Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: mica tanto semplice problema di meccanica

          E' noto che un punto materiale soggetto al proprio peso, vincolato senza
attrito a
muoversi in un cono retto a sezione circolare, con asse disposto
verticalmente, è un
sistema meccanico integrabile perchè la pendenza massima è sempre rivolta
verso
il centro e quindi il momento angolare è conservato.
          Se però considero una sezione ellittica anzichè circolare le linee di
pendenza massima
non sono più rivolte verso il centro quindi il momento angolare non è
conservato. Vorrei
classificare le orbite periodiche di questo sistema e vorrei sapere se c'è
un valore minimo
per la distanza dal vertice come nel caso del cono circolare. Se qualcuno
sapesse dove
trovare materiale già svolto gliene sarei grato. Mi ricordo che Sommerfeld
parla del moto
di una slitta come del più semplice vincolo anolonomo, non mi ricordo se
quella discussione
rinviasse a problemi come quello che propongo.
     Ricordo che l'oscillatore armonico isotropo è pure quello un campo centrale,
ma
che basta variare di poco una delle costanti di richiamo per avere le
cosiddette curve
di Lissajous che spesso e volentieri sono dense nel piano anzichè descrivere
orbite
periodiche, e quindi si avvicinano arbitrariamente al centro del piano.
Inoltre nel caso
delle curve di Lissajous si osserva che anche se l'area di energia
potenziale minore
dell'energia totale sta dentro un ellisse, le curve orarie sono in effetti
confinate ad un
rettangolo (si conservano infatti separatamente le energia lungo i due
assi).
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


A questo proposito volevo aggiunger un quesito: supponiamo di avere
due punti interni all'ellissi V(x,y) < E, ma tali che i lati paralleli agli
assi, passanti
per questi punti, più lontani dall'origine, non siano inscritti
nell'ellisse,
allora fra questi due punti non può esistere un'orbita. In simboli, sia:
max ( Vx(x1), Vy(y1)) + max ( Vx (x2), Vy(y2)) > E
mentre Vx(x1)+Vy(y1) < E Vx(x2)+Vy(y2) < E
un'orbita che connettesse (x1,y1) con (x2,y2) avrebbe energia
Ex => max ( Vx(x1), Vy(y1))
Ey => max ( Vx(x2), Vy(y2))
e quindi Ex+Ey > E (nel moto armonico anistropo
Ex ed Ey sono quantità conservate)
visto che per il principio di minima azione ridotta lo spazio delle
configurazioni
con energia V(x,y) < E forma una varietà riemanniana di metrica
ds / sqrt(E- V(x,y)), e che il principio geodetico equivale al principio di
minima azione ridotta, come mai non ci sono orbite che connettono
i due punti per l'oscillatore armonico anisotropo?
Non ci sono nemmeno geodetiche fra questi due punti oppure le
geodetiche non corrispondono a moti validi per via dell'esistenza
di grandezze conservate supplementari?


 qualcuno sapesse dove trovare materiale già svolto gliene sarei grato.
Uhm... Nei tre libri di meccanica che ho a casa (Landau, Goldstein,
Arnol'd) di questo problema non c'e' traccia.
Mi ero un po' occupato di problemi del genere quasi 20 anni fa,
quando tenni anche un breve (e incompleto) corso sul caos
deterministico.
Pero' questo problema non l'avevo considerato, quindi non so niente di
preciso.
Una cosa mi ricordo: a quel tempo avevo formulato una congettura, che
non so se esistesse gia', se sia stata pensata da altri, se sia stata
provata...
Diceva: un sistema dinamico non integrabile e' quasi sempre caotico.
 
-- 
Elio Fabri