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Titolo: Sempre dal libro Gravitation...

A pagina 31 del libro c'è questa immagine :
https://ibb.co/6Bvkr0M
 
in cui sono simbolizzati vari eventi tramite un puntino nero,assorbimento di un fotone, emissione di un fotone, collisione tra particelle ecc.
Tutti questi accadimenti sono <eventi> .
 
E cosa si può dire (ad esempio) della particella -prima- che si scontri con l'altra particella ? La particella si sta muovendo liberamente nello spazio (o spaziotempo?) ,ma non si è ancora scontrata con l'altra particella, quindi per il momento non c'è stato nessun evento...
Come si definisce lo stato di questa particella ?
Sicuramente la mia domanda pecca di ingenuità che forse sarebbe meglio definirla < pecca di ignoranza> ...
Bruno

Il 28/05/23 14:30, Bruno Honda ha scritto:

Non è ingenua ma lecita. Un'idea alla base della RG, anche se non sempre 
esplicitata, è che gli eventi costituiscano una specia di "continuo" e 
quindi dato un evento ci sarà un intorno di eventi. Questo permette di 
usare le coordinate spazio-temporali come variabili continue.
 
Giorgio


Giorgio Pastore scrive : dato un evento ci sarà un intorno di eventi. Questo permette 
di usare le coordinate spazio-temporali come variabili continue.
Come premessa grazie per la risposta...
Provo a vedere se ho capito il senso di questo intorno di eventi.
Avevo scritto che la particella si muoveva liberamente nello spazio-tempo,
ma non si era ancora scontrata con l'altra particella (quindi per il momento non
c'è evento). Fotografiamo la situazione quando le due particelle distano tra loro ancora
di 1 metro . Ma qui interviene la Relatività Ristretta ? A seconda del sistema di riferimento
per qualcuno quel metro era 10 cm  per altri 5 mm o meno ? E' questo che si deve intendere 
per intorno dell'evento (che comunque a parte la diversità di misurazioni nei diversi
sistemi di riferimento, in ogni caso non è ancora avvenuto ?).
Bruno

 sistemi di riferimento, in ogni caso non è ancora avvenuto ?).
 
Assolutamente no. Il discorso delle coordinate è "sganciato" da quello 
delle distanze. Prima vengono le coordinate e dopo le distanze.
 
Il concetto che MTW stanno  cercando di passare in quelle pagine a 
parole e con le figure è che è concepibile assegnare coordinate 
semplicemente sfruttando altri eventi, prima ancora di avere una metrica.
 
Conviene partire da un esempio geometrico (geometria dello piano, prima 
di quella dello spazio-tempo).
Prendiamo un punto del piano (
p.es
. il vertice di un triangolo). 
Possiamo assegnare a quel punto delle coordinte in molti modi diversi 
prima ancora di aver introdotto un concetto di distanza. P.es. potremmo 
introdurre un doppio insieme  di curve tali che quelle di ciascun 
insieme non si intersecano tra loro ma quelle appartenenti a due insieme 
diversi lo fanno in un unico punto e parametrizzare con numeri reali 
ciascuna famiglia, senza nessun collegamento a priori con distanze. I 
due parametri che individuano le due curve che si intersecano 
esattamente nel vertice scelto sono due possibili coordinate di quel punto.
 
Per funzionare questo sistema sembra richiedere che ci siano elementi 
delle due famiglie di curve dappertutto. Ma siccome dal punto di vista 
pratico più di un numero finito di cifre per i nostri parametri non 
saremo mai in grado di darlo, basta che attorno ad ogni punto ci sia un 
numero finito ma sufficientemente grande di curve.
 
Discorso analogo per il tempo. Non abbiamo bisogno di un orologio 
preciso e neanche regolare. Ci basta un "orologio" costituito da un 
fenomeno con una sua evoluzione, di cui possiamo distingure momenti 
diversi. Useremo questi diversi momenti dell'evoluzione del 
sistema-orologio per assegnare un parametro-tempo ad un altro fenonemo. 
La scelta del parametro è però completamente arbitraria.
 
Come da questi parametri si passa a poter introdurre una distanza è 
compito di qualcosa che segue e non coincide con la parametrizzazione: 
la definizione di una metrica, ovvero di distanze (e durate di tempo).
 
Qui, in fisica interviene la necessità di identificare opportunamente 
gli ulteriori elementi necessari per poter definire una distanza. 
Intanto abbiamo introdotto punti e coordinate dei punti.
 
Giorgio


Interessante. 
 
