Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Max Velocità

Salve a tutti,
ragazzi ho un problema con questo esercizio ....
spero che qualcuno mi possa dare una mano.
Grazie
Avendo la legge oraria x=30sen(3.4t+1.2)
qual'è la max velocità che acquista? Grazie

"Merlo Indiano" <ddd...@ddddd.dd> ha scritto nel messaggio
news:vSReb.3070$vO5....@twister1.libero.it...

Il moto è di tipo armonico...la velocità massima verrà raggiunta
verosimilmente nei punti "estremi" della traiettoria (comunque limitata tra
x = -30 e x = +30).
Vediamo... calcoliamo la velocità come la derivata di x rispetto al tempo:
dx/dt = 30 * 3,4 * cos (3,4 * t + 1,2)
Già così, è evidente che, in valore assoluto, la velocità ha infiniti
massimi, che valgono:
vmax = 30 * 3,4 = 102 (già, 102 cosa?)
per | cos (3,4 * t + 1,2) | = 1
=> 3,4 * t + 1,2 = k * pi_greco / 2 , k intero.
Se teniamo conto del segno, abbiamo infiniti massimi a v = vmax, ed infiniti
a v = -max, sfasati rispetto ai primi di mezzo periodo (pi_greco).
SW (spero di non aver scritto cavolate).

 => 3,4 * t + 1,2 = k * pi_greco / 2 , k intero.
Il cos vale 1 in modulo per k*pi.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

"SeriousWario (dal portatile)" ha scritto:
 > ...
 > Già così, è evidente che, in valore assoluto, la velocità ha infiniti
 > massimi, che valgono:
 >
 > vmax = 30 * 3,4 = 102 (già, 102 cosa?)
Ottima domanda!
Il fatto e' che non si dovrebbero mai scrivere cose come
x=30sen(3.4t+1.2) !!!
Non tanto per il 30 senza unita', ma per l'abominevole 3.4t !
Chi ha scritto quella formula (nel testo, non ce l'ho con Merlo
Indiano) ignora una regola fondamentale: le grandezze fisiche (x,
t...) non sono numeri, ma *l'insieme di un numero e di un'unita' di
misura*.
Quindi si doveva scrivere
x = a sen(wt + phi), con a = 30 cm, w = 3.4 rad/s, phi = 1.2 rad.
Allora derivando avresti trovato
aw cos(wt + phi)
e non avresti avuto dubbi su che cosa sia aw, e in quale unita' vada
misurato.
(Nasce in realta' un problemino, che credo nessuno abbia ancora
risolto. Non lo dico ;-) )
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

esegui la derivata prima della funzione x, ed ottieni l'accelerazione.
Ponendo uguale a zero la derivata prima trovi i punti in cui si ha il max ed
il min. Eseguendo la derivata seconda di x, e sostituendo nella funzione
derivata seconda i punti dove si annulla la derivata prima ottieni dei
valori maggiori o minori di zero. Se è minore di zero la derivata seconda e'
un punto di massimo, se maggiore di zero è un punto di minimo.
Ciao.
Massimiliano
"Merlo Indiano" <ddd...@ddddd.dd> ha scritto nel messaggio
news:vSReb.3070$vO5....@twister1.libero.it...

---
Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (
http://www.grisoft.com
).
Version: 6.0.522 / Virus Database: 320 - Release Date: 29/09/2003

Oops! Scusate, ho fatto degli errori cretini... č tempo che ripassi qualcosa
di Analisi (e di Fisica...).
SW.

 ha scritto nel messaggio
news:bln4ol$2me0$2...@newsreader2.mclink.it...

x = a sen(wt + phi), con a = 30 cm, w = 3.4 rad/s, phi = 1.2 rad (a,w,phi>0)
dx/dt = a w cos(wt + phi)
((d/dt)^2) x = -a w^2 sen(wt + phi)
((d/dt)^3) x = -a w^3 cos(wt + phi)
max per v = dx/dt implica dv/dt = ((d/dt)^2) x = 0 se e solo se wt + phi =
k*pi_greco, k intero.
Inoltre ((d/dt)^2) v = ((d/dt)^3) x <= 0 (calcolata in wt + phi =
k*pi_greco, k intero), porta a wt + phi = 2n*pi_greco, n intero.
v_max = a w cos(2n*pi_greco) = a w.
a w è misurato in cm/s, dato che la dimensione di w è un numero puro (il
radiante) (cioè è adimensionale) e dato che le funzioni trigonometriche,
come quelle esponenziali o logaritmiche, accettano come argomento solo un
numero puro.
Saluti, giuseppe.


Ha a che fare con l'unità radianti (e serie di Taylor)?
Dai dicci dicci...
Ciao
Ruggero

 Elio Fabri
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 risolto. Non lo dico ;-) )
Dunque, vediamo... :-)
Due punti: 1) individuazione del problema; 2) discussione e
"risoluzione" dello stesso"
Sul primo credo di esserci; sul secondo... dai un'occhiata te.
1) Il problema e': Con w in rad/s e a in metri (o qualsivoglia unita' di
lunghezza), la quantita' aw, ampiezza della velocita' e' in m*rad/s
invece che in m/s!
2) Proviamo una risoluzione dell'apparente contraddizione...
La derivata di sen(x), con x espresso in radianti, non e' cos(x), bensi'
cos(x)/1rad.
Cio' discende (I think) direttamente dalla definizione di derivata quale
limite del rapporto incrementale: df/dx, con x non numero puro ma
bensi' misurato in radianti, e f numero puro (valore di funzione
trigonometrica), l'unita' di misura "deve" essere rad^-1.
Per il fattore 1 rad, si ragiona rapidamente sul rapporto incrementale.
Cio', in fondo, non deve stupire. Anche se l'esempio e' poco pertinete,
pur volendo "considerare" per quieto vivere l'argomento di seni e coseni
quali numeri puri, la derivata e' differente (anche numericamente) se
l'angolo e' espresso in gradi anziche' in radianti!
Aspetto la correzione formale e il maggior dettaglio, credo... :-)
Saluti
Woodridge
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 risolto. Non lo dico ;-) )
...
Immagino che ti riferisca alla presenza dei radianti.
Non mi e' chiaro quale sia il problema una volta capito che i radianti 
sono un' unita' di misura ma adimensionale (per dirla alla Arons).
Io preferirei indicare i radianti come "un nome per un numero 
adimensionale che ricorda quale dei possibili modi di misurare un angolo 
sia stato selezionato".
E percio', trattandosi di un numero adimensionale, non c'e' alcun 
problemino.
O no?
Giorgio

 invece che in m/s!
Su questo non vedo problema, i radianti sono una unità di misura adimensionale.
Flavio

 Giorgio


Giorgio Pastore ha scritto:
 > Immagino che ti riferisca alla presenza dei radianti.
Beh, vedo che l'avete capito tutti :-)
 > Non mi e' chiaro quale sia il problema una volta capito che i
 > radianti sono un' unita' di misura ma adimensionale (per dirla alla
 > Arons).
Vedo anche che sono apparsi punti di vista diversi.
Per darvi il mio, attingo ai miei appunti di Fisica Generale I, cap.
19.
Qui di seguito ne trovate un brano in TeX.
-------------------------------
\language=4 \lefthyphenmin=2
\def\title#1{\bigskip\noindent{\bf#1}\hfil\break\indent\nobreak
              \vrule height14bp depth0bp width0pt \ignorespaces}
\def\subtitle#1{\noindent{\sl#1\/}:}
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\hsize=122mm
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\baselineskip=12bp
\parskip=2bp plus 2bp
\clubpenalty=10000 \widowpenalty=10000
%
\title{Il problema degli angoli}
      L'esatto status degli angoli come grandezze fisiche ha sempre
costituito un problema. Da un lato, sembra naturale considerarli
numeri puri, in quanto rapporti di due lunghezze; dall'altro, come si
spiega che esistano diverse unit\`a di misura (radiante, grado,
secondo \dots)? Inoltre esistono gli ``angoli solidi,'' che hanno
unit\`a di misura proprie (steradiante, grado quadrato \dots).
      In realt\`a nell'ultima convenzione internazionale che ha
ridefinito il SI la posizione degli angoli \`e rimasta
``impregiudicata'': possono essere intesi a scelta come {\it numeri
puri}, ma anche come {\it grandezze fondamentali}, ovviamente con
propria unit\`a. Purtroppo per\`o se si va a guardare la pratica, la
si trova alquanto contraddittoria. Vediamo perci\`o come si dovrebbe
procedere con coerenza nei due casi.
\smallskip
\subtitle{{\bf A.} Angoli come grandezze derivate}
      Si definisce l'angolo come rapporto fra la lunghezza dell'arco e
il raggio. Allora:
\item{1)} Gli angoli sono numeri puri, e non ha senso introdurre unit\`a
(neppure il radiante).
\item{2)} A maggior ragione non \`e lecito usare gradi, ecc.
\item{3)} Gli argomenti delle funzioni trigonometriche sono
direttamente gli angoli.
\item{4)} Vi sono grandezze non omogenee, e di significato fisico
molto diverso, che hanno le stesse dimensioni: l'esempio pi\`u tipico
sono energia e momento di una forza, che non \`e certo corretto
sommare insieme!
\smallskip
\subtitle{{\bf B.} Angoli come grandezze fondamentali}
      L'angolo viene definito dalla geometria, al modo classico (come
parte di piano) o attraverso le rotazioni. Allora:
\item{1)} Ha senso introdurre tutte le unit\`a di misura che si vuole.
\item{2)} Si aggiunge una nuova dimensione $[\alpha]$.
\item{3)} Occorre perci\`o una nuova ``costante universale'' ---
chiamiamola $\rho$ --- di dimensione $[\alpha]$, corrispondente al
radiante: $\rho = 1\,\rm rad$.
\item{4)} La costante $\rho$ dovr\`a comparire in molte formule in cui
non \`e abituale introdurla.
\break
\itemitem{{\sl Esempi\/}:} la relazione fra arco, raggio e angolo
(fig.~1):
%
$$\displaylines{s = r\,{\theta\over\rho} \cr
                 \noalign{\indent\indent la\ velocit\`a angolare:}
                 \noalign{\smallskip}
                 \omega = \rho\,v/r \qquad [\omega] = [\alpha][t]^{-1} \cr
                 \noalign{\indent\indent il\ momento\ di\ una\ forza:}
                 \noalign{\smallskip}
                 M = {rF\over\rho}\qquad
                   [M] = [l][F][\alpha]^{-1} = [E][\alpha]^{-1} \ne 
[E].\cr}$$
%
\item{5)} Gli argomenti delle funzioni trigonometriche debbono essere
sempre numeri puri: es.\ $\sin(\theta/\rho)$.
\item{6)} Gli angoli solidi hanno dimensione $[\alpha]^2$ e le unit\`a
sono i quadrati di quelle usate per gli angoli ($\rm ster = rad^2$).
\item{7)} Nelle formule che contengono angoli solidi, figurer\`a di
solito $\rho^2$.
\smallskip
      Purtroppo la pratica \`e tutt'altro che coerente con l'una o con
l'altra delle due posizioni:
\item{--} si dice che gli angoli sono numeri puri
\item{--} si usano varie unit\`a
\item{--} non si usa mai la costante $\rho$.
\noindent Non resta perci\`o che affidarsi, come {\it extrema ratio},
al ``sano intuito fisico''!
-------------------------------


