Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Lagrangiana di Dirac

Salve, sto cominciando a studiare un po' di teoria quantistica dei campi
e mi č venuto un problema che sembra tanto banale che sicuramente
nasconde il fatto che non ho capito nulla!!:)
E' presto detto:
data una delle forme con cui si scrive l'equazione di Dirac:
(i*\gamma^{mu}*\delta_{mu}-m)*\psi=0
La lagrangiana che ho sempre letto č \psi aggiunta che moltiplica a
sinistra il primo membro dell'equazione di Dirac.
Usando questa lagrangiana le equazioni di Eulero-Lagrange per \psi e
\psi aggiunta fornisco proprio l'equazione di sopra e la sua rispettiva
per \psi aggiunta.
Ma ora mi chiedo...questa lagrangiana non č forse sempre nulla???
Dove sto sbagliando?
Grazie

 Grazie
Non sbagli, ma è nulla solo sul moto, questo non crea problemi ai fini
del ricavare
le equazioni di Eulero-Lagrange dato che
per ottener ele equazioni di E-L devi variare l'azione fuori dal moto.
La lagrangiana di Dirac,  ha però la peculiarità di essere
"singolare", cioé
non permette il passaggio automatico alla formulazione hamiltoniana...
Ciao, Valter

 equazioni di E-L devi variare l'azione fuori dal moto.
Con questo Valter ti ha detto l'essenziale; tuttavia io credo che un
supplenteo di spiegazione sia opportuno, perche' la tua difficolta' in
realta' non ha niente a che vedere co la teoria dei campi, e
tantomento cona teoria _quantistica_; e' una difficolta a livello di
meccanica analitica.
Infatti lo stesso problema avresti potuto portelo in meccanica
analitica classica, magari non per la lagrangiana, ma certo per la
hamiltoniana.
Saprai che esiste una formualzione variazionale in cui entra la
hamiltoniana, e che d'altra parte in un sistema conservativo H e' una
costante del moto: quindi nascerebbe lo stesso problema...
O se preferisci: considera un punto materiale vincolato a muoversi su
una superficie, in assenza di forze attive.
Allora la lagrangiana si riduce alla sola energia cinetica, che in
questo caso e' costante.
Non e' zero, ma il tuo problema nascerebbe ugualmente...
Chiariamo dunque.
La lagrangiana (mecc. anal. classica) e' intesa come funzione delle
coord. lagrangiane q, delle loro derivate q' (sta per q-punto) ed
eventualmente del tempo.
L'integrale di Hamilton-Jacobi S si calcola assegnando una data legge
oraria q(t): questa determina anche le q'(t) e quindi il valore di
L(q,q',t) a ogni t.
Dunque *data la legge oraria* e' noto il valore di S (integrale di L
tra due istanti fissati).
Per questo motivo S va visto come un _funzionale_ dallo spazio delle
leggi orarie (curve parametrizzate nello spazio dellle configurazioni)
ai reali.
Il teorema di H-J ti dice che la legge oraria che soddisfa le eq. del
moto di Lagrange coincide con quella che rende _estremale_ questo
funzionale; il che vuol dire che se invece di una certa q(t) ne prendi
una vicina: d(t) + dq(t), la variazione di S si annulla _al primo
ordine_ in dq(t).
Dunque tu in partenza *non sai* se la tua q(t) sara' la soluzione
cercata: calcoli S per le leggi orarie vicine, e vedi che succede. Se
la variazione prima si annulla, hai trovato la soluzione.
Nell'esempio del moto su una superficie, scoprirai che _lungo quella
soluzione_ L risulta costante; ma solo dopo che ci avrai sostituito
dentro per q, q' le funzioni di t date dalla soluzione.
 
-- 
Elio Fabri

 Ciao, Valter
Lo stesso accade per l'azione per un campo scalare che, a meno di
termini di bordo, e' nulla sulle soluzioni delle eq. del moto.
Tuttavia, trascurando i termini di bordo, il problema variazionale non
sarebbe ben posto.
Idem per l'azione di Einstein-Hilbert.
Nota inoltre che l'azione valutata sulla soluzione classica con
condizioni al bordo assegnate e' la funzione di Hamilton...
 
ciao, eugenio

 Ciao, Valter
Ciao e grazie per la risposta.
Sapresti dirmi qualche libro dove viene trattato il problema? Perche nel
Mandl e Shaw e nel Ryder che ho non viene minimente accennato e, anzi,
calcolano l'Hamiltoniana con la definizione solita, e, infatti, mi
chiedevo perchè considerassero anche il termine di densità di lagrangiana.
A questo punto credo ci sia un procedimento più corretto, perchè in
quello che ho letto sfrutta proprio la lagrangiana (che, nel calcolo di
H dovrebbe essere nulla, no?) e lo sviluppo in modi normali per ottenere
la forma tipica di H con gli operatori numero.
Ciao, Paolo

Ok, ho capito da dove č sorto il mio problema...fra l'altro cercando
su google nel 2002 un altro Paolo ha scritto un mess praticamente
identico e ha ricevuto risposte molto simili (dalle stesse persone
infatti)..all'inizio leggere il messaggio  cosě simile al mio mi ha un
po' inquietato :) .. avessi googlato prima!!
Beh grazie a tutti lo stesso!

 [...]
Hai ragione, ripensando all'argomento in questi giorni avevo infatti
visto che succede lo stesso quando H è costante del moto...solo che in
meccanica analiica in realtà il problema mi era passato dritto del
tutto :( !
Comunque ora penso di aver capito il problema, che all'inizio avevo
inquardato male (e infatti anche nel successivo messaggio a Valter
Moretti ho risposto convinto fosse una problema specifico del caso di
Dirac)...bhe vorrà dire che dovrò rivederlo alle basi!!
Grazie, Paolo