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Titolo: Il tempo in meccanica quantistica

Come mai il tempo in meccanica quantistica non e' un operatore?
Faccio alcune osservazioni:
-il tempo e' una osservabile, per il sol fatto che e' misurabile
sperimentalmente
-l' energia e' un operatore, e tempo ed energia sono variabili coniugate
(addirittura canoniche!)
-l' esponenziale dell' operatore energia  esegue l' evoluzione
temporale, cosi' come l' esponenziale dell' impulso esegue la
traslazione spaziale
-in un certo senso esistono relazioni tra tempo ed energia che
assomigliano molto alla disuguaglianza di Heisemberg
-Schrodinger e De Broglie, nei loro lavori, avevano in mente che il
tempo fosse un operatore

 tempo fosse un operatore
questo non lo so, sono un po' ignorante di storia della fisica...
Saluti
Vittorio

Ciao,
se il tempo fosse un operatore (autoaggiunto) avrebbe autovettori e
autovalori (anche impropri). Che senso daresti ad una funzione d'onda
localizzata su un tempo t_0? Essa sarebbe nulla prima di t_0 e dopo di t_0,
rappresentando una particella che nasce e muore istantaneamente e non
conservando la probabilità nel tempo. In meccanica quantistica classica
questo non ha alcun senso, come capisci bene. La soluzione a questo dilemma
è data dalla meccanica quantistica relativistica (che è una teoria di campo
quantizzata e non può essere altrimenti) dove il tempo e lo spazio sono
trattati alla stessa maniera e sono entrambi parametri e non operatori. Qui
ha senso dire che una particella nasce in un punto dello spazio tempo e si
propaga per andare a 'morire' in un altro punto, purchè l'energia e
l'impulso si conservino (con la creazione e la distruzione di altre
particelle).
Ciao,
Antonello.

 Antonello.
Ciao e grazie in anticipo per le delucidazioni.
Vittorio

Vorrei aggiungere una considerazione piu' fisica a questa discussione.
Il fatto che si facciano "misure di tempo" di per se' non garantisce che
debba esistere un'osservabile tempo, nel senso di operatore autoaggiunto
(e infatti non esiste). 
Bisognerebbe studiare bene che cosa sono realmente le misure di tempo.
E' stato gia' detto che in mq non rel. il tempo e' un parametro,
esattamente come in m. classica, per cui "misure di tempo" nel senso
proprio della mq sono un non senso...
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Ciao Vittorio,
vediamo se riesco ad essere più chiaro.
Per prima cosa l'esistenza di un autostato di un operatore (ad esempio
dell'operatore tempo, qualora esistesse) prescinde dalla commutatività
dell'operatore stesso con l'hamiltoniano. Ad esempio esiste l'operatore \hat
x di posizione, esistono i suoi autovettori (impropri) e cioè le
\delta(x-x_0), anche se in nessun caso (non banale) x commuta con H. Tu
interpreti le \delta come pacchetti estremamente localizzati. In meccanica
quantistica, infatti, gli autostati di un operatore vanno interpretati come
funzioni d'onda, a prescindere dal fatto che l'operatore commuti o meno con
H o quant'altro. Perchè ciò che vale per un qualsiasi operatore non dovrebbe
valere per l'operatore tempo (qualora questo esistesse)?
Secondo. In meccanica quantistica relativistica esistono gli operatori di
creazione e di distruzione (i campi stessi) delle particelle in determinati
punti dello spazio tempo (indicati come \phi(x,t) o \psi(x,t) a seconda dei
campi). Le particelle vengono create in determinati punti, fatte evolvere e
distrutte in altri punti. Non so se hai mai avuto a che fare con la teoria
di campo quantistica ma li non si fa altro, per calcolare le ampiezze (ad
esempio con i diagrammi di Feynman). Li il problema è risolto imponendo che
anche lo spazio diventi un  parametro, come il tempo. La differenza tra i
due viene così a cadere e non ha senso parlare ne di operatore spazio, ne di
operatore tempo.
Spero di essere stato più chiaro,
Ciao,
Antonello.

