Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: domanda

Sia F una applicazione       F: X x Y -->Z,
                                        F : (x,y)|-->F(x,y)
in cui X,Y,Z sono spazi normati, F č differenziabile secondo Frechčt e il
suo differenziale nel punto (x0,y0) č
F'(x0,y0).
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Domanda:
Le derivate parziali Fx(x0,y0) e Fy(x0,y0) di F,
rispettivamente appartenenti a L(X,Z) e L(Y,Z) ,e cosě definite : Fx(x0,y0)
= [F( - ,y0)]' (x0) e analogamente
Fy(x0,y0) = [F(x0, - )]' (y0) ,
sono limitate nella norma dei rispettivi spazi (ossia nella norma di L(X,Z)
e L(Y,Z) rispettivamente) ?
Spero che qualcuno mi risponda.
Tern_


   Ciao, non capisco bene la domanda. Le derivate parziali come le
   calcoli? Nel senso di Frechet? Allora se esistono sono limitate
   (come operatori lineari nell'incremento) per definizione.
   La domanda e' allora forse se ESISTONO (nel senso di Frechet)
   tali derivate.
   Mi pare che la loro esistenza sia immediata dall'esistenza della
   derivata nello spazio prodotto.
   Oppure per limitato intendi un'altra cosa, cioe' al variare
   dell'argomento non lineare  (il punto NON l'incremento)
   e quindi parli di limitatezza di funzionali non lineari...
   In tal caso credo che la risposta sia negativa.
   Ciao, Valter

Innanzitutto grazie Valter
 per la tua risposta, nel newsgroup
Se possibile, potresti aiutarmi con questo problema di Cauchy?
Grazie anticipatamente !
Sia
           h '(t) = f(t, u(t)) h(t) + g ' (t)  where t belongs to [t0,t1]
e         h(t_0) = g(t_0)
  dove g è C^1[t0,t1] e f è continua.
Io so che questo problema di Cauchy ha una e una sola soluzione.
Voglio provare che esiste c  in |R tale che
|| h || C^0 <= c (| g(t0) | +||g ' (t)||C^0.
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Notazioni:
|| g ' (t)||C^0 = sup| g(t) |     quando t è in [t0,t1]
|| h || C^0  =sup | h |    quando t è in [t0,t1]
Per quanto concerne la domanda sul newsgroup mi è rimasto un dubbio:
Nel libro in cui ho studiato c'è scritto:
Si veda anche il REFERENCE in fondo.
PRIMA PARTE
(ii)Per ogni x appartenente a V esiste la derivata
di Frechet Fy(x; y) della funzione
y|-->  F(x; y) in ogni punto y di W
[...]
FINE PRIMA PARTE
SECONDA PARTE
Osserviamo che, quando F è differenziabile secondo Frechet, gli operatori
Fy(x; y) e Fx(x; y) sono le derivate parziali della funzione F, definite
nell'esercizio 3.5.2(quello che ho riportato nel mio ultimo messaggio), ed
appartengono rispettivamente a L (Y; Z) e L (X; Z).
FINE SECONDA PARTE
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DOMANDA
Guardiamo quanto è scritto nella SECONDA PARTE,
Sono d'accordo con quanto scritto nel libro : "Osserviamo che,
quando F è differenziabile secondo Frechet, gli operatori Fy(x; y) e Fx(x;y)
sono le derivate parziali della funzione F  ed appartengono rispettivamente
a L (Y; Z) e L (X; Z)   ",
il fatto è che, a mio giudizio,anche Fy(x; y) di cui si parla nella PRIMA
PARTE
appartiene a L (Y; Z) .
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PER MEGLIO capire le mie domande può essere utile contestualizzare la
PRIMA/SECONDA PARTE
dalla pagina del libro da cui sono state copiate:
REFERENCE
Teorema     Siano X; Y; Z spazi di Bana-
ch, sia (x0; y0) in X x Y e sia V x W un intorno di tale punto. Sia poi
F : V x W |--> Z una funzione dotata delle seguenti proprietà:
(i) F è continua in (x0; y0) e F(x0; y0) = 0;
(ii) per ogni x in V esiste la derivata di Frechet Fy(x; y) della funzione
y |--> F(x; y) in ogni punto y di W, ed inoltre (x; y)|--> Fy(x; y) è
continua in (x0; y0);
(iii) esiste l'inversa Fy(x0; y0)
Allora esistono epsilon;delta  > 0 tali che per ogni x in B(x0; delta)
l'equazione F(x; y) = 0
ha un'unica soluzione y in B(y0; epsilon): in particolare, esiste PSI: B(x0;
delta)|--> B(y0; epsilon) per cui risulta
x appatiene B(x0; delta); y appartiene B(y0; epsilon); F(x; y) = 0 <==> y =
PSI(x):
Inoltre PSI è continua in x0; se poi F è anche continua in V x W, allora è
continua in B(x0; delta). Infine, se F appartiene C 1 (V x W; Z) allora PSI
appartiene C 1 (B(x0; delta); Y )
e si ha
PSI ' (x) = - Fy(x,PSI(x))^(-1)  Fx(x,(PSI(x))
per ogni x in B(x0; delta).
Osserviamo che, quando F è differenziabile secondo Frechet, gli operatori
Fy(x; y) e Fx(x; y) sono le derivate parziali della funzione F, definite
nell'esercizio 3.5.2(quello che ho riportato nel mio ultimo messaggio), ed
appartengono rispettivamente a L (Y; Z) e L (X; Z).
Notiamo
anche che se F è di classe C 1 l'ipotesi (iii) implica che gli operatori
Fy(x; y)
hanno inversa continua per ogni (x; y) in un opportuno intorno di (x0; y0).
Grazie di nuovo