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Titolo: Problema di campo elettrico con teorema di Gauss

Salve, sto cercando di risolvere questo semplicissimo problema ma proprio
non mi riesce di capirlo.
Dice che il campo elettrostatico E varia con la legge
E=(5+4x^2)*10^5*u_x*V/m con x espresso in metri. Devo calcolare il flusso
fi(E) attraverso la superficie chiusa di un cubo.
Ciò che ho capito senza problemi è che sono interessate solo 2 facce del
cubo, dato che le altre non sono perpendicolari. Ora, le due faccie
interessate hanno lati "a" e "b" con a nella direzione parallela all'asse z
e b parallelo all'asse y. Il lato del cubo parallelo all'asse x è di
lunghezza c. Il cubo è posto con un vertice nell'origine ed il resto nel
quadrante tutto positivo, quindi anche delle y. Come risultato il libro da:
flusso = ab[E(c)-E(0)]
Ma come si arriva a questa a partire da:
fi(E) = int(E*u_n*d(sigma))?
u_n ed u_x sono i versori e sigma è la superficie. Ma da dove arrivare la
differenza E(c) - E(0)? ab presumo che sia int(d(sigma)) giusto? Ossia
l'area della faccia del cubo. Ma non sono due le faccie del cubo
perpendicolari? La superficie non dovrebbe essere doppia in tal caso?
Sono sicuro che sarà una stupidaggine, ma proprio non mi entra. Ci ha
provato anche la mia povera prof a spiegarmelo, ma proprio non mi entra.
Grazie mille.
Luca

Luca ha scritto:

è difficile risponderti senza fare un disegno. cmq ci proverò.
Prendiamo una convenzione.
Partendo dall'origgine, numera le facce in questo modo:
1) La faccia di lato c*b davanti.
2) la faccia di lato a*b a destra
3) la faccia di lato c*a in alto
4) La faccia di lato c*b dietro.
5) la faccia di lato a*b a sinistra
6) la faccia di lato c*a in basso
L'origine sta nello spigolo tra le facce 1, 5 e 6.
Ora, come tu hai già detto le facce 1, 3, 4 e 6 non sono coinvolte. 
Ossia, se vai ad integrare su quelle facce, il flusso è nullo, perchè il 
versore della superficie è perpendicolare alle linee di forza.
Quindi le uniche superfici su cui devi integrare sono la 2 e la 5.
Qui sei molto fortunato perchè se osservi bene, piani paralleli a queste 
facce hanno il campo costante. Ossia, fissato un x, muovendoti sul piano 
yz avrai lo stesso valore di campo elettrico. E questo perchè l'unico 
versore è u_x.
Ora, il flusso di un campo costante su di una superficie è proprio il 
prodotto di tale superficie per il campo.
Quindi:
a) Quanto vale il campo sulla superficie 5? Vale E(0). (x è l'origgine 
sulla superficie 5). il flusso quindi a*b*(-E(0)) (perchè il verso delle 
linee di forza è opposto alla normale della superficie)
b) quanto vale il campo sulla superficie 2? vale E(c).
Il flusso totale è
fi = a*b*(-E(0)) + a*b*E(c) = a*b*(E(c)-E(0))
q.e.d.
Ora ti è più chiaro?
Ciao.


Innanzitutto se a, b e c sono diversi non e' un cubo.
A parte questa precisazione, bisogna tenere conto che u_n, della formula
fi(E) = int(E*u_n*d(sigma))
deve essere definito in maniera precisa.
u_n in ogni punto della superficie e' "il vettore unitario perpendicolare
alla superficie".
Ma dire questo non determina il verso di u_n. Potrebbe ancora "puntare" da
una parte o dall'altra
Nel caso di una superficie chiusa scegliamo u_n in maniera tale che punti
sempre verso l'esterno.
Se con questa convenzione fai un disegno del tuo caso ti accorgerai che una
faccia da' un contributo opposto a quello dell'altra. Da qui viene il segno
"-"
in E(c) - E(0): E * u_n e' il prodotto scalare dei vettori E e u_n.
Per quanto riguarda l'utilita' di una convenzione che fissi il segno dei
versori normali u_n pensa all'analogia con un flusso di un gas attraverso
una superficie chiusa.
Se scegliamo i versori normali sempre uscenti dalla superficie, otteniamo
che il flusso totale e' uguale alla variazione per unita' di tempo della
quantita' di gas contenuta dentro la superficie. Se invece non specifichiamo
il verso dei versori (scusate il gioco di parole) ma lo assegniamo a caso
nei diversi punti della superficie, il flusso totale non sara' uguale a
nulla di interessante.
Scegliendo in maniera opportuna il verso in elettrostatica si ottiene il
teorema di Gauss.

 Luca
RI
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 ...
La risposta che cercavi l'hai gia' avuta, per cui preferisco
concentrarmi su un punto che nessuno ha _rilevato_ (non _rivelato_ :)).
Quella formula:
E=(5+4x^2)*10^5*u_x*V/m con x espresso in metri
e' un vero abominio. Suppongo tu l'abbia copiata da un libro, e
preferisco non sapere di che libro si tratta...
Mi spiego. Lasciamo perdere che non e' corretto dare delle unita'
dimisura a un vettore: si dovrebbe dire "il vettore E e' diretto come
u_x e il suo modulo vale..."
Ma poi non va assolutamente che si scriva 5 + 4 x^2 e accanto che x e'
espresso in metri. Se e' cosi', x^2 sono metri quadri, lo stesso anche
4x^2.
E a questo punto che si fa? si sommano i metri quadri con "5"?
Dico come avrei scritto io:
Il modulo E vale p+qx^2, dove x e' la coordinata, e p, q sono
costanti, che valgono rispettivamente
p = 5 V/m
q = 4 V/m^3.
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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X-Mozilla-Status: 0801
X-

 
Vorrei ringraziare tutti e tre per le risposte precisissime e complete. Le
vostre spiegazioni valgono più di una spiegazione del prof. Ho capito
decisamente il mio errore. Grazie mille ancora.
Luca

 q = 4 V/m^3.
Si, in effetti non me ne ero neanche accorto di questa cosa. Probabilmente
un'altra soluzione poteva essere semplicemente di scrivere tutto come era
prima ma di aggiungere un 1/m:
E=(5+4(x*1/m)^2)*10^5*u_x*V/m
così prima di fare il quadrato la nostra x espressa in metri ha l'unità di
misura che viene semplificata, e resta valida solo V/m. Poteva andare? PEr
la verità rimane ciò che decevi rispetto all'unità di misura che non va
messa al vettore. Ma questa cosa sinceramente non la sapevo. Come mai?
Grazie mille.
Luca

 Poteva andare?
Piu' o meno si'. Io scriverei piuttosto:
E = (5+4(x/1m)^2) * 10^5V/m * u_x
cosi' si risolve anche la questione del vettore.
Ti spiego.
Partiamo dal fatto che per regola generale le misure delle grandezze
vanno trattate come grandezze. Intendo dire che "3cm" e' una grandezza
(lunghezza in questo caso) da leggere come prodotto dell'unita' "cm" e
del moltiplicatore "3".
Percio' "x/1m" essendo il rapporto di due lunghezze e' un numero puro,
e siamo a posto.
Ancora (5+4(x/1m)^2) e' un numero puro, 10^5 V/m e' un campo
elettrico, e ho staccato il vettore unitario u_x che tratto come
numero puro.
Cosi' mi sento tranquillo :)
Circa il fatto di scrivere un vettore con delle unita', non ho mai
visto che sia vietato, ma a me francamente disturba, perche' va un po'
oltre la regola che dicevo sopra.
Detto tutto questo, debbo anche per onesta' precisare che queste
regole vengono rispettate assai poco, anche perche' in certi casi
riescono scomode.
Pero' a mio parere evitano errori e aiutano a capire le cose, quindi
vale la pena di farci l'abitudine.
