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Titolo: radioattività

Salve a tutti!
Su ism ho posto una domanda sul decadimento radioattivo: mi hanno risposto 
con pazienza e competenza. Ma nulla togliere a chi mi ha già aiutato, 
purtroppo io non ho ancora capito quello che ho chiesto.
La domanda è: perchè il reciproco di lambda, la costante che figura 
nell'esponenziale, rappresenta il tempo medio che deve trascorrere dal 
momento in cui prendo in mano un quasliasi nucleo ancora non decaduto, fino 
al momento in cui decade (vita media)?
La vita media, mi hanno detto comn chiarezza è:
"il tempo che un radionuclide vive in media prima
di decadere. Il suo valore si ottiene dividendo la somma dei tempi vissuti
da ciascun nuclide per il numero No di nuclidi presenti al tempo zero".
Io non trovoil nesso con lamda. So chè è davvero banale quelloc he chiedo 
questa volta, ma se me lo faceste capire, ve ne sarei grato.
Grazie a tutti. 

 al momento in cui decade (vita media)?
Perche' se calcoli il tempo medio, viene fuori che e' 1/lambda.
inegrale da 0 a infinito di x f(x) dx, ecc. ecc.

Edmond ha scritto:

Il problema è tutto matematico.
Tu sai che un nucleo radioattivo decade con legge esponenziale (partiamo 
da qua intanto).
Se vuoi calcolare il tempo medio di vita di un nucleo di una certa 
specie l'operazione che devi fare è un integrale da 0 a infinito del 
numero dei nuclei presenti all'istante t * il tempo t trascorso
(dividendo poi per il numero iniziale di nuclei).
Il risultato è 1/lambda.
A me non viene in mente un motivo più profondo del semplice calcolo 
matematico.
Uno si può anche porre una domanda a priori: perchè la legge è quella? 
Questo deriva dal fatto che noi assumiamo (e così è in natura) che la 
probabilità nell'unità di tempo che ha ciascun nucleo di decadere sia 
costante nel tempo.
Così come la probabilità di ottenere un numero preciso è sempre la 
stessa ogni volta che lancio un dado così in ogni istante la probabilità 
che un nucleo ha di decadere è sempre uguale.
Ciò implica che il numero di nuclei che decadono istante per istante sia 
proporizionale al numero di nuclei che compongono il campione in 
quell'istante. Da questa assunzione deriva la legge esponenziale dei 
decadimenti radioattivi e da essa la dimostrazione che la vita media di 
un nucleo è il reciproco di lambda.

 da ciascun nuclide per il numero No di nuclidi presenti al tempo zero".
N(T)=No Exp(-lambda T)
 e' il numero di nuclidi presenti al tempo T.
Dalla definizione che ti hanno dato si trova il reciproco di lambda?
Si', infatti sommare i tempi vissuti  e dividere per No vuol dire fare
l'integrale
int[0,infinito] dt Exp(-lambda t)=1/lambda
(int[0,infinito] dt sta per integrale tra 0 e l'infinito in dt).
Il punto e' che non si vede ad occhio la relazione tra questo lambda
con la vita media VM.
La probabilita' di non essere decaduto tra t=0 e t=T e'
P(T)=Exp(-lambda T)  (fai il rapporto tra quelli non decaduti N(T) e il
totale No iniziale), quindi per definizione di media  avrai
VM=(int[0,infinito]dT[ T Exp(-lambda T])/(int[0,infinito]dT[Exp(-lambda
T])     =(1/lambda^2)/(1/lambda)=1/lambda.
quindi l'inverso di lambda e' proprio la vita media.
Saluti.

 Perche' se calcoli il tempo medio, viene fuori che e' 1/lambda.
Sì, in effetti quello che tutti e tre mi avete chiaramente spiegato, l'ho 
capito.
Il mio problema è davvero molto più banale di quello che pensate e ve lo 
pongo in una domanda:
se lambda è 0.1 s^(-1) allora posso dire che la pèrobabilità che preso un 
radionuclide a caso esso entro un secondo decada è del 10% (di 0.1). Da 
questo come devo ragionare per concludere in media quel nuclide camperà 10 
secondi?
Grazie 

 Grazie a tutti.
Spero di essere stato chiaro. 

 lambda = (-dN/dt)/N   "
Completando con:
"Come ti ho già detto su ISM, per un insieme di atomi dello stesso isotopo
radioattivo, la frequenza media di decadimento dN nell'intervallo di tempo
dt
è proporzionale al numero N degli atomi, cioè:   dN/dt = -lambda*t
Se No è il numero di atomi all'inizio, il numero N di atomi presenti al
tempo t è:   N = No*e^(-lambda*t)
Lambda è la costante di decadimento ed è indice dell'instabilità dell'atomo;
essa rappresenta la probabilità che ha un nuclide di decadere nell'unità
di tempo.
La velocità con cui gli atomi decadono è chiamata radioattività:
A = -dN/dt = lambda*N = Ao*e^(-lambda*t)
che si può scrivere :   ln(A) = ln(Ao) - lambda*t
cioè il logaritmo dell'attività è una funzione lineare del tempo e la lambda
è il coefficiente angolare di tale retta.
Se chiamiamo tempo di dimezzamento il tempo dopo il quale l'attività si
riduce della metà, possiamo scrivere: ln(Ao/2) = ln(Ao) - lambda*T1/2
ln(2) = lambda*T1/2
T1/2 = 0,693/lambda
Secondo il tuo esempio, con lambda=0,1 s^(-1)  e quindi T1/2=6,93 s , si ha:
N/No = e^(-0,1*1) = 0,904837
e quindi dopo 1 secondo la frazione di atomi decaduta è circa il 9,52%,
mentre dopo 6,93 s ne è rimasta il 50%; quindi, 6,93*2 sarebbe la vita media
se il decadimento fosse lineare; essendo il fenomeno esponenziale, il tempo
medio è un po' minore.
Per avere un'idea approssimativa (per eccesso) del valore della vita media,
puoi esaminare la curva di decadimento, segmentarla e fare la sommatoria
delle aree dei trapezi sottostanti:
Es., supponendo T1/2=1 s , avresti:
Vita_media = circa 0,75*1 + 0,375*1 + 0,1875*1 + .... = circa 1,5 s
In realtà, in questo caso, la vita media è:
1/lambda = T1/2/ln(2) = 1,4427 T1/2
Comunque, per capire che la vita media è il reciproco della probabilità di
decadere, si possono prendere in esame altri eventi aleatori; ad es., è
intuitivo che la vita media (meglio, il ciclo medio) dell'uscita di un
numero nei lanci di un dado sia di 6 lanci, che il ritardo medio di un
numero al lotto sia di 18 estrazioni, ecc..; infatti, anche in questi casi
è esattamente l'inverso della probabilità di verificarsi dopo un singolo
lancio o estrazione."

 secondi?
Come ti ho già detto su ISM, per un insieme di atomi dello stesso isotopo






Mi auguro non ci siano più dubbi.
Nino
della probabilità 

 Grazie
Come ti ho già detto su ISM, per un insieme di atomi dello stesso isotopo
