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Titolo: problema di elettrostatica: sfera carica e piano conduttore

Una carica Q puntiforme si trova a distanza R da un piano conduttore. Il
potenziale elettrostatico (pongo 4 pi eps0 =1), calcolato con il metodo
delle immagini, risulta
V = Q ( 1/sqrt[x^2+y^2+(z-R)^2] - 1/sqrt[x^2+y^2+(z+R)^2] )
assumendo che il piano conduttore sia (x,y) e prendendo la perpendicolare al
piano passante per la carica come asse z.
1) Se sostituiamo la carica puntiforme con una sfera uniformemente carica
(con carica totale sempre Q) di raggio R (uguale quindi alla distanza tra la
carica puntiforme e il piano), centrata esattamente dove stava la carica,
qual'e' il nuovo potenziale elettrostatico nel semispazio contenente la
sfera? (che nell'altro semispazio dovrebbe essere nullo ovunque)
2) Poiche' il potenziale di una sfera uniformemente carica (senza piano
conduttore) e' identico, all'esterno della sfera stessa, a quello di una
carica puntiforme posizionata al centro della sfera, ci si puo' aspettare
che anche il potenziale della sfera + piano conduttore sia lo stesso,
all'esterno della sfera?
3) E' possibile trovare l'espressione del potenziale all'interno della
sfera? nel caso della sfera uniformemente carica nel vuoto (senza quindi il
piano conduttore) certamente si. In questo caso?
4) La linearita' dell'elettromagnetismo, garantisce che nella geometria
adottata (piano conduttore piu' una distribuzione di carica fissata sopra di
esso) si possa generalizzare il metodo delle immagini alla "distribuzione
immagine di carica"? ovvero, si puo' pensare che il potenziale della sfera +
piano conduttore sia uguale a quello di una sfera + sfera immagine, cosi'
come succede per la carica?
Mie risposte, nell'ordine:
1) e' un casino, ma si riesce formalmente a scrivere come trasformata di
Fourier inversa di qualcosa
2) No
3) Si, ma anche qui in forma implicita
4) Si
Il tutto nasce dalla lettura di una serie di articoli che calcolano il
potenziale proiettato (integrato) lungo z (proporzionale allo sfasamento
elettro-ottico) di una micro-sfera carica poggiata su un substrato
conduttore prendendo il potenziale di una carica puntiforme + piano e
limitandosi a considerare la regione esterna. Il che non mi torna molto.
Bye
Hyper

 4) Si
Almeno qui ci avevo azzeccato.
Bye
Hyper


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 sfera? (che nell'altro semispazio dovrebbe essere nullo ovunque)
[cut]
Uguale al caso precedente nella regione esterna alla sfera,
in quella interna V = Q (1/R - 1/sqrt[x^2+y^2+(z+R)^2] ).
Si dimostra utilizzando il principio di sovrapposizione,
per ogni regione infinitesima della superficie della sfera di raggio
R il campo corrispondente si ricava come in precedenza con
il metodo delle immagini, quindi il campo nella regione di spazio che
contiene la sfera e' la sovrapposizione di quello della sfera e di quello
di una sfera avente carica opposta simmetrica rispetto al piano conduttore,
questi campi nelle regioni esterne alle sfere sono uguali a quelli di
due cariche puntiformi Q e -Q poste nei centri delle sfere, quindi
siamo ricondotti al caso precedente, mentre nella regione interna alla sfera
il potenziale e' somma di quello costante Q/R generato dalle cariche sulla
superficie della sfera e di quello generato dalle cariche immagine
- Q/sqrt[x^2+y^2+(z+R)^2].
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 essere nullo ovunque)
Visto che ormai il problema e' stato sviscerato, aggiungo solo una
complicazione.
Sarebbe tutt'altra zuppa se la sfera fosse conduttrice...
Ci avevo fatto dei conti tempo fa: si risolve per serie.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 - Q/sqrt[x^2+y^2+(z+R)^2].
Ma la sfera e' uniformemente carica, non e' carica solo sulla superficie. Il
potenziale all'interno della sfera e' parabolico (che produce il campo
elettrico lineare, in analogia al caso gravitazionale), cioe' va come r^2
[piu' precisamente e' 1/(2R) (3-r^2)]
Per il resto, come poi ho realizzato da solo, funziona tutto: all'esterno e'
uguale a quello di due cariche, all'interno e' la differenza tra il
potenziale parabolico e quello della carica immagine.
Bye
Hyper

 Un o? Troppo semplice? Sbagliato perchè semplice?
Vedi sopra: il nocciolo e' la distribuzione di cariche indotte.
Bye
Hyper

 Ci avevo fatto dei conti tempo fa: si risolve per serie.
Sarebbe molto interessante se avessi voglia di mostrare la procedura.
Io ci ho pensato, ma non sono riuscito ad arrivare in fondo. Il punto di
partenza secondo me dovrebbe essere l'espansione in "zonal harmonics", della
sfera e della sfera immagine. La distribuzione di carica che si crea nella
sfera reale dovrebbe essere identica a quella sulla superficie della sfera
immagine, quindi si puo' scrivere
V = A_0+\sum_n A_n/r^n P_{n-1}(x) - B_0-\sum_n B_n/r1^n P_{n-1}(x1)
dove r e' la distanza tra il centro della sfera reale e un punto arbitrario
del semispazio, e r1 e' la distanza tra il centro della sfera immagine e lo
stesso punto. x e x1 sono gli angoli theta, Pn i polinomi di Lagrange e An e
Bn i coefficienti dell'espansione. Le coppie (r,x) e (r1,x1) sono legate
dalla geometria, e si possono esprimere l'una in funzione dell'altra:
r1^2=r^2+d^2+2rd cos(x)
cos(x1) = [d+r cos(x)]/r1
Ora, poiche' le distribuzioni di carica sulle due sfere sono identiche, mi
aspetterei che A_n = B_n. Poi si dovrebbe imporre l'annullamento del
potenziale per r=r1 (che individua il piano conduttore). E infine
l'equipotenzialita' su ciascuna delle superfici delle due sfere
(indipendenza da x per r=R). Ma farlo esplicitamente non mi riesce
assolutamente.
Bye
Hyper

 [piu' precisamente e' 1/(2R) (3-r^2)]
Ok per il potenziale parabolico, ma la formula e' sbagliata (controlla le
dimensioni).
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 dimensioni).
Si, e' 1/(2R) [3-(r/R)^2]
Ogni tanto definisco il raggio normalizzato e poi mi scordo di averlo fatto.
Bye
Hyper

 assolutamente.
In realta', dovrebbe bastare imporre il potenziale costante per r=R, e poi
imporre che le due sfere abbiano la stessa carica in modulo. L'annullamento
del potenziale per r=r' segue automaticamente dalla scelta del meno tra il
potenziale della sfera e quello della sfera immagine.
Per imporre il potenziale costante, si dovrebbe poter sviluppare il
potenziale della sfera immagine in funzione dei parametri r e x della sfera
reale, cosi' da poter imporre che il coefficiente risultante del P_0(x) sia
uguale al potenziale costante, e tutti gli altri zero, per r=R.
Non ho fatto il calcolo esplicito, ma piu' o meno la procedura dovrebbe
essere questa.
Bye
Hyper

Ho cercato il mio conto, che e' di ben 9 anni fa...
E di conseguenza non ci ho capito niente. Dovrei ristudiarmelo, e ho
anche l'impressione che non sia finito.
Se mi dai un po' di tempo, vedro' di produrre un file pdf e te lo
mando.
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