identifica univocamente una rotazione, ovvero un
elemento di SO(3).
Il fatto di tenere i dischi iniziale e finale paralleli equivale ad
imporre che il cammino rimanga chiuso. Ad ogni punto del nastro corrisponde
dunque un elemento di SO(3). Potendo slacciare l'intrico mantenendo i dischi
paralleli questo significa che posso fare una trasformazione continua del
cammino
ad un cammino costante e pari all'identità.
Il fatto di non riuscirci nel caso
del numero dispari di giri non dimostra ancora che sia impossibile.
Per capire che è impossibile occorre qualche considerazione più
sofisticata, almeno mi sembra a me.
Facciamo un confronto con la situazione del toro: su un toro mediante
trasformazioni continue, non invertibili, possiamo ridurre tutte le curve
chiuse
a tre elementi o all'unione di tali elementi: circonferenza equatoriale,
circonferenza meridiana, punto. Su di una bottiglia di Klein la situazione
è analoga a quella che abbiamo su un nastro di Moebius. Per tornare al punto
di partenza dobbiamo fare due giri, questo se la superfice è orientata, se
anche la
superfice è trasparente succede qualcosa di particolare, per cui un cammino
chiuso sulla bottiglia di Klein corrispondente ad un giro ed un cammino
chiuso
di indice doppio non sono equivalenti. Con uno spostamento in direzione
ortogonale, diversamente dal caso di Moebius, nel caso di Klein possiamo
risolvere la singolarità. Occorre fare un disegnino in cui i lati opposti
del
quadrato vengono fatti coincidere dopo una inversione di direzione. Allora
vediamo che un segmento che congiunge due lati opposti non può esser
trasformato ad un punto senza "spezzarlo", un doppio segmento invece può
diventare un punto.
E posso immaginare tutto questo su un quadrato addirittura. Mi accorgo che
posso traslare il laccio senza produrre incroci ma in modo da ridurre tutto
ad
un punto.
Quel che capita per SU(2) ed SO(3) è in qualche modo la versione in
dimensione
quattro della situazione descritta in dimensione due per tale paese delle
meraviglie.
SU(2)/I risulta isomorfo ad SO(3).
Gli elementi di SU(2) stanno su una sfera S_3 in dimensione quattro.
Per rendersi conto di questo occorre familiarizzare con la parametrizzazione
naturale che sfrutta l'algebra di Lie su(2) tangente al gruppo SU(2) nel
punto unitario. Questa algebra di Lie è conosciuta come algebra di Pauli.
Ed isomorfa all'algebra di hamilton dei quaternioni. L'idea è che la forma
generale degli elementi di un gruppo continuo può essere ricostruita dalla
conoscenza dell'algebra di Lie del campo vettoriale tangente al gruppo nel
punto unitario, almeno nel caso in cui questo gruppo è connesso.
 
Quando dico conoscenza dell'algebra non mi riferisco in
tal caso alla semplice conoscenza delle regole di commutazione, ma alla
conoscenza della forma esplicita della base di Lie dello spazio tangente.
Possiamo verificare che lo spazio vettoriale delle matrici
tangenti alle matrici di SU(2) ammette una base che verifica le regole
di commutazione proprie del momento angolare. Consideriamo l'esponenziale di
una
combinazione lineare di queste matrici esp(-i fi/2 (n1 s1+n2 s2 +n3 s3)),
dove il fattore i/2 discende dal fatto che l'algebra di Lie del momento
angolare
è verificata dalle matrici i si/2. In quanto [s1,s2]=2s3
(essendo le s le matrici di Pauli). Questi esponenziali formano
l'elemento generale del gruppo, e ne forniscono una parametrizzazione.
La cui espressione esplicita risulta in una combinazione lineare delle
matrici I, i s1, i s2, i s3. Ed esattamente Cos(fi/2) n1sen(fi/2) n2
sen(fi/2)
n3sen(fi/2). Questi sono i punti di una sfera S3.
Da queste regole di commutazione possiamo riconoscere fra l'altro
che l'elemento del gruppo che abbiamo scritto agisce sugli elementi
dell'algebra di Lie (tridimensionale, nel senso che tre sono le sue
matrici di base) come una rotazione. Questi elementi nel nostro caso
possono essere interpretati come osservabili della meccanica quantistica,
nel senso che sono unitari. Tutti questi argomenti si generalizzano con
l'introduzione della metrica di Killing sull'algebra tangente al gruppo.
Il gruppo di partenza diventa un gruppo di invarianza per questa
metrica. (Ahh, se solo si riuscissero a spiegare queste cose nel modo
semplice in cui possono essere intuite con tanta fatica). Dunque si
riesce ad associare una varietà metrica ad un gruppo continuo.
Fin qua quello che possiamo dire ricorrendo alla sola struttura di
commutazione
dell'algebra. Non abbiamo ancora parlato di rappresentazioni dell'algebra.
Anche se siamo partiti da una rappresentazione per definire l'algebra.
La medesima algebra di Lie è infatti compatibile con rappresentazioni di
dimensione diversa.
Gli elementi di SO(3) si ottengono dagli elementi di SU(2) per
identificazione
di elementi di S_3 che stanno in punti diametralmente opposti della sfera.
