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Titolo: Paracadutisti

Qualcuno sarebbe cosi' gentile da spiegarmi come affrontare la
dinamica di un corpo immerso in un gas (fluido) in caduta libera ?
Il problema e' risolvibile esattamente per una sfera ?
Grazie anche solo a chi mi legge.
Golem.
--
Vox dei in dubio audire oportet !

Golem wrote:

Ciao, in generale per un corpo di forma qualsiasi il problema
non e' risolubile esattamente. Per una sfera immersa in un fluido di
Navier-Stokes, si riesce a calcolare  la forza totale agente sul
fluido in funzione della velocita' asintotica del fluido (si pensa
la sfera ferma e il fluido in movimento). Il calcolo e' esatto
nel caso di limite di numero di Reynolds piccolo (moti non turbolenti)
e passa per l'"equazione di Stokes".
Allora si vede che tale forza e' diretta lungo la velocita' asintotica
del fluito e vale in modulo:
f = 6 pi  R eta V
dove eta e' il coefficiente di viscosita', R il raggio della sfera
e V e il modulo della velocita' (asintotica, cioe' lontano dalla sfera)
del fluido.
A questo punto assumendo che tale formula valga anche
quando il corpo e' in movimento nel fluido a velocita' non costante,
si riesce a scrivere l'equazione differenziale del corpo in caduta
libera nel fluido (metto l'asse x verso il basso)
Md^2x/dt^2 = Mg - c dx/dt
dove l'ultimo termine e quello dovuto alla presenza del fluido,
c = 6 pi  R eta,  g e' l'accelerazione di gravita' e M la massa della
sfera.
L'equazione differenziale di sopra si risolve subito ponendo
y = x - Mgt /c
e l'equazione diventa
M y'' + cy' = 0
con soluzione
x(t) = Mg t /c + (A + Bt )exp{-ct/M}
dove A e B sono costanti da determinare.
Se al tempo t=o si ha x=0 e velocita' nulla, allora
x(t) =  (1- exp (-ct/M))  Mgt/c
Come e' chiaro dalla soluzione di sopra, la soluzione per
grandi t  e' approssimabile con il moto rettilineo uniforme
x(t) = Mg t/c
 V = Mg/c
e' dunque la velocita' limite insuperabile in caduta libera.
Per corpi di  forma diversa dalla sfera non esistono soluzioni
esatte, ma la fisica e' qualitativamente molto simile.
Ciao, Valter

 e' dunque la velocita' limite insuperabile in caduta libera.
Visto l'argomento indicato dal richiedente (paracadutisti), e poi la
forma della richiesta, sono rimasto in dubbio se fosse uno studente di
fisica che volesse la teoria delle equazioni, oppure un risultato
reale.
Ma considerando che anche nel testo parla di caduta libera in un gas,
allora la soluzione che hai dato e` sbagliata. Tutto quanto hai
scritto e` giustissimo, ma la soluzione e` sbagliata.
Rapida verifica: modelliamo il paracadutista con una sfera di raggio 1
m e massa 100 kg (questo ai fisici piace molto :-)). Il coefficiente
di viscosita` dinamica dell'aria in condizioni normali e` di circa 1.8
10^-5 Pa s, e il risultato che hai dato fornisce  come velocita`
asintotica circa 5000 km/s: sono proprio un po' troppi. E` vero che
questa e` una velocita` limite insuperabile, e che quella reale (circa
50 m/s) e` minore e la disuguaglianza e` soddisfatta, ma la stima di
questa velocita` massima e` sbagliata di 5 ordini di grandezza, e
anche un fisico dovrebbe accorgersene.
E` vero che nel testo hai detto che l'eq. di Navier-Stokes si applica
solo per bassi numeri di Reynolds e che si suppone il fluido di
Stokes, ma quando si applica un modello e si trova un risultato si
deve verificarne (o dichiararne) anche i limiti di validita` e
l'effetto delle approssimazioni introdotte. 
Questo aspetto pratico e` di solito totalmente ignorato dai matematici
e spesso dimenticato dai fisici, ma e` la differenza fra una soluzione
assurda (e se va bene solo inutile) e una corretta. 
Visto che sei indirizzato alla carriera accademica, ricordati di
insegnare sempre che i modelli fisici sono delle approssimazioni e
hanno dei limiti di validita`, altrimenti si trovano risultati senza
senso.
Ciao
Franco

  
consigli.su.cosa.dire.a.lezione.it
   :-))
Essendo un docente universitario con la barba bianca, pensavo di poter dare
un consiglio a un giovane che inzia la carriera, ma hai ragione, sono OT.
Ciao
Franco

Franco wrote:

  Forse sono stato brusco, purtroppo via e-mail non si capisce molto,
  mi sembravi un po' troppo aggressivo e mi sentivo aggredito senza colpa.
  Ma alla fine, ed e' questo che mi interessa di piu': tu conosci qualche
  modello *realistico* di una sfera (o qualche altro solido) in caduta libera
  che sia risolubile piu' o meno esattamente in un gas come l'aria?
  Io piu' di quello che ho scritto davvero non conosco e mi rendo conto
  che e' davvero poco rispetto a cio' che servirebbe nei casi concreti.
  Ciao  e scusa ancora.
  Valter

   Ciao  e scusa ancora.
no problem, errore mio.
Franco