Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Sui fononi

La vibrazione (piccola) di un atomo in un cristallo può essere
caratterizzata da tre oscillazioni secondo tre direzioni fra di loro
ortogonali, quindi se si hanno N atomi nel cristallo allora ci saranno 3N
oscillazioni che bisognerà considerare.
E' giusto dire che una oscillazione normale è un fonone ?
Se così fosse allora nel cristallo ci dovrebbero essere 3N fononi, Ok ?
I fononi si ottengono dall'approssimazione armonica, ossia fermandosi ai
termini di ordine due nello sviluppo in serie di Taylor dell'energia
potenziale V degli ioni del cristallo.
Se si volessero considerare le interazioni tra fononi allora bisognerebbe
fermarsi, nello sviluppo in serie di Taylor, ai termini di ordine tre ? E
i termini di ordine quattro, cinque, ecc. cosa rappresentano ?
Ci sono esempi nello studio dei cristalli in cui si commette un grande
errore nel considerare i fononi ?
Perché le quasi particelle si chiamano così ?
Grazie, Ciao

 Perché le quasi particelle si chiamano così ?
Perche' pur avendo molte delle caratteristiche del concetto di
particella ( delle proprieta' fisiche come massa, spin etc) sono pur
sempre originate da un moto collettivo di particlelle "fisiche". 
ciao
Giorgio

 sempre originate da un moto collettivo di particlelle "fisiche". 
Ciao, non sono un esperto pero' secondo me pero` si potrebbe dire un po` di piu. 
Intanto la relazione di dispersione energia-impulso dei fononi
e`in generale una "follia" se confrontata con quella delle "particelle comuni",
il concetto di massa non e` chiaramente definibile da tale relazione
(nel caso di relazione lineare lineare si puo` pensare a massa nulla come
per i fotoni, ma cio` vale solo intorno ad alcuni impulsi).
Ulteriormente non e` possibile associare ai fononi in maniera univoca un
impulso (al contrario delle particelle comuni) per colpa della simmetria
della struttura di reticolo reciproco...
Pero` bisogna anche precisare che senza queste stranezze non si capirebbe
come funzioni la superconduttivita` che, per come tanti anni fa
l'avevo studiata io, e` dovuta all'interazione in seconda quantizzazione
tra elettroni e fononi.
Ciao, Valter

 Volevi dire nel NON considerarli ?
Da quello che hai detto posso dire meglio quello che intendevo : Esistono
particolari proprietà / questioni dei cristalli tali che studiandole senza
considerare le interazioni fra fononi si commette un grande errore ?
Io penso che cmq se si trascurano le interazioni fra fononi non si commette
un grande errore perché gli atomi oscillano poco intorno alle loro posizioni
di equilibrio, anche in prossimità della fusione del cristallo.
Ecco più in dettaglio l'idea contorta che mi sarei fatto sui fononi :-( vi
sarei molto grato se me la correggete. In ultima analisi : ma uno come se li
può immaginare questi fononi ?
Grazie, Ciao :o)

 tra elettroni e fononi.
Ma che è la seconda quantizzazione ? (se non è troppo lungo da spiegare,
altrimenti non fa niente)
Grazie, Ciao :o)

 
E` la tecnica per associare le particelle ad i campi. Se il tuo cristallo
lo rappresenti come un continuo elastico (ultra caso limite) le particelle
associate sono proprio i fononi. Se ci metti anche gli elettroni (campo di Dirac)
riesci a costruire una teoria che tiene conto delle interazioni tra elettroni
e fononi (l'interazione elementare e` data da un elettrone che emette un fonone
oppure che lo riceve ed hai i soliti diagrammi di Feynman con "vertici" a 3 
gambe...). In questo contesto c`e` un modo (molto complicato) che "spiega"
la superconduttivita`. Se ricordo bene si riesce a mostrare che in certi regimi
energetici il sistema elettroni + fononi (che corrisponde a elettroni + reticolo)
e` equivalente ad un sistema di quasi-particelle date da coppie di elettroni 
liberi. L'interazione degli eletroni con il reticolo produce solo le coppie
che poi non sentono piu` il reticolo (non interagiscono piu`con i fononi )
ed e` come se si muovessero nel vuoto trasportando carica (doppia rispetto
a quella dell'elettrone).
Trovi queste cose sul Davydov (non mi ricordo come si scrive) di Meccanica
Quantistica, della MIR o Editori Riuniti. Ti avverto che e` un libraccio...
Ciao, Valter
-- 
------------------------------------------------
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 di equilibrio, anche in prossimità della fusione del cristallo.
Beh, una cosa che non viene proprio, trascurando le interazioni tra
fononi (alias effetti anarmonici), e' l' espansione termica. Un
cristallo armonico non ha un meccanismo per far aumentare la distanza di
equilibrio tra gli atomi al crescere dell' ampiezza media delle
oscillazioni.
 
Per ora chiudo qui.
Giorgio

 diversi tra loro!).
Prima di tutto grazie per la chiara spiegazione. Hai ragione :o) Quando l'ho
scritto prima, per la verità qualcosa mi diceva che stavo sbagliando. Quindi
il ragionamento corretto a questo punto credo che sia : Se si ripete il mio
esperimento ideale di prima e si fa una "fotografia" ad un certo istante t_1
e poi ad un altro istante t_2 e così via (magari si fa un filmino :o)) dello
stato di "vibrazione" degli atomi (ioni) di un cristallo, in realtà si
vedrebbe che ogni atomo sta vibrando in un modo complicatissimo perché la
sua "vibrazione" (fino a che è piccola) può essere descritta bene dalla
sovrapposizione (lineare) delle oscillazioni di 3N oscillatori armonici che
hanno rispettivamente certe pulsazioni che si possono ricavare una volta che
è nota l'espressione dell'energia potenziale degli ioni del cristallo.
Facendo una opportuna trasformazione lineare (applicazione lineare) si
possono sostituire le vecchie 3N coordinate X_i con delle nuove coordinate
Q_i in modo che nelle nuove coordinate si abbiano 3N oscillatori armonici
fra di loro *non* interagenti (oscillatori normali). Quindi una coordinata
Q_i si può esprimere come combinazione lineare delle X_i e si può fare anche
il viceversa dato che l'applicazione lineare è invertibile.
Gli ioni sono sottoposti a delle forze coulombiane da parte di tutto il
resto del cristallo. Si può ricavare in linea di principiò l'espressione
dell'energia potenziale V degli ioni che sarà in generale una espressione
complicatissima. Se si fa lo sviluppo in serie di Taylor di V e ci si ferma
ai termini di ordine due allora si ottiene una certa espressione, per
l'energia potenziale, che è la stessa espressione che si otterrebbe se si
collegassero fra loro gli ioni con delle molle di opportuna costante
elastica. Ok ? O anche qui sbaglio ? :o( Quindi fermandosi ai termini di
ordine due nello sviluppo di V si può immaginare il cristallo come un
sistema di masse collegate fra loro da molle, se le oscillazioni sono
piccole. Poi con la trasformazione lineare di prima, come dicevo, si può
descrivere questo sistema complicato con 3N oscillatori *classici* non
interagenti fra di loro. Però, fatto fondamentale, se si considera
una oscillazione nelle nuove coordinate Q_i si ha che questa è legata
a *tutte* le oscillazioni nelle vecchie coordinate (quelle "vere") X_i
che descrivono la posizione degli ioni. Si può fare come dicevo
anche il viceversa. E fino a qui è un discorso nell'ambito della
Meccanica *Classica* e credo che adesso sia corretto :o)
Però i fononi sono oggetti *quantistici*. Si può ripetere il ragionamento di
prima. Per i fononi nell'hamiltoniana gli unici termini di energia che si
considerano sono quelli dell'energia cinetica degli ioni e quello di energia
potenziale V che è la stessa del caso classico. Anche qui scrivendo
l'hamiltoniana nelle coordinate X_i si ottiene una hamiltoniana molto
complessa. Come prima si può fare una trasformazione di coordinate, passando
alle Q_i, e si può fare lo sviluppo di V fino ai termini di ordine due. Così
facendo si scopre che si ottengono 3N hamiltoniane disaccoppiate di 3N
oscillatori normali (nelle nuove coordinate Q_i) e quantistici ovviamente.
Mediante alcuni passaggi matematici si ricavano le autofunzioni e lo
spettro di energia, per ogni oscillatore quantistico, che ha l'espressione
E = (m + 1/2) h omega_n,  n = 1, 2, 3, ..., 3N ed m è un numero quantico che
può assumere alcuni valori che dipendono dalle condizioni al contorno.
Adesso viene il punto delicato ... ossia l'introduzione dei *fononi* come
oggetti quantistici quali sono, e sicuramente avrò qualche altra idea
contorta :o( anche perché c'è un altro punto che non ho compreso bene
:o( . Come si vede grazie alle nuove coordinate Q_i sia gli oscillatori
classici che quelli quantistici non interagiscono fra di loro. Sulla
mia dispensa di fisica dei solidi c'è questa frase che mi manda in
crisi : "Le oscillazioni normali sono caratterizzate, relativamente allo
spettro energetico, dalle frequenze omega_n che formano un ensemble di
elementi distinguibili per il quale la distribuzione di Gibbs, trascurando
le interazioni tra modi normali, da luogo alla distribuzione di Boltzmann"
Il fatto che non comprendo è che mi pare si parli di distribuzione di Gibbs
applicata alle oscillazioni normali, che non sono particelle, mentre sulla
stessa dispensa in precedenza era stata ricavata questa distribuzione per
particelle debolmente interagenti.
Io l'avrei interpretata in questo modo e non so se ho capito bene (anzi
sicuramente ho capito male) : Gli
oscillatori normali non interagiscono fra di loro se si fa l'approssimazione
armonica, come detto anche prima, oppure comunque si può ritenere che
interagiscono veramente poco fra di loro. Si può quindi pensare che questi
oscillatori normali descrivano il moto di ipotetiche particelle che non
interagiscono fra di loro oppure che interagiscono poco fra di loro. A
questo punto se si considera una di queste particelle essa può essere
pensata
come un sistema debolmente interagente con le altre particelle. *Se si fissa
m* allora si può dire che la probabilità di una particella di avere energia
E = E_m(omega_n) = (m + 1/2) h omega_n è data da exp(-E / KT) in accordo con
la distribuzione di Bolzmann. Poi da questa espressione *se si fissa n* si
può ricavare <m> = 1/ (exp( -E / KT) - 1) e <E> = (<m> + 1/2) h omega_n.
Però tutto quest'ultimo ragionamento *non* mi convince affatto, ma è l'unica
conclusione a cui sono giunto dopo giorni che penso (intensamente) a questa
cosa dopo aver fatto tantissimi tentativi diversi :o( Se avessi capito anche
quest'ultimo fatto potrei dire di aver capito i fononi :o) in quanto se
riuscissi a capire bene del perché si ottiene questa espressione di <m>
si potrebbe allora dire : La <E> si può interpretare come l'energia media di
una certa distribuzione di particelle tale che <m> è il numero medio di
particelle che hanno energia h omega_n. Inoltre la distribuzione statistica
di queste particelle è data da <m>. Queste particelle si chiamano *fononi*
(evviva). Lo spettro energetico dei fononi sarebbe dato da h omega_n al
variare di n cioè n = 1, 2, 3, ..., 3N che è diverso dallo spettro
energetico delle oscillazioni normali che invece è E = E_m(omega_n) = (m +
1/2) h omega_n. Cioè lo spettro delle oscillazioni normali è equispaziato
mentre quello dei fononi no. Se poi si volessero contare questi fononi si
potrebbe fare somma(n = 1, 3N)(<m>). Cioè in sostanza si sarebbero
introdotte queste quasi particelle con considerazioni statistiche, ossia
interpretando in modo opportuno le espressioni di <E> ed <m> come dicevo
prima.
Grazie ancora, Ciao :o)

 prima.
Mi sembra di capire che cerchi di arrivare ai fononi dalla 
distribuzione di equilibrio ( o cerca di farlo chi ha scritto le tue
dispense). 
Non e' un modo diretto. La distribuzione la 
hai anche senza mai abbandonare il concetto di modo normale quantizzato.
In realta' l' identificazione non e' basata sul fatto che la
distribuzione di Gibbs valga 
solo per particelle (falso). 
Ripartiamo dai modi normali quantizzati. Ne abbiamo 3N. Ognuno 
caratterizzato da una frequenza omega_p (p=1,...,3N).
Quali sono i livelli energetici possibili per ogni modo normale ?
Evidentemente E_n = hbar omega_p ( 1/2 + n).
Quale e' l' energia di uno stato in cui il primo  modo normale e' nello 
stato caratterizzato dal n. quantico n_1, il seconda da n_2 ... il
3N-esimo 
da n_3N ?
E{n_1,n_2,...,n_3N} = 3N/2 hbar Somma_su_p_da_1_a_3N omega_p +
                      hbar Somma_su_p_da_1_a_3N omega_p n_p
A parte il primo termine, che pero' e' una costante, l' energia puo'
essere 
reinterpretata come la somma di 3N termini il p-esimo dei quali
corrisponde a
n_p termini uguali a hbar omega_p. Una strutture del genere e' quella di
un sistema di
somma_su_p n_p gradi di liberta' non interagenti. La somiglianza non
termina qui. 
Ci si rende conto che tutte le proprieta' fisiche del sistema di modi
normali quantizzati 
possono essere reinterpretate  coerentemente come quelle di un sistema
di "particelle" 
quantistiche non interagenti di tipo bosonico. E queste particelle sono
i fononi.
Nelle ultime due frasi sono andato evidentemente di corsa. Tuttavia
spero che sia sufficiente come punto di partenza per ulteriori
approfondimenti.  Ricordo che c'era una trattazione introduttiva molto 
chiara nel libro di Ziman "Introduction to advanced quantum theory". 
Ciao
Giorgio

 chiara nel libro di Ziman "Introduction to advanced quantum theory".
Senti scusa, un'ultima cosa. Ma in Italiano non c'è qualcosa di veramente
chiaro ? Magari sai se in rete si può trovare qualche dispensa
sull'argomento fatta bene ? Così eviterei di acquistare libri :o)
Io ho già il Kittel di fisica dei solidi
Ciao, DJ

Incredibile: questo post l'ho mandato un mese fa!
...Arriva ora (anzi mi pare che fosse gia` arrivato)...
Valter Moretti wrote:

