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Titolo: Moti uniformemente accelerati in relatività

 
Mi sono (inaspettatamente) impantanato in una discussione su facebook, in cui ho brevemente (e in termini urbani) questionato con un utente che pare preparato, ma con cui non mi sono trovato d’accordo. 
 
Prova a riassumere il quesito…a modo mio: non mi importa essere necessariamente fedele alla discussione originaria, ma mettere in evidenza gli aspetti che mi rendono perplesso. 
 
La domanda sostanzialmente è la seguente: supponendo di stabilire una accelerazione sopportabile e costante  per l’uomo (diciamo 30m/s2, ma non importa, prendiamo pure un valore qualsiasi)  quanto tempo ci vuole a raggiungere una velocità rilevante (in termini relativistici).
 
 
Nota 1: nessuno, né nella domanda né nelle risposte (mi pare almeno), ad eccezione della mia, ha posto il problema da chi sia calcolato “il tempo che ci vuole”. Chi mi ha smentito non ha specificato che il mio approccio è corretto/errato (ammesso che lo sia/non lo sia) nel tempo di terra, mi ha solo detto che sbaglio.
 
 
Nota 2: il quesito è posto, credo inconsapevolmente, in termini puramente cinematici (a=costante). Probabilmente il proponente aveva in mente un’altra cosa, cioè un motore normale in grado di erogare spinta costante, e quindi accelerazione costante (ma solo newtonianamente), ma non importa..io ho risposto al quesito in modo letterale.
 
 
 
 
Cosa ho detto? Rispondendo ad una risposta articolata con calcoli “astrusi” (credo, ma non sono certo, relativi al calcolo del tempo proprio in un riferimento uniformemente accelerato. Sono questioni che ho toccato di sfuggita sulle dispense di Elio Fabri, ma che non ho ancora propriamente studiato in forma di esercizio) ho detto che secondo me, al netto del fatto che per garantire a=costante bisogna dare via via “sempre più gas” (e quindi, al netto dell’astrazione, tecnologicamente è impensabile, almeno  oltre certe velocità) per il resto il tempo calcolato a terra, nel riferimento inerziale, è banalmente t=v/a come negli esercizi delle superiori.
 
 
Mi è stato detto che no, quella formula vale solo per Newton. Ho replicato, in modo sommesso, chiedendo le letture di tempi in un reticolo equispaziato “alla Taylor Wheeler” necessarie per dire che un moto è uniformemente accelerato, mi è stato garbatamente replicato che la domanda è mal posta.
 
Ciò premesso, come avreste risposto voi? Se fissiamo a0 m/s2 quanto ci mette, nel riferimento inerziale ed in quello solidale, questo ipotetica astronave a raggiungere la v obiettivo=0.5c?
Qual è l’andamento ipotetico della spinta che deve fornire il motore nel tempo del riferimento di terra?
Grazie per le eventuali risposte.
 
p.s: al dibattito generale, ma non al carteggio tra me e l’altro utente, ha partecipato anche un utente di isf.

 
 
 
Se a è l'accelerazione misurata in un riferimento inerziale sì, con una precisazione, vale solo se v < c
 
L'energia la calcoli con la E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2, dove p è la quantità di moto relativistica, e la forza con la F = dp/dt
 
 
L'accelerazione diventa man mano maggiore nel sdr che instantaneamente si muove come il corpo che accelera (comovente), quindi per una certa velocità non è più "sopportabile per l'uomo". Per v = 0.5 c il fattore gamma è circa 1,15.
 
Se a è l'accelerazione misurata nel sdr comovente, allora bisogna fare il calcolo trasformando.

 obiettivo=0.5c?
...
 
Forse non ti è presente il fatto che l'accelerazione nel riferimento
inerziale in cui il corpo è istantaneamente in quiete è in generale diversa
da quella in un fissato riferimento inerziale, quindi per prima cosa dovresti
specificare in quale riferimento l'accelerazione risultasse costante.
Nel caso in cui l'accelerazione sia costante nel riferimento di quiete
istantanea allora il problema diventa quello ben noto del moto iperbolico
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_motion_(relativity)
 
 
Nota: non necessita aggiungere l'unità di misura al simbolo a0,
il simbolo di una grandezza fisica convenzionalmente rappresenta
contemporaneamente valore numerico e unità di misura della grandezza.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)


Avevo scritto 30 m/s2, non a0, non ho idea da dove sia saltato fuori. 
Nel quesito originario non era specificato, ma che vorrei la risposta per a=costante nel riferimento inerziale di quiete iniziale.
 
