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Titolo: Realismo locale e disuguaglianza di Bell

 
 
Bell ha dimostrato con la disuguaglianza che porta il suo nome che il realismo locale non e' compatibile con la MQ in quanto questa viola la disuguaglianza e gli esperimenti di Aspect ed altri hanno dimostrato che i risultati sono quelli previsti dalla MQ ovvero che il realismo locale non puo' essere piu' considerato come una possibile interpretazione valida.
 
 
Qualcuno potrebbe essere cosi' gentile da indicarmi i punti deboli di un'interpretazione in cui si ammette la realta' delle grandezze come la componente lungo una certa direzione dello spin di una particella, ma che questa viene distrutta dalla misura della grandezza complementare?
 
--
BlueRay

 BlueRay
 
Ciao,
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
 

 "BlueRay"  ha scritto:
 
BlueRay:
 Bell ha dimostrato con la disuguaglianza che porta il suo nome che il
 realismo locale non e' compatibile con la MQ in quanto questa viola la
 disuguaglianza e gli esperimenti di Aspect ed altri hanno dimostrato che i
 risultati sono quelli previsti dalla MQ ovvero che il realismo locale non
 puo' essere piu' considerato come una possibile interpretazione valida.
 Qualcuno potrebbe essere cosi' gentile da indicarmi i punti deboli di
 un'interpretazione in cui si ammette la realta' delle grandezze come la
 componente lungo una certa direzione dello spin di una particella, ma che
 questa viene distrutta dalla misura della grandezza complementare?
 
Bruno Cocciaro:
 Ci provo, anche con lo scopo, forse primario, di "mettermi alla prova", 
 cioe' di controllare la correttezza di cio' che avrei capito io. Di sicuro 
 interverra' qualcuno a correggere mie eventuali inesattezze o errori.
 
 
Ciao Bruno. Innanzitutto grazie per la risposta.
 
 
Bruno Cocciaro:
 Intanto non direi che la violazione della disuguaglianza di Bell proverebbe
 che "il realismo locale non e' compatibile con la MQ". Certo, ci sarebbe da
 intendersi sul significato da dare alla parola "locale", ma andiamo per
 gradi.
 Tu proponi di ammettere "la realta' delle grandezze come la componente lungo
 una certa direzione dello spin di una particella" e, a mio avviso, andrebbe
 specificato cosa si intende con una tale ammissione. A me parrebbe che si
 debba intendere qualcosa del genere:
 una descrizione *completa* dello stato di una particella dovrebbe contenere
 il valore di una qualche variabile (o insieme di variabili) X dalla cui
 conoscenza potremmo essere in grado di prevedere (almeno statisticamente) il
 risultato di una qualsiasi misura MX.
 Nella sostanza potremmo dire che, nel momento in cui viene effettuata la
 misura, la particella ha "realmente" la grandezza G al valore X1, tant'e'
 vero che otterremmo certamente l'esito "si'" qualora effettuassimo la misura
 MX1; otterremmo con probabilita' p il risultato "si'" qualora effettuassimo
 la generica misura MX, e otterremmo certamente il risultato "no" qualora
 effettuassimo la misura MX1_ort.
 Ipotizzo che tu concordi con il significato che ho dato sopra alla tua
 "ammissione", e passo al punto successivo.
 
 
Non mi e' chiaro cosa intendi con "tant'e'vero che otterremmo certamente 
l'esito "si'"qualora effettuassimo la misura MX1". Intendi che: "qualora
misurassimo la grandezza G la troveremmo certamente al valore X1"? 
 
Es: G e' la componente z dello spin, S_z, ed ha +1 e -1 (in unita' di 
hbar/2) come valori possibili. (Questi due valori possibili di S_z sono cio' 
che tu hai indicato con MX1 e MX1_ort?) Dire che la particella 
"ha realmente S_z al valore +1" significa che se vado a misurare S_z trovero' sicuramente S_z = 1.
 
Una grandezza complementare di G (cioe' di S_z) e', ad es, S_x (o S_y).
 
 
Bruno Cocciaro:
 La tua proposta e' che la "realta'" della grandezza G (il suo essere
 "realmente" al valore X1) venga "distrutta" dalla misura MX_c. Cioe' la
 particella aveva "realmente" (nel senso detto sopra) la grandezza G al
 valore X1, pero', a seguito della misura MX1_c... 
 
L'avrei chiamata caso mai MG_c, nel senso di "grandezza fisica
complementare a G". Ma se il significato che intendevi e' questo, va bene.
 
 
Bruno Cocciaro:
 
(misura che da' al 50% il  risultato si' e al 50% il risultato no) la grandezza G non si trovera' piu'  "realmente" al valore X1, ma si trovera' "realmente" al valore X1_c o al  valore X1_cOrt (a seconda che l'esito della misura sia stato si' o no).
 
 
Qui non ci siamo piu' molto perche' non capisco che cosa intendi con "X1_c, 
X1_cOrt". Non e' che forse intendevi: "la grandezza G_c, cioe' quella 
complementare a G (ad es S_x), si trovera' realmente ad altri valori 
(es +1 o -1)"?
 
