Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Prodoto vettoriale.

Salve a tutti.
Non riesco a trovare una motivazione alla nascita del prodotto
vettoriale.
In particolar modo al perchè esso sia perpendicolare ai due fattori.
Sui libri di testo viene data la definizione ma a me interessa la sua
origine.
Per esempio il prodotto scalare deriva dalla necessità di esprimere
una applicazione lineare come matrice.
Posseggo un libro di algebra lineare e geomtria studiato
all'università che non cita nemmeno la definizione perchè non ne fa
uso in nessuna parte del testo quindi deduco che tale operazione
derivi dalla necessita' di esprimere qualcosa di fisico ma e'
necessaria la perpendicolarita' o e' solo una convenzione?
grazie 1000

 ha scritto nel messaggio
news:6oknu0trckluu3ddo...@4ax.com...

La perpendicolarità credo che nasca dal fatto che i 3 vettori (a,b,axb)
debbano formare una terna levogira.

 ha scritto nel messaggio
news:6oknu0trckluu3ddo...@4ax.com...

Il prodotto vettoriale esprime l'area del parallelogramma formato dai due
vettori.

 derivi dalla necessita' di esprimere qualcosa di fisico
Affatto: come vedi è tutta matematica, però di natura più avanzata
rispetto a quella che si fa in un corso di geometria 1.
-- 
ws

 bisogna conoscere un minimo di algebra tensoriale.
Invece secondo me bisogna conoscere un po' di storia della fisica e
della matematica (conosco qualcuno che gongolera' per questa mia
affermazione :-)) )
Bisognerebbe sapere prima di tutto che i vettori nel senso in cui li
usiamo oggi sono una creazione realtivamente recente: meno di un
secolo.
I primi tentativi di costruire un qualcosa di simile, da applicare a
problemi di fisica (e' da li' che e' nato tutto) risalgono alla fine
dell'800, a parte precursori come Hamilton (quaternioni).
Pero' le idee fisiche alle quali tornera' utile applicare i vettori, e
in particolare il prodotto vettore, risalgono molto piu' indietro:
fine '700 - inizi '800.
I campi sono due (senpre nella meccanica): la statica dei corpi rigidi
e la dinamica dei sistemi.
Idee sull'importanza del momento di una forza oer l'equilibrio sono
antichissime: gia' ai tempi di Galileo se ne avevano idee, anche se
poco chiare.
Non so dire a chi siano dovute le condizioni di equilibrio come le
conosciamo oggi: risultante nulla, momento risultante nullo. Punterei
su Eulero, ma solo perche' ha capito per primo tante di quelle cose,
che sembra la persona giusta...
Solo che a quel tempo (fine '700) le condizioni si scrivevano in
componenti: il concetto di vettore e tanto piu' quello di prodotto
vettoriale erano di la' da venire.
Posso invece essere piu' preciso per la dinamica dei sistemi: Laplace
scopre che nel moto del sistema solare c'e' un piano che resta
invarianto (appunto il piano di Laplace).
La giacitura di questo piano, passante per il centro di massa del
sistema, puo' venir data mediante la direzione della sua normale.
Laplace da' la formula per questa direzione, in sostanza scrivendo il
momento angolare del sistema.
Ignoro se e quando sia stato scoperto che anche la _grandezza_ del
momento angolare si conserva. O meglio: come legge delle aree era nota
a Keplero; ma quando e' stata fatta l'unificazione tra direzione e
modulo? Forse dallo stesso Laplace?
Ecco da dove nasce che il prodotto vettore e' ortogonale ai due
vettori: il piano di Laplace per la Terra, per esempio, e' quello
dell'orbita: la normale e' ovviamente ortogonale tanto al raggio
vettore quanto alla velocita' del pianeta.
In notazione moderna: L = m r x v (dove la "x" e' il simbolo di
prodotto vettore).
E' incredibile quanto lento sia stato lo sviluppo di queste idee:
ancora meno di un secolo fa l'uso delle notazioni vettoriali era
tutt'altro che diffuso, e comunque non c'erano notazioni uniformi per
prodotto scalare e vettore.
Esempio: un notevole libro di meccanica celeste, quello di Brouwer e
Clemence, ancora negli anni '50 *non usava* i vettori!
Nei primi decenni del '900 si trovavano per il prodotto vettore
notazioni in competizione: u/\v, oppure uxv, oppure [u,v].
Per es. quest'ultima notazione, che e' quella di Grassmann, la trovate
in classico testo di elettromagnetismo come il Becker.
La notazione con "x" era di Gibbs, ed e' stata adottate dalla scuola
anglosassone, per cui oggi e' prevalente ovunque.
La notazione "/\" e' della scuola italiana (Burali-Forti, Marcolongo).
Non ha avuto diffusione fuori d'Italia, ma e' poi stata recuperata dai
matematici per il prodotto esterno.
Lo sviluppo sistematico dell'algebra esterna (con la dualita' di
Hodge di cui parla Winston Smith) sono prodotti relativamente recenti.
Non saprei precisare la data, ma a occhio li situerei dopo il 1920.
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

rispetto a quella che si fa in un corso di geometria 1.
In quale corso si studia?
Hai qualche libro da consigliarmi?
Doppio grazie.

