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Titolo: Navier-Stokes

Ciao a tutti,
ho un problema con le equazioni di Navier-Stokes.
Premetto che sono uno studente autodidatta, sono arrivato fino alle medie
superiori (quindi non sono né un fisico, né un matematico e nemmeno un
ingegnere). Però ho la passione per la fisica, quindi se potete,
sopportatemi. Sto cercando d'imparare qualcosa da chi ne sa certamente molto
più di me.
Cerco di stringere il più possibile.
Ho applicato le equazioni di Navier-Stokes a due lastre parallele di
dimensioni molto estese poste ad un'altezza h l'una dall'altra.
Ora non posso fare un disegno, ma per intendersi il mio riferimento ha l'
asse x verso destra, la y verso l'alto e l'asse z perpendicolare al vostro
monitor.
Le ipotesi sono:
1) regime stazionario
2) moto del fluido unicamente nella direzione x (ux!=0, uy=0 e uz=0).
3) fluido (olio) incomprimibile dro/dr+ro*div(v)=0 -> div(v)=0 -> dux/dx=0
4) fluido reale: viscosità (mu), quindi ux(y), la velocità dipende dall'
altezza y (moto laminare).
Dopo tutte queste ipotesi finalmente ho scritto le equazioni di
Navier-Stokes, che diventano (nelle direzioni x y z):
[1] 0=dp/dx - mu*(d^2ux/dy^2)
[2] -ro*g=dp/dy
[3] 0=dp/dz
(devo indicare la derivata con d, ma sarebbero derivate parziali).
Dalle condizioni di contorno u(0)=u(h)=0, lavorando un po' sulla prima e
integrando due volte si ottiene la velocità del fluido è
ux(y)=(1/mu)*(dp/dx)*(y^2-yh).
La velocità media è V=(1/h)*int(ux(y)dy,0,h) e risulta -h^2/(12*mu)*(dp/dx).
Fin qua direi che mi è andata abbastanza bene.
Ora il mio problema è questo: se ora volessi passare da due lastre come nel
precedente esempio ad una sezione rettangolare, che quindi rimane alta h e
larga k (lungo l'asse z), ed il fluido reale ora circola al suo interno,
avrei ux(y,z) giusto?
Avrei la prima equazione
0=dp/dx - mu*(d^2ux/dy^2 + d^2ux/dz^2)
giusto ?
Se è così, però non so più come fare ad ottenere la velocità del fluido.
Come si potrebbe fare? Cosa mi manca?
Grazie a tutti per l'attenzione e per gli eventuali
suggerimenti/osservazioni?
Auguri di Buona Pasqua.
Paolo Ferraresi (Modena).

 fluido.
Le parole chiave sono: "separazione delle variabili".
Prova a porre per ux una funzione del tipo f(y)*g(z).
Derivando la tua equazione rispetto a x, vedi che p sara' funzione
lineare di x, con coeff. chepossono dipendere solo da y:
p = a(y) + b(y)*x.
Usando la [2]:
-ro*g = a'(y) + b'(y)*x
da cui b'(y) = 0, a'(y) = -ro*g, a(y) = a(0) - ro*g*y.
Forse a questo punto sai andare avanti da solo.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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No, Elio,il problema è lineare ma non omogeneo e quindi la separazione
delle variabili fa cilecca. Io avrei usato un approccio diverso già nel
trattare la pressione, comunque l'importante è dimostrare, come fai
anche tu, che dp/dx è una costante, e così l'equazione di Paolo diviene
la seguente PDE (Partial Differential Equation, Equazione Differenziale
alle Derivate Parziali):
A) dp/dx*1/mu = b/mu = G = d^2ux/dy^2 + d^2ux/dz^2
Se provassimo a separare le variabili con la posizione ux = f(y)*g(z),
avremmo:
f''*g + f*g'' = G
Ora G =\= 0, naturalmente (se no non ci sarebbe flusso nel condotto!),
per cui non puoi ricondurti a due EDO distinte: derivare ancora rispetto
ad una delle variabili, oltre a complicare il tutto, introdurrebbe
un'incomprensibile dissimmetria in un problema che invece è del tutto
simmetrico in y e z, a meno di un semplice cambio di scala se a =\= b. E
derivare rispetto ad y E a z ti lascerebbe senza il problema di
Sturm-Liouville che invece desideri per proseguire. Quindi la
separazione delle variabili fallisce.
Il metodo valido è semmai il metodo di Fourier, che è in effetti
"l'estrema conseguenza" del metodo di separazione delle variabili: lo
presento in modo molto informale così dovrebbe essere chiaro anche a Paolo.
Noi vogliamo risolvere A) con le condizioni al contorno
B)ux(0,z)=0, ux(h,z)=0; ux(y,0)=0, ux(y,k)=0
Allora un'idea può essere cercare le autofunzioni dell'operatore
L = d^2/dy2+d^2/dz^2 con le suddette condizioni al contorno: cioè
cercare funzioni f_n(y,z) che soddisfano le condizioni al contorno, e
tali che L[f_n]= lambda_n * f_n, cioè tali che se ci applico L,
riottengo la funzione a meno di una costante: la costante lambda_n è
detta autovalore. Perchè lo faccio? Perchè se riuscissi a scrivere ux
come combinazione lineare di queste funzioni,
cioè ux(y,z) = sum(i=1,k, c_k*f_k(y,z)) allora 1) soddisfo
automaticamente le condizioni al contorno e 2) poichè L è un operatore
lineare, ho L[ux]=sum(i=1,k, c_k*L[f_k])= sum(i=1,k, c_k*lambda_k*f_k).
Dirai: bello, ma che me ne faccio? Bè, supponi che anche il termine noto
di A), cioè nel nostro caso dp/dx*1/mu = G =cost. ma in generale F(y,z),
sia esprimibile come combinazione lineare di delle f_n, cioè F =
sum(i=1,k, d_k*f_k), allora tu avresti sum(i=1,k, c_k*lambda_k*f_k) =
sum(i=1,k, d_k*f_k), e, se le f_k soddisfano una condizione detta di
ortogonalità, tu puoi dire che dev'essere c_k = d_k/lambda_k, cioè hai
determinato la combinazione lineare di f_n che ti dà la soluzione!
Ora, quali sono le autofunzioni di L, sul tuo dominio rettangolare? Sono
queste (ometto la semplice "dimostrazione" per non allungare troppo il
brodo, comunque si possono ottenere con l'approccio di Elio):
f_{i,j}(y,z) = sen(i*pi/h*y)*sen(j*pi/h*z)
ed i corrispondenti autovalori sono:
lambda_{i,j} = -pi^2*((i/h)^2+(j/k)^2)
Ora, F(y,z) è scrivibile come combinazione lineare di queste
autofunzioni? Si dimostra che una vasta classe di funzioni lo è "quasi",
cioè che se sommi tante di queste autofunzioni, puoi ottenere una
funzione F1 tale che l'integrale doppio del quadrato della differenza
fra F1 e F sul rettangolo [0,h]x[0,k] tende a zero al tendere
all'infinito del numero di autofunzioni che usi, cioè F si esprime come
una doppia serie di Fourier (*). Nel nostro caso particolare F = G =
cost. ho:
G = sum(i=1..inf,j=i..inf,d_{i,j}*sen(i*pi/h*y)*sen(j*pi/h*z))
con
d_{i,j} = G*h*(-1+cos(i*pi))*k*(-1+cos(j*pi))/(pi^2*i*j)
Anche qui ometto la dimostrazione, ma è analoga a quella che si fa per
determinare i coefficienti di Fourier di una serie di Fourier "classica".
In conclusione, come avevamo detto ux sarà data anche'essa da una doppia
serie di Fourier i cui coefficienti sono d_{i,j}/lambda_{i,j}, cioè
ux_{i,j} =
-dp/dx*1/mu*sum(i=1..inf,j=i..inf,h*(-1+cos(i*Pi))*k*(-1+cos(j*Pi))/(Pi^2*i*j)/
(pi^2*((i/h)^2+(j/k)^2))*sen(i*pi/h*y)*sen(j*pi/h*z))
Anche se l'espressione è "obbrobriosa", è interessante notare la sua
assoluta simmetria in y e z, come ci aspettavamo fisicamente, e, se si
sa usare un programma di matematica, è divertente sommare i primi
termini della serie e vedere come la soluzione "assomiglia" a quella
ricavata tramite una soluzione numerica di A) con le condizioni al
contorno B), oppure sommare i primi termini dell'espressione di G come
serie e vedere se tende effettivamente a G = cost. (qui si ha una
sorpresa!) In entrambi i casi vanni usati moltissimi termini, poichè le
doppie serie di Fourier sono note per la loro lenta convergenza.
Ciao,
Andrea
-- 
http://groups-beta.google.com/group/fluidodinamica
 un nuovo newsgroup in
italiano per discussioni sulla fluidodinamica in tutti i suoi aspetti
(teoria, esperimenti, simulazioni, ecc.) e applicazioni.

 ...
D'accordo. Purtroppo non e' semplice, e pare che un'espressione
decente per la somma della serie non ci sia.
Per caso ci possono entrare le funzioni ellittiche?
Posso anche suggerire un approccio meno profondo ma forse piu' facile
da capire: serie di potenze.
Mettiamo l'origine nel centro del tubo: allora le condizioni al
contorno sono soddisfatte scrivendo
ux(y,z) = (h^2/4 - y^2)*(k^2/4 - z^2)*F(y,z)
dove F sara' funzione pari di y e z, e quindi sviluppabile in serie di
potenze pari:
F = a00 + a10*y^2 + a01*z^2 + a20*y^4 + a11*y^2*z^2 + a02*z^4 + ...
Calcolando il laplaciano e uguagliandolo a G (costante) si ottengono
condizioni (ricorsive) per i coefficienti della serie.
Non ho fatto i conti, quindi non ho idea di quello che viene fuori,
di quanto bene converge la serie.
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