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Titolo: Per fisici matematici: spazio vettoriale tangente ad una varieta'

Ciao a tutti,
ho una domanda per gli esperti di geometria differenziale:
Non ho problemi a capire, da un punto di vista rigoroso e formale, le
varie possibili definizioni intrinsiche di vettori e spazi vettoriali
tangenti ad punto di una varieta' differerenziale. Tanto per
concretizzare, prendiamo come vettore un generico operatore
differenziale esprimibile in termini di derivate parziali delle
funzioni coordinate di una carta.
Vengo adesso alle mie perplessita': quando la teoria matematica si
applica a situazioni fisiche, questi vettori astratti devono essere
precisati nella loro natura. Supponiamo di essere la formichina che
vive sulla sfera oppure noi stessi che percepiamo i fenomeni fisici in
un intorno dello spazio-tempo: da questa definizione astratta, come
arriviamo a qualcosa di concreto?  Se avete altri esempi, please,
siete i benvenuti.
Grazie a tutti!
Scarabeo


wrote:

Ci sono un mucchio di possibilita': pensa alla velocita' oppure
all'accelerazione di punto materiali. Sarebbe meglio, nello
spaziotempo relativistico, pensare alla quadrivelocita' ed alla
quadriaccelerazione.  Lavorando in fisica classica,  lo spaziotempo ha
una struttura piu' complicata di una varieta' differenziabile: e' un
fibrato sulla retta del tempo R, le cui fibre (spazi assoluti al tempo
fissato) sono spazi affini dotati di prodotto scalare...Anche in quel
caso puoi pensare alle velocita' ed accelerazioni di punti materiali
che pero' diventano tangenti a queste fibre (e dipendono dalla scelta
di un riferimento per essere definite...)
Un po' di queste cose le spiego ai miei studenti, nel corso di
meccanica.
Trovi le dispense  qui
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
sono le prime che appaiono.
Ciao, Valter

 Se avete altri esempi, please, siete i benvenuti.
Ne ho, perche' il problema riguarda in generale l'interpretazione fisica
delle strutture matematiche. Temo pero' che quanto ho detto sopra non 
riscuota l'approvazione di firme ben piu' autorevoli della mia.
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

 riscuota l'approvazione di firme ben piu' autorevoli della mia.
Per quanto mi riguarda hai detto cose pienamente condivisibili.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Volevo ancora dire una cosa. Forse da quello che ho scritto tempo fa,
potrebbe sembrare che io propenda per definire i vettori dello spazio
tangente come operatori differenziali e saltare completamente l'idea
delle classi di equivalenza di curve e roba simile. Non è così.
Preferisco definirli come operatori, ma poi torno alle curve, nel
senso che:
 (1) faccio vedere che ogni curva si porta dietro, in ogni punto, un
vettore tangente (pensato però come operatore) e
 (2) faccio vedere che *nel caso in cui la varietà sia uno spazio
affine*, c'è un isomorfismo canonico tra questi spazi tangenti di
operatori e i vettori dello spazio delle traslazioni (differenze di
punti). Nel caso delle curve, mostro che il vettore tangente è proprio
isomorfo a quello che si ottiene con il rapporto incrementale. Questa
strada come tempo porta via più o meno lo stesso tempo
dell'introduzione dei vettori tramite le classi di equivalenza di
curve, ma in realtà mostra molte più cose ed in modo trasversale...
(mostra la struttura naturale di varietà differenziabile degli spazi
affini, mostra la differenza tra vettori liberi e vettori applicati e
come sopravvivano solo i secondi quando si passa dagli spazi affini
alle varietà [e questo è un discorso preparatorio alla teoria delle
connessioni], mostra che i vettori siano anche pensabili come
operatori differenziali e, infine, mostra che, "in componenti, sia
tutto la stessa cosa").
Ciao, Valter
   Ciao, Valter



Sottoscrivo con entusiasmo quest'impostazione.
Temevo di non potere entrare bene in sintonia con il tuo pensiero, fatto
che mi creava un certo disagio, vista la tua indiscussa autorevolezza in 
materia. Grazie per le esaurienti risposte.


