Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Brachistocrona

Ho gia postato su it.scienza.matematica, senza risposta:
Il calcolo della traiettoria piu' breve nel tempo tra i punti 1 e 2 nel
campo gravitazionale (supposto lineare), si riduce ad un problema
variazionale, sulla minimizzazione dell'integrale:
2
S sqrt((1+vy^2)/(2gy)) dx
1
g=accelerazione gravitazionale s.l.m.
vy= "y-punto".
y=funzione di x, incognita dell'equazione.
posto f(y,vy,t)=sqrt((1+vy^2)/(2gy))
sappiamo che l'integrale è minimo sulle traiettorie per cui:
    df        d       df
   ---- = ----  ------
    dy       dx    d(vy)
                 _________                  _____________
               /   (1+vy^2)        d        /          vy^2
(-1)*     /   -----------   = ----    /   ----------------
          \/        8g*y^3         dx   \/     2g(1+vy^2)*y
semplifichiamo un 2g a denominatore (supponendo g costante nella traiettoria
che studiamo)
                 _________                  _____________
               /   (1+vy^2)        d        /          vy^2
(-1)*     /   -----------   = ----    /   ----------------
          \/         4*y^3          dx   \/       (1+vy^2)*y
adesso che faccio, ho pensato di calcolare la derivata a secondo membro
usando la regola delle funzioni composte, e dopo qualche manipolazione ho
ottenuto (modulo errori di calcolo!):
vy^4 - vy^3 +(2y)*vy^2 - vy + (2y+1) = 0
ora mi chiedo:
ho fatto bene a far quel che ho fatto, cioè quella che ho adesso è proprio
una equazione differenziale per y?
(vy=dy/dx).
Se sì, come la risolvo ? c'è un particolare ansatz per y che la semplifica,
o devo usare una formula risolutiva per eq di 4° grado? oppure sono
completamente rinc******ito e non vedo subito la soluzione? oppure ho
sbagliato tutto?
ricordo da una mostra scientifica a cui ero andato alle medie, che la
soluzione dovrebbe essere una cicloide (?), o sto dicendo ancora una
ca***ta?
insomma ho le idee un po' confuse! :-)
grazie a chi mi aiuterà!
Andrea

 g
 Ciao, appena ho tempo ti dico come procedere.
 Valter


  Ti posso dare qualche suggerimento, ma non ho tempo per fare i 
  conti.  Considera il funzionale "tempo necessario a percorrere la 
  curva" per le curve ad estremi  geometrici fissati: il primo di 
  coordinate (0,h) ed il secondo (b,0) h,b >0 in coordinate cartesiane
  ortonormali con y verticale  ascendente.
  Usando la conservazione dell'energia meccanica tenendo conto che il
  corpo cade lungo la guida partendo da fermo, tale funzionale e' dato
  dall'integrale  in dx da x=0 a x= b  di
   L(y(x),y'(x)) = C sqrt[(1+ y'(x)^2)/(h-y(x))]  
 
  dove la costante C e' data da 1/[2 sqrt(g)] essendo g 
  l'accelerazione  di gravita'
  Per il nostro calcolo possiamo porre C=1 tanto e' irrilevante.
 
  Si tratta dunque di trovare il "punto" di massimo di un funzionale
  ad estremi fissati. Se esisiste tale funzione massimante allora e'
  estremante e annulla la derivata funzionale del funzionale 
  (dimostrare  che e' massimante e' ben piu' difficile).
  Nota che il prolema e' matematicamente equivalente a determinare
  le equazioni del moto di un punto in moto su una retta quando
  x e' il tempo e y(x) e' la posizione del punto sulla retta, e la 
  lagrangiana e'  L(y(x),y'(x)), con il vincolo che la soluzione
  deve soddisfare y(0)=h, y(b)=0.
  Dato che la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo x,
  c'e' l'integrale primo di Jacobi (cioe' l'energia meccanica 
  del problema fittizzio che stiamo considerando), che equivale 
  all'equazione del moto stesso essendo il problema unidimensionale.
  H = (@L/@y')y' - L   (1)
  La *costante* H la determini dalle condizione al contorno 
  L'equazione (1) con H costante generica la integri facilmente, 
  quindi determini H come detto. Ti lasci l'onere dei conti
  e la prova che la soluzione e' davvero una cicloide.
 
  Ciao, Valter

  Scusa ho scritto nel post precedente 
  tempo massimo e massimante ma ovviamente 
  volevo dire minimo e minimante!
  Ciao, Valter


Mi era già stato risposto dal Tasslehof privatamente, che mi aveva
consigliato di provare l'esistenza di questo integrale primo, non sapendo
che si trattava di un integrale primo notevole mi sono "sporcato le mani".
Vediamo se questo argomento è valido:
dall'equazione tipo eulero-lagrange:
df/dy=D(df/dvy)/Dx     (1)    (D=der. totale, d=derivata parziale)
il secondo membro lo scriviamo come:
(sono tutte derivate parziali)
       d^2 f         d vy         d^2 f        dy
    ----------* ------- + ----------*-----    (2)
      d^2 vy        dx           dy dvy      dx
portiamo il secondo termine delle (2) a primo membro della (1), tenendo
conto che vy := dy/dx
ora abbiamo:
                                    d^2 f         d vy
d(f-(df / d(vy))*vy)/dy=  ----------* -------    (3)
                                    d^2 vy        dx
il secondo membro, notando una ridondanza di d(vy), si riscrive
d^2(f)/(d(vy)dx)    (4)
ovvero la derivata rispetto a vy di df/dx, ma df/dx=0 (derivata parziale),
quindi otteniamo l'integrale primo.
(è lecito il passaggio dal secondo membro della (3)=>(4) ?)
Per ora ho fatto questo, domani pomeriggio completo il probelma, e grazie!!
:-)
Andrea

 
  Ciao, faccio fatica a seguire i tuoi passaggi anche perche'
  il mio browser fa del casino con l'allineamento. Mi pare
  che la strada che stai usando e' corretta. Faccio i miei
  passaggi spoerando che tu riesca a leggerli. Uso le mie 
  notazioni.
  Ora ' significa derivata prima in x e '' derivata seconda.
  @/@g e' la derivata parziale rispetto a  g.
  Le equazioni di Eulero-Lagrange sono
  (@L/@y')'= (@L/@y)  (2).
  Allora derivando in x ambo membri in (1)
  H'  =  (@L/@y')'y' + (@L/@y')y'' - L'
  Usando (2) e tenendo conto di come si sviluppa L':
  H' = (@L/@y)y'+ (@L/@y')y'' - L' =  @L/@x.
   Dunque  su ogni soluzione delle (2) vale
  H'= @L/@x
  e quindi H e' costante sulla soluzione considerata
  quando L non dipende esplicitamente da x.
  Ciao, Valter