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Titolo: RG vs RR

Il recente tread sulla massa gravitazionale mi ha indotto alcune riflessioni.
La RG e' essenzialmente una teoria gravitazionale, le cui equazioni di campo
sono state faticosamente trovate da Einstein in modo che la loro forma fosse
(parole di Albert) "covariante generale".
Per campi gravitazionali deboli e basse velocita' le equazioni delle geodetiche
si riducono all'equazione newtoniana del moto sotto un potenziale scalare.
Alle stesse condizioni, tale potenziale gravitazionale risulta soddisfare
l'equazione di Poisson, ossia e' conforme alla legge gravitazionale di Newton.
 
Si puo' dunque dire che la RG includa la meccanica classica, nel senso che si
riduce ad essa per campi deboli e basse velocita', ma non vedo invece come si 
possa dire che la RG includa la RR in caso di velocita' elevate. 
 
Esperimenti anche recenti del tipo Hafele-Keating (come pure i calcoli del GPS) 
includono sia una correzione gravitazionale RG che una correzione cinematica RR.
Ma i due effetti sembrano corroborare una teoria ibrida RR+RG non inquadrabile
in uno schema teorico coerente unico. Mi sfugge qualcosa?
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 si riducono all'equazione newtoniana del moto sotto un potenziale scalare.
 
Cosa succede per campi gravitazionali deboli e velocita' qualunque? Io non lo so fare :-)
 
Sospetto che il problema che stai vedendo e' quello del thread "la massa gravitazionale di un elettrone diventa infinità". cioe' che se ammetti velocita' qualunque non puoi piu' utilizzare un tensore energia impulso piccolo?
 
G.

 coerente unico. Mi sfugge qualcosa?
 
Direi di sì, la distinzione tra le 2 correzioni,
red shift gravitazionale (RG) e dilatazione
relativistica del tempo (RR), è solamente
accidentale e non esatta, ad es. nel caso
di una metrica di Schwarzschild:
 
ds^2 = -(1 - 2M/r)dt^2 + dr^2 / (1 - 2M/r)
+ r^2(dtheta^2 + sin(theta)^2 dphi^2),
 
se dr = dtheta = dphi = 0 ottieni il
red shift gravitazionale, se r-> oo
ottieni la dilatazione del tempo
della RR, ma in realtà la separazione
come somma dei 2 effetti non è
possibile esattamente (non parliamo
poi di cosa succederebbe con altre
metriche...)
 
Nota1: v. anche il post di Elio:
 
https://groups.google.com/d/msg/it.scienza.fisica/4XMVpPs1eLI/xoTi1l_fN-gJ
 
 
Nota2: magari però non ho capito esattamente
la tua richiesta...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

 
https://groups.google.com/d/msg/it.scienza.fisica/4XMVpPs1eLI/xoTi1l_fN-gJ
 
 
Il vecchio post di Elio Fabri centra in pieno la questione che mi interessa.
"Non ci sono due effetti separati che poi si sommano .....
 La trattazione corretta secondo la RG porta a tenere conto di tutto insieme.
 E' vero che nella formula finale ci sono quattro temini che si possono
 interpretare ecc,"
 
E' questa trattazione RG corretta che vorrei esaminare, dove la trovo?


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Ma... si basa proprio sulla formula che ha scritto Giorgio Bibbiani nel 
post delle 19:08!
 
Che magari è più opportuno riscrivere con la segnatura +---, così:
 
   dtau^2 = (1 - 2M/r)dt^2 - dr^2 / (1 - 2M/r)
               - r^2(dtheta^2 + sin(theta)^2 dphi^2)
 
dove tau è il tempo proprio misurato da un orologio che segue una data 
linea universo, e dt è il tempo fra due eventi a distanza infinitesima 
misurato da un orologio a riposo in un riferimento inerziale e molto 
lontano dalla Terra (e anche dal Sole, e magari dalla Galassia). Il 
tutto in un riferimento con origine al centro della Terra e assi che 
puntano verso alcune stelle fisse.
 
Per un orologio fermo in un laboratorio a terra, r è costante, theta (la 
colatitudine) è costante, phi varia con la rotazione terrestre, e
 
   dtau_Terra^2 = (1 - 2M/r_Terra)dt^2 - r_Terra^2 sin(theta)^2 dphi^2
 
ossia
 
   dtau_Terra/dt =
        sqrt [1 - 2M/r_Terra - r_Terra^2 sin(theta)^2 omega_Terra^2]
 
(data la presenza della radice, i due termini sono separabili solo ove 
sia possibile lo sviluppo in serie della radice, e i due termini 
corrispondono all'effetto 4) e all'effetto 3) descritti da Elio Fabri 
nel 2006)
 
per un orologio su satellite, conviene un cambio di coordinate che porti 
l'orbita del satellite sul piano xy, e si ha
 
   dtau_Sat^2 = (1 - 2M/r_Sat)dt^2 - r_Sat^2 dphi^2
 
ossia
 
   dtau_Sat/dt = sqrt [1 - 2M/r_Sat - r_Sat^2 omega_Sat^2]
 
(come sopra, e i due termini corrispondono all'effetto 2) e all'effetto 
1) descritti da Elio Fabri nel 2006).
 
 
La "formula finale" è ovviamente la differenza fra le due, molto minore 
di 1 in quanto entrambe dtau_Terra/dt e dtau_Sat/dt sono molto vicine 
all'unità. Cosa che giustifica anche l'uso di orologi a terra per 
misurare sia omega_Terra che omega_Sat, dato che l'errore così 
introdotto è del II ordine.
 
