Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Per favore aiutatemi.

Salve a tutti!
Mi sono trovato aleggere questo thread 
http://snurl.com/35tt
 ed in
particolare questo post "riassuntivo" 
http://snurl.com/35pb
 che ho reputato
corretto visto che gli interlocutori non hanno ribattuto e che cmq è in
linea, mi sembra, con le idee degli stessi. Ho pensato però di chiedere un
approfondimento su ism  in merito alla definizione di differenziale,
postando questo msg news:5r1xb.10293$
AX1.4...@news1.tin.it
. Quello che
però mi sono visto rispondere è estremamente diverso da quello che ho lutto
su isf nel thread sopra citato. Su ism, trovat il thread che ho iniziato col
post che ho segnalato qui sopra: mi dareste una mano a conciliare i diversi
punti di vista? In particolare sarei felicissimo se Giorgio Pastore ed Elio
Fabri dicessero la loro, visto che nel thread citato (quello su isf) hanno
dato il loro contributo. In breve il problema è questo.
Il mio prof. di analisi, dice (in linea con il thread di isf:
"df, o differenziale di f, è l'incremento di f lungo la tangente per un dato
incremento dx. E' una funzione della derivata e dell'incremento dx. Dx è
invece il differenziale della funzione f = x che è la funzione costante che
descrive l'asse delle ascisse. Perche possiamo fare il rapporto tra due
funzioni? Beh...perchè una funzione è una relazione tra grandezze, ma è
anche il valore che la variabile dipendente assume a variabili indipendenti
fissate. infatti scriviamo f(x) = 2x o g(x) = 9, ossia diciamo che la nostra
f è un numero (reale, per quel che ci interessa). Ecco perchè scriviamo
f(x)/g(x) (sapendo di ottenere una funzione che a x fa corrispondere il
rapporto tra il valore che la funzione f(x) assume per quella x ed il valore
che la funzione g(x) assume per il medesimo valore di x). Il differenziale,
quando determinato dalle sue variabili (derivata ed incremento dx) è sempre
un numero reale, ossia una quantità finita o uguale a zero. Non hanno
cittadinanza in analisi standard i concetti di quantità infinitamente
piccole, ma solo quello di quantità finite sempre più piccole aventi come
limite inferiore lo zero.
Ed ancora:
news:716xb.104029$
hV.37...@news2.tin.it
news:KN6xb.104435$
hV.38...@news2.tin.it
Ma mi viene detto:
"Insomma, il differenziale *NON È* l'incremento della variabile"
Insomma, dico io: se scrivo:
df = f'(x) dx,
perchè non sarebbe corretto dire che
f'(x) = df/dx
????
Per favore aiutatemi
dipendente eccetera eccetera! No e poi no."

