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Titolo: Prolungamento del differenziale e del codifferenziale ...

   Ammirati Colleghi
--[ Proemio ]--
Se 'sta cosa (come, purtroppo per me, temo) sta sulle dispense del prof. 
Moretti, mi tiro le orecchie da solo per non essere riuscito ad 
individuarla. Promesso.
--[ Dilemmi ]--
Entro tutte le ipotesi di regolarita' occorrenti, siano:
  V e W due varieta' differenziabili
  Phi : V -> W una trasformazione
  p un punto su V
Per sintesi, conveniamo di indicare con
  E lo spazio tangente T_p(V) alla varieta' V nel punto p
  F lo spazio tangente T_Phi(p)(W) alla varieta' W nel punto Phi(p)
  Diff : E -> F il differenziale di Phi in p
  CoDiff : F -> E il codifferenziale di Phi in p
[ 1 ]
In un certo volume leggo una proposizione che non riesco a comprendere:
"si ricordi che Diff puo' estendersi a tutte le potenze tensoriali E^r 
oppure F_r";.
Evidentemente (credo), la funzione Diff non puo' essere estesa ad un 
insieme, diciamo E^2 (^2 qui sta per tensore controvariante di rango 2, 
non E x E) di cui il suo dominio non sia un sottoinsieme, a meno che non 
esista un' immersione naturale di E in E^2 la cui definizione non faccia 
ricorso alle coordinate in una specifica base (non credo).
Una possibile interpretazione potrebbe essere che, identificando 
ciascuno degli spazi E^r con l'insieme A(E)^r degli elementi 
dell'algebra tensoriale A(E) su E aventi tutte le componenti nulle ad 
eccezione della r-esima, esista una ed una sola applicazione
H : A(E) -> A(E)
rispetto alla quale A(E)^1 sia invariante e che associ all'elemento (... 
T ...) quello (... Diff T ...)
[ 2 ]
Piu' avanti, si dice: "... se il differenziale Diff e' un isomorfismo 
esso puo' prolungarsi a tutta l'algebra tensoriale ..." ... "... due 
varieta' diffeomorfe non soltanto sono indistinguibili da un punto di 
vista topologico differenziale ma sono altresi' isomorfe le algebre 
tensoriali ed esterne in punti corrispondenti ...".
Questa affermazione mi sembra avvalori l'ipotesi interpretativa di cui 
al punto precedente. Se ne dedurebbe, inoltre,
che se le due varieta' non sono diffeomorfe l'estensione di Diff e 
CoDiff e' limitata ai sole potenze tensorali di tipo E^r e F_r
[ 3 ]
L'espressione in forma coordinata della funzione H e' preliminare 
ineludibile alla espressione in forma coordinata della derivazione di Lie
--[ Postemio (??!) ]--
Su qualunque altro gruppo mi avrebbero bannato da tempo (credo).
E avrebero fatto bene (non credo).
Vi ringrazio per la solidale pazienza (spero).
  Imago Mortis


si possa (debba?) interpretare come segue. Prendi il prodotto
tensoriale
Ex....xE n volte ed il prodotto tensoriale Fx...xF nvolte.
Quindi definisci l'operatore  prodotto tensoriale di n copie di
Diff
Diff x....x Diff : Ex....xE  -> Fx...xF
in modo ovvio come, in effetti, c'è scritto sulle mie dispense nel
caso generale.
Se Phi è un diffeomorfismo allora accade che Diff^n := Diff x....x
Diff (n volte)
è un isomorfismo e gli spazi di tensori Ex....xE (n volte)  e  Fx...xF
(n volte)
sono isomorfi.
Pertanto, definendo anche  Diff^0 = id, hai effettivamente un
isomorfismo tra le
due algebre tensoriali...
Ciao, Valter

 > sto passando una settimana ...
Eh, beato te ...
In quanto al merito tecnico del post,
ringrazio, e dissipo l'eta' mia in
ponderose meditazioni. Mi rifaro' vivo ...
ciao e buon lavoro
Imago Mortis