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Titolo: Esercizietto...

Scusatemi, ma non mi trovo con questo semplice esercizio di relatività
<<In un decadimento beta, viene emesso un elettrone con un energia di 1 MeV.
Calcolare l'impulso p>>
Innanzitutto non mi è chiaro se per energia dell'elettrone s'intende
1) E = m c^2 = m0 * gamma * c^2
oppure l'energia cinetica
2) T = m0 c^2 (gamma - 1)
Visto che conosco il risultato numerico, ho svolto l'esercizio in entrambi i
casi, con i seguenti risultati
1) p = 1/c * (E^2 - m0^2 c^4)^1/2
2) p = (m0 * T)^1/2
e, usando m0 = 0.51 MeV, ottengo
1) p = 0.87 MeV/c
2) p = 0.71 MeV/c
che non concordano col risultato del testo p = 1.4 MeV/c
I calcoli che ho fatto sono:
1) E = m0 / ( (1 - v^2 / c^2)^1/2 ) * c^2
       => v = (1 - m0^2 c^4 / E^2) c
       p = m0 / ( (1 - v^2 / c^2)^1/2 ) * v
2) T = m0 * c^2 ( 1 / ( (1 - v^2 / c^2)^1/2 ) - 1 )
       => v = ( T / (T + m0 c^2) )^1/2
       p = m0 / ( (1 - v^2 / c^2)^1/2 ) * v
Dove sbaglio???
Grazie e ciao tutti
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

Dopo aver fatto i conti mi risulta che l'energia fornita sia quella
cinetica.
Ora vediamo lo svolgimento:
-> Modo 1 (immaginando che ti fosse stata data l'energia totale):
perchè non usi direttamente p = /sqrt( E^2 - m^2) ?
-vedo che scrivi le velocità, che bisogno c'è?
-vedo che scrivi i c: le unità MeV sono fatte apposta per dimenticarsi
i c (e purtroppo anche dimenticarsi ogni tanto dove rimetterseli...)
-> Modo 2:
utilizzi T = p^2/2m che è corretta solo per basse velocità.
un elettrone con energia cinetica T=1MeV ha praticamente v=c.
La relazione impulso/energia in relatività è: p= sqrt( E^2 - m^2) = /
sqrt ( (E + m) ( E- m) ) = /sqrt ((T+2m)T),
il primo passaggio è algebra, il secondo è la definizione di energia
cinetica: E= T+m.
Sostituendo ottieni il risultato del testo.
sD

 Dove sbaglio???
Sinceramente, non lo so. A me 0.87 MeV/c sembra corretto.
Ciao.

 2) T = m0 c^2 (gamma - 1)
A quanto pare ti hanno dato l'energia cinetica...ma perche' usi queste 
relazioni? La formula piu' utile' e':
E^2 = M^2 + p^2 [c=1, M=massa invariante]
L'energia totale e' E = M + T
Quindi p = sqrt((M+T)^2 - M^2))
Se ti viene chiesta la velocita' basta ricordare che v = p/E
Saluti

 Sinceramente, non lo so. A me 0.87 MeV/c sembra corretto.
Sembra che StefanoD abbia la risposta...
Ciao e grazie


 Sostituendo ottieni il risultato del testo.
Giusto, solo non mi torna che la p(T,m0) che scrivi qua (e su cui mi trovo)
non concorda con la p(T,m0) che ho calcolato sopra!
Grazie di nuovo e ciao


 a quanto pare il mio prof intendeva la 2!
Allora ha sbagliato lui, se ha parlato di "energia" e non di "energia
cinetica".
Comunque, se ti ha dato l'energia cinetica, neanche in questo caso è
necessario calcolare la velocità.
Detta T l'energia cinetica,  E l'energia ed m la massa (non è
necessario specificare che si tratta di "massa a riposo " in quanto è
l'unica massa che abbia significato per i fisici), si ha:
E = T + mc^2 --> p = 1/c * [E^2 - (mc^2)^2]^1/2 
= 1/c * [(T + mc^2)^2 - (mc^2)^2]^1/2 
= 1/c * [T^2 + 2Tmc^2]^1/2 = T/c* [1 + 2(mc^2)/T]^1/2 
=~ 1MeV/c* [1 + 2*0.5]^1/2 = 2^1/2 MeV/c =~ 1.4 MeV/c
senza neanche usare la calcolatrice.
Ciao.

 Se ti viene chiesta la velocita' basta ricordare che v = p/E
Giusto, mi trovo
Grazie di nuovo, ciao


 Mi potresti dire dove si possono omettere le velocità?
Puoi scegliere di utilizzare gli impulsi al posto della velocità come
variabili indipendenti (alcuni istruiti parlano di "spazio delle fasi"
al posto di "spazio degli atti di moto"..).
La relazione energia/impulso diventa E^2 = p^2 + m^2,
puoi ottenere questa espressione elevando al quadrato E e p (scritte
in termini della velocità) e eliminando la velocità.
Ci sono molte ragioni per cui è più comodo utilizzare l'impuslo
rispetto alla velocità: l'impulso si trasforma come un vettore di
lorentz, l'impulso totale si conserva...
Se ti serve ottenere le velocità usa v= p c^2 / E, espressione che
ottieni dividendo membro a membro E e p (scritti in termini delle
velocità).
sD

 senza neanche usare la calcolatrice.
Si, io ho usato le velocità per ricavarmi la formula
p = 1/c * [E^2 - (mc^2)^2]^1/2
a partire da E = m / [(1 - v^2 / c^2)^1/2] * c^2
ma naturalmente la formula di p(E,m) già la conoscevo e non c'era bisogno di
ricavarla, quindi ho fatto una cosa inutile...
Con i calcoli mi trovo, sono semplicissimi.
Grazie mille, ciao


Grazie veramente per tutto quello che mi hai detto.
Volevo inoltre dirti che la relazione
v = sqrt( T / (T + m0 c^2) ) c
che avevo calcolato nel precedente messaggio, è sbagliata, quindi ho risolto
tutti i problemi!
Grazie mille, ciao