 secondo me si usa.
Di questo non sono convinto, e non da oggi: e' una convinzione che mi
sono formata quando ho cominciato a insegnare mecc. quantistica,
all'incirca 40 anni fa.
Detta in termini assai sintetici, la mia opinione e' che in molti casi
i corrispettivi piu' immediati di certi enti della fisica stia in
strutture matematiche relativamente astratte (l'esempio dei "vettori di
stato" e' evidente) mentre l'adozione di rappresentazioni particolari
(le componenti di cui parli, o le funzioni d'onda della m.q.) introduce
elementi estranei che possono "ostruire" la comprensione della stesa
teoria fisica.
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
Forse su questo hai ragione, però ora sti parlanod di MQ che ha un
"oparadigma" molto diverso...
Ciao, Valter

Elio, Valter, Elio,
grazie per i vostri competenti commenti. Forse a me serviva qualcosa
di piu' banale ancora. Provo a riformulare il mio dubbio. La
definizione con gli operatori differenziali mi sembra che semplifichi
lo sviluppo della teoria, mentre quella con classe di equivalenza di
curve si presta meglio a concretizzare i vettori. Ho capito bene?
Insomma, se uno mi dice "Tieni questo insieme M, i punti sono questi,
sono fatti cosi, sono delle "iperbanane"". Io mi faccio bene i conti e
vedo che l'insieme delle iperbanane ha la struttura di una varieta'
differenziale. Ma quali sono i vettori tangenti ad un "iperbanana"?
Bene, prendo una curva di iperbanane (il problema che sto cercando di
risolvere mi fara' capire che cosa sono le curve di iperbananane, mi
dara' cioe' anche il loro "senso" intuitivo etc). Poi mi calcolo le
derivate direzionali e le classi di equivalenza. Adesso posso tirare
un sospiro di sollievo: ho studiato la geometria differenziale, so che
sono di fronte ad uno spazio vettoriale (ancora una volta la
situazione concreta, il problema che sto affrontando etc mi guidera'
nel capire che cosa sono questi vettori in senso concreto, intuitivo
etc). Insomma, e' la natura dei punti della manifold , la loro
"l'iperbananita'" che mi guida ad una interpretazione "intuitiva"
delle varie costruzioni matematiche.
Sto dicendo sciocchezze (a parte l'iperbananita', siate clementi...)??
Grazie.
Scarabeo
PS: sono solo io a far fatica?? Ho chiesto a diversi fisici che
pubblicano etc e alcuni mi hanno confessato che o non usano questi
strumenti (cioe' usano la loro forma tensoriale classica) oppure non
li usano proprio oppure li usano in modo automatico perche'
"funzionano".

 teoria fisica.
Durante una seduta spiritica ho ricevuto il seguente messaggio da parte
di un certo P.A.M.Dirac che pare essere stato una firma autorevole:
"Il metodo simbolico, pero', sembra approfondire di piu' la natura delle
cose. Esso permette di esprimere le leggi fisiche in maniera chiara e
concisa, e probabilmente verra' sempre piu' usato nel futuro, via via
che verra' meglio compreso e che verra' sviluppato lo speciale tipo di
matematica che gli e' proprio. Per questa ragione ho scelto il metodo
simbolico, introducendo gli insiemi rappresentativi solo piu' tardi,
come ausilio per i calcoli pratici."


 "funzionano".
Secondo me e' sicuramente una questione di pigrizia giustificata,
costa sempre un po' fare un salto di livello, specie se uno sta gia'
lavorando su altre cose. Probabilmente alle persone alle quali hai
chiesto queste idee le hanno insegnate in modo piu' "antiquato" (a me
le hanno insegnate in tutti i modi possibili e poi ci ho messo del mio
per lisciare ancora un po' il formalismo) e a loro e' sufficiente per
quello di cui si occupano.
Nel mio campo di ricerca (teorie di campo quantistiche relativistiche
in spaziotempo curvo) questo genere di formalismi sono meno del
livello zero, ma e' solo questione di abitudine.
Ciao, Valter

 ...
Sono rimasto colpito a leggere queste parole, perche' ho appreso (non
in una seduta spiritica, ma piu' prosaicamente sfogliando un libro
nella mia biblioteca) che quando Dirac le ha scritte io avevo appena
23 giorni (hai letto bene: ventitre' giorni).
Mi sono poi ricordato di averle lette quando avevo 20 anni.
Evidentemente hanno avuto su di me un effetto profondo...
 
-- 
Elio Fabri

 "oparadigma" molto diverso...
Certo, ma il mio punto di vista lo ritengo valido in generale.
-- 
Elio Fabri