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Titolo: un caso ideale in cui una carica mantiene il moto circolare uniforme

Ciao, immagino abbiate tutti presente il famoso problema della carica
in moto circolare uniforme: c'è un'accelerazione centripeta quindi non
mantenere quel moto perché perde energia con l'irraggiamento.
In sostanza uno dei motivi per cui la carica irraggia è che deve
trasmettere le variazioni di campo al resto dello spazio.
Ci sono casi in cui il campo è variabile nel tempo, ma la carica non
irraggia: la carica in moto rettilineo uniforme. Ok, non saltate alle
conclusioni dicendo: "sì ma lì la carica non accelera". In realtà
volevo sottolineare una cosa: ci sono delle onde elettromagnetiche, ma
non vengono emesse dalla carica. Sono delle zone dello spazio vuoto che
trasmettono energia/quantità di moto ad altre zone (infatti la
densità d'energia e di quantità di moto in un punto fissato cambiano
nel tempo). Tutto questo è coerente con l'equazione d'onda (equazione
di D'Alembert).
Se la carica si muove a velocità v lungo l'asse x, significa che
stiamo cercando una soluzione f dell'equazione di D'Alembert tale che
f(x,y,z,t)=f(x-vt,y,z). Il campo cioè varia nel tempo, però in un
modo particolare: è come se avessimo un campo elettrico e magnetici
che traslano lungo l'asse x a velocità v.
Ora mi stavo chiedendo se è possibile mantenere una particolare
situazione (premetto che è un caso puramente ideale e matematico):
1-c'è una sola carica nello spazio
2-la quantità di moto totale del sistema (carica più campo) è nulla
3-la carica è in moto circolare uniforme intorno a un punto
4-il campo elettromagnetico varia, ma in un modo specifico: ruota e
trasla mantenendo la stessa posizione e lo stesso orientamento rispetto
alla carica.
E'  come se disegnassimo il campo su una tavola infinita, che però è
fissata con un chiodo alla carica (e non la tavola può ruotare intorno
al chiodo): quindi trasla e ruota solidalmente alla carica.
Più matematicamente:
Sia R(x,y,z,t) la trasformazione che esprime la rototraslazione:
(x',y',z')=R(x,y,z,t)
E sia g(x,y,z) una funzione che va da R^3 in R^3, che associa a ogni
punto dello spazio un vettore di campo elettrico, o di campo magnetico.
Il campo elettrico variabile nel tempo si può esprimere come:
g(R(x,y,z,t))
Cioè g composto R.
Avremmo quindi una funzione del campo che con opportune trasformazioni
si riduce da 4 variabili (spazio+tempo) a 3 variabili (solo spaziali).
Ora, dato che la carica è in moto circolare uniforme, la sua energia
cinetica non varia, così come non cambia l'energia del campo (infatti
è sempre lo stesso campo che trasla e ruota).
Per quanto riguarda la quantità di moto, si mantiene nulla.
Fissato un certo istante, la quantità di moto della carica e la
quantità di moto totale del campo sono uguali e opposte in modulo.
La carica ruota in moto circolare uniforme: la quantità di moto rimane
costante in modulo, ma ruota.
Ma dato che la trasformazione che subisce il campo nel tempo è di
semplice rototraslazione, la quantità di moto del campo rimane
costante in modulo, e ruota esattamente allo stesso modo della
quantità di moto della carica, per cui si mantengono esattamente
opposte.
Ora il dubbio che avrete è: ma la carica ha accelerazione centripeta,
quindi irraggia per forza! Come fa a conservare la sua energia
cinetica?
Il fatto è che la carica non solo irraggia, ma assorbe anche potenza
dalle onde elettromagnetiche che le arrivano dal campo. La potenza
entrante bilancia esattamente quella uscente.
Questo spiega la conservazione dell'energia della carica e del campo:
la potenza scambiata tra campo e carica è complessivamente nulla in
ogni istante.
Analizziamo in dettaglio le forze a cui è sottoposta la carica:
scomponiamole in una componente tangenziale alla circonferenza e una
componente lungo il raggio.
La carica irradiando subisce una variazione di quantità di moto
tangenziale, ma la componente tangenziale della forza che subisce dal
campo elettromagnetico è esattamente opposta. Resta così solamente la
componente radiale, che le da l'accelerazione centripeta, cambiando la
direzione della quantità di moto del campo senza fare lavoro.
Purtroppo non ho verificato analiticamente se questo tipo di situazione
è ammissibile secondo le equazioni di maxwell, e se la forza
complessiva che subisce in ogni istante la carica è esattamente una
forza centripeta.
Dato che la carica è in moto circolare uniforme, la velocità non
cambia in modulo, quindi non cambia la sua massa e quindi la forza
centripeta avrebbe modulo pari a m(v)*v^2/R
Qualcuno potrebbe verificare se questa situazione è ammissibile almeno
matematicamente?
Grazie

