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Titolo: La torre dei gemelli

Il gemello A si trova alla base della torre dove il suo orologio va più 
lentamente di quello del gemello B che sta in cima.
 
La distanza AB nel riferimento del gemello A è maggiore, minore o 
uguale alla stessa distanza misurata nel riferimento del gemello B?
 
Seconda domanda: se c'è un segnale luminoso che va da A a B e ritorno 
riflettendosi su 2 specchi posti in A e in B, il tempo di andata e 
ritorno (da A a B e da B ad A) misurato dall'orologio del gemello A è 
maggiore, minore o uguale al tempo misurato da B per il percorso da B 
ad A e da A a B?

 minore o uguale al tempo misurato da B per il percorso da B ad A e da A a B?
 
E ha risposto così alla seconda domanda.
 
La tua seconda domanda (in pratica chiedendo se le misure (d) e (e) 
sopra danno risposte diverse) ha una risposta ben definita: sono 
diversi L'osservatore nella parte inferiore della torre (A) misura un 
tempo più breve (più veloce "ticking rate") sul suo orologio locale 
rispetto all'osservatore in cima alla torre (B) le misure sul suo 
locale orologio.
 
La differenza che poni nella tua seconda domanda è in effetti 
misurabile sperimentalmente con i satelliti GPS. Questi trasmettono a 
segnale che (semplificando un bit) è modulato a 10.22999999543 MHz come 
misurato dagli orologi atomici di bordo dei satelliti. Come ricevuto 
sulla Terra, il segnale è (trovato) modulato a (il tasso più veloce) 
10.23 MHz misurati dagli orologi atomici della superficie terrestre. 
Vedere
https://link.springer.com/article/10.12942/lrr-2003-1#Sec5
 
(in particolare figura 2 e il testo immediatamente successivo) per 
dettagli.
 
Cosa ne pensate di queste risposte? Sono corrette?

 sopra danno risposte diverse) ha una risposta ben definita: sono diversi
 
Corretto.
 
Quello che segue non lo capisco bene, ma probabilmente per colpa della 
traduzione :-)
 
 
-- 
TRu-TS
buon vento e cieli sereni

 Corretto.
 
Cioè (tu dici) è corretto affermare che il tempo <tA> misurato da A è 
*diverso* dal tempo <tB> misurato da B.
 
E poiché la distanza AB giusta (hai detto) è una sola (
) per 
entrambi i gemelli, allora la velocità vA del raggio luminoso (valutata 
da A) è uguale a s/tA e, pertanto, è diversa dalla velocità vB del 
raggio luminoso valutata da B, che è uguale a s/tB.
 
Mi pare che siano pure e semplici valutazioni razionali senz'alcuna 
forzatura, giusto?

 forzatura, giusto?
 
No. La forzatura c'e' e consiste nell'applicare un teorema a un caso in 
cui le sue ipotesi non sono vere. E' come misurare due lati di un 
triangolo equilatero, e stupirsi perche' la somma dei loro quadrati non 
e' il quadrato del terzo lato.
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 decrescente) hanno un asintoto orizzontale comune al valore c.
 
Come ho detto, non ci sono tempi intermedi, solo quelli della partenza 
e del ritorno, ben definiti in ambito locale (partenza e ritorno).

 Ma cosa cambia?
 
"COSA CAMBIA"?
 
Cosa cambia fra un triangolo rettangolo e un triangolo equilatero?
 
Nulla: hanno entrambi tre lati e tre angoli, ne convieni?
 
Quindi, se il teorema di Pitagora vale per il primo, deve valere anche 
per il secondo, no?
 
Eppure no: l^2+l^2 NON fa l^2.
 
Come mai?
 
Spiegalo tu.
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 componente orizzontale, anche curvano.
 
Ok, ma non stiamo parlando di "oggetti" bensì di segnali luminosi tipo 
orologi a luce che non hanno componenti orizzontali perché viaggiano in 
perfetta verticale.
 
Quindi niente "curvature".
 
E l'accelerazione? Accelerano i raggi luminosi?

 E l'accelerazione? Accelerano i raggi luminosi?
 
No.
 
Ma dalle risposte che stai dando vedo che non afferri affatto il punto 
centrale. Stai applicando in un sistema non inerziale un teorema valido 
nei sistemi inerziali. E quindi ottieni risultati errati.
 
Tu assumi che la velocita' di andata e ritorno di un lampo di luce sia 
definita come
 
(1) v = 2 Delta_s/Delta_t,
 
dove Delta_s è la distanza fra un orologio e uno specchio (misurata con 
un metro), e Delta_t l'intervallo di tempo, misurato dall'orologio, fra 
l'emissione di un lampo dall'orologio e l'arrivo all'orologio del lampo 
riflesso. Ma se orologio e specchio sono a diverso potenziale 
gravitazionale questa definizione e' autocontraddittoria, perche' 
invertendo orologio e specchio il risultato cambia. Per questo si usa 
una definizione diversa (e sempre coerente):
 
(2) v = 2 ds/dt = lim_(Delta_s -> 0) 2 Delta_s/Delta_t.
 
Che la (1) dia, IN CERTI CASI, lo stesso risultato della (2), e' un 
TEOREMA, per dimostrare il quale si deve ipotizzare che un altro 
orologio posto fra orologio e specchio, e sincronizzato con il primo, SI 
MANTENGA SINCRONIZZATO indefinitamente. Cosa vera solo se i due orologi 
sono allo stesso potenziale gravitazionale.
 
Ma nel problema che hai posto, "Il gemello A si trova alla base della 
torre dove il suo orologio va più lentamente di quello del gemello B che 
sta in cima." L'orologio A non "va piu' lentamente", ma non mantiene la 
sincronizzazione con l'orologio B. Stai applicando un teorema al di 
fuori delle sue ipotesi.


 (2) v = 2 ds/dt = lim_(Delta_s -> 0) 2 Delta_s/Delta_t.
 
Ok, e mi sapresti dire se la frequenza del segnale luminoso misurata in 
A è minore, uguale o maggiore di quella misurata in B?

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Certo che saprei.
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