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Titolo: Algebre di Lie del gruppo di Lorentz e di SU(2)

Recuperando i messaggi di quest'estate (periodo nel quale non ho potuto
seguire il newsgroup) ho letto un interessante thread tra Elio Fabri e
Gianmarco Bramanti sulle rappresentazioni dei gruppi di Lie. 
Nella discussione veniva sollevato, tra gli altri, il problema di come
l'algebra di Lie del gruppo di Lorentz si possa mettere in
corrispondenza con quella di SU(2), e mi sembra che questo discorso sia
rimasto in sospeso. Siccome recentemente ho avuto modo di studiare un
po' queste cose forse posso chiarire la questione.
Premessa: sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sui reali.
L'insieme C dei numeri complessi è a sua volta, banalmente, uno spazio
lineare sui reali di dimensione 2. Possiamo allora formare il prodotto
tensoriale C * V (qui e nel seguito indico con * il simbolo di prodotto
tensoriale, cioè il per nel circoletto), che sarà uno spazio lineare di
dimensione 2n sui reali. Possiamo poi definire un prodotto tra numeri
complessi e elementi di C * V ponendo
w (z * v) = (wz) * v
per ogni w,z in C e v in V. Quindi C * V si può vedere anche come uno
spazio lineare i cui elementi sono gli stessi di V, ma in cui ha senso
prendere combinazioni lineari a coefficienti complessi. Questo spazio si
dice la complessificazione di V e ha dimensione *complessa* n (pari alla
dimensione reale dello spazio di partenza V).
Stabilito ciò, veniamo al gruppo di Lorentz proprio ortocrono, che
chiamo SO(1,3). La sua algebra di Lie so(1,3) si ricava con metodi
standard e consiste nello spazio lineare reale delle matrici 4x4
"antisimmetriche" (nel senso della metrica Minkowskiana); essa ha
dimensione (reale) 6. Una sua base molto usata è quella formata dai tre
generatori delle rotazioni attorno agli assi spaziali R_k e dai tre
generatori dei boost lungo le medesime direzioni B_k (k=1,2,3).
Mettiamoci ora nella complessificazione di tale algebra, C * so(1,3).
Qui hanno senso, come detto, le comb. lin. a coefficienti complessi,
quindi possiamo definire una nuova base data dalle matrici
T_k = 1/2 (R_k + i B_k)
T'_k = 1/2 (R_k - i B_k)
Si constata che i T e i T' soddisfano separatamente delle regole di
commutazione del tipo 
[T_i,T_j] = epsilon_ijk T_k
che sono proprio quelle che definiscono l'algebra di Lie su(2). Inoltre
ciascun T commuta con ciascun T'; questo mostra che l'algebra C *
so(1,3) è isomorfa alla somma diretta di due copie di su(2), o meglio
alla loro complessificazione dato che anche su(2) è, per nascita,
un'algebra di Lie reale (infatti è data dalle matrici 2x2 complesse
anti-hermitiane a traccia nulla; ci si rende conto facilmente che questo
spazio è chiuso per combinazioni lineari reali, ma non per comb. lin.
complesse).
Dunque l'isomorfismo sussiste tra C * so(1,3) e la somma diretta
C * su(2) + C * su(2). In genere però le complessificazioni vengono
sottintese; questo modo di procedere non è ambiguo, perchè si dimostra
che se D è una rappresentazione complessa di un'algebra di Lie reale V,
esiste un'unica rappresentazione complessa D' di C * V che coincide con
D sugli elementi reali di C * V; questa rapp. si dice l'estensione
olomorfa di D. (Per chi si chiedesse com'è definita, nella maniera
ovvia: D'(X + iY) = D(X) + i D(Y).)
Per finire, un punto che non mi è del tutto chiaro: abbiamo detto che
su(2) è l'algebra delle matrici 2x2 anti-hermitiane e a traccia nulla.
Se la complessifichiamo, il requisito di anti-hermitianità cade e
rimaniamo con l'algebra di Lie delle matrici 2x2 a traccia nulla; quindi
C * su(2) = sl(2,C). Ne segue che C * so(1,3) è isomorfa a due copie di
sl(2,C). Quello che non ho ancora capito è se questo c'entri qualcosa
con il fatto che SL(2,C) (stavolta il gruppo, non l'algebra) è il
ricoprimento universale di SO(1,3)...
-- 
ws

 ricoprimento universale di SO(1,3)...
Rimarchevole. E' sicuramente indice di un fatto piu' generale. 
Cioe' ti chiedi se questo e' un caso o una circostanza generale. 
Cosa ne dici? 
Provo a studiare un poco di situazioni per vedere se la nebbia si 
dirada: torno ad SO(2) la complessificazione dell'algebra di SO(2) e' 
l'insieme delle matrici complesse antisimmetriche due per due. Se 
considero solo la sezione reale dell'algebra ritrovo SO(2) come 
sottogruppo dell'inviluppo dell'algebra complessificata e poi trovo un 
gruppo strano che somiglia ad SO(1,1) ma ha una forma differente. Questi
sono sottogruppi del gruppo generato sostituendo all'argomento
della parametrizzazione trigonometrica di SO(2) un numero
complesso. Ora Cos(ia) = cosh(a) e Sen(ia) = - i senh(a). 
In questo caso l'esponenziale si scrive in forma chiusa facendo
ricorso alle funzioni trigonometriche complesse. E mi sembra che
non abbiamo guadagnato particolari vantaggi ma perche' la 
dimensione di questo gruppo e' uno. 
Se invece consideriamo SO(3)
troviamo che l'algebra di SO(3) e' isomorfa all'algebra di SU(2)
la complessificazione di SU(2) e' come hai notato prima l'algebra
di SL(2,C) che pero' non e' rivestimento universale di SO(3). 
Quello di cui sono certo e' che la complessificazione dell'algebra
indebolisce la possibilita' di ottenere un gruppo compatto. 
Rimarchevole oltremodo che la complessificazione dell'algebra 
del momento angolare sia isomorfa all'algebra del ricoprimento
universale del gruppo di Lorentz. 
Allora facciamo un passo avanti. Se partiamo da O(3) abbiamo
anche la parita'. 
Se considero la classe laterale I*SO(3)  dove I e' l'inversione
spaziale trovo un isomorfismo fra O(3) ed SO(3)xZ2. Se faccio la 
complessificazione dell'algebra di SO(3) ho trovato un modo per
costruire SL(2,C) x Z2 da O(3), ora c'e' da fare una contorsione: 
SL(2,C) = (SL(2,C)/Z2)xZ2 dove dentro parentesi c'e' un oggetto
che e' isomorfo con la componente ortocrona speciale del gruppo
di Lorent. Questo permette di osservare che la complessificazione
di SO(3)xZ2 riveste il gruppo di Lorentz intero che e' fatto
di quattro componenti. Rimango con un dubbio: se avessi 
complessificato O(3) avrei ottenuto lo stesso risultato? 
Pero' mi chiedo: e' vero che complessificare il gruppo delle
matrici anti-hermitiane a traccia nulla equivale a considerare
il gruppo delle matrici complesse a traccia nulla? Fondamentalmente
questo significa solo che se ho una matrice complessa a traccia nulla
A posso esprimerla come combinazione complessa di matrici antihermitiane
a traccia nulla. Ed in effetti:
(A-A^h)/2 - i[ i(A+A^h)]/2 = A
Sara' vero che, ad esempio: la complessificazione di SO(n)xZ2 
conduce al gruppo O(n,1)? Ho idea che non funzionerebbe il 
conteggio dimensionale. Ed allora a che gruppo conduce per esempio
la complessificazione di SO(n)? Quel che so e' che SO(n) ha un
ricoprimento universale dato dall'algebra di spin. Spin(n), che nel
caso di SO(3) corrisponde ad SU(2), e' data dall'algebra di Clifford:
poniamo le regole di anticommutazione: (e_i,e_j) = 
= -2*delta_ij Poniamo poi L_ij = 1/2 e_i * e_j. 
    In virtù delle regole di anticommutazione risulta che L_ij 
è l'algebra delle rotazioni. Tuttavia le regole di anticommutazione
permettono di calcolare esplicitamente il valore di exp(t^ij L_ij)
quello che otteniamo è un gruppo connesso ed esponenziale per costruzio-
ne. Si dimostra anche che questo gruppo è semplicemente connesso ed è 
dunque il rivestimento universale di SO(n): siccome il quadrato di 
L_ij vale -1/4 ottieni exp(t(l_ij))= cos(t/2)+ 2*L_ij*sen(t/2). Questo è
un doppio rivestimento di SO(n). In generale non e' vero che si
possa costruire una rappresentazione concreta delle L_ij
in termini di matrici complesse antihermitiane di dimensione 
(n-1). Dunque in generale non otterremo SL(n-1,C) ed in generale
non sara' nemmen vero che questo e' un rivestimento universale
per un gruppo SO^(n,1). Quindi abbiamo che di fatto il nesso
fra tre dimensioni spaziali e il gruppo nelle sei dimensioni
dinamiche fornito dalla complessificazione e che porta
al gruppo di Lorentz e' speciale. Pero' non saprei fornire ulteriore
spessore a questa concatenazione di ragionamenti alchemici. 
Conosco dei risultati noti: in sei dimensioni spaziali la 
complessificazione porterebbe ad O(5,1). La complessificazione
di SO(4) conduce al rivestimento del gruppo di Lorentz 
complessificato. Almeno questi mi sembrano dei risultati
plausibili, occorrerebbe controllare atlanti alla mano. 
La circostanza che O(4) sia il gruppo di simmetria dinamica 
associato con il problema di Keplero mi sembra almeno a questo
livello un fatto del tutto casuale, qualcuno potrebbe pero'
leggervi il segno di una connessione piu' profonda fra 
le dimensioni spaziali ed il gruppo di lorentz e l'elettromagnetismo. 
La circostanza che SU(3) non e' emerso a questo livello e che tuttavia 
abbia un ruolo nella fisica della linearita' ancora mi sembra degno di
nota, ma nulla piu' che una considerazione alchemica a questo livello
di comprensione. 
           Todo passa, nada passa (non proprio gattopardesco).  
-- 
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Winston Smith ha scritto:
 > ...
 > Per finire, un punto che non mi č del tutto chiaro: abbiamo detto che
 > su(2) č l'algebra delle matrici 2x2 anti-hermitiane e a traccia nulla.
 > Se la complessifichiamo, il requisito di anti-hermitianitŕ cade e
 > rimaniamo con l'algebra di Lie delle matrici 2x2 a traccia nulla;
 > quindi C * su(2) = sl(2,C). Ne segue che C * so(1,3) č isomorfa a due
 > copie di sl(2,C). Quello che non ho ancora capito č se questo c'entri
 > qualcosa con il fatto che SL(2,C) (stavolta il gruppo, non l'algebra)
 > č il ricoprimento universale di SO(1,3)...
La parte che ho tagliato e' molto chiara e ti ringrazio.
Tetis ha scritto:
 > Grazie per l'attenzione anzitutto. Penso che la risposta la
 > dara' Fabri che ha studiato questi argomenti con molta piu'
 > attenzione ed ha molta piu' esperienza.
Uhm... Mi sa che sei ottimista...
E' passato molto tempo da quando potevo dire di sapere queste cose.
 > Esatto, convergiamo. Non saprei come definire in generale la
 > complessificazione di un gruppo, ma per esempio Haag la definisce come
 > l'algebra delle matrici complesse, in luogo che reali, che verificano
 > la condizione di isometria. Per esempio posso considerare la
 > complessificazione di O(2) pero' non saprei come intendere la
 > complessificazione di gruppi con condizioni ausiliarie che non siano
 > di tipo algebrico. Sta di fatto che mi sembra che la
 > complessificazione dell'algebra di un gruppo sia proprio l'algebra del
 > gruppo complessificato quando questo puo' essere definito.
Che ne diresti di prendere una parametrizzazioen del gruppo (con
coordinate reali) e farne un "prolungamento analitico", sostituendo le
coord. reali con coord. complesse?
Voglio dire: se x sono le coord. reali, definite in una insieme X, la
tabella di moltiplicazione si esprimera' come una funzione XxX --> X:
f(x,x') sono le coord. del prodotto dell'elemento di coord. x per
quello di coord. x'.
Ora sostituisco x con z (complesse) e la f(x,x') col suo prolungamento
analitico f(z,z').
 > ...
 > Provo a studiare un poco di situazioni per vedere se la nebbia si
 > dirada: torno ad SO(2) la complessificazione dell'algebra di SO(2) e'
 > l'insieme delle matrici complesse antisimmetriche due per due. Se
 > considero solo la sezione reale dell'algebra ritrovo SO(2) come
 > sottogruppo dell'inviluppo dell'algebra complessificata e poi trovo un
 > gruppo strano che somiglia ad SO(1,1) ma ha una forma differente.
 > Questi sono sottogruppi del gruppo generato sostituendo all'argomento
 > della parametrizzazione trigonometrica di SO(2) un numero complesso.
 > Ora Cos(ia) = cosh(a) e Sen(ia) = - i senh(a).
 > In questo caso l'esponenziale si scrive in forma chiusa facendo
 > ricorso alle funzioni trigonometriche complesse. E mi sembra che non
 > abbiamo guadagnato particolari vantaggi ma perche' la dimensione di
 > questo gruppo e' uno.
Col metodo proposto sopra, SO(2) (ovvero U(1)) si parametrizza con x
(mod 2pi) e la legge di composizione e' la somma: f(x,x') = x + x' (mod
2pi).
Ora consideriamo il gruppo definito da f(z,z') = z+z' (mod 2pi).
Posto z = x+iy, z' = x'+iy', abbiamo
f((x,y),(x',y')) = (x+x' mod 2pi, y+y').
Dunque il gruppo complessificato e' il prodotto diretto di SO(2) per
SO(1,1) (o qualunque altro travestimento di SO(1,1): per es. R^+).
Perche' dici "gruppo strano che somiglia a SO(1,1) ma ha una forma
differente"?
 > ...
Piu' oltre mi sono perso.
(Tetis, ho capito chi sei: "agnosco stilum", come disse fra' Paolo
Sarpi :-) )
 > Todo passa, nada passa (non proprio gattopardesco).
Mi sa che si dice "pasa", con una sola "s".
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 SO(1,1) (o qualunque altro travestimento di SO(1,1): per es. R^+).
Due richieste di precisazioni: con SO(1,1) intendi la componente propria
e ortocrona? E con R^+ intendi il gruppo dei reali additivi?
Comunque ti sei fermato sul più bello! :-)
Gianmarco (o Tetis) aveva proposto una congettura interessante:
l'algebra di Lie del gruppo complessificato coincide con la
complessificazione dell'algebra di Lie del gruppo di partenza. 
Se non ho capito male, il discorso su SO(2) è venuto fuori per cercare
un controesempio, che però mi pare non sia tale... o sbaglio?
-- 
ws

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

 differente"?
Confermo che quello che sortisce dall'estensione della parametrizzazione
trigonometrica di SO(2) non e' SO(1,1) inteso come sottogruppo di
SL(2,R). E' un sottogruppo isomorfo ad SO(1,1) di matrici complesse
con determinante uno che conservano la metrica pseudo euclidea.
Infine ho ristudiato la questione posta "colposamente" da Smith sulla 
base dell'impostazione che proponevo ieri.
Mi sembra di essere arrivato alla conclusione che non e' generalmente
vero che l'estensione complessa di un'algebra di Lie si possa esprimere
come somma diretta di due algebre identiche che commutano. Mi sembra
di essere arrivato alla conclusione che C*so(3) come C*su(2) che sono
algebre isomorfe una all'altra non possono essere riarrangiate in
algebre che commutano. Questo appare controintuitivo perche' entrambe
sono isomorfe all'algebra reale sl(2,C) che ammette un riarrangiamento
complesso come somma diretta di su(2) con su(2). Pero' il punto e'
che l'algebra sl(2,C) isomorfa all'algebra C*so(3) e' chiusa per
combinazioni reali che sono immagine delle combinazioni complesse di
C*so(3). E' la complessificazione dell'algebra reale sl(2,C) che 
contiene su(2)+su(2) come sottoalgebra reale. Mentre questa algebra
non e' contenuta in C*su(2). Studiando questo gruppo: C*su(2) 
ho notato che emerge un riarrangiamento che "massimizza la 
diagonalita'" ovvero la componenti che commutano dell'algebra:
una e' data da S3 ed i S3, l'altra parte e' data da 
S1+iS2,S1-iS2,iS1-S2,iS1+S2. Mi chiedevo se questa struttura
ha una qualche rilevanza nella riparametrizzazione del gruppo
di Lorentz. 
Ultima osservazione sulla domanda posta di Winston Smith: mi 
sembra corretta l'osservazione che con SO(1,1) si intenda in 
questo contesto la sola componente del gruppo che e' connessa
con l'identita' e quindi il gruppo ortocrono. Mentre mi sembra
che con R^+ si possa intendere tanto il gruppo moltiplicativo dei
reali positivi, quanto il gruppo additivo dei reali. Questi gruppi
sono isomorfi. 
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