Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Differenza tra conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia

Come si potrebbe spiegare la differenza tra la legge della -
conservazione dell'energia- e la legge della - conservazione della
quantità di moto - ?
Umberto


http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_conservazione
e' fatta bene.... inizia da li'
anche perche' io non ho capito cosa stai chiedendo.... o per lo meno
ho capito ma voglio pensare di aver capito male... perche' la domanda
mi sembra troppo banale


La prima discende dall'invarianza della lagrangiana per traslazioni
nel tempo, la seconda dall'invarianza della lagrangiana per
traslazioni nello spazio.
--
cometa-luminosa

 traslazioni nello spazio.
Sei sicuro che l'op sa cosa sia una lagrangiana? E comunque non è
detto che sappia ricavare dall'invarianza una corrente conservata, la
cosa è evidente nei sistemi di coordinate "furbe" in cui alcune
coordinate diventano cicliche, ma in generale non è proprio
banalissimo!
--
Ciao Neo

 wrote in message 
news:84a7cf2a-2128-42d6...@a19g2000vbi.googlegroups.com...

Probabilmente vuole capire, come me, la relazione tra -collisioni elastiche 
e non elastiche-  e -collisioni istantanee e non istantanee- con i concetti 
di conservazione della q.d.m. e conservazione dell'energia mecc.
Salva 


Lui ha fatto una domanda e io gli risposto nel modo che a me pareva
piu' semplice. Se poi intendeva qualcos'altro, dovra' specificarlo
lui, io non lo conosco e non so che competenze abbia.
Ciao.
--
cometa_luminosa

 di conservazione della q.d.m. e conservazione dell'energia mecc.
guarda... questi non sono concetti astrusi... sono evidenze.
Cioe' dopo aver analizzato tantissimi fenomeni ci si e' resi conto che
nella realta' con l'evoluzione dei sistemi fisici potevano essere
isolate delle grandezze... che durante tali trasformazioni non
venivano modificate! [o per lo meno.... non venivano modificate in
maniera evidente]
Cioe' alcune <<grandezze>> fisiche, e misurabili, si conservavano
lungo l'arco dei fenomeni.
Questa e' una cosa.
Ora negli urti si evince palesemente una siffatta caratteristica....
2 biglie molto rigide quando urtano, ad esempio palle da biliardo,
evidenziano questa conservazione....
ma da dove discende tale <<proprieta'>> delle cose della natura a
conservare, sia l'energia che la quantita' di moto?
O wikipedia, che e' fatta bene... in inglese soprattutto.... oppure il
Landau, vol. 1, meccanica. Li' trovi quello che cerchi.... io al
limite ti potrei ripetere in breve (e pure male) quello che mi ha
indirettamente insegnato Landau: pero' dimmi tu come sei preparato a
riguardo?
Cosi' ti calibro la dissertazione

 Cosi' ti calibro la dissertazione
Ad esempio : una corpo di massa m si muove con velocita' costante v = vi + 
uj .
Si scontra con un'altro corpo di uguale massa e fermo.
Supponendo che i due corpi, dopo lo scontro, si muovono uno in direzione 
parallela all'asse y e l'altro in direzione dell'asse x, a che velocita' V1 
e V2 si muoveranno ?
Pensavo dipendesse dalla " istantaneita'" dello scontro, ma pare di no.
Visto che non intervengono altre forze varrebbe il principio della 
conservazione della quantita' di moto, quindi
V1 = v , V2 = u .
Ma, se i due corpi fossero due masse di morbida plastilina, lo scontro non 
sarebbe istantaneo !
.... boh !!!
Thanks.
Salva


Lasciando da parte il merito della domanda dell'op, che comunque è una
domanda impegnativa che richiede qualche ulteriore specificazione, mi
sembra che tu stia facendo confusione fra la possibilità offerta da
quelle che chiami coordinate furbe di riconoscere una invarianza della
lagrangiana  con l'esistenza dell'invarianza. Mentre mi sembra che
Cometa Luminosa non tenga conto del fatto che l'invarianza per
traslazioni temporali di una lagrangiana implica in generale la
conservazione della funzione di hamilton non necessariamente
dell'energia cinetica, per esempio la conservazione della componente
traslazionale dell'energia cinetica in un sistema meccanico su cui non
agiscono forze esterne  è una diretta conseguenza della conservazione
dell'impulso del centro di massa il che permette di dedurre la
conservazione di P^2/2m (in termini hamiltoniani la cosa ha a che fare
con la circostanza che la commutazione dell'hamiltoniana con l'impulso
implica la commutazione dell'hamiltoniana con P^2 per via della regola
di Leibniz).
Tuttavia la risposta di Cometa Luminosa può essere messa in ordine,
per esempio se si tiene conto del principio di relatività ristretta e
della richiesta che le equazioni della fisica siano covarianti
rispetto alle trasformazioni di invarianza per traslazioni spazio
temporali e si assume che la fisica fondamentale possa essere
ricondotta alla descrizione lagrangiana di campi in interazione.
Allora in regime di invarianza della lagrangiana per traslazioni
spazio temporali (a cui una lagrangiana conforme al principio di
relatività deve ottemperare) si ottengono una densità tensoriale nota
come tensore energia impulso, il cui integrale spaziale è conservato
nell'ipotesi di evanescenza dei campi all'infinito, e l'integrale
spaziale di questo che si chiama quadri-impulso. La componente
temporale del quadri-impulso è l'energia totale e per piccole velocità
si riduce alla somma della energia di massa invariante del sistema e
della tradizionale energia cinetica, ma questo fino al secondo ordine
di sviluppo delle velocità, ragione per la quale si trova opportuno
generalizzare la definizione di energia cinetica in modo che valga
anche in relatività ristretta. Il che si fa definendo l'energia
cinetica come la differenza della componente temporale del
quadrimpulso conservato e della energia di massa invariante che per
velocità piccole rispetto alla velocità della luce si confonde con
l'energia cinetica newtoniana. La componente spaziale è invece
l'impulso relativistico, che per velocità piccole rispetto alla
velocità della luce si identifica con l'impulso newtoniano.
Tornando invece alla questione che sollevavi l'obiezione formale è che
il teorema di Noether non richiede la ciclicità delle variabili per
essere applicato e determinare l'espressione dell'impulso conservato
in qualsiasi sistema di coordinate. Ad esempio se non erro r'
cos(theta) - r theta ' sen(theta) è la componente x della velocità in
coordinate polari ed è conservata.

 coordinate polari ed è conservata.
Ciao è vero che non lo richiede, ma si può provare che, se la
lagrangiana è invariante sotto un certo gruppo ad un parametro di
diffeomorfismi (assumendo che il gruppo agisca sulle q e che l'azione
sia rialzata alle q')  è sempre possibile scegliere localmente un
sistema di coordinate in cui il gruppo agisce muovendo una sola
coordinata Q
e lasciando fisse le altre. In tale sistema di coordinate l'invarianza
della lagrangiana corrisponde al fatto che quella coordinata Q è
ciclica. Per cui cisi può sempre ridurre al caso di coordinata
ciclica. Questo è uno dei modi possibili con cui si può dimostrare il
teorema di Noether.
Valter

 ciclica.
Ecco è esattamente quello che intendevo. Inoltre se hai una coordinata
ciclica le equazioni di Lagrange forniscono direttamente la quantità
conservata, ma se non c'è ma hai il gruppo di simmetria allora puoi
calcolarla lo stesso (ovviamente).
Il mio problema era che se l'op non sa niente di lagrangiane gli verrà
impossibile anche solo capire la sua risposta.
--
Ciao Neo

 sarebbe istantaneo !
No non lo sarebbe.... infatti gli urti possono essere piu' o meno
elastici...
L'elasticita'/anelasticita'   di un urto dice quanta energia del
sistema2palle  e' andata a finire nelle palle stesse (magari si sono
spaccate) e non e' piu' presente come <<movimento>> energia cinetica

 spaccate) e non e' piu' presente come <<movimento>> energia cinetica
Un urto puo' essere elastico e non istantaneo ? 

