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Titolo: fluido in caduta libera

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Non capisco piu' bene dove e' andato a finire il problema, in
particolare perche' ogni tanto qualcuno se ne esce scrivendo che "non
c'e' la gravita'".  La gravita' o qualche campo di forza che accelera il
fluido c'e', altrimenti l'effetto di restringimento non avverrebbe
(mah... e' proprio cosi??? no, ma cerchiamo di circoscrivere il
problema...).
Comunque... mantenendo solo le cose essenziali, supponiamo che da una
apertura circolare orizzontale (rubinetto) non esca un liquido ma un
gran numero di palline microscopiche che non interagiscono tra loro (non
si attraggono o respingono) e con velocita' iniziali tutte uguali nulle
o verso il basso.  Le palline sono soggette alla forza di gravita' e
quindi le loro velocita', tutte parallele, aumentano verso il basso.
E' facile vedere che, visto da lontano, il "flusso" formato dalle
palline mantiene la stessa sezione dell'apertura ma la densita' delle
palline (numero di palline per unita' di volume) diminuisce verso il
basso.  Con un termine piu' tecnico: la densita' delle palline
diminuisce perche' l'accelerazione verso il basso produce una divergenza
della velocita' verticale positiva.
Se da palline non interagenti, passiamo a palline che si attirano
(palline adiacenti legate tra loro da molle, un liquido insomma...) la
divergenza positiva della componente verticale della velocita' viene
contrastata (compensata) da una divergenza negativa dalla componente
orizzontale della velocita'; risultato: contrazione della sezione -
almeno all'inizio del fenomeno.
Questo di fatto suppone che le forze intermolecolari rendano in prima 
approssimazione l'acqua un fluido incompressibile e, per estensione e 
con parola inventata, "indepressibile".
Le forze di coesione, che alla superficie si manifestano in tensione
superficiale, sono necessarie e sufficienti a spiegare il fenomeno.
E' ovvio che in certi casi le forze di coesione potrebbero non essere in 
grado di contrastare la divergenza positiva e tenere unito il "flusso". 
Ma questa e' un'altra storia...
Vorrei far notare che la presenza dell'atmosfera non entra in gioco
all'inizio del fenomeno ma puo' entrare in seguito perche' lo sviluppo 
di instabilita' alla superficie del liquido viene fortemente influenzata 
dalla velocita' relativa dell'aria (un analogo di quella che viene 
chiamata instabilita' di Kelvin-Helmoltz).
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca

 Uni. Milano-Bicocca
Grazie per aver recuperato il post!
La risposta è molto interessante, ciò vorrebbe dire che, in qualche modo,
almeno all'inizio del fenomeno, prima che prendano il sopravvento fenomeni
perturbativi, sarebbe possibile avere una stima delle forze interagenti tra
le molecole di acqua... 
ciao
No0tic

 sezione - almeno all'inizio del fenomeno.
Come il  fornaio ben sa, se si tira delicatamente da un lato un
cilindro di pasta, il risultato e' un tronco di cono. Gli spostamenti
u(x) (e quindi le velocita') saranno diversi al variare di x  lungo
la sezione longitudinale, e questo conduce ad uno stiramento lungo
l'asse x.
A me sembra un caso molto simile al nostro: abbiamo un cilindo di
acqua tirato dalla forza di gravita', solo che ora v(x)=k*Sqrt[x],
invece che v(x)=k*x.
Per l' ingegnere si tratterebbe di una  questione di teoria delle
deformazioni  e la affronterebbe come affronta il cemento e le travi, 
col tensore degli sforzi.
Il tensore delle deformazioni, che contiene le derivate degli
spostamenti u(x), dipende pero'  da x; l'ingegnere parlerebbe di
"trazioni non uniforme di una trave" e cercherebbe il capitolo
corrispondente del libro.
Per cui ora ci manca soltanto l'ingegnere ... :-)
Michele
-- 
Signature under construction. 

Mi limito ad una spiegazione di carattere matematico
richiamando una delle equazioni fondamentali della
Meccanica dei Fluidi Newtoniani.
Consideriamo una regione di spazio
avente una singola entrata ed una sola uscita.
Immaginiamo che nella suddetta regione fluisca un fluido.
Sotto le seguenti ipotesi:
1) moto stazionario
2) moto uni-dimensionale ortogonale alle due sezioni di attraversamento
l'equazione di conservazione della massa
consente di concludere che la portata massica nella sezione d'ingresso
eguaglia la portata in uscita.
Se aggiungiamo l'ipotesi di incomprimibilità
possiamo scrivere:
 Vi * Ai = Vu * Au
dove:
 Vi = velocità del fluido nella sezione d'ingresso
 Ai = area della sezione d'ingresso
 Vu = velocità del fluido nella sezione d'uscita
 Au = area della sezione d'uscita
Nel nostro caso
il moto di ciascuna particella fluida elementare
è uniformemente accelerato, per cui Vu > Vi.
Con la relazione di sopra possiamo concludere che:
 Ai > Au
In altri termini la sezione fluida si restringe
man mano che il fluido cade
come possiamo anche osservare.
Le ipotesi di stazionarietà, uni-dimensionalità ed
incomprimibilità sono sufficientemente realistiche
in molte situazioni quotidiane.
 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

2) moto uni-dimensionale ortogonale alle due sezioni di attraversamento
Questo caso che hai considerato differisce totalmente
dal nostro in discussione.
Il motivo e` che nel tuo il generico elemento del
continuo viene spinto dal successivo in ingresso,
mentre invece nel caso in esame viene allontanato
dal suo stesso peso.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 ha scritto:

Dipende da quanto e' veloce il fluido e dalla sezione. Per un prodotto 
fra il diametro del tubo e l'altezza del pelo libero non superiore a 
4 cm^2 l'effetto della tensione superficiale si riflette in un frenamen-
to di circa 70/4000 di g ovvero un effetto dell'ordine dell'un per cento
dell'accelerazione di gravita'.  Per pressioni di uscita maggiori quando
l'altezza equivalente del pelo libero e' maggiore della profondita' del
lavandino possiamo considerare l'accelerazione praticamente costante 
lungo tutto il tratto e pochissimo differente dalla accelerazione di 
gravita'. La tensione superficiale dell'acqua e' 72 unita' cgs.
I parametri da confrontare sono tau/(D h) e rho g. Dove tau e'
la tensione superficiale, D il diametro della sezione, h l'altezza 
raggiunta dal liquido qualora uscisse verso l'alto, rho e' la densita' 
del liquido, e g l'accelerazione di gravita'. L'espressione per 
l'accelerazione contiene una dipendenza da h che a sua volta e' una 
potenza alla tre quarti di (1 + s/h) dove s e' lo spazio percorso dal 
liquido una volta che e' fuori dal tubo, ed h l'altezza raggiunta dal 
liquido in caso di uscita verticale. Quindi quando s e' molto maggiore 
di h troviamo una variazione significativa con l'altezza, inoltre
siccome questa potenza alla tre quarti e' a denominatore si vede
che quanto piu' il liquido e' lontano dall'ugello tanto minore e' 
l'effetto di rallentamento dovuto alla tensione superficiale, il che
corrisponde al fatto intuitivo che le pareti del liquido diventano
piu' verticali. Prima invece troviamo una variazione relativamente 
lenta. In verita' per effetto della viscosita' al bordo la sezione 
efficace sara' minore del diametro geometrico misurabile il che gioca 
un poco a vantaggio di una misurabilita' dell'effetto della tensione 
superficiale. L'effetto di formazione di gocce che posso osservare 
quando abbasso gradualmente la portata del flusso e' da valutare per
altra via una prima indicazione delle condizioni critiche per la 
formazione delle gocce si trova semplicemente confrontando la superfice
di una sfera di massa M con la superfice laterale del cilindro di uguale
massa e sezione pari alla sezione del flusso. Se la prima e' maggiore 
della seconda il liquido preferisce la forma cilindrica, se la seconda
e' maggiore della prima il flusso si sgrana in gocce di varie
dimensioni.
Poco prima della separazione in gocce puoi notare che la condizione
di stazionarieta' non e' adeguata alla descrizione del flusso. Infatti
il flusso prende una forma imperlata, la formazione delle gocce avviene
cioe' gradualmente, anche se il flusso e' molto rapido ti accorgi che 
il bordo appare in rapido movimento come se oscillasse fra due 
sezioni una piu' grande ed una piu' stretta. Generalmente noterai
anche una leggera tendenza all'accentuarsi di moti elicoidali dovuti
al fatto che il tubo, specie nella sezione non e' perfetto ed imprime  
un leggero moto rotatorio all'acqua. Quando la sezione si assottiglia
la conservazione del momento angolare richiede una maggiore vorticita'
del campo di velocita'. Questo comporta che prima ancora di formarsi
delle gocce il flusso si sfrangia in sottili filetti laterali. Se 
questo effetto e' importante si formano delle gocce piu' piccole
che poi coalescono con gocce generate dagli altri filetti fluidi
ed il flusso sfrangiato puo' apparire piu' largo alla base che non 
all'uscita dal tubo. Questo comporta che anche in assenza di vento
puoi notare una certa indeterminazione nel punto esatto in cui un
rivolo di acqua piovana che esce da un foro di una grondaia tocca il
suolo, e' un fenomeno facile da osservare nelle grondaie di fronte 
a Massimo Dei a Pisa, per chi e' del luogo. 
-- 
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http://www.Mailgate.ORG

 quindi le loro velocita', tutte parallele, aumentano verso il basso.
Forse non c'entra nulla con la discussione ma l'esempio delle palline inerti
mi ha fatto venire in mente un semplice problema di fluidodinamica. In
pratica, due barche che viaggiano nella stessa direzione, su traiettorie
parallele, tendono ad avvicinarsi. Per lo stesso principio, data la loro
forma, le sferette di cui sopra che si muovano nel fluido aria dovrebbero
tendere ad attrarsi (in qualche misura...) anche in mancanza di tensione
superficiale.
Sr-i

 superficiale.
Il tuo post e' pertinente ma introduce ulteriori fattori che non ho 
voluto considerare nella mia spiegazione originale per limitarmi 
all'essenziale.
Se le sferette cadono in aria entrano in gioco altre forze che possono 
essere descritte utilizzando il teorema di Bernoulli ma solo in regime 
laminare.  Se il regime e' turbolento, sono dolori...
In ogni caso, l'effetto "attrattivo" che citi, effettivamente c'e' ma, 
nota bene, non e' legato all'accelerazione delle sferette verso il 
basso: esiste anche per sferette che si muovono a velocita' costante.
Non mi e' chiaro se l'effetto Bernoulli potrebbe essere chiamato in 
causa nel caso del "tubo" di fluido in aria e accelerato verso il basso; 
mi piacerebbe sentire cosa ne pensano gli altri.
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca