Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Ancora equazioni di Maxwell

Colgo l'occasione per ringraziare quanti hanno risposto nell'altro
thread. Ora ne apro un altro per una argomento diverso. Ho saputo che
ad un concorso è stata fatta la seguente domanda "dire se tra le
equazioni di Maxwell ve n'è qualcuna che sia compatibile con una
velocità di propagazione dei segnali che sia infinita".
Che prese complessivamente conducano all'equazione delle onde em è
noto, ma prese una ad una?

 velocità di propagazione dei segnali che sia infinita".
div B = 0 di sicuro.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 div B = 0 di sicuro.
E non div E = rho ? Io credo che in presenza di segnali propagantesi a
velocità infinita le equazioni di campo sarebbero:
div B = 0
div E = rho
rot B = 0
rot E = 0
Fisicamente quindi si avrebbe solo campo elettrostatico.
Saluti

alb ha scritto:

Mah, a me domande del genere, specie se poste a un esame o a un
concorso, stanno alquanto antipatiche.
Comunque, cercando di leggere nel pensiero del proponente, risponderei
"quelle che non contengono derivate rispetto al tempo".
 
-- 
Elio Fabri

 ha scritto:

Mah, a sto punto perchè non anche rot B = J?
-- 
Un impegno concreto: diritto di voto agli embrioni 
congelati da oltre 18 anni

Sono d'accordo, ma, dal momento che le 2 leggi della divergenza sono in
realtą contenute entro le altre 2 equazioni (Ampere-Maxwell e Farady),
se si tiene in considerazione la legge della conservazione della
carica, ed hanno la funzione di "fissare le condizioni iniziali" (la
costante=0) [vedere in proprosito i passaggi matematici fatti nel
Silvestrini], penso ci si riferisse alle leggi dei rotori.

alb ha scritto:

Il mio post di prima era una risposta al Prof. Fabri: mi sembrava
giusto sottolinearlo, poichč tra i 2 post ne  č apparso un'altro di
un utente diverso.

 Mah, a sto punto perchè non anche rot B = J?
Buona osservazione. A pensarci, ho fatto un errore ponendo rot B = 0,
ma non ne sono pienamente sicuro.
In sostanza, in presenza di segnali propagantesi a velocità infinita,
si avrebbero tranquillamente campi elettrostatici e magnetostatici, ma
questi non sarebbero accoppiati l'un l'altro.
In effetti il trionfo delle 
eq.ni
 di Maxwell è proprio quello di
riuscire a vedere il campo elettrico e magnetico come un'unica cosa: il
campo elettromagnetico. Sembra quindi che il valore finito della
velocità della luce implichi un accoppiamento intrinseco tra i due
campi.
Però, ripeto, non sono ancora sicuro di rot B = J.
Chiedo una chiarificazione.
Saluti

Mi sembra che la domanda scritta così non abbia proprio alcun
senso. Cosa significa velocità di propagazione?
Bisogna avere un sistema di equazioni
o un'equazione che tratti campi che dipendono *anche dal tempo*,
inoltre il sistema deve essere *deterministico* nel tempo:
deve accadere, in altre parole che se assgno i campi nello spazio al
tempo
t=0 esiste un'unica soluzione delle quazioni che determina il campo,
in tutti i punti dello spazio, ad ogni tempo successivo.
In questo contesto, uno può porsi la domanda che
che riferisci.
Se prendi l'equazione del calore o l'equazione di Schroedinger , che
sono
entrambe deterministiche nel tempo, vedi che accade il seguente fatto,
fisicamente molto spacevole: se a tempo t=0  il campo
(temperatura, funzione d'onda) è non nullo su un insieme
limitato K_0 dello spazio, ad ogni tempo t>0  il campo evoluto
nel tempo può essere non nullo su un insieme infinitamente grande
K_t:  il bordo del dominio iniziale K_0  su cui
il campo non era nullo si è quindi spostato _all'infinito_
in un tempo finito.
In altre parole: la  velocità di propagazione del campo, o delle sue
perturbazioni, è infinita.
Se prendi le 4 equazioni di Maxwell insieme, per semplicità
nel vuoto (altrimenti devi anche assegnare l'evoluzione delle
sorgenti), l'assegnazione dei campi a t=0 in ogni punto dello
spazio, determina  univocamente il valore dei campi ad ogni
istante successivo (e precedente) in ogni punto dello spazio.
Inoltre la velocità di propagazione, nel senso detto sopra
(ma anche in altri sensi molto più precisi legati al fatto che
il sistema di equazioni è di tipo iperbolico...), risulta finita e
pari a quella della luce nel vuoto.
Se prendi solo *alcune* delle equazioni di Maxwell, non
ottieni un sistema di equazioni *deterministico nel tempo*,
altrimenti non sarebbe mai possibile che le quazioni siano
tutte compatibili tra di loro quando aggiugiamo le rimanenti
(ed indipendenti) equazioni di Maxwell.
Per cui la domanda, aleno come l'hai riportata
secondo me è priva di senso matematico e fisico.
Questo è quanto avrei risposto io al professore
(immagino perdendo anche il concorso...;-) )
Ciao, Valter
------------------------------------------------------------------------
Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

