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Titolo: Sulle critiche del Professor Fabri al mio articolo sulla





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esclusivamente sui punti strettamente scientifici legati all' argomento. 

Il minimo ulteriore giudizio sulle persone e non sugli argomenti 

comporterà la non-accettazione dei messaggi]



Il Prof. Elio Fabri ha fatto delle critiche, usando anche un linguaggio 

sarcastico e, a mio modo di vedere, poco rispettoso, al mio articolo 

sulla precessione delle orbite dei pianeti che si è discusso 

recentemente su questo gruppo di fisica. In realtà il Prof. Fabri, come 

altri come lui che non sono di relativisti puri o dei fisici della 

gravitazione come me, non ha capito il mio approccio. E' dunque 

opportuno fare chiarezza sulla situazione.

Il Prof. Fabri,  scrive:



 > Il secondo commento è che non si capisce dove entri il perielio nel

 > suo calcolo, che assume orbita circolare.

 > Quello che lui calcola è la differenza nella velocità angolare di

 > Mercurio a seconda che si tenga presente la massa del pianeta o la si

 > trascuri. Arbitrariamente assume la differenza come precessione del

 > perielio













Al Prof. Fabri pare non esser chiaro che in un'orbita circolare ogni 

punto è sia afelio che perielio, ma è l'orbita stessa a precedere, 

quindi non vedo dove sia il problema. Anche la formula Einsteiniana 

prevede la precessione per un moto perfettamente circolare. Inoltre, non 

c'è nessuna arbitrarietà ed è questo  il punto chiave che il Prof. Fabri 

non capisce.  La cosa non deve stupire, perché su questo punto si è 

fatto un errore per oltre 160 anni. Se consideriamo il sistema 

Sole-pianeta, sia in fisica Newtoniana che in RG si è soliti trascurare 

la massa del pianeta rispetto a quella del Sole, considerando il pianeta 

una massa test immersa nel campo gravitazionale del Sole. In questa 

approssimazione, in fisica Newtoniana si sceglie un sistema di 

riferimento inerziale in senso Newtoniano centrato nel Sole e solidale 

allo stesso. Se però rimuoviamo l'approssimazione di considerare 

trascurabile la massa del Sole, un sistema di riferimento centrato nel 

Sole e solidale allo st

  esso NON sarà più  inerziale in senso Newtoniano in quanto il Sole si 

muoverà di un moto non-inerziale per via della backreaction del pianeta 

dovuta al terzo principio della dinamica. Dunque, se approssimiamo 

l'osservatore solidale al Sole come se fosse un osservatore inerziale in 

senso Newtoniano,  sottostimiamo la velocità del pianeta rispetto al 

Sole. Il pianeta avanza in realtà più velocemente generando in tal modo 

la precessione dell'orbita. Nel mio articolo tratto la debole deviazione 

dovuta alla forza apparente che agisce su Mercurio, a sua volta dovuta 

alla non-inerzialità del Sole, come una perturbazione 

sull'approssimazione di riferimento inerziale.   E sarei io a scrivere 

pasticci inenarrabili e a usare approcci farraginosi (sic). Forse 

sarebbe il caso che il Prof. Fabri usasse un linguaggio più rispettoso.

Poi il Prof. Fabri scrive:

 > Se le tenesse entrambe, la precessione per Mercurio (eq. 74) sarebbe

 > doppia del giusto, e per Venere e Terra sarebbe parecchio maggiore di

 > quanto si osserva.

 > Allora che fa? Passando dalla (74) alla (75) fa sparire il termine di

 > massa, che a questo punto è solo un disturbo. Poi arzigogola sulla

 > distanza radiale, cosa che si sarebbe potuta risparmiare se avesse

 > fatto il calcolo in un colpo solo. (Non lo sa fare perché a quanto pare

 > la sua comprensione della RG è alquanto approssimativa).

 > Doppia magia! - ritrova la formula di Einstein, eccentricità a parte.





Anche qui non c'è nessuna magia, più semplicemente, è il Prof. Fabri 

che non capisce. Non è che il termine della massa passando dalla





(74) alla (75)  sparisce per magia o perché è solo un disturbo.  Ho 

semplicemente reintrodotto la velocità angolare definita nell'equazione 

(18). Non mi aspettavo che una semplice sostituzione nel passaggio da 

un'equazione ad un'altra potesse mettere in difficoltà uno studioso come 

il Prof.  Fabri.



Il Prof. Fabri scrive:



 > Qui si accorge del problema che dicevo sopra, e ha un'idea luminosa:

 > bisogna tener conto della dilatazione gravitazionale (e rotazionale,

 > dice lui) del tempo.









Non è che lo dico io,  è ciò che accade. Il  Prof. Fabri ancora non 

capisce facendo del sarcasmo fuori luogo. Io faccio il primo calcolo in 

RG in un riferimento inerziale locale e statico centrato nel sole. 

Questo primo calcolo tiene conto della dilatazione temporale 

gravitazionale,  ma NON del fatto che il pianeta si muove di moto 

rotatorio rispetto al riferimento scelto. Il contributo addizionale è lo 

stesso che si calcola quando in un moto rotatorio si tiene conto 

dell'effetto Doppler relativistico trasversale. Un modo elegante per 

calcolarlo è mettersi nel sistema di riferimento rotante che "segue" il 

pianeta che ruota. In tal modo il principio di equivalenza permette di 

trattare la rotazione come un campo gravitazionale addizionale. Mi 

permetto di aggiungere  che sulla mia spiegazione della dilatazione 

temporale rotazionale ho vinto una Menzione Onorevole ai Gravity Awards 

2018, vedere 
https://doi.org/10.1142/S0218271818470168
. I giudici dei 

Gravity Awards non  sono

  come il Prof. Fabri che ha visto solo la RG da un punto di vista 

esclusivamente didattico, cioè fatta da altri, ma sono notoriamente tra 

i maggiori esperti di gravitazione del mondo ed hanno riconosciuto che 

la mia analisi è una prova nuova ed indipendente della RG. Una cosa che 

non mi pare il Prof. Fabri abbia ottenuto. Quindi, se non ha mai 

lavorato su queste cose, il Prof. Fabri dovrebbe evitare di fare del 

sarcasmo, perchè rischia di fare delle figuracce come in questo caso.

Infine il Prof. Fabri scrive:



 > Non credo necessario aggiungere altro.

 > --

 > Elio Fabri





















No, c'è da aggiungere che il mio lavoro finale sul perielio dei pianeti 

è stato pubblicato su Physics of the Dark Universe, un giornale 

mainstream ad alto impact factor, vedi 

http://dx.doi.org/10.1016/j.dark.2021.100834
. A me risulta che il Prof. 

Fabri tutta la sua carriera scientifica non abbia mai scritto un 

articolo di autore singolo sulla gravitazione in un giornale con un IF 

così alto. Sbaglio? Dunque il Prof. Fabri dovrebbe evitare di essere 

irrispettoso verso il sottoscritto. Se fosse come dice lui che la mia 

comprensione della RG è alquanto approssimativa allora, da quanto 

spiegato sopra, quella dello stesso Prof. Fabri sarebbe meno che 

alquanto approssimativa... Qui davvero non è necessario aggiungere 

altro, almeno riguardo al Prof.  Elio Fabri. Per il resto, anche se il 

mio ego è probabilmente anche più grande di quello del Prof. Fabri, 

chiarisco che, se qualcuno vuole delle spiegazioni sul mio lavoro di 

ricerca, sono disposto volentieri a dargliele, ma, se vuole f

  are delle critiche,  mi aspetto che abbia prodotto dei risultati nel 

mio campo di ricerca se non dello stesso livello o superiori ai miei, 

almeno paragonabili. Chi ha fatto pressoché solo didattica o 

divulgazione su un argomento così complesso e specialistico dovrebbe 

assumere un atteggiamento rispettoso ed educato.

Saluti a tutti,Christian Corda


 la precessione dell'orbita. 





Per calcolare la precessione non dovremmo calcolare la differenza fra il periodo di rotazione, determinato dalla velocità angolare, e le oscillazioni radiali?


 Per calcolare la precessione non dovremmo calcolare la differenza fra il periodo di rotazione, determinato dalla velocità angolare, e le oscillazioni radiali?







E' effettivamente il modo più tradizionale e, probabilmente più rigoroso, per calcolarla. E' quello che uso anch'io nella terza sezione del mio articolo tenendo però conto della correzione dovuta alla massa ed ottenendo lo stesso risultato che nell'approssimazione di orbita circolare. Le critiche di Fabri riguardavano però proprio l'approssimazione di orbita circolare.


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Quella parte me la leggo con calma ed eventualmente riscrivo.







Il calcolo con l'orbita circolare e la variazione di velocità angolare invece mi preoccupa :-) (ho letto le critiche di Elio ma mi sono già dimenticato i dettagli, i tuoi calcoli della sezione 2 "Approximation of circular orbit" li avevo letti prima che se ne parlasse sul ng e non mi avevano convinto).









Infatti il risultato pare non dipendere dal potenziale  degli altri pianeti (nelle formule da (3) a (20) non lo vedo) mentre sappiamo che vi dipende: se gli altri pianeti non ci sono, il calcolo deve dare risultato = 0 (non vi è nessun effetto sulla precessione di Mercurio della massa non trascurabile di Mercurio, perché non c'è precessione né nel problema con Mercurio di massa trascurabile né nel problema con la massa di Mercurio finita).



Come spieghi questa cosa?


 Come spieghi questa cosa?





Guarda che il mio risultato spiega l'esatto contrario, e cioè che se gli altri pianeti non ci sono C'È ugualmente precessione. Quello che tu scrivi, che "il calcolo deve dare risultato = 0" NON è un dogma. E' un risultato approssimato per via del fatto che tutti i calcoli precedenti trascuravano la massa del pianeta.


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A me pare sbagliato. A meno che io adesso stia prendendo un enorme abbaglio, il problema dei due corpi è risolto da un'orbita chiusa. Poi mi metto d'impegno e ti posto o il calcolo che lo mostra, con tutti i passi, oppure il punto in cui mi accorgo che il calcolo che conosco non funziona come pensavo che funzionasse.














Il problema dei due corpi ti dice che la distanza relativa (la distanza radiale del pianeta dal Sole) deve essere compresa tra un minimo ed un massimo. Questo NON implica, come è scritto erroneamente da varie parti, che la traiettoria deve essere chiusa. Se la precessione è pura, ossia se l'orbita non si deforma, i due semiassi, ed in particolare il maggiore, devono restare invariati. Ciò implica che la  distanza relativa continua ad essere compresa tra un minimo ed un massimo. Tratto anch'io il problema dei due corpi nella Sezione 3 del mio articolo, e mostro anche li che, tenendo in corretta considerazione la massa del pianeta, c'è precessione. Le critiche errate di Fabri mi hanno portato a studiare ancora meglio il fenomeno e probabilmente ci scriverò ancora qualcosa per chiarire meglio alcuni punti. La cosa davvero interessante è che in fisica Newtoniana la precessione è generata dal tempo assoluto; in RG invece è generata dal tempo relativo.

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 Poi mi metto d'impegno e ti posto o il calcolo che lo mostra, con tutti i passi, 



Non serve.



Luciano Buggio


 Guarda che il mio risultato spiega l'esatto contrario, e cioè che se gli altri pianeti non ci sono C'È ugualmente precessione. Quello che tu scrivi, che "il calcolo deve dare risultato = 0" NON è un dogma. E' un risultato approssimato per via del fatto che tutti i calcoli precedenti trascuravano la massa del pianeta.



Assolutamente no. In fisica newtoniana, la massa del pianeta viene 

esattamente tenuta in conto dalla famosa "massa ridotta". Il problema 

dei 2 corpi in interazione newtoniana, con, o senza approssimazione di 

massa infinita del Sole, per tutti gli stati legati dà esattamente 

orbite chiuse (nessuna precessione). La precessione entra in gioco come 

risultato generico di perturbazioni deboli del problema kepleriano.



Come si possa definire una precessione in un'orbita circolare mi sembra 

che andrebbe spiegato in modo esplicito.



Giorgio


 Luciano Buggio



Mi tocca ripetermi:













Il problema dei due corpi ti dice che la distanza relativa (la distanza radiale del pianeta dal Sole) deve essere compresa tra un minimo ed un massimo. Questo NON implica, come è scritto erroneamente da varie parti, che la traiettoria deve essere chiusa. Se la precessione è pura, ossia se l'orbita non si deforma, i due semiassi, ed in particolare il maggiore, devono restare invariati. Ciò implica che la distanza relativa continua ad essere compresa tra un minimo ed un massimo. Tratto anch'io il problema dei due corpi nella Sezione 3 del mio articolo, e mostro anche li che, tenendo in corretta considerazione la massa del pianeta, c'è precessione. Magari leggere con attenzione il mio articolo e provare a capirlo prima di commentare.


