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Titolo: QFT e catene Hamiltoniane

 
Nella Q.F.T., espresso il tensore E.M. in funzione del quadrivettore potenziale  A, operando una opportuna scelta di gauge, posti cariche e correnti eguali a zero, si arriva all’ espressione di  A attraverso l’ equazione delle onde
 
di d’ Alembert. Scelto un opportuno dominio spaziale di definizione di A, con condizioni al contorno date, si possono sviluppare le componenti di A
in serie di Fourier e vedere come A rappresenti oscillatori armonici indipendenti.
 
Tali oscillatori sono poi quantizzati attraverso una procedura di quantizzazione formale (le variabili di campo divengono operatori) ed usufruendo, attraverso l’algebra degli stati di particelle indistinguibili, degli operatori di creazione e distruzione.
Questi oscillatori vengono comunemente identificati come “fotoni virtuali”. 
 
Riprendendo l’ eq. delle onde, si puo’ esprimere il modello fisico sottostante, discretizzandolo, attraverso una opportuna catena Hamiltoniana  C.H.  che ci riporta a considerare oscillatori armonici indipendenti (in questo ambito quantizzati).
 
Considerando una C.H. particolare (considero il caso monodimensionale), la catena di Fermi-Pasta-Ulam, con una debole perturbazione cubica del potenziale, si puo’ vedere come gli oscillatori non risultano piu’ indipendenti, perche’ siamo in regime non lineare. 
Siamo quindi in presenza di oscillatori non piu’ indipendenti a causa di una leggera perturbazione anarmonica.
Come vengono definiti in questo caso i “fotoni virtuali” ?
 
 
Probabilmente sono stato un po’ troppo sintetico per non dire ermetico, come spesso mi accade, ma non ho mai fatto didattica come professione. 
 
Lino

 professione.
No, caro mio, non è questo il problema.
E' quanto uno ha capito ciò di cui vorrebbe parlare.
Certamente insegnare aiuta: per mio conto ho sempre visto che riuscivo
a capire le cose solo quando ero impegnato a insegnarle.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
 
Lino
 
PS: Domani parto per le vacanze non so' quanto riusciro' a rispondere efficacemente.

lino.z...@gmail.com
 ha scritto:
 > La prima parte si riferisce ai fotoni *reali*,la seconda parte
 > (dopo la seconda quantizzazione)ai fotoni virtuali.
Stai facendo una bella confusione...
Non mi meraviglia, non sono cose semplici e sono impossibili da capire
senza adeguato tirocinio.
Perciò quello che sto per scrivere non la devi prendere come un
tentativo di farti capire come stanno le cose, ma solo come una messa
a punto, forse utile ad altri lettori.
 
Rivediamo i passi.
 
1. Si parte dalle eq. di Maxwell, che sono scritte per i campi E e B,
in assenza di materia polarizzabile ma con possibili cariche e
correnti.
 
2. Si scopre che è possibile (e comodo) introdurre i potenziali
(scalare e vettore): in questo modo le eq. di Maxwell omogenee sono
automaticamente soddisfatte, e restano le altre due, una scalare (con
la carica) e una vettoriale (con la corrente).
Nota che fin qui non c'è nessuna quantizzazione, niente fotoni.
Infatti queste sono cose che si trovano nei libri del tardo '800.
 
3. L'introduzione dei potenziali è fatta in modo che la relazione
campi <==> potenziali non sia biunivoca: dati i potenziali i campi
sono univocamente determinati, ma non viceversa. E' quella che
tradizionalmente si chiama "invarianza di gauge".
 
4. Si può sfruttare ciò per semplificare le eq. dei potenziali,
introducendo la /condizione di Lorentz/: div A + (1/c) @phi/@t = 0.
In questo modo tutti i potenziali soddisfano un'eq. tipo d'Alembert
(non omogenea: per phi a secondo membto c'è rho, per A c'è j).
 
5. Rimane ancora una certa libertÃ  di gauge, ma ne parlo solo per il
caso che più interessa: campi nel vuoto, ossia rho=0, j=0.
Si dimostra che la libertÃ  di gauge consente di fissare phi = 0 (detta
"radiation gauge", ma non ci giuro).
Resta solo A, per di più con div A = 0.
 
6. A questo punto il pot. scalare è stato eliminato. Per di più le
onde sono solo trasversali. Questo si vede scrivendo per A
l'espressione di un'onda piana, e verificando che la condizione
div A = 0 impone che A sia ortogonale al vettore di propagazione: non
esistono onde longitudinali.
A questo punto sono rimaste solo due componenti (trasversali) di A:
sono state eliminate sia le onde scalari (phi) sia quelle
longitudinali.
 
Come ho detto tutto questo era ben noto prima che nascesse la m.q.,
tanto più prima della QFT (quantizzazione dei campi, particelle come
"quanti" dei campi quantizzati...).
 
7. La quantizzazione del campo e.m. procede in due passi molto
differenti come difficoltÃ , ma entrambi parecchio intricati: anche una
chiara sistemazione della quantizzazione del campo e.m. libero è
arrivata ben oltre la metÃ  del secolo scorso.
La quantizz. del campo e.m. libero procede secondo la linea che hai
sommariamente indicata, ma la concludi con una frase del tutto errata:
 > Questi oscillatori vengono comunemente identificati come "fotoni
 > virtuali".
Non è vero, e se l'hai letto da qualche parte, chi l'ha scritto non sa
di che cosa parla.
 
Come ho detto, c'è una difficoltÃ  non piccola nella quantizz. del
campo e.m. *libero* (ossia in assenza di cariche e correnti, ma al più
soggetto a condizioni al contorno (pareti riflettenti o condizioni
periodiche).
La difficoltÃ  sta proprio nel trovare il modo corretto di eliminare la
componenti scalare e longitudinale, ossia i fotoni scalari e
longitudinali, che nel campo libero non debbono esistere.
Una volta fatto questo, il campo e.m. libero consiste di fotoni, che
sono *reali*.
 
A riprova: una distinzione assai più semplice e generale per
distinguere tra particelle reali e virtuali (non solo nel caso dei
fotoni) è che per le particelle reali impulso ed energia debbono
soddisfare la condizione
E^2 - p^2 = m^2  (c=1)
che si esprime nel gergo dela QFT dicendo che E e p di una particela
reale stanno sul "mass shell".
Invece le particelle virtuali possono avere E e p qualsiasi, senza
necessitÃ  di quel vincolo.
Questa è stata un'anticipazione, che in un'esposizione coerente nn
avrei dovuto fare, perché diventa comprensibile solo quando si
affronta la teoria delle perturbazioni per QED e più in generale per
QFT, ossia quando ci si mette a studiare diversi campi *in interazione
tra loro*: per es. fotoni ed elettroni (questa è QED).
 
A questo punto ho un problema: mi metto a spiegare la teoria delle
perturbazioni?
Mi sembra fatica sprecata...
Non si tratta di un argomento che si possa trattare a chiacchiere (in
realtÃ  niente di tutto quello che ho detto finora lo è ...).
 
Mi limito ad asserire una cosa: se mi credi bene, se no pazienza, vivrò
lo stesso.
Il termine "virtuale" è stato inventato, non so da chi, per descrivere
situazioni molto diverse da quella che ora ci preoccupa, per es.
l'effetto Raman.
Anche questo evito di spiegare che cos'è. Dico solo che nel farne la
teoria occorre usare la teoria delle perturbazioni al secondo ordine
(dell'ordinaria m.q., niente teoria dei campi).
L'espressione che risulta dal calcolo può venire descritta *a parole*
come segue:
- un fotone incontra una molecola
- sebbene non esista nessuno stato che si possa raggiungere assorbendo
quel fotone *e conservando l'energia*, l'assorbimento avviene "in uno
stato virtuale", ossia la molecola passa a uno stato eccitato in cui il
fotone è stato assorbito, *senza conservare l'energia*
- il fotone viene riemesso, lasciando la molecola in uno stato *reale*
di energia leggermente diversa da quella iniziale (di solito maggiore)
- pertanto (stavolta perché si conserva l'energia) il fotone riemesso
ha energia un po' minore di quello entrante
- questo è ciò che si osserva: effetto Raman.
 
Sottolineo una cosa: il calcolo è quello, la formula è quella. La
descrizione a parole, e solo quella, fa intervenire il termine "stato
virtuale", che non è affatto necessario usare. Per es. il Dirac spiega
tutto il conto e di stato virtuale non parla affatto.
 
Se si passa alla teoria dei campi, si presentano situazioni analoghe,
ed è divenuto molto popolare parlare di "particelle virtuali", che nei
diagrammi di Feynman sono rappresentate dalle linee interne.
Ma *non sono* particelle, nel senso che ho giÃ  detto: nel calcolo in
teoria dei campi relativistica si preferisce far conservare sempre
impulso ed energia in ogni interazione, ma si paga il prezzo che le
"particelle virtuali" non soddisfano la relazione fra p, E, m: non
stanno sul "mass shell".
Inoltre (questo è il punto che tocca la nostra discussione) non sono
neppure vincolate a essere trasversali: possono benissimo essere
"fotoni scalari" o "fotoni longitudinali".
Anzi, non solo possono, ma *debbono*: si debbono considerare tutte le
possibilitÃ .
Tecnicamente, il propagatore della linea interna ha elementi di matrice
fra *tutti* gli stati di polarizzazione.
 
Temo che non avrai capito niente, ma così stanno le cose, E chi non le
conosce bene non ne dovrebbe parlare (non mi riferisco a te, ma a tutti
quelli che ne parlano a livello diulgativo, dicendo cose sbagliate).
 
 > Mi premeva evidenziare la correlazione tra equazione delle onde e
 > gli oscillatori armonici quantizzati (con possibile polarizzazione
 > scalare, longitudinale,trasversale) che ho sempre letto essere fotoni
 > virtuali.
Ho giÃ  spiegato, non debbo ripetermi.
 
 > 
http://ffusco.altervista.org/contact/tesi/
 
Ho visto.
Non so come sei riuscito a pescarlo, ma l'argomento di quella tesi non
ha *assolutamente* niente a che vedere con la presente discussione.
E' un calcolo di meccanica *classica*, da cima a fondo.
Non c'è alcuna quantizzazione.
Anzi, se tu sapessi abbastanza della materia e conoscessi le persone,
capiresti che *deve* essere così.
Quel filone di ricerca nasce in un gruppo dove per anni hanno lavorato
per cercare di spiegare effetti tipicamente quantistici (es. la
distribuzione della radiazione di corpo nero) come effetti caotici
della dinamica di oscillatori classici accoppiati.
(Non credo che ci siano riusciti.)
 
Questo per indicarti che cosa succede quando si pesca a casaccio nella
letteratura, senza avere la preparazione necessaria.
 
 > Gli apprezzamenti personali (che potrei ribaltare in altre materie)
 > non mi interessano. Sono solo uno spreco inutile di energie.
Non sono inutili.
O meglio non lo sarebbero, se ti portassero a essere un po'
autocritico, ossia a renderti conto di quanto lontano sei dal poter
capire le cose che dici interessarti.
(Argomento, tra l'altro, piutosto sciocco. A me interessa moltissimo
la letteratura cinese dell'epoca Ming, però non so il cinese, né ho
intenzione di fare lo sforzo di studiarlo.
Se qualcuno mi fa notare che così non potrò fare molta strada, mi
offendo.)
Quanto poi al ribaltare, due repliche:
1) Può darsi, ma puoi solo ipotizzarlo, dato che di me non sai un bel
niente. Quindi è un argomento inconsistente.
2) Ci sono certamente materie di cui io ho conoscenze modeste, scarse,
in certi casi praticamente nulle.
Ma c'è una differenze con te: io non mi metto a scrivere cose
totalmente sballate (le tue non sono semplici domande) per poi
risentirmi quando qualcuno me lo fa notare.
Forse si chiama pudore...
 
 
-- 
Elio Fabri
 
 
 
NOTA: Questo post è stato inviato in data 10 Agosto 2017 alle ore 
17:32:38 e viene pubblicato solo ora per problemi con la moderazione. Mi 
scuso con i diretti interessati e con tutti gli altri utenti.

 Elio Fabri
 
Lino

  
No, no, non sei l'unico, non ti preoccupare.
Anzi, il fatto stesso che Fabri ti abbia risposto e non in modo laconico e' segno che ha almeno avuto interesse ad insegnarti qualcosa.
Poi tieni di conto che con l'argomento fotoni virtuali ti e' andata tutto sommato di lusso, tenuto conto di questo:
 
https://groups.google.com/d/msg/it.scienza.fisica/SdhoTzadJ_Q/7kre6JabCAAJ
 
 
--
Wakinian Tanka 

 Wakinian Tanka
 
Ti ringrazio dell' intervento "consolatorio", ma vedi probabilmente potrei 
considerarmi un fratello minore, in termini di eta', di Elio.
 
Questo fatto unito ad una particolare esperienza lavorativa (ormai terminata da un pezzo) mi potrebbe portare, in quella materia, ad assumere gli atteggiamenti
di cui parliamo. Non ho avuto occasione di farlo e non lo farei.
 
Potrei solo evitare di rispondere, dopo qualche post, a personaggi che purtroppo sono presenti in questo N.G.. (Ovviamente non faccio nomi anche se alcuni sono conosciuti)
 
Lino