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Titolo: andiamo a pesca di perle?...

...giornalistiche beninteso!
A pag. 43 dell'ultimo numero di Le Scienze, due perle gustose (a scanso di
equivoci preciso che secondo me l'articolo da cui sono tratte e' interessante):
1) "Herschel e Planck [*] osserveranno infatti l'universo da una posizione
nelle vicinanze del secondo punto lagrangiano (L2), uno dei punti di equilibrio
del sistema Terra-Sole, DOVE LE FORZE GRAVITAZIONALI DEL
NOSTRO PIANETA E DELLA SUA STELLA SI ANNULLANO [**]."
2) "...l'epoca in cui si formarono le prime galassie, quando l'universo aveva
circa un terzo dell'eta' attuale. Anche se puo' sembrare strano, questo
periodo e' il meno conosciuto dell'evoluzione del cosmo, MENO NOTO
ANCHE DELLE FASI PRECEDENTI L'ORIGINE STESSA
DELL'UNIVERSO".
Note di GB:
[*] i nomi di due sonde dell'ESA.
[**] il punto L2 si trova lungo la congiungente Terra-Sole, rispetto alla Terra 
e' nella direzione opposta a quella del Sole.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 NOSTRO PIANETA E DELLA SUA STELLA SI ANNULLANO [**]."
Non c'e' nulla di strano. Esiste un punto sulla congiungente
terra-sole in cui le forze esercitate dai due corpi sono uguali e
contrarie.
ciao
Luca

 contrarie.
Ok,
ma non e' certo il punto lagrangiano L2, che si trova sulla congiungente
Terra-Sole ma rispetto alla Terra e' dalla parte opposta di quella del Sole,
(v. nota [**] nel mio messaggio precedente) quindi in L2 le forze di
attrazione gravitazionale esercitate da Sole e Terra hanno uguale direzione
e stesso verso, e' proprio grazie all'azione congiunta di queste forze di
attrazione gravitazionale che un corpo in L2 riesce ad orbitare intorno al
Sole con lo stesso periodo della Terra, nonostante sia piu' lontano dal Sole
della Terra. 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 contrarie.
Gia', pero' quello non soltanto non e' il punto di Lagrange L2 (come ha
fatto notare Giorgio Bibbiani) ma non e' neppure L1. Questo sta fra
Terra e Sole, ma le due forze di gravita' non si annullano neppure li'.
Infatti perche' un corpo possa restare in equilibrio in L1 (visto in un
sistema diriferimento che ruota attorno al Sole insieme alla Terra)
debbono annullarsi le due f. grav. *piu' la f. centrifuga*.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

A proposito di punti lagrangiani: sempre nell'articolo delle Scienze...
"Solo due dei punti lagrangiani sono di equilibrio stabile, cioe' se il corpo si
sposta dalla sua posizione vi ritorna spontaneamente. Gli altri tre sono di
equilibrio instabile: se il corpo si sposta si allontana sempre piu'"
Premetto che non sono un esperto di meccanica celeste e non conosco a fondo la
teoria dei punti lagrangiani. Arrivo a trovare i punti lagrangiani in questo
modo: mi metto in un sistema solidale con le due masse e considero la funzione
potenziale ottenuta sommando i potenziali gravitazionali delle masse e il
potenziale centrifugo. Trovo cinque punti in cui il potenziale e' stazionario,
ma in nessuno di questi il potenziale ha un minimo relativo, e cio' si puo'
dedurre dal fatto che il laplaciano di questo potenziale, laddove non e'
singolare, e' costante e negativo, quindi lo hessiano non e' mai definito
positivo avendo traccia negativa.
Il potenziale ha punti di sella nei tre punti allineati con la retta passante
per le due masse (quelli considerati di equilibrio instabile nell'articolo) e
punti di massimo relativo nei due punti che formano con le masse triangoli
equilateri (quelli dei satelliti troiani sull'orbita di Giove, considerati
stabili nell'articolo).
Secondo la mia analisi semplificata, dunque, tutti i punti sono di equilibrio
instabile, d'altronde i satelliti troiani sono ancora li', e quindi tanto
instabili quei due punti non devono essere...
Come si puo' evincere la "stabilita'" dei punti lagrangiani?
--
Giovanni Corbelli

 Come si puo' evincere la "stabilita'" dei punti lagrangiani?
Se consideriamo il potenziale sviluppato al secondo ordine intorno
al punto di equilibrio L4 (o L5) preso come origine, calcoliamo la
forza come gradiente del potenziale e introduciamo la forza di
Coriolis, troviamo che esistono soluzioni all'equazione del moto
in forma di piccole oscillazioni intorno ad L4 a condizione che
valga per il rapporto tra le masse dei due corpi la disuguaglianza
M / m >= [1 + SQRT(23/27)] / [1 - SQRT(23/27)] ~ 25,
ampiamente soddisfatta ad es. per Sole e Terra.
Direi quindi che la condizione di stabilita' vada intesa nel senso che
un corpo di piccola massa posto in L4 o L5 se per qualche ragione
si allontana di poco dalla posizione di equilibrio acquista una velocita'
non nulla e quindi a causa della forza di Coriolis inizia ad oscillare
intorno a quella posizione.
[nota: non ricordavo gran che dell'argomento, ma ho colto l'occasione
per riesumare i miei appunti di meccanica, spero che non fossero
troppo sbagliati :-)]
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Come si puo' evincere la "stabilita'" dei punti lagrangiani?
Il punto e' che ti sei messo in un rif. rotante (non inerziale, quindi)
e il criterio del minimo del potenziale non e' piu' necessario (forse
neppure sufficiente, ma non sono sicuro).
Devi rifarti alle origini: scrivere le eq. del moto, linearizzarle
attorno a uno dei punti di equilibrio, e studiare la stabilita', ossia
l'esistenza di eventuali soluzioni ad andamento esponenziale divergente
nel tempo.
Mi chiederai: non e' proprio cosi' che si arriva al criterio del minimo
per il potenziale?
In un rif. inerziale si', ma nel nostro rif. nelle eq. del moto compare
anche la forza di Coriolis, che essendo prop. alla velocita' non
influisce sulle posizioni di equilibrio, ma conta e come per la
stabilita'.
A conti fatti (puoi provare) succede che i primi tre punti di Lagrange
(quelli allineati) restano comunque instabili, mentre gli altri due
risultano stabili (pur essendo dei massimi) almeno se il rapporto delle
masse dei due primari non e' troppo vicino a 1. Non ricordo a memoria il
numero esatto, ma so che la stabilita' e' assicurata per Sole-Giove, e
anche per Terra-Luna.
Intuitivamente, quando l'asteroide tenta di allontanarsi dal punto di
equilibrio, perche' spinto da una forza che e' appunto verso l'esterno
(massimo del potenziale) la sua traiettoria viene immediatamente
incurvata dalla f. di Coriolis, e non puo' allontanarsi indefinitamente.
Il suo moto rimane quindi oscillatorio, ergo stabile.
Dico di piu': da un'integrazione numerica si vede che la stabilita' e'
molto estesa. Con opportune condizioni iniziali si puo' far muovere
l'asteroide in un'estesa regione a forma di fagiolo, fra Sole e Giove. 
Il che vuol dire che i Troiani possono oscillare parecchio in
longitudine, pur conservando un periodo orbitale medio uguale a quello
di Giove.


 ampiamente soddisfatta ad es. per Sole e Terra.
Giusto! Ecco il rapporto che non ricordavo!


NOSTRO PIANETA E DELLA SUA STELLA SI ANNULLANO [**]."
Be'.. si sta propagando, su Focus di agosto compare uguale: "Esistono
anche altri punti [diceva che a 346.000 km verso la Luna non c'e`
gravita`] intorno alla Terra, dove l'attrazione gravitazionale viene
annullata da quella del Sole: sono i punti lagrangiani e si trovano a
circa 1,5 milioni di chilometri dalla Terra".
-- 
Ci sentiamo, |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||  ==>   E-mail: 
remi...@tiscali.it
-------------|     ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
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