> A me pare sbagliato. A meno che io adesso stia prendendo un enorme abbaglio, il problema dei due corpi è risolto da un'orbita chiusa. 





Sulla teoria dei "moti centrali" in meccanica classica c'e' nulla di nuovo da scoprire.

Integrando le equazioni del moto si dimostra che l'orbita si svolge tutta entro una 

corona circolare e che essa tocca alternativamente le due circonferenze in punti 

(detti afeli e perieli) le cui anomalie differiscono di un angolo costante Theta 

(sicche' se e solo se Theta e' commensurabile con 2*pi l'orbita e' chiusa). 



Pero' nel caso di un campo centrale inversamente proporzianale al quadrato della 

distanza si dimostra ulteriormente che le traiettorie sono coniche. 

La legge gravitazionale di Newton applicata al "problema dei due corpi" conduce

dunque a traiettorie kepleriane ellittiche chiuse.



Chiariamo ancora alcuni dettagli (sempre limitati alla teoria dei "due corpi").

Nel sistema inerziale baricentrico sia il Sole di massa M che il pianeta di massa m 

si muovono di moto kepleriano (con massa centrale M+m).

Se invece il moto e' riferito al Sole il sistema non e' piu' inerziale e bisogna tenere 

conto della forza d'inerzia di trascinamento oppure (in forma del tutto equivalente) 

usare per il pianeta la ben nota massa ridotta  m*M/(m+M).



Pertanto anche rispetto al Sole la traiettoria di un pianeta solitario continua 

ad essere esattamente ellittica. Naturalmente si intende che le direzioni degli 

assi del sistema centrato sul Sole siano come prima inerziali: rispetto ad assi 

rotanti si potrebbero ottenere tutti i moti precessionali che si desiderano!



Non ho ancora letto l'articolo pubblicato su "Physics of the Dark Universe",

suppongo che esso non contraddica quanto sopra scritto.



-- 

    Elio Proietti

    Valgioie (TO)


Mi devo ripetere per la terza volta:













Il problema dei due corpi ti dice che la distanza relativa (la distanza radiale del pianeta dal Sole) deve essere compresa tra un minimo ed un massimo. Questo NON implica, come è scritto erroneamente da varie parti, che la traiettoria deve essere chiusa. Se la precessione è pura, ossia se l'orbita non si deforma, i due semiassi, ed in particolare il maggiore, devono restare invariati. Ciò implica che la distanza relativa continua ad essere compresa tra un minimo ed un massimo. Tratto anch'io il problema dei due corpi nella Sezione 3 del mio articolo, e mostro anche li che, tenendo in corretta considerazione la massa del pianeta, c'è precessione. Magari leggere con attenzione il mio articolo e provare a capirlo prima di commentare basandosi su supposti dogmi male interpretati.



 Poi mi metto d'impegno e ti posto o il calcolo che lo mostra, con tutti i passi, oppure il punto in cui mi accorgo che il calcolo che conosco non funziona come pensavo che funzionasse.



Il calcolo sufficiente mi pare questo.



Eq. di Newton per due masse m e M, con r e R vettori posizione



M d2R/dt2 = F

m d2r/dt2 = -F



con F = forza gravitazionale newtoniana, dipende da r-R vettore



Combinandole ottengo un'equazione per r-R



d2 (R-r) /dt2 = F/M + F/m





e svolgendo i calcoli si vede che siccome F è diretta come r-R ed ha la dipendenza dal quadrato della distanza, l'equazione scritta sopra è l'eq per le orbite di Keplero.



Quindi r - R = f(t) con f(t) funzione vettoriale periodica (per le orbite limitate).



Combinando diversamente, si vede anche che R*M + r*m = 0 (=== posso scegliere un riferimento inerziale tale che), dalla quale r = -R*M/m



Usando questa nella r - R = f(t) ottengo R proporzionale a f(t) e r proporzionale a f(t).

In conclusione sia r che R sono periodiche




Traduci prego, stai dicendo che quando il Sole riceve la back reaction del pianeta, quando questa genera un moto rototraslatorio del Sole rispetto al sistema inerziale per passare al sistema non inerziale del Sole va considerata solo la parte traslatoria e buttata via quella rotatoria??!! 



















Spiacente, ma non c'è niente di sufficiente. Non stiamo parlando del moto dei singoli pianeti, ma di quello di m attorno ad M. Anche se r-R, cioè la distanza relativa è periodica,  questo NON vuol dire che l'asse maggiore non possa ruotare. In questo caso avresti la precessione anche se r-R rimane periodica. Ma il punto fondamentale è un altro. Hai fatto il calcolo in un riferimento inerziale, ma il riferimento solidale ad M NON è inerziale. Quindi, per evitare che ci sia precessione, devi mostrare che il periodo di rotazione di m attorno ad M deve essere lo stesso nei due sistemi di riferimento. Se fosse maggiore in quello inerziale allora avresti un avanzamento reale dell'orbita ( "reale" in senso Newtoniano perché il tempo è assoluto e perché m ruota attorno ad M, non attorno ad una terna in movimento rispetto ad M) e la mancanza di precessione nel riferimento inerziale risulterebbe un "frame artifact" perché fai il calcolo in una terna in movimento non-inerziale attorno ad M che diminuisce la reale velocità di m rispetto ad M utilizzando una trasformazione non strettamente Galileiana perché il moto relativo dei due riferimenti non è inerziale..







Hai fatto tutto nel riferimento inerziale del centro di massa e le orbite chiuse sono quelle del singolo sole e del singolo pianeta. Peccato che qui ci si sta riferendo all'orbita del pianeta rispetto al sole che si muove di moto non inerziale, una cosa del tutto diversa. Inoltre la massa del pianeta NON viene esattamente tenuta in conto dalla famosa "massa ridotta" essendo quest'ultima leggermente più piccola della massa del pianeta.



On Thursday, 23 December 2021 at 16:40:03 UTC+1, Giorgio Pastore wrote:

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

 Se fosse maggiore in quello inerziale allora avresti un avanzamento reale dell'orbita ( "reale" in senso Newtoniano perché il tempo è assoluto e perché m ruota attorno ad M, non attorno ad una terna in movimento rispetto ad M) e la mancanza di precessione nel riferimento inerziale risulterebbe un "frame artifact" perché fai il calcolo in una terna in movimento non-inerziale attorno ad M che diminuisce la reale velocità di m rispetto ad M utilizzando una trasformazione non strettamente Galileiana perché il moto relativo dei due riferimenti non è inerziale..





G.



 Hai fatto tutto nel riferimento inerziale del centro di massa e le orbite chiuse sono quelle del singolo sole e del singolo pianeta. Peccato che qui ci si sta riferendo all'orbita del pianeta rispetto al sole che si muove di moto non inerziale, una cosa del tutto diversa. Inoltre la massa del pianeta NON viene esattamente tenuta in conto dalla famosa "massa ridotta" essendo quest'ultima leggermente più piccola della massa del pianeta.



La meccanica newtoniana non è un' opinione.

In quaalsiasi sistema di riferimento inerziale le equazioni del moto del 

sistema Sole-Mercurio (e nessun altro corpo celeste) sono:



m r" = -G Mm (r-R)/|r-R|^3

M R" =  G Mm (r-R)/|r-R|^3



m,r: massa e vettore posizione di Mercurio

M,R: massa e vettore posizione del Sole. |r| indica il modulo del 

vettore r. G costante di gravitazione universale.



Ci sono due modi formalmente equivalenti di procedere



1) lavoro con vettori nel sistma di riferimento inerziale e introduco il 

vettore "posizione del centro di massa" e il vettor differenza tra r e 

R. Questa è la strada usualmente descritta in qualsiasi testo 

universitario di meccanica. Si scopre i) che l' equazione del moto 

**esatta** per la posizione del centro di massa comporta un moto 

rettilineo uniforme (la risultante delel forze interne si annulla (III 

principio)e ii) che il vettore differenza rho=r-R soddisfa l'equazione 

differenziale



mu rho" = - G Mm rho/|rho|^3      [1]



mu:  1/mu = 1/m + 1/M è la cosiddetta massa ridotta.



Le soluzioni di [1] corrsispondono a orbite (descritte dal vettore 

rho(t) ) che sono coniche, con il Sole in un fuoco, in particolare le 

orbite ellittiche hanno gli assi fissi nel sistema del centro di massa.



A moti ellittici in termini di rho, corrispondono moti ellittici anche 

nelle variabili originali r e R. Entrambi i vettori descrivono un' 

orbita ellittica fissa (senza precessione del perielio)  in cui un fuoco 

coincide con la posizione del centro di massa.



Da notare, che, anche se l' equazione per rho in questo approccio è 

stata ricavata a partire da equazioni in un sistema inerziale, la 

definizione del vettore differenza dice che rho sta decrivendo il moto 

di Mercurio rispetto al SOle.



E questa lettura è (ovviamente) perfettamente ed esattamente consistente 

con



2) la scritture delle equazioni del moto nel sistema non-inerziale 

centrato sul Sole e non rotante (rispetto al sistema inerziale originario).



Infatti sappiamo che se vogliamo scrivere le equazioni di Newton di una 

massa m in un sistema in moto accelerato con accelerazione A rispetto ad 

un sisetma inerziale, è sufficiente aggiungere alla forza reale anche la 

cosiddetta "forza inerziale" - m A.



Nel caso di Mercurio descritto nel sistema non-inerziale coincidente col 

Sole, l'equazione del moto per il vettore posizione in tare riferimento 

(s) diventa (sempre senza approssimazioni):



m s" = -G M m s/|s|^3 - m A



Ma A è l'accelerazione del Sole dovuta all' interazione con Mercurio in 

un sistema inerziale e quidi è pari alla forza di Mercurio sul Sole, 

divisa per la massa del Sole:



A = G m s/|s|^3



quindi



m s" = -G (M+m)m s/|s|^3



che, introducendo mu = mM/(m+M) ,  può essere riscritta

esattamente nella forma di [1].





Riassumendo, coordinata relativa o moto nel sistema non-inerziale (ma 

non rotante) coincidente con la posizione del Sole sono due punti di 

vista equivalenti per descrivere esattamente lo stesso fenomeno. E in 

questo fenomeno non ci sono precessioni nella meccanica newtoniana.



E su questo punto non c'è altro da dire. Resta il problema operativo di 

come si possa dare un significato ad una precessione di qualcosa (l'asse 

maggiore dell' ellisse) che nell' orbita circolare non è presente.



Giorgio


 e buttata via quella rotatoria??!! 



Non capisco cosa starei buttando via...

Sto semplicemente passando dal sistema inerziale baricentrico al sistema non inerziale 

eliocentrico (ma non rotante) in modo rigorosamente coerente con la meccanica newtoniana.



 ... (cut)



Affermazione stupefacente, che contraddice quanto dimostrato su tutti i testi di meccanica

di questo basso mondo a proposito del problema dei due corpi. 

Per non disperdere la discussione chiudo qui, per riagganciarmi eventualmente a quanto scritto

su questo tema da Giorgio Pastore, con il quale sono in perfetta sintonia,

































Sono d'accordo che la meccanica Newtoniana non è un opinione, però: a) non è esatta e, b) va capita. Ciò che ti rifiuti di capire è che quel "formalmente equivalenti" non è "fisicamente equivalenti". In particolare, il tuo sistema non-inerziale centrato sul Sole e non rotante (rispetto al sistema inerziale originario) è solidale al Sole solo all'istante iniziale della traiettoria del pianeta, perché poi, di fatto, il Sole ruoterà rispetto al sistema inerziale originario, e dunque ruoterà anche rispetto al tuo sistema non-inerziale centrato sul Sole e non rotante (rispetto al sistema inerziale originario)  e viceversa il tuo sistema non-inerziale centrato sul Sole e non rotante (rispetto al sistema inerziale originario)  ruoterà rispetto al Sole  (il tuo sistema non-inerziale centrato sul Sole e non rotante è in realtà un riferimento inerziale istantaneo. Per poterlo estendere a tutta la traiettoria del pianeta come riferimento inerziale hai bisogno del Principio di Equivalenza Forte e di trattare il tempo come tempo coordinato, in modo da ritrovare la Covarianza Generale. Ma questi sono concetti di Relatività Generale, che non valgono in fisica Newtoniana). Quindi nel forzare il Sole a non ruotare rispetto al sistema inerziale originario commetti un errore. In particolare, sottostimi la velocità del pianeta rispetto al Sole (le forze agenti nel sistema non-inerziale solidale al Sole sono diverse da quelle agenti sul sistema inerziale originario). Infatti quando dici che: "sappiamo che se vogliamo scrivere le equazioni di Newton di una  massa m in un sistema in moto accelerato con accelerazione A rispetto ad  un sistema inerziale, è sufficiente aggiungere alla forza reale anche la  cosiddetta "forza inerziale" - m A", devi comunque pagare un prezzo. In questo caso il prezzo da pagare è che la distanza totale percorsa dal pianeta lungo l'orbita non è uguale per i due osservatori se calcolata nello stesso tempo (che in fisica Newtoniana è assoluto). L'osservatore solidale al Sole vedrà percorso un trattino più lungo (in questo senso si può parlare di precessione anche nell'orbita circolare, che, forse non lo sai, è prevista anche in Relatività Generale).



Pangloss ha scritto:

 > Sulla teoria dei "moti centrali" in meccanica classica c'e' nulla di

 > nuovo da scoprire. Integrando le equazioni del moto si dimostra che

 > l'orbita si svolge tutta entro una corona circolare e che essa tocca

 > alternativamente le due circonferenze in punti (detti afeli e

 > perieli) le cui anomalie differiscono di un angolo costante Theta

 > (sicche' se e solo se Theta e' commensurabile con 2*pi l'orbita e'

 > chiusa).

Qui debbo correggerti. Per un generico moto centrale, ossia con forza

dipendente solo da r, senza ulteriori ipotesi, quello che scrivi non è

sempre vero.

Senza fare una discussione generale, basta un controsesmpio.

Se la forza è attrattiva e va come 1/r^3, a seconda delle condizioni

iniziali avrai due possibilità:

- o il corpo cade con traiettoria a spirale sul centro di forza,

- oppure si allontana indifinitamente, sempre spiralizzando.

Solo se la forza va a infinito più lentamente di 1/r^3 per r-->0 si

osserverà il comportamento che dici.

In particolare ciò accade, come dici dopo, per il caso kepleriano

(forza che va come 1/r^2) anche se perturbato, per es. da un termine

in 1/r^3. Incidentalmente questo caso è trattato già nei "Principia".



 > Chiariamo ancora alcuni dettagli (sempre limitati alla teoria dei

 > "due corpi").

Un piccolo chiarimento terminologico.

In meccanica celeste (e credo più in generale in meccanica classica)

il termine "problema dei due corpi" si riferisce slo al caso di forza

1/r^2.

Da quello che scrivi non mi è chiaro se l'intendi così, ma la mia

osservazione non si riferisce solo a te.



 > Non ho ancora letto l'articolo pubblicato su "Physics of the Dark

 > Universe", suppongo che esso non contraddica quanto sopra scritto.

Neanch'io l'ho letto (né lo leggerò, anche perché non mi è

accessibile). Ho solo visto l'abstract, e mi ha fatto nascere un

dubbio: questa "Physics of the Dark Universe" è una rivista seria?

Non mi sembra che una rivista seria possa pubblicare un articolo dove

si legge

"Three different approaches show that, contrary to a longstanding

conviction older than 160 years, the advance of Mercury's perihelion

can be achieved in Newtonian gravity with a very high precision by

correctly analyzing the situation without neglecting Mercury's mass."

Senza entrare nel merito, come si può pensare che in 160 anni nessuno

si sia reso conto che ciò che si legge in tutti i libri, nonché

modestamente, nella mie lezioni di astronomia

http://www.sagredo.eu/lezioni/astronomia/p3c1rf.pdf


sia sbagliato?

-- 

Elio Fabri


Vedo con piacere che hai letto tutti i testi di meccanica  di questo basso mondo a proposito del problema dei due corpi. 

































Non credo che tu lo abbia davvero fatto, ma anche in quel caso, è più probabile che tu non abbia capito quel che c'è scritto in  tutti i testi di meccanica  di questo basso mondo a proposito del problema dei due corpi. Quindi, provo a spiegartelo qui. Iniziamo col chiarire che una cosa è dire che due cose sono approssimate, un altra che sono equivalenti. Detto questo, la massa ridotta è introdotta nel riferimento inerziale del centro di massa per trovare una soluzione esatta delle orbite dei due corpi rispetto allo stesso centro di massa. Attenzione, ciò non implica che la trattazione risolva in modo esatto anche il moto del pianeta rotante attorno al sole nel sistema di riferimento non inerziale del Sole, che è cosa ben diversa. Nello studiare il moto dei due corpi si utilizza il moto ideale della massa ridotta rispetto al Sole, sempre nel riferimento del centro di massa. A questo punto ci si rende conto che, poiché la massa ridotta è approssimativamente uguale alla massa del pianeta, il suo moto approssima molto bene quello del pianeta attorno al Sole, sempre nel riferimento inerziale del centro di massa e si può procedere col problema di Keplero del campo centrale. Ma questa RESTA un'approssimazione, non una soluzione esatta, per due motivi: 1, la massa ridotta è leggermente minore della massa del pianeta, e 2, il riferimento realmente solidale al Sole non è inerziale. A questo punto si può fare ciò che ha detto Pastore, e cioè passare a un sistema non-inerziale centrato sul Sole e non rotante (rispetto al sistema inerziale originario, ossia al sistema del centro di massa). In questo modo ancora, NON hai una soluzione esatta. Perché? Perché trascuri la rotazione del Sole rispetto al riferimento del centro di massa iniziale e dunque rispetto a questo nuovo sistema di riferimento non inerziale. Le due soluzioni approssimate restano delle approssimazioni, per quanto eccellenti in quasi tutti i problemi che si trattano, ma NON sono delle soluzioni esatte. Nel caso della precessione del perielio bisogna passare ad un'approssimazione ancora più precisa. La soluzione esatta, in cui non trascuri la rotazione del Sole,  è molto complicata e non sono neppure sicuro che qualcuno l'abbia mai trovata. Io per risolvere il problema ho dovuto ricorrere ad una trattazione perturbativa. Detto questo, come vedi avevo ragione io. Non c'è nessuna equivalenza, ma una buona approssimazione. Tu hai confuso le due cose.







Come ti ho spiegato prima, è un'eccellente approssimazione,  ma perdi la rotazione tra il Sole ed il sistema baricentrico, sottostimando dunque la velocità di rotazione del pianeta rispetto al Sole. Certo che è rigorosamente coerente alla meccanica Newtoniana, ma ti porta ad una soluzione approssimata.



 On Friday, 24 December 2021 at 13:35:03 UTC+1, Pangloss wrote:



 Sono d'accordo che la meccanica Newtoniana non è un opinione, però: a) non è esatta 



Questo, in una discussione tutta all'interno del paradima newtoniano è 

irrilevante.





e, b) va capita. Ciò che ti rifiuti di capire è che quel "formalmente 

equivalenti" non è "fisicamente equivalenti". In particolare, il tuo 

sistema non-inerziale centrato sul Sole e non rotante (rispetto al 

sistema inerziale originario) è solidale al Sole solo all'istante 

iniziale della traiettoria del pianeta, perché poi, di fatto, il Sole 

ruoterà rispetto al sistema inerziale originario, e dunque ruoterà anche 

rispetto al tuo sistema non-inerziale centrato sul Sole e non rotante 

(rispetto al sistema inerziale originario)  e viceversa il tuo sistema 

non-inerziale centrato sul Sole e non rotante (rispetto al sistema 

inerziale originario)  ruoterà rispetto al Sole  (il tuo sistema 

non-inerziale centrato sul Sole e non rotante è in realtà un riferimento 

inerziale istantaneo. P



Non sono io che mi rifiuto di capire. Ho enunciato esplicitamente tutte 

le condizionii con cui ho usato le equazioni di Newton. Nessuno obbliga 

a mettersi in un sistema di riferimento rotante (quale poi? ce ne sono 

infiniti). Il rif. non-ineziale centrato *ad ogni sistante* sul Sole e 

con assi non rotati è perfettamente ben definito in meccanica classica. 

Non è neanche possible chiamarlo rif. inerziale istantaneo perché 

inerziale non è.



Comunque io ho enunciato dei fatti, scritto delle equazioni. e 

argomentato sulla base della meccanica classica. Se le obiezioni sono 

legate a questioni terminologiche "formalmente equivalenti"/ 

"fisicamente equivalenti" o affermazioni non suffragate da 

fatti/equazioni  ("ruoterà rispetto al Sole": e dove sta scritto nelle 

formule?) direi che la discussione con te sull'argomento finisce qui.



Resterò col dubbio su come si possa definire la precessione di una 

circonferenza.



Giorgio


 dubbio: questa "Physics of the Dark Universe" è una rivista seria?



Sull'abstract ci sarebbe ben altro da dire!

Un articolo che alla meccanica classica affianca l'uso del red shift gravitazionale

non e' un trattato coerente di meccanica newtoniana, ma nella migliore delle ipotesi

e' concettualmente una _trattazione approssimata di RG_ sulla precessione dei perieli.

Potrei giustificare per bene questo mio giudizio, ma per ora non ne vale la pena.



 e' concettualmente una _trattazione approssimata di RG_ sulla precessione dei perieli. 







Questo di per sé va benone. Se si mostra che l'approssimazione della RG sufficiente per il calcolo della precessione coincide con una modifica semplice delle eq. di Newton è un ottimo calcolo (questo senza entrare nel merito delle critiche alla trattazione dell'RG dell'articolo, che non sono in grado di seguire).


Caro Pastore, 













Sai che ti dico? Che stavolta hai ragione tu. Seguendo un mio ragionamento contorto ho sparato un mucchio di fesserie, e me ne scuso. Il punto è però che sulla cosa più importante avevo ragione, come spesso accade in questi casi. Le tue equazioni sono giuste, ma, se usi le stesse puoi vedere che la velocità della massa ridotta è maggiore nel riferimento non-inerziale che in quello inerziale. Ciò implica che, poiché il tempo Newtoniano è assoluto, chiamando T il periodo orbitale nel riferimento inerziale e T' quello nel riferimento inerziale hai T'<T e dunque, sul periodo T l'orbita avanza nel riferimento non-inerziale rispetto a quello inerziale. E' questo che genera la precessione calcolata nel mio articolo. Pensa a questa cosa e se non ti ho convinto mene farò una ragione perché credo di essere nel giusto.



Cari saluti e buone feste,

Ch.



Caro Proietti, 













Come ho detto sopra a Pastore,  seguendo un mio ragionamento contorto ho sparato un mucchio di fesserie, e me ne scuso. Il punto è però che sulla cosa più importante avevo ragione, come spesso accade in questi casi. Le  equazioni di Pastore sono giuste, ma, se usi le stesse puoi vedere che la velocità della massa ridotta è maggiore nel riferimento non-inerziale che in quello inerziale. Ciò implica che, poiché il tempo Newtoniano è assoluto, chiamando T il periodo orbitale nel riferimento inerziale e T' quello nel riferimento inerziale hai T'<T e dunque, nel periodo T l'orbita avanza nel riferimento non-inerziale rispetto a quello inerziale. E' questo che genera la precessione calcolata nel mio articolo. Pensa a questa cosa e se non ti ho convinto me ne farò una ragione perché credo di essere nel giusto.













Relativamente alla questione dell'abstract, credo che tu non abbia capito. Si parla di studiare la precessione delle orbite tra Relatività Generale e Fisica Newtoniana. Non ho applicato la dilatazione temporale alla meccanica classica, ho modificato la meccanica classica usando la dilatazione temporale. E' una sorta (in termini impropri) di approssimazione post-Newtoniana. Per il resto, se ritieni che non valga la pena giustificare per bene questo tuo  giudizio (stavolta, mi scuserai, davvero errato) ti sfido a fare una cosa per cui ne valga la pena. Scrivi tu un articolo di ricerca mostrando che il mio lavoro è errato e fattelo pubblicare su un giornale serio, magari sullo stesso Physics of the Dark Universe (sorvoliamo sul giudizio di Fabri che giudica non serio un giornale curato da astrofisici e fisici della gravitazione più bravi e più noti di lui). Fino ad allora, col dovuto rispetto, il tuo resterà un giudizio di un appassionato su un lavoro non banale di uno specialista.



Cari saluti e buone feste,

Ch.





 





Bisogna anche considerare la lunghezza delle orbite nei due sistemi di riferimento. Magari compensa esattamente l'effetto che hai detto tu ;-)


Il 24/12/21 23:08, Christian Corda ha scritto:

...

