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Titolo: significato fisico dell'operatore densità

Salve,
un po' di tempo fa ho avuto il piacere di partecipare ad un istruttivo
confronto con alcuni utenti di questo ng sulla famosa domandona:
«la decoerenza risolve il problema della misura in MQ?»
Questo confronto, purtroppo, non ha condotto a delle conclusioni chiare
(probabilmente per limiti miei), sicché è rimasto un po' in sospeso. Qualche
giorno fa mi è venuta la curiosità di provare ad affrontarlo in modo un po'
più solido e rigoroso, e così mi sono preso un po' di testi con
l'intenzione di riprendere la MQ dalle basi, cercando di capire qual è il
nodo che produce tutti questi pareri discordanti, incomprensioni e
malintesi.
Ovviamente sarebbe eccessivo immaginare di poter ricostruire la MQ passo a
passo su un ng; ciò non toglie però che si possano individuare alcuni punti
critici e tentare di chiarirsi su quelli prima di affrontare il cuore del
problema.
In questo articolo vorrei affrontare il primo di questi punti critici che ho
individuato, e che consiste nell'analisi del significato fisico del
cosiddetto "operatore densità".
Vi chiederei dunque di seguire nei dettagli il mio approccio a questo
strumento matematico, cercando di mantenere passo a passo i "contatti" con
il significato fisico di quello che stiamo facendo, poiché ho il sospetto
che l'orgine di tutti i malintesi stia proprio in questa parte della teoria
quantistica.
STATI PURI
Supponiamo di avere un sistema fisico S isolato.
Se abbiamo una informazione "completa" sul modo in cui è stato "preparato"
il sistema, allora il suo stato fisico può essere rappresentato
matematicamente da un vettore |s> di uno spazio di Hilbert associato ad S.
Diciamo allora che S si trova in uno stato "puro".
Dato un generico "osservabile" rappresentato da un operatore autoaggiunto A,
il suo valore atteso è dato da:
     <A> = <s|A|s> = Tr(|s><s|A)
STATI MISCELATI E ENSEMBLE
Può accadere però che la nostra informazione sulla preparazione del sistema
non sia completa, ad esempio perché nel dispositivo che "prepara" S vi è un
elemento random. Supponendo, per semplicità, che l'elemento random possa
compiere una scelta casuale fra un numero finito di casi, possiamo
individuare una serie di stati puri:
     |s[1]>, |s[2]>, ... |s[k]> ... |s[n]>
ed affermare che S ha una probabilità p[k] di essere stato preparato nello
stato |s[k]>.
Quando sussistono queste condizioni diciamo che il sistema  si trova in uno
stato "miscelato".
E' opportuno chiarire che fra i vari stati |s[k]> non si ha alcuna
"interferenza", perché il sistema non si trova in una "sovrapposizione" di
quegli stati. Noi sappiamo che il sistema è sicuramente in qualcuno di
quegli stati puri, solo che non sappiamo in quale esso sia. Le probabilità
p[k] esprimono dunque la nostra "ignoranza" sullo stato del sistema, non una
proprietà intrinseca della sua dinamica, come avviene per le sovrapposizioni
quantistiche.
I fisici per esprimere questa "probabilità legata all'ignoranza" usano
spesso il concetto di "ensemble", nel senso che laddove un sistema può
trovarsi in diversi stati con una certa probabilità (ma è sicuramente in
qualcuno di quegli stati) si può immaginare di avere tante "repliche" di
quel sistema, e che il numero di quelle repliche (o, nel caso continuo, la
loro densità) esprima la probabilità associata ai vari stati possibili. Così
facendo si sostituisce un "conteggio" alla "probabilità".
Come sappiamo ci sono delle buone ragioni per fare uso dell'"ensemble",
tuttavia non vorrei che ci distogliesse dal significato fisico delle
grandezze che stiamo usando. Ricordo infatti che noi concretamente di
sistemi fisici ne abbiamo uno solo, e quel sistema fisico si trova
certamente in un certo stato quantistico (in quale a sua volta potrà essere
costituito da una certa sovrapposizione di "stati classici", ma questa è
un'altra faccenda).
Dunque se vogliamo nel seguito possiamo anche usare il concetto di
"ensemble", purché sia chiaro che se lo facciamo in realtà non stiamo
parlando di *molti* sistemi fisici, ma della nostra "ignoranza" dello stato
di un *singolo* sistema fisico, e del fatto che esso *è* certamente in un
qualche stato, anche se non sappiamo quale sia e sappiamo solo dire qual è
la probabilità che il sistema si trovi nei vari stati.
UNIFICAZIONE DEI DUE CASI: L'OPERATORE DENSITA'
Chiarito ciò, riprendiamo il nostro "osservabile" A e proviamo a chiederci
quale sia il suo "valore atteso". Se sapessimo con certezza che il sistema S
si trova nello stato |s[k]> allora potremmo dire che
     <A>[k] = <s[k]|A|s[k]> = Tr( |s[k]><s[k]| A )
Tuttavia il sistema può trovarsi in diversi stati, ognuno con una certa
probabilità, sicché:
     <A> = sum[k] ( p[k] Tr(|s[k]><s[k]| A) ) =
         = Tr ( sum[k] ( p[k] |s[k]><s[k]| ) A )
Introduciamo allora l'operatore densità del sistema S:
     rho := sum[k] p[k] |s[k]><s[k]|
dopodiché resta:
     <A> = Tr ( rho A )
Osserviamo che anche nel caso in cui il sistema si trovi in uno stato
puro |s> si può introdurre tale operatore ponendo:
     rho := |s><s|
D'altra parte questa è l'espressione che si ottiene per rho quando si
osservi che se il sistema si trova nello stato |s> allora è come dire che
esso si trova in |s> con probabilità 1 ed in tutti gli altri stati con
probabilità 0.
L'operatore rho ha alcune proprietà importanti. In particolare possiamo
osservare che le espressioni che abbiamo usato per definirlo sono tutte in
forma diagonale, sicché gli stati |s[k]> sono gli autovettori di rho
corrispondenti agli autovalori p[k], i quali sono sempre reali e positivi.
Ne segue, in particolare, che
     Tr(rho) = sum[k] p[k] = 1
Dunque i due casi possono essere trattati in modo matematicamente uniforme,
affermando che lo stato fisico di un sistema può sempre essere rappresentato
da un operatore autoaggiunto definito positivo con traccia unitaria.
(Avrei potuto risparmiarmi tutta questa faticaccia ed enunciare direttamente
il teorema di Gleason, ma per procedere ho bisogno di mantenere ben chiaro
il significato fisico delle grandezze matematiche che stiamo usando, perché
altrimenti poi sorgono i famosi malintesi quando si vanno ad affrontare
delle questioni più complesse.)
IL "PROBLEMA INVERSO": DA RHO ALLO STATO FISICO
A questo punto affrontiamo il "problema inverso": supponiamo di avere un
sistema S del quale conosciamo solo l'operatore rho associato al suo
stato, e vogliamo cercare di capire qualcosa del "significato fisico" di
questo stato.
Per prima cosa ci interessa sapere se il sistema si trova in uno stato
"puro" o "miscelato".
Se si trova in uno stato puro |s> esso deve poter essere espresso così:
     rho = |s><s|
il che è come dire che rho ha uno solo autovalore diverso da 0,
corrispondente ad un solo autostato, mentre tutti gli altri autovalori sono
degeneri e nulli.
Se invece gli autovalori diversi da 0 sono più di uno allora il sistema si
trova in uno stato miscelato.
Senza doverci calcolare autovalori ed autostati di rho possiamo moltiplicare
rho per se stesso, ottendo un operatore che in forma diagonale è dato dalla
seguente espressione:
     rho^2 = sum[k] ( p[k]^2 |s[k]><s[k]| )
Ora, poiché i valori p[k] sono tutti positivi e la loro somma deve dare 1,
essi sono tutti minori di 1 tranne nel caso in cui il sistema si trovi in
uno stato puro. Ne segue che
     p[k]^2 <= p[k]
da cui:
     Tr( rho^2 ) = sum[k] p[k]^2 <= 1
dove l'uguaglianza sussiste solo nel caso dello stato puro.
Dunque dato rho ciò che dobbiamo fare per sapere se il sistema si trovi o
meno in uno stato puro è moltiplicare rho per se stesso e calcolare la
traccia di tale prodotto. Se essa è pari a 1 il sistema si trova in uno
stato puro, altrimento esso è in uno stato miscelato.
Se si trova in uno stato miscelato noi sappiamo per certo che esistono degli
autovettori |s[k]> di rho tali che:
     rho = sum[k] p[k] |s[k]><s[k]|
e quando il sistema si trova in questo stato per un generico osservabile A
si ha
     <A> = sum[k] p[k]<A>[k]
che è esattamente l'espressione che si ottiene quando del sistema non
sappiamo in che stato si trovi, ma siamo *certi* che il sistema si trova in
qualcuno degli stati |s[k]>, e *non* in una loro "sovrapposizione".
Arrivato a questo punto chiederei ai gentili lettori che hanno voglia e
tempo di portare avanti questa chiacchierata di "fare il punto":
siamo tutti d'accordo che un sistema fisico si trova *sempre* in modo
*certo* in un qualche autostato di rho, anche quando Tr(rho^2)<1?
Se fino a qui siamo d'accordo, nei prossimi post prenderò in esame il caso
in cui il sistema S non sia isolato, ma interagisca con l'ambiente e -
soprattutto - col famigerato "strumento di misura".
A presto.
D.

 *certo* in un qualche autostato di rho, anche quando Tr(rho^2)<1?
Parto da una considerazione:
la rho in questione puo' essere composta di vettori non ortogonali, per cui
nella tua domanda il termine "autostato" è *sicuramente* sbagliato.
Prendiamo per esempio l'ensemble
{|s[1]> = |0>,
  |s[2]>= |0> + |1>/sqrt(2)}
con p[1]=p[2]= 1/2  .
In questo caso si potrebbe dire che lo stato "certo" ipotizzato da te possa
essere o |s[1]> o |s[2]>.
Ma c'è un problema: lo stesso operatore densità puo' essere ottenuto a
partire da ensemble diversi, per esempio la base ortogonale |0> e |1>, con
probabilità associate, ovviamente, diverse.
Per chiarirci ulteriormente le idee, prendiamo l'operatore densità I/2,
l'identità. Possiamo costruirlo a partire dalla base |0> ,|1> con
probabilità 1/2 associata ad ogni vettore, ma possiamo costruirlo anche a
partire da un ensemble che contiene *tutti* gli stati, con una densità di
probabilità associata costante che lascio a te calcolare. Dunque in questo
caso per trovare lo stato "certo" dovremmo decidere se cercare in un insieme
di 2 soli elementi oppure in un altro di infiniti elementi!
Già queste considerazione lasciano secondo me intuire che o il problema ( a
parte l'errore sulla parola "autostato) è  mal definito , oppure la risposta
è "no, non è detto che il sistema sia uno stato *certo*".
Mi fermo per il momento qui. Nel frattempo ci penso ulteriormente,
aspettando repliche al mio post.
Saluti,
unit

 sbagliato.
Sì, certo. Siccome sono proiettato sul problema del "collasso", penso sempre
in termini di "gatto vivo gatto morto" (che non è un film di Kusturica), e
stavo dando per scontato che i vettori |s[k]> fossero ortogonali fra loro.
Comunque devo ammettere che anche se ci limitiamo a prenderli ortogonali il
problema che segnali tu emerge ugualmente, perché l'operatore rho potrebbe
avere alcuni autovalori uguali; in quel caso si ha un autospazio degenere,
sicché la scelta degli autovettori è arbitraria.
Dunque a prescindere dal fatto che gli |s[k]> siano ortogonali fra loro o
meno, in genere l'operatore rho può essere ottenuto come miscela *in diversi
modi*.
Questo è il problema che tu giustamente segnali.
Sia dunque:
     rho = sum[k] p[k] |s[k]><s[k]| = sum[k] p'[k] |s'[k]><s'[k]|
Tu dici che se fosse valida l'argomentazione che ho esposto nel mio primo
post allora potremmo dire *sia* che il sistema deve essere necessariamente
in uno degli stati |s[k]>, *sia* che esso deve essere in uno degli
stati |s'[k]>.
Sembra proprio che ciò non possa essere vero.
Proviamo allora ad "aggiustare il tiro".
