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Titolo: Operatore unitario

A pag. 57 del Landau -Lifsits di MQ (e continua a pag. 58) c'è scritto :
"Ogni operatore unitario può essere rappresentato nella forma S = exp(i R)
dove R è un operatore hermitiano; infatti, da R+ = R segue
che S+ = exp(-i R+) = exp(-i R) = S^(-1)"
Per favore mi spiegate in dettaglio come si deducono questi passaggi ?
Questi passaggi vogliono dire che se un operatore S è unitario allora
necessariamente S = exp(i R) ? Oppure il viceversa, ossia se un operatore è
espresso come S = exp(i R) allora necessariamente è unitario ? Oppure tutte
e due le cose, cioè  un operatore S è unitario se e solo se S = exp(i R) ?
Però l'eventuale spiegazione dovrebbe far uso solo di nozioni che sono nelle
prime 57 - 58 pagine del Landau, in quanto queste sono le uniche cose che io
so di MQ
Grazie, Ciao, DJ

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...
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Ciao, ho visto solo ora il tuo interessante quesito.
La risposta e` positiva in senso totale: se S e` unitario allora
esiste (non unico) R autoaggiunto tale che S = exp(iR). Viceversa, se
R e` autoaggiunto
S= exp(iR) e` unitario.
Non sono in grado di darti spiegazioni elementari di tale fatto nel
caso generale perche` la dimostrazione "vera" e` basata sul teorema
spettrale
per operatori autoaggointi (o normali) non limitati. 
Se vuoi una "prova alla Landau"  te ne posso dare una che sicuramente 
funziona per MATRICI, ma in generale e` falsa per operatori in spazi
di
Hilbert infinito dimensionali.
Partiamo dalla seconda proposizione: se R e` autoaggiunto
S= exp(iR) e` unitario. Te la dimostro per matrici.
Vale lo sviluppo (lavorando con matrici la convergenza e` quella di
C^{n^2})
exp(iR) = I + iR + (iR)^2/2! + (iR)^3/3! +... 
Facendo l'aggiunto, tenendo conto che (iR)* = -iR, se R=R*
(exp(iR))* = I -iR + (-iR)^2/2! + (-iR)^3/3! +... = exp(-iR)
ma, esattamente come per gli esponenziali di numeri (la prova e` la
stessa
usando le serie) 
exp(iR) exp(-iR) = exp(-iR) exp(iR) =I
per cui
(exp(iR))* exp(iR) = exp(iR) (exp(iR))* =I
ossia exp(iR) e` unitario.
La prima proposizione invece, per matrici e` un po` piu` complessa. 
Se U e` una matrice unitaria allora e` normale (cioe` UU*=U*U perche`
banalmente UU*= U*U =I). Allora puoi diagonalizzarla. Si vede
facilmente
che gli autovalori di U sono tutti della forma exp(ia) dove a e reale 
(ti lascio la prova per esercizio basata sul fatto che U e` unitario).
Quindi esiste una matrice unitaria V tale che 
U = V diag(exp(ia_1),...., exp(ia_n)) V*
dove diag(a,b,...) e` la matrice diagonale che ha sulla diagonale
pricipale a,b,... Se R' = diag(a_1,....,a_n), tale operatore e`
banalmente
hermitiano e dalla formula dell'esponenziale di prima hai subito che
diag(exp(ia_1),...., exp(ia_n)) = exp (iR')
Quindi
U = V exp(iR') V*
Dinuovo usando lo sviluppo dell'esponenziale hai subito che
V exp(iR') V* = exp(iVR'V*) 
Dato che V e` unitario R = VR'V* e` hermitiano e 
U = exp(iR) 
Nel caso di dimensione infinita la dimostrazione e` piu` difficile
(se vuoi te la posto, ma non credo che ti serva per il momento da
quello
che dici. In ogni caso si basa sul teorema di sviluppo spettrale per
operatori
normali non limitati, oppure puoi passare per il teorema di Stone...)
Ciao, Valter