A proposito della risposta di JTS, mi sfugge completamente perchè a sia diverso da v/t per velocità relativistiche. Evidentemente, come al solito, credevo di aver afferrato qualcosa di RR, ma non è così.
Mentre scrivo mi accordo di domande a cui non saprei rispondere, e che non so se mi incasinano ancora di più o mi possono invece fare chiarezza.
 
 
 
 
Fissate dei parametri qui a terra (il  motore ha quelle prestazioni, non altre, l'astronauta sopporta una certa accelerazione, non un'altra maggiore), cosa me ne faccio di questi dati in RR? In altre parole, se decido che il mio motore tal dei tali spinge tot e il mio Neil Armstrong sopporta 2g in eterno (ma a 2.1 vomita) qual è l'accelerazione da parametrare al 2? Quella a terra o quella comovente? JTS mi ha già risposto (L'accelerazione diventa man mano maggiore nel sdr che istantaneamente si muove come il corpo che accelera (comovente), quindi per una certa velocità non è più "sopportabile per l'uomo"), ma debbo confessare che non mi è affatto chiaro il motivo (ahimè).
 
 
Ringrazio entrambi per le risposte già date.
 
p.s: almeno è vero che nel riferimento di quiete iniziale e a=cost (nel medesimo riferimento) si raggiunge 0.5 c dopo 115 giorni?

 p.s: almeno è vero che nel riferimento di quiete iniziale e a=cost (nel medesimo riferimento) si raggiunge 0.5 c dopo 115 giorni?
 
116 ;-).


tuc...@katamail.com
 ha scritto:
 > La domanda sostanzialmente è la seguente: supponendo di stabilire
 > una accelerazione sopportabile e costante per l'uomo (diciamo
 > 30m/s2, ma non importa, prendiamo pure un valore qualsiasi) quanto
 > tempo ci vuole a raggiungere una velocità rilevante (in termini
 > relativistici).
Considerazione amara (e purtroppo non nuova): sono passati 116 anni e
ancora siamo a questo punto.
A me viene facile dire che la spiegazione sta nell'insegnamento
sbagliato che viene propinato nella larga maggioranza dei casi.
In altre parole: sono moltissimi gli insegnanti *in tutto il mondo*
che ancora debbono capire la RR.
 
 > Nota 1: nessuno, né nella domanda né nelle risposte (mi pare
 > almeno), ad eccezione della mia, ha posto il problema da chi sia
 > calcolato "il tempo che ci vuole".
Dovresti esprimerti meglio: non "da chi sia calcolato" ma "in quale
rif. sia misurato", Due errori in poche parole :-(
 
 > Nota 2: il quesito è posto, credo inconsapevolmente, in termini
 > puramente cinematici (a=costante). Probabilmente il proponente aveva
 > in mente un'altra cosa, cioè un motore normale in grado di erogare
 > spinta costante, e quindi accelerazione costante (ma solo
 > newtonianamente), ma non importa..io ho risposto al quesito in modo
 > letterale.
Anche qui, non dovevi tanto dire "solo newtonianamente" quanto "accel.
propria", ossia nel rif. di quiete istantanea.
 
 > Cosa ho detto? Rispondendo ad una risposta articolata con calcoli
 > "astrusi" (credo, ma non sono certo, relativi al calcolo del tempo
 > proprio in un riferimento uniformemente accelerato. Sono questioni
 > che ho toccato di sfuggita sulle dispense di Elio Fabri, ma che non
 > ho ancora propriamente studiato in forma di esercizio) ho detto che
 > secondo me, al netto del fatto che per garantire a=costante bisogna
 > dare via via "sempre più gas" (e quindi, al netto dell'astrazione,
 > tecnologicamente è impensabile, almeno oltre certe velocità) per il
 > resto il tempo calcolato a terra, nel riferimento inerziale, è
 > banalmente t=v/a come negli esercizi delle superiori.
Sulla conclusione hai ragione. Purtroppo la parola "relatività"
esercita su molti un effetto ipnotico e diventano incapaci di
ragionare.
Se si resta sempre nello stesso rif. inerziale, c'è poco la discutere.
Le definizioni v = dx/dt, a = dv/dt, dove tutte le grandezze sono
misurate in quel rif., non vengono toccate dalla relatività.
In particolare t è il "tempo del rif.", definito in ogni punto da
opportuna procedura di sincronizzazine "alla Einstein".
 
