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Titolo: Problemino di meccanica quantistica

Salve, la mia domanda č probabilmente banale ma essendo questi per me i
primi esercizi di meccanica quatistica ho ancora le idee un po' confuse.
Ho un sistema oscillatore armonico tridimensionale anisotropico in cui si
suppone che W1=W2=W ed W3=0 (con W indico la omega).
Vorrei sapere quali sono le costanti del moto, cioč gli osservabili che
commutano con la hamiltoniana H. Secondo i miei calcoli dovrebbero essere H,
Pz.
Gli altri (Lx, Ly, Lz, Px, Py) non dovrebbero commutare con H.
Cosa posso dire di L^2?
Grazie per i suggerimenti o consigli.

Nargath ha scritto:
 > ...
 > Ho un sistema oscillatore armonico tridimensionale anisotropico in cui
 > si suppone che W1=W2=W ed W3=0 (con W indico la omega).
 >
 > Vorrei sapere quali sono le costanti del moto, cioè gli osservabili
 > che commutano con la hamiltoniana H. Secondo i miei calcoli dovrebbero
 > essere H, Pz.
 >
 > Gli altri (Lx, Ly, Lz, Px, Py) non dovrebbero commutare con H.
 >
 > Cosa posso dire di L^2?
La prima cosa che dovresti capire e' che la doimanda in realta' *non
e'* di m.q.
Infatti le costanti del moto sono le stesse anche in mecc. classica
(con l'eccezione di alcune simmetrie discrete, che non credo fossero
incluse nella domanda).
Dalla 
n.cl
. dovresti sapere che per un sistema con 3 gradi di
liberta', come questo, il numero di costanti del moto *indipendenti* e
che non contengono esplicitamente iltempo e' 5 (2n-1).
Qundi ne devi trovare 5, mentre ne hai trovate soltanto due...
Ti do qualche suggerimento, anche se sicuramente qualcun altro ti dara'
tutta la risposta, e guastera' tutto...
1. Il sistema e'invariante per rotazioni attorno all'asse z, quindi...
2. Osserva bene l'hamiltoniana: e' la somma di tre pezzi, relativi
alle tre coordinate; quindi...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Grazie dei suggerimenti, molto lieto di conoscerti.

Nargath ha scritto:
 > Beh sì, questo è vero solo che avrei voluto risolvere il problema
 > calcolando il commutatore dei vari osservabili con H in maniera di
 > comprendere bene le regole dell'algebra dei commutatori.
D'accordo, pero' il riferimento alla m. classica serve almeno per
sapere che cosa aspettarsi...
 > Il fatto che Lz si debba conservare mi è sembrato, proprio in virtù
 > delle proprietà di simmetria del sistema, abbastanza chiaro solo che
 > (come sopra) ho ottenuto un commutatore con H diverso da 0. Errore mio
 > sicuramente... ma a quel punto non potevo più fidarmi delle
 > conclusioni che ho raggiunto.
Eh si', devi aver sbagliato i conti...
Vedi, il bello di principi generali e' che quando li padroneggi con
sicurezza sono piu' solidi di qualunque conto particolare.
 > Se questo è vero siamo a quota 3 costanti del moto (H, Pz, Lz) ma
 > basta dire che il sistema è invariante per rotazioni lungo z per
 > giustificare la conservazione di Lz?
A parte che io direi "attorno" e non "lungo", certo che basta.
 > L^2, come posso giungere alla conclusione che è una costante del moto?
Non puoi, perche' non lo e'.
Dimostrarlo coi conti non e' proprio banale, anche se si puo' vedere
una scorciatoia, che e' la seguente.
Se l'oscillatore fosse isotropo, tutte le componenti di L sarebbero
costanti, quandi anche L^2.
Nel nostro caso, all'oscillatore per essere isotropo manca l'en. pot.
elastica lungo z, prop. a z^2.
Dunque devi solo mostrare che L^2 non commuta con z^2.
Io lo so, grazie a un teorema generale, che si chiama teorema di
Wigner-Eckart, e che tu incontrerai piu' avanti, o forse mai ... non
so dire.
Ma non hai raccolto un altro suggerimento cne ti avevo dato: le tre
parti di H commutano tra loro.
Chiamiamole Hx, Hy, Hz, anche se non sono le componenti di un vettore:
allora queste sono tutte costanti del moto, e sembra che ne abbiamo
appunto 5, o forse 6: H, Pz, Lz, Hx, Hy, Hz.
Ma non sono indipendenti: H = Hx + Hy + Hz; Hz = Pz^2 / 2m.
Dunque le costanti indipendenti sono solo 4.
E la quinta? Esiste, ma e' un affare serio, e forse non e' bene che te
ne preoccupi.
E' una di quelle bestie che nella m. classica si chiamano "integrali
primi non uniformi" ... e piu' non dimandare :-))


 primi non uniformi" ... e piu' non dimandare :-))
Non conosco la traduzione italiana (avendoli studiati su un testo in
inglese), ma... sono gli "isolating integrals" (tipo quelli dei potenziali
di Eddington)?
--
CyberPax

 primi non uniformi" ... e piu' non dimandare :-))
Lungi da me.... :-)
Grazie

Nargath ha scritto:
 > Se l'oscillatore fosse isotropo L^2, come costante del moto,
 > commuterebbe con H.
 > Siccome in H ci sarebbero x^2, y^2, z^2, Px, Py e Pz con questi
 > dovrebbe commutare L^2.
Questo non e' vero. L'hamiltoniana di un osc. isotropo e' (a meno di
costanti inessenziali)
H = x^2 + y^2 + z^2 + Px^2 + Py^2 + Pz^2.
L^2 puo' benissimo commutare (anzi commuta senz'altro) con H, senza
commutare (non commuta) con nessuno degli addendi.
 > Se abbiamo un oscillatore anisotropo come quello in questione, L^2
 > non commuta con H (non si conserva) perché, evidentemente, non commuta
 > con qualcosa di quello che c'è dentro H e dentro H non c'è z^2.
 >
 > Se dimostrassi che L^2 non commuta con z^2 non starei dimostrando che
 > nel caso di un oscillatore armonico isotropo L^2 non si conserva?
Il ragionamento e' proprio al rovescio: scrivi H = H' + z^2.
H' e' la tua hamltoniana.
Dato che L^2 non commuta con z^2, non puo' commutare neppure con H'.
Infatti se commutasse avresti
[L^2,H] = [L^2,H'] + [L^2,z^2] = [L^2,z^2]
e questo non e' zero. Oppure:
[L^2,H'] = [L^2,H] - [L^2,z^2] = -[L^2.z^2]
che dimostra direttamente la tesi.
 > Dunque quelle indipendenti sono Hx, Hy, Pz, Lz. Giusto?
Si, ma hai infinite altre scelte: per es. H, Hx, Pz, Lz; oppure ...
trovale tu ;-)


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Ciao e grazie mille di tutto. E' stato un piacere conoscerti.
Enrico