Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Il tempo quantistico.

Salve, avrei una curiosità da soddisfare.
Su diversi testi divulgativi di fisica teorica, ho trovato scritto che
il tempo, in ambito quantistico, essendo soggetto anch'esso al principio
d'indeterminazione, potrebbe in taluni casi comportarsi
in modo "strano" e potrebbe addirittura violarsi il principio di
causalità.
Ora, premettendo che sono piuttosto scettico sulla trattazione
della MQ a livello divulgativo, la mia domanda è: esistono dei casi,
magari d'interesse puramente matematico,in MQ, nei quali si abbia
come risultato una determinata probabilità che un evento preceda
temporalmente la causa che l'ha generato? E se sì, dove posso trovare
degli esempi?
Grazie delle risposte.
 
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 degli esempi?
Non c'e' niente nella MQ che imponga la causalita', come del resto
non c'e' nella meccanica newtoniana.
In entrambi i casi, tutto quelo che puoi fare e': dato lo stato del
sistema a un certo istante, calcolare lo stato a tempi diversi
(passati o futuri).
A patto naturalmente che il sistema resti indisturbato.
In MQ qui entra in ballo il problema della misura, che a stretto
rigore e' un problema addizionale, che tra l'altro non ha ancora avuto
una soluzione del tutto soddisfacente.
 
-- 
Elio Fabri

 wrote in message
news:dqrf0a$td7$
3...@newsreader2.mclink.it
[cut]
Grazie infinite per il chiarimento.


Lascia correre...
Volevo solo aggiungere un commento per Pino (e per chiunque
altro fosse interessato).
Il  punto e' che il "principio di indeterminazione" nella formulazione
moderna della MQ č un *teorema*.
Perň, a differenza del caso per le grandezze posizione -impulso,
 il teorema NON funziona (cadono le ipotesi) quando si considerano
le grandezze tempo - energia, almeno in riferimento a sistemi fisici
isolati. Questo perché la grandezza tempo non ha lo stesso status
matematico delle grandezze posizione, impulso energia.
In termini tecnici non č rappresentabile da un operatore
autoaggiunto che soddisfa le "relazioni di commutazione canonche",
se lo fosse accadrebbe un disastro fisico:
il sistema fisico cadrebbe verso livelli energetici sempre piů bassi
(energie negative) emettendo per esempio fotoni di energia
sempre maggiore... Queste cose non le ha mai viste nessuno!
Se si considerassero sistemi fisici in equilibrio termodinamico
con un termostato allora  il principio di indet. tempo energia si
potrebbe
*dimostrare*...
Ciao, Valter
---------------------------------------------------------
Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 *dimostrare*...
Questa mi riesce nuova: a che ti riferisci?
 
-- 
Elio Fabri

Elio Fabri ha scritto:

Mi riferisco ad un lavoro che sta scrivendo un mio collega
e collaboratore. Come saprai meglio di me il problema con
l'operatore tempo, o meglio con le relazioni di commutazione
canonche, e che imporrebbero lo spettro dell'energia illimitato
inferiormente. Bene se hai un insieme canonico  nel
limite termodinamico, l'unico modo per far funzionare la meccanica
statistica quantistica senza tante porcherie è quello di usare la
formulazione KMS... ne sai qualcosa? La cosa importante è che
il generatore autoaggiunto delle traslazioni temporali risulta non
avere
spettro limitato dal basso. In effetti  in questo contesto l'assioma di
Wightman di positività dell'energia non è più richiesto (lo dice
anche
Strocchi nel suo recente libro sulla rottura spontanea della simmetria)
a causa dell'interazione con il termostato...
Il mio collega ha provato che in situazione abbastanza generale,
in questo contesto,  si riesce a definire un operatore tempo come si
deve...
Ciao, Valter

 altro fosse interessato).
[...CUT...]
Qualcuno me lo rispiega?! :-)
Grazie.

 non c'e' nella meccanica newtoniana.
Io andrei con calma, cosa significa causalita'? Se alla causalita'
diamo quel senso comune allora e' scorretta la affermazione di Elio.
Che la causalita' non possa essere imposta come condizione cio' non
significa che non valga.
E' chiaro che tutta la meccanica classica e quella quantistica
implicano la (quella del senso comune) causalita', anzi la causalita'
e' necessaria per la stessa costruzione di queste teorie.... (non
sarebbe difficile riportare l'assenza della causalita' alla assenza di
una velocita' limite).
Essa infatti dichiara la struttura sequenziale del tempo. A qualsiasi
livello e' percettibile: se non applico una forza alla stecca (sulla
palla da biliardo), non avro' il contatto col pallino. Oppure: se il
fotone colpisce il bolometro, questo si riscalda.
Ma a questo punto si rileva facilmente che una definizione di
causalita' cosi' sommaria come quella del senso comune non va bene per
questi scopi.
E' ovvio che la causa o l'effetto non sono stati definiti in maniera
rigorosa : volendone dare una definizione per lo meno coerente
bisognerebbe riferirsi all'evento (che puo' essere causa o effetto) e
da questo risalire all'ordinamento temporale. Ora io noto due problemi
concettuali molto grossi.
Il primo e' quello dello stesso evento, mi risulta difficile pensare
cosa sia un evento a meno di mutuarne la definizione dal concetto di:
 <quaterna di numeri spazio-tempo>, cosi' "EVENTO" e' un qualsiasi
punto nella varieta' 4-dim dello spazio-tempo; oppure un punto nello
spazio  delle fasi per un determinato sistema...
Inoltre anche quando il significato sia stato chiarito, si presenta la
difficolta' di associare vari eventi (quali e quanti) alla costituzione
di una sola causa. Infatti la causa puo' essere definita solo a meno di
un contesto osservativo: alcune volte delle cause si possono rivelare,
ad una piu' attente analisi, costituite a loro volta da una o piu'
sequenze di eventi correlati da causalita'.
La questione e' profonda, non la liquiderei con troppa leggerezza.


 
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 moderna della MQ è un *teorema*.
Il teorema della MQ pero' ha un carattere statistico, ovvero si fanno
per esempio 100000 esperimenti colla medesima funzione d'onda, e si
osservano A e B, si ottiene un errore statistico che obbedisce alle
regole di incertezza; il principio di indeterminazione e' pero' piu'
forte in quanto vale anche per ogni singola osservazione senza dover
fare statistiche su molti esperimenti.
Il teorema della MQ non mi pare ponga alcun limite sull'incertezza del
singolo esperimento.
ciao
  Paolo

 Ciao, Valter


Ciao, lo sapevo che ti sarebbe piaciuto,
però non ho tempo per spiegare di più.
Dico solo che tutta la questione è fatta
a livello di algebre di von Neumann di
osservabili e formulazione algebrica dei campi
e si fa uso di un teorema dovuto a Borchers
che generalizza quello di Bisognano-Wichmann
(i fisici lo chiamano effetto Unrhu)
Il fatto che il bagno termico sia globale
(limite termodinamico) ha come conseguenza che
l'hamiltoniano ha spettro continuo (senza questo
non sarebbe possibile definire osservabili
coniugate tempo-energia)...
Ciao, Valter

in termini di POVM delle relazioni di indeterminazione,
vuoi dire POVM (Positive-Operator Valued Measures)...
Ti riferisci a  Riccardo Giannitrapani vero? Non sapevo che lo
conoscessi
(era però possibile: entrambi Pisani).
In effetti ha scritto un bel avoro su queste cose durante il dottorato
a Trento con Marco Toller. E' un bel lavoro quello, ma non è che ha
lavorato  con me Riccardo, io compaio nei ringraziamenti dell'articolo
perché
gli ho chiarito alcune cose tecniche, sulle misure che stavano
usando...
Quell''articolo è  tutto frutto di Riccardo che secondo me è
veramente in gamba,
anche se ora ha smesso di occuparsi di Fisica Teorica.
Ciao, Valter
PS. Questo è completamente OT:  sai che fine ha fatto Riccardo?

Dimenticavo: mi dai gli estremi del lavoro del 2005
che hai ciatato? Grazie Mille.
Valter

(ho già postato una risposta che non appare, forse
c'è stato qualche problema).
Ciao, è vero quello che dici, però
è un problema irrisolto se la tutta la MQ,
non solo il principio di Heisenberg,
dica davvero qualcosa o meno sul singolo esperimento.
Io propendo per il no. Sono in buona compagnia per es.
Bell e Haag, però non mi pare che sia stata detta l'ultima
parola in proposito.
Ciao, Valter

Ciao, sono abbastanza convinto che l'unico modo
sensato di interpretare il principio di indeterminazione
e anzi tutta la MQ  è quello statistico.
In ogni caso la discussione sulla questione se la MQ
dica qualcosa in proposito al singolo sistema è ancora
aperto. Vi sono varie persone che hanno risposto no
(Bell, Haag ecc..). Io propendo per il no, ma non sono mai
riuscito ad arrivare in fondo alla questione per vari motivi
fondazionali.
Ciao, Valter


Certamente:
arXiv:quant-ph/0410070
 
quanto a Riccardo, hai ragione, ho detto ha lavorato con
te, ma e' piu' esatto quel che dici. Sta bene, gli riferisco
subito che ti ricordi di lui, e gli "intimo" di scriverti. Se
gli riuscira', so che ha una quantita' di impegni. Si
occupa di programmazione se non erro, ma mi hai
dato lo stimolo per chiedergli piu' dettagli, gli scrivo
subito.


 wrote in message
news:1138095964.4...@g43g2000cwa.googlegroups.com
[cut]
Per comprendere meglio il concetto di causalità, forse è meglio
fare una distinzione tra violazione di causalità e violazione di
cronologia.
Schematizzando:
Evento A genera Evento B.
Violazione della cronologia: l'evento B accade PRIMA 
dell'evento A, ma non interferisce con questo.
Violazione della causalità: l'evento B accade prima 
dell'evento A ed interferisce con esso impedendo la
generazione dell'evento B stesso.
Nella mia domanda iniziale chiedevo se esistevano in MQ delle
soluzioni matematiche che potevano in qualche modo portare a 
risultati in disaccordo con il principio di causalità, ma mi sono
dimenticato di includere nella questione anche il principio di 
cronologia.


Non intimargli nulla! Che io mi dimentichi di lui
č impossibile: abbiamo fatto il dottorato insieme
(io ho cominciato qualche anno prima). Oltre ad essere
bravo come fisico teorico,  faceva delle battute
formidabili... Ogni tanto ci incontriamo a Genova.
Ero rimasto che gli finiva un assegno di ricerca e
poi non ho saputo piů nulla.
Ciao e grazie della ref. , Valter

Pino Giannetti ha scritto:
1> Per comprendere meglio il concetto di causalità, forse è meglio
2> fare una distinzione tra violazione di causalità e violazione di
3> cronologia.
4> Schematizzando:
5> Evento A genera Evento B.
6> Violazione della cronologia: l'evento B accade PRIMA
7> dell'evento A, ma non interferisce con questo.
8> Violazione della causalità: l'evento B accade prima
9> dell'evento A ed interferisce con esso impedendo la
1> generazione dell'evento B stesso.
Mi pare che questo non abbia alcun senso in
MQ o in qualunque altra teoria semplicemente per motivi
di logica.
Inoltre anche dire che un '' effetto
accada prima della sua causa'',
mi pare poco sensato almeno senza una definizione
decente di causa ed effetto. Chi ci  vieterebbe di chiamare
la causa effetto e l'effetto causa, ripristinando l'ordine
normale delle cose?
 Ciao, Valter

Ciao Tetis, ho appena finito di leggere il lavoro; è
semplicemente
scandaloso che Phys. Lett. A.  lo abbia pubblicato cosi'
come è scritto cioè  contenente uno sbaglio a livello iniziale:
l'operatore Z^2 non esiste sul dominio che dicono loro (quello di Z)!
Il dominio di Z contiene funzioni che hanno quasi ovunque
derivata prima, ma in generale non hanno derivata seconda,
per definire Z^2 ci vuole quasi ovunque la derivata seconda.
Anche se definissero  Z^2 in qualche modo usando l'estensione di
Friedrichs come pretendono di fare loro,
non c'è nulla di fisica in quel lavoro, non c'è alcuna garanzia
che il loro operatore tempo abbia qualche senso fisico.
Poi la questione delle relazioni di commutazione è
esaminata con il massimo della superficialità. Gli autori
non hanno capito (più probabilmente fanno finta di non capire)
che non sono i generatori che contano,
ma il gruppo da essi generato, che in questo caso
semplicmente non esiste (non essendoci un comune
dominio di essenziale autoaggiunzione per i due operatori).
Per esempio non è detto e secondo me è falso che il
gruppo unitario  ad un  parametro  generato
dall'hamiltoniano trasli lo spettro del presunto operatore
tempo (quello definito con  l'estensione autoaggiunta
di Friedrichs come fanno loro), che comunque non si sa
cosa sia visto che la loro definizione è sbagliata.
Quasi quasi scrivo agli autori...
Ciao, Valter

 causa, ripristinando l'ordine normale delle cose?
Mi pare che ancor oggi la miglior definizione di causa/effetto sia
quella di Bacone: A e' causa di B se tolto A, B non avviene.
Qui a rigore la sequenza temporale non entra.
 
