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Titolo: modello di carica di una sfera

Le mie riflessioni partono da un esercizio apparentemente banale in cui mni sono imbattuto.
L'esercizio era il seguente:
 
 
Data una sfera di raggio R = 20 cm, inizialemnte recante una carica positiva q1= 2 20 microcoulomb calcola il lavoro L necessario per portare su di essa un'ulteriore carica q2= 30 microcoulomb. (suggerimento : ricorda che il potenziale di una sfera carica è pari a V = kq/R).
 
Vorrei discutere con voi di due approcci opposti e sulla opportunità dell'uno e dell'altro.
 
 
 
 
Il mio primo approccio è stato immaginare (forse a sporposito) che entrambe le cariche sia della sfera che quella da aggiungere fossero puntiformi in questo caso il lavoro è pari alla energia potenziale k q1q2/R 'J nel momento in cui la carica si viene a trovare sulla superficie della sfera. La mia idea è stata favorita dal fatto che una sfera si può vedere come una carica puntiforme concentrata nel suo centro e quindi ho fatto l'illazione (forse impropria) che anche la carica che stavamo ponendo fosse una carica puntiforme.
 
L'altro metodo invece è quello di pensare che la carica che si sta ponendo sulla sfera si porti gradualemente poca alla volta e ricordando che 
dL = Vdq = kq1/R dq 
in questo caso il processo di carica è un processo di integrazione di dL tra i valori q1 e q1+q2.
Ne esce (k/2R)*(q2^2-q1^2)=47,25J.
 
 
Vorrei capire a vostro parere dove sono i limiti del primo modello (si può usare solo se si specifica nel testo che la seconda carica è puntiforme? E quando è plausibile farlo?) e quando il secondo modello si debba considerare adeguato (forse ogni qual volta la carica non è specificata puntiforme?)
 
Grazie
Roberto 

 
 
L'esercizio in cui "ti sei imbattuto" non puo' essere scritto in quel modo, perche' nessun fisico ometterebbe di scrivere se la sfera e' conduttrice o altro. 
 
Riscrivilo in modo esatto, senza trascurare nemmeno le virgole; come hai omesso di riportare una cosa cosi' importante come la conduttivita' del materiale, puoi aver omesso qualcos'altro. 
 
--
Wakinian Tanka


Gentile Tanka l'esercizio in cui mi sono imbattuto è esattamente quello che ho scritto: lo riporto comprensivo delle virgole che, ammetto, ho dimenticato:
 
 
 
Data una sfera di raggio R = 20 cm, inizialmente recante una carica positiva q1= 20 microcoulomb, calcola il lavoro L necessario per portare su di essa un'ulteriore carica q20 microcoulomb. (Suggerimento: ricorda che il potenziale di una sfera carica è pari a V = kq/R ) Esercizio n° 359 pag 641 Libro "La matematica a colori" Leonardo Sasso ed: Dea Scuola Petrini.
 
 
In effetti è un libro di matematica e non di fisica, ma, visti i programmi del ministero, sui libri di matematica si trovano anche esercizi di fisica.

 Leonardo Sasso ed: Dea Scuola Petrini.
 
Intendi pure la sfera come conduttrice,
e che la carica aggiunta provenga dall'oo,
semplicemente perché altrimenti mancherebbe
la conoscenza delle distribuzioni di carica
iniziale e finale per poter risolvere il problema.
 
Comunque, come già scritto da W.K.,
l'enunciato del problema è monco...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)


Certamente, è quello che ho fatto. 
Ma rimane da affrontare la questione che ho posto.
Roberto

 Ma rimane da affrontare la questione che ho posto.
 
Il fatto e` che hai posto la questione come se i due casi,
carica q2 puntiforme o ad accumulo progressivo, fossero due
diversi metodi per risolvere il problema, mentre invece
possono corrispondere a due problemi di fisica diversi, con
soluzioni distinte, e bisogna prima di tutto capire quale
dei due avesse in mente l'ideatore del problema.
 
Il problema della carica puntiforme e` che e` un'astrazione
che possiede energia infinita, quindi ha senso usare tale
astrazione se la carica e` gia` puntiforme all'inizio del
problema e lo rimane anche alla fine. Che ne e` della carica
q2 quando raggiunge la sfera? Rimane puntiforme appiccicata
a un punto della superficie o si distribuisce? Non a caso ti
e` stato chiesto se la sfera e` conduttrice.
 
Io darei per scontato che nell'intenzione dell'autore del
problema la sfera fosse conduttrice, la carica finale fosse
ben distribuita sulla sua superficie e quindi non fosse
puntiforme all'inizio (altrimenti nella soluzione
comparirebbe un infinito, che ha poco senso). Il modo
corretto di procedere sarebbe quindi tramite il calcolo
dell'integrale che hai gia` impostato, attento pero` che non
vale (k/2R)*(q2^2-q1^2) ma (k/2R)*((q1+q2)^2-q1^2).
E questo corrisponde al fatto che l'energia elettrica che la
sfera possiede per il solo fatto di avere una carica q vale
(k/2R)*q^2 (come si vede integrando da 0 a q), quindi
il lavoro che cerchi deve corrispondere alla differenza tra
l'energia finale e quella iniziale.
 
Se quindi il problema, nelle intenzioni dell'autore, non
prevede cariche q2 puntiformi, per usare il modello a carica
q2 puntiforme come approssimazione per risolverlo devi
implicitamente assumere che l'energia (idealmente infinita)
che occorre per concentrare quella carica in un punto prima
di avvicinarla alla sfera e l'energia (altrettanto infinita)
che poi si libera quando la carica ha raggiunto la sfera e
si ridistribuisce siano irrilevanti, o meglio che sia
trascurabile la differenza (finita) tra queste due energie
infinite, in modo da poterle omettere entrambe dal calcolo.
Puoi fare quest'assunzione se la carica q2 e` molto piccola
rispetto a q1. Piu' in dettaglio, se espandiamo la soluzione
dell'integrale, otteniamo:
 
L = k((q1 + q2)^2 - q1^2)/2R
L = k(q1^2 + q2^2 + 2 q1q2 - q1^2)/2R
L = k(q2^2 + 2 q1q2)/2R
L = k(q1 + q2/2)q2/R
 
di cui la soluzione a carica puntiforme L = k q1q2/R e` una
buona approssimazione quando q1+q2/2 e` approssimabile a q1,
quindi quando q2 e` molto minore di q1.
 
Ciao
Paolo Russo

 infinite, in modo da poterle omettere entrambe dal calcolo.
 
 
Credo (non ho fatto il conto) quest'energia sia nulla se consideri la distribuzione "iniziale" della q2 uguale alla distribuzione "finale" della q2.
 
Piu' in dettaglio: 
 
1) all'inizio la q2 e' distribuita in una sfera identica a quella finale, solo da essa molto distante.
 
2) Concentro la q2 in un solo punto (compiendo lavoro infinito)
 
3) Porto la q2 sulla superficie della q1 (mantenedola puntiforme)
 
4) Distribuisco la q2 su tutta la superficie della sfera.
 
La differenza e' data dalla aggregazione/non aggregazione/"modo di aggregazione" della q2 ed e' nulla quando la configurazione della q2 viene solo traslata.


La risposta e' contenuta implicitamente in una cosa che hanno scritto sia WT (implicitamente :-) )che GB: per calcolare il lavoro occorre conoscere le distribuzioni di carica iniziale e finale. Se aggiungi una carica puntiforme, la distribuzione iniziale la prendi come puntiforme; diversamente se aggiungi la carica a poco a poco la distribuzione iniziale non e' puntiforme.
 
In uno dei due casi bisogna compiere del lavoro per aggregare la carica, nell'altro no.
 
 
In conclusione per questo problema e' piu' utile pensare ai due casi come a due casi completamente diversi e non come due "modelli" (quest'ultima cosa sarebbe utile se uno cerca di risolvere un problema e deve stabilire come modellare i movimenti delle cariche).

 della q2.
 
Confermo. Aggiungendo un k*q2^2/2R per formare una sfera di
carica q2 e raggio R i conti tornano, si riottiene
l'espressione che risulta dall'integrale.
 
Ciao
Paolo Russo


Non capisco perché tu e JTS siete andati a complicare tanto le 
condizioni iniziali. Il libro da cui è tratto il problema è ad uso dei 
licei, e quindi ovviamente dà per scontate molte cose che di solito al 
liceo si sottintendono. Prima fra tutte, il fatto che la carica sulla 
sfera sia a simmetria sferica.
 
