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Titolo: radiazione elettromagnetica quanti dubbi

Ok vorrei chiarire definitivamente dei dubbi che ho
sull'irraggiamento...
prima di tutto, consideriamo un caso "semplice"
abbiamo un piano indefinito che passa per (0,0,0) e si trova nel piano
yz.
su di esso è distribuita uniformemente della carica con densità
superficiale sigma.
il piano si sposta lungo y con una velocità variabile v(t).
Ora risolvendo le equazioni di maxwell mi viene che il campo
elettromagnetico ha questa forma (sistema MKS):
B_x=0
B_y=0
         -(mu_0/2)*sigma*v(t-x/c) per x>0
B_z         +(mu_0/2)*sigma*v(t+x/c) per x<0
         +sigma/(2epsilon_0) per x>0
E_x         -sigma/(2epsilon_0) per x<0
         -(mu_0/2)*c*sigma*v(t-x/c) per x>0
E_y         +(mu_0/2)*c*sigma*v(t+x/c) per x<0
E_z=0
I campi sono indefiniti per x=0
Ho fatto i conti con le equazioni di maxwell e torna tutto...potete
confermare?
Ora veniamo alla parte più importante...
Supponiamo che il piano abbia viaggiato finora a velocità costante
lungo y, v(0).
se vogliamo portare il piano a una velocità v_f più alta e mantenerlo
a questa velocità, credo che a ogni unità di superficie del piano
debba essere applicata una forza per un tempo infinito!
Infatti il campo si stabilizzerà anche a grandi distanze di x al campo
corrispondente alla nuova velocità v_f, e la densità di energia del
campo sarà più alta.
Ogni unità di superficie S del piano dovrà dare un'energia pari a:
(variazione densità di energia) * S*L dove L è una lunghezza infinita
lungo x.
A meno che la forza applicata per unità di superficie sia di tipo
impulsivo, per stabilizzare il piano su questa nuova velocità dovremo
applicarla per un tempo infinito.
Supponiamo di avere applicato la forza solo per un intervallo di tempo
finito da t=0 a t=T.
A t=T il piano ha una velocità v(T), ma una volta smesso di applicare
la forza a ogni unità di superficie, credo che il campo assorbirà
energia e quantità di moto dal piano fino a riportarlo a v(0), diciamo
in un intervallo che va da t=T a t=T'. Il campo magnetico sarà "quasi
ovunque" pari al campo che corrisponde a v(0), tranne per un intervallo
di x di lunghezza c*T' . Questo intervallo in cui il campo è diverso
da B(v(0)) si allontana dal piano a velocità c.
In conclusione quindi il lavoro che abbiamo fatto sul piano da t=0 a
t=T è andato completamente nell'onda elettromagnetica emessa dal piano
da t=0 a t=T'. Quest'energia viene dispersa e si allontana.
A proposito, sapreste dirmi se T' è un tempo infinito?
Credo di sì perché le equazioni dinamiche sarebbero:
F_ext (t)=dp_piano/dt+dp_campo/dt
quando si smette di applicare la forza esterna si ha:
dp_piano/dt=-dp_campo/dt
credo che dp_campo_y/dt sia pari a:
dp_campo_y/dt=c*mu_0/2*(sigma^2)*[v(t)-v(0)]
sinteticamente chiamo k=c*mu_0/2*(sigma^2)
dp_campo_y/dt=k*[v(t)-v(0)]
sia alfa la densità superficiale di massa (a riposo) del piano:
p_piano(t)=alfa*gamma(v)*v(t)
dp_piano_y(t)/dt=alfa*d[gamma(v)*v]/dt
alfa*d[gamma(v)*v]/dt=-k*[v(t)-v(0)]
ricordando che d[gamma(v)*v]/dt=[gamma(v)^3]*dv/dt
dv/dt=-(k/alfa)*[v(t)-v(0)]/[gamma(v)^3]
da quest'ultima equazione vediamo che dv/dt è negativa finché v(t) è
maggiore di v(0), e che tende a 0 per v(t) che tende a v(0), per cui
v(t) decrescerà sempre più lentamente verso v(0).
Quindi avrà bisogno di un tempo infinito per ritornare al valore
iniziale.

Piccola correzione:
supponendo che v(t) sia rimasta costante da t=-infinito a t=0 sul
valore v(0), la componente E_y del campo ha l'espressione:
        -(mu_0/2)*c*sigma*[v(t-x/c)-v(0)] per x>0
E_y=        +(mu_0/2)*c*sigma*[v(t+x/c)-v(0)] per x<0