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Titolo: ago conduttore carico in equilibrio elettrostatico: calcolo improprio di integrali impropri

Riprendo un argomento gia' discusso ma ancora aperto: la distribuzione
di cariche in un ago conduttore in equilibrio elettrostatico.
 
Teoricamente, un conduttore filiforme rettilineo non puo' essere in
equilibrio elettrostatico a meno che non sia infinitamente lungo e
con uniforme densita' lineare di carica. Eppure ha perfettamente senso
considerare il modello "a grani": un numero finito (seppure altissimo)
di cariche uguali allineate lungo un segmento. Le due cariche agli
estremi si ritengono vincolate e le restanti si distribuiscono
simmetricamente rispetto al punto medio del segmento, piu' densamente
verso gli estremi.
 
Il paradosso e' che se il numero di cariche tende a infinito, dovrebbe
esserci una distribuzione limite continua, ma questo e' incompatibile
con quanto detto prima.
 
Proviamo allora ad esaminare una versione differente del problema:
supponiamo che la repulsione tra due cariche sia inversamente
proporzionale alla loro distanza (anziche' al quadrato della).
 
Mettiamo di avere 2N+1 cariche (numerate 0..2N) del valore di 1/(2N+1)
unita' di carica ciascuna, per una carica totale unitaria. Esse sono
disposte sul segmento [-1,1]; p sia la funzione che associa il numero
d'ordine della carica alla sua posizione su [-1,1]. Si ha
 
p(0)=-1 all'estremo sinistro,
 
per simmetria si avra' p(2N-k)=-p(k), in particolare p(N)=0.
 
Nel punto di ]-1,1[ di ascissa t, mettiamo situato tra la j-esima
carica e la j+1-esima, avremo una componente di campo elettrico verso
destra di
 
somma{k=0..j} 1/(t-p(k)) 
 
e una verso sinistra di 
 
somma{k=j+1..2N} 1/(t-p(k))
 
per cui il campo e' dato da f(t,p)=somma{k=0..2N} 1/(t-p(k)).
Se N e' molto grande, viene spontaneo approssimare f(t,p) con una
somma integrale:
 
f(t,p) =~ integrale{du=0..1} 1/(t-p(u))
 
che purtroppo e' un integrale improprio, poiche' ora p, dal dominio
discreto 0..2N che aveva prima, ha assunto dominio continuo [0,1]
(mettendo la carica k-esima in u=k/2N) e ha un range che varia con
continuita' da -1 a 1, passando per t e annullando il denominatore.
 
Sussiste pero' un risultato IMHO abbastanza curioso: se affrontiamo
impropriamente questo integrale improprio escludendo un intorno
simmetrico
 
]t-epsilon, t+epsilon[
 
di t dal dominio di integrazione, ossia
 
integrale{du=0..t-epsilon, t+epsilon..1} 1/(t-p(u))
 
abbiamo sorprendentemente che il limite per epsilon-->0 di
 
integrale{du=0..t-epsilon, t+epsilon..1} 1/(t-sin(pi(u-1/2))
 
e' *identicamente nullo* rispetto a t. Pare quindi che la funzione di
posizione
 
p(u):=sin(pi(u-1/2))
 
risolverebbe la questione dell'equilibrio nell'ago, se solo le cariche
si respingessero con forza inversamente proporzionale alla loro
distanza.
 
Inoltre, la funzione p(u) corrisponde a una densita' lineare di carica
nell'ago di d(x):=1/(pi*sqrt(1-xx)), dove x e' l'ascissa dell'ago che
varia in [-1,1]. Se facciamo il calcolo del campo elettrico nell'ago
in t servendoci di d(x) anziche' p(x) come prima, otteniamo ancora un
integrale improprio:
 
integrale{dx=-1..1} 1/[(pi*sqrt(1-xx))*(t-x)]
 
che pero' trattato impropriamente come sopra, ossia 
 
integrale{dx=-1..t-epsilon, t+epsilon..1} 1/[(pi*sqrt(1-xx))*(t-x)]
 
e' identicamente nullo rispetto t per epsilon-->0.
 
Domandone: qual e' la funzione "magica" p tale che l'
 
integrale{du=0..1} 1/(t-p(u))^2,
 
seppure trattato impropriamente come prima, risulti identicamente
nullo rispetto t? Ciao

per cui il campo e' dato da f(t,p)=somma{k=0..2N} 1/(t-p(k)).
 
corrige: in queste espressioni manca il coefficiente 1/(2N+1),
naturalmente

 integrale{du=0..t-epsilon, t+epsilon..1} 1/(t-p(u))
 
Io non ho capito quest'ultimo passaggio, t varia in
]-1, 1[, mentre u in ]0, 1[, inoltre t misura una
posizione, u enumera le cariche, sono grandezze
non omogenee, mi sembra...
 
Ciao
 
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

non omogenee, mi sembra...
 
infatti t e' una posizione e u e' una sorta di enumerazione
frazionaria che fa corrispondere alla k-esima carica il numero k/(2N)
di ]1,0[. Ma la differenza a denominatore non e' tra t e u, ma tra t e
p(u) che sono entrambe posizioni. Quell'integrale vorrebbe dare
un'idea del campo in t, che sarebbe 1/(2N+1) per la somma degli
inversi delle distanze (orientate) tra t e le particelle. Ciao

 p(u) che sono entrambe posizioni. 
 
Questo mi torna ma, abbi pazienza, non capisco gli
estremi di integrazione, si integra _in u_ tra 0 e
t-eps e tra t+eps e 1 (che non avebbe senso,
perché t e u non sono omogenee...)?


perché t e u non sono omogenee...)?
 
Ora ho capito l'obiezione: ho sbagliato notazione. Avevo detto che t
e' un'ascissa sull'ago, cioe' un numero tra -1 e 1. Negli estremi
d'integrazione dovevo mettere non t, ma piuttosto p^-1(t), ossia la
percentuale di carica che si trova ripartita sull'ago tra -1 e t.
Inoltre usare la stessa lettera p per la funzione posizione sia nel
caso discreto, sia nel caso continuo e' fonte di confusione.
 
Riformulo. 
 
* sia p la funzione che associa il numero d'ordine della carica k alla
sua posizione p(k) su [-1,1];
 
* sia q(x):=p(floor(2N*x)), con x variabile da 0 a 1. 
 
Lasciando perdere t, intendevo approssimare la somma
 
f(k) := 1/(2N+1) somma{j=0..k-1; k+1..2N} 1/(p(k)-p(j))
 
che e' il campo agente sulla k-esima particella, con l'integrale
 
I(y) := 1/(2N+1) integrale{du=0..y-eps; y+eps..1} 1/(q(y)-q(u))
 
dove y=k/(2N) non esprime una posizione sull'ago, ma quella
percentuale di carica che si trova a sinistra della k-esima
particella. Cosi' dovrebbe tornare. Bene, assumendo
 
q(x):=sin(pi(x-1/2))
 
I(y) e' (al limite per eps-->0) identicamente nullo, SE&O. Questo mi
sembra un risultato notevole. Ciao

 sembra un risultato notevole. Ciao
 
Adesso ho capito ;-).
 
Non so contribuire alla soluzione, ma mi chiedo:
- è corretto ricavare una distribuzione di carica
che annulli il campo interno con quel "calcolo improprio"?
- la distribuzione di carica associata alla q(x)
trovata sopra sarà allora l'unica distribuzione che
determinerà un campo interno nullo? Cioè vale un
teorema di unicità per il campo ~ 1/r?
 
Poi, tornando al "domandone" iniziale, non so se il
metodo che hai utilizzato si possa riportare pari pari
al caso del potenziale coulombiano, perché se le cariche
in un conduttore raggiungono una configurazione
di equilibrio allora l'energia potenziale
elettrostatica è minima, ma data una distribuzione di
carica lineare non nulla allora l'energia potenziale
elettrostatica sarà comunque infinita e tutte le
distribuzioni si equivarranno in un "conduttore"
di spessore nullo. Mantenendo il senso fisico si
potrebbe invece calcolare la distribuzione di
carica all'equilibrio in un conduttore cilindrico
di dimensioni non nulle, che è determinata in modo
univoco, per poi far tendere a 0 il rapporto tra
raggio e lunghezza, ma allora non è garantito a priori
che la distribuzione di carica "lineare" così calcolata
dovesse coincidere con quella eventualmente calcolata
come risposta al "domandone".
 
Segnalo a proposito gli interventi di Elio Fabri nel thread:
 
https://groups.google.com/d/msg/it.scienza.matematica/1OsGWcr07l4/eXspGcdYIFAJ
 


 Segnalo a proposito gli interventi di Elio Fabri nel thread:
Pifferi! 17 anni fa!
E chi se li ricordava?
Però ho trovato un tentativo molto più recente, solo 2 anni fa.
Sempre sul clindro, con approccio vicino a quello del thread che hai
segnalato.
Purtroppo abortito dopo un bel po' di lavoro.
 
Oggi invece contribuisco in altro modo.
Segnalo che una soluzione esatta esiste per il problema di un
ellissoide rotondo, di eccentricità qualsiasi.
Se a>>b si può sperare che dia una sol. accettabile del problema della
distribuzione unidimensionale, che di certo non ha soluzione per le
ragioni già sviscerate.
 
La sol. per l'ellissoide è suff. semplice per copiarvi qui le formule.
La prendo, con piccoli cambiamenti di notazione, da una mia "bibbia"
che ho da oltre 65 anni:
Morse & Feshbach: Methods of Theoretical Physics (McGraw-Hill), pag.
1284-1285.
 
Siano a, b, c, e i soliti simboli in uso per l'ellisse.
Assumo coord. cartesiane (x,y,z), con z lungo l'asse maggiore; x e y
di conseguenza.
Pongo
r1 = sqrt[x^2 + y^2 + (z+c)^2]
r2 = sqrt[x^2 + y^2 + (z-c)^2]
xi = (r1 + r2)/(2c)
eta = (r1 - r2)/(2c).
 
xi va da 1 (sul segmento tra i fuochi) a inf; eta da -1 a 1.
Le superfici xi = cost. sono equipotenziali; quindi si può assumere
che il conduttore abbia xi = xi0 > 1 e potenziale V0.
 
Il semiasse maggiore vale  c * xi0.
Il semiasse minore vale c * sqrt(xi0^2 - 1).
L'eccentricità è 1/xi0.
 
Il potenziale è
 
V(x,y,z) = V0 * log[(xi+1)/(xi-1)] / log[(xi0+1)/(xi0-1)].
 
Non ho calcolato la densità di carica, ma si ricava da
sigma = eps0 * |grad V|.
 
 
-- 
Elio Fabri

carica all'equilibrio in un conduttore cilindrico di dimensioni non nulle,
 
Si era gia' discusso di questo, ma ora voglio focalizzare la
discussione su un dato di fatto difficilmente contestabile: 
 
*nel modello unidimensionale discreto, i grani si dispongono in
equilibrio per ogni numero N finito di grani, per quanto grande esso
sia.*
 
La disposizione magica di cui sopra (ammesso che esista) approssima o
no la disposizione delle cariche nel caso discreto di N molto grande?
Ora comincio ad avere dubbi che q(x):=-cos(pi*x) non lo faccia nemmeno
nel caso ~1/r, proprio per il vizio di forma nel calcolo
dell'integrale improprio. Faro' qualche simulazione. Ciao

 no la disposizione delle cariche nel caso discreto di N molto grande?
 
Dubito che lo si possa stabilire a priori, secondo
me per saperlo occorre calcolare la distribuzione
continua all'equilibrio come limite, per il diametro
del conduttore che tende a zero, della distribuzione
continua di equilibrio associata a un diametro non nullo,
che è l'unica che sicuramente abbia senso fisico,
e confrontarla con quella "magica".


 ragioni già sviscerate.
 