Posto questo, che la carica sia concentrata al centro, distribuita 
omogeneamente nell'intero volume della sfera, o distribuita 
omogeneamente sull'intera superficie della sfera, non cambia nulla: il 
campo elettrico all'esterno è sempre lo stesso, e il potenziale quello 
suggerito, con opportuna scelta di k.
 
In queste condizioni, portare una carica q2 dall'infinito alla 
superficie della sfera richiede un lavoro q2*Delta V, e questa è con 
tutta probabilità la risposta richiesta dal testo. Per quanto riguarda 
q2, che nel testo è di 30 microC, si tratta pur sempre di 2*10^12 
elettroni (in difetto, visto che q2 è positiva), per cui volerla 
considerare puntiforme è veramente una forzatura. Si parla di un *corpo* 
carico, anche se di dimensioni piccole rispetto alla sfera, che ha 
raggio 20 cm.
 
Nell'ipotesi che la sfera sia conduttrice, quando il corpo carico tocca 
la superficie, parte del lavoro può essere recuperato (magari sotto 
forma di energia interna della sfera) perché le cariche, inizialmente 
confinate in un corpo piccolo, si distribuiscono su tutta la superficie 
della sfera, diminuendo la loro energia totale di configurazione. E' 
evidente che nel problema questo lavoro viene trascurato.
 
Per cui, come risposta all'Opening post, direi che i due metodi 
adombrati sono entrambi corretti e devono semplicemente dare lo stesso 
risultato.
 
 
-- 
TRu-TS
buon vento e cieli sereni

Provo con un approccio da circuitale.
 
Una sfera di raggio di 20 cm ha una capacita` pari a 22.2pF (Nei vecchi 
condensatori la capacita` era indicata in centimetri!)
 
Con una carica di 20uC il potenziale della sfera (con la solita 
definizione di potenziale nullo all'infinito) e` V=Q/C=20uC/22.2pF=900kV 
(Urca!). L'energia immagazzinata nel campo elettrico vale E=1/2 C V^2, 
quindi sono 9 J (URca!)
 
QUando si aggiungono 30uC alla sfera, il potenziale sale di un fattore 
2.5, quindi va a 2.25MV (URCa!) e l'energia immagazzinata dalla sfera 
sale di un fattore 6.25, quindi 56.25J (URCA!).
 
Ho l'impressione che chi ha scritto questo problema non abbia la minima 
idea di che cosa vogliano dire quei risultati.
 
Il lavoro che bisogna fare per portare la carica sulla sfera, a partire 
da distanza infinita, vale quindi 56.25J-9J=47.27J.
 
Il tutto se non ho preso troppe cantonate.
 
-- 
 
Franco
 
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 
Am 13.05.2019 um 23:10 schrieb Tommaso Russo, Trieste:
 > On 13/05/19 16:09, Paolo Russo wrote:
 >> Vedo che abbiamo risposto praticamente la stessa cosa nello
 >> stesso momento, o giu' di li'.
 >>
 >> [JTS:]
 >>> On Monday, May 13, 2019 at 1:20:03 PM UTC+2, Paolo Russo wrote:
 >>>>   o meglio che sia
 >>>> trascurabile la differenza (finita) tra queste due energie
 >>>> infinite, in modo da poterle omettere entrambe dal calcolo.
 >>>
 >>>
 >>> Credo (non ho fatto il conto) quest'energia sia nulla se consideri la
 >>> distribuzione "iniziale" della q2 uguale alla distribuzione "finale"
 >>> della q2.
 >>
 >> Confermo. Aggiungendo un k*q2^2/2R per formare una sfera di
 >> carica q2 e raggio R i conti tornano, si riottiene
 >> l'espressione che risulta dall'integrale.
 >>
 >> Ciao
 >> Paolo Russo
 >
 >
 > Non capisco perché tu e JTS siete andati a complicare tanto le 
condizioni iniziali. Il libro da cui è tratto il problema è ad uso dei 
licei, e quindi ovviamente dà per scontate molte cose che di solito al 
liceo si sottintendono. Prima fra tutte, il fatto che la carica sulla 
sfera sia a simmetria sferica.
 
