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Titolo: Elettrodinamica classica.

Due sfere concentriche cariche con carica +Q e -Q rispettivamente sono
in moto periodico, non sono ferme, le due sfere possono,
eventualmente, attraversarsi. Ho alcune questioni da porre: assumendo
che i campi elettrici siano calcolati utilizzando solamente potenziali
ritardati:
1) Il campo elettrico � sempre radiale, per simmetria SO(3) delle
sorgenti, anche il campo magnetico � sempre radiale per simmetria SO
(3), dunque il vettore di Poynting � nullo, cio� non c'� flusso di
energia esternamente ai gusci, entrambi i campi sono periodici, dato
che allora la densit� di energia deve essere costante possiamo
concludere che i due campi variano periodicamente. Ad ogni modo anche
il potenziale vettore � radiale per ragioni di simmetria azimutale
delle sorgenti, quindi il campo magnetico, che per definizione ne � il
rotore, deve essere nullo e di conseguenza il campo elettrico deve
essere nullo.
La questione �: obiezioni?
2)  Il teorema di Poynting non esclude che si stabilisca un campo
elettrico e magnetico internamente alle sfere, ad ogni modo il campo
magnetico deve comunque essere nullo, per la simmetria del potenziale
vettore, di conseguenza l'energia totale della configurazione pu�
variare, ma il campo interno deve essere costante perch� il vettore di
Poynting � nullo.
Una considerazione diretta  � che il gradiente del  potenziale scalare
e la derivata del potenziale vettore sono allineati, mentre il
potenziale vettore (componente radiale) ed il potenziale scalare hanno
la stessa forma funzionale.
La questione �: come procedere a dimostrare che allora il campo �
costante dalla diretta considerazione della struttura di ritardo?
3) L'ipotesi di periodicit� � superflua, tutti i ragionamenti fatti si
applicano ugualmente bene nel caso di leggi del moto qualsiasi,
supponendo di evitare la diretta considerazione del potenziale vettore
e del potenziale scalare sembra plausibile che il campo elettrico non
dipenda dalla particolare legge di moto, ma solo dallo stato delle
sfere al tempo t.
Se oltrech� plausibile questa conclusione vi appare logicamente
ineccepibile esplicitate il ragionamento dimostrativo.

 ...
Scusa ma io non capisco dove sia il problema, che a me sembra banale.
Anche generalizzandolo: ho una distrib. di carica a simmetria sferica,
che puo' variare nel tempo in modo qualsiasi, con la sola condizione
che la carica totale resti costante.
Allora
a) B=0 dovunque
b) E si calcola istante per istante via teorema di Gauss, cal valore
istantaneo della distribuzione di carica.
I due fatti seguono da div B = 0, div E = rho.
Basta osservare che E e B non soltanto sono radiali, ma hanno modulo
che dipende solo da r.
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Elio Fabri
c/o Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 che dipende solo da r.
Questo � vero ad ogni istante fissato, assumendo l'invarianza SO(3),
ma poi come devo procedere, io non ci arrivo. Mi sembrava che i due
fatti non seguissero in effetti, semplicemente, dalle due equazioni
che hai riportato, infatti, non solamente sono sempre possibili
soluzioni statiche aggiuntive, ma sono possibili soluzioni aggiuntive
che dipendono dalla variazione dei campi e dalle correnti, oltre che
soluzioni di campo libero, per questo  avevo aggiunto l'ipotesi di
causalit� nella forma che fra le soluzioni si scelgono quelle che sono
espresse dai potenziali vettori di Li�nard Wiechert usando la funzione
di Green ritardata.   Scrivendo tutte le equazioni di Maxwell si ha
anche l'equazione di continuit�.


 anche l'equazione di continuit�.
Se ho capito qualcosa, mi sembra che il tuo dubbio sia questo:
ammmessa la simmetria SO(3) a un certo istante, chi mi garantisce che
questa si mantiene nel tempo?
Perche' se puoi essere sicuro di questo, non ci sono problemi.
Ma la simmetria si mantiene perche' le eq. di Maxwell sono invarianti
per rotazioni, quindi da condizioni iniziali simmetriche ti daranno
di certo una soluzione simmetrica a ogni tempo.
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri

 che la carica totale resti costante.
Ok, ho centrato la difficolt�: il problema, non banale :-))), � che
non basta imporre che la carica totale resti costante per garantire
che la soluzione delle prime due equazioni risolva anche le altre due.
Occorre, e per necessit� logica, (della quale non sono tuttavia certo,
vedi la questione finale), direi basta, che sia verificata l'equazione
di continuit�.
Questo perch�: da un lato io richiedo che le soluzioni nel loro
complesso devono essere causali, in virt� del fatto che so che una
soluzione causale esiste (almeno per il caso di dinamica sub-luminale
delle sorgenti ma forse questa richiesta ulteriore pu� essere evitata,
vedi la questione finale), tuttavia le prime due equazioni in
simmetria radiale in generale ammettono anche soluzioni non causali,
nel caso che si consideri una dinamica di cariche non continua: per
esempio accendendo simultaneamente due densit� di carica uguali e
contrarie su due gusci distanti.
 In conclusione il ragionamento corretto �: considerata una dinamica
delle correnti in accordo con l'equazione di continuit� (che �
condizione necessaria che discende dalle equazioni di Maxwell) esiste
una soluzione causale delle equazioni di Maxwell a campi radiali
evanescente all'infinito (verifico direttamente la condizione di
causalit� nei campi e di radialit� dalla rappresentazione in termini
di potenziali ritardati). Ma in ogni istante di tempo questa soluzione
deve anche verificare la prima e la seconda equazione di Maxwell:
div(E) = rho
div(B) = 0
le risolvo e trovo che queste equazioni ammettono una ed una sola
soluzione a simmetria sferica. Questa soluzione � parametrizzata
univocamente dalla carica centrale e quindi la soluzione causale, in
termini cio� di potenziali ritardati, delle equazioni di Maxwell deve
coincidere con la soluzione elettrostatica.  C'� da osservare infine
che l'equazione di continuit� non implica che il moto delle sorgenti
sia sub-luminale. Ma nemmeno le equazioni di Maxwell implicano ci�? A
partire dall'esempio considerato, con la soluzione in termini di
potenziali ritardati, rimane, mi sembra, l'onere di provare che le
equazioni di Maxwell rimangano verificate per moto superluminale delle
cariche. Non potrebbero, infatti, sorgere problemi di regolarit� dei
potenziali ritardati calcolati per via integrale (ho questo dubbio
perch� so  che ci sono problemi di caustica per il caso delle
particelle Cherenkov e per il caso dei moti supersonici)? Se questo
fosse il caso nemmeno l'equazione di continuit� basterebbe a garantire
che la soluzione elettrostatica � soluzione delle equazioni di
Maxwell.
Se invece si provasse che anche nel caso di moto iperluminale i
potenziali ritardati rappresentano una soluzione delle equazioni di
Maxwell allora avremmo provato che la condizione di continuit� � la
sola condizione ulteriore (rispetto alle ordinarie condizioni
dell'elettrostatica) da richiedere perch� la soluzione elettrostatica
coincida con la soluzione, causale nei campi, del problema di Maxwell
completo. Direi che anche se rimane aperta questa domanda ulteriore il
tuo contributo � risultato utilissimo a raggiungere questo grado di
chiarezza. Ti ringrazio moltissimo, ed aspetto impazientemente un
ulteriore commento, magari ho complicato troppo la faccenda, oppure �
davvero complicata?


 di continuit�.
Si, adesso sono ragionevolmente convinto che la richiesta di moto
continuo per le cariche sia sufficiente oltrech� necessaria.
(Tuttavia,  e questa "scoperta" ha stupito anche me, come mostro fra
un attimo l'equazione di continuit� non richiede la conservazione
della carica, sebbene sia implicata da un moto continuo di cariche
conservate). Ricordiamo che la necessit� discende dalla richiesta che
siano verificate le equazioni di Maxwell. mi rimaneva il dubbio che in
caso di moto iperluminale potessero sorgere difficolt� con la
regolarizzazione delle soluzione. Ad ogni modo la divergenza dei campi
sul cono iperluminale non implica una divergenza del flusso e le
soluzioni Cerenkov hanno la graziosa propriet� che il campo elettrico
si sviluppa lungo il cono, in modo che il flusso del campo elettrico
attraverso il cono � nullo e non si generano, per cos� dire, cariche
spurie associate alla singolarit� del campo elettrico. In pratica
quello che succede nel caso di simmetria sferica � che i potenziali
ritardati aggiornano il valore del campo man mano che le cariche
transitano lungo i siti, e solo in quel momento indipendentemente dal
fatto che la carica transiti di moto subluminale o superluminale. In
pratica le equazioni di Maxwell non escludono, da sole, soluzioni
iperluminali.
In conclusione l'unico vincolo imposto dalle equazioni di Maxwell alle
densit� di carica � la sussistenza di un'equazione di continuit�,
ovvero l'esistenza di una corrente associata in modo che valga
l'equazione di continuit�. Questo vincolo, se verificato, implica la
possibilit� di costruire dalle densit� di carica e corrente, una
soluzione causale a simmetria radiale per il nostro problema, la quale
in virt� delle prime due equazioni di Maxwell deve coincidere, istante
per istante con la soluzione elettrostatica. Eventuali dinamiche
iperluminali delle cariche non portano, in questo contesto ad alcuna
violazione di causalit� riguardo ai campi elettromagnetici, in quanto
questi campi sono aggiornati solo nel momento in cui la densit� di
carica fluisce in loco. Diversamente il vincolo di conservazione della
carica non � sufficiente affinch� la soluzione elettrostatica risulti
essere soluzione delle equazioni di Maxwell nel loro complesso in
quanto da solo non implica la sussistenza di un'equazione di
continuit�. Nei casi in cui ad una variazione di densit� di carica non
sia possibile associare una corrente risulta infatti impossibile
verificare le equazioni di Maxwell dinamiche.
Ad ogni modo questo implica anche che la conservazione della carica
diventa a sua volta una condizione sufficiente. Infatti per un teorema
di Hertz una volta che di un campo siano assegnato il rotore e la
divergenza questo campo rimane univocamente determinato a meno del
gradiente di una funzione armonica. Di conseguenza, nel nostro caso
una volta assegnata la legge di variazione della densit� di carica �
possibile costruire univocamente un campo di corrente. Per esempio nel
caso che la carica fluisca, istantaneamente fra due gusci sferici,
possiamo cercare una corrente radiale che risolva l'equazione
differenziale di primo ordine:
d rho / dt = d (r^2 j)/dr.
sicch� integrando e fissando la condizione iniziale nell'origine delle
coordinate, che dipende dalla variazione della carica concentrata
nell'origine, risulta effettivamente una sola soluzione radiale per la
densit� di corrente.
A questo punto per� ho scoperto, e questo � l'aspetto pi� curioso che
avevo preannunciato all'inizio, che la conservazione della carica non
� implicata dall'equazione di continuit� e quindi dalle equazioni di
Maxwell. Infatti nulla impedisce di considerare un campo di corrente
radiale della forma: k/r^2, singolare nell'origine. In pratica le
equazioni di Maxwell implicano l'equazione di continuit�, ma non la
conservazione della carica. Il fatto che sia possibile una variazione
istantanea del campo elettrico in tutto lo spazio non � incompatibile
con le equazioni di Maxwell. Infatti la variazione del campo
elettrico, nel caso che il campo magnetico sia costante pu� essere
prodotta semplicemente da un flusso di corrente. Di conseguenza non
c'� nemmeno da preoccuparsi per la causalit�.
In breve, riscrivo le equazioni di Maxwell nel caso di simmetria
radiale:
div(E) = rho
div(B) = 0
dB/dt = 0
j = - dE/dt.
dall'ultima equazione, considerando la divergenza e sostituendo la
prima equazione ottengo div(j) = - d(rho)/dt. E concludo che nel caso
di simmetria radiale del moto delle cariche l'equazione di continuit�
ammette una soluzione univoca per la corrente una volta che sia
assegnata la legge di variazione della densit� di carica totale.
Osservo infine che la variazione del campo elettrico � determinata
univocamente dal flusso di corrente, compatibilmente con la prima
equazione. Come sotto prodotto di questa semplicissima conclusione ho
trovato che la conservazione della carica totale non � implicata
dall'equazione di continuit� (a meno di aggiungere una nozione
particolarissima di carica all'infinito spaziale) e che le equazioni
di Maxwell hanno soluzioni iperluminali. Ad ogni modo occorre
osservare che non � mai necessario, avendo come sole informazioni le
equazioni di Maxwell, scomodare soluzioni iperluminali per rendere
conto della variazione istantanea di campi in tutto lo spazio, �
sufficiente infatti notare che ogni corrente pu� essere ottenuta come
somma di una corrente di carica positiva e di una corrente di carica
negativa.  E nella fattispecie anche quando j/rho > c � possibile
porre:
rho = rho+ - rho- e v- = 0 e per un dato valore v+<c esiste una
soluzione: rho+ = j/v+ e rho- = rho+ - rho.