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Titolo: paradosso Achille e tartaruga

Vorrei aprire un thread sul paradosso di achille e la tartaruga.
Sui libri di filosofia spesso si legge che tale paradosso
"...e' stato risolto in tempi moderni dal calcolo infinitesimale."
Personalmente non sono d'accordo.
Il fatto che sia possibile, tramite la definizione matematica di "somma di
serie infinita",
associare un valore finito alla somma della serie 1,1/2,1/4,..., non risolve
il problema
fondamentale di eseguire infinite operazioni in un sistema fisico.
Io credo che tale paradosso permanga,
e dimostri l'inadeguatezza del modello continuo per descrivere
la realta' fisica. Sostanzialmente esso dimostra la necessita' di introdurre
quantizzazioni nel tempo e nello spazio.
Justinian
--
Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi

 quantizzazioni nel tempo e nello spazio.
Non confondere fisica e matematica: la fisica si serve della matematica per
descrivere la vita, l'universo e tutto il resto, ma solo perche' funziona.
Per dirla con parole non mie:
Anche la Cabala andrebbe benissimo quale linguaggio descrittivo... se
funzionasse.
Ciao
Nettuno


 quantizzazioni nel tempo e nello spazio.
Invece dimostra proprio che il modello continuo descrive molto bene la
realta' fisica!!!
Ciao
Michelangelo


 quantizzazioni nel tempo e nello spazio.
Sono d' accordo con ciò che dici, io ho cercato di chiarirmi il perchè della
stessa nascita del concetto matematico "somma di serie infinita". L' ho
giustificato solo perchè la *forma mentis* scientifica l' ha giustificato. E
questo è male poichè le basi di un concetto, qualsiasi esso sia, devono
essere sempre solide e non dettate da ragioni che potrei chiamare di
*comodità*. Storicamente è da vedere se il concetto in esame sia venuto da
un' osservazione fisica o se sia nato prima ed abbia trovato in luogo
ragione d' applicazione, e l' ultima opzione la ritengo onirica poichè è di
più immediata verifica la finitezza che l' infinitezza che *diventa* finita.
(scusate il verbo)
La realtà fisica è considerata per *comodità* d' approccio matematico,
formalmente continua. Nell' esaminare ciò che accade si possono utilizzare
metodi differenti, che definirei più fisici, ma sono applicabili veramente?
Insomma anche quando ho un sistema di N particelle posso studiarne la
configurazione particella per particella: ma sono in grado di farlo, tanto
per dirne una, quando questo N è già nell' ordine di 10^4? Io penso che sia
la mia PIGRIZIA ad impedirmelo.
Comunque, il discorso è serio... lascio a voi la parola.
Paolo.


 quantizzazioni nel tempo e nello spazio.
Invece dimostra proprio che il modello continuo descrive molto bene la
realta' fisica!!!
Ciao
Michelangelo
P.s.
Ho gia' postato questo messaggio, ma mi pare che non sia stato l'unico ad
andare perduto... colpa della fase di test della nuova moderazione????


 fermo se ci fai caso)
Il paradosso resta anche se la tartaruga e' ferma: Achille
dovrebbe comunque attraversare infiniti punti per raggiungere la
tartaruga (ora ferma). Siccome in fisica non esistono processi che
coinvolgono un numero infinito di operazioni, ne nasce un paradosso.
Il paradosso puo' essere risolto solo ammettendo che a un certo punto
non sia piu' possibile procedere nel processo di dimezzamento della
distanza tra Achille e tartaruga, perche' si e' raggiunta la scala di
"granularita'' dello spazio.
Justinian


 *comodità*. (cut)
  Vorrei dire la mia su questa storia.
  Paradosso di Zenone o no, i modelli di spazio e tempo continuo
  funzionano ******* eccezionalmente bene ******* 
  in tutti i campi della fisica e cio' basta per garantirne l'uso
  in fisica.
  L'unico motivo per cui *forse* si *potrebbe* pensare a spazi e tempi
  *in qualche senso* discreti sono le divergenze ultraviolette della 
  rinormalizzazione, ma NON c'e' alcuna evidenza che la soluzione passi 
  per tale via, anzi per esempio le teorie di stringa usano altre
  procedure dove e' sempre tutto continuo. 
 
