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Titolo: domandina quantistica

sottopostami dal mio prof. di istituzioni di fisica nucleare.
PREMESSA:
se uno stato quantico è autostato dell'operatore parità, allora in tale
stato il momento di dipolo elettrico è nullo.
se l'hamiltoniana H è invariante per parità, e psi(E) è un autostato non
degenere di H con autovalore E, allora psi(E) è un autostato dell'operatore
parità (quest'ultima affermazione si dimostra facilmente).
Veniamo alla DOMANDA:
in base alle considerazioni precedenti, come è possibile che, ad esempio, la
molecola di acido cloridrico (o equivalentemente la molecola d'acqua) abbia
momento di dipolo elettrico NON nullo (notare infatti che in questi casi H è
inv. per parità) ?
finora non ho saputo trovare una risposta soddisfacente...
mi sa che mi sfugge qualcosa...
saluti
Gracio
--
J. Grass (nome jedi: graloroce), il terribile analcolico moro
/* per contattarmi in pvt rendi LIBERO l'indirizzo */

 inv. per parità) ?
Eh no, per HCl e H2O l'hamiltoniana non e' affatto invariante per
parita'. Per esserlo deve essere invariante per il cambiamento
simultaneo di x -> -x, y -> -y, z -> -z; deve cioe' avere un
centro di simmetria, e queste molecole non ce l'hanno.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 centro di simmetria, e queste molecole non ce l'hanno.
Forse possiamo approfondire un po'...
Tu stai considerando un'inversione delle coordinate degli elettroni,
tenendo i nuclei fissi. In questo caso hai ragione: l'hamiltoniana non
e' invariante, quindi si puo' avere mom. di dipolo.
Ma si potrebbe fare un'altra operazione: invertire le coord. degli
elettroni e _anche dei nuclei_. Allora l'hamiltoniana e' invariante:
come mai il mom. di dipolo c'e' lo stesso?
Risposta: se calcoliamo il valor medio della componente del mom. di
dipolo in una direzione fissa nello spazio, questo e' zero, perche' gli
stati stazionari del sistema sono simmetrici.
Possiamo pero' considerare un'altra osservabile: la comp. del momento di
dipolo per es. lungo la direzione dei due nuclei (nel caso HCl). Questa
e' invariante per l'inversione considerata, quindi niente vieta che il
suo valor medio sia diverso da zero.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 come mai il mom. di dipolo c'e' lo stesso?
No, non e' affatto invariante. Se per esempio hai una molecola di
HCl con H in (0,0,0) e Cl in (a,0,0) dopo l'inversione hai una
molecola di HCl con H in (a,0,0) e Cl in (0,0,0). L'Hamiltoniana
di questa molecola *non e' la stessa* di quella precedente,
quindi non c'e` motivo di supporre che il momento di dipolo
permanente sia zero (ed infatti non lo e').
E' chiaro che la fisica del sistema e' la stessa, data
l'isotropia dello spazio, ma da questo fatto banale si puo'
dedurre ben poco sul problema considerato.
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 permanente sia zero (ed infatti non lo e').
Ma come non lo e'? Se fai i conti, avendo cura di trasformare per
inversione spaziale sia le coordinate dei nuclei che quelle degli elettroni vedi
che l'Hamiltoniana *complessiva* (elettroni + nuclei pensati come punti materiali
carichi) e' invariante. Infatti e' costruita senza fare uso di pseudovettori o pseudo
operazioni [prodotto vettoriale] e deve essere isotropa sotto rotazioni proprie
e omogenea sotto traslazioni, per cui deve essere anche invariante per inversione
rispetto a punti o piani (rotazioni improprie + traslazioni) per forza.
Ora se togli la parte cinetica dei nuclei che e' invariante sotto inversione
banalmente essendo essa somma di cose del tipo P^2/2M per ogni nucleo,
quello che rimane deve ancora essere invariante sotto inversione combinata.
Ma quello che rimane non e' altro che l'Hamiltoniana degli elettroni che di
conseguenza deve essere ancora invariante sotto l'azione combinata di inversione
delle coordinate degli elettroni ed inversione delle coordinate dei nuclei.
Ciao, Valter
-- 
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 carichi) e' invariante. 
Adesso stai considerando l'Hamiltoniana quantistica completa
(nuclei quantistici) nella sua generalita', giusto? Stai partendo
da troppo lontano. Il problema e' che nessuno ti garantisce che
gli autostati di *questa* H. abbiano parita' definita: di fatto
in generale non ce l' hanno (penso sia una questione di
degenerazione).
Percio' l'osservazione delle simmetrie di questa H. ti dice ben
poco, e nulla rispetto al momento di dipolo. Una volta che assumi
che la soluzione per i nuclei (assumendo un qualche tipo di
Born-Oppenheimer) abbia la forma consueta, ovvero con un nucleo
di Cl ben localizzato in un punto e quello di H in un altro, puoi
ragionare come si fa di solito in chimica quantistica ed i
risultati sono quelli che ho citato in precedenza.


