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Titolo: Elica, meccanica razionale, e un termine strano che non mi aspettavo ;-)

Ciao a tutti...Avrei un piccolo problema che ora vi vado ad esporre...
Prima di fare la domanda vera e propria ho bisogno di spiegarvi la
situazione: un disegno sarebbe l'ideale, ma non avendolo mi tocca
annoiarvi con una descrizione del problema. Per chi volesse provare a
leggere subito la domanda, basta andare alla fine del messaggio...
Cominciamo:
Supponete di avere un'elica di una nave, e guardatela da poppa verso
prua (da dietro verso avanti ;-) ). L'elica ha diverse pale, ma a noi
interessa solo una di queste pale. Bene, per semplicità consideriamo
che la pala, per t=0 si trovi con l'apice in alto. L'elica ruota a
velocità angolare costante.
Fissiamo un sistema di riferimento inerziale destrorso che abbia asse
CSI verticale, asse ETA verso detsra, e asse ZITA in direzione
longitudinale, cioè da poppa verso prora.
Ora consideriamo una sezione cilindrica, cioè pensiamo di tagliare
questa pala con un cilindro coassiale con l'asse dell'elica. Fuori
dalla superficie laterale resta la zona alta dell'elica e dentro al
cilindro la zona bassa col mozzo e l'asse dell'elica.
Quello che ci interessa è determinare la risultante e il momento
risultante degli sforzi interni in quella determinata sezione
dell'elica.
Per fare questo dimentichiamoci della parte bassa dell'elica e
immaginiamo che ci sia solo la parte alta dell'elica e che questo
pezzo di solido stia ruotando, a velocità angolare costante, intorno
all'asse dell'elica.
Sulla sezione di pala fissiamo un punto O generico (rispetto al quale
ridurremo i momenti) e in questo punto centriamo un sistema di
riferimento XYZ con X in direzione radiale, Y in direzione tangenziale
e Z parallelo all'asse dell'elica.
Su questo rigido agiscono 2 sistemi di forze:
1) Le forze idrodinamiche che, ridotte rispetto ad O, anno risultate
RH e momento risultante MH (intese come vettori). Queste forze si
suppongono note.
2) Le forze interne, che possiamo chiamare di vincolo, con risultante
RV e momento risultante MV. Queste sono le nostre incognite.
Chiamiamo G il centro di massa ed m la massa del nostro pezzo di
elica.
Ora scriviamo le equazioni cardinali della dinamica.
La prima ci dice che:
RH+RV=m*aG
dove aG è l'accelerazione del centro di massa nel sistema inerziale
CSI,ETA,ZITA. Nota la velocità angolare costante w, diretta in senso
longitudiale, l'accelerazione di G è nota, e quindi sono note anche le
forze RV, in quanto:
RV=-RH+m*aG=-RH-FC
essendo FC la forza centrifuga.
Bene, fino a qui non ci sono problemi. Il mio problema arriva con la
seconda equazione cardinale, in quanto mi compare un termine che non
mi aspettavo che comparisse.
Vi spiego:
La seconda equazione cardinale la scrivo come:
d(LO)/dt=MV+MH - VO X m*VG
Dove LO è il momento angolare del pezzo di elica rispetto al polo O,
VO è la velocità di O nel sistema di riferimento inerziale, VG è la
velocità del centro di massa nel sistema di riferimento inerziale e X
indica il prodotto vettoriale.
Per inciso, essendo VO e VG parallele il secondo temrine si annulla,
ma lasciamolo scritto per ora.
Bene, ora dobbiamo sviluppare un pochino la derivata rispetto al tempo
del momento angolare.
Scrivo il momento angolare come:
LO=IO*w + (G-O) X m*VO
dove G-O è il vettore che va da O a G, w è la velocità angolare, * è
il prodotto tra matrici, IO è il tensore d'inerzia rispetto al polo O
(il sistema di riferimento in cui calcolare il tensore è un problema
che mi pongo dopo).
Derivando rispetto al tempo ottengo:
d(LO)/dt = d(IO*w)/dt + m*VG X VO + (G-O) X m*d(VO)/dt
Se infilo questo nella seconda equazione cardinale della dinamica
arrivo, semplificando VO X m*VG a:
d(IO*w)/dt + (G-O) X m*d(VO)/dt = MV + MH 
Resta da fare un piccolo conto sulla prima derivata.
Se lavoriamo in componenti rispetto al sistema di riferimento solidale
con il rigido, IO è costante e si può scrivere che
d(IO*w)/dt = IO*dw/dt + w X (IO*w) = w X (IO*w)
essendo w costante.
Bene, lavorando quindi in componenti rispetto al sistema di
riferimento XYZ solidale con l'elica risulta:
w X (IO*w) + (G-O) X m*d(VO)/dt = MV + MH
Di questa equazione sappiamo tutto tranne MV, quindi possiamo
ricavarci MV come
MV = -MH + w X (IO*w) + (G-O) X m*d(VO)/dt
Bene, facciamo un'ulteriore modifica aggiungendo e togliendo VG dentro
alla derivata di VO. Riscriviamo l'equazione come
MV = -[ MH - w X (IO*w) + (G-O) X m*d(-VG)/dt + (G-O) X m*d(VG-VO)/dt]
ECCOCI ARRIVATI AL MIO PROBLEMA ;-)
Il primo termine è il momento delle forze idrodinamiche rispetto ad O,
e ok...
Il secondo termine è legato all'inerzia del rigido per quanto riguarda
il moto di rotazione, e ok...
Il terzo termine l'ho aggiunto io, e rappresenta il momento della
forza centrifuga rispetto al polo O. E questo è quello che mi
aspettavo...però...
....quello che non mi aspettavo è il terzo termine, dove compare la
differenza tra le accelerazioni (nel sistema di riferimento inerziale,
ma in componenti rispetto al sistema mobile) del centro di massa e del
polo.
Quell'ultimo termine è quello che mi turba ;-) Sul testo che ho letto
(dove comunque non ci sono i calcoli ma solo il risultato finale in
componenti rispetto a XYZ) non c'è traccia del terzo termine...
Chiedo dunque a voi:
ho forse sbagliato da qualche parte ?
Grazie mille per l'aiuto...e scusate se vi ho annoiato ;-)
Ciao e 73-51 de Tartaruga .
..oO-=> TARTARUGA (* Gabriele *) <=-Oo.
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Packet CB: 
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"Chi dorme non piglia pesci, ma chi non dorme, alla fin fine...muore..."
(C) Tartaruga 1999 ;-)

 LO=IO*w + (G-O) X m*VO
Sbagliato questo, e dunque tutto il seguito. Il secondo termine a secondo
membro è (G-O)Xm*VG: ricorda che, fisicamente, dev'essere nient'altro che
il momento angolare, rispetto ad O, di tutto il  sistema " pensato come
concentrato nel baricentro " (teorema del Koenig). Ti lascio il piacere di
rifarti tutti i conti con la formula corretta e ti saluto, ciao,
Andrea

Andrea
Sono proprio curioso di scoprire l'inghippo...


LO= IG*W + m*VG X (G-O)
Ehm, sorry c'č un segno sbvagliato in questa ;-)
LO = IG*W + (G-O) X m*VG



Ciao, i tuoi conti sono tutti giusti a parte qualche segno.
Il terzo termine e` nullo perche` w e`costante e perp. a G-O per
cui d(VG-VO)/dt e` wX (w X (G-O)) parallelo a G-O.
Ciao, Valter

Ciao, Valter


 
E` vero, potresti avere ragione, pero` forse quello che
dici tu e` un modello piu` sofisticato di elica di quello
che hai citato con i conti. Il libro non dice nulla?
Cioe` non precisa in quale tipo di approssimazione lavora
(elica piatta).
Ciao, Valter

Ciao, Valter
Grazie...ciao...


MV = -[ MH - w X (IO*w) + (G-O) X m*d(-VG)/dt + (G-O) X m*d(VG-VO)/dt]
Dall'identita`:
VO=VG+wX(O-G)
dovrebbe aversi:
d(VG-VO)/dt=mw X d(G-O)/dt
con d(G-O)/dt ortogonale a G-O e dunque dovrebbe annullarsi
identicamente il successivo prodotto esterno per G-O penso.
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */

identicamente il successivo prodotto esterno per G-O penso.
E' un pò questo l'inghippo...siccome G-O non è ortogonale a w credo
che il prodotto vettoriale non si annulli:
d(G-O)/dt=VG-VO=wX(G-O)
dunque
(G-O) X m*d(VG-VO)/dt = m* (G-O) X ( w X (w X (G-O)))
ora, se G-O è ortogonale a w tutto si annulla, ma se invece G-O non lo
è il termine non si annulla.
Ad ogni modo credo che il contributo, rispetto agli altri termini del
problema, sia trascurabile, visto che, la NON ortogonalità di G-O, o
meglio, la componente di G-O non ortogonale a w, è sicuramente
piccola.
Grazie ancora per l'osservazione...