Se l'esempio delle componenti di spin non ti piace usane un'altro, 
ma a questo punto credo sia utile farne uno specifico se non altro per 
poterci comprendere :-)
 
 
Bruno Cocciaro:
 Bene, se ci siamo fin qui, cioe' se ho ben interpretato cio' che vuoi dire, 
 possiamo passare alla disuguaglianza di Bell.
 Per come l'ho capito io, il teorema di Bell non e' in contrasto nello 
 specifico con quanto detto sopra. Il problema e' piu' a monte.
 Il punto e' che *se* ammettessimo che in un sistema di due particelle in uno 
 stato entangled entrambe le particelle, prima della misura, si trovino 
 "realmente" in un certo stato tale che, ad esempio, la grandezza G sia 
 realmente al valore Xa per una particella e al valore Xb per l'altra (cioe' 
 se esistessero delle variabili in grado di descrivere lo stato di ciascuna 
 delle due particelle), *allora* la disuguaglianza di Bell non dovrebbe 
 essere violata. Cioe' il problema si pone indipendentemente dall'eventuale 
 "distruzione" dell'esistenza "reale" di una grandezza ad opera di una certa 
 misura.
 
 
Prepariamo uno stato in modo che l'esito di una misura di S_z sia con
certezza il valore +1. Ad es possiamo far passare atomi d'Ag da un apparato
tipo Stern-Gerlach orientato come z; all'uscita gli atomi verranno deviati
e si divideranno in due fasci: uno verso le z positive e l'altro verso le z
negative. Seleziono tutte le particelle del fascio verso le z positive, cosi'
tutte hanno S_z = +1 con certezza. Infatti se faccio passare tali atomi da
un'altro apparato uguale, tutti gli atomi verrano deviati verso l'alto.
 
Dopodiche' eseguo una misura di S_x ovvero faccio passare quelle particelle 
che ho selezionato (con S_z = +1) in un apparato uguale ma orientato come x.
Come sappiamo il risultato e' che il fascio si dividera' in due: il 50% delle 
particelle verra' deviata verso le x negative (primo fascio) e l'altro 50% 
verso le x positive (secondo fascio). 
 
Secondo l'interpretazione a "variabili nascoste" una particella di questo 
secondo fascio ha realmente S_z al valore +1 e, allo stesso tempo, realmente 
S_x al valore +1.
Il fatto che il risultato del secondo esperimento, cioe' di misura di S_x, 
fornisca il valore +1 nel 50% dei casi ed il valore -1 nell'altro 50% viene 
interpretato nel senso che "la singola particella che fornisce l'esito +1 
aveva realmente tale valore anche  prima della misura; la singola particella 
che fornisce l'esito -1 aveva realmente tale valore anche prima della misura".
 
 
 
Quello che invece propongo come "idea di interpretazione" (ammesso che possa realmente rappresentare una interpretazione corretta della MQ) e' che, anche se prima della misura di S_x la particella aveva realmente S_z = 1, la misura della grandezza fisica S_x altera, nel senso di distruggerlo, lo stato di 
realta' della grandezza S_z della particella, ovvero dopo tale misura la
particella non ha piu' un valore ben definito di S_z. 
Quindi sarebbe una sorta di "realismo parziale" :-)
Quello che non mi e' ben chiaro e se questo "realismo parziale" sia o meno 
diversa dall'interpretazione standard della MQ o se siano di fatto la stessa cosa.
 
--
BlueRay

 BlueRay
 
Ciao.


Ho trovato l'articolo su Le Scienze di cui ho scritto nel mio post di qualche minuto fa:
 
http://www.scientificamerican.com/media/pdf/197911_0158.pdf
 
 
--
BlueRay

 "BlueRay"  ha scritto:
 Non mi e' chiaro cosa intendi con "tant'e'vero che otterremmo certamente
 l'esito "si'"qualora effettuassimo la misura MX1". Intendi che: "qualora
 misurassimo la grandezza G la troveremmo certamente al valore X1"?
 Es: G e' la componente z dello spin, S_z, ed ha +1 e -1 (in unita' di
 hbar/2) come valori possibili. (Questi due valori possibili di S_z sono
 cio' che tu hai indicato con MX1 e MX1_ort?) Dire che la particella "ha
 realmente S_z al valore +1" significa che se vado a misurare S_z trovero'
 sicuramente S_z = 1.
 Una grandezza complementare di G (cioe' di S_z) e', ad es, S_x (o S_y).
 
Bruno Cocciaro: 
 Si', volevo intendere quanto dici sopra. A parte il fatto che io assocerei
 la parola "grandezza" all'ente "spin" e, cercando di interpretare le tue
 parole, alla proposizione "la grandezza fisica spin e' realmente al valore
 S_z=1" avrei dato il significato "se si effettua sull'elettrone la misura
 S_z si ottiene certamente il valore +1". 
 
 
 
In questo caso hai ragione a parlare di un'unica grandezza fisica che e' lo spin e la mia terminologia era un po' imprecisa. Ma essendo lo spin un vettore, direi che non e' tanto giusto nemmeno scrivere "se si effettua sull'elettrone la misura S_z..." e direi invece "se si effettua sull'elettrone la misura _di_ S_z..."
 
