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Titolo: ma che volevi dire feynman?

visto che spesso in questo newsgroup ricorrono riferimenti a "qed, la
strana teoria della luce e della materia" (di richard feynman) , volevo
scrivere un post, rivolto ai piu' "esperti", in cui delineare il
collegamento fra le regole che enuncia fey e quelle che ci insegnano
all'universita' :-). mi sembrava tutto chiaro, ma quando mi sono messo a
fare i conti, come spesso succede :-), mi sono reso conto che cosi' non
era. visto che fey ahime' e' dall'altra parte, forse qualcuno puo'
spiegarmi la questione al suo posto.
a pag 113 c'e' scritto:
"un fotone,..., ha un'ampiezza di probabilita' di andare da un punto A
ad un punto B dello spazio tempo che e' indicata da F(A,B) ed e'
espressa da una formula che dipende solo dalla differenza di posizione
(X2 - X1) e dalla differenza di tempo (T2 - T1). in effetti e'
semplicemente l'inverso della differenza dei loro quadrati, cioe'
dell'intervallo I che puo' essere scritto (X2 - X1)^2 - (T2 - T1)^2".
bene, fey qui sta parlando di una funzione di green dell'equazione di
klein-gordon a massa nulla, o se vogliamo dirla in un altro
modo di una soluzione a simmetria iperbolica della suddetta equazione, 
infatti
(d^2/dt^2 - d^2/dx^2 - d^2/dy^2 - d^2/dy^2) F(t,x,y,z) = 0
F(t,x,y,z) = F(I) = 1/(x^2 + y^2 + z^2 - t^2)
I = x^2 + y^2 + z^2 - t^2
come si collega tutto cio' alla teoria dei campi?
in teoria dei campi si definisce il propagatore per una particella
scalare a massa nulla come:
D(A,B) = <0|T[f(B)f(A)]|0>
T[f(B)f(A)] = f(B)f(A) se t_B > t_A
             = f(A)f(B) se t_A > t_B
che e' diverso da F. (D si chiama: propagatore di feynman :-))
usare F al posto di D non cambia la fisica?

 D(A,B) = <0|T[f(B)f(A)]|0>
Quel che so io e' che la funzione D(x,t)=<0|T f(x,t)f(x0,0)|0>,
soddisfa "quasi" la stessa equazione cui soddisfa f(t) ma, a causa
dell'ordinamento temporare T, nel secondo membro si produce una
funzione delta; che e' quello che si vuole per avere una funzione di
Green.
La funzione D(x,t) ha rappresentazioni integrali di vario tipo,
compresa la rappresentazione a "cammini" di Feynman. Nel caso della
particella libera, si conosce il valore in forma chiusa, che e' detto
"propagatore di Feynman" tout-court. Ma (e qui inizia la parte
lacrimevole della storia), la forma semplificata che hai dato tu
all'inizio non coincide con nessuna di queste rappresentazioni.
Michele
-- 
Signature under construction. 

 all'inizio non coincide con nessuna di queste rappresentazioni.
Lo so che F sui libri di fisica non si trova, da cui la necessita' di 
questo thread. Per l'idea che mi sono fatto, usare F al posto di D non 
dovrebbe fare differenza. Ma qui ci vorrerebbe il parere di un esperto, 
di quelli buoni, come hai detto :-).

 scritto e' priva di senso.
Come ho gia' detto, occorre *in ogni caso* definire bene la f. di
Green come distribuzione.
Quello che chiami "insieme d'integrazione" e' un espediente per fare
questo.
Facciamo un esempio molto piu' semplice. Poi non so se avro' tempo e
voglia di descrivere per bene il caso che interessa...)
Abbiamo l'equazione
F'(x) = delta(x)   (1) (equazione tra distribuzioni!)
Trasf. di Fourier:
-ik*G(k) = 1 (chiamo G la TdF di F).
G(k) = i/k + c*delta(k).
Il secondo termine e' necessario per dare l'integrale generale
dell'equazione. Lascio a voi di verificare che l'antitrasformata di G
e' appunto la soluzione generale della (1).
Al variare di c (costante complessa) si possono ottenere infinite f.
di Green, di cui 3 hanno espressioni semplici:
1) la "parte principale"
2) la delta+
3) la delta-
Pensate come applicate a una funzione di prova che sia analitica fuori
dell'asse reale, la 2) e la 3) corrispondono a scelte del cammino
d'integrazione sopra o sotto al polo in k=0 (oppure sotto o sopra? non
me lo ricordo...).
Nel nostro caso la TdF mostra una 1/(w^2 - k^2) piu' un termine
"omogeneo" che e' una comb. lineare di delta(w-k) e di delta(w+k) (k e'
il modulo 3-dim. del vettore).
Antitrasformando, l'integrale su k vettore si fa senza problemi, e
resta l'integrale su w.
Scegliendo i coefficienti delle delta, si hanno 3 soluzioni interessanti:
1) la soluzione ritardata R, che corrisponde ad aggirare i due poli (in
k e in -k) dal disopra.
2) la soluzione anticipata A, che corrisponde ad aggirare i poli dal
disotto.
3) la soluzione di Feynman F, che aggira -k da sotto e +k da sopra.
Espressioni esplicite:
R = -delta(r-t/(4*pi*r)
A = -delta(r+t)/(4*pi*r)
F = -delta+(t^2 - r^2)/(2*pi).
La caratterizzazione fisica di F e' che per t>0 contiene solo
frequenze positive, per t<0 solo frequenze negative.
P.S. Questa roba la insegnavo oltre 30 anni fa nel corso di Fisica
Teorica. Se non avessi trovato una preziosa paginetta di miei appunti,
intitolata "Funaioni di Green dell'eq. di d'Alenbert", col cavolo che
avrei potuto scrivere quanto sopra...
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 Qui non ti seguo.
Parlavo dei *path integrals*, naturalmente. Dare un'idea di cosa siano
non e' facile, specie senza la possibilita' di scrivere formule; ma
forse un parallelo puramente matriciale ti potrebbe far intravedere
la tecnica sottostante. Se nel seguito dico delle cose  a te arcinote
e/o ovvie, ti chiedo scusa.  Lo sai, io sono uno scrive per
passione :)
Immagina di avere le matrici D e W legate dalla relazione D=Exp[i*W] e
sia N un intero molto grande (i=unita' immaginaria). Considera
l'indentita' :
  D=( exp[i W/N] ) ^ N= exp[iW/N]*exp[iW/N]*exp[i W/N]* .....
Poniamo G=e^(iW/N). Immagina ora di introdurre gli indici matriciali
(due per ogni fattore; per brevita' x1,x2,x3,x4 ...xN) e di
effettuare i prodotti con la nota regola del prodotto matriciale:
  D(x1,xN)=  Sum[     G(x1,x2)*G(x2,x3)*G(x3,x4)* ...* G(xN-1,xN)   ] 
sommando cioe' sugli indici ripetuti:  su x2, su x3, etc.
Essendo ogni G di tipo esponenziale, il prodotto di tutti i G si
potra' certamente scrivere nella forma di un solo esponenziale
exp[i*S], dove pero'  l'esponente dipende da tutti gli indici di
somma: S=S(x1,x2,x3 .... xN).
Anche la somma multipla su tutti gli indici intermedi x2....x(N-1)
potrebbe essere sintetizzata: invece di dire che stiamo sommando su N
indici discreti x1,x2,x3 ... possiamo dire che siamo sommando
exp( i*S[x(t)])  *su tutte le successioni x(t)* che passano  per i
due punti  (x1,0) e  (xN,N):
        D(1,N)= Sum[  exp( i*S[x(t)] ),     x(t) ] 
Per N->infinito,  x(t) da successione diventa funzione, S[x(t)]
diventa un funzionale, e la somma diventa un integrale di Feynman; in
pratica, un integrale con infinite variabili di integrazione,
collettivamente indicate  con x(t):
            D(1,N)= Integrate[  exp( i* S[x(t)] ) *  d x(t) ] 
In sostanza, ogni percorso x(t) che congiunge i due punti [0,x(0)] e
[N,x(N)] rappresente un possibile insieme di indici e fornisce un
contributo al valore finale di D, di intensita' proporzionale a
exp(i*S[x(t)]). 
Inoltre, si puo' dimostrare che il contributo piu' grosso proviene da
quella funzione x=X(t) che minimizza S in senso variazionale
(principio della fase stazionaria), mentre le altre x(t) sono delle
"fluttuazioni" intorno al contributo principale.
Fin qui e' tutta matematica. Pero'   e' anche  chiaro che il metodo
puo' essere applicato in quei campi della Fisica descritti da qualche
Principio Di Minimo; basta identificare S con l'azione hamiltoniana
del sistema e andare avanti. Nella fisica quantistica, la soluzione
estremale x=X(t) e'  l'approssimazione classica; le "fluttuazioni"
sono le correzioni quantistiche o semiclassiche che dir si voglia.
Nella fisica statistica, X(t) e' la Termodinamica dei valori medi
(P,T,U, etc ... PV=nRT etc), e le "fluttuazioni" sono le fluttuazioni
statistiche propriamente dette (che hanno le proprie leggi). 
Nell'esporre queste considerazioni, ho molto semplificato (operatori
non commutativi; ordinamento temporale T, etc), ma spero di esserti
stato utile comunque.


 e' lo stesso che  1/(r^2-t^2) ...
Perche' il laplaciano non e' in 3D ma in 4D. 
Vediamo, alla buona come dimostrare che la parte principale a frequenza
positiva di 1/(t^2-x^2) e' soluzione dell'equazione di Green. Se poniamo
t -> i t  e mettiamo alla delta il coefficiente che deriva dal 
cambiamento dell'elemento di volume troviamo laplaciano F = i delta. Si
tratta di un laplaciano euclideo che ha una soluzione semplice in analo-
gia con l'equazione di Poisson allorche' le densita' che consideriamo 
hanno la stessa forma delle densita' per l'equazione di Poisson. Ovvero
proprio k/2 i / s^2 dove s e' l'intervallo. Mentre k e' la normalizza-
zione pari all'inversso dell'ipersuperfice della sfera in dimensione 
quattro. Il coefficiente ½ viene dal fatto che il campo il cui flusso e'
conservato e'  il gradiente della soluzione ovvero vogliamo imporre che
-ik/s^3 integrato sulla superfice sia pari ad uno. Siccome la superfice
in dimensione quattro e' 2(pi)^2 questo fattore di normalizzazione e' 
1/2(pi)^2. Allora troviamo che la funzione di Green cercata e' 
i/(2pi)^2 * 1/(s^2). Che funziona bene solo se le densita' su cui e' 
convoluta hanno un comportamento asintotico in zero adeguato.  Questa 
funzione di Green comunque non e' nulla fuori dal cono luce. 
Tornando alle variabili reali l'algebra procede allo stesso modo ed ora
se scegliamo la regolarizzazione che scelse Feynmann, mi riferisco ad 
esempio al volume "Quantum mechanics and path integrals". Li' usa quella
che chiama F(t,x) = i/[(2pi)^2(t^2-x^2-ieps)]  e dice che questa e'
uguale a 1/(4pi) delta+(t^2-x^2) dove definisce delta+(x) come lim per
eps che tende a zero di - pi i/(x -i eps).  
Ora ci sono delle incongruenze. Da una parte Fabri dice che 
F(t,x) = - 1/(2pi) delta+(t^2-x^2), che e' una formula diversa da 
quella riportata da Fabri, dall'altra se uno sostituisce
la definizione di delta+ di Feynman nella formula che lui scrive trova 
un'altra espressione rispetto a quella del rigo sopra. Sembra
allora che la definizione corretta debba essere 
delta+(x)=-1/(i pi)(x-ieps).
Ora l'unica formula di cui mi fido e' quella del primo rigo scritto
da Feynman che corrisponde con quella che ho trovato anch'io dalla
valutazione indiretta che ho indicato sopra. Con un poco di laboriose
elaborazioni trovo che questa funzione puo' essere riscritta come
D+(t,x) theta(t) + D-(t,x) theta(-t) dove le funzioni D+ e D-
sono i valori di aspettazione di [phi+(t,x),phi-(0)] ed il valore
di aspettazione di [phi-(t,x),phi+(0)]. Dunque si tratta di soluzioni
della parte omogenea dell'equazione di Klein Gordon. Ma c'e'
una differenza. Queste due soluzioni sono ora incollate nella
sezione t=0 su questo piano c'e' dunque una condizione di discontinuita'
nelle derivate che da' luogo alla funzione delta quanto applico il
D'alambertiano. 
C'e' un altro modo di ottenere il propagatore di Feynmann, ovvero 
prendere il propagatore di Lienard Wiechert che sarebbe il D_ret 
scritto dal Fabri e togliere la componente a frequenza positiva di
D(t,x) = [phi(t,x),phi(0,0)] ovvero D+(t,x). E poi un modo piu' 
simmetrico che consiste nel prendere D_ret sommargli D_adv e 
sommare al risultato una soluzione dell'omogenea.  
Infine voglio proporre questa osservazione: esiste una soluzione
simmetrica per l'equazione di Green che pero' mi sembra che non 
sia usata. Si tratta di 1/2[D_ret+D_adv]. E' simmetrica per inversione
temporale e per parita', ed inoltre e' causale. Anzi a dire la verita'
e' nulla ovunque eccetto che sul cono luce. Perche'?
Ed ancora una domanda: cosa cambierebbe se uno usasse funzioni
di Green non simmetriche. Faccio presente che la risposta non e'
ovvia dato che ogni ampiezza implica in effetti la valutazione di
una gerarchia infinita di funzioni di Green, ma mi piacerebbe sapere
se qualcuno in qualche articolo o in qualche pubblicazione ha 
affrontato questi temi. 
Uno mi puo' rispondere che il teorema di Wick ed il T ordinamento
implicano necessariamente quelle funzioni di Green e non altre. Ma io
obietto che il punto delicato di tutta la faccenda e' proprio il 
T ordinamento. Il T ordinamento implica una nozione di simultaneita'
ampiamente discutibile dal punto di vista logico. In primo luogo
il T ordinamento implica sezioni di raccordo differenti per ogni 
sistema di riferimento in altre parole la trasformata della funzione
di Feynmann non e' la nuova funzione di Feynmann. 
                                    Thanks in advance. 
-- 
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Tetis wrote:
 >
 > Infine voglio proporre questa osservazione: esiste una soluzione
 > simmetrica per l'equazione di Green che pero' mi sembra che non sia 
usata. Si tratta di 1/2[D_ret+D_adv]. E' simmetrica per inversione
 > temporale e per parita', ed inoltre e' causale. Anzi a dire la verita'
 > e' nulla ovunque eccetto che sul cono luce. Perche'?
Nota che gli stati quantistici NON sono locali: implicano correlazioni
al di fuori del cono di luce (nei valori di aspettazione di prodotti di 
campi e simili).
Il propagatore di Feynman (che ha dentro il vuoto di Minkowski), infatti 