Tipo la famiglia di rette y = a+x e y = b-x che si intersecano in x=(b-a)/2; y=(b+a)/2 e ad ogni coppia di parametri (a, b) corrisponde un punto di intersezione?
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

Il 02/06/23 12:17, Alberto Rasà ha scritto:

Sì. Ma pui usare qualsiasi altra famiglia. E non c'e' neanche bisogno 
che sia globale (definita dappertutto). L'importante è avere un sistema 
di curve locali.
 
Giorgio

Giorgio Pastore ha scritto:
 > Sì. Ma puoi usare qualsiasi altra famiglia. E non c'è neanche
 > bisogno che sia globale (definita dappertutto). L'importante è avere
 > un sistema di curve locali.
Quello che segue l'avevo scritto diversi giorni fa, ma è rimasto in un
cassetto metaforico, non so neppure perché.
 
Mi accingo a esporre il mio punto di vista sulla presente discussione,
mettendo le mani avanti: non so se sarò capace di farmi capire, e una
lunga esperienza passata non m'induce all'ottimismo.
Tra l'altro c'è qualcosa di fondo che non ho capito; spero almeno che
il tentativo di parlarne mi aiuti a chiarirmi le idee.
Naturalmente stiamo parlando, anche se su un argomento specifico
(spazio-tempo e coordinate) del rapporto tra matematica e fisica.
Questione non da poco...
 
Un veloce accenno (forse una ripetizione) a come i matematici oggi
(diciamo da un secolo) vedono la questione.
Con l'importante eccezione di personaggi illustri come Arnol'd, i
matematici non si curano della fisica (né di niente altro al mondo).
Costruiscono le loro strutture in modo autonomo e autosufficiente.
Almeno così dichiarano, e non è questa la sede per andare più a
fondo...
 
In materia di spazio-tempo, la gearchia di strutture rilevante è:
- spazio topologico
- varietà topologica
- varietà differenziabile
- varietà (semi)riemanniana.
Ciascuna di queste strutture è indipendente dalle successive e viene
presupposta quando si passa dall'alto al basso.
 
In modo approssimato (ma bisognerebbe capire che cosa significa
approssimazione in questo contesto) è anche la strada seguita in
"Gravitation", come ha spiegato Giorgio.
C'è un punto dove mi scosterei dalla sua esposizione: che possa
bastare un numero finito di punti o di curve per costruire la
struttura nei limiti in cui è necessaria a un fisico.
Discussi questo aspetto in più occasioni, l'ultima delle quali ~14
anni fa:
("Matematica e fisica - un rapporto complesso"; lezione alla Scuola
AIF di Storia della Fisica, Ferrara 3-12-2009)
http://www.sagredo.eu/articoli/matfis.pdf
 
Un esempio veloce: anche nella fisica più elementare (cinematica) non
si può fare a meno dei numeri reali, che sono ben più che infiniti!
 
Ma qui voglio soffermarmi su un altro lato della questione.
La struttura matematica sopra delineata può andare oltre una pura
dipendenza logica? Può essere usata per la costruzione di concetti
(anche solo nella pura matematica)?
La domanda è chiaramente retorica, e la mia risposta è "mi sembra di
no".
Un esempio che ci tocca da vicino: la definizione di varietà
topologica.
Viene solitamente data come "uno spazio topologico che ammette aperti
omeomorfi ad aperti di R^n, tali da ricoprire l'intero spazio."
Mi soffermo solo sugli aperti omeomorfi ad aperti di R^n.
Ciò presuppone che lo spazio sia dotato di una topologia, che
definisce gli aperti. ma soprattutto richiede che un certo numero di
questi aperti possano essere messi in corrisp. biunivoca e bicontinua
con aperti di R^n (quindi dobbiamo già conoscere R^n).
 
Come venga stabilito codesto omeomorfimo viene lasciato alla fantasia
del matematico, ma appena ci si pensa si capisce che per poter
definire l'omeomorfismo bisogna già sapere molto sullo spazio che
vogliamo promuovere a varietà...
In poche parole, dobbiamo già conoscere su quello spazio una geometria
abbastanza ricca perché si possa vedere la corrisp. con gli aperti di
n-ple di reali.
Ossia, per definire le coordinate, dobbiamo già *avere* delle
coordinate; la definizione richiede solo di verificare l'omeomorfismo,
ma le coordinate debbono esserci già.
È quello che sottintende Giorgio, quando scrive
 > P.es. potremmo introdurre un doppio insieme di curve tali che [...]
Curve? Che cosa sono le curve? Come faremo nella realtà (matematica,
bada bene) a costruire questo sistema di curve, se non dandone le
equazioni oppure caratterizzandole geometricamente?
(Esempio: potremmo in un piano prendere delle ellissi e delle iperboli
confocali; ma bisogna conoscere la geometria delle coniche, che
richiede la geometria euclidea...)
Lo stesso vale per la "famiglia di rette" di Alberto, che presuppone
la geometria analitica del piano.
 