Bruno Cocciaro: 
 S_x, S_y e S_z io le chiamerei
 _misure_ complementari (della stessa grandezza fisica, lo spin). Pero' non
 ho idea di quale debba essere, in MQ, la maniera corretta di utilizzo delle
 parole "grandezza fisica" e "misura"
 
 
"misure complementari" non mi suona giusto, ma nemmeno "misura di grandezze fisiche complementari" perche' appunto come hai giustamente rilevato, e' sempre la stessa grandezza fisica. Allora e' meglio chiamarle "osservabili complementari" e basta, specificando poi quali sono :-)
 
BlueRay: 
 Se l'esempio delle componenti di spin non ti piace usane un'altro, ma a
 questo punto credo sia utile farne uno specifico se non altro per poterci
 comprendere :-)
 
Bruno Cocciaro:  
 In effetti preferisco di gran lunga l'esempio della polarizzazione di un
 fotone per il quale capisco quale è una possibile terna di misure
 complementari (posto che sia corretto l'uso che faccio io della parola
 misura): polarizzazione verticale (in uscita il fotone sarà nello stato V o
 H), polarizzazione 45° (in uscita il fotone sarà nello stato 45° o -45°),
 polarizzazione circolare (in uscita il fotone sarà nello stato circolare
 destro o circolare sinistro).
 
Un momento. Lasciando stare quella circolare, direi che complementari sono quella verticale e quella orizzontale. Sei d'accordo?
 
Bruno Cocciaro: 
 Per lo spin di un elettrone che si propaga lungo l'asse x, capisco come si
 possono effettuare le misure S_z e S_y (si mettono le espansioni dei magneti
 dirette, rispettivamente, lungo z o lungo y), non capisco come si può
 effettuare la misura S_x.
 
Hai ragione, avevo scritto una cosa errata.
 
BlueRay: 
 Prepariamo uno stato in modo che l'esito di una misura di S_z sia con
 certezza il valore +1.
 [...]
 Dopodiche' eseguo una misura di S_x ovvero faccio passare quelle
 particelle che ho selezionato (con S_z = +1) in un apparato uguale ma
 orientato come x. Come sappiamo il risultato e' che il fascio si dividera'
 in due: il 50% delle particelle verra' deviata verso le x negative (primo
 fascio) e l'altro 50% verso le x positive (secondo fascio).
 Secondo l'interpretazione a "variabili nascoste" una particella di questo
 secondo fascio ha realmente S_z al valore +1 e, allo stesso tempo,
 realmente S_x al valore +1.
 
Bruno Cocciaro: 
 Mah, non saprei. Oppure direi che dipenda da cosa si intende con
 "interpretazione a variabili nascoste". Per come la vedo io, una
 interpretazione a variabili nascoste, che sia completa, dovrebbe
 semplicemente permettere di prevedere l'esito di S_x quale che sia il punto
 in cui tale misura viene effettuata. Ad esempio, misurando S_x su un
 elettrone precedentemente preparato allo stato S_z = 1, l'interpretazione
 completa potrebbe prevedere che l'esito sara' "+" se la misura viene
 effettuata all'interno degli intervalli [x0+2*n*dx,x0+2*(n+1)*dx] e sara'
 "-" se la misura viene effettuata all'interno degli intervalli
 [x0+2*(n+1)*dx,x0+2*(n+2)*dx].
 
Scusa ma questa non l'ho capita :-)
 
Bruno Cocciaro: 
 Una cosa del genere certo non permetterebbe di dire, prima della misura S_x,
 che l'elettrone "ha realmente S_x al valore +1".
 
 
Ma infatti io avevo scritto che dopo la misura di S_z viene effettuata una misura di S_x e che viene selezionato il fascio che va nelle x positive (S_x = +1).
 
BlueRay: 
 Quello che invece propongo come "idea di interpretazione" (ammesso che
 possa realmente rappresentare una interpretazione corretta della MQ) e'
 che, anche se prima della misura di S_x la particella aveva realmente S_z
 = 1, la misura della grandezza fisica S_x altera, nel senso di
 distruggerlo, lo stato di realta' della grandezza S_z della particella,
 ovvero dopo tale misura la particella non ha piu' un valore ben definito
 di S_z.
 
Bruno Cocciaro:
 E questo, per come pare a me, non costituirebbe alcun problema. Puo' darsi
 che un fisico ortodosso non accetti una tale visione, ma, finche' si rimane
 a questo punto (cioe' finche' non si introduce la disuguaglianza di Bell) il
 reale nocciolo della battaglia fra fisico ortodosso e fisico classico non
 viene ancora toccato.
 
 
 
 
 
 
 
Ma il punto e' che la proposta di interpretazione che ho descritto, ad una prima analisi approssimata che ho fatto, e' conforme al risultato della MQ in quanto non ci sono due osservabili complementari che hanno un valore ben definito assieme. Ricordo che cercai di capire il "meccanismo" della disuguaglianza di Bell da un'articolo su "Le Scienze" di una ventina d'anni fa, purtroppo non ricordo l'autore (forse d'Espagnat?) ne' il titolo (forse "La teoria dei quanti e la realta' "?), ma ricordo che utilizzava le varie componenti di spin di particelle (protoni?) e che c'erano delle figure colorate :-) e mi sembro' di capire che quella disuguaglianza nasceva dal pretendere che una particella possedesse simultaneamente due valori ben definiti di osservabili complementari. Infatti scriveva qualcosa del tipo: [nell'ipotesi di realismo locale ovvero di variabili nascoste] se si indica con N_x(+) il numero di particelle che hanno S_x = +1, allora tale numero e' la somma di quelle che hanno S_y = +1 e di quelle che hanno S_y = -1.
 
 
Da semplici considerazioni insiemistiche come questa, l'autore dell'articolo dimostrava la disuguaglianza di Bell e questo fatto, ovvero che venivano utilizzate semplici considerazioni di quel tipo, mi ha stimolato a cercare di comprendere quale o quali fossero i punti essenziali della questione.
Ciao.
 
--
BlueRay

 BlueRay
 
Ciao,
Bruno Cocciaro.

 quella verticale e quella orizzontale. Sei d'accordo?
 
