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Titolo: Tensori e gradienti...

Ciao a tutti,
chi sarebbe cosě gentile da spiegarmi cos'č un tensore? Sono all'ultimo anno
delle superiori, quindi ne so niente. Ho un libro di meccanica razionale su
cui studio volentieri le parti che mi interessano. Perň non ho capito fino
in fondo cosa sia un gradiente: sono spiegate le operazioni, e come ci si
lavora, ma non intravedo il significato. Sarň molto grato a chiunque abbia
tempo da dedicarmi.
Grazie, Raffaele

 Grazie, Raffaele

Grazie, Raffaele
Un gradiente è un vettore, solo che è costruito in maniera particolare.
Immagina una funzione di tre numeri reali. Prendiamo pre esempio la pressione
atmosferica all'interno della stanza in cui sei mentre leggi questo post.
Dipenderà in generale dalle tre componenti spaziali: diciamo P(x,y,z). Ora
diciamo che siamo interessati a sapere se questa funzione è costante in tutta
la stanza, o se varia. Supponiamo che vari. Vogliamo sapere ancora di più:
vogliamo sapere quanto la pressione cambia se ci muoviamo, ad esempio, lungo la
direzione x. E poi, perché no, anche lungo y e lungo z.  Visto che abbiamo tre
numeri, ognuno dei quali corrisponde ad una direzione dello spazio, questi
numeri ce li ordiniamo in un vettore. Ecco che siamo costruiti il gradiente
della nostra funzione pressione. Se hai fatto un po' di analisi, ti posso dire
che il gradiente della funzione è il vettore che ti costruisci facendo le
derivate rispetto a tutte le variabili una per una, immaginando le altre come
costanti (le cosiddette derivate parziali). Perchè tutto questo sforzo?
Immagine che il gradiente della pressione sia diverso da zero in una regione
della tua camera: ad esempio che la pressione sia maggiore alla tua destra e
minore alla tua sinistra. Allora tu sentirai un vento che tenderà a portare la
pressione allo stesso valore in tutta la stanza, cioè ad annullare il gradiente
che lo genera. Questa è una cosa che accade molto spesso nella fisica, ma anche
nella chimica: quando che c'è un gradiente di una certa funzione, se il sistema
è libero di muoversi come vuole, stai certo che si muoverà in modo da annullare
il gradiente.
Una saluto
Andrea.

tempo da dedicarmi.
Allora facendo il 5° liceo sai benissimo cosa sia una funzione reale di
variabile reale, bene se questa funzione la fai dipenedere non da una sola
variabile x ma da un vettore (n-upla) di variabili x_i con i=1,2,...,n
appartenente a R_n ottieni una bella funzione di variabile vettoriale a
valori reali ovvero:  f(x,y,z,..):R_n----->R che ad ogni vettore "x" associa
uno scalare reale. Di questa funzione f puoi (supposta f con un minimo di
regolarità) considerare le derivate parziali prime df/dx_1, df/dx_2, ...,
df/dx_n tutte queste belle derivate le puoi ancora considerare come un
vettore di R_n; bene questo vettore non è niente popodimeno che il gradiente
Df della funzione f. L' importanza del gradiente è senz'altro ovvia sia in
analisi sia in meccanica, una cosa per tutte: grazie al gradiente puoi
esprimere un campo scalare in termini di campo vettoriale o (quando è
possibile) viceversa un campo vettoriale in termini di capo scalare ( es.:
il potenziale (scalare) del campo elettrico (vettoriale)). Ancora puoi
esprimere il differenziale df di una funzione f come il prodotto scalare tra
Df e il vettore "inceremento" dx infatti:
df=S_i(1..n) (
d.pf/d.px_i)*dx_i
 = (Df,dx)         dove (,) indica il
prodotto scalare in R_n.
Da considerazioni, peraltro banali, sulla derivata direzionale sempre della
solita funzione f si trova subito che la direzione di massimo accrescimento
della funzione f è proprio il suo gradiente (normalizzato ovviamente),
ovvero il gradiente è perpendicolare alle curve di livello della funzione f
(cosa veramente importante, come avrai letto infatti dallo studio delle
curve di livello nello spazio delle fasi si trovano le posizioni di
equilibrio del sistema dinamico --> analisi qualitativa).
Chiudo consigliandoti qualche libro su cui poter approfondire la tua fame
(io non ho mai avuto il coraggio di anticipare così i tempi, ma mi ritrovo
ora (2° anno del cdl in fisica) in una situazione analoga ma più generale):
se sai bene l'inglese il bellissimo lunghissimo Goldstein "classical
mechanics" (facile), se ti senti proprio pronto (prima magari gurdalo in una
biblioteca perchè questo è veramente tosto) Arnol'd "metodi matematici della
meccanica classica", Ferrarese,Satzi "lezioni di meccanica razionale".
Marcellini,Sbordone "Analisi matematica due" (solo per un occhiata alle
funzioni di più variabili).
Saluti
Adriano Amaricci

 
Ciao Raffaele. Alcuni ti hanno già risposto.
Io vorrei aggiungere che un tipo di tensore lo usi 
già da molti anni senza saperlo...si chiama tensore
metrico ed è importantissimo. Ma è anche un concetto
semplice. Serve a misurare la distanza fra due punti
e anche a capire se i due punti stanno in un mondo
euclideo o non euclideo. Mi limito a due dimensioni
per non fare formule troppo lunghe.  
Considera la distanza tra due punti in geometria 
analitica piana
s^2 = (Dx)^2 + (Dy)^2              ( 1 ) 
dove s è la distanza tra due punti (che lascio al quadrato
per evitare il fastidio di scrivere il segno di radice),
Dx la differenza nelle loro ascisse e Dy la differenza nelle
loro ordinate.La notazione ^2 indica l'elevazione a quadrato.
( la ( 1 ) è sostanzialmente il teorema di Pitagora nel
linguaggio della geometria analitica, cioè delle coordinate).
La ( 1 ) vale quando adoperi coordinate ortogonali, cioè due 
assi che si incrociano a novanta gradi.
Però si possono usare sistemi diversi, per esempio
coordinate oblique, nel qual caso la formula della
distanza è
s^2 = (Dx)^2 + (Dy)^2 + 2 Dx Dy cos a      ( 2 )
dove a è l'angolo fra gli assi coordinati (nel caso particolare
a = 90° ottieni nuovamente l'espressione ( 1 ) ).
Un altro sistema (tra gli infiniti possibili) è quello delle coordinate
polari x e y ( che normalmente sono indicate rispettivamente 
con le lettere greche rho e theta); in questo caso la distanza
s tra due punti è data da 
s^2 = (D x )^2 + x ^2 (D y) ^2                    ( 3 )
Fin qui eravamo sul piano. Adesso passiamo a una superficie
curva, per esempio quella di una sfera. Come sistema di 
coordinate possiamo prendere le linee di latitudine e di 
longitudine, e la distanza tra due punti sarà data da
 
s^2 = (D x)^2 + (cos x) ^2 (D y ) ^2              ( 4 )
dove x = latitudine, y = longitudine.
(La formula funziona con tanto migliore approssimazione,
quanto più i punti sono vicini tra loro, ossia quanto
più Dx e Dy sono piccoli; quindi è meglio considerare 
i D come differenze infinitesime, questo comunque non 
ha molta importanza per quello che voglio dirti, è solo
una precisazione che aggiungo per non fare innervosire
qualche matematico che magari ci legge). 
Si vede a colpo d'occhio che queste formule pur nella
loro diversità hanno qualcosa in comune: coinvolgono
le differenze delle coordinate (i termini D) e questi
o sono al quadrato, oppure sono moltiplicati tra loro
(cioè, hai D^2 o D D , mai un D isolato alla prima potenza,
e mai delle potenze di D superiori alla seconda).
Questo tratto comune ci permette di riassumerle tutte
nella formula generale
s^2 = A (Dx)^2 + 2 B (Dx)(Dy) + C (D y)^2         ( 5 )   
Se metti A = 1, B = 0, C = 1, ottieni la ( 1 ).
Se metti A = 1, B = cos a, C = 1, ottieni la ( 2 ).
Se metti A = 1, B = 0, C = x ^ 2  , ottieni la ( 3 ).
Se metti A = 1, B = 0, C = (cosx) ^ 2 , ottieni la ( 4 ).
Eccoci al dunque: A, B, e C  sono le componenti del
tensore metrico (dal greco metron = misura, perchè 
serve a misurare la distanza tra due punti).  
Per comodità si usa scriverle in forma di matrice
||  A   B  ||
||           ||   (chiaramente quadrata e simmetrica).
||  B   C  ||
e così le si può abbracciare tutte con una sola occhiata.
Questa matrice è il tensore metrico. Passando da un
sistema di coordinate all'altro le sue componenti come 
hai visto cambiano (in gergo si dice " si trasformano " ).
La legge di trasformazione è la stessa per tutti i tensori
ed è proprio questo uno dei modi (non l'unico) in cui si può
definire un tensore: attraverso la legge di trasformazione
delle sue componenti al cambiare del sistema di coordinate
(una matrice è un tensore se obbedisce a questa legge di 
trasformazione, altrimenti no).  
Ora c'è un punto MOLTO importante. Considera la ( 1 ),
la ( 2 ) e la ( 3 ). E poi considera la ( 4 ).
C'è una differenza fondamentale tra i primi tre casi e l'ultimo.
Nei primi tre eravamo sempre sul piano, nell'ultimo siamo su una
sfera. Quindi passando alla ( 4 ) non ci siamo limitati a 
un cambiamento di coordinate, abbiamo fatto un cambiamento
molto più drastico: abbiamo cambiato tipo di superficie!
Cioè abbiamo cambiato geometria (da euclidea a non euclidea).
Una formica che cammina su un piano se ne infischia se intorno
a lei cambia il sistema di coordinate, perchè tanto il piano resta
piano e la sua vita (piuttosto piatta) resta sempre la stessa. 
Ma se la mettiamo su una sfera, cammina e cammina sempre 
diritto (pensa lei) ed ecco che si trova al punto di partenza. 
La formica è sbalordita: capisce di essere in un altro mondo! 
Un  mondo non euclideo.
Ebbene, questa informazione fondamentale è incamerata nel tensore
metrico. Se infili gli A, B e C del caso ( 1 ) in una espressione
matematica che Riemann ha scoperto nel milleottocentocinquanta-
erotti ( e che non ti scrivo qui) troverai che questa espressione
si annulla; e lo stesso nei casi ( 2 ) e ( 3 ). Se invece ci metti dentro
gli A,B e C del caso ( 4 ) (caso non euclideo) l'espressione di Riemann 
NON si annulla !
Ecco allora: i primi tre casi pur avendo tutti tensore metrico diverso,
sono accomunati dal fatto di riferirsi tutti a uno stesso tipo di
superficie; la formula di Riemann se ne accorge, non si lascia
ingannare dalle differenze e coglie subito questo tratto comune:
dice con voce tonante "Ehi, voi,  siete tutti e tre tensori metrici 
di una superficie piatta, e se mi venite addosso io mi annullo".
Ma nel quarto caso dice " tu no, perbacco, tu sei un tensore
metrico di una superficie curva, e allora io non mi annullo".
L'espressione di Riemann che (in base al tensore metrico)
permette di capire se siamo in un mondo euclideo o no, 
è a sua volta un tensore, ma molto più complesso del tensore
metrico. Per raffigurarlo una matrice quadrata non è sufficiente.
OK !  Concludo: la relatività generale dice che la gravitazione 
è nient'altro che geometria (curvatura dello spazio tempo) e quindi
è chiaro che il tensore metrico, così importante in geometria,
è importante anche in fisica (per studiare la geometria dello
spazio tempo e quindi la gravitazione). E siccome lo spaziotempo
ha quattro dimensioni, il tensore metrico sarà rappresentato da una
matrice quattro per quattro; però il concetto resta lo stesso.
Come vedi hai sempre usato il tensore metrico senza 
saperlo: ogni volta che calcolavi la distanza fra due punti !
Ora penso vi conosciate meglio: Raffaele, questo è il tensore
metrico; tensore metrico, questo è Raffaele. Lietissimo   :- )
Ciao !
Corrado Massa
_
cm...@tin.it
 

Ciao Antonio, ancora grazie per avermi in parte chiarito le idee... per i
gradienti non ci sono problemi, ancora dubbi ci sono sui tensori: Se un
tensore ha due indici lo rappresento (a quanto ho capito) con una matrice
3x3, se a tre indici con una terna di
matrici(?!?), e cosě via(?!?!??!?!?) E come dovrebbero essere queste altre
matrici?
Grazie ancora, Raffaele

Beh... Riguardo al tensore non ti so dire molto perchè ci sono alle prese
anch'io... Per quanto riguarda il gradiente penso che un esempio possa
essere utile... Prendi una stanza e metti un calorifero in uno spigolo.
Ignoriamo gli effetti convettivi dell'aria calda. Ci aspettiamo che nello
spigolo dove c'è il calorifero ci sia più caldo che non nello spigolo
opposto... e che la temperatura vari con continuità man mano che ci sostiamo
verso lo spigolo freddo. Ora, vogliamo definire una quantità che ci dia
un'idea dell'entità di questa variazione. Prima di tutto dobbiamo scegliere
un punto in cui dare quest'informazione: per esempio mettiamoci nel punto
del calorifero. Spostandoci dal calorifero verso lo spigolo opposto la
temperatura diminuisce, quindi diciamo che il nostro indicatore sarà
negativo. Dobbiamo anche dare un'indicazione su quanto velocemente varia la
temperatura: potrebbe variare sempre allo stesso modo (per esempio 1° ogni
metro...) e allora mi sembra ragionevole mantenere costante anche il nostro
indicatore, potrebbe crollare ad un certo punto e allora direi di rendere
ancor più negativo il nostro indicatore. Potrebbe raggiungere un minimo e
crescere in una zona per poi tornare a diminuire: finchè scende manteniamo
negativo l'indicatore, quando non sale e non cresce (il minimo) mettiamolo a
zero, quando sale positivo, poi di nuovo zero quando raggiunge il massimo e
ancora negativo quando ricomincia a diminuire. Se tutto questo ti sembra
ragionevole abbiamo definito una quantità dotata di punto di applicazione
(il calorifero), di direzione e verso (dal caldo al freddo) e di modulo
(tanto più negativo quanto maggiore è il raffreddamento)... In altre parole
un vettore che rende conto delle gradazioni di temperatura nella stanza...
Direi che si può chiamare gradiente.
Il riferimento della stanza è uno spazio tridimensionale: il gradiente, come
tutti i vettori, è allora individuato da tre componenti (che sommate con la
regola del parallelogramma ti danno appunto il vettore). Ed è naturale che
queste componenti diano conto delle variazioni della temperatura nelle tre
direzioni fondamentali: cosa c'è di meglio delle derivate per questo
scopo!?! Se chiamiamo x,y e z le direzioni abbiamo ottenuto allora che
grad (T) = (dT/dx, dT/dy, dT/dz)
Più in generale
grad = (d/dx, d/dy, d/dz)
(anche se la d non è corretta).
La configurazione della temperatura della stanza è, in termini più
matematici, un campo scalare (cioè una porzione di spazio in cui ogni punto
è dotato di un attributo numerico (cioè scalare) che lo descrive (nel caso
della temperatura il valore di temperatura)). Tutto questo lo puoi applicare
a una miriade di casi: la densità dell'aria per esempio. E niente ti
impedisce di inventarti uno spazio a 4 dimensioni in cui il campo sarà
identificato da quattro derivate invece che tre... n dimensioni? n
componenti!
Nota che se lo spazio ha solo una dimensione (per esempio solo x, una retta)
il gradiente non è altro che la derivata come si è sempre vista al liceo!
Data una funzione (per esempio y=x^2) facciamo in tervenire il gradiente, o
derivata, e allora ci riconduciamo ad un caso che già conosci.
Spero di esserti stato di aiuto, almeno per capire il concetto.
Ciao.