Le tue equazioni sono giuste, ma, se usi le stesse puoi vedere che la 

velocità della massa ridotta è maggiore nel riferimento non-inerziale 

che in quello inerziale. Ciò implica che, poiché il tempo Newtoniano è 

assoluto, chiamando T il periodo orbitale nel riferimento inerziale e T' 

quello nel riferimento inerziale hai T'<T e dunque, sul periodo T 

l'orbita avanza nel riferimento non-inerziale rispetto a quello 

inerziale. E' questo che genera la precessione calcolata nel mio 

articolo. Pensa a questa cosa e se non ti ho convinto mene farò una 

ragione perché credo di essere nel giusto.





In questo caso lo spazio per giudizi soggettivi non c'é. O si è 

coereenti con la meccanica di Newton o si sta facendo altro.



Certamente la velocità non è invariante tra sistema inerziale e non 

inerziale, in generale. Però l'orientazione degli assi dell'ellisse è 

costante in entrambi i sistemi di riferimento. Peraltro, la costanza 

della direzione dell'asse maggiore è il contenuto della legge di 

conservazione del vettore di  Laplace-Runge-Lenz, che vale sia nel 

sistema di rif. inerziale sia in quello eliocentrico non rotante. Ed è 

questa potenziale variazione dell' orientazione che da secoli viene 

chiamata precessione del perielio. Che ci sia una variaione del periodo, 

orbite circolari o ellittiche che siano, è ininfluente dal punto di 

vista del fenomeno "precessione".



Giorgio


Caro Piredda (spero di aver capito bene il cognome, sembri un conterraneo),











Ottima osservazione, ma il punto è che nella fisica Newtoniana le distanze sono assolute. In altre parole, devi considerare il raggio vettore tra Sole e pianeta come qualcosa di rigido nei due sistemi di riferimento. Un modo, forse un po' rozzo, ma abbastanza efficace per "visualizzare" la situazione è il seguente. Considera l'orbita rigida. Nel riferimento inerziale non c'è avanzamento perché l'osservatore non vede Mercurio che tira il Sole. Nel riferimento non-inerziale del Sole l'osservatore vede invece Mercurio che tira il Sole e l'orbita avanza. Questo permette di "visualizzare" anche l'avanzamento di un'orbita circolare su cui si interroga Pastore. 



Cari saluti e buone feste,

Ch.





Caro Giorgio,

















Guarda che nel mio lavoro di soggettivo non c'è proprio niente. Io dimostro RIGOROSAMENTE che nel sistema di riferimento non inerziale c'è una precessione dovuta alla differenza di velocità del pianeta rispetto al sistema. La precessione è dovuta al carattere assoluto dei concetti di tempo e spazio nella fisica Newtoniana. Semmai è soggettivo (e sbagliato) quello che dici tu, ossia che la legge di  conservazione del vettore di Laplace-Runge-Lenz, che vale sia nel  sistema di rif. inerziale sia in quello eliocentrico non rotante. In realtà in quello non-inerziale viene meno. Ho capito il perché proprio grazie alle equazioni che hai scritto in uno dei tuoi precedenti interventi. Ricordati che tra i due sistemi di riferimento vengono meno le trasformazioni Galileiane e la fisica è diversa. Scriverò presto un nuovo articolo in proposito che credo mi permetterà di trovare la precessione grazie al venir meno della legge di  conservazione del vettore di Laplace-Runge-Lenz e ti citerò nei ringraziamenti per avermi dato l'idea. Magari a quel punto convincerò anche te.



Cari saluti,

Ch.



 Ch.





Ricambio gli auguri.





Credo che la questione si risolva scrivendo l'equazione parametrica dell'orbita nei due riferimenti: inerziale, e centrato sul Sole, con gli assi sempre paralleli a quello inerziale. Poi lo faccio e posto.


 Guarda che nel mio lavoro di soggettivo non c'è proprio niente. Io dimostro RIGOROSAMENTE che nel sistema di riferimento non inerziale c'è una precessione dovuta alla differenza di velocità del pianeta rispetto al sistema. 

...

Ricordati che tra i due sistemi di riferimento vengono meno le 

trasformazioni Galileiane e la fisica è diversa.

...

Magari a quel punto convincerò anche te.





Bastano pochi passaggi per verificare la conservazione del vettore di 

LRL (riportati nella pagna di wikipedia in inglese). Appena dimostrata 

la conservazione in uno qualsiasi dei  riferimenti sopra menzionati, 

questa implica la costanza della direzione dell'asse maggiore dell' 

elisse rispetto alle stelle fisse.



Se trovi un risultato diverso hai ssbagliato i calcoli. Non basta 

osservare genericamente che le trasformzionei tra coordinate non sono 

gaileiane. Questo è banalmente ovvio, ma per dire se cambia la fisica 

della posizione del perielio basta usare le soluzione esplicite nei due 

sistemi di riferimento  per controllare che in ciascuno di essi la 

posizione del perielio (punto di minima distanza dal fuoco) e tutti i 

parametri dell' orbita sono costanti.



Se serve posso postare i calcoli espliciti.



Giorgio


Caro Giorgio,







Lo so che non mi crederai, ma la pagina di wikipedia in inglese da ragione a me. Però per ora non ti spiego il motivo, lo capirai quando scriverò il nuovo paper e vi informerò in questo gruppo. Nessun errore di calcolo e niente di soggettivo, solo un'osservazione che a te, per ora, è sfuggita. E' comunque un piacere discutere con te.



Cari saluti,

Ch.



 Nessun errore di calcolo e niente di soggettivo, solo un'osservazione che a te, per ora, è sfuggita.



Come ho gia' detto, essendo _in pieno accordo_ con Giorgio Pastore mi reinserisco qui.

Questa discussione sta assumendo toni kafkiani, ragione per cui vorrei almeno

"localizzare" la zona nella quale ci sarebbe "sfuggito" qualcosa di importante.



Lasciamo per ora perdere il problema dei due corpi e la precessione del perielio di Mercurio.

In dinamica del punto materiale ed (ovviamente) in un sistema di riferimento inerziale 

si dimostra rigorosamente che in un campo di forze centrale di tipo 1/r^2 (newtoniano) 

la traiettoria di un punto massivo in moto e' una conica, nel nostro caso un'ellisse fissa.  



Fino a qui siamo d'accordo suppongo.

Mi basta un laconico OK prima di proseguire...



Caro Proietti,



























Fin qui è OK, per il resto, ragioniamo come segue. Hai perfettamente ragione nel dire che in dinamica del punto materiale ed (ovviamente) in un sistema di riferimento inerziale si dimostra rigorosamente che in un campo di forze centrale di tipo 1/r^2 (newtoniano)  la traiettoria di un punto massivo in moto e' una conica, nel nostro caso un'ellisse fissa. Ma traiettoria rispetto a che? Ovviamente rispetto al Sole. L'ellisse è fissa rispetto al Sole, non rispetto al riferimento inerziale. Ma il punto è che, nel riferimento inerziale il Sole si muove di moto non inerziale. Anche se gli sottrai il moto del riferimento inerziale, cioè se cerchi  di mettere l'origine del riferimento inerziale nel Sole, questo continuerà a muoversi di un residuo non inerziale. E' la somma di tutti questi residui non-inerziali che, calcolata lungo la traiettoria, ci da la precessione. Come fare il calcolo? Io ho fatto così, ho approssimato il riferimento non-inerziale nel Sole a sistema inerziale ed ho calcolato la lunghezza della traiettoria. In questo modo il calcolo è approssimato perché di fatto forzi il Sole a non muoversi e ti perdi proprio la somma di tutti i residui non-inerziali di cui parlavo sopra. Poi ho rifatto il calcolo nel riferimento non-inerziale. La differenza è proprio la somma di tutti i residui non-inerziali di cui parlavo prima, ossia la precessione. In altre parole, la precessione è presente in entrambi i sistemi. In quello inerziale vedi l'orbita avanzare, anche se l'ellisse è fissa rispetto al Sole che avanza; in quello non inerziale vedi allontanarsi la posizione iniziale del Sole. L'analisi non è assolutamente in contraddizione con le equazioni scritte da Pastore e con l'analisi del problema dei due corpi. Bisogna però capire cosa e rispetto a quale riferimento si muove e o resta fermo. 



Cari saluti,

Ch.



 Fin qui è OK, per il resto, ragioniamo come segue. Hai perfettamente ragione nel dire che in dinamica del punto materiale ed (ovviamente) in un sistema di riferimento inerziale si dimostra rigorosamente che in un campo di forze centrale di tipo 1/r^2 (newtoniano)  la traiettoria di un punto massivo in moto e' una conica, nel nostro caso un'ellisse fissa. Ma traiettoria rispetto a che? Ovviamente rispetto al Sole. L'ellisse è fissa rispetto al Sole, non rispetto al riferimento inerziale. ....



Mi riaggancio a queste frasi per farti vedere esplicitamente che ti sbagli.



Nel problema dei due corpi (non necessariamente gravitazionale), in cui 

i vettori posizione (in un sistema di riferimento inerziale) sono r1 e 

r2, è utile introdurre una trasformazione lineare (invertibile) ai vettori



R = (m1/M) r1 + (m2/M) r2

r = r2 - r1



com m1 ed m2 masse dei due corpi ed M=m1+m2.

R è la posizione del centro di massa (nel sistema inerziale) ed r la 

differenza delle due posizioni nello stesso sist. di rif. Il vettore r è 

però anche la posizione relativa del corpo 2 rispetto al corpo1 e quindi 

è interpretabile come la posizione di 2 nel sistema di riferimento 

(non-inerziale) solidale al corpo 1.



Le due trasformazioni sono invertibili per dare:



r1 = R + (m1/M) r    [1]

r2 = R - (m2/M) r    [2]



la traduzione a parole di queste trasformazioni è che le posizioni di 1 

e 2, riferite al cdm (R) sono sempre collineari col cdm, opposte in 

verso e proporzionali alla posizione relativa r in ragione di ciascuna 

massa.



Le equazioni [1]  e [2] mostrano chiaramente che tutto quello che si può 

dire di r vale per r1 ed r2 nel sistema del centro di massa (c'è solo 

una costante moltiplicativa).



Nel caso della forza 1/r^2, r(t) descrive una conica con posizione del 

perielio fissa e un fuoco nell'origine (coincidente con la posizione del 

corpo 1). [1] e [2] ci dicono che nel sistema del cdm (R=0), r1(t) ed 

r2(t) descrivono due coniche simili a quella descritta da r(t), con 

quella descritta da r2 anche soggetta ad un'inversione centrale). Il 

fuoco di queste due coniche coincide col cdm.



Se la posizione del perielio è fissa per l'orbita descritta da r, lo 

sarà anche per r1 ed r2 (anche se diverse, causa il riscalamento e il 

segno).



E con questo veramente non c'è altro da dire. Qualsiai altro risultato 

non può esssere che l'effetto di errori o di approssimazioni che con la 

soluzione esatta di questo problema non hanno nulla a che fare.



Giorgio



PS Buon Anno a tutto il NG!


 PS Buon Anno a tutto il NG!



Buon Anno!



-- 

Giorgio Bibbiani

(mail non letta)


 PS Buon Anno a tutto il NG!



Ecco, su questo sono d'accordo, bun anno a tutti.



 Ora, sappiamo che il corpo 1, ossia il Sole, si muove di moto non-inerziale rispetto al riferimento inerziale del cdm. Quindi, se il per il riferimento non-inerziale centrato nel Sole il perielio è fisso, NON può esserlo per il riferimento inerziale del cdm rispetto al quale il Sole si sta muovendo. 

...



Ok, penso di aver capito l'origine dell'equivoco.

E' un fraintendimento abbastanza diffuso nella ginnastica di passare da 

un sistema di riferimento al' altro.



Tu pensi ad un'unica orbita ellittica (quella nel sistema non-inerziale 

col Sole nel fuoco) e a come le coordinate di un punto fisso nel sdr 

non-inerziale si trasformano in un sdr inerziale. Io sto parlando del 

punto più vicino al fuoco (che definisce la direzione dell' asse 

maggiore dell' ellisse) di tre ellissi diverse. Una, quella dell' orbita 

descritta da r(t) nel moto relativo, ovvero nel sistema non-inerziale 

con Sole in un fuoco. Una quella descritta dal corpo 1 nella sua orbita 

ellittica con cdm in un fuoco e la terra quella descritta dal corpo 2 

nella sua orbita ellittica, sempre con cdm in un fuoco.



In generale sono tre ellissi diverse ( se quella col Sole in un fuoco ha 

semiasse maggiore a, quella descritta da r1 con cdm in un fuoco ha 

semiasse maggiore (m2/M)a e quella descritta da r2, (m1.M)a [grazie a 

Giorgio B per l'errata!]. Da notare che l'ellisse descritta da r2 nel 

sdr inerziale con cdm coincidente con un fuoco è simile a quella 

descritta da r2 nel riferimento centrato su r1 (c'e' solo un fattore di 

scala).



Il punto importante è però che le 3 ellissi, quella col fuoco sul Sole e 

le due con fuoco nel cdm, pur con dimensioni diverse, hanno sempre la 

stessa eccentricità e la direzione dell'asse maggiore parallela. Ovvero 

per nessuna di queste si manifesta il fenomeno della precessione. Ed è 

questo che da 160 anni si intende con "assenza di precessione" nella 

soluzione del problema dei 2 corpi con l'interazione newtoniana.



La conclusione cui arrivi tu intuitivamente, sulla base del fatto che il 

sole si muove nel sistema inerziale, non è suffragata dalle formule. 

Infatti, se al tempo t=0 nel sistema non-inerziale il corpo 2 è alla 

minima distanza da 1 in un sistema di coordinate cartesiano 2D nel piano 

contenete l'ellisse, in cui la posizione è

r = (-r_min,0)

nel sistema del cdm (R=0)

r2 = (m1/M)*(-r_min,0)

r1 = (m2/M)*(r_min,0)



dopo un anno (sidereo) si ritorna alle stesse coordinate e nelle stesse 

condizioni. Per tutti i tempi intermedi r, r1 ed r2 NON sono posizioni 

di minima distanza dal fuoco. I fuochi (posizione del corpo 1 nel sdr 

non-inerzile) e cdm in quello inerziale restano sempre nelle stesse 

posizioni ad ogni istante.



Giorgio


Caro Giorgio, 

























Anzitutto ti ringrazio per la pazienza e perché, comunque andrà a finire (che io abbia ragione o torto intendo), questa è una delle discussioni scientifiche più interessanti che abbia mai fatto, e, anche se risulterà che avrò torto, ne sarà valsa la pena perché mi sono spremuto il cervello divertendomi. C'è un'unica cosa che non torna in quanto dici, e credo sia il punto chiave, nonché l'errore che si è fatto in proposito negli ultimi 160 anni. Vedi, tu dici che dopo un anno (sidereo) si ritorna alle stesse coordinate e nelle stesse  condizioni. L'errore sta qui. L'anno sidereo è, per definizione, il tempo che impiega il pianeta per compiere un'intera orbita intorno al Sole, ovvero il tempo impiegato per ritornare allo stesso punto, rispetto alle stelle fisse. Ma il periodo di rotazione del pianeta rispetto al Sole nel problema dei due corpi è leggermente più piccolo dell'anno sidereo. Quindi, nell'anno sidereo il pianeta avanzerà di un pochino. Per capire perché il periodo di rotazione del pianeta rispetto al Sole nel problema dei due corpi è leggermente più piccolo dell'anno sidereo dovresti leggere il mio articolo, dove ne calcolo la variazione esatta.  Rozzamente parlando, ragiona così. Per essere solidali alle stelle fisse dobbiamo togliere il moto del centro di massa al moto globale del sistema. Ma il Sole si muove rispetto al centro di massa, quindi, togliendo il moto del centro di massa,  calcoliamo il periodo di rotazione rispetto ad un oggetto che si muove rispetto alle stelle fisse. Dunque il pianeta si muove più velocemente rispetto a se il Sole fosse fermo rispetto alle stelle fisse.



Ciao,

Ch.



 ...C'è un'unica cosa che non torna in quanto dici, e credo sia il punto chiave, nonché l'errore che si è fatto in proposito negli ultimi 160 anni. Vedi, tu dici che dopo un anno (sidereo) si ritorna alle stesse coordinate e nelle stesse  condizioni. L'errore sta qui. L'anno sidereo è, per definizione, il tempo che impiega il pianeta per compiere un'intera orbita intorno al Sole, ovvero il tempo impiegato per ritornare allo stesso punto, rispetto alle stelle fisse. Ma il periodo di rotazione del pianeta rispetto al Sole nel problema dei due corpi è leggermente più piccolo dell'anno sidereo. ....



Non vedo come. Il motivo sta tutto nel fatto che il vettore posizione 

del pianeta nel sistema inerziale e quello nel sistema non-inerziale 

centrato sul sole sono direttamete proporzionali (con fattore 

M_sole/M_totale). Quindi il periodo di rivoluzione (
p.es
. ritorno al 

perielio) è lo stesso nei due sdr. Ed è anche il periodo necessario a 

riprendere la stessa posizione rispetto alle stelle fisse.



Giorgio


Sul tema vorrei segnalare l'articolo:

Condurache, D., Asachi, G., Martinusi, V., The solution to Kepler’s problem in non-inertial reference , April 2005 in

https://www.researchgate.net/publication/266956153_The_solution_to_Kepler's_problem_in_non-inertial_reference_frames




Furio Petrossi


 Il 01/01/22 18:04, Christian Corda ha scritto: 



Caro Petrossi,



Grazie per la segnalazione. Ne aproffitto per chiarire la questione una volta per tutte.





























Allora, nel mio articolo io ho rigorosamente dimostrato che il pianeta precede nella sua orbita RISPETTO AL SOLE. Ora, che molti di voi mi facciano notare che non precede rispetto RISPETTO AL CENTRO DI MASSA (Pastore, Proietti e Piredda, mi apre) non vuol dire niente. In fisica Newtoniana lo spazio percorso dipende dall'osservatore. Faccio un esempio più semplice per chiarire la questione. Supponiamo di avere un'autostrada in cui è presente un rettilineo senza curve per  centinaia di chilometri nella direzione est-ovest e due macchine,  1 e 2, che procedono 1 in direzione est-ovest e 2 in direzione ovest-est a velocità, facciamo 40 km/h, e direzione uguali ma verso opposto rispetto ad un osservatore fisso sulla strada. Rispetto ad un osservatore solidale ad 1 (un passeggero della macchina 1), la macchina 2 si muoverà ad una velocità di 80 km/h. Ora, se io chiedo quanti chilometri percorrerà in un'ora la macchina 2 rispetto all'osservatore fisso sulla strada la risposta sarà ovviamente 40, ma se chiedo quanti chilometri percorrerà in un'ora la macchina 2 rispetto all'osservatore solidale ad 1 la risposta sarà 80. Ora voi non potete dirmi che la risposta 80 km/h è sbagliata e quella di 40 km/h è giusta, perché in fisica  Newtoniana non esiste un osservatore, o sistema di riferimento preferenziale. Entrambe le risposte sono giuste, come nel problema dell'orbita del pianeta. Se vista rispetto al Sole c'è precessione, se vista rispetto al centro di massa non c'è precessione. Il motivo per cui questo avviene è analogo all'esempio delle due macchine nel rettilineo. Rispetto al Sole il pianeta si muove più velocemente che rispetto al centro di massa. Il fatto che Pastore insista sul fatto che il Sole, il pianeta ed il centro di massa debbano restare allineati su "un'asta rigida" non cambia niente. Se vediamo il pianeta precedere dal Sole, semplicemente anche il centro di massa rispetto al Sole precederà in modo che, anche in questo caso il Sole,  il pianeta ed il centro di massa  restino allineati "sull'asta rigida". 

E con questo spero di avere chiarito definitivamente la questione.



Cari saluti,

Ch.



 Grazie per la segnalazione. Ne approfitto per chiarire la questione una volta per tutte. 



Cito alla penultima pagina





"If e < 1 (equivalent with h < 0 from relation (31)), the trajectory in plane Pi(t) is bounded. In plane Pi(t) it is an ellipse. As plane Pi(t) has a fixed point, that is the attraction center; the spatial region where the trajectory is located represents the region between two concentric spheres, one with radius p/(1+e), and one with radius p/(1-e).



In the particular case e = 0. the trajectory in plane PI(t) is a circle with its center in the attraction point and the radius p. Then the body trajectory is a spherical curve, generated by the rigid rotation of this circle with angular velocity

-omega."



 Mi soffermo su "the trajectory (...) it is an ellipse". Quindi una curva chiusa, se ben intendo.

E' corretto?



fp


 Come ho detto più volte, rispetto al Sole il pianeta si muove più velocemente che rispetto al centro di massa. 



E' vero ma c'è un non-sequitur. Certo che si muove più velocemente, 

visto che l'orbita è più lunga (l'ellisse con fuoco sul cdm è riscalata 

di un fattore m_sole/m_totale rispetto a quella con fuoco sul Sole).



Nella trasformazione tra i due sistemi di riferimento (cdm e Sole) ci 

sono alcune cose che variano (e debbono variare), altre che invece sono 

riscalate di un fattore costante e altre ancora che rimangono invariate.

Queste relazioni, nel tuo esempio con le auto scompaiono ma il problema 

sta nell'esempio troppo limitato. Prova ad analizzare le relazioni tra 

posizioni, velocità  nei diversi sdr del caso planetario e ti sarà più 

chiaro.



Posizioni, distanze percorse dal pianeta e velocità variano.

Tuttavia, le posizioni di Sole(r1) e pianeta (r2) nel cdm sono ottenute 

riscalando la posizione relativa nel sistema eliocentrico (r).

Quindi, istante per istante vale

r1= -(m2/M)*r

r2=  (m1/M)*r

e quindi

v1= -(m2/M)*v

v2=  (m1/M)*v



sono cioè proporzionali. Anche le ellissi sono proporzionali (e quindi 

la lunghezza delle stesse).

Le eccentricità restano invariate.

Il momento angolare totale si conserva rispetto al cdm, ma si conservano 

separatamente anche il mom. ang. del Sole (L1) e del pianeta (L2) 

rispetto al cdm, nonché il mom. angolare del punto di massa ridotta mu 

rispetto al sole (L).



Le relazioni di rescaling sopra riportate mostrano chiaramente che la 

velocità angolare istantanea è la stessa nei due sdr.



Infatti L2 = m2 r2 x v2 = (m1/M)*mu r x v = (m1/M) L e quindi



w2 = L2/(m2 r2^2) = (m1/M)*L/(m2*(m1/M)^2 r^2) = L/(mu r^2) = w



E quindi il periodo è lo stesso.





Alternativamente, tenendo presente che la direzione di r2-r1 e quella di 

r2 nel sistema del cdm coincindono (quindi i relativi versori sono 

uguali), si vede facilmente che è possibile introdurre, oltre al vettore 

di Laplace Runge-Lenz A del sistema eliocentico, anche due vettori A1 e 

A2 nel sistema del cdm che sono solo versioni riscalate di A. Pertanto 

si arriva alla stessa conclusione cui si sarebbe arrivati subito 

analizzando le orbite: tutte le orbite ellittiche che appaiono in questo 

problema non precedono. La posizione del punto di minima distanza dal 

fuoco, diversa in ciascun sistema, resta sempre la stessa, orbita dopo 

orbita, per qualsiasi eccentricità non nulla.



L'unico modo che avresti per convincere che la tua idea funziona è di 

dimostrare che la posizione del perielio (fisso) di un'ellisse di 

equazione, in coordinate polari:



1/r = T*(1+e*cos(theta))  (T costante positiva)



comincia a ruotare se si riscala r di una costante. Ma così non è. 

Quindi, sulla base di approssimazioni, ti sei convinto di una cosa 

falsa. Può succedere, ma se riesaminerai con calma, tra qualche giorno, 

tutte le relazioni esatte vedrai chiaramente la situazione.



Giorgio



PS Oltre alle formule analitiche, l'integrazione del problema dei due 

corpi in interazione newtoniana può essere anche  effettuata 

numericamente (richiede un po' di attenzione e di conoscenza dei metodi 

numerici ma per ogni data precisione è possibile ottenere risultati 

numerici indistinguibili da quelli analitici). Anche l'integrazione 

numerica conferma che, sia la descrizione nel sdr inerziale del cdm, sia 

quella nel sistema eliocentrico non-rotante, non mostrano fenomeni di 

precessione se l'integrazione è sufficientemente accurata.



PPSS, Non credo di poter  aggiungere altro a questa lunga discussione 

per cui, per quanto riguarda questo argomento, ti saluto. E' comunque 

stato interessante discuterne.








No, perché dice chiaramente che questo vale nel sistema di riferimento in cui il vettore e è immobile. Peccato che all'inizio della Sezione 4 si dica esplicitamente che, rispetto al riferimento iniziale, il vettore e sta ruotando, vedi Equazione 20. Questi Autori hanno scritto la matematica molto bene ma non ne hanno capito le implicazioni fisiche. Il mio risultato relativo alla precessione delle orbite era già presente in questo lavoro. Contrariamente a quando scritto precedentemente da Pastore, in un riferimento non-inerziale il vettore e non si conserva. 





Guarda che il il mom. angolare del punto di massa ridotta mu  rispetto al sole (L) nel riferimento del CDM È diverso dal mom. angolare del pianeta di massa m2 rispetto al Sole (L2S) nel riferimento del Sole.

