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Titolo: 4-velocità dei fotoni

Salve a tutti,
c'è qualcuno del NG che sa dirmi come si calcola la 4-velocità di un fotone
in uno spazio-tempo di Friedmann-Robertson-Walker?
Grazie in anticipo
--
microbug

 in uno spazio-tempo di Friedmann-Robertson-Walker?
Confesso che la domanda non mi e' chiara. 
Per caso vorresti conoscere come si trovano le geodetiche di tipo luce?
Oppure?
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

 Per caso vorresti conoscere come si trovano le geodetiche di tipo luce?
Non esattamente. Adesso ti spiego il problema.
Innanzitutto le geodetiche le ho trovate: nella metrica di FRW, esse sono
tali che
p(t)a(t)=const      (1)
nella (1) p è il modulo dell'impulso 3D dei fotoni e a(t) è il parametro di
espansione della metrica. Per quanto detto la (1) è vera in un universo di
FRW, quindi omogeneo ed isotropo. Imponendo la conservazione della funzione
di distribuzione dei fotoni (ciò è vero dopo il disaccoppiamento
radiazione-materia) dalla (1) si ottiene la legge di evoluzione della
temperatura del gas di fotoni: T(t)a(t)= const.
Questa legge mi permette di determinare la temperatura al presente della
CMB. Per quello che sto studiando, mi interessa il seguente problema: che
legge segue l'impulso di un fotone proveniente dalla superficie di ultimo
scattering, se detto fotone 'incontra' fluttuazioni di densità?
In un modello molto rozzo, ho considerato solo materia barionica. Quindi ho
fluttuzioni di densità di materia barionica. BTW dovrei ritrovare in questo
modo la formula dell' 'effetto Sachs-Wolf integrato'.
Ho fatto questo ragionamento: per t>t_dec materia e radiazione sono
disaccoppiate, quindi per l'equazione di Boltzmann, la derivata *totale*
rispetto al tempo della funzione di distribuzione dei fotoni, è nulla=>
f[p(t),t]= const.
Esplicitando il primo membro (planckiana) si trova che p(t) e T(t)
seguiranno *comunque* la stessa legge, affinchè la f resti costante nel
tempo.
***
Le fluttuzioni di densità del fluido cosmologico che a loro volta innescano
fluttuazioni della metrica. In approssimazione newtoniana tali fluttuazioni
si possono descrivere attraverso un potenziale (newtoniano appunto)
soluzione dell'eq. di poisson:
(Delta^2)(phi)=4 pi*G*(deltarho) (2)
dove Delta^2 è il laplaciano e deltarho è la fluttuazione di densità.
Inoltre, si dimostra che nel limite di pressione debole la metrica dello
spazio perturbato si scrive:
ds^2=(1+(2*phi/c^2))*c^2*dt^2-(1-(2*phi/c^2))*a(t)^2 delta_i,j*dx^i*dx^j
(3)
Tale metrica è scritta in coordinate comoving cartesiane.
Calcolando i gamma symbols dalla (3) e facendo molti conti si ottiene
l'equazione geodetica dei fotoni in uno spazio-tempo perturbato:
(1/p)*(dp/dt)= -
[(1/a)(da/dt)-(1/c^2)*(d(phi)/dt)+(2/c^3)*(d(phi)/dx^l)*dx^l]      (4)
Qui "d" indica la derivazione parziale, mentre "l" è un indice spaziale. BTW
ponendo phi=0, si trova banalmente la (1). Se integro la (4) ottengo la
legge p(t) e quindi la T(t) in presenza di perturbazione.
Facendo molti passaggi come ad esempio esprimere l'equazione di poisson in
forma integrale anzichè differenziale, esce un integrale contenente
(dx^i/dt), essendo x^i la coordinata del fotone. Siccome nella metrica di
FRW la coordinata temporale altro non è che il tempo proprio, questa
derivata è la componente spazio della 4-velocità del fotone.
Da qui il subj del mio post. Come si calcola?
Tuttavia, adesso sto seguendo un'altra strada, in quanto con l'integrale si
complica tutto: meglio lavorare sull'equazione di poisson in forma
differenziale per poi passare alle componenti di Fourier sia del potenziale
che delle perturbazioni di densità.
--
microbug

 Da qui il subj del mio post. Come si calcola?
Pifferi...
Ora ho almeno un'idea di quello che volevi. Ma come si poteva capire
dalla domanda iniziale?
Temo pero' di non saper dare risposta ne' suggerimenti utili: non ho mai
fatto calcoli del genere...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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