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Titolo: Modello di Fermi applicato ai nanotubi

Salve a tutti,
per esercizio mi sono divertito ad applicare il "modello di
Fermi" ai nanotubi di carbonio, considerati come sistemi a 2 dimensioni.
La superficie dei nanotubi di carbonio presenta l'aspetto a "nido d'ape",
formata cioe' da tanti esagoni, l'uno adiacente all'altro, in cui gli atomi di carbonio
occupano i nodi del reticolo.
Ogni atomo di carbonio e' ibridizzato sp2, cosi' che rimane un orbitale p_z
occupato da un solo elettrone per ciascun atomo di carbonio. Chiaramente questi
elettroni p_z daranno luogo a degli orbitali molecolari di tipo pi-greco estesi per tutta
la lunghezza del nanotubo.
Possiamo assumere che siano gli elettroni pi-greco gli unici a contribuire alla
conduzione elettrica di questo materiale, e quindi siano essi a risentire meno
del potenziale nucleari.
Cosi' ho applicato l'approssimazione dell'elettrone libero ai soli elettroni pi-greco,
in quanto ho pensato che per tali elettroni l'approssimazione portasse a risultati
migliori.
Per chi fosse gia' esperto e/o non ha voglia di farsi tutti i passaggi matematici,
consiglio di saltare direttamente alla fine del post.
INIZIO DEI PASSAGGI NOIOSI:
Per prima cosa scrivo l'eq. di Schrodinger indipendente dal tempo per il problema
bidimensionale in u.a.:
-1/2*nabla^2[psi(x,y)] = Epsi(x,y)
dove "psi(x,y)" e' la funzione d'onda relativa ad un singolo stato,
"E" è l'energia
Assumiamo che la coordinata "x" sia quella che scorre lungo il bordo circolare del
nanotubo, mentre "y" sara' la coordinata lungo l'asse del nanotubo.
Se il sistema fosse una scatola bidimensionale, le soluzioni particolari sarebbero della
forma:
psi(x,y) = A*sin(n_x*pi*x/L_x)*sin(n_y*pi*y/L_y)
dove:
A: coeff. di normalizzazione.
n_x, n_y: interi >= 1
L_x, L_y: lunghezze dei lati della scatola
Nel nostro caso, invece, le condizioni cicliche al contorno lungo "x" implicano che:
psi(x,y) = psi(x+L_x,y)
pertanto dobbiamo scartare le soluzioni con n_x dispari; il che porta direttamente
alle soluzioni del tipo:
psi(x,y) = A*sin(2*n_x*pi*x/L_x)*sin(n_y*pi*y/L_y)
sostituendo la funzione d'onda all'eq. di Schrodinger ottengo:
(1/2)*pi^2*(4*n_x^2/L_x^2 + n_y^2/L_y^2) = E
cioe'
(1/2)*pi^2*(4*n_x^2*L_y^2 + n_y^2*L_x^2)/(Lx^2*L_y^2) = E
cio' che ora ci occorre e' conoscere la funzione "densita' degli stati" Z(E)
per poter calcolare l'energia di Fermi allo 0 K
A tale scopo ci trasferiamo in uno spazio bidimensionale in cui ogni autostato
e' rappresentato dalla coppia di coordinate (2*n_x*L_y; n_y*L_x).
Il numero totale di autostati a cui corrisponde un'energia <= ad E sara' data dal
rapporto tra:
la quarta parte dell'area del cerchio centrato all'origine, di raggio
R=sqrt(2*E*L_x^2*L_y^2)/pi,
e l'area che contiene un solo autostato, pari a: 2*L_x*L_y
In termini matematici:
N_a(E) = E*L_x*L_y/(4*pi)
la funzione Z(E) si ottiene per derivazione della precedente
rispetto ad E:
Z(E) = L_x*L_y/(4*pi)
Cosi' il livello di Fermi  deve soddisfare la relazione:
N/2=int(da "0" a "E_f")[L_x*L_y/(4*pi)dE]
dove N e' il numero di elettroni;
da cui:
E_f = 2*N*pi/(L_x*L_y)
mentre l'energia totale E_tot:
E_tot = int(da "0" a "E_f")[Z(E)*EdE]
da cui:
E_tot = N^2 * Pi / (L_x*L_y)
Adesso notiamo come la superficie S del nanotubo sia pari a
S = L_x*L_y =  n_es * A_es
dove "n_es" e' il numero di esagoni che compongono la struttura del
nanotubo, mentre "A_es" e' l'area di ciascun esagono.
n_es = N/2  perche' c'e'  1 elettrone per ogni atomo, e ogni esagono
contiene 2 atomi, quindi 2 elettroni per ogni esagono.
A_es = 3*d*cos30
dove d e' la distanza C-C: lato dell'esagono.
Facendo le opportune sostituzioni:
E_tot = (2*N*Pi) * (3*d*cos30) = 0.9150 Ha/atomo
e
E_f = 4*pi/(3*d^2*cos30)= 0.6932 Ha
per d =1.4 Angstrom; indipendentemente dal numero di atomi del
sistema.
FINE DEI PASSAGGI NOIOSI
Innanzitutto volevo sapere se applicare il metodo di Fermi
ad un sistema simile e' stata una buona idea.
Poi mi sono chiesto se, a questo punto, in base ad una trattazione cosi'
semplicistica, potevo "stimare" l'energia dell'HOMO (orbitale molecolare
occupato di massima energia).
Per quest'ultimo scopo, io avevo pensato al seguente ragionamento:
L'energia potenziale V del singolo elettrone, nel modello di Fermi, e' per tutti
pari a zero all'interno della scatola, e vale +infinito fuori.
Di conseguenza, le energie che tiriamo fuori sono tutte Ener. cinetiche E_c.
In realta', gli elettroni Pi greco avranno un'energia potenziale media (temporale)
"<V>" < 0. Ho pensato di calcolare l'energia potenziale media servendomi del
teorema del Viriale, il quale afferma che <V> = -2*<E_c>.
Ora, poiche' l'energia potenziale e', per ipotesi, la stessa per ogni elettrone,
V = <V>/N = -2*<E_c>/N = -2*E_tot/N = -1.830 Ha
da cui, l'energia totale (V+K) del livello di Fermi varrebbe:
 E_f_tot = E_f + V = -1.1368 Ha
questa dovrebbe essere una stima dell'energia dell'HOMO
Secondo voi e' corretta una simile argomentazione?
CIao.

 psi(x,y) = A*sin(2*n_x*pi*x/L_x)*sin(n_y*pi*y/L_y)
Mi sono fermato a leggere piu' o meno qui perche' il tuo post e' lungo
e c'e' qualcosa che non mi torna all'inizio: perche' imponi condizioni
periodiche al bordo? In generale su ogni nodo del reticolo a celle
esagonali ci sono tre rami che partono, e quindi le condizioni si
possono mescolare da ramp a ramo (oltre che mescolare psi con la sua
derivata lungo x). Perche' il laplaciano sia autoaggiunto devi dare
condizioni al bordo sui nodi che possono benissimo non garantire la
continuita' o la periodicita'. (Ad esempio sui nodi potrebbero valere
condizioni alla Kirchhoff in cui che la somma delle derivate entranti
nel nodo e' zero e le psi sono continue, oppure richiedere che le psi
sono a somma nulla e le derivate sono continue,...). Invece mi sembra
che la tua scelta separi a scompartimenti stagni le celle esagonali.
C'e' una ragione fisica per tale scelta? 
Saluti.

 Saluti.

 sono saldati tra di loro due lati opposti del rettangolo.
Ok ora ho chiaro la geometria del sistrema


Cioe' tu studi il moto libero un cilindro.
Io ero interessato ai moti sul reticolo esagonale arrotolato (sistema
unidimensionale) perche' avevo equivocato il tuo sistema(sistema
bidimensionale). Adesso lo schematizzarei piu' come un cilindro con
centri diffusori elastici posizionati a nido d'ape.
Non direi pero' che gli elettroni sono liberi poiche' possono essere
diffusi nei nodi (cioe' la matrice S non sara' quella banale ma ci
sara' una ampiezza di vedere rimbalzare gli elettroni).
Saluti.

 Saluti.

 ed in via teorica l'energia dell'HOMO di un nanotubo?
Vedi quello che ho scritto appena sopra: al momento la mia risposta e'
che ... non so.
 
-- 
Elio Fabri