Si ha infatti:





 L=mu r v2(Sole); L2S= m2 r v2(Sole). Quindi, contrariamente a ciò che dici la velocità angolare nei due riferimenti NON è la stessa.



Il 05/01/22 18:23, Christian Corda ha scritto:


Non ho mai scritto che sono gli stessi. Sono *seperatamente* quantità 

coservate.



Più esplicitamente, introducendo x1=m1/M e tenendo presente lo scaling 

tra r2,v2 e r,v

r2=x1 r

v2=x1 v



L2=m2 r2 x v2 = x1^2 m2 r x v = x1 mu r x v = x1 L



w2 = L2/(m2 r2^2)= x1 L/(m2*x1^2 r^2) = L/(m2 x1 r^2) = L/( mu r^2) = w



Giorgio



PS 2 è il pianeta. Nelle formule che sto usando non compare 

esplicitamente la velocità del Sole.


















Si, ero io ad aver detto una cosa errata stavolta, perché il rapporto tra L e mu è uguale a quello tra L2S ed m2. Ma il punto è un altro. In realtà tu non calcoli la velocità angolare nei due sistemi di riferimento, quello che calcoli è la velocità angolare del pianeta nel riferimento del centro di massa misurata da un'osservatore posto all'origine del sistema di riferimento e, sempre nel riferimento del centro di massa,  la velocità angolare del pianeta rispetto al Sole, ma misurata sempre dallo stesso osservatore posto all'origine del sistema di riferimento. E' ovvio che queste devono essere uguali perché, come abbiamo detto, i tre punti, Sole, pianeta e cdm devono restare allineati. Ma,  e questo è il punto fondamentale,   la velocità angolare del pianeta rispetto al Sole, misurata da un'osservatore posto all'origine del sistema di riferimento del centro di massa è diversa dalla velocità angolare del pianeta rispetto al Sole, però misurata da un'osservatore posto sul Sole nel sistema di riferimento del Sole. In questo caso le due velocità sono diverse, la seconda è maggiore. Prova a fare il calcolo e vediamo cosa ti viene fuori.  



 

.... Ma,  e questo è il punto fondamentale,   la velocità angolare del 

pianeta rispetto al Sole, misurata da un'osservatore posto all'origine 

del sistema di riferimento del centro di massa è diversa dalla velocità 

angolare del pianeta rispetto al Sole, però misurata da un'osservatore 

posto sul Sole nel sistema di riferimento del Sole. In questo caso le 

due velocità sono diverse, la seconda è maggiore. Prova a fare il 

calcolo e vediamo cosa ti viene fuori.



Visto che la posizione del pianeta rispetto al Sole, misurata da 

un'osservatore posto all'origine del sistema di riferimento del centro 

di massa è esattemente r come la posizione del pianeta rispetto al Sole 

però misurata nel sistema di riferimento del Sole, ho veramente 

difficoltà a vedere la differenza tra le velocità angolari, traiettorie, 

periodi e posizione del perielio nel tempo.



Prova tu a suggerire il modo per fare il calcolo che dia quello che dici.



Giorgio


(...)





Per comodità, al fine di chiarire la metodologia di calcolo della velocità angolare, disegno l'ellisse che ottengo dai vettori CM-Pianeta con origine nel CM (in viola).

Chiaramente gli angoli restano uguali

https://www.scuolefvg.org/doc/keplerCM2.jpg




Furio Petrossi


la velocità angolare del pianeta rispetto al Sole, misurata da un osservatore posto all'origine del sistema di riferimento del centro di massa è diversa dalla velocità angolare del pianeta rispetto al Sole, però misurata da un osservatore posto sul Sole nel sistema di riferimento del Sole. In questo caso le due velocità sono diverse, la seconda è maggiore. 



Scusa la mia ingenuità, ma non dovrebbe essere difficile disegnare la situazione.



La "velocità angolare del pianeta rispetto al Sole, però misurata da un osservatore posto sul Sole nel sistema di riferimento del Sole." è facile da vedere, basta vedere l'angolo spazzato in un tempo dt dal vettore Sole-Pianeta in rosso su

https://www.scuolefvg.org/doc/keplerCM.jpg






La "velocità angolare del pianeta rispetto al Sole, misurata da un osservatore posto all'origine del sistema di riferimento del centro di massa" come la indicheresti, una volta segnato il centro di massa sul raggio vettore? Quale angolo in un tempo dt?





Personalmente considererei le posizioni CM nel tempo t e CM' nel tempo t+dt e i vettori CM-Pianeta in questi due istanti; per calcolare l'angolo traslerei il vettore da CM' su CM, ma in questo modo otterrei un angolo corrispondente tra rette parallele, rispetto all'angolo spazzato dal vettore Sole-Pianeta.

Quindi le velocità angolari sarebbero uguali.

Ho sbagliato? Purtroppo senza vedere o calcolare, solo a parole non riesco a identificare la diversità delle due situazioni.

Grazie



Furio Petrossi

---

P.S. l'animazione è in 
https://www.geogebra.org/m/rAuvT3Pk















Eh no, perché in questo modo stai implicitamente sottraendo il moto del Sole dal riferimento del centro di massa con un unico spostamento rigido. Ma questo lo puoi fare solo se i due riferimenti si muovono tra di loro di moto inerziale. In questo caso potresti sovrapporre  il Sole al centro di massa lungo tutta la traiettoria, appunto sottraendo il moto del Sole nel riferimento del centro di massa. In quel caso gli  spostamenti angolari nelle due figure che hai postato, ossia l'angolo che il pianeta spazza rispetto al centro di massa nella prima figura e l'angolo che il pianeta spazza rispetto al Sole nella seconda figura, sarebbero effettivamente uguali. Ma in realtà il centro di massa ed il Sole si muovono di moto non inerziale. Quindi non puoi sottrarre il moto del Sole dal riferimento del centro di massa con un unico spostamento rigido, viceversa lo devi fare lungo tutta la traiettoria, e questo ti genera una variazione della velocità angolare.



 Eh no, (...)



Ho cercato di interpretare la tua frase

La 

"velocità angolare 

del pianeta 

rispetto al Sole, 

misurata da un osservatore posto all'origine del sistema di riferimento del centro di massa" 





ma se pensi non sia corretta, allora - se lo desideri - c'è bisogno di uno schema funzionale più chiaro, ad esempio di un disegno, magari fatto sopra una stampa di

https://www.scuolefvg.org/doc/keplerCM.jpg
 o di

https://www.scuolefvg.org/doc/keplerCM2.jpg
 e fotografato (eventualmente pubblico lo schema se lo invii al mio indirizzo privato)







Purtroppo non sono in grado di trasformare in grafico la frase "il centro di massa ed il Sole si muovono di moto non inerziale. Quindi non puoi sottrarre il moto del Sole dal riferimento del centro di massa con un unico spostamento rigido, viceversa lo devi fare lungo tutta la traiettoria, e questo ti genera una variazione della velocità angolare."











Personalmente nelle animazioni su 
https://www.geogebra.org/m/rAuvT3Pk
 (ce ne sono due, una sotto l'altra) conosco solo i moti ellittici del pianeta e del centro di massa con fuoco nel Sole e i due moti ellittici di Sole e pianeta con fuoco nel centro di massa (o di una qualsiasi combinazione lineare tra essi), con versi dei vettori posizione opposti tra loro rispetto al centro di massa. Mi pare inutile porre il pianeta in uno dei fuochi: non cambierebbe nulla. Non saprei cosa altro inventarmi, a meno di non usare di riferimenti rotanti attorno al centro di massa del sole (e allora può succedere di tutto).



Grazie,

Furio Petrossi


 Il 05/01/22 21:24, Christian Corda ha scritto: 



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Guarda, è inutile che provi a disegnare qualcosa. La cosa migliore da fare è che dia anche a te la stessa spiegazione che ho dato a Pastore.

























Si tende a confondere la cinematica del pianeta nel sistema del cdm  con quella della massa ridotta nello stesso sistema. La massa ridotta è una grandezza fittizia che riproduce nel sistema inerziale del cdm la cinematica reale del pianeta nel sistema non inerziale del Sole. Questo è facile da vedere. Chiamando m la massa del pianeta ed M quella del Sole, l'accelerazione del pianeta nel sistema inerziale del cdm è a_m=GM/r^2, l'accelerazione del pianeta nel sistema non inerziale del Sole è a_m-a_M=G(M+m)/r^2, dove a_M è l'accelerazione del Sole  nel sistema inerziale del cdm. Ora, l'accelerazione della massa ridotta nel sistema inerziale del cdm è ancora a_m-a_M=G(M+m)/r^2. Come conseguenza delle equazioni che ho scritto è evidente che la velocità angolare del raggio vettore Sole-pianeta nel sistema non-inerziale del Sole è uguale alla velocità angolare del raggio vettore Sole-massa ridotta nel sistema inerziale del cdm. Queste due sono al loro volta maggiori della velocità angolare del raggio vettore Sole-pianeta nel sistema inerziale del cdm. Conseguenza: poiché la velocità angolare del raggio vettore Sole-pianeta nel sistema inerziale del cdm è minore della velocità angolare del raggio vettore Sole-pianeta nel sistema non-inerziale del Sole, il pianeta percorre un'orbita più lunga nel sistema non-inerziale del Sole nel tempo di rivoluzione calcolato rispetto al sistema inerziale del centro di massa (che può essere riscalato ad anno sidereo se sottrai il moto del centro di massa, cioè se "fermi" il centro di massa rispetto alle Terre fisse). Quindi l'orbita del pianeta nel sistema non-inerziale del Sole ha una precessione. Notare che non ho usato la parola perielio, quindi quanto detto vale anche per orbite circolari.



Se vuoi vedere dei calcoli più dettagliati puoi leggere il mio articolo di ricerca.



Come conseguenza delle equazioni che ho scritto è evidente che la velocità angolare del raggio vettore Sole-pianeta nel sistema non-inerziale del Sole è uguale alla velocità angolare del raggio vettore Sole-massa ridotta nel sistema inerziale del cdm. Queste due sono al loro volta maggiori della velocità angolare del raggio vettore Sole-pianeta nel sistema inerziale del cdm. 



Non è "evidente". Prova a dimostrare che il raggio vettore Sole-pianeta 

  nel sistema inerziale del cdm è diverso dal raggio vettore 

Sole-pianeta nel sistema non-inerziale del Sole. Con formule.



Giorgio


 Non è "evidente". 






Fai ancora confusione, è chiaro che il raggio vettore  Sole-pianeta nel sistema inerziale del cdm è uguale al raggio vettore  Sole-pianeta nel sistema non-inerziale del Sole. Solo che, essendo il Sole soggetto a due accelerazioni diverse nei 2 diversi sistemi di riferimento il raggio vettore si muoverà a velocità angolari diverse. Posta così mi pare estremamente elementare.

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 Fai ancora confusione, è chiaro che il raggio vettore  Sole-pianeta nel sistema inerziale del cdm è uguale al raggio vettore  Sole-pianeta nel sistema non-inerziale del Sole. Solo che, essendo il Sole soggetto a due accelerazioni diverse nei 2 diversi sistemi di riferimento il raggio vettore si muoverà a velocità angolari diverse. Posta così mi pare estremamente elementare.



A me pare elementare che se un vettore A è uguale a un vettore B, 

istante per istante, il moto descritto da A debba essere uguale a quello 

descritto da B.



La questione delle accelerazioni diverse è fuorviante. Certamente, 

essendo la lunghezza del vettore cdm-pianeta minore di un fattore 

M_Sole/M_totale rispetto a quella Sole-pianeta, anche le corrispondenti 

velocità e l'accelerazioni saranno scalate dello stesso fattore. Ma è 

proprio lo scaling che permette di avere velocità angolari uguali pur in 

presenza di vettori posizione di lunghezza diversa e quindi velocità 

assolute diverse. Le formule che hai riportato dicono esattamente 

questo: il rapporto tra intensità del vettore accelerazione del pianeta 

nel sistema del cdm e della derivata seconda della posizione relativa 

vale M_Sole/M_totale. Quello che avevo chiamato m1/M in qualche post 

precedete.



Il punto chiave per non finire in confusione è che date le posizioni 

(nel sistema del cdm) r1 e r2, il vettore r2-r1 rappresenta, oltre alla 

differenza tra i due vettori nel sistema de; cdm, anche la posizione di 

2 rispetto a 1 e quindi la posizione di 2 nel sistema non-inerziale 

centrato in 1. Le tue affermazioni avrebbero fondamento solo se fossi in 

grado di dimostrare che r2-r1 non è la posizione di 2 nel sdr centrato 

su 1. Ma questo è un po' difficile da sostenere.