-- 
Elio Fabri

1> Valter Moretti ha scritto:
2> > Inoltre anche dire che un '' effetto accada prima della sua
causa'',
3> > mi pare poco sensato almeno senza una definizione decente di causa
ed
4> > effetto. Chi ci vieterebbe di chiamare la causa effetto e
l'effetto
5> > causa, ripristinando l'ordine normale delle cose?
6> Mi pare che ancor oggi la miglior definizione di causa/effetto sia
7> quella di Bacone: A e' causa di B se tolto A, B non avviene.
8> Qui a rigore la sequenza temporale non entra.
Quindi, nelle definizione di Bacone, B può accadere temporalmente
prima di A?   Interessante, non l'avevo mai vista in questo modo.
Però, non mi piace mica come definizione, con la definizione di
Bacone,
uno stesso effetto non può essere provocabile  da due cause distinte,
o forse capisco male la definizione?
Valter

 distinte, o forse capisco male la definizione?
Meno male che certi filosofi che conosco io non seguono questo NG (o
per lo meno non ci scrivono) altrimenti chissa' quante me ne avrebbero
dette ;-)
Debbo comunque precisare che quella che ho dato non e' propriamente
"la definizione di Bacone", ma l'interpretazione che ne do io in
relazione al presente contesto.
Quindi non si dovrebbe attribuire a Bacone l'idea che dici, che B possa
essere effetto di A ma essere temporalmente precedente.
Quanto alle due cause distinte, intendi come AND o come OR?
In entrambi i casi non vedo la difficolta'.
Nel caso AND, mi accorgero' che la presenza di A e di B e' necessaria
perche' si produca C.
Nel caso OR, che uno dei due eventi A e B e' invece sufficiente da
solo.
 
-- 
Elio Fabri

 se la MQ dica qualcosa in proposito al singolo sistema
?
A me pare ovvio che in certi casi si debba rispondere si': *ogni*
singolo atomo d'idrogeno ha quei certi livelli energetici, ecc.
Ma suppongo tu stia parlando di teoria della misura, e allora vale
quanto sopra. Confesso di non sapere che cosa abbiano detto Bell e
Haag...
 
-- 
Elio Fabri

Non capisco comunque la tua definizione
di causa.
Mi spiego con un esempio.
La tua  definizione è
A è causa di B se not A => not B
che è logicamente equivalente a
(l'opposto dell'idea ''comune'' di causa)
B  => A
Quindi vuol dire che tutte le volte che
osservo il fenomeno B deve esserci
anche A (prima, dopo, ora non importa questo).
Un pezzo di ferro può essere portato a
temperatura > temperatura ambiente
se
A1 lo scaldo con una fiamma
oppure
A2 per effetto Joule, facendolo percorrere da corrente,
oppure
....
Vedo che un pezzo di ferro è più caldo dell'ambiente
(questo è l'effetto B) allora,
dato che la fiamma è una (possibile) causa
del fenomeno, DEVE esserci la fiamma che scalda il ferro
ma ANCHE  la corrente che è un'altra possibile causa ecc
Nella realtà in generale non ci sono entrambe
 contemporaneamente
(e in genere neanche una delle due), quindi non posso dire,
per es., che la corrente, da sola,  _è causa_
(con la tua def)
dell'innalzamento della temperatura del pezzo di ferro...
Cosa me ne faccio di una simile nozione di causa?
Cosa non ho capito?
Ciao, Valter

Ciao, devo un po' guardare, appena ho tempo,
sulla seconda edizione di Local Quantum
Physics di Haag e poi ti dico...
Valter

 o forse capisco male la definizione?
ciao Valter,
se non interpreto male, questa faccenda l'ho letta nell'interessante 
libro "Time's arrow and Archimede's point" di Huw Price.
Il legame di causalita' necessaria e sufficiente e' simmetrico rispetto 
al tempo. La consuetudine ci ha abituati ad assumere che il movimento 
della stecca sia la causa del moto della palla, ma se e' vero che tra i 
due eventi c'e' una causalita' necessaria e sufficiente, allora puo' 
benissimo essere che il moto della palla sia la causa del movimento 
della stecca.
-- 
Paolo Sirtoli
Homepage:    
http://www.vialattea.net/sirtoli
Divulgazione scientifica:   
http://www.vialattea.net
Societa' Astronomica Orobica:  
http://www.vialattea.net/sao

 o forse capisco male la definizione?
Non e' piu' logico dire "A e' causa di B se il non verificarsi di B implica
il non verificarsi di A"?
Non fa una piega: (A-->B) --> (NotB-->NotA)


Non fa una piega: (A-->B) --> (NotB-->NotA)
Secondo me si...infatti non capisco la definizione di Elio.
Ciao, Valter

 Secondo me si...infatti non capisco la definizione di Elio.
A quanto pare abbiamo teste differenti :)
Infatti io non capisco la definizione di popinga, in particolare l'uso
del verbo "implica".
Stiamo parlando di fatti del mondo reale, mica di logica...
O se preferite, parliamo di logica modale.
A e' causa di B se l'assenza di A ha per conseguenza l'assenza di B,
non viceversa...
In altre parole: se B non puo' prodursi senza A.
 
