Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Differenziale del calore ed Entropia: aiuto!

Ho un dubbio che non riesco a risolvere, aiutatemi per favore!
Mi sapete spiegare perche' il differenziale del calore (dQ) non e' un 
differenziale esatto? Per quali ragioni? qual'e' la differenza tra questo 
differenziale non esatto e invece uno esatto rappresentato dalla funzione 
di stato Entropia? Che cosa ha dQ "in meno" rispetto ad una funzione di 
stato?
Grazie in anticipo a tutti quelli che risponderanno.
 
-- 
   A rileggerci!
... Se hai paura della velocita'... prova Windows.

 stato?
i differenziali esatti sono quelle quantita' il cui integrale su una
qualsiasi curva che connette due punti A e B non dipende dalla curva
scelta ma solo dai punti presi come estremi della curva, esempi di
differenziale esatto sono l'etropia, l'energia interna, l'energia
poteziale (che infatti si puo' definire solo per un campo conservativo,
che e' definito come un campo di forze che ha integrale nullo su una
curva chiusa, affermazione che si puo' dimostrare equivalente a quella
di differenziale esatto che ho dato prima). Il calore none' un
differenziale esatto perche', come ti sarai accorto ser hai fatto
qaulche eserczio di temrodinamica, la quantita' totale di calore
scambiato da un sistema dipende fortemente dalla trasformazione che
scegli per andare da uno stato A ad uno stato B, e le trasformazioni
termodinamiche sono rappresentate da traietorie nello spazio degli stati
macroscopici del sistema. Comunque ti faccio un esempio:
Considriamo un gas perfetto che si evolve da uno stato A ad uno stato B,
siano Po e Vo la pressione la temperatura iniziali, sia Vf>Vo il volume
finale e sappiamo che A e B hanno la stessa temperatura, quindi la
pressione finale e' Po*Vo/Vf. Consideriamo come prima trasformazione
l'isoterma che conette A e B, dal primo principio della termodinamica
sappiamo che il calore assorbito sara' uguale al lavoro fatto lungo la
trasfomarzione, quindi lungo l'isoterma la relazione tra P e V e'
P*V=Po*Vo ==> P=Po*Vo/V e il calore sara' Q=L=Po*Vo*Ln(Vf/Vo)
Adesso immaginiamo di portare il sistema da A a B tramite una
trasformazione composta da un isocora (volume costante) da Po a Po*Vo/Vf
e poi un isobara (pressione costante) da Vo a Vf, anche in questo caso
(in virtu' del fatto che A e B hanno la stessa temperatura) il calore
scambiato sara' uguale al lavoro fatto dal sistema, ma in questo caso il
lavoro totale e' il prodotto della pressione finale per la variazione di
volume (perche' lungo l'isocora non c'e lavoro in quanto non c'e'
variazione di volume) cioe' Q=L=Po*Vo/Vf*(Vf-Vo)=Po(Vo-Vo^2/Vf)
le due quantita' di calore scambiato sono diverse, come appare ovvio
confrontato le espressioni, e questo ti dimostra che il calore non e' un
differenziale esatto
Adesso magari ti chiederai perche' la differenza tra due differenziali
non esatti (il calore e il lavoro) che, apparentemente, non sembrano
avere niente a che fare l'uno con l'altro, ci dia proprio un
differenziale esatto (l'energia interna), be' la risposta non la so (e
non credo che esista), ma puoi vedere questa cosa come un favore che
Madre Natura fa ai fisici per permettergli di risolvere i problemi di
termodinamica :)
-- 
Saluti
Valar
collegato telepaticamente con Allanon, Roland, Capo Rosso e F2
Maestro Jedi di Abulion Yorgen
ICQ 51287994
"Diciamo la verita': a tutti piacciono le minorenni, per questo c'e' una
legge!" Daniele Luttazzi
per rispondere sostituite (underscore) con _

Ho un dubbio che non riesco a risolvere, aiutatemi per favore!
Mi sapete spiegare perche' il differenziale del calore (dQ) non e' un 
differenziale esatto? Per quali ragioni? qual'e' la differenza tra questo 
differenziale non esatto e invece uno esatto rappresentato dalla funzione 
di stato Entropia? Che cosa ha dQ "in meno" rispetto ad una funzione di 
stato?


Rick Deckard ha scritto nel messaggio ...

Parto dall' assunto che tu non abbia fatto Analisi 2, altrimenti sapresti di
cosa si parla, che cosa è un differenziale esatto? pendi una funzione di n
variabili reali a valori in R [se n=2 hai z=f(x,y)], se la funzione in
questione è sufficentemente regolare (è C1di D dominio di f) puoi scrivere
il suo differenziale totale come la somma di i che va da 1 a n della
derivata rispetto x_i (parziali si intende) per il rispettivo differenziale
dx_i   (vettorialmente il prodotto scalare tra gradiente di f ed il vettore
dei differenziali). Come con le funzioni di una variabile reale dalla
derivata (differenziale) puoi tornare indietro integrando per cercare la
primitiva (a meno di una costante), qui puoi provare a cercare un oggetto
che sia il differenziale della funzone f di n variabili. Mi spiego meglio:
se prendi il funzionale lineare definito nello spazio R_n* (duale di R_n
cioè lo spazio di tutte i funzionali lineari che puoi costruire in n
variabili)[dopo con qualche esempio ti sarà più chiaro] dotato della base
canonica e_1, e_2,...,e_n puoi mediante la posizione dx_1=e_1, dx_2=e_2,...;
dx_n=e_n costruire un funzionale lineare che sia la somma di n funzioni di n
variabili moltiplicate ognuna per l'elemento corrispondente della base
ovvero A(x,...x_n)dx_1+B(x,...x_n)dx_2 +...+N(x,...,x_n)dx_n  cioè una
combinazione lineare a funzioni A,B,...,N; dato che in effetti anche il
differenziale totale di una funzione di n variabili è di questo tipo ti puoi
chiedere quando è vero che un oggetto come quello su visto (detto forma
differenziale lineare) è proprio un differenziale totale di una opportuna
funzione f cioè in formule:
 w=df
dove w è la forma differenziale lineare e df è il differenziale della
funzione f.
Quando ci si trova in questa situazione si dice che la forma differenziale è
ESATTA, in generale ci sono delle specifiche condizioni necessarie e
sufficenti sia sulla regolarità della funzione f sia sulla geometria del
dominio sul quale è definita.
[es. poniamo n=2 e consideriamo la forma diff. lin.   sinx dx  +  cosy dy
che è definita su tutto R_2  "senza buchi" si osserva che esiste una
funzione f(x,y)=siny-cosx il cui differenziale è proprio la forma diff. lin.
considerata allora tale forma è esatta]. Le forme diff. esatte godono di
certe proprietà definite da un noto teorema detto di caratterizzazione delle
forme esatte e cioè: 1)l'integrale su un cammino qualsivoglia di una forma
differenziale esatta w è uguale alla differenza che tale w prende nel punto
finale meno quello preso nel punto iniziale   (int. esteso a gamma di w=
f(x_1,y_1)-f(x_0,y_0)) corrispondentemente a livello fisico ciò introduce il
potenziale del campo f se questo è conservativo; 2) l'integrale di w esteso
ad un cammino chiuso (circuitazione) è identicamente nullo ed anche questo
definisce la conservatività di un campo.
Dalle definizioni e dalle considerazioni appena fatte dovrebbe risultarti
evidente come il calore infinitesimo dQ integrato su un cammino qualsiasi
sia tutt'altro che indipendente dal cammino stesso, anzi!!! questo basta per
affermare che il calore non è un differenziale esatto. Ora se indichiamo con
deltaQ il differenziale non esatto del calore puoi considerare la quantità
deltaQ/T se la integri su un cammino chiuso (nel piano P,V per esempio) essa
è in generale minore di 0, se però il cammino rappresenta una trasformazione
REV. allora tale integrale è proprio uguale a 0 questo basta per concludere
che la quantità nell' integrale è un differenziale esatto, e quindi si può
esprimere tale integrale su un cammino qualsiasi (rev.) mediante una
opportuna funzione S(P) detta Entropia del sistema termodinamico (o meglio
con la sua differenza agli estremi) che sia primitiva della forma diff.
deltaQ/T. Questo è tutto, o quasi!

 termodinamica :)
Forse mi sfugge il problema, ma la cosa non mi sembra tanto 
incomprensibile. Il calore viene definito tramite la prima legge
della termodinamica: dU = dQ - dL. dU e' evidentemente un diff.
esatto; dL e' definito come l'energia trasferita tramite azioni
meccaniche (macroscopiche) e dQ come "il resto". Non c'e` ragione
di credere che tale scomposizione debba per forza essere in una
somma di diff. esatti. Il fatto che dU sia esatto e sia = dQ - dL
mi sembra quindi una conseguenza della definizione di queste
grandezze.
-- 
To reply, replace "smartassi@triste" with "smargiassi@trieste"
in my e-mail address
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it:6163/~esmargia
--
Posted from 
axpts2.ts.infn.it
 [140.105.31.36]
via Mailgate.ORG Server - 
http://www.mailgate.org

 della termodinamica: dU = dQ - dL.
non e' esatto: il calore e' definito come l'energia che si scambiano i
sistemi tramite i gradi di liberta' interni. Si osserva sperimentalmente
che la somma (o la differenza a seconda di come si scrive i I principio)
dell'energia scambiata tramite i gdl interni e i gdl espliciti (o
meccanici) e' un differenziale esatto


 sistemi tramite i gradi di liberta' interni.
 A dire il vero quella che ho dato io e' la definizione piu' comune
del calore. "L'energia trasferita con mezzi non meccanici, che e'
uguale alla differenza fra la variazione di energia interna e il
lavoro compiuto, viene detta calore" (Zemansky, Calore e Termodinamica,
par. 4.4).
  Comunque anche con la tua (che differisce solo di poco da quella
che ho dato) non mi sembra che si ponga il problema. La prima legge
della termodinamica si riduce ugualmente ad una partizione
di un differenziale che si sa esatto nella somma di due addendi.
Che risommando questi due cose tu ottenga un diff. es. mi sembra
banale (ammessa a priori, naturalmente, la conservazione dell'energia).
