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Titolo: Problema della Turbolenza

Alla voce "Dinamica dei Fluidi" della "Enciclopedia del Novecento" (Vol.
III)
Robert D. Richtmyer scriveva:
  "Tuttavia, rimangono alcuni problemi importanti da risolvere anche nella
   fluidodinamica pura. Quello principale è il problema della turbolenza e
   della convezione turbolenta."
Ancora oggi si parla del problema della turbolenza come
uno degli ultimi problemi irrisolti della Fisica.
Ma precisamente in cosa consiste?
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 Ma precisamente in cosa consiste?
Ciao, Fluid,
una definizione precisa, accettata da tutti, non esiste ancora, dopo oltre
un secolo dalle esperienze di Osborne Reynolds ed oltre settant'anni dai
primi tentativi di organizzazione teorica ad opera di Ludwig Prandtl.
La classica definizione di Hinze (1959) è: " Un moto turbolento è una
condizione di flusso irregolare in cui le varie grandezze del campo
presentano una variazione casuale nel tempo e nello spazio, di modo che
se ne possono individuare valori medi statisticamente distinti". Tutto
chiaro? I miei rispetti. Non è chiaro niente? Normale, probabilmente non
era chiara manco a Hinze. Provo a fare luce: pensa al fumo che sale da
una sigaretta accesa, vedi che esso crea tanti vortici, volute, sbuffi,
"ciambelle", di dimensioni diverse, i quali mentre salgono cambiano
forma, dimensioni, si "spezzano" in vortici più piccoli, si "dissipano",
ecc. Non è facile individuare una regolarità nel modo in cui pressione,
velocità, concentrazione di particelle solide (fumo), temperatura, ecc.,
appunto le "grandezze del campo", variano col tempo in un punto
fissato o, fissato un istante di tempo, da un punto all'altro dello spazio.
Ad esempio, se in un "punto" fissato misuri la velocità con strumenti con
tempi di risposta sufficientemente bassi da poter seguire le scale
temporali di questo flusso "irregolare" (ad esempio un anemometro a filo
caldo, uno laser- doppler o uno ad ultrasuoni, ma non un tubo
pitot-statico), vedi che la velocità varia molto in fretta, sembra il
grafico di un "terremoto" :-) o comunque di una realizzazione di un
processo stocastico (casuale). Per di più, se ripeti l'esperimento con le
stesse (?) condizioni iniziali e al contorno, vedrai che la velocità nelle
due ripetizioni dello stesso esperimento è PARECCHIO diversa,
parliamo (in un ciascun istante) di errori del 100% o più!! Da qui l'idea
che la turbolenza sia un fenomeno "casuale", e lo sviluppo, con
Kolmogorov, della teoria statistica della turbolenza: si vede in effetti
che, di solito, in due ripetizioni diverse dello stesso esperimento il
valor medio temporale della velocità, su intervalli di tempo
sufficientemente maggiori delle scale delle rapide fluttuazioni di velocità,
raggiunge un valore comune, se le condizioni al contorno sono
stazionarie (lo stesso vale per gli altri momenti statistici, valore
quadratico medio, varianza, skewness, kurtosis, ecc.).
Ci resta solo da spiegare il concetto di "valori medi statisticamente
distinti": quello che si intende, detto molto rozzamente (non me ne vogliano
gli esperti), è che esclusi casi particolari e molto importanti,
in generale la "casualità" dev'essere rispetto a spazio e tempo
separatamente. Se no ad esempio il classico moto attorno ad un profilo
alare, anche a bassi numeri di Reynolds, potrebbe sembrare
"irregolare" rispetto al tempo, se visto da un sistema di riferimento fisso
rispetto alla corrente all'infinito (che vede dunque un moto instazionario).
Ma è invece del tutto "regolare" se lo si studia  nel sdr solidale al
profilo.
Domanda finale: ma se, come pensano in molti, le equazioni di Navier-
Stokes sono equazioni "deterministiche", conseguenza delle leggi di
Newton quando la legge costitutiva del materiale è lineare, allora perchè
la turbolenza è (o sembra) casuale? Innanzi tutto una cosa che non sempre
nella discussione sul determinismo della fisica classica viene sottolineata
è che fondamentale per poter definire questo modello deterministico,
formato da equazioni differenziali e condizioni al contorno e/o iniziali, è
poter asserire che le soluzioni del problema differenziale equazioni +
c.c./c.i. esiste ed è unica sotto ipotesi sufficientemente generali. Ora,
tanto per capirci,  il Clay Institute of Mathematics offre un milione di
dollari  per la soluzione di uno qualsiasi dei sette Millenium Problems
della matematica: fra  questi rientra roba del calibro della congettura di
Riemann e del problema "P=NP o P <> NP?", ed anche la
dimostrazione dell'esistenza ed unicità della soluzione delle equazioni di
NS in 3 dimensioni. Bè, probabilmente siamo più vicini alla dimostrazione
di P<>NP, che non alla dimostrazione per le equazioni di NS. Non so se
mi spiego. Dunque già considerare "deterministico" il modello di NS è
superficiale: forse non è manco un modello.
Secondo, come giustamente diceva pure Feynman in una sua storica
lecture, se anche abbiamo una dimostrazione di questo tipo, ancora non
abbiamo la sicurezza che ripetendo due volte uno stesso esperimento
con le "stesse" c.c. e/o c.i., le due soluzioni si manterrano "vicine" per
un tempo arbitrariamente lungo. Difatti da una parte l'errore sperimentale
fa sì che i due set di c.c. e/o c.i. non siano mai esattamente gli stessi.
Ora, in alcuni fenomeni fisici le equazioni differenziali che reggono il
problema ammettono dipendenza continua dai dati, cioè se partiamo da
c.c. e/o c.i. sufficientemente vicine, anche le soluzioni si mantengono
vicine in un certo intervallo di tempo (questo problema è collegato alla
"stabilità" delle soluzioni). Le equazioni di NS invece sembrano proprio
essere molto sensibili al dato iniziale e al contorno, quando alcuni
parametri adimensionali legati alla stabilità delle soluzioni superano certi
valori, e questo fatto è collegato alla nonlinearità di tali equazioni.
Questa è forse  la causa della turbolenza: quando i suddetti parametri,
come il  numero di Reynolds, crescono a sufficienza, piccole
perturbazioni nelle condizioni iniziali e al contorno sono amplificate dal
moto, pertanto avremo flussi molto irregolari e marcatamente diversi da
una realizzazione sperimentale all'altra.
Sul legame fra turbolenza e sistemi dinamici infinito-dimensionali non dico
nulla, perchè ciò ci porterebbe a parlare degli attrattori delle equazioni
di NS, del caos deterministico, ecc. e penso di essere stato
sufficientemente oscuro senza dover incasinare di più il discorso.
Ciao,
Andrea

