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Titolo: Problemi e soluzioni

Salve a tutti, sono un ragazzo di 19 anni che frequenta il quinto anno del
liceo scientifico. Mi piace molto la fisica, ma purtroppo ho un prof
abbastanza inetto e che ama maggiormente la matematica e quindi non riesco a
trovarmi bene con lui. Spesso risolvo dei problemini che lui non capisce
nemmeno, o cmq non vuole perdere tempo a rivedere con me e quindi io vorrei
sottoporli a voi, giusto per capire se ho fatto bene o meno.
Iniziamo!
1) Un pallone aerostatico pesa 1000 kg, ed ha un volume di 1600 metri cubi.
La densita' dell'aria al livello del suolo e' di 1 kg al metro cubo,
e dipende dalla altezza secondo la legge: rho(z)=rho(z=0) exp(-z / 8000),
dove z e' espresso in metri.
Determinare la quota alla quale il pallone staziona se lasciato libero da
ogni vincolo.
Determinare la variazione di tale quota se il pallone si libera di 200 kg di
zavorra.
Perchè il pallone stazioni il suo peso specifico deve essere uguale a quello
dell'aria circostante, perciò
ho risolto calcolando la densita del pallone rho=1000 kg/
1600mcubi=0.625kg/mcubo
poi, impostando la legge rho(z)=rho(z=0)*e^(-z/8000)
ho posto  rho(0)*e^(-z/8000)=0.625 da cui z=colog(0.625)*8000=3760 m circa.
se invece il peso del pallone diminuisce di 200 kg il suo peso specifico è
rho=0.5 kg/mcubo
e quindi la quota di stazionamento è z=colog(0.5)*8000=5546 m circa
La variazione è (5546-3760)m=1786m
2) Uno squalo insegue un pesce che nuota alla velocita' di 20 km/h.
La separazione iniziale e' di 1000 metri, ed entrambi nuotano a velocita"
Costante lungo una linea retta.
La potenza richiesta allo squalo per nuotare a velocita' v
Varia secondo una legge quadratica: W= 0.02*v^2
dove V e' espressa in Km/h, e W in kW.
Qual e' la velocita' v che permette allo squalo di raggiungere
Il pesce impiegando l'energia minima?
Esprimerò sempre la velocità in km/h, il tempo in h e lo spazio in km.
La legge oraria dello squalo è s=v*t , quella del pesce s=20*t+1.
Lo squalo raggiunge il pesce quando v*t=20t+1, cioè quando t=1/(v-20).
L'energia impiegata dallo squalo allora sarà J=W*t=0.02*v^2 / v-20
Per trovare il minimo derivo e ottengo:
derivata prima j=0.02v^2-0.8v ponendo uguale a 0 ottengo v=0 e v=40, che è
il valore cercato.
3) Una palla e' lanciata oltre un muro lontano dieci metri e alto quattro
metri.
La traiettoria lambisce la parte superiore del muro (in altre parole: la
Traiettoria passa in prossimita' dell'estremita' superiore del muro,
ed in quel punto la velocita' verticale e' nulla).
A quale distanza oltre il muro cade la palla?
Si discuta la distanza oltre il muro alla quale cade
La palla, al variare della velocita' iniziale.
A quanto ho capito il problema dovrebbe essere semplice. Se la palla arriva
sulla sommità del muro con velocità verticale nulla, allora quello è l'asse
della
traiettoria parabolica che compie, quindi dovrebbe cadere esattamente 10m
oltre il muro.
Inoltre, ma forse ho capito male, questa è l'unica traiettoria che lambisca
con velocità verticale nulla
la sommità del muro, quindi non ha senso parlare di altre distanze di
gittata. Ho forse compreso
male il quesito posto dal problema? Mi sembra troppo facile.
