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Titolo: Problema di Fisica I

Mi sono immaginato questo problema, che non sono sicuro di saper risolvere
correttamente.
Poniamo di avere un cilindro di altezza h pieno di un fluido, mettiamo
acqua, e immaginiamo una sferetta di raggio r omogenea di un materiale
avente una densità rho minore della densità del fluido. Se questa sferetta
viene vincolata al fondo del recipiente e poi lasciata andare, come
esprimere la sua velocità in funzione della quota raggiunta (relativamente
al fondo del recipiente)?
Io ho pensato di scomporre le pressioni agenti su ogni dS della sfera: per
ragioni di simmetria solo le componenti verticali non si elidono a vicenda.
Così facendo è cose se usassi il teorema di Archimede, solo che non mi pare
del tutto corretto, visto che il fluido, già un dt dopo che la pallina
viene lasciata, non è fermo rispetto alla sferetta.
Ho pensato allora di usare l'espressione dell'attrito viscoso (ricavando
gamma dato dalla legge di Stokes)...
Qualcuno può gentilmente aiutarmi in questa risoluzione?
Attilio

al fondo del recipiente)?
Se non si considera trascurabile l'attrito viscoso allora il problema
non e' per niente banale (non mi stupirei che la soluzione non sia
nota se non numericamente, oppure che non sia esprimibile
tramite funzioni elementari). A me non e' nemmeno tanto chiaro
sotto quali condizioni si possa trascurare l'attrito.
Io non direi proprio che si tratti di un problema di fisica 1.
Il problema di cosa fa un fluido attraversato da una pallina
(vortici, dissipazione ..) non e' per niente banale.
--
Bruno Cocciaro
email:nospamb....@leonet.it
      togliere "nospam" per avere il
corretto indirizzo.
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Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
Li spingemmo oltre il bordo. E volarono.
---------------------------------------------     (G. Apollinaire)


Problemi di questo genere possono essere resi complicati a piacimento,
dipende dal grado di approssimazione di cui ci si accontenta. Poichè in
titolo è scritto "Problema di fisica 1 provo a darti una risoluzione da
FISICA 1.
Sulla sfera agiscono due forze, la forza peso mg e quella di Archimede
(possiamo assumere che il moto della sfera sia abbastanza lento da non
creare vortici o schifezze varie) se m è la differenza tra la massa della
sferetta e la massa di liquido spostato abbiamo F=mg. A questa forza
aggiungiamo la forza di attrito viscoso -bv (altra approssimazione valida se
v è piccola), dove con b indico il coefficiente di attrito opportunamente
calcolato con la Formula di Stokes. Adesso scriviamo la F = ma:
mg - bv = Mv' (M=massa della sfera).
Da questa equazione ricaviamo la velocità in funzione del tempo, ottenendo:
v(t)=(mg/b)*(1-exp(-b/v*t))
Integrando la stessa troviamo:
x(t)=(mg/b)*(t+(M/b)*exp(-bt/M)-M/b)
Come vedi già in questa forma è impossibile invertire la relazione per
ricavare t in funzione di x e sostituire nell'espressione di v, semmai puoi
fare il contrario, ossia trovare x in funzione di v.
Ciao, Biagio.
P.S. Se trovi una soluzione più dettagliata fammelo sapere.

 gamma dato dalla legge di Stokes)...
Naturalmente ci sono entrambe le forze: quella di Archimede, costante, e
la resistenza viscosa, che puoi esprimere con la legge di Stokes finche'
la velocita' e' piccola.
Molto dipende dallo "scopo" del problema: se hai davanti una situazione
concreta, puoi stimare l'importanza dei diversi fattori e decidere quale
sia l'approssimazione piu' adeguata.
Se invece vuoi una trattazione toerica generale, sono guai...
Per es. nella fase iniziale, in cui il moto e' accelerato, dovrai tener
conto che anche il fluido viene accelerato, e questo ha per effetto un
incremento apparente della massa della sferetta.
Il riferimento obbligato e' Landau, Meccanica dei Fluidi, dove trovi
parecchie cose sull'argomento.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa