Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: concetto di simmetria? proviamoci... (2)

Non ci sono state proteste, quindi vado avanti.
Eravamo rimasti al calcolo del campo elettrico usando il teorema di
Gauss ed avevo detto che l'argomento di simmetria agisce in questo
caso su due livelli, ovvero sia le equazioni del moto che le
condizioni iniziali.
Per capire meglio cosa intendo, torniamo al moto newtoniano in una
dimensione.
Abbiamo, riassumendo, il nostro metro a nastro ed il nostro orologio
(un "sistema di riferimento") i quali ci consentono di descrivere ogni
moto del carrello mediante la sua legge oraria S(t). Invece del moto
libero del post precedente consideriamo un moto (conservativo)
generico soggetto a forze: supponiamo che le equazioni del moto siano
(*)[d^2/dt^2]S(t)=F(S(t))
Come lo studente dovrebbe ben sapere, l'equazione (*) non determina,
da sola, una soluzione, perche' sono necessarie anche le condizioni
iniziali in un istante dato, diciamo t=0: S(0) e [d/dt]S(0).
Armati della (*) e delle condizioni iniziali possiamo trovare la
nostra soluzione.
Quello che voglio mostrare e` che se ho a disposizione una simmetria
posso, in casi particolari, trovare delle soluzioni alle equazioni del
moto *senza risolverle esplicitamente*. Supponiamo per esempio che la
trasformazione S'=-S (rovescio il metro a nastro) sia una simmetria
per le equazioni del moto. Questo e` vero se F(-S(t))=-F(S(t)) (un
caso specifico e` l'oscillatore armonico: F(S(t))=-kS(t)), per cui la
(*) diventa
[d^2/dt^2]S'(t)=F(S'(t))
e come nel post precedente S'(t)=-S(t) e` una soluzione se e solo se
lo e` anche S(t). Supponiamo che le condizioni iniziali per il moto a
cui siamo interessati siano S(0)=0 e [d/dt]S(0)=0 e dunque anche
S'(0)=0 e [d/dt]S'(0)=0. Vediamo quindi che le condizioni iniziali
sono identiche nei due riferimenti e, essendo anche identiche le
equazioni del moto, devono essere identiche anche le soluzioni ovvero
S'(t)=S(t); siccome pero` S'(t)=-S(t) per definizione, troviamo che
S'(t)=S(t)=0, cioe` il punto materiale se ne sta fermo nell'origine.
Abbiamo trovato la soluzione al nostro problema senza nemmeno
conoscere nel dettaglio le equazioni del moto! (la forma della
funzione F(S) non e` stata specificata, se non per il fatto che
F(S)=-F(-S)).
Siamo ora pronti per affrontare il teorema di Gauss: l'unica equazione
che ci serve e`
(**) div[E(x)]=rho(x)
La (**) e` invariante per traslazioni 
x'=x+X, E'(x')=E(x+X), rho'(x')=rho(x+X) 
e per rotationi 
x'=R(x), E'(x')=R{E[R(x)]}, rho'(x')=rho[R(x)]
(E ed x sono qui vettori) nel senso che con queste definizioni vale
div'[E'(x')]=rho'(x')
ovvero traslazioni e rotazioni sono simmetrie dell'equazione (**).
Il ruolo delle condizioni iniziali e` qui svolto dalla densita` di
carica (avrei probabilmente fatto meglio ad usare una terminologia
diversa, ma ormai...) nel senso che, per una data rho(x) esiste una
*unica* soluzione alla (**) (unica perche' si assume che valga anche
rot[E(x)]=0).
L'analogia con l'esempio del punto materiale si completa se si hanno
delle distribuzioni di carica simmetriche, ovvero se rho'(x)=rho(x)
(come nel nostro esempio avevamo condizioni iniziali identiche). E' il
caso ad esempio di una distribuzione sferica, che resta invariata per
rotazioni attorno ad un qualsiasi asse passante per il centro.
Il campo generato e` radiale e di modulo dipendente solo dalla
distanza dal centro perche' i due vettori E(x) ed E'(x) *devono essere
uguali*, visto che le loro sorgenti sono uguali.
Si sara` capito qualcosa? speriamo...

 (come nel nostro esempio avevamo condizioni iniziali identiche). 
Secondo me, l'analogia e' con la legge di forza dispari che avevi
scelto, non con le condizioni iniziali.
Comunque, tutto questo vola molto piu' alto del povero Matteo...
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

>Si sara` capito qualcosa? speriamo...
Ottima domanda! Il nocciolo del problema mi incuriosisce, ma non
riesco proprio a capire cosa non ti sia chiaro: insomma la legge di
Gauss ha una sua dimostrazione e cosě anche le sue "conseguenze", cioč
il calcolo del campo elettrico di un conduttore lineare di lunghezza
infinita e di un piano di estensione infinita. Non potresti fare una
domanda diretta senza troppe formule?
Attilio

...

LOL
questa non me l'aspettavo... forse e` un brutto segno rispetto alla
comprensibilita` di quello che ho scritto, ma e` anche vero che se non
ti e` chiaro cosa non mi e` chiaro allora forse sono stato chiaro. :)
cmq, sono moderatamente soddisfatto per la limitata quantita` di
bacchettate ricevute dal prof. Fabri (lo chiamo cosi` perche' e` stato
un mio professore e ci sono abituato...), anche se su un paio non sono
troppo daccordo (si scrive cosi`? o e` d'accordo?)
la domanda e`:
ditemi pe-ercheee
se la mucca fa muu
il merlo non fa meeee...
A parte gli scherzi, il mio post non era una domanda, ma una
spiegazione :)
Un consiglio (non prenderla a male): cerca di capire di cosa si parla,
prima di intervenire...
L'argomento era il concetto di simmetria, non il teorema di Gauss, che
e` solo un esempio di come questo si puo` utilizzare in certi casi. Se
vai a ripescarti qualche post della settimana scorsa ti sara` tutto
chiaro.
cmq, la risposta alla domanda di prima e`
la nostra vita e` una sciarada,
sulle prime sembra xx
e invece e` xyyxz...
:)
ciao