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Titolo: interessante problema di magnetostatica: senso fisico di un integrale  non assolutamente convergente

Si vuole dare un senso a
\int B(r) d^3r
ovvero all'integrale esteso a tutto lo spazio del campo B (induzione
magnetica) associata a una sfera magnetizzata uniformemente.
Questo come generalizzazione della definizione di momento magnetico
\mu = \int M(r) d^3r
per verificare se si possa dire
\int B(r) d^3r = \mu
(nel caso che l'integrale di volume di H in tutto lo spazio sia zero)
oppure magari
\int B(r) d^3r = \mu_eff
una sorta di momento magnetico efficace (tipo 2/3 M V per la sfera) o
altre possibilita', incluso magari
\int B(r) d^3r = 0
Siccome il campo della sfera e' noto, ed e' 2/3 B dentro e il campo
dipolare fuori, possiamo valutare l'integrale su tutto lo spazio
esplicitamente.
Il risultato? dipende da come quell'integrale si valuta.
Se si procede in coord. sferiche, si ottiene 2/3 B V. Se si procede in
cartesiane si ottiene 0. Se si procede in cilindriche (scegliendo come
asse z un asse perpendicolare a M, e integrando dapprima su questo) si
ottiene 1/2 B V.
Potete eseguire i calcoli e verificare cio'.
Matematicamente questo si spiega con il fatto che B(r) non e'
assolutamente convergente, e quindi per Fubini il risultato dipende
appunto dall'ordine di integrazione.
Ciascuno dei tre risultati differenti ha un suo senso fisico:
2/3 viene dal fatto che si integra la parte interna costante, mentre
tutta la parte esterna svanisce
0 viene dal fatto che integrando dapprima su un piano perpendicolare a
M, data la natura solenoidale del campo il flusso netto e' nullo. Se
il flusso netto e' nullo su qualsiasi piano, il suo integrale nella
coordinata rimanente (la direzione di M) e' per forza nullo.
1/2 viene dal fatto che proiettando dapprima lungo un asse, si ottiene
un campo proiettato dove i campi esterni sopra e sotto la sfera nella
zona r<R non si compensano ma danno un risultato negativo (pari a
-1/6) che sommato al 2/3 della zona interna porta 1/2
Insomma, matematicamente e' chiaro, fisicamente e' giustificabile, ma
se io volessi dare una definizione rigorosa di
\int B(r) d^3r
cosa dovrei dire?
Bye
Hyper

 \int B(r) d^3r
L'integrale di volume esteso a tutto lo spazio di un campo magnetico (io 
B lo chiamo cosi'), in assenza di correnti all'infinito, e' sempre 
nullo. Piu' in generale, lo e' l'integrale di qualunque campo vettoriale 
  a divergenza nulla che vada a zero all'infinito piu' rapidamente di 
1/r. Avevo postato la dimostrazione qualche tempo fa, ma siccome il 
mirabolante software di Google Groups non lo trova, rieccola:
Uso $ per indicare l'integrale, multiplo se necessario, su tutto lo spazio.
Siccome $dV=$dx$dy$dz per definizione, ho che, integrando 
p.es
. su x, che
$BdV=$$$Bdxdydz=$$dydz$1.Bdx=$$dydz[xB-$x(dB/dx)dx]
(ho integrato per parti su x prendendo f=1 e g=B).
Il primo termine tra parentesi quadre e' nullo per l'ipotesi di rapida
decrescenza di B. Percio' $BdV=-$$$x(dB/dx)dV.
Adesso noto che $$$x(dB/dy)dV=$$$x(dB/dz)dV. Infatti, nel primo caso 
p.es
.
integro su y ed ottengo $$x[B(x,+oo,z)-j(x,-oo,z)]dxdz, ed i termini tra
parentesi quadre sono nulli per ipotesi.
Posso quindi sommare questi due integrali (nulli) al precedente, ed ottengo
$BdV=-$$$[x(dB/dx)+x(dB/dy)+x(dB/dz)]dxdydz=-$$$x(div B)dV=0, CVD

