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Titolo: Momento d'inerzia di una sbarretta

Non capisco come mai nel volume 'Fisica1', 5^ edizione, di Resnick et 
al. a pag. 193  si effettui il calcolo del momento d'inerzia di una 
sbarretta considerandola inizialmente dotata di  volume (dm = rho*dV = 
rho*A*dx) e in fase di calcolo dotata di una sola dimensione (infatti 
l'integrale si riferisce ad una sola variabile). Quello che risulta � a 
mio avviso il calcolo del momento d'inerzia di un asse o segmento (che 
non ha volume). Stando cos� le cose, mi chiedo perch� mai si cominci 
considerando una massa volumica, una sezione traversa, quando alla fine 
il corpo � considerato unidimensionale. Non sarebbe invece corretto 
utilizzare una densit� di lunghezza (M/L) e basta e poi applicare 
l'integrale? In tal modo si sarebbe dovuto specificare il discorso 
tramite dm = rho*dx con rho = M/L (massa per unit� di lunghezza).
Ho effettuato il calcolo considerando la sbarretta dotata di volume 
usando un integrale triplo e il risultato � diverso: vi � un termine 
additivo che si affianca al risultato del testo, termine trascurabile  
per y tendente a zero appunto.

 per y tendente a zero appunto.
Questo avrebbe senso se la sezione della barretta fosse variabile lungo
la direzione x, ma evidentemente nel problema è assunta costante. Se i
risultati non coincidono c'è un errore.

 problema?
Il momento di inerzia di una barretta sottile avente
distribuzione di massa unidimensionale con densita' lineare
uniforme lambda = m / l, con m massa della barretta e l sua
lunghezza, calcolato immagino ad es. rispetto a un asse
perpendicolare alla barretta e passante per il suo centro, e'
_diverso_ dal corrispondente momento di inerzia di un corpo
di massa m con la forma di un cilindro circolare retto lungo l
e avente raggio r, di densita' uniforme ro = m / (l * Pi * r^2).
Quindi se si vuole calcolare il momento di inerzia della
barretta sottile, si puo' utilizzare la formula corrispondente
per il corpo cilindrico, ma bisogna poi passare al limite
per r -> 0 e ro -> +oo in modo che il prodotto ro * Pi * r^2
rimanga uguale alla costante lambda, e da quanto ho capito
parrebbe che sia proprio questo passaggio logico a mancare
nel  Resnick (non posso verificare perche' non lo possiedo).
Nota: questo problema e' stato sviluppato in un thread
parallelo e ha avuto risposte credo soddisfacenti su
it.scienza.matematica.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 nel  Resnick
Dato che una barretta di diametro tendente a zero ma con una densità di
massa lineare è una pura astrazione, penso che il testo volesse
semplificare il calcolo considerando che il momento di inerzia della
sezione infinitesima di sbarra A*dx potesse essere calcolato
trascurandone le dimensioni trasversali.

 trascurandone le dimensioni trasversali.
Se, come ho capito, intendi che il momento di inerzia
del corpo cilindrico si puo' calcolare trascurandone
le dimensioni trasversali, allora non e' cosi',
perche' i vari punti del disco sottile di volume A*dx
hanno diversa distanza dall'asse di inerzia, e il momento
di inerzia rispetto all'asse che si calcola nel caso del
corpo cilindrico e' _diverso_ da quello della barretta
sottile (avente dimensioni trasversali trascurabili).
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 sottile (avente dimensioni trasversali trascurabili).
Quindi parafrasando:
'Se intendi che il momento di inerzia della barretta, che è un corpo
cilindrico, si possa calcolare trascurandone le dimensioni trasversali
allora non è così perché la barretta non è un corpo cilindrico ma è
sottile cioè ha dimensioni trasversali trascurabili'
Mi sembra che diciamo esattamente la stessa cosa.

 
Grazie. E' esattamente cosi': o si considera la barra come un segmento e si 
usa quindi la densita' lambda (qualsiasi valore essa abbia) E si elimina la 
prima parte nel Resnick tenendo il risultato finale (che in tal caso e' 
corretto) oppure si MANTIENE la prima parte E si esegue il calcolo come ho 
indicato (per via delle osservazioni che lei ha fatto nell'altro post) 
SPECIFICANDO poi che, nel caso di dimensioni trasversali trascurabili ci si 
riconduce (approssimativamente) al caso di un segmento. Il mandare ro a 
infinito mi pare tuttavia superfluo (e limitativo): in tal caso si e' in tre 
dimensioni, lambda non interviene, si ha una massa volumica ro (qualsiasi 
valore essa abbia) finita.  

 una massa volumica ro (qualsiasi valore essa abbia) finita.
Se dopo aver calcolato il momento di inerzia del corpo
cilindrico si passasse al limite per r -> 0 lasciando
invariata ro, allora il momento di inerzia tenderebbe a
zero, se invece come scrivevo si eseguissero entrambi
i procedimenti di limite allora come risultato del
calcolo si otterrebbe il momento di inerzia della
barretta sottile con densita' lineare non nulla.
Formalmente, sia dato un corpo avente la forma
di un cilindro circolare retto di altezza l e raggio r, e
avente densita' uniforme ro, la massa M del corpo vale
allora: M = ro * Pi * r^2 * l, il momento di inerzia
del corpo rispetto a un asse perpendicolare all'asse
del cilindro e passante per il suo centro di massa e':
(1)  I = M * (r^2/4 + l^2/12) =
ro * Pi * r^2 * l * (r^2/4 + l^2/12),
passando nella (1) al limite per r -> 0 e _mantenendo
costante ro_ si ottiene per il limite del momento d'inerzia
il risultato 0 kgm^2, se invece facendo tendere r a 0
si fa anche tendere ro a +oo in modo che il prodotto
ro * Pi * r^2 * l rimanga uguale alla costante M (in
sostanza nella (1) si sostituisce M al fattore
ro * Pi * r^2 * l e poi si passa al limite r -> 0) si
ottiene: M * l^2/12, cioe' come previsto il momento
di inerzia della barretta sottile avente
densita' lineare uniforme lambda = M / l.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani