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Titolo: Paradosso dei gemelli

Con tutta la buona volontà non sono riuscito a inserire nel mio piano di
studi l'esame di relatività generale(sempre che nei prossimi due mesi la
relatività non diventi fondamentale per la fisica dell stato solido,ma ne
dubito...)quindi spero possiate aiutarmi a risolvere qualche dubbio.
Il paradosso viene generalmente spiegato dicendo che l'effetto di
dilatazione  temporale non è simmetrico per i due gemelli a causa dell'
accelerazione.
Vorrei sapere se effettivamente un calcolo di relatività generale applicato
al sistema in questione porta a risultati coincidenti con la previsione
della relatività ristretta.
Una spiegazione alternativa è che l'asimmetria è data dal fatto che ho
bisogno di due trasformazioni di Lorentz in punti spazio temporali
differenti(la composizione non è una trasf. di Lorentz) per passare dalla
linea di spazio tempo percorsa del gemello rimasto sulla terra alla
linea(spezzata) percorsa dal gemello in viaggio.
L'analisi è fatta quindi considerando tre sistemi di riferimento.
Qualcuno conosce il calcolo esatto?
Considerando poi un sistema in cui tutte e due i gemelli partono per un
viaggio spaziale ( in diverse direzioni ) in modo che i sistemi di
riferimento siano simmetrici anche dal punto di vista delle accelerazioni,
la relatività generale cosa può dire in questo caso.

 la previsione della relativita' ristretta.
Non c'e' argomento piu' gettonato in questo NG, e se fai una ricerca in
dejanews troverai di tutto.
Ma visto che siamo a Ferragosto, voglio spendere un po' di tempo per
ripetere il mio punto di vista (non proprio soltanto mio, comunque ;-)
).
1. La RG non c'entra nulla. A mio modo d'intenderla, la RG e' la teoria
relativistica della gravitazione, ossia la riduzione della forza di
gravita' a effetto di curvatura dello spazio-tempo.
Nel cosiddetto paradosso dei gemelli non c'e' nessuna curvatura dello
spazio-tempo, ne' gravitazione in ballo. Quindi niente RG.
Storicamente l'associazione gemelli-RG nasce proprio da Einstein, che
voleva all'inizio eliminare il ruolo privilegiato dei riferimenti
inerziali, e fare quindi una fisica valida anche nei rif. accelerati.
Poi la cosa gli e' cambiata fra le mani, e la RG e' in realta'
tutt'altra cosa.
2. Puoi benissimo spiegare il paradosso restando in un rif. inerziale:
basta tener presente che il tempo segnato da un orologio e' il "tempo
proprio", dato da
dtau^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 (*) (ho messo c=1 per comodita').
Se l'orologio si muove devi sostituire x=x(t) eccetera, e trovi
dtau^2 = dt^2 (1 - vx^2 - vy^2 - vz^2) = dt^2 (1 - v^2)
dove v=v(t) e' il modulo della velocita' istantanea dell'orologio.
Per un moto che dura un tempo finito, dovrai integrare fra istante
iniziale e finale:
tau = \int_{t1}^{t2} dt \sqrt{1 - v(t)^2}
(la notazione e' TeX, ma credo sia leggibile da tutti).
E' ovvio dalla formula che tau < t2 - t1, ossia che l'orologio in moto
segna meno di quello fermo.
3. La tua domanda si puo' esprimere cosi': posso rifare il calcolo in un
rif. solidale con l'orologio in moto? Come si fa?
La risposta e' che nel caso generale non si fa in modo semplice, ma ti
posso dire la tecnica, solo per mostrarti che e' un lavoro inutile.
Dovresti prima di tutto trovare la trasf. di coordinate dal rif.
inerziale a quello (non inerziale) solidale con l'orologio in moto.
Indichiamo con t', x', y, z' queste coordinate.
Poi dovresti scrivere l'espressione della metrica (*) in queste
coordinate (semplice sostituzione, visto che dtau^2 e' invariante).
Infine dovresti calcolare il tempo segnato dai due orologi usando questa
metrica. Dato che il tempo proprio e' invariante, non potrai che
ottenere lo stesso risultato.
Percio': chi te lo fa fare?
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa