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Titolo: Problema di interpretazione di un processo stocastico

Stavo riflettendo una volta di piï¿œ sul seguente problema. Immaginiamo 
di avere un sistema statistico a due livelli, ad una assegnata 
temperatura. Sappiamo che se la popolazione del livello fondamentale ï¿œ 
1 quella dello stato eccitato si stabilizza ad exp(-E/kT).
 
Consideriamo adesso il problema dal punto di vista dinamico. 
Immaginiamo di osservare il sistema ad intervalli di tempo stabiliti. 
Quello che ci dice la condizione di equilibrio ï¿œ quanto vale il 
rapporto fra le probabilitï¿œ di transizione dal livello 1 al 2 e dal 
livello 2 all'1. E cioï¿œ p12 = p21 exp(-E/kT). In modo che si abbia: 
(1-p12) p1 + p21 p2 = p1 nonchï¿œ p12 p1 + (1-p21) p2 = p2.
 
La matrice di transizione in tempo discreto sarï¿œ:
 
1-pq , q
pq   , 1 - q
 
dove q = p21 e p = exp(-E/kT).
 
La matrice ha certamente l'autovalore 1, e poi un autovalore che misura 
il rate di convergenza all'equilibrio pari ad 1- pq-q.
 
Se per esempio scelgo p = 1/3 e q = 0.1 dopo 20 iterazioni la matrice ï¿œ 
giï¿œ molto prossima a quella asintotica (fatta di due colonne con 
popolazioni 3/4 ed 1/4). Infatti (1-2/15)^20 = 0.05 che misura il 
residuo margine di disequilibrio.
 
Quindi in questo caso mi sembra che tutto funzioni piï¿œ o meno a 
puntino.
Ora voglio aggiungere un nuovo ingrediente. Voglio cioï¿œ che quando il 
sistema ï¿œ nel livello eccitato oltre alla probabilitï¿œ di tornare al 
fondamentale si accenda anche una probabilitï¿œ di fuga. In questo caso 
imposto la matrice stocastica introducendo un livello 0, fittizio, che 
rappresenta lo stato di uscita. La matrice di transizione in questo 
caso ï¿œ la seguente:
 
1    0       e
0    1-pq    q
0    pq      1-q-e
 
cioï¿œ dal livello 2 si puï¿œ andare al livello 0 con probabilitï¿œ e mentre 
dal livello 0 non si puï¿œ tornare al nessuno dei livelli 1,2. Per il 
livello 1 assumo che la situazione sia invariata, cioï¿œ dal livello 1 si 
puï¿œ andare al livello 2 e solo dal livello 2 si puï¿œ accedere al canale 
di uscita, essenzialmente trascuro gli effetti tunnel per il livello 1, 
mentre li ammetto per il livello 2.
 
Adesso la situazione ï¿œ un poco piï¿œ complicata da analizzare 
numericamente per il fatto che la popolazione del livello 0 tende, dopo 
un poco a dominare la scena, ma comunque con duecento interazioni i 
risultati sono ancora leggibili e ponendo gli stessi numeri di prima, 
con in piï¿œ e = .1 trovo che il rapporto fra la popolazione del livello 
1 e quella del livello 2 ï¿œ piuttosto lontana dal valore 3, ed ï¿œ anzi 
intorno ad un tondo 5.54. Ed ï¿œ stabile.
 
Dal punto di vista analitico gli autovalori sono delle bestiole cubiche 
di non semplice analisi. Wolfram alpha tuttavia nel caso specifico 
calcola autovalori ed autovettori. In particolare gli autovalori sono 
1, 0.9847, 0.7819... Il secondo ed il terzo riguardano il transiente, 
tuttavia se siamo interessati a conoscere il valore del rapporto fra le 
popolazioni nel primo e nel secondo livello del sistema dobbiamo 
guardare all'autovettore relativo al secondo autovalore e troviamo:
 
5.5413...
 
Quindi indubbiamente avere inserito un tasso di estinzione 
confrontabile con il rate di promozione dal secondo al primo livello 
altera significativamente il rapporto fra le popolazioni per quasi un 
fattore 2. Il che ï¿œ intuitivamente un risultato sensato. Che argomenti 
qualitativi si potrebbero addurre per rendere conto in modo 
approssimato di questa variazione. Cioï¿œ di quanto va corretto il 
fattore di Bolzmann in queste situazioni di non equilibrio?
 
Un altro esempio numerico: con e = 0.01 risulta allora che il rapporto 
di popolazione diventa 3.22... con e = 0.001 3.023...
 

bello! :) non avevo mai usato questa chiave di lettura :)
non saprei rispondere, ma cos� mi sembra che k nn sia pi� una costante; mi spiego.
 
 
Essa lo sarebbe solo nel caso in cui la "fuga" verso lo stato fittizio assuma quel carattere reale che le permette un possibile rientro futuro, in sostanza il bagno termico. Mi pare che se il sistema ha questa membrana permeabile in una sola direzione il ragionamento su cui la statistica di MB si fonda perde di consistenza, nn saprei se poi la stessa 
eq.ne
 contestualmente alla k costante soffre dello stesso male.