Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Cosa vuol dire "invariante" in fisica relativistica

 
Secondo me "invariante" è una grandezza che non varia cambiando
 riferimento. 
 
Si usa anche con accezioni diverse?
Ad esempio, in che senso la 4-velocità NON è invariante?
 
-- 
anth


Intervengo principalmente per chiarirmi le idee,
augurando(ci) che si aggiungano risposte più fondate.
 
Sovente in relatività il termine "invariante"
si assume come sinonimo di "scalare", cioè
di grandezza che non cambia _in valore_ al
cambiare del riferimento, per es. la massa
(~ quadrato del quadrimomento);
in base a questa accezione allora la
quadrivelocità u non risulterebbe invariante
dato che al cambiare di un sistema di riferimento
coordinato le sue componenti cambiano.
 
Viceversa, si può riconoscere che u è una
grandezza tensoriale, dunque invariante di
Lorentz, ovverosia le leggi fisiche che
coinvolgono u sono automaticamente covarianti,
in questo senso allora u risulterebbe invariante.
 
Ancora, a un livello più fondamentale si può
sottilineare che u è una grandezza geometrica,
definita in modo indipendente dalla scelta
di un sistema di coordinate e persino di un
sistema di riferimento, allora in base a una
possibile terza accezione del termine,
u risulterebbe naturalmente "invariante".
 
Insomma, immagino che a seconda del contesto
e dello scopo dell'affermazione, si possa
correttamente definire u come grandezza
invariante oppure no.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

anth ha scritto:
 > Secondo me "invariante" è una grandezza che non varia cambiando
 > riferimento.
 >
 > Si usa anche con accezioni diverse?
Sì, si usa più in generale per qualcosa che non cambia sotto una
determinata trasformazione, che può anche non aver niente a che fare
con la relatività, quindi non c'interessa.
 
 > Ad esempio, in che senso la 4-velocità NON è invariante?
Ti ha già risposto Giorgio, e francamente non capisco come potevi
avere un'idea diversa.
 
Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Sovente in relatività il termine "invariante" si assume come
 > sinonimo di "scalare", cioè di grandezza che non cambia _in valore_
 > al cambiare del riferimento, per es. la massa (~ quadrato del
 > quadrimomento);
Volendo sottilizzare potrei fare una distinzione.
Prendo proprio l'esempio della massa.
 
Puoi partire definendo massa la grandezza che si misura da F=ma nel
rif. nel quale il corpo è inizialmente in quiete.
Con questa definizione m è banalmente invariante, perché in qualunque
riferimento si lavori, bisogna sempre rifarsi al rif. di quiete, e
quindi ovviamente si troverà sempre lo stesso risultato.
 
Oppure puoi fare come hai accennato: ricavi per qualche via la
relazione
 
m^2 c^4 = E^2 - c^2 p^2. (1)
 
Poi dimostri dalle definizioni che sebbene né E né p siano invarianti,
lo è l'espressione (1).
Ossia: in due diversi rif. i valori di E e di p riescono diversi (non
sono grandezze invarianti) ma l'espressione (1) anche se calcolata con
valori diversi nei due rif., torna la stessa.
 
 > Sovente in relatività il termine "invariante" si assume come
 > sinonimo di "scalare", cioè di grandezza che non cambia _in valore_
 > al cambiare del riferimento, per es. la massa (~ quadrato del
 > quadrimomento);
 > in base a questa accezione allora la quadrivelocità u non
 > risulterebbe invariante dato che al cambiare di un sistema di
 > riferimento coordinato le sue componenti cambiano.
Appunto.
Però non cambia
 
(u^0)^2 - (u^1)^2 - (u^2)^2 - (u^3)^2
 
che vale sempre 1, oppure -1 oppure c^2 oppure -c^2 a seconda delle
convezioni.
Questo però è un esempio di scarsissima utilità, perché non solo ha
quel valore per la 4-velocità di un dato corpo in qualsiasi
riferimento, ma anche per la 4-velocità di qualsiasi altro corpo.
Invece la massa varia da corpo a corpo.
 
 > Viceversa, si può riconoscere che u è una grandezza tensoriale,
 > dunque invariante di Lorentz,
Questa è un'espressione che io non userei.
Basta dire che è un 4-vettore, ossia un tensore di rango (1,0).
 
 > ovverosia le leggi fisiche che coinvolgono u sono automaticamente
 > covarianti,
Beh automaticamente no. Puoi dire che le leggi scritte in forma
covariante si riconoscono a vista; poi che una legge fisica per il
principio di relatività *deve* essere covariante, e se non lo è, è
sbagliata.
 
 > in questo senso allora u risulterebbe invariante.
Di questa dizione non vedo l'utilità, mentre vedo la possibilità di
confusioni.
 
 > Ancora, a un livello più fondamentale si può sottilineare che u è
 > una grandezza geometrica, definita in modo indipendente dalla scelta
 > di un sistema di coordinate e persino di un sistema di riferimento,
 > allora in base a una possibile terza accezione del termine, u
 > risulterebbe naturalmente "invariante".
Qui non ti do proprio torto, ma ti esprimo un dubbio: come fai a
definire la 4-velocità senza un riferimento?
Non mi rispondere per favore che "Gravitation" fa proprio questo,
perché lo so benissimo. Però...
 
 > Insomma, immagino che a seconda del contesto e dello scopo
 > dell'affermazione, si possa correttamente definire u come grandezza
 > invariante oppure no.
Se io fossi al posto dell'OP, a questo punto ti manderei qualcosa che
non suonerebbe esattamente come un complimento :-)
-- 
Elio Fabri


In fisica la terminologia "invariante, covariante, controvariante ecc." è spesso
usata in modo piuttosto confuso, mentre nell'algebra lineare (alias calcolo 
tensoriale) è (o quantomeno potrebbe essere) perfettamente definita.
 
Per ora mi limito a discutere il concetto di "invarianza".
Ovviamente da un punto di vista _lessicale_ un soggetto è "invariante" se non 
cambia al variare di certe condizioni (da precisare). 
Esempi (fisici):
- in meccanica classica (cioè rispetto a trasformazioni di Galileo) sono invarianti
  le grandezze forza, massa, accelerazione (e quindi la legge f=ma), non sono
  invarianti la velocità, la quantità di moto, l'energia cinetica  ecc.
- in RR (trasformazioni di Lorentz) forza ed accelerazione non sono invarianti,
  mentre lo sono la massa propria e la carica di una particella; tutte le formule 
  tensoriali sono invarianti, dunque lo sono ad es. le equazioni di Maxwell ed 
  i moduli quadri dei tensori: la 4-velocità non è invariante poichè dipende dal 
  sistema di riferimento, il suo modulo-quadro U_mu U^mu = c^2 è invece un 
  importante invariante della teoria.
 
Tutto chiaro? Niente affatto, altri non si esprimono a questo modo!
Nei libri di Einstein, Pauli ecc. si parla esplicitamente di "covarianza delle leggi 
fisiche rispetto alle trasformazioni di Lorentz" in RR ed in RG si parla di
"covarianza generale delle equazioni di campo".
Personalmente non uso tale terminologia, parlerei invece di _invarianza_ delle leggi 
fisiche, perchè "covarianza" e "controvarianza" sono concetti del calcolo tensoriale 
che nulla hanno a che vedere con il concetto semantico di invarianza.
Su scalari, vettori e tensori ci sarebbe parecchio da dire, ma mi fermo qui.
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 la 4-velocità non è invariante poichè dipende dal   sistema di riferimento, il suo modulo-quadro U_mu U^mu = c^2 è invece un   importante invariante della teoria.
 
Personalmente ritengo che questo che dici è un grave errore, la
 4-velocità è invariante. Ecco la dimostrazione. 
U = gamma (v + c_0) = gamma' (v' + c0') = inv.
essendo U, v, c_0 vettori e gamma la solita:
gamma = 1/(1 - v^2/c^2).
 
Però, viste anche le altre risposte, devo essere in equivoco io. Dove?!
 
Ringrazio tutti per le risposte 
 
-- 
anth

 Esempi (fisici):- in meccanica classica (cioè rispetto a trasformazioni di Galileo) sono invarianti  le grandezze forza, massa, accelerazione (e quindi la legge f=ma), non sono  invarianti la velocità, la quantità di moto, l'energia cinetica  ecc.
 
 
Personalmente anche qui in meccanica classica trovo un errore
 gravissimo: l'accelerazione non è invariante al cambiare del
 riferimento! invece la forza e la massa sono invarianti.
 
Infatti è per questo motivo che la f=ma vale soltanto nei
 riferimenti inerziali... come quasi certamente hai dimenticato di
 precisare. 
 
-- 
anth

 non suonerebbe esattamente come un complimento :-)
 
In Fisica c'è ancora incertezza riguardo a tanti
concetti e tante definizioni, ma almeno coloro che
studiano la Natura, l'hanno come guida per riconoscere
quali possano essere le definizioni più appropriate, poi mi
sorge spontaneo il confronto con la Matematica, ove quasi
per ogni termine utilizzato si ritrovano accezioni diverse
a seconda dello scopo o del gusto degli autori...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 gamma = 1/(1 - v^2/c^2).
...
 
Le formule sopra sono incoerenti, data la terza
formula che definisce gamma (comunque manca una radice)
allora v deve essere un 3-vettore, ma allora U
risulta anch'esso un 3-vettore piuttosto che un
4-vettore, come dovrebbe essere.
c_0 e c0' non so cosa siano.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

  precisare. 
 
Non ho dimenticato nulla, ho scritto invarianti "rispetto a trasformazioni di Galileo".
Leggi bene prima di parlare di errori gravissimi...      ;-)


 ha scritto:>> ...>> Esempi (fisici):- in meccanica classica (cioè rispetto a trasformazioni di Galileo) >> sono invarianti  le grandezze forza, massa, accelerazione (e quindi la legge f=ma), >> non sono  invarianti la velocità, la quantità di moto, l'energia cinetica  ecc.>>  Personalmente anche qui in meccanica classica trovo un errore>  gravissimo: l'accelerazione non è invariante al cambiare del>  riferimento! invece la forza e la massa sono invarianti.>  Infatti è per questo motivo che la f=ma vale soltanto nei>  riferimenti inerziali... come quasi certamente hai dimenticato di>  precisare. Non ho dimenticato nulla, ho scritto invarianti "rispetto a trasformazioni di Galileo".Leggi bene prima di parlare di errori gravissimi...      ;-)-- 
 
Si' hai ragione non ci avevo badato, l'errore gravissimo è mio in
 lettura.
 
