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Titolo: Spostamenti virtuali sì, ma infinitesimi?

Ciao a tutti voi del ng.
E' il mio primo post qui e spero di non offendere nessuno se è una richiesta
d'aiuto anziché una spiegazione...
Ho un dubbio sulla lagrangiana che mi è venuto a seguito di uno dei corsi
che sto seguendo quest'anno (5° anno ingegneria). Finora, in meccanica
razionale ed affini, quando utlizzavo le variabili di lagrange per
rappresentare uno problema fisico, non mi era mai soffermato sul legame che
esiste tre esse e le variabili spostamento vere e proprie. O meglio,
chiamato x lo spostamento e qn le variabili lagrangiane, per spostamenti
virtuali abbiamo scritto:
              ______
              \            dx
delta(x)=  \          --- * delta(qn)
                /         dqn
              /_____
               n=1,inf
Dove con delta(x) indico la variazione virtuale degli spostamenti e con
delta(qn) la "corrispondente" variazione delle variabili lagrangiane.
Ora siccome il tutto è molto simile ad un differenziale, io ho sempre
pensato che questa relazione valesse per spostamenti virutali INFINITESIMI
del corpo (coi vincoli tenuti fissi). D'altra parte la dipendenza di x da qn
non è certo "per forza" lineare.
Il mio prof invece mi ha detto che lo spostamento è virtuale ed ARBITRARIO,
nel senso che può essere anche finito, perché la relazione scritta sopra
vale per la configurazione attuale del corpo e quindi "va considerata
istante per istante" (ho citato tra le virgolette; si parla di atti di
moto?)
Su un libro di meccanica razionale (non ricordo l'autore, ma non sono
riuscito a trovare il Levi-Civita Amaldi in biblioteca) ho letto il
contrario, ovvero che gli spostamenti considerati devono essere
infinitesimi. La questione è "molto semplice" chi ha ragione? :o)
Grazie per l'attenzione, spero di non avervi annoiato troppo :o)
Ciao,
Kickaha

Kickaha ha scritto:
 > ...
 > Il mio prof invece mi ha detto che lo spostamento è virtuale ed
 > ARBITRARIO, nel senso che può essere anche finito, perché la relazione
 > scritta sopra vale per la configurazione attuale del corpo e quindi
 > "va considerata istante per istante" (ho citato tra le virgolette; si
 > parla di atti di moto?)
E' la prima volta che sento parlare di spostamenti virtuali finiti, e
mi sembra banalmente sbagliato, visto che in generale i vincoli
non sono lineari.
Tutt'altra questione il fatto che si debbano tenere i vincoli fermi
durante lo spostamento, ma questo lo sai.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 non sono lineari.
...<SNIP>...
Esattamente la stessa cosa che ho pensato io. Tuttavia, senza mettere in
dubbio la tua competenza, il dubbio mi rimane; com'è possibile che un prof
faccia un errore così banale? Tra l'altro non dico di fama riconosciuta ma
perlomeno "forte" nel suo campo? E soprattutto se me lo chiede all'esame che
gli dico? Guarda te in che problemi uno deve incappare: persino nelle
scienze "esatte" bisogna dire quello che gli altri desiderano sentire?
Ciao e scusa lo sfogo.
Kickaha

Ciao, forse si tratta solo di uso improprio di
termini matematici. Ad essere rigorosi, il termine
"infinitesimo" in matematica non si puo' (piu') usare
nel modo che usi tu.
Se hai una funzione f=f(x) il differenziale nel punto z e'
la funzione lineare
df_z : v |-> (somma su i di) (@f/@x^i)|_z v^i
dove v^1,...,v^n sono le componenti di un vettore applicato
in z. Volendo possiamo indicare i numeri v^i con dx^i
Non c'e' alcuna necessita' logica di pensare le v^i  come
numeri "infinitesimi" che in matematica moderna non vuol dire
nulla. In questo senso il differenziali dv^i sono numeri
arbitrari (anche grandi). E'chiaro che hanno senso fisico,
nel senso che df_z(v) e' una buona approssimazione (lineare) 
dell'incremento f(z+v)-f(z) tanto piu' v e' piccolo.
Il punto centrale nei discorsi con i differenziali o
gli spostamenti virtuali e' che le componenti v^i si assumono
essere indipendenti l'una dall'altra. Questo fatto permette
di trarre molte conclusioni  (per esempio si ricavano le equazioni
di Eulero-Lagrange). Nota che, anche in termini intuitivi, il fatto
che i dx^i siano indipendenti non e' in contrasto con l'idea che si 
possano scegliere "infinitesimi"....
  Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 scienze "esatte" bisogna dire quello che gli altri desiderano sentire?
anche gli uomini di scienza sono *uomini* come gli altri...e li si puo' 
"fregare" come si fa con gli altri :-(
Scusate se sono OT.
ciao
slacky

Valter Moretti ha scritto:
 > ...
 > Ciao, forse si tratta solo di uso improprio di
 > termini matematici. Ad essere rigorosi, il termine
 > "infinitesimo" in matematica non si puo' (piu') usare
 > nel modo che usi tu.
 > Se hai una funzione f=f(x) il differenziale nel punto z e'
 > la funzione lineare
 >
 > df_z : v |-> (somma su i di) (@f/@x^i)|_z v^i
 >
 > dove v^1,...,v^n sono le componenti di un vettore applicato
 > in z. Volendo possiamo indicare i numeri v^i con dx^i
 > Non c'e' alcuna necessita' logica di pensare le v^i  come
 > numeri "infinitesimi" che in matematica moderna non vuol dire
 > nulla. In questo senso il differenziali dv^i sono numeri
 > arbitrari (anche grandi). E'chiaro che hanno senso fisico,
 > nel senso che df_z(v) e' una buona approssimazione (lineare)
 > dell'incremento f(z+v)-f(z) tanto piu' v e' piccolo.
Non e' solo questione di senso fisico: e' pura matematica!
Il differenziale non servirebbe a niente se non fosse una "buona"
approssimazione per la variazione della funzione, dove "buona"
significa "a meno di termini di ordine superiore".
Quindi l'infinitesimo rientra, non per la finestra, ma per un'altra
porta: occorre dire che (grazie alla differenziabilita' della
funzione) l'errore che si fa usando il differenziale invece della f e'
infinitesimo rispetto al vettore v.
Ma se si scrive come ha riferito Kickaha
delta(x) = (somma su i di) (@f/@x^i) delta(q_i)
si lascia quanto meno intendere che la _variazione_ di x sia data da
quell'espressione, in funzione delle _variazioni_ delle q.
Il che e' appunto vero solo a meno di infinitesimi di ordine superiore!
Nota didattica: voresti indicarmi un libro di meccanica, leggibile per
uno studente del 2^ anno, dove queste cose siano trattate secondo
l'uso matematico moderno?
(Ho scritto "leggibile", cosi' non potrai rispondermi Arnol'd :-)) )
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Grazie a tutti per le risposte.
Kickaha