Mi sono ricordato dei potenziali ritardati, che in questo caso aiutano
a trovare una soluzione in un modo un po' più semplice che risolvendo
le equazioni di maxwell.
Il contributo di potenziale che una carica q da in un punto a distanza
r è pari a 1/(4*pi*epsilon0)*q/r, però questo valore arriva con un
ritardo pari a r/c.
Nel nostro problema: la carica ruota con velocità angolare w, su un
cerchio di raggio R centrato nell'origine degli assi e che risiede nel
piano xy.
L'angolo formato da un punto della circonferenza rispetto all'asse
delle x è theta.
Per la carica, theta(t)=w*t
Voglio valutare il potenziale in un punto P di dello spazio, di
coordinate (x,y,z). Sentirà dalla carica un potenziale pari a q/d,
però d non è la distanza che c'è tra il P e la posizione attuale
della carica: è invece la distanza che c'è dal punto alla posizione
della carica di un po' di tempo fa.
Risolvo il problema in questo modo:
Q(t): posizione della carica al tempo t
d(theta)=distanza tra il punto P e un punto sulla circonferenza che
forma un angolo theta con l'asse x.
d(theta)= [(x-Rcos(theta))^2+(y-Rsin(theta)^2+z^2]^(1/2)
T: ritardo di tempo
theta(t)=wt
devo trovare T tale che:
d(w*(t-T))=c*T
Una soluzione T esiste per forza: d(theta) è limitato tra un valore
massimo e uno minimo, entrambi positivi, mentre cT inizia a 0
nell'origine ed è strettamente crescente.
Potrebbero esistere varie soluzioni T, per un certo punto P all'istante
t. Questo significa che il punto sente contemporaneamente potenziali
generati dalla carica in istanti diversi del passato.
Troviamo così il ritardo di tempo T e quindi la posizione passata
della carica a cui ci dobbiamo riferire.
Usando questo modo "geometrico" per calcolare il potenziale (trovare il
punto sulla circonferenza in modo che la distanza sia proprio c*T),
vediamo subito che la soluzione ruota e trasla in modo solidale alla
carica.
Quindi mi sembra che, anche se non ho trovato la soluzione esplicita
del campo, ho trovato una soluzione per i potenziali elettrodinamici
che effettivamente ruota e trasla insieme alla carica.
In questo modo ho rispettato:
grazie al metodo dei potenziali ritardati
-le equazioni di maxwell
e grazie alla rototraslazione del campo, che fa sì che l'energia
totale del campo non vari nel tempo, e la quantità di moto sia sempre
esattamente opposta a quella della carica:
-la conservazione della quantità di moto
-la conservazione dell'energia
Per chi conoscesse bene le equazioni di maxwell, ma non ha bene
presente i potenziali ritardati:
Sono il potenziale scalare V e il potenziale vettore A:
 *
V=(1/(4*pi*epsilon))*q(t-d/c)/d
Ax=(mu/4*pi)*Jx(t-d/c)/d
Ay=(mu/4*pi)*Jy(t-d/c)/d
Az=(mu/4*pi)*Jz(t-d/c)/d
per ricavare il campo elettrico E e il campo magnetico B dai
potenziali, si usano queste relazioni:
B=rot(A)
-grad(V)=E+dA/dt (dove d/dt indica una derivata parziale)
da cui
E=-dA/dt-grad(V)
Per trovare le espressioni esplicite di V e A al punto * si usano anche
la condizione:
div(A)=0
insieme alle equazioni di Maxwell

 le equazioni di maxwell.
Ottimo.
Ora dovresti sapere che l'espressione del campo prodotto da una carica
inmodo circolare uniforme si calcola proprio a partire dai potenziali
ritardati (potenziali di Lienard e Wiechert).
Il risultato e' che compare un campo (E e B) che va come 1/r, non piu'
come 1/r^2, ed e' prop. alla componente trasversale
dell'accelerazione.
Da qui un flusso asintotico non nullo del vettore di Poynting.
Che altro c'e' da dire?
 
-- 
Elio Fabri

C'è da dire che invece credo di avere trovato una soluzione del campo
elettromagnetico tale che la carica rimane in moto circolare uniforme,
senza irraggiare, e la forza che la carica riceve dal campo è
esattamente la forza centripeta.

Comunque faccio notare una cose, il sistema di coordinate solidale alla
carica E' SOLAMENTE UN SISTEMA DI COORDINATE, NON UN SISTEMA DI
RIFERIMENTO.
Il sistema di riferimento č inerziale, ed č quello in cui vedo il
centro della circonferenza fermo e la carica muoversi di moto circolare
uniforme intorno ad esso

Consideriamo un sistema costituito da una carica puntiforme, la cui
posizione e data dal punto P, e dal campo elettromagnetico.
P si muove di moto circolare uniforme, su una circonferenza che ha il
centro in O e il cui raggio misura r. La velocità angolare di
rotazione è ω.
Vorrei fare vedere come questo sistema, costituito da una sola carica e
dal campo elettromagnetico, possa mantenersi in questa situazione
stazionaria: P continua muoversi di moto circolare uniforme intorno a
O.
Abbiamo un sistema di coordinate (x,y,z), con l’origine degli assi in
O, e un sistema di coordinate (x’,y’,z’), con l’origine in P, e
solidale al moto di P.
La circonferenza sta nel piano xy.
Figura su imageshack:
http://img20.imageshack.us/my.php?image=cerchio2c8ss.jpg
La relazione tra i due sistemi di coordinate è:
\[
\left( \begin{array}{l}
 x' \\
 y' \\
 z' \\
 \end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\cos (\omega t)} & {\sin (\omega t)} & 0  \\
   { - \sin (\omega t)} & {\cos (\omega t)} & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{l}
 x - r\cos (\omega t) \\
 y - r\sin (\omega t) \\
 z \\
 \end{array} \right)
\]
Esprimeremo più sinteticamente questa relazione come:
\[
\left( \begin{array}{l}
 x' \\
 y' \\
 z' \\
 \end{array} \right) = f(x,y,z,t)
\]
Esprimiamo il campo elettromagnetico tramite i potenziali ritardati:
V(x,y,z,t) e A(x,y,z,t), ottenuti con la gauge di Lorentz.
Assumiamo che i valori dei potenziali ruotino e traslino solidalmente a
P, ossia matematicamente affermiamo che il potenziale V, variabile nel
tempo sia ottenuto a partire da una funzione V’ che non dipende dal
tempo, composta con la funzione f di trasformazione delle coordinate:
\[
V'(x',y',z')
\]
\[
V(x,y,z,t) = V'(f(x,y,z,t))
\]
Di conseguenza, data questa particolare forma del campo
elettromagnetico, abbiamo che:
-l’energia totale del campo non varia nel tempo
\[
\frac{{dE_{campo} }}{{dt}} = 0
\]
-la quantità di moto totale del campo non varia in modulo, ma ruota a
velocità angolare ω:
\[
\frac{{d\vec p_{campo} }}{{dt}} = \vec \omega  \times \vec p_{campo}
\]
Imponiamo adesso la condizione che la quantità di moto totale del
sistema (carica P + campo elettromagnetico) sia nulla.
\[
\vec p_{campo}  =  - \vec p_P
\]
Abbiamo quindi che in questo sistema viene rispettata la conservazione
dell’energia e della quantità di moto:
\[
\begin{array}{l}
 \frac{{d\vec p_P }}{{dt}} = \vec \omega  \times \vec p_P  \\
 \frac{{d\vec p_{campo} }}{{dt}} = \vec \omega  \times \vec p_{campo}
=  - \vec \omega  \times \vec p_P  \\
 \end{array}
\]
\[
\frac{{d\left( {\vec p_P  + \vec p_{campo} } \right)}}{{dt}} = 0
\]
\[
\begin{array}{l}
 \frac{{dE_P }}{{dt}} = 0 \\
 \frac{{dE_{campo} }}{{dt}} = 0 \\
 \end{array}
\]
\[
\frac{{d\left( {E_P  + E_{campo} } \right)}}{{dt}} = 0
\]
Per cui se il campo elettromagnetico assume la forma detta prima (ruota
e trasla solidalmente a P), la carica P mantiene il suo moto circolare
uniforme intorno a O.
Il fatto che la carica P non perda potenza nonostante abbia
un’accelerazione si può spiegare semplicemente vedendo che in questo
caso, la potenza uscente per irraggiamento dalla carica è esattamente
bilanciata dalla potenza che la carica riceve dal campo
elettromagnetico.
Dimostriamo adesso che il campo si muove solidalmente a P.
Per comodità usiamo i potenziali ritardati che si ottengono con la
gauge di Lorentz:
\[
\begin{array}{l}
 V(x,y,z,t) = \int {\frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{\rho \left(
{\bar x,\bar y,\bar z,t - \frac{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar
y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}{c}} \right)}}{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y
- \bar y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}d\bar xd\bar yd\bar z}  \\
  \\
 J_x (x,y,z,t) = \int {\frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{J_x \left( {\bar
x,\bar y,\bar z,t - \frac{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar y)^2  +
(z - \bar z)^2 } }}{c}} \right)}}{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar
y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}d\bar xd\bar yd\bar z}  \\
 J_y (x,y,z,t) = \int {\frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{J_y \left( {\bar
x,\bar y,\bar z,t - \frac{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar y)^2  +
(z - \bar z)^2 } }}{c}} \right)}}{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar
y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}d\bar xd\bar yd\bar z}  \\
 J_z (x,y,z,t) = \int {\frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{J_z \left( {\bar
x,\bar y,\bar z,t - \frac{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar y)^2  +
(z - \bar z)^2 } }}{c}} \right)}}{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar
y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}d\bar xd\bar yd\bar z}  \\
 \end{array}
\]
Usando questi potenziali, se vogliamo calcolare da esempio il
potenziale V in un punto A di coordinate (x,y,z), procediamo in questo
modo:
sappiamo che A sentirà il contributo di potenziale della carica P con
un certo ritardo τ. Sia quindi P’ la posiazione di P al tempo t- τ.
Il potenziale che A sentirà al tempo t sarà quello generato da P
quando ancora si trovava in P’.
Dobbiamo cercare il valore di τ per cui la distanza tra A e P’ sia
proprio pari a cτ.
Immagine su 
http://img20.imageshack.us/my.php?image=cerchio5aq.jpg
\[
\left[ {x - r\cos (\omega (t - \tau ))} \right]^2  + \left[ {y - r\sin
(\omega (t - \tau ))} \right]^2  + z^2  = c^2 \tau ^2
\]
Questa equazione ammette sempre una soluzione;
se imponiamo la condizione relativistica che |ωr|<c, la soluzione è
anche unica.
Infatti, supponiamo di avere trovato una soluzione τ1, e di trovare
un’altra soluzione τ2> τ1.
Immagine su 
http://img107.imageshack.us/my.php?image=cerchiob6yr.jpg
\[
\begin{array}{l}
 \overrightarrow {AP''}  - \overrightarrow {AP'}  < \overrightarrow
{P'P''}  < arco(P'P'') \\
  \\
 c\left( {\tau _2  - \tau _1 } \right) < \omega r\left( {\tau _2  -
\tau _1 } \right) \\
  \\
 c < \omega r \\
 \end{array}
\]
Per cui violeremmo la condizione relativistica.
Troviamo quindi per ogni punto una soluzione τ unica, e i potenziali
possono essere espressi come:
\[
\begin{array}{l}
 V(x,y,z,t) = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{q}{{\sqrt {(x -
r\cos (\omega (t - r\cos (\omega (t - \tau )))^2  + (y - r\sin (\omega
(t - \tau ))^2  + z^2 } }} \\
  \\
 A_x (x,y,z,t) = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{ - q\omega r\sin
(\omega (t - \tau ))}}{{\sqrt {(x - r\cos (\omega (t - r\cos (\omega (t
- \tau )))^2  + (y - r\sin (\omega (t - \tau )))^2  + z^2 } }} \\
 A_y (x,y,z,t) = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{q\omega r\cos (\omega
(t - \tau ))}}{{\sqrt {(x - r\cos (\omega (t - r\cos (\omega (t - \tau
)))^2  + (y - r\sin (\omega (t - \tau )))^2  + z^2 } }} \\
 A_z  = 0 \\
 \end{array}
\]
Vediamo subito dal modo in cui abbiamo ricavato il ritardo di tempo, e
di conseguenza il valore dei potenziali, che le soluzioni ruotano e
traslano solidalmente a P, come avevamo ipotizzato prima.
Discutendo con un amico che studia fisica, ho chiarito anche un dubbio,
sul quale però vorrei avere la sua conferma:
dato che i potenziali (e quindi i campi) ruotano e traslano, a distanza
abbastanza grande dal centro della circonferenza si avrà l’apparenza
che l’informazione/energia contenuta in un punto si sposti a
velocità maggiore della luce, ma secondo il mio amico è solo un
tipico esempio di velocità di fase. Si ha l’apparenza che
l’informazione viaggi a velocità maggiore della luce semplicemente
per questione di sincronismi dei campi in diversi punti dello spazio.
Immagino quindi che avendo trovato una soluzione con i potenziali
ritardati, abbiamo rispettato anche le condizioni di Maxwell con le
opportune condizioni al contorno.
Ovviamente, questo è un caso puramente matematico, perché
funzionerebbe solo se ci fossero solamente la carica P e il campo in
tutto lo spazio, se il campo avesse a un certo istante iniziale
esattamente la forma prevista da questa soluzione.

