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Titolo: Meccanica quantistica

Propongo un esercizio di fisica teorica di cui avrei bisogno di vedere
lo svolgimento.
Un oscillatore armonico tridimensionale isotropo si trova a t = 0 nello
stato fondamentale. Supponendo che la particella sia carica e che sia
soggetta ad un campo elettrico uniforme
E(t)=Ea exp-((t/tau)^2)
dove Ea = -E0 cos(teta) ez + E0 sin(teta) ey, calcolare al 1° ordine
perturbativo la probabilità di transizione negli stati del 1° livello
eccitato per t -> + infinito.
[E(t) ed Ea sono vettori, ez ed ey sono i versori degli assi z e y]
Grazie a chiunque voglia illustrarmi la soluzione. 

 [E(t) ed Ea sono vettori, ez ed ey sono i versori degli assi z e y]
Cosi' ad occhio e croce direi che conviene completare il quadrato
nell'hamiltonia aggiungendo e sottraendo e^2E^2(t)/(2w) (con w
frequenza dell'oscillatore imperturbato) e fare una trasformazione
canonica
q'=q+eE(t)/w^2==U^+(t) q U(t); p'=p=U^+(t) p U(t) .
L'hamiltoniana che trovi e', a meno di un fattore proporzionale a
E^2(t) (e che quindi puoi buttare via), la trasformata  sotto U(t) di
quella H_0 dell'oscillatore imperturbato
H(q,p,t)=U^+(t) H_0(q,p) U(t)
Da qui in poi veditela tu ma credo di essere sulla buona strada... o
forse no.
Saluti

 wrote in message
news:aMykg.11840$
bj6....@tornado.fastwebnet.it
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Il potenziale variabile associato con la perturbazione
è semplicemente ottenuto sostituendo ad ez ed ey 
rispettivamente -z e -y il gradiente del potenziale
cambiato di segno è infatti la forza. Non resta
che applicare pedissequamente la formulina, dopo
avere osservato che l'equazione di Schroedinger è
originale è separabile nelle tre direzioni e quindi
si risolve passando per tre problemi unidimensionali
riconosci
che i termini z ed y accoppiano i livelli contigui
dei problemi unidimensionali lungo z e lungo y 
rispettivamente. In effetti siccome l'oscillatore
è isotropo puoi anche considerare semplicemente il 
problema unidimensionale lungo la direzione a. 
P_01(t) = (1/\hbar)^2|\int_0^t exp(-i\om t) exp(-t/tau) <1|Kz|0>|^2 
l'integrale da zero ad infinito
è immediato perchè si riconduce semplicemente
ad 1/(-i om-1/tau) e l'elemento di matrice è 
il classico K \sqrt(\hbar/(2m om)) 
sostituisci adesso  K = e Ea, sviluppi il modulo quadrato 
e trovi:
[1/(2m \hbar om)]  ((eEa)^2)/(om^2+tau^2))
che per ragioni che spiegherò fra breve conviene
riscrivere come:
[1/(2m)] x ((eEa)^2)/(om^2+tau^2)) x 1/(\hbar om) 
in altre parole la perturbazione ha creato una componente 
eccitata non nulla. La cui entità è fornita essenzialmente
dal rapporto fra due energie:
[1/(2m)] x ((eEa)^2)/(om^2+tau^2))
ed 
(\hbar om) 
la prima energia somiglia allo spostamento di energia
causato dall'applicazione di un campo elettrico 
costante in una data direzione:
[1/(2m)] x ((eEa)^2)/(om^2))
mentre la seconda è l'intervallo di energia fra i
livelli consecutivi dell'oscillatore armonico. 
La soluzione potrebbe però differire, a mio 
avviso significativamente 
dal risultato che otterremmo considerando tutta 
la serie perturbativa ovvero risolvendo non perturbativamente
il problema. Quello che in concreto si verifica potrebbe essere
qualcosa di differente da quello che predice il primo ordine 
perturbativo, e questo è un caso differente da quello che si 
verifica invece in teoria delle perturbazioni indipendenti dal 
tempo. Infatti nella teoria indipendente dal tempo la correzione
al primo ordine sull'energia dello stato fondamentale 
sarebbe esatta, mentre sarebbero approssimate le 
funzioni d'onda a qualsivoglia livello perturbativo. 
In particolare l'effetto non perturbativo
in quel caso è descritto da un operatore di traslazione.
 
exp( -i eEa/(hbar m om^2) x p)
dove p è l'impulso. Se consideriamo l'espressione di 
p in termini degli operatori adimensionali di 
salita e discesa ritroviamo: 
exp (-  [1/(2m)] x ((eEa)^2)/(om^2) x 1/(\hbar om) (a-a+))
nota che l'argomento è un numero adimensionale molto simile
a quello trovato sopra, ma come quello, 
può benissimo essere un numero maggiore di uno in 
modulo, senza che questo comporti alcuna contraddizione
con il fatto di trovare una ampiezza di probabilità 
minore di uno di trovare occupato un qualsiasi livello.
Non lo stesso possiamo dire, in generale, se ci fermiamo
al primo ordine perturbativo. 
Una stima della significatività del calcolo effettuato è
la grandezza di questo numero adimensionale. Quanto più questa 
probabilità è vicina a zero (e minore di uno) tanto più la stima 
è significativa. Questo perchè quello che stiamo trascurando è 
questa circostanza:
non appena il campo ha creato una piccola "popolazione" nel 
livello 1 (sortisce una piccola ampiezza) subito il campo
stesso inizia a promuoverne una parte nel livello 2 e questa
viceversa ne promuove una parte a ritroso verso il livello
1 ed una parte in avanti verso il livello 3. In breve 
tutti i livelli risulteranno in vero popolati, pure se 
la progressione delle ampiezze di occupazione sarà 
essenzialmente regolata da una progressione geometrica
decrescente. 
Chissà se esiste una soluzione esatta di questo semplice
problema quantistico. Mi stupirei del contrario.
Per completezza ti lascio un esercizio:
dai una stima del campo elettrico nel
caso che per un elettrone con periodo di un pico secondo
si verichi che la probabilità trovata perturbativamente
è del 10%.  
-- 
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http://www.Mailgate.ORG

 problema quantistico. Mi stupirei del contrario.
E infatti mi sembra che una soluzione esista e sia semplice. Ne riporto
i passi e vi ringrazio in anticipo se qualcuno mi corregge: basta
notare che l'Hamiltoniana
H(q,p,t)=p^2/(2m)+(1/2w^2)q^2+eE(t)q
(prodotti scalari sottintesi) puo'essere riscritta come
H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t)
dove H_0(q,p) e' l'hamiltoniana dell'oscillatore in assenza di campo
esterno e U(t) e' la trasformazione unitaria
U(t)=exp(ieE(t)p/w^2)
che implementa la trasformazione canonica (costante di Planck ridotta
la pongo =1)
q'=U(t) q U^(-1)(t)=q+e/w^2 E(t)
p'=U(t) p U^(-1)(t)=p.
Detto questo si risolve facilmente il problema agli autovalori
H(q,p,t)|n'>=E_n'|n'>
infatti un insieme completo di autovettori dell'Hamiltoniana sono i
vettori
|n'>=U(t)|n> agli autovalori E_n'=E_n-e^2/(2w^2) E^2(t)
dove |n> sono gli autovettori dell'oscillatore armonico all'autovalore
E_n.
Ci interessa calcolare l'ampiezza di transizione A(0->1) tra il
fondamentale dell'oscillatore |0> ed uno dei primi eccitati (che
chiamiamo |1>) tra l'istante 0 e l'istante T che poi mandiamo
all'infinito.
Inseriamo quindi la completezza degli stati |n'> nell'espressione di
A(0->1) e mandiamo il tempo della transizione all'infinito  cosi' che
resta solo un contributo (|0> e' non degenere) della somma: di questo
prendendo il modulo quadro otteniamo la probabilita' di transizione
P(0->1)=|A(0->1)|^2=|<1|0'><0'|0>|^2==|<1|U(t)|0><0|U^(-1)(t)|0>|^2.
Questa dovrebbe essere la soluzione se non ho fatto errori. Se uno
vuole puo' passare nella rappresentazione delle coordinate (o degli
impulsi mi sembra meglio) per ottenere un risultato esplicito nelle
variabili (ricordo che U(t) in rappresentazione delle coordinate trasla
la funzione d'onda di e/w^2 E(t)).
Saluti.


Sì, esiste e la via per ottenerla è quella indicata da Argo:
cambiando lo zero dell'energia si ottiene l'hamiltoniana di un oscillatore
armonico spostato e, considerando che lo stato iniziale è lo stato
fondamentale dell'oscillatore senza campo elettrico, il problema viene
quindi ricondotto all'evoluzione di uno stato coerente.
Il problema assegnato credo che abbia soprattutto funzione didattica, poiché
porta naturalmente alle considerazioni da te fatte sulla teoria delle
perturbazioni.
Ciao.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 perturbazioni.
Certo :-) ma il fatto è che la teoria delle perturbazioni per sistemi
armonici genuinamente quantistici e campi elettrici persino
disumani, funziona egregissimamente.


 Questa dovrebbe essere la soluzione se non ho fatto errori.
Ho una vaga idea che non sia così semplice, ma forse
mi sbaglio. Ad ogni modo quello che hai scritto qui mi
sembra che non vada bene, quanto t -> oo la trasformazione
canonica (unitaria) che hai giustamente riferito al caso
indipendente dal tempo manda la probabilità a zero. La trasformazione da
utilizzare la potresti ottenere forse, non so se è stato
fatto, considerando le equazioni di Heisenberg e tendendo
conto del termini di esplicita dipendenza dal tempo dell'hamiltoniana.
Altrimenti al modo standard si scrive la serie di Dyson e si somma
l'intero sviluppo perturbativo, con le ottime (se si riesce a sommare
esattamente) o con le buone se si riesce a trovare un'adeguata
approssimazione. Non ho ancora cercato in letteratura, ma da qualche
parte deve essere stato trattato. Il metodo perturbativo ad ogni modo
va più che bene fino a che si considerano sistemi molecolari in un grande
range di energie e per qualsiasi ragionevole campo elettrico. Cominciano
ad emergere difficoltà non appena la frequenza caratteristica più alta
fra omega ed 1/tau diventa dell'ordine dell'hertz, infatti in tal caso è
facile che lo shift dovuto al campo elettrico superi l'energia propria
dell'oscillatore armonico, ma a quella scala di energie è da un pezzo
che la meccanica quantistica del sistema è diventata molto più delicata
da trattare ed i metodi per applicarla si sono già allontanati dal
perturbativo.



No, mi dispiace, era una delle esercitazioni del corso di istituzioni di
fisica teorica che ho seguito sei anni fa. Secondo me la soluzione esatta
del problema dovrebbe essere presente in qualche libro. Prova a vedere sul
Cohen-Tannoudji o sul Merzbacher, erano questi i libri di testo.


 Cohen-Tannoudji o sul Merzbacher, erano questi i libri di testo.
Interessante. Anch'io ho svolto l'esercizio per l'oscillatore armonico
in teoria delle perturbazioni indipendente dal tempo, per esercitazione
di istituzioni, ed è molto semplice, proprio completando il quadrato,
quindi ho fatto il confronto con gli sviluppi perturbativi agli ordini più
bassi. Su questo esercizio specifico invece ci ho pensato quel poco
che hai visto scritto e non ho provato ancora a sviluppare la serie di
Trotter, che mi sembra il modo più diretto per esprimere in formule
il discorso che facevo a parole. Quindi se trovassi traccia della soluzione
a cui fai riferimento, mediante trasformazioni canoniche, fai un fischio.
La mia idea è che per tempi piccoli l'evoluzione temporale è approssimata
da [1-i(H+H'(t0)) \delta_t] e quindi l'evoluzione complessiva è circa
 [1-i(H+H'(t0)) \delta_t][1-i(H+H'(t1)) \delta_t]...[1-i(H+H'(tn)) \delta_t]
(Serie di Trotter) H si scrive con gli operatori numero in termini di
salita e discesa, e lo stesso si fa per H', lo scopo è di cercare di
riordinare i prodotti tenendo conto delle relazioni di commutazione
 in modo da ottenere un qualche tipo di prodotto
di trasformazioni unitarie facilmente riconoscibili.
In particolare si tratta di riconoscere il commutatore [H^n, p]
che si riduce iterativemente al commutatore di [H,p]. Potrebbe
giovare a questo punto avvantaggiarsi del lavoro svolto in materia
dai matematici del passato: Baker Haussdorf Campbell.
E l'identità di Poincaré Campbell meritano di essere studiate
proprio perchè indirizzano questioni del genere. Se trovo
la soluzione corretta vi faccio un fischio.


 indipendente dal tempo manda la probabilità a zero.
In effetti sono stato un po' troppo drastico a buttare via tutti i
pezzi della somma che viene dalla completezza (oltre ad aver
dimenticato qua e la' la massa m che pongo quindi m=1). Non c'e'
bisogno di buttare via nulla e si puo' tenere tutto esattamente ad ogni
tempo infatti quello che si deve sommare sara' una serie geometrica
(vedi alla fine).
Lo mostro nel caso unidimensionale per semplicita' di notazione, ma con
piu' dim. e' lo stesso.
Credo che siamo tutti d'accordo che l'ampiezza di probabilita' e'
(esendo |n'>=U(t)|n>  autofunzione dell'Hamiltoniana... vedi post di
qualche giorno fa)
A(0->1)=c(t) sum_n <1|U(t)|n><n|U^(-1)(t)|0>exp(-iE_n t)          (*)
con c(t)  c-numero a norma 1  (che viene dallo shift dell'energia) che
nella probabilita non conta perche' e' fuori dalla somma (e' una cosa
tipo l'esponenziale dell'integrale tra zero e t E^2(t)).
Scrivo gli operatori di creazione e di distruzione
a=sqrt(w/2)(q+ip\w)  ed  a*=sqrt(w/2)(q-ip\w)
per i quali valgono le regole
[a,a]=1                                                (**)
|n>=1\sqrt(n!)(a*^n)|0>
a|0>=0
U(t) a U(t)^(-1)=a+eE(t)\sqrt(2w^3)
U(t) a* U(t)^(-1)=a*+eE(t)\sqrt(2w^3)
Per calcolare l'ampiezza in (*) servono le quantita' <n|U(t)^(-1)|0> e
<1|U(t)|n> che si calcolano usando le (**) e un po' di combinatorica
<n|U(t)^(-1)|0>=<0|U(t)^(-1)|0> 1 \sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^n
<1|U(t)|n>=<0|U(t)|0> n\sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^(n-1)
con la convenzione che n\sqrt(n!) per n=0 vale -1 (per gli altri valori
il solito!).
Ora che abbiamo i due contributi si nota che
E_n=E_0+wn=E_(n-1)+w
e quindi mettendo tutto insieme si ha la serie geometrica
A(0->1)=c(t) exp(-iE_0 t) eE(t)/sqrt(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
                 -1+sum_n 1/n![(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]^n}
che sommata porta alla soluzione
A(0->1)=c(t) exp(-iE_0 t) eE(t)/(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
                 -1+1/[1-(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]}.
Anche in questo caso quando t->00  A(0->1) va a zero.
Pero' qui non ho fatto nessuna approssimazione e il conto mi sembra
esatto.
Naturalmente errori di conto o concettuali sono sempre in agguato...
L'ampiezza  |0>-->|0> e' piu' semplice e quell'addendo -1 nella graffa
non appare.
Saluti.

 >
Si tratta di un argomento tipico di ottica quantistica. La soluzione sono
gli stati coerenti. Riferimenti relativamente recenti sono i seguenti:
Askold M. Perelomov, Generalized Coherent States and Their Applications
(Springer, 1986) 
W.-M. Zhang, D. H. Feng, and R. Gilmore, Rev. Mod. Phys. 62, 867-927
(1990).
Puoi comunque vedere testi specifici di ottica quantistica. L'esercizio in
questione e' anche trattato sul Merzbacher (ho la vecchia edizione e non
so sulla nuova dove puoi trovarlo). Comunque, l'Hamiltoniana
H+f(t)*p+g(t)*q
dove H e' l'hamiltoniana dell'oscillatore armonico, si risolve esattamente
in termine appunto di stati coerenti.
Piero
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it


 


 Merzbacher.
Non conosco questi lavori ma mi sembra che si possa capire questo
problema senza andare a vedere altrove.
Saluti e grazie per le risposte stimolanti.

Non mi appare parte del post (c'e' differenza tra  quando lo invio e
quando leggo la copia che mi arriva nella casella di posta). Ci riprovo
ancora a sostituire O(t)=sum_n O(t)|n'>  con l'espressione
O(t)=sum_n O(t)|n'> <n'|=
     =c(t) sum_n {exp(-i E_nt) |n'> <n'|}
saluti.

 di una fase.
Ciao, detto così è sicuramente falso.
Ci sono poche le trasformazioni canoniche (se parli di trasformazioni
canoniche classiche) che corrispondono a traformazioni unitarie a
livello quantistico.
Il teorema che citi (quello di Stone-von Neumann) dice che, in
dimensione finita e uguale
due rappresentazioni irriducibili dell'algebra di Weyl sono
unitariamente equivalenti.
La versione più fisica, per semplicità su R^2, dice che due
rappresentazioni
irriducibili delle relazioni di  commutazione canoniche in cui X^2+P^2
è
essenzialmente autoaggiunto sono unitariamente equivalenti.
Ciao, Valter


...Non capisco bene la logica di quello che stai facendo.
Volendo usare la tua strada la procedura, secondo me, sarebbe
la seguente.
L'hamiltoniano completo dipende dal tempo, per cui l'evolutore
non sarà un gruppo ad un parametro,  ma sarà una classe di operatori
unitari  del tipo V(t,t_0), con V(t,t')V(t',t_0) = V(t,t_0) e V(t,t)=I.
che soddisfano l'equazione di Schroedinger
-i H(q,p,t)V(t,t_0) = d/dt V(t,t_0)
Quello che devi calcolare è
                                    < f |V(t,0)| g >           per t ->
+oo
Definiamo la nuova base hilbertiana, ad ogni t,  data dai vettori:
|n,t>' := e^{-i tE_n} |n,t>
allora, per costruzione
-i H(p,q,t) |n,t> '= d/dt |n,t>'
pertanto puoi concludere che
V(t,0) |n,0>' = |n,t>'
e quindi
'<m,t|V(t,0) |n,0>' = delta_mn
da questo risultato hai subito che
< f |V(t,0)| g > =  somma su m e n di
<f|n,t>'  '<n,t|V(t,0)|m,0>' '<m,0|g>
si riduce a
       somma su n <f|n,t>'   '<n,0|g>
ossia,
< f |V(t,0)| g > = somma su n <f|n,t><n,0|g> e^{-i tE_n}
ossia
< f |V(t,0)| g > = somma su n <f| U(t)|n><n|U(0)*|g> e^{-i tE_n}
ossia
< f |V(t,0)| g > somma su n  <f| exp(ieE(t)p/w^2)|n><n|exp(-ieE(0)p/w^2)|g> e^{-i tE_n}
Ora facendo un calcolo alla buona, ma ci sarebbero un pò di cose
da verificare, si nota che E(t) ->0 per t->+oo e pertanto, a grandi
tempi
<f| exp(ieE(t)p/w^2)|n>    ->     <f|n>
Con |g>=|0> e |f>=|1> si ha pertanto che
(modulo casini vari con inversione  di limiti e serie che
non ho tempo di controllare)
< 1 |V(t,0)| 0 >   si comporta come <1|exp(-ieE(0)p/w^2)|0> e^{-i tE_1}
la probabilità di transizione a grandi t sembrerebbe essere
P =  |<1|exp(-ieE(0)p/w^2)|0>|^2
Questo si calcola esattamente con i soliti contazzi degli stati
coerenti
(NB io ho assunto dall'inizio che il problema sia unidimensionale, mi
pareva che nel post iniziale fosse in 3D...)
perché p = coefficienti (a + a*)...
Vi lascio i calcoli finali perché devo andare in consiglio di
facoltà...
Ciao, Valter

 P = |<1|exp(-ieE(0)p/w^2)|0>|^2
Non ho avuto il tempo di seguire tutti i passaggi che hai fatto,
ma che la risposta non sia questa si vede dal
fatto che non contiene traccia del tempo di decadimento.
Sono dell'opinione che senza risolvere le equazioni di Heisenberg
non se ne esca. In generale se inserisci una base completa
fra due stati, qualunque essi siano, introduci l'identità quindi l'ampiezza
non cambia.



Mi sembra la mia stessa strada solo che io ho E(t) sempre al tempo t e
mai al tempo t=0. Non riesco bene capire dove sta la differenza nei
passaggi perche' mi sembra che quando scrivi
 < f |V(t,0)| g > =  somma su m e n di <f|n,t>'  '<n,t|V(t,0)|m,0>'
'<m,0|g>
usando l'unitarieta' di V(t) si possa rimettere nella forma che ho
usato io
<f|V(t,0)|m,0>' '<m,0|g>.
Il resto mi sembra uguale (pero' ho tenuto il tempo sempre finito e
quindi sommo tutta la serie) ma alla fine nella forma asintotica
mandando t all'infinito nel mio caso fa zero mentre nel tuo il fatto
che c'e' E(0) che salva le cose.
Potresti indicarmi dove e' la differenza cosi' mi rendo conto dove sto
sbagliando?
Grazie e saluti.

 Grazie e saluti.
Scusa, ho interpretato male una cosa che hai scritto:
deve essermi sfuggito un '...
Mi pare che con la corretta interpretazione e seguendo quello che ho
scritto io venga anche a me lo stesso tuo stesso risultato.
Purtroppo non ho tempo per rifare i conti.
Ciao, Valter

Valter Moretti ha scritto:

No non č nemmeno cosě, credevo che quelli che io ho indicato con
E_n e tu con E'_n fossero gli autovalori dell'oscillatore armonico
non sciftato e quindi non dipendessero dal tempo. Allora quello che ho
scritto
io non si puň fare. Appena ho tempo cerco di rifare il calcolo tenendo
conto
dell'interpretazione delle formule che non mi era chiara.
Ciao, Valter

 non cambia.
Infatti hai ragione: avevo intepretato male quanto scritto da argo
ed il risultato che ho scritto non è corretto perché c'è
un'interpretazione
del formalismo  sbagliata dall'inizio (pensavo che gli E_n, che argo
chiama
E'_n non dipendessero dal tempo).
Secondo me convine mettersi in rappresentazione d'interazione per fare
il calcolo dell'evolutore, quello di Heisenberg è difficile da
risolvere, ma
forse quello d'interazione è più facile (sempre usando la serie di
Dyson)
Ciao, Valter

 non sciftato ...
Valter,  capisco che scrivi di fretta ma... pietą  per l'  italiano e 
per l'  inglese :-)
Giorgio

 Ciao, Valter
Si' dipendono dal tempo ma la parte  dipendente temporale non dipende
invece da n cioe' e' la stessa per tutti gli autovalori
E_n'=E_n-e^2/(2w^2) E^2(t)
quindi si fattorizza in un fattore a norma 1 (del tipo esponenziale
dell'integrale nel tempo di ie^2/(2w^2) E^2(t)...) e non conta piu'
nulla nel calcolo della transizione. 
Saluti.

argo wrote:
 > > E infatti mi sembra che una soluzione esista e sia semplice. Ne riporto
 > > i passi e vi ringrazio in anticipo se qualcuno mi corregge: basta
 > > notare che l'Hamiltoniana
 > > H(q,p,t)=p2/(2m)+(1/2w2)q2+eE(t)q
 > > (prodotti scalari sottintesi) puo'essere riscritta come
 > > H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e2/(2w2)E2(t)
 > > dove H_0(q,p) e' l'hamiltoniana dell'oscillatore in assenza di campo
 > > esterno e U(t) e' la trasformazione unitaria
 > > U(t)=exp(ieE(t)p/w2)
 > > che implementa la trasformazione canonica (costante di Planck ridotta
 > > la pongo =1)
 > >
 > > q'=U(t) q U^(-1)(t)=q+e/w2 E(t)
 > > p'=U(t) p U^(-1)(t)=p.
 > >
Mi pare OK, ma non ho controllato i conti (i segni) per bene.
 > > Detto questo si risolve facilmente il problema agli autovalori
 > >
 > > H(q,p,t)|n'>=E_n'|n'>
 > >
 > > infatti un insieme completo di autovettori dell'Hamiltoniana sono i
 > > vettori
 > >
 > > |n'>=U(t)|n>
OK
 > > agli autovalori E_n'=E_n-e2/(2w2) E2(t)
 > >
e no!!!
  Gli autovalori rimangono gli stessi sotto una trasformazione unitaria!
E' ovvio che
     H(q,p,t) |n,t> = E_n |n,t>
dove
     |n,t>=U(t)|n>
nota che ho messo il tempo t, perché gli autovettori sono diversi a
tempi diversi...
 > > dove |n> sono gli autovettori dell'oscillatore armonico all'autovalore
 > > E_n.
OK
 > > Ci interessa calcolare l'ampiezza di transizione A(0->1) tra il
 > > fondamentale dell'oscillatore |0> ed uno dei primi eccitati (che
 > > chiamiamo |1>) tra l'istante 0 e l'istante T che poi mandiamo
 > > all'infinito.
 > > Inseriamo quindi la completezza degli stati |n'> nell'espressione di
 > > A(0->1) e mandiamo il tempo della transizione all'infinito  cosi' che
 > > resta solo un contributo (|0> e' non degenere) della somma: di questo
 > > prendendo il modulo quadro otteniamo la probabilita' di transizione
 > >
 > > P(0->1)=|A(0->1)|^2=|<1|0'><0'|0>|^2==|<1|U(t)|0><0|U^(-1)(t)|0>|^2.
 > >
 > > Questa dovrebbe essere la soluzione se non ho fatto errori. Se uno
 > > vuole puo' passare nella rappresentazione delle coordinate (o degli
 > > impulsi mi sembra meglio) per ottenere un risultato esplicito nelle
 > > variabili (ricordo che U(t) in rappresentazione delle coordinate trasla
 > > la funzione d'onda di e/w2 E(t)).
 > >
...Non capisco bene la logica di quello che stai facendo.
Volendo usare la tua strada la procedura, secondo me, sarebbe
la seguente.
L'hamiltoniano completo dipende dal tempo, per cui l'evolutore
non sarà un gruppo ad un parametro,  ma sarà una classe di operatori
unitari  del tipo V(t,t_0), con V(t,t')V(t',t_0) = V(t,t_0) e V(t,t)=I.
che soddisfano l'equazione di Schroedinger
-i H(q,p,t)V(t,t_0) = d/dt V(t,t_0)
Quello che devi calcolare è
                                     < f |V(t,0)| g >           per t ->
+oo
Definiamo la nuova base hilbertiana, ad ogni t,  data dai vettori:
|n,t>' := e^{-i tE_n} |n,t>
allora, per costruzione
-i H(p,q,t) |n,t> '= d/dt |n,t>'
pertanto puoi concludere che
V(t,0) |n,0>' = |n,t>'
e quindi
'<m,t|V(t,0) |n,0>' = delta_mn
da questo risultato hai subito che
< f |V(t,0)| g > =  somma su m e n di
<f|n,t>'  '<n,t|V(t,0)|m,0>' '<m,0|g>
si riduce a
        somma su n <f|n,t>'   '<n,0|g>
ossia,
< f |V(t,0)| g > = somma su n <f|n,t><n,0|g> e^{-i tE_n}
ossia
< f |V(t,0)| g > = somma su n <f| U(t)|n><n|U(0)*|g> e^{-i tE_n}
ossia
< f |V(t,0)| g > somma su n  <f| exp(ieE(t)p/w2)|n><n|exp(-ieE(0)p/w2)|g> e^{-i tE_n}
Ora facendo un calcolo alla buona, ma ci sarebbero un pò di cose
da verificare, si nota che E(t) ->0 per t->+oo e pertanto, a grandi
tempi
<f| exp(ieE(t)p/w2)|n>    ->     <f|n>
Con |g>=|0> e |f>=|1> si ha pertanto che
(modulo casini vari con inversione  di limiti e serie che
non ho tempo di controllare)
< 1 |V(t,0)| 0 >   si comporta come <1|exp(-ieE(0)p/w2)|0> e^{-i tE_1}
la probabilità di transizione a grandi t sembrerebbe essere
P =  |<1|exp(-ieE(0)p/w2)|0>|^2


 argo wrote:
Cominciamo con il caso classico.
le equazioni di Hamilton per l'oscillatore armonico sono
p' = - k q
q' = p/m
se aggiungiamo alla funzione di Hamilton un termine
H(q,p,t)=p2/(2m)+(1/2w2)q2+eE(t)q
anche le equazioni di Hamilton cambiano. In particolare
però la relazione fra impulso e derivata di q non cambia.
Le nuove equazioni di Hamilton diventano queste:
p' = - k q-eE(t)
q' = p/m
un modo di definire una trasformazione canonica è di
dire che non altera le equazioni di Hamilton. Ma in
vero questa è una definizione restrittiva nella meccanica
classica. Questa definizione restrittiva basta per escludere
l'argomento di argo. intatti la nuova variabile canonica che
lui introduce non può avere la stessa relazione con la nuova
variabile impulso. Fino a quando non si vuole considerare
una nuova variabile tempo la definizione restrittiva di
trasformazione canonica è quella che basta.
D'altra parte per risolvere il problema il formalismo
hamiltoniano è del tutto irrilevante. Bastano le equazioni
di Newton. Un modo standard usato dai fisici è ricorrere alla linearità
delle
equazioni ed aggiungere ad una soluzione generale per l'equazione
omogenea la soluzione per l'equazione non omogenea, che
è ottenuta da f(\omega) / ( 1 - \omega^2). Dove f è la trasformata
di Fourier della forza. Alla fine risulta che una forza decrescente
esponenzialmente ha trasferito una quantità di energia al modo
di oscillazione lungo la direzione della forza. La controparte per
questo metodo è il metodo di Green usato da Merzbacher.
Un'altro modo è risolvere direttamente l'equazione differenziale
con il classico metodo della variazione delle costanti. Questo
conduce ad una equazione differenziale del primo ordine sulle
costanti di integrazione che si risolve per integrazione diretta.
La costante risulta modificata da Integrale(f(t) cos(omega t)).
Seguendo Dirac il ruolo delle costanti di integrazione è svolto
dagli operatori di salita e discesa. E le equazioni di Heisenberg
si risolvono mutatis mutandis considerando la rappresentazione
di interazione degli elementi di matrice. Questo corrisponde al
metodo di soluzione diretta delle equazioni di Heisenberg considerato
ancora da Merzbacher e sviluppato più approfonditamente da Kim e Lee
che lo hanno connesso al formalismo canonico. Mi sembra che manchi
per completare lo spirito di modernità una quantizzazione generale
 della soluzione classica ottenuta per deformazione. Qui le omologie
sono semplici la struttura è genuinamente poissoniana e non
c'è una energia conservata, quindi
Chi la vuole sviluppare?


 di Fourier della forza.
Secondo me la  via algebrica, in cui lo sforzo di risolvere la dinamica
e' superato osservando che si puo' rincondurre il problema a quello di
uno oscillatore armonico imperturbato che e' gia' risolto, presenta il
vantaggio appunto di sfruttare soluzioni note della dinamica di
un'altra hamiltoniana senza andare a cercarne di nuove. Ma e' questione
di gusti (se non fosse che potrebbero esserci differenze nei nostri
risultati: anzi ti invito a calcolarlo secondo la strada che proponi
cosi'  abbiamo un confronto diretto non basato sul metodo ma sul
risultato, cosa che e' sempre bene aver sott'occhio.)
Grazie ancora e saluti.

 Grazie ancora e saluti.
Grazie, altrettanti.


 Infatti grato a te per la tenacia e l'instancabilita' :-)
Beh grazie per la pazienza :)
 ma non vorrei ''vincere o perdere la tenzone'' per stanchezza o
insistenza ma davvero desidero capire meglio. 
Grazie ancora,
saluti.

 saluti.


Scrivendolo per punti ho trovato un errorre nel mio ragionamento:
nell'operatore di evoluzione entrano hamiltoniane a certi tempi t'>
t''>t''' ... ma |n'> e'autostato di H(q,p,t) solo al tempo t e non agli
altri tempi.
Cioe' U^(-1)(t')U(t)=U(t-t') che e' diverso dall'identita' se t-t' non
e' zero.
Grazie, saluti.

 Schroedinger dipendente dal tempo?
Provo ad enumerare i passi cosi' e' piu facile indicarmi l'errore.
1) l'operatore evoluzione temporale O(t) tra 0 e t e'
O(t)=Texp{-i int_[0,t] dt' H(t')}
con H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t).
2) |A,t>=O(t)|A> soddisfa  l'equazione di
 Schroedinger dipendente dal tempo con condizione iniziale |A,0>=|A>
3) |n'>=U(t)|n>  sono autostati di H(q,p,t)  agli autovalori
E'_n=E_n-e^2/(2w^2)E^2(t)
4)O(t)|n'>=c(t)exp{-i tE_n}|n'>, con c(t) che ha norma 1 e non dipende
da n.
5) |A,t>=c(t)somma_n exp{-i tE_n} U(t)|n><n|U^(-1)(t)|A>
6) <B|A,t>=c(t)somma_n exp{-i tE_n} <B|U(t)|n><n|U^(-1)(t)|A>
7) La domanda originaria richiedeva |A>=|0> e |B>=|1> da cui
<1|O(t)|0>=c(t)somma_n exp{-i tE_n} <1|U(t)|n><n|U^(-1)(t)|0>
8) se so calcolare <1|U(t)|n>, <n|U^(-1)(t)|0> e sommare la serie si e'
concluso.
9) con le espressioni esplicite degli operatori di creazione e di
distruzione in termini di q e p variabili canoniche si determinano
<1|U(t)|n> e <n|U^(-1)(t)|0>
<n|U(t)^(-1)|0>=<0|U(t)^(-1)|0>  1\sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^n
<1|U(t)|n>=<0|U(t)|0>  n\sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^(n-1)
10) Usando i risultati precedenti e che E_n=nw+w/2 si somma la serie
che si puo' ricondurre ad una geometrica.
11) Salvo errori di conto nella somma e nelle fasi precedenti, e
trascurando fasi ininifluenti per la probabilita' di transizione si
arriva all'espressione esplicita dell'ampiezza
<1|O(t)|0>=exp(-iE_0 t) eE(t)/(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
                 -1+1/[1-(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]}.
Spero che questa scrittura per punti illustri chiaramente quello che ho
in mente e che faciliti l'identificazione degli errori nel
ragionamento.
Grazie, saluti.

 Grazie, saluti.


 fosse per la radice di n! dove dovrebbe esserci n!
In effetti sembra un esponenziale, mi saro' dimenticato dei fattori, ma
non conta piu'.
Grazie per l'attenzione e saluti.