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Titolo: Gabbia di Faraday e conduttore cavo

 
 
 
 
 
Buonasera a tutti. Ho una domanda di elettrostatica sul conduttore cavo e la gabbia di Faraday. Non ho capito se gli effetti di schermatura del conduttore cavo sono dall'interno verso l'esterno (ossia dall'esterno non si capisce cosa accade all'interno) o viceversa o se ci sono in entrambe le "direzioni". Mi sembra che la direzione in cui si ha la schermatura sia solo una, ma non capisco il perché. Inoltre mi verrebbe istintivo considerare la gabbia di Faraday come un conduttore cavo, eppure in questo caso mi sembra che il comportamento sia differente e che la schermatura avvenga in entrambe le direzioni. Come mai questa differenza se è vero che la gabbia è approssimabile con un conduttore cavo? Per permettervi di calibrare la risposta, il mio livello di conoscenza è analogo a quello di un insegnante di fisica del liceo.
 
Grazie
 
Davide

 Ho una domanda di elettrostatica sul conduttore cavo e la gabbia di Faraday. Non ho capito se gli effetti di schermatura del conduttore cavo sono dall'interno verso l'esterno (ossia dall'esterno non si capisce cosa accade all'interno) o viceversa o se ci sono in entrambe le "direzioni". Mi sembra che la direzione in cui si ha la schermatura sia solo una, ma non capisco il perché. Inoltre mi verrebbe istintivo considerare la gabbia di Faraday come un conduttore cavo, eppure in questo caso mi sembra che il comportamento sia differente e che la schermatura avvenga in entrambe le direzioni. Come mai questa differenza se è vero che la gabbia è approssimabile con un conduttore cavo?
 
Il caso del conduttore cavo chiuso C e quello della gabbia di Faraday
sono equivalenti, a patto che nel caso della gabbia di Faraday,
se questa ha una struttura a maglie, si consideri il campo elettrostatico
a una distanza grande rispetto alla dimensione delle maglie.
 
Consideriamo C, all'equilibrio nel suo corpo il campo elettrostatico
macroscopico è nullo, altrimenti le cariche "libere" genererebbero
una corrente macroscopica, ma se per ipotesi nella regione I del cavo
non sono presenti cariche allora il campo in I è nullo per il
teorema di unicità, infatti una soluzione dell'equazione di Laplace
in I soddisfacente alla condizione al contorno di potenziale uniforme
è quella per cui il potenziale in I è uniforme.
Dunque, all'equilibrio, C scherma I da tutto ciò che si trovi
all'esterno di I.
 
Viceversa, se il corpo di C ha una carica netta Q e se è presente
una carica netta q all'interno di I, ce ne sarà una -q sulla superficie
di I (per la legge di Gauss, applicata alla superficie di I,
essendo nullo il campo nel corpo di C) e una q+Q sulla superficie esterna
di C (per la conservazione della carica), allora il campo esterno a C
sarà uguale a quello che sarebbe prodotto da quest'ultima sola carica
(sempre per il teorema di unicità).
Morale: la gabbia di Faraday NON scherma l'ambiente esterno dall'effetto
delle cariche poste al suo interno, soltanto rende ininfluente quale sia
la distribuzione della carica interna a I e il campo esterno a C dipende
solo dalla geometria di C e dalla carica totale contenuta in C.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Per permettervi di calibrare la risposta, il mio livello di conoscenza è analogo a quello di un insegnante di fisica del liceo.
 
Di uno in particolare, o intendi un valore medio?! ;-)
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Il caso del conduttore cavo chiuso C e quello della gabbia di
 > Faraday sono equivalenti, a patto che nel caso della gabbia di
 > Faraday, se questa ha una struttura a maglie, si consideri il campo
 > elettrostatico a una distanza grande rispetto alla dimensione delle
 > maglie.
Aggiungerei solo un complemento: se a è il lato di una maglia, il
campo esterno penetra all'interno (e viceversa) con un andamento tipo
exp(-kd/a) dove d è la distanza dalla maglia e k è una costante
dell'ordine di 1, il cui valore dipende dalla forma delle maglie (di
più non ricordo).
Quindi una gabbia può essere molto efficace anche se le maglie non
sono tanto fini.
-- 
Elio Fabri

 Di uno in particolare, o intendi un valore medio?! ;-) 
 
:-D
 
Grazie
 
Davide

 Non capisco se questa osservazione sul forno a microonde sia falsa, se sia vera e contraddica quello che ha scritto Giorgio sul fatto che la gabbia non scherma l'ambiente esterno o se sia vera e senza contraddire ciò che ha scritto Giorgio. Nell'eventualità di essere nell'ultima opzione, la differenza tra il caso della carica nel conduttore e quello delle onde elettromagnetiche del microonde potrebbe essere il fatto che il microonde non rientra in una situazione di elettrostatica in quanto le onde sono campi variabili? Oppure c'è un'altra spiegazione per la non schermatura nel caso di cariche e la schermatura nel caso di microonde?
 
Certamente non si applica il ragionamento già fatto per l'equilibrio
elettrostatico, nel caso del microonde non c'è una carica netta interna
al microonde, solo un campo e.m. (intenso, è una cavità risonante)
e correnti indotte superficiali sulle pareti interne metalliche
che decrescono con legge esponenziale andando verso l'esterno.
Comunque, per descrivere la configurazione del campo e.m. e le
correnti, serviranno le equazioni dell'_elettrodinamica_ e le
caratteristiche geometriche e strutturali (conduttività in primis)
del corpo della cavità.
Tutto salvo errori e per quanto ricordo, per fare i conti dovrei riprendere
in mano qualche manuale di e.m., e passarci del tempo sopra... ;-)
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Premetto che non ho mai studiato per bene il funzionamento dei forni a
microonde, per cui ci sono un po' di cose che non ho capito.
Ma c'è anche qualcosa che ho capito :-)
 
Concordo con Giorgio. Idealmente il microonde funzionerebbe meglio se
potesse essere completamente chiuso, avendo come unica interazione con
l'esterno una qualche "antenna" che lo connetta al
generatore/oscillatore di potenza (magnetron).
Si tratta di una cavità risonante caricata da un assorbitore posto
all'interno.
L'assorbitore non è che la cosa che vogliamo cuocere o riscaldare.
 