4) Una carica puntiforme q e' sparata a velocita' V verso una carica
puntiforme Q dello stesso
segno.
La carica Q e' fissa, la separazione delle due cariche all'istante iniziale
E' molto grande, e la massa della carica mobile sia m.
La velocita' della carica mobile e' sempre diretta lungo la congiungente
delle due cariche.
Qual e' la distanza minima raggiunta dalle due cariche durante l'
esperimento?
Qual e' la velocita' finale (in direzione e modulo) della carica mobile
Molto tempo dopo l'istante iniziale?
Si discuta la traiettoria della particella mobile in funzione del tempo.
Ho fatto questo ragionamento: il sistema è isolato poichè non intervengono
forze esterne, quindi la quantità di energia totale
si maniente costante.
Poichè all'istante iniziale le due cariche si trovano a distanza molto
grande, la loro en. potenziale elettrica è pressochè trascurabile,
quindi l'unica energia presente è quella cinetica della carica mobile
K=0.5*m*v^2.
Nel momento in cui la forza di coulomb ferma la carica mobile questa è
ferma, quindi K=0. Poichè l'energia
non può essere scomparsa e supposto il sistema privo di attriti K è
diventata en. poten. elettrica E=h*Q*q/r in cui
h è il coeff. di proporzionalità e r la distanza fra le cariche.
Ecco che K=E cioè  0.5*m*v^2=h*Q*q/r e quindi r=2h*Q*q/m*v^2.
Non riesco a svolgere la discussione della traiettoria, non ho capito cosa
voglia dire.
5) Un elicottero del peso di 4000 kg si sostiene in volo stazionario
(hovering).
Tale condizione di volo e' resa possibile dalla forza esercitata dall'aria
Che viene spinta verso il basso dal rotore principale.
Nel nostro caso, il rotore principale genera un flusso di aria di 1000 metri
Cubi al secondo diretto verso il basso.
La densita' dell'aria e' di un kilogrammo al metro cubo.
Qual e' la velocita' verticale dell'aria all'uscita del rotore?
Si assuma g=10 metri quadri al secondo.
L'elicottero è fermo, quindi la risultante delle forze applicate su di esso
è nulla. La forza pesa è diretta verso il basso
ed è F=m*a=4000*10=40000 N
Il rotore spinge l'aria verso il basso e quindi per il principio di
azione-reazione l'aria esercita su di esso è uguale e opposta, quindi
rivolta verso il basso.
Quindi le due forze devono essere uguali in modulo
40000=1000*1*v da cui v=40 m/s
8) Una lampada diffonde energia luminosa con una potenza di
600 watt. La luce e' emessa in ugual misura in tutte le direzioni
(emissione isotropa).
Una foglia e' posta a due metri dalla lampada, ed utilizza completamente
La radiazione luminosa incidente per la fotosintesi clorofilliana.
La superficie della foglia misura 50 cm quadrati.
Qual e' l'energia massima giornaliera resa disponibile da questa foglia
Alla pianta alla quale appartiene?
Ho pensato che se la radiazione è isotropa la dispersione nello spazio è
uniforme, quindi ho immaginato la lampadina al centro
di una sfera di r=2m. La sua superfice è S=16pigreco mq=50,265 mq=502650
cmq, superficie su cui i 600 watt si disperdono uniformemente.
La foglia viene colpita soltando da 50 cmq, cioè da 50/502650 watt=0.059
watt
Scusatemi tanto se vi ho tediato così a lungo, magari ho pure sbagliato
tutto...
Gradirei sentire le vostre correzioni e i vostri suggerimenti.
Grazie mille!!!

male il quesito posto dal problema? Mi sembra troppo facile.
Suggerimento criptico: devi sapere anche l'eta' di chi lancia la palla
per poter risolvere univocamente il problema.... ;)
ciao
er focaccia

 per poter risolvere univocamente il problema.... ;)
ovvero: le bollette le paga lui/lei o la sua familia?
;-)

Complimenti, davvero bravo.
Poche osservazioni.
Problemi 1 e 2:
non ho controllato i calcoli, ma il procedimento e' corretto in
entrambi.
Ma con colog intendi -log? Te l'ha insegnato il tuo docente?
Nel secondo, ovviamente, quando scrivi la derivata quello e' solo il
numeratore, giusto quello che ti serve porre uguale a zero.
Problema 3:
esatto. E' proprio semplice come pensi! Pero' credimi: sapessi quanta
fatica occorre a volte per fare entrare in testa a certi studenti i
concetti che qui ti appaiono (e sono!) cosi' semplici! Poi questi
studenti si laureano, e alcuni diventano insegnanti... coi risultati
che, a quanto dici, tu puoi ben vedere.
Problema 4:
ok per la distanza minima raggiunta dalle cariche.
Poi pero' non affronti il quesito sulla velocita' finale "molto tempo
dopo l'istante iniziale". La risposta e': la velocita' "molto tempo
dopo" e' la stessa in modulo e direzione, opposta in verso.
Il perche' e' semplice: quando q arriva alla distanza minima da Q,
comincia a muoversi a ritroso (le due cariche sono di ugual segno, si
respingono). Di nuovo per la conservazione dell'energia (impostazione
"speculare" a quella che hai fatto per trovare la distanza minima), la
velocita' sara' la stessa, in modulo, con cui era stata sparata
all'inizio (perche' "molto tempo dopo" si trovera' di nuovo "molto
lontano", tanto da poter considerare nulla l'interazione elettrostatica
e quindi l'energia potenziale associata).
Naturalmente, il discorso sull'energia ti fornisce il modulo della
velocita', non direzione e verso. Quello lo ricavi dalla famosa
discussione sulla traiettoria. La traiettoria, sai certamente, non e' la
legge oraria, per cui non ti e' chiesto di trovare la legge r(t)
(peraltro non semplice: equazione differenziale del secondo ordine non
lineare!). Ti si chiede la traiettoria, cioe' l'insieme dei punti
descritti dalla carica q.
Ebbene, e' una semiretta. Detto elegantemente: la forza di interazione
e' una forza centrale (diretta lungo la congiungente delle cariche);
anche la condizione di moto iniziale della q la vede muoversi lungo tale
congiungente (importantissima osservazione, questa! Non basta dire che
la forza e' diretta lungo la congiungente... per fortuna, altrimenti la
terra dovrebbe cadere sul sole, e la luna sulla terra!). La q si muove
allora lungo la congiungente con Q, rallentando perche' respinta da Q
(segni uguali). La sua velocita' diventera' nulla a un certo punto (come
tu hai mostrato), e la q comincera' a muoversi a ritroso, perche' sempre
respinta da Q, sulla congiungente le due rette, perche' la forza e'
sempre centrale. Questo ti dice anche che la velocita' finale ha
direzione uguale a quella iniziale e verso opposto.
Problema 5:
va bene. Detto F il flusso d'aria (volume spostato/tempo) e g
l'accelerazione di gravita', m la massa dell'elicottero e ro la densita'
dell'aria, per trovare la velocita' di quest'ultima tu imposti
un'equazione epr uguagliare le forze che agiscono sull'elicottero,
scrivendo:
m*g=F*ro*v
Piu' che giusto, ma... ti va di discutere il secondo membro
dell'equazione? Giusto per rendere la cosa piu' elegante.
Non so se, al quinto liceo, sai cosa e' la quantita' di moto:
probabilmente si, e la conoscerai come p=m*v.
Bene, devi sapere che la legge di Newton per particelle puntiformi,
nella forma piu' generale, non e' F=ma! (non stupirti, segui). La forma
piu' generale e':
F = dp/dt
Poiche' p=mv, e poiche' m e' costante nella maggior parte dei problemi
di fisica, la legge si riduce spesso a:
F = dp/dt = d(m*v)/dt = m*(dv/dt) = m*a
perche' dv/dt=a.
Ma, appunto, questo non vale per sistemi in cui la massa varia (tipo un
razzo lanciato nello spazio, o un palloncino che si sgonfia e per questo
vola).
In quel caso, va derivata anche la massa.
Nel problema che proponi, il rotore dell'elicottero esercita sull'aria
una forza data da:
F = dp/dt = d(m*v)/dt = v*(dm/dt)
perche' l'aria e' mossa a v costante (ipotesi del problema).
Questa forza, per il terzo principio della dinamica, e' esercitata anche
dall'aria sull'elicottero. E chi e' dm/dt? E' la massa d'aria spostata
per unita' di tempo, cioe' appunto F*ro (F=volume spostato nell'unita'
di tempo, ro=massa per unita' di volume).
E il secondo membro della tua equazione e' giustificato.
Concordi che cosi' e' piu' elegante? Sai come e', scriverlo cosi', senza
spenderci una parola, visto appunto che nei sistemi fisici "onesti" e'
F=ma, puzza un po' di cosa messa li' perche' si trova con le dimensioni.
Quando si puo', e' meglio darla qualche spiegazione, come nel problema 4
sulla traiettoria dlla carica q. Senno' succede che poi le persone serie
dicono che noi fisici siamo approssimativi e "arronziamo" le cose.
Problema 8 (lo chiami 8, ma e' il sesto che scrivi):
ok per il calcolo della potenza incidente sulla fogliolina, ragionamento
corretto. Tra parentesi ti sei dimostrato da solo che la potenza
irraggiata da una sorgente luminosa puntiforme decresce con la distanza
col quadrato della stessa (vale per onde sferiche, quindi...).
Pero' ti sei dimenticato di calcolare la MASSIMA energia giornaliera che
la foglia rende disponibile alla pianta.
Al MASSIMO la foglia potra' sfruttare tutta l'energia che incide su
essa, per cui basta moltiplicare la potenza che tu hai calcolato per il
tempo di una giornata. Per avere l'energia in Joule, devi moltiplicare
la potenza in watt per il tempo in secondi (86400), per averla in
kilowattora devi moltiplicare la potenza in watt per il tempo in ore
(24):
Nota: complimenti per aver eseguito correttamente il passaggio da metri
quadri a centimetri quadri. Non sto ironizzando: anche questo e' spesso
uno scoglio duro da superare, anche con laureati con 110 e lode!
Scusa se ti ho tediato io, stavolta.
Gli altri, saggiamente, non si saranno nemmeno soffermati a leggere :)
Saluti
Woodridge
-- 
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 il valore cercato.
Se posso darti un consiglio, ma forse lo saprai gia', cerca di andare avanti
il piu' possibile con il calcolo simbolico e la sostituzione coi numeri
falla alla fine, almeno per questo tipo di problemi. A volte serve per
evitare errori o per rendere piu' snello il procedimento, tant'e' che
nell'esercizio di sopra risolvendolo tutto simbolicamente ci si accorgeva
che non serviva sapere ne' la costante di attrito (quello 0.02) ne' la
distanza iniziale tra i due pesci. Se fossero stati 'numeracci' magari forse
ti complicavi un po' le cose, anche se mi sembra che tu li risolva con
disinvoltura questi problemi.
Xam

 Gli altri, saggiamente, non si saranno nemmeno soffermati a leggere :)
Come vedi, ti sei sbagliato...
Comunque, mi associo ai complimenti.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 Il pesce impiegando l'energia minima?
In questo problema direi che la resistenza che il pesce incontra per 
nuotare nell'acqua sia proporzionale al quadrato della velocita`, e 
quindi la potenza richiesta e` proporzionale al cubo della velocita`.
Inoltre convertirei tutte le unita` di misura in un sistema coerente (ad 
esempio metri al secondo), giusto per non perdersi per strada qualche 
fattore importante.
8 W per uno squalo che nuota a 20 km/h mi sembra poco, ma questa e` solo 
una impressione.
Ciao
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

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Sei un dottorone, vero? Che fate di bello in questo dipartimento?

 una impressione.
Guarda caso, avevo fatto un conto del genere poco tempo fa. Per un
tonnoche va a 2 m/s avevo trovato 50 W. Siccome 20 km/h = 5.6 m/s, e
visto che la potenza va col cubo di v, risulterebbe intorno a 1 kW, che
e' molto, ma forse non irragionevole: non credo che un tonno (o uno
squalo) possano sostenere a lungo una velocita' di 20 km/h.
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