Certo, la "durata" dell'urto è il tempo durante il quale
due masse interagiscono. Alla fine dell'interazione,
se si ritrova tutta l'energia cinetica presente inizialmente
l'urto è stato elastico, altrimenti no.


 wrote:

d'accordo, fermo restando che ci siamo allontanati moltissimo dal tema
posto dall'op, mi sembra che il quadro ristretto alla specifica
questione sollevata da Cometa e Neo sia abbastanza nitido e che Neo
abbia chiarito di non essere stato in confusione al riguardo, tuttavia
mi chiedo ancora, indipendentemente dal caso specifico di cui si
parla: non è possibile che un sistema abbia più simmetrie indipendenti
che coordinate indipendenti? In quei casi per come uno scriva la
lagrangiana ci sarà sempre qualche costante del moto che gli sfugge, o
sbaglio? Per esempio il vettore di Lenz che deriva dall'invarianza per
riscalamento non mi sembra che sia facilmente evidenziabile in schema
lagrangiano, il che fa in qualche modo una differenza di genere fra
simmetrie che riguardano grandezze asintoticamente additive e generali
come le densità d'impulso e di momento angolare e grandezze che invece
riguardano simmetrie dinamiche meno legate a gruppi di invarianza
"naturalmente coordinabili". O dipende questa possibilità dal fatto
che magari la fisica teorica non ha ancora esaurito la classificazione
delle "dimensioni naturali".  Chessò, a parte l'energia ed il momento
angolare e l'impulso che altre grandezze ci sono che si conservano
sempre nelle collisioni?

 lagrangiano
in realtà si dimostra che anche la costanza del vettore di Lenz viene
fuori dal teorema di Noether
(in forma lagrangiana o hamiltoniana, non importa quale)
...Lo facevo a lezione prima dei tagli del "3+2". Forse c'è ancora
sulle mie dispense...
Ciao, Valter

 Ciao, Valter

 Delle coordinate canoniche, direi,
si mi riferivo alle p e q insieme, a tu ti riferivi alle sole q?
1> ovvero la dimensione dello spazio
2> delle fasi, ma le coordinate configurazionali sono la metà delle
3> coordinate canoniche e si definisce un sistema:
4> a) completamente integrabile se il numero di costanti del moto
5> funzionalmente indipendenti è pari al numero delle coordinate
6> b) superintegrabile se il numero di integrali supera il numero di
7> coordinate configurazionali.
8> Se deve esserci moto le costanti del moto non possono essere uguali
al
9> numero di coordinate canoniche.
si intendevo proprio quanto hai scritto sopra!
1> Nel caso del moto coulombiano di una particella in un campo
centrale
2> il numero di integrali indipendenti è esattamente pari alle
coordinate
3> canoniche meno una. Ovvero ci sono cinque integrali indipendenti in
4> quanto E, \vec{L}, \vec{N}, che sono sette grandezze sono legate da
5> due relazioni funzionali.
1> Appunto, ma la questione è proprio questa: possiamo esprimere la
2> lagrangiana evidenziano delle coordinate cicliche che evidenziono
3> tanto la costanza del momento angolare quanto del vettore di Lenz?
ahh, non avevo capito. No questo è proprio uno di quei casi in cui non
è possibile, si tratta infatti del tipico caso di "simmetria
dinamica". Infatti se rileggi quello che ho scritto nel post che ha
scatenato questa discussione:
***(assumendo che il gruppo agisca sulle q e che l'azione
sia rialzata alle q') ***
che vuol dire, forse un po' troppo stringatamente, che sto escludendo
proprio le simmetrie dinamiche che stai considerando tu.
1> > (in forma lagrangiana o hamiltoniana, non importa quale)
2>
3> e beh una differenza c'è però: l'hamiltoniana è funzione delle
4> coordinate canoniche, la lagrangiana è funzione delle coordinate
5> configurazionali e delle loro derivate il teorema di Noether, nella
6> forma che conosco (Gelfand-Fomin, "Calculus of variations"
Prentice-
7> Hall, chap. 4 sec. 20) lavora con trasformazioni che agiscono
8> sull'azione, sulle coordinate configurazionali (con trasformazioni
che
9> però possono dipendere anche dalle loro derivate) e sul tempo.
c'è una formulazione più potente, sempre lagrangiana, che considera le
simmetrie anche dinamiche e che include anche il caso che ho detto
sopra. Però, sono d'accordo con te (ma lo ero anche prima!), che
questa formulazione improved non può essere formulata con le
coordinate cicliche.
1> > ...Lo facevo a lezione prima dei tagli del "3+2". Forse c'è
ancora
2> > sulle mie dispense...
1> Si può fare in due modi: scrivendo a mano l'effetto delle simmetrie
2> sulle coordinate configurazionali, ed applicando il teorema di
Noether
3> nella forma suddetta, oppure riconoscendo  l'invarianza per
4> riscalamento nello spazio, nel tempo e nell'impulso, della dinamica
5> con un procedimento introdotto da Sophus Lie e trattato in
generalità
6> da Arnold in teoria geometrica delle equazioni differenziali.
si può fare anche con il teorema di Noether, lagrangiano, nella
formulazione per simmetrie dinamiche che ho detto sopra.
Ciao, Valter

 dell'energia cinetica,
Ma l'OP non ha chiesto dell'energia cinetica, ma dell'energia. La
funzione hamiltoniana se non sbaglio si definisce comunque come:
H = Somme[i=1,n] p_i*q'_i - L
con L lagrangiana e dH/dt = -@L/@t percio' se quest'ultima e' zero H
si conserva.
Dove sbaglio?
--
BluRay = cometa_luminosa.

Valter  Moretti ha scritto:
 > Ciao, in realtà c'è un teorema che dice che il numero massimo di
 > integrali primi indipendenti (in senso funzionale) non può superare il
 > numero delle coordinate...
Non solo non conosco questo teorema, ma non credo che possa esistere.
Controesempio: nella geometria FLRW ci sono 6 integrali primi
indipendenti con 4 dimensioni.
Oppure non ho capito di che cosa stavi parlando?
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
Diciamo che sei un po' fuori strada. FLRW non c'entra  nulla. Stavamo
parlando di meccanica di Hamilton elementare e le coordinate erano le
2n dello spazio delle fasi (anche se subito non ci siamo capiti cion
Tetis)...
Secondo me ora hai capito e conosci il teorema.
Ciao, Valter

 Secondo me ora hai capito e conosci il teorema.
Acc... Ma che ho combinato? Ho confuso due threads?
Certo che lo conosco il teorema.
Anzi, su questo (per farmi perdonare) vorrei dare un contributo.
Tetis ha osservato che il n. d'integrali primi indip. nel problema dei
due corpi non e' 6 ma 5.
Ora questo e' vero in generale, a patto che ci s'intenda su che cosa
si chiama "integrale primo". Se si pensa a una funzione delle sole
coord. canoniche, e' cosi'.
Ma se si ammette che possa anche dipendere dal tempo, allora se ne puo'
avere fino a n.
Primo esempio banale: punto materiale libero in una dimensione.
Esiste l'integrale primo p.
Ma esiste anche q - pt/m, che ha il significato di posizione iniziale.
La stessa cosa e' vera per il problema dei due corpi: non a caso in
mecc. celeste gli "elementi orbitali" sono 6.
Di questi, 5 sono legati a energia, momento angolare e vettore di
Lenz; il sesto da' la posizione del corpo sull'orbita a un tempo
prefissato (epoca).
La cosa si capisce facilmente: data l'invarianza per traslazioni in t,
l'assegnazione dei soli 5 integrali primi che non contengono il tempo
non puo' determinare completamente il moto, ma solo *a meno di una
traslazione in t*.
In parole povere, due pianeti si possono rincorrere sulla stessa
orbita, con uguali energia, mom. angolare e v. di Lenz, conservando
uno sfasamento costante nel tempo.
Quindi perche' il moto sia completamente specificato occorre anche
assegnare la posizione iniziale lungo l'orbita a un qualche tempo.
 
