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Titolo: Perche' il segno - nella definizione di en. potenziale ?

Qualcuno potrebbe spiegarmi perche' quando si definisce l'energia 
potenziale per una forza conservativa F, fuori dall'integrale compare il 
segno "-" ?
         ->   ->
U = -int(F  . ds)
E poi il lavoro W diventa uguale a -[delta]U ...
Perche' quel meno?? 
Sicuramente avra' delle ragioni, perche' non credo che uno si alza la 
mattina e si complica le formule e le definizioni con segni meno...
Grazie per eventuali chiarimenti.
Saluti,
Dan
 

 segno "-" ?
Principalmente, io credo, perche' cosi' i punti di equilibrio stabile 
sono i minimi dell'e.p.. Questo rende piu' intuitivo tale criterio (il 
modello mentale della "pallina nella buca").
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

è una conseguenza della definizione di energia potenziale. Prendiamo
l'esempio di due masse: per definizione, l'energia potenziale posseduta da
una massa è uguale al lavoro che fa la forza di gravità quando la carica
viene spostata dal punto in cui si trova all'infinito. Visto che la forza è
attrattiva, il lavoro che essa fa è negativo (la forza agisce in senso
opposto allo spostamento) e quindi è negativa anche l'energia potenziale.
Per le cariche elettriche il discorso è diverso, il segno dell'energia
posseduta da una carica dipende dal suo segno e da quello della carica che
genera il campo di riferimento.
Infatti  l'energia potenziale posseduta da una carica immersa in un campo
generato da una carica positiva sarà positiva se la carica è positiva e
negativa se la carica è negativa mentre l'energia potenziale posseduta da
una carica immersa in un campo generato da una carica negativa sarà positiva
se la carica è negativa e negativa se la carica è positiva.

 segno "-" ?
Perche' in questo modo l'energia meccanica si
scrive come una somma di due termini, invece che
come una differenza...
Paolo Cavallo

Perche' quel meno??
Temo che tu stia confondendo la funzione potenziale ( vedi nota 1) con
l'energia potenziale.
Qui di seguito dimostro il teorema di conservazione dell'energia meccanica,
così si nota quando e perchè viene introdotto il segno "meno".
In un campo di forze conservativo il lavoro L(tra in punti a e b) può essere
espresso tramite  la seguente
L,a,b  = V(b) - V(a)           V = funzione potenziale (vedi nota 1)
cioè come differenza fra i valori che la funzione potenziale V assume in b e
in a.
Ora se associamo questa relazione con L,a,b = Kb - Ka   (vedi nota 2)
che è cmq valida qualunque sia la natura delle forze agenti e che esprime il
teorema dell'energia cinetica, allora abbiamo:
Kb - Ka = V(b) - V(a)   perchè entrambe esprimono L,a,b
Ora mettiamo in relazione direttamente K e V e quindi abbiamo:
Ka -V(a) = Kb - V(b)
Ora introduciamo la funzione U(x, y, z)        (vedi nota 3)
e la definiamo come l'opposto del potenziale -V.
Cioè molto semplicemente introduciamo U = -V
E quindi al posto di -V sostituiamo U.
Ka + U(a) = Kb +U(b)
Ora siccome i punti a e b sono due punti qualsiasi questa formula sopra
la possiamo scrivere anche come
K + U = E = costante
Quindi noi abbiamo una funzione U = -V che viene detta energia potenziale
del campo di forze conservativo.
Quindi il segno meno ha la sua genesi in questa dimostrazione appena svolta.
Infatti le relazioni che legano l'energia potenziale al campo di forze sono
le seguenti:
fx = - @U/@x     fy = - @U/@y       fz = - @U/@z
E ora vediamo anche come mai ti ritrovi il segno "meno" fuori l'integrale.
Consideriamo il punto a e il punto b
U(a) - U(b) = INTa,b (fx dx + fy dy + fz dz)
Ora il punto b ha coordinate x, y, z e quindi abbiamo:
U(x, y, z) = - INTa,b (fx dx + fy dy + fz dz) + costante
Cioè siccome abbiamo definito U = -V allora riscriviamo la "funzione"
potenziale integrandola.
Ora nelle note cerco di andare più nei dettagli, dettagli che magari non
interessano altri ma che per te potrebbero essere utili.
Saluti a tutti
Franco
Nota (1)
Hai potuto notare che l'energia potenziale è spiegata sui vari testi ed è
facile da intuire di cosa si tratta, quello che invece è più ostico da
comprendere è la funzione potenziale di un campo conservativo.
Per comprendere questo bisogna studiare i campi vettoriali e quindi come si
genera una funzione potenziale. Si tratta di analisi vettoriale che dovresti
studiare nel corso di geometria e nel corso di analisi due. Bisogna
comprendere cosa è un integrale di linea per esempio. Senza queste nozioni
propedeudiche non è possibile spiegare nei dettagli cosa è la funzione
potenziale.
Ma se hai tempo e hai voglia prova a consultare Adams, Calcolo differenziale
2, nella parte finale parla proprio dei campi vettoriali ed è un libro utile
per i fisici perchè fa tantissimi esempi interessanti.
Nota (2)
Si tratta del teorema dell'energia cinetica che puoi trovare su un buon
libro di fisica 1.
Cioè, nulla di straordinario dal punto di vista matematico.
Nota (3)
La funzione U(x, y, z) è una funzione posizione, proprio perchè l'enegia
potenziale dipende dalla posizione. Ma credo che questo tu l'abbia intuito
abbondantemente studiando il tuo libro di fisica 1.

