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Titolo: onde armoniche

Domanda: perché l'intensità di un onda sonora formata dalla somma di due
onde sonore armoniche è proporzionale al quadrato dell'ampiezza dell'onda
somma anche se l'oscillazione non è più armonica?

 somma anche se l'oscillazione non è più armonica?
La domanda non e' tanto ben posta.
Occorre prima di tutto definire bene ampiezza e intensita'.
Purtroppo entrambi i termini hanno significati un po' variabili a
seconda del contesto, e questo puo' confondere le idee.
Nel caso di cui stiamo parlando, occorre chiamare "ampiezza" il valore
*istantaneo* della grandezza che caratterizza l'onda (ad es. la
variazione di pressione rispetto a quella atmosferica media). Intensita'
puo' essere definita come la potenza incidente, per unita' di
superficie, in direzione perp. a quella in cui si propaga l'onda.
Stabilito questo, si dimostra che l'intensita' (istantanea) e'
proporzionale al quadrato dell'ampiezza. In pratica interessa pero'
l'intensita' media su un lungo intervallo di tempo, e qui la relazione
con l'ampiezza non e' piu' cosi' chiara.
Infatti non c'e' una "ampiezza media": ci sara' una "ampiezza massima",
ma questa non ha nessuna relazione con l'intensita' media.
Per capire questo, basta notare che se sfasiamo diversamente le due
componenti armoniche l'ampiezza massima puo' riuscire diversa, mentre
l'intensita' media non cambia (e' sempre la somma delle intensita' delle
due onde).
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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 proporzionale al quadrato dell'ampiezza. 
Ciao, in effetti era quello che sapevo. Pero` sono riuscito a 
provarlo solo per onde sinusoidali. Sei sicuro che valga anche
in generale? (per onde *sonore*.)
Come lo dimostri?
Ciao, Valter

 Come lo dimostri?
Ti rispondo a memoria, senza fare conti e senza consultare libri.
Percio' prendi la risposta con beneficio d'inventario.
Avrai un'eq. delle onde, che puoi derivare da una lagrangiana.
Dalla stessa lagr. ricavi il tensore energia-impulso (in una teoria non
rel. non parlero' di un tensore nello spazio-tempo, pero' le varie
componenti si costruiscono ugualmente e hanno lo stesso significato).
Il tensore di cui sopra ha fra le sue componenti il "vettore di
Poynting", che e' proprio l'intensita' dell'onda.
Dato che il tensore e' quadratico nel campo, il gioco e' fatto.
Naturalmente caso per caso si puo' arrivare al risultato per via piu'
elementare, senza scomodare il formalismo lagrangiano, cosi' come dalle
eq. di Maxwell puoi ricavare densita' di energia e vettore di Poynting e
dimostrare che div S + dU/dt = 0 nel vuoto.
Ti torna?


