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Titolo: compressione dell'infinito

Considerando i numeri transfiniti di Cantor, vorrei sapere se un oggetto 
fisico si puï¿œ considerare come un insieme di infiniti punti di 
cardinalitï¿œ aleph_1 e se ï¿œ possibile che un tale oggetto possa 
trasformarsi in un insieme di infiniti punti di cardinalitï¿œ aleph_0 per 
esempio attraverso onde elettromagnetiche non appartenenti allo spettro 
visibile (ad esempio microonde) per ridursi infine ad un solo punto.
 
Infine vorrei sapere se ï¿œ possibile il processo inverso:
 
punto --> insieme di infiniti punti di cardinalitï¿œ aleph_0 --> insieme 
di infiniti punti di cardinalitï¿œ aleph_1 (oggetto fisico)
 
grazie

 cardinalità aleph_1
 
No, non si puo'.
Soddisfatto? ;-)
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 


Scusi, ma dal momento che Cantor ha dimostrato che un segmento di retta, 
una retta, un piano, un cubo ecc. si possono considerare tutti insiemi 
di infiniti punti di cardinalità aleph_1 non capisco per quale motivo un 
oggetto fisico non si possa considerare nello stesso modo.

 modo.
 
Non si puo' perche' la domanda e' malposta, ovverosia cosa
significa *in termini fisici* che un oggetto fisico si puo'
considerare come un insieme di punti, e poi per quali particolari
oggetti fisici dovrebbe valere questa associazione?
Ad es. si puo' senz'altro stabilire una corrispondenza avente significato
fisico (nel senso che non e' solo una corrispondenza tra punti ma e'
coerente con la struttura geometrica che caratterizza la varieta')
tra ogni punto (evento) dello spaziotempo e i punti di una opportuna
varieta' riemanniana, ma lo spaziotempo non e' una varieta' riemanniana.
 
Senza precisare quanto sopra si potrebbe dire tutto e il contrario
di tutto, e non si riuscirebbe a concludere niente di sensato.
 
Quanto all'ipotesi che hai presentato successivamente a questa
sopra nel tuo precedente messaggio, si tratta di pure fanfaluche,
e non mette conto neanche di discuterne...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 oggetti fisici dovrebbe valere questa associazione?
 
Allora consideriamo un semplice cubo di lati 1cm x 1cm x 1cm e facciamo 
in modo che uno dei vertici coincida con l'origine di un sistema di assi 
cartesiani tridimensionale e che 3 lati del cubo giacenti sul vertice in 
questione si trovino sugli assi del sistema di assi cartesiani. In 
questo modo ogni punto del cubo avrï¿œ cordinate del tipo (0,a_1 a_2 
a_3...;0,b_1 b_2 b_3...;0,c_1 c_2 c_3...) cioï¿œ le coordinate saranno del 
tipo (0,345623...,0,127658...,0,675439...).
Ora alle coordinate del punto si puï¿œ associare univocamente il numero 
0,a_1 b_1 c_1 a_2 b_2 c_2 a_3 b_3 c_3 .... che ï¿œ un numero compreso tra 
0 e 1 (il chï¿œ si puï¿œ fare per ogni punto del cubo) e siccome  Cantor ha 
dimostrato che i numeri compresi tra 0 e 1 sono infiniti di cardinalitï¿œ 
aleph_1 allora anche i punti del cubo sono infiniti di cardinalitï¿œ 
aleph_1 . Pertanto un semplice cubo di lati 1cm x 1cm x 1cm ï¿œ un insieme 
di infiniti punti di cardinalitï¿œ aleph_1.
 
 

 Allora consideriamo un semplice cubo di lati 1cm x 1cm x 1cm
...
 
E quale sarebbe l'oggetto fisico nel ragionamento che hai fatto?
Un cubo non e' un oggetto fisico, e' un ente matematico...
Ovvero se ho un oggetto fisico, ad es. un "cubo" metallico,
avente forma approssimativamente cubica, certamente posso
associare le varie parti del cubo a delle coordinate ad es. cartesiane
(entro il limite della precisione delle misure, cioe' ad es. non potro'
mai individuare il punto del "cubo" avente coordinate
(0, 0, 10^-10^10 m)), ma in ogni caso tutto il resto del "ragionamento"
che avevi ipotizzato nel primo messaggio rimarrebbe privo di senso.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 di infiniti punti di cardinalità aleph_1.
 
