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Titolo: unita' di misura e simmetrie.

Leggendo un post su free.it.scienza.fisica sulla questione
dell'adimensionalita' degli esponenti mi e' tornato amente una vecchia
questione: che relazione c'e' tra unita' di misura e sistema di
coordiante? Direi che un cambiamento di unita' di misura e' quasi
sempre una trasformazione di scala, pero' mentre le teorie non sono in
genere invarianti di scala la scelta delle unita' di misura e' del
tutto arbitraria. Quale e' dunque il legame tra trasformazioni di
coordinate in generale e cambiamento di unita' di misura?
Forse e' una domanda superficiale ma vorrei un po' di chiarezza.
Grazie, saluti.

argo ha scritto:

La questione non mi sembra si possa sbrogliare in poche parole...
Intanto, dici che un cambiamento di unita' di misura e' arbitrario e
non ha implicazioni sulla fisica del sistema, ma questo non e' proprio
vero.
Solo che siamo abituati a quello che succede, lo risolviamo in modo
standard, e non ci pensiamo piu'.
Primo passo ingenuo: diciamo che qualsiasi eq. fisica e' invariante
per cambiamento di unita' (anzi che *deve* essere invariante).
Ma vediamo un esempio qualsiasi, per es. la gravitazione newtoniana.
L'invarianza sussite, a patto che teniamo conto dell'esistenza della
costante di gravitazione, il cui valore va opportunamente trasformato.
E lo stesso succede sempre, ogni volata che nella teoria entrino in
ballo _costanti fondamentali_.
Che si tratti di G, o di c, o della carica dell'elettrone, ecc. e'
sempre la stessa zuppa.
Possibile obiezione: ma io posso scegliere unita' in cui per es. sia
sempre c=1.
Certo che puoi, ma con cio' ti limiti la liberta' di cambiare le
unita': l'unita' di tempo e quella di lunghezza risultano legate...
Lo stesso puoi fare con G e con h, come ha scritto Tetis in altro
thread; ma a quel punto non hai piu' nessun grado di liberta' quanto
alle unita' di misura.
E come vedi, questo e' lo stesso problema dell'invarianza di scala.
Per es. nella meccanica celeste esiste un teoremino che dice che con
sole misure di angli e di tempi no e' possibile determinare masse e
distanze, ma restano fissati i rapporti M/L^3.
Quindi c'e' una parziale invarianza di scala: due sistemi solari in
cui tutte le distanze diferiscano per un fattore 10,e tutte le masse
per un fattore 1000 sono indistinguibili se sappiamo misurare solo
angoli e tempi (il che e' praticamente importante, visto che proprio
queste sono le misure canoniche dell'astronomia classica...)
Lo stesso accade in elettromagnetismo: finche' non entrono in ballo i
quanti di carica, sistemi in cui distanze e tempi scalano nelo stesso
modo, e le cariche e correnti come vuoi (se non facciamo misure
meccaniche) sono indistinguibili.
Se misuri anche masse e forze, allora c'e' un vincolo alla trasf. di
queste e delle cariche, ecc.
Non so se ho risposto: in fondo ho detto cose banali...
 
-- 
Elio Fabri

 Non so se ho risposto: in fondo ho detto cose banali...
Grazie per la risposta.
Banale e' forse la mia domanda non la tua risposta.
Saluti.


Direi che un riscalamento delle coordinate può sempre essere
pensato come una trasformazione generale di coordinate.
Le trasformazioni generali di coordinate in relatività generale,
per pensare ad un esempio specifico sono trasformazioni
che lasciano invariata la forma delle equazioni. Questa è
la particolarità della relatività generale. Le trasformazioni
attive e passive sono intercambiali, in modo che una rotazione
di un secchio rispetto alle stelle possa essere visto come una
rotazione delle stelle rispetto al secchio. In verità un'universo
fatto di infinite stelle in cui la metrica sia asintoticamente piatta
all'infinito non ammette questa intercambiabilità. E' possibile
cambiare le coordinate, impossibile interpretarle come un
riferimento. E' il celeberrimo problema del riferimento rotante.
Tuttavia si può pensare all'esempio di
Einstein: due gocce d'acqua nel vuoto sono le uniche sorgenti dei
campi. Un gran lavoro è stato dedicato a questo soggetto.
C'è un punto delicato che è questo: la metrica può andare
asintoticamente a zero senza annullarsi. La metrica nulla
è un problema per le equazioni di Einstein, dato che il
formalismo di innalzamento ed abbassamento degli indici
 richiede una dualità di origine metrica, ma una metrica
asintoticamente nulla ma non nulla non è problematica.
Esistono altre questioni che sono problematiche. Le gocce
si attraggono o possono respingersi? Se le poniamo in
rotazione intorno ad un asse ortogonale possiamo compensare
l'attrazione? Questa soluzione è stabile oppure comporta comunque
una coalescenza?
 
Attenzione che anche se il tensore energia impulso può
essere trasformato in accordo con un riscalamento delle coordinate,
tuttavia le equazioni costitutive che associano ai campi i
tensori energia impulso rimangono estranee alla covarianza
generale delle equazioni. Esistono tuttavia formulazioni
pienamenti conformi della teoria dei campi. Invarianti
anche rispetto a generiche trasformazioni conformi.
In queste teorie esiste un sistema di unità di misure definito
intrinsecamente dai campi. La grandezza fondamentale della
teoria di Weyl è la curvatura. Nella teoria delle stringhe sussistono
strutture di invarianza analoghe.
Per esercizio prova a scrivere
la lagrangiana di n masserelle equispaziate
su un elastico con lunghezza di riposo nulla. E poi su un elastico
con lunghezza di riposo fissata. Ti accorgi che
a meno dello zero dell'energia la lagrangiana risente solo
delle condizioni asintotiche che regolano la spaziatura media
delle masserelle e non della lunghezza di riposo dell'elastico.
La lagrangiana risente indubbiamente della scelta di unità
di misura, tuttavia esiste una scelta di unità naturali che rende
le formule adimensionali. Prova a vedere quali.
Prova anche con un substrato periodico, in questo
caso la situazione è differente. Quali sono i parametri
fondamentali che caratterizzano la fisica complessiva
del sistema?
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