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Titolo: tempo di coerenza, laser e interferenza

Salve a tutti,
reduce da un'esperienza di laboratorio di ottica molto interessante, vorrei
approfondire o meglio comprendere per la prima volta dei concetti che a
lezione mi sono sembrati appena sfiorati.
Si è parlato di tempo e lunghezza di coerenza di un laser, che abbiamo
misurato con l'interferometro di Michelson, a partire da una sorgente, in
approssimazione di onda piana.
La coerenza è definita tra due onde, se queste hanno uno sfasamento costante
si dice che sono coerenti. Ma la fase cambia in maniera brusca per causa
della sorgente laser, cosicché se andiamo a vedere l'onda dopo una distanza
maggiore della lunghezza di coerenza, non è più in fase con l'onda splitatta
proveniente dall'altro specchio. Mi pare di capire che la difficoltà di
ottenere un'onda sempre coerente sia dovuta alla costruzione del laser. Ma
non mi è chiaro come si possa parlare di una singola onda coerente, quando
abbiamo detto che la coerenza è definita tra due onde: è ovvio che un'onda
sia sempre coerente con se stessa!  Io prima confondevo la non perfetta
monocoromaticità con la causa dell'interferenza che osserviamo: se l'onda
contiene più onde sovrapposte di lunghezze d'onda diverse, queste dopo un pò
andranno in controfase e faranno interferenza distruttiva vero? e l'effetto
aumenta gradualmente pian piano che allunghiamo le distanze. Noi abbiamo
osservato che le frange sono sempre più indistinguibili se allontaniamo uno
specchio, è quindi questo l'effetto della non perfetta monocromaticità no?
Ma lo otterremmo anche se la sorgente non avesse bruschi salti di fase! Se
io guardassi l'onda dopo una distanza appena inferiore alla lunghezza di
coerenza, io la dovrei vedere perfettamente coerente perché il salto è
brusco, e non è ancora avvenuto! Quindi mi sembra che questo tempo di
coerenza definito come intervallo tra un salto di fase e un successivo non
sia collegato al tempo per cui viene mantenuta la coerenza, sia perché sono
originati da cause diverse (a me sembra) sia perché un'effetto è continuo e
l'altro discreto.
Chiedo chiarimenti anche abbastanza dettagliati (dopo tutto uno al terzo
anno ci può anche provare! nonostante il nuovo ordinamento...)
Grazie in anticipo, aspetto risposte
Daniele

 Daniele
Ciao
the Volk
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 onda l1 e l2.
Non capisco se la situazione a cui stai pensando
è quella in cui hai più processi fluorescenti?
In un laser schematicamente hai un processo fluorescente.
Questo ha una larghezza di riga lorentziana associata
con un tempo di emissione spontanea, o gaussiano se dovuto
ad esempio ad agitazione termica. Nelle situazioni
concrete la riga sarà più complessa da descrivere, ma
essenzialmente si può dire che sia una riga "intermedia"
una Voigt, che è un profilo di convoluzione fra una
lorentziana ed una gaussiana. Questo non cambia il fatto
che questa larghezza di riga, si usa la larghezza a metà
altezza perchè i profili lorenztiani non hanno larghezza
quadratica, questa riga, dicevo, è diversi ordini di
grandezza meno importante della frequenza di fluorescenza.
Questo comporta una comparabile sproporzione fra la
lunghezza d'onda della luce emessa dal laser rispetto
allo sparpagliamento dovuto al rate di fotoemissione.
Per un numero apri un libro dedicato all'argomento e
trovi numeri a dieci zeri. Se metti in fila 10^10
lunghezze d'onda da, poniamo, 700 nm trovi 7 Km.
Quindi possiamo scartare gli effetti di policromaticità
intrinseca del processo emissivo per quanto riguarda
l'interpretazione dei fenomeni osservati da Daniele.
Una cosa davvero importante è, come facevi rilevare,
il rapporto fra il numero di fotoni spontanei ed il
numero di fotoni indotti. Nei laser questo rapporto
diversamente che nelle situazioni termiche più comuni
è proporzionale al numero di fotoni presenti in cavità.
Insieme a questo fattore conta poi l'abilità della
cavità ad amplificare nel tempo le fluttuazioni.
Questa abilità è essenzialmente proporzionale al
coefficiente di trasmissione sommato a quello di
assorbimento da parte degli specchi, ovvero in prima
approssimazione al rapporto fra i fotoni emessi ed
i fotoni che rimangono nella cavità. Una sorta di
tempo di rivoluzione nell'ottica di Planck. Però
non conta solo il tempo c'è anche che gli stati
risonanti della cavità sono distribuiti ad intervalli
regolari multipli del numero d'onda della prima armonica,
la larghezza dei modi della cavità ovvero la loro
densità questa è legata alla lunghezza della cavità.
In verità siccome questa larghezza è proporzionale
all'inverso della lunghezza del medesimo, si ha
che al crescere della lunghezza del risonatore
cresce la coerenza. Una sorta di capacità di
risoluzione della cavità che è regolata dalla
sua lunghezza. Che l'altro fattore di
proporzionalità è l'inverso della lunghezza della
cavità, che è un indice della larghezza di banda
della cavità stessa, si può comprendere anche
riflettendo sulla circostanza che contano due
effetti di finitezza nel determinare
la scorrelazione: la finitezza spaziale e la
finitezza temporale.
La riflettività agisce sulla
seconda, la lunghezza sulla prima. La larghezza
effettiva di banda è dell'ordine del MegaHertz,
per un risonatore di un metro, dell'ordine dei
10 MegaHertz per un risonatore da un decimetro.
Se supponiamo che la riflettività sia un fattore
..5 troviamo che occorrono circa 10^7 lunghezze
d'onda per ravvisare una decoerenza. Che è una
grandezza dell'ordine di qualche metro.
Ho sbagliato qualcosa? Può essere che facciate
un esperimento con specchi posti a tali distanze?
Io mi ricordo che la strumentazione laser per le
esperienze di ottica a Pisa, ad esempio, stava
in un bugigattolo buio grande qualche metro
quadrato. C'è da dire che non mi ricordo di
aver mai misurato una lunghezza di coerenza e che
non mi sento granchè soddisfatto di questa
spiegazione. Infatti per una spiegazione più sensata quello
che direi è che la radiazione emessa dal laser è una tipica
radiazione multifotonica. Allora quello che si verifica è che
la scorrelazione di fase ha per effetto di aumentare
la "larghezza di riga" del laser. In altre parole se
anche il processo fotoemissivo fosse capace di perfetta
monocromaticità (che non è come abbiamo detto perchè le
emissioni indotte che sono quelle che dominano nel segnale
hanno anche loro una frequenza caratteristica), ma fosse
coerente per una lunghezza di, poniamo, qualche metro
allora la larghezza di riga sarebbe esattamente legata
all'inverso di questa lunghezza. Si tratta
se vuoi di una grandezza legata alla lunghezza della cavità
ed alla riflettività, ma è a tutti gli effetti una
policromaticità causata dalla decoerenza. So che non è
una spiegazione del tutto chiara, per renderla chiara
occorre usare l'elettrodinamica, e studiare la funzione
di correlazione sullo specifico stato elettromagnetico
emesso da una cavità. Modellizzare questo stato
elettromagnetico è difficile quanto basato su un
metodo del tutto generale. Quello di cui ti accorgi
quando con un poco di elettrodinamica cominci a
modellizare l'interazione degli atomi con la radiazione
elettromagnetica è che non contano solo i livelli
dell'atomo, ma anche gli autostati del campo
elettromagnetico e la loro popolazione. Allora che
per studiare il fenomeno della fotoemissione contano
non soltanto i livelli dell'atomo, ma anche la densità
degli stati fotonici ammissibili. Ne risulta una
larghezza di riga complessiva, quindi a conti fatti
quello che si può dire è che la tua intuizione che
contino gli effetti cromatici è corretta, solo occorre
un poco di sottigliezza nel comprendere questa
policromaticità non connessa al singolo atomo ma
al processo fotoemissivo caratteristico del laser
 
