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Titolo: lo spin in meccanica quantistica

Salve a tutti.
sto preparando l'esame di istituzioni di fisica teorica, e trovo
notevoli difficoltà nella trattazione del momento angolare di spin.
ho capito (penso) tutta la teoria relativa al momento angolare
orbitale, il suo spettro discreto con l ed m interi, le armoniche
sferiche, le regole di commutazione e tutto il discorso sull'algebra
del momento angolare in analogia con l'oscillatore armonico.
Ma la trattazione dello spin ed in particolare il modo formale in cui
viene introdotto, rimane per me un mistero...
è chiaro che parte tutto dall'esperimento di stern e gerlach, ma tutto
ciò che viene dopo mi è un po oscuro.
qualche buona anima sa darmi qualche consiglio???
Grazie!
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 qualche buona anima sa darmi qualche consiglio???
E' una parola!
Quanto meno dovresti spiegarci che libri stai usando, ed essere un po'
piu' definito nel porre le domande.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa

 Universita' di Pisa
Aggiungo io: i problemi che hai sono di carattere
fisico (cioe'sulle "motivazioni" delle definizioni 
date) oppure di carattere matematico (cioe' sulle 
"procedure" per ottenere i vari risultati)?
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita' di Trento e INFN

 notevoli difficoltà nella trattazione del momento angolare di spin.
Mi chiamo Lorenzo e sono nella tua stessa condizione (ho l'esame il 9/9),
purtroppo le indicazioni sono vaghe e non penso di poterti essere di grande
aiuto; in compenso ho delle domande sullo stesso argomento (momenti angolari) a
cui non so dare risposta e in sostanza cerco anche io un'anima buona:
Cercherò di essere preciso: nel mio libro si comincia studiando un sistema di
puro spin 1/2 mettendo in evidenza che:
-Il gruppo U2 dei raggi operatori unitari in C2 è isomorfo a SO3(R) (rotazioni
proprie)
e in particolare:
-Si può realizzare una rappresentazione matriciale unitaria genuinamente
proiettiva di SO3(R) scegliendo i rappresentativi in SU2 con fattori di fase +1
e -1
Infine si trova che (sintetizzo un pò):
-Se F è un omomorfismo di SU2 su un gruppo di matrici H e se R--->U(R) è una
rappr. proiettiva di SO3(R) in SU2,
allora FU (F composto con U) è una rappr. di SO3(R) in H vettoriale o
proiettiva a seconda che l'immagine di -1 di SU2 sia +1 o -1 di H.
Il mio problema è questo: se ho già il gruppo delle rotazioni perchè per
studiare il carattere delle sue rappresentazioni passo attraverso SU2? E' solo
per studiare più agevolmente il problema o c'è un legame più profondo?
Grazie in anticipo a chi gentilmente mi risponderà.
Lorenzo De Leo
Università di Padova
--
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 piu' profondo?
Giusta domanda, e ci sono diverse risposte.
1) SU2 e SO3 non sono isomorfi, ma sono "localmente isomorfi", ossia lo
sono in un intorno dell'identita'. Ne segue che hanno la stessa algebra
di Lie (generatori, ovvero operatori di mom. angolare).
2) Il gruppo SO3 non e' semplicemente connesso: se ad es. consideri le
rotazioni intorno all'asse z, da 0 a 2pi, hai un cammino chiuso nel
gruppo (visto come spazio topologico) che non puoi ridurre a un punto
con
deformazione continua.
Se non lo sai, non e' facile spiegarlo senza figure...
3) Invece SU2 e' semplicemente connesso. Non solo: e' il gruppo s.c. che
si ottiene da SO3 con la tecnica del "ricoprimento universale" (general
covering group). E' un teorema generale che ogni gruppo topologico non
s.c. ammette un ricoprimento universale, e che esiste un omomorfismo dal
r.u. al gruppo iniziale, il cui nucleo e' un gruppo discreto
commutativo. Nel nostro caso, il quoziente e' il gruppo ciclico di
ordine 2.
4) Dal fatto che i due gruppi hanno la stessa algebra di Lie, segue che
le rappr. delle algebre di Lie sono le stesse (banalmente). Ma la rappr.
dell'algebra di Lie non genera una rapp. vettoriale del gruppo, a meno
che
questo non sia s.c. Quindi si' per SU2, no per SO3.
5) Dalla definizione di simmetria in m.q. segue che non occorre una
rappr. vettoriale: una rappr. proiettiva e' sufficiente. Nel nostro
caso, tutte le rappr. proiettive di SO3 sono rappr. vere di SU2. Quindi
e' giusto
interessarsi delle rappr. (vettoriali) di SU2.
Infine una domanda: ma chi e' che fa studiare queste cose a Istituzioni?
Io non me lo sono mai sognato; li ho sempre considerati argomenti da
post-laurea.
A Istituzioni mi sembra piu' essenziale imparare a vedere la fisica
dello spin (statistica, interazioni spin-orbita, classificazioni dei
livelli) e magari discutere le questioni sulla misura (esp.
Stern-Gerlach, correlazioni e stati entangled) che non impegolarsi nel
formalismo.
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