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Titolo: Rotazioni nello spazio di Minkowsky: [ch(x), sh(x); sh(x), ch(x)] come si trova matematicamente questa espressione?

Per le rotazioni nello spazio di minkowsky con metrica (+, - - -) si trova
che in due dimensioni (1 tempo + 1 spazio) quindi metrica (+,-) le rotazioni
sono delle matrici del tipo: [ch(x), sh(x); sh(x), ch(x)]
Vorrei sapere come si trova questa espressione in via matematica, infatti
sul testo "Teoria dei Campi" (2° Vol. della collana di Fisica Teorica di
Landau)viene data per scontata, o meglio č detto "le rotazioni in M sono
queste ... ".
Su altri testi si seguono altre strade per ottenere le trasformazioni di
Lorentz come in quello di T. Regge nell'enciclopedia Einuadi (Vol XI) si
pone che l'intervallo sia invariante in due sistemi inerziali e si ottengono
quindi 3 equazioni e si "inventa" una quarta plausibile condizione per
risolvere il sistema, ma il fatto di porre che L(1,4)= v L(4,4) non mi piace
tanto ... mi sa un po' di facciamoci tornare il conto, non so se mi spiego
...
Quello che vorrei sapere é: se e come si fa (dalla teoria dei prodotti
scalari e degli spazi vettoriali) ad ottenere una espressione per le
rotazioni bidimensionali nello spazio di minkowsky scritte come matrici
contenti funzioni iperboliche.
Grazie a tutti

 o = a 1, per cui qualunque sia d, ci sara` x in (-oo, +oo) 
con cosh x = +/-d. Quindi d = +/- cosh x. Dalla relazione
cosh^2 x - sinh^2 x = 1 ricaviamo che deve anche essere
c = +/- sinh x. Infine b= +/- sinh x e
a= bd/c = +/- d
In definitiva, se s,s' e s'' valgono + o -1, facendo tutti
i casi possibili, e x e` un numero quelsiasi in (-oo,+oo),
la generica trasformazione di Lorentz e` data da: 
          (s''s'/s) cosh x      s'' sinh x
M =   
              s sinh x           s'  cosh x   
Usando le matrici della forma, con x come sopra
                cosh x       sinh x
M =   
                sinh x       cosh x 
dette matrici "ortocrone proprie",
insieme alle matrici (sempre di Lorentz) dette rispettivamente
"inversione di parita`" e "inversione del tempo": 
     1   0
P=  
     0  -1
    -1   0
T=  
     0   1
costruisci, con prodotti di matrici, l'insieme completo delle
matrici di Lorentz trovate sopra.
Ciao, Valter
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 Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
 
mor...@science.unitn.it
 
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 
 foice wrote:
 
 >
 > Quello che vorrei sapere é: se e come si fa (dalla teoria dei
prodotti
 > scalari e degli spazi vettoriali) ad ottenere una espressione per le
 > rotazioni bidimensionali nello spazio di minkowsky scritte come
matrici
 > contenti funzioni iperboliche.
 > Grazie a tutti
 Ciao, non chiamarle "rotazioni" per piacere, visto che
 non lo sono ma si chiamano trasformazioni di
 Lorentz (speciali). La teoria fisica nella quale non mi
 addentro, visto che mi pare che non sia questo il punto, afferma
 che la trasformazione di coordinate tra due riferimenti
 inerziali in 2D deve essere lineare e deve mantenere invariato
  la matrice (che rappresenta il prodotto scalare
 lorentziano)
   1  0
   0 -1
 che indichero' con E d'ora in poi. Quindi cerchiamo matrici
 M reali 2x2 tali che
 
 E = M E Mt  (1)
 
 dove Mt e` la trasposta di M. Richiediamo che le matrici M
 siano anche invertibili (perche` i due sistemi di riferimento
 che considero devono potersi considerare equivalenti per cui
 devo poter passare da uno all'altro e viceversa) quindi
 det M diverso da zero.
 
 Se M e` della forma
 
 a b
 c d
 
 la (1) si scrive esplicitamente
 
 a^2 - b^2     ac-bd                            1      0
                            =
 ac-bd        c^2-d^2                           0      -1
 
 se c=0 deve essere b=0 oppure d=0 guradando i termini
 fuori dalla diagonale pricipale. Pero' deve anche valere
 Det M= ad-bc diverso da zero, per cui non puo` essere d=0.
 Quindi se c=0 => b=0 => dall'elemento in alto a sinistra
 a=+/- 1 e da quello in basso a destra d= +/- 1.
 Quindi ci sono tra le matrici M, le matrici con c=0, b=0 e a e d
 che valgono + o - 1 (non mi addentro nel significato fisico).
 
 Se c e` diverso da 0 => a= bd/c. Sostituendo nell'elemento
 in alto a sinistra
 b^2(d^2/c^2 -1) = 1 ossia b^2c^2(d^2-c^2) =1
 
 e le equazioni rimangono, considerando anche quella in basso a
 destra
 
 c^2-d^2 = -1
 
 (b^2/c^2)(d^2-c^2) =1
 
 ossia
 
 c^2-d^2 = -1
 
 b^2/c^2 =  1
 
 ossia
 
 b = +/- c
 
 d^2 - c^2 = 1
 
 Nota che d^2 e quindi |d| deve essere > oppure = 1
 visto che c^2 e` > o = a 0.
 La funzione cosh x per x in -oo, +oo riempe tutta la regione
 maggiore  o = a 1, per cui qualunque sia d, ci sara` x in (-oo, +oo)


  Ciao, Valter
A presto Roberto.

 
Il fatto che gli ultimi due siano un gruppo lo verifichi
direttamente dalle definizioni, il fatto che i primi non lo
facciano e` ovvio: non contengono l'identita`!
 Ciao, Valter

grazie dei molti consigli, a presto Valter