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Titolo: vettori di killing

Ciao. Una domanda semplice: data una metrica come faccio a trovarne i
vettori di Killing?
In particolare la metrica e' questa:
ds^2 = - (du dv + dv du ) + a^2 dx dx + b^2 dy dy
le coordinate sono (u, v, x, y) e a(u) e b(u) sono due funzioni
generiche di u.
Ora la metrica non dipende da v, x, y quindi so che @/@v @/@x @/@y sono
tre vettori di Killing. Me ne mancano altri due (lo so senza doverlo
dimostrare). Che faccio? I commutatori dei primi tre si annullano. E
allora? Cambio coordinate?
Grazie

 coordinate?
Non saprei. I tentativi che ho fatto finora non hanno portato a niente.
Ma sei sicuro che ci siano?
 
-- 
Elio Fabri

 teorema in proposito?
questo era uno dei suggerimenti del problema, l'altro era che tutti i
vettori di Killing hanno uno componente nulla in mu = 0.
Insomma la parte piu' difficile (quanti sono i vettori di Killing?) era
gia' risolta tuttavia non pensavo di dovermi mettere a risolvere un
sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, perche'
credevo ci fossero metodi piu' immediati (tipo trovare qualche
simmetria della metrica che non vedevo).
Lavorando sulle simmetrie si potrebbe anche imporre che una variazione
infinitesima delle coordinate proporzionale ai vettori di Killing lasci
invariata la metrica - comunque si tratta sempre di risolvere un
sistema di eq. differenziali alle derivate parziali.
In ogni caso grazie dell'aiuto. Mi conforta un poco sapere che anche un
docente di fisica non trova il problema del tutto banale...

 [...]
Una curiosità. C'è una ragione per aver scritto il termine in questo
modo (du dv + dv du) e non in quest'altro 2du dv ?
Saluti

ermachoditalia ha scritto:

Beh direi perche' questo e' il modo piu' corretto di scrivere la
metrica. dudv e dvdu non sono la stessa cosa. Comunque questo non ha un
significato particolare per l'esercizio.
Saluti.

 significato particolare per l'esercizio.
Scusami, perchč sarebbe il modo piů corretto?
Non riesco a visualizzare la cosa.
Mi potresti dare delucidazioni?
Saluti

 un docente di fisica non trova il problema del tutto banale...
Ex-docente, e comunque non sono un "relativista", ossia uno che mangia
i vettori di Killing a colazione, al posto dei biscotti :-)
 
-- 
Elio Fabri

 i vettori di Killing a colazione, al posto dei biscotti :-)
Ma neanche io sono un relativista! ;-)
Saluti

 Saluti
Io la vedo cosi' (e forse qualcuno mi puo' correggere se sbaglio) :
nello scrivere la metrica in modo corretto bisogna chiarire che il
prodotto di differenziali e' un prodotto tensoriale: du x dv - ci
vorrebbe un cerchio intorno a x ma non ricordo il comando latex - e il
prodotto tensoriale non commuta! Poi la metrica e' sempre simmetrico e
di qui ecco la forma abbreviata, che di per se' non e' sbagliata ma
forse solo meno rigorosa.
Saluti

 Saluti
OK. Avevo capito che preferisci il rigore dei matematici! ;-)
Però noi siam fisici e quando si parla di RG il tensore metrico è
sempre simmetrico...
(Naturalmente se esci fuori dalla RG non è detto che questo continui
ad essere simmetrico...)
Saluti

vettori di Killing?
"The problem of finding all of the Killing vectors of a metric is
therefore somewhat tricky, as it is sometimes not clear when to stop
looking" -S. Carroll, Lectures on G. R., Nov 1997
:-)
La risposta è che... non c'è risposta.
Di vettori di Killing ce ne possono essere da zero fino a D(D+1)/2 (se
D è la dimensione) per uno spazio a simmetria massimale e non c'è
alcun metodo generale per trovarli.
Gianluca Cruciani
*****************************
(togli "NO SPAM" dalla firma se vuoi scrivermi)

 Saluti
Purtroppo posso solo dire pochissimo: Non c'entra un tubo la simmetria
del tensore metrico :-). Il fatto è che il prodotto tensoriale non è
commutativo.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Sě, č vero. Non c'entra nulla.
Saluti

 alcun metodo generale per trovarli.
Quindi non ci sarebbe modo di risolvere l'esercizio di cui sopra senza
gli aiuti dati?
E allora chi ha trovato i vettori di Killing di quella metrica come ha
fatto? ;-)
P.S. Il Carrol e' il libro su cui sto studiando :-)

P.S. Il Carrol e' il libro su cui sto studiando :-)
E' un ottimo testo, secondo me, ben diviso ed accessibile.
Gianluca Cruciani

 commutativo.
Io direi che c'entra.
Dato che il pr. tensoriale non e' commutativo, du \otimes dv non e'
simmetrico.
Invece il tensore metrico lo vogliamo simmetrico, quindi deve essere
scritto
du \otimes dv + dv \otimes du.
 
-- 
Elio Fabri

 du \otimes dv + dv \otimes du.
Non ho capito il commento, cioé ho capito quello che
dicie ed è corretto ovviamente, ma non ho capito
cosa c'entri con la questione. Mi pareva che la
questione fosse la seguente:
Perché i matematici  scrivono:
            du dv + dv du
 invece di, "come fanno i fisici"
               2 dudv ?
Io ho risposto: perché
 du dv è diverso dv du
visto che il prodotto tensoriale non è
commutativo.
Questo fatto non c'entra nulla con la simmetria
o meno del tensore metrico...
ma non ho seguito tutta la questione perché
al solito sono impegnatissimo, per cui posso avere
frainteso la domanda.
Ciao, Valter

 du \otimes dv + dv \otimes du.
Secondo la mia opinione, ha beccato in pieno il problema della
simmetria.
Data la necessità di avere un tensore metrico simmetrico, l'unica via
di ottenere questo partendo da un prodotto tensoriale non simmetrico è
appunto quella di simmetrizzare ques'ultimo.
E con questo ho riscritto le medesime parole di Elio Fabri... (E con
questo mi son pure rimangiato le parole scritte nel mio post del 5
aprile!)
Saluti

dei fisici? ;-)
Si, infatti anche io nei conti faccio proprio cosi' (ogni tanto mi
perdo però un fattore 2...)
Riguardo alla questione di cui parli dopo: io sono d'accordo con voi,
ma mi pareva che la questione non fosse: perché
si scrive du dv + dv du? (e questo si scrive perché il tensore
è simmentrico, su questo non ci piove),
ma invece fosse:
perché assumendo che sia  du dv + dv du la forma corretta
allora NON è corretto scrivere semplicemente 2du dv?
Comunque non mi pare il caso di continuare questa discussione
visto che mi pare che siamo d'accordo.
Ciao, Valter