Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: esercizio MQ

Salve a tutti,
qualcuno può aiutarmi a risolvere questo esercizio:
La funzione d'onda di una particella soggetta ad un potenziale a
simmetria centrale è
psi(r) = (x+2y-2z) f(r)
1) psi è autofunzione di L^2? Se lo è, con quale valore di L?
Altrimenti quali sono i possibili valori di L?
2) Determinare la probabilità per i possibili valori di m (autovalore
di L_z)
Io ho pensato di riscrivere psi in termini delle funzioni armoniche
sferiche. Dato che
Y_1,0 = 1/2 sqrt(3/pi) z/r
Y_1,1= -1/2 sqrt(3/(2 pi)) (x+iy)/r
trovo
x = -2 r sqrt(2 pi/3) (Y_1,1 - Y_1,-1)
y = i r sqrt(2 pi/3) (Y_1,1 + Y_1,-1)
z= 2 r sqrt(pi/3) Y_1,0
per cui
psi(r) = 2 r f(r) sqrt(pi/3) [ (i sqrt(2) - 1) Y_1,1 + (i sqrt(2) + 1)
Y_1,-1 -2 Y_1,0 ] 
quindi la risposta dovrebbe essere che psi è autofunzione di L^2 con
autovalore L=1, i possibili valori di m sono m=-1,0,1...
La mia domanda è, non sapendo la forma funzionale di f come faccio a
calcolare la probabilità?
Maltese
________________________________________________________________________
"Physics is like sex: sure, it may give some practical
results, but that's not why we do it"  (Richard Feynman)

 calcolare la probabilità?
Non ce n'e' nessun bisogno, perche' se ti vai a calcolare la prob.
come integrale di |psi(1)|^2, |psi(0)|^2, |psi(-1)|^2 e tieni conto
che la psi totale sara' normalizzata, vedi che la parte radiale si
cancella.
In altre parole, contano solo i coeff. delle armoniche sferiche:
i*sqrt(2)-1, i*sqrt(2)+1, -2.
Non ti dico di piu' perche' devi romperti un po' la testa da solo ;-)
 
-- 
Elio Fabri

                       
In effetti mi ero fatto un'idea che dovevo tenere in considerazione
solo i coefficienti delle armoniche sferiche.. però non mi è chiaro
come questi sono in relazione con la probabilità di misurare m..
in un primo momento avevo pensato semplicemente di prendere i moduli
quadri di tali coefficienti ma evidentemente così non va, avrei una
probabilità totale non normalizzata (era per questo che avevo pensato
che forse la psi non fosse normalizzata).. 
una seconda idea che mi è venuta è questa
P (m=1) = [ (i*sqrt(2) - 1]/N
dove 
N = | Y_1,-1 |^2 + | Y_1,0 |^2 + | Y_1,1 |^2 
però se le armoniche sono normalizzate ad 1 dovrebbe essere N=sqrt(3)
e quindi ho ancora che la probabilità totale è maggiore di 1..
qualcuno può schiarirmi un po' le idee?


 qualcuno può schiarirmi un po' le idee?
Si', in effetti ne hai bisogno :)
La tua f. d'inda ha una forna di questo genere:
psi = g(r) * (c(-1)*Y(1,-1)+ c(0)*Y(1,0)+ c(1)*Y(1,1))
dove in g(r) ho assorbito tutto cio' che avevi scritto fuori
parentesi, i coeff. c sono (i*sqrt(2) - 1) ecc. e le Y sono da
intendere normalizzate (v. fra poco).
Assumeremo anche che la psi in totale sia normalizzata. Questo significa
\int |psi|^2 r^2 dr dw = 1 (dw e' l'elemento di angolo solido).
Esplicitando:
1 = \int |g(r)|^2 r^2 dr * {|c(-1)|^2 \int |Y(1,-1)|^2 dw +
     |c(0)|^2 \int |Y(1,0)|^2 dw + |c(1)|^2 \int |Y(1,1)|^2 dw}    = \int |g(r)|^2 r^2 dr * {|c(-1)|^2+ |c(0)|^2 + |c(1)|^2}
perche' le Y sono normalizzate.
Se ora vuoi calcolare la prob. di m=1, dovrai rifare lo stesso calcolo
prendendo in psi solo la parte con Y(1,1):
P(m=1) = \int |g(r)|^2 r^2 dr * |c(1)|^2.
Dividendo:
P(m=1) = |c(1)|^2 / {|c(-1)|^2 + |c(0)|^2 + |c(-1)|^2}.
 
-- 
Elio Fabri