Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Moto Circolare Accelerato

Salve a tutti,
è la prima volta che scrivo sul newsgroup.
Sto cercando di risolvere un problema che mi affligge da un po' di
tempo.
La mia necessità è comprendere al meglio l'interpolazione circolare,
con il caso particolare di un moto circolare uniformemente accelerato.
Mi spiego meglio.
Chiarendo un po' meglio, devo controllare 2 assi (X,Y), conoscendo il
punto di partenza, il raggio che permette di costruire l'arco,i gradi
dello spostamento ed una velocità massima da raggiungere al termine
dello spostamento.
Immaginando di dover partire da fermi, mi trovo ad avere un moto
cicrolare uniformemente accelerato.
Il procedimento che ho seguito è il seguente:
Considerando uno spostamento di 90 gradi in senso antiorario ho
suddiviso lo spostamento in 4 intervalli da 22,5 gradi ciascuno.
Il raggio è noto e valre R per cui sono stato in grado di ricavare le
coordinate dei 4 punti intermedi da raggiungere.
Da queste coordinate ho ricavato il vettore spostamento con il teorema
di pitagora ottenendo lo spazio percorso effettivamente dal mio
punto.
Vincolando lo spostamento con la velocità massima raggiungibile ho
ricavato l'accelerazione ed il tempo necessari allo spostamento.
Terminati questi calcoli lo spostamento risulta corretto, nel senso
che è compatibile col fatto che a 90 gradi la velocità di un asse è 0
e quella dell'altro è massima.
Questo controllo l'ho effettuato con le formule:
vel x = vel_vett * cos(alpha)
vel y = vel_vett * sen(alpha)
Ora il mio problema è riconvertire le velocità e le accelerazioni sul
piano cartesiamo per i due diversi assi.
Ho cercato di ricavare velocità ed accelerazioni dallo spostamento
effettivo dei 2 assi (per ogni segmento) fratto il tempo dello
spostamento, ma non sembrano corretti, in quanto al termine degli
spostamenti non ottengo velocità nulla su di un asse e massima
sull'altro.
Addirittura la velocità del vettore (calcolata con pitagora) per ogni
intervallo risulta differente dal valore massimo (anche superiore).
Sicuramente c'è qualcosa che non capisco e non conosco....
qualcuno ha idea di come possa procedere con i conti?
Scusate se il problema è un po' confuso, se non sono stato chiaro
cercherò di chiarire meglio.
Grazie dell'attenzione
Mauro

 cercherò di chiarire meglio.
Infatti... Io non ho capito un accidente.
Forse faresti bene a spiegare qual e' *esattamente* il tuo problema.
In dettaglio intendo, senza cercare di incasellarlo usando una
terminologia che a quanto pare padroneggi scarsamente.
Sarebbe anche molto utile che tu spiegassi che tipo di studi stai
facendo, quali conoscenze hai di matematica e di fisica...
Da quello che scrivi lo si puo' forse intuire, ma sarebbe meglio
saperlo con certezza, perche' la risposta dipende anche da queste
informazioni.
 
-- 
Elio Fabri

 piano cartesiamo per i due diversi assi.
...
Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane x-y con
origine nel centro della traiettoria circolare di raggio r,
effettuiamo eventualmente una rotazione degli assi in modo
che il punto di partenza abbia coordinate (x, y) = (r, 0),
siano teta(t) l'angolo (in radianti) formato dal raggio vettore
istantaneo con l'asse x e v(t) la componente lungo la traiettoria
della velocita' al tempo t, se il moto circolare e' uniformemente
accelerato allora l'accelerazione angolare omega' = d^2(teta(t))/dt^2
e' costante, sia t_f il tempo finale, la velocita' iniziale e' nulla
e teta_f = teta(t_f) e v_f = v(t_f) sono note per ipotesi.
Dalle equazioni del moto uniformemente accelerato si ha:
(1)
teta(t) = 1/2 * omega' * t^2
v(t) = r * omega' * t
risolvendo il sistema precedente al tempo t = t_f
si ricava omega' in funzione di teta_f e v_f:
(2)  omega' = v_f^2 / (2 teta_f * r^2)
e sostituendo questo valore di omega' in (1) si ottiene
teta(t) espressa in funzione dei parametri teta_f e v_f:
teta(t) = 1/2 * v_f^2 / (2 teta_f * r^2) * t^2
e quindi le componenti cartesiane del raggio vettore
e della velocita' istantanei:
x(t) = r * cos(teta(t)) =
r * cos(1/2 * omega' * t^2)
y(t) = r * sin(teta(t)) =
r * sin(1/2 * omega' * t^2)
v_x(t) = -r * omega' * t * sin(1/2 * omega' * t^2)
v_y(t) = r * omega' * t * cos(1/2 * omega' * t^2)
ove omega' e' dato dalla (2).
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 Infatti... Io non ho capito un accidente.
Mi pare che si tratti di un moto su un arco di circonferenza con il 
modulo della velocità che passa linearmente da zero a un valore massimo.
Per rispondere a Mario direi che la velocità angolare è omega = alfa * t, 
dove alfa è l'accelerazione angolare costante. Quindi l'angolo descritto 
è theta=(1/2)*alfa*t^2 e le coordinate sono:
x= r*cos((1/2)*alfa*t^2) ; y = r*sin((1/2)*alfa*t^2)
Le componenti della velocità tangenziale e dell'accelerazione sono 
rispettivamente le derivate prime e seconde rispetto al tempo di x e y:
vx= -r*alfa*t*sin((1/2)*alfa*t^2) ;
vy= r*alfa*t*cos((1/2)*alfa*t^2) ;
ax= -r*alfa*(sin((1/2)*alfa*t^2) + t^2*alfa*cos((1/2)*alfa*t^2)) ;
ay= r*alfa*(2cos((1/2)*alfa*t^2) - t^2*alfa*sin((1/2)*alfa*t^2)) .
Ma a quanto pare Mario vuole i risultati in funzione dell'angolo: allora 
ricavando alfa= 2*theta/(t^2) possiamo sostituire:
vx= -r*2*theta*t*sin(theta)/(t^2) =  -r*2*theta*sin(theta)/t;
vy= r*2*theta*t*cos((theta)/(t^2) =  r*2*theta*cos((theta)/t;
ax= -r*2*theta*(sin(theta) + t^2*alfa*cos(theta))/(t^2) ;
ay= r*2*theta*(2cos(theta) - t^2*alfa*sin(theta))/(t^2) .
-- 
Il popolo ha scelto Barabba.