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Titolo: Che cos'e' un campo "quantistico" ?

Qualcuno potrebbe spiegarmi (o indirizzarmi a link) in breve in cosa 
consiste un "campo quantistico" ?
L'idea di campo "classico" (e' giusto l'aggettivo?) che ho e' quella - 
che mi sono fatto sui libri del liceo di fisica - di una funzione da un 
sottoinsieme di R^3 a R, se il campo e' scalare (es.: campo delle 
temperature), oppure da un sottoinsieme di R^3 a R^3 se il campo e' 
vettoriale (es.: campo delle velocita' di un fluido, o campo elettrico, 
magnetico, ecc.).
Ma in cosa un campo quantistico si differenzia da cio'? L'aggettivo 
quantistico vuol dire "quantizzato", quindi, ad esempio, non tutti i 
valori del codominio sono possibili, ma solo un sottoinsieme discreto? O 
che?
Le mie conoscenze matematiche - se dovesse servire per la risposta - 
sono piu' o meno quelle del calcolo integrale e differenziale di base.
Grazie per eventuali risposte/link
Ciao
Dan

La differenza, in termini matematici, tra un campo classico e uno quantistico sta nella
natura dei coefficienti di espansione di fourier, per il campo classico sono numeri
complessi, per il campo quantistico sono operatori, i famosi operatori di creazione e
distruzione del campo libero.
A livello fisico nel formalismo quantistico si impongono, almeno nel formalismo canonico,
delle relazioni di commutazione con h-tagliato come unità fondamentale dello spazio delle
fasi. Questa unità fondamentale dello spazio delle fasi costituisce la differenza con la
teoria dei campi classica.
In fin dei conti quando le dimensini del problema sono tali da nascondere la
"quantizzazione" dello spazio delle fasi la natura quantistica è inaccessbile e tutto
"sembra" classico.
Sottolineo che è IMHO.
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tutto ciò che ho scritto è sempre In My Humble Opinion (IMHO)
probabilmente l'ho scritto di fretta, quindi scusate se sono stato sbrigativo.

 [...cut...]
....eh, purtroppo non ho capito granche' :-(
(non perche' non sia stato bravo tu, ma perche' evidentemente mi mancano 
parecchi strumenti matematici...non so cosa vuol dire, ad esempio, che 
l'espansione di Fourier di un campo classico ha come coeff. numeri 
complessi, idem spazio delle fasi, ecc. ...]
Insomma, in poche parole, l'idea che ho di un campo classico e' quella 
per cui, dato un punto dello spazio, gli si associa uno scalare (se il 
campo e' scalare), o un vettore (se il campo e' vettoriale).
In un campo quantistico invece?
Ciao
Dan

In un campo quantistico invece?
Se non conosci i teoremi di scomposizione di Fourier si fa ardua, per
le mie conoscenze limitate (un professionista dell'insegnamento forse
riesce a ovviare al problema, io no :-)
Vi sono dei teoremi cmq che permettono di scomporre una funzione in
somme di seni e coseni, ognuno moltiplicato per un dato coefficente
(sembra anche intuitivo, no?). In questo modo e' possibile suddividere
un dato campo, ad esempio elettromagnetico, nelle varie frequenze che
lo compongono.
Se il campo e' classico, questi coefficenti si comportano come numeri.
Se il campo e' quantistico, i coefficenti che escono fuori si
comportano come matrici, e rispettano quindi regole algebriche diverse
(ad esempio, il prodotto tra matrici non e' commutativo).
Temo di non essere riuscito a spiegare granche', ma e' il meglio che
riesco a fare, sorry :-(
-- 
-Thanatos-
HatTrick: bobon123 - Djiins, V.167
Membro del Club dei Mille, Tessera #017
Experienced Manager dell'Italian Hattrick Newsgroup Federation
Studente nell'Universita' Italiana Hattrick

 comportano come matrici, 
OK. Quindi un campo quantistico si caratterizza in base al suo sviluppo 
di Fourier, che ha per coeff. delle matrici e non degli scalari?
....anche se la cosa mi sembra un po' "fumosa"...
Cioe', c'e' una caratterizzazione che non si appoggia a Fourier? In 
altri termini, se io volessi "vedere" un campo quantistico, come potrei 
fare? Io, per "visualizzare", ad esempio, un campo classico vettoriale, 
me lo immagino come un insieme di freccine = vettori, una per ogni punto 
dello spazio in cui il campo e' definito. [Oltre alla rappresentazione 
con le linee di campo, che godono della proprieta' di essere tangenti, 
in ogni punto, al vettore campo in quel punto.]
Un campo quantistico invece associa a punti dello spazio delle intere 
matrici? O non centra niente? :)
Grazie
Ciao!
Dan

