Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Spostamenti rigidi in spazi curvi.

Da una questione sollevata in it.scienza mi nasce il seguente problema,
al quale non so rispondere.
In uno spazio (3D) isotropo e a curvatura costante il gruppo delle
isometrie ha 6 parametri: e' il gruppo euclideo, oppure SO(4) oppure
Lorentz a seconda del segno della curvatura.
Comunque e' sempre possibile uno spostamento rigido di un corpo da una
posizione a un'altra, con la stessa liberta' che in uno spazio euclideo.
Ma se invece lo spazio e' generico, isometrie possono non essercene
affatto, oppure ce ne sara' un gruppo di dimensione minore: qual e' il
significato fisico di questa situazione? Che non e' possibile spostare
rigidamente un corpo?
Esempio: geometria di Schwarzschild, dove e' naturale definire "spazio"
una sezione a t costante. Il gruppo delle isometrie e' SO(3) (rotazioni
attorno all'origine).
Quindi per es. non e' possibile ruotare un corpo attorno a un punto
generico.
Ma che vuol dire? 
Per un oggetto reale, se cerco di ruotarlo che succede? Si deforma?
resiste alla rotazione e occorre fare lavoro?
Non ci capisco niente :(
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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...

Ciao, e' una bella questione. Io credo che per rispondere alla domanda
debba
considerare corpi enormi e non "piccoli" (per i quali puoi
approssimativamente
lavorare nello spazio tengente dove hai delle isometrie).
Considera un cubo di dimensioni tali che sulla sua estensione sia
rilevante
la curvatura dello spaziotempo. La domanda e' posso muoverne ogni sua
parte
(e' chiaro che devo agire su ogni sua parte per muoverlo per
l'impossibilita'
del vincolo di rigidita' in relativita') in maniera tale che le
distanze spaziali reciproche dei punti del cubo siano mantenute
costanti durante ed
alla fine del movimento?
Intanto io credo che tu debba avere un gruppo ad un parametro di
isometrie di tipo temporale (spaziotempo statico) per parlare di
distanza tra le parti del cubo in modo non ambiguo: il cubo deve
essere stazionario rispetto al vettore di Killing associato a tale
isometria. Altrimenti hai infiniti modi di definirne la distanza e
tale distanza in genernale dipendera' dal tempo.
Ammettiamo che esistano ipersuperfici a tempo di Killing costante e
che
le sezioni spaziali del cubo siano ottenute intersecando la sua
evoluzione
spaziotemporale con tali ipersuperfici. A questo punto la questione
e':
e' possibile muovere il cubo (ogni sua parte) in modo da preservarne
le distanze tra le sue parti. 
Immagino un movimento lentissimo per dare senso, istante 
per istante, alla nozione di distanza data sopra. Dal punto di vista
geometrico e' necessario che ci sia almeno un altro gruppo ad un
parametro
di isometrie di tipo spaziale ortogonali al vettore di Killing di tipo
tempo.
Se non c'e' un gruppo di isometrie spaziali non ha senso nemmeno
l'idea
di traslare 'della stessa traslazione' tutte le parti del cubo
insieme: prendendo due vertici lontani cosa significa traslare 'della
stessa
traslazione'? (il parallelismo a distanza non esiste in assenza di
isometrie).
Se c'e' un gruppo di traslazioni allora questo deve dare luogo ad
omogeneita'
spaziale nella direzione (o nelle direzioni) di traslazione possibile
e cio'
si riversa sulle proprieta' fisiche dei corpi (e dell'ottica
geometrica per esempio) per cui e' facile definire fisicamente
l'operazione di traslare
'della stessa traslazione' tutti i punti del cubo anche distanti tra
di essi.
Per le rotazioni le cose sono un po' piu' complicate ma l'idea e' la
stessa.
Se c'e' assenza di isometrie uno potrebbe cercare di definire in
qualche modo
la nozione di traslazione a distanza, ma credo che, qualunque nozione
si definizze, si incorrerebbe in un problema analogo a quello della
sincronizzabilita' globale in spazitempo non statici. Voglio dire:
adottando
la prescrizione detta per tutti i punti del cubo, alla fine non viene
piu'
fuori un cubo o succederebbe qualche disastro simile.
Ciao, Valter

 fuori un cubo o succederebbe qualche disastro simile.
Beh, questa era proprio la domanda!
Provo a proporti una "definizione" di rotazione per un triangolo.
Il triangolo ABC ha i lati che sono geodetiche di una sezione spaziale
c.s.
Lascio "fermo" il punto A, il che vuol dire che la sua curva oraria e'
curva integrale del campo di K.
Per il punto B opero cosi': detto u il vettore tangente in A al lato AB,
costruisco arbitrariamente una mappa u(t), con t tempo di K., u(t)
sempre nella sezione spaziale al tempo t (con tutti i requisiti di
regolarita' che possano occorrere).
A ogni t, prendo il punto B(t) sulla geodetica tangente a u(t) a
distanza fissa da A(t).
Poi faccio la stessa cosa con C, scegliendo v(t) con la condizione
aggiuntiva che la distanza BC resti costante.
Direi che questo e' possibile; lo sarebbe anche in 2+1 dimensioni.
In questo modo ho definito come "ruota" il triangolo ABC in funzione di
t.
Pero' non credo che in generale si possa asserire che l'angolo tra u(t)
e v(t) (o se preferisci il prodotto scalare) resti anch'esso costante.
Se cosi' non e', il triangolo mantiene costanti i lati ma non gli
angoli!
Ma il mio vero problema e': fin qui questa e' matematica. Ma se io
vivessi (vivo) in uno spazio-tempo cosi' fatto, che cosa succede? Che
non posso muovere un corpo? Che il corpo necessariamente si deforma? Che
per muoverlo occorre lavoro (di deformazione)? Che percio' se il corpo
e' elastico avra' anche una "posizione naturale", quella in cui
l'energia di deformazione e' minima?


isometrie ha 6 parametri: e' il gruppo euclideo, oppure SO(4) oppure
Dev'essere di un'ovvieta` incredibile, ma ora mi sfugge: cosa indica
SO(4)?
Il resto di questo tuo interessante post bisogna prenderselo a
piccole dosi.. :-)
Comunque in parte ne avevamo gia` parlato in is.
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: 
remi...@tiscali.it
 
	-- Linux 2.4.18 su Debian GNU/Linux 3.0 "Woody"

del movimento?
Tutto questo (il seguito che non ho quotato.. be', lo vedro`[*] una
altra volta) e` IMHO molto strano, visto che alla domanda risponde
qualsiasi manuale di *cinematica dei sistemi continui*.
Sempre IMHO, la relativita` non c'entra per il momento nulla neppure
per la parte geometrica.
Propongo di tener presente questo: "CNES affinche' lo spostamento
C* --> C sia rigido e` che in tutto C* siano nulle le (cosiddette)
caratteristiche di deformazione relative a tale spostamento."
[*] Come ho detto ieri (ma il mio reply non e` ancora arrivato)
questo post di EF e` da prendere a piccole dosi;-)


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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

>> spaziotemporale con tali ipersuperfici. 
Come si evince dal secondo post (ma forse l'ho scritto da qualche 
altra parte anche nel primo) io richiedevo anche che tali superfici 
fossero normali al campo di Killing (solo in tal caso si parla di 
spaziotempo statico, altrimenti e' solo stazionario).
Riciao, Valter


 resiste alla rotazione e occorre fare lavoro?
Io ho pensato al caso geometrico spaziale.
Ho pensato prima ad un piano dove ho una pezza di gomma
piana anche lei. Poi ho pensato ad una sfera, dove ho una
pezza di gomma sferoidale, un pezzo di un pallone da calcio,
e poi ho pensato ad un ellissoide. La gommina inizialmente sta
ad un estremo dell'ellissoide e non ho problemi. L'oggetto lo porto
in un altro punto dell'ellissoide e si deforma. Questo trasporto costa
lavoro e per tenerlo in quel punto devo mettere dei vincoli. In uno
spazio del genere la fisica migliore sarebbe quella aristotelica. Con i
luoghi originari e tutte le solfe correlate. Ad ogni modo poiche' l'oggetto
non ha anisotropia (l'ellissoide a cui penso e' solo una sfera allungata
e la pezza di gomma all'inizio sta in un polo) non subisce stress rispetto
alle rotazioni. Questa condizione fortunata non e' generale. Nel caso
di metrica generale a me tutta questa faccenda sembra estremamente
piu' difficile, anche perche' forse non ho tutti gli strumenti per
trattarla.
Ma quello che mi chiedo e' come cambiano le interazioni? Oppure, ad
esempio: il fatto che un campo magnetico generi un'anisotropia sugli
spin, si puo' interpretare come una deformazione dello spazio, ma allora
quanti "spazi" convivono nel medesimo? Ora a parte questo volo pindarico,
che trattengo prima di bruciarmi le penne, quello che mi sembra vero nel
caso della gravita' e' che i corpi sentono il campo di gravita'. Noi
sappiamo
che le interazioni elettromagnetiche aggregano la materia in barba agli
effetti
gravitazionali perche' sono estremamente piu' forti. Se tuttavia agissimo in
regioni di campo estremo quello a cui andremmo incontro potrebbe essere
ad esempio un'aggrezione anisotropa per effetto delle forze mareali.
Un oggetto con una struttura del genere funzionerebbe in un certo senso
come una bussola gravitazionale e non troverei stranissimo cio'.
Come non trovo strano che le geodetiche non siano oggetti "simmetrici"
in uno spazio che non e' simmetrico. D'altra parte una bussola
gravitazionale
non richiede un termine di dipolo per funzionare, basta il monopolo.
Cio' che non riesco proprio a capire pero' e' dove si collocano in questo
schema dinamico le "posizioni originarie" del modellino statico.
Altro problema, e per il momento mi fermo, il fatto che un corpo dotato
di massa richiede un lavoro per essere portato da uno stato d'inerzia ad
un altro stato d'inerzia, anche se la metrica e' piana non costituisce un
problema?
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Inviato via 
http://usenet.libero.it

l'energia di deformazione e' minima?
Tralasciando ancora ogni riferimento alla relativita`, la CNES
che ho gia` dato (ieri) per gli spostamenti rigidi di un sistema
continuo S: lo spostamento C* --> C e` rigido se e solo se
e_ij=0 in tutto C*, porge la risposta.
Il corpo si deforma se: e_ik != 0, e se invece: e_ik = 0, e
quindi: G_ik = g_ik, allora (e solo allora) lo spostamento
del corpo e` rigido.[*]
Essendo naturalmente e_ik le caratteristiche di deformazione,
g_ik e G_ik i coefficienti della metrica prima e dopo lo
spostamento.
[*] Ovviamente e` sempre possibile muoverlo, ne' si deforma
necessariamente; e che diamine!
Veramente strana invece la storia del lavoro di deformazione
se veramente sottintende un dubbio su una sorta di nuovi
"potenziali elastici" in aggiunta a quelli gravitazionali
della relativita` generale.  8-]


rigidamente un corpo?
Visto che non sembra interessare piu` a nessuno, mi limito a
concludere con un caso che ritengo il piu` significativo, saltando
direttamente alla relativita` generale.
Nel caso di una varieta` V_4 spazio-temporale statica nel senso
di Levi-Civita, cioe` stazionaria e tempo-ortogonale, esiste una
congruenza "speciale" che e` normale ed anche rigida nel senso
di Born.
Pertanto le varieta` V_3, ortogonali a tale congruenza, sono
isometriche.
Ciascuna di esse puo` interpretarsi come spazio fisico curvo
associato al riferimento di staticita` della congruenza.
Il motivo per cui ritengo interessante tale ambiente e` che esso
legittima e mostra anche i limiti della fisica minkowskiana, col
mascheramento del campo attraverso i riferimenti galileiani.


 >rigidamente un corpo?
 > Pertanto le varieta` V_3, ortogonali a tale congruenza, sono
 > isometriche.
 > Ciascuna di esse puo` interpretarsi come spazio fisico curvo
 > associato al riferimento di staticita` della congruenza.
 >
 > Il motivo per cui ritengo interessante tale ambiente e` che esso
 > legittima e mostra anche i limiti della fisica minkowskiana, col
 > mascheramento del campo attraverso i riferimenti galileiani.
Ora secondo questo esempio la tua risposta alla domanda per una tale
situazione
qual'e'?


situazione qual e'?
Be', in parte ho gia` implicitamente risposto.. ho infatti indicato
un caso di spazi curvi isometrici di un qualche interesse fisico.
Sullo "spostare rigidamente i corpi" si potrebbero pero` fare anche
alcune precisazioni che intendevo vedere nei casi di spazi euclidei
in senso lato (in particolare minkowskiani); perche' e` sempre alla
RR cui poi gira-gira si finisce per far riferimento, anche in RG.
Cosa ti interesserebbe in partricolare sapere?


 l'energia di deformazione e' minima?
Un corpo esteso in caduta libera e` sottoposto alle forze di marea che lo
tirano, comprimono e lo fanno ruotare (sulla rotazione spero di non
sbagliarmi). Non sono, forse, queste forze legate alla "impossiblita` degli
spostamenti rigidi" di cui state discutendo ?
                                                             ciao
                                                         Andrea
p.s. visto che Elio lo chiede spesso: sono laureato in Fisica e continuo a
fare il fisico anche se di relativita` generale so veramente poco.

 mascheramento del campo attraverso i riferimenti galileiani.
Certo che la questione appare ancora più complessa di quanto immaginavo,
quando ho postato la domanda su it.scienza! Direi che il problema è
ancora aperto; in estrema sintesi, ipotizzando un corpo "reale", cioè
fatto di normale materia, mi sembra ne venga fuori che ogni "parte" del
corpo seguirebbe una diversa geodetica e quindi tenderebbe a deformarsi
ma, opponendosi alla deformazione per i suoi legami chimico/fisici
interni, in estrema sintesi o accumulerebbe energia elastica o si
riscalderebbe. Da ciò sarebbe necessaria una energia supplementare per
muoverlo (anche per il principio di conservazione dell'energia).
La cosa si fa ancora più interessante per un'onda perchè, secondo i miei
conti (che saranno sicuramente sbagliati :-( ), avendo l'onda
"ampiezza", non potrebbe percorrere, in un gradiente di curvatura, una
singola geodetica spazio/temporale. L'onda tenderebbe quindi a
scomporsi  in un "pacchetto d'onda", pacchetto dipendente dall'ampiezza
e dalla frequenza dell'onda. Se ciò è vero, ne conseguirebbe che:
1) Non può esistere un'onda in un gradiente di curvatura, apparirebbe
sempre come un pacchetto d'onda.
2) Tale pacchetto sarebbe "indeterminato" proprio nel senso di
Heisemberg.
Ciò mi sembra oltremodo interessante ma "strano", qualcuno mi sa dire
dove sto sbagliando? 
Grazie,
saluti,
Arnaldo.

e dalla frequenza dell'onda. Se ciђ ш vero, ne conseguirebbe che:
Mah.. giusti o sbagliati mi spiace ma non saprei dire, perche'
non riesco a seguire questo del gradiente di curvatura [**] e
dei pacchetti d'onda:-(
[**] Qcs come: "Avanti a curvatura 9, signor Sulu"?


 RR cui poi gira-gira si finisce per far riferimento, anche in RG.
Come dire che la geometria delle varieta' euclidee si riduce gira gira
alla geometria piana. IMHO ti manca un ingrediente fondamentale.
Pur volendo escludere il caso di singolarita'.


 [**] Qcs come: "Avanti a curvatura 9, signor Sulu"?
In effetti il problema del "gradiente di curvatura" č simile per un corpo
materiale o per un'onda e mi sembra inevitabile che ogni parte del corpo o
dell'onda  segua una diversa geodetica spazio temporale. Cosa intendo per
"gradiente", esemplifico con un esempio macroscopico; se 1000  fasci in fase
e paralleli di fotoni (tipo laser), distanti uno dal successivo mettiamo 5000
Km, passasero vicino al sole (nel gradiente di curvatura spazio/temporale
indotto dalla massa del sole, il primo a 5000 km e cosě via), indubbiamente
essi percorerrebero una geodetica diversa, dopo il passaggio non sarebbero
piů ne paralleli ne in fase. Lo stesso accade anche se i fasci distano 1 cm
ed al limite, anche per un singolo fascio monocromatico, se il gradiente di
curvatura č molto alto (tipo vicino all'orrizzonte degli eventi di un buco
nero), il "fascio" uscente sarebbe "disperso" in "spazio" e fase, quindi
scomposto in numerose frequenze; "pacchetti" d'onda?
Ciao,
Arnaldo

Pur volendo escludere il caso di singolarita'.
Qual e`?


 ha
scritto:

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Inviato via 
http://usenet.libero.it

                                      Andrea
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 > fare il fisico anche se di relativita` generale so veramente poco.
  Non sono un fisico ma un povero ingegnere e so pure poco di relatività,
ma ricordo che questa frase mi colpì molto, ma non è stata la sola,
infatti mi ha colpito anche la frase di Arnaldo:
-La cosa si fa ancora più interessante per un'onda perchè, secondo i miei
-conti (che saranno sicuramente sbagliati :-( ), avendo l'onda
-"ampiezza", non potrebbe percorrere, in un gradiente di curvatura, una
-singola geodetica spazio/temporale. L'onda tenderebbe quindi a
-scomporsi  in un "pacchetto d'onda", pacchetto dipendente dall'ampiezza
-e dalla frequenza dell'onda. Se ciò è vero, ne conseguirebbe che:
-1) Non può esistere un'onda in un gradiente di curvatura, apparirebbe
-sempre come un pacchetto d'onda.
-2) Tale pacchetto sarebbe "indeterminato" proprio nel senso di
-Heisemberg.
-Ciò mi sembra oltremodo interessante ma "strano", qualcuno mi sa dire
-dove sto sbagliando? 
 Per non parlare dell'affermazione di Rez:
-[*] Ovviamente e` sempre possibile muoverlo, ne' si deforma
-necessariamente; e che diamine!
-Veramente strana invece la storia del lavoro di deformazione
-se veramente sottintende un dubbio su una sorta di nuovi
-"potenziali elastici" in aggiunta a quelli gravitazionali
-della relativita` generale.  8-]
   E dopo avere riletto attentamente l'intero thread, mi sorge un
ulteriore dubbio:
 
   Cosa è il legame atomico in un siffatto spazio? Che poi è il nostro
spazio.
   O forse qualche dubbio comincia a chiarirsi, anche se so poco di
relatività generale, e per questo la cosa mi intriga molto.
   Ciao Michele
 
-- 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 > spostamenti rigidi" di cui state discutendo ?
Quel che posso dire e' che a me sembra una domanda difficile.
In generale data una varieta' curva bidimensionale hai un prodotto
di curvatura a questa associato. Le forze di marea sono associate
alla curvatura iperbolica, ovvero alla circostanza che le tracce
spaziali di due geodetiche tendono ad allontarsi. In altri termini
due raggi di luce paralleli nell'origine tendono a divergere.
Analogamente oggetti inizialmente fermi in caduta libera tendono ad
allontanarsi.
Ora questa circostanza non sara' certo slegata dalla curvatura nel
complesso. Inoltre nella misura in cui le forze di marea trasversali
sono differenti da quelle longitudinali, e' ragionevole attendersi
che una rotazione possa risultare energeticamente vantaggiosa.
Tuttavia questo aspetto e' complementare al problema posto, almeno
a prima vista, e non direttamente una risposta. Mentre non escluderei
a priori che la curvatura iperbolica possa essere connessa con la
curvatura spaziale. Bisognerebbe valutare.
