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Titolo: Esercizio scolastico sulla propagazione degli errori

Tratto da G. Ruffo, Lezioni di FIsica, ed. blu, Zanichelli:
 
***
La base di un rettangolo è stata misurata con l'errore del 2,5%.
L'area ha un errore del 3,5%.
Con quale errore è stata misurata l'altezza del rettangolo?
***
 
Il testo a mio parere è parzialmente ambiguo perché non
esplicita che l'area A e' stata misurata indirettamente
con i valori misurati di base b e altezza h:
 
(1)  A = b * h,
 
e non è stata invece misurata indipendentemente
in modo diretto.
 
Assumendo che l'area sia stata calcolata con la (1),
si ha per gli errori relativi Er(A), Er(b) ed Er(h):
 
Er(A) = Er(b) + Er(h)
 
che implica:
 
Er(h) = Er(A) - Er(b) = 3,5% - 2.5% = 1%.
 
Se invece l'area fosse stata misurata in modo indipendente
da base e altezza allora si sarebbe ottenuto per l'altezza:
 
(2)  h = A / b,
 
da cui:
 
Er(h) = Er(A) + Er(b) = 3,5% + 2.5% = 6%.
 
Ovviamente la soluzione "corretta" è la prima essendosi
verosimilmente supposto che l'area fosse stata calcolata
con la (1), io rimango perplesso anche perche' l'esercizio
non ha molto senso dato che nella realta' nessuno
esegue mai, credo, quel genere di calcoli...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

Il giorno martedì 22 dicembre 2015 12:55:03 UTC+1, Giorgio Bibbiani ha scritto:
 Tratto da G. Ruffo, Lezioni di FIsica, ed. blu, Zanichelli: ***
 La base di un rettangolo è stata misurata con l'errore del 2,5%.
 L'area ha un errore del 3,5%.
 Con quale errore è stata misurata l'altezza del rettangolo?
 ***
 Il testo a mio parere è parzialmente ambiguo perché non
 esplicita che l'area A e' stata misurata indirettamente
 con i valori misurati di base b e altezza h:
 (1)  A = b * h,
 e non è stata invece misurata indipendentemente
 in modo diretto.
 
BlueRay:
Si, sono d'accordo.
 
Giorgio Bibbiani:
 Assumendo che l'area sia stata calcolata con la (1),
 si ha per gli errori relativi Er(A), Er(b) ed Er(h):
 Er(A) = Er(b) + Er(h)
 che implica:
 Er(h) = Er(A) - Er(b) = 3,5% - 2.5% = 1%.
 
BlueRay:
Si.
 
Giorgio Bibbiani:
 Se invece l'area fosse stata misurata in modo indipendente
 da base e altezza allora si sarebbe ottenuto per l'altezza:
 (2)  h = A / b,
 da cui:
 Er(h) = Er(A) + Er(b) = 3,5% + 2.5% = 6%.
 Ovviamente la soluzione "corretta" è la prima essendosi
 verosimilmente supposto che l'area fosse stata calcolata
 con la (1), 
 
BlueRay:
Infatti e' poco verosimile, in generale, fare una misura diretta di un'area di un rettangolo.
 
Giorgio Bibbiani:
 io rimango perplesso anche perche' l'esercizio
 non ha molto senso dato che nella realta' nessuno
 esegue mai, credo, quel genere di calcoli...
 
BlueRay
 
Questa invece non l'ho capita. Come la fai la misura dell'area di un locale rettangolare? Geometri, ingegneri, ecc non le fanno tutti i giorni quelle misure?
 
--
BlueRay

 giorni quelle misure?
 
Intendevo che nessuno fa, che io sappia, un calcolo del genere di
quello richiesto dall'esercizio, calcolo dell'errore su h conoscendo
quello su A e quello su b.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 esegue mai, credo, quel genere di calcoli...
 
In genere sono polemico nei confronti della Fisica del mondo di carta 
dei libri scolastici. Pero' qui spezzo una lancia a favore:
e' un "esercizio" nel vero senso del termine. Serve solo a far prendere 
confidenza con le formule. E' un po' come se obiettassi ad un maestro di 
piano che ti vuol far studiare le scale che nessuna composizione e' 
limitata a sole scale. Vero. Ma saper svolgere un esercizio artificiale 
permette di affrontare situazioni piu' realistiche senza problemi di 
tipo "tecnico". E' abbastanza evidente che qui la vera informazione che 
si vuole "fissare" e' che gli errori relativi, nel caso del prodotto "si 
sommano".
 
Giorgio

 relativi, nel caso del prodotto "si sommano".
 
Accetto anche questa seconda obiezione, il fatto e' che essendo
appunto un tipo di esercizio che non avevo mai incontrato
(o comunque non me ne ricordavo), dato che in Fisica non si
effettua normalmente quel tipo di calcoli risolvendolo mi ero
trovato spiazzato nell'ottenere due risultati diversi con i due diversi
metodi di calcolo per l'errore su h senza capirne inizialmente il motivo...
Detto tra noi ;-), pero', personalmente non assegnerei mai
un esercizio del genere...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 un esercizio del genere...
 
Neanch'io ;-)

 relativi, nel caso del prodotto "si sommano".
 
 
Concordo.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 un esercizio del genere...
 
Giusto a scopo ludico voglio far l'avvocato del diavolo :-)
 
 
 
"Un geometra ha effettuato delle misure di larghezza e lunghezza di una camera di forma rettangolare ed ha riportato nella relazione tecnica che la misura di larghezza aveva un errore dell'1% ma si e' dimenticato di riportare l'errore sulla misura di lunghezza; pero' ha riportato l'errore sull'area del vano, che ha calcolato in base a quelle: 4%.
Qual'e' l'errore sulla misura di lunghezza?"
 
--
BlueRay

Giorgio Bibbiani 17:34, martedì 22 dicembre 2015:

Beh, ma si tratta di un esercizio per vedere se uno ha capito
il concetto, non di una esercitazione professionale.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 diretta di un'area di un rettangolo.
 
 
Come si fanno le misure dirette di aree?
 
Ci sono strumenti di misura detti areàmetri?
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 Ci sono strumenti di misura detti areàmetri?
 
Certo, anche se il nome e' diverso ;-):
 
https://it.wikipedia.org/wiki/Planimetro
 
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 


 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)
 
 
---
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https://www.avast.com/antivirus
 

 Qual'e' l'errore sulla misura di lunghezza?"
 
 
-- 
AIOE łżł  

 ti da un'approssimazione migliore :)
 
 
In effetti col metodo dell'immersione si può anche scoprire i
falsari!
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 
https://it.wikipedia.org/wiki/Planimetro
 
 
 
Sapevo che c'era ma non l'ho mai visto né tantomeno usato.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 falsari!
 
ah si ? Le banconote false hanno uno spessore così diverso ? 
Oppure cambia l'aspetto visivo in modo differente ?


 non č una CATENARIA ? (un coseno iperbolico ?
 
Mah, se i fili erano zavorrati poteva anche non essere
ne' l'una ne' l'altra curva:
 
http://euler.slu.edu/escher/index.php/The_Geometry_of_Antoni_Gaudi#Catenary_Arches_and_Catenoids
 
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 
 

 il 5 % se il contorno è proprio ostico.
 
 
Oppure: ritagli per bene il foglio, lo incolli su una lamina di ... (Al, Cu, Fe, plastica, legno) ritagli la lamina attorno il contorno del foglio di carta, scolli la carta e rimuovi la colla, pesi il contorno ritagliato di lamina. 
Secondo me la misura di peso e' piu' precisa in questo modo, pero' e' parecchio piu' laborioso.
 
--
BlueRay

 BlueRay


 Ciao


 sensore laser ...
 
