Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Pendolo

Ciao ng
nella descrizione del moto del pendolo l'equazione e'
 d^2\theta / dt^2 + \omega^2*sin(\theta). Se cerciamo il periodo delle
piccole oscillazioni si puo' sviluppare il seno in serie al primo
ordine e si ottiene un'equazione diff ordinaria. Questa vale sono se
l'angolo e' minore di 10°. Ma se si vuole avere il periodo di
qualsiasi oscillazione? Come si risolve l'equa. differenzaile? Il prof
a lezione ha accennatto alle equazioni ellittiche ma non ha detto
altro.
Qualcuno ha del materiale in rete oppure ha voglia di abbozzare una
spiegazione? Non necessariamente rigorosa :)
Grazie Neo

 altro.
<modo_polemico_on>
Quello di accennare alle *funzioni*  ellittiche e'  un malvezzo che mi 
piacerebbe non sentire cosi'  spesso come mi succede: o si prova a 
spiegare qualcosa oppure equivale a nascondersi dietro il "latinorum" 
dei nomi di funzioni speciali che non aiuta nessuno a capire qualcosa di 
piu'.
Tanto piu'  che non sarebbe poi cosi'  complicato spendere una mezz' 
ora a dare qualche informazione realmente utile.
<modo_polemico_off>
Un modo standard per cercare le soluzioni di un'  eq. diff. e'  di usare 
l'  eq. come "generatrice"  dello sviluppo in serie della soluzione.
L'  esempio dell'  oscillatore armonico (caso delle piccole 
oscillazioni)  e' abbastanza istruttivo e serve a capire come muoversi 
nel caso piu'  complicato del pendolo fisico.
Partiamo dall'  eq. diff.:
  d^2\theta / dt^2 = - \omega^2*\theta
Se conosciamo \theta(0) e d \theta / dt (0)   l'  equazione, valutata 
a t=0  ci da'  il valore di d^2\theta / dt^2.  Se deriviamo l' 
equazione rispetto a t  otteniamo d^3\theta / dt^3  in funzione di d 
\theta / dt (0)  (noto). La derivata ulteriore dell'  eq.  connette il 
valore di d^4\theta / dt^4  a quello di d^2\theta / dt^2 (0)  e cosi' 
via, ogni derivata ulteriore (nell'  origine)  viene ad essere collegata 
ad una derivata (gia'  calcolata)  di due ordini inferiore.
In tal modo,  a fronte dell'  indipendenza delle condizioni iniziali 
\theta(0) e d \theta / dt (0), si possono costruire due serie 
indipendenti di x  che soddisfano l'  equazione. Un'  analisi dei 
coefficienti delle due serie permette di verificare che si tratta delle 
serie per sin(omega t)  e cos(omega t).  Questo perche'  conosciamo l' 
espansione in serie di potenze di sin(t)  e cos(t).
In generale la relazione per i coefficienti potra'  essere piu' 
complicata ma,  se riusciamo a determinare i coefficienti delle due 
serie (soluzioni)  indipendenti abbiamo definito per serie due funzioni 
indipendenti che risolvono l'  equazione con determinate condizioni 
iniziali.
Dopo,  dipendera'  da quanto siamo bravi nello studio di funzioni 
definite mediante serie per scoprire le proprieta'  delle funzioni cosi' 
  definite. Ma anche senza uno studio dettagliato di queste funzioni, 
le serie ne permettono il calcolo numerico.
Che poi queste serie abbiano nomi esotici come funzioni ellittiche  o 
altro,  non ha molta importanza pratica.
Giorgio

Neo wrote:

E' piu' conveniente partire dall'energia, 
E = 1/2 (d\theta/dt)^2 + 2 \omega^2 \sin^2(\theta/2)
e risolvendo rispetto a (d\theta/dt):
d\theta/dt = +/- \sqrt{2(E-2\omega^2 \sin^2(\theta/2) )}
Questa equazione del primo ordine si puo' risolvere direttamente, ottenendo
l'integrale (ho scelto il segno positivo per d\theta/dt)
T/4 = \int_0^{\theta_{max}} d\theta/\sqrt{2(E-2\omega^2 \sin^2(\theta/2) )}
dove \theta_{max} e' l'angolo massimo, che corrisponde al valore che annulla
l'argomento della radice quadrata. Cambiando variabile ci si riduce ad un
integrale ellittico di prima specie, vedi l'equazione (1) in
http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html
Utilizzando l'identita' (29) al link precedente si trova l'espressione per
il periodo
T = 4/\omega K( \sin(\theta_max/2) )
(K(x) e' l'integrale ellittico completo di prima specie). All'ordine piu'
basso in x K(x) = Pi/2  e si ritrova il risultato valido per piccole
oscillazioni.
Spero di esserti stato utile, ciao.