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Titolo: rottura spontanea della simmetria(e ripristino)

Ciao
Mi e' capitato varie volte di imbattermi in questa frase ma ammetto di 
non aver mai capito realmente cosa si intendesse.
In un libro di teoria quantistica dei campi, nell'introduzione, ho letto 
come esempio quello di un "bastone a pianta circolare" che se poggiato a 
terra e premuto con forza prima o poi si piega da un lato.
In tale esempio il problema iniziale presentava simmetria cilindrica ma 
dopo l'azione della forza premente la configurazione di minimo 
energetico aveva minore simmetria.
Questo esempio mi ha sempre lasciato un po' perplesso.
Dal mio punto di vista in un tale problema non c'è alcuna rottura della 
simmetria, in quanto il problema presenta simmetria solo a livello 
macroscopico e quindi ha senso considerarlo simmetrico solo se le 
asimmetrie (della struttura del cilindro) sono inifluenti.
Ergo non vedo la rottura della simmetria.
(tra l'altro a quanto ho capito la rottura spontanea della simmetria è 
una "caratteristica" quantistica e quindi l'esempio classico mi perplime 
ancora di più)
Un altro esempio è il campo medio alla Hartree-Fock.
In questo caso si prende un'hamiltoniana che presenta invarianza 
traslazionale (per esempio se le forze in gioco dipendono solo dal 
modulo della distanza), si fa un calcolo di campo medio e si ottiene 
un'hamiltoniana che:
H_esatta = H_hf + "termini piccoli"
La H_hf non ha la simmetria iniziale e per ripristianare la simmetria 
sono necessari i "termini piccoli".
Qualcuno può darmi indicazioni o il titolo di qualche testo chiaro che 
mi spieghi i suddetti concetti? (per esempio non ho capito cosa ci sia 
di speciale: se approssimo una hamiltoniana è ovvio che l'h approssimata 
avrà delle caratteristiche differenti, per esempio la simmetria).
-Perchè la rottura spontanea è quantistica e non classica?
-Centra qualcosa il fatto che se misuro un oggetto in uno stato che 
presenta simmetria posso farlo collassare su uno stato non simmetrico?
-le fluttuazioni del vuoto hanno attinenza colla rottura della simmetria?
ciao
   grazie
      Paolo

   Ciao, per rottura della simmetria (non nnecessariamente spontanea)
   si intende quanto segue. Devi avere un sistema fisico descritto da
   una lagrangiana o da una hamiltoniana invariante sotto un gruppo
   di simmetria, ma tale che la soluzione delle equazioni del moto
   (o di minimo dell'energia) non e' invariante sotto il gruppo stesso.
   Quello che accade e' che ci sono tante soluzioni, ciascuna NON
   invariante ma  connesse l'una all'altra da un elemento del gruppo
   di simmetria. Di esempi ce ne sono tantissimi, e' inutile andare
   ad arrampicarsi sugli specchi con la questione del bastone che presenti
   e che riportano vari libri divulgativi ma che, come critichi e'
   fuorviante e poco chiaro (qual'e' la lagrangiana in quel caso?).
   Un esempi che ogni fisico conosce e' il caso di una particella sottoposta
   a potenziale gravitazionale centrale: la lagrangiana e' invariante sotto
   il gruppo delle rotazioni attorno al centro del potenziale, ma ciascuna
   soluzione non lo e'. Tuttavia passi da una soluzione ad un'altra con
   una rotazione attorno al centro del potenziale.
   La rottura "spontanea" della simmetria e' un concetto delle teorie
   quantistiche di campo  piu' difficile e spesso non e' spiegato bene
   nemmeno sui libri tecnici. Si tratta della seguente situazione:
   la lagrangiana (o hamiltoniana) del sistema presenta, _classicamante_,
   invarianza sotto un gruppo di simmetria. Pero' passando alla quantizzazione,
   tale gruppo NON ammette una rappresentazione in termini di operatori unitari
   sullo spazio di Hilbert del sistema. In pratica l'azione del gruppo di
   simmetria "fa uscire" dallo spazio di Hilbert. Quindi per esempio
   esistono vari "ground states" che corrispondono ad un minimo dell'energia,
   che pero' appartengono a spazi di Hilbert diversi e non possono coesistere
   ne possono avvenire transizioni da uno di questi stati ad un altro
   Si parla di diversi "settori" della teoria.
   (Dal punto di vista matematico, spesso si incontrano spazi di Hilbert non
   separabili. Il linguaggio piu' potente e chiaro per lavorare con queste
   cose e' la cosiddetta "formulazione algebrica della teoria dei campi
   quantistici") Ci sono vari casi interessanti anche riguardanti la teoria
   delle transizioni di fase.
   Nelle teorie di gauge non abeliane, la lagrangiana dei campi di gauge e'
   invariante sotto tutto il gruppo di gauge. Tuttavia, quando quantizzi,
   scorpri che solo alcune trasformazioni di gauge sono rappresentabili
   unitariamente, altre no. La ragione e' di carattere topologico, ma non
   mi dilungo perche' non ho molto tempo.
   Il punto importante e' il seguente: dato che il mondo e' quantistico,
   nella realta', in presenza di rottura spontanea della simmetria,
   si ha che effettivamente il mondo e' meno simmetrico di quello
   che ci si aspetta, perche' se certi stati quantistici sono ammissibili
   vuol dire che quelli che appartengono ad altri settori non lo sono:
   non c'e' alcun modo fisico di produrli. La natura sceglie un settore.
   Secondo il modello standard, la massa delle particelle eccetto quella
   del bosone di Higgs nasce proprio da un fenomeno di rottura _spontanea_
   della simmetria...
   Mi fermo qui perche' ho gia' detto tanto.
   Ciao, Valter
   ----------------------------------------------
   Valter Moretti
   Dept of Mathematics
   Trento University
 
