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Titolo: Einstein e Yang-Mills

slave a tutti,
mi chiedevo cosa si ottiene se alla lagrangiana di Einstein-Hilbert (la
cui variazione da' le equazioni di Einstein) si aggiunge un termine
tipo Yang-Mills che mi sembra nelle notazioni in relativita' si possa
scrivere nella forma
sqrt[|det[g]|]R_{\mu\nu\alpha\beta}R^{\mu\nu\alpha\beta}.
Il conto della variazione non mi sembra difficile (direi che al solito
si usa che il fatto che la variazione rispetto alla connessione si
annulla sulle equazioni del moto, rimane la variazione rispetto alla
metrica esplitamente ) pero' e' sicuramente un po' lungo.
Cosa si ottiene? Quali sono gli aspetti interessanti e/o tipici di
queste equazioni di Einstein-Yang-Mills?
Grazie e saluti.

 metrica esplitamente ) pero' e' sicuramente un po' lungo.
Credo di averla fatta un po' semplice, non si puo' buttare via il
termine di variazione della connessione (che da' una derivata
covariante), anzi forse e' proprio il termine piu' importante perche'
porta ad equazioni con derivate terze nella metrica.
La domanda pero' rimane la solita: equazioni di questo tipo sono
studiate? Hanno proprieta' peculiari? sono applicate a modelli
specifici, chesso' cosmologici?
Grazie e saluti.

argo ha scritto:

Ciao,  termini di quel tipo  vengono fuori, insieme ad altri, come
controtermini di rinormalizzazione ad one-loop quando rinormalizzi in
spaziotempo curvo, per esempio l'azione di una teoria di campo
scalare...però entrare nei dettagli qui è un pò difficile.
Sono problematici perché danno luogo a soluzioni di
"autoaccelerazione", un pò come quelle che vengono fuori il
elettrodinamica non quantistica quando si cerca di fare un modello
dell'elettrone tenendo conto dell'autoforza. Ad un mio seminario una
volta mi è stato fatto notare che in realtà potrebbero essere usate
per spiegare l'attuale accelerazione espansiva dell'universo...ma non
me ne sono mai occupato.
   Ciao, Valter

 queste equazioni di Einstein-Yang-Mills?
Io non ti so dire niente, ma conosco uno che sa tutto sull'argomento.
E' il mio ultimo laureato (mi pare 6-7 anni fa) che ora fa un post-doc
a Brighton (UK).
La tesi non l'aveva fatta su queste cose, ma sul calcolo di Regge.
Poi durante il PhD in USA si e' buttato sulla cosmologia, e ora passa
il tempo a scrivere le piu' pazze lagrangiane che modificano quella di
Einstein-Hilbert :)
Qui non ho il suo indirizzo e-mail, ma puoi sempre cercare sue
pubblicazioni in ArXiv: si chiama Antonio De Felice.
 
-- 
Elio Fabri

dell'elettrone tenendo conto dell'autoforza.
Questo invece non lo sapevo, come del resto non conosco nulla
dell'elettrodinamica classica con le autoforze. Non mi e' chiaro un
aspetto in quel che dici: parli di ''autoaccelerazione'' perche' stai
tenendo in conto gli effetti di backreaction della materia sulla
metrica? Se invece supponi piccoli tali effetti (cioe' ti occupi di
risolvere le equazioni per la metrica con un tensore energia-impulso
assegnato)  le equazioni con due t. di Riemann contratti hanno qualche
altra particolarita'?
Grazie e saluti.

 Grazie e saluti.
Prego, ciao, Valter

 dovere usare materia ed energia oscura...
Una questione ancora: se modifico la lagrangiana della gravita', per
esempio con una funzione f(R) di Ricci o anche qualcosa di piu
complicato (contrazione di piu' Riemann...) chi mi garantisce che
ottengo qualcosa che avra' derivata covariante nulla (come deve essere
visto che avro' un tensore energia-impulso a secondo membro)? E gia'
che ci sono, come si mostra in generale che il tensore energia-impulso
ha derivata covariante nulla?
Grazie e saluti.


La dimostrazione della prima questione che sollevi è del tutto
generale.
Se hai un funzionale costruito come l'integrale rispetto al
quadrivolume invariante  di un campo scalare (tecnicamente la densità
di lagrangiana deve essere invariante per diffeomorfismi) costruito con
la metrica e sue derivate fino a qualche  ordine ma ANCHE con altri
campi tensoriali o spinoriali, allora si prova che da derivata
funzionale rispetto alla metrica di tale funzionale  (con un fattore
opportuno dipendente dalla metrica che sottointenderò) è un campo
tensoriale doppio simmetrico che ha sempre divergenza nulla.
Nel caso in cui il funzionale contenga altri campi oltre la metrica, il
risultato detto vale solo nei punti di stazionarietà del funzionale
rispetto alle variabili che non sono la metrica, altrimenti tale
ulteriore ipotesi non è richiesta.
Puoi trovare la dimostrazione per es sul Wald  appendice E  a p. 456.
Se consideri il funzionale come l'integrale di una funzione di un campo
scalare ottenuto per contrazioni dal tensore metrico o prodotti di
varie copie del tensore metrico, la derivata funzionale di tale
integrale ripetto alla metrica  deve avere divergenza nulla.
Applichiamo il teorema.
Se consideri il caso elementare in cui la funzione è lo scalare di
curvatura,
e quindi il funzionale è l'azione del campo gravitazionale (senza
parte dovuta lla materia),
la derivata funzionale risulta essere il tensore di Einstein R_{ij} -
(1/2) g_{ij}R ed hai che tale tensore deve avere divergenza nulla (in
questo caso il risultato vale anche in virtù delle identità di
Bianchi).
Il risultato continua a valere se consideri l'azione per il campo
gravitazionale data dall'integrale di una funzione scalare di qualche
scalare ottenuto contraendo prodotti
di tensori di curvature...
Per quanto riguarda il tensore energia impulso esso è definito, in RG,
dalla derivata funzionale dell'azione del campo di materia considerato
rispetto alla metrica. Questa azione è per costruzione invariante
sotto diffeomorfismi. Di conseguenza ottieni che
il tensore energia impulso è conservato nei punti di stazionarietà
dell'azione, cioé sulle equazioni del moto per la materia nel campo
gravitazionale assegnato.
Nota che questo risultato è indipendente dall'azione che usi per la
gravità, che può dunque essere una funzione scalare arbitraria delle
curvature come detto sopra: il tensore energia impulso si conserva
comunque sulle soluzioni del moto della materia a campo gravitazionale
assegnato.
Ti faccio notare una asimmetria che a volte sfugge. Se consideri il
sistema materia + gravità, dove l'azione della pura gravità è del
tipo generale integrale di  f(curvature)
detta sopra, le equazioni di Eulero-Lagrange per la gravità hanno la
struttura
tensore energia impulso della materia
                                  tensore contenente solo la metrica e sue derivate   (1)
Come detto prima il tensore a secondo membro ha divergenza nulla.
Tuttavia questo fatto  vale INDIPENDENTEMENTE dal fatto che le
equazioni di sopra siano soddisfatte.
La conservazione del tensore energia impulso invece richiede che le
equazioni del moto
(NON quelle di sopra, ma quelle che ottieneni stazionarizzando rispetto
ai campi di materia) siano soddisfatte.
Nel caso elementare questo fatto è ben noto: il tensore di Einstein ha
divergenza nulla sempre, NON solo sulle soluzioni delle equazioni del
moto per la gravità. Invece il tensore energia impulso ha divergenza
nulla SOLO sulle soluzioni delle equazioni del moto per la materia.
Ci sarebbe da dire molto sulla fisica del fatto che il tensore a
secondo memebro in (1) deve soddisfare vincoli interni (divergenza
nulla) indipendentemente dalle equazioni stesse.
Tale fatto ha come risultato (almeno nel caso elementare dell'azione di
Einstein-Hilbert,ma credo che la cosa sia generale) che le equazioni
per la gravità NON sono, da sole,  in grado di determinare la metrica
quando sono assegnate le sorgenti (materia) della gravità e ciò
riflette il fatto che parte della metrica e legata al sistema di
coordinate che noi scegliamo per descriverla... 
   Ciao, Valter

L'equazion (1) doveva essere:
          tensore energia impulso della materia
                                            tensore contenente solo la metrica e sue derivate   (1)
Non ho capito perché, ma è sparito il segno di uguaglianza...
    Ciao, Valter

E' sparito nuovamente il segno di UGUALE!
Ripeto:
  L'equazione (1) doveva essere:
        tensore energia impulso della materia
                                            UGUALE


 Ti faccio notare una asimmetria che a volte sfugge.
[...]
E' vero a me era sfuggita, ed e' molto interessante.
Certo la asimmetria nasce dal fatto che si suppone esistano due termini
separati nell'azione. Uno che contiene solo la metrica ed uno che
contiene anche altre variabili dinamiche (cioe' altri campi). Direi
quindi che nei modelli in cui la costante di Newton e' in realta' un
campo dinamico (scalari-tensoriali?) non esista l'azione della gravita'
ma solo un'azione di materia tutta insieme da variare rispetto a campi
e metrica: mi aspetto che in questo caso ci sia un solo tensore a due
indici simmetrico a divergenza nulla ma solo sulle equazioni del moto
per i campi . Mi sbaglio?
Grazie ancora.

 dovere usare materia ed energia oscura...
Puoi dare qualche riferimento su arxiv riguardo questi nuovi modelli?
Riescono a dare conto delle recenti osservazioni sul lensing gravitazionale
di Chandra che mostrano una forte evidenza della presenza di dark matter?
Ti ringrazio.
-- 
Mostratemi un relativista culturale
a 2000 metri e io vi mostrerò 
un ipocrita (R. Dawkins)


Ciao, non è il mio campo per cui non è facile nè rispondere alla tua
domanda nè  darti referenze. Il punto è questo a settembre sono stato
invitato a tenere un talk al congresso della SIGRAV e  c'era una vasta
sezione dedicata alla materia oscura, durante i talks su questo
argomento c'è stata un pò di discussione sulla questione se le teorie
f(R) fossero osservativamente equivalenti a quelle con materia/energia
oscura.
Guarda un pò questi tre e le citazioni e le referenze:
Modified f(R) gravity consistent with realistic cosmology: From matter
dominated epoch to dark energy universe.
Shin'ichi Nojiri (Nagoya U.) , Sergei D. Odintsov (ICREA, Barcelona &
Barcelona, IEEC) . Aug 2006. 12pp.
Published in Phys.Rev.D74:086005,2006.
e-Print Archive: hep-th/0608008
Modified f(R) gravity consistent with realistic cosmology: From matter
dominated epoch to dark energy universe.
Shin'ichi Nojiri (Nagoya U.) , Sergei D. Odintsov (ICREA, Barcelona &
Barcelona, IEEC) . Aug 2006. 12pp.
Published in Phys.Rev.D74:086005,2006.
e-Print Archive: hep-th/0608008
 f(R) Theories of gravity in Palatini approach matched with
observations.
S. Capozziello, Vincenzo F. Cardone (Salerno U. & INFN, Salerno) , M.
Francaviglia (Turin U., Math Dept.) . Oct 2004. 14pp.
Published in Gen.Rel.Grav.38:711-734,2006.
e-Print Archive: astro-ph/0410135
e forse anche questi, più vecchi ma di argomento attinente a questo
thead:
Accelerated cosmological models in Ricci squared gravity.
Gianluca Allemandi (Turin U., Math Dept.) , Andrzej Borowiec (Wroclaw
U.) , Mauro Francaviglia (Turin U., Math Dept.) . Jul 2004. 26pp.
Published in Phys.Rev.D70:103503,2004.
e-Print Archive: hep-th/0407090
Accelerated cosmological models in first order nonlinear gravity.
Gianluca Allemandi (Turin U., Math Dept.) , Andrzej Borowiec (Wroclaw
U.) , Mauro Francaviglia (Turin U., Math Dept.) . Mar 2004. 23pp.
Published in Phys.Rev.D70:043524,2004.
e-Print Archive: hep-th/0403264
ciao, Valter