Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Paradosso dei gemelli anche per le lunghezze?

Ciao,
a tutti è noto il paradosso dei gemelli che dimostra che la dilatazione dei
tempi che la relatività prevede è reale, ovvero che il gemello che ha
viaggiato con velocità prossima a quella della luce quando sarà rientrato
dal suo viaggio interstellare sarà più giovane del proprio gemello
sedentario.
Mi chiedo: vale la stessa cosa per le lunghezze?
Ovvero prendendo due regoli identici e ponendo in velocità prossime alla
velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
                                            Giuseppe Pipino
--
________________________
http://eratourania.supereva.it
________________________

velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
No, però la lunghezza dipende dalla velocità: nel momento in cui il
regolo sta viaggiando a una velocità prossima a quella della luce,
esso dovrebbe essere più corto. Quando poi si fermerà, (per essere
misurato), esso tornerà alla lunghezza originaria.
-- 
(*metallikop*libero*it*)
{
http://web.tiscali.it/mbsoftware
}

 uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
NO: quando torna in quiete nel sistema di riferimento di partenza avrà la
stessa lunghezza di quando era partito.

 ha scritto nel messaggio
news:ojaO7.218578$sq5.10...@news.infostrada.it...


 velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
No.
Ma finchè il rettangolo resta a velocità prossime a "c" rispetto a te,
osserverai un accorciamento nella direzione del moto.
Nettuno

 velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
No. Sarà più corto finchè viaggia, ma tornato in quiete
rispetto al primo regolo, sarà uguale a questo.
Accade cioè proprio quello che ti dicevo prima riguardo
agli orologi e al ritmo di invecchiamento dei gemelli tornati 
insieme.
In sostanza: in relatività speciale (ma anche in quella
generale) la frequenza degli orologi e la lunghezza dei
regoli NON dipendono dalla loro storia precedente. 
Spero di essere stato chiaro.
Saludos
Corrado 
-- 
Posted from  [212.171.171.124] 
via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
Se il secondo regolo, quando ritorna, si ferma (nel sistema di
riferimento del primo regolo) allora avra' la stessa lunghezza del
primo regolo (come si ricava dalle trasformazioni di Lorentz e come
e' confermato dagli esperimenti).
A proposito invece della "realta'" della contrazione delle
lunghezze, segnalo che alcuni autori contestano proprio questa
parola "realta'", ricavando le trasformazioni di Lorentz-Einstein
attraverso la teoria dei campi ritardati, che assume un ritardo
nella propagazione dei campi elettrici e magnetici e non richiede
alcuna "contrazione".
H.E. Wilhelm, Z. Naturforsch. 45a, 1990 p. 736
O.D. Jefimenko, Am.J.Phys. 63 (3), 1995 p. 267
O.D. Jefimenko, Z. Naturforsch. 53a, 1998 p. 977
Ciao
Mario Leigheb

 ha scritto nel messaggio
news:ojaO7.218578$sq5.10...@news.infostrada.it...


 velocità della luce uno dei due, quando ritorna sarà più corto dell'altro?
No, la contrazione di Lorentz non dipende dalla storia passata del regolo, per
cui
quando i due regoli sono relativamente fermi non ci puo' essere differenza di
lunghezza.
Mi pare pero' che questa possibilita' fosse stata ipotizzata da Weyl nel
tentativo
di costruire una teoria geometrica dell'elettromagnetismo nel contesto della
relativita' generale.
Riguardo invece la realta' della contrazione di Lorentz un esperimento
(purtoppo soltanto mentale) dovrebbe fugare ogni dubbio:
Considera due astronavi identiche, ferme ad una certa distanza  d lungo
l'asse x di un riferimento inerziale S.
All'istante t = 0 entrambe le astronavi partono accelerando nella direzione
delle x positive ed eseguono lo stesso tipo di moto (visto da S) fino a
raggiungere una certa velocita' v .
Poiche' il loro moto e' identico la distanza misurata da S resta sempre
invariata.
Ora supponiamo che un cavo non estensibile fosse stato inizialmente teso tra le
due astronavi. La lunghezza di questo cavo, a causa della contrazione
relativistica
si deve ridurre del solito fattore (1-vv/cc)^1/2.
Ne segue che il cavo si deve spezzare, e questo e' sicuramente un fatto
oggettivo
che dimostra la realta' della contrazione di Lorentz.
Ciao,
        Massimo Brighi

 fatto oggettivo che dimostra la realta' della contrazione di Lorentz.
Quello che dici e' giusto: il cavo si deve spezzare. Pero' dubito che
sia persuasivo, e soprattutto che si possa considerare una
"dimostrazione".
Prima di tutto, manca un pezzo del discorso: come si vedono le cose nel
riferimento delle astronavi?
Il punto e' che se io sto su un'astronave, non vedo l'altra restare a
distanza costante, ma la vedo allontanarsi. Quindi e' giusto che il cavo
si spezzi. E siccome questo e' un fatto oggettivo, come dici tu, lo si
vede anche dal rif. S, dove le astronavi mantengono distanza costante.
Che il rif. dell'astronave non sia inerziale, non e' un problema: posso
sempre pensare al rif. inerziale "tangente", in cui a un certo istante
l'astronave A e' ferma. Il fatto e' che in questo stesso rif. l'altra
astronave non puo' essere ferma.
Ma l'obiezione che ti faccio e' soprattutto di natura logica: come fai a
sviluppare tutto questo ragionamento se non conosci gia' la contrazione
di Lorentz? Quindi che cosa dimostri in realta'?
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
------------------------------------

 relativita' generale.
Questo tentativo di Weyl mi interessa.
Mi puoi dare qualche altra notizia (bibliografia, articoli, siti internet
....) ?
                                                           Grazie
                                                                   Giuseppe
Pipino

 di Lorentz? Quindi che cosa dimostri in realta'?
Probabilmente non mi sono spiegato bene.
Questo esperimento (mentale) non dimostra ovviamente l'esistenza della
contrazione di Lorentz, per lo meno finche' resta un esperimento mentale.
Quello che dimostra e' che se si assumono le trasformazioni di Lorentz,
e di conseguenza l'effetto di contrazione delle lunghezze nella direzione
del moto, allora questa contrazione deve essere assolutamente reale.
Con "reale" intendo oggettivo, assoluto e sperimentabile, sullo stesso
piano della dilatazione temporale dell'effetto gemelli.
Insisto su questo perche' spesso si legge e si sente dire, anche da fonti
autorevoli, che la contrazione delle lunghezze e' una conseguenza della
relativita' della simultaneita' in quanto, quando si misura la lunghezza
di un oggetto in moto la posizione degli estremi va presa
contemporaneamente, ma, come si sa, la contemporaneita' e' relativa
all'osservatore, da cui consegue la diversa misura per l'oggetto in
moto o in quiete.
Quello che non va bene in questo discorso e' che  la relativita'
della contemporaneita' e' una conseguenza del criterio di sincronizzazione
degli orologi il quale criterio pero', e', come e' noto, convenzionale.
Mentre la contrazione di Lorentz e' un effetto del tutto reale (come
l'esperimento mentale delle due astronavi dimostra) e non puo'
certamente dipendere da come vengono sincronizzati gli orologi, .
Ciao.
Massimo Brighi

 Pipino
Se ne parla nel libro di Eddington : Spazio tempo e gravitazione.
E' un classico della  divulgazione scientifica di ottima qualita'.
Purtroppo è un po' datato ma si dovrebbe trovare ancora in commercio ( Ed.
Boringhieri).
C'e' anche un riferimento al lavoro originale di Weyl:
H. Weyl, S. B. preuss. Akad. Wiss., 30 maggio 1918; Ann. Phys., vol. 59, 101
(1919).
Roba da archeologia!
Ciao.
Massimo Brighi

che dimostra la realta' della contrazione di Lorentz.
Invece non dimostra un bel nulla fino a quando un esperimento del
genere non verrà REALMENTE eseguito e misurato. Finora sono solo
congetture. Le teorie non possono dimostrare se stesse.
Per quanto riguarda questo esperimento mentale, sembra completamente e
logicamente sbagliato: ciò che si contrae non è solo il cavo, ma si
contrae TUTTO il sistema di riferimento distanziometrico.
Cioè non si contraggono solo gli oggetti, ma TUTTO lo spazio-tempo
intorno, perciò si contrarrà anche la distanza tra le astronavi,
pertanto il cavo non si spezzerà, per quanto riguarda un osservatore
esterno. 
E per un osservatore posto all'interno di una delle astronavi, la
situazione sarà identica sia nel momento della partenza, sia quando
viaggerà a velocità prossime a quella della luce.
-- 
(*metallikop*libero*it*)
{
http://web.tiscali.it/mbsoftware
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{
http://digilander.iol.it/metallikop
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 wrote in message
news:3C1728C9...@df.unipi.it...

Ciao,
quanto precede è una prova indiscutibile della ormai famosa "ironia"
cui, sempre più spesso cede E. Fabri.
Egli sa benissimo che il ragionamento di Massimo Brighi è errato.
Infatti nel sistema di riferimento S' solidale con le astronavi queste
ultime sono ferme.
Perciò le distanze relative misurate fra due coppie qualsiasi di punti hanno
gli stessi valori che venivano misurati quando le astronavi erano ferme
[anche i regoli di cui si servono per misurare le distanze gli
sperimentatori sulle astronanvi si sono contratti!!!]
perciò il filo teso fra le astronavi NON si rompe.
Tale filo NON è visto rompersi neanche dagli osservatori che sono rimasti a
terra.
Infatti per tali osservatori l'insieme delle due astronavi equivale a un
corpo rigido.
Perciò la distanza fra due coppie di punti qualsiasi di tale sistema si
contrae sempre dello stesso fattore  (g=Sqrt(1-v^2/c^2).
Si contrae perciò la distanza fra i centri delle due astronavi e si contrae
la distanza fra i punti A,B a cui è connesso il filo che lega le due
astronavi, dello stesso fattore: il filo non si rompe.
Tuttavia, come dicevo, l'ironia di Frabri è sottilissima: invece di dirti
che hai compreso poco della relatività ti domanda semplicemente: cosa
dimostri in realtà?
                       Ciao
                      Giuseppe Pipino

 viaggerà a velocità prossime a quella della luce.
Gli osservatori nelle astronavi si vedono allontanare l'uno dall'altro,ed e' per
questo che il cavo si spezza dal loro punto di vista.Ciao.
        Massimo Brighi

                       Giuseppe Pipino
Ciao,
Massimo Brighi

Ciao a tutti,
purtroppo non ho tempo di intervenire in modo sostanziale
e cercare di spiegare qualcosa.
Mi ero anche promesso di dire qualcosa sulle rotture di simmetria,
in un'altro thread, dopo averle studiate meglio, ma ora proprio
non arrivo.
Solo un'osservazione: secondo me chi sa la relativita' abbastanza bene
forse ha capito dove e' l'inghippo, ma chi non la sa non ha capito
niente.
Leggendo superficilamente il thread puo' difatti sembrare che non
esistanon sistemi di riferimento accelerati rigidi.
Qualcuno dovrebbe spiegare meglio la questione dei sistemi di 
riferimento, che mi sembra un po' confusa.
Saluti
Vittorio
-- 
http://www-toys.science.unitn.it/laboratorio
http://www.science.unitn.it/~adesi
http://www.physics.it
http://www.mtsn.tn.it

Ciao Massimo,
La domanda che devi farti è:
cosa intende E. Fabri quando ti domanda «Cosa dimostri in realtà?»
A mio parere, Fabri intende che se fosse vero il tuo ragionamento (che il
filo si spezza)
si dovrebbe concludere che NON VALE IL PRINCIPIO DI RELATIVITA'.
Supponi infatti di avere due coppie di astronavi.
La prima coppia se ne sta immobile nel suo sistema di riferimento inerziale
S (e perciò per essa il filo sicuramente non si spezza). La seconda coppia
accelera e, dopo l'accelerazione, si porta a velocità costante v rispetto ad
S. Sia S' un sistema a velocità v rispetto ad S. Allora anche S' è inerziale
ed in S' le astronavi sono ferme (sicuramente ferme dopo il transitorio
della accelerazione iniziale).
Poichè secondo la tua ipotesi  un osservatore solidale con S' vede che il
filo si rompe vi sarebbe la possibilità di sapere quale dei due sistemi
(S,S') è in moto. Il moto sarebbe cioè un fatto assoluto e non relativo.
Io sono d'accordo con te che la contrazione delle lunghezze è un fatto
reale, oggettivo. Tuttavia penso che la realtà di tale fatto si possa
accertare solo quando si riporta l'oggetto B ad essere di nuovo in quiete
nel sistema di riferimento S e si confronta la sua lunghezza  con quella di
un oggetto A (inizialmente uguale a B) rimasto in quiete nel sistema S.
Si scoprirà che la lunghezza di B (che ha viaggiato a velocità prossime a c)
è minore di A rimasto fermo, esattamente come l'età biologica del gemello
che ha viaggiato a velocità prossime a c è inferiore all'età biologica del
gemello rimasto fermo. Ma ciò si può constatare solo quando si riporta il
gemello viaggiatore in quiete nel sistema di partenza. Mentre il gemello è
in moto niente e nessuno potrà dire se è lui che sta viaggiando (e quindi
per lui il tempo passa lentamente) oppure se è il suo gemello a viaggiare,
proprio perchè il moto è relativo.
Almeno così mi pare.
                             Ciao
                                   Giuseppe Pipino

Salve,
mi sta venendo un terribile dubbio.
Forse anche io non ho capito qualcosa...
Boh? si vedrà.
Non sarebbe la prima volta che mi accorgo di non 
aver capito qualcosa leggendo su questo newsgroup e sono
contento di leggerlo proprio per questo.
Saluti
Vittorio
P.S.
non si finisce proprio mai di imparare
-- 
http://www-toys.science.unitn.it/laboratorio
http://www.science.unitn.it/~adesi
http://www.physics.it
http://www.mtsn.tn.it
http://www.borntowalk.com

 Almeno così mi pare.
Questo effetto di "memoria dei regoli" non e' previsto dalla relativita'.Non
credo che sia in contraddizione logica con la teoria, pero', se esistesse,
dovrebbe comunque essere estremamente piccolo.
Ti  ho gia detto che Weyl, negli anni venti, aveva avanzato la stessa ipotesi.
In ogni caso tieni presente che non e' un ipotesi necessaria, e questo
in fisica e' un peccato mortale.Ciao,
                Massimo Brighi

 non si finisce proprio mai di imparare
********************************************
Ciao Vittorio,
ti prego di non tenerci ancora ulteriormente nel dubbio: qual è questo
dubbio che ti è venuto?
A me i dubbi vengono sempre più grossi: come mai E. Fabri dopo avere
sostenuto che il filo si spezza non è più intervenuto per chiarire,
confermare o, eventualmente, ritrattare?
Come mai tu stesso, dopo avere fatto misteriosi accenni, non hai espresso la
tua opinione in proposito?
Vi prego, illuminateci.
Per quanto mi riguarda ho studiato relatività trent'anni fa e da allora mi
sono occupato di tutt'altro (elettronica, informatica ..)
Vado perciò molto a naso...
                                              Ciao
                                                          Giuseppe Pipino

 tua opinione in proposito?
....taglio....
perche' non ho avuto tempo: ho avuto da lavorare.
Beh, questo fine settimana, se arrivero', scrivero' quello che penso
(che potrebbe anche essere sbagliato).
Saluti
Vittorio


 niente.
Temo che tu abbia ragione, ma che si puo' fare? A questo particolare
argomento (rif. rigido accelerato: metrica di Rindler) io dedico qualche
lezione nel mio corso di cosmologia. Sono studenti del 4^ anno, e ho a
disposizione le ore che ci vogliono, piu' una lavagna per tutti i conti
e le figure necessarie.
Qui anche scrivere una formuletta e' un problema tecnico :(


Ciao Elio,
per la verità, anche io non ho capito perchè questa benedetta corda si
deve
spezzare.
Mi sono reso conto che mi era solo sembrato di capire e che in realtà mi
stavo
arrampicando sugli specchi per cercare una spiegazione di questa
rottura.
Non che ci abbia pensato tanto, visto che si hanno altre cose da fare,
ma insomma: io questo effetto relativistico proprio non lo vedo.
Ci penserò ancora un po' e per ora mi autoincludo fra  
"...chi non la sa non ha capito niente", come scrivevo.
Saluti e se lo rispieghi dettagliatamente mi(ci: siamo in tanti) fai un
piacere
Vittorio
-- 
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 dell'astronave di testa corre di piu'.
Si e` quello che succede nelle coordinate di Rindler.
Ciao, Valter

 un piacere
Va bene, facciamolo questo piacere :-)
La difficolta' principale e' che debbo scrivere un po' di formule, e
vorrei alleggerirle il piu' possibile. Percio' usero' u invece di tau
per il tempo proprio, e altri simboli diversi da quelli usuali.
Cominciamo col moto iperbolico: x = q cosh(u/q), t = q sinh(u/q) dove q
e' per ora una costante assegnata.
Le componenti x e t della q.velocita' sono 
wx = sinh(u/q), wt = cosh(u/q). 
Le componenti x e t della q.accelerazione sono 
ax = (1/q) cosh(u/q), ay = (1/q) sinh(u/q).
Da qui si vede che ax^2 - at^2 = 1/q^2: il moto e' dunque con accel.
costante, nel senso dell'invariante. 
Ma e' anche con accel. costante in un altro senso: e' il moto che si
ottiene se si applica a un punto materiale di massa m una forza costante
F.
Infatti: F = dp/dt, p = Ft, ma p = m*ux, quindi ux = Ft/m.
Dal teorema delle forze vive: dE = F dx, E = Fx + cost.
Nota che per t=0 il corpo e' fermo, quindi E=m. Scelgo l'origine delle x
in modo che per t=0 sia x = m/F. Allora E = Fx.
Da E^2 - p^2 = m^2: x^2 - t^2 = (m/F)^2.
Tenendo conto che si conosce ux, si vede subito che 
x = (m/F) cosh(Fu/m), t = (m/F) sinh(Fu/m).
Abbiamo dunque proprio il moto iperbolico, con q = m/F.
Osserva poi che se si cambia riferimento il moto iperbolico resta tale,
con la stessa q. Lo si puo' capire in tanti modi. Uno e' che x^2 - t^2
e' invariante per trasf. di Lorentz. Un altro e' che la componente x
della forza e' invariante, quindi se il moto e' sotto forza costante F
in un rif., e' ancora moto sotto la stessa forza costante F in ogni
altro rif. (che si muova lungo x).
Consideriamo ora un secondo moto iperbolico, con diversa q: 
x = q' cosh(u'/q'), t = q' sinh(u'/q').
Dato che q' e' diversa q, e' anche diversa l'accelerazione, e la
distanza fra i due punti, *presa a un dato t*, diminuisce.
Osserviamo pero' che le q.velocita' dei due moti sono uguali, se si
prendono i tempi propri in modo che sia u/q = u'/q'. Cio' vuol dire che
se si prende il rif. tangente al primo a un certo u, questo e' anche
tangente al secondo a u' = q'u/q.
Dunque a ogni u esiste un rif. inerziale in cui *entrambi i punti sono
fermi*. La loro distanza si calcola facilmente: e' l'invariante della
separazione fra i due eventi (x,t) del primo moto calcolato in u e (x,t)
del secondo moto calcolato in u'. Fai il conto, e trovi che la distanza
vale |q-q'|, ossia e' costante.
Riepilogando: esiste una famiglia di rif. di quiete comuni ai due moti,
e in ciascuno di questi rif. la distanza fra i due punti e' sempre la
stessa. (Nota che invece l'accel. dei due punti e' costante, ma *non e'*
la stessa!)
Se ora tendi una corda tra i due punti, dato che nel rif. di quiete la
distanza resta costante, la corda rimane tesa e non si rompe.
Da qui segue che se invece il secondo punto si muove in modo diverso, in
particolare se lo facciamo muovere *con la stessa accelerazione del
primo*, le cose vanno diversamente:
- non c'e' un rif. di quiete comune
- nel rif. di quiete del primo punto il secondo punto si allontana
- quindi la corda si spezza.
Ci sarebbe ancora di dire, ma per ora penso sia meglio che mi fermi.
Cerca di assorbire tutto, e se qualcosa non ti torna ne riparliamo.
Dimenticavo: se pongo s = u/q, le relazioni iniziali che ho scritto
diventano x = q cosh s, t = q sinh s. (q,s) sono le "coordinate di
Rindler" di cui parla Valter. In queste coordinate la metrica si scrive
q^2 ds^2 - dq^2.
Visto che ormai conosci il sito ftp dove si trovano tutti i miei ...
segreti ;-) posso rimandarti, per maggiori dettagli, al cap. 2 (mi pare)
dei miei appunti di cosmologia (afrel).
Ci sarebbe anche un vecchio articolo sul "Giornale di Fisica" (roba di
almeno 10 anni fa) ma ora non ho a portata di mano l'indicazione esatta.