-- 
Elio Fabri


Però mi sembra uno spunto interessante. Anche con riguardo alla
formulazione geometrica del teorema di Noether a cui forse pensavi
prima (H che genera il flusso hamiltoniano commuta con il generatore
di qualsiasi simmetria tanto di origine geometrica che di origine
dinamica, più in generale la derivata di Lie su una varietà
simplettica può essere espressa in modo da ridursi essenzialmente alla
parentesi di Poisson fra il generatore della derivata ed il generatore
del campo vettoriale, e quindi se una derivazione di Lie  conserva
l'hamiltoniana (quindi il generatore commuta di Poisson con
l'hamiltoniana), ovvero è una simmetria, allora il generatore della
simmetria è costante sul flusso di fase dell'hamiltoniana, nel senso
che sul campo vettoriale associato alla simmetria la derivata di Lie
associata ad H è nulla, in tal modo ad ogni simmetria ad un parametro
corrisponde un invariante del moto).
Per quanto riguarda le simmetrie dello spazio tempo, ad esempio nel
caso della metrica di Minkowsky le simmetrie indipendenti non sono i
10 generatori del gruppo di Poincaré e per l'ordinario spazio tempo
newtoniano non sono 10 i generatori del gruppo di Galileo? (tuttavia
le tre rotazioni ed i tre boost non sono di per sé integrali in
involuzione, mentre gli invarianti di Casimir associati all'algebra,
per definizione sono in involuzione con tutte le simmetrie) e qualcosa
del genere non si verifica forse anche nel caso della metrica FLRW con
6 generatori anziché 10? oppure nello spazio tempo di Einstein che ha
in più la simmetria per traslazioni temporali?
Ora una questione è: se ci sono 10 simmetrie dello spazio tempo
newtoniano, come mai ci sono al più 5 costanti del moto indipendenti
associate a questa hamiltoniana? Anzitutto notiamo che non tutte
queste simmetrie dello spazio tempo sono simmetrie della Lagrangiana,
lo sono le rotazioni, le traslazioni spaziali, la traslazione
temporale, ma non lo sono i boost che modificano l'integrale d'azione
(...). Dal teorema di Noether possiamo ricavare tramite la simmetria
per traslazioni la costanza dell'impulso del punto materiale, mediante
le rotazione la costanza del momento angolare, mediante la traslazione
temporale l'invarianza di H, una volta determinata l'invarianza di H
che nel nostro caso coincide con l'invarianza della lagrangiana,
notiamo che essa rappresenta un vincolo funzionale fra i tre impulsi e
quindi effettivamente le costanti del moto indipendenti sono
l'energia, le tre componenti del momento angolare (che fissano la
giacitura del moto rispetto all'origine delle coordinate) ed un angolo
(la direzione del moto nel piano di giacitura rispetto ad un asse
prestabilito in questo piano).
Torniamo adesso un momento alla questione dei boost, se essi
modificano l'integrale d'azione questo esclude forse la possibilità di
costruire una teoria dei campi  quantistica ma galileiana? C'è
evidentemente qualche ingrediente che fin qui ho trascurato, forse
l'azione può essere scritta in modo da risultare invariante di Lorentz
considerando delle variabili dinamiche ausiliarie (che mi giustifico
pensando al fatto che le variabili temporali e spaziali, a differenza
dal caso di Poincaré sono disaccoppiate), ad esempio se considero che
mE-p^2/2 = mE_0, è un invariante di Casimir del gruppo, riesco a
derivare un principio d'azione ragionevole? Un'idea è stata porre
l'hamiltoniana nella forma H =  mE - p^2/2 e considerare E_0,p come
variabili canoniche coniugate a t e q. Ma per questa via non giungo a
nulla di ragionevole.
Infatti avrei voluto procedere in questo modo:
In questo schema il tempo è una variabile dinamica, mentre ho
introdotto un parametro ausiliario che chiamo parametro di gauge o
parametro conforme temporale perché una sua ricalibrazione coerente
non cambia le curve orarie del sistema.
Le equazioni di Hamilton sono:
 t' = m
q' = - p
che però combinate insieme conducono ad un primo comportamento
indesiderato: p = -m dq/dt !!!!
 Sorvolando su questo problema la funzione di Lagrange, che ottengo
dalla trasformata di Legendre,  è:
m t' + pq' - mE + p^2/2 = t'^2-(q'^2) +t'E + q'^2/2 = t'^2 + t' E -
q'^2 / 2
anche se l'oggetto ottenuto è invariante per Boosts, risente di un
problema serissimo: contiene ancora la variabile impulsiva E inoltre
riapplicando la trasformata di Legendre non si ha un'involuzione
WARNING !!!! Questo succede perché ovviamente il teorema di Legendre
non si applica dato che nella variabile E la nostra Hamiltoniana è
lineare e non convessa, quindi l'equazione canonica associata non
fissa il valore di E.
E voi, cosa ne pensate? C'è un modo ragionevole di costruire una
teoria dei campi invariante rispetto al gruppo galileiano?

 (...).
Ho pensato tuttavia fino a giungere a questa altra osservazione: dal
momento che la fisica è invariante, anche se non lo è la lagrangiana
(su cui il boost aggiunge una derivata totale, che quindi non affligge
le equazioni di Eulero-Lagrange) non è che è possibile generalizzare
il teorema di Noether a questi casi? Ed in effetti la generalizzazione
non è difficile da mettere a punto, anche se evidentemente non sono
l'unico ad averla pensata in questo modo perché ho notato che
Wikipedia usa proprio questa versione del teorema di Noether. A conti
fatti se la lagrangiana, per effetto di una certa trasformazione nel
parametro \eps cambia della quantità \delta(t,q1,...,qn, q1', ... qn',
\eps) = d/dt[\Delta(...)] allora alla corrente Noetheriana già valida
per lagrangiane invarianti va sottratto il termine Lim_\eps-->0
( \Delta(...)/(\eps) ) Nel caso specifico, allora, ai classici
integrali del moto già trovati:
momento totale
momento angolare totale
Energia
si aggiungono tre ulteriori integrali, nel caso di un punto materiale
si tratta di un vettore:
\vec{w}=(m \vec{r}' t - m\vec{r})
Sono subito evidenti tre relazioni funzionali con gli integrali già
trovati, infatti risulta che il momento angolare può essere espresso
come (p x w) = mL. In definitiva la risposta migliore alla domanda può
essere la seguente: come in generale la ricchezza del gruppo di
simmetria non è rappresentata ugualmente bene da tutte le
rappresentazioni del gruppo, analogamente non tutti i sistemi fanno in
modo che ad ogni simmetria corrisponda una nuova grandezza conservata.
Nel caso dei sistemi meccanici elementari una rappresentazione più
ricca delle proprietà del gruppo di Galileo si otterrebbe prendendo in
considerazione in luogo di un punto materiale una particella dotata di
momento angolare intrinseco. In questo caso il vettore p x w non
coincide più con il momento angolare totale, ma solamente con la parte
orbitale, ed anche l'energia totale del sistema non risulta più
funzionalmente dipendente dalla quantità di moto, e quindi
l'invarianza rispetto ai boost della fisica del sistema conduce ad
ulteriori tre grandezze indipendenti oltre le 7 già individuate. Fra
queste dieci grandezze sussiste tuttavia un vincolo funzionale in
quando l'energia totale può essere espressa in funzione del momento
della quantità di moto e del momento angolare intrinseco, che può
essere determinato dalla differenza J-L = J - (p x w)/m.


 il teorema di Noether a questi casi?
Effettivamente si può, proprio perchè la variazione della lagragiana è
una "derivata totale"...
scusa se ti rispondo solo ora e di corsa, ma sono stato impegnato
tutto il giorno e lo sono anche ora.
Si può sia in meccanica classica che relativistica, scopri allora che
ci sono 3 grandezze conservate, quindi in tutto hai 10 costanti del
moto funzionalmente indipendenti nel caso relativistico, tante quanti
sono i generatori dell'algebra di Lie del gruppo di Poincaré. Le 3
leggi di conservazione che saltano fuori dal boost corrispondono al
"teorema del centro di massa".  In relatività queste leggi  dicono,
rozzamente parlando,  che nella definizione di massa totale del
sistema bisogna includere parte dell'energia...
Ciao, Valter

