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Titolo: elettrostatica -sulla corona sferica

Salve a tutto il newsgroup.
Il problema che propongo è quello di determinare la distribuzione
superficiale di
carica sulla superficie interna di una "corona sferica" conduttrice
scarica ed isolata, distribuzione indotta da una carica puntiforme che
si trova nella cavità interna in una posizione diversa dal centro
della corona.
Per essere pignoli: la corona sferica conduttrice scarica ha equazione,
detti R_i ed R_e (R_i < R_e ) rispettivamente il raggio interno ed
esterno della corona,
R_i \leq x^2 + y^2 + z^2  \leq R_e
(\leq sta per minore oppure  uguale)
La carica interna puntiforme si trova in un punto fissato della cavità
(della gabbia-corona di Faraday), diciamo a distanza a<R_i dal centro
della corona.
Io ho risolto in passato il problema classico di determinare il
potenziale in un punto dello spazio esterno ad una sfera scarica
conduttrice isolata con carica puntiforme ad essa esterna col metodo
delle immagini. Anche il problema della corona sferica che ho proposto
è un problema di Neumann. Per certi versi simile.
La mia idea per determinare la distribuzione di carica indotta sulla
superficie interna della corona (superficie interna che borda la
cavità) è quella di utilizzare il metodo delle cariche immagine.
Mentre sto scrivendo sto pensando che sarebbe meglio prima risolvere il
problema "intermedio" della determinazione del potenziale generato da
una corona sferica scarica isolata con carica puntiforme ad essa
esterna, diciamo a distanza "b>R_e" dal centro della corona.
Ludo

 delle immagini.
...
E allora ci sei!
Infatti in passato hai trovato una soluzione con una carica immagine all'interno
della sfera, di valore tale e a una distanza tale dal centro della sfera in modo
che la superficie della sfera risultasse equipotenziale, ma adesso devi ancora
soddisfare la stessa condizione (che la superficie della sfera sia equipotenziale),
quindi basta scambiare il ruolo della carica puntiforme reale (che adesso sara'
all'interno della sfera) con quello della carica immagine (che adesso si trovera'
all'esterno) per avere la soluzione.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 all'esterno) per avere la soluzione.
No, così non va, o quanto meno non basta. Infatti con una sola carica
immagine (quella data dal teorema di Apollonio) il potenziale della
superficie sferica interna è zero.  In questo modo sarebbe quindi
risolto il problema che ho presentato nell'ipotesi in cui la corona
sferica sia a massa. D'altra parte, nell'ipotesi con cui ho formulato
il problema postato inizialmente, -corona sferica conduttrice scarica
isolata-, non basta la carica nella posizione "di Apollonio". Sarebbe
come consirare una sfera conduttrice scarica isolata con una carica
esterna, e considerare come sola carica immagine quella di apollonio.
Invece in quel caso ci vuole anche un'altra carica immagine, nel
centro. Nel problema della corona sferica, questa seconda carica
immagine che mi "aggiusti" le condizioni al contorno, non la posso
mettere nel centro, perché il centro sta nella regione in cui voglio
trovare il potenziale. E dunque... boh, ci penso da tutto il pomeriggio
ma non ci cavo un ragno. Vi chiedo per questo un hint...
Grazie in anticipo, Ludo

 ...
Sai che all'inizio mi era sembrato un problema banale, mentre ora sono
in imbarazzo?
L'imbarazzo e' che ora non so decidere se e' in effetti facile ma mi
sta sfuggendo l'uovo di Colombo per dare la soluzione, oppure se c'e'
una reale difficolta'.
Ci pensero', magari mentre di notte sto sveglio per il caldo :-)
-- 
Elio Fabri

Vediamo se riesco a dare una soluzione suff. rigorosa.
Per cominciare, ripeto il problema.
Abbiamo un guscio sferico, conduttore ma scarico: raggio interno Ri,
raggio esterno Re.
Internamente a questo e' presente uan carica puntiforma q, a distanza
a<Ri dal centro.
Determinare la carica indotta sulla superficie interna del guscio (e
anche su quella esterna, tanto che ci siamo ;-) )
1. Dato che lo spazio tra le due sfere di raggi Ri e Re e'
equipotenziale, il flusso di E attraverso una sfera di raggio
intermedio tra Ri e Re e' nullo. Questo basta per garantire che la
carica totale indotta sulla superficie interna e' -q.
2. Dato che il guscio e' neutro, la carica sulla sup. esterna e' q. La
sup. esterna e' equipotenziale, porta carica q: dunque il campo
esterno e' lo stesso di una carica q puntiforme posta nel centro
(questo era noto).
3. La carica sulla sup. esterna produce campo nullo all'interno;
quindi possiamo dimenticarla agli effetti del campo. Non pero' agli
effetti del potenziale, al quale contribuisce q/Re (unita'
elettrostatiche).
Ne segue che la carica q, piu' quella distribuita sulla sup. interna,
debbono dare campo nullo per r>Ri.
4. Per la superficie interna, consideriamo il problema con carica
immagine: carica puntiforme q a distanza a dal centro, carica
q'=-q*a/Ri, situata a distanza b=Ri^2/a dal centro.
Questa coppia di cariche produce potenziale nullo sulla sfera Ri,
quindi riproduce correttamente il campo all'interno (ma non
all'esterno).
5 Consideriamo ora due altre situazioni:
5a. Sostituiamo q' con una distribuzione sulla sfera Ri, avente
densita' sigma=-4*pi*|En|, dove En e' la componente normale di E nel
punto generico della sfera nella disposizione 4.
5b. Sostituiamo q con una distribuzione sulla sfera Ri, avente
densita' sigma=4*pi*|En|.
La somma di 5a e 5b riproduce 4.
6. E' noto che 5b e' la soluzione al problema di una carica q' in
presenza di un conduttore sferico Ri messo a terra, e che 4 e' del
tutto equivalente quanto al campo esterno.
Ne segue che 4-5b, ossia 5a, produce campo nullo all'esterno di Ri, ed
e' quindi la soluzione del problema.
-- 
Elio Fabri

 e' quindi la soluzione del problema.
anche qui non capisco.
Ludo

 anche qui non capisco.
Non so che cosa potrei aggiungere.
Ho gia' detto che devi applicare il pr. di sovrapposizione.
 
-- 
Elio Fabri