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Titolo: Azione come Osservabile in MQ?

L'azione è una osservabile in MQ? 
Qual'è il corrispondente operatore? 
 
--
Wakinian Tanka

 Qual'è il corrispondente operatore?
(L'apostrofo non ci vuole.)
 
Per poterti rispondere bisognerebbe che tu chiarissi che cosa intendi
per "azione".
Sfortunatamente nella mecc. anal. classica la parola "azione" può
riferirsi a concetti diversi, e la risposta sarebbe diversa a seconda
dei casi.
 
 
-- 
Elio Fabri

 dei casi. 
 
Ok. Quella che compare nell'equazione di Hamilton-Jacobi, che dipende dall'istante finale t_2 e dal punto finale q_2 della traiettoria. 
 
S=int_{t_1}^{t_2} L[q, q', t] dt
 
dove L[q, q', t] è la Lagrangiana, funzione esplicita (in generale) di q, q'=dq/dt e t. 
 
 
 
Nel principio di Hamilton e per derivare le equazioni di Lagrange (faccio un breve riassunto non per te ovviamente) si fissa l'istante iniziale e l'istante finale t_1 e t_2 e la coordinata q (in generale, una n-upla di coordinate q1, q2,... qn) iniziale q_1 e finale q_2 e si fa variare S facendo variare la legge q(t) tra i 2 estremi fissi. La corrispondente variazione si indica, di solito, con la lettera greca delta minuscola. 
 
 
Invece, facendo variare l'istante t finale ed il punto q finale si ottiene tutt'altra cosa e si scrive S(q, t). Risulta poi che la  qdm generalizzata p=@L/@q' è pari a @S/@q. 
Nell'equazione di Hamilton -Jacobi:
@S/@t+H=0
S appunto è funzione di q e t come sopra e H è funzione di q e di p=@S/@q. 
Se ho omesso di precisare qualcosa dite pure (per Elio ciò è scontato: me lo farà sapere di sicuro :-) ).  
 
--
Wakinian Tanka

 scontato: me lo farà sapere di sicuro :-) ).
In effetti manca qualcosa d'importante :-)
A che serve l'eq. di H-J?
Se ne sai un qualche integrale, che ci fai?
 
Apro una parentesi personale.
Mi sono trovato a dover insegnare questa materia per la prima volta
nell'a.a. 1955-56.
Da allora l'ho ripresa in più varianti a seconda del corso. Ma l'ho
sempre trovato il capitolo più intricato della meccanica analitica.
Non si tratta di una questione soggettiva: per es. la trattazione nel
Landau è tutt'altro che soddisfacente, e non lo dico io, bensì
Arnol'd.
Le note che Arnol'd mette nel suo trattato per rilevare errori o
mancanze in quello di Landau sono quasi umoristiche. Un solo esempio:
"La dimostrazione di questo teorema, fatta alla pag. 212 del magnifico
manuale di Landau e Lifschitz [rif. all'ed. italiana] è erronea."
Il teorema in questione dice semplicemente (Arnold):
"La trasformazione dello spazio delle fasi, generata da un flusso di
fase, è canonica."
Tanto per non smentire la tradizione, la trattazione di Arnol'd
(dell'intero argomento) non sarà erronea, ma è parecchio astrusa e
inelegante.
 
Ciò posto, il primo passo è quello che dici: la funzione S(q,t) ha come
differenziale p dq - H dt. Quindi
@S/@q = p, @S/@t = -H.
Ma c'è un secondo passo, ed è quello che mostra a che serve questa S;
si tratta del teorema di Jacobi, che copio da Arnold:
 
"Se si trova una soluzione S(Q,q) dell'eq. di Jacobi
H(@S/@q,q,t) = K(Q)
dipendente da n parametri Q, e tale che @^2S/@Q@q =/= 0
[è quello che si chiama un integrale completo]
le equazioni canoniche [..] si risolvono esplicitamente per quadrature.
Inoltre le funzioni Q(q,p) determinate con le equazioni @S/@q=p sono n
integrali primi delle eq. canoniche."
 
