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Titolo: tempo e gravita'

non avendo ancora (putroppo)
il tempo di studiare a fondo la teoria della relativita' generale ma
solo quella speciale
pregherei qualcuno di spiegarmi se secondo tale teoria il tempoi dipende
dalla gravita'
e se ci sono evidenze sperimentali di cio'
Mi sembra di ricordare da qualche lettura (che non riesco piu' a
rintracciare)
che il tempo rallenta con l'aumentare della gravita' fino al punto che
in un ipotetico buco nero
il tempoi dovrebbe fermarsi
Ma forse ricordo male anche perche'di  cio' che non si studia a fondo si
finisce solo per mandare a memoria
qualche cosa
Mi servirebbe questa informazione per completare i miei appunti di
epistemologia per i miei alunni
(a proposito se qualcuno e' interessato glieli spedisco)

 
  Ciao, e' un po' complicato ed ho, come al solito, poco tempo.
 
  Prendiamo uno spaziotempo che sia *statico*.
  Questo significa  due cose: 
  1) che che e' possibile costruire dei sistemi
  di riferimento estesi in cui le distanze spaziali tra i vari
  punti sono *costanti* al fluire del tempo, dove per tempo
  intendo una coordinata temporale arbitraria che etichetta 
  le  ipersuperfici di simultaneita'su cio possiamo mettere
  delle coordinate spaziali;
  2) si ha invarianza per inversione temporale, cioe' nelle
  coordinate dette se x=x(t) e' un moto ammissibile di un 
  punto materiale soggetto alla sola gravita', dove 
  x rappresenta le tre coordiante spaziali e t il tempo globale
  di cui sopra, anche x=x(-t) e' un moto ammissibile.
  Il fatto che lo spaziotempo sia statico non e' banale, per esempio
  se la sorgente della gravita' ruota allora non si puo' avere 
  staticita' ma solo stazionarieta' che e' piu' o meno solo
  il punto 1 di sopra (e' piu' complicato ma non mi dilungo).
 
  Consideriamo ora due osservatori locali O e O' (due omini) che 
  evolvono in quiete con le coordinate spaziali x di cui sopra
  ma che stanno in posti diversi: x e x'. I loro processi biologici e 
  gli eventi intorno a loro non evolvono con il tempo t, ma bensi' 
  con il *tempo proprio* misurato da orologi in quiete con gli 
  osservatori. La relazione locale tra un intervallo dt di tempo
  globale e quello ds di tempo proprio e'
  ds = dt radice di (-g_{00}(x))  (1)
  dove g_00(x) < 0 e' la componente temporale del tensore metrico 
  valutata nel punto spaziale x (per la staticita' non c'e' 
  dipendenza da t). g_00 e' legato, se la gravita' e' debole,
  al potenziale gravitazionale classico delle equazioni di 
  Newton della gravita'.
  Suppono ora che O' lanci segnali luminosi a O con una frequenza
  valutata con il suo tempo proprio w', ossia periodo S' = 1/w'.
  Dalla relazione di sopra (dovendo essere dt = dt' per la 
  staticita') si ha che O riceve gli stessi segnali con un 
  periodo misurato rispetto al SUO tempo proprio che soddisfa
  la relazione 
  S/ radice (-g_00(x)) = S'/  radice(-g_00(x'))
  quindi 
  w = w' radice(g_00(x')/g_00(x))
  S = S' radice(g_00(x)/g_00(x'))
  Se si procede con qualche calcoletto per gravita' deboli
  (limite Newtoniano), si vede dalla formula di sopra che la frequenza
  che osserva O e' piu' *bassa* di quella che osserva O' se la gravita'
  in O' e' maggiore che in O. Si ha cioe' lo spostamento verso il rosso.
  Un altro fenomeno legato a quanto dici tu e' il seguente. Supponi che
  O e O' siano gemelli e che stiano in x con la stessa eta'. Poi O' 
  decide di andare in x' dove la gravita' e' maggiore e ci resta 
  per molto tempo (molto maggiore del tempo del viaggio che trascurero'),
  infine ritorna in x (con un viaggio breve rispetto al tempo passato in x').
  Usando la (1) e tenendo conto che i processi biologici evolvono con il
  tempo proprio, il gemello che e' vissuto per lungo tempo in O' sara'
  piu' giovane dell'altro al loro incontro finale.
 
  Spero di averti detto qualcosa di utile.
  Ciao, Valter