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Titolo: Svuotamento di serbatoi

Un serbatoio cilindrico pieno di acqua ha raggio R e altezza H, sul fondo
del recipiente c'è un tubicino che sbocca all'atmosfera. Trascurando ogni
fenomeno resistivo, in quanto tempo si svuota il serbatoio?
Quello cilindrico :
 
dV=pi*R^2dy = s*radq(2*g*y)dt - con s = sezione del tubicino
l'eq è a variabili separabili e si risolve piuttosto facilmente.
 
 
In quanto tempo si svuota invece un serbatoio conico con la punta verso il
basso, di stessa altezza e di pari volume?
 
In quanto tempo si svuota il cono di cui sopra ma con la punta verso l'alto?
In questi due casi Y=Y(x)
 
La difficoltà la trovo nel risolvere l'integrale in questi due ultimi casi
 
Grazie per i contributi di pensiero.
 
Enrico da Pisa

Enrico B ha scritto:

Beh, in realta' quegli integrali si calcolano praticamente a vista ;-).
 
Uso la soluzione pubblicata in passato su questo ng
(li' v. anche le ipotesi implicite del problema):
 
https://groups.google.com/forum/?hl=it#!topic/it.scienza.fisica/dYcJBsPvmFM
 
 
se s e' l'area del foro di uscita e A(h) la sezione trasversa del
serbatoio all'altezza h, la durata di tempo dello svuotamento e':
 
T = 1 / [s sqrt(2g)] * int_{0}^{H}A(h) / sqrt(h) dh.
 
Calcolo T per le varie geometrie, per ipotesi deve valere
int_{0}^{H}A(h) dh = Pi * R^2 * H,
pongo k = Pi * R^2 / [s sqrt(2g)].
 
 
- CILINDRO CIRCOLARE
A(h) = Pi * R^2
T = k * int_{0}^{H}1 / sqrt(h) dh = 2k * sqrt(H)
 
- CONO CON VERTICE IN ALTO
A(h) = 3Pi * R^2 * (1 - h/H)^2
T = 3k * int_{0}^{H}(1 - h/H)^2 / sqrt(h) dh = 48/15 k * sqrt(H)
 
- CONO CON VERTICE IN BASSO
A(h) = 3Pi * R^2 * (h/H)^2
T = 3k * int_{0}^{H}(h/H)^2 / sqrt(h) dh = 6/5 k * sqrt(H)
 
 
Per completezza esplicito il calcolo del secondo integrale (indefinito):
 
int (1 - h/H)^2 / sqrt(h) dh = int (1 - 2h/H +h^2/H^2) / sqrt(h) dh =
int [h^(-1/2) - 2h^(1/2) / H + h^(3/2) / H^2] dh =
2h^(1/2) - 4/3 h^(3/2) / H + 2/5 h^(5/2) / H^2 + cost..
 
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 l'alto?
 
Qui invece
 
<
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi*%28k*%28h-y%29%29
^2*dy+%3D+s*sqrt%282*g*y%29*dt>
 
trovi solo y(t) in forma implicita:
 
2/15 k^2 pi (15 h^2+3 y(t)^2-10 h y(t)) sqrt(y(t))  =  sqrt(2) sqrt(g) s 
t + cost
 
 
Se non sei registrato e quindi non puoi premere il pulsante 
"step-by-step", questi sono i passaggi:
 
 
Solve the separable equation
 
pi k^2 (h-y(t))^2 ( dy(t))/( dt) = sqrt(2) s sqrt(g y(t))
 
Simplify:
 
k^2 pi ( dy(t))/( dt) (h-y(t))^2  =  sqrt(2) sqrt(g) s sqrt(y(t))
 
Divide both sides by sqrt(y(t)):
 
(k^2 pi ( dy(t))/( dt) (h-y(t))^2)/sqrt(y(t))  =  sqrt(2) sqrt(g) s
 
Integrate both sides with respect to t:
 
  integral (k^2 pi ( dy(t))/( dt) (h-y(t))^2)/sqrt(y(t)) dt  = 
integral sqrt(2) sqrt(g) s dt
 
Evaluate the integrals:
 
  2/15 k^2 pi (15 h^2+3 y(t)^2-10 h y(t)) sqrt(y(t))
  =  sqrt(2) sqrt(g) s t + c_1, where c_1 is an arbitrary constant.
 
 
 
Non dirmi che qualcuno ha dato questi problemi a degli studenti :-(
 
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 
A me non viene cosi'.
 
In assenza di fenomeni resistivi, ogni strato di liquido di spessore infinitesimo all'interno del cilindro si trova in caduta libera e quindi in un intervallo di tempo dt percorre uno spazio dy pari a: dy = d(1/2 g t^2) = g t dt. dV = pi R^2 dy = pi R^2 g t dt. Integrando:
 
V(t) = pi R^2 g t^2 / 2   indipendentemente da s.
 
(sembra un paradosso ma se si assume che non ci siano fenomeni resistivi allora ridurre la sezione s non ha effetto sulla portata).
 
 
Il problema che proponi di un serbatoio conico non mi sembra differente perche' mi sembra che si possano applicare le stesse considerazioni di cui sopra e quindi la legge V(t) sarebbe la stessa, anche se non sono completamente sicuro di questo.
 
--
cometa_luminosa




 (sembra un paradosso ma se si assume che non ci siano fenomeni resistivi allora ridurre la sezione s non ha effetto sulla portata).
 
Quello che rallenta la "caduta libera" non sono gli attriti ma la massa 
del liquido espulso dal foro di sezione s.
 
Quello che dici tu vale solo se s = pi R^2 (ossia nel caso il fondo di 
un serbatoio cilindrico pieno ceda di schianto lungo il contorno).


 
Eh, si. Non sapevo come impostare il problema con la conservazione dell'energia, ma la semplificazione che hai usato e' ragionevole.
 
Mi sono lasciato ingannare dalla leggedi Poiseuille: se la viscosita' fosse nulla, ho pensato, l'unica limitazione al flusso nel tubicino sarebbe la velocita' di caduta del liquido nel recipiente grande. Mi hai dimostrato che non e' cosi'  :-)
Grazie della correzione.
Ciao.
 
--
cometa_luminosa