 quale dei possibili modi di misurare una lunghezza sia stato selezionato"
...
Non sono d' accordo. E non sono neanche d' accordo con la dicotomia di 
Elio Fabri. Tuttavia, pensando un po' meglio al problema capisco la 
radice dell' obiezione ma mi sembra che  ci sia una soluzione pulita. 
Nel seguito provo a postare le mie riflessioni a riguardo. Critiche e 
commenti benvenuti.
Una lunghezza in metri NON e' adimensionale. Cosa significa che un' 
unita' di misura per una certa grandezza ha "dimensioni"? Solo che e' 
omogenea (confrontabile) con unita' che hanno le stesse "dimensioni". La 
fisica mi permette cioe' di creare delle classi di equivalenza di 
proprieta' direttamente confrontabili. Un metro e' confrontabile con un 
pollice (sistema anglosassone) perche' posso esprimere il "cambio 
ufficiale tra i due. Un eV NON ha le stesse dimensioni di un metro 
perche' non posso stabilire una procedura fisica che mi permetta di 
trovare un "cambio ufficiale" tra eV e metri. In principio ci sarebbero 
tante "dimensioni" quante proprieta' fisiche ma la successiva 
elaborazione dei concetti ci mostra che si possono stabilire delle 
relazioni che ci permettono di ridurre le "dimensioni" indipendenti a poche.
In questo processo di riduzione si stabilisce un "algebra" delle 
dimensioni che permette di esprimerne alcune come prodotti o rapporti di 
altre. Ovvero si da' un significato al prodotto (o rapporto)  di  unita' 
di misura dimensionate.
Es: [lunghezza] = [tempo] * [velocita']
Esistono poi quantita' adimensionali che sono i rapporti di quantita' 
con le stesse dimensioni. Queste divengono indipendenti dalle unita' di 
misura utilizzate.
Piccola parentesi. Perche' le funzioni non omogenee (in senso 
matematico) devono avere argomenti adimensionali ? Per il semplice 
motivo che se non sono omogenee le dimensioni della funzione sono non 
definite:
se faccio l' esponenziale di x dove x ha le dimensioni [X]
exp(x) = 1 + x + (x**2)/2 + (x**3)/3! + ...
sarebbe la somma di oggetti con dimensioni diverse (e in generale non 
confrontabili) e non ci sarebbe un modo ragionevole di associare un' 
unica classe di equivalenza al risultato (dimensione).
/fine parentesi
Qual e' il ruolo dei radianti?
Partiamo da cosa misurano: gli angoli. Definizione di angolo: (prendo da 
Hilbert: Fondamenti della geometria ) una coppia di semirete con origine 
comune (ci sono alcuni peletti da sistemare ma e' un buon punto di 
partenza).
Nel concetto di angolo non c'e' una connessione diretta alle lunghezze. 
E naturalmente un angolo non e' omogeneo ad una lunghezza ( non si 
sommano angoli e segmenti...).
Posso misurare un angolo con un' unita' di misura corrispondente a 
dividere un angolo particolare (il giro) in N parti uguali e arrivo ai 
gradi. Oppure posso usare il rapporto di due qualsiasi lunghezze 
opportune ottenute da curve basate sulle due semirette per ottenere 
tante misure diverse degli angoli.
Una di queste ricette e' quella dei radianti: traccio un cerchio con 
centro l' origine delle 2 semirette e misuro l' arco di cerchio 
individuato dall' intersezione tra cerchio e semirette e divido questa 
lunghezza per il raggio. Ho il radiante (naturalmente in tutto questo mi 
aiuta scoprire che il rapporto non dipenda dalla lunghezza del raggio).
Potrei anche usare convenzioni diverse: 
p.es
. potrei misurare un angolo 
prendendo due punti sulle due semirette a distanze in rapporto dato e 
congiungere i punti con una curva data diversa da un cerchio. Oppure 
potrei usare le due lunghezze usate pre i radianti ma calcolare il 
rapporto delle quarte potenze...
Queste procedure mi darebbero altre unita' di misura degli angoli 
diverse dai radianti ma analoche in quanto numeri ottenuti dal rapporto 
di lunghezze e quindi adimensionali.
A qusto punto torniamo all' algebra delle quantita' dimensionate. Che 
ruolo giocano grandezze come i radianti che non hanno dimensione ? 
Quello di unita' neutre della moltiplicazione tra grandezze:
[lunghezza] * []^0 = [lunghezza] ( o qualsiasi altra cosa al posto di 
lunghezza).
Riassunto di tutto il discorso: quantita' espresse da unita' di misura 
adimensionali possono essere trattate tranquillamente come numeri puri.
La "dimensione" radiante serve solo da promemoria del modo con cui ho 
misurato gli angoli ma nell' algebra delle dimensioni non interviene.
Spero che l' ora tarda non mi bbia giocato qualche scherzo e di non aver 
preso abbagli.
Giorgio

