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Titolo: Fisica della cannuccia

Scusate per il titolo e probabilmente per la povertà dell'argomento
rispetto a quelli che normalmente discutete.
Vorrei discutere sull'esperimento che si insegna dalle elementari,
cioè quello di inserire una cannuccia nel bicchiere e dopo aver chiuso
il foro con un dito, di "sollevare" l'acqua al suo interno. Il mio
problema riguarda il fatto che normalmente si dice che una volta
tappato in modo stagno il foro l'acqua interna rimane allo stesso
livello prima e dopo averla alzata dal bicchiere.
Cerco di descrivere il fenomeno in modo quantitativo parlando di forze
anziché pressioni ottenute moltiplicando quest'ultime per l'area del
foro della cannuccia:
P1 : forza della pressione atmosferica
P2 : forza derivante dalla pressione relativa dell'acqua
G1 : peso dell'acqua iniziale interna alla cannuccia
Situazione iniziale, cannuccia immersa fino a metà del bicchiere
riempito d'acqua: P1 + P2 = G1 + P
dove P = P1 a t=0; Il membro di sinistra indica le forza agenti verso
l'alto applicate al foro inferiore della cannuccia, il membro di
destra invece sono le forze verso il basso applicate al foro
superiore.
Genero depressione solamente all'interno della cannuccia attraverso il
foro superiore P = P3<P1 -->  P1 + P2 = G1 + P3 + G2
dunque a seguito della depressione, per l'equilibrio idrostatico il
livello dell'acqua interno alla cannuccia si è alzato in modo tale da
avere G2 = P1 - P3
Tappo il foro superiore e alzo verticalmente la cannuccia:
La pressione P2 va a zero (ho tirato fuori la cannuccia dal
bicchiere), mentre a seguito del foro tappato la pressione rimane
quella impostata a P3 e a seguito di ciò ho la relazione P1 = G1 + P3
+ G2 che però non è equilibrata.
Siamo in una situazione dove l'acqua fa da stantuffo perché vuole
scendere a seguito del mancato equilibrio e dunque scendendo non solo
perdiamo massa (da G2 a G3<G2) ma sopratutto il volume d'aria
espandendosi diminuisce di pressione ( da P3 a P4<P3)...avremo la
situazione finale equilibrata P1 = G + P4 dove G = G1 + G3.
Se il mio ragionamento è corretto allora significa che sollevando la
cannuccia la variazione di livello all'interno della cannuccia non è
nullo come di solito si dice ma è un dato valore che si può calcolare:
ipotizzo che la fuoriuscita di acqua e dunque la perdita di peso
dell'acqua sia trascurabile: la mancanza di equilibrio è dovuto
all'annullamento del valore P2 che dunque deve essere compensato dalla
variazione di pressione dell'aria racchiusa che deve diminuire di P2.
Da qui in poi indicherò con la lettera minuscola le relative
pressioni:
La cannuccia è immersa per 0,1 m nel bicchiere e la diminuzione di
pressione è pari a 500 Pa.
Ipotizziamo p3 = p1 - g2 = 100000 Pa - 500 Pa = 99500 Pa
Dalla relazione di Boyle prendendo un valore indicativo di pV = 4,17 J
--> V = 4,19exp-5 mc
Ora p2 (pressione relativa dell'acqua) lo calcolo come 10kN/mc
moltiplicato per l affondamento ipotizzato di 0,1 m
avrò la nuova pressione p4 = p3 - p2 = 98500 Pa
Dalla legge: V = 4,23exp-5 mc
La differenza di volume è 0,04exp-5 mc
Ipotizzando un diametro della cannuccia di 0,005 m, trovo l'area e il
relativo abbassamento di livello che provoca la diminuzione di
volume:
h = DeltaV/A = 0,02 m
Sinceramente pensavo di trovare un valore nettamente più basso. Se il
ragionamento che ho fatto è corretto allora tutte le semplificazioni
che ho fatto hanno reso il modello poco reale (perdita di liquido
trascurabile, tensioni tangenziali nulle, gas ideale...) altrimenti
più probabile non ci ho capito niente.
Cosa ne pensate (non sono un fisico o matematico...non mi
distruggete : ) ) ?

 piů probabile non ci ho capito niente.
Come ho gia' detto, non sono in grado di fare una ... diagnosi :-)
Potrei tentare di risolvere il problema a modo mio, ma poi non sarebbe
facile fare un confronto.
A naso pero' penserei in primo luogo a qualche errore numerico.
 
