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Titolo: La poissoniana e la probabilità "piccola"

Ho una domanda che mi strugge.
In vari corsi e anche in tutto lo Knoll viene continuamente detto che
la "distribuzione poissoniana si usa per eventi con probabilità
piccole"
Ora...
Che diamine vuol dire?
Per un processo poissoniano dov'è che definisco la probailità?
Probabilità di cosa sopratutto?
Perchè quando ho a che fare con processi poissoniani avrò processi che
sono caratterizzati da una scala tipicamente, magari temporale.
Se ho 10'000 mila nuclei instabili con una vita media di un'ora e
osservo il sistema per un giorno la probabilità di vedere almeno un
decadimento è 1, non ""piccola"".
Però chiaramente sto ragionamento non vuol dir niente. Se guardassi
uno solo di quei nuclei per 100 microsecondi la probabilità di vedere
un decadimento sarebbe zero.
Quindi, visto che non c'è una probabilità assoluta (del tipo:"facciamo
UNA estrazione da un'urna"), quando dicono, e pure ribadendo spesso,
che la "probabilità è piccola" a cosa si stanno riferendo?

 che la "probabilità è piccola" a cosa si stanno riferendo?
Al fatto che osservi il sistema per 100 microsecondi  :-)
Ovvero, che lo osservi per un intervallo di tempo molto piccolo
rispetto alla vita media.

 Che diamine vuol dire?
Consideriamo un evento casuale X che abbia probabilita' p,
se effettuiamo n prove indipendenti di X, la probabilita'
di osservare k occorrenze di X e' data dalla distribuzione
binomiale:
P(n, k) = n! / k! / (n - k)! * p^k * (1 - p)^(n - k).
Vediamo adesso cosa diventa P(n, k) se la probabilita'
p di un singolo evento X e' molto piccola, ma il numero n
di prove effettuate e' molto grande, quindi supponiamo
di fare tendere p -> 0 e contemporaneamente n -> +oo,
in modo che il prodotto mu = n*p, cioe' il numero
medio di eventi X osservati, rimanga costante, otteniamo:
P(n, k) = n! / k! / (n - k)! * (mu/n)^k * (1 - mu/n)^(n - k),
facendo il lim P(n, k) per n -> +oo, si ottiene:
P(n, k) -> 1 / k! * mu^k * exp(-mu),
che e' la distribuzione di Poisson.
Ad es. supponiamo di voler studiare il numero di
decadimenti radioattivi di 10^-12 mol di 238U
in intervalli di tempo di durata 1s, la vita media
di 238U e' 6.4*10^9 s, quindi la probabilita'
di osservare il decadimento di un singolo
nucleo in una finestra temporale di 1 s e'
p = 1.6*10^-10
(e' "piccola"), ma il numero di prove effettuate sara'
n = 10^-12 * 6 * 10^23 = 6 * 10^11,
(e' "grande") e il numero medio di decadimenti
in una finestra temporale di 1 s sara':
mu = n * p = 90, quindi in questo caso e'
lecito applicare la distribuzione poissoniana.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 di 238U e' 6.4*10^9 s, quindi la probabilita'
Scusa, rileggendo mi sono accorto di aver fatto
un errore non da poco, la vita media di 238 U
e' ovviamente 6.4*10^9 anni, non secondi!
Quindi i conti successivi danno un risultato
sbagliato, anche se la linea di ragionamento
e' corretta :-(
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 che la "probabilità è piccola" a cosa si stanno riferendo?
Mi ero dimenticato di specificare che come si ricava la poissoniana
dalla binomiale lo so bene.
Il concetto di "mettiamoci ad osservare un processo per un tempo
abbastanza corto in maniera che la probabilità di vedere anche un solo
evento sia bassissima" mi è altrettanto chiara.
Ora, dopo aver ricavato la poissoniana in questo modo la uso in
maniera completamente diversa dalla binomiale, e la uso per scopi
diversi.
La bernoulliana la uso se faccio N esperimenti uguali e voglio vedere
quanti successi mi aspetto. (tipo lancio una moneta 10 volte)
La poissoniana la uso quando ho a che fare con eventi che avvengono
non per mia volontà con un tempo caratteristico e voglio vedere quanto
tempo mi ci vuole tra un evento e l'altro, quanto tempo mi ci vuole
tra un istante casuale e un evento, dato un certo tempo quanti eventi
mi aspetto e con che incertezza etc...
Non la uso più come una "binomiale con valore atteso piccolo"
In pratica...Quando la uso non faccio alcuna richiesta di probabilità
bassa.
Non vedo alcun problema nella formula che non la fa valer più quando
mi chiedo "se osservo per 1 ora un processo con un tau di 1ns qual'è
la probabilità di vedere almeno un evento?"
La "piccola probabilità" è una richiesta che serve veramente quando si
usa la poissoniana o serve solo quando si fa vedere come si può
ricavare dalla binomiale??

 ricavare dalla binomiale??
Certo che serve veramente.
Ad es. se mi chiedo: qual e' la probabilita' di ottenere k teste
(0 <= k <= 5) con il lancio di 5 monete, devo giocoforza usare
la binomiale, non posso usare la poissoniana, che mi darebbe
erroneamente una probabilita' non nulla anche per un numero
osservato di teste maggiore di 5!
Invece posso usare la poissoniana quando so che la probabilita'
p del singolo evento e' piccola, ma il numero n di eventi possibili e'
grande, ed il bello e' che posso usarla anche senza conoscere
il valore di p, contrariamente al caso della binomiale.
Vediamolo ancora con l'esempio del decadimento radioattivo.
Suppongo di avere un campione macroscopico di un isotopo
debolmente radioattivo, e di avere effettuato delle misure
del numero di decadimenti che avvengono in un dato
intervallo di tempo deltat, ad es. in 1s, e di avere
cosi' ottenuto la media mu di decadimenti nell'intervallo
di tempo deltat, a questo punto posso applicare la distribuzione
di Poisson per poter fare delle previsioni anche senza sapere
quanto valga il numero n di nuclei radioattivi nel campione
e quindi senza conoscere la probabilita' p, mi basta conoscere
la media mu, e sapere che la probabilita' p e' sicuramente
piccola e il numero totale di nuclei n e' grande.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 ricavare dalla binomiale??
Se quella probabilità di ogni singolo evento elementare non è piccola,
la distribuzione non è di Poisson, quindi non la puoi usare, devi
usare la binomiale.

 
I due casi citati non corrispondono a due diverse realizzazioni del 
processo? Mi spiego meglio: nel primo caso osservo il mio sistema su un 
orizzonte temporale molto più lungo del tempo caratteristico su cui 
avvengono i fenomeni, chiaramente si ha una probabilità molto alta di 
vedere un decadimento. Nel secondo caso il tempo di osservazione è molto 
inferiore, quindi la probabilità di assistere al fenomeno è bassa. Dal 
punto di vista sperimentale si tratta di condizioni di osservazioni 
diverse, non mi pare quindi cosi inconcepibile che possa essere 
necessario ricorrere a due descrizioni diverse. Peraltro anche se la 
forma della distribuzione fosse la stessa i parametri statistici di due 
diverse realizzazioni (in questo caso la media) non necessariamente 
coincidono, sbaglio?
Scusate le eventuali bestialità ma queste cose non le prendo in mano da 
un po' ;-)
Saluti ingegneristici :D
Marco

 osservato di teste maggiore di 5!
Ok, ho capito anche per il caso del decadimento di un nucleo in che
modo la poissoniana è un'approssimazione, che salta nel caso di
"probabilità grande".
Se osservassi dei nuclei per un tempo comparabile o addirittura
maggiore alla vita media troverei possibile veder decadere più nuclei
di quanti in realtà ce ne siano.
Grazie!
Mi rimane però un ultima curiosità.
Esiste un processo che è realmente poissoniano e non una binomiale
approssimata?
Ad esempio, l'arrivo dei muoni cosmici ha una scala temporale con cui
confrontarsi che renderebbe il processo "non raro"?
Matematicamente la poisson la posso anche ricavare senza assumere che
sia una binomiale con probabilità "piccola" ma direttamente facendo
delle assunzioni sul processo che origina gli eventi. Quindi
teoricamente potrei avere un processo "puramente poissoniano", non è
un processo binomiale approssimato.
Erroneamente quando pensavo ai nuclei pensavo che fosse un processo di
questo tipo.

 un processo binomiale approssimato.
Penso che la distribuzione del numero di segnali prodotti
in un rivelatore al suolo in una data finestra temporale ad
opera dei muoni generati dai raggi cosmici nell'alta atmosfera,
costituisca un buon esempio di distribuzione
genuinamente poissoniana, infatti in questo caso cio'
che e' noto e' solo il numero medio mu di particelle
rivelate nella data finestra temporale, e non si possono
avere informazioni ne' su p ne' su n.
Anche in questo caso ci si troverebbe in difficolta'
se la finestra temporale fosse tanto ampia da determinare
un numero medio di segnali dell'ordine del numero
di raggi cosmici esistenti nell'universo, ma cio'
naturalmente non ha alcuna rilevanza pratica :-)
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani