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Titolo: Integrali di Lebesgue

Nel thread relativo a quelle domande che ponevo circa il c.d.l. in
fisica, a proposito dello studio dell'analisi, si sono tirati in ballo
gli integrali di Lebesgue (che mi sembra di aver capito si studino a
fisica ma non a ingegneria...poi qualcuno ha confutato questa
affermazione...)
Cosa hanno di speciale questi fantomatici "integrali di Lebesgue"?
Perche' sono diversi e perche' sono migliori degli integrali
"tradizionali"?
Perche' sono cosi' importanti per i fisici?
Grazie
Ciao
Giovanni

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 La storia sarebbe un po' lunga. La misura [prima si misurano gli 
 insiemi su cui sono defineite le funzioni e poi si passa all' 
 integrazione di queste] di Lebesgue ha delle migliori
 proprieta' rispetto a quella di Riemann, in particolare la cosiddetta
 "sigma additivita'". Per esempio una retta su un piano non e'misurabile
 secondo la misura piana di Riemann, mentre l'intuizione ci dice che, 
 essendo la retta di dimensione inferiore a quella del piano, la sua
 misura dovrebbe essere zero. Per la misura di Lebesgue tale misura
 e' infatti nulla (ed e' una conseguenza immediata dela sigma 
 additivita' suddetta). In ogni caso, (sotto semplici ipotesi del tipo
 la limitatezza e la continuita' eccetto un numero finito di punti)
 quando una funzione e'  integrabile in modulo secondo 
 Riemann (integrale proprio) e' anche integrabile secondo 
 lebesgue ed i due integrali coincidono. Inoltre, per le applicazioni
 alla fisica, se una funzione e' divergente in qualche punto o il 
 dominio di integrazione e' infinito e la funzione e quasi ovunque 
 continua (nel senso di Riemann) ed e'
 integrabile secondo lebesgue, allora e' integrabile in senso
 "improprio" seconso Riemann e i due integrali coincidono (questo fatto
 permette di eliminare il problema della verifica dell'indipendenza
 dalla classe di insiemi invadenti il dominio d'integrazione).
 Infine la misura di Lebesgue consente di definire dei particolari
 "spazi di funzioni"  che hanno la proprieta' 
 della "completezza" (non l'avrebbero usando l'integrale di 
 Riemann) questi spazi sono essenziali per costruire la meccanica 
 quantistica, ma anche piu' banalmente, per fondare in maniera rigorosa 
 la teoria della trasformata e della serie di Fourier...
 Per fare un esempio della diversita' tra i due integrali:
 la funzione di Dirichelet che vale uno sui razionali e zero sugli
 irrazionali, definita su [0,1], non e' integrabile secondo Riemann, 
 invece e'integrabile secondo Lebesgue e il suo integrale vale zero.
 Ciao, Valter

Perche' sono cosi' importanti per i fisici?
Questo non lo so. Forse i fisici devono integrare cose un po' troppo
orribili per gli integrali Riemann?
Comunque, non mi pare che ci sia un problema qui. E' una
generalizzazione. Un po' come calcolare la media come "somma x p(x)"
anziche "(somma x) / n"
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
Verbing weirds language. (Calvin)

Perche' sono cosi' importanti per i fisici?
L'integrale di Lebesgue e' importante perche' e'
molto piu' potente di quello di Riemann.
Permette di dimostrare numerorosi teoremi (es.derivazione
sotto segno di integrale) con ipotesti molto  piu' generali
degli stessi teoremi sviluppati sotto  l'integrale di
Riemann.
I matematici si sono sempre divertiti ad invenventare funzioni
'patologiche' per mettere alla prova determinate teorie.
L'integrazione secondo Riemann e' alquanto impotente su insiemi
appena poco piu' 'complicati' di un insieme aperto o chiuso.
Ad esempio,se non ricordo male, tutti gli insiemi la cui frontiera non ha
misura nulla non sono integrabili secondo Riemann, ma lo sono
secondo Lebesgue.
Questo e' dovuto al modo in cui i 2 integrali sono costruiti.
Lebesgue approssima la misura di un insieme con successioni
di insiemi aperti quando approssima 'da fuori' e compatti quando
approssima 'da dentro'.
Mentre Riemann credo faccia proprio l'opposto..tralasciando quindi
la frontiera dell'insieme che in molti casi e' di fondamentale
importanza.
Poi..quando si passa dalla misura degli insiemi alla misura
di funzioni definite su insiemi misurabili (nel senso di Lebesgue o
di Riemann) Lebesgue approssima la funziona da misurare con
combinazioni lineari di insiemi misurabili..mentre Riemann con
combinazioni lineari di funzioni semplici..il che rende il
secoondo integrale molto meno flessibile.
Tutto questo poi si riflette nei teoremi che e' possibile
estrapolare da queste 2 teorie, come gia' detto in precedenza,
quelli sviluppati sotto Lebesgue sono  molto piu' potenti.
Ovviamente ogni funzione (o insieme) Riemann-misurabile e'
anche Lebesgue-misurabile, e le misure sono uguali.
Ovviamente non vale l'inverso :)
Spero di essere stato chiaro e non di non avere scritto
troppe castronerie..
ciao,
Marco

 Perche' sono cosi' importanti per i fisici?
 In realta' devo ancora trovare un fisico che ha usato l'integrale di
Lebesgue per un calcolo "vero", nel senso che quando nella pratica ci si
trova a dover calcolare un integrale si puo' sempre usare Riemann (e se
non si puo', non si usa nemmeno Lebesgue). L'integrale di Lebesgue si
usa solo per dimostrare teoremi: in particolare l'importantissimo
teorema che gli spazi L2 sono completi, senza di cui il formalismo della
Meccanica Quantistica
non funziona. Anzi, direi che per il 99% dei fisici questo teorema e' l'
unico punto in cui s'incontra l' i. di L..
 Devo dire che trovo questo stato di cose abbastanza insoddisfacente.
Data la compressione dei programmi universitari, passare un mese o due
per dimostrare un solo teorema mi sembra uno spreco. Tanto piu' che il
problema si puo' aggirare: esiste una formulazione della MQ, non molto
diversa dalla solita, in cui l'i.di L. non si vede mai (in compenso si
deve introdurre la teoria delle distribuzioni, ma questa andrebbe
studiata comunque). Vedi Richtmyer, "Principles of Advanced Mathematical
Physics", edito Springer.
 Queste almeno sono le mie impressioni. Ogni commento e' gradito...
-- 
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in my e-mail address
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it:6163/~esmargia

 Perche' sono cosi' importanti per i fisici?
In realta' gli integrali di Lebesgue non sono diversi dai normali integrali.
Essi in particolare ne estendono l'utilizzo a funzioni molto piu' generiche.
Infatti mentre negli integrali "normali" erano integrabili solo le funzioni
"continue" nella teoria della misura di Lebesgue diventano integrabili per
esempio anche funzioni "non continue ovunque" (scusa se non ho trovato un
termine migliore). Un esempio di una funzione di questo secondo tipo e' la
seguente
f(x) = 1 se x e' irrazionale
f(x) = 0 altrimenti
L'integrale tra 0 e 1 questa funzione e' uguale a 1.
Ciao Mei