 Antonello.
Vittorio

Non so a cosa ti riferisci(spero non ai diagrammi di Feynmann).
Scusate se mi intrometto. Però è quel che anch'io mi chiedo. Cioe' puo' accadere, ad esempio dentro un acceleratore di particelle, ovvero in una camera a bolle, di vedere che piu' o meno in un certo luogo avviene una magica trasmutazione. Uno arriva addirittura a calcolare con un modello quantistico la probabilita' che cio' avvenga. La localizzazione in una camera a bolle e' l'effetto di continue interazioni di cui uno sa che avvengono e sa calcolare le sezioni d'urto. Poi scopre che un neutrone e' fatto di quark che continuamente interagiscono fra di loro, pero' se non mette un contorno "classico" da qualche parte non riesce a dare alcun senso a quello che puo' calcolare. O dico sciocchezze. Una cosa che personalmente non ho mai capito e' quando si dice che la m.q. opportunamente unificata puo' dare una descrizione globale dell'universo mediante una funzione d'onda. 
Ma per esempio come si fa a dare una descrizione con funzioni d'onda di sistema composto di quark che per interazione debole hanno una "trasmutazione" in qualcos'altro? Dove sta all'inizio la funzione d'onda di quello che trovo alla fine?
Persino dare una caratterizzazione mediante una funzione d'onda di una particella che si muove in un gas e' una cosa che trovo difficile da immaginare.
               Gianmarco
_____________________________
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Ciao Vittorio,
non credo che ci siano ancora fraintendimenti e le nostre posizioni sembrano
chiare ad entrambi. E' solo un problema di interpretazione. Gli operatori
\phi, \psi e \psi^+ si chiamano proprio di creazione e distruzione di
particelle e uno puň interpretarli come semplici strumenti matematici per
fare conti perturbativi, oppure come veri e propri processi fisici (virtuali
o reali). Chiaramente la fisica non cambia, perchč, come hai detto tu
giustamente, alla fine si "misura" la matrice S qualunque sia
l'interpretazione che uno da ai propri grafici. Per quanto riguarda invece
l'integrazione sui punti, io non mi preoccuperei troppo: anche nelle due
fenditure alla Young si integra su tutti i punti delle fenditure. E'
l'interpretazione dei percorsi di Feynman, una valida alternativa al
formalismo operatoriale. Come certo saprai nell'idea di Feynman tutti i vari
percorsi possibili danno ampiezze che si sommano. I percorsi sono veri o
soltanto nostre astrazioni? A questa domanda non risponde la fisica (almeno
non ora) ma la filosofia, quindi vuol dire che non č una domanda troppo
interessante.
Ciao e a presto,
Antonello.

Ciao Antonello,
sono d'acordo su tutto, tranne che sul fatto che la filosofia non sia
interessante. In fondo cosa è la fisica? Secondo me è una teoria matematica
accompagnata da una interpretazione fiosofica, senza la quale non le si può
dare alcun collegamento con la realtà...ma queste sono solo considerazioni
personali sulle quali penso di non aver ancora sufficientemente riflettuto e
che forse qui, su questo newsgroup, potrebbero essere OT.
Saluti e a presto e grazie per le risposte
Vittorio

La curiosita' riguardava esclusivamente il ruolo del tempo nella teoria
matematica della
'meccanica quantistica non relativistica', intesa come procedura di
quantizzazione a partire
dalla 'meccanica analitica' classica.
Non e' in discussione, in questa sede (ma sarebbe pure interessante), il ruolo
del tempo in fisica,
percio' non sono attratto dalle risposte al problema che si rifanno ad
argomenti di teoria dei campi.
Se giudicate la mia curiosita' non fisica, ma derivante da noiose
complicazioni  matematiche, tenete conto che anche tutto lo studio della
rinormalizzabilita' della teoria dei campi, in questa visione, e' un
solocavillo matematico, visto che una teoria fisica non puo' non includere la
gravitazione. Eppure
essa viene studiata, se non altro per capire cosa non fare quando si sara' in
grado di tentare la quantizzazione della gravita'.
Tornando al problema in questione, credo di aver detto una sciocchezza:
tempo ed energia NON sono variabili canoniche in generale (dico nel senso della
meccanica analitica classica), ma lo sono solo in alcuni casi, ad esempio:
-tutti i sistemi meccanici unidimensionali
-i sistemi tridimensionali con potenziale della forma cost \times r^{-2}
Eppure, in meccanica quantistica le evoluzioni temporali sono, IN OGNI
SISTEMA MECCANICO, generate dall' operatore energia. Cio' e' in contrasto coll'
ipotesi che il tempo sia un operatore.
Ma ho un nuovo argomento a favore.
Nel caso dell' atomo di  idrogeno, essendo l' energia e tempo variabili
canoniche (assieme ad altre quattro variabili, che in realta' sono tutti
integrali primi), si puo' riscrivere l' Hamiltoniana
in queste nuove variabili, ottenendo, ovviamente, come nuova Hamiltoniana, la
funzione identita' nella variabile energia ed indipendente dalle altre cinque
variabili canoniche: e' evidente, da questo punto di vista, che allora gli
autostati dell' atomo di idrogeno hanno energia che dipende da UN SOLO numero
quantico (non dipende, ad esempio, dal numero di momento angolare e dallo
spin).  Questo fatto, da altri punti di vista, sembrava un grossa stranezza;
infatti non e' cosi' per altri sistemi tridimensionali integrabili,
come l' oscillatore armonico, che pure conserva il momento angolate, ma per il
quale energia e tempo NON sono variabili canoniche.
Vi prego di correggermi se sbaglio.