Noi sappiamo che quando
     rho = sum[k] p[k] |s[k]><s[k]|
allora, dato un *qualunque* osservabile A si ha:
     <A> = sum[k] ( p[k] <A>[k] )
ed anche:
    P(a) = sum[k] p[k] P(a[k])
Dunque qualunque osservazione facciamo sul sistema esso si comporta a tutti
gli effetti *come se* fosse un sistema che è stato preparato in uno degli
stati "puri" |s[k]>, rispettivamente con probabilità p[k].
In altri termini, se io affermo che il sistema si trova in uno di quegli
stati, non c'è nessun esperimento che tu possa fare per dimostrare che ciò
non è vero.
D'altra parte tu osservi che non c'è nemmeno un esperimento che possa
dimostrare che non si trova *anche* in uno degli stati |s'[k]>.
Ed evidentemente le due cose non sono compatibili.
Qual è allora lo stato di questo sistema, che si comporta a tutti gli
effetti come se fosse in uno degli stati |s[k]> ed anche come se fosse in
uno degli stati |s'[k]>?
(E' una domanda importante, perché se, ad esempio, gli stati |s[k]> fossero
gli autostati di un osservabile, noi potremmo dire che rispetto a quella
osservabile il sistema non può mai presentare delle interferenze, e quindi
è del tutto equivalenete ad un sistema "classico". E se poi consideriamo il
caso limite in cui tutti gli "osservabili" che sono "veramente osservabili"
commutano fra di loro, allora il nostro sistema è del tutto equivalente ad
un sistema che si trovi in qualche stato classico, del quale semplicemente
ignoriamo quale sia questo stato. Tutto ciò lo lascio fra parentesi, perché
è una anticipazione del problema della misura e del suo rapporto con la
decoerenza.)
Dunque, abbiamo questa strana condizione:
1) gli stati |s[k]> non producono interferenze, e da questo punto di vista
il sistema si comporta come se fosse in uno di questi stati, sebbene noi
ignoriamo quale sia;
2) d'altra parte dagli stati |s[k]> si può passare agli stati |s'[k]> (i
quali possono anche non essere ortogonali fra loro) e da questo punto di
vista dovremmo escludere che il sistema si possa trovare in uno specifico
stato puro |s[k]> o |s'[k]>.
Dobbiamo ammettere, allora, di essere di fronte ad un nuovo tipo di
"sovrapposizione".
Osserviamo che il primo tipo di sovrapposizione, quella che produce le
interferenze, dipende dalle fasi relative dei vettori che vengono
sovrapposti. Invece nel nostro caso non c'è questa dipendenza: se si
moltiplica uno qualunque dei vettori |s[k]> per un fattore di fase il
prodotto |s[k]><s[k]| resta immutato, e dunque resta immutato anche rho.
D'altra parte questo era prevedibile: proprio perché non produce
interferenze, questo tipo di sovrapposizione non può dipendere dalle fasi
relative.
Dunque abbiamo due tipi di sovrapposizione di stati puri:
1) una sovrapposizione di stati puri che produce interferenze, dipende dalle
fasi relative e lascia il sistema in uno stato "puro";
2) una sovrapposizione di stati puri che non produce interferenze, non
dipende dalle fasi relative e pone il sistema in uno stato "miscelato".
Possiamo definire "coerente" il primo tipo di sovrapposizione e "decoerente"
il secondo tipo (proprio in considerazione del fatto che essa dipenda o meno
dalle fasi relative).
Però resta il problema che ponevo poco fa: il fatto che un sistema fisico
che si trova in una "sovrapposizione decoerente" di stati puri non sia
fisicamente distinguibile da un sistema che differisce dal primo per il
fatto che *è* in uno di quegli stati (anche se non sappiamo in quale), non
significa che i due sistemi sono fisicamente la "stessa cosa"?
Ma il problema potrebbe anche essere ribaltato: quando abbiamo detto che il
sistema era stato preparato in modo random in un certo stato puro, anche se
noi non sapevamo quale, non avremmo forse dovuto dire che a causa di questa
"indeterminazione" il sistema non era andato a finire in nessuno stato puro,
ma si era andato a collocare fra le "soprapposizioni decoerenti" di stati
puri?
(Altra "anticipazione": chi ci dice che quelli che siamo abituati a definire
"sistemi classici" non siano in realtà delle "sovrapposizioni decoerenti" di
stati puri, tutti presi entro i limiti di precisione dei nostri strumenti, i
quali a loro volta si trovano anch'essi in "sovrapposizioni decoerenti" di
stati che vengono "misurati" dall'ambiente?)
Ciao.
Davide

significa che i due sistemi sono fisicamente la "stessa cosa"?
Questione spinosa, che non ha necessariamente una risposta
univoca. Dato che non c'e` modo di verificare, ognuno puo`
pensarla come vuole. Personalmente uso il rasoio di Occam, ma
non e` detto che sia sempre a favore dell'equivalenza tra
indistinguibilita` e identita`. Dipende da quanto bisogna
complicare la teoria per far si' che due stati che la teoria
vorrebbe diversi siano invece uguali.
Faccio un esempio. Lancio una moneta un gran numero N di
volte e scrivo su un foglio la sequenza di teste e croci. Il
foglio viene inserito in un apparato che produce un fascio
(debolissimo) costituito da N particelle a spin 1/2 (diciamo
atomi d'argento) con lo spin perpendicolare alla direzione
del fascio e con un angolo con la verticale che dipende dalle
teste e croci; per ogni testa viene emessa una particella con
un angolo di spin pari ad alfa, per ogni croce una particella
con angolo pari ad alfa+PI/2. L'angolo alfa e` uguale per
tutte e scelto a caso una tantum dall'apparato stesso.
Otterremo quindi un insieme disordinato di circa N/2
particelle con angolo di spin alfa e N/2 con alfa+PI/2.
Naturalmente, non c'e` esperimento al mondo che consenta di
misurare alfa: la matrice di densita` e` perfettamente
simmetrica.
Domanda: alfa esiste nel fascio? Si potrebbe rispondere di
no. C'e` pero` quel foglio di carta... con quel foglio in
mano e` possibile distinguere le particelle con angolo alfa
da quelle con angolo alfa+PI/2 e quindi misurare alfa. Allora
qualcuno pensera`: l'informazione non e` nel fascio, e` nel
foglio. Mica vero: ho prodotto a caso le teste e croci prima
ancora che l'apparato scegliesse alfa. La sequenza di teste e
croci sarebbe stata la stessa per qualunque alfa, inoltre si
potrebbe riutilizzare lo stesso foglio per produrre M->+oo
insiemi di N particelle con angoli alfa diversi:
l'informazione non e` certo nel foglio. Si puo` allora
argomentare che il foglio consente non di misurare una
grandezza fisica, ma di generare un numero senza significato,
perche' nessuno potra` mai dimostrare che quel numero
corrisponde a qualcosa di fisico. Strano pero` che gli angoli
"senza senso" così misurati coincidano con quelli usati
dall'apparato... forse allora un senso fisico ce l'hanno?
Aggiungo anche che, se il foglio fosse sostituito da uno falso
con tutte le teste e le croci messe a casaccio, lo
sperimentatore che tentasse di misurare alfa con quel foglio
avrebbe ottime probabilita` di accorgersi dell'imbroglio,
perche' in generale le particelle selezionate non
evidenzierebbero un angolo di spin preferenziale.
Ora ognuno pensi quel che vuole...
Ciao
Paolo Russo

 simmetrica.
Dove ho sbagliato?
A presto.
D.

conticini, e la tragedia è che essi sembrano confermare la mia intuizione.
Oops! Che sgarrone imperdonabile, grazie della correzione.
L'offset doveva essere PI, non PI/2. Chiedo venia.
Per quanto riguarda il nuovo thread, non ti garantisco
commenti rapidi, prima devo trovare il tempo di leggere...
Ciao
Paolo Russo

 L'offset doveva essere PI, non PI/2. Chiedo venia.
Ah, ecco, adesso ho capito.
Effettivamente in questo caso non è possibile calcolare l'angolo alpha
facendo degli esperimenti con il fascio di elettroni, sicché esso, nel suo
insieme, non possiede più quella informazione.
Tu osservi tuttavia che se uno usa quel foglietto di carta su cui è scritta
la sequenza di "testa" e "croce" allora diventa nuovamente possibile
calcolare alpha, sicché quella informazione che è venuta a mancare dal
fascio in qualche posto c'è ancora, e precisamente sul foglietto.
Devo ammettere che mi ha sottoposto proprio un bel "caso", tuttavia ho
l'impressione che il "mistero" in qualche modo possa essere risolto
osservando che se tu usi il foglietto allora non stai facendo *un*
esperimento di MQ, *ma* ne stai facendo *due*.
Dipende quindi se il singolo elettrone lo vuoi considerare come un elemento
di un insieme che costituisce un solo esperimento, oppure se lo vuoi
considerare come elemento di uno o l'altro di due distinti esperimenti.
In questo non c'è nulla di "strano", perché se tu stai facendo una indagine
statistica i cittadini europei li puoi considerare come appartenenti ad una
unica popolazione , ed in quel caso otterrai dei riassunti statistici per
quella popolazione, oppure li puoi distinguere per nazionalità, ed allora
otterrai delle correlazioni che nel caso precedente sarebbero
inevitabilmente andate perse.
Per chiarire meglio cosa intendo cerchiamo di capire come si realizza
concretamente il tuo esempio.
Per poter ottenere degli elettroni polarizzati in una certa direzione
occorrono dei "filtri di spin", nei quali entrano elettroni con uno spin
qualunque ed escono solo quelli orientati in un certo modo nel piano
perpendicolare alla direzione del fascio.
(Un modo semplice di costruire un tale dispositivo è quello illustrato da
Feynman nel capitolo 5 delle sue "lectures" di MQ. Si tratta - come
probabilmente sai - di tre dispositivi di Stern-Gerlach posti in
successione, con quello al centro che ha una lunghezza doppia dei due posti
alle estremità, ed inoltre è allineato al contrario. All'interno del
dispositivo il fascio prima si separa e poi torna a collimare, sicché è
sufficiente porre uno schermo in corrispondenza di uno dei due fasci per
avere solo elettroni che si trovano in uno dei due autostati della
proiezione dello spin nella direzione definita dal dispositivo.)
PRIMO ESPERIMENTO: DIREZIONE INCOGNITA FISSA
Disponiamo uno di questi filtri all'inizio del fascio, in modo tale che esso
per noi sia una "scatola chiusa", sicché non sappiamo quale sia la direzione
dello spin degli elettroni.
Dunque gli elettroni che costituiscono il fascio uscente hanno tutti lo spin
orientato nella stessa direzione che forma una angolo alpha rispetto alla
verticale, ma non sappiamo quale sia questa direzione.
Possiamo calcolare questo angolo alpha ponendo, al solito, un dispositivo di
Starn-Gerlach lungo il fascio con dietro due contatori.
Dal momento che la sorgente, come dici tu, è molto debole, gli elettroni
escono dal filtro uno alla volta, e per ogni elettrone possiamo andare a
vedere se finisce nel contatore superiore o in quello inferiore. Scriviamo
quindi su un file una fila di "1" e di "0", a seconda che l'elettrone che è
entrato o meno nel filtro superiore. Otteniamo così un file di questo
genere:
     0, 1, 1, 0, 0, 1, ...
A questo punto ci basta calcolare la frequenza relativa degli "1" per
ottenere alpha nel solito modo:
     N[+]/N = cos^2(alpha/2)
SECONDO ESPERIMENTO: DIREZIONE INCOGNITA FISSA INVERTITA
Supponiamo ora di ripetere l'esperimento facendo ruotare di un angolo piatto
il filtro che "prepara" gli elettroni, sicché l'angolo ora è
     alpha' = alpha + pi
Anche in questo caso possiamo analizzare il fascio usando un dispositivo di
Stern-Gerlach con due contatori dietro, e stampando il solito file:
     0, 0, 1, 0, 1, ...
dopodiché la frequenza relativa dei due eventi ci fornisce asintoticamente
il valore di alpha'.
TERZO ESPERIMENTO: SCELTA RANDOM FRA LE DUE DIREZIONI
Bene, adesso cerchiamo di capire in cosa differisce il tuo esperimento da
quelli che ho appena illustrato.
Tu dici che non tutti gli elettroni escono con lo spin diretto nello stesso
modo, ma possono avere due direzioni possibili, una delle quali è opposta
rispetto all'altra.
Come facciamo, fisicamente, ad ottenere questo risultato?
Dobbiamo porre all'inizio del fascio *due* filtri in sequenza, uno dei
quali ha direzione opposta rispetto al primo. Dopodiché, a seconda che sia
venuto testa o croce, dobbiamo azionare uno solo dei due filtri, mentre
l'altro deve restare non operativo.
(Direi che concretamente ciò può essere ottenuto sostituendo i magneti dei
dispositivi di Stern-Gerlact con degli elettromagneti, e disponendo un
interruttore che fa circolare la corrente solo in uno dei due
elettromagneti.)
Supponendo di avere un foglio su cui sono scritte una fila di "T" e di "C",
abbiamo bisogno di un altro dispositivo che esegue il seguente "loop":
1) rileva la produzione di elettrone da parte della sorgente;
2) aziona uno dei due filtri a seconda che la testina di lettura si trovi su
    "T" o "C";
4) rileva se l'elettrone esce dal filtro azionato: se esce sposta la testina
    di lettura sul carattere successivo, altrimenti lascia la testina sul
    carattere appena letto.
Mentre il nostro dispositivo di controllo aziona alternativamente i due
filtri e ci invia degli elettroni sul fascio, noi al solito siamo
"appostati" con un dispositivo di Stern-Gerlach e due contatori, e stampiamo
la solita successione di "1" e di "0" a seconda che l'elettrone sia finito
nel contatore in alto o in basso.
Alla fine dell'esperimento prendiamo il foglio con le "T" e le "C" e lo
confrontiamo con quello che abbiamo stampato noi, ponendo una accanto
all'altra le informazioni che riguardano lo stesso elettrone ed ottenendo
qualcosa del genere:
     T     0
     T     1
     C     0
     T     1
     C     0
     C     1
     C     0
     T     0
     T     0
     C    1
     T     1
     ...    ...
Che cosa abbiamo fatto, *fisicamente*?
Ricordiamo che quando viene azionato uno dei due filtri, l'altro è "spento",
e gli elettroni lo attraversano come se non ci fosse. Dunque quando viene
"T" si realizza una "preparazione" che è assolutamente identica a quella di
uno dei due esperimenti che ho illustrato precedentemente, e quando invece
viene "C" si realizza una "preparazione" che è assolutamente identica a
quella dell'altro esperimento.
Ma allora tu, con questo complicato dispositivo, non fai altro che
realizzare *due esperimenti distinti*, con la ulteriore complicazione che
consiste nell'aver "rimescolato" i dati dell'uno con quello dell'altro.
Infatti se dividi i dati riportati nelle precedenti colonne affiancate in
due files, uno dei quali contiene solo i dati "T" mentre l'altro contiene
solo i dati "C", tu ti riconduci esattamente nelle condizioni in cui trovi
quando esegui i due esperimenti separatamente, ed ottieni esattamente gli
stessi valori di alpha e di alpha' che avevi ottenuto eseguendo i due
esperimenti separatamente.
E' evidente allora perché se getti via il file delle "T" e delle "C" non sei
più in grado di calcolare alpha ed alpha'. In tal caso, infatti, è come se
tu, dopo aver rimescolato i dati di due esperimenti, avessi perso le
informazioni sul modo in cui essi sono stati rimescolati.
Ciao.
D.

informazioni sul modo in cui essi sono stati rimescolati.
Non riesco a capire bene questa obiezione. Se stai sostenendo
che non si puo` parlare delle proprieta` di quel fascio come
sistema perche' "in realta` e`" due sistemi, non finisci
cosi' con l'attribuire a quel fascio una proprieta` non
misurabile, cioe` l'essere una somma di due sistemi, o se
preferisci il risultato di due esperimenti mescolati? Con
cio` non solo concorderesti con me sulla possibile esistenza
di proprieta` non misurabili, ma arriveresti a ipotizzarne
una che lascerebbe perplesso anche me, perche' non saprei
neanche come esprimerla in termini di MQ. Di certo non
intendi questo, ma allora non capisco...
Ciao
Paolo Russo