  Inoltre un conto e' parlare di spaziotempo *discreto* un altro
   e' di parlare di spaziotempo *quantizzato*. In questo secondo
  caso bisogna anche fare saltare fuori la costante di Planck
  e non e' per niente banale, e non e' per nulla ovvio che spaziotempo
  quantizzato significhi spaziotempo discreto (questo e' un luogo
  comune falso gia' in meccanica quantistica ordinaria).
  In ogni caso le  eventuali critiche ai modelli continui, per un 
  fisico, devono nascere dalla fisica: ci vuole qualcosa che 
  *non torni* meglio se quantitativo, in questo senso i paradossi
  di Zenone non mi pare dicano nulla di veramente interessante, 
  perche' sappiamo come trattarli con l'analisi infinitesimale. 
  Che questa sia o meno la "soluzione filosofica al problema" 
  e' tutto un'altro paio di maniche sul quale non mi pronuncio
  per mia  ingnoranza filosofica.
 
   Ciao, Valter


Personalmente non sono d'accordo.
noto che molti hanno usato la aprola contunuo...
allora: il fatto e' che nel mdo il cui tu pensi ad achille, esso passa
attraverso delle "frazioni", ma achille non si muove a scatti, ma si
muove continuamente, passando per ogni punto che lo separa dalla
tartaruga. questo mi permette di fare la derivata, parlare di
velocita' e permette ad achille di prendere la tartaruga.
Per quanto riguarda le seie.. gli antichi supponevano i procesi
all'infinto assurdi. adeso s e' scoperto che non e' vero, che le serie
convergono, anche se sono somme infinite.
oppure ho dett una cazzata? 


   comune falso gia' in meccanica quantistica ordinaria).
Scusa, non riesco a figurarmi un'entità quantizzata che non sia anche
discreta. Mi aiuti a capire la differenza fra le due qualità (non so se
è giusto il termine)?
EMG


   per mia  ingnoranza filosofica.
Secondo me chiunque può criticare i modelli continui, che sia un fisico o un
matematico non vuol dire che possa criticarlo solo per la sua natura fisica,
nel primo caso, o matematica, nel secondo.
C'è dell' altro: la critica si può rivolgere anche solo ad un concetto o
alla sua esposizione, ed è qui il punto.
In realtà qualcosa che non torna c'è ma si vede solo se si vuole vederlo, a
quanto pare.
Altro non è che il concetto di ***INFINITO*** che nulla ha di fisico,
utilizzato in varie forme e con differenti nomignoli in matematica,
equiparabile ad un vero e proprio colpo di reni per far *tornare i conti* e
non dirmi che non è vero, non l' accetto. Infinitamente vicino, piccolo... o
anche peggio, "somma di serie infinita" ma che significa?
Mi rendo conto che non è questo il mezzo corretto per esporre il problema,
l' ho detto anche nel messaggio precedentemente inviato con "il discorso è
serio".


 convergono, anche se sono somme infinite.
Questo che dici e' sacrosanto in matematica, ma non necessariamente
in fisica.
Le serie in realta' sono dei limiti di successioni (delle somme parziali).
E' vero che il limite converge, ma quando si fa un limite in fisica,
il parametro non puo' mai andare all'infinito, ma diventare molto
maggiore di qualche grandezza caratteristica.
Ad esempio in un circuito RC, lim t->inf significa
in realta' t finito con t>>tau_rc, costante del circuito.
Cosi' nel limite del paradosso, n->inf vuol dire in realta'
scegliere un n t.c.: 1/2^n~delta, dove delta e' una lunghezza minima,
eventualmente associata alla discretizzazione dello spazio.
Tale discretizzazione elimina la sgradevolezza di costringere
il povero achille a compiere infinite operazioni.
Justinian


  in fisica.
Mi pare che ci sia un altro grosso problema: se lo spazio fosse
continuo non c'č limite al piccolo e quindi si entra nell'assurdo con
le singolaritą dove la massa si annulla in un punti adimensionale.
Mi pare che sia meglio la teoria delle superstringhe che dimostrra
come non sia possibile al di sotto della cosidetta dimensione di
Planck e quindi, in pratica, quella sia la "grana" dello spaziotempo.
Ernesto