Ciao,
La discussione si era spostata sulle teorie di campo perchè lì il tempo e lo
spazio sono trattati allo stesso modo e in fondo ogni teoria che voglia
comprendere una buona discussione del tempo deve scontrarsi con la
relatività (non credo che sia una inutile complicazione, è necessario). Non
sono d'accordo con quanto dici sulla rinormalizzabilità (anche se capisco
che sto spingendo la discussione fuori dal suo percorso originario). Ormai
non si ritiene più requisito fondamentale per una teoria quella di essere
rinormalizzabile in quanto si sta sviluppando l'idea (t'Hooft e altri) che
tutte le teorie di campo siano teorie efficaci e quindi vadano dotate di una
procedure di regolarizzazione (non rinormalizzazione), cioè definendo un
cutoff. Quindi nessuno si preoccupa eccessivamente della gravitazione e
della sua non rinormalizzabilità (qualora si prenda la teoria di Einstein e
la si quantizzi canonicamente), perchè prendendo un bel cutoff le correzioni
ai risultati all'ordine zero nella costante di Einstein saranno comunque
piccoli. La rinormalizzabilità viene studiata senza soffrire il panico per
la non rinormalizzabilità della gravitazione (questa è la mia impressione e
quella di quelli che io conosco e che si occupano della questione).
Venendo a quello che dici. Primo, dove hai letto (forse sul Goldstein, che
non ho sotto mano?) che il tempo e H sono variabili canoniche coniugate in
-tutti i sistemi meccanici unidimensionali
-i sistemi tridimensionali con potenziale della forma cost \times r^{-2}
e come trai da ciò il fatto che questo valga per l'atomo di idrogeno dove
V=cost.r^{-1}?
In questo caso non ti sembra strano che una proprietà che dovrebbe valere
per tutti i sistemi, data dalla fisica secondo te, valga soltanto per una
sottoclasse molto ristretta? A me sembra più una proprietà matematica che
fisica, forse stai definendo come "il tempo" qualcosa che genera (con
qualche passaggio algebrico) un integrale primo del moto alternativo a
energia, impulso e momento angolare come nel potenziale coulombiano il
vettore che connette il centro con il perielio (questo c'è anche sul
Goldstein e sul Landau).
Io non mi fisserei troppo sul problema se fossi in te, non mi sembra molto
interessante.
Ciao,
Antonello.

