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Titolo: commutatori e problemi agli autovalori


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Subject: commutatori e problemi agli autovalori
Date: Sun, 18 Jun 2006 06:23:11 -0700
Salve a tutti.
Mi affido alle vostre menti per risolvere un problema che mi sta
tormentando in questi giorni.
Studiando un po' i cristalli fotonici mi sono imbattuto nella teoria
degli operatori che mi ha creato un po' di grattacapi. Il maggiore è
il seguente e ve lo espongo.
Ho 2 operatori  A e B che operano su un campo vettoriale H.
Sapendo che i 2 operatori sono commutativi, dunque che il commutatore
[A,B]= 0,vorrei sapere se è vero quanto segue:
 io cerco l'autofunzione H  del seguente  problema agli autovalori:
B(H) = k* H  ,  per un certo autovalore k fissato.
E' forse vero che l'autofunzione H in questione è la combinazione
lineare delle autofunzioni H' che risolvono A(H')= m* H' per un
qualsiasi valore di m?
Cioè, detta H1 l'autofunzione tale che: A(H1)= m_1+ H1;
        detta H2 l'autofunzione tale che: A(H2)= m_2+ H2;
    .
..........................................................................
        detta Hn l'autofunzione tale che: A(Hn)= m_n+ Hn;
        (in cui m_1, m_2, m_3,m_n...possono essere diversi tra loro)
è vero che posso scrivere H (che risolve  B(H) = k* H) come
combinazione lineare di H1,H2,...Hn ( in cui con H1,H2,Hn intendo
l'insieme di tutte le autofunzioni di A(H')= m* H', ciascuna
eventualmente con un autovalore m diverso)?
A me sembra di aver intuito che è vero, ma non riesco a dimostrarlo!
Spero di essere riuscito ad esporre il problema con sufficiente
chiarezza. Ringrazio in anticipo chiunque mi risponda (eventualmente
anche con un'indicazione di dove posso trovare la dimostrazione!)
Ciao a tutti,
Massimiliano

 eventualmente con un autovalore m diverso)?
Si è vero, ma questo non richiede la commutabilità di A e B: se A è
un'osservabile allora dispone di un set completo di autostati (per
definizione stessa di osservabile); ciò vuol dire un qualunque vettore dello
spazio vettoriale (quindi anche un autovettore di B) può essere espresso
come combinazione lineare di quegli autostati (che in pratica sono una base
dello spazio vettoriale).
Se A e B commutano, un autovettore di A è anche autovettore di B (e
viceversa):
A|A> = a|A>  ---> B|A> = b|A>
Ciao
Mauro

 A|A> = a|A>  ---> B|A> = b|A>
Questo direi che in generale non e' vero (sarebbe vero se le
osservabili fossero non degeneri).
Ad esempio pensa all'operatore impulso p=id/dx e all'operatore che ne
e' il quadrato p^2=-d^2/dx^2 (su R senza curarsi dei problemi di
dominio) con il quale commuta [p,p^2]=0: detti |k> e |-k> autovettori
di p agli autovalori k e -k si ha che il vettore
|A>=|k>+ |-k>
e' autovettore di p^2 all'autovalore k^2
p^2|A>=k^2|A>
ma non e' autovettore di p infatti
p|A>=k(|k> - |-k>).
Piuttosto direi che e' possibile trovare un'insieme completo di
autovettori simultanei dei due operatori.
Saluti, Brando.

 A|A> = a|A>  ---> B|A> = b|A>
Questo invece in generale non e' vero.
Se per A ha un autovalore degenere, possono benissimo esistere
autovettori di A che non sono autovettori di B.
La sola cosa vera in generale e' che se A e B commutano allora hanno
una base di autovettori comuni.
 
-- 
Elio Fabri