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Titolo: Ancora sull'ellissoide degli indici

Propongo questa domanda qui perche' si e' persa nei meandri dello spam di 
free.it.scienza.fisica.
 
dopo un ulteriore studio sulla questione (grazie mille a Tetis per i
chiarimenti) eccomi ritornato con un "sommario" di alcuni punti fermi che
vorrei mi fosse confermato:
 
- parliamo di cristalli uniassici con asse ottico lungo z;
- immaginiamo di aver gia' traslato k (il vettore d'onda) nell'origine;
- chiamiamo "ellissoide degli indici" la superficie di eq.
    x^2/n_o^2 + y^2/n_o^2 + z^2/n_e^2 = 1
- chiamiamo "ellissoide dei raggi" la superficie di eq.
    n_o^2*x^2 + n_o^2*y^2 + n_2^2*z^2 = 1
 
Allora si verifica che:
 
1) la direzione del raggio straordinario e' la retta perpendicolare al piano
tangente all'ellissoide degli indici nel punto di intersezione tra lo stesso
ellissoide degli indici e il vettore k.
 
2) la direzione del raggio straordinario e' la retta passante per l'origine
e per il punto rappresentato dall'intersezione tra l'ellissoide dei raggi e
quel particolare piano ortogonale al vettore k e tangente all'ellissoide dei
raggi.
 
Ho verificato anche con geogebra che gli angoli che si vengono a formare
sono uguali :) quindi credo che le affermazioni siano giuste.
 
E credo che molti errori nascano dalla confusione che si fa tra i due
ellissoidi.
 
Ad esempio vorrei sottoporvi il seguente caso:
 
http://tinyurl.com/62pmk4g
 
 
credo che ci sia un errore nella slide 5 (ray paths for oprtical 
indicatrix), perche' quello disegnato e'
l'ellissode degli indici, mentre quella particolare proprieta', di cui
l'autore si serve per disegnare i due raggi, e' propria dell'ellissoide dei
raggi!
 
E' giusto o non ho capito ancora un'emerita mazza?
 
Un'altra cosa ancora: quando un raggio (con vettore d'onda k) proveniente da 
un mezzo isotropo incide su un cristallo anisotropo uniassico, il raggio si 
scinde in due, di cui uno ordinario che segue la legge di Snell (indice di 
rifrazione n_o) mentre l'altro straordinario fa la fine che abbiamo 
descritto sopra.
Quello che ora mi chiedo: ma il vettore d'onda k si sdoppia anch'esso? O 
all'interno del cristallo vi sono due raggi ma un unico vettore k?
 
Grazie ancora.
 
Sam 
 

 Quello che ora mi chiedo: ma il vettore d'onda k si sdoppia anch'esso?
 
Generalmente si sdoppia anche il vettore k.


 Non saprei. Per iniziare potresti chiarire come definisci n_o, n_e, n_2.
 
n_o e' l'indice di rifrazione in direzione ortogonale all'asse ottico ( "o" 
di "ordinary")
n_e e' lindice di rifrazione in direzione dell'asse ottico (raggio 
straordinario) ( "e" di "extraordinary" )
 
esattamente l'opposto di come hai fatto tu :(
 
n_2 e' un errore, intendevo (il mio) n_e.
 
Ora sto riflettendo sull'ultimo messaggio, ma credo (come prevedevo) di aver 
fatto una grande confusione con le varie superfici.
 
Grazie 
 

 e_x x^2 + e_y y^2 + e_z z^2 = K
 
Anche qui ho problemi a capire per lo stesso fatto di prima.
 
Grazie per l'aiuto.
 
Sam 
 

> nel solco della buona tradizione chiamano...
 
...ellissoide degli indici. Davis chiama indicatrice l'ellissoide degli 
indici (come fanno Born e Wolf) anziché la superficie dei vettori 
d'onda (come fa la scuola russa). Riconosciuto questo la costruzione di 
quelle slides della direzione del raggio associato con il vettore 
d'onda per i due modi di polarizzazione mi sembra corretta da cima a 
fondo, riepilogando, ed uniformandomi alla notazione comune:
 
n_e = e_z
n_o = e_x,y
 
L'ellissoide degli indici è:
 
(x/n_o)^2 + (y/n_o)^2 + (z/n_e)^2 = 1
 
l'ellissoide dei raggi, detto anche ellissoide di Fresnel è:
 
(x n_o)^2 + (y n_o)^2 + (z n_e)^2 = 1
 
la superficie dei vettori d'onda straordinari:
 
(x/n_e)^2 + (y/n_e)^2 + (z/n_o)^2 = 1
 
la superficie dei raggi straordinari:
 
(x n_e)^2 + (y n_e)^2 + (z n_o)^2 = 1
 
(queste ultime due sono definite solo nel caso di cristalli uniassici e 
formano un sottoinsieme delle superfici di Fresnel che nel caso 
uniassico contengono anche le superfici dei raggi ordinari che sono 
sferiche e tangenti a quelle dei raggi straordinari).
 
Ora, come sai, considerando l'ellissoide degli indici, dalla sezione 
ortogonale al vettore d'onda si ottengono come semiasse maggiore e 
minore rispettivamente i due modi di polarizzazione del vettore 
d'induzione per il raggio ordinario e quello straordinario.
 
Per ottenere la direzione del raggio abbiamo a disposizione due 
semplici costruzioni, una è quella che dice l'autore delle slides, 
l'altra la descrivo di seguito:
 
Chiamiamo O il centro delle coordinate e P un punto sul vettore d'onda, 
e Q1 l'estremo di uno dei due semiassi. L'intersezione del piano POQ1 
con l'ellissoide degli indici individua un ellisse, se dal punto Q1 
consideriamo la tangente a questo ellisse otteniamo la direzione del 
raggio. Questa costruzione, per certi versi più semplice è equivalente 
a quella descritta dall'autore delle slides (Born e Wolf non vi 
accennano, penso perché sono piuttosto elementari una volta capito il 
principio soggiacente che è quello che descrivo di seguito)
 
La ragione di questa costruzione è questa: come avevo osservato già 
nella risposta precedente il raggio ortogonale all'ellissoide nel punto 
Q1 ha direzione data dal gradiente della funzione:
 
(x/n_o)^2 + (y/n_o)^2 + (z/n_e)^2
 
calcolata in (xQ1,yQ1,zQ1) ovvero il vettore (xQ1/e_x , yQ1/ey , 
zQ1/ez) che è quindi, per definizione, il campo elettrico associato con 
il vettore d'induzione (xQ1,yQ1,zQ1). Mentre il campo magnetico è 
ortogonale al piano POQ1. Quindi il raggio è nel piano POQ1 ed 
ortogonale al campo elettrico, ovvero tangente all'ellissoide.
 
Il fatto che questa costruzione sia equivalente a quella delle slides 
discende dall'identità:
 
(x/ex,y/ey).(x',y') = (x,y)(x'/e_x,y'/e_y)
 
o in altri termini da una proprietà geometrica dell'ellisse: dati su un 
ellisse due punti M,N tali che, detto O il centro, risulti OM parallelo 
alla tangente in N allora risulta che ON è parallelo alla tangente in 
M, e viceversa.
 
Queste costruzioni valgono in generale nel caso dei cristalli inassici, 
uniassici come dei cristalli biassici.
 
Rispetto alla costruzione basata sulle superfici di Fresnel offrono 
qualche vantaggio di semplicità per contro sono meno dirette, non sono 
molto efficaci, ad esempio, nello spiegare il fenomeno della rifrazione 
conica che nel linguaggio delle superfici di Fresnel è di intuzione 
pressoché immediata.
 

 Grazie