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Titolo: luminosità di una immagine

Ci riprovo ;-)
Immaginiamo di rappresentare una immagine per mezzo di una funzione reale di
due variabili reali, x e y.
I(x,y) è la funzione che ad ogni punto dell'immagine associa un valore di
luminosità.  In termini di fotoni mi viene da dire che prendo una porzione
di superficie della mia immagine, la luminosità totale sarà legata al numero
di fotoni emesso. Al tendere a zero della mia area, anche il numero di
fotoni tenderà a zero, visto che in un intervallo di tempo finito devo avere
una emissione di energia finita. Per ogni punto, quindi, non posso definire
la luminosità, ma - sia chiaro - ciò dovrebbe essere vero solo se considero
il punto nel senso matematico del termine: cioè prorpio qualcosa di
infinitamente piccolo. Se però mi limito a pensare ad una area
sufficientemente piccola, allora potrò definire un valore di luminosità per
ciascuno di questi "punti"  di estensione finita. Oppure dovrei ricorrere ad
una grandezza che mi dia,per ogni punto la densità di fotoni emessi per
unità di superficie (e di tempo).
Se prendo, poi, una "manciata" di fotoni provenineti da un determinato
"punto" e li divido per frequenza, otterrò lo psettro e quindi
l'informazione cromatica relativa a quel punto.
Tutto corretto fin qui?
Adesso chiedo a voi qual è la corrispondente interpretazione del fenomeno da
un punto di vista classico.
Pensiamo quindi ad un quadro o ad una immagine proiettata su uno schermo: da
un punto di vista strettamete fisico, cosa dovrebbe essere I(x,y)?
In questo contesto mi viene da pensare che innanzi tutto dobbiamo fissare un
istante di tempo t. Congelato il tutto al tempo t, I(x,y) avrà un certo
valore per ogni coppia ordinata (x,y).  Bene. Mi viene anche spontaneo
pensare che così facendo ho preso, a livello della superficie dell'immagine,
una "sezione" del campo EM che da essa "promana".Però a ben pensare anche
vero che attraverso quella superficie passa anche la luce che incide
sull'immagine, illuminandola.
Insomma: è chiaro: non ho capito come interpretare in termini di
elettromagnetismo classico quanto esposto sopra in termini di fotoni.
Grazie

 elettromagnetismo classico quanto esposto sopra in termini di fotoni.
In realta' non l'hai capito neanche i termini di fotoni, perche' fai
confusione tra luce che arriva, luce emessa, luce diffusa...
Purtroppo la parola "immagine" e' polivalente, e facilita la
confusione.
Quindi sarebbe bene focalizzarsi su un esempio concreto e
particolare: suggerisco lo schermo del monitor che hai davanti.
Quello schermo *emette* luce, ed e' di quella che dobbiamo occuparci.
In termini di fotoni per te e' semplice, quindi non mi ci soffermo.
E in termini di campi e.m.?
Si puo' isolare, come hai fatto prima, una piccola porzione dello
schermo, e considerare la luce emessa da quella porzione.
Se consideri per es. una semisfera centrata in quel punto, potrai
misurare istante per istante (molto in linea di principio) i valori di
E e B in ogni punto della sfera, calcolare il vettore di Poynting,
integrare per ricavarne il flusso.
Questo ti da' l'emergia emessa per unita' di tempo dalla porzioncina
di schermo che hai scelto, ossia un valore della tua I(x,y).
Mi fermo qui prima di considerare altri problemi che tanto sicuramente
solleverai tu ;-)
 
-- 
Elio Fabri

 di schermo che hai scelto, ossia un valore della tua I(x,y).
Bene.
0) è ragionevole pensare che istante dopo istante questo valore (I(x,y)) 
cambi anche se l'immagine sul monitor appare sempre costante? Cioè è una 
necessità legata al campo che "oscilla"?
1) è ragionevole applicare questo modello anche ad una sorgente secondaria? 
Una superficie illuminata?
2) considerando che in (x,y) arriverà anche luce dalle altre restanti parti 
della stanza, i valori di B ed E in ogni punto della semisfera come ne 
risentiranno?
3) infine: lascinado i fotoni ed il modo che io avevo pensato per calcolarmi 
lo spettro, qual è il modo attraverso il quale calcolo lo spettro ora che ho 
solo I(x,y) nel senso da te spiegato?
4) se I(x,y) riflette l'energia emessa nell'unità di tempo dalla porzioncina 
(x,y), in che modo esprimere l'intensità in termini di fotoni? Hai spigato 
altrovo, non so a chi, che uno stesso numero di fotoni può avere energia 
diversa a seconda della banda di freq. dei singoli fotoni: è vero? Allora 
l'intensità non riflette il numero di fotoni emessi nell'unità di tempo, ma 
piuttosto l'energia "associata" ad un insieme fotoni emessi nell'uinità di 
tempo. Giusto?
Grazie mille 

 ad un insieme fotoni emessi nell'uinità di tempo. Giusto?
Puoi mettere in relazione l'intensita' col numero di fotoni solo se
conosci la distribuzione spettrale.
Allora, se chiami N(x,y,f) la distrizuzione spettrale del numero di
fotoni, e I(x,y,f) quella dell'intensita', puoi dire che
I(x,y,f) = h*f*N(x,y,f)
e se vuoi i numeri totali devi integrare su f.
In certi casi pratici, almeno per una stima si puo' fare una cosa piu'
semplice.
Per es. sappiamo che la luce del Sole (fuori atmosfera ha un netto
massimo a 500 nm, ossia f = 6e14 Hz, che in energia da' 4e-19 J.
Sappiamo che su 1 m^2 di superficie arrivano 1400 J/s, e dividendo hai
il numero medio di fotoni: 3.5e21 fotoni/m^2/s (salvo errori).
 
