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Titolo: Spazio e tempo dal Landau 1 Meccanica

Salve,
 
sto leggendo/studiando per mio personale interesse il libro di Landau sulla Meccanica, il volume 1 della famosa collana di fisica teorica. Riporto qua sotto 
alcune righe che non riesco a capire tanto, prese dalle pagine 31-32:
 
 
 
"[...] Rispetto ad un sistema di riferimento qualunque, lo spazio è eterogeneo ed anisotropo. Ciò vuol dire che anche se un corpo non interagisce con nessun altro corpo, le sue differenti orientazioni non sono, però, equivalenti dal punto di vista meccanico. Anche per quanto riguarda il tempo, si può dire che, in generale, esso non è omogeneo, cioè i diversi istanti non sono equivalenti. [...]"
 
Non mi è tanto chiaro cosa intenda per spazio eterogeneo ed anisotropo.
 
Soprattutto cosa intenda dire con tempo non omogeneo.
 
Ciao.

Il giorno lunedì 22 maggio 2023 alle 20:10:05 UTC+2 Philip Pirrip ha scritto:
... 

Intende fare una trattazione (un pò troppo!) semplificata del famoso ed estremamente importante Teorema di Noether. 
Con "Spazio eterogeneo" intende in realtà: la lagrangiana del sistema fisico non è invariante per traslazioni spaziali. 
Con "spazio anisotropo": la lagrangiana del sistema fisico non è invariante per rotazioni spaziali. 
Con "tempo non omogeneo": la lagrangiana del sistema fisico non è invariante per traslazioni nel tempo. 
 
 
Ridotto all'osso e per non farla troppo lunga: nel primo caso esistono forze esterne al sistema e la quantità di moto dunque non si conserva; nel secondo caso momenti di forze esterni, il momento della quantità di moto non si conserva; nel terzoenergia viene scambiata con l'esterno e l'energia del sistema non si conserva. 
 
Il Teorema di Emmy Noether dimostra la conservazione di quelle 3 grandezze (e altre in altri casi) se la lagrangiana possiede invece le invarianze di cui sopra. 
 
--
Wakinian Tanka

Philip Pirrip ha scritto:
 > sto leggendo/studiando per mio personale interesse il libro di
 > Landau sulla Meccanica, il volume 1 della famosa collana di fisica
 > teorica. Riporto qua sotto alcune righe che non riesco a capire
 > tanto, prese dalle pagine 31-32:
 > ....
 > Non mi è tanto chiaro cosa intenda per spazio eterogeneo ed
 > anisotropo.
 >
 > Soprattutto cosa intenda dire con tempo non omogeneo.
Cominciamo col dire che quella frase io l'ho trovata a pag. della mia
edizione (inglese). Immagino che la tua sia la solita MIR in itliano.
Per fortuna ho fiutato che doveva essere all'inizio, e infatti sta in
un paragrafo intitolato "Galieo's relativity principle".
Visto che lo stai studiando, avrai visto che a quel punto è partito
con la lagrangiana e ha già scritto le eq. di Lagrange.
Se l'ed. inglese se la sbriga in 4 pagine, che cosa c'è nella trentina
di pagine di quella che hai tu?
 
Ne ricaviamo un insegnamento: non è buona pratica citare il brano di un
libro dando il n. della pagina, che può differire da un'edizione
all'altra.
Neppure il n. del pargrafo può bastare: per es. nel secondo volume mi
è capitato di recente di scoprire che un brano che nella mia edizione
stava al §89, in un'altra edizione aveva un numero più alto:
evidentemente era un'ed. più recente, dove erano state fatte delle
aggiunte.
Meglio dare il titolo del pargrafo (sperando che non sia stato
cambiato da un'edizione all'altra :-) )
 
Alberto Rasà ha scritto:
 > Intende fare una trattazione (un po' troppo!) semplificata del
 > famoso ed estremamente importante Teorema di Noether.
 > Con "Spazio eterogeneo" intende in realtà: la lagrangiana del
 > sistema fisico non è invariante per traslazioni spaziali.
 > Con "spazio anisotropo": la lagrangiana del sistema fisico non è
 > invariante per rotazioni spaziali.
 > Con "tempo non omogeneo": la lagrangiana del sistema fisico non è
 > invariante per traslazioni nel tempo.
 > ...
Non sono convinto che la tua interpretazione sia giusta.
La frase in questione sta quasi all'inizio del paragrafo, preceduta da
queste parole:
 
"In order to consider mechanical phenomena it is necessary to choose a
_frame of reference._ The laws of motion are in general different in
form for different frames of reference. When an arbitrary frame of
reference is chosen, it may happen that the laws governing even very
simple phenmena become very complex.The problem naturaly arises of
finding a frame of reference in which the laws of mechanics take their
simplest form."
 
Osserviamo intanto che solo dopo aver introdotto lagrangiana ed eq. di
Lagrange L&L ci fanno sapere che occorre un sistema di riferimento.
Fin lì hanno trattato di posizioni, veocità, accelerazioni, senza dar
sentore che tutti questi concetti richiedono un sistema di
riferimento.
L'osservazione sulla scelta del rif. la spiego proprio col caso
particolare della "non omogeneità del tempo".
 
Supponiamo che in certo Paese esista un dittatore che pretende di
regolare tutto secondo il suo arbitrio.
Per es. il tempo deve prendere come campione il *suo* orologio, e
nessuno si può azzardare a dirgli che quell'orologio è tutt'altro che
perfetto: un po' va avanti, un po' indietro, in modo del tutto
irregolare.
Non possiamo che compiangere i fisici di quello sfortunato Paese:
anche il moto di un corpo non soggetto a nessuna forza appare
complicatissimo, ora accelerato, ora rallentato...
 
Se invece gli orologi sono scelti bene, costruiti secondo le migliori
regole del mestiere, confrontati tra loro a messi in un sistema
diffuso (distribuzione del tempo) allora appare un ordine: i corpi non
soggetti a forze si muovono di moto rettilineo uniforme (per il
rettilineo non bastano gli orologi: anche le misure spaziali debbono
essere stato organizzate, diffuse, messe sotto controllo).
Si scopre addirittura questo fatto: in opportune condizioni, un
esperimento fatto oggi, se ripetuto domani darà gli stessi risultati.
È questo che s'intendo con "omogeneità del tempo".
 
Penso che si possa capire che cos'è omogeneità e isotropia dello spazio
senza che stia a spiegare.
 
Il teorema di Noether collega queste proprietà di omogeneitò e
isotropia all'esistenza di certe costanti del moto. Nel testo in
questione di ciò si tratta nel capitolo che segue, intitolato appunto
"Conservation laws".
Osservo che non mi pare ci sia alcuna citazione del teorema di Noether.
Il trattato di L&L è abbastanza vecchio, credo che la sua origine
risalga a prima della seconda guerra mondiale.
Il riconosciamento tra i fisici che la connessione tra leggi
d'invarianza e costanti del moto era stata stabilita appunto da Emmy
Noether nel 1915 fu molto tardivo. Posso testimoniare che durante
tutti i miei studi universitari (Roma, 1947-51) non ne avevo mai
sentito parlare.
-- 
Elio Fabri

 ...
 
 
 
 
Ringrazio per le risposte. Pure io avevo pensato una cosa del genere, se ho capito bene, ma non ne ero sicuro. Mi era venuta in mente una cosa molto strana; pensavo che Landau con tempo omogeneo intendesse dire "il tempo è stazionario". Come si sa un sistema è stazionario se non cambia le sue proprietà con il tempo, qui forse sarebbe come dire "il tempo non cambia le sue proprità nel tempo", che è un modo molto strano di dire le cose. Una cosa del genere magari si può dire per gli strumenti di misura del tempo, cioè gli orologi.
 
 
Poi non ho capito perché del Landau ne esistono così tante edizioni che differiscono fra di loro. Chissà chi le avrà fatte le aggiunte, forse Landau quando era ancora in vita.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Soprattutto cosa intenda dire con tempo non omogeneo.
 
Vuol dire che non scorre uniformemente... leggiti le parole di
 Newton al riguardo direttamente in latino. 
 
-- 
anth

 Elio Fabri
 
Curiosità legittima. L'indice, ma soprattutto una ventina di pagine sulla vita e la carriera di Landau, a firma di Lifsits. 
Un bozzetto forse un po' agiografico, che lascia trasparire un sincero affetto venato di commozione. 
O almeno così mi sembra.
I "pragmatici" anglosassoni avranno ritenuto superfluo...
Un saluto.


Infatti pensavo che l'OP si riferisse a questo :-)
E' interessante quello che dici sul fatto che LL introduca i riferimenti soltanto dopo aver introdotto velocità, accelerazioni e lagrangiana.
 
