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Titolo: Simmetrie e grandezze conservate in MQ

Salve, ho un problema che non riesco a risolvere anche se penso sia
abbastanza semplice :(
Il problema riguarda le relazioni fra gruppi di simmetria e grandezze
conservate.
Ho visto come si può dimostrare che se un sistema è invariante per una certa
trasformazione infinitesima (tipo U=e^(i/h*daG) allora il generatore G
commuta con l'hamiltoniano. Per cui, se non sbaglio, ad ogni gruppo di
simmetria dovrebbe essere associato un operatore che commuta con H e quindi
deve essere associato un numero quantico conservato. Se non ho ancora detto
fesserie volevo sapere se vale il viceversa ossia : dato G hermitiano tale
che [G,H]=0 ==> G è un generatore di trasformazioni per le quali il sistema
è invariante.
Ho mezzo fatto questo ragionamento che non son sicuro sia una dimostarzione:
[G,H]=0 ==> [U,H]=0
G è hermitiano ==> U è unitario
==> UH=HU --> H=(U+)HU
Quindi lhamiltoniano non dovrebbe cambiare nella trasformazione U. E'
corretto?
Grazie

 corretto?
Corretto.
Ti faccio pero' notare che in m.q. c'e' una novita' rispetto alla
m.classica.
Tutto quello che s'e' detto fin qui, "mutatis mutandis", vale anche
nel caso classico. "Mutandis", perche' non parlerai di op. unitari, ma
di flussi di fase; la commutazione diventera' parentesi di Poissson
nulla, ecc.
Pero' la connessione "invarianza <--> costante del moto" c'e' sempre.
La novita' quantistica e' che esistono c. del motonon legate a gruppi
d'invarianza come sopra, ma a gruppi discreti.
L'esempio canonico sono le riflessioni (alias "inversione spaziale").
Dato che l'operatore I d'inversione spaziale oltre a essere unitario
e' anche autoaggiunto, e' lui stesso una costante del moto.
In questa veste si chiama "parita'", e si parla infatti di
"conservazione della parita'".
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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> conservate.
e Elio ha risposto...
   Tutto giusto, ma permettetemi di fare qualche osservazione.
Ci sono situazioni in cui il sistema fisico considerato e'
invariante sotto un gruppo di trasformazioni, ma NON e' vero
che l'Hamiltoniano commuta con i generatori (nel senso del t.
di Stone) del gruppo... Caso tipico e' l'invarianza di un
sistema fisico sotto trasformazioni di boost (=trasformazioni
pure di Lorentz).
La situazione si ha quando il gruppo di trasformazioni
"dipende dal tempo" (rotazioni, riflessioni e traslazioni sono
fatte, in un fissato riferimento, a tempo fissato, invece la 
trasformazione di boost coinvolge il tempo). In questo caso 
l'Hamiltoniano sotto la trasformazione acquista un termine
"dipendente dal tempo",  benche' rimanga "invariante in forma"
quando l'hamiltoniano trasformato si esprime in funzione delle
variabili canoniche trasformate.
In genere sui libri si pasticcia molto su questa questione
oppure si fornisce un punto di vista parziale che funziona solo
per i boost o poco piu'. Poco meno di due anni fa ho avuto occasione
di confrontarmi con il problema generale per un articolo che stavo
scrivendo con un mio collaboratore. Vi dico come abbiamo impostato
la questione generale alla fine.
"Se G e' un gruppo di Lie e V(g) una sua rappresentazione
unitaria, un sistema fisico (quantistico) S con evolutore
temporale U(t) si dice _invariante sotto G_ e G si dice
_simmetria di S_, se, per ogni g in G ed ogni tempo t
esiste un elemento g(t) di G tale che
    U(t)V(g) = V(g(t))U(t)                    (1)
G e' detto _simmetria indipendente dal tempo_ per S
se ulteriormente g(t) = g per ogni g e t."
Il significato intuitivo di (1) e' chiaro: se, al tempo
0 trasformo il sistema sotto g e poi lo faccio evolvere
fino ad un tempo t ottengo lo stesso risultato che avrei
facendo evolvere il sistema senza averlo trasformato e
trasformandolo alla fine con una NUOVA trasformazione,
ma sempre del gruppo G, g(t).
Notare che se g(t) esiste e' determinato univocamente,
se la rappresentazione e' fedele, da
V(g(t)) = U(t)V(g)U(t)*                        (2)
Notare che tuttavia in generale, se abbiamo una
rappresentazione V di un gruppo G,  NON si puo' prendere
il secondo membro di  come definizione del primo
(in tal caso ogni gruppo sarebbe una simmetria per ogni
sistema!), perche' NON e' detto che  U(t)V(g)U(t)* sia
ancora un elemento della rappresentazione V di G, per cui
la richiesta (1) NON e' banale. Vi lascio l'esempio di
una trasformazione speciale di Lorentz come gruppo G
(ad un parametro).
La richiesta (1) ossia (2) si puo' anche formulare a
livello di algebre di Lie, applicando il teorema di
Stone ad entrambi i membri di (2).
Allora (2) implica  (ed equivale sotto certe ipotesi)
a dire che se faccio evolvere alla Heisenberg una qualsiasi
osservabile A che definisce un generatore infinitesimo di
V(G) (algebra di Lie della rappresentazione) ottengo ancora
un elemento A(t) della stessa algebra di Lie di operatori
simmetrici:
A(t) = U(t)AU(t)*                          (3)
In generale  A(t) non coincide con A. Coincide pero' se
la simmetria non dipende dal tempo, ed in tal caso A
e' quindi una costante del moto, perche' da (3)
(con A(t)= A!) avrei che, l'evoluzione di Heinsenberg
di A, A_H(t):= U(t)*AU(t) soddisfa
A_H(t)  = A per ogni tempo t
Cosa si puo' dire negli altri casi?
Si puo' ancora definire una costante del moto appartenente
all'algebra di Lie, pero' la costante del moto e'
definita come un operatore _dipendente esplicitamente dal
tempo_
Valendo (3) definiamo, l'operatore dipendente esplicitamente
dal tempo
B(t) :=  U(t)*AU(t) = U(-t)AU(-t)*
per costruzione questo e' _ancora nell'algebra di Lie_
per cui avra' un'esperessione
B(t) = somma_i c(t) A_i
dove A_i con i=1,2,... dimensione di G (FINITA!)
sono generatori infinitesimi di V(G) e c_i(t) sono
coefficienti reali dipendenti dal tempo. Per
costruzione, l'evoluzione di Heisenberg di B(t)
B_H(t) := U(t)*B(t)U(t)
e' una costante del moto. Spesso questo fatto si
trova scritto come...
@B_H(t)
------- + i [H, B_H(T)] =0
   @t
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

In soldoni si', o quantomeno si mantiene invariante la Lagrangiana del
sistema.
Vedila cosi'.
Prendi la legge del moto di Heisenberg: dG/dt=i/h[G,H]
Se G e H commutano, dG/dt =0, quindi G e' costante.
Se una quantità si conserva, la sua Lagrangiana non si modifica per la
rispettiva trasformazione (teorema di Noether).
-- 
-Thanatos-
HatTrick: bobon123 - Djiins, V.167
Membro del Club dei Mille, Tessera #017
Experienced Manager dell'Italian Hattrick Newsgroup Federation
Studente nell'Universita' Italiana Hattrick


Grazie, un'ultima cosa: per quanto riguarda lo spin (che ho visto definito
come il numero quantico associato al gruppo di simmetria SU(2) ) le
trasformazioni in esame son proprio gli elementi del gruppo giusto? Cioè le
trasf che lasciano invariata la norma di un vettore in uno spazio vettoriale
complesso a 2 dimensioni?

ehm... in verità non ho capito molto ;)
spero almeno che fosse un mes indirizzato + a Elio Fabri che a me.. perchè
ci son cose che per ora non ho mai sentito (trasf di boost?!?) ma che spero
di studiare + in là..
Comuque ho afferrato il discorso (a grandi linee :) ), grazie per la
risposta.
Paolo

Ciao, in effetti non era nemmeno chiaro a me
a chi dei due fosser riferito il commento.
Il boost e' una trasformazione speciale di Lorentz
lungo un asse generico. Se farai qualche corso
di teoria quantistica dei campi o di particelle
elementari incontrerai le questioni che ho indicato.
Ciao, Valter
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Beh, mi rincuora... avevo paura che fosse qualcosa che avrei dovuto sapere
(ora sto stuidando Istituzioni di fisca teorica) , cmq in generale è un
argomento che mi attira, speriamo di saperne di + in seguito ;)
Ciao e grazie

Grazie per la risposta, penso (spero :) ) di aver capito

 uno spazio vettoriale complesso a 2 dimensioni?
Non e' un discorso semplice...
Ti dico sommariamente come la vedo io.
Il gruppo di simmetria che ha significato fisico, rispetto al quale si
assume un'invarianza della fisica, e' il gruppo delle rotazioni nello
spazio euclideo tridimensionale: formalmente il gruppo SO(3) (potrei
anche dire O(3), includendo le isometrie "improprie", ossia con
inversione, ma non e' necessario ne' conveniente per il nostro
discorso).
A questo punto le cose si complicano dal punto di vista matematico, e
non so quanto riuscirai a seguirmi.
L'esistenza di questa invarianza fa si' che siano importanti le
rappresemtazioni irriducibili del gruppo sullo spazio di Hilbert degli
stati. Pero', dato che gli stati sono rappresentati da vettori _a meno
di un fattore di fase_, in realta' si possono anche accettare
rappresentazioni _proiettive_, ossia rappresentazioni in cui il
prodotto va nel prodotto a meno di un fattore di fase.
Questo e' gia' vero per l'identita' del gruppo, che puoi ottenere per
es. componendo due rotazioni di 180 gradi attorno allo stesso asse: e'
accettabile una rappresentazione in cui queste rotazioni diventano
matrici il cui quadrato non e' la matrice identita', ma ne differisce
per un fattore scalare di modulo 1.
Non ci sarebbe il problema se SO(3) fosse privo di rappresentazioni
cosi' fatte, ma invece le possiede, e la ragione e' che si tratta di un
gruppo *non semplicemente connesso*.
Si dimostra in generale che le rappr. proiettive di un gruppo non
sempl. connesso sono tutte e sole le vere rappresentazioni di un altro
gruppo, detto "ricoprimento universale" del primo. Per SO(3) il ric.
univ. e' appunto SU(2).
Ecco come nasce la necessita' di considerare le rappr. di SU(2).
Dimenticavo: un gruppo e il suo ric. univ. sono _localmente isomorfi_,
quindi hanno la stessa algebra di Lie. Ne segue che se lavori con i
"generatori" e le loro rel. di comutazione, automaticamente ottieni le
rappr. del ric. univ.: e' appunto quello che succede nel caso del
momento angolare, e da qui nasce (matematicamente) lo spin, ossia la
possibilita' di un nuovo grado di liberta', e di corrispondenti
osservabili, non esprimibili in termini delle q e p.
Mi fermo qui, sperando di non essere stato troppo astruso ;-)
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 > osservabili, non esprimibili in termini delle q e p.
La rappresentazione di SO(N) ha dimensione N mentre i generatori in
tal caso sono N(N-1)/2. L'unico caso in cui la rappresentazione
regolare e la rappresentazione ottenuta dai generatori hanno la stessa
dimensione è quando N=3. Per un generico N la rappresentazione
fondamentale è data dal gruppo spin(N). Mentre per SO(N) l'unico caso
in cui la rappresentazione fondamentale e la rappresentazione aggiunta
sono la stessa rappresentazione è quando N=2.
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 circostanza?
Tu continui a confondere gruppi e rappresentazioni...
Le rappr. irr. complesse di R sono x |--> exp(ikx), con k complesso
qualsiasi.
Sono tutte non equivalenti.
(Cerca le rappr. irr. reali.)
Ho scritto cosi' perche' sse k e' reale, la rappr. e' _unitaria_.
Dato che R non e' compatto, non e' garantito che tutte le sue rappr.
siano equiv. a rappr. unitarie, e infatti non succede.
(Come non succede per Lorentz.)
Le rappr. irr. di U(1) sono exp(ikx) con k intero.
Hai qui un altro esempio della situazione generale: se G e' un gruppo
non sempl. connesso, H il suo ric. univ., tutte le rappr. di G sono
anche rappr. di H, ma non viceversa.
E adesso basta...
O meglio: ti posso proporre la lettura di
ftp://osiris.df.unipi.it/pub/sagredo/gruppi
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   Un gruppo di matrici reali complesse può essere interpretato come 
agente su uno spazio vettoriale complesso. Allora il gruppo è già una 
rappresentazione che chiamo naturale o identica o di definizione.
   I gruppi di lie finito dimensionali sono sempre interpretabili come 
gruppi di automorfismi di uno spazio vettoriale? Questo non lo so in 
generale e mi piacerebbe saperlo, tuttavia gli esempi che conosco sono 
di questo tipo. Meccanica classica e quantistica sono invarianti per 
trasformazioni canoniche ovvero rispetto all'azione del cosiddetto
gruppo simplettico che ha una rappresentazione naturale di dimensione
2g con g il numero dei gradi di libertà.
    Quel che dicevo è che SO(3) è l'unico SO(n) la cui rappresentazione
naturale ha dimensione uguale alla dimensione della rappresentazione
aggiunta.
    Mi chiedevi cosa è  Spin(n) la risposta riconduce all'opera di 
Cartan di geometria spinoriale. Si tratta di un sotto gruppo del gruppo
generato dalle riflessioni. Tuttavia si può costruire questo gruppo in 
termini di numeri di Grassmann, oppure in termini di elementi della
algebra di Clifford. Vediamo in termini di elementi dell'algebra di 
Clifford: poniamo le regole di anticommutazione: (e_i,e_j) = 
= -2*delta_ij Poniamo poi L_ij = 1/2 e_i * e_j. 
    In virtù delle regole di anticommutazione risulta che L_ij 
è l'algebra delle rotazioni. Tuttavia le regole di anticommutazione
permettono di calcolare esplicitamente il valore di exp(t^ij L_ij)
quello che otteniamo è un gruppo connesso ed esponenziale per costruzio-
ne. Si dimostra anche che questo gruppo è semplicemente connesso ed è 
dunque il rivestimento universale di SO(n): siccome il quadrato di 
L_ij vale -1/4 ottieni exp(t(l_ij))= cos(t/2)+ 2*L_ij*sen(t/2). Questo è
un doppio rivestimento di SO(n).  
     Poi avevo usato la parola equivalenti a proposito di rappresenta-
zioni. Quello che intendevo è isomorfe (equivalenti implica isomorfe ma
non è vero il contrario). Allora quel che mi è chiedevo è se è vero che
la rappresentazione naturale di U(1) è una rappresentazione irriducibile
del suo rivestimento universale che è unica a meno di isomorfismi. 
     Tutti i gruppi abeliani e continui hanno rappresentazioni irriduci-
bili unidimensionali. Ma due rappresentazioni irriducibili non sono 
sempre isomorfe. Allora essenzialmente: è vero che esiste una sola 
rappresentazione irriducibile non banale del gruppo R+, che non è 
isomorfa alla rappresentazione naturale (unica a meno di isomorfismi 
intendo)? A questa domanda ho provato ora a rispondermi.
     Usando il lemma di Schur noto che in una rappresentazione 
irriducibile, in virtù dell'abelianità di R+ i sottospazi invarianti 
sono di dimensione 1 e l'azione del gruppo è moltiplicare per un numero
complesso. Siccome D(a*b)=D(a)D(b) se il numero complesso che rappresen-
ta 1 è noto e vale c=exp(z) se la rappresentazione è un minimo continua
deve essere espressa da D(a)=exp(ln(a)z). Ma siccome z ha una parte 
reale ed una parte immaginaria possiamo dire che ogni rappresentazione 
è prodotto di due rappresentazioni di cui una è isomorfa alla rappresen-
tazione naturale di R+ e l'altra è isomorfa ad U(1). ******************
     Mi piacerebbe essere in grado di risolvere l'altro problema che 
proponevi e cioè trovare le rappresentazioni irriducibili reali. L'idea
sarebbe passare da quelle complesse interpretando gli elementi C come 
automorfismi di R^2. Usare il solito lemma di Schur e concludere che 
ogni rappresentazione irriducibile reale è prodotto di due rappresenta-
zioni, una isomorfa ad R+ l'altra isomorfa ad SO(2). Però non sono certo
che nel passaggio per il mondo complesso non risulti tralasciata qualche
rappresentazione. Suggerimenti?*************************************
     Tu davi nella tua risposta una definizione di aggiunta che non 
dipende dalla conoscenza dell'algebra. In verità questo mi ha dato da 
riflettere in rapporto alla definizione che conoscevo io che dice che 
la rappresentazione aggiunta di un gruppo si ottiene dall'inviluppo 
dell'algebra. Il modo di procedere è questo: si pone exp(i t^mu j_mu)*
*exp(i s^mu j_mu) = exp(i y^mu j_mu) quindi si calcolano gli y^mu da 
t^mu ed s^mu uguagliando i due sviluppi ordine per ordine. Tutto quel 
che serve per risolvere questo problema è conoscere le costanti di 
struttura del gruppo. C'era un problema che avevo considerato: questa 
definizione funziona solo se il gruppo è esponenziale, e per gruppi non
compatti, ad esempio, sappiamo che questo non sempre è vero. 
    Esiste comunque un teorema molto generale che dice che un gruppo lie
con costanti di struttura reali totalmente antisimmetriche si può sempre
ridurre al prodotto di gruppi semplici e di U(1). 
    Come stanno le cose in verità? Suppongo sia a questo livello che in-
tervengano dei teoremi sulla complessificazione. Infine circa la rappre-
sentazione fondamentale esiste un modo di procedere che passa per i pesi
massimi. (nulla di pugilistico) Si procede diagonalizzando l'algebra il
più possibile e poi construendo operatori di salita e discesa analoghi 
a quelli del momento angolare quindi studiando delle regole di somma 
analoghe a quelle del momento angolare. I pesi massimi allora generaliz-
zano il concetto di autovalore massimo (ovvero di J) del momento angola-
re ed i pesi fondamentali il concetto di minimo autovalore massimo non 
banale, da cui le rappresentazioni fondamentali (nota il plurale). 
     Ti presento i ragionamenti che ho fatto finora. Io so che Spin(n/2)
può essere ottenuto dalla somma di rappresentazioni di spin più basso, 
nella fattispecie sommando opportunamente n spin 1/2. Dunque stando a 
questa caratterizzazione di rappresentazione fondamentale che abbiamo 
presentato Spin(n) pur essendo il gruppo di rivestimento universale di 
SO(n) non è la rappresentazione fondamentale. Per quanto riguarda SU(3)
abbiamo due rappresentazioni fondamentali. Possiamo esprimerci al modo 
seguente: dire che i campi trasformano come la rappresentazione naturale
(o defining) di SU(3) oppure esprimere il generico campo soggetto alla 
trasformazione di SU(3) come una opportuna somma di campi che 
trasformano ciascuno secondo una specifica rappresentazione fondamentale
di SU(3).    
    C'è qualcosa che non mi è chiaro: i quark sono 6 ora, sebbene mi 
sia chiaro che i tre colori possono essere visti come altrettante cari-
che associate con la simmetria di gauge SU(3), non capisco invece cosa 
siano i sapori in termini di simmetrie, perchè dovrebbero essere sei e 
non di più. 
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Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 specifica rappresentazione fondamentale di SU(3).
Non ho capito il secondo modo.
Come vedi non ho risposto a un sacco di cose, quasi sempre perche' non
so che dire...
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