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Titolo: Sempre energia elastica

La nostra prof ci ha assegnato per casa un ex tratto da un libro,il cui
risultato mi sembra errato.
Un corpo di 2 Kg viene appoggiato su una molla e la comprime di 8 cm.
Successivamente viene fatto cadere da un'altezza h = 60 cm rispetto
all'estremitą superiore della molla.
Di quanto la comprime ?
Io l'ho risolto cosi :
 *  da  mg=kx  mi ricavo k          e poi eguaglio
 *   energia potenziale gravitazionale = energia potenziale elastica
ricavandomi la compressione dovuta alla caduta ,cioč
mgh= 1/2 k x^2
x= sqrt ( 2 mgh / k )
                                                                        La
prof  l'ha risolto cosi :
* da  mg=kx  si ricava k                                e poi eguaglia
* mg(h+x) = 1/2 kx^2   ad mg SOSTITUISCE  kx  ( e qui non sono
d'accordo,cosa ci azzecca la molla quando ancora č in volo ?) quindi ottiene
* x(h+x)=1/2 x^2
ottiene un'equazione di II grado la cui soluzione positiva sarebbe quella
giusta riportata sul libro.
Voi che ne dite ?
thanks-elah

 Voi che ne dite ?
Che ha ragione :-). L'uguaglianza che non ti convince l'hai scritta 
anche tu prima. Quando l'ha usata, l'ha solo fatto in termini 
"matematici": non vuol dire che la massa era ferma. Se non vuoi 
sostituire mg con kx va bene lo stesso, tanto consosci sia m che g. Con 
questa sostituzione si toglie di mezzo k, che si semplifica.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 giusta riportata sul libro.
Difficile: infatti questa eq. ha soluzioni x=0 e x=-2h,
Nessuna delle due è positiva.
Bisognava porre:
mg=k*xo [chiamiamo xo l'allungamento con il peso fermo.]
e metterla a sistema con:
mg(h+x)=1/2*k*x^2
Se fai i conti per bene vengono 40 cm esatti.
Ciao
Andrea

Hello, Franco!
You wrote  on Mon, 24 Nov 2003 21:53:39 +0100:
 ??>> * da  mg=kx  si ricava k                                e poi eguaglia
 ??>> * mg(h+x) = 1/2 kx^2   ad mg SOSTITUISCE  kx  ( e qui non sono
 ??>> d'accordo,cosa ci azzecca la molla quando ancora è in volo ?) quindi
 ??>> ottiene * x(h+x)=1/2 x^2 ottiene un'equazione di II grado la cui
 ??>> soluzione positiva sarebbe quella giusta riportata sul libro. Voi che
 ??>> ne dite ?
 F> Che ha ragione :-). L'uguaglianza che non ti convince l'hai scritta
anche tu prima.
io non sono d'accordo su questa ----> mg(h+x) = 1/2 kx^2  ma non l'ho
scritta io, semmai sono d'accordo su mg=kx  ma mi sembra logico se voglio
ottenere K(in condizioni di equilibrio)
 F> non vuol dire che la massa era ferma.
 non ho detto questo,allora...diciamo che secondo me mg(h+x) rappresenta il
lavoro che la SOLA forza peso deve compiere per spostare il corpo di
(h+x),giusto ?
Moltiplicando entro le parentesi otterremmo mgh  ED mgx .
Mi spieghi qual è il significato dei due termini ?
Cioè supponiamo di piazzare una molla lunga 10 cm in verticale sul pavimento
e supponiamo di lasciar cadere da 50 cm di altezza una biglia sulla molla.
La distanza iniziale che separa la biglia dall'estremità superiore della
molla è di 40 cm,no ?
Domanda: qual è l'energia totale iniziale della biglia ?
E adesso dimmi qual è il significato REALE di mg(h+x) ?
Per me si ha semplicemente una trasformazione di energia da potenziale
gravitazionale ad elastica, quindi da mgh ad 1/2Kx^2, cioè la molla si
carica con una energia che le viene fornita solo da quella gravitazionale
INIZIALE e il problema finisce lì.
Non capisco perchè eguagliare mg della biglia a kx della molla anche se il
corpo deve ancora cadere o non è nemmeno appoggiato alla molla ?
In condizioni di equilibrio potrei capirlo.
ho la coccia dura lo so
grazie

 * x(h+x)=1/2 x^2
Non sono d'accordo neanch'io, ma per altri motivi. Se
all'equilibrio mg = kx_eq, bisogna fare attenzione al
fatto che x_eq NON e' uguale alla x che stiamo cercando.
Sei sicuro che la prof abbia fatto questa sostituzione?
Paolo Cavallo

Sul testo "FISICA PER TEMI" di Ugo Amaldi ( per gli ITIS ), c'è il seguente
problema:
                                                           ^^^^^^^^^^^
Una sfera è appoggiata su una molla,disposta verticalmente e compressa di 14
cm.La massa della sfera è di 400 g,mentre la massa della molla è
trascurabile.La costante elastica della molla è di 950 N/m. Che altezza
raggiunge la sfera quando viene liberata la molla ?
Questo l'ho risolto applicando sempre la conservazione dell'energia
meccanica  mgh= 1/2 Kx^2     e mi viene giusto !!!!!
Se a questo punto il sistema è reversibile dovrei ritrovarmi anche col
problema da cui è nato 'sto trhead .

 ho la coccia dura lo so
Se ti danno spiegazioni sbagliate, e` il minimo che possa fare :-).
Provo a riassumere. In condizioni statiche, mg=kc  dove ho chiamato c la 
  compressione (non x, questo e` un numero, 8cm, non l'incognita che 
stai cercando). Questo ti serve per trovare k=mg/c=245 N/m
Poi l'equazione che permette di trovare l'incognita x e`
mg(h+x)=1/2 kx^2
conosci tutto (k e` calcolato prima) e ottieni il risultato.
Il motivo per cui a destra si ha mg(h+x) e non semplicemente mgh e` 
perche' mentre la massa comprime la molla, continua a variare la sua 
energia potenziale che va a finire in energia elastica.
Credo che il tuo dubbio dipenda dal fatto che tu associ una energia 
potenziale mgh alla massa, e pensi che quando questa cade, al massimo 
riesce ad "erogare" una energia pari a mgh. Questo e` vero solo se cade 
per una altezza h. In questo caso cade per un tratto maggiore (x+h), e 
la variazione di energia potenziale e` piu` grande.
L'energia e` una grandezza che dipende dal sistema di riferimento in cui 
ti metti. Perche' la h che prendi ad esempio e` quella dalla massa al 
bordo superiore della molla. Perche' non l'altezza rispetto al 
pavimento? Meglio lavorare con le variazioni di energia, non con una 
energia iniziale che non sai come definire.
Spero di aver fatto ammenda della fesseria che ho detto nel precedente 
messaggio :-(


 problema da cui è nato 'sto trhead .
Certo che ti viene giusto!
Ma in questo secondo caso tu chiami h l'altezza raggiunta a partire
dalla posizione iniziale, con molla compressa.
Nell'esercizio discusso in precedenza, h non era l'altezza di caduta,
ma soltanto la distanza fra la posizione iniziale e il livello della
molla a riposo. Raggiunto questo livello, il corpo continua a cadere,
comprimendo la molla, di una quantità x.
Naturalmente, anche nel primo caso puoi chiamare h l'altezza di caduta.
In tal caso, devi chiamare (h-x) [sarebbe (h+x)] il dato fornito dal
problema...
Il punto è che la matematica non fa alcun caso a ciò che noi intendiamo
"di solito" con questo o quel simbolo. Fa caso soltanto alle relazioni
fra i simboli.
Mi piacerebbe sapere se ora ti torna.
Paolo Cavallo

 In condizioni di equilibrio potrei capirlo.
In questo caso fai attenzione. Nel 1° problema il prof ha sostituito mg con
kx' solo per semplificare k, però x'  *non è*  l'incognita x da calcolare
bensì quella calcolata precedentemente nelle condizioni di equilibrio!!!!!
Ciao
--
Forever

  non ho detto questo,allora...diciamo che secondo me mg(h+x) rappresenta


e se invece di tutto questo dico che il corpo prima di toccare la molla ha
un'energia di...facciamo 100 Joule,di quanto si comprimerà la molla ?
Non importa da dove provengano i 100 joule,so solo che nell'istante in cui
il grave comincia a comprimere la molla ha quell'energia lì.
Di quanto si comprimerà la molla ?
grazie

 ha scritto...

Infatti, non importa da dove provengano.
Il bello dell'energia è proprio lì!
Chiamiamo E l'energia posseduta all'istante dell'impatto
con la molla.
L'energia elastica alla fine della compressione (x<0)
deve essere uguale a E più l'energia gravitazionale
persa nella caduta lungo x:
(1/2) k x^2 = E - m g x.
Fa' attenzione ai segni: a secondo membro togliamo a E
un termine che in realtà è negativo, per cui l'energia
elastica alla fine risulta maggiore di E.
Dicendo che l'energia all'impatto è E, tu in un certo
senso azzeri tutto a tale istante, ne fai il tuo punto
di riferimento. Rispetto a tale punto di riferimento,
all'istante dell'arresto l'energia è costituita da un
termine elastico [(1/2) k x^2] sommato a un termine
gravitazionale [m g x] che risulta negativo, dato che
ti trovi sotto il livello di zero dell'energia
gravitazionale.
Alla fine, ecco la tua equazione di secondo grado:
(k/2) x^2 + (mg) x - E = 0
delle cui due soluzioni ti serve soltanto quella
negativa:
x = -[mg+RadQ(2kE+m^2g^2)]/k.
OK?
Paolo

PC> L'energia elastica alla fine della compressione (x<0)
 PC> deve essere uguale a E più l'energia gravitazionale...
scusa, ma perchè sempre la gravitazionale ?
Se la molla fosse distesa su un piano orizzontale e le scagliassimo contro
un oggetto con energia 100 Joule,o in generale un oggetto di massa m con
velocità costante V o che arrivi alla molla con velocità V, come fa a
c'entrarci la potenziale gravitazionale che è sempre zero !
In tal caso io farei cosi
                        100 J = 1/2 k x^2          nel primo caso
oppure            1/2mv^2 = 1/2 k x^2     nel  secondo  caso
Se cosi va bene, allora secondo me non dovrebbe cambiare nulla anche se
l'energia arriva "dall'alto" : mg(h-L), dove h è l'altezza iniziale del
grave da terra , mentre L è la lunghezza della molla a riposo.
in tal caso io scriverei
                          mg(h-L)= 1/2 k x^2
Se invece non andasse bene,ti dico già da adesso che in giro ci sono molti
ma molti libri di Fisica per le scuole superiori che ci propinano roba di
questo tipo !
scusa se provo a...ehm...confutarti (si dice cosi ? ) facendo questi giri
intorno,io ci provo a ragionare ma forse la fisica non è per me...!

 intorno,io ci provo a ragionare ma forse la fisica non è per me...!
Al contrario, mi sembra che tu abbia un certo intuito!
Fai benissimo a porti questi problemi. Per essere onesto
fino in fondo, mi stupisce che il termine gravitazionale
a secondo membro nella 3) ti risulti tanto ostico. Ti
muovi per certi versi con sicurezza maggiore di molti
miei studenti, che accettano quel termine prontamente.
Forse il problema è non poter fare un disegno sulla
lavagna...
Al limite, scrivimi fuori newsgroup e ti mando un disegno.
Ciao,
Paolo

Ho chiesto ad un amico di mio padre che faceva Fisica ma non è arrivato a
laurearsi e mi ha prestato il libro su cui studiava.
L'autore è DAVID  HALLIDAY - ROBERT RESNICK - Fisica - Volume 1 (
Meccanica-Acustica-Termodinamica ) - 1970
*********A pagina 171 del Capitolo 8 c'è l'esercizio n°8 che recita cosi
:**********
Un blocco di massa di 2Kg è lasciato cadere da un'altezza di 0,40 m su una
molla di costante elastica k=1960 N/m.Calcolare la massima compressione
della molla (trascurando l'attrito ). Il risultato è 9cm
Facendo come penso io mi viene poco più di 8,9 cm
Ma la mia non apertura mentale proviene quasi sicuramente dall'imporre
l'eguaglianza tra l'energia totale iniziale e l'energia totale finale.
Cioè considero i due punti estremi del moto ,inizio e fine,non
interessandomi di quel che avviene "durante",anche per questo dicevo che
secondo me *non importava* la causa che comprimeva la molla,parto cioè da
una condizione iniziale di energia gravitazionale che viene ceduta alla
molla,la quale la usa per comprimersi
saluti

 molla,la quale la usa per comprimersi
Tutto questo è corretto. Il tuo errore non è qui.
L'errore che commetti sta nel credere che l'energia
del sistema all'istante in cui il blocco si arresta
sia tutta elastica.
Forse ti sei convinto che l'energia di un sistema
debba essere di volta in volta tutta di un solo
tipo. Questo è sbagliato, senza rimedio.
Dimmi una cosa: quando il blocco tocca la molla,
di che tipo è l'energia del sistema?
Se mi rispondi che è tutta cinetica, devi dirmi
che fine fa l'energia gravitazionale legata al
fatto che il blocco è ancora a una certa altezza
dal suolo su cui poggia la molla.
Potremmo rappresentare la composizione dell'energia
del sistema in vari istanti con un grafico a barre.
Mettiamo lo zero dell'energia gravitazionale alla
quota alla quale avviene il contatto blocco-molla.
All'istante in cui il blocco viene lasciato cadere
l'energia è tutta gravitazionale:
Eg  Ec  Ee
 x
 x
 x
 x
------------
A metà discesa l'energia è metà gravitazionale e
metà cinetica:
Eg  Ec  Ee
 x   x
 x   x
------------
Al momento del contatto l'energia è tutta cinetica:
Eg  Ec  Ee
     x
     x
     x
     x
------------
Al momento della massima compressione e del
momentaneo arresto l'energia è in parte elastica e
in parte (negativa, siamo sotto lo zero scelto prima)
gravitazionale:
Eg  Ec  Ee
         x
         x
         x
         x
         x
------------
 x
Come vedi, la somma è sempre la stessa, ma la
composizione varia ad ogni istante.
Se scegli lo zero dell'energia potenziale nella
posizione più bassa, quella di massima compressione,
sposti soltanto la linea dello zero, ma i grafici
non cambiano sostanzialmente:
Eg  Ec  Ee              Eg  Ec  Ee
 x
 x
 x                       -   -
 x                       x   x
 x                       x   x
------------            ------------
Eg  Ec  Ee              Eg  Ec  Ee
                                 x
     x                           x
     x                           x
     x                           x
 x   x                           x
------------            ------------
Con la seconda scelta, l'energia è tutta elastica
nel punto più basso, ma al contatto è ancora in
parte gravitazionale.
Come insegnante, considero preziosa questa discussione.
Attendo i tuoi prossimi commenti!
Paolo

 ------------            ------------
Giusto per la precisione: il secondo grafico
dovrebbe essere:
Eg  Ec  Ee
x
x   x
x   x
------------
Paolo

 PC> La risposta dipende dalla disposizione della molla,
 PC> verticale o orizzontale.
 PC> Se la molla è orizzontale (una rampa senza attrito può
 PC> far cambiare direzione al blocco) la risposta giusta è
 PC> quella indicata.
 PC> Se la molla è verticale, la risposta giusta è 10 cm.
mah...dal testo dell'ex. che recita  "Un blocco di massa di 2Kg è LASCIATO
CADERE ...", sembra che sia in posizione verticale

 ha scritto...

Allora valgono tutte le considerazioni che ho già fatto.
Paolo

PC> Allora valgono tutte le considerazioni che ho già fatto.
...però il risultato sul libro Hollyday è 9 cm e a me viene 8,89 cm,mentre a
lei viene 10 cm.
Mah, se per capire devo pensarci cosi tanto vorrà dire che la Fisica non fa
per
me !
grazie di tutto cuore e...alla prossima
e....Buon Natale e ...prosperoso 2004 !
C C C C CCCIAO  !

 e....Buon Natale e ...prosperoso 2004 !
Buon Natale anche a te.
Paolo