 f'(x) = df/dx
Giustamente mi pare di aver letto, tra il discorso del tuo prof.
la seguente frase: "Non hanno cittadinanza in analisi standard
i concetti di quantità infinitamente piccole, ma solo quello di
quantità finite sempre più piccole aventi come limite inferiore lo zero."
Questo significa che nell'analisi come viene studiata ora,
e sistematizzta da Cauchy e Weierstrass (analisi standard),
non ha senso parlare di infinitesimi in atto, cioe' di una quantita' che:
"o sono zero, o non sono zero... se non lo sono, sono quantita'
finite e non e' lecito passare all'infinitesimo; se lo sono allora
l'esperessione non ha senso."
E' questa in sintesi la critica del vescovo di Berkeley a Leibnitz
(o a Newton, mica mi ricordo bene...) ed in effetti non e' nemmeno
tanto insensata. Tanto e' vero che e' stato un problema per i
matematici fino a quando Weierstrass (o qualcun altro) non ha
risolto il "busillis" con l'introduzione della notazione epsilon-delta,
passando per il concetto di limite e dando esplicitamente un valore
potenziale (e non attuale) alla derivata. Cioe' il rapporto e' sempre
al finito, ma si fanno variare le grandezze che compongono il rapporto
rendendole piccole a piacere.
Un noto teorema, sempre di Weierstrass, dimostra che in questo caso
(sotto opportune ipotesi) esiste un numero che si avvicina quanto
si vuole a tale rapporto, quindi a qualcosa si arriva, "dinamicamente"
o "potenzialmente" se vogliamo.
Poi la notazione dy/dx e' rimasta perche' e' molto comoda, ma
i matematici dicono che e' poco piu' di un simbolo (cosi' come
il dx sotto il segno di integrale). Questo perche' in realta' quando
fai una derivata implicitamente fai sempre il limite di un rapporto
(e non un rapporto tout court).
Per passare a definire la derivata come rapporto di differenziali,
a rigore devi dimostrare che gli infinitesimi in atto esistono.
E' questo che in effetti si propone l'analisi non-standard,
con la definizione dei numeri iperreali e degli ultrafiltri,
passando attraverso i metodi della moderna logica. Quindi,
secondo la teoria non-standard dy/dx e' una espressione
perfettamente lecita e sensata e dx e dy sono delle quantita'
ben definite con determinate proprieta' (che non conosco
piu' di tanto..., ma mi fido del lavoro di Robinson & C.).
A parte qualche inevitabile imprecisione (sono un autodidatta
su questi concetti), questo e' quanto, come soleva dire Planck.
In rete si trovano dei pdf che chiariscono un po' questi punti
attraverso la dicotomia "infinitesimo in atto" e "infinitesimo
in potenza". Se trovo l'URL te lo posto.
Se domandi su it.scienza.matematica ti risponderanno in
parecchi e ti spiegheranno la questione meglio di me.
Domanda a Lagnese  :-)))
&

 Domanda a Lagnese  :-)))
Mah...io ho chiesto su ism. Diciamo che lì sono troppo preparati per me :-)
--
Saluti,
Alfred

 a rigore devi dimostrare che gli infinitesimi in atto esistono.
Ho dimenticato altri link:
http://www.dise.unisa.it/docenti/CAROLEO/differenziale.pdf
http://www.uniurb.it/ripmat/mate/c/cf/cfh.html
Anche i miei libri dicono che il differenziale è una quantità finita che
rappresenta l'incremento lungo la tangente (in un punto) di una curva, per
un dato incremento della variabile indipendente.
SE prendo la variabile indipendente ugale a 10.000 unità,, ottengo un
differenziale bello grosso che mi dice di quanto aumenterebbe la mia
funzione se dal puto in cui ho calcolato la derivata in poi, la curva da
essa descritta coincidesse conla tangente. Inlatre parole mi dice
l'incremento lungo la tangente. Se faccio "tendere" il differenziale di x a
zero, ottengo un differenziale sempre più approssimato al reale incremento
della funzione (e non lungo la tangente).
Scusa, ma il mi problema è un altro: come mai internet ed i libri sarebbero
pieni di idiozie?
--
Saluti,
Alfred

 Ma perchè? Io parlo di differenziali come di quantità finite!
Come definisci il differenziale?
Se nella definizione di differenziale usi la derivata
non mi sembra poi corretto definire la derivata come
rapporto di differenziali. E' un paradosso di quelli
circolari.
Nei link che mi hai dato il differenziale e' definito
come dy=f'(x) dx, quindi la derivata e' gia' stata definita
(e senza usare il concetto di differenziale, ma solo il
limite di un rapporto al finito).
Il passo poi che si fa e' quello di dire: ma se
dy=f'(x) dx allora  f'(x) = dy/dx.
Ma questo e' vero solo se dy e dx sono dei numeri...
(senno', tanto per dire, posso anche definire una
patata come il rapporto tra una carota ed un carciofo,
perche' no?).
Se invece si definisce _a_priori_ la derivata come rapporto
dy/dx, i differenziali, cosi' come si intendono
nell'espressione dy/dx, _non_sono_quantita'_finite_.
Altrimenti ricadi nella critica del Berkeley.
Prova a dare un'occhiata qui, magari ti e' di aiuto,
altrimenti non ho capito il tuo problema...
http://dipmat.math.unipa.it/~grim/analisi-non-st.pdf
http://digilander.libero.it/maffini/pubblicazioni/An-s.pdf
E qui un'introduzione all'analisi non standard, se
ti interessa (alla faccia dell'introduzione: sono 180 pag).
http://dipmat.math.unipa.it/~grim/analNonquad5.pdf
&