Ah, si! :-)
Meglio ancora un laser al posto della fresa (per lamine di spessore non troppo grande, ad es 1 mm) oppure una elettroerosione (per lamine metalliche).
L'elettroerosione riesce a ritagliare pezzi metallici molto complessi anche di spessori relativamente elevati, tipo 1 cm.
 
Poi mi piacerebbe sapere se il taglio ad acqua sarebbe idoneo in questi casi, so solo che viene usato da alcune pelletterie, forse per lamine di plastica sottili andrebbe bene.
 
Certo, non sono cose che si possono usare a scuola, ad eccezione forse di alcuni istituti professionali.
Ciao.
 
--
BlueRay

 lamine di plastica sottili andrebbe bene.
 
Hai voglia, possono tagliare lamiere di titanio spesse 30 cm...
 
http://lavorazionelamiere.net/taglio-waterjet/
 
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 

 Ciao


BlueRay 12:06, domenica 27 dicembre 2015:

Oppure, se devi misurare l'area di un prato, ci metti cento
pecore, le fai pascolare dentro, le pesi prima e dopo e
confronti con una pecora che pascola su un metro quadro.
;-)
 
Ah, trascuravo un particolare importante: devi anche
raccogliere e pesare le deiezioni...
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 contrastare la gravità meglio di qualsiasi conica.
 
 
Dipende, se il filo è pesante (tipo linea elettrica) o se ha
peso trascurabile rispetto al carico appeso (tipo ponte).
 
In un caso è una catenaria (coseno iperbolico) nell'altro una
parabola.
 
Se fai i conti, viene una eq. differenziale, in un caso il peso
è prop. alla coordinata curvilinea s, nell'altro è prop. alla
coord. orizzontale x.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 Oppure cambia l'aspetto visivo in modo differente ?
 
 
No, le monete di lega preziosa.
 
Mi pare che già Archimede valutasse il contenuto di oro delle
monete con l'immersione.
 
E anche Newton che era anche capo della Zecca reale.
 
Fai i conti, dato V volume, P0 peso in aria, P1 peso in acqua,
ecc...
 
 
-- 
AIOE ³¿³  


http://euler.slu.edu/escher/index.php/The_Geometry_of_Antoni_Gaudi#Catenary_Arches_and_Catenoids
 
 
 
Bel sito.
 
Ho un libro su Gaudì, che tipo strano quel grand'uomo.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 raccogliere e pesare le deiezioni...
 
LOL!
 
--
BlueRay 

 Bel sito.
Insomma...
Possibile che tocchi sempre a me la parte di quello che trova da
ridire, che scopre gli errori, ecc.?
So bene che questo non mi rende simpatico, ma di regola quello che
dico è vero.
E forse proprio per questo sto sulle scatole a molti...
Cerco di consolarmi con "amicus Plato, sed magis amica veritas", ma
funziona poco :-(
 
Venendo al punto:
 
"The parabola is a curve created when we slice a double cone at an
angle."
A un angolo qualunque?
 
"The hyperbola is a curve created when we slice a double cone
vertically."
Solo verticalmente?
 
Nella didascalia a una foto:
"Parabolic entryway to Palau Guell"
A me quelle sembrano piuttosto catenarie.
 
Altra didascalia:
"Arch by Gaudi"
La foto si trova sutto il titolo "Hyperbolic paraboloids".
Ma a me quello non sembra proprio un parab. iperbolico.
 
"Below you will see several examples of these arches and it should
become clear just how similar they look. It is very interesting then
that they do have very different properties when it comes to
architecture. And it does make a difference which one is used in the
construction of arches! This shows the importance of mathematics in
art and architecture."
Chiarissimo, non c'è che dire.
Tante parole per non dire niente.
 
Se considerate che è il sito dell'Università di Saint Louis
(Missouri), Dept. of Mathematics and Computer Science...
 
 
-- 
Elio Fabri
 
Fr


 
 
-- 


Il 30/12/2015 00:32, Soviet_Mario ha scritto:
 > La mia domanda è la seguente.
 > ...
 > Ma se prendiamo strutture "spesse", esiste davvero tutta questa
 > differenza ?
 > Voglio dire, dentro un arco molto spesso "fatto penis canibus" (lo so è
 > un dativo ma rende molto meglio), e lo immaginiamo fibrato dentro (e qui
 > sarò linciato per uso improprio di un termine molto suggestivo del
 > discorso che voglio fare ma non so che lingua usare), sostanzialmente
 > possiamo considerarlo composto da un enorme numero di fasci di catenarie
 > o di iperboli più qualche eccedenza sopra o sotto o entrambi, che siamo
 > liberi di assumere che non lavori affatto.
 > ...
 > Lo dico perché in una pizzeria ho visto uno pseudo arco che era in
 > realtà una trave orizzontale di almeno 6 metri e reggeva una mensola.
 > Era spessa sui 40 cm però (un corso e mezzo di mattoni, sfalsati).
 > Dentro ci si poteva disegnare un arco molto blando (qualsiasi, parabola,
 > catenaria, iperbole, qualsiasi) non sottilissimo, o un arco un po' più
 > curvo ma più sottile. Considerando la parte restante come zavorra.
 >
 
Lo spessore dal punto di vista ingegneristico non è un problema: si 
considera che ogni sezione in cui puoi tagliare l'arco (parallelamente 
al piano in cui lo disegni) o, nel caso della pizzeria, la trave a 
leggera curvatura, non trasmetta solecitazione alla sezione adiacente 
(non ci sono sigma ortogonali al foglio, per capirci).
In questa situazione ci si riporta al caso monodimensionale: le travi a 
leggera curvatura si trattano allo stesso modo delle travi rette, quindi 
momenti, taglio, tensioni ecc. alla De Saint Venant/Navier
 
Per travi a grande curvatura (altezza paragonabile al raggio di 
curvatura) le cose si complicano e le sollecitazioni delle sezioni sono 
funzione del raggio di curvatura. Problemi con travi a grande curvatura 
si hanno solo in ambito meccanico (parti di macchine), non sul civile 
(almeno che non si trovi qualche progettista strano!).
 
Gianluca

 Gianluca
 
 


Soviet_Mario 00:32, mercoledì 30 dicembre 2015:

Tanti archi di ponti e volte di cattedrali non sono a catenaria
o a parabola ma per motivi teorico-estetici sono archi di
cerchio o addirittura semiellissi; eppure sostengono la volta.
 
Lo spessore in eccesso "contiene" la linea catenaria teorica. 
 
Se per qualche motivo la linea teorica "esce" dalla sezione, si
forma una cerniera, e sono guai...
 
Poi in certe cattedrali sono stati aggiunti gli "archi
rampanti" che si vedono all'esterno, che danno stabilità al
pilastro interno perchè l'arco sempre spinge anche
lateralmente.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 (Missouri), Dept. of Mathematics and Computer Science...
 
 
A Saint Louis c'è un famoso arco catenarico visitabile!
https://en.wikipedia.org/wiki/Gateway_Arch
 
 
Non è ancora caduto... forse l'hanno progettato ingegneri che
hanno studiato altrove... :-)
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

> sigma ortogonali al foglio, per capirci).
 
Qui sarebbe meglio precisare: tensioni tangenziali, ma vedo che ci siamo 
intesi.
 
 > spero di avere chiarito ...
 
Adesso sì.
 
Per le travi alte, in cui l'altezza è paragonabile alla luce, le 
tensioni interne non variano più come previsto nella trattazione alla D.S.V.
L'andamento è molto differente (ad esempio le tensioni normali all'asse 
non sono più lineari nell'altezza della sezione ma variano; all'incirca 
si può immaginare che varino come una curva di terzo grado: piccoli 
valori nella parte alta per poi raggiungere un picco nelle fibre 
inferiori, ma questo nel caso di carico applicato lnearmente 
distribuito. Nel caso di carichi concentrati la cose si complicano 
ancora di più).
 