Giorgio


 nel sistema non-inerziale del Sole. Con formule.



Provo a ricostruire un ragionamento per quanto possibile

_semplice_ ed elementare (semplice perché questo è lo scopo,

elementare è l'argomento in sé e non posso complicarlo

neanche volendo... ;-), ovviamente non aggiungo niente a

quanto tu in particolare, o altri intervenuti, non abbiate

già dettagliatamente spiegato, mi limito a una parafrasi.



A)

Per ipotesi 2 punti (1) e (2) in un dato riferimento coordinato

OXY di origine O percorrano 2 traiettorie chiuse nel piano

XY con lo stesso periodo T, le coordinate dei 2 punti (funzioni del tempo t,

periodiche di periodo T) siano (X1, Y1) e (X2, Y2), definisco un riferimento

coordinato O1xy con origine in (1) e orientazione degli assi invariata

rispetto a quella di OXY, allora a ogni tempo t le coordinate di (2)

in O1xy sono (X2 - X1, Y2 - Y1), dunque sono periodiche di periodo T,

dunque il moto di (2) nel riferimento dato di (1) è periodico con

periodo T e l'orbita è chiusa.



B)

Mi sembra che tutti fossero d'accordo con il fatto fisico che

dato un problema a 2 corpi (punti materiali) interagenti

gravitazionalmente soltanto tra loro e in uno stato legato

allora nel riferimento inerziale del c.d.m. le orbite dei 2 corpi

sono entrambe periodiche con lo stesso periodo, allora data questa

ipotesi è verificato che è periodica e dunque chiusa l'orbita

di (2) nel riferimento non inerziale e non rotante di (1)

(e viceversa, ovviamente).



Osservo che il risultato è indipendente dall'ipotesi fisica

in B) di moto kepleriano del sistema, è un risultato

_puramente geometrico_ conseguente alle sole ipotesi esplicitate

in A, ad es. non necessita che i corpi interagiscano soltanto

tra loro e che O sia il c.d.m. del sistema.



PS non interverrò ulteriormente (salvo che per correggere

miei non impossibili svarioni che voi mi faceste osservare ;-)

perché l'argomento è trattato in numerosi manuali di

meccanica classica...



Ciao



















Questo è errato. Un'orbita periodica può benissimo essere non chiusa se il vettore di Laplace-Runge-Lenz ruota. E' proprio questo il caso. Il vettore di Laplace-Runge-Lenz  mantiene orientazione costante solo se il moto orbitale è rigorosamente dovuto al campo centrale della sorgente. In caso di perturbazioni al campo centrale il vettore di Laplace-Runge-Lenz ruota. Ci sono molti lavori in letteratura in proposito, non ultimo quello segnalato da Petrossi. Nel caso del riferimento non inerziale il campo centrale del Sole è appunto perturbato dalla debole perturbazione dovuta alla back reaction del pianeta.  Ho fatto proprio in questi giorni il calcolo tramite il vettore di Laplace-Runge-Lenz e la sua rotazione mi ha permesso di trovare un valore ancora più preciso della precessione. Tra l'altro è inesatta anche un'altra tua affermazione,  ossia che l'argomento è trattato in numerosi manuali di meccanica classica. L'argomento è trattato in numerosi manuali di meccanica classica SOLO nel sistema di riferimento inerziale.  Nel paper segnalato da Petrossi è invece evidenziato che le trattazioni nel sistema di riferimento non inerziale sono pochissime, se non proprio inesistenti, in letteratura, prima di quella degli stessi autori e della mia.



 Il 07/01/22 12:58, Christian Corda ha scritto:







 Certo che il vettore  r2-r1 rappresenta la posizione di 2 nel sistema non-inerziale centrato in 1, ma NON rappresenta la posizione di 2 nel sistema inerziale. Rappresenta invece la posizione della massa ridotta. La posizione di 2 nel sitsema inerziale è data da un altro vettore posizione che si muove più lentamente.



 Fai ancora confusione, è chiaro che il raggio vettore Sole-pianeta nel sistema inerziale del cdm è uguale al raggio vettore Sole-pianeta nel sistema non-inerziale del Sole. Solo che, essendo il Sole soggetto a due accelerazioni diverse nei 2 diversi sistemi di riferimento il raggio vettore si muoverà a velocità angolari diverse. Posta così mi pare estremamente elementare.



Scusa ma nel sistema di riferimento del Sole la sua velocità è permanentemente nulla, quindi anche l'accelerazione del Sole è nulla.

C'è qualcosa che non va.





Comunque conta poco, come dicono Pastore e Bibbiani: le orbite restano chiuse, infatti *** istante per istante *** tutto è determinato dal vettore dal CM al Sole, che nel sistema di riferimento del CM trasforma l'ellisse dell'orbita del pianeta in un'ellisse più piccola e il punto che rappresenta il Sole in una ulteriore ellisse.

Ved anche 
https://www.geogebra.org/m/pew9rsdg
 (può essere animata).



Furio Petrossi






Il punto è che qui parliamo di tre vettori, non di due: il vettore A è il vettore Sole-pianeta nel riferimento non inerziale del Sole, il vettore B è il vettore Sole-massa ridotta nel riferimento inerziale del cdm ed il vettore C è il vettore Sole-pianeta nel riferimento inerziale del cdm. A e B descrivono lo stesso moto, C no, perché e più lento dei primi due.



On Friday, 7 January 2022 at 14:00:04 UTC+1, Giorgio Pastore wrote:





 Il punto è che qui parliamo di tre vettori, non di due: il vettore A è il vettore Sole-pianeta nel riferimento non inerziale del Sole, il vettore B è il vettore Sole-massa ridotta nel riferimento inerziale del cdm ed il vettore C è il vettore Sole-pianeta nel riferimento inerziale del cdm. A e B descrivono lo stesso moto, C no, perché e più lento dei primi due.



Esercizietto: se r1 è il vettore posizione del Sole nel sdr del cdm e r2 

quello del pianeta nello stesso sdr, scrivere le espressioni dei vettori 

A,B, e C.

La mia soluzione è

A=r2-r1

B=r2-r1

C=r2-r1



La tua?


   Certo che il vettore  r2-r1 rappresenta la posizione di 2 nel sistema non-inerziale centrato in 1, ma NON rappresenta la posizione di 2 nel sistema inerziale. Rappresenta invece la posizione della massa ridotta. La posizione di 2 nel sitsema inerziale è data da un altro vettore posizione che si muove più lentamente.



questo vettore è r2 per definizione. Nel sistema del cdm r2 è 

proporzionale a r2-r1.


 Sole e solidale allo stesso (...) 



Purtroppo alla discussione è mancato il tuo articolo di riferimento.

Ne esiste un preprint su

https://www.preprints.org/manuscript/202105.0130/v1




immagino che i cambiamenti successivi non intacchino il ragionamento generale, per cui mi sembra opportuno renderlo noto, per migliorare i termini scientifici della discussione.



Furio Petrossi


 Il 07/01/22 15:56, Christian Corda ha scritto:









Mi pareva di aver già chiarito che nel mio articolo dimostro che la precessione avviene nel sistema di riferimento non-inerziale del Sole, NON nel sistema di riferimento del CDM. Che tu, Pastore e Bibbiani insistiate a dirmi che non avviene nel sistema di riferimento del CDM, cosa su cui sono per altro concordo con voi,  non cambia minimamente la questione.





Ho sbagliato soggetto, rileggi: essendo il pianeta soggetto a due accelerazioni diverse nei 2 diversi sistemi di riferimento il raggio vettore si muoverà a velocità angolari diverse. 



On Friday, 7 January 2022 at 17:05:03 UTC+1, 
furio.p...@gmail.com
 wrote:



Caro Giorgio,













Siamo d'accordo che la velocità angolare di r2 nel sistema del CDM è uguale a quella di r2-r1 nel sistema del Sole e a quella di r2-r1 come vettore posizione della massa ridotta nel sistema del CDM. Ciò su cui discordiamo è che questa velocità angolare  sia uguale a quella di r2-r1 visto come vettore posizione Sole-pianeta sempre nel nel sistema del CDM. Se ci pensi questa cosa in realtà è intuibile anche dal moto delle orbite. Voglio dire, consideriamo la direzione Sole-pianeta come Sud-Nord ed il CDM in mezzo. Poiché il Sole è un po' più a Sud del CDM mi pare intuibile che, affinché i tre punti restino allineati, la velocità angolare del vettore posizione Sole-pianeta debba essere leggermente più piccola di quella degli altri vettori la cui coda deve essere più a Nord.



Cari saluti,

Ch.



 Siamo d'accordo che la velocità angolare di r2 nel sistema del CDM è uguale a quella di r2-r1 nel sistema del Sole e a quella di r2-r1 come vettore posizione della massa ridotta nel sistema del CDM. Ciò su cui discordiamo è che questa velocità angolare  sia uguale a quella di r2-r1 visto come vettore posizione Sole-pianeta sempre nel nel sistema del CDM. Se ci pensi questa cosa in realtà è intuibile anche dal moto delle orbite. Voglio dire, consideriamo la direzione Sole-pianeta come Sud-Nord ed il CDM in mezzo. Poiché il Sole è un po' più a Sud del CDM mi pare intuibile che, affinché i tre punti restino allineati, la velocità angolare del vettore posizione Sole-pianeta debba essere leggermente più piccola di quella degli altri vettori la cui coda deve essere più a Nord.





Secondo lo stesso ragionamento i punti di un corpo rigido dovrebbero 

avere velocità angolari diverse a seconda del punto di riferimento 

scelto. Cosa notoriamente falsa. La velocità angolare è la stessa 

attorno a qualsiasi punto.



Giorgio










E' notoriamente falso quello che sostieni tu. I punti di un corpo rigido hanno velocità angolari uguali a seconda del punto di riferimento scelto SE RUOTANO ATTORNO ALLO STESSO ASSE NELLO STESSO SISTEMA DI RIFERIMENTO. Qui i vettore Sole pianeta ed il vettore Sole massa ridotta hanno assi di rotazione diversi nel sistema del CDM, mentre il vettore Sole pianeta nel riferimento del CDM ed il vettore Sole pianeta nel riferimento del Sole sono appunto in riferimenti diversi. Pensa al caso particolare dell'orbita circolare. Stai praticamente dicendo che due moti circolari uniformi con diversa accelerazione centripeta e raggio uguale hanno la stessa velocità angolare! Questa si che è una cosa notoriamente falsa!



 Ho sbagliato soggetto, rileggi: essendo il pianeta soggetto a due accelerazioni diverse nei 2 diversi sistemi di riferimento il raggio vettore si muoverà a velocità angolari diverse.



OK, grazie.

E' giusto allora rileggere così la frase?





"il raggio vettore Sole-pianeta nel sistema inerziale del cdm è uguale al raggio vettore Sole-pianeta nel sistema non-inerziale del Sole. Solo che, essendo il PIANETA soggetto a due accelerazioni diverse nei 2 diversi sistemi di riferimento il raggio vettore si muoverà a velocità angolari diverse"









A parole è sempre difficile esprimere un concetto fisico, ma nella frase mancherebbe forse una precisazione, non per essere pignolo, ma per capire meglio. Mentre la velocità angolare del raggio vettore è evidente con il riferimento del Sole, quella nel riferimento inerziale dipende - come dici nella formula (12) del tuo paper - dall'accelerazione reciproca, non dalla sola accelerazione del pianeta. Quindi non basta dire che le accelerazioni del pianeta siano diverse per desumerne qualcosa sul movimento del raggio vettore.













Lo vedo - scusa l'esempio troppo semplice - sul moto circolare uniforme, se letto non in riferimento rotante ma - come si suol dire - riferito alle stelle fisse. Il corpo p di massa m si muove attorno ad S di massa M con velocità angolare omega, quindi con accelerazione centripeta a_c=omega^2*R_p. Il cdm si trova a distanza r_p=M/(m+M)*R_p dal pianeta e r_S=(1-M/(m+M))*R_p dal Sole: è ovvio che i due raggi r_S e r_p, facendo parte di R_p ruotino con velocità angolare omega (il punto di applicazione non è rilevante per un vettore), per cui, nel riferimento del cdm, a_p=omega^2 r_p=omega^2 M/(m+M)*R_p che è certamente diversa da a_c=omega^2*R_p. Non per questo i vettori corrispondenti a R_p e r_p ruotano con velocità angolari diverse.



Quindi la frase resta ancora sospesa, a mio avviso.



