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Titolo: Media ed errore di coordinate

Salve a tutti.
Premetto che non sono decisamente un "fisico", anzi... ma chiedo a voi
perché seguii con piacere alcune lezione di "fisichetta" (esperimenti di
fisica), che affrontarono anche questo discorso ma (ahimé) lasciando ben
poco nei cassetti della mia memoria... :-|
Per vari motivi mi ritrovo a dover posizione su un software GIS delle
coordinate raccolte con un GPS.
Il rilevatore GPS ha un errore compreso tra i 6 ed i 20 m, mentre l'area
di indagine ha un'estensione di ~8 ha. Capirete che un errore di quel
tipo è enorme: alcuni punti risultano su una collina invece che nel
fossato adiacente... :-S
Oltretutto, lo strumento mi fornisce coordinate in gradi sessagesimali,
che con una doppia conversione trasformo in gradi decimali e quindi in
decimali.
Ho pensato che per aumentare la precisione delle misurazioni potrei
aumentare il numero dei rilevamenti sullo stesso punto e fare una media
aritmetica. Ma con l'errore come la mettiamo? Considerando che l'errore
non è fisso, ma variabile, il valore medio ottenuto da n misurazioni,
che errore avrà?
Grazie 1000
-- 

 che errore avrà?
A naso (ma potrei sbagliarmi) ho qualche dubbio che nel tuo caso sia
possibile migliorare la precisione (nel senso di ridurre l'incertezza)
della misura effettuando misurazioni ripetute.
Dico questo perche' mi sembra che in questo caso il limite sia
rappresentato dalla risoluzione del tuo "strumento" (il sistema GPS).
Se e' cosi', la ripetizione delle misurazioni non porta alcun vantaggio,
in quanto e' utile soltanto per mediare l'effetto di grandezze
d'influenza casuali.
Mi spiego: se devi misurare il diametro di un capello con un righello
millimetrato; tutto quello che potrai dire e' che e' inferiore a 1 mm
(che e' la risoluzione del tuo righello).  Anche se ripeti cento volte
la misurazione, la risoluzione e' sempre la stessa e sotto quella non
puoi scendere.
Se invece non e' un problema di risoluzione insufficiente, esistono
delle formule per trattare la misurazione ripetuta di una grandezza, nel
caso in cui le incertezze siano diverse da una misura all'altra.
Innanzi tutto anziche' fare la media aritmetica delle misure;
di solito si effettua una media pesata, usando come pesi gli inversi
delle incertezze.
Se x_i sono i risultati delle misure e s_i le incertezze di misura, la
stima della grandezza da misurare si puo' esprimere cosi'
x = somma[ x_i / (s_i)^2 ] / somma[ 1 / (s_i)^2 ]
L'incertezza sx associata a x viene spesso stimata con l'espressione
seguente
sx = sqrt{ 1 / somma[ 1 / (s_i)^2 ] }
ovvero la radice quadrata dell'inverso della somma dei quadrati dei pesi
Sul momento non so darti un riferimento bibliografico perche' sono
argomenti che ho preso da degli appunti.
In generale, sulla gestione degli errori/incertezze e' interessante il
sito del NIST
http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/index.html

 che errore avrà?
Non so risponderti circa l'errore.
Però puoi usare VisualGPS (lo trovi qui:
http://www.visualgps.net/VisualGPS/default.htm
); è anche freeware.
Ti fa automaticamente la media delle coordinate e quindi corregge il tiro
.. oltretutto ti mostra anche il tracciato lasciato dalle coordinate che
vengono via via calcolate dal GPS, per cui anche a vista puoi vedere le
migliori.
Ciao
Alberto
-- 
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 delle incertezze.
Penso che questa faccia al caso mio, ma dovrei conoscere l'errore
*relativo* di ogni misurazione, è esatto?
-- 

(cut)
La precisione restituita è al millesimo di minuto, quindi un po' superiore 
al decimo di secondo.
La parte importante delle stringhe NMEA è quella riguardante la DOP 
(Dilution of Precision):
http://www.gpsinformation.org/dale/nmea.htm
Lo stesso tuo problema si pone per il posizionamento e il reperimento delle 
boe in mare, nonchè per il ritrovamento dei naufraghi dotati di 
localizzatore GPS, che, in condizioni di tempesta, possono sfilarti ad un 
metro dalla prua senza che tu li veda.
E.F. 


Sì, ma quando dici che il rilevatore ha un errore compreso tra 6 e 20 metri, 
ciò dovrebbe significare che sulla base di una serie di esperimenti si è 
stimato che la p. che tale errore cada in questo intervallo sia molto 
elevata (non conosciamo i test, ma possiamo ipotizzare 90%-95%). Quindi 
all'aumentare delle rilevazioni dovresti proprio trovare che la 
distribuzione risponda a quanto detto sopra.


Probabilmente volevi dire "la lunghezza di un arco di parallelo ad una 
determinata latitudine". All'equatore un primo d'arco corrisponde a 1853,3 
metri. Spostandosi in latitudine questo valore va moltiplicato, come hai 
detto, per il cos (lat). Questo per una sfera; per l'ellissoide terrestre le 
cose si complicano perché devi applicare le relative equazioni che tengono 
conto dello schiacciamento (circa 0,00337): a 45 gradi di latitudine la 
differenza tra i due sistemi di calcolo è di circa 24 metri per un minuto 
d'arco di parallelo.
EF

 *relativo* di ogni misurazione, č esatto?
Non credo: i pesi dovrebbero essere gli inversi dei quadrati delle
incertezze (o errori) assolute.
Comunque passare da assoluto o relativo dovrebbe essere semplice: basta
che dividi l'errore assoluto per il valore della tua grandezza e ottieni
quello relativo; a meno che in questo caso specifico ci sia qualche
particolarita' che mi sfugge.
Quello che non so (perche' non mi intendo per nulla di GPS) e' se il
sistema ti fornisca ad ogni misura una informazione sull'incertezza
associata a quella misura specifica; oppure se hai a disposizione una
informazione piu' generica sulla incertezza che in media e' da
considerarsi attendibile.

 misurazioni, che errore avrà?
Questo e' un problema standard di "teoria degli errori".
Se:
1) le tue misure sono affette da errori casuali,
2) l'errore in ciascuna misura ha la stessa disttribuzione statistica 
che nelle
altre,
3) tali errori sono indip. l'uno dall'altro
(tutte ipotesi che ritengo siano ben verificate per il GPS)
allora e' utile fare la media, e puoi attribuire ad essa un errore
(scarto quadratico medio) pari allo s.q.m. delle varie misure, diviso
per la radice quadrata del mnumero di misure.
Sai come si calcola lo s.q.m. di una serie di misure?
L'inconveniente e' che se per es. esegui 10 misure guadagni poco piu'
di un fattore 3 nell'errore.
Dipende quindi da quanto tempo hai da perdere...
Un'altra tecnica che puo' riuscire utile e' la misura differenziale.
Si basa sul fatto che le misure fornite da due ricevitori vicini
fluttuano in modo strettamente correlato, per cui la loro differenza
e' affetta da un errore assai piu' piccolo.
Percio' se tu disponi due ricevitori, uno in postazione fissa, e
l'altro nei diversi punti che vuoi rilevare, e se ogni volta fai una
misura simultanea sudi due ricevitori, e tieni conto solo delle
diefferenze, avrai una mappa molto piu' precisa quanto a
posizioni relative, anche se affetta da un errore assoluto che rimane
grande.
 
-- 
Elio Fabri

 considerarsi attendibile.
Le "sentences" NMEA restituite dai ricevitori mostrano due categorie di 
errore:
-1) la DOP (dilution of precision).
Senza unità di misura: è un valore a sè.
E' un indice della qualità "geometrica" del segnale rilevato: 8 satelliti 
con azimuth molti ravvicinati restituiranno una DOP molto più alta di quella 
ottenuta da 3 satelliti distanziati in azimuth almeno 30 gradi uno 
dall'altro e ad almeno 25-30 gradi sull'orizzonte. Poiché di ogni satellite 
il protocollo NMEA restituisce altezza, azimuth e orario, è facile tracciare 
delle rette che delimiteranno un poligono, all'interno del quale si trova il 
nostro ricevitore. Dove, esattamente, non è possibile saperlo. Più ampia la 
differenza in azimuth, più omogenee le lunghezze dei lati del poligono, 
minore l'area di incertezza.
Il valore DOP viene calcolato dal ricevitore e restituito nella stringa 
NMEA.
-2) i PE (position error) che possono essere orizzontali, verticali o 
sferici. Unità di misura: metri.
Questi errori, di tipo orizzontale, verticale e sferico, sono causati, 
cumulativamente, da:
-a  errore intrinseco della fonte (voluto)
-b  rifrazione del segnale all'attraversamento della ionosfera e troposfera 
(fino a 30 metri per ogni rifrazione)
-c  rapporto S/N (fino a 10 metri)
-d  imprecisione delle effemeridi del satellite  nel restituire la sua vera 
posizione orbitale (1-7 metri).
-e  imprecisione del timer (0-2 metri)
-f  segnale ricevuto per via riflessa (fino ad 1 metro)
Il 2a non è correggibile in alcun modo da noi civili.
2f non è correggibile perché non c'è modo di sapere se il segnale ci giunge 
per via diretta o riflessa
2b,c,d,e sono eliminabili quasi totalmente tramite l'uso di un secondo 
ricevitore GPS (metodo differenziale) del quale si conosca con assoluta 
esattezza la posizione e facendo in modo che i timer dei due strumenti siano 
sincronizzati. La differenza di posizione rilevata dal GPS differenziale 
viene applicata alla posizione stimata dal nostro ricevitore.
Tornando alla domanda originale di Confuso, visto che non è in alcun modo 
possibile scendere al di sotto di qualche metro di precisione, l'utilizzo 
dell'attuale sistema GPS per misure accurate nella vita civile non può esser 
preso in considerazione.
Salutissimi
EF

 al decimo di secondo.
Perdona l'ignoranza: lo strumento restituisce valori approssimati alla
prima cifra dopo la virgola dei secondi (xx°xx'xx.x''), quindi quelli
sono millesimi di minuto? Scusa ma le mie nozioni oltre che _elementari_
risalgono anche a parecchi annetti fa...
Per essere più preciso possibile vorrei riportare i miei valori in una
forma che tenga conto degli errori... è possibile?
Immagino che già nella conversione radianti > gradi decimali > UMT ci
sia una "dispersione"... poi c'è l'errore dello strumento... ma non
riesco a quantificare il tutto! :-S 
-- 
| _ \__ _ __| |_  ___ / _| | Fix: MacBook Pro 15 ~ 2GHz ICD ~ 1GB DDR2
|   / _` (_-< ' \/ -_)  _| | Mob: Nokia E61 v3.0633.09.04 
|_|_\__,_/__/_||_\___|_|   | Gam: Sony PSP v2.71 SE-C + DevHook 0.46

 distribuzione risponda a quanto detto sopra.
Il sistema GPS è tale che, qualunque calcolo si esegua, l'errore sarà sempre 
presente e non predicibile. Calcoli su migliaia di misurazioni potranno solo 
dirci quale sia la media dell'HDOP (horizontal dilution of precision), per 
capire quanto errore sia presente nella nostra misura, ma ciò non ci aiuterà 
a migliorare la precisione. Ricevere un numero di satelliti maggiore di 3 
garantisce solo che la nostra copertura sia continua nel tempo, ma non 
migliora di molto l'errore di posizione. Con 3 satelliti, distanziati del 
giusto azimuth, è possibile tracciare un "triangolo di incertezza" 
all'interno del quale siamo noi, presumibilmente al centro. Aumentare i 
satelliti fa diventare quel triangolo un quadrato, un esagono...ma l'area è 
sempre uguale, l'incertezza pure. Maggiore l'HDOP maggiore l'apotema e 
l'area.
La precisione restituita è più che sufficiente per trovare una piccola pista 
d'atterraggio o, visualmente, un numero civico con il navigatore dell'auto, 
ma non mi risulta che il GPS attuale possa utilizzarsi nelle misurazioni 
degli agrimensori: da circa 15 anni i miei vicini in campagna stanno 
litigando tra loro in tribunale per un confine spostato, a detta di uno dei 
due, di 35 cm !:-))
EF