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Titolo: Unità arbitrarie di misura (curiosità)

Vi sarà capitato senz'altro di leggere trattazioni teoriche di argomenti
tra i più svariati in cui si fissano, per comodità di calcolo, unità di
misura arbitrarie in modo tale che alcune costanti fisiche fondamentali
(espresse in funzione di queste unità di misura "ad hoc") siano uguali
all'unità. 
Di solito si postulano unità arbitrarie in cui c = 1 (velocità della luce
nel vuoto), o c = 1 e ht = 1 (ht costante di Planck/2*pi), o, come mi è
capitato di recente, c = 1 e ht = 1 e k = 1 (k = costante di Boltzmann).
Mi sembrava quasi impossibile che si potesse definire un sistema di unità
di misura in cui *simultaneamente* c = 1, ht = 1 e k = 1, invece, come ho
potuto verificare, è perfettamente possibile. 
Non è però, com'è forse intuibile, definire sempre un sistema di unità
arbitrarie in cui qualsiasi set, anche non molto numeroso, di costanti
fisiche fondamentali abbia valore unitario. 
Ad esempio, non è possibile definire delle unità arbitrarie in cui c = 1,
ht = 1 e G = 1 (G costante di gravitazione universale). 
Saluti,
Aleph
 
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 qualcos'altro? Non dico corrette, ovviamente, ma coerenti? Cioè, in un
[...]
    Scusate, mi quoto, perchè mi sono spiegato male: non intendevo dire "la 
velocità di qualcos'altro", ma se la velocità della luce fosse diversa da 
quella che effettivamente è.
Stefano 

 Aleph
Mi sembra un argomento interessante anche se e' molto facile finire per 
dire sciocchezze o banalita'; spero di evitare questa fine.  Direi che 
e' una questione analoga ai gradi di liberta' di un sistema e alla 
dipendenza/indipendenza delle variabili di stato.
Supponendo che le grandezze lunghezza, massa e tempo che sono state 
scelte storicamente come fondamentali siano anche effettivamente 
indipendenti, abbiamo a disposizione tre unita' di misura arbitrarie da 
scegliere.  Se c'e' qualche altra grandezza "fondamentale" aggiuntiva 
(la carica elettrica, per esempio?) tanto meglio! abbiamo altre unita' 
di misura arbitrarie a disposizione. Bisogna, pero', essere sempre 
sicuri che queste nuove grandezze siano indipendenti dalle precedenti. 
Un tipico esempio di nuova grandezza che NON sarebbe indipendente dalle 
precedenti che ho nominato sarebbe la velocita' della luce ma, molto 
sinceramente, non saprei come esprimere in questo momento e in forma 
rigorosa la dipendenza/indipendenza di queste grandezze se non in casi 
banali.  Ho anche il sospetto che il problema potrebbe non avere una 
risposta definitiva ed essere addirittura legato al livello di 
conoscenza della fisica attuale.
A questo punto, pero', supponendo di aver trovato che le grandezze 
fondamentali indipendenti siano un certo numero N, nessuno ci obbliga ad 
utilizzare per forza l'insieme di quelle storiche; anzi e' sicuramente 
possibile definire un altro insieme di N grandezze indipendenti che 
potrebbero esserci piu' comode ed associare loro delle unita' di misura 
arbitrarie.
E qui, finalmente, rientra il tuo discorso: se hai visto che e' 
possibile imporre c, ht e k uguali a 1, significa che, nella accezione 
che ho utilizzato qui, sono grandezze indipendenti; sempre secondo 
quello che scrivi, la terna (c, ht, G) sembra, invece, non essere 
indipendente.
Mah, spero di non averne dette di troppo grosse :-) ma mi incuriosisce 
sapere cosa ne pensano i saggi del NG
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca

 ht = 1 e G = 1 (G costante di gravitazione universale).
    Io credo che si possa fare quando si tratta di entità non direttamente
legate. Faccio un esempio di qualcosa su cui sto lavorando ora, che conosco
bene ed è molto intuitivo (anche se forse non sarà proprio correttissima,
come analogia). Se stai usando le coordinate in uno spazio a 3 dimensioni,
puoi impostare arbitrariamente l'unità di misura lungo gli assi X, Y, Z del
sistema cartesiano di riferimento (cioè: 1=1m lungo x, 1=1 Km lungo Y,
1=16m lungo Z). Il risultato è che un eventuale disegno 3d risulta
deformato, ma comunque coerente. Certo, risulta difficile cavarsela con gli
angoli... per questo forse l'esempio non è del tutto corretto. All'interno
dello stesso sistema "deformato", non puoi però usare una quarta dimensione,
per definire il raggio di una sfera, perchè esso dipende dalle altre 3
unità. Cioè, non puoi imporre che tutte le sfere di raggio 1 vengano 
interpretate come 1 cm di raggio. Puoi però impostare una quarta dimensione, 
come il tempo, con
qualsiasi unità scelta arbitrariamente: secondi, mesi, anni, eoni.
    Nel tuo caso, non so cosa siano ht e k, ma suppongo che si applichi lo
stesso ragionamento.
    Visto che mi sto ri-appassionando alla fisica/matematica, ne approfitto
per fare una domanda sul tema ai "luminari": le varie formule della fisica,
sarebbero coerenti (tra di loro) anche se c fosse la velocità di
qualcos'altro? Non dico corrette, ovviamente, ma coerenti? Cioè, in un
ipotetico Universo in cui c valesse 100 Km/h, dovremmo "buttare" qualche
altra formula o otterremmo solo un Universo che si comporta come il nostro, 
ma proporzionalmente più "lento"?
Stefano Gemma

 all'unità.
si può porre  c = h = k = G = 1  senza problemi,
ed è facile  passare dalle unità usuali a queste,
e viceversa. Tutto quello che serve è sapere
le dimensioni fisiche delle quantità che figurano
nelle equazioni.
 Ciao,
Corrado

 Stefano
Un'idea delle conseguenze puoi fartela leggendo "Le avventure di Mr.
Tompkins" di G. Gamow, edizioni Dedalo (mi pare). Ha qualche annetto,
risale a... quando i libri divulgativi erano fatti bene.
Davide Campagnari

si può porre  c = h = k = G = 1  senza problemi,
ma sei sicuro?
a me sembra che si arrivi a una contraddizione perchè si pongono
troppi vincoli.
c=1 --> l (lunghezze) = t (tempi)
(= nel senso di stesse dimensioni)
h=1 --> E (energia) = 1/ t = m (massa)
Dalla legge di gravitazione universale
F=G m^2/l^2 = G / l^4
F= m l /t^2 = 1/l^2 --->  G = l^2
Ho sbagliato qualcosa?

 nelle equazioni.
Questo mi sembra un po' piu' discutibile: le dimensioni chi le
stabilisce?
Non stanno scritte nel "grandissimo libro"...
BTW: si potrebbe aggiungere e=1? No. Perche'? Invece si potrebbe avere
e=1 a patto di sacrificare c, oppure G, oppure h.
La costante di Boltzmann e' tutt'altra storia, perche' lega
esclusivamente energia e temperatura. Quindi metterla = 1 significa
solo misurare la temperatura in unita' di energia, e questo si puo'
fare sempre.
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 all'unità.
Non le definirei affatto "arbitrarie", anzi! Sono le unità che usiamo
noi (metro, secondo, ecc.) ad essere arbitrarie. Non per niente il
sistema in cui ht = c = k = 1 viene detto "naturale" - ma ho trovato
anche "God-given" :-)
Ad ogni modo usare sistemi di unità siffatti è, IMHO, fondamentale
perchè "taglia via" dalla teoria i dettagli insignificanti. L'unica
occasione in cui diventa scomodo è quando si deve passare da una teoria
ad un'altra facendo qualche limite (ad es. c -> oo per passare dalla
relatività alla meccanica classica): allora è necessario reinserire i
vari fattori nelle formule al posto giusto...
-- 
ws

 fare sempre.
Il problema e' che se dici "oggi fa un caldo bestia, ci sono quattro e mezzo
in dieci alla meno ventuno Joules all'ombra!", fa un po' molto geek...
Bye
Hyper

