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Titolo: Induzione

Ciao a tutti,
immaginate un campo magnetico omogeneo e costante.
Adesso trasciniamo due spire con velocità costante e non relativistica su
un piano perpendicolare a questo campo.
Il campo è di superficie limitata, in modo che ad un certo punto le spire
entrano e poi escono dal campo.
Le spire sono un quadrato di lato z e un cerchio di diametro z.
La domanda è: in quale spira viene indotta la tensione maggiore?
Secondo due assistenti è uguale perché sono larghe uguali e quindi l'area
nel campo magnetico cambierà per ambedue ad un certo punto di (z * dx).
Secondo me il quadrato genera invece una tensione piú alta.
Quando il lato entra nel campo si ha un salto, mentre il cerchio genera
una variazione dell'area lenta.
Mi chiarite le idee?
Boiler
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 Mi chiarite le idee?
Dunque... secondo me hai ragione, ma la cosa andrebbe verificata.
Nel caso di spira quadrata la tensione indotta è valutabile facilmente.
Per la spira tonda che entra nella regione di campo per x occorre calcolare
l'area Ac del segmento circolare
immersa. Questa è data dalla differenza tra area del settore As e area del
triangolo At.
As = (R^2*beta)/2
At = 0.5*(R-x)*L
dove R è il raggio della circonferenza (R=z/2) e beta ll'angolo sotteso
dalla corda L definita da x.
Per il teorema della corda si ha L=2*R*sen(beta/2).
Inoltre occorre esprimere beta in funzione di x. Sempre dal teorema della
corda
R-x = R*cos(beta/2)
per cui
beta = 2*arccos((R-x)/R)
Dunque l'area spazzata è
Ac= As-At= 0.5*(R^2)*beta - 0-5(R-x)*L
ovvero
Ac= (R^2)*arcos( (R-x)/R ) - (R-x)*R*sen( arccos( (R-x)/R ) );
In termini di z=2R:
Ac= (1/4)(z*z)*arcos( (z - 2x)/z ) - (1/2)(z/2 - x)*z*sen( arccos( (z- 2x)/z
) );
Ora (non ricontrollo i passaggi e do' per scontato che non ho fatto errori)
dato che campo B e velocità v sono fissati e uguali, basterà fare il
confronto delle aree al variare di x.
Questa Ac(x) deve essere confrontata con la funzione Aq(x)= x*z, che è area
quadrato.
Ho fatto un po' di grafici. Qui trovi le due aree in funzione di x (per z
fissata uguale a 1)
http://img50.imageshack.us/img50/1811/area1vn4.gif
dove la retta rossa è riferita all'area del quadrato Aq(x) e quella nera
all'area del cerchio Ac(x).
Nota che Ac è sempre minore di Aq, anche all'end point x=z, dove ovviamente
ho
Ac=pi*(z/2)^2
Aq = z^2
che per z unitaria valgono rispettivamente ~0.78 (per il cerchio) e 1 (per
il quadrato).
Qui è mostrato il rapporto tra le due aree Ac(x)/Aq(x) in funzione di x
http://img353.imageshack.us/img353/5087/area2ug3.gif
Infine le derivata per il quadrato(rosso) e per il cerchio (nero) calcolate
in 200 punti tra 0 e 1:
http://img93.imageshack.us/img93/5977/area3rz0.gif
In sostanza hai ragione, quando il lato entra nel campo si ha un "salto",
mentre il cerchio, come si vede, genera una variazione dell'area più lenta.
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 genera una variazione dell'area lenta.
Suppongo che il campo magnetico sia diretto ovunque lungo
l'asse z e abbia intensita' costante:
B_x = B_y = 0
B_z = B se x >= 0
B_z = 0 se x < 0
e suppongo che le spire giacciano nel piano z = 0 e si muovano
con velocita' costante v diretta nel verso positivo dell'asse x, in
modo da attraversare l'asse y al tempo t = 0
(quindi suppongo che una volta immerse completamente nel
campo magnetico le spire non ne escano piu', questo e' lecito
perche' per l'uscita delle spire dal campo le considerazioni
da fare e i risultati ottenuti sarebbero del tutto analoghi a quelli
per l'ingresso, quindi e' sufficiente studiare cosa accade
all'ingresso delle spire nel campo).
Considero separatamente il caso della spira quadrata e di quella circolare:
SPIRA QUADRATA
Suppongo che un lato della spira sia parallelo all'asse y.
Il flusso del campo magnetico attraverso il quadrato al tempo t e':
Phi(t) = 0 se t < 0
Phi(t) = B * z * v * t se 0 <= t <= z / v
Phi(t) = B * z^2 se t > z/v,
la tensione indotta nel quadrato ha quindi una intensita':
V(t) = |dPhi(t)/dt|  =>
V(t) = 0 se t < 0
V(t) = B * z * v  se 0 < t < z/v
V(t) = 0 se t > z/v
V(t) e' discontinua per t = 0 e t = z/v.
Che significato hanno i due punti di discontinuita' per V(t)?
Fisicamente ci si aspetta che V(t) sia una funzione continua, perche'
il campo B in realta' non avra' una variazione brusca in x = 0 ma
variera' in modo continuo dal valore 0 al valore B, perche' lo
spessore della spira avra' un valore finito e non nullo ecc. ecc.,
quindi in realta' in un intorno di t = 0 la tensione V(t) crescera'
gradualmente dal valore inizialmente nullo fino al valore
B * z * v, e quest'ultimo valore rappresentera' il
valore massimo raggiunto da V(t), analogamente in un
intorno di t = z/v la tensione diminuira' gradualmente dal
valore B * z * v fino ad annullarsi.
SPIRA CIRCOLARE
In questo caso la tensione indotta V(t) e' ancora nulla per t < 0 e per
t > z/v, assume un valore massimo pari a B * z * v al tempo z/(2v) ,
ma a differenza del caso precedente V(t) e' continua ovunque, cio'
si vede facilmente dal fatto che in un intorno destro infinitesimo
di t = 0 l'area della spira immersa nel campo magnetico cresce
come t^(3/2) e quindi la derivata temporale del flusso del campo
magnetico e' nulla in t = 0, V(0) = 0, analoghe considerazioni
si possono fare in un intorno di t = z/v.
CONCLUSIONI
In entrambi i casi la tensione massima indotta vale B * z * v.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 In entrambi i casi la tensione massima indotta vale B * z * v.
Ho capito.
Grazie mille!
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