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Titolo: volume elementare spazio delle fasi

Salve. In molti libri di meccanica quantistica, facendo il calcolo
della densità di numero di stati nello spazio delle fasi, si usa il
concetto di volumetto elementare nel suddetto. La derivazione del suo
valore viene fatta in questo modo <<partendo dal principio di
indeterminazione di heisenberg (delta x)(delta p) >= htagliato/2  è
ovvio che il volume elementare è h^3...>>. E' circa un anno che studio
mq in vari corsi ma a me non sembra assolutamente ovvio. In realtà io
non riesco neanche a capire il significato di cella elementare. Penso
che sia legato in qualche modo al fatto che se una particella ha un
momento e una posizione di poco diverse allora io non posso
distinguere i 2 stati, ma in realtà a mio parere non funziona come
spiegazione perchè nei problemi in cui vengono considerate queste
densità si ha spettro continuo.
Come è una spiegazione corretta e pulita di tutto ciò?
Grazie mille
--
Abruzzo Silvio

 concetto di volumetto elementare nel suddetto.
(,,,)
Ciao si tratta di una nozione semiclassica che ha valenza solo
approssimata, rozzamente parlando si introdice a causa del principio
di Heisenberg come hai descritto tu. Si può introdurre e studiare in
modo più preciso in opportuni contesti (per esempio per risolvere il
paradosso di Gibbs in ambiente semiclassico ma anche in certe
descrizioni semiclassiche ), ma non è sicuramente un concetto
fondazionale della MQ.
Ci sono altri punti di vista oltre al principio di Heisenberg per cui
è ragionevole attribuire un'area minima dell'ordine di h allo spazio
delle fasi, si ha nella quantizzazione di Weyl usando le distribuzioni
di quasi probabilità di Wigner. Si tratta di una procedura in cui le
"funzione d'onda" sono individuate nello spazio delle fasi (quindi p e
q insieme) e sono descritte da funzioni reali. Tuttavia non si possono
interpretare come distribuzioni di probabilità dato che in generale
assumono anche valori negativi. Il punto cruciale è che se si mediano
(con una convoluzione con funzioni opportune) su regioni nello spazio
delle fasi di grandezza dell'ordine di h, si trovano funzioni positive
che possono essere interpretate come densità di probabilità di
Liouville...
  Ciao, Valter

 Come è una spiegazione corretta e pulita di tutto ciò?
Non c'e'.... prendila come una sorta di "compromesso"
In meccanica classica tu sai che i sistemi descritti con le vriabili
azioni angolo non hanno un limite all'azione..... se tenti di passare
alla meccanica ondulatoria (semi-classico  Kramers Werner Bohr
Sommerfeld .... ) devi imporre un cut-off all'azione.... e' piu' o
meno nel passaggio classico-quantisctico il motivo.
Ma comunque la fisica statistica si regge molto bene (sia nella
versione classica che quantistica) anche non potendo dare una
<rigorosa> spiegazione al volumetto elementare.
Leggi il III vol. del Landau : MQ non relativistica, al capitolo
dell'approx. semiclassica. cap 7, quindi il volume V sempre del landau
FisicaStatistica, i primi 2 capitoli.... in questo modo dovrebbe
esserti piu' chiara la faccenda.
Ciao

 q insieme) e sono descritte da funzioni reali.
[...]
Cos'è la quantizzazione di Weyl?
Ciao.


Benissimo, sono andato a leggere i riferimenti che mi hai dato ed ora
è tutto molto chiaro.
Grazie mille
--
Abruzzo Silvio
silvio....@gmail.com

 Ciao.
E' un modo di descrivere lo stato del sistema lavorando nello spazio
delle fasi, cioe' con posizioni e impulso insieme, apparentemente in
barba al principio di Heisenberg: le funzioni d'onda sono funzioni
sullo spazio delle fasi.
Si tratta di una formulazione equivalente a quella di Schroedinger...
Su Wikipedia trovi una descrizione sommaria.
Ciao, Valter

 Su Wikipedia trovi una descrizione sommaria.
Grazie.
Ciao.

 ovvio che il volume elementare è h^3...>>.
A mio parere questa spiegazione ha al piu' un valore euristico, ma ben
poco rigore.
In realta' una spiegazione rigorosa e' perfettamente possibile, per
es. al modo seguente.
Considera per cominciare il caso particolare di una particella libera
di muoversi in una scatola a pareti riflettenti, di lati l1, l2, l3,
Gli stati stazionari hanno autofunzioni
sin(k1*x1) * sin(k2*x2) * sin(k3*x3)
con k1 = pi*n1/l1, ecc.; n1, n2, n3 sono interi positivi.
Nello spazio (k1,k2,k3) c'e' dunque uno stato nel volume
pi^3/(l1*l2*l3) = pi^3/V (V volume della scatola).
Ora considera che per quelle autofunzioni a k1 corrisonde un impulso
ht*k1 ecc., quindi il volume nello spazio degli impulsi si ottiene da
quello detto moltiplicando per ht^3 (ht sta per h tagliato): uno stato
nel volume h^3/(8*V) dello spazio degli impulsi, ossia nel volume
h^3/8 dello spazio delle fasi.
C'e' il fattore 8 che non torna, ma e' dovuto al fatto chein realta'
le autof. di cui sopra non sono autof. del'impulso, ma contengono
*due* valori opposti per ciascuna componente dell'impulso, con segni
opposti.
Quindi in realta' il volume occupato nelo spazio degli impulsi e'
2*2*2=8 volte maggiore, ed ecco trovato h^3.
Resta solo l'obiezione che questa dimostrazione vale nel caso
particolare della scatola parallelepipeda; ma si puo' dimostrare che
asintoticamente la densita' degli stati non dipende dalla forma della
scatola, ma solo dal suo volume.
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri

 es. al modo seguente.
...
Avevo pensato anch'io a questa spiegazione. Non ero pero' sicuro che 
fosse consistente con la domanda: Silvio Abruzzo aveva parlato di 
"densità di numero di stati nello spazio delle fasi".  Se  fosse stato " 
numero di stati in energia"  non avrei dubbi.  Mi aveva lasciato un po' 
  perplesso invece il riferimento allo spazio delle fasi e percio' 
avevo mandato un reply chiedendo a  che si riferisse in particolare. 
Purtroppo il post deve essersi perso.
Giorgio

 Dell'impulso? dell'energia cinetica o cosa?
Particella libera in una scatola, quindi en. cinetica, ossia laplaciano.
 
-- 
Elio Fabri


OK, secondo me la domanda iniziale era un pò diversa (non si fissava
un'osservabile di cui calcolarne il numero di autovettori, ma forse è
impossibile fare altrimenti), ma questa è comunque una risposta
importante.
Ciao, Valter