 e viceversa. 
...
Sì è vero.
L'errore che avevo commesso (di cui mi sono accorto facendo esplicitamente
i conti), che mi faceva dire che non è possibile definire delle unità
fisiche arbitrarie per cui c = 1, h = 1 e G = 1, è che fissavo
preliminarmente l'unità di tempo uguale a 1 s.
Rilasciando questo vincolo si possono in effetti definire unità arbitrarie
di tempo, massa e lunghezza (a me vengono fuori numeri piccolissimi se
espressi in funzione delle unità cgs) per cui le costanti fisiche
fondamentali riportate sopra risultano uguali ad 1.
Il fatto di poter poi imporre anche k = 1 deriva dal fatto che questa
costante introduce (e con questo rispondo a Joseph k.) un nuovo "grado di
libertà" (per usare un termine usato da Daniel): l'ampiezza del grado di
temperatura.       
Rimane il fatto però che, continuando a imporre pari all'unità altri
valori delle costanti fisiche fondamentali (che so: la massa
dell'elettrone, la costante di struttura fine, la costante di Rydberg ),
si arriva sicuramente a un punto in cui il gioco non è più possibile.


 banali.  
...
Io ho adottato l'approccio seguente. 
Intanto fisso il sistema di unità di misura di partenza, poniamo il
sistema cgs di Gauss, poi scrivo le seguenti equazioni:
c = 3*10^10 cm/s = 1*Ul*Ut^[-1]    
h = 6,626*10^[-27] cm^2*g*s^[-1] = 1*Ul^2*Um*Ut^[-1]
G = 6,67*10^[-11] cm^3*g^[-1]*s^[-2] = 1*Ul^3*Um^[-1]*Ut^[-2]
Risolvendo il sistema di tre equazioni indipendenti nelle tre incognite
Ul, Um e Ut si ricavano le unità fisiche richieste.
Nel caso in cui volessimo uguagliare a 1 anche la costante di Boltzmann k
avremmo una quarta equazione indipendente da considerare:
k = 1,37*10^[-16] cm^2*g*s^[-2]*[K]^[-1] = 1*Ul^2*Um*Ut^[-2]*grado^[-1] ,
che, aggiunta alle altre tre, ci consente di ricavare la quaterna di unità
fisiche richietse Ul, Um, Ut, grado, trattandosi di un sistema di quattro
equazioni indipendenti in quattro incognite.


temperatura.       
Il mio dubbio non era su k.
E' che mi viene che imponendo c=1 e h=1 G mi viene con le dimensioni
di una lunghezza alla meno due.
Avrņ sbagliato qualcosa...

 Avrò sbagliato qualcosa...
Da come la vedo io senz'altro. 
Imporre uguale a 1 il valore delle costanti fondamentali non equivale a
modificarne le dimensioni, quelle restano invariate (almeno io la vedo
così).  
Ad esempio, poiché, in unità cgs, la velocità della luce nel vuoto è:
c = 3*10^10 cm/s (dimensioni l*t^[-1]) ,
un sistema di unità fisiche per cui c = 1 Ul*Ut^[-1] (dimensioni ancora
l*t^[-1]) è un qualsiasi sistema in cui il rapporto tra la nuova Ul, unità
di lunghezza, e la nuova Ut, unità di tempo, sia uguale 3*10^10 quando si
esprimono Ul e Ut nelle unità cgs di partenza. 
Mi spiego.
Se definisco due nuove unità di lunghezza e di tempo, il "lungone",
simbolo "lg", e il "tempino", simbolo ti, tali che: 
1*lg = 3*10^6 cm
1*ti = 10^[-4]s
avrò che la costante c nel "nuovo sistema" vale proprio
c = 1*lg/ti = 3*10^10 [unità cgs].


così).  
Non sono d'accordo, ad es. porre c=1 (cioè uguale a un numero puro)
significa dire che tempi e lunghezze hanno le stesse dimensioni e che
le velocità sono tutte numeri puri.

 ...
Bravo :-))
E cosi' hai scoperto:
- la lunghezza di Planck (1.6e-33 cm)
- il tempo di Planck (5.4e-44 s)
- la massa di Planck (2.2e-5 g).


 Non sono d'accordo, ad es. porre c=1 (cioè uguale a un numero puro)
...
Non vedo la necessità di interpretare la posizione c = 1 nel senso
restrittivo che debba trattarsi anche di una quantità adimensionale. 
Ma se la intendi così è ovvio che non esiste alcun modo per ottenere
simultaneamente c, h e G come grandezze adimensionali.
Poiché se definisci c e h come grandezze adimensionali G vien fuori con le
dimensioni di una lunghezza al quadrato ([l]^2) o di una energia elevata
alla -2 ([E]^-[2]), a seconda della scelta  della dimensione unica
(lunghezza o energia) del sistema di unità di misura di partenza. 
Ciò mi fa ritenere con ragionevole certezza che quando si postulano unità
fisiche per cui:
c=h=G= 1 o c=h=G=k= 1 
non viene adottata (non in senso stretto almeno) l'interpretazione da te
ipotizzata.


