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Titolo: Stati intermedi

Salve a tutti,
in questi giorni sto avendo un discussione con un tizio, in un NG 
inglese, riguardo la fuzzy logic ed l'esistenza di uno "stadio 
transizionale" in ogni processo naturale, ovvero, secondo il mio punto 
di vista, che è anche quello della fuzzy logic, il bianco e nero sono 
solo i due estremi di una scala di infiniti grigi.
Il tizio di cui sopra ha portato un esempio che poco c'entrava con il 
discorso generale che si stava facendo, e che secondo lui dimostrerebbe 
che io ho torto, ma, come avrete intuito, io ritengo che sia, al 
contrario, una dimostrazione lampante del fatto che ho in realtà ragione.
Ora da appassionato quale sono di Fisica e di tutte le scienze, ma non 
esperto in materia, potrei benissimo sbagliarmi, e pertanto vorrei 
chiedere il parere di gente più esperta di me riguardo l'argomento.
L'esempio che la persona ha portato è la, suppongo ben conosciuta dai 
presenti, reazione di fusione termonucleare di 4 nuclei di idrogeno in 
uno di elio. Il tizio asserisce che, evidentemente, non c'è alcuno 
stadio intermedio nella trasformazione, ovvero fino ad un certo punto 
abbiamo i 4 atomi di idrogeno e, improvvisamente abbiamo un atomo di elio.
Ora, assumendo che il processo di fusione in sé richieda un determinato 
tempo per compiersi, non significa questo che, durante la fusione, 
esiste un qualche tipo di materia "intermedia" che non è più idrogeno ma 
non è neanche ancora elio?
Ovviamente, se la reazione di fusione fosse istantanea (tempo di 
trasformazione H -> He = 0), il tizio avrebbe ragione, ma qualcosa mi 
dice che effettivamente la fusione in sé richieda un determinato tempo, 
quantunque infinitesimale, da cui la mia asserzione.
Spero di non aver suscitato ilarità in alcuno dei presenti :) Sto 
parlando in qualità di profano ed in base a ragionamenti logici.
Grazie anticipatamente per ogni eventuale risposta,
Fabio

Humm... Io ci riprovo: non capisco perché, ma il messaggio non mi è 
passato la prima volta che l'ho mandato...
-----


Premesso che non sono un fisico, per ciò che mi riguarda tu hai
ragione.
Facendo un parallelo di tipo "meccanico", l' idea del tuo amico mi
pare che possa essere riassunta nella convinzione che sia possibile
far passare in tempo nullo una massa (non nulla ovviamente) dalla
condizione di quiete alla condizione di velocità costante (cioè il
passaggio tra due stati fisici distinti tra loro e a contenuto
energetico diverso).
Poichè però questa eventualità, cioè riuscire ad generare una
differenza di velocità in un tempo nullo, richiede che venga impressa
un' accelerazione infinita e quindi una forza infinita, ho il leggero
sospetto che qualcuno nelle "alte sfere" torcerebbe il naso...
Non so se questo paragone sta in piedi, ma mi pare che l' esempio che
tu riporti implichi proprio questo: la fornitura (endogena o
esogena..) di un' energia infinita necessaria a far assumere a un
sistema fisico due stati energetici diversi in tempo zero. E tutti
quanti sappiamo che nemmeno in tutto l' Universo c'è energia infinita
(o mi sbaglio?).
E poi, dato che nel nostro mondo fisico mi pare che ci sia un limite
superiore per ciò che riguarda le velocità (la velocità della luce),
come si può pensare che la "riorganizzazione" atomica del sistema che
tu indichi possa avvenire a velocità infinita (cioè tempo nullo) ??
Magari ho detto un marea di vaccate, ma per me funziona così.
Saluti

 
Ciao, non ho ben chiaro l'esempio trattato dal tuo corrispondente.
Tuttavia sono, in linea di principio d'accordo con lui.
Voglio dire, quando consideri processi quantistici, se assumi
l'interpretazione standard della MQ, nei processi di misura non esistono
stati intermedi. Quando misuri l'impulso di una particella che, prima
della misura NON ha impulso definito, immediatamente dopo il processo
di misura l'impulso e` definito e non ci sono stati stati intermedi.
Questo perche`, nell'interpretazione standard il processo di misura
NON e` un processo dinamico. Il problema e` se sia possibile estendere
la dinamica quantistica includendo l'oggetto osservato e lo strumento
di misura in un unico sistema dinamico descritto da una equazione
di Schroedinger complessiva... Che io sappia, per ora, nessuno e` stato
in grado di costruire una descrizione coerente del processo di misura
quantistica.
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 quantistica.
La mia era una domanda che esulava dall'effettiva capacità di 
misurazione dei nostri strumenti, sia fisici che matematici.
La domanda è: una qualsiasi reazione chimico/fisica, come può essere, ad 
esempio,
     ¹H + ¹H -> ²H + positrone + neutrino
avviene in un tempo che è maggiore di 0 secondi?
Se la risposta è affermativa, mi pare evidente che ci deve essere uno 
stadio transizionale durante il quale esiste un "agglomerato" di materia 
nel quale non è più possibile distinguere i due ¹H né si può ancora 
parlare di ²H, né si vedono ancora il neutrino ed il positrone.
Potrei sbagliarmi della grossa, ma in tal caso vi pregherei di farmi 
notare perché.
Fabio Alemagna

quantistica.
Mi sembra un'affermazione un po' eccessiva.
Una cosa e` dire che certe descrizioni (es. Everett) non
sono verificabili, o non soddisfano per una ragione o per
un'altra. Altro e` dire che non sono coerenti.
Ciao
Paolo Russo

 
Ciao, si hai ragione, coerenti non e`proprio la parola giusta
se includiamo anche le cose che dici tu, in tal caso la parola
giusta forse e` 'convincenti'.
In ogni caso, non mi riferivo a cose come l'interpretazione
a molti mondi, ma ad altre cose: fare un modello di
strumento di misura quantistico anche se a un numero enorme di particelle
e scrivere l'equazione di S. per lo strumento insieme all'oggetto
osservato e vedere se viene fuori qualcosa che assomigli ad un
"processo di misura".
Mi riferivo a questo genere di approcci...


 misurazione dei nostri strumenti, sia fisici che matematici.
Non c'`ntra con la capacita` di misurazione. Tu stai assumendo
che il risultato della misura esista prima che si faccia la misura.
La meccanica quantistica in generale dice che non e` cosi':
il risultato e lo stato stesso del sistema vengono fissati nel
momento in cui la misura viene fatta. E` molto difficile
(forse impossibile) interpretare gli effetti quantistici assumendo
un altro punto di vista.
Per il resto, non sono un esperto di fisica nucleare e non saprei
risponderti, ma se il processo e` assimilabile ad una transizione
quantistica del tipo di "effetto tunnel", allora non esistono stati
intermedi.


"processo di misura".
Non sono sicuro di capire bene cosa intendi. Non so bene come
i fisici maneggino questo tipo di cose. Come caspita si fa a
fare un modello con un numero enorme di particelle e a
seguirne l'evoluzione? Per via analitica la vedo dura e
numericamente non mi pare tanto meglio, dato l'enorme numero
di dimensioni dello spazio di Hilbert. Immagino si debba
ricorrere a drastiche semplificazioni, definendo gli stati in
modo un po' piu' astratto. Ma allora non riesco a seguirti,
un po' perche' mi sembra che in definitiva sia cio` che fa
Everett (per questo ti avevo risposto in quel modo), un po'
perche' non mi e` chiaro come l'evoluzione temporale con
l'eq. di Schr. di un *qualunque* modello di strumento di
misura possa mai portare ad un collasso della funzione d'onda
che sia reale e non solo apparente "alla Everett".
Mi spiego meglio (o almeno ci provo). Supponiamo di aver
preparato un elettrone (che so, mandandolo contro un
cristallo) in modo tale che possa emergerne in due direzioni
diverse: lungo le due possibili traiettorie poniamo due
rivelatori, ad un metro di distanza l'uno dall'altro (anzi,
semplifichiamo, ne basta uno, tanto se l'elettrone non e` da
una parte non puo` che essere dall'altra). Diciamo che, prima
della misura, l'elettrone e` in uno stato |e>=c1|e1>+c2|e2>,
dove e1 ed e2 rappresentano posizioni piu' o meno ben
localizzate dell'elettrone a circa un metro di distanza l'una
dall'altra, e lo strumento e` in uno stato |s>. Se U(t,t0) e`
l'operatore di evoluzione temporale, si tratterebbe di vedere
se puo` accadere che T(t,t0)|s,e>=|s1,e1> (supponendo che sia
quello l'esito della misura). Francamente, non mi riesce di
vedere come cio` sia possibile senza violare la conservazione
locale della norma, insomma non vedo da dove dovrebbe
transitare la funzione d'onda negli stati intermedi. Provo a
rappresentare graficamente quello che intendo dire,
rappresentando molto simbolicamente una sola delle dimensioni
relative allo stato di s e una sola delle dimensioni dello
stato di e (consiglio di visualizzare con un font non
proporzionale tipo il Courier, altrimenti non ci si capisce
nulla):
Stato iniziale |s,e>=|s>(c1|e1>+c2|e2>):
(con A e B indico zone dello spazio di Hilbert dove la
funzione d'onda e` non nulla; A=c1|s,e1> e B=c2|s,e2>)
  s
  |
 s+  A    B
  |
  |
s1+
  |
  |
  O--+----+--e
     e1   e2
Stato finale |s1,e1>=|s1>|e1>:
  s
  |
 s+
  |
  |
s1+  C
  |
  |
  O--+----+--e
     e1   e2
Dato che la norma e` soggetta a conservazione locale, nel
tempo tra t0 e t la funzione d'onda deve fluire con
continuita` da A e B a C. Che la parte A del pacchetto d'onde
si muova da A a C non mi sembra ponga particolari problemi:
il moto lungo l'asse s rappresenta la generica evoluzione
dello strumento di misura. Il problema e` come possa l'onda
fluire da B a C. Quella parte del pacchetto d'onde dovrebbe
muoversi lungo entrambi gli assi, e quello che da` problemi
e` l'asse e, che rappresenta quella componente dello stato
del sistema che corrisponde alla posizione fisica
dell'elettrone (e1 e e2 rappresentano posizioni
dell'elettrone distanti un metro). Questo significa che tra
t0 e t l'elettrone dovrebbe essere localizzabile in una
posizione intermedia (con probabilita` complessiva |c2|^2),
cosa decisamente inverosimile: durante il collasso dovrebbe
essere possibile rilevare l'elettrone a meta` strada tra le
posizioni e1 ed e2... il "mezzo elettrone" dovrebbe insomma
uscire da un rivelatore ed entrare nell'altro, anche se
magari c'e` un muro in mezzo. E dovrebbe farlo pure a una
velocita` pazzesca, presumo.
Naturalmente non ho tenuto conto della rimanente miriade di
dimensioni dello spazio di Hilbert, ma la loro esistenza non
esime il pacchetto d'onde dal dover attraversare, tra le
tante, *anche* la dimensione e. Da questo punto di vista la
complessita` dello strumento di misura mi appare irrilevante.
C'e` qualcosa che mi sfugge?
Per inciso, per Everett lo stato finale sarebbe:
  s
  |
 s+
s2+       D
  |
s1+  C
  |
  |
  O--+----+--e
     e1   e2
(in effetti |s> e |s2> possono coincidere se c'e` un
rivelatore solo).
L'onda passa da A a C e da B a D, ma nessuna sua parte
attraversa la dimensione e, quindi il problema non sorge.
Aggiungo che ho estrema difficolta` ad immaginare soluzioni
alternative, SE manteniamo valida l'eq. di Schr..
Ciao
Paolo Russo

 seguirne l'evoluzione? 
Ciao, ci sono diversi modelli di tipo statistico, non sono un esperto 
e noj ricordo bene come si procede.
In ogni caso e` chiaro che il "collasso" nudo e crudo che si postula
in MQ non puo` avvenire, anche per i motivi che dici tu, per questo
dicevo "viene fuori qualcosa che assomigli ad un processo di misura".
C'`e un bel libro ormai un po` vecchio che parla un po` del problema 
e di molto altro: "le teorie fisiche" di Dalla Chiara e Toraldo di Francia 
della Boringhieri (serie di logica matematica) 1976.
Poi c'e' un libro dell'inizio degli anni 90 
che mi pare si intitoli "speakable and non speakable
(o unspeakable) in physics" che deve essere di Bell (o Bohm? mi pare il
primo) che lessi circa 10 anni fa, dove si mostravano tutti i tentativi per
risolvere il problema della misura all'interno della MQ standard. 
Purtroppo non sono in universita` e non ho un areferenza precisa...
Non sono in grado di dirti altro.
Ciao, Valter

       e1   e2
Perche' "per Everett"? Questo accade per chiunque, se ammette che
l'evoluzione temporale sia lineare.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

 primo) che lessi circa 10 anni fa, 
L'ho trovato nell'indice elettronico della nostra biblioteca
Name(s) :Bell, J.S.
Title(s) :Speakable and unspeakable in quantum mechanics:
Publisher :Cambridge university press Cambridge
Publ Year :1997 Contains :XII, 212 p. ill. 23 cm
Title series :Collected papers on quantum philosophy
Author(s) note :J.S. Bell
ISBN/ISSN/ISMN/Impr. :0-521-36869-3
Subject :Meccanica quantistica
Pero` deve essere sbagliato l'anno di pubblicazione
oppure io ne lessi una versione preliminare (doveva essere
il '92 o '93 al massimo)
 
 Ciao, Valter
 
-- 


Poi c'e' un libro dell'inizio degli anni 90 [...]
Grazie per le segnalazioni. In effetti non sono del tutto a
digiuno sull'argomento, ma piu' che altro mi mancano
GRW e Zurek. Un articolo di Zurek di 50 pagine che mi
hanno gentilmente segnalato l'ho scaricato ma non ho
ancora trovato il tempo di leggerlo; il libro di Ghirardi
devo ancora procurarmelo. Eh, la pigrizia... :-(
Ciao
Paolo Russo

l'evoluzione temporale sia lineare.
Che sia lineare *sempre*, direi lo ammetta solo Everett (e
sostenitori). A dir la verita` ci sarebbe anche Bohm ma nel
suo caso bisognerebbe fare un discorso a parte (altra roba
stranota, naturalmente).
Ciao
Paolo Russo

 almeno della proprieta` per cui una seconda misura, 
Ciao.
Ti ripeto, ho letto qualcosa in proposito 10 anni fa sui
libri che ho citato, per cui non mi ricordo quasi niente
di quello che veniva fatto allora...Non ho in mente niente
di preciso, solo vaghi ricordi di qualcosa che dovresti
trovare sulla bibliografia che ti ho detto. Anzi, visto che
mi pare che tu ti occupi proprio di queste cose, probabilmente
anche quei libri saranno superati!
(Io non mi occupo di misura quentistica come ricerca per cui non ci
ho mai pensato seriamente.)
Ciao, Valter
-- 


 "separabili"?
Scusa il lungo ritardo, ma tra l'altro ho il mio provider che mi sta
dando delle noie e mi fa perdere un sacco di tempo per leggere e
scrivere. 
Mi limito a dire qualcosa su questo punto specifico.
Spazio di Hilbert separabile e' di fatto quello che tu conosci, ossia
uno sp. di H. che ammette una base ortonormale completa numerabile. Non
e' banale vedere che esistono anche spazi non separabili, e per fortuna
non ce ne dobbiamo occupare per i nostri argomenti.
Ma per la precisione, se avessi detto che tutti gli sp. di Hilbert sono
isomorfi penso che qualcuno mi avrebbe corretto (giustamente).
Torniamo alla questione che mi diede da pensare.
Immagina un oscillatore armonico 2-dimensionale e anisotropo, ossia tale
che le frequenze proprie secondo due direzioni ortogonali siano diverse,
e supponiamo anche che le frequenze siano in rapoorto irrazionale.
Ovviamente possiamo classificare gli stati secondo due numeri quantici,
n1 e n2, che danno l'energia delle due oscillazioni indipendenti. Questo
perche' la hamiltoniana totale e' la somma di due ham. di osc. arm.
unidimensionali: H = H1 + H2 (a rigore dovrei scrivere un po' di
prodotti tensoriali...). H1 e H2 commutano, e hanno risp. autovalori
(n1+1/2)h*w1 e (n2+1/2)h*w2 (con h indico h tagliato). 
Dunque una base nello spazio di Hilbert del sistema e' data dai vettori
|n1,n2>.
E fin qui e' tutto ovvio.
Ora osserviamo che lo stato |n1,n2> e' autovettore di H, con autovalore
(n1 + 1/2)h*w1 + (n2 + 1/2)h*w2, e che questi autovalori *non sono
degeneri*, visto che w1 e w2 sono incommensurabili. L'insieme dei
vettori |n1,n2> e' numerabile, e posso percio' rinumerarlo con un unico
numero quantico n; gli autovalori di H sono funzione di n, anche se la
funzione non e' semplicissima da scrivere.
Conclusione: il sistema *bidimensionale* puo' essere descritto con *un
solo* numero quantico n ovvero con gli autovalori di *un'unica*
osservabile H.
Domanda: come ci si potrebe accorgere, dato lo spazio di Hilbert, la
base |n> e gli autovalori di H, che si tratta di un sistema
bidimensionale? Oppure la domanda, che classicamente e' del tutto
naturale, in m.q. non ha senso?
Per ora non provo a dare la mia risposta, in attesa di commenti ;-)


 Per ora non provo a dare la mia risposta, in attesa di commenti ;-)
Ciao, la domanda ha senso. Non ho molto tempo per pensarci,
ma mi pare che la risposta sia la seguente: usando la base 
detta, riesci a costruire nello spazio degli stati 
due rappresentazioni irriducibili ortogonali
dell'algebra di Weyl-Heinsenberg (algebra delle P e Q)
usando gli elementi di matrice di tali operatori.
Un teorema di von Neumann ti assicura che esiste una trasformazione
unitaria che ti mappa lo spazio di Hilbert in L^2(R) tensor L^2(R) 
e trasforma gli operatori nei soliti P e Q (in ciascuno spazio). 
(Lo stesso teorema ti assicura che non esiste un analogo isomorfismo 
che fa lo stesso gioco con piu` o meno copie di spazi L^2(R)
con gli operatori P e Q in ciascuno spazio.)
In questo senso il sisitema e` bidimensionale perche` somma diretta
di due rappresentazioni irriducibili dell'algebra di Weyl-Heisenberg.
Ciao, Valter

Buongiorno, Elio Fabri ha scritto:
[cut]

Tento qualche osservazione.
Visto che la domanda ha senso classicamente, si potrebbe provare a
vedere cosa accade nel limite classico, ad es. per temperature elevate
rispetto alla separazione dei livelli si otterrebbe per l'energia media 
dell'oscillatore il valore 2*k*T al posto di k*T dato che l'oscillatore ha
due gradi di liberta' e la funzione di partizione che si calcola conoscendo
i soli livelli energetici di fatto e' il prodotto delle funzioni di partizione di
due oscillatori indipendenti.
Pero' in questo modo riesco ad accorgermi che il sistema ha due g.d.l.
perche' suppongo gia' di sapere che si tratta di un oscillatore armonico,
non so come si potrebbe fare senza avere questa informazione.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 non so come si potrebbe fare senza avere questa informazione.
Infatti il risultato 2kT lo trovi perche' la densita' degli stati dn/dE
invece di essere costante, come accade per l'osc. unidim., cresce come E
per quello bidim.
Ma la stessa dipendenza di dn/dE da E la potresti ottenere con un
sistema unidim., modificando la forma del potenziale V(x). Se non ho
sbagliato il conto (fatto a mente) ci vuole V(x) prop. a x^{2/3).
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

 usando gli elementi di matrice di tali operatori.
Se ho capito che cosa intendi per rappr. irrid. ortogonali, non capisco
perche' non ne posso fare soltanto una.
E' chiaro che una base numerabile la posso numerare con uno, due, ...
indici a mio arbitrio.
L'unica differenza saranno gli autovalori dell'energia, che in un caso
saranno (n1 + 1/2)*hw1 + (n2 + 1/2)*hw2, mentre nell'altro avranno
un'espressione piu' complicata. Ma se scelgo la numerazione in modo che
gli autovalori siano funzione crescente di n, penso che potro' sempre
trovare un potenziale che mi da' proprio quegli autovalori (questo in
realta' e' un altro problema: e' sempre possibile?)
-- 
Elio Fabri


 un'espressione piu' complicata. 
Ciao, ho capito, avevo frainteso la tua domanda.
Credevo che volessi sapere come risalire ai due oscillatori
avendo a disposizione solo lo spettro. Invece tu ti chiedi
SE i due oscillatori sono l'UNICO sistema hamiltoniano (che
quindi e` in particolare bidimensionale) compatibile con quello
spettro (inclusa la degenerazione). Non saprei.
 > Ma se scelgo la numerazione in modo che
 > gli autovalori siano funzione crescente di n, penso che potro'sempre
 > trovare un potenziale che mi da' proprio quegli autovalori (questo 
     > in realta' e' un altro problema: e' sempre possibile?
Secondo me no, pero` non ci ho mai pensato.


 realta' e' un altro problema: e' sempre possibile?
Ci ho pensato un po`, al problema generale che poni per ultimo e
credo che la risposta sia NO. Spiego perche'. 
Considera una buca V(x) unidimensionale qualsiasi che a parte un po`
di oscillazioni poi diverge a +oo se |x|-> +oo in modo da avere
spettro solo discreto. Se prendi una retta orizzontale ad ordinata
molto alta  E e consideri i valori x1(E) < x2(E) tali che V(x1(E)) = 
V(x2(E))=E deve accadere che V(x2(E))-V(x1(E)) -> +oo se E-> +oo.
Ora, considera la stima WKB per gli autovalori di H = P^2/2M + V
int_{x1(E_n)}^{x2(E_n)} dx (E_n-V(x))^{1/2} ~ C (n+  1/2)
dove C e` una costante positiva. 
Se E_n (cioe` n) e` molto grande, l'integrale lo approssimi brutalmente con 
E_n^{1/2} (V(x2(E_n))-V(x1(E_n))
per cui
(n+  1/2) / E_n^{1/2} ~ (V(x2(E_n))-V(x1(E_n)) -> oo per n-> oo
Questo significa che 
E_n cresce al piu` (ma non ci arriva) come n^2
Allora se prendi un insieme di autovalori che crescono
come n^4 per es, non dovresti riuscire a trovare un potenziale
che li descriva. 
La "dimostrazione" di sopra  dal punto di vista matematico
e` pietosa, ma credo che si possa arrivare a dimostrare per via rigorosa 
che il risolvente di sqrt{P^2/(2M) +V} non sia mai di classe traccia se V
e` positivo e diverge a +oo per |x|-> oo o qualcosa di simile, 
che equivale a quanto detto sopra. 
Ciao, Valter

 E_n cresce al piu` (ma non ci arriva) come n^2
OK, ma per un osc. bidimensionale (anche anisotropo) E_n cresce come
n^{1/2}, quindi non darebbe problema.
Invece secondo me il problema e' dato dal fatto che se le frequenze sono
incommensurabili esistono livelli vicini quanto vuoi, e temo che non si
possa arrangiare un potenziale che li soddisfi.
Oppure, fatta salva la condzione che hai detto, pensi che un V(x) si
possa sempre trovare?
Al momento non vedo come si fa a trovare V dati gli autovalori... E' un
problema noto? Suppongo di si'.


 
Forse si ma non ne ho trovato traccia in letteratura
(consultando i testi sacri come Reed & Simon), anche se
mi pare davvero strano.
Ciao, Valter
-- 


 (Remove the Lock in your replies)
 
I problemi complessi hanno sempre una soluzione semplice, ma č quella sbagliata.