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

    teoria delle transizioni di fase.
Ne approfitto per chiederti, visto che l'ho sottomano, un giudizio su:
"Introduction to Algebraic and Costructive Quantum Field Theroy"
Baez et al
Grazie e ciao.

   non c'e' alcun modo fisico di produrli. La natura sceglie un settore.
Quindi se determino in che settore siamo una volta, questo è fissato per 
ogni altro esperimento?
In particolare mi sono imbattuto nella rottura spontanea della simmetria 
   in un paio di ambiti:
- fisica nucleare con i nuclei che deformati.
-la bcs per spiegare la superconduttività.
(in entrambi i casi non mi è chiarissimo cosa si è rotto e come si 
ripristina).
Potresti indicarmi un testo che tratti della rottura della simmetria in 
modo chiaro?  e, se magari hai tempo, dopo aver rotto la simmetria mi 
indicassi anche come fare per ripristinarla te ne sarei grato!
ciao
    Paolo
P.S.:
quindi il fatto di approssimare un'hamiltoniana con una con simmetria 
minore non centra nulla colla "rottura spontanea della simmetria"?

 mi indicassi anche come fare per ripristinarla te ne sarei grato!
Qui la risposta la lascio a Valter, perche' io ho smesso di
occuparmi di queste cose quasi 40 anni fa :)
A quei tempi tenni anche delle lezioni, ma anche se fossero reperibili
non te le potrei consigliare, perche' erano al livello che oggi si
direbbe di dottorato.
BTW: Non sei il primo che scrive "perplime", e ho una certa paura di
fare una figura... Ma mi sembra di vederlo scritto senza intonazione
scherzosa, quindi chiedo: da dove esce fuori?
Sparate piano, per favore :-)))
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Ciao, appena ho piu' tempo e mi sento meglio (sono a casa con quasi 39
di febbre)
cerco di dire qualcosa di piu'...
Ciao, Valter

Ciao, purtroppo non conosco quel libro pur sapendo che esiste.
L'autore e' bravo anche se non del tutto centrato con gli argomenti in
questione.
Ciao, Valter

            
Io amo i termini un po' desueti e spesso li uso in maniera scherzosa; 
come abbia fatto il "perplime" ad annidarsi tra i miei neuroni non 
saprei proprio dirlo.
ciao
   Paolo

