Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: moto di un grave in aria

Salve a tutti,
ho un piccolo problema con lo studio del moto di un proiettile in
presenza di viscosità (aria nel mio caso). Dovrei ricavare la
traiettoria partendo dall'equazione differenziale seguente
d2y/d2t=-g-Ldy/dt   dove L è il coefficiente di viscosità.
Condizioni iniziali V(y)=VSen(angolo di lancio)
                           y=0
Il problema è questo: risolvendo l'equazione mi trovo il coefficente
esponenziale aspettato ma non ho
il termine quadratico del tempo come è presente nel caso di assenza
d'attrito. Quindi non saprei dire se il moto è effettivamente quasi
parabolico. Esiste una soluzione esatta partendo da questa equazione o
si deve procederecon metodi approssimativi tipo quello di Eulero
implicito?
N.B. non tocco le quazioni differenziali da quasi un decennio.
Grazie per le eventuali risposte

 Condizioni iniziali V(y)=VSen(angolo di lancio)
Solo una osservazione. Il termine di attrito e` lineare (resistenza 
proporzionale alla velocita`) solo in particolarissime condizioni. Per 
oggetti di dimensioni ragionevoli (non goccioline) la resistenza 
aerodinamica e` all'incirca proporzionale al quadrato della velocita` 
(numero di Reynolds compreso fra 1000 e 100000).
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 
Direi che a zelaph e' stata proposta quella forma d'attrito perche' 
l'equazione ha una soluzione semplice; nell'altro caso non so neppure se 
esisterebbe una soluzione analitica.
Invece vediamo di ripassare un po' le equazioni differenziali anche se, 
pure per me, sono passati parecchi annetti.
1) hai un'equazione lineare non omogenea la cui soluzione generale puo' 
essere trovata sommando alla soluzione dell'equazione omogenea una 
soluzione particolare dell'equazione non omogenea.
2) la soluzione dell'equazione omogenea e' semplice e ti da' l'andamento 
esponenziale che hai trovato (non capisco come possa averlo trovato 
altrimenti...), precisamente
y(t) = A exp{-Lt} + B
3) una soluzione particolare dell'equazione non omogenea (facilmente 
verificabile se non ho fatto errori) e'
y_p(t) = -gt/L
4) la soluzione dell'equazione e' quindi
y(t) = B + A exp{-Lt} - gt/L
dove le costanti d'integrazione A e B sono da calcolare in funzione 
delle condizioni iniziali.
Non vedo grossi problemi (ripeto: a meno di errori!), l'andamento in t 
al quadrato non c'e' piu' proprio per la presenza del termine di 
attrito: l'accelerazione che senza attrito dipendeva solo da g, ora 
viene modificata in maniera sostanziale; incidentalmente puoi notare che 
per L -> 0 la soluzione che ho scritto sopra non funziona.
Daniele Fua'
Uni.Roma1

 approssimativi tipo quello di Eulero implicito?
Non so quale reale sistema fisico stai studieando, o se si tratta
solo di un esercizio un po' costruito ... in aria :)
Dico questo perche' faccio mio il commento di Franco: le leggi della
resistenza viscosa *non sono* applicabili al caso *reale* di un
proiettile, di un sasso, di una palla, o quello che ti pare.
Ma limitiamoci alproblema matemaico, dato che la tua domanda e' su
questo aspetto...
 > N.B. non tocco le quazioni differenziali da quasi un decennio.
Eccoti una rinfrescatina :-)
Per cominciare, conviene porre z = dy/dt, cosi' l'eq. diventa di primo
ordine:
dz/dt + L*z = g.
(per inciso, L non si chiama "coeff. di viscosita'", ma ora importa
poco).
Si tratta di un'eq. ineare del primo ordine, a coeff, costanti, non
omogenea.
La tecnica standard per risolverla e' la seguente:
1) Trovare l'integrale generale dell'eq. omogenea associata:
dz/dt + L*z = 0.
Questo e' semplice:
z(t) = a * exp(-L*t).
2) Trovare un integrale particolare dell'eq. non omogenea.
E anche questo e' semplice:
z(t) = g/L.
3) Sommare i due:
z(t) = a * exp(-L*t) + g/L.
4) Determinare a dalla condizione iniziale z(0) = z0:
z0 = a + g/L ==> s = z0 - g/L.
z(t) = (z0 - g/L)*exp(-L*t) + g/L.
A questo punto devi solo integrare per trovare y(t):
y(t) = (z0 - g/L) * (1 - exp(-L/t)) / L + g*t/L.  (*)
Tu dici che non ti viene il termine in t^2?
C'e', ma e' nascosto :-)
Prova a sviluppare la (*) in serie di potenze in t...
 
-- 
Elio Fabri

              
Mi spiace che per un buffo comportamento della moderazione la mia 
risposta spedita dopo sia apparsa prima della tua spedita prima. Mah!
Invece la storia del termine in t^2 nascosto mi convince poco. Mi viene 
spontaneo fare l'avvocato del diavolo e dire: se fai lo sviluppo in 
serie, a voglia di quanti termini trovi nascosti!!!
Chiarisco meglio: non intendo mettere in discussione quello che dici 
perche' ovviamente e' giusto; tuttavia secondo me, in questo caso, e' 
necessario entrare piu' nei dettagli altrimenti si rischia di confondere 
le idee.
Avvocato del diavolo si, ma sempre amichevolmente! :-)
Daniele Fua'
Uni.Roma1

 implicito?
Il tuo caso viscoso R(v)=L*v non e' affatto realistico come altri ti
hanno gia' fatto notare, ma e' facilmente risolubile poiche' iqc il 
sistema differenziale che lo governa e' costituito da due equazioni
risolubili _separatamente_ e che inoltre si integrano banalmente.
Le leggi del moto x(t) ed y(t) cosi' ottenute sono analiticamente di
tipo esponenziale, ma differiscono dalle espressioni polinomiali
del moto parabolico nel vuoto per termini di ordine O(L), come puoi
verificare sviluppando in serie gli esponenziali.
Eliminando fra x(t) ed y(t) il parametro t si ottiene facilmente (ma
in forma implicita) l'equazione della traiettoria. 
L'asintoto verticale del ramo y->-inf risulta essere:
x= v_o*cos(alpha)/L
con v_o velocita' iniziale ed alpha alzo del tiro.
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

Grazie per le risposte che avete dato. Mi sono servite per confermare i
calcoli che ho fatto.
Se il tipo di problema che sto affrontando sia reale oppure creato ad
hoc, confermo la tesi di Frabri. In effetti mi serve per ora un termine
comparativo, che credo sia sufficente per lo studio del moto di una
sfera di 10 cm di diametro e del peso approssimato di 200-300 g
lanciata con una forza necessaria per farle compiere un tragitto
verticale di 4 metri in aria.
Sinceramente ancora non conosco l'errore che posso associare alla
misura per discriminare il corretto utilizzo di questo modello.
Comunque ho cominciato a cercare modelli un po piů realistici . Se
potreste indirizzarmi in proposito sarei molto riconoscenze
Grazie