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Titolo: Mi pare che ci sia un errore nel Jackson

Il Jackson, versione in italiano della Zanichelli, 1984, "Elettrodinamica
classica" presenta alla pagina 166 (equazione [5.64]) il campo di un dipolo
m posto nell'origine:
B(x) = [(3n(n*m)-m)/x^5] + (8/3) PI m delta(x).
Con x si intende il vettore posizione del punto in cui si vuole il campo B e
con n si intende il versore x/|x|.
Il testo sottolinea che l'addendo (8/3) PI m delta(x), da sommare alla
usuale espressione del campo di un dipolo, si rende necessario allo scopo di
tenere conto del risultato ottenuto poco prima (equazione [5.62]), e cioe'
che, se le fonti del campo B sono tutte interne alla sfera di raggio R,
allora l'integrale di B, esteso su tutta la sfera, vale (8/3) PI m (dove m
e' il momento di dipolo totale).
Il punto e' che, se non ho commesso errori (il che mi parrebbe poco
probabile perche' gli integrali li ho fatti eseguire a Mathematica,
comunque, non si sa mai, magari ho sbagliato a digitare qualcosa, ma mi pare
di aver ricontrollato bene), l'integrale di [(3n(n*m)-m)/x^5] sulla sfera di
raggio R e centro l'origine non vale 0 ma vale -(4/3) PI m.
Quindi, per tenere conto di quanto Jackson afferma nell'equazione [5.62],
l'addendo da aggiungere nell'espessione della B(x) a me pare proprio che
debba essere 4 PI m delta(x) (non (8/3) PI m delta(x)).
Discorso analogo viene fatto per l'equivalente elettrico alle pagg. 127-128.
La [4.18] dice che l'integrale di E all'interno della sfera che racchiuda
tutte le cariche che generano il campo sara' uguale a -(4/3) PI p (dove p e
il momento di dipolo elettrico totale), poi, la [4.20] dice che, per tenere
conto del risultato [4.18], si deve aggiungere alla usuale espressione del
campo elettrico di dipolo
E(x) = [(3n(n*p)-p)/x^5]
un contributo deltiforme, ottenendo cosi'
E(x) = [(3n(n*p)-p)/x^5] - (4/3) PI p delta(x).
Qui Jackson commenta con le seguenti parole:
"Il termine aggiuntivo con la funzione delta non contribuisce al campo nei
punti diversi dalla posizione del dipolo. Il suo scopo e' quello di
soddisfare la condizione [4.18], con la *convenzione* che l'integrale di
volume del primo termine sia zero (per effetto dell'integrazione sugli
angoli) mentre la singolarita' nell'origine determina il valore
dellintegrale che, altrimenti, sarebbe ambiguo."
Il punto e' che l'integrale di volume del primo termine (su una sfera che
contenga le cariche) non e' nullo, e non vedo proprio come si possa
"convenzionalmente" dire che sia zero "per effetto dell'integrazione sugli
angoli". Di piu', tale integrale di volume da' proprio il valore necessario
per soddisfare la [4.18] (cioe' -(4/3) PI p), rendendo corretta, per il caso
elettrico, l'espressione usuale del campo di dipolo (cioe' quella senza
alcuna aggiunta di contributi deltiformi).
In conclusione, diversamente da quanto afferma il Jackson nelle [4.20] e
[5.64], a me pare che i campi di dipolo elettrico e magnetico si debbano
esprimere rispettivamente
E(x) = [(3n(n*p)-p)/x^5]
e
B(x) = [(3n(n*m)-m)/x^5] + 4 PI m delta(x).
A questo punto sarebbe interessantissimo discutere gli effetti fisici della
differenza fra le due espressioni, ma mi fermo perche' intanto vorrei
chiedere agli utenti del gruppo se qualcuno nota errori nel discorso fatto
sopra, oppure se e' noto che li' c'e' un errore del Jackson (magari corretto
in edizioni successive).
Grazie.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

Bruno, non c'e' nessun errore. L'espressione data e' per B, che
all'interno di una sfera vale 2/3 B0. Tu hai giustamente ottenuto -1/3
mu per l'integrale di volume del campo di dipolo dentro una sfera, che
e' il valore del campo H (il quale e' costante, dando quindi -1/3 mu
nel volume). Se ci sommi la magnetizzazione M (che porta un intero mu)
ottieni 2/3 mu per il "momento di B" (l'integrale di B di una sfera
entro il suo volume). Il termine 2/3 delta(r) e' corretto, e
necessario esattamente come dice il Jackson.
Fosse che fosse la volta buona che ti convinci che non si puo' fare a
meno della triade M,H,B... ;-)
Bye
Hyper

 Hyper
Ciao.


Bruno, non farei che ripetermi, quindi non ci provo nemmeno. Stai
facendo tutto giusto (il risultato -4pi/3 dentro la sfera, ecc), ma
interpreti male il discorso del Jackson. E, sono convinto, il tutto
nasce dal tuo rifiuto di considerare i tre campi.
Comunque correggi il x^5 che e' un x^3 al denominatore del campo di
dipolo.
Bye
Hyper

 nasce dal tuo rifiuto di considerare i tre campi.
No Hyper, se ritrovi il punto giusto vedi che M non c'entra niente, e ancora
meno H. Non si sta parlando di materiale magnetizzato. Si sta parlando di
sorgenti generiche (cioe' correnti elettriche generiche per B, cariche
elettriche generiche, non necessariamente di polarizzazione, per quanto
riguarda E).
Nella terza edizione il punto viene riportato alla pag 188 (equazioni (5.62)
e (5.64)) per quanto riguarda il campo magnetico e alla pag 149 (equazioni
(4.18) e (4.20)) per quanto riguarda il campo elettrico.


OK. Non avendo il Jackson sottomano, andavo a memoria. Forse avevo
interpretato male io quello che volevi dire tu.
Comunque mi hai fatto nascere un dubbio, riguardo a quel termine extra
delta-forme. Ora lo formalizzo e poi lo propongo a te e al gruppo.
Bye
Hyper


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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 dellintegrale che, altrimenti, sarebbe ambiguo."
Si aggiusta con i mollificatori e la gamma convergenza.

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 ha scritto:

E' molto comodo per quanto non strettamente necessaria dal punto di vista
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


4pi M (x)


Ad ogni modo era esatta la conclusione sebbene specioso l'argomento. Infatti
se integriamo prima sugli angoli e poi su r l'integrale del campo esterno
alla sfera è nullo.


 magnetizzazione.
Ok, è qui che sbagliavo. Vedi il thread "derivazioni rigorose del termine di
contatto di Fermi".
