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Titolo: Numero di stati e spazio delle fasi

Se metto in una scatola di volume V una particella di massa m, libera di
muoversi nelle tre direzioni, fissata una energia massima E, si può
calcolare, praticamente usando solo la relazione di indeterminazione, il
numero di stati N della particella.
N=h^(-3) * (4/3)Pi(2mE)^(3/2) *V
dove h è la costante di Plank.
La cosa che personalmente mi sconvolge è che il numero di stati è
esattamente il volume accessibile nello spazio delle fasi ( in unità h^3 ).
Lo spazio delle fasi è qui a sei dimensioni.
Questa relazione ( numero di stati = volume accessibile nello spazio delle
fasi ) è una cosa nota, o l'ho vista io adesso( cosa poco probabile ) ?
Si può derivare in generale?
Grazie
Eleonora

 Eleonora
Ciao,
unit

 probabile ) ? Si può derivare in generale?
AFAIK, in meccanica statistica. Si introduce una funzione G(E) pari al peso
statistico dovuto allo spin moltiplicato l'integrale sullo spazio delle
fasi. La regione di integrazione è tale che H(x,p)<E.
G(E) ti dà proprio il numero di stati microscopici in corrispondenza dei
quali l'energia del sistema è <E.
Se poi fai la derivata di G(E) ottieni la densità degli stati.
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extrabyte

 Si puo' derivare in generale?
Ricordo che e' stato dimostrato che l'andamento _asintotico_ del numero
di stati in funzione dell'energia e' indipendente dalla forma della
scatola. Ma non ricordo la dimostrazione, ne' saprei dove trovarla.
L'andamento asintotico basta per le applicazioni alla meccanica
statistica, dove interessa il limite termodinamico.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 Si può derivare in generale?
Attenzione però! Se fai il conto in modo standard ti accorgi che c'è
l'approssimazione semiclassica.
La struttura discreta dello spazio delle fasi viene sostituita da una
struttura continua quando si introducono le relazioni passando attraverso
quantità infinitesime (nel nostro dp, infinitesimo matematicamente, vi è un
numero grande di stati... è un trucco ricorrente in fisica, bisogna tener
presente il significato di questo passaggio)
Nello stato di minima energia, per il quale si ha la condensazione di
Bose-Einstein la struttura continua conurrebbe erroneamente ad una densità
di stati uguale a 0 per p=0.
Ciao Claudio

 scatola. Ma non ricordo la dimostrazione, ne' saprei dove trovarla.
Se non ricordo male (vado a memoria e non ho il tempo per verificare) ci 
dovrebbe essere una discussione e riferimenti (non son sicuro che ci sia 
anche la dimostrazione) nel Courant e Hilbert "Methods of mathematical 
physics".
Giorgio

"Elio Fabri" <
| Quando la m.q. non era ancora nota, si usava appunto come criterio per
| il calcolo degli stati: "uno stato per ogni cella di volume h^3".
......
La verità è, professore, che ho scoperto da poco l'esistenza dello spazio
delle fasi.
E ne sono stata colpita.
A me pare un teatro veramente molto interessante per rappresentare la
fisica, tanto che non mi spiego perchè non venga insegnato al liceo.
E' ricco di strane relazioni.
Ad esempio, il logaritmo del volume accessibile nello spazio delle fasi è, a
meno di costanti, l'entropia del sistema.
Rappresenta, per così dire, la quantità di caso contenuta.
Anche in f. classica sono interessantissime le belle traiettorie disegnate
in questo spazio.
Devo ancora approfondire, ma il fatto che anche in uno spazio delle fasi a
molte dimensioni le traiettorie si sviluppino in un ristretto numero di
dimensioni, mi pare sottintenda qualcosa di profondo, che non riesco ancora
a mettere a fuoco.
I testi che ho trovato per approfondire sono quelli degli attrattori strani,
del caos, ma non mi sembra la strada maestra.
Hai qualche consiglio?
Eleonora

a mettere a fuoco.
Sparo la mia: non e' a causa delle leggi di conservazione ?? 
(le quantita' conservate sono funzioni delle x e p)
er focaccia