Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: equazioni differenziali II ordine

Non so come trovare le soluzioni particolari delle equaz. differenziali
lineari non omogenee del II ordine a coefficienti costanti
Es. ay'' + by' + cy = f(x)
Grazie

Shinji-kun wrote:

Ti dico il metodo che avevo trovato io (in seconda superiore!).
Parti dall'equazione del prim'ordine:
y'+ay = f(x)
questa la scrivi
(D + a) y = f                                         (1)
e la sai risovere:
y  =  exp{-ax} int egrale  f(x) exp{ax} dx  + C
dove C e' la solita costante arbitraria. Formalmente allora puoi scrivere
da (1)
 y = (D+a)^{-1} f   dove PER DEFINIZIONE
 (D+a)^{-1} f   :=  exp{-ax} int egrale  f(x) exp{ax} dx   + C   (2)
C e' arbitraria.
Considera ora l'equazione
ay'' + by' + cy = f(x)
Questa la puoi riscrivere, se s e s' sono le due soluzioni di
ax^2 +bx +c = 0
come
(D+s)(D+s') y = f
da cui
(D+s') y  = (D+s)^{-1} f
e quindi interpretando il secondo membro come detto in (2):
y =  (D+s')^{-1} [ (D+s)^{-1} f  ]
Il metodo si generalizza ad equazioni a coefficienti costanti di ordine
arbitrario purche' tu conosca le radici del polinomio associato.
 Ciao, Valter Moretti


Scusa, le soluzioni NON sono s e s' , ma -s e  -s'!
Maledetta fretta! Ora chiudo, devo lavorare!!!! ciao a tutti.
 Valter

 Ciao, prova utilizzando come soluzioni particolari termini noti che
abbiano la stessa forma funzionale del termine non omogeneo f(x). Ad
esempio, se f(x) č polinomiale, la tua soluzione particolare del problema
non omogeneo molto probabilmente č di tipo polinomiale.
Ciao, Francesco


Saluti
Francesco Ballati


Completamente off topic! Pero' ti rispondo...
Forse era terza Liceo, non mi ricordo bene. Il fatto e' che avevo
imparato
i primi rudimenti di analisi matematica intorno ai 12 anni  trovando un
libro di analisi matematica (o forse me lo ero comprato? troppi anni
sono passati: 23 per l'esattezza)...cosi' dopo un po' di pratica,  i
primi anni delle superiori cominciai ad armeggiare con queste cose in
modo del tutto autonomo e mi occupai di quel problema, mostrando che
c'era una struttura di gruppo ecc... Non mi ricordo piu' bene... Mi
ricordo che ci scrissi sopra un trattatello e partecipai al "Concorso
Philips per giovani ricercatori", ma non ebbe molto successo...
Ciao, Valter

Ringrazio tutti di cuore.
Ancora non ho letto le risposte ma ho visto che sono addirittura 7
quindi vi ringrazio anchè perché questo è un newsgroup di fisica e non
di matematica ^^ (infatti volevo mandare il messaggio là, ho sbagliato,
ma sono stato fortunato! :)))))
Iacopo

Darth Vader
ICQ: 6486772 | FidoNet: 2:335/801.79
[Darth.Vader(at)TiscaliNetDOTit]

Es. ay'' + by' + cy = f(x)
Se f(x) e' un polinomio, o un esponenziale (anche di un numero complesso, ossia
seno e coseno), e' molto facile, e si usa il "metodo dei coefficienti
indeterminati". Altrimenti, sapendo i due integrali particolari, si usa il
"metodo della variazione delle costanti di Lagrange".


 [Darth.Vader(at)TiscaliNetDOTit]
Ciao, invece funziona,  mi spiego meglio.
Prendiamo il caso del secondo ordine, tanto e' uguale
ay'' + by' + c = f
dato che a e' diverso da zero (VERO secondo ordine) dividiamo per a
y'' + (b/a)y' +(c/a) = f(x)/c
ovvero
D^2 y + (b/a)D y +(c/a)  = f(x)/a
ovvero, tenedo conto che le derivate agendo su costanti producono il risultato
nullo
(D-s)(D-s') y   = f(x)/a                          (1)
dove ho usato il fatto che s e s' sono le soluzioni di
X^2 + (b/a)X + c/a = 0  ovvero di       aX^2 + bX + c = 0
e che se s e s' sono le soluzioni di sopra allora
aX^2  + bX + c = a(X-s)(X-s')
tornando alla (1) e chiamando z = (D-s') y si ha l'equazione del prim'ordine
z'  +  s = f(x)/c
ovvero
z = exp{-sx} [ int exp(+sx) f(x)/a dx + C ]
e il secondo membro lo posso indicare con
(1/a)[(D-s)^{-1} f ] (x)
Allora e' finita, dalla stessa 2 ho che
y = exp{-s'x} [ int exp(+s'x) z(x)/a dx + K ] = (D-s')^{-1} z
ovvero
y(x) = (1/a) [(D-s')^{-1} (D-s')^{-1} f](x)
La dimostrazione vale in generale e se l'equazione e', cob a_n diverso da 0
a_1 D^n y + a_2 D^{n-1} y + ....+ a_n  = f
considerate le n soluzioni (complesse in generale) di
a_1 X^n + ...+ a_n = 0
s_1,..., s_n  (alcune possono coincidere)
si ha con le notazioni di sopra
y(x) = (1/a_n) [(D-s_1)^{-1}..... (D-s_n)^{-1}  f] (x)
[(D-c)^{-1} g] (x)  significa
exp{-cx} [ int exp(+cx) g(x) dx + K ]
 Se negli "operatori" (D-s)^{-1} si lasciano le costanti indeterminate C
arbitrarie
 non si ottiene solo una soluzione particolare ma la soluzione completa
dell'equazione
 differenziale.
 Per definire i  (D-c)^{-1} come operatori *lineari* basta ridefinirli per esempio
 come:
[(D-c)^{-1} g] (x) : = exp{-cx} integrale da 0 a x di  exp(+cu) g(u) du
 In questo caso si ha una soluzione *particolare* quando si  usa il marchingegno
Convinto ora?
Ciao, Valter

i primi rudimenti di analisi matematica intorno ai 12 anni  trovando un
a 12 anni si fa la seconda media.
Eri un piccolo Gauss, insomma....


Darth Vader wrote:

Ciao, si.... peccato poi che io non sia diventato un "grande" Gauss!
A parte gli scherzi, comunque io credo che a quell'eta' si possono capire
tante cose
molte di piu' di quello che il sisitema scolastico imponga. Il brutto e' che
spesso il sistema scolastico riesce a farti odiare certe materie.
Nel mio caso accadde una cosa insolita che mi permise un approccio personale
alla
matematica. Ricordo che  (nelle medie inferiori) avevamo un libro di
matematica molto formale, ma anche molto bello, ma di fatto non lo usavamo. Io
presi la varicella e persi un mese di lezione. Per rimettermi al passo studiai
sul libro e imparai il linguaggio formale, fu un emozione ed una soddisfazione
molto forte... tutti quei simboli che potevano essere manipolati
razionalmente. Poi mi resi conto che le cose non finivano con i contenuti del
libro e cominciai a leggere roba piu' elevata,trigonometria, geometria
analitica e analisi matematica. Certo non ero in grado di apprezzare e capire
in fondo il teorema di Weierstrass, ma ero in grado di calcolare qualunque
derivata e quasi tutti gli integrali che mi capitavano sotto mano e risolvere
le equazioni differenziali elementari, il significato intuitivo, quello che
ancora oggi usano i fisici, di cio' che facevo era per me evidente.
Poi mi capito' in mano un libro di relativita' speciale, dove c'era la
deduzione di
E= mc^2 da non ricordo quali pricipi (si puo' dedurre in vario modo), ma si
dovevano
usare le derivate. Ricordo che, incredibilemente, la matematica che ero in
grado di
maneggiare mi permise di arrivare in fondo alla dimostrazione e questo fu una
soddisfazione enorme. Allora passai all'analisi tensoriale e imparai i
fondamenti
della relativita' generale, poi cominciai a comprare i libri della MIR.
Ricordo
quando studiavo calcolo delle variazioni (avevo circa 15 anni) e imparai le
equazioni
di Lagrange. Da quelle passai al formalismo di Hamilton e con un libro di
meccanica quantistica per fisici-chimici cominciai anche a smanettare nella
meccanica quantistica,
ma era molto difficile perche' non capivo l'associazione osservabili operatori
autoaggiunti ( e devo dire che capii in fondo queste cose solo all'universita'
dopo
istituzioni di fisica teorica e un corso di analisi funzionale).
Comunque malgrado poi io abbia studiato fisica e abbia preso anche un
dottorato
in fisica ho sempre portato avanti gli studi di matematica parallelamente e
grazie a questi alla fine mi sono riconvertito a matematico sempre con un
occhio alla fisica...
Dico tutto cio' specialmente per i piu' giovani: non si scoraggino, la
matematica e la fisica sono discipline dure (la seconda ancora piu' dura della
prima) ma il lavoro
personale aiuta molto! Bisogna imparare da *subito* ad usare i libri
autonomamente, i buoni libri . Perche'l'immagine che viene trasmessa nelle
scuole direttamente dagli insegnanti e' spesso distorta e forzata e crea un
legame di dipendenza dall'insegnante... e poi non tutti coloro che vogliono
imparare la matematica procedono nello stesso modo. La mia autoistruzione e'
stata inizialmente molto "selvaggia", ma mi ha creato fondamenta molto estese
in molti  rami della matematica.
Certo pero' se si ha la fortuna di avere  una guida esperta, un insegnante
illuminato, e' possibile arrivare molto in avanti. Io purtroppo non ho mai
avuto questa fortuna se non
alcuni professori all'universita' (anzi forse solo due).
Ciao a tutti, Valter

di Lagrange. Da quelle passai al formalismo di Hamilton e con un libro di
Vorrei solo farti una domanda: come hai fatto a trovare il tempo per questo? Non
dovevi fare, che so, i compiti a casa di latino e di biologia?


 --
Si, e facevo anche tanto sport!  Comunque non era un problema, il fatto e' che per
me
studiare quelle cose era (ed e' ancora oggi) il massimo divertimento possibile.
Per cui, la risposta e' semplice,  studiavo quelle cose quando la maggior parte dei
miei
coetanei si divertiva in altro modo (e ti assicuro non c'e' alcun giudizio morale
in questa affermazione proprio perche' stiamo parlado di "divertimento" non di
"studio
coatto" come quello dei compiti....) Non dirmi che ai tempi delle superiori non
c'era
comunque tempo per divertirsi!  Facevo come sport canoa e mi dovevo allenare tutti
i giorni perche' facevo agonismo. Cosi' succedeva che per esempio quando andavamo
in trasferta per qualche gara o simili io mi portavo dietro il mio bel libro di
analisi
tensoriale...e me lo leggevo prima di addormentarmi o nei momenti di pausa. Certo
all'inizio mi predevamo per folle, ma poi quando finivo con l'aiutare in  fisica e
matematica i miei colleghi,  in particolare quelli piu' grandi di me, allora
cambiavano idea...
Ciao, Valter


studiare quelle cose era (ed e' ancora oggi) il massimo divertimento possibile.
Ho capito. Sei riuscito in quello che ancora non riesco a fare: concentrarti su
pochi interessi, non disperdere le tue energie (divertendoti anche,
logicamente).
--