-- 
Elio Fabri

 situazioni.
detto cosě se non ci mette nemmeno un numero sembra
  che l'indeterminazione renda le righe spettrali
  cose di indeterminazione infinita..
invece l'indeterminazione diventa (nei fotoni atomici)
 dell'ordine della spaziatura dei livelli energetici
 solo in alcune condizioni (fine/iperfine, alti-numeri quantici)
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 e se vuoi i numeri totali devi integrare su f.
Ossia: se integro tra 350 e 365 nm I(x,y,f), ottengo l'energia emessa
nell'unità di tempo attraverso la semisfera centrata in (x,y) e
"trasportata" dalle sole armoniche che occupano l'intervallo continuo di
frequenze prima specificato? Se è così è meraviglioso!!! :-)
In termini di fotoni, per avere lo stesso risultato, devo vedere in ogni
intervallino di freq., in cui posso suddividere l'intervallo di 15 nm
considerato, quanti fotoni sono stati rivelati nell'unità di tempo.
Moltiplicare la loro energia hf_c (con f_c il valore centrale
dell'intervallino) per il numero di fotoni rivelati, e sommare i risultati
ottenuti per ciascun intervallino.
Ed ottengo lo stesso valore di prima (ovvio anche qui integrerei:
ho parlarto di intervallini per semplicità, visto che con fourier ottengo
direttamente uno spettro continuo (se non periodicizzo il segnale: giusto?),
mentre nel caso dei rivelatori, devo partire da un istogramma e 
"lisciarlo").
E' tutto giusto?
Solo tre domandine:
1) quale metodio ottico* fa quello che descrivo più sopra?
2) dimmi qualcosa di telegraficissimo, ma come si misura E in ogni punto
della semisfera?
3) perchè in queste cose B non lo pensa mai nessuno?
Grazie davvero.
PS: grazie alla tua chiarezza siamo a + dell'80% del "lavoro" che mi ero
prefissato di fare in questo thread (credevo che solo dopo molti post avrei
capito quello che invece -credo- di aver capito già). Sai cosa ti chiederò
dopo (il restante 20%: ti prego, fa un ultimo sforzo!)? Una precisazione
sulla risoluzione spaziale e sulla TdF di I(x,y) per avere lo spettro delle
freq, spaziali.
Grazie

 e se vuoi i numeri totali devi integrare su f.
Ossia: se integro tra 350 e 365 nm I(x,y,f), ottengo l'energia emessa


 l'intensita' coi diversi filtri; che in sostanza e' la stessa cosa.
Tu  parli di intensità e di flusso interscambiabilmente: ma sono la stessa
cosa? Io avevo capito che il flusso riguarda tutta una superficie sferica
(nel ns. caso semisfericas), mentre l'intensità riguarda le singole
direzioni. Usando dei filtri, ad esempio (ma questo vale anche nella misura
di tutti i fotoni che attraversano la semisfera nell'uinità di tempo), non 
si
dovrebbe misurare solo la luce che dal punto (x,y) si "muove" lungo la
direzione in cui è posto il rivelatore? O è possibile otticamente "prendere"
tutta la luce che esce dalla semisfera ( e solo quella)?
Grazie
PS. Grazie ancora. Adesso aspetto buono buono le risposte ai due messaggi.

 (fine/iperfine, alti-numeri quantici)
Si', ma per es. per i fotoni che provengono dal Sole la storia e'
diversa, visto che sono stati emessi prevalentemente i processi di
Bremsstrahlung (nello spettro solare le righe sono di assorbimento,
quindi non interessano per il nostro discorso.
Qual e' lo stato quantistico di un fotone di Bremsstrahlung?
Onestamente non lo so...
 
-- 
Elio Fabri

 stessa cosa?
Non so se ho fatto questo, ma se l'ho fatto non volevo :-)
Confesso che non tengo sempre a mente tuta la terminologia, e non sono
neppure sicuro che esista uno standard ben consolidato.
Vedo pero' che almeno nell'uso astrofisico si chiama intensita' la
potenza per unita' di area e di angolo solido (che arriva quindi da
una data direzione).
Invece si chiama densita' di flusso la potenza per unita' di area
integrata su tutte le direzioni di provenienza.
 
-- 
Elio Fabri

 integrata su tutte le direzioni di provenienza.
Ecco, anch'io sapevo questo. Il flusso riguarda la luce che attraversa tutta 
la semisfera, l'intensità implica il discorso di direzione.
Ad ogni modo è ovvio che tutto quello che abbiamo detto per le misure di 
potenza, sia in termini di fotoni che di onde E.M., si possa riferire anche 
non a tuita la semisfera, ma solo ad una determinata  parte individuata da 
un preciso angolo solido.
Abbiamo visto, finora, che ci sono due modi di fare uno spettro (se ci 
limitiamo ai fotoni). Un primo modo è fare un istogramma che mi dice 
nell'unità di tempo, quantio fotoni vengono rivelati per una certa stretta 
banda di freq. Posso anche esprimere il tutto ponendo uguale a 1 il totale 
dei fotoni rivelati ed esprimendo l'altezza di una colonna dell'istogramma 
come freq. relativa. Ovvio che bisognerà considerare a tal fine anche 
l'efficienza quantica, punto per punto, dei rivelatori utilizzatì. Mi pare 
che questa sia una normale procedura di calibrazione dello spettro. Se non 
si conosce la sensibilità spettrale dei rivelatori, si potrebbe calibrare su 
uno spettro noto.
Ad ogni modo questi sono spettri "statistici", nel senso di distribuzioni 
statistiche. Poi si può passare nel continuo, ecc....ma sempre tali restano.
Poi cìè un secondo tipo di spettro. quello in cui, partendo dal precedente, 
moltiplico il numero di fotoni rivelato per ogni intevallino di freq. per la 
loro energia hf_C, con f_c, la freq. centrale dell'intevallino.
Queste due categorie hanno
E' tutto giusto? Queste due categorie hanno nomi che le distinguano? Qaundo 
si trovano in  rete spettri solari, a quale in genere ci si riferisce dei 
due tipi?
E' corretto dire che l'integrazione dello spettro di Fourier (quadrato 
dell'ampiezza) calcolato da E(t) in un punto della semisfera va a sua volta 
integrato lungo tutta la superficie della semisfera e motliplicato per una 
costante che, se non erro, dovrebbe essere il reciproco dell'impedenza 
intrinseca?
Infine: è corretta questa affermazione che facevo prima?
****
I(x,y,f) è il flusso luminoso attraverso la semisfera
per ogni lunghezza d'onda (in realtà I(x,y,f) dovrebbe essere pittosto una
densità di
flusso, nel senso che il suo valore per ogni singola lunghezza d'onda è
zero, mentre bisogna integrare I(x,y,f)  su f per avere il flusso attraverso
la
semisfera per una determinata banda).
*****
Grazie

 *****
Ho perso il filo: chi era I(x,y,f) ?
Scusa, ma devi tenere presente che io non interagisco soltanto con
te...
 
-- 
Elio Fabri

 Ho perso il filo: chi era I(x,y,f) ?
E' una funzione da te introdotta che per il punto (x,y) e per una data 
lunghezza d'onda dà il valore della intensità. Io affermavo, in riferimento 
ad essa, quanto sopra, chiedendo conferma a te.
Grazie tante 

 punti che non siano (x,y)?
Aggiungo solo una cosa, in modo da poter chiudere questo capitolo. Mi 
verrebbe da dire che centrando una semisfera di dimensioni a piacere su un 
punto (x,y), in ogni punto della semisfera sia possibile misurare 
(idelamente, almeno) i valori di E e B per ciascuna direzione. Ossia, se 
prendo  un punto P della semisfera, posso "isolare" i valori di E e B legati 
al campo che proviene da (x,y) da quelli provenienti datutti gli altri punti 
inclusi nella circonferenza della semisfera, ed anche di quelli legati alla 
luce emessa da qualsiasi altra sorgente al di fuori della semisfera (sia 
appartenente allo stesso piano su cui poggia la semisfera (un quadro, un 
monitor, ecc), sia situati in altri punti dell'ambiente. Dal punto di vista 
dell'elettromagnetismo è corretto questo (idelamente)? Insomma, io mi 
imbroglio un po' quando si tratta di parlare di campi sovrapposti. E' ovvio 
che mi mancano basi di elettromagnetismo: ma non voglio assolutamete 
spingermi oltre in questa "selva oscura", mi interessa solo quello che 
emerso dal discorso iniziato in questo thread e che ho sopra sintetizzato.
Grazie. 

 qualsiasi altra sorgente al di fuori della semisfera
Bene, vediamo di sistemare questo problema della direzione.
Pero' consentimi di cambiare scenario, perche' mi pare che questo
aiuti a chiarire il problema.
Tu guardi il cielo stellato, e invece di farci le riflessioni che ci
faceva Kant :) ti metti in testa di misurare il campo e.m. della luce
che proviene da una precisa stella, separandolo da quello dovuto alle
altre stelle.
Mi chiedi: come si fa? sia da un punto di vsta pratico, sia da quello
teorico.
La risposta sta in quello che gia' ti avevo detto: usa un telescopio.
Da un punto di vista pratico, e' ben chiaro che il telescopio produrra'
nel suo piano focale tante immagini reali delle stelle. Se queste sono
ben separate, potrai piazzare un rivelatore in modo che prenda solo la
luce di una stella, ed e' fatta.
Dal punto di vista teorico, e' lo stesso: considera l'area occupata
dallo specchio del telescopio. Misura E(x,y,t) dove ora x,y sono
coordinate sullo specchio. Calcola la trasf. di Fourier spaziale
tridimensionale, in x,y,t.
Una data componente e(kx,ky,w) individua la luce che arriva da una
precisa direzione e conuna precisa frequenza: il vettore di
propagazione e' (kx,ky,w/c).
Di conseguenza |e(kx,ky,w)|^2 ti da' la distribuzione spettrale della
luce di quella particolare stella, e se la vuoi tutta, non hai che
da integrare su w.
Domanda che anticipo: dunque il telescopio fa una trasf. di Fourier?
Risposta: si'.
Pero' e' una TdF limitata alla sua area, e quindi non puo' dare
risoluzione infinita: infatti i telelscopi hanno un dato "potere
risolutivo" teorico, ossia anche nelle  ondizioni migliori possibili
non potranno separare stelle troppo vicine.
 
-- 
Elio Fabri

 aiuti a chiarire il problema.
Aggiungo una cosa: il cambiamentio di scenario è stato utilissimo, comunque. 
Ma mi ha fuorviato per una ragione: nel caso delle stelle il telescopio 
isolando la luce che ne illumina lo specchio da una determinata direzione, 
ha di dfatto isolato la luce che proviene da una stella. La stella, infatti, 
invia raggi paralleli fra loro e c'è una equivalenza direzione=stella (o 
direzioni=stella, se consideriamo qualcosa di non puntiforme, come il sole). 
In ogni caso non vi saranno due stelle (se abbastanza distanziate) che 
illumineranno un solo punto dello specchio con raggi aventi la stessa 
direzione. Ma la mia povera porzioncina sotto la semisfera, se inquadrata 
con un telescopio, invierà raggi fra loro non paralleli (da ciascun punto di 
cui si costituisce). Sul piano che passa per la focale, cioè, in ogni punto, 
si mescolerà luce proveniente da un mare di punti della "scena" non 
appartenenti alla mia porzioncina: sara tutta la luce che incide con una 
stessa direzione sullo specchio, ma provverrà da punti tutti diversi. E ciò 
solo perchè la luce che raggiunge lo specchio proveniendo da un singolo 
punto della porzioncina, non sarà parallela, ma divergente. Insomma, se 
prendiamo un fascio di raggi *tutti* con una specifica direzione (e cioè tra 
loro paralleli)  e stimao parlando di sorgenti non infinitamente distanti, 
stiamo allora parlando di luce che non può provenire da un solo punto.
Spero di aver spiegato meglio quello che non ho capito.
Grazie 

 da integrare su w.
Vediamo cosa ho capito. Ti dico subito che l'anello debole della catena è 
non aver compreso *come* si identifichino le varie direzioni.
Una lente o uno specchio fanno una TdF perchè pur ricevendo, in ogni punto 
della loro superficie, luce da più direzioni, riescono a separare la luce 
proveniente da ciascuna di esse. In realtà questi dispositivi, mi verrebbe 
da dire, dopo la TdF, ossia la fase di separazione, fanno anche in modo che 
la luce proveniente da ciascun punto dell'ambiente venga fatta convergere in 
un solo punto dell'immagine che formano.
Sul piano teorico, prendo E(x,y,t) per il tempo t su una qualsiasi 
superficie attraversata dalla luce (il vetro della mia finestra, la mia 
cornea, una porzione di una piano ideale, ecc). Su questa superficie arriva 
luce da tutte le parti. Infiniti punti della scena illuminano l'intera 
superficie. Se faccio la TdF di siffatto segnale, ottengo uno spettro delle 
ampiezze, le cui componenti elementari sono armoniche tridimensionali 
descritte da e(kx,ky,w). Questa grandezza cosa mi dà? Tu dici: la luce di 
freq. w che arriva da una precisa direzione. Ma che intendi con "direzione"? 
La luce che viene da una stella è un fascio di raggi paralleli che ha una 
precisa direzione, ok.
Ma se consideriamo sorgenti non infinitamente lontante, i raggi provenineti 
da ogni punto della scena, non sono paralleli e quidi non raggiungono la 
superficie con la stessa direzione. No, non ho ben capito.
Grazie,
Angelo. 

 dell'immagine che formano.
No, guarda, non devi fare questa distinzione.
In realta' lente o specchio non sono che dispositivi per fare una TdF
in modo analogico.
Hai due piani da considerare: uno e' quello della lnete o specchio
(tecnicamente, dovrei dire la "pupilla d'entrata"). L'altro e' il
piano immagine (piano focale).
Se consideri due sistemi di coordinate: (x,y) nel piano dello
specchio, (kx,ky) nel piano focale, si vede che il campo nei punti del
piano focale danno la TdF del campo nei punti della pupilla d'entrata.
Percio' TdF e saparazione sono tutt'uno.
Un'altra notazione: mi sembrava implicito, ma ora lo dico
esplicitamente, che per ragionare su queste cose bisogna abbandonare
il modello dell'ottica geometrica (raggi) e pensare invece alle onde.
Per es. da una stella ti arriva un'onda che puoi a tutti gli effetti
considerare piana.
 
-- 
Elio Fabri

 considerare piana.
Indubbiamente
Senti Elio, io non posso far altro che ringraziarti per tutto il 
preziosissimo aiuto che mi stai dando. So che devi dividerti tra tanti 
thread ed ognuno porta via tempo.
Così, per concludere questo thread, sto preparando un post (non lungo) che 
riassume nella maniera migliore (per le mie possibilità) i punti salienti 
del discorso "luminosità". Quando lo posterò, ti prego di leggerlo. Sto 
facendo in modo che contenga solo affermazioni chiare e nette, in modo che - 
se tutto corretto - ti possa costare il solo tempo della lettura e di 
qualche telegrafico "OK", "Si", "no".
Poi prometto che sparisco per un "ampio" intervallo di tempo prima di 
arrivare al "dunque" con un altro thread ;-) Il "dunque" sono i riusltati 
degli esperimenti che sto facendo sulla spettroscopia con reticolo di 
diffrazione: sto ottenendo alcuni risultati, ma a me non piace l'"empirismo" 
e così vorrei continuare a porre qualche indispensabile base teorica alle 
cose che faccio. E poi non dimensticare che - anche se involontariamente - 
l'idea dello spettroscopio me l'hai data tu quando parlammo di collimazione 
:-). Ho fatto tutto artigianlmente, forchè i reticoli in trasmissione, 
ovviamente (costati pochissimo), e la fenditura che mi ha svuotato il povero 
salvadanaio (soprattutto perchè viene da oltreoceano, da una ditta che 
tratta surplus).
Quindi...non mi abbandonareeeeee......
Grazie mille.

 Perfetto.
Speriamo tu possa dirlo anche di questo ultimo post conlcusivo :-), un 
po'...lunghetto (e per me faticosissimo), ma estremamente lineare (almeno 
nei miei intenti).
Ho una porzioncina A di 1/10 di mm^2 che irradia luce (non riflette, irradia 
proprio) A e che è centrata nel punto (x0,y0) della superficie S che non 
irradia, nè riflette in nessun altra porzione della sua estensione: è tutta 
nera e non riceve luce da nessun'altra parte della stanza perchè è tutto 
buio. Prendo una semisfera F ideale e la centro in (x0,y0).
Definisco i valori di E in ogni punto della semisfera e calcolo il vettore 
di P. Ne integro il modulo medio (dimensioni: densità di potenza)  sulla 
superficie della semisfera (di raggio a piacere) ed ottengo il flusso che da 
A promana nello spazio attraverso la semisfera F. Ha le dimensioni di una 
_potenza_.
Chiamo I(x0,y0) questo flusso relativo ad A (che ha centro in (x0,y0), che è 
anche il centro della sfera F). Ora, ogni punto di F è attraversato  dalla 
luce che parte da ogni punto di A e non solo dal punto centrale (x0,y0); e 
al tendere a zero della estensione di A, il flusso tende a zero. Il sipario 
cala e la stanza rimane davvero nel buio più pesto! :-)
Per misurare una parte di questo flusso, quello cioè che investe una 
superficie R, ad es. esterna (e non appartenente) alla semisfera, uso una 
lente che occupa R. La luce che viene focalizzata dalla lente su uno schermo 
è la luce che viene da tutti i punti di A (e non solo da (x0,y0)) e che 
investe la superficie R occupata dalla lente. Se ripeto questo discorso in 
varie direzioni, posso misurare approssimativamente tutto il flusso che 
viene da A, cioè: I(x0,y0).
Uso un telescopio...
Alla mia porzioncina A (l'unica "luminosa", per ora) della scena 
corrisponderà una sola porzioncina coniugata A' la cui intenistà luminosa 
(totale, integrata su tutte le comp. spettrali) sarà la stessa che se 
integrassi direttamente il (modulo medio del) vettore di P. sulla intera 
superficie della lente R: cioè l'intensità luminosa che raggiunge il 
telescopio dalla sola porzioncina. Nonche la stessa intensità che se 
integrassi lo stesso vettore per i valori di campo E (sempre medi) misurati 
questa volta sulla semisfera
(che abbiamo ipotizzato non "a contatto" con R) limitatamente però alla 
porzione di superficie (di F, la semisfera) individuata dall'angolo solido 
che ha il vertice nella porzioncina (l'unica illuminata nella stanza, sia 
chiaro - sennò questo discorso non è più valido) e la base nello specchio o 
nella lente del
canocchiale. Lo stesso risultato lo si ottiene, matematicamente,  _partendo_ 
dalla trasformata di Fourier del segnale E(x,y,t), riferito sempre alla 
superficie R. Si può così fare matematicamente quanto un telescopio fa 
fisicamente in maniera analogica. E possibile, scegliedo l'intervallo di 
freq. su cui integrare, anche calcolare la potenza (flusso) associata ad una 
precisa  banda spettrale della luce che promana da A e che investe R.
Warning!
Penso che potremmo calcolare la TdF di E(x,y,t) anche riferendoci a tutta la 
superficie S, prescindendo dalla sua forma (semisferica). Il risultato 
dovrebbe permetterci di calcolare, per una data banda spettrale, la luce che 
proviene da tutta A, ignorando quella proveniente da altre aree, interne od 
esterne alla semifera (e quindi anche calcolare direttamente I(x0,y0), se ci 
riferiamo a tutto lo spettro).
In effetti anche ottica+CCD di uno scanner o di una fotocamera (o 
dell'occhio umano) fanno la stessa cosa (misurando ciioè il flusso lumonoso 
solo in poche direzioni.
Sul piano focale (CCD o retina) verrà formata,infatti,  una immagine 
coniugata dell'ambinete il cui flusso luminoso sarà "letto" da un sensore, 
ma che
sarà lo stesso che proviene da ciascuna porzioncina dela scena, ma 
limitatamente alle direzioni che permettono alla luce che emana da ogni 
punto della stessa, di investire la superficie della pupilla d'entrata del 
sistema considerato.
Prendiamo adesso E(t) in un punto della sfera, trasformiamo con Fourier: 
otteniamo lo spettro della luce in quel punto. Elevando al quadrato lo 
spettro delle ampiezze ed integrando il risultato su tutte le f, ottengo 
(dopo aver moltiplicato per le giuste costanti) la densità di flusso in quel 
punto di F (che dovrebbe coincidere con il modulo del vettore  - medio - di 
P. in quel punto). Certo, posso integrare su una banda più ristretta per 
avere la densità di flusso, in ogni punto di F, legata ad un range più 
ristretto di frequenze. Anche in questo caso E(t), nel punto P della sfera 
F, ha un valore finito _solo_ fino a quando è finita la estensione di A. Se 
A coincidesse con il punto (x0,y0) e fosse "matematicamente" essa stessa un 
punto, emetterebbe una quantità nulla di luce.
Integrando quanto ottenuto dalla  precedente TdF (di E(t))  su tutta la 
superficie della semisfera, si ottiene ancora una volta I(x0,y0). (NB.: quel 
"quanto ottenuto" si riferisce non al risultato della TdF, ma a quello che 
da esso abbiamo ricavato elevandone i moduli al quadrato ed integrando su 
tutte le f.).
Ora immaginiamo di aggiungere altre porzioncine luminose accanto ad A: B e 
C, di estensione di pochi decimi di mm^2 ciascuna. Immaginiamo che B sia 
all'interno
e C all'esterno della semisfera centrata sempre ancora in (x0,y0). Ora, i 
valori di E nel punto P della sfera F, quelli del vettore di P., ecc, 
"risentiranno" (sovrapposizione di campi)
anche della luce (magari spettralmente diversa) che promana anche da B e C.
Io, adesso, voglio rieffettuare le stesse misure di prima (il vettore di P, 
I(x0,y0), la TdF di E(t), ecc), ma voglio operare in modo tale da 
considerare ancora solo una volta la porzionicna A. Cioè voglio isolare da 
E, in ogni punto della sfera, quella sola parte che è "prodotta" da A.
Bene! Devo soltanto sfruttare una preziosa informazione che posso ottenere 
dalla TdF prima vista (di E(x,y,t): la direzione della luce. In questo modo 
dovrò selezionare solo la porzionicina coniugata A' sul piano focale del mio 
telescopio. O, matematicamente, limitare il mio interesse alla sola luce che 
proviene da A (centrata in (x0,y0).
Concludo questo parte del riassunto con una osservazione. Se la luce che 
giunge sul punto P della sfera F *non* proviene *solo* da A, è evidente che 
la TdF E(t) nel puinto P non mi permetterà di giungere allo spettro della 
luce emessa solo da A, nè alla densità di flusso associata ad una specifica 
banda spettrale (sempre di A). La TdF di E(x,y,t), però, mi permetterà non 
solo di isolare - da una superficie arbitraria che riceve luce da ogni 
parte - la sola luce che le giunge da A, maanche di conoscere lo spettro 
della luce che proviene da A e la frazione di potenza, raccolta dalla mia 
superficie arbitraria, associata ad una data banda spettrale (di provenienza 
sempre da A).
***********
E se pensiamo ai fotoni? Beh...in pratica è un po' la stessa cosa. Posso 
usare lenti per selezionare la luce della porzioncina A, usare rivelatori 
per valutare il numero dei fotoni, elementi dispersivi per separare le 
diverse lunghezze d'onda, ecc. Se N(x,y,f) è la distrizuzione spettrale del 
numero dei fotoni rivelati, e I(x,y,f) quella dell'intensità ricercata, 
posso dire che:
I(x0,y0,f) = h*f*N(x0,y0,f)
e se voglio i numeri totali devo integrare su f:
N(x,y,f) la possiamo ottenre fittando i dati di rivelazione, direi. Nel 
continuo, direi, questa funzione ha le dimensioni di una "densità di 
fotoni": N° fotoni/frequenza. In modo che un numero di fotoni si possa 
ricavare solo dall'area sottesa a siffatta distribuzione. L'area in un punto 
è zero e così zero è il numero di fotoni emessi con una _precisa_ lunghezza 
d'onda.
Questo in pratica. Ma in teoria? Non lo so! Lo chiedo a te con una domanda 
secca che non merita più di una risposta secca. ;-)
Domanda: siamo partiti dalla conoscenza di E in fuzione del tempo e dei 
punti dello spazio. Non ci siamo posti il problema di come ottenere 
E:abbiamo solo detto che in teoria si possono fare delle valutazioni e che 
in pratica si possono fare delle stime. E' possibile affermare lo stesso in 
MQ? Cioè: si può giungere _teoricamente_ agli stessi risultati a cui siamo 
giunti con l'EM classico partendo da una qualche valutazione teorica o stima 
pratica, chessò, degli stati dei fotoni, delle funzioni d'onda, ecc.?
Probabilmente bisogna valutare le cose in temrini probabilistici, ma credo 
che su un grosso numero di fotoni dovremmo ritrovarci con i conti 
"classici".
Grazie di tutto.

 che proviene da tutta A,
Volevo dire "tutta la luce che proviene da A", cioè "in ogni direzione e a 
qualunque freq.".
Chiedo scusa.
Grazie
Angelo 

 fotoni dovremmo ritrovarci con i conti "classici".
In realta' la relazione tra la descrizione ondulatoria e i fotoni e'
piu' sottile: non e' solo questione di probabilita'.
Considera che le onde classiche hanno anche una fase, che e'
essenziale per tutto: non solo per l'interferenza, ma anche per la
formazione delle immagini nel nostro telescopio.
Ora accade una cosa che prob. ti sconcertera': se prendi uno stato
del campo e.m. con un numero di fotoni definito, la fase del campo
e' *completamente indeterminata*.
Grosso modo, tra fase e n. di fotni vale una relazione
d'indeterminazione.
Una conseguenza e' che la migliore approssimazione quantistica
all'onda classica e' quello che si chiama uno "stato coerente", in cui
il numero di fotoni ha una larga distribuzione (di Poisson) con
precise relazioni di fase tra gli stati con numeri diversi.
Solo al limite, per onde molto intense (moltissimi fotoni) questa
incompatibilita' si attenua.
 
-- 
Elio Fabri

 incompatibilita' si attenua.
Anche qui domanda secca: siamo partiti dalla conoscenza di E in fuzione del 
tempo e dei punti dello spazio. Non ci siamo posti il problema di come 
ottenere E:abbiamo solo detto che in teoria si possono fare delle 
valutazioni e che in pratica si possono fare delle stime. E' possibile 
affermare lo stesso in
MQ? Cioè: si può giungere _teoricamente_ agli stessi risultati a cui siamo 
giunti con l'EM classico partendo da una qualche valutazione teorica o stima 
pratica, chessò, degli stati dei fotoni, delle funzioni d'onda, ecc.? 
Ignorando cioè l'elettromagnetismo, e partendo solo dalla MQ si può giungere 
teoricamente a valutazioni su intensità, spettro, ecc?
Grazie ancora,
Angelo. 

 Eh no, invece e' necessaria... Vedi dopo.
Provo a buttarmi... :-)
Con un telescopio riprendo una scena all'infinito, ma non puntiforme. *Ogni* 
punto di questa scena invia un fascio di raggi paralleli con diversa 
direzione. Cioè al mio specchio arriva una onda piana per ognuna delle 
infinite direzioni che la luce percorre dalla scena allo specchio.
Faccio la TdF di E(x,y,z) a livello dello specchio: una data componente 
e(kx,ky,w) individua la luce che arriva da una ed uan sola precisa direzione 
e con una precisa frequenza: ossia questa grandezza mi dice quant'è la luce 
che proviene da un preciso punto all'infinito, ad una precisa freq. Di 
conseguenza |e(kx,ky,w)|^2 mi da' la distribuzione spettrale della luce 
proveniente da quella particolare direzione, e se la voglio tutta, non ho 
che da integrare su w. Ma che dimensioni ha il risultato di questa 
integrazione? Mi verrebbe da dire una densità di potenza: ossia una quantità 
che bisogna cmq integrare su tutte le direzioni che individuano una porzione 
finita di scena, anche piccolissima (come una stella), per avere la 
*potenza* che realmente raggiunge lo specchio da quella porzioncina.
Devo cioè integrare questa quantità anche sulle diverse direzioni che 
provengono da una porzioncina finita della mia scena (e non da un solo punto 
nel senso metematico del termine), per avere tutta le luce che da una area 
finita della scena giunge sul mio specchio. Cioè, ci tengo a sottolineare 
che la stella non è un punto nel senso "matematico" del termine, ma è così 
piccola che (solo) approssimativamente può ritenersi che da essa la luce 
arrivi con _una_ sola direzione.
Ma se predniamo il sole...beh...le direzioni diventano molte e bisognerà 
integrare lungo le varie direzioni che la luce che proveniente da punti 
diversi del sole percorre.
Sei il sole divenisse sempre più piccolo, queste direzioni si 
"restringerebbero" sempre più, e, al tendere a zero delle dimensioi del 
sole, tenderebbe a zero anche la luce che da esso ci giunge. Ora da una 
stella non ci giunge una quantità nulla di luce, quindi una stella è 
puntiforme solo rispetto ai nostri limiti di risoluzione, ecc, ma non può 
matematicamente ritenersi che la luce che proviene da essa segue _una_ sola 
direzione.
E' corretto?
Grazie 

 ha scritto nel messaggio 
news:4djotnF...@individual.net...
Non si può avere tutto dalla vita, lo so :-), ma potresti dare una occhiata 
agli ultimi due post di questo thread??
news:De3dg.532$
y01...@tornado.fastwebnet.it
news:smcdg.896$
y01...@tornado.fastwebnet.it
Te ne sarei infinitamente grato!
Grazie 

 E' corretto?
Direi di si', pero' mi rimane un dubbio...
Insomma, e' la tua solita difficolta' con gli integrali? :-)
 
------------------------------
Elio Fabri
c/o Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 Insomma, e' la tua solita difficolta' con gli integrali? :-)
Vedi sopra :-)
Ciao 

 E' sbagliato?
Non e' sbagliato, ma continuo a pensare che tu abbia qualche problema
col concetto d'integrale...
Prendiamo una semplice f(x): se la integri su un intervallino ottieni
l'area finita sotto la curva tra quelle due ascisse.
Se fai tendere a zero l'intervallino, l'area va a zero. Ovvio, no?
Pero' la funzione e' perfettamente definita, anche se in un ceto senso
la potresti interpretare come "area relativa un intervallo di ampiezza
nulla" :-)
 
-- 
Elio Fabri

 nulla" :-)
Sì, ma io la intendo diversamente: la f(x) in un punto ha delle dimensione 
del tipo A/B, dove B sono le dimesnioni di x. In questo modo l'integrale che 
è una somma di prodotti, ha le dimensioni fisiche di A.
Quando parlammo dello spettro di potenza, dicemmo che le ordinate non erano 
una "potenza", ma una "potenza/frequenza". Solo in questo modo le dimensioni 
dell'area sottesa alla curva spettrale potranno essere "potenza".
Tornando all'obiettivo...
...mi aspetto perciò di avere una una funzione da integrare sulla direzione, 
di dimensioni "potenza/angolo solido": 1 watt per ogni grado di angolo 
solido (non saprei bene, adesso, come altro definire il concetto) ad 
esempio. Questa funzione mi dice che avrò una potenza finita _solo_ quando 
avrò considerato la luce che viene da tutta una infinità continua di 
direzioni (attraverso una integrazione) che individuano una certa porzione 
di scena posta all'infinito (visto che si parlava di stelle).
Però non mi sognerei di dire che da _una sola direzione_ e cioè da luce 
tutta idealmente parallela, possa raggiungermio una potenza finita. E men 
che meno che questa potenza possa essere quella che per detta direzione mi 
dà la mia funzione. La quale, ripeto, come anche il vettore di P., a me 
sembra dire: gurda Angelo che in questo punto "passano" 10 watt per metro 
qudro: questo è qualcosa di ben definito. Ma mi ricorda anche che se l'area 
è nulla, la potenza è anch'essa nulla e non vedo (e chiedo a te di 
spiegarmelo) il senso che potrebbe avere sostenere che in quel punto la 
potenza è definita, anche se è definita come "potenza (nulla) che attraversa 
un'area nulla"
Non so se riesco a spiegarmi.
Precisamente, però, quale dovrebbe essere la funzione da integrare a cui mi 
riferisco senza però ben individuarla? Come cioè confezionare una funzione 
che abbia le dimesnioni di una potenza riferità ad una direzione.
Grazie

 direzione.
Non riesco mai a ricordare i nomi di queste grandezze, ma l'unita' di
misura e' watt/steradiante.
Che cosa intendi con "confezionare"? A partire da che?
 
-- 
Elio Fabri

misura e' watt/steradiante.
OK, perfetto. Questo lungo thread (molto interessante per me), vorrei che lo
chiudessi tu con un commento a quanto segue.
La ragione per cui ho introdotto questa benedetta necessità di integrare
sulle direzione, nasce da una semplice considerazione.
Ipotizziamo un mondo in cui non esista la diffrazione e dove, quindi, i
fasci paralleli posso regnare sovrani senza subire divergenze nel loro
cammino, nè quando attraversano il bordo del sistema da cui originano, nè
quando quando attraversano quello di un telescopio posto ad anni luce di
distanza.
Io credo, IMHO, che un fascio siffatto, seppur teoricamente perfettamente
descritto da un'onda perfettamente piana, alla quale può benissimo essere
associata una energia finita, in realtà sia una idealizzazione
irrealizzabile, anche in un siffatto mondo ideale.
Perchè?
Perchè penso che un tale fascio, se incidesse su uno specchio esente da
aberrazioni, focalizzerebbe in un solo punto (nel senso matematico del
termine), ed in questo vi sarebbe una densità di potenza infinita.
Perchè penso, anche, che se il fascio di luce che giunge da una sorgente
posta all'infinito debba essere davvero perfettamente parallelo, allora la
sorgente deve essere davvero puntiforme (non una stella, quindi, ma un vero
punto geometrico), e da tale sorgente non può irradiare una quantità finita
di energia nell'unità di tempo.
Perchè penso, infine, che se si pensasse di trattare come perfettamente
paralleli i raggi provenienti da ogni punto del sole, e si pensasse altersì
di poter assegnare ad ogni fascio che entra nel telescopio una energia (e
quindi potenza) finita, come è quella che si calcola, sui libri, per un'onda
piana, allora è evidente che nel telescopio, entrando luce parallela da una
infinità di punti della sorgente estesa "sole", entrerebbe una potenza
infinita.
Allora credo che perchè si possa ottenere una energia finita dal risultato
dell'integrazione sulle direzioni, è importante che la quantità di energia
(o potenza) associata alla luce che proviene da un singolo punto
(geometrico) sia zero, ma che per ogni singola direzione ci sia una densità
di potenza finità, in modo che una potenza finita la si possa avere solo
considerando un intervallo continuo di direzioni (proprio come si può
affermare che è nulla la potenza di una singola armonica di uno spettro
continuo, e potenze finite si possono solo associare ad intervalli di
frequenza).
Poi, nella pratica, non credo che si ricorra solo a questa integrazione
sulle direzione, almeno per sorgenti approssimativamente puntiformi come le
stelle, nel qual caso, considerare la luce da esse provenienti come onda
perfettamente piana ed associare ad essa la potenza teorica di un onda
piana, credo sia una approssimazione ragionevole.
E' ovvio che erò tale approssimazione implica che ci si debba accontentare
di una serie di assunzione valide solo in maniera altrettanto approssimata:
- la stella sta davvero all'infinito e non "solo" a x anni luce
- la stella è davvero un punto, ma:
- un punto può essere anche l'area "piccolissima, ma finita" che essa occupa
sul piano focale del telescopio o della retina.
Bene, grazie ancora di tutto. E' stato un piacere allargare i miei ristretti
orizzonti con questa discussione sulla luce.
A presto...

misura e' watt/steradiante.
OK, perfetto. Questo lungo thread (molto interessante per me), vorrei che lo
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