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Titolo: Quesito su accelerazioni ed orologi nel contesto della Relatività

 
 
 
Per cercare di comprendere le caratteristiche e i principi fondamentali della relatività (ovviamente non come fisico di professione ma solo come semplice appassionato) mi capita spesso di immaginare situazioni modello e di cercare di spiegarli e analizzarli secondo i dettami di questa teoria: tutto ciò per apprendere meglio. Tale pratica spesso mi porta ad imbattermi in situazioni che, ovviamente per la mia inadeguata preparazione e comprensione della teoria, sembrano dei "paradossi".
 
La parola paradosso l'ho racchiusa tra virgolette proprio per evidenziare come io sia ovviamente conscio che i miei "paradossi" ovviamente non siano tali per nessuno, se non per me.
 
 
Oggi mi sono deciso a scrivere questo post con la speranza che qualche volenteroso del gruppo, che sappia e capisca di fisica più di me, possa darmi una mano a capire perché il "paradosso" che sto per esporre in realtà non sia tale, ma solamente dovuto alla mia certamente non completa comprensione della teoria della relatività.
 
Confesso che mi appresto a scrivere con un po' di timore, perché il caso che sto per esporre assomiglia troppo a taluni casi estremi portati avanti da alcuni frequentatori di questo gruppo per cercare di dimostrare l'infondatezza della teoria di Einstein.
 
Quindi desidero fermamente ribadire fin da subito che, personalmente, non mi passa minimamente per la testa di confutare alcunché (in ogni caso non né sarei in grado dato che, ripeto, di mestiere non faccio il fisico).
 
L'unico scopo di questo mio post è quello di essere aiutato a capire, finalmente, perché il mio "paradosso" non sussiste e acquisire così una conoscenza maggiore della teoria di Einstein.
 
Un'ultima osservazione: ho provato lungamente a cercare un caso simile al mio in rete ma senza successo; altrimenti non mi sarei deciso a scrivere qua.
Fatta la mia doverosa (lunga) premessa, passo a descrivere il mio busillis.
 
Consideriamo due astronavi nello spazio aperto, A e B, sufficientemente lontane da tutte le altre masse dell'universo e in quiete rispetto l'una all'altra. Le due astronavi sono inoltre molto distanti tra loro.
 
 
Essendo in quiete relativa, i due equipaggi sincronizzano i loro orologi scambiandosi opportuni messaggi luminosi. Al di la di quanto impiegheranno (le due astronavi sono molto distanti tra loro), i loro orologi saranno infine sincronizzati ed esperimenti successivi compiuti dagli equipaggi di ciascuna astronave confermeranno che il loro ritmo è lo stesso e che il sincronismo è mantenuto.
 
Supponiamo a questo punto che le due astronavi siano perfettamente identiche e dotate di due computer assolutamente identici. Anche il programma contenuto all'interno dei calcolatori è lo stesso e questo programma governa i motori delle due astronavi.
 
 
Si supponga che all'ora X (X dunque è simultaneo ad A e B, vista la sincronia dei loro orologi) i computer eseguano il loro programma ed accendino i motori delle due astronavi per farle accelerare fino a una certa velocità per poi decelerare fino a spegnere del tutto i motori. La direzione del moto è rettilinea e lungo la retta che unisce i due velivoli e il verso è nella direzione dell'altra astronave.
Quindi i due moti saranno identici in direzione ma opposti in verso.
 
 
Il nostro esperimento ideale prevede che le accelerazioni di A e B siano esattamente e identicamente le stesse (queste vengono applicate dai due computer che eseguono lo stesso identico algoritmo). Una volta terminate le accelerazioni, le due astronavi si troveranno in moto rettilineo uniforme una verso l'altra, ad una velocità alta a piacere.
 
A questo punto mi chiedo (e chiedo a voi il vostro parere): gli orologi delle due astronavi saranno ancora sincronizzati? Ovvero, esattamente al termine delle accelerazioni, i due orologi segneranno ancora la stessa ora?
 
