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Titolo: "Genesi" delle funzioni di Bessel

Ciao NG,
 
Non mi sono mai servite e di conseguenza non le ho mai
approfondite. Senonché qualche giorno fa ho provato a
guardare lo spettro di un segnale modulato in frequenza. A
titolo di "memo", sono i coefficienti dello sviluppo in
serie di Fourier di un segnale del tipo (credo):
 
y=A*sin(B*sin(\omega *t+\varphi )+C*t)
 
e l'apparente stranezza di quel che ho visto mi ha spinto
a chiedere se avessi lo strumento rotto. Mi è stato
spiegato che i coefficienti sono proporzionali ai valori
assunti da non ricordo quale funzione di Bessel (tanto che
si sfrutta la conoscenza degli zeri per tarare alcuni
dispositivi).
 
Forse perché ci ho preso contatto da adolescente mi è
"ovvio" come sia sorta la necessità di introdurre le
funzioni trigonometriche, in fisica c'è spessissimo
qualcosa di riconducibile al moto di un punto su una
circonferenza. Ma non so se c'è qualcosa di simile per le
funzioni di Bessel. Sono sicuro che non conosceva la
modulazione di frequenza :) quindi devono esistere diverse
classi di problemi in cui è naturale introdurre le
funzioni di Bessel. La domanda è? C'è una "ratio", una 
sorta di meta-schema che ricorre e che le funzioni di 
Bessel descrivono in modo naturale?
 
Non mi piace il "grazie in anticipo" ma se ricordo bene
nei NG moderati non si usa ringraziare a fine thread
quindi se è così mi adeguo.
 
Apx
 
PS - All'ultimo secondo, volevo controllare la formula e 
mi sono imbattuto nella pagina di wiki in inglese; parla 
delle funzioni di Bessel ma non tocca la mia domanda.
 
 
-- 
- Ciao, ho visto le tue foto su Facebook
    chiamami al 347******9
- Non ti sembra esagerato darmi subito il
    tuo numero?
- Sono un chirurgo plastico, posso aiutarti.

 
 
 
 
Un'idea, che conosco in maniera approssimativa (forse qualcun altro 
sviluppera' meglio il tema) e' che le funzioni di Bessel rappresentano 
la simmetria per rotazioni.
 
Dovrebbe essere collegato a questo il fatto che la trasformata di 
Fourier di una funzione "cilindro" (l'analogo della funzione "rect" in 
due dimensioni) si esprime attraverso funzioni di Bessel.

 
 
Le funzioni di Bessel sono le soluzioni delle equazioni differenziali: 
 
z² ∙(d/dz)²y + z ∙(d/dz)y + (z² - α²)∙y = 0 
 
dove α ne identifica l'ordine. 
 
A perte lo spettro di segnali modulati in frequenza, intervengono in ottica per i fenomeni diffrattivi, come per il disco di Airy, per esempio vedi 
http://www.oacn.inaf.it/~brescia/corso_TA/archivio_corso/lezioni/brescia_3_parteI_ottica_telescopi.pdf
 
p.11
Non so se Bessel le abbia trovate stimolato da studi di ottica astronomica o meno. 
Comunque, le date di nascita di Bessel (1784) ed Airy (1801) differiscono di soli 27 anni.
 
Ciao. 
-- 
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
ID DMR: 2228273

 Comunque, le date di nascita di Bessel (1784) ed Airy (1801) differiscono di soli 27 anni.
 
17 :-) 
Discutere di equazioni differenziali e poi sbagliare una sottrazione.... 
" 'nnamo bene!" :-)


 Bessel descrivono in modo naturale?
 
 
Bella domanda. So che emergono ad es come soluzione dell'equazione delle onde nel caso bidimensionale con condizione su un contorno che e' una circonferenza, es membrana vibrante di un tamburo. 
 
--
Wakinian Tanka

 Bessel descrivono in modo naturale?
 
 
Ho dovuto pensarci un po'...   :-)
 
L'operatore laplaciano in coordinate cilindriche e' trattato al fondo di pag.82
della mia monografia sui tensori.
Eguagliando il laplaciano a zero si ottiene l'equazione di Laplace, onnipresente
nella teoria dei potenziali. 
Procedendo per separazione di variabili (cilindriche) si ottengono tre equazioni
differenziali, delle quali solo quella radiale non e' banale e si riduce appunto 
all'equazione differenziale di Bessel.
 
Ne concludo che le funzioni di Bessel dovrebbero emergere in modo naturale nei 
problemi aventi simmetria cilindrica risolvibili a mezzo di potenziali.
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 e' una circonferenza, es membrana vibrante di un tamburo.
In realtà le f. di Bessel compaiono quando si separano le variabili
nell'eq. di Helmholtz in coord. cilindriche.
In 3D compaiono invece le f. di Bessel sferiche, che a differenza di
quelle propriamente dette sono esprimibili in f. trigonometriche.
Per chi non lo ricordasse, l'eq. di Helmholtz è
 
Lapl f + k^2 f = 0
 
e discende dall'eq. delle onde, ma anche dall'eq. di Schroedinger,
quando si separa il tempo (soluzioni monocromatiche).
Poi se si opera la separazione anche nelle coord. spaziali, cosa
possibile in più sistemi di coordinate (ho dimenticato quanti)
compaiono varie altre "funzioni speciali", di cui le f. di Bessel sono
un caso.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Bessel con argomento i multipli dell'eccentricità.
 
Grazie per questa interessante informazione!
Dunque l'astronomo Bessel ha cercato di esprimere l'anomalia eccentrica 
come sviluppo in serie di Fourier dell'anomalia media ecc.  
Questa poco nota notizia storica e' una vera chicca: ho appena verificato, 
non la si trova neppure nel tuo splendido corso di astronomia.   :-)
 
P.S. Ed in questo algoritmo il laplaciano non c'entra affatto...


 >
 
C'era a proposito una simulazione di Alberto Martinez che ho sistemato in 
https://www.geogebra.org/m/rAuvT3Pk
 . Bisogna far partire l'animazione.
 
fp
 
---
P.S. mi è servita per il famoso problema del "Disco rotante" in RR che ho invece raffigurato in 
https://www.geogebra.org/m/sYaCjRSm
 

Prova a dare un'occhiata a questo articolo
 
Archive for History of Exact Sciences Volume 49 issue 2 1995 [doi
 10.2307_41134001] Jacques Dutka -- On the Early History of Bessel
 Functions
 
Non è  proprio quello che cercavi, ma è interessante.
 
-- 
Franco
 
Wovon...
 
 
----Android NewsGroup Reader----
http://usenet.sinaapp.com/
 

 Non mi sono mai servite e di conseguenza non le ho mai approfondite.
 
Il primo a scoprirle fu uno dei Bernoulli, come serie, per le 
oscillazioni di catene. Furono definite ma non diede loro nome Eulero, 
mentre studiava le vibrazioni dei tamburi rotondi.
L'astronomo Bessel le defini' col suo nome studiando il vettore radiale r 
dei moti planetari:
r/a == 1 +1/2 epsilon +sum_n B_n cos (n M)
 
epsilon e' l'eccentricita', a il semiasse maggiore, B_n sono legati alle 
derivate della funzione di Bessel J_n.
 
Compaiono in una marea di fenomeni, quali la propagazione di onde em nei 
fili, la diffrazione della luce, la deformazione dei corpi, moti dei 
fluidi.