 Ernesto
Che poi possa essere meglio la teoria delle superstringhe non lo
discuto, ma come fai a sostenere che non ponendo limite al piccolo si
arriva a masse adimensionali?
Non porre limite al piccolo significa che puoi trovare masse piccole
quanto vuoi, ma sempre di dimensione non nulla. Non c'e' niente di
assurdo in questo. Dove starebbe la singolarita'?
Federico Spano'


 "il discorso è serio".
Guarda che lo e' anche per me.
Ciao, Valter


 EMG



  Non ho capito niente!
  La teoria delle superstringhe non viene fuori da quello che dici tu,
  ma da specifici problemi di rinormalizzazione....
  Ciao, valter


Salve, spero di non andare fuori tema, ma al riguardo della discretezza
dello spazio-tempo, qualcuno di voi ha mai sentito parlare della Teoria
Ondulatoria del Campo, trattasi di una teoria alternativa alla meccanica
quantistica che parte appunto dall discretezza dello s-t.
Se la conoscete vorrei sapere cosa ne pensate.
Ciao.


Sono d'accordo con l'autore del primo intervento sui paradossi
(Justinian). Non credo invece che
la soluzione risieda in uno spazio-tempo quantizzato.
Dal punto di vista matematico il problema non sussiste, la sua soluzione
è nel
calcolo infinitesimale. Sarebbe forse più corretto dire che il calcolo
infinitesimale sistema in maniera rigorosa la questione. Ma ricordiamoci
che il
c. i. raggiunge una sua forma completa con il concetto di limite. Il
punto chiave è tutto lì, matematicamente il paradosso viene rimosso con
l'introduzione per definizione di tale oggetto. In passato ho già creato un
thread sull'argomento come qualcuno può ricordare.
Il paradosso della dicotomia (quello secondo il quale se devo percorrere un
tratto AB non posso mai arrivare a B perché mi rimane sempre un
pezzettino da
dover coprire che a sua volta è divisibile in due parti; per lo stesso
ragionamento a ritroso non posso nemmeno partire da A) viene risolto sommando
infiniti tratti sempre più piccoli.Ovvero se AB=1 la somma è la seguente
1/2+1/4+1/8+1/16+..+1/2^n = *(1/2)^i=1-1/2^n   che al limite per n che tende
all'infinito è uguale al percorso AB. In maniera generale il
ragionamento si
riduce al seguente: se immaginiamo di dividere il tratto AB in n intervalli
"Dx" uguali allora AB=n*Dx. Al limite per n che tende all'infinito, Dx
tende a
zero cosicché il loro prodotto rimane costante AB=1.
Zenone non aveva questo potente metodo di calcolo e comunque sia
fisicamente il
problema non sparisce. Come può Achille attraversare regioni di spazio sempre
più piccole? Non tiratemi fuori la storia che lo deve fare in un tempo
anch'esso sempre più piccolo, cosicché il loro rapporto è costante.
State solo aggirando la domanda che è molto precisa: quelle regioni
divisibili all'infinito come possono essere oltrepassate? Ovvero se lo
spazio è continuo come può esistere il moto?
Io ritengo che la soluzione o la rimozione del paradosso si possa
trovare in una nuovo visione dello spazio-tempo, a cui noi ancora non
siamo arrivati e non è detto che arriveremo. Ricordatevi che le
coordinate spaziali sono solo un tipo di coordinate generalizzate! E
soprattutto ricordate che il modello non è la realtà! La nostra
assimilazione dello spazio alla retta reale è solo un metodo descrittivo
che funziona ma che cade in qualche paradosso.
Roberto




  ma da specifici problemi di rinormalizzazione....
Leggendo Greene, a me non pare così.  I problemi di rinormalizzazione
(totalmente fuori dalle mie capacità tecniche!) nascono, spiega lui,
dal considerare la particelle puntiformi e interagenti in un punto
preciso dello spaziotempo, uguale per tutti gli osservatori, cosa
falsa secondo la teoria delle stringhe che espandono il luogo
dell'interazione, questo fa sì che le forze coinvolte si espandano in
una regione spaziale e nel caso della gravità una tale "diluizione" -
dice Greene - porta a cambiamenti significativi nelle proprietà
ultramicroscopiche dell'evento, tanto che i calcoli si comportano bene
e danno risultati finiti laddove nel caso puntiforme erano infiniti.
Ecco fatta la rinormalizzazione, vero?
Quindi il fatto che le equazioni dessero infiniti in quantità era un
segno che qualcosa non andava. La teoria delle stringhe avrebbe
scoperto che, sotto la distanza di Planck non ha più senso parlare di
distanza, in quanto per le stringe un universo di raggio R o uno di
raggio 1/R si equivale. Se ho capito bene la teoria di Brandemberg e
Vafa a seconda che si prenda come misura della distanza una stringa
arrotolata o meno si hanno misure che sono una l'inverso dell'altra.
A me pare che in pratica dire che non esiste distanza al di sotto di
quella di Planck, sia dire che lo spaziotempo non è continuo ma, a
quei livelli ultramicroscopici, discreto.
Sbaglio?
La cosa che più mi pare interessante nella teoria è l'unione della
Relatività generale con la Meccanica Quantistica: sembra l'unico modo,
oggi, di cancellare la schizofrenia della Fisica.
Ciao.
Ernesto
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Roberto
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 spazio è continuo come può esistere il moto?
Fammi capire: tu sostieni che per attraversare una porzione di spazio
devi interagire con essa? O non ho capito niente del problema?
Federico Spano'


Federico Spano'
Se non mi chiedi le equazioni relative (!) posso cercare di spiegare
come la vdo io: nella RG i buchi neri sono quasi obbligati e nel
collasso gravitazionale la materia raggiunge un punto di dimensione
nulla, è questa la singolarità e molti valori schizzano allk'infinito.
Di soilito quando succede questo vuol dire che qualcosa nella teroia
non funziona.
La teoria delle stringhe pone un termine al "piccolo", sotto la
distanza di Planck la distanza stessa non ha più senso, anzi poichè ci
sono stringe che si arrotolano sulle ultramicriscopiche dimensioni
dell'universo e altre no, si può calcolare che le distanze sono le une
inverse delle altre ma entrambe legittime. Le stringhe non arrotolate
sulle microdimensioni si possono muovere liberamente attorno alla
circonferenza e determinano in tal modo una distanza proporzionale al
raggio R di un universo, mentre le stringhe arrotolate avendo energia
minima proporzionale a R, per il principio di indeterminazione sono
sensibile a distanze pari all'inverso di R, osssia a 1/R.
Poichè i fotoni che misurano gli astronomi sono modi di stringa
leggeri (stringhe non arrotolate) e risulta un raggio dell'univrso
pari a circa 10^61 la lunghezza di Planck.
 Insomma il nostro Universo è di 15 miliardi di anni luce se misurato
tramite le vibrazioni delle stringhe non arrotolate e piccolissimo
1/10^61 la lunghezza di Planck se misurato usando come sonde le
vibrazione delle stringhe arrotolate. (E anche le tre dimensioni
spaziali che percepiamo potrebbero essere arrotolate con raggio R!)
Ci sono poi altre conseguenze fantastiche, stupende, che fanno
pensare... ovviamente nessuno ancora sa se questa teoria sia
"verificabile" e quindi Popper è un po' incazzato...
Saluti,
Ernesto


 la soluzione risieda in uno spazio-tempo quantizzato.
[....]
Tutto bellissimo quello che hai detto ma credo che il paradosso si possa
"risolvere" in maniera piů semplice: un tempo si credeva che la somma di
infiniti termini desse un risultato INFINITO.
L'esistenza delle serie convergenti, quindi, permette di "smentire" il
paradosso
Ciao


  ma da specifici problemi di rinormalizzazione....
Penso che sia quel piccolo problema delle sorgenti puntiformi. Se si
utilizzano approssimazioni puntiformi di massa e di carica allora, per
esempio, il campo E e G divergono nelle sorgenti (puntiformi). Se
invece si considerano come sfere di densita' uniforme naturalmente i
campi sono lineari.