 degenerazione).
Stai dicendo che fissata l'energia ho piu' autostati con quella energia
e posso sempre scegliere una base di essi (tutti con la stessa energia)
in cui ciascun elemento ha parita' definita, ma un vettore generico
con quella energia non ha parita' definita? (perche' combinazione
lineare di autostati alal stessa energia ma con parita' diversa).
Perche' questo fatto non accade considerando solo gli elettroni a nuclei
fissati? In quel caso non c'e' mai degenerazione?
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Dunque gli stati stazionari sono una sovrapposizione a simmetria sferica
di autostati del momento di dipolo (che non sono invarianti per parita'),
ma il momento di dipolo non commuta con l'hamiltoniana. Per il semplice
motivo che le coordinate z non commutano con gli impulsi.
Se considero un'autostato dell'hamiltoniana, isolato nello spazio ed
accendo un campo. Allora questo campo tendera' ad orientare il dipolo.
Supponiamo di volere misurare questo dipolo.
Suppongo sia possibile. Quindi spegnamo il
campo. Quale sara' l'evoluzione temporale?
Occorre scrivere lo stato come una sovrapposizione di
auto-stati per H e quindi seguirne l'evoluzione temporale.
Ora questo problema e' difficilissimo, per me, in pratica,
ma e' possibilissimo in linea di principio.
Ora quel che sappiamo per altri versi e' che uno stato
eccitato, ovvero una sovrapposizione di autostati per
l'hamiltoniana e' instabile, nel caso, ad esempio,
dell'atomo di idrogeno. Questa instabilita' e' rimasta
a lungo inspiegabile, finquando non e' stata inquadrata
nell'ambito della QED. Immagino che qualcosa di simile
accada nel caso della molecola di HCl ovvero, dopo l'orientazione
a causa dell'applicazione di un campo, abbiamo un trasferimento
di energia dalla molecola al campo ed un rilassamento effettivo dello
stato verso stati a simmetria minore?
Quello che mi chiedo e' se esiste un analogo dello stato fondamentale,
ovvero uno stato che "attrae" il sistema nel caso dell'HCl ovvero no.
Se si, possiamo dire che la molecola di HCl nel vuoto assoluto tende
ad uno stato a momento di dipolo nullo, o piu' esattamente al
fondamentale?
Grazie in anticipo per ogni risposta.
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Inviato via 
http://usenet.libero.it

 
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
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 Inviato via 
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-- 


 Si.
Grazie.


 
Non ho capito bene la storia della non commutativita' con l'hamiltoniano
libero e nemmeno le distribuzioni di sopra.
Ti dico come la vedo io dal punto di vista del tutto generale.
Se prendi l'hamiltoniano totale elettroni piu'
nuclei, lo spazio di Hilbert e' il prodotto tensoriale degli spazi
delle singole particelle. Per trattare il sistema bisogna separare
i gradi di liberta' traslazionali da quelli non traslazionali
("attorno al centro di massa") e questo produce una differente
fattorizzazione dello spazio di Hilbert. Per separare le due parti
si introducono delle coordinate che mi pare si chiamino "coordinate di Jacobi",
in cui 3 coordinate sono quelle del centro di massa e le rimanenti
N-3 descrivono il moto attorno al c.m.
Il caso piu' semplice e' quello di due particelle in cui le coordinate
dette sono le tre coordinate del cm + la distanza relativa delle due
particelle.
L'hamiltoniano complessivo e' allora fatto da due parti:
una libera che descrive il solo moto del cm come se fosse
una particella la cui massa M e' la somma di tutte le masse del sistema,
piu' una parte che descrive le interazioni ed e' scritta in termini
di differenze di coordinate delle varie particelle.
Nel caso di due particelle, la seconda parte del sistema
ha un hamiltoniano del tipo di una particella unidimensionale con potenziale
di legame la cui massa e' la "massa ridotta" ed ha la parte di ``hamiltoniano
d'interazione''. Nel caso di piu' particelle il formalismo si
generalizza analogamente introducendo delle masse ridotte ecc...
Le due parti di Hamiltoniano commutano. Tralasciando fenomeni di
entanglement lo stato del sistema si puo' pensare fattorizzato
in due parti. Una parte e' quella di una particella libera di massa M
e l'altra e' la funzione d'onda del moto attorno a cm.
E' chiaro che lo spettro dell'hamiltoniano totale e' per forza
continuo data la parte libera, ma ha sovrapposto ad esso una parte
(in generale solo in parte) discreta relativa alle interazioni tra
le particelle del sistema. E' questa parte di sistema e' quella piu'
interessante di cui si studiano le varie proprieta'molecolari
(momenti ecc...).
Detto cio' si puo' ancora fare il limite di massa grande delle particelle
che descrivono i nuclei. Questo limite fatto "formalmente" nell'hamiltoniano
come funzione non come operatore,
automaticamente ammazza la parte traslazionale dell'Hamiltoniano complessivo
che e' inversamente proporzionale alla massa totale, mentre si vede che
alcune coordinate interne e alcune masse ridotte tendono a diventare le coordinate
degli elettroni e le masse degli stessi le rimanenti rimangono coordinate relative
e masse ridotte, e l'hamiltoniano diventa quello che deve diventare.
Fare il limite direttamente nel mondo degli operatori non mi e' assolutamente
chiaro cosa significhi (assegnando posizione fissate ai nuclei (delta di Dirac? e
per questo che parlavi di distribuzioni??))
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 fissati? In quel caso non c'e' mai degenerazione?
Salvo improbabili casi, la degenerazione dipende dalla simmetria
dell'H. (non necessariamente palese: la degenerazione tra gli
stati s, p, d, ecc. del campo coulombiano dipende dalla famosa
simmetria dinamica, e non vale per potenziali centrali d'altro
tipo).
A nuclei H e Cl fissi, le uniche operazioni di simmetria sono la
rotazione attorno all'asse molecolare e la riflessione attorno ad
un piano contenente l'asse di simmetria. Possiamo quindi
classificare gli autostati secondo le proprieta' di
trasformazione rispetto a queste operazioni. Si trova che gli
stati completamente invarianti rispetto a queste operazioni di
simmetria sono non-degeneri (tecnicamente: appartengono ad una
rappresentazione unidimensionale del gruppo di trasformazioni
della molecola). Che lo stato fondamentale sia uno di essi lo si
scopre solo caclolando, ma di solito e' cosi'.
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 fondamentale?
Certamente la molecola, come qualunque oggetto, tende allo stato
fondamentale, ma questo non e' uno stato a momento di dipolo
permanente nullo.
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Anche questo thread, che ho in buona misura provocato io col mio
"approfondimento", l'ho seguito ma solo ora riesco a dire qualcosa.
Scusatemi.
Penso che invece di cercare di rispondere ai vari punti sollevati,
faccio meglio se ripeto piu' in dettaglio e - spero - piu' chiaramente
quello che intendevo, visto che non mi pare sia stato detto da nessuno
in modo che mi soddisfa a pieno ;-)
Abbiamo un sistema quantistico (ovviamente isolato) e siamo interessati
a imparare il piu' possibile su autostati e autovalori dell'energia o di
altre osservabili, se possibile senza fare conti espliciti, ma
sfruttando proprieta' di simmetria.
La prima cosa che voglio sottolineare e' che la scelta delle operazioni
di simmetria su cui lavorare *e' a nostra completa scelta*, e scelte
diverse possono insegnarci cose diverse.
Qui ci concentriamo su quelle simmetrie che di solito vengono
impropriamente chiamate "parita'", e io preferisco chiamare "inversioni
spaziali". Lascio il nome "parita'" per l'autovalore (+1, -1) dei
relativi autostati.
Cominciamo con un atomo, che abbia un nucleo a simmetria sferica. Il
sistema complessivo e' nucleo + elettroni, ma possiamo anche (si solito
si fa) considerare il nucleo come un centro di forza fisso. La
differenza e' se includiamo (caso a) oppure no (caso b) la posizione del
nucleo tra le osservabili del sistema.
Tuttavia, come vedremo subito, non c'e' differenza ai nostri fini tra i
due modi di vedere il sistema.
L'hamiltoniana non la sto a scrivere (tralascio spin e momenti
magnetici...).
Indico, come ha fatto Valter, con x una generica coordinata cartesiana
di un elettrone, con X quella del nucleo (caso a). Nel caso b metto il
nucleo nell'origine, bello fermo.
Definisco la seguente operazione S sulle osservabili:
caso a) x -> -x, X -> -X
caso b) x -> -x.
La definizione va completata dicendo anche come faremo trasformare gli
impulsi, ma la cosa e' ovvia: anche quelli cambiano di segno.
E' facile verificare che in entrambi i casi H e' invariante per questa
simmetria, alla quale corrisponde un operatore unitario (ancora S).
Il gruppo d'invarianza e' assai semplice: I (identita'), S. Questo
gruppo possiede solo 2 rappr. irriducibili, che sono unidimensionali, e
corrispondono agli autovalori +1 e -1 per S: parita' pari oppure
dispari.
Ne segue:
a) che non c'e' motivo di aspettarsi (per questa simmetria)
degenerazione di H
b) che e' sempre possibile classificare gli autostati di H anche con gli
autovalori di S, ossia con parita' definita.
In linea di principio niente vieta che due autostati con parita' opposta
abbiano la stessa energia, ma direi che si tratta di un fatto
assolutamente eccezionale, che non si realizza in pratica.
Veniamo ora al momento di dipolo D. Si tratta di un'osservabile
(vettore) costruita con le posizioni delle particelle, in maniera tale
che in ogni caso _anticommuta_ con S.
Da qui segue subito che il suo valor medio su uno stato stazionario e'
nullo (a parte il caso eccezionale di cui sopra).
Questo puo' essere visto come un caso semplice del teorema di
Wigner-Eckart: non e' possibile costruire un elemento di matrice <a|D|b>
non nullo con due stati a e b della stessa parita', se D ha parita' -1.
Scusate questa lunga premessa, che puo' esservi parsa inutile, ma forse
non lo e'...
Passiamo alle molecole.
Gran parte del discorso resta la stessa: cos'e' il sistema e i due modi
di considerarlo.
Dico solo che in questo caso fissare i nuclei e' un'operazione illecita
se vogliamo studiare gli autostati di H, perche' non possiamo trascurare
vibrazioni e rotazioni della molecola. L'appross. di Born-Oppenheimer e'
un'altra cosa: ci dice che e' lecito, nello studio delle vibrazioni e
rotazioni, trattare in modo _adiabatico_ gli stati elettronici, e
ridurne quindi l'effetto a un "potenziale efficace".
Mentre viceversa gli stati elettronici possono essere determinati
considerando i nuclei fissi.
Ma questo riguarda il metodo di calcolo degli autovalori, non la
struttura del sistema.
Ecco percio' che la mia proposta era di lavorare nell'approccio b, e di
considerare operazioni di simmetria su questo sistema formato di
elettroni e nuclei, ciascuno con le sua osservabili posizione, impulso,
ecc.
Definiamo S come prima: invertendo *tutte* le coordinate. Allora non
c'e' dubbio che H e' invariante. Ne seguirebbe dunque che una molecola
non puo' avere momento di dipolo?
Avevo fatto notare che esiste un'osservabile, che puo' ancora essere
chiamata "momento di dipolo": la proiezione di D nella direzione dei due
nuclei (molecola biatomica). Questo non richiede affatto che i nuclei
siano tenuti fissi: l'osservabile si definisce benissimo con un semplice
prodotto scalare. Chiamiamola D': si vede subito che D' _commuta_ con S
(proprio perche' c'e' il prodotto scalare) e quindi la regola di
selezione non vale piu': il teorema di W-E *non vieta* che il valor
medio di D' anche su uno stato stazionario non degenere possa essere
diverso da zero.
Anche il punto di vista di Enrico si puo' inserire in questo approccio:
basta definire _un'altra_ simmetria, che cambia segno alle coordinate
degli elettroni *ma non a quelle dei nuclei*: e' ovvio che H non e'
invariante, e quindi da questa simmetria non si ricava niente. Ma non
direi che "la molecola non e' invariante per inversione spaziale":
dipende da come si definsce l'inversione...
(Notate la mia terminologia: chiamo "simmetria' una trasformazione di
osservabili (operatore unitario) *comunque definita*. Se
quest'operazione lascia invariante H, la chiamo "invarianza".)
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http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia
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D'altra parte come spiegheresti il fatto che il moto di
una particella libera, che ha hamiltoniano p^2 (quindi
invariante per parita') ammette soluzioni non invarianti
per parita'? Sara' forse perche' |p> + |-p> e |p>-|-p>
sono autostati di p^2 per la parita', ovvero perche'
l'hamiltoniana ammette due stati degeneri in energia uno
pari ed uno dispari? Analogamente possiamo forse sostenere
che dato un autostato del fondamentale l'energia sia zero,
ne risulta che il momento di dipolo medio sia diverso da zero.
Purtuttavia lo stato che si ottiene da questo per una rotazione
di angolo piatto e' ancora un'autostato. Possiamo considerarne
la sovrapposizione lineare, con quello di prima ed osservare che
la parita' applica uno nell'altro. Quindi direi che la risposta
di Enrico era la risposta corretta e le domande di Valter erano
in effetti delle affermazioni in forma interrogativa.
Questo si chiama effetto di opacita' del trasparente.
(mi sento un idiota).
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Se rimani nell'ambito della meccanica quantistica non-relativistica no. 
Rimane nello stato eccitato.
ciao S. (spero di non aver detto troppe fesserie ;-))


Ciao S.

 prodotto scalare.
Visto che stiamo trattando quantisticamente i nuclei, il concetto
di "direzione dei due nuclei" non e' immediato: come lo
definisci? come valor medio della direzione di R2-R1? Se non fai
ulteriori ipotesi sulla distribuzione di probabilita' per i
nuclei, puoi trovare per esempio che queste d.d.p. hanno lo
stesso baricentro, per cui la direzione non e' definita e la tua
definizione non si applica. 
Mi sembra che tu debba comunque assumere che le d.d.p. per i due
nuclei siano due pacchettini ben definiti, ovvero che i nuclei
siano piu' o meno ben localizzati. A questo punto il sistema
(notare: il sistema, non l'H.) NON ha piu' invarianza per
inversione, vale a dire che la simmetria e' gia' rotta; il fatto
che il mom. di dipolo non sia nullo diventa quindi quasi banale,
e l'ho gia' discusso in altri messaggi.
Il punto problematico dunque non sta qui ma *a monte*: come si
rompe la simmetria? perche' un' H. con invarianza per inversione
ha soluzioni che non rispettano questa invarianza? A questa
domanda ho tentato di rispondere nel mio ultimo messaggio.


 Gracio
In parole molto semplici. Se ho un autostato |d> per l'energia con momento
medio diverso da zero e la parita' commuta con l'hamiltoniana segue che
HP|d>=PH|d>=EP|d> dunque posso considerare i due autostati P|d>+|d>
P|d>-|d> e questi saranno entrambi autostati per H e per P. Infatti, come
dicevo fin dall'inizio, la parita' dell'hamiltoniana non obbliga gli
stati ad essere simmetrici per parita'.


 domanda ho tentato di rispondere nel mio ultimo messaggio.
E secondo me la tua risposta non funziona...


 Dunque puo' darsi che tu intenda altro per fondamentale
Io intendo l'autostato dell'Hamiltoniana con autovalore piu'
basso. Non c'e` il minimo dubbio che il valor medio
dell'osservabile momento di dipolo nello stato fondamentale della
molecola HCl sia *diverso* da zero. Le mie idee sul perche'
questo accada, e sul perche' il tuo ragionamento non sia valido,
l'ho gia` illustrato altrove.


 Ciao S.


 dispari rispetto all'inversione spaziale? Cosa osta eventualmente?
Nulla osta, ma il momento di dipolo sarebbe nullo comunque.



Non c'e' da separare nessuna variabile.
Il Ground state di un sistema e' sempre positivo ovunque (lasciamo 
perdere i fermioni, che in questo contesto non c'entrano)
gli altri stati hanno obbligatoriamente dei nodi e quindi hanno energia 
piu' alta necessariamente.
ciao S

 E secondo me la tua risposta non funziona...
Non hai spiegato perche', a parte un'osservazione lessicale (il
solito problema dei linguaggi differenti...). E francamente non
mi sembra che l'abbia spiegato nemmeno Valter.


 Nulla osta, ma il momento di dipolo sarebbe nullo comunque.
Grazie, che sarebbe nullo lo sapevo gia', pero' vorrei capire meglio
il rapporto fra l'esser zero il momento angolare quadrato, e le funzioni
d'onda. A me sembra che la simmetria sferica implichi la parita'.
Pero' vorrei saperlo esprimere in modo corretto. Oppure sapere
scrivere un controesempio. Un'idea sarebbe: se applico l'inversione
e poi una rotazione di pi intorno a z e la parita' e' -1 la funzione
si annulla sul piano x,y. Di conseguenza si annulla ovunque.
Dunque sembrerebbe a me che la parita' di un autostato debba essere uno.
Errori nella dimostrazione, controesempi?


 ciao S
ciao GB


 l'ho gia` illustrato altrove.
Il fatto che lo stato effettivo di una molecola in un gas,
per quanto possa considerarsi rarefatto il gas, e' uno stato che viene
disturbato dalle interazioni con le altre molecole secondo tempi
caratteristici dell'ordine del cammino libero medio diviso per la velocita'
media (che e' funzione della temperatura). Il tempo di volo libero va
confrontato con i tempi dei processi fondamentali di transizione.
Quindi con le separazioni in energia.
Considerando gli stati di una molecola nel riferimento
del centro di massa, considerando la molecola del tutto indisturbata, ed
osservando che il momento angolare quadrato commuta con l'hamiltoniana
perche' commutano i singoli operatori di rotazione infinitesima secondo
i tre piani coordinati: allora, puoi classificare gli stati secondo energia
e
momento angolare. In linea pratica la separazione di energia fra livelli
contigui puo' essere estremamente piccola. Fra due livelli rotazionali
la differenza di energia e' regolata dal momento di inerzia che puoi
calcolare indifferentemente sullo stato fondamentale come sul primo
rotazionale senza paura di sbagliarti troppo, ma in pratica non si e'
capaci di stimarlo se non per via pratica o ricorrendo ad approssimazioni
semiclassiche.
A questo punto normalmente in chimica quantistica si parla dei vibrazionali.
Tuttavia i livelli vibrazionali stanno su un piano differente rispetto ai
rotazionali, stando a questo grado di discussione, ed io pure se penso che
un giorno potra' esistere un livello di discussione al quale i vibrazionali
ed i rotazionali potranno essere visti come aspetti particolari di un quadro
unitario, penso che al momento attuale i modi rotazionali sono
caratterizzati
mediante un numero quantico effettivo, mentre i vibrazionali sono
caratterizzati
mediante pseudo-numeri quantici, ovvero numeri quantici di un modello
approssimato. La validita' di questa approssimazione e' tutta da discutere
nel perche' e nel per come.
Ora se non si ha degenerazione in energia rispetto al momento angolare,
il fondamentale ha parita' definita e dunque momento di dipolo nullo.
Tuttavia piu' e' grande il momento d'inerzia, meno e' praticamente
osservabile il fondamentale.
Quello che, a mio parere, puo' rendere ragionevole che l'approssimazione a
nuclei
localizzati abbia una certa efficacia e' che la localizzazione comporta una
dispersione in impulso talmente grande come quella che puo' comportare
una continua interazione della molecola con altre molecole.
(Anche se una tale giustificazione puo' essere molto insoddisfacente,
io non ne possiedo di migliori).
Un'altro punto in favore di questa schematizzazione e' che trovare una
configurazione di equilibrio permette di trovare simmetrie geometriche
che consentono di orientarsi nella ridda di possibili regole di selezione
o di "quasi-selezione".
Solo che dare una giustificazione rigorosa ab-inizio di questi criteri di
simmetria di uso comune puo' essere praticamente impossibile.
Per fare un esempio: una molecola di ammoniaca ha una simmetria
diedrale di ordine tre, pero' questa e' una simmetria a pieno titolo,
ovvero una quasi simmetria? E' evidente che una molecola di ammoniaca
che vibra non e' invariante rispetto a questa simmetria, anche se la
teoria dei caratteri permette di trovare i sottogruppi di simmetria
associati che permettono di risolvere i modi normali. Questi sono
successi di un approccio misto, quantistico semi-classico, mi sbaglio?
E' possibile condurre tutti questi ragionamenti senza uscire da un
contesto strettamente quantistico?


 classe. Non mi crea problemi il fatto che sono infinite.
Mi pare che Stokastik stia dicendo che
"Il gruppo di simmetria di un sistema fisico e' sempre
un gruppo (di Lie) finitodimensionale"
Cioe', a parte le simmetrie discrete, quelle continue, se considerate
a livello infinitesimo (algebra di Lie), sono combinazioni di un numero
*finito* di generatori.
Questo non e' mica vero per un sistema quantistico arbitrario. Sara'
vero per quelli che rappresentano molecole, ma se uno prende un campo
quantizzato, nascono delle simmetrie rappresentate da gruppi di Lie
infinitodimensionali. Basta considereare le teorie conformi...


 
Ciao ad entrambi, io non credo di aver spiegato niente, ho fatto
solo delle domande di cui ormai non riesco piu' a capire le risposte
tanto si e' espanso questo thread...


 Ciao, Valter


Gianmarco Bramanti wrote:
GB> Ecco, grazie, cercavo anch'io di capire cosa fosse strano in questo
GB> discorso, stavo pensando a sistemi elastici, ma non mi quadrava perche'
GB> in quel caso c'e' sempre una distanza e le simmetrie sono finito
GB> dimensionali, tuttavia e' vero, le trasformazioni conformi richiedono un
GB> germe analitico e servono infiniti parametri per specificarne uno. Pero'
GB> non mi veniva in mente un sistema in cui l'hamiltoniana e' funzione solo
GB> degli angoli. Pero' certo pensando all'invarianza di gauge avrei dovuto
GB> sospettare la simmetria conforme.
Ciao, io invece ci ho pensato subito perche', per puro caso, sto scrivendo
un articolo su un particolare sistema che ammette una rappresentazione
centrale dell'algebra di Virasoro come algebra di generatori delle simmetrie...
Dal punto di vista molto astratto la faccenda e' la seguente.
I gruppi di simmetria finitodimensionali nascono da rappresentazioni
unitarie di un gruppo di isometrie dello spazio ambiente. I gruppi
di isometria di una varieta'sono sempre gruppi di Lie finitodimensionali.
Quando invece hai invarianza conforme, non ha piu' nessuna scala di riferimento
e non ha senso parlare di isometrie. Il gruppo geometrico interessante
e' allora quello dei diffeomorfismi dello spazio ambiente. Ma tale gruppo
non e' finito dimensionale! Quando lo rappresenti quantisticamente
ottieni un'algebra di Lie infinito dimensionale.
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Inviato via 
http://usenet.libero.it

 Inviato via 
http://usenet.libero.it
-- 


 a leggere, sarei ben lieto di "aprire gli occhi".
Si tratta del terzo articolo sull'argomento che stiamo scrivento.
Ecco i primi due:
[25] V. Moretti  and N. Pinamonti:
Aspects of Hidden and manifest SL(2,R) symmetry in 2D near horizon  black hole background
Nuclear Physics B 647, 131 (2002)
[28] V. Moretti  and N. Pinamonti:
QFT holography near the horizon of Schwarzschild-like spacetimes
(hep-th/0304102) submitted
In realta' un riassunto abbastanza elementare dei due di sopra
lo trovi sull'articolo breve seguente
(che forse e' l'unico degno di essere letto da chiunque non voglia perdere
tempo con le dimostrazioni matematiche)
[27] V. Moretti  and N. Pinamonti:
Holography, SL(2,R) symmetry, Virasoro algebra and all that  in Rindler spacetime.
  (hep-th/0304111) submitted
penso che tu sappia come scaricarli dagli achives hep-th. Senno' fammi un fischio.
Ciao, Valter
-- 


 contesto strettamente quantistico?
Non di rado non capisco quello che vuoi dire, pero' l'esempio e' bello.
L'ammoniaca ha uno _spettro d'inversione_ a microonde, che classicamente
puoi interpretare come dovuto alla vibrazione che dici (mom. di dipolo
perp. al piano di simmetria).
L'interpretazione quantistica e' invece che i livelli della molecola
formano una successione con parita' opposte: lo stato fondamentale e'
simmetrico rispetto al piano, il successivo antisimmetrico, ecc.
Le transizioni di dipolo avvengono tra stati di diversa parita'.
Domanda imbarazzante (non per me ;-) ): quant'e' il mom. di dipolo
dell'ammoniaca?
Nota che la stessa situazione si presenta, in linea di principio, per
tutte le molecole che hanno isomeri ottici, ossia (classicamente) due
configurazioni specularmente simmetriche.
Gli stati stazionari anche in questo caso hanno parita' definita, e si
dovrebbero avere transizioni tra stati a parita' opposta, interpretabili
classicamente come oscillazioni.
Solo che la barriera di potenziale tra le due configurazioni speculari
e' molto alta se la molecola e' complessa, e questo comporta due
conseguenze:
a) la separazione tra stato pari e stato dispari e' piccolissima
b) la corrispondente frequenza e' bassissima (e questo puo' voler dire
tempi geologici...) per cui di fatto uno stato asimmetrico e'
praticamente stazionario, e viene assai facilmente stabilizzato da
piccolissime interazioni esterne, che rompono la simmetria.
Nessuno ha mai visto un glucosio in sovrapposizione di destro e
sinistro: sarebbe una specie di gatto di Schroedinger :-))
Immagino che ci possano essere casi intermedi tra l'ammoniaca e -
poniamo - gli aminoacidi, ma non so abbastanza di chimica...
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Gianmarco Bramanti wrote:
GB> Trovati, grazie cerchero' nel tempo libero di trarne il possibile,
GB> a prima lettura mi mancano molte nozioni ed ho difficolta' a cogliere
GB> il senso fisico, ma ho visto anche gli altri articoli e forse leggero'
GB> prima quello sulla separazione in boost e rotazioni. Ho visto che il
GB> primo che ebbe l'idea di usare le simmetrie di SO(4) fu Schwinger, ma
GB> che capire il perche' ed il per come e' un lungo cammino di studio.
Ciao, ma a quale articolo ti riferisci?
Quello dulla decomposizione polare del gruppo di Lorentz?
Quello non c'entra niente con i tre sull'invarianza conforme
che ho citato (forse ho fatto casino con i numeretti hep-th):
e' un articolo di pura matematica, corto ma abbastanza pesante...
Il senso fisico non c'e' proprio in quello :-<<, tanto che dopo
che ho scritto quel lavoretto, un altro autore (che non conosco
personalmente), ne ha scritti altri due per spiegare il senso
fisico del risultato da me trovato.
Ciao, Valter
Ciao, Valter
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 ossia le transizioni fra i diversi livelli rotazionali.
Non e' il mio pane quotidiano, comunque se non ricordo male D
viene misurato piazzando le molecole in un campo elettrico e
misurando lo shift dei livelli rotovibrazionali.
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 dell'ammoniaca?
Ho trovato che il valore effettivo del momento di dipolo dell'ammoniaca
e' maggiore della previsione che avevo fatto grossolanamente pero' avevo
dimenticato di moltiplicare per tre. Quindi effettivamente sembrerebbe che
la grossolana stima che avevo fatto con uno spostamento di carica unitario
di lunghezza un quinto di raggio di idrogeno sia vicina al valore effettivo.
Che e' 4.6 e-30 Coulomb * m. Mentre avevo stimato 5.1 e-30 Coulomb*m
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per una molecola in cui consideri in movimento sia nuclei che elettroni, 
le autofunzioni sono sempre autofunzioni con un momento angolare totale 
ben definito e quindi hanno parita' ben definita (se chiami parita' 
l'inversione rispetto all'origine). Ma questo non e' direttamente 
correlato al momento di dipolo. Nell'HCl (tutto e' partito da li') puoi 
definire il momento di dipolo rispetto all'asse di legame, e il valore 
medio NON e' nullo.
ciao S.