 ha scritto
| A pag. 57 del Landau -Lifsits di MQ (e continua a pag. 58) c'è scritto :
| "Ogni operatore unitario può essere rappresentato nella forma S = exp(i R)
| dove R è un operatore hermitiano; infatti, da R+ = R segue
| che S+ = exp(-i R+) = exp(-i R) = S^(-1)"
Ricordo intanto che l'esponenziale di un operatore, essendo definito da
una serie di Taylor con tutti i coefficienti reali (c_n=1/n!), gode di
questa proprieta':
exp(A+) = ( exp(A) )+ , ovvero "+" e "exp" commutano poiche'
exp(A) = 1 + A + 1/2*A^2 + 1/6*A^3+... e (A+)^n = (A^n)+
Sempre ricordando lo sviluppo in serie si vede anche che
( exp(aA) )+ = exp(a* A+), dove a e' un numero complesso e a* e' il suo
coniugato.
Inoltre, se A e B commutano, dallo sviluppo in serie si deduce anche che
exp(A) exp(B) = exp(A+B)
Da queste tre proprieta' (che sono semplici ma non ovvie!), discende
quasi come corollario che se R+ = R allora S = exp(i R) e' unitaria in
quanto (S+)S = exp(-i R+) exp(iR) = exp(-iR+iR) = 1
Ovvero l'esponenziale di "i" per un operatore hermitiano e' unitario.
| Per favore mi spiegate in dettaglio come si deducono questi passaggi ?
| Questi passaggi vogliono dire che se un operatore S è unitario allora
| necessariamente S = exp(i R) ? Oppure il viceversa, ossia se un operatore è
| espresso come S = exp(i R) allora necessariamente è unitario ? Oppure tutte
| e due le cose, cioè  un operatore S è unitario se e solo se S = exp(i R) ?
Landau in realta' dimostra (dando per scontate le proprieta' degli operatori
su riportate) che se R e' hermitiano allora S = exp(iR) e' unitario, ma non
il viceversa, ne' che ogni operatore unitario e' esprimibile come esponenziale
di "i" per un operatore hermitiano.
| Però l'eventuale spiegazione dovrebbe far uso solo di nozioni che sono nelle
| prime 57 - 58 pagine del Landau, in quanto queste sono le uniche cose che io
| so di MQ
Piu' che la MQ, qui sono in ballo le proprieta' degli operatori lineari. Il
viceversa si puo' dimostrare così: sia S un operatore unitario. Allora esiste
una base ortonormale |a_n> in cui S e' diagonale: S = \Sigma_n s_n |a_n><a_n|.
Poiche' S e' unitario |s_n|=1, e si puo' scrivere s_n = exp(i r_n), dove r_n e'
reale ed e' definito a meno di un multiplo di 2 PI.
Allora l'operatore R = \Sigma_n r_n |a_n><a_n| e' hermitiano e si ha
S = exp(i R).
--
Giovanni Corbelli, Ferrara

 Da queste tre proprieta' (che sono semplici ma non ovvie!),
Ciao, infatti sono in generale false! Sono vere sicuramente per operatori
limitati definiti su tutto lo spazio di Hilbert. Purtroppo gli operatori
della MQ che rappresentano osservabili, eccetto quelli relativi allo spin
e poco altro, sono NON limitati e non definiti su tutto lo spazio...
In effetti per dimostrare davvero le identita` scritte ci vuole il teorema
spettrale per operator normali (non limitati in generale). Le "dimostrazioni"
di Landau bisogna considerarle come "molto sportive".
Non nego che spesso si ottengono risultati correti comunque come nel caso
in esame.
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

Scusa, nel post precedente sono stato inesatto:
| ... [cut]
| Il viceversa si puo' dimostrare cosě:
| ... [cut]
Non ho dimostrato in realta' il viceversa, ovvero che se S = exp(i R) e S e'
unitario, allora R e' hermitiano. Comunque e' abbastanza semplice:
S = exp(i R), S(S+) = (S+)S = 1 ==> exp(i R) exp (-i R+) = 1 ==>
==> exp (i (R - R+)) = 1.
Quindi l'operatore Q = R - R+  e' del tipo
Q = \Sigma_n h_n*2*PI |a_n><a_n|, dove h_n e' intero e |a_n> e' una base
ortonormale. Poiche' Q e' antihermitiano (Q+ = R+ - R = -Q), deve essere
Re(h_n) = 0 per ogni n, ovvero h_n =0 ==> Q = 0, e quindi R = R+.
Ho considerato il caso in cui si lavora in uno spazio a dimensione finita o
numerabile, e senza pormi problemi di convergenza: per le estensioni agli
altri casi vedi il post di Valter che e' stato piu' preciso di me.
--
Giovanni Corbelli, Ferrara

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