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Titolo: Bizzarrie (?) dell'orologio a luce

 
 
Facendo tesoro dei consigli di Fabri sono andato a ripassare le sue lezioni su 
http://www.sagredo.eu/Q16/
  con speciale interessa alla lezione n. 8 a cui rimando per seguire i punti salienti.
 
In questa, citando l'esperimento di Hafele e Keating, Fabri illustra in modo semplice e lineare i concetti base della di RR basandosi sull’esperimento concettuale dell’orologio a luce.
 
Dal teorema di Pitagora (formula 8-1) con pochi passaggi matematici, senza il “presunto ruolo dell'osservatore” figura che non gode delle sue simpatie, egli giunge alla formula 8-6 descritta in tutti i libri come “dilatazione del tempo”:
Î"t=  Î"τ/√(1-(v²/c²))
 
Dove naturalmente Î"t è il tempo segnato da un orologio che sta fermo nel riferimento del laboratorio, mentre Î"τ è il tempo segnato dall'orologio a luce che si muove rispetto allo stesso laboratorio. 
 
 
 
Consideravo poi che l’inclinazione del raggio di luce tenderà ad aumentare in relazione alla velocità dell’orologio, senza tuttavia poter mai ad arrivare a essere parallelo al verso del movimento, allora per pura curiosità,  ho preso in esame un raggio inviato non più a uno specchio posto esattamente ortogonalmente al verso del moto ma inclinato in opposizione al verso (verso la poppa di un ideale veicolo in moto relativistico) che raggiunge il rivelatore dopo essere riflesso dallo specchio con lo stesso angolo incidente.
 
 
 
 
Per uniformarmi al formalismo di Fabri, ho arbitrariamente fissato velocità e altezza dell’orologio in modo che il raggio, in riferimento al laboratorio fermo, sia perfettamente ortogonale e di conseguenza questo percorso sia il cateto di un triangolo rettangolare, mentre l’ipotenusa è il percorso del raggio all’interno, l’altro cateto ovviamente è la distanza percorsa dallo specchio durante il tempo di andata e ritorno del raggio. (Inclinazioni e velocità qualsiasi origineranno un triangolo non rettangolo che richiederà un teorema trigonometrica, ma in ogni modo il ragionamento non è inficiato) 
La formula corrispondente alla 8-1 dovrebbe pertanto essere la seguente:
 
c*Î"t=2√(c²*Î"τ²-(Î"x/2)²)      
Che opportunamente sviluppata, salvo un mio errore di banale inversione di segno, che vi prego allora di segnalarmi, diventerebbe:
Î"t=  (Î"τ)/√(1+v²/c²)
 
 
che fisicamente dovrebbe indicare che il tempo proprio dell’orologio a luce accelera rispetto al tempo dell’orologio che sta fermo nel riferimento del laboratorio.
 
Chiedo pertanto cortesemente a Fabri o in mancanza a qualche volenteroso, di segnalarmi se ho sbagliato nel formulare l’esperimento concettuale oppure lo sviluppo matematico. 
Grazie in anticipo dell’attenzione

 oppure lo sviluppo matematico.
 
Dovresti riscrivere il tuo ragionamento in modo più chiaro, evitando
simboli strani e magari dando il link ad una figura.
 
Comunque, da quel poco che ho capito, vorresti rifare il calcolo
dell'orologio a luce con lo specchio inclinato. 
 
Ma probabilmente non hai tenuto conto del fatto che l'inclinazione dello
specchio è diversa nei due sistemi di riferimento, cosa che invece non
succede nel caso trattato di solito.
 
M.

 
 
Grazie, ma non mi riferivo a una inclinazione dello specchio, ma all'invio di un raggio a uno specchio che rispetto alla normale della sorgente è stato spostato verso poppa, cosicché il raggio sarà inclinato all'indietro rispetto al verso del moto, mentre lo specchio gli correrà incontro. La formula iniziale:
 c*t=2*rq c^2*tau^2+(x/2)^2
quella finale:
t=tau/1+v^2/c^2

 inclinato rispetto alla normale
 
In tal caso credo che tu non abbia ben compreso il significato di
"intervallo di tempo proprio": questo è l'intervallo di tempo che separa
due eventi, MISURATO IN UN RIFERIMENTO NEL QUALE I DUE EVENTI AVVENGONO
NELLO STESSO PUNTO DELLO SPAZIO.
 
M.

Può darsi tu abbia ragione.
 
 
Tuttavia avevo infatti anticipato di leggere su Sagredo quanto scritto da Fabri, premessa che mi serviva per una migliore comprensione della mia ipotesi. Inoltre lì le formule sono perfettamente leggibili, (del resto anch’io avevo riportato le mie in linguaggio matematico, ma poi nella trascrizione sono diventate illeggibili). 
 
 
 
 
 
 
 
Cerco di spiegare meglio il mio pensiero: dopo che Fabri ha terminato il suo esperimento, ho staccato lo specchio dal soffitto e l’ho spostato di un “paio” di metri verso poppa sempre sul soffitto, poi ho spostato il rivelatore sempre verso poppa di un altro “paio” di metri sul pavimento. A questo punto con un cannoncino laser ho inviato dalla sorgente un raggio ben collimato verso lo specchio, dove riflettendosi con uguale incidenza è andato verso il rivelatore. Il tempo di andata sorgente specchio è lo stesso di quello specchio rivelatore. In analogia con Fabri ho indicato con delta t il tempo del laboratorio fermo e con delta tau il tempo proprio dell’orologio a luce. Ho sviluppato la stessa formula di Fabri solo sul nuovo triangolo rettangolo di cui l’ipotenusa è appunto la distanza sorgente-specchio, un cateto è la distanza che percorre lo specchio che si sposta nel verso del moto e l’altro cateto e la distanza sorgente specchio visto dal sistema del laboratorio fermo.
 
 
Arbitrariamente, con opportuna scelta di velocità e altezza del mezzo in moto, ho infatti stabilito che il raggio di luce nel sistema di riferimento fermo raggiunga lo specchio e ritorni al rilevatore percorrendo un tratto perfettamente verticale, mentre nel primo esperimento di Fabri il raggio invece rincorreva lo specchio che si spostava in avanti. 
Non sono pratico della scrittura delle formule con il sistema che si usa qui, in ogni modo ho seguito l’elaborazione di Fabri.
Un errore,  nel metodo o nello sviluppo matematico ci sarà, mi piacerebbe saper quale. Tutto qua.
Grazie dell’attenzione.

 dell'orologio che sta fermo nel riferimento del laboratorio.
Nota però che non ti passerei neppure una descrizione della
dilatazione, espressa in questi termini:
"il tempo proprio dell'orologio a luce rallenta rispetto al tempo
dell'orologio che sta fermo nel riferimento del laboratorio".
E non credo che troverai simili espressioni nei miei scritti.
E' l'uso dei verbi "accelerare" e "rallentare" che disapprovo
recisamente.
Non aggiungo altro su questo punto che ci porterebbe un po' fuori
tema.
 
Tornando alla tua frase, riterresti che aver trovato Dt > Dtau
dimostri che esiste una situazione in cui c'è contrazione anziché
dilatazione. Tutto dipende da che cosa chiami "tempo proprio", e su
questo è intervenuto Maurizio per farti notare che nel tuo "orologio"
i due eventi partenza e arrivo non avvengono nello stesso luogo.
 
Sviluppo un po' l'argomento.
In primo luogo, per l'orologio a luce nella tua versione non vale
sempre la Dt < Dtau: vale per i due rif. che hai scelto, ma se
sostituissi KL con un altro rif. potresti trovare indifferentemente la
disuguaglianza con lo stsso verso, l'uguaglianza, oppure cambiata di
verso.
Non entro i dettagli: vedi tu se ci arrivi :-)
 
Secondo: è difficile chiamare il tuo un "orologio". Una caratteristica
necessaria di un orologio è che "batta il tempo", ossia che scandisca
ripetutamente intervalli di tempo uguali.
Il tuo può fornire *un solo* intervallo di tempo, a differenza di
quello originale, in cui il lampo può fare avanti e indietro quante
volte vuoi.
Forse hai abbastanza inventiva per modificarlo (complicarlo) in modo da
soddisfare il requisito che ho detto, ma ti prevengo :-)
Mettiamo in R un laser che punta verso S, ed emette un lampo appena
riceve quello emesso da L.
Oppure, basta porre in R uno spcchio che riflette il lampo verso R.
 
Benissimo: in tal modo potremmo contare ripetutamente i lampi che
arrivano in L e avremmo un vero orologio.
Ma ecco la sorpresa: se chiamiamo Dtau l'intervallo tra gli arrivi di
due lampi consecutivi in L, e calcoliamo il corispondente Dt,
troveremo la formula "giusta":
 
Dt = Dtau/sqrt(1 - v^2/c^2).
 
E questo qualunque sia il moto relativo di KL e KO.
Riesci a vedere perché, senza fare conti?
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
Grazie Fabri, in effetti davo per scontato che ci dovesse essere un errore di base nel mio esperimento concettuale,però non riuscivo a vederlo, ti ringrazio dell'attenzione e dei tuoi commenti chiarificatori. Prima di poter affermare che ho capito la tua spiegazione chiedo solo un po' di tempo per poterci ragionare sopra. Grazie a tutti

E' l'uso dei verbi "accelerare" e "rallentare" che disapprovo recisamente.
In effetti tu ti esprimi diversamente:
 
 
Questa non è che la formula descritta in tutti i libri come “dilatazione del tempo." Ma anche di dilatazione del tempo e di contrazione delle lunghezze sarebbe bene non parlare. Vedremo infatti che si può andare avanti senza nominarle mai: servono solo a creare difficoltà non necessarie.
Certamente il mio conteggio di Dx mi ha portato fuori strada, ma perché non è corretto?
 
 

Riesci a vedere perché, senza fare conti?
 
 
Spero di non dire stupidaggini, mi sembra che quando il raggio da R torna nuovamente verso lo specchio superiore e essere riflesso verso L, si comporti in modo analogo e in accordo con l’orologio a luce classico, per cui sicuramente vale la formula  
Dt = Dtau/sqrt(1 - v^2/c^2).
 
anche se in effetti non c'è un triangolo rettangolo ma un tiangolo qualsiasi, per cui  la 8-1 dovrebbe diventare (usando ad esempio il teorema di Carnot):
c^2Dt^2=v^2Dt^2+c^2DTau^2-2(vDt*cDtau)*cos alfa 
dove:
il percorso R-S con tempo proprio laboratorio in moto =c*Dtau (in orologio a luce=h/2)
il percorso dello specchio nel sistema fermo=v*Dt  (in orologio a luce Dx/2)
angolo alfa tra questi due cateti
 il percorso lungo R-S nel sistema fermo =cDt (in orolgio a luce cDt/2)
 
la 8-1 opportunamente sviluppata dovrebbe portare infatti a Dt = Dtau/sqrt(1 - v^2/c^2).
Io non sono riuscito a sviluppare il formalismo matematico, ma deve obbligatoriamente arrivare lì.

 obbligatoriamente arrivare lì.
Non ho seguito in dettaglio il tuo ragionamento, ma nel frattempo ne
avevo costruito un altro che mi pare più semplice e che porta allo
stesso risultato.
Però non provo a ripetertelo, ma preferisco osservare quanto segue.
 
Nella variante che ti ho proposto, non occorrono conti perché i due
eventi partenza del lampo e suo ritorno avvengono nello stesso luogo
in KO, in posizioni diverse in KL.
A posteriori sappiamo che l'espressione Dt^2 . c^2 Dx^2 è comunque
invariante.
Dato che ora Dx=0 in KO, come nell'orologio a luce classico, siamo
certi che troveremo la stessa relazione tra Dt e Dtau.
 
-- 
Elio Fabri

certi che troveremo la stessa relazione tra Dt e Dtau.
 
Tuttavia nel caso che ti ho proposto, prendendo in considerazione solo il primo tragitto del raggio di luce L,S,R, mi sembrerebbe che in KL valga Dx=0 dato che il raggio sale e scende in verticale rispetto a KL.
In KO, dove L,R, sono stati posizionati l’uno distante l’uno dall’altro, varrebbe invece Dx=v.Dt.
 