Ho trovato questo articolo (ora lo stampo e
mi metto a leggerlo), la soluzione per l'ago
conduttore mi ha spiazzato!
 
http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/ellipsoid.pdf
 


 
http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/ellipsoid.pdf
 
 
L'articolo è chiarissimo e le dimostrazioni sono le
più elementari possibili (per confronto, ho guardato
la stessa dimostrazione sul Landau Elettrodinamica
dei mezzi continui, e ovviamente è più complicata...);
mi sembra tutto giusto, e direi che sia appurato
che la distribuzione di carica nell'ago sottile
conduttore considerato come limite di uno sferoide
prolato quando l'asse maggiore è >> degli altri 2,
sia uniforme!


 sia uniforme!
 
Aggiungo che se cerchiamo una soluzione per
l'ago conduttore come limite per 2 dimensioni
tendenti a zero di quella per un conduttore non
sottile, allora la soluzione _dipenderà_ dalla
figura geometrica in questione, ad es. abbiamo
visto (link citato in precedenza) che considerando
un cilindro circolare e facendone tendere a 0
il raggio, allora la distribuzione di carica
risulterebbe diversa da quella attuale dello
ellissoide rotondo...


sia uniforme!
 
Ci sono due modi di leggere quel risultato. L'articolo dice che *la
projezione* sull'asse x della densita' e' uniforme, ma dato che l'ago
ellissoidale va assottigliandosi alle estremita' -1 e 1 con legge
sqrt(1-xx), la distribuzione effettiva nell'ago non e' uniforme ma va
addensandosi verso le estremita' con legge 1/sqrt(1-xx), che --
stranamente -- nel discorso degli integrali impropri corrisponde alla
distribuzione di equilibrio, ma nel campo ~1/r.
 
Se invece e' come riporti letteralmente, mi sembra assolutamente
incompatibile con il limite del modello a grani (che, non
dimentichiamolo, e' l'oggetto della discussione). Cio' conferma la mia
impressione che -- nella presente questione -- modellizzare un ago
come uno sferoide assai prolato e' semplice... ma semplicistico, come
pure modellizzare un disco come uno sferoide assai oblato (nel thread
Forza centrifuga e gravita' di fisf, dicembre 2009 si discute di come
gli effetti gravitazionali di una "moneta" e di un sferoide
oblatissimo siano profondamente diversi).
 
Se proprio si vuole studiare un modello 3D per l'ago, IMHO molto
meglio (ma piu' complicato) andare sul cilindro con emisfere incollate
sulle basi. Ciao

 sulle basi. Ciao
 
Mah, possibilissimo, dipenderà poi da come sarà fatto
l'ago reale, se più "simile" (come si fa a dirlo, il
modo migliore sarebbe conoscere già la sua distribuzione
di carica e confrontarla con le altre 2) a uno sferoide
prolato o a un cilindro...
 
Ah, non dico niente di nuovo ma esistono poi infinite
altre figure geometriche diverse che potremmo
utilizzare per modellizzare l'ago. ;-)


l'ago reale,
 
Comunque, lasciamo stare l'ago reale e le modellizzazioni. Problema
teorico di un numero altissimo ma finito di cariche su segmento,
perfettamente 1D. Ciao

perfettamente 1D. Ciao
 
Mi accorgo di aver impostato male la questione del modello a grani,
ricercando una disposizione limite che non puo' esistere, dato
l'aspetto paradossale messo in evidenza fin dal pricipio.
 