anglosassone, per cui oggi e' prevalente ovunque.
CUT
A questa perfetta(complimenti!) esposizione di Elio Fabri, aggiungo una nota
bibliografica per chi volesse approfondire il tema dell'analisi vettoriale.
Crowe, A history of vector analysis. E' una storia più unica che rara, poche
pagine e molto denso di citazoni sia di Hamilton che di Maxwell che di
Grassmann che di  Gibbs come altri protagonisti.
E' interestante la disputa tra queternionisti e vettorialisti che si
trascinava come tante altre dispute.
Tra le altre cose, approfitto per dire che dopo la Prima guerra mondiale, il
disconoscimento tra francesi e tedeschi portava ad altre problematiche(ho
letto in questo ng di Poincarè et Einstein) anche a livello scientifico.
Scienziati che dichiaravano come superiore la fisica del loro paese, e anche
gli inglesi non furono immuni da questo stato dei fatti.
E' davvero doloroso vedere come anche la scienza purtroppo sia stata tirata
dentro questo problema tra Stati. Speriamo che ora vi sia più
collaborazione, perché è davvero deprimente assistere a certe cose per
quanto riguarda la conoscenza.
Per questo tema, è interessante l'introduzione di Paolo Rossi al terzo
volume della Storia della scienza moderna e contemporanea, diretta dallo
stesso. Si tratta del tema della "Grande scienza" del Novecento.
Saluti a tutti
Franco

 Non saprei precisare la data, ma a occhio li situerei dopo il 1920.
Beh, l'algebra esterna l'ha inventata Grassmann, quindi siamo a metà
'800. La sistemazione rigorosa e la nomenclatura però credo siano dovute
in massima parte al solito Bourbaki, e si ritorna al periodo che dici
tu...
-- 
ws

modulo? Forse dallo stesso Laplace?
Possiamo, pertanto, assumerci la responsabilità di attribuire a
Laplace  la scoperta del principio di conservazione del momento
angolare? O saremo *condannati* a vita, a omettere il nome di uno
scienziato associato al principio? Possibile che nessuno storico della
scienza, della fisica o della matematica, non abbia chiarito a chi
tocca l'attribuzione della scoperta del principio di conservazione del
momento angolare, ma anche di tanti altri principi di cosnervazione di
grandezze fisiche classiche, come:
1) della sola massa m (Lavoiser?)
2) della sola energia E (Joule?)
3) della q.d.m. P (Descartes?)
4) del momento angolare L (Laplace?)
5) della carica elettrica Q (Coulomb?)
Se qualcuno ha da dire qualcosa su questa questione, la dica. Ne
prenderemo volentieri nota.
Vincenzo Calabro'

 Hai qualche libro da consigliarmi?
Ho paura che i libri che conosco io siano tutti troppo avanzati (e per
di più quasi tutti esistono solo in inglese).
-- 
ws

 ...
Primo: il fatto che io non sappia una cosa, non va preso come prova, e
neppure come indicazione, che *nessuno* la sa :-))
Secondo: guarda che in certi casi l'attribuzione puo' essere
controversa o comunque complicata, per l'ovvia ragione che spesso i
concetti o le leggi fondamentali non vengono scoperte tutte in colpo,
belle e formate (si usava dire una volta "come Minerva dalla testa di
Giove").
Ci sono intuizioni, prime formulazioni piu' o meno particolari, a
volte enunciati difficili da interpretare...
Ho presente l'esempio di Leibniz a proposito dei problemi d'urto.
Aveva capito le leggi di conservazione? Le aveva intuite? Come le
collegava alle leggi di Newton?
Credo che la questione sia ancora in studio...


 definizione in componenti :-)
Premesso che molto dipende dalla "forma mentis" del singolo, a me nn
sembrano poi cosi' difficili.
E troverei invece assai educativo abituarsi a pensare in modo
"intrinseco" il piu' presto possibile.
Quanto ai libri, anch'io non posso dare indicazioni precise.
Pero' un titolo come "Algebra tensoriale" andrebbe bene, e credo che i
primi capitoli sarebbero avvicinabili almeno al secondo anno.
Tutto sommato, mi pare che i normali corsi di Analisi non trattino
argomenti piu' semplici.
Per fare un esempio che conosco, il libro di Bishop e Goldberg "Tensor
Analysis on Manifolds, che tratta argomenti ben piu' avanzati, sbriga
tutta l'algebra tensoriale nel Cap. 2.
Le conoscenze richieste sono quelle del primo anno o poco piu'; la
vera difficolta' e' il linguaggio, estremamente stringato e con
pochissime spiegazioni.
Ma appunto, questo e' un testo avanzato, in cui l'algebra tensoriale
e' una premessa: necessaria, ma solo una premessa...


