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Titolo: del rapporto tra matematica e Natura (Fisica ma non solo) - era Termodinamica

 
dal 3D Termodinamica, è tornato a galla un argomento 
sicuramente strasviscerato ovunque (ma di cui ricordo 
casualmente di avere letto poco).
 
Vorrei "migliorare" le mie posizioni/idee di fondo (e se non 
accadrà non sarà per impermeabilità ma perché richiederebbe 
comprensione migliore, che non è detto che si verifichi).
 
Ora userò la parola Fisica come sinonimo di Natura nella sua 
accezione più ampia di tutto quanto accade, è reale (indi 
una parte per il tutto).
In contrapposizione (anzi, in "separazione", temporanea) con 
quanto è matematica e sue gemelle (la logica, la statistica 
ex ante).
 
Per quel che so o intuisco, anche se si è sviluppata molto 
per risolvere problemi connessi alla Fisica, la Matematica 
non ha BISOGNO della fisica : si fonda su postulati 
assolutamente astratti e ideali.
 
E in un certo senso più scivoloso si può dire che per 
funzionare la Natura non abbia bisogno della Matematica 
perché non ha bisogno di essere calcolata.
 
Se già ho scritto cose molto imprecise o da correggere, 
accomodatevi.
Ma cmq passiamo oltre.
Se sussiste questa sostanziale indipendenza già a livello 
della genesi, allora perché la matematica funziona così bene 
e anzi si può dire che niente altro funzioni per descrivere 
a fondo la natura, le sue proprietà, evoluzione dei fenomeni 
e tutto quanto sia noto a sufficienza.
 
Se una chiave inglese si dimostra tanto adatta a svitare e 
avvitare certi bulloni, può essere una coincidenza ?
Oppure : è una proprietà intrinseca della chiave inglese ? 
Intendo dire : la matematica si presta a studiare TUTTO per 
qualche sua proprietà ? E quale ? Oppure è una proprietà 
della natura, quella di generare da sé la matematica come 
schema.
O infine che so (sottolineo, sono agnostico e non ho 
risposte, ma le domande si !) una simile mutua compatibilità 
suggerisce una sorda di DISEGNO, di progetto della natura 
per avere certe proprietà descrivibili con la matematica.
 
 
Per qualche oscurissima ragione vedo la matematica come non 
progettabile, qualcosa che esiste in sé, prescindendo dalla 
Natura, e che dobbiamo solo scoprire.
 
Aiutatemi a farmi un po' di chiarezza.
Non mi sembra un discorso metafisico ... ma boh, magari lo è
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 e che dobbiamo solo scoprire.
 
Ho trascritto la tue frasi a mio parere più rilevanti numerandole per
poterle citae più comodamente.
Ora cercherò di dire che cosa condivido, che cosa no, e quale sarebbe
la mia risposta.
 
Comincio però col dire che il problema non interessa solo te, né solo
me.
Ha interessato, e anche turbato, schiere di grandi pensatori.
Ti cito solo un famoso esempio:
 
E.P. Wigner: "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the
Natural Sciences," Communications on Pure and Applied Mathematics
13(1)(1960): 1-14.
(E' anche stata pubbicata una traduzione da Adelphi.)
 
Non so se tu sai chi è stato Wigner. Non posso stare a spiegartelo,
fai una ricerca.
Intanto vedi la data.
L'articolo di Wigner ha prodotto ampie discussioni, con diverse
posizioni, che non hanno risolto la questione.
Io lessi quell'articolo molti anni fa, e rimasi colpito dal fatto che
Wigner non pareva proporre una sua risposta.
 
Nel tempo ci ho pensato a lungo, e mi sono dato una risposta.
Non ti aspettare però che la esponga qui.
Mi sono accorto, con molto disappunto, che ormai è divenuto
impossibile farsi capire in un newsgroup.
 
(Tra parentesi, io avrò forse delle qualità, ma tra queste non ci sono
né la modestia né la pazienza.
Quindi se vedo che ciò che scrivo viene pesantemente frainteso,
difficile che pensi di essermi spiegato male, e difficile che mi
sforzi di spiegarmi meglio.
Non sto parlando di te...)
 
Ora provo a dire che cosa condivido e che cosa no di ciò che hai
scritto.
 
1. Sono d'accordo anche se ti ricordo che questo modo d'intendere la
matematica si è affermato in tempi recenti rispetto alla sua storia.
Direi poco più di un secolo, al più un secolo e mezzo.
 
2. Questo mi pare banale. La natura (incidnetalmente la Natura (con la
maiuscola poi) e la fisica sono cose diverse.
La natura è più o meno la realtà. Esiste e si trasforma, esisteva
molto molto prima che esistessero esseri pensanti, che comunque ne
fanno parte.
La fisica è una creazione umana: fa parte dello sforzo di
*comprendere* la realtà.
 
3. Quindi parlare di "indipendenza a livelo di genesi" mi pare
insensato.
E' invece vero che (come sottolineato da Wigner) proprio il fatto che
la matematica sia creazione umana rende un problema che essa possa
essere applicata così ampiamente e con tanto successo come parte
dominante della nostra "spiegazione" della realtà.
 
4. Per restare al tuo paragone, una chiave inglese no, ma esistono
strumenti più universali, che si prestano a essere usati per
molteplici funzioni.
Del resto già la chiave inglese lo è, in contrapposizione a una chiave
fissa.
Se vuoi fare un minimo di meccanica devi avere un intero set di
chiavi fisse.
(Però non potrsti sostituirle con un'unica chiave inglese, per ragioni
che sai benissimo).
 
5. Non direi, anche se la spiegazione che accennerò più avanti
potrebbe anche essere vista in questa luce.
 
6. Naturalmente questa è la soluzione di un certo tipo di religioni.
Non hai accennato a un'altra asoluzione non troppo diversa: quella di
Platone.
La matematica è la *vera* realtà.
Ciò che noi vediamo sono solo pallide ombre di un mondo ideale.
Quindi non sarebbe un problema che la "nostra" matematica funzioni,
nella misura in cui si avvicina alla realtà pià profonda.
Personalmente rifiuto questa interpretazione.
Perché? Sarebbe lungo da spiegare, ma alla fine si deve dire che la
rifiuto per ragioni metafisiche, nel senso proprio del termine.
Ossia per ragioni che vanno al di là della fisica, sono le mie scelte
personali.
 
7. Qui ti avvicini al platonismo, e va da sé che non sono d'accordo.
Al contrario (l'ho già scritto) la matematica la vedo come una
*costruzione* umana, in perpetuo divenire.
Non perché andiamo scoprendo cose già esistenti, ma perché le
*creiamo*.
La mente umana è capace di questo (anche di questo).
 
********************
 
Nel pensare a come risponderti e anche a come rispondere a un altro
post di oggi) mi è venuto fatto di cercare quante volte ho scritto su
questi temi.
E' bastato (se conosci Linux)
|-> grep r "strumento\ di\ pensiero" *
 
Delle molte cose che sono uscite fuori, mi piace citare questa.
Il 23/9/2002, rispondendo a un certo Lois su questo stesso NG a
proposito della corrente di spostamento, scrivevo:
 
========================Ora, se ho capito bene che e' questo il ragionamento che ti da'
difficolta', io sono convinto che la difficolta' che trovi *non sta
nella matematica*: sta invece nel significato del ragionamento che
devi fare, ossia *nella fisica*.
 
E' vero che quel ragionamento e' espresso con strumenti matematici, e
vedi bene che non potresti *assolutamente* esprimerlo senza; ma il
*contenuto* del ragionamento e' fisico.
 
Io ho un'espressione favorita, a questo proposito: dico sempre che per
il fisico la matematica e' uno "strumento di pensiero". Cioe' non e'
uno strumento banale, di quelli che servono per arrivare a certi
risultati pratici. Certo, a volte serve solo di calcolare un
integrale. Ma la matematica a un fisico serve per *pensare*, per dare
forma precisa alle sue idee.
 
========================Penserai che questo non risponde alla tua domanda.
E' vero, ma è preparatorio.
 
Molto sommariamente, la mia risposta è che la specie umana nel corso
della sua evoluzione ha sviluppato la capacità di costruire astrazioni
e di ragionarci su.
L'embrione della matematica.
Poi questa capacità si è evoluta ancora, andando molto al di là delle
ragioni per cui si era evoluta (un certo successo nella sopravvivenza).
Non era necessario, ma è accaduto.
Credo si discuta ancora se era o no inevitabile (Monod. "Il caso e la
necessità").
Lo strumento matematico ha infine preso la forma di uno strumento
universale, con la capacità di adattarsi a qualsiasi problema.
Se una particolare funzione dello strumento non è presente al momento
in cui serve, lo strumento è così flessibile che possiamo inventare
ciò che serve.
Ecco la ragione del successo, la "effectiveness" di Wigner.
 
Anche su questo punto ho scritto in più occasioni.
Per esempio
http://www.sagredo.eu/articoli/matfis.pdf
 
Ce n'è anche un altro, ma debbo metterlo nel sito. per stasera non ce
la faccio.
 
 
--
Elio Fabri

 la faccio.
Eccolo:
http://www.sagredo.eu/articoli/librolin.pdf
 
Come vedi è del 1995.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Non mi sembra un discorso metafisico ... ma boh, magari lo è
 
parlavo con Elio di Platonismo opposto all'Aristotelismo
ma il post è stato giustamente rifiutato.
 
"nell’attività dell'Accademia avevano importanza anche la matematica 
pura (cioè aritmetica e geometria) e applicata (cioè ottica e 
meccanica): questo corrisponde alla concezione platonica secondo cui lo 
studio della matematica deve precedere, e preparare a, quello della 
filosofia."
 
Ma la filosofia intesa sempre come discorso sulla
natura
e quindi la sua figlia ispira l'ambiguo motto
scritto sul frontone:
 
“Nessuno entri, che non sappia la geometria”
 
Ambiguo perchè la geometria è misteriosamente
dentro di noi, qualcosa di già
saputo.
Possiamo ben dire che Galileo seguisse
ispirazioni platoniche.
 
ciao
Massimo

 Non mi sembra un discorso metafisico ... ma boh, magari lo è
 
A me sembra di si'. Discorso appropriato per una domenica oziosa che non 
puo' offrire soluzioni.

 Non mi sembra un discorso metafisico ... ma boh, magari lo è
 
Non è metafisico. C'è solo un misunderstanding circa la natura della ... 
natura. Misunderstanding grosso come una casa e molto diffuso anche nel 
terzo millennio.
 
Omega
 

 puo' offrire soluzioni.
 
non ci si interroga solo su quel che è rispondibile a breve, 
è un qualcosa di innato nell'essere umano cercare di trovare 
"un senso"


 
 
 
-- 


curvatura sarebbe diversa,
 
https://it.wikipedia.org/wiki/Pseudosfera
 
 
Ciao

Il 09/09/19 20:02, El Filibustero ha scritto:

purtroppo non sono in grado di cogliere l'esempio :\


 presunta tale è preziosa
 
mi preme tenerti lontano
dalla filosofia quindi
invito te o chi ne ha voglia
di leggere questo breve
articolo.
Vedrai che tornerai con
i piedi per terra propri
di un Fisico che si rispetti :)
 
http://people.na.infn.it/~sesposit/MajoranaSite/documents/giannetto-majorana.pdf
 
 
ciao
Massimo

 
Semplice: anche nella pseudosfera la curvatura e' uniforme, cioe' indipendente dal punto scelto.  
(Se si escludono i punti singolari, cioe' quelli della circonferenza unione delle due falde). 
 
--
Wakinian Tanka

 saputo.
 
Non certo "misteriosamente", ma ha certamente radice istintiva, dato che 
muoversi nel mondo senza di essa non sarebbe possibile (quindi è di ogni 
specie) Ecco perché è profondamente logica. Anche la logica infatti 
consente di muoversi nel mondo - intellettuale o no, genericamente 
psichico - senza uscire di strada.
Ma questa dotazione naturale va esercitata, come ogni altra. Perciò non 
c'è mistero in quella scritta sul frontone dell'Accademia.
 
Omega


 Wakinian Tanka



*uno solo* dei due raggi di curvatura principali! 
 
Ma la curvatura gaussiana di una superficie (che e' anche "intrinseca" ovvero rivelabile muovendosi solo sulla sup.) e' il prodotto delle due curvature principali: la massima e la minima. 
Nella pseudosfera, una delle due cur. aumenta e l'altra diminuisce in modo tale che il prodotto e' costante. 
 
Altri esempi. 
 
 
 
 
-Cilindro di raggio R. La curvatura massima e' 1/R; si ottiene tagliando il cilindro con un piano ortogonale all'asse: la circonferenza che risulta ha tale curvatura. Ma la curvatura minima e' zero perche' nella direzione di taglio ortogonale alla precedente (ovvero tagliando con un piano passante per l'asse del cilindro) si ottiene una retta. Conclusione: la curvatura di un cilindro /e' nulla/. Ecco perche' si dice che e' equivalente ad un piano: la geometria e' quella del piano; ad es la somma degli angoli interni di un triangolo disegnato sulla superficie laterale di un cilindro e' π; il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza ivi disegnata ed il raggio e' 2π. 
 
-Sfera di raggio R. 
Tagliandola con due piani per il centro si ottengono sempre due circonferenze massime, quindi la curvatura gaussiana e' 1/R•1/R = 1/R^2.
 
-Sella di cavallo (oppure patatina fritta standard) . 
 
 
 
Si sceglie un punto P e si taglia la superficie con due piani ortogonali ad essa nell'intorno di P. Si ottengono delle curve, localmente approssimabili a cerchi; alcuni di questi cerchi staranno sopra, altri sotto il punto P, quindi per alcuni la curvatura e' positiva, per altri negativa; sia allora c1 la massima curvatura (positiva evidentemente) e c2 la minima (negativa, evidentemente); la curvatura gaussiana e' c1•c2 <0 ovvero e' sempre negativa. 
10/09/2019 15:51
 
--
Wakinian Tanka 

 
 
 


 dipenda da queste due prescindendo dalla funzione generatrice ?
 
 
Quella e' per definizione la curvatura di Gauss, prodotto degli 
autovalori dello shape operator. Nel suo theorema egregium Gauss mostro' 
che la curvatura definita a questo modo e' un invariante intrinseco della 
superficie: puoi piegarla (senza pero' stirarla) e la curvatura resta 
uguale.
Esiste poi la curvatura totale, cioe' la curvatura di Gauss integrata su 
tutta la superficie. Insomma una sua media sulla superficie, che grazie 
al teorema di Gauss-Bonnet ci fornisce il "numero di manici": ad esempio 
il toro ha un manico, la sfera no.
 
 
Tornando alle tue domande, la curvatura di Gauss e' il prodotto di due 
autovalori, K = k1*k2.
 
Se K=0 e costante su tutta la superficie, allora puoi svilupparla su un 
piano ed hai quindi la geometria euclidea. Ad esempio un cilindro: hai 
una circonferenza in una direzione, una retta nell'altro, dunque K=0.
 
Se K>0 e csotante, hai una sfera: geometria sferica.
 
Esempio. Un toro non ha curvatura costante. Se lo parametrizzi con
 
x(u,v) =(c+a cos v) cos u
y(u,v) = (c +a cos v) sin u
z(u,v) = a sin v
 
l'elemento di linea lo ottieni come:
ds^2 = (c +a cos v)^2 du^2 + a^2 dv^2
 
e dal tensonre metrico ottieni dopo paziente algebra la curvatura scalare 
R (tensore di Ricci) 
 
R = 2 cos v/(a( c +a cos v))
 
che e' il doppio della curvatura gaussiana. Come vedi non e' costante, 
all'interno del toro e' negativa, all'esterno positiva, in cima e sotto 
zero.
 
Se K<0 e costante, hai una pseudosfera con geometria iperbolica o 
Lobachevski.
 
In fisica, RR: per K rispettivamente 0, positivo e negativo sono gli 
spazi di Minkowski, de Sitter ed anti de Sitter.

 
 
 



Ma questa e' /un'altra/ domanda! 
Alla quale El Filibustero ti ha risposto con l'esempio della pseudosfera: anche questa superficie *ha curvatura costante*. 
 
Ma questo non c'entra nulla con l'altra questione, dell'isotropia e omogeneita' dello spazio! La pseudosfera non e' isotropa, ma *per quanto riguarda la curvatura gaussiana* e' omogenea. 
Omogeneita': la proprieta' considerata non varia al variare del punto. 
Isotropia: la proprieta' considerata non varia al variare /della direzione/ fissato il punto.  
 
--
Wakinian Tanka

 Isotropia: la proprieta' considerata non varia al variare /della direzione/ fissato il punto.
 
ancora non colgo la differenza in realtà. Mi sembrano modi 
diversi di dire la stessa cosa. Mi piacerebbe capire la 
sfumatura invece :\


 curvature principali: la massima e la minima.
Qui capita a proposito (mi pare) un briciolo di storia della matematica.
La curvatura gaussiana prende nome da Gauss, che la pubblica (credo)
nelle "Disquisitiones generales circa superficies curvas" (1827).
L'importanza della curvatura gaussiana è di essere invariante per
isometrie.
 
Ossia: due superfici che si ottengono l'una dall'altra applicando una
deformazione che non alteri la distanza (sulla superficie) tra due
punti qualsiasi, hanno in punti corrispondenti la stessa curvatura
gaussiana, sebbene viste nello spazio possano apparire del tutto
diverse.
Un esmpio molto semplice è il cilindro circolare retto.
Lo si può facilmente deformare a ellittico, ma anche a forme molto più
capricciose.
La sua curvatura gaussiana rimane nulla.
La possibilità di deformazione isometrica per superfici generiche è un
problema assai compleso.
Si sa però che la sfera *non è* deformabile ismotricamente.
 
Gauss (1817):
Mi vado sempre più convincendo che la necessità della nostra geometria
non può essere dimostrata; almeno non lo può dall'intelletto umano
[...] la geometria andrebbe quindi catalogata non con l'aritmetica,
che è puramente aprioristica, ma con la meccanica.
 
Interessante che la stessa posizione sia ancora condivisa da Enriques
un secolo dopo: definisce la geometria "fisica dello spazio".
 
E questa è solo una parte dell'argomento, che per certi aspettti resta
ancora inesplorato o insoluto.
lasciatemi dire una cosa (sperando che i moderatori me la passino).
Ho visto i post successivi tuoi e di Mario.
Bene (anzi male) state facendo dei mostruosi casini.
Ora non posso entrare in dettagli, e per di più non sono un matematico.
 
Vi prego solo di riflettere che l'argomento è stato *iniziato*, quasi
due secoli fa, da uno che si chiamava Karl Friedrich Gauss.
Lui si poteva permettere di usare l'intuizione, sia perché l'aveva di
una potenza che nessuno di noi può neppure vagamente avvicinare, sia
perché era capace di trassformarla in argomenti rigorosi.
Chi non è a un livello simile, o studia o farebbe bene a tacere o al
più limitarsi a fare domande, massimo congetture...
Invece qua mi pare che chi meno ne sa più scrive :-(
 
 
-- 
Elio Fabri

 Invece qua mi pare che chi meno ne sa più scrive :-(
 
Tu scrivi alquanto :-)
 
A parte questo, hai sciorinato nell'ultimo capoverso una serie di 
pregiudizi e luoghi comuni che si sentivano solo nelle comunità 
religiose. Gauss era una grande mente, ma le mani sulla verità non ce le 
ha messe neanche lui. Confondere la geometria con la meccanica, come tu 
hai ricordato, è un esempio di assurdità che davvero non mi aspettavo.
Certo che per la tecnologia meccanica coincidono, come ovvio. Me se 
restiamo all'astratto si tratta di universi distinti, anche solo 
considerando i capitoli della meccanica. Ma neppure nella statica 
coincidono, perché anche la statica fa riferimento, seppure in astratto, 
a entità fisiche, dotate di forma e funzioni specifiche, in particolare 
fa riferimento alla "consistenza" fisica, alla "massa".
La geometria nemmeno per idea: nulla della geometria è rappresentabile 
in alcun modo. È proprio astratta come la matematica. Forse una linea 
priva di spessore è anche solo immaginabile? No. Invece un filo della 
meccanica è perfettamente immaginabile, anche solo rimanendo alle 
rappresentazioni mentali.
 
Omega
___