Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Taylor, teoria degli errori, deviazione standard della media

Ciao, qualche mese fa avevo postato la stessa domanda su un altro ng ma non
avevo ricevuto risposte esaurienti.
Ci riprovo. Il mio dubbio riguarda sì la statistica,ma si basa soprattutto
sul modo di spiegarla adottato dal Taylor nel manuale "Introduzione all'
analisi degli errori", manuale che in realtà non ha troppe pretese formali
ma che è comunque adottato in moltissimi corsi di laurea.
Come scrivevo allora: nelle "prime pagine" del Taylor si dice che lo scopo
pratico della teoria degli errori è quello di associare un "numero" all'
intervallo di confidenza che noi indichiamo come risultato della nostra
misura. Questo numero non è altro che la probabilità che il valore vero
della grandezza misurata cada in questo intervallo. Come arrivare - poi - 
ad associare questa probabilità all' intervallo è effettivamente l'
argomento principale del testo. 
Ora, detto questo, poniamo di effettuare molte misure di una stessa
grandezza (ad esempio un tempo). La miglior stima del valor vero è data
dalla media dei tempi. Il Taylor, a questo punto, ripete più volte che l'
errore da associare a questa miglior stima è la deviazione standard DELLE
MEDIA (SDOM). Non sto ad indicare le pagine del testo, ma viene più volte
ribadito che...faccio un esempio stupido...in una semplice "relazione di 
laboratorio", la misura di questo tempo deve essere indicata come MEDIA +/- 
SDOM
Quello che non mi è chiaro, e che sul Taylor non mi sembra che venga 
neppure spiegato, è che operando in questo modo non riesco ad
associare "immediatamente" nessuna probabilità all' intervallo di
confidenza MEDIA +/- SDOM. In realtà è piuttosto semplice associare una
probabilità, basta consultare una tabella in cui sono tabulati i valori
della funzione degli errori ERF(t)...
Invece, se associassi alla media la semplice SD, nel caso 
di misure distribuite normalmente potrei subito dire che sono certo al 68%
circa che la misura vera cada all' interno di questo intervallo.
Io penso comunque di aver capito tutto il discorso riguardante il fatto che 
la media è comunque una stima del valor vero, la stima "migliore", e che 
essendo una stima il suo errore è dato dalla deviazione standard della 
media. Quindi quello che mi lascia 
perplesso non è tanto il significato della SDOM , quanto piuttosto il suo
UTILIZZO come errore da associare alla 
media nel risultato ultimo di una misura (quello che andrebbe indicato in 
un ipotetica pubblicazione, ecco..)

 ma che è comunque adottato in moltissimi corsi di laurea.
probabilmente affrontare il problema con tutti i crismi (cosa che mi
dolgo di non aver mai neanche lontanamente fatto) sarebbe nella
pratica delle cose improponibile, se non a chi sceglie di dedicarsi
davvero pienamente al problema. Non ho contantti con il mondo
dell'università da anni, ma sono certo che assegna al problema
dell'analisi degli errori poche ore, quindi l'abbandono di pretese
formali non è una conseguenza del libro di testo (vale semmai il
viceversa, inutile iniziare a studiare su qualcosa di troppo tecnico
se devi aver finito tra una settimana). Sul Taylor cmq ci avevo
studiato e mi sembrava bello sotto molti aspetti. Ma io non ho mai
capito perché per trattare errori indipendenti e casuali va usata
proprio la gaussiana. Ad esempio mi pare che veniva che se sommo dieci
numeri casuali tra zero e uno, per molte volte, e studio la
corrispondente distribuzione, mi viene approssimativamente una
gaussiana (ovviamente centrata in 5). Ma perché? E perché questa
benedetta gaussiana è quella che devo usare se misuro la largezza
della mia scrivania?
Non ho capito bene cosa chiedi ma c'è un'altra domanda su questo
argomento sulla quale stavo riflettendo ieri in pausa pranzo e che
voglio porre qui. Ed è la seguente.
In teoria l'utilizzo della gaussiana mi assegnerebbe probabilità non
nulle che la mia scrivania abbia larghezza negativa. Invece la mia
scrivania ha certamente una larghezza compresa tra 0 e oo. L'utilizzo
di una gaussiana a rigore è fuori luogo. La funzione di distribuzione
che mi dice quanto è probabile che la larghezza sia compresa tra tot e
tot dovrebbe essere più qualcosa di simile a una maxwelliana che a una
gaussiana.... no? Una funzione di distrubuzione che cmq nella pratica
e nella maggior parte dei casi "diventa" una gaussiana. Ma non sempre
in fondo. Supponiamo che misurando l'indice di rifrazione di un certo
vetro trovo 1,01+-0,01    che significa? Che devo usare metodi
statistici differenti? O che devo normalizzare la gaussiana solo
considerando la regione tra 1 e infinito? Che si fa in questi casi? (è
solo una mia pura curiosità che mi è passata per la testa, faccio
l'operaio ma a volte mi ritrovo a pensare ai più disparati problemi di
fisica e non so perché, è una splendida malattia dalla quale non si
guarisce...)



Rispondo in fretta perché ho poco tempo. Premesso che il Taylor fa
riferimento al caso in cui la distribuzione delle misure è gaussiana,
l'intervallo di probabilità del 68% che dici rappresenta 'incertezza da
attribuire *singola* misura effettuata (anche se è vero che per ottenere la
SD hai bisogno di più misure ripetute).
Ma la media delle tue N misure è qualcosa di più "preciso": è una
combinazione giudiziosa di N informazioni; per cui ti aspetti che abbia un
intervallo di incertezza più piccolo per un prefissato contenuto di
probabilità (68%) . Si dimostra che la deviazione standard della media scala
appunto con radice di N. Mi sembra che nel Taylor ci sia la dimostrazione,
negli ultimi capitoli. Il Taylor non è malaccio, l'approccio è euristico,
procede per gradi, ti conviene prima leggerlo tutto fino alla fine (scorre
bene, ci metti 2 giorni) in cui trovi anche alcuni approfondimenti.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 (cut)
Quando hai finito il Taylor, dai un'occhiata al Bevington (non ricordo il
titolo, purtroppo), che è più rigoroso, magari ti convince. Per quanto mi
riguarda sono abbastanza d'accordo con il commento di popinga, l'importante
è poi non fare lo sbaglio grossolano di applicare le cose che dicono i due
libri citati alle misure fatte con il righello* :-)
Ciao.
P.S. che poi è sostanzialmente quello che ci facevano fare ai corsi di
Esperimentazioni I e II nella mia Facoltà :-(
Sarà per questo che ora sono un teorico :-)


 statistici differenti?
Si, devi stimare la distribuzione (tipo con il test del chi quadro per
la bontà dell'approssimazione).

 gaussiana (ovviamente centrata in 5). Ma perché?
Nel caso della somma di variabili casuali indipendenti con la stessa
media e varianza (non necessariamente con la stessa distribuzione)
vale il Teorema Del Limite Centrale il quale afferma, in pratica, che
la somma delle n variabili tende ad essere distribuita normalmente per
n --> oo.
La dimostrazione, per il caso specifico di variabili indipendenti e
identicamente distribuite (stessa distribuzione) si trova, ad es., al
paragrafo 8.3 del libro che ho citato nel post precedente oppure nel
libro "Probabilità e Statistica" - Giuseppe Cicchitelli - appendice
E4.