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Titolo: Paradosso dei gemelli: versione avanzata!

Salve. Volevo proporre una versione modificata del celeberrimo paradosso dei
gemelli.
Allora un gemello si trova sulla terra e se ne sta fermo lì, l'altro gemello
parte e viaggia nello spazio. Quando il gemello viaggiante passa vicino ad
una stella (o qualsiasi altro corpo) la sua traiettoria devia. Mettiamo
quindi il caso che il viaggiatore passi vicino ad una serie di stelle in
maniera tale da ritornare sulla terra, in maniera cioé che l'attrazione
gravitazionale delle varie stelle che incontra sul suo percorso devia la sua
traiettoria in modo da rimandarlo sulla terra, in tal caso al ritorno quale
dei due gemelli sarà il più vecchio? In questo caso il gemello viaggia su
un'astronave senza motore, cioé il suo corpo non sente accelerazioni durante
il viaggio quindi si potrebbe fare un discorso di simmetria tra i due
gemelli (anzi forse rimane più giovane quello rimasto sulla terra a causa
del debole campo gravitazionale di quest'ultima??). Chi può spiegare come
vanno le cose?
Ciao
Xam

Salve, volevo proporre una versione modificata del celeberrimo paradosso dei


 vanno le cose?
Interessante.
L'esempio che fai purtroppo e' assai complicato, perche' metti in ballo
altre stelle, quindi uno spazio-tempo incurvato in modo complesso e
probabilmente non statico; quindi non saprei come fare il conto.
Ma posso proporre una versione piu' semplice e accessibile: dalla Terra
parte una capsula che gira intorno al Sole e ritrova la Terra sulla sua
orbita dopo un po'.
Come va l'invecchiamento dei gemelli in questo caso?
Resta, in comune col tuo esempio, l'assenza di forze non gravitazionali.
In altre parole, entrambi i gemelli si muovono su geodetiche dello
spazio-tempo, e bisogna solo vedere quale ha lunghezza maggiore.
Confesso che non so dare una risposta a colpo. Posso solo promettere che
ci pensero', ma forse non tanto presto, perche' nei prossimi giorni ho
diverse altre cose piu' urgenti.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

Elio Fabri ha scritto:
[cut]
| L'esempio che fai purtroppo e' assai complicato, perche' metti in ballo
| altre stelle, quindi uno spazio-tempo incurvato in modo complesso e
| probabilmente non statico; quindi non saprei come fare il conto.
| Ma posso proporre una versione piu' semplice e accessibile: dalla Terra
| parte una capsula che gira intorno al Sole e ritrova la Terra sulla sua
| orbita dopo un po'.
| Come va l'invecchiamento dei gemelli in questo caso?
| Resta, in comune col tuo esempio, l'assenza di forze non gravitazionali.
| In altre parole, entrambi i gemelli si muovono su geodetiche dello
| spazio-tempo, e bisogna solo vedere quale ha lunghezza maggiore.
Azzardo una risposta, attendendo il verdetto di Elio...
Ho provato a mandare questo post in precedenza ma non so perche' non e'
comparso. Ho violato la netiquette?
Tornando al problema...
Prendo in considerazione un corpo che compie un'orbita chiusa in un campo
gravitazionale la cui sola sorgente e' il sole, di massa M.
In prima approssimazione, il tempo proprio T di un corpo in un campo
gravitazionale con potenziale P varia secondo:
        dT~(1+P/c^2-1/2*(v/c)^2)*dt
dove t e' il tempo misurato in un sistema sufficientemente "lontano" (P~0) e
"fermo" (v~0).
Considero per semplicita' un corpo di massa m=1 e riscrivo la formula cosi':
        dT~[1+(P-K)/c^2]*dt
dove K e' l'energia cinetica.
Per un corpo che compie un'orbita completa attorno al sole si ha (teorema del
viriale):
<K>=-<P>/2 e quindi, poiche' K+P=E (E e' l'energia meccanica) ne segue
<K>=-E, <P>=2E.
Sostituendo e integrando su un'orbita, si ottiene
        DT~(1+3E/c^2)*Dt=(1-3/2*GM/a/c^2)*Dt
dove a e' il semiasse maggiore dell'orbita.
Consideriamo due satelliti 1 e 2 che si incontrano inizialmente ad una distanza
R dal sole possedendo velocita' v1 e v2 perpendicolari alla congiungente
sole-satelliti.
I satelliti orbitano e poi si ritrovano (cio' avviene se il rapporto dei periodi
di rivoluzione e' razionale e v1^2 e v2^2 sono minori di 2GM/R).
Se v1 < v2, allora a1 < a2 e quindi DT1 < DT2, ovvero chi parte più lentamente,
oltre a risentire maggiormente (nonostante la minore velocita' iniziale) del
"rallentamento del tempo" dovuto alla velocita', esplora regioni a basso
potenziale gravitazionale, il che contribuisce ulteriormente al "rallentamento
del tempo".
Le due situazioni non sono comunque simmetriche, in quanto i due corpi, nel loro
peregrinare, sono soggetti a differenti effetti mareali, maggiori in chi si
avvicina di piu' al sole.
Naturalmente tutto questo ragionamento e' valido se non ho commesso errori
fondamentali che il buon Elio provvedera' a scovare e bacchettare dopo il
trasloco...
--
Aleph Zero

 trasloco...
Il trasloco non e' ancora finito, nel senso che non sono ancora tornato
a disporre del collegamento in rete :(. E nel trasloco debbo anche aver
perduto le bacchette :-)


Grazie per le risposte!!! ...a dire il vero ero semiconvinto che i gemelli
tornassero uguali. Però per come l'ha risolto Aleph m'è venuta in mente
un'altra complicazione :-))
Un'astronave orbita circolarmente intorno al sole e ruota su se stessa in
modo da essere orientata sempre verso il sole, come la luna con la terra. Io
metto due orologi, inizialmente sincronizzati, nell'astronave, uno nella
parte di essa più vicina al sole, l'altro nella parte più lontana. I due
orologi praticamente compiono in maniera sincrona orbite circolari di raggio
leggermente differente. Se io mi metto nell'astronave noto solo una lieve
forza centrifuga sugli orologi ma in ogni caso ho una situazione simmetrica,
non ho cioé la possibilità di capire quale dei due orologi sia più vicino al
sole. Concludo che gli orologi continueranno ad essere sincronizzati
(errore?). Dov'è il quesito? L'orologio più vicino al sole, come direbbe
Aleph, esplora costantemente una zona con potenziale minore rispetto
all'altro quindi il tempo per lui dovrebbe "scorrere più lentamente"
rispetto all'altro, in contrasto con la conclusione precedente. Dov'è la
soluzione? Nel fatto che l'orologio esterno debba andare un pò più veloce
per poter compiere una traiettoria maggiore? O il fatto che i due orologi
non sono in completa caduta libera complica notevolmente le cose ed il
discorso intuitivo basato sulla velocità e en. potenziale non è più
applicabile? Spero di aver descritto bene la situazione, se avete un pò di
tempo da buttare dateci un'occhiata, cmq grazie.
Ciao
Xam

 applicabile? 
Il discorso rigoroso, applicabile sempre, e' quello geometrico.
Il tempo segnato da un orologio non e' che la lunghezza della curva che
esso percorre nello spazio-tempo.
Se l'orologio e' in caduta libera la curva e' una geodetica, altrimenti
non lo e', ma da questo punto di vista non c'e' nessuna differenza.
La formula di Aleph e' approssimata, e quindi lo e' anche
l'interpretazione in termini di potenziale e di velocita' (redshift
gravitazionale e dilatazione del tempo, risp.). Per fare il conto per un
orologio in moto qualunque attorno al Sole dovresti usare la metrica di
Schwarzschild:
d\tau^2 = (1 - 2GM/(c^2 r)) dt^2 - dr^2/(1 - 2GM/(c^2 r)) - r^2
(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) 
e sostituire per r, \theta, \phi le espressioni in funzione di t per
quel moto. Ne risultera' d\tau = A dt, dove A e' una certa funzione di t
e dei parametri del moto.
Nel caso di campo debole (come quello del Sole) e di moti lenti (v<<c)
si ricade nella formula di Aleph.
Incidentalmente, a me non piace parlare ne' di tempo che scorre piu'
lentamente, ne' di orologi che rallentano. Preferisco vedere l'effetto
come puramente geometrico, come ho gia' detto.
Altra noterella: mentre nell'idea iniziale i due orologi partono vicini
e si ritrovano, per cui non c'e' problema a vedere se vanno d'accordo,
nel tuo caso devi mandare segnali a uno all'altro. Non e' una
difficolta', ma se consideri gli eventi rilevanti vedi che in questo
caso sono 4, invece che 2.
Va tutto liscio perche', dato che la metrica e' statica e a simmetria
sferica, puoi stare sicuro che la propagazione dei segnali all'inizio e
alla fine sara' la stessa, e quindi si cancella ai fini del confronto.


"Elio Fabri" ha scritto...
17-3-02
| > Le due situazioni non sono comunque simmetriche, in quanto i due corpi, nel
| > loro peregrinare, sono soggetti a differenti effetti mareali, maggiori in
| > chi si avvicina di piu' al sole.
| Beh, non sono ovviamente simmetriche anche senza pensare agli effetti di
| marea; ma forse vuoi dire che uno si potrebbe accorgere della
| differenza, senza "guardare fuori", solo misurando le forze di marea?
| E' vero, ma non lo vedrei direttamente connesso con l'effetto che stiamo
| esaminando: questo e' connesso solo con la lunghezza delle geodetiche,
| non con la curvatura dello spazio-tempo. (A meno che non ci sia una
| connessione piu' profonda che non vedo...)
Ho fatto questa osservazione pensando al paradosso dei gemelli "versione base":
una parte del paradosso deriva dal ragionamento che ognuno dei gemelli puo'
pensare di essere stato "fermo", e che sia stato il fratello a muoversi.
A parte le considerazioni che mostrano che la situazione non e' simmetrica
"vista da fuori", anche "vista da dentro" la situazione non e' simmetrica.
Supponiamo che i due gemelli siano rinchiusi in cabine da cui non si puo'
vedere l'esterno, e che venga detto loro che uno dei due si fara' un bel
viaggetto andata e ritorno mentre l'altro se ne stara' fermo.
Quando i gemelli si ritrovano, ognuno puo' dedurre qual e' stata la sua sorte
anche senza vedere il fratello e confrontare con lui i propri orologi (meccanici
e biologici).
Nel paradosso "versione avanzata" (nella versione semplificata che abbiamo
visto)
se i due fratelli, prima di confrontare gli orologi, si scambiassero i dati
relativi agli effetti mareali misurati durante il viaggio, potrebbero dedurre
chi ha l'orologio piu' "in ritardo".
Non so se questo sia un fatto fondamentale, ne' se sia generalizzabile e
migliorabile (i due gemelli potrebbero dedurre anche di quanto i propri orologi
differiscono ?).
18-3-2002
| Incidentalmente, a me non piace parlare ne' di tempo che scorre piu'
| lentamente, ne' di orologi che rallentano. Preferisco vedere l'effetto
| come puramente geometrico, come ho gia' detto.
Sono d'accordo con te che usare certe espressioni, tipo "il tempo rallenta"
o parlare di "osservatori" puo' essere fuorviante, ma a volte puo' rendere
l'idea, e comunque uso le virgolette per evidenziare che l'espressione va
presa cum grano salis.
--
Aleph Zero

 chi ha l'orologio piu' "in ritardo".
Non mi e' chiaro come dovrebbero fare (l'avevo gia' accennato): non so
dire se c'e' una relazione diretta e univoca tra forza di marea
sperimentata e lunghezza della geodetica.
Tu lo dici "a occhio", oppure ne sai dare una prova?
A me sembrerebbe che si possa immaginare una situazione "ibrida", in cui
le traiettorie sono scelte in maniera tale che le forze di marea sono
diverse ma il tempo segnato e' lo stesso; mentre mi sembra quasi
evidente che l'opposto non sarebbe possibile.


"Elio Fabri" ha scritto:
| [cut]
| Non mi e' chiaro come dovrebbero fare (l'avevo gia' accennato): non so
| dire se c'e' una relazione diretta e univoca tra forza di marea
| sperimentata e lunghezza della geodetica.
| Tu lo dici "a occhio", oppure ne sai dare una prova?
| A me sembrerebbe che si possa immaginare una situazione "ibrida", in cui
| le traiettorie sono scelte in maniera tale che le forze di marea sono
| diverse ma il tempo segnato e' lo stesso; mentre mi sembra quasi
| evidente che l'opposto non sarebbe possibile.
Lo dic(ev)o a occhio. Il tuo argomento mi sembra convincente, per cui,
cari gemelli, se volete sapere che cosa vi sta succedendo, guardate
dal finestrino dell'astronave !!!
--
Aleph Zero