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Titolo: armoniche

Mi sto scervellando per capire come mai il rapporto tra le frequenze di due
suoni nel sistema temperato che distano un semitono (ad es: do e do#) sia
dato dal numero "radice dodicesima di due".......ho solo la vaga sensazione
che 12 sia riferito al numero di suoni (i suoni sono effettivamente 12), per
il due ci sto ancora pensando......qualcuno riesce a spiegarmelo?
Grazie

ciao

ti posso dare un piccolo indizio, anzi 2
-tra un'ottava e l'altra ci sono dodici semitoni
-2 note a un ottava di differenza hanno frequenza una doppia dell'altra
ora sai tutto
ciao
Delo
--
Chi non ammette l'insondabile mistero non puņ essere neanche uno scienziato.
(Albert Einstein)


In questo modo, salendo cromaticamente da un suono (per esempio il Do
centrale del pianoforte) allo stesso suono all'ottava superiore, ottieni che
la nota più acuta ha frequenza esattamente doppia rispetto all'ottava bassa.
Per esempio, il La centrale, quello che viene prodotto dal diapason, il
riferimento per l'accordatura, è a 440 Hz (anche se effettivamente si
accorda ormai a 442 - 443 Hz...), per cui il La all'ottava inferiore avrà
frequenza 220 Hz e il La superiore avrà frequenza 880 Hz.
In sostanza, nel sistema temperato equabile si impone:
-  che due suoni a distanza di ottava stiano in rapporto di frequenze 1:2  :
questa scelta è evidentemente dovuta a criteri fisici (gli stessi motivi per
i quali la prima armonica di un suono ha frequenza doppia del suono
originale)
- l'ottava sia divisa in dodici intervalli UGUALI (da qui il nome di
"equabile" dato al sistema temperato): questo è un accorgimento che con la
fisica ha nulla a che fare, ma che è di enorme portata pratica, specialmente
per gli strumenti a intonazione fissa (per esempio le tastiere).
Da notare che la divisione dell'ottava in dodici  semitoni esattamente
uguali come ampiezza confligge intevitabilmente con i rapporti fra i suoni
del sistema naturale (quello di Zarlino: più fondata, se vogliamo, da un
punto di vista fisico) nel quale invece tutte le frequenze sono calcolate da
una fissata, secondo rapporti esatti di numeri naturali. Nella scala
naturale, dunque, i rapporti fra le frequenze di due suoni sono sempre
numeri razionali, nel sistema temperato invece sono razionali  solamente i
rapporti di frequenze fra due suoni all'ottava (nella scala naturale, per
dirne una, il sol diesis e il la bemolle NON sono la stessa nota, mentre lo
sono nel sistema temperato); in pratica, se consideriamo "giusto" il sistema
naturale, allora nel sistema temperato solo le ottave hanno la giusta
ampiezza, mentre tutti gli altri intervalli sono o leggermente "calanti" o
leggermente "crescenti". Il 99,9% degli orecchi, anche musicali e allenati,
non si accorge di tutto ciò, anche perchè eventuali piccole imperfezioni
nell'accordatura degli strumenti sono sicuramente prevalenti su queste
differenze fra sistema naturale e temperato.
Ciao, Antonio

 differenze fra sistema naturale e temperato.
Per completale la ineccepibile risposta di Antonio:
(da leggersi con carattere fisso)
Base Freq 440
    Nat.  Nat.  Temp      Error  Nat(Hz) Temp(Hz)
Do  1    =1,000 1,000000  0,000% 264,000 261,626
Re  1+1/8=1,125 1,122462 -0,226% 297,000 293,665
Mi  1+1/4=1,250 1,259921  0,794% 330,000 329,628
Fa  1+1/3=1,333 1,334840  0,113% 352,000 349,228
Sol 1+1/2=1,500 1,498307 -0,113% 396,000 391,995
La  1+2/3=1,667 1,681793  0,908% 440,000 440,000
Si  1+7/8=1,875 1,887749  0,680% 495,000 493,883
Do  2    =2,000 2,000000  0,000% 528,000 523,251
Saluti
Mino Saccone


