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Titolo: Velocità angolare

Salve a tutti.
Avrei un dubbio riguardo la velocità di rotazione di un corpo rigido
rispetto al suo asse passante per il centro di massa. L'argomento è il moto
di puro rotolamento. Cito:
"...la velocità angolare, rispetto ad un asse passante per il centro di
massa e parallelo all'asse fisso o rispetto a quest'ultimo, è sempre la
stessa." (Mazzoldi, Nigro, Voci - Elementi di Fisica - pag 130)
Cosa vuol dire questa frase? La velocità angolare è la derivata dell'angolo
rispetto al tempo e l'angolo è quello rispetto al centro della
circonferenza, quindi in questo caso quello rispetto all'asse che passa per
il centro di massa.
Cosa significa misurare la velocità rispetto ad un altro asse?
Ammesso sia la variazione dell'angolo nel tempo, se la velocità angolare è
costante rispetto al centro della circonferenza, allora rispetto ad un punto
appartenente al diametro di questa non lo è più, perché non vengono percorsi
angoli uguali in tempi uguali.
Mi svelate l'arcano?
Grazie a tutti in anticipo
Casaubon

 Cosa vuol dire questa frase?
Ciao,
 ci provo ...
Prendiamo, come esempio, una normalissima porta poggiata su due cardini.
Quando studi il moto della porta attorno ai cardini, puoi vedere il
sistema in due modi, scegliendo di volta in volta quello che ti fa piu'
comodo:
1) un parallelepipedo che ruota attorno ad un suo spigolo, con velocita'
   angolare W1;
2) un parallelepipedo che ruota attorno al proprio centro di massa, con
   velocita' angolare W2, mentre il suo centro di massa percorre una
   traiettoria circolare (centrata sui cardini) con velocita' angolare
   Wcm.
Bene, la frase che hai riportato dice che W1 ("rispetto a quest'ultimo")  
e' uguale a W2 ("rispetto ad un asse passante per il centro di massa e
parallelo all'asse fisso").
Poi, per la cronaca, e' vero anche che W2 e' uguale a Wcm ...
 Ciao
 Federico

  Federico
ciao
Casaubon

Mi è appena venuta in mente un'obiezione: l'asse non è solidale con il corpo
rotante! Se fosse solidale, non sarebbe il sistema non inerziale? O per
quanto riguarda la velocità angolare la relazione (viste anche le equazioni
del moto circolare) è simile a quella velocità nel moto rettilineo?
Ma il discorso è: io l'angolo che varia nel tempo lo misuro rispetto
all'asse per il centro, rispetto ad un altro asse fisso questo varia in modo
diverso!
Mi sembra di essere vicino alla soluzione, ma è come avere una cosa sulla
punta della lingua e non riuscire a dirla!
Casaubon

Casubon ha scritto:

Allora forse ci sta bene un lezioncina di meccanica razionale: capitolo
"cinematica dei moti rigidi" :-)
(La verita' e' che ne sento il bisogno: dopo le particelle virtuali,
questo buon vecchio terreno solido mi fa sentire un po' meglio :-)) )
Naturalmente non definisco tutto e non dimostro niente; ma spero
possa essere utile lo stesso.
1. Fissiamo un certo istante di temo: allora ogni punto P del corpo ha
una sua velocita' v(P) (vettore).
Si dimostra che le velocita' di due punti distinti sono legate come
segue:
v(P) = v(Q) + w x QP   (1)
dove x indica il prodotto vettore, QP e' il vettore da Q a P, e w
(velocita' angolare) e' un vettore che non dipende dai punti.
A un tempo diverso w puo' riuscire diversa, in grandezza e direzione.
Nella terminologia dei meccanici di scuola italiana, questo campo di
velocita' a' un dato istante veniva detto "atto di moto".
2. (Teorema di Mozzi).
Per qualunque atto di moto rigido, esistono punti le cui velocita'
sono parallele a w.
Segue dalla (1) che questi punti hanno tutti la stessa velocita', e
che detti punti stanno tutti su una retta parallela a w (asse di
Mozzi).
3. In generale la velocita' dell'asse di Mozzi non e' nulla; se lo e'
si parla di _atto di moto rotatorio_.
In questo caso tutte le altre velocita' (per la (1)) sono ortogonali a
w.
L'asse di Mozzi si chiama in questo caso "asse istantaneo di
rotazione".
4. In particolare, se durante il moto w mantiene direzione costante, e
l'atto di moto e' sempre rotatorio, si parla di "moto piano": le
traiettorie di tutti i punti si svolgono in piani perpendicolari a w,
e basta considerare uno solo di tali piani per avere una discrizione
completa del moto.
Fine della lezione.
Ora applichiamola al caso particolare del puro rotolamento (di un
cilindro; per una forma diversa anche il puro rotolamento potrebbe
essere assai piu' complicato: esempio della palla di biliardo con
effetto.)
Abbiamo un moto piano, il cui asse di Mozzi e' la generatrice
di contatto tra cilindro e piano.
Se Q e' un punto di tale generatrice, la (1) da'
v(P) = w x QP.
Se P sta sull'asse del cilindro ne segue |v(P)| = |w|r (r raggio del
cilindro) e v(P) e' ovviamente parallela al pinao e ortogonale
all'asse del cilindro.
Se Q' e' un punto dell'asse del cilindro, per la (1) sara' sempre
v(P) = v(Q') + w x Q'P
dove pero' v(Q') non e' nulla ed e' diretta come visto sopra.
In parole, puoi dire che la velocita' di un punto generico si ottiene
componendo la velocita' dell'asse del cilindro con una rotazione di
vel. ang. w attorno a quell'asse.
Non so se quanto precede ha chiarito qualcosa...
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Casaubon 

 Federico Secondo, Napoli)
O bella: se tu avessi gia' fatto mecc. razionale, queste cose le
dovresti sapere.
Io ho solo cercato di anticiparti quello che sentirai dire dal tuo
prof. Renno.
Ammetto che non sono cose facilissime, pero' se cerchi di pensarci un
po' seriamente, guardando bene quello che ho detto e applicandolo al
caso che t'interessa, dovresti arrivarci...


Ok, si dimostra che la velocità angolare non dipende dai punti: questo 
spiega tutto.
Ma cosa spiega che la velocità angolare non dipende dai punti?
Non nego che quest è veo, ma non ha capito *perché*!
Se la velocità angolare è la variazione nel tempo dell'angolo formato dai 
due raggi vettori, se cambio polo non cambia anche la velocità angolare?
In altre parole: mi dici qual è questo teorema?
Grazie mille comunque.
Casaubon
P.S: Ma l'angolo è un vettore? Altrimenti come può essere che la derivata di 
una funzione scalare sia una funzione vettoriale? O mi sbaglio? Forse è qui 
il problema! 


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 suo modulo non dipendono dal riferimento inerziale.
Appena hai digerito questa espressione che dovrebbe essere
abbastanza intuitiva, allora con un poco di
algebra ti accorgi che e' ridondante e che e'
possibile scegliere V(t) parallelo
ad Omega(t). Sia infatti V_(t) la componente
ortogonale di V(t) rispetto ad Omega(t). Esiste un vettore
r_k ortogonale ad Omega(t) tale che
V_(t) = Omega(t) x r_k Il risultato e' il teorema che cita
Fabri.
Mi rendo conto che il percorso non e' ineccepibile
sul piano logico, e che l'affermazione potrebbe non risultare
intuitiva per ognuno, ma io ci arrivo cosi' :
consideriamo due punti A e B e poniamoci nel
riferimento in cui questi due punti non hanno
velocita' lungo il segmento che li congiunge ed
uno a scelta fra i due risulta fermo del tutto sia A.
Se ora consideriamo il piano che contiene questi
due punti ed e' ortogonale alla velocita' residua
in B, allora esiste una
retta di punti fissi su questo piano. Questo sara'
l'asse di rotazione.
Per dimostrarlo osservo in primo luogo che
tutti i punti di questo piano non possono avere una
componente di velocita' lungo il piano, il punto che
violasse questa regola si allontanerebbe dal punto
fisso violando la condizione di rigidita'. Dunque le
velocita' dei punti di questo piano sono ortogonali
al piano medesimo. Se consideriamo tre punti allineati
deve risultare inoltre che le velocita' di questi tre punti
sono indicate da tre vettori i cui estremi sono allineati,
in caso contrario i punti in oggetto non rimarrebbero
allineati. Di conseguenza consideriamo un punto Q
nel piano esterno alla retta AB se il punto Q ha velocita'
diversa che la velocita' in B congiungendo gli estremi
dei vettori di velocita' abbiamo una retta che interseca
il piano ABQ nel punto Q' che risulta essere fisso.
Allora AQ' e' fisso. Se la velocita' in Q e' uguale alla
velocita' in B cambiamo il punto Q considerando un
punto lungo la congiungente AQ.


 punto lungo la congiungente AQ.
Un po' caotica, non penso di aver capito molto :-(
Cmq non è importante: il succo della questione è che la velocità angolare, 
per come è stata definita, non dipende dalla scelta del punti, ma è una 
"proprietà" del moto rotatorio del corpo, indipendente dai punti (lo so, lo 
so, farò storcere il naso a molti, ma dal punto di visa intuitivo io me 
l'immagino così).
No chiedo di dirmi se quanto ho detto è corretto (sarebbe un parolone), ma 
se almeno dal punto di vista intuitivo ho imbroccato il concetto...
Un afflitto (dall'ignoranza ;-p)
Casaubon 

 Casaubon


 Hai ancora da meditare, e pero' hai imbroccato una via ragionevole.
Mediterò e non mancherò di farmi sentire...
Casaubon 


 



Thanks :-)
Casaubon 

 ha scritto:

You too, und bitte :-)


 Casaubon
Mi sono ricordato il modo che usavo al secondo anno
per convincermi rapidamente che esiste un asse fisso
di rotazione in un dato riferimento.
I osservazione: il campo di velocita' di un corpo rigido deve
variare con continuita'. In caso contrario se due punti arbitrariamente
vicini conservassero un gap di velocita' indipendentemente
dalla distanza si allontanerebbero.
 
II osservazione: considero il riferimento in cui un punto A sia fermo,
e considero una sfera con centro in A. Il campo di velocita' risulta
tangente alla sfera perche' in caso contrario, se esistesse una componente
radiale esisterebbe un punto che si allontana da A.
III osservazione: un teorema garantisce che un campo vettoriale continuo
e tangente ad una sfera deve annullarsi in un punto. E' un teorema basato
su una elaborazione del teorema del punto fisso di Brouer, che ha una
dimostrazione topologica molto semplice, ma di lunga presentazione.
IV osservazione: se due punti sono a velocita' zero
ogni punto nell'asse che li contiene deve essere
a velocita' zero, in caso contrario la distanza di
quel punto dagli altri due varierebbe.
V osservazione: le velocita' devono variare linearmente
con la distanza allontanandosi dall'asse di punti a
velocita' zero, in caso contrario la distanza del punto
che non ha velocita' media rispetto alla velocita' di due
punti estremi, varierebbe, contro l'ipotesi di conservazione
delle distanze.


Per ogni contributo io tendo le orecchie!!
Casaubon


 Se, intanto che, superato l'esame, avrai voglia di tornare a meditare su
questa questione del momento angolare, potrai riflettere sui seguenti
teoremi che permettono di approfondira la struttura matematica delle
isometrie.
Definizione: in uno spazio vettoriale R^n dotato di prodotto scalare non
degenere definito positivo (euclideo), le isometrie I sono caratterizzate
come
le trasformazioni dello spazio che conservano i quadrati delle distanze.
<(x-y),(x-y)> = <(Ix-Iy),(Ix-Iy)> per ogni x,y in R^n.
Lemma: la condizione di isometria equivale alla condizione di conservazione
del prodotto scalare fra coppie di vettori qualsiasi.
Teorema 1: per ogni isometria I esiste una trasformazione lineare
ortogonale O(I) tale che: Iy-Ix = O(y-x).
Teorema 2: data una funzione I(t) ovvero una parametrizzazione
liscia e continua di isometrie, esiste una curva nello spazio vettoriale
delle trasformazioni lineari ortogonali: O(t) e risulta O(t+k)=O(t)M(k)
dove O ed M sono funzioni ortogonali. la derivata rispetto a t calcolata
in t di O(t) e' uguale ad O(t)xA dove A=dM/d(k) e' una matrice
antisimmetrica.
Teorema 3: d I(t)y / dt |t=0 = A(t) (y - x) + dx/dt
Le dimostrazioni le trovi sui libri di meccanica analitica, ma comunque
puo' essere formativo riflettere su dimostrazioni convincenti per te di
questi teoremi, magari a partire dalle considerazioni geometriche
elementari. Ad ogni modo la forza di questa argomentazione e' che
prescinde dal supporto spaziale e dall'intuizione della geometria
euclidea 3 - dimensionale. Ora una conseguenza del fatto che A(t)
e' antisimmetrica e' che ha almeno un autovalore nullo se la dimensione
e' dispari e che esiste un asse a velocita' nulla.
Questo argomento non si applica per esempio in dimensione quattro.
Ed infatti in dimensione quattro sono costruibili atti di moto angolare
che hanno un solo punto fisso. Per esempio quelli che corrispondono
ad una simultanea rotazione del piano x,y e del piano z,w.


Con un po' di ritardo, ma grazie mille!
Casaubon