-- 
anth

 gamma = 1/(1 - v^2/c^2).
 
Errata-corrige:
U = gamma (v + c c_0) = gamma' (v' + c c'_0) = invariante.
 
Errata-corrige:
gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2).
 
Aggiungo anche, vista la giusta critica che ho ricevuto, che v  è
 la proiezione della 4-velocità U nello spazio ambiente d'un
 riferimento inerziale K, c_0 è il versore dell'asse dei tempi
 (sempre di K).
E analogamente per il riferimento inerziale K'.
 
-- 
anth

 E analogamente per il riferimento inerziale K'.
 
Non ho capito o non so nella definizione sopra di v
cosa sia lo "spazio ambiente d'un riferimento inerziale K".
 
Comunque _intendo_ che v sia la _velocità_ del moto di
un p.m. rappresentata come vettore 3-dim. relativamente a K,
allora è vero che U = gamma (v + c c_0) è la quadrivelocità
rappresentata con i suoi componenti spaziale e
temporale in K, analogamente la si può rappresentare
con i componenti in K', quindi riconosciamo che la
quadrivelocità intesa come ente geometrico (quadrivettore)
è "invariante" nel senso che tutti gli enti geometrici
sono definiti indipendentemente dalla scelta di un sistema
di riferimento coordinato, ma si ritorna a quanto scrivevo
in precedenza sui diversi significati del termine "invariante",
in base al primo che avevo ricordato la quadrivelocità
non sarebbe invariante (inteso come invariante in valore,
sinonimo di scalare) dipendendo le sue componenti dalla
scelta del riferimento coordinato, in base al secondo
ricordato anche sopra allora sarebbe invariante...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani


Sei sicuro di sapere cos'è la quadrivelocità (ammesso che con U intendessi quella)? Poi che cos'è c_0?
 
--
Wakinian Tanka

 U = gamma (v + c c_0) = gamma' (v' + c c'_0) = invariante.
 
Io non lo capivo prima della correzione e non lo capisco nemmeno dopo.
Potresti gentilmente scrivere i vettori tridimensionali come vec{a} e i 
quadriverrori come a=(a_0,vec{a}) ?
Io la relazione fra la vec{v} che viene chiamata velocità e la u che 
viene chiamata velocità propria (tralasciamo la improprietà o meno di 
tale definizione, ma intanto capiamoci sulle parole) la conosco 
semplicemente come
vec{u}=gamma vec{v}
e la relazione di vec{v} con la u che viene chiamata quadrivettore 
velocità la conosco come
u=(gamma c,vec{u})=gamma (c,vec{v}).
L'invariante è
gamma^2 (c^2 - vec{v}.vec{v}) = gamma^2 (1-beta^2) c^2 = c^2.
Immagino che tu voglia dire le stesse cose, ma non riesco a vedercele 
nei simboli che usi.
 
Bruno Cocciaro.
 
-- 
Questa email è stata esaminata alla ricerca di virus dal software antivirus AVG.
www.avg.com
 

 ha scritto:> >> Ecco la dimostrazione.>> U = gamma (v + c_0) = gamma' (v' + c0') = inv.>> essendo U, v, c_0 vettori e gamma la solita:>> gamma = 1/(1 - v^2/c^2).> > Errata-corrige:> U = gamma (v + c c_0) = gamma' (v' + c c'_0) = invariante.Io non lo capivo prima della correzione e non lo capisco nemmeno dopo.Potresti gentilmente scrivere i vettori tridimensionali come vec{a} e i quadriverrori come a=(a_0,vec{a}) ?
 
Mi dispiace ma non mi è possibile accontentarti, sono col
 cellulare ed è già massacrante la scrittura ordinaria,
 specialmente per le parti in quoting. 
Inoltre a me capita il contrario: non riesco a seguire il tuo
 simbolismo se non a fatica e trascrivendo tutto su carta.
 
 
-- 
anth

 allora è vero che U = gamma (v + c c_0) è la quadrivelocitàrappresentata con i suoi componenti spaziale etemporale in K, analogamente la si può rappresentarecon i componenti in K', quindi riconosciamo che laquadrivelocità intesa come ente geometrico (quadrivettore)è "invariante" nel senso che tutti gli enti geometricisono definiti indipendentemente dalla scelta di un sistemadi riferimento coordinato, ma si ritorna a quanto scrivevoin precedenza sui diversi significati del termine "invariante",in base al primo che avevo ricordato la quadrivelocitànon sarebbe invariante (inteso come invariante in valore,sinonimo di scalare) dipendendo le sue componenti dallascelta del riferimento coordinato, in base al secondoricordato anche sopra allora sarebbe invariante...
 
Ora capisco il tuo punto di vista, che non posso condividere nella
 maniera più assoluta: sostieni che nessun vettore è a priori
 invariante per cambio di riferimento, neppure quelli che si
 studiano a scuola.  Anzi, nessun tensore! a meno che non sia di
 rango zero. 
 
 
-- 
anth

 
 
 
 
Invariante in Relatività significa, almeno per quanto ho capito io, che non cambia al variare del riferimento inerziale, e non "al variare del riferimento inerziale e della base scelta". La quadrivelocità U devi scriverla senza cambiare i versori. Poi fai una trasformazione di Lorentz e vedi che le componenti di U cambiano (basterebbe che ne cambiassa una sola per dire che U non è invariante). Quello che dici tu, invece, come già detto da Fabri, si chiama "essere un quadrivettore". 
 
--
Wakinian Tanka 

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Questo è un punto che mi ha sempre dato da pensare, approfitto della
 > tua disponibilità ;-) e provo a ricostruire l'idea che mi ero
 > formato sull'argomento (appunto studiandolo su "Gravitation"), in
 > attesa delle tue osservazioni e spiegazioni.
Non è "disponibilità": è che per caso è spuntato questo problema nello
stesso periodo in cui ci sto ragionando per mio conto, finora senza
riuscire a vederci chiaro.
 
Ti rivelo un segreto: mi ero messso a scrivere (al momento per uso
personale) una nota intitolata "Relatvità ristretta senza coordinate",
proprio per mettere in chiaro che cosa mi convince e che cosa no del
modo come parte "Gravitation".
E il punto che mi è saltato agli occhi è proprio la definizione della
4-velocità come invariante (se mi legge anth sarà felice).
 
In realtà non mi pare che in Grav questo ci sia scritto
esplicitamente, ma il modo come viene risolto il problema della
"centrifuga e il fotone" lascia intendere proprio questo.
Prima ancora, ci sono i punti P (scritti in maiuscolo corsivo) e
persino i dP (che forse risalgono a Cartan).
 
Però mi sono trovato (anche se con molti dubbi) ad assumere la
4-velocità non tanto come invariante, ma come "intrinseca" (non mi
chiedere la differenza :-) ).
È un po' quello che fai tu, anche se mi riesce facile trovare dei
punti criticabili nella tua presentazione. Vediamo.
 
 > Consideriamo lo spaziotempo fisico S (~ insieme degli eventi) sia l
 > la linea di universo di un p.m. (insieme dei punti di S associati al
 > p.m.), parametrizziamola con il tempo proprio del p.m.
Già qui qualcosa mi disturba...
L'espressione "spaziotempo fisico".
Io vorrei procedere diversamente, tenendo distinto lo sviluppo
matematico dall'applicazione fisica.
Si capisce che poi dovranno essere tesi dei collegamenti (i fili che
pendono dalla rete di Hempel: ne ho parlato in più occasioni), ma la
struttura matematica dovrebbe essere definita in modo indipendente
(anche se di nascosto motivata dall'uso fisico che vogliamo farne, e
che sotto sotto abbiamo presente).
 
In effetti niente vieta di dire: "è data una varietà topologica
omeomorfa con R^4, che chiamiamo spazio-tempo; chiamiamo eventi i suoi
punti".
Che si possa evitare d'introdurre altre strutture, mi pare dubbio:
minimo c'è bisogno di definire due diversi tipi di separazione tra le
coppie di eventi, tipo spazio e tipo tempo (e poi il caso di confine,
tipo luce).
Così puoi precisare che la linea d'universo deve essere di tipo tempo
o al limite di tipo luce.
 
 > (questa è una misura locale che non richiede di costruire un
 > sistema di riferimento),
Anche qui avrei qualcosa da dire, nel senso di non annettere subito
al tempo proprio un significato fisico.
Ma non occorre approfondire, perché il problema è già spuntato nel
momento in cui si dà una qualche esistenza oggettiva agli eventi e
allo spazio-tempo.
Conoscerai di certo l'esistenza di due posizioni in materia: i
sostanzialisti contro i relazionisti.
Partire prendendo come primitivo lo spazio-tempo ti classifica (e
classifica Wheeler) come sostanzialista. La gran parte dei fisici
teorici invece sono relazionisti.
Quando mi è capitato io ho preso una posizione un po' ambigua: ho
dichiarato di preferire la posizione sostanzialista, se non altro
perché la trovo conveniente in senso didattico...
 
 > dato un campo reale regolare f su S, considero 2 punti P e P1 su l
 > separati da un intervallo di tempo proprio tau, considero
 > l'operatore reale sullo spazio delle funzioni f lim tau -> 0 (f(P1)
 > - f(P)) / tau,
Se capisco bene stai seguendo la linea standard per definire il
vettore tangente a una curva e poi il fibrato tangente sullo
spazio-tempo.
In effetti, se scavi per bene, stai introducendo su S la struttura di
varietà differenziabile (guarda su wiki l'articolo "differential
manifold". Non ho obiezioni a questo, ma tanto vale dirlo
esplicitamente da subito.
 
 > _definisco_ questo operatore la quadrivelocità del p.m. in P,
E va bene...
 
 > a posteriori dico che f è regolare in S se l'operazione sopra
 > risulta _fisicamente_ possibile per ogni linea di universo
 > di un p.m..
Qui non ho capito e farei l'obiezione di base: porrei come postulato
interpretativo che questo sia sempre possibile.
 
 > Il procedimento descritto non ha richiesto né di introdurre una
 > qualche struttura (ad es. metrica) su S né di costruire un s.d.r. in
 > S,
Va bene, ma prima o poi dovrai farlo.
 
 > a meno che non si debba intendere che la stessa descrizione di S
 > come insieme degli eventi e delle loro relazioni causali realizzi un
 > s.d.r..
Non vorrei, perché sarebbe un rif. in qualche modo privilegiato.
 
 > In Fisica c'è ancora incertezza riguardo a tanti concetti e tante
 > definizioni, ma almeno coloro che studiano la Natura, l'hanno come
 > guida per riconoscere quali possano essere le definizioni più
 > appropriate, poi mi sorge spontaneo il confronto con la Matematica,
 > ove quasi per ogni termine utilizzato si ritrovano accezioni diverse
 > a seconda dello scopo o del gusto degli autori...
Magari fosse solo questione di accezioni...
In realtà i matematici hanno sostanziosi problemi di fondamenti.
Solo che o preferiscono ignorarli, o non si abbassano a parlarne con
noi comuni mortali (leggi fisici)
 
Mi hai fatto ricordare Anna Maria. Se ricordo bene, non la vedo da 13
anni. Dato che è più giovane di me, assumo che sia ancora viva, quindi
non ne dico il cognome.
È laureata in matematica; è stata insegnante di mat. e fisica di due
mie figlie.
Per un certo periodo abbiamo collaborato su un'idea: usare la fisica
come motivazione per l'introduzione ai concetti del calcolo
differenziale (velocità, accelerazione, derivate, vettori...).
Ragionavamo insieme, poi lei portava le idee in classe, ecc.
 
Un giorno mi confessò che ci si metteva d'impegno, ma non riusciva a
liberarsi di un certo disagio con la fisica, dove niente è mai sicuro
e indiscutibile; non come in matematica...
Ricordo che preferii lasciarla nella sua illusione e non le raccontai
alcune difficoltà che avrebbe trovato, se ci avesse pensato, nei
fondamenti della matematica :-)
-- 
Elio Fabri

   rango zero.
 
A proposito di vettori che si studiano a scuola, considera
(nella Fisica newtoniana) il vettore velocità rispetto alla
strada del moto di un veicolo, il vettore è invariante
cambiando riferimento (ad es. quello di un treno che viaggi
parallelamente alla strada)?
Io direi per prima cosa di no, non per niente si parla di
_trasformazioni_ di Galileo.
Poi, se vuoi introdurre la quadrivelocità del veicolo come
ente geometrico (in particolare un tensore), quindi definito
in modo indipendente dalla scelta di un sistema coordinato,
o persino di riferimento, ben venga anche l'affermazione
che sia "invariante" per cambiamenti di riferimento coordinato,
come ho già scritto 2 volte dipende dal contesto...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 non suonerebbe esattamente come un complimento :-)
 
Temo che il problema di terminologia ci sia e le perplessità di anth 
siano ben fondate.
 
La quadrivelocità non è invariante solo se il "qualcosa che non cambia 
sotto una determinata trasformazione" comprende le componenti del 
vettore in una data base. Ma se pensiamo al vettore definito 
indipendentemente dalla scelta di una base e relative componenti, quello 
resta invariante.
 
Sul tuo dubbio di come si possa definire la quadrivelocità senza un 
riferimento, direi che è il problema generale della definizione di 
derivate di campi vettoriali su una varietà differenziale. Ci sono 
sufficienti strumenti per  poterlo fare in modo intrinseco.
 
Giorgio
 
Quindi

 .....
 
IMHO hai messo il dito nella piaga, ma il problema non è solo di terminologia,
è soprattutto di notazioni: infatti è assolutamente usuale rappresentare i 
tensori di rango r mediante simboli aventi r indici alti o bassi, intesi come
le n^r componenti del tensore in una data base. 
Solo i trattati più rigorosi distinguono chiaramente un tensore (applicazione
algebrica) dalla matrice (multidimensionale) delle sue componenti. Ad esempio 
tale distinzione si trova sul Wald laddove parla di "abstract index notation"
o implicitamente negli "slots" del MTW. 
Nei miei pdf (dedicati ai tensori, alla RR ecc.) faccio uso sistematico di una
particolare notazione per i tensori (elementi algebrici), riservando quella 
tradizionale alle componenti.
 
L'OP nel corso del thread parlando di quadrivelocità scrive esplicitamente la 
matrice covariante U_mu = gamma(u){c ,-u^1,-u^2,-u^3} o la controvariante U^mu,
con il che si riferisce di fatto alle componenti (non invarianti) che in una
data base rappresentano il tensore U (quadrivettore algebrico).


 A proposito di vettori che si studiano a scuola, considera(nella Fisica newtoniana) il vettore velocità rispetto allastrada del moto di un veicolo, il vettore è invariantecambiando riferimento (ad es. quello di un treno che viaggiparallelamente alla strada)?Io direi per prima cosa di no, non per niente si parla di_trasformazioni_ di Galileo.
 
