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Titolo: Chiarimento su Huang - Meccanica Statistica

Ciao a tutti,
non riesco a capire cosa intenda Huang in un passaggio del suddetto
libro, in particolare quando definisce l'ensemble di Gibbs. Dice che ad
un sistema fisico soggetto a condizioni macroscopiche (presumo si
riferisca ad E (energia), V (volume) ed N (numero di particelle)) e'
associato non un punto dello spazio delle fasi \Gamma, ma una
collezione di punti detta ensemble. Fin qui tutto chiaro. Ora lui usa
una funzione di distribuzione per caratterizzare questi punti:
\rho (p, q, t) dp dq = numero di punti rappresentativi che al tempo t
sono contenuti nel volume infinitesimo dp dq = d^(3N)p d^(3N)q centrato
attorno al punto (p,q) \in \Gamma.
Prima di tutto non riesco ad interpretare questa definizione: lui si
riferisce al "numero di punti contenuti nel volume". Ma questo non
dovrebbe essere un continuo? Anche ammettendo di dividere lo spazio \mu
della singola particella in cellette finite di volume d^3 p d^3 q, mi
sembra che la corrispondente divisione nello spazio \Gamma possa
contenere al più un punto rappresentativo (un punto se questo punto
soddisfa alle condizioni macroscopiche, zero punti in caso contrario).
Ultima perprlessita': il sistema si evolve seguendo le equazioni di
Hamilton. Da questo discende il Teorema di Liouville per questa
distribuzione \rho. In particolare \rho cambia nel tempo. Ma se io
tengo fissi i vincoli macroscopici (Energia, Volume, Numero di
particelle), non dovrebbe rimanere costante la distribuzione dei punti
rappresentativi? Cioè, se al tempo t il punto (p,q) rappresenta uno
stato con quelle condizioni macroscopiche, al tempo t', se le
condizioni macroscopiche non sono cambiate, dovra' continuare ad essere
un rappresentativo dello stato macroscopico.
Ringrazio chiunque mi aiuti a capire meglio questa definizione.
Ciao e grazie
Marco

 Hamilton. Da questo discende il Teorema di Liouville....
[...]
Qui il discorso si fa molto lungo, Marco, ne riparliamo tempo permettendo...
saluti, buon studio.
F. Lopez

 l'idea di *volume* continuo...
Quello che mi disturba è, in primo luogo, il linguaggio usato da Huang
con "densità di punti rappresentativi". Secondo me sarebbe più
appropriato parlare di "densità di probabilità" nel senso che ho
specificato sopra. Ma con questa interpretazione faccio fatica a capire
i discorsi che portano alla dimostrazione del teorema di Lioville (il
numero di punti rappresentativi che escono da un volume V deve
eguagliare il numero di punto rappresentativi che scompaiono dal volume
V). Secondo me un punto rappresentativo non può, per evoluzione
microscopica del sistema, diventare non rappresentativo, a meno che io
non modifichi le condizioni macroscopiche (E, V, N). Cerco di spiegarmi
in altri termini: se io definisco l'Hamiltoniana del sistema,
mettendoci dentro anche il potenziale di contenimento che definisce il
volume V, ho fissato V ed N. Fissare E equivale a definire una
ipersuperficie dello spazio \Gamma, una varietà, lasciatemela chiamare
M, la ipersuperficie di livello definita da H(p,q) = E. Ora tutti i
punti di M sono punti rappresentativi del sistema macroscopico, quindi
appartengono all'ensemble per definizione dello stesso. Ora posso
pensare che, per qualche motivo, sia più probabile che il sistema si
trovi effettivamente in (un intorno di) (p1,q1) piuttosto che (p2,q2).
Ha senso quindi definire una densità di probabilità che tenga conto
di questo. In linea di principio questa distribuzione può cambiare nel
tempo, da cui \rho(p,q,t). Chiamiamo \Phi^t il flusso Hamiltoniano del
sistema. Certamente se \rho(p1,q1,t1) = c, mi aspetto (intuitivamente)
che \rho(p2,q2,t2) = c, dove (p2,q2) = \Phi^(t2-t1) (p1,q1). Quindi
capisco che ci deve essere una sorta di equazione che regola
l'evoluzione di \rho.
Ciò che non capisco riguarda il linguaggio che usa Huang che, come ho
già detto, si riferisce ad una densità di punti rappresentativi, cosa
che non riesco a digerire. La distribuzione \rho è secondo me qualcosa
che sta "sopra" i punti rappresentativi. Spero che quest'ultima
immagine chiarisca un po' quello che intendo dire, se invece complica
le cose ignoratela :)
Spero di essere stato sufficientemente chiaro nell'esporre le mie
perplessità.
Lopez, ti ringrazio per la risposta.
Ciao
Marco

 di questo.
...
In realtà l'interpretazione che adotti ti porta fuori strada: la funzione
rho è una costante del moto, quindi ogni punto dello spazio delle fasi,
tra quelli ammessi dalle condizioni prefissate, ha la stessa probabilità a
priori di ospitare il sistema.
Ragionando in termini di "punti rappresentativi" che si spostano si
capisce più chiaramente che il volume iniziale può spostarsi in zone
differenti (diversi p e q del suo baricentro) dello spazio delle fasi.
Saluti,
Aleph     
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it


ok, io ho l'edizione del 1967 (Wiley & Sons) che rimanda al cap. 4 --
L'equilibrio di stato di un gas diluito-- la definizione di spazio delle
fasi \Gamma in cui un 'punto' descrive lo stato del gas con 3N coordinate
canoniche q_{1}, ... ,q_{N} e 3N momenti canonici p_{1}, ... ,p_{N}. Ora
Huang percorre la strada che porta al ensemble di Gibbs per dimostrare che
nello spazio a 6N dimensioni se si sceglie a caso uno stato fra quelli che
si adattano a certe condizioni macroscopiche, in termini di probabilità è
molto verosimile supporre che sceglieremo una distribuzione Maxwell-Boltzman
piuttosto che un'altra, per quanto riguarda la *rappresentatiivtà* di un
punto in \Gamma Huang di fatto defiinsce \rho come una distribuzione
"continua" il che scongiura qualsiasi "situazione intermedia" nel frangente
in cui il gas diluito passa da un punto in \Gamma verso un'altro, e la
definisce come il numero di punti rappresentativi contenuti al tempo t in un
volume infinitessimo centrato intorno a (p,q), osserva che questo volume
infinitessimo d^{3N}pd^{3N}q in \Gamma -non è- un reale sottoinsieme di
\Gamma, Huang lo definisce una "curva chiusa" in \Gamma che non interseca
mai se stessa, non sono sicuro ma forse qui stava la tua comprensibile
perplessità in tal senso.  Vedo che hai già avuto una risposta molto
esauriente da Aleph chi affabilmente in forma allegorica porta
all'immaginazione la figura di una ameba mutante di forma ma di volume
costante per accennare al teorema di Liouville. Huang, molto elegantemente
dimostra che tale teorema ribadisce il fatto che la derivata nel tempo di
\rho *deve* essere zero, questa è quella sorta di equazione che regola
l'evoluzione di \rho che per intuizione tu accennavi, ciao, buon studio.
F. Lopez

 priori di ospitare il sistema.
Da quello che ho capito questo postulato vale solo all'equilibrio.
Grazie anche a te per la risposta.
Ciao
Marco

 l'evoluzione di \rho che per intuizione tu accennavi, ciao, buon studio.
Certo, infatti mi riferivo proprio a quell'equazione. Il problema non
risiede, appunto, nella comprensione della dimostrazione o
nell'interpretazione dell'equazione di Lioville come descrivente un
fluido incompressibile, ma piuttosto nell'interpretazione della
funzione \rho.
Credo che, a questo punto, vi siate stufati di sentirmi dire sempre le
stesse cose. Vi assicuro che leggo le vostre risposte attentamente e
cerco di capirle il più possibile.
Ciao e grazie ancora
Marco

 Adesso consideriamo lo spazio Gamma.
[cut]
Adesso ho capito la tua difficoltà! 
Tradotto brutalmente, ti riesce innaturale guardare alla funzione rho come
a una funzione continua, essendo (di fatto) la trattazione degli stati
dell'ensemble microcanonico discreta.
Ma tale approssimazione è esattamente la stessa che si fa, più o meno con
lo stesso tipo di procedimento matematico, in meccanica e elettrodinamica
classiche, quando vengono definite come funzioni continue la densità di
materia o la densità di carica (che sono entrambe funzioni discrete,
essendo la materia granulosa e fatta di enti discreti) o (in maniera forse
meno diretta) quando si tratta una corda fisica percorsa da un'onda come
se fosse costituita da infiniti punti (equazione delle onde).
In fisica, da secoli ormai, si discretizza o si rende continuo un ente
fisico a seconda della convenienza nella trattabilità teorica dei
problemi. 
E' un fatto del tutto normale ed è uno dei grimaldelli più utilizzati
nella modellizzazione matematica della realtà fisica (Giorgio Israel ha
scritto cose molto interessanti su questo argomento).   


 dell'ensemble microcanonico discreta.
No, questo invece non mi riesce affatto innaturale, ci sono abituato.
Solo non capisco come dovrei effettivamente calcolare il numero di
punti rappresentativi nel volume dpdq centrato attorno al punto (p,q).
Se un libro dà una definizione di una funzione, uno vorrebbe, almeno
in linea di principio, capire come fare a "calcolare" la funzione.
L'unico metodo che mi viene in mente mi porta ad una funzione \rho
uguale ad 1 oppure a 0. Fino ad adesso (mentre scrivo) non mi avete
ancora detto dove è sbagliato il mio ragionamento. Comunque è
difficile parlarne per iscritto, dalle vostre risposte capisco che non
riesco ad esprimermi come vorrei.
Grazie comunque!
Ciao
Marco

 tornare le cose. 
...
[Osservazione: il fattore N! di cui sopra discende direttamente
dall'indistinguibilitą delle particelle identiche e non ha a che fare
direttamente con la definizione di microstato quantistico nello spazio
delle fasi. 
A.


 ancora detto dove è sbagliato il mio ragionamento.
E perché dovrebbe essere sbagliato il tuo ragionamento?, la scelta
rho(q,p) = 1 , nel volume dello spazio delle fasi accessibile al sistema e
rho(q,p) = 0 fuori di esso è perfettamente accettabile, nel caso di
sistemi all'equilibio termodinamico.
Inoltre non riesco proprio a vedere come e perché tale scelta dovrebbe
togliere significato al teorema di Lioville (che vale anche per sistemi
termodinamici non in equilibrio) o al postulato di equiprobabilità a
priori.


 priori.
L'equiprobabilità l'ho discussa prima. Il teorema di Liouville è
assolutamente inutile se \rho = costante negli stati che corrispondono
ai parametri macroscopici, 0 altrimenti. Infatti la funzione che ho
derivato in generale soddisfa banalmente l'equazione di continuità per
\rho.
Ciao e grazie
Marco

 rho.
Nel transiente tra i due stati di equilibrio, prima e dopo la rimozione
del setto, mentre la rho dipende esplicitamente dal tempo, il teorema di
Lioville continua a valere. E ti dà l'informazione, niente affatto banale
e non derivabile unicamente dall'equazione di continuità per rho (ci
vogliono anche le equazioni del moto) che la derivata totale di rho è
nulla, ovvero che rho è una costante del moto.     
A me tutto ciò non pare né inutile né banale.


 A me tutto ciò non pare né inutile né banale.
Con questo post non aggiungerò nient'altro. Sappi che sono
assolutamente d'accordo con le cose che dici, lo ero anche prima del
tuo post. Purtroppo non sono riuscito a comunicare la mia perplessità.
Ti ringrazio moltissimo per la disponibilità, sono riuscito comunque a
ricavare cose importanti dalle tue risposte!
Ciao
Marco