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Titolo: Equazione di evoluzione.

Qualcuno sa dirmi cosa significa: "equazione di evoluzione",
parlando di una particella materiale in RG?
Piu` precisamente cioe`, puo` dire che significato ha la seguente
scritta:
(1)	dP/dT = K
Essendo P il 4-vettore impulso, T il tempo proprio, K il 4-vettore
campo esterno.
Lo chiedo perche' spero che si ritrovi anche in testi divulgativi,
poiche' a me non sembra presentare difficolta` di interpretazione.
In altre parole mi interesserebbe sapere se la (1) e` conosciuta o
se e` talmente difficile da venir esclusa anche in testi seri, che
si rivolgono a chi almeno a priori dovrebbe avere una preparazione
matematica adeguata.
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: 
remi...@tiscali.it
	-- Linux 2.4.18 su Debian GNU/Linux 3.0 "Woody"

 
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 presentato con rigore e limpidezza adeguati ad un concetto fondazionale. 
Ho passato un po' di tempo a controllare due libri: Finzi-Pastori e
Landau.
Il primo considera sempre e soltanto var. riemanniane immerse in uno
spazio euclideo (il che e' in realta' sempre possibile, quindi e' una
scappatoia praticabile, anche se poco elegante...). 
Certo questo semplifica molte cose: per es. lo spazio tangente e' ...
tangente per davvero :)
Non si spreca mai a considerare l'opportunita' di definizioni
_intrinseche_: forse non ne vede neppure l'interesse, o forse non vede
il problema? Inutile dire che usa sempre e solo coordinate (arbitrarie
nella varieta', cartesiane nello spazio ambiente).
Invece Landau (che si occupa solo dello spazio-tempo) parla vagamente di
trasporto parallelo, senza darne nessuna definizione (come dice
Pangloss). In realta' quello che c'e' scritto si puo' interpretare
cosi': il tr. parallelo (infinitesimo) e' definito assiomaticamente, in
base a certe proprieta', per es. la linearita', l'invarianza del
prodotto scalare... Questo e' del tutto equivalente a quanto ho scritto
io qui sopra, salvo il fatto che Landau non sa fare a meno delle
coordinate. Il che ha un solo vantaggio, mi pare: evita di dover dare
una definizione di vettore tangente.
Incidentalmente, l'osservazione di rez, che la der. covariante serve
anche se lo spazio e' piatto, indica che anche lui e' attaccato alle
coordinate. Infatti l'osservazione e' giusta solo in questo senso: che
anche se la varieta' e' piatta, lavorando con coord. arbitrarie i coeff.
di connessione non sono nulli, e quindi la derivata non puo' essere
fatta derivando semplicemente le componenti del campo vettoriale.
Il punto e' pero' che se lo spazio e' piatto io *posso* usare coord.
cartesiane, e farmi la vita facile; se lo spazio e' curvo *non posso*, e
non saprei neppure come definire la derivata, se non procedessi come ho
illustrato sopra (o alternativamente come fanno Finzi-Pastori).
Scusate la tirata, e speriamo almeno che serva...
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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campi esterni deve essere descritta in altro modo.
Si`, se ne puo` fare pero` anche una teoria unificata delle
particelle: particelle materiali e fotoni, lasciando invece
fuori l'antimateria.


 
Solo un appunto per generalizzare solo un poco quello che hai scritto:
per definire le connessioni affini non c'e' bisogno della
richiesta di simmetria dei coefficienti di connessione, cioe' dell'annullarsi
del tensore di torsione. Ovviamente in questo contesto piu' generale
il teorema che citi sopra sulla connessione affine di Levi-Civita necessita,
per l'unicita', che la connessione sia a torsione nulla.
Come saprai nei lavori di Einstein successivi alla relativita' generale
si parla di torsione cioe' di connessione non simmetrica. Einstein
credeva di potere introdurre per questa via il campo elettromagnetico
rappresentato in qualche modo dalla parte antisimmetrica dei coefficienti di
connessione, mentre la parte simmetrica avrebbe dovuto descrivere come
al solito la gravita'. E' noto che non riusci' mai nel suo intento.
Ciao, Valter


 
  Dipende da cosa intendi per antimateria. Per me non c'e' alcun problema,
  a questo livello non quantistico, l'antimateria differisce dalla materia
  solo per il segno della carica: la linea di universo di un positrone
  non ha nulla di intrinsecamente diverso, dal punto di vista della descrizione
  matematica, da quella di un elettrone. E' la carica trasportata che e' diversa.
  Forse tu intendi la descrizione di Feynman (e Wheeler mi pare) in cui
  l'antimateria e' descritta come materia ordinaria che viaggia indietro
  nel tempo (cioe' con quadrivelocita' orientata verso il passato).
  Ciao, Valter


 un tensore.
Insoddisfatto del modo nel quale il trasporto parallelo e' presentato 
sui (pochi) testi a me noti (Landau, ecc.), tempo fa mi ero autocostruito
una definizione assiomatica della derivata di un campo vettoriale su una 
curva assegnata (incontrando qualche difficolta' nel formulare un 
assioma di simmetria che determinasse in seguito le proprieta' dei simboli
di Christoffel).
Pertanto mi interesserebbe molto confrontare le mie elucubrazioni con la
presentazione assiomatica della derivata covariante da te citata.
Potresti brevemente elencare il suddetto  set di assiomi (anche senza 
discuterli) o almeno indicarmi un testo nel quale si proceda secondo 
questa logica?
Grazie!
-- 
 Elio Proietti        
Debian GNU/Linux

illustrato sopra (o alternativamente come fanno Finzi-Pastori).
La (per me) vera derivata covariante (gradiente) la definisco al
volo, e come l'ho anche gia` fatto vedere negli altri post.
La derivata assoluta (vostra covariante?) invece pure.
Dov'e` il problema, la connessione? Se e` cosi`.. be', non ho
presente nessuna applicazione in cui serva, tranne connessioni
non simmetriche, ma all'inizio hai detto che di torsione non ne
vuoi parlare.


 
  Ciao, anche se ti rispondera' Elio, ti puoi scaricare
  le mie dispense di Geometria differenziale
  (Analisi tensoriale su varieta' differenzianbili
  con applicazioni alle teorie relativistiche)
 
http://degiorgi.science.unitn.it/%7Efismat/dispense.html
  dove seguo la strada indicata da Elio e puoi trovare gli assiomi
  di cui sopra, il tutto nel cap. 3.
  Sono dispense sempre in fase di elaborazione e ogni anno che tengo
  il corso correggo sempre qualcosa (in particolare l'inglese).
  Ciao, Valter


 questa logica?
Si puo' fare cosi'. Sia M la varieta', V l'insieme dei campi vettoriali
su M.
Chiamo derivata covariante un'applicazione VxV -> V: (u,v) |-> D(u,v)
tale che:
1) D e' lineare in u e in v
2) e' una derivazione su v:
    se f e' una funzione scalare M -> R, allora D(u,fv) = f D(u,v) +
(@_u f) v
    (dove @_u f indica la derivata di f rispetto a u)
3) e' simmetrica: D(u,v) - D(v,u) = [u,v].
Da questi assiomi si dimostra che D(fu,v) = f D(u,v) ossia e'
semplicemente lineare in u (non e' una derivazione). Percio' ha senso
D(u,v) anche se v e' un campo ma u e' soltanto un elemento dello spazio
tangente alla varieta' in un punto.
I coeff. di connessione G^i_{jk} sono definiti da:
D(e_k,e_j) = G^i_{jk} e_i
essendo e_i una base nel fibrato tangente.
L'assioma 3 implica che se e_i e' una base olonoma, ossia se
[e_i,e_j]=0, allora i coeff. di connessione sono simmetrici negli indici
inferiori.
Si dimostra anche facilmente che la differenza tra due diverse derivate
covarianti e' un tensore di rango (1,2).
Nota: ho data per nota la definizione di vettore tangente e di spazio
tangente: ti serve anche questa?
Non giuro sull'assoluto rigore delle definizioni e degli assiomi, ma per
questo c'e' Valter ;-)


E che comunque spero si spieghino meglio di te...
Non perdi occasione per ripetere questo tuo giudizio inutile: ti
ho gia` detto che per me e` giusto cosi`, chiunque puo` chiedere
lumi dopo, se interessato.
Non scappo minga neh?!
Al piu` puoi pensare -e` tuo diritto- che io non scappi, ma.. fugga
per la tangente, come qualcuno purtroppo m'ha detto;-))
