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Titolo: Limiti densità neutrino

I neutrini hanno spin 1/2 e pertanto sono fermioni ossia che sono governati
dalla statistica di Fermi-Dirac.  Per tale motivo ogni volume dato può
contenere solo un certo numero e non di più.  Chissà  dirmi qual'è il valore
di tale densità?
Grazie per l'eventuale risposta.
Leonardo

Giovanni (Roma)
-> basta 'a salute e 'n par de scarpe nove
   e poi gira' tutto er monno 
-> en ma fin c'est mon commencement

 di tale densità?
Non e' vero quello che dici. Il limite e' al volume nello "spazio delle
fasi".
In parole povere, se costringi dei fermioni in un piccolo spazio, ne
avrai molti che hannno impulsi (e quindi energie) grandi.
Un esempio brilante (che pero' riguarda elettroni, non neutrini) sono le
nane bianche, dove e' appunto la pressione dovuta a questi elettroni che
tiene stabile la stella contro la gravita'.
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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 wrote in message
3c14b7a9...@news.inwind.it...


Voglio aggiungere un calcoletto sulle nane bianche, piu' che altro per
mostrare che cosa potrebbe significare una divulgazione "seria" (che
pero' non sarebbe piu' divulgazione, in quanto richiederebbe studio).
Forse riuscira' poco gradito che ci siano tanti numeri, ma lo faccio
apposta, perche' la fisica senza numeri si riduce a chiacchiere vuote.
Dunque: prendiamo una nana bianca di massa uguale a quella del Sole
(2E33 g) che e' un valore ragionevole. Mi servira' calcolare quanti
elettroni ci sono, e procedo cosi'. La massa e' dovuta ai barioni
(protoni e neutroni) che hanno ciascuno massa circa 1.6E-24 g: quindi ce
ne sono 1.25E57. Gli elettroni sono all'incirca la meta' dei barioni, se
la stella e' composta prevalentemente di elio o elementi piu' pesanti:
quindi 6E56 elettroni.
Poiche' in ogni cella dello spazio delle fasi, di volume h^3, possono
stare due elettroni (questo perche' ci sono due stati di spin possibili)
le celle occupate sono la meta': 3E56.
Nota: sto assumendo che il gas di elettroni sia "completamente
degenere", come di fatto e'. Ossia che siano occupati tutti e soli gli
stati di piu' bassa energia. Perche' sia cosi', potrei spiegarlo
(dipende dalla temperatura) ma non voglio essere troppo lungo.
Allora il volume totale di spazio delle fasi occupato dal gas di
elettroni e' 3E56 x h^3 = 2E-24 (cgs).
Passiamo al volume spaziale della stella. Una stella del genere ha un
volume dell'ordine di 10000 km (poco piu' grande della Terra, con la
massa del Sole) e il volume viene 4.2E27 cm^3.
Il volume nello spazio delle fasi e' il prodotto del volume spaziale
vero e proprio, per il volume nello spazio degli impulsi, ma questo
debbo un po' spiegarlo.
Le particelle hanno ciascuna un impulso, che e' un vettore. E hanno
anche un'energia cinetica, prop. al quadrato del modulo dell'impulso.
Allora gli stati con la minima en. cinetica si otterranno prendendo
tutti i valori del modulo dell'impulso fino a un certo massimo P (che si
chiama impulso di Fermi). Considerando i vettori, tutti i vettori
possibili si disporranno dentro una sfera di raggio P, il cui volume e'
quello che ho chiamato sopra "volume nello spazio degli impulsi".
Nota: ho attribuito agli elettroni sola energia cinetica: questo
equivale a supporre che non siano soggetti a forze. E' quello che si
chiama "modello a particelle indipendenti" e non posso ora discutere
quanto sia giustificato. In parte vedremo poi...
A conti fatti, il volume nello sp. degli impulsi e' 2E-24 / 4,2E27 =
4.8E-52 (cgs). A qusto volume (che e' quello di una sfera di raggio P)
corrisponde P = 4.9E-18 (cgs).
Fermiamoci un momento. Abbiamo appreso che gli elettroni (gas di Fermi
completamente degenere) per il fatto di essere costretti nel volume
della stella, avranno impulsi compresi fra zero e un massimo pari a P,
appena calcolato. Per avere un'idea di quanto e' questo P, ricaviamone
la velocita' massima degli elettroni, dividendo per la massa (9E-28 g):
troviamo v = 5.4E9 cm/s, che e' quasi 1/5 di c! 
Dunque dovremmo tener conto di correzioni relativistiche? Per un ordine
di grandezza, che e' quanto c'interessa, non e' necessario. Se pero'
dovessimo fare dei conti piu' accurati, e se la stella fosse un po' piu'
piccola, dovremmo ricordarcene.
A questo impulso P corrisponde un'en. cinetica massima E (energia di
Fermi) che vale 1.3E-8 erg, ossia circa 8000 eV, molto maggiore delle
energie di legame degli elettroni negli atomi di elio e di altri atomi
leggeri (carbonio e simili). Questo giustifica, almeno in parte, l'aver
trattato gli elettroni come liberi: di fatto tutti gli atomi sono
ionizzati, e gli elettroni si muovono liberamente per tutto lo spazio
della stella.
Puo' sorgere una domanda: come mai non scappano fuori? 
La risposta non la do, per lasciare qualcosa da pensare...
Concludo con un'osservazione importante. Il nostro calcolo era soltanto
numerico. Ma si poteva fare facilmente in forma algebrica, e si vede ad
es. che l'energia di Fermi cresce al diminuire del raggio della stella.
Come cresce? Il volume spaziale va come R^3, quindi il volume nello sp.
degli impulsi va come 1/R^3, quindi P va come 1/R, ed E va come 1/R^2.
Si vede dunque che per comprimere la stella occorre spendere lavoro.
Se teniamo conto della gravita', questo lavoro potrebbe essere ottenuto
a spese dell'en. potenziale gravitazionale; ma questa, fissata la massa
della stella, va come 1/R, quindi cresce meno di quella che occorre dare
al gas di elettroni.
Ne segue che ci sara' un equilibrio: un raggio della stella al quale la
somma (en. pot. grav.) + (en. cinetica degli elettroni) sara' minima.
Nota: chi volesse trovare questo minimo, tenga conto che l'en. pot.
grav. e' negativa!
Se si fa il conto per bene, viene fuori che con la massa del Sole il
raggio di equilibrio e' circa 7000 km, un po' piu' piccolo di quello che
avevamo preso all'inizio.
E' dunque possibile con argomenti elementari, e usando un solo risultato
quantistico (due elettroni per cella dello spazio delle fasi) capire
come sta insieme una nana bianca.
La matematica necessaria non supera le conoscenze liceali, e anche la
fisica, tutto sommato; ma e' la capacita' di maneggiare tutti i vari
concetti e leggi, inserire le giuste grandezze, capire che cosa puo'
essere trascurato, quali semplificazioni adottare; e' tutto questo il
difficile.
Proprio quello che la solita divulgazione ignora allegramente.


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Grazie per le eventuali risposte
Leonardo

 Quanto può essere la densità massima ?
Credo di avere gia' risposto. Il fatto che abbiano massa nulla non
cambia niente da questo punto di vista.
Ma perche' t'interessa la densita' dei neutrini?


 essere interpretate in base a definizioni, che bisogna conoscere.
"spazio delle fasi" = "fase intermedia" = "surface tension" ?
1) solido<>fluido,
2) solido<>gassoso,
3) solido<>etereo
4) fluido<>gassoso
5) fluido<>etereo
6) gassoso<>etereo
n.b. e' una domanda macroscopica ;-)
piermario

 n.b. e' una domanda macroscopica ;-)
A parte che non so che cosa sia lo stato "etereo", guarda che la tua
ipotesi non c'entra proprio niente.
L'avevo gia' scritto: purtroppo il termine "spazio delle fasi" e'
infelice, e se fosse per me lo avrei sostituito con qualcos'altro. Ma
ormai e' entrato nell'uso, da circa un secolo...
In fisica e chimica ci sono almeno due altri significati di "fase":
1) nello studio di onde e segnali sinusoidali in genere (ampiezza e
fase)
2) nella termodinamica, chimica fisica, meccanica statistica: "fase
solida", "fase liquida", "transizione di fase".
1) non ha assolutamente niente a che vedere con 2) e nessuno dei due ha
a che vedere con lo "spazio delle fasi".


 (dipende dalla temperatura) ma non voglio essere troppo lungo.
Beh, pero' non puoi buttarla li cosi' senza nemmeno due parole ;-)
Allora l'energia cinetica sarebbe la stessa anche senza reazioni
nucleari (con conseguente ionizzazione degli atomi)?
Dove sta l'inghippo?
Ciao,
Daniele

 Dove sta l'inghippo?
bo', non capito. Formula la domanda più chiaramente
saluti, Adriano

 si parlava). Ah le ricorrenze in fisica......
Direi che stai facendo un po' di confusione...
Un gas di Fermi e' completamente degenere allo zero assoluto; e' quasi
degenere se T << Tf. 
Nei metalli Tf e' sicuramente molto maggiore di T ambiente: basta
pensare che 1 eV corrisponde a circa 12000 K.
In una nana bianca la temperatura al centro puo' anche eseere 10^7 K; ma
Tf risulta comunque molto maggiore.
Questa, tra parentesi, e' una domanda d'esame che faccio spesso: se un
gas di Fermi e' completamente degenere allo zero assoluto, come va che
possiamo lavorare con gas degenere in una nana bianca, visto che
all'interno e' cosi' calda?
Capita non di rado che il tapino (che in tempi lontani avrei buttato
fuori per una cosa di questo genere...) non abbia capito che 10^7 K puo'
essere "vicino allo zero assoluto", perche' "vicino" e' sempre relativo
a qualcos'altro, che nel nostro caso e' appunto Tf. Non significa niente
che il numero in se' sia grande, visto che l'unita' di misura e'
arbitraria. 


 all'interno e' cosi' calda?
La risposta (imo) sta nella domanda, diciamo che hai tolto un'avverbio....


 energia Ef?
E questo gia' per me non va bene. Non c'e' una "temperatura dell'ultimo
fermione". O sei allo zero assoluto, e allora la temperatura e' zero,
per tutti. O non e' zero, e allora non e' zero, per tutti.
Il discorso da fare e' un altro.
Se T>0, che cosa cambia rispetto all'impilamento che abbiamo detto? 
Bene: se T non e' troppo grande, il solo effetto e' che i livelli vicino
all'ultimo occupato non sono piu' "tutto o niente": hai una prob. <1 che
siano occupati quelli <Ef, e una prob. >0 che siano occupati quelli >Ef.
In termini quantitativi la cosa e' espressa dalla distribuzione di
Fermi, che conosci e non riscrivo.
Che cosa vuol dire pero' "se T non e' troppo grande"? Con che cosa debbo
confrontarla? Risposta: kT << Ef, ossia T << Ef/k. E' solo per questa
ragione che conviene dare a Ef/k il nome di "temperatura di Fermi".
La quale Tf per i metalli e' appunto *molto maggiore* di 300 K, per cui
il gas di elettroni in un metallo e' quasi completamente degenere.
Incidentalmente: sai che prima della m.q. e della statistica di Fermi,
il modello a elettroni liberi di un metallo andava incontro a due gravi
problemi: come mai gli elettroni non contribuiscono al calore specifico?
E come mai i metalli non sono paramagnetici, con tutti quei momenti
magnetici disponibili?


 saluti, Adriano
Ciao e grazie,
Daniele.

 senza prendere in conto le reazioni nucleari?)
A me semra che il tuo ragionamento non faccia una piega, a livello
qualitativo. Se vuoi considerare le reazioni nucleari (suppongo tu intenda
le interazioni tra elettroni) allora devi introdurre un potenziale di
interazione, questo va a modificare i livelli enegetici, quello che ti
aspetti è che gli elettroni che stanno su i livelli energetici più alti
(quelli sulla "buccia" della superficie di Fermi) cioè quelli che non sono
incastrati da altri elettroni sopra di loro, quindi liberi di saltare,
passino a livelli energetici più alti. Quello che puoi fare è (**credo**) di
considerare piccole correzioni ai parametri del sistema (N,E,....) da
sommare ai valori definiti dalla trattazione a gas totalmente degenere. Per
il resto visto e considerato il casino già fatto ed il fatto che sono
quasi-ignorante in materia attuo una bella "sospenzione del giudizio" in
attesa di Elio che queste cose le sa...
saluti, Adriano

 saluti, Adriano
Ciao e buon anno a tutti,
Daniele.

 vertiginosamente (avendo "liberato" il 50% dei livelli energetici)?
Niente affatto: se prendi mezza stella hai meta' volume (quindi il
volume nello spazio delle fasi si dimezza e si dimezza il numero di
celle)ma anche meta' elettroni, quindi l'energia di Fermi resta la
stessa.


 magnetici disponibili?
In verità questa cosa non sono sicuro di averla capita. Stai parlando di
metalli non soggetti a campo esterno...e stai dicendo che siccome ho molti
momenti magnetici è naturale aspettarsi un sistema debolmente magnetico
perchè ogni magnetino può essere orientato a caso...ma per quanto riguarda i
fermioni io ho la teoria di Pauli. Puoi spiegarmi?
saluti, Adriano

 Percio' gli atomi sono completamente ionizzati.
Questo l'avevo capito.
In questo caso pero' stiamo analizzando un gas a temperatura di 10^7
K la cui kT e' comunque superiore all'energia di ionizzazione dei
suoi atomi.
Il mio dubbio era relativo ad una massa equivalente nella quale non
avvengano reazioni nucleari (per esempio un modello iper
semplificato di formazione di una stella in equilibrio termico con
l'ambiente circostante, ma astraiamo da questo caso che potrebbe
fuorviare ulteriormente).
In una tale massa avrei kT inferiore all'energia di ionizzazione
degli atomi ma Ef comunque molto maggiore per cui la stella "spenta"
e' ionizzata?
A forza di pensarci pero' ho forse trovato la spiegazione a causa di
un elemento che mi sfuggiva perche' penso che partissi dal verso
sbagliato:
1. in una stella "calda" (10^7 K) confronto la kT con l'energia di
ionizzazione e vedo che gli elettroni sono liberi da legami per cui
il gas di elettroni puo' formarsi; essendo il gas di elettroni un
sistema quantistico posso calcolare la Ef e vedere che e' molto
maggiore della kT per cui posso assimilarlo ad un gas degenere. Le
reazioni nucleari mantengono la temperatura "elevata" (rispetto
all'energia di ionizzazione) impedendo agli elettroni di
ricombinarsi con i nuclei (equilibrio dinamico).
2. in una stella "fredda" (~0 K) la kT e' inferiore all'energia di
ionizzazione per cui gli elettroni sono legati ai nuclei; in tal
caso non ha senso parlare di Ef perche' il sistema quantistico di
cui sopra non esiste (e' questo che mi sfuggiva).
Per vedere se ho capito formulo un terzo caso:
3. se potessi arrestare le reazioni nucleari nella stella "calda" di
cui al punto 1 continuando ad irradiare (o irraggiare?): gli
elettroni che vengono a trovarsi ad energie inferiori a quelle di
legame cominciano a ricombinarsi coi nuclei "lasciando lo spazio"
(scusate il pessimo gioco di parole =:-) a quelli di energia
superiore che possono cosi' raffreddarsi e legarsi a loro volta. In
tal modo tutta l'Ef originaria viene irradiata (bella riserva!) e
gradualmente la temperatura scende cosi' come la Ef (ipotizzando
conservazione del volume della stella).
Prendendo il caso inverso e cioe' di formazione del gas degenere
l'energia necessaria non e' dunque solo quella di ionizzazione ma
l'enormemente piu' grande Ef (per una stella).
A parte le imprecisioni di linguaggio spero questa volta di non
averne dette troppe ... sono gradite conferme o smentite (bah, le
smentite arrivano sempre, sono le conferme che sono piu' rare, ma e'
vero che per averne bisogna dirne di giuste ;-)
Ciao,
Daniele

 conservazione del volume della stella).
Non so se ho afferrato bene la tua idea, ma se si', direi che le cose
non stanno cosi'.
Per spiegartelo faccio un esempio ancora diverso.
Partiamo da un gas qualsiasi, per es. vapore di sodio. Puoi tenerlo allo
stato gassoso anche se molto freddo, purche' la densita' sia bassa.
Allora gli atomi stanno ciscuno per proprio conto, ciascuno coi suoi 11
elettroni legati al nucleo.
Ora aumenta la densita' (riducendo il volume): il gas condensa e si
forma un solido "metallico". Che vuol dire? Che a quella densita' un
elettrone per ciascun atomo si e' "liberato" dall'atomo ed e' andato a
formare un gas di Fermi che occupa l'intero spazio del solido. Questo
accade semplicemente perche' gli atomi sono troppo vicini per poter
avere livelli energetici indipendenti, ma si forma una "banda" di stati
che hanno carattere collettivo e come enrgie sono vicinissimi tra loro,
tanto da pter essere trattati come un continuo.
Detto sbrigativamente, l'energia di Fermi del gas di elettroni e'
dell'ordine dell'energia di ionizzazione. 
Come vedi, la temperatura non c'entra niente: il fenomeno accade anche
allo zero assoluto.
Se fai crescere ancora la densita', la stessa cosa capita ad altri
elettroni piu' interni, fino al punto che tutti gli elettroni sono nel
gas collettivo e non ce ne sono piu' legati ai singoli atomi.
Questa e' la differenza fra una nana bianca e una stella "ordinaria":
nella seconda, gli atomi sono ionizzati perche' la temperatura e' alta,
mentre la densita' da sola non sarebbe sufficiente (salvo forse al
centro: dovrei fare qualche conto per dirlo). Nella nana bianca la
densita' e' molto piu' alta e succede quello che ho descritto prima,
anche se e' "fredda".
