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Titolo: diffusione

Il mio testo introduce la diffusione di un soluto in una soluzione col 
seguente ragionamento (limitiamo tutto al caso unidimensionale). Ho un 
cilindro d'acqua, non soggetto a gravità o altri campi di forze. In una metà 
vi è un soluto a concentrazione c1, nell'altra solo solvente.
Nel tempo dt la quantita di soluto (in moli) che ha attraversato la sezione 
A (che separa le due metà e che prima dell'inizio dell'esperimento è 
occupata da un diaframma rigido) del cilindro è: A*dx*c1/dt = A*v*c1.
Ora, io sono certo del fatto che nel volume A*v*dt = A*dx = dV vi sia un 
numero di molecole di soluto pari a c*dV, con c la concentrazione di soluto 
in dV, ma non sono affatto convinto che c=c1.
Ragiono così: le molecole di soluto possono solo fare avanti e dietro lungo 
x: certo, è una situazione ideale e rende anche difficile (a me) immaginare 
come cose come il cammino libero medio (l), ecc. Devo supporre che le 
molecole si cozzino con urti elastici per poi invertite, sempre sulla stessa 
direzione, il loro moto. Quindi in realtà saranno sempre e solo le stesse 
molecole a uratare sul diafaramma in A: poi tornano indietro e in media dopo 
l scontrano un'altra molecola e ritornano verso A.
Ora: quante molecole in dt, cioè dalla rimozione del diaframma alla sua 
ricollocazione, attraverseranno A nel verso positivo delle x? (in realtà 
penso che l'autore abbia voluto considerare riempita di solo solvente la 
seconda metà del cilindro per ignorare le molecole con velocità negativa). E 
se dt è breve, come è per definizione, davvero tutte le molecole che 
attraverseranno A lo faranno nel verso positivo! Dicevo: ma quante ne 
saranno? E c=c1: perchè?
Io avrei pensato ad un approccio diverso. Innanzi tutto prenderi in 
considerazione un istante successivo alla rimozione del diaframma: il soluto 
si sta già equilirando e al tempo t vi è un profilo di concentrazione lungo 
x. Consideriamo adesso A: in A la concentrazione è una soltanto (al tempo 
t). Le molecole che attraverseranno A nel  verso positivo (in dt) sono
A*v*c1
quelle che attraverseranno nel verso negativo:
A*v*c2
quelle nette:
A*v*(c1-c2)
Ma cosa sono c1 e c2? A che distanza da A devo prenderle? Feynman dice ad un 
cammino libero medio da ogni parte. Perchè?
Graziie

 un cammino libero medio da ogni parte. Perchè?
Vorrei spèecificare che feynman parla di un gas speciale (privo di moti 
convettivi) che diffonde in un gas omogeneo di base. Io sto cercando di 
capire il ragionamento che fa per applicarlo anche alla diffusione di un 
soluto in un liquido.
In particolare mi sono ostici due passaggi:
"Per ottenere il flusso netto (attraverso la sezione A) dobbiamo calcolare 
come positive queklle molecole che attraversano neklla dirzione di x 
positivo e sottrarre a questo numero il numero di quelle che attraversano 
nella direzione x negativa
e fin qui è perfetto. Poi dice una cosa incomprensibile per me (43-5, ed. 
Zanichelli):
*Come abbiamo visto molte volte, il numero che attraversa l'area di una 
superfcie durante il tempo deltaT è dato dal numero che inizia l'intervallo 
deltaT in un volume che si estendeper la distanza v*deltaT a partire dal 
piano (A).
Poi sceglie 2l come ampiezza dell'intervallo che ha A al centro per potyer 
calcolare le densità. Infine fa un passaggio che non copmprendo:
(n+ -- n-)/2l = dn/dx
con (n+ -- n-) = differenza tra densità misurate a distanza l a destra e a 
sinistra di A e dn/dx la derivata prima della funzione densità che io, per 
semplicità, iportizzo variare solo lungo x.
Mi aiutate a capire, per favore? 

 Mi aiutate a capire, per favore?
Ciao Raffy, scusa se mi intrometto sempre io nei tuoi thread. Io che, 
soprattutto, non so praticamente nulla di fisica :-( e non ho neppure la 
risposta alla tua domanda. Però, credo di avere uno spunto di riflessione.
Vorrei fare un percorso a ritroso.
La prima legge di Fick dice che il flusso (ossia il numero di moli *nette* 
che nell'unità di tempo attraversa una superficie A è:
J = dn/dt = -A * D* dc/dx,
con D=RT/Nf (f= coeff. d'attrito, R cost gas, T = temp, N = numero di 
Avogadro).
Questa relazione si può ottenere anche dalla più generale equazione di 
Teorell:
J = U*c*X   (riferita a superficier unitaria)
con U =  mobilità della sostanza che diffonde = 1/Nf
c = concentrazione a livello della sezione A (se vogliamo, a livello del 
tratto dx, che è tanto piccolo che in esso si può considerare c = cost.) e X 
è la c.d. forza coniugata al flusso, che è di solito data come derivata 
(gradiente) di energia: -dW/dx. dW è l'energia spesa per spostare di dx una 
mole di sostanza. Le dimensioni di X sono quandi quelle di una forza, ma 
riferita ad una mole di sostanza.
Per le differenze di concentrazione di un soluto non carico, X = -du/dx, con 
du il potenziale chimico
L'equazione di Teorell sarebbe quindi:
J = -U*c*du/dx
ed essendo du = RT dln c = RT dc/c, si ha:
J = -U*RT*(dc/dx) = -(1/Nf)*RT*dc/dx = -(RT/Nf)*dc/dx
Per riferirla a tutta A, devi solo moltiplicare per A, e ponendo, come 
sopra, D=RT/Nf , ho ancora:
J = -A * D* dc/dx,
Questa roba è chiarissima, credo. E si riferisce al flusso *netto* 
attraverso A, ipotizzando costante c lungo dx.
Ma da dove deriva  J = U*c*X ?
Ho cercato ed ho troivato questo:
Il flusso netto di molecole attraverso A in dt è uguale a:
J = dn/dt = (A*dx*c)/dt = A*c*vm  (vm = velocità media).
Essendio uniforme il moto delle molecole, si ha che la forza che agisce su 
esse F = R, con R = resistenza.
F = R = vm*f (f = coeff. d'attrito)
Ponendo X = F*N (N = num di Avogadro), in accordo con quanto sopra circa le 
dimensioni di X, si ha:
vm = F/f = X/N*f = X*(1/N*f)
quindi:
dn/dt = A*c*vm = A*c*(1/Nf)*X
Rferendioci alla sola superficie unitaria e ponendo U =  1/NF, si ha:
J = U*c*X, con U = 1/Nf
Ora, e chiudo, dal ragionamento fatto, pare evidente che J sia un flusso già 
netto, visto che se -dW/dx = 0 (nessun gradiente di concentrazione) si 
annulla anche J.
Ma da come abbiamo costruito J, si annulla anche
vm = X/N*f
Ed è qui che io vedo il punto di congiunzione col ragionamento di Feynman 
(che non è uno che si sbaglia una volta sì e una no :-)) che tu riporti:
se vm si annulla con l'annullarsi di X, non è che le molecole si fermano 
;-) ma semplicemente non vi è più alcun flusso netto. Quindi devo dedurre 
che vm sia la velocità "netta" nel senso che si ottiene somando tutte le 
velocita positive, aggiungendo a questa somma la somma di tutte le negative 
e dividendo per il numero di tutte le particelle che hanno attraversato A. 
Ovviamnete mi soto riferendo solo a v_x per semplicità. E' come dire che se 
in media la generica particella che si muove da destra a sinistra ha 
velocità v_a e la generica particlella che si muove in senso opposto ha 
velocità v_b, ritenendo ragionevole che v_a=v_b, allora vm = 
[v_a(n1-n2)]/n1+n2 con n1 = particella che vanno da sn a dx e n2 particelle 
che, sempre in dt, vanno in direzione opposta. Questo discorso sembra essere 
simile a quello di Feynman, ma è fatto da Angelo, okkio..... :-) E ad angelo 
viene anche un dubbio:
se
dn/dt = A*c*vm = A*c*[v_a(n1-n2)]/n1+n2
usando c come concentrazione a livello di dx (che è come dire lo "spessore" 
di A), come fa Feynman a giungere alla stessa conclusione partendo da (se ho 
capito quello che hai scritto):
dn/dt  = A*v*(c1-c2), con v = v_a = v_b e c1, c2 le c ad un cammino libero 
medio di distanza da A? Ho una curiosità morbosa su questa cosa.
Spero di averti dato qualche spunto, ma NB: al tuo ho aggiunto anche il mio 
dubbio? :-)
Ciao

 "spessore" di A)
non ho assolutamente compreso cosa sia vm, o meglio: come tu l'abbia 
costruita! Potresti aggiungerci qualche parola?
Tnx
Raffy 

 costruita! Potresti aggiungerci qualche parola?
Aspetta, non correre. Non fare troppo affidamento su quello che dico ed
aspetta che Elio Fabri o altri intervengano a correggere i miei
strafalcioni...
Cmq. se ti interessa sapere perchè quella velocità può essere utile, pensa
che se tutte le molecole che attraversano A avessero la velocità media vm,
così come definita, allora si muoverebbero tutte nello stesso verso
(o non si muoverebbero, se la velocità fosse zero; ma nel *solo* senso che 
non
vi sarebbe un movimento netto). E se tutte le particelle si muovono con vm,
allora nel tempo dt percorrono vm*dt. E considerando che nel volume A*vm*dt
= A*dx vi sia una concentrazione costante c di particelle (il valore di c
 in A), allora ecco che le particelle che avranno attraversato A
nell'unita di tempo (e non solo in dt!) saranno A*dx*c/dt.
Ma ASPETTA conferme, per favore.
:-)
Angelo

 strafalcioni...
Ehm...scusate: ma mi direste almeno se chi tace acconsente (oppure tace per 
non prendermi a parolacce)???
:-))
Grazie mille.