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Titolo: Un teorema inquietante.

Sia data una distribuzione assolutamente continua di magnetizzazione M(x).
Questa distribuzione sia non nulla in un dominio contenuto in una sfera e
nulla ovunque fuori di questo dominio. Comunque si scelga la sfera che
contiene questo dominio l'integrale di volume del campo magnetico,
all'interno di questa sfera, è esattamente 8/3 pi \Int M(x) d^3x.
Osservazioni:
1) M(x) non deve essere uniforme, e può avere momenti di multipolo a tutti
gli ordini.
2) La simmetria sferica del dominio è una ipotesi essenziale della
dimostrazione, infatti in generale non è vero che l'integrale del campo
magnetico in domini non sferici sia nulla.
3) Il teorema non asserisce nulla nel caso che la distribuzione di
magnetizzazione sia esterna alla sfera, ma è abbastanza ovvio che in
generale questo integrale non sia nullo, tuttavia non ho esplorato a fondo
le implicazioni del teorema delle immagini (trasformata di inversione di
Poisson) circa l'integrale.
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Lo trovo inquietante anch'io, ma in maniera positiva.
Comunque, come aveva segnalato Bruno, e' dimostrato nel Jackson. Pag 
188, eq. (5.62), third edition, Wiley.
Riguardo al caso di sorgenti esterne alla sfera di integrazione, 
l'equazione immediatamente successiva da' la risposta:
mu_B = V_S B(0)
dove V_S e' il volume della sfera entro cui si integra, e B(0) e' il 
campo generato dalla sorgente esterna nel centro della sfera di 
integrazione.
Visto che abbiamo generalizzato insieme il teorema al caso di dominio 
cilindrico con sorgente interna (di forma e magnetizzazione arbitrarie), 
non sarebbe male trovare anche la generalizzazione della seconda formula.
Mi aspetterei, ad esempio:
mu_B = pi R^2 Bp(0)
ovvero il prodotto tra area della regione circolare su cui si integra, 
moltiplicata per il campo proiettato al centro del cilindro.
Sarebbe favoloso se fosse cosi'...
Bye
Hyper

 Poisson) circa l'integrale.
Anche qua il Jackson si pronuncia e dice che il risultato e'
B(0)*(4/3)*PI*R^3, dove B(0) e' il campo al centro della sfera. In sostanza,
se la M e' tutta fuori dalla sfera, l'integrale e' lo stesso che si avrebbe
se dentro la sfera il campo fosse costantemente uguale a quello che si ha al
centro.
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 trascurabili.
Da dove risulta questo? Il Jackson dimostra per R>a, non per R>>a, dove 
a e' la massima estensione della sorgente.
Da altra fonte (Eyges, The Classical Electromagnetic Field) traggo 
liberamente che basta considerare una regione sferica di raggio R>a+ 
qualche d, dove d e' la tipica distanza interatomica del materiale.
Bye
Hyper

 Hyper


 Hyper
Ciao


 - 4*PI*m*(x^2-y^2) * (R/(x^2+y^2))^2
Ora controllo.
Bye
Hyper

 m con una precisione ancora migliore.
Ti confesso che sta cosa non l'ho capita. Una volta che si e' stabilito 
che mu_B=1/2 mu0 mu, che significa precisione maggiore? Che precisione 
maggiore c'e' di un fattore di proporzionalita' bello e chiaro? E cos'e' 
sta parabola?
Bye
Hyper

