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Titolo: Momento angolare in n dimensioni e rappresentazioni di SO(n)

Salve,
qualche giorno fa ho postato un messaggio ma nessuno mi ha risposto.
Ora ho un po' piu' di tempo e ripresento la stessa questione in veste
un po' migliore, spero che qualcuno possa aiutarmi in qualche modo.
Grazie comunque a chi avra' voglia di leggere.
E' possibile costruire una rappresentazione di SO(n) sulle funzioni
L^2 della sfera unitaria n-1 dimensionale con la misura indotta dalla
misura euclidea in R^n. \
Chiaramente questa rappresentazione e' infinito dimensionale,
riducibile. 
Scriviamo la metrica euclidea come:
ds^2=dr^2+r^2\Omega_{ij}\theta^i\theta^j
dove le \theta^i sono coordinate sulla sfera.
Definiamo  il ``momento angolare totale al quadrato'' come:
f^2\phi=\frac{1}{\sqrt{\Omega}}\der_i(\sqrt{\Omega}\Omega^{ij}\der_j\phi
dove \Omega=det(\Omega_{ij}), \Omega^{ij}\Omega_{jk}=\delta^i_k,
\der_i indica la derivata parziale rispetto a \theta^i e \phi e' una
funzione di L^2 della sfera, con la misura data da \sqrt{\Omega}. In
ogni sottospazio irriducibile l'operatore f sara' un multiplo
dell'identita' e varra': l(l+n-2).
La mia domanda e': quale e' la moltemplicita' di questo autovalore in
L^2 della sfera?
Per chiarire le idee, nel caso di SO(3), una base ortonormale per lo
spazio in questione sono le armoniche sferiche Y^l_m. Per l fissato,
esse costiuiscono sottospazi irriducibili e inequivalenti sotto SO(3);
f^2 vale l(l+1) e quindi a rappresentazioni diverse corrispondono
diversi valori del momento angolare e la sua molteplicita' e'
semplicemente 2l+1, la dimensione della rappresentazione a l fissato.
Per SO(2) invece, una base e' data da \exp{\pm i m} e la molteplicita'
dell'autovalore m^2 e' 2.
Ho studiato un po' di teoria di gruppi e rappresentazioni ma non ci ho
mai lavorato molto e mi serve solo questa piccola informazione... ho
provato a cercare sui libri ma non sono riuscito a trovare la
risposta, forse ho peccato un po' di pigrizia pero'... Mi e' venuto
anche il dubbio che la risposta non sia tanto semplice, spero di
sbagliarmi.
Mi sono fatto alcune domande:
1) Il mio spazio sara' somma diretta di rappresentazioni inequivalenti
come succede per SO(3) oppure compariranno anche piu' rappresentazioni
equivalenti? ho il sentore che la seconda possibilita' non possa
accadere per qualche ragione profonda e magari anche banale
(ovviamente accade per SO(2) che e' abeliano...) , ma non riesco bene
a mettere a fuoco e come ho detto, non posso affrontare uno studio
approfondito della questione. Se invece una rappresentazione compare
piu' volte, quante volte?
2) ci sono piu' rappresentazioni inequivalenti,  in cui f^2 vale
l(l+n-2)? quante?
3) Quale e' la dimensione della rappresentazione (o delle
rappresentazioni, vedi sopra), in cui f^2 vale l(l+n-2).
A me sembra che se potessi rispondere a queste domande avrei risolto
il problema.
Forse ho fatto un po' di abuso di linguaggio, o forse ho detto qualche
stupidaggine ma spero  che almeno sia chiaro quale sia la questione e
ringrazio chi ha letto fino qui e chi avra' voglia di darmi una
risposta o una referenza.
Ciao.
Beppe.

 
  Ciao, stai ponendo questioni difficili.
Ti faccio notare che quello che tu chiami momento angolare, appena
sei in dimensione maggiore di 3 (SO(n) n>3) non e' piu' l'unico operatore
di Casimir della rappresentazione per cui le cose non sono piu' tanto
semplici. Dovresti cercare alcuni lavori di Camporesidegli anni '90
sull'heat kernel in spazi simmetrici. Prova con:
  HARMONIC ANALYSIS AND PROPAGATORS ON HOMOGENEOUS SPACES.
  By R. Camporesi (Maryland U.). 1990. 134pp.
  Published in Phys.Rept.196:1-134,1990
  Forse su quello trovi delle risposte alle tue domande o a qualcuna di
  esse.
  Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

semplici. 
In effetti cosi' a occhio lo sospettavo, non mi sono sbilanciato
troppo.
Per la cronaca, il problema che ho posto mi e' stato suscitato dalla
ricerca di un analogo della legge dell'area per buchi neri in n
dimensioni, magari poi ne scrivo sul NG in un altro thread.
Ti ho risposto in privato all'altra questione.
Grazie mille.


 semplici. 
In linea generale, se si trattasse di trovare tutte le rappr. irr. di
SO(n), Valter avrebbe ragione, ma direi che il caso particolare si
risolve senza gravi difficolta'.
La rappr. per un dato l ha come base i tensori simmetrici di rango l in
R^n, a traccia nulla.
(Queste non sono tutte le rappr. irr. di SO(n): le altre si ottengono da
tensori con simmetria diversa. La tecnica dei tensori in questo caso e'
comunque piu' semplice rispetto a quella alla Cartan, con invarianti di
Casimir ecc.)
Percio' la dimensione e' C(n+l-1,l) - C(n+l-3,l-2), dove C(a,b) e' il
coeff. binomiale. Semplificando si trova (n+2l-2)*(n+l-3)! / (l! *
(n-2)!) (ammesso che questa sia piu' semplice...).
La ragione e' che il tuo f^2 non e' che la parte angolare del laplaciano
in R^n, per cui stai cercando funzioni armoniche, con la solita tecnica
della separazione delle variabili. Se come funzioni armoniche (regolari
nell'origine) prendi polinomi omogenei di grado l
A_{i_1...i_l} x^{i_1}...x^{i_l}
la condizione che il laplaciano si annulli equivale ad annullare la
traccia del tensore A.
La risposta alla domanda 1) e' quindi ovvia: per ogni l c'e' una sola
rappresentazione, ecc.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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