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Titolo: sezioni di Dedekind

Da: "Lezioni di analisi matematica" di Maderna-Soardi:
"Chiamiamo sezione di Dedekind o sezione del campo razionale un sottinsiema
a di numeri razionali soddisfacente le seguenti proprietà:
i) a diverso dall'insieme vuoto, a diverso da Q
ii)se p appartiene ad a e q<p allora q appartiene ad a
iii)a non ha massimo
Chiamiamo numero reale una sezione di Dedekind."
Non mi è chiaro il senso di questa definizione. Secondo questa definizione
un numero reale coincide con un sottoinsieme non vuoto di Q. La domanda 
potrà sembrare banale: come fa un singolo numero reale a essere definito da 
un insieme di razionali?
Mi viene in mente che i complessi sono definiti a partire da coppie ordinate 
di numeri reali...c'è qualche analogia nel procedimento? 

 di numeri reali...c'è qualche analogia nel procedimento? 
Dipende dove vedi l' analogia. In un certo senso anche si' (*un* numero 
complesso definito attraverso *due* reali).  Da un altro si tratta di 
una costruzione piu' complessa (bisticcio involontario :-) ):servono 
infiniti razionali per definire un reale.
Giorgio

 di numeri reali...c'è qualche analogia nel procedimento?
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 > di numeri reali...c'è qualche analogia nel procedimento?
C'e' piu' somiglianza con il procedimento di costruzione
degli interi dai naturali e dei razionali dagli interi. L'analogica
sta nel fatto che anche in quel caso puoi procedere considerando
le classi ordinate di naturali, una classe di equivalenza,
 un modo per sommarle uno per moltiplicarle,
uno per invertire le operazioni. Anche nel caso dei complessi
devi poi verificare le proprieta' algebriche che caratterizzano
i numeri.
Nel caso dei numeri complessi c'e' una analogia piu' sottile
da cogliere, che sta nelle motivazioni alla base delle due
costruzioni. Come i numeri reali sono costruiti per fornire
un ambiente in cui trovino posto i risultati delle operazioni
di limite, cosi' i numeri complessi sono costruiti per avere
un ambiente in cui l'operazione di soluzione delle equazioni
quadratiche ammetta soluzione.
Nel ripensare a questa cosa ho scoperto un'errore in quello
che postavo prima: le approssimazioni costruibili con riga
e compasso non sono le approssimazioni razionali. Facendo
mente locale ricordo che Euclide volle costruire una teoria
generale delle proporzioni avvisato del fatto che esistono enti geometrici
costruibili da un segmento che sono in una proporzione con questo
che non e' riconducibili a rapporti fra multipli.
Sempre su questa linea ricordo che esiste un'intera classe di
numeri che puo' essere posta in corrispondenza biunivoca con le
costruzioni ottenibili con riga e compasso, mi sembra di ricordare che
siano un sotto-insieme degli interi algebrici. Grazie a questo,
tempo piu' tardi, non troppo tempo fa fu dimostrato che la circonferenza
del cerchio non puo' essere costruita dal suo diametro con riga e compasso.
La dimostrazione consiste appunto nel mostrare che pi greco non e' un
intero algebrico. E' quello che si chiama numero irrazionale.
Questo vastissimo insieme di ricerche ha portato ad una migliore, non ancora
completa comprensione delle particolarita' logiche della definizione di
numero
reale, che e' una delle definizioni piu' difficili e dalla storia piu'
laboriosa che
il pensiero ricordi, in particolare perche' poneva un abisso fra il piano
ancora
indefinito dei numeri costruibili per via matematica con serie ed
approssimazioni
infinite e la storia precedente. I numeri di Dedekin e Cantor erano un
ambiente
di sviluppo "universale" paragonabile per la sua potenza e ricchezza interna
solamente al piano euclideo. Una mia personalissima convinzione e' che
la potenza del supporto intuitivo fornito dallo spazio euclideo abbia da un
lato rallentato la
comprensione espressione delle potenzialita' del discorso logico che era
intrinseco nella
impostazione simbolica tramite insiemi infiniti che si sviluppo' in quegli
anni, dall'altro
abbia stimolato la ricerca sul significato profondo del carattere di
"universalita'"
dei numeri infiniti.
Anche a proposito di cio' puo' essere interessante sapere che l'Ecole
Politecnique aveva una sezione
brevetti e che esisteva un ufficio per le dimostrazioni matematiche.
Giungevano
a quell'ufficio continue proposte di realizzazione di macchine per il moto
perpetuo,
e dimostrazioni per la quadratura del cerchio e la trisezione dell'angolo.
Ad un certo
punto nel corso dell'Ottocento, fu emanato un bando in cui veniva
pubblicamente fatto divieto di inoltro di note su questi tre argomenti. Fu
in quegli
anni che venne dimostrato che non era possibile quadrare il cerchio o
trisecare un
generico angolo (usando riga e compasso, e' importante specificarlo perche'
Nicia detto il siculo ovvero Nicomede, se non ricordo male, era riuscito a
pensare
una macchina per la trisezione dell'angolo ed Ippia per conto suo aveva
pensato ad
un modo per costuire una curva che consentisse la quadratura del cerchio
erano
entrambi pitagorici ribelli, ovvero avevano ad un certo punto abbandonato la
regola e divulgato parte del loro sapere) e che venne sviluppata la teoria
delle macchine
termiche.


 eccesso e per difetto.
Piu' correttamente l'idea di Euclide fu di caratterizzare l'identita'
fra le proporzioni di coppie di segmenti mediante una procedura
di confronto fra i multipli interi dei due segmenti di ogni coppia.
C'e' anche da osservare che in effetti costruire una frazione razionale
senza utilizzare la squadra, bensi' solo la riga ed il compasso non e'
impossibile ma e' laborioso, la difficolta' e' nel frazionare in n parti
uguali.
Ovvero nel tracciare una retta parallela per un punto assegnato usando solo
riga e compasso.


 punto provo a darti una risposta sistetica sulla questione generale:
Infatti, e non capisco perche' il moderatore l'abbia passato, visto
che qui la fisica non c'entra proprio per nulla, anche con la massima
buona volonta'...
Ma poi l'amico ha fatto di peggio: ha fatto il crosspost con ism, e
naturalmente s'e' creato un lungo thread anche li'.
Due ragioni per cui non entro nel merito, anche se qualcosina da dire
ce l'avrei.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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