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Titolo: errore di misura sul coseno di un angolo

ciao,
credo che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua ma mi è venuto un dubbio.
Supponiamo di misurare un angolo con un goniometro, che ci dà un valore 
x per l'angolo e un'incertezza dx indipendente dall'angolo (dipende 
dalla sensibilità dello strumento).
Se devo calcolare il coseno degli angoli x misurati, la sua incertezza è 
|sin(x)|dx, cioè per x=0 non c'è errore?!?!!?!?!!?
Capisco che per x=0 minimizzo l'errore, perché per piccole variazioni 
attorno allo 0 il coseno è quasi costante, ma mi sembra evidente che non 
posso annullarlo completamente...
Perché non si può applicare l'espressione df=|df/dx|*dx ?
Come dovrei calcolare l'errore sul coseno?
-- 
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurità"
http://amnestypiacenza.altervista.org

 Come dovrei calcolare l'errore sul coseno?
Perchè l'incertezza su cos(X) è un infinitesimo del secondo ordine,
per X = 0.
La formula giusta da applicare per l'incertezza su un funzione f(x) è
lo sviluppo in serie di Taylor, cioè questa:
delta[f(X)] = f(X+deltaX) - f(x) = f'(X)deltaX + (1/2)f''(X)(deltaX)^2
+ ... + (1/n!)f^(n)(X)(deltaX)^n + ...
quindi cos(0+deltaX) - cos(0) = -(1/2)(deltaX)^2 + ...
Il termine di primo ordine è nullo, quello di secondo no.

 Il termine di primo ordine è nullo, quello di secondo no.
E per valori molto vicini allo zero? C'è un range di valori, a seconda 
dell'errore sull'angolo, per cui i due ordini sono confrontabili.
C'è qualche criterio "convenzionale" per decidere quando fermarsi al 
prim'ordine e quando considerare anche il secondo?
Grazie intanto per la risposta :-)


 Come dovrei calcolare l'errore sul coseno?
Ecco che cosa succede (direbbe un matematico) a trattare i dx come
infinitesimi :-)
La tua incertezza sara' pure piccola, ma comunque *finita*.
La formuletta che scrivi (df=|df/dx|*dx) e' una ragionevole
approssimazione quando il secondo membro e' quello dominante rispetto
ai termini successivi della serie di Taylor, ma questo e' certametne
falso nel tuo caso...
Come si dovrebbe procedere?
Dipende dalle condizioni sperimentali.
Se quel dx e' un "errore massimo", ossia lo usi per dire che x e'
compreso fra x0-dx e x0+dx, allora dovrai cercare il massimo e il
minimo di f(x) dentro quel'intervallo.
Se invece pensi a una distribuzione di probabilita' (per es.
gaussiana) e dx sta a indicare qualcosa come uno s.q.m., le cose si
complicano, perche' dove df/dx=0 non puoi neppure approssimativamente
assumere che anche f(x) abbia distribuzione gaussiana.
Per es., dato che cos(x) = 1 - x^2/2 + ... la distr. di cos(x) intorno
a x=0 e' quella di x^2, ossia una distr. chi^2.
 
-- 
Elio Fabri

Se ho capito il tuo problema e' che non ti torna il fatto che l'errore sul 
coseno si possa annullare anche se tu hai una misura molto imprecisa.
Il problema e' che se ti serve solo il coseno dell'angolo non ti importa se 
l'angolo sia 0 gradi, 359 gradi o 1 grado..tanto il coseno e' sempre 1!!
(certo...hai il termine del secondo ordine...Ma e' assolutamente 
trascurabile a meno che l'incertezza sul tuo angolo non sia enorme)
Se invece sta misurando vicino a pi/2 allora li' un errore di un grado si 
nota molto bene!
Il senso di avere la derivata nel calcolo dell'errore e' questo. Che se la 
funzione e' "insensibile" a variazioni del valore che gli dai in pasto 
allora la formula della propagazione dell'errore te lo annulla.
Immagina di avere una formula y=costante(t)
Anche se sbagli completamente la misura di t...Se quello che ti importa e' 
solo y...L'errore di y dovuto a t sara' zero.

 prim'ordine e quando considerare anche il secondo?
Dipende dalla precisione che vuoi ottenere. Una volta che hai scritto
lo sviluppo, conoscendo deltaX e X puoi valutare i vari termini e
vedere quanto ognuno di essi influisce sulla misura.