 perche' no?).
Questo è il punto cruciale. Io dico che i differenziali sono finiti,numeri
reali. df in particolare indica l'incremento lungo la tangente della
variabile dipendente, mentre dx indica l'incremento della variabile
indipendente. Ora, io quando scrivo df/dx faccio la divisione tra i due
numeri reali df e dx, definiti per mezzo della derivata e non definenti la
derivata. Quindi posso scrivere:
f'(x) = df/dx
Ma, ripeto, sto parlando di df e dx come differenziali che quindi non
definiscono, col loro rapporto, la derivata, ma sono da essa definiti ed ad
essa uguali nel loro rapporto.
Il punto è che non è colpa mia se df/dx è anche il simbolismo usato per
definire indicarwe la derivata Io preferisco indicarla con f'(x), così evito
i problemi.
Il punto è qundi che:
df/dx è il simbolo usato (credo da Leibniz) per indicare la derivata e df e
dx sono degli infinitesimi, inaccetabili da l punto di vista della analisi
classica (infinitesimi attuali)
ma
df/dx, definito per mezzo della derivata è anche il rapporto tra due numeri
finiti.
Dove sbaglio se ragiono così, ossia se ignoro la notazione Leibniziana e
penso solo, vedendo df/dx, che si tratta di una normale divisione tra
numeri?
--
Saluti,
Alfred

 numeri?
In questo senso non sbagli. Tieni conto pero' che df e' funzione
gia' di dx tramite la derivata, come dicevo sopra. Quindi in realta'
stai facendo il rapporto di quantita' finite considerando degli
incrementi finiti. Pero' l'incremento df lo hai gia' definito a priori.
A rigore i differenziali cosi' definiti dovrebbero essere dei "delta".
Sinceramente non so a cosa possa servire scrivere f'(x)=df/dx.
Se in senso di _definizione_ e' sbagliato per i motivi gia' detti.
Se per _calcolare_ la derivata nel caso che tu dovessi "misurare"
in qualche modo il df, ma in quel caso il calcolo e'
approssimativo. Il df non lo si misura, lo si definsce e
per definirlo hai bisogno della derivata. Lo trovo fuorviante.
E' sensato invece scrivere df= f'(x) dx, che ti permette di definire
un incremento locale lineare della funzione (conoscendo la derivata).
Sbagli inoltre se vuoi a tutti i costi considerare i df e dx che definiscono
il tuo differenziale come gli infinitesimi di Newton e Leibnitz
(mi pare che Newton le chiamasse le "flussioni" o "i fluenti",
comunque la nota storica e' ben spiegata nei link che ti ho dato).
&

 Leibnitz
No, no. Come ho scritto lungo tutto il thread, io non li penso proprio gli
infinitesimi di Leibniz, anzi...gli ignoro del tutto.
Grazie

 priori.
Rimane però il mio dubbio iniziale. Perchè su ism continuano a dirmi che il
differenziale non è un incremento ma un'applicazione lineare? E che non ha
senso dividere df/dx, visto che sono due applicazioni lineari e non due
numeri?

 numeri?
Non e' che non abbia senso. Se df e dx sono definiti non vedo
perche'. Io personalmente non ne vedo l'utilita'.
Comunque non so cosa ti abbiano detto su ism.
Se lo vuoi fare per definire la f' abbiamo detto che e'
sbagliato. Comunque, visti i tuoi dubbi, passo la mano a
qualche professionista della didattica, visto che io non
sono in grado di farmi capire o forse non capisco i tuoi dubbi.
&
&

sbagliato.
Benissimo!
Grazie per l'aiuto. A te sembra di nion capirmi o di non farti capire, ma io
ti seguo bene. Non capisco invece quanto spiego sopra.
Ripeto:
df è funzione di dx e di f'(x), perchè allora non posso fare la divisione
tra funzioni? In fonso quando scrivo f(x)/g(x) non faccio una divisione tra
il valore che assume f e quello che assume g per un determinato valore di x?
--
Saluti,
Alfred