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Titolo: Delta di Dirac

Salve a tutti.
vorrei sapere che cos'è esattamente la funzione delta di Dirac, quali sono
le sue caratteristiche e in che applicazioni si usa.
Ciao e grazie
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Albert Ruggi
a.r...@inwind.it
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Ciao, si tratta di una funzione che prende come argomenti 
funzioni infinitamente differenziabili di R in R o semplicemente 
solo continue (se la vedi come una "misura di Riemann-Stiltis") e
vi associa numeri. Piu' precisamente se consideri la "funzione"
"delta di p" che indichero' con d_p, dove p e' un numero reale,
quando tale "funzione" agisce sulla funzione continua f, il 
risultato e' f(p). In formule cio' si scrive
            < d_p, f > = f(p).
 
Conviene spesso pensare (e questa era l'idea originale di Dirac) 
formalmente l'azione di d_p su f come il calcolo di un integrale 
del tipo:
<d_p, f > = int d_p(x) f(x) dx
dove l'integrale e' esteso a tutta la retta reale e la "funzione" 
(questa volta di x) impropria d_p(x) e' una funzione che vale
 "0 ovunque e +oo in p"
ed ha integrale pari a 1. Usando l'integrazione per parti
si riesce a dare un senso formale a concetti come derivata della
delta o di altre distribuzioni (vedi sotto).
Questo modo formale di vedere la cosa ha dato origine a quella 
che si chiama "teoria delle distribuzioni". La delta di Dirac
e' una delle piu' semplici "funzioni improprie" o distribuzioni.
Le distribuzioni servono in vari problemi di fisica matematica
o teoria dei segnali perche' permettono spesso di risolvere
facilmente equazioni differenziali: si trovano delle soluzioni
dette "in senso debole", che in realta' sono distribuzioni e poi
da esse si ricavano soluzioni "vere". Questo modo di procedere
e' stato poi sviluppato nella teoria degli spazi di Sobolev che
e' potentissima per risolvere problemi di analisi applicata
ed ha largo uso in meccanica quantistica fatta rigorosamente
(per chi e' addentro alle cose: e' uno strumento potente per
studiare i problemi di autoaggiunzione degli operatori).
Ciao, Valter

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 Ciao e grazie
Chiedo scusa al moderatore,
ma la mia risposta era incompleta.
La delta di Dirac fu originariamente scoperta da Dirac
nell'elaborazione della Meccanica Quantistica.
Le applicazioni sono pero' moltissime.
Esempio tipico: una particella puntiforme
(il punto materiale della meccanica razionale)
su di una retta in X-zero, di massa 1.
Qual e' la densita' ?
E' ovvio che, ad eccezione del punto X-zero, la densita'
e' nulla altrove, mentre sul punto dovrebbe essere infinita.
L'integrale della densita' da -oo a + oo deve essere pari
alla massa della particella, cioe' finito e pari ad 1.
La densita' e' in questo caso una delta di Dirac.
Spero di essermi spiegato.
Ciao.
Antonio

La funzione delta di Dirac puo' essere definita in questo modo:
delta(x)=0 per ogni x diverso da 0;
per x=0 >>> delta(0)=oo.
Percio' l'integrale da - a + oo di delta(x)dx = 1.
Da questa definizione deriva in particolare la seguente proprieta':
se f(x) e' una funzione continua arbitraria, l'integrale da - a + oo di
f(x)delta(x-a)dx = f(a)
Gli estremi di integrazione non debbono essere necessariamente - e + oo; si
puo' prendere una regione di integrazione qualunque che contenga il punto in
cui la delta e' diversa da zero.
Paolo Di Sia
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