In relatività non è come con Newton, l'ho appena scritto in
 risposta ad Alberto. Nello spaziotempo, riferimento inerziale e
 coordinate si - per così dire - identificano. 
 
Le coordinate puoi sceglierle liberamente solo nello... come lo
 chiami tu lo spazio ambiente che non capivi? spazio fisico? altri
 nomi non mi vengono in mente. 
 
-- 
anth

 Invariante in Relativitŕ significa, almeno per quanto ho capito io, che non cambia al variare del riferimento inerziale, e non "al variare del riferimento inerziale e della base scelta". La quadrivelocitŕ U devi scriverla senza cambiare i versori. Poi fai una trasformazione di Lorentz e vedi che le componenti di U cambiano (basterebbe che ne cambiassa una sola per dire che U non č invariante). Quello che dici tu, invece, come giŕ detto da Fabri, si chiama "essere un quadrivettore". 
 
Grazie per questa risposta chiara e interessante, perň non puň in
 alcun modo essere cosě. Adesso mi/ti spiego. 
 
In relativitŕ la fisica č geometrizzata (Minkowski) e non si puň
 in alcun modo mantenere la base cambiando riferimento.
 
Nello spaziotempo un cambio di riferimento inerziale non č altro
 che un cambio di coordinate e viceversa. Non č come con Newton.
 
 
Come ho detto in altro thread prima di aprire questo, il tuo punto
 di vista č quello valido per la componente spaziale v della
 4-velocitŕ U.
Vediamo in dettaglio come vedo la cosa io. 
 
Scelta ad arbitrio una 4-velocitŕ diciamo U=EF, ad ogni cambio di
 riferimento inerziale (cioč di coordinate dello spaziotempo, cioč
 di laboratorio nel quale studi il 4-vettore EF che ti sei scelto)
 corrisponde un diverso vettore v (proiezione di U sui tre assi
 spaziali del riferimento ovvero componente spaziale di U),
 vettore v che pertanto non č invariante:
v = v^i c_i =/= v'^i c'_i.
 
Perň EF si trasforma in se stesso perché č un 4-vettore, come
 giustamente hai detto:
U = EF= U^alfa c_alfa = U'^alfa c'_alfa.
 
-- 
anth

   nomi non mi vengono in mente.
 
Non mi capita spesso di nominarlo ;-), ma direi e comprenderei
semplicemente spazio, o spazio euclideo 3D, o sezione spaziale
dello spaziotempo a un tempo coordinato fissato (in RR),
o sezione spaziale dello spaziotempo ad es. a un tempo cosmologico
fissato (in RG).
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani


Perché, con una trasformazione di Galileo non è lo stesso? 
Se in un rif. inerziale K le coordinate di un punto materiale (moto monodimensionale lungo X) sono:
(t, x) 
allora in un riferimento inerziale K' in moto a velocità v rispetto al primo, sempre lungo X, le coordinate saranno:
(t', x') 
con:
t'=t, x'=x-vt. 
Comunque io non ho capito una cosa (anzi, più di una :-)):
se consideri "invariante" un quadrivettore 
 
 
U = γ(c, vec{u}) in quanto per trasformazione di Lorentz cambia solo "il modo di scriverlo", allora come distingui due *diverse* quadrivelocità? Diverse in quanto appartengono per esempio a due diversi punti materiali, oppure appartengono allo stesso punto materiale ma in punti diversi dello spaziotempo? 
Tutte le quadrivelocità sono uguali? 
 
--
Wakinian Tanka

 Tutte le quadrivelocità sono uguali?
 
Sì, ma solo come intensità: U^2 = -c^2.
 
 
-- 
anth

 L'OP nel corso del thread parlando di quadrivelocità scrive esplicitamente la matrice covariante U_mu = gamma(u){c ,-u^1,-u^2,-u^3} o la controvariante U^mu,con il che si riferisce di fatto alle componenti (non invarianti) che in unadata base rappresentano il tensore U (quadrivettore algebrico).
 
Se l'OP sono io, allora tutto questo che dici non l'ho fatto così
 complicato. Come non invarianti ho parlato di *vettori*
 componenti (maschile): U = gamma c c_0 + gamma  v, i quali
 cambiano, entrambi e sempre, se si cambia riferimento inerziale.
 Il 4-vettore U resta invece sempre uguale. Su questo c'è ben poco
 da aggiungere. 
 
Poi invece, come dice Giorgio Bibbiani, ognuno può dire a sua
 scelta che U è invariante oppure non invariante, nei cambiamenti
 di riferimento inerziale, a seconda del contesto o
 dell'opportunità. 
 
M'ha gentilmente risposto Giorgio, la domanda però l'avevo fatta a
 te, perché avevo visto qualche monografia nel tuo sito e perciò
 pensavo di non disturbarti troppo chiedendoti lumi sulla
 terminologia. 
 
-- 
anth

  pensavo di non disturbarti troppo chiedendoti lumi sulla terminologia. 
 
