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Titolo: traiettorie con periodicità

Salve.
Una domanda di Dinamica Elementare.
Disponiamo di un vettore forza applicato ad un punto materiale dotato di
massa (inerzia), nel vuoto (vuoto di campo e di materia).
Qual'è il modo *più semplice*, secondo voi,  per ottenere una traiettoria
dotata di periodicità?
Per periodicità deve intendersi - come mi pare comunemente si intenda - che
il punto materiale descrive nel corso del periodo che si ripete la stessa
traiettoria, con le medesime caratteristiche cinematiche (andamento del
vettore velocità),  impiegando quindi sempre lo stesso tempo.
Luciano Buggio

Giovanni (Roma)
-> basta 'a salute e 'n par de scarpe nove
   e poi gira' tutto er monno 
-> en ma fin c'est mon commencement

 determintata velocita' e posizione)
Non pero' un *qualunque* campo centrale. Gli unici campi che
danno sempre traiettorie chiuse sono quello
newtoniano-coulombiano F=k/r^2 (purche' il moto sia limitato) e
quello armonico F=kr.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

quello armonico F=kr.
Sicuro? non farmi riesumare il Goldstein dalla soffitta...
mi pare che anche qualche altra potenza (oltre r^-2) andasse bene...


quello armonico F=kr.
Se interessa, non sono gli unici.
Considera la seguente forza centrale:
(1)	F=(C/r^3)-(f/r^2)
di un campo newtoniano perturbato. L'orbita e` (anche) un'ellisse.
Cfr: perielio di Mercurio.
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
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 quello armonico F=kr.
Domanda:
Se si accetta la definizione di periodicità fornita nella posizione del
problema (e che più sotto ricopio), si ammettono solo traiettorie chiuse?
**Per periodicità deve intendersi - come mi pare comunemente si intenda -
che
il punto materiale descrive nel corso del periodo che si ripete la stessa
traiettoria, con le medesime caratteristiche cinematiche (andamento del
vettore velocità),  impiegando quindi sempre lo stesso tempo.**
Saluti.
Luciano Buggio


 determintata velocita' e posizione).
Al di là del mancato rispetto delle condizioni poste, un campo di forze "ben
orchestrato sarebbe comunque un'ipotesi molto complessa: avremmo bisogno di
un numero infinito di vettori forza, ognuno per ogni punto del continuo
spaziale, diretti verso un centro e con modulo opportuno a seconda della
distanza da esso.
Qui si chiede il quadro dinamico più semplice, utilizzando esclusivamente
*un vettore forza applicato ad un punto nel vuoto di campo*.
Ciao.
Luciano Buggio


 quello armonico F=kr.
Perchè sono gli unici? O in altre parole... dove posso
trovare tale dimostrazione? :)
Ciao e grazie.
Daniele S.

problema (e che più sotto ricopio), si ammettono solo traiettorie chiuse?
no!
Si ammettono anche (e solo le piu' facili) traiettorie che collidono
con il pianeta.
condizioni iniziali : x = qualunque xpunto = 0.


 dove posso trovare tale dimostrazione? :)
Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, par 8.D.


 Se interessa, non sono gli unici.
E invece lo sono. Rileggi, sto parlando di potenziali che danno
*sempre* traiettorie chiuse nel caso di moto limitato. Ovviamente
esistono tanti potenziali che hanno *qualche* traiettoria
periodica per specifiche condizioni iniziali, esempio banale:
U=kr^4 se il mom. angolare e' 0.


 U=kr^4 se il mom. angolare e' 0.
Vorrei un paio di chiarimenti:
a) Per "moto limitato" intendi che la traiettoria, anche dopo un numero
infinito di periodi,  è confinata in una limitata regione di spazio? O che
altro?
b) Nel caso si formi una "rosetta" (come nel newtoniano perturbato di rez)
che cosa consideri "periodo", la durata della singola orbita "aperta"
(precessione temporale) o "a cappio" (precessione spaziale) - che non è
un'ellisse e non ricalca se stessa - , o quello del compimento dell'intera
rosetta (o di un numero >1 di rosette), quando cioè un "perielio" va a
cadere esattamente in un punto in cui si trovava un precedente perielio?
Insomma, che cos'è la periodicità di  una traiettoria?
Ciao.
Luciano Buggio


*sempre* traiettorie chiuse nel caso di moto limitato.
Gia`.. non ci avevo proprio badato:-(  THNX!


 wrote in message
news:ueaR7.279908$sq5.13...@news.infostrada.it...

Desidererei, se possibile, riportare il dibattito al tema proposto.
Le risposte che ho ricevuto hanno spostato il problema ad una situazione di 
campo che nella posizione del problema io avevo escluso.
Chiedo quindi semplicemente se sia possibile ottenere una traiettoria dotata 
di periodicità servendosi solo di un vettore forza nel vuoto (vuoto anche di
campo).
Grazie a chi vorrò rispondermi.
Luciano Buggio.
-- 
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 loro.
Mi sono accorto solo oggi di questo tuo Reply (con le risposte alle domande
da me poste).
Mi riferisco alla seconda tua risposta.
Mi risulta che è detta periodica una funzione vettoriale del tempo
Q(t)=[Q1(t),...,Qn(t)] se esiste un numero reale positivo T tale che per
ogni t:
1)     Q(t+T)=Q(t).
Ora secondo questa definizione il singolo "petalo" della rosetta
(un'"ellisse aperta") non può essere considerato il periodo  (in senso
spaziale e temporale), perchè le coordinate spaziali sono diverse alla fine
di ogni T successivo, e la (1) non vale.
Quindi è errato, a rigor di termini, dire che quella traietoria è periodica.
Secondo la stessa definizione è altresì corretto dirlo se è razionale il
rapporto, se ho ben capito, che tu dici. In tal caso prima o poi un
"perielio precesso" andrà a coincidere su un perielio passato, dopo un certo
numero finito di orbite, ed allora si dirà che il periodo è il tempo
trascorso per descrivere tutte quelle orbite, dopo di che la traiettoria
(necessariamente più lunga di una rosetta completa) si ripeterà uguale.
Non trovi che sia limitativa la definizione che oggi abbiamo di funzione
periodica? In base ad essa è errato dire che l'orbita di Mercurio ha un
periodo di 88 giorni circa.
Ciao.
Luciano Buggio

 periodo di 88 giorni circa.
Basta intendersi sul tipo di periodicita' di cui si parla. Nel
caso di Mercurio credo ci si riferisca alla periodicita' radiale,
ma non ne sono sicuro.


 ma non ne sono sicuro.
La definizione di periodicità che ho riferito sopra fa sì che non possa
considerarsi periodica nemmeno  un'ipotetica traiettoria sinusoidale, la quale
però soddisferebbe quella condizione se riferita ad un sistema di riferimento
che
trasla a velocità costante opportuna in direzione opportuna (la sinusoide 
diventerebbe un segmento). Parimenti con opportuna rotazione inerziale si
chiuderebbero
ad ogni giro le orbite aperte della *rosetta*, ed anche questa traietttoria
rispetterebbe quella condizione e diventerebbe periodica a tutti gli effetti.
Propongo quindi una generalizzazione della definizione di periodicità. onde
includere
anche le traiettorie innegabilmente dotate di periodicità che sfuggono alla 
classificazione forte.
La nuova definizione sarebbe la seguente:
*Una traiettoira si dice periodica se rispetto ad un opportuno sistema di
riferimento
inerziale (in traslazioine o rotazione)vale che...(segue condizione forte, la
(1) sopra
riportata). Chiaramente si tornerebbe alla condizione forte per velocità nulla
traslazione o rotazione del sistema di riferimento.
Che ne pensi?
Ciao.
Luciano Buggio 
-- 
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http://www.Mailgate.ORG

 riferimento inerziale (in traslazioine o rotazione)vale che... [ecc.]
Non mi sembra niente di nuovo. La periodicita' e' comunque
riferita ad una specifica coordinata, od insieme di coordinate, e
la scelta delle coordinate include anche la scelta del
riferimento. Ma tutto questo e' gia' implicito nelle trattazioni
correnti.


 correnti.
Certo, è implicito, come è implicita tutta la geometria nella difinizione di 
alcuni (pochi) concetti, che Euclide iniziò a esplicitare.
Il fatto che però non sia stato sufficientemente esplicitato ciò che tu dici 
essere implicito nelle trattazioni correnti ha fatto sì che alla mia domanda 
"Qual'è la traiettoria, dotata di periodicità, più semplice che si possa
ottenere
dinamicamente" (per quanto avessi anche precisato che ci si deve servire di un
unico vettore forza), il dibattito si è aperto (e concluso) su traiettorie più
o meno chiuse (orbite) in una non ammessa situazione di campo.
Rinnovo quindi la mia domanda, che a questo punto non ripeto.
Esplicitiamo! E vedrai che forse ne usciranno cose non note nelle correnti 
trattazioni.
