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Titolo: Banale (?) esercizio: raggio di curvatura e accelerazione normale

Ciao!
Ho provato a risolvere questo esercizio un po' insolito anche con degli
amici, ma per ora non siamo certi dei nostri "conti". Se vorrete passare 5
minuti in "allegria" :-), il testo è questo:
"Un sasso viene lanciato orizzontalmente da una certa altezza h con
velocità di modulo v_0 = 30 m/s. Determinare, trascurando la resistenza
dell'aria, il raggio di curvatura della traiettoria dopo 2 secondi
dall'istante di lancio".
Evvabbè. Secondo il docente l'altezza h "non serve", e infatti chi (come
me) ha usato le equazioni orarie x(t) = ... e y(t) = ... si è trovato un
mostro sotto radice, dipendente dal paramentro h, irrisolvibile.
Spero non ci siano equivoci sul fatto che il raggio di curvatura non è la
distanza tra il punto in cui si trova il sasso nell'istante t = 2 s e
l'origine del sistema di riferimento (correggetemi se ho frainteso).
Abbiamo fissato l'asse x solidale con il terreno e l'asse y in modo tale
che il punto in cui il sasso viene lanciato abbia coordinate (0, h).
Ci è stato fatto notare che l'accelerazione a cui è sottoposto il sasso ha
una componente tangenziale alla traiettoria (= (dv/dt)*u_T dove u_T è il
versore tangenziale) e una componente *ortogonale* alla traiettoria (=
(v^2/R)*u_N, dove R è il raggio di curvatura e u_N il versore ortogonale):
in qualche modo bisogna sfruttare che
a_N = v^2/R
Mi va pure bene, ma qui, caspita, le incognite sono due! Non conosco né
l'accelerazione ortogonale a_N, né tantomeno R. Cercando di esplicitare le
componenti di a_N non ho ottenuto granché (non garantisco sull'esattezza di
quel che ho fatto :-)). Mi potreste dare lumi? Un suggerimento, un qualcosa
che mi faccia seguire il giusto procedimento?
Grazie in ogni caso,
Rocky3
-- 
"Il sapere e la ragione parlano, l'ignoranza ed il torto urlano".
Arturo Graf / Indro Montanelli / Anonimo

 Rocky3
ciao
Giuseppe
--
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Provo a dare la mia soluzione :
Innanzi tutto devi esprimere la curva in forma parametrica e come
saprai otterrai una parabola:
x(t)=V0*t
y(t)=h-0.5*g*t^2
Ricavi t dalla prima e sostituisci nella seconda ora avrai una
equazione della traiettoria :
y=h-0.5*g/V0^2 *x^2
il raggio di curvatura è definito come
R=    abs((dx^2+dy^2)^3/2)
     ------------------------
       abs(dxddy-dyddx)
nel tuo caso
R=V0^2/g  *(1+g^2/V0^4 * x(t)^2)^3/2
con x(t)=30*2
mentre dx ddx sono rispettivamente la derivata prima e seconda delle
variabili
Dimmi se la soluzione te gusta :)
Henry

 secondi dall'istante di lancio".
Eccovi la mia soluzione, che mi sembra piu' semplice.
Sia z lo spazio percorso verso il basso in 2 secondi.
Sia v la vel. a quell'istante (modulo).
Dalla cons. dell'energia:
v^2 = v_0^2 + g*z.
Sia a l'angolo formato dalla tangente alla traiettoria con
l'orizzontale: si ha
cos(a) = v_0/v.
L'accelerazione e' sempre g, diretta verso il basso. La sua componente
normale alla traiettoria e'
a_n = g * cos(a).
Ma e' anche
a_n = v^2/r, dove r e il raggio di curvatura richiesto.
Mettendo tutto insieme:
r = v^3 / (g * v_0).
 
-- 
Elio Fabri

 raggio di curvatura della parabola nel punto considerato.
Ti ringrazio molto, se posso confronto i risultati con quelli già ottenuti
con gli altri due procedimenti e vediamo cosa esce fuori.
Ciao :-)


 Dimmi se la soluzione te gusta :)
Forse è quella matematicamente più... efficace ;-), ma ho risolto con
quella proposta la Elio Fabri, anche se ti ringrazio molto per avermi
aiutato. Ho provato a confrontare i risultati guardando le tue espressioni
finali e, come in ogni problema di Fisica che si rispetti, non coincidono
:-). Il tuo mi viene circa 266,79 m, con l'altro 156,59 m, sperando che
nell'altro ho fatto un giusto procedimento.
Thank you anyway ;-)


 r = v^3 / (g * v_0).
Ho provato a trovare v semplicemente facendo v = v_0 - gt, ma credo sia
sbagliato, perché quell'equazione è valida in una sola dimensione.
Calcolando le singole componenti di v
v_x = v_0
v_y = -gt
e sostituendo il modulo di v nell'espressione da te scritta ho |r| = 156,59
m.
Credo che il procedimento sia giusto, ma se trovi errori "teorici" dimmelo
:-).
Grazie ancora!


Ciao ho controllato i conti con il "mio" procedimento e il risultato è
rho=156,5.
Per quanto riguarda la definizione del raggio di curvatura :
http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature
Spero ti sia d'aiuto 
Henry

 rho=156,5.
Qui naturalmente stai sottintendendo che il risultato lo stai esprimendo in
metri, e stai usando il valore g=9.8 m/s^2.
Ad ogni modo, i due risultati presentati, uno da te, l'altro da Elio, sono
coincidenti (dico per Rochy che probabilmente se ne sara' gia' accorto da
solo):
R=V0^2/g  *(1+g^2/V0^4 * x(t)^2)^3/2
e
r = v^3 / (g * v_0).
Basta porre v = (v_0^2+g^2*t^2)^(1/2) e x(t) = v_0 * t  e si osserva subito
la formale coincidenza.
Si puo' infine notare che Elio aveva banalmente dimenticato un 2 nello
scrivere la conservazione dell'energia, che comunque non inficia
l'espressione finale da lui riportata per il raggio di curvatura (senza
l'errore di stampa l'espressione per la v e' ovviamente v^2 = v_0^2 + 2*g*z
che, posto z=(1/2)*g*t^2, diventa la v^2=v_0^2+g^2*t^2 ricordata sopra).
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 sia sbagliato, perché quell'equazione è valida in una sola dimensione.
Certo che e' sbagliato!
Ma la formula per v ce l'avevi gia': bastava metterci z = g*t^2/2.
 
-- 
Elio Fabri


Questo esercizio può essere considerato come parte di quello più generale
che descrive il moto di un proiettile.
Un cannone posto all'origine del sistema di coordinate lancia un sasso con
una velocità iniziale Vo ed una inclinazione alfa con  l'asse x tali che il
sasso dopo 2s raggiunge il punto più alto della sua traiettoria ed in quel
punto ha la velocità di 30m/s. In queste condizioni si può scrivere V = Vx =
Vocos(alfa) = 30m/s e Vy = Vosen(alfa) - gt = 0.
Servendosi di queste due espressioni si può ricavare Il valore Vo della
velocità iniziale (35,83m/s) e quello dell'angolo alfa (33,15°). La seconda
parte del moto del proiettile è quella riportata nell'esercizio. Al termine
dei due secondi successivi il sasso incontrerà l'asse x ed avrà in quel
punto V = Vo = 35,83m/s ed alfa = 33,15°. La componente di g normale a V in
quel
punto è a_n = g*cos(alfa) = 8.2m/s^2. r = 35,83^2/8,2 = 156,5m.
Antonio De Marco