Non mi è chiaro a quale domanda io non abbia risposto.
La mia monografia sui tensori ha carattere puramente matematico, 
alcune parti sono sviluppate in modo alquanto personale, ma non 
dovrebbe presentare problemi concettuali.
Invece la fisica continua per me ad essere fonte di grattacapi, 
anche in settori che mi pare di conoscere bene (leggasi RR ecc.).
 
Dal punto di vista matematico lo spazio-tempo di Minkowski è uno 
spazio affine metrico (quadridimensionale) i cui punti sono gli eventi,
mentre le coppie di punti sono i (quadri)vettori. Fissando una base
vettoriale (alias scegliendo un sistema inerziale di riferimento)
quadrivettori e tensori vari saranno rappresentati da matrici di 
componenti controcovarianti e/o covarianti per cambiamenti di base 
(alias per cambi di sistema di riferimento). 
 
Ma laddove entra in gioco il concetto di "tempo proprio" sono dolori:
non sono in grado di formulare per la RR una definizione ineccepibile
di quadrivelocità U, senza scontrarmi con la questione della
sincronizzazione degli orologi, con l'accettazione della clock
hypothesis, con la necessità di usare componenti ecc.
 
Mi pare che la tua domanda fosse se "la quadrivelocità sia o meno
un invariante relativistico", ma considerato l'andamento del thread
devo a mia volta chiedere se qualcuno è in grado di proporre una 
definizione fisicamente ineccepibile della quadrivelocità stessa. 


 Mi pare che la tua domanda fosse se "la quadrivelocità sia o menoun invariante relativistico", ma considerato l'andamento del threaddevo a mia volta chiedere se qualcuno è in grado di proporre una definizione fisicamente ineccepibile della quadrivelocità stessa.
 
Non proprio, chiedevo chiarimenti sui possibili significati del
 termine "invariante per cambi di riferimento inerziale".
 
-- 
anth

Quanto segue era scritto in un post che ho spedito il 2, alle 16:53.
Dato cha non è ancora apparso presumo che si perso per strda, quindi lo 
ripropongo.
 
Intervengo per esporre alcune riflessioni che ho fatto seguendo questa
discussione senzxa partecipare gran che.
Premetto solo che auspicherei da tutti un atteggiamento più moderato,
senza affermazioni perentorie, tipo "non può in alcun modo essere
così".
La discussione è utile se e solo se ciascuno è disposto a seguire gli
argomenti altrui sforzandosi di capirne il significato, anche quando
non li condivide.
Farei eccezione solo per affermazioni di carattere matematico preciso,
tipo "il tale spazio non è piatto".
Dato che esiste un modo certo per decidere se la detta proposizione è
vera o no, qui non avrei da ridire se qualcuo scrivesse "questo non è
assolutamente vero".
 
Ho riletto le prime pagine di "Gravitation" e ho fatto bene: capita
spesso che le pagine introduttive di un libro del genere vengano
trascurate o sorvolate, ritenendole di scarsa sostanza.
Infatti ora ho capito meglio il punto di vista degli autori (oserei
dire di Wheeler).
 
Il punto centrale è la caratterizzazione di un "evento".
Un evento si caratterizza descrivendo ciò che accade in quel punto
dello spazio-tempo, senza introdurre coordinate di alcun genere.
Viene fatto un esempio significativo: in Giappone (non ci sono mai
stato ma è cosa che non mi riusciva nuova da letture o altro) spesso
nelle città le strade non hanno nome e le case non hanno numero.
Una casa viene identificata in altri modi: per es. dal nome di un
vecchio abitante.
Così è per gli eventi: vengono cartatterizzati da ciò che acccade, per
es. una particella che decade, due particelle che s'incontrano, o
simili.
L'insieme degli eventi è lo spazio-tempo.
 
Così si può anche caratterizzare una curva: per es. la storia (fatta
di eventi) dell'elettrone emesso in un dato decadiemnto beta.
A questo punto la fisica si riveste di matematica, in quanto - su basi
fisiche sperimentali - si assegna allo spazio-tempo una qualche
struttura.
Qui lascio un po' "Gravitation" per usare un linguaggio più preciso e
più moderno.
Lo spazio-tempo è prima di tutto uno spazio topologico, poi una
varietà di dimensione 4.
 
(Parentesi: la definizione usuale di varietà si basa sulla possibilità
di definire nello spazio in questione delle *coordinate*, con la
massima libertà nella loro scelta. Mi pare però di aver letto che
esista la possibilità di dare una definizione di varietà senza parlare
di coordinate: qualcuno ne è al corrente?)
 
Qui si produce una diramazione tra RR e RG; se ci occupiamo della
prima, lo spazio-tempo è dotato della struttura di *spazio affine*.
Ossia, allo spazio topologico S è associato un spazio vettoriale V sui
reali, di dim. 4, con un insieme di operazioni.
Gli elementi di V vengono chiamati "vettori" o anche "spostamenti":
questo perché da un punto A di S e da uno spostamento u si ottiene un
nuovo punto B (indicato con A+v).
In questo modo da uno stesso punto A si possono ottenere tutti i punti
di S, ciascuno in un solo modo.
(Incidentalmente, l'essere (S,V) uno spazio affine permette di
definire, in infiniti modi, un sistema di coordinate su tutto S.
Credo sia ovvio come fare.)
 
