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Titolo: Momento di inerzia di una sfera

Buona serata a tutti.
Mi accingo a preparare un esame di fisica 1.
Chiedo se qualcuno mi fornisce link dove trovare materiale, in 
particolare non riesco a dimostrare che I=(2/5)M*r*r, dove r è il raggio 
della sfera.
Ho provato a risolvere il problema calcolando l'integrale I=S(dm*r*r) 
dove S è il simbolo di integrale.
Grazie mille dell'attenzione.

 dove S è il simbolo di integrale.
A che punto di sei bloccato nell'integrale? se lo fai in coordinate sferiche
non e' difficile.
Prendi l'asse z di rotazione:
I = \int dm (x^2+y^2)
I = \rho \int r^2 dr \int d\phi \int \sin \theta d\theta r^2 \sin^2\theta
I = 2 \pi \rho \int r^4 dr \int \sin^3\theta d\theta
I = 8/3 \pi \rho \int r^4 dr
I = 8/15 \pi \rho R^5
I = 2/5 M R^2
Bye
Hyper

, 
edm...@tin.it
 
says...

penso che lo puoi trovare su qualsiasi libro di teoria o esercizi, 
sicuramente sarà presente sul mencuccini o sull'alippi setta o sul 
mazzoldi, comunque prova ad esprimere dm come ro*2PiG*rdr ove con PiG 
intendo pi greco e ro la densità, infila questo dentro all'integrale ed 
integra da R (il raggio della sfera) a 0. Infine esprimi ro in funzione 
di R (il raggio della sfera), fai qualche semplificazione ed il gioco 
dovrebbe essere fatto.
-- 
<<<<stefjnoskynov reminds to alls: death to spam and to all spammers>>>>
Ah, contact me to 
fedel...@yahoo.it

Immagina un cilindro cavo, privo delle facce tonde, che ruota
attorno al suo asse, Se le pareti sono molto sottili puoi
facilmente calcolare il suo momento d'inerzia, dato che tutta
la sua massa si trova alla stessa distanza r dall'asse di
rotazione. Fin qui ci sei? Bene. Ora devi scomporre la sfera
in una somma di infiniti cilindri concentrici di spessore
infinitesimale. Occhio che a mano a mano che ti sposti verso
l'esterno il raggio r dei cilindri aumenta ma la loro altezza
diminuisce (=2*sqrt(R^2-r^2), se R e` il raggio della sfera).
La massa dei cilindri infinitesimi sara` pari alla loro
densita` per la loro superficie per lo spessore infinitesimo
dr. Integrando il tutto per r da 0 a R otterrai
un'espressione in funzione della densita`: puoi sostituirla
con massa della sfera diviso volume della sfera.
Buoni calcoli.
Per l'integrale ti consiglio la sostituzione r=R*sen(alfa).
Poi per integrare le potenze di sen(alfa) ti converra`
sfruttare il fatto che:
integrale_da_0_a_pigreco_mezzi((sen(x))^n)=
=((n-1)/n)integrale_da_0_a_pigreco_mezzi((sen(x))^(n-2))
Ma questo lo dovresti appena dimostrare...
Ciao
Paolo Russo

 
non sarebbe il caso di parlare di corone sferiche concentriche anzichč 
cilindri?


 mazzoldi, comunque prova ad esprimere dm come ro*2PiG*rdr ove con PiG 
scusami, questa formula è buona nel caso si voglia calcolare il mom 
d'inerzia del cerchio, forse 4PiG*r^2*dr dovrebbe andar meglio. insomma 
il volume della sfera è 4/3 PiG*r^3, differenzia sta cosa rispetto ad r e 
quel che esce fuori è 4PiG*r^2, no?


cilindri?
Mi sembra piu' semplice con i cilindri. Ai fini del momento
d'inerzia conta la distanza della massa dall'asse di rotazione,
non dal baricentro. Il luogo dei punti equidistanti da una retta
e` appunto un cilindro.
Ciao
Paolo Russo

, 
pao...@libero.it
 
says...

hai ragione, solo dopo aver inviato il post sono tornato a rifletterci un 
pň su e sono arrivato alle conclusioni che mi hai scritto qui su