 
 
 
La risposta che mi sento di dare è si, e questo per una semplice motivazione qualitativa più che quantitativa. Infatti, per costruzione, le due astronavi sono state soggette alle stesse identiche accelerazioni (in modulo) e tali accelerazioni hanno avuto lo stesso sviluppo di applicazione sulle due astronavi. Quindi, ogni principio fisico vigente che abbia comandato una variazione di ritmo dell'orologio di A, deve  averla comandata anche per B e, vista l'applicazione di uno schema identico di accelerazioni, A e B hanno subito gli stessi effetti. Per simmetria quindi, azzardei di affermare che, nell'istante immediatamente successivo al termine delle accelerazioni, gli orologi di A e B segnano lo stesso orario.
Supponendo che questa mia deduzione sia corretta, procediamo con l'esperimento mentale.
 
 
Le due astronavi ora si stanno avvicinando ad alta velocità. Durante la fase di avvicinamento, gli equipaggi effettuano delle misurazioni sull'altra astronave e osservano i ben noti effetti relativistici previsti dalla teoria, compreso il rallentamento del ritmo dell'orologio dell'altra astronave rispetto a quello proprio a bordo.
 
I due equipaggi quindi dichiareranno che il ritmo dell'orologio dell'altra astronave è inferiore al proprio e che l'altro orologio è "indietro" rispetto al loro. Ovviamente, dai loro rispettivi punti di vista, queste osservazioni sono entrambe corrette.
 
E adesso veniamo al punto cruciale, ovvero quando le due astronavi si incroceranno e la loro distanza sarà praticamente nulla (si faccia l'ipotesi che A e B viaggiano in realtà in due rette non coincidenti ma abbastanza vicine).
 
Il mio "paradosso" è questo: com'è possibile che i due orologi, che all'atto della misura si trovano (praticamente) nello stesso punto dello spazio, possano segnare, contemporaneamente, un orario inferiore all'altro?
Ho provato e riprovato ad uscire dal "cul de sac" concettuale infinite volte, ma inutilmente.
Chi vuole aiutarmi a capire dove sbaglio o cosa c'è di sbagliato in questo mio esperimento mentale?
Ciao e grazie.
 
Sergio.

 Sergio.
 
Ciao,
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
 

 ...
Non quoto il tuo messaggio altrimenti il robomoderatore mi blocca la risposta.
 
 
 
Gli orologi delle due astronavi rimangono sincronizzati e quelli che tu,chiami "ben noti effetti relativistici" in realtà non li hai calcolati, se no ti saresti reso conto che in questo caso non ci sono, nel senso che i due astronauti, fatti i debiti conti sui segnali che ognuno riceve dall'altro, concordano sul fatto che i loro orologi risulteranno sincronizzati quando si incontreranno, ed inoltre i loro calcoli saranno conformi a ciò che misureranno in quel momento.
("Quel momento" é un concetto ben definito in quanto è unico in ognuno dei due riferimenti).
 
--
BlueRay

 inferiore all'altro?
 
Segneranno lo stesso orario. Ripetendo piu' e piu' volte il "test di 
sincronizzazione" descritto, ogni astronave potra' verificare che 
l'anticipo misurato, dell'orologio dell'altra astronave, si riduce 
sempre piu', per azzerarsi al momento dell'incontro (e diventare un 
ritardo via via crescente dopo l'incontro).
 
 
Per darti ragione delle mie affermazioni, dovrei farti vedere delle 
figure che in questo momento non sono in grado di produrre. Tu sei in 
grado di leggere un diagramma di Minkowski?
 
 
 
-- 
TRu-TS
buon vento e cieli sereni

Il giorno giovedì 9 giugno 2016 10:10:02 UTC+2, Sergio Rossi ha scritto:
 
 
 

Vedo che nessuno risponde. Provo a darti una indicazione in base alle mie scarse conoscenze. Penso che il problema fondamentale sia l'utilizzare la Relatività ristretta con moti accelerati su cui la RR non dice niente. Un pò come nel paradosso dei gemelli. O passi alla Relatività generale, o almeno utilizzi i diagrammi di minkowski, approssimando le accelerazioni con linee spezzate, ma non sono sicuro che con questa ultima indicazione tu possa saltarci fuori.
Ciao

 ...
Alcuni commenti.
 
