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Titolo: oscillatore armonico con frequenza variabile

Ciao a tutti,
Consideriamo un fluido che modellizza l'universo all'epoca della
ricombinazione (z=1300). Questo fluido è a 2 componenti: B (barionica), D
(dark matter). In particolare la D è costituita da neutrini massivi  (che a
z=1300 sono relativistici).
Applicando la teoria di Jeans nel caso di espansione con metrica di FRW, e
perturbando le relative equazioni al primo ordine, escono fuori due
equazioni differenziali nelle perturbazioni di densità, una per la
componente D e l'altra per la B. Queste eq. sono accoppiate e i coefficienti
sono funzioni del red-shift.
In prima approssimazione (cioè trascurando il termine di accoppiamento),
queste equazioni sono disaccoppiate e sono quelle dell'oscillatore armonico:
x''(z)+w(z)^2*x(z)=0;
y''(z)+w(z)^2*x(z)=0;
Qui x(z) è la fluttuazione di densità della materia barionica, mentre y(z) è
la fluttuazione per la componente D.
N.B.: le equazioni sono scritte nello spazio di Fourier, quindi le varie
grandezze dipendono anche da k.
Domanda: come si comporta un oscillatore armonico 1-dimensionale a frequenza
variabile?(nn me lo ricordo: risonanza parametrica??) Ho provato a fare
un'integrazione con Mathematica e vedo che Dsolve fa cilecca, utilizzando
NDSolve escono le funzioni di Bessel.
Cmq nel mio caso la w(z) è molto complicata, in quanto c'è di mezzo il
calcolo della velocità del suono dei neutrini che per epoche successive al
loro disaccoppiamento va rimpiazzata con la loro velocità quadratica media,
calcolata attraverso la funzione di distribuzione statistica dei neutrini,
quindi di Fermi-Dirac.
Thx a chi mi aiuterà.
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extrabyte

 quindi di Fermi-Dirac.
Se aspetti qualche giorno, sto leggendo come controrelatore una tesi
sull'argomento: fa le perturbazioi al secondo ordine, se ho capito
bene... :-)
Ma come si puo' dire come si comporta il tuo oscillatore se non dici
niente su quella w(z)?
Se e' una funzione sinusoidale di z, vengono fuori le funzioni di
Mathieu (appunto risonanza parametrica).
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 Mathieu (appunto risonanza parametrica).
In realtà la 'pulsazione' oltre a dipendere da z, dipende dal numero d'onde
k (le eq. sono scritte nello spazio di Fourier) e parametricamente da
Omega_D, dove quest'ultimo è il parametro di densità relativo alla
componente D del fluido (Omea_D=rho_D/rho_c, essendo rho_c la densità
critica).
Siccome ci sono due componenti, abbiamo due pulsazioni: una per B e l'altra
per D
Cmq l'espressione completa di w(z) è:
w_D(z)=( v_D(z)^2*k^2 - W_D(z,Dmega_D) )/( H^4 (1+z)^5 )
dove:
v_D(z) è (impropriamente) la velocità del suono nella componente D. È una
velocità q.m e quindi si calcola attraverso la distribuzione di Fermi-Dirac
ad un universo che si espande alla Friedmann. Facendo i conti:
v_D(z)=c*b*(1+z)*Sqrt[2 F[z]/9*Zeta[3]]
qui è:
c=velocità della luce;
b=costante =(k*T_0)/(m*c^2);  T_0=1.96K (temperatura attuale del fondo
neutrinico); m*c^=0.2 eV (massa del nutrino. N.B in questo modello esiste
una sola famiglia neutrinica).
Per quanto riguarda F(z), l'ho calcolata con Mathematica:
f[y_,z_]:=(y^4)/( (1+a*(1+z)^2  y^2)*(Exp[y]+1) )
F[z_]:=NIntegrate[f[y,z],{y,0, +oo}]
La grandezza W_D(z, Omega_D) è:
W_D(z, Omega_D)=A*Omega_D* (1+z)^3;
con A=7.72*10^-36 s^-1
H=valore attuale delle costante di Hubble=2.7*10^-18 s^-1
La pulsazione w_B[z] della componente barionica è
w_B(z)=( v_B(z)^2*k^2 - W_B(z,Omega_D) )/( H^4 (1+z)^5 )
v_B(z) è la velocità del suono nei barioni e questa si calcola con
Boltzmann:
v_B(z)=v_0*(1+z),   per z<1300
qui v_0=539.3 cm*s^-1;
W_B(z,Omega_D)=A*(1-Omega_D)*(1+z)^3
NOTA: esce fuori questa relazione perchè, pur avendo due parametri di
densità uno per D e l'altro per B, deve essere (trascurando il contributo
proveniente dai fotoni):
Omega_D+Omega_B+Omega_Lambda=Omega_totale=1
Per adesso pongo Omega_Lambda=0 =>la Omega_B=1-Omega_D, quindi la formula
per la grandezza W_B.
NOTA: nel fare i conti con Mathematica, ho posto Omega_D=0.7 (come suggerito
da boomerang,  anche se loro considerano un'omega_lambda)
per quanto riguarda le equazioni degli oscillatori, scrivo le equazioni
complete (accoppiate), sono:
x''(z) + p(z)*x'(z) + w_D(z)*x(z) - n_B(z)*y(z)=0
y''(z) + p(z)*y'(z) + w_B(z)*y(z) - n_D(z)*x(z)=0
dove:
x(z) e y(z) sono le fluttuazioni (relative) di densità per D e B.
p(z)=0.5 (1+z)^-1   (termine di frizione dovuto all'espansione co-moving)
n_B(z)=(W_B(z,Omega_D)/(H^4 (1+z)^5)
n_D(z)=(W_D(z,Omega_D)/(H^4 (1+z)^5)
IMHO, il problema con l'integrazione con Mathematica è forse dovuto al fatto
che la w_D(z) si esprime attraverso un NIntegrate. Su it.scienza.mathematica
mi hanno suggerito di utilizzare una forma chiusa. Ho fatto
un'interpolazione con Mathematica, ottenendo una funzione che approssima
molto bene la F(z), quindi ho integrato le equazioni.
Provando con k=10^-19 e utilizzando DSolve la  fluttuazione di D è
proporzionale a 10^33 Sqrt[1+z]-10^34 Log[1+z], mentre B
prop. a 10^35 Sqrt[1+z]-10^35 Log[1+z].
Questo procedimento funziona fino a k=10^-16, dopodichè math non integra +
nemmeno con NDSolve. IMHO ci deve essere un k_critico. In effetti c'è già
qualcuno che ha studiato questo problema però nel caso di un universo
stazionario:
«On the onset of the Jeans instability in a two-component fluid»
J.P.M. de Carvalho and  P.G.Macedo
Questi hanno applicato la teoria di jeans ad un fluido a due componenti in
un universo stazionario. Le equazioni sono le stesse, tranne x il termine di
frizione. Poi hanno fatto un'analisi agli autovalori, dato che il sistema è
a coefficienti costanti, dopo averlo ridotto al primo ordine, e hanno
dimostrato l'esistenza di un k_critico tale che per k>k_critico le soluzioni
sono stabili (onde acustiche in propagazione), mentre per k<k_critico le
fluttuazioni crescono exp.
il valore di k_critico del mix B-D è un valore diverso del k di Jeans che si
ha per un fluido a una sola componente (B); in quest'ultimo caso si ha un
valore della massa di jeans dell'ordine di 10^18 masse solari, valore molto
+grande della massa dell'orizzonte. Quindi le fluttuazioni instabili hanno
una massa > massa dell'orizzonte, ma in questo caso la teoria gravitazionale
che abbiamo usato (newtoniana) non è + valida.
Nel caso del mix B-D invece, dovrebbe uscire un valore di M_J più basso,
intorno a 10^12 masse solari che guarda caso è proprio dello stesso ordine
di grandezza della massa media di una galassia. La cosa interessante è che
adesso M_J<massa dell'orizzonte.
Thx:-)
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 quindi di Fermi-Dirac.
Ora forse dico una sciocchezza, ma perchè non guardi prima come trovi la
velocità del suono di un gas di fotoni? Se non sbaglio la conquista del
secolo
è la radiazione di corpo nero. Se no guarda Huang dalla seconda edizione
trovi
notizie varie sui superfluidi.
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Inviato via 
http://usenet.libero.it


quello che ho calcolato non è proprio la velocità del suono in un gas di
neutrini, bensì una velocità mediata nello spazio delle fasi, conoscendo la
funzione di distribuzione. E questa che forse mi sta dando problemi con
Mathematica, xchè non riesco ad integrare le equazioni (vedi post
precedente).
BTW ho visto che Mathematica spesso fa cilecca con le equazioni
differenziali col comando DSolve.
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