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Titolo: Paradosso di Bertrand

 
Bertrand si pose il problema di determinare la probabilità che, in un cerchio, una corda scelta a caso sia di lunghezza maggiore del lato del triangolo equilatero inscritto al cerchio.
 
Lo stesso matematico propose tre modalità di costruzione di "una corda scelta a caso", tutte ineccepibili dal punto di vista logico. Il fatto notevole è che le tre modalità forniscono soluzioni diverse.
 
Il paradosso venne poi superato considerando che non ha senso parlare di scelta casuale se non si specificano le modalità con cui questa scelta casuale venga effettuata.
 
Anche nel fenomeno della riduzione della funzione d'onda 
|f> = A|S1> + B|S2>
si parla di scelta a caso tra uno degli stati sovrapposti.
Non pare nota la modalità di scelta.
 
Se penso a qualcosa di simile al paradosso di Bertrand, non sono certo delle probabilità A^2, B^2, perché non sono certo che esista una unica modalità di riduzione.
O no?

 
 
Credo che tra i postulati della meccanica quantistica venga data la 
probabilità di ciascun risultato.

giannimorlacchi ha scritto:
 > Bertrand si pose il problema di determinare la probabilità che, in
 > un cerchio, una corda scelta a caso sia di lunghezza maggiore del
 > lato del triangolo equilatero inscritto al cerchio.
 > ...
Lasciamo stare il paradosso di Bertrand, che è giustificato solo dal
contesto storico.
L'unica cosa che vale la pena osservare è che il problema può sorgere
solo quando lo spazio degli eventi non è discreto.
 
Il caso della MQ è totalmente diverso, prima di tutto perché si tratta
di probabilità *non epistemica*, ossia inerente alla situazione fisica
in sé, e non derivante da ignoranza di alcune informazioni da parte
dell'operatore.
Poi nell'esempio che fai tu, anche se lo enunci in modo incompleto,
siamo nel caso discreto.
 
Hai due stati che (tu non lo dici) sono autostati di una stessa
osservabile X, con autovalori diversi, diciamo x1 e x2. E' anche
inteso che i due ket |S1> e |S2> sono normalizzati. Sono certamente
ortogonali, in quanto autovettori per autovalori diversi di uno stesso
operatore hermitiano (più precisamente dovrei dire autoaggiunto, ma
questo non è rilevante nel nostro caso).
 
Ciò posto, è un postulato della MQ (Born) che le rispettive
probabilità siano |A|^2, |B|^2 (occorrono i moduli, perché in generale
A e B saranno complessi).
 
Non c'è altro da aggiungere, ma è ovvio che se ometti qualcuna delle
clausole che ho precisato e che tu avevi ignorato, la domanda su quale
sia la probabliltà è priva di senso. Altro che pardosso!
-- 
Elio Fabri

 dell'operatore. 
...
 
La riflessione che ho fatto, che ho espresso malamente, è la seguente.
 
La natura sceglie verso quale autostato operare la riduzione.
Le modalità operative che esprimono questa scelta casuale non sono note.
 
Se le modalità non sono note, e se fossero più di una, si potrebbero ottenere diverse probabilità (paradosso di Bertrand) in funzione della modalità adottata
Il postulato di Born implicitamente afferma che esiste un'unica modalità di scelta casuale.
Può non essere così
 

 
 
 
In base a quali dati sperimentali?

giannimorlacchi ha scritto:
 > La natura sceglie verso quale autostato operare la riduzione.
 > Le modalità operative che esprimono questa scelta casuale non sono
 > note.
 >
 > Se le modalità non sono note, e se fossero più di una, si potrebbero
 > ottenere diverse probabilità (paradosso di Bertrand) in funzione
 > della modalità adottata
 > Il postulato di Born implicitamente afferma che esiste un'unica
 > modalità di scelta casuale.
 > Può non essere così
Secondo me non ci siamo.
Intanto usi una terminologia che potrei forse definire "ottocentesca":
natura, modalità...
 
Il postulato di Born afferma *esplicitamente* che la probabilità di
ottenere un certo risultato da una misura è dato *in modo univoco* dal
quadrato del modulo del coeff. ecc. ecc.
In linea di principio potrebbe non essere così, ma in fisica i
postulati non sono arbitrari: sono vincolati al confronto con
l'esperienza.
Come ti ha fatto notare JTS, quel postulato ha conseguenze
osservabili, che interessano *tutti* i casi in cui la MQ viene messa a
confronto con esperimenti.
Per fare un solo esempio, l'intensità delle righe spettrali, che è
forse stato il primo campo di applicazione del postulato di Born.
 
Il paradosso di Bertrand è tutt'altra cosa: lì si trattava di capire
che l'espressione "scelto a caso" non significa niente in sé.
Acquista significato quando enunci esplicitamente il procedimento di
scelta, in quanto è quello che definisce la misura di probabiità.
Per es. nel caso delle corde, se tu volessi fare una "verifica
sperimentale" dovesti chiarire come esegui la scelta casuale.
Siccome esistono più modi possibili, non c'è niente di strano se si
possono ottenere risultati diversi.
 
Nel caso della misura quantistica, il problema - a quanto ne so - è
ancora aperto, ma in un senso diverso da quello che pensi tu.
La domanda che non ha avuto ancora risposta esauriente è: visto che in
pratica i procedimenti di misura sono i più svariati, come si spiega
che *sempre* la probabilità sia legata solo al coefficiente dello
sviluppo del vettore di stato in autovettori dell'osservabile?
-- 
Elio Fabri

 sviluppo del vettore di stato in autovettori dell'osservabile? 
 
Probabilmente conosco troppo poco l'argomento. Della mia ignoranza mi scuso.
Scrivo solo un'ultima riflessione.
 
Prendo una moneta dalla tasca ed eseguo un elevato numero di lanci.
Mentre la moneta è in aria descrivo il sistema come
|f> = 1/rad2|T> + 1/rad2|C>
(T=testa, C=croce)
Prima di tutto: posso scrivere questa espressione per una moneta? posso pensare la moneta che gira in aria sia in due stati sovrapposti? 
Comunque: mi aspetto, nel caso ideale, che la probabilità di T sia la stessa che C, e che sia 1/2.
Il punto è l'astrazione "caso ideale".
 
Il lancio di una moneta si può solo approssimare ad un caso ideale. In realtà esistono differenze nella distribuzione del materiale nella moneta, differenze nel momento impresso alla moneta nel lancio, altre cause "disturbanti" la casualità.
 
Perchè devo pensare che nel caso di lancio della "moneta" spin tra due espansioni polari siamo in un caso "puro"? Sono di fronte ad un fenomeno fisico di per se ideale?
E' strano.
 
 
Non è che per caso si faccia il percorso opposto? Cioè: nel caso in cui le probabilità (sperimentali) non siano 1/2, si deduca che la moneta, o il lancio, sia truccato, e che si vada poi a sistemare le densità di probabilità dei due stati, per conservare il principio?
 
 
In definitiva: mi suona strano che si sia arrivati a vedere un livello di frammentazione/isolamento  (della materia, dei fenomeni) in cui non ci sono più approssimazioni, in cui tutto è cristallino/elementare.

 In definitiva: mi suona strano che si sia arrivati a vedere un livello di frammentazione/isolamento  (della materia, dei fenomeni) in cui non ci sono più approssimazioni, in cui tutto è cristallino/elementare.
 
Usando la pura "sensazione viscerale" un vapore di atomi che interagisce 
_di proposito_ solo con la luce segue con buona precisione le leggi 
"elementari" della Fisica. Da questo, sempre utilizzando sensazioni 
viscerali e non ragionamenti, l'intensità delle righe spettrali si può 
calcolare molto precisamente utilizzando i postulati della M.Q., senza 
adattamenti ad hoc.

giannimorlacchi ha scritto:
 > Prendo una moneta dalla tasca ed eseguo un elevato numero di lanci.
 > Mentre la moneta è in aria descrivo il sistema come
 > |f> = 1/rad2|T> + 1/rad2|C>
 > (T=testa, C=croce)
 > Prima di tutto: posso scrivere questa espressione per una moneta?
 
Ti confesso che non so da che parte cominciare per risponderti. Questo
perché hai solevato una quantità di questioni, non nuove, ma ancora in
parte in discussione, su cui sono stati scritti libri. Come si fa a
discuterle qui?
Anche perché io per primo sono ben lontano dal sapere tutto ciò che è
stato detto o pensato (il che potrebbbe essere un vantaggio, perché mi
dà una visione forse semplicistica :) ).
Poi perché tu sei ben lontano dall'avere le basi per parlarne non dico
con competenza (questo si potrebbe chiedere a me) ma quel minimo che
si richiede perché tu possa avvicinarti a capire la natura dei
problemi.
 
E prego te e chiunque altro mi stia leggendo di non pensare che sto
montando in cattedra.
Quello che mi preoccupa è il solito problema: la richiesta insistente
di avere lumi, alla quale la sola risposta rigorosa sarebbe "non è
possibile".
Proverò quindi a presentare qualche spezzone, senza la minima speranza
di completezza e di organicità. Sperando almeno di non dire cose
errate (il che non è tanto improbabile, vista la materia).
 
La tua domanda con cui ho terminato la citazione qui sopra è già da
sola un bel problema.
Detto in termini tecnici: si può dare una trattazione quantistica di
un sistema macroscopico come una moneta lanciata?
La risposta è sì (però non come pensi tu) ma non servirebbe a niente,
perché gli effetti quantistici anche per una moneta sono piccoli,
molto al di là di qualsiasi esperimento oggi concepibile.
Mentre invece l'incertezza nell'esito del lancio di una moneta ha
tutt'altre cause, perfettamente spiegabili in modo classico, come ora
cercherò di mostrare.
 
Intanto schematizziamo e semplifichiamo il problema. Questo in parte è
necessario, ma dove lo si potrebbe evitare lo faccio peer semplificare
la descrizione, mentre non toglie niente alla sostanza del problema.
 
Abbiamo dunque la moneta che viene lanciata verso l'alto con una
velocità che chiamo v.
La moneta ricadrà su una superficie che la ferma. Di regola (v. caso
delle partite di calcio) la superficie sta più in basso della mano che
ha lanciato la moneta, ma senza danno per il ragionamento supporrò
invece che parta e atterri alla stessa altezza.
Posso già calcolare quanto dura il volo: t = 2v/g.
 
Questo riguarda però il centro di massa della moneta, la quale viene
lanciata (con un colpo di pollice) in modo che ruoti attorno a un asse
orizzontale.
Sia f la frequenza di rotazione così prodotta: f è il numero di giri
per unità di tempo, l'inverso del tempo di un giro.
Quindi f*t è il numero di giri (non necessariamente intero) che la
moneta ha compiuto quando tocca terra.
 
Ora una definizione. Indico con phi l'angolo che il piano della moneta
forma con l'orizzontale quando la moneta tocca terra: phi=0 significa
che atterra di piatto mostrando testa; phi=180° che atterra di piatto
mostrando croce. Gli altri valori di phi rappresentano una moneta che
tocca terra solo con un punto del bordo.
In qest'ultimo caso dobbiamo fare un'ipotesi su quello che succede
quando il bordo tocca terra.
Assumerò:
1) che quel punto P del bordo venga istantaneamente fermato
2) cha la moneta inizi a ruotare attorno a P, sollevandosi se
0<phi<90° oppure 180°<phi<270°, abbassandosi negli altri casi.
3) che se si abbassa si fermi con phi=180° o con phi=360°
4) che se si alza partendo da phi >0 e < di un certo alfa<90°, si
fermi e ricada con phi=0 (testa).
5) che se si alza partendo da phi>180° e < di 180°+alfa si fermi e
ricada con phi=180° (croce)
6) che se si alza partendo da phi>alfa suoperi i 90° e si fermi con
phi=180° (croce)
7) che se si alza partendo da phi>180°+alfa superi i 270° e si fermi
con phi=360°, ossia 0 (testa).
 
Riassumendo:
- se 0<phi<alfa, l'esito è testa
- se alfa<phi<180°+alfa, l'esito è croce
- se 180°+alfa<phi<360°, l'esito è testa.
 
Si vede che i due casi testa e croce corrispondono a due intervalli
per phi, entrambi di ampiezza 180°.
Resta da calcolare quindi la probabilità che phi assuma valori in quei
due intervalli (non è affatto detto, e non è vero in generale, che le
due probabilità siano 1/2).
 
Nota pignola.
Qualcuno osserverà che se phi non è 0 o 180°, il tempo di volo non è
il t calcolato sopra, ma un po' minore, perché alla fine del volo il
centro di massa è più in alto della superficie.
Vero, e si potrebbe fare il calcolo esatto. Ma siccome in pratica il
raggio della moneta è << dell'altezza raggiunta dalla moneta durante
il volo, la correzione sarebbe piccola e la trascuriamo.
 
Ora va fatta un'osservaziome cruciale.
Se v e f fossero esattamente note e riproducibili, non si potrebbe
parlare di probabilità.
Il fenomeno è *deterministico*, quindi ripetendo più volte il lamcio
con le stesse v e f si otterrebbe sempre lo stesso risultato: o sempre
testa o sempre croce.
L'incertezza discende dal fatto che in pratica le condizioni iniziali
non possono essere ripetute con sicurezza; ci sarà sempre un margine
di errore, che schematizzeremo dicendo che da un lancio all'altro v può
oscillare dentro un intervallo [v1,v2] e f dentro un intervallo [f1,f2].
E' questa incertezza che causa valori diversi per l'esito da un lancio
all'altro e che noi riassumiano in una stima di probabilità.
 
Questa si chiama probabilità "epistemica" perché deriva da una nostra
incerta conoscenza delle condizioni iniziali (al contrario, la prob.
che si presenta in MQ è *non epistemica*, perché non può essere
ricondotta alla nostra conoscenza sulle condizioni iniziali: sarebbe
diverso se esistessero la "variabili nascoste", ma oggi abbiamo
evidenze sperimentali che così non è).
 
Per capire come calcolare le probabilità conviene pensare a un grafico
(che descrivo ma non so se riuscirò a disegnare in breve tempo).
Consideriamo un piano cartesiano (v,f): ogni punto nel primo quadrante
rappresenta una possibile scelta delle cond. iniziali.
Dato che abbiamo ristretto v a un intervallo e così pure f, in realtà
le condizioni iniziali che si presentano saranno solo quelle incluse nel
rettangolo di vartici opposti (v1,f1) e (v2,f2).
 
Per quanto riguarda phi, esso è funzione di f,t e la sua espressione è
semplice:
 
phi = 2*360°*f*v/g (mod. 360°).  (1)
 
Nota: ho scelto di lavorare coi gradi perché mi pare più intuitivo, ma
ovviamente possiamo altrettanto bene misurare tutti gli angoli in
radianti. In tal caso la (1) diventa
 
phi = 4*pi*f*v/g (mod. 2pi).  (2)
 
I valori critici di phi sono 0, alfa, 180°+alfa, 360° o meglio (tanto
mod. 360° è lo stesso): alfa, 180°+alfa, 360°+alfa:
alfa < phi < 180°+alfa dà croce
180°+alfa < phi < 360°+alfa dà testa.
 
Non sappiamo quanto vale alfa, ma potremmo calcolarlo se fosse
necessario. Vedremo però che il suo valore non è determinante per il
risultato finale.
 
Per ogni dato alfa possiamo tracciare sul grafico le curve date dalla
(1) in corrispondenza dei valori critici e di altri con aggiunti
multipli di 360°. Tutte queste curve sono iperboli equilatere.
Alcune di queste iperboli intercetteranno il rettangolo delle
condizioni iniziali.
Faciamo un esempio più o meno a caso:
v1 = 5 m/s, v2 = 6 m/s
f1 = 10 s^(-1), f2 = 12 s^(-1)
alpha = 30°.
Il punto (v1,f1) dà phi = 3600 (ho preso g = 10 m/s^2).
Il punto (v2,f2) dà phi = 5184.
I valori critici compresi in questo intervallo sono
3630°, 3810°, 3990°, 4170°, 4350°, 4530°, 4710°, 4890°, 5070°.
Abbiamo quindi 9 iperboli che intersecano il rettangolo e determinano
10 regioni, con esiti risp. T, C, T, C, T, C, T, C, T, C.
 
Dobbiamo ora fare un'ipotesi sulla distribuzione di probabilità di v e f
nei loro intervalli; la più ovvia è la distr. uniforme.
Con tale ipotesi le probab. delle 10 regioni sono proporzionali alle
loro aree, che si possono calcolare in modo elementare (intervengono
dei logaritmi...).
Se A1, ..., A10 sono le 10 aree, le prob, di T e C saranno
T: (A1 + A3 + A5 + A7 + A9)/S
C: (A2 + A4 + A6 + A8)/S
con S = A1 + ... + A10.
Non sto a fare il conto, ma ben dfficilmente sarà P(T) = P(C), il che
significa che il lancio fatto con questi parametri non sarebbe equo.
 
Come la mettiamo?
Da un lato questo non ha importanza se il nostro scopo era solo di
capire come spunta fuori la probabilità in un modello classico.
Dall'altro è (spero) intuitivo che ci si potrebbe avvicinare al caso
equo in due modi:
1) ampliando gli intervalli [v1,v2], [f1,f2]
2) spostando i due intervalli a valori più grandi.
Fino ad avvicinarsi quanto si vuole a un'equiprobabilità.
Di questo si può dare una dim. rigorosa, ma non sto a riportarla,
anche perché prima dovrei costruirla :-)
 
C'è anche da dire che abbiamo trascurato altre cause d'incertezza, per
es. l'altezza della mano rispetto al terreno, che renderebbe incerto il
valore di t accanto a quelli di v e di f.
Forse non è ovvio, ma ogni ulteriore incertezza avvicina
all'equiprobabilità.
 
Dovrei ora affrontare il secondo aspetto, ossia il caso quantistico
(spin). Ma mi perdonerai se lo rimando a una prossima puntata :-)
-- 
Elio Fabri

 evidenze sperimentali che così non è). 
...
 
Questa tua affermazione è di enorme portata concettuale.
 
Stai dicendo, in modo perentorio, che esistono eventi la cui probabilità è non epistemica, ovvero eventi per cui "dietro" non c'è nulla.
Nego che tu (come chiunque altro) possa permettersi un'affermazione simile.
 
 
Mia argomentazione debole: qualcosa si ribella nel pensare che gli uomini (piccole aggregazioni di molecole in uno sperduto pianeta di una stella secondaria) siano arrivati a rappresentarsi un mondo elementare, dove qualcosa non è riconducibile ad altro, dove siamo "alla fine".
 
Mia argomentazione forte: il risultato dei lavori di Bell e Aspect possono essere esposti in due modi, non equivalenti
1 - Non esistono variabili nascoste locali (e spesso si omette la precisazione "locali")
2 - Esistono variabili nascoste non locali
 
Infatti l'interpretazione "Onda Pilota" è logicamente sostenibile, all'interno delle evidenze sperimentali.

 2 - Esistono variabili nascoste non locali
 
Io non ho mai capito cosa dovrebbero essere queste variabili nascoste 
non locali.
Detto in altri termini, se devo obbligarmi a digerire cose che, almeno a 
me, paiono non digeribili, come queste variabili nascoste non locali, 
allora preferisco mantenere la visione "ordinaria" della mq che, 
sostanzialmente, dichiara che gli indici di digeribilità non sono 
criteri validi perché la natura non è tenuta a tenere conto del nostro 
stomaco (o dello stomaco di alcuni, fra i quali il mio).
Il principale problema della mq (o, almeno, uno fra i principali 
problemi) è proprio la non località, se questa si mantiene in una 
qualche forma non vedo quale vantaggio si possa avere. A maggior ragione 
se queste variabili nascoste non locali dessero luogo a una teoria 
equivalente alla mq "ordinaria" dal punto di vista delle predizioni 
sperimentali.
 
Infine, io non riesco a capire come il paradosso di Bertrand possa avere 
a che fare coi problemi posti dalla mq.
 
Tanto per dire, quando dici
"Prendo una moneta dalla tasca ed eseguo un elevato numero di lanci.
Mentre la moneta è in aria descrivo il sistema come
|f> = 1/rad2|T> + 1/rad2|C>
(T=testa, C=croce)
Prima di tutto: posso scrivere questa espressione per una moneta? posso 
pensare la moneta che gira in aria sia in due stati sovrapposti?"
 
io non riuscirei tanto bene a capire cosa sarebbe una moneta "in due 
stati sovrapposti".
Ad esempio, quali operazioni dovrei eseguire per mettere una moneta 
nello stato
|S> = cos(alpha) |T> + exp(i*fi) sin(alpha) |C> ?
Che tipo di misura dovrei eseguire per controllare che una moneta 
preparata nello stato |S> risulta effettivamente essere in quello stato? 
Come faccio per modificare lo stato |S>, cioè quali operazioni dovrei 
eseguire per regolare a mio piacimento alpha o fi?
 
Invece sono chiare le operazioni da eseguire per preparare un fotone 
(diciamo un fascio di fotoni) nello stato
|S_f>=cos(alpha) |H> + exp(i*fi) sin(alpha) |V>
ed è chiaro quali misure vanno eseguite per controllare che fotoni 
preparati nello stato |S_f> risultano effettivamente in quello stato. 
Sono chiare le operazioni da eseguire per modificare alpha o fi.
 
