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Titolo: fisica celeste elementare

Buonasera al Newsgroup,
vi propongo il seguente problema di cui non ho capito bene il testo, per
questo mi farebbe piacere discuterne con voi:
Un satellite artificiale parte dalla superficie della Terra in direzione
orizzontale con velocità v_0. Determinare la minima velocità iniziale v_min
affinché il satellite descriva un'orbita attorno alla Terra. Quale
traiettoria descrive il satellite in corrispondenza a questa velocità?
Bene, io ho proceduto così. In sintesi, dalla conservazione del momento
angolare del satellite
R_T v_0 = R_{a/p} v_{a/p}
e dalla conservazione dell'energia totale del satellite,
1/2 (v_0)^2 - GM / R_T =
= 1/2 (v_{a/p})^2 - GM/R_{a/p}
in cui ho necessariamente supposto che il moto del satellite avvenisse lungo
una traiettoria ellittica (ivi compreso il caso in cui l'ellisse abbia
eccentricità =0) ; R_{a/p} è l'intensità del vettore posizione del satellite
nel punto (afelio o perielio che sia) della traiettoria. Ho scritto la prima
equazione sfruttando il fatto che nell'afelio e nel perigeo velocità e
posizione sono ortogonali. v_{a/p} è la velocità nel punto idividuato dal
vettore vec R_{a/p} .
Ho trovato due soluzioni:
la prima, quella corrispondente al moto circolare uniforme R_{a/p} = R_T ;
v_{a/p} = v_0
la seconda, corrispondente al moto lungo una traiettoria ellittica,
R_{a/p}= v_0^2 R_T^2 /(2GM_T -v_0^2R_T)
v_{a/p}= (2GM_T -v_0^2R_T)/ v_0 R_T
Il mio problema è : non so valutare quale delle due soluzioni fornisca la
soluzione al problema.
Grazie per ogni vostro aiuto
Tern


Probabilmente questa sara' pubblicata insieme ad altre cento risposte...
La soluzione e' molto semplice se si trascurano una serie di cose tra 
cui le montagne, la non sfericita' della terra, la velocita' angolare 
della terra stessa, l'attrito dell'aria, etc etc che, sicuramente, chi 
ha posto il problema non voleva considerare: il modulo della velocita' 
minima vista da un osservatore fuori della terra e' quella che mette  il 
satellite su un orbita circolare radente la superficie terrestre - cioe' 
di raggio R_t=6.37x10^6m.
Su quest'orbita l'accelerazione del satellite (chiamata comunemente 
centripeta) V^2/R_t e' uguale all'accelerazione di gravita' alla 
distanza R_t dal centro della terra (circa 9.8 m/sec^2).  Risultato: 
V=7.9 m/s.
Il tuo procedimento utilizzava formule corrette ma non portava alla 
soluzione che ti veniva richiesta.
Daniele Fua
Uni. Milano-Bicocca

 la soluzione al problema.
Il tuo problema e' che hai scritto le equazioni giuste, ma le
interpreti male.
(Terminologia: stiamo parlando di apogeo e pergeo, che insieme si
chiamano "apsidi" (o "absidi"). L'asse maggiore dell'ellisse nel gergo
astronomico viene chiamato "linea degli apsidi".)
Quello che tu hai fatto, e' di scrivere le relazioni per la
conservazione di energia e mom. angolare agli apsidi: non sai quale dei
due si apogeo e quale perigeo.
Le due soluzioni non corrispondono a due diverse arobite, ma
semplicemente alle due posizioni apsidali: hai assegnato energia e
mom. angolare in funzione dei parametri R_T, v_0, e hai trovato che
uno degli apsidi e' appunto in R_T v_0, l'altro in R_{a/p}, v_{a/p}.
Ora devi solo imporre che entrambi gli apsidi siano fuori della Terra,
ossia che R_{a/} >= R_T.
Mi hai ricordato il mio esame di Fisica I, nel quale nacque una
controversia molto simile sull'interpretazione di una doppia soluzione
in un problema d'urto, tra me e l'esaminatore.
Naturalmente avevo ragione io :-)))
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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