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Titolo: Teorica cinetica e pressione come media nel tempo

 
Buongiorno a tutti. Sono un insegnante delle superiori laureato in fisica. Ripasso l'espressione della pressione nella teoria cinetica dei gas perché tra qualche giorno devo affrontarla  in classe con gli studenti del liceo scientifico. 
 
Il dubbio è già stato posto una quindicina di anni fa
(
https://groups.google.com/u/1/g/it.scienza.fisica/c/s9DT8mMN0ME/m/g42Pvniv1VMJ
)
 
 
 
Si tratta di capire come mai per la singola molecola che urta contro la parete del contenitore cubico si considera una variazione della quantità di moto nell'intervallo di tempo 2L/v (che è il tempo tra due urti successivi supponendo che il contenitore cubico abbia lato L e la molecola si muova perpendicolarmente ad una faccia del cubo con velocità v) e non in un intervallo di tempo pari alla durata dell'urto.
 
 
 
 
 
 
Non riesco a convincermi fino in fondo delle risposte. Non che io le ritenga sbagliate, ma non riesco a capirle fino in fondo. Il punto per me è quale sia la ratio di fare una media temporale. Il passaggio dal micro al macro è reso possibile grazie alla descrizione statistica, ma cosa giustifica il passaggio ad un valor medio nel tempo? La stima della forza media tramite media temporale del valore della forza mi sembra una cosa diversa rispetto alla stima di una "forza media" esercitata dalle N particelle sulla parete, calcolata dividendo per N. Nella mia testa la linea di pensiero sarebbe qualcosa tipo: valuto la pressione esercitata dalla singola molecola come DQ/Dt (DT= durata del singolo urto) e poi estendo a N facendo la media.
 
Ammesso che io sia riuscito a spiegare i miei dubbi, chiedo a chi sa se riesce a capire cos'è che non torna o che evidentemente non comprendo.
 
Grazie e buona giornata
 
Davide D'Elia

 Ammesso che io sia riuscito a spiegare i miei dubbi, chiedo a chi sa se riesce a capire cos'è che non torna o che evidentemente non comprendo.
 
Sei alle prese con la famigerata "ipotesi ergodica":
 
https://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_ergodica
 
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 
Per me non è molto chiaro quale sia il tuo dubbio, magari
potresti provare a scrivere i passaggi completi del tuo
ragionamento per il calcolo della pressione, allora sarebbe
più facile riconoscere esattamente se e dove ci fosse un errore.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 
 
 
IMHO il concetto chiave è: osservo la parete in maniera molto meno 
frequente rispetto alla frequenza degli urti.
Supponiamo che la parete non sia vincolata nella direzione ad essa 
perpendicolare; supponiamo anche di fare delle osservazioni della sua 
quantità di moto ad intervalli di tempo delta_t tali che fra due 
osservazioni la parete sia stata colpita 10^15 volte dalle molecole.
In questo caso osserviamo una variazione di quantità di moto (qdm) 
uguale alla somma delle variazioni di qdm avvenute in ciascuno del 10^15 
urti; poi attribuiamo questa variazione di qdm (delta_p) all'effetto di 
una forza che otteniamo facendo il rapporto delta_p/delta_t.

 
Temo che i problemi siano indipendenti da qualunque ipotesi ergodica 
(che in teoria cinetica elementare resta mooolto sullo sfondo).
 
Giorgio

 non dipenda più dalla durata di tempo stessa.
....
 
Questa parte della risposta di Giorgio Bibbiani è quella rievante per 
risolvere il dubbio dell' OP.
 
Può però suscitare dubbi, e capisco che ci si possa chiedere perché non 
mediare si tempi dell' urto invece che sul empo tra un urto e il successivo.
 
Mediare sui tempi dell' urto non è una buona idea. Prima di tutto perché 
questi tempi in genere non sono facilmente accessibili per il motivo 
banale che l'"urto" è una schematizzazione di processi continui più 
complessi e già la quantificazione di quanto valga il tempo di un urto 
non è cosa facile. Nella schematizzazine di urti elastici tra molecole 
(trattate come palle da biliardo) e parete (trattata come parete liscia) 
il singolo urto avviene in tempi molto piccoli rispetto al tempo tra un 
urto e il successivo e si può schematizzare ciascun urto come un 
processo istantaneo di "riflessione" dalla parete (la componente 
parallela alla parete della velocità resta invariata e quella ortogonale 
cambia segno). E' evidente che mediare su un tempo nullo sia abbastanza 
mal definito.
 
In realtà la risposta alla domanda sta tutta nell'ipotesi (della teoria 
cinetica) che le proprietà osservabili a livello macroscopico siano 
medie su tempi lunghissimi (infiniti) rispetto ai tempi tipi della 
dinamica.
 
Spiegazione per il docente:
 
a media su tempi lunghisssimi di una funzione del tempo f(t) è
 
<f> = lim_{T->+oo} 1/T \int_0^T f(t) dt
 
Non è difficile vedere che se f(t) è una funzione periodica di periodo tau
<f> = 1/tau \int_0^tau f(t) dt
 
( per T grande ma finito
 
Il momento di una particella di velocità v_x in scatola cubica di 
lunghezza L, come funzione del tempo è una funzione periodica di periodo 
2L/v_x, da cui la giustificazione della formula.
 