Arrrrgh....prego il prof. Elio Fabri di non godere del possibile
fallimento, ma nella trattazione che ho fatto coi potenziali ritardati
ho solamente dimostrato che il campo elettromagnetico "ruota e trasla"
solidalmente alla carica (vedi la trattazione prima per una espressione
matematica più precisa di questa proprietà dei campi).
Da questo discende che l'energia complessiva del campo si conserva, e
che il vettore quantità di moto totale del campo ruota a velocità
angolare costante.
Ora, se voglio che si conservi la quantità di moto totale del sistema
(carica P + campo) devo imporre la condizione che p_carica+p_campo=0,
altrimenti, dato che anche p_carica ruota a velocità angolare
costante, la loro somma sarebbe un vettore che ruoterebbe anch'esso
alla stessa velocità angolare, mentre io voglio che sia costante.
Allora devo avere che p_carica=-(p_campo), come detto prima.
Ora, se con la "rototraslazione" dei campi ho dimostrato che p_campo
ruoterebbe a velocità angolare costante, uguale alla velocità
angolare del moto della carica P, dovrei ancora verificare:
1) Se p_campo è parallelo a p_carica
2) una volta verificato 1), devo verificare se p_campo ha verso opposto
a p_carica
3) una volta verificate 1) e 2), si impone la condizione banale che la
massa a riposo della carica deve avere un valore ben preciso: il campo
elettromagnetico dipende solo dalla velocità di P e dalla sua carica
q, non dalla sua massa m. Una volta dati omega, r e q la massa di P
dovrà essere scelta di conseguenza:
\[
m_{0\_carica}  = \frac{{\left\| {\vec p_{campo} } \right\|}}{{\gamma
\left( {\omega r} \right)\left| \omega  \right|r}}
\]
Ora quello che mi preoccupa di più è la condizione 2): infatti la
quantità di moto del campo è data dall'integrale di (a parte una
costante moltiplicativa) prodotto vettore tra E e B, e entrambi E e B
sono proporzionali alla carica q. Questo significa che la quantità di
moto totale del campo sarà proporzionale a q^2, cioè non dipende dal
segno della carica. Quindi se mi venisse (come purtroppo temo che
succederà) che la quantità di moto del campo ha lo stesso verso della
quantità di moto della carica P, non avrei nessuna via di scampo:
cambiare il segno di q non cambierebbe nulla, e se cambiassi il segno
di omega avrei il simmetrico, in cui però la quantità di moto di P e
la quantità di moto del campo resterebbero di verso concorde.
Chiedo quindi a qualcuno di dare il colpo di grazia: verificare se non
viene rispettata la condizione 1) (p_campo parallelo a p_carica) oppure
se viene rispettata, verificare se non viene rispettata la condizione
2).
Sono quasi sicuro che andrà tutto a monte, però è un peccato,
sarebbe stato una forma di campo elettromagnetico molto "carina".

