Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: A chi interessa

   Salve a tutti, sono molto impegnato per cui non partecipo alle varie
   discussioni anche interessanti che ogni tanto sbircio...
   Vi scrivo solo per segnalare a chi potrebbe interessare,
   che ho aggiunto alcune parti alle dispense di analisi tensoriale
   su varieta` che ho scritto per i miei studenti e si trovano
   al sito
 
http://degiorgi.science.unitn.it/~fismat/dispense.html
   In particolare ho aggiunto una parte sulla definizione variazionale
   e conseguenti proprieta`  di geodetiche rispetto alla connessione di
   Levi-Civita
   e una parte sulla curvatura delle varieta` Riemanniane e
   Lorentziane,
   provando il teorema che se il tensore di Riemann e` nullo allora
   la varieta` e` localmente piatta (cioe` ci sono coordinate
   nell'intorno di ogni punto in cui la metrica e` costante ed ha forma
   diagonale canonica). Faccio notare che il viceversa e` banale:
   Varieta` loc. piatta => Tensore Riemann nullo
   mentre la proposizione provata
   Tensore Riemann nullo => Varieta` loc. piatta
   benche' fatto notissimo
   ha una dimostrazione abbastanza difficile da trovare in letteratura
   (non ho guardato sul mitico Kobayshi-Nomizu che la conterra`
   sicuramente). Per esempio non si trova su "geometria contemporanea"
   e nemmeno su testi ben fatti di rel. gen. come, mi pare,  il Wald.
   Dimenticavo, le dispense sono in forma provvisoria, le correggero`
   durante i corsi.
   Dovrei cominciare a scrivere una dispensa di fondamenti matematici
   di teorie relativistiche e un'altra di fondamenti matematici della
   meccanica quantistica per un corso della laurea specialistica in
   matematica. Se lo faro` vi avvertiro'.
   Ciao a tutti.
    Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

    Sempre riguardo alle dispense: diverse persone mi avevano
    segnalato problemi con ifonts dei files .pdf, ma grazie ad un
    programma suggeritomi da Nicola Fabiano, mi pare che la cosa si sia
    risolta.
     Ciao, Valter
    PS: il programma e` dvipdf che trasforma il .dvi in pdf senza
        passare dal .ps. Trovate tutto su
 
http://gaspra.kettering.edu/dvipdfm/

     
http://degiorgi.science.unitn.it/~fismat/dispense.html
Gli ho dato una letta molto veloce, sembra interessante e fatto bene,
peccato che non sia in italiano ;-)
Ad ogni modo complimenti!!
Muppy

 matematica.
Una curiosita': questo tipo di argomenti viene anche trattato in una 
laurea specialistica in fisica teorica? ...tra l'altro pensavo che si 
trattasse di problemi caratteristici della fisica teorica (o sbaglio?)
Thx per l'info!
Saluti,
CodeNinja

   e nemmeno su testi ben fatti di rel. gen. come, mi pare,  il Wald.
M'interessa di certo.
Infattisui miei appunti mi sono limitato a mostrare che se R=0 il
trasporto parallelo su un parallelogrammo "infinitesimo" non cambia un
vettore, dichiarando poi "plausibile" che lo stesso valga per una curva
chiusa qualsiasi.
Da qui mi pare che segua che la varieta' e' piatta.
Ma una precisa dim. del primo passo non la conosco.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

 
Ciao, la dimostrazione che ho dato io
ha la seguente struttura (diversa da quella che dici tu):
1) si mostra che per ogni fissato punto p della varieta`
esiste un campo vettoriale controvariante la cui derivata
covariante e` nulla e che ha un valore fissato in p.
Per provarlo si scrive che la derivata covariante deve essere nulla
in un sistema di coordinate attorno a p
cio` costituisce un sistema di equazioni differenziali del prim'ordine.
Si vede allora che l'annullarsi
del tensore di Riemann in tali coordinate implica che
le cosiddette "condizioni di Frobenius" sull'equazione
differenziale sono soddisfatte. Tali condizioni
assicurano l'esistenza e l'unicita` locale.
Quindi si prendono n campi del tipo detto che in p
costituiscono una n-pla di vettori ortonormali (una base
dello spaziotengente). Gli n campi vettoriali, per il fatto di
avere derivata covariante nulla conservano l'ortonormalita`
nell'intorno dove sono definiti e generano basi ortonormali
in ogni punto dell'intorno.
2) Si prova che le basi ortonromali dette sono "olonome",
cioe` sono ottenute da un sistema di coordinate nello
stesso intorno. In pratica  si scrive un sistema
di equazioni differenziali per le nuove funzioni
coordinate imponendo che i vettori tangenti siano le basi
dette (in realta` per motivi tecnici si procede usando
le basi duali, ma non cambia la sostanza). Il fatto che
il tensore di Riemann sia nullo assicura nuovamente che
le condizioni di Frobenius sono soddisfatte anche per questo
sistema, per cui si trovano le coordinate dette.
In definitiva si prova che per  per ogni punto della varieta`
c`e` un intorno in cui sono definite coordinate i cui
vettori tangenti costituiscono basi ortonormali in ogni punto
dell'intorno.
Oggi aggiungero` alle dispense anche una parte sul trasporto di
Fermi.
Mi riprometto in futuro di mettere la teoria dell'exponential map,
con tutto le cose legate agli intorni geodeticamente convessi
e la "world function" di Synge...
La teoria della causalita` (insiemi causali,globale iperbolicita`
ecc...) la mettero` su altre dispense.... sempre
che il corso si attivi...
Ciao, valter
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
Ciao, si questo tipo di argomenti viene trattato anche in fisica 
teorica (in effetti io per meta` della mia formazione, fino al 
dottorato e qualche anno di post doc dopo, sono un fisico teorico).
Tuttavia l'approccio che daro` io sara` molto piu` matematico:
mi occupero' di "metodi matematici" piu` che di fisica.
Il corso che si chiama "metodi geometrici in fisica matematica"
e` aperto anche ai fisici della laurea specialistica.
In ogni caso solo in Italia c`era un confine abbastanza netto tra 
fisica teorica e fisica matematica. La tradizione voleva  che in 
Italia la fisica matematica NON si occupasse di "roba quantistica".
In altri paesi (USA, UK) le cose sono un po` diverse.
Le cose pero` anche in Italia stanno cambiando e io sono uno degli 
esempi viventi di cio`: mi occupo di teoria dei campi quantistica
in spaziotempo curvo e sono un ricercatore in fisica matematica.
Ciao, Valter
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Ti ringrazio dei complimenti, ma ci sono ancora tante cose da mettere
a posto (incluso il mio inglese bestiale). Le ho scritte in inglese
perche`, all'inizio non sapevo come fare girare LaTeX in italiano
(pwer "andare a capo" con la divisione in sillabe in italiano).
Poi mi sono reso conto che avrei potuto usare quelle dispense anche
per corsi di dottorato che qui a Trento e` internazionale e si
fa lezione in Inglese se ci sono studenti che non parlano italiano,
per cui ho continuato a scriverle in inglese....
Ciao, Valter
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 stesso intorno. 
Puoi arrivare all'olonomia osservando che se sono nulle tutte le
derivate covarianti, sono anche nulli i commutatori.
N.B.: qui non c'e niente di mio, e' tutto su "Gravitation".
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 N.B.: qui non c'e niente di mio, e' tutto su "Gravitation".
Anche la dim che ho dato non e` mia: e' la ricostruzione
di una dim di E. Massa che ci fece 15 anni fa...
Ciao, Valter

   
Ciao,
forse e' la mia memoria che mi tradisce ma mi sembrava di aver visto 
questa dimostrazione nel "Riemannian geometry" di Do Carmo (capitolo 
sugli spazi a curvatura costante).
Mi sbaglio?
Nicola.

 e questo e` quanto dice il teorema di Frobenius...
Vero, pero' R=0 non c'entra.
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 Vero, pero' R=0 non c'entra.
Si, siamo d'accordo.
Ciao, Valter
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