Primo: questo è un NG moderato, quindi avresti dovuto mettere in conto
il ritardo dovuto al moderatore.
Infatti ora le risposte ci sono state.
 
Secondo: potevi (dovevi!) evitare di copiare integralmente il post
cui rispondi.
E' inutile e fastidioso per chi legge.
Un tempo in questo NG il tuo post sarebbe stato irrimediabilmente
bocciato per questo solo motivo.
E sarebbe stato tanto di guadagnato: vedi appresso.
 
Terzo: l'hai detto. Le tue conoscenze sono scarse, anzi peggio, sono
seriamente errate.
Il mio sospetto è che tu di RR non ne sappia più dell'OP.
Quindi avresti fatto meglio a startene buono a leggere le risposte di
chi ne sa più di te.
 
 
-- 
Elio Fabri

Ciao Elio.
 
Sono contento che tu non abbia giudicato banale il mio "paradosso", perché questo vuol dire che dunque, forse, i miei ragionamenti sulla Relatività non sono del tutto fuori strada.
 
Per rispondere alla tua domanda sul mio grado di preparazione, ti dico che sono laureato in ingegneria elettronica (conseguii la laurea nel 1996) e, per mangiare, lavoro nel campo dell'informatica da sempre. Prima dell'università avevo frequentato l'istituto tecnico industriale.
Come potrai intuire, i miei corsi di studi mi hanno preparato abbastanza bene alla matematica e alle sue applicazioni nelle varie discipline.
Quindi riesco a seguire formule e grafici/diagrammi vari (come quelli di Minkowski) senza particolari difficoltà.
 
La fisica mi ha sempre affascinato fin da quando ero un ragazzo. Mi ricordo quando mi portavo a casa i libri presi in prestito dalla biblioteca della mia scuola alle superiori e li copiavo integralmente su dei miei quaderni!
 
Quindi non è che rifletto sulla Relatività o sulla Meccanica Quantistica o su altre cose solo da tempi recenti (tra breve compirò 47 anni).
 
 
 
 
 
 
L'unica cosa che ostacola questa mia passione è il tempo: infatti, come tante volte tu hai scritto qua (e sicuramente anche altrove) il solo strumento per sondare la fisica di oggi (e di ieri) è la matematica ed è a questa a cui si debbono chiedere le risposte: sono assolutamente d'accordo. Sapendo questo da sempre, c'è stata una volta (abbastanza tempo fa) in cui mi ero intestardito a sviscerare questi argomenti cercando le risposte ai miei quesiti "chiedendo alla matematica" ma, purtroppo, ho dovuto lasciar perdere quando mi sono reso conto che questo comportava spendere tutto il mio tempo in questa ricerca, che oggettivamente è un lavoro a tutti gli effetti. Ma nella mia vita l'amore per la fisica deve lasciare il posto ad altri amori (certamente più importanti), ad altri interessi non meno importanti e al mio lavoro, con quest'ultimo che già mi impegna tantissimo.
 
Ecco perché leggo sempre i newsgroup di fisica (anche se scrivo raramente) e altri trattati e scritti in Rete e libri vari, perché cerco di cogliere "sapienza" da quelle persone che hanno studiato a fondo la fisica e che per loro rappresenta "il loro lavoro".
Scusami Elio se mi sono dilungato a scrivere di me, ma avendomi chiesto informazioni, non mi sono sottratto!
 
Ciao.
 
Sergio.

Grazie per la tua risposta.
 
Ti invito, se vuoi, a leggere quanto da me scritto in risposta sia a Bruno Cocciaro che a Tommaso Russo (per evitare di riscrivere qua cose già scritte).
 
Ciao.
 
Sergio.

 l'orologio dell'altra e' in anticipo, non in ritardo.
 
 
La cosa che mi rende perplesso è la tua affermazione del fatto che l'unica misura che entrambi gli equipaggi possono fare è il "test di sincronizzazione".
 
 
 
Infatti, supponiamo che ogni equipaggio possa osservare l'orologio dell'altra astronave con un potentissimo telescopio, supponendo che gli orologi siano posti accanto a degli oblò; questo ovviamente nella fase post accelerazione e di moto uniforme. L'equipaggio di A, ad esempio, vedrà l'immagine dell'orologio di B e potrà confrontarlo con il proprio, rendendosi conto della differenza di ritmo. Ovviamente B potrà fare la stessa cosa con A.
 
 
Questo "osservare l'orologio dell'altro", non mi sembra che possa rientrare nel caso del "test di sincronizzazione" di cui abbiamo parlato prima. Questo perché durante l'osservazione il segnale fluisce continuamente solo in un verso (cioè la luce che parte da un orologio e arriva al telescopio) e non v'è nessun scambio di segnali sincronizzati. 
 
 
Inoltre la possibilità di osservazione dell'orologio dell'altro, e il relativo confronto col proprio, mi sento di affermare che sia indifferente dalla distanza delle due astronavi (supposte sufficientemente piccole) e dal fatto che delle loro parti fossero vicine al momento dell'inizio del loro moto.
 
 
A meno che l'osservazione degli orologi che ho descritto sopra sia equivalente, in un qualche modo che non mi è chiaro, ad un "test di sincronizzazione" così come da te definito.
 
Se così fosse allora sarei pienamente soddisfatto, perché la tua esposizione mi ha pienamente convinto e fatto capire come, all'incontro di A e B, i due orologi segnino lo stesso orario.
Ciao.
 
Sergio.
 
P.S. Si, conosco i diagrammi di Minkowski.

 ...
 
Ma lo sai che sei simpatico come un gattino ...!
Questo tuo modo di porti allontana noi comuni mortali dalla fisica. E' questo che vuoi? Ci stai riuscendo.
 
Comunque io continuo.
 
 
Puoi spiegarmi un po meglio cosa c'era di sbagliato nel mio post? Così potrei migliorare le mie conoscenze di fisica, che è il motivo per cu frequento guesto NG. Se non si prova, a costo di sbagliare, ad avere parte attiva si impara meno della metà.
 
Grazie
Maurzio

 presunto rallentamento come dovrei fare?"
 
 
 
 
 
Sforzandomi di capire a fondo i principi sopra ai quali si regge la Relatività, sono convinto che le famose "dilatazioni temporali" e "contrazioni spaziali" altro non sono (adesso lo descrivo sommariamente, senza pretesa di precisione) che semplici "misurazioni" di un osservatore, laddove appunto la "misurazione" rappresenta, per l'osservatore, la "sua realtà oggettiva". Ma "la sua realtà oggettiva" è, appunto, relativa e non è detto che sia la "realtà dell'ente osservato" (mi rendo conto di aver espresso molto male questi concetti di fondo, ma sono sicuro che tu avrai capito cosa volevo comunicarti).
 
 
Eppure, se ho carpito bene l'essenza, il messaggio della Relatività, quella "realtà oggettiva", per l'osservatore, *è* "la realtà". Nessuno può contestargli l'esito delle sue misurazioni (ovviamente, se sono fatte correttamente) e dire che ciò che egli "vede" (misura) non "è vero".
 
 
Proprio per raccogliere il tuo invito a "controllare sperimentalmente" quello che osservano gli equipaggi del mio paradosso, ti riporto lo stesso pezzo che ho scritto in risposta a Tommaso Russo, che segue immediatamente sotto.
 
 
 
 
Supponiamo che ogni equipaggio possa osservare l'orologio dell'altra astronave con un potentissimo telescopio, supponendo che gli orologi siano posti accanto a degli oblò; questo ovviamente nella fase post accelerazione e di moto uniforme. L'equipaggio di A, ad esempio, vedrà l'immagine dell'orologio di B e potrà confrontarlo con il proprio, rendendosi conto della differenza di ritmo. Ovviamente B potrà fare la stessa cosa con A.
 
 
Questo "osservare l'orologio dell'altro", non mi sembra che possa rientrare nel caso del "test di sincronizzazione" di cui abbiamo parlato prima. Questo perché durante l'osservazione il segnale fluisce continuamente solo in un verso (cioè la luce che parte da un orologio e arriva al telescopio) e non v'è nessun scambio di segnali sincronizzati. 
 
Inoltre la possibilità di osservazione dell'orologio dell'altro, e il relativo confronto col proprio, mi sento di affermare che sia indifferente dalla distanza e dalla lunghezza delle due astronavi e dal fatto che delle loro parti fossero vicine al momento dell'inizio del loro moto.  
 
Ecco, questo è quello che ho scritto anche a Tommaso Russo.
 
 
 
Quindi, secondo me, l'osservare con un telescopio l'orologio dell'altra astronave, è effettivamente un "controllo sperimentale", proprio come tu mi suggerivi. Quando chi osserva l'immagine dell'altro orologio, va a confrontarla con il proprio, non può fare a meno di constatare una differenza di marcia tra i due orologi. E questa differenza di ritmo, se ho capito bene la teoria, è per lui una "realtà oggettiva", "vera", di quello che sta accadendo nell'altra astronave.
Ora il mio paradosso era costruito proprio sulla (apparente) discrasia tra i seguenti due fatti nell'istante dell'incontro tra le due astronavi:
 
 
1) I due orologi, al termine dell'accelerazione, segnano esattamente lo stesso orario (giustamente, Tommaso Russo, mi faceva notare che questa corrispondenza tra i due orologi, viene osservata da un sistema inerziale K che era in quiete con A e B prima del loro moto e che è rimasto in quiete).
 
 
2) Durante l'avvicinamento, ogni equipaggio osserva l'orologio dell'altra astronave e constata che il suo ritmo è diverso dal proprio a bordo e che quindi non sono più sincronizzati, segnando orari diversi.
 
 
Grazie ancora Bruno per il tuo intervento, sperando di leggere una tua replica a quanto da me precisato che possa portarmi a vedere la giusta via per capire, definitivamente, la risoluzione di tale "paradosso".
 
Ciao.
 
Sergio.

 
Visto che mi sei simpatico ti dico di non prendertela perché ci siamo passati più o meno tutti, Fabri non fa sconti a nessuno :-)
 
 
 
Però abbiamo capito che in parte é il suo carattere, in parte lo fa per stimolarci a comprendere meglio ed in parte perché... probabilmente lo faresti anche tu se avessi insegnato per anni queste cose ad un livello e con una precisione molto elevati (non ne ho notizie certe, ma sono pressoché sicuro che abbia bocciato futuri dottori in fisica per cose estremamente più sottili di quelle che tu hai scritto. Una curiosità: tra gli altri é stato suo studente anche il premio Nobel Carlo Rubbia...)
 
Adesso, tutte le volte che mi viene di rispondere un maniera frettolosa, penso, in questo ordine (ti giuro che é vero):
1. Cavolo, se mi legge Fabri, me la da una bella doccia gelata!
2. Speriamo che Fabri risponda!
 
--
BlueRay

 Però abbiamo capito che in parte é il suo carattere, in parte lo fa per stimolarci a comprendere meglio ...
 
 
Grazie per la risposta. Sono sicuro che la cosa sia come dici tu e per questo apprezzo i suoi interventi, tanto che continuo a scrivere e a rispondere.
Spero che anche lui accetti il mio carattere e il mio modo di fare.
Ciao

 potrà fare la stessa cosa con A.
Niente vieta di fare questo, ma non è ciò che s'intende quando si parla
di "dilatazione del tempo".
Non se lo sai, ma se facessi il confronto che dici, avresti una
sorpresa: visto da A, l'orologio di B apparirebbe andare più veloce,
non più lento.
Apparirebbe più lento solo se B si allontanasse da A, anziché
avvicinarsi. Si chiama "effetto Doppler" (relativistico).
Chiaramente quando si parla di "dilatazione del tempo" s'intende
altro. Te l'ha spiegato Tommaso Russo: la vedi la differenza?
 
 
-- 
Elio Fabri

 ultima indicazione tu possa saltarci fuori.
Anche questo è sbagliato, ma non te ne posso fare una colpa perché lo
trovi scritto in un sacco di posti.
Discorso troppo lungo per farlo qui, ma se ne hai voglia leggi
http://www.sagredo.eu/divulgazione/relgem/relgem1.htm
 
(e guarda anche la data...).
Le prime due puntate: temo che la terza non faccia per te.
 
 
-- 
Elio Fabri

Buongiorno Elio.
 
Grazie a te e a tutti gli altri che, con le loro risposte, mi hanno fornito spunti preziosi su cui poter riflettere e per comprendere al meglio una delle teorie più affascinanti della fisica.
Adesso devo solo studiare a fondo le vostre risposte e cercare la "giusta via".
Ciao.
 
Sergio.

...
 
Hai ragione, la mia frase non rende quello che pensavo.
Intendevo dire che la RR non dice niente su come si comportano gli orologi accelerati.
Maurizio

 P.S. Si, conosco i diagrammi di Minkowski.
 
Bene, allora una figura che illustri (nel riferimento K!!) gli eventi 
che hai descritto ti potra' essere utile: vediamo chi arriva a farla 
prima, fra me ed Elio Fabri. Potresti provarci anche tu...


 
 
 
 
E' piuttosto sconfortante: partendo da presupposti simili a quelle di Sergio Rossi (ingegnere, appassionato di alcuni argomenti di fisica, lettore di alcune cose divulgative sulla relatività (Feynman, Tylor Wheeler), capisco la domanda (al netto di alcune imprecisioni già segnalate, direi lapsus, quali la genericità degli "opportuni metodi di sincronizzazione" e la non necessità della fase di decelerazione) e mi piace molto la modestia e lucidità con cui è posta. Capisco o credo di capire anche parte delle risposte, ma quando mi trovo a costruire nel mio cervello un quadro riassuntivo non ci riesco.
 
 
 
Ai miei occhi profani, e del resto è stato già detto,  vista la simmetria del problema, quello che succede all'astronave "di destra" deve succedere anche all'astronave "di sinistra": mi torna quindi che, al termine della accelerazione, i due orologi inizialmente sincronizzati siano in accordo tra loro (visti dal "centro"), ma in disaccordo con il riferimento "al centro" che rimane inerziale. Mi torna anche che ripetendo la procedura di sincronizzazione ciascuno veda l'altro sfasato, e che all'incontro lo sfasamento vada a zero per poi cambiare di segno in allontanamento.
 
 
 
 
Poi però il professor Fabri, nell'ultimo intervento, rispondendo alla domanda (che parafraso: cosa succede quando le due astronavi si incrociano e possono l'una vedere l'orologio dell'altra), introduce il problema del doppler relativistico, problema che non riesco a ricondurre alla questione, trattandosi di osservazione dell'orologio che mi corre a fianco (a distanza tendente a zero). Mentre io di Doppler relativistico avevo sentito parlare nel contesto dell'analisi del paradosso dei gemelli (fatto in RR) come una quantità che all'andata e al ritorno del viaggio del gemello si oppone o si somma all'effetto di dilatazione dei tempi, per via del "ritardo del segnale" (mi sono spiegato da cane...). 
 
Riassumendo, dopo un gran leggere non ho fatto grandi passi avanti nella comprensione, è quindi tempo di rileggere ancora le mie fonti..ripeto: sconfortante.

 orologi accelerati.
Anche questo non è vero.
Il comportamento di un orologio accelerato si esprime mediante il
calcolo del suo /tempo proprio/, che dipende solo dalla velocità
dell'orologio, anche se questa varia da istante a istante.
 
In realtà qui sotto c'è una questione importante: un postulato
addizionale, la cui necessità è stata riconosciuta non saprei dire
quando, ma non da Einstein.
Il postulato (noto come "clock postulate" oppure "clock hypothesis")
dice proprio quello che ho scritto sopra.
In altri termini lo posso enunciare così: il tempo segnato da un
orologio che accompagna un corpo in moto qualsiasi coincide con la
lunghezza (calcolata con la metrica di Minkowski) della curva oraria
del corpo.
In particolare, non conta l'accelerazione del corpo.
 
Che le cose stiano così è stato verificato per es. dalla misura della
vita media di muoni che viaggiano in un anello di accumulazione.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Sergio.
 
Ciao,
Bruno.


 
Le due navi inizialmente distano 6 (minuti-luce, ore-luce, mesi-luce, 
fai tu) e, allo stesso istante 0, accendono i razzi con lo stesso 
programma (in funzione del tempo proprio segnato dai loro orologi) in 
direzione opposta. Entrambe spengono i razzi a t=5 (minuti, ore o mesi).
 
E' intuitivo, ma va dimostrato, che nelle ipotesi fatte le linee orarie 
delle due navi risultano simmetriche rispetto alla retta x=3.
 
Cominciamo coll'ipotizzare che le due curve siano simmetriche. Per ogni 
tratto infinitesimo delle due curve compreso fra le rette orizzontali t 
e t+dt, il tempo proprio segnato dall'orologio dell'astronave A aumenta 
di dtauA, con
 
   dtauA^2 = dt^2-dxA^2
 
e quello dell'astronave B di dtauB, con
 
   dtauB^2 = dt^2-dxB^2 = dt^2-(-dxA)^2 = dtauA^2.
 
Integrando, se alla partenza segnavano entrambi zero, gli orologi di A e 
di B segnano lo stesso tempo proprio (<t) ad ogni istante t di K.
 
A ogni tratto infinitesimo fra t e t+dt di due qualsiasi curve 
simmetriche corrisponde un medesimo programma (di durata infinitesima) 
di accensione dei razzi, in funzione del tempo proprio, che lo genera. 
Ne segue che qualsiasi programma di accensione in funzione del tempo 
proprio, replicato eguale sulle due astronavi, generera' due curve 
orarie che si manterranno sempre simmetriche.
 
                     - o -
 
Nel tratto superiore delle curve (t>5) le navi procedono per inerzia a 
motori spenti, e le loro linee orarie diventano rette di pendenza 1/u e 
-1/u, e il rapporto fra i dtau e dt diventa costante:
 
   dtau/dt = sqrt(dt^2-dx^2)/dt = sqrt(1-u^2) = 1/gamma(A o B,K)
 
 
I segmenti blu E-R ed R-A sono linee-luce che rappresentano il test di 
sincronizzazione che ho descritto, dove E e' l'invio della domanda di A 
a B "che ora fai", R l'invio della risposta, A l'arrivo della risposta 
alla nave A.
 
(Alternativamente, E puo' essere l'emissione, da parte di A, di un 
impulso radar, R la riflessione ed A l'arrivo del segnale di ritorno 
all'apparato; Se B emette in continuazione un segnale orario, il 
segmento R-A e' anche la linea oraria del segnale orario che porta in A 
l'ora che l'orologio di B segnava in R. Da questo si vede chiaramente 
che il test di sincronizzazione e l'insieme "misura radar + segnale 
orario" sono equivalenti.)
 
All'arrivo della risposta "faccio le ore...", A calcola che al momento 
della trasmissione B distava da lei (tauA(A)-tauA(E))/2; per dire che 
era sincronizzato, il messaggio di B dovrebbe contenere il tauA 
dell'evento medio del segmento E-A, cioe' il tauA corrispondente 
all'istante, in K, t=7 (all'incirca).
 
Ma, in K, R avviene all'istante t=7,85 (circa), e quindi il tauB che B 
invia e' il tauA corrispondente a t=7,85, superiore a quello atteso. 
Quindi A deve concludere che l'orologio di B e' in anticipo sul suo.
 
(E, ovviamente, se il test venisse iniziato da B, sarebbe B a dover 
concludere che l'orologio di A e' in anticipo sul suo.)
 
Se, dopo il primo test, A ne inizia un altro (triangolino blu-rosso 
superiore), riscontra nuovamente un anticipo, ma inferiore a quello 
precedente: lo si vede immediatamente dalla grafica. All'incontro, i due 
orologi segnano la stessa ora. Ripetendo il test dopo l'incontro (a 
t>10), gli anticipi decrescenti diventano ritardi crescenti (i 
triangolini risultano ribaltati).
 
                  - o -
 
 
 
I comandi gnuplot con cui ho generato il grafico (brutti e sporchi, ma 
non avevo tempo di far meglio):
 
  g(x,x0) = ((x0-x)<1) ? 5*sqrt(x0-x) :5*( sqrt(1)-0.5*(x-x0+1))
  f(x,x0) = ((x-x0)<1) ? 5*sqrt(x-x0) :5*( sqrt(1)+0.5*(x-x0-1))
  set samples 10000
  set size ratio 11.2/6.4
  set xrange [-.2:6.2]
  set yrange [-.2:11]
 
  set label "E"  at first  1.1, first  4.8
  set label "R"  at first  3.8, first  7.5
  set label "A"  at first  2.6, first  8.8
  set label "ship A"  at first  0.1, first  0
  set label "ship B"  at first  5.4, first  0
 
  plot f(x,0) title "",g(x,6) title "", \
   x>1 ? 5+(x-1) : 1/0 lt rgb "blue" title "" , \
   x < 3.8573 ? 7.857-(x-3.8573) : 1/0 lt rgb "blue" title "", \
   x > 2.632 ? 9.082+(x-2.632) : 1/0 lt rgb "blue" title "", \
   x < 3.156 ? 9.608-(x-3.156) : 1/0 lt rgb "blue" title ""


Buongiorno Bruno.
 
Figurati, non devi scusarti di nulla, anzi, ti ringrazio veramente tanto per il tempo che tu, assieme agli altri, avete dedicato per rispondere ai miei quesiti.
 
Quello che tu e gli altri mi avete scritto è molto illuminante e finalmente mi permette di avere la giusta guida per arrivare a fare chiarezza su dei punti particolari della teoria che non riuscivo bene a far quadrare.
 
Ora non mi rimane che studiare a fondo le risposte ricevute ma già da ora mi sembra che arriverò a comprendere perfettamente certi meccanismi della teoria.
Quindi grazie di nuovo Bruno.
 
Ciao.
Sergio.

 L'orologio dell'equipaggio A ha misurato, poniamo, TinA dall'accensione dei motori...
 
E qui ci fermiamo, visto che il tuo orologio operativamente NON MISURA 
MAI tempo e assumi arbitrariamente che misuri tempo con una definizione 
ricorsiva, mentre qualsiasi orologio concepibile operativamente misura 
variazione di entropia (DS) o accelerazioni.
 
Tutto il resto del discorso e' pesantemente viziato da questo approccio 
iniziale, se vuoi chiederti "in che senso va intesa questa affermazione" 
devi abbandonare il tempo e fare i conti con la DS o con le 
accelerazioni, cosa non solo possibile (come ho ampiamente dimostrato) 
ma con miglior potere predittivo (freccia termodinamica intrinseca solo 
ad esempio) e minimale nel senso di Occam (meno parametri liberi). 
Altrimenti continuerai a fare fisica con un "tempo posto nell'olimpo 
dell'a priori", ovvero a girare in tondo intorno ad un tempo che 
fisicamente non esiste, senza uscire dal labirinto in cui sei entrato.
 
Lo so che il tempo lo usano tutti, ma tutti sbagliano, sbagliano perche' 
"il tempo" lo "sentono" e proiettano inconsciamente la *propria* 
variazione di entropia, la propria evoluzione entropica, a tutto il cosmo.
 
Ciao
 
 
 
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Buongiorno Tommaso.
 
Guarda, ti ringrazio veramente moltissimo sia per quest'ultima tua risposta, che per quella precedente, che trovo veramente precise, esaurienti e molto dettagliate.
 
 
Ci tengo a dirti che il tempo (non poco, di sicuro) che hai speso per fornirmi queste valide spiegazioni non è stato vano, ma preziosissimo, perché gettano quella luce necessaria per permettermi di disvelare certi punti "oscuri" della teoria che, nonostante mi sforzassi, non riuscivo a chiarire e mettere in accordo tra loro in maniera soddisfacente.
Quindi grazie Tommaso, ma anche a tutti gli altri che mi hanno risposto, per avermi instradato sulla via della comprensione.
 
Ora ho a disposizione un sacco di elementi da studiare a fondo e sono certo già da ora (dopo la prima serie di letture) che arriverò a comprendere tutto appieno.
 
Ciao.
Sergio.