Qui, nella secona pagina, trovi una figura esemplificativa
http://www.manualihoepli.it/media/doc/angotti_cap10.pdf
 
 
Un caso particolare sono le travi tozze a mensola (le mensole dei 
carriponte). I carichi applicati sono di tipo concentrato.
Il dimensionamento e la verifica si basa su semplici schemi 
tirante-puntone (traliccio equivalente).
 
A pagina 82 (632 del documento) del link che ti ho indicato sopra trovi 
lo schema grafico.
 
Tutti gli schemi resistenti sono codificati nelle norme tecniche.
 
Per tornare al tuo esempio: se la luce della trave è di 6 metri, dubito 
che possa essere trattata come una trave alta.
 
 
Gianluca

 lateralmente.
 
domanda difficile : esistono contesti particolari o limiti 
dei materiali per cui in certi contesti possano bastare 
tiranti e chiavi ed in altri non bastino e servano allora 
quei sussidi laterali di cui parli ?


 quei sussidi laterali di cui parli ?
 
 
Boh, non sono esperto di architettura storica, una volta ho
letto un libro sulle grandi cattedrali gotiche francesi e
basta...
 
I tiranti non ci sono nelle volte ad arco, solo nelle coperture
a capriata (triangolo di travi, quella orizzontale si
chiama "catena" perché in effetti deve solo tenere a
trazione). 
 
Penso che i costruttori delle cattedrali andassero un po' a
tentoni (non avevano fatto l'esame di scienza delle
costruzioni) e se vedevano che andando su si formavano crepe
aggiungevano roba...
 
 
Il limite teorico di un arco... boh, la resistenza a
compressione della pietra è notevole ma penso che prima
entrino in gioco altri fattori.
 
 
Il ponte (ferroviario) ad arco di pietra più grande del mondo
è... a Gorizia!
 
Più precisamente a Solkan appena di là del confine.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  


 
 
Consideriamo una sezione rettangolare (per semplicità).
Materiale: pietra (non resistente a trazione).
Applichiamo un carico concentrato P nel baricentro, ortogonale alla sezione.
Dopo una certa distanza dalla sezione il carico si sarà distribuito in 
tutta la sezione e le tensioni di compressione (N/cmq) saranno tutte 
uguali --> diagramma rettangolare
Ora spostiamo di poco, lungo un asse della sezione, il punto di 
applicazione del carico: le tensioni non saranno più tutte uguali ma 
saranno maggiori al bordo più vicino al punto di applicazione del carico 
e minori nel bordo opposto.
Spostiamo ancora il carico lontanno da baricentro e verso il bordo: ci 
sarà un punto in cui la tensione minima al bordo opposto raggiungerà lo 0
Segnamo questo punto.
Ripetiamo l'operazione nell'altro verso --> altro punto.
Possiamo fare l'operazione spostando il carico anche lungo l'altro asse.
Otteniamo una figura (entro cui si applica P) che si chiama nocciolo 
centrale di inerzia.
 
Abbiamo ora un arco generico fatto di conci di pietra di un certo 
spessore s (che non ci interessa).
Per ogni sezione dell'arco conosciamo le dimensioni del nocciolo che, in 
due dimensioni, non è altro che un segmento simmetrico al baricentro: se 
uniamo gli estremi dei segmenti del nocciolo di ogni sezione otteniamo 
due curve, distanti tra loro come la dimensione del nocciolo. Se le 
sezioni dei conci sono tutte uguali le due curve sono equidistanti.
 
Trovare l'equilibrio dell'arco significa fare in modo che i centri di 
pressione in ogni sezione dell'arco siano interni al nocciolo, quindi 
ricadano entro le due curve.
 
Per farlo una volta si usavano metodi grafici (poligono funicolare).
Ora ci sono dei programmini, anche liberamente scaricabili.
 
Gianluca