In realta' non cerco la disposizione limite del modello a grani, ma
quella asintotica. Dire che la disposizione limite e' quella uniforme,
e' come rispondere (giustamente)
 
"infinito"
 
alla domanda
 
"com'e' N! per N-->infinito?"
 
quando in verita' chi ha posto la domanda si aspettava la risposta 
 
"sqrt(2*pi*N)*(N/e)^N"
 
Ciao


Volevi vedere se ci ricordavamo l'espressione asintotica di n! ? ;-) 
 
--
Wakinian Tanka 

 sigma = eps0 * |grad V|.
Ho finito il conto, con un risultato inaspettato (sbagliato?)
Lo trovate in
http://www.sagredo.eu/varie/ago.pdf
 
 
 
-- 
Elio Fabri

 
http://www.sagredo.eu/varie/ago.pdf
 
 
Io non ho controllato i conti (non immediati
per me, mi ci vorrebbe diverso tempo...), ma il
risultato, per quanto controintuitivo, dovrebbe
essere giusto perché coincide con quello dello
articolo che avevo citato in precedenza e
che ho potuto verificare passo per passo
(ci sono solo un paio di refusi di poco conto).


 di cariche su segmento, perfettamente 1D. Ciao
 
Ho provato a scrivere una simulazione in Mathematica,
10000 cariche puntiformi identiche sono vincolate
su un segmento (descritto come intervallo unitario
di numeri in virgola mobile), 2 cariche sono fisse
agli estremi (se all'equilibrio un estremo non fosse
occupato da una carica, spostandovi la carica più vicina
allora l'energia potenziale elettrostatica totale U
diminuirebbe), inizialmente la configurazione delle
altre cariche è casuale con distribuzione uniforme,
si itera variando ogni volta casualmente con
distribuzione uniforme la posizione di una carica
e mantenendo la configurazione che fa diminuire U,
il risultato parziale è in accordo con la previsione
che la carica si addensi agli estremi, i grafici a
istogramma danno la relazione tra posizione e
densità di carica lineare (il numero di iterazioni
indicato è il numero di volte per cui spostando una
carica allora U è diminuita):
 
https://drive.google.com/open?id=16kNu-J-5J6UP0txXESWQcFnRGZjsWChr
 
 
Mi rimangono alcuni dubbi sul problema teorico,
date n+2 cariche i=0,...,n+1 (2 fisse agli estremi,
n libere) di coordinate x_i, senza perdita di
generalità si può supporre che valga
 
0 = x_0 < x_1 <...< x_n < x_(n+1) = 1:
 
- la condizione per l'equilibrio è che la funzione
continua U delle coordinate x_1...x_n sia minima,
e _mi sembra_ che sia verificata perché il dominio
(spazio delle configurazioni) è un aperto A e
dato un valore u di U assunto in A, all'interno
di A si può riconoscere un compatto Cu al difuori
del quale U assuma valori arbitrariamente grandi
(U -> +oo quando la distanza tra 2 cariche -> 0),
in particolare maggiori di u, ma il teorema di unicità 
dell'elettrostatica per la soluzione all'equilibrio
non mi sembra direttamente applicabile perché il
potenziale elettrostatico lungo il segmento non è
uniforme (ovviamente diverge avvicinandosi a
ciascuna carica) e il segmento non si può descrivere
come un corpo conduttore macroscopico finito
all'equilibrio (anche perché le cariche sono discrete)
per il quale imponendo opportune condizioni al
contorno vale invece l'unicità, quindi non so
se la soluzione sia unica;
se si impone la condizione che all'equilibrio il
campo generato dalle cariche diverse dalla i-esima
nei punti x_i, i = 1,...,n sia nullo, si ottiene
un sistema non lineare di n equazioni in n incognite
che non so quante soluzioni possa avere.
 
- Dalla simulazione apparrebbe che la configurazione
di equilibrio fosse simmetrica rispetto al centro
del segmento, questa simmetria è plausibile ma non
capisco perché debba essere necessaria, mi sembra
che a priori potrebbero esserci anche soluzioni con
distribuzioni di carica non simmetriche rispetto
al centro, mentre certamente è vero che data una
distribuzione allora quella simmetrica rispetto
al centro avrà la stessa energia.


 capisco perché debba essere necessaria, 
 
In effetti se si dimostrasse l'unicità della
soluzione allora la simmetria ne sarebbe una
conseguenza perché data una soluzione "s" di
minimo assoluto del potenziale allora la
soluzione "s'" simmetrica rispetto al centro
ha la stessa energia, e data l'unicità dovrà
essere s = s' e quindi s sarà simmetrica
rispetto al centro.


 soluzione 
E' in dubbio l'unicità? Ma non è un problema di Dirichletcon una 
superficie all' infinito?
 
Se la domanda è impropria me ne scuso: non ho seguito con attenzione il 
thread.
 
Giorgio (P)

 non ho seguito con attenzione il thread.
 
E' il problema _teorico_ di un numero intero
di cariche puntiformi uguali vincolate su
un segmento (in senso geometrico letterale)
che si possono muovere liberamente lungo
il segmento, si cerca la configurazione
delle cariche all'equilibrio.
Mi sembra del tutto plausibile che la
soluzione sia unica, ma vorrei capire
se e come lo si possa eventualmente
dimostrare.


 (ci sono solo un paio di refusi di poco conto).
Grazie di averlo letto, comunque.
Se mi dici i refusi li correggo :-)
 
Rimarrebbe il problema più ampio (e assai più complicato) di discutere
che cosa accadrebbe con un diverso modello di ago.
Ma dubito che ce ne siano di esattamente risolubili, e tentare un
calcolo per approssimazioni la vedo dura...
 
 
--
Elio Fabri

 calcolo per approssimazioni la vedo dura...
 
Poi sarebbe anche difficile poter stabilire a priori
quale degli infiniti diversi modelli teorici potesse
meglio (in che senso?!) rappresentare il caso limite
e irrealistico del "segmento conduttore carico".


 riguarderò quando sarò più libero...
 
OK, ho riguardato e ho capito perché non riuscivo
a riottenere quelle formule :-(, tu avevi scritto
_giustamente_:
 
"Siano a, b, c, e i soliti simboli in uso
per l'ellisse",
 
cioè, ora capisco, nell'ordine semiasse maggiore,
minore, 1/2 distanza tra i fuochi, eccentricità,
e io, _avendo in mente l'ellissoide_, mi sono
convinto che tu stessi definendo i simboli
dei semiassi dell'ellissoide nell'equazione
x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 (!)
Chiaramente a questo punto non mi tornava
più nulla, non capivo le formule per i
semiassi e non potevo proseguire...
 
Comunque, corretto questo mio fraintendimento
madornale, sono riuscito a ripetere tutti i
ragionamenti e i conti che hai fatto nell'articolo
e mi sembra tutto giusto (nessun refuso ;-).
 
Magari potrebbe essere utile scrivere
esplicitamente il significato dei simboli
sopra (così nessun altro pasticcione si
confonderà ;-), e a p. 3 specificare che
r è il raggio vettore u*u^ + z*k^ (r è
un vettore, u e z scalari, u^ e k^ versori).
 
PS grazie mille per il lavoro che hai fatto :-).


capisco perché debba essere necessaria,
 
SE&O, un dimostrazione di simmetria potrebbe essere la seguente.
 
Riferiamo la posizione delle cariche:
alla n-esima (da sinistra) se sono dispari 2n-1, ossia la mediana;
al punto medio tra la n-esima e la (n+1)-esima se sono pari 2n. Sia O
questa posizione.
 
Formiamo tutte le coppie: la prima di sinistra con l'ultima a destra,
la seconda con la penultima e cosi' via, eventualmente spajando la
mediana, se ne abbiamo un numero dispari.
 
In alcune coppie la distanza da O della particella di sinistra sara'
maggiore di quella da O alla particella di destra. Chiamiamo A
l'insieme di queste coppie e B l'insieme delle altre coppie, ossia
quelle in cui la particella di sinistra dista da O non piu' di quella
di destra.
 
Prendiamo in blocco le coppie di A e trasliamole verso destra, di una
distanza sufficientemente piccola affinche' l'ordine iniziale sia
conservato. Dopo questa operazione, il potenziale e' diminuito.
Infatti:
 
- il potenziale tra le particelle di A e' invariato;
- presa una coppia qualsiasi di A (as,ad) e una di B (bs,bd) esterna
rispetto (as,ad), as si e' allontanato da bs tanto quanto ad si e'
avvicinato a bd, ma il calo di potenziale dovuto all'allontanamento
prevale rispetto all'aumento per l'avvicinamento, in quanto era
as-bs<bd-ad
 
- presa una coppia qualsiasi di A (as,ad) e una di B (bs,bd) interna
rispetto (as,ad) [oppure la particella mediana spajata al posto della
coppia di B, ne caso dispari] as si e' avvicinato a bs tanto quanto ad
si e' allontanato da bd, ma il calo di potenziale dovuto
all'allontanamento prevale rispetto all'aumento per l'avvicinamento,
in quanto era bs-as>ad-bd [oppure O-as>ad-O]
 
Se questa operazione ha fatto calare il potenziale, la configurazione
non era di equilibrio. Ergo in una configurazione di equilibrio A e'
l'insieme vuoto. Ripetendo il discorso ribaltando destra e sinistra,
ne consegue che una configurazione di equilibrio e' simmetrica. Ciao

 SE&O, un dimostrazione di simmetria potrebbe essere la seguente.
 
Ottimo e chiarissimo come sempre, grazie :-).


as-bs<bd-ad
 
Per la precisione, c'e' anche da considerare il bilancio di potenziale
delle interazioni as con bd (aumento) e ad con bs (calo). Anche qui il
calo prevale, dato che ad-bs<bd-as. Idem nel seguito. Ciao

e g(0)=1 e' g(x):=1/sqrt(1-xx)?
 
In virtu' dell'unicita' detta sopra della soluzione per un numero
arbitrariamente grande ma finito di cariche, la questione
dell'unicita' di g diventa fortunatamente irrilevante: infatti e'
intuitivamente ovvia, e pertanto difficilissima da dimostrare.
L'importante e' l'esistenza di g, modello asintotico *teorico* della
densita' di carica nell'ago.
 
Per la legge 1/r, abbiamo g(x)=1/sqrt(1-xx); piu' in generale, per
ogni a in ]0,2[ l'equazione funzionale dell'equilibrio con legge 1/r^a
 
int{dx=0..1+u} (g(u+x)-g(u-x))/x^a = int{dx=u+1..1-u} g(u+x)/x^a
(per ogni u in ]-1,0[)
 
e' risolta dalla ipergeometrica g(x)=_1F_0(1-a/2; xx).
 
In pratica, tutto va bene per a da 0 a 1; in questa situazione,
nell'estremo 0 dell'integrale{dx=0..1+u}, il limite di
(g(u+x)-g(u-x))/x^a e' nullo (o finito per a=1) sicche' g(x)
approssima molto bene la soluzione gia' per un sistema di qualche
centinajo di cariche (a eccezione delle cariche estreme, dato che g(x)
tende a +inf per x-->1).
 
Per a da 1 a 2, le cose vanno sempre peggio. Nonostante gli integrali
dell'equazione funzionale restino convergenti per ogni a<2,
nell'estremo 0 dell'integrale{dx=0..1+u}, il limite di
(g(u+x)-g(u-x))/x^a e' infinito. Cosi', benche' g(x) sia
*teoricamente* la distribuzione limite della densita' di carica, essa
approssima malissimo (in difetto) la soluzione di un sistema di un
numero grande ma non enorme di cariche, sempre peggio quanto piu' a e'
vicino al caso di interesse, ossia 2.
 
In conclusione, la questione originale della descrizione asintotica di
densita' di carica sull'ago conduttore per un numero grande ma non
enorme di cariche (qualche migliajo come nel link, per dire) resta
comunque irrisolta. Ciao

vicino al caso di interesse, ossia 2.
 
Un'idea per aggiustare la cosa potrebbe essere cercare una funzione g
dipendente da N che risolva l'equazione funzionale dell'equilibrio non
non come fa _1F_0(1-a/2; xx), per cui l'integrale e' identicamente
nullo per ogni u in ]-1,0], ma in modo da avere l'integrale
approssimativamente nullo in ]-(1-1/N), 0]. Tanto non ci sono cariche
a distanza minore di 1/N.