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Titolo: Misure e principio di indeterminazione

 
 
 
Lo spettro di un operatore ci dice quali siano i valori possibili per la misura associata ad esso, per cui se la psi prevede che lo spettro sia compreso in certo delta, allora i valori delle misure varieranno in quel delta. Nota: se la precisione delle misure è migliore dello spettro previsto, allora si può verificare che la varianza nel valore di misure eseguite è uguale allo spettro e se non fosse così la MQ sarebbe sbagliata, se la precisione delle misure è peggiore dello spettro sono misure da buttare. 
 
Lo spettro di una psi può essere diverso nel tempo e nello spazio, nel senso che la psi ha la sua evoluzione e se lo calcoliamo per un certo istante o per una certa posizione questo può essere diverso per un istante o una posizione diversa.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se prendiamo una particella che passa per un foro, prima del foro e dopo il foro la psi può fornire spetti per la posizione e per il momento diversi, e non abbiamo fatto ancora nessuna misura. Una misura, o una serie di misure fatta su particelle che supponiamo abbiano la stessa psi inziale e la stessa evoluzione serve a verificare che i valori di misura predetti dalla psi tramite gli operatori sono corretti. Il principio di indeterminazione centra poco con le misure. Esso dice semplicemente che non può esistere uno stato psi valido (che sia soluzione dell’equazione di Schrodinger) tale per cui che il prodotto dello spettro di 2 operatori incompatibili sia ≤ h_tagliato\2, o viceversa, per qualunque psi che possiamo avere si ha sempre che lo spettro è ≥ h_tagliato\2. Quindi per una particella che passa per il foro la psi ci dice che prima del foro lo spettro della posizione è delta_x_prima e che lo spetto per il momento è delta_p_prima e dopo il passaggio per il foro ci dice che delta_x_dopo ≠ delta_x_prima e delta_p_dopo ≠ delta_p_prima, ma sia per prima che per dopo si ha che delta_x_prima*delta_p_prima ≥ h_tagliato\2 e delta_x_dopo*delta_p_dopo ≥ h_tagliato\2 e questo indipendentemente dal fatto che si siano eseguite o meno delle misure, ossia che un sistema esterno abbia interagito con la particella. Se in un esperimento si riuscisse a violare il principio di indeterminazione, questo non vorrebbe dire solo che esso non è valido, ma che non è valida l’intera teoria della MQ: gli operatori non forniscono lo spettro di una misura.
 
 
 
Poi che una misura (un sistema esterno che interagisca con la particella) modifichi lo stato (psi_dopo_misura ≠ psi_prima_della_misura) è un’altra storia. Sul fatto che psi_dopo_misura possa essere anche uguale a psi_prima_della_misura (nel caso in cui psi sia un autostato dell’operatore associato alla misura) è un po’ una storia controversa: ad esempio Landau dice che non è possibile, ma, ripeto, questa è un’altra storia.
Comunque, anche in questo caso deve essere che delta_x*delta_p ≥ h_tagliato\2 sia per la psi_prima_della_misura  che per la  psi_dopo_misura.
Questo è quello che, da fisico hobbista, ho capito e mi piacerebbe molto avere il vostro parere.

 il prodotto dello spettro di 2 operatori incompatibili
e qui ci sono due strafalcioni, di cui uno gravissimo e l'altro grave
in modo diverso.
Cominciamo dal secondo.
In generale si parla di "osservabili incompatibili" quando non è
possibile una misura simultanea delle due osservabili.
Ma questo attiene all'interpretazione fisica.
Si dimostra che gli operatori associati a oss. incomp. *non
commutano* (e viceversa).
Una proprietà *metmatica* legata alla non commutatività è che i due
operatori non hanno una base di autovettori comune (per coprire il
caso di autovalori continui dovrei usare un linguaggio diverso, ma
preferisco non farlo per non aggiungere confusione a confusione.
 
Ora l'enunciato tradizionale della RdI (che non è come l'hai scritto,
ma non voglio anticipare l'errore gravissimo) non vale così in
generale: vale solo per operatori /coniugati canonicamente/, ossia
tali che il loro commutatore sia i*hbar.
(E qui bisognerebbe precisare, per fare la matematica pulita, ma
sorvoliamo).
Per il caso generale di operatori che non commutano, la RdI assume una
forma un po' più complicata, detta "relazione di
Robertson-Schroedinger".
 
L'errore gravissimo è che tu parli di spettro, che per un operatore
autoggiunto è perfettamente definito (grossolanamente è l'insieme
degli autovalori) mentre avresti dovuto parlare di /scarto quadratico
medio/.
E' il prodotto degli s.q.m. di due operatori coniugati, che è limitato
inferiormente dalla RdI.
 
Il punto centrale è quello che ho già detto e che ripeto: lo s.q.m. di
un operatore su una certa psi è un concetto strettamente metematico.
Il suo quadrato è un certo integrale che non sto a scrivere.
Il teorema ti dice che il prodotto dei due integrali non può essere
inferiore a (hbar/2)^2. Nient'altro.
 
Poi, una volta che ti è stata insegnata l'interpretazione fisica (psi
= stato, op.autoagg. = osservabile, <psi|A|psi> = valor medio di A in
una serie di misure ripetute dell'oss. A sullo stato psi) e solo
allora, lo s.q.m. definito matematicamente diventa s.q.m. in senso
statistico dei risultati di una serie di misure di A sullo stato psi.
Solo allora puoi dire che la RdI esprime una limitazione intrinseca,
propria della m.q., sui risultati delle misure (non simultanee, nota
bene: fatte su copie diverse del sistema) di due osservabili
incompatibili su uno stesso stato, qualunque esso sia.
 
Vorrei aggiungere altro, ma per stasera il tempo è scaduto :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 in stato nascente...
 
A distanza di quasi un secolo da H., e alla luce di quanto venuto dopo, 
separarei due problemi diversi ma collegati. Uno e' quello della 
varianza delle distribuzioni statistiche delle misure di osservabili non 
commutanti per cui valgono le RdI e che e' un teorema.
 
L' altro e' quello di cosa si puo' dire sulle singole misure eseguite su 
un singolo sistema.
H. mescolo' le due questioni e ce ne portiamo le conseguenze in molta 
didattica sul *principio* di indeterminazione, inclusi i dubbi sullo 
"status" della relazione tempo/energia.
 
Per quanto non possa dire di avere le idee chiare sulla questione, c'e' 
un evidente connessione tra PdI e RdI dovuta alla comune radice nella 
non commutazione tra operatori rappresentanti alcune osservabili. E' 
infatti incompatibile con l' assiomatica corrente della MQ la 
possibilita' che in una singola misura possano essere misurate quantita' 
corrispondenti a operatori non commutanti. E qui direi che le 
considerazioni di H. sulle perturbazioni introdotte dal processo di 
misura mantengono la loro validita'. Diverso e' il ricavare la 
quantificazione sulle incertezze per la singola misura.
 
 
Giorgio

 Elio Fabri
 
Grazie mille per la risposta e per la precisa lezione di fisica e ... di italiano!
 
 
 
E' importante riuscire a scrivere i propri pensieri (che in realtà non sono neanche miei pensieri, ma sono cose che ho studiato!) in modo corretto, perché se non riesco fare ciò, vuol dire che ho capito poco. Come quando studiavo: potevo dire fin che volevo che avevo capito, ma se non riuscivo a risolvere gli esercizi, questo era un indice molto significativo del fatto che dovevo ristudiare! Ora non devo fare esercizi (anche se non mi farebbero male!), ma almeno scrivere correttamente si. Grazie di nuovo.
Maurizio