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Titolo: Contrazione sugli indici di un tensore

  Ammirati Colleghi
Nonostante abbia rovistato in
numerosi volumi mi rimane per
molti versi oscura la nozione
dell'operazione di saturazione
su un gruppo di indici di un
tensore. In particolare non ne
comprendo il significato geometrico,
tanto meno quello fisico, ne' riesco
a pensare a quali, se possibile,
casi elementari possa ricondursi.
Please, potete indicarmi qualche
fonte per procedere nello studio
della faccenda ?
Fa seguito quanto attualmente
gia' so (credo si sapere ...).
Buon lavoro !!
Imago Mortis
---------------------------------
Indichiamo con
T^(p)_(q) l'insieme dei tensori
p-controvarianti e q-covarianti
sullo spazio vettoriale V_n.
Sia h un intero tale che
1 <= h < min{p,q}
Si scelgano h numeri interi
soddisfacenti la relazione
1 <= i_1 < ... < i_h < min{p,q}
Introduciamo una funzione
c[i_1 ... i_h]
(nota bene: la precedente
notazione NON indica l'applicazione
della funzione c agli argomenti
(i_1 ... i_h);
c[i_1 ... i_h] e' per intero
il simbolo di una mappa)
c[i_1 ... i_h] : T in T^(p)_(q) --> t in T^(p-h)_(q-h)
mediante questa procedura:
(1) si fissi ad arbitrio una base
B = (e_i) in V_n
(2) sia B* = (w^i) la sua duale
nello spazio V*_n dei covettori su V_n
(3) siano
u_1 ... u_(q-h) vettori in V_n
v_1 ... v_(p-h) covettori in V*_n
e si voglia calcolare
c[i_1 ... i_h](u_1 ... u_(q-h) , v_1 ... v_(p-h) )
(4) nella sequenza dei "posti a sedere"
_ ... _ , _ ... _
1     q   1     p
quelli i_1 ... i_h per i vettori
vengono occupati da e_1
quelli i_1 ... i_h per i covettori
vengono occupati da w_1
i rimanenti da
u_1 ... u_(q-h)
v_1 ... v_(p-h)
(5) si calcola il valore di T
sulla sequenza di argomenti preparata
al punto precedente.
(6) Si ripete quanto fatto con e_1 per ogni
altro membro della base B
(7) Si sommano i risultati e quanto ottenuto
e' il valore di t in
(u_1 ... u_(q-h) , v_1 ... v_(p-h) )
(8) la funzione
c[i_1 ... i_h] e' lineare e non dipende dalla
scelta della base B

   Ammirati Colleghi
...
Ciao, non ho ben capito cosa non hai capito.
Sulle mie dispense
Multi-Linear Algebra, Tensors and Spinors  in Mathematical Physics
alla pagina web
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
dedico un po' di spazio sulla definizione di contrazione tra tensori
partendo da quello che si chiama *teorema di universalità*
(teorema 2.9) attraverso il quale definisco, tra tante altre cose,
la nozione di contrazione  tra tensori a p. 36.
Spiegare qui tutte quelle cose è un po' complicato, tanto vale
tenerti
l'idea operativa che conosci, ma che forse è oscura.
Ciao, Valter

   Ammirati colleghi
---[ 1 ]---
In effetti, le menzionate dispense, che piu'
di una volta mi hanno chiarito le idee, sono
state tra le mie prime consultazioni. Ma in
questo caso non sono stato capace di soffiarne
nelle vele i venti che ingegni piu' alti del mio
avrebbero suscitato.
---[ 2 ]---
Tento di manifestare il mio pensiero con un
esempio: se mostrassi ad uno studente del
primo anno come si effettua il prodotto righe
per colonne e lui mi chiedesse perche' ci
affanniamo a perpetrare quel singolare
procedimento, potrei rispondergli che le
matrici rappresentano funzioni lineari tra
spazi di dimensione finita e che la pratica
di comporne gli elementi in quella maniera
corrisponde esattamente alla esecuzione di
due di tali trasformazioni in sequenza.
NOTA: in quanto segue le righe che iniziano con
un asterisco * sono dimostrazioni (giuste ??) di
quanto affermato e possono essere omesse in
una prima lettura
---[ 3a ]---
Il famigerato prodotto triplo di tre vettori di R^2
e' una funzione multilineare
* myPseudoT[x_,y_,z_]:=Dot[Cross[x,y],z]//ExpandAll
* x={x1,x2,x3};
* y={y1,y2,y3};
* w={w1,w2,w3};
* z={z1,z2,z3};
* myPseudoT[x,y,z]
* myPseudoT[ x+w,y,z]==myPseudoT[x,y,z]+myPseudoT[w,y,z]
* myPseudoT[x,y+w,z]==myPseudoT[x,y,z]+myPseudoT[x,w,z]
* myPseudoT[x,y,z+w]==myPseudoT[x,y,z]+myPseudoT[x,y,w]
* myPseudoT[5 x,y,z]==(5myPseudoT[x,y,z])//ExpandAll
---[ 3b ]---
La definizione sopra data in termini di prodotto scalare e
vettoriale puo' essere equivalentemente espressa in termini
di componenti dell'indicatore di Levi-Civita
(dovrebbe, insomma, essere uno pseudotensore, se non
lo e', abbiate pazienza, e' che c'ho ancora il Pentium
prima maniera, con il bug)
* sig[i_, j_, k_] := Module[{tmp},
*   If[
*    i == j || j == k || i == k,
*    0,
*    If[
*     {i, j, k} == {1, 2, 3} || {i, j, k} == {2, 3, 1} || {i, j,
*        k} == {3, 1, 2},
*     1,
*     -1
*     ]
*    ]
*   ]
* myNewPseudoT[x_, y_, z_] := Module[{tmp},
*   tmp = Table[
*      sig[i, j, k] x[[i]] y[[j]] z[[k]], {i, 1, 3}, {j, 1, 3}, {k, 1,
*       3}] // Flatten;
*   Apply[Plus, tmp]
*   ]
* myNewPseudoT[x, y, z]
* myPseudoT[x, y, z]
* myNewPseudoT[x, y, z] == myPseudoT[x, y, z]
---[ 3c ]---
A questo punto avrei voluto operare la contrazione su due dei
suoi indici e verificare se in questa maniera si passasse dalla
forma di volume (del parallelepipedo costruito sui tre vettori)
ad una misura di una delle sue facce.
---[ 3d ]---
Ma mi aggranchia un dubbio atroce: il myPseudoT e'
  1 volta controvariante
  2 volte covariante
oppure
  0 volta controvariante
  3 volte covariante
come temo, ?
---[ 3d ]---
Se sussistesse questa seconda ipotesi, la possibilita'
di condurre oltre l'esempio andrebbe perduta.
---[ 3e ]---
Che stanchezza ... buonanotte.
Imago Mortis

 Imago Mortis
Ciao, non ho capito quasi niente di quello che hai scritto. In ogni
caso mi pare che il problema NON sia il significato della contrazione,
ma l'uso dello pseudotensore di Ricci per definire il prodotto triplo.
Bisogna stare attenti in quel caso perché si usa esplicitamente il
fatto che la dimensione dello spazio è 3 ed inoltre che si lavora in
basi ortonormali positive...E' lungo da spiegare, ma bisogna separare
tutte queste cose e capirle separatamente. Ora non ho prprio tempo.
Ciao, Valter

 casi elementari possa ricondursi.
Bella domanda, me la sono posta spesso anch'io.
Dubito che sia possibile formulare una risposta generale soddisfacente
o perlomeno che sia possibile farlo senza una revisione profonda del
significato algebrico-geometrico-fisico dell'intero calcolo tensoriale.
Sull'interpretazione di casi particolari (elementari o meno) sono piu'
possibilista: mi associo comunque alla tua domanda in attesa di una
illuminazione che mi conduca al nirvana.
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

 di condurre oltre l'esempio andrebbe perduta.
Ahime', il tuo oggetto e' tre volte covariante.
In uno spazio vettoriale metrico ad n dimensioni il volume e' espresso
da uno pseudotensore n-covariante totalmente antisimmetrico.
Se poi a qualcuno saltasse in mente di alzarne dapprima un indice (con
il tensore metrico) per eseguire poi la contrazione, per quanto riguarda
i problemi semantici che ci angustiano si cadrebbe dalla padella nella
brace.
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