L'esempio di "Gravitation", e il paragone con le città giapponesi,
funziona solo a parole; in pratica fornirebbe un sistema di coordinate
di una complicazione terribile, con cui non si potrbbe fare nessun
calcolo.
 
Basta guardare la realtà delle più semplici cose conosciute in RG, per
vedere che si procede in modo opposto.
Prendiamo ad es. la geom. di Schwarzschild.
Rifacciamoci all'articolo originale (esiste la trad. inglese in pdf).
Schw. parte, come Einstein, assumendo
a) simmetria sferica
b) soluzione statica
c) spazio-tempo asintoticamente minkowskiano
d) massa presente solo nell'origine.
Questo lo porta a scrivere la metrica
 
ds^2 = f_4 dx_4^2 - f_1 dx_1^2 -
          f_2 dx_2^2/(1 - x_2^2) - f_3 dx_3^2 (1 - x_2^2)  (9)
 
con x_1 = r^3/3, x_2 = -cos(theta), x_3 = phi, x_4 = t (f_1, f_2=f_3,
f_4 sono funzioni di x_1).
 
Da qui in poi S. procede a risolvere le eq. di Einstein; trova la
soluzione esatta e dimostra che la sol. approssimata di Einstein è del
tutto adeguata pr il calcolo della precessione del perielio di
Mercurio.
Questo e molte altre cose, tra cui importantissimo ai fini storici il
modo come tratta la singolarità, non sono però rilevanti ai presenti
fini.
 
Ciò che importa è che la scelta delle coordinate e la forma generica
della metrica discendono da considerazioni di simmetria e altre,
quindi da conoscenze che si prendono come postulati quanto allo
spazio-tempo in questione.
Così si procedeva oltre un secolo fa, ma così si procede ancor oggi.
-- 
Elio Fabri

 si può fare a meno dei numeri reali, che sono ben più che infiniti!
...
 
Anche se poi ti concentri sull' altro punto, questo forse meriterebbe un 
commento di approfondimento.
 
Resta vero che il linguaggio della fisica è matematico. Ma, rispetto ai 
tempi di Galilei, forse diventa necessario dire qualcosa di più su 
questa relazione tra fisica e matematica, anzi, forse occorrerebbe dire 
matematiche. E qui i discorso sui reali e sul numero finito di punti può 
essere fatto in modo più completo di quanto fosse possibie farlo nel 
'600 (periodo precedente di molto l'elaborazione ottocentesca delle 
proprietà dei reali).
 
Un punto poco apprezzato nella didattica e di conseguenza nell' 
immaginario di ci ha avuto una formazione sulla fisica e sui modelli 
matematici della stessa è come non necessariamente quello che è utile 
per fare matematica in modo semplice è anche il modelo più fedele della 
realtà. Una superficie di un solido reale a livello atomico perde le 
proprietà di una superficie geometrica ideale. Questo è quasi banale. 
Quello che trovo molto meno banale è il fatto che un modelo continuo 
possa dare una ragionevole descrizione di una superficie di un 
materiale, alla giusta scala. E gli esempi potrebbero diventare 
rapidamente meno semplici. La meccanica statistica permette di 
riprodurre le proprietà di un sistema termodinamico solo al limite di 
infiniti gradi di libertà, pur non esistemdo un solido con infiniti 
atomi. Gli stati elettronici di un cristallo possono essere classificati 
a partire dalle rappresentazioni irriducibili del gruppo spaziale delle 
traslazioni, anche se nessun cristallo finito dotato di superficie ha ua 
struttura davvero invariante per traslazione.  E gli esempi potrebbero 
continuare.
 
Quello che fa funzionar tutto è la ppossibiità di vedere i modelli 
analitici regolari come opportune approssimazioni di modelli meno 
regolari. E' un po' l'inverso di come si presentano normalmente le cose: 
un integrale numerico viene visto come un'approssimazione del concetto 
analitico di integrale. Le cose possono invece funzionare in senso 
inverso: un integrale analitico può esser visto come un modo di 
approssimare una somma finita.
 
E per tornare all' argomento da cui questa discussione è partita, un 
modello continuo di spazio-tempo può costituire un'utile semplificazione 
per qualcosa di più complicato ma di cui non abbiamo ancora sufficiente 
evidenza diretta.
 
Giorgio