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Titolo: L'universo del PacMan

Non so se avete mai giocato ad uno di quei videogiochi tipo PacMan. Il
PacMan (o l'omino, o il fantasmino...) si muove sullo schermo, ma se prova
ad uscire dal limite inferiore riappare da quello superiore (e viceversa),
e se prova ad uscire da quello destro riappare da quello sinistro (e
viceversa). Eccolo che schizza dal centro verso l'angolo in alto a
destra... raggiunge l'angolo... e riappare in basso a sinistra, diretto
verso il centro.
L'universo del PacMan e' un universo strano, ma non tanto perche' e'
bidimensionale. Infatti, noi possiamo renderlo anche tridimensionale.
Basta aggiungere una dimensione che dia la profondita', e immaginare che
se prova a uscire dal "davanti" riappare dal "retro", e viceversa.
Piuttosto, l'universo tridimensionale del PacMan e' strano perche' in
questo universo dovrebbe conservarsi il momento lineare, ma non il momento
angolare. E allora vi domando: quale potrebbe essere un esperimento
elegante che possiamo far eseguire al PacMan per dimostrarlo?
Ciao! B.R.
-- 
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No, B.R. ha ragione, perche' il mondo PacMan - tecnicamente, un mondo 
con condizioni periodiche al contorno - non e' invariante per rotazione, 
dunque il momento angolare non si conserva.
Esempio: prendi il mondo 2-D definito da [-a,a]x[-a,a] (un quadrato di 
lato 2a) con condizioni periodiche al contorno. Immagina una particella 
di massa m, non soggetta a forze, che si trova ad un certo istante nella 
posizione (-a,0) con velocita' v=(-u,-u), con u<0. In altre parole la 
particella sta per uscire "diagonalmente verso il basso a sinistra". Il 
momento angolare rispetto all'origine e' L=mau.
All'istante successivo, la particella rientra nella posizione x=(a,0) 
con velocita' invariata v=(-u,-u). Il momento angolare e' L'=-mau, 
diverso da prima, dunque non e' conservato.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

Enrico SMARGIASSI wrote:
 >velocita' v=(-u,-u), con u<0.
Erratum: u>0.


 momento angolare.
Non vedo perche' dovrebbe  verificarsi cio' che affermi. L'universo
pacmaniano 3d e' un 3-toro (= incolli le facce opposte [tre coppie]
di  un  cubo  diciamo "dal di fuori"). E' si' un  oggetto  strano, ma al
suo interno le proprieta' legate alla conservazione del momento non
vengono "alterate" (ne' la fisica in generale). Non ne vedo il motivo.
Pero', potrebbe addirittura succedere che il nostro stesso  universo
sia alla  pacman: un  universo  finito  dodecaedrico (quindi non  piu'
cubico come il 3-toro del  PacMan, ma  generato dall'incollamento
delle  facce  opposte  di  un  dodecaedro).  Perche'  no.  Vedi  per
esempio:
http://www.obspm.fr/actual/nouvelle/oct03/luminet-nat.pdf
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9605010
http://arxiv.org/abs/astro-ph/9901364
max

 Perche' scusa? Vive su di un toro, tutto qua.
Esatto, vive in un toro. E in questo universo toroidale non si conserva il
momento angolare. E' quello che accade in generale in una simulazione di
un sistema fisico quando si applicano le cosiddette "condizioni al
contorno periodiche" alla cella di simulazione (non sono sicuro se valga
anche per celle sferiche, penso di no).


 Perche' scusa? Vive su di un toro, tutto qua.
Però sarebbe interessante chiedersi se possa esistere (ed ev. quale ed in
quale contesto teorico) una proprietà fisica distintiva di un universo con
questa topologia...

 [-a,a]x[-a,a] [...] dunque non e' conservato.
Ok. Avevo risposto una fesseria a "B.R." dicendo che a occhio
non vedevo  il  motivo  della  non conservazione  del  momento
angolare. Adesso lo vedo. Fin troppo bene.
max

 
http://arxiv.org/abs/astro-ph/9901364
Sulla correttezza di quanto ho affermato ti rimando a quanto gia' postato
altrove in questo stesso thread. Qui aggiungo che l'applicazione di
condizioni al contorno periodiche, in un universo in cui tante particelle
(tanti PacMan!) attraversano continuamente i bordi in maniera random, mi
sembra che non alteri apprezzabilmente le proprieta' complessive del
sistema, perche' il momento angolare totale del sistema fluttuera' in
maniera trascurabile (i contributi dei singoli PacMan tendono ad
annullarsi a vicenda per motivi statistici). In quanto alle supposizioni
su simmmetrie dodecaedriche, non mi meravigliano, perche' questa e' la
forma che piu' si avvicina alla sfera tra quelle che permettono di
riempire lo spazio in modo periodico. 


 Perche' scusa? Vive su di un toro, tutto qua.
Oops! Ho detto una stupidata, scusate. Il moto vincolato sul toro
conserva il momento angolare se e solo se avviene su di un piano, cioe'
giace sull'intersezione di un piano col toro. Per esemipio lungo
l'equatore. Non in generale.
Questo sara' vero per ogni moto vincolato, ad esempio su di una sfera
o su di un cono.

 periodico.
Nessun poliedro regolare, tolto il cubo, permette di riempire lo
spazio in modo periodico.
La cosa e' un tantino piu' complicata...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 La cosa e' un tantino piu' complicata...
Giusto. Io pero' non mi riferivo al dodecaedro regolare, ma al dodecaedro
rombico (che e' infatti comunemente utilizzato nelle simulazioni). 
Resta in sospeso la mia domanda sull'esperimento da suggerire al PacMan
per dimostrare la non-conservazione del momento angolare. Ogni idea e' ben
accetta. :)