La sfera S_3 non è più una superfice, è un volume, ma il senso della
locuzione
diametralmente opposto è quello dell'inversione centrale. Ovvero del
cambiamento
di segno di tutti i coefficienti mediante i quali abbiamo espresso il
generico
elemento di SU(2) nella base I, i s1, i s2, i s3.
L'elemento diametralmente
opposto di SU(2) è l'elemento che corrisponde ad una rotazione di un angolo
giro.
Questo oggetto è una specie di bottiglia di Klein.
Il punto è che questi sono solo schemi a partire da termini teorici che si
riferiscono
a entità non direttamente osservabili, come la matrice di rotazione, che
mediante
generalizzazioni derivate deduttivamente dai postulati iniziali sono
suscettibili
di interpretazioni alternative che vengono a formare un modello scientifico
per
l'elettrone. Si tratta in altre parole di matematica utilizzata per
costruire una
teoria scientifica. A meno di entusiastiche suggestioni, rimarrebbero tali.
Ma io ho una naturale inclinazione alle entusiastiche suggestioni e mi
chiedo
se l'esistenza di straordinari oggetti come gli elettroni non sia il segno
del fatto che viviamo in un paese delle meraviglie. E mi chiedo
espressamente
perchè, se mi guardo intorno, gli oggetti che posso ruotare di un angolo
giro
non si accorgono di essere stati ruotati di un angolo giro rispetto agli
altri,
a meno che non aggiungo vincoli. In altri termini se il vero gruppo delle
rotazioni è SU(2) perchè al mondo comune basta SO(3)?
Penso che per cercare una spiegazione a questo problema occorra comprendere
a fondo il principio di indistinguibilità ed il modo in cui la materia
risulta aggregata
ed il fatto che nei grandi aggregati fermionici esiste sempre una grande
componente
bosonica. Questo per una prima risposta. Se poi un giorno qualcuno fornisse
una teoria
dello spazio non più fondata sugli a priori, spostando il noumeno a qualcosa
di più elementare come il numero, allora chissà... Al momento lo spazio ed
il tempo
sono prerequisiti. Premesse necessarie su cui fondare i ragionamenti.
Accontentandosi di braket e di rappresentazioni del gruppo di Poincarè si
riesce
a capire che l'indistinguibilità fra particelle di spin semintero implica
l'antisimmetricità globale della loro funzione d'onda. Quando vengano
aggiunte
le regole di anticommutazione per gli operatori di campo. Sono certo di dire
delle
inesattezze.
Perchè ad esempio si introducono le regole di anticommutazione? Nel
libraccio che
ho sotto mano si dice che con le regole di anticommutazione si
ripristina la positività dell'energia. Ma più che un procedimento
scientifico, detto
in questo modo mi sembra una furbizia.
Ed a me piacerebbe cogliere l'idea fondamentale
ed il perchè, magari sulla base di giochetti come quelli che ho ripresentato
qui.
E quindi andare avanti. Da qualche parte avevo letto che la regola di
anticommutazione può essere riprodotta dalla descrizione del propagagatore
in
termini di cammini di Feynmann solo se l'incrociarsi di due cammini
implica un cambiamento di segno. L'interazione fra due fermioni in termini
di QED d'altra parte è mediata da linee che possono esser pensate come
sovrapposizioni di una particella e di un'antiparticella. Forse è troppo
complicato.
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La spiegazione che hai dato non mi ha chiarito solo una cosa:
cosa e' lo spazio? Ma una domanda viene formulata sempre
in attesa di una risposta, il che genera un circolo vizioso.
Quindi non saprei far di meglio per liberare la situazione che
riformulare il quesito in termini assertivi: siamo partiti da una
intuizione geometrica della monotonia dello spazio e del tempo
e ne abbiamo tratto delle previsioni circa la struttura del microcosmo.
Circa il resto, al momento non abbiamo nulla di meglio che la poesia
di Dante. Nemmeno Kant se l'e' cavata meglio. Hegel ha fatto
lo sforzo maggiore di ritorno allo stato di ignoranza, condizione di
totale apertura al dato dell'esperienza, puo' sembra paradossale
visto che Hegel e' un idealista, pero' e' lui che ha detto che
l'albero della vita e' sempre piu' verde dell'albero della filosofia.
La leggenda di Babele ha tutto sommato questa bellezza: se noi
fossimo capaci di toccare la struttura ultima dell'universo, dovremmo
essere capaci della sua immensa estensione, ma giacche' non ne siamo
capaci costruiamo delle lingue che nel loro contraddirsi ricordano
all'umanita'
che la parola trova nella natura un grande contraddittorio. Nel momento in
cui
diamo un nome ad un oggetto compiamo una delimitazione che ci allontana
dalla possibilita' di coglierne l'unita'. D'altra parte l'immensa
eterogeneita'
di questa unita' che e' il cosmo divide le lingue che sono espressioni di
parti
distanti. Ognuno assapora un gusto diverso, tutti vediamo le stesse stelle.
                                                                              Buon 2003


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 al fatto che ha qualche relazione con l'orientabilita' delle superfici?
No. Volevo solo indicare che quello e' l'inizio di un discorso non
banale e non breve.
Non vedo proprio nessuna relazione con l'orientabiita'.
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