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Titolo: Domanda su Orbite del gruppo di Lorentz

Salve a Tutti, probabilmente la domanda e' banale ma come si puo' vedere
che esistono orbite disgunte e che forma hanno ? E' possibile ricavare
equazioni delle orbite ? Mi riferisco al gruppo ortocrono proprio di
Lorentz. Grazie per le eventuali risposte !
Saluti Corrado

Salve a Tutti, probabilmente la domanda e' banale ma come si puo' vedere
che esistono orbite disgiunte e che forma hanno ? E' possibile ricavare
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Ciao, non ho capito la domanda: cosa intendi per orbite disgiunte?
Dovresti precisare le cose tecnicamente per favore.
Probabilmente riesco a risponderti perche' conosco piuttosto bene quel
gruppo,
Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

corrado ha scritto:
 > Salve a Tutti, probabilmente la domanda e' banale ma come si puo'
 > vedere che esistono orbite disgunte e che forma hanno ? E' possibile
 > ricavare equazioni delle orbite ? Mi riferisco al gruppo ortocrono
 > proprio di Lorentz. Grazie per le eventuali risposte !
Valter Moretti ha scritto:
 > Ciao, non ho capito la domanda: cosa intendi per orbite disgiunte?
 > Dovresti precisare le cose tecnicamente per favore.
 > Probabilmente riesco a risponderti perche' conosco piuttosto bene quel
 > gruppo,
Anch'io... Siamo amici da parecchi anni :-)))
Immagino che Corrado volesse chiedere come si prova che il gruppo non
e' transitivo su R^4...
Ricordiamogli che cos'e' un'orbita.
Hai uno spazio X, e un gruppo G di mappe di X in se'.
Prendi un punto p di X, e considera A = Gp: l'insieme delle immagini di p
date da tutti gli elementi di G.
Questa e' appunto un'orbita (l'orbita di p).
Se ora q non appartiene ad A, Gq e' disgiunto da A: sei capace di
dimostrarlo?
Ottieni quindi un'orbita A' disgiunta da A.
E' chiaro che l'insieme delle orbite e' una partizione di X, perche'
sono disgiunte, e la loro unione e' X.
Se A coincide con X, esiste un'unica orbita, e si dice che G _agisce
transitivamente_ su X: in parole povere, da ogni p si puo' raggiungere
ogni q con un'applicazione appartenente a G.
Per quanto riguarda L (gr. di Lorentz ortocrono proprio) immagino che
X sia R^4, dove G agisce con le trasf. di Lorentz.
E' noto che f(p) = x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 e' invariante, ossia
che ha lo stesso valore in p=(x_0,x_1,x_2,x_3) come in tutti punti di
Lp, ossia che si raggiungono da p con una trasf. di L.
Ne segue che ogni orbita di L sta in un'insieme di livello di f.
Nota: f non e' definita positiva, anzi assume in R^4 qualsiasi valore
reale.
Mentre gli insiemi di livello per f < 0 e per f = 0 sono connessi,
quelli per f > 0 hanno due parti connesse, una con x_0>0, l'altra con
x_0<0.
Per il gruppo _ortocrono_ il segno di x_0 e' invariante quando f>=0.
Risultato:
1) ogni insieme di livello f<0 consiste di un'unica orbita
2) le due parti connesse degli insiemi f>0 sono orbite distinte
3) l'insieme f=0 contiene _tre_ orbite: l'origine, il cono-luce futuro
e il cono-luce passato.
N.B. La dimostrazione che in tutti i casi un'orbita riempia la parti
descritte non e' banale. In sostanza equivale a dimostrare che L non
ha altri invarianti.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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(cuttone)
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ciao, se interessa l'argomento in generale, posso dare una referenza
bibliografica: Gel'fand-Pyatetsky_Shapiro "Theory of representation and
theory of automorphic functions" (che forse è un po' difficile da trovare: a
Roma ce solo nella bilbioteca di Me.Mo.Mat. e ora ce l'ho io..:-))
altrimenti sempre di Gel'fand-Graev-Pyatetsky_Shapiro "Generalized
functions" vol.5. In questi testi ci sono un sacco di cose, anche e non
solo, riguardo al gruppo di Lorentz. Parlano in generale di ciò che diceva
Elio e delle rappresentazioni del GdL o affini. Fra l'altro sono cose
particolarmente utili e ci si fanno un sacco di cose interessanti.
saluti, Adriano

Ciao Valter grazie per la tua instancabile presenza su questo newsgroup 
anche se noto purtroppo che professori e ricercatori universitari   
che  partecipano a queste discussioni sono molto pochi forse e' un
problema di tempo o ancora peggio un problema culturale . Veniamo al
punto : Per orbita intendo un sottoinsieme di quadri-impulsi i cui
elementi hanno la seguente proprieta' , detti a e b due quadri-impulsi
tali elementi apparterranno ad un orbita se esiste un A tale che a=Ab
dove con A intendo un elemento del gruppo proprio ortocrono di Lorentz ,
fino a quando non ho letto che esistevano orbite diverse ero convinto
erroneamente che partendo da un quadri-impulso con un dato invariante
m^2 si potesse "spanned" su tutti i quadri-impulsi con dato m^2
applicando diversi A , se ho ben capito questo e' falso e dati due
"semi" a e a' delle orbite O e  O' con uguale invariante m^2 queste
orbite potrebbero risultare insiemisticamente a intersezione nulla e'
vero? e se e' cosi come come si puo' dimostrare cio'?

 e se e' cosi come come si puo' dimostrare cio'?
E' banale, creddevo che Elio te lo avesse praticamente mostrato. 
Considera l'applicazione t -> f(t) = m^2(x(t)) dove x=x(t) e' un'orbita 
e m^2 e'la funzione che calcola l'invariante. In coordinate
x(t)= (x0(t),x1(t),x2(t),x3(t))
m^2(x) = -(x0)^2 + (x1)^2+ (x2)^2+ (x3)^2
Dato che m^2 e' un invariante sotto il gruppo ort proprio, se
x e x' sono connessi da una trasf ort propria allora
m^2(x) = m^2(x'). Orbene dato che due punti x(t) e x(t') dell'orbita
considerata sono connessi da una trasf ort propria per costruzione
(basta usare la definizione di orbita ed il fatto di lavorare con un 
gruppo), allora la funzione t -> f(t) assume lo stesso valore  costante
per ogni t. Ora prendi x e y tali che m^2(x)
  DIVERSO da m^2(y). E' chiaro per il discorso appena fatto che
le orbite generate da x e da y non possono avere punti in comune
altrimenti y sarebbe sull'orbita di x e dovrebbe essere
m^2(x) = m^2(y)
che e' impossibile.
In realta' si puo' dire di piu' anche se in questo caso
e' praticamente evidente: le due orbite disgiunte sono anche
sconnesse l'una dall'altra. Se l'unione delle due orbite
fosse un insieme connesso l'immagine secondo m^2 (che e' continua)
di questo insieme sarebbe connesso, cosa falsa perche' e' l'unione
di due punti distinti...
Quindi riesci sempre a racchiudere le due orbite in due
insiemi aperti con unione disgiunta.
  Ciao, Valter


Ricapitolando le orbite sono infinite , una per ogni valore di m^2 se
consideriamo solo invarianti positivi giusto?  Purtroppo nel mio
precedente messaggio mi sono espresso male ,le mie perplessita'
nascevano dal credere di aver letto che quadrivettori con invarianti
identici potessere appartenere ad orbite diverse cosa che voi avete
confutato con le vostre risposte. Grazie a Tutti per la gentile
partecipazione alla discussione.
Saluti Corrado