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Titolo: equazioni alla differenza

Non ricordo di aver mai sentito parlare di equazioni alla differenza ed
ovviamente ... mi si sono presentate nello studio dei sistemi tempo
discreti!
C'è qualcuno che pazientemente mi possa spiegare il loro ruolo?
Grazie.
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"Quello che conta non è tanto l'idea ....
                  .... ma la capacità di crederci, fino in fondo".
                                                                  Ezra Pound

 C'è qualcuno che pazientemente mi possa spiegare il loro ruolo?
Le equazioni alle differenze sono, per così dire, la "versione discreta"
delle equazioni differenziali. Si incontrano, come dici tu, nello studio dei
sistemi tempo discreti ma anche nella soluzione numerica delle equazioni
differenziali. Ce ne sono di molti tipi e ce ne sono anche lineari, come per
le equazione differenziali. Nel caso delle equazioni differenziali si deve
determinare una funzione incognita y(x) della quale nell'equazione compaiono
le sue derivate fino ad un certo ordine, nelle equazioni alle differenze si
deve invece determinare una certa successione numerica incognita y_n di cui
nell'equazione possono comparire termini y_n, y_(n+1), y_(n+2), ecc.
L'analogia con le equazioni differenziali sta nel fatto che dove nelle
equadiff compaiono derivate (di ordine k ) D^k(y(x)) di una certa funzione
y(x), nelle equazioni alle differenze ci sono valutazioni della successione
y_n fatta k passi in avanti cioè y_(n+k). Mi spiego meglio : Una generica
equazione differenziale in forma normale di ordine r può essere scritta come
F(x, y(x), D(y(x)), D^2(y(x)), ..., D^r(y(x))) = 0 mentre una generica
equazione alle differenze di ordine r si scrive nella forma F(n, y_n,
y_(n+1), y_(n+2), ..., y_(n+r)) = 0.
Nello studio delle equazioni alle differenze compaiono poi molti fatti
analoghi allo studio delle equazioni differenziali. Per esempio se si
considera una equazione alle differenze lineare di ordine r
(*)  y_(n+r) + p_1(n)y_(n+r-1) + ... + p_(r-1)y(n+1) + p_r(n)y_n = f(n) e si
considera l'omogenea associata, cioè quella che si ottiene ponendo
nell'ultima equazione scritta f(n) = 0, si può provare che se certe
successioni sono soluzioni dell'omogenea allora lo è anche  qualsiasi
combinazione lineare di queste, come per le equazioni differenziali lineari.
Poi alle r soluzioni dell'omogenea si può associare un determinante, analogo
al Wronschiano per le equadiff lineari, che si chiama determinante di
Casorati
Con questo determinante K(n) di Casorati si può provare, per esempio, che se
si hanno r soluzioni dell'equazione alle differenze omogenea allora
condizione necessaria e sufficiente perché esse siano linearmente
indipendenti è che sia K(n) diverso da zero per n = 0, 1, 2, ...
La soluzione generale dell'equazione alle differenze lineare si può
esprimere come somma della soluzione della omogenea associata ed una
soluzione particolare della (*) che può essere determinata con metodi
analoghi ai noti metodi del nucleo di Cauchy per le equadiff lineari. Come
caso particolare ci sono le poi le equazioni alle differenze a coefficienti
costanti
In pratica se si ha una certa successione numerica y_n definita per
ricorrenza allora di questa si può ricavare l'espressione esplicita y_n =
g(n) risolvendo una opportuna equazione alle differenze. Ciò si riesce fare
sempre per le equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti,
mentre le cose si possono complicano parecchio negli altri casi, come per le
equadiff.
Ciao, DJ

 discreti!
Credo che tu voglia intenda le equazioni alle differenze finite.
Se si deve modellare un sistema a tempo continuo si usano equazioni
differenziali, ovvero equazioni in cui entrano le derivate rispetto al tempo
di alcune grandezze.
Se però il tempo è discreto non si usano eq. differenziali ma il loro
equivalente discreto: le eq. alle differenze finite.
Invece di avere un eq. tipo  aX'' + bX'  + cX= 0  dove ad es. X' = dX/dt si
hanno eq
del tipo aX(n-2) + bX(n-1) + c X(n) = 0   dove n è il tempo discreto.
Ciao

Grazie a tutti, siete stati molto pazienti e chiari.
Salvatore Terracciano.