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Titolo: Interdipendenza delle eq. di Maxwell

Di solito le eq. di Maxwell nel vuoto vengono date in questa forma
(locale per punti regolari):
div(E)=rho/eps0             [1]
div(B)=0                    [2]
rot(E)=-dB/dt               [3]
rot(B)=mu0*(J+eps0*dE/dt)   [4]
più c'è l'eq. di continuità div(J)=-d(rho)/dt
Si fa osservare poi che tali equazioni sono tra di loro dipendenti, in
particolare dalla [3] discende la [2], dalla [4] la [1]. La
dimostrazione è forse molto banale, perchè non ne è fatta menzione,
comunque io non riesco a trovare il risultato. Se applico la
divergenza alla [3], ottengo che:
div(dB/dt)=0
ossia che è la divergenza di dB/dt ad essere nulla, non quella di B
stesso. Oppure che B ha divergenza costante in tutto lo spazio. È
questa la chiave? Visto che ha un valore costante dappertutto, deve
per forza essere zero, questa divergenza? Perchè? C'entrano qualcosa
le ipotesi di regolarità all'infinito, che il campo deve tendere a
zero almeno come 1/r**2? Sto sparando...
Se prendo la divergenza di [4] ottengo:
div(J)=-eps0*dE/dt
e se utilizzo l'eq. di continuità ho:
d(rho)/dt=eps0*dE/dt
anche qui ho funzioni con derivate uguali, ma che possono ancora
differire per una costante...come faccio a dire che questa costante è
proprio zero?
Lo stesso discorso si potrebbe fare per le eq. in forma globale, ma
probabilmente rispondendo a questa domanda mi si chiarirebbero i
termini di entrambe i problemi, per cui aspetto fiducioso!!
M

 particolare dalla [3] discende la [2], dalla [4] la [1].
E' uno strano modo di porre la questione, non l'ho mai visto
cosi', e devo dire che non mi piace molto. Su quale testo l'hai
trovata? Io procederei al contrario:
Intanto comincierei a dire che ad essere dipendenti sono le
*cinque* equazioni che hai scritto, vale a dire che date quattro
di esse la quinta puo' essere dedotta. Se prendi le quattro eq.
di Maxwell queste sono *in*dipendenti. Si puo' anche dimostrare,
sotto condizioni generali, che insieme a condizioni al contorno
opportunamente poste sono anche sufficienti a determinare i
campi.
A questo punto deduci l'equazione di continuita' in modo banale,
prendendo la divergenza della 4 ed inserendo la 1 nell'equazione
risultante. In questo modo non hai problemi con le costanti.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 zero almeno come 1/r**2? Sto sparando...
nooo..., hai fatto cilecca!!
Il perche' si basa sul fatto che nel dominio del tempo si suppone che il
campo elettromagnetico abbia iniziato ad esistere da un istante t0 in poi,
ovverro che per t<t0 tutte le grandezze in questione devono essere state
nulle. Di conseguenza la divB era nulla in tutto lo spazio per t<t0 (perche'
B era nulla) e poiche' come tu hai ben osservato, divB non e' funzione del
tempo ed e' costante nello spazio, allora tale costante deve rimanere 0
anche per t>t0 (con B che non e' piu' nulla ovunque).
Come vedi ti mancava solo un piccolo pezzo fondamentale.
Se ti puo' interessare sappi che in un corso universitario di campi
elettromagnetici da me seguito, venivano considerate fondamentali solo le
due eq. dei rotori e l'equazione di continuita', in quanto le eq. della
divergenza sono conseguenze di queste (come abbiamo visto), e le equazioni
delle onde di Helmholtz si ricavano applicandole entrambe.
Le ipotesi di regolarita' all'infinito che tu hai citato, insieme con le con
dizioni iniziali (a t=t0) permettono di garantire l'unicita' del campo che
soddisfa le due equazioni dei rotori in tutto lo spazio omogeneo, senza fare
intervenire quelle della divergenza. Per questo molte volte esse non si
usano come ipotesi fondamentali (oltretutto essendo delle conseguenze non mi
sembra neanche tanto logico).
Spero di esserti stato utile,
Ciao,
Depsi.

 Depsi.
...un po' brutale, il cut? Comunque mi sei stato utilissimo, e ci hai
anche azzeccato in pieno sullo stampo del testo. Nella fattispecie
trattasi di elettrotecnica ma la stessa cosa para para la posso
ritrovare negli appunti di campi elettromagnetici.
grazie ancora,
M

 risultante. In questo modo non hai problemi con le costanti.
Questo mi sembra effettivamente più semplice, mi chiarisci quella cosa
delle equazioni indipendenti?
M

 delle equazioni indipendenti?
Quello che ha detto Smargiassi, secondo me si puo' interpretare cosi':
le cinque equazioni di maxwell sono matematicamente dipendenti nel senso che
puoi ricavare ognuna dalle altre quattro, e questo e' giusto sia nel caso in
cui consideri le equazioni della divergenza come ipotesi al pari di quelle
del rotore, sia nel caso in cui introduci un'ipotesi ad hoc che ti consente
di legarle tra loro come abbiamo fatto noi riferendoci a studi tecnici. In
quest'ultimo caso pero' non ha senso prendere le equazioni della divergenza
come postulato, perche' introduci l'ipotesi "campo nullo per t<t0".
Ciao,
Depsi.

 Depsi.
Ciao e grazie,
M

 grazie ancora,
prego,
Ciao.
Depsi

 come postulato, perche' introduci l'ipotesi "campo nullo per t<t0".
Piu' o meno... io direi cosi':
date le quattro EdM + l'eq. di continuita', e' possibile dedurne
*una* dalle altre, ma non e' possibile dedurne *due* senza
introdurre condizioni supplementari.
Oppure:
non e' possibile dedurne *due* nel caso delle condizioni al
contorno/iniziali arbitrarie, ma solo ponendo delle cond. al
contorno/iniz. speciali (la divergenza nulla a t=t0.
Pero' gradirei un riscontro dagli altri partecipanti...


 delle equazioni indipendenti?
Finito di scrivere il post precedente, ho pensato che forse sono stato
troppo prolisso e non ho centrato l'obiettivo della tua domanda.
Cerco ora di rispondere meglio:
se non introduci l'ipotesi tecnica che abbiamo fatto noi, vale il discorso
di Smargiassi, nel senso che se vuoi ricavare l'equazione di continuita' in
funzione delle altre 4, non introducendo la nostra ipotesi, quelle 4 sono
indipendenti, ovvero le eq. della divergenza divengono postulati verificati
dagli esperimenti al pari di quelle del rotore.
Ciao,
Depsi.

 come postulato, perche' introduci l'ipotesi "campo nullo per t<t0".
Non sono sicuro di aver capito: prendiamo [1-4] della mia prima email.


 
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia
Saluti,
Depsi.

 anche per t>t0 (con B che non e' piu' nulla ovunque).
Saro' vittima dei miei pregiudizi, ma questo discorso di un istante 
iniziale nel quale il campo elettromagnetico "abbia iniziato ad esistere"
a partire da valori antecedenti "nulli" mi causa una reazione allergica.
Quale che sia il punto di vista metodologico adottato:
- matematico;
- fisico/tecnico/applicativo;
- cosmologico;
l'argomentazione mi appare insostenibile, sebbene essa sembri invece 
essere accettata da fonti qualificate.
Va notato inoltre che l'equazione in rotE non potrebbe neppure essere 
formulata a partire dalla legge di Faraday-Neumann, se non si fosse gia'
stabilito che divB=0. Questo punto di vista logico-costruttivo comunque 
non c'entra con l'indipendenza formale delle equazioni.
-- 
 Elio Proietti        
Debian GNU/Linux

 delle equazioni di maxwell [ecc.]
Perche' no? Proponi una o due questioni alla volta (non di piu'
per carita') e vedo che posso dire... se mi sento di poter dire
qualcosa di sensato.
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