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Titolo: Esempio problema agli pseudo-autovalori

Salve,
l'equazione che si ricava nel metodo Hartree-Fock
f \phi_n = E_n \phi_n
è chiamato nel libro Szabo Ostlund, Modern Quantum Chemistry equazione agli
pseudo-autovalori in quanto l'operatore di fock f = J-K dipende a sua volta
da un sottoinsieme delle sue autofunzioni. A scopo didattico (mio) e per
curiosità vorrei trovare un esempio (il più semplice possibile e
possibilmente risolubile "il più semplicemente possibile") di problema agli
pseudo-autovalori, in modo da introdurre in un caso semplice l'idea di
calcolo iterativo SCF. Spero di essere riuscito a spiegarmi...
Qualche idea?
Lorenzo

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 Hartree fock per un atomo di Elio. Piu' semplice ancora una buca
a pareti infinite in cui l'energia del livello " i " sente quanta energia
cinetica c'e' negli altri livelli, come una pressione diciamo.
L'hamiltoniana si scrive H_n (termine non interagente con autofunzioni
le configurazioni stazionarie della singola buchetta ed energie multipli
interi dell'energia di stato fondamentale) + H_p (termine pari al
valor medio di psi* psi''/2m. Con due fermioni ti accorgi che l'effetto
e' semplicemente quello di dimezzare la massa di ciascuno e raddoppiare
l'energia del fondamentale. Con tre fermioni ti accorgi che l'effetto sugli
elettroni del fondamentale e' dividere la massa per cinque ed aumentare
l'energia di un fattore cinque. Mentre l'energia del terzo elettrone, che
sta
nel primo orbitale sopra il fondamentale aumenta di un fattore 3/2. Etc...
Questo esercizio e' completamente astratto, ma non privo di effetti, la
forma
degli orbitali non e' affatto modificata, gli elettroni interagiscono ma non
compaiono effetti fuori diagonale. Il passo seguente puo' essere quello
di aggiungere un potenziale di interazione ed autointerazione che dipende
solo dalla posizione relativa. In tal caso si puo' vedere come compaiono
dei termini di Hartree non diagonali e diventa importante il problema di
studiare la convergenza delle correzioni. Andrebbe studiato quale puo'
essere una situazione particolarmente semplice. Stavo pensando ad
esempio ad un potenziale di puro scattering a sfere rigide: delta (r - r').
In questo caso l'effetto e' del tutto simile a quello che abbiamo
considerato
prima: non compaiono termini fuori diagonale. Cambia solo
la dipendenza dal numero di elettroni perche' stavolta l'energia non risente
del numero d'onda. Un caso un poco piu' interessante puo' essere quello
di considerare lo scattering punto punto pesato con una funzione del punto.
Ad esempio: [(l/2)^2 - x^2]*delta(x-x'). In questo caso gli scattering
avvengono
piu' spesso al centro della buca e compaiono dei termini fuori diagonale.
Dubito pero' che si possa trattare questo problema in modo esatto ed al
tempo stesso semplicemente. Qualcosa di meno significativo dal punto di
vista fisico, ma piu' semplice dal punto di vista dello studio puo' essere
quello
di costruire un potenziale di interazione che coinvolga gli operatori di
salita
e discesa.
 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 cinetica c'e' negli altri livelli, come una pressione diciamo.
[...]
ciao, grazie per la risposta e per il suggerimento del modello. Comunque, ho 
fatto un po' di ricerche ed ho trovato molti riferimenti a cose del genere, 
in particolare diverse serie di articoli apparsi sull'American Journal of 
Physics negli anni 70-80.
Da un lato ci sono modelli con potenziali del tipo delta di Dirac; in 
diversi di questi modelli è possibile ottenere la funzione di stato 
fondamentale in forma analitica esatta ed anche risolvere le equazioni di 
Hartree-Fock sempre in forma analitica; sono modelli interessanti anche se 
un potenziale del tipo delta di Dirac è abbastanza peculiare.
Articoli che trattano questo modello sono, ad es.:
Y. Nogami, M. Vallières, W. Van Dijk, Am. J. Phys. 44, 886 (1976); 45, 1231 
(1977) (Errata)
L. L. Foldy, Am. J. Phys. 44, 1192 (1976) ; 45, 1230 (1977) (Errata)
Inoltre anche un esercizio alla fine del 1° capitolo del libro 
Negele-Orland, Quantum Many-Particle Systems, tratta un sistema di questo 
tipo.
Un'altro sistema interessante in cui c'è sia la soluzione analitica esatta 
sia la soluzione analitica delle equazioni di HF è quello di due particelle 
in un potenziale armonico esterno ed interagenti tramite un potenziale 
armonico repulsivo. I dettagli sono qui:
M. Moshinsky, Am. J. Phys 36, 52 (1968) ; 36, 763 (Errata)
Inoltre, a quanto pare, recentemente ha riscosso un certo interesse un altro 
sistema esattamente risolubile che consiste sempre di due particelle in un 
potenziale armonico esterno ed interagenti fra loro attraverso un potenziale 
coulombiano; questo modello (chiamato "Hook's law atom" o "hookonium")è 
stato ampiamente usato per indagare gli effetti di correlazione tra le 
coppie di elettroni.
È stato introdotto inizialmente in questo articolo: N.R. Kestner, O. 
Sinanoglu, Phys. Rev. 128, 2687 (1962)
e poi variamente utilizzato. Ad es. si può vedere D. P. O'Neill, P. W. Gill, 
Phys. Rev. A 68, 022505 (2003) e i riferimenti contenuti.
Direi che di materiale per studiare ne ho a sufficienza adesso...
Ciao, Lorenzo

 Ciao, Lorenzo
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