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Titolo: Gradi di libertà

ciao a tutti, 
Devo capire bene cosa accade ad un campo elettromagnetico classico e
quantistico! 
Ma un dubbio mi assilla...
Se formulo covariantemente l'elettromagnetismo (definendo il
quadri-vettore potenziale A, la quadri-corrente j, etc...), rimanendo
nell'ambito "classico", matematicamente mi sorgono dei dubbi.
Considerando note le sorgenti (cambia qualcosa e come se le prendo uguale
a zero = campo libero?), dalle equazioni di Maxwell ottengo due equazioni
d'onda, una per il potenziale scalare elettrostatico ed una per il
potenziale vettore magnetico, che unifico nella formula ("covariante a
vista"):
d(nu)F(munu)=j(mu)
Inizialmente ho quattro gradi di libertà (le componenti del
quadri-vettore).
So dalla teoria dei sistemi (Rouchè-Capelli!) che per risolvere il
problema esattamente ho bisogno di quattro equazioni.
Esprimo (tramite integrale di Fourier) la più generale soluzione del
problema nella base formata dai vettori di polarizzazione
(scalare-temporale (1), trasversale al moto (2), longitudinale(1)).
Ma contemporaneamente so che i gradi di libertà effettivi sono di meno (ad
esempio due, quelli trasversi, nel caso libero).
Domanda: quali vincoli ho imposto? (Esempio campo libero) 
Altra domanda: cosa succede nel caso "classico" quando ottengo due gradi
di libertà solo imponendo la gauge di Coulomb (divA=0, con A tri-vettore)?
Non erano quattri i gradi di libertà? Meno una equazione scalare... non fa
tre?!?! Qual è l'altro parametro libero, se c'è?! Oppure, come l'ho
eliminato?
....................
Va bene, mi fermo perchè si potrebbe sconfinare. La conversazione è in
fieri... da questi dubbi ne sorgono altri nell'ambito della teoria
quantistica (gauge di Lorenz, Gupta-Bleuler bla bla bla...) Povero me!
Ringrazio in anticipo chi volesse rispondere a queste mal poste
questioni... tentando di farmi comprendere una cosa di cui mi sfugge la
semplicità, infatti tutti i libri la liquidano troppo velocemente...
secondo me.
Va bè...
CIAO
-- 
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 Ma un dubbio mi assilla...
Credo che solo Elio Fabri possa sgombrarti il cammino!
Ciao


Se si parte dalle equazioni di Maxwell e si fanno alcune ipotesi, si riesce
a ascrivere il potenziale vettore  A come una sommatoria di onde piane
progressive e regressive sommante su tutti i k e tutti gli stati di
polarizzazione r, che sono due.
Se invece se ne fa una trattazione covariante si hanno quattro stati di
polarizzazione r. Usando la teoria di Gupta-Bleule, la quale impone una
restrizione tra  la componente longitudinale e quella temporale degli
operatori di creazione e di distruzione (genericamente chiamati con
a_croce, a), i gradi di libertà scendono a tre.Però, la cosa importante,
perché è L'UNICA cosa che possiamo VERIFICARE, è che qualsiasi osservabile
(es.hamiltoniana) dipende ESCLUSIVAMENTE dai fotoni trasversi. Anche
quando si considera un fotone mediatore, si dimostra che la componente
longitudinale dà contributo nullo e sopravvivono solo i pezzi generati dai
fotoni trasversi.
Quindi le due formulazioni dell'elettrodinamica quantistica sono
equivalenti.
Ciao Mario.



          Ciao.
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

 Ciao Mario.
CIAO :-)


 Oppure, come l'ho eliminato?
Va bene, ho capito...
Sara' meglio ricominciare da capo. Anche perche' dubito che le
risposte che hai avuto abbiano chiarito qualcosa...
Mi limito strettamente all'ambito classico, per evitare addizionali
casini.
La formulazione covariante non aggiunge e non toglie niente: per
questo problema e' solo una questione di notazioni, per cui non la
uso.
Basta pensare a campi nel vuoto, perche' il problema sta tutto li'.
Puoi trattare la questione o dal punto di vista dei campi o dai
potenziali.
Cominciamo coi campi.
Allora hai le eq di Maxwell:
rot E = - dB/dt,
rot B = dE/dt
div E = 0
div B = 0.
(per semplicita' indico le derivate parziali con d, tanto non ci sono
pericoli).
Prima osservazione: terza e quarta equazione sono conseguenza delle
altre due.
Non e' proprio esatto: le prime due dicono che le due divergenze sono
costanti, non che sono nulle.
Ma se metti le giuste condizioni a un certo t, oppure se ti limiti a
soluzioni monocromatiche, allora hai senz'altro divergenze nulle.
Occupiamoci quindi solo delle prime due, ma teniamo presente che
l'annullamento delle divergenze gia' fornisce due equazioni scalari,
quindi lascia indipendenti 4 componenti delle 6 originarie.
Eliminando B ottieni per E l'eq. di d'Alembert:
DE = 0
dove ho indicato con D quello che volgarmente si chiama
"quadratello" (a me questo non piace).
Lo stesso per B, ma non serve., in quanto B si esprime mediante E
dalla prima equazione.
Gia' da qui vedi che ci sono _due_ gradi di liberta', nel senso che
ci sono _due_ componenti di E indipendenti, da cui ricavi tutto il
resto.
Se ci limitiamo a onde piane (oltre che monocromatiche) allora div E
= 0 dive che l'onda e' trasversale, e puoi assegnare in modo
arbitrario e indipendente le due componenti lungo due direzioni
(poniamo x e y, se l'onda viaggia lungo z).
A questo punto assegnare due componenti significa soltanto dare
ampiezza e fase di ciascuna, ossia 4 numeri reali.
Pero' i gradi di lib. sono sempre due, per la stessa ragione che vale
in meccanica: se hai un oscill. armonico unidimensionale, hai 1 grado
di liberta', ma per determinare il moto devi dare *due* numeri.
Questo peche' le eq. diff. sono di secondo ordine nel tempo.
Spero che fin qui sia chiaro, e passo ai potenziali.
Introducendo potenziale scalare e vettore:
B = rot A
E = - grad f - dA/dt (f e' il pot. scalare)
la prima e la quarta eq. di Maxwell sono soddisfatte, la seconda e la 
terza danno per A, f:
DA + grad(div A + df/dt) = 0  (1)
Df + d(div A + df/dt)/dt = 0  (2)
(puo' darsi che ci sia qualche errore di segno, ma non mi va di
verificare tutto).
Inoltre A, f non sono determinati dai campi, ma resta libera una trasf 
di gauge:
A' = A + grad g  (3)
f' = f - dg/dt.  (4)
Primo: si sfrutta l'inv. di gauge per semplificare le (1), (2), ponendo
div A + df/dt = 0   (5)
(condizione di Lorentz). Cosi' (1), (2) diventano
DA = 0  (1')
Df = 0. (2')
Dopo di cio' resta ancora un'invarianza di gauge, nel senso che puoi
ancora eseguire delle trasf. (3), (4) che lasciano invariate (1'),
(2'), (5), a patto che g soddisfi Dg = 0.
Ora facciamo i conti: le incognite sono 4 (tre componenti di A e poi
f) ma sono legate dalla cond. di L. Poi c'e' liberta' di scelta della
trasf. di gauge, che si puo' sfruttare ad es. per imporre f = 0 *gauge
di Coulomb).
Quindi le componenti indip. sono di nuovo 2.
Naturalmente ogni componente deve soddisfare un'eq. del tipo Df = 0,
ma questa puo' essere risolta per ciascuna componente sepratamente, e
per per le onde piane ti dice solo in che relazione stanno frequenza e
vettore di propagazione.
Mi pare che possa bastare.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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From


 
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 Mi pare che possa bastare.
PERFETTO!?! 
Ora cosa succede quando entriamo nell'ambito quantistico?
Mi spiego meglio... perchè la frase che non mi torna è "mentre nella
teoria classica la gauge era fissata, nella teoria quantistica
quest'arbitrarietà di scelta rimane"...
Ti ricorda qualcosa? E' possibile che sia questa la differenza? L'ho
trovata su certi appunti sotto il paragrafo "Quantizzazione covariante del
campo elettromagnetico"...
Se fosse vera mancherebbe una relazione, analoga a quella classica - cioè
quella d'aver fissato f=0 (gauge di coulomb) ... e quindi i gradi libertà 
ritornerebbero tre. Sbaglio? E se si, dove?
Ecco, vorrei capire finalmente perchè c'è questa discriminazione... se c'è
una ragione intuitiva che mi chiarisca ulteriormente le differenze e le
analogie tra ambito classico e quantistico - visto che, come bene hai
detto all'inizio della tua risposta, il formalismo covariante è solo una
questione di notazioni.
Comunque grazie ancora, e mi appello alla tua pazienza scusandomi nel caso
mi fosse sfuggito qualcosa...
:-p
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 potenziali.
Provo a ri-trattare la questione con i potenziali e con la notazione
covariante.
Le equazioni di Maxwell nel caso libero possono essere scritte in termini
di F^{mu,nu}: il tensore antisimmetrico
costruito completando antisimmetricamente la scelta F^{0,i} = E_i
ed F^{i,j} = - eps_ijk B_k. Oppure, a scelta, la sua duale
nella quale il ruolo di E e di B sono scambiati. I segni di E e di B
potrebbero
essere sbagliati pero' visto che non ho specificato le sorgenti posso
salvare
le equazioni complete con una scelta opportuna della forma covariante delle
sorgenti. Infatti nel passaggio da indici covarianti ad indici
controvarianti il
segno relativo di E e B cambia.
Si verifica che le equazioni prendono la forma particolarmente simmetrica:
d_mu F^{mu,nu} = J^mu.
d_mu F_{nu,rho} + d_rho F_{mu,nu} + d_nu F_{rho,mu} = 0
Per risolvere questo sistema osservo che se derivo la seconda equazione
rispetto a mu ottengo:
[quadratello] F_{nu,rho} = d_rho J_nu - d_nu J_rho
e che le soluzioni di questa equazione contengono tutte le soluzioni della
equazione precedente che sono anche soluzioni per la prima equazione.
Cerco allora la soluzione piu' generale per questa
equazione ed impongo che sia soluzione delle equazioni di partenza.
Per questo ragiono in questo modo: opero la trasformata di Fourier delle
equazioni di partenza ed osservo che F^{mu,nu}(k) puo' essere scritta come
somma di una parte off-shell (k^2 diverso da zero) e di una parte
on-shell (k^2=0 ). La parte off shell si scrive identicamente:
k^mu A^nu - k^nu A^mu posto A^nu = J^nu/k^2. La piu' generale soluzione
on-shell la otteniamo come limite distribuzionale di soluzioni off-shell a
questo
scopo scriviamo J = {J - J delta(k^2)} + {[J + k^2f ] delta(k^2)} = J_off +
J_on
Siccome il termine fk^2 viene aggiunto on-shell proporzionalmente
a k^2 non implica differenza alcuna nella antitrasformata di J.
Indichiamo con {a}={1/k^2} l'insieme di tutte le approssimanti in senso
debole di soluzioni di k^2 a = 1. Posto A = a J risulta:
F^{mu,nu}(k) = k^mu A^nu - k^nu A^mu che si divide naturalmente in una
parte on-shell ed in una parte off shell. Nel caso che j=0 solo la parte
on-shell e' diversa da zero e dipende da quattro funzioni di tre variabili.
E precisamente: A=f. Occorre ora controllare che le due equazioni
di partenza siano effettivamente verificate.
la prima equazione del sistema implica che
k^2 A^nu = k^nu (quadridiv A) da cui:
A^nu = a k^nu(quadridiv f) dove a e' sempre un elemento nello spazio delle
distribuzioni che verificano l'equazione a k^2 =1 .
 La seconda equazione invece e' identicamente verificata.
Specificando la distribuzione a e la quadridivergenza abbiamo
la soluzione piu' generale del sistema. Se in gauge di Lorentz
scegliamo la distribuzione di Feynmann 1/(k^2-ieps) imponiamo
l'assenza di campo. Ovvero in assenza di sorgenti non c'e' segnale.
In tal senso la scelta di 1/(k^2-i eps) corrisponde ad una scelta fisica
di causalita'.
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