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Titolo: Quantità di moto relativistico

Immaginiamo una sorgente luminosa inizialmente ferma
di massa M in un sistema di riferimento inerziale.
Supponiamo ad un certo punto che la sorgente emetta una
certa quantità di energia luminosa E.
Dato che la radiazione ha quantità di moto E/c, per la
conservazione relativistica della quantità di moto posso
scrivere:
E/c = (M-E/c^2)*v*gamma
dove gamma=1/sqrt(1-v^2/c^2)) e 'v' la velocità della sorgente
presa in verso opposto a quella dei fotoni.
Se provo a risolvere rispetto a v trovo che è imbossibile, mentre
è possibile se non sottraggo E/c^2 da M.
Quindi non devo sottrarla?
Ciao a tutti
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Scusate per impossibile volevo dire che se poi uso la velocità così
trovata per calcolare l'energia l'energia totale della sorgente in moto con
(M-E/c^2)*c^2*gamma
e se a questo sommo la E dei fotoni mi aspettavo di trovare l'energia
iniziale
Mc^2 ma invece non viene.
Ciao


 presa in verso opposto a quella dei fotoni.
Uso unita' di misura per cui c = 1, si semplificano molto
le notazioni e pure i conti :-)
La formula per la conservazione della quantita' di moto e'
sbagliata perche' (M-E) non e' la massa (invariante)
della sorgente dopo l'emissione di radiazione ma
e' la sua energia totale nel riferimento inerziale del laboratorio.
Sia m la massa invariante della sorgente dopo l'emissione di
radiazione, le equazioni che descrivono l'emissione sono:
M = E + gamma * m       (conservazione dell'energia)
E = gamma * m * v         (conservazione della quantita' di moto),
note M ed E le equazioni si risolvono nelle incognite m e v.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
per rispondere inserire una sottolineatura
tra nome e cognome

 note M ed E le equazioni si risolvono nelle incognite m e v.
Tutto bene, ma io preferirei che problemi del genere venissero
affrontati in modo diverso.
Per cominciare, Angela, cerca di evitare l'uso della velocita', e
delle formule che danno energia e impulso in funzione di questa.
Raramente sono utili, e di regola complicano i conti.
Lo so che sono molto popolari: e' uno dei tanti difetti del modo
traidzionale d'insegnare la relativita'...
Invece la formula essenziale e' la relazione tra p, E e M:
E^2 - p^2 = M^2  (c=1).  (*)
(Per la velocita', e' spesso utile ricordare che v = p/E.)
Nel tuo problema, la situazione e' questa: all'inizio hai un atomo
fermo, di energia uguale alla massa M, e impulso nullo.
Dopo l'emissione della radiazione, hai la radiazione con energia E e
impulso p=E (c=1). Poi hai l'atomo che si muove, con un'energia E',
impulso p', massa M'.
La conservazione dell'impulso dice p' = -p = -E.
La cons. dell'energia dice M = E + E', ossia E' = M - E.
Usando la (*) per E', p', M':
(M-E)^2 - E^2 = M'^2
M'^2 = M(M-2E) < (M-E)^2 .
Se invece conoscessimo M e M', potremmo risolvere per E:
E = (M^2 - M'^2)/2M < M - M'.
Questa e' interessante e ha applicazioni pratiche.
Se un atomo ha due livelli (fondamentale ed eccitato) puo' passare dal
secondo al primo emettendo un fotone, o viceversa dal primo al secondo
assorbendolo.
Per l'atomo fermo, la differenza di energia tra i due livelli e' M-M',
ma l'energia del fotone emesso o assorbito *e' minore*.
Per esempio, se mando un fotone dell'energia E di cui sopra sull'atomo
fermo, questo non potra' assorbirlo, mentre lo assorbira' se gli va
incontro con la giusta velocita' (calcola quale).
Percio' se ho un insieme di atomi con diverse velocita' (agitazione
termica) quelli che vanno incontro ai fotoni li assorbirano, e
verranno rallentati.
Se metto due laser da parti opposte degli atomi, quelli che vanno
verso destra vengono rallentati dai fotoni che vengono dal laser
di destra, quelli che vanno a sinistra dall'altro.
Se invece di due laser ne metto 6 secondo direzioni ortogonali, riesco
a rallentare gli atomi in tutte le direzioni: e' cosi' che si fa il
"raffreddamento laser".
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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