 misurato gli angoli ma nell' algebra delle dimensioni non interviene.
Pero' e' bene che ci sia il promemoria perche' come osserva Bussetti non ha
senso sommare radianti e indici di rifrazione o densita' relative...
ciao a tutti
e scusate la lunghezza.
andrea - AAnDrEE

Giorgio Pastore ha scritto:
 > ...
 > Una lunghezza in metri NON e' adimensionale. Cosa significa che un'
 > unita' di misura per una certa grandezza ha "dimensioni"? Solo che e'
 > omogenea (confrontabile) con unita' che hanno le stesse "dimensioni".
 > La fisica mi permette cioe' di creare delle classi di equivalenza di
 > proprieta' direttamente confrontabili. Un metro e' confrontabile con
 > un pollice (sistema anglosassone) perche' posso esprimere il "cambio
 > ufficiale tra i due. Un eV NON ha le stesse dimensioni di un metro
 > perche' non posso stabilire una procedura fisica che mi permetta di
 > trovare un "cambio ufficiale" tra eV e metri. In principio ci
 > sarebbero tante "dimensioni" quante proprieta' fisiche ma la
 > successiva elaborazione dei concetti ci mostra che si possono
 > stabilire delle relazioni che ci permettono di ridurre le "dimensioni"
 > indipendenti a poche.
Tutto bene, ma secondo me hai omesso alcuni punti cruciali.
Te li indico sotto forma di domande:
- Che cosa ci obbliga a dire che un'area ha dimensioni di quadrato di
una lunghezza? E' necessariamente cosi'?
- Come si spiega che esistono diversi sistemi di unita', in cui la
stessa grandezza ha dimensioni diverse? (pensa alle unita' elettriche)
 > ...
 > Nel concetto di angolo non c'e' una connessione diretta alle
 > lunghezze. E naturalmente un angolo non e' omogeneo ad una lunghezza
 > (non si sommano angoli e segmenti...).
Obiezione marginale: il criterio di omogeneita' e' piu' complesso:
non si sommano neppure energie e momenti angolari...
 > A qusto punto torniamo all' algebra delle quantita' dimensionate. Che
 > ruolo giocano grandezze come i radianti che non hanno dimensione ?
 > Quello di unita' neutre della moltiplicazione tra grandezze:
 >
 > [lunghezza] * []^0 = [lunghezza] ( o qualsiasi altra cosa al posto
 > di lunghezza).
 >
 > Riassunto di tutto il discorso: quantita' espresse da unita' di misura
 > adimensionali possono essere trattate tranquillamente come numeri
 > puri. La "dimensione" radiante serve solo da promemoria del modo con
 > cui ho misurato gli angoli ma nell' algebra delle dimensioni non
 > interviene.
Piccola premessa: stamattina sono andato in biblioteca a guardare il
libro di Arons che avevi citato, per l'angolo grandezza adimensonale
con unita' di misura.
Era un libro che non avevo mai letto, ma molto sentito citare.
Bene: almeno per la questione in oggetto sono rimasto assai deluso: se
la sbriga in pochissime righe, con un'affermazione apodittica senza
giustificazione.
Fine della premessa.
Il mio punto di vista su dimensioni e unita' e' alquanto diverso e
forse eterodosso (l'avevo gia' scritto...).
L'argomento dimensioni e' strettamente legato a quello sulle grandezze
fondamentali di un sistema (coerente) di unita'.
Mi fermo un momento su questo punto, perche' ricordo un post di
qualche tempo fa, che purtroppo non ho marcato, nel quale era evidente
l'idea che grandezza "fondamentale" significasse solo "importante",
mentre in metrologia la parola ha un significato tecnico preciso.
Grandezze fondamentali sono quelle che hanno un'unita' di misura
_indipendente_, mentre si chiamano "derivate" quelle le cui unita' sono
espresse a partire dalle prime, mediante relazioni fisiche assunte:
esempio banale velocita' = spazio/tempo.
Nel SI si dice che le gr. fond. sono 7. Scrivo "si dice" perche'
secondo me non e' vero...
Si e' deciso da tempo che l'area e' il quadrato di una lunghezza, non
perche' *e' cosi'*: si potrebbero benissimo usare unita' indipendenti,
come nel sistema inglese, dove gli acri non hanno niente a che fare coi
piedi quadrati.
Ma dato che in geom. euclidea vale la legge di similitudine, per cui
l'area di figure simili sta nel quadrato del rapporto delle lunghezze,
si e' trovato comodo riferire l'area campione alla lunghezza campione.
E' solo a questo punto che si puo' dire che un'area ha dimensione di
quadrato di una lunghezza: cio' vuol dire che le loro unita' di misura
sono vincolate in quel modo, per cui quando cambia l'una deve cambiare
anche l'altra, secondo la legge stabilita dalle dimensioni.
Venendo agli angoli, ci sono quindi due scelte:
a) Trattarli come grandezze indipendenti (quindi fondamentali) con
unita' di misura proprie, che si possono definire e scegliere a
piacere. In questo caso esiste una dimensione [angolo] e gli angoli
non sono numeri puri.
b) Stabilire un legame con altre grandezze geometriche, per es. la
relazione tra arco, raggio e angolo al centro. In questo caso angolo =
arco/raggio, l'angolo e' un numero puro, e non si deve usare *nessuna*
unita', neppure il radiante.
E' interessante che la delibera del BIPM che stabiliva le unita' del
SI nel 1975 lasciava liberi di comportarsi per gli angoli come si
preferisce: strano modo di definire un sistema di unita'...
Ma non e' l'unica stranezza: data la definizione dell'ampere, la
corrente *non e'* una gr. fondamentale, poiche' la sua unita' e'
agganciata in modo fisso a quelle di lunghezza e di forza.
Lo stesso vale per la candela e per la mole.
In seguito anche l'unita' di lunghezza e' stata agganciata a quella
di tempo, e da quel momento anche la lunghezza ha cessato di essere una
gr. fondamentale...