Giorgio (P)

 dinamica. 
 
 
 
 
 
Credo che una parte della mia difficoltà stia proprio in questa ipotesi. Se considero la temperatura, mi è chiaro che si tratta di una grandezza macroscopica descritta attraverso una media di grandezze microscopiche. Però immagino (a questo punto mi viene da dire che probabilmente ho sempre sbagliato) una media fatta sulle N particelle osservate in un certo istante. Invece per la pressione emerge esplicitamente la questione temporale. Mi sembrano due impostazioni diverse e non riesco a conciliarle. Probabilmente dovrò riguardare sui testi di meccanica statistica cercando di recuperare nel calcolo delle grandezze l'ipotesi indicata da Giorgio Pastore

 
Come la vedo io:
 
 
si tratta dell'interazione tra un corpo microscopico ed uno macroscopico, in cui il rapporto tra le masse m/M è infinitesimo e quindi conta la forza media nel tempo, che si calcola integrando Fdt, F = componente ortogonale del vettore forza, tra due istanti t1, t2 con t2-t1 sufficientemente elevato e poi dividere per t2-t1.
Ma l'integrale di Fdt è la variazione di quantità di moto...
 
--
Wakinian Tanka

 Credo che una parte della mia difficoltà stia proprio in questa ipotesi. Se considero la temperatura, mi è chiaro che si tratta di una grandezza macroscopica descritta attraverso una media di grandezze microscopiche. Però immagino (a questo punto mi viene da dire che probabilmente ho sempre sbagliato) una media fatta sulle N particelle osservate in un certo istante. Invece per la pressione emerge esplicitamente la questione temporale. Mi sembrano due impostazioni diverse e non riesco a conciliarle. 
...
 
Non ci sono differenze sostanziali tra temperatura e pressione dal punto 
di vista della misura e neanche dal punto di vista della trattazione 
cinetico-statistica, pur in presenza di differenze su diversi punti.
 
Cominciamo dalle misure. Termometri e barometri richiedono un 
accoppiamento tra sistema e apparato di misura per tempi lunghi rispetto 
al più lungo tempo di rilassamento tra quelli del sistema e quelli del 
termometro. Tempi così lunghi sono assimilabili a tempi "infiniti" dal 
punto di vista pratico.
Inoltre, sempre nelle misure, la regione del sistema che interagisce con 
l'apparato di misura è sempre di dimensioni macroscopiche.
 
Questi due fatti comportano che qualsiasi teoria che vuole dar conto 
delle misure deve guardare al comportamento di variabili dinamiche per 
tempi molto lunghi e che coinvolgono regioni macroscopiche.
 
A questo punto sia la teoria cinetica, sia la meccanica statistica, 
permettono di calcolare la temperatura a partire  dalla media 
(temporale) dell'energia cinetica per molecola, che è una somma di 
contributi a un corpo (l'energia cinetica dei centri di massa di ogni 
molecola). Siccome la media è un'operazione lineare e poiché ci 
interessa il valore "per molecola", la quantità di interesse può essere 
vista coma una media temporale di una media sulle molecole.
 
Per la pressione ci sono pochi cambiamenti. Quallo che interessa è la 
forza media esercitata dalle molecole del sistema per unità di 
superficie. Nel caso generale occorre un po' di attenzione nella scelta 
dell' osservabile, ma per un gas, e in approssimazione di interazione 
"per urti" tra molecole e parete, è sufficiente calcolare la media della 
forza per molecola esercitata da questa sulla parete. E qui arriviamo 
alla formula menzionata da Alberto Rasà.
 
In entrambi i casi formalmente dobbiamo calcolare un integrale su tempi 
molto lunghi di funzioni del tempo. Ed è sufficiente farlo per una 
molecola in quanto le quantità che ci interessano sono già "per 
particella", contenendo quindi il concetto di media sulle molecole.
 
Qualcosa cambia in meccanica statistica dove, mediante il formalismo 
degli ensemble, e per sistemi ergodici, si possono sostituire le medie 
temporali con medie su tutti i microstati del sistema. Ma questo, per il 
problema che hai posto, non ha rilevanza.
 
Secondo mela difficoltà nel caso della pressione riguarda il solo fatto 
di effettuare la media temporale sul doppio dele tempo tra due 
collisioni. E questo dipende da una confusione lessicale/concettuale che 
porta a pensare che la media vada fatta sul tempo necessario per la 
singola collisione. Invece la media è una media su tempi lunghi ed è 
solo la periodicità delle collisioni prevista dal modello cinetico che 
permette di semplificare alquanto riducendo la media su tempi infiniti 
ad una media sul singolo periodo.
 
Non è una cosa immediata e ancor meno viene detta o scritta 
esplicitamente, dando per scontato che sia "intuitivo" che la media 
tempoerale vada fatta sul tempo tra una collisione e una nuova 
collisione sull stessa parete.
 
Giorgio