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Titolo: velocità come derivata della legge oraria in relatività

Buongiorno a tutti. Scusate, ma non riesco a trovare una trattazione dell'argomento sul gruppo.
 
 
Sto tentando di mettere insieme matematica e fisica per l'elaborato di quinta dei miei studenti in modi diversi dalla derivata nella legge di Faraday-Neumann-Lenz, perciò mi lancio in pensieri arditi e probabilmente sbagliati.
 
 
 
 
Data una legge oraria del moto in un sistema di riferimento A, applicando le trasformazioni di Lorentz posso ottenere una legge oraria nel sistema di riferimento B, intesa come una funzione del solo tempo in B che mi fornisca la posizione in B? Guardando le trasformazioni di Lorentz mi verrebbe da dire di no perché xB e tB dipendono entrambi sia da xA che da tA (volendo provare a parlare di fisica lascio perdere le considerazioni filosofiche sullo spaziotempo che, apparentemente, appoggiano questa idea).
 
 
La conseguenza nel mio ragionamento è che non riuscendo a individuare la dipendenza di x da t non è possibile definire la velocità come derivata temporale della legge oraria.
 
Già questo mi sembra un errore: l'idea che v=x'(t) sarebbe un'idea "classica"?
 
 
Inoltre in entrambi i sistemi di riferimento io posso dare una misura della posizione ad ogni istante ottenendo una legge oraria (ciascuna valida nel rispettivo sistema) e riprendere il discorso "classico" di velocità come derivata.
 
Allora è chiaro che sto facendo qualche errore da qualche parte. Ma non riesco a capire dove.
 
 
 
 
A questo aggiungo la parte tecnica in cui vorrei ricavare la legge di composizione relativistica delle velocità applicando le regole di derivazione alle trasformazioni di Lorentz usando eventualmente una qualche funzione composta non ancora identificata. Questo aspetto era stato, in realtà, il mio punto di partenza perché avevo decisamente sottovalutato la questione ed ero partito a testa bassa coi calcoli rendendomi conto solo dopo 10 minuti che qualcosa non andava.
 
Scusate se ho banalizzato troppo i concetti, spero di non averli eccessivamente involgariti.
 
Grazie a chi mi risponderà.

 eccessivamente involgariti.
Non hai banalizzato. Casomai, non hai colto la natura matematica del
problema e ti sei perso in difficoltà apparentmente di calcoli ma in
realtà di concetti.
 
Scendiamo sul terreno concreto. Hai due sistemi di coordinate: (x,t) e
(x't'), legati dalle trasf. di Lorentz (ma potrebbe essere una
qualsiasi altra trasf. di coordinate: il problema resterebbe lo
stesso).
x' = g*(x - ut)  (1)
t' = g*(t - ux). (2)
Nota: g sta per gamma e uso u per la vel. del rif. B rispetto ad A per
lasciare v come velocità del punto mobile in A (e v' in B).
Ho messo c=1 per semplificare le formule.
La legge oraria in A sia x = f(t). Vuoi trovare x' = f'(t').
(Naturalmente qui gli apici non indicano derivata!)
 
Sostituisco f(t) al posto di x in (1) e (2):
 
x' = g*(f(t) - ut)   (3)
t' = g*(t - u*f(t)). (4)
 
Occorre solo risolvere la (4) rispetto a t e sostituire il risultato
in (3).
Il problema pratico è che quel "risolvere" puè non essere facile e anche
in casi comuni ti può dare espressioni complicate...
Vediamo un caso semplice: f(t) = vt.
Allora la (4) diventa
t' = g*(t - u*v*t) = g*(1 - u*v)*t
t = t'/[g*(1 - u*v)].
Sostituisco in (3):
 
x' = g*(v*t -u*t) = g*(v-u)*t'/[g*(1 - u*v)] = [(v-u)/(1 - u*v)]*t'
 
Quindi
 
v' = (v-u)/(1 - u*v).
 
Ma se invece di f(t) = vt avessimo
f(t) = a*t^2/2  (5)
le cose si complicherebbero, perché sostituendo nella (4) avremmo
 
t' = g*(t -u*a*t^2/2)
 
e questa in t è di secondo grado; quindi la soluzione implica una
radice quadrata che poi dovremmo sostituire in (3).
Si può fare, ma non è divertente...
Altra notazione matematica. La (5) è l'eq. di una parabola e le trasf.
di Lorentz sono le eq. di un'affinità nel piano.
Si sa che un'affinità manda una parabola in una parabola, ma il
vertice e l'asse non restano invarianti. Quindi la parabola
trasformata riesce obliqua e taglia due volte l'asse x.
Il che fisicamente corrisponde al fatto che la legge oraria (5) supera
la velocità della luce e quindi descrive un moto impossibile in
relatività.
 
Resta la questione delle derivate, che è semplice.
Deriviamo (3) e (4) rispetto a t:
 
dx'/dt = g*(v(t) - u)    (6)
dt'/dt = g*(1 - u*v(t))  (7)
 
La derivata della funzione inversa t(t') è
dt/dt' = 1/[g*(1 - u*v(t))].
Quanto a dx'/dt' si tratta della funzione composta x'(t) con t(t'),
quindi basta fare il prodotto delle derivate:
v' = dx'/dt' = (v(t) - u)/(1 - u*v(t)).
Però v' è data come funzione di t, non di t'.
Se la vuoi come funzione di t' devi invertire la (4) come già detto.
 
Termino con un'annotazione didattica.
Tu hai scritto:
 > Sto tentando di mettere insieme matematica e fisica per l'elaborato
 > di quinta dei miei studenti
C'è solo un problema: in tutto questo la fisica *non c'è*.
E' vero che usi le trasf. di Lorentz, ma il lavoro da fare sarebbe
stato lo stesso se invece di (1), (2) avessimo scritto - che so - una
rotazione nel piano (x,t), che non ha nessun significato fisico.
L'effetto pratico di un simile approccio è quindi di nascondere la
fiica sotto la matematica.
 
E' proprio per questa ragione che io vado sconsigliando da anni di
usare le trasf. di Lorentz nella scula secondaria.
Forse sai che da molto tempo lavoro sull'insegnmento della relatività,
e che 15 anni fa è uscito un mio Quaderno: lo trovi in
http:
www.sagredo.eu/Q16
 
e le trasf. di Lorentz *non ci sono*.
La lez. 8 è quella che tocca più da vicino l'argomento e ci trovi
anche una breve discussione sul perché è meglio lasciare da parte le
TdL.
In materia di relatività c'è molta fisica più importante da fare e che
invece di solito finisce trascurata. Anche grazie alle IndNaz.
Ma almeno quest'anno abbiamo la fortuna che non ci dobbiamo preoccupare
di uno scritto "ministeriale": l'insegnante può fare quello che vuole
e se fa una scelta a mio gudizio sbagliata non ha alibi.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
Avevo scritto un giorno fa una  "controrisposta" che non Ã¨ stata pubblicata, ma probabilmente Ã¨ andata persa a causa di un mio problema tecnico (lo dico perchÃ© invece Ã¨ visibile una risposta ad un altro thread che ho messo poco fa). Di tutto quello che avevo scritto vorrei che arrivasse almeno il ringraziamento al prof. Fabri per la risposta su cui avrÃ² un po' da elaborare.
 
[mod: non vedo il mesasggio a cui ti riferisci nella coda di moderazione. Se vuoi, invialo di nuovo]