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Titolo: Calcolo di elementi di matrice tra gli autostati dell'oscillatore

Salve,
dato un oscillatore armonico unidimensionale ho dovuto calcolare l'energia
cinetica e potenziale media su uno stato generico che era combinazione
lineare dei primi tre autostati dell'oscillatore armonico.
(Nota: ho usato il termine ht per indicare h tagliato, w per indicare omega,
T per l'energia cinetica e U per quella potenziale.)
|psi> = e^(-g^2/2)*[ |f0> - g*|f1> + (g^2/2^1/2)*|f2>]
Ora dai calcoli effettuati (trascurando i termini superiori a g^2) ho
trovato che l'energia totale (H) media e quella cinetica (P^2) media seguono
<psi|H|psi> = e^(-g^2)*ht*w/2*(1+3g^2) = 2*<psi|T|psi>
il che mi conforta ma calcolando l'energia potenziale (X^2) media ottengo un
risultato che mi ha sorpreso in quanto non è la residua parte dell'energia
totale media pari proprio a quella cinetica media ma bensì:
<psi|U|psi> = e^(-g^2)*ht*w/4*(1+5g^2)
cioè maggiore di quella cinetica media.
Supponendo (per assurdo) che abbia azzeccato i calcoli ;-) perché c'è questo
gap in più di energia?
Se invece ho sbagliato i calcoli probabilmente l'errore (che non trovo) è
nel calcolo degli elementi di matrice e quindi riporto quanto segue.
Ho cercato di calcolare gli elementi di matrice del tipo <fn|A^2|fm> (dove
|fn> ed |fm> sono gli autostati di un oscillatore armonico unidimensionale
ed A è X o P)  ottenendo questi risultati.
Ho usato per calcolare questi elementi il fatto che
P|fn>=i(m*ht*w/2)^1/2 * [(n+1)^1/2 |fn+1> - n^1/2 |fn-1>]
X|fn>=i(ht/2*m*w)^1/2 * [(n+1)^1/2 |fn+1> + n^1/2 |fn-1>]
<f0|P^2|f0>=m*ht*w/2
<f0|P^2|f1>=0
<f0|P^2|f2>=(2^1/2)*m*ht*w/2
<f1|P^2|f0>=0
<f1|P^2|f1>=3*m*ht*w/2
<f1|P^2|f2>=0
<f2|P^2|f0>=-(2^1/2)*m*ht*w/2
<f2|P^2|f1>=0
<f2|P^2|f2>=5*m*ht*w/2
#######
<f0|X^2|f0>=ht/2*m*w
<f0|X^2|f1>=0
<f0|X^2|f2>=(2^1/2)*ht/2*m*w
<f1|X^2|f0>=0
<f1|X^2|f1>=3*ht/2*m*w
<f1|X^2|f2>=0
<f2|X^2|f0>=(2^1/2)*ht/2*m*w
<f2|X^2|f1>=0
<f2|X^2|f2>=5* ht/2*m*w
Vorrei sapere se sono esatti e se il metodo usato è quello corretto.
Qualunque commento e suggerimento sarà graditissimo.
A presto
Nargath

Nargath ha scritto:
 > dato un oscillatore armonico unidimensionale ho dovuto calcolare
 > l'energia cinetica e potenziale media su uno stato generico che era
 > combinazione lineare dei primi tre autostati dell'oscillatore
 > armonico.
 > ...
 > il che mi conforta ma calcolando l'energia potenziale (X^2) media
 > ottengo un risultato che mi ha sorpreso in quanto non è la residua
 > parte dell'energia totale media pari proprio a quella cinetica media
 > ma bensì:
Onestamente, anche se ho lasciato passare qualche giorno, non ho
trovato la voglia di controllare i tuoi conti...
Gli elemnti di matrice che scrivi sembrano plausibili, c'e' una i di
troppo in
 > X|fn>=i(ht/2*m*w)^1/2 * [(n+1)^1/2 |fn+1> + n^1/2 |fn-1>]
ma deve essere un errore di trascrizione, altrimenti avresti trovato
valori medi negativi che non trovi.
Ti darei un consiglio: sbarazzati di tutte le costanti inutili (ht, m
w). In altre parole: poni ht=1, e scrivi l'hamiltoniana
H = (X^2 + P^2)/2.
Come minimo, riduci la possibilita' di errori...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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  <psi|H|psi> = e^(-g^2)*ht*w/2*(1+3g^2) = 2*<psi|T|psi>
Probabilmente hai svolto l'algebra correttamente, ma devi fare
attenzione alla normalizzazione dello stato. E' da qui che nascono i
tuoi problemi. L'espressione corretta per il valor medio
quanto-meccanico  <O> di un operatore generico O non e' <Psi|O|Psi>,
bensi'
        <O> = <Psi|O|Psi> / <Psi|Psi>
<Psi|O|Psi> e' corretta solo nel caso in cui lo stato |Psi> sia
normalizzato, ovvero <Psi|Psi>=1, ma questo non e' il tuo caso.
L'errore balza agli occhi immediatamente a causa della presenza, nella
tua espressione per <Psi|H|Psi>, del termine con l'esponenziale. Siccome
tale termine moltiplica l'intera espressione per |Psi>, non puo'
apparire esplicitamente in un valor medio quanto-meccanico, visto che,
in meccanica quantistica, moltiplicare uno stato per una costante non ne
cambia le proprieta' fisiche.
Spero che cio' sia di aiuto. Saluti,
Massimo
-- 
Massimo Boninsegni
Associate Professor of Physics
University of Alberta
www.phys.ualberta.ca/~massimo
   cimmy at shaw dot ca