Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Matrice CKM

Qualcuno saprebbe spiegarmi come si dimostra che la matrice CKM ha
quattro parametri indipendenti? Il mio dubbio sta nel fatto che la
matrice CKM è una matrice unitaria 3x3  e dalla teoria dei gruppi si
sa che il gruppo  SU(3) ha 8 generatori quindi servono 8 parametri a
definire una matrice unitaria complessa unitaria 3X3.
Qual'è la regola generale per determinare i parametri indipendenti di
una matrice complessa o reale nXn?
Sapreste indicarmi qualche testo dove questi argomenti vengano
trattati in maniera completa e da un punto di vista generale?
Grazie a chiunque vorrà aiutarmi
Antonio

 ha scritto nel messaggio 
news:35b79529-a178-467b...@m44g2000hsc.googlegroups.com...

dovrebbe essere:
n=3
[1/2*3*(3-1)] + [1/2*(3-1)(3-2)] = 4 

bohemi...@yahoo.it
 wrote:

CKM non sta in SU(3), ma in U(3), ti servono n^2 parametri reali. È molto
semplice. In generale una matrice NxN complessa ha 2N^2 parametri reali.
(la * sta per complesso coniugato).
U'* U = 1
U(kj)* U(km) = delta(jm)
quelli sulla diagonale:
U(ka)* U(ka) = 1
|U(ka)| exp(-i phi(ka)) * |U(ka)| exp(i phi(ka)) = 1
|U(ka)| |U(ka)| = 1
e sono N equazioni, quelli fuori diagonale
U(kj)* U(km) = 0
con k,j = 1..N, stando attenti a non contare due volte le equazioni, avrai
sum_n=1^N (n-1) = N(N+1)/2 - N equazioni complesse, avendo usato la
sommatoria di gauss. Morale:
2N^2 - N - N(N+1) + 2N = N^2 -> 9
puoi scegliere come parametri 3 angoli e 5 fasi, di cui 4 le elimini
ridefinendo le fasi dei tuoi campi, quindi alla fine ti rimangono 3 angoli
e 1 fase, che di solito si combinano come
CKM = R1 U* R2  U R3
con Ri la rotazione lungo l'asse i-esimo, e U = diag(1 1 exp(-i fase)).
Per una matrice ortogonale puoi fare un conto simile. Questi conti non li ho
mai visti fatti da nessuna parte, e ho dovuto perderci un po' di tempo per
ricavarli. Forse su qualche libro di algebra astratta (ma io non l'ho mai
fatta).

 una matrice complessa o reale nXn?
Dunque, la CKM è una matrice 3X3 = 9 numeri complessi.
(ud, us, ub | cd, cs, cb | td, ts, tb )
quindi partiamo da 18 parametri *reali*.
Se applichi le 9 condizioni di unitarietà del tipo:
(ud)(ub)* + (cd)(cb)* + (td)(tb)*=0
ti restano 9 parametri indipendenti.
Sai che una matrice unitaria reale 3x3 ha 3 parametri liberi (es gli angoli
di eulero), poiché in generale, per dimensione N, questi sono N(N-1)/2. Nel
caso complesso, gli altri 6 parametri possono dunque essere presi come fasi
complesse exp(iPhi). Puoi pensare di riscrivere la CKM fattorizzando la fase
complessa.
Considerando che una fase globale non porta vincoli alla CKM, le fasi
restano 5.
Queste 5 fasi possono essere scelte arbitrariamente nella definizione delle
funzioni d'onda dei quark.
I parametri indipendenti restano allora 4, di cui 3 reali e una fase
complessa.
popinga
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 trattati in maniera completa e da un punto di vista generale?
Beh, non saprei: potrei dire che molti libri di gruppi, o anche di
algebra lineare, possono trattare l'argomento.
Ma d'altra parte una volta capito come si ragiona, si puo' fare tutto
da se'...
 
-- 
Elio Fabri

Grazie mille a tutti.
Antonio