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Titolo: deviazione standard della media

Ho delle perplessità sulla deviazione standard della media, che mi sembra  
un gioco di prestigio matematico (mi riferisco alla dimostrazione data,  
per esempio, dal Taylor, "Introduzione all'analisi degli errori").
Io penso che la deviazione standard esprima sensatamente il concetto di  
"sparpagliamento" in una distribuzione di misurazioni, ma purtroppo essa  
non può essere assunta come incertezza della misura perché è indipendente  
dal numero di misurazioni, il che è piuttosto imbarazzante.
Per questa ragione è stato necessario escogitare un modo alternativo per  
esprimere l'incertezza di una misura in modo che essa sia funzione [1]  
dello sparpagliamento e [2] del numero di misure. La deviazione standard  
della media, appunto, cioè:
DSM = DS / N^(1/2)
Non mi sembra che ci sia alcuna necessità fisica in tutto ciò, vale a dire  
che forse, tanto per dire,
DSM = DS / N^(2/3)
potrebbe andare altrettanto bene. Mi sembra solo una questione euristica.
Sono fuori strada?
Michele Giordano

 Sono fuori strada?
A parte che usi "euristico" in modo sbagliato (come del resto e'
frequente tra i fisici ... un po' ignorantelli anche se in cattedra :)
a volte).
A parte questo, si': sei fuori strada, perche' la definizione di DSM
e' un teoremino di calcolo delle probabilita'.
Diciamo che a me torna meglio parlare di sqm (scarto quadratico medio)
piuttosto che di "deviazione standard"; il ragionamento e' questo.
Si assume che ogni misura sia una variabile casuale, con una certa
legge di distribuzione, che non e' necessario conoscere per il
seguito.
Si assume poi che le diverse misure siano variabili indipendenti con
la stessa distribuzione.
Per una var. casuale X la varianza e' *per definizione*:
Var(X) = E([X - E(X)]^2)
e si dimostra che vale anche
E(X^2) - E(X)^2
ma questo ora non importa. Lo sqm e' - sempre per definizione - la
radice quadrata della varianza.
Se ho n var. casuali come sopra: X1 ...Xn,
la media e' definita da
M = (X1 + ... + Xn)/n.
Dopo di cio', e' solo questione di un po' di algebra dimostrare che
Var(M) = Var(X) / n,
da cui
sqm(M) = sqm(X) / N^(1/2).
Piuttosto, da qualche parte troverai che e' meglio calcolare lo sqm
della media dividendo per (N-1)^(1/2) invece che per N^(1/2).
Ma questo ora non te lo spiego, per non complicare le cose...
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 ha scritto nel messaggio
news:opse66ctpalzqp1t@quintus...
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Credo proprio di sì, che sei fuori strada.
La formula DS/N^(1/2) deriva analiticamente dalla definizione stessa di
varianza.   Quindi al denominatore non si può porre nessun altro valore
all'infuori di N^(1/2). La dimostrazione è troppo complicata per essere
riportata in una mail, ma si trova in qualunque testo di Statistica (purchè
non elementare) e nemmeno troppo recente. Se non sbaglio risale agli anni
'30.
Queta formula a rigore sarebbe applicabile solo al campionamento 'con
ripetizione' cioè lo stesso elemento può essere presente nel campione da o a
N volte. Per il campionamento 'senza ripetizione' (cioè un elemento può
comparire nel campione solo una volta) la formula esatta è :
DMS=DS/N^(1/2)*((P-N)/(P-1)) dove P è la numerosità della popolazione.
Nelle formule DS è la 'deviazione standard' (brutta anglicizzazione: il
termine corretto è 'scarto quadratico medio') dell'univeros (ovviamente
sconosciuta). La formula è applicabile utilizzando lo s.q.m. del campione
'corretto', cioè dividendo la somma dei quadrati degli scarti per (N-1)
anzichè per N.
Giuseppe de Micheli