ce lo dice, se non alla fine...
CUT
La didattica della matematica ha combinato piщ problemi di quello che
pensassi a quanto pare!
Parliamo del prodotto SCALARE.
Si dimostra facilmente che il significato fisico del prodotto scalare и il
seguente:
Se v' и una forza la cui direzione e la cui grandezza sono rappresentate dal
segmento OP', allora l'effetto di questa forza su un oggetto situato in O
nella direzione OP, dove OP rappresneta v, и dato dalla proiezione di OP' su
OP, cioи da OP' cos ph. N.B.(la traslitterazione della lettera greca in
italiano и "ph").
Ph и  l'angolo compreso tra OP' e OP. Se OP ha lunghezza unitaria, la
proiezione di OP' su OP и precisamente uguale al valore del prodotto v * v'.
Questo и il motivo per cui fu introdotto il prodotto scalare perchй utile in
fisica.
E per "far tornare i conti", si pone:
i*i = j*j = k*k = 1
i*j= j*i = i*k = k*i = j*k = k*j= 0
Cosм, come tutti sappiamo bene, si ottiene v*v' = aa' +bb' + cc', dove
ovviamente v= ai+bj+ck, mentre v' = a'i+b'j+c'k.
Questo prodotto come tutti sappiamo NON и piщ un vettore ma un numero reale,
o scalare, e viene appunto detto prodotto scalare.
Ora, andiamo piщ indietro nel tempo e vediamo meglio da dove origina tutto
questo.
La nozione di vettore, cioи di segmento orientato di retta,che puт
rappresentare la grandezza e la direzione di una forza, di una velocitа o di
una accelerazione, entrт in matematica "discretamente". Aristotele per es.
gia sapeva che le forze possono essere rappresentate da vettori e che
l'azione combinata di due forze  puт essere ottenuta mediante quella che и
comunemente nota come regola del parallelogramma.
Per es. Stevin usт la regola del parallelogramma in problemi di statica e
Galileo la enunciт esplicitamente.
Dopo che la reppresentazione geometrica dei numeri complessi dovuta a
Wessel, Argand, e Gauss diventт abbastanza familiare, i matematici si resero
conto che i numeri complessi potevano essere usati per rappresentare i
vettori piani e per lavorare su di essi.
Cioи i numeri complessi forniscono un'algebra nei confronti dei vettori del
piano. Cosм non и necessario effettuare le operazioni geometricamente, ma si
puт lavorare algebricamente.
Questo uso dei numeri complessi per rappresentare i vettori piani diventт
ben noto entro il 1830. Perт l'utilitа dei numeri complessi и limitata al
piano in questo caso.
Come tutti sappiamo se piщ forze agiscono su un corpo, non и detto che esse
stiano tutte su un piano. E quindi come и ovvio per trattare queste forze и
necessario un analogo TRIDIMENSIONALE dei numeri complessi. Ovviamente si
poteva continuare a usare le coordinate cartesiane ordinarie(x,y,z) di un
punto, ma NON si conoscevano le operazioni sulle terne di numeri che
potessero rappresentare le operazioni sui vettori.
Queste operazioni come nel caso dei numeri complessi avrebbero dovuto
comprendere l'addizione, la sottrazione, il prodotto, e la divisione, e
soddisfare alle solite proprietа associative, commutative, distributive etc.
..
Cosм i vari Wessel, Gauss e Hamilton si misero a lavoro.
Hamilton chiarм meglio la nozione di numero complesso e questo gli permise
di affrontare meglio degli altri il problema di introdurre UN ANALOGO
TRIDIMENSIONALE per rappresentare i vettori dello spazio.
Hamilton giunse quindi dopo 15 anni di studi, ai quaternioni. Questi
quaternioni si rivelarono d'importanza incommensurabile per l'algebra, Una
volta chei matematici si resero conto che era possibile costruire un sistema
significativo e utile di "numeri" che non possedevano la proprietа
commutativa dei reali e dei complessi, si sentirono piщ liberi di prendere
in considerazione le costruzioni che si allontanavano anche piщ radicalmente
dalle proprietа usuali dei numeri reali e complessi,
Questa presa di coscienza era necessaria prima che potessero essere
elaborate l'analisi e l'algebra dei vettori, perchй come sappiamo essi
violano ancora di piщ dei quaternioni le leggi ordinarie dell'algebra. Cioи
le ricerche di Hamilton condussero alla teoria delle algebre lineari
associative.
Il passaggio dai quaternioni ai vettori si ebbe in particolare con Maxwell
il quale conosceva l'opera di Hamilton, mentre non conosceva l'opera di
Grassmann.
Maxwell isolт la parte scalare e la parte vettoriale del quaternione
hamiltoniano e concentrт la sua attenzione su questi due concetti
separatamente.
Cmq nel suo Treatise on Electricity and magnetism, fece una concessione
maggiore ai quaternioni parlando piuttosto dellla parte scalare e della
parte vettoriale di un quaternione e le trattava separatamente.
Maxwell dice che un vettore richiede per la sua specificazione tre
quantitа(componenti) che possono essere interpretate come lunghezze lungo i
tre assi coordinati. Questo concetto di vettore и la parte vettoriale del
quaternione hamiltoniano, come dice lo stesso Maxwell.
Hamilton aveva introdotto una funzione vettoriale v di x, y , z avente come
componenti v1, v2, v3, e aveva applicato l'operatore nabla(grad: gradiente)
Nabla =i(@/@x) + j(@/@y) + k(@/@z) N.B. @= der. parziale.
Cosм Nabla di v и un quaternione.
Maxwell invece separa la parte scalare da quella vettoriale e le indica
separatamente con S nabla v (parte scalare di v) e con V nabla v (parte
vettoriale di v).
S nabla v и chiamata convergenza di v, perchй sta espressione era gia usata
nella dinamica dei fluidi e perchй quando v и la velocitа, essa ha il
significato di flusso.
Poi chiama V nabla v, rotazione, CURL, rotore, di v,perchи pure questa
espressione era gia comparsa nella dinamica dei fluidi per denotare il
doppio tasso di rotazione del fluido in un punto.
Fu solo Clifford in seguito che chiamт - S nabla v, divergenza.
Quindi vi fu una sorta di rottura con i quaternioni e venne inaugurata
l'analisi vettoriale da Gibbs e da Heaviside.
Gibbs - Wilson, Vector analysis, 1901. Questo libro formalizza l'analisi
vettoriale che verrа poi accettata. Non serve il "tensore" per
svilupparla,come altri concetti seguenti.
E ovviamente, sempre per problemi "fisici" si introduce il prodotto
vettoriale, che viene introdotto in quel modo(come ha spiegato Elio) sempre
per motivi "fisici".
E anzi, per far tornare i conti si pone:
i x i = j x j = k x k = 0
i x j= k    j  x i = -k
j x k = i   k x j = -i
k x i = j    i x k = - j
Tutto questo, che NON sono piщ  i quaternioni di Hamilton, che cmq volevano
servire allo scopo fisico, fu elaborato proprio da Gibbs e Wilson, ma in
particolare da Gibbs.
Ovviamente la storia и piщ intricata e infatti ho consigliato di Crowe, A
history of vector analysis.
In tutto questo, come si nota, i tensori non c'entrano proprio nulla.
Ma la didattica della matematica и quella che и. E la colpa non и di
nessuno.
Ovviamente, c'и chi non si arrende a va a "scavare" le origini, e chi si
accontenta di Bourbaki.........
Saluti a tutti
Franco

