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Titolo: Avrei un problemuccio ...

Salve, mi potete aiutare a risolvere questo esercizio???
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Un blocco di legno a forma di cubo di lato L galleggia sull'acqua di una
grande piscina e la parte emergente della piscina è pari ad un terzo
dell'altezza del cubo. Si determini la densità del legno.
Si supponga quindi di spingere verso il basso il cubo finchè la sua
superficie superiore coincida con il pelo libero dell'acqua, e di lasciare
quindi il cubo libero di muoversi. Si determini, trascurando ogni attrito,
l'equazione del moto del cubo e la si risolva ottenendo l'equazione oraria
del moto, tenendo presenti le specificate condizioni iniziali.
Si illustri quindi a quale altezza massima sopra il livello dell'acqua
arriverà il cubo durante il moto. Si poteva ottenere lo stesso risultato da
considerazioni energetiche, invece di risolvere l'equazioni del moto?
Spiegare.
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Questo è quello che ho provato a fare:
Per quanto riguarda la densità del legno è 2/3 quella dell'acqua.
La forza che occorre per spingere giù il cubo la trovo da
(F.peso-F.archimede) e questa risulta  F = 1/3 * (rho Acqua) * L^2 * g * y
(dove y rappresenta l'altezza del corpo; 0 <= y <= L/3)
Quindi differenziando la precedente ottengo una legge del moto pari a
                           _______
         1         \    / g / 2L
y (t)= - cos(   \/                   *  t )
         3
Pur avendo sicuramente gia sbagliato, da qui in poi non so come proseguire!
Per quanto riguarda le considerazioni energetiche del moto (penso che
intenda il teorema del lavoro e dell'energia cinetica e non quello della
cons. dell'energia meccanica), le forze che compiono lavoro sono:
                         1                                        5
Larchimede = -  - * L ^ 3 * (rho acqua) *   - L
                         3                                       6
                         2                                        1
Lpeso          =   - * (rho acqua) * L^3 *g *  - L
                         3                                         3
                                                          1      2
e la variazione di en. cinetica è pari a   -  *   - * (rho acqua) * L^3 *
v^2
                                                          2      3
dove v è la velocità finale che acquista il corpo.
Comunque sia non posso continuare perchè sommando i 2 lavori ho il totale
negativo e qui mi  sono ri-bloccato, e pur trovando una velocità non saprei
che farmene!!
Grazie per la pazienza.
--
Posted from [212.104.1.240] by way of 
oe15.law9.hotmail.com
 [64.4.8.119] 
via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

problema :
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RISPOSTA:
non mi sembra sbagliato, ma non sono sicura di come hai scelto l'asse delle
y e la posizione zero, per cui non sono sicura di come hai impostato le
condizioni al contorno... la cosa mi fa sentire deficiente, ma l'unico modo
per poterti aiutare e chiedertelo...magari qualcuno più bravo nel frattempo
avrà già postato una soluzione migliore...
hai scrtto che y = altezza del corpo...
ma se consideri 0 <= y <= L/3 allora non è l'altezza del corpo...
y non dovrebbe essere riferito al baricentro del cubo , quindi posto a L /2
dal pelo dell'acqua ?
penso che la difficoltà maggiore in questo problema sia proprio quello di
scegliere bene le coordinate...
infatti è vero che la posizione di equilibrio del cubo è quella con L/3
fuori dall'acqua, ma per trattarlo come un punto (oppure per applicare le
forze in un punto del cubo) occorre fare riferimento al baricentro che si
trova in L/2.
Allora se y=0 è il pelo dell'acqua
il baricentro si trova in y = L/6 all'equilibrio
mentre si trova a y = L/2 quando il cubo è immerso.
cosa ne dici ?
io invece non mi ricordo più un cavolo di come integrare con le condizioni
al contorno...
correggi la mia proposta:
avendo la 
eq.ne
d''y /dt2 = K * y(t)
poni y(t) = A * cos (omega*t) + C
poi calcoli le derivate, quindi sostituisci nell'equazione diff.le e fai un
sistema con le condizioni al contorno ?
perchè facendo i calcoli mi ingarbuglio...sono proprio fuori forma con
queste cose !!!
scusami e grazie
ele
--
Posted from 
mail6.galactica.it
 [212.41.208.23] (may be forged) 


ho dovuto pensarci un tot...e quindi non ho avuto il tempo di
risolvere l'
eq.ne
 del moto, ma quello dovrebbe essere il meno.
spero di riuscire a spiegare...:
1) ho preso come riferimento  x = 0 la posizione del baricentro
all'equilibrio : si trova L / 6 sotto il pelo dell'acqua.
in questa situazione la forza di spinta è data da
F = 2/3 * L * L^2 * (rho Acqua)  * g
2) quando il blocchetto è tutto immerso il baricentro si trova in x =
L / 3 (rispetto alla posizione di equilibrio presa come x = 0)
in questa situazione il blocco è tutto immerso quindi la forza di
spinta è data da
F =  L * L^2 * (rho Acqua)  * g
3) quando il blocchetto è immerso non tutto, ma al di sotto della
posizione di equilibrio il baricentro si trova in x qualsiasi (0 <= x
<= L/3) (rispetto alla posizione di equilibrio presa come x = 0)
in questa situazione il blocco è immerso per un tratto 2/3 L + x
quindi la forza di spinta è data da
F =  (2/3 L + x )* L^2 * (rho Acqua)  * g
4) poichè ma + mg = F allora l'equazione del moto dovrebbe essere:
m x'' = (2/3 L + x )* L^2 * (rho Acqua)  * g - mg
dove x'' = derivata seconda di x rispetto al tempo
con x(0) = L/3
e x'(0) = 0
....sarà giusto ? se penso al caldo che fa ho dei dubbi..ma spero sia
corretto...ciao


vi prego guardate le nostre "pensate" (alberto e me ) su questa cosa... sarà
banale, ma mi piacerebbe avere un indizio se quello che ho scritto è scienza
o fantascienza..
grazie
Alberto wrote:
Salve, mi potete aiutare a risolvere questo esercizio???
Un blocco di legno a forma di cubo di lato L galleggia sull'acqua di una
grande piscina e la parte emergente della piscina è pari ad un terzo
dell'altezza del cubo. Si determini la densità del legno.
Si supponga quindi di spingere verso il basso il cubo finchè la sua
superficie superiore coincida con il pelo libero dell'acqua, e di lasciare
quindi il cubo libero di muoversi. Si determini, trascurando ogni attrito,
l'equazione del moto del cubo e la si risolva ottenendo l'equazione oraria
del moto, tenendo presenti le specificate condizioni iniziali.
Si illustri quindi a quale altezza massima sopra il livello dell'acqua
arriverà il cubo durante il moto. Si poteva ottenere lo stesso risultato da
considerazioni energetiche, invece di risolvere l'equazioni del moto?
Spiegare.
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Posted from 
mail3.galactica.it
 [212.41.208.20] (may be forged) 
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
No c`e` un segno sbagliato da qualche parte. Con l`equazione 
differenziale che hai scritto hai soluzioni esponenziali reali e
non oscillatorie. ..e il sistema sarebbe instabile, mentre
sappiamo che non lo e` per verifica sperimentale!
Rifaccio tutto perche` non capisco le tue convenzioni dei segni.
Sia X l`altezza del cubo rispetto al pelo dell`acqua.
La forza sul baricentro e` allora data da 
- mg + r L^2 g (L-x)
dove r e` la densita` dell`acqua gia` determinata.
La posizione del baricentro e`
x - L + L/2 = x- L/2
si ha allora l`equazione, tenendo conto che l/2 e` costante 
m x``  = - mg + kL - kx
dove k := rL^2g
ossia
mx`` = -k(- mg/k -L +x)
posto y = x-L-mg/k
l`equazione e`
my'' = ky
da cui
y(t) = A cos ( sqrt{k/m} t + t_0) 
ovvero 
x(t) = mg/k + L + A cos( sqrt{k/m} t + t_0)
con A e t_0 da determinarsi dalle condizioni iniziali.
Ho scritto in 5 minuti tutto perche` devo scappare, potrebbero
esserci degli errori algebrici, controllate.
Ciao, Valter

 grazie
Io propongo la mia soluzione molto piu' grezza, ma anche piu' rapida:
1) il blocco di legno ha densita' pari a 0.67(2/3) Kg/dm^2 (ok)
2) per l'equazione del moto posso partire da pseudo-considerazioni
energetiche:
(prendiamo l'asse z con 0 al pelo dell'acqua e positivo verso l'alto con
valore unitario pari all'altezza del blocco e descriviamo il moto del
legno con la posizione della faccia superiore del blocco per
semplificare al massimo)
ip: il volume dell'acqua della piscina e' >> del volume del blocco.
Considerazioni:
  a) la posizione d'equilibrio e' z=1/3
  b) la posizione iniziale al t=0 (condizioni al contorno) e' z=0
  c) superflua: per simmetria zmax=2/3 (in una situazione ideale in cui
il movimento e' una pura traslazione verticale)
  d) la costante di tempo o pulsazione e' w=sqrt(k/m) (per analogia ad
un sistema elastico massa/molla)
  e) k=3mg/2 (si ottiene semplicemente considerando uno spostamento
z=2/3 cui corrisponde una forza paria a mg)
la legge oraria risulta:
z=2/3sin(wt)=2/3sin(sqrt(3g/2)t)
... sperando di non aver fatto troppe cavolate.
Se preferite una trattazione con forze, accelerazioni, ecc... ditemelo
che ci provo (il problema e' scrivere delle equazioni in modo testo
=:-(  )
Ciao,
Daniele

Spiegare.
Con la conservazione dell'energia, o col teorema delle forze vive.
Si trova che il lavoro della forza di Archimede è uguale e opposto
a quello della gravità, ma la Farch è una forza elastica
più una costante: Farch= ro*L^3*g-ro*x*L^2*g
il cui potenziale vale Uarch=-ro*L^3*g*x  + 1/2*ro*L^2*g*x^2
allora abbiamo
deltaUarch=-deltaUgrav
-ro*L^3*g*x  + 1/2*ro*L^2*g*x^2 = -mg*x
le cui soluzioni sono x=0 (giusto, è la posizione iniziale in cui nessuno
ha ancora compiuto lavoro)
e x=2/3*L che è quella che vogliamo.
Ciao
Andrea

dove k := rL^2g
?
Intendevi forse
m x``  = - mg + k(L/2 - x)  ???
altrimenti non è più l'equazione del baricentro !!
o sbaglio di nuovo ?....cavolo faccio sempre qualche errore scemo con i
segni....
grazie per avere guardato il problema..aspetterò fino a che hai di nuovo 5
minuti per controllare se ho ragione...
GRAZIE
ciao
ele


 X è l'altezza del cubo rispetto all'acqua quando il cubo si trova come ?
Secondo Valter x e' l'altezza della faccia superiore del cubo rispetto
al pelo dell'acqua come confermato da:
rL^2g(L-x)
 
. Come fai a non capire quando scrivo che
. ho preso come riferimento  x = 0 la posizione del baricentro
all'equilibrio:
. si trova L / 6 sotto il pelo dell'acqua. ?
Ok, e' un altro sistema di riferimento che, oltretutto semplifica i
calcoli.
 
. Immagina il cubo nella posizione di equilibrio, cioè di
galleggiamento:
. 2/3 L sono sotto il pelo dell'acqua e L/3 fuori.
. Il baricentro è a metà del cubo, quindi L/2.
. Allora se prendi x = 0 in corrispondenza del  baricentro,
. basta fare L/2 - L/3 = L/6
. questa è la distanza tra il baricentro e l'acqua.
 
. In che verso hai preso l'asse x ? io l'ho immaginato puntato verso il
basso
. (dentro l'acqua). Forse è questo che fa cambiare i segni ?
. 
. Mi sa di sì...
Sempre secondo Valter x punta verso l'alto il che, di solito, e' piu'
intuitivo.
Sul fatto che punti verso l'alto non c'e' dubbio in quanto la forza di
gravita' e' negativa (-mg).
. Intendevi forse
. 
. m x``  = - mg + k(L/2 - x)  ???
. 
. altrimenti non è più l'equazione del baricentro !!
Infatti quella sul baricentro era solo una parentesi; dopo Valter
continua con lo stesso riferimento di prima.
 
Tanto per concludere:
w=sqrt(k/m)=sqrt(rgL^2/m)=sqrt(grL^3/mL)=sqrt(3g/2L)
che coincide con il risultato che ho fornito nell'altro post salvo che,
come al solito, avevo dimenticato una L.
Il che conferma che l'analisi dimensionale di cui si parlava altrove e'
cosa buona e giusta, almeno per verificare i risultati.
Ciaooooo,
Daniele.

 
Ti spiego, nella fretta non mi sono spiegato per niente.
La forza totale*sul baricentro e' - mg + kL - kx
dove x e' definito come l'altezza della parte emersa del cubo
dal pelo dell'acqua, con asse x verso l'alto e origine al pelo
dell'acqua. Infatti: la parte immersa, *quella sola su cui agisce la
spinta di Archimede* e' profonda (L-x) => la forza proporzionale a 
L-x *diretta verso l'alto*. OK? 
Ora il centro di massa differisce da x per una costante sommata a x,
quindi la derivata nel tempo di x o di (x+c) dove c e' una costante 
qualsiasi e' la stessa! Quindi al primo membro dell'equazione
m x``  = - mg + kL - kx (*)
puoi meztterci invece della derivata seconda  di x la derivata 
della x del centro di massa ma alla fine hai lo stesso risultato.
OK?
Veniamo al problema che giustamente sollevi all'inizio sulla forza
di Archimede che e' solo repulsiva, ma non puo' tirare in basso 
il cubo. E' vero! Hai perfettamente ragione pero' secondo me se le 
oscillazioni sono piccole come credevo che fosse nell'esempio
considerato, il risultato che ho dato e' giusto lo stesso.
Nella realta' (o meglio, pensando ad un modello piu' *realistico*)
bisognerebbe fare cosi'. Ammettendo che il blocco sia inizialmente
compresso (cioe' a t=0  e' piu' immerso di quanto il pricipio
di Archimede consenta) e con velocita' iniziale nulla e quindi lasciato
libero di oscillare, si deve usare la (*) dall'istante iniziale fino
a quando la spinta di archimede non si nulla, ossia fino a quando L-x = 0.
Da quel momento in poi, l'equazione da usare e', con le condizioni iniziali 
date da x=L e dalla velocita' raggiunta in quell'istante:
m x``  = - mg
e questo fino a quando il blocco non tocca nuovamente l'acqua (alla fine
deve farlo perche' la forza di gravita' , l'unica presente tira verso
l'acqua), cioe' fino a quando non si ha nuovamente x = L.
da quel momento in poi e con le condizioni iniziali 
corrispondenti, si deve usare nuovamente la (*) e cosi' via.
In realta' bisognerebbe spiegare cosa succede nell'urto con l'acqua
e le cose non sono davvero cosi' banali!
Pero' se le oscillazioni ottenute dal primo uso di (*) sono tali che 
nel punto massimo di x valga x< L, allora l'unica equazione da usare e' 
la (*) come ho fatto io. Presupponevo cio'  perche' altrimenti 
il problema sarebbe stato troppo difficile (urto con l'acqua?) ma per
la verita'non ho controllato e tu hai fatto bene a porre 
l'accento sulla questione!
Spero che sia piu' chiaro ora e mi scuso, ma ho scritto l'altro messaggio
pochi minuti prima di andare via e l'ho fatto di corsa senza molte spiegazioni.
Ciao, Valter