Non so se e' corretto l'uso che sto (stiamo?) facendo dei termini "misure 
complementari", ad ogni modo, le associazioni sono le seguenti:
polarizzazione H; V per il fotone sono come S_z=1;  S_z=-1 per l'elettrone,
polarizzazione +45°; -45° per il fotone sono come S_y=1;  S_y=-1 per 
l'elettrone,
polarizzazione D; S per il fotone sono come S_x=1;  S_x=-1 per l'elettrone,
 
con D=polarizzazione circolare destra e S=polarizzazione circolare sinistra


Il giorno lunedì 27 luglio 2015 19:00:03 UTC+2, Bruno Cocciaro ha scritto:
BlueRay ha scritto:
 Ma infatti io avevo scritto che dopo la misura di S_z viene effettuata una
 misura di S_x e che viene selezionato il fascio che va nelle x positive 
 (S_x = +1).
 
Bruno Cocciaro: 
 ma al precedente post avevi scritto:
 
 "Secondo l'interpretazione a "variabili nascoste" una particella di questo
  secondo fascio ha realmente S_z al valore +1 e, allo stesso tempo, 
  realmente S_x al valore +1."
 
 e quello che vorrei fare presente e' che *dipende* da cosa intendi con
 "interpretazione a variabili nascoste". L'aver misurato S_z su un certo
 elettrone, *anche* in una possibile teoria a variabili nascoste, *non*
 garantisce che l'esito futuro di ulteriori misure di S_z dara' sempre lo
 stesso esito. Questo almeno per come io ho capito le possibili teorie a
 variabili nascoste.
 Poniamo di misurare
 S_z nel punto x=x1, poi
 S_y nel punto x=x2, poi
 nuovamente S_z in un punto x=x3.
 A me non pare proprio che una interpretazione a variabili nascoste sia tenuta
 a prevedere che si debbano avere gli stessi esiti nelle due misure S_z,
 effettuate rispettivamente in x1 e x3.
 
 
 
 
A me sembrava invece di si, ma a questo punto aspettiamo il parere di eventuali altri. Comunque quando dici "misurare S_z e poi S_y", intendi, come avevo detto io, che si seleziona uno dei due fasci dopo la prima misura (il fascio "+") e poi si seleziona su questo uno dei due fasci dopo la seconda, e si effettua la terza, o no? Perche' a me sembrava che in questo modo, gia' dopo la prima misura si fossero selezionate le particelle che hanno definitivamente S_z = +1.
 
Bruno Cocciaro:  
 L'interpretazione a variabili nascoste, se e' *completa*, deve essere in grado
 di prevedere gli esiti delle 3 misure (posta la conoscenza delle variabili
 nascoste), ma gli esiti delle due misure di S_z possono anche essere diversi.
 Anche la misura di S_y potrebbe avere esito diverso qualora venisse effettuata
 in x=x2'=/=x2.
 Questo perche', ad esempio, la variabile nascosta che descrive l'esito che
 deve avere la misura S_y potrebbe dipendere dal tempo e l'elettrone passa in
 x2' in un istante diverso da quello in cui passa in x2.
 
Ma potrebbe dipendere dal tempo per quale motivo? Non ci sono altri campi esterni che non quelli di dispositivi di Stern-Gerlach sequenziali.
 
BlueRay:
 Ricordo che cercai di capire il "meccanismo" della disuguaglianza di Bell da
 un'articolo su "Le Scienze" di una ventina d'anni fa
 
Bruno Cocciaro:  
 Se si passa alla disuguaglianza di Bell allora certamente non si puo' avere a
 che fare con un solo elettrone, ce ne vogliono almeno due.
 
Veramente io stavo parlando di "fasci di particelle" quindi molti piu' di due!
 
Bruno Cocciaro: 
 E se si vuole sottoporre a critica una proposizione tipo "l'elettrone A ha
 realmente S_z=1" si deve inserire quella proposizione nell'ambito di cio' che
 si fa durante le misure EPR. In quelle misure su ciascun elettrone si esegue
 una sola misura. Non si esegue S_x e poi, sullo stresso elettrone, si esegue
 S_y.
 
Ma di entanglement non avevo parlato e forse qui non e' nemmeno necessario.
 
Bruno Cocciaro:  
 Il punto e' che (sempre per come l'ho capita io e nella speranza di conferme
 autorevoli), se esistesse un qualche "codice", un qualche insieme di variabili
 nascoste, che potrebbe permettere di prevedere che
 eseguendo "adesso" la misura MA sull'elettrone A si otterrebbe l'esito eA,
 e eseguendo "adesso" la misura MB sull'elettrone B si otterrebbe l'esito eB,
 per generiche misure MA e MB,
 allora gli esiti eA ed eB non potranno in generale rispettare le previsioni
 della MQ ortodossa.
 Una eventuale teoria a variabili nascoste che prevedesse che
 eseguendo "adesso" la misura MA sull'elettrone A si otterrebbe l'esito eA,
 e poi, eseguendo "fra un secondo", sempre sull'elettrone A, una nuova misura
 MA' si avrebbe l'esito eA' (misura che "distruggerebbe" la "realta'"
 dell'essere l'elettrone nello stato eA per portarlo "realmente" nello stato
 eA') e che fosse in grado di fare previsioni analoghe per l'elettrone B,
 sarebbe comunque una teoria a variabili nascoste che porterebbe comunque a non
 violazione della disuguaglianza di Bell.
 