 unita', neppure il radiante.
In questi termini sono perfettamente d' accordo. Il motivo del dissenso 
era che dal tuo post del 7-10 avevo capito che introducevi un' unita' 
(il tuo rho , dimensionata) per esprimere i radianti.
Se invece il discorso e'
angoli p:es: in gradi -> dimensione [angolo]
angoli in radianti    -> numeri puri
mi ci ritrovo pienamente.
Giorgio

mi ci ritrovo pienamente.
Potrebbe dirmi se per la Fisica (ufficiale) vale ugualmente
questa decisione?
Per quanto ne so infatti l'angolo dicono sempre che non ha
dimensioni neppure misurandolo in gradi e da questi articoli
(anche del prof. Fabri) non riesco a capire cosa decidere.
Grazie in anticipo
-- 
A risentirci presto
r-Daneel

AAnDrEE ha scritto:
 > Le considerazioni che ho sempre sentito fare e memorizzato sono piu' o
 > meno le seguenti: un muratore avrebbe serie difficolta' a definire l'
 > angolo fra due pareti in radianti, perche' a causa del pi greco che e'
 > irrazionale avrebbe sempre una misura approssimata, anche nel caso
 > banale di due pareti perpendicolari.
Chi dice di queste cose non ha mai visto lavorare un muratore.
Quando mai misura angoli? anche retti?
Usa livella e al piu' una rozza squadra.
Senza contare il ridicolo di considerare come limite (per un muratore!)
cheuna misura sia approssimata...
Va bene, non era un discorso da prendere sul serio, eppure discorsi
cosi' si leggono come se pretendessero di essere presi sul serio :-(


Giorgio Pastore ha scritto:
 > In questi termini sono perfettamente d' accordo. Il motivo del
 > dissenso era che dal tuo post del 7-10 avevo capito che introducevi
 > un' unita' (il tuo rho , dimensionata) per esprimere i radianti.
 >
 > Se invece il discorso e'
 >
 > angoli p:es: in gradi -> dimensione [angolo]
 > angoli in radianti    -> numeri puri
 >
 > mi ci ritrovo pienamente.
Eh no: secondo me se l'angolo e' un numero puro non deve avere
*nessuna* unita' di misura, neppure il radiante!


 *nessuna* unita' di misura, neppure il radiante!
Vediamo di capirci.
Un numero che viene dal rapporto di due quantita' con le stesse 
dimensioni e' o no un "numero puro" ?
Per me si'. Io intendo "numero puro" == numero adimensionale.
Se siamo d' accordo su questo, resta da capire di che rapporto stiamo 
parlando.
Per me radianti e' un modo per indicare il numero adimensionale che si 
ottiene dal rapporto "lunghezza dell' arco"/"lunghezza del raggio della 
relativa circonferenza". Potrei inventare una nuova misura: il 
"fragiro"= rapporto tra "lunghezza dell' arco"/"lunghezza della 
circonferenza". Nel primo caso l' unita' di misura degli angoli (l' 
angolo con cui confronto) sara' quello corrispondente a circa 57.2958 
gradi. Nell' altro a 360 gradi.
Poiche' esistono diversi modi di ottenere i numeri puri e' necessario 
trovare un nome per distinguerli. Altrimenti dovrebbe essere non ambiguo 
e chiaro a chiunque cosa si intende con "un angolo pari a 0.3 (senza 
ulteriori qualificazioni)". E a me non sembra.
Un modo diverso di vedere la stessa cosa per me e' il seguente: Se 
scegliamo un raggio, possiamo misurare gli angoli mediante una lunghezza 
(
p.es
. quella dell' arco individuato sulla circonferenza di quel raggio 
dall' angolo che misuriamo). Abbiamo cioe' un unita' di misura degli 
angoli con le dimensioni di una lunghezza. Pero' a scelte diverse del 
raggio, per lo stesso angolo corrisponderebbero valori (lunghezze) 
diverse. Se usiamo il rapporto come unita' di misura (e quindi 
adimensionale) stiamo individuando un modo per lavorare con le classi di 
equivalenza di archi di circonferenze con raggi diversi che sottendono 
lo stesso angolo.
Pero', ripeto, invece di usare i rapporti archi/raggi si potrebbero 
usare altri rapporti e questa scelta va indicata se si vuol far capire a 
che angolo si sta facendo riferimento.
Giorgio

 Elio Fabri
AAnDrEE

AAnDrEE ha scritto:
 > ...
 > Ma allora i gradi per te non hanno nessuna utilita' pratica?
E chi l'ha mai detto?
Io ho solo detto che se uno vuole usare diverse unita' di misura per
gli angoli, non puo' pretendere di trattarli come numeri puri...


 non si sommano neppure energie e momenti angolari...
Domanda provocatoria: perche' no?
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 E come dare torto a Bussetti? A me sembra che abbia perfettamente ragione!
A me non sembra. Se avesse ragione sarebbe vietato sommare 
grandezze adimensionate e numeri, mentre invece questa operazione 
e' comunissima e perfettamente lecita.


 Enrico Smargiassi
-- 
AAnDrEE
Importante! leggere: 
http://www.marco5x.net/usenet/quoting.php
Inutilita' del tag OT:
http://www.mamofaq.usenet.eu.org/DOC-tag_OT-1_30.txt

 densita' relativa e di un indice di rifrazione.
Nemmeno io. Quello che sospetto e' che questa impossibilita' non 
sia una proprieta' metrologica, ma semplicemente una conseguenza 
del fatto che non esistono equazioni utili che prevedano tale 
somma: ma potrebbero, in teoria almeno, essere trovate. E' invece 
del tutto impossibile - e questo si', per ragioni metrologiche - 
che si possano trovare equazioni che prevedono la somma di metri 
con secondi.
Un esempio: nel sistema di Gauss la conducibilita' elettrica si 
misura in 1/secondi, per cui il rapporto conducibilita'/frequenza 
e' adimensionale. Si tratta di una grandezza adimensionale "della 
stessa specie" della costante dielettrica relativa? Direi di no. 
Eppure nella teoria di Drude dei metalli le due cose sono sommate 
allegramente.


AAnDrEE ha scritto:
 > ...
 > Ne' saprei intendere che cosa siano 3 moli + 2 radianti...
3 moli non e' un numero puro! E su questo almeno credo siano
d'accordo tutti.
Quanto ai radianti, non mi ripeto...
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 Domanda provocatoria: perche' no?
Risposta provocatoria: per lo stesso motivo per il quale non si sommano
fra loro grandezze adimensionali diverse.
-- 
 Elio Proietti        
Debian GNU/Linux

 non si sommano fra loro grandezze adimensionali diverse.
Il problema e' che questo che dici, scritto cosi', non e' vero. 
Esistono infatti casi in cui grandezze adimensionali diverse si 
sommano eccome. In un altro messaggio ho menzionato il caso del 
rapporto conducibilita'/frequenza che, nel sistema di Gauss, e' 
adimensionale eppure si somma benissimo con la costante 
dielettrica relativa. Sono grandezze uguali? Direi di no. Cosi' 
come un numero-numero, per esempio 1, si somma benissimo con un 
numero-rapporto di grandezze omogenee, per esempio v/c.
Piu' in generale, ci sono tanti casi di grandezze diverse sommate 
insieme senza problemi, sotto l'unica condizione che abbiano le 
stesse unita' di misura. Ad esempio, il vettore di Poynting, 
grandezza elettromagnetica, che si somma con la (densita' di) 
quantita' di moto, grandezza meccanica. Mi sembra che, come 
minimo, bisogni definire con piu' cura cosa si intende per 
"grandezze diverse".
Partendo da questa definizione bisognerebbe poi trovare un 
criterio preciso secondo il quale 
p.es
. l'energia si puo' sommare 
con (l'integrale del) quadrato del campo elettrico, ma non con il 
modulo del momento angolare. Io pero' ho l'impressione che non si 
possa trovare un tale criterio su basi metrologiche.
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 somma: ma potrebbero, in teoria almeno, essere trovate.
Ora capisco cosa volevi dire.
Penso pero' che finche' non vi sia necessita' di fare tale somma, sia
inutile ai fini pratici porsi questo problema.
E' chiaro che non bastano le esigenze metrologiche, deve esserci a monte,
nella teoria, una equazione che dia un senso alla operazione stessa.
Mi viene in mente che nel C.G.S. (es) la capacita' e' misurata in cm. Non
avrebbe senso sommare una capacita' con una lunghezza anche se hanno la
stessa unita' perche' e' la stessa teoria a dirci che non avrebbe senso
tale operazione. Metrologicamente non potremmo distinguere fra centimetri
e centimetri senza dire altro.
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 Elio Fabri
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 Elio Fabri
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 ... Forse un giorno ci elaborero' ulteriormente sopra...
...
Rubando un po' di tempo ad un periodo abbastanza pieno di impegni, ho 
provato a ripensare alla questione energie/momenti di una forza e piu' 
in generale alla questione del requisito di omogeneita' tra grandezze 
fisiche. Direi che, col conforto di qualche testo di  analisi 
dimensionale (*)(e scegliendo tra posizioni non necessariamente in 
accordo tra loro), la questione puo' essere messa nei termini seguenti.
Prima di tutto occorre fare attenzione a cosa vuol dire sommare termini 
diversi. La somma algebrica in un' equazione puo' non essere un' 
immagine (isomorfismo) fedele di possibili concetti fisici di somma.
Esempio: in meccanica non relativistica del moto unidimensionale la 
somma algebrica di velocita' e' direttamente legata alla procedura 
fisica di composizione delle stesse. In meccanica relativistica la 
connessione si perde. Inoltre, l' esempio che avevo usato delle 
temperature mostra che ci potrebbero essere quantita' in cui il concetto 
di somma  e' vuoto di significato operativo diretto.
Tuttavia se la somma e' in senso algebrico, tutte le grandezze 
confrontabili devono essere sommabili. Perche' se posso stabilirne l' 
uguaglianza (a=b) deve anche valere a-b=0.
Questa osservazione sembra banale ma permette di chiarire molto bene la 
questione di cosa si puo' mettere nella stessa formula e cosa no.
Alla base c'e' la richiesta che una qualsiasi equazione, quindi 
relazione di uguaglianza tra quantita' diverse, sia invariante in forma.
Invariante rispetto a quali cambiamenti ? Qui direi che la risposta 
dipende dall' ambito di validita' cui si aspira per la relazione in 
questione.
Una richiesta molto basilare e strettamente legata alla discussione in 
corso e' che le equazioni siano invarianti in forma rispetto a 
cambiamenti nelle unita' di misura. L' idea e' che una certa relazione 
fisica esprime una relazione tra entita' misurabili indipendentemente da 
cosa si usa per misurarle. Per ottenere questo risultato dal punto di 
vista concettuale a volte sono necessari dei cambi drastici nella 
concezione delle quantita' fisiche. Basti pensare ad esempio alla 
formulazione del primo principio della termodinamica: se misuro calore 
scambiato e lavoro scambiato con unita' di misura diverse, l' 
affermazione che in una trasformazione ciclica |DQ| = |DL| e' priva di 
senso (vale solo per alcuni sistemi di unita').
Dal punto di vista matematico l' invarianza in forma puo' essere 
ottenuta richiedendo che l' equazione che connette varie quantita' 
fisiche x1,x2,... : f(x1,x2,...) = 0 la dipendenza dagli argomenti sia 
quella di funzioni omogenee generalizzate :
f(a*x1,b*x2,c*x3,...) = g(a,b,c,...)*f(x1,x2,x3,...)
In tal modo nelle nuove unita' di misura  x1',x2',... l' equazione resta 
della stessa forma: f(x1', x2', x3;,...)=0
Questa e' la ragione per cui preferiamo scrivere P = NkT/V  e non
sinh(P) = sinh( NkT/V ). Anche se questa seconda forma e' equivalente 
alla prima, l' invarianza in forma per cambio di unita' di misura non e' 
manifesta.
Sulla base di queste considerazioni, l' analisi dimensionale puo' 
vedersi come un modo economico per tener sotto controllo questa 
invarianza delle relazioni fisiche.
Si puo' anche aumentare le richieste di invarianza oltre il cambio di u. 
di misura. P. es. un' equazione che metta insieme un' energia ed il 
momento di una forza non puo' funzionare perche', pur essendo invariante 
rispetto al cambio delle unita' di misura non lo e' rispetto all' 
inversione del sistema di coordinate (il momento di una forza e' uno 
pseudo vettore mentre l' energia e' uno scalare).
Chiaramente pero' si tratta di  condizioni necessarie ma non sufficienti 
per poter avere relazioni sensate.
Anche rispettando tutte le invarianze possibili, scrivere relazioni 
fisiche e' piu' che produrre teoremi in una teoria formale (mettendo 
insieme simboli secondo regole a priori): se voglio uguagliare la forza 
che ha agito  sul tasto "i" del mio computer nell' ultima parola che ho 
scritto con la forza (quindi la stessa quantita' fisica) che agisce sul 
centro di massa della luna posso farlo senza violare regole di 
invarianza ma la verita' o falsita' dell' equazione e' risultato di una 
misura (diretta o indiretta).
Stesso discorso ovviamente per formule che contengano termini 
adimensionali di origine diversa.
Giorgio
(*) I testi che ho consultato sono:
Bridgman, P.W. "Dimensional analysis" (New Haven, Yale University Press, 
1963)
Palacios,J. "Dimensional analysis" (London, MacMillan, 1964)
Isaacson, E.de St. Q., Isaacson, M. de St. Q. "Dimensional methods in 
engineering and physics: reference sets and the possibilities of their 
extension." (New York, Halsted Press, 1975)

 stessa unita'
Infatti cm e cm^3 non sono la stessa unità!
 
-- 
Roberto Rosoni
<roberto...@tisLOCKcali.it> (Remove the lock in your replies)
 
Non so cosa pagherei per sapere cosa sto tramando.
 

 "grandezze diverse".
Condivido tale conclusione. La questione delle "grandezze diverse" 
(non sommabili fra loro) va chiarita sul piano logico.
E' ingannevole basare il giudizio sulle unita' di misura, visto che 
persino le fonti ufficiali pasticciano parecchio. Ad esempio, il sistema 
S.I. attribuisce la stessa unita' di misura alla velocita' areolare ed 
alla viscosita' cinematica, sebbene tali grandezze dovrebbero risultare
diverse secondo ogni definizione ragionevole.
L'analisi dimensionale, connessa all'adozione di sistemi di unita' di 
misura coerenti, non fornisce la risposta cercata: l'equidimensionalita'
e' condizione necessaria ma non sufficiente per la sommabilita'.
L'esempio del vettore di Poynting e' interessante. Mi sembra evidente 
che tale vettore vada considerato come una densita' di quantita' di moto 
EM in virtu' di certe conseguenze delle equazioni di Maxwell. Dunque la 
giustificazione dell'equivalenza risiede nella teoria elettromagnetica 
stessa. L'analisi dimensionale non e' necessaria ne' sufficiente!
Mi e' rimasto ancora un sassolino nella scarpa: l'identificazione tra 
grandezze adimensionali e numeri. E' un'ottica che difetta di potere 
risolutivo: non separa nitidamente grandezze adimensionali diverse, non
consente di capire se il radiante sia un fantasma o un'unita' di misura 
come tante altre.
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 cm CUBI!!!!
Sta parlando di capacita` elettrica, di un condensatore, non di volume 
di liquidi :-)
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

Enrico Smargiassi ha scritto:
 > Il problema e' che questo che dici, scritto cosi', non e' vero.
 > Esistono infatti casi in cui grandezze adimensionali diverse si
 > sommano eccome. In un altro messaggio ho menzionato il caso del
 > rapporto conducibilita'/frequenza che, nel sistema di Gauss, e'
 > adimensionale eppure si somma benissimo con la costante dielettrica
 > relativa. Sono grandezze uguali? Direi di no.
Immagino tu ti riferisca alla "costante diel. complessa" di un
conduttore:
epsilon - 4pi*i*sigma/omega.
Ma non vedo che cosa ci sia di strano. Se usassi il SI, epsilon non
sarebbe un numero puro, ma avrebbe ancora le stesse dimensioni di
sigma/omega.
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 sigma/omega.
Infatti io non ci trovo nulla di strano. Quello che sostengo, 
infatti, e' che i criteri metrologici ci dicono solo che non e' 
possibile sommare quantita' misurate in unita' diverse. Punto. 
Come ha scritto altrove Giorgio, ci sono poi altri criteri per 
valutare a priori la sensatezza di un'equazione, ma non sono 
criteri metrologici e secondo me vanno tenuti ben distinti da questi.
Ci dovrebbero trovare qualcosa di strano, invece, quelli che 
dicono che i criteri metrologici vietano anche di sommare 
"quantita' diverse" che pure sono misurate con le stesse unita'. 
Il mio specifico controesempio riguarda grandezze adimensionali, 
ma il discorso si trasporta tal quale a quantita' dimensionate. 
Il mio punto e' che in assenza di una definizione precisa di cosa 
si intende per "grandezze diverse" in questo contesto, tutte le 
affermazioni che coinvolgono questo concetto siano inutili ed 
anzi dannose.
Io personalmente credo che una tale definizione non si possa 
dare, al di la' di quella ovvia legata alle dimensioni fisiche.
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