 cosě si nota quando e perchč viene introdotto il segno "meno".
....le dimostrazioni me le leggo poi con calma...
Il succo che dici mi pare di capire e' che il segno meno ha origine 
nelle dimostrazioni...
Riguardo l'integrale di linea non conosco i dettagli matematici della 
cosa, ma semplicemente me lo immagino come segue:
Tu prendi la tua linea, e la dividi in tanti segmentini. Siccome il 
segmentino e' piccolo, puoi considerare F costante sul segmentino, 
quindi ha senso fare F.ds sul segmentino. E poi si somma su tutti i 
segmentini, ottenendo il valore complessivo dell'integrale.
....Ovviamente lo svantaggio di questo mio discorso "empirico" e' che non 
ho idea di come *calcolare* un valore effettivo di quell'integrale :)
[So calcolare solo gli integrali in una sola variabile, insomma quelli 
da quinto anno del liceo scientifico piu' o meno.]
....pero' almeno il significato fisico dell'integrale di linea credo di 
averlo.
Ciao,
Dan

Perche', scusa?
CUT
In generale il lavoro dipende anche dalla traiettoria, ma ci sono casi in
cui il lavoro dipende SOLO dalle coordinate degli estremi a e b(proprio
quelli del teorema precedente). E quando questo succede si dice che il campo
di forze č "conservativo".
Il termine "conservativo" prende proprio origine dal teorema sulla
"conservazione" dell'energia meccanica.
Quindi noi abbiamo per un campo di forze conservativo la seguente:
 INTa,b  f *ds = La,b = f(a,b) (1)   N.B. f e s sono vettori. f(a,b) č una
funzione.
a ha coordinate Xa, Ya, Za, e b ha coordinate   Xb, Yb, Zb.
Un campo di forze cmq per essere conservativo deve essere stazionario.
Ma anche questa condizione non č sufficiente affinchč il campo di forze sia
conservativo. Questo perchč ovviamente il lavoro risulta diverso a seconda
della traiettoria seguita per andare dal punto a al punto b.
Ma possiamo dimostrare che se il lavoro La,b dipende solo dagli estremi a e
b cioč La,b = f(a,b) (il lavoro č funzione SOLO dei punto a e b) allora:
f(a,b) = V(b) -V(a)
cioč, molto semplicemente in un campo di forze conservativo il lavoro per
andare dal punto a al punto b puň essere espresso come DIFFERENZA tra i
valori che una stessa funzione V assume rispettivamente in a e in b.
E credo che fino a qui sia capibile(almeno spero).
Ora consideriamo un percorso all'INTERNO del campo di forze conservativo e
stazionario.
Questo percorso parte dal punto O che lo assumiamo come riferimento poi
arriviamo al punto a e poi dal punto a al punto b. (qui con un grafico si
farebbe prima: ma evidentemente ancora non ci danno questa possibilitŕ sui
ng e non capisco come si possa fare a parlare di fisica e di scienza in
genere senza poter usare grafici, ma questo č altro tema.....)
Quindi molto semplicemente il percorso dal punto o al punto a il lavoro č
Lo,a = f(o,a)
Il lavoro dal punto o al punto b č Lo,b = f(o,b)
Ora č facile capire che Lo,b = Lo,a + La,b  (se potessi fare un grafico si
capirebbe istantaneamente!!)
quindi molto sempliemente  Lo,a + La,b = f(o, b) (fa tu un grafico sulla
carta perchč č banalissimo!!).
La,b = Lo,b - Lo,a cioč  La,b = f(a,b) come gia abbiamo detto.
e quindi La,b = V(b) - V(a).
praticamente abbiamo espresso che il lavoro per andare dal punto a al punto
b č definito come DIFFERENZA tra i valori che una stessa funzione V asssume
in a e in b.
Ora se indichiamo V(p) dove p č un punto generico (questo per generalizzare
il "discorso") abbiamo la fuzione f(o,p), proprio come nei casi precedenti,
solo che ora con il punto p stiamo generalizzando il "discorso".
E siccome la funzione V di cui si parlava era ovviamente una funzione delle
coordinate, allora abbiamo V(p) che coincide con V(x, y, z).
Questa funzione č detta "potenziale" del campo di forze conservativo che
abbiamo considerato.
Il potenziale č dunque una funzione che possiamo definire a meno di una
constante additiva. Infatti quello che ha significato fisico č solo la
DIFFERENZA tra i valori che essa assume in due diversi punti e questa
DIFFERENZA resta invariata aggiungendo alla funzione una costante
arbitraria.
Ovviamente la funzione potenziale esiste solo se il campo č conservativo e
se non lo č allora non possiamo definire alcuna funzione potenziale.
E quindi per definizione la differenza di potenziale tra due punti č la
seguente:
V(b) - V(a) = INTa,b  f *ds
e vale lungo QUALSIASI traiettoria, cioč NON dipende dal percorso!!
Confronta subito con la (1), quella iniziale che si nota subito.
E se b e a coincidono il lavoro č NULLO. Cioč se nel campo di forze
conservativo il lavoro č nullo se il percorso č chiuso (andata e ritorno)
N.B puoi fare al andata usando un percorso di 1000 metri e un ritorno usando
un percorso di 100  metri.
Cioč se la distanza tra i due punti č 40 metri, tu puoi pure "allungare" il
percorso di andata "facendo curve" e quello di ritorno pure.
Cioč se pensi alla terra che č cmq un campo di forza conservativo(la forza
di gravitŕ) noti che un corpo posto ad una distanza dal suolo per es. ha una
certa energia potenziale che č diversa da quella di un corpo posto ad
un'altra distanza dal suolo e quindi il percorso non ci interessa proprio
perchč il lavoro della forza č "conservativo"
cioč l'energia potenziale che ha un corpo posto a 1000 metri dal suolo č
tale anche se per portarlo a 1000 metri facciamo un giro di kilometri.
Questo perchč il lavoro svolto in quel caso(portare il corpo a 1000 metri) č
svolto da una forza ESTERNA al sistema. E a noi in questo caso le forze
ESTERNE al sistema NON interessano.
Se lo porti verso il basso anche in questo caso l'unica forza ad agire
INTERNA al sistema č quella di gravitŕ e quindi il corpo non fa "curve" se
lasciato cadere. Cioč č diretto "naturalmente" verso il centro della terra.
Ora tutti gli ostacoli(una valanga per es.) che incontra, un pendio etc etc,
quelle sono tutte forze ESTERNE al sistema, cioč sono attriti etc etc.
Cmq il discorso non č difficile, č intuitivo.
Anche qui se potessi fare un grafico si comprenderebbe subito.
Qundi ora si capisce come mai si parla di funzione potenziale nel caso
dell'energia potenziale. Almeno spero.
Cmq io ti consiglio di guardare quei testi per approfondire l'argomento.
Penso che in biblioteca dovrebbero esserci.
Saluti a tutti
Franco
p.s. la tua formula č sbagliata, perchč mancano gli estremi di
integrazione(deve essere un integrale definito) e non puň essere U, forse
avranno scritto DELTA U  o Ub - Ua in caso contrario il manuale sbaglia!!
Per favore controlla!! E "dovrebbero" parlare di funzione potenziale, o  di
"funzione" energia potenziale. Cmq č una funzione. Per favore ricontrolla
sul libro.
E' difficile che un manuale possa sbagliare su questo argomento. Quindi per
favore controlla e facci sapere.

 f(a,b) = V(b) -V(a)
Questa V io ho capito che sia chiama *energia potenziale* (indicata da 
me con U), essa ha le dimensioni di un lavoro [joule].
Invece, ho capito che il *potenziale* e' una cosa *diversa*  
dall'energia potenziale, e si misura ad es. per il campo elettrico in 
[J/C] (lavoro/carica), per il campo gravitazionale in [J/Kg] 
(lavoro/massa).
Inoltre se ad esempio vedi la fisica di Feynman trovi che lui usa 
l'integrale indefinito [*] sia per l'energia potenziale sia per il 
potenziale, infatti secondo me questo e' in pieno accordo col fatto che 
sono definiti a meno di una costante.
[* = 14.5 "Potentials and fields"]
Dan