 sta parabola?
Beh, perche' le misure hanno sempre un'incertezza. Calcoli l'integrale su un
certo R "piccolo", vedi che raddoppiando R il valore dell'integrale rimane
sostanzialmente invariato, ripeti la misura un po' di volte e trovi un
valore m+-dm.
Se invece calcoli l'integrale su una R "grande", osservi che i dati si
attestano su una parabola di tipo
I = a + b R^2.
La teoria prevede che sia b = a/(2*h^2) dove h e' l'altezza del cilindro di
integrazione e che, in cgs, sia a=2*PI*m.
Dal fit ottieni il valore di m, e il fit ti dara' un valore m+-dm'.
Quello che a me parrebbe a occhio e' che si dovrebbe ottenere un dm'<dm
(magari anche molto minore, forse la fonte principale di incertezza sara'
proprio la stima di h).
Poi dal fit si potrebbero eventualmente escludere i valori associati ad R
piccoli per vedere se magari le cose migliorano in termini di precisione.
Qualora si osservasse un tale miglioramento personalmente direi che potrebbe
essere giustificabile sperimentalmente la non considerazione dei valori
associati ad R piccoli, perche' sono quelli sui quali, come si diceva (o
almeno, come dicevo io, ma tu mi pare che non concordi), i termini di
multipolo fanno maggiormante casino.
Pero' ... e' tutto un discorso molto a occhio. Intanto non e' detto che
l'apparato sperimentale permetta di investigare valori di R grandi (cioe'
non molto minori di h). Poi, quando anche lo permettesse, potrebbe darsi che
l'integrale di B relativo ad un R grande sia cosi' piccolo da essere poco
distinguibile dal rumore. Insomma, immagino che se questa microscopia
olografica non si fa su R grandi dei motivi ci saranno. Solo che, quando uno
fa i conti, costa poco dire "Se si potesse fare cosi' ... allora ..."



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 multipolo fanno maggiormante casino.
No, non concordo. L'analisi fatta finora mostra chiaramente che non
c'e' dipendenza da R non appena R>a. I multipoli sembrano evaporare
via all'istante.
Bye
Hyper

 Hyper


 Sarebbe favoloso se fosse cosi'...
Infatti viene esattamente cosi'!
Quindi, la generalizzazione delle formule Jackson al caso di cilindro 
infinito invece che sfera e' la seguente:
\int_C B(r) d^3 = 1/2 mu0 mu
se il cilindro infinito contiene tutte le sorgenti,
\int_C B(r) d^3 = pi R^2 Bp(0)
se il cilindro infinito e' esterno alle sorgenti.
Sono a cavallo, ora ho anche modo di quantificare la perturbazione alla 
misura indotta dalla presenza di elementi che non riesco a piazzare 
dentro al cerchio di integrazione.
Le implicazioni di tutta questa faccenda sono davvero notevoli. Quasi 
non ci credo ancora...
Bye
Hyper

 proprio nulla :-)))
Direi che abbiamo verificato piuttosto che dimostrato. O dici che
abbiamo semplicemente rigirato la frittata?
Non puo' essere troppo banale la faccenda, altrimenti 1) non avresti
chiamato inquietante il teorema, 2) al mio post iniziale sul
significato fisico di mu_B e sulla connessione mu_B-mu sarebbero
fioccate risposte immediate.
Bye
Hyper

 ha scritto:

Intendo solo che fin qui abbiamo illustrato un elenco di schemi stenografici
di dimostrazioni, manca di specificare le ipotesi ed invocare i teoremi
necessari per poter parlare di dimostrazioni accettabili. Quello che trovo
inquietante del teorema è il fatto che sia una proprietà ben riposta e far
reaching nel solco dei comuni corsi, non intendevo in alcun modo fare
autosvalutazione dicendo che non abbiamo ancora dimostrato nulla, L'altro
aspetto che mi sembra notevole è il fatto che questa proprietà sia ancorata
ad una ben precisa geometria quella sferica, quella cilindrica, etc... poi
ci sono altri aspetti come il fatto che circoscrivendo la sfera con un cubo
l'integrale per il campo puramente dipolare non cambia, e lo stesso si
verifica per un parallelepipedo a base quadrata che circoscrive il cilindro.
Mentre non sono sicuro che non cambino gli integrali nel caso di una
sorgente arbitraria anzi ho prova del contrario nel caso di cubo
circoscritto. Abbiamo un reticolo di informazioni ma io non ho affatto ben
chiari tutti i nessi e le ragioni più profonde di questi fatti.
Da ultimo ricordo che da studente ero molto entusiasta della teoria delle
trasformazioni conformi per il piano e da allora mi chiedo se c'è una
analoga teoria in tre dimensioni o magari per l'elettromagnetismo completo
che metta su un piano comune e di maggiore "simmetria" campi elettrici e
magnetici. Tornando sul pratico mi chiedo che implicazioni ha una
trasformazione conforme sul momento magnetico del campo, come lo chiami tu,
e su quello delle sorgenti, ammesso che si possa estendere la teoria valida
per l'elettrostatica, al caso magnetostatico.


 essere verificato.
Ecco, potrebbe eventualmente rimanere questo problema.
Pero' questo, secondo me, sarebbe solamente un problema formale, di nessuna
importanza dal punto di vista fisico, in quanto, nella realta', le
"magnetizzazioni intrinseche" non esistono. Cioe' Jackson assume che i campi
magnetici stazionari siano sempre generati da correnti elettriche (mai da
cariche magnetiche, ne' da altro).
Certo, qualora una magnetizzazione intrinseca desse luogo ad una tesi
diversa, allora risulterebbe interessante l'esperimento in quanto porrebbe a
verifica sperimentale proprio il fatto che sia vero che a livello
microscopico le magnetizzazioni si possono sempre ipotizzare come derivanti
da correnti elettriche. Ma tu mi pare che hai proprio dimostrato che la tesi
rimane la stessa.
Per l'equivalente elettrico, dove la polarizzazione si definisce in termini
della rho, potremmo fare naturalmente un discorso analogo.
E l'origine fisica della differenza fra le due tesi risulta quindi
immediatamente evidente: i campi magnetici sono generati da correnti di
cariche elettriche (e non da cariche magnetiche), i campi elettrici sono
generati da cariche elettriche (e non da correnti di cariche magnetiche).


 finito, al minimo e' circa 10^8 volte R,
10^8 ??? Caspita, l'area sensibile sulla quale si fanno le misure e' grande
solo pochi nanometri? E su un'area del genere si puo' avere quella
risoluzione che dicevi ??? Ho capito bene o stiamo intendendo qualcosa di
diverso con R (io intendo il raggio del cilindro di integrazione)?


 "magnetizzazioni intrinseche" non esistono.
Mi pare un tantino drastico-classica sta visione...lo spin secondo te
e' (generato da) una corrente?
Bye
Hyper

 diverso con R (io intendo il raggio del cilindro di integrazione)?
Hai capito bene. Si parla di nanoparticelle, e di un microscopio che
e' alto fino a diversi metri. Il raggio su cui si integra il gradiente
della fase (il campo proiettato) e' dello stesso ordine di grandezza
delle particelle, quindi un centinaio di nm circa.
La risoluzione e' dell'ordine di 1-5 nm per osservazioni con campioni
magnetici. Con campioni non-magnetici (lo dico solo per curiosita',
visto che non e' rilevante al thread) siamo un ordine di grandezza o
piu' sotto (1-5 A).
Bye
Hyper

 Bz = (3/2) Q |z| (2 z^2 - 3 r^2) / (z^2+r^2)^(7/2).
Non può essere, perchè qualunque sia la sorgente il numeratore deve essere
un polinomio armonico, non può dipendere da |z|. In particolare facendo il
conto in coordinate cartesiane trovo che la derivata terza rispetto a zeta
del potenziale 1/r è proprio: z (2 z^2 - 3 r^2) / (z^2+r^2)^(7/2).
Che è immediatamente nullo per ragioni di parità.

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 annullano tutti integrando su theta.
Per la componente zeta, del resto, la componente proiettata è uguale perchè
è uguale la componente zeta del dipolo. Colgo l'occasione che siamo in
discussione per sollevare una questione che finora non avevo focalizzato: la
sorgente del campo H bidimensionale (inteso come proiezione lungo z del
campo H tridimensionale), ovvero quella per la quale risulta: div(H_p)= 2pi
M, intendendo che divergenza è somma delle derivate parziali rispetto ad x e
rispetto ad y, non è la proiezione della magnetizzazione, ma è il doppio. E'
vero o mi sto sbagliando?

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 giungere a livello di struttura iperfine).
Mi riesprimo, prima che Hypermars mi tolga la parola :-), è probabile che si
piuttosto, ovvero che vedano la struttura iperfine, anzi è probabile che
apposta si sta spendendo tanto sull'argomento, quello che intendevo è che
però le correzioni iperfini, dovute al campo magnetico sulla fase non sono
risolubili.


 del potenziale 1/r è proprio: z (2 z^2 - 3 r^2) / (z^2+r^2)^(7/2).
ah ma per trovare la componente z del campo dovuto al multipolo
(l,m=0)-esimo basta fare la derivata (l+1)-esima rispetto a z di 1/r ?
E magari c'e' qualche altra scorciatoia per le componenti x e y ?
Scusa eh, magari dovrebbero essere cose arcinote, ma io con questi multipoli
non ho mai avuto una gran pratica.


 Hyper


 piu' sotto (1-5 A).
Rimango assoltamente sbalordito di fronte a tale potenza!!!
Non ho la minima idea di cosa sia di fatto l'apparato sperimentale (non ci
provo nemmeno a consultare i testi che hai riportato, io speravo esistesse
qualche riferimento moooolto piu' di base, tipo qualche paginetta su qualche
sito, o un pdf di una ventina di pag. al massimo) ma di fronte a misure del
genere direi che non si possa non provare meraviglia.


 fisica sara' probabilmente nel teorema di Gauss.
Il punto è che sono due casi particolari di uno stesso risultato che si
applica ogni volta che un campo possa essere espresso come somma della
soluzione di una equazione di Laplace e di una funzione limitata. Rispetto
al caso generale di questo teorema, che ho appena finito di riportare a
pagina otto dei miei appunti per il caso di geometria sferica, e che si
adatta facilmente in due dimensioni modificando gli integrali di superficie
in integrali di linea e di volume in integrali d'area e tenendo conto della
lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio, rispetto a questo
teorema generale, dicevo, nel caso in specie che è quello magnetico abbiamo
in più la semplificazione che il campo è indivergente. Non aspettatevi un
pdf troppo presto, però. Prima voglio essere a posto con tutte le mie
obiezioni soggettive, il che mi potrebbe richiedere da una a due settimane.
Intanto per cercare di familiarizzare con lo slang tecnico e con gli aspetti
più concreti del metodo che conoscevo solo a livello di esercizietto
sull'equazione di Dirac, ho trovato una tesi:
http://dissertations.ub.rug.nl/FILES/faculties/science/2008/k.keimpema/c2.pdf


 
http://dissertations.ub.rug.nl/FILES/faculties/science/2008/k.keimpem.
..
Grazie della segnalazione (non ero al corrente della linea di ricerca
attiva in Olanda). Ha scazzato il mio nome a un certo punto, ma mi
cita n volte e fa sempre piacere :-)
Probabilmente la tesi (inclusi gli altri capitoli, in particolare
quelli con risultati sperimentali) e' un ottimo punto di partenza per
Bruno se ha ancora voglia di leggiucchiare qualcosa sull'olografia
elettronica.
Tetis: quando hai sistemato tutti i calcoli per bene, ti porro'
un'altra questione che ti anticipo: perche' lavorando in Fourier si
bypassano la quasi totalita' dei problemi che abbiamo incontrato nello
sviluppare il thread?
Bye
Hyper

 Hyper


 il classico prodotto di convoluzione...
Si. Nella domanda avevo comunque in mente un caso specifico che mi
risulta misterioso.
In particolare, il calcolo del campo interno a una particella
magnetizzata.
Pensa, tanto per non divagare troppo, al solito cilindretto
magnetizzato uniformemente.
Il campo esterno l'abbiamo sviscerato. Il campo interno invece no. Ci
siamo limitati a
stabilire le proprieta' dell'integrale del campo nella sua interezza.
Se voglio calcolare invece
il campo interno punto per punto, farlo nello spazio reale e' un
casino, o meglio, un
qualcosa che ancora non mi riesce di fare. Nello spazio di Fourier e'
immediato, quasi banale.
Se vogliamo calcolare il campo interno per sovrapposizione di campi di
dipolo, dobbiamo
prendere l'espressione del campo di dipolo e fare la convoluzione con
la funzione
caratteristica. Se hai voglia, sviluppa questo esercizio: trovare la
componente z del campo
B lungo l'asse di rotazione z di un cilindro magnetizzato lungo z.
Io partendo dal campo di dipolo, con o senza quel termine aggiuntivo
2/3 mu0 m delta(r),
non riesco. Se faccio via Fourier, ottengo tranquillamente il campo
assiale di un solenoide
finito.
Bye
Hyper

 Hyper


 non ho mai avuto una gran pratica.
Ma non sono altro che sviluppi in serie di Taylor, tuttavia quello che si
verifica è che le derivate di 1/r rispetto ad un certo elenco di coordinate
è una funzione armonica come lo è 1/r (escludendo l'origine dove è
singolare) quindi i numeratori di queste derivate sono funzioni armoniche,
di conseguenza le derivate non sono tutte indipendenti. Per esempio in due
dimensioni hai certamente n+1 derivate di grado n ma solo due funzioni
armoniche indipendenti. Per le tre dimensioni le derivate di grado n sono
C(n+2,2) = (n+2)(n+1)/2, ma le funzioni armoniche indipendenti
corrispondenti sono 2n+1.



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 finito.
Forse non ho capito il problema che hai proposto, per la componente zeta al
solito partirei dall'identità esatta:
4pi M(x) + d^2/dz^2 \int M(x')/|x-x'| dx'
in particolare lungo l'asse devo integrare:
2piM r / [sqrt(r^2+ (z-z')^2]
da zero ad a in r e poi in zeta da -L/2 ad L/2. Eseguo solo il primo
integrale, mentre quello in zeta lo posso evitare in quanto posso prima
derivare rispetto a z (ricordando che è come derivare rispetto a z' e
cambiare il segno) e poi integrare la derivata. In definitiva trovo:
4pi M + 2piM d^2/dz^2 [ \int dz' sqrt(a^2 + (z-z')^2) - sqrt( (z - z')^2)] =
4pi M - 2piM d/dz [ sqrt(a^2 + (z-L/2)^2 ) - sqrt(a^2 - (z+L/2)^2) - |z -
L/2| + |z+L/2|]
In particolare l'ultimo termine, per z compreso fra -L/2 ed L/2 , ovvero
all'interno del cilindro vale: 2z e quindi risulta:
 
B(x) = - 2pi M [ (z-L/2)/sqrt(a^2 + (z-L/2)^2) -
(z+L/2)/sqrt(a^2+(z+L/2)^2)]
Che fornisce correttamente, nel limite di L che tende ad infinito, B = 4 pi
M.
Del resto il rotore della magnetizzazione corrisponde ad una corrente sul
bordo, che si può calcolare indirettamente applicando il teorema del rotore,
oppure direttamente ricordando che la derivata di una funzione di Heaviside
è la funzione delta di Dirac, questa corrente ha una densità lineare pari a
c M. Ed il campo magnetico lungo l'asse può essere calcolato direttamente
integrando:
\int _{-L/2}^{L/2} dz' 2piMa^2/(a^2+(z-z')^2)^(3/2)
che vale appunto: 2piM[(z-L/2)/sqrt(a^2+(z-L/2)^2) -
(z+L/2)/sqrt(a^2+(z+L/2)^2)]


 finito.
Proverò, perchè al momento non mi rendo conto di dove stia la difficoltà e
dove stia la semplificazione, d'altra parte non ho nemmeno chiaro che nesso
c'è fra questo problema a quello di trovare il campo di polarizzazione dal
campo magnetico, eccetto che per il fatto suddetto che in presenza di
correnti il problema inverso è evidentemente mal posto.


 campo magnetico,
Non c'e' nesso. E' un problema separato.
Bye
Hyper

 Forse non ho capito il problema che hai proposto,
Si l'ultimo post era di fretta.
Vorrei capire come mai partendo dall'espressione del campo di dipolo
B=mu0/(4pi) [3r(m.r)/r^5-m/r^3] +2/3 mu0 m \delta(r)
e facendo la convoluzione (senza passare per Fourier) con la funzione
caratteristica di un cilindro, non si riesce (almeno io non riesco) a
calcolare il campo interno (in particolare sull'asse, giusto per
diminuire le complicazioni) di un cilindro magnetizzato uniformemente.
Non voglio passare per derivate, rotori, o altro. Solo il calcolo
diretto.
Bye
Hyper

 ha scritto:

*************************************************************************************************
Puoi saltare se vuoi questa prima parte e tornarci poi in seguito, comunque
c'è la mia risposta al problema
Nel frattempo avevo focalizzato, con parole mie, il problema. Infatti prima
di leggere questa tua riproposizione ho voluto fare delle verifiche. Un
problema è che per quanto possa sembrare strano quella identità per il campo
magnetico, privata del contesto interpretativo non significa molto, in
particolare è evidente che la funzione che esprime il campo di dipolo fuori
dall'origine non è integrabile, non solo all'infinito, ma anche se ci si
limita ad un intorno dell'origine.
Mi sembra che invece quel che ha significato è:
B = lim eps->0 mu0/(4pi) [grad {(m.grad)f(r,eps)}] + mu0/4pi m lap
(f(r,eps))
dove puntualmente:
lim eps->0 f(r,eps) = 1/r.
da questa espressione si ricava l'espressione del Jackson per il campo
magnetico, che hai riportato sopra come limite distribuzionale, ma va
ricordato che è un limite distribuzionale in simmetria sferica nel senso
testé documentato, mentre il risultato che si ottiene non è in simmetria
sferica.
In particolare ciascuna delle funzioni f(r,eps) (a simmetria sferica) è
scelta integrabile in un intorno dell'origine (eventualmente a supporto
compatto) e di classe infinitamente differenziabile. Io che applico la
versione integrata di questa espressione trovo infatti correttamente il
campo magnetico solenoidale lungo l'asse.
Passando per questa via si possono interpretare anche gli integrali di
Fourier, e questo porta a trovare la scorciatoia seguente: l'uso delle
coordinate sferiche rende non solo possibile dare un significato agli
integrali altrimenti divergenti, ma permette di calcolare correttamente la
trasformata di Fourier del momento di dipolo. In effetti penso che si possa
trovare anche una scorciatoia in coordinate cilindriche, dove c'è il teorema
di ortogonalità per le funzioni di Bessel, nell'espressione dei potenziali
vettori.
Qui c'è un campo recente di studio, legato alle trasformate di Eulero, ed
alle forme modulari, che ha avuto una considerevole accelerazione in
rapporto alla teoria delle stringhe e di cui so molto poco, tranne che la
cima di questo iceberg è rappresentato proprio dalle relazioni fra le
identità di ortogonalità in armoniche sferiche e cilindriche, che possono
essere viste come identità combinatorie per gli sviluppi di certe funzioni
ellittiche, purtroppo le tavole con gli integrali di cui dispongo non sono
abbastanza aggiornate con queste identità combinatorie.
***************************************************************************************************
Rimanendo più sul pratico quello che trovo è che la trasformata di Fourier
bidimensionale del campo di dipolo, magnetico, bidimensionale (proiettato) è
ben definita in coordinate polari, integrando prima in theta e poi in r e
vale:
4pi m - 4 pi [(m.k)k]/|k|^2
a meno di errori. Qui m indica la trasformata della magnetizzazione
proiettata. La trasformata di Fourier, cioè, diagonalizza il problema. E
questa identità permette di stabilire abbastanza agevolmente il nesso fra i
diversi potenziali. In particolare:
i eps_ij k_j phi = 4pi m - 4pi [(m.k)k]/|k|^2 (#)
ovvero:
- ky phi = 4pi mx - 4pi [(m.k) kx ]/|k|^2
kx phi = 4pi my - 4pi [(m.k) ky]/|k|^2
con eps_ij si intende il tensore antisimmetrico in due dimensioni, che
verifica l'identità:
eps_ij eps_ik = delta_ jk
da cui:
k^2 phi = -i eps_im k_m [ 4pi m ]
identità forse vera (molto probabilmente derivata in modo sbagliato) ma in
effetti abbastanza inutile in quanto dice che il laplaciano di phi è uguale
al rotore della magnetizzazione bidimensionale (e siccome spesso è difficile
valutare correttamente queste grandezze differenziali ai bordi di dominio
non si impara quasi nulla su come è fatta la magnetizzazione).
In effetti dovrebbe essere null'altro che la versione proiettata della
identità:
rot(B) = 4 pi rot (M)
valida in assenza di correnti libere. Il problema è che se M è costante o
irrotazionale in vaste aree del dominio questo non significa che B sia
nullo, in quanto in B contribuisce anche H che è irrotazionale ma dipende da
M. Comunque questa è un'informazione che a tutto diritto possiamo desumere
circa la magnetizzazione localmente in spazio diretto. In particolare poichè
la proiezione di M può risultare non irrotazionale anche se M è costante
questa può essere un'informazione circa lo spessore di un layer con una
orientazione preferenziale di magnetizzazione.
Per il resto sarebbe gradevole ottenere una trasformazione integro
differenziale che restituisca M da B byepassando le trasformate di Fourier,
ed è un problema a cui medito, di tanto in tanto, per la versione
elettrostatica, ma da anni. Almeno dal novantadue. A quel tempo mi imbattevo
in una serie di difficoltà dovute al fatto, pensavo allora, che non sapevo
quasi nulla di distribuzioni e non avevo certezze sulle trasformate di
Fourier. Quasi tutte queste difficoltà le ritrovo anche ragionando sulla
formula 2.31 della dissertazione che ho linkato, ma adesso discerno che ci
sono difficoltà intrinseche indipendenti dal metodo delle distribuzioni.
Primo problema:
E' abbastanza facile vedere che la 2.31 è equivalente alla espressione (#)
con un poco di algebra. Ad ogni modo noi sappiamo che l'integrale del campo
magnetico trasverso proiettato entro un disco che include tutto il sistema è
multiplo della magnetizzazione, a prima vista uno si aspetterebbe che questa
sarebbe null'altro che la componente zero della trasformata di fourier del
campo che invece vale zero. Ma questa è zero legittimamente perchè
l'integrale in coordinate cartesiane è nullo. Trasformando il campo
moltiplicato per la funzione caratteristica del disco le cose sono più
complicate perchè abbiamo una convoluzione in spazio di Fourier e comunque
stavolta la componente zero della trasformata dovrebbe essere quella che ci
aspettiamo.
Ad ogni modo nella soluzione del problema inverso, di ricostruire M_p(x,y)
da phi(x,y), questo problema va tenuto presente.
Secondo problema:
a tal proposito uno può essere tentato di ricostruire m_x(k_x,k_y) ed
m_y(k_x,k_y) dal sistema lineare:
-ky phi = m_x - (mx kx + my ky )kx / (kx^2+ky^2)
kx phi = m_y - (mx kx + my ky)ky /(kx^2+ky^2)
Ma qui c'è un problema: il determinante di questo sistema è nullo. E non
potrebbe essere altrimenti perchè l'equazione è stata ottenuta da
un'equazione che era già in partenza niente altro che una versione in un
sistema d'assi ruotato del caso kx = k, ky=0 che fornisce informazioni su
grandezze proiettate lungo la direzione y.
La stessa equazione 2.31 non è di grande aiuto perchè:
phi (x,y) = A (M x k)/k^2
diventa subito:
k^2 phi(x,y) = A M x k
che ancora una volta non è altro che l'equazione:
rot(B) = K rot(M).


 il campo decresce a grado tre.
Ahhh allora il punto e' qua?
Siccome il dominio e' infinito solo su una dimensione (o, eventualmente, su
due), l'integrale del campo converge, siccome converge posso fare prima
l'integrale su un solo termine dello sviluppo e poi sommare tutti gli
integrali ottenuti. E siccome solo il primo termine dello sviluppo (quello
relativo al dipolo) da' contributo non nullo, tutti gli altri contributi
posso buttarli via tranquillamente, cioe', se anche eseguissi il calcolo
nella maniera "corretta" (cioe' prima calcolando il campo in un punto
sommando tutti i contributi di tutti i multipoli e poi integrando il campo
ottenuto) otterrei comunque lo stesso risultato che ho integrando solo il
contributo del momento di dipolo. E' cosi' ?


 seguito fisica due?
Con Stoppini a Pisa, anno 81-82.



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 Non c'e' nesso. E' un problema separato.
Non soltanto, direi, è impossibile a meno di conoscere i fattori di
demagnetizzazione. Detto in parole semplici e senza circonlocuzioni. Siccome
il potenziale vettore è dato dall'integrale di convoluzione fra il rotore di
M: rot(M) ed il propagatore di Coulomb: 1/r, risulta che il campo magnetico
è invariato aggiungendo il gradiente di una funzione scalare a capriccio.
Quindi per ogni configurazione del campo magnetico esistono infinite
configurazioni del campo di magnetizzazione. Questo non è molto evidente se
si guarda l'equazione B=4pi M + H a meno di ricordare che H è irrotazionale
in assenza di correnti e quindi è a sua volta un gradiente. Si dimostra,
sapendolo, anche a partire dall'espressione esplicita:
B = 4pi M + grad(\int (M(x').grad(1/|x-x'|d^3x').
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 ha scritto:
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Ad illustrazione del fatto che l'integrale non è ben definito ho fatto per
esteso il conto in coordinate cilindriche per il caso che hai suggerito qui
sopra e praticamente mi risulta che se integro ordinatamente prima in theta
poi in r ed infine in z la quantità:
M [ 2 (z-z')^2 - r ' ^2 ]/[(z-z')^2+ (r ')^2]^(5/2)
praticamente escludendo il piano z'=z dove c'è una divergenza ottengo guarda
caso il valore del campo magnetico in quel punto, è un caso, la cui
motivazione è nel fatto che il campo magnetico in un disco piatto di
spessore trascurabile e magnetizzazione uniforme è trascurabile quanto lo
spessore. Diversamente, se valutiamo l'integrale integrando ordinatamente in
theta, in zeta ed in r, otterremo una differenza dell'ammontare di 4piM(x).
Questo è infatti il campo magnetico in un filo di magnetizzazione uniforme
che stiamo escludendo dall'integrale.
Se il calcolo viene fatto in coordinate sferiche integrando ordinatamente in
angolo e poi in raggio, deve risultare una differenza di:
- 8/3 pi M(x)
In quanto la procedure di calcolo suddetta equivale a tutti gli effetti a
valutare il campo magnetico in un clindro cavo dal quale manca una sfera e
restringere poi la cavità fino ad un punto, ma il campo magnetico interno ad
una sfera di magnetizzazione uniforme è il solito 8/3 pi M(x).
Volendo generalizzare il primo metodo pensavo: "se considerando una
magnetizzazione M(x) che varia in modo liscio e semplice (ovvero senza
vortici, nodi, ma descrivendo invece un flusso cartesiano) introduciamo un
sistema di coordinate ortogonali che ammette le linee di flusso come linee
coordinate di una coordinata x_3, integriamo ordinatamante, dapprima sui
fogli x_3 costante quindi in x_3 dovremmo sempre eliminare la singolarità,
inoltre il campo magnetico compreso fra due strati paralleli ed ortogonali
alla magnetizzazione è..." zero mi sembra.
 
Ragioniamo: il campo H è discontinuo sulle superfici, la discontinuità è
regolata dall'equazione:
div(H) = - 4pi div(M).
in pratica però il campo H è l'analogo di quello generato in un doppio
strato di cariche opposte distribuite con una densità proporzionale al
flusso di M quindi è tale da cancellare esattamente il contributo di
magnetizzazione al campo magnetico perchè il flusso totale di M fra le due
superfici è nullo nel limite in cui lo spessore è nullo.
Questo perchè i monopoli magnetici approssimativamente esistono, come dice
Pauli, e generano un campo che è stato dimostrato sperimentalmente essere
coulombiano.
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 che stiamo escludendo dall'integrale.
Che problema impestato :-))) pensavo di non trovare altre bizzarrie ed
invece ...
Ho calcolato esplicitamente l'integrale del campo seguendo la strategia di
integrare prima in theta', poi in zeta', ed infine in r '. Prima per il
cilindro completo, poi per il cilindro cavo. Riporto adesso i risultati per
il cilindro cavo:
2 pi M {segno(z+L/2) [( 1/sqrt(1+ (R/(z+L/2)^2)) - ( 1/sqrt(1+
(r/(z+L/2)^2))] +
- segno(z-L/2)[( 1/sqrt(1+ (R/(z-L/2)^2)) - ( 1/sqrt(1+ (r/(z-L/2)^2))]}
 
R è il raggio esterno ed r il raggio interno. Nonostante le funzioni segno,
la funzione è continua in r = 0 dove si può scrivere quindi il valore per il
campo H all'interno del cilindro. Come mi aspettavo dalle considerazioni a
priori ottengo correttamente il campo H. Nel caso precedentemente
considerato invece si ottiene il valore errato del campo H, che però, come
già notavamo, è il valore corretto del campo B.
Prima di trovare quelle funzioni segno, che derivano dal cambiamento di
variabile, trovavo erroneamente:
2 pi M {[( 1/sqrt(1+ (R/(z+L/2)^2)) - ( 1/sqrt(1+ (r/(z+L/2)^2))] +
- [( 1/sqrt(1+ (R/(z-L/2)^2)) - ( 1/sqrt(1+ (r/(z-L/2)^2))]}
Ovvero esattamente come nel caso in cui integro prima in theta', poi in r '
ed infine in zeta', un giallo ...
Ma il passaggio sbagliato era il seguente:
(r ' + (z+L/2)^2)^(3/2) = (z+L/2) ((r '/(z+L/2)) ^2 + 1)^(3/2)
quindi, come pensavo, l'ordine di integrazione cambia il risultato :-)
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