Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Lavoro necessario per caricare una sfera

Salve.
Vorrei sapere perchè per caricare una sfera di cui si conosce il raggio
e si sa la carica da trasportare il lavoro necessario lo si riesce
correttamente a calcolare solo mediante la formula U= 1/2 QV. Mi spiego:
questa formula si può facilmente ricavare, ma dopo una serie di passaggi
matematici un po' archittetosi e quindi non spontanei (!!!), di quelli
che agli alunni piacciono poco.... Se lo si volesse spiegare partendo
dal significato di Lavoro come prodotto della carica per il potenziale
non si ottiene quell' 1/2 che poi rende esatto il risultato.
Qualcuno mi potrebbe insegnare la maniera meno scolastica possibile per
ottenere la giusta formula ma senza necessità dell'artefatto algebrico?
insomma perchè 1/2 quando L= carica x d.d.p. ? forse perchè V = 1/2
d.d.p. ?
Grazie.
illi
-- 
www.ilbarigelletti.org


Se sapessi cos'è un integrale sarebbe tutto molto semplice ma eccoti una 
spiegazione che spero non considererai troppo "architettosa".
Partiamo dalla tua posizione che, però, deve essere spiegata meglio: 
"lavoro come prodotto della carica per il potenziale". Ricordati che il 
potenziale è sempre definito rispetto ad un potenziale di riferimento e, 
siccome quello che interessa sono le DIFFERENZE di potenziale, si può 
sempre prendere il potenziale di riferimento in maniera che ci è più 
comoda. Qui si assume che il potenziale della sfera sia riferito 
all'infinito (= un punto infinitamente lontano dalla sfera) e che 
quest'ultimo abbia potenziale zero. Insisto sul fatto che questa scelta 
è arbitraria ma ci fa comodo.
Poiché immaginiamo di portare la carica dall'infinito alla sfera in 
questo caso dire che "il lavoro fatto verso la sfera è uguale al 
prodotto della carica per il potenziale della sfera" è effettivamente 
corretto.
Siamo anche d'accordo che "l'energia acquisita dalla sfera è uguale al 
lavoro fatto verso la sfera nel caricarla", vero?
Siamo vicini alla soluzione. All'inizio la sfera è scarica quindi il suo 
potenziale è zero; se portiamo una piccolissima carica dall'infinito 
alla sfera NON facciamo lavoro perché non c'è differenza di potenziale 
tra la sfera e l'infinito. Tuttavia questa carica crea una piccolissimo 
potenziale e la successiva piccola carica necessiterà di un piccolo 
lavoro per essere aggiunta e così via; man mano che aggiungo cariche il 
potenziale della sfera cresce ed il lavoro necessario per aggiungere 
ulteriori cariche aumenta.
Il potenziale della sfera cresce in modo proporzionale alla carica 
totale raggiunta e va da zero (all'inizio) a Q/C (alla fine) dove C è la 
capacità (una costante) della sfera ed è proprio definita come rapporto 
tra carica Q e potenziale V. Siamo alla fine e qui viene fuori l'ultimo 
passaggio critico se non si sanno gli integrali: alla fine abbiamo 
aggiunto una carica totale Q ma nel processo siamo passati da un 
potenziale zero al potenziale Q/C; dobbiamo fare il prodotto della 
carica per il potenziale ma quale potenziale prendiamo? quello iniziale 
(zero) o quello finale (Q/C)? Bè, viene fuori che il modo corretto (e 
anche intuitivo) è prendere quello intermedio cioè quello dato dalla 
media aritmetica: iniziale più finale diviso due (0 + Q/C)/2 = 1/2 Q/C.
E' spuntato magicamente il fattore 1/2, fai le sostituzioni opportune e 
trovi la formula finale!
Ti potrebbe venire un dubbio: perché non porto tutt'insieme e "di botto" 
la carica Q dall'infinito alla sfera quando il potenziale è zero e 
quindi non faccio nessun lavoro? L'hai pensato? Sai la risposta?
Ciao e spero di aver chiarito...
Daniele Fuà
Uni. Milano-Bicocca

 Ciao e spero di aver chiarito...
Ho capito, è come quando si deve calcolare il lavoro di una forza non
costante e quindi occorrono gli integrali. Ora è il potenziale a non
essere costante e quindi il lavoro si ottiene solo mediante il calcolo
integrale da cui viene fuori 1/2 nel risultato. Giusto?
Grazie.
illi
-- 
www.ilbarigelletti.org

 
Proprio cosě ma, a leggere le tua frase mi viene il dubbio che tu 
consideri il potenziale e le forze cose diverse; di fatto sono sempre 
parenti molto, molto stretti. In questo caso, per esempio, si potrebbe 
trattare lo stesso problema considerando il lavoro fatto contro la forza 
di Coulomb non costante tra la sfera che si carica e le piccole cariche 
che vengono man mano aggiunte. Otterresti, ovviamente, lo stesso risultato.
Daniele Fuŕ
Uni. Milano-Bicocca

 che vengono man mano aggiunte. Otterresti, ovviamente, lo stesso risultato.
Il potenziale e le forze sono grandezze fisiche diverse ( testimonianza
ne č il fatto che hanno unitŕ di misura differenti), ma so benissimo che
sono collegate tra loro : L = F prodotto scalare S; V= L / q.
Grazie
illi
-- 
www.ilbarigelletti.org

Il punto e' questo: quando tu dici L=Vq, con V stai indicando
la differenza di potenziale tra due punti dello spazio dovuta
al campo elettrico generato da un sistema di cariche *ferme*,
e con q indichi la carica che si sta muovendo tra i due punti.
In altre parole, nella valutazione di V non rientra il contributo
dovuto alla carica q, e le altre cariche restano ferme.
Prendi un condensatore scarico: la tensione tra le sue armature e'
nulla, ma sarebbe sbagliato dire che il lavoro per spostare una
carica Q da un'armatura all'altra e' nullo.
E' sbagliato applicare Q*V perche' stai spostando una carica
*facente parte* del sistema sul quale stai valutando la ddp, e
vai a modificare la restante distribuzione di cariche.
Quindi si procede cosi': tu sai che quello che conta e' solo la
disposizione iniziale e finale delle cariche.
Immagina di portare da un'armatura all'altra una carica *talmente
piccola* da non modificare sostanzialmente il campo elettrico.
In queste condizioni il lavoro, anch'esso piccolissimo, e' dL=V*dq.
Una volta fatto questo, la V sara' leggermente cambiata, anche se di
pochissimo, prendiamo un altro pezzetto di carica dq e abbiamo un altro
lavoro dL=V1*dq.
Avrai gia' capito che alla fine occorre sommare tutti questi "lavori
infinitesimi", e se conosci il calcolo integrale dovresti avere gia'
capito tutto :D
Supponiamo che tu conosca il calcolo integrale:
Si tratta di integrare V(q)dq tra 0 e Q, che e' la carica finale.
V(q)=q/C, C e' la capacita', che e' una costante.
Quindi integrando hai (1/2)*Q^2/C.
Se V e' la tensione finale, Q=CV, quindi (1/2)CV^2 oppure (1/2)QV.
Se non conosci il calcolo integrale puoi provare a immaginare la
quantitita' (1/2)QV come la superficie di un triangolo rettangolo
di base Q e altezza V.
Questo triangolo lo ottieni graficando V(q)=q/C, che e' una retta,
e tirando una riga verticale in q=Q.
Tu avevi parlato di una sfera, ma e' la stessa cosa .. e' come se la
seconda armatura fosse all'infinito.
Spero di non averti confuso ancora di piu' le idee :-<
Ciao
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/