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Titolo: come si dimostra che il propagatore di una equzione di campo è sempre la sua funzione di green?

di solito i libri "lasciamo al lettore la verifica del fatto che il
propagatore di feynman è la funzione di green dell'eq di campo in
questione".
ma vorrei trovare un modo per fare vedere che questo è sempre vero.
il propagatore é l'ampiezza di probabilità di propagazione in qualche
spazio (creazione in x,t e distruzione in y,t', etc)
la funzione di green è la soluzione della eq. di campo con termine
noto di tipo delta di dirac
secondo voi è corretto dire che la funzione di green di una eq.
differenziale (eq. del moto) coincide col propagatore perché il
propagatore può essere scritto come il nucleo integrale associato alla
stessa eq. differenziale?
cioè la f.d.Green è il nucleo integrale che, come operatore, è
l'inverso dell'operatore differenziale dell'eq. del moto (di campo) e
il propagatore è il nucleo integrale che descrive l'evoluzione degli
stati, secondo l'eq. del moto, in un certo spazio. allora i due nuclei
integrali sono la stessa cosa infatti la soluzione dell'eq
differenziale (eq. del moto) può essere data come eq. integrale, il
cui nucleo è la FdGreen, ma può anche essere data come eq. integrale
con nucleo il propagatore. e quinfi FdGreen e Propagaore sono lo
stesso operatore/nucleo integrale.
Poi in base alla teoria che uso il propagatore ha una certa forma
oppure un altra.
in QFT il propagatore è dato in termini di un valore di aspettazione
sul vuoto di un T prodotto del campo e del suo hermitiano
<0|T{h^+h}|0> 
in MQ è praticamente la stessa cosa, ampiezza di probabilità di una
certa "propagazione" in un certo "spazio", magari astratto non solo
della posizione, ma senza far comparire operatori di campo o di
crezione/distruzione.
In base al potenziale in questione di volta in volta il propagatore
sarà diverso. All'ordine più basso, il propagatore sarà la TdFourier
del potenziale, ma è solo una approx particolare.
In questo senso la QFT mi appare più generale della MQ nel trattare la
diffusione anche senza approssimazione di born o per potenziali non
noti. O mi sbaglio perché in QFT queste approx sono nascoste da
qualche altra parte, oltre, chiaramente, all'ordine finito della
TdPerturbazioni a cui faccio i calcoli?
Vorrei poi infine avere conferma su due idee riguardanti la meccanica
classica delle particelle puntiformi.
In questo contesto il concetto di propagatore, eccetto che nel
contesto ondulatorio di propagazione di un segnale in un mezzo, non ha
nessun significato?
L'evolutore temporale della MQ e il flusso di un sistema dinamico
continuo classico, ad eccezionde della sostituzione dello spazio delel
fasi R^n con H di Hilbert, sono la stessa cosa?
Grazie a tutti
Ciao 
Roberto

foice ha scritto:
 > di solito i libri "lasciamo al lettore la verifica del fatto che il
 > propagatore di feynman è la funzione di green dell'eq di campo in
 > questione".
 > ...
 > secondo voi è corretto dire che la funzione di green di una eq.
 > differenziale (eq. del moto) coincide col propagatore perché il
 > propagatore può essere scritto come il nucleo integrale associato alla
 > stessa eq. differenziale?
Intervengo solo su un punto specifico: tu scrivi "la f. di Green", e
piu' avanti "l'inverso".
Ora l'articolo e' sbagliato: un'eq diff. non ha "la" f. di Green, ha
infinite f. di Green, a seconda delle condizioni al contorno.
Infatti l'espressione della soluzione come integrale dle nucleo ecc.
dice di piu' dell'eq. diff., appunto perche' include anche le
condizioni al contorno.
Non a caso di parla di f. di Green anticipata, ritardata, di Feynman...
Idem dal punto di vista dell'inversione dell'operatore differenziale.
Quell'operatore, avendo un nucleo non banale (funzioni che vengono
annullate dall'operatore) non ha un inverso unico.
La cosa si vede molto bene in trasf. di Fourier, dove l'inversione
comporta dele delta di Dirac con coeff. arbitrario.
Raccomanderei (non per la prima volta) il vecchio libretto di Feynman
"Theory of Fundamental Processes"
La matematica non e' certo quanto di piu' rigoroso si possa desiderare,
ma si capisce bene che cosa c'e' sotto...
 > Vorrei poi infine avere conferma su due idee riguardanti la
 > meccanica classica delle particelle puntiformi.
 > In questo contesto il concetto di propagatore, eccetto che nel
 > contesto ondulatorio di propagazione di un segnale in un mezzo, non ha
 > nessun significato?
 >
 > L'evolutore temporale della MQ e il flusso di un sistema dinamico
 > continuo classico, ad eccezionde della sostituzione dello spazio delel
 > fasi R^n con H di Hilbert, sono la stessa cosa?
Solo in un senso molto generale, direi.
Puoi vedere un propagatore (meglio la f. di Green ritardata) come
l'operatore che a partire dalla condizione iniziale (vettore di stato
al tempo 0) ti fornisce il vettore di stato al tempo t.
Il flusso di un sistema dinamico e' la stessa cosa, ma la differenza
essenziale e' che in m.q. l'operatore di evoluzione e' *lineare*,
mentre in meccanica classica in generale se ne guarda bene...
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Una ulteriore precisazione per foice: nel caso in esame, la condizione 
al contorno coincide con la specificazione dello stato quantistico di 
vuoto. Infatti il propagatore di Feynman si puo' scrivere anche come
G(x,y) = <vuoto| T phi(x) phi(y) |vuoto>
dove T e' l'ordinatore cronologico e phi l'operatore di campo.
L'importanza del propagatore di Feynman rispetto agli altri tipi
di "funzioni di Green" dell'equazione di campo lineare e' proprio
quella di contenere l'informazione dello stato quantistico che invece
non e' contenuta nella soluzione avanzata e in qualla ritardata.
Cambiando lo stato di vuoto cambia il propagatore di Feynman.
Tali considerazioni diventano di importanza cruciale in teoria dei campi
nello spaziotempo curvo dove non c'e' una scelta di stato di vuoto
privilegiato come nello spaziotempo piatto.
Ciao, Valter
-- 
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

ma si capisce bene che cosa c'e' sotto...
Si, a mio parere c'è proprio qualche errore, tipo trasformate e
antitrasformate di fourier con lo stesso segno dell'esponente
dell'esponenziale, ma si capisce lo stesso se sapresti rifare quel
calcolo ...
A dire il vero il libro mi risulta un po' ostico.
Un po' perché è molto diverso dagli altri con cui sono stati abituato
a studiare fino ad ora. É molto scarno in termini di dettagli, spiega
poco le cose che dice, insomma se non parti da un livello
sufficientemente alto rischi di non capire nulla; e io mastico amaro
su molte parti.
Un po' perché comunque l'originalità del punto di vista di Feynman
necessità un po' di essere assimilata in ogni argomento nuovo in cui
la si incontra, almeno per me funziona così ...
Chiaramente, come ogni buon libro, cercando una cosa ne ho trovate
mille che non so! La fine di pag. 84 sull'andamento del propagatore
fuori dal cono luce in primis.
A riguardo invece dell'argomento del post, sto cercando di leggere
bene le pag. 80-82 sulle sorgenti per i campi in interazione e
pag.86-87 sul ruolo dell'azione per determinare le sorgenti.
A dire il vero l'esempio dei K e dei pi mi risulta tosto visto che
argomenti simili, presenti sui testi anni '60 come questo e
Bjorken-Drell, non si fanno più in nessun corso, e su molti libri più
moderni mancano proprio.
Come dicevo avrei bisogno di un testo meno conciso, più prolisso e
didattico, diciamo ...
La segnalazione mi rimane cmq molto utile, ho deciso che leggero molti
dei capitoli del libro, perché alla fine, superato lo scoglio iniale
il libro mi sta piacendo.
Grazie del consiglio!


 noto di tipo delta di dirac
ecco cosa ne ho capito io:
in teoria dei campi il propagatore è *definito* come il valore di
aspettazione nel vuoto del prodotto cronologicamente ordinato degli
operatori di campo calcolati in due punti differenti dello spaziotempo
(questa è una scrittura che generalizza le relazioni di (anti)commutazione
equal-time al caso di tempi anche differenti).
(per feynman invece se non sbaglio il propagatore è *per definizione* la
funzione di green delle equazioni di campo).
per vedere che la prima definizione coincide con la seconda basta sostituire
quello che ho chiamato propagatore nelle equazioni di campo (nell'equazione
di dirac, di klei-gordon..).
con un po' di conti, e considerando che la derivata della theta di heavyside
è la funzione delta di dirac, dovresti ottenere l'espressione che cerchi.
l'interpretazione probabilistica poi penso che sia legata
all'interpretazione stessa dell'operatore di campo/funzione d'onda..
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


alla fine sul feynman non ho trovato esattamente quello che cercavo,
ma come ho detto ho trovato un sacco di altre cose molto interessanti
come l'andamento del propagatore fuori dal colo luce.
invece sull'Itzykson-Zuber ho letto frasi del tipo:
"le funzioni di green avranno un indice pedice in base alle condizioni
al contorno che rispettano. "
e vi ho pure trovato un dettagliato elenco delle proprietà delle
FdGreen rispetto al cono luce. (dove sono nulle e dove no, con abbozzi
di andamenti)
nonché una esplicità differenza 
Gadv+Gret - Gfyenman
che appunto sono tutte soluzioni della equazione con t.n. delta, ma
hanno condizioni al contorno differenti.
si annullano in settori differenti dello spazio M.
spero di non avere detto molte cavolate ...
 :-)
Roberto
PS 
sul feynman cmq si possono leggere cose interessanti sull'andamento
della FdG di feynman rispetto al cono luce che non ho trovato da
nessuna altra parte.