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Titolo: ma la conservazione della quantità di moto non è forse una facca della stessa medaglia della conservazione dell'energia...e viceversa ?

ma la conservazione della quantit� di moto non � forse una facca della
stessa medaglia della conservazione dell'energia...e viceversa ?

 stessa medaglia della conservazione dell'energia...e viceversa ?
Perche'? Puoi avere la prima senza la seconda, e la seconda senza avere 
la prima.

 Rocky wrote:
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Ero stato tentato di dare una risposta analoga, ma poi ripensandoci mi
sono convinto che non ha senso affermare che "ci pu� essere l'una senza
l'altra", visto che nell'Universo reale, l'unico per cui possiamo fare
concretamente fisica, le due leggi esistono e sono sempre rispettate
assieme.
Una maniera pi� formale per capire la differenza tra le due leggi di
conservazione � quella usuale che passa attraverso le trasformazioni di
simetria, da cui si deduce che mentre la legge di conservazione della qdm
si pu� leggere come un portato dell'invarianza per traslazione spaziale
della lagrangiana, quella dell'energia discende dalla sua invarianza per
traslazione temporale.  
Ma si tratta di una risposta che richiede una notevole mole di conoscenze
pregresse per poter essere compresa e quindi � del tutto inadatta al
pubblico generico.
Saluti,
Aleph
-- 
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 assieme.
No, un momento: io non stavo pensando ad un ipotetico altro universo 
dove vale una sola delle due leggi. Pensavo a casi concreti di *questo* 
universo, nei quali vale una legge e non l'altra. Per esempio gli urti 
anelastici, dove si conserva la qdm ma non l'energia.

 non l'energia.
Salve, forse questa formulazione pu� essere fuorviante per alcuni interlocutori. Naturalmente tu intendi dire che non si conserva l'energia *cinetica* dei corpi macroscopici che partecipano all'urto anelastico. A me sembra per� che valga la pena sottolineare che l'energia totale si conserva in questi urti esattamente come negli altri processi. L'OP non parlava di energia cinetica, o energia meccanica, ma di energia tout court.
Proprio per questo su free.it.scienza.fisica allo stesso post avevo risposto che, in una prospettiva relativistica, energia e qdm sono effettivamente componenti distinte di una stessa grandezza. Come ci sono processi (il moto balistico in assenza di atmosfera, ad esempio) in cui, in un particolare SdR, si conserva una componente della qdm ma non un'altra, cos� esistono processi in cui, in un particolare SdR spaziotemporale, si conserva una componente dell'energia-impulso ma non un'altra.
Se invece ho frainteso, mi correggerai.
Paolo Cavallo

 Aleph wrote:
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Hai interpretato (restritivamente IMHO) la parola "energia" usata nel post
di apertura, come *energia cinetica* (e in tal caso � come dici), ma ho
avuto la sensazione che il nostro interlocutore si riferisse invece alla
conservazione dell'energia nel suo senso pi� largo.
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 Se invece ho frainteso, mi correggerai.
Rispondo ad entrambi.
Probabilmente mi sono espresso confusamente io, o forse non ho capito la 
domanda dell'OP. E' chiaro che qualunque processo, analizzato 
completamente, mostra che sia energia che qdm si conservano. Tuttavia 
questo non risponde alla domanda se una legge e' "l'altra faccia della 
medaglia dell'altra". Dopotutto, uno potrebbe osservare che in quei 
processi anche la carica elettrica si conserva, ma senza concluder che 
queste tre leggi siano collegate. Evidentemente con l'espressione "due 
facce della stessa medaglia" si intende qualcos'altro.
Io credo che in meccanica classica le due cose siano scollegate, ed ho 
voluto portare l'esempio di un fenomeno che in MC non conserva 
necessariamente l'energia pur conservando la qdm. Infatti si puo' 
concludere che in un urto anelastico l'energia totale si conserva in 
ogni caso solo se si sa che le forze interne ai corpi che si urtano sono 
conservative (o comunque conservano l'energia). Ma questa e' una 
proprieta' delle interazioni, non della meccanica.
Semmai, trovo giusta l'osservazione di Paolo su E e p come componenti di 
un 4-vettore; in questo senso si puo' ben dire che le due cose sono in 
realta' una sola.

 un'altra.
La conservazione della qdm si intende sempre nel caso di assenza di forze
esterne agenti su un sistema, altrimenti � ovvio (caso del moto balistico
e dell'attrazione di gravit�) che la quantit� di moto non si conserva.
Coeteris paribus vale sempre anche la conservazione del quadrimpulso
relativistico nelle sue componenti distinte (energia e impilso).
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 realta' una sola.
La conservazione del 4-impulso tuttavia vale sempre nelle due componenti
separate Energia (in senso generale, comprese le masse a riposo) e
Impulso. 
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 Impulso. 
Questo � vero soltanto nello stesso senso in cui � vero che la conservazione della qdm spaziale in meccanica classica vale sempre nelle tre componenti separate x, y, z. Ma la scomposizione in componenti � relativa al SdR. Nell'esempio del moto balistico era proprio questo che mi interessava: c'� un SdR in cui una componente della quantit� di moto si conserva, ma in ogni SdR ruotato rispetto ad esso nessuna componente si conserva. La conservazione di una componente in un particolare SdR � utile nella risoluzione dei problemi, ma la legge di conservazione della qdm ci interessa davvero quando � possibile scriverla in forma vettoriale, come negli urti piani elastici.
Secondo qui � all'opera un'abitudine inveterate a pensare in termini di componenti. Ma le leggi fondamentali dovrebbero essere scritte in forma vettoriale o covariante, non come casi particolari realtivi a SdR particolari.
Paolo Cavallo

 classica
Questo e' un fatto indipendente dalla struttura della MC: nulla in essa 
impedisce di avere interazioni non conservative. Ed in effetti ci sono: 
la forza di Lorentz non e' conservativa (anche se conserva l'energia). 
Quello che mi premeva sottolineare e' che i due principi di 
conservazione sono, nella struttura della MC (o forse dovrei scrivere 
"della dinamica classica"), distinti. E questo a differenza della 
Meccanica Relativistica dove sono, invero, due facce della stessa medaglia.

 particolari.
Non confonderei la "conservazione" delle componenti separate del vettore
quantit� di moto, con la conservazione delle componenti separate Energia
(1 componente) e Impulso  (3 componenti insieme) del quadrivettore
quantit� di moto, nel caso di sistemi non soggetti a forze esterne.
Nel primo caso tu puoi avere una conservazione di una singola componente
pur non essendo conservata la quantit� di moto; mentre nel secondo caso la
conservazione del quadrimpulso equivale alla conservazione simultanea e
separata di energia e quantit� di moto.
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 separata di energia e quantit� di moto.
Ma cos� non funziona. Dovresti scrivere:
Nel primo caso puoi avere conservazione di una componente pur non essendo conservata la quantit� di moto; e nel secondo caso puoi avere avere conservazione dell'energia pur non essendo conservato il quadrimpulso.
Oppure dovresti scrivere:
Nel primo caso la conservazione della quantit� di moto equivale alla conservazione simultanea delle tre componenti; e nel secondo caso la conservazione del quadrimpulso equivale alla conservazione simultanea di energia e quantit� di moto.
Cos� il confronto avviene in forma corretta. Invece tu confronti un'affermazione che presuppone la conservazione di una singola componente della quantit� di moto con l'affermazione che l'intero quadrimpulso si conserva. � un errore logico.
Paolo Cavallo

 medaglia.
Certo, tuttavia nel limite di basse c (che � quello che c'interessa
parlando di MC) ottieni, sia pure nel quadro di un formalismo unitario,
nuovamente i due principi di conservazione classici.
Del resto la Meccanica Relativistica � stata costruita proprio con il
vincolo di accordarsi, nel limite di basse velocit�, con i risultati della
MC.
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 energia e quantit� di moto.
E' quest'ultima cosa che volevo affermare (vedi anche estratto del post
riportato all'inizio), ma in effetti � una situazione del tutto analoga al
caso della quantit� di moto.
A pensarci bene per� una differenza tra i due casi c'� (e a ben vedere si
tratta di una differenza ovvia, anche se non banale): ovvero il fatto che 
esistono casi di sistemi meccanici (classici) in cui l'impulso �
conservato ma l'energia no (oppure in cui � conservata l'energia ma non
l'impulso), e quindi la quantit� di moto (con tutte e tre le sue
componenti) si conserva, mentre l'energia (e quindi il quadrimpulso) no.
Quindi mentre la conservazione di una o due componenti (ma non tre) del
vettore quantit� di moto � sempre un artefatto dovuto ad una scelta
particolare del sistema di riferimento, nel caso del quadriimpulso la
conservazione della componenti spaziali o di quella temporale (una delle
due, ma non tutte e due insieme) � dotata di significato fisico e
indipendente dal sistema di riferimento.
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 nuovamente i due principi di conservazione classici.
Appunto, due principi, non uno.

 pubblico generico.
Non mi sembra un concetto cos� complicato da spiegare:
Le leggi della fisica classica sono invarianti rispetto al momento e
al luogo in cui avvengono i fenomeni.
L'invarianza rispetto a traslazioni nello spazio implica ed �
implicata dalla conservazione della quantit� di moto, mentre
l'invazianza rispetto a traslazioni nel tempo implica ed � implicata
dalla conservazione dell'energia meccanica.
Esempio: per sollevare un oggetto devo compiere lavoro, se l'oggetto
cade la forza di gravit� compie lo stesso lavoro (con segno opposto)
di quanto ne � stato compiuto per sollevarlo.
Se mentre l'oggetto � sollevato la legge di gravitazione universale
cambiasse, potrei ottenere meno o pi� lavoro quando l'oggetto cade,
violando quindi il principio di conservazione dell'energia.

 stessa medaglia della conservazione dell'energia...e viceversa ?
Dipende dal contesto, ma anche il contrario, cio� attraversando i vari
contesti emerge una correlazione molto forte fra questi due "principi".
Ripeto in parte cose gi� dette, sono certamente due aspetti diversi della
stessa medaglia, se per medaglia si intende la meccanica classica, il che
per� � certo un modo un p� troppo lasco di intendere la domanda, infatti
solo per taluni sistemi per i quali dai principi fondamentali si deducono:
il teorema di conservazione dell'impulso ed il teorema di conservazione
della quantit� di moto, separatamente.
Va detto che per Newton avevano un ruolo molto importante e niente affatto
indipendente questi due risultati, il collegamento dipende in modo
particolare dalla struttura profonda della teoria della gravitazione, che �
una teoria conservativa. Comprendere a fondo cosa significa non � banale.
Basta pensare che per molto tempo non fu nemmeno chiaro persino in cosa
consistesse esattamente la differenza fra le due nozioni primitive che erano
l'argomento di questi teoremi, ovvero quelle che oggi chiamiamo impulso ed
energia cinetica.
 Evidentemente entrambe le quantit� parziali cambiano nella dinamica e la
ragione del loro cambiamento � la seconda equazione della dinamica. p' = F.
La variazione di impulso si ottiene integrando F dt, la variazione di
energia cinetica si ottiene integrando F dx il quoziente fra le due
variazioni infinitesime riferite allo stesso moto � null'altro che la
velocit� cio� una grandezza cinematica indipendente dalla forza e dalla
massa. Ed in questo senso nella meccanica classica non era chiaro in cosa
consistesse la differenza, dal punto di vista dinamico, fra energia ed
impulso. Tantomeno fu chiaro allora quello che sarebbe emerso come principio
di conservazione dell'energia.
Dal punto di vista pratico una differenza considerevole la fa il legame
dell'energia cinetica con gli spostamenti nello spazio, e l'integrazione.
Questa differenza emerse quando, formulando le equazioni in termini di
energia, Newton, ma con pi� chiarezza i suoi posteri, si avvide della
possibilat� di introdurre la nozione di energia potenziale, per i campi di
forze che hanno la cosiddetta propriet� conservativa. Pu� poi sembrare
paradossale che in verit� la propriet� di conservazione dell'energia totale
risulta dovuta alla isotropia temporale delle leggi del moto (oltre alla
natura conservativa dei campi) mentre la propriet� di conservazione
dell'impulso totale di un sistema � dovuta alla isotropia spaziale.
Si potrebbe riproporre il quesito in versione pi� ampia e chiedersi se la
conservazione dell'impulso e del momento angolare sono due aspetti della
stessa medaglia. Anche in questo caso valgono le considerazioni generali che
si tratta di due teoremi validi per forze centrali, ma � pi� facile
riconoscere nella dimostrazione di questo secondo teorema che la
conservazione del momento angolare richiede essenzialmente il terzo
principio (ma non � proprio vero del tutto, richiede qualcosa di pi� del
terzo principio), meno evidente che la conservazione dell'impulso �
conseguenza essenziale del primo principio, mentre la conservazione
dell'energia cinetica totale � conseguenza essenziale di un altro aspetto
implicito del primo principio. La seconda equazione ha un ruolo "solamente"
nella delineazione della nozione di energia totale in relazione all'evidenza
null'altro che ovvia che esistono forze conservative.
Dal punto di vista astrattamente matematico i campi conservativi sono una
rarit�. Ad ogni modo da un punto di vista strettamente analitico anche i
campi di velocit� stazionari di un fluido, sono una vera rarit� essendo
conservativi in un senso differente, pi� tangibile, dei campi di forza.
Proprio la scoperta delle equazioni di continuit� per i fluidi condusse
gradualmente ad una teoria dei campi ed Eulero a riprendere alcune delle
confusisissime idee di Cartesio. Tuttavia prima di giungere a questo c'� un
passo intermedio.
Nelle trattazioni pi� avanzate della dinamica, in effetti, in concomitanza
alla formulazione della fluidodinamica ma in modo indipendente, fu tentato,
con la trattazione hamiltoniana e lagrangiana, un ribaltamento del punto di
vista newtoniano, mettendo al centro, specie con Hamilton, i principi di
conservazione (con Lagrange si parla pi� precisamente di principio dei
lavori virtuali che � un'altra straordinaria curiosa conseguenza del
carattere conservativo dei campi di forze, ma che a sua volta ha una
possibile centralit� alternativa).
Nella formulazione di Hamilton l'esistenza di campi di forze conservativi �
allora una conseguenza e non la causa delle leggi di conservazione,
compendiata dall'esistenza di una funzione energia complessiva, dunque la
stranezza dei principi di conservazione viene assunta come punto di
partenza. Einstein fece un ulteriore passo avanti ponendo al centro la
nozione astratta di campo e le sue propriet� di simmetria. Ma Einstein in
verit� fece continui andirivieni dall'impostazione conservativa
all'impostazione in termini di forze prima di approdare alle equazioni di
campo.
Fu proprio dal confronto incessante fra questi punti di vista estremamente
antitetici che giunse ad una formulazione parzialmente coerente delle
evidenze empiriche e culturali di tre secoli di storia della fisica.
E' chiaro che con questa stratificazione culturale la domanda che poni ha
un'elevata possibilit� di avere risposte imprevedibili e profonde come le
profondit� di quella grandissima "medaglia" che � l'universo :-)
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 Aleph wrote:
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Due principi che, nei limiti di validit� della MC, valgono in generale
separatamente l'uno dall'altro, in corrispondenza della conservazione di
determinate componenti del quadrimpulso: la componente di tipo tempo del
quadrimpulso (Energia/c) per la conservazione dell'energia; le tre
componenti di tipo spazio per la conservazione dell'impulso.
Come gi� scritto nel post a Cavallo questo differenzia in maniera netta il
tri-impulso classico dal quadrimpulso relativistico, poich� nel primo caso
la conservazione di una o due componenti (non tre) non ha significato
fisico, nel senso che � un artefatto dipendente dalla scelta particolare
del sistema di riferimento, nel secondo caso invece anche la conservazione
di determinate componenti (quelle sopra specificate) del qudrimpulso (non
del quadrimpulso complessivo) ha (eccome se lo ha!) significato fisico.
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 componenti) si conserva, mentre l'energia (e quindi il quadrimpulso) no.
A quali casi stai pensando? Sei sicuro che tali esempi reggano dal punto di
vista relativistico?
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 vista relativistico?
Non m'interessa il fatto che tali casi reggano dal punto di vista
relativistico, visto che sto considerando (come precisato ad abundantiam
nei precedenti post) il quadrimpulso nel regime classico di basse velocit�.
I due esempi di sistemi meccanici classici che ho in testa (conservazione
dell'energia e non dell'impulso per il primo; conservazione del
tri-impulso e non dell'energia per il secondo) sono elementari e
abbastanza ovvi... Scommetto che ti lascia qualche dubbio il sistema in
cui si conserva il tri-impulso ma non l'energia.
Eppure se ci pensi un attimo � banale :).
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 Meccanica Relativistica dove sono, invero, due facce della stessa
medaglia.
Ripeto tuttavia che nella meccanica classica energia cinetica ed impulso di
un oggetto nascono davvero come due aspetti della stessa medaglia, si
differenziano in due ambiti: il primo � quello legato alla comparazione fra
energia ed impulso di sistemi con masse differenti, il secondo � quello
legato alla scoperta delle forze conservative ovvero che la variazione di
energia cinetica pu� avvenire in modo da risultare conservata quando il
sistema ritrova la configurazione spaziale.
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