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Titolo: Fermioni e Bosoni

Nello studio della meccanica statistica quantistica o più
semplicemente della meccanica quantistica (di solito quando si parla
di "particelle identiche") a livello di laurea breve si arriva
inevitabilmente a un punto in cui il prof o il libro sono costretti a
dire frasi del tipo:
Si puo' dimostrare con ragionamenti che coinvolgono la teoria dei
campi (la dimostrazione è di W. Pauli) che in natura la funzione
d'onda di un sistema di particelle identiche non puo' che restare
immutata o cambiare di segno in seguito ad uno scambio di due
particelle identiche (permutazione binaria sulle funzioni fattori
della funzione del sistema)
ovviamente anche tutte le altre proprietà dei bosono/fermioni (tipo i
valori possibili dello spin) non sono giustificate ma sono rimandate
al futuro.
Se non sbaglio anche Feynman all'inizio delle sue lezioni sulla MQ
dice che non ha trovato un modo semplice di spiegare questo
importantissimo risultato.
beh... frasi di questo genere e un teorema di questo spessore come
minimo suscita curiosità. Anche se so bene di non poter ancora
abbordare la teoria alla base.. come si chiama questa famosa
dimostrazione sull'esistenza di Fermioni e Bosoni? Ho aperto qualche
libro di Teoria dei Campi ma non sono mai riuscito a trovarla perché
alla voce Fermioni/Bosoni si trovano di solito un milione di
riferimenti.. e anche alla voce "Pauli".
Solo per contemplarla con ammirazione.. :)
Davide

 dimostrazione sull'esistenza di Fermioni e Bosoni?
Teorema "spin e statistica".
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Nella teoria dei campi quantistici di Wightman che e' una
sistemazione posteriore a Pauli, esiste il teorema di
spin statistica che sotto le usuali ipotesi assiomatiche
di rappresentabilita' hilbertiana delle trasformazioni, continuita' dei
campi e loro definizione su uno stato di vuoto, lorentzianita',
causalita'(implementata in termini di localita' delle relazioni di
commutazione) vale il teorema di spin statistica che dimostra che in
generale i campi obbediscono CPT e sono costretti ad essere fermionici se di
spin semintero, bosonici se di spin intero.
Per Pauli era inizialmente un'ipotesi di lavoro capace di spiegare la
fenomenologia atomica. Con la sistemazione di
Dirac, Heisenberg, Born, Pauli comincio' a sospettare che
fosse dimostrabile.
Nella costruzione della teoria dei campi di Weinberg trovi
la deduzione che nello schema di Heisenberg Dirac la bosonicita' delle
rappresentazioni di spin zero e'
inevitabile come la fermionicita' delle rappresentazioni
di spin un mezzo e cosi' per quelle di spin uno e per
quelle di spin 3/2. La generalizzazione e' impostata ma
non completata. Weinberg mostra che se uno vuole ottenere
regole di commutazione locali valide in qualunque riferimento con campi di
spin zero deve costruire questi campi da operatori commutativi.
a(k)a(k')=a(k')a(k)
Quello che differenzia lo spin zero dallo spin un/mezzo sono le regole di
trasformazione da un riferimento
all'altro. Allora nel caso di spin un/mezzo la localita' delle
regole di commutazione per i campi puo' essere ottenuta solamente con
combinazioni lineari di operatori di seconda quantizzazione anticommutativi.
Dunque a(k)a(k')=-a(k')a(k)
Per conseguenza di cio' le funzioni d'onda di sistemi fermionici
che sono ottenute componendo vari operatori di creazione
risultano cambiare di segno quando si scambiano gli indici
associati a due particelle diverse. Mentre le funzioni
d'onda di sistemi bosonici mantengono il segno per scambio
di indici. Questo e' quanto.
Non esiste accordo assoluto sulla validita' degli assiomi
della teoria dei campi al di fuori delle condizioni di validita'
della fenomenologia delle particelle elementari nel vuoto ed
alle condizioni ordinarie di osservazione.
Esiste una circostanza molto curiosa che non e' legata
con il teorema di spin statistica ma che illustra come
uno schema interpretativo possa essere vincolante sulle
proprieta' prevedibili di un sistema e che illustra a mio
parere l'importanza di sondare la validita' degli assiomi
in modo molto attento.
In genere, come mostra Landau, lo schema interpretativo
della meccanica quantistica classica (senza seconda quantizzazione) in cui
il quadrato della funzione
d'onda contiene informazione, implica che lo scambio
di particelle indistinguibili deve condurre al
medesimo quadrato, d'altra parte ripetendo due volte lo
stesso scambio la funzione d'onda non cambia, Landau
ne conclude che per un singolo scambio di particelle indistinguibili la
funzione d'onda guadagna due volte
la stessa fase unitaria k allora k^2=1. Quindi la fase
associata al singolo scambio deve essere +/- 1.
Si puo' osservare che da un lato la parita' di una permutazione e' un
invariante: ovvero il numero complessivo di scambi elementari che conduce da
una indicizzazione ad un altra e' pari o dispari indipendentemente dal modo
in cui la permutazione viene costruita mediante scambio di primi vicini.
Dall'altro non e' vero che la parita' del singolo scambio e' invariante.
Esempio:
123 213 231 321
e' ottenuta usando due scambi sulla prima coppia e due
scambi sulla seconda coppia
123 132 312 321
e' ottenuta usando uno scambio sulla prima coppia e tre
scambi sulla seconda coppia.
Se vogliamo che la funzione d'onda per un sistema di tre particelle sia la
stessa alla fine di una permutazione che non ha portato alcun cambiamento
nell'ordine degli indici dobbiamo imporre che il segno associato ad uno
scambio fissato sia uguale
per tutti gli scambi.
 
Quindi almeno per due e tre particelle abbiamo mostrato che
assumere che la funzione d'onda abbia un contenuto oggettivo
di informazione e che descriva un sistema di tre particelle
indistinguibili implica che queste tre particelle siano
fermioni o bosoni.
Il teorema di Spin Statistica fa molto di piu' perche' associa
lo spin con la simmetria. Il fatto che le funzioni d'onda
siano simmetriche o antisimmetriche per scambio degli indici
ha delle implicazioni sulla distribuzione dei numeri di occupazione dei
diversi livelli possibili. In un caso (spin intero e scambi pari) si ha la
distribuzione di Bose Einstein, nell'altro (spin semi-intero e scambi
dispari) la distribuzione di Fermi Dirac. Per questo il teorema prende il
nome di
teorema di spin e statistica.
Sebbene anche il teorema di Spin Statistica
parta da assunzioni descrittive non completamente giustificate,
la fenomenologia compresa dalla teoria dei campi di Wightman
e' molto piu' ampia di quanto non sia lo schema della funzione d'onda, per
questo si tende ad ammettere questo teorema come
vero (e ad oggi verificato a livello di QCD ad esempio) per
i sistemi di particelle (interagenti e non interagenti) nel vuoto.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

particelle identiche...
Ti hanno gia' menzionato il teorema spin-statistica, che mostra come le
proprieta' di simmetria o antisimmetria della funzione d'onda di un
sistema di particelle identiche sia legata allo spin delle stesse.
Senza richiamare questo risultato della teoria dei campi, si puo' pero'
arrivare a quanto dici sopra con altri ragionamenti, un po' piu'
qualitativi.
Il ragionamento che segue e' riportato dal grande Lev Davidovic Landau
nel libro dedicato alla meccanica quantistica non relativistica
(dovrebbe essere il terzo o il quarto volume della serie), e "mostra"
che la funzione d'onda di particelle identiche deve restare immutata o
cambiare segno per scambio di due particelle, senza pero' legare questa
proprieta' allo spin delle particelle.
Indichiamo con F le funzioni d'onda.
Consideriamo due particelle identiche, e assumiamo valido il principio
di indistinguibilita' delle stesse (e' questa l'assunzione alla base del
ragionamento).
Consideriamo lo stato F(x1,x2).
Le x sono l'insieme delle coordinate spaziali e di spin delle
particelle, 1 e 2 indicano le due particelle.
Se scambiamo le due particelle, gli stati devono essere indistinguibili
per le proprieta' fisiche.
Cio' *non* significa:
F(x1,x2) = F(x2,x1)
Quello che non deve cambiare e' il modulo quadro delle F. Questo vuol
dire allora che le due F differiranno per un fattore di fase, cioe' per
un numero complesso di modulo 1, scrivibile come e^iq (i=unita'
immaginaria, q numero reale):
F(x1,x2) = e^iq * F(x2,x1)      (1)
Ora se riscambio una seconda volta le particelle, dovra' accadere la
stessa cosa:
F(x2,x1) = e^iq * F(x1,x2)      (2)
Sostituendo al secondo membro della (2):
F(x1,x2) = e^2iq * F(x1,x2)
cioe': e^2iq=1 (ovvio: scambiando due particelle, e poi riscambiandole
ancora, devo ritornare nella stessa funzione d'onda).
Questo vuol dire che e^iq vale 1 oppure -1. E allora, dalla (1), le
possibilita' sono 2:
F(x1,x2) = F(x2,x1)
oppure:
F(x1,x2) = -F(x2,x1)
Un'altra osservazione e' doverosa prima di concludere.
F e' uno stato del sistema delle due particelle, e si e' visto che deve
essere simmetrico o antisimmetrico per scambio.
Lo stesso varra' per un altro qualsivoglia stato, G.
La domanda e': e' possibile che per le stesse due particelle, vi sia uno
stato F simmetrico e uno G antisimmetrico?
La risposta e' no! Se cio' accadesse, lo stato dato da una generica
combinazione dei due stati F e G non sarebbe ne' simmetrico ne'
antisimmetrico per scambio, e cio' non e' possibile (da quanto visto,
*ogni* stato di due particelle indistinguibili deve essere simmetrico o
antisimmetrico).
Conclusione: un sistema di (due) particelle identiche ammette funzioni
d'onda o (tutte) simmetriche o (tutte) antisimmetriche rispetto allo
scambio di particelle.
Il risultato si generalizza facilmente a sistemi di piu' di due
particelle.
Saluti
Woodridge
P.S.: non era chiaro il tuo livello di studi, ho cercato di spendere
qualche parola piu' del necessario su qualcosa, ho dato per scontato
qualche altra cosa... mi scuso se ho ecceduto in un senso o nell'altro,
ma nel secondo caso scrivi se qualcosa non e' chiaro.
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