 fune. 
Ti do in parte ragione, perche' non mi sono espresso bene.
Volevo soltanto dire che se per es. una misura radar mi da' tempi
variabili, sicuramente i due punti non fanno parte di un corpo rigido.
Ma c'e' di piu'. Ci ho pensato un po' su, e direi che le coord. di
Rindler si possono generalizzare.
Anche qui, lasciami indicare con u il tempo proprio.
Considera una curva arbitraria di tipo tempo: t = p(u), x = q(u).
Naturalmente le due funzioni p, q soddisfano p'^2 - q'^2 = 1 (indico con
' la derivata rispetto a u).
Considera ora la trasf. di coordinate definita da
t = p(u) + s q'(u), x = q(u) + s p'(u).
Qui (u,s) sono (quasi) coord. di Rindler generalizzate.
Si vede che
dt^2 - dx^2 = (1 + p''/q')^2 du^2 - ds^2.
E' meglio usare, in luogo di u, r definita da dr = (p''/q') du. Allora
dt^2 - dx^2 = (s + p'/q'')^2 dr^2 - ds^2. (Nota che p''/q' = q''/p'.)
L'importante e' che ds^2 ha coeff. -1, quindi (r,s) definiscono un
"riferimento rigido" in moto accelerato qualsiasi.
Percio' posso usare s per misurare la distanza in generale.
Che ne pensi?


 Che ne pensi?
Ciao, non mi hai fatto cambiare idea. Mi spiego meglio.
Di funzioni che generalizzano il concetto di distanza spaziale riferita
ad una particella che evolve lungo una curva spaziotemporale
(di tipo tempo) e un evento fuori di essa ne puoi definire infinite.
Si tratta di mostrare che e` possibile definire un fogliettamento locale
con ipersuperfici di tipo spazio, etichettatte dal tempo proprio della
curva,
che le intersechi tutte una sola volta ciascuna e perpendicolarmente a
ciascuna di esse. Ci sono infiniti modi di fare cio`. Scelto un
fogliettamento
locale come detto, la distanza  spaziale tra la particella sulla curva ed
un evento e` quindi data dalla distanza tra l'intersezione della curva
e l'unica ipersuperficie che contiene l'evento, misurata su tale
ipersuperficie.  Proprio perche`ci sono infiniti modi di fare cio` e`
difficile pensare che abbia qualche senso fisico una qualunque
di tale distanze (e per es.  decidere che la corda si rompa perche`
in una di queste distanze e` superata la lunghezza critica mi pare
eccessivo).
Se il fogliettamento ha quelche significato interinseco, come nei
casi di Minkowski, Rindler, Schwarzschild, ecc.. in cui le ipersuperfici
sono normali ad un campo di Killing di tipo tempo della metrica,
allora le cose cambiano perche` il vettore di Killing stesso rientra nei
conti fisici (per esempio puoi definire l'energia in una di tali
ipersiperfici
contraendo il tensore energia impulso con la normale alla superfiicie
e questa quantita` si conserva nel tempo di Killing).
Ciao, Valter
PS. Aggiungo quanto segue anche se e` un po` lontano dal tema iniziale,
ma puo` essere interessante ugualmente perche` mostra come, in generale,
il concetto di distanza spaziale sia in generale  molto piu` mal definibile
in teorie relativistiche di quanto si creda.
Si potrebbero pensare vie alternative per dare una nozione
intrinseca di distanza spaziale in assenza di campi di Killing e senza
fissare sitemi di riferimento : prendo due eventi in relazione spacelike
tra di essi e definisco la distanza come l'inf  della lunghezza di tutte le
curve
di tipo spazio che connettono gli eventi. Purtroppo il risultato e`sempre
zero
per punti sufficientemente vicini, come puoi immaginare facilmente,
perche` posso approssimare le curve di tipo luce con curve spaziali.
Se gli eventi sono abbastanza vicini tanto da essere interni ad un intorno
geodeticamente convesso allora uno puo` definire la distanza come
la lunghezza dell'unico segmento di geodetica (che sara` spacelike) che
li connette... pero` questo funziona solo per eventi vicini e non soddisfa
il naturale requisito di minimo per il motivo detto sopra.
La cosa e` diversa per gli eventi connessi temporalmente;
in tal caso si ha una nozione intrinseca di distanza (temporale), il sup
delle lunghezze delle curve di tipo causale che li connettono. Si puo`
definire una funzione che misura distanze temporali tra eventi connessi
timelike. Tale funzione in realta` porta *tutte* le informazioni metriche e
causali dello spaziotempo: non ci possono essere due spazitempo con la
stessa varieta` ambiente e metriche o orientamento temporale diversi se
hanno la stessa funzione distanza temporale.

 puramente locale.
Se si fa entrare in gioco la dinamica e la struttura fisica della corda
le cose si complicano in modo esagerato. Tra l'altro mi pare anche
che non esista una teoria unica che descrive la dinamica relativistica dei
corpi estesi.
Mi sembra pero' che in questo caso non sia necessario complicarsi la vita.
Mi spiego:
E' sufficiente descrivere il moto dal riferimento inerziale S dal
quale le astronavi partono e immaginare che dopo una fase di
accelerazione si trovino alla fine fermi in un altro riferimento
inerziale S' . Ci arriveranno in tempi (propri) diversi e anche con
gli orologi desincronizzati, ma questo non ha importanza.
Il fatto rilevante e' che ora le astronavi e la corda sono fermi in S'
mentre, osservati da S,  viaggiano ad una velocita' costante V.
Ora, visto che la loro distanza in S era ed e' rimasta d,  in S' deve
essere gamma*d.
Di conseguenza la corda aveva lunghezza propria d ed ora ha
(se non si e' rotta) lunghezza (propria) gamma*d.
Il fatto che si rompa o meno dipende ovviamente dalla sua elasticita'
e da gamma, cioe' da V, ma quersto mi pare un aspetto marginale
(in un altro thread si parlava di una molla con due astronavi attaccate
alle sue estremita' che che rappresenta il caso limite opposto a quello
della corda inestensibile, ma il problema e' lo stesso)
Ciao.
            Massimo Brighi

 (se non si e' rotta) lunghezza (propria) gamma*d.
Ciao, messo cosi` forse puo' funzionare come ragionamento per
assurdo e dato che alla fine ti sei messo in una situazione in cui
c'e' un unico spazio di quiete comune ad astronavi e corda
(e ci devi arrivare in modo "adiabatico").
Certo pero` non puoi dire "quando"  (rispetto a qualche
osservatore, e"dove") la corda si rompa.
Quello che critico e` proprio il "modello" di corda che non
si puo` esportare sic et simpliciter dalla fisica classica a quella
relativistica perche` la richiesta di lunghezza massima
presuppone un riferimento esteso rispetto al quale misurarla e
nei casi genenerali tale riferimento non e` assegnato e nemmeno
assegnabile in modo non ambiguo. Un po` come i corpi rigidi
che relativisticamente parlando non hanno senso.
I modelli relativistici di corpi continui (e ce ne sono
tanti proprio come tu dici) hanno come requisito quello di ridursi
a modelli classici nello spazio di quiete istantanea delle particelle
(macroscopiche), tale requisito di corrispondenza non permette
di estendere dalla meccanica classica a quella relativistica
delle caratterizzazioni globali come quella di lunghezza massima.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica- Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 temporale.
Questo non lo sapevo (almeno non ricordo di averlo mai sentito). E'
interessante. Puoi darmi qualche maggiore dettaglio?


 interessante. Puoi darmi qualche maggiore dettaglio?
Al resto rispondero` con piu` calma, ora non ho tempo di leggere
e pensare con attenzione (ed ho anche altri impegni con la mia bimba
nata da poco). Per quanto riguarda sopra posso dirti di piu`, visto 
che sto scrivendo un articolo che parte da tali fatti
(ma si occupa di cercare di estendere la "geometria noncommutativa" 
di A.Connes al caso Lorentziano). Il teorema che cito non credo
che tu lo abbia mai sentito perche`, anche se ovvio,
credo di averlo dimostrato io per la prima volta nell'articolo che 
sto scrivendo (forse c'e' sul testo di sotto, ma ci sono talmente 
tante cose e io non l'ho mai letto tutto). 
I maggiori riferimenti sulla distanza Lorentziana li trovi sul 
Beem - Eherlich- Easley: "Global Lorentzian Geometry" (second edition)
Marcel Dekker Inc., New York, 1996.
Prendi uno spaziotempo = varieta` M con metrica lorentziana
(-,+...,+) ed orientamento temporale. Presi due punti  p,q in M,
definisci, se q e` nel futuro causale di p (cioe`: c`e' almeno una 
curva causale futura da p a q)
d(p,q) = sup {L(h) | h curva causale futura da p a q}
d(p,q) = 0 altrimenti
L(h) e` la lunghezza di h (presa con il segno positivo).
Se p e` nel passato causale di q che e` nel passato causale di r, allora
vale la disuguaglianza triangolare inversa:
d(p,r) >= d(p,q) + d(q,r) 
Si prova che d ha un mucchio di proprieta` molto notevoli in uno
spaziotempo
che soddisfi qualche ipotesi cronologica/causale, in particolare se 
lo spaziotempo e` globalmente iperbolico (che "mani e piedi" significa
che 
esiste una ipersuperficie di tipo spazio che interseca una volta sola
tutte le 
curve causali estese al massimo, in termini piu` fisici significa che
assegnando 
dati di Cauchy su tale ipersuperficie prevedi l'evoluzione di qualunque
campo 
descritto da un'equazione iperbolica, in tutto lo spaziotempo.
Minkowski, 
Schwarzschild e quasi tutti gli spazitempo interessanti sono g.i. (non
le e` 
Anti-deSitter pero`).) Per esempio, d e` finita e continua in ogni
spaziotempo 
glob. iperb. e se tra p e q c`e` una curva la cui lunghezza coincide con
d(p,q)
allora la curva e` (riparametrizzabile in) una geodetica...  
Tornando a d, nel caso generale, se x e y sono in un intorno
geodeticamente
convesso, allora si puo` provare che per y nel futuro causale di x
-(1/2)d(x,y)^2 = s(x,y)
s(x,y) e` la "world function" di Synge, definita come, in intorni
geod.convessi, 
s(x,y) = (1/2)( (exp_x)^{-1}(y), (exp_x)^{-1}(y) )_x
Sopra con (X,Z)_x indico il prodotto scalare dei vettori X e Z nel punto
x. 
La funzione esponenziale la conosci e non preciso altro.
In pratica s misura la distanza geodetica quadrata tra x e y, con il
segno
dovuto alla metrica lorentziana (+ per eventi spacelike e - per eventi
timelike
nella mia convenzione che e` opposta alla tua). Nota che c`e` solo una
geodetica
tra x e y. s(x,y) e` fondamentale in teoria dei campi quantistici in
spaziotempo 
curvo.
Riducendosi a lavorare in coordinate normali attorno a x, puoi provare
facilmente
che se X e Y sono campi vettoriali definiti intorno a x allora, pensando
X_y e Y_y 
come operatori differenziali che agiscono sulla variabile y:
lim_{y->x} X_y (Y_y (s(x,y))) = (X_x,Y_x)_x  (1)
A secondo membro compare il prodotto scalare di X_x e Y_x per cui, dato
che X e Y
sono arbitrari, compare la metrica g_x. Il punto importante e` che il
limite per 
y -> x lo possiamo  fare per y nel futuro causale di x, per cui la (1)
la puoi
riscrivere
lim_{y->x} X_y (Y_y (-(1/2)d(x,y)^2)) = (X_x,Y_x)_x 
Quindi la conoscenza di d(x,y) con y nel futuro causale di x,
determina la metrica in modo completo in x. Con un ragionamento analogo
provi 
che determina anche l'orientamento temporale.
Se ti interessano maggiori dettagli ti mando il preprint quando e`
finito,
ma e` un paccazzo... come al solito.
Ciao, Valter

Ciao Elio,
grazie tante per la risposta. Avro' cosi' materiale per rattoppare qualche
buco culturale durante queste "vacanze".
Ne approfitto per augurare a te e a tutti i frequentatori del newsgroup
un BUON NATALE e un BUON ANNO.
Saluti a tutti
Vittorio


 solo ;-) ).
Non mi convince ancora: secondo me l'unica cosa sensata per dimostrare 
che la corda si rompa usando la nozione di lunghezza e non 
quella di tensione massima sarebbe quella di fare il calcolo, 
in un riferimento inerziale, se esiste, in quiete con tutti 
i punti della corda (anche solo istantaneamete): in tal caso 
usando un principio di corrispondenza con la fisica non relativistica,
se la lunghezza, in tale riferimento, supera quella ammissibile, 
la corda si deve rompere.
Ora non mi pare vero in generale che nello spazio di quiete 
che tu consideri la corda sia in quiete. Inoltre ci sono 
due possibili scelte di spazi di quiete, visto che gli osservatori 
sono due e gli spazi di quiete non coincidono.
A tal proposito considera la seguente situazione. Prendi un riferimento 
Minkowskiano centrato nell'evento O (coordinata orizzontale x crescente 
verso destra, coordinata t crescente verticalmente).
Costruisci le coordinate di Rindler a destra di O e considera una curva
temporale delle coordinate  di Rindler (s=cost). 
Quindi trasla tale curva verso sinistra tale lungo x delle coordinate 
di Minkowski fino ad ottenerne un'altra parallela alla prima 
che parta esattamente da O. Considera dunque le due astronavi 
con la stessa accelerazione costante (rispetto alle coordinate di
Minkowski)
descritte dalle due curve di universo. Ora dimmi, in base al tuo
raginamento
e *usando, per fare il tuo ragionamento, lo spazio di quiete
dell'astronave 
di destra*, la corda tra le due astronavi si rompe?
Ciao, Valter

 Si tratta di mostrare che e` possibile definire un fogliettamento locale
...
Domanda terminologica: quello che chiami fogliettamento non si chiamava
foliazione ? O sono cose diverse ?
Ciao 
Giorgio

 ...
Molte grazie. Come spesso succede, quando un altro te lo spiega, dopo
sembra quasi ovvio...
Non conoscevo la "world function" di Synge e non ho ben capito a che
serve (voglio dire: a che scopo l'ha introdotta).
Parentesi: conosci una curiosita' su Synge? Il suo libro di RG e'
dedicato a "JB and BB". Sai chi sono? Due marche di whisky :-))
Me l'ha raccontato uno che ha conosciuto Synge...
Fine parentesi.
A proposito della tua dimostrazione: non si potrebbe per caso
semplificare?
Poniamo f(t) = d(x,exp_x(tX)) (spero di usare bene le tue notazioni).
Allora f'(0) = sqrt(-(X,X)_x): si dimostra con le coord. normali.
La conoscenza di (X,X) per 10 vettori di tipo tempo scelti bene basta a
determinare la metrica.
C'e' qualche baco?


 ha scritto nel messaggio
news:3C2A69DE...@univ.trieste.it...

Ciao, si e` la stessa cosa: ho fatto una libera traduzione di "foliation".
Ciao, Valter

 C'e' qualche baco?
Mi pare di no... io ho usato la forma piu` lunga, per usare delle note
identita' della
funzione di Synge (c`e` tutto un bestiario di identita`standard).
Per esempio (e non e` banale provarlo)
D_y S(x,y) = T_y
dove T_y e` il vettore tangente in forma covariante in y all'unica geodetica
(nell'intorno geodeticamente convesso) da x a y parametrizzata nell'ascissa
curvilinea,
quindi:
(D_x s(x,y), D_x s(x,y))_x =  (D_y s(x,y), D_y s(x,y))_y= 2 s(x,y)
Mia figlia comincia a piangere, chiudo...
Ciao, Valter

 osservatore, e"dove") la corda si rompa.
"Quando" e "dove" lo possono dire gli osservatori inerziali che se
vedono una corda di lunghezza d che va a velocita' V sanno che
ha lunghezza propria gamma*d. Quelli non inerziali siccome non
riescono a definire in modo consistente una misura di distanza
(ma su questo ho parecchi dubbi) non possono dire nulla.
Ciao, e buon anno.
                                            Massimo Brighi

 V relativa a S.
Purche` le parti della corda alla fine si possano considerare in moto
lento rispetto a S' (in cui si puo` ripristinare, con qualche
approssimazione
la nozione classica in questo senso parlavo di ragiungimento
"adiabatico"). 
Cosa diversa e` se invece non c`e` mai il riferimento  comune S' delle
due astronavi, allora secondo me e` piu` difficile dire qualcosa senza
dare 
una definizione di corda... 
Su quello che poi hai scritto dopo credo di essere d'accordo anche se
non ho tempo di leggerlo in dettaglio.
Scusa la fretta, ciao e buon 2002, Valter