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Titolo: Paradosso dei Gemelli Cosmologico

Sinceramente non so se questa versione è già stata trattata su questo
forum, la ricerca di "Paradosso dei Gemelli" mi dà un'infinità di
risultati!
Dato un universo chiuso (ad esempio, cilindrico), il gemello
sull'astronave passa accanto a quello sulla terra e da quel momento in
poi continua a muoversi di moto inerziale rispetto al primo. Fa il giro
di tutto l'universo e ritorna al punto di partenza. Quale gemello è
più vecchio?

 ha
scritto:

Secondo me se uno fa il giro dell'Universo, ammesso che sia chiuso come
nella tua ipotesi, il suo moto ha come riferimento l'universo chiuso, quindi
se si muove più veloce di Terra, è quello sull'astronave ad essere più
giovane.
"velocità nel tempo e nello spaazio" non accetta più le risposte.
ciao
ernesto
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 ha
scritto:

Secondo me se uno fa il giro dell'Universo, ammesso che sia chiuso come


Coincidenza proprio oggi stavo cercando di ragionare su questo
problema!
Sembrerebbe infatti esserci un paradosso!
Il paradosso classico si risolve poichè in realtà i due sistemi di
riferimento non sono inerziali! Il viaggiatore, ad un certo punto,
dovrà  accellerare ed il paradosso scompare!
Ma se supponiamo che nel nostro Universo le linee rette si richiudano
su se stesse non si capisce bene come possano andare le cose: ricompare
il paradosso!
Qualitativamente, stavo pensando che forse questo esclude la
possibilità che nel nostro Universo le rette siano in realtà delle
curve chiuse!
A mio avviso però questo non vuol dire che l'Universo non possa essere
chiuso(per lo meno nella mia concezione di Universo chiuso). La
questione penso verta principalmente sulla curvatura dello spazio tempo
del nostro Universo.
D.


Puoi leggere qui, sono tre puntate del prof. Fabri, a mio modestissimo
parere molto ben scritte:
http://www.df.unipi.it/~fabri/divulgazione/relgem/relgem1.htm
http://www.df.unipi.it/~fabri/divulgazione/relgem/relgem2.htm
http://www.df.unipi.it/~fabri/divulgazione/relgem/relgem3.htm

 è più vecchio?
Ti risponderei volentieri se sapessi che cos'e' un universo cilindrico...
 
-- 
Elio Fabri

 Dato un universo chiuso (ad esempio, cilindrico),
guarda che un universo cilindrico non e' chiuso, bensi' piatto!

Elio Fabri ha scritto:

Un universo a topologia localmente cilindrica: muovendosi in direzione
ortogonale all'asse del cilindro si farebbe il giro dell'universo a
curvatura nulla e quindi non dovrebbe essere necessario utilizzare la
RG, se ho capito bene.

 
http://www.df.unipi.it/~fabri/divulgazione/relgem/relgem3.htm
Grazie per il "molto ben scritte", ma certo li' non c'e' la risposta a
quello che ha chiesto l'OP...
 
-- 
Elio Fabri

 guarda che un universo cilindrico non e' chiuso, bensi' piatto!
"piatto" si riferisce alla geometria, "chiuso" alla topologia.
Una sfera è una superficie chiusa a curvatura non nulla
Un cilindro è una superficie chiusa a curvatura nulla, quindi
un'astronave non soggetta a forze si muoverebbe di moto inerziale in
tale superficie, perciò la Rel. Speciale sarebbe sufficiente per
descriverne il comportamento.

 RG, se ho capito bene.
Ahime', a quanto pare parliamo due lingue diverse...
Non so che cos'e' una "topologia localmente cilindrica".
Ci sara' qualcuno capace di tradurre in una lingua che capisco? :-)
 
-- 
Elio Fabri

 descriverne il comportamento.
Quindi vorresti dire che un universo cilindrico, contentente galassie,
pianeti, materia oscura, etc. non ha bisogno della RG per essere
descritto? Stai facendo un po' di confusione secondo me...
Il punto e' che tu stai considerando un semplice problema di
Relativita' Speciale, dove la cosmologia non ha nessun ruolo.
Abbiamo un'astronave che viaggia in uno spazio minkowskiano con
condizioni al contorno periodiche. Cioe' lo spazio (e non il tempo) e'
una scatola di grandezza finita L.
Identifichiamo la coordinata x con la coordinata x + L (e trascuriamo
le altre per semplicita', anche se si potrebbe ovviamente fare y = y +
L, z = z +L)
A questo punto puo' essere interessante studiare il "paradosso" dei
gemelli in tale situazione.
I risultati che ottieni sono in accordo con il concetto di invarianza
di Lorentz?

Elio Fabri ha scritto:

Spazio-tempo di Minkowsky chiuso?

Anche sui NG  conviene non reinventare la ruota :-) . Il problema del 
paradosso dei gemelli in uno spazio compatto č  stato discusso su alcuni 
articoli apparsi nella letteratura scientifica. Uno degli ultimi (l' 
avevo letto alcuni anni fa)  lo trovi su arXiv:
gr-qc/0101014 ( John D. Barrow, Janna Levin,     Title: The twin paradox 
in compact spaces) dovrebbe essere apparso su Phys.  Rev. A.  Lě  ci 
trovi una spiegazione convincente (a meno di smentite da parte degli 
esperti) e  riferimenti a precedenti articoli.
Il nocciolo della risoluzione č  che in uno spazio compatto c'č  un 
sistema di riferimento privilegiato. Aggiungo perň  che a suo tempo non 
mi sono sforzato di verificare nei dettagli l' argomentazione degli autori.
Giorgio

 Giorgio
Ciao, ho visto l'articolo: mi sembra veramente incredibile che abbiano
pubblicato una banalità simile nel 2001 su un giornale come Phys Rev!
Pubblicato solo perché l'ha scritto Barrow forse. O forse mi è
sfuggito qualcosa di fondamentale?
Ciao, Valter

 di Lorentz?
Ciao, mi pare che hai descritto bene la situazione.
Vorrei fare notare che nel momento in cui metti delle identificazioni
per passare dall' spaziotempo di Minkowski ad uno a sezioni spaziali
compatte (per esempio l'universo "cilindrico" in 2D ottenuto
identificando x e x+L nel piano x,y dove y è il tempo e x lo spazio),
devi selezionare un riferimento. Le identificazioni le puoi fare solo
nelle "direzioni spaziali" per evitare curve causali chiuse, quindi
selezioni uno (o più) riferimenti.
Questa scelta di riferimento distrugge l'invarianza di Lorentz (più in
generale di Poincaré): non tutti i sistemi di riferimento in cui la
metrica appare come piatta sono fisicamente equivalenti (alcuni non
possono nemmeno più essere definiti (vedi sotto)).
Questo, a sua volta,  distrugge il "paradosso" dei gemelli in questo
tipo di spaziotempo piatto ma con topologia diversa da quello di
Minkowski.
Prendiamo due gemelli in moto inerziale, cioé lungo geodetiche dello
spaziotempo, due moti distinti che partono dallo stesso evento  O in
cui i gemelli hanno la stessa età.
A causa delle identificazioni dette, essi possono incontrarsi più
(infinite) volte, al contrario di quanto accade nello spaziotempo di
Minkowski in cui si incontrano  una volta sola all'inizio in O e
ciascuno dei due "giudica" successivamente l'altro  più vecchio usando
ciascuno la propria nozione di tempo globale (in base alla procedura di
sincronizzazione einsteniana per orologi in quiete relativa ma
distanti).
Nello spaziotempo di Minkowski non si ha il "paradosso" dei gemelli
(ciascuno è più vecchio dell'altro), dato che i due gemelli non
possono più ncontrarsi, se lo potessero (almeno) uno dei due non
sarebbe in moto inerziale e contraddiremmo le ipotesi...
Nel caso in esame invece i gemelli , in moto inerziale, si incontrano
*davvero* più volte e allora possono materialmente verificare chi è
più vecchio di chi la seconda volta in cui si incontrano,
Data la (in generale) non equivalenza dei due gemelli in questo caso,
uno dei due sarà effettivamente più vecchio dell'altro.
La situazione è evidente nell'universo cilindrico di cui si è detto
sopra.
Il cilindro si ottiene  per un riferimento Minkowskiano di corodinate x
e y, con y asse del tempo, identificando l'asse spaziale  x dopo una
distanza L.
Un gemello in quiete con il riferimento detto ha linea di universo
rappresentata, per esempio, dall'asse y. La linea di universo
dell'altro gemello è una retta che esce dall'origine O, ma  con una
piccola inclinazione rispetto all'asse y.
Dato che x e x+L sono identificati, stiamo lavorando su un cilindro e
tale seconda linea tornerà ad intersecare l'asse y in E dopo un giro.
La lunghezza lorentziana delle linee è il tempo proprio cioé quello
misurato dagli orologi in quiete con ciascuno dei due gemelli. La linea
con lunghezza *lorentziana* maggiore è il segmento sull'asse delle y
che parte dall'origine e raggiunge E. (La lunghezza Lorentziana NON è
quella che si "vede" nel disegno in cui la situazione è ribaltata
perché è riferita alla lunghezza rimanniana sul cilindro).
Si conclude che al secondo incontro nell'evento E il gemello che ha
seguito la linea "storta" sarà più giovane di quello la cui linea di
universo è data dall'asse y.
La asimmetria è evidente ed è fissata dal riferimento nel quale sono
state fatte le identificazioni x = x+L per costruire lo spaziotempo,
cioé il riferimento del gemello più vecchio alla fine.
C'è un'altra asimmetria tra i due gemelli. Il gemello che segue la
linea storta non può definire uno spazio di quiete globale
sull'universo cilindrico: in altre parole non riesce a sincronizzare i
suoi orologi nello spazio di quiete intorno a se stesso, lascio la
dimostrazione (evidente) a chi si intende un pò di relatività.
Se ognuno dei due gemelli potesse definire il proprio sistema
riferimento esteso a tutto lo spaziotempo, ciascuno dei due gemelli
usando il proprio tempo definito globalmente giudicherebbe l'altro
gemello più vecchio ad ogni istante prima del secondo incontro in E.
Questo accadrebbe arbitrariamente vicino all'istante in cui essi si
incontrano in E in cui uno risulta essere più giovane e l'altro più
vecchio: si produrrebbe una discontinuità che non ci si aspetta ed
infatti non esiste
  Ciao, Valter
---------------------------------------------------------
Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 dimostrazione (evidente) a chi si intende un pò di relatività.
Questo non so farlo.
Comunque, il caso in cui entrambi i gemelli si muovono di moto
inerziale con velocità v e -v rispetto al riferimento di cui sopra,
come si studia?

   Ciao, Valter
Ciao, Michele

 come si studia?
Bisogna calcolare l'integrale di tempo proprio sui due moti e, per
simmetria, risulta
avere alla fine lo stesso valore: i due gemelli hanno la stessa età al
secondo incontro.
Ciao, Valter

Michele ha scritto:

Ciao,sinceramente non l'ho capita. Se parli dell'universo "cilindrico"
entrambe le linee
di universo sono curve regolari non spezzate (infinitammente
differenziabili!) solo che
una è più lunga di tutte le altre. Entrambe sono geodetiche dal punto
di vista del trasporto parallelo, solo che siamo proprio nel caso in
cui i segmenti di geodetica non massimizzano,
in generale, la lunghezza delle curve perché c'è un punto coniugato.
Riguardo all'invarianza di Lorentz, la domanda secondo me era poco
chiara: se per invarianza di Lorentaz si intende equivalenza tra
"osservatori" allora tale equivalenza è rotta per i motovi che ho
scritto: i due osservatori non individuano entrambi sistemi di
riferimento globali...solo uno lo fa...
Se la domanda chiedeva se il gruppo di Lorentz è ancora un gruppo di
isometrie dello spaziotempo descritto, la risposta è ancora no perché
ci sono alcune orbite del gruppo che non si "chiudono" bene a causa
delle identificazioni...
Più di questo non saprei dirti non avendo il testo dell'esercizio.
Ciao, Valter

 secondo incontro.
Cioè, il gemello A vede il tempo del gemello B sempre rallentato, ma
al loro secondo incontro hanno la stessa età?
Oppure non vede il tempo di B sempre rallentato?
Mi sembra tutto un pò assurdo.

 Mi sembra tutto un pò assurdo.
Lo sarebbe se fosse come hai scritto tu...
Ciao, Valter

 nozione di tempo globale. Quando si incontrano hanno la stessa età.
Ciao, cerco di spiegarmi meglio. Nello spaziotempo di Minkowski,
fissato un osservatore, inteso qui come "omino" o strumento di misura
che evolve descritto da una geodetica, c'è un modo canonico di
definire una nozione di tempo associata a tale osservatore in tutto lo
spaziotempo: in questo modo puoi dire "che ore sono" anche in posti
lontani dall'osservatore.
La procedura è quella di sincronizzare gli orologi lontani da esso, ma
in quiete con esso, secondo il criterio di Einstein (che ha un certo
grado di convenzionalità ma non entro nella discussione su questo
punto). La sincronizzazione di un orologio distante dall'osservatore è
riferita all'orologio in quiete con l'osservatore che misura il suo
tempo proprio. Tutti gli orologi in quiete con l'osservatore ma
distanti da esso, sono sincronizzati con tale orologio.
Devi rappresentarti una cosa di questo genere: c'è la linea di
universo dell'osservatore diretta verso il futuro, per convenzione una
linea retta. Considera poi i piani perpendicolari a tale linea
che riempono tutto lo spaziotempo. Nella realtà questi piani hanno 3
dimensioni e sono lo spazio di quiete con l'osservatore. Ogni piano è
etichettato con il valore del tempo proprio della linea nel punto in
cui interseca il piano: quello è il tempo dello spazio di quiete. Ogni
orologio su questo piano segna lo stesso tempo.
Prendiamo, nello spazio di Minkowski i due gemelli che si separano
nell'evento O al tempo T_A=T_B =0 uguale per entrambi gli orologi in
quiete che misurano il tempo proprio di ciascuno dei due gemelli.
Quando per il gemello A è passato T_A di tempo proprio, per l'altro
gemello sarà passato un intervallo di tempo
T_B = T_A /sqrt(1-v^2/c^2).
Attenzione che l'intervallo T_A è misurato sempre con lo stesso
orologio senza nessuna richiesta di sincronizzazione. Viceversa
l'intervallo T_B è valutato usando la procedura di sincronizzazione.
Quando l'orologio di A segna T_A, la linea di universo di A interseca
lo spazio di quiete di B, ma non più la linea di universo di B. Lo
spazio di quiete che interseca è etichettato con il tempo T_B e vale
T_B = T_A /sqrt(1-v^2/c^2).
Quindi la situazione è asimmetrica e T_A < T_B.
Si può scambiare il ruolo dei due gemelli ottenendo il risultato
simmetrico. Per capire come ciò sia possibile bisogna rendersi conto
che gli spazi di quiete di B e quelli di A sono diversi.
Un modo qualitativo di pensare la cosa è di rappresentare gli spazi di
quiete di B perpendicolari alla linea di universo di B e quelli di A
perpendicolari alla linea di universo di A. Le linee sono diverse e
quindi i piani sono differenti. (La rappresentazione e viziata dal
fatto che in essa, nella nozione di perpendicolarità, si usa la
metrica euclidea invece di quella lorentziana).
Se facciamo delle identificazioni nello spaziotempo facendo diventare
chiuso (compatto) ogni spazio di quiete di A (in uno spaziotempo a 2
dimensioni si ha l'universo cilidrico di ci s è discusso). Mentre gli
spazi di quiete di A continuano ad esistere in forma ridotta in questo
caso, non continuano ad esistere quelli di B. Se fai un disegno te ne
accorgi: a causa delle identificazioni si sovrappongono nel cilindro
parti di spazi di quiete di B con valori del tempo differenti. In altre
parole non è più possibile per B definire una coodinata temporale
globale
che rispetti la procedura di sincronizzazione einsteniana: per eventi
lontani dalla sua linea di universo non è possibile associare loro una
coordinata temporale sincronizzata con il tempo proprio di B. Non si
può più dire quanto tempo è passato per B quando per A è passato
T_A (volendo sare la nozione einsteniana di sincronizzazione), esclusa
la situazione in cui A e B si ncontrano nuovamente esattamente dopo T_B
secondi per B. In quel caso basta confrontare _nello stesso posto_ idue
orologi.
Nel caso di due osservatori B e B' che si separano simmetricamente da A
in direzioni opposte con la stessa velocità (rispetto ad A)
nell'universo cilindrico costruito rispetto ad A, la situazione è una
banale complicazione della precedente. B e B' non possono costruire
coordinate  temporali globali, per cui non ha senso dire (nel senso
della sincronizzazione einsteiniana) quanto tempo è passato per B
quando per B' è passato T_B', esclusa la situazione in cui B e B' si
incontrano nuovamente esattamente dopo T_B' secondi per B'. In quel
caso basta confrontare _nello stesso posto_ i due orologi. Per
simmetria deve essere passato lo stesso tempo.
Ciao, Valter
--------------------------------------------------------------------


Valter Moretti ha scritto:
... ... ...
Ti ringrazio molto per la spiegazione: adesso ho capito (almeno,
rappresentando lo spazio di quiete di B come una linea perpendicolare
alla sua linea di universo).
C'è una cosa che non mi torna (un dettaglio, comunque): se,
nell'esempio che hai fatto, A è il gemello "fermo" e B quello in moto,
dovrebbe essere T_A = T_B /sqrt(1-v^2/c^2) e non T_B = T_A
/sqrt(1-v^2/c^2) come tu hai scritto, o mi sbaglio?
A questo punto vorrei chiederti se è possibile definire sia per A che
per B una coordinata temporale globale utilizzando una procedura di
sincronizzazione diversa da quella einsteniana.
A livello puramente intuitivo (e quindi senza nessuna giustificazione o
verifica) mi verrebbe da definire l' intervallo di tempo del gemello in
moto B, così come è visto da A, uguale al numero di impulsi inviati
da B (ogni secondo del suo orologio) e ricevuti da A, e quindi sarebbe
variabile a seconda della velocità rerlativa di B rispetto ad A.
Mi verrebbe da dire così perchè, se B facesse una videoripresa della
sua vita all'interno dell'astronave e la inviasse ad A, questi vedrebbe
il filmino "accelerato" quando B si muove verso A e rallentato in caso
opposto.
Poichè il numero totale di fotogrammi che B invia ad A (e viceversa)
si deve conservare, non ci potrà mai essere ambiguità nella
valutazione degli intervalli di tempo.
Quanto sopra ha qualche significato?

 delle identificazioni...
Direi che si puo' pero' parlare di invarianza "locale", ossia su una
regione non troppo estesa dello spazio-tempo attorno a un punto, e per
un insieme di trasf. di Lorentz non troppo "diverse" dall'identita'...
 
-- 
Elio Fabri

 Quanto sopra ha qualche significato?
Non lo so, purtroppo non ho tempo di pensarci, parto per qualche giorno
di vacanza e al ritorno mi comincia la sessione d'esami...
Buon Anno Nuovo,
    Valter

 ha scritto nel messaggio 
news:4vg13lF...@mid.individual.net...
| Nel mio sito esiste un directory dedicato a questo:
|
| 
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/figure
|
| (se ricordo bene: vado a memoria e di solito sbaglio :) ).
... infatti il link corretto è
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/figure/
;-))
ciao,
Carlo

 Abbiate fede :-))
Domandina: quale programma usi per fare le figure (ad esempio quelle
nell'articolo di cui sopra)?
-- 
ws

 nell'articolo di cui sopra)?
Rispostina: PostScript.
Dato che lo uso da molti anni, mi sono fatto un insieme di procedure,
per es. per figure in assonometria, e piu' di recente per tutte le
principali costruzioni geometriche.
Naturalmente tutto ha un prezzo: mi va via molto piu' tempo che con un
programma di disegno tipo CorelDraw...
Pero' la precisione e' decisamente superiore.
-- 
Elio Fabri