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Titolo: SOS

Spero che ci sia qualcuno che mi possa aiutare.
Chiede scusa per la lunghezza e per l'alto grado di noiosità, ma il punto in
questione è
comparso all'improvviso, nel senso che dopo averlo già studiato e ripetuto
mi è venuto,
come si dice dalle mie parti, un "ingrippo mentale".
Ecco il problema.
Sto studiando mec. quant. dal libro Cohen versione inglese.
A pagina 140 c'è un teorema che dice:
Teorema III
se A e B sono due osservabili che commutano, allora è possibile costruire
una base ortonormale
dello spazio degli stati  con gli autovettori comuni ad A e B.
Nella dimostrazione ad un certo punto si arriva a due casi:
a) detto a(n) l'autovalore non degenere di A e indicato con |u>
l'autovettore associato, allora |u>  stesso è
autoket comune ai due operatori.
fin quì nessun problema.
b) se a(n) è degenere con grado di degenerazione g, allora esistono g
autovettori indipendenti di A,  |u(i)>,  i quali formano
una base dello spazio V(g).
A questo punto  il libro afferma che non è detto che questi |u(i)>  siano
anche autovettori di B.
Per trovare questi autovettori comuni fa il seguente ragionamento, che
cercherò di riassumere quanto più possibile:
1) poiché gli autovettori |u(i)>  formano una base, allora tutti i vettori
che appartengono allo spazio V(g) sono essi stessi autovettori
dell'operatore A con autovalore a(n).  Dunque è possibile scegliere una base
diversa dalla |u(i)> . La nuova base sarà ancora formata
da autovettori di A.
2) Fissata la base {|u(i)>} , B , nello spazio V(g) , è rappresentato da una
matrice hermitiana, e dunque B è
diagonalizzabile. Se è diagonabilizzabile allora esiste una base {|v(i)>}
di autovettori relativi ad un certo
autovalore di B che indico con b(n).
A questo punto basta osservare che gli autovettori {|v(i)>}  appartengono
allo spazio V(g),  allora
per il punto 1) i ket {|v(i)>}  sono autovalori anche di A.
Ecco giunti al punto che non capisco:
se ho trovato una nuova base {|v(i)>}  di autovettori di B nello spazio
V8g), vuol dire che tutti i vettori ottenuti come
comb lin dei {|v(i)>}  sono autovettori di B (sto riapplicando il
ragionamento del punto 1)).
Ma i vettori {|u(i)>}, autovettori di A, possono essere scritti come com lin
dei {|v(i)>}  e dunque i
vettori {|u(i)>} sono autovettori anche di B!
Dunque, sembrerebbe che tutti gli autovettori di A, sono anche autovettori
di B c(on diversi autovalori).
Il libro invece sottolinea che quest'ultima affermazione in generale non è
vera!
Dove sbaglio?!
Grazie
Strings

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Teorema III
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fin quì nessun problema.
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V(g), vuol dire che tutti i vettori ottenuti come
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autovalore di B che indico con b(n).
Non proprio. Effettivamente forse qui la notazione usata dal
Cohen si presta a equivoci: scrive |v(n)(i)> (indice n in
basso, i in alto) ma qui la n non indica un autovalore di B.
Semplicemente, dato che a(n) e` un autovalore degenere di A
a cui corrisponde uno spazio con la base |u(n)(i)>, la n e`
rimasta anche nei |v(n)(i)> per ricordare che si sta parlando
di quello spazio. I |v(n)(i)> sono si' autovettori di B, ma
non condividono necessariamente uno stesso autovalore. Quindi
no, una loro combinazione lineare non e` necessariamente un
altro autovettore di B.
Ciao
Paolo Russo

 comb lin dei {|v(i)>}  sono autovettori di B
Direi che l'errore sta qui. Tu hai dato per scontato che tutti i
{|v(i)>} abbiano lo stesso autovalore, ma chi ti dice che sia cosi'?
Tutti i vettori dell'autospazio V(g) sono autovettori di A con lo
stesso autovalore, e fin qui siamo d'accordo; in questo autospazio,
poi, ci sono degli autovettori di B, ma non necessariamente con lo
stesso autovalore! Ed una combinazione lineare di autovettori con
autovalori differenti non ti da' alcunche'.
Spero di non aver fatto troppa confusione...
Davide Campagnari

