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Titolo: Sbarra che scivola

Salve,
Una sbarra di 11 m � appoggiata ad una parete verticale in un punto B. Il 
piede A dista dalla parete stessa di 2m.
Ad un certo punto il piede A comincia ad allontanarsi con una velocit� 
costante di 5m/s verso destra
Si chiede la velocit� di B dopo un secondo.
 
Io ho calcolato il valore del segmento OB al tempo t 
OB=radq(11^2-(2+5*t)^2), ho fatto la derivata rispetto a t ed ho sostituito 
il  valore 1 nella stessa , Il risultato � -70/6*radq(2), mentre il libro 
(Zwirner)riporta -7/6*radq(2), c'� un fattore 10 di differenza. Sbaglio 
qualcosa?
Grazie e saluti
 
Enrico B. 

 differenza. Sbaglio qualcosa?
 
 
Sono sbagliati entrambi i risultati ;-), tu ti
sei dimenticato di dividere per 2 nel derivare
la radice quadrata:
 
dOB/dt = -2*5(2 + 5t) / (2sqrt(11^2 - (2 + 5t)^2))
 
e sostituendo t = 1 s si ottiene -35 / (6sqrt(2)),
per conferma si vede che al tempo t = 1 s il punto
A dista 7 m da O e il punto B ne dista 6sqrt(2) > 7,
quindi la velocita' di B deve essere in modulo minore
di quella di A, in effetti si ha 35 / (6sqrt(2)) < 5.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 
 
 

 differenza. Sbaglio qualcosa?
 
Riscrivo la soluzione (che avevo gia' inviato) in modo
piu' corretto (prima avevo proseguito il tuo calcolo
in cui mancavano le unita' di misura) e leggibile (in
generale e' bene svolgere i calcoli in forma simbolica
e sostituire i valori solo alla fine).
 
Fissato un sistema di coordinate cartesiane Oxy con origine O
alla base della parete, asse x orizzontale e y verticale orientato
verso l'alto, posta la lunghezza della barra l = 11 m, la
coordinata iniziale di A sia x_0 = 2 m, e la sua velocita'
costante v = 5 m/s, allora la coordinata x di A al tempo t e':
(1)  x = x_0 + v t,
quella di B e':
y = sqrt(l^2 - x^2)
la velocita' di B e':
 
(2)  dy/dt = - 2 x dx/dt / (2sqrt(l^2 - x^2)) =
- x v / sqrt(l^2 - x^2),
 
sostituendo in (2) la (1), sostituendo i valori ai
simboli e posto t = 1 s si ottiene:
dy/dt_{t = 1 s} = -35 / (6sqrt(2)) m/s.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 

 Salve, Una sbarra di 11 m � appoggiata ad una parete verticale in un punto B. Il piede A dista dalla parete stessa di 2m. Ad un certo punto il piede A comincia ad allontanarsi con una velocit� costante di 5m/s verso destra Si chiede la velocit� di B dopo un secondo. Io ho calcolato il valore del segmento OB al tempo t OB=radq(11^2-(2+5*t)^2), ho fatto la derivata rispetto a t ed ho sostituito il valore 1 nella stessa , Il risultato � -70/6*radq(2), mentre il libro (Zwirner)riporta -7/6*radq(2), c'� un fattore 10 di differenza. Sbaglio qualcosa? Grazie e saluti Enrico B.
 
 
Volevo dei riferimenti pi� dettagliati.
E' un esercizio di fisica dato ad un esame ?
 
Comunque credo che si devono fare delle ipotesi tipo complessivamente la barra ruota o si muove di solo moto translatorio. In sintesi � uno studio che deve essere fatto.

 
A parte il 70 che in realta' e' un 35  :-) mi sembra che non sbagli.
 
--
cometa_luminosa


Sotto la sbarra c'e' un vaso cinese Ming...dopo tre secondi la velocita' deve essere ) (zero) o sono guai seri!!
 
;0

Enrico B ga scritto:

Secondo me sbagliate tutti e due, e credo anche di aver capito gli
errori: per motivi diversi avete sbagliato la derivata!
 
Ora ti spiego come si pu� cpire che il risultato deve essere diverso.
per t=1s, A si trova a 7m dalla parete, e B a un'altezza
6*sqrt(2)=8.5m.
Facendo la figura si vede che la velocit� di B sar� poco diversa da
quella di A, ma un po' minore.
Invece secondo te sarebbe 8.2m/s (troppo grande) e secondo Zwirner
solo 0.82m/s (troppo piccola).
Quella giusta � la met� della tua, ossia 4.1m/s.
 
Ora ti mostro una soluzione quasi senza calcoli, e comunque senza
derivate :-)
Nella figura, detto O il punto dove s'incontrano parete e pavimento,
completa il rettangolo OAQB.
La diagonale OQ � uguale ad AB, per cui il punto Q descrive un arco di
circonf. di centro O.
La compon. orizz. della velocit� di Q � uguale alla velocit� di A,
mentre la compon. verticale � uguale alla velocit� di B.
Il modulo del rapporto (comp.vert.)/(comp.orizz.) = OA/OB.
 
Al tempo t=1s abbiamo:
 
OA = 7m, OB = 6*sqrt(2) m.
 
|vB/vA| = 7/[6*sqrt(2)]
 
vB = -5*7/[6*sqrt(2)].
 
Morale: una strada complicata � da scoraggiare, anche perch� aumenta
la probab. di errori :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 1 s 
 
Volevi dire a t = 0 s (comunque si capiva)
 
 
 
Comunque non sono del tutto d'accordo con la tua affermazione, nel senso che, nei limiti di approssimazioni del problema fisico che naturalmente sono sottintese o che vanno precisate, si puo' pensare ad un evento impulsivo, come un urto, che puo' produrre una discontinuita' "a salto" nella velocita' della sbarra; l'OP non ha scritto che "la barra acquista velocita' senza accelerare".
Ciao.
 
--
BlueRay

 la probab. di errori :-)
 
E' il principio di Henry Ford: quello che non c'e' non si rompe :-)
 
(I Diesel sono piu' affidabili dei ciclo Otto perche' l'80% dei guasti 
di questi ultimi riguarda l'accensione :-)
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 scritto che "la barra acquista velocita' senza accelerare". Ciao.
 
 
Certo, si potrebbe aggiungere alle altre approssimazioni implicite
del problema (come che la barra sia rigida ecc. ecc.) anche
quella per cui la barra subisce inizialmente un urto impulsivo,
soltanto mi pareva piu' elegante fare a meno di una ulteriore
ipotesi e considerare invece il caso fisicamente piu' realistico
di una barra che fosse gia' in moto al tempo t = 0 s.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 
 

Tommaso Russo ha scritto:
 > Io avrei detto:
 > Q e' il centro istantaneo di rotazione della barra AB, che ruota
 > attorno a lui con velocita' angolare istantanea |omega| = |vA|/QA;
 > quindi
 > ...
 > Il problema (didattico) e': e' piu' semplice spiegare a chi non lo
 > conosce il concetto di centro istantaneo di rotazione di un corpo
 > rigido (che gli tornera' utile anche in futuro), o fargli il tuo
 > ragionamento sul moto di Q? Quest'ultimo e' generalizzabile a qualche
 > altro caso in cui potra' tornare utile? Sono, in qualche senso, "la
 > stessa cosa"?
Non so se sia generalizzabile, penso di no.
Certo, il concetto di centro ist. di rot. ha valore generale e in
questo senso è più importante.
Ma a che livello si può trattare?
Dubito che oggi lo si faccia al primo anno di univ.
Ai miei tempi si faceva a mecc. razionale.
 
Non ho bisogno di spiegarti quale sia la radice della difficoltà, ma
lo dico lo stesso per il beneficio di altri che ci leggono.
Il problema del centro ist. di rot. è che è un punto fermo ... che in
generale non è fermo :-)
Non lo è nel nostro caso, visto che Q percorre una circonf.
E non lo è neppure nel caso molto più usato del puro rotolamento, per
es. il classico cilindro sul classico piano.
In altre parole, richiede che si afferri l'astrazione del "campo di
velocità a un dato istante" (quello che i mecc. raz. italiani
chiamvano "atto di moto": si usa più?).
 
E' questo campo di velocità che *a ogni istante* in un moto piano è
rotatorio (oppure traslatorio).
Cosa del resto vera anche per gli /spostamenti rigidi piani/ (teorema
di Eulero).
Ma il teorema di Eulero è puramente geometrico, mentre l'atto di moto
rotatorio è un concetto cinematico, quindi coinvolge il tempo... Ed è
qui la difficoltà.
 
Nel caso specifico, direi che il problema fosse a livello liceale, e
perciò la tua proposta mi pare fuori questione.
-- 
Elio Fabri