 accontenta di Bourbaki.........
Se questa frecciatina era rivolta a me "hai largamente mancato il
bersaglio", per dirla alla rogue :-)
-- 
ws

 argomenti piu' semplici.
Il problema è che ad analisi 2 si cerca di mascherare tutto il più
possibile. Per esempio, usando sistematicamente coord. ortonormali con
metrica euclidea diventa inutile distinguere tra indici alti e bassi,
tra vettori e 1-forme, e così via...
Comunque mi è venuto in mente un libro che parli di queste cose a
livello introduttivo e sia tradotto in italiano: "Geometria
contemporanea" di Dubrovin-Novikov-Fomenko, editori riuniti.
Ne esisteranno sicuramente altri, ma io non li conosco...
-- 
ws

 uno si è impadronito dei concetti-chiave in un'ottica moderna.
C'e' un'altra motivazione a favore di qualche conoscenza di carattere
storico (che non vuol dire "approccio storico"): sta nel fatto che
buona parte di quelli che studiano matematica poi la dovranno
insegnare, e molti nelle scuole preuniversitarie, dove una strada
assiomatica nonpuo' assolutamente funzionare, e l'esigenza di motivare
si fa sentire in modo pressante.
Gran parte degli attuali insegnanti sono *totalmente* impreparati da
questo punto di vista.


 constatazione di fatto della pratica attuale?
Naturalmente è una constatazione. Il "che ti piaccia o no" era dovuto al
fatto che Franco, al quale rispondevo, sembra denigrare a priori
qualunque approccio astorico. Di fatto però non mi sembra che
i laureati degli ultimi, diciamo, 50 anni non conoscano la matematica,
nonostante questa "pessima" didattica.
-- 
ws