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Titolo: Gruppo di Poincare', spazio-tempo curvo, teoria dei campi

Ecco la domanda promessa :)
Sappiamo che l'invarianza rispetto al gruppo di Poincare' e'
fondamentale nella consueta teoria quantistica dei campi.
Le rappr. irriducibili del gruppo definiscono quelli che Newton-Wigner
chiamano "sistemi elementari" e che vengono di solito identificati con
le particelle (anche se questo non e' del tutto corretto, ma ora
sorvoliamo).
Valter Moretti ha sottolineato piu' volte che in uno spazio-tempo
curvo l'invarianza di Poincare' non sussiste, e che quindi il concetto
di particella perde di significato e di utilita' in una teoria di
campo su spazio-tempo curvo.
D'altra parte lo spazio-tempo in cui viviamo (se cosi' si puo' dire)
e' indubbiamente curvo, anche se pochissimo: per questo gia' basta la
presenza della Terra.
(A titolo di curoisita', il raggio di curvatura alla superficie della
Terra ha l'ordine di grandezza di un'unita' astronomica: molto grande,
ma non infinito...)
Dunque nei nostri laboratori lo sp.-tempo e' curvo, anche se
pochissimo, quindi l'invarianza di Poincare' non sussiste, quindi la
particelle non esistono...
Allora che cosa sono quelle cose che studiano gli sperimentali? :-)
Faccio notare che il fatto che la curvatura sia piccola non ci salva:
che l'invarianza sussista o non e' un fatto qualitativo, non
quantitativo.
Oppure si puo' dare un qualche senso a una "invarianza approssimata"?
Quale potrebbe esserne il significato teorico?
Si potrebbe in qualche modo recuperare un concetto "approssimato" di
particella?
Io la risposta non la so: questa e' una vera domanda.
-- 
Elio Fabri

 Io la risposta non la so: questa e' una vera domanda.
Negli ultimi 3 anni ho lavorato, insieme a C. Dappiaggi e N.
Pinamonti , che ora stanno al Desy di Hamburg (fuga dei cevelli), su
questo problema nell'approccio che ti dico sotto. Ho anche tenuto un
talk plenario al congresso italiano di GR lo scorso settembre.
La nostra idea era di considerare spazitempo asintoticamente piatti
all'infinito luce. Il nostro universo NON lo è perché assomiglia di
più ad uno spazio di de Sitter a sezione spaziale piatta, vista
l'accelerazione che si vede ancora. Ma noi volevamo cominciare con
qualcosa di "semplice".
Gli spazi asintoticamente piatti all'infinito luce possono essere
curvi quanto vuoi lontani dall'iinfinito luce. In questa classe di
spazitempo c'è ovviamente Minkowski, Schwarzschild e molti altri spazi
a priori plausibili.
L' "infinito luce" è una struttura matematica, comune a tutti questi
spazi, abbastanza complessa: una varietà differenziabile a 3D dotata
di una metrica degenere (la varietà è di tipo luce ) ed un "gruppo di
gauge" che permette riscalamenti della metrica...Non può esserci una
vera metrica all'infinito, che non è nello spaziotempo, riscalamenti
della metrica su tale infinito sono infatti  ammissibili. La teoria,
fondata da Geroch, Ashteker, Penrose  ed altre persone di quel
calibro, la trovi per es sul Wald di RG.
C'è l'analogo del gruppo di Poincaré all'infinito che si chiama gruppo
BMS (Bondi Metzner Sachs).
E' un gruppo di Lie infinito-dimensionale che contiene dentro infinite
copie del gruppo di Poincaré in modo non canonico (non sono
sottogruppi normali o roba simile). Un mostro abbastanza brutto, ma il
fatto che contenga Poncaré era molto interessante a priori.
La nostra idea era di usare tale gruppo per risolvere il problema: le
rappresentazioni unitarie irriducibili da identificare con le
particelle potrebbero quelle del gruppo BMS, e non di Poincaré che non
corrisponde ad una vera simmetria in presenza di gravità. Il gruppo
BMS invece c'è sempre se lo spazio è curvo, ma asintoticamente piatto
all'infinito luce.
Il gruppo BMS ha operatori di Casimir tra cui uno che generalizza la
massa di Poincaré, ma che è invariante rispetto a tutto il gruppo, non
solo rispetto ai vari Poincaré interni al BMS, ci sono anche Casimir
per lo spine ecc...C. Dappiaggi è l'esperto del nostro gruppo per
queste cose.
Abbiamo scritto diversi lavori su questo, con notevoli risultati, ma
non esaurienti.
Abbiamo cominciato a costruire una "teoria di campo bosonico"
sull'infinito luce (quindi in comune per tutti gli spazi
asintoticamente piatti) usando la presenza di una certa struttura
simplettica alla quale si possono asempre associare rappresentazioni
CCR (C*-algebre di Weyl).
Tutto questo a livello algebrico e molto astratto. Poi abbiamo fatto
vedere che c'è, in tale teoria "astratta", uno stato algebrico (in
senso GNS) che è invariante rispetto a *tutto* il gruppo BMS.
La rappresentazione GNS di questo stato è di Fock e lo "spazio ad una
particella" è una rappresentazione irriducibile del gruppo BMS a massa
BMS nulla.
 Io ho dimostrato successivamente che questo stato è unico sotto
opportune ipotesi di "positività dell'energia" (rispetto ad una
nozione di energia che generalizza quella ordinaria riferita a
*qualsiasi* vettore di Killing di tipo tempo in *ogni* spaziotempo
asintoticamente piatto).
Poi dovevamo tornare a toccare la fisica dello spaziotempo smettendo
di fare i matematici puri.
 Abbiamo mostrato che c'è un modo di "indurre" dentro ogni spaziotempo
asintoticamente piatto tutta questa teoria di campo bosonico trovata
all'infinito luce in modo molto formale.
In pratica c'è una vera teoria di Klein-Gordon in ogni spaziotempo
asintoticamente piatto ed una corrispondenza uno-a-uno tra osservabili
di questa teoria ed osservabili della teoria fatta all'infinito luce,
che preserva le struttere algebrice coinvolte (CCR e struttura di C*-
algebra). Questa corrispondenza si estende ad una corrispondenza tra
stati algebrici all'infinito luce e stati algebrici sulle osservabili
di campo nello spaziotempo.
Se ci restringiamo a lavorare con lo spazio di Minkowski, accade che
lo stato privilegiato BMS invariante all'infinito luce è messo in
corrispondenza biunivoca con il vuoto Poincaré-invariante di Minkowski
nello spaziotempo e la rappresentazione unitaria irriducibile del BMS
a massa BMS nulla diventa quella di Poincaré, a massa nulla di
Poincarè.
Poi il nostro gruppo si è disperso (per mancanza di fondi) e ognuno è
andato per la sua strada.
Io sono passato a capire cosa succedeva accendendo la gravità nello
spaziotempo. Ho mostrato che lo stato privilegiato individuato
sull'infinito luce corrisponde  ad uno stato molto particolare per la
teoria di campo all'interno dello spaziotempo asintoticamente piatto
ma curvo.
Si tratta di uno stato che
1) è invariante sotto *tutte* le isometrie dello spaziotempo (quindi
nello spazio ad una particella della sua rappresentazione Fock-GNS c'è
una rappresentazione unitaria di *tutte* le simmetrie dello
spaziotempo!),
2)  che ha energia positiva rispetto ad ogni vettore di Killing di
tipo tempo.
3)  questo stato soddisfa una condizione, detta di Hadamard, che
assicura che si possa usare lo stato come background per
rinormalizzare nello spaziotempo curvo (per esempio il tensore energia
impulso mediato su questo stato è rinormalizzabile con procedure
standard).
Tutto questo è bellissimo, ma funziona SOLO per massa nulla! (le due
masse in questione sono ora la massa-operatore di Casimir del gruppo
BMS e la massa che appare nell'equazione di Klein-Gordon nello
spaziotempo).
Quindi, se lo spaziotempo è curvo, ma asintoticamente piatto, almeno
nel caso di massa nulla, c'è una nozione di particella alla Wigner che
prescinde completamente dalla curvatura.
C. Dappiaggi, ha recentemente mostrato come, in modo molto complesso,
si possano introdurre particelle massive lavorando all'infinito luce
però assumendo come background lo spazio di Minkowski.
Ora siamo tutti e tre di nuovo insieme (si fa per dire loro due sono
ad Amburgo
e io a Trento). In seguito ad alcune importanti osservazioni di N.
Pinamonti,
stiamo cercando di riutilizzare tutto il macchinario
costruito in spazi tipo de-Sitter a sezione piatta, che sono più
vicini al nostro universo. In tal caso non c'è l'infinito (piatto)
luce, ma ci sono strutture globali interessanti come orizzonti
cosmologici che potrebbero aiutarci...
Le referenze sono
C. Dappiaggi, V. Moretti  and N. Pinamonti:
Rigorous Steps towards Holography in Asymptotically Flat Spacetimes
Rev. Math. Phys.  18, 349 (2006)
V. Moretti: Uniqueness theorems for BMS-invariant states of scalar QFT
on the null boundary of asymptotically flat spacetimes and bulk-
boundary observable algebra correspondence
Commun. Math. Phys. 268, 726 (2006).
V. Moretti: Quantum out-states states holographically induced by
asymptotic flatness: Invariance under spacetime symmetries, energy
positivity and Hadamard property.
(gr-qc/0610143)
Commun. Math. Phys. (2007). in print,
C. Dappiaggi: Projecting massive scalar fields to null infinity.
Ann. Henri Poincare'  in Print
arXiv:0705.0284 [gr-qc]
Ciao, Valter

 Io la risposta non la so: questa e' una vera domanda.
Sul merito delle particelle ne so molto meno di te e di Valter. Pero' 
che ci sia spazio per "invarianze approssimate"  in fisica e' 
dimostrabile. Prendi un fenomeno "semplice"  come la classificazione 
degli stati elettronici in un cristallo. Considerarli base per le 
rappresentazioni irriducibili del gruppo delle traslazioni del reticolo 
di Bravais e'  utile esattamente come nel caso delle particlele e  del 
gr.  di Poincare'.
Ma non ci piove che i cristalli reali non sono sicuramente invarianti 
per traslazione arbitraria:  prima o poi si arriva alla superficie. 
Tuttavia,  un concetto di simmetria che sembrerebbe si'-no (e  Landau da 
qualche parte ci elabora sopra) di fatto risulta utile anche se non 
valido esattamente. Mi e' sempre rimasto il dubbio che queste 
quasi-simmetrie meriterebbero una sistemazione formale ma non ho mai 
trovato nulla a riguardo in letteratura (e  sarei grato a  chi mi desse 
eventuali riferimenti).
Giorgio

 Si potrebbe in qualche modo recuperare un concetto "approssimato" di particella?
O definisci una sorta di "trasporto parallelo" per operatori...
sarebbe come <<confrontare>> una cosa che e' qui e li' ... oppure
abbandoni le particelle per dire che non sono altro che <<fibrati
tangenti>> locali in cui e' la luce che definisce metrica e topologia.

 Giorgio
Ciao, Valter

 particella?
Ciao, nel mio piccolo vorrei provare a contribuire (ma forse non
cogliero' il punto)
 dicendo che una simmetria approssimata e' comunque buona se e'
mantenuta dal processo di rinormalizzazione: infatti avrai intal caso
che le correzioni dovute alla rottura della simmetria saranno
proporzionali al termine di rotturra stesso.
Quindi se la rottura e' piccola le correzioni saranno piccole.
A questo proposito so che un ''modello standard'' delle particelle con
termini di rottura
della simmetria di Lorentz ma con le stesse simmetrie di gauge e i
campi di materia e'
fortemente vincolato dagli esperimenti, con coefficienti adimensionali
che misurano
la rottura di Lorentz piu' piccoli di 10^-30.
Ciao.

 proporzionali al termine di rotturra stesso.
Non capisco se stiamo parlando della stessa cosa.
Il problema è cosa è una simmetria approssimata (in questo contesto)?
Intanto per simmetria qui si intende il gruppo delle ISOMETRIE di uno
spaziotempo. Se ci sono delle "quasi isometrie" (e cosa sono?) cosa ne
fai, le rappresenti unitariamente? Se non sono isometrie non c'è un
modo canonico di rappresentarle unitariamente. Le rappresenti con
operatori "quasi unitari"? Cosa sono? Insomma, non si capisce bene da
che parte forzare il formalismo...
Attenzione , non stiamo dicendo che, l'approssimazione è, come nei
cristalli, fare finta che la simmetria sia vera (cristallo infinito) e
fare la teoria in quel caso, poi confrontarla con i risultati
sperimentali. Questo lo sappiamo già fare: è la teoria nello spazio
piatto. Qui stiamo proprio dicendo di fare un modello per una cosa
approssimata, non di approssimare il modello.
Ciao, Valter

 piano tangente e in un intorno infinitesimo ce la puoi avere.
Cio' significa che se e' confinata in una regione "al limite
nulla" [la particella  li' soltanto e' definibile] allora in ogni
punto dell'universo e' contenuta tutta l'informazione che serve a
descrivere tutto l'universo stesso... una questione di <<relazione tra
le parti>>.
La cosa assurda quindi e' che se l'universo contiene (come un insieme)
tutte le sue parti esso pero' ne e' equipollente... quindi l'insieme
di tutte le sue parti [che potremmo chiamare le nostre particelle]
(che sia infinito o no) ha sempre la stessa cardinalità dell'universo
stesso.
Ma come puo' costruirsi una teoria che abbracci logicamente tale
assurdo disegno?


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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 Allora che cosa sono quelle cose che studiano gli sperimentali? :-)
come argomento qualitativo, credo ne valga la pena notare che per un
processo di scattering ci sono (almeno) tre scale in gioco: il raggio
di curvatura L_curv, la scala su cui l'esperimento viene fatto L_lab e
l'energia nel centro di massa sqrt(s) del processo di scattering. A
noi interessa il caso in cui  L_curv >> L_lab >> (hbar c)/sqrt(s).
Io, ingenuamente, direi che la dipendenza della sezione d'urto da
L_curv e' completamente coperta dalla presenza di L_lab. Quindi come
stima molto rozza dell'effetto di L_curv, io studierei prima un altro
problema molto piu' semplice:
la dipendenza delle sezioni d'urto dal cut-off infrarosso L_lab in una
teoria dei campi definita su uno spaziotempo piatto (ad es. in una
scatola di lato L_lab e su un intervallo di tempo T = L_lab c). In
questo caso sono le condizioni al bordo che rompono l'invarianza di
Poincare'. I conti si possono fare tutti ad es perturbativamente per
un campo scalare con interazione lambda phi^4 e mi aspetto di trovare
qualcosa tipo
(sezione d'urto) ~ lambda/s   (1 + const1/( L_lab sqrt(s) ) +... )
cioe' correzioni soppresse come l'inverso di (L_lab sqrt(s)). Per
sqrt(s)~1 MeV, L_lab~1 m e ammettendo che const1 sia dell'ordine di
uno, la correzione viene dell'ordine di 10^-13.
Per quanto estremamente rozzo, questo argomento credo renda bene conto
del fatto che negli esperimenti di alta energia si puo' assumere che
l'invarianza sotto il gruppo di Poincare' sia esatta e tutti i conti
si possono fare impunemente in una teoria di campo definita sullo uno
spaziotempo piatto di Minkowski.
Dal punto di vista piu' teorico formale, invece, credo ci si impara
che avere le particelle definite come rappresentazioni irriducibili
del gruppo di Poincare' non e' vitale per definire un teoria di campo
(mi sembra sia questo l'argomento della discussione). Nel caso della
teoria di campo in una scatola (con condizioni di annullamento al
bordo, ad es), e' possibile calcolare (perturbativamente) ampiezze di
transizione a tempo finito e confrontarle con gli esperimenti. Se
siamo interessati allo scattering di particelle, bisogna prendere
stati nello spazio di Hilbert che descrivono abbastanza bene
particelle a impulso definito. Tutto funziona benissimo e l'invarianza
di Poincare' (che e' rotta dalle condizioni al bordo) non gioca alcun
ruolo. Unica cosa.. fare i conti in questo modo e' voler farsi del
male!! intendo dire che concettualmente e' interessante e corretto, ma
praticamente rende molto piu' lungo qualsiasi calcolo, c'e' una certa
arbitrarieta' nella scelta dello stato che descrive le due particelle
in (e analogamente per out), e quello che si guadagna alla fine sono
solo correzioni dovute al bordo che nel regime che ci interessa sono
soppresse: tanto vale stimarle una volta nella vita e poi
dimenticarsene e fare i conti assumendo che l'invarianza di Poincare'
sia esatta.
L'idea e' che questo argomento si puo' applicare anche al caso in cui
la metrica ha una curvatura costante con raggio di curvatura grande
rispetto alle altre scale in gioco. La storia e' chiaramente diversa
se il regime a cui siamo interessati e' L_curv ~ (hbar c)/sqrt(s)  ...
ciao a tutti,
Eugenio

 fondamentale nella consueta teoria quantistica dei campi.
Anch'io ho una domanda. Non coincide con quella di Elio ma in parte
credo sia collegata.
Riguarda il seguente problema: siamo interessati a una teoria di campo
definita su uno spaziotempo non dinamico con una metrica g_L0 che e'
piatta se mediata su una scala L0, ma presenta delle piccole
variazioni sotto questa scala.
In un certo senso e' un problema complementare a quello posto da Elio.
Quello era una modifica infrarossa, questa e' una modifica
ultravioletta alla metrica di Minkowski. Per semplificare le cose
possiamo ad esempio restringere l'attenzione al caso dello scattering
con sqrt(s) << (hbar c)/L0.  Come ipotesi tecnica mi va benissimo
assumere che la metrica sia asintoticamente piatta (non solo in
media), esattamente come fa Valter.
Quello che mi preoccupa qui non e' tanto la sorte delle particelle,
che sono preparate e misurate nella regione asintotica e sono
classificate dal gruppo di simmetria asintotico. Cio' che mi preoccupa
e' cosa succede all'interazione.. La domenda e': a bassa energia gli
effetti che dipendono dalla scala L0 sono tutti soppressi come una
qualche potenza di (sqrt(s) L0), o in generale ci sono effetti non
soppressi a bassa energia? e, se si, perche' non li abbiamo mai visti
sperimentalmente?
Mi spiego meglio (e mi scuso per il fatto di entrare in un problema
tecnicamente pesante). Ammettiamo di riuscire a fare la teoria di
campo con metrica di background g_L0 e restringiamo l'attenzione a
processi di energia bassa rispetto a  (hbar c)/L0. I risultati di
questa teoria possono essere riprodotti da una teoria effettiva di
bassa energia ottenuta integrando via i gradi di liberta' di alta
energia.  La teoria effettiva e' descritta da una Lagrangiana che ha
sia termini di dimensione <=4 (termini rinormalizzabili) che a bassa
energia danno il contributo dominante, sia termini  di dimensione >4
che danno un contributo che e' soppresso come  l'energia in gioco nel
processo diviso la scala della fisica che stiamo ignorando (nel nostro
caso hbar c/L0).  La domanda e':
i termini di dimensione  <=4 nella Lagrangiana (cioe' quelli
rinormalizzabili) sono invarianti di Lorentz? a priori no!! o mi
sbaglio? c'e' qualche altra simmetria che li protegge e li rende
Lorentz invarianti o e' necessario un fine tuning? c'e' un problema di
naturalezza pure per l'invarianza di Lorentz??
Eugenio

 piatto. 
...
Che si applica anche a quelle situazioni in cui lo spazio non è
approssimabile come piatto, immagino; come a esempio nei processi fisici
che coinvolgono oggetti collassati, come pulsar e buchi neri.
In questi casi però i risultati ottenuti dalla teoria sono probabilmente
"meno affidabili" rispetto alle ordinarie situazioni di laboratorio.
Trovo interessante questa dicotomia, non indedita per la verità, tra le
frontiere avanzate della modellizzazione teorica, da un lato, e le
"prosaiche" necessità poste dall'ermeneutica del mondo reale, dall'altro.
Di più. 
Direi che è sorprendente constatare come sperimentali e teorici riescano,
anche al giorno d'oggi, a sedere attorno a un tavolo per trasmetersi, in
maniera comprensibile ed efficace i risultati delle loro indagini e i
concetti di base che li ispirano, sintetizzandoli in un quadro unitario e
coerente.  
Secondo me fanno finta :)).
Saluti,
Aleph
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 "meno affidabili" rispetto alle ordinarie situazioni di laboratorio.
Non è mica vero: esiste una teoria dei campi in spaziotempo curvo che
si usa in tali contesti. Per esempio la radiazione di Hawking viene
fuori usando la teoria dei campi in spaziotempo curvo e non quella in
spaziotempo piatto. La questione è che passando dal piatto al
genericamente curvo, si perde la nozione di particella così come si
definisce nella teoria nel piatto e dovuta a Wigner. Però le
particelle si "vedono" al CERN, anche se c'è gravità cioé curvatura
(pochissima ma c'è). Manca un modo di trattare questo stato di cose,
cioé un corrispondente teorico della fenomenologia sperimentale...
Ciao, Valter

 wrote:
Ciao Eugenio, ho letto quello che chiedi. Io non sono ingrado di
risponderti. Quel poco che abbiamo fatto noi (e lo hai visto, al
congresso SIGRAV c'eri anche tu) riguarda particelle massless e senza
interazione, non abbiamo minimamante idea di cosa succeda introducendo
l'interazione!
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
.... perche' manca?
Perche' dici che <<un corrispondente teorico della fenomenologia
sperimentale manca??>>
Quali sono gli esperimenti pensati per mettere in evidenza <<una
qualche caratteristica della microparticella su spaziotempo curvo che
varia su tale spaziotempo>>?

 cioé un corrispondente teorico della fenomenologia sperimentale...
Questo lo capisco un po' meno... o almeno mi sembra che il gatto si morda
la coda.
Se nella teoria quantistica degli spazi curvi "si perde la nozione di
particella..." usuale, allora in che senso tale teoria può dirsi veramente
 quantistica?
Voglio dire, se il concetto canonico di particella viene depotenziato nel
passaggio agli spazi curvi, allora come è possibile descrivere in tale
"framework" processi eminentemente "particellari" come, a esempio,
l'emissione di radiazione di Hawking da un buco nero?


 l'emissione di radiazione di Hawking da un buco nero?
Prima di tutto, non è vero che per parlare di "stati termici" tu abbia
bisogno della nozione di particella. Hai solo bisogno di un campo
vettoriale di Killing di tipo tempo. Uno stato è termico alla
tempertaura T rispetto alla nozione di tempo associata alla simmetria
di Killing suddetta, se soddisfa una certa condizione detta condizione
KMS scoperta da Kubo, Martin e Schwinger (in realtà è sttao Haag che
ne ha capito l'importanza).
Qui la storia è complicata, ma questa condizione produce una diretta
generalizzazione della nozione di distribuzione (quantistica) canonica
(nel senso di Gibbs) alla temperatura T nelle situazioni in cui il
sistema fisico è, per esempio, in un volume infinito...
Nel caso di Schwarzschild, il campo di Killing è quello associato alla
coordinata t di Schwarzschild fuori dall'orizzonte. Ci sono anche
altre situazioni dove questa tecnologia viene usata, come l'effetto
Unruh: il vuoto di Minkowski, per un osservatore uniformemente
accelerato, appare come un bagno termico ad una certa temperatura (che
dipende dall'accelerazione)...
Veniamo al caso specifico della radiazione di Hawking.
Devo premettere che in QFT in curved spacetime c'è una definizione più
debole di particella, se uno la vuole, che si ottiene come segue.
L'oggetto fondamentale è il campo quantistico. Poi bisogna fissare uno
stato di riferimento e fare la costruzione GNS: in questa costruazione
il campo diventa un operatore di campo e lo stato diventa un vettore
in un certo spazio di Hilbert.
Se lo stato è fatto in un certo modo (stato "quasilibero"), lo spazio
di Hilbert di cui sopra è uno spazio di Fock e quindi esiste una base
privilegiata a "numero di particelle fissato". In definitiva c'è
quello che si chiamo "spazio ad una particella" e gli stati in questo
sottospazio sono interpretabili come stati che si riferiscono ad una
particella sola. Cosa si perde rispetto alla teoria Minkowskiana? Si
perde questo, nella teoria di Minkowski (spazio piatto) lo stato
privilegiato era univocamente fissato richiedendo che fosse invariante
sotto il gruppo di Poincaré e che avesse energia positiva rispetto
alle traslazioni temporali. In questo contesto, quando salta fuori lo
spazio di Fock, si vede che lo spazio  ad una particella è una
rappresentazione irriducibile del gruppo di Poincaré. Pertanto è
completamente individuata dai valori degli operatori di Casimir:
massa, spin, segno dell'energia (carica e altra roba se c'è). Le
particelle sono allora quelle che conosciamo a massa, spin ecc..
fissate. Nel caso di spaziotempo curvo, la nozione di particella detta
sopra non ha alcuna di queste caratteristiche, in generale. Proprio
perché non c'è più il gruppo di Poincaré.
Nel caso della radiazione di buco nero di Schwarzschild, si vede che
c'è uno stato di quasiliberoi di riferimento che è (1) uno stato KMS
alla temperatura di Hawking come detto sopra (in realtà è un pò più
complicato),
ma anche (2)  è uno stato pieno di particelle alla temperatura di
Hawking, quando si analizza lo stato, con la struttura geometrica
piatta che si ha infinitamente lontano dal buco nero, dove lo spazio è
piatto.  In altre parole, gli stati ad una particella, quando valutati
"molto lontano dal buco nero",  tendono ad avere proprietà simili a
quelle degli stati ad una particella Minkowskiana. Spero di averti
scritto qualcosa di comprensibile.
Ciao, Valter