 -i sistemi tridimensionali con potenziale della forma cost \times r^{-2}
Non capisco proprio quanto hai detto.
Cosa intendio per variabili canoniche? In meccanica classica il tempo
non e` una variabile canonica mai, per costruzione.
Ti devi mettere nello spazio-tempo delle fasi e partire da variabili
hamiltoniane standard q, p ed eseguire una trasformazione di
coordinate
della forma
t -> t'=t
q -> q'= q'(t,q,p)
p -> p'= p'(t,q,p)
La trasformazione e` detta canonica se *a t fissato* la matrice
Jacobiana
delle M due ultime equazioni soddisfa M J M^t = J dove J e` la matrice
con i vari -1 e +1 sull'antidiagonale e tutti gli altri elementi
nulli.
Se la trasformazione e` quella detta allora le nuove variabili q'p'
sono dette canoniche. Non si puo` scegliere una p' o una q' uguale a t
perche` t e` tenuto fisso sopra! Quindi dire che t e` una variabile 
canonica e` privo di senso in ogni caso. Le variabili q e p e le
associate
canoniche q'e p' sono delle *variabili* che permettono di descrivere
la configurazione hamiltoniana del sistema ad ogni fissato istante t,
quindi
t per sua natura non puo' mai essere una variabile del tipo detto
sarebbe
una costante per ogni t.
Quello che puo` accadere, ed e` questo che forse stai dicendo, e` che
ci
siano sistemi fisici in cui ci siano coordinate  canoniche di cui una 
variabile diciamo q (che magari abbia parentesi di Poisson unitaria
rispetto
ad un'altra variabile corrispondente all'energia per qualche
osservatore),
*su qualche moto del sistema* coincide numericamente con il tempo t. 
Ma questa e` tutta un'altra cosa perche` hai fissato un moto del
sistema.
In meccanica Hamiltoniana classica il tempo gioca il ruolo di
parametro
e non di variabile canonica e cio' e` in accordo con quanto succede in
MQ:
le osservabili quantistiche le associ alle funzioni (indipendenti dai
singoli moti) delle variabili canoniche classiche, per cui non c'e'
necessita` diretta
di associate al tempo un'osservabile quantistica tramite i principi di
corrispondenza.
Come ho gia` raccontato altre volte, se poi uno cerca di definire un
operatore
autoaggiunto che soddisfi le relazioni di commutazione canoniche con 
l'operatore hamiltoniano, segue che quest'ultimo non puo' avere un
limite
inferiore dello spettro (energie illimitate inferiormente) e cio'
produce
patologie fisiche inaccettabili...
Ciao, Valter

Ho cambiato titolo perchè seguo il consigliodi Antonello: forse la
discussione precedente non è abbastanza interessante (o comunque non mi pare
siano venute fuori novità, oltre alla iniziale osservazione sullo spettro
limitato dell' energia).
A questo punto mi interessa più verificare la mia comprensione della
meccanica classica, in particolar modo delle trasformazioni canoniche.
A parte evidenti errori (in tre dimensioni dico che i sistemi con variabili
canoniche tempo ed energia sono quelli coulombiani, cioè del tipo   cost
r^(-1), non cost r^(-2), naturalmente), cercherò di esprimermi con più
precisione.
Una trasformazione canonica non ha solo la proprietà della linearizzazione
detta da Valter (la linearizzazione di una trasformazione canonica è una
matrice la cui inversa gode di certe proprietà), ma è anche definibile a
partire da una "funzione generatrice".
Sul libro di G.Gallavotti (Meccanica elementare, in versione sia italiana
che inglese) la canonicità delle variabili energia e tempo di certi sistemi
è dimostrata (a mio modo di vedere) negli "Schemi di esercizi"di pag 229
della versione italiana, per i sistemi unidimensionali, e a pag 289 per il
sistema kepleriano.
Nel primo caso, si passa dalle variabili (p,q) alle variabili (E, k), ove la
prima è l' energia del sistema, tramite la funzione generatrice
 S(E,q)=\int_0^q \radice[2m(E-V(x)] dx
 ove V(q) è il potenziale, m è la massa. E' facile rendersi conto che la
derivata di S(E,q) rispetto a q dà l' impulso: allora trattasi di una ben
posta funzione generatrice; la derivata di S(E,q) rispetto ad E sarà allora
la definizione della nuova variabile k, la cui espressione non scrivo
esplicitamente. Quel che conta per l' interpretazione di k, infatti, è solo
che (E,k) sono canoniche: la Hamiltoniana nelle nuove variabili sarà
semplicemente la funzione identità nella variabile E:
H(p,q)=H'(E,k)=E
e dalle equazioni di Hamilton segue che E(t) è costante (come ci si
aspettava) e, soprattutto, che k(t)=t  !!!
Allora la seconda variabile canonica è il tempo.
Nel caso del problema kepleriano, si ragiona allo stesso modo, ma in
coordinate polari: a pag 288 si parte già dal moto kepleriano sul piano:
dalle coordinate (P_\rho, P_\theta, \rho, \theta) si vuole passare alle
variabili (E, A, k,h) tramite la funzione generatrice:
S(E,A,\rho,\theta)=A\theta + \int_0^\rho \radice[2m(E-V(x)+ (A / \rho)^2)]
dx
ove V(\rho) è il potenziale kepleriano ed (A/\rho)^2 è il potenziale
efficace che viene fuori in coordinate polari dal momento angolare A.
Si vede che le derivate di S(E,A,\rho,\theta) rispetto a \rho e \theta danno
proprio P_\rho e  P_\theta rispettivamente, quidi la funzione generatrice va
bene. Come sopra si dimostra che le equazioni del moto danno k(t)=t  !!!
Mi pare, a questo punto, che quantizzare k significhi quantizzare il tempo.
Come si risolva il problema dello spettro limitato dell' energia non lo so.
Dico solo che in quest' ottica, il fatto che lo spettro dell' atomo di
idrogeno in meccanica quantistica ha un solo numero quantico (cioè è
degenere nel momento angolare), mentre, ad esempio, l' oscillatore armonico
ha anche un numero quantico riferito al momento angolare, non è
sorprendente.