Ringrazio le persone che hanno risposto.
In verità credo di aver trovato la risposta.
Comunque visto che Paolo e Davide mi hanno risposto, mi sembra giusto nei
loro confronti, spiegare il mio
ragionamento in modo tale da poterlo discutere insieme.
In realtà nel ragionamento che facevo c'era un solo errore: quello di
considerarlo come un caso generale.
Mi spiego meglio. Quando dicevo:
"se ho trovato una nuova base {|v(i)>}  di autovettori di B nello spazio
V(g), vuol dire che tutti i vettori ottenuti come
comb lin dei {|v(i)>}  sono autovettori di B (sto riapplicando il
ragionamento del punto 1)).
Ma i vettori {|u(i)>}, autovettori di A, possono essere scritti come com lin
dei {|v(i)>}  e dunque i
vettori {|u(i)>} sono autovettori anche di B!"
questo caso non è generale ma vale solo in caso particolare e cioè quando
l'autovalore b(n) di B ha un grado di degenerazione uguale a
quello di a(n) autovalore di A.
Infatti, come dicevo nel punto 2), l'operatore B è diagonalizzabile nella
base {|u(i)>}. Ora , quando vado a risolvere
l'equazione per trovare gli autovalori di B, può succedere che trovo un
unico autovalore b(n) con degenerazione g,
(ricordo che g è il grado di degenerazione di a(n)),
e allora anche i vettori {|u(i)>}  sono autovalori di B. Ma questo non è
sempre vero. Infatti posso anche trovare
due autovalori b(n,1) e b(n,2) la cui somma dei loro gradi di degenerazione
è g, oppure, posso trovare
g autovalori b non degeneri. (ricordo che B è hermitiano).
Detto in altre parole gli autospazi relativi all'autovalore b di B sono, in
generale, sottospazi di V(g), autospazio
dell'autovalore a(n) di A. Dunque in generale i vettori
{|u(i)>} non sono anche autovalori di B. Lo sono solo se questi
autospazi di V(g) (e dunque c'è ne uno solo)
coicide con V(g) stesso.
Fatemi sapere cosa ne pensate.
Grazie
Strings

 generale, sottospazi di V(g), autospazio dell'autovalore a(n) di A.
Questa non l'ho capita... sarebbe giusta dicendo "...gli autospazi
relativi all'autovalore b di B NON sono...". Come l'hai scritta tu e'
sbagliata in ogni caso. Se nell'autospazio di a(n) ci sono autovettori
di B con differenti autovalori, fine del problema. Ma se, supponiamo,
nell'autospazio di a(n) B ha autovettori con lo stesso autovalore b,
non e' affatto detto che l'autospazio di b si "esaurica" li'. Puo'
darsi benissimo che esistano altri autovettori di B con autovalore b
in un autospazio di un autovalore a(m \neq n). Detto in altri termini,
se la degenerazione di a(n) e' g e nel suo autospazio B ha un solo
autovalore, puoi dire che la degenerazione di questo e' _almeno_ g.
Davide Campagnari

 Fatemi sapere cosa ne pensate.
Tutto corretto se dici "B ristretto a V(g)". 
Infatti un autovalore di B puo' in generale avere
autovettori esterni a V(g), in quel caso la parte del discorso in
cui dici che la somma delle degenerazioni degli autovalori di B 
e' uguale a g non e' necessariamente verificata. 
Come esempi 
considera: A l'identita', B uno stretch in direzione y nel piano x,y. 
L'asse x e' autovettore, l'asse y e' autovettore ma l'asse diagonale
non e'
autovettore di B. Per A diversamente tutti i vettori del piano 
sono autovettori. Altro esempio: A applica x ed y in 2x e 2y
mentre applica z in 3z B invece applica x in x, y in y 
e z in 3z. Allora x, y formano un sottospazio di degenerazione due per
A e B e sei nella situazione che ti ha tratto in inganno, ma ora 
consideriamo un altro esempio: A applica x ed y in 2x e 2y
mentre applica z in 3z B invece applica x in x, y in 2y 
e z in 3z. Allora x, y formano un sottospazio di degenerazione due per
A, mentre B ha solo autovettori di degenerazione uno. Altro esempio:
A applica x in x ed y in y e z in 2z mentre B applica x in 2x
y in 3y e z in 3z. Ancora x ed y generano uno spazio di degenerazione
due per A, non tutti i vettori di questo spazio sono autovettori
di B. 
Direi che l'unico punto poco generale della discussione del
Cohen sia nella considerazione di autovalori ed autovettori propri,
restrizione che si rende necessaria per via della difficolta' di
impostazione
del caso generale. Con la parte continua degli spettri
e  con le misteriose proprieta' delle osservabili autoaggiunte avrai
tutto il tempo di familiarizzare in futuro. Ti basti sapere che tutte 
le proprieta' che hai dimostrato nel caso particolare illustrato da 
Cohen ammettono generalizzazione nel linguaggio delle rappresentazioni
moltiplicative. 
Ad esempio T, l'energia cinetica ammette funzioni improprie 
sulle quali agisce moltiplicativamente. Queste funzioni improprie
possono essere scelte tali da essere simultaneamente moltiplicative
per p_x e p_y e p_z che sono tre operatori che commutano fra loro 
e con T. Anche in questo caso gli autovalori impropri di T sono
compatibili con infiniti autovalori impropri di ciascuno degli 
operatori p. Identico discorso si puo' fare per R^2 e per 
x,y,z. Se il ruolo dell'operatore A e' svolto da x e quello 
dell'operatore B da y allora risulta che esistono infiniti
autovalori impropri di B compatibili don un autovalore improprio
di A, ciascuno di questi ha degenerazione infinita. Quello che non
si puo' dire e' "consideriamo un sottospazio relativo all'autovalore
a" perche' questo sottospazio non esiste, e quello che non si puo'
mettere e' l'indice intero, perche' di autovalori impropri ne esiste 
un continuo. Tuttavia anche con gli indici discreti si riesce a fare 
tantissima fisica.
Quando studierai l'oscillatore armonico isotropo in tre dimensioni
o l'atomo di idrogeno scoprirai che L^2 (l'operatore del momento
angolare) commuta con H, operatore dell'energia, l'operatore
dell'energia
che e' sempre rappresentabile moltiplicativamente, e quindi in tal 
senso diagonalizzabile, nel caso dell'oscillatore armonico gli
indici discreti bastano per descrivere tutti gli stati in termini
di autofunzioni proprie (le funzioni di Hermite), nel caso 
dell'atomo di idrogeno gli indici discreti bastano solo per la parte
legata dello spettro. 
Comunque, se per semplicita', nello spirito delle considerazioni
del Coehen ci limitiamo a studiare gli stati legati, allora per 
ciascun autovalore esistono sottospazi vettoriali di autofunzioni
per L^2 relativi ad un autovalore, troviamo che esistono in generale
autofunzioni di H che non sono autofunzioni di L^2 ed autofunzioni di
L^2 che non sono autofunzioni di H. 
Consideriamo ad esempio un autovalore di L^2 esiste un passo della
ricerca
delle soluzioni per mezzo della separazione di variabili, che consiste
nel fissare questo autovalore e semplificare l'equazione agli
autovalori per H, da questa semplificazione emerge, per i due casi che
abbiamo considerato: oscillatore armonico ed atomo di idrogeno,
un'equazione con infiniti
autovalori ed autovettori propri. La situazione inversa e' piu'
difficile
da dimostrare. Fissato un autovalore di H esistono per quasi tutti i
livelli piu' valori di L^2 compatibili, questo dipende dalla
particolare degenerazione
dei livelli degli stati legati per idrogeno ed oscillatore armonico.
Per altri potenziali centrali puo' verificarsi che questa
semplificazione acquisti una forma tale che esiste solo un numero 
finito di autovalori propri corrispondenti a stati legati ed un
continuo di autovalori impropri. In ogni caso ogni livello discreto
ammette almeno
la degenerazione intrinseca degli autovalori di L^2. In alcuni casi
non
di piu'. Cioe' in alcuni casi ad ogni stato legato e dunque ad ogni
autovalore proprio di H corrisponde uno specifico auto-valore del 
momento angolare. In questo caso la degenerazione di quell'autovalore
di H e' uguale alla degenerazione degli autovalori di L^2 ristretto
al sottospazio relativo V(g). E siamo nella situazione che ti traeva
in inganno. Se il ruolo di A e' svolto da L^2 questa situazione si
verifica molto di rado. Per potenziali non centrali L^2 non commuta 
con H.


