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Titolo: Vettore di Poynting

L'altroieri la mia prof. di Fisica II mi ha chiesto all'esame la seguente
domanda:
Consideriamo un condensatore a facce piane e parallele, poniamo rotonde.
Se la d.d.p. tra le due armature è V=V0*cos(omega*t) qual è il vettore di
Poynting in un punto tra le armature del condensatore e a distanza r
dall'asse?
Come rispondereste? Sembra banale, ma "ci cadono tutti, anche dei miei
colleghi, come delle pere cotte"...
Inoltre sono realmente interessato ad una seconda risposta, perché quella
che mi è stata data non mi è parsa del tutto credibile.

 
il sistema ha simmetria assiale rispetto ad un asse perpendicolare alle
facce del condensatore, il campo elettrico e' sempre diretto
ortogonalmente alle armature (questo fatto non viene influenzato dal
fatto di non essere nel caso stazionario), quindi la sua dierezione non
cam,bia nel tempo e quindi la derivata parziale di E rispetto a t e'
orotgonale alle armature, anche la variazione di carica avviene con tale
simmetria (la densita' di carica assume lo stesso valore su tutti i
punti appartenenti a piani paralleli alle armature) e quindi anche la
densita' di corrente J e' ortogonale alle armature, di conseguenza, per
la quarta equazione di maxwell, il rotore del campo magnetico dovrebbe
avere direzione ortgonale (la IV eq di M ci dice che rotB e' parallelo
ad una combinazione lineare della derivata di E rispetto a t e di J),
dato che il rotore e' orotgonale al vettore da cui si calcola, allora il
vettore B dovrebbe giacere su un pinao parallelo alle armature, ma se
scegliamo una qualunque direzione ciacente su uno di questi piani, essa
rompe la simmetria intrinseca del sistema (che e' quella assiale piu'
quella per traslazioni parallele alle armature, perche' nei condensatori
le armature sono supposte infinite), di conseguenza B deve essere nullo,
quindi il vettore di pointing e' nullo
Questo e' ragionevole, dato che l'energia che scompare o compare
all'interno del condensatore e' fornita o assorbita dal generatore di
tensione, ma nessuna onda sfugge dal sistema portando con se energia,
quindi il flusso del vettore di Pointing e' nullo, consistentemente con
il risultato ottenuto
Se non si utilizza l'approssimazione di armature infinite, allora il
sistema non ha la simmetria traslazionale, e puo' quindi avere un campo
magnetico diverso da 0, all'interno del condensatore, in questo caso,
continuaiamo comuqnue a trasucrare gli effetti di bordo, e quindi a
considerare il campo elettrico diretto ortogonalmente alle armature.
Supponendo infinita la velocita' della luce (cosa raguionevole, perche'
tutte le equazioni dell'elettronica, comprese quelle basilari di
Kirchoff, e le equazioni caratteristiche dei componenti elettronici,
sono ricavate nell'approssimazione in cui la velocita' della luce e'
molto piu' grande della velocita' di propagazione di qualsiasi segnale
all'interno dei circuito) abbiamo che il campo elettrico varia nel tempo
ma e' costante nello spazio e vale (sia d la distanza tra le armature)
E(t)=Vo/d*cos(w*t), quindi la derivata parziale rispetto al tempo e'
(dpar E)/(dpar t)=-Vo*w/d*sin(w*t)
le densita' di carica varieranno allo stesso modo quindi sara',
sull'armatura che era positiva all'istante 0(uso s per indicare le
densita di carica, e C per la capacita' del condesatore, e R il raggio
delle armature)
s+(t)=C*Vo/(pi*R^2)*cos(w*t) (pi=3.1415...)
su quella che era negativa all'istante 0
s-(t)=-C*Vo/(pi*R^2)*cos(w*t)
da esse si ricava un espressione per il modulo della densita' di
corrente (tramite l'equazione di continuita') che e'
J(t)=-C*Vo*w/(pi*R^2)sin(w*t) (la direzione e' perpendicolare alle
armature, ho preso come direzione positiva quella che va dall'armatura
che era positiva all'istante 0 a quella che era negativa all'istante 0)
quindi, dalla IV eq di Maxwell otteniamo che
rot B=-m*C*Vo*w/(pi*R^2)sin(w*t)-e*m*Vo*w/d*sin(w*t) (e=costante
dielettrica del vuoto, che solitamente si indica con "epsilon con 0",
m=permeabilita magnetica del vuoto, che solitamente si indica con "mu
con 0")
Se calcoliamo il flusso di rot B attraverso una superficie circolare di
raggio r concentrica all'asse centrale delle armature otteniamo la
circuitazione di B sulla circonferenza orientata in verso antiorario
rispetto alla direione positiva dell'asse, per simmetria il modulo di B
e costante lungo la circonferenza, supponiamo che sia dirennto
tangenzialmente, quindi otteniamo
B(t)=-m*Vo*w*r/2*(C/(pi*R^2)+e/d)*sin(w*t) quindi e' diretto in senso
orario, tangenzialmente alla circonferenza
il vettore di Pointing sara' diretto radialmente verso l'esterno, e ha
modulo pari a P(t)=E(t)*B(t)
ovviamente, dato che abbiamo usato le relazioni del condensatore
ricavate in approssimazione di armature infinite, ma abbiamo considerato
una dimensione finita per le armature, questa espresisne e' valida solo
per r<<R, per r paragonabile o maggiore di R non penso ci sia una
trattazione analitica esatta, o meglio si potrebbe avere, forse, usando
la rappresentazione conforme, ma credo comunque che il problema diventi
troppo complesso, almeno per dare una risposta immediata come da orale
di un esame
BTW io penso che la risposta piu' giusta sia quella che ho dato
all'inizio
Il seguente ragionamento lo faccio tendendo presente la finitezza della
velocita' di propagazione del campo elettromagnetico, come vedremo, il
risultato che otteniamo non e' consistente con le premesse, a causa del
fatto che in elettronica non e' permesso considerare la velocita' finita
s+(t)=C*Vo/(pi*R^2)*cos(w*t)
supponendo che e' questa l'armatura che influenza per induzione l'altra,
la densita' di cariva sull'altra armatura e' quella che bilancia la
densita' dell'armatura denominacat convenzionalmente col +, all'istante
t-d/c (c=velocita' della luce), quindi, indicando quest'altra armatura
col -
s-(t)=-C*Vo/(pi*R^2)*cos(w*(t-d/c))
se prendiamo un punto a distanza x dall'armatura +, il contributo al
campo elettrico dovuto all'armatura + sara'
E+(t)=s+(t-x/c)/e=C*Vo/(e*pi*R^2)*cos(w*(t-x/c))
lo stasso punto e' a distanza d-x dall'armatura -, il contributo al
campo elettrico di questa armatura e'
E-(t)=s-(t-(d-x)/c)/e=-C*Vo/(e*pi*R^2)*cos(w*(t-(2d-x)/c)
quindi il campo elettrico totale e'
E(t)=E+(t)+E-(t)=C*Vo/(e*pi*R^2)*[cos(w*(t-x/c))-cos(w*(t-(2d-x)/c)]
se adesso integriamo rispetto a x da 0 a d, per ottenere la differenza
di potenziale all'istante t otteniamo
V(t)=C*Vo/(e*pi*R^2)*[-2*c/w*sin(w*(t-d/c))+c/w*sin(w*t)+c/w*sin(w(t-2d/c))]
mentre per ipotesi dovrebbe essere V(t)=Vo*cos(w*t), come vediamo siamo
giunti ad una cosa completamente diversa, perche' per risolvere il
porblema abbiamo usato delle equazioni fondamentali  che sono state
ricavate nell'ipotesi che la velocita' della luce sia finita
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Saluti
Valar
collegato telepaticamente con Allanon, Roland, Capo Rosso e F2
Maestro Jedi di Abulion Yorgen
ICQ 51287994
"Diciamoci la verita': a tutti piacciono i minorenni, per questo c'e'
una legge!" Daniele Luttazzi
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per i non udenti l'english ho detto: "per rispondere cancellate
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