Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: risoluzione equazioni di maxwell

Dubbio amletico:
(indico con |r il raggio *vettore*)
nelle equazioni di maxwell si tiene in conto del fenomento che le 
interazioni a distanza non sono instantanee?
Intendo: immaginiamo di essere nel vuoto "assoluto" e che a partire 
dall'istante t=0 una singola carica elettrica positiva "compaia" o 
("venga portata istantaneamente dall'infinito") al centro del sistema di 
riferimento.
Tipo immaginando la funzione densità di carica pho(|r, t) = 
step(t)*delta(|r).
Ecco, per le eq. di Maxwell, qual e' il campo elettricomagnetico 
prodotto da questa sorgente, per esempio per t=1 secondo alla distanza 
di 6*10^8 metri?
La verità è che queste diavolo di equazioni di Maxwell sono tanto belle 
quanto, al momento per me, inutili. non riesco a risolverle nemmeno in 
un caso banale come questo...
Arrivo dove la trattazione classica introduce i potenziali vettore e 
scalare ma poi... come calcolare il valore di talei potenziali?
Cioè come risolvere queste equazioni delle onde (per di più una anche 
inomogenea)?
Ho letto di cose come potenziali ritardati ma non so se è la via giusta.
Saluti

 Ho letto di cose come potenziali ritardati ma non so se è la via giusta.
Be', quella e' la soluzione formale el problema. Trasformarla in una 
soluzione reale e' un altro paio di maniche, e non credo sia sempre il 
modo piu' efficace. Normalmente o fai approssimazioni, magari pesanti, o 
rricorri al calcolo numerico.

 caso banale come questo...
Beh, se parti gia' da un caso impossibile allora... ;-)
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

Allora, penso di aver fatto alcuni passi in avanti:
1) innanzitutto credi di aver capito che per risolvere le EdM "basta" 
solamente calcolarsi il valore del potenziale vettore (quello che usualmente 
chiamano |A), poiché sia |E sia |H possono essere espressi in funzione di 
|A.
2) la cosa che non mi torna è che io, all'inizio del mio studio, ho sempre 
considerato come "sorgenti" del campo EM sia la densità di carica (rho) sia 
la densità di corrente (|j). Come mai invece nell'espressione del potenziale 
vettore è presente solo la |j ?
Forse che cariche ferme implicano campi nulli? Non mi pare visto che, nel 
caso elettrostatico, una carica è fonte di campo elettrostatico.
3) Ho visto che |A effettivamente ha una dipendenza da k (in frequenza) tale 
da renderlo non instantaneo. Quindi penso di non rispondermi male dicendo 
che effettivamente le EdM "contengono in loro stesse" la non-instantaneità 
dell'interazione.
4) Tuttavia, quanto ho espresso in 3) sembra cadermi in contraddizione, ad 
esempio, con l'espressione della forza di Lorentz, dove F(|r,t) è dipendente 
da E(|r,t), v(|r,t) e B(|r,t) (causa ed effetto simultanei).
Come si ricava l'espressione di tale forza a partire dalle EdM?
5) Ancora, dove posso trovare una descrizione del campo EM irradiato da 
un'antenna a dipolo (o dipolo hertziano o dipolo oscillante) nel dominio del 
tempo? Lo chiedo perché nelle espressioni che i miei libri ricavano ci si 
ferma alle espressioni dei campi nel dominio della frequenza e non capisco 
come farne le anti-trasformate di Fourier (complice anche il fatto che mi 
compare una dipendenza da w^2 che non so antitrasfomare.
Comunque grazie, qualsiasi chiarimento che mi darete mi sarà molto d'aiuto.
Sam 

 Ho letto di cose come potenziali ritardati ma non so se la via giusta.
E = -nabla fi - @A/@t
B = rot A
dove:
fi = (1/4(pi) eps_0) Integrale rho(t-r/c)/r dr
A = m_0/4(pi) Integrale j(t-r/c)/r dr
dove r e' il vettore che va dal punto sorgente al punto campo.
--
BlueRay

 Come si ricava l'espressione di tale forza a partire dalle EdM?
In elettrodinamica classica non si ricava: sono equazioni indipendenti. 
Per poterle dedurre dalle EdM ci vuole la Relativita'.

 velocita' con cui si propagano le variazioni del campo e.m..
Ok, ora la cosa è più chiara.
Ma allora scusami un'altra domanda la *legge di coulomb* è "sbagliata" nella 
teoria di Maxwell?
Oppure, siccome vale solo in statica, non ci sono probelmi?
Io penso, ma vorrei una conferma, che siccome tale legge *vale solo in 
statica*, il fatto che appaia un'azione istantanea a distanza non sia 
importante perché, in fondo, in statica, l'istante di tempo t=t_0 è come se 
fosse lo stesso di t=t_0 - r/c. O no?
Grazie ancora 

 Beh, se parti gia' da un caso impossibile allora... ;-)
Ok, e invece se pongo rho(|r, t) = delta(|r) (cioè una carica puntiforme che 
da sempre esiste al centro del sistema di riferimento).
Dovrei trovare facilmente qualcosa, giusto?
Dovrei ritrovare il campo elettrostatico di una carica da 1C ?
Grazie 

 rricorri al calcolo numerico.
Mi sembri un po' troppo pessimista...
Certo spesso otterrai serie di funzioni "strane" (Bessel o altre) ma
soluzioni analitiche anche utilizzabili praticamente se ne possono dare
in parecchi casi.
 
-- 
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.

 Dovrei ritrovare il campo elettrostatico di una carica da 1C ?
Forse non te ne sei accorto, ma quello che c'e' scritto nel post di
BlueRay risponde a tutte le tue domande.
Per quanto riguarda il potenziale scalare, tu stesso hai risposto alla
tua domanda riportando quello che dice il Franceschetti: "...purche' w
sia diversa da zero".
In generale, anche con w = 0, le equazioni scritte da BlueRay ti
forniscono i campi tramite i potenziali (ritardati), date le sorgenti
(rho e j) all'istante t - r/c.
--
cometa_luminosa = BlueRay.

 Dovrei ritrovare il campo elettrostatico di una carica da 1C ?
Certamente, si integra l'equazione di Poisson per il potenziale
(uso unita' gaussiane, r e' un vettore):
delta(phi(r)) = 4 * Pi * delta(r)
e si ritrova il potenziale coulombiano phi(r) = 1/|r|,
naturalmente qui phi(r) va inteso come distribuzione.
Come riferimento puoi ad es. vedere:
G. Cicogna, Metodi Matematici della Fisica, Springer.
Altrimenti, supponendo di conoscere gia' la soluzione
dell'equazione di Poisson (v. ad. es. J. D. Jackson,
Elettrodinamica Classica):
phi(r) = Integrale[rho(r') / |r - r'| dr', su R^3],
si sostituisce delta(r) a rho(r) ottenendo:
phi(r) = Integrale[delta(r') / |r - r'| dr', su R^3] =
1 / |r|.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 > Ho letto di cose come potenziali ritardati ma non so se la via giusta.


In effetti credo di aver risolto:
se rho (|r, t) = delta(|r)*step(t)
ho trovato (utilizzando le formule dei pot. ritardati):
|e (r, t) = 1/(4*pi*eps0) * ( delta(t-r/c)/rc + step(r/c)/r^2 ) * |ir
|ir è il versore naturalmente.
Cioè si "propaga" una "botta" (o "onda") di |e di valore infinito che parte 
dall'origine e va verso l'infinito.
Tale "botta" lascia dietro di sé un campo elettrico che è il solito campo 
elettrico generato da una carica puntiforme.
Wow! Anche se ho ancora molti problemi, questo risultato mi incoraggia.
Una cosa però me la chiedo:
per trovare tale soluzione ho supposto che j = 0 sempre nel tempo e nello 
spazio, mentre ho letto che invece avete detto che, per l'eq. di continuità, 
deve esserci una specie di j impulsiva.
Ho sbagliato allora a supporre j = 0 ?
In generale, se la sorgente rho stessa può causare la comparsa della 
sorgente j, non diventa impossibile risolvere le equazioni visto che si 
entra in un circolo vizioso.
Non sarebbe necessario, prima di elaborare tutta la teoria che porta alla 
definizione dei potenziali vettore e scalare, dividere la rho e la j in 
parte "impressa" e parte "generata dai campi"?
A breve, nuove peripezie.
Grazie per il momento.
Sam 

 j = - (1/4 pi r^3) |r delta(t).
Innanzitutto penso che tu volessi scrivere |j = - 1/(4 pi r^3) |r delta (t). 
O no?
Ma comunque non mi trovo.
Nel senso, se rho = delta(r)*step(t)
allora - d rho /dt = -delta(r)*delta(t)
Ora, nabla*|j  dovrebbe essere uguale, per l'eq. di continuità, ancora a - 
delta(r)*delta(t).
Ma se faccio la divergenza del j da te supposto non mi viene (ma potrei 
essere io l'impedito...).
Infatti i miei conti danno:
nabla*|j = 1/(4 pi r^4) * delta(t)
Com'e' il fatto?
Grazie ancora.
Sam 

 Sam

 j = - (1/4 pi r^3) |r delta(t).
Interpreto questa formula come hanno fatto gli altri. Direi che funziona 
solo se decidi di dimenticarti che j=rho*v, altrimenti no.
Penso che questo valga anche per l'osservazione di Tetin in un altro post.

 fosse lo stesso di t=t_0 - r/c. O no?
Si', concordo completamente.

 solo se decidi di dimenticarti che j=rho*v, altrimenti no.
Ma in generale j non e' uguale a rho*v !  Non si tratta di dimenticanza, 
anche se ormai, abituati alle conoscenze attuali sulla struttura della 
materia, tendiamo a dimenticarlo.
Giorgio

Tetis, ti chiedo scusa ma dell'ultimo messaggio che hai mandato non ho 
capito tanto.
La mia domanda, che riformulo meglio č questa:
ammesso che usiamo coordinate sferiche (r, theta, phi),
chiamiamo i relativi versori \vec {i_r}, \vec {i_theta}, \vec {i_phi}.
Imponiamo che
rho(r, theta, phi, t) = delta(r)*signum(t)
Ora, dice Fabri, che una \vec {j}(r, theta, phi, t) che soddisfa tale 
imposizione č:
\vec {j}(r, theta, phi, t) = - 1 / (4 * pi * r^3) * delta(t) * \vec {ir}
Ed ecco le dolenti note. Infatti deve valere
nabla *  \vec {j} = -d rho / dt
Perň, se calcolo il termine a destra dell'uguale ho:
-d rho / dt = - d( delta(r)*signum(t) ) /dt = - delta(r)*delta(t)
che NON č uguale al termine che calcolo a sinistra. Infatti (con la formula 
della  divergenza in coord. sferiche):
nabla *  \vec {j} = 1/r^2 * d (- r^2 / (4 * pi * r^3) * delta(t) ) /dr = 1 / 
(4 * pi * r^4) * delta(t)
Dove sbaglio???
Grazie 1000 ancora. 

 rho(r, theta, phi, t) = delta(r)*signum(t)
dovrebbe cambiare in
rho(r, theta, phi, t) = delta(r)/(2*pi*r^2)*signum(t)
Ma comunque non mi trovo perché ho
-d rho / dt = - d( delta(r)*signum(t) ) /dt = - delta(r)*delta(t)/(2*pi*r^2)
che comunque rimane diverso dalla divergenza di \vec {j},che rimane quella 
calcolata nel messaggio precedente.
Devo fare qualche errore madornale da qualche parte e non accorgermene...
Buona notte, Sam 