Secondo me non può essere maggiore.
Mi sa che per il fatto che non è possibile usare la simbologia della
matematica in modo corretto si sta creando un pò di confusione.
Allora facciamo così per rendere  più chiaro il mio ragionamento (almeno
spero)sviluppo un caso "pseudoconcreto".
Per prima cosa considero il caso di autovalori discreti e autospazi di
dimensione finita  (in pratica faccio come fa il Cohen)
Ho due osservabili A e B che commutano (ipotesi del teorema).
Mi prendo un autovalore a di A e e suppongo che ha un grado di degenerazione
g=5.
Questo significa che esiste una base formata da 5 autovettori di A che
chiamo u1,u2,..,u5.
L'autospazio relativo, V, ha dimensione 5
 Il mio problema e trovare gli autovettori di B e vedere se ci sono fra
questi anche autovettori di A
perchè, (dice il Cohen) non è detto che u1,...u5 siano essi stessi anche
autovettori di B.
So che comunque prendo un vettore nel'autospazio V  questo è sempre
autovettore
di A.(questa cosa la usiamo dopo)
Prendo la base u1, u2, ...u5 e mi scrivo la matrice che rappresenta B.
Ottengo una matrice 5x5.
Si può dimostrare, usando l'ipotesi che B è una osservabile, che questa
matrice è hermitiana.
Fin quì credo di non aver detto sciocchezze.
Ora vengo al punto
Vado a diagonalizzare questa matrice.
 Per fare questo devo risolvere l'equazione caratteristica che è un
polinomio di grado 5 .
Dunque si possono avere i seguenti casi (sto nel campo complesso):
 5 radici distinte : b1, b2,...b5
2 radici distinte per esempio b1 contata una volta e b2 contata 4 volte
ecc.  ecc.
una radice b contata 5 volte .
Una volta che ho trovato gli autovalori di B costruisco gli autospazi.
Allora supponiamo che trovo un solo autovalore di B con grado di
degenerazione 5.
Esendo B hermitiano già so che l'autospazio ha dimensione 5. Quindi trovo 5
autovettori
di B che chiamo y1, y2,..y5. Questi generano uno spazio che è lo stesso di V
(quello legato ad a di  A) Allora anche gli autovettori u1,...u5 sono
autovettori di B.
In questo modo ho trovato gli autovettori comuni ad A e B.
Io in un primo momento pensavo solo a questo caso e quindi non capivo
l'affermazione
del Cohen quando diceva che non sempre gli autovettori u1,  u5 era anche
autov. di B.
Questo punto corrisponde a quel (che dicevo nel precedente post)  caso
particolare che capita solo
 se il grado di degenerazione di b coincideva con quello di a. E dunque non
può essere
superiore, ma solo inferiore. Perchè al più posso avere una sola radice
contata 5 volte.
Ora se suppongo per esempio di avere 2 autovalori b1 e b2 il primo non
degenere
e il secondo con g=4 vuol dire che avrò due autospazi:
uno S1 con dim 1 con base y1
e l'altro S2 con dim 4 e base h1,..h4
ora questi vettori sono vettori di V e dunque sono anche autovettori di A.
Invece (corregetemi su questo che a quest'ora non sono sicuro:-) i vettori
u1 ecc non appartengono ai due sottospazi S1 e S2.
(Se non sbaglio con S1 ho costruito una CSCO ma questa è unaltra storia)
Resterebbe l'estensione al caso infinito, ma il Cohen non l'ho fa e non l'ho
faccio neanche io:-))
Credo che il mio ragionamento funzioni spero perlomeno di essere stato
chiaro  in modo tale che se ho fatto orrori  mi possiate correggere in modo
(come dice Bush:-) chirurgico
Un saluto a tutti (ora vado a dormire)

 moltiplicative.
Credo che il teorema in questione valga in tutti i casi giusto?
A dire il vero è probabile che mi sarei dovuto limitare solo all'enunciato 
del teorema.
La dimostrazione l'ho studia come esercizio di applicazione dei vari 
concetti fino ad ora
studiati e poichè il Cohen non è rigoroso, si presta a questo tipo di 
studio. In fondo l'esame
di metodi l'ho già fatto. Quindi si tratta solo di applicare le cose.
Grazie per la risposta
Strings 

 autovettori esterni a V(g),
Davide Campagnari

 e quntità finite.
Non mi sembra che queste condizioni implichino quella che ti
ha detto Tetis.
Pensa a un caso concreto: gli spin (e solo quelli, non ci
interessa altro) di un sistema di due particelle (es. un
protone e un elettrone).
A e` l'operatore Sz della particella 1, B e` Sz per la
particella 2.
A ha due autovalori, associati a z+ e z-. Prendiamo z+. Il
sottospazio associato e` del tipo |z+,...> dove al posto dei
puntini puoi mettere un qualunque spin della particella 2.
Una base di questo sottospazio (che e` il nostro V(g))
potrebbe essere {|z+,x+>, |z+,x->}, ma questi ket non sono
autovettori di B. Diagonalizzando come s'e` detto si arriva
alla base {|z+,z+>, |z+,z->}, fatta di autovettori sia di A
che di B, che hanno due autovalori diversi per B; dal tuo
ragionamento se ne dovrebbe dedurre che questi autovalori non
sono degeneri (essendo due ed avendo V(g) due dimensioni). In
effetti non sono degeneri all'interno di V(g), ma in assoluto
lo sono: per esempio, lo z+ di B puo` avere una base
{|z+,z+>, |z-,z+>}, della quale solo il primo vettore
appartiene a V(g).
Il discorso e` simile se si passa agli spettri continui;
ad esempio, ponendo A=X e B=Y per una particella senza spin
in due o piu' dimensioni.
Ciao
Paolo Russo

Ok no c'è più bisogno.
Ho trovato la risposta!
Grazie lo stesso a tutti
Strings


 Sono perfettamente d'accordo.
Solo che il Cohen fa il ragionamento per ogni autovalore a di A.
In questo modo per ogni autovalore a (degenere)di A trova degli
autovet comuni, li mette tutti insieme e ottiene la base dello spazio
degli stati formata da autov comuni.
Se esiste un autovalore a di A degenere la cosa è semplicissima perché,
il Cohen, usa un teorema che dice:
se ho due operatori A e B e se |v> è autovettore di A, allora B|v> è
autovettore di A.
Nel caso specifico cioè con a non degenere risulta che B|v> e |v> sono
proporzionali e dunque |v> è l'autovettore comune.
Anche in questo caso il Cohen ragiona per ogni autovalore.
Ciao
Paolo


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


In effetti questo è il mio modo standard di studiare. L'unico problema
è che in questo modo si perde molto tempo perché non sempre si trova 
velocemente la soluzione
(ovviamente quando questa è alla tua portata!).
Pensa che quando mi trovo a discutere con i miei amici-colleghi,
questi mi dicono che sono troppo pignolo. Forse hanno ragione
ma io so studiare solo in questo modo.
Intanto loro fanno gli esami più velocemente di me!
Grazie per l'aiuto
Strings 


 
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Solo per informazione, ho giusto aggiunto parte del  capitolo 9
(
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
)
che contiene elementi di teoria spettrale per operatori non limitati.
Mancano ancora quasi tutte le dimostrazioni che ci mettero' con calma.
Manca invece del tutto il cap 10 dove scrivero' l'ossatura matematica
della MQ in termini operatoriali e non solo in termini di misure a 
valori di proiezione e tutta quella roba sui reticoli come ho gia'
fatto in un altro capitolo.
Forse nel 3000 avro' finito... (sempre che interessi a qualcuno)
Ciao a tutti, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
e-mail: 
mor...@science.unitn.it
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 Ciao a tutti, Valter
Grazie. Troverai sempre almeno un lettore sporadico ma attento.
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