 > Ciò premesso, come avreste risposto voi? Se fissiamo a0 m/s2 quanto
 > ci mette, nel riferimento inerziale ed in quello solidale, questo
 > ipotetica astronave a raggiungere la v obiettivo=0.5c?
Non starei a scrivere la risposta se non avessi visto che non pare
banale, neppure in questo NG. (Quanta fatica sprecata da parte mia
:-( )
 
t = v/a0.
 
 > Qual è l'andamento ipotetico della spinta che deve fornire il
 > motore nel tempo del riferimento di terra?
Tutto quello che serve è sapere un paio di cose:
- la forza longitudinale è invariante, ossia è la stessa nel rif.
inerziale e in quello solidale al corpo
- la seconda legge di Newton diventa (nel rif. inerziale)
F = m*g^3*a  (1)
dove g sta per gamma.
 
C'è un punto delicato: rif. di quiete istantanea e rif. solidale al
corpo accelerato sono due cose diverse: il primo è un rif. *inerziale*
che *a un dato istante* ha la stessa velocità del corpo.
Il rif. di quiete istantenea (detto anche "rif. tangente") varia da
istante a istante, mentre il rif. solidale al corpo è sempre lo stesso,
ma non è inerziale.
Che le leggi valide in uno valgano nell'altro non è quindi banale, ma
è conseguenza della "clock hypothesis": un orologio solidale al corpo
segna il tempo proprio, senza essere influenzato dall'accelerazione.
Quindi anche per un moto acelerato vale
dtau = dt/g
essendo dt misurato sempre in un unico rif. inerziale, e g calcolato
con la vel. rispetto a questo rif.
 
Pertanto
dtau = dt*(1 - v^2/c^2)^(1/2) = dt*(1 - a0^2*t^2/c^2)^(1/2)
che può essere integrata elementarmente.
(Sugg,: porre a0*t/c = sin(u).)
 
La forza si ricava dalla (1):
F = m*a0*(1 - a0^2*t^2/c^2)^(-3/2)
e come già detto è la stessa nei due rif.
 
Se si assumesse costante l'accel. propria, F sarebbe costante e
avremmo un *moto iperbolico* (come osservato da Giorgio Bibbiani).
 
Ciò detto, non credo che tu abbia la minima speranza di convincere i
tuoi interlocutori.
-- 
Elio Fabri

Ringrazio tutti, mediterò sulle risposte. 
Di sicuro nella discussione Facebook ho avuto il torto di addentrarmi 
in campi che non conosco, poi ho avuto la sensazione
che l'interlocutore ne sapesse e mi sono bloccato.
Anche lui comunque ha sue "colpe": io avevo ben specificato che le mie
considerazioni erano validide nel.sistema "fermo", quello che non immaginavo 
era che della "mia" accelerazione il povero Armstrong non se ne fa nulla se ha 
l'obiettivo di non vomitare. Credo che se avesse letto con più attenzione
mi avrebbe detto subito dove sbagliavo, cioè che le mie considerazioni
erano corrette ma irrilevanti.
Del reato Facebook è fatto così. Chi pecca di hybris (io, nel caso),chi di fretta.

tuc...@katamail.com
 ha scritto:
 > Avevo scritto 30 m/s2, non a0, non ho idea da dove sia saltato fuori.
Dal fatto che non rileggi :(
 
Intermezzo: alla difficoltà intrinseca dei problemi, e alla
disattenzione di chi scrive e non controlla ciò che ha scritto (me
compreso, a volte) si aggiunge pure la struttura "a molti tempi" del
NG.
Quando nella lista dei posts leggete data e ora, non è quella in cui
voi potete leggere il post, ma quello in cui è stato inviato.
Dato che i post non viaggiano alla velocità della luce, ci sarà uno
sfsamento, che alla rilettura a distanza di tempo disorienta
fortemente il lettore.
E non dimentichiamo il tempo non lontano in cui lo sfasamento si
misurava in giorni...
 
 > Fissate dei parametri qui a terra (il motore ha quelle prestazioni,
 > non altre, l'astronauta sopporta una certa accelerazione, non
 > un'altra maggiore), cosa me ne faccio di questi dati in RR? In altre
 > parole, se decido che il mio motore tal dei tali spinge tot e il mio
 > Neil Armstrong sopporta 2g in eterno (ma a 2.1 vomita) qual è
 > l'accelerazione da parametrare al 2? Quella a terra o quella
 > comovente? JTS mi ha già risposto (L'accelerazione diventa man mano
 > maggiore nel sdr che istantaneamente si muove come il corpo che
 > accelera (comovente), quindi per una certa velocità non è più
 > "sopportabile per l'uomo"), ma debbo confessare che non mi è affatto
 > chiaro il motivo (ahimé).
Prima di provare a rispondere, dichiaro che non riesco a capire
"qual è l'accelerazione da parametrare al 2?"
Potresti tradurlo in italiano?
 