Come ho già accennato, non sono soddisfatto della trattazione di
Arnol'd, e potrebbe darsi che esistano testi migliori (quello ha ormai
oltre 40 anni: la trad. italiana che possiedo è del 1979) forse anche
di autori italiani.
 
Con la mia consueta eleganza, mi sembra meglio basarmi su mie lezioni:
http://www.sagredo/eu/lezioni/astronomia/p3c3rf.pdf
 
In quel capitolo la teoria di Hamilton-Jacobi è discussa in dettaglio
ma con riferimento al problema dei due corpi. Mi pare però che gli
aspetti generali siano trattati adeguatamente.
 
Il nocciolo della questione (che Arnol'd tratta in modo che a me pare
alquanto pasticciato) è che un integrale completo dell'eq. di H-J
fornisce la *generatrice* di una trasf. canonica che fa passare dalle
coord. canoniche q,p di partenza a nuove coordinate Q,P che sono
*integrali primi*.
Di conseguenza il problema meccanico è risolto, a patto che si sappiano
calcolare certi integrali. (Questo nel problema dei due corpi si sa
fare.)
 
Nei miei appunti si fa vedere che questo è un caso particolare in cui
vale il teorema di Liouville, oggi noto come "teorema di
Liouville-Arnol'd).
Che cosa ha fatto Arnol'd?
 
Ha dato la dim. rigorosa che nelle ipotesi di Liouville (meglio
precisate, e per questo rimando al libro di Arnol'd) le "nuove"
variabili canoniche sono le "variabili di angolo e di azione".
Le prime hanno una dipendenza semplice (lineare) dal tempo, le seconde
sono costanti del moto.
Ha poi dimostrato che le superfici di livello delle variabili di azione
sono *tori* di dim. n, che ricoprono l'intero spazio delle fasi.
Le variabili di angolo sono coordinate su ciascun toro, ciascuna con
moto periodico (ossia definite a meno di multipli di 2pi) per cui
in generale l'evoluzione temporale del sistema è *multiperiodica*.
(Per il problema dei due corpi semplicemente periodica, perché si
tratta di problem *degenere*. Rimando ai miei appunti per
l'approfondimento.)
Un sistema meccanico con queste proprietà si dice "integrabile".
 
C'è però un punto importantissimo da chiarire: il teorema di L-A vale
sotto certe ipotesi, tra cui quella che esistano n integrali primi con
parentesi di Poisson nulla tra loro.
E' stata lunga tradizione dei testi di meccanica analitica non chiarire
la questione, lasciando credere che questi integrali primi esistano in
generale. Anche nei miei appunti di ciò non si parla...
Veniva sottinteso (ma non detto!) che tutti i sistemi fossero
integrabili, che la difficoltà fosse solo di calcolo; ma *non è così*!
 
E' ormai noto da ben più di un secolo che le cose non stanno così.
Per primo se ne accorse Poincaré, alla fine dell'800, studiando il
problema dei tre corpi, che *non è* integrabile, anche nella versione
cosiddetta "ristretta", sebbene sia ancora un problema "semplice".
 
In forma più debole si pensava forse che anche se non tutti i sistemi
sono integrabili, lo siano però approssimativamente, in modo che si
possano ottenere in pratica soluzioni suff. approssimate anche di
problemi complicati.
 
Fu Kolmogorov e la sua scuola (di cui il n. 2 era appunto Arnol'd) a
partire dai primi decenni del secolo scorso, a capire che la
situazione è ben più difficile.
 
Difficile ma in certo senso non disperata :-) Il teorema KAM
(Kolmogorov-Arnol'd-Moser) detto in forma semplificata e nei limiti in
cui l'ho capito, assicura che se si parte da un sistema integrabile
non degenere e si applica una piccola perturbazione, la maggioranza dei
tori invarianti sopravvive, venendo solo deformati.
Maggioranza vuol dire che la frazione di quelli che scompaiono è
dell'ordine di una qualche potenza della perturbazione.
 
Però ci sono problemi in prossimità delle "risonanze": lì nascono "zone
d'instabiità" e il moto assume caratteristiche "caotiche", anche per
sistemi molto semplici.
Questa è stata la scoperta fondamentale: il comportamento caotico in
meccanica non è dovuto alla presenza di moltissini gradi di libertà,
come si era creduto a lungo.
 
Tornando sul personale: avrei gli appunti di un corso su tutta questa
materia, che tenni nel 1988-89.
Partendo da problemi semplici si arriva a vedere come nascono i
comportamenti caotici.
Se non li rendo pubblici è per due ragioni:
- primo, sono incompleti
- secondo, perché sarebbero incomprensibili senza le figure, e
purtroppo quelle - fatte a mano - non le ho ancora rintracciate.
Ma non dispero: ho in casa certi scatoloni, riempiti quando lasciai il
mio studio al Dip. di Fisica, dove ci dovrebbe stare anche quella roba
là. :-)
 
**********
 
E' stata una lunga introduzione questa, per rispondere alla domanda
sull'azione come osservabile.
Ma hai visto che c'è azione e azione...
 
E la mia risposta a questo punto è che l'azione come integrale di L
non la direi osservabile.
Neppure l'azione ome funzione dell'estremo superiore dell'integrale, o
meglio come funzione delle q e di t.
Do invece risposta positiva quanto alle variabili di azione, che (non
l'avevo detto) si definiscono come integrali di p dq su circuiti
chiusi tracciati sui tori invarianti.
 
Motivo quanto detto.
Il termine "osservabile" appartiene alla m.q. e si può interpretare in
due modi:
- grandezza per la quale è definito un procedimento di misura
- elemento dell'algebra delle osservabili.
Non è affatto banale che le due definizioni portino agli stessi
risultati (e non so se è vero ...).
 
Per ragioni ovvie preferisco la seconda: è molto meglio definita.
In pratica, per un sistema meccanico avente analogo classico, le
osservabili di base sono le q e le p.
Queste *generano* l'algebra delle osservabili (per mezzo di operazioni
algebriche: somme e prodotti, e direi anche limiti).
 
Con questa definizione le prime due forme dell'azione non sono
osservabili perché non sono funzioni delle sole q e p al tempo dato,
ma dipendono anche dalle condizioni iniziali.
Invece le variabili di azione sono di fatto definite da funzioni delle
q e p, quindi le accetto senz'altro come osservabili.
Del resto se prendiamo il problema dei due corpi, le variabili di
azione sono (al più a parte fattori 2pi) energia, momento angolare
(modulo e componenti), vettore di Lenz.
 
Ti ricordo anche che la "vecchia m.q." di Bohr-Sommerfeld è formulata
proprio con condizioni di quantizzazione delle var. di azione.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
Int p*dq = n*hbar. 
 
Grazie! 
Mi studio la tua lezione di meccanica analitica. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka 

 (modulo e componenti), vettore di Lenz.
 
 
-- 
Elio Fabri

 risultati più moderni.
 
Ci sono diversi risultati "post-Arnold". In particolare, credo che il 
più importante, anche dal punto di vista applicativo,  sia il teorema di 
Nekohroshev
https://en.wikipedia.org/wiki/Nekhoroshev_estimates
 
che complementa la teoria KAM sulla deformazione dei tori invarianti 
dello spazio delle fasi.
 
Comunque lo studio degli invarianti adiabatici ha continuato e credo(*) 
continui ad essere un attivo ramo di ricerca, anche per le applicazioni 
  non banali.
 
Giorgio
 
(*) mi ero interessato all' argomento per i risvolti che ha sui metodi 
di simulazione numerica di sisemi hamiltoniani un po' di anni fa. E' un 
po' che non aggiorno inn modo sistematico le mie conoscenze a riguardo 
ma da quel poco che ho continuato a seguire direi che l'affermazione di 
cui sopra sia corretta.