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Titolo: Un profano vs l'energia

Primo post. Saluti a tutti.
Il profano e' il sottoscritto.
 
Stavo leggendo un libro divulgativo sulla storia dell'atomo e sono 
incappato nelle due formule E=mc^2 e E=1/2mv^2
La mia domanda: "E" e' una energia /diversa/ ?
E se non lo e' come,dove,quando e soprattutto perche' sparisce l' 1/2?
-- 
 
ac (x=y-1)


Non e' che sparisce l'1/2, e' che le due formule rappresentano due cose 
completamente diverse (o per lo meno, non rappresentano la stessa cosa).
La seconda e' semplicemente l'energia cinetica classica di un corpo 
dotato di velocita', la prima e' l'energia "a riposo" di un qualsiasi 
corpo dotato di massa.
In verita' a seconda del libro che hai letto, le due m nelle equazioni 
potrebbero non essere la stessa cosa, in quanto non e' detto che la m 
della prima equazione sia "la massa a riposo".
 
frengo

 E se non lo e' come,dove,quando e soprattutto perche' sparisce l' 1/2?
 
 
"Perche'" non si puo' dire, inoltre le due formule sono
diverse anche perche' in un caso compare v e nell'altro
c, il fatto che l'energia cinetica relativistica di un punto
materiale di massa m e velocita' v abbia la forma
(1 / sqrt(1 - v^2 / c^2) - 1) * m * c^2 che si riduce a
1/2 m * v^2 nel limite v << c e' puramente conseguenza
degli esperimenti, cioe' se gli esperimenti dessero
risultati non in accordo con la formula riportata
sopra allora la teoria dovrebbe essere modificata.
 
Aggiungo che in relativita' la formula piu' utile, di
cui le precedenti risultano casi particolari, e'
E^2 = p^2 * c^2 + m^2 * c^4, in cui E e' l'energia
di un sistema nel riferimento in cui la quantita' di
moto e' p, e m e' la massa invariante del sistema.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 
 
 

 corpo dotato di massa.
 
Grazie
 
(****) Massa e velocita'?
 
-- 
 
ac (x=y-1)

 si chiama cinetica) che vale appunto E = 1/2 m * v^2.
 
E' quindi una corbelleria dire che un sistema ha energia /totale?/ :
mc^2 <= E < 3/2mc^2  ?
 
 
 
-- 
 
ac (x=y-1)

 mc^2 <= E < 3/2mc^2  ?
 
In generale si', cioe' quelle disuguaglianze non
sono sempre contemporaneamente soddisfatte,
se E e' l'energia totale di un sistema fisico in un
riferimento arbitrario.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 E se non lo e' come,dove,quando e soprattutto perche' sparisce l' 1/2?
 
Allora,
prima di tutto, ricordiamo che
in relatività ristretta, non possiamo considerare la massa costante al
variare della velocità: la massa m della particella a velocità v è
legata alla massa a riposo m0, cioè alla massa della particella da
ferma, mediante la seguente relazione
m uguale m0/RadiceQuadrata(1-v^2/c^2)
uguale m0 * (1-v^2/c^2)^(-1/2)
 
Ti faccio notare che, per v non nullo e minore della velocità della
luce c, m è maggiore di m0
(inoltre m tende a infinito per v che tende a c).
 
Bene.
Chiarito ciò, possiamo scrivere l'energia totale di una particella nel
seguente modo
E uguale mc^2 uguale
m0 c^2 + (m - m0) c^2
dove
m0 c^2 è l'energia della particella a riposo
(m-m0) c^2 è l'energia cinetica.
 
Ora, per fare un confronto corretto,
dobbiamo confrontare l'espressione classica dell'energia cinetica
con l'espressione relativistica ancora dell'energia cinetica, che è (m-
m0) c^2,
non con l'espressione relativistica dell'energia totale, che è mc^2.
 
Vediamo cosa viene fuori:
(m-m0) c^2 uguale
[m0 * (1-v^2/c^2)^(-1/2) - m0 ] c^2
uguale
m0 *[(1-v^2/c^2)^(-1/2) - 1] c^2
 
Non se tu abbia studiato le serie di Taylor, in particolare la serie
binomiale, ma anche se non l'hai studiata, non importa.
Devi sapere che, se consideri un numero x compreso tra -1 e 1, puoi
applicare la seguente approssimazione:
(1+x)^(-1/2)
uguale
1 - (1/2) x + ((1*3)/(2*4)) x^2 - ((1*3*5)/(2*4*6)) x^3 + ......
uguale
1 - (1/2) x + (3/8) x^2 - (5/16) x^3 +.....
____________________________________________________________________
Puoi saltare, questo che scrivo tra le due linee, se vuoi.
E' un caso particolare di
(1+x) ^ alfa uguale
(alfa su 0) + (alfa su 1) x + (alfa su 2) x^2 + (alfa su 3) x^3
+ .....
per ogni x appartenente a ]-1,1[ .
______________________________________________________
 
In particolare,
se poniamo
x uguale -v^2/c^2,
possiamo scrivere:
(1-v^2/c^2)^(-1/2)
uguale
1 + (1/2) v^2/c^2 + (3/8) v^4/c^4 + (5/16) v^6/c^6 +.....
 
Dunque, l'espressione relativistica dell'energia cinetica può essere
approssimata nel modo seguente:
 
(m-m0) c^2 uguale
m0 *[(1-v^2/c^2)^(-1/2) - 1] c^2
uguale
m0 *[(1/2) v^2/c^2 + (3/8) v^4/c^4 + (5/16) v^6/c^6 +.....] c^2
 
Capirai che, se v è molto minore di c,
i termini successivi della serie diventano poco significativi,
perchè tendono a 0 più rapidamente,
e diventa importante solo il primo termine.
Dunque, per v molto minore di c,
puoi scrivere
(m-m0) c^2 uguale
m0 *[(1/2) v^2/c^2] c^2
uguale
(1/2) m0 v^2
che è l'espressione classica.
 
Spero di esserestato utile.
Ciao.
--
Gino Di Ruberto, Napoli
IK8QQM - K8QQM
http://groups.google.com/group/infonapoli-newsletter?hl=it
 
"E' curioso a vedere che quasi tutti gli uomini che valgono molto
hanno le maniere semplici e che quasi sempre le maniere semplici sono
prese per indizio di poco valore."
(Giacomo Leopardi)