Cosa avverrebbe nel caso di entanglement con la interpretazione che ho proposto non l'ho detto :-)
 
Ciao.
 
--
BlueRay
 

 "BlueRay"  ha scritto:
 Un momento. Lasciando stare quella circolare, direi che complementari sono 
 quella verticale e quella orizzontale. Sei d'accordo?
 
Bruno Cocciaro:
 Non so se e' corretto l'uso che sto (stiamo?) facendo dei termini "misure 
 complementari",
 
Come ho scritto precedentemente, preferisco "misure su osservabili complementari".
 
Bruno Cocciaro:
 ad ogni modo, le associazioni sono le seguenti:
 polarizzazione H; V per il fotone sono come S_z=1;  S_z=-1 per l'elettrone,
 
 
 
Lo stato di polarizzazione V e quello H del fotone sono due diversi vettori (raggi) dello spazio di Hilbert, che sono anche ortogonali; S_z = +1 e S_z = -1 sono due diversi autovalori della osservabile S_z quindi i corrispondenti autovettori sono ortogonali. Eseguendo due misure consecutive di S_z lo stato non cambia dopo la prima: la prima misura pone il sistema in un autostato di S_z e la seconda lo lascia in quello stesso stato.
 
Come intendi, sperimentalmente, una misura di polarizzazione orizzontale o verticale su un fotone?
Ciao.
 
--
BlueRay

 quella verticale e quella orizzontale. Sei d'accordo?
 
No, non sono d'accordo :-)
 
Direi che sono due diversi (e ortogonali) autovettori della stessa osservabile, comunque devo dire che questo non e' chiaro per niente, nonostante l'esempio venga utilizzato spesso nei libri di testo...
 
--
BlueRay

 nonostante l'esempio venga utilizzato spesso nei libri di testo...
Che cosa non è chiaro?
 
L'osservabile in questione è l'elicità L (sarebbe Lambda) (componente
del mom. amgolare nella direzione dell'impulso.
Lo stato di polarizzazione destra |R> corrisponde all'autov. +1, queo
dipol. sinistra |L> all'autov. -1.
(O è l'opposto? Non sono mai riuscito a impararlo :-( )
 
E una polar. orizzontale |H> ?
Sarà la combin. |R> + |L>.
Quella verticale |V> = |R> - |L>
(a parte fattori di fase, che non ricordo, e di normalizzazione).
Ovviamente questi non sono autostati di L, ma di una diversa
osservabile M, che nessuno si cura di definire.
Poi potresti considerare |R> + i|L> e |R> - i|L>: questi sono
autostati di una terza osservabile N.
Esercizio: verifica che L, M, N soddisfano le rel. di comm. del mom.
angolare (forse a meno di un fattore...).
 
 
-- 
Elio Fabri

 Che cosa non è chiaro?
 
Esattamente tutto quello che hai scritto dopo:
 
"L'osservabile in questione è l'elicità L (sarebbe Lambda) (componente
del mom. amgolare nella direzione dell'impulso.
Lo stato di polarizzazione destra |R> corrisponde all'autov. +1, queo
dipol. sinistra |L> all'autov. -1.
(O è l'opposto? Non sono mai riuscito a impararlo :-( )
 
E una polar. orizzontale |H> ?
Sarà la combin. |R> + |L>.
Quella verticale |V> = |R> - |L>
(a parte fattori di fase, che non ricordo, e di normalizzazione).
Ovviamente questi non sono autostati di L, ma di una diversa
osservabile M, che nessuno si cura di definire.
Poi potresti considerare |R> + i|L> e |R> - i|L>: questi sono
autostati di una terza osservabile N." 
 
:-)
 
--
BlueRay

 proposto non l'ho detto :-)
 
Appunto, il nocciolo non e' stato toccato.


 :-)
Non ho capito: vuoi dire che non avevi capito proprio quello che ti ho
spiegato, e ora l'hai capito, oppure che ti ho ripetuto per bene tutto
quello che non avevi capito e continui a non aver capito? :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 angolare (forse a meno di un fattore...).
 
Prendo un vettore generico |v> nella base |R>, |L>:
|v> = c1R> + c2|L>. Allora:
 
 
[lambda,mu]|v> = lambda(mu |v>) - mu(lambda |v>) = (sfrutto le relazioni gia' scritte piu' sopra) = 2c2|R> - 2c1|L> = 2c2 i nu|L> + 2c1 i nu |R> = 2i nu|v>.
Analogamente per il commutatore tra lambda e nu e quello tra mu e nu, penso (perche' in 
q.to
 cado non ho fatto i conti :-) )
 
--
BlueRay

 quello che non avevi capito e continui a non aver capito? :-)
 
La prima che hai detto :-)
 
Comunque non mi voglio allargare: diciamo che ora e' molto piu' chiaro di prima (se dico che una cosa l'ho capita, poco dopo qualcuno mi fa una domanda specifica e rispondo in modo sbagliato :-) )
 
 
 
Il fatto e' che l'esempio dei due stati di polarizzazione, verticale ed orizzontale, dei fotoni e' usato spesso per introdurre il concetto di vettori di stato ortogonali in MQ, pero' non si capisce di quale/quali osservabile/i siano autovettori, ovvero che cosa si sta misurando quando un fotone viene fatto passare da un filtro polarizzatore.
 
 
Riguardo poi alla polarizzazione circolare, mi sembra di aver capito che l'analogo del polarizzatore lineare sia una "lamina a quarto d'onda", ma come funziona?
 
--
BlueRay

 d'onda", ma come funziona?
No.
Un polarizzatore *proietta* quasiasi stato di polarizzazione in uno di
pol. lineare, diciamo |x>.
Naturalmente la proiezione non conserva la normalizzazine, i che
corisponda al fatto che se mandi un fotone in uno stao |a> generico
attraverso il polarizzatore, la sua prob. di passare è <1.
 
Invece la lamina a quarto d'onda esegue sullo spazio degli stati una
/trasf. unitaria/: cambia lo stato, ma conserva la norma, ossia tutti
i fotoni passano.
Formalmente, nella base |x>, |y> la rappr. di questo oper. unitario Q
è molto semplice:
Q|x> = |x>
Q|y> = i|y>.
Esecizio: che cosa fa a uno stato pol. lin. a 45°?
E a uno stato di pol. circolare?
 
Ci sarebbero diverse altre cose da dire, ma stasera è tardi per i miei
usi di vecchietto :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 quello che non avevi capito e continui a non aver capito? :-)
 
(Mi sa che ho perso per la strada la risposta che ti avevo gia' dato.) 
E' la prima che hai scritto.
 
 
Certo, dire "capito" e' sempre eccessivo con argomenti del genere, pero' quello che tu hai scritto, a parer mio, non viene quasi mai scritto o perlomeno non  cosi' chiaramente, tenuto conto che l'esempio degli stati di polarizzazione lineare dei fotoni viene utilizzato spesso per introdurre esempi di vettori di stato in uno spazio di Hilbert.
 
--
BlueRay

 Elio Fabri
 
Ciao,
 
Bruno Cocciaro

 [[0,-i],[i,0]].
Questa è la scelta coerente con la prima, che ti dà rel. di comm.
semplici e simmetriche (quelle delle matrici di Pauli)
 
 
-- 
Elio Fabri

 miei usi di vecchietto :-)
Oggi posso continuare un po'-
Volevo soprattutto descrivere com'è fatta un lamina a 1/4 d'onda.
 
Si tratta di una sottile lamina di materiale trasparente e otticamente
anisotropo.
(A quanto mi dicono Born & Wolf, fu inventata da Airy attorno al 1830,
usando lamine di mica.)
 
L'ottica dei mezzi anisotropi è parecchio complicata, e nemmeno la
conosco gran che bene. Ma qui basta sapere che cosa succede a un'onda
piana che incide normalmente sulla lamina.
 
1. Riflessione a parte, si propaga con sup. d'onda che restano
paarllele a quelle incidenti.
 
2. Però la forma della propag. richiede di cnsiderare *due* direzioni
per il vettore D, entrambe nel piano parall. alle sup. d'onda, che
prendo come x e y.
Le due componenti di D hanno vel. di propag. *diverse* (indici di rif.
diversi, n' e n").
 
3. Il campo elettrico invece è generalmente /obliquo/ ma non ci serve.
 
4. Se s è lo spessore della lamina, L la lungh. d'onda,
l'attraversamento della lamina produce nelle due componenti risp. una
variazione di fase
2 pi n's/L, 2 pi n"s/L (rad).
 
5. Quindi rispetto all'ingresso le due componenti si sono sfasate di
delta = 2 pi (n' - n") s/L.
Nella lamina a 1/4 d'onda, delta = pi/2, ossia (n' - n") s = L/4.
 
Un'applicazione semplice della lamina a 1/4 d'onda è di accoppiarla
con un polaroid.
Se si entra con luce polar. circolarmente, la lamina la converte in
pol. a 45° in una delle due direzioni rispetto a x.
Se il polaroid è orientato correttamente, può trasmettere liberamente
o viceversa bloccare la luce.
Si può quindi dire che stiamo facendo una misura di pol. circolare.
 
Occorre tener presente che la lamina funziona bene solo per *una* l.
d'onda, perché delta dipende da L per due ragioni:
- perché L figura direttamente nella formula
- perché n' e n" dipendono da L (mezzo dispersivo).
 
Storia a parte, lamine a 1/4 d'onda (o simili) si possono fare oggi
molto facilmente usando i fogli di acetato che erano di uso comune
anni fa per le lavagne luminose.
(Il materiale è anisotropo a causa del processo di lavorazione, che
orienta le macromolecole del polimero tutte in un stessa direzione.)
 
Un esperimento d'effetto si fa usando due fogli polaroid, che si
mettono incrociati sul piano della lavagna, in modo che non passi luce.
Interponendo un pezzo d'acetato la luce passa (perché?), e cambia
colore se si ruota quel pezzo (perché?).
Se si usano diversi pezzi, orientati a caso, si ottiene unimmagine
policroma.
 
In termini di stati di pol. dei fotoni, succede questo:
- il primo polaroid (quello a contatto del vetro) prepara lo stato,
diciamo |x>
- il foglio di acetato, con l'asse a un certo angolo rispetto a x,
esegue una trasf. unitaria: quale stato hanno ora i fotoni?
- il secondo polaroid proietta sullo stato |y>.
 
 
-- 
Elio Fabri

 E a uno stato di pol. circolare?
 
Q(|R>) = Q(1/2 |x> + 1/2 |y>) = 1/2 |x> + i/2 |y> 
 
Q(|L>) = Q(1/2 |x> - 1/2 |y>) = 1/2 |x> - i/2 |y> 
 
Ciao e grazie del tuo tempo.
 
--
BlueRay

 BlueRay
 
 
P.S. per la firma č necessario uno spazio dopo i due
trattini: "-- ".
 
 
-- 
AIOE łżł  

 Si può quindi dire che stiamo facendo una misura di pol. circolare.
 
 
 
 
Pero' semplicemente cosi' mi pare che non basti. Dopo il polarizzatore ci va messa un'altra lamina a 1/4 d'onda ruotata di 90 gradi rispetto alla precedente cosi' che in uscita si avra' un fotone a polarizzazione circolare sinistra (destra) se in entrata si aveva un fotone a polarizzazione circolare sinistra (destra). In questo modo, ripetendo la misura si otterra' lo stesso esito, cosa che, in generale, non mi pare sia vera se non si aggiunge la nuova lamina dopo il polarizzatore.
 
 
 
 
Poi, in generale, a me piace pensare a polarizzatori ideali, cioè non i polaroid che, anche se ideali, una componente la fanno passare ma l'altra la assorbono. Non so come si chiamano i polarizzatori "a cubo" che trasmettono una componente lungo una certa direzione e trasmettono anche l'altra componente lungo un'altra direzione. Usando polarizzatori di questo tipo, per eseguire una misura di polarizzazione circolare saranno ovviamente necessarie 3 lamine a 1/4 d'onda.


 Ma comunque, che importanza ha?
 
 
Beh, originariamente il motivo era che con BlueRay mi chiedevo se stessi usando l'aggettivo "complementare" nella maniera corretta, pero', piu' in generale, direi che l'importanza sia nel fatto che dietro un non corretto uso delle parole si nasconde una non chiara comprensione dei concetti.
 
Nel caso specifico, cosa e' che rende posizione e impulso "canoniche coniugate"? E cosa sono le coppie duali?


 E a uno stato di pol. circolare?
 
 
Qualche post fa avevi definito gli stati di polarizzazione lineare, verticale |V> ed orizzontale |H> in funzione di quelli di polarizzazione circolare destra |R> e  sinistra |L> cosi':
 
|H> = |R> + |L>
|V> = |R> -  |L>
 
ma avevi specificato che c'era propbabilmente un fattore di fase che non ricordavi. 
 
Del resto un fattore di fase ci deve essere, altrimenti gli stati |R> ed |L> si otterrebbero da semplice somma e differenza di |H> e |V> il che non puo' essere perche' somma e diff. di quelli forniscono i due  stati di pol. lin. a 45°.
 
 
 
Se il fattore di fase fosse (ho provato per tentativi) una volta i su |L> e un'altra -i su |R>, ovvero se fosse (considero anche la normalizzazione, partendo da |R> ed |L> ortonormali):
 
|H> = (|R> + i|L>)/sqrt(2)
|V> = (i|R> + |L>)/sqrt(2)
 
allora risulterebbe:
 
|R> = (|H>  - i|V>)/sqrt(2)
|V> = (-i|H> + |V>)/sqrt(2)
 
e l'effetto della lamina a quarto d'onda sulla pol. circolare sarebbe:
 
Q|R> = (|H> + |V>)/sqrt(2)   ovvero la trasforma in pol. lin. a 45°
 
e sulla pol. circ. sinistra:
 
Q|L> = i(|V> - |H>)/sqrt(2)   ovvero la trasforma in pol. lin. a 45° ortogonale alla precedente.
 
Vediamo ora l'effetto sulle pol. lin. a 45°:
 
Q(|H> + |V>)/sqrt(2) = i|L>   ovvero la trasforma in pol. circol. sinistra (il fattore i qui penso che non conti, da questo punto di vista) 
 
Q(|H> - |V>)/sqrt(2) = |R>   ovvero la trasforma in pol. circ. destra.
 
Questo mi sembra che torni di piu' con quello che hai detto dopo essere il funzionamento della lamina a lambda/4, e' corretto?
 
Ciao.
 
--
BlueRay

 13:19:24, sabato 25 luglio 2015
 Ma il punto e' che la proposta di interpretazione che ho
 descritto, ad una prima analisi approssimata che ho fatto, e'
 conforme al risultato della MQ in quanto non ci sono due
 osservabili complementari che hanno un valore ben definito
 assieme. Ricordo che cercai di capire il "meccanismo" della
 disuguaglianza di Bell da un'articolo su "Le Scienze" di una
 ventina d'anni fa, purtroppo non ricordo l'autore (forse
 d'Espagnat?) ne' il titolo (forse "La teoria dei quanti e la
 realta' "?), ma ricordo che utilizzava le varie componenti di
 spin di particelle (protoni?) e che c'erano delle figure
 colorate :-) e mi sembro' di capire che quella disuguaglianza
 nasceva dal pretendere che una particella possedesse
 simultaneamente due valori ben definiti di osservabili
 complementari. Infatti scriveva qualcosa del tipo:
 [nell'ipotesi di realismo locale ovvero di variabili nascoste]
 se si indica con N_x(+) il numero di particelle che hanno S_x
 = +1, allora tale numero e' la somma di quelle che hanno S_y  +1 e di quelle che hanno S_y = -1.
 Da semplici considerazioni insiemistiche come questa, l'autore
 dell'articolo dimostrava la disuguaglianza di Bell e questo
 fatto, ovvero che venivano utilizzate semplici considerazioni
 di quel tipo, mi ha stimolato a cercare di comprendere quale o
 quali fossero i punti essenziali della questione.
 
Come hai fatto a ripescare questo post? Pensavo che ormai fosse andato perso...
Ciao.
 
--
BlueRay

 essere il funzionamento della lamina a lambda/4, e' corretto?
Sì, ma anche la mia, che ora ho spiegato meglio, torna :-)
Il mio problema è che non ricordo mai (e non mi metto a cercare) quale
sia le def. in uso, ammesso che sia unica.
Perché non mi meraviglierei se testi diversi usassero def. diverse.
L'unica cosa su cui mi sentirei sicuro è che le pol. lineari a tutti
gli angoli si ottengano da combin. *a coeff. reali* di |H> e |V>,
alias |x> e |y>.
 
Non so se lo sai, ma lo stesso problema esiste (e non credo sia stato
eliminato) con le autof. del mom. angolare (le "armoniche sferiche").
Ci sono due o tre diverse convenzioni, che appunto differiscono per
fattori di fase.
Il peggio è che le armoniche sferiche sono infinite :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 E cosa sono le coppie duali?
Queste me lo sono inventate io :-)
Ma avevo in mente p e q in questo senso: che sono intercambiabili, nel
senso che lo scambio di p e q, con un cambiamento di segno, è una
trasf. canonica.
E' vero che lo stesso giochetto si può fare col mom. angolare, ma qui
c'è automaticamente più libertà: *qualunque* trasf. ortogonale sulla
terna (Sx,Sy,Sz) conserva le rel. di commutazione (è una rotazione).
 
Ma come avrai capito, tutti questi giochi di parole non mi
appassionano, anzi nutro una certa diffidenza.
 
 
-- 
Elio Fabri

 fosse andato perso... 
 
 
Ho cercato indietro nella lista fra i tuoi messaggi, a quanto
pare AIOE non l'ha ancora cancellato.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 Ma questa defin. ha un difetto: è troppo larga.
 
Ecco, io avevo in mente proprio una cosa del genere, pero' piu' specifica, cosi' che, forse, possa non dirsi "troppo larga".
Qualcosa tipo questo:
 
se, dopo aver effettuato la misura Ma, quale che ne sia l'esito, risultera' perfettamente indeterminato l'esito di una successiva misura Mb, allora le due misure si dicono complementari (poi l'aggettivo si potra' eventualmente associare alle osservabili corrispondenti alle relative misure).
 
L'esempio delle polarizzazioni del fotone permetterebbe di individuare subito una tripla di misure complementari secondo la definizione suddetta: pol vert_orizz, pol +45_-45 e pol circ dx_circ. sin.
 
 
Pero' ho l'impressione che, dato un qualunque operatore hermitiano O_1, avente come autostati un generico stato S e il suo ortogonale S*, sara' sempre possibile determinare altri due operatori hermitiani, O_2 e O_3, tali che le misure associate ai tre operatori O_1, O_2 e O_3 risulteranno a due a due complementari secondo la definizione suddetta.
 
 
Poi, se non erro, gli operatori hermitiani associati alle tre misure pol vert_orizz, pol +45_-45 e pol circ dx_circ. sin. sarebbero le matrici di Pauli che, unite all'identita', costituiscono (sempre se non erro) una base ortonormale per le trasformazioni unitarie.
 
 
Pero', portando avanti l'impressione di cui parlavo sopra, mi sa che dato un generico stato S e i corrispondenti operatori O_1, O_2, O_3 di cui sopra, anche questi operatori, uniti all'identita', costituiranno una nuova base ortonormale per le trasformazioni unitarie.
 
 
 
Se fosse cosi' allora, forse, avrebbe un senso assegnare un nome specifico per caratterizzare le triple di misure di cui sopra, chiamandole, ad esempio, complementari e, dato un generico stato S, potrebbe avere un certo interesse chiedersi quale e' la tripla di misure complementari ad esso associata.
 
 
Ipotizzando anche che sia corretto quanto detto sopra, non ho la minima idea sull'eventuale possibilita' di generalizzare il discorso a spazi di dimensione maggiore.


 spazi di dimensione maggiore.
Neanch'io :-)
Già pensando allo spin 1 si vedono le difficoltà.
Usiamo Sx,Sy,Sz per gli oper. di spin, con autovalori +1,0,-1 e le
solite rel. di commutazione.
Il guaio è che non è più vero che un generico stato in questo spazio
sia sempre autostato di qualche componente dello spin.
Basta osservare che lo spazio dei vettori di stato dipende da 4
parametri reali. Infatti è C^3 (6 param. reali) meno uno per la
normalizzazione e un altro per la fase arbitraria.
Invece gli autostati di n.S dipendono da 2 parametri: le componenti di
n a meno della normalizzazione.
 
Un'altra difficoltà è che non bastano I,Sx,Sy,Sz a generare
linearmente l'insieme degli operatori hermitiani, che dipendono da 9
parametri.
Per es. SxSy + SySx non è combin. lineare di I,Sx,Sy,Sz.
 
Tutto questo non dimostra che sia impossibile la tua richiesta:
vorresti che su un autov. poniamo di Sz fosse "completamente indet."
l'osservabile complementare.
Mostra solo che l'insieme è molto meno maneggevole che per il caso di
spin 1/2...
Poi bisognerebbe definire in modo preciso "completamente indet.".
Nel caso di spin 1/2 è facile: essendoci solo due autovalori, si deve
chiedere che le risp. probab. siano 1/2.
Se gli autov. sono 3, che cosa chiederemo?
Prob. 1/3? Oppure indet. massima? Sono due cose diverse...
 
 
-- 
Elio Fabri