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Titolo: Spazio tempo da "geodetiche"...

Ciao ragazzi,
vi pongo un problema che sicuramente non e' originale, forse ha risposta 
banale e forse e' mal posto, che mi e' venuto in mente pensando alla 
relativita' generale e che forse ha anche qualche interesse fisico.
Assegnata una varieta' riemanniana o lorentziana sappiamo benissimo cosa 
sono le geodetiche: per definizione sono le curve autoparallele rispetto 
  alla connessione di Levi-Civita indotta dal tensore metrico.
Supponete ora di avere una varieta' differenziabile sulla quale non 
assegneremo un tensore metrico, ma una famiglia di curve, intesa come 
una famiglia di mappe regolari da intervalli reali sulla varieta'. Domande:
1) quali sono le ipotesi sulla famiglia di curve affinche' esista una 
tensore metrico lorentziano o riemanniano per le quali queste siano 
geodetiche in un opportuna riparametrizzazione?
2) come costruisco la metrica da queste "geodetiche"?
Alla 1) non so rispondere, alla 2)...da principio pensavo di usare 
equazioni tipo quella di deviazione geodetica, ma per poterlo fare 
dovrei prima trovare le riparametrizzazioni di queste curve che le 
rendono geodetiche...
boh?!?
Ciao e buon agosto a tutti
slacky
--
Linux user #312588
Powered by Slackware 8.1 and Debian Woody!

Slacky ha scritto:
 > ...
 > Assegnata una varieta' riemanniana o lorentziana sappiamo benissimo
 > cosa sono le geodetiche: per definizione sono le curve autoparallele
 > rispetto alla connessione di Levi-Civita indotta dal tensore
 > metrico.
 > Supponete ora di avere una varieta' differenziabile sulla quale non
 > assegneremo un tensore metrico, ma una famiglia di curve, intesa come
 > una famiglia di mappe regolari da intervalli reali sulla varieta'.
 > Domande:
 > 1) quali sono le ipotesi sulla famiglia di curve affinche' esista una
 > tensore metrico lorentziano o riemanniano per le quali queste siano
 > geodetiche in un opportuna riparametrizzazione?
 > 2) come costruisco la metrica da queste "geodetiche"?
 > ...
Premesso che non ho la risposta, e non so se sia nota, comincerei col
fare qualche pensierino del genere:
a) La famiglia di curve deve passare per ogni punto, e con ogni
vettore tangente (meglio, basta ogni direzione).
b) La parametrizzazione non mi sembra importante, perche' in un punto
dato cambiando il parametro l'eq. delle geodetiche resta invariata.
c) Dato che in uno stesso punto tutte le geodetiche che ci passano
debbono soddisfare l'eq. con gli stessi coeff. di connessione, ne
segue una condizione di compatibilita'.
Per ora non ti so dire altro: fa troppo caldo...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 segue una condizione di compatibilita'.
vero... mi sa che devo provare a fare qualche conto...
ciao e buon inizio settimana
slacky
--
Linux user #312588
Powered by Slackware 8.1, Debian Woody and Gentoo 1.4!

Slacky ha scritto:
 > non capisco...forse mi sono espresso male: non ho detto che queste
 > curve devono essere tutte le geodetiche ma che devono essere
 > geodetiche.
Hai ragione. Io davo per scontato che ci vogliano tutte per
determinare la metrica, ma forse non e' vero.
 > ...
 > Mi sembra che tu adotti l'altra definizione, quella per cui na curva
 > e' geodetica se soddisfa l'equazione delle geodetiche e in questa
 > visione mi sembra che sia invece importante la parametrizzazione: le
 > uniche riparametrizzazioni che mandano geodetiche in geodetiche sono
 > quelle affini. O forse non ho capito quello che hai detto?
Hai capito bene: per me "geodetica" e' la curva _parametrizzata_ col
parametro affine.
Debbo pero' correggere un errore. Avevo scritto:
 > b) La parametrizzazione non mi sembra importante, perche' in un punto
 > dato cambiando il parametro l'eq. delle geodetiche resta invariata.
Invece non e' vero: se cambi in modo non lineare il parametro, l'eq.
cambia.


 determinare la metrica, ma forse non e' vero.
scusami, hai ragione, ho fatto casino nel porre la domanda.
Mi interessa *anche* vedere quali sono le ipotesi sulla famiglia 
affinche' si possa ricostruire la metrica, ma e' una altro problema.
Il primo problema e' solo quello di vedere se sono geodetiche ripsetto a 
qualche metrica.
Ciao
slacky