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Titolo: Esperimento mentale di Astrofisica

Salve
 
Ho una domanda curiosa che mi pongo da parecchio tempo,
una specie di esperimento mentale, chiunque pensa di potermi
dare una risposta anche approssimativa � ben accetto, grazie.
 
Ipotizziamo che a grande distanza dalla terra, in un qualche
pianeta fuori dal sistema solare, poniamo ad un distanza 
di 3 mila anni luce, vi sia uno specchio riflettente molto
grande di forma circolare e posto in maniera perfettamente
ortogonale rispetto all'asse di visualizzazione dalla terra 
e che vi sia spazio completamente libero in mezzo.
 
Quanto dovrebbe essere il diametro minimo di tale specchio per
fare in modo che l'immagine della terra riflessa sia visibile
tramite un telescopio arbitrariamente potente???
 
Forse ad una distanza simile si arriva ad utilizzare tutta la
risoluzione disponibile utilizzando i fotoni di luce, e quindi
non si vedrebbe nulla, oppure sarebbe possibile osservare il
riflesso della terra vecchio di 6 mila anni??? E quindi in pratica
guardare nel passato della terra come nello schermo di una macchina
del tempo???
Ovviamente ipotizzando che la terra si sia trovata nella
posizione giusta, per ottenere il riflesso oltre 6 mila anni fa.
 
grazie
Stefano C.

On 8/23/2013 16:51, Stef Cud wrote:
 
Potrebbe essere interessante anche calcolare quando dovrebbe essere 
grande il telescopio per vedere qualcosa!
 
Comunque se ti guardi in uno specchio piano messo di fronte a te, per 
vederti completamente lo specchio deve essere alto meta` della tua 
altezza, indipendentemente dalla distanza a cui ti metti.
 
-- 
 
Franco
 
Wovon man nicht sprechen kann, dar�ber mu� man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 di 3 mila anni luce, vi sia uno specchio riflettente molto
 
Cambiamo l'ipotesi:
- non 3 mila anni luce, ma 4 anni luce, ossia 145 milioni
di secondi luce.
- non la Terra, ma il Sole, che  ha un diametro di 1.395.000 Km
pari a 4,6 secondi luce.
Se supponiamo che il Sole grande quanto un granello di sabbia
di 1 cm,  quello specchio sarebbe lontano 3 miliardi di Km.
Ti  torna? 
 

 ha scritto nel messaggio 
news:521b79ea$0$1371$4faf...@reader1.news.tin.it...

a me non torna,puoi spiegare questi calcoli?
Grazie
 
ciao 
 

 grande il telescopio per vedere qualcosa!
Immagino che tu abbia in mente una questione fotometrica, ossia di
luminosità.
Della risoluzione si è già preoccupato flym in isa (perché l'OP ho
posto la stessa questione in entrambi i NG, incerto se fosse una
questione di fisica o di astronomia).
In effetti, come vedremo, richiede conoscenze in entrambi i campi (o
forse l'astronomia è oggi una specializzazione della fisica?)
 
Comunque preferisco tentare una trattazione completa, che tenga conto
di tutti gli aspetti che mi vengono in mente.
Uscendo dal mondo reale, dimenticheremo i moti relativi: dunque
abbiamo da una parte la Terra, con sopra (?) un telescopio grande
quanto occorre.
Dall'altra abbiamo l'ogggetto su cui è montato lo specchio (piano:
nessuno l'ha precisato...).
La distanza Terra-specchio è 3000 al, perché così ha deciso l'OP :)
 
Prima domanda: qanto dovrà essere grande lo specchio perché ci si
possa vedere riflessa tutta la Terra?
Risposta: lo specchio produce un'immagine virtuale della Terra, grande
come lei, e situata a 6000 al da noi.
Da un *dato punto* della Terra quest'immagine si vede sotto un certo
angolo, e occorrerà che lo specchio si veda sotto un angolo almeno
uguale.
Dato che lo specchio è a metà distanza, basterà che sia grande metà
della Terra.
 
Questa risposta è già stata data, però...
Se cambiamo punto di osservazione sulla Terra, il centro dello
specchio dovrà sempre trovarsi sulla congiungente dal punto di
osservazione al centro dell'immagine, e quindi cambierà al cambiare del
punto (parallasse).
Mi si dirà: vero, ma noi possiamo pensare di metterci in un punto
fisso (abbiamo trascurato tutti i moti, quindi anche la rotazione
della Terra...).
Già, ma noi dobbiamo usare un telescopio, che avrà un diametro finito.
 
E se questo diametro risultasse confrontabile con quello della Terra.
o più grande? (Sappiamo già, perché flym ha già fatto un calcolo, che
dovrà essere moolto più grande... E in realtà è 1000 volte maggiore di
quello che dice flym.)
In questo caso lo specchio dovrebbe avere un diametro almeno pari alla
*somma* di quello del telescopio e di quello della Terra :-)
(Ci vorrebbbe una figura: o mi credete sulla parola, o cercate di
capirlo senza aiuto.)
 
Ma quanto dovrà essere grande il telescopio?
Qui entrano in ballo due aspetti: la risoluzione e la questione
fotometrica.
 
1. Cominciamo dalla prima.
Dobbiamo decidere che dettagli della Terra vogliamo vedere.
Sia a il più piccolo dettaglio che c'interessa.
Sia D la distanza Terra-specchio (3000 al) e lam la lunghezza d'onda
della luce visibile.
Come ordine di grandezza avremo, per il diametro d del telescopio:
lam/d = a/(2D) (l'immagine sta a 2D).
Accontentiamoci di voler vedere la forma della Sicilia, e non di più:
potremo prendere a = 100 km.
Assumo lam = 500 nm. Allora (1 anno-luce =~ 9*10^15 m)
 
 
d = 2D*lam/a      6000*(9*10^15 m) * (5*10^(-7) m) / (10^5 m)      2.7*10^8 m
 
che è poco meno della distanza Terra-Luna.
Naturalmente se prendiamo a = 1 m, avremo d = 2.7*10^13 m =~ 200 UA.
 
2. Passiamo agli aspetti fotometrici.
Sia R la distanza Terra-Sole, r il raggio della Terra, A=0.4 la sua
albedo.
L'energia che dal Sole arriva sulla Terra (fuori atmosfera), per unità
di tempo e di superficie, è la costante solare K = 1.4 kW/m^2.
Per la maggior parte nel visibile.
Quella intercettata dalla Terra è K*pi*r^2 e quella che la Terra
rimanda nello spazio (per unità di tempo)
 
W = A*K*pi*r^2.
 
(Per semplicità supporrò che la diffusione dalla Terra sia isotropa, il
che certo non è vero.
Ma fare un calcolo realistico sarebbe complicato, e non altererebbe
l'ordine di grandezza del risultato finale.)
 
Per capire se ci sarebbero problemi di rivelazione, calcoliamo il
flusso di fotoni che arriva sul telescopio.
Dato che il grosso della radiazione è nel visibile, non faremo un errore
grossolano attribuendo a ciascun fotone l'energia media nel visibile:
 
eps = h*c/lam.
 
Dunque il n. di fotoni emesso dalla Terra è
 
N = W/eps = pi*A*K*r^2/eps.
 
La Terra immagine si trova a distanza 2D e il telescopio ha area
pi*d^2/4. Quindi il n. di fotoni ricevuti per unità di tempo è
 
 
Nr = N * pi*d^2/4 / (4*pi*(2D)^2)       (pi*A*K*r^2/eps) * (2D*lam/a)^2 / (4D)^2       (16*pi*A*K*lam^3)/(h*c)) * (r/a)^2.
 
(Salvo errori: controllate!)
Interessante che D è sparito: a parte costanti che non possiamo
modificare, compare solo il rapporto r/a.
(Parentesi: vedete il vantaggio di fare i conti algebrici, e non coi
numeri? Nel secondo modo non si sarebbe visto che la distanza dello
specchio non conta..)
 
Ma non abbiamo ancora finito...
Possiamo calcolare Nr, che risulta circa 7*10^13 fotoni al secondo.
Sono molti? Sono pochi?
Per capirlo dobbiamo convolgere il telescopio e il suo rivelatore.
 
Il telescopio avrà uno specchio parabolico di focale f, e formerà
un'immagine reale della Terra sul piano focale.
L'immagine avrà un raggio r' = f*r/(2D), e i fotoni ariveranno tutti
su quest'immagine.
Il rivelatore sarà composto di "pixel", di dimensione tipica p e area
p^2. Nell'immagine della Terra ce ne saranno
 
Np = pi*r'^2/p^2.
 
Il numero di fotoni che ciascun pixel riceve per unità di tempo è quindi
 
Nrp = Nr/Np = (16*A*K*lam^3)/(h*c)) * (2D*p/(a*f))^2.
 
Ora sembra che sia ricomparsa D, e che intervenga il nuovo parametro
f...
Ma un momento: p non può essere arbitrario!
Da un lato conviene che sia il più grande possibile, per massimizzare
Nrp; ma dall'altro bisogna che non danneggi la risoluzione.
Il miglior compromesso si ha quando l'immagine del minimo dettaglio
risolvibile occupa giusto un pixel, ossia quando p = f*a/(2D).
Col che l'ultimo termine scompare:
 
Nrp = 16*A*K*lam^3)/(h*c) = 1.8*10^10 fotoni/s
 
su ciascun pixel.
E non serve sapere né il raggio della Terra, né la focale del
telescopio.
E nemmeno quale sia il minimo dettaglio che si vuol risolvere.
Questo - s'intende - a condizione che il superfantascientifico
telescopio sia stato costruito secondo ciò che si vuol vedere...
 
Ma Nrp è un numero enorme, di gran lunga troppo grande per i normali
rivelatori.
Come si spiega?
Naturalmente si spiega con la richiesta impossibile di voler "vedere"
un'immagine della Terra a 6000 anni-luce, che ci richiede un telescopio
spropositato...
Il resto viene di conseguenza.
 
Obiezione: ma se D non entra nel risultato, avremmo lo stesso anche se
mettessimo lo specchio sulla Luna!
Per ora non rispondo :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 a me non torna,puoi spiegare questi calcoli?
 
Ho scritto 1 cm, ma era un millimetro.
 
Se il Sole fosse grande quanto un granello di sabbia
La stella a lui piu' vicina (4 anni luce) sarebbe un altro granello
di sabbia, lontano 3 miliardi di km.
 

 (L. Wittgenstein)

Il giorno domenica 1 settembre 2013 21:31:43 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
[cut]
 
per curiosita': quanto tempo hai impiegato per fornire questa risposta?
 
--
cometa_luminosa

 una specie di esperimento mentale, chiunque pensa di potermi
 
 
Mi č capitato di pensarci. Mi chiedo infatti, se č vero che lo spaziotempo presenta curvature, se sia possibile fare a meno dello specchio e penso che magari abbiamo sotto gli occhi ciň che č stata la nostra galassia in diverse epoche e che non siamo in grado di riconoscerla.