Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Curvatura dello spazio tempo

Ciao,
 
 
 
a volte quando qualcuno cerca di spiegare la gravità di Einstein mi è capitato di vedere quei disegnini dove si vede la luce di una stella che si incurva(leggermente) passando vicino al Sole e quindi non c'è una forza che attira, ma semplicemente il raggio di luce segue un percorso nello spazio tempo che è deformato dalla presenza della massa del Sole. Fin qui nonostante lo <scarso> bagaglio culturale che ho ci arrivo a capire...in effetti il disegnino con il raggio incurvato è molto chiaro.
Invece non ho mai trovato un disegnino (nè io riesco ad immaginarlo) che mi faccia visualizzare la famosa mela che cade dall'albero.
 
Lì apparentemente non si vedono curve come nel raggio di luce, si vede la mela cadere in <linea retta>  verso terra. Come è deformato lo spazio tempo in quella zona dall'albero al terreno ?
Alberto

 spazio tempo in quella zona dall'albero al terreno ? Alberto
 
La linea retta di cui parli e` nello spazio, ma la
traiettoria che devi considerare e` quella nello
spazio-tempo (immagina un grafico a quattro dimensioni in
cui uno degli assi e` quello dei tempi).
In assenza di gravita` la treiettoria dello spazio-tempo (la
cosiddetta linea di universo) della mela sarebbe una linea
retta, parallela all'asse del tempo. In presenza di gravita`
questa linea viene curvata: compare una componente di moto
spaziale.
Entrare in ulteriori dettagli rimanendo al livello
divulgativo sarebbe un po' difficile.
 
Ciao
Paolo Russo

af44...@gmail.com
 ha scritto:
 > a volte quando qualcuno cerca di spiegare la gravità di Einstein mi
 > è capitato di vedere quei disegnini dove si vede la luce di una
 > stella che si incurva(leggermente) passando vicino al Sole e quindi
 > non c'è una forza che attira, ma semplicemente il raggio di luce
 > segue un percorso nello spazio tempo che è deformato dalla presenza
 > della massa del Sole. Fin qui nonostante lo <scarso> bagaglio
 > culturale che ho ci arrivo a capire...in effetti il disegnino con il
 > raggio incurvato è molto chiaro.
 >
 > Invece non ho mai trovato un disegnino (né io riesco ad immaginarlo)
 > che mi faccia visualizzare la famosa mela che cade dall'albero.
 >
 > Lì apparentemente non si vedono curve come nel raggio di luce, si
 > vede la mela cadere in <linea retta> verso terra. Come è deformato lo
 > spazio tempo in quella zona dall'albero al terreno? Alberto
 
Paolo Russo ha scritto:
 > La linea retta di cui parli e` nello spazio, ma la traiettoria che
 > devi considerare e` quella nello spazio-tempo (immagina un grafico a
 > quattro dimensioni in cui uno degli assi e` quello dei tempi).
 >
 > In assenza di gravita` la treiettoria dello spazio-tempo (la
 > cosiddetta linea di universo) della mela sarebbe una linea retta,
 > parallela all'asse del tempo. In presenza di gravita` questa linea
 > viene curvata: compare una componente di moto spaziale.
 >
 > Entrare in ulteriori dettagli rimanendo al livello divulgativo
 > sarebbe un po' difficile.
 
Questo è il mio primo post del 2023. pensate che onore che vi faccio
:-)
Chissà perché mi viene in mente l'inizio di una famosissima "ballad"
un po' più vecchia di me:
"Sometimes I wonder why I spend the lonely night ..."
e qui mi fermo, perché i versi prendono un'altra strada.
Però, sebbene non siano ancora la 6 è già buio, e sono solo, quindi
:-)
 
Quello che voglio dire, parlando seriamente, è che ho forti dubbi che
quanto scriverò serva a qualcosa.
Ho citato per esteso i post cui sto rispondendo, perché voglio
analizzarli in dettaglio per mostrare quanti errori ci siano.
A proposito di capire...
 
 > ...la luce di una stella che si incurva(leggermente) passando vicino
 > al Sole
Intanto non è la luce che s'incurva, ma se mai è il percorso che la
luce fa.
 
 > e quindi non c'è una forza che attira,
Quindi? Al contrario, una traiettoria incurvata suggerirebbe una forza,
anche se con la luce bisogna stare attenti.
Pochi lo sanno, ma la luce che attraversa l'atmosfera terrestre segue
una traiettoria curva, e neppure poco: la luce del Sole al tramonto
viene deviata di circa mezzo grado.
Si chiama "rifrazione astronomica e oggigiorno nesuno l'attribuisce a
una forza.
La deflessione gravitazionale dovuta al Sole è molto molto più
piccola: neppure 2", e nessuna figura potrebbe mostrarla. Nelle
figure viene enormemente esagerata, e almeno facessero la fatica di
dirlo :-(
Beh, credo che qualcuno che lo dice ci sia, ma non divaghiamo troppo.
 
L'errore che fa l'OP sta nel "quindi".
Avrebbe dovuto dire (se qualcuno gliel'avesse spiegato) che Einstein
ci mise un bel po' per arrivare all'idea che non ci fosse nessuna
forza (né rifrazione).
Comunque è una pessima idea tentare d'introdurre alla RG partendo
dalla deflessione gravitazionale: la mela che cade è molto meglio.
 
 > ma semplicemente il raggio di luce segue un percorso nello spazio
 > tempo che è deformato dalla presenza della massa del Sole
Il tuo italiano :-(
Chi è che è deformato? Il percorso o lo spazio-tempo?
 
Non hai mai visto figure o grafici con la mela perché in sé uno di quei
grafici non ti direbbe niente.
Però, trattandosi di un moto in una dimensione, permette di fare
ragionamenti più semplici, in quanto delle 4 dimensioni di cui parla
Paolo Russo ne restano solo due (il tempo e la direzione verticale
nello spazio), e uno spazio-tempo curvo in due dimensioni si può
arrivare a capirlo.
 
Se fai un diagramma spazio-tempo della mela (e non devi neppure farlo,
lo troverai di certo in molti libri di testo liceali) vedrai che il
moto della mela non si rappresenta nello spazio-tempo con una retta,
ma con una parabola, di equazione z = g*t^2/2 (ho orientato l'asse z
verso il basso).
Questo dimostra che lo spazio-tempo è curvo? neanche per sogno:
dimostra solo che il moto è accelerato, con accel. costante pari a g.
 
Il secondo passo che E. fa è di ricordarsi una cosa che tutti sanno
senza meravigliarsene: la scoperta di Galileo, tre secoli prima, che
l'accel. è *la stessa* per tutti i corpi.
Normalmente oggi questo viene "spiegato" enunciando la legge che massa
inerziale e massa gravitazionale sono uguali, il che sposta solo il
problema: perché sono uguali?
La mia risposta è "perché sì", tanto che aviterei di pormi il
problema: parlerei fin dall'inizio di una sola massa.
Ma il problema resta comunque.
L'idea di E. è che ciò sia il segno che la gravità non è una proprietà
dei corpi, ma dello spazio(-tempo).
Ma tra il dire e il fare ... c'è voluta molta fatica, e un
suggerimento cruciale di Grossmann, il quale disse al suo amico E.:
studiati un po' questa matematica moderna, che chiamano "calcolo
differenziale assoluto"... Forse ci trovi la risposta.
Nel frattempo E. aveva visto una cosa: se l'accel. di gravità è la
stessa per tuti i corpi, allora se io mi metto in un ascensore in
caduta libera, la gravità sparisce.
 
Mi limito a questi sprazzi di ragionamenti per far vedere che quelle
favolette della deflessione e simili non spiegano niente.
Per arrivare allo spazio-tempo curvo bisogna prima di tutto avere
un'idea di che cosa significa questo "curvo", che non si riduce
affatto alle traiettorie curve della luce.
 
E qui passo a Paolo Russo, ripetendo una parte del suo post:
 > In assenza di gravita` la treiettoria dello spazio-tempo (la
 > cosiddetta linea di universo) della mela sarebbe una linea retta,
 > parallela all'asse del tempo. In presenza di gravita` questa linea
 > viene curvata: compare una componente di moto spaziale.
Ma per carità! La linea retta parallela all'asse dei tempi va bene per
la mela attaccata al ramo.
 
Ma un mela in assenza di gravità può benissimo muoversi, solo che la
sua linea d'universo sarà una retta (leggi moto rettilineo uniforme
nalla cinematica tradizionale). Con una componente di moto spaziale.
E linee d'universo curvate non dimostrano che lo spazio-tempo sia
curvo: occorre (questo dovresti saperlo) la deviazione delle
geodetiche.
 
Che con le mele è difficile vedere, ma con l'ascensore di E. si può
descrivere (non sperimentare: l'effetto è troppo piccolo) col fatto che
un oggetto lasciato libero dentro l'ascensore in caduta non resterà
fermo se non in un caso eccezionale.
Di regola comincerà ad avvicinarsi o ad allontanarsi dal centro.
E anche questa non è una scoperta: anche Newton l'avrebbe capito, se
gli fosse stata posta la domanda.
Ma è l'interpretazione che è nuova: visto nello spazio-tempo quel moto
anomalo significa che le geodetiche che partono parallele da punti
diversi non restano parallele: questo significa proprio che lo
spazio-tempo è curvo.
 
Mettiamo in chiaro che io non mi aspetto affatto che Alberto abbia
capito: non è possibile.
Ma che almeno si sia reso conto che quello che "crede" di aver capito,
quando non è sbagliato, è inutile.
Le idee portanti della RG stanno altrove.
 
Ora sono passate le 9, e mi avvio a concludere (nel frattempo ho fatto
altro).
Tornando al punto di partenza; "Stardust".
Perché perdo tempo?
In fin dei conti ha fatto anni fa lo sforzo di produrre qualcosa che
non oso neppure cniamare libro, ma che comunque è a disposizione di
tutti in internet.
 
Se uno vuole capire qualcosa, come minimo deve studiarsi quel
"Quaderno 16".
Dice: ma è lungo...
Dico: ma vuoi capire o vuoi ingannare te stesso dicendo che hai
"capito" qualcosa leggendo una paginetta qua e una là, per di più
quasi tutte sbagliate?
Io la mia parte l'ho fatta, e vorrei vedere qualcuno che si sforzasse
di trarne profitto.
Sto ancora aspettando, nella "lonely night"...
-- 
Elio Fabri

 Sto ancora aspettando, nella "lonely night"...
 
 
Intervengo un po' OT (ma non troppo) perché non è la prima volta che 
leggo nei tuoi post l'amarezza per non vedere sufficienti riscontri nei 
fatti al tuo lavoro di anni.
 
Lo capisco. Però credo anche che non dovresti essere così pessimista. Da 
un lato, mezzi come NG, mailing list, forum tendono a non costituire 
campioni sufficientemente rappresentativi della realtà, soprattutto 
quando ci si limita al ristretto gruppo di chi scrive su queste 
piattaforme. Ma soprattutto, lavori come il Q16 sono semi. La velocità 
di crescita dipende dal terreno. E in questo caso il terreno non 
comprende solo i "destinatari" ma anche il mezzo. Con tutto il rispetto 
e l'ammirazione per gli sforzi profusi, temo che una pubblicazione AIF 
non sia esattamente il trampolino per la massima visibilità. 
Probabilmente una versione in inglese pubblicata su una rivista, anche 
on-line, ma ad accesso libero, avrebbe maggior impatto. Ci hai mai pensato?
 
Giorgio

 la mela attaccata al ramo.
 
Hai ragione, avevo dato per scontato che la mela fosse
inizialmente ferma nel riferimento considerato, ma non l'ho
scritto, quindi grazie per la correzione.
 
Ciao
Paolo Russo

 Ma il problema resta comunque.  ....
 
Mettendomi nei panni di Newton, tenendo però conto delle natura particellare 
della materia non lo trovo sorprendente: M1xM2 (non M1+M2) mi fà pensare 
che ogni particella "deve" attirare ogni altra particella in proporzione alla sua
massa, Io non mi stupisco di vedere cadere due mattoni nello stesso tempo 
sia se sono separati sia se sono legati assieme. Ma la cosa sembra toppo 
semplice, dov'è che sbaglio?

 dei corpi, ma dello spazio(-tempo). 
ma non vedo assolutamente la necessità di ragionamenti da loro detti "intricati"
 
Non bastava considerare che buttando dalla torre tre pietre uguali, due delle
quali legate assieme, il tutto arrivava contemporaneamente a terra?

 bilancia) 
dovevo essere in bevuta visto che la bilancia dipende dall'accelerazione.
 

 visto che si osserva cadere  una pietra come due pietre legate assieme?
 
Non puoi "dedurre" che la forza gravitazionale sia proporzionale a M1xM2 
invece che M1+M2 ragionando direttamente su corpi estesi. Devi prima 
partire dall'interazione tra particelle sufficientemente piccole da 
poter esseere considerate puntiformi. Qui, la scelta tra M1xM2 o M1+M2 
(o altro ancora) non è questione di ragionamento ma di fisica: si fanno 
gli esperimenti e si ottiene da questi ( o in modo indiretto) come la 
forza dipende dalle masse.
 
Giorgio

 forza dipende dalle masse. 
 
L'esperimento di Cavendish con poche particelle? Mi sembra problematico,
ma non mi sembra necessario, se a Newton con M1+M2 i conti non tornavano
ma col prodotto sì, direi che già ci sia un'osservazione alla fonte della scelta
 
Questo spiega perchè piuma e palla di cannone arrivano a terra appaiati?
 
 

 L'esperimento di Cavendish con poche particelle? Mi sembra problematico,
 
Avevo scritto  "(o in modo indiretto)". Certo che non si fa 
;'esperimento di Cavendish con particelle puntiformi. Ma da Newton in 
poi sappiamo che *se* l'interazione tra parti puntiformi va come 
M1*M2/r^2, allora l'interazione tra due sfere omogenee va anche come il 
prodotto delle masse delle due sfere diviso per il quadrato della 
distanza dai centri.
 
Giorgio

 gravitazionale, ancorché molto piccolo. 
 
piccolo, ma sufficente per osservare un'eventuale differenza nel tempo di caduta di 
due gravi (posto che esistano, non lo so) uno fatto con molti neutroni e pochi protoni 
e l'altro viceversa?
 
Per chiarire ove intendo parare, se una tale differenza non fosse osservabile, 
dico bene che non si può escludere che M1xM2 giustifichi l'uguaglianza dei tempi 
di caduta dei gravi?

 di caduta dei gravi?
 
 
Stai complicanddo le cose in modo indebito. la compoizione in termini di 
particlle elementari non c'entra molto con la questione.
 
Dal punto di vista della meccanica classica, l'unica cosa che serve per 
avere le stesse accelerazioni  per tutti i corpi soggetti a interazione 
gravitazionale è l'accoppiata di F=m*a e l'espressione della legge di 
forza con un fattore m*M. In tal modo l'accelerazione non dipende dalla 
massa.
 
Giorgio

 Ma il problema resta comunque. .... 
 
mentre Einsten da questa equivalenza deduce la RG.
 
Sia ben chiaro che le mie eresie non si estendono alla RG
esse sfiorano la RR solo perchè la questione magnete-spira è alla
base della medesima
 
Sulla RG ho però una perplessità:
se servono 8 minuti prima che la Terra sappia che il Sole è scomparso,
allora ci dev'essere qualcosa che viaggia,
anche nel campo elettromagnetico voi dite che ci sono cose che viaggiano
(fotoni virtuali) allora che differenza c'è con l'idea che si aveva del campo
elettromagnetico e del campo gravitazionale prima della RG? 
E perchè i gravitoni non piacciono a Fabri? (mi pare che lo disse anni fa)
 
 
 

 E perchè i gravitoni non piacciono a Fabri? (mi pare che lo disse anni fa)
 
Ecco, se per spiegazione intendi un mix di parole assortite che non 
controlli, non è una spiegazione e non serve a niente.
 
Sui gravitoni il problema è proprio questo: sono un'ipotesi fatta in 
analogia con i fotoni e altre particele mediatrici di campi. Ma non c'è 
l'analogo della teoria da cui discendono i fotoni (l'elettrodinamica 
quantistica).
 
Giorgio

 quantistica). 
 
senza gravitoni (o senza l'invio di onde o di altre particelle), come spiegherebbe la RG 
il ritardo dell'effetto?

 il ritardo dell'effetto?
 
Non è che l'eliminazione dei gravitoni (per mancanza di teoria) elimini 
anche le onde. Le onde gravitazionali sono parte integrante della RG alo 
stato corrente della teoria.
 
Giorgio

 stato corrente della teoria. 
 
quindi sarebbero le onde gravitazionali provenienti in 8 minuti dal Sole che,
(unitamente quelle generate dalla Terra) deformando lo spaziotempo, fecero
cadere la mela in testa a Newton?

Giorgio Pastore ha scritto:
 > Puoi leggere il "molto" come una forma sfumata per dire "non sai di
 > cosa stai parlando". Se preferisci questa risposta diretta non mi
 > farò scrupoli.
Il fatto è che il vero probema non è il tuo interlocutore: sei tu.
Lui lo conosciamo da anni, e dà quello che può dare, come la botte del
proverbio.
Tu lo sai, ma cononostnte ti ostini a voler condurre con lui una
discussione seria e pacata. Questo è per me il mistero: come fai a non
capire che ciò è impossibile.
Se tu usi espressioni sfumate, lui invece di apprezzare la tolleranza
(eccessiva secondo me) che dimostri, ha la faccia tosta di
rimproverarti.
 
Non mi è sfuggito quando ha scritto che "a Fabri i gravitoni non
piacciono".
Che questo sia un riassunto indecente della mia posizione, dovrebbe
toccarmi?
Neanche per sogno: da quella botte non può uscire altro e io mi limito
a ignorarlo.
 > ...
 > Non è che l'eliminazione dei gravitoni (per mancanza di teoria)
 > elimini anche le onde. Le onde gravitazionali sono parte integrante
 > della RG allo stato corrente della teoria.
Tu invece coninui a portare avanti codesta discussione insensata.
(Parentesi linguistica. Come sai, io non sono di lingua toscana, anche
se ho ormai trascorso a Pisa la più gran parte della mia vita.
L'aggettivo "codesto" non fa parte dei miei usi linguistici, ma ne
conosco il significato: ciò che è lontano da chi parla e vicino a chi
ascolta.
Perciò lo uso deliberatamente solo quando voglio sottolineare questo
punto: la discussione è affar vostro, io non ci ho e non ci voglio
aver a che fare.)
Discussione che può fare solo del male alla vita del newsgroup.
-- 
Elio Fabri

 Discussione che può fare solo del male alla vita del newsgroup. 
 
male in che senso? 
c'è un sacco di gente che interviene esprimendo perplessità
 
poi dimentichi d'aver apprezzato taluni miei vecchi interventi
e pure dimentichi d'avermi promesso la lista dei miei errori,
codesti spesso mi tocca di scoprirli da solo, anche in questo thread,
ma hai ragione: 
quando capita a me scoprire errori di altri dovrei starmene zitto,
vuoi la lista? qualcuno me lo ricordo
 
infine nessuno ti obbliga a commentare le mie cavolate,
ma niente in questo luogo ti autorizza ad invitare la gente a non conversare 
meco se gli aggrada
 
teniamoci stretti alla brocca che son tempi grami e mica per gli anni che
c'abbiamo o per la guerra che ci minaccia, nè per il clima che impazza;
basterebbe considerare le cazzate degli informatici d'oggidì e la prossima 
rinuncia all'uso del cervello: se ora funziona male, figurati cosa succederà 
quando finirà in pensione

 Discussione che può fare solo del male alla vita del newsgroup.
 
 
Ho scritto molte volte che non considero il NG come un luogo di dialoghi 
a due. Se una domanda mi sembra utile per discutere di qualcosa che 
reputo importante lo faccio indipendentemente da chi formula la domanda, 
  o dalla fiducia che posso avere o meno circa il fatto che la decifri 
correttamente. Preferisco pensare che forse quello che scrivo potrebbe 
spingere qualcun altro a intervenire in modo costruttivo.
 
C'e' anche un livello di incomprensione oltre il quale lascio perdere 
(
p.es
. è la ragione per cui ho smesso di scrivere in modo abituale su 
f.i.s.f.) ma se rispondo vuol dire che non ritengo che quella soglia sta 
stata superata. Questo, ovviamente sulla base di valutazioni personali, 
su cui chiunque ha il diritto di dissentire, anche pubblicamente, ma non 
credo che giovi alla vita del NG insisterci più che tanto. Almeno chi 
usa thunderbird per accedere al NG ha un modo semplice per evitare di 
essere disturbato: filtrare tutti i thread e subthread iniziati da 
perone "sgradite".
 
Giorgio

 a ignorarlo. 
 
Tento di rimediare all'indecenza con citazioni dirette
https://groups.google.com/g/it.scienza.fisica/c/PyD3iUAtGBY/m/IxlbcDNxCAAJ
 
La parte seria della domanda coincide con la precedente: 
un'unificazione della MQ con la RG, se si potesse fare, avrebbe come 
conseguenza (forse) una quantizzazione del campo gravitazionale, come 
quella del campo e.m. 
Allora dovrebbero esistere i gravitoni come esistono i fotoni. 
Ma ti chiedo di prestare attenzione ai "se" e ai condizonali. 
Siamo in una "terra incognita": nessuno sa che cosa troveremo...
https://groups.google.com/g/it.scienza.fisica/c/dpYFzYZxRmg/m/Fu3yp9uDGAAJ
 
E' vero che ho detto quello sulle part. virtuali. 
Ma era una reazione all'interpretazione corrente, che ne fa una specie 
di realtà con proprietà misteriose. 
(Vivono un tempo brevissimo, mediano tutte le interazioni, compresa 
l'attrazione tra due magneti, per es.. per non parlare dei "gravitoni", 
di cui tutti parlano senza avere la più pallida idea di che cosa 
potrebbero essere...)
 
poi, alla nostra età siamo in grado sopportare la verità e Pastore non deve temere
di darmi chiaramente dell'asino se lo sono, tuttavia non può rifugiarsi nella
fisica "classica" se non vuol commentare il fatto che M1xM2, oltre a indicare
un'interazione uno a uno fra le particelle (l'ho letto direi anche scritto da altri),
indica pure che non occorrerebbe il principio di equivalenza per giustificare
il tempo uguale della caduta dei gravi qualora tutte le particelle dei gravi
avessero lo stesso "effetto" attrattivo. Dico "effetto" per non usare il termine
"forza" o l'espressione "distorsione dello spaziotempo".
 
Io non credoche la natura si divida in natura "classica" e natura "d'avanguardia"
 
Resta comunque il fatto che servono 8 minuti affinché gli effetti gravitazionali
dal Sole arrivino a noi.
 
lo dice anche Susskind in "La guerra deibuchi neri", un divulgativo che nella forma
e nel tono mi piace assai poco (non potendo ovviamente giudicarlo nella sostanza,
salvo derivarne il fatto che molti fisici devono essere più sbiellati persino degli
informatici gestionali del tempi che furono). Cito solo dal cap.19: "l'esistenza
dei gravitoni, diversamente da quella dei fotoni (prima parlava di quelli di cui sono
fatte le onde em - ndr) è un congettura priva di verifica sperimentale" ma che la loro
esistenza "è estremamente convincente".
 
Non spero nel prof Fabri, ma magari qualcuno mi può confermare che i fotoni (direi
virtuali) costituenti il campo em  sono stati realmente osservati? Oppure che basta
la matematica per trasformare una congettura in realtà?
 
 

 reputo importante lo faccio indipendentemente da chi formula la domanda, 
... 
 
Scusami se taglio parte della tua risposta e scusami soprattutto se posso dare l'impressione di "prenderti di mira" visto che è la seconda volta in un'oretta che rispondo a te in due thread differenti :-) 
Il tuo è uno scopo nobile ed utile, in generale. 
 
Ma nella fattispecie però (come anche nel caso di altri utenti che non nomino) le domande poste, che almeno all'inizio sono innocue, procedono in una discussione senza senso anche per altri utenti. 
 
 
 
Se io chiedo, per dire: "come fa il Sole ad attirare la Terra" e tu mi enunci la legge di Newton F=-G m1 m2 / r^2 e poi io ti chiedo "e perché è questa?" tu mi rispondi che è una legge sperimentale e poi io ti richiedo: "va bene, ma perché il prodotto delle masse e non la loro somma?" (era solo un esempio inventato) a che serve discutere ulteriormente? 
 
 
 
Va bene che uno non sappia la fisica, se no non farebbe domande, ma almeno *un minimo* di logica, di conoscenza della lingua italiana e di volontà di comprensione, deve averla, perlomeno per poter discutere con qualcuno del tuo livello (non del mio, molto inferiore al tuo) e perché la discussione abbia un senso anche per gli altri, che leggendo potrebbero chiedersi "ma di che livello è questo ng?" 
 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka