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Titolo: STATI E MISURE (niente graffette)

Ciao a tutti e a mara!
(i caratteri accentati potrebbero venire sbagliati)
Non seguirò punto per punto la tua lettera, ma un percorso differente:
credo che il diverso panorama dovrebbe aiutarti nella comprensione.
Di cosa tratta la meccanica quantistica? di oggetti ELEMENTARI. Ora le
equazioni della meccanica classica sono INADATTE a rendere conto dell'
esistenza di processi elementari; infatti se io RISCALO la mia unità di
misura da L a L/c le equazioni NON cambiano: cioè non esiste nella
meccanica classica un concetto INTRINSECO di grande e piccolo, ma solo
uno relativo (all'unità di misura usata). Chiaramente questo NON va bene
se lo scopo è di descrivere i costituenti ELEMENTARI della materia:
questi infatti devono risultare piccoli in senso ASSOLUTO.
Vediamo di spiegarci meglio. Come avviene una misura? Beh, per effettuare
una misura devo fare in modo che il processo fisico che mi interessa sia
ACCOPPIATO al mio strumento di misura: per misurare la temperatura di una
stanza io ci metto un termometro, questo SCAMBIA CALORE coll'ambiente e
si portano in equilibrio termico: a questo punto io vado a controllare
l'altezza della colonnina di mercurio.
Morale della storia: prendo il mio sistema (quello da misurare) e lo
metto in contatto (accoppio) collo strumento di misura. La meccanica
classica tratta questo accoppiamento come una PERTURBAZIONE, cioè 
come una noiosa complicazione (la teoria delle perturbazioni è uno dei
rami più sviluppati della teoria) che però NON ALTERA il nocciolo del
problema (che è dato dalle equazioni che governano il sistema non
accoppiato all'apparato di misura); in particolare la perturbazione si
può rendere debole a piacere (un termometro con un tubicino sempre più
fino e quindi con meno mercurio) e, al limite, nulla.
Questo quanto alla misura di una grandezza macroscopica, come la temperatura
di una stanza di 10 metri quadri.
Abbiamo detto che, invece, la meccanica quantistica nasce dallo
studio dei processi elementari. Questo studio, la fisica essendo una
scienza sperimentale, si fa, di nuovo, ACCOPPIANDO il SISTEMA da osservare
coll'APPARATO di misura; questa volta però il sistema è un oggetto
elementare che andrà a interagire con i "costituenti elementari" dell'
apparato: indipendentemente dall'apparato scelto, dalle sue dimensioni,
dall'orario a cui facciamo l'esperimento l'accoppiamento sarà SEMPRE TRA
OGGETTI ELEMENTARI. Detto in altri termini l'operazione di misura
non agisce come una perturbazione ma comporta una RIDEFINIZIONE del
fatto fisico osservato (cioè il processo di misura altera il nocciolo
del problema).
Questo è, secondo me (l'idea è di Dirac, lo confesso), il nocciolo della
meccanica quantistica, e cioè che esiste una scala assoluta di dimensioni:
cioè che un oggetto elementare è PICCOLO e uno macroscopico GRANDE. Detto
in altri termini: non possono esistere degli gnomi alti una lametta che
vivono su un elettrone che orbita attorno al nucleo, come noi facciamo 
sulla terra illuminata dal sole: questa è l'idea CENTRALE della meccanica
quantistica.
La traduzione in lingua matematica di questo fatto (o meglio: il fatto
si esprime NATURALMENTE in linguaggio matematico e la traduzione, con tutte
le variazione di contenuto e ambiguità che le competono, è quella che
ti ho dato) è questa: IN MECCANICA QUANTISTICA UNA QUANTITA' OSSERVABILE
E LA SUA CONIUGATA NON COMMUTANO FRA LORO. Questa non-commutatività è
legata alla costante d'AZIONE di Planck h, che viene a definire una scala
(non di lunghezza ma di azione = energia*tempo = impulso*lunghezza, forse
la grandezza più importante della meccanica) naturale rispetto alla quale
valutare se un oggetto è piccolo o grande.
Nell'ambito della costruzione c*-algebrica (che è una meccanica-matematica
costruita ad hoc, ma molto elegante) si dimostra che l'imposizione della
commutatività delle osservabili porta NECESSARIAMENTE alla meccanica
classica, quella della non-commutatività alla quantistica.
(Parentesi: la non-commutatività è la via alla descrizione dei processi
elementari che si è STORICAMENTE dimostrata vincente; non è però l'unica:
esiste ad esempio la quantizzazione geometrica alla Sommerfeld-Einstein-Maslov
che introduce l'elementarietà (cioè h) come una richiesta di consistenza
matematica nelle soluzioni dell'equazione del moto)
Abbiamo visto che la meccanica classica è FONDAMENTALMENTE (cioè a partire
dai suoi fondamenti) inadatta a descrivere i fenomeni elementari; di più:
possiamo dire che in tale dominio è DESTINATA A FALLIRE. Quindi anche
i MODELLI MECCANICI atti a dare una visione intuitiva dei fatti
quantistici sono destinati a fallire e a generare intuizioni ERRATE. 
Per andare oltre la strada non so quale sia, ma so per certo che non
è farti andare in pappa il cervello con affermazioni come "la terra del
possibile diventa la terra di ciò che mai fu".
Questo per inquadrare il problema; vediamo adesso di mettere un po'
di carne al fuoco.
Una mole di gas ideale è descritta dall'equazione
pV - RT = 0
dove R è una costante universale. Cosa vuol dire? Beh, la prima cosa
che mi dice è che per SPECIFICARE lo STATO di un gas devo dare TRE 
numeri: p (pressione), V (volume) e T (temperatura): quindi lo stato di
una mole di gas ideale è definito dando un PUNTO in uno spazio a TRE
dimensioni; subito dopo si può notare che l'inverso NON è
generalmente vero: cioè una qualsiasi terna di numeri (ad esempio:
p=1, V=1, T=1) in generale non soddisferà l'equazione dei gas. Di più:
l'equazione mi dice che per specificare lo stato del gas mi basta dare
DUE variabili (ad esempio p e V) - sembrerebbe quindi che per determinare
lo stato basti dare un punto in uno spazio a due dimensioni, cioè
un punto su un PIANO. In realtà non solo sembra ma E' così, ma in questo
modo, in un certo senso, PERDIAMO parte dell'informazione, ossia la
nostra idea originaria che lo stato è un punto in uno spazio tridimensionale.
Mettila così: se io ti do l'equazione dell'iperbole
xy - 1 = 0
tu la puoi vedere in due modi: (A) puoi vederla come una FUNZIONE (sommi
1 e moltiplichi per 1/x), ossia:
y=1/x
che fa corrispondere un punto su una RETTA (x... ma devi toglierci lo 0)
a un punto su un'altra RETTA (y). Oppure (B) puoi vederla come il LUOGO
GEOMETRICO dei punti DEL PIANO (x, y) che soddisfano all'equazione dell'
iperbole: cioè prendi tutti i punti del piani e colori di nero quelli che
messi dentro all'equazione ti danno zero (fallo e, meraviglia!, ottieni
la figura di un'iperbole).
Torniamo al gas: l'idea di specificare solo p e V e determinare T di
conseguenza consiste nel pensare all'equazione del gas come a una FUNZIONE
che va dal PIANO (p, V) alla RETTA (T):
T=pV/R
Non c'è niente di sbagliato o di inutile (anzi!) nel farlo, solo che in
questo modo non si sa che forma GEOMETRICA assumono i punti che soddisfano
all'equazione del gas. Quindi proviamo a metterci nella visuale (B) e
vedere cosa ne capiamo: fissato T ti ritrovi coll'equazione di un'iperbole,
quindi la figura geometrica risultante è "l'unione" di tante iperboli
una vicina all'altra che si abbassano all'abbassarsi di T (l'intuizione
geometrica non è il mio forte, quindi devi accontentarti); i matematici
chiamano queste superfici pulite-pulite VARIETA' DIFFERENZIABILI. Adesso
quindi sai che il LUOGO GEOMETRICO DEGLI STATI DI UN GAS IDEALE E' UNA
VARIETA' DIFFFERENZIABILE DI DIMENSIONE DUE (cioè una superficie gommosa
deformata) IMMERSA (che abita) IN UNO SPAZIO DI DIMENSIONE TRE. Come
vedi in questo modo risulta IMMEDIATO il fatto che i PARAMETRI che descrivono
lo stato SONO TRE ma che I GRADI DI LIBERTA' SONO DUE (infatti la
funzione andava dal piano alla retta).
Ora ovviamente NON ti ho fatto questa tirata solo per riempire lo spazio
con qualche nome ingombrante, quindi vedo di convincerti che ne è valsa
la pena. Prendi due terne di punti che giacciono su questa varietà:
(a, b, c) e (A, B, C); l'equazione a cui soddisfano è (la riscrivo perchè
è meglio averla sotto gli occhi):
ab - Rc = 0     e     AB - RC = 0.
Somma i punti fra di loro e ottieni il punto (a+A, b+B, c+C). Domanda:
la somma di due stati fisici è SEMPRE uno stato fisico? Se questo è vero
si dice che la teoria è LINEARE o che soddisfa al PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE;
chiaramente, visto che il nostro "foglio iperbolico" è, appunto, iperbolico
e non lineare, l'idea è che la teoria dei gas sia non lineare (ed ecco
perchè è così importante la visuale geometrica). Facciamo i conti:
(a+A)*(b+B) - R*(c+C) = (ab - Rc) + (AB - RC) + aB + Ab = ?
ora, siccome (a, b, c) e (A, B, C) stanno sulla varietà, le due parentesi
danno zero e quindi
? = aB +Ab
che in generale sarà DIVERSO da zero, ossia il punto somma non starà sulla
varietà. Morale della storia: la teoria dei gas ideali NON soddisfa al principio
di sovrapposizione.
Ora la meccanica classica è una teoria NON lineare; di contro nella
meccanica quantistica VALE il principio di sovrapposizione... ovviamente
c'è un problema, altrimenti sarebbe troppo bello: matrigna è la natura!
Ricordi? questa lettera iniziava col problema della misura e come esempio
di misura macroscopica citavo quello della misura della temperatura T di
una stanza; abbiamo poi appena visto che per specificare lo stato di un
gas ideale (ok: l'aria non è esattamente un gas ideale...) bisogna dare
TRE NUMERI che giacciano sulla varietà "foglio iperbolico".
Ora dicevo anche che una teoria dei processi ELEMENTARI deve essere 
FONDAMENTALMENTE diversa da una teoria macroscopica: io infatti prendo
il mio strumento di misura (che dovrà essere un oggetto macroscopico con
indici, contatori e quant'altro) e lo ACCOPPIO al processo elementare; di
fatto ci saranno delle interazioni tra i "costituenti elementari" del
mio apparato e il sistema. Dicevo che queste interazioni sono quelle che
sono e non possono essere diminuite in intensità o considerate come
perturbazioni. Vero, ma è vero anche un po' di più: i meccanisimi esatti
di questa interazione (cioè, PRENDI COLLE PINZE: è un modello meccanico
e quindi NON applicabile, con "quale" atomo del rivelatore va a cozzare
l'elettrone che voglio misurare) io NON LI POSSO NE' CONOSCERE NE'
CONTROLLARE: questo infatti richiederebbe un altro processo di misura e
così via fino a diventare pura filosofia; quindi non ho un controllo al
100% sul mio esperimento (come invece idealmente accade quando misuro la
temperatura della stanza) e quindi NON OTTERRO' SEMPRE LO STESSO RISULTATO.
Ma è vero di più: NON POTRO' PREDIRE CON CERTEZZA CHE RISULTATO OTTERRO'
MA POTRO' DIRE AL PIU' CON QUALE PROBABILITA' OTTERRO' UN RISULTATO. Quindi,
volendo dire quale è la posizione di un elettrone dovrò dare la DENSITA'
DI PROBABILITA' di trovarlo in un dato punto x dello spazio, ossia, ormai
dovresti esserci arrivata, una FUNZIONE
f(x, y, z)
che va dallo SPAZIO TRIDIMENSIONALE ai NUMERI POSITIVI (non si è mai
vista una probabilità negativa, male che vada hai 0).
E' questa la famigerata funzione d'onda? NO, ma una sua stretta parente.
Per capire il grado di parentela bisogna rivolgersi a uno degli ESPERIMENTI
PARADIGMATICI della meccanica quantistica: i FORI DI YOUNG.
Prendi un muro e facci un buco con un trapano: tu ti metti da una parte
e un tuo amico dall'altra. A questo punto incominci a lanciare (uno alla
volta!) degli elettroni attraverso il buco; il tuo amico dall'altra parte
ha messo una scaffalatura a 1 m dal buco dove gli elettroni si vanno a
fermare. Dopo 10 tiri la situazione è la seguente:
      I           o 
           oooooooo 
      I           o
Metti via gli elettroni (oggetti ELEMENTARI) e ripeti il tutto con delle
palline di ferro (oggetti MACROSCOPICI): il risultato non cambia. Cosa
puoi dire? che l'80% delle volte andranno dritti davanti al buco, il 10%
nel ripiano più in alto e il 10% in quello più in basso.
Adesso tappi il buco e ne fai un altro un po' più in alto e ripeti i lanci
di elettroni e di palline: otterrai una distribuzione analoga a quella di
prima solo che sarà centrata attorno al nuovo buco.
Ora apri tutti e due i buchi. Cosa accadrà? Secondo la meccanica classica
devi SOMMARE LE DENSITA' DI PROBABILITA'. Cioè se (PROCEDURA 1):
1-a) tappi il buco in basso
1-b) lanci dieci palline attraverso quello in alto
1-c) tappi il buco in alto e apri quello in basso
1-d) lanci dieci palline attraverso il buco in basso
oppure (PROCEDURA 2):
2-a) apri entrambi i buchi
2-b) ci lanci attraverso venti palline
non cambia NULLA. Cioè in entrambi i casi ottieni
    I         o
       oooooooo
    I        oo <- UNO da sopra e UNO da sotto
       oooooooo
    I         o
Se fai l'esperimento colle PALLINE trovi effettivamente questo risultato
INDIPENDENTEMENTE DALLA PROCEDURA SEGUITA (in realtà ci saranno delle
fluttuazioni statistiche, ma questo è un ESPERIMENTO IDEALE in cui le cose
vanno come dovrebbero andare). Questo risultato lo trovi anche se esegui
la PROCEDURA 1 con gli ELETTRONI. Se però segui la PROCEDURA 2 gli ELETTRONI
si  disporranno nel modo seguente:
    I       oo
    I        o
    I      ooo
             o
    I   oooooo
             o
    I      ooo
    I        o
    I       oo
Morale della storia (per inciso questa è anche la dimostrazioone che la
misura RIDEFINISCE il processo da misurare): PER LE DENSITA' DI PROBABILITA'
QUANTISTICHE NON VALE IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE (perchè altrimenti
dovrebbero comportarsi come quelle delle palline classiche).
Sembra un vicolo cieco, ma in realtà è il sol dell'avvenire. Infatti questo
è ESATTAMENTE il comportamento dell'INTENSITA' LUMINOSA: possiamo quindi
dire che l'intensità della luce è l'equivalente della densità di
probabilità, e con questo abbiamo preso due piccioni con una fava:
1) se invece di "è l'equivalente della" ci metti "è una" ottieni che
la luce è composta da oggetti elementari: i FOTONI.
2) ma qui bisogna sapere un po' di fisica: l'intensità luminosa è il
QUADRATO del campo elettrico dell'onda luminosa, quindi LA DENSITA' DI
PROBABILITA' E' IL QUADRATO DELLA... FUNZIONE D'ONDA!
(Parentesi: quindi per descrivere un OGGETTO ELEMENTARE devo dare una
funzione d'onda. A questo punto ricordati che I MODELLI MECCANICI FALLISCONO
SEMPRE e quindi stai attenta a non farti sviare espressioni tipo:
"particella elementare", "... a volte si comporta come un'onda altre
come un corpuscolo",...: sono tentativi di descrivere un fatto con un
linguaggio che non lo contempla.)
In realtà a questo punto non è che conosciamo alla perfezione la
funzione d'onda, infatti tu sai che 4 è il quadrato di 2 e di -2. La
storia è un po' lunga e incasinata, ma Schroedinger disse che questa
doveva essere una funzione
p(x, y, z)
dallo spazio tridimensionale ai NUMERI COMPLESSI. Di più: dal momento che
il suo quadrato è una densità di probabilità e che la probabilità totale
di trovare un elettrone nello spazio (da qualche parte deve pur stare!)
deve essere 100% (anche se i fisici dividono per 100 e dicono che deve essere 1)
fece pure la richiesta che l'integrale su tutto lo spazio (cioè l'area) del quadrato
della funzione fosse 1 (in realtà storicamente non è andata esattamente
così, ma fa lo stesso).
E c'è dell'altro: l'equazione del moto di un oggetto quantistico (che
si chiama equazione di Schroedinger per un buon motivo) è LINEARE, ossia,
ma ormai lo sai anche tu, se f(x, y, z) e g(x, y, z) la risolvono, allora
anche f(x, y, z) + g (x, y, z) la risolve.
Ricapitoliamo: un oggetto ELEMENTARE è specificato quando sia nota la
sua funzione d'onda e lo spazio delle funzioni d'onda è lineare. Facendo
il parallelo con i discorsi fatti per il gas ideale possiamo dire che
LO SPAZIO DEGLI STATI DI UN SISTEMA QUANTISTICO E' LO SPAZIO LINEARE
DELLE FUNZIONI IL CUI QUADRATO HA INTEGRALE FINITO (non serve che sia 1
in quanto basta dividere per il risultato per trovare 1: a/a=1); si
dimostra che questo spazio ha INFINITE dimensioni.
In realtà non è proprio esatto: abbiamo detto che 2 e -2 hanno lo stesso
quadrato: dal momento che la quantità OSSERVABILE è la densità di probabilità,
cioè il quadrato della funzione d'onda, allora le funzioni
p(x, y, z)
e
-p(x, y, z)
SONO FISICAMENTE INDISTINGUIBILI, cioè determinano lo STESSO STATO. Quindi,
più correttamente, si deve dire che LO SPAZIO DEGLI STATI DI UN SISTEMA
QUANTISTICO E' LO SPAZIO DELLE CLASSI D'EQUIVALENZA DELLE FUNZIONI IL
CUI QUADRATO HA INTEGRALE FINITO. Classi d'equivalenza RISPETTO a quale
idea d'equivalenza? Diciamo che due funzioni stanno nella stessa classe se
differiscono di un fattore moltiplicativo costante (cioè che non dipende
dal punto (x, y, z) dello spazio in cui le vado a valutare).
Ora sembra una follia, ma questo fatto delle classi d'equivalenza ha
delle verifiche SPERIMENTALI (indirette visto che le funzioni d'onda
non sono osservabili) ESTREMAMENTE STRINGENTI: ad esempio se non consideri
equivalenti p(x, y, z) e -p(x, y, z) NON riesci a spiegare lo spin semi-intero.
A questo punto sai cos'è la funzione d'onda: non è molto, ma è sempre
meglio che un dito in un occhio!
ciao
antonio
_________________________
a...@spiro.fisica.unipd.it
PS: se vuoi andare oltre ecco tre testi che dovrebbero darti un'idea:
Il mio libro di divulgazione preferito (e costa poco: circa 20000):
Kurt Friederichs, I concetti matematici elementari della fisica, Boringhieri
(non tratta di quantistica ma spiega molto bene l'influenza esercitata
dal teorema di Pitagora sulle strutture della fisica-matematica
moderna - e la quantistica è fisica moderna)
Molto bello, divulgativo, ma richiede di sapere cosa è una derivata:
Ilya Prigogine, Dall'essere al divenire, Einaudi
(la quantistica non è l'argomento principale, ma ci dedica un bel po' di 
pagine: e si vede che sono scritte da una testa fine)
MOLTO costoso (più di 100000):
Paul Davies (a cura di), La nuova fisica, Boringhieri
(è una raccolta di articoli di divulgazione sugli argomenti più disparati
della fisica moderna; in particolare l'articolo di Abner Shimony sulla
quantistica è meraviglioso)
--
Posted from 
dirac.fisica.unipd.it
 [147.162.55.17]
via Mailgate.ORG Server - 
http://www.mailgate.org

ad esempio se non consideri equivalenti p(x, y, z) e -p(x, y, z)
NON >riesci a spiegare lo spin semi-intero.
Cos'e' effettivamente lo spin?  E cosa c'entra con le funzioni
d'onda? Mi sono perso questo passaggio.
Scusate il post un po' lungo.
Siccome il demone di moderazione potrebbe respingermi il
messaggio,
scrivo ancora qualche altra riga (un po' OT)
Volevo sapere se Carmelo Sgro' (che studia Fisica a Pisa)
frequenta questo ng. Sono Giorgio Guzzetta. Casomai contattami
via mail.
Scusate ancora.
--
Don-K-boy/ICQ 47875651
Sito di it.fan.tv.friends 
http://members.xoom.it/ngfriends
Cittadino di alt.books.wilbur-smith
Terzo Baronetto di IFTF