A parte il fatto che per parlare di aleph_1 ci vuole l'assioma del 
continuo, hai semplicemente mostrato una proprietà dello spazio 
cartesiano tridimensionale, non degli oggetti fisici.
 
-- 
"Oggi la scienza ha scoperto come asportare il cuore di un uomo [...].
E la propaganda è riuscita in più occasioni ad asportare la mente di 
intere nazioni." (Brian Fawcett, Cambogia)

 che avevi ipotizzato nel primo messaggio rimarrebbe privo di senso.
 
Anche se non l'ho specificato chiaramente nel messaggio, chiunque ha 
capito che mi riferivo ad un cubo come oggetto fisico ad esempio un cubo 
metallico...
Ammesso pure che non si possano individuare le coordinate del punto del 
cubo che lei indica non ï¿œ detto che il punto in questione non ci sia.
In ogni caso la corrispondenza biunivoca tra i punti del cubo metallico 
di lato 1cm e i numeri compresi tra 0 e 1 rimane a meno di un 
sottoinsieme finito di numeri dovuti all'approssimazione cubica 
dell'oggetto. Siccome i numeri compresi tra 0 e 1 sono infiniti di 
cardinalitï¿œ aleph_1, se a un insieme infinito di cardinalitï¿œ aleph_1 si 
toglie un sottoinsieme finito sempre infinito di cardinalita aleph_1 
rimane, infatti
aleph_1 - 0,23456.... - 0,12456... - 0,7869... = aleph_1.
Se invece a causa dell'approssimazione cubica dell'oggetto  si tolgono 
dall'insieme dei numeri compresi tra 0 e 1 sottoinsiemi infiniti di 
cardinalitï¿œ aleph_1 si ottiene sempre aleph_1 infatti :
|[0 1]|-|[0,2345... 0,4578...]|=aleph_1-aleph_1=aleph_1
Mettendo assieme le 2 ipotesi si ha:
aleph_1 - 0,23456.... - 0,12456... - 0,7869...-aleph_1=aleph_1
Pertanto il cubo metallico ï¿œ sempre un insieme infinito di punti di 
cardinalitï¿œ aleph_1.
 

 cardinalità aleph_1.
 
No, un cubo metallico non _e'_ un insieme
infinito di punti...
Si possono ovviamente rappresentare le posizioni delle
varie parti del cubo per mezzo di insiemi numerici
(le coordinate) aventi la potenza del continuo, ma volendo
anche per mezzo di insiemi numerabili o persino finiti,
entro la precisione di qualsivoglia misure sperimentali,
il fatto che si scelga l'una o l'altra rappresentazione e'
semplicemente questione di comodita', ad es. in un
calcolo teorico che utilizzasse gli strumenti dell'analisi
matematica potrebbe convenire una rappresentazione
in termini di numeri reali, in un calcolo numerico
effettuato al computer potrebbe convenire una
rappresentazione con numeri in virgola mobile o
magari persino interi, comunque numeri con precisione
limitata.
 
Come scrivevo precedentemente, senza specificare
meglio lo scopo e le modalita' della rappresentazione
in questione alla fine si potrebbe dire tutto e il contrario
di tutto, e con cio' termino.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 


 
Le rappresentazioni non riguardano la realtï¿œ ontologica delle cose.
Che le piaccia o no :
 
aleph_1 - |(0,23456.... - 0,12456... - 0,7869... 
0,5643)|-aleph_1=aleph_1-4-aleph_1=aleph_1
 
nel caso in cui valga l'assioma del continuo per cui non esiste un 
aleph_k tale che aleph_0<aleph_k<aleph_1
 
pertanto il cubo metallico ontologicamente ï¿œ un insieme di infiniti 
punti di cardinalitï¿œ aleph_1 .
 
Se invece vale l'assioma del continuo per cui esiste  un aleph_k tale 
che aleph_0<aleph_k<aleph_1 allora
 
aleph_1 - |(0,23456.... - 0,12456... - 0,7869... 
0,5643)|-aleph_1=aleph_1-4-aleph_1 potrebbe essere uguale ad aleph_k
 
per cui il cubo metallico ontologicamente sarebbe un insieme di infiniti 
punti di cardinalitï¿œ aleph_k
 
In entrambi i casi comunque il cubo ï¿œ ontologicamente un insieme di 
infiniti punti di cardinalitï¿œ aleph_n con aleph_0<aleph_n<=aleph_1


 
L'assioma del continuo non c'entra nulla come ho scritto al sig. Bibbiani.

 Bibbiani.
 
A parte il fatto che ci andrei piano a parlare di "realtà ontologica 
delle cose", l'assioma del continuo afferma che non esistono altri 
cardinali compresi tra aleph_0 e c, che è la potenza del continuo.
O, se preferisci, che 2^alef_0 = aleph_1.
L'assioma generalizzato del continuo afferma che 2^aleph_k = aleph_(k+1)
Quindi se ti ostini a chiamare "aleph_1" la potenza del continuo stai 
invocando l'assioma del continuo, "Che le piaccia o no".



 
aleph_0 e aleph_1 esistono a prescindere dall'assioma del continuo anche 
se non si sa se 2^alef_0 = aleph_1, pertanto se vale l'assioma del 
continuo allora non esiste un aleph_k tale che aleph_0<aleph_k<aleph_1 e 
quindi 2^alef_0 = aleph_1,
se invece non vale l'assioma del continuo allora esiste un aleph_k tale 
che aleph_0<aleph_k<aleph_1 ma indipendentemente dal fatto che valga o 
non valga l'assioma del continuo il cubo metallico rimane in ogni caso 
un insieme di infiniti punti di cardinalità aleph_k con 
aleph_0<aleph_k<=aleph_1 quindi l'assioma del continuo è del tutto 
ininfluente perchè il cubo metallico rimane a prescindere dall'assioma 
del continuo un insieme di infiniti punti di cardinalità aleph_k con 
aleph_0<aleph_k<=aleph_1.
E con questo chiudo.
Ciao


 
Ok! Questa è la dimostrazione completa :
 
Considerato un cubo metallico di lato 1cm e considerato un sistema 
tridimensionale di assi cartesiani, se un vertice del cubo coincide con 
l'origine del sistema e tre lati del cubo sono giacenti sugli assi 
cartesiani, allora considerato un punto del cubo esso avrà coordinate 
(0,a_1 a_2 a_3 ..., 0,b_1 b_2 b_3...,0,c_1 c_2 c_3...) pertanto a tale 
punto si può associare univocamente il numero 0,a_1 b_1 c_1 a_2 b_2 c_2 
a_3 b_3 c_3... che è un numero reale compreso tra 0 e 1 (il chè si può 
fare per ogni punto del cubo) .
 
Se il cubo fosse geometricamente perfetto essendo i numeri compresi tra 
0 e 1 infiniti di cardinalità pari alla potenza del continuo c=2^aleph_0 
dove aleph_0 è la cardinalità dell'insieme dei numeri naturali,interi o 
razionali allora il cubo metallico sarebbe costituito per la 
corrispondenza biunivoca di cui sopra da infiniti punti di cardinalità 
pari alla potenza del continuo 2^aleph_0 . In particolare se vale 
l'assioma del continuo allora si ha 2^aleph_0 = aleph_1 per cui il cubo 
metallico sarebbe costituito da infiniti punti di cardinalità aleph_1.
 
Siccome il cubo metallico non può essere geometricamente perfetto allora
per l'approssimazione cubica potrebbe esistere un numero finito di punti 
del cubo che non si potrebbero mettere in corrispondenza biunivoca con i 
numeri compresi tra 0 e 1.
Sia a=(n1,n2,...,nk) l'insieme finito di numeri compresi tra 0 e 1 che 
non si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i punti del cubo.
La cardinalità di tale insieme finito sarà un numero finito che chiamiamo g.
Supponiamo sempre per l'approssimazione cubica che vi siano dei 
sottointervalli di numeri compresi tra 0 e 1 che non si possono mettere 
in corrispondenza biunivoca con i punti del cubo.
Sia b=[d1,d2] con 0<d1<d2<1 uno di questi intervalli. Tale intervallo 
avrà in ogni caso come cardinalità la potenza del continuo c=2^aleph_0 .
Quindi il cubo metallico è un insieme di infiniti punti di cardinalità
2^aleph_0-g-2^aleph_0 =2^aleph_0 se non vale l'assioma del continuo, 
infatti |[0,1]|-g-|[0,34523...;0,56723...]|=2^aleph_0-g-2^aleph_0 
=2^aleph_0 come si vede ad occhio...
Se invece vale l'assioma del continuo il cubo metallico è un insieme di 
infiniti punti di cardinalità aleph_1-g-aleph_1=aleph_1.
Pertanto il cubo metallico è un insieme di infiniti punti la cui 
cardinalità dipende dall'assioma del continuo.

 dall'assioma del continuo.
 
Il cubo metallico è un insieme _finito_ di atomi, punto.


 (0,a_1 a_2 a_3 ..., 0,b_1 b_2 b_3...,0,c_1 c_2 c_3...) pertanto a tale 
 
 
ma gi� qui stai assumendo tacitamente che il cubo sia un continuum... :) 
 
 
Vedi... il fatto sta nel porsi una questione di "rappresentazione" oppure una questione di "consistenza".
 
 
 
 
E' chiaro che una qualsiasi rapprentazione (ad esempio di dimensioni), facendo uso di misure eseguite con strumenti, dia una approssimazione; e che esistendo per ovvie ragioni, errori casuali, possiamo supporre che esista un valore "vero" della misura di lunghezza che appartenga a R... e a magior ragione sapendo che qualsiasi solido non e' realmente "solido" bens� oscilla attorno a delle dimensioni di equilibrio microscopico e ne varia tali punti di equilibrio al variare di temperatura, pressione etc etc dell'ambiente.
 
 
 
In questo hai ragione... ma � una questione di misure: qualsiasi misurazione ti dar� sempre un valore troncato ad una certa precisione, poi siamo noi a supporre che esista un valore "vero" che ha un valore nei reali; anche perch� questo ci rende le cose pi� facili (ma nessuno pu� dire con certezza che ci� sia vero).
 
 
Se invece la tua questione era di consistenza allora non puoi piu' affermare che un solido sia costituito da una infinita' di costituenti: ad esempio il numero di atomi � grande ma finito... e poi il numero di elettroni e protoni grande ma finito... e cos� via in una discesa subatomica.


 
Ok, allora possiamo affermare che non potendosi verificare in questo 
momento sperimentalmente quanto ho dimostrato matematicamente si tratta 
di  un'ulteriore mistero della scienza che si aggiunge al mistero della 
singolarit� cosmologica che guardacaso si pu� considerare essa stessa un 
punto... Chiss� se tra questi punti non ci sia una qualche correlazione...
 
 
� Nessuno riuscir� a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi. �
David Hilbert

 o infiniti e le rappresentazioni possono servire a dimostrare questa cosa.
 
Hai detto una cosa giusta.
Ma come ti dicevo prima : dipende da cosa ti stai chiedendo. Ne fai un problema di rappresentazione o consistenza?
 
 

 considerare a tutti gli effetti un'entit� fisica?
 
certo, se all'entit� puramente
geometrica assegni una grandezza
fisica.
Ammettiamo (per assurdo) che un punto pesi
un grammo, quel cubo di infiniti
punti peserebbe infiniti grammi.
Insomma, qualunque fosse la
dimensione del cubo sarebbe infinitamente
pesante.
A questo "punto" dovresti aver
capito la differenza che intercorre
fra un ente geometrico e
una grandezza fisica.
Un punto oltre a non aver nessun
peso ha perso anche le dimensioni
spaziali, anche se nel caso
della relativit� rappresenta un
evento cio� una precisa posizione
nello spaziotempo.
Potremmo dire allora che gli eventi
che identificano il cubo nello spazio
tempo sono infiniti?
 
ciao
Massimo 

 noi. » David Hilbert
 
Più passano gli anni più divento intuizionista.



 
Il fatto che il cubo metallico possa apparire tutt'altro mi pare 
alquanto incoraggiante ...
Ciao