Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: fotone genera coppia elettrone positrone in meccanica relativistica classica...

Scusate provando a vedere con la meccanica relativistica classica la
generazione di coppia elettrone positrone da parte di un fotone,
imponendo la conservazione dell'energia e della quantità di moto mi
viene come conseguenza che il positrone deve avere velocità maggiore
della luce!
Iniziamo infatti con le equazioni di conservazione:
\[
\begin{gathered}
  \vec p_{fotone}  = \vec p_{elettrone}  + \vec p_{positrone}  + \vec
p_{campo}  \hfill \\
  E_{fotone}  = E_{elettrone}  + E_{positrone}  + E_{campo}  \hfill \\
\end{gathered}
\]
Le energie delle particelle sono legate alle loro quantità di moto
secondo le relazioni:
\[
\begin{gathered}
  E_{fotone}  = \left\| {\vec p_{fotone} } \right\|c \hfill \\
  E_{elettrone}  = \frac{{\left\| {\vec p_{elettrone} } \right\|}}
{{\left\| {\vec v_{elettrone} } \right\|}}c^2  \hfill \\
  E_{positrone}  = \frac{{\left\| {\vec p_{positrone} } \right\|}}
{{\left\| {\vec v_{positrone} } \right\|}}c^2  \hfill \\
  E_{campo}  = \left\| {\vec p_{campo} } \right\|c \hfill \\
\end{gathered}
\]
Vediamo quindi dalla conservazione dell'energia che si ha:
\[
\begin{gathered}
  \left\| {\vec p_{fotone} } \right\|c = \frac{{\left\| {\vec
p_{elettrone} } \right\|}}
{{\left\| {\vec v_{elettrone} } \right\|}}c^2  + \frac{{\left\| {\vec
p_{positrone} } \right\|}}
{{\left\| {\vec v_{positrone} } \right\|}}c^2  + \left\| {\vec
p_{campo} } \right\|c \hfill \\
  \left\| {\vec p_{fotone} } \right\| = \left\| {\vec p_{elettrone} }
\right\|\left( {\frac{c}
{{\left\| {\vec v_{elettrone} } \right\|}}} \right) + \left\| {\vec
p_{positrone} } \right\|\left( {\frac{c}
{{\left\| {\vec v_{positrone} } \right\|}}} \right) + \left\| {\vec
p_{campo} } \right\| \hfill \\
\end{gathered}
\]
Ma dalla conservazione della quantità di moto, si ha che, visto che la
quantità di moto iniziale è pari alla somma delle tre quantità di
moto finali, il modulo della quantità di moto iniziale dev'essere
minore della somma dei moduli delle tre finali!
\[
\left\| {\vec p_{fotone} } \right\| < \left\| {\vec p_{elettrone} }
\right\| + \left\| {\vec p_{positrone} } \right\| + \left\| {\vec
p_{campo} } \right\|
\]
Ma allora, dato che l'elettrone deve necessariamente spostarsi a
velocità minore della luce, il fattore c/v_elettrone sarà maggiore di
uno, e allora il fattore c/v_positrone dev'essere necessariamente
minore di uno!
\[
\left\| {\vec v_{elettrone} } \right\| < c \to \left\| {\vec
v_{positrone} } \right\| > c
\]
Però ho dei forti dubbi...forse la relazione tra quantità di moto e
energia che abbiamo per le particelle normali non è valida per le
antiparticelle?
Secondo la relatività ristretta classica, se una particella si
muovesse a velocità maggiore della luce, il tempo nel suo sistema di
riferimento scorrerebbe all'incontrario...quello che è futuro per lei
è passato e viceversa.
Ma credo di avere già sentito che le teorie moderne di QED ipotizzino
che le antiparticelle si muovano all'indietro nel tempo, il che sarebbe
coerente con le considerazioni di prima....
Qualcuno può chiarire la questione?

In un certo senso hai scoperto l'acqua calda :-):
infatti una particella di massa nulla non può decadere in una coppia
di particelle di cui almeno una è massiva.
Nel sistema di riferimento del centro di massa delle due particelle
(che esiste perche' il quadriimpulso totale delle due particelle in
uscita è
di tipo tempo)  l'impulso totale è zero per definizione di sistema
del centro di massa. Sia E l'energia totale del sistema in tale
riferimento.
Nello stesso sistema di riferimento la particella massless che decade
ha impulso P e energia |P| >0 (uso c=1) dato che ha massa nulla ma ha
quadriimpulso non nullo per ipotesi.
La conservazione del quadrimpulso vorrebbe allora:
  E=|P|
ma anche:
  0 = P
Queste sono incompatibili con |P|>0.
Infatti nei processi reali di creazione di coppie ci vuole un ulteriore
sistema
fisico (es un nucleo) che intervenga nel processo e che supplisca
l'impulso
mancante...
Alternativamente il processo di decadimento del fotone in una coppia
elettrone-positrone si può considerare non un processo reale, ma
un "processo virtuale" intermedio nel calcolo perturbativo
diagrammatico alla
Feynman dell'integrale di Dyson, in cui almeno una delle tre particelle
è virtuale...
Ciao, Valter

Non ho guardato i tuoi conti perchè sono un po' troppo pesanti da
leggere con Latex, comunque e' facile vedere che il processo: fotone
----> e+ e-
viola la conservazione dell'impulso e non puo' avvenire nello spazio
libero.
Per mantenere la conservazione dell'impulso bisogna che una delle tre
particelle siano *off mass shell* cioe' che non valga la condizione P^2
= 0 per il 4-impulso della particella considerata. Dunque si dice che
il fotone crea una coppia elettrone - positrone *virtuale* (nel senso
di *fuori dallo shell di massa* ).
La creazione di coppie puo' avvenire ad esempio nel campo coulombiano
di un nucleo, in questo caso uno dei due leptoni viene creato come
particella virtuale e diviene elettrone fisico a seguito
dell'interazione con il campo coulombiano.

 Ciao, Valter
scusate l'OT. 
Volevo solo salutare un grande amico che non vedo da più di 20 anni.
Ciao Valter!
Paolo A.
L.S. O. Grassi... ricordi?

48?