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Titolo: l'errore di Einstein nella prima formulazione della rel. generale

 
Ho sentito dire da un prof di fisica teorica, ma potrei ricordare male, che la prima pubblicazione della rel. generale (1915?) contenesse un errore che poi Einstein corresse (forse con l'aiuto di un amico matematico?).
 
Vorrei sapere, senza entrare nei dettagli tecnici, di che tipo di errore si trattava (equazione sbagliata? ipotesi sbagliata? errore insignificante o che minava tutto? ...)
So che in Rete, sapendone un po', troverei la risposta; ma appena si fa una ricerca  sulla relatività si finisce per perdersi.
Ringrazio se qualcuno qui mi può dare risposta o riferimento attendibile.
Ciao
 
Carlo

 
 
 
 
 
 
 
Credo che tu ti ricordi male, Einstein non fece nessun errore nella prima pubblicazione della RG. Ciò a cui ti riferisci è probabilmente un episodio legato alla diatriba tra lo stesso Einstein ed Hilbert rispetto proprio alla pubblicazione delle equazioni fondamentali della RG. La storia è nota, Hilbert, grazie alle dritte avute da una corrispondenza epistolare con Einstein, pubblicò le citate equazioni in anticipo rispetto ad Einstein, mandando questi su tutte le furie. Hilbert però risolse la questione elegantemente ammettendo pubblicamente che il merito della nuova teoria era in realtà da attribuirsi completamente ad Einstein, e questo rinsaldò il rapporto tra i due. Ciò che è meno noto, e che nelle equazioni pubblicate da Hilbert era presente un errore prettamente matematico, ma questa è una questione che è stata chiarita solo di recente. Pertanto, il primo ad aver derivato le equazioni corrette della RG è stato di fatto Einstein e non Hilbert. La cosa strana e curiosa è che il Sommo matematico fece un errore, appunto matematico, che ci si sarebbe semmai potuti aspettare da parte del Sommo fisico.
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Carlo Studente ha scritto:
 > Ho sentito dire da un prof di fisica teorica, ma potrei ricordare
 > male, che la prima pubblicazione della rel. generale (1915?)
 > contenesse un errore che poi Einstein corresse (forse con l'aiuto di
 > un amico matematico?).
 >
 > Vorrei sapere, senza entrare nei dettagli tecnici, di che tipo di
 > errore si trattava (equazione sbagliata? ipotesi sbagliata? errore
 > insignificante o che minava tutto? ...)
Non è facile risponderti, per due ragioni.
La prima è che è impossibile senza dire qualcosa di tecnico, almeno
nominare gli enti fisici e matematici che entrano in ballo.
La seconda è che la storia in sé è assai intricata, anche se si svolge
in un breve lasso di tempo.
Farò il possibile, semplificamdo un po' e per es. lasciando da parte
Hilbert, che è una parte della complicazione.
Per i dettagli storici mi baso sul libro di Pais "Sottile è il
signore" (Boringhieri) che in certi punti non è un capolavoro di
chiarezza, ma riporta un sacco di notizie e una ricchissima
bibliografia, su tutta l'opera di Einstein.
 
E' vero che la prima equazione della RG (lasciando da parte vari
tentativi durati anni) inviata per la pubblicazione l'11/11/1915
conteneva un errore, se applicata a una porzione di spazio-tempo
contenente materia (su questo mi spiego meglio fra poco).
Era però corretta se applicata a uno spazio-tempo vuoto. Questo è
molto importante, perché E. la mise subito alla prova sullo
spazio-tempo attorno al Sole (vuoto se trascuriamo i pianeti, che
hanno masse trascurabili rispetto al Sole).
Trovò una soluzione approssimata, che gli permise di studiare due
problemi, che sono due delle cosiddette "prove classiche" della RG:
1) la precessione del perielio dei pianeti, in particolare Mercurio
2) la deflessione gravitazionale della luce.
La terza prova classica (il redshift gravitazionale) l'aveva già
prevista e calcolata in precedeza, in quanto è possibile dedurla con
la semplice applicazione del principio di equivalenza.
 
Debbo soffermarmi un po' su Mercurio, perché è il solo effetto di RG
che era già noto agli astronomi, senza che nessuno sapesse darne
spiegazione.
Che tornasse dai calcoli con ottima approssimazione, senca che la
teoria contenesse parametri arbitrari, diede ad E. la prova cheera
sulla strada giusta.
Il che era vero nel senso che aveva trovato le eq. valide nello
spazio-tempo vuoto; ma lui credeva che le sue eq. avessero validità
anche in presenza di materia.
 
Il 16/1/1916 E, lesse all'Academia Prussiana delle scinza una
comunicazione di Karl Schwarzschild, dove era data la soluzione esatta
delle eq. di E. per il caso statico con una massa puntiforme: quello
che E. aveva risolto in modo approssimato.
E. rimase stupefatto, perché non si aspettava che una soluzione così
semplice esistesse.
Schw. faceva parte dell'esercito tedesco al fronte russo, dove sarebbe
morto l'11 maggio (non per eventi bellici, ma per una malattia
autoimmune).
 
Ora qualche "dettaglio tecnico".
Le eq. come E. ls scrive l'11 novembre sono
R = k T
dove k è una costante (più precisamente, 8pi G/c^2), T è il tensore
energia-impulso, che dipende dalle proprietà fisiche della materia
presente.
Qui chiarisco che con "materia" intendo qualunque cosa che possegga
energia e impulso, quindi anche per es. un campo e.m.
 
Il "tensore" ovviamente non è un numero; essendo di rango 2 simmetrico
consta di 10 componenti indipendenti, che variano (si trasformano) a
seconda del sistema di coordinate usate. Le 10 componenti sono in
generale funzioni delle coordinate.
Di più: la conservazione dell'energia e dell'impulso si esprime con
l'annullamento della divergenza di T; non vado oltre sui dettagli per
il secondo membro.
 
Quanto al primo membro, R sta per il "tensore di Ricci" un ente
geometrico che si ricava (non dico come) dalla struttura dello
spazio-tempo, tutta definita dal "tensore metrico" g.
Anche R è di rango 2 simmetrico, quindi con 10 componenti
indipendenti.
 
Qual è il problema? È che di regola il tensore di Ricci non ha
divergenza nulla.
In questo senso quell'equazione è sbagliata: è accettabile solo in uno
spazio-tempo vuoto.
Inoltre la legge di conservazione per impulso-energia non *segue*
dalla teoria; al contrario bisogna imporla in modo indipendente.
Anche questo non è un problema per uno spazio-tempo vuoto: se T=0,
ovvviamente anche la divergenza è nulla!
 
Il 25-11 E. fa un passo avanti: impone che T abbia divergenza nulla, e
ne deduce che il primo membro non può essere R.
Scopre che tutto torna se al posto di R si scrive
R - Tr(R)*g/2
dove Tr significa traccia.
L'equazione che ne deriva
R - Tr(R)*g/2 = kT  (*)
è quella giusta, ma è difettosa l'interpretazione. Infatti per
arrivare alla (*) deve usare un sistema di coordinate tale che
det(g)=1. quindi la scelta del sistema di ccordinate non è
arbitraria.
 
Tutto dipende dal fatto che fino a quel punto E, non era ancora venuto
a conoscenza di una fondamentale identità, che era stata scoperta e
riscoperta dai matematici del settore, ma è nota ormai universalmente
come "identità di Bianchi".
(Curiosità: a Pisa esiste una via Luigi Bianchi, ma credo che davvero
pochi dei pisani sappiano chi era costui :-) )
 
Da questa identità, che non riporto, e che vale automaticamente per
qualsiasi spazio-tempo dotato di matrica (ossia di Riemann) segue
direttamente che il primo membro della (*) ha divergenza nulla, per
qualsiasi spazio-tempo e in qualunque sistema di coordinate.
Ne segue che se si scrive la (*) come eq. base della RG, la divergenza
di T è necessariamente nulla: la conservazione di energia-impulso è
conseguenza delle eq. di Einstein.
Aggiungo che ormai da tempo il primo membro delle (*) ha preso il nome
di "tensore di Einstein" e viene indicato con G.
Quindi le eq. della RG si riassumono in
G = k T.
Semplice, no?
 
Ripeto che finché si resta in uno spazio-tempo vuoto di materia tutto
ciò non ha importanza, e la prima eq. di E. va bene.
Ma se uno vuole studiare l'interno di una stella, il collasso
gravitazionale, o problemi cosmologici, è necessario usare la (*).
 
-- 
Elio Fabri

Ho scritto:
 > Non è facile risponderti, per due ragioni.
 > ...
Ora che il mio post è apparso, mi sono accorto di molti refusi che mi
erano sfuggiti.
Mi scuso, ma non sto a correggerli tutti perché sono facilmente
interpretabili.
Però una riga è stata particolarmente disgraziata;
 > Il 16/1/1916 E, lesse all'Academia Prussiana delle scinza una
Doveva essere
 > Il 16/11/1916 E. lesse all'Accademia Prussiana delle Scienze una
Di nuovo scusatemi e buona lettura :)
-- 
Elio Fabri

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Quanto detto dal tuo prof di fisica teorica appare un poco vago, perciò mi limito a darti qualche breve informazione storica.
 
La teoria della RG ha avuto una gestazione complicata.
La legge di gravitazione newtoniana presuppone l'esistenza di una forza agente istantaneamente a distanza, incompatibile con la RR.
Perciò dopo il 1905 furono fatti molteplici tentativi di modificare tale legge in modo non dipendente dalle posizioni simultanee dei corpi.
Nel 1914 un passo importante fu compiuto da Einstein insieme con il matematico Grossmann,
scrivendo il quadrato dell'elemento di linea dello spazio-tempo in coordinate curvilinee qualsiasi.
Lo scopo di Einstein era quello di scrivere le leggi naturali in forma covariante generale (e non solo rispetto alle trasformazioni di Lorentz).
In tale modo il campo gravitazionale non risultava più descritto da uno scalare, ma da un tensore g_ik a dieci componenti. 
Rimanevano però da scrivere le equazioni differenziali di campo per le g_ik.
Einstein in un articolo di fine 1914 ritenne di avere dimostrato che tali equazioni non potessero essere scritte in forma covariante generale.
In seguito riconobbe l'errore e nel famoso articolo del 1916 "Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaetstheorie"
riusci finalmente a scrivere anche per le g_ik le equazioni covarianti generali rispondenti a tutti i requisiti fisici in presenza dfi materia,
avvalendosi della teoria riemanniana della curvatura.
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 
 
Mi è venuta in mente un'altra cosa. Einstein fece effettivamente un errore in quegli anni, ma non fu nella derivazione delle equazioni della RG bensì nella loro linearizzazione per ipotizzare l'esistenza delle onde gravitazionali. Pubblicò un primo articolo su questa cosa nel 1916, per poi rendersi conto dell'errore e correggerlo esplicitamente in un secondo articolo del 1918. Quindi forse ti riferivi a quest'altra situazione.
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