 - la massa di Planck (2.2e-5 g).
Devo dire che il dubbio che si trattasse delle unità di Planck (di cui non
ricordavo a memoria il valore), mi era venuto poiché, come ho scritto in
precedenza, i valori per le unità fisiche che ottenevo erano davvero molto
piccoli. Tuttavia non immaginavo che ci fosse una completa identità,
poiché ho sempre pensato che le grandezze di Planck fossero state dedotte 
sulla base di considerazioni fisiche intorno al limite di validità delle
teorie classiche della gravità, determinato dall'insorgere di effetti
quantistici, e non sulla base di semplici argomentazioni metriche,
relative alla scelta di unità di misura "convenienti". 
Mi sbagliavo?
Per completezza, ponendo a 1 anche la costante di Boltzmann k, dalla
quarta equazione scritta nel post precedente, si ottiene anche l'unità di
"temperatura di Planck" (si indica con questo termine?) 
Tp = 1,4*10^32 K.


così).  
Ok, ora ho capito cosa non avevo capito.
Ciao

 BTW: si potrebbe aggiungere e=1? No. Perche'?
non so se ho capito la domanda, ma
immagino perchè con c = h = 1 si ha
e = (costante di struttura fine / 2 pi ) ^1/2
~ 0.03  =/= 1
bye
Corrado

puoi sempre dire: "usiamo le unità di Planck"
Però non è corretto a livello di espressione linguistica.
Dire che tutte sono uguale a 1 non significa trovare un sistema di
unità di misura in cui il valore numerico è 1, ma porle tutti numeri
puri uguali a 1.
E' stato questo il malinteso.

 troppi vincoli.
Non porta a contraddizioni. Se non ti piace dire
 " poniamo c = h = k = G = 1 "
puoi sempre dire: "usiamo le unità di Planck"
(che sono costruite solo con c, h, k, G).
C'è qualcosa di illogico nel riferirsi alla
lunghezza di Planck, massa di Planck,
tempo di Planck, invece che al centimetro,
grammo, secondo?
Evidentemente no. Quindi...
bye
Corrado

 restrittivo che debba trattarsi anche di una quantità adimensionale. 
no, porre c=1 significa definire la velocita' una grandezza adimensionale,
cioe' si considerano lo spazio e il tempo dimensionalmente equivalenti. In
relativita' questa scelta e' molto razionale e si puo' considerare come
una conseguenza del passaggio dai concetti "spazio" e "tempo" all'unico
concetto "spazio-tempo". Inoltre in questo modo B e E hanno la stessa
dimensione.
Ciao Mauro
P.S. da un punto di vista pratico e' sicuramente molto scomodo porre c=1...
-- 
there are 10 kinds of people: those that understand binary and those that
don't


cioe' si considerano lo spazio e il tempo dimensionalmente equivalenti.
Ma c'e` di "peggio", infatti in questo modo - voglio dire
con queste che son chiamate unita` ro"meriane - il tempo
perde la sua caratteristica di grandezza primitiva: ora
esso e` definito a mezzo dello spazio e di c, e sua
unita` risulta il tempo che impiega la luce a percorrere
l'unita` di spazio.
	-- E  ci mancava solo questo! cosi` calano
	   definitivamente le tenebre della notte
	   piu` nera su tutta la Relativita`;-))
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

ipotizzata.
Infatti, c'č stato un malinteso, avevo capito che tu intendessi quel
che intendevo io, poi rileggendo il tuo ultimo post ho capito che mi
stavo sbagliando e ora č tutto chiaro.
Ciao

 equazioni indipendenti in quattro incognite.
ricordo che il teorema n variabili + n equazioni = n soluzioni vale solo
per i sistemi lineari.
Es.
(1 eq 1 var x in |R)
sin(x)=2      0 soluzioni
sin(x)=0.5   inf soluzioni
(2 eq 2 var)
x^2+y^2+1=0 e x+y=0           0 soluzioni
x^2+y^2-1=0 e y-5sin(1/x)=0 inf soluzioni
ecc...
Ciao Mauro
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 (Aleph)
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