Bruno Cocciaro
 
-- 
Questa email è stata esaminata alla ricerca di virus dal software antivirus AVG.
www.avg.com
 

 Infatti l'interpretazione "Onda Pilota" è logicamente sostenibile, all'interno delle evidenze sperimentali.
 
Per le tue curiosità ti consiglio "La rivoluzione incompiuta di Einstein" 
di Lee Smolin (uno dei principali artefici delle gravità a loop, buon amico di Rovelli
ora forse in rotta di collisione) avevo fotografato l'epilogo del testo
https://ibb.co/Wyk4G1C
 
https://ibb.co/7S5SRXQ
 

 a che fare coi problemi posti dalla mq. 
 
Non è chiaro nemmeno a me. :-)
 
Ma il paradosso insegna che il risultato statistico derivante da una scelta casuale varia in funzione della procedura operativa con cui si realizza la scelta (pur casuale).
Non conosco la procedura operativa con cui la "natura" realizza il collasso della funzione d'onda.
E' sempre la stessa? E' uniforme? Perchè?
Non è già questa (modalità del collasso) una variabile nascosta?

 Non è già questa (modalità del collasso) una variabile nascosta?
 
 
Su queste cose non so nulla; in uno dei precedenti messaggi, EF ha 
sottolineato che non si è mai riuscito ad influenzare i valori della 
probabilità tramite il processo di misura (cito dal messaggio:
"La domanda che non ha avuto ancora risposta esauriente è: visto che in
pratica i procedimenti di misura sono i più svariati, come si spiega
che *sempre* la probabilità sia legata solo al coefficiente dello
sviluppo del vettore di stato in autovettori dell'osservabile?"). Ho 
letto (ho presente la fonte solo vagamente e non la ho ricercata) che 
Zurek per es. ritiene la misura un processo di decoerenza.
 
Sono in corso studi sulle nanoparticelle levitate (ad es. 
https://arxiv.org/abs/2103.03853
). Lo scopo è vedere effetti quantistici 
su oggetti macroscopici. Visto che la misura è un'interazione fra un 
sistema quantistico e un oggetto macroscopico, può darsi che questi 
studi chiariranno qualcosa sulla misura quantistica.

 Non è già questa (modalità del collasso) una variabile nascosta?
E non c'è alcuna ragione per ipotizzare che la natura scelga "procedure 
operative" diverse per realizzare i collassi.
Non saprei come interpretare la frase "la modalità di collasso potrebbe 
essere una variabile nascosta". Mi parrebbe come dire che se un giorno 
capissimo come avvengono i collassi avremmo risolto la stranezza della 
mq. Ma dire questo a me pare che aiuti molto poco per lo scopo di 
confutare che "valutazioni serie" di cui sopra.
 
Bruno Cocciaro.


Il giorno martedì 20 dicembre 2022 alle 07:50:02 UTC+1 Bruno Cocciaro ha scritto:
...

...
 
Be', pongo la questione in altro modo.
Quando due teorie fisiche sono equivalenti?
Le due teorie devono essere diverse, altrimenti sarebbero una sola.
Si potrebbe rispondere: quando conducono agli stessi risultati, quando soddisfano allo stesso modo i dati sperimentali disponibili.
Non basta, perchè potrebbero rendesi evidenti nuovi dati.
Deve esistere un criterio più generale per affermare questa "equivalenza".
Le due teorie devono essere falsificabili, perchè altrimenti non sarebbero fisica.
Come stabilire quando la falsificazione di una teoria conduce necessariamente alla falsificazione dell'altra?

 incerta conoscenza delle condizioni iniziali 
...
 
A mio parere l'incertezza non deriva solo dall'incompleta conoscenza delle condizioni inziali.
Deriva anche dall'incompleta conoscenza del processo.
Avrei potuto dire:
Es1: è chiesto ad un bambino di scegliere a sua discrezione tra le due parole Testa e Croce.
 
Questo è un lancio di moneta. Le serie di processi elettrochimici che avvengono nel suo cervello, e che determinano la scelta è, forse, deterministico; ma vallo a capire. Certo non è riproducibile
 
Es2: tre mesi fa ho deciso che, se il numero complessivo di Goals durante i campionati mondiali di calcio fosse stato pari, allora assegno il valore Testa. Se dispari assegno il valore Croce.
A campionato concluso, ora so il risultato del lancio di questa moneta. Ma la probabilità del risultato si può dire epistemica?