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Titolo: Saluto e richiesta di opinione su soluzione di un problema di dottorato

Salve a tutti! Anzi ri-salve, visto che postai per un po' parecchio
tempo fa, prima di sparire per molto tempo!
Il problema di cui parlo nel subject e' di elettrodinamica ed e' questo:
c'e' una palla di gomma che quando e' di raggio Ro e' caricata con una
densita' di carica superficiale pari a s. Successivamente, variando la
pressione interna della sfera si provoca una variazione del raggio della
sfera secondo la legge R(t)=Ro+ro*sin(w*t) con 0=<ro=<Ro (quindi la
densita' doi carica superfciale varia nel tempo in modo che la carica
totale sia sempre 4*pi*s*Ro^2). Bisogna calcolare il campo elettrico e
magnetico in tutto lo spazio.
Io ho proceduto secondo il seguente ragionamento.
Analizzo innanzitutto la situazione nella regione di spazio A con
r>Ro+ro, cioe' la regione che si trova sempre l di fuori della sfera
carica. Dato che anche in elettrodinamica vale il teorema di Gauss
(infatti la prima eq di Maxwell resta invariata in situazione statica o
dinamica), e dato che il sistema ha una simmetria sferica, il campo
elettricon questa zona e' costante nel tempo e radiale e il suo modulo
vale
E=s*Ro/(e*r^2) con e costante dielettrica del vuoto
nella zona B per r<Ro-ro, cioe' la zona che e' sempre all'interno della
sfera, per lo stesso ragionamento il campo elettrico e' sempre nullo
Analizziamo allora la situazione C per Ro-ro<r<Ro+ro, preso un punto a
distanza r dal centro, ci saranno dei momenti in cui il punto si trova
all'interno della sfera e istanti in cui si trova all'esterno, non si
puo' dire subito che il campo vale rispettivamente 0 o pari a quello
coulombiano perche' gli impulsi elettromagnetici si propagano a
velocita' finita, ma anche in questa regione vale sempre il teorema di
gauss, istante per istante, e il porblema presenta sempre una simmetria
sferica, quindi durante tutto l'intervallo di tempo di cui il punto in
esame e' al di fuori della sfera carica, il flusso attraverso una
superficie sferica passante per esso e' costantemente 4*pi*s*Ro^2/e,
quindi il campo vale, nell'intrevallo in cui il punto si trova
all'esterno esattamente come nella zona A, analogamente quando si trova
all'interno, il campo e' nullo
Possiamo allora riassumere i risultati per le tre zone nella forma
E=[s*Ro/(e*r^2)]*I(r-Ro-ro*sin(w*t)) dove ho indicato con I(..) la
funzione teta, cioe' quella funzione che e' pari a 1 quando l'argomento
e' positivo e pari a 0 quando e' negativo
Per il campo magnetico ho ragionato in questo modo: calcolando (tramite,
l'equazione di continuita') la densita' di corrente elettrica J si vede
che ha direzione radiale, analogamente si vede che anche la derivata
parziale di E rispetto al tempo e' radiale (il tempo compare solo nella
funzione I), dato che il rotore di B e' parallelo ad una combinazione
lineare di J e della derivata parziale temporale di E (quarta equazione
di Maxwell), e dato che il rotore di un vettore e' ortogonale al vettore
da cui si ricava, ne segue che in questo caso il vettore B e', punto per
punto, tangente alla superficie sferica concentrica alla sfera carica e
passante per il punto in questione, ma dato che il sistema ha simmetria
radiale, il sistema deve essere invariante per una rotazione arbitraria
intorno ad un asse qualsiasi passante per il centro della sfera, l'unica
configurazione per B che puo' soddisfare questa richiesta e' B=0 in
tutto lo spazio
Volevo sapere se secondo voi questo procedimento e' corretto e se lo
sono i risultati a cui sono giunto
-- 
Saluti
Valar
collegato telepaticamente con Allanon, Roland, Capo Rosso e F2
Maestro Jedi di Abulion Yorgen
ICQ 51287994
V paradosso di Zenone: "Un'automobile che debba giungere dalla citta' A
alla citta' B, non ci arrivera' mai, per il semplice motivo che non
esistono citta' chiamate A e B."
to reply delete (cancella)
per i non udenti l'english ho detto: "per rispondere cancellate
(cancella)"

 E=s*Ro/(e*r^2) con e costante dielettrica del vuoto
Valar,
Mi sembra che tu sia saltato troppo rapidamente a delle conclusioni.
Esistono configurazioni del campo elettrico (p.e. onda piana nel vuoto, e di
conseguenza tutte le onde elettromagnetiche nel vuoto) che hanno divergenza
nulla ovunque. Quindi e' possibile che la soluzione del problema sia data
dalla soluzione "statica" con sovrapposizione di onde sferiche (per via
della simmetria). Il problema mi sembra carino (in che sede l'hanno dato?,
chi c'era in commissione?), anche se adesso non ho il tempo di cercarne la
soluzione; mi pare di ricordare pero' che qualcosa di simile ci fosse nel
Feynman.
Puo' darsi che il tuo risultato sia comunque corretto, in quanto, sempre per
via della simmetria, non e' chiaro come dovrebbe essere polarizzato il campo
e.m. dell'onda sferica e mi sembra che il solo modo di rispettare la
simmetria sia con E e B entrambi radiali, cosa che forse non e' ammessa da
Maxwell (una polarizzazione circolare mi sembra non vada perche' non c'e'
motivo di preferire destrorsa a sinistrorsa).
Saluti e in bocca al lupo per l'orale.
Paolo Micossi
-- 
Paolo Micossi
via Pozzuolo 105
33100 UDINE (ITALIA)
paolo....@libero.it

Ciao ad entrambi.
    Secondo me la soluzione data da Valar e' corretta. E ci si arriva
immediatamente
 usando solo le due equazioni  di Maxwell *integrali* che riguardano il
flusso di
 E e di B calcolato su superfici sferiche concentriche a quella data di
raggio arbitrario r.
    Per la simmetria sferica del problema E e B non possono che essere
entrambi :
 1) radiali;
 2) indipendenti dal punto sulla sfera.
   Quindi tenendo conto che i due integrali detti  sono dati
semplicemente da 4 pi r^2
 moltiplicato per E o per B dove r e' il raggio della sfera,  B e'
sempre nullo perche'
 l'integrale deve fare zero,  ed E e' quello dato istante per istante
dal teorema di Gauss
 esattamente come dice Valar, cioe' radiale e proporzionale (a seconda
delle unita' di
 misura) a  Q(r)/r^2, dove Q(r) e' la carica nella sfera di raggio r
all'istante considerato
 che puo' essere solo o tutta la carica della sfera o zero. Fine.
 La cosa interessante e' che il problema si risolve esattamente nello
stesso modo
 qualunque sia il moto oscillatorio radiale (conservando la carica
totale distibuita
 omogeneamente ovviamente).
 Si noti che il flusso di Poynting e' nullo per cui non c'e' radiazione
ma l'energia
 del campo EM (che e' tutta statica) oscilla nel tempo. Questo e' dovuto
al lavoro
 fatto dall'esterno per tenere in oscillazione radiale la sfera.
 La soluzione generale del problema e' quella data piu' una qualunque
soluzione delle
 equazioni di Maxwell senza sorgenti che come al solito si omette
perche' non e'
 determinata dal sistema.
Questo problema mi ricorda il teorema di Birkoff (chissa' piu' come si
scrive)
in relativita' generale sulle onde gravitazionali, che essenzialmente
dice che NON
ci sono onde gravitazionali  se la sorgente e' a simmetria sferica e
oscilla radialmente.
 Ciao, Valter

 
visto che comunque nel frattempo ho fatto lo scritto del dottorato di
quest'anno (a salerno) va bene lo stesso
quindi: che crepi! (grazie)


  fatto dall'esterno per tenere in oscillazione radiale la sfera.
Detta cosi` sembra che il campo E (all'esterno della sfera) vari al
variare del raggio della sfera stessa. Prima l'hai detto esplicitamente,
mentre qui potresti confondere le idee, e quindi mi permetto di
aggiungere alcuni appunti.
In realta` l'intensita` di campo E dipende solo dalla distanza del punto
in cui si valuta il campo al centro della sfera, e non varia nel tempo
anche se la sfera si gonfia e sgonfia (non si puo` avere variazione del
campo E senza avere anche variazione di H). 
L'energia del campo E varia perche', quando la sfera diminuisce di
volume, si crea campo E nello spazio lasciato libera dalla sfera, mentre
quando questa si espande, distrugge il campo dove arriva con la sua
superficie, senza pero` far variare il campo esterno.
Che E non possa variare al di fuori dalla sfera lo so vede (oltre che
banalmente dal teo di Gauss) dal fatto che se H e` nullo, il vettore di
poynting e` nullo, e non si ha emissione di energia, e quindi neanche di
informazione che possa dire in che stato e` la sfera. Se E variasse in
funzione del raggio della sfera, potrei avere informazioni sul suo
raggio senza emissione di energia.
Ciao
Franco


  Certo, la tua precisazione era esattamente quello che pensavo, mi sembrava
chiaro:
  l'energia del sisitema di cariche e'proporzionale all'integrale su tutto lo
spazio di E^2 che
  e' sempre lo stesso (dipendendo dalla distanza dal centro della sfera)
  fuori dalla sfera, mentre dentro e' nullo. Quando la sfera
  si allarga la regione dove il campo e' nullo si ingrandisce e diminuisce
   l'energia!
  Comunque se ti sembrava ambiguo hai fatto bene a replicare.
 Ciao, Valter