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Titolo: questa strana corrente di spostamento

Quando si parla dell'applicazione del teorema di Ampere corretto
secondo Maxwell si dice che quando si considera un percorso chiuso
attorno al filo percorso da corrente in un circuito RC ad esempio,
fuori dal condensatore si ha mu zero i, ovvero si ha il contributo
della corrente di eletroni se si considera una superficie esterna al
condensatore e lo stesso valore dovuto alla corrente di spostamento.
Questo fatto si giustifica con il fatto che il flusso del campo
elettrico all'interno del condensatore varia e questo causa la corrente
di spostamento, ma se si considera il campo che crea la corrente nel
filo anche questo varia e quindi ci dovrebbe essere un corrente di
spostamento anche dentro al filo. Perché invece non si considera
questa corrente? 
Grazie

Se fai i conti il campo magnetico indotto da questa corrente ha una
costante di proporzionalità pari a mu_0*epsilon_0=1/c^2 , che è
appunto un valore MOLTO piccolo. In pratica l'approssimazione è
considerare la velocità di propagazione dei campi infinita.
In questo modo trascuri i campi magnetici indotti dai campi elettrici
variabili.
Tutta via ti resterebbe una corrente nel filo variabile nel tempo e
quindi un campo magnetico variabile, che induce un campo elettrico.
Però puoi approssimare ulteriormente se consideri che la carica del
condensatore va all'incirca come exp(-t/RC), per cui la corrente e le
sue variazioni rispetto al tempo diventano presto molto piccole.
In realtà se volessi la soluzione esatta secondo le equazioni di
maxwell avresti delle vere e proprie onde elettromagnetiche emesse dal
filo e dalle piastre del condensatore: infatti puoi vederla così: un
campo elettrico variabile induce un campo magnetico variabile nelle
regioni adiacenti, che induce a sua volta un campo elettrico variabile
nelle regioni adiacenti e così via.
Comunque quando tratti i circuiti elettrici si trovano delle soluzioni
approssimate delle equazioni di maxwell, in cui ad esempio consideri la
propagazione dei campi istantanea (per esempio la formula per le
induttanze, in cui dici che la tensione è semplicemente -L*di/dt)

Prima di tutto grazie per la risposta che mi conferma che anche
all'interno del filo c'è una corrente di spostamento.
Potresti aiutarmi a capire il calcolo che hai fatto per B:
mu_0*epsilon_0=1/c^2
Inoltre come è possibile il fatto che questa corrente di spostamento
crei un campo B così piccolo attrorno al conduttore ma poi dia un
contributo pari a quello della corrente effettiva all'interno del
condensatore? (si dimostra su tutti i libri che nel condensatore la
corrente di spostamento ha una intensità pari a quella della corrente
nel conduttore e quindi devo supporre che anche il campo magnetico da
essa generata sia analogo.
Ne posso concludere che dal punto di vista teorico, visto che dici che
il contributo 蠰iccolo, il campo magnetico maggiore all'intorno del
conduttore che all'interno del condensatore?
Quindi la parte del circuito che emette onde elettromagnetiche è
maggiore nel filo che nel condensatore, no?
Grazie di nuovo

allora, non è epsilon_0*dE/dt che è pari alla corrente che circola
nel circuito, ma il FLUSSO di epsilon_0*dE/dt
epsilon_0*dE/dt è una DENSITA' DI CORRENTE. Il vettore densità di
corrente può essere definito in diversi modi: se tu hai una superficie
e vuoi sapere quanta corrente ci passa attraverso complessivamente,
devi fare il flusso del vettore densità di corrente attraverso questa
superficie. Immagino che sebbene epsilon_0 *dE/dt sia una densità di
corrente molto piccola, sei fai il suo flusso attraverso una superficie
molto grande (tale da coprire tutte le linee di campo elettrico che
partono dal condensatore) ti venga una corrente di dimensioni normali.
In pratica una visione molto "alla buona" è prima di arrivare sulle
piastre del condensatore la corrente è tutta concentrata nel filo,
mentre poi si distribuisce su una superficie molto grande (non come
corrente fisica ma come corrente di spostamento)....

