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Titolo: Equazioni di Maxwell e polarizzazione e/o magnetizzazione

Credo di avere un po di confusione riguardo la particolarizzazione delle eqz
di Maxwell per mezzi interessati da fenomeni di magnetizzazione e/o
polarizzazione, spero possiate aiutarmi, vi espongo i dubbi.
Partendo dalle eqz:
1) rot(E) = - d(B)/dt
2) rot(H) = d(D)/dt + J
3) div(D) = ro
4) div(B) = 0
Dove, per il vuoto si ha:
                        D = "epsilon con zero" * E
                        B = "mu con zero" * H
                        J = "sigma" * E
Nel caso di polarizzazione si presentano cariche(superficiali e volumiche)di
polarizzazione e correnti di polarizzazzione:
rop = - div(P)    cariche volumiche
Jp = d(P)/dt        correnti interne
e le eqz diventano:
1) rot(E) = - d(B)/dt
2) rot(H) = d(D)/dt + Jp + Jlib  => rot(H) = d(D + P)/dt + Jlib
3) div(D) = rop + rolib  => div(D + P) = rolib
4) div(B) = 0
Ora come vanno modificate le suddette eqz per materiali che presentano
magnetizzazione?
Si dovrebbero presentare due correnti:
Jms = M x n    correnti megnetiche superficiali
Jmv = rot(M)    correnti megnetiche volumiche
devo inserirli entrambi nella eqz n°2 ?
esistono cariche di magnetizzazione?
E se fossero presenti ambedue i fenomeni in uno stesso corpo come si
presenterebbero le eqz ?
Grazie dell'aiuto.
--
"Quello che conta non è tanto l'idea ....
                  .... ma la capacità di crederci, fino in fondo".
                                                                  Ezra Pound

