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Titolo: Integrazione.

Salve a tutti, ho un dubbio che mi affligge.
Non metto mano agli integrali da parecchio tempo e giusto oggi me ne e'
capitato uno sottomano a cui ho tentato, per grandi linee, di rispondere; ma
poiche' non ricordo ne' le, ne' regole e i teoremi, diciamo che ho risposto
"a naso".
La funzione e' la seguente:
f(x) =  e^ (x / (x-1))
Di questa funzione esponenziale, bisogna dire se essa e' integrabile in
(1,2] cioe', l'intervallo chiuso a destra, aperto a sinistra 1,2.
Il  lim per x che tende ad 1+ della f(x) e' chiaramente piu' infinito.
Adesso mi chiedo se si puo' fare la sostituzione t = 1 / (1-x) e dire che
per x che tende ad 1+, allora "t" tende ad infinito e quindi trasformare la
mia funzione di partenza in e^t*x che e' maggiore di e^t.
L'integrale di e^t, per t che tende ad infinito, non esiste poiche' lim per
t che tende ad infinito di x*e^t e' uguale a piu' infinito (sbaglio o e^t e'
un infinito superiore di qualunque potenza di t?)
Posso, in base a questo, affermare quindi che, poiche' l'integrale tra 1 e
piu' infinito di e^t non esiste, allora non esistera' neanche l'integrale
tra 1 e piu' infinito di e^t*x, dove "t" e' uguale a 1 / (1-x) e quindi
e^t*x > e^t ??
E se si', qual'e' il teorema (o quali sono i teoremi) che mi permettono di
affermarlo?
Grazie di cuore a tutti,
Vanessa Clementi

Il  lim per x che tende ad 1+ della f(x) e' chiaramente piu' infinito.
Ciao...anche io non sono molto fresco di analisi, però il mio
consiglio è di utilizzare gli ordini di infinito per valutare
l'integrabilità della funzione "vicino" a 1. La funzione che hai
scritto dovrebbe andare ad infinito vicino ad 1 con ordine soprareale,
e di conseguenza non è integrabile...
Ciao e 73-51 de Tartaruga .
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(C) Tartaruga 1999 ;-)


Io fare  cosi': e^[x/(x-1)] = e^[(x-1)/(x-1) + 1/(x-1)] = e^1 e^[1/(x-1)]
ora passa alla variabile t= 1/(x-1) come dicevi tu.
Per concludere, basta che invece di integrare da 1 a 2 integri 
da a>1 a 2 in x. Allora la funzione f(x) e' definita su un dominio 
in cui e' ben definita (continua) e la trasformazione di coordinate 
t= 1/ (1-x) anche (differenziabile con inversa differenziabile) 
e puoi fare il cambio di variabili: integri in t da 1/(1-a) a 1/(1-2). 
A questo punto i due integrali, quello in t e quello in x  coincidono 
per ogni valore di a >1, quindi coincidera' anche il loro limite per a -> 1:
l'integrale in t fornisce un limite divergente per cui lo fornira'
anche quello in x.
(Per essere veramente pignoli e per concludere che f(x)
NON e' integrabile su ]1,2] puoi ora ragionare cosi'.
Essendo la funzione integrale una funzione continua al variare 
dell'estremo di integrazione fino  ai bordi del dominio della funzione 
integranda quando la funzione integranda e' integrabile, 
la funzione f(x) non puo' essere intgrabile in ]1,2] perche' la funzione 
integrale dovrebbe valere +oo in 1...)
Ciao, Valter



io invece farei cosi': e^[x/(x-1)] = e^[(x-1)/(x-1) + 1/(x-1)] = e^1 e^[1/(x-1)]


 Ciao, Valter

Sarahhh wrote:
1> > (Per essere veramente pignoli e per concludere che f(x)
2> > NON e' integrabile su ]1,2] puoi ora ragionare cosi'.
3> > Essendo la funzione integrale una funzione continua al variare
4> > dell'estremo di integrazione fino  ai bordi del dominio della funzione
5> > integranda quando la funzione integranda e' integrabile,
6> > la funzione f(x) non puo' essere intgrabile in ]1,2] perche' la funzione
7> > integrale dovrebbe valere +oo in 1...)
8> 
9> ok, fin qui ci siamo.
1> Ma ti porto questo esempio:
2> considera questa funzione: f(x) = lg (1-x)  con x appartenente a [0, 1[
 
1> lim per x --> 1 e' chiaramente +oo,
Vuoi dire -oo !
1> ma poiche' sappiamo che se esiste
2> 
3>    lim      (b - x)^a*f(x) = m (m = limite finito)
4> x -> b-
5> 
6> e la f : [a,b[ --> R+ U {0} e' Riemann integrabile in ogni intervallo
7> [a,x] con a < x < b, allora se  0 < m < +oo oppure m = 0 e
8> 0 < a < 1, allora esiste l'integrale improprio. Viceversa, no.
9 > Ora, poiche' lg (1- x) e' un infinito di ordine inferiore
10> ad 1/2, secondo questo teorema sopracitato, e' R/int.
11> Nonostante il suo limite per x --> 1 sia +oo.
OK
1> 
2> Quindi il fatto che il limite venga +oo, fa scattare il campanello
3> d'allarme su come si possa comportare la funzione ( e quindi
4> l'integrale) in quel punto. Ma magari si trova un espediente
5> per il quale o ridefinisci la funzione per continuita' oppure
6> applichi un teorema che ti permetta di concludere che,
7> se trovi particolare circostanze (la costante alfa fatta
8> in un certo modo o il limite finito) allora la f e' R/integrabile.
Dubbio lecito ma risposta negativa.
Il fatto che il limite di F(X) = integrale da_a a X di f(x) sia finito
oppure no per X-> b^- punto in cui la funzione f e' singolare, NON
dipende dal cambio di variabili che tu esegui nell'integrale purche'
il cambio e' ammissibile (la trasformazione e' differenziabile con
continuita' ed invertibile con inversa differenziabile con 
continuita'  in ogni itervallo [a,b'] con b'<b). Per
cui e' sufficiente dimostrare la convergenza o la divergenza per
una scelta di variabili, tutte le altre scelte ammissibili
si comportano nello stesso modo.
Ciao, Valter

Ci sono 3 strade sicure per risolvere questo integrale:
1) Sviluppi la funzione integranda in serie con lo sviluppo in serie
dell'esponenziale, applichi il teorema di integrazione per serie, integri
dejntro e vai a vedere la serie numerica ottenuta converge.
2) Integri la funzione con le solite regole (ma mi sembra molto improbabile,
ad occhio non è integrabile elementarmente.
3) Usi il criterio del confronto asintotico con una funzione di riferimento
che conosci bene (di solito si usano le potenze traslate nel punto).
4) Maggiori la funzione con un'altra funzione (ha senso farlo perchè
l'esponenziale è positivo per cui non può scappare da sotto) e mostri che
l'integrale di questa nuova funzione esiste, quindi esiste anche l'intgerale
dlla tua funzione.
5) In maniera analoga puoi minorare la funzione con un'altra funzione e
mostrare che l'integrale della nuova funzione non converge, quindi non
coverge neanche l'integrale della tua funzione.
Ciao
Antonio
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