dover coprire che a sua volta è divisibile in due parti; per lo stesso
Penso che la domanda fondamentale sia : come puo' la somma di infiniti
termini non dare infinito? Questo perche' (intuitivamente) i pezzetti
da sommare diventano infinitesimi "piu' velocemente" di quanto il
numero dei pezzi da sommare diventa infinito.
Rigorizzando la convergenza della serie numerica, si dimostra che
somme infinite possono convergere, e non....etc.


la fisica moderna nel linguaggio della matematica? 
Per quel poco che penso di sapere si matematica e di fisica (sto al
terzo anno di Fisica) ho avuto comunque l'impressione, suffragata
anche da opinioni lette qua e la', che la fisica, da 100 anni a questa
parte si limita piu' a trovare il modello che meglio "descriva" il
mondo, mentre prima in un certo qual modo riusciva meglio a permeare
la struttura intrinseca dei fatti.
Come dire che queste mega teorie (standard, CMD, stringhe e immensita'
varie) non sembrano calzare molto. Sembrano cioe' solo una descrizione
matematica.
Ma forse e' perche' tali teorie ora come ora sono accessibili solo ad
un ristretto numero di persone, e non le mastichiamo dall'infanzia, e
ci sembrano astruse. Cosi' doveva essere anche quando Galileo
descriveva l'esperimento della piuma e del proiettile di piombo.
Ma dimmi, e' accaduto che tali teorie matematiche abbiano previsto
effetti poi riscontrati in futuro in esperimenti? Parlo di previsioni,
non di confutazioni di quanto teorizzato.


 qualcuno di voi ha mai sentito parlare della Teoria Ondulatoria del Campo
Teoria? Quale teoria? Una teoria fisica necessita di una
struttura matematico-deduttiva precisa, di trattamenti e
predizioni quantitative ecc.. Tutte cose di cui ho potuto
constatare l'assenza (se non nella forma piu' rudimentale, e
spesso errate) nella supposta teoria cui ti riferisci. Deve poi
essere pubblicata con il dettaglio necessario su riviste
specializzate, in modo da poter essere conosciuta dagli altri
specialisti ed esserne soggetta all'esame critico
(l'autopubblicazione non ne e' un sostituto); anche questo manca.
Il fatto e' che mettere in fila un po' di idee, e collegarle
insieme verbalmente in modo che suonino superficialmente come un
discorso scientifico, non e' difficile. Di questo uno se ne rende
conto facilmente navigando un po' in rete in alcuni delle
centinaia di siti di "scienza alternativa", di cui puoi trovare
una lista molto parziale al sito
http://www.crank.net/physics.html
Una discussione generale su come *non* si fa fisica teorica la
trovi al sito
http://www.cyberpass.net/~ilja/science/crank.html
-- 
To reply, replace "smartassi" with "smargiassi" in my e-mail
address
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia


 non di confutazioni di quanto teorizzato.
Ti ho risposto sopra.
Ciao, Valter


 
  Ciao, scrivo di corsa: le sorgenti puntiformi NON esistono! Nel piccolo
  vale la meccanica quantistica e allora l'elettromagnetismo classico deve
  venire sostituito dalla corrispondente teoria quantistica (che ammette
  l'elettromagnetismo classico come limite classico). Gli unici
  problemi che allora vengono fuori sono al piu' quelli della rinormalizzazione.
  Comunque sappiamo come trattare tali problemi e, come ho risposto
  in un altro post, i risultati che ne escono forniscono le previsioni
  confermate piu' esatte di tutta la storia della fisica.
  La natura della necessita' di rinormalizzare e' invece piu' oscura, e la 
  teoria delle (super)stringhe e' un tentativo di risposta...


teorie di gauge non abeliane no?
Ho sempre avuto l'impressione che le cose piu' semplici fossero le
piu' probabili. Ma forse ricerco un po' troppo l'estetica nella
fisica.
Grazie tanto per le delucidazioni sulle previsioni delle varie teorie
che hai elencato.
