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Titolo: Geometria non euclidea

Dal libro Gravità e spazio-tempo di John A. Wheeler :
 
 
 
 
<Le meditazioni del grande matematico Gauss sul problema della curvatura non presero le mosse da sfere ideali disegnate sulla carta, ma da concrete misurazioni effettuate sulla superficie terrestre. Incaricato nel 1827 di eseguire un rilievo topografico della regione circostante Gottinga, egli scoprì che la somma degli angoli interni del triangolo di rilevazione era maggiore di 180°. Su una superficie piana la somma dei tre angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180° . Lo scarto osservato da Gauss era di circa 15 secondi di arco, cioè 1/240 di grado, costituiva tanto una indiscutibile prova della curvatura terrestre quanto la sua misura>.
 
C'è da rimanere affascinati,era l'anno 1827 ! 
Ma quali strumenti scientifici aveva allora Gauss per poter rilevare uno scarto di 1/240 di grado ?
 
Bruno

brunoh...@gmail.com
 ha scritto:

Si vede che non hai idea di quello che si riusciva a fare con gli
strumenti ottici del tempo.
In quegli stessi anni si poterono vedere deviazioni della posizione di
Urano da quella calcolata, con incertezza inferiore al secondo.
Quelle deviazioni portarono alla scoperta di Nettuno nel 1846.
 
Ciò che non mi torna nel discorso di Wheeler (non conosco il libro: mi
debbo fidare di te e prima del traduttore) è che le tecniche
geodetiche allora e anche ora consistevano di triangolazioni tra punti
fissi (di solito cime di monti) sulla superficie terrestre.
Partendo da una base misurata "col metro" e dalle misure di angoli di
sucessivi triangoli si arrivava a determinare le distanze tra punti
anche molto lontani, tra loro non accessibili agli strumenti.
E naturalmente a quei triangoli si applicava la trigonometria (quindi
la geometria euclidea): non c'erano triangoli in cui la somma degli
angoli interni fosse diversa da 180°.
Casomai quello che poteva succedere (e succedeva di certo) era una cosa
diversa.
 
Considera una triangolazione finita, ossia formata da un numero finito
di triangoli adiacenti sulla sup. terrestre.
Complessivamente questi triangoli formano una porzione di superficie a
forma di poligono con molti lati.
La geom. euclidea del piano dice quanto vale la somma degli angoli
interni di questo poligono: se i lati sono n, la somma è (n-2)*180°.
 
Ma ciascun angolo interno è a sua volta la somma di angoli interni
(misurati) dei triangoli che hanno un vertice in comune.
Quindi tutti gli angoli interni sarebbero noti e si può verificare se
la somma torna.
 
In realtà su una sfera si sapeva benissimo che cosa aspettarsi: invece
del risultato euclideo, la somma degli angoli interni del poligono
doveva essere in eccesso per A/R^2 (radianti), dove A è l'area del
poligono e R il raggio della sfera.
Ho fatto la prova all'inverso: prendendo i tuoi 15" come eccesso, A
mi viene 3000 km^2, che è ragionevole. E' l'area di un rettangolo di
lati 50 e 60 km.
E fin qui nessuna sorpresa, era un risultato noto da secoli (e anche
il raggio della Terra era noto da un bel po'.
Quindi che cosa poteva indurre Gauss a meditare, come dice Wheeler?
 
Avendo a portata di mano le "Disquisitiones generales circa
superficies curvas" (giusto 1827) si potrebbe cercare se Gauss lo
dice.
Purtroppo il libro non sembra accessibile liberamente: bisogna
comprarlo o meglio cercare in quelche biblioteca universitaria.
Quindi posso solo fare congetture.
 
Potrebbe darsi che Gauss si sia chiesto: ma se la superficie non è una
sfera (e di fatto la Terra non lo è) che cosa canbia nel risultato
circa l'effetto sferico?
Questo di sicuro si trova in quel libro.
 
Come vedi ho dovuto assumere che il racconto di Wheeler sia solo
vagamente vicino alla realtà storica.
Non che mi meravigli: sebbene Wheeler sia stato un grande fisico
teorico, era pur sempre americano, ed è noto che gli americani hanno
una scarsissima dimestichezza con la storia.
 
 
-- 
Elio Fabri

 che cosa canbia nel risultato circa l'effetto sferico?
ma dovevo scrivere *eccesso* sferico.
Sorry.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Quindi posso solo fare congetture.
 
I diritti d'autore sono scaduti :), dovrebbe essere questo
 
https://archive.org/details/disquisitionesg00gausgoog
 
 
 
-- 
 
Franco
 
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 una scarsissima dimestichezza con la storia.
 
L'ingenuo non e' Gauss, ma Wheeler...
Il co-autore di "Gravitation" ha perso una buona occasione per tacere!  :-)
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)