Scusate, ho saputo che il latex che ho pubblicato su altri post è
illeggibile. Stavolta uso
http://www.artofproblemsolving.com/LaTeX/AoPS_L_TeXer.php
 per
verificare.
Ripubblico quindi le equazioni importanti:
Relazione tra i due sistemi di coordinate:
\[
\begin{gathered}
  \left( \begin{gathered}
  x' \hfill \\
  y' \hfill \\
  z' \hfill \\
\end{gathered}  \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\cos (\omega t)} & {\sin (\omega t)} & 0  \\
   { - \sin (\omega t)} & {\cos (\omega t)} & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
 \end{array} } \right)\left( \begin{gathered}
  x - r\cos (\omega t) \hfill \\
  y - r\sin (\omega t) \hfill \\
  z \hfill \\
\end{gathered}  \right) \hfill \\
   \hfill \\
  \left( \begin{gathered}
  x' \hfill \\
  y' \hfill \\
  z' \hfill \\
\end{gathered}  \right) = f(x,y,z,t) \hfill \\
\end{gathered}
\]
Espressione del potenziale come composizione di una funzione di x' y'
z' e f(x,y,z,t):
\[
\begin{gathered}
  V'(x',y',z') \hfill \\
   \hfill \\
  V(x,y,z,t) = V'(f(x,y,z,t)) \hfill \\
\end{gathered}
\]
Variazioni di energia e quantità di moto del campo:
\[
\begin{gathered}
  \frac{{dE_{campo} }}
{{dt}} = 0 \hfill \\
   \hfill \\
  \frac{{d\vec p_{campo} }}
{{dt}} = \vec \omega  \times \vec p_{campo}  \hfill \\
\end{gathered}
\]
Variazione della quantità di moto di P supponendo che si muova di moto
circolare uniforme:
\[
\frac{{d\vec p_P }}
{{dt}} = \vec \omega  \times \vec p_P
\]
Condizione necessaria per la conservazione della quantità di moto
totale:
\[
\vec p_P  =  - \vec p_{campo}
\]
Conseguenza di questo vincolo:
\[
\begin{gathered}
  \frac{{d\vec p_{campo} }}
{{dt}} = \vec \omega  \times \vec p_{campo}  =  - \vec \omega  \times
\vec p_P  \hfill \\
   \hfill \\
  \frac{{d\left( {\vec p_P  + \vec p_{campo} } \right)}}
{{dt}} = 0 \hfill \\
\end{gathered}
\]
Espressione dei potenziali ritardati con gauge di Lorentz:
\[
\begin{gathered}
  V(x,y,z,t) = \int {\frac{1}
{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{\rho \left( {\bar x,\bar y,\bar z,t -
\frac{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}
{c}} \right)}}
{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}d\bar
xd\bar yd\bar z}  \hfill \\
   \hfill \\
  A_x (x,y,z,t) = \int {\frac{{\mu _0 }}
{{4\pi }}\frac{{J_x \left( {\bar x,\bar y,\bar z,t - \frac{{\sqrt {(x -
\bar x)^2  + (y - \bar y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}
{c}} \right)}}
{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}d\bar
xd\bar yd\bar z}  \hfill \\
  A_y (x,y,z,t) = \int {\frac{{\mu _0 }}
{{4\pi }}\frac{{J_y \left( {\bar x,\bar y,\bar z,t - \frac{{\sqrt {(x -
\bar x)^2  + (y - \bar y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}
{c}} \right)}}
{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}d\bar
xd\bar yd\bar z}  \hfill \\
  A_z (x,y,z,t) = \int {\frac{{\mu _0 }}
{{4\pi }}\frac{{J_z \left( {\bar x,\bar y,\bar z,t - \frac{{\sqrt {(x -
\bar x)^2  + (y - \bar y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}
{c}} \right)}}
{{\sqrt {(x - \bar x)^2  + (y - \bar y)^2  + (z - \bar z)^2 } }}d\bar
xd\bar yd\bar z}  \hfill \\
\end{gathered}
\]
Equazione per la determinazione del ritardo tau:
\[
\left[ {x - r\cos (\omega (t - \tau ))} \right]^2  + \left[ {y - r\sin
(\omega (t - \tau ))} \right]^2  + z^2  = c^2 \tau ^2
\]
Dimostrazione dell'unicità della soluzione tau (se si impone il
vincolo relativistico omega*r<c):
\[
\begin{gathered}
  \overrightarrow {AP''}  - \overrightarrow {AP'}  < \overrightarrow
{P'P''}  < arco(P'P'') \hfill \\
   \hfill \\
  c\left( {\tau _2  - \tau _1 } \right) < \omega r\left( {\tau _2  -
\tau _1 } \right) \hfill \\
   \hfill \\
  c < \omega r \hfill \\
\end{gathered}
\]
Di conseguenza dal problema geometrico si ricava il potenziale
ritardato (secondo la gauge di lorentz):
\[
V(x',y',z') = \frac{1}
{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{q}
{{\sqrt {(x' + r(1 - \cos \left( {\omega \tau (x',y',z')} \right)))^2
+ (y + r\sin (\omega \tau (x',y',z')))^2  + z'^2 } }}
\]

 ...
In tutta franchezza, io i tuoi lunghi post zeppi di LaTex e per di
piu' scritti con utf-8 non riesco proprio a leggerli.
Spero che ci sia qualcuno piu' bravo e paziente di me...
-- 
Elio Fabri

 verificare.
Piu' che altro il latexrender serve a generare le immagini. Poi copi
l'indirizzo dell'immagine a posti quell'indirizzo!!!! Non serve a
niente verificare le scritte. Vedi il mio post sull'energia.
Ciao Neo

Uff...non trovo mai un formato latex che vada bene, comunque su
http://www.artofproblemsolving.com/LaTeX/AoPS_L_TeXer.php
 le formule si
vedono benissimo!

CIAO
Posso suggerirti un trucco?
Quando posti con del LaTeX posta anche i vari \usepackage e vari
\begin...cosi' poi facendo un copia e incolla lo possiamo vedere
compilato e formattato in ps.... xche' cosi' e' davvero difficile
seguire il discorso...praticamente scrivi direttamente in laTex...:))

a dire il vero non so scrivere in latex, uso mathtype e poi copio e
incollo con opzione di traduzione in latex....