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Titolo: Prova di ammissione alla Normale di Pisa 1969

Scusate il disturbo, ma avrei questo problemino che ho preso dall'Amaldi
per il liceo classico ed è datato 1969 come prova di ammissione per
entrare alla Normale di Pisa.
"Si considerino 2 automobili eguali che vanno nello stesso verso con
uguale velocità. Come varia al variare di v la distanza di sicurezza
ammesso che la prontezza di riflessi dei guidatori sia 1/5 sec."
Io una soluzione l'ho trovata anche se ammetto di non avere dovuto usare
il dato del tempo di riflesso dei guidatori, ma mi sono solo basata sul
calcolo degli spazi di frenata  s= v(al quadrato)/ 2a.
Il risultato che da il testo è : d= v(al quadrato) /2a dove a =
differenza tra le decelerazioni dei 2 veicoli. in realtà se considero d=
differenza tra spazi di frenata io otterrei d= s(primo
veicolo)-s(secondo veicolo) e quindi sostituendo i risultati non avrei
al denominatore la differenza tra le accelerazioni dei 2 veicoli, ma
avrei la differenza tra i reciproci di tali differenze al numeratore
insieme alla semi velocità al quadrato.
In effetti non sarei d'accordo con il risultato dato dall'Amaldi in
quando se fosse nulla la differenza tra le accelerazioni dal suo
risultato avrei che la distanza andrebbe all'infinito invece con il
risultato da me ottenuto, se fosse nulla la differenza tra le
accelerazioni la d sarebbe nulla .
Chi mi sa dare la propria risposta?
grazie.
P.S.
inutile dire che sarebbe urgente la risposta.
;-))
ileana
-- 
www.ilbarigelletti.org

 
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 Il risultato che da il testo è : d= v(al quadrato) /2a
Hey, ma allora ti trovi....! E che ti manca?....
CMQ.... se ci sono 2 auto, A e B, con v_a e v_b, e con B dietro A, è
necessario sapere dopo quanto tempo dal che A frena inizia a frenare B,
non avviane immediatamente alla decelerazione di A la decelerazione di
B: passa un certo tempo : <prontezza di riflessi dei guidatori sia 1/5
sec.> [la chiamo p_r_g ]
Durante questo tempo p_r_g la B s'è avvicinata ad A di uno spazio pari
a:
{[v_b X p_r_g] - [ INTEGRALE in dt di v_a(t) TRA 0 e p_r_g ]}
Quindi il calcolo originale va corretto tenendo conto che la B non
segue la A standosene sempre alla distanza originale D_orig, ma a
quella corretta dal tempo di risposta.
L'integrale  [ INTEGRALE in dt di v_a(t) TRA 0 e p_r_g ]  si risolve
subito per una decelerazione costante, quindi per una velocità che
varia linearmente nel tempo.
v_a(t) =  v_a - (decel_a X t )   ----->    [ INTEGRALE in dt di v_a(t)
TRA 0 e p_r_g ] = (v_a X p_r_g) - [decel_a X (p_r_g)^2]/2 .......
Praticamente la distanza tra A e B ( D_AB ) all'istante in cui B frena
non è più la distanza che si aveva in fase iniziale, ma è diminuita
di  [(p_r_g)^2] X [decel_a] / 2

 
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Se l'auto antistante (1)
frena piu' forte della tua auto (2) il suo tempo di frenata e' meno
del tempo di frenata della tua auto, che quindi
sara' ancora in moto quando l'auto antistante si
e' fermata. Supponiamo che le due triettorie
si intersechino in un tempo precedente il
tempo d'arresto della traiettoria 1 allora risulterebbe
che in quel tempo v2 > v1 e che lo spazio di frenata
calcolato da quel punto sarebbe s2 => v2^2/2|a2| > v1^2/2|a1|.
infatti |a2| < |a1|
Quindi se |a2|<|a1| basta garantire che il punto di frenata della
tua auto sia precedente al punto di frenata dell'auto
antistante, perche' da questo discende che l'impatto
non puo' essersi verificato prima:
v x tau + v^2/2a2
risulti anteriore al punto di frenata dell'auto 1:
d + v^2/2a1
la distanza limite si ottiene imponendo la coincidenza
delle due condizioni.
Se l'auto antistante (1) frena meno o quanto
la tua auto, quindi se |a1|<=|a2|, potrebbe tuttavia risultare
che la condizione di prima non garantisca di
evitare la collisione.
Occorre allora impostare un'ulteriore disuguaglianza:
 v x t - (1/2) a_2 (t-tau)^2 <= d + v t - (1/2)a_1 t^2
da verificare per ogni istante precedente l'arresto di uno dei
veicoli e successivo al tempo tau. Graficando le due
linee orarie nell'ipotesi |a2|>|a1| e posto d come
nel caso precedente, si evidenzia tuttavia che
in particolare sono solo possibili i casi seguenti:
l'auto 2 ha un tempo di arresto successivo al
tempo d'arresto dell'auto 1 oppure uguale oppure
contrario. Se il tempo d'arresto e' successivo le
due linee orarie non hanno intersezioni nel range
considerato. Nei due casi restanti l'esistenza di
intersezione discende dal teorema degli zeri.
In particolare il caso che tau + v/ |a2| < v/|a1|
va trattato imponendo un valore di d per il quale
si abbia tangenza fra le due parabole. Ovvero
dopo un poco di algebra trovo: d = tau^2/[2(1/|a1|-1/|a2|)]
Risulta che questa distanza e' maggiore o uguale
all'altra nella tipicita' dei casi, mentre la eguaglia
se tau + v/ |a2| <= v/|a1|. Come deve essere per il modo
in cui e' stata derivata. Possiamo quindi riassumere il tutto
dicendo che la condizione di distanza di sicurezza in
condizioni note di tempo di risposta e forza frenante(costante)
dei veicoli sia data da:
 
d = (1/2)tau^2[(1/|a1|-1/|a2|)] se |a2|>|a1| e v > tau/ (1/|a1| - 1/|a2|)
mentre vale
d = v tau + (1/2) v^2(1/|a2|-1/|a1|)
negli altri casi.
In effetti si tiene generalmente conto di una distanza di sicurezza
molto piu' severa ottenuta semplicemente dalla condizione che
d = v tau + (1.2) v^2/|a2| perche' non risulta nota la capacita'
frenante |a1|. E siccome il secondo termine e' tipicamente
preponderante non si tiene praticamente
conto del tempo di risposta ma si sottostima piuttosto la
capacita' frenante del veicolo e si pone una soglia
minima.
Nel caso |a1|<|a2|,
in particolare, nella formula teorica che hai trovato:
d = v tau + (1/2) v^2(1/|a2|-1/|a1|) il secondo termine
tende a diminuire eccessivamente la distanza di sicurezza
e porterebbe ad una distanza di sicurezza negativa
se v > 2tau/ (1/|a1| - 1/|a2|) ma smette di funzionare gia' per
il valore di v = tau/ (1/|a1| - 1/|a2|) ovvero proprio per quella
velocita' limite oltre la quale, se ci affidassimo
a quella formula, risulterebbe una distanza di sicurezza che decresce
con la distanza. Tuttavia, il fatto che sopra questa velocita' lo spazio
di salvaguardia ideale e teorica, risulta indipendente dalla velocita'
e' da correlare con la circostanza che la buona capacita' frenante del
mezzo che segue permette di recuperare efficentemente il tempo di risposta.
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