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Titolo: unicità poisson

Salve a tutti,
Vi propongo un problema che molto probabilmente ho risolto: c'è
qualcosa che non mi convince e per questo mi farebbe piacere sentire il
vostro parere.
Allora, siamo in presenza di una corona sferica conduttrice a terra, di
raggio "b" e spessore trascurabile, con al centro una sfera conduttrice
di raggio "a<b". Supponiamo che alla sfera interna sia fornita una
carica Q_1. Se il potenziale è posto uguale a zero all'infinito, il
problema che pongo è quello di determinare il potenziale fuori della
corona sferica, i.e., per r>b.
Io dico che, siccome per le ipotesi del problema, fuori dalla corona
sferica, i.e., per r>b, non è presente carica, e dunque la
distribuzione volumetrica di carica è zero, ossia \rho = 0, detto \phi
il potenziale elettrostatico, per r>b deve essere
laplaciano \phi = 4 * \pi * k * \rho = 4 * \pi * k * 0 = 0.
D'altra parte le condizioni al contorno cui deve soddisfare \phi sono:
\phi nullo sulla corona e \phi nullo all'infinito.
Dunque concludo che, siccome la soluzione dell'equazione di Poisson
(nel mio caso Laplace) con valori al contorno assegnati è unica, e
\phi = 0 identicamente è una soluzione soddisfacente i valori al
contorno sulla corona e all'infinito, per l'unicità, \phi=o
identicamente è la soluzione del problema che ho posto.
Dico bene o sbaglio da qualche parte?
Grazie in anticipo per ogni vostro intervento, saluti, 
Ludo

 Dico bene o sbaglio da qualche parte?
Direi che va bene.
Solo due osservazioni a complemento di quanto hai scritto:
1) la corona sferica a terra con la sfera piu' piccola costituiscono un
condensatore quindi la corona sferica avra' carica -Q_1. Questo e' in
accordo con quanto hai dedotto infatti il flusso del campo elettrico
(che per la geometria assegnata e' radiale) attraverso una qualunque
sfera di raggio R>b e' nullo -->E=0 per R>b.
2) Il potenziale elettrico e' discontinuo alla superficie della corona
come puoi facilmente calcolare direttamente dalla configurazione data
oppure usando la prima eq. di Maxwell per una superficie chiusa
infinitesima che racchiude una porzione di corona sferica.
Saluti.

argo wrote:
 > 2) Il potenziale elettrico e' discontinuo alla superficie della
corona...
 [...]
errata: il campo elettrico e' discontinuo. Il potenziale ha solo una
cuspide.

 Dico bene o sbaglio da qualche parte?
Secondo me va tutto bene.
Ma che cos'e' che non ti convince?
 
-- 
Elio Fabri

 cuspide.
Grrr...
Il potenziale ha un *punto angoloso*.
Che gli americani dicano "cusp" non e' una buona ragione per tradurre a
casaccio. In italiano "cuspide" significa un'altra cosa: punto doppio
con tangenti coincidenti.
-- 
Elio Fabri


Grazie per la precisazione.
La mia non e' stata una traduzione volontaria dall'inglese di cui
purtroppo conosco pochissime parole, e tra queste non appare il
''cusp'' incriminato, quanto piuttosto una contaminazione involontaria
frutto di un eccesso di disinvoltura con le parole in genere, italiane
o inglesi.
Gia' un'altra volta mi avevi ripreso su un inglesismo: forse gli sforzi
congiunti miei e della mia insegnante inglese iniziano a dare i primi
frutti, per quanto come hai notato non sono ancora i frutti sperati.
Saluti.

 o inglesi.
In realta' io pensavo che tu avessi semplicemente ripetuto un uso
sentito da qualcun altro...
Infatti in questo uso di "cuspide" non sei stato originale :-) mi e'
capitato piu' volte di leggerlo.
Per cui parlando di "tradurre a casaccio" non mi riferivo a te, ma a
un uso purtroppo diffuso.
 
-- 
Elio Fabri

 Ma che cos'e' che non ti convince?
non mi convince completamente che l'infinito possa essere considerato
come un punto (o una regione?) al contorno.
Ludo

 come un punto (o una regione?) al contorno.
Capito.
Vedo due risposte:
a) dimostrare a parte il teorema di unicita' per la condizione
all'infinito
b) ragionare con una grande sfera e passare al limite R --> oo.
-- 
Elio Fabri

 ha scritto nel messaggio 
news:4isfe9F...@individual.net...

Vado a memoria. Mi sembra di ricordare che si parli di punto angoloso quando 
il limite da destra e da sinistra a un certo punto sono diversi e finiti. Di 
cuspide quando tendono uno a +oo e l'altro a -oo o viceversa. Ricordo male? 

 viceversa. Ricordo male?
Punto angoloso per il grafico della funzione f(x) e' un punto in cui
la funzione non e' derivabile, ma esistono le derivate destra e
sinistra (diverse tra loro), una delle due potendo anche essere
infinita.
Di cuspide si puo' dare una definizione piu' "lasca", quando le due
derivate di cui sopra sono infinite con segni opposti.
Oppure una piu' stringente, che e' quella che avevo detta io: punto
doppio a tangenti coincidenti.
Pero' questa si applica meglio a una corva che non al caso particolare
del grafico di una funzione.
Per es. la curva di equazione y^2 = x^3 ha una cuspide con tangente
orizzontale nell'origine.
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri