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Titolo: sulle funzioni d'onda

ciao
stavo elucubrando sulle risonanze in fisica nucleare e mi è sorto un dubbio.
In molti esercizi in di mq per studiare un problema si assume che le 
particelle siano contenute in una scatola che abbia un potenziale 
infinito ai bordi e in questo modo il problema del continuo viene 
superato(o meglio ignorato).
In realtà non esistono barriere infinite.
Se provo a pensare a un modello di scatola con potenziale di altezza e 
larghezza finita ho il problema che non ci sono più autostati propri.
Suppongo che in corrispondenza degli autostati propri della buca 
infinita si abbia una densità di stati del continuo maggiore nella buca 
finita, tuttavia mi risce difficile capire questo passaggio dal continuo 
al discreto.
Qualcuno può darmi un'idea del perchè è (perlomeno spesso) sensato 
considerare il modello con barriera infinita come una buona 
approssimazione di quello a barriera finita?
Il ruolo degli autostati stazionari nel modello a barriera infinita come 
  si traduce nel caso a barriera finta?
Ammetto di avere dei limiti di conoscenza sull'argomento ma mi viene da 
pensare che la misura che si usa quando si fa lo sviluppo di una 
funzione d'onda sul continuo non sia (ora uso una terminologia 
grossolana ma che spero sia non equivoca e veloce) un semplice "dx" ma 
"dx * d(x) " dove d(x) è una densità e questo faccia sì che non sia 
possibile costruire delle funzioni d'onda che assomiglino agli autostati 
stazionari del caso della barriera infinita ma a energia qualsiasi.
Se quanto sopra riportato è sensato ne deduco che ad ogni stato 
stazionario (della barriera infinita) si può far corrispondere in modo 
"univoco" uno stato(nel caso di barriera finita) che è sovrapposizione 
di stati del continuo e quindi non è più stazionario, che ha la medesima 
localizzazione spaziale e energia arbitrariamente simile, ma per il 
quale si può calcolare la probabilità di effetto tunnel.
ciao
   Paolo

 approssimazione di quello a barriera finita?
Come ti ho appena detto, non e cosi' che devi guardare al problema.
La barriera finita on c'entra niente.
Per es. un problema di scattering andrebbe trattato con pacchetti
d'onda, non con onde piane. Questo e' l'approccio fisico realistico.
Poi si puo' fare vedere che in opportune condizioni (pacchetti molto
estesi) l'ampiezza di scattering calcolata con onde piane da'
un'ottima approssimazione.
L'approccio tradizionale (direi anche antiquato) e' di mettere tutto
in un volume finito e poi far tendere questo a infinito.
L'approccio com pacchetti e' quello che io usavo quando trattavo lo
scattering in fisica teorica. A mia conoscenza (a quei tempi) l'unico
testo che usasse un approccio simile era il Messiah.
 
-- 
Elio Fabri

 approssimazione di quello a barriera finita?
Provo a rispondere anche se premetto che esprimo soltanto un'idea vaga
che ho in mente al riguardo.
Usare un modello con una buca infinita vuol dire  trascurare le
autofunzioni ad energie maggiori del massimo V_0 del potenziale,  e
usare autofunzioni approssimate anche per le autofunzioni a valori
discreti dell'energia. Poi bisogna porci la domanda se queste sono
buone approssimazioni, buone rispetto alla nostra capacita' di cogliere
le differenze tra i due modelli in specifiche situazioni. Non sara'
certamente una buona approssimazione se ci poniamo problemi legati a
particelle in uno stato di energia maggiore di V_0, mentre sara' un'
ottima approssimazione per particelle nei primi eccitati.
Faccio un esempio. Se tu  preparassi uno pacchetto localizzato fuori
dalla barriera nel suo spettro di fourier avresti impulsi che
''vedono'' la barriera infinita (verrano riflessi nell'evoluzione
temporale) ed impulsi che non la vedono (verranno trasmessi) e quindi
l'evoluzione di questa o quella componente dello spettro
richiederebbero approssimazioni diverse (anzi opposte): spetta poi a te
(o al prof. che interroga, o alla Natura che indaghi) decidere quale e'
la domanda interessante a cui devi rispondere, e quindi quale
approssimazione usare o meglio in quali regioni dello spettro e'
contenuta l'informazione che ti serve.
Saluti.

ciao
il mio problema e' piu' localizzato(in spazio ed energia).
Se ho una hamiltoniana con barriera finita a tutte le energie
corrisponde un autostato(improprio),
onde per cui non mi e' chiaro perche' per esempio lo stato fondamentale
del caso a barriera infinta sia "importante", quando e' tranquillamente
costruibile uno stato con energia inferiore a quello (nel caso a
barriera finita)!
La mia ipotesi e' che ci siano delle limitazioni alla funzione d'onda
che per esempio facciano si' che nel caso di barriera finita si possano
costruire stati a energia  qualsiasi ma che non saranno localizzati
nella buca.
Direi che il mio problema si puo' riassumere cosi':
Quante particelle identiche posso mettere in una barriera finita (con
energia minore di un certo valore)?  Infinite? se no perche' dato che
siamo in un caso di spettro continuo e Pauli non dovrebbe creare
problemi?
ciao 
grazie
  Paolo

 energia minore di un certo valore)?  Infinite?
No, dipende dalla statistica delle tue particelle e dalla degenerazione
dell'autovalore dell'energia in considerazione.
PS: nel mio post precedente  faccio un esempio che pero' si riferiva ad
una barriera di potenziale e non ad una buca.

Ciao
Prendi una barriera finita rettangolare del tipo (stiamo in1-D per
comodita'):
V(x)=    0   per   |x|< a
V(x)=    v0(>0)        a<= |x| <= a+L
V(x)=    0   per    |x|>a
L'energia minima di questo sistema e' 0.
Per qualsiasi valore "E>0" dell'energia l'equazione agli stati
stazionari per x> a+L ha forma:
( D**2+ 2mE/hbar ) psi(x)=0
che ha come soluzione combinazioni lineari di onde piane.
Quindi ogni soluzione dell'hamiltoniana (che va raccordadata oltre la
barriera)
non e' integrabile o se preferisci e' un autostato improprio.
Quindi, se non ho sbagliato i conti, non esistono autostati propri per
un potenziale di questo tipo.
Mentre se la barriera di potenziale fosse infinita ci sarebbe solo uno
spettro discreto, in
particolare il valore del minimo e' maggiore di zero.
La mia domanda di prima resta:
quante particelle identiche non interagenti (fermioni se no coi bosoni
non ci sono problemi di statistica) posso "mettere" nella buca finita?
Per "mettere" intendo che la loro funzione d'onda sia localizzata per
un tempo molto grande (i parametri della buca sono a piacere).
ciao
  Paolo


Scusa ma non si capisce molto. :)
Nell'ultima riga intendevi forse
V(x)=    0   per    |x|>a+L?
 In tal caso non hai una barriera di potenziale (supponendo a,L>0) ma
due, una che va da x=a ad x=a+L , e l'altra simmetrica nella semiretta
negativa.
Non si capisce se e' di una buca che parli, di una barriera o di due.
Va bene che posso interpretarle come una sola barriera... pero' non mi
sembrava quello di cui parlavi.
Rileggendo i post precedenti mi rendo conto che forse ho equivocato il
sistema che descrivi, io credevo tu parlassi di una buca di potenziale
del tipo V(x)=V_0[theta(x-a)+theta(-x-a)] dove a>0 e theta(x) e' la
funzione di Heaviside.
Potresti essere piu' chiaro?
Ciao.


 Potresti essere piu' chiaro?
La buca non e' interessante per i miei scopi perche' appunto ci sono
gli autostati propri.
Una barriera (doppia se preferisci) "limita" il moto delle particelle,
ma non si hanno autostati stazionari, lo spettro e' continuo.
Per quanto riguarda il numero di particelle (fermioni non interagenti)
continuo a non essere sicuro di quante se ne possano "mettere" nella
scatola (in modo che la probabilita' di trovarle sia fondamentalmente
all'interno della barriera e per un tempo apprezzabile) e se il loro
numero sia in qualche modo legato al caso di barriera infinita.
Il mio sospetto e' che non si possano costruire funzioni d'onda che:
- siano sia localizzate nella scatola
- abbiano un'energia "arbitraria"
- che rispettino il principio di Pauli
Nonostante il fatto che ci sia un continuo di livelli a cui attingere!
In questo modo il numero di particelle nella scatola con E(energia
della singola particella) < E0 tenderebbe, al crescere della barriera,
al valore che si ha nel caso di barriera infinita. 
ciao 
  Paolo

chiuso sotto l'azione della matrice S.
Naturalmente mi sono dimenticato di scriverci che deve essere a
supporto nella buca.
Ciao.

 al valore che si ha nel caso di barriera infinita.
La domanda ridiventa piu' oscura.
Che vuol dire ''abbiano energia arbitraria''? vuoi che siano ancora
autostati impropri dell'hamiltoniana per un fissato autovalore
positivo? Ma non annullandosi all'inifnito come puoi richiedere che la
particella sia localizzata nella scatola?
Dovresti chiarire quale e' lo stato iniziale che vuoi preparare e/o
quale stato finale vorresti ottenere.
Provo a risponderti comunque.
Partiamo con una sola particella.
In un post precedente dicevi che per localizzazione intendevi per tempi
molto lunghi, quindi io schematizzerei questa situzione dicendo che lo
stato iniziale |i> e' a supporto dentro la scatola (<x|A> e' a supporto
dentro) e che  lo stato finale
|f>=S|i> con S matrice di scattering,
e' ancora a supporto dentro la scatola.
In pratica quello che chiedi e' se esiste un sottospazio di L^2 che e'
chiuso sotto l'azione della matrice S.
E per questo serve S in rappresentazione delle coordinate S(x,y) che
agisce sullo stato iniziale <y|A>  per integrazione in y.
S(x,y) si ricava con due trasformate di fourier (occhio ai segni) della
matrice S(p,q) in rappresentazione degli impulsi.
Ora si deve determinare S(p,q) (che sara' della forma
A(q)delta(p+q)+B(q)delta(p-q)) ma qui entrano in gioco le condizioni al
bordo che sono essenziali per risolvere il problema e ti accorgi quanto
sono belle ed utili le semplificazioni con pareti di spessore nullo...
Mah, non so se ti ho risposto.
Ciao.

 chiuso sotto l'azione della matrice S.
Non credo che questo approccio al problema vada molto bene (benche' non
lavori molto con le matrici di scattrering), se non altro l'ultima tua
affermazione e' troppo forte perche' implica che le particelle non
possano in pratica uscire dalla buca, mentre per effetto tunnel direi
che prima o poi usciranno tutte (con questo intendo che la probabilita'
di trovarle nella buca sara' molto inferiore di quella di trovarle
dentro).
Prova a considerarlo dal punto di vista sperimentale: ho una trappola
di potenziale e in qualche modo metto al suo interno molti fermioni
(penso che esperimenti di questo tipo si facciano con gas freddi,
magari l'He 3), sarei curioso di sapere come il numero di particelle
nella trappola e' influenzato dal fatto che sono fermioni e non bosoni
(magari rifaccio l'esperimento con l' He 4 e conto se riesco a metterne
all'interno lo stesso numero).
Inoltre mi piacerebbe avere un'idea di come questo accade e se ci sono
connessioni con il caso della barriera infinita.
ciao 
  Paolo

 essere un'autofunzione impropria ma deve essere una sovrapposizione).
Ciao.
Quindi facendo una stima grossolana con il principio di
indeterminazione si puo' dire che l'indeterminazione Dx^2 sulla
posizione e' limitata dal basso
 Dx^2>1/8mE_0
dove m e' la massa della particella (e la costante di Plank ridotta
uguale ad uno).
Se vuoi preparare N fermioni tutti nello stesso stato |psi> a meno
della posizione del baricentro della funzione d'onda puoi farlo senza
doverti occupare di antisimmetrizzare lo stato complessivo purche' non
ci sia forte sovrapposizione tra le funzioni d'onda: cioe' devi
richiedere Dx<a/N. Esiste una regione dello spazio dei parametri che
soddisfa queste disuguaglianze se
0< N^2 < 8m a^2E_0.
Fissata larghezza della buca  ed energia E_0 hai cioe' un tetto sul
numero di particelle (per eccesso visto che non si e' considerata la
richiesta di antisimmetrizzazione) che puoi metterci dentro e di
energia media sotto E_0. Come si vede mandando la larghezza
all'inifnito non ci sono limtazioni sul numero di particelle.
Per E_0 prendi
E_0=pi^2/(2ma^2)
(l'energia del fondamentale quando la barriera diventa infinita)
e ti accorgi che la disuguaglianza N^2 < 8m a^2E_0 diventa
N<6
che non e' molto lontano da N<1 (cioe' N=0).
Mi sembra buono per una stima cosi' rozza.
Ciao