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Titolo: Domanda facile

Vi sento parlare della relatività di Einstein. Spero mi compatiate. Spero
anche che nessuno abbia mai posto questo quesito.
Dunque, qual è la legge che lega il tempo di durata in volo e la velocità al
momento del tiro di un pallone lanciato in aria con traiettoria
perfettamente verticale tenendo conto anche dell'attrito del mezzo?
Un grazie a chi mi dedicherà il suo tempo.

Giovanni (Roma)
=-> Insufficient data does not compute.

 perfettamente verticale tenendo conto anche dell'attrito del mezzo?
Soluzione ruspante, credo si possa fare di meglio.
Per numeri di reynolds compresi fra 1000 e 100000, la resistenza
aerodinamica di una sfera e` circa pari a 1/2 rhoa V^2 S Cr dove rhoa e`
la densita` dell'aria, V la velocita`, S la sezione della sfera (R^2 *
pi) e Cr il coefficiente di resistenza, che per sfere lisce vale circa
0.45. 
L'equazione differenziale che descrive il movimento (in salita) e` 
dV/dt= - g - rhoa V^2 Cr pi D^2 / (8 mp) = - g - a V^2  (1)
dove V e` la velocita`, t e` il tempo, g l'accelerazione di gravita`,
roha la densita` dell'aria, Cr il coefficiente di resistenza della sfera
(circa 0.45, adimensionato), D il diametro del pallone, mp la massa del
pallone. Suppongo che la coordinata verticale sia positiva verso l'alto,
e quindi V positive dirette verso l'alto. Per un pallone da calcio, con
aria "media", a vale circa 0.025 m^-1
L'equazione differenziale e` a variabili separabili, e devi integrare
per V che va da V0, velocita` iniziale, fino a 0 (quando e` al massimo
dell'altezza), e questo ti da` il tempo di salita. 
Se vuoi sapere anche l'altezza a cui arriva (serve dopo) puoi riscrivere
l'equazione di sopra, indicando l'accelerazione in funzione dello spazio
al posto che del tempo. Cioe` al posto di scrivere dV/dt = .... scrivi 
V dV/dy = - g - rhoa V^2 Cr pi D^2 / (8 mp) = - g - a V^2         (2)
Anche questa e` a variabili separabili e ti da` l'altezza massima
ragiunta dal pallone se integri  come prima fra V0 e 0. y e` la
coordinata verticale.
Nella discesa l'espressione cambia un segno, perche' la forza di
gravita` e` sempre diretta verso il basso, ma la resistenza dell'aria e`
verso l'alto(opposta al moto). 
L'equazione da risolvere e` 
dV/dt= - g + rhoa V^2 Cr pi D^2 / (8 mp) = - g + a V^2   (3)
ancora come la precedente, ma questa volta l'integrale della velocita`
deve essere calcolato fra 0 (inizio della caduta), e la velocita` che ha
il pallone quando tocca terra (e ha valore negativo). Il termine
incognito e` il tempo di caduta, che si ricava dall'integrale di dt.
Per trovare la velocita` finale di caduta, si deve risolvere di nuovo 
V dV/dy = - g + rhoa V^2 Cr pi D^2 / (8 mp) = - g + a V^2  (4)
questa volta conoscendo lo spazio e calcolando la velocita` per y=0.
Sapendo la velocita` finale la si usa come estremo di integrazione in
(3) e si ha il tempo di discesa. Sommi i risultati di (1) e (3) e hai il
tempo di volo totale.
Problemi di questo genere li trovi sui libri di Banks, il primo dei
quali si chiama "towing icebergs, falling dominoes", princeton
university press.
Resta solo una questione: chissa` quanti errori ho fatto?
PS: ho fatto una prova numerica: un pallone da calcio, con velocita`
iniziale di 20 m/s ha un tempo di salita e` di circa 1.6 s, e l'altezza
massima arriva a 14 m circa, da confrontare con una altezza massima di
circa 20.4 m in assenza di aria e un tempo di salita di circa 2 s. 
La discesa da 14 m termina con una velocita` di impatto al suolo di
circa 14 m/s e impiega 1.8 s a tornare giu`. Il tempo totale e` quindi
3.4 s. In assenza di aria la caduta da 14 m avrebbe richiesto 1.7 s e la
velocita` finale sarebbe stata di circa 16.6 m/s.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

...

La legge del moto uniformemente accellerato tralasciando attriti
dovuti all'aria. S(spazio)= V(iniziale)+1/2 A(accellerazione)* (T
(tempo))^2

 dovuti all'aria. 
Ma se chiede esplicitamente il *tempo* e di *considerare* gli attriti
dovuti all'aria, perche' rispondi con una relazione che fornisce lo
*spazio*, *trascurando* gli attriti?
CIao


Franco wrote:
Nel messaggio precedente ho dimenticato due piccole cose:
1) perche' rispondi con una relazione *sbagliata*...
2) Un sorriso :-) alla fine della mia domanda. 
Gia` che ci sono spiego perche' la relazione e` sbagliata. 
Le dimensioni della relazione non funzionano. Se il risultato della
somma e` uno spazio, i due addendi a destra dell'uguale devono essere
anche degli spazi. a*t^2 e` uno spazio, ma viene sommato a una
velocita`, e questo non e` corretto. 
Ciao


 dell'altezza), e questo ti da` il tempo di salita.
Ho sicuramente fatto un errore, ma a me viene una funzione tale che per
quanto sia forte il tiro il pallone resta in aria in salita per non più di 3
secondi.
Dove sbaglio?

 Ciao
Con 'S' Intendevo la y del pallone. a*t è uno spazio ,esatto, e viene
sommato a Viniziale * t Che è anch'esea uno spazio . Scusami forse nel
mes. prec. ho sbagliato a battere. N#N# Una domanda : perchè io mi
veda i piedi co uno specchio che parte dall'altezza degli occhi,
secondo te quanto deve essere grande quest'ultimo? Leggi sulla
riflessione...

 Dove sbaglio?
Da nessuna parte. Quello e` il risultato dell'equazione. L'errore e` nel
non tenere conto dei limiti di validita` del modello di attrito di tipo
quadratico con la velocita`. Si dovrebbe, per le varie velocita` (e
quindi per i vari numeri di reynolds) cambiare il coefficiente di
resistenza Cr. 
Hai notato che le soluzioni del problema, se portate all'estremo, dicono
che il tempo di salita e` limitato mentre non lo e` l'altezza? E questo
dovrebbe far riflettere sul fatto che quando si scrive una equazione,
quasi sempre si usa un modello matematico, che ha delle approsimazioni e
dei limiti di validita`.
Ciao!


 riflessione...
Se puoi orientare lo specchio, basta uno specchio da borsetta: lo metti
vicino agli occhi e lo inclini per vedere i piedi. 
Se invece sei in piedi, e lo specchio e` verticale, allora deve essere
lungo la meta` circa della distanza fra occhi e piedi.


 resistenza Cr.
Ecco, giusto per completezza mi potresti dire cos'è il numero di reynolds e
come dipende dalla velocità?
Grazie, ciao.

 (L. Wittgenstein)
--
Ciao, Gian Paolo
"Don't worry about your difficulties in mathematics;
I can assure you that mine are still greater." A. Einstein

 come dipende dalla velocità?
Il numero di Reynolds e` un parametro adimensionato che da` una
indicazion del tipo di flusso del fluido che si ha intorno a un oggetto.
Per bassi numeri di Reynolds il flusso e` laminare, mentre per valori
elevati (mi pare che la transizione sia intorno a Re=2300), il flusso e`
turbolento. 
Il numero di Reynolds e` definito come 
Re= rho V D/mu 
dove rho e` la densita` del fluido, V la velocita` del fluido, D la
dimensione caratteristica del sistema (legata al diametro del pallone) e
mu la viscosita` del fluido. 
Qui sotto ci sono un po' di link dove puoi trovare altro materiale. 
Il primo e` uno studio dell'equazione fatto su mathematica, con commenti
vari. 
http://www.ma.iup.edu/projects/CalcDEMma/drag/drag.html
Questo invece e` un classico rapporto della naca (antesignana della
nasa) sul numero di reynolds delle sfere. E` interessato ai valori alti,
(quasi 10^6) dove intervengono degli altri fenomeni di turbolenza e la
resistenza scende.
http://naca.larc.nasa.gov/reports/1935/naca-tm-777/naca-tm-777.pdf
Infine qui trovi i grafici del coefficiente di resistenza in funzione
del numero di Reynolds.
http://www.princeton.edu/~asmits/Bicycle_web/blunt.html
Ciao
