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Titolo: cisterna....

Salve a tutti.
Ho una cisterna alla cui base vi è un tubicino di uscita. Essa contiene un 
fluido ideale. Applicando il teorema di Bernoulli trovo che la pressione 
alla base della cisterna, in prossimità dell'ugello di uscita, scende 
rapidamente per eguagliare quella atmosferica. La velocità, nel tubo di 
flusso in prossimità del tubicino(o ugello) cresce al restringersi del tubo 
di flusso stesso.
Se ora considero un fluido reale ed ipotizzo che il tubicino abbia una 
resisrtenza molto elevata (piccolo diametro, ad es.), pur potendo continuare 
ad applicare Bernoulli nella cisterna, devo ricorrere alla legge dio 
Poseuille nel tubicino.
Domanda: qual è la ragione per cui aumentando la resistenza del tubicino, la 
pressione al fondo del recipiente tende sempre più al valore previsto dalla 
legge di Stevino?
Il mio ragionamento è: se aumenta la resistenza del tubicino, rallenta il 
flusso del sistema e questo implica che a parità di livello rispetto al 
terreno, una sezione di tubo di flusso entro la cisterna avrà una velocità 
media minore e quindi una pressione media maggiore. Dov'è l'inghippo? Beh... 
l'inghippo è che non posso però applicare Bernoulli per paragonare 
situazioni con flusso diverso, ma devo riferirmi ad un regime stazionario. 
Come si risolve allora il problema?
Grazie 

 Grazie
Ciao, Raffy,
non capisco dove sia il tuo problema. Il fatto che (qualche versione
de) il TdB valga solo per regimi stazionari, non ti vieta di applicare
separatamente il TdB a due flussi diversi ma entrambi stazionari, e
confrontare i risultati. Consideriamo quindi due cisterne uguali,
contenenti lo stesso fluido ed a contatto con la stessa atmosfera, ma
connesse a due tubicini finali diversi. La resistenza al moto nel primo
tubicino è D1, e nel secondo è D2 > D1. Per la prima cisterna (Pi1
pressione nella prima cisterna subito prima del tubicino, Pa pressione
atmosferica, V1 velocità nel tubicino, r densità dell'aria, g
accelerazione di gravità, h altezza cisterna) :
1) Pi1 - Pa = D1*V1 (legge di Poiseuille)
2) Pi1 + 0.5*r*V1^2 = Pa + r*g*h
da cui V1 = sqrt( (D1/r)^2 + 2*g*h ) - D1/r
Applico il TdB alla seconda cisterna :
1) Pi2 - Pa = D2*V2
2) Pi2 + 0.5*r*V2^2 = Pa + r*g*h
da cui V2 = sqrt( (D2/r)^2 + 2*g*h ) - D2/r. Calcolando la derivata di
sqrt( (x/a)^2 + b) - x/a con a e b positivi, si vede che tale derivata
è sempre negativa in R+, perciò V2 < V1.
Se vuoi una spiegazione + "fisica", pensa che l'energia meccanica
totale di cui è dotata una particella di fluido in cima alla cisterna,
quando il foro del tubicino è tappato, è pari all'energia potenziale
dM*g*h. Una volta levato il tappo, quest'energia si convertirà in
parte in energia cinetica della particella, ed in parte in energia
interna del fluido, a causa delle resistenze viscose. Se ripeti
l'esperienza usando un tubicino con resistenza molto maggiore, la
velocità finale della particella tende a 0, ergo la pressione tende al
valore idrostatico.
Ciao,
deltaquattro

Come si risolve allora il problema?
Boh... Non capisco la tua difficolta'.
Io ragionerei cosi'.
Presa come incognita la pressione p all'imbocco del tubicino, la
velocita' media nel tubo sara' k(p-p0) dove k riassume tutti i
parametri costanti e p0 e' la pressione atmosferica. In particolare, k
va come il quadrato del diametro del tubicino.
Tra superficie libera e imbocco del tubo applico Bernoulli, e trovo
p = p0 + rho*g*h - rho*v^2/2.
Da qui calcolo p.
 
-- 
Elio Fabri

 de) il TdB valga solo per regimi stazionari, non ti vieta di applicare
[cut]
Ciao e grazie per la risposta. Mi domandavo se fosse giusto, quindi il 
seguente ragionamento.
Ho due cisterne identiche contenenti acqua fino allo stesso livello h dal 
suolo.
Una ha un forellino che non offre reistenza e l'altra ha un tubetto stretto 
molto "resistente" al flusso.
Nel primo caso, sul pelo dell'acqua, si ha:
Pa + rhg + 1/2r(v_a)^2 = K1
con Pa = press. atm; r = densità fluido, v_0 = velocità di discesa del 
livello d'acqua.
A livello del forellino, si ha:
Pb + rhg + 1/2r(v_b)^2 = K1
rhg = 0; v_b = velocità a livello del foro; Pb = pressione a livello del 
foro.
Si evince (in realtà lo si sa dal fatto che c'è un foro che non offre 
resistenza) che:
Pb = rhg + 1/2r[(v_a)^2-(v_b)^2]
e se v_a è trascurabile, allora:
Pb = Pa + rhg - 1/2r(v_b)^2
Ora, quando Pb = Pa, allora gli altri due termini sono uguali e di segno 
contrario.
Veniamo alla cisterna 2 e riapplichiamo l tutto a livello del foro:
Pb = Pa + rhg - 1/2r(v_b)^2
Ora, anche se il flusso (e quindi la somma dei tre termini del TdB) e 
differente rispetto alla cisterna 1, h (e quindi rhg) è la stessa e così Pa 
(= Press. atmosferica).
Ne deriva che al tendere a zero di v_b, Pb tende a Pa + rgh (P idrostatica 
prevista da Stevino).
Ho ragionato bene?
Grazie  molte

 Da qui calcolo p.
Stavolta, però, ti ho preceduto ;-)
Ciao 

 [cut]
Ma deltaquattro ed Elio Fabri dove sono finiti? Mi dite se le osservazioni 
postate sono corrette? Grazie mille. 

 verso zone di minor presione (vicino al foro)?
Vedi sopra.
Tnk

 due lati della "parete " del tubo di flusso, il che non è possibile.
E perche' non e' possibile?
Se guardi la forma del tubo di flusso nei pressi dell'angolino, vedi
che (ovviamente) e' curvo.
Cio' significa che una particella di fluido segue una traiettoria
curva: qual e' la forza che la fa curvare?
Proprio la differenza di pressione fra il lato "lento" e quello piu'
veloce.
Guarda anche il thread "perchè mai...": stiamo sempre girando intorno
allo stesso punto...
 
-- 
Elio Fabri

 veloce.
Perfetto. Grazie mille. Non č facile passare dalla meccanica 
delpuntomateriale alla fluidodinamica.
Ciao e a presto.