Scusa, non capisco il tuo linguaggio. Se consideri i nuclei fissi, in 
qualche posizione, risolvi l'Eq. di Sch. e calcoli le energie 
elettroniche. Ti costruisci un potenziale, e poi su questo risolvi 
l'equazione per i nuclei. Mentre le energie elettroniche sono negative, 
le energie dei moti nucleari sono positive, e quindi destabilizzano la 
molecola.
Puo' accadere che, con il procedimento approssimato descritto sopra, si 
trovi uno o piu' stati, che in realta' non esistono, scompaiono, se 
risolvi l'equazione di Sch. globale, cioe' con nuclei+elettroni.
Ad esempio, la molecola di H2+ (due protoni e un elettrone), 
nell'approssimazione di BO ha un numero infinito di stati, in realta' se 
risolvi l'eq. di sch. esattamente ne trovi (se mi ricordo esattamente) 
18 di stati. (e li puoi confermare spettroscopicamente)
Questo puo' succedere anche per lo stato fondamentale, se il sistema e' 
debolmente legato.
Se ad esempio prendi due atomi di elio che interagiscono, in BO formano 
una buca piccolina. Per lungo tempo non si sapeva se la profondita' di 
questa buca era sufficiente per supportare uno stato legato. 
Recentemente si e' visto che, si, e' sufficiente a creare un e un solo 
stato per la molecola di He2.
S.


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Scusa, non capisco il tuo linguaggio. Se consideri i nuclei fissi, in 
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 S.
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 il senso di questa circostanza.
Argomentare a priori non e' facile, pero' i calcoli adesso si
possono fare, ed il risultato e' quello che dicevo: si trovano
certamente dei pacchettini d'onde localizzati corrispondenti alle
posizioni dei nuclei, pero' solo in coordinate relative (ovvero
la f d'o globale puo' essere simmetrica per rotazione). A quanto
mi dicono i miei amici che fanno questi conti, pare che basti una
perturbazione anche molto lieve per localizzare la funzione
d'onda anche nelle coordinate del laboratorio.
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Qui non sono d'accordo con il tuo linguaggio. l'approssimazione di BO 
e', a tutti gli effetti, *quantistica*. Di semiclassico non ha nulla. E" 
una approssimazione e come tale va presa, senza stupirsi troppo quando 
non funziona. E" come l'approssimazione di Hartree-Fock. In tantissimi 
casi non funziona, ma mica per questo la chiamiamo semiclassica ;-)
Per me "semiclassico" significa che i nuclei li tratti "classicamente", 
con le equazioni di Newton per intenderci.
ciao S.


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 Ciao, Valter
Ciao, Valter, non hai fatto confusione con i numeri di hep,
solo che gia' che c'ero ho dato un'occhiata agli altri articoli,
e siccome quello mi e' sembrato grazioso ho voluto dare
un'occhiata. Spero di orientarmi un minimo, sono tutti temi
tanto luminosi quanti difficili.
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