Da cui (dimezzando per comodità la Dx al solo percorso dello specchio verso la verticale di L, indicato come S’ e applicando il teorema di Pitagora al triangolo L,S,S’) la (8-1) diventa
 
(c Dtau)^2 = (c Dt)^2 + (v Dt)^2
 
Che opportunamente sviluppata dovrebbe diventare
 
Dt = Dtau sqrt(1 + v^2/c^2).  in palese e insostenibile disaccordo con la (8-2)
 
 
 
Mentre invece nel tragitto di ritorno R,S,L, ci si troverebbe nella analoga situazione e accordo con l’orologio a luce “classico”, anche se in effetti non c'è un triangolo rettangolo ma un triangolo qualsiasi, per cui  la 8-1 dovrebbe diventare (usando ad esempio il teorema di Carnot):
c^2Dt^2=v^2Dt^2+c^2DTau^2-2(vDt*cDtau)*cos alfa
dove:
il percorso R-S con tempo proprio laboratorio in moto =c*Dtau (in orologio a luce=h/2)
il percorso dello specchio nel sistema fermo=v*Dt                     (in orologio a luce Dx/2)
alfa; angolo tra questi due cateti
il percorso lungo R-S nel sistema del laboratorio fermo =cDt    (in orologio a luce cDt/2)
 
 
Pertanto seguendo il mio ragionamento quando il raggio viaggia da L a R, cioè verso poppa, si avrebbe che Dt<Dtau, mentre quando ritorna da R verso L, cioè verso la prua, si conferma il classico Dt>Dtau.
Ti chiedo allora di indicarmi con cortese pazienza in quale punto di questa mia esposizione compio l’errore.
Grazie.
 

 AVVENGONO NELLO STESSO PUNTO DELLO SPAZIO.
 
Intervengo solo su questo. Nella famigerata "formula di dilatazione
temporale"
 
Dt = Dtau/sqrt(1 - v^2/c^2)
 
Dtau č l'intervallo di tempo proprio fra due eventi (misurato quindi in
un riferimento S nel quale i due eventi avvengono nello stesso punto
dello spazio), mentre Dt č l'intervallo temporale fra gli stessi eventi,
misurato in un riferimento S' che si muove a velocitŕ v rispetto al
riferimento S.
 
La suddetta formula VALE SOLO IN QUESTO CASO. Se consideri casi diversi
ovviamente otterrai risultati diversi.
 
M.

 
 
Maurizio, ho ammesso una prima volta di non comprendere il significato di Dtau  come espresso nella tua risposta e tu mi ripeti il concetto usando praticamente le medesime parole, ma non è che io sia sordo e che aumentando il volume della voce io senta finalmente quello che mi stai dicendo😊
 
 
Il problema forse dipende da un mio inadeguato uso dei termini “tempo proprio” ed “eventi”, nel riferirmi al tempo che impiega un raggio di luce che parte dalla sorgente per giungere al rivelatore istallato in una posizione a piacere all’interno di un sistema inerziale in moto.
 
Facciamo allora che ho due misuratori di tempo (orologi atomici) che sincronizzo, (ci sarà pure un modo in cui si riesca a sincronizzarli!) ne metto uno sulla parete di prua della navicella (sistema KO,S’) il mio laboratorio inerziale in moto) e uno a poppa.
 
All’ora 0 parte il raggio da prua verso poppa, se la navicella è lunga circa 30 metri, quando il raggio arriverà a poppa il secondo orologio segnerà l’ora 0 più un ennesimo di secondo. 
 
 
Quell’ennesimo di secondo è quello che ho indicato con Dtau nella formula, mentre altri due orologi, con le medesime caratteristiche, posti nel laboratorio fermo (sistema KL,S) misurano il tempo Dt trascorso tra la partenza e l’arrivo nei punti corrispondenti nel laboratorio fermo.
Non mi avventuro a calcolare quanto i due tempi siano differenti…. 
 
 
 

 
 
Cosa sia Dtau lo ha spiegato in modo semplice: l'intervallo di tempo proprio tra due eventi. "Proprio" vuol dire "in un riferimento inerziale in cui tali eventi hanno coordinate spaziali costanti, ovvero nello stesso punto dello spazio. 
 
 
A questo punto viene spontanea la domanda: come si pretende di capire qualcosa di, e fare domande su, la relatività ristretta senza nemmeno sapere di cosa si parla, ovvero senza nemmeno conoscere i presupposti, i concetti di base di cui si chiede? Se io faccio una domanda sulle scarpe, devo sapere cos'è una suola o una tomaia, o perlomeno devo essere in grado di capirlo dopo che me lo hanno spiegato, non credi?
E poi, i concetti di "evento" e di "tempo proprio" li puoi facilmente trovare in rete con un qualsiasi motote di ricerca. 
 
--
Wakinian Tanka

Innanzitutto riterrei opportuno che i rapporti interpersonali fossero improntati a toni e argomentazioni adeguati all’ambiente.
 
 
L’argomento iniziale non era infatti la definizione di tempo proprio ed eventi, non volevo “capire” la RR, avevo solamente chiesto dove fosse l’errore nell’elaborazione matematica nella ordinaria applicazione del teorema di Pitagora nel caso di un esperimento mentale appena diverso da quello proposto dal prof Fabri su Sagredo lez. N.8.
 
Che io abbia impropriamente definito una porzione di tempo trascorso all’interno di un laboratorio in movimento, è in ogni modo ininfluente ai fini della domanda e della relativa risposta che infatti Fabri mi ha parzialmente avanzata.
 
 
Proprio la lezione n. 8 di Fabri, che caldamente la invito a leggere, evidenzia come non dovrebbe essere necessario consultare anticipatamente un qualsiasi motore di ricerca per dotarsi dell’esatto glossario per affrontare un argomento per quanto ostico, poiché la definizione dei termini possono poi emergere con naturalezza nel corso della lezione stessa, come si può desumere da un paio di esempi, ovviamente non esaustivi:
.................................
Il tempo proprio (pag.103)
 
 
 
 
Occorre subito chiarire il significato dei due intervalli di tempo Dt e Dtau . Il primo è il tempo segnato da un orologio che sta fermo nel rif. del laboratorio, mentre Dtau è il tempo segnato dall'orologio a luce, che si muove rispetto al laboratorio. Teniamo presente che l'orologio a luce si porta dietro il suo contatore; anche se l'orologio si sposta noi possiamo leggere il contatore, e conoscere il tempo segnato dall'orologio. Il tempo dell'orologio a luce è dunque obbiettivo, nel senso che può essere osservato da chiunque, leggendolo sul quadrante, o essere trasmesso via radio…….
 
 
 
(Pag. 105)…….Pensando all'orologio a luce, avremo un evento A (fig. 8-6), che è la partenza della luce dalla sorgente, e un evento B, che è il ritorno dell'impulso di luce al rivelatore. I due eventi avvengono a tempi diversi e in generale anche in posti diversi: quindi le coordinate spazio-temporali di questi eventi sono diverse, sia la x, sia la t. È anche chiaro nella figura il significato di Dx e Dt. Abbiamo poi una distanza Dtau, che è data dalla (8-2) e che, come nel caso della distanza geometri a tra due punti, non dipende dal rif.......
....................................
 
Può essere che abbia frainteso i concetti espressi dal prof. Fabri, a cui avanzerò le mie scuse, sebbene mi sia in effetti limitato a trascriverli.
 
 
Infine, se la ho impropriamente definito Dtau la frazione di tempo che intercorre tra la partenza di un raggio di luce da una sorgente e il suo arrivo a un rivelatore dopo essere stato riflesso da uno specchio, sarebbe stato sufficiente e più proficuo che mi venisse fin da subito segnalato come definire la grandezza fisica.
Ciò senza entrare in inutili e sgradevoli valutazioni personali. 

 Ciò senza entrare in inutili e sgradevoli valutazioni personali.
 
Però ho avuto l'impressione, correggimi se sbaglio, che le valutazioni personali siano state fatte quando hai scritto:
 
 
"Maurizio, ho ammesso una prima volta di non comprendere il significato di Dtau come espresso nella tua risposta e tu mi ripeti il concetto usando praticamente le medesime parole, ma non è che io sia sordo e che aumentando il volume della voce io senta finalmente quello che mi stai dicendo". 
 
 
Hai (lo ha scritto tu), ripassato delle lezioni di Fabri, hai scritto tre equazioni non semplici, e su un concetto ancora più semplice, che ti è stato spiegato in dettaglio tre volte, riporti una frase del genere? 
Se si pensa di non dover imparare il linguaggio prima di studiare, vuol dire che mancano non solo le basi scientifiche ma
anche l'idea generale di studio. 
Secondo me non ti interessa molto la RR ma altro (comunque è solo la mia opinione). 
 
--
Wakinian Tanka