 matrici? O non centra niente? :)
in un certo senso si': associ ad ogni punto dello spazio tempo 
un'operatore lineare(che agisce su uno spazio infinito dimensionale) che 
dipende da questo punto.
In realta' la cosa e' un po' piu' complicata: associ ad ogni punto dello 
spazio un oggetto che e' un mattone con cui costruisci tutte le 
quantita' osservabili del sistema che sono "locali"(non ti spiego 
esattamente cosa vuol dire, ma puoi immaginartelo, forse). Peggio ancora 
in realta' questo oggetto non e' veramente un'operatore: se te lo 
immaginassi come un matricione infinito con coefficienti dipendenti dal 
punto, scopriresti che quei coefficienti non sono funzioni nel senso 
classico, ma funzioni generalizzate, che si chiamano distribuzioni(non 
pensare alla statistica...)
Pero' a che ti serve un discorso del genere? sapresti cosa farci con 
questi operatoracci? nel senso, hai idea di come si tira fuori quello 
che si vede in laboratorio da queste bestialita'? beh, forse te lo 
potresti immaginare dopo aver guardato un po' di meccanica quantistica 
standard.
Se l'hai gia' studiata bene, altrimenti...facciamo un passettino per 
volta :-)
Comunque viva la curiosita'!
ciao
slacky

....anche se la cosa mi sembra un po' "fumosa"...
Lo so, ma temo di non poterti aiutare a meno di essere impreciso (e
gia' ho concesso qualcosa all'imprecisione nel post precedente) e/o
costringerti ad imparare almeno le basi della meccanica quantistica.
Ti consiglio di leggerti il post di Elio di risposta al thread sulle
frequenze del fotone, ti puo' dare qualche altro spunto.
Provo a darti un'ultima immagine, forse piu' esplicativa. Vi sono
delle imprecisioni in quanto sto per scrivere, ma sono correlate alla
necessita' di farmi capire.
Tu stai scomponendo il campo nelle sue frequenze, ok? In pratica e'
come se tu avessi il campo complessivo, e cercassi di vederlo come
composto dai singoli fotoni. Quello che si e' visto pero' e' che tali
fotoni si comportano proprio come particelle (guarda ad esempio
l'Effetto Compton). I coefficenti che sono davanti alle varie
frequenze quindi, non possono essere numeri qualsiasi, devono
rispettare delle regole di quantizzazione (per essere imprecisi e
rispettare un'idea grezza di quantizzazione, non ci puo' essere un
fotone e mezzo, no?). Come vedrai se seguirai un corso di meccanica
quantistica, tali supposizioni portano a risultati molto piu' potenti
di quanto intuitivamente si possa pensare, e ad una matematica molto
piu' ricca che include in se' elementi aleatori.


Comunque viva la curiosita'!
pienamente d'accordo.


 consiste un "campo quantistico" ?
A me non sembra che tirare in ballo gli sviluppi di Fourier sia la
strada per rispondere alla domanda. Percio' provo per una via diversa.
Supponiamo di voler studiare il moto trasversale di una corda, per
esempio di chitarra. La difficolta' e' che la corda e' un "sistema
continuo", ossia non formata da un numero visibile di particelle
dotate di massa.
(Si e' vero, alla fine la corda e' fatta di atomi... Ma nessuno si
sogna di tirare in ballo gli atomi per studiare le corde, e questi
problemi erano gia' stati affrontati quando ancora di atomi si parlava
solo in via molto molto ipotetica.)
Allora si procede cosi'. Si approssima la corda con un insieme finito
di N masserelle, collegate da fili rigidi privi di massa. Cosi' il
sistema e' ridotto a una cosa trattabile: avremo gli spostamenti y(1)
... y(N) delle N masse, terremo conto delle forze agenti, ecc. ecc. E'
inutile approfondire.
Il sistema ha N gradi di liberta'.
Se non siamo soddisfatti dell'approssimazione, possiamo aumentare N,
fino a pensare a un limite N --> oo. Questo e' possibile farlo; e'
stato fatto da ben piu' di due secoli, e ha fornito la famosa equazione
della corda vibrante di d'Alembert (quello dell'Enciclopedie).
A questo limite, invece di avere le N variabili y(1) ... y(N) abbiamo
una funzione y(x), dove x e' un'ascissa ungo la corda. In realta' la y
dipendera' anche dal tempo, visto che la corda vibra: infatti l'eq. di
d'Alembert e' un' eq. diff. alle derivate parziali per la y(x,t).
Avrai notato che in questo modo abbiamo ottenuto un _campo_ scalare
unidimensionale: R --> R.
A rigore un campo scalare non basta, perche' la corda puo' vibrare in
piu' direzioni, quindi occorerebbero due componenti: R --> R^2. Ma
l'idea resta la stessa.
Tutta questa era una lunga premessa, per porre il seguente problema:
come si fa la meccanica quantistica di una corda?
(Il problema e' privo d'importanza pratica in questa forma, ma e'
interessante proprio come introduzione a quello che davvero ci preme.)
Ovviamente bisogna ricominciare daccapo: approssimare la corda con N
masserelle, e fare la m.q. di questo sistema.
Problema: che cosa sai su questo? Temo piuttosto poco...
Mi limito a dirti che il procedimento base e' di sostituire la
grandezze y(1) ... y(N) con degli operatori.
Ai tempi di Heisenberg si diceva "matrici", poi siamo diventati piu'
smaliziati, e diciamo "operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert
complesso"; ma la sostanza non cambia.
Accanto agli operatori per le y, ci sono anche quelli per le q. di moto
p, e ciascun y(k) non commuta col p(k): ma di piu' non sto a dirti.
Come prima. possiamo passare al limite, e avremo una y(x) che stavolta
pero' e' una funzione di x a valori che non sono numeri reali, bensi'
operatori. Anzi peggio (come ha provato a dirti Slacky): y(x) e' una
"distribuzione a valori operatori".
Ma questo sara' piu' o meno arabo per te...
Qui debbo fermarmi. Il succo che dovresti trattenere e' questo: gia'
una corda e' un campo (classico), di cui si puo' fare la meccanica.
Quando si vuole farne la m.q., ecco nascere un esempio semplice di
campo quantistico, che puoi vedere come il caso limite di un un sistema
di N particelle, quando N va a infinito.
Una volta imparato a lavorare con questi campi "facili", il passaggio
ai campi veramente interessanti, come quello e.m., non dico che sia
semplice (perche' nascono un sacco di nuove grane) ma segue una strada
ben definita.
E cosi' hai la teoria quantistica dei campi, ovvero QFT.
Osservazione finale per "color che sanno": e' solo quando si cerca di
spiegare a un profano, che ci si rende conto di quanti livelli di
astrazione siamo abituati a superare, in modo cosi' naturale che non
li si vede piu'.
Notate che Danguard ha gia' fatto qualche passo: sa definire un campo
vettoriale come R^3 --: R^3; eppure...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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vettoriale come R^3 --: R^3; eppure...
Questo discorso e' giustissimo. Non so se arrivero' mai a insegnare in
un'universita' (non sono ancora laureato, e non sono affatto sicuro di
volere/potere seguire la carriera accademica), ma devo dire che anche
solo facendo lezioni di recupero ai liceali, di matematica e fisica
"elementari" mi sono accorto che quel lavoro serviva anche a me, per
organizzare meglio idee che oramai davo per scontate e mai elaborate a
dovere. 
Immagino solo lo sforzo e la sfida mentale che sia insegnare argomenti
piu' complessi, e il grado di controllo dei meccanicismi e di
comprensione delle astrazioni e dei modelli che si deve raggiungere.
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 vettoriale come R^3 --: R^3; eppure...
....beh, non e' che ci voglia granche' per i campi vettoriali [per me 
piu' o meno R^3 = terne (x,y,z) = vettori 3D], il mio passetto e' 
"infinitesimo" :)
Comunque tieni conto che non studio fisica all'universita', sono solo 
molto interessato alla materia (ma mi mancano - ho notato - una miriade 
di strumenti matematici per capire gli sviluppi piu' moderni di questa 
Scienza :(
Grazie per il tempo dedicatomi e per la chiarezza!
Ciao,
Dan

 Scienza :(
Complimenti per la curiosita'... ma effettivamente per capire bene queste
cose (che anche io ammetto di maneggiare molto alla buona) serve una
quantita' di matematica da far paura..
ciao ciao, A.

 quantita' di matematica da far paura..
Cosa che si apprenderebbe solo studiando Fisica con un indirizzo 
Teorico, giusto?
Comunque, noto che la fisica "moderna" richiede un sacco di matematica; 
prima che la fisica si addentrasse nel mondo atomico/subatomico non era 
cosi', vero? Cioe', la fisica classica si capisce bene con cio' che ti 
insegnano ad un liceo scientifico (piu' o meno): integrali e derivate, 
piu' qualche equazione differenziale, vero?
Ma, secondo voi, questa imponente "invasione" della matematica (a 
livelli cosi' spinti), potra' interessare anche altre scienze, come ad 
esempio la biologia, che mi pare un po' "immune" dal processo di 
"matematizzazione"... puo' darsi che applicando la matematica alla 
biologia cosi' come si e' fatto per la fisica ci siano grandi scoperte e 
miglioramenti di conoscenze in tale ambito? [OK...forse quest'ultima 
domanda e' un po' OT qui...?]
Grazie a tutti per i contributi.
Ciao,
Dan

 "matematizzazione"...
In parte sta gia' succedendo. Non solo nella parte piu' "dura" della 
biologia, quella molecolare (che ha adottato molti procedimenti, 
risultati e metodi delle scienze fisiche), ma anche in altri ambiti come 
  l'ecologia, vedi 
p.es
. la dinamica delle popolazioni di Vito Volterra.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 risultati e metodi delle scienze fisiche), 
Questi contributi sono dovuti a fisici che si "convertono" alla 
biologia, portando in quel dominio le loro conoscenze e il loro "metodo 
matematizzante"? 
(Se non sbaglio, ricordo, tra l'altro, di aver letto che Schrodinger [o 
come si scrive...uno dei padri della M.Q.] abbia scritto un libro di 
argomento biologico...)
Dan

 argomento biologico...)
What is Life?, 1944. Vi si adombrava il concetto di DNA (ovviamente non 
chiamato cosi'), se non ricordo male per la prima volta.