 
Questo e' il caso in cui Elio Fabri direbbe "devi dirci che studi hai fatto"
 
 > Posto questo, che la carica sia concentrata al centro, distribuita 
omogeneamente nell'intero volume della sfera, o distribuita 
omogeneamente sull'intera superficie della sfera, non cambia nulla: il 
campo elettrico all'esterno è sempre lo stesso, e il potenziale quello 
suggerito, con opportuna scelta di k.
 
Questo ok.
 
(cut)
 
 >
 > Nell'ipotesi che la sfera sia conduttrice, quando il corpo carico 
tocca la superficie, parte del lavoro può essere recuperato (magari 
sotto forma di energia interna della sfera) perché le cariche, 
inizialmente confinate in un corpo piccolo, si distribuiscono su tutta 
la superficie della sfera, diminuendo la loro energia totale di 
configurazione. E' evidente che nel problema questo lavoro viene trascurato.
 >
 > Per cui, come risposta all'Opening post, direi che i due metodi 
adombrati sono entrambi corretti e devono semplicemente dare lo stesso 
risultato.
 >
 
Il problema pero' l'OP se lo e' posto, e la risposta deve essere che in 
un caso la carica q2 cambia configurazione.

 risultato.
 
Ma cosi' non e`. q2*Delta V da` 26.96 J contro i 47.18 J
dell'integrale. Il problema e` che a mano a mano che
trasferisci parte della carica q2 sulla sfera, la carica
di quest'ultima aumenta sensibilmente, e con essa il
potenziale contro cui lavorare per trasferire il resto della
carica. Questo dettaglio sarebbe trascurabile, e i due
metodi darebbero lo stesso risultato, per q2<<q1, ma qui e`
addirittura q2>q1.
 
Poi puo` ben essere che chi ha scritto il testo non si sia
neanche accorto del problema, e abbia semplicemente assunto
che la differenza fosse irrilevante senza verificare.
Per capire cosa avesse in mente l'autore, visto che si
tratta di un testo di matematica, bisognerebbe vedere se
l'esercizio e` in un capitolo sul calcolo differenziale.
 
Ciao
Paolo Russo

addirittura q2>q1.
 
Direi di no. Non dovrebbe esserci differenza tra i due metodi, in
quanto nel trasferimento frazionato non hai preso in considerazione il
fatto che la carica residua ancora da trasferire *aiuta a spostarsi*
-- repellendola -- quella frazione di carica in fase di trasferimento.
 
Se considerassimo nell'integrale il lavoro compiuto da questa
repulsione, i risultati dovrebbero essere identici, dato che per la
conservativita' del campo elettrico il lavoro compiuto dovrebbe
dipendere *esclusivamente* dalle configurazioni geometriche iniziali e
finali delle cariche. Ciao


L'ipotesi standard nel "trasferimento frazionato" e' che la carica q2 inizialmente sia lontana da q1 e anche distribuita in maniera tale che non ci sia interazione apprezzabile fra le varie parti di q2; cioe' devi fare lavoro per aggregarla. Nel calcolo dell'OP (che non ho controllato :-) ) mi pare sia cosi' ...
 
Sono ovviamente d'accordo che se la configurazione iniziale e finale sono le stesse il contributo e' nullo.

 Vorrei capire a vostro parere dove sono i limiti del primo modello
 
Adesso ho capito da dove viene il tuo dubbio!
 
L'ambiguità sta nella frase "una carica q2 da 30 microC", che può essere 
interpretato in due modi:
 
  - un corpuscolo materiale con un eccesso di portatori positivi 
(lacune) per complessivi 30 microC, inizialmente all'infinito,
  - N portatori positivi per complessivi 30 microC, inizialmente tutti 
all'infinito.
 
Le differenti interpretazioni portano a due problemi diversi, con 
soluzioni diverse:
 
1). il corpuscolo di carica q2 viene portato da un potenziale 0 a un 
potenziale V=kq1/R, e quindi richiede il lavoro q2*V = 27 J.
 
2). i portatori vengono portati, uno alla volta, sulla sfera (mantenendo 
una distribuzione sfericamente simmetrica), che durante il processo 
aumenta il suo potenziale, per cui portarvi il primo richiede un lavoro 
e*V, ma già il secondo richiede un po' di lavoro in più, e alla fine il 
risultato è superiore (47,25 J, come dai calcoli).
 
Ma questo vale perché i portatori all'infinito possono stare in posti 
distantissimi (anche ognuno su una stella diversa! :-)
 
 
Per risolvere il problema 1) col metodo "un poco per volta" dobbiamo 
pensare a un corpuscolo eguale a quello che sta all'infinito, ma 
elettricamente neutro e fissato alla superficie della sfera. I portatori 
li portiamo uno alla volta dal corpuscolo all'infinito a quello sulla 
sfera, e per far questo compiamo:
 
  1 un lavoro di 27 J contro il campo creato dalla carica q1 sulla sfera,
 
  2 un lavoro molto superiore (*) contro il campo creato dalla carica 
(crescente da 0 a q2 durante il processo) che si accumula sul corpuscolo 
fissato alla sfera
 
  3 ma questo secondo lavoro viene compensato esattamente dal lavoro 
FATTO dal campo creato dalla carica (decrescente da q2 a 0 durante il 
processo) che sta sul corpuscolo rimasto all'infinito, per cui il 
risultato sarà sempre 27 J.
 
 
(*) quanto superiore dipende dalle dimensioni dei corpuscoli, molto 
piccoli ma non puntiformi, per evitare energie infinite. Con un 
corpuscolo conduttore di diametro 0,1 mm siamo sull'ordine di 190 kJ :-)


che non ci sia interazione apprezzabile fra le varie parti di q2;
 
OK: ma questa e' IMHO un'interpretazione da non prendere in
considerazione, in quanto ha un'indeterminazione (la quantita' di
parti in cui e' frazionata la carica q2) che non consente di dare una
risposta univoca. Ciao

 controllato :-) ) mi pare sia cosi' ...
 
Esatto. Quest'ipotesi e` motivata dal fatto che in caso
contrario il testo dell'esercizio dovrebbe precisare la
configurazione iniziale della carica q2; se fosse
distribuita sulla superficie di una sfera ne andrebbe
precisato il raggio, altrimenti l'energia della
configurazione iniziale sarebbe del tutto indeterminata.
Se poi la carica q2 fosse inizialmente puntiforme,
avrebbe addirittura energia infinita, rendendo il tutto
ancor meno sensato.
Per cui i due procedimenti di calcolo danno effettivamente
risultati diversi, perche' si riferiscono a problemi fisici
diversi. L'uno sarebbe una buona approssimazione dell'altro
se q2 fosse molto piu' piccola di q1, ma non e` cosi'.
 
Comunque trovo interessante che si possa discutere tanto di
un problema cosi' apparentemente semplice...
 
Ciao
Paolo Russo


Per frazionato intendevo con frazioni infinitamente piccole ;-)
 
Questa dovrebbe andare bene: la carica q2 e' inizialmente distribuita su una sfera di raggio molto grande.

ancor meno sensato.
 
Non sono d'accordo: ragionando cosi', bisognerebbe bandire il concetto
di carica puntiforme da *ogni* considerazione di elettrologia, a
partire dalla legge di Coulomb. Il modello della carica puntiforme e'
una semplificazione che si ha proprio prescindendo dall'energia
infinita che occorrerebbe per tenerla assieme, in quanto questa
energia e' irrilevante ai fini del problema cosi' modellizzato.
Pensare a q2 come puntiforme e a distanza infinita dalla sfera e'
l'unico modo di rendere determinato (e quindi sensato) il problema.
Ciao

su una sfera di raggio molto grande.
 
Specificando anche che la distribuzione e' uniforme (o altro), magari:
cosa che il testo non fa. L'unica interpretazione determinata del
testo e' q2 puntiforme all'infinito. Ciao

Rispondo in coda a questo post solo perché è l'ultimo nel momento in
cui scrivo.
Francamente, la mia opinione su tutto il thread è tutt'altro che
positiva.
Non mi dilungo e faccio solo qualche rapido cenno.
 
1. Ho apprezzato il post di Franco, sull'insensatezza dei dati.
Non è la prima volta che mi capita di leggere problemi di fisica con
quel difetto, e diverse volte ho polemizzato con questo malcostume.
E' chiaro che l'autore non si cura di verificare (o forse non saprebbe
come fare) quanto i suoi dati abbiano qalche relazione col mondo
reale.
E' anche chiaro che l'idea sottesa è un'altra: i numeri sono un
pretesto o un obbligo "morale", ma ciò che importa è che l'allievo
sappia applicare le "giuste" formule.
Bene (anzi male): questa per me *non è fisica*.
 
2. Il problema è scritto coi piedi e non valeva la pena di stare a
strologarci sopra così a lungo.
 
3. Mi pare che nessuno abbia osservato che se q2 è concentrata (non
occorre che sia puntiforme, e anche su questo tema del "puntiforme"
avrei da dire, ma tralascio) e se q1 sta su un conduttore, quando q2 si
avicina ci sarà induzione, la distribuzione di q1 cambierà, e perciò
il calcolo col potenziale iniziale è comunque sbagliato.
 
 
-- 
Elio Fabri

 cosa che il testo non fa. 
 
 
 
Dovrebbero andare bene tutte le distribuzioni per le quali la densita' di carica tende a zero dappertutto. Mi fai vedere un caso in cui la densita' di carica di q2 inizialmente e' molto piccola ovunque, molto distante da q1 e viene un valore diverso da 47.18 J (lo copio da Paolo Russo)? A me ad occhio pare non esista.

A me ad occhio pare non esista.
 
Consideriamo una distribuzione continua rho di q2 sulla superficie
sferica di raggio R e concentrica a q1 che sia piu' densa ai poli che
all'equatore [ad esempio rho = q2/(4piRR) ] anziche' la distribuzione
uniforme. Anche cosi', tendendo R a infinito, la densita' di carica di
q2 rimane "molto piccola ovunque e molto distante da q1", ma -- sempre
a occhio -- dubito che il lavoro sia lo stesso che nel caso della
distribuzione uniforme di q2, in quanto ci si sta avvicinando al caso
discreto di due cariche puntiformi di valore q2/2 (in corrispondenza
dei poli) distanti R da q1. Ciao

 all'equatore [ad esempio rho = q2/(4piRR) ] 
 
Qui penso volessi mettere anche un termine dipendente dall'angolo.

 
 
Be' "nessuno" no, in un post precedente al tuo facevo notare appunto all'OP che se la sfera e' conduttrice le cariche su questa si spostano (con tutte le conseguenze di cio') mentre si avvicina ad essa q2.
Solo che quel post non e' stato ancora pubblicato :-) 
 
Poi chiedevo se fosse possibile una scansione di quella pagina del libro da cui e' stato tratto l'esercizio perche' il libro non ce l'ho. 
 
--
Wakinian Tanka 

Qui penso volessi mettere anche un termine dipendente dall'angolo.
 
Intendendo rho come funzione di longitudine e latitudine, e' proprio
l'assenza del termine cos(latitudine) a renderla NON uniforme, SE&O.
Comunque ci siamo intesi. Ciao


Ho capito il concetto ma mi manca un dettaglio (forse riesco a fare il calcolo anche senza il dettaglio pero' ;-)). Indico con sigma la densita' superficiale di carica per unita' di colatitudine (la preferisco alla latitudine) e longitudine, cioe'
 
sigma = d q/ (d phi * d theta)
 
allora la carica totale e' uguale a 
 
\int sigma d phi d theta
 
e quindi il fattore di normalizzazione che ti serve e' 4 pi^2 (hai scritto 4 pi).
 
La densita' superficiale di carica, calcolata come 
 
d q/ (sin(theta) d theta d phi)
 
e' sempre infinita ai poli, anche se in qualque altro punto tende a zero. Adesso ho bisogno di pensarci su per capire se l'infinito e' "cattivo" o "buono".

e' "cattivo" o "buono".
 
... perche' se fosse "cattivo", potremmo introdurre un opportuno
fattore di diluizione senza alterare minimamente la sostanza della
tesi che sostengo, ossia che la distribuzione di q2 non e' ininfluente
ai fini del calcolo dell'energia. Ciao

 il calcolo col potenziale iniziale è comunque sbagliato.
 
Vero, mea culpa per non averlo incluso nella casistica. Comunque il 
calcolo col potenziale ha senso nel caso di carica q1 concentrata al 
centro della sfera, e corpuscolo con carica q2 portato da infinito a 20 
cm dal centro.
