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Titolo: Condensatore e comportamento ai reofori

In un condensatore, fra le facce piane parallele e` presenta una lamina 
conduttrice, parallela alle armature, di massa m e carica totale q. 
Questa lamina e` libera di muoversi, non c'e` aria e neanche gravita`.
La lamina viene spostata per mezzo della tensione applicata alle 
armature del condensatore e controllata in modo che non vada mai a 
sbattere contro le armature (una specie di esperienza di Millikan).
Qual e` l'impedenza vista ai morsetti del condensatore, oppure qual e` 
la relazione differenziale i(v)? Un gruppo di colleghi fisici ha fatto 
un modello risonante, con una L, mentre a me pare che non saltino fuori 
delle L e non ci siano risonanze, ma solo una capacita` piu` grande. 
Probabilmente non ci siamo capiti sul problema iniziale :)
Qual e` il vostro parere?
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 Qual e` il vostro parere?
Secondo me, mettere una lamina tra le due armature del condensatore, è come
metterci due armature collegate tra loro da un conduttore, quindi con la
lamina inserita è come avere due condensatori in serie.
Se è così, con la lamina completamente inserita ( esattamente nel mezzo ) la
capacità del condensatore si dimezza, non aumenta.
Ma è solo una supposizione ;)
-- 
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 grande. Probabilmente non ci siamo capiti sul problema iniziale :)
Uso ovunque unita' gaussiane, pongo ' = d/dt.
Suppongo che le due armature del condensatore aventi
area A e aventi rispettivamente al tempo t cariche
Q(t) > 0 e -Q(t), giacciano rispettivamente nel
piano x = - L e x = L, con L^2 << A, e che al tempo
t la lamina di carica q > 0 giaccia nel piano x = x(t),
-L < x(t) < L.
Integrando tra -L e L il campo presente tra le armature
al tempo t si ottiene la differenza di potenziale tra le
armature al tempo t:
(1)  V(t) = 4 * Pi / A * (2 * Q * L - q * x),
isolando x nella (1) e derivando due volte rispetto
al tempo si ottiene, dato che la corrente che
attraversa il condensatore e' I = Q':
(2)  x'' = (2 * L * I' - A / 4 / Pi * V'') / q
la forza elettrostatica agente sulla lamina al tempo t vale:
(3)  m * x'' = 4 * Pi / A * q * Q,
sostituendo x'' ricavato dalla (2) nella (3) si ottiene:
(4)  m * (2 * L * I' - A / 4 / Pi * V'') / q = 4 * Pi / A * q * Q,
derivando la (4) rispetto al tempo e riordinando i termini si ha:
(5)  A / 4 / Pi * V''' = 2 * L * I'' - 4 * Pi / A / m * q^2 * I,
posto I = I_0 * exp(i*omega*t) e V = V_0 * exp(i*omega*t),
sostituendo nella (5) e isolando il fattore V_0 / I_0 si ottiene
l'impedenza complessa:
Z = V_0 / I_0 =
-i * [16 * Pi^2 * q^2 / A^2 / m / omega^3 + 8 * Pi * L / A / omega].
Come verifica controlliamo che nel limite q -> 0 e nel limite
m -> +oo si riottenga l'impedenza del condensatore senza
la lamina:
lim q -> 0 Z = lim m -> +oo Z = -i * 8 * Pi * L / A / omega =
- i / omeca / C,
ove C = A / 8 / Pi / L e' la capacita' del condensatore senza
la lamina.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

Aggiungo una precisazione al mio secondo messaggio,
in risposta a Stefano Busnelli, l'ultima dimostrazione
che ho scritto riguardo al fatto che la capacita'
del condensatore non varia inserendo una lamina fissa,
si applica nell'ipotesi aggiuntiva che la lamina sia oltre
che fissa anche scarica, altrimenti ad es. se la lamina e'
carica non e' vero che il campo dentro in condensatore
rimane invariato rispetto al caso in cui non e' presente la lamina.
E' invece vero, ed e' una semplice conseguenza del
principio di sovrapposizione, che la capacita' del
condensatore, definita come rapporto tra la carica
trasferita da una all'altra armatura e la conseguente
variazione di differenza di potenziale tra le armature,
non cambia inserendo una lamina carica e fissa.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Ma è solo una supposizione ;)
Suppongo, come in precedenza, che la lamina
(per definizione di lamina ;-) abbia spessore trascurabile.
Se C e' la capacita' del condensatore senza lamina inserita,
supponendo che la lamina sia _fissa_ esattamente nel mezzo,
il circuito allora equivale a due condensatori in serie di capacita'
ciascuno 2C, infatti l'area delle armature e' la stessa ma la
distanza e' dimezzata, quindi la capacita' equivalente e'
2C * 2C / (2C + 2C) = C, ed e' invariata rispetto al caso
senza lamina inserita.
Inoltre la capacita' equivalente risulta invariata anche se la
lamina e' fissa ma non e' inserita esattamente nel mezzo,
cio' si vede facilmente con un calcolo diretto condotto
sulla falsariga di quello sopra, o piu' semplicemente
considerando che, fissate le cariche sulle armature del
condensatore, la presenza della lamina non influenza
il valore del campo elettrostatico all'interno del
condensatore, quindi la differenza di potenziale tra
le armature rimane invariata e cosi' pure la capacita'.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 distanza e' dimezzata
Ostrega, non ci avevo pensato ;)


 
Grazie Giorgio, adesso me la studio. I_0 e V_0 sono valori complessi, vero?


 I_0 e V_0 sono valori complessi, vero?
Si', I_0 e V_0 sono le ampiezze complesse,
e in effetti il loro rapporto non e' reale ;-)
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani