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Titolo: esperimento EPR

C'e' qlcosa che non mi e' chiaro, forse al solito xche' ho letto
spiegazioni troppo semplificate.
Allora, due fotoni vengono emessi con polarizzazioni uguali. Essi se ne 
vanno in direzioni opposte uno fino al "limite destro" (scherzo!) e 
l'altro fino al "limite sinistro" dell'universo. A destra c'e' qlcuno 
che misura la polarizzazione del fotone decidendo che e' H. A questo
punto una misurazione sull'altro fotone all'"altro lato" dell'universo
non puo' che dare H. Quello che NON capisco e': dove sta il paradosso
visto che si sa gia' a priori che i fotoni vengono emessi con identica
polarizzazione ? Se questo mio dubbio implica che non ho capito nulla
di MQ ditemelo, siate severi, e mi daro' all'ippica (GIDDAP!!!)
Ciao,grazie,Riccardo,Genova.

 Ciao,grazie,Riccardo,Genova.
credo, ma non ne sono sicuro, che i due fotoni, fintanto che non vengono
osservati presentano uno spin che è la sovrapposizione dei due. Nel momento
in cui viene misurato uno automaticamente l'altro acquista spin opposto. I
due fotoni non hanno lo spin già fissato nel momento in cui vengono
prodotti, altrimenti non ci sarebbe paradosso.

 di MQ ditemelo, siate severi, e mi daro' all'ippica (GIDDAP!!!)
Non so se anche queste righe sono uno scherzo, ad ogni modo direi che non
devi neanche chiederti se "hai capito qualcosa di meccanica quantistica":
una laurea in fisica basta appena per capirci qualcosa di MQ, e sinceramente
da quello che scrivi non so neanche se sei veramente lureato! (volevi
severità...) ;-)
Dalle risposte che avrai (da gente che ne sa molto piu' di me...) capirai
che ERP non funziona come dici...

scusa errore clamoroso in quello che ho detto sostituire spin con
polarizzazione.

riccardo ferraro wrote:

Da non laureato in fisica:
nel momento in cui tu determini l'energia di uno dei due fotoni l'hai già
alterata, in quanto per misurarne l'energia hai determinato la posizione
nello spazio.
Siccome per il principio di indeterminazione di Heisenberg non puoi
conoscere contemporaneamente energia e posizione nello spazio di un fotone,
la misura che farai non corrisponderà all'energia "iniziale" con cui il
fotone è stato emesso.
Ovviamente se questo umile radiologo ha detto delle castronerie, sarà grato
a chi vorrà correggerlo.
Ciao
Giovanni

 grato a chi vorrà correggerlo.
Diciamo semplicemente che il tutto non ha niente a che vedere col
paradosso EPR...
Piuttosto che cercare di spiegare la cosa in poche parole, rischiando
di essere oscuora, vi rimando a
http://www.df.unipi.it/~fabri/divulgazione
dove trovate una pagina dal titolo: "Sovrapposizioni e intrecci".
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 (volevi severità...) ;-)
Mi sembrava del tutto evidente (l'ho anche scritto in parentesi) che
concetti del tipo "limite sinistro dell'universo" non hanno alcun senso, ma
volevano soltanto essere scherzosi. Il punto e' che mi riesce veramente
ostico impadronirmi del concetto di "entanglement", e per impadronirmi
intendo capirlo veramente e non superficialmente. Ho comprato un libro
divulgativo specificamente sull'argomento, spero che arricchisca le mie
conoscenze che sono da cultore annaspante (e' verissimo che non sono
laureato, sono solo molto appassionato). Lumi e critiche sono sempre
graditi, e se il tono scherzoso del mio post ha disturbato qualcuno,
scusate, penso di postare ancora, ma saro' piu' serio, promesso.
Riccardo, Genova.


E' vero, ed e' vero anche che rimane difficile spiegare l'aspetto
paradossale
del fenomeno EPR, anche perche' si tratta di una violazione non proprio di
una opinione comune, quanto di una opinione costruita su una base
paradigmatica che gia' costituisce una evoluzione rispetto al senso
comune, ovvero la relativita', null'affatto basata su fenomeni quotidiani.
Provo a spiegarmi nella speranza che possa risultare utile a qualcuno.
In genere se uno ha capito non dico la meccanica quantistica, quanto il suo
funzionamento previsionale, nella generalita' dei casi, il che non e' poco
ed
e' un impresa a mio avviso inesauribile, non dovrebbe trovare paradossale il
risultato EPR previsto, pero' dovrebbe rimanere sempre con un senso di
sbigottimento circa il significato profondo di questo risultato. Questo per
dire
che e' facile inizialmente travisare o non inquadrare esattamente la
questione.
Detto in poche parole: anche se e' relativamente facile capire cosa la
meccanica
quantistica prevede per l'esito di un esperimento EPR e' relativamente
facile
pensare di avere con questo esaurito la questione.
 
Anche se il risultato non appare paradossale qualcosa di controintuitivo
puo'
essere messo in evidenza, con un esperimento ideale che raccontero' fra
poco. Quando studiai la presentazione che provo a raccontare qui trovai che
in prima lettura non mi sembrava in linea con quello che io ritenevo di
intendere quando pensavo che un sistema conosce a priori il risultato, e
quindi non mi pareva una dimostrazione, in seguito mi tenne insonne per
qualche
notte perche' compresi che davvero era almeno una parte di quello che
intendevo
e che avrei voluto esprimere, e compresi che quella lettura mi aveva fugato
un
dubbio circa uno scenario mentale che superficialmente poteva somigliare ad
una
interpretazione statistica equivalente alla struttura di probabilita' della
meccanica quantistica,
ma che di fatto era distinguibile, infine mi dette l'avvio per pensare piu'
seriamente ad aspetti
che non avevo davvero considerato, circa l'indistinguibilita', la
causalita', e tant'altro.
Provo a descriverti il risultato, consapevole del fatto che si tratta di una
descrizione parziale del
modello di Bell, e poi mi dici se ti ha convinto o ti ha suscitato le mie
stesse perplessita' di allora.
Rimanere un poco perplesso dovrebbe contribuire a chiarirsi le idee circa
l'autenticita' della natura probabilistica della meccanica quantistica.
Premetto che con i due fotoni nello stesso stato non riesci davvero a
trovare
stranezze, occorre considerare una situazione in cui vengono emessi due
fotoni in stati ortogonali di polarizzazione. Le "stranezze" si verificano
poi
in virtu' della indistinguibilita'. Comunque andiamo per gradi.
Cio' che pare andare contro l'opinione (doxa) e' che studiando i dati a
misure compiute
sembra "come se" una misura abbia causato il risultato dell'altra, cio' che
e' da evitare e'
dire cose come "e' come se la prima misura abbia causato il risultato
dell'altra",
perche' siccome i due esperimenti di misura sono separati da un intervallo
di genere
spazio e' un ordinamento temporale privo di significato ovvero il prima ed
il dopo
possono dipendere dal riferimento. Dopo questa critica anche la parola come
se una misura abbia causato l'altra dovrebbe apparirti priva di significato.
quello che e' certo e' che esistono correlazioni fra misure in punti
separati da intervalli
di genere spazio e che queste correlazioni non sono compatibili con una
rappresentazione di "pre-destinazione" degli esiti delle misure.
Provo a spiegare la questione come e' presentata dal modello di Wigner, che
e' l'argomento
che trovi ad esempio sul libro di Jun John Sakurai. Wigner suppone che il
risultato della
misura a destra sia determinato fin dal momento in cui il doppio fotone e'
stato emesso.
E che conseguentemente sia determinato il risultato della misura a sinistra.
Possiamo fare misure di polarizzazione in due direzioni che formano un
angolo di 45
gradi. Diciamo x,x'.
Allora consideriamo un gran numero di copie della coppia di fotoni che sono
stati emessi
diciamo dalla zecca dei fotoni. Supponiamo che una certa frazione di questi
fotoni abbia
la proprieta' che quando si misura la polarizzazione lungo x si ha certezza
che il fotone
passi, idem se si misura la polarizzazione lungo z. Questo modello a "giochi
fatti a priori"
deve rendere conto del fatto che in concreto quando si misura la
polarizzazione con
un filtro ad un certo angolo solo una certa frazione passi.
La meccanica quantistica prevede che il fotone in un certo senso passi o non
passi con
una probabilita' che dipende dalla componente di polarizzazione lungo la
direzione
considerata. Il modello di Wigner ipotizza che l'esito dell'esperimento
fosse stabilito
fin dallo start. Per questo dobbiamo fare un'assunto che suona paradossale a
chi
conosce la meccanica quantistica ovvero che il risultato della misura dello
stato di
polarizzazione di un dato fotone sia invece stampato a priori sul fotone
(anche se non
riusciamo a leggere tutte e tre le etichette) a priori.
Facciamo una tabella di misure ipotetiche con tre direzioni a,b,c assegnate
dobbiamo considerare otto possibili soluzioni: p sta per passa, n per non
passa.
----------particella misurata a destra-------- particella misurata a
sinistra
N1--------(a p, b p, c p)--------------------------
N2--------(a p, b p, c n)--------------------------
N3--------(a p, b n, c p)--------------------------
N4--------(a p, b n, c n)--------------------------
N5--------(a n, b p, c p)--------------------------
N6--------(a n, b p, c n)--------------------------
N7--------(a n, b n, c p)--------------------------
N8--------(a n, b n, c n)--------------------------
Siccome le particelle sono in stati ortogonali di polarizzazione a sinistra
dobbiamo
trovare i risultati opposti di quelli trovati a destra.
Bene consideriamo ora un esperimento concreto e suppuniamo che a destra
trovino che
ponendo il polarizzatore lungo a il fotone passi. E che a destra trovino che
col polarizzatore
lungo b il fotone non passi. E' chiaro che le due copie identiche di fotoni
prodotti alla zecca
dei fotoni erano del tipo tre o del tipo quattro. Definiamo P(a p, b p) la
probabilita' che in una
scelta casuale, l'esperimento a destra misuri passaggio con polarizzatore
lungo a e che
l'esperimento a sinistra misuri pure passaggio col polarizzatore lungo b.
P(a p, b p) = (N3 + N4) / N
 
dove N e' la somma di tutti i numeri della colonna a sinistra.
Ora ti lascio qualche secondo o minuto oppure chiedi spiegazioni, a
convincerti che
P(a p, b p) <= P(a p, c p) + P(c p, b p).
[osserva che a destra della disuguaglianza al primo termine
compaiono i valori per a e c di N4 ed al secondo termine i valori
per c e b di N3. Benissimo questa si chiama disuguaglianza di Bell.
PREVISIONE QUANTISTICA
Per fare il conto occorre partire dallo stato nella base a ed (a ortogonale)
che si scrive:
1/sqrt(2)(|(a p>|a n>-|a n>|a p>)
Dove abbiamo supposto che la parte orbitale dello stato (per i fotoni la
faccenda di separare
parte orbitale e parte di spin e' piuttosto spinosa, ma fingiamo che sia
tutto semplice)
e' fattorizzata ed antisimmetrica. Sakurai ad esempio ragiona sul singoletto
di spin di
una coppia di elettroni per la parte di spin e la funzione d'onda e'
simmetrica sulla parte
orbitale e con particelle massive le cose sono molto piu' semplici ed il suo
ragionamento
si riapplica identicamente alla situazione fittizia che indichiamo su e con
qualche sofisticazione
matematica in piu' anche al caso di fotoni veri).
In virtu' di questa scelta antisimmetrica della parte di polarizzazione
abbiamo che
la parte di polarizzazione medesima rimane invariata rispetto ad un
cambiamento
di base, cioe' assume la stessa forma, ovvero se sostituiamo gli stati che
abbiamo
scritto con la loro espressione nella nuova base, dopo avere semplificato la
scrittura
troviamo una espressione identica a quella di partenza con i nuovi vettori
di base al
posto dei vecchi vettori di base (per esprimer questo in modo corretto
dovremmo
utilizzare una base di sviluppo in armoniche sferiche e considerare
uno stato di due fotoni simmetrico per rotazione intorno ad un asse
costruito a partire
da stati con polarizzazione ortogonale e questo e' certamente possibile, ma
probabilmente
l'invarianza non sarebbe tanto visibile come nell'esempio di ampiezza
fittizia che stiamo
guardando. Considerando sistemi che emettono due fotoni, questa possibilita'
era stata
prevista nel 1931, ma la prima osservazione di uno stato elettronico indotto
correttamente
e' del 1960, si possono avere stati del campo elettromagnetico invarianti
per rotazione intorno
ad un asse, sara' su quell'asse che porremo i due filtri polarizzatori).
P(a p, b p) = cos^2(ab)
P(a p, c p) = cos^2(ac)
P(c p, b p) = cos^2(cb)
Poniamo allora ab = 2 ac = 2 cb cioe' l'asse c e' a meta' fra l'asse a e
l'asse b.
ne segue che per angoli ac minori di 45 gradi la disuguaglianza di Bell e'
violata.
In altri termini il modello a variabili nascoste di Wigner non e'
compatibile con la
situazione prevista dalla meccanica. (mi stufa chiamarla quantistica per
distinguerla
dalla classica, e' la sola meccanica che esista e se ha un futuro non e'
necessariamente parcellizzato in quanti tutt'al piu' e' topologico numerico
per una
struttura continua, bah, scusa il delirio).
ESPERIMENTI
In uno degli esperimenti sono state osservate le correlazioni di spin fra
protoni finali
nella diffusione a bassa energia protone protone. In tutti gli altri
esperimenti si sono
misurate correlazioni di polarizzazione di fotoni, fra una coppia di fotoni
in una
transizione a cascata di uno stato atomico eccitato, ad esempio usando
Calcio e
Mercurio inizialmente posti in stati J=0 che vanno poi in stati J=1 e quindi
in
stato J=0. Esistono poi esperimenti piu' moderni fatti sugli stati di mesoni
K
ed esperimenti in fibra su cui altri saranno certamente piu' aggiornati.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 paradosso EPR...
Ringrazio per la pazienza e mi scuso per aver occupato banda, come sempre le
cose appaiono molto più semplici di quello che sono in realtà quando hai
delle basi minimali, dato che non cogli l'ampiezza del problema in tutte le
sue sfumature.
Saluti
Giovanni

 Provo a spiegarmi nella speranza che possa risultare utile a qualcuno.
                       --- omissis ----
Ho dato una lettura velocissima a quanto hai scritto dopo. Credo che mi
sara' utilissimo stamparlo,studiarlo e meditarlo con attenzione. Ti
ringrazio moltissimo ! Riccardo, Genova.

Allora, due fotoni vengono emessi con polarizzazioni uguali.
Il "paradosso" nasce dal fatto che quanto sopra non e' vero.
Provo a spiegare un po' in cosa consiste l'EPR. Non so molto
di QED, quindi non garantisco che quello che scrivero` sui
fotoni sia accurato. In particolare, li trattero` come
distinguibili e non so se sia corretto, anche se di solito
hanno energie diverse.
Come si puo` descrivere la polarizzazione di un fotone? Si
potrebbe pensare di usare un semplice numero: l'angolo di
polarizzazione (0 gradi = orizzontale, 90 gradi =
verticale...). In effetti cio` sarebbe un po' troppo semplice
per varie ragioni; per esempio, in questo modo non si
potrebbe rappresentare la polarizzazione elicoidale. Poi
manca l'informazione sulla fase (che varia nel tempo a
parita` di posizione, naturalmente). Si possono usare allora
due numeri complessi {a,b} che rappresentano componenti
ortogonali. Nel caso della polarizzazione semplice,
rappresentabile con un angolo alfa, la coppia vale
{cos(alfa),sin(alfa)}. Per esempio, {1,0} rappresenta la
polarizzazione orizzontale, {0,1} quella verticale, {r,r}
(con r=sqrt(2)/2) quella a 45 gradi. Ho scritto {r,r} invece
di {1,1} o {1/2,1/2} perche', per varie ragioni su cui non mi
soffermo, voglio che |a|^2+|b|^2=1 (ho messo il segno di
modulo perche' sono numeri complessi). Ma perche' i numeri
devono essere complessi? Per esempio, {r,ir} (con i=unita'
immaginaria) mi da' una polarizzazione elicoidale. Comunque,
nel resto del discorso usero` solo numeri reali.
Ora arriva la meccanica quantistica. Che succede se tentiamo
di misurare la polarizzazione di un fotone nello stato {a,b}?
Si puo` farlo con un fotorivelatore con davanti un filtro
polarizzatore, orientato diciamo in orizzontale. Si sa che un
filtro del genere fa passare i fotoni {1,0} e blocca quelli
{0,1}. E nel caso generale {a,b}? Con probabilita` |a|^2
passera` un fotone (che si trovera` polarizzato a forza nello
stato {1,0}, o piu' esattamente {a/|a|,0}; si chiama
"collasso della funzione d'onda indotto dal processo di
misura"); con probabilita` |b|^2 (=1-|a|^2) non passera`
nulla. Questo e` cio` che si osserva e la MQ e` stata ideata
basandosi (anche) su esperimenti di questo tipo. Diciamo,
semplificando un po', che in MQ se si realizza un esperimento
atto a distinguere tra vari stati quantistici S1, S2, S3...
(ortogonali, ma non in senso geometrico) di un sistema, e il
sistema e` in uno stato che e` una combinazione lineare di
quegli stati (a1S1+a2S2+a3S3...), il sistema verra` rivelato
in uno di quegli stati Sn con probabilita` pari al quadrato
del modulo del coefficiente relativo, cioe` |an|^2; dopo la
misura il sistema di trovera` nello stato Sn e ulteriori
misure non faranno che confermarlo (dando sempre Sn con
probabilita` 1). Naturalmente dovrei parlare di autostati
degeneri, proiezioni su sottospazi, etc, ma come ho detto sto
semplificando. Nel nostro caso, polarizzazione orizzontale e
verticale sono stati quantistici ortogonali (e ripeto che non
e' una questione di geometria). Qualunque polarizzazione puo`
essere vista come una combinazionbe lineare di quei due
stati: {a,b}=a{1,0}+b{0,1}. Se chiamo H e V le polarizzazioni
orizzontale e verticale (H={1,0}, V={0,1}), posso scrivere
{a,b}=aH+bV. Intendiamoci: non c'e` distinzione, in questo
caso, tra stati "semplici" (H e V) e "sovrapposti": cambiando
la scelta degli assi, il nostro {a,b} potrebbe divenire
{1,0}.
E se i fotoni sono due? Occorreranno due vettori, {a,b} e
{c,d}, giusto? No; siamo in MQ e quindi occorrera` un vettore
prodotto dei due: {ac,ad,bc,bd}. Perche'? Ma per il principio
sopra menzionato: se cerco di misurare la polarizzazione dei
due fotoni, posso ottenere quattro risultati: HH, HV, VH, VV.
La probabilita` di ottenere HH corrisponde, "ovviamente",
al prodotto della probabilita` di trovare H per il primo
fotone e H anche per il secondo; ecco perche' ho scritto i
coefficienti (ac...) in quel modo.
Ma perche' ho scritto quell'"ovviamente" tra virgolette?
Perche' in effetti non e` tanto ovvio, anzi, diciamo pure che
puo` tranquillamente essere falso. Perche? Semplice: il
nostro sistema di due fotoni puo` trovarsi nello stato
HH={1,0,0,0}? Certamente si'. Puo` trovarsi nello stato
HV={0,1,0,0}? In generale, si', e altrettanto vale per
VH={0,0,1,0} e VV={0,0,0,1}. Esiste un principio della MQ che
dice che una combinazione lineare di stati possibili e` uno
stato possibile; in altre parole, qualunque stato
{a,b,c,d}=aHH+bHV+cVH+dVV e` possibile, *non* solo quelli
ottenibili con il prodotto di due vettori. Che significato
fisico hanno questi stati?
Vediamo un esempio, che e` poi quello che ci interessa:
S={r,0,0,r}, con r=sqrt(2)/2. Che significa? Che in seguito a
misura, con probabilita` 1/2 (=|r|^2) si ottiene HH e con
probabilita` 1/2 si ottiene VV. La probabilita` di ottenere
HV o VH e` zero. Questo e` uno stato "entangled", ossia
"intrecciato", nel senso che le probabilita` di trovare l'uno
o l'altro fotone in un certo stato e` correlata all'esito
della misura sull'altro fotone.
In se', questo fatto non e` stupefacente. Basta pensare ad un
atomo di idrogeno solo soletto in una scatola. A priori il
protone potrebbe essere ovunque, l'elettrone pure, ma
ovviamente chiunque si aspetta che, se il protone viene
rivelato in una certa zona, l'elettrone acquisti
improvvisamente un'elevata probabilita` di essere proprio da
quelle parti. Il fatto che i due fotoni possano essere anche
parecchio distanti non aggiunge molto; metto due monete in
due scatole separate, o entrambe con la testa in alto, o
entrambe con la croce in alto. Poi posso allontanare le
scatole anche di kilometri e se un mio amico, che sa cos'ho
fatto, apre una scatola, subito sapra` cosa c'e` nell'altra.
Le probabilita` di ignoranza sono spesso correlate; ci siamo
abituati.
Il problema e` che qui siamo in MQ e le probabilita` sono
intrinseche, non di ignoranza. Non e` che i due fotoni sono
emessi con una certa polarizzazione, uguale ma sconosciuta;
sono proprio emessi senza una polarizzazione definita.
Cominciamo con il verificare che lo stato {r,0,0,r} e`
simmetrico. Supponiamo di ruotare i rivelatori di un certo
angolo alfa. Potrei calcolare direttamente cosa accade, ma la
cosa piu' semplice e` ricondursi al caso precedente con un
cambiamento di assi. Se ho un fotone {1,0} (per una certa
scelta di assi) e decido di passare ad altri assi, angolati
di alfa rispetto ai precedenti, nel nuovo riferimento il
fotone sara` {cos(alfa),sin(alfa)}; niente di etereo, e`
trigonometria spicciola (rotazione di vettori nel piano).
E se abbiamo due fotoni? Per esempio HH={1,0,0,0}?
Per brevita` pongo c=cos(alfa) e s=sin(alfa).
Dato che {1,0,0,0}={1,0}{1,0} (e` un vettore ottenibile come
prodotto di vettori indipendenti) e {1,0} => {c,s}:
{1,0,0,0} = {1,0}{1,0} => {c,s}{c,s} = {cc,cs,cs,ss}
Vediamo tutti i casi di base, tenuto conto che
{1,0} => {c,s} e {0,1} => {-s,c}:
{1,0,0,0} = {1,0}{1,0} => {c,s}{c,s}   = {cc,cs,cs,ss}
{0,1,0,0} = {1,0}{0,1} => {c,s}{-s,c}  = {-cs,cc,-ss,cs}
{0,0,1,0} = {0,1}{1,0} => {-s,c}{c,s}  = {-cs,-ss,cc,cs}
{0,0,0,1} = {0,1}{0,1} => {-s,c}{-s,c} = {ss,-cs,-cs,cc}
Bene. Ora veniamo al vettore che ci interessa: {r,0,0,r}.
Sfruttando la linearita` del tutto otteniamo:
{r,0,0,r} = r({1,0,0,0}+{0,0,0,1}) =>
 => r({cc,cs,cs,ss}+{ss,-cs,-cs,cc}) =
 = r{cc+ss,cs-cs,cs-cs,cc+ss} = r{1,0,0,1} = {r,0,0,r}
Quindi lo stato {r,0,0,r} non cambia per rotazione di assi: i
fotoni *non* *hanno* una polarizzazione definita prima che la
polarizzazione di uno di essi venga misurata. In quel
momento, per collasso, l'altro fotone assume la stessa
polarizzazione misurata per l'altro (che e` completamente
casuale).
Quindi, in MQ, non si puo` dire che due fotoni hanno entrambi
polarizzazione orizzontale e sono intrecciati: le due cose
si escludono a vicenda. Entrambi H significa {1,0,0,0};
intrecciati significa {r,0,0,r}.
Si puo` obiettare che magari lo stato {r,0,0,r} non esiste
realmente e che la sorgente di fotoni in realta` emette una
coppie di fotoni con polarizzazioni casuali, ma uguali a due
a due. Ci accorgeremmo della differenza rispetto ad uno stato
realmente intrecciato? Si', ce ne accorgeremmo. Quest'angolo
di polarizzazione casuale sarebbe quasi sempre abbastanza
diverso da quello, del tutto arbitrario, scelto per i
rivelatori. Avremmo in sostanza uno stato del tipo
{c,s}{c,s}={cc,cs,cs,ss}, cha ha probabilita` non nulla pari
a 2(cs)^2 di dare luogo a una rivelazione di polarizzazioni
differenti per i due fotoni. Questo invece non accade mai per
{r,0,0,r}.
Ciao
Paolo Russo

dove trovate una pagina dal titolo: "Sovrapposizioni e intrecci".
Ecco, lo sapevo che avrei dovuto aspettare ancora un po'. :-)
Ciao
Paolo Russo

 Ecco, lo sapevo che avrei dovuto aspettare ancora un po'. :-)
Perche' mai?
Hai sviluppato i prodotti tensoriali, calcolato la trasformazione per
rotazioni...
Tutte cose che io avevo evitato di toccare.