 Questa cosa mi riesce nuova. Me la spiegheresti?
Avevo scritto una risposta parziale ma vedo che tarda ad arrivare,
riassumendo ti dicevo che non avrei saputo spiegare questo risultato
perché prima avrei dovuto studiarlo ed ancora prima avrei dovuto
riconsiderare alcuni argomenti che avevo studiato e che servono in
merito. Pensavo che studiare  la procedura di derivazione, per l'idea
che mi ero fatto dalle fonti secondarie, mi avrebbe richiesto di
studiare varie cose, in pratica so che il metodo di riduzione delle
equazioni differenziali ordinarie, note le simmetrie è un metodo
standard ed io stesso l'ho applicato in qualche semplice caso per
trovare degli invarianti rispetto a cui riscrivere le equazioni
differenziali, e che il metodo risale a Sophus Lie, mentre di quello
che ho detto sopra so che la scoperta risale agli anni settanta/
ottanta e però che non è semplice,  mi ero limitato ad alcuni
argomenti generali su cui mi sarei basato per tentare di comprendere
il metodo. Un'idea intuitiva è che nota l'esistenza di un generatore
che commuta con il flusso hamiltoniano, nel senso che applica curve
integrali in curve integrali, nel nostro caso il lift di: t d_t + (2/3)
(x d_x + y d_y + z d_z) [rispetto a cui le equazioni di Newton sono
invarianti] allo spazio delle fasi implica l'esistenza di una costante
del moto che è costante anche rispetto alla stessa simmetria. Ora
trovare una costante rispetto alla simmetria significa risolvere
un'equazione differenziale alle derivate parziali che può essere più
semplice della soluzione delle equazioni di Hamilton, e che si riduce
a risolvere un'equazione alle caratteristiche. Ma nel nostro caso in
più questa grandezza deve essere costante rispetto al flusso di
Hamilton quindi deve anche verificare l'equazione differenziale alle
derivate parziali:
[(dH/dpx)\partial_x - (dH/dx)\partial_px] + ...
Ora, intuitivamente questa situazione mi aveva ricordato le condizioni
di compatibilità di Frobenius, ma stavo decisamente facendo confusione
con la generalizzazione di Arnold del teorema di Noether, quella che
dice che se la funzione di Hamilton H è costante sul gruppo ad un
parametro generato dalla funzione di Hamilton F allora F è un
integrale primo del sistema dinamico di hamiltoniana H, infatti nel
nostro caso dobbiamo dimostrare che la simmetria, che coinvolge anche
il tempo è generata da una funzione F che sarà l'integrale primo del
sistema. In pratica non conoscendo l'articolo originale e conoscendone
solo il risultato ero finito ad arrampicarmi sugli specchi. Tutto
quello che serve per studiare il risultato, non certo per capirne la
sostanza, è il metodo di Lie ed una buona dose di pazienza e qualche
nozione elementare sulle rappresentazioni differenziali dei campi
vettoriali in generale.
Infatti nel frattempo ho potuto studiare direttamente la fonte che ha
trattato per la prima volta la derivazione del vettore di Lenz dalle
simmetrie di riscalamento delle equazioni del moto.
L'articolo in cui la derivazione fu effettuata per la prima volta
risale alla fine degli anni settante ed è questo:
http://iopscience.iop.org/0305-4470/14/3/009
e servirebbe l'abbonamento, tuttavia siccome è un articolo importante
si trova anche nel database Nasa e di tanto in tanto, se si è
fortunati, passando attraverso il sito della Nasa, anche se non so
come avvenga, si riesce a scavalcare la barriera di licenza dell'IOP,
ieri sera ho avuto questa fortuna e quindi ho potuto leggere
l'articolo se tu avessi difficoltà a reperirlo (ma spero che la
rivista sia reperibile tramite l'Università) posso inviartene una
copia.
La derivazione che si trova non è molto lineare né affatto semplice da
riassumere, né del tutto trasparente (stando ai miei limiti di
comprendonio), l'ideale sarebbe quindi se riuscissi anche tu a
procurarti l'articolo.
Essenzialmente loro fanno questo: in primo luogo impongono la
condizione di invarianza noetheriana più generale in forma di
trasformazioni che non dipendono esplicitamente dalle derivate prime e
trovano due membri per questo tipo di simmetria: le traslazioni
temporali e le rotazioni (ma ovviamente non trovano la simmetria
noetheriana che genera il momento perché quella dipende esplicitamente
dalle derivate prime).  In secondo luogo vanno a cercare le simmetrie
di lie del sistema di equazioni, ovvero i generatori del gruppo di
monodromia delle equazioni di Keplero e trovano oltre alle due
simmetrie già dette anche la simmetria per cambiamento di scala che
codifica la legge di Keplero numero tre. La ricerca degli invarianti
del moto procede a questo punto come segue: nel caso di simmetrie
noetheriane si applica il teorema di noether e finisce lì. Nel caso di
simmetrie più generali cercano gli invarianti della simmetria
(risolvendo con il metodo delle caratteristiche l'equazione
differenziali del primo ordine a derivate parziali) e gli invarianti
del prolungamento di primo ordine, che coinvolgono le derivate prime,
(il prolungamento della simmetria in questione al primo ordine di
derivazione: t d_t + 2/3x dx + 2/3 y dy + 2/3 z dz  si scrive   t d_t
+ 2/3x dx + 2/3 y dy + 2/3 z dz - 1/3 x' d_x' -1/3 y' d_y' - 1/3 z'
d_z' il fattore -1/3 si spiega perchè ovviamente se scaliamo il tempo
linearmente di un fattore k e le lunghezze di un fattore k^(2/3) le
velocità  x' ,y' , z' scalano di un fattore k^(-1/3) ed analogamente
possiamo scrivere il prolungamento al secondo ordine che rialza
l'azione della simmetria fino allo spazio bitangente dello spazio
delle configurazioni, dove vivono le equazioni di Newton che sono di
secondo ordine) una volta fatto il lavoro sporco lungo e cattivo di
esprimere le derivate prime degli invarianti di U' che coinvolgono le
derivate di secondo ordine rispetto al tempo, in modo invariante
rispetto alla simmetria U''  si trovano appunto delle equazioni che
contengono delle derivate seconde delle tre coordinate, ed esprimono
il flusso di fase della simmetria nello spazio delle fasi del sistema,
siccome queste equazioni differenziali sono del  primo ordine negli
invarianti, ma i differenziali degli invarianti contengono le derivate
seconde delle tre coordinate, si possono usare le equazioni del moto
(che sono anche loro invarianti rispetto ad U'' che è il prolungamento
della simmetria e quindi non conducono fuori dalle ipersuperfici di
livello, ovvero come direbbero altri sono invarianti rispetto al lift
allo spazio bi-tangente TT della simmetria) in questo modo il flusso
di fase può essere esplicitato in termini degli invarianti trovati
prima, cioè gli invarianti nello spazio delle configurazioni che sono
conservati dal flusso t d_t + 2/3x dx + 2/3 y dy + 2/3 z dz abbassando
di fatto il problema della loro ricerca da un problema nel bitangente
ad un problema nel tangente. Queste tre equazioni si risolvono
esplicitamente e conducono ad un vincolo fra i quattro invarianti di t
d_t + 2/3x dx + 2/3 y dy + 2/3 z dz. Alla fine di questo lungo e
delicatissimo lavoro si ritrovano in mano le componenti del vettore di
Lenz.
Tendo a pensare che tutta questa lunga procedura possa essere
semplificata in qualche modo usando i prodotti wedge fra il flusso di
fase hamiltoniano ed il flusso di fase delle simmetrie, e riadattando
le condizioni di compatibilità di Frobenius data l'esistenza della bi-
forma simplettica, ma al momento rimane solo un sospetto del resto non
è detto che questa procedura, ammesso che sia possibile semplifichi di
molto i problemi differenziali da andare a risolvere, ma magari
renderebbe più trasparente la loro interpretazione geometrica che al
tempo di Lie passava in subordine rispetto alla formulazione analitica
dei problemi. Spero almeno, in questo rispetto di guadagnarne in
comprensione.