 Ti torna?
No non mi torna del tutto: e` quello che ho provato ieri sera a fare, 
ma non  ci sono riuscito fino in fondo...
Quello che tu dici funziona sicuramente se prendi il campo
elettromagnetico
espresso in E e B che sono derivate dei campi che compaiono nella
lagrangiana.
Se usi il tensore degli sforzi di Maxwell (cioe` la parte spaziale 
di quello energia impulso) ed il suo flusso (cioe` la parte T_{i0})
ottieni quello che dici tu: la densita`superficiale di potenza  e` 
quadratica nei campi E e B, ma questo e` nient'altro che il teorema di 
Poyning ed e` legato pesantemente alla forma della lagrangiana.
Quello che non capisco bene e` che cosa si intenda con energia
o potenza trasportata dall'onda o roba simile per onde sonore.
Voglio dire l'aria e` un continuo e l'onda e` una deformazione 
di esso. Dato che e` un continuo avra` un tensore degli sforzi S.
Pensiamo ad un'onda sferica (oscillazioni radiali longitudinali).
Prendo una sfera di continuo concentrica alla sorgente ad 
un tempo t attraversata dall'onda. 
E` facile calcolare la densita` potenza degli sforzi del continuo 
esercitati su tale superficie (di continuo), basta considerare 
S^{ij} N_j V_j dove N_j e` il versore normale uscente e V la velocita`
 (radiale dell'onda) esercitata su tale superficie. 
Per un fluido S^{ij} = -p delta^{ij} per cui la densita` di potenza 
sarebbe nel caso considerato 
                               -p|V|
V e` la derivata del vettore di deformazione e *non* e` proporzionale 
a p che pure oscilla. Ma e` sbagliato dal principio  perche` non e` 
quella che ho calcolato la densita` di potenza che interessa (e` cosi` 
vero?) anche se in genere si e` molto fumosi su queste cose. 
Riguardo al flusso di impulso che e` piu` facile da trattare, il teorema 
di Poynting per un continuo classico (aria che vibra) suona come, dove m
e` la densita` di massa:
(mV^k),t = (S^{ik} - m V^k V^i),k = 0
mV e' la densita' d'impulso del continuo. Pero` questa non ci 
interessa. Per il flusso di energia si ha invece
(mV*V/2),t = (S^{ik} V_i - m V*V V^k /2),k - S^{ik}D_{ik}         
D_{ik} e` il tensore di velocita` di deformazione. Nel caso di 
un continuo elastico lineare si riesce a definire una densita' di
energia interna elastica u legata a S^{ik}D_{ik} e l'equazione 
di sopra diventa
(mV*V/2 + m u),t = (S^{ik} V_i - m V*V V^k /2 - m u V^k),k         (1)
u e` proporzionale ai quadrati delle derivate spaziali del vettore
di deformazione (ci vogliono i parametri di Lame' per scriverlo
esplicitamente e anche per esprimere S). 
Ora credo che uno debba prendere una superficie attraversata dall'onda
longitudinale (la superficie e` quindi normale a V e si debba integrare
S^{ik} V_i - m V*V V^k /2 - m u V^k normalmente a tale superficie e
trovare
che 
P = S^{ik} N_k V_i - m V*V V^k N_k/2 - m u V^k N_k = 
    S^{ik}N_k N_i |V| - m (|V|^3)/2 - m u |V|
e` proporzionale a quadrato di qualcosa (la pressione, la densita`
qualcos'altro?). Mi pare un miracolo. Ma vorrei trovare il calcolo
fatto da quanche parte.
Tra l'altro bisogna anche vedere come la pressione entra in gioco
(pensado le vibrazioni adiabatiche ecc...) ma legare cio` ai 
parametri di Lame' non mi pare banale.
Io purtroppo non ho mai studiato acustica, per cui non saprei 
come andare avanti. (certo basterebbe prendere un libro, ma
chi ne ha iltempo?)
Ciao, Valter


L'oscillazione infatti e` ancora armonica. Forse vuoi riferirti alla
presenza di un mezzo dissipativo o ad oscillazioni forzate?
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */

 ...
Ora ho capito il problema. La cosa migliore e' rinviarti a LL, vol. 6,
cap. 8. Mi pare ci sia tutto.
Circa la proporzionalita' o no al quadrato dell'ampiezza, e' vero che
detto cosi' non e' giusto. Per es. per un'onda acustica in un mezzo
isotropo contano due grandezze: pressione e velocita', che non si
ricavano direttamente una dall'altra.
Si possono ricavare entrambe da un potenziale scalare (p=df/dt, v=grad
f, a meno di segni e costanti).
La densita' di corrente di energia e' pv (sempre a meno di segni e
costanti).
Come vedi la situazione e' del tutto analoga al caso e.m.: il vettore di
Poynting e' ExB, ed E, B non sono in generale proporzionali tra loro;
entrambi si ricavano dal potenziale vettore (in gauge di Coulomb).
Una situazione in cui e' evidente la complessita' della relazione e'
quella di un'onda stazionaria (per es. in un tubo). Allora il massimo di
pressione si ha dove v=0 e viceversa; inoltre le due grandezze oscillano
in quadratura. La densita' di energia ha due termini, interpretabili
come energia potenziale elastica ed en. cinetica, risp. prop. a p^2 e a
v^2: l'energia totale oscilla fra i due estremi "tutta potenziale" e
"tutta cinetica"; la corrente di energia trasporta energia dai massimi
della prima ai massimi della seconda e viceversa.
Percio' l'affermazione "l'intensita' e' prop. al quadrato dell'ampiezza"
ha validita' generale solo se intesa in questo senso: in una qualsiasi
situazione, se si scala l'ampiezza (pot. scalare, pressione, velocita')
di un certo fattore k, l'intensita' scala di k^2.
Come credo di aver scritto tempo fa, per certe cose LL e'
insostituibile!
Ciao


 
Fourier.
-- 
All science is either physics or stamp collecting.
-- Ernest Rutherford, New Zealand physicist (1871-1937)
Winner Nobel prize chemistry!! (1908)
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 Fourier.
No, con fourier non funziona proprio!