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Titolo: Forze gravitazionali

Salve a tutti
Vorrei sapere se qualcuno e in grado di spiegarmi il legame fra
la forza gravitazionale di Eistain e la forza gravitazionale di Newton.
Mi spiego meglio se considero una metrica generica e la linearizzo cioč
considero lo sviluppo della metrica al primo ordine quello che ottengo sul
piano tangente (se non mi sbaglio) č la forza di Newton
Grazie
                    Riccardo

 
                     Riccardo
 
Salve. Suggerisco questo procedimento (può anche
non piacere però è suggestivo).
Partiamo dalla metrica galileiana 
( ds ) ^ 2 = ( c dt ) ^ 2 -- ( d q ) ^ 2              ( 1 ) 
dove
( d q ) ^ 2 = ( dx ) ^ 2 + ( dy ) ^ 2  + ( dz ) ^ 2               ( 2 )
Domandiamoci: come si muove una particella  
(libera da forze) in uno spaziotempo di questo tipo ?
Risposta: poichè la particella è libera, è naturale supporre
che il suo moto sia una linea geodetica nello spaziotempo.
L'equazione di una geodetica si ottiene estremizzando l'integrale 
Z ds (dove Z stà per integrale) cioè annullando la variazione 
D Z ds. (dove D stà per delta). Scrivendo la metrica ( 1 ) 
nella forma equivalente
( ds ) ^ 2  =  ( cdt ) ^ 2 { 1 -- (q * ) ^ 2 }                ( 3 )
dove q *  = dq / c dt , il moto sarà dato da
DZ c dt { 1 -- ( q * ) ^ 2 } ^ ( 1 / 2 )  =  0               ( 4 )
che scriviamo nella forma abbreviata
 
DZ L dt = 0                                                     ( 5 )
dove L = dt { 1 -- ( q * ) ^ 2 } ^ ( 1 / 2 )                ( 6 )
In meccanica analitica le equazioni del tipo
 
DZ L (q , q* ) dt = 0                                          ( 7 )
sono notissime e si sa bene che portano all'equazione 
di Eulero -- Lagrange 
( d / dt ) @ L / @ ( q * )   =  @ L / @ q                ( 8 )
dove @ è il segno di derivazione parziale 
Poichè la ( 5 ) grazie alla ( 6 ) è proprio del tipo ( 7 ) (manca
la dipendenza da q , tanto meglio ! ) possiamo inserire la ( 6 ) 
dentro la ( 8 ) e ottenere l'equazione del moto cercata 
q * = costante (cioè, indipendente dal tempo);
dunque  q proporzionale a t, cioè moto uniforme. 
Conclusione: nello spaziotempo galileiano ( 1 ) (volgarmente
detto " piatto " ) le particelle libere non accelerano. 
Adesso però ci domandiamo (per pura curiosità) come si 
comporterebbe una particella di prova libera di muoversi in 
uno spaziotempo più complesso, diciamo con metrica del tipo
( ds ) ^ 2 =  A ( c dt ) ^ 2  + B ( dq ) ^ 2              ( 9 ) 
dove  A  e  B sono funzioni delle coordinate spaziali ma (per
semplicità) non del tempo.
Per trovare la risposta procediamo in un modo perfettamente
analogo al precedente, cioè scriviamo il ds nella forma equivalente
 
( ds ) ^ 2 = A ( c dt ) ^ 2 { 1 + ( B / A ) ( q * ) ^ 2 }       ( 3 A )
che corrisponde alla ( 3 ).
Al posto della ( 6 ) otteniamo adesso
 
L = { A  +  B ( q * ) ^ 2 } ^ ( 1 / 2 )                            ( 6 A ) 
 
e per avere il moto della particella dobbiamo introdurre 
la ( 6 A ) nella ( 8 ).
Bisogna ricordare che A e B dipendono da q ma non da t 
e neppure da q *  (quest'ultima affermazione vuol dire che la 
metrica non dipende dalla velocità delle particelle di prova che 
la esplorano). Si trova:
2Bq ** {1--B(q * ) ^ 2} = @A / @q + (q * ) ^ 2 @B / @q   ( 7 A ) 
 