 
Secondo me voleva evitare di dover parlare subito di riferimenti inerziali (per i motivi che hai quotato), però il concetto di riferimento andava comunque dato in qualche modo! Certo, avrebbe dovuto parlare di parecchie altre cose, ed il testo era ideato per essere il più conciso possibile. Ma c'è un minimo, non si può fare meno del minimo! :-)
 
--
Wakinian Tanka

   scelto.
Non mi sembra proprio un erroe. Non fa meccanica di Newton, ma di 
Lagrange. E in quel capitolo sta spiegando cosa intende per sistema 
inerziale.
 
Giorgio

 particolare della "non omogeneità del tempo".
 
A me sembra che la scelta di L&L sia legittima (anche se non la 
condivido didatticamente; però loro si rivolgono a un lettore cui è già 
ben nota tutta la meccanica di Newton). Di fatto il volume sulla 
meccanica non parte dalle equazioni di Newton, ma da quelle di Lagrange. 
E se si formula la dinamica in termini di Lagrangiana il problema del 
riferimento non è così forte come nel caso newtoniano. Infatti le 
equazioni di Eulero-Lagrange sono invariantii per qualsiasi 
trasformazione puntale (a differenza delle eq. di Newton che costringono 
a introdurre le cosiddette forze apparenti).
 
Il riferimento serve a interpretare i risutati e giustificare le 
espressioni per la lagrangiana ma non è legato alla forma delle 
equazioni. Per questo L&L possono permettersi di ritardare il discorso 
sui sdr. Ovviamente non possono eliminarlo ma per questo c'e quella 
parte del testo.
 
Peraltro, trovo la def. che danno di sdr inerziale tra le migliori sul 
mercato, anche ritradotta nel caso della formulazione newtoniana: 
permette di formulare meglio dal punto di vista logico il I principio 
che sì, diventa un'affermazione sull'esistenza dei sdr inerziali, ma 
viene meglio disaccoppiato dal concetto di forza (che è il punto 
delicato di qualsiasi formulazione del I principio).
 
 
Giorgio


Io ho la 1a edizione, 1a ristampa, italiana, 1979.
Al 1 paragrafo del 1 capitolo, pag 27 (nelle pagine precedenti: breve biografia di Landau):
 
"La posizione di un punto materiale nello spazio è determinata dal suo raggio vettore r [in grassetto] le cui componenti coincidono con le sue coordinate cartesiane x, y, z. La derivata di r rispetto al tempo t,
v=dr/dt
si chiama velocità e la derivata seconda, d^2r/dt^2, accelerazione del punto.
...
Per determinare la posizione nello spazio di un sistema di N punti materiali è necessario dare N raggi vettori, cioè 3N coordinate."
 
Non dice come/dove prende queste coordinate cartesiane di r: le disegna su un foglio fissato alla superficie terrestre? O su un treno in movimento? Sul Sole? Su una stazione spaziale? Sulle stelle fisse?
 
--
Wakinian Tanka

 ha scritto:r>> Salve,sto leggendo/studiando per mio personale interesse il libro di Landau sulla Meccanica, il volume 1 della famosa collana di fisica teorica. Riporto qua sotto alcune righe che non riesco a capire tanto, prese dalle pagine 31-32:> > Secondo me c'è errore di impostazione, grave almeno didatticamente.> Se fa meccanica newtoniana deve accettare lo spazio e il tempo di>   Newton, definiti da postulati e indipendenti dal riferimento>   scelto.Non mi sembra proprio un erroe. Non fa meccanica di Newton, ma di Lagrange. E in quel capitolo sta spiegando cosa intende per sistema inerziale.
 
La meccanica analitica è fondata sulla meccanica di Newton...
I sistemi inerziali son già bell'e fatti quando si entra in
 meccanica lagrangiana. Da parte mia confermo la mia critica
 sommaria. 
 
-- 
anth


In quella che hai studiato tu, non in quella del Landau. 
 
--
Wakinian Tanka 

 In quella che hai studiato tu, non in quella del Landau.
 
Sì, ma è proprio quello che critico! e che secondo me non va. In
 tutta la meccanica classica lo spazio e il tempo sono quelli di
 Newton. 
Per scrupolo ho guardato in rete, SISSA di Trieste, Uni di: Pavia,
 Roma 3, Trento,  Milano (Carati - Galgani) tutti con Newton, poi
 ho smesso di cercare.
Per quale motivo preferisci, se è così, l'impostazione di Landau?
 
 
-- 
anth

 
 
Non è che la preferisco (ci sono pro e contro): è che lui *parte* con il principio di minima azione di Hamilton e poi ricava tutto quanto, in particolare la meccanica newtoniana. Era tutto qui il punto. 
 
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Wakinian Tanka