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Ciao
Dario 

 saprei proprio dirlo.
E' che io direi se mai "perplette".
Infatti il latino e' "perplexus", che viene da "plecto, plexus" (della
terza).
Passiamo alle cose serie :)
La catena di spin non e' che un'infinita' numerabile di sistemi a due
stati, che per ragioni che vedremo conviene pensare disposti su una
retta, in certe posizioni fisse equidistanti, da -oo a +oo.
Ogni sistema ha il suo spazio di Hilbert, in questo caso di dimensione
2: lo chiamo H_i.
L'algebra delle osservabili in H_i consiste dell'identita', delle
matrici di Pauli e relative combinazioni lineari.
(Dato che non c'e' pericolo di equivoci, indichero' con x_i, y_i, z_i le
matrici di Pauli relative al sistema i-esimo.)
A rigore dovrei prendere solo matrici hermitiane, ma queste non
formano un'algebra, quindi bisogna allargarla includendo anche le
combinazioni complesse.
Possiamo (ma solo a scopo euristico) immaginare che ogni sistema abbia
una hamiltoniana E_i che possiamo identificare con z_i, o se
preferisci con (I_i-z_i)/2, che ha autovalori 0 e 1; e chiamare "stato
fondamentale" quello con autovalore 0.
L'hamiltoniana totale sara' E = \sum E_i (non ci sono quindi interazioni).
Per il sistema complessivo dovrei considerare il prodotto tensoriale H di
tutti questi H_i, che non e' separabile.
Una base sarebbe data dai prodotti tensoriali degli autovettori delle
E_i; quindi la base viene descritta dalle successioni bilatere di 0 e
1. L'insieme di queste successioni ha la cardinalita' del continuo,
come ci si doveva aspettare visto che H non e' separabile.
E' ragionevole (ecco a che serve aver introdotto l'hamiltoniana)
limitarsi a considerare solo i vettori base in cui un numero finito di
sistemi e' fuori dello stato fondamentale; ossia solo quelle
successioni con un numero finito di 1. questi formano un insieme
numerabile.
Pero' attenzione: questo non va bene, perche' le combinazioni lineari
finite di questi stati non formano uno spazio di Hilbert (completo).
Poco male: basta considerare la chiusura nella topologia indotta dalla
norma (che non ho detto come e' definita, ma credo sia ovvia).
Questo sara' il nostro spazio di Hilbert (separabile). Lo chiamo H'.
Esercizio: dimostrare che E in H' non e' un operatore limitato.
Fine della prima puntata.


Ciao, ho un po' di tempo. Ho visto che Elio e' partito a spiegare
tecnicamente come
puo' esistere la rottura spontanea della simmetria.
Io voglio invece farti vedere una caso in cui la quantizzazzione
ripristina la simmetria.
Considera una particella sulla retta reale sottoposta ad un potenziale
descritto
da una doppia buca simmetrica: una funzione a "W" con due minimi alla
stessa altezza
situati in -a e a, ed in modo tale che il potenziale sia simmetrico per
riflessioni attorno all'asse y.
Se dal punto di vista classico uno e' interessato alle configurazioni
di equilibrio stabile,
scopre subito che si ha rottura della simmetria per riflessione attorno
all'asse y
(simmetria di parita') e non c'e' niente da fare. Se si considera il
caso qantistico
le cose vanno diversamente:
ora il problema consiste nel trovare lo o gli stati di minima energia
del sistema.
Ingenuamente ci si aspetterebbe di trovare degenerazione nel livello
fondamentale, tuttavia si puo' provare, con varie tecniche, che le cose
stanno diversamente. C'e'
un unico stato di energia minima, invariante per riflessione attorno
all'asse y.
Quantisticamente NON c'e' rottura della simmetria per parita'. (Ci
sarebbe da dire
qualcosa sulla molecola di NH_3 a questo punto...)
Questo esempio e' interessante per tanti motivi in fisica teorica, ma
non mi dilungo, dico
solo che il ripristino della simmetria, in un calcolo quasi
perturbativo e' legato alla
presenza di soluzioni della teoria classica euclidea dette "istantoni",
forse ne hai sentito
parlare. Ulteriormente, si puo' provare che proprio per la presenza di
"istantoni" l'approccio perturbativo basato sulla  serie perturbativa
alla Feynman NON funziona.
Ti ho fatto vedere un esempio in cui la rottura della simmetria
classica viene "riparata"
a livello quantistico.
La questione del ripristino della simmetria a causa delle correzioni
radiative, in ambito
gia' inizialmente quantistico, e' molto piu' delicata anche dal punto
di vista epistemologico e ci sono diversi punti oscuri su cui non tutti
i fisici sono d'accordo.
Quello che accade e' che c'e' una simmetria rotta (spontaneamente)
quando si considera solo una parte dell'interazione e che questa
simmetria viene ripristinata (unitariamente) quando si tiene conto
delle perturbazioni.  Oppure puo' accadere
esattamente il contrario.
Il problema e' che tutti  calcoli sono formali perche' normalente le
serie
perturbative divergono e questo e' dovuto al fatto che le teorie senza
perturbazione e
con perturbazione non coesistono nello stesso spazio di Hilbert (si
hanno rappresentazioni NON unitariamente equivalenti della stessa
algebra di osservabili).
Ciao, Valter

