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Titolo: Sistema oscillante molla-cilindro

Salve a tutti
Propongo il seguente problema 
 
 
 
Un cilindro di massa M e raggio R � collegato ad una molla senza massa disposta orizzontalmente e fissata, all'altro estremo, ad una parete verticale. La molla ha  costante elastica k. Il cilindro pu� rotolare, senza scivolare, su una superficie orizzontale. Se il sistema viene rilasciato dopo che la molla � stata allungata di una quantit� x0, qual � il periodo T del moto armonico semplice per il centro di massa del cilindro? 
 
Un piccolo disegno si trova qui:
https://imagizer.imageshack.us/v2/285x183q90/14/w4v1.jpg
 
 
Ho provato con considerazioni energetiche ma non riesco a venirne a capo.
Gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti
Giovanni

 capo.
 
Conviene utilizzare da subito la conservazione
dell'energia meccanica, come coordinata indipendente
scegliamo ad es. lo spostamento del cilindro lungo l'asse
x su cui avviene il moto rispetto alla posizione iniziale
in cui la molla e' a riposo, indico con ' la derivata
temporale, l'energia potenziale elastica della molla e'
Ep = 1/2 k x^2, l'energia cinetica di traslazione del
cilindro e' Ect = 1/2 M x'^2, l'energia cinetica di
rotazione del cilindro nel riferimento del suo centro di
massa (momento d'inerzia I = 1/2 M R^2 rispetto
all'asse di simmetria cilindrica ) e'
Ecr = 1/2 I (x' / R)^2 = 1/4 M x'^2 (usiamo la
condizione di rotolamento puro, la velocita' angolare
e' allora x' / R), l'energia meccanica risulta
(usiamo il teorema di Koenig per ottenere l'energia
cinetica nel riferimento del laboratorio):
 
E = Ect + Ecr + Ep = 1/2 (3/2 M) x'^2 + 1/2 k x^2,
 
riconosciamo l'energia meccanica di un oscillatore
armonico di costante elastica k e "massa efficace"
m = 3/2 M, il periodo allora e':
 
T = 2Pi sqrt(m / k) = 2 Pi sqrt(3/2 M / k),
 
osserva che, come noto, il periodo non dipende
dall'ampiezza di oscillazione x0 (supposta abbastanza
piccola perche' il cilindro non vada a urtare la parete).
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Gradirei qualche indicazione.
 
come mai con l'energia non ne vieni a capo? In che senso? 
 
Puoi usare anche le 2 di Newton: Momento e Forza
M a = F_tot
I alfa = Tau
 
avendo cura di non tralasciare alcuna forza (nemmeno una...:) spesso una si tralascia ) e scegli un polo conviente [ricorda il teo del momento]
 
1 solo grado di libert� inoltre ti serve per legare l'angolo di rotazione con lo spostamento orizzontale del cil.


 
Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si conserva: il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra cilindro e piano d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
 
Si risolve sicuramente con le cardinali della dinamica, ma faccio prima con la equazione di Lagrange.
 
 
Se x e' la coordinata del centro di massa e L tale coordinata quando la molla e' a riposo, x' la derivata temporale di x, fi l'angolo di rotazione del cilindro e fi' la sua derivata temporale, I il momento d'inerzia del cilindro, l'energia cinetica T e l'energia potenziale V del sistema sono:
 
T = 1/2 I (fi')^2 + 1/2 M (x')^2
 
V = 1/2 k (x - L)^2
 
 
ma il rotolamento puro implica la relazione: (fi')^2 = (x')^2 / R^2 ed inoltre per il cilindro il momento d'inerzia I vale 1/2 MR^2; ponendo inoltre x - L = q:
 
T = 1/4 M(q')^2 + 1/2 M(q')^2
 
V = 1/2 k q^2
 
La lagrangiana L vale quindi:
 
L(q,q') = T - V = 1/4 M(q')^2 + 1/2 M(q')^2 - 1/2 k q^2 
= 3/4 M (q')^2 - 1/2 k q^2
 
e l'equazione di Lagrange d/dt (@L/@q') = (@L/@q) risulta:
 
q'' + 2/3 (k/M) q = 0   <-- Equazione di moto
 
che e' effettivamente l'equazione di un moto armonico di pulsazione 
 
w = sqrt(2/3 k/M) e quindi il periodo vale:
 
T = 2(pi)/w = 2(pi)sqrt(3/2 M/k).
 
(Se non ho sbagliato qualche conto).
 
Poiche' si tratta di un moto armonico, le oscillazioni sono isocrone quindi il periodo non dipende da x0.
Interessante pero' il fatto (non evidente) che il raggio R non compare nell'equazione di moto.
 
--
BlueRay

 cilindro e piano d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
Come non si conserva!
Tra l'altro tu stesso hai scritto una lagrangiana, che non dipende da
t. Quindi?
Ma poi nel puro rotolamento la forza d'attrito nn fa lavoro. Non lo sai?
 
 
-- 
Elio Fabri

 
Quindi ... ho scritto una stupidaggine (me ne sono accorto poco dopo e ho inviato una rettifica, ma qui i tempi sono lunghetti).
Ma quello che piu' mi fa incavolare e' che problemi con rotolamento puro ne ho risolti a decine, usando la conservazione dell'energia...
 
--
cometa_luminosa

 d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
 
Ho sbagliato: l'energia SI conserva perche' quel vincolo non compie lavoro  :-)
(Mi scuso, sono un po' arrugginito...)
 
Si puo' risolvere facilmente anche con le due cardinali:
 
F = forza della molla = kq
T = forza d'attrito
I = momento d'inerzia = 1/2 MR^2
q' = -R fi'
 
|T*R = I fi''
|T-F = Mq''
 
--> T = - I q''/R^2 = -1/2 Mq''
--> T - kq = Mq''
 
--> -1/2 Mq'' - kq - Mq'' = 0;  
 
q'' + 2/3 k/M q = 0.
 
--
BlueRay
 
 

 Con considerazioni energetiche risolvi poco perche' l'energia non si conserva: il sistema non e' isolato, c'e' il vincolo radente tra cilindro e piano d'appoggio (quello che mantiene il rotolamento puro).
 
 
we we we
e che fai ti impaperi? rifletti bene ... non scivola... L=Fs