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Titolo: Il relativismo dell'entropia

Tempo fa ebbi una mezza illuminazione. Lessi, da qualche parte, che
l'aumento di entropia nell'universo non è un fenomeno irreversibile,
ma il più probabile. Ovvero, sarebbe anche possibile per un bicchiere
ricomporsi, ma la probabilità che ciò accada è infinitamente bassa;
così come sarebbe possibile per un colpo *freddo* trasmettere energia
ad uno più *caldo*. Bene, sulla scia di queste affermazioni ebbi
l'illuminazione di cui vi parlavo: ma siamo sicuri che l'entropia
aumenti per davvero? Per rispondere a questa domanda, dobbiamo prima
chiarire cosa si intende per entropia: ecco la definizione data su
Wikipedia (versione italiana)
[...] In termodinamica l'entropia è una funzione di stato che si
introduce insieme al secondo principio della termodinamica e che viene
interpretata come una misura del disordine di un sistema fisico o più
in generale dell'universo. In base a questa definizione possiamo dire
che quando un sistema passa da uno stato ordinato ad uno disordinato la
sua entropia aumenta. [...]
'Misura del disordine di un sistema fisico'. Questa è stata la
definizione che mi ha dato da pensare. La parola disordine fa
riferimento, ovviamente, al suo contrario 'ordine'. Ma sia l'ordine,
che il disordine sono concetti puramente umani. Siamo sicuri che la
Natura sappia distinguere tra ordine e disordine? Che cos'è l'ordine
e, quindi, che cos'è il disordine. Un bicchiere integro è un sistema
in ordine, un bicchiere frantumanto è un sistema in disordine. Giusto?
Non tanto. Finchè si fa riferimento all'oggetto 'bicchiere' questa è
una affermazione che ci può anche stare, ma la Natura sa cos'è un
bicchiere? Per la Natura, quell'aggregato di atomi che noi chiamiamo
bicchiere è solo un aggregato di atomi, punto e basta. Siamo noi che
lo consideriamo in ordine finchè è integro e in disordine quando va
in mille pezzi. Ma io non credo che la Natura veda le cose come le
vediamo noi. Quando va in mille pezzi per la Natura semplicemente si
tratta di una diversa disposizione di quegli atomi, punto e basta.
Allargando questo concetto a tutto l'universo io mi chiedo: ma qual è
l'ordine e qual è il disordine o, meglio, esistono davvero l'ordine e
il disordine e davvero l'entropia, ovvero la misura della quantità di
disordine in un sistema fisico, aumenta sempre?
Io non so dare una risposta o, meglio, ce l'avrei ma non sono un fisico
e ho paura di dire castronerie. Per questo mi rimetto al vostro
giudizio.
Saluti :-)

 definizione che mi ha dato da pensare.
Infatti si tratta di una pseudodefinizione, ed abbastanza pericolosa per 
certi versi. Giorgio Pastore scrisse un messaggio illuminante in 
proposito che ho conservato qui:
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia/physics/entropia_disordine.html
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 Saluti :-)
 
E tu che ne dici?
Saluti :-)
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia/physics/entropia_disordine.html
Letto, ma non ci ho capito nulla :(
Cosa vuol dire la frase 'Di fatto quello che è possibile fare in
meccanica statistica è di definire il grado di disordine nella
distribuzione del sistema tra i possibili microstati."?
Cos'è un microstato?! Non continuo a capire, ad ogni modo, cosa siano
l'ordine e il disordine, e se la Natura fa una qualche distinzione.

 Cos'è un microstato?!
E' lo stato di un sistema descritto microscopicamente, vale a dire dando 
tutte le coordinate e velocita' (se usi la Meccanica Classica; con la 
Quantistica il problema e' analogo, ma va formulato diversamente) delle 
particelle componenti il sistema. Questo stato non e' ovviamente 
osservabile, anche perche' cambia continuamente, e tutto cio' che si 
puo' fare e' di dare la probabilita' che il sistema vi si trovi. Questa 
probabilita' dipende dai parametri macroscopici del sistema: se studio 
un gas in una scatola posso tranquillamente assegnare prob.=0 allo stato 
in cui alcune molecole si trovano nella stanza a fianco; non potrei se 
il contenitore fosse aperto.
Il macrostato invece e' definito da alcuni parametri macroscopici 
misurabili: es. volume, temperatura, pressione... Ovviamente ad uno 
stato macro corrispondono moltissimi stati micro.
Quello che dice la pagina che ti ho indicato e' che il disordine puo' 
essere definito senza ambiguita' solo riguardo alla probabilita' con cui 
un sistema puo' essere trovato in uno stato microscopico: piu' sono gli 
stati in cui si puo' trovare, maggiore il "disordine" e maggiore 
l'entropia. In altri casi, i tranelli sono sempre in agguato.


Ti consiglio di studiare un po' di meccanica statistica prima di
proseguire nelle tue elucubrazioni sull'entropia.
Se non hai mai visto
S = k ln(W)
allora diventa un po' difficile capire di che cosa si parla.
Magari il Chandler e' buon libro da cui cominciare, oppure lo Huang -
pure questo ottimo libro.
Prova a considerare l'esempio di un sistema di n particelle, non
interagenti, che abbiano a disposizione solo 2 livelli energetici E_1,
E_2 con E_2 > E_1 su cui collocarsi. Trascurando la mq non e' molto
difficile calcolare lo spazio delle fasi. Prova a calcolare l'entropia
del sistema e a vedere quale configurazione la massimizza. Prova a
chiederti: e' questa la configurazione piu' disordinata?
Secondo me e' lampante che non c'e' una risposta univoca e che la
domanda non ha senso. Si puo' solo dire: questa e' la configurazione
che massimizza l'entropia quindi la piu' probabile.
Probabilmente per risolvere l'esercizio dovrai leggere i libri di cui
sopra e forse ci trovi anche la risposta direttamente (sul Chandler di
sicuro). Buono studio.
Giulio Severini ha scritto:


 ...
Il problema e' che tu e Giulio state in dimensioni diverse...
Dubito che Giulio abbia capito una sola parola di quanto hai scritto,
ma se crede di aver capito e' peggio, perche' sicuramente avra' preso
fischi per fiaschi :-<
La cosa piu' preoccupante e' che a quanto pare tu non te ne rendi
conto.
Questo thread mi ha fatto riflettere che sebbene l'argomento entropia
sia irto di difficolta' non inferiori a quelle che si trovano parlando
di RG o di MQ, nell'opinione comune non lo si vede cosi', e molti
pensano di poterne parlare alla leggera...
Cio' spiega perche' mi sono guardato dall'intervenire fin qui.
 
-- 
Elio Fabri

 Enrico Smargiassi
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 cellette con una particella, e M-N+1 cellette vuote.
Di nuovo,  vedi sopra. Le tue cellette servono a definire i microstati. 
Con dimensioni diverse i microstati avranno diversa "granularita'" ma l' 
  entropia ha a che fare con il numero di microstati (secondo ciascuna 
delle tue due definizioni) compatibili con un macrostato. Va da se'  che 
se vuoi confrontare entropie di macrostati diversi devi usare gli stessi 
microstati nei due casi.
Giorgio

 Natura sappia distinguere tra ordine e disordine? 
Non quelli del linguaggio usuale.
Nel senso tecnico cui si fa (o si dovrebbe far) riferimento quando si 
parla di entropia, ordine significa che tra tutti gli stati microscopici 
del sistema possibili in certe circostanze (compatibili con determinate 
condizioni al contorno) ne ricorrono solo alcuni. Mentre il massimo 
disordine corrisponde ad  un uguale probabilita'  di tutti gli stati 
microscopici.
Questo,  tradotto in pratica e particolarizzato a sistemi diversi puo' 
dare sia comportamenti che potremmo accettare come "ordinati"  sia 
"disordinati" nel linguaggio comune.
Giorgio

 Giorgio


 sono all'equilibrio, altrimenti no".
Questo no. Perche'  dal singolo stato microscopico non puoi dedurre se 
il sistema e'  o meno all'  equilibrio. Per quanto improbabile possa 
essere,  non puoi dedurre da un solo stato se questo e' uno stato di un 
sistema fuori dell'  equilibrio oppure e'  una improbabilissima 
fluttuazione di uno stato di equilibrio. Sono solo le frequenze di 
apparizione del microstato su un insieme di configurazioni successive 
del sistema che ti puo'  dare un'  idea piu'  precisa.
E'  un po'  come quando ti esce una fila di 10 teste tirando la moneta. 
Cosa ne deduci ?  che la moneta e'  truccata ? Noi sappiamo che una 
sequenza del genere ha probabilita'  (1/2)^10 se la moneta non e' 
truccata. E quindi non pensiamo che sia un risultato "tipico "  di una 
moneta onesta. Tuttavia anche la moneta onesta puo'  dare quella 
sequenza,  sia pure una volta su 1000 circa. Come possiamo verificare se 
la moneta e'  onesta o truccata ? Non c'e' altro da fare che provare a 
tirare di nuovo. Ma senza fare ulteriori esperimenti non c'e' 
possibilita'  di fare progressi.
Stesso discorso per i microstati. Se ne verifico l'  occorrenza di uno 
particolare,  che probabilita' posso assegnargli ? Empiricamente dovrei 
assegnargli 1. Solo dopo aver fatto un po'  di statistica sugli altri 
microstati visitati dal sistema posso scoprire che il microstato 
iniziale riappare, in media 
p.es
. solo una volta su 1000.
Ciao
Giorgio

 ti viene un numero. E basta.
Si', ma io con massimo intenderei massimo rispetto ai possibili valori che
potrei ottenere compatibilmente ai vincoli fissati:
numero totale di particelle=N,
energia interna = U = (3/2) * N * K * T se siamo in uno stato di equilibrio
(cioe' se ha senso la variabile macroscopica T),
volume del contenitore=V= volume del gas se lo stesso e' all'equilibrio
(altrimenti il gas potrebbe anche occupare solo un parte del contenitore).
I vincoli sarebbero N, U e V anche qualora il gas non fosse all'equilibrio,
cioe' il numero di molecole e' comunque quello, la loro energia pure, cosi'
come il volume del contenitore.
La questione che pongo e':
immaginiamo che sia "leggibile" lo stato microscopico. Da tale lettura
possiamo inferire qualcosa di sensato riguardo all'equilibrio macroscopico?
La "lettura" dello stato microscopico avviene tramite "occhiali" di
risoluzione Dx, Dy, Dz, Dpx, Dpy, Dpz. Possiamo scegliere gli occhiali che
vogliamo e la domanda appena posta assume allora la forma: quali sono gli
occhiali migliori?
Migliori occhiali = gli occhiali che meglio di altri ci permettono di
inferire qualcosa di sensato riguardo all'equilibrio macroscopico (per tutti
gli occhiali di qualunque tipo si pone il problema di scegliere i "migliori
rispetto a cio' che vorremmo leggere": con un microscopio vedo le molecole
dell'inchiostro ma non leggo le pagine del libro, con un "microscopio al
contrario" nel mio campo visivo entra oltre al libro anche il tavolo la
stanza e tutto il panorama attorno e nuovamente non riesco a leggere le
pagine del libro).
Puo' darsi che sia io a non capire, pero' ho anche un po' di dubbio che
potrebbe non essere ancora chiarissimo quello che vorrei dire.
Faccio alcuni esempi.
Scelgo Dx, Dy, Dz, Dpx, Dpy, Dpz nella seguente maniera:
Dx = Dy = Dz = (V/N)^(1/3),
Dpx = Dpy = Dpz = 6 * (2*m*U/N)^(1/2)
cioe' scelgo la celletta molto risoluta nello spazio delle posizioni e molto
poco risoluta nello spazio delle quantita' di moto.
Una generica celletta dello spazio delle fasi e' definita dalla 6-pla
(i,j,k,l,m,n) di numeri naturali e, nel leggere lo stato microscopico, ci
chiediamo quale e' il numero di occupazione associato a ciascuna 6-pla.
n(i,j,k,l,m,n) = numero di particelle che hanno posizione (x,y,z) tale che
(i-1)*Dx<x<i*Dx,
(i-1)*Dy<y<i*Dy,
(i-1)*Dz<z<i*Dz,
e hanno quantita' di moto (px,py,pz) tale che
(i-1)*Dpx<px<i*Dpx,
(i-1)*Dpy<py<i*Dpy,
(i-1)*Dpz<pz<i*Dpz.
Quando dico che abbiamo accesso allo stato microscopico intendo che, una
volta scelti Dx, Dy, Dz, Dpx, Dpy, Dpz, possiamo sapere quanto vale
n(i,j,k,l,m,n) per ogni 6-pla (i,j,k,l,m,n).
Leggiamo lo stato microscopico e ci accorgiamo che n e' sostanzialmente
sempre nullo se l>1 o m>1 o n>1. Cioe' tutte le N particelle sono associate
a 6-ple di tipo (i,j,k,1,1,1). Il che e' come dire che gli "occhiali" scelti
non ci permettono di inferire alcunche' riguardo alle quantita' di moto, non
siamo in grado di dire se la distribuzione delle quantita' di moto e' quella
che sarebbe prevista nel caso di equilibrio macroscopico (cioe' non siamo in
grado di vedere la distribuzione di Maxwell: per quanto riguarda le
quantita' di moto abbiamo scelto un "microscopio al contrario").
In cambio abbiamo una ottima risoluzione per quanto riguarda le posizioni.
Ci accorgiamo che n medio e' uguale a 1 (come deve essere data la scelta di
Dx, Dy, Dz, e il fatto che solo gli stati con l=m=n=1 sono occupati) e
possiamo anche costruire un istogramma chiedendoci quante
cellette saranno vuote, quante avranno una particella, quante 2 ecc.
Sappiamo che l'equilibrio macroscopico sarebbe associato ad una
distribuzione di Poisson e dal fatto che la osserviamo ne inferiamo che,
*almeno per quanto riguarda le posizioni* sembrerebbe esserci equilibrio.
Per quanto riguarda le posizioni abbiamo scelto degli ottimi occhiali.
In via di principio avremmo anche potuto ottenere un'altra distribuzione, ma
abbiamo proprio ottenuto quella associata al maggior numero di microstati.
Qua naturalmente il discorso e' statistico. Il microstato osservato potrebbe
anche essere frutto di una fluttuazione e diremo comunque che siamo
all'equilibrio o meno a seconda dei nostri gusti: se osserviamo tutte le
particelle in una unica celletta diremo: "per fluttuazione statistica una
cosa del genere potrebbe avvenire una volta ogni tot vite dell'universo
quindi non credo alla fluttuazione ma credo al fatto che qualcuno abbia
appositamente piazzato le particelle in quel modo. In ogni caso,
indipendententemente da cio' che credo, il sistema non e' all'equilibrio o a
causa di una fluttuazione, piu' probabilmente a causa di un intervento
esterno". Se la curva osservata, confrontata con la poissoniana, da' un
chiquadro accettabile diremo che siamo all'equilibrio (e' in questa
"accettabilita'" che entrano, mi pare, i nostri gusti).
Potremmo fare la scelta complementare:
Dx = Dy = Dz = V^(1/3),
Dpx = Dpy = Dpz = (6/N) * (2*m*U/N)^(1/2).
In questo caso osserveremmo la distribuzione di Poisson su px, su py e su
pz, ma per quanto riguarda le posizioni non avremmo proprio niente da dire
se non quello che gia' sapevamo perche' imposto dal vincolo: il gas e'
dentro il contenitore. In questo caso gli occhiali sono ottimi per le
quantita' di moto e sono "microscopi al contrario" per le posizioni.
La soluzione parrebbe essere la scelta:
Dx = Dy = Dz = (V/N)^(1/3),
Dpx = Dpy = Dpz = (6/N) * (2*m*U/N)^(1/2).
Ma questa scelta ci fa passare dalla padella nella brace (o meglio ci fa
passare da una posizione in cui "ci scottavamo un po'" nella brace, nel
senso che prima almeno qualcosa potevamo dire, ora non possiamo dire piu'
niente).
Le cellette occupate si estendono su una "regione" che raccoglie circa N^2
cellette, e di tutte queste la stragrande maggioranza sara' vuota (N>>1). Ci
saranno solo N cellette occupate da una sola particella e le restanti N^2-N
sono vuote.
Gli occhiali scelti sono dei "microscopi", non riusciamo a vedere ne' la
distribuzione di Poisson sulle posizioni ne' la distribuzione di Maxwell
sulle quantita' di moto.
Naturalmente potremmo integrare su opportuni insiemi, ma questo ovviamente
sarebbe come dire di cambiare occhiali alla ricerca dei migliori.
Per evitare il problema, cioe' per evitare di osservare il sistema con il
microscopio non vedendo nulla, la regione sulla quale si estendono le
cellette occupate non deve raccogliere un numero di cellette >>N. Cioe' se
una particella esplora di fatto una regione dello spazio delle fasi di
volume V*P allora il volume della celletta unitaria deve essere dell'ordine
di V*P/N.
Una particella esplora su x, una regione pari a V^(1/3), stesso discorso per
y e z), mentre su px esplora una regione dell'ordine di 5~10*
(2*m*U/N)^(1/2), stesso discorso per py e pz.
Il volume "giusto" per la celletta sarebbe,  parte il fattore 5~10,
(1/N) * [V^(1/3)]^3 * [(2*m*U/N)^(1/2)]^3.
In questo senso mi pare che il sistema, cioe' i vincoli ad esso imposti (V,
U, N), suggeriscano il volume della celletta.
Con U = (3/2)*N*K*T e (V/N) = (K*T)/p, si ottiene, a parte fattori numerici:
(1/p)*m^(3/2)*(K*T)^(5/2).


 a 6-ple di tipo (i,j,k,1,1,1).
E qui, n(i,j,k,l,m,n)=0 se l=/=0 o m=/=0 o n=/=0, cioe' tutte le N
particelle sono associate a 6-ple di tipo (i,j,k,0,0,0).


 microscopici.
Ciao Giorgio, grazie, questa spiegazione mi ha fatto capire molte cose,
anche il perchè siano stati messi in ballo i microstati di un sistema.
Vorrei tornare in seguito su questo punto, ma prima devo dare
un'occhiata a qualche testo di fisica...rinfrescare la memoria di
liceale di tanto tempo fa :)

 disordine in un sistema fisico, aumenta sempre?
Prosaicamente, la signora di casa sa bene che per mantenere ordine deve fare
le pulizie, cioè impiegare energia per mantenere costante un certo stato che
altrimenti si degrada spontaneamente !
Visione apocalittica
Ergo l'entropia dell'universo continuerà ad aumentare. Se l'energia
(gravità) contenuta nell'universo lo consentirà l'universo continuerà ad
espandersi per sempre. Col tempo tutta la materia decadrà in radiazione, e a
sua volta si distribuirà sempre più uniformemente nello spazio.
Alla fine (?) del tempo l'universo sarà vuoto, buio e freddo.
Ma fra qualche anno...
ciao


 > l'ordine e il disordine, e se la Natura fa una qualche distinzione.
 E' certo che almeno l'uomo fa questa distinzione, e quindi la
matematica che descrive la natura cerca di tematizzare questa
differenza. Quanto alla domanda: cosa e' un microstato la risposta
e' delicata. Va quasi bene la proposta di Enrico, ma va precisata
con attenzione alla definizione della probabilita' relativa ad un
microstato, questa e' la parte difficile in verita'. Non ho mai trovato
una trattazione adeguatamente semplice e generale per questo
tema. Gli argomenti semplificativi di Huang e di gran parte dei
libri di meccanica statistica risentono del difetto che dice Bruno:
non si capisce come generalizzare la nozione di spazio delle
configurazioni, ai sistemi fortemente interagenti ad esempio, ed
allora occorre distinguere caso per caso sperando che
vada bene, mancano le ricette generali a quel livello e la
trattazione procede per esempi. Viene introdotta poi ad un certo
punto lo schema della cluster decomposition, e tutto sembra
procedere in modo paciosamente indipendente dalla dinamica.
L'idea di fondo e' che si possa scomporre il sistema in parti
poco interagenti. Se vale questo allora seguono tanti bei risultati.


 del sistema che ti puo'  dare un'  idea piu'  precisa.
Sul resto sono d'accordo ma quest'ultima parte della tua argomentazione
non mi convince affatto. 
Se fossimo in grado di accedere direttamente ai microstati di un sistema
macroscopico, cosa ovviamente impossibile, e verificassimo la sussistenza
a un dato istante t di un microstato del tipo "tutte le particelle nella
prima metà del recipiente" questo sarebbe oggettivamente uno stato di non
equilibrio macroscopico del sistema, proprio in base alla definizione che
hai dato in precedenza (variabili termodinamiche macroscopiche che
assumono valori sostanzialmente uguali in zone diverse del sistema). E la
conferma sarebbe data dal fatto che il sistema lasciato a sé stesso
rilasserebbe rapidamente per tempi maggiori di t, fino a raggiungere uno
stato di equilibrio con P e T ben definite.
Sapere se un certo tempo prima di t il sistema si trovasse in uno stato di
equilibrio e si sia spostato successivamente nel microstato del tempo t
per una improbabilissima fluttuazione statistica o se invece già allora il
sistema si trovasse in uno stato di non equilibrio è un po' una questione
di lana caprina: per stabilire se un sistema macroscopico è oppure no
all'equilibrio non è necessario conoscere la sua storia precedente. 
E' d'altra parte ovvio che essendo un gas in un recipiente un sistema
macroscopico costituito da un numero grandissimo di molecole la
probabilità che il microstato del tipo "tutte le particelle nella prima
metà del recipiente" si possa produrre per via di una fluttuazione
spontanea del sistema è del tutto trascurabile e quindi di converso
potremo dedurne quasi con assoluta certezza che la storia del sistema
prima di t sia stata caratterizzata dalla presenza di stati macroscopici
di non equilibrio.
Saluti,
Aleph
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

La concezione più corretta di entropia, la stessa poi che
diede Clausius quando coniò il termine dal greco era
"contenuto di trasformazione". Questo fa comprendere
ad esempio come mai sistemi isoltati possono subire ancora
trasformazioni raggiungendo la massima entropia.
La definizione in base all'ordine sebbene più visivamente
immedianta porta ad ambiguità.

 possiamo inferire qualcosa di sensato riguardo all'equilibrio macroscopico?
Io la risposta non l'ho, ma rifletterei sulla validita'  dell'ipotesi
ergodica.
Considero il tuo sistema di N "particelle" (tutte uguali?) e ne isolo
una sola di queste: la chiamo P, e ne seguo l'andamento nello spazio
delle fasi, per un tempo indefinito.
Essa passera' per ogni punto accessibile?
Se si allora per me lo stato + probabile e' quella regione dove essa
spende la maggior parte del tempo.
Come ricondurmi ora dal caso di singola particella a quello originale?
Potrei comunque avere N-1 particelle che sono in regioni completamente
differenti dalla mia di equilibrio, si, ma questo deve valere solo per
un tempo piccolo, tempo TAU. Insomma il passare da un sistema ad N
particelle ad uno di 1 sola ti sposta il problema:  dalla valutazione
della  grandezza DxDyDzDpxDpyDpz  della tua celletta alla valutazione
della grandezza dell'intervallo necessario a stabilire che il tempo TAU
sia piccolo o grande.
Insomma, proprio perche' stai analizzando "statisticamente" devi
scendere a compromessi... se da un lato riesci a controllare una
miriade di corpuscoli con pochi parametri, dall'altro ci devi perdere
per forza.

 occhiali migliori?
...
[cut]
Qui credo tu stia girando intorno a un problema particolare che è quello
della scelta dimensionale non univoca delle cellette dello spazio delle
fasi in meccanica classica. A quanto ricordo Boltzmann risolse questo
problema affidandosi al suo grande senso fisico, tuttavia a riogore tale
problema non è rigorosamente risololubile, poiché non c'è modo di ottenere
in M.C. la dimensione univoca (dell'ordine di h^3) che definisce il volume
quantizzato di uno stato di una singola particella nello spazio delle fasi.
 
Saluti,
Aleph
P.S.: Questa volta spero di capitare con il moderatore veloce, perché
altrimenti non c'è verso d'interloquire in tempo ragionevole in questo
thread, dove praticamente tutti gli interlocutori sono in white list.  


 di non equilibrio.
E dove metti il confine tra equilibrio e non,  secondo il tuo punto di 
vista ? Se invece di trovarle tutte in un meta'  lo squilibrio e'  del 
10%? O dell' 1% Come cambia l' "assoluta" certezza ?
Il punto di vista statistico costringe ad abbandonare l'  idea che ci 
sia una caratterizzazione intrinseca basata sulla configurazione 
microscopica degli stati di non equilibrio. Questi non sono 
caratterizzati da configurazioni qualitativamente diverse ma solo da un 
diverso peso (ed evoluzione temporale) delle stesse.
Giorgio


 


 diverso peso (ed evoluzione temporale) delle stesse.
Non ho capito cosa intendi per qualitativo in questo contesto. 
Tutti i microstati di un sistema termodinamico (pensiamo al solito gas in
un recipente), sia esso in equilibrio oppure no, sono ovviamente
caratterizzabili dinamicamente nello stesso modo (posizioni e velocità
delle N particelle componenti). 
Ma, solo per fare uno dei tanti numerosissimi esempi possibili, mentre un
gas in equilibrio termodinamico a una data temperatura avrà
necessariamente una distribuzione maxwelliana delle velocità, un gas con
una distribuzione delle velocità bimodale (N/2 particelle a velocità v1,
N2 a velocità v2) non sarebbe all'equilibrio termodinamico.
E questo differenza, nell'ipotesi di accesso diretto ai rispettivi
microstati, è deducibile immediatamente a partire da quest'ultimi. 
Una domanda per concludere (che poi è la styessa che mi hai rivolto tu
poco sopra in riferimento ai microstati di un sistema): "Come determini (e
sulla base di quale definizione precisa) lo stato di non-equilibrio di un
sistema termodinamico macroscopico?


 sistema termodinamico macroscopico?
Semplice: guardo alla variazione nel tempo delle quantita' fisiche 
*macroscopiche*. Se variano nel tempo non sono all' equilibrio. (In 
realta' dovrei anche specificare meglio la scala dei tempi di 
osservazione e, eventualmente andrebbe fatto un discorso sugli equilibri 
metastabili ma questi sono discorsi da approssimazioni successive).
Giorgio

 Aleph


 paradosso di Gibbs
potresti spiegare per favore cosa dice questo paradosso di Gibbs?
Mi sa che sta qua la questione che non ho capito rigurdante il fatto che la
non determinazione del volume della celletta costituiva un problema per la
statistica classica.


 metastabili ma questi sono discorsi da approssimazioni successive).
Si' ma io continuo a non capire.
Riprendo l'esempio di meta' particelle in basso a destra e meta' in alto a
sinistra con le quantita' di moto distribuite in maniera maxwelliana. La
celletta l'ho presa in maniera tale da avere una bassissima risoluzione
sulle posizioni e una buona risoluzione sulle quantita' di moto. Poniamo ad
esempio di aver diviso il volume V in due sole cellette. Osservo lo stato
microscopico e ne deduco che la T non varia nel tempo (la distribuzione
delle quantita' di moto si mantiene con buona approssimazione maxwelliana
con media nulla e varianza approssimativamente costante nel tempo), la
densita' non varia nel tempo (con buona approssimazione si mantiene la
densita' costante di meta' palline ogni mezzo volume), il volume si mantiene
costantemente uguale alle due cellette grandi V/2 che risultano occupate, la
pressione (cioe' la forza per unita' di superficie che esercitano le pareti
sulle particelle per mantenerle all'interno del volume V) si mantiene con
buona approssimazione costante nel tempo. Dovrei dedurne che siamo in uno
stato di equilibrio invece sappiamo che cosi' non e', e non lo e' perche' la
densita' non e' uniforme ma la nostra lettura dello stato microscopico non
rende conto di cio' a causa della scelta fatta delle cellette grandi V/2.
Discorso analogo per la pressione, sappiamo che non e' affatto uniforme,
vicino agli angoli effettivamente occupati la pressione e' molto maggiore
che negli altri punti, ma anche questo non ci e' dato saperlo a causa della
scelta fatta per le cellette.
Cioe' il sistema ci sta "dicendo" che abbiamo scelto le cellette troppo poco
risolute per quanto riguarda le posizioni.


 Se variano nel tempo non sono all' equilibrio.
Come supponevo non mi hai potuto fornire una definizione precisa; anzi
direi che hai proposto una definizione molto ma moooolto vaga e del tutto
inutilizzabile operativamente per distinguere su basi quantitative gli
stati macroscopici di equilibrio e di non equilibrio di un sistema.
Di quanto deve variare, poniamo, la temperatura (e in quanto tempo) perché
tu possa affermare, in base alla tua definizione, che il sistema X abbia 
raggiunto oppure no l'equilibrio termodinamico?
Immaginiamo, ad esempio, gli istanti successivi allo scoppio dei vapori di
benzina all'interno di un cilindro. In tal caso penso che potremmo
convenire tranquillamente che il sistema termodinamico costituito dal gas
combusto, soggetto a turbolenze, espansioni e scambi di calore
rapidissimi, non si trova negli istanti immediatamente successivi allo
scoppio all'equilibrio termodinamico.
Ma come faresti a stabilire dei limiti di demarcazione quantitativamente
precisi nel caso generale? Limiti che ti consentano di scegliere senza
ambiguità tra macrostati di equilibrio e non equilibrio di un qualsiasi
sistema termodinamico?   
Coverrai che non c'è una risposta netta a questa domanda, in ogni caso,
dal punto di vista dei microstati il problema non si porrebbe
(complicazioni di calcolo a parte, ma visto che parliamo di schemi
concettuali): una volta operata a livello macroscopico, nella maniera che
preferisci,la distinzione tra macrostati di equilibrio e no, sarebbero di
conseguenza definiti anche i microstati di equilibrio e no, sulla base
della loro relazione suriettiva (N a 1) con i relativi macrostati.   


 > equilibrio macroscopico del sistema,
Spero di contribuire utilmente con alcune osservazioni
e distinzioni terminologiche:
a) lo stato termodinamico e' caratterizzato da grandezze
omogenee quindi come poi sostiene Giorgio non si da'
nemmeno l'opzione, in termodinamica, all'esistenza di
stati di non equilibrio. Sono soggetti esterni alla ricerca.
b) tuttavia le fluttuazioni sono un soggetto di studio della
termodinamica statistica. Che io sappia e' con Einstein,
quindi dopo il contributo di Boltzmann, Gibbs, Jaynes che lo
studio delle fluttuazioni entra a far parte delle termodinamica.
c) In meccanica statistica lo stato di equilibrio termodinamico
risulta a posteriori, da un processo di media, in termini pratici,
ma non esiste uno stato meccanico di un sistema gassoso che
persita nello stato "ideale" di equilibrio termodinamico.
d) L'ipotesi ergodica, complementata con un teorema di
Fermi garantisce che se un sistema e' ergodico ogni
configurazione sara' prima o poi approssimata con precisione
arbitraria. Tuttavia non c'e' garanzia che le grandezze macroscopiche
osservabili, come la pressione misurata da un barometro in un punto,
dipendano con continuita' dallo stato meccanico del sistema.
Diversamente una grandezza come la densita' puntuale ed altre
grandezze statistiche accessibili computazionalmente dipendono
con continuita' dallo stato meccanico del sistema, e sugli stati
meccanici classici di un gas perfetto si ha la topologia dello spazio
delle fasi che rappresenta il sistema.
e) l'entropia come logaritmo dell'inverso del volume dello spazio
delle fasi accessibile e' definita come una costante. Non c'e' dunque
una variazione di questa entropia. Questa grandezza e' ben definita
e permette di fare tutta la termodinamica compreso lo studio delle
fluttuazioni.
f) Diversamente, se scegliamo di descrivere approssimativamente
lo stato di un sistema mediante i numeri di occupazione di una partizione,
l'insieme dei numeri di occupazione e' detto distribuzione.
Fissata una partizione possiamo associare ad ogni stato meccanico
una distribuzione mediante una operazione di proiezione.
Si assume generalmente che l'insieme di stati distinti (i microstati) che
corrispondono ad una distribuzione ha un volume che puo' essere
approssimativamente calcolato.
 
g) La distribuzione per cui questo
volume e' massimo ed i relativi microstati sono detti, da
alcuni autori "di equilibrio". Risulta infatti che
questa distribuzione e' un'ottima approssimazione
della distribuzione che si ottiene effettuando le
medie temporali.
h) La collezione dei microstati corrispondenti ad una
distribuzione di equilibrio ha probabilita' ben definita.
Ed e' ben definita anche al probabilita' di
ciascuna delle possibili distribuzioni di "non equilibrio".
Diciamo che questo percorso dovrebbe rendere conto
bene sia della posizione di Giorgio sia di quella di Aleph
riguardo alla dizione "microstati il cui stato macroscopico
non e' di equilibrio termodinamico".



 


 ciascuna delle possibili distribuzioni di "non equilibrio".
OK.


 che se ne strafregano del volume della celletta,
...
No, questo non è vero: la funzione di stato entropia, che è una grandezza
termodinamica macroscopica, in M. S. Classica dipende, per una costante
additiva indeterminata, dal volume scelto per le cellette e tende a
divergere per tale volume che tende a zero.
http://www.andreazucchini.net/Scuola/Appunti/Fisica/Appunti_Soldati_Distribuzione_Boltzmann.pdf
Saluti,
Aleph


 qualche anno...
Ecco, bravo: ripassa a quell'epoca, e ne riparliamo...
 
-- 
Elio Fabri

 divergere per tale volume che tende a zero.
Beh ... la risposta "in M. S. classica la funzione di stato entropia risulta
indeterminata per una costante additiva a causa della indeterminatezza del
volume della celletta" a me lascia un po' insoddisfatto per i seguenti
motivi:
1) qualora esistesse un "entropiometro" e la sua misura desse il risultato
100 J/K allora certo una funzione indeterminata per una costante additiva
dovrebbe tenere conto del fatto che la misura ha dato quel risultato. In
mancanza dell'entropiometro, se noi fossimo in grado di dare un significato
solo alla differenza di entropia fra due stati allora la costante additiva
non costituirebbe alcun problema;
2) io cercherei un qualche motivo "piu' forte", direi "piu' fisico", per
lamentare la presenza di questa costante additiva eventualmente
indeterminata. E un motivo serio mi pare possa essere quello ricordato da
Tetis, il paradosso di Gibbs (ringrazio Tetis per la risposta, ad ogni modo,
nel frattempo avevo provato a rinfrescarmi un po' le idee alla pagina
http://www.robertosoldati.com/filepdf/nuovi_gennaio05/cap03.pdf
): metto a
contatto due volumi dello stesso gas, alla stessa temperatura e pressione,
tolgo il setto separatore e lo stato finale e' esattamente uguale allo stato
iniziale (cioe' allo stato che avevo prima di togliere il setto separatore).
Ne segue che l'entropia, essendo una funzione di stato, non deve variare.
Eppure sembrerebbe variare a causa dell'entropia di mescolamento. Alla
pagina 93 del sito sopra riportato viene detto che Gibbs risolve il
paradosso ponendo cn=(N! * (h^(3N)) )^-1. A me pare che si risolverebbe
anche meglio ponendo cn=(N^N * (h^(3N)) )^-1 = (N*h^3)^(-N), cioe' mettendo
N^N al posto di N!. Cosa e' questo cn viene detto a pagina 86. Per uno stato
di equilibrio di un gas ideale si ottiene la funzione di partizione Z= cn
(V*(2*pi*mKT)^3/2)^N (pag 87). Ponendo cn=(N*h^3)^(-N) si ha
Z= ( (V*(2*pi*mKT)^3/2) / (N*h^3) )^N.
Il punto e', se ho ben capito, che Gibbs non da' alcuna giustificazione di
cosa sia mai questo h. Nella pagina di Soldati, sempre che io l'abbia
spulciata a dovere, mi pare che non venga data alcuna spiegazione di cosa
sia questo cn (a parte il presentarlo come fattore dipendente solo da N che
puo' essere fissato in maniera arbitraria, pag 86) pero', se uno si fa i
calcoli assumendo un volume vol per la celletta e si va a calcolare questa
funzione di partizione all'equilibrio ottiene preciso il risultato di
Soldati con vol al posto di h^3 (questa cosa per la verita' la affermo qua
per il momento in forma dubitativa in quanto vorrei rivedermi per bene i
calcoli, l'ultima volta che feci calcoli del genere e' stato piu' o meno 20
anni fa). In sostanza l'arbitrarieta' sul fattore cn di cui parla Soldati
rispecchia la (supposta) arbitrarieta' nella scelta del volume della
celletta.
Il che e' come dire che, qualora trovassimo una giustificazione a supporto
del fatto che, fissato il sistema (fissato il volume del contenitore,
l'energia totale, la massa m e il numero N di particelle), risulta fissato
il volume della celletta da utilizzare, allora il paradosso di Gibbs sarebbe
risolto tutto all'interno della meccanica statistica classica.
Cioe' se accettassimo che e' il sistema a "dirci" quale e' il volume della
celletta tramite il quale "vuole" essere osservato, allora il paradosso di
Gibbs si dissolverebbe.
Personalmente troverei molto strano se non fosse cosi' in quanto ogni
sistema di ogni tipo "dice" sempre tramite quali "occhiali" vuole essere
osservato (o meglio ci dice "dipendentemente da cosa sei interessato a
vedere devi scegliere gli occhiali cosi' ..."). Ho provato ad argomentare
per quale motivo, a mio modo di vedere, il sistema "gas perfetto di N
particelle di massa m, in un dato volume V, a una data energia interna U" ci
suggerisce come volume della celletta il valore h~(V*(m*U/N)^3/2) / N, pero'
non sono stato evidentemente tanto chiaro in quanto non ho ottenuto risposte
in merito alla sostanza di quanto da me affermato. Questo almeno fino ad ora
e per quanto mi e' dato capire delle risposte ottenute.
Probabilmente nei prossimi giorni provero' a rivedere i calcoli di cui sopra
per poi rimettere tutto il discorso in una forma un po' piu' comprensibile
nella speranza di ottenere miglior fortuna.
Grazie comunque per l'attenzione ricevuta.


 medie temporali.
Se con f e g vuoi introdurre le distribuzioni di probabilita'  delle 
configurazioni microscopiche, non considererei questo passo come dovuto 
alla scelta di fare approssimazioni nella descrizione degli stati ma 
piuttosto per sfruttare l'  equivalenza tra descrizione dinamica e di 
probabilita'  (gli ensemble), che vale per i sistemi ergodici. In tal 
modo si  evita di risolvere il problema dinamico. Indipendentemene da 
problemi di precisione. Poi,  viene come effetto collaterale positivo 
che la decrizione mediante distribuzioni di probabilita'  mi permette di 
trattare come equivalenti tutte le configurazioni all'  interno di un 
volumetto infinitesimo dello spazio delle fasi.
Giorgio

 della loro relazione suriettiva (N a 1) con i relativi macrostati.   
E' su questa possibilita' di classificare il singolo microstato  che 
abbiamo opinioni diverse. Per te, una volta dato il microstato 
(posizioni e velocita'),  il macrostato coincide con l' evoluzione 
dinamica successiva e quindi e' unico   e unica ne e' la classificazione 
tra equilibrio e non-equilibrio.
Io considero invece il macrostato come dato dalla sua descrizione 
termodinamica e quindi ad un microstato iniziale e alla sua evoluzione 
potra' corrispondere  una successione di stati termodinamici di non 
equilibrio che convergera' prima o poi ad uno stato di equilibrio.  L' 
impossibilita' di attribuire un carattere netto di equilibrio o non eq. 
al singolo microstato dipende dal fatto che,  gli stati finali dell' 
evoluzione di un sistema di non equilibrio  sono impossibili da 
distinguere da fluttuazioni di equilibrio.
Giorgio

 dell'entropia.
In aggiunta a questa conclusione, voglio prevenire
le certe obiezioni di Bruno. Mettero' le mani avanti
dicendo: in statistica quantistica e' un territorio
di frontiera di ricerca il confine fra classico e quantistico. 
Si puo' ad esempio pensare
a sistemi, diversi da quelli molecolari, descrivibili 
classicamente. A questo pensai subito dopo aver
letto la soluzione del paradosso di Gibbs presentata
in termini di conteggio di Bose-Einstein/Fermi-Dirac.
In un sistema di sfere rigide, pure se sappiamo
che e' una idealizzazione e che in concreto un tal
sistema non e' hamiltoniano, possiamo anche pensare 
che l'idealizzazione possa riuscire efficace per 
opportuni transienti il tempo di effettuare un 
esperimento. Quello che e' lecito 
chiedersi e' se in un tale sistema l'entropia di
mescolamento ha effetti osservabili. Questo rinvia
ad una altro problema: in meccanica quantistica e'
molto usata l'approssimazione di Born Oppehneimer.
Dobbiamo pensare dunque che a rendere effettivamente
applicabile lo schema di particelle indistinguibili
entri in misura rilevante il meccanismo di interazione,
ovvero possiamo auspicare una ri-derivazione dell'approssi-
mazione di Born Oppehneimer che renda trasparente questo
meccanismo nel quadro della statistica quantistica.
Di la' da venire si potrebbe pensare ad una teoretica
generale delle "approssimazioni efficaci", in cui fra
l'altro potrebbero rientrare le statistiche intermedie
accantonate dopo la dimostrazione del teorema di 
spin-statistica. Bene, tutto questo e' stato preso
in considerazione. 
-- 
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 Aleph
-- 


 [2^(N/2) V(J)] x [2^(N/2) V(K)] = 2^N V(J) V(K)
Dormivo? Scusami Bruno, scusatemi tutti per la confusione.
Ho commesso un errore lapaliciano, questo non e' un volume di
fase per N particelle. Altra questione e' che sto considerando
un esempio di sistema un poco astratta in cui non c'e' il vincolo
sull'energia.
Il volume e' il volume elementare V(J)^(N/2) V(K)^(N/2)=(V/2)^N
ora, questo e' un volume di fase per un singolo microstato associato
con i numeri di occupazione N/2 ed N/2.
Moltiplicando per il numero di modi possibili di scegliere N/2
particelle fra N, che sono C(N,N/2) trovo il volume di fase
cercato: C(N,N/2) (V/2)^N e la probabilita' dello stato corrispondente
e' ottenuta dividendo per V^N. In generale otterremo un volume di fase della
forma:
C(N; n1,...,nk) (V/(V/v))^N = C(N;n1,...,nk) v^N. infatti il numero di
elementi k della
partizione e' proporzionale a V/v. Dove V e' il volume di fase
complessivo nello spazio delle configurazioni e v e' il volume elementare.
La probabilita' di questa distribuzione sara' quindi C(N;n1,...,nk) (v/V)^N
Il volume di fase complessivo e' semplicemente V^N e non dipende dalla
scelta del volumetto v. Ad ogni modo, anche se non c'e' il problema
dell'arbitrarieta'
dello zero, pure questa entropia: N ln(V) risente della non estensivita'.
Uno dei tanti modi ad hoc che mi e' capitato di escogitare, in
momenti di delirio, per correggere l'entropia distribuzionale in
modo che risulti additiva e' di assegnare come volume disponibile
quello di singola particella, quindi non gia' il volume V bensi' un volume
V/N dove
N e' il numero di particelle indistinguibili.
Come dire che rinormalizziamo lo zero dell'entropia in funzione del
numero di particelle. Con questo accorgimento risulta una grandezza
ovviamente estensiva perche' V/N rimane invariato quando aboliamo
il setto. Questo genere di riscalamente e' esattamente quello che si
ottiene introducendo ad hoc il fattore di Boltzmann (si chiama cosi'
perche' di questo magico fattore Boltzmann teneva conto, ben prima
dell'analisi critica di Jaynes e Gibbs): una correzione
1/N! al volume di fase complessivo.
Continuando a studiare il sistema giocattolo di cui sopra:
la distribuzione piu' probabile e' quella equiprobabile:
n_i = N/k
la cui funzione H risulta Sum_i (n_i/N) ln(n_i/N) = - ln(k).
Mentre, ancora, l'entropia intesa come logaritmo del volume
di fase degli stati corrispondenti a questa distribuzione risulta
essere, dopo aver lasciato da parte i termini infinitesimi nel
limite termodinamico: N ln(V) esattamente come prima.
Altro esercizio interessante e' valutare il logaritmo del volume
di fase della generica distribuzione. Quello che risulta e'
ln [V^N P(N;n1...nk)] = ln(2pi N)-(ln(2pi n1)+...ln(2pi nk)) - N
H(n1,...,nk) + N ln(v)
che nel limite termodinamico si approssima semplicemente a:
N [ln(v)- H(n1,...,nk)] qui H e' la funzione H di Boltzmann associata
con la distribuzione n1...nk. Il risultato e' N ln(kv) = N ln(V) nel
caso della distribuzione "di equilibrio" il teorema di Boltzmann
come si ricorderanno i piu' colti riguardava proprio la predizione che
sotto ipotesi di caos molecolare la funzione H tende a decrescere
irreversibilmente fino a raggiungere il suo valore di equilibrio.
Affermazione che, come sottolineava Zermelo e' in contrasto,
nella meccanica classica, con il teorema di Poincare'.
 In effetti non c'e' una ragione precisa, come riflettevano Jaynes,
Gibbs e Van Kampen per preferire la probabilita'del microstato alla
probabilita' della distribuzione di equilibrio nella definizione di
entropia,
almeno se ci si limita a sistemi nel loro limite termodinamico. Senonche'
la prima risulta piu' intrinsecamente legata alla struttura dinamica e
quindi esalta l'aspetto dinamico della termodinamica. Ma la seconda
puo' essere vista invece come limite invalicabile di una funzione che
soggetta alla dinamica, spontaneamente fluttua nei pressi di tale
valore "termodinamico di equilibrio". Per questo motivo
la comparsa, a livello dinamico, del fattore di boltzmann nella statistica
quantistica rimane motivo di grande sollievo conciliando le
due pitture. D'altra parte ad un'attenta riflessione si puo' comprendere
che lo spostamento dello zero ottenuto introducendo il fattore di Boltzmann
e' legittimo ma arbitrario con riferimento a sistemi che sono descritti
dalla
meccanica hamiltoniana classica.
 
Nella termodinamica i due sistemi con il muro e
senza il muro sono due sistemi differenti, non c'e' nulla, nel paradosso
di Gibbs che violi il secondo principio, in quanto il reinserimento del
setto
riconduce allo stato di partenza ed alla stessa entropia che si aveva prima.
Risulta insoddisfacente il fatto che lo zero sia dove sia.
Quindi si tratta in un certo senso di un falso paradosso. Il fatto che si
possano
osservare effetti termodinamici come una variazione oggettiva di energia
interna
nel mescolamento di due gas e' un fatto che ha solo in parte a che fare con
questioni entropiche. Questo fenomeno dipende essenzialmente dai
potenziali chimici ovvero dall'energetica interna che risulta diversa quando
le distanze medie delle particelle omologhe aumentano e compaiono le
interazioni fra particelle differenti. Potremmo esser liberi, volendo, anche
di cambiare lo zero dell'entropia in corso di mescolamento. In altre parole,
andando oltre le intenzioni della termodinamica nulla vieta di aggiungere
alla funzione di stato termodinamico una funzione di stato dinamico. La
termodinamica
non risente in alcun modo, della densita' effettiva, nella misura in cui
gli effetti termici legati allo scambio di calore sono ascrivibili in larga
misura alla variazione delle grandezze macroscopiche come la pressione
media ed il volume medio. Quindi alla fine la funzione zero dinamico
dell'entropia puo' essere trattato come un termine libero purche' risulti
essere un differenziale esatto delle grandezze termodinamiche.
Quello che e' interessante studiare e' comunque se e cosa cambia, riguardo
alla distribuzione piu' probabile, utilizzando un volume V/N anziche' un
volume V. Essenzialmente andiamo ad identificare fra loro
le N! distribuzioni nello spazio delle fasi che risultano una dall'altra
dall'azione delle permutazioni. In questo senso cio' a cui corrisponde
l'introduzione del fattore di Boltzmann non e' altro che una diminuzione
di pretese circa la descrizione di uno stato. La probabilita' dello stato
(n1,n2,...,nk) rimane essenzialmente invariata, ma e' l'interpretazione
di questa probabilita' che risulta differente. In luogo del volume di fase:
C(N,n1,...,nk) (V/k)^N) da confrontare con il volume di fase V^N
avremo il nuovo volume di fase:
N!/(n1!...nk!) [(V/k)^N / N!] = (v^N)/(n1! ... nk!) da confrontare con
(V^N)/N!
L'effetto e' comunque artificioso, almeno dal mio punto
di vista. Forse qualcuno ha un modo piu' naturale di vedere
l'argomento? Cioe' ho capito che l'idea e' quella di vedere lo
spazio delle fasi di N particelle identiche, ma indistinguibili,
come una riduzione (analoga alla riduzione alla prima cella
di Brillouin dello stato solido) dello spazio delle fasi, se mi limito
allo spazio delle configurazioni di due particelle in una dimensione
essenzialmente risulta che i punti simmetrici rispetto alla bisettrice
risultano identificati. Analogamente si puo' pensare lo spazio
di N particelle distinguibili come tassellato di copie identiche di un
cono fondamentale. Quello che non mi piace di questo procedimento
e' il fatto che non mi riesce di immaginare un passaggio continuo dal
caso di N particelle identiche indistinbuibili al caso di N particelle
"moderatamente indistinguibili", se rendo l'idea?
Mi risulta allora piu' congeniale pensare la distinguibilita' classica
come una caratteristica emergente in un complesso di processi
dinamici distinguibili che agiscono su "atomi" essenzialmente
indistinguibili. Scusate ancora la confusione. Ed anche la prolissita',
ma avrete capito che trovo questi argomenti appassionanti.


 essere un differenziale esatto delle grandezze termodinamiche.
Quest'idea e' espressa in modo molto confuso. Per precisarla
occorre immaginare uno spazio astratto dove trovano luogo tutti
i sistemi termodinamici chiusi, e quasi chiusi, e le loro collezioni con la
descrizione
completa del sistema, in questa descrizione c'e' annessa la specifica
dei parametri termodinamici, che caratterizzano l'equilibrio del sistema,
una coesistenza di fase potra' essere descritta ad una prima approssimazione
mediante indici aggiuntivi.
Fra gli stati dinamici le cui caratteristiche macroscopiche risultano
lontane
dalle proprieta' di equilibrio del sistema e gli stati dinamici che appaiono
all'equilibrio, corre un'operatore di evoluzione temporale. Se la
descrizione
del sistema e' hamiltoniana (o meglio e' in una certa sottoclasse dei
sistemi
hamiltoniani) questo risulta reversibile tanto in meccanica
classica quanto in meccanica quantistica. In meccanica di Schroedinger
l'inversione temporale e' un'operatore antiunitario che agisce sullo spazio
di Hilbert. In meccanica classica e' l'inversione degli impulsi.
Come in meccanica classica, anche in meccanica quantistica esiste una
distinzione di principio fra la descrizione in termini di ensemble e la
descrizione in termini di stato. Come in meccanica classica la descrizione
in termini di ensemble risente di un difetto di commutativita' rispetto
all'operazione di inversione temporale, ma l'argomento appare
piu' perentorio in ambito quantistico.
 risulta naturale introdurre una sorta di
foliazione nello spazio dei sistemi termodinamici vincolati, alcuni fogli
possono essere connessi al loro interno da variazioni continue dei
parametri termodinamici, ma esisteranno anche parametri discreti e
collezioni di fogli associati con collezioni di sistemi termodinamici
chiusi.
Tutto quello che
deve fare una misura, o una funzione di una misura che pretenda di
associare una funzione di stato allo spazio delle fasi, e' dipendere
solo dai parametri termodinamici. L'estensivita' dell'entropia e' un
postulato che e' salvo finche' consideriamo la somma dei sistemi
in termini di contatto termico. Ma il fatto che non valga passando
dal sistema suddiviso in due parti al sistema formato di una parte
sola non implica che la funzione ottenuta non sia una funzione di
stato estensiva, implica solo di delimitare la proprieta' estensiva
a sistemi in contatto termico e trattare distintamente l'entropia dei
sistemi ottenuti dalla fusione di due sistemi inizialmente in contatto
termico.
 
Per quanto riguarda l'applicazione della meccanica classica ai
sistemi formati da oggetti interagenti per mezzo di campi occorre
una prudente considerazione della natura multifasica di questi
sistemi. Questo rende lo schema di sistema chiuso ed hamiltorniano
una forzatura della fisica effettiva del sistema, che occorre tematizzare
adeguatamente. Anche se difficile da maneggiare lo strumento piu'
adeguato e' la teoria semiclassica dei sistemi quantistici. Va detto
che si riaffaccia da qualche tempo, sempre piu' spesso, sulla scena
anche la teoria generale della simmetria per la statistica dei campi
classici non lineari. Un campo classico, diversamente da un sistema
classico con finiti gradi di liberta', ha infiniti gradi di liberta' e con
infiniti
gradi di liberta' compaiono eccezioni dinamiche di misura nulla, che
rendono insostituibile la trattazione in termini di ensemble. Puo' essere
che un giorno questi due schemi convergeranno in una teoria unificata,
in cui il punto di vista classico e quello quantistico sono solo due aspetti
dello stesso schema. Mancando questa sintesi si assiste a volte ad un
giusto revival di temi che erano stati accantonati, in cui i toni partigiani
per gli argomenti quantistici e per quelli classici hanno una coloritura
spesso anacronistica. Questo dipende dal fatto che a volte si trovano
a discutere dello stesso soggetto persone che hanno un riferimento
intenzionale differente. Per cui se un sostenitore dei metodi classici
pretende giustamente di difendere i successi del suo punto di vista,
un fisico delle particelle gli chiedera' inevitabilmente conto di tutto
un elenco di fenomenologie che sono aliene, a partire dalla costante
di Planck per giungere alle pieghe piu' recondite della fisica delle
particelle. E viceversa. Il mondo della fisica dei sistemi di mezzo usa
metodi ibridi che danno conto dell'uno e dell'altro aspetto, ed in
quell'ambito si intravede una formazione teorica con tecniche di
astrazione che somigliano alla fase nebulosa di una rivoluzione
scientifica.


 la meccanica classica.
...
Non capisco cosa c'  entra la meccanica classica col paradosso di Gibbs.
Il paradosso di G.  non crea problemi alla dinamica ma al modo in cui 
identifichiamo cosa e'  un microstato a partire dallo stato meccanico. 
Ma queste sono considerazioni sul conteggio degli stati e non sulla 
evoluzione del sistema.
Giorgio

 Giorgio


 quantisico non si presenta. ....
Appunto. Il problema e', come dici tu,  dal punto di vista meccanico 
statistico. Che e' quello che dico io quando parlo di problemi nella 
identificazione del microstato a partire dal sistema meccanico.
La cosa che secondo me va sottolineata a proposito del paradosso di 
Gibbs e' che la meccanica statistica NON e' uno sviluppo deduttivo della 
meccanica.  Ci sono delle ipotesi in piu' che,  in quanto ipotesi 
fisiche sul mondo,  vengono validate solo dall' esperienza.
Nell' agganciare gli argomenti probabilistici alla meccanica,  ci si 
trova di fronte al problema, apparentemente banale, di individuare lo 
spazio su cui e' definita la misura di probabilita'. La soluzione piu' 
semplice sembrerebbe quella di considerare gli eventi (gli insiemi 
misurabili) come insiemi i cui elementi sono gli stati dinamici del 
sistema (determinando uno stato mediante i valori di posizioni e 
velocita'). Tuttavia, per quanto ragionevole,  questa e' un' ipotesi.
Se la accettiamo e se vogliamo connettere l' entropia definita mediante 
il log del numero di stati accessibili al sistema con l' entropia 
termodinamica del secondo principio, siamo costretti (p. es.  dal 
paradosso di Gibbs) a rivedere qualcosa se vogliamo ritrovare l' 
estensivita' dell' entropia.
La soluzione di Gibbs equivale a dire che invece dello stato dinamico, 
l' elemento di un evento nel nostro spazio di probabilita' e' costituito 
dalla classe di equivalenza costituita da tutti gli stati dinamici che 
hanno lo stesso stato dinamico a meno di una permutazione degli indici.
Quindi la soluzione di Gibbs puo' esser vista,  in un' ottica 
completamente "interna" alla meccanica classica,  come la soluzione al 
problema dell' assegnazione di regole per l' interpretazione 
probabilistica degli stati meccanici compatibile con l' estensivita' 
dell' entropia.
In tutto questo la meccanica (classica o quantistica) in quanto teoria 
fisica dell' evoluzione temporale c' entra poco. La distinguibilita' o 
meno  viene preservata dall' evoluzione indifferentemente se classica o 
quantistica.
Giorgio

 Giorgio
Resta poi En passant una possibilita' naturale in meccanica quantistica,
ma che e' applicabile anche in meccanica classica: se consideriamo per
esempio la distribuzione piu' probabile in accordo alle regole di
esplorazione
dello spazio delle fasi dettate dalla meccanica classica
ed andiamo a considerare un raffinamento della partizione
in unita' piu' fini. Se ogni cella e' partizionata in un numero
di unita' molto maggiori del numero di occupazione risulta
che il logaritmo della probabilita' di una distribuzione puo'
essere ricondotta, nel limite termodinamico, alla espressione
elementare:
n_i ln(n_i) + N ln(j)
dove j = v / h^3, h^3 e' il volume di microstato, v il volume di
arrozzamento ed n_i il numero di occupazione della celletta i.
Ad esempio per il caso che proponevo di un volume di fase
V^N ovvero volume elementare V:
 S(N) = N ln( v N / V) + N ln (v/ h^3). Dove V e' il
volume di fase di singola particella. Occorre solo,
come diceva Bruno considerare N >> V/v
e v/h^3 >> n_medio. Ovvero anche V/h^3 >> N >> V/v.
Ora questo modo di valutare l'entropia funziona nella
generalita' dei casi, eccetto che richiede di considerazioni
correttive nei casi di percolazione.


 celletta.
Ho rifatto i conti, per quanto in maniera veloce e abbastanza sommaria, ma
mi pare di poter affermare con buona dose di certezza che stavo sbagliando.
Il problema della soluzione che Gibbs da' al paradosso che prende il suo
nome non sta, come credevo, nel fatto che egli non da' alcuna
giustificazione di cosa sia h. Il punto e' che lui, nel porre cn=(N! *
(h^(3N)) )^-1 dice in sostanza "stabilisco di contare gli stati in un certo
modo" (cioe' faccio delle ipotesi sulla indistinguibilita' fisica delle
particelle).
Credo di aver finalmente capito cosa intendeva Pastore nel dire
"La soluzione di Gibbs equivale a dire che invece dello stato dinamico,
l' elemento di un evento nel nostro spazio di probabilita' e' costituito
dalla classe di equivalenza costituita da tutti gli stati dinamici che
hanno lo stesso stato dinamico a meno di una permutazione degli indici.
Quindi la soluzione di Gibbs puo' esser vista,  in un' ottica
completamente "interna" alla meccanica classica,  come la soluzione al
problema dell' assegnazione di regole per l' interpretazione
probabilistica degli stati meccanici compatibile con l' estensivita'
dell' entropia."
Il problema non sarebbe dunque "ma cosa sarebbe questo h?"
ma piuttosto "per quale motivo (cioe' quale e' la ragione fisica a causa
della quale) gli stati li dovremmo contare in quel modo?"


 della quale) gli stati li dovremmo contare in quel modo?"
Confermo. L'  arbitrarieta'  di h non crea nessun problema finche'  h e' 
una costante (cioe'  non dipende dalle variabili termodinamiche). Questo 
perche'  quando si passa alle quantita'  termodinamiche ci si rende 
conto che l'  arbitrarieta'  di h puo'  sempre essere assorbita nell' 
arbitrarieta' dell'  entropia (determinabile a meno di una costante 
additiva in un mondo puramente classico).
Invece l'  esistenza o meno di un fattore 1/N! crea problemi anche all' 
  interno di una meccanica statistica puramente classica perche'  da 
quel fattore dipende la possibilita'  o meno di ritrovare l' 
estensivita' dell'  entropia.
Dunque, il paradosso di Gibbs non mette in luce i problemi nella 
determinazione di h.  Questi,  e tutto il riferimento concettuale 
classico,  vengono invece messi in crisi dal terzo principio della 
termodinamica: l'  annullarsi dell'  entropia alle zero assoluto (o 
comunque l'  essere una costante ) equivale a dire che non c'e' piu'  l' 
  arbitrarieta'  additiva e quindi, nella funzione di partizione, non 
c'e' piu'  invarianza della termodinamica rispetto al valore di h.
Giorgio Pastore


 


 piove?
A queste domande io non saprei proprio cosa rispondere.
Ciao.


 p=0 +- dp ?
In un mondo puramente classico si',  visto che l'  energia cinetica media
traslazionale e'  proporzionale a T.
Giorgio

 piove?
Non direi. Il paradosso di G.  deve essere stato rimosso a monte di 
qualsiasi considerazione termodinamica (altrimenti non ci sarebbe una TD 
estensiva). 頾ve o si forma nebbia perche' il vapore puo' essere portato 
in stati TD di non equilibrio in cui la c'e' una separazione di fase con 
comparsa del liquido.
Giorgio

 Giorgio


 Giorgio


 di non equilibrio.
La coesistenza no.  E'  un fenomeno di equilibrio.  Ma la formazione 
della nebbia o della pioggia quando una massa di aria umida viene 
rapidamente raffreddata si'. Si parte da un sistema in cui il vapore e' 
  la fase stabile e lo  si porta  all' interno della regione di 
instabilita'. Il processo di raggiungimento della coesistenza, con 
conseguente formazione di interfaccia e di separazione tra fase liquida 
(le gocce) e vapore,  e'  un processo in cui si passa da uno stato di 
non equilibrio ad uno di equilibrio.
Giorgio