Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: intorno al punto

qualcuno mi può spiegare
la nozione di intorno in fisica?
Ho letto che fra due eventi
non c'è casualità se non sono
separati da distanze di tipo luce
o tempo. Non so se è corretto.
Ma dunque cosa caratterizza fisicamente
l'intorno di un evento?
Sono proprietà fisiche reali o sono
solo astrazioni matematiche?
 
ciao
Massimo

 distanze di tipo luce o tempo. Non so se è corretto.
Dovresti prima di tutto chiederti che differenza essenziale c'e' fra 
distanze di tipo tempo o tipo spazio. Non solo che una e' positiva e 
l'altra negativa, ma se riesci a raggiungere i due punti delle distanze 
muovendoti il piu' rapidamente possibile in entrambi i casi.

 muovendoti il piu' rapidamente possibile in entrambi i casi.
 
vuol dire che un evento fermo
nello spazio si dispiega comunque
nel tempo alla velocità
limite della luce?
E corretto?
E dunque il suo intorno
è reale o un'astrazione matematica?
 
 
ciao
Massimo

> possibile in entrambi i casi.
 
La metto piu' semplice ancora. c*delta t e' velocita' per tempo, cioe'...
 
Se vai piu' veloce nello stesso intervallo di tempo quanto spazio 
percorri?
 
E' roba davvero elementare, nulla di trascendente.

 l'intorno di un evento?
 
 
Non so se può essere utile, ma in un diverso thread avevo cercato di rispondere al problema posto da qualcuno, su onde luminose sferiche esaminate da due riferimenti inerziali diverse.
 
Ciò assomiglia al problema dell'intorno circolare.
 
 
Nella discussione, che ha prodotto il foglio dinamico qui sotto riportato, affermavo che la sfera del primo riferimento, nel secondo identificava, all'avanzare del tempo, diverse sezioni di un elissoide.
 
Ovviamente, se sono in errore, mi scuso.
 
Furio
 
Il foglio
https://www.geogebra.org/m/tahy8kqj
 
 
Il Post originale: 
https://groups.google.com/forum/#!msg/free.it.scienza.fisica/I9guwp94_bw/Ow0AdKMbFQAJ
 


Lascio ai super-esperti darti una risposta formale adeguata, ma voglio 
vedere se geometrica o fisica, dato che vedo una certa mescolanza al 
riguardo.
 
Io parlo invece intuitivamente.
Da questo punto di vista, l'intorno' è relativo al tipo di influenza che 
il punto ha - e su che cosa.
Se il punto cui alludi è un punto materiale (come si usa dire), ossia 
che "contiene" tutte le proprietà di un certo corpo, per esempio il 
pianeta Terra, si potrebbe dire che un suo intorno è tutto quello spazio 
fisico entro cui la Terra ha una concreta influenza. Però l'intorno 
andrebbe definito in funzione di influenze (proprietà) specifiche e non 
in maniera generica o totalizzante - per esempio dove arriva quella sua 
influenza che si chiama gravità?
 
Omega

Il 12/09/19 18:27, Toni Starc ha scritto:

ah lo sarà per voi...
per me che
non so un tubo di matematica
e fisica è difficilissimo.
Ma siccome ragiono
sui concetti non ci stiamo allontanando
da quello di punto e di intorno?
 
ciao
Massimo

 
Non ho capito del tutto; immagino che tu intenda eventi "vicini" temporalmente o spazialmente ad un evento dato; è insolito in un contesto in cui l'invariante è l'intervallo spaziotemporale. 
 
Tuttavia le trasformazioni sono semplici affinità, per cui ad un intorno "circolare" corrisponderà una qualche ellisse (ellissoide) con in cui eventi passati o futuri restano nel passato e nel futuro.

 Omega
 
ciao
Massimo

 Tuttavia le trasformazioni sono semplici affinità, per cui ad un intorno "circolare" corrisponderà una qualche ellisse (ellissoide) con in cui eventi passati o futuri restano nel passato e nel futuro.
 
perché una ellissoide?
Un intorno ad esempio è
utile per il concetto di limite
nella velocità istantanea.
Ma non mi risultano deformazioni geometriche
tali da non dover considerare cerchi
e circonferenze o coni ma loro
deformazioni.
 
ciao
Massimo

 Mi interessava il concetto di *casualità*
 
corrige: causalita'


La faccenda è piuttosto complicata, e vedo molta confusione in giro 
(giustificata dalla situazione "anomala" dello spazio di Minkowsky).
Vediamo che mettere un po' d'ordine.
 
Intanto insisto che possiamo solo occuparci del modello matematico che la RR usa per lo spazio-tempo fisico.
Solo su questo modello (spazio di Minkowski, M) si possono dire cose 
precise, e bisogna parlare la "lingua matematica" (Galileo).
 
Per cominciare, M è uno *spazio topologico*. Questo vuol dire che è
dotato di una *topologia*, ossia di un un insieme di sottoinsiemi che 
chiamiamo "aperti", le cui proprietà - che non sto a descrivere - si 
assumono come requisiti perché possano essere accettati come aperti.
Su questo torno fra poco.
 
Secondo: M è una "varietà 4D". Ciò significa che su M è possibile 
definire sistemi di *coordinate*, più esattamente quaterne di reali, in
modo da far corrispondere uno a uno i punti di M a quelli di R^4.
Per una generica varietà questa corrispondenza potrebbe essere 
complicata dal fatto che potrebbero non esistere sistemi di coordinate 
validi per tutto lo spazio. Si dovrebbe allora ricorrere a un "atlante", 
ossia a un insieme di "carte": sistemi di coordinate validi su parti 
dello spazio, con le parti che si sovrapongono in modo che la loro 
unione ricopra l'intero spazio.
Questo succede già nel caso semplicissimo di una sfera 2D, che richiede 
almeno 2 carte. Ma non succede per M, dove è possibile scegliere singole 
carte valide per tutto lo spazio (la scelta non è unica).
 
Il fatto che M sia una varietà 4D con una sola carta permette di definire la topologia appoggiandosi su quella di R^4: aperto di M è 
l'immagine di un aperto di R^4 e viceversa.
Gli aperti di R^4 sono definiti in modo canonico basandosi sulla 
*distanza euclidea*: se P, Q sono due punti di R^4 si ha
 
d(P,Q)    sqrt[(tP - tQ)^2 + ((xP - xQ)^2 + (yP - yQ)^2 + (zP - zQ)^2].  (1)
 
La stessa distanza e la conseguente definizione di aperto (che salto) verrà assunta in M.
 
Attenzione: è ovvio che questa definizione di distanza non ha niente a 
che vedere con la metrica di Minkowsky. Ma ai fini della topologia, che 
formalizza il concetto intuitivo di "vicinanza" tra punti, ciò è 
necessario. Vedremo fra poco il perché.
 
Le proprietà di M non sono però finite.
M non è solo una varietà: è una varietà "pseudo-euclidea".
Detto in modo semplificato, questo significa che tra due punti di M è 
definita una *metrica* (da non confondere con la distanza di cui sopra, 
ed è questa confusione che ha viziato molti post):
 
s(P,Q) = (tP - tQ)^2 - (xP - xQ)^2 - (yP - yQ)^2 - (zP - zQ)^2  (2).
 
Notate le differenze tra (1) e (2):
- in (2) non c'è la radice quadrata
- ci sono invece dei segni meno.
La presenza dei segni meno spiega perché "pseudo": s(P,Q) *non è 
definita positiva*, anzi può assumere entrambi i segni a seconda dei 
punti, e per di più può annullarsi anche se P e Q sono punti distinti.
 
Notate che anche se volessimo trascurare la questione dei segni, per es. 
occupandoci solo di punti P, Q per i quali s(p,Q)>0 (separazione di tipo 
tempo) non potremmo mai usare s(P,Q) per definire una distanza nel senso 
in cui la si usa in uno spazio metrico, prendendone la radice quadrata:
 
d'(P,Q) = sqrt[s(P,Q)]  (def. provvisoria)
 
Infatti non vale la disuguaglianza triangolare, anzi: se P,Q,R sono tre 
punti distinti con separazioni di tipo tempo, ordinati in modo che sia 
tP < tQ < tR, vale sempre la disuguaglianza
 
d'(P,R) >= d'(P,Q) + d'(Q,R)
 
che contraddice la disug. triangolare.
 
**************************
 
Però per la fisica è importante la metrica, che come sappiamo è 
invariante per cambiamenti di rif. (inersiale).
Vediamo bene che cosa questo significa.
Avevo scritto sopra che i sistemi di coordinate per M non sono unici. 
Infatti già a ogni rif. inerziale si associa un sistema di coordinate, 
per cui dato un punto P esso avrà coordinate (t,x,y,z) in un rif. K e 
coord. (t',x',y',z') in un rif. K'.
E' ben noto che se calcoliamo le due metriche
s(t,x,y,z) e s(t',x',y',z') otteniamo *lo stesso risultato*.
Questa è l'invarianza che dicevo.
Notate bene che ho tenuto fisso il punto P dello spazio-tempo, e l'ho 
riferito a due diversi sistemi di coordinate, quello di K e quello di K'.
E' il punto di vista noto come "passivo".
(Attivo sarebbe non cambiare rif. ma trasformare il punto applicando 
alle sue coord. una trasf. di Lorentz.)
 
C'è un problema: la metrica è invariante per cambiamento di rif., e sta 
bene. Ma la distanza euclidea d, che abbiamo usato per definire la 
topologia, non lo è.
Se per es. definiamo "palla" di centro P e raggio r relativa al rif. K 
l'insieme dei punti Q che soddisfano
 
d(P,Q) < r
 
che cosa succede se calcoliamo, per fissati punti P,Q, la suddetta 
distanza usando le coordinate di K'?
La risposta l'ha già data FP: la palla si trasforma in un ellissoide 
(evito la dimostrazione).
E' un problema questo? No.
 
A noi la distanza serve solo per definire gli aperti e gli intorni.
Per inciso, non avevo dato la definizione di *intorno* di un punto.
Semplicissimo: si chiama intorno di P ogni aperto di M che contenga P.
In particolare sono intorni le palle di centro P.
 
Ora accade questo: che se usiamo le coord. di K' la palla diventa un 
ellissoide, ma questo ellissoide contiene sempre una palla di centro P 
ed è contenuto in una palla di centro P.
Ne segue (non è proprio banale, ma fidatevi ...) che la topologia (ossia 
gli aperti) rimane la stessa, che si usino le coord. di K o quelle di K'.
In breve: la topologia che avevamo definito *è invariante* per trasf. di 
Lorentz.
 
Mi pare che possa bastare, ma se servono chiarimenti, sono qui.
 
 
-- 
Elio Fabri

 (giustificata dalla situazione "anomala" dello spazio di Minkowsky).
Spazio di chi??

 Mi pare che possa bastare, ma se servono chiarimenti, sono qui.
 
applauso accademico...
le deformita' spaziali
dell'elllissoide rispetto
alla palla hanno effetti
sulla causalita' fra eventi
vicini?
 
ciao
Massimo

 Lorentz.
 
Non sempre un'immagine chiarisce, tuttavia considerando solo x e t, 
https://www.scuolefvg.org/doc/IntornoEllisse.jpg
 
 
Il problema della causalità è certo rilevante. 
 
Già in meccanica, ad esempio, un urto tra due corpi può avvenire o meno a seconda della traiettoria di uno o l'altro dei due, e a seconda dell'anticipo o del ritardo temporale del corpo rispetto a una traiettoria data.
 
 
Qui - mi pare - si aggiunge un'ulteriore problema sull'"altrove", ovvero sulla esistenza o meno di un sistema di riferimento in cui due eventi possano essere considerati simultanei, problema che classicamente non si presenta.
Su questo forse varrebbe la pena di fare qualche considerazione
 
fp

 fp
 
ciao
Massimo