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Se mi chiedi il perché della relazione: mu_0*epsilon_0=1/c^2, è una
relazione che si ottiene a partire dalle equazioni di maxwell quando
vuoi ottenere l'equazione d'onda.
Hai le tue 4 belle equazioni di maxwell (flusso di E uguale q su
epsilon_0, flusso di B sempre nullo, circuitazione di E uguale -
dflussoB/dt e circuitazione di B uguale mu_0*flusso di
corrente+mu_0*epsilon_0*dflussoE/dt).
Come vedi compaiono solo le costanti mu_0 e epsilon_0. Quello che vedi
è che: campo elettrico variabile induce campo magnetico...anche questo
spesso è variabile quindi induce a sua volta un campo elettrico. Da
questo ricavi una relazione tra le derivate seconde spaziali (date da
flussi, circuitazioni ecc..) del campo E e la sua derivata seconda
temporale, che è appunto l'equazione d'onda (eq. di D'Alembert). La
derivata seconda temporale ti verrà moltiplicata per una costante,
mu_0*epsilon_0, che in generale nell'equazione rappresenta 1/(velocità
di propagazione)^2. Da qui trovi la relazione tra velocità della luce
e costanti mu-0 e epsilon-0

Spiegazioni ulteriori....prima di tutto, distinguiamo tra il campo
elettrico variabile tra le piastre del condensatore e quello
all'interno del filo.
Allora, per quanto riguarda il campo elettrico tra le piastre, vale
quello che ti dicevo nel post subito prima, ossia la densità di
corrente di spostamento è sì piccola, ma se fai il suo flusso
complessivo (ossia su una superficie che contenga tutte le linee di
campo che partono da una piastra per andare verso l'altra) ti viene
proprio pari alla corrente che circola nel circuito RC, ossia la
variazione di carica totale sulle piastre.
Quindi credo che per continuità generi in prima approssimazione un
campo magnetico abbastanza simile a quello che ci sarebbe se il filo
non fosse interrotto dal vuoto che c'è tra le due piastre.
Il tuo altro dubbio era: ma se la corrente che passa nel filo è
variabile, per la legge di ohm dovrebbe esserci una tensione variabile
ai suoi capi e quindi un campo elettrico variabile, e questo campo
elettrico variabile dovrebbe indurre un campo magnetico!
Direi che se vuoi capire la corrente di spostamento faresti meglio a
prendere un'esempio più semplice, in cui non supponi che il filo abbia
una resistenza R, ma semplicemente che arrivi una certa corrente
all'interno di esso. Volendo potrebbe non essere il campo elettrico a
spingere le cariche attraverso il filo...potrebbe essere qualsiasi
cosa, ma questo ai campi non interessa: ai campi interessa solo
l'andamento della densità di carica e della densità di corrente, non
cosa causa le loro variazioni.
Allora per fare un esempio "da manuale" direi di considerare questo
caso invece:
hai un condensatore a piatti piani infiniti paralleli, paralleli al
piano yz, che sono posizionati a x=-d/2 e x=+d/2 rispettivamente.
In questo esercizio la corrente che li carica non è concentrata in un
filo, ma è distribuita uniformemente nell spazio in questo modo:
J_x=J per x<-d/2 e x>d/2,
J_x=0 per -d/2<x<d/2
J_y=0
J_z=0
Così vedi che ogni unità di superficie sulle piastre del condensatore
riceve direttamente la carica. Se invece la corrente tutta concentrata
in un filo che finisce nel centro di una piastra, avresti delle
correnti lungo le piastre (in direzioni radiali) che portano carica
alle regioni più lontane dal centro.
Il campo magnetico al di fuori delle piastre dovrebbe avere la forma:
B_x=0
B_y=kz
B_z=(mu_0*J+k)z
k è una costante "arbitraria"...ho dato questa forma al campo
solamente per fare in modo che la circuitazione del campo magnetico sia
pari al flusso di corrente, e che il campo abbia sempre flusso nullo.
In realtà mi resta il dubbio su come determinare la costante k....su
questo dovremo chiedere aiuto a qualcun'altro.
Il campo elettrico all'interno del condensatore dovrebbe avere la
forma:
E_x(t)=sigma(t)/epsilon_0
E_y=0
E_z=0
d(sigma)/dt=J
quindi il vettore densità di corrente di spostamento tra le due
piastre ha la forma:
epsilon_0*dE_x/dt=J
Come vedi c'è una densità di corrente di spostamento uniforme nello
spazio vuoto tra le due piastre, pari proprio a J. Vedi chiaramente la
continuità tra corrente e corrente di spostamento.
Il campo magnetico tra le due piastre ha esattamente la stessa forma di
quello fuori:
B_x=0
B_y=kz
B_z=(mu_0*J+k)z
Il campo elettrico ha circuitazione nulla, e B non cambia rispetto al
tempo, quindi abbiamo rispettato anche la legge dell'induzione di
Faraday-Lenz.
In questo caso non hai radiazione elettromagnetica. Ovviamente è un
caso molto accademico, però si vede chiaramente che il flusso della
corrente di spostamento è pari al flusso di corrente che arriva sulle
piastre del condensatore.

