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Titolo: aiutino per verifica esercizio(dinamica)?

Salve,
         l'esercizio dice:
Due sfere di uguale  densità, aventi raggio r(1) ed r(2) = r(1)/2 cadono 
verticalmente in aria a velocità costante incontrando una resistenza 
proporzionale alla sezione trasversale delle sfere ed al quadrato delle 
velocità. Si determini il rapporto tra le due velocità di caduta.
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indicando con m(n) la massa della sfera n, io imposto in questo modo:
equazione del moto
mg = bv^2   --> v = radq((mg)/b)
sapendo che d = densità
m = densità * volume = d * 4/3 * pi * r^3
m(1)/m(2) =  [ r(1) / (r(1)/2) ]^2 = 2^2 = 4
dall'equazione del moto per le due sfere
v(1)/v(2) = radq[(m(1)g)/b]  / radq[(m(2)g)/b)] = radq[m(1)/m(2)] = radq(4) 
= 2
Quindi a me viene v(1)/v(2) = 2
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Il libro utilizza un procedimento lievemente diverso ma simile che utilizza 
anche la proporzionalità tra resistenza e sezione trasversale (anche se io 
non vedo quale ne sia la necessità). Il risultato che riporta è radq(2), 
quindi diverso da quello che viene a me(radq(4)).
Eppure svolgendo personalmente i calcoli seguendo il procedimento del libro 
il risultato mi veiene sempre radq(4)
Qualcuno può aiutarmi a verificare qual'è il risultato corretto?
Grazie
Riccardo
 

Premetto che c'è una cosa che non mi torna:
come fanno ha scendere a velocità costante?
Dovrebbe essere un moto accellerato, non in modo uniforme per via della
ressitenza viscosa dell'aria.
Comunque, l'equazione di moto dovrebbe essere questa:
m * z'' + b * (z')^2 = mg
con   z = coordinata asse verticale        e           b = a * (pi *
r^2)
(a = coefficiente di proporzionalità)
Considerando però il Princ di Cons dell'Energia, puoi scrivere questo:
E iniz = E fin
con   E iniz = (d * pi * r^2) * gh
         E fin = [(d * pi * r^2) * v^2] /2 + b * v^2
Diciamo che in questo modo non aplici il vero e proprio princ di cons
dell'energia, ma quel famoso detto " l'energia non si conserva e non si
distrugge ".
Se lo fai per tutte e due le sfere, troverai che il rapporto è quello
che avevi trovato te:
v1 / v2 = 2
Penso che il risultato del libro sia errato.

 ressitenza viscosa dell'aria.
Forse il libro intende dire che le due sfere si muovono alla velocità
limite, cioè hanno già passato il "transitorio" durante il quale
accelerano e, proprio per via dell'attrito dell'aria, hanno raggiunto
due velocità v1 e v2 finali che, ovviamente, dipendono dai raggi delle
sfere.
Saluti
Moonself

 mg = bv^2   --> v = radq((mg)/b)
Ti sei dimenticato di mettere la dipendenza dalla sezione trasversale:
mg = b r^2 v^2
Se ne tieni conto trovi:
v(1)/v(2) = (r(2)/r(1))*(m(1)/m(2))^(1/2)  = (r(1)/r(2))^(1/2)
Non capisco perche' non volevi usare la dipendenza da r^2  data dal testo.
Giorgio

 Considerando però il Princ di Cons dell'Energia, puoi scrivere questo:
Ma come fai a usare la cons dell'energia meccanica in presenza di forze 
di attrito ? (a parte il fatto che le formule che scrivi non ho idea da 
dove le tiri fuori, cosa sarebbe  (d * pi * r2) ? La massa ?  in 3D ? !!!
Giorgio

Scusate per la massa.
L'unica cosa che non va mi sembra sia che quando ho calcolato l'E iniz
e l'E fin non ho messo la massa m = d * 4/3 * pi * r^3 ma un'altra cosa
che non so nemmeno io cosa è.
Comunque, correggi questo errorre e prova a ricalcolare ma mi sembra
che il risultato non cambi.
pi = pi greco

Io intendevo il princ di cons dell'en ed infatti dopo ho precisato il
famoso detto dell'en non si crea e non si distrugge.
Poi la dipendenza dalla sezione trasv l'ho messa ponendo
b = a * (pi greco * r^2)
con a = coeff di proporzionalità
Un errore c'è: quando ho scritto E iniz e E fin, al posto di (pi *
r^2) va messo ovviamente il volume [ (4 pi * r^3) / 3 ].
Scusate per la dimenticanza.

 Non capisco perche' non volevi usare la dipendenza da r^2  data dal testo.
Ah ecco...ora viene radq(2) come nel testo.
non è che non volevo utilizzarla. Diciamo che avevo inteso male. Pensavo che 
le condizioni di propozionalità fossero da considerarsi distinte
mg = b*v^2
mg = k*pi*r^2
e che ne bastasse una per esprimere il rapporto v(1)/v(2)
Mi sono confuso per una serie di sostituzioni un po' frettolose e  per 
l'omissione di un esponente nella soluzione che dava il testo.
Il testo considera l'equazione del moto mg = b*v^2 che è quella di una 
resistenza passiva proprzionale a v^2.
Dopodichè considera  k * pi * r^2    come coefficiente di proporzionalità da 
sostituire nella suddetta equazione del moto...Ottenendo quella che hai 
indicato tu.
Però sul libro è davvero espresso male ;-/
Beh, grazie tante per l'aiuto molto utile!
Riccardo

con a = coeff di proporzionalità
Per cortesia, visto che non stai scrivendo un sms, potresti scrivere
in italiano?
Rob

 famoso detto dell'en non si crea e non si distrugge.
Se ti riferisci all' energia meccanica (e se riesco ad interpretare le 
tue formule, li' non c'e' altro), insisto: NON si conserva. Il motivo 
e'che una forza che dipende dalla velocita' in quel modo non puo' 
derivare da un potenziale (il lavoro su un qualsiasi percorso chiuso non 
e' nullo).
Per verificare la conservazione dell' energia con sistemi del genere 
dovresti includere anche l' energia che vien trasferita al mezzo 
(riscaldamento).
Giorgio