 
-- 
TRu-TS
buon vento e cieli sereni

 introdotto è del II ordine.
 
Grazie a te, ed a Bibbiani, per l'esauriente risposta, che analizzero' in seguito
con piu' calma.
A volte mi domando che ne sarebbe della RG senza la metrica di Schwarzschild...
Mi pare inoltre che gli esperimenti di Hafele-Keating e successivi perfezionamenti
siano un poco snobbati dai libri di RG. Se non sbaglio persino l'enciclopedico MTW
non ne parla. BTW Tommaso, ti sei improvvisata la risposta o ti sei avvalso di 
qualche riferimento bibliografico?


 qualche riferimento bibliografico?
 
L'ho improvvisata, non avevo mai visto il calcolo fatto così, con 
l'approssimazione solo alla fine. Avevo a suo tempo trovato in giro 
delle analisi dettagliate dell'esperimento di Hafele e Keating (anche 
una di Elio Fabri), ma partivano tutte dando per scontato che i 
contributi fossero tutti molto piccoli, e quindi calcolabili 
separatamente e poi sommabili. Ora proverò a cercare una trattazione 
rigorosa.
 
BTW, dove ho scritto "i due termini sono separabili solo ove sia 
possibile lo sviluppo in serie della radice" intendevo ovviamente "solo 
quando sia lecito approssimare la radice con il suo sviluppo in serie 
troncato ai termini del primo ordine".


 elevate.
Sono sicuro di aver scritto la risposta in qualche occsaione, ma valla a
trovare...
Perciò la ripeto.
Ci sono in realtà due risposte.
 
1. Si assume in RG che lo spazio-tempo sia una varietà semiriemanniana
di segnatura +---
Questo significa che *comnque scelto* un punto dello spazio tempo
esiste un sistema di coordinate in cui la metrica assume la forma
 
(dx0)^2 - (dx1)^2 - (dx2)^2 - (dx3)^2.
 
Anzi sono infiniti, connessi tra loro (al primo ordine) da trasf. di
Lorentz.
Detto in termini imprecisi ma più fisici, atttorno a ogni punto dello
spazio-tempo esiste un intorno infinitesimo in cui vale la RR.
 
Anzi si può dire di più.
Andando al secondo ordine, esistono sistemi di coordinate (le coord.
normali di Gauss) in cui non solo
 
g_{\mu\nu} = \diag[1,-1,-1,-1]
 
ma inoltre tutte le derivate prime di g_{\mu\nu} e di conseguenza
tutti i coeff. di connessione si annullano in quel punto.
Non solo: si riesce a far questo non in un singolo punto, ma lungo
tutta una geodetica di tipo tempo.
In termini fisici questo è il principio di equivalenza: abbiamo
definito un rif. in caduta libera, nel quale vale (appross.) la RR.
 
Invece non si può andare oltre.
Questo si vede con un conto di incognite ed equazioni: se voglio
annullare le derivate seconde di g_{\mu\nu}, che sono 100, ho 100
equazioni e i parametri che ho a disposizione (i termini fino al
secondo ordine in una trasf. di coordinate) sono solo 80.
Quindi mi restano 20 derivate seconde che non posso annullare, e
queste sono legate alle 20 componenti indip. del tensore di Riemann.
Si potranno annullare solo se lo spazio-tempo è piatto.
 
2. Si può prendere la RR come approssimazione della RG in regioni in
cui lo spazio-tempo ha curvatura trascurabile (entro i limiti che
interessano un certo ambito sperimentale).
Per es. se ci poniamo a metà strada tra qui e Alfa Centauri gli
effetti di curvatura dovuti alle due stelle più vicine sono
piccolissimi.
 
Conclusione: non si tratta di una teoria ibrida. Io amo dire che la
relatività è *una sola*. La RR è sempre e comunque inclusa nella RG.
 
 
-- 
Elio Fabri

 La "formula finale" è ovviamente la differenza fra le due
Ovviamente? E' proprio qui il punto critico!
In realtà confrontare le due formule non ha senso se non stabilisci
una connessione *fisica* tra i due orologi.
Cosa che si potrebbe fare inviando segnali, ma questo è semplice slo
col satellite geostazionario, perché in tal caso sai che i due dt sono
gli stessi.
 
Mi spiego meglio, per i più piccini.
Dobbiamo considerare 4 eventi:
- 1: il satellite invia un primo segnale a terra
- 2: invia un secondo segnale.
La separazione tra questi due eventi sia dt in termini di tempo di Schw.
- 3: il primo segnale viene ricevuto
- 4: il secondo segnale viene ricevuto.
La separazione fra 3 e 4 è ancora dt, causa l'isometria in t e quella
in phi dello spazio-tempo.
Vulgo: i coeff. della metrica non dipendono né da t né da phi.
Gli eventi 1 e 2 differiscono in t di un certo dt, e anche in phi di un
dphi = omega*dt.
 
I tempi t che impiegano i due segnali ad arrivare a terra sono uguali,
e in questo tempo anche l'orologio a terra si sposta dello stesso
angolo del satellite.
E' per questo che si possono identificare i dt nelle due formule, ed
eliminare dt *facendo il rapporto* (non la differenza).
 
Se il satellite non è geostazionario tutto ciò salta: satellite e
orologio a terra hanno percorso angoli diversi, le due geodetiche dei
due segnali non sono isometriche, quindi il conto si complica...
 
 
-- 
Elio Fabri