La chiarezza non è il mio forte, scusa, forse perché fatico a capire
anch'io queste cose...
facciamo TABULA RASA
un risultato notevole è che se hai un condensatore fatto da piatti
conduttori e la corrente che li carica è costante, allora hai un
comportamento molto semplificato con cui la corrente di spostamento si
vede bene, e visto che la corrente è costante non ci sono onde
elettromagnetiche.
In generale tu hai il tuo condensatore, che in condizioni statiche è
un sistema tale che se metti una carica +q su un piatto e una -q
sull'altro, si forma un campo elettrostatico proporzionale a q.
E(x,y,z)=q*f(x,y,z)
Una proprietà importante del campo elettrostatico che parte dai
conduttori è questa: il flusso di E attraverso una superficie "bucata"
da tutte le linee del campo è sempre q/epsilon.
Ora se la tua corrente è costante e pari a i, il campo avrà una forma
abbastanza semplice:
E(x,y,z,t)=q(t)*f(x,y,z)
dE/dt=dq/dt*f(x,y,z)=i*f(x,y,z)
dove f(x,y,z) l'abbiamo vista prima nel caso statico.
Il campo elettrico variabile quindi è proporzionale al campo che si
avrebbe in condizioni statiche, dove la carica q però varia
linearmente nel tempo.
Ora dato che questa forma di campo elettrico variabile è proporzionale
al campo statico, si ha che il campo è conservativo.
Quindi la circuitazione di E è nulla per qualsiasi curva chiusa,
quindi B non varia rispetto al tempo (legge di faraday-lenz).
Ora vediamo come calcolare B:
ci sono zone al di fuori del condensatore per cui il campo elettrico è
nullo, mentre c'è una densità di corrente. Prendi quindi una curva
chiusa per cui la superficie delimitata è completamente al di fuori
delle due armature del condensatore, e che contiene tutto il filo
conduttore attraverso cui passa la corrente (ossia contiene tutte le
linee di flusso del vettore densità di corrente).
La circuitazione ti viene pari a mu*flusso(J)=mu*i
Ma nota una cosa: il teorema di ampere stabilisce che la circuitazione
su una curva "C"  è pari al flusso di J attraverso una superficie S
QUALSIASI che abbia come contorno quella curva C. Allora potrei
prendere una superficie S' che non viene bucata da nessun vettore
densità di corrente, e che passa per lo spazio tra le due armature, e
che ha come contorno proprio C!
Se usassi quindi il teorema di ampere per la magnetostatica usando S'
come superficie, mi verrebbe circuitazione nulla su C, mentre sulla
stessa curva C avevo circuitazione mu*i!!
Ci dev'essere qualche errore nella legge di ampere...ma se introduci la
correzione che la circuitazione di B non è pari solo a mu*flusso(J),
ma pari a mu*flusso(J+epsilon*dE/dt), allora i conti tornano!
Infatti flusso(epsilon*dE/dt in S') è pari a d(epsilon*flusso(E in
S'))/dt, ossia epsilon*dq/dt*1/epslion=dq/dt
Cosa significa questo? Significa che anche se le linee di flusso della
corrente apparentemente si interrompono, le linee di flusso di
J+epsilon*dE/dt sono invece sempre chiuse....
il campo B è analogo a quello che si avrebbe se ci fosse una
distribuzione di corrente stazionaria pari a J+epsilon*dE/dt.
Dove J è assente, le linee vengono continuate da dE/dt.
Dalla conservazione della carica elettrica si ha che flusso(J)
attraverso una superficie chiusa è pari a -d(carica dentro la
superficie)/dt.
Dalle equazioni di Maxwell si ha che flusso di epsilon*dE/dt=dq/dt
Quindi la somma di J e epslion*dE/dt ha sempre flusso nullo attraverso
una superficie chiusa.
La soluzione di questo caso è giusta perché rispetta tutte le
equazioni di maxwell: J e dE/dt sono costanti nel tempo: la
circuitazione di B è costante nel tempo. Il flusso di B è sempre
nullo, per cui deduciamo dalla costanza nel tempo di circuitazione e
flusso che anche B è costante nel tempo.
Se B è costante nel tempo anche il suo flusso attraverso una
superficie lo sarà, quindi la circuitazione di E sarà sempre nulla, e
questo è coerente col campo ipotizzato, che era appunto conservativo.
Il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa è pari alla
carica contenuta diviso epsilon (anche se questa carica è variabile
nel tempo)...voilà, abbiamo rispettato tutte le equazioni di Maxwell.
E' importante notare però che la soluzione era semplice perché
abbiamo ipotizzato che la corrente fosse costante!
Il flusso di E attraverso una superficie chiusa