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Titolo: aiuto: spazio L^2 e suo duale

Lo spazio di Hilbert L^2 e il suo spazio duale sono o non sono
isomorfi? 
Io penserei di no, in quanto, ad esempio, non vedo quale possa essere
il corrispondente in L^2 di un funzionale lineare che associa a una
funzione a quadrato sommabile la sua trasformata di Fourier in un
punto.
Ma da qualche parte ho letto invece che sono isomorfi...
Qualcuno puo' aiutarmi?

 Qualcuno puo' aiutarmi?
  Il funzionale che citi non ammette rappresentazioni come elemento
  del duale PERCHE' E' UN FUNZIONALE NON LIMITATO e nel duale si
  rappresentano solo i funzionali limitati.
 
  Nel caso in esame se per definire l'integrale di Fourier usi
  l'esponenziale exp{ikx}, allora considera la classe di funzioni
  (n=0,1,2....) di L^2(R)
 
             O per x<0 e x>n
 f_n(x) = 
             exp{-ikx}/(x+1) altrimenti
   Indicata con F(k, g) la trasformata di Fourier della funzione
   g calcolata in k, hai subito che ( || || e' la norma di L^2)
    | F(k,f_n) |
    ------------  ----> infinito se n --> infinito
      ||f_n||
 
   Questo prova che il funzionale non e' limitato e fine della 
   discussione.
  In realta' c'e' anche un altro motivo
. Il funzionale che dici non e'
  nemmeno definito in quanto la trasformata di Fourier non e'
  definita su L^2, ma devi estenderla in quella di Fourier-Plancherel.
  Quest'ultima mappa elementi di L^2 in elementi di L^2, come ben
  saprai gli elementi di L^2 sono classi di equivalenza di funzioni
  a quadrato sommabile, ovvero sono funzioni a quadrato sommabile
  definite a meno di insiemi di misura nulla. Pertanto non ha alcun 
  senso parlare del risultato di tale trasformazione calcolato in un 
  punto, visto che il punto ha misura nulla!
  Ciao, Valter  Moretti

  definita su L^2, ma devi estenderla in quella di Fourier-Plancherel.
Questo lo sapevo :)
Adesso il discorso dovrebbe "tornarmi" anche nell'applicazione di
questo in meccanica quantistica (ditemi se sbaglio!):
L^2 e' isomorfo al suo duale; pero' se ci limitiamo a considerare un
suo sottospazio S fatto di funzioni che presentino certe condizioni di
regolarita' il duale di S non sara' piu' isomorfo a S perche' ad
esempio il funzionale "trasformata di Fourier-Plancherel" sara'
limitato e continuo su S; percio' ci saranno elementi del duale di S
che non corrispondono ad elementi di S (bra che non corrispondono a
ket propriamente detti). Vero?

 
  Ciao, ora devo scappare e ti rispondo domani, pero' non ho
  capito se hai capito che limitato e continuo significa
  la stessa cosa nel contesto in cui stai lavorando.
   Quindi io ti ho dato la prova della NON continuita'.
  Ciao, Valter

 ket propriamente detti). Vero?
E'un po'  confuso quello che dici, vediamo in dettaglio.
Premessa: un funzionale (lineare) manda elementi di uno spazio
vettoriale nel suo corpo (preservando la linearita'), cioe' vettori 
in scalari.
          un operatore (lineare) manda vettori di uno spazio vettoriale 
in vettori di (un altro in generale) spazio vettoriale
(in modo lineare).
Il *funzionale* trasformata di F-P non esiste come detto sopra!
Esiste solo l'*operatore* trasformata di F-P.
Il funzionale trasformata di Fourier *esiste* come detto sopra 
quindi bisogna lavorare con esso in opportuni sottospazi.
Andiamo avanti.
Prendiamo un sottospazio S di uno spazio di Hilbert H, il duale di S
e' dato da tutti i funzionali lineari e continui (=limitati) da S
nel corpo K di H. Ricordo che il teorema (uno dei tanti) di Riesz prova
che H stesso e' anti-isomorfo al suo duale. Se S e' un sottospazio
proprio di H, in generale il duale di S non   e' piu' anti-isomorfo a S
stesso: il duale e' molto piu' grande, di esempi ne puoi fare tantissimi
e li lascio a te. Comunque la prova generale e' ovvia, l'ortogonale di S
che  non contiene solo il vettore nullo e non coincide con  S  (S e'
proprio), contiene vettori che agiscono come funzionali (banalmente!)
continui su S e non sono identificabili con elementi di S.
Torniamo a S. Prendiamo per H  lo spazio 
L^2(R). Questo spazio e' fatto di *classi di equivalenza* di funzioni
e' solo in tal caso che e' *completo* ed e' quindi uno spazio di Hilbert
e possiamo usare i fatti di sopra. La relazione di equivalenza
e' quella che identifica funzioni che differiscono su insiemi di misura 
*di Lebesgue* nulla.
Ora tu prendi un sottospazio S nel quale ha senso calcolare l'integrale
di Fourier, ce ne sono effettivamente tantissimi. Prendi
per esempio la classe di equivalenza generata da una funzione misurabile
nulla fuori da un compatto e quindi considera lo spazio
lineare S generato da tale vettore. Il funzionale di Fourier valutato
su un elemento del sottospazio detto (fissato un preciso 
"vettore d'onda k") e' ben definito: se cambi rappresentante della
classe di equivalenza il suo valore non cambia
E' immediato verificare che il funzionale di Fourier e' continuo su tale
sottospazio.
Comunque anche se prendessi un sottospazio S in cui la
trasformata di Fourier valutata per un certo k definisce un funzionale
continuo, sicuramente ci sarebbero degli elementi del duale di S non
rappresentabili in S stesso, pero' nessuno ti assicura che cio' accada
per il funzionale di Fourier! Potrebbe comunque essere rappresentato
da un elemento di S. Nell'esempio considerato cio' e' ovvio.
Ti faccio anche un esempio opposto.
Basta che prendi per esempio lo spazio ottenuto delle funzioni continue
su R ed a supporto contenuto in un determinato intervallo limitato C =
(a,b). 
Il sottospazio S di L^2(R) e' ora dato dalle classi di equivalenza
dell'insieme delle funzioni dette. 
Ciascuna classe e' ottenuta da una funzione continua detta sopra 
cambiandone il valore  in un qualsiasi insieme di misura  nulla in C.
Ora, tenendo conto che la funzione esponenziale a k fissato e' in 
L^2(C), usando la disuguaglianza di Schwarz provi subito che il
funzionale di Fourier  e' continuo (nella topologia di L^2(R)) nel
sottospazio S considerato.
Quindi abbiamo un sottospazio (proprio e non chiuso) in cui il
funzionale di Fourier e' continuo. Tale funzionale NON sara'
rappresentabile   come un elemento di S: e' facile provare che  tale
elemento sarebbe infatti l'esponenziale stesso ristretto a C (con k
cambiato di segno), e' pero' impossibile modificare in un insieme di
misura nulla su C l'esponenziale ristretto a C, in modo da ottenere una
funzione continua  su R. Quindi siamo fuori da S!
In effetti il funzionale di Fourier e' rappresentabile, tramite 
l'esponenziale ristretto a C, come un elemento della CHIUSURA di S che
non coincide con S perche' S per esempio non contiene i punti limiti
dati dalle funzioni a gradini nulle fuori da C.
 Spero di esserti stato di aiuto e di non aver detto cose sbagliate
 negli esempi che ho costruito "a mano" senza pensarci tanto
 (non ho molto tempo),
  Ciao, Valter Moretti
        Dipartimento di Matematica
        Universita' di Trento e INFN

  Ciao, come temevo un'imprecisione mi e' sfuggita (anche banale)
  ho detto che se il sottospazio S di H spazio di Hilbert e' proprio
  allora l'ortogonale di S  e' non banale (cioe' contiene qualcosa oltre
  il vettore nullo). 
  Questo e' impreciso: per avere l'ortogonale non banale e' la CHIUSURA
  di S che deve essere un sottospazio proprio. Infatti se S e' PROPRIO, 
  ma DENSO in H e` ovvio che l'ortogonale contiene solo il vettore 
  nullo (infatti, l`ortogonale di S coinciderebbe con l`ortogonale di tutto 
  H a causa della continuita` del prodotto scalare...)
  Comunque, per il tuo problema non cambia niente!
  Ciao, Valter
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