Ciao, forse però il problema l'ho interpretato male.
"...n'è qualcuna che sia compatibile con una
velocità di propagazione dei segnali che sia infinita".
Allora si potrebbe pensare di prendere qualche equazione
di Maxewell, aggiungere una o più equazioni NON di Maxwell,
in modo da ottenere un sistema deterministico nel tempo, ma
con velocità di propagazione infinita nel senso che ho detto
sopra. Mi pare un pò troppo vago e comunque non ovvio.
Se si prendono le equazioni che non contengono il tempo
(cosa che sembrerebbe la strada più semplice) e si aggiungono
equazioni di tipo parabolico o Schroedinger, bisogna poi
tenere conto che le prime devono risultare soddisfatte sul moto
e devono pertanto essere "vincoli" compatibili con il moto: non è
banale costruire qualcosa del genere...
Ri ciao, Valter

Non potremmo semplicemente intendere velocità di propagazione infinita
come:
i campi in ogni punto sentono istantaneamente le variazioni di
distribuzione di carica e di densità di corrente. Scriviamo le
equazioni dei potenziali ritardati, e per c che tende a infinito
abbiamo il potenziale elettrostatico classico e il potenziale vettore
della magnetostatica, per cui si parte dalle equazioni (equivalenti a
quelle di maxwell):
(1/c^2)*D^2V/Dt^2-div(grad(V))=rho(x,y,z,t)/epsilon
(1/c^2)*D^2A_i/Dt^2-div(grad(A_i))=mu*J_i(x,y,z,t)
div(A)=(-1/c^2)*DV/Dt
e per c che tende a infinito si ottengono appunto le equazioni dei
potenziali statici:
div(grad(V))=-rho/epsilon
div(grad(A_i))=-mu*J_i
div(A)=0
le soluzioni dipendono istantaneamente da rho e j:
V(x,y,z,t)=integrale di
(1/4piepsilon)*rho(x',y',z',t)*[(x'-x)^2+(y'-y)^2+(y'-y)^2]^(-1/2) in
dx'dy'dz'
A_i(x,y,z,t)=integrale di
(mu/4pi)*J_i(x',y',z',t)*[(x'-x)^2+(y'-y)^2+(y'-y)^2]^(-1/2) in
dx'dy'dz'
i campi E e B li ottieni dai potenziali nel solito modo:
B=rot(A)
E=-grad(V)-DA/Dt
Tutto ciò è equivalente a porre c a infinito nelle equazioni di
maxwell, ottieni le equazioni:
div(E)=rho/epsilon
div(B)=0
rot(E)=-DB/Dt
rot(B)=mu*J

scusate, correzione al post di prima:
ho erroneamente affermato che portando c^2 a infinito avrei l'equazione
rot(B)=mu*J
ora se Drho/Dt diversa da 0, queste equazioni violerebbero la
conservazione della carica elettrica (verrebbe div(J)=0)
L'errore credo che stia nel fatto che devo ricordare che
mu*epsilon=1/c^2, quindi se epsilon resta diverso da zero, e c^2 tende
a infinito, mu tende a 0. per cui portando c a infinito, le equazioni
per B sono:
rot(B)=0
div(B)=0
e supponendo che B si annulli all'infinito, abbiamo che B č 0.
rimangono solo:
div(E)=rho/epsilon
rot(E)=0
e con la condizione che E si annulli all'infinito resta semplicemente
un campo elettrico coulombiano che va come 1/r^2

Ciao,   a parte questo tua ultima  correzione, mi pare
che la cosa sia costruita un pò troppo "a mano":
le equazioni elettro-statiche semplicemente non
riguardano l'evoluzione temporale.  Certo uno può sempre
pensare di infilare la variabile t dentro le sorgenti ed i campi
e di dire che le equazioni valgano per sorgenti e campi
allo stesso istante. In questo modo avresti "propagazione infinita"
come dici,...Però io pensavo a equazioni di evoluzione temporale
vere e proprie (con derivate temporali), in cui il fenomeno della
propagazione a velocità infinta è davvero descritto (equazioni
di tipo parabolico oppure  Schroedinger).
Però come ha scritto Elio, bisognerebbe leggere nella mente
di chi ha fatto la domanda per capire cosa intendesse.
Ciao, Valter