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Titolo: Relativita'

 tappe impegnative.
Sinceramente, il prof. EF non ricorda di aver parlato di vette :-) ne'
di pochi eletti.
Sicuramente ho detto che non si puo' capire a chiacchiere e bisogna
studiare.
La sola vera condizione e' quella di essere disposti a faticare un po',
non pretendere di avere tutto pronto e digerito in pochi minuti. In
questo la divulgazione e' indecente (ho parlato piu' volte di disonesta'
e anche di truffa, non solo scientifica, visto che si fa pagare...)
Ma io da anni sono impegnato a studiare il modo per portare a quelle ...
vette senza bisogno di prendersi una laurea in fisica. Tra meno di due
settimane saro' proprio occupato in una scuola estiva che ha per tema
l'insegnamento della relativita' (ristretta e generale) nella scuola
secondaria: cerchero' di mettere una quarantina d'insegnanti in
condizioni di fare un lavoro almeno decente in merito.
Ho anche messo in circolazione qualche pagina WWW (sicuramente
insufficiente, ma tanto per dare un assaggio). Chissa' che in futuro non
mi riesca di fare di piu'...
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

 ...
Non conosco il libro di Sciama, e se riesce davvero a spiegare con
precisione e chiarezza un argomento che io piu' ci penso e piu' trovo
sbagliato, ne saro' davvero felice.
Ti spiego in due parole il mio problema: lo spazio-tempo in cui si trova
il disco e' piatto. Il disco gira, e si vuole mostrare che per un
osservatore sul disco lo spazio non e' euclideo. Di solito in molti
libri si scrive anche la metrica di questo spazio, che risulta appunto
non euclidea.
Il punto e' che lo spazio di Minkowski non possiede nessuna sezione
spaziale con quella metrica!
Come la mettiamo?


 Come la mettiamo?
Ciao, non ho capito niente! Puoi scrivere qualche formuletta che la
cosa mi interessa...
Ciao, Valter

Valter Moretti ha scritto:

Presto fatto.
Coordinate del rif. inerziale: t,r,u' (u sarebbe l'angolo, non considero
la z).
Coordinate del rif. rotante: t, r, u = u' -  wt.
Metrica, ricavata da quella di Lorentz:
d\tau^2 = (1 - w^2 r^2) dt^2 - dr^2 - r^2 du^2 - 2 w r^2 dt du. (1)
Si trova sempre scritto che la metrica spaziale nel rif. rotante e'
ds^2 = dr^2 + du^2 / (1 - w^2 r^2). (2)
Ora non esiste nessuna ipersup. spaziale che abbia questa metrica. Se
esistesse, avrebbe equazione t = f(r,u). Basta sostituire nella (1) e
imporre che la metrica indotta sia la (2): si trovano per f condizioni
incompatibili.
Forse sbaglio, ma un fatto mi aveva convinto di aver ragione: mentre nei
vecchi testi di RG l'argomento dello spazio non euclideo era citato
sempre (del resto, risale ad Einstein) non l'ho piu' trovato in testi
recenti. Ora sento che Sciama lo riporta...


Ciao, Elio, forse arrivera' un'altra mia risposta piu' lunga
da casa che non ho capito perche' non e' ancora apparsa.
Riposto dall'ufficio un'altra risposta perche'in tal modo
apparira' subito.
Allora, hai ragione tu: non c'e' alcuna ipersuperficie tridimensionale
di tipo spazio con la metrica *indotta* da quella di Minkowski
data da
ds^2 = dr^2 + du^2 / (1 - w^2 r^2)
Ma e' anche ovvio: la metrica
d\tau^2 = (1 - w^2 r^2) dt^2 - dr^2 - r^2 du^2 - 2 w r^2 dt du
non e' statica  ma solo stazionaria  (*) e gli osservatori infinitesimi
che evolvono con t hanno il loro spazio di quiete istantaneo
infinitesimo che non e' tangente alle superfici a t costante:
tali spazi di quiete non sono tangenti  ad alcuna ipersuperficie
finita, in una parola non determinano alcuno spazio di quiete
globale su cui c'e' una geometria riemanniana globale.
Anche io avevo letto le stesse cose che dici di avere letto
ma solo in un vecchissimo articolo di Einstein (nel quale
non conosceva ancora le identita' di Bianchi).
Ciao, Valter
(*) per essere precisi la metrica e' statica ed ultrastatica perche'
e' quella di Minkowski, la *forma* della metrica non e' statica.


 Ora sento che Sciama lo riporta
Mi pare un po' strano. Purtroppo non possiamo piu'
chiedere chiarimenti a Sciama visto che non e' piu' 
tra noi da pochi mesi (ho letto con dispiacere la notizia 
in fondo all'ultimo suo lavoro uscito recentemente 
su Phys. Rev. D)
Ciao, Valter

 su Phys. Rev. D)
Non sapevo che fosse morto. Pero' il libro resta. Purtroppo non ho
potuto consultarlo, perche' la nostra biblioteca e' chiusa per lavori :(



Neanche io ho letto il libro di Sciama. Ed anche io trovo difficoltà a
comprendere il fenomeno del disco rotante. Tuttavia, non essendomi
necessario affrontarlo allora  ho pensato di risolverlo a modo mio. Bene,
leggendo la tua risposta mi sono ricordata che avevo abbandonato Minkowski.
Adesso non riesco a recuperare gli appunti e la trattazione  Landau e
Lifsits su cui mi sono preparata . Ricordo di essere partii dalla variazione
apparente della quantità di moto e dal calcolo le momento angolare del disco
in rotazione. Comunque credo devo aver sbagliato tutto. Mi piacerebbe  prima
o poi dovrò riprendere quello studio, perciò mi piacerebbe affrontarlo
adesso. Se riesco a recuperare qualcosa ti faccio sapere? Intanto  fammi
sapere   se riesci a risolvere il problema. Voglio avvisarti che però non
sono ancora laureata in Fisica.
Daniela


Ciao, riposto una risposta perche' tarda ad arrivare quella che ho
mandato venerdi' o sabato.
Allora hai ragione sull'ambiguita' metrica statica/coordinate statiche,
infatti ho precisato meglio in una delle mie due risposte precedenti.
In ogni caso:
a) una metrica e' detta statica in una regione A se esiste un campo
vettoriale di Killing di tipo tempo in A le cui orbite sono ortogonali
ad una ipersuperficie di tipo spazio.
b) una carta locale e' detta *statica* (ovvero e' detta statica la
rappresentazione della metrica in essa), se i coefficienti della metrica
in tali coordinate  soddisfano:
1) g_{0i}= 0, i=1,2,3;
2) g_{ab} non dipende dalla coordinata temporale x^0, per
a,b = 0,...,3.
Si ha il *teorema* che dice che
_una metrica e' statica in A se e solo
se per ogni punto di A c'e' una carta locale statica contenente il
punto_;
c) una carta locale e' detta *sincronizzata* se in essa la metrica ha la
forma:
1) g_{0i} = 0, i= 1,2,3;
2) g_{00}= -1.
In questo caso ha senso parlare di *spazio di quiete esteso
a tempo costante* dato dalle ipersuperfici a x^0 costante,
e x^0 coincide con il tempo proprio degli osservatori  in quiete
nelle coordinate  La metrica spaziale pero' dipende dal tempo
in generale.
In coordinate statiche ha ancora senso parlare di spazio di quiete
esteso a tempo (delle coordinate) costante  ed in piu' la metrica
spaziale non dipende dal tempo delle coordinate, tuttavia,
in generale, quest'ultimo non coincide piu' con il tempo proprio
(da cui  segue per esempio il  cosiddetto "ritardo degli orologi in
campo gravitazionale" ; in realta' per questo sono sufficienti
coordinate  *stazionarie* cioe' in cui 1) di a) e' falsa e 2) e' vera).
Si ha il *teorema* che dice che
_per ogni spaziotempo, nell'intorno
di ogni evento posso trovare, in infiniti modi, una carta locale
sincronizzata_.
Nel caso delle coordinate ruotanti, la metrica e' statica perche' e'
quella di Minkowski, tuttavia le coordinate ruotanti  non  sono
statiche anche se la condizione 2) della definizione a) e' verificata.
In tal caso la non staticita' implica la non sincronizzazione ed
in ogni caso non ha senso parlare di spazio di quiete esteso
a tempo costante.
La differenza tra la metrica di Kerr e quella dell'"osservatore
ruotante" e' la seguente: la prima *non e' statica* la seconda lo
e'. Nel secondo caso queindi ci sono sistemi di coordinate statici
nel secono non ce ne sono.
Nel secondo caso addirittura ce ne sono due classi: quelle di
Minkowski e quelle di Rindler, con due campi di Killing
differenti. Corrispondono alle due classi che si hanno in
R^4 euclideo tramite la rotazione di Wick:
le coordinate ortogonali cartesiane e quelle cilindriche
attorno ad un asse (il campo associato alla coordinata angolare
e' il vettore di Killing). Con queste due classi si puo' costruire
il teorema di Bisognano-Wickmann ovvero l'effetto Unruh...
Ciao, Valter


La differenza, se ho capito bene cosa non afferri, per quello che conosco
e' la seguente.
Per definizione, una   metrica e' statica in una regione A quando esiste
in A un campo vettoriale di Killing temporale con orbite normali ad una
ipersuperficie di tipo spazio in A.
Si ha allora il teorema: una metrica  e' statica in A se e solo se esiste
una carta locale statica che ricopre A.
Se ricordo bene la metrica di Kerr  non e' statica per cui non esiste alcuna
carta locale statica in alcuna regione dello spaziotempo. Lo spaziotempo di
Minkowski e' statico globalmente rispetto al vettore temporale di Killing
di un arbitrario sistema inerziale e localmente rispetto ai vettori di boost
associati ad un arbitrario sistema di coordinate accelerate (di Rindler).
Tuttavia benche' Minkowski abbia la metrica statica non tutte le sue
carte lo sono, per esempio non lo sono quelle ruotanti.
(Quindi su Minkowski esistono due classi ciascuna delle due con infinite
coordinate statiche
(di Minkowski e di Rindler) la cosa e' esattamente la stessa che accade nello
spazio euclideo a 4 dimensioni, hai due tipi di vettori di Killing: queli
associati
alle traslazioni (globalmente definiti) e quelli associati alle rotazioni
attorno
ad un asse, non definiti sull'asse. In effetti la rotazione di Wick connette
le due classi Lorentziane alle due  Minkowskiane ed e` questo uno dei punti
di vista per arrivare all'effetto Unruh oppure al teorema di
Bisognano-Wickmann.)
Ciao, Valter

 in rotazione. 
(cut)
Io credo però che, data la natura dell'argomento,
si dovrebbe restare in ambito esclusivamente
cinematico.
Ciao,
Corrado 

 (autocensura?)
Mi è capitata sotto mano un' edizione (in francese) del Landau - 
Lifshitz che riporta l'argomento del disco rotante, ecco come: 
"...dans un champ de gravitation la géometrie de l'espace 
devient non euclidienne. Ceci concerne aussi bien les champs 
gravitationnels < réels>, dans lesquels l'espace-temps est <courbe>, 
que les champs devant leur existence à un référentiel non inertiel 
et conservant l'espace-temps plan.
La question de la géometrie spatiale dans un champ de gravitation
sera examinée avec plus de détails au § 84. Il est utile d'apporter ici  
un raisonnement simple illustrant clairement l'apparition inévitable
de propriétés non euclidiennes de l'espace quand on passe à un
référentiel accéléré. Considérons deux référentiels, dont l'un ( K )
est d'inertie et l'autre ( K ' ) tourne uniformément autour de l'axe 
commun z de K. Un cercle dans le plan xy du système K 
(de centre à l'origine des coordonnées) peut etre considéré 
aussi comme un cercle dans le plan x' y' de K ' . Mesurant la 
longueur de la circonférence et son diamètre à l'aide d'une règle 
dans le système K, on obtient des valeurs dont le rapport est
pigreco, étant donné que la géométrie est euclidienne dans le
référentiel d'inertie. Supposons maintenant que les mesures 
soient faites avec une règle immobile dans K '. En observant ce
processus à partir de K, on trouve que la règle appliquée 
tangentiellement à la circonference subit une contraction 
lorentzienne et quelle est invariable lorsqu' elle est appliquée 
radialement. Par conséquent, il est clair que le rapport de la 
longueur de la circonférence à son diamètre fourni par une telle
mesure sera plus grand que pigreco. "
L. Landau et L. Lifchitz: Thèorie des Champs, (troisième èdition
revue et complétée) (Editions Mir , Moscou 1970) Chap. 10,
§ 82, p.302.
Cordialmente
Corrado Massa