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Titolo: Sul problema dei tre corpi

Prendo spunto da un post in cui Elio Fabri ha citato gli "integrali primi
non uniformi" della meccanica classica per porre un quesito riguardante il
problema dei tre corpi e in particolare il lavoro di Poincaré, del quale ho
spesso sentito parlare ma che conosco poco.
Ho letto che egli provò la non esistenza di altri integrali primi analitici
e *uniformi* oltre ai dieci già noti a Newton, riguardanti moto del centro
di massa, cons. momento angolare e cons. energia.
Ciò precluderebbe la possibilità di trovare una soluzione "chiusa" del
problema, ovvero un'integrazione completa ed esatta delle equazioni diff.
La mia domanda è: cosa si intende con "integrali uniformi" e in che senso la
"mancanza di uniformità" fà sì che non siano "adatti" per l'integraz. delle
eq. del moto?

Gionata Erba ha scritto:
 > Prendo spunto da un post in cui Elio Fabri ha citato gli "integrali
 > primi non uniformi" della meccanica classica per porre un quesito
 > riguardante il problema dei tre corpi e in particolare il lavoro di
 > Poincaré, del quale ho spesso sentito parlare ma che conosco poco.
 > Ho letto che egli provò la non esistenza di altri integrali primi
 > analitici e *uniformi* oltre ai dieci già noti a Newton, riguardanti
 > moto del centro di massa, cons. momento angolare e cons. energia.
Beh, noti a Newton mi sembra un po' esagerato...
E vero che a sentire Zichichi erano piu' o meno noti anche a Galileo
:)
Non mi sono andato a ripassare cose che non guardo piu' da parecchi
anni, quindi potrei anche dire cose sbagliate.
Cio' premesso, direi che il teorema di Poincare' asserisce che
un integrale primo che sia funzione analitica del parametro
di perturbazione (puoi vedere il problema dei tre corpi come
perturbazione del problema dei due corpi) e' funzione dell'energia.
 > La mia domanda è: cosa si intende con "integrali uniformi" e in che
 > senso la "mancanza di uniformità" fà sì che non siano "adatti" per
 > l'integraz. delle eq. del moto?
Il termine "non uniforme" credo sia oggi in disuso, ma sta a
significare "funzione a piu' valori delle variabili angolari (nel
senso delle variabili angolo-azione).
Quindi a stretto rigore non sono funzioni...
Un esempio molto semplice e' l'oscillatore armonico bidimensionale
anisotropo. Dovrebbero esserci 3 integrali primi (non dip. dal tempo),
ma in generale solo due sono uniformi (le due energie).
Lo spazio delle fasi ha dimensione 4; fissate le due energie ti resta
un "toro invariante" bidimensionale, sul quale la traiettoria di fase
e' obbligata.
Se le due frequenze proprie sono in rapporto irrazionale (ossia quasi
sempre) la traiettoria e' densa sul toro.
Un'eventuale terzo integrale primo sara' certo costante sulla
traiettoria, e se vuoi che sia una funzione continua delle variabili
canoniche, risulta che e' costante su tutto il toro, quindi e'
funzione degli altri due integrali.
 > Ciò precluderebbe la possibilità di trovare una soluzione "chiusa"
 > del problema, ovvero un'integrazione completa ed esatta delle
 > equazioni diff.
Questo e' vero nel problema dei tre corpi, perche' se lo riduci al
caso ristretto (moto piano coi due primari di grande massa in moto
circ. uniforme) hai anche qui due gradi di liberta', e il teorema di
Poincare' vieta che esista un secondo integrale, accanto all'energia.
Invece nell'esempio che ti ho fatto sopra il problema e' integrabile,
perche' due integrali primi (in involuzione: teorema di
Liouville-Arnol'd) esistono. E' solo il terzo che non e' uniforme.
Nota che per es. nel problema dei due corpi invece non c'e' problema:
3 gradi di liberta', 5 integrali attesi, e ci sono tutti. Tre sono in
involuzione, quindi il problema e' integrabile.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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