e da qui si vede subito che il moto della particella non è 
uniforme, perchè il secondo membro (con A e B funzioni di q )
è in generale non nullo e quindi q** = d q* /c dt = d^2 q / (cdt) ^ 2 
è diverso da zero. 
Conclusione: in uno spaziotempo non galileiano la materia
in moto libero accelera (come se ci fosse un campo di forze).
In altre parole lo spaziotempo, con la sua geometria, può 
agire come un campo di forze (capperi questa sì che è una notizia).
Ma come ci aspettiamo che agisca lo spaziotempo?
Evidentemente, ci aspettiamo che agisca indistintamente su tutte
le particelle, perchè nessuna particella può esistere al di fuori dello 
spaziotempo. Lo spaziotempo deve quindi agire come un campo 
universale di forze,  e non come per es. il campo elettromagnetico
che agisce solo su certe particelle (cariche) e non su altre (neutre).
Ma l'universalità d'azione non è proprio la caratteristica della gravità, 
che agisce allo stesso modo sui sassi e sul prosciutto? Sìììììììì!!! 
E allora perchè non provare a spiegare la gravità come effetto della 
geometria? 
 
Riccardo sei ancora lì ? 
Temo di essermi allontanato un pò dalla tua domanda, ma solo
un pò. Invece di partire direttamente dalla metrica di Schwarzschild
come avrei potuto fare, cioè di presupporre tutto il formidabile 
armamentario della relatività generale senza giustificarlo in alcun modo
e poi derivare le equazioni del moto, ho preferito partire dalla relatività
ristretta (metrica ( 1 ) ) e far vedere come una semplice e naturale sua
generalizzazione (che un matematico considererebbe subito) porti
spontaneamente, direi prendendoci per mano, all'idea centrale della 
relatività generale, che la gravità è solo geometria dello spaziotempo. 
Spero che questo modo di procedere non ti abbia disturbato. Adesso 
arrivo alla tua domanda. 
Cominciamo prima di tutto a semplificare la ( 7 A );  nel
caso di campi deboli (i quali imprimono alle particelle esploratrici
delle velocità piccole rispetto a c ) q* << 1 e quindi (q*) ^ 2 <<< 1, 
e siccome B , che essendo il coefficiente correttivo della metrica 
spaziale è certamente molto vicino a uno (appunto perchè in un
campo debole la geometria dello spazio deve essere molto vicina
a quella euclidea che è caratterizzata da B = 1 ) la parentesi al primo 
membro vale uno con ottima approssimazione mentre l'ultimo termine 
del secondo membro è trascurabile rispetto al primo (ricordare che 
( q * ) ^ 2 <<< 1 come ho appena detto ! ) 
In questa approssimazione la ( 7 A ) diventa: 
q** = ( 1 / 2 ) ( 1 / B ) @ A / @ q                       ( 8 )           
E siccome (ripeto) B è molto vicino a 1, abbiamo con ottima 
approssimazione 
q** = ( 1 / 2 ) @ A / @ q                                   ( 9 ) 
Vogliamo l'accelerazione newtoniana, quella che dipende 
dall'inverso del quadrato della distanza? Certo che la vogliamo.
Infatti siamo nell'approssimazione di campo debole, cioè
con velocità molto minori di 1, e sappiamo che in queste condizioni
la legge di Newton funziona bene. Quindi poniamo:
q** = G M / q ^ 2                                             ( 10 )
dove G è la costante gravitazionale e M la massa del corpo che 
genera il campo. Metti la ( 10 ) nella ( 9 ), integra, e avrai
A = 1 -- ( 2 G M / c ^ 2 ) ( 1 / q )                       ( 11 ) 
dove la costante di integrazione è scelta in modo che 
a distanza infinita da M , A sia  = 1, cioè che la metrica
sia la ( 1 ) (niente gravitazione).
Adesso qualcuno mi potrebbe dire: chi vuoi prendere in giro? 
la legge di Newton l'hai postulata, avresti dovuto ricavarla.
Rispondo: 
la (11) porta a delle conseguenze verificabili e che sono state 
effettivamente verificate (rallentamento del tempo nel campo 
di gravità, e altri effetti dei quali però non parlo perchè sono legati
non solo ad A, ma anche a B ).
Quindi la critica non regge, e possiamo dire che l'interpretazione
geometrica della legge dell'inverso del quadrato funziona. 
Viceversa: avremmo potuto dedurre il valore di A dalle equazioni di
campo di Einstein e poi tramite la ( 9 ) ottenere la legge newtoniana
( 10 ) con G M costante di integrazione. Questione di gusti.
Ti è piaciuta la mia risposta? Spero che almeno non ti abbia fatto
vomitare. Si fa quel che si può.
coi migliori saluti
Corrado Massa
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cm...@tin.it