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Titolo: Equazione di Einstein per la gravità

La formula di Einstein della equazione di campo è :
Rnv - 1/2 gnv R + /\gnv = (8pigrecoG / C^4) Tnv
con n intendevo scrivere la m greca con la gambetta lunga........
mi chiedevo se al posto di tutte queste lettere qualcuno di voi
potesse inserire dei numeri .
Samuele


Non riesco a immaginare quali siano le tue conoscenze di fisica...
Per esempio, se uno ti scrivesse una delle eq. di Maxwell:
rot E = -@B/@t
che cosa intenderesti per "metterci dei numeri"?
 
-- 
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.


Grazie per avermi risposto..............,
naturalmente ha ragione lei, ho dato un approccio
sbagliato alla domanda.
In effetti il tutto nasceva dalla curiosità di capire
quali calcoli avesse fatto Einstein per calcolare
esattamente di quanti gradi la luce delle stelle passanti
davanti al sole sarebbero state deviate ,cosa che poi fu verificata
durante una eclissi di sole. Per calcolare di quanti gradi
la luce sarebbe stata deviata, alla fine dobbiamo parlare
di < numeri >, e da qui nasceva la mia domanda perchè
penso (forse sbagliando) che comunque bisogna partire
da quella equazione. Ma sia per le mie conoscenze
di fisica e sia perchè una eventuale risposta forse
sarebbe troppo lunga e complicata credo che sia più
saggio da parte mia rinunciare.
Samuele

 saggio da parte mia rinunciare.
Non e' proprio detto: certo dipende da quello che ti avevo chiesto e
non mi hai fatto sapere, ossia quanta fisica conosci.
Non devi intenderlo come un modo obliquo per dirti "se non hai almeno
queste conoscenze non ha senso risponderti".
Ma una risposta cambierebbe molto a seconda delle basi su cui si puo'
contare.
Io ora provo a darti una risposta assai sintetica; lascio a te
valutare se pensi di poter capire con qualche ulteriore chiarimento, o
se l'obbiettivo e' posto troppo in alto.
Naturalmente considera che qui non si puo' scrivere un trattato :)
1. Se si parla di equazioni, ci debbono essere delle incognite.
Nel nostro caso, le incognite sono le componenti del _tensore metrico_
(sono 10) che caratterizzano le proprieta' geometriche dello
spazio-tempo.
Nota bene che quando dico "componenti" non si tratta di numeri, ma di
_funzioni_: infatti potranno variare da punto a punto dello
spazio-tempo, e i diversi punti (gli _eventi_) sono individuati
ciascuno da 4 coordinate.
2. Nel caso della deflessione della luce, per fortuna le equazioni si
semplificano molto, per diverse ragioni:
a) non e' il caso di considerare il termine cosmologico (il terzo
termine a primo membro) che ha importanza solo nei problemi appunto
cosmologici.
b) interessa solo lo spazio-tempo fuori del sole, quindi anche il
termine a secondo membro va preso nullo.
c) si puo' ragionevolmente assumere che ci sia simmetria, dato che il
Sole e' con ottima approssimazione un corpo sferico.
3. Dato tutto questo, c'e' una curiosita' storica: Einstein era
convinto che le equazioni fossero ancora cosi' complicate da poter
essere risolte solo in modo approssimato, e cosi' fece.
Rimase molto stupito quando pochissimo tempo dopo Schwarzschild trovo'
invece una soluzione *esatta*.
Ma questo e' un aspetto secondario.
4. Una volta risolte le equazioni, ossia trovato il temnsore metrico
per lo spazio-tempo attorno al Sole, occorre un altro passo: ricavare
il percorso della luce.
Qui si fa uso di un altro principio, che non e' scritto in quelle
equazioni, il cosiddetto "principio della geodetica".
La luce (e anche i pianeti, lo dico per completezza) descrivono nello
spazio-tempo delle linee che sono appunto delle geodetiche. Per essere
breve debbo rinunciare a tentare una spiegazione su questo punto.
5. In particolare, si deve trovare una geodetica che passi radente al
Sole, provenendo da una distanza grandissima e tornando ancora a
distanza grandissima.
Questo non e' difficile, perche' le geodetiche sono caratterizzate da
un'altra equazione, detta appunto "delle geodetiche".
La risoluzione di questa equazione e' relativamente semplice, e porta
appunto a constatare quanto il percorso della luce (nello spazio, non
nello spazio-tempo) si scosta da una retta.
6. Il risultato e' finalmente il numero che cercavi, e che nel caso
del Sole e' inferiore a 2" (altro che gradi :-) ).
Quelli che conoscono l'argomento sanno che ho fatto delle
semplificazioni grossolane, e ho anche evitato di chairire alcuni
punti delicati.
Mi e' sembrata la scelta migliore nel presente contesto; volendo,
possiamo sempre approfondire e precisare, s equalcuno lo desidera.
P.S. E' uso corrente nei newsgroups darsi del "tu", senza tener conto
di titoli, cariche, eta' o altro. Percio' lascia stare il "lei".


