Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Precessione del perielio in relativita' speciale

Salve a tutti,
m'e' capitato tra le mani un problema inaspettatamente ostico, inaspettatamente
perche'
inserito in una raccolta di problemi non dico facili ma accessibili a studenti
del primo
anno di universita'. Riporto il testo integralmente.
"La precessione del perielio della traiettoria di un pianeta e' stata derivata
dalla
relativita' generale. Tuttavia, anche la relativita' speciale predice un tale
effetto
a causa della dipendenza della massa inerziale dalla velocita'. Derivare la 
formula per la precessione in relativita' speciale per un pianeta di un dato
momento angolare L, massa a riposo m, e energia E, che si muove nel campo
gravitazionale del Sole."
L'unico ragionamento che m'e' venuto in mente, ma sulla cui esattezza non 
scommeterei una lira, dovrebbe essere il seguente (non so' se saro' 
sufficientemente chiaro nell'esposizione) :
Sia w (assomiglia a un omega) la velocita' angolare del pianeta. Allora 
se assumiamo piccole tutte le variazioni dovute ad effetti relativistici,
la variazione del periodo dT e' dovuta al fatto che partendo dal perielio
dopo un periodo non torniamo piu' nello stesso punto ma in un 
punto vicino, essendoci spostati di un angolo mettiamo dO (che 
e'  cio' che chiede il problema, credo...). Per fare un angolo dO ci
impieghiamo dO/w, per cui, prima formula
          dT=dO/w
cioe'
         dO=2*pi*dw/w      circa....
Ora per la 3 legge di Keplero w e' proporzionale a E^(3/2) e possiamo
sviluppare E in potenze di (v/c) tenendoici al primo ordine relativistico.
Dato che la variazione di E e' dovuta solo ad effetti relativistici (tutto
qui il problema) allora posso tenere solo l'ultima parte se calcolo dE,
cioe'
    dE~3/8(v^4/c^2)
Per E vale anche E=GM/2R ovviamente, per cui infine
  dO~dw/w~3/2dE/E~3/2*(3/8(v^4/c^2))/(GM/2R) ...
e dopo un po' di calcoli...
  dO~GM/Rc^2     FINE
Ovviamente questa non e' una soluzione esatta. mi sono arrampicato 
sugli specchi e non riesco nemmeno a capire bene che assunzioni
ho fatto (moto circolare del pianeta, rotazione del perielio...) ma 
ripeto e' l'unica cosa sono riuscito a tirare fuori da questo problema.
Qualcuno sa darmi suggerimenti per la soluzione esatta?? E il
calcolo esatto usando la relativita' generale e' molto diverso 
(numericamente intendo)??
Infine faccio osservare che il problema dava anche un suggerimento (?!)
" Il problema e' notevolmente semplificato se si usa il vettore di Lenz"
So del vettore di Lenz classico, ma ne esiste una controparte
relativistica?? E perche' il problema e' semplificato??
Grazie a chiunque voglia dare un suggerimento...
(perdonate la lunghezza del post)
Ari
-- 
Posted from 
gsr210.rockefeller.edu
 [129.85.35.112] 
via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 (numericamente intendo)??
Il calcolo esatto lo puoi trovare per esempio
sul classico "Introduction to the theory of relativity"
di Peter. G. Bergmann, Dover publications Inc. New York
1976 Ch. 14, p.217.
Il risultato è un sesto di quello previsto dalla rel. generale.
Appena trovo un po' di tempo ti posto il procedimento.
Ciao, 
L.
-- 
Posted from  [212.171.156.53] 


 L.
OK, cerco di mantenere alla meno peggio la promessa.
In effetti il problema è ostico per il primo anno
(almeno per me lo sarebbe stato)Ecco come in breve
posso sintetizzare il procedimento:
notazione:
G costante di gravitazione;
M massa del sole;
m << M massa del pianeta;
c velocità della luce;
(th) = angolo teta;
(tau) = lettera greca tau, che qui indica il
tempo proprio in rel. ristr.
v = velocità di m rispetto a M;
t = coordinata tempo, legata a tau dalla nota
relazione di rel rist.  
d(tau) = dt sqr(1 - [v/c]^2 )
dove sqr = radice quadrata.
Poichè ho dei problemi a postare cose
lunghe, ti spedisco questo come
prima puntata; arrisentirci.
L.
 
-- 
Posted from  [212.171.172.38] 


Bene, eccoci alla seconda puntata. 
Per prima cosa conviene scrivere
le equazioni che esprimono la conservazione 
dell'energia totale e del momento angolare,
cioč rispettivamente:
m c^2 (dt/d(tau) - GMm/r = A = costante   ( 1 )
(dove r č il modulo del raggio vettore sole pianeta)
r^2 d(th)/d(tau) = B = costante           ( 2 )
e completare il tutto con la
t* ^2 = 1 + r* ^2 + r^2 (th)* ^2           ( 3 )  
dove l'asterisco indica la derivazione
rispetto a tau, cioč t* = dt / d(tau)
ecc,  t* ^2 = (dt/d(tau))^2, ecc.
La ( 3 ) si scpiega subito se tieni
presente la relazione tra tau e t, e la 
relazione (siamo in coordinate polari)
v ^ 2 = (dr/dt)^2 + r^2 (d th / dt)^2
Adesso eliminiamo t* dalla (3) usando la (1),
e otteniamo un'espressione libera da t;
ma questo alla prossima puntata.
L.
-- 
Posted from  [212.171.172.38] 


Ed eccoci alla quarta puntata, che dovrebbe
essere l'ultima.
Eravamo rimasti a un'equazione differenziale
che per differenziazione si trasforma nella
equazione del 2° ordine:
d^2 u / [d(th)] ^2 + u =
=  u (GM/B)^2 + (G M A /m)(1 / B^2)   
che integrata dà:
u = (G M A / m )( (1 / B^2) (1 + e cos Z)
dove "  e "  è l'eccentricità dell'orbita, e 
Z =  sqr( 1 - [G M / B ]^2 ) (th - k)
con k = costante di integrazione
(in sostanza la longitudine del perielio).
Quest'equazione corrisponde a un'orbita
ellittica in rotazione e lo spostamento
del perielio per ogni rivoluzione è 
S = pi (G M / B ) ^ 2
mentre la relatività generale prevede 
un valore sei volte più grande.
(dimenticavo due cose: 
la prima è 
B = momento angolare pianeta / m ;
la seconda è che ho posto dappertutto
c = 1 per semplicità di scrittura).
bye
Laconicus 
 
-- 
Posted from 
a-re21-93.tin.it
 [213.45.201.252] 


E siamo alla terza puntata.
Come dicevo alla fine della precedente,
eliminiamo t* dalla (3) usando la (1)
e otteniamo una formula in cui non compare t:
r*^2 + r^2 (th)*^2 =  K         ( 4 )
 
dove
K = (1 / m^2)(A + [GMm/r])^2  - 1  ( 5 )
Moltiplichiamo per [(d(tau)/d(th)]^2 = (r^4/B^2)
e otteniamo
(dr/d(th) )^2 = (r^2/B)^2 K - r^2    ( 6 )
poniamo u = 1 / r come nuova variabile,
e troviamo:
B^2 (du/d(th) )^2 + ( u B )^2  =
=  ( A/m)^2 + (GMu)^2 - 1            ( 7 ) 
Fine terza puntata.
L.
-- 
Posted from 
a-re21-93.tin.it
 [213.45.201.252] 


 gravitazionale del Sole."
Ti ho postato (in quattro puntate, spero che nessuna si
perda per strada)una soluzione rigorosa del problema.
Ho usato solo una notazione un po' diversa da quella del
tuo libro. Inoltre il tuo enunciato parla esplicitamente
di "massa funzione della velocità", mentre la soluzione 
che ti mando no.
Saluti,
Laconicus
-- 
Posted from 
a-re21-93.tin.it
 [213.45.201.252] 


parte relativistica?
Vorrei saperlo anch'io e attendo insieme a te la risposta di 
un esperto.
Saludos
Cocco Drillo
-- 
Posted from  [212.171.160.219] 
