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Titolo: problema elettrostatica ambiguo

Ciao, ho il seguente problema:
Una sfera conduttrice di raggio a è contenuta al centro di una corona
sferica (= guscio sferico) conduttrice di raggio b (b>a) e spessore
trascurabile. La corona sferica è collegata " a terra " mediante una
resistenza R e alla sfera interna viene fornita una carica Q_1. Il
problema è quello di calcolare il potenziale \phi in tutto lo spazio
(\phi(infinito)=0) e determinare l'energia (eventualmente) dissipata
nella resistenza.
Io ho subito osservato che \phi(r) = 0 per " r " maggiore oppure uguale
" b " e che \phi(r) = Q_1/r - Q_1/b per " a " minore oppure uguale " r
" minore oppure uguale " a ". Per calcolare l'energia dissipata nella
resistenza ho osservato che quando si fornisce alla sfera inizialmente
scarica una carica Q_1, dovendo essere il campo elettrico internamente
al guscio sferico nullo, sulla superficie interna del guscio si induce
una carica -Q_1 e sulla superficie esterna del guscio sferico si induce
una carica +Q_1. Dunque sulla resistenza non fluisce alcuna carica e la
potenza dissipata è nulla.
Secondo voi dico bene?
Ciao, grazie, 
Ludo

Ludovico ha scritto:

Mi sembra di si'.
In generale il potenziale \phi(b,t) sulla corona e'
\phi(b,t)=[Q_1+Q_2(t)]/b
dove Q_2(t) e' la carica sulla corona al tempo t, quindi la corrente
che scorre via dalla corona e'
I=-\phi(b,t)/R=d/dt[Q_2(t)]=bd/dt[\phi]
da cui risolvendo l'equazione differenziale per \phi(b,t) si ha
\phi(b,t)=exp(-t\Rb))[Q_1+Q_2(0)]/b
e in definitiva
I=exp(-t\Rb))[Q_1+Q_2(0)]/Rb.
Se quando metto a terra la corona questa ha Q_2(0)=-Q_1 non c'e'
passaggio di corrente.
Saluti.

 nella resistenza.
Lo riformulerei cosi':
Abbiamo le due sfere concentriche _isolate da terra_ e sufficientemente 
distanti da essa (h>>b).
La sfera interna porta carica Q.
Colleghiamo a terra la sfera esterna tramite una resistenza R.
Calcolare il potenziale e l'energia dissipata su R.
Ovviamente a regime nella resistenza non circola corrente, per cui il 
potenziale della sfera esterna sara' quello di terra.
Dalla legge di Gauss hai che V(r)=Q/(4*pi*e0)*(1/r - 1/b) [a<r<b], 
V(r)=0 [r>b].
Prima di collegare a terra la sfera, questa si trovava ad un potenziale 
differente da quello di terra, era cioe' presente un campo elettrico.
Quale sara' l'energia dissipata dalla resistenza? Risposta: quella 
associata al campo elettrico _esterno_ (quello interno non varia).
La calcoli integrando direttamente (1/2)*e0*E^2 su tutto lo spazio, 
oppure ricordando che W=(1/2)QV^2 hai W=Q^2/(8*pi*e0*b).
Ciao

 potenza dissipata è nulla.
Mi ero dimenticato di rispondere a questa parte: la corrente che ho
calcolato nel post precedente e'
I=exp(-t\Rb))[Q_1+Q_2(0)]/(Rb)
da cui la potenza (se non ricordo male dovrebbe essere una formula
generale) e'
W=I^2R=exp(-2t\Rb))[Q_1+Q_2(0)]^2/(Rb^2).
Se Q_2(0) e' zero non c'e' corrente e ovviamente non c'e' dissipazione.
Se Q_2(0)=0 (che e' il tuo caso no?) si ha dissipazione pari a
W=exp(-2t\Rb))[Q_1]^2/(Rb^2).
Saluti.

 oppure ricordando che W=(1/2)QV^2 hai W=Q^2/(8*pi*e0*b).
(1/2)QV=Q^2/(8*pi*e0*b)

 Mi sembra di si'.
A me sembra di no :)
All'istante in cui il conduttore interno viene caricato, sulla
superficie esterna del conduttore esterno appare una carica Q_1, e fin
qui ci siamo.
Ma poi che succede?
Questa carica viene dissipata a terra attraverso la resistenza.
Raggiunto l'equilibrio, il condittore esterno porta sempre la carica
-Q_1 sulla faccia interna, ma carica nulla su quella esterna.
 
-- 
Elio Fabri


Esatto Elio, ieri avevo rifatto il problema ed avevo concluso come te.
... Rimane sempre da capire se, effettivamente, l'energia dissipata
nella resistenza č nulla. Sě, dovrebbe esserlo, perché il processo
di carica avviene in un tempo infinito, un po' come quando si avvicina
lentamente, moolto lentamente una carica puntiforme dall'infinito fino
ad una distanza fissata da un piano conduttore. Oppure come quando si
allontana le armature di un condensatore, mooolto lentamente.
Tu che ne pensi? 
Ciao, grazie infinite, Ludo

 A me sembra di no :)
Ho scritto ''mi sembra di si''' perche' non avevo ancora chiare le
condizioni iniziali (da cui la mia casistica nei post precedenti sulle
condizioni iniziali Q_2(0)).
Pero' la conclusione che ho dato mi sembra (in questo caso per
cautela:) ), che e' corretta:
I=exp(-t\Rb))[Q_1+Q_2(0)]/(Rb) e
W=exp(-2t\Rb))[Q_1+Q_2(0)]^2/(Rb^2).
Se leggendo il tuo post ho ben inteso la condizione iniziale e'
Q_2(0)=0  da cui segue la relativa dissipazione.

 Q_2(0)=0  da cui segue la relativa dissipazione.
OK
 
-- 
Elio Fabri