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Titolo: gittata

ciao
leggendo la discussione sul lancio del martello m'è sovvenuta una
domanda che era girata tra i miei amici e me un po' di tempo fa.
Se si considera un attrito (proporzionale alla velocità del proiettile)
l'angolo per avere la gittata massima resta 45 gradi? Se sì è possibile
dedurre questo da considerazioni "semplici"(magari c'è sfuggita qualche
simmetria) o è necessario risolvere le equazioni del problema (cosa
parsai non banale).
Ciao
  Paolo

 parsai non banale).
Premetto che supporre la res. dell'aria prop. alla velocita' non e'
accettabile per le velocita' di quelle palle, il che complica ancor di
piu' il problema.
Ma anche accettando l'ipotesi a titolo d'esercizio, il calcolo non e'
affatto banale, e non direi proprio che ci siano ragioni semplici per
prevedere che cosa cambia.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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a quest'ora dico sicuramente cavolate...
ma se suppongo l'attrito almeno isotropo (rispetto alla velocità) non mi 
sembra male come angolo 45°...
adesso ci penso un po'...
magari si puo' dimostrare che l'isotropia basta per garantire la cosa..
se ad esempio in modulo fosse kv^2  cosa succederebbe per k che tende a 
infinito...
non so perche ma un limite me lo aspetto a 0° a 90° o a 45...
0 e 90 non mi convincono..  rimane 45...  la fisica non si fa per 
sensazioni... ma l'intuito a volte non fa male...
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 sensazioni... ma l'intuito a volte non fa male...
ciao
 premetto che la mia esperienza come programmatore tende a zero(meno). Per
diletto ho provato a fare un programmino che calcolasse la cosa.
Il risultato sembra essere che la gittata è massima per un angolo minore di
45.
In particolare sembra che aumentando la velocità di partenza del proiettile si
debba diminuire l'angolo per ottenere la gittata massima.
Mi riprometto di controllare meglio. Onestamente sono stato un po' sorpreso
quando mi è stato detto che un attrito proporzionale alla velocità non era un
buon modello.
Quale dovrebbe essere uno sviluppo più realistico? dovrebbe forse contenere
termini quadratici e cubici?
Ciao
  Paolo

Assumendo una forza di attrito proporzionale solo alla velocità
(F=hv), si trova che l'angolo per il quale si ha la massima gittata è
solamente proporzionale alla quantità adimensionale alfa=(h*V0)/(m*g);
dove V0 è la velocità iniziale del corpo, m la sua massa e g l'acc. di
gravità. Questa quantità adimensionale può essere considerato come il
numero di Froude per il sistema in questione.
Questo vuol dire che se raddoppi la massa e raddoppi la velocità
iniziale l'angolo di massima gittata non cambia; oppure non cambia se
dimezzi il coefficiente d'attrito viscoso e raddoppi la velocità
iniziale, ecc.
Con un semplice programma si trova la funzione f=f(alfa) che trova
l'angolo di massima gittata in funzione di alfa. Io l'ho tabulata e
graficata: assomiglia ad una funzione del genere pi/4-atan(alfa):
chiaramente vale 45° per alfa=0 (caso limite di attrito nullo).
Altri valori:
alfa      angolo di max gittata
0.05      44.34
0.10      43.71
0.20      42.53
0.30      41.44
0.50      39.49
1.00      35.59
2.00      30.25
3.00      26.64
5.00      21.91
10.0      15.83
Tale teoria ha applicazioni molto vaste nella costruzioni di modelli
prototipi in scala.

diletto ho provato a fare un programmino che calcolasse la cosa.
Ce l'hai gia` fatto e anche buono, e` GORILLA.BAS del
vecchio MS-DOS 6.22
I parametri di gioco sono infatti proprio velocita` e alzo.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 chiaramente vale 45° per alfa=0 (caso limite di attrito nullo).
Io ho proceduto per via analitica, e ho trovato una relazione tra
alfa e l'angolo. Se poniamo s = sin(angolo) si ha:
s = alfa / (-1 + exp([alfa*(1+alfa*s)/(s + alfa)]).
Questa equazione si puo' risolvere iterando, a partire da s 1/sqrt(2) (45 gradi).
I valori che trovo coincidono perfettamente coi tuoi.
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Mi potresti gentilmente indicare i passaggi per ottenere questa
funzione implicita dell'angolo di max gittata e alfa?
Io mi ero fermato alla funzione implicita f=f(angolo generico,x)=0 che
rappresenta la gittata. Devo porre che la derivata di x rispetto
all'angolo generico sia =0, per avere l'angolo di max gittata.
Ho provato col teorema di Dini ma non ho cavato un ragno dal buco.
Ho continuato col metodo numerico!
Grazie

 funzione implicita dell'angolo di max gittata e alfa?
I passaggi in tutto dettaglio spero nonsiano necessari, perche'
scrivere le formule sarebbe una pena...
Chiamando a l'angolo, dovresti aver trovato le espressioni x(a,t),
y(a,t).
Ponendo y(a,t) = 0 hai una relazione (1) tra a e t, che ti da' t come
funzione implicita di a.
Derivando:
0 = @y/@a + @y/@t * dt/da.
Annulliamo ora dx/da:
@x/@a + @x/@t * dt/da = 0
ed eliminando dt/da:
@x/@a - @x/@t * @y/@a / @y/@t = 0.
Questa e' una seconda relazione (2) fra a e t.
Eliminando t fra (1) e (2) ne risulta la relazione che ho scritto.
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