-- 
Elio Fabri

In altre parole: se B non puo' prodursi senza A.
Ma questo è *nella pratica* equivalente a dire che
*tutte le volte che* si produce B  allora si produce
(si è prodotto nel passato) A.
Qundi se vedo l'effetto B devo aspettarmi di vedere (nel passato di B
immagino) la causa A. E questa secondo me  è una definizione
troppo rigida, perché lo stesso B può essere stato provocato
da una ''causa'' (nel  senso comune) *differente* da A.
In altre parole, ci sono situazioni in cui vedo B ma non vedo A,
e dato che nella tua definizione di causa tu richiedi che:
*tutte le volte che* si produce B  allora si produce
(si è prodotto nel passato) A
non posso dire che A è causa di B, anche nelle situazioni in cui,
usando il senso comune lo direi.
Ti assicuro che non capisco davvero il senso della definizione
che hai  dato, anche pensando a fatti fisici.
Dato che mi pare molto improbabile che tu prenda una cantonata
su cose del genere, immagiono che mi stia sfuggendo qualcosa
di fondamentale. Se tu fornissi qualche esempio
forse capirei (e forse anche popinga) di più
Ciao, Valter

Ciao
il teorema a cui  mi riferisco io dice che dato uno stato e 2
osservabili A, B allora
DA*DB >=  0.5 * |<[A,B]>|
E appunto parla di distribuzioni di probabilita' ergo non dice nulla
sul singolo esperimento
(peraltro non ho scritto la frase virgolettata  "il teorema si applica
alla singola misura"  ) o sbaglio?
Dal teorema di cui sopra viene forse qualche limite nel fare un'unica
osservazione contemporanea di A e B  con un errore su entrambe le
osservabili piccolo a piacere? Per calcolare un valore medio ( qual'e'
<[A,B]> ) non e' forse necessario fare un numero elevato di
misurazioni? 
ciao
  Paolo

Ciao.
Voglio chiarire xche' ho criticato l'affermazione di Fabri.
Egli dice che la meccanica in un certo senso non ha niente che imponga
la causalita', sia che si parli di meccanica newtoniana che di mecc.
quant..
Io ho scritto proprio "il senso che comunemente si da' alla causalita'"
per evidenziare questo aspetto.
Mi spiego :
Lo stato di un sistema, definito ad un istante, individua in maniera
univoca qualsiasi altro stato.
Questo vale sia per uno stato nel futuro che nel passato. OK, ma qui il
concetto di causalita' e' nascosto secondo me, dal fatto che il sistema
evolvendosi basa ogni suo stato sul precedente (qualunque sia il verso
di t). E' ogni stato che determina il successivo. Se questa evoluzione
avvenisse in maniera discreta si potrebbe quindi parlare di successione
di stati ognuno dei quali potrei definire causa del suo successivo...
Il problema si presenta qualora l'evoluzione avvenga in modo continuo
(come credo che sia). Allora non credo che il discorso di prima abbia
piu' tanto rigore poiche' come nei reali non e' possibile identificare
una coppia di numeri diversi tra i quali non ve ne siano altri, cosi'
per il sistema non potro' identificare 2 stati assolutamente
sequenziali in maniera da poter concludere che siano relazionati da
causalita'.
Ecco, io mi riferivo al fatto che la causalita' e' scomoda da trattare
ed il senso comune non aiuta affatto.
Io critico negativamente la tua frase perche' la meccanica stessa si
basa sulla relazione causale.
Un qualsiasi stato di sistema puo' essere preso come stato iniziale da
cui lasciarlo evolvere.
La causa e l'effetto sono 2 entita' che separano una evoluzione,
qualsiasi cosa puo' essere interpratata cosi' a patto di stabilire cosa
ci sia prima e cosa risulti dopo questa "misteriosa evoluzione". Orbene
per me la causa e' la condizione iniziale, che si riflette
assolutamente in uno scenario di partenza come dettato dai vincoli
esterni.
L'effetto e' lo stato che si ottiene a quel determinato istante in cui
si pensa che abbia avuto termine l'evoluzione (poiche' nella realta'
cio' e' possibile per via della natura delle evoluzioni stesse soggette
in ogni caso al raggiungimento della fine, per causa di attriti o
influenze esterne) e che ora io scelgo essere il tempo T_f:
Cosi' un sistema che evolve passera' per lo stato I al tempo 1 e per lo
stato F al tempo 2....io sono libero di scegliere il tempo 1 quello per
cui il sistema inizia ad evolversi nella mia osservazione, quindi
Stato I(T_1) vale per me condizione iniziale (ovviamente parlo senza
dettagli di derivate ed altro, e' chiaro che qui poi dovrei considerare
tutto quello che comporterebbe una simile analisi in mecc. quantistica
ecc. ecc. ma a me serve illustrare il mio punto di vista). La mia causa
e' il sistema a I(T_1).
L'effetto sara' il sistema a F(T_2).
Proprio perche' io posso scegliere qualsiasi T_1 e T_2 arrivo a dirti
quello che ho scritto dandoti torto.
 Ecco tutto. La meccanica e la causalita' sono la stessa cosa.


Non importa, ormai gli avevo gia' scritto. Mi sa che e'
un poco che non vi incontrate. E' sempre stato noto
per la causticita' fulminea e spontanea, ma ugualmente
rispettosa e delicata per i sentimenti altrui. Era anche
noto che la gente di spirito pensasse alle sue
battute in media dai trenta secondi alle trentasei ore
prima di esplodere in fragorose risate.


 Ciao, Valter


Vorrei intervenire su questa storia della causa ed effetto.
Lo faccio con un esempio.
Osservo un biliardo sul quale ho definito degli assi cartesiani (l'origine
in basso a sinistra).
Tre osservatori, A, B e C, sono fissi sul bordo del biliardo rispettivamente
nei punti (1,1), (2,0) e (3,1).
A e' testimone dell'evento a=una pallina rimbalza nel punto in cui e' A;
B e' testimone dell'evento b=una pallina rimbalza nel punto in cui e' B;
C e' testimone dell'evento c=una pallina rimbalza nel punto in cui e' C;
Gli osservatori avranno con loro i rispettivi orologi ma gli istanti che
segnano quegli orologi non ci interessano in quanto sappiamo bene che i
valori segnati da quegli orologi sono convenzionali (e lo sono anche le
differenze fra un valore e un altro, anche i segni di tali differenze sono
convenzionali). Si pone quindi il problema di dare significato alla
proposizione "l'evento x avviene temporalmente prima dell'evento y".
Diversa mi pare la situazione per quanto riguarda la proposizione "l'evento
x e' la causa dell'evento y (effetto)".
Immaginiamo una situazione sperimentale nella quale tutti e tre, A, B e C,
osservano gli eventi a, b e c. Nel "preparare" la situazione sperimentale
noi non abbiamo accesso al "fuori" del biliardo, non possiamo "vedere" se
c'e' un tipo che lancia la pallina dalla destra o dalla sinistra del
biliardo. Semplicemente accendiamo la luce e vediamo tre omini che, come
concordato, alzano la mano quando li' dove sono loro rimbalza una palla.
Ogni volta che accendiamo la luce, "dopo un po' ", sono proprio i tre omini
A, B e C ad alzare la mano.
Ci chiediamo:
sara'
1) a causa di b (effetto), e poi lo stesso b diventa causa di c (effetto),
oppure
2) c causa di b (effetto), e poi lo stesso b diventa causa di a (effetto)?
oppure ne' 1) ne' 2) ?
Costruisco una teoria (che e' invariante per inversione temporale) e dico
che i dati sperimentali sono compatibili con le previsioni teoriche le quali
non permettono di discriminare fra 1) e 2).
Pero', se le nostre possibilita' di interazione con l'apparato sperimentale
sono un po' piu' estese del semplice "accendere la luce" e "osservare gli
omini alzare la mano", posso ripetere l'esperimento istruendo diversamente
A, B e C. Ad esempio posso fare in modo tale che, seguendo la definizione di
Elio (o Bacone?), "b non avvenga". Dico a B: "fregatene di alzare la mano,
concentrati sulla palla e prendila al volo nel momento in cui si accinge a
rimbalzare".
A questo punto accendo la luce e guardo cosa succede:
b non avviene per come abbiamo preparato il nuovo esperimento, se a avviene
e c no, allora dico che b e' causa di c e non e' causa di a. Come tutti gli
esperimenti dovro' ripetere la prova, e se sempre, togliendo b, si ha che a
avviene e c no, allora ne concludo che, nelle condizioni sperimentali
preparate, b e' causa di c e non lo e' di a.
Ripetendo poi gli esperimenti istruendo opportunamente A, B e C, i risultati
sperimentali potranno permettere di discriminare fra 1) e 2). Cioe' la
teoria sara' anche invariante per inversione temporale ma se la causa
(l'uomo che da fuori lancia la palla) e' a sinistra li' rimane. Ovvio che la
teoria funzionerebbe anche se la causa fosse a destra, nel qual caso tutte
le cause si scambierebbero con i rispettivi effetti (cioe' i dati
sperimentali sarebbero in un caso a supporto di 1), in un altro caso a
supporto di 2)). La teoria funzionerebbe anche nel caso in cui le cause
fossero due (due uomini, uno a destra e uno a sinistra del biliardo, che
lanciano la palla ogni volta che si accende la luce, scegliendo chi dei due
deve farlo lanciando una monetina). In questo ultimo caso l'esperimento
descritto sopra darebbe l'esito che ogni volta che b non avviene o a avviene
e c no, oppure c avviene e a no.
Naturalmente qua si pone il problema:
ma se per capire che b e' causa di c io b devo non farlo avvenire allora io
a rigore dovrei solo affermare che b "sarebbe stato" causa di c se io avessi
lasciato che avvenisse. Cioe' o voglio sapere chi e' la causa, e per saperlo
sopprimo sia causa che effetto (quindi la causa non e' piu' tale), oppure
lascio avvenire la causa, nel qual caso mi privo della possibilita' di
sapere chi e' la causa e chi l'effetto. Questo pero' a me non pare un gran
problema. E' sempre cosi' in fisica. Anche per prevedere l'istante in cui
una pallina lanciata dal quarto piano cadra' a terra io quella pallina devo
non farla cadere (o dovro' interagire con lei in qualche altro modo,
comunque perturbandola durante il moto di caduta):
metto un raccoglitore di pallina al terzo piano, poi al secondo, poi al
primo, ripeto piu' volte l'esperimento registrando i tempi, *assumo che la
natura si comporti sempre allo stesso modo*, *assumo di "preparare"
l'esperimento sempre allo stesso modo*, faccio dei fit e prevedo che, quando
non c'e' alcun raccoglitore lungo il tragitto, la pallina cadra' a terra a
un dato istante.
Tornando alla proposizione
"l'evento x avviene temporalmente prima dell'evento y"
la mia idea e' che sia possibile attribuirgli un senso solo nel caso in cui
un singolo orologio sia stato "testimone", o possa esserlo, di entrambi gli
eventi (cioe' l'orologio O si trovava nel punto in cui e' avvenuto x quando
avveniva x e si trovava nel punto in cui avveniva y quando avveniva y). Poi
ci si potra' chiedere se le evidenze sperimentali confermano il fatto che le
coppie ordinate di eventi (A,B) con A causa di B (secondo la definizione
data sopra, o qualche altra equivalente), sono un sottinsieme delle coppie
ordinate di eventi (x,y) con x che "avviene temporalmente prima" di y
(secondo la definizione appena data).
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 Ciao, Valter
Ciao.
P.S. (per il moderatore): avevo mandato un altro post sullo stesso thread
qualche giorno fa ma ancora non lo vedo. E' in attesa o si e' perso da
qualche parte e lo devo rimandare ?


canale da far schizzare lo spermatozoo giusto in prima posizione).
Mi pare che non abbia senso parlare di "tutte le volte che" dal tuo
punto di vista, se ti riferisci sempre "allo stesso fenomeno", non alla
stessa *classe di fenomeni*: ogni  singolo fenomeno è unico ed
irripetibile.
Ma allora  la fisica non avrebbe senso perché invece ha bisogno di
riproducibilità: la fisica non si occupa di singoli fenomeni, ma di
classi
di fenomeni dello stesso tipo. Solo in questo contesto ha senso "tutte
le volte che".
L'esempio che mi chiedi nell'ottica che ho precisato,
l'ho dato in un vecchio post: posso scaldare fino ad una temperatura T
un blocco di ferro (effetto B), per effetto Joule (causa A1) oppure
per sfregamento (causa A2).
In entrambi i casi l'effetto è lo stesso, ma le cause sono distinte.
Secondo il tuo punto di vista non si potrebbe dire mai che A1 o A2
sono causa del fenomeno B, dato che non nè vero che se c'è B
allora c'è stato necessariamente A1 (poteva esserci stato A2!).
Nel caso del gallo e della gallina, io posso fecondare artificialmente
la gallina oppure posso farla fecondare dal gallo. In entrabi i casi
nasce
il pulcino. Quindi NON è vero che tutte le volte che nasce un pulcino
(non un particolare pulcino) la gallina è stata fecondata dal gallo
(potrei avere usato la fecondazione artificiale (Ruini permettendo)).
Allora, dal tuo punto di vista NON si può dire che la fecondazione
da parte del gallo è causa della nascita di un pulcino.
Mi sembra un po' troppo rigida come definizione.
Ciao, Valter

paolo.a...@gmail.com
 ha scritto:
 > il teorema a cui  mi riferisco io dice che dato uno stato e 2
 > osservabili A, B allora
 > DA*DB >=  0.5 * |<[A,B]>|
 > E appunto parla di distribuzioni di probabilita' ergo non dice nulla
 > sul singolo esperimento (peraltro non ho scritto la frase virgolettata
 > "il teorema si applica alla singola misura" ) o sbaglio?
Hai ragione: ho citato male.
Tu avevi scritto
 > il principio di indeterminazione e' pero' piu' forte in quanto vale
 > anche per ogni singola osservazione senza dover fare statistiche su
 > molti esperimenti.
Pero' secondo me continui a fraintendere il teorema, anche se ho
cercato di spiegartene il significato.
Il teorema *non parla* di probabilita'.
Quanto scrivi DA, usi solo un'abbreviazione per <A^2> - <A>^2.
Per interpretare questo in termini di probabiilta', come ho gia'
detto, occorre il postulato interpretativo che lega prodotti scalari a
prob. ecc.
 > Dal teorema di cui sopra viene forse qualche limite nel fare
 > un'unica osservazione contemporanea di A e B con un errore su
 > entrambe le osservabili piccolo a piacere?
Un'osservazione "contemporanea" di due osservabili che non commutano e'
semplicemente impossibile.
Spiegami per es come faresti una tale osservazione per Lx, Ly.
 > Per calcolare un valore medio ( qual'e' <[A,B]> ) non e' forse
 > necessario fare un numero elevato di misurazioni?
Solito errore.
Il significato di <[A,B]> *non e'* "valor medio".
Se lavori in rappr. di Schroedinger sara' un certo integrale. Punto e
basta.
-- 
Elio Fabri

 nemmeno l'evento E.
Potrei sottoporre la gallina a fecondazione artificiale per produrre
l'evento E senza che si verifichi l'evento C (cioč senza il galletto che
sgalletta:).
Insomma... un evento/effetto non definisce automaticamente la sua causa


 Ciao, Valter
Ciao.


 basta.
Puoi spiegarmi meglio questa frase, a quanto ne so io <[A,B]> (che è 
un'abbreviazione di <psi|[A,B]psi> ) è il valor medio del commutatore.
A questo riguardo mi riferisco al Caldirola pag.495 formula 2.33.
Ciao
   Paolo

 wrote in message
news:151Z56Z255Z20Y1...@usenet.libero.it...


Vero, ma con il "togliendo C (causa) si ha che E (effetto) non avviene", si
dovrebbe intendere, a mio modo di vedere, quanto dicevo nei post in risposta
a Valter Moretti. Cioe' quello e' in sostanza "l'algoritmo" da seguire per
individuare le cause osservando gli effetti (e poi ripetendo gli esperimenti
dopo opportune modifiche). Poi uno stesso effetto potra' anche essere
prodotto, in via di principio, da diverse cause, ma nella nostra descrizione
del mondo immaginiamo che un effetto sara' sempre dovuto ad una causa o a
un'altra (la gallina e' stata fecondata dal gallo o da fecondazione
artificiale).
Il nostro scopo non e' "proiettato al passato" cioe' non e' vedere il
pulcino e individuare quale e' la sua corretta causa. Cioe' non e' capire se
il padre del pulcino e' il gallo o la fecondazione artificiale.
Il nostro scopo e' "proiettato al futuro", cioe' e' capire che se c'e' un
gallo oggi (o una fecondazione artificiale, o ...) ci sara' un pulcino
domani.
Ciao.


Ciao, si comincio a capire cosa intendano Elio-Bacone-Cocciaro:
c'e' un ipotesi , che voi facevate senza dirla e che finalmente ora
ti ho "costretto" a rivelare ;-). E' quella del "ceteris paribus".
Per come lo avevate esposto prima non mi era chiaro.
Non è semplicemente
"A è causa di B  se: tolto A non avviene B",
ma:
"A è causa di B, se tolto A, e _rimanendo fisse tutte
le altre condizioni (idealmente)_, allora B non avviene".
OK detto in questo modo siamo d'accordo!
Ciao, Valter

 A questo riguardo mi riferisco al Caldirola pag.495 formula 2.33.
Vedi sopra.
Visto che citi Caldirola, vai a pag. 509 dove c'e' la dimostrazione.
C'e' solo da usare la disug. di Schwartz: pura matematica.
A proposito di cio' che dici, che la rel. d'indet. non dice niente
sulla singola misura, mi e' venuta in mente la classica discussione
nota come "microscopio di Heisenberg".
In quel caso si misura la posizione di un elettrone mandandoci sopra
un fotone, e osservando il fotone attraverso un microscopio.
Succede questo: che l'impulso dell'elettrone e' incerto perche' non
puoi sapere esattamente in che direzione e' rimbalzato il fotone per
entrare nel microscopio; e d'altra parte la posizione dell'elettrone e'
incerta perche' il microscopio ha un poterre risolutivo finito.
Il che vuol dire che gia' in una singola misura hai una precisa
limitazione.
 
-- 
Elio Fabri

 limitazione.
Stavo quasi per usare proprio il microscopio di Heisemberg come 
controesempio di misurazione contemporanea di osservabili che non 
commutano, però come esempio non mi ha mai entusiasmato (a cosa serve 
una lente per un solo fotone?).
  Non ho mai messo in dubbio che il principio di indeterminazione 
valesse sempre anche per singole osservazioni, quello che io credo di 
aver capito è che il teorema di pag.509 del Caldirola più 
l'interpretazione statistica non contengono il principio di 
indeterminazione sulla singola osservazione.
Riassumo il mio pensero.
Supponiamo che uno sperimentatore prenda una foto da una camera a bolle, 
   da cui misurando la curvatura di alcune traccie lasciate da 
particelle in campo magnetico si possa calcolare il momento di una 
particella e la sua posizione con una certa precisione, secondo te il 
teorema di pag. 509 più relativa interpretazione pone dei limiti alla 
precisione delle due misure?
Secondo me no, perchè nell'interpretazione che conosco quel teorema dà 
informazioni di natura statistica e non sulla singola osservazione; di 
fatto però il principio di indeterminazione verrà rispettato anche nella 
singola misurazione.
Ciao
   Paolo

 Ma di per se' e' solo un certo integrale.
Anche senza interpretazioni probabilistiche possiamo considerarlo,
*matematicamente*, come il "valor medio" di una certa grandezza pesato su
una certa funzione/distribuzione. Insomma, un valore aspettazione.


 su una certa funzione/distribuzione. Insomma, un valore aspettazione.
Questo e' vero per la posizione o per unsua funzione, ma non per uno
peratore generico.
Sai benissimo che |psi|^2 non porta tutta l'informazione sullo
stato...
 
-- 
Elio Fabri

 dovrei fare un po' di conti.
Rileggendo bene quanto dici, mi pare di capire che non e' possibile
fare osservazioni di
momento ma solo di operatori che approssimano il momento  questo dato
chetutti gli strumenti di misura hanno volume finito, e' corretto?
A questo punto, come direbbe Lubrano, una domanda sorge spontanea:
Che senso ha la realzione d'incertezza per posizione e momento se non
si puo' mai misurare il momento ma solo degli osservabili che lo
approssimano ma magari commutano in modo differente?
Direi che questo e' un fatto non banale che non viene menzionato nei
libri di MQ (letti da me).
Non vorrei essere troppo insistente ma dato che non ho la piu' pallida
idea di come sia fatto un operatore che approssima px di quelli
succitati mi potresti fare un esempio (non ho idea nemmeno di come
potrei cominciare a costruire un tale operatore...) ?
ciao 
  Paolo

paolo.a...@gmail.com
 ha scritto:
1> Non vorrei essere troppo insistente ma dato che non ho la piu'
pallida
2> idea di come sia fatto un operatore che approssima px di quelli
3> succitati mi potresti fare un esempio (non ho idea nemmeno di come
4> potrei cominciare a costruire un tale operatore...) ?
Ciao, al solito ho pochissimo tempo. Una prima costruzione è dovuta
allo
stesso von Neumann. La trovi probabilmente sul suo libro di fondamenti
di MQ, e sicuramente sul testo di Prugovecki : Quantum Mechanics in
Hilbert
Space. In ogni caso di devono usare le misure spettrali.
Ciao, Valter

 > Ciao, al solito ho pochissimo tempo. Una prima costruzione è dovuta
 > allo
 > stesso von Neumann. La trovi probabilmente sul suo libro di fondamenti
 > di MQ, e sicuramente sul testo di Prugovecki : Quantum Mechanics in
 > Hilbert
 > Space. In ogni caso di devono usare le misure spettrali.
 > Ciao, Valter
Ciao,
grazie per le indicazioni; sono andato a cercare il Prugovecki " Quantum
Mechanics in Hilbert Space"
e ho cercato di capire un po' come tratta la questione.
L'impressione che ho avuto è che il ricorso alle misure spettrali sia
dovuto a problemi di autoaggiuntezza del commutatore di due operatori e
non a problemi riguardo la misura (però suppongo che sia necessaria
un'analisi più approfondita per capire questa matematica), ne per ora ho 
capito come siano gli operatori che approssimano p o x che cita Elio.
Per quanto riguarda il problema dell'osservazione contemporanea di due
osservabili che non commutano ho trovato la seguente frase in una nota a
pagina 262 del Prugovecki:
"Note that this interpretation of quantum mechanics, which is centered
around the presently formulated Born's corrispondance rules, does not
make any mention about measurements of incompatible obsevables. In fact,
the problem of giving some theoretical meaning to simultaneous
measurements of incopatible observables has only very recently received
some attention(see She and Hefner [1966]; Prugovecki [1967]; Park and
Margenau[1968])."
Al che son andato a cercare i suddetti articoli. Ad alcuni ho avuto
accesso, e grazie anche all'aiuto del google scholar tramite le
citazioni ho cercato di risalire a quello che è il pensiero "corrente"
sulla vicenda.
Ho trovato un articolo "J.Phys: Math. Gen.25(1992) 4887-4901" in cui gli 
autori dicono di aver dimostrato che è possibile secondo la MQ compiere 
misurazioni contemporanee di osservabili non compatibili.
Ammetto che non sono entrato nel dettaglio della matematica, ma sono 
interessanti le loro affermazioni su quello che è il significato del 
teorema di indeterminazione.
Un altro articolo che penso tratti in modo molto interessante 
l'interpretazione del teorema di cui stiamo parlando:"international 
Journal of theoretical Physics, vol.37 , no.5, 1998" (ma su cui avrei 
delle obiezioni da fare) cita un articolo di Uffink del 1994(a cui non 
riesco ad accedere) che invece parrebbe sancire definitivamente che nel 
formalismo della MQ l'osservazione contemporanea di osservabili che non 
commutano è impossibile.
Provo a esternare le conclusioni a cui sono giunto anche attraverso 
questi articoli le vostre risposte e domandando a un mio amico 
sperimentale (mentre mangiava e non si aspettava domande a 
trabocchetto). Gli ho chiesto se per caso le osservazioni che si fanno 
al GSI in Germania misurassero contemporaneamente posizione e momento 
delle particelle e la sua risposta è stata più o meno: "certo, è molto 
importante avere la massima precisione possibile con il solito limite 
imposto dal principio di indeterminazione".
Storicamente dato che il formalismo della MQ viene dopo gli esperimenti 
non dubito che gli sperimentatori credessero di fare osservazioni 
contemporanee di posizione e momento (invece che di operatori che li 
approssimano), ne dubito che la maggior parte degli sperimentatori 
attuali ne sia ancora convinta. Di fatto queste osservazioni 
contemporanee di osservabili che approssimano p o x non violano mai il 
principio di indeterminazione.
Mi piacerebbe capire se secondo Valter o Elio (o chiunque è interessato 
all'argomento) anche queste singole misure possono essere ricondotte al 
teorema di cui si discuteva all'inizio e se sì come(A mio parere no...).
ciao,
scusate per il post un po' lungo,
   Paolo

Domattina in ufficio consulto il Prugovecki
ed il von Neumann, mi pareva che in uno dei due
ci fosse *esplicitamente* la forma delle osservabili
che approssimano impulso e posizione e che commutano.
Forse ricordo male. Per il resto, sono in  piena attività
didattica e non ho purtroppo tempo per pensieri "profondi",
per cui, più di qualche consiglio bibliografico non
potrò dare.
Ciao, Valter

 imposto dal principio di indeterminazione".
E te credo!
Anche senza avere una conoscenza precisa delle incertezze che si
ottengono nelle misure reali, sono convinto che stiano molti ordini
di grandezza al disopra di quel limite...
Nel frattempo sono riuscito (in un intervallo di veglia, questa notte)
a risolvere il problema della "osservabili approssimate".
Mi limito al caso di una particella che si puo' muovere su tutta una
retta.
Scegliamo un reale a>0, e introduciamo il seguente sistema di funzioni:
f(m,n,x) = exp(2*pi*i*m*x/a) / sqrt(a)   se n*a < x *(n+1)*a
          = 0 altrimenti.
Le f(m,n,x) sono un insieme ortonormale completo.
Definiamo due operatori Q e P come segue:
Q f(m,n,x) = n*a*f(m,n,x)
P f(m,n,x) = (2*pi*m/a)*f(m,n,x).
Q e P si estendono per linearita' a un insieme denso in H.
Non ho studiato se sono autoaggiunti, ma scommetterei di si'.
E' ovvio che Q e P commutano, avendo una sistema completo di
autovettori comuni.
Anche l'interpretazione fisica e' ovvia:
1) Q approssima la posizione, o meglio definisce una posizione
"discretizzata" (con incertezza a).
2) P approssima l'impulso, visto che le sue autofunzioni sono onde
piane troncate alla lunghezza a.
C'e' qualche baco che mi e' sfuggito?
 
-- 
Elio Fabri

Ciao,
per Elio:
i tuoi operatori sono essenzialmente autoaggiunti
nel dominio denso delle combinazioni lineari finite dei vettori
f(m,n,x) (si scrive anche esplicitamente il dominio
di autoaggiunzione nel modo più ovvio, richiedendo che
i vettori trasformati secondo gli operatori siano ancora dentro
L^2 se partiamo da vettori di L^2...).
Effettivamente approssimano gli operatori posizione ed impulso
(e credo che usando gli operatori risolventi il senso
dell'approssimazione si possa dare in termini rigorosi in qualche
topologia operatoriale).
Quello posizione approssima l'operatore posizione standard
per a -> 0, mentre quello impulso fapprossima il corrispondente
per a->oo. Qundi la bontà dell'approssimazione non può essere
migliorata per entrambi gli operatori contemporaneamente.
Se uso due valori distinti di a perdo la commutatività
degli operatori... Si può fare di meglio? Credo di no, ma non
ho tempo di pensarci!
per Paolo:
Ho guardato sul Prugovecki e non sono riuscito a trovare
quanto credevo di ricrdare. Rimango sicuro che in quel libro
si parli, da qualche parte, forse in un esercizio, degli operatori
posizione ed impulso approssimati riferendosi al
libro di von Neumann (il mitico: "I fondamenti matematici
della meccanica quantistica"). Ma non importa perché
ho trovato questi argomenti direttamente sul libro di von
Neumann: sezione 4 del capitolo 5 (ho la versione in italiano
 a cura di G. Boniolo, Editire "il Poligrafo", Padova, 1998.
E' molto interessante, anche per le considerazioni di tipo fisico che
contiene. C'è molto più fisica di quello che si creda in quel libro,
è un peccato che sia cosi poco noto.
La cosa assurda è che l'ho visto citato nei testi sperimentali
di misurazioni quantistiche e non citato nei libri teorici!
Purtroppo non ho tempo di dire di più.
Ciao, Valter

 misurazioni quantistiche e non citato nei libri teorici!
Confesso di averlo preso in mano forse 50 anni fa, e poi non piu'.
Naturalmente me ne ricordo quasi niente.
Mi fai sentire un po' in colpa :-)
 
-- 
Elio Fabri

ciao
grazie, adesso mi e' decisamente e piu' chiaro, ma ho ancora qualche
dubbio.
Il parametro "a" puo' essere considerato come la risoluzione dello
strumento.
Intuitivamente puo' essere visto come l'errore sulla posizione, quindi
al tendere di "a" a zero
miglioro l'osservazione della posizione;
che, al contrario, al a-->00 migliori la precisione del con cui P
approssima il momento e' anche abbastanza intuitivo, perche' cosi' le
funzioni che hai costruito "si avvicinano" ad essere onde piane (in un
eventuale trasformata di fourier una componente acquisterebbe sempre
maggior peso).
In effetti questo assomiglia all'idea un po' naif che io avevo di
osservazione singola di momento e posizione. Da quello che dici se si
potesse fare trovare che la norma di D-P e' , a occhio ~2/a la
somiglianza con quello che io credevo essere una misura contemporanea
di posizione e momento sarebbe ancora piu' vicina in quanto si potrebbe
definire un'incertezza sulla precisione del momento misurato.
Per cui si avrebbe un senso parlare di incertezza sulla posizione e
momento di una singola particella con una singola osservazione e per
queste vale ancora  che il prodotto delle 2 deve essere maggiore di h
(cosa che mi pare di capire fanno gli sperimentatori), ma che non mi
pare possa essere rincondotto, almeno facilmente, al teorema di
incertezza di cui parlavamo, in cui l'errore e' un funzionale di |psi>
mentre in questa costruzione no: dipende dalla risoluzione
dell'apparato di misura.
Un'altra cosa che non mi e' chiara e' quanto sia univoca
l'identificazione di un'onda piana troncata a un punto che si illumina
su uno schermo, ovvero  non si sarebbe potuta utilizzare una qualsiasi
altra base dello spazio di Hilbert nell'intervallo
[(n-1/2)*a,(n+1/2)*a] in fondo la forma della funzione d'onda li' e'
per definizione non osservabile in quanto al di sotto della risoluzione
dello stumento.
Usando una base differente l'identificazione di P come approssimazione
del momento non mi pare garantita nemmeno al tendere di a-->00.
ciao
  Paolo

 del momento non mi pare garantita nemmeno al tendere di a-->00.
Ovvio, ma chi se ne importa?
L'importante e' l'inverso: che si possa definire un P che ha le
proprieta' utili.
 
-- 
Elio Fabri