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Titolo: Polinomi di Legendre e Laguerre

Salve, vorrei gentilmente sapere come ricavare i polinomi di Legendre e
Laguerre per la risoluzione delle equazioni differenziali ricavate
dall'equazione di Schrodinger applicata all'atomo di H, in coordinate
sferiche.
Preciso che mi interessa sapere come nascono i due polinomi e non lo
sviluppo dell'equazione di Schrodinger.
Presumo che la trattazione sia piuttosto lunga, quindi mi accontenterei
semplicemente di un libro di riferimento o almeno dell'argomento in cui sono
trattati tali polinomi. Grazie.
Hermes
PS. Possibilmente postate le risposte all'indirizzo 
herm...@libero.it

Hermes wrote:

Per tutte le proprieta` possibili immaginabilei dei polinomi di L.
consulat il Gradshteyn Ryzhik "Tables of Integrals. Series, and Products"
Alan Jeffrey Editor
Un po` di teoria generale avanzata (basata sul teorema di Stone-Weierstrass)
sulle basi Hilbertiane in L^2 (inclusi i laguerre, Legandre, Hermite, Jacobi)
in forma *molto concisa* la trovi da pag 91 a pag 102 del libro
"Spazi di Hilbert con elementi di Meccanica Quantistica"
Giovanni Martucci
Pitagora Editrice Bologna
Con i due libri di sopra dovresti avere un panorama completo.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 trattati tali polinomi. Grazie.
Se ti interessa vedere come "nascono" i pol. di Laguerre e Legendre
dalle corrispondenti eq. differenziali a derivate ordinarie che ricavi
utilizzando il metodo di separazioni di variabili sull' eq. di
Schroedinger (ma anche da altre eq. a derivate parziali: Laplace ,
Helmoltz,...) la storia dettagliata e' effettivamente un po' lunga. La
trovi nei testi che riportano la soluzione per serie delle eq.
differenziali lineari del secondo ordine con singolarita' dei
coefficienti del tipo "fuchsiano". Un vecchio testo in italiano e' il
Tricomi (Mi sembra il titolo sia sulle eq. differenziali ma non ne sono
sicuro). Con un po' di tempo potrei cercare qualche riferimento piu'
aggiornato e preciso.
Comunque, in poche parole, l' idea di base e' una variante sul tema
della soluzione per serie di eq. lineari:
Si cerca la soluzione nell' insieme delle funzioni analitiche,
espandibili quindi in serie di Taylor convergente.
Si usa l' equazione come una relazione di ricorrenza tra i coefficienti
della serie. Risolvendo la relazione di ricorrenza si ottengono
esplicitamente i coefficienti e quindi si possono studiare le
caratteristiche analitiche della soluzione (raggio di convergenza, 
zeri, ...). Questo meccanismo, nella forma piu' semplice puo' essere
comprese nel caso dell' eq. diff. dell' oscillatore armonico. E' un 
semplice esercizio ricavare che l' integrale generale e' dato da ogni
combinazione lineare di due funzioni indipendenti che corrisponono alle
espressioni per serie delle funzioni sin(x) e cos(x).
Le cose si complicano leggermente quando i coefficienti dell' eq.
differenziale hanno delle singolarita' (p. es. eq. di Legendre, di
Laguerre, di Bessel,...). In questo caso il metodo va un po' modificato.
Si dimostra che in genere la singolarita' dei coefficienti puo' indurre
una singolarita' nelle soluzioni. Per una particolare classe di
equazioni e' possibile adattare il metodo di soluzione per serie senza
troppe differenze rispetto al caso non singolare. Tuttavia puo'
succedere (nei casi di Laguerre e Legendre 
p.es
.) che la serie in genere
diverge ma dipende da un parametro che puo' essere fissato in modo da
dar luogo solo ad un numero finito di termini (polinomio). In tali casi
l' integrale generale puo' essere scritto come una combinazione lineare
di una funzione regolare (polinomio) e di una piu' patologica
(divergenze varie). 
Mi rendo conto che queste righe non ti saranno di molto aiuto da sole.
Tuttavia se trovi un testo sulle eq. differenziali, puoi usarle come
"mappa" per orizzontarti al di la' delle complicazioni dovute alla
necessita' di rigore.
Giorgio

 della soluzione per serie di eq. lineari:
(cut)
Ciao, volevo solo aggiungere che la teoria a cui allude Giorgio, 
in una versione per fisici, si trova sul Caldirola-Cirelli-Prosperi:
Introduzione alla Fisica Teorica, UTET, che tra l'altro mi pare
si riferisca proprio al famoso testo di Tricomi citato sopra.
Ciao, Valter

 sferiche.
Ciao, per i polinomi di Legendre puoi vedere una veloce
introduzione (3 pagine)
sul libro "Classical Elettrodynamics" di Jackson, mi pare
sia all'inizio del terzo capitolo.
Ciauz.
Daniele.

 zeri, ...).
Senti ma quello che dici ha forse a che fare con un discorso di questo tipo
? : Pochi giorni fa riflettevo, tutto da solo, su una questione e cioè mi
ero posto il problema di come poter trovare le soluzioni di un'equazione
differenziale lineare a coefficienti *non* costanti, per quelle a
coefficienti costanti si sa che non ci sono problemi per risolverle. Le
equazioni differenziali a coefficienti *non* costanti credo sono molto
importanti per la fisica ed a me mi era capitato di incontrarle, in
particolare, quando si scrive l'equazione di Schrodinger per gli elettroni
nel potenziale periodico cristallino. In questo caso però si riesce a
trovare la soluzione abbastanza semplicemente. Quello che mi chiedevo, era
appunto, come poter trovare la soluzione quando i coefficienti a_i(x), i =
1, ..., n  dell'equazione differenziale assumono espressioni parecchio
complicate e magari sono anche non elementarmente esprimibili. Ad un certo
punto ho fatto questo semplice ragionamento (qualitativo - senza rigore
matematico) Ho assunto che per gli a_i(x) e per la soluzione y(x) sia
possibile fare lo sviluppo in serie di Taylor ed ho sostituito all'equazione
differenziale, in questo modo mi sono ricavato delle relazioni tra i
coefficienti dello sviluppo in serie di Taylor di y(x) e i coefficienti
dello sviluppo in serie di Taylor degli a_i(x). Dallo sviluppo in serie di
Taylor di y(x) poi si possono studiare le proprietà di y(x), se poi si
riesce a risalire all'espressione esplicita di y(x) tanto meglio altrimenti
vuol dire che y(x) non è elementarmente esprimibile (?) Poi credo si possa
fare anche un discorso più generale per equazioni differenziali alle
derivate parziali (che non conosco ma di cui mi sono fatto una certa idea)
considerando sviluppi in serie di Taylor multidimensionali. Mi ero
riproposto di sviluppare tutto il discorso a "punto e virgola" cioè
precisando bene le ipotesi e con tutto il rigore matematico necessario ...
ma se tutto ciò è già stato fatto da altri, come mi sembra di capire, che
cavolo ci perdo a fare del tempo. Ogni volta che mi viene in mente una cosa
poi scopro sempre che ci ha pensato sempre qualcun altro prima, sigh :o(, se
invece non ci ha pensato nessuno pensate che questo modo di procedere possa
essere interessante ?
ciao, DJ

 essere interessante ?
Non ti abbattere. Credo che tutti quelli che hanno studiato matematica o
fisica seriamente hanno "riscoperto" infinite volte l' "acqua calda" o
anche cose piu' complicate. E' un fatto che non ci si muove in territori
"vergini". Tuttavia questo non deve scoraggiarti. E' il modo migliore
per impadronirsi veramente di una materia.
Sentir raccontare delle cose e poi memorizzarle in modo piu' o meno
intelligente non e' sufficiente. Solo quando ti rendi conto che puoi
"fare" da solo, anche per poi scoprire che e' stato gia' fatto, sei
arrivato al giusto livello di autosufficienza su un argomento. 
Anche nella ricerca succede lo stesso. Qualche volta trovi una soluzione
elegante ad un problema solo per scoprire che era gia' nota venti anni
prima :-(
Altre volte, leggendo la letteratura, ti accorgi che la stessa soluzione
e' stat prposta indipendentemente da piu' ricercatori che, anche a
distanza di tempo, erano inganri del fatto di lavorarae su problemi gia' risolti.
E poi, anche se molto raramente, puo' capitare di fare veramente
qualcosa che non era mai stata  fatta nello stesso modo prima... Ma se
non provi non ci arriverai mai.
Percio' non buttar via tutto ma magari vai avanti per un po' e poi
verifica il tuo livello di comprensione ccon quello che puoi trovare sui
libri. Sara' sempre lavoro ben speso.
Ciao,
Giorgio

 essere interessante ?
Mettila cosi':
"ganzissimo: il mio ragionamento e' lo stesso usato da X o da Y !
la prossima volta le cose mi andranno meglio !"
Se poi non sei un ricercatore di professione, ma uno studente, aggiungi: "mi
merito un bel gelato !"
ciao
a.