Scusa, avevo letto di fretta e non avevo visto che anche tu avevi 
raggiunto la mia conclusione per integrali in coord. cartesiane. 
Personalmente opino per il valore 0. Se il campo decade piu' rapidamente 
di 1/r^3 (momento magnetico nullo) l'integrale converge assolutamente ed 
il valore e' sempre zero; non vedo perche' le cose dovrebbero cambiare 
passando a 1/r^3. Secondariamente, il senso di un campo solenoidale e' 
di avere linee chiuse su se stesse (in assenza, appunto, di correnti 
all'infinito), e l'intuizione fisica mi dice che "cio' che va in un 
senso deve tornare nel senso opposto", dando un valore zero.

 $BdV=$$$Bdxdydz=$$dydz$1.Bdx=$$dydz[xB-$x(dB/dx)dx]
Gia' questo passaggio e' illecito: stai usando il teorema di Fubini
che nel nostro caso non vale.
Comunque, illecito per illecito, ti propongo una dim. molto piu' rapida.
Sappiamo che si puo' porre B = rot A.
Dopo di che ti trovi a integrare delle derivate di componenti di A, e
siccome A per un dipolo magnetico va a zero come 1/r^2, gli integrali
sono tutti nulli.
(Naturalmente l'errore e' lo stesso: non e' lecito integrare
*separatamente* sulle tre coordinate.)
N.B.: Che l'integrale sia nullo lo crediamo tutti. Il problema e'
quello di dare una definizione precisa di "integrale" in casi come
questo, e al momento non so rispondere.
 
-- 
Elio Fabri
No al regime clerico-berlusconiano!


Ciao, secondo me non c'č alcun modo di definirlo che non sia "far
venire a martellate un risultato che si
vuole".
C'č un teorema di Riemann che mostra che una serie che non converge
assolutamente la si puň far
convergere a qualunque numero riordinandola (e se invece converge
sempre alla stessa cosa sotto ogni riordinamento
allora converge assolutamente). Credo sia abbastanza semplice fare lo
stesso per un integrale
che non sia assolutamente convergente si dovrebbe riuscire a farlo
convergere a qualunque cosa aggiustando la procedura
con cui si "calcola" l'integrale (basta, al limite decomporre
l'integrale in una somma infinita di pezzi come una serie e poi usare
la dimostrazione  di Riemann). Io credo che non ci sia niente da
fare...Io non credo che l'integrale sia nullo, credo che
*l'integrale* non abbia senso e basta. Hanno invece senso *gli
integrali* iterati o cose ancora piů complicate, ma ogni
procedura fornisce un risultato differente come deve essere.
C'č ancora un modo di fare il calcolo che mi pare non avete
considerato. Quello di usare il teorema della divergenza su volumi
sempre piů grandi che invadono tutto lo spazio.
 Prendiamo la componente B_z. Questo uno lo scrive come una divergenza
 @_x C_x + @_y C_y + @_z C_z
dove   C_x= A_y,          C_y = -A_x ,         C_z = 0
Quindi
Int_V  B_z dxdydz              =                   flusso attraverso
il bordo di V di C
Ora l'integrale di superficie sul bordo di V NON tende a zero per il
campo dipolare per V che riempie lo spazio come si vede subito, perchč
il campo C decresce come 1/r^
2.ma
 la superficie cresce come r^2.
Probabilmente si riesce a farlo tendere  a qualunque cosa prendendo il
volume (la classe dei volumi) V di forma opportuna...
Ciao, Valter

 senso deve tornare nel senso opposto", dando un valore zero.
Esattamente. Zero era la mia aspettativa primaria, proprio basata
sulla divB=0. Il discorso che il flusso netto su un qualsiasi piano
perp. alla magn. deve essere zero, e quindi il tutto fa zero.
Il problema e' che il calcolo esplicito non conferma l'aspettativa, e
mostra come il risultato dipenda dalla scelta del cammino di
integrazione. E di fatto, ho risultati sperimentali (che saro' felice
di  discutere con te in dettaglio se vuoi) che confermano cio'.
Se vuoi vedere un thread preliminare a questo su it.scienza.matematica
che ho aperto per capire il discorso del cammino di integrazione,
convergenza o meno, ecc., ho detto fin dall'inizio che mi aspettavo
zero. Viceversa, i due matematici che hanno partecipato hanno entrambi
detto che mi sbagliavo grossolanamente e che il risultato e' finito,
diverso da zero, e uguale a pi (che, ridimensionalizzando, equivale al
\int B(r) d^3 =1/2 mu). Hanno detto che e' "palesemente" cosi'.
Giusto x curiosita', se chiami B "campo magnetico", come chiami H?
Bye
Hyper

 passando a 1/r^3.
Ah, OK ho capito. \mu = 0 implica decadimento piu' rapido di 1/r^3.
Viceversa, \mu=/=0 implica decadimento 1/r^3. Non vedi cosa possa
cambiare tra 1/r^(3+eps) e 1/r^3.
La cosa che cambia e' che 1/r^(3+eps) e' assolutamente convergente, 1/
r^3 no (e' convergente, ma non assolutamente).
I casini nascono da qui, matematicamente.
Bye
Hyper

 M, data la natura solenoidale del campo il flusso netto e' nullo.
Questa non l'ho capita. Per un campo solenoidale, e' nullo il flusso
del campo attraverso una superficie *chiusa* non aperta come un piano.

 convergere a qualunque numero riordinandola ...
Ciao Valter,
quello che dici e'   vero ma e' anche troppo "da matematico" ;-)
Con questo non voglio dire che esiste una matematica dei matematici in 
cui 2+2=4 ed una dei fisici dove 2+2 =5.
Ma  il riferimento alle serie non assolutamente convergenti e' 
illuminante. E'  il caso  delle somme reticolari per calcolare l' 
energia di un reticolo coulombiano (
p.es
. un cristallo di NaCl).
E' vero che matematicamente si tratta di una  somma che puo'  conergere 
a qualsiasi risultato a  seconda di come si sommano i termini.  Ma e' 
anche vero che la dipendenza dall'  ordine di somma e'  qualcosa che ha 
una base fisica solidissima: il fato che con un potenziale a lingo range 
gli effetti  di superficie non sono nulli al limite di sistema finito 
che cresce senza limiti e  dipendono in modo cruciale dalla sequenza di 
superfici che via via si costruiscono facendo crescere il cristallo.
Il modo per rendere non ambiguo il risultatomatematico e'  di aggiungere 
una condizione su come si prende il limite che puo'  esseere 
reinterpretata come condizione sul tipo di condizioni al contorno sui 
campioni finiti.
Penso che il problema dell'integrale di B  in quesitone abbia la stessa 
struttura del problema elettrostatico:  l'  ambiguita'  del risultatato 
matematico discende da condizioni al contorno (di interpretazione 
fisica)  non specificate.
Giorgio


Ciao Giorgio, capisco quello che dici e mi ricordo di quel problema
dell'energia infinita del reticolo.
Ma in quel caso  la situazione secondo me è differente: un reticolo
infinito non esiste nella realtà
e questo potrebbe essere la chiave che suggerisce cosa fare: come
interpretare la somma infinita in quel caso, anche se ora  non mi
ricordo come si procedeva in pratica. Qui non c'è niente di infinito
nelle sorgenti...
Mi pare che un analogo problema nasca anche per l'asta infinita
uniformemente carica. Il potenziale esplode
anche in quel caso. Ma se uno calcola *prima* il campo E di una barra
finita, e poi fa tendere la barra all'inginito, il valore di E resta
finito. In questi due casi, l'infinitezza di una grandezza segue da
una infinitezza (non fisica) nella sorgente e questo fatto suggerisce
la cura del problema. Nel caso in esame non trovo appigli per
procedere in modo simile...
Ciao, Valter

