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Titolo: Riscalamenti kepleriani e modelli analogici

Riguardando le equazioni dinamiche del
sistema solare:
r''_i = G m_i m_j / r_ij
ho trovato che se riscaliamo lunghezze,
tempi, masse, applichiamo soluzioni in
soluzioni. La relazione fra i fattori
di scala e'
 
k_L^3 =(k_T k_M)^2
se vogliamo conservare le proporzioni
siamo costretti a riscalare le densita' con
fattore:
 
k_M/K_L^3 = 1/ k_M(k_T)^2
di conseguenza se vogliamo costruire un
modello analogico piu' veloce del sistema
solare e con masse ragionevoli dovremmo
aumentare irragionevolmente le densita'.
DOMANDA:
Sui libri che ho visto non ho mai trovato
considerazioni su questa difficolta'. Che
pure sarebbe stimolante per uno studente.
Controesempi? Qualcuno conosce cioe' libri
in cui questa osservazione elementare e'
riportata?
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Inviato via 
http://usenet.libero.it

 r''_i = G m_i m_j / r_ij
quanto r''_i = Sum (j != i) G m_j / (r_ij)^2
Allora: ho rivisto con calma il tutto.
k_L, k_M, k_T sono fattori di riscalamento per
lunghezze, masse, tempi rispettivamente.
L'invarianza, dopo, il riscalamento delle forze
sugli elementi di volume e' garantito se
k_m k_L (k_T)^(-2) = (k_M / k_L)^2
a sinistra e' il riscalamento di ma
a destra e' il riscalamento della espressione
specifica per la forza newtoniana. Per masse
invariate implica la terza legge di Keplero.
Le equazioni di moto per i pianeti, considerati
come rigidi e' invariante se
J' = NxJ e' invariante.
ora J' riscala come J/k_T mentre N riscala
come una forza per il quadrato di una distanza,
quindi come k_M K_L^3 / k_T^2 da cui:
k_T = k_M k_L^3
Risolvendo il sistema delle condizioni di invarianza
sotto riscalamento per le equazioni cardinali della
dinamica, come appena descritte, segue:
k_M^2 = 1/k_T e k_L=1/k_M
In altre parole, per ottenere un modellino in scala
ridotta, che funzioni come il sistema solare,
occorrerebbe concetrare masse maggiori su
lunghezze minori.
Ad esempio, per ottenere un sistema
in cui nel tempo di un anno la terra compia diecimila
rivoluzioni occorrerebbe concetrare masse cento volte
maggiori su lunghezze di un centesimo di lunghezza.
Se si volesse fare stare il sistema solare in uno stadio
occorrerebbe ridurre le lunghezze per un fattore
12000000 (dodici milioni) che corrisponde ad aumentare
le masse dello stesso fattore, ottenendo pero' tempi
di rivoluzione per la terra di 150 mila miliardi di
volte piu' brevi. La densita' sarebbe aumentata
di un fattore pari al quadrato di 150 mila miliardi.
Ecco perche' non e' materialmente possibile costruire un
modello in scala del sistema solare. Anche perche' ammesso
di riuscire a superare il problema di concentrare masse
cosi' enormi in spazi cosi' piccoli, rimarrebbe quello di
collocarle materialmente nei punti desiderati, vincendo
forze davvero titaniche.
LA CURIOSITA' : l'idea mi sembra cosi' semplice e
stimolante, anche didatticamente, da essere di quelle
considerate fin dagli esordi della teoria. Quindi
mi chiedo da un lato, perche' non ho mai trovato
un cenno sui vari testi di fisica, e dall'altro
dove si puo' trovare una trattazione del problema,
se qualcuno ne ha cognizione, su testi dedicati alla
dinamica, o alla meccanica celeste. Oppure se esiste
qualche nota sull'argomento. Potrei scriverne una
io stesso per qualche rivista didattica in fisica,
o qualcuno di voi, fatemi sapere.
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 r''_i = - sum_{j!=i) G m_j r_ij / |r_ij|^3
il riscalamento lascia la dinamica invariata
se e solo se:
k_L/(k_T)^2 = k_M/(k_L)^2
ovvero:
(k_L)^3 = k_M (k_T)^2
dunque la densita' scala come
l'inverso del quadrato del tempo.
Quindi sembra fattibile senza ridurre
troppo i tempi di rivoluzione costruire
un sistema solare in scala ridotta anzi,
semplicemente riscalando le lunghezze, e
le masse, in modo da lasciare invariata
la densita' si otterra' un sistema che funziona
per sola gravitazione. Solo che e' un oggetto tanto
lento che va lasciato lavorare in ambiente completamente
asettico, sotto vuoto spinto e magari lontano dal sistema
vero, in modo che non risenta delle forze di marea.
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