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Titolo: Lavoro delle pressioni

Ciao a tutti,
studiando la meccanica dei fluidi mi sono trovato di fronte a un esempio di 
cui non riesco a capire a fondo una precisazione:
L'esempio si propone di calcolare il lavoro delle forze esterne agenti su un 
corpo di volume V che e' sottoposto ad una compressione uniforme isoterma 
quando la pressione esterna passa dal valore p1 al valore p2.
L = int[p dV]. (p = pressione, V = volume)
Ora, poiche' la compressione e' di volume ed e' isoterma, si utilizza dV/V 
= - dp/b (dove b e' il modulo di compressibilita' isoterma). Otteniamo:
L = int[p * V/b * dp] che integrato tra p1 e p2 da': (V/2b)*(p2^2 - p1^2) [a 
meno dei segni].
Pero' il libro aggiunge: "Nell'operazione di integrazione si e' considerato 
costante il volume, che in realta' cambia, anche se di poco".
Che il volume cambi sotto l'azione delle forze mi sembra corretto, quello 
che non capisco e' quando sostiene che non se n'e' tenuto conto durante 
l'integrazione. Con la sostituzione dV/V = -dp/b non mettiamo proprio in 
relazione la viariazione di volume legata alla variazione di pressione? Non 
"teniamo quindi conto" di come varia il volume in funzione della pressione?
Quello che mi sembra di intuire e' che la V nel secondo integrale non e' in 
realta' una V ma una V(p).... ma non mi spingo oltre, qualcuno ha qualche 
suggerimento che mi possa aiutare ad interpretare correttamente il fenomeno?
Grazie,
fadeh 

 realta' una V ma una V(p)....
Vero.
Nel calcolo dell'integrale int[p * V/b * dp], facendo l'ipotesi
che il fattore V varii relativamente poco al variare di p da p1 a p2
(cioe' che la variazione relativa di V sia piccola rispetto a quella di p), lo si
considera approssimativamente costante e quindi lo si porta fuori dal
segno di integrale :-)
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 fuori dal segno di integrale :-)
Va bene, ma non capisco proprio perche' fare questo giro
di approssimazioni quando l'integrale si puo' calcolare esattamente:
\int p dV = \int (nRT/V) dV = nRT * ln V.
 
-- 
Elio Fabri

 \int p dV = \int (nRT/V) dV = nRT * ln V.
Da quanto ho capito il problema parlava di "un corpo di volume V",
non necessariamente quindi un gas perfetto, ma probabilmente un corpo
solido, visto che si dice esplicitamente che la variazione di volume e'
trascurabile al variare della pressione.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 [a meno dei segni].
Scusate se mi ripeto ma dalle vostre risposte purtroppo non ho capito cio' 
che volevo sapere. Provo a dirla in un altro modo (molto brutto e poco 
fisico forse ma spero piu' chiaro).
Il mio problema e': ho una relazione del tipo dV/V = - dp/b. Questa vale 
localmente (a causa dei differenziale... si fa schifo detta cosi' ma spero 
sia comprensibile). Ora: quando la inseriamo nell'integrale ed integriamo su 
un dp non teniamo conto del fatto che il volume, al passaggio da p1 a p2 e' 
variato.
In altre parole ancora dV/V = -dp/b mette in relazione variazioni 
infinitesime di volume-pressione.
Forse non dovrei postare questa accozzaglia di stupidaggini ma.... e' per 
farvi capire che non ho affatto le idee chiare.
Grazie,
fadeh 

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Da quanto ho capito il problema parlava di "un corpo di volume V", non
 > necessariamente quindi un gas perfetto, ma probabilmente un corpo
 > solido, visto che si dice esplicitamente che la variazione di volume
 > e' trascurabile al variare della pressione.
Acc... Hai ragione!
Pero' il modo di trattare il problema non mi soddisfa: sa un po'
troppo di trucco quello di considerare il volume costante e non
costante allo stesso tempo...
Mi scuso se per ora non spiego come andrebbe trattato secondo me. E'
che stasera ho un sacco di risposte in ballo ;-)
-- 
Elio Fabri

fadeh ha scritto:

Se hai letto il mio post di ieri, hai visto che a me quel modo di
trattare la questione non piace.
Quindi non ti do torto...
Ripartiamo da
L = int[p * V/b * dp].
Per il passaggio successivo occorre assumere costante non V (che tra
l'altro non e' costante per definizione, visto che si parla di
compressibilita') ma se mai V/b.
Infatti nota che in generale neppure b e' costante...
Ma dire V/b costante e' come dire dV/dp costante, e allora tanto valeva
partire da qui.
Io avrei presentato le cose in tutt'altro modo.
Abbiamo una compressione isoterma, che nel piano p-V sara'
rappresentata da una curva. Se il fluido e' poco comprimibile, V
variera' poco, ossia la curva sara' quasi verticale, ma non proprio.
Assumiamo pero' che sia lecito approssimarla con la retta che unisce i
due stati inziale e finale: allora il lavoro si calcola dall'area del
trapezio:
L = -(p1+p2)*(V1-V2)/2.
Poi 1/b = (V1-V2)/*V*(p2-p1) ossia
V1 - V2 = V*(p2-p1)/b.
Allora
L = -(p2^2 - p1^2)*V/(2b).
(Ho scritto V per indicare a piacere V1, V2 o la media, dato che sono
pochissimo diversi.)
 
-- 
Elio Fabri

> Io avrei presentato le cose in tutt'altro modo.
[snip]
Molto meglio, come al solito. Grazie Elio.
Ciao,
fadeh