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Titolo: paradosso relativistico

abbiamo due sistemi di riferimento S e S', si consideri il primo a velocità nulla e il secondo a velocità v costante lungo l'asse x.
 
Si immagini di emettere un raggio di luce lungo l'asse x nel verso di v sul sistema S', esso percorre in un tempo dt' uno spazio dx', visto dal sistema S nel tempo dt avrà percorso uno spazio dx.
Poiché la velocità è la stessa per il postulato relatività : dx'/dt'=dx/dt.
 
E' noto che dt =y dt' (con y il fattore di dilatazione)ma allora dx=ydx' mentre è noto che è vero il viceversa ovvero si ha una contrazione degli spazi visti dal sistema di riferimento S.
Scusate la banalità del quesito.
 
Roberto

 E' noto che dt =y dt' (con y il fattore di dilatazione)
 
Non solo non e' noto ma e' proprio sbagliato, scusa se
non ho voglia di mettermi a spiegare il perche', un motivo
e' certamente che non ho la benche' minima idea delle
tue conoscenze di Relativita' Ristretta e non saprei da
dove cominciare...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 
 

 non saprei da dove cominciare...
Tutto giusto quello che scrivi e non cito.
Però a differenza tua io risponderò, per le seguenti ragioni:
- Ci sono anche altri che leggono
- Sebbene la questione sia fritta e rifritta (ma non banale) ciò che
ci sta sotto è talmente fondamentale per capire qualcosa di relatività
che purtroppo occorre ripetersi un giorno sì e l'altro pure.
Vista anche la macroscopica assenza di qualunque spiegazione chiara in
proposito - non solo nella divulgazione, ma anche (ed è molto peggio)
nei testi di s.s.s.
- Se l'OP è in grado di capire la spiegazione che sto per scrivere,
bene per lui.
Se non è in grado, si metta in testa che tra lui e la relatività c'è
troppa distanza, e non la potrà colmare con qualche domanda: dovrebbe
rimettersi a studiare.
 
Primo passo: ci sono *tre* parole chiave per capire i primi passi
della RR:
- evento
- oggetto
- riferimento.
 
Sul concetto di /evento/ abbiamo scritto più volte. Qui riassumo
rapidamente: un evento è un fenomeno fisico ben concentrato nello
spazio e nel tempo.
Estensione spaziale e durata temporale di un evento possno anche non
esere piccoli alla scala umana: ciò che conta è che lo siano
nell'ambito del problema che si sta studiando.
Di un evento interessa solo il luogo e il tempo in cui avviene: per
questo in senso astratto un evento non è che un "punto dello
spazio-tempo".
 
Il termine /oggetto/ non credo sia di uso comune, anche se il concetto
è fondamentale.
Chiamo "oggetto" un qualcosa di materiale (un atomo, una particella,
un pianeta, una galassia) di estensione trascurabile e che "vive nel
tempo".
In questo un oggetto si differenzia da un evento: mentre un evento è
un punto, in senso astratto un oggetto è una /linea/ nello spazio
tempo. Non una linea qualsiasi: una curva di /tipo tempo/ o al più di
/tipo luce/.
 
Un /riferimento/ (rif.: per esteso sarebbe "sistema di riferimento") è
un ambiente, un laboratorio, in cui si trovano gli strumenti che
usiamo per studiare un qualsiasi fenomeno.
In un rif. spesso conviene introdurre un /sistema di coordinate/ (SC),
ma non sempre è necessario né utile.
Comunque non bisogna confondere i due concetti.
Per es. ha senso parlare di rif. inerziale (RI), ma non avrebbe senso
dire "sistema di coord. inerziale", se non perché in realtà si
sottintende la presenza di un rif. cui quel SC è "attaccato".
 
