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Titolo: Gruppo di Galilei

Un altro aiutone vi chiedo.
Si parla della rappresentazione del gruppo di Galilei con gli
operatori di rototraslazione, traslazione temporale e boost
galileiani. Se g è un elemento del gruppo di Galilei determinato dalla
rotazione R, traslazione spaziale a, velocità v e traslazione
temporale £ ( non uso la lettera tau o non leggete nulla... ) sono
arrivato a capire che U(g1)U(g2) composti non danno U(g1,g2) ma c'è in
mezzo il solito fattore di fase w(g1,g2) che nel caso del gruppo di
Galilei pare ineliminabile perchè viene a dipendere dalla M del
sistema. Sin qui ci sono ( anche se magari l'ho scritto in modo
brutale ). Ora il libro dice che la struttura proiettiva sarebbe
eliminabile se M = 0 ma ciò non è possibile. E a me quest starebbe
benissimo e sarei contento. Ma aggiunge : per conincersene basta
esaminare le relazioni di commutazione fra i vari genratori delle
traslazioni. wow !! Se prima ero convinto ora sono nel buio. Elenca
queste nove relazioni : ( G = tP - MX è il generatore dei boost
galileiani )
a) [Pa,Pb] = 0
b) [Ga,Gb] = 0
c) [Pa,Gb] = i M delta ( a,b )
d)[H,Pa]= 0
e) [H, Ja ] = 0
f ) [ Ja , Pb ] = i Ricci ( a,b,c) Pc
g ) [ Ja , Gb ] = i Ricci ( a,b,c) Gc
h) [ Ja , Jb ] = i Ricci ( a,b,c) Jc
i) [ H, Ga ] = i Pa
dove Ricci () sta per il solito simbolo epsilon ... insomma avete
capito...
Prima frase sibillina : L'unica relazione di commutazione con
estensione centrale è la relazione c) tra i generatori dei boost e
delle traslazioni spaziali, i quali commutano al livello dell'algebra
di Lie astratta.
wow !!
Intanto dico che l'idea che ho dei gruppi e dell'algebra di Lie è
piuttosto vaga. 
Pensando di volerlo spiegare in soldoni direi così :
 Un gruppo è di Lie quando è continuo ed esaminando gli elementi
vicino all'elemento unità ( o identità ) troviamo che questi fatti :
si prendono in considerazione le funzioni analitiche e si sottopongono
a una trasformazione 
infinitesimale.ne
 descriviamo il cambiamento con
degli operatori Xk che costituiscono l'algebra di Lie. SE questi
operatori formano uno spazio linere, per ogni loro copia è definito il
loro commutatore ed appartiene all'algebra ed è soddisfatta l'identità
di jacobi, ALLORA il gruppo è di Lie.
Ci si accorge che non ho mai fatto teoria dei gruppi lo so... e non
sono tenuto a saperla a questo livello ... ma parlare solo di gruppi
di Lie senza sapere cosa sono non mi pare giusto. Vorrei capirli
appena. Mi aiutate ? .... 
Ma non ho finito ! Ricordate la frase sibillina ? Ebbene P e G hanno
come commutatore qualcosa diverso da zero ma mi si viene a dire che
essi commutano a livello dell'algebra di Lie.... non capisco...
Lasciamo perdere il discorso in mezzo a questa pagina infernale che
davvero mi ci vorrebbero 20 NG per spiegarmelo... ma dopo conti
asdrusi si asserisce : abbiamo verificato che ogni rappresentazione
del gruppo di Galilei è riconducibile ad una forma i cui generatori
soddisfano alle relazioni a-i ) che vi ho riportato sopra. 
Accetto la dimostrazione per fatta e spero non me la chiedano ma ...
avreste delle specie di illuminazioni da darmi per farmi capire
l'importanza dell'avere elencato queste relazioni ? Io speravo di
poter  saltare questa parte e preoccuparmi della regola si
Superselezione di bargmann enunciata dopo che mi pare di avere capito
nella sua essenza. Ma appunto desidererei essere illuminato su questo
fatto di " M come costante caratteristica dell'estensione centrale " .
Credo non mi sia chiaro il termine "estensione centrale" ... 
Grazie di cuore... ogni punto sopra il 20 ve lo dedichero' ...
Wen(t) U

 eliminabile se M = 0 ma ciò non è possibile. 
E' vero, infatti la massa compare a fattore della fase (scusa quel'e'
"il libro, tanto per saperlo?). 

Sono arrivato in fondo. Quello che chiedi e' un corso di teoria dei
gruppi di
Lie e coomologia dei gruppi di Lie! E' impossibile fare tutto cio' qui.
Posso solo dirti poche cose, spero di aiutarti.
1) I gruppi di trasformazioni della fisica sono quasi tutti gruppi di
Lie.
I gruppi di Lie sono gruppi con struttura di varieta' differenziabile
compatibile
con la struttura di gruppo (cioe' di fatto, gli elementi del gruppo sono
definiti assegnandone coordinate con continuita' e le operazioni di
gruppo sono funzioni 
differenziabili tra queste coordinate). I gruppi di Lie hanno una
sottostruttura detta
*algebra di Lie* che vive nello spazio tangente all'elemento unita'
Lo spazio tangente e' quello che ti immagini: e' fatto dai vettori
tangenti
alla varieta' gruppo di lie spiccati dall'elemento unita' del gruppo.
Questa struttura (algebra di Lie) e' uno spazio vettoriale dotato di un
*prodotto 
esterno* che manda coppie di vettori in vettori. Il prodotto e'
bilineare,
antisimmetrico e soddisfa l'identita' di Jacobi. E' possibile provare
che
*due gruppi di Lie con la stessa algebra di Lie (nel senso di algebre
di Lie *isomorfe*) sono isomorfi nell'intorno dell' unita'*
* e sono isomorfi globalmente se si tratta di gruppi semplicemente
connessi.*
(L'algebra di Lie determina quello che si chiama rivestimento universale
del gruppo,
per esempio quello di SO(3) e' SU(2)...)
In soldono dall'algebra di Lie riesci a ricostruire il gruppo almeno in
parte intorno
all'elemento neutro o unita'.
2) Facendo della meccanica quantistica ci si aspetta che i gruppi di
trasformazione
che agiscono nello spazio "fisico" siano *rappresentati* da operatori
unitari (o antiunitari).
Rappresentare un gruppo g in termini di funzioni F  da  S in  S,
significa dare
una funzione (detta rappresentazione)  R: g -> Fg in modo tale che sia
conservata la struttura 
di gruppo: ossia, se e e' l'identita' di G,
e  -> identita' S
g ° h -> Fg ° Fh
Questo in realta' e' impossibile in generale (non e' possibile
rappresentare G in termini di operatori unitari agenti sullo spazio dei
vettori di stato in generale),  perche' gli stati non sono in realta' 
vettori in uno spazio di Hilbert H, ma *classi di equivalenza vettori*
di uno spazio di Hilbert  H che differiscono per un fattore non nullo:
il vero spazio degli stati e' quello che si ottiene quozientando lo
spazio di Hilbert rispetto alla relazione di equivalenza che identifica
vettori proporzionali (con fattore di proporz. non nullo).Quello che
viene fuori e' detto *spazio proiettivo* e si vede che e' anche dotato
di una *distanza* che misura la probabilita' di transizione tra due
stati.
Quindi ci si aspetta che 
*le rappresentazioni di un  gruppo di operazioni G dello spazio fisico
siano in realta' date in termini
di operatori che conservano la struttura di spazio proiettivo e che
conservino la distanza in esso*
C'e' un teorema dovuto a Wigner che prova che i *singoli elementi*
del gruppo G sono rappresentabili in termini di operatori unitari (o
antiunitari) sullo
spoazio di Hilbert H. 
Allora si potrebbe pensare di lavorare in H anche per quanto riguarda la
teoria dei gruppi di 
trasformazioni, invece di passare allo scomodo spazio proiettivo, come
detto sopra questo in generale e' falso e ti dico tra poco il perche'. 
Prima devo dire che,
in ogni caso SE una rappresentazione davvero unitaria del gruppo G e'
possibile su H, l'algebra di 
Lie di G deve essere isomorfa all'algebra di Lie ottenuta dai generatori
del gruppo unitario
associato e usando come prodotto esterno il commutatore. Per esempio nel
caso del gruppo 
SO(3), l'algebra di Lie associata e' isomorfa a quella ottenuta dai tre
operatori di momento
angolare rispetto al commutatore. (In realta' ci sono problemi di domini
su cui non mi
soffermo).
Torniamo alla questione generale. 
Se g e g' sono elementi del gruppo di trasformazioni G che ti interessa
rappresentare
quantisticamente, e Ug e Ug' sono gli operatori unitari (sono sempre
unitari se il gruppo e' di Lie
connesso) che rappresentano g e g' su H che esistono per il teorema di
Wigner, puo' accadere che quando 
g ° g' = g'' si ha, invece di Ug Ug' = Ugg' come dovrebbe essere in una
vera rappresentazione gruppale,
Ug Ug' = exp{if(g,g')} Ug
Ug'                                                                    
(1)
la differenza da una vera rappresentazione unitaria e' nella fase
exp{if(g,g')}. Nota che
questa  *scompare* quozientando rispetto alla relazione di equivalenza
di cui sopra, in maniera 
tale che nello spazio proiettivo si abbia davvero una rappresentazione
gruppale. Le fasi f sono funzioni
note da G X G in G ( si studiano introducendo il concetto di coomologia
dei gruppi di Lie).
Se non appaiono fasi del tipo detto (e questo succede per il gruppo di
Poincare') il gruppo di
trasformazioni e' davvero rappresentabile tramite un gruppo di operatori
unitari. Altrimenti bisogna
tenersi le fasi. 
3) Si puo' vedere che in realta' anche nel caso disperato che compaiano
fasi
e' possibile ancora lavorare nello spazio H con vere rappresentazioni di
gruppi date in termini di operatori unitari. Il trucco e' di NON cercare
di rappresentare il gruppo G, ma di rappresentare un gruppo piu'
complicato che viene detto una "estensione centrale" (tramite U(1)). Si
tratta di un gruppo costruito sul prodotto  cartesiano U(1) X G   ( nota
che U(1) e' il gruppo delle fasi!). Gli elementi sono coppie (exp{ia},
g), gli elementi del tipo (exp{ia}, e) dove e e' l'elmento neutro di G
commutano con tutti gli altri (e per questo appartengono al "centro del
gruppo" U(1)X G) e il prodotto del gruppo U(1) X G e' costruito proprio
in maniera tale che valga
U[(1,g) ° (1,g')] = U (exp{if(g,g')}, g ° g') = exp{if(g,g')} U(1,g)
U(1,g')                        (2)
La proprieta' di appartenere al "centro" di cui sopra, serve a tirare
fuori l'ultima fase (non entro
in dettagli).
Come vedi, se pensiamo (1,g) come g, la (2) altro non e' che la (1)!
Quindi con il trucchetto di
"estendere centralmente" G "secondo U(1)" abbiamo fatto diventare la
rappresentazione NON unitaria
di G di cui in (1), una rappresentazione UNITARIA di un gruppo suo
parente definito su G X U(1)
e possiamo continuare a lavorare in H invece che nello spazio quoziente.
Ovviamente G X U(1) NON avra' piu' la stessa algebra di Lie di G e
questo verra' subito fuori quando andiamo a considerare i commutatori
tra i generatori quantistici  della rappresentazione unitaria.
Nel caso in esame, la vera algebra di Lie del gruppo di Galilei avrebbe
0 a secondo membro in (c)
nelle tue formule. Proprio per questo motivo la (c) ci dice che in
realta' la rappresentazione
che si ottiene prendendo i prodotti degli esponenziali dei generatori
quentistici che compaiono nelle
tue relazioni di commutazione NON e' una rappresentazione unitaria del
gruppo di Galilei, ma e' una
rappresentazione unitaria di una sua estensione centrale dipendente
dalla massa della prticella!
Spero di esserti stato di aiuto, ciao, Valter

 (sono sempre unitari se il gruppo e' di Lie connesso) 
Scusa, Valter, ma non e' che volevi dire compatto invece di connesso ?  Se
non mi sbaglio i gruppi compatti hanno rappresentazioni sempre equivalenti
a rappresentazioni unitarie; invece (ad occhio) non mi sembra possibile
che un gruppo di Lie possa essere non connesso ... (magari
molteplicemente, ma mi sembra connesso). Se mi sbaglio, please, correggimi
(entra pure nei dettagli se vuoi :)).
   grazie per lattenzione
                      bye     mr


Ciao, dipende dalla definizione che dai di gruppo di Lie. Per esempio,
O(3) e' un gruppo di Lie per te? Se lo e' non e' connesso, ma ha 
due componenti connesse, una e' SO(3) e l'altra e' P(SO(3)) dove
P e' la matrice 3X3  -I (inversione di parita'). Se il gruppo e' 
connesso allora e' connesso per archi e preso un elemento del
gruppo g lo posso sempre connettere attraverso un arco con l'elemento
identita'. Quando rappresento unitariamente il gruppo, sicuramente
l'identita' e diventera' l'identita' I agente sullo spazio di Hilbert
che e' per sua natura *unitaria*. Per ragioni di continuita' lungo
il cammino di cui sopra (che esiste perche' il gruppo e' connesso),
se g e' rappresentabile unitariamente, Ug  sara' anch'esso unitario!
Pero' se g non appartiene alla stessa componente connessa dell'
identita', non e' affatto detto che Ug, se esiste, sia unitaria.
Se prendi il gruppo di Lorentz (tutto, non solo quello ortocrono
proprio), questo ha 4 componenti connesse legate
all'azione delle due matrici 4 X 4 P e T (inversione di parita' e
inversione del tempo definite nel solito modo).
La componente connessa che contiene l'identita' (l'unica che e'
sottogruppo) e' rappresentabile con operatori unitari, mentre le due che
contengono l'inversione temporale (T e TP) non lo sono, infatti la
rappresentazione di T e antiunitaria come sai bene.
Puo' darsi che la compattezza serva come ipotesi tecnica in qualche
versione del teorema che ho tracciato sopra, ma sicuramente la
proprieta' di essere connesso e piu' importante.
Inoltre la compattezza non e' sicuramente necessaria in quanto per 
esempio il gruppo ortocrono proprio di Lorentz e' *non compatto* ed e'
rappresentabile unitariamente.
Ciao, valter

