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Titolo: Equazioni Maxwell

La formulazione integrale e quella differenziale sono equivalenti? E
perchč? Qualche libro affronta il problema? Finora ho trovato solo
risposte insoddisfacenti.

No, non sono equivalenti: quelle integrali portano piu' informazione.
Ti faccio solo un esempio. Nel caso elettrostatico, da rot E = 0
non puoi concludere che E ammette sempre un potenziale.
Puoi  dedurne l'esistenza solo in regioni semplicemente connesse.
Viceversa, dalla corrispondente equazione integrale (in
elettrostatica):
integrale su C di  E prodotto scalare dx = 0
dove C č un cammino chiuso _arbitrario_ e l'integrale č quello
curvilineo,
deduci immediattamente che E ammette sempre potenziale.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 No, non sono equivalenti: quelle integrali portano piu' informazione.
Ne approfitto per buttare li' una provocazione su di un argomento 
lasciato sempre piuttosto oscuro:
Come mai la forma integrale della legge di Faraday a volte non vale?
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

Ciao, non ci sono condizioni di tipo differenziale/locale in
aggiunta a  rot E=0
che equivalgano all'esistenza di un potenziale.
La presenza di "buchi" nel dominio (buchi di forma cilindrica)
non è una situazione "locale".
Si possono aggioungere condizioni non locali, del tipo che
l'integrale lungo una curva attorno a ciascun buco sia zero.
Questa in aggiunta a rot E=0 assicura che il campo E
ammetta potenziale.
In realtà per fare i pignoli, la condizione rot E =0 implica
l'esistenza del potenziale in regioni semplicemente connesse
quando E è differenziabile con derivate prime continue.
La condizione di circuitazione nulla che appare
nelle equazioni di maxwell in forma integrale richiede invece
molto meno: basta  che il campo E sia continuo.
Ciao, Valter

Ciao, è la prima volta che sento questa cosa (forse mi dovrei
vergognare dato che ho tenuto anche il corso di esercizi di Fisica II
per alcuni anni quando ero al dipertimento di Fisica).
Mi puoi spiegare meglio la questione? Sembra interessante.
Ciao, Valter

 per alcuni anni quando ero al dipertimento di Fisica).
Dovrei vergognarmi di piu' io, visto che elettrodinamica la insegno da 
un po' ed ancora non sono convinto di avere una risposta soddisfacente 
al problema :-)
La questione comunque e' semplice. Si tratta dei casi in cui non e' 
possibile definire un circuito vero e proprio perche' la corrente non 
scorre in canali ben definiti. Nel Feynman per esempio c'e` un paragrafo 
proprio intitolato "Eccezioni alla regola del flusso", con due esempi. 
Il primo (quello con le due "D") mi lascia francamente assai perplesso, 
ma il secondo sembra sensato, e l'ho trovato anche altrove (per esempio 
nel Griffiths cap. 7.1).
Forse sarebbe piu' appropriato dire non che la legge in forma integrale 
non vale, ma che non e' applicabile a tutti i casi. Come risposta 
minimale puo' anche andare, ma non mi lascia del tutto soddisfatto. Che 
fine ha fatto l'equivalenza tra le forme differenziale ed integrale? Se 
e' sempre valida, come fa a non valere la regola del flusso? E se non e' 
valida, come si caratterizza questa non equivalenza?


Grazie Enrico, appena ho tempo vado in biblioteca a guardare sul
Feynman o sul
Griffiths.
Ciao, Valter

Ciao, ho dato un'occhiata al Feynman, al primo esempio quello del disco
di rame che ruota nel campo magnetico della calamita.
Secondo me stiamo parlando di due cose diverse. Feynman dice che
il galvanometro rileva una corrente pertanto c'è una fem indotta.
Non lo metto in dubbio. Tuttavia questo NON significa, secondo me,
che se prendi una linea chiusa, e ferma, che intersechi come vuole
il sistema l'integrale del campo elettrico lungo questa curva sia
diverso
dallla derivata temporale del flusso di B attraverso la curva.
L'equazione di Maxwell in forma integrale corrispondente è comunque
valida.
Il punto è: come si calcola la fem indotta in questo caso?
Ovviamente non potrà essere l'integrale del campo elettrico su tale
curva,
ammettendo che un aparte della curva coincida con il circuito dato dal
filo
che passa attravero il galvanometro.
Purtroppo non ho tempo per pensarci anche se ne avrei voglia, e non
capisco
bene come considerare il campo elettrico dentro al disco: il disco lo
assumo
con resistenza o senza  (con un disco  superconduttore rileverei la
corrente 
nel circuito?) e se questo abbia rilevanza.
Ciao, Valter

Quello del disco di rame che ruota nel campo magnetico (immagino fosse
uniforme per semplicità) della calamita è un classico esercizio di
elettromagnetismo.
In pratica si raggiungeva una situazione di equilibrio in cui,
supponendo che nel disco di rame ci siano elettroni mobili, la forza
risultante tra campo elettrico e forza di lorentz del campo magnetico
è esattamente uguale alla forza centripeta.
Usiamo le coordinate cilindriche, B è uniforme e diretto lungo l'asse
z (ortogonale al disco). Cerchiamo il profilo di E(r) (vista la
simmetria del sistema e la situazione di equilibrio che vogliamo
ottenere, E sarà diretto lungo r).
Per un elettrone l'equazione di equilibrio è:
\[
 - e\left[ {E(r) + \omega rB} \right] =  - m_0 \gamma (\omega r)\omega
^2 r
\]
E quindi E(r) sarà pari a:
\[
E(r) = \frac{{m_0 }}{e}\left[ {\omega ^2 \gamma (\omega r)r - \omega
Br} \right]
\]
Integrando da r=0 a r otteniamo la differenza di potenziale tra i due
estremi.
Se vogliamo trovare la densità di carica:
\[
\rho (r) = \varepsilon _0 \frac{{\partial \left[ {E(r)r}
\right]}}{{\partial r}}
\]
A dire il vero quello che ho considerato non è un disco, ma un
cilindro di altezza infinita (trascuro gli effetti di bordo). Ora non
ho voglia di stare a calcolarlo, ma ci sarebbe da controllare se
effettivamente la carica globale del clindro sia nulla, se supponiamo
che il cilindro abbia raggio finito R oppure raggio infinito.
Comunque vedete che in effetti si forma una differenza di potenziale

OOOPS scusate mi ero dimenticato che non ha senso il caso del disco se
consideriamo il campo uniforme in tutto lo spazio....l'esercizio che
avevo visto anni fa supponeva che il disco fosse un semicerchio e che
il campo B fosse uniforme in una metà dello spazio, e nullo nell'altra
metà....scusate se vi ho fatto perdere tempo

 di rame che ruota nel campo magnetico della calamita.
Il disco con contatti striscianti che ruota nel campo magnetico e' il 
"generatore omopolare di Faraday".
Se B e' perpendicolare alla superficie del disco, la tensione indotta
prelevata alle spazzole e' omega*r^2*B/2, dove r e' il raggio del disco.
Ciao

 Ciao


Comunque riguardo l'equivalenza di formulazione integrale e
differenziale, se pensiamo che le equazioni di maxwell regolino il
campo elettromagnetico in tutto lo spazio, e che tutto lo spazio si
può considerare vuoto (infatti i campi nei dielettrici e nei materiali
magnetici possono essere visti come campi influenzati da distribuzioni
continue di dipoli elettrici e magnetici nel vuoto), allora si ha che
le due formulazioni sono equivalenti.

Ciao, certo se lavori in tutto lo spazio vuoto o con densità continue,
dato
che R^3 è semplicemente connesso rot E=0 implica l'esistenza del
potenziale.
Però uno potrebbe considerare delle cose tipo delle bacchette
strettamente unidimensionali, infinitamente lunghe e uniformemente
cariche...
E' vero che nella realtà non possono esistere, però nella realtà non
esistono
nemmeno le ditribuzioni continue di carica.
In ogni caso tutta la questione è abbastanza "accademica".
Ciao, Valter

Mi ricordo qualche questione del genere nei problemi di elettrostatica
a fisica 2.
Quindi vediamo se ho capito bene: supponiamo che il mio spazio S sia
R^3 MENO un "buco" cilindrico di altezza infinita. In tutto S ho
rot(E)=0, però se volessi avere un campo conservativo dovrei almeno
avere la condizione al contorno che la circuitazione di E lungo la
frontiera (la circonferenza che delimita il cilindro) sia nulla,
altrimenti potrei avere ad esempio un campo simile al campo magnetico
di un cilindro indefinito percorso da corrente, che ha rot(B)=0 nello
spazio vuoto non occupato dal filo, ma non è affatto conservativo
(infatti se la frontiera è proprio il cilindro conduttore, la
circuitazione sul suo bordo è pari a mu*flusso di corrente).
Non spuntava qualcosa del genere anche con le equazioni del campo D al
bordo dei dielettrici...mah ho ricordi così vaghi.
Comunque spiegami una cosa: nei libri di elettromagnetismo (es
Silverstrini) spiegano la riflessione e la rifrazione delle onde
elettromagnetiche trovando la soluzione dei campi elettrici e magnetici
sulla frontiera di attraversamento tra le due regioni.
A me sembra un modo macchinoso e poco elegante, visto che la rifrazione
si può dedurre dalla sola equazione d'onda di d'alembert (infatti vale
anche per le onde meccaniche, di pressione, ecc..), cercando come
cambia la direzione del gradiente della funzione d'onda quando si
attraversa una frontiera tra due regioni in cui la velocità di
propagazione è diversa.
Seconda domanda: il principio di Fermat (con cui si spiegano
riflessione e rifrazione) pone il problema della determinazione della
traiettoria del fronte d'onda come problema variazionale. Immagino che
il funzionale "tempo trascorso dall'onda per viaggiare da un punto A e
un punto B" venga minimizzato risolvendo proprio l'equazione di
D'Alembert, giusto?

Ciao, si hai capito bene: nel caso che dici le equazioni differenziali
non
permettono di concludere, quelle integrali dicono che E è conservativo
comunque...
Riguardo alle altre due domande: è passato troppo tempo da quando
maneggivo quelle cose e ora non ho tempo per pensarci ne libri a
disposizione
da consultare (sono a casa e non in ufficio in università), spero
qualcuno
ti risponda.
Ciao, Valter

 Il punto č: come si calcola la fem indotta in questo caso?
Infatti il problema e' questo. Sembrerebbe che la forma integrale sia 
piu' o meno inutile.


 propagazione è diversa.
Mi pare si chiami Teorema di Malus, o sbaglio?


 Ma questa V=omega*r^2*B/2 vale in che ipotesi ?
Campo costante parallelo all'asse di rotazione.


 piu' o meno inutile.
Come mi capita spesso, intervengo in ritardo, ma le ragioni piu' o
meno le sapete. In questo caso poi ho dovuto rivedere la questione e
pensarci un tantino...
Quanto all'equivalenza tra le due forme, non mi pare ci siano dubbi:
vale solo per la f.e.m. dovuta a una variazione del campo magnetico.
In tutti gli altri esempi, piu' o meno "strani", il campo e' costante
e quindi non c'e' campo E indotto.
Se il campo B e' costante, abbiamo (direi) tre casi:
a) Quello classico di un circuito deformabile, dove per "circuito"
si deve intendere qualcosa di molto vicino a una curva ideale.
In queste ipotesi la legge della variazione di flusso funziona, ma
discende dalla forza di Lorentz e non dalle eq. di Maxwell.
A questo proposito Feynman osserva che abbiamo una situazione forse
unica, in cui _una stessa legge fndamentale_ richiede *due* diverse
spiegazioni. E lo lascia come un problema aperto...
Potrei solo tentare una congettura: in una formulazione lagrangiana
dell'elettrodinamica la forza di Lorentz non e' indip. dalle eq. di
Maxwell, per cui forse non sono davvero *due* diverse spiegazioni.
Ma non so sviluppare l'idea...
b) La macchina unipolare. Qui non c'e' il conduttore "filiforme", per
cui non si sa come applicare la variazione di flusso, e bisogna
ricorrere direttamente alla forza di Lorentz.
Ma in fondo non c'e' differenza; solo che nel caso del conduttore
filiforme si sa dare un'espressione a carattere generale.
c) L'esempio delle D.
Non mi pare un grave problema: in questo caso non ci sono cariche
libere che si muovono, visto il particolare cinematismo, e quindi con
lo stesso ragionamento non si puo' avere f.e.m.
Che ve ne pare?
 
-- 
Elio Fabri

 Non mi pare un grave problema:
Il mio problema e' con la spiegazione che ne da' Feynman, che tralascia 
di spiegare un punto importante. Trattando il caso con la Forza di 
Lorentz F. dice - correttamente - che muovendo le D lentamente la fem 
tende a 0. Dice poi che siccome la variazione di flusso non e' affatto 
zero la forma integrale da' un risultato contraddittorio. Ma F. sembra 
incredibilmente trascurare che quello che conta non e' la variazione di 
flusso, ma la sua *derivata* rispetto al tempo; e questa nel caso 
proposto va a 0, dunque la contraddizione che F. vede non esiste.
In realta' bisogna anche far notare, cosa che F. tralascia, come la 
velocita' di variazione del "circuito" possa essere variata 
indipendentemente dalla velocita' di variazione del flusso: e' 
sufficiente scegliere le D con le facce opposte piu' o meno piatte. A 
facce piatte dflusso/dt e' maggiore che a facce curve, a parita' di v 
(quindi di Forza di Lorentz).
Nel frattempo ho scovato un paio di referenze sull'Am. Jou. Phys.:
Scanlon, 37, 698 (1969); Munley, 72, 1478 (2004)
che promettono bene. Me le guardo con calma e poi torno sull'argomento.


 che promettono bene. Me le guardo con calma e poi torno sull'argomento.
Questi ancora non li ho guardati. Invece tramite l'incredibile Laureti
sono venuto a conoscenza di un articolo di Giuliani:
http://fisicavolta.unipv.it/percorsi/pdf/problem.pdf
Lo conosci?
 
-- 
Elio Fabri

 Lo conosci?
L'ho letto un po' in fretta (mi riservo di riguardarlo), e a me pare che 
nonostante critichi Scanlon in realta' abbia un approccio piuttosto 
simile. In sintesi, entrambi dicono che la legge di Faraday vale in 
entrambe le forme, differenziale ed integrale, e che bisogna invece 
cambiare la definizione di fem considerandola non come la circuitazione 
di E ma di E+vxB. Sorgono problemi in taluni casi in cui il circuito non 
e' ben definito, ed allora bisogna analizzare con cura l'effettiva 
traiettoria e velocita' delle cariche, senza dare per scontato che 
coincida con quella del mezzo, e calcolare la fem su quella. Per certi 
casi - es. scariche in un plasma - il problema puo' risultare 
sostanzialmente irresolubile.