non soddisfa
F(x,y)=0 se x e y sono causalmente separati (x-y di tipo spazio cioe').
La funzione a due punti che proponi tu invece soddisfa tale richiesta.
Questo e' un primo indizio per cui essa difficilmente puo' essere 
associata ad uno stato quantistico. In effetti non credo che lo sia. 
Bisognerebbe tirare fuori la funzione di Wightman a due punti assumendo 
che quello che dici tu sia un "propagatore di Feynman".  Mi ci gioco
qualcosa che la funzione di W. che ne esce non e definita positiva
per cui non induce un prodotto scalare hilbertiano. Purtroppo non ho 
tempo per pensarci.
 > Ed ancora una domanda: cosa cambierebbe se uno usasse funzioni
 > di Green non simmetriche. Faccio presente che la risposta non e'
 > ovvia dato che ogni ampiezza implica in effetti la valutazione di
 > una gerarchia infinita di funzioni di Green, ma mi piacerebbe sapere
 > se qualcuno in qualche articolo o in qualche pubblicazione ha 
affrontato questi temi.
Nello spaziotempo piatto c'e' troppo poco spazio per rendersi conto
della questione pienamente (in un certo senso e' tutto legato 
all'unicita' del vuoto invariante rispetto a Poincare' che lascia poca
liberta'). Prendendo varieta' con un gruppo di isometrie piu'
piccolo o addirittura senza isometrie, queste questioni diventano
molto piu' interessanti e se ne capisce la profondita'...
Esistono diversi lavori che si occupano della cosa (io stesso uso tutta 
la tecnologia generale nella mia attivita'di ricerca),
ma sono molto tecnici.
Un libro che affronta ab ovo la questione della definizione di stato
quantistico su uno spaziotempo generico (globalmente iperbolico)
e' quello di R. M. Wald: Quantum Field Theory in Curved Spacetime and
Black Hole Thermodynamics, Chicago University Press 1994
 > Uno mi puo' rispondere che il teorema di Wick ed il T ordinamento
 > implicano necessariamente quelle funzioni di Green e non altre.
Infatti e' cosi' (mettici anche lo sviluppo di Dyson nelgi ingredienti), 
nello spaziotempo piatto e riferendosi al vuoto di Minkowski. Nello 
spaziotempo curvo le cose invece sono molto piu' complesse...
 > Ma io obietto che il punto delicato di tutta la faccenda e' proprio 
il T ordinamento. Il T ordinamento implica una nozione di simultaneita'
 > ampiamente discutibile dal punto di vista logico. In primo luogo
 > il T ordinamento implica sezioni di raccordo differenti per ogni 
sistema di riferimento in altre parole la trasformata della funzione
 > di Feynmann non e' la nuova funzione di Feynmann.
Le cose che hai scritto sopra le puoi vedere a livello di teoria della
rinormalizzazione ed in tal caso, e' vero che il T prodotto ha 
un'ambiguita'...
Ma non credo che tu voglia mettere la cosa su tale livello. Rimanendo a 
livello elementare, NON e' vero che
"Il T ordinamento implica una nozione di simultaneita'
  ampiamente discutibile dal punto di vista logico. In primo luogo
  il T ordinamento implica sezioni di raccordo differenti per ogni
  sistema di riferimento in altre parole la trasformata della funzione
  di Feynmann non e' la nuova funzione di Feynmann. "
Dimostrazione.
Prendiamo il campo scalare f.
Fissa un riferimento Minkowskiano (orientato positivamente nel tempo) e 
definisci il T prodotto rispetto ad esso. Cambiando riferimento 
Minkowskiano ma preservando l'orientamento temporale (usando cioe' il
sottogruppo gruppo ortocrono di Poincare'), un segmento di tipo causale
x-y rimane tale e non si inverte l'ordinamento temporale. Sia T' il T
prodotto rispetto ad un nuovo riferimento connesso al primo con una 
trasformazione ort. propria. e siano t e t' le coordinate temporali dei 
due riferimenti.
Supponi che x-y sia di tipo causale e t(x) > t(y), allora questo deve 
rimanere cambiando riferimento: t'(x) > t'(y). Dalla definizione di T 
prodotto verifichi subito che, in tal caso Tf(x)f(y) = T'f(x)f(y).
Lo stesso ragionamento vale se t(y) > t(x) con x-y causale.
Nel caso che x-y sia di tipo spazio, valendo:
[f(x), f(y)] = 0 se x e y sono causalmente separati, cioe' il segmento
                  x-y e' di tipo spazio
ottieni che il T prodotto non ha alcun effetto:
Tf(x)f(y)= f(x)f(y) = f(y)f(x)
Dato che l'essere x-y causalmente separati e' un fatto assoluto, non 
dipendente dal riferimento, nel caso in esame otterresti anche
T'f(x)f(y)= f(x)f(y) = f(y)f(x)
e quindi
Tf(x)f(y)= T'f(x)f(y)
Quindi in _tutti i casi_
Tf(x)f(y)= T'f(x)f(y)
purche' i riferimenti siano connessi da una trasformazione del
sottogruppo ortocrono.
Purtroppo non posso scrivere di piu' (per i fermioni ci sarebbe
ancora da dire qualcosa).
Ma sono troppo impegnato e chissa' quando riusciro' a re-replicare
alle tue repliche. Spero che Elio possa intervenire al
mio posto...
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 mio posto...
Grazie per la pazienza.
E buon lavoro.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 delta+(x)=-1/(i pi)(x-ieps).
Scusa la mia ignoranza, Tetis: come vengono definite le delta+ e le
delta-? Io so solo che: 
                1/(x-i0)=P 1/(x-i0)+i*pi*delta(x)
e (nello spiegarmi) puoi dare come assunto che so aggirare i poli nel
piano complesso.


 di ordine zero rinormalizzata e' una buona funzione di Wightman.
Non intendevo dire che la tua funzione di Green fosse una funzione di
Wightman: non puo' esserlo perche' queste ultime soddisfano l'equazione
omogenea senza delta a secondo membro, mentre la tua funzione ha la 
delta. Intendevo che la funzione si potrebbe prendere esattamente come 
un (nuovo) propagatore di Feynman. Ora esiste una relazione tra funzioni 
di Wightman W e propagatore di Feynman F; e' una cosa del genere
F(x,y) = Y(t(x)-t(y)) W(x,y) + Y(t(y)-t(x)) W(y,x)
t e'una coordinata temporale minkowskiana e Y e' al solita funzione a 
gradino che vale zero per argomenti <0 e 1 altrimenti.
Tale relazione si puo' invertire (ti lascio i dettagli), per cui
si ricava W in funzione della funzione di Green F, nel tuo caso
la media tra Adv e Rit. Come e' noto le funzioni di W determinano lo 
stato tramite la procedura di Wick esattamente come accade per il vuoto
di Minkowski ammettendo che lo stato sia, nella terminologia moderna 
"quasi-libero". Di fatto W, tramite il teorema GNS, definisce un 
prodotto scalare in uno spazio di Hilbert ad una particella...
Quello che volevo dire e' che, mi aspetto che la funzione di W associata
alla tua funzione di Green produca un prodotto scalare non positivo per 
cui tutta la costruzione crollerebbe...
Scusa ma non riesco a dire di piu' per il tempo a disposizione.
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html


 


 
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html


 > peregrina
Non parlavi di "intepretare" statisticamente, ma di "ottenere" la MQ. 


 
Ciao, scusa ma non riesco a seguirti. In particolare quello che
scrivi sulla quantizzazione  di Wheeler De Witt: le ampiezze 
_supersimmetriche_?? Nel senso della teoria della supersimmetria?
"Rottura di simmetria di origine cosmologica". Ma cosa vuoi dire in 
realta'? Faccio molta fatica a seguirti! O meglio, ti seguo per un po',
ma poi c'e' un'esplosione di parole e concetti uno dietro l'altro
che rendono il tutto incomprensibile, almeno per me.
Ho recentemente scritto il review dell'ultimo libro di Bryce DeWitt,
che racchiude la sua opera completa, per l'American Mathematical Society 
(in MathSciNet), ma non mi pare di avere visto quelle cose nel libro o 
per lo meno scritte cosi'!
Ora sparisco davvero, devo finire i lucidi per un convegno e mi sono 
preso una pausa, ma dalla prossima settimana risparisco del tutto.


 Ciao, scusa ma non riesco a seguirti.
Questo mi conforta :-))


 Non sono mica Elio Fabri, che sa tutto :-)
Mica vero...
E' vero che m'impiccio di un sacco di cose, ma uno che facesse
attenzione potrebbe scoprire che ci sono cose di cui non parlo, di
solito appunto perche' non le so :-)))
Pero' la TdF di delta+(t^2-x^2) la so fare ;-)
Senza nemmeno dover guardare gli appunti, che mi servirebbero solo per
ricordare qual e' delta+.
Quando ci sono queste "dualita'" ho sempre difficolta' a ricordare
"which is which"...


 Michele


 che avevo sbagliato.
Fiuuu... sono almeno riuscito a tranquillizzarmi sul fatto che messi a posto
i
coefficienti nel modo che ho indicato nella e-mail precedente il
resto potrebbe essere corretto considerando le trasformate
distribuzionali. L'idea è questa: considero la soluzione regolarizzata
in coordinate polari. Esprimo il laplaciano sfruttando la simmetria
sferica della soluzione, calcolo esplicitamente le derivate distribuzionali,
la soluzione regolarizzata non è allora soluzione per l'equazione
di Green, tuttavia, risulta soluzione di un'equazione in cui
abbiamo aggiunto alla funzione delta(s) una grandezza asintoticamente
uguale a -i eps'/(s-i eps/s)^3. Questa grandezza è regolare sia in zero
che in s -> oo. La trasformata di Fourier di questa funzione si riduce
ad un numero + i eps + o(eps). Allora l'equazione:
-D^2 G = delta - i eps'/(s-i eps/s)^3 diventa
K^2 G = 1 - i eps' + eps'(k). Che riproduce identicamente lo sviluppo
della regolarizzazione G = 1/(k^2 + i eps) al primo ordine in eps.
dunque se nella funzione sta delta+ in effetti nella trasformata di
Fourier sta delta-. C'è da fare un discorso di dettaglio considerando
lo spazio delle funzioni test, i prodotti scalari ed i limiti delle
trasformate, però il succo è questo e dovrebbe esser possibile
metterlo in ordine.