In linea di massima l'unico requisito dell'assorbitore è che contenga
acqua: sono le molecole H2O che sotto l'azione del campo elettrico
dell'onda oscillano e dissipano energia perché si trovano in un
ambiente che ostacola le oscillazioni.
Tipicamente la frequenza usata è tra 2 e 2.5 GHz (salvo errori) quindi
con l. d'onda attorno ai 12-15 cm.
(Curiosità: non solo l'acqua assorbe energia e si scalda nel
microonde.
Io ho dei piattini di normale ceramica smaltata, che se messi nel
microonde si scaldano e molto. Mentre altri piattini restano del tutto
freddi.)
 
L'osservazione sulla lunghezza d'onda è importante, appunto perché lo
sportello anteriore è traforato, con fori molto più piccoli e più
vicini della l. d'onda.
Ho già detto che sarebbe meglio che questa foratura non ci fosse, non
tanto per proteggere chi sta fuori dalla radiazione, ma già per il
rendimento del forno.
Però bisogna pure vedere che cosa succede, e infatti l'interno è pure
illuminato...
 
Anch'io come Giorgio dovrei rivedere un po' di equazioni, ma credo di
poter azzardare un'idea.
Dato che i fori sono piccoli e vicini rispetto alla l. d'onda, non mi
aspetto un comportamento molto diverso dal caso statico per quanto
riguarda la propagazione verso l'esterno.
 
Forse è bene qui chiarire quello che l'OP dice sull'esterno che non
sarebbe schermato (nel caso statico) da ciò che succede all'interno.
In realtà è schermato, nel senso che quali che siano le cariche
all'interno, dovunque si trovino, comunque si muovano, all'esterno
appare solo un campo elettrostatico esattamente uguale a quello che si
avrebbe se la carica interna fosse tutta disposta sulla faccia
esterna del conduttore di schermo.
 
Passando al microonde, in cui non c'è carica interna, non c'è quindi
(nell'appross. che ho detto) nessun campo esterno, se non nelle
immediate vicinanze dei forellini.
Il limite di questo discorso è solo che non saprei farlo diventare
quantitativo.
-- 
Elio Fabri

 immediate vicinanze dei forellini. 
 
Non ho capito il riferimento al caso statico per quanto riguarda lo sportello del forno a microonde. 
 
 
Le pareti laterali del forno a microonde sono due specchi per le microonde. Ho guardato la profondità di pelle di un buon conduttore a 2 GHz e ho visto circa un micrometro.
 
Il meccanismo con cui gli specchi metallici riflettono è che la costante dielettrica è negativa per frequenze sufficientemente basse, inferiori alla frequenza di plasma.
 
 
Io non so se questo possa essere ricondotto al caso statico, ci ho ragionato sopra però non mi sono districato. Il fatto che accada a frequenza sufficientemente bassa _potrebbe_ essere un indizio a favore, ma il calcolo non mi torna.
 
(Nel seguito possono esserci orrendi errori di unità di misura, non ho le energie per metterli a posto)
 
 
La polarizzabilità di una collezione di elettroni liberi è proporzionale a -N*e^2/(m*omega^2), dove N è la densità degli elettroni; in condizioni stazionarie il moto di ciascun elettrone sottoposto ad un campo elettrico _oscillante ad una sola frequenza_ E(t) è 
 
x(t) =  -e E(t)/(m*omega^2)
 
 
 
quindi _apparentemente_ la frequenza non influenza qualitativamente il comportamento di ciascun elettrone, che oscilla sempre in fase rispetto al campo (con il simbolo e denoto la carica compreso il segno, quindi il segno negativo della carica dell'elettrone si cancella con il segno negativo della soluzione dell'equazione del moto).
 
Da questo ragionamento _parrebbe che_ non possiamo fare un limite statico che mira a mostrare che se gli elettroni hanno abbastanza tempo si dispongono sulla superficie metallica come se il campo fosse statico.
 
 
Però quello che ho scritto potrebbe essere sbagliato. Infatti per calcolare la propagazione del campo elettrico nel metallo bisogna considerare la costante dielettrica, cioè la relazione fra D ed E:
 
D = eps0 E + P = (eps0 + eps0 chi) E
 
e magari l'analogia con il caso statico si vede quando (eps0 + eps0 chi) diventa negativo. Però non lo so :-)
 
 
Ora i forellini. Questi sono molto più piccoli della lunghezza d'onda della radiazione e il calcolo più semplice che conosco è quello di Bethe
H. A. Bethe, Theory of Diffraction by Small Holes, Phys. Rev. 66, 163 (1944)
https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.66.163
 
 
Anche qui deve esistere un limite statico ma non mi ci so districare.
 
 
 
Ulteriore informazione sul calcolo della radiazione da un buco---mi aspetto che cercando in rete si trovino esposizioni dettagliate del calcolo: mi ricordo che il calcolo di Bethe non è esatto (l'articolo che lo corregge penso sia C. J. Bouwkamp, “On Bethe’s theory of diffraction by small holes,” Phillips Res. Rep. 5, 321�€"332 (1950), non ho controllato la correttezza della citazione).