-- 
Elio Fabri

 livello prima e dopo averla alzata dal bicchiere.
esatto, devi alzarla piu' di 10.33 metri prima di vederla (magicamente) 
inchiodarsi (o quasi) appunto a 10.33 metri, supponendo ovviamente che 
non ci sia aria all'interno della cannuccia.
se invece l'aria c'e' ... qualcosa mi dice che le forze in gioco sono 
troppo basse per apprezzarne l'espansione a causa del dislivello di 
pressione.
ciao
luh
-- 
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 (Comunque si scrive 4.19e-5, non exp.)
Dato che il livello non sembra abbassarsi rispetto a quello che
pensavo, ho provato a buttar giu qualche numero.
Nella situazione iniziale la pressione all'interno della cannuccia è
pari a quella atm. cioè 100000 Pa, ora aspirando creo una depressione
e come dato pongo una diminuzione di 500 Pa (che dovrebbe
corrispondere ad un innalzamento di 5 cm del livello del liquido
all'interno della cannuccia, infatti la depressione è compensata
dall'aumento della pressione dell'acqua ed essendo 10 kN/mc
moltiplicato per 0,05 m = 500 Pa).
Ora siamo arrivati nella situazione di cannuccia immersa nel bicchiere
con all'interno il liquido alla quota superiore rispetto quello
esterno alla cannuccia.
Se sollevo la cannuccia fuori dal bicchiere e ipotizzando che il mio
ragionamento sia corretto, ho applicato la relazione pV = cost per
trovare l'aumento di volume conoscendo la diminuzione di pressione. Il
valore 4,17 J l'ho trovato su internet e riguarda l'aria atm a temp.
ambientale. Il resto è quello che avevo scritto in precedenza.
Probabilmente non mi sono spiegato ancora una volta in modo chiaro,
però la domanda che ho indicato con la lettera a] è il centro del
discorso, se mi potete dire se è sbagliata o meno ve ne sarei grato.
Grazie
Arrivederci

 livello prima e dopo averla alzata dal bicchiere.
Evidentemente non è così, però la variazione può essere stimata da alcune
nozioni alla portata di un allievo di scuola elementare. E' noto a chi fa
immersioni che ogni dieci metri di profondità occorre compensare per una
atmosfera in più, vivo in un paese vicino al mare e questa cosa la sapevano
tutti i miei compagni di classe, alla fine l'avevo imparata anch'io. Dunque
sapevo che una colonna di dieci centimetri d'acqua "pesa" un centesimo di
atmosfera. Allora la variazione di pressione, se Torricelli non è
un'opinione, dovrebbe essere dell'ordine di un centesimo di atmosfera. Alle
elementari non avevo troppa sicurezza sulla legge dei gas e non ero sicuro
su come procedere. Adesso so che d'altra parte, assumendo che a pari
temperatura pressione e volume sono inversamente proporzionali segue che:
una variazione di pressione dell'uno per cento corrisponde ad una variazione
di volume dell'uno per cento della colonna d'aria. Allora la variazione
relativa di livello rispetto al livello di bagnatura interna iniziale
dovrebbe essere pari all'uno per cento dell'altezza dell'aria contenuta,
nell'ipotesi che le pareti della cannuccia non subiscano eccessive
deformazioni. Supponendo che metà cannuccia è inizialmente immersa questo
significa una variazione per l'uno percento di un decimetro, ovvero un
millimetro.
In termini quantitativi la ragione della legge empirica nota ai compagni
pescatori subacquei è dovuta al fatto che un'atmosfera vale circa 10^5 Pa
mentre un metro cubo d'acqua pesa circa 1000Kg x g e siccome g vale circa 10
(9.8... in effetti) un metro d'acqua esercita una pressione di 10^4 Pa
ovvero un decimo d'atmosfera.
Riguardo al tuo ragionamento mi sembra essenzialmente corretto, però nel
passare dai valori di pressione ai valori di forze probabilmente hai
sbagliato qualche conversione e ad un certo punto dici che la variazione di
pressione dovuta all'annullarsi della pressione esercitata dall'acqua
esterna sull'imboccatura della cannuccia è di cinquecento Pascal. Ma non ho
capito perchè. Avrei pensato che sollevando di un decimetro la cannuccia
questa pressione dovrebbbe essere circa 1000 Pa ovvero un centesimo di
atmosfera. Forse non ho letto con sufficiente attenzione tutto il tuo testo
e non ho capito bene cosa intendi.

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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 distruggete : ) ) ?
Ad una lettura superficiale propendevo per una correttezza di ragionamento a
fronte di qualche errore di calcolo come avevo scritto in una prima
risposta, che ancora non vedo arrivata sul ng. Dopo essermi soffermato sui
singoli passi, commentandoli, penso che potresti esserti sbagliato
nell'ipotizzare il valore iniziale di p V, mentre il ragionamento, a parte
delle stranezze di espressione che me lo rendono sospetto, continua a
sembrarmi essenzialmente serrato, in effetti ammettendo l'ipotesi che fai
sul valore iniziale di pV quello che trovi è semplicemente il valore
corretto della variazione di livello nell'ipotesi di pareti indeformabili.


 distruggete : ) ) ?
Penso che si poteva ragionare in modo un pelino più semplice!
Ad esempio, facciamo due ipotesi semplificative:
1. Gas perfetto: la variazione di volume è inversamente proporzionale
alla variazione di pressione.
2. L'atmosfera ha una pressione costante al variare della quota, fissa a
1 atm.
Prendiamo una cannuccia lunga "l" e immergiamola nell'acqua per una
profondità "h".
Che pressione c'è all'interno della metà vuota della cannuccia? Dato che
è stappata, è a pressione atmosferica, quindi P1 = 1 atm
Quanto volume della cannuccia ho lasciato vuoto? Se l'area di base della
cannuccia è S, allora ho V1 = (l - h)S
Successivamente tappiamo e solleviamo la cannuccia fino ad esporre il
foro inferiore alla pressione atmosferica. La parte di cannuccia
occupata dall'acqua diminuisce e da l passa ad h' (la nostra incognita).
Quindi il "fondo" della colonna di acqua è ad 1 atm, ed il pelo
dell'acqua invece si trova ad una pressione inferiore. La differenza è
dovuta alla colonna di acqua rimasta nella cannuccia, la cui pressione è
direttamente proporzionale alla propria altezza h'.
Il coefficiente di proporzionalità, che in generale possiamo indicare
con k, è circa 1/10 nel caso dell'acqua (si aggiunge un'atmosfera ogni
dieci metri di profondità)
Quindi, all'interno della cannuccia, sopra il pelo dell'acqua la
pressione è:
P2 = 1 - kh' atm
Ma ora quant è il volume? Questo è semplice: V2 = S*(l-h')
Applicando l'ipotesi 1 si trova la proporzione:
P2/P1 = V1/V2
sostituisco, posso subito semplificare S al secondo membro:
1-kh' = (l-h)/(l-h')
Devo risolvere per h', trovo un'espressione di secondo grado che mi dà
due soluzioni, ma una delle due non ha significato fisico (perché h'
deve essere minore di l). Quindi, alla fine:
h' = [1+kl - radq((1+kl)^2 - 4kh)]/2k
Ed il problema è risolto.
Adesso proviamo a calcolare, per esempio con:
k=0.1 atm/m
h=20 cm
l=10 cm
si trova l'=9,9 cm, ovvero chè l'abbassamento è di 1mm.
-- 
Giacomo "Gwilbor" Boschi
http://gwilbor.splinder.com/


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Inviato via 
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  infatti la depressione è compensata
Credo che infatti non abbia capito qualcosa:
il pV = cost lo posso usare solamente al caso in cui non dovessi
applicare una aspirazione o viceversa posso dire che l'aspirazione mi
fa cambiare il valore di pV che prima erroneamente avevo assunto come
4,17.
Dunque nel mio caso posso applicare la legge di boyle solo dopo avere
trovato il nuovo valore, mi spiego:
prima se non aspiravo la cannuccia e tappavo solamente il foro trovavo
pV solamente fissando il valore di p =1 atm e calcolando V.
Con l'aspirazione io non ho che il valore della pressione è 1 atm e
dunque devo calcolare indirettamente p ipotizzando una data situazione
stazionaria in cui conosco di quanto si è alzato il livello.
Utilizzando la regola del dieci allora:
10 m = 1 atm = 100000 Pa
1 m = 0,1 atm = 10000 Pa
0,1 m = 0,01 atm = 1000 Pa
0,05 m = 0,005 atm = 500 Pa (prima mi ha detto che avevo sbagliato il
calcolo ma a me risulta questo valore)
dunque se alzo il livello del liquido di 5 cm devo poter applicare una
depressione di 500 Pa. Ora per poter applicare Boyle devo ricalcolarmi
il volume che posso trovare facilmente sapendo che il livello si è
alzato di 5 cm e conoscendo il diametro della cannuccia; chiamo X il
valore di pV.
Sollevando la cannuccia tappata fuori dal bicchiere ho un
comportamento a stantuffo e con il valore di X precedentemente
calcolato riesco a capire come cambia V al variare di p (tornando ai
post precedenti, ho una diminuzione in termini di forza pari a P2).
Ora in questo modo il procedimento descritto nei primi post dovrebbe
risultare corretto.

 risultare corretto.
Mi sembra, ma ricontrolla i numeri.


I calcoli sono giusti.
Li ho fatti anche nell'ipotesi di sezione circolare e si ottiene
praticamente lo stesso risultato.
Grazie mille!