 4) div(B) = 0
Effettivamente fai confusione su un punto fondamentale, di base.
Hai scritto queste equazioni:
1) rot(E) = - d(B)/dt
2) rot(H) = d(D)/dt + J
3) div(D) = ro
4) div(B) = 0
a parte qualche fattore qua e la'... ma non e' questo il punto.
L'errore che fai e' quello di voler sommare P a D.
Invece D gia' include l'effetto di P "in risposta ad E".
Mi spiego meglio, prendendo in considerazione una sola equazione, la
piu' semplice. E la vediamo passo-passo.
Nel vuoto:
div(E) = ro
Parentesi: chi sono FISICAMENTE (definizione operativa!!) queste
grandezze?
ro e' la densita' di carica elettrica effettivamente presente nello
spazio (cariche nette).
E e' il campo elettrico generato da queste cariche; per intenderci,
quello che misuri con una "carica di prova" misurando la forza di
coulomb che questa sente.
Chiusa la parentesi, che accade se le cariche NETTE ("vere", se mi passi
il termine, realmente presenti) descritte dalla ro si trovano in un
mezzo (dielettrico, non conduttore) che non e' il vuoto?
Innanzitutto il mezzo si polarizza. Esso non ha cariche libere (non e'
conduttore), ma i suoi atomi o molecole presentano, in presenza del
campo elettrico esterno, una parziale "separazione" di carica; si creano
cioe' dei minuscoli momenti di dipolo, pur senza avere una carica totale
netta aggiunta. Da questi momentini di dipolo definisci la
polarizzazione P (grandezza macroscopica per descrivere l'effetto dei
dipoli microscopici).
Misuri il campo E con la tua carica di prova e la banale forza di
Coulomb. Ti accorgi che le cose vanno COME SE ci fosse una ulteriore
carica descritta dalla densita' di volume rop. Capisci? Il campo E
misurato dalla carica di prova e' quello che si avrebbe se a ro fosse
sommata questa rop. Cioe' in termine di equazione di Maxwell hai:
div(E) = ro + rop
La confronti con la precedente e dici: "caspita, sono bravo, ho scritto
l'equazione per E sia nel vuoto che in un dielettrico!... Pero'... nel
vuoto ho a secondo membro ro, che sono le cariche che metto io nello
spazio; e' un parametro che decido io, che controllo; nel mezzo ho in
piu' le rop, che invece non controllo, costituiscono la risposta del
mezzo; percio'... ho scritto una bella equazione, valida, e formalmente
ineccepibile... pero' non me ne faccio molto, non mi e' molto utile per
calcolare E!".
Che fai allora? Ti accorgi a questo punto che la natura ha legato P e
rop (grandezze definite INDIPENDENTEMENTE l'una dall'altra) con la
comoda relazione:
rop = -div(P)
Sostituisci nella tua equazione del dielettrico, e con facili passaggi
hai:
    div(E) = ro + rop = ro - div(P)  
=>  div(E) + div(P) = ro
=>  div(E+P) = ro
=>  div(D) = ro
dove nell'ultimo passaggio ti sei preso la briga di definire il vettore
D come E+P.
E ora sei soddisfatto!! :-)
Infatti hai scritto anche per il dielettrico un'equazione in cui il
termine dovuto alle sorgenti e' di nuovo costituito dalla sola densita'
ro che e' quella che hai materialmente, quella "vera" (ci sono in
realta' un po' di fattori costanti, ma non importa, per giunta dipendono
dal sistema di unita' di misura che usi).
Naturalmente hai pagato un piccolo prezzo...
Hai infatti introdotto un nuovo campo, D, e nel mezzo ragioni con
questo.
Nel vuoto i due campi E e D coincidono a meno del fattore epsilon-zero.
Ma nel mezzo non e' lo stesso!!
E non e' solo una distinzione formale!
La tua simpatica carica di prova q, ad esempio, sente una forza di
coulomb che e' q*E, mica q*D! Questo giusto per dirne una, la piu'
semplice.
Una differenza piu' fine: se vuoi introdurre un potenziale
elettrostatico V come V=-grad(E) (per legarlo al lavoro fatto dal campo
sulla tua carica di prova), per lui non vale l'equazione di Poisson
(spero tu sappia cosa sia) nella forma Lapl(V)=-ro, ma bensi'
Lapl(V)=-ro-rop. Vale invece Lapl(Vd)=-ro se definisci Vd=-grad(D), che
non e' certo legato al lavoro della forza di coulomb sulla carica di
prova q (e nemmeno si puo' correttamente introdurre, in realta'...)(sto
sempre allegramente mangiandomi i fattori costanti).
Se rileggi quanto avevi scritto e cosa invece ho scritto io capisci la
confusione. Non devi sommare P a D.
Mi sono messo a "giocare" un po' perche' se ti dicevo che non dovevi
sommare P e D e basta non ti era molto utile, cosi' invece penso
(spero...) puoi capire cosa c'e' alla base. Ho cercato soprattutto di
ripercorrere la logica che porta a descrivere le cose in termini di D
piuttosto che di E.
Nota che a rigore non guadagni niente con D: non hai piu' le rop, ok,
pero' hai un secondo campo D, e per legarlo ad E (che resta
nell'equazione del rotore) ti serve P, che poi e' comunque legato alla
risposta del mezzo!
Tuttavia:
1) dal punto di vista pratico: P e' una grandezza macroscopica, la leghi
ad E introducendo parametri macroscopici per la risposta del mezzo
(costanti dielettriche, suscettivita', relazioni costitutive), che
comunque ti sono piu' comode della grandezza microscopica rop;
2) dal punto di vista formale ... l'equazione e' diventata come quella
nel vuoto, e se vai a divertirti un po' a studiare le equazioni di
Maxwell vedrai come e' meglio cosi'.
Allo stesso modo, Jp non va sommata a dD/dt, e' "gia' inclusa".
E allo stesso modo le correnti di magnetizzazione di cui parli nel
seguito del mail sono "gia' contenute" nell'equazione scritta con H:
queste correnti sono state sommate alla J, si e' visto che sono legate
alla magnetizzazione (INDIPENDEMENTE introdotta) M come tu hai scritto,
e da B si e' passati ad H.
Ti confesso che riguardo a correnti di magnetizzazione e
generalizzazione delle equazioni di Maxwell in mezzi magnetici non vado
proprio a memoria come per la polarizzazione, dovrei pensarci un po' e
magari risfogliare qualche libro. Pero' funziona allo stesso modo.
Ti consiglio, se hai afferrato il concetto, di guardarti un buon libro
di Fisica Generale II (non troppo elementare pero', quelli mettono
confusione), ti aiutera' a fissarti definitivamente le idee.
Spero di esserti stato utile, ti pregherei di farmelo sapere.
Ciao
Woodridge
-- 
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 coulomb che questa sente.
Questa è la giusta caratterizzazione di E. Tuttavia da un punto
di vista pratico, nel vuoto il vettore di induzione ed il vettore
E coincidono e l'aggiunta di un dielettrico modifica il campo
a causa delle cariche di polarizzazione per cui a volte si usa
dire che il campo elettrico nel vuoto è il campo di induzione che
somma al campo elettrico il campo di polarizzazione. 
E' un modo sbagliato ma pittoricamente efficace. Tuttavia occorre
tener presente che il campo effettivo che agisce sulle cariche
elettriche è E e questo si ricorda dall'equazione J=sigma E.
Mentre D è il campo che si può misurare con una carica campione
qualora separassimo una particola del mezzo dielettrico dal resto
con una sottilissima interfaccia vuota. Pertanto il campo
di induzione D ha anche un'interpretazione operativa e non è
solo un'utile invenzione. Subito dentro il guscio il campo risentito
è E.  


Ok, avevo approfondito la questione su it.scienza.matematica vista la
lentezza di questo Ng, ho letto la tua mail con il "senno di poi" :-) e ti
ringrazio ugualmente dell'aiuto.