Ciao, ho controllato un po' sui miei appunti di quando studiavo queste
belle cose. 
Il teorema, nella sua forma piu' forte  e' diretta conseguenza del
seguente notevole lemma che evita anche di usare gli archi:
"sia G gruppo topologico (cioe' uno spazio topologico con struttura di
gruppo in cui le operazioni di moltiplicazione e inverso siano continue)
CONNESSO, allora, per ogni intorno E dell' identita', per ogni elemento
g di G, esiste un insieme di elementi g1,g2,...,gN in E
tale che 
g = g1 ° g2 ° .... ° gN                                            "
(Lascio la dimostrazione per esercizio :-) )
Considera ora che se G e' piu' fortemente un gruppo di Lie, allora c'e'
un intorno J dell' identita' in cui ogni elemento e' l'immagine di un
gruppo locale ad un parametro per qualche valore del parametro. 
In tale intorno ogni elemento e' *il quadrato* di un altro elemento, 
infatti, se g e' in J allora g = h(t) per qualche t in R e per qualche
gruppo ad un parametro t |-> h(t), quindi g = h(t/2) ° h(t/2).
Allora abbiamo subito la prova del nostro teorema: 
"Sia G gruppo di Lie che ammette una rappresentazione tramite
 operatori unitari o antiunitari. Se G e' connesso allora la 
 rappresentazione e' necessariamente data da operatori unitari."
                               Prova.
Prendimo nel lemma di sopra E = J.
Sia quindi g in G arbitrario, esso sara' dato dal prodotto
g = h1^2  °  h2^2 ° .... ° hN^2
se ammettiamo che il gruppo G sia rappresentabile tramite operatori
unitari o antiunitari si ha che per ogni g in G esiste l'operatore 
unitario o antiunitario Ug e che, per definizione di rappresentazione, 
Ug = U(h1^2)  U(h2^2) .... U(hN^2)  =
   = U(h1)U(h1) U(h2)U(h2) ... U(hN)U(hN)
Dato che *il quadrato di un operatore antiunitario e' comunque
unitario*, Ug e' unitario.   QED
Nota che non ho usato nessuna ipotesi di continuita' della
rappresentazione mentre la connessione e' stata fondamentale.
(La compattezza e' assunta solo localmente nella definizione di
gruppo di Lie essendo, come varieta'differenziabile, localmente
omeomorfo ad un R^n).
Ciao, Valter

  rappresentazione e' necessariamente data da operatori unitari."
Adesso ho capito che cosa intendevi !
Mi era sfuggito che avevi richiesto in precedenza che il gruppo avesse
rappresentazioni unitarie o antiunitarie. Quindi la tua frase significava
che se il gruppo e' connesso la rappr. sara' unitaria.
Quello che dicevo io e' invece che le rappresentazioni di un gruppo
compatto (questa e' la proposizione che poi sono andato a ricontrollare)
sono sempre equivalenti a rappresentazioni unitarie. Credo che la
dimostrazione la si trova tranquillamente sul libro di Wigner (non mi
ricordo il titolo, non avendolo a disposizione: quando lo trovo poi ti
faccio sapere) sulle rappresentazioni dei gruppi.
Riguardo alla questione della connessione (o connessita' ? boh ...) del
gruppo, effettivamente ammetto di avere prima scritto e poi pensato,
perche' dopo mi sono reso conto che i gruppi di Lie non sono soltanto la
loro parte connessa e 1 ... colpa del toerema di Noether (no, scherzo, la
colpa e' mia, che mi sto lentamente rimbambendo ! ). 
A proposito del teorema di Wigner, me ne potresti dare lo statement
corretto ? Non mi fido molto delle *fonti* che ho a disposizione.
Comunque ti ringrazio per la tua precisione: mi hai dato ottimo spunto per
la riflessione ;).


 corretto ? Non mi fido molto delle *fonti* che ho a disposizione.
Ecco qui la versione che conosco io.
Ti ricordo che se H e' uno spazio di Hilbert complesso, lo spazio dei
raggi e' l'insieme classi di equivalenza ottenute quozientando H
rispetto alla relazione di equivalenza |f> ~ |g> sse |f> = a |g> con a
diverso da 0, escludendo la classe di equivalenza che contiene il solo
vettore nullo. Ulteriormente, nel seguito, se |f> e' un vettore 
non nullo di H, indichero' con [|f>] il raggio che lo contiene.
Il teorema di Wigner dice che: 
"sia F una funzione biunivoca tra raggi di uno spazio di Hilbert 
complesso separabile H tale che, per ogni coppia S,S' di raggi, valga
|<f(S)|f(S')>|  =  |<f(F(S))|f(F(S'))>|
dove, se T e' un raggio, |f(T)> e' un qualsiasi vettore normalizzato 
a 1 appartenente a T; allora esiste un operatore unitario oppure
antiunitario  U : H ->H tale che, per ogni |f> non nullo di H
si abbia:
[F( [|f>]  )] = [U |f> ]                                         "
Ciao, Valter

 Ciao, Valter


se e' per un esame di Istituzioni di Fisica Teorica.
Si chiama masochisimo in questo caso. Non posso dire sia colpa del
prof.
Cmq il libro da cui ho studiato queste cose č "Istituzioni di Fisica
Teorica ", Onofri, Destri ; NIS
Molto complicato specie all'inizio ma si sente che č piu' serio
rispetto al Caldirola . 
COn che coraggio do consigli io che sono stato bocciato ? Beh vi do le
mie impressioni e poi pensate se prenderle per oro colato o ciarpame. 
Io ho preferito il Sakurai e il Caldirola.. con questa ombra pesante
che l'Onofri fosse perň piů preciso e profondo.
Ancora un enorme grazie a V.Moretti
ciao
Wentu

Ciao, mi dispiace moltissimo per l'esame andato male,....
 sono cose che capitano, ti rifarai la prossima volta, stanne certo.
 (Quando io diedi l'esame di istituzioni di fisica teorica
 ebbi qualche problema perche' sapevo tutto sui lemmi di Kato,
 sui domini di autoaggiunzione degli operatori e le loro estensioni 
 autoaggiunte, ma non conoscevo bene i valori delle masse delle 
 particelle...comunque me la cavai).
 Vabbe' hai imparato un sacco di cose belle (come il teorema
 si supreselezione di Bargmann) forse non troppo utili
 ai fini della MQ, ma ti sarai divertito comunque. Non te la prendere.
 Non conosco quel libro che citi (anche se conosco Onofri). Tra i testi 
 italiani ho sempre considerato il massimo il
Caldirola-Cirelli-Prosperi  
 che tra parentesi Cirelli mi ha raccontato che dovrebbe chiamarsi  
 solo (ordine alfabetico) Cirelli-Prosperi.
 Ciao, Valter

 particelle...comunque me la cavai).
Appunto... QED :-))
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
-------------------
Per rispondere, togliere le q dall'indirizzo
To reply, delete all q's from e-mail address

Ma credo che questo sia l'ultimo pensiero di certi colleghi :-((
Come ho già detto in un altro post, il prof non ha mai spiegato la
maggioranza di queste cose e NON le chiede all'esame. MA all'esame si
deve portare un argomento a scelta e io di solito amo portare qualcosa
che mi interessa o che mi stuzzica...insomma che ho voglia di studiare
sino in fondo ricordando bene e soprattutto capendo bene. Di questo
argomento potevo parlare a pappagallo ma senza capirci nulla e non mi
andava proprio per nulla. Per questo ho chiesto spiegazioni
 Altri argomenti forse , appartenenti al programma, avrebbero potuto
andare... pero' quando uno inizia ad appassionarsi a una cosa, non è
vero che dopo è difficile staccarcisi ? Ecco.. ammetto oltretutto che
di solito la parte matematica non mi piace granchè ma stavolta mi ero
trovato davvero molto interessato.
Il prof. mi  ha poi detto che sarebbe meglio sapere le cose fatte
piuttosto che sapere quelle non fatte.
LO SO !!! 
ma quando ci si ritrova in certi vortici... insomma credo sia uno dei
miei pochi lati davvero da "fisico", cioè la curiosità che quando
inizia è difficile farla sparire, a costo di perdere voti in un esame.
Spero la prossima volta vada meglio.
So anche che il prof. ha pensato cose tipo " ecco questo vuole fare il
ganzo a portare ste cose e poi... "... uff !! le altre cose del
programma non mi va di saperle come vogliono loro e quindi essendo *a
scelta* ho preso un argomento che mi piaceva. Vorrei anche io la vita
più semplice ma credo che "teoria dell'addizione di numeri interi a
due cifre " fosse troppo poco !  :))
Insomma ritengo perfettamente giusto essere stato bocciato. Il
problema è solo mio che non ho più voglia di studiare CERTE cose in
CERTO modo. Per farmi piacere lo studio devo trovare cose che mi
piacciono... ci ho provato ed è andato male perchè mi sono fissato
solo su quelle cose.
Ecco  parliamo del fatto che a me non servirà MAI trattare le
armoniche sferiche nella loro forma esplicità, nè sapere tutte quelle
belle costanti di normalizzazione. Prima che l'esame la interrompesse,
la mia tesi procedeva senza fare il minimo uso di certa matematica
davvero... ehm...tecnica. Insomma pare che in questo esame ( studio a
Parma, proff. Onofri e Alabiso ) non sia richiesto di sapere TUTTI i
conti... pero' poi salta fuori che sarebbe molto meglio. E a me non
riesce. Il mio problema è la scarsa abilità a far di conto una volta
alla lavagna... infatti spero di passare prima o poi questo esame...
gli altri non mi assilleranno così tanto.
odio le BUCHE !!!!! ...mi mancano le sospensioni :))
ciao
Wentu

Ma credo che questo sia l'ultimo pensiero di certi colleghi :-((
In realtà del Caldirola resta ben poco anche al teorico...  Mon dieu, quando
ho visto che dimostrava che il laplaciano è un operatore autoaggiunto usando
il sottospazio delle funzioni test !
Il teorico non è mica un pedante ! Non ha bisogno della formulazione
matematica  più astratta possibile sempre e comunque ! anzi, bisogna stare
attenti a non infognarsi : si usa sì matematica complicata, ma bisogna
saperla usare, smanettarla...
Cmq il caldirola fa parte del rito ambrosiano della MQ, che vale solo a
Milano. Solo a Milano si crede che sei un fisico se sai introdurre le
distribuzioni come funzionali lineari sullo spazio delle funzioni test
compattificato, e te ne puoi fregare se non sai fare la trasformata di
fourier di 1/x !!! ( anzi, non è escluso che qualche studente ti dica che
1/x non è trasformabile pouichè non appartiene allo spazio funzionale delle
funzioni a quadrato lebesgue - integrabile, neppure in senso generalizzato.
Io ho usato il Landau " meccanica quantistica non relativistica" ( l' ho
aperto, ne ho preso un esercizio a caso di teoria perturbativa, mi sono
accorto che non riuscivo neppure a leggerlo, ed ho pensato che era il caso
di passare a quello come testo) , Il classico di Dirac " The principles of
QM" ( prezioso a mio vedere, per fondare bene i principi), ed altro. Non ho
la più pallida idea se servano a passare l' esame, ma non credo: nonostante
il lavoro io ho preso 29. Cmq il destri mi pare molto ma molto meglio

 di passare a quello come testo) , 
Quello e' un bel libro, ci ho studiato sopra anche io, come sul Dirac,
come sul Sakurai, come su tanti altri (compreso il Prugovecki che forse
non conosci), ma tante cose le ho capite bene sul Caldirola.
Ciao, Valter  Moretti

chi non faccia il teorico (e piuttosto sofisticato, anche...)
Vero, forse, ma personalmente non mi e' pesato ( e infatti sono un
teorico).
Joe
-- 
"The Emacs editor is horrible, for example. 
While Linux is larger than Emacs, at least
 Linux has the excuse that it needs to be."
Linus Torvalds
Per rispondermi togli la b di troppo.
ICQ #50163220


     Key fingerprint = 0058 45AE B7D3 D603 7D0E  D9B8 26E6 01E0 0912 0D83
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