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Titolo: Un esperimento ideale un po'... imbarazzante!

Vi sottopongo un problema che risale al 13/12/99 e che mi sono posto
durante la preparazione dell'esame di Fisica Tecnica. Qualcuno può
aiutarmi? Non mi ricordo più come lo risolse il mio prof. di allora.
PROBLEMA 1: Un corpo di massa m0 è inizialmente sospeso ad un'altezza
h sul livello del mare (stato A). Viene lasciato cadere nel vuoto in
un campo gravitazionale uniforme avente accelerazione costante g e
giunge a terra con velocità tale che tutta la sua energia potenziale
si è mutata in energia cinetica (stato B). Supponiamo inoltre che non
vi siano attriti di alcun genere, che il corpo sia isolato
dall'esterno, che abbia pareti adiabatiche e che l'urto con il suolo
sia completamente anelastico. A un certo momento il corpo ha energia
potenziale e cinetica entrambe nulle poiché si trova fermo a terra
(stato C). Dato che il corpo è isolato dall'ambiente l'aumento di
energia interna provoca un aumento della massa del corpo in accordo
con la teoria della relatività. Adesso riporto il corpo alla quota h
(stato D), lo faccio nuovamente cadere fino a terra (stato E) e ricavo
un altro aumento di massa (stato F). Ripetendo questo processo
all'infinito...
PROBLEMA 2: Per favore, ditemi dov'è l'errore. E' troppo imbarazzante
per essere vero!
Nel seguito v è la velocità, z la quota, Ec l'energia cinetica, Ep
l'energia potenziale, U l'energia interna, Ut l'energia totale. Le
lettere maiuscole indicano lo stato del sistema.
----- STATO A ----------------------------------------
v(A) = 0
z(A) = h
Ec(A) = 0
Ep(A) = m0·g·h
Ut(A) = U(A) + m0·g·h
----- STATO B ----------------------------------------
v(B) = sqrt(2·g·h)
z(B) = 0
Ec(B) = 1/2·m0·v(B)^2 = m0·g·h
Ep(B) = 0
Ut(B) = U(B) + m0·g·h
osservo che:
Ut(B) = Ut(A) --> U(B) = U(A)
----- STATO C ----------------------------------------
v(C) = 0
z(C) = 0
Ec(C) = 0
Ep(C) = 0
Ut(C) = U(C)
 
osservo che:
Ut(C) = Ut(B) --> U(C) = U(B) + m0·g·h
delta_U = U(C) - U(B) = m0·g·h
delta_M = delta_U / gamma·c^2 = m0·g·h / gamma·c^2 -->
m1-m0 = m0·g·h / gamma·c^2 --> m1 = m0·(1 + (gh / gamma·c^2)) -->
m1 = m0·(1 + (gh / c^2)
essendo gamma = 1 / sqrt(1 - (v^2/c^2)) ~= 1
----------------------------------------
Ripetendo da capo le operazioni si otterrà, nello stato F, una massa
m2 = m1·(1 + (gh / c^2) = m0·(1 + (gh / c^2))^2
ed al passo N avremo una massa
m(N) = m(N-1)·(1 + (gh / c^2) = m0·(1 + (gh / c^2))^N
e si avrà:
		 lim m(N)  =  +inf
		N --> +inf
----------------------------------------
Un po' imbarazzante, non trovate?!
Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere. Ciao da Alberto.

Diciamo che ogni volta che il corpo cade la sua energia cinetica si
trasforma interamente in calore visto che l'urto è del tutto anelastico.
"L'aumento di massa" è dovuto al fatto che le molecole, riscaldate, si
muovono più velocemente. A dire il vero in relatività la massa viene spesso
trattata come un invariante, quindi parlare di aumenti di massa è sbagliato.
E' chiaro che ripetendo il processo la temperatura aumenta continuamente
quindi si potrebbe pensare che dopo molti urti le molecole si muovano a
velocità confrontabili con c. Purtroppo il corpo si sarà liquefatto già a
partire a velocità estremamente inferiori (Km/s tanto per dire).
Ciao
Xam

 Ciao da Alberto.
--
Ciao, Gian Paolo
"Don't worry about your difficulties in mathematics;
I can assure you that mine are still greater." A. Einstein

Taglio tutto il quesito per problemi di moderazione.
Laciamo perdere i limiti fisici.
Non trovo per nulla imbarazzante che, accumulando energia (termica)
infinita, la massa relativistica cresca all'infinito.
Saluti
Mino Saccone

 all'infinito...
Ma scusa, il lavoro che fai per sollevarlo te lo sei scordato?
A parte la prima caduta, in tutte le altre ritrovi come aumento di massa
del corpo esattamente l'energia spesa nell'innalzamento precedente...
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

 Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere. Ciao da Alberto.
Non troppo direi. Il fatto e` che le ipotesi che fai sono irrealistiche.
Vi e´ poi una imprecisione nello scrivere l`energia cinetica
ma l`espressione che dai e` ragionevole se consideri solo piccole
variazioni di velocita` (piccole altezze).
Non esiste un corpo che trattiene all´infinito tutta questa energia.
Anche se isolato dal resto del mondo emettera` ad un certo punto
radiazione
per termalizzare. Esistesse un corpo del genere sarebbe un perfetto accu
mulatore di energia. Nell`esempio che fai praticamente pompi energia 
all`infinito (prima ipotesi irrealistica) nel perfetto accumulatore
(seconda ipotesi irrealistica). Piu` che ovvio che questo acquisti
infinita massa.
Se vuoi un altro problema imbarazzante calcola l`energia del campo
magnetico di un filo rettilineo infinito. Ti verra` infinita
ma i fili infiniti non esistono quindi...
Ciao
the Volk 
-- 
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 del corpo esattamente l'energia spesa nell'innalzamento precedente...
No, professore. Non mi sono scordato il lavoro che occorre per
sollevare il corpo. Anzi, intuivo già che la soluzione al problema
stesse in questi termini. Tuttavia mi sembra di ricordare che a
lezione lei ci insegnasse che un'espressione come "il corpo perde
massa perché fa lavoro contro la gravità" sia piuttosto infelice.
Sebbene la sostanza del problema sia tutta qui, che parole si devono
usare per spiegare l'esito dell'esperimento senza dire "sfondoni"
relativistici?
Il fatto è che la relatività non è certamente intuitiva e quindi,
cozzando contro il senso comune, ha bisogno di un vocabolario tutto
suo per esprimersi.
E poi mi perdoni un'altro dubbio. Se riporto il corpo nello stato
iniziale attraverso una trasformazione termodinamica che lasci
invariata l'energia totale del corpo (isoentalpica, isoterma, non
ricordo più...) perché la massa del corpo dovrebbe ritornare al valore
precedente l'innalzamento? Per via della sua velocità (non nulla) di
risalità, anche se molto minore di c?
Grazie fin d'ora per la sua pazienza.
P.S.: secondo lei, come esperimento ideale, potrebbe avere un certo
valore didattico? contribuire a chiarire certi punti di vista della
relatività?

 E' un processo a termine ! :)
Senz'altro, ma lo sarebbe anche senza Albert (il vecchio): il nostro
Alberto (il giovane) alla fine sarebbe stanco e avrebbe fame...
A proposito: mi e' purtroppo capitato invece di leggere su una rivista
che dovrebbe essere seria ("Sapere") che un modo per dimagrire e' di
andare in India.
No, non pensate a pratiche yoga o non so che; pare che nel mezzo
dell'India ci sia un'anomalia gravitazionale (l'articoletto parlava
dell'1%, ma io non ci credo).
Per cui andando li' si pesa meno, che non e' proprio come dire che si
dimagrisce...


>>Vediamo di ricominciare da capo: descrivo l'esperimento con parole mie.Ho
un corpo (massa m) a una certa altezza h sul suolo.1. Lo lascio cadere; nell'urto
perfettamente anelastico col terreno,tutta la sua energia cinetica (mgh)
si converte in energia interna (inpratica, aumenta la temperatura).Dal punto
di vista della relativita', aumenta anche la massa, chediventa m' = m + mgh/c^2
(ovviamente mgh/c^2 << m).2. Ora risollevo il corpo all'altezza h. Per far
questo debbo farelavoro, a spese della mia energia. Il laovro occorrente
sara' m'gh.3. Lascio cadere il corpo di nuovo: nel nuovo urto, l'enrgia interna
delcorpo aumenta di m'gh, e la massa diventa m

>

Il messaggio e' evidentemente tagliato
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Il messaggio e' evidentemente tagliato
E allora va
rispedito completo. Io ho approvato quello che mi è arrivato.
Cordiali
saluti,
Mauro Venier.
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