 nelle sorgenti...
Infatti non suggerivo che i problemi fossero esattamente uno il clone 
dell'  altro. Ma solo che molto spesso le difficolta' matematiche legate 
a risultati non univoci posso nascere da situazioni ambigue (==mal 
definite)  dal punto di vista fisico.
Per il problema dell'  energia del cristallo,  la difficolta'  non e' 
comunque nel fatto che non esiste un cristallo infinito  ma e' 
realmente connessa ad un'  ambiguita'  della fisica del sistema con cui 
si vuol andare al limite.
Per la sfera magnetizzata, convengo che ci siano diverse differenze 
pero'   per venirne a capo partirei dal cercare di capire quale sia il 
significato fisico dell'  integrale in questione. Cosa che al momento mi 
sfugge.
Ciao
Giorgio

 Giorgio

 sfugge.
Il nocciolo della questione (vedi titolo del post) e' appunto
assegnare un significato fisico a quell'integrale.
Il problema qui e', come detto, intravedo almeno "tre significati
fisici", e mi piacerebbe stabilire se qualcuno di questi, per qualche
ragione, abbia priorita'.
L'appiglio di partenza e' comunque
\int M(r) d^3r = \mu     (1)
la definizione di momento magnetico associato a una particella
magnetizzata. Su questo non ci sono problemi, no? L'integrale e'
esteso a tutto lo spazio, ma la magnetizzazione e' uguale a zero fuori
dalla particella.
Fare l'integrale di B(r) in tutto lo spazio e' una generalizzazione di
(1). Ci si chiede cioe' se il campo generato dalla particella
magnetizzata abbia un qualche suo momento magnetico finito.
I risultati che si ottengono dalle diverse integrazioni hanno un loro
perche'. Avevo provato a schematizzarlo, ma ripeto con qualche
dettaglio in piu'. Nota: assumo per convenienza che \mu_0=1, quindi i
tre campi M H e B si misurano con le stesse unita'.
Se pensiamo in coordinate sferiche, iniziando a integrare su sfere di
raggio crescente, e' "evidente" che il risultato e' 2/3 \mu, perche'
finche siamo all'interno della sfera il campo B=M+H e' costante e pari
a 2/3 B (H=-1/3 B). Quando siamo fuori, la parte angolare si integra a
zero. Il "primo senso fisico" non e' cosi' peregrino: il momento
magnetico associato al campo B e' 2/3 \mu. Questo e' matematicamente
corretto, e fisicamente plausibile.
Se pensiamo in cartesiane, ovvero
\int B(x,y,z) dxdydz
e decidiamo di integrare prima nel piano xy (il piano che scegliamo
perpendicolare a M), quello che otteniamo e'
\Phi(z) = \int B(x,y,z) dxdy
il flusso concatenato al piano infinito xy che dista z dall'origine.
Il risultato e'
\Phi(z) = 0
come ci si aspetta per la natura solenoidale del campo. A ogni linea
di flusso che entra, corrisponde una linea di flusso che esce, quindi
non puo' che far zero. Ed infatti fa zero. Il passo finale, \int Phi
(z) dz fa evidentemente zero, dando quindi il risultato 0. Da questo
punto di vista il campo B non ha momento magnetico associato per la
sua natura solenoidale. Anche questo e' matematicamente corretto e
fisicamente plausibile.
Il terzo scenario che menzionavo e' un po' meno facile da descrivere
(ma e' quello con cui mi trovo a che fare sperimentalmente), e
fornisce il risultato 1/2 \mu. Anche qui, come prima, il tutto e'
corretto e plausibile (anche se, ammetto, e' meno facile sviluppare
una aspettativa che giustifichi 1/2; 2/3 o 0 sono piu' facili).
Ci sarebbe anche un quarto scenario, che a questo punto probabilmente
e' anch'esso nascosto in qualche strategia di integrazione a cui non
ho pensato: che il momento di B sia 1, pari a quello di M. Ovvero, che
l'integrale su tutto lo spazio di H da solo si annulli. Questo,
invero, faciliterebbe molto l'interpretazione dei dati che ho, ma per
la geometria dell'esperimento temo di essere confinato con il 1/2.
Questo perche' il 1/2 vale solo per la sfera, e per particelle con
sufficiente simmetria. Se venisse 1, questo varrebbe in generale per
ogni particella. Cosi' come 0. Mentre il 2/3 e' anch'esso solo per la
sfera. Comunque queste sono pippe secondarie con cui mi trovo a che
fare io, e non sono rilevanti per il problema generale.
Grazie della discussione,
Bye
Hyper


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 un campo magnetico secondario.
Se non hai ben capito, riprovo a spiegare.
Voglio misurare \mu, il momento magnetico di una particella. Per definizione
\mu = \int M(r) d^3r
Ho una sonda che pero' e' sensibile a B, non a M (gli elettroni, ma 
sarebbe la stessa cosa con una hall probe, e con la maggior parte degli 
strumenti). Mi chiedo quindi che relazione ci sia tra \mu e
\int B(r) d^3r = \mu_B
che e' comunque un momento magnetico (se diviso per la costante \mu_0 
che continuo a prendere =1 per evitare casini). Rimarco che \mu_B e' il 
dato sperimentale (con la specifica che, veramente, a seconda di come 
integro i dati ottengo un \mu_B diverso).
Data la relazione generale B=M+H, integrando ho
\mu = \mu_B - \mu_H
e da questo segue una possibile interpretazione fisica, codificata nella 
domanda: "che momento magnetico ha il campo B?".
Se \mu_B=0 (uno degli infiniti risultati "giusti" dell'integrazione), 
questo implica che il momento del campo H e' uguale e inverso al momento 
  di M.
Se \mu_B=2/3 \mu, questo implica che il momento del campo H e' uguale a 
-1/3 \mu.
Eccetera.
Ne segue peraltro che se anche si sostiene che non ha gran senso fisico 
pensare a \mu_B come momento magnetico perche' comunque viene \mu_B=0, 
di fatto il campo H assume momento -\mu. Quindi non e' che si risolve il 
problema, perche' se si cerca di risolvere negando senso fisico a \mu_B, 
poi si sposta il problema sul senso fisico di \mu_H.
E' piu' chiaro? mah...
Bye
Hyper

 Hyper
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 finito di addendi.
Si pero' se anche con un dominio finito il risultato dipende da che
dominio scelgo, la conseguenza e' che
\int B(r) d^3r = quello che voglio far venire
Ovvero, e' come dire che non ha significato fisico.
Alcuni commenti a random:
1) non sono capace di seguire un trattamento cgs, sorry. Il 4 PI mi
confonde tutto il poco intuito che ho sviluppato riguardo a questi
problemi. Cmq mi sembrava OK, eccetto che non ho il grado di liberta'
su d perche' di base l'integrale da meno a piu' infinito in uno degli
assi e' gia' avvenuto durante l'esperimento. Cioe', e' il segnale che
si registra (la deflessione degli elettroni, che e' proporzionale
appunto all'integrale di B sul cammino ottico). Il grado di liberta'
e' solo nella scelta del dominio planare su cui integrare il campo
proiettato.
2) il campo esterno *proiettato* di un cilindro e una sfera sono
identici. Provare per credere.
3) quello che vorrei, come detto, e' misurare il momento magnetico \mu
= \int M(r) d^3r a partire dalla conoscenza sperimentale di f(x,y)\int B(x,y,z)dz, dove M e B sono associati a una particella
magnetizzata lungo y.
4) quel Jim di ism e' probabilmente un tizio che ha scoperto da poco
usenet e fa il grosso. Nulla di preoccupante.
5) Tu ed Enrico e chiunque altro avete ovviamente la liberta' di
chiamare M, B, e H come vi pare. Basta che ci si intenda e che non
succeda che uno dice B e l'altro capisce H.
6) Ho deciso di integrare il segnale scegliendo come dominio la sola
regione interna, il cui contorno e' anch'esso dato sperimentale. In
questo modo so cosa deve venire. 1/2 \mu per la sfera, e per qualsiasi
forma che in proiezione ha sufficiente simmetria, e A \mu, dove 0<A<1
e' un fattore geometrico che so stimare, per una forma arbitraria in
proiezione.
7) Questo risolve il lato pratico, e la procedura sembra funzionare.
Non sono pero' totalmente soddisfatto da un punto di vista piu'
teorico.
Ciao e grazie
Bye
Hyper

 4*PI*m* h/Sqrt(d^2+h^2).
Per completezza, sempre salvo errori, l'integrale sul disco di raggio d<R<h
da' il risultato:
(4/3)*PI*m*[3-Sqrt(1+(d/h)^2)*Sqrt(1-(d/R)^2)*(3-(d/R)^2)]/Sqrt(1+(d/h)^2)
cosi' si vede che, per d-->0 il risultato tende a 0 e che, per h-->oo, se
d<R, il risultato non tende a 4*PI*m ma tende a un valore piu' piccolo,
cioe' a (4/3)*PI*m*[3-Sqrt(1-(d/R)^2) * (3-(d/R)^2)].
Sempre nel limite h-->oo, si vede che, al variare di d, l'integrale
raggiunge il suo valore massimo per d=R, poi, per d>R, mantiene costante il
proprio valore come prevedibile poiche' la f(r), per r>R, da' contributi
nulli nel limite h-->oo.
In soldoni, per ricavare m dal valore dell'integrale definito, si dovrebbe
prendere h>>d (2h=altezza, d=raggio del cilindro di integrazione) e
osservare che il risultato rimane invariato al diminuire di d (e il valore
dell'integrale, in cgs, e' 4*PI*m) finche', quando d diventa minore di una
certa soglia, il risultato inizia a diminuire (e il valore di soglia e' il
raggio della sfera magnetizzata). Questo perche' la f(r), nel limite h-->oo,
e' a valori non nulli solo per r<R.
Se h>>d non si puo' fare, allora mi pare che, per ricavare m, piu'
dell'integrale abbia interesse un fit dei dati sperimentali con la f(r)
vista sopra.


 teorico.
Ecco, qua non capisco. L'integrale dipende anche dal dominio di
integrazione. Se prendi un dominio molto piu' largo che alto ottieni un
risultato diverso da quello che hai per un dominio molto piu' alto che
largo. L'importante e' sapere come l'integrale dipende da larghezza e
altezza del dominio di integrazione, cioe' conoscere la funzione che, un
paio di post fa, ho chiamato f(r). Non basta quella funzione per essere
soddisfatti dal punto di vista teorico?


 vista sopra.
Ma no, il fit si puo' fare se hai una particella ideale di forma 
circolare in proiezione (piu' una serie di altre assunzioni, tra cui che 
  M sia perfettamente uniforme, cosa che non e' verificata nemmeno per 
una sfera ideale se questa non e' minuscola). Il punto e' misurare \mu 
di particelle reali, nanocristalli, elementi...come si dice patterned in 
italiano? eccetera. Particelle reali non hanno un campo dipolare 
proiettato cosi' semplice all'esterno.
Riguardo ai tuoi calcoli, se ti viene 4 PI m, che in SI e' \mu0 m 
(ovvero 1, l'intero momento magnetico), hai fatto qualche errore.
Bye
Hyper

 soddisfatti dal punto di vista teorico?
Per quanto mi riguarda, no. Ma non penso di poter far altro che
accettare la situazione.
Bye
Hyper

 Se non hai ben capito, riprovo a spiegare.
Ho letto la ri-spiegazione e non ti seguo: prima parlavi di una sfera e
riuscivo ad apprezzare che il campo magnetico prodotto da una sfera
uniformemente magnetizzata è proporzionale al volume ed al campo magnetico
interno alla sfera. Ma se parli di una particella il campo magnetico è
singolare nell'origine delle coordinate e vale, come ben noto:
mu_0 / 4pi [ (3 r (mu . r) - mu r^2)/r^5]
gradiente del potenziale dipolare che è più semplicemente:
grad [(mu_0)/4pi [ (mu.r)/r^2 ]]
se questo campo lo integri in coordinate sferiche lasciando per ultima
l'integrazione in |r| e tralasciando la singolarità ottieni zero. Del resto
anche se consideri un'immagine di limite di particella come limite per
raggio che tende a zero di oggetti uniformemente magnetizzati devi escludere
la dipendenza dell'integrale dalla geometria della sorgente, oppure devi
fissare a priori una geometria. Diversamente puoi escogitare un proiettore
che vale la somma dei momenti magnetici all'interno di un volume assegnato.
Per il monopolo si tratta del flusso del campo, per il dipolo invece ...

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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 singolare nell'origine
Ma perche' mai? una particella ha dimensioni finite. Non e' un dipolo
elementare. Se dico particella tu capisci un oggetto puntiforme? Per
particella intendo un qualcosa che possiede M(r) (uniforme o meno)
quando r varia entro un dominio finito dello spazio (racchiuso dalla
superficie della particella). La sfera e' la particella piu' semplice.
Immaginati una patata magnetizzata. La patata e' la particella, e io
voglio il suo \mu.
Faccio molta fatica a capire cosa non sia chiaro nell'esposizione del
problema, e mi sembra che questo thread si sia protratto fin troppo a
lungo. Quindi direi che chiudo.
Grazie a tutti.
Bye
Hyper


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Inviato via 
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 piano x,y).
Ecco, come ho gia' detto in precedenza a me una cosa del genere, se vera
esattamente, pare decisamente inaspettata. Cioe' in approssimazione di
dipolo e' ovviamente corretta, ma che i termini successivi dello sviluppo
diano tutti contributi identici per sfera e cilindro mi pare veramente
strano (pero' certo, tutto puo' essere). Per questo ti chiederei se la
affermazione che le due funzioni sono uguali la fai su base teorica o
sperimentale. Nel primo caso, dove caspita si potrebbe trovare una
dimostrazione di questa cosa che a me pare stranissima?
Grazie.


OK, ti rispondo in un altro thread se non ti dispiace.
Bye
Hyper

 magnetico m dal valore sperimentale V.
O meglio, forse un'idea ce l'ho.
Siccome il momento di dipolo e' l'unico momento che da' un campo il cui
integrale, su un dominio "grande", da' un valore non nullo (almeno immagino
che sia cosi'), ne segue che su volumi grandi il risultato che si ottiene
per il momento di dipolo dovrebbe dare con buona approssimazione il valore
sperimentale.
Ad esempio basterebbe prendere d=h>>R e il valore dell'integrale, sempre in
cgs, e sempre assumendo corretti i miei calcoli, dovrebbe essere
(4/Sqrt(2))*PI*m cioe' il valore che si ottiene ponendo d=h e mandando R->0
(cosi' possiamo dire che la sfera uniformemente carica di raggio R
approssima bene un dipolo ideale). Poi, siccome per d>R il risultato della
sfera carica, V=4*PI*m* h/Sqrt(d^2+h^2), non dipende da R, basta prendere
quel risultato e sostituirci d=h (cioe' cilindro di altezza 2h uguale al
diametro 2d).


 Quando siamo fuori, la parte angolare si integra a zero.
Un momento, questo non mi torna: non abbiamo detto che il problema sta 
nell'intercambiabilita' dei limiti? Questo problema si pone solo quando 
l'integrazione va all'infinito. Ma se stabilisci gia' in partenza che 
l'integrale [qualcosa, infinito] ha un valore preciso il problema dove 
sta? E se non c'e` problema, perche' mai l'integrale complessivo non 
dovrebbe essere 0?

 N.B.: Che l'integrale sia nullo lo crediamo tutti. 
Be', la cosa non mi sembra fosse cosi' chiara...

 Giusto x curiosita', se chiami B "campo magnetico", come chiami H?
"Campo magnetizzante", o semplicemente "campo H" (cfr. Alonso-Finn o 
Fisica di Berkeley).

 significato fisico perche' non assolutamente convergente.
Mah, io non sono tanto d'accordo. Come ha giustamente notato Giorgio, ci 
sono casi (es. la somma di Madelung) in cui una somma/integrale 
condizionatamente convergente ha un significato fisico preciso, che puo' 
essere rivelato ponendo opportune condizioni al contorno prima di 
passare al limite. Temo pero' di non avere alcuna idea precisa di come 
si potrebbe procedere in questo caso. Io comunque continuo a scommettere 
sullo 0 :-)


Ciao, sono d'accordo con te (Enrico) nel caso generale, ma in questo
caso non si capisce bene
come procedere prima di passare al limite, cioč se c'č una procedura
fisicamente migliore
delle altre, come accade nel caso dell'energia del cristallo. In
questo caso a me pare di no,
ma sono troppi anni che non mi occupo piů di elettromagnetismo per
affermarlo con sicurezza.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter


 in laboratorio si integra su un volume finito, mica su tutto lo spazio.
Presa sul serio, questa affermazione distruggerebbe un bel po' di 
fisica, visto che un sacco di cose acquistano senso proprio nel limite 
di "tutto lo spazio".

 di "tutto lo spazio".
Anche questo mi pare di averlo gia' detto nel mio primo intervento.
Ogni volta che un integrale acquista senso fisico nel limite di "tutto lo
spazio", l'integrale che si effettua nelle misure *reali* (cioe' quelle su
domini finiti), acquista approssimativamente lo stesso valore quando la
regione finita sulla quale si integra diventa "grande". In quei casi non ha
alcuna importanza *come* diventa grande il dominio di integrazione, basta
che sia grande e si ottiene sempre (approssimativamente) lo stesso valore.
Non e' questo il caso della misura in esame: il valore dell'integrale
*dipende* da *come* diventa grande la regione sulla quale si integra. Ed e'
proprio in quella dipendenza che si deve necessariamente cercare il "senso
fisico" di quell'integrale.
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 fisico" di quell'integrale.
Ti rimando a Madelung, piu' sopra.


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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 stessa cosa in modi diversi?
Non saprei. Nella domanda originaria mi pareva di leggere in maniera piu' o
meno sottintesa che ci dovesse essere un qualche senso fisico da associare
all'integrale su "tutto lo spazio". Io ho fatto presente che la cosa non
deve essere necessariamente vera e che il caso presentato e' uno di quelli
in cui non e' vera. Ho fatto cioe' presente che, se si vogliono informazioni
sulla "proprieta' intrinseca dell'oggetto" (cioe' su m), non basta il valore
dell'integrale ma si deve anche tener presente delle caratteristiche del
dominio di integrazione, anche se tale dominio e' grande (a meno che non sia
sferico, nel qual caso basterebbe sapere che le sorgenti sono dentro alla
sfera di integrazione).


 di dipolo, 
Quello che importa e' il campo totale, non le componenti dello sviluppo 
in multipoli. Nell'elettrodinamica macroscopica, a meno di casi 
patologici non fisici (il filo unidimensionale ecc.), il campo al finito 
si comporta sempre bene. Il fatto che abbiamo isolato il termine di 
dipolo e' per il fatto che e' il termine asintoticamente dominante per r 
grande (al finito nulla si puo' dire in generale su quale sia dominante) 
e pertanto determina le proprieta' di integrabilita' all'infinito.

 all'integrale su "tutto lo spazio".
Si', una connessione al momento di dipolo della sfera. Se questo 
significato ha da esserci (come ho detto, penso proprio di no) non puo' 
essere connesso alla forma del laboratorio, ma solo alla sfera stessa. 
L'integrale su tutto lo spazio evita proprio un riferimento, spurio, al 
laboratorio. Se poi questo integrale non esiste, o vale 0, allora 
chiudiamo bottega e ci occupiamo d'altro.