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Titolo: Il centro di massa di un sistema isolato è fisso?

Dal momento che dalla teoria della relatività ristretta la massa di un corpo
dovrebbe aumentare con la sua velocità relativa, se un corpo sospeso nel
vuoto esplodesse rompendosi in due frammenti di diverse masse che si
allontanino in direzioni opposte, un osservatore solidale con il corpo prima
dell'esplosione percepirebbe il centro di massa del nuovo sistema formato
dai due frammenti in moto come spostato.
Che effetti pratici ha questo concetto?
llllllll


Ciao, non ha effetti pratici perche` non e` vero che il 
CM si sposta!
In relativita` speciale c'e' un teorema che ti assicura 
che il centro di massa, definito rispetto ad un riferimento 
minkowskiano fissato, rimane fermo se il sistema e` isolato
(= se si conserva il tensore energia impulso). 
La questione riguarda quale definizione si fornisce 
per "centro di massa": la definizione che viene data 
in relativita` speciale usa il tensore energia impulso 
del sistema e comunque si riduce a quella classica nel
limite non relativistico.
Se ti interessa ti posso anche scrivere i dettagli.
In realta` si puo` dimostrare che, sotto certe ipotesi 
(sistema fisico descrivibile in forma lagrangiana),tale teorema  
e` un caso particolare di un teorema piu` generale detto 
"teorema di Noether" e la conservazione della posizione
del CM e` dovuta all'invarianza del sistema rispetto a 
trasformazioni di Lorentz che non contengono rotazioni.
In relativita` genenrale la questione e` priva di senso
perche` per definire il CM c`e` bisogno di una struttura
affine sulla varieta`, cioe` deve avere senso parlare 
di posizioni individuate da vettori, cosa in genenrale
impossibile per la curvatura della varieta`.
Ciao, Valter 
 
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 Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
 
mor...@science.unitn.it
 
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

Cerchiamo di vederla in modo piu' semplice, con un esempio.
Un'astronave si muove (nello spazio vuoto, rispetto a un rif. inerziale)
con velocita' V.
Nota 1: Tutte le velocita' e le q. di moto sono da intendere vettori.
A un certo punto esplode in due frammenti, che partono con velocita' v1
e v2.
Nell'esplosione si conservano energia e q. di moto: E = E1 + E2, P = p1
+ p2, con ovvie notazioni.
Il c.d.m. relativistico di un sistema di punti materiali non interagenti
si definisce con la formula x = (x1*E1 + x2*E2)/(E1 + E2): con le
energie al posto delle masse della mecc. newtoniana.
Ne segue che la vel. del c.d.m. e':
v = (v1*E1 + v2*E2)/(E1 + E2).
Ma e' noto che v1*E1 = c^2 p1 ecc. quindi
v = c^2 (p1 + p2)/(E1 + E2) = c^2 P/E, 
che e' esattamente la vel. V che aveva l'astronave prima di esplodere.
In parole: il c.d.m. continua a muoversi come se non fosse sucesso
niente, come in mecc. newtoniana.
Questo discorso semplice l'ho potuto fare perche' ho considerato un
sistema fatto di punti materiali non interagenti. Nel caso generale
(interazioni, campi...) occorre procedere come accennato da Valter.
Nota: E' noto (a chi segue regolarmente questo NG) che sono decisamente
contrario all'uso della cosiddetta "massa relativistica", che varia con
la velocita'. In effetti quella massa non e' che l'energia divisa c^2,
quindi nel migliore dei casi e' un ente inutile.
Tuttavia, proprio per questa proporzionalita', nella formula che ho
scritta sopra per il c.d.m. si puo' mettere le masse relativistiche al
posto della energie, e tutto torna ugualmente. Comunque ripeto:
sconsiglio vivamente l'uso della massa relativistica: e' solo causa di
errori e fraintendimenti!
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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In realta` si puo` dire qualcosa di abbastanza generale se l'interazione 
avviene in un singolo evento: si riesce a formulare tutto senza campi e 
lagrangiane e si prova facilmente che la conservazione del quadriimpulso 
implica il teorema del centro di massa. Ecco come fare.
Prendiamo N punti materiali di masse (nel senso di m^2 = -(P,P)) 
m1, m2,...mn e quadriimpulso P1,P2,...,Pn.
Se l'interazione avviene in un evento, la proposizione 
P1 + ...+ P_n = P'1+ ... + P'n                              (1)
dove i P' sono i quadri impulsi DOPO l'interazione dei punti,
e` una proposizione assoluta indipendente dal riferimento 
inerziale usato per descrivere il processo. 
Assumiamo quindi valida la (1) come legge di conservazione
dell'energia-impulso del sistema.
Ora scegliamo un riferimento inerziale con coordinate di Minkowski
t=X^0, X^1,X^2,X^3. Definiamo al tempo t (pongo sempre c=1)
M^i(t) = somma su k di ( tPk^i - Xk^i Pk^0)                   (2)
essendo Pk^i la componente i-esima del quadrimpulso della particella
k-esima e Xk^i la componente i esima del vettore che unisce l'origine
delle coordinate alla particella k-esima.
si ha, in virtu` della (1), 
 M^i(t) = costante
questa vale prima, durante e dopo l'interazione, la costante NON dipende 
dal tempo ed e` la stessa prima durante e dopo l'interazione. 
La dimostrazione si ha subito derivando il secondo membro di (2) in t.
La derivata produce
somma Pk^i    + t d/dt (somma tPk^i)   - somma Pk^i
- somma Xk^i d/dt Pk^0
Il secondo addendo e` sempre nullo per ipotesi il terzo termine
(che e` ottenuto come somma (d/dt Xk^i) Pk^0  ) si elide con il 
primo e rimane
d/dt M^i(t) = - somma Xk^i d/dt Pk^0.
Ora, nei tempi prima e dopo l'interazione tutti
i Pk sono conservati per cui il secondo membro e` nullo,
nell'istante dell'interazione, dato che avviene in un unico
evento, il secondo membro si scrive
X^i d/dt somma Pk^0
che e` nullo per la conservazione del quadrimpulso totale.
Quindi per ogni M^i e` una costante del moto.
Se P indica il quadrimpulso totale del sistema, che e` per
ipotesi una costante del moto, abbiamo che
somma su k di  Xk^i Pk^0   =  t P^i - M^i
Nel caso in cui il sisitema sia inizialmente dotato di
componenete spaziale del quadrimpulso nulla (nelle coordinate
considerate), da sopra risulta
P^0 Xcm^i =  somma su k di  Xk^i Pk^0  = costante^i
dove abbiamo definito la coordinata i-esima del CM come
Xcm^i = somma su k di  Xk^i Pk^0/ P^0
essendo P^0 la componente temporale (energia) del quadrimpulso
totale. La definizione di sopra si riduce a quella classica
nel limite di basse velocita ed e` quella che ha dato Elio
nel caso che ha esaminato.
Ciao, Valter

 wrote in message
news:LTNp7.1984$bf.8...@news.infostrada.it...

hai due equazioni facili facili per risolvere i tuoi problemi di dinamica :
d(xC)/dt=0;
d(yC)/dt=0;
dove xC,yC sono funzioni dei gdl del sistema q1,q2,q3......
---
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).
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 + p2, con ovvie notazioni.
Avrei detto che nell'esplosione l'energia non si conservasse, a meno di
non considerare nel bilancio anche l'energia potenziale chimica (o di
qualche altra natura) prima dell'esplosione.
Ciao
--
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)