Scusatemi, nei miei due precedenti messaggi ho confuso step(t) con 
signum(t).
Naturalmente intendevo sempre step(t).
Sam 

 Saluti
ricambiati,
Antonio 

 dove r e' il vettore che va dal punto sorgente al punto campo.
Posso chiederti come passi dalle "classiche" espressioni dei potenziali
http://it.wikipedia.org/wiki/Potenziali_ritardati
a quelle "tue" che ho riportato sopra?
Ho difficolta a capire perché |x - x_0| nelle tue equazioni diventa 
semplicemente r e non |r-r_0|.
Poi tu integri in r, "wikipedia" in r_0 anche se credo che tu cambi 
semplicemente notazione.
Un altro fatto: ma questi benedetti integrali sono su tutto R^3 ?
Sto provando a risolverli nel caso di una sfera piena uniformemente carica 
(in coord. sferiche) ma non capisco ancora come comportarmi. So a che 
risultato devo giungere ma non riseco a svolgere gli integrali.
Se qualche anima pia mi aiuta gliene sarò grato.
Sam 

 accorgermene...
Se non ci spieghi come hai fatto il calcolo, non possiamo dire niente
:)


 :)
Scusami, ma in che senso?
I conti ci sono. Per calcolare la divergenza di j ho usato la formula 
presente qui 
http://it.wikipedia.org/wiki/Divergenza#Divergenza_in_coordinate_sferiche
I conti sono nel mio messagio, in questo thread, delle ore 20.04 del 
25/02/2011 (con l'accortezza di sostituire signum(t) con step(t), ovunque 
signum(t) compaia; causa un mio svarione)
Grazie ancora 

 Se qualche anima pia mi aiuta gliene sar grato.
Se e' carica uniformemente allora rho non dipende dal punto sorgente
quindi la porti fuori dall'integrale. Ti rimane da calcolare
l'integrale
Int dV'/|R - r'|
Qui R e' un vettore fisso (il punto campo) cioe' il vettore (x,y,z)
mentre r' = (x',y',z'); percio' |R - r'| = Rad[(x-x')^2 + (y-y')^" +
(z-z')^2] percio' l'integrale e':
Int [su V'] dx'dy'dz'/Rad[(x-x')^2 + (y-y')^" + (z-z')^2]
Se tu hai una sfera come volume V', la cosa piu' sensata e' usare il
Teorema di Gauss, ma se proprio vuoi calcolare quell'integrale allora
ti conviene forse passare a coordinate diverse da quelle cartesiane o
sferiche; io taglierei la sfera in tante "fette" ortogonali alla
congiungente (centro sfera)-(punto campo) che prenderei come asse x,
con coordinata l della generica fetta, e dividerei a sua volta ogni
fetta discoidale in tanti anelli di raggio generico a. Fissato questo
raggio e fissata la coordinata x della generica fetta, l'angolo tra il
vettore R - r' e l'asse x rimane costante costante percio' rimane
fisso anche |R - r'|. Integri nell'angolo fi attorno l'asse x, tra 0 e
2(pi), poi integri nel raggio a ed infine nella coordinata l della
fetta.
Ciao.
--
cometa_luminosa

 Ma in generale j non e' uguale a rho*v !
Francamente non capisco quello che vuoi dire.


Che j e rho, in generale, sono quantità indipendenti (le loro variazioni 
spaziotemporali no, per l' equazione di continuita').
Nei fili di casa tua quando accendi la lampadina c' e' una j diversa da 
zero ma la densita' di carica e' nulla. Il fatto che puoi scrivere sia 
rho, sia j come somma di due densità  di carica e due densità  di 
corrente non ha nessuna importanza dal punto di vista delle sorgenti 
delle equazioni di Maxwell. Tutto qui.
Giorgio

 fetta.
Uhuh! Scusami, ci ho seriamente provato ma non riesco.
Non č che puoi scrivermi l'integrale che ti viene fuori.
Non svolgerlo, solamente scriverlo per tentare di capire...
Poi un'altra cosa:
com'č noto il campo elettrico generato dalla suddetta sfera piena carica 
unformemente ha espressioni diverse nel caso in cui ci troviamo all'interno 
della sfera o al di fuori di essa.
Risolvendo l'integrale mostro si giunge (come penso) a tale duplice 
soluzione?
Grazie, Sam 

 com' noto il campo elettrico generato dalla suddetta sfera piena carica


 soluzione?
Direi di si, visto che (L-l) figura al quadrato nell'integrale quindi
e' indifferente se e' positivo o negativo.
Ciao
--
cometa_luminosa

 Ricontrolla i calcoli.
Per il resto, ALLA FINE VIENE!!
Al momento, vista l'ora tarda, ho fatto svolgere l'integrale a DERIVE.
Domani, controllerò in maniera più precisa ma l'andamento del grafico è 
inequivocabile e, come naturalemente doveva essere, presenta la "duplice" 
soluzione (interno ed esterno della sfera).
Comunque complimenti, per me inventare quel passaggio di coordinate sarebbe 
stato proibitivo.

 Dove sbaglio?
Oppure la mia somma ignoranza vi ha fatto indignare?
Grazie. 

 Eccolo l'errore: J = a
Cavolo, che svista!
Thank you!
Ciao.
BluRay = cometa_luminosa

 Dove sbaglio???
A parte eventuali costanti, credo che tu abbia dimenticato un r vettore 
al numeratore. A quel punto ti viene 0 per ogni r=/=0, visto che la d/dr 
si applica ad una costante. Per r=0 bisogna procedere altrimenti, e ti 
viene proprio una delta. Pensa alla legge di Gauss (differenziale) 
applicata ad una carica elettrica puntiforme.

 delle equazioni di Maxwell. 
Non vedo perche' non abbia importanza. Dall'eq. di continuita' - quindi 
dalle eq. di Maxwell - uno puo' dedurre che j=rho*v nel caso di una sola 
densita' di carica, e j=rho+*v+ + rho-*v- nel caso ne siano presenti 
due. Per come la vedo io, j e' semplicemente un'abbreviazione di questa 
espressione, e se uno non ne tiene conto e' perche' *sceglie* di non 
tenerne conto: a rischio, naturalmente, di incorrere in incongruenze.

 Oppure la mia somma ignoranza vi ha fatto indignare?
Stai tranquillo: si vede di molto peggio :-)
In fin dei conti il tuo problema non e' affatto banale, perche' c'e'
di mezzo una matematica che non e' semplice usare in modo corretto
senza tirare in ballo le distribuzioni.


 elettrica puntiforme.
Ed ecco ora un nuovo problema: perché non viene semplicemente 0 ?
Io arrivo a scrivere, come hai detto tu stesso:
nabla *  \vec [j] = -delta(t)/(4*pi*r^2) *d1/dr
(che immaginavo facesse 0, anche se riesco ad "intuire" che per r=0 anche il 
termine proporzionale  a 1/r^2 va a zero e si giunga ad "una sorta di forma 
indeterminata")
Mi sarei aspettato di dover giungere invece a:
nabla *  \vec [j] = -delta(t)/(4*pi*r^2) * d(step(r))/dr = -delta(t) * 
delta(r)/(4*pi*r^2) = -delta(t) * "delta in coord. sferiche"
Ora tuttavia mi sovviene che FORSE, siccome r deve essere maggiore o al più 
uguale a 0, POTREBBE sussistere una sorta di equivalenza che dice step(r) = 
1.
Ma non credo perchè ho provato a calcolare la divergenza di cui sopra anche 
i coord. cartesiane ma ho gli stessi problemi (cioè alla fine mi viene 0) 
(NOTA 1).
Grazie
Sam
(NOTA 1) Se può servire riporto ciò che ