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Titolo: La lagrangiana di Dirac... è nulla ?

Ciao a tutti mi è sorto questo dubbio
Ho la densità di lagrangiana del campo di Dirac.
L=\overline{\psi}(i\gamma^u D_u-m)\psi
Da questa, tramite l'equazione di Eulero-Lagrange, riesco a ricavare 
l'equazione di Dirac.
(i \gamma^u D_u-m)\psi=0
Tuttavia, sostituendo poi l'equazione di Dirac, nell espressione della 
densità di Lagrangiana ottengo una densità di Lagrangiana nulla !
Dove sto sbagliando ? Aiuto!
Ciao
Paolo

Ciao Paolo,
non bagli i conti, ma sbagli l'interpretazione; prova a chiederti:
dove si annulla la lagrangiana?
le "variazioni" che uso per ottenere le equazioni di Eulero-Lagrange
in che "direzione" le faccio?
Vedrai che non c'è niente di male
ciao
vittorio
Paolo wrote:
.........taglio........


Paolo wrote:

Ciao, non sbagli da nessuna parte: la lagrangiana di Dirac e` nulla
quando la valuti su campi spinoriali *che soddisfano le equazioni di
Dirac*. Non c'e` alcun paradosso: quando consideri l'azione
associata alla lagrangiana NON stai assumendo che i campi soddisfino 
le equazione di Dirac. Tale equazione coincide con la richiesta che
la derivata funzionale dell'azione sia nulla. Nel caso in esame
la richiesta di derivata funzionale nulla implica anche l'annullarsi
del funzionale azione stesso (ma sempre solo su certe configurazioni
di campo, appunto quelle che soddisfano l'equazione di Dirac).
La situazione e` simile a quella della conservazione del tensore
energia impulso: questo si conserva quando i campi soddisfano
le equazioni del moto ma non identicamente.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 ...
Per sdrammatizzare ulteriormante il problema, faccio notare che la
stessa cosa succede (anche in meccanica analitica classica, non solo in
toeria dei campi) tutte le volte che la lagrangiana e' funzione omogenea
della sole coordinate lagrangiane.
Se infatti L=L(q), le eq. di Lagrange si riducono a @l/@q = 0, e se L e'
omogenea: L = \sum q @l/@q = nL, quindi L=0 _sulle curve integrali_.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Ieri sera dovevo essere un po' suonato :(
Se potessi farei sparire volentieri quello che ho scritto.
Ma siccome non posso, cerco almeno di correggerlo.
Il risultato a cui pensavo, in mecc. an. classica, e' il seguente:
Sia L = (q,Aq')-(q,Bq), con A antisimmetrica, B simmetrica (q' sta per q
punto).
Allora sulle curve integrali (soluzioni delle eq. di Lagrange) L=0.
Siccome pero' non mi fido piu' di me stesso, per favore qualcuno
verifichi...
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

 
Ciao, stamattina avevo notato che quanto avevi scritto ieri sera
era un po` privo di senso, ma confidavo che te ne accorgessi da solo
come e` stato. Riguardo alla verifica di quanto detto sopra, mi pare
che B debba essere proprio la matrice nulla, altrimenti la
lagrangiana sul moto riesce
L = (q,Bq)
Quindi una classe di lagrangiane che si annullano sul moto e`
L = (q,Aq') con A antisimmetrica
Faccio notare che tale lagrangiana e` "singolare" nel
senso che la matrice Hessiana associata (la matrice delle
derivate seconde di L rispetto alle q') e` nulla.
Cio' implica che non si puo` dare una descrizione Hamiltoniana
del sistema per via standard (tramite la trasformazione di
Legendre).
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 Legendre).
Se tuttavia definisco, come al solito:
p = @:/@q' =  -Aq
H = (p,q') - L = (q,Bq)
si vede che H e' ancora costante del moto, per cui lo e' anche (q,Aq').
Certo, il tutto e' molto patologico; ma l'idea l'ho presa proprio dalla
lagrangiana di Dirac, che e' fatto come (1).
Questo patologia e' inevitabile, visto che le eq. di Dirac sono di primo
ordine...
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Elio Fabri
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 del sistema per via standard
Ciao, Valter