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Titolo: Piccolo problema di Meccanica Statistica

Mi è capitato di imbattermi nel seguente problema, parte di uno scritto per
un concorso di dottorato a Pisa, e, pur sapendolo risolvere correttamente
(almeno credo), ci sono dei punti che non mi sono chiari.
E' molto semplice:
Considerare un sistema di N particelle distinguibili con uno spettro di
livelli per la singola particella En=a*n, con n=0,1,2,..., e degenerazione
uguale a n+1. Determinare l'energia media e l'entropia in funzione di a,N e
della temperatura T.
Per la risoluzione si scrive la funzione di partizione Z costruendo
l'insieme canonico per il sistema di N particelle distinguibili:
Z=(Somma per i=0..Infinito) g(i) * exp ( - u(i)/KT  ), cioè:
Z=(Somma per i=0..Infinito) (1+i) * exp ( - a*i/KT  ) che da:
Z=1/ (1-exp( -a/KT) )^2
A questo punto mi pongo la prima riflessione: è giusto parlare di insieme
canonico?
Non e' equivalente dire che Z è la funzione di partizione di un insieme
microcanonico dove N è fissato ed E (energia totale dipendente da T) è
anch'essa fissata e quindi la costruzione di Boltzmann individua in numero W
di complessioni che realizzano il generico stato di n1 particelle con
energia E1, n2 con E2,......... coi vincoli E=E1*n1+E2*n2....., n1+n2+....=N
?
Beh..., per la precisione, la costruzione andrebbe leggermente modificata:
il calcolo di W deve tener conto della degenerazione sui livelli energetici:
n i,1 con energia E i ; n i,2 con energia E i,........n i, i+1 con energia E
i....
cioè (somma da h=0 a g(i) di  n i,k * g(i) ) particelle con energia Ei...
Poi: è stato assunto che le particelle sono distinguibili. Ogni dominio di
energia E i contiene (i+1) celle; credo che non si debbano distinguere le
configurazioni ottenute permutando le particelle all'interno della cella, e
vero? e all'interno del dominio? (credo che all'interno del dominio si
debbano invece distinguere)
Comunque, a parte queste considerazioni, la risoluzione è abbastanza
standard:
da Z si ricavano U ed S utilizzando le formule che si deducono dalla
costruzione di Boltzmann:
U = NK T^2 d/dT (log(Z))
S = NK d/dT ( T log Z )
e si ha:
U = 2 N*a / ( exp (a/KT) - 1 )
S = 2 N*a / T  * 1 / ( exp (a/KT) - 1 )   - 2*N*K log ( 1 - exp (-a/kt) )
Ringrazio, in anticipo, chi mi voglia chiarire i dubbi e chi mi spiega il
significato fisico della funzione di partizione nell' "ensamble" canonico e
nell' "ensamble" microcanonico
Ciao, Claudio

 debbano invece distinguere)
Nella costruzione "alla Boltzmann" si ha:
Wa = N! / (n1! * n2! * n3 !....)          dove compare la produttoria di ni!
per i=0...infinito
Questo numero rappresenta i modi con cui si possono disporre n1 particelle
nel dominio E1, n2 particelle nel dominio E2,.........
A questo livello di complessione, sono equivalenti le configurazioni (fanno
parte della stessa complessione) che si ottengono permutando le particelle
all'interno del dominio.....
Quello che perň si deve fare, secondo me, per risolvere il problema, č
introdurre un livello di complessione piů "fine": le configurazioni
equivalenti sono solo quelle che si ottengono permutando le particelle
dentro le celle;
in formula, considerando il dominio i-esimo di energia Ei con ni particelle,
il numero di modi con cui si possono disporre n i,1 particelle nella cella
1; n i,2 particelle nella cella 2;...... n i,i+1 particelle nella cella i+1
č:
Wi = ni! / (n i,1 !  * n i,2 !  * ...... * n i,i+1 !)   dove compare la
produttoria di n i,k !  per k=1...i+1
E quindi il punto centrale del ragionamento di Boltzmann, applicato ad una
struttura contenente la degenerazione sui livelli energetici, porta il
numero di complessioni del sistema a:
W= Wa * W1 * W2 * W3 *.....
dato che la sola Wa non distingue i modi in cui le particelle contenute nei
domini sono ripartite tra le celle.
Si ha, poi, per fare i conti  W = n! / produttoria i=0..infinito
(produttoria k=1 a g(i)  n i,k ! )  )
I conti tornano e ritorvo la Z come la avevo definita prima e si trova anche
le stesse formule per S,U in funzione della Z.
La costruzione procede trovando l'insieme degli n i,k per il quale ln (W) č
massimo usando l'approssimazione di Stirling e il metodo dei moltiplicatori
di Lagrange.
Mi sembrerebbe, quindi, che la descrizione microcanonica porti al risultato
giusto.
Questa costruzione č propria dell'insieme microcanonico ?
L'approssimazione di Stirling (valida per n>>1 e per n i,k >>1) puň creare
dei problemi o tutto alla fine torna "magicamente" anche per se non č vero
che n i,k >>1 ?
Ciao Claudio