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Titolo: Aiuto calcolo momento angolare

Se considero il momento angolare, posso fare i seguenti passaggi?
(1) L= r x m v = r x m dr/dt =
ma (s e t versori che formano un angolo di 90 gradi nella direzione in cui
ruota r)
dr/dt =d(r s)/dt = d(r)/dt s + r d(s)/dt = d(r)/dt s+ r omega t
Dunque la (1) diventa:
L= r x m v = r x m dr/dt = r x m [d(r)/dt s+ r omega t ]=
= r s x m d(r)/dt  s+   r s x m  r omega t =
= 0 + r s x m  r omega t
Quindi L è un vettore ortogonale al piano r t e ha modulo:
r^2 m omega sin(s t) = r^2 m omega.
Dalla (1) posso anche ricavare il modulo nel seguente modo:
r m v sin(s v)
ricordando che v= omega r si ha
r m omega r sin(s v) = r^2 m omega sin(s v)
A questo punto mi chiedo: come faccio a dimostrare che
r^2 m omega sin(s v) =  r^2 m omega
Cioè il sin(s v) può anche essere diverso da 1 ( e quindi r e v possono
formare qualsiasi angolo)
Dove sbaglio??
Grazie per l'eventuale aiuto.
TV

 formare qualsiasi angolo)
In generale (e quindi nella realta' ) r e v possono formare un'angolo
qualsiasi (pensaci).
Ti consigli di farti un giro su Wikipedia, e soprattutto di studiare un
po'.

 L= r x m v = r x m dr/dt = r x m [d(r)/dt s+ r omega t ]=
Prima di andare avanti credo che dovresti specificare chi e' omega e
chi e' t. Mi spiego, se il moto avviene su un piano hai grandi
semplificazioni dal fatto che delle tre coordinate polari (r,theta,phi)
ti puoi ricondurre ad usarne solo due (r,phi) avendo posto theta=pi/2:
in tal caso avresti che w=d(phi)/dt e t versore a due componenti
t=(-sin(phi),cos(phi)).
Se invece il moto non avviene in un piano dovrai derivare rispetto al
tempo un angolo theta in piu' e quindi ci saranno due derivate degli
angoli da fare, w2=d(phi)/dt e w1=d(theta)/dt, che vengono dalla
derivata  del versore
s=(cos(theta),sin(theta)cos(phi),sin(theta)sin(phi))
(*)  d(s)/dt=w1 u1+w2 u2
dove si definiscono i versori
u1=(-sin(theta),cos(theta)cos(phi),cos(theta)sin(phi))
u2=(0,-sin(theta)sin(phi),sin(theta)cos(phi)).
Certamente u1, u2 e s sono tra loro ortogonali (sono una base
ortogonale in ogni punto delle spazio), e la (*) ci dice che la
derivata di s sta nel piano (e' tangente al piano) ortogonale ad s.
Quindi necessariamente il prodotto vettoriale con r (vettore) che
scrivi nel momento angolare da' ancora un vettore tangente al piano
generato da u1 e u2 ma e' anche ortogonale al vettore (w1 u1+w2 u2)
ovvero si ottiene il vettore
(**)  L= r x m v=m |r|^2(-w2 u1+w1 u2)
dove |r| e' la distanza dall'origine delle coordinate.
Come verifica ad esempio guardiamo il caso di moto sul piano
theta=pi/2:
w1=0
w2=d(phi)/dt
u1=(-1,0,0)
u2=(0,-sin(phi),cos(phi))
e quindi
L=-m|r|^2d(phi)/dt u1,
cioe' L punta nella direzione ortogonale al piano come ci si aspetta.
Saluti.


Solo una banale aggiunta a aquanto ho scritto ieri per ricollegarmi
direttamente a quanto chiedevi circa il modulo del momento angolare e
provare a risponderti: dalla (**) e ricordando che u1 e u2 sono
ortogonali vedi che
|L|=m |r|^2 |w|
ovvero
|L|^2=m^2 |r|^4 [(d(phi/dt)^2+(d(theta/dt)^2)
dove |w|^2=w1^1+w2^2.
Come vedi questo e' come quello che scrivi tu sul modulo di L (con la
dicitura |w| al posto del tuo ''omega'') ma con un senso ben chiaro
delle quantita' e senza ambiguita'.
Naturalmente questo e' il risultato atteso che si poteva dire subito:
il prodotto vettoriale di r con la quantita' di moto ne seleziona solo
il contributo ortogonale ad r, cioe proprio la quantita'
''trasversa''ad r che in modulo vale proprio m|r||w|.
Spero di averti risposto, saluti.

Grazie per l'aiuto. Effettivamente i simboli da me usati possono essere mal
intrerpretati. Peccato che non sia possibile scrivere utilizzando l'esatta
simbologia.  Allora è meglio che riscrivo tutto specificano bene i simboli
usati.
Ho il momento angolare L (con |L| il suo modulo). So che vale (relazione
vettoriale)
 (1) L= R x m V
dove R è il vettore posizione della particella rispetto all'origine di un
riferimento e V è il vett. velocità della particella. indico con "alfa"
l'angolo tra R e V (vettori). Poi indico con "phi" l'angolo che R forma con
l'asse x.
Mi ricordo che il vettore V lo posso anche scrivere nel seguente modo:
(2) V = dR/dt
ora se il vettore R lo scrivo come |r| r con |r| modulo di R ed r il
versore, allora posso scrivere V nel seguente modo:
(3) V=d(|r| r)/dt = d|r|/dt r + |r| dr/dt
devo valutare la derivata, rispetto al tempo t del versore r.
(4) dr/dt = w k
dove w è la velocità angolare (normalmente indicata con omega) e k è un
versore normale a R (ruotato di 90 gradi nel senso in cui ruota R. R lo
possiamo considerare che ruota????)
 Sostituisco la (4) nella (3) e ottengo:
(5) V=d(|r| r)/dt = d|r|/dt r + |r| dr/dt = d|r|/dt r + |r|  w k = |r'| r +
|r|  w k
con |r'| il modulo della derivata di |r|.
la (5) ci dice che il vettore velocità V è composto da due componenti: una
radiale (lungo il vettore R) e una tangente descritta dal versore k.
Allora la (1) la scrivo:
(6) L= R x m V= |r| r x m [|r'| r + |r|  w k] =
= |r| r x m |r'| r + |r| r x m  |r|  w k =
= 0 +  |r| r x m  |r|  w k
Dalla (6) trovo il modulo:
|L| = |r|^2 m w sin(r*k) = |r|^2 m w sin(90) = |r|^2 m w = |r|^2 m d(phi)/dt
con w= d(phi)/dt velocità ang. del vettore R che forma, come detto sopra, un
angolo "phi" con l'asse x.
A questo punto prima domanda: i passaggi fatti sopra sono giusti??
Però dalla (1) posso calcolare direttamente il modulo:
|L|= |R x m V| = |r| m |v| sin(alfa) =
 posso scrivere |v| sin(alfa) = |r| w  ?  (infatti se considero il vettore V
con componenti
date dalla (5) sembra che vada bene)
se si, allora
|L|= |R x m V| = |r| m |r| w = r^2 m w = r^2 m d(phi)/dt
e ho risolto.
TV

 e ho risolto.
Qui non ho capito cosa hai risolto. Questa equazione l'hai gia' scritta
sopra. Forse intendi che ti torna che puoi scrivere |v| sin(alfa) = |r|
w. Certamente, infatti |r|w e' il modulo della velocita' trasversa ad
R, cioe' tangente al piano ortogonale ad R, e |v|sin(alfa) e' proprio
la componente proiettato sul suddetoo piano trasverso ad R.
Saluti.

 assicura che d(phi)/dt sia positivo come deve essere un modulo?
Ciao. Perchè phi sarebbe esotico?
Se mi metto in coordinate polari, phi è l'angolo che r (vettore) forma con 
l'asse x. Quindi se r ruota, w=dphi/dt, è la sua velocità angolare. Non mi 
dire che ho sbagliato!!??
Comunque il mio problema è (era) quello di eliminare il generico angolo (che 
ho chiamato "alfa". anzi devo eliminare il termine sen(alfa)) che c'è tra il 
vettore r e il vettore v, e al posto di questo far comparire l'angolo 
"polare" phi.
TV 

 dire che ho sbagliato!!??
Forse non hai letto il mio primo post oppure non era chiaro.
Se il tuo moto avviene in un piano basta un solo angolo e phi come lo
hai definito non e' esotico e tutto torna semplicemente.
Se il tuo moto non avviene in un piano ma nello spazio tridimensionale
servono due angoli (azimutale e polare)  e non uno solo, e w e' la
radice quadrata dei moduli quadri delle derivate nel tempo di questi
angoli.  Nello spazio tridimensionale phi, come lo hai definito tu, e'
certamente esotico e la formula che scrivi e' sbagliata.
Spero di averti risposto.
Saluti.

Il moto che sto studiando avviene nel piano (la traettoria delle particelle
alfa nel modello di Rutherford. A proposito come si pronuncia??). Forse
avrei dovuto dirlo prima, scusami, mi sembrava quasi evidente, ma 
evidentemente ho sbagliato!
TV