un tempo arbitrariamente lungo.
CUT
Ciao Andrea,
complimenti per la tua ottima analisi che fonde in maniera mirabile sia
l'aspetto storico del problema che quello prettamente matematico e per non
dire della perfetta spiegazione del fenomeno fisico. Credo che questo debba
essere il modello da usare per una didattica in fisica.
Come vedi ho isolato questo passaggio sopra perché vorrei chiederti se
gentilmente potresti dirmi a quale lezione di Feynman ti riferisci. Ricordo
che la quinta(tempo e distanza) e la sesta( Probabilità) delle sue
celeberrime Lectures on Phisics furono tenute da Matthew Sands(come lui
stesso dice nell'introduzione: "ero fuori città")
Te lo chiedo perchè sarei molto interessato a rileggermi questo tema
trattato da Feynman.
Grazie per la tua eventuale risposta e ancora complimenti sinceri per la tua
esposizione.
Saluti a tutti
Franco


Ciao, Franco,
grazie mille per i tuoi gentili complimenti: mi fa particolarmente piacere
che il post ti sia piaciuto, perchè come ho detto temevo di essere stato
poc chiaro. Però il mio post non merita tante lodi: senza dubbio ha il
grave limite che non c'è nulla o quasi di quantitativo. E' possibile fare
un'introduzione alla turbolenza che sia allo stesso tempo chiara,
quantitativa e + o - meno succinta (eeesageriamooo), semplicemente io
non l'ho fatta:  chi vuole sopperire?
Per quanto riguarda Feynman, la cosa a mio parere è molto divertente (o
meglio interessante) perchè lui, nel paragrafo 2-6 del volume III (e anche
da qualche parte nei capitoli 37 e 38 del Volume I, ma non so dove)
affronta non la turbolenza, ma le conseguenze filosofiche della MQ. Feynman
vuole dimostrare che la supposta incapacità della fisica classica
("deterministica") di spiegare la mente umana, il libero arbitrio, la
complessità, ecc., è una scemenza poichè, tenendo conto dell'incertezza
sui dati, già le previsioni classiche lasciavano ampia "libertà di
movimento" a certi  fenomeni fisici.
Per chiarire ciò, inizialmente F. si rifà alla meccanica statistica e parla
del moto di atomi di un gas chiusi in una scatola. Ma, forse pensando
che l'esempio è  troppo poco "quotidiano" per soddisfare tutti, ne fa un
altro subito dopo, quello dell'acqua che straripa da una diga, cioè un
flusso che almeno da un certo istante di tempo in poi è certamente
turbolento! Ed il bello è che lo può fare proprio perchè i moti turbolenti
sono probabilmente molto sensibili alle variazioni  nei dati: se provava a
fare lo stesso, che so,  con un reticolo di molle lineari, non gli andava
tanto di lusso...
Ciao e grazie di nuovo per i tuoi complimenti,
Andrea