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Titolo: Moto nel piano, raggio vettore...

Ciao a tutti,
sul mio libro è scritto che la posizione di un punto P nel piano può
essere individuata per mezzo del raggio vettore,
 
               r(t)=x(t)*i + y(t)*j
dove i e j sono i versori dell'asse x e y; r(t), i e j sono vettori.
Se è nota la dipendenza dal tempo di r, cioè se è nota la funzione
r(t), allora è individuato il moto del punto P.
Matematicamente quella sopra è l'espressione di una curva in forma
parametrica.
Quello che non mi è chiaro è perchè il libro dica che basta conoscere
questa espressione oer "individuare" il moto di P.
Mi spiego: poniamo che esista una curva della forma, che ne so, del
circuito di Monza.
Allora, per quanto ipotizzato, la curva "Monza" avrà una forma
                         r(t)=x(t)*i + y(t)*j
Però una Ferrari percorre questa curva più velocemente di una,
poniamo, Minardi.
Quindi, la sola espressione  r(t)=x(t)*i + y(t)*j non mi dice granchè,
se non la "forma", in termini molto pratici, della traiettoria...
Qualcuno mi spiega dove sbaglio e dove faccio confusione?

 Qualcuno mi spiega dove sbaglio e dove faccio confusione?
Come ricordavi tu r(t) e' un vettore che puo' essere scritto nella forma da
te ricordata, oppure possiamo scriverlo anche in una forma piu' comoda dal
punto di vista tipografico (qua non si riesce a scrivere le freccette).
Diciamo r(t) = ( x(t) , y(t) ).
Poiche' abbiamo il moto di due oggetti (la Ferrari e la Minardi),
distinguiamoli in rF(t) e rM(t). Sara':
rF(t)  = ( xF(t)  ,  yF(t)  )         e
rM(t) = ( xM(t) , yM(t) ).
Supponiamo che all'istante t=0 sia la Ferrari che la Minardi siano alla
linea di partenza e che tale punto sia proprio l'origine degli assi
coordinati che stiamo utilizzando per descrivere il moto:
rF(t=0)  = ( xF(t=0)  ,  yF(t=0)  ) = ( 0 , 0 )
rM(t=0) = ( xM(t=0) , yM(t=0) ) = ( 0 , 0 ).
All'istante t=0 le due automobili partono.
Poniamo che dopo 60 s la Ferrari abbia completato il giro. In quello stesso
istante la Minardi non sara' ancora arrivata al traguardo (cioe' alla
posizione (0,0) in quanto il traguardo si trova dove e' anche la linea di
partenza); si trovera' in un altro punto del circuito che chiamiamo (a,b).
Sara'
rF(t=60s)  = ( xF(t=60s)  ,  yF(t=60s)  ) = ( 0 , 0 )
rM(t=60s) = ( xM(t=60s) , yM(t=60s) ) = ( a , b ).
Come vedi dalle due leggi orarie, rF(t) e rM(t), non solo ottieni la "forma"
del circuito nella maniera detta da te (per ottenere la quale, come dicevi
chiaramente anche tu, ne basta una di legge oraria), ma riesci anche a dire
quale delle due automobili percorre il circuito piu' velocemente, quale
delle due tornera' per prima al punto di partenza.
Da quanto dici immagino che non ti sia stato ancora presentato il concetto
di velocita' (almeno non ancora per quanto riguarda i moti bidimensionali).
Quando ti verra' presentato tale concetto la questione ti risultera' ancora
piu' chiara: la velocita' (il modulo della velocita') della Ferrari sara' in
ogni istante maggiore (del modulo) della velocita' della Minardi. Questo
almeno nei casi di moti "semplici", tipo il moto circolare uniforme che
immagino vedrai fra breve.
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 Quindi, la sola espressione  r(t)=x(t)*i + y(t)*j non mi dice granchè,
devi distinguere tra traiettoria e legge oraria
la r(t) è la legge oraria e ti dice come si muove il corpo nel tempo
questa sarà diversa a seconda se del corpo (ferrari, minardi, ...), 
perché diverso sarà l'andamento nel tempo
la traiettoria è il circuito, ovvero l'insieme di punti occupati dal 
corpo nel suo moto
come tu hai detto r(t) è un'equazione parametrica, quindi se elimini il 
parametro ottieni una funzione y(x) che ti dice solamente come è fatto 
il circuito, e sarà uguale per qualsiasi corpo che percorre la stessa pista
ps: nel caso di curva chiusa, come il circuito, allora la traiettoria 
non sarà una semplice funzione, ma sarà in generale una curva
-- 
e.manuel

questa espressione per "individuare" il moto di P.
Guarda ti togli ogni dubbio se passi dal tempo t
all'ascissa curvilinea su Monza: s=s(t) <==> t=t(s).
In questo caso hai la legge di percorrenza: s=s(t), ben
evidenziata/separata dall'equazione parametrica della
curva-traiettoria-Monza.
Fai cioe` quello che si dice un cambio di parametri, cui
cineaticamente e` legato pero` un ben preciso significato
fisico, mentre geometricamente sono indifferenti.
Esempio.
DATA
r=a[cos(x)i + sen(x)j]; x=wt
PASSI A
s=awt <==> t=s/(aw)
E dunque, traiettoria:
r=a[cos(s/a)i+sen(s/a)j]; [*]
Legge di percorrenza:
s=awt
Per dire.. Ferrari: w=10; Lotus: w=3;-))
----------
[*] ovvero, eliminando il parametro s: x^2+y^2=a^2
-- 
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Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 Qualcuno mi spiega dove sbaglio e dove faccio confusione?
Riprendendo il tuo esempio il moto della Ferrari e della Minardi sarebbe
rappresentato da espressioni differenti per r(t), che pur descrivendo
geometricamente lo stesso circuito, avebbero un ritmo di percorrenza
diverso. 
Considera le due equazioni seguenti:
r(t)  = sin(k*t)*i + cos(k*t)*j
r'(t) = sin(k'*t^2)*i + cos(k'*t^2)*j
i vettori posizione descrivono in entrambi i casi una circonferenza, ma
con "ritmo" differente (lo vedi bene immaginando di porre ad es. 
k = k' = 1).
Saluti,
Aleph 
-- 
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Ciao.
Grazie per la risposta,
ma c'è ancora una cosa che non mi è chiara: pur essendo la "forma"
della traiettoria la medesima (il "sostegno" direbbero i matematici),
le componenti x(t) e y(t) sono diverse per le due vetture?
Ad esempio, poniamo un "circuito" di questa forma:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Lissajous.html
questa curva ha una certa equazione parametrica, ma a quale moto
corrisponde questa equazione parametrica? (cioè, alla ferrari? alla
minardi?
E posto che questa equazione parametrica rappresenti il moto di una
vettura, un vettura che vada più veloce/meno veloce sul medesimo
tracciato da quale equazione parametrica deve essere rappresentata?

 tracciato da quale equazione parametrica deve essere rappresentata?
Ad esempio, se quella postata e' la legge oraria della Ferrari allora la
stessa legge oraria con la sostituzione di t con t/2 sara' la legge oraria
della Minardi che passera' in ogni punto del circuito con una velocita'
esattamente pari alla meta' della velocita' che aveva la Ferrari quando
passava di li'. Il punto che verra' raggiunto dalla Ferrari all'istante t=t_
verra' raggiunto dalla Minardi all'istante t=2*t_.
In sostanza quando espliciti la legge oraria non dici solo la "forma" del
circuito, dici anche quanto tempo ci mette l'automobile in questione a
percorrerlo, dici se si tratta della Ferrari o della Minardi.


Grazie a tutti quanti,
penso di aver capito!
In effetti ho risposto a Bruno Cocciare quando ancora non avevo lette
gli altri post, e i dubbi sono spariti!