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Titolo: forma angolare del principio di indeterminazione

come si fa a passare dalla forma cartesiana a quella angolare del
principio d'indeterminazione di Heisemberg ?
Cioe' da DELTA pz * DELTA z ~ h/(2*Pi)
a: DELTA lz * DELTA fi ~ h/(2*Pi)
con:
lz: coordinata z del vettore momento angolare di un elettrone
fi: coordinata sferica fi dello stesso vettore
pz: coordinata z del vettore q.ta' di moto di una particella
Grazie, Luigi

Buongiorno, Luigi ha scritto:

Forse e' piu' semplice una dimostrazione fatta senza passare
attraverso la relazione di indeterminazione di Heisenberg per la
coordinata di posizione e l'impulso, il commutatore di fi e lz si
calcola facilmente ad es. in rappresentazione di Schroedinger in
coordinate sferiche e vale [fi, lz] = i*h/(2Pi) (si usa la formula
lz = -i*h/(2Pi)*@/@fi, ove @ e' il simbolo di derivata
parziale), dopodiche' basta applicare la generale relazione di
indeterminazione valida per due qualsiasi osservabili alfa e beta,
DELTA alfa * DELTA beta >= (1/2) ABS(<x|[alfa, beta]|x>) che
dice che il prodotto delle indeterminazioni di alfa e beta su un certo
stato |x> e' maggiore o uguale alla meta' del modulo del valore
di aspettazione del commutatore di alfa e beta sullo stesso stato.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 fi: coordinata sferica fi dello stesso vettore
Che io sappia, non c'e' un modo diretto per ricavare l'una dall'altra.
Ma delresto, tu sai come si dimostra la prima? Tutto l'argomento
richiede un po' piu' m.q. di quanta ne conosci, purtroppo...
P.S. Heisenberg, con la "n"...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 richiede un po' piu' m.q. di quanta ne conosci, purtroppo...
Commento: Lz e phi NON sono variabili canonicamente
coniugate nel senso della MQ. Se lo fossero, per il teorema di von
Neumann dovrebbero avere lo stesso spettro di P e X e invece non
e` cosi` come e` ovvio. Comunque dipende un po` dalle definizioni
che uno usa. Anche per le disuguaglianze di Heisenberg c`e`
da discutere.
Formalmente, usando la stessa dimostrazione che per X e P,
uno le dimostra almeno per un insieme denso di vettori
su L^2(0,2pi) (per esempio le funzioni infinitamente differenziabili
con supporto nell'aperto (0,2pi)).
Tuttavia tale insieme non puo` contenere
funzioni che siano non periodiche (a parte un insieme di misura nulla)
perche`, nella dimostrazione  deve avere senso applicare su di esse
i due operatori phi e Lz di seguito in entrambi gli ordini
(Lz agisce su funzioni periodiche assolutamente continue)
e phi produce funzioni non periodiche quando agisce su funzioni
non nulle in 0=2 pi. In definitiva NON si riesce a provare la
disuguaglianza di H su funzioni d'onda continue (o che differiscano
da funzioni continue per un insieme di misura nulla) non nulle in
0 e 2pi.
La scelta dell'origine della coordinata angolare (0=2pi) e`
pero` fisicamente arbitraria per cui la validita` delle
disuguaglianze di H per Lz e phi ha un senso fisico un po`
dubbio.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