Furio Petrossi












Proprio l'esempio del moto circolare nella sua semplicità permette di chiarire bene le cose. L'accelerazione del pianeta nel riferimento del Sole è G(M+m)/r^2. Questa deve eguagliare l'accelerazione centripeta omega^2*r. Dunque G(M+m)/r^2=omega^2*r. Segue omega=(G(M+m)/r^3)^1/2. Questa è anche la velocità angolare della massa ridotta nel riferimento inerziale. L'accelerazione del pianeta in un  riferimento inerziale è invece G(M)/r^2. Dunque G(M)/r^2=omega^2*r. Segue omega=(G(M)/r^3)^1/2.  Dunque ho dimostrato facilmente quanto cerco di farvi capire dall'inizio di questa discussione: la velocità angolare del pianeta nel riferimento del Sole è diversa dalla velocità angolare del pianeta in un riferimento inerziale, compreso dunque il riferimento del centro di massa.

Saluti a tutti,

Ch.

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 Proprio l'esempio del moto circolare nella sua semplicità permette di chiarire bene le cose. L'accelerazione del pianeta nel riferimento del Sole è G(M+m)/r^2. Questa deve eguagliare l'accelerazione centripeta omega^2*r. Dunque G(M+m)/r^2=omega^2*r. Segue omega=(G(M+m)/r^3)^1/2. Questa è anche la velocità angolare della massa ridotta nel riferimento inerziale. L'accelerazione del pianeta in un riferimento inerziale è invece G(M)/r^2. Dunque G(M)/r^2=omega^2*r. 



Il raggio del circolo che descrive l'orbita del pianeta del sdr inerziale non è r


 Proprio l'esempio del moto circolare nella sua semplicità permette di chiarire bene le cose. L'accelerazione del pianeta nel riferimento del Sole è G(M+m)/r^2. Questa deve eguagliare l'accelerazione centripeta omega^2*r. Dunque G(M+m)/r^2=omega^2*r. Segue omega=(G(M+m)/r^3)^1/2. Questa è anche la velocità angolare della massa ridotta nel riferimento inerziale. L'accelerazione del pianeta in un  riferimento inerziale è invece G(M)/r^2. Dunque G(M)/r^2=omega^2*r. Segue omega=(G(M)/r^3)^1/2.  Dunque ho dimostrato facilmente quanto cerco di farvi capire dall'inizio di questa discussione: la velocità angolare del pianeta nel riferimento del Sole è diversa dalla velocità angolare del pianeta in un riferimento inerziale, compreso dunque il riferimento del centro di massa.



E qui dovresti facilmente identificare il motivo per cui ti sbagli:



L'accelerezione del pianeta nel moto circolare del sdr inerziale  NON è 

  omega^2*r

Il motivo è che nel sistema inerziale il pianeta descrive un'orbita 

circolare *attorno al centro di massa*, non attorno al Sole. e quindi la 

distanza che devi usare nella formula del moto circolare uniforme non è 

r ma M*r/(m+M). Invece il rapporto tra forza di Newton e massa m è 

correttamente G(M)/r^2.



Quindi, nel sdr non-inerziale



omega_n^2*r = G(M+m)/r^2



in quello inerziale



omega_i^2*r*M/(m+M) = GM/r^2



da cui omega_n = omega_i   (QED).



Giorgio




Ah si? Quindi sostieni che nel passaggio da un sistema di riferimento ad un altro si verifica il fenomeno della contrazione/dilatazione delle lunghezze. Mi pareva che stessimo parlando di fisica Newtoniana, non di relatività speciale....





No, sei tu che confondi un'altra volta la cinematica del pianeta con quella della massa ridotta. E' la massa ridotta, NON il pianeta, che nel sistema inerziale descrive un'orbita  circolare *attorno al centro di massa*. Il pianeta continua ovviamente a ruotare attorno al Sole.



 No, sei tu che confondi un'altra volta la cinematica del pianeta con quella della massa ridotta. E' la massa ridotta, NON il pianeta, che nel sistema inerziale descrive un'orbita  circolare *attorno al centro di massa*. Il pianeta continua ovviamente a ruotare attorno al Sole.





Chi ruota attorno a chi lo decide il sistema di riferimento (tranne per 

gli ultimi irriducibili copernicani; ma in mecanica classica dovremmo 

essere Newtoniani...)



Nel sdr centrato sul Sole è il pianeta che ruota attorno al Sole 

(fermo), in quello centrato sul pianeta è il Sole che ruota attorno al 

pianeta fermo (ncon lo stesso periodo; da non confondere con le 

extra-rotazioni dovuta ad eventuali rotazioni del pianeta o del Sole 

attorno al loro asse). Per entrambi, in approssimazione di moto 

circolare, il partner descrive una circonferenza di raggio = distanza 

Sole-pianeta.



Nel sdr del cdm è il cdm che sta fermo e Sole e pianeta gli girano 

attorno su orbite circolari. Le distante Sole cdm e pianeta-cdm sono 

strettamente minori di quella Sole-Pianeta. Se hai dubbi, prova a 

considerare una stella doppia con partner della stessa massa.



E con questo, per quel che mi riguarda la discussione è veramente chiusa.



Giorgio








Quindi mi stai dicendo che nel sdr del cdm non possiamo vedere il pianeta che ruota attorno al Sole ma solo il pianeta che ruota attorno al cdm oppure solo il Sole che ruota attorno al cdm?  Insomma, li possiamo guardare uno per volta e non entrambi insieme??!!! Non possiamo selezionare le due orbite (quella del pianeta attorno al Sole e del Sole attorno al pianeta)? Magari guardandone uno per una qualche magia sparisce l'altro???!!! Vabbè, se vuoi chiudere con questa roba (sic!) chiudiamo pure, però mi sa che Newton si è rivoltato nella tomba...





Per chiarire una volta per tutte, stiamo parlando delle velocità angolari del vettore Sole-pianeta nei due sistemi di riferimento. Se mi tirate fuori le velocità angolari del vettore cdm-pianeta state parlando di cose diverse!!!



 Vabbè, se vuoi chiudere con questa roba (sic!) chiudiamo pure, però mi sa che Newton si è rivoltato nella tomba...





Anziche' continuare a seguire questa inconcludente discussione ho scritto

un'esauriente riassunto teorico del problema newtoniano dei due corpi:



http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Meccanica/problema_2_corpi.pdf




Comunque si vogliano eseguire i calcoli (nel riferimento inerziale baricentrico

o nel riferimento eliocentrico non inerziale ma non rotante), secondo la meccanica

classica l'orbita ellittica del pianeta ha sempre esattamente il periodo:

T = 2*pi*a^(3/2)/sqrt[G(M+m)]

Se si trascura la massa m del pianeta (essendo m<<M) si ottiene la terza legge

di Kepler, che e' notoriamente solo approssimata (cfr. Goldstein ecc.)

To = 2*pi*a^(3/2)/sqrt[GM]

Risulta banalmente:

T/To = (1+m/M)^(-1/2)        omega = omega_o (1+m/M)^(1/2)



Con i dati di Mercurio e del Sole m/M = 1.66*10^(-7) e ne consegue che iqc

la terza legge di Kepler scarta di 0.107 arcsec da 2*pi per rivoluzione.

Ma questo scarto costituisce semplicemente un'approssimazione di calcolo,

che sparisce con un uso rigoroso della meccanica newtoniana.

La mitica precessione di 0.103 arcsec del perielio di Mercurio prevista

dalla RG non c'entra affatto con il suddetto giochetto numerico (valido 

fra l'altro solo con i dati del pianeta Mercurio).



Ho dato un'occhiata all'articolo pubblicato sulla rivista

"The Physiks of the Dark Universe"

gentilmente fornitomi da un altro co-moderatore: no comment!



-- 

    Elio Proietti

    Valgioie (TO)


 
http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Meccanica/problema_2_corpi.pdf
 Dici giustamente

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 Per chiarire una volta per tutte, stiamo parlando delle velocità angolari del vettore Sole-pianeta nei due sistemi di riferimento. 



Che sono la stessa.





Il vettore differenza fra due punti ha le stesse componenti in in sistemi di riferimento che *non ruotano* l'uno rispetto all'altro. I due sistemi di riferimento l'uno rispetto all'altro traslano e basta, non ruotano.


 
http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Meccanica/problema_2_corpi.pdf




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 Il vettore differenza fra due punti ha le stesse componenti in  sistemi di riferimento che *non ruotano* l'uno rispetto all'altro. I due sistemi di riferimento l'uno rispetto all'altro traslano e basta, non ruotano.


 (...)







Per capire meglio, uscendo dal moto dei pianeti: come risolvi il problema del moto di due corpi di massa m_1 ed m_2 in rotazione fissati agli estremi di una molla di lunghezza iniziale l e costante k in rotazione senza oscillazioni, che fornisce ai corpi una forza centripeta misurabile dall'allungamento Delta l ?



In 
https://www.geogebra.org/m/hj6vetf2
 ricavo i valori della velocità angolare, delle accelerazioni centripete (in modulo) e delle forze agenti sui corpi (in modulo).



Furio Petrossi
















Più che a risolvere  il problema del moto di due corpi di masse m_1 ed m_2  sono interessato a capire se l'orbita del corpo m_2 rispetto ad m_1 precede nel riferimento non-inerziale di m_1. Direi di si anche in questo caso, perché la velocità angolare del vettore posizione tra le due masse rispetto all'asse perpendicolare al piano dell'orbita e passante per m_1 nel riferimento non-inerziale di m_1 dovrebbe essere maggiore della velocità angolare del vettore posizione tra le due masse rispetto all'asse perpendicolare al piano dell'orbita e passante per m_1 in un qualsiasi riferimento inerziale. Questo non si può valutare bene dalla tua animazione perché la rotazione del vettore posizione tra le due masse nel sistema del centro di massa è evidenziata rispetto all'asse  perpendicolare al piano dell'orbita ma  passante per il centro di massa e non rispetto  all'asse perpendicolare al piano dell'orbita e passante per m_1. M a se il moto del corpo m_2 rispetto ad m_1 è circolare la differenza della velocità angolare dovrebbe potersi calcolare abbastanza facilmente.

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  la velocità angolare del vettore posizione tra le due masse rispetto all'asse perpendicolare al piano dell'orbita e passante per m_1 nel riferimento non-inerziale di m_1 dovrebbe essere maggiore della velocità angolare del vettore posizione tra le due masse rispetto all'asse perpendicolare al piano dell'orbita e passante per m_1 in un qualsiasi riferimento inerziale. 





Stimolato da queste considerazioni ho riprogettato l'animazione 
https://www.geogebra.org/m/hj6vetf2
 per il caso gravitazionale, mettendola all'inizio del foglio dinamico. 





Ovviamente si tratta di una simulazione "mentale", in quanto la distanza tra le due masse l'ho posta a 8 metri e la massa totale a 10^7 kg con i valori delle due masse non eccessivamente dissimili (il valore è un po'... ingombrante, ma mi permette di restare a una ventina di newton di forza e un periodo sotto le due ore).







Mantenendo fissa la forza e la distanza ho messo i calcoli in chiaro, anche se in modo sintetico. Ne risulta, per un corpo di massa ridotta ruotante attorno al centro fisso - mantenendo costanti forza e distanza tra i corpi - una identica velocità angolare, mentre l'accelerazione centripeta di tale corpo è uguale all'accelerazione "relativa" tra le masse originali |a_1|+|a_2| e la velocità tangenziale uguale alla velocità "relativa" |v_1|+|v_2| tra esse.



Ho così avuto il piacere di costruire una simulazione che finora non avevo affrontato in questo ambiente.

Furio Petrossi








E questo dovrebbe essere corretto. Perché non provi anche a calcolare, nei due sistemi di riferimento,  la velocità angolare del corpo di massa più piccola rispetto all'asse di rotazione perpendicolare al piano dell'orbita e passante per il centro del corpo più grande? E' questo il punto chiave, io ho sempre e solo parlato di rotazione del pianeta attorno al Sole, non di rotazione del pianeta, o della massa ridotta, attorno al centro di massa.

Ciao, Ch.

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 Ciao, Ch.

Grazie, saluti,

Furio












Quel "dipendente dal tempo" implica appunto l'impossibilità di forzare un riferimento non-inerziale a comportarsi come se fosse inerziale, cosa appunto impossibile in fisica Newtoniana.  In RG invece il riferimento del Sole è sempre localmente inerziale (il Sole è in "caduta libera" rispetto a Mercurio) e dunque equivalente a quello del centro di massa, e quindi puoi fare ciò che dici sostituendo "traslazione" con "trasformazione di Lorentz istantanea". Di fatto devi implicitamente evocare sia il Principio di Equivalenza di Einstein che ciò che è talvolta chiamato "terzo postulato della relatività". E' una cosa che sto cercando di formalizzare nel nuovo articolo di ricerca che sto scrivendo sulla questione.

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