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 > onda l1 e l2.
Mi rendo conto che tutta questa spiegazione,
potrebbe aumentare la confusione piuttosto che
dissiparla. Per questo aggiungo due considerazioni
più "didattiche". La prima mira ad interpretare
il tempo di coerenza in rapporto con il tempo di
effettiva persistenza dei fotoni in una cavità.
La seconda a stimare gli effetti "policromatici"
causati dalla decoerenza. Come primo esercizio:
fissa una lunghezza e conta quante volte un insieme
coerente di fotoni rimbalza in un tempo assegnato,
puoi schematizzare la situazione in questi termini:
un atomo emette spontaneamente con una certa fase,
il fotone è parallelo al tubo ed innesca una catena di
fotoemissioni indotte, quindi c'è un tempo di accensione
in cui il segnale relativo a questa nuova fase raggiunge
la saturazione, si imposta una master equation per
descrivere questa fase in genere. Questa fase è in
competizione con le altre, in modo che quello che si
verifica è che i fotoni che lasciano la cavità, nel
nostro schema, sono sostituiti da fotoni con fase
differente secondo il rate stabilito dalla master
equation. Dovresti notare che la lunghezza del tubo
ha un ruolo nel numero di passaggi per gli specchi
nell'unità di tempo. Questo è l'argomento semiclassico
più comune per spiegare gli effetti di lunghezza associati
con la riflettività parziale. Supponendo che i fotoni
usciti dal laser siano sostituiti da altri fotoni puoi
valutare un tempo di attenuazione facendo l'approssimazione
schematica che il rate di fotoni che lasciano la cavità in
una fase di riflessione siano una frazione s << 1 va bene
inoltre s = 1 - r dove r è il coefficiente di riflettività.
In tal caso (1-s)^n_riflessioni = 1 - n_riflessioni * (1-r).
il tempo di decadimento del segnale in cavità è misurato
proprio da n_riflessioni * s.
 
Il passo seguente è connettere questo tempo di attenuazione
con il fattore di qualità e la larghezza di riga della
cavità per comprendere gli effetti "policromatici" dovuti
alla decoerenza. Si tratta di fare questo altro esercizio:
consideriamo una modulazione di fase in termini di
exp( i f(t)): f(t) è una variabile aleatoria. In prima
schematizzazione possiamo approssimarla come costante
a tratti di lunghezza pari al tempo di decadimento.
Questa fase si moltiplica ad un onda piana esatta.
La trasformata di Fourier del segnale sarà allora il
prodotto di convoluzione della trasformata di Fourier
di un onda piana per la trasformata di Fourier di
exp(i f(t)). Per ottenere questi effetti devi valutare
la trasformata di Fourier di un onda composta di
scalini casuali. Ottieni allora il prodotto di
convoluzione di una delta centrata sulla frequenza
di risonanza del modo principale con una funzione
che dipende dal numero di fasi coinvolte
nel tempo di acquisizione dello spettro. Quindi
lo spettro misurato coinvolgerà le proprietà
stutturali del detector oltre che quelle intrinseche
del laser. Spero di aver contribuito ad impostare
l'argomento. Tieni presente che in verità la
fase f(t) non varia bruscamente mentre le proprietà
della sua trasformata di Fourier dipendono essenzialmente
dal rapporto fra il tempo di acquisizione ed il tempo
di decadimento.
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