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Titolo: deformazioni toroide (camera d'aria di gomma)

 
Vorrei porvi un problema.
 
Si abbia un sistema (astratto) costituito da un toro cavo, 
di una gomma isotropa e con coefficiente di elasticità 
diverso in due scenari da considerare separatamente : nel 
primo il modulo elastico sia costante, indipendente dalla 
deformazione già subita, almeno nel campo dell'esperimento; 
nel secondo il modulo elastico sia linearmente proporzionale 
alla stessa, cioè più stiri e più la gomma resiste (scenario 
più realistico).
 
Ora questo toroide sia descritto da due dimensioni "R" ed 
"r", dove il primo è il raggio del Toro nel complesso, e il 
secondo è il raggio della sua sezione normale.
Il toroide abbia un
volume iniziale     V_i = 2 * PI^2 * R * r^2
e
superficie iniziale S_i = 4 * PI^2 * R * r
 
 
La gomma sia inizialmente già tesa in modo da non avere 
grinze e, per qualche magia, in ogni punto ci sia la stessa 
tensione (forse in realtà questo non ha niente di peculiare 
e l'equalizzazione delle tensioni è automatica, ma non ne 
sono sicuro sicché mi limito a postularlo). Assumiamo anche 
che all'inizio il modulo elastico sia uguale in ogni punto 
della superficie di gomma
 
 
Vorrei capire, ammettendo di immettere aria q.b., ad es, 
quella per incrementare il volume ad un certo valore, es. 
V_i + DV, come si deformerebbe il sistema.
 
In altre parole, sulle prime penserei ad una minimizzazione 
della superficie, ma forse questa non necessariamente 
comporta una equa redistribuzione delle tensioni generate.
 
Il, fantasioso, modello a modulo elastico costante, mi 
porterebbe a dire che in questo scenario irreale la 
minimizzazione della superficie potrebbe in effetti essere 
sicura : cmq non ho provato nemmeno a impostare il problema, 
e sarei grato se qualcuno scrivesse i valori incrementati di 
R e r, a seguito dell'incremento DV.
 
Ma nello scenario a irrigidimento progressivo, vista la 
diversa dipendenza del volume da r e R, non sono sicuro che 
la minimizzazione dell'incremento della tensione totale 
possa o debba coincidere con la più equa distribuzione della 
tensione della gomma.
Si può modellizzare a priori ? E' lecito supporre la 
minimizzazione dell'energia elastica totale ? Hanno senso 
fisico eventuali soluzioni "degeneri" che magari riducono 
fortemente un tipo di deformazioni, che so, longitudinali, 
ma in modo molto asimmetrico, e a scapito di un sia pure 
meno forte incremento delle deformazioni, es., radiali ? (o 
il contrario).
Una distribuzione equa è compatibile al contempo con la 
minimizzazione della superficie totale ?
 
Grazie di ogni help
 
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)
 
 
---
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Solo una riflessione: Sei sicuro che un modulo elastico che aumenta con la deformazione sia piu' realistico? Osservando le curve sforzo/deformazione di elastomeri direi il contrario. Hai un regime elastico in cui il coefficiente angolare e' costante e poi progressivamente diminuisce.


 
scusa, ma il coefficiente angolare non è la resistenza 
elastica assoluta, esprime invece COME VARIA la resistenza 
stessa AL VARIARE della deformazione totale subita.
 
Mi sono espresso male sicuramente, ma ai fini della 
minimizzazione dell'energia, credo interessi minimizzare la 
tensione in assoluto (non la sua derivata rispetto alla 
deformazione, ossia il modulo) ... boh, almeno penserei così


 
Si, perdona tu la pignoleria anzi. Credo che sia effettivamente la tensione da indagare ma questa risentira' sicuramente dei fenomeni di snervamento oltre un certo livello di estensione del materiale, a meno che non si limiti l'indagine al regime elastico del materiale in esame


 
per semplificare il fatto ho "postulato" di operare entro il 
campo di elasticità ideale, "hookiano" diciamo.



 
uhm ... ho preso una cantonata, perché in effetti mi 
aspettavo di stuzzicare un po' più di verve :-\
Ho idea che mi toccherà di comprare delle camere d'aria e 
tentare di fare prove empiriche, anche se odio sprecare 
materiali, laddove i bit m'impensieriscono poco.
 
Il fatto è questo : devo realizzare una guarnizione di 
quasi-tenuta tra il bordo superiore svasato di un serbatoio 
e la lastra di copertura, bordo che costituirebbe un ponte 
termico per il ridotto spessore della parete dovuto allo 
svaso arrotondato. Pensavo di metterci un anello gonfiabile 
da molle, e poi gonfiare col coperchio posato. Però non ho 
idea di come si modifica la forma gonfiando, se stringe, se 
si allarga, boh, se dipende dal rapporto tra r e R. So solo 
che r cresce, ma il resto nin zo


Il 01/07/2016 20:57, Soviet_Mario ha scritto:
 >
 > Il, fantasioso, modello a modulo elastico costante, mi porterebbe a dire
 > che in questo scenario irreale la minimizzazione della superficie
 > potrebbe in effetti essere sicura : cmq non ho provato nemmeno a
 > impostare il problema, e sarei grato se qualcuno scrivesse i valori
 > incrementati di R e r, a seguito dell'incremento DV.
 
Provo a dare il mio piccolo contributo.
Uso un approccio semplificato perché ad aggiungere complicazioni si fa 
sempre ora.
 
Chiamo:
p=pressione interna
s=spessore tubo
R=raggio toroide (riferito al centro della circonferenza della sez. normale)
r=raggio interno della cir. della sez. normale
S_r=tensione radiale
S_l=tensione longitudinale
E=modulo elastico della gomma
 
Suppongo inizialmente che la gomma sia un materiale elastico lineare 
(con questo credo di interpretare ciò che tu intendi "costante").
Trascuro la curvatura 1/R e la contrazione dello spessore s
Suppongo che le S_rl siano costanti nello spessore.
Suppongo che sia trascurabile, in prima approssimazione, l'incremento dr 
e DR
 
Sfrutto la simmetria di forma, seziono idealmente la circonferenza di 
raggio r e la taglio a metà --> sostituisco alla metà tagliata le forze 
che questa applica alla semicirconferenza che mi rimane.
 
Avrò, per l'equilibrio: 2prdl-2sS_rdl=0 (dl lunghezza infinitesima) --> 
S_r=pr/s
La deformazione radiale sarà uguale a pr/(Es) che integrata da 0 a 2PIr 
fornisce p/(Es)2PI^2r^2
 
Ora eseguo un taglio trasversale (ottengo la circonferenza di raggio r) 
e sostituisco come sopra le forze ecc.
Per l'equilibro (longitudinale, lungo R) avrò: -PIr^2p+2PI(r+s/2)sS_l=0
Ricavo S_l=r^2p/(s(2r+s))
La deformazione longitudinale si ottiene dividendo per E e integrando da 
0 a 2PIR e si ottiene Rr^2p/(Es(2r+s))
 
Se i conti sono giusti (nei limiti delle ipotesi) si ottiene questa 
variazione di lunghezza per i raggi:
Delta r=rp/(Es)PI
Delta R=2PIRpr^2/(Es(2r+s))
 
Esempio numerico:
p= 5 kg/cmq
s= 0,5 cm
R= 50 cm
r= 3 cm
E= 100 kg/cmq
 
Delta r=rp/(Es)PI=3*5/(100*0,5)*PI= 0,94 cm
Delta R=2PIRpr^2/(Es(2r+s))=2*PI*50*5*3^2/((100*0,5*(2*3+0,5))=43,5 cm
 
Prendi tutto con le molle.
 
Ora però bisogna aggiungere le tue ipotesi, e la cosa si complica parecchio.
Vista l'entità delle deformazioni in gioco non è più lecito trascurare 
la variazione dr e DR nella scrittura delle equazioni di equilibrio --> 
vanno scritte nella situazione deformata (compreso la contrazione dello 
spessore s per effetto delle S_r e S_l).
 
Occorre poi tener conto della curvatura (gli elementini infinitesimi dl 
non sono uguali, quello più esterno è più lungo).
Poi le S_rl variano con lo spessore
Inoltre la tua richiesta di variabilità di E richiede, secondo me, una 
soluzione incrementale per linearizzare il problema.
 
Forse però non tutto è perduto: si potrebbe usare questa soluzione 
lineare in modo iterativo --> rifaccio i conti aggiornando r ed R ad 
ogni ciclo. In genere per questo tipo di problemi la convergenza è rapida.
 
Per quanto riguarda l'approccio di minimizzare l'energia: si può fare, 
ma anche qui hai il problema che non sono trascurabili le 
deformazioni/spostamenti e quindi bisogna procedere in modo incrementale.
 
Una trattazione molto dettagliata di tubi a grande curvatura si trova 
sul Belluzzi, vol.°4 però è parecchio pesante.
Vedi se intanto questo può andare.
 
 
Gianluca
 

 Gianluca



 
Purtroppo è colpa mia. Ho cercato di migliorare adesso.
Comunque ho capito il tuo problema: vuoi sapere se la circonferenza 
interna della camera d'aria diminuisce il raggio (per creare la tenuta) 
oppure se aumenta anch'essa di volume.
Non ho sotto mano gli appunti che mi erano serviti per la risposta (che 
tra l'altro avevo mandato ancora il 02-03/07 poi il robomoderatore me 
l'ha accettata solo ieri) per cui adesso non posso scrivere di più.
 
 
Gianluca
 


 
no probl, nessuna fretta. Tra l'altro, per quanto di 
interesse generale per i teorici, in effetti per quanto 
serve a me anche semplicemente formule magari semiempiriche 
e senza nessuna dimostrazione (purché si capisca in che 
range valgono) mi andrebbero non bene, ma più che bene.
 
Avevo impostato il problema con un po' di clausole teoriche 
qualora qualcuno si sbizzarrisse a modellizzare ma più che 
altro pessimista sul fatto che si trovassero studi pronti 
già collaudati. Se però se ne trovano, beh credo che siano 
più affidabili i risultati altrui messi alla prova in 
pratica piuttosto che le magari eccellenti modellizzazioni 
ma fatte sulla base di miei assunti molto semplificati.
 
Cmq non mi serviranno risultati prima dell'autunno.
riciao



 
Ho rivisto i calcoli ed ho trovato degli errori (nell'integrazione).
 
Riporto brevemente i risultati dei vari passaggi:
 
Tensione radiale= r*p/s (formula di Mariotte)
Deformazione radiale= r*p/(E*s)
 
Tensione longitudinale= p*r^2/(2s*(r+s/2))
Deformazione longitudinale= p*r^2/(2E*s*(r+s/2))
 
Allungamento circonferenza piccola= 2PI*r^2*p/(E*s)
Allungamento circonferenza grande=  2PI*r^2*p*R/(2E*s*(r+s/2))
 
Allungamento raggio piccolo= p*r^2/(E*s)
Allungamento raggio grande=  p*r^2*R/(2E*s*(r+s/2))
 
Condizione affinché l'aumento di dimensione del raggio piccolo sia 
maggiore di quello grande (il raggio interno del toroide diminuisce) --> 
r>(R-s)/2
Trascurando s nella formula sopra, perché s<<R si ha:
r>R/2
 
Quindi la tua camera d'aria può generare una tenuta solo se r>R/2
 
Con gli stessi numeri dell'esempio iniziale:
p= 5 kg/cmq
s= 0,5 cm
R= 50 cm
r= 3 cm
E= 100 kg/cmq
 
Delta r=5*3^2/(100*0,5)= 0,9 cm
Delta R=5*3^2/(2*100*0,5*(3+0,5/2))= 6,9 cm
 
Per fare in modo che quella camera d'aria faccia al caso tuo devi 
modificare il raggio inferiore e portarlo a 25 cm
Dovrai anche diminuire la pressione, per non avere deformazioni assurde: 
supponiamo di portarla a 1 kg/cmq (circa 1 atm rispetto all'esterno)
 
In questo caso avresti:
Delta r=1*25^2/(100*0,5)= 12,5 cm
Delta R=1*25^2/(2*100*0,5*(3+0,5/2))= 12,4 cm
 
Spero che stavolta i conti siano giusti (nei limiti delle ipotesi assunte).
Valgono comunque le osservazioni finali della mia mail precedente 
(soluzioni incrementali iterative, ecc.)
 
Non ti resta che provare ;)
 
 
Gianluca
 
 

Il 11/07/2016 09:41, Gianluca ha scritto:
 > Il 01/07/2016 20:57, Soviet_Mario ha scritto:
 >  >
 >  > Il, fantasioso, modello a modulo elastico costante, mi porterebbe 
a dire
 >  > che in questo scenario irreale la minimizzazione della superficie
 >  > potrebbe in effetti essere sicura : cmq non ho provato nemmeno a
 >  > impostare il problema, e sarei grato se qualcuno scrivesse i valori
 >  > incrementati di R e r, a seguito dell'incremento DV.
 >
 
Ho rivisto i calcoli ed ho trovato degli errori (nell'integrazione).
 
Riporto brevemente i risultati dei vari passaggi:
 
Tensione radiale= r*p/s (formula di Mariotte)
Deformazione radiale= r*p/(E*s)
 
Tensione longitudinale= p*r^2/(2s*(r+s/2))
Deformazione longitudinale= p*r^2/(2E*s*(r+s/2))
 
Allungamento circonferenza piccola= 2PI*r^2*p/(E*s)
Allungamento circonferenza grande=  2PI*r^2*p*R/(2E*s*(r+s/2))
 
Allungamento raggio piccolo= p*r^2/(E*s)
Allungamento raggio grande=  p*r^2*R/(2E*s*(r+s/2))
 
Condizione affinché l'aumento di dimensione del raggio piccolo sia 
maggiore di quello grande (il raggio interno del toroide diminuisce) --> 
r>(R-s)/2
Trascurando s nella formula sopra, perché s<<R si ha:
r>R/2
 
Quindi la tua camera d'aria può generare una tenuta solo se r>R/2
 
Con gli stessi numeri dell'esempio iniziale:
p= 5 kg/cmq
s= 0,5 cm
R= 50 cm
r= 3 cm
E= 100 kg/cmq
 
Delta r=5*3^2/(100*0,5)= 0,9 cm
Delta R=5*3^2/(2*100*0,5*(3+0,5/2))= 6,9 cm
 
Per fare in modo che quella camera d'aria faccia al caso tuo devi 
modificare il raggio inferiore e portarlo a 25 cm
Dovrai anche diminuire la pressione, per non avere deformazioni assurde: 
supponiamo di portarla a 1 kg/cmq (circa 1 atm rispetto all'esterno)
 
In questo caso avresti:
Delta r=1*25^2/(100*0,5)= 12,5 cm
Delta R=1*25^2/(2*100*0,5*(3+0,5/2))= 12,4 cm
 
Spero che stavolta i conti siano giusti (nei limiti delle ipotesi assunte).
Valgono comunque le osservazioni finali della mia mail precedente 
(soluzioni incrementali iterative, ecc.)
 
Non ti resta che provare
 
 
Gianluca