Tornando al tuo problema dopo questa lunga premessa, bisogna
identificare gli eventi, gli oggetti e i riferimenti.
Su questi ultimi hai detto: ne consideri due, che chiami S e S'.
Come ti ha già fatto notare GB, non ha senso scrivere che S ha velocità
nulla.
Dato il PR, non c'è modo di attribuire a un rif. una qualità come la
quiete, e del resto non serve a niente.
La sola cosa che serve è che S' si muove *rispetto a S* con velocità
costante, e che scegliamo come asse x la direzione (e il verso) di
questa velocità.
In realtà ci serviranno due SC: uno con la coordinata x, associato a S;
uno con la coord. x', associato a S'.
 
Ora gli oggetti, che in questo caso sono due: un emettitore E e un
ricevitore R.
Dobbiamo dire come questi oggetti si muovono: mi pare che tu abbia
scelto di prenderli *fermi in S'*.
Possiamo scegliere l'origine di x' coincidente con E; chiamiamo L' la
distanza tra E e R (misurata in S').
Dato che sono fermi, E e R hanno costanti le loro coord. x': xE'=0.
xR'=L'.
 
Però E e R possono essere misurati anche da S, e qui non sono fermi
(hanno velocità v).
Avranno quindi delle /leggi orarie/:
xE = v*t
xR = L + v*t.
In queste equazioni appaiono delle scelte:
- ho assunto l'origine delle x nella posizione che E occupa per t=0
- ho chiamato L la distanza tra E e R, che è anche la xR per t=0.
Scrivo L e non L', perché so che non sono uguali (v. dopo).
 
Infine gli eventi, che sono anch'essi due:
- l'evento P (partenza del lampo - non del "raggio" - di luce da E)
- l'evento A (arrivo del lampo in R).
Nota che questi eventi (come del resto gli oggetti) esistono
indipendentemente dai rif.: avrei potuto definirli *prima* di parlare
di rif.
La sola cosa che serve è di sapere che E e R sono in quiete relativa.
 
Però dal momento che abbiamo scelto dei rif., questi eventi acquistano
in ciascun rif. delle coordinate spaziotemporali: xP, tP, xA, tA in S;
simboli analoghi per le coordinate in S'.
Che relazione c'è fra queste coordinate?
 
Nota che finora non ho detto niente sulle origini dei tempi, t in S e
t' in S'.
Lo faccio ora, ponendo tP=0, tP'=0.
Quindi l'evento P avviene nell'origine spaziale in tutti e due i rif., e
in entrambi all'origine del loro tempi.
In questa scelta non c'è niente di significativo: è soltanto comoda, e
del tutto lecita.
 
Ciò posto, che relazione c'è fra P e A?
Il fatto di esere connessi dalla propagazione della luce.
Ragionando in S', ciò porta subito all'equazione
 
xA' = c*tA', ossia
L' = c*tA'.  (1)
 
Invece in S la cosa è leggermente più complicata. Vale ancora
 
xA = c*tA
 
ma xA non è nota in partenza, perché il ricevitore R si muove.
Usando la sua legge oraria abbiamo
 
xA = L + v*tA
 
e facendo sistema da queste due otteniamo:
 
tA = L/(c-v)     (2)
xA = L*c/(c-v).  (3)
 
Un'osservazione su un punto che è facile equivocare.
A denominatore è apparso c-v, ma questo non ha niente a che vedere con
la velocità cn cui si propaga la luce in S' (il rif. in cui R è fermo).
Il ragionamento che ha portato a quei risultati riguarda solo il rif.
S, e non ci permette di capire che relazione c'è tra (xA,tA) e
(xA',tA').
Questa relazione va ricavata per altra via, che ora non voglio
trattare.
Se conosci le trasf. di Lorentz, sai che queste ti danno la risposta:
danno appunto la relazione tra le coord. spazio-temporali di *uno
stesso evento* in due RI diversi.
 
Ora facciamo uso di qualcosa che suppongo noto(e che tu hai usato
male, a sproposito): contrazione di Lorentz e dilatazione del tempo.
La prima non si riferisce alla situazione del tuo problema, ma a un
aspetto diverso.
Hai due *oggetti*, per es. i nostri E e R.
Misuri la distanza tra le posizioni di questi oggetti in due diversi
rif:
1) In quello in cui entrambi gli oggetti sono fermi (il nostro S').
Questa l'abbiamo chiamata L'.
2) In un altro rif. S, rispetto al quale S' ha velocità v.
Nota che in S devi misurare le posizioni occupate da E e R *allo stesso
istante*, e si tratta dello stesso istante in S, che non è anche lo
stesso istante in S', perché la simultaneità è *relativa* (cosa che
naturalmente si dimostra).
Questa distanza l'ho chiamata L.
Il risultato lo conosci:
 
L = L'/g.  (4)
 
Se inserisci questa nella (3) ottieni
 
xA = L'*c/[g*(c-v)] = L' * sqrt[(c+v)/(c-v)].
 
Come vedi, xA > L': non c'è nessuna contrazione.
 
Quanto alla dilatazione del tempo, non si applica al nostro problema.
La dil. del tempo significa questo:
se hai due eventi che in S' avvengono nello stesso luogo (hanno la
stessa x') e in tempo sono separati di Dt', allora in S la loro
separazione temporale è maggiore: Dt = g*Dt'.
 
Non si applica al nostro problema, perché i due eventi P e A non
avvengono nello stesso luogo nè per s né per S'.
Peggio: *non esiste nessun RI* in cui P e A avvengano nello stesso
luogo. Riesci a vedere perché?.
 
Comunque la relazione fra tA e tA' possiamo scriverla.
Per (2) e (4)
 
tA = L'/[g*(c-v)] = (per la (1))
      c*tA'/[g*(c-v)] = tA' * sqrt[(c+v)/(c-v)].
 
Come vedi, tA > tA' ma non è vero che sia tA = g*tA'.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
Anche qui, come nel topic più recente in cui sono intervenuto, la spiegazione di Elio Fabri è per me molto istruttiva, anche se sto facendo fatica con la formattazione semplificata che questo gruppo di discussione permette. Quindi mi riservo una nuova lettura davanti ad un foglio in modo da trascrivere ciò che leggo in modo a me più immediato.
 
Ma nel frattempo ho subito una domanda: la nota sul "lampo" (e non "raggio") di luce) che parte da E cosa nasconde? sono sicuro che non è un mero vezzo di eleganza formale, ma nasconde aspetti più sostanziali che non conosco.
 
Potrei "materializzare" la descrizione parlando di "fotone" che parte da E, alla stregua che E fosse un emettitore di palline da tennis? Oppure no? E perché, eventualmente?

 Oppure no? E perché, eventualmente?
 
"fotone" e' meglio di no, perche' i fotoni sono precipuamente
particelle quantistiche, la cui cinematica non e' descrivibile
nel contesto della relativita' ristretta classica; si potrebbe
immaginare che venissero emesse "particelle classiche"
aventi massa nulla, ma sarebbe una inutile complicazione
dato che sperimentalmente tali particelle non esistono,
meglio parlare invece di propagazione di un impulso di luce,
da cui il "lampo".
 
Spero di non aver troppo distorto il pensiero di Elio, se
rispondera' anche lui allora tanto meglio, per te e per me ;-).
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non in uso)
 
 

Ti ringrazio per la spiegazione. 
 
 
 
sto pensando se possa essere utile, per chiarirmi il concetto, "tradurre" la cosa in un campo a me più familiare (le onde di piena), ma non è semplice. nelle onde di piena hai qualcosa di materiale che si muove (l'acqua) e anche un'onda che si propaga ad una velocità diversa da quella della corrente. a maggior ragione nelle onde di maremoto, che hanno velocità di propagazione molto superiori. già questi sono concetti non così semplici ed intuitivi
 
Per la luce invece si ha il processo propagatorio senza, pare, poterlo accoppiare a nessuna "materializzazione"..io confesso che faccio una gran fatica...