In realtà la struttura dello spazio-tempo im RR è anche più ricca, ma
per ora posso farne a meno.
Per la discussione se la 4-velocità sia o no invariante e più
importante dare un definizione di "riferimento" (abbreviazione di
"sistema di riferimento", ma la parola "sistema" è così ubiqua in
fisica che preferisco lasciarla cadere). Sottintendo anche si tratti
di un rif. inerziale e d'ora in poi scriverò semplicemente "rif."
 
E' già stato detto che un rif. K in RR deve intendersi come un corpo
fisico, più esattamente un corpo rigido, dotato di moto traslatorio
uniforme.
Dato che siamo in uno spazio affine, dove è definito sia il concetto
di retta sia quello di rette parallele, posso definire il corpo rigido
in moto traslatorio uniforme (sott. rettilineo) come un corpo tale che
le linee orarie dei suoi punti sono tutte rette parallele.
Inoltre un rif. è un laboratorio, ossia è dotato di tutti gli
strumenti occorrenti per misurare le grandezze fisiche d'interesse.
Strumenti sempre necessari sono gli *orologi*, che saranno
sincronizzati nel modo standard (alla Einstein).
In questo senso si può parlare di "tempo del rif. K".
 
Detto tutto questo, passiamo a discutere il concetto di "invariante".
Comincio osservando che dire invariante non ha alcun senso se non si
specifica rispetto a quale/i trasformazione/i.
E soprattutto quali sono le entità su cui la trasf. agisce.
Un punto che non è mai apparso nella discussione è la distinzione tra
punto di vista attivo e passivo.
Questa distinzione riguarda gli oggetti (anche nel senso di fenomeni)
che esistono (avvengono) e i rif. (laboratori) dai quali vengono
"osservati" (misurati).
Nel punto di vista attivo l'oggetto (fenomeno) subisce una qualche
trasf., mentre il rif. rimane inalterato.
È l'opposto nel punto di vista passivo: si lasciano invariati gli
oggetti (fenomeni) e si cambia il rif.
In entrambi i casi ciò che interessa è che cosa accade alle grandezze
misurate, la loro legge di trasf.
 
A questo punto si comincia a vedere che cosa c'è dietro la
discussione: chi sostiene l'invarianza della 4-velocità pensa agli
oggetti "in sé" e a un punto di vista passivo. Gli oggetti restano
intoccati, mentre i risultati delle misure possono cambiare al variare
del rif.
Da un punto di vista attivo invece un corpo in moto viene trasformato,
quindi cambia la linea oraria e anche la 4-velocità.
 
Però anche da un punto di vista passivo (l'ho già detto) pur se il
corpo non viene toccato, per es. cambia la sua energia a seconda del
rif. da cui la si misura.
Si dirà "grazie tante, l'energia è una componente del 4-vettore mv (v
4-velocità) e se si cambia rif., quindi base, è normale che le
componenti cambino; ma il 4-impulso mv come *oggetto geometrico* resta
invariato.
 
Tuttavia, posso anche definire l'energia come mv.u essendo u la
4-velocità del rif.
Ci si potrebbe aspettare a prima vista che come prodotto scalare di
due 4-vettori debba essere invariante...
Non lo è perché abbiamo cambiato rif.: al posto di K con 4-velocità u
siamo passati a K' con 4-velocità u'; non c'è niente di strano se u.v
è diverso da u.v'...
Nel punto di vista attivo sarebbe cambiata u, divenendo u', e saremmo
passati da u.v a u'.v.
Il cambiamento c'è in entrambi i casi, per motivi diversi.
 
Nota. Tutti avranno notato che a un certo punto sono apparsi i
prodotti scalari, che in uno spazio affine non sono definiti.
Questa era appunto la struttura in più cui avevo alluso: lo
spazio-tempo non è solo uno spazio affine, ma anche uno spazio
pseudo-euclideo, dove è definito un prodotto scalare o se preferite un
tensore metrico (con segnatura +--- oppure -+++ a seconda dei gusti,
ma questo è il significato del prefisso pseudo-)

 .....
 
Me ne sono occupato molti anni fa a modo mio, come spiegato nei brevi abstract
dei laboriosi Cap. 6-7 della mia monografia sui tensori (presente sul mio sito).
In tutti i campi della fisica (geometria, meccanica, MQ ecc.) ho sempre ritenuto
più significativi i metodi sintetici rispetto a quelli analitici.



Abbi pazienza: come si dimostra?
Ciao. 
--
Wakinian Tanka

 Il giorno giovedì 4 maggio 2023 alle 22:30:04 UTC+2 Elio Fabri ha scritto:... > Tuttavia, posso anche definire l'energia> come mv.u essendo u la > 4-velocità delrif. >Abbi pazienza: come si dimostra?
 
Scomponi la 4-velocità v, proiettandola sugli assi di K:
v = gamma (c c_0 + w),
dove w è il vettore componente spaziale di v in K, c c_0 quello
 temporale. 
Il resto è ovvio se ti ricordi che u = c c_0. 
 
 
-- 
anth