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Titolo: Raggio di bohr

Ho letto un post in cui si parlava del raggio di Bohr e di come lo si
ricavava, e la soluzione era :
         r = (h^2)/ (m * e^2)* n^2 
r = raggio
h = costante di Plank 6,626 * 10 (-34)
e = carica dell`elettrone 8,199 * 10 (-14)
m = massa dell`elettrone 9,11 * 10 (-31)
n = numero quantico (a cui ho assegnato il valore 1 )
per curiosita`ho provato a fare il calcolo, ma non mi viene quel
53 che mi aspettavo dovesse venire. Probabilmente sbaglio a fare i conti
oppure i valori che ho scritto sopra sono sbagliati.C`e`qualcuno di
buona volonta`che mi possa far vedere il calcolo in tutti i vari 
passaggi ?
Grazie
-- 
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http://www.Mailgate.ORG

 53 che mi aspettavo dovesse venire.
Ci sono alcuni problemi:
1) nella formula non compare h ma h tagliato=h/(2 pi);
2) quella che hai scritto e' nel sistema cgs, non puoi usare i valori 
del SI;
3) dove ti salta fuori quel valore per la carica dell'elettrone?
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 del SI;
Preciso: suppongo che tu stia usando i valori SI, visti i numeri, ma 
dovresti comunque indicare le unita' di misura. Nel caso della carica 
dell' elettrone, invece proprio non si capisce in che unita' sia espressa.
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 wrote in message
news:1a3a099235be89afe93...@mygate.mailgate.org
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Ah ci diresti di che post si tratta?
La formula che hai espresso e' corretta nell'ipotesi in
cui l'energia potenziale di un elettrone intorno ad un 
protone sia esprimibile come - e^2/r come e' il caso del
sistema cgs (centrimetri, grammi, secondi). Usando il sistema
MKSA ovvero metri, kili, secondi, ampere, la carica elettrica
diventa un'unita' derivata dall'ampere, la formula corretta
per il potenziale diventa -k e^2/r. Con l'ulteriore correzione
sul valore di h che e' h/2pi = 1.055*10^(-34) J*s in seguito
scrivero' h intendendo questo valore che convenzionalmente
si indica con h tagliato, pero' siccome manca la tabellina
per h.
In tal caso la carica dell'elettrone va espressa in Coulomb
e vale 1,602*10^(-19) Coulomb. E la costante di forza k vale
10^(-7)*c^2 ovvero circa 9*10^9. La formula da utilizzare 
diventa: 
r = (h^2)/ (m * k* e^2)* n^2 
se qui sostituisci i numeri trovi il risultato corretto.
Se calcolo sqrt(k)e trovo 1.52*10^(-14). Che equivale 
ad assumere come unita' di carica quella che da una forza
di un Newton fra due cariche alla distanza di un metro.
Faccio l'ipotesi che la grandezza che hai utilizzato sia
stata presa da qualche quaderno di appunti il cui 
estensore avesse fatto confusione nella derivazione 
della costante k al momento di sostituire i valori della
velocita' della luce. In effetti si troverebbe un valore
di carica prossimo a quello che hai scritto se la costante
k fosse piu' grande di un fattore 29.  
Puo' essere utile adesso ripercorrere tutti i passaggi:
si scrive l'equazione agli autovalori:
[-h^2/2m D - k e^2/r]f=Ef 
 
dunque si riformula:
(D + 2m/h^2[E+ke^2/r])f = 0
si scelgono ora le nuove unita' di 
lunghezza, energia, massa che rendono
l'equazione adimensionale e della
forma:
(D + 2*[E+1/r])f = 0
Esprimiamo la massa m come m'[M], l'energia E come E'[E]
il laplaciano che abbiamo indicato con D vale D'/[L]^2
Infine r va in r'[L]. Se ridefiniamo la massa abbiamo
m [M]. L'equazione agli autovalori prende ora la forma:
D'/[L^2] + 2m'[M]/h^2[E'[E]+ke^2/r'[L]] 
se moltiplichiamo per [L^2] ed imponiamo la forma 
cercata troviamo:
[E][M][L]^2 * (m'/h^2) = 1
[M][L] (m'/h^2)(k e^2) = 1 
Dunque abbiamo una liberta' di scelta perche' sono
tre incognite in due equazioni. Scegliamo l'unita'
di massa pari alla massa dell'elettrone. Otteniamo
allora m' = 1 ed [M] = m da cui:
[L] = h^2/mke^2 che e' il raggio di Bohr: 5.29*10^(-11)m
[E] = m (ke^2)^2/h^2 che e' la nuova scala per 
l'energia: 4.36 * 10^(-18) J. Da confrontare con
l'elettronvolt che e' 1.602 * 10^(-19) e vale:
27.21 eV. 
Una nuova unita' di tempo si ottiene dalla nuova unita'
di energia imponendo [E][T] = 2pi h ovvero uguagliando
l'azione corrispondente alle unita' di energia e tempo
al quanto fondamentale d'azione e vale 
1.52*10^(-16) s 152 as.  Risulta anche importante l'unita'
di tempo ciclico [T_c] = h/[E] che vale 2.42 * 10^(-17) s.  
Infatti risulta che [L]/[T_c] e' pari a 2pi [L]/[T]
ovvero la velocita' di percorrenza del quanto  
di azione supposto periodico su una circonferenza di
raggio [L]. Questa velocita' e' 2.18 * 10^6 m/s.
Circa un centesimo della velocita' della luce. 
Infine puo' essere utile ricordare come calcolare il 
k della forza di Coulomb. Si procede dalla definizione
di Ampere. L'ampere e' l'unita' di corrente che da luogo
ad una forza per unita' di lunghezza di 2*10^(-7) N/m 
quando scorre in due fili posti a distanza di un metro. 
Il Coulomb e' la quantita' di carica trasportata da 
una corrente di un Ampere nell'unita' di tempo. 
La forza per unita' di lunghezza e' espressa dalla
legge di Ampere come 2 k_a I I'/r dove I ed I' sono le
correnti mentre r e' la distanza fra i fili e k_a e'
la costante di forza di Ampere. Risulta che 
k = k_a * c^2. 
Da cui k = 10^(-7)*c^2.
A questo risultato si arriva ragionando
sulla legge di Lorentz. Infatti un Coulomb che scorre
nell'unita' di tempo [T] con velocita' v e' contenuto in 
una lunghezza v [T] dove v e' la velocita'
delle cariche. Dunque la carica I[T] distribuita sulla
lunghezza v [T] risente della forza di Lorentz associata
con il campo magnetico generato dall'altro filo. Questo
campo magnetico e' 2* k I'/c*r in accordo con la trasformazione
di Lorentz del campo elettrico generato dalle cariche nel riferimento
di riposo. Il fattore due dipende dal confronto fra l'elemento
di superfice unitaria della sfera che e' 4pi e l'elemento
di lunghezza unitaria per la simmetria cilindrica che vale 2pi. 
Dunque la forza di Lorentz  per l'unita' di lunghezza vale 
2*I[T]/v[T] * k I'/c*r * v/c. Ovvero 2 I*I' k /c^2 r. 
 
Io personalmente per evitare tutti questi passaggi ricordo
il numero particolarmente grandioso di 9*10^9 Newton e lo
correggo quando mi occorre il valore esatto sostituendo
9 con (2,997)^2. Mi ha sempre dato un'idea della grandiosita'
delle forze elettromagnetiche. Una quantita' di elettroni che
scorre in un secondo in un filo per generare un ampere, se
posta alla distanza di un chilometro dalla medesima quantita'
di corrente genera una forza di quasi una tonnellata. E' quindi
difficile accumulare cariche. Giusto per confronto: la forza
di attrazione gravitazionale fra le stesse quantita' di 
carica per elettroni a distanza di un chilometro vale circa
2*10^(-39) N. Se pure si sostituiscono queste quantita' con
protoni e posti alla distanza di un metro non si superano
gli 8*10^(-27)N. Tieni presente che un Coulomb di carica 
corrisponde a poco piu' di un decimillesimo di mole, inoltre
una mole di elettroni pesa 1/2000 di grammo, quindi bastano
5*10^(-9) grammi di elettroni ad un metro di distanza per sviluppare 
quella forza di 9*10^9 N. 
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 calcolo in tutti i vari passaggi ?
quale calcolo? quello che porta al valore
numerico di   r   o quello che porta alla formula ( 1 ) ?
Corrado

 3) dove ti salta fuori quel valore per la carica dell'elettrone?
  Mi puo`dire lei il valore esatto`?
  Antonella
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 Ho letto un post in cui si parlava del raggio di Bohr e di come lo si
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La formula che hai espresso e' corretta nell'ipotesi in
cui l'energia potenziale di un elettrone intorno ad un 
protone sia esprimibile come - e^2/r come e' il caso del
sistema cgs (centrimetri, grammi, secondi). Usando il sistema
MKSA ovvero metri, kili, secondi, ampere, la carica elettrica
diventa una unita' derivata dall'ampere, la formula corretta
per il potenziale diventa -k e^2/r. Con l'ulteriore correzione
sul valore di h che e' h/2pi = 1.055*10^(-34) J*s
In tal caso la carica dell'elettrone va espressa in Coulomb
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di energia imponendo [E][T] = 2pi h ovvero lasciando invariata
l'azione corrispondente alle unita' di energia e tempo e vale 
1.52*10^(-16) s 152 as.  Risulta anche importante l'unita'
di tempo [T_c] = h/[E] che vale 2.42 * 10^(-17) s.  
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correggo quando mi occorre il valore corretto sostituendo
9 con (2,997)^2. Mi ha sempre dato un'idea della grandiosita'
delle forze elettromagnetiche. Una quantita' di elettroni che
scorre in un secondo in un filo per generare un ampere, se
posta alla distanza di un chilometro dalla medesima quantita'
di corrente genera una forza di quasi una tonnellata. E' quindi
difficile accumulare cariche. Giusto per confronto: la forza
di attrazione gravitazionale fra le stesse quantita' di 
carica per elettroni a distanza di un chilometro vale circa
2*10^(-39) N. Se pure si sostituiscono queste quantita' con
protoni e posti alla distanza di un metro vale 8*10^(-27)N. 
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 ricavava, e la soluzione era...
Bohr parte dall'ipotesi che il momento angolare L delle
orbite elettroniche sia quantizzato, potendo assumere solo
valori che sono multipli interi della costante di Planck
ridotta hbar = h/(2 pi):
    L = n hbar.
In meccanica classica L su un'orbita circolare assume il
valore:
    L = m r v.
Sempre in meccanica classica, la forza di Coulomb fra
elettrone e protone deve assumere il ruolo di forza
centripeta:
    e^2 / (4 pi epsilon0 r^2) = m v^2 / r.
Ricavi:
    m v^2 / r = L^2 / (m r^3) = (n hbar)^2 / (m r^3)
quindi:
    e^2 / (4 pi epsilon0 r^2) = (n hbar)^2 / (m r^3)
e infine:
    r = 4 pi epsilon0 (n hbar)^2 / (e^2 m)
che è l'espressione corretta.
Inoltre e=1,602*10^(-19) in unità SI.
Paolo Cavallo

 n = numero quantico (a cui ho assegnato il valore 1 )
Il conto non ti viene per due motivi. Il primo e' che "h" e' in
realta' "h tagliato", ovvero \hbar=h/2\pi. Secondo, non ho mai visto
quel valore per la carica dell'elettrone (a proposito: le unita' di
misura?). Per quel che ne so io la carica dell'elettrone e'
e = 1.602 * 10^{-19} C
  = 4.803 * 10^{-10} ues
Prova a rifare i conti e vedrai che ti tornano, ma ripeto: attenzione
alle unita'! Se usi il S.I. devi aggiungere un 4\pi\epsilon_0...
Davide Campagnari

 dell' elettrone, invece proprio non si capisce in che unita' sia espressa.
Grazie per avermi risposto.........e`evidente che (come lei ha
evidenziato)
commetto degli errori non indicando le unita`di misura ed anche per
l`elettrone non si capisce.In effetti era proprio questo che io
chiedevo,
che qualcuno mi facesse vedere per esteso il calcolo completo,con
unita`di misura e valori esatti.
Antonella
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Inviato via 
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