Purtroppo cio' che spedisco viene pubblicato con notevole ritardo (anche tre
giorni) ed al momento in cui scrivo non e' ancora apparso l' articolo del
quale mi accingo ora a fare delle correzioni. (Le variabili canoniche in
meccanica classica (ex: Ancora sul Tempo in meccanica quantistica))
Naturalmente quello che dicevo a proposito del potenziale kepleriano e la
funzione generatrice della trasformazione canonica
valgono per tutti i problemi di forze "centrali"; ossia, se č corretto quel
risultato, in tutti questi problemi il tempo e l' energia sono variabili
canoniche.
Altro errore č che in meccanica quantistica ANCHE l' oscillatore armonico 3D
ha livelli energetici che dipendono da un solo numero
quantico (non dipende dal momento angolare): cio' č compatibile, allora, con
la correzione sopra.
Sono sorpreso, perche' mi ero figurato che solo i sistemi periodici avessero
il tempo come variabile canonica, mente in generale i sistemi con forze
centrali (sempre integrabili per quadrature) sono solo quasi-periodici.
Rimane il fatto che quando l' energia e' variabile canonica, l' altra e'
sicuramente il tempo; cosi' quando il tempo non lo e', non lo e' neppure l'
energia. Morale: se in mecc. quantistica il tempo non e' un operatore, non
lo dovrebbe essere neanche l' energia.
Questo solo per ribadire qual era l' errore che avevo trovato nella ricetta
di quantizzazione canonica, cosi' come superficialmente viene raccontata.
Non ritornerň su questo argomento, come dissi; preferisco riflettere sulla
meccanica razionale, ora!
FdD

 Come si risolva il problema dello spettro limitato dell' energia non lo so.
Il probelema si pone ANCHE se k non rappresenta il tempo:
se soddisfacesse le relazioni canoniche (come operatore) con H
saremmo comunque nei guai.
Prima di tutto bisognerebbe prendere k e costruire un operatore K
autoaggiunto che giochi il ruolo di k. Non e` per niente ovvio come
fare:
quando espliciti k in funzione di q e p viene fuori un mostro.
Uso l'hamiltoniano dell'oscillatore armonico p^2/2 + omega^2 q^2/2
k = (1/omega) arcsin( omega q / sqrt(p^2 +omega^2 q^2))
a che cosa corrisponde questo quantisticamente???
NOTA:  p e q non commutano per cui non si puo` brutalmente
sostituire a p e q i rispettivi operatori, non vorrebbe dire 
niente. Senza rispondere a questo punto non c'e'nemmeno un 
candidato quantistico per k e  tutti i discorsi sarebbero
campati in aria. Se hai qualche suggerimento io sono qui :-).
La risposta che io ti fornisco e` la seguente: comunque tu
definisci k quantisticamente, non otterrai *mai* che esso e` 
autoaggiunto e soddisfa le relazioni canoniche con H 
dell'oscillatore armonico (piu' precisamente le relazioni di Weyl). 
Questo perche` se cio' fosse H non sarebbe limitato
dal basso e invece sappiamo che lo e`. Ma questo e` indipendente
dal fatto che K rappresenti il tempo o meno.
Ciao, Valter

Se posso intervenire, la questione che state discutendo e' interessante
anche perche' mostra un difetto didattico: questa roba di solito viene
insegnata o da matematici, in modo rigoroso ma astruso, o da fisici, in
modo "semplice" ma pasticciato. 
Credo di aver gia' scritto, forse un anno fa o piu', che quando ho letto
l'Arnold mi sono detto: "bellissimo; ora occorrerebbe tradurlo in un
linguaggio leggibile per un fisico". 
Ovviamente Valter ha ragione: le due var. coniugate sono E e k; a k si
puo' dare un'espressione piu' semplice:
k = (1/omega) arctg(omega q / p).
Una volta scritta questa trasf. canonica, dato che H=E, le eq. di
Hamilton per E, k sono:
dE/dt=0, dk/dt=1.
La seconda fornisce k=t+c, ma sarebbe sbagliato concluderne che k *e'*
il tempo...
Mi pare che i concetti si chiariscono se si esprimono in modo
geometrico.
Abbiamo lo spazio delle fasi, che per un sistema a un grado di liberta'
e' il piano R^2, dotato di una particolare struttura (simplettica,
anziche' metrica). Su questo piano possiamo definire infiniti sistemi di
coordinate, tra le quali sono privilegiate quelle canoniche, nelle quali
la struttura simplettica assume una forma semplice (come capite per la
struttura euclidea in coord. cartesiane). 
Una trasf. canonica non e' che il passaggio da un sistema di coord.
canoniche (q,p) a un altro (Q,P).
Si puo' scegliere ad arbitrio una delle due coordinate; l'altra risulta
determinata (all'incirca) dalla condizione {Q,P}=1. 
Tutto questo precede la specificazione della dinamica, ossia la scelta
della hamiltoniana H (o equiv. di un particolare flusso di fase).
Il flusso hamiltoniano ha le sue curve integrali, parametrizzate dal
parametro t (che non e' quindi una coordinata).
In particolare, si puo' scegliere Q=H; esiste il momento coniugato P, e
se ne guardiamo il valore *su una curva integrale* troviamo che coincide
con t, a meno di una costante additiva. Ma e' ovvio che non avrebbe
senso dire che P=t, o che t e' il momento coniugato a H.
Passando all'aspetto quantistico, avrei due commenti.
1. Il momento coniugato all'energia non esiste, ma non solo perche'
l'en. ha uno spettro limitato inferiormente: anche perche' (per l'osc.
armonico) ha autovalori discreti.
Infatti e' facile dimostrare che se A,B sono autoaggiunti e soddisfano
la rel. di Weyl il loro spettro e' l'intera retta reale.
2. Su tutto questo non ci piove, ma vorrei capire di piu'. Dato che in
un qualche senso la m. classica e' caso limite della m. quantistica, mi
domando se non si potrebbe trovare un op. che approssimi in qualche
senso l'energia (per es. per grandi numeri quantici) e che abbia un
momento coniugato. Per quanto ho detto, dovrebbe avere spettro continuo,
ma non so dire niente di piu'



questa cosa, pero',  succede a qualsiasi coppia di variabili canoniche: mica
e' sempre vero che un operatore, se era una variabile canonica in mecc
classica, non puo' avere uno spettro limitato. Ansi, ugual paradosso si
avrebbe per operatori "canonici" il cui spettro e' si' non limitato, ma
discreto, e non composto da TUTTI i  multipli interi  di tutti gli
autovalori non multipli tra loro: se nello spettro non ci sono  tutti i
multipli di un certo autovalore A, dopo un po' di traslazioni di passo A
vado a finire su un autovalore che non esiste!!!
Pertanto, questo argomento, piu' che minare il ruolo di operatore della
variabile fisica tempo, mina in generale tutta la ricetta della
quantizzazione canonica, a meno di qualche MIRACOLOSO teorema sugli spettri
delle variabili canoniche che io non conosco.