 wrote:

Ogni onda elettromagnetica, che viaggia con velocità della luce,
è singolarmente caratterizzata soltanto dal valore della sua
lunghezza d'onda, pertanto
rot E = V / lambda^2 = k c^2 / lambda
Tutti numeri reali, anche se di questo non c'è segno nei tuoi libri
Giuseppe.
  L'ottimo Critone non rispose, ma pensò che fa ancor più male
all'anima
 l'essere ignorato dal grande maestro, che si vanta di essere stato
"duro ed esigente", ma difensore selettivo di un sapere ortodosso e
che,
nella sua presunzione, non ha mai pensato che un giorno tutte le
divinità
dell'Olimpo si estingueranno insieme ai loro sacerdoti
ed ai predicatori di verità contingenti.

 bisogna partire da quell'equazione
sì, ma una volta partiti c'è una lunga strada
da fare per arrivare alla ( 1 ) ! Te la dico
brevemente, per farti avere un'idea del
procedimento.
Intanto, ti conviene semplificare l'equazione
di campo: T nv è il tensore della materia, legato
alla densità di materia nella regione che consideri,
e poichè all'esterno del sole (dove si propaga il
raggio di luce) lo spazio è praticamente  vuoto,
puoi porre Tnv = 0. Poi è meglio porre lambda = 0,
perchè lambda (la famosa costante cosmologica) su
scala non cosmologica ha effetti del tutto trascurabili
e tenerla complica inutilmente i calcoli.
Ti rimane quindi   Rnv - ( R/2) gnv = 0, che
con un' operazione tensoriale chiamata contrazione
porta a R = 0 e quindi a
Rnv = 0                              ( 2 )
La ( 2 ) è  più trattabile dell' equazione da te scritta
all' inizio, ma è pur sempre un' equazione differenziale
(anzi, un sistema di equazioni differenziai) difficile da
risolvere perchè contiene derivate parziali del secondo
ordine (e infatti in prima approssimazione porta alla
equazione delle onde di d'Alembert, che si interpreta
come equazione delle onde gravitazionali) ed è anche
non lineare (conseguenza del fatto che per il principio
di equivalenza la gravità è a sua volta sorgente di
gravità).
Però in casi particolari (come quello a simmetria
sferica che ti interessa) la soluzione può essere abbastanza
semplice. Le funzioni incognite sono le componenti del
tensore metrico guv , che ti dice quanto la geometria dello
spaziotempo vicino al sole devia dalla geometria "piatta"
della relatività ristretta. Nota che per arrivare fin qui non
si usano "numeri", ma solo funzioni e analisi matematica.
A questo punto con un procedimento abbastanza breve
arrivi alla ( 1 ), dopodichè inserisci i numeri.
Non mi viene in mente nessun libro moderno che
illustri questo procedimento in un modo non troppo
divulgativo ma nemmeno troppo tecnico, l'unico
che mi viene in mente adesso è il vecchissimo
testo di Eddington "spazio, tempo e gravitazione"
edito anni fa da Boringhieri. E' da prendere con le molle
per vari motivi, ma la parte sulle equazioni di campo,
la metrica e la deflessione della luce secondo
me può esserti utile.
Un' ultima cosa: per misurare la deflessione ci sono
oggi (dagli anni settanta) metodi più moderni e più
precisi del metodo delle eclissi: si usano le radioonde
che si "vedono" anche senza oscuramento del sole.
Ciao
Corrado