Piccola aggiunta alle corrette considerazioni di Valter.
La formula di indeterminazione phi/L_z NON puo' essere dimostrata come
nel caso di x/p_x
perche' 
i) o phi e' intesa come variabile continua (tra -inf e +inf ) e allora
e' fuori dal dominio in cui L_z e' hermitiana;
ii) oppure phi e' intesa definita modulo 2pi (cioe' diventa la funzione
periodica a "dente di sega", 
p.es
. tra -pi e pi) e allora il commutatore
[phi,L_z] non e' piu' solo i ma contiene una somma di contributi a
"delta" da tutti i multipli dispari di pi.
In tutte e due i casi non si arriva alle rel. di H. E' anche
comprensibile che ci possano essere problemi con la formulazione "naif"
perche' se ho uno stato a piccola incertezza su L_z dovrei avere grande
incertezza su phi. Pero' un' incertezza maggiore di 2pi non e'
fisicamente significativa.
E' possibile definire una relazione di indeterminazione per strada un
po' diversa in almeno due modi. Il piu' "semplice"  e' di ricavare una
rel di ind. non per la coppia L_z / phi ma usare funzioni periodiche di
phi. P.es. sin phi e cos phi che costituiscono la "base naturale" per
poter rappresentare qualsiasi funzione periodica di phi. Le rel. di ind.
che si ricavano in questo modo possono essere ridotte alla versione
usuale nel caso di piccola incertezza su phi.
Per un riferimento completo alla questione angolo/m. angolare e a
questioni collegate come l' indeterminazione numero/fase per l'
oscillatore armonico (e quindi al mondo della seconda quantizzazione e
ai campi) c' e' il lavoro di rassegna di P. Carruthers e M.M. Nieto
)Reviews of Modern Physics, 40, p. 411 (1968)).
Giorgio

 coordinate sferiche e vale [fi, lz] = i*h/(2Pi)
[cut]
Mi scuso per la "dimostrazione" scorretta e ringrazio Valter Moretti per
la chiara spiegazione dell'impossibilita' di stabilire quella relazione di
indeterminazione tra fi e lz, in effetti avevo fatto il conto meccanicamente
senza considerare che i due operatori devono agire sullo stesso set di funzioni...
Una curiosita', sul Passatore, Problemi di meccanica quantistica elementare,
2^a ed., c'e' un esercizio, il 3.8, che a questo punto si capisce doversi prendere
con le molle, in cui si utilizza proprio questa "peccaminosa" relazione di
indeterminazione tra fi e lz!
Ciao a tutti
-- 
Giorgio Bibbiani

 
Ciao... Giulio Passatore e` stato mio insegnante: non ti dico cosa non
gli ho fatto passare, alla fine passavo la maggior parte del mio tempo suo
studio per "spiegargli" la matematica delle cose che ci insegnava. Ricordo
quante volte gli ho fatto cambiare le dispense dove faceva un casino tra somma
diretta e prodotto tensoriale...
In ogni caso, tolti i problemi "matematici", e` stato per me
un buon insegnante...la fisca della MQ ce l'ha fatta entrare in testa
con le sue ottime lezioni (e` uno dei pochi corsi che ho frequentato
quando studiavo fisica a Genova)...Ne ho ancora un ottimo ricordo come
insegnante di *fisica* e come persona.


 ...
Devi sapere che prima di rispondere come hai visto, avevo scritto:
a) la "dimostrazione" basata sulla solita disuguaglianza col commutatore
b) (anche sapendo chi avrebbe letto la risposta) avevo aggiungo una
frase cautelativa, circa la difficolta' a fare questi ragionamenti con
operatori se non si sa bene come sono definiti
c) avevo messo il controesempio: il valor medio del commutatore su un
autostato di lz e' nullo, il che contraddice l'idea ingenua che sia un
multiplo dell'identita'.
Il tutto era molto piu' all'acqua di rose di quello che hai scritto tu
(e Giorgio Pastore). Poi pero' mi sono ricordato una cosa che forse voi
avete dimenticato: che Luigi e' al secondo anno d'ingegneria...
Naturalmente tutte le vostre considerazioni, come pure il mio
controesempio, possono essere utili ad altri. Ma a Luigi che diciamo?


 
Ciao, prima di tutto: non ho scritto le cose a critica di quello 
che hai detto tu, ma a commento generale su una questione in cui
ci si imbatte ogni tanto in MQ. 
Inoltre il mio post non era diretto a Luigi, ma era generale. 
E` chiaro che di quello
che abbiamo scritto noi Luigi potra` capire molto poco molto, 
probabilmente. In ogni caso si sara` fatto l'idea che la questione 
delle relazioni di indet. angolo-momento angolare e` un ginepraio
anche per gli esperti (vedi messaggio di Bibbiani sul libro di
esercizi di G. Passatore e, se ricordo bene, lo stesso Dirac
prese una cantonata su questo argomento in un'altra versione
[fase-numero di occupazione]). 
Probabilmente *per ora* basta ed avanza per Luigi :-)
Spero che lo invogli ad approfondire lo studio della MQ!
Ciao, Valter