scusa sono un ignorante senza cervello.....quello che non capisco è il
perchè della radice

 perchč della radice
Perche' il nostro cervello percepisce come uguali intervalli fra due
suoni quando e' lo stesso il rapporto delle frequenze: per es. per la
terza maggiore quel rapporto (nella scala di Zarlino) e' 5/4, quale che
sia la nota di partenza.
La scala temperata e' costruita sul principio di rendere uguali i 12
intervalli, cosa che nella scala naturale non e'.
Se uno strumento venisse accordato con la scala naturale, sarebbe
impossibile la trasposizione, ossia eseguire un pezzo in altra
tonalita': suonerebbe del tutto differente.
Cio premesso, se in un'ottava hai 12 note, e le vuoi equidistanti (un
semitono temperato) devi fare uguali tutti i rapporti. Se la frequenza
del do e' f, e se il rapporto che da' il semitono temperato e' k, avrai
do# = f*k, re = f*k^2, ecc.
Fino ad arrivare al do superiore che sara' f*k^12. Ma questo
dev'essere 2f, essendo l'ottava: ne segue che k e' la radice
dodicesima di 2.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
From 

 Do  2    =2,000 2,000000  0,000% 528,000 523,251
Poi entra in ballo la sensazione del tono (che dipende anche 
dall'intensita`), che non e` lineare, per cui la parte alta di un 
pianoforte (e altri strumenti con ampia estensione) non deve essere 
accordata "con il frequenzimetro", ma, se ben ricordo, deve essere 
eccedente.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

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Grazie mille!


Proprio cosi', tanto che, tanti anni fa, dovendo far andare d'accordo un
APPLE II con un pianoforte appena accordato ho dovuto fissare l'ottava a
2,005 per un decente compromesso.
Non è per caso che ciò sia dovuto al fatto che le armoniche, nel senso di
Fourier multipli interi della fondamentale, nei suoni reali siano esse
stesse un po' eccedenti?
Mi viene in mente che una corda di pianoforte ha comunque una sua rigidezza
alla flessione, che normalmente si trascura, ma che alle armoniche piu' alte
potrebbe dare un contributo piccolo, ma non nullo.
Saluti
Mino Saccone


Gli accordatori di pianoforti, effettivamente, accordano eccedente la parte
alta della tastiera, ma solitamente perchè quelle sono le note che tendono -
par le caratteristiche costruttive di corde e telai - a scendere
d'intonazione prima rispetto alle altre, in particolare rispetto a quelle
più gravi: è un effetto che posso testimoniare in prima persona :(
Questo dal punto di vista pratico: dal punto di vista scientifico, è
tuttavia vero ed è stato provato che i rapporti fisici fra le altezze
(frequenze) dei suoni non corrispondono esattamente alla sensazione uditiva.
Anzi, esiste una apposita scala, la scala dei "mel", che misura proprio
l'altezza di un suono quale esso viene percepito (un suono A ha valore in
mel doppio di un suono B se l'orecchio *sente* che A è l'ottava superiore di
B): ebbene, si vede dai grafici "sperimentali", condotti su gruppi di
persone, che la scala delle ottave misurata in Hz e in mel coincidono
esattamente più o meno fino a 500 Hz: poi, la scala delle ottave melodiche
(misurate in mel) supera quella delle ottave fisiche (misurate in Hz), e
l'effetto è tanto più evidente quanto meno l'orecchio è "educato" alla
musica. Fra l'altro, quindi, la scala dei mel ha una intrinseca componente
"personale"...
Non si tratta dunque, credo di poter concludere, di un effetto dovuto alla
particolare produzione del suono in un particolare strumento (Mino citava il
pianoforte) o alle caratteristiche delle armoniche superiori, perchè pare
che il fenomeno si presenti in tutti gli strumenti capaci di una estensione
nel registro acuto, e lo spettro delle armoniche cambia notoriamente da
strumento a strumento; a quel che so, per giunta, gli studi sono stati
effettuati utilizzando suoni puri!
Più significativo mi sembra invece il fatto che si tratti di un effetto
ampiamente influenzato dalla particolare esperienza uditiva di ciascuna
persona.
Ciao, Antonio