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Titolo: Meccanica statistica elementare

Aiutatemi a trovare l'inghippo.
Partiamo con due sottosistemi isolati, contenenti entrambi N
particelle puntiformi di massa m, con un'energia interna pari
per entrambi a U. Il numero totale di microstati e' dato da
tutti i diversi modi per distribuire le particelle fra le
energie possibili, rispettando i vincoli fissati da N e U.
Ora mettiamo a contatto i due sistemi. Hanno la stessa energia
media per particella e quindi la stessa temperatura, percio'
non ci sono scambi di calore ne' variazioni di entropia.
Come fa il numero di microstati a restare invariato? Se ora
devo distribuire le particelle fra le energie possibili,
rispettando il vincolo che il numero di particelle totali
sia 2N e l'energia totale sia 2U, il numero di distribuzioni
possibili e quindi di microstati sembra aumentare parecchio!
C'e' un altro vincolo? Come si puo' esprimere?
Ad esempio, poniamo N=2 e U=2u, con le energie di singola
particella possibili pari a multipli interi di u: 0u, 1u,...
Per ciascuno dei sistemi separati ci sono 3 microstati:
1) A con energia 0u, B con energia 2u;
2) A con 2u, B con 0u;
3) A e B con energia 1u a testa;
per cui il numero totale di microstati e' 9.
Ma quando i sistemi sono a contatto, i microstati che
corrispondono a U_tot=4u e N_tot=4 sono 35!
Qualcuno sa darmi una mano? Grazie.
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Paolo Cavallo                 " I am a teacher at heart, and
                          there are moments in the classroom
                           when I can hardly hold the joy. "
                                        P. J. Palmer, 1998
paolo....@iperbole.bologna.it
http://www.alberghetti.it/paolo.cavallo/pc.htm
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 Qualcuno sa darmi una mano? Grazie.
ciao, non sono sicuro di aver capito bene, cmq. La risposta in pratica te la
sei già data da solo: nell'esempio hai considerato stati statisticamente
impossibili (0 particelle in un insieme, tutte nell'altro..), il discorso è
un po' lunghetto, ma in pratica stai implicitamente supponendo che un ugual
numero di particelle passi il confine in un verso e nell'altro, e dato che
le energie erano uguali...Nello spazio delle fasi Gamma hai di fatto unito
due sistemi all'equilibrio, quindi hai di certo allargato la varietà
accessibile al sistema, ma dato che all'equilibrio il sistema occupava uno
sottoinsieme, dopo l'unione il sistema continua ad occupare una unione di
sottoinsiemi (di equilibrio, di misura massima accessibile) e non tutto la
varietà. In soldoni hai allargato l'insieme dei punti accessibili ma il
sistema continua a stare in un sottoinsieme finito, quindi hai solo aggiunto
un insieme di punti "inutili".
saluti, Adriano

Ciao,
Credo che il tuo esempio sia un caso particolare del cosiddetto "Paradosso
di Gibbs".
Per risolverlo  devi definire l'entropia non come il log del numero di stati
ma come il log del numero di stati fisicamente differenti (quindi devi
dividere il numero di stati per il numero di modi di permutare le
particelle, cioč N!). Questo dovrebbe riportare tutto a posto -almeno di
solito funziona cosě. Comunque lo trovi su ogni buon libro di m.s. (tipo
Huang).
Ciao,
Antonello.