Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Feynman

Ciao a tutti,
 
 
ho letto con attenzione, anzi, ri-letto, sul mio libro di fisica 1 dell’università, la parte relativa alle equazioni di newton, poi ho comperato le Feyman lectures e le ho rilette dal suo punto di vista: davvero fantastico.
 
Ho così fatto l’esercizio da lui proposto per il calcolo della traiettoria di un pianeta attorno al sole.
 
Sia F=GMm/R2 e ponendo GM=1 
 
Poi vedo che
 
 
Fx/F=-X/r dove r è modulo del raggio vettore, centrato sull’origine degli assi, e F è il modulo della forza, mentre X è la componente orizzontale del vettore r e Fx è la componente X della forza F.
 
Considerando solo la componente x della forza che è sempre negativa se la componente x della distanza è>0 (vedi sopra)
 
Trovo m(dV/dT)=-GMmX/r3 cioè a=-x/r3 (GM è uguale a 1 per ipotesi)
 
Ora posso trovare le posizioni X e Y, le componenti della velocità e dell’accelerazione
 
Vx=Vx0+ax0t  
(velocità al tempo x=velocità iniziale per accelerazione iniziale per il tempo)
 
Xt=X0+VtT 
(posizione X al tempo t=Posizione iniziale+Velocità al tempo t per il tempo T)
 
 
Ora, armati di carta e penna, e stabiliti dei valori di partenza, io ho usato X=0,5;Y=0, e stabilito un intervallo di tempo (ho usato 0,05), ho fatto una tabella:
 
T	X	Vx	Ax		Y	Vy	Ay
0,000	0,5000		-4,0000		0,0000		0,0000
0,050		-0,2000				1,6300	
0,100	0,4800		-3,6849		0,1630		-1,2513
0,150		-0,5685				1,5049	
0,200	0,4232		-2,8973		0,3135		-2,1465
0,250		-0,8582				1,2902	
0,300	0,3373		-1,9581		0,4425		-2,5687
0,350		-1,0540				1,0334	
0,400	0,2319		-1,1118		0,5458		-2,6166
0,450		-1,1652				0,7717	
0,500	0,1154		-0,4537		0,6230		-2,4492
0,550		-1,2106				0,5268	
0,600	-0,0057		0,0183		0,6757		-2,1901
0,650		-1,2087				0,3078	
0,700	-0,1265		0,3422		0,7065		-1,9109
0,750		-1,1745				0,1167	
0,800	-0,2440		0,5592		0,7181		-1,6460
0,850		-1,1186				-0,0479	
0,900	-0,3558		0,7024		0,7133		-1,4081
0,950		-1,0484				-0,1887	
1,000	-0,4607		0,7959		0,6945		-1,1999
1,050		-0,9688				-0,3087	
1,100	-0,5576		0,8563		0,6636		-1,0192
1,150		-0,8831				-0,4106	
1,200	-0,6459		0,8948		0,6225		-0,8624
1,250		-0,7937				-0,4969	
1,300	-0,7252		0,9188		0,5728		-0,7257
1,350		-0,7018				-0,5695	
1,400	-0,7954		0,9334		0,5159		-0,6054
1,450		-0,6084				-0,6300	
1,500	-0,8563		0,9421		0,4529		-0,4983
1,550		-0,5142				-0,6798	
1,600	-0,9077		0,9471		0,3849		-0,4016
1,650		-0,4195				-0,7200	
1,700	-0,9496		0,9501		0,3129		-0,3130
1,750		-0,3245				-0,7513	
1,800	-0,9821		0,9519		0,2378		-0,2305
1,850		-0,2293				-0,7744	
1,900	-1,0050		0,9534		0,1603		-0,1521
1,950		-0,1340				-0,7896	
2,000	-1,0184		0,9550		0,0814		-0,0763
2,050		-0,0385				-0,7972	
2,100	-1,0223		0,9569		0,0017		-0,0016
2,150		0,0572				-0,7974	
2,200	-1,0165		0,9592		-0,0781		0,0737
2,250		0,1531				-0,7900	
2,300	-1,0012		0,9618		-0,1571		0,1509
2,350		0,2493				-0,7749	
2,400	-0,9763		0,9645		-0,2346		0,2317
 
Graficando su excel X e Y con un grafico a dispersione, si trova una traiettoria che assomiglia ad una ellisse.
 
Devo dire che sono rimasto stupito dalla facilità (basta carta e penna), così stupito che forse ho sbagliato qualcosa...
 
Ma alla fine questi calcoli servono a poco, visto che mancano comunque G ed M (che ho posto uguale ad 1) e poi i valori iniziali li ho messi a caso...
 
Penso che la cosa importante sia vedere che la traiettoria sia una ellisse anche se non ne sono sicuro essendo che non so come ricavare con Excel l'equazione di una curva partendo dal suo grafico.
 
Qualcuno di voi ha provato? lo trovate sul volume 1 parte 1 capitolo 9 paragrafo 11 delle Feynman Lectures
 
 

 paragrafo 11 delle Feynman Lectures
 
Feynman e' un'altra categoria.
Le sue considerazioni sono interessanti. In stampa c'e' qualche
errore nella tabella dopo la formula 9.17, il risultato
e' fondamentalmente giusto.
 
Anche con quel metodo poco sofisticato ti ritrovi un'ellisse
per traiettoria. Usando la sua scelta delle costanti
GM=1, insomma tutto = 1, la scala temporale epsilon
deve essere almeno di 10^-2 altrimenti le ellissi precedono
subito ad ogni orbita, fenomeno che non accade in questo caso.
 
I fogli di calcolo non sono roba da utilizzare in ambito scientifico.
Ti consiglio qualcosa di serio e gratuito, ad esempio wxmaxima (usa 
google).
 
Prova a scrivere la routine in quel modo, e' semplice e trovi subito
l'ellisse.

 Qualcuno di voi ha provato? lo trovate sul volume 1 parte 1 capitolo 9 paragrafo 11 delle Feynman Lectures
 
Oggi, invece dell'algoritmo che usa Feynman  (leapfrog) è di gran lunga 
preferibile usare l' algoritmo "velocity Verlet" che  evita di avere 
metà delle variabili dinamiche a un tempo e metà ad un tempo traslato di 
dt/2).
 
L' algoritmo di Verlet funziona cosi' (pos==posizione; vel==velocità; 
a(t)== accelerazione(t)=Forza(pos(t))/massa); vel_p variabile/i 
ausiliare per tenere un risultato intermedio):
 
1. pos(t+dt) = pos(t)+vel(t)*dt +0.5*a(t)*dt^2
2. vel_p = vel(t) + 0.5*a(t)
3. calcolo di a(t+dt) = Forza(pos(t+dt))/m
4. vel(t+dt)=vel_p + 0.5*a(t+dt)
 
ripetere 1-4 per generare pos(t+n*dt),vel(t+n*dt), n=2,3,....
 
è utile, arrivati a 4. calcolare anche energia cinetica (con vel(t_dt) e 
energia potenziale (con pos(t+dt)) per verificare se e quanto l'energia 
totale (potenziale + cinetica) si conserva.
 
 
Se poi uno calcolasse il momento angolare, avebbe un'intressante 
sorpresa. Ma evito di fare  spoiler.
 
Giorgio