 quantizzazione canonica,
Ma e` vero! La ricetta della quantizzazione canonica 
"funziona quando funziona": e` solo una guida spesso buona, 
ma non infallibile e nemmeno l'unica, e bisogna vagliarla
con tante altre cose sia fisiche che matematiche. 
Ci sono un mucchio di esempi in vari campi: in teoria dei campi
produce dei disastri con il campo elettromagnetico e tutte le 
teorie di gauge (ma anche per i campi di spin intero massivi)
e per uscirne bisogna faticare non poco...c`e` gente che e` diventata
famosa occupandosi di quel problema.
In fondo la meccanica classica NON determina quella quantistica, nemmeno
a livello di osservabili significative.
Per esempio si trova scritto sui libri che le trasformazioni canoniche
"corrispondono" a trasformazioni unitarie in MQ. Anche qui a voler
prendere
alla lettera la cosa vengono fuori dei problemi. Non la faccio lunga
perche` 
non ho tempo, se ti capita procurati il bel libro "Le radici della 
quantizzazione" di Sandro Graffi della collana Quaderni di Fisica
Teorica 
edito Dall'universita' di Pavia (magari scrivi all'autore). 
Ci sono un bel po` di cose del tipo di quelle che ti interessano sul
rapporto
tra teoria canonica classica e quantistica e vedrai che le cose non sono 
*per niente banali* quando cerchi davvero di andare a fondo nelle solite
"ricette" che si raccontano nei corsi.
Senti io direi di chiudere qui questa discussione, tanto io non saprei
piu` cosa dirti e ora dovrei finire di scrivere un articolo per cui
chiudo per 
un po' con il NG. Forse Elio Fabri, che e` tornato, ha voglia di
continuare 
la discussione su queste interessanti e complicatissime questioni.
Ciao, Valter

 senso dire che P=t, o che t e' il momento coniugato a H.
Ribadisco cio' che ho detto sopra: non voglio dire che il tempo puo' essere
una coordinata, non lo e' mai nemmeno l' energia, semplicemente perche' cio'
non avrebbe senso!!!
Quel che dico e' che, in certi casi, l' Hamiltoniana (che fisicamente chiamo
energia, ma la cui distinzione da questa a livello formale e' il piu'
frequente avvertimento che fanno i professori di Meccanica Classica)  e' una
"buona" coordinata; allora lo e' anche k.
Questa confusione penso si sia ingenerata dalla pessima notazione che ho
usato: sarebbe stato meglio chiamare la variabile canonica E con il simbolo
H!
In meccanica quantistica, pur con gli enormi problemi che emergono, la
distinzione e' chiara: l' energia e' l' autovalore dell' operatore
Hamiltoniano; speravo (ma ora ho raccolto le numerose difficolta' tecniche
che mi avete segnalato) che il tempo, quello che  in questa sede e' stato
denotato da  t, non sia altro che un autovalore dell' operatore k.
A presto.

 risulta errata). 
Quanto hai scritto e` impossibile. Quando calcoli l'Hamiltoniana per t,q e p
arbitrari (nelle ipotesi di sopra), la calcoli automaticamente su un moto,
l'unico determinato da t, q e p non ci sono altre possibilita`. 
Ciao, Valter

 utile...
Non l'avevo letto: allora preparati bene, su buoni libri!
...Se vieni a provare anche il concorso per il dottorato 
in (fisica-)matematica qui a Trento attento perche` e` 
probabile che ci sia io in commissione ;-). 
Comunque guarda che le domande e gli scritti che si fanno
ai concorsi di dottorato in *fisica* sono in genere ben 
lontani dai temi della discussione che stiamo facendo:
sono legati ad argomenti molto piu` curruculari.
Studiati bene la termodinamica, la  meccanica quantistica 
generale con le diverse applicazioni ed esperimenti 
importanti,la struttura della materia e i principi base 
della maccanica statistica. La relativita`,l'elettrodinamica,  
escono invece molto piu` raramente.
Di meccanica classica in piu` della discussione/deduzione
delle leggi di Keplero non ho mai visto. Teoria dei campi
quantistica e roba simile non le ho mai viste come temi
di concorso.
Le cose sono invece MOLTO diverse se provi a fare il 
dottorato alla SISSA...Alla Normale di Pisa (scuola di 
specializzazione in Fisica) dipende un po'dall'anno.
Ciao ed in bocca al lupo per i concorsi.
Valter