Comunque mi sembra che tu abbia un equivoco di fondo.
Che significa dire
 > Fissate dei parametri qui a terra (il motore ha quelle prestazioni,
 > non altre,
Il motore sta sull'astronave, e anche se questa viaggia *rispetto a
te* a 0.99 c, se ne frega allegramente (principio di relatività).
Le prestazioni del motore vanno sempre riferite al rif. tangente,
ossia quello in cui il motore è fermo a un dato istante.
Ammesso che la spinta F così intesa possa essere tenuta costante e che
la massa dell'astronave non vari, visto che, come ti ho già
sottolineato, F è invariante, sono veri i seguenti fatti:
- l'accel. propria è F/m
- l'accel. misurata dal rif. inerziale fisso è F/(m*g^3).
Cose che si possono riassumere anche dicendo che a*g^3 è invariante.
 
Quella che conta per l'effetto sull'astronauta è l'accel. propria,
quindi una posizione realistica è di supporre F fissa: questo soddisfa
ai requisiti meccanici del motore, e al tempo stesso a quelli biologici
dell'astronauta.
S'intende che posta Fmax spinta massima di cui è capace il motore, e
amax accel. massima sopportabile dell'astronauta, dovrai porre insieme
F < Fmax
F < m*amax.
 
Una volta stabilita la F costante da ricavare dal motore, il moto
dell'astronave *rispetto a qualsiasi rif. inerziale* sarà iperbolico.
Chissà se sei in grado di studiare
http://www.sagredo.eu/lezioni/irg04.pdf
 
che è appunto dedicato a questo argomento?
Potrebbe darsi che anche "Spacetime Physics" dica qualcosa
sull'argomento (non ho voglia di alzarmi per controllare).
-- 
Elio Fabri


Grazie ancora delle preziose osservazioni. Sì, anche spacetime physics, se la memoria non mi inganna, arriva a questi concetti. Ma io non sono arrivato a quel punto: a maggior ragione quindi ho fatto male ad avventurarmi in zone sconosciute. Quello che mi colpisce (negativamente) è che pur sapendo benissimo che, dal punto di vista della biologia di Armstrong ciò che conta è il suo tempo proprio (visto che il paradosso dei gemelli in mille salse l'ho visto anche io), non sono arrivato a capire che anche la accelerazione sopportata è da relazionare a quella propria (se non altro per analogia appare ovvio, anche senza averlo studiato), e mi sono ostinato a porre il problema in termini di accelerazione costante misurata nel riferimento di quiete iniziale.
Sul fatto di "essere in grado di studiare irg04" vedremo, non saprei rispondere ad oggi. Di certo ci proverò.
 
 
Respingo solo l'osservazione di sciatteria nella stesura dei miei quesiti. Li redigo con un editor e poi incollo, nella versione file almeno l'errore a0 al posto di 30 m/s2 non c'era; in seguito ho apportato direttamente sulla pagina di isf alcune lievi modifiche, si vede che mi è partito un "colpo di mouse".

Avevo scritto:
 > Una volta stabilita la F costante da ricavare dal motore, il moto
 > dell'astronave *rispetto a qualsiasi rif. inerziale* sarà iperbolico.
Mi accorgo di aver dimenticato di dare la risposta alla tua domanda:
quanto tempo ci vuole per raggiungere una certa velocità v?
Nel caso che ora considero, ossia di spinta costante (moto iperbolico)
la risposta non è v/a, visto che l'acc. nel rif. inerziale non è
costante.
Bisogna invece scrivere
 
dv/dt = a = a0/g^3 = a0*(1 - v^2/c^2)^(3/2)
 
dt = dv/[a0*(1 - v^2/c^2)^(3/2)]
 
t = (1/a0) int_0^v dv'/(1 - v'^2/c^2)^(3/2).
 
L'integrale è elementare, con la sostituzione v'/c = sin(u).
Se invece servisse il tempo proprio, basterebbe ricordare dtau = dt/g
da cui
 
tau = (1/a0) int_0^v dv'/(1 - v'^2/c^2)
 
che s'integra con la stessa sostituzione.
-- 
Elio Fabri