 sqm(M) = sqm(X) / N^(1/2).
Appunto: "e' solo questione di un po' di algebra". Ma io non ho chiesto  
una risposta matematica, ho chiesto una risposta fisica.
Cercherò di essere più chiaro con un esempio.
Se faccio 100 misurazioni di una grandezza G con un *certo* apparato  
ottengo una *certa* distribuzione delle occorrenze. Se calcolo lo scarto  
quadratico medio delle occorrenze esso sarà uguale a sqm(100).
L'entità di sqm(100) esprime la concentrazione di quella certa serie di  
misurazioni: se sqm(100) è piccolo si tratta di una serie di misurazioni  
molto concentrate, altrimenti sono sparpagliate.
Ma a me interessa soprattutto l'incertezza della misura, ovvero: quanto è  
sicuro il valore medio che calcolo per altra via? Potrei prendere sqm(100)  
come incertezza, però se faccio 1000 misurazioni, sempre con quel certo  
apparato, scopro che sqm(100) = sqm(1000) e questo non ha senso, perché è  
evidente che con 1000 misurazioni la misura è più precisa, dunque  
l'incertezza *deve* essere minore.
E qui salta fuori lo sqm della media. "Con un po' di algebra" si dimostra  
che sqm(m) = sqm /N^(1/2). Ma la dimostrazione argomenta considerando  
*prima* N come totale delle misurazioni eseguite (per esempio 1000  
misurazioni) e *poi* come prodotto di un certo numero di serie di  
misurazioni contenenti ciascuna un numero eguale di misurazioni (per  
esempio 10 serie x 100 misure).
Ora, io non discuto la correttezza dei passaggi algebrici, ma ripeto che  
mi sembra un gioco di prestigio matematico. Io sospetto che non ci sia  
niente di veramente necessario nello sqm della media: semplicemente  
funziona, cioè produce risultati sensati, ma la dimostrazione, di per sé,  
non mi sembra che fisicamente significhi un granché.
Michele Giordasno

 riportata in una mail
Non mi sogno neppure di discutere che al denominatore debba andare - a  
rigore di dimostrazione - altro che N^(1/2).
Ho trovato ben due dimostrazioni della formula. Ma il fatto è che mi  
sfugge il significato fisico del discorso matematico.
Il mio problema è l'incertezza da associare al valore medio. Lo sqm ? di  
per se stesso ? incorpora informazione sull'incertezza di una serie di  
misure, però esso è indipendente dal numero di misure il quale d'altra  
parte influisce evidentemente sull'entità dell'incertezza.
Mi piacerebbe avere una risposta su questo punto: non è un po' paradossale  
questo fatto?
Michele Giodano

 questo fatto?
Non sono sicuro di aver capito bene i tuoi dubbi, per cui, molto
probabilmente, la mia risposta non li risolverà.
Credo che il nodo della questione stia nella propozizione: "incorporano
informazioni sull'incertezza".
Media, varianza, sqm non incorporano nessuna informazione. Non sono
nient'altro che 'caratteristiche' del campione, come lo è qualunque altro
'momento dalla media aritmetica' ricavato dal campione. La metodologia
statistica di cui stiamo parlando si dice 'induttiva' proprio perchè cerca
di trarre 'conclusioni' sulla intera popolazione, dai dati 'osservati' sul
campione (che è solo 'una parte' della popolazione).
Se credi alla legge di Murphy sei autorizzato a credere che i valori
osservati siano 'i più bassi' (o i più alti, come preferisci) presenti nella
popolazione. Ma questo non ti porta a nulla, solo al macerarti
nell'elucubrazione "ma quanto sono sfigato". Se invece ragioni, dovrai
domandarti: siccome ho osservato una  media aritmetica M e uno s.q.m. S in
un campione di numerosità N, che probabilità ho che, nella popolazione da
cui deriva il campione, la media sia M(u) e lo s.q.m. S(u)? Rispondendo a
questa domanda otterrai una funzione delle probabilità associate ad ogni
valore di M(u) e S(u). Siccome questa funzione è poco operativa, per gli
scopi pratici si usa rovesciare la domanda: 'in che intervallo cadranno le
media 'vera' e lo s.q.m. 'vero' della popolazione con probabilità del 68%,
95%, 99.7% (o altri valori a piacere)?
Puoi raggiungere la sicurezza operativa o col calcolo analitico (le
dimostrazioni che dici di conoscere) o con l'evidenza sperimentale,
campionando e misurando ripetutamente la tua popolazione: con un foglio di
Excel puoi tranquillamente ottenere tutti i campioni ricavabili da una
popolazione, e poi calcolare medie e varianze campionarie, nonchè media e
varianza della distribuzione delle medie campionarie.
In parole povere: se il mio campione è costituito da due soli elementi la
probabilità che essi siano gli elementi estremi (i più alti o i più bassi)
della popolazione è piuttosto bassina. Se il campione è costituito da 3
elementi la probabilità che siano i 3 elementi estremi è ancora piùì bassa,
e diventa ancora più bassa se il campione è costituito da 10, 50, 100
elementi.
G. De Micheli

