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Titolo: divergenza

salve gente sono uno studente di analisi 2 che sta studiando ( o
 cercando di studiare) rotore divergenza e gradiente.
Ho consultato due libri di analisi ed ho trovato due formule differenti
 per la stessa cosa: la divergenza.
Dato un vettore F:(X(x,y),Y(x,y)) si definisce integrale curvilineo
 chiuso o circuitazione ai differenziali delle coordinate
un integrale del tipo: int(X(x,y)dx+Y(x,y)dy) questo e' dato dal
 prodotto scalare del vettre F per il vettore infinitesimo a:(dx,dy).
Premetto che utilizzero' la stessa simboleggiatura per una derivata
 parziale e per una derivata di una funzione ad una sola
variabile, penso che ci dovremmo capire lo stesso.
Un libricino specifico per le forme differenziali (Balduccetti-Morelli
 reperibile a sole 8000 lire ai chioschi gialli della
sapienza) apre il concetto di divergenza partendo dall'obbiettivo di
 trasformare l'integrale curvilineo in un integrale doppio.
Quella funzione che posta dentro l'integrale doppio mi da il medesimo
 risultato dell'integrale curvilineo e' definita
divergenza, questo e'il teorema di gauss-green (cio' mi e' sembrato
 illuminante anche per il fatto che se l'integrale curvilineo
fosse sempre uguale a zero la funzione integrata sarebbe un
 differenziale esatto e la funzione divergenza sarebbe = a zero,
 se invece l'int. non e' uguale a zero allora la divergenza differisce
 da zero ed esprime quanto la mia funzione "diverge"
dall'essere un differenziale esatto e quindi dall'avere un potenziale) .
 Cio' che ho detto e' dato dalle seguenti formule:
Int(X(x,y)dx+Y(x,y)dy)=int-int(dY(x,y)/dx-dX(x,y)/dy)dxdy
 (int-int=integrale doppio). percio' quel dY(x,y)/dx-dX(x,y)/dy dovrebbe
essere la divergenza.
Un'altro libro (Nikolaj Piskounov calcolo differenziale e integrale 2)
 da la definizione di integrale curivilineo e poi espone il
teorema di gauss-green senza evidenziare tutto cio' che per me e' stato
 illuminante. Poi passa agli integrali superficiali
ed ai teoremi di stooks e ostrogasky e li dice che la divergenza e data
 dalla funzione dY(x,y)/dy+dX(x,y)/dx+dZ(x,y)/dz,
questa formula della divergenza differisce oltre che per l'ovvio termine
 in Z anche per le dervate di Y(x,y) ed X(x,y).
Qual'e' la formula vera? Per caso sono io che non riesco a cogliere la
 identicita' di queste due funzioni?
Altra cosa, qualcuno mi potrebbe fornire le definizioni di divergenza,
 rotore e gradiente senza ricorrere a quei cosi' complicati
teoremi di stooks e ostrogasky e senza ricorrere agli integrali
 superficiali? Ogni volta che devo fare un ragionamento su
queste cose mi incarto perche' ho dubbi e confusione in testa. Infine
 avete anche da consigliarmi un buon libro dove poter
lavorare su queste cose? grazie per la infinita pazianza che avete avuto
 nel leggere fin qui.

In tutti i libri di analisi che ho letto(3) la divergenza è data come
definizione
e nel caso di una funzione da R3-->R, F(x,y,x) ,
div(F(x,y,z))=dF(x,y,z)/dx+dF(x,y,z)/dy+dF(x,y,z)/dz,
è definibile anche per funzioni Rn --> Rn ma la formula non è
tipograficamente
facilmente scrivibile in questa sede.
Per arrivare a questo operatore di solito si arriva attraverso qualche lemma
o teorema, ma la definizione rimane comunque la stessa.

Attenzione, c'è una imprecisione in tale definizione di divergenza. La
divergenza è un operatore vettoriale, cioè una funzione definita su insiemi
di funzioni di R3 (campi vettoriali); per la precisazione non si può
applicare la formula da te scritta
div(F(x,y,z))=dF(x,y,z)/dx+dF(x,y,z)/dy+dF(x,y,z)/dz
ad una qualunque funzione (scalare definita in R3), ma solo si può
applicarla ad una funzione vettoriale:una terna di funzioni def. in R3.
Così:
div(F)=dFx/dx+dFy/dy+dFz /dz, dove F=(Fx, Fy, Fz) sono le tre funzioni def.
in R3 componenti della funzione vettoriale F, e le derivate dFx/dx sono le
derivate parziali delle rispettive componenti di F rispetto alle variabili x
(in questo caso) x e z.
Franco di Napoli