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Titolo: piccolo problema

Qualcuno mi dà una mano:
Semplice problema di moto uniforme ma a cui non riesco dar soluzione:
Due ragazzi si allenano in piscina: si tuffano insieme dagli esteremi
opposti di una vasca e procedono a velocità costante; giunti in fondo,
invertono il percorso e continuano a nuotare, ciascuno sempre con la propria
velocità iniziale. Il primo incontro dei due avviene a 22 metri dall'estremo
sud della vasca e il secondo incntro a 16 metri dall'estremo nord. Quanto
può essere lunga la vasca?
Le soluzione sono 3 esattamente:72m 30m 50m
grazie in anticipo a chiunque mi aiuterà!

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 wrote in message
89egfh$qs6$1...@nslave2.tin.it...
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Non so se il ragionamento è corretto....cmq
Se gli incontri tra i 2 nuotatori sono 2 allora vuol dire che ogni nuotatore
al massimo avrà fatto una virata
(se uno dei 2 avesse fatto 2 virate avrebbe incontrato 3 volte l'amico).
Posso anche dire che certamente almeno uno dei 2 ha fatto una virata perchè
altrimenti i
2 nuotatori non si sarebbero incontrati 2 volte !!!
Detto questo, le 3 soluzioni corrispondono alle 3 eventualità :
                Nuotatore 1     Nuotatore 2
1) vir.            1                        1
2) vir.            1                        0
3) vir.            0                        1
Ipotizziamo che il nuotatore 1 parta da una ipotetica origine di un asse x e
si muova con velocità v1 nel verso positivo
delle x.
Il nuotatore 2 parte sull'asse delle x ad una ascissa pari ad L (lunghezza
vasca) al tempo t=0 e si muove nel verso negativo.
Sia Nord l'estremo posto in 0.....e Sud l'estremo posto in L.
Al primo incontro avremmo certamente :
L-22 = v1 t
L-22 = L - v2 t
da cui ottengo L = 22 (1+v1/v2)  (*). Questa relazione vale sempre
indipendetemente da qualsiasi delle 3 evenienze sopra
scritte accadano realmente.....
Andiamo al secondo incontro :
caso 1)
L+16 = v2 t                (il nuotatore 2 compie una vasca + (tornando
indietro verso S) una distanza dall'estremo N = a16m)
2L-16= v1 t                (il nuotatore 2 compie 2 vasche - (tornando
indietro verso N) una distanza dall'estremo N = a16m)
===> v1/v2 = (2L-16)/(L+16)     che vai a sostituire nella relazione (*) per
ottenere L=50m
caso 2)
L-16 = v2 t            (il nuotatore 2 non si schioda....ancora deve fare la
prima virata....16m all'estremo N)
2L-16= v1 t            (come caso 1)
===> v1/v2 = (2L-16)/(L-16)     che vai a sostituire nella relazione (*) per
ottenere L=72.2m
        ( l'eq. è di secondo grado con soluzioni entrambe positive....ma una
è 10 m.....chiaramente non può essere una soluzione del problema!)
caso 3)
L+16 = v2 t            (il nuotatore 2 compie una vasca + (tornando indietro
verso S) una distanza dall'estremo N = a16m)
16= v1 t                (come caso 2 per il nuotatore 2)
===> v1/v2 = 16/(L+16)     che vai a sostituire nella relazione (*) per
ottenere L=29.7m
    (l'eq. è di secondo grado ma una soluzione è negativa)
Funziona ???....Behh.....il fatto che 2 dei 3 risultati siano decimali mi
rattrista un pò.....tu li hai scritti interi....
cmq data l'ora e la regata (si spera!) imminente non credo di poter fare di
meglio......
Correggetemi se sbaglio.......Thanks......Saluti

 quanto può essere lunga la vasca?
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>  Qualcuno mi dà una mano:
OK!
Innanzitutto fissiamo gli elementi del problema:
Il ragazzo 1 parte dal lato SUD;
Il ragazzo 2 parte dal lato NORD;
Sia L la lunghezza (NORD-SUD) incognita;
Introduciamo l'asse x con origine nel lato SUD per descrivere il moto dei
due ragazzi;
Sono definiti due tempi caratteristici:
T1=L/v1 : tempo che impiega 1 per raggiungere la parte opposta (v1 è la
velocità costante di 1)
T2=L/v2 : definito analogamente per 2.
Si ha:
x1(t)= v1 * t                     se t <= T1
x1(t)= L - v1 * (t-T1)         se T1 <= t <= 2 * T1
e
x2(t)= L - v2 * t                 se t<= T2
x2(t)= v2 (t-T2)                 se T2<= t <= 2 * T2
Dato che 1 e 2 partono insieme (all'istante t=0) e vanno in direzioni
opposte, per l'istante del primo incontro tp si ha:
tp<min (T1,T2)  e:
22 =v1 * tp = L - v2 * tp
da cui la relazione 22=L *  (v1/(v1+v2))
(prima equazione)
ts sia l'istante del secondo incontro; si ha
ts>min (T1,T2) perchè almeno uno dei due ragazzi deve poter raggiungere
prima del secondo incontro il lato opposto
Per il secondo incontro sono possibili 3 casi:
a) T1<ts<T2 (1 ha finito la prima vasca e 2 no)
L-16=x1(ts)=x2(ts), cioè
L-16=L - v1 *(ts-l/v1)=L-v2 *ts
da cui L * (v2/(v1-v2)) = 16
Il problema può essere risolto con questa equazione e con la prima se
consideriamo come incognite L e solamente v1/(v1+v2). Si ha infatti
v2/(v1+v2) = 1 - v1/(v1+v2)
Il sistema fornisce l=29.7 (solo 1 slz. dell'eq. di 2^ grado).
b) T1<ts e T2<ts (1 e 2 hanno finito la prima vasca)
L-16=L - v1 *(ts-L/v1)=v2(ts-L/v2)
da cui 16=L * ( 3 * (v1/(v1+v2)) - 1 )
In questo caso quest'equazione, posta in sistema con quella iniziale,
fornisce L=50
c) T2<ts<T1 (2 ha finito la prima vasca e 1 no)
E' analogo al primo caso......scusa ma non mi fa voglia di fare il
conto....tanto ormai è chiaro...
Riflessione dal punto di vista fisico:
Dato che NON è richiesto il calcolo dei tempi, è importante capire che la
posizione dell'incontro dipende solo dal rapporto delle velocità e non dai
loro valori (in quest'aspetto riconosco la difficoltà del problema che
sicuramente sfugge ad una prima veloce lettura...)
Quindi può sembrare di avere 3 incognite e 2 equazioni...,ma in realtà le
incognite sono due; esempio:
se v1=2 * v2 si ha subito
v1/(v1+v2) = 2/3 e v2/(v1+v2) = 1/3
Ovvero la slz è invariante per v1 ---> k *v1, v2 ---> k *v2
per ognuno dei 3 casi.
Saluti
Claudio Falorni

  sud della vasca e il secondo incntro a 16 metri dall'estremo nord.
Quanto


>  Qualcuno mi dà una mano:
OK!
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