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Titolo: Energia di punto zero

Se si calcolano i livelli energetici di un oscillatore lineare quantistico
si ottengono i valori E_n = (n + 1/2) omega h_bar. Il valore più piccolo
dell'energia si ottiene per n = 0 ---> E_0 = 1/2 omega h_bar (energia di
punto zero).  Ecco a me questo fatto che l'energia non possa mai assumere il
valore zero mi sembra proprio strano in quanto se si prende un analogo
oscillatore lineare ma classico, questo la può assumere l'energia zero nello
stato in cui la particella è ferma nell'origine. Poi si può anche avere
qualsiasi valore dell'energia che sia positivo. Quindi applicando la MQ si
otterrebbero due grosse novità :
1) l'energia non può assumere qualsiasi valore ma invece costituisce uno
spettro discreto
2) l'energia non può "partire" da zero
Esiste una qualche spiegazione del fatto 2) ? Intendo dire una spiegazione
non del tipo : "si ottiene 2) perché questo ci dicono le equazioni ecc..."
:o)
Ciao a tutti, Paolo

 
Ti posso dare una spiegazione intuitiva, ma la spegazione vera e` il calcolo
fatto con la MQ punto e basta (qella che non consideri una spiegazione).
La particella classica *nell'oscillatore armonico*, come giustamente
osservi puo` avere energia nulla solo se e`ferma nell'origine.
Ossia se ha impulso determinato e nullo e posizione
determinanta pari all'origine. Cio' e` quantisticamente impossibile
per il principio di indeterminazione di Heisenberg. Si puo` ancora
ricamare attorno a questa idea, ma il succo intuitivo e` quello...
Ciao, Valter
-- 
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

Buongiorno, Dottor Jekyll ha scritto:

Esiste una connessione con la relazione di indeterminazione di Heisenberg per
la coordinata di posizione e l'impulso, infatti sullo stato fondamentale |0>
dell'oscillatore armonico si ha <0|p|0> = <0|q|0> = 0, e <0|p^2/(2m)|0> =
<0|1/2*m*omega^2*q^2|0> = 1/4*h_bar*omega da cui delta(p)*delta(q) =
1/2*h_bar cioe' lo stato fondamentale e' di minima indeterminazione e l'energia
totale e' equamente divisa tra cinetica e potenziale, vediamo quindi che a causa
della relazione di indeterminazione tra posizione e impulso non e' possibile che
esista uno stato come quello fondamentale di un oscillatore classico in cui
posizione e impulso e energia potenziale e cinetica sono contemporaneamente
nulli.
Ad ogni modo il valore 1/2*h_bar*omega dell'energia dello stato fondamentale
non ha significato fisico, dato che e' sempre possibile traslare di una costante
il valore dell'energia potenziale e quindi tutti gli autovalori dell'hamiltoniana.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani

"Giorgio Bibbiani" ha scritto ...
| Ad ogni modo il valore 1/2*h_bar*omega dell'energia dello stato fondamentale
| non ha significato fisico, dato che e' sempre possibile traslare di una
| costante il valore dell'energia potenziale e quindi tutti gli autovalori
| dell'hamiltoniana.
Davvero non ha alcun significato fisico? vi propongo un argomento che mi
impressiono' alquanto, anzi mi sbalordi', quando lo studiai.
Nella teoria di Einstein del calore specifico, un metallo viene considerato
come un insieme di oscillatori armonici indipendenti (gli atomi) con tre gradi
cinetici di liberta' corrispondenti alle tre dimensioni spaziali. Per brevita',
in quanto segue indichero hbar * omega con hw.
Supponendo che un oscillatore armonico unidimensionale possa avere energie
E_n = n * hw (con n = 0, 1, 2, ecc.) si ottiene per l'energia di un metallo a
temperatura T, composto da N atomi, l'espressione:
                 hw
U(T) = 3N -------------------
           exp(hw / kT) - 1
Derivando U rispetto a T si ottiene la capacita' termica C(T).
Per T "grandi" (T >> hw/k) si ha:
C(T) = 3N*k + O(1/T^2),
ovvero ritroviamo la legge di Dulong e Petit, che otterremmo considerando
oscillatori "classici", con energie non quantizzate.
Riguardo a U(T) invece, sviluppando in serie si ottiene:
U(T) = 3N*kT - 3/2 N*hw + O(1/T):
per temperature elevate non otteniamo il limite "classico" 3N*kT per via del
termine -3/2 N*hw che pero' scomparirebbe se gli oscillatori quantizzati
avessero energie E_n = (n + 1/2) * hw, ovvero avessero energia minima hw/2.
E' solo una coincidenza?
--
Giovanni Corbelli

...riperquotera'...
Cose che capitano... :-)
Ciao a tutti
-- 
Giorgio Bibbiani

 il valore dell'energia potenziale e quindi tutti gli autovalori dell'hamiltoniana.
Mi sembra un po' eccessivo dire che non ha significato fisico.
Per un singolo oscillatore e' vero che si puo' annullare
scegliendo opportunamente l'energia, ma non appena passi a casi
piu' complessi non e' piu' cosi'. Per esempio, se prendi una
molecola (diciamo biatomica) e ne calcoli l'energia di legame
devi sottrarvi un termine 1/2*h_bar*omega, con omega=frequenza di
vibrazione lungo il legame. E' proprio il termine di punto zero,
che esiste nella molecola ma non esiste per gli atomi separati.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

Buongiorno, Giovanni Corbelli ha scritto:

Ovviamente non e' una coincidenza, semplicemente nei due casi si e' scelto
in modo diverso lo zero dell'energia, il che e' del tutto lecito dato che l'energia
potenziale dell'oscillatore e' definita a meno di una costante arbitraria additiva,
l'energia di punto zero per l'oscillatore armonico quantistico unidimensionale
compare negli autovalori dell'hamiltoniana se per il potenziale si prende la forma
(1/2)*m*w^2*x^2, non comparira' prendendo per il potenziale la forma
(1/2)*m*w^2*x^2 - (1/2)*h*w che e' uguale a quella precedente con l'aggiunta
di una costante additiva.
Questa modifica si riperquotera' anche nei valori dell'energia nel limite classico,
cioe' si otterra' nel primo caso il valore medio dell'energia k*T, nel secondo il
valore k*T - (1/2)*h*w, mentre si otterra' lo stesso valore per il Cv dato che
il termine additivo costante nell'energia scompare quando si deriva rispetto a T.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 che esiste nella molecola ma non esiste per gli atomi separati.
OK, grazie.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scritto:
| Ovviamente non e' una coincidenza, semplicemente nei due casi si e' scelto
| in modo diverso lo zero dell'energia, il che e' del tutto lecito dato che
l'energia
| potenziale dell'oscillatore e' definita a meno di una costante arbitraria
additiva,
| l'energia di punto zero per l'oscillatore armonico quantistico unidimensionale
| compare negli autovalori dell'hamiltoniana se per il potenziale si prende la
forma
| (1/2)*m*w^2*x^2, non comparira' prendendo per il potenziale la forma
| (1/2)*m*w^2*x^2 - (1/2)*h*w che e' uguale a quella precedente con l'aggiunta
| di una costante additiva.
| Questa modifica si ripercuotera' anche nei valori dell'energia nel limite
classico,
| cioe' si otterra' nel primo caso il valore medio dell'energia k*T, nel secondo
il
| valore k*T - (1/2)*h*w, mentre si otterra' lo stesso valore per il Cv dato che
| il termine additivo costante nell'energia scompare quando si deriva rispetto a
T.
D'accordo. Resta il fatto che, se abbiamo una hamiltoniana del tipo
H = p^2/2m + 1/2 kx^2 + C, l'energia minima "quantistica" supera l'energia
minima "classica" di hw/2, indipendentemente da C.
Ritornando ad Einstein, la sua teoria del calore specifico e' del 1907 e precede
di quasi vent'anni l'equazione di Schroedinger (del 1926, a proposito: qualcuno
sa chi fu il primo a fare i calcoli delle energie dell'oscillatore armonico
nonche' dell'atomo idrogenoide utilizzando l'equazione di Schroedinger o la
meccanica delle matrici di Heisenberg?).
Penso che Einstein abbia considerato oscillatori con energie n*hw per analogia
alla ipotesi di Planck per giustificare lo spettro del corpo nero, e comunque
usando la "vecchia" teoria dei quanti.
Facendo della fanta-storia della fisica, Einstein avrebbe potuto "sospettare"
(l'intuito fisico certo non gli mancava) che, con una hamiltoniana H = p^2/2m +
+ 1/2 m*w^2*x^2, l'oscillatore quantistico deve avere energie (n + 1/2)*hw se
U(T) "quantistica" di un metallo coincide con U(T) "classica" per alte
temperature, come dev'essere se crediamo al principio di corrispondenza.
Sarebbe interessante leggere l'articolo originale di Einstein.
--
Giovanni Corbelli

 Sarebbe interessante leggere l'articolo originale di Einstein.
L'ho guardato, e non c'e' alcun cenno alla cosa.
Da' la solita formula per l'energia media (con autovalori 0, hw, ...) e
poi si occupa dei calori specifici. Punto.
Quanto alla questione di partenza, credo che la miglior approssimazione
alla formula classica ad alte temperature se si mette il termine hw/2
non abbia un significato profondo (ossia, che sia una coincidenza). 
Mi spiego meglio. Nel calcolo classico si deve fare un integrale del
tipo \int_0^\infty f(E) dE, con f(E) = E*exp(-E/kt).
Nel calcolo quantistico l'integrale viene sostituito da una somma sugli
autovalori, spaziati di hw. Ovviamente l'integrale classico e' uguale
alla somma di infiniti integrali, tra i limiti nhw e (n+1)hw, per n da 0
a infinito. Si puo' approssimare ciascuno di questi integrali con
hw*f(E), essendo E un valore compreso nell'intervallo; ma e' chiaro che
la migliore approssimazione si ha prendendo E al centro dell'intervallo,
il che - guarda caso - equivale a prendere autovalori (n + 1/2)*hw.
Se si rifacesse il calcolo con un potenziale diverso (per es. x^4), si
vedrebbe che la coincidenza non c'e' piu' (almeno credo: il conto non
l'ho fatto ;-) ).
P.S. Pero' ci sto ripensando... Dovro' fare quanche calcoletto...
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

"Elio Fabri" ha scritto ...
| [cut]
| Quanto alla questione di partenza, credo che la miglior approssimazione
| alla formula classica ad alte temperature se si mette il termine hw/2
| non abbia un significato profondo (ossia, che sia una coincidenza).
| Mi spiego meglio. Nel calcolo classico si deve fare un integrale del
| tipo \int_0^\infty f(E) dE, con f(E) = E*exp(-E/kt).
| [cut]
| Se si rifacesse il calcolo con un potenziale diverso (per es. x^4), si
| vedrebbe che la coincidenza non c'e' piu' (almeno credo: il conto non
| l'ho fatto ;-) ).
Prendendo spunto dal tuo post ho provato a fare il calcolo con una
particella confinata in una buca di potenziale: gli autovalori sono
E_n = n^2 E_1, con n che parte da 1. Le sommatorie non sono esprimibili
finitamente per mezzo di funzioni elementari, ma usando un po' di "forza bruta"
ho trotato che <E> "quantistica" e' sempre maggiore di kT/2 = <E> "classica".
Se facciamo partire la sommatoria da 0 anziche' da 1 invece <E> "quantistica"
e' sempre minore di kT/2. Il fatto che i conti tornino esattamente con
l'oscillatore armonico e' dovuto dunque alle ragioni da te esposte.
--
Giovanni Corbelli