 quella della "bibbia" ;-)
Forse è considerato una bibbia se si parla di teoria elementare degli
errori con variabili monodimensionali, ma non certo per lo studio della
statistica un po' più avanzata, in particolare di distribuzioni a più
dimensioni che introducono allo studio dei problemi inversi
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

Michele Giordano ha scritto:
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Non capisco cosa ci trovi di paradossale. La statistica è una scienza che,
come la matematica, descrive situazioni ideali. Dopodiché nella realtà
fisica ci si accontenta spesso di stime di parametri e stime dell'errore
associato che teoricamente, se certe ipotesi statistiche fossero
esattamente verificate, dovrebbero essere attendibili con una certa
probabilità. È poi arbitrio del ricercatore accontentarsi di
un'attendibilità al 60%, 90% o 98%. Questa soglia dipende probabilmente
dal tipo di misura: infatti mentre c'è chi si accontenta di un'incertezza
al 67% per la stima della lunghezza di un tavolo, credo che la stessa
persona non starebbe così tranquilla se sapesse che ha una probabilità del
99% di sopravvivere fino al giorno dopo.
Ma torniamo a noi: la dev. standard è l'intervallo centrato sulla media
entro il quale al 67% ci si aspetta, in caso di distribuzione normale e di
indipendenza delle misure di trovare la prossima misura. La dev. standard
della media è invece l'incertezza da associare alla media, che è la nostra
stima di una grandezza dopo averne eseguito n misure. Tale incertezza, a
differenza della dev. standard, dipende direttamente dal numero di misure
(decresce proporzionalmente a radice quadrata di n) e ci dice che la media
è tanto più precisa quanto più misure eseguiamo della grandezza in
questione. Per n tendente a infinito la media tende a diventare
infinitamente precisa, ovviamente se vi sono soltanto errori casuali e
distribuiti in modo normale.


 non mi sembra che fisicamente significhi un granché.
Ha anche un significato statistico, cosa che altre stime definite a
casaccio potrebbero non avere. Se poi ritieni che la dev. standard della
media non abbia significato fisico allora non capisco perché dovrebbe
averlo la media o la dev. standard


 informazioni sull'incertezza".
Sono d'accordo.
Farei perciò un passo per volta, provando a chiarire bene solo questa  
idea, tanto per cominciare.
Anzitutto il problema: voglio misurare una grandezza e associargli una  
incertezza. Tutto qui. Questa grandezza è soggetta solo ad errori casuali,  
indipendenti fra di loro. In simboli:
G = vpa +/- i
cioè: la grandezza (G) verra espressa dal valore più attendibile (vpa) più  
o meno l'incertezza (i) da associare al valore più attendibile.
Faccio due serie di 1000 misure di G con un cronometro con sensibilità  
0.01 s. La prima serie è eseguita a mano, la seconda usando delle  
fotocellule.
Mi sembra evidente che la prima serie darà risultati più incerti della  
seconda. Questo fatto può essere messo qualitativamente in evidenza  
osservando la distribuzione delle occorrenze: nel primo caso avro un  
istogramma molto piatto, nel secondo caso avrò un istogramma con un picco  
molto pronunciato.
Se calcolo lo sqm(1) della prima serie e lo sqm(2) della seconda serie  
ottengo che
sqm(1) > sqm(2). Ho quantificato - in prima battuta - l'incertezza.
Questo è quello che intendo per "incorporare informazione  
sull'incertezza". Lo sqm, infatti, mi dà un'informazione numerica riguardo  
a quando sono sparpagliate le misure attorno al valore più frequente.
Fin qui va bene?
-- 
Michele Giordano

 la stessa distribuzione.
Intendo dire che in queste ipotesi (e solo in queste ipotesi) puoi
dimostrare, ma puoi anche verificare emnpiricamente, che la media di N
misure ha una distribuzione meno sparpagliata delle misure singole.
In parole povere e imprecise, che gli errori casuali che agiscono
sulle singole misure "tendono a compensarsi" sulla media.


 Fin qui va bene?
Direi di sì. Lo sqm dà informazioni solo sulla tolleranza naturale del
processo di misura. Ma nessuna su eventuali scarti sistematici (differenza
fra media vera e media stimata).
G. De Micheli

 riconducibile a questo modo di procedere.
Mia deformazione professionale, mi sono occupato lungamente di controllo
statistico di qualità. Non accontentandomi delle semplici 'formulette
risolutive' ho cercato anche di approfondire la teoria, ma il vizio
d'origine (le applicazioni pratiche) rimane.
G. De Micheli

 fra media vera e media stimata).
Adesso faccio l'ingenuo e dico che "mi accorgo" che le due distribuzioni  
discrete delle occorrenze registrate vengono entrambe approssimate  
abbastanza bene dalla funzione analitica (semplificata per comodità)  
y=exp(-x^2/2p^2), proprio come la funzione (semplificata per comodità)  
y=exp(-px) approssima per esempio la quantità di carica di un condensatore  
che si sta scaricando.
Il parametro p determina in entrambi i casi due famiglie per entrambe le  
curve: scarica più o meno rapida nel caso del condensatore; distribuzione  
più o meno ampia nel caso delle misure ottenute.
Ma nel caso delle misure, p non è soltanto un parametro della curva, esso  
è anche un punto ben preciso della curva stessa, perché si dimostra  
facilmente che in corrispondenza di +p e -p, rispetto all'asse di  
simmetria della curva, vi è un flesso. E' stato naturale assumere questa  
"maniglia" della curva come punto notevole e caricarlo di significato.
Scusa se mi fermo qui, ma mi sembra che questo thread abbia già troppa  
carne al fuoco.
Quello che vorrei sottolineare, però, è che non c'è nulla di aprioristico  
(nel senso buono del termine, cioè di "teorico") nel mio discorso. Ho  
fatto delle misure, ho "escogitato" una funzione pedinatrice della loro  
distribuzione, ho osservato attentamente la funzione.
Forse non condividi questo approccio, forse lo consideri sbagliato. Oppure  
posso proseguire?
Michele Giordano

 abbastanza bene dalla funzione analitica (semplificata per comoditŕ)
allora abbiamo cambiato campo? Adesso siamo alla approssimazione di
funzioni? Non capisco piů qualěč l'argomento del ... contendere.
G. De Micheli

> Non capisco più qualìè l'argomento del ... contendere.
L'argomento è questo:
1. è opportuno associare una incertezza al valore più attendibile di una  
serie di misurazioni;
2. lo scarto quadratico medio esprime bene l'entità dello sparpagliamento  
di una serie di misurazioni che riflette a sua volta l'incertezza del  
valore più attendibile;
3. si potrebbe allora essere indotti ad usare lo sqm per esprimere  
l'incertezza;
4. ma lo sqm non diminuisce con il numero delle misurazioni, mentre  
l'incertezza deve diminuire con il numero delle misurazioni; questo è  
imbarazzante.
5. allora, secondo me, qualcuno ha tirato fuori dal cilindro lo sqm della  
media che incorpora il numero di misurazioni; è un'idea sensata, ma la  
dimostrazione matematica è solo un gioco di prestigio.
Michele Giordano

Vedo che dopo tutto quello che e' stato scritto non ti sei smosso
dalle tue idee.
Quindi mi pare inutile continuare.


 Quindi mi pare inutile continuare.
Perbacco, credo che potrei dire anch'io la stessa cosa. Però non la dico  
(e soprattutto non la penso). Dico invece questo.
Ho la sensazione di non essere riuscito a comunicare il "tipo" di problema  
che mi sono posto. Era un problema del tipo: "va bene la teoria, ma in  
buona sostanza che senso ha la formula X?".
Se volevo una risposta da manuale a un problema teorico andavo su  
alt.sci.math.statistics, non chiedevo a dei fisici. Forse, però, per fare  
una domanda "ingenua" ma non sciocca bisogna chiamarsi Amaldi che nel  
lontano 1970 chiese a uno studente di che colore è un elettrone. Pazienza,  
io mi chiamo semplicemente
Michele Giordano

 ha scritto nel messaggio
news:ckrojo$1mbe$1...@newsreader2.mclink.it...
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mi associo
G. De Micheli