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Titolo: MQ e spazio delle fasi

Dopo una breve introduzione alla meccanica quantistica mi è sorto un
dubbio relativo all'interpretazione del moto di un corpo visto come la
risoluzione di equazioni differenziali nello spazio delle fasi. Dal
principio di indeterminazione deriva la discretizzazione di x , v; ciò
che non capisco è come si possa definire il sistema x'=phi_x ;
v'=phi_v (con phi  f(x,t)). Mi sembra evidente che il vettore X=(x,v)
dello spazio delle fasi non possa essere definito completamente e il
vettore phi=dX/dt=(x',v') non possa esistere in quanto il termine dt è
praticamente indefinito, avendo dimensione dell'ordine del salto della
variabile X discretizzata. Commetto un errore di fondo? Grazie per
l'attenzione.

Luca Molari ha scritto:

Temo che tu sia una delle (molte) vittime delle "lauree triennali" :-(
Voglio dire che a forza di "brevi introduzioni" non si capisce piu'
niente.
Egoisticamente, sono contento di non essere uno studente di oggi, e
tra poco neppure piu' un professore...
A quello che hai scritto avrei due grosse obiezioni. Una e' sulla tua
confusione, e la spieghero' tra poco. Ma l'altra temo che sia sul modo
come l'argomento ti e' stato presentato...
Spazio delle fasi, traiettoria, eq. del moto del punto in quello
spazio, ecc. ecc. riguardano la mecc. statistica *classica*.
Percio' in questo contesto x e v (sarebbe meglio parlare di p) sono
grandezze perfettamente definite, e non c'e' nessun problema.
Se si vuol fare mecc. stat. quantistica, il modo pulito di farlo e' di
usare la mecc. quantistica *sul serio*: spazio di Hilbert, operatori,
autostati dell'energia, e poi operatore di densita', ecc.
Questo e' fuori di cio' che hai sentito, e non dovremmo occuparcene;
l'ho detto solo per indicarti che esiste una mecc. stat. quantistica
*seria*.
C'e' poi una trattazione ibrida, che cerca di ricavare alcuni
risultati importanti della mecc. stat. quantistica per una via che
potremmo definire "semiclassica", in cui si lavora sullo spazio delle
fasi, e poi si aggiunge un "emendamento" per tener conto in qualche
modo del piu' importante effetto quantistico.
La regoletta base di questo approccio e': calcolare uno stato del
sistema per ogni volume h^3 nello spazio delle fasi.
Utile per il conteggio degli stati, da cui ricavare funzioni
termodinamiche, equazioni di stato, e altro.
Pero' devi tener presenti due cose:
a) Le regoletta e' come ho detto un ibrido comodo, ma non puoi
aspettarti di adoperarla in modo rigoroso, come se ci fosse davvero
una "quantizzazione" (anzi tu parli di "discretizzazione") dello
spazio delle fasi.
b) In ogni caso la deduzione cui accenni dal pr. d'indet. e' del tutto
insoddisfacente, perche' ti puo' dare al meglio una specie di ordine
di grandezza delle celle, mentre nella regoletta c'e' un bel h^3,
preciso preciso, e va bene cosi'.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 preciso preciso, e va bene cosi'.
Salve, ben lungi da me il tentativo di correggerti, ci tengo a 
sottolineare che la "discretizzazione" dello spazio delle fasi ha 
perfettamente senso anche in un ambito classico e che si possono fare 
conti rigorosi.
In linea di principio infatti non si puo' determinare completamente un 
singolo punto dello spazio delle fasi=una configurazione microscopica 
del sistema, anche nel caso classico; risulta quindi conveniente 
descrivere lo spazio delle fasi \Gamma mediante una pavimentazione in 
celle di lato h, pensando ad h come un parametro che sara' al limite 
trascurabile nel limite classico (piccolo ma finito in regime 
quantistico). Con questo approccio la dinamica del sistema nello spazio 
delle fasi e' perfettamente descritta da un trasformazione S con certe 
proprieta' e si puo' ottenere una descrizione "termodinamica" del 
sistema. Per esempio si puo' guardare in "statistical mechanics" di 
Gallavotti.
A presto, A


ci provo senza usare il principio di indeterminazione né la mq.
ad ogni stato termodinamico, definito assegnando poche grandezze
macroscopiche come T, p, V, E etc.etc, corrispondono tanti stati dinamici,
che si definiscono assegnando posizione e momento (o velocità) ad
ogni singola particella che compone il sistema.
è chiaro allora che ci saranno tanti differenti stati dinamici che
realizzano
lo stesso stato termodinamico. chiamiamo W questo numero.
la probabilità di un preciso stato termodinamico considerato è proporzionale
a W. precisamente è data da P=W/T, dove T è il numero di stati dinamici
totali che può ammettere il sistema.
consideriamo (per buona) la relazione di boltzmann che collega
l'entropia S alla "probabilità" W dello stato.
[1] S = k*ln(W)
W, come detto, è in realtà il numero di stati dinamici (microstati) che
corrispondono ad un determinato stato termodinamico (macrostato).
una relazione + precisa è
[2] S = k*ln(P)=k*(lnW - lnT)
ma per ora consideriamo S definita a meno di una costante addittiva
per cui va bene per ora la prima relazione [1].
questo fatto, ora, può dare luogo ad una serie di difficoltà, in quanto vi
sono *infiniti * microstati che corrispondono ad un dato macrostato.
allora superiamo questa difficoltà con un artificio: rappresentando
ogni microstato con un punto nello spazio delle fasi (2f-dimensionale),
invece di farlo in maniera esatta usiamo una rappresentazione
approssimata dividendo lo spazio delle fasi in un certo numero di
"celle" di ipervolume V: ad ogni cella corrisponde uno stato.
quindi due stati non sono "diversi" se due punti cadono nella stessa
cella.
(questa rappresentazione diventa esatta se facciamo tendere V a zero).
ora, se calcoliamo W e T, questi sono numeri "finiti".
tuttavia il valore di W, e quindi il valore assoluto dell'entropia secondo
la relazione [1] dipende dal volume delle cellette.
queste considerazioni fanno vedere che la meccanica statistica
classica non può portare a una determinazione della costante
addittiva dell'entropia.
l'arbitrarietà di N e T è in relazione quindi con l'arbitrarietà della
costante addittiva dell'entropia.
se però adesso (senza tirare in ballo la mq) assumiamo vero
il terzo principio della TD, possiamo usare il valore dell'entropia
per ottenere l'ipervolume delle cellette.
e questo dovrebbe risultare pari ad h^f, dove h è la costante di
plank ed f il numero di gradi di libertà del sistema.
quindi ogni cella ha lato h.
non sono sicuro che il ragionamento sia corretto.
p.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 A presto, A
Ottimo libro, specie se abbinato ai fondamenti di Fluidodinamica, ma
molto molto difficile. La meccanica statistica classica ha una posizione
che risale ai lavori di Boltzmann, peraltro tradotti da Gallavotti, un libro
che
la racconta in connessione con la termodinamica è il libro di Tolman, un
altro bel libro, un poco lacunoso sul piano del rigore logico,
è quello di Huang, ma questa lacunosità va a volte a vantaggio della
leggibilità
che è supportata da un grande impegno esemplificativo . Il Rossi Toucheck
(non ricordo la corretta digitazione) è pure molto ben scritto.
