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Titolo: discesa concava

Salve a tutti, ho un quesito che vorrei sottoporre
Da un'altezza R cade, partendo da fermo, un punto materiale seguendo un 
percorso di 1/4 di circonferenza (P*R/2).
Dalla stessa altezza R cade un punto materiale su un piano inclinato 
rettilineo lungo anch'esso P*R/2.
Quale dei due arriva prima?
Come varia l'accelerazione lungo il percorso nel primo caso?
Grazie
Enrico 

 Come varia l'accelerazione lungo il percorso nel primo caso?
Fissato un sistema di coordinate circolari con origine
nel centro della circonferenza, se teta e' l'angolo tra
la verticale e il raggio vettore istantaneo
del p.m. (cioe' teta varia dal valore iniziale Pi/2 al
valore finale 0), allora la componente tangenziale
dell'accelerazione in funzione di teta vale
a = g * Sin[teta].
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 
Ti hanno gia risposto, aggiungo solo che esiste anche una componente
radiale dell'accelerazione, v^2/R

 Quale dei due arriva prima?
Se non si vuole risolvere il problema in maniera numerica, come ha
fatto Giorgio Bibbiani, si può fare così:
Detti
m = massa punto materiale
s = coordinata curvilinea calcolata dal punto di partenza
v = velocità = ds/dt
R = raggio circonferenza = altezza massima del punto materiale
h(s) = altezza del punto materiale rispetto al punto più basso della
curva
E = energia totale = mgR
V = energia potenziale = mgh(s)
si ha:
(1/2)mv^2 = E - V --> v = ds/dt = Rad[2(E - V)/m]
--> dt =  ds*Rad[m/2(E - V)] = ds*Rad[1/2g(R - h(s))] 
= ds/Rad[2g(R - h(s))]
Adesso confrontiamo h(s) nei due casi:
Pendolo: h(s) = R[1 - sin(s/R)]   (questo calcolo si fa facilmente
scrivendo s = R*alfa dove alfa è l'angolo tra il raggio vettore
istantaneo e l'orizzontale)
Piano inclinato: h(s) = R - (2/pi)s  (similitudine fra triangoli; pi pigreco)
Risulta che h(s) del pendolo è sempre più piccolo di h(s) del piano
inclinato:
R[1 - sin(s/R)]  < R - (2/pi)s  --> sin(s/R) > (2/pi)s/R
cioè sinx > (2/pi)x   0<x<pi/2
Ma quest'ultima disequazione è proprio vera; basta fare un semplice
grafico delle funzioni sinx e (2/pi)x per vederlo.
Quindi h(s) è minore, nel caso del pendolo, perciò R - h(s) è maggiore
e quindi dt = ds/Rad[2g(R - h(s))] è minore.
In conclusione, il tempo totale impiegato dal punto materiale a
percorrere la traiettoria nel caso del pendolo è minore di quello nel
caso del piano inclinato.

 > rettilineo lungo anch'esso P*R/2.
(cut)
Non conosco le ragioni che hanno indotto a porre il problema in questi
termini: personalmente trovo più interessante il confronto con il piano
rettilineo  di lunghezza R*sqrt2,  inclinato di 45°, in modo che anche i
punti di arrivo, e non solo quelli di partenza e le quote, coincidano nei
due casi confrontati.
Quale è in tal caso il tempo impiegato?
Ciao e grazie
-- 
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 Quale è in tal caso il tempo impiegato?
L'accelerazione costante e' a = g * sin(45°) = g / sqrt(2),
poiche' il p.m. parte da fermo vale l'equazione oraria
s = 1/2 * a * t^2, posto s = R * sqrt(2), sostituendo
si ottiene t = 2 * sqrt(R / g), quindi anche in questo caso
arriva prima il pendolo.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scritto:
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Ti ringrazio.
Ora però, visto che si parla in qualche modo di competizione:-), sarei
curioso di sapere quale è il tempo (che sappiamo essere il minimo)
impiegato dalla pallina nel caso in cui il percorso concavo, fermi
restando il punto di partenza ed il punto di arrivo finora fissati, sia il
tratto di cicloide (rovesciata) intercettato dalla retta inclinata di 45°
passante per la cuspide. 
 Ciao
Luciano
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 passante per la cuspide.
Scelgo un sistema di coordinate cartesiane con origine nel punto
di partenza, asse x diretto orizzontalmente verso destra e asse y
diretto verticalmente verso il basso, e uso unita' con R = g = 1,
quindi il punto di arrivo ha coordinate (1,1).
Dalla conservazione dell'energia si ricava v = ds/dt = Sqrt(2*y),
l'elemento infinitesimo di percorso e' ds = Sqrt(dx^2 + dy^2) =
Sqrt(x'^2 + 1) * dy, considerando x come funzione di y e avendo
posto dx/dy = x', quindi il tempo di percorrenza e':
(1)  t = Integrale[ds/v] = Integrale[Sqrt[(x'^2 + 1) / (2*y)] dy, da 0 a 1],
con le condizioni al contorno x(0) = 0, x(1) = 1.
Posto L = Sqrt[(x'^2 + 1) / y], l'equazione di Eulero Lagrange
permette di trovare l'estremale del funzionale t:
d(@L/@x') / dy - @L/@x = 0  =>
d{x'/Sqrt[(x'^2 + 1) * y]} / dy = 0  =>
x' / Sqrt[(x'^2 + 1) * y] = k = cost.
da cui, risolvendo in x':
(2)  x' = Sqrt[k^2 * y / (1 - k^2 * y)]
e, separando le variabili e integrando tra 0 e 1:
1 = Integrale[Sqrt[k^2 * y / (1 - k^2 * y)] dy, da 0 a 1],
sostituendo k^2 * y = Sin[z]^2, si ottiene:
1 = 2 / k^2 * Integrale[Sin[z]^2 dz, da 0 a ArcSin[k]]  =>
1 = (ArcSin[k] - k * Sqrt(1 - k^2)) / k^2,
risolvendo numericamente si trova:
k = 0.934198, e sostituendo la (2) nella (1) si ha:
t = Integrale[[(1 - k^2 * y) * 2 * y)]^(-1/2) dy, da 0 a 1],
e integrando si ha:
t = 1.82568,
poco minore che nel caso della traiettoria circolare.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Ciao


 Esiste una letteratura, che tu sappia, a proposito di questi problemi?
Che esista un'ampia letteratura e' certo, ma io non la conosco :-)
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 velocita' massima).
Probabilmente hai ragione: anch'io avevo preso in considerazione questa
soluzione, ma pensavo che non andasse bene proprio perchè dal compimento
del mezzo arco cicloidale in poi la velocità si mantiene costante, per
quanto massima, mentre con la caduta rettilinea fin dall'inizio, per
quanto poco inclinata sia, aumenta sempre, e quindi si potessero mettere
le cose in modo nella seconda ipotesi il tempo diventase minore.
Se hai ancora voglia e pazienza, vorrei sottoporti un teorema (da
dimostrare, che propongo quindi in forma ipotetetica), che trovo alquanto
interessante.
Dati i due punti A e B in gravità costante congiunti dallo scivolo concavo
a forma di mezza cicloide rovesciata, si determini, data la forza G con
accelerazione g, il tempo T di percorrenza, che sappiamo essere il minimo.
Si elimini ora lo scivolo, e si ipotizzi che il vettore G, che prima
puntava in ogni punto sempre verso il basso, compia mezza rotazione, a
velocità angolare costante nel piano, nel corso del tempo T.
Ebbene l'enunciato è che la traiettoria nel vuoto che ne scaturisce è
esattamente quella disegnata dallo scivolo a forma di cicloide, cioè
quella di prima.
Ti risulta?
Caio
Luciano Buggio
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 Ti risulta?
Si'.
Uso le notazioni gia' viste in precedenza, con lo stesso sistema
di assi cartesiani x-y, e pongo g = 1.
Le componenti dell'accelerazione sono, posto omega = Pi / T:
a_x = sin(omega * t)
a_y = cos(omega * t)
con le condizioni iniziali:
x(0) = y(0) = 0
(dx/dt)(0) = (dy/dt)(0) = 0.
Integrando si ottiene:
x(t) = [omega * t - sin(omega * t)] / omega^2
y(t) = [1 - cos(omega * t)] / omega^2,
che e' proprio l'equazione in forma parametrica
della nostra mezza cicloide rovesciata.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Ciao


 E' corretto?
No, in generale la traiettoria del moto sara' una curva
nelle tre dimensioni, mentre la trocoide e' una curva piana.
Ti ricordi che in passato avevamo discusso un problema simile?
In quel caso avevamo visto che con una scelta opportuna delle
condizioni iniziali la traiettoria sarebbe stata una circonferenza,
ebbene basta ad es. aggiungere un componente della velocita'
iniziale ortogonale al piano in cui agisce la forza per ottenere
una traiettoria a spirale cilindrica, che quindi non e'
una trocoide.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 una trocoide.
Ho controllato ed ho scoperto (e te ne ringrazio), che la trocoide è nel
piano, mentre ero convinto che fosse la traiettoria del punto che si muove
a velocità costante sulla circonferenza mentre questa trasla in un data 
direzione in generale non contenuta nel piano in cui avviene la rotazione
del punto, cioè in cui la circonferenza stessa giace.
Ciò significa che, per proporre quella mia ipotesi, di cui ti chiedo
verifica, ho bisogno di formulare un nuovo concetto (se già non è stato
formulato), di definire cioè una nuova e più generale classe di curve
stereogeometriche (alla quale eventualemente va trovato un nome - quello
che pensavo fosse trocoide), che nascono da quanto sopra supposto, e
rispetto alla quale le cicloidi del piano (ordinaria, accorciata ed
allungata), sono un caso particolare, appunto quello in cui la direzione
della traslazione della circonferena avviene nel piano in cui la
circonferenza giace.
Ricominicamo quindi da qui.
Ma ti risulta che questa classe sia stata definita e studiata? 
Ciao.


 Ma ti risulta che questa classe sia stata definita e studiata?
Non so, ma suppongo di si', visto che si tratta di geometria
elementare.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani