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Titolo: Equazione differenziale sulla condensazione

Ciao,
Ho 3 dubbi sulla equazione differenziale che governa il bulbo umido di
uno psicrometro (lo strumento che misura l'umidita'):
( Cp,aria + Um * Cp,vapore ) * dT = -[ Cp,vapore * ( Tamb - T ) +
DeltaHevap ] * dUm
Con:
Cp,aria: Capacita' termica molare, a pressione costante, dell'aria
secca Cp,vapore: Idem, vapore acqueo
Um: Umidita' molare dell'atmosfera = (N° moli vapore)/(N° moli aria
secca)
Tamb: Temberatura ambiente
DeltaHevap: Entalpia molare di evaporazione dell'acqua, alla
temperatura T
Tale strumento e' costituito da un termometro il cui bulbo e' avvolto
da una garza impregnata d'acqua.
Man mano che l'acqua evapora dalla garza, si sottrae calore al bulbo in
modo che il termometro segnali un abbassamento di temperatura.
Quando il calore assorbito dall'evaporazione e' uguale a quello
assorbito dall'ambiente esterno (per conduzione termica), la
temperatura segnata dallo strumento si stabilizza. Tale valore dipende
dall'umidita' ambiente.
Ecco i miei dubbi:
1) Tale eq. diff (che io non ho capito) si applica a che quale sistema
fisico ? Allo straterello di aria che aderisce al velo d'acqua attorno
al bulbo o a che cosa ?
2) Nel caso la mia ipotesi sia corretta, secondo voi quale e' la
temperatura di tale straterello: T, Tamb o un valore intermedio tra i
due ?
3) Riarrangiando l'equazione arrivo a:
  n(aria) * Cp,aria * dT + n * Cp,vapore * dT = -dn * Cp,vapore * (
Tamb - T ) - dn * DeltaHevap
  con n: N° moli di vapore dello straterello d'aria, supposto
variabile   n(aria): N° moli di aria secca nello straterello , supposto
costante
  In pratica ho moltiplicato ambo i membri dell'eq. originaria per n
(aria) ed ho sfruttato le relazioni:
  Um = n / n(aria)  e  dUm= dn / n(aria)    [se n(aria) e' costante].
Se ho capito bene, i 2 termini a primo membro rappresentano, insieme,
il calore necessario per far raffreddare, di dT, lo straterello d'aria
(aria secca+vapore) mentre i 2 termini a secondo membro rappresentano
il calore per raffreddare, di dT, dn moli d'acqua e successivamente per
farli evaporare.
  La mia domanda e': secondo me mancano, nell'eq. i calori scambiati
(per conduzione termica) tra lo straterello d'aria e l'ambiente e tra
lo straterello e il velo d'acqua (e quindi con il bulbo)
Voi che ne pensate ?
Grazie, Liliano
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Voi che ne pensate ? Grazie, Liliano
Penso anzitutto che spetterebbe al libro o al docente che ha proposto quella
formula il compito di mostrarne la deduzione. Un'analisi a ritroso è sempre
fastidiosa: comunque quella da te eseguita è ragionevole e condivisibile.
La formula scritta non è un'equazione differenziale (quale sarebbe la
funzione incognita?), tu stesso la interpreti come un bilancio
calorimetrico, cioè come un'applicazione del primo principio della TD:
                                       dQ + Vdp = dH
che in effetti non è un'equazione differenziale, ma afferma solo che
l'entalpia H è una funzione di stato.
Per trasformazioni AB isobare si ha:
        dQ = dH            o anche        Qab = Hb - Ha
Le trasformazioni isobare/adiabatiche sono isoentalpiche:
               dH=0          ovvero:         Hb = Ha
Il sistema deve essere chiuso, cioè non scambiare materia con l'esterno.
Dimentichiamo lo psicrometro ed esaminiamo l'asserto della formula.
Nella trasformazione isobara considerata, la variazione di entalpia (o
calore scambiato) da un sottosistema di aria umida che subisce una
variazione di temperatura dT viene eguagliata alla variazione contraria di
entalpia di un *piccolo* sottosistema di acqua che passa dalla fase liquida
a temperatura T alla fase vapore a temperatura Tamb. Dunque il sistema
chiuso complessivo è considerato isoentalpico (alias adiabatico).
Tu critichi l'adiabaticità ed in effetti la formula scritta non costituisce
certo una teoria esaustiva dello psicrometro e non permetterà mai (da sola)
di comprendere l'equilibrio TD dello strumento, tantomeno di calcolare la
temperatura di bulbo umido in funzione delle condizioni atmosferiche. Nota
che non vi è alcun riferimento alla pressione di vapore saturo, che gioca
evidentemente un ruolo fondamentale nel funzionamento dello psicrometro.
Devo chiudere e mi limito ad informarti che uno psicometro  adeguatamente
ventilato tende effettivamente a raggiungere una temperatura di equilibrio
detta Tiw (temperatura isobarica di bulbo umido), concettualmente così
definita: se nel sistema (ideale) sopra descritto la massa di acqua in fase
liquida è tale da portare per evaporazione l'aria umida alla saturazione (in
condizioni isobare  e senza scambi di calore esterni), allora la temperatura
finale del sistema è la Tiw .
La Tiw può essere calcolata eguagliando l'entalpia del sistema nello stato
iniziale a due fasi suddetto all'entalpia dello stato finale di saturazione.
Elio Proietti