Seconda puntata.
Abbiamo visto che per l'i-esimo sottosistema l'algebra A_i delle
osservabili consiste delle combinazioi (complesse) di I_i, x_i, y_i,
z_i. E' dunque un'algebra (complessa) di dimensione 4.
Se consideriamo un insieme _finito_ F di sottosistemi, \`e naturale
definire la corrispondente algebra A_F come la chiusura lineare
dell'insieme di prodotti del tipo
\prod_{i \in F} w_i con w_i \in {I_i, x_i, y_i, z_i}.
Si vede che A_F ha dimensione 4^{|F|}.
Le algebre cosi' costruite le chiamiamo "algebre locali" e hanno delle
proprieta' interssanti:
1. Se F e' contenuto in G, allora A_F e' una sottoalgebra di A_G.
2. Se F e G non hanno elementi comuni, allora A_F e A_G sono entrambe
sottoalgebre di A_K, essendo K l'unione di F e G, e commutano. In
altri termini, A_F e' sottoinsieme del "commutante" A'_G di A_G in
A_K, e viceversa.
La 2 e' interessante perche' se intendiamo, come ho detto, gli indici
i come coordinate su una retta, acquista un'interpretazione che
ricorda la _commutativita' locale_ dei campi in una teoria
relativistica. E vedremo che ha anche conseguenze dello stesso tipo di
quelle che si trovano in una teoria dei campi "seria".
Ora bisognerebbe definire l'algebra A delle osservabili per l'intero
sistema. Come primo passo, si puo' pensare all'unione di tutte le
algebre locali; chiamiamola A_{loc}.
Questa pero' non e' soddisfacente dal punto di vista topologico,
perche' non e' chiusa nella topologia indotta dalla norma delle A_F.
Ma di nuovo, nessun problema: basta prenderne la chiusura: la
chiamero' semplicemente A.
A ha tutte le proprieta' che si possono desiderare: e' un'algebra di
Banach per costruzione, e' anzi una C^*-algebra. Ma per ora almeno non
faremo uso di questa proprieta' e quindi non mi preoccupo di darne
una definizione.
Mi limito solo a osservare che per costruzione A consiste di operatori
definiti sullo spazio di Hilbert H' (quello separabile) e per di piu'
di operatori _limitati.
Ci si puo' chiedere se li contiene tutti: la risposta e' _no_, ma non
e' banale arrivarci...
Allora ci si puo' chiedere perche' limitarsi ad A, e non ammettere
come algebra delle osservabili semplicemente quella di *tutti* gli
operatori limitati su H'.
Per la risposta dovrai aspettare la prossima puntata...
Intanto un'osservazione: il fatto che A contiene solo operatori
limitati puo' apparire un'eccessiva restrizione, visto che cosi' si
esclude addirittura l'hamiltoniana E.
Ma in realta' non c'e' da preoccuparsene, perche' se in A non ci sta
E, ci stanno pero' tutti gli operatori unitari T(t)=exp(iEt) per ogni
t reale, ossia le traslazioni temporali.
Il che basta, da un lato perche' le traslazioni temporali determinano
l'evoluzione nel tempo del sistema, ma anche da un punto di vista
matematico, perche' il teorema di Stone ci dice che la conoscenza dei
T(t) determina H.
Fine della seconda puntata.


 
Questo e' un punto molto delicato e dipende dal livello in cui ti poni.
Prima ho intravisto una C*-algebra. Uno potrebbe mettersi (e credevo
che tu stessi per farlo) ad un livello del tutto astratto e dire che
le osservabili sono elementi di una C*-algebra astratta senza fare
riferimento ad uno spazio di Hilbert e poi lavorare nel formalismo algebrico.
Pero' a questo livello quello che dici sopra sul teorema di Stone non sarebbe
utile perche' il teorema di Stone vale nella topologia forte e non in quella
uniforme. In altre parole, per recuperare nell'algebra  anche le cariche (e
mi pare questo il punto) della teoria, cioe' gli operatori  che generano i gruppi
ad un parametro devi prima fissare uno stato e fare la ricostruzione GNS.
Alternativamente, se le cariche le vuoi da subito come elementi dell'algebra
astratta, non puoi lavorare con una C*-algebra, dato che in generale
non sono, quando rappresentate in spazi di Hilbert, operatori limitati.
Ciao, Valter


 CAR. Ma ora siamo gia' con una quantita' infinita di gradi di liberta'
Ovviamente volevo scrivere CCR (canonical commutation relations) e non CAR
(canonical ANTIcommutation relations) ...
Ciao, Valter.

                                 
Sia 1_i  l'autostato non fondamentale di norma 1 di ogni spazio di 
H_i(mentre 0_i è quello fondamentale),
consideriamo la successione {U_n} nello spazio prodotto dove
  U_n= 1_1 x 1_2 x...x 1_n x 0_(n+1) x... allora:
  ||U_n||=1
  E U_n=n U_n
||E U_n||=n
quindi non esiste nessun C tale che ||E U_n||<C||U_n|| ergo l'operatore 
non è limitato.
ciao
   Paolo


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


 


 l'operatore non è limitato.
Che definizione di norma hai usato?
Vedi il post precedente...


 dimensioni trasversali.
Mica vero: quarta potenza. Quindi funziona.


 algebrico.
Vero, ma qui stai anticipando cose che volevo dire dopo.
O meglio, che pensavo di poter dire dopo. La rilettura del lavoro di
Streater mi ha fatto venire l'atroce dubbio che non sia possibile.
Se e cosi', tutta la linea didattica per la quale mi sempbrava utile
proporre questo modello va a farsi benedire.
Debbo pensarci...



 



 



 


 Ok.Perchè la base avrebbe dovuto essere numerabile.
Ehm, questo e' l'inciampo logico a cui mi riferivo. Io direi:
"perche' se lo spazio fosse separabile non avrebbe potuto
aver base non numerabile". E' equivalente con quel che dici
dunque su questo siamo d'accordo.
Per contro, pero', quello che Fabri sembra indicare e' che la base
di uno spazio vettoriale topologico non separabile non puo'
essere numerabile. Questo mi sembra di piu' dell'affermazione
che abbiamo concluso. Mi sembra l'inverso logico: se la base
e' numerabile lo spazio e' separabile. So questo se lo spazio e' metrico.


 Ciao, Valter

                   
Io credo che basti usare algebre di von Neumann invece di C*-algebre.
Aspetto il seguito comunque, ciao, Valter


 Fuocherello?
Fuocherello!  Ma ci sono dei casini immensi perche' tutti i calcoli
sono "sporcati" dalla procedura della "rinormalizzazione": per esempio
H_0 e H_0+H_1 non possono coesistere nello stesso spazio di Hilbert,
per cui non si capisce bene cosa si sta facendo...
Ciao, Valter


   Ho cercato di leggere rapidamente la definizione di Streater
   di prodotto tensoriale infinito sull'articolo citato da Elio.
   Non ci ho riflettuto molto, perche' non ho tempo, ma quella
   definizione, cosi' come e' scritta e' per lo meno incompleta.
   Non e' per nulla ovvio come definire le combinazioni lineari
   di elementi dello spazio prodotto tensoriale infinito!
   Sembra intuire, da quanto si legge, che la somma di due sequenze
   infinita, che per la definizione data dovrebbe dare
   ancora una sequenza infinita, sia quella termine a termine.
   Se e' cosi' non funziona: non si riduce al prodotto tensoriale
   solito quando i fattori sono finiti, ma si riduce alla somma
   diretta che e' tutt'altra cosa!!! Manca questa definizione.
   Altra manchevolezza: mi aspetterei che io possa spostare
   un fattore scalare da un fattore ad un altro in un
   prodotto tensoriale di vettori. Di consequenza ci sono molte
   sequenze infinite che identificano lo stesso prodotto tensoriale;
   bisognerebbe quozientare lo spazio rispetto alla relativia relazione
   di equivalenza.
   Conclusione: non ho capito cosa sia la definizione che pretende di dare
   Streater. Forse leggendo il lavoro citato di von Neumann...ma non ho
   tempo.
   Ciao, Valter

 ho tempo.
Stamattina ho deciso di spenderci un po' del mio tempo di quasi
pensionato :)
Sono andato in Normale, dove hanno i "Collected Works" di von Neumann,
e nel vol. 3 ho trovato un malloppo di almeno 50 pagine, intitolato "On
infinite tensor products"...
Peccato che sia praticamente illeggibile. Avendo un mucchio di tempo e
di voglia, e mettendosi a studiarlo con molta calma...
Ma solo a sfogliarlo fa paura, perche' quasi non ci sono parole: solo
simboli e formule.
Ho cercato di trovare se c'era un punto dove si avvicinasse alla
questione, e mi e' sembrato di capire (beh, "capire" e' troppo :) )
che l'approccio non sia tanto diverso da quello di Streater, il che e'
logico, visto che lo cita.
Ma alla fine ho restituito il volume e me ne sono tornato, come si
diceva una volta, "con le pive nel sacco" :-)
Pero' nel pomeriggio mi sono messo a pensare un po' a quello che dice
Streater, e forse non e' cosi' assurdo.
Al momento non so essere piu' preciso. Vedremo...


 diretta che e' tutt'altra cosa!!! Manca questa definizione.
Se fosse come dici allora avresti un'assurdo in piu':
cioe' potresti definire il multiplo di un vettore dello spazio
come il vettore in cui ogni componente e' moltiplicata per
la stessa costante. Allora e' evidente che non avresti definito
una norma moltiplicando le norme delle singole componenti.
Potrebbe funzionare se considerassi una definizione di media
geometrica. Ancora funzionerebbe se considerassi solo vettori
normalizzati. Quel di cui non mi sono ancora completamente
convinto, vista anche la vostra esitazione, e' se sono equivalenti.
Passando per i logaritmi si puo' dar un significato alla convergenza,
questo ricorrendo alla nozione di convergenza assoluta per le
serie. In caso contrario se non ci fosse il teorema di riordinabilita'
il prodotto potrebbe essere definito in modo non univoco.
Ora a me sembra che si possono considerare anche altre nozioni
di prodotto.
L'ultimo punto su cui mi trovo in difficolta' e' quello che dice Elio:
i vettori con numero finito di componenti non nulle formano un insieme
numerabile. Questo e' vero, come lo sono i numeri razionali. Il
punto e' che questi vettori sembrano essere densi nello spazio
costruito. Questo si verifica anche quando si passa dalle funzioni
qualsiasi alle funzioni continue. Pero' in questo caso e' piu' strano
Infatti adottando la definizione di media geometrica, ad esempio, si
ha una nozione di norma a prima vista piu' debole di quella che vincola
alla restrizione proiettiva. Il problema che puo' essere formidabile
e' capire che vincoli impone la convergenza della media geometrica.
Si possono infatti costruire funzioni monotone crescenti e senza
asintoto con media geometrica limitata? Questo no. Pero' si possono
costruire funzioni che opportunamente riordinate possono mostrare
media divergente. E' sufficiente mescolare la sequenza degli interi
con una funzione costante e mettere gli interi solo sporadicamente.


 
Io non ci avevo fatto caso che il risultato era una produttoria di
infiniti termini!
Se proprio devo essere sincero mentre riguardavo gli appunti di
metodi, proprio vicino alla definizione di spazio separabile c'era
quella di somma diretta di spazi di Hilbert e mi ero messo a vedere se
questo fosse il caso.
 
Qui viene pero' un ulteriore dubbio ben piu' banale: come si definisce
il prodotto per uno scalare? e' sufficiente fare il prodotto per uno
scalare per un vettore su un singolo sito reticolare? k*U=...(x)
k*u_i-1 (x) u_i (x) u_i+1 (x)..  (pero' temo sia una definizione un
pochetto ambigua, in qualche modo si deve specificare per quale sito
reticolare va moltiplicato il k )
Se fosse cosi' non sarebbe sufficiente prendere solo i vettori sono
composti in questo modo:
U=...(x) u_i-1 (x) u_i (x) u_i+1 (x)...
Tali che solo un numero finito di u_j ha norma diversa da 1?
In questo modo la produttoria da infiniti termini diventa in pratica
una produttoria di finiti termini moltiplicata per 1^oo (che sebbene
assomigli a una forma di indeterminazione non lo e' in quanto non ho
f(x)-->1 g(x)-->oo e f(x)^g(x) ma "esattamente" 1^oo e mi pare possa
essere definito senza ambiguita' come 1^oo=1).
Con una definizione del genere (ammesso che sia sensata) il tentativo
di prova che avevo fatto per dimostrare che E non e' limitato sembra
andare abbastanza bene.
ciao
  Paolo

 reticolare va moltiplicato il k )
Fino qui ci sono arrivato.
L'ambiguita' che dici non c'e', o se preferisci la elimini col solito
trucco del quoziente.
Nota che avresti lo stesso problema anche per un numero finito di
spazi, anche due: se {f1,f2} e' una coppia, con f1 \in H1 e f2 \in H2,
allora {c*f1,f2} e {f1,c*f2} sono lo stesso vettore nel prodotto
tensoriale di H1, H2.
Quindi la risposta e': prendi una successione {c_i} di scalari, tale
che \prod |c_i| < \infty. Allora la successione {c_1*f_i} rappresenta
il prodotto di {f_i} per lo scalare \prod c_i.
Avrei anche una mezza idea per la somma di due vettori. Direi che
bisogna allargare lo spazio, e questo e' ovvio. Partirei cosi':
Siano f={f_i}, f'={f'_i} due successioni che differiscono solo per un
insieme I finito di valori di i. Allora la coppia g={f,f'} la chiamo
_somma_.
E' importante come definisco su questa somma il prodotto scalare, ma
e' anche ovvio: se h={h_i}, definisco (g,h) = (f,h)+(f',h). (Notate
che per la propr. distributiva tutti i termini del prodotto infinito
che non vengono da I si rattorizzano.)
Dopo di che si estende in modo ovvio alle combinazioni lineari di un
numero finito di termini, e poi si fa il completamento (stavolta non
ci sono cascato ;-) ).
Che ne dite, ci siamo?


 andare avanti?
Per andare avanti intendevo anche risolvere quel problema!
1> Avrei anche una mezza idea per la somma di due vettori. Direi che
2> bisogna allargare lo spazio, e questo e' ovvio. Partirei cosi':
3> Siano f={f_i}, f'={f'_i} due successioni che differiscono solo per un
4> insieme I finito di valori di i. Allora la coppia g={f,f'} la chiamo
5> _somma_.
E se  differiscono per un numero infinito di valori?
Hai tanti spazi di Hilbert differenti a seconda dell'andamento "definitivo"
(in senso matematico) dei fattori? Mi pare che fosse proprio questo
fatto, se non ricordo male, che per Haag portava alla fine a rappresentazioni
inequivalenti delle CCR (che qui pero' non ci sono)...
1> E' importante come definisco su questa somma il prodotto scalare, ma
2> e' anche ovvio: se h={h_i}, definisco (g,h) = (f,h)+(f',h). (Notate
3> che per la propr. distributiva tutti i termini del prodotto infinito
4> che non vengono da I si rattorizzano.)
5> Dopo di che si estende in modo ovvio alle combinazioni lineari di un
6> numero finito di termini, e poi si fa il completamento (stavolta non
7> ci sono cascato ;-) ).
8> Che ne dite, ci siamo?
Forse si, ma non ho piu' tempo per discutere, il mio collega e' tornato
dall'estero e ricominciamo a lavorare. Ciao, Valter

 normato possa non risultare chiusa.
(cut)
No, era semplicemente una questione di logica,
non si dubita del teorema del grafico chiuso, ma
precisavo che la chiusura deve essere fatta in uno
spazio ambiente gia' esistente che invece Elio doveva ancora definire.
Il completamento serve a definire tale spazio. E' vero che
una volta che hai definito il comnpletamento C a partire
da uno spazio S, la chiusura di S in C e' proprio, per
costruzione C. Ma le due nozioni sono logicamente differenti.
Sara' un limite mio, ma di tutto il resto che hai scritto
non ho capito proprio niente...(senza offesa)
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
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