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Titolo: Problema moto unidimensionale

Non riesco a risolvere questo problema:
 
Due oggetti A e B sono collegati agli estremi di un'asta rigida di lunghezza 
L. Questi oggetti scorrono lungo le loro guide, perpendicolari tra loro.
Se A slitta verso sinistra con velocità costante v, si trovi la velocità di 
B quando l'angolo formato da A con la sua guida è di 60°.
 
Cerco di rifare il disegno riportato sul libro:
 
B
|    \
|         \
|              \
|                   \
|                        \
O______________A
 
A scorre lungo l'asse X
B scorre lungo l'asse Y
 
Il segmento che unisce A con B rappresenta l'asta rigida di lunghezza L e 
formano un angolo (chiamiamolo W) con l'asse X.
 
 
 
Non è il massimo il disegno ma si dovrebbe capire. La soluzione del problema 
riportata sul libro è 0.577 v.
 
 
 
E' un'ora che provo a farlo e non riesco a venirne fuori. Le uniche cose che 
sono riuscito a ricavare sono:
OA = LcosW
OB = LsinW
 
Ho provato a scrivere la legge oraria di B in funzione dell'angolo ma non 
credo sia esatta:
y(W) = LsinW + V(W_f - W_i)
 
l'idea era quella di derivarla per trovarmi la velocità ma non mi viene 
fuori nulla.
 
 
 
 
Se potete aiutarmi ve ne sono grato. :) 

 OB = LsinW
 
Da cui si ha, derivando le due equazioni rispetto al tempo t:
 
d(OA)/dt = -L * sin(W) * dW/dt = -v
d(OB)/dt = L * cos(W) * dW/dt
 
e sostituendo nella seconda equazione il valore di dW/dt
ricavato dalla prima equazione:
 
d(OB)/dt = L * cos(W) * v / (L * sin(W)) = cot(W) * v,
 
se W = 60° si ha cot(W) = 1/ sqrt(3) e quindi:
 
d(OB)/dt = v / sqrt(3) ~= 0.577 v.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 B scorre lungo l'asse Y
 
 
1). Sai cos'e' il centro istantaneo di rotazione C? E' il punto attorno 
al quale tutti i punti di un corpo rigido in moto su un piano ruotano a 
un certo istante. La velocita' di ogni punto, in quell'istante, e' 
ortogonale alla sua congiungente il punto con C. Dato che B puo' 
muoversi solo lungo y, C deve avere la stessa y di B; dato che A puo' 
muoversi solo lungo x, C deve avere la stessa x di A: C=(x(A),y(B)).
 
Attorno al centro di rotazione la barra ruota con velocita' angolare 
omega, e tutti i suoi punti hanno velocita' tale che  |v|=omega*r, dove 
r e' la loro distanza da C. Quindi
 
    |v(B)| = omega*x(A)
    |v(A)| = omega*y(B)
 
da cui
 
    |v(B)| = |v(A)| * x(A) / y(B)
           = |v(A)| / tan(60°)
 
 
 
2). Per Pitagora,
 
     x(A)^2 + y(B)^2 = L^2  (1)
 
ma anche dopo uno spostamento infinitesimo
 
     [x(A)+dx]^2 + [y(B)+dy]^2 = L^2
 
     x(A)^2 + 2x(A)dx + dx^2 + y(B)^2 + 2y(B)dy + dy^2 = L^2
 
sottraendo m.a.m. la (1)
 
     2x(A)dx + dx^2 + 2y(B)dy + dy^2 = 0
 
dx^2 e dy^2 sono trascurabili in quanto infinitesimi di ordine superiore 
a dx e dy, quindi
 
     2x(A)dx + 2y(B)dy = 0
 
     dy = - dx x(A)/y(B)
 
dividendo per dt
 
     v_y(B) = - v_x(A) x(A)/y(B)
 
che ti da anche il segno: se A si allontana dall'origine, B vi si 
avvicina, e viceversa.
 
 
 
(Nel frattempo, e' arrivata anche la risposta di Bibbiani: bene, ora di 
metodi ne hai tre.)
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

Grazie per la risposta, ma non ho capito alcune cose (probabilmente perchè 
il calcolo differenziale lo farò il secondo anno ad analisi II):
 
perchè derivi OA e OB? Da quello che ho studiato, so che derivando la legge 
oraria del moto trovo la velocità, ma OA e OB sono due segmenti.
 
Inoltre derivando OA da dove esce fuori dW/dt?
 

 Inoltre derivando OA da dove esce fuori dW/dt?
 
Uso il teorema di derivazione delle funzioni composte:
 
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_della_catena
 
 
d(OA)/dt = d(Lcos(W(t)))/dt = L * d(cos(W(t)))/dt =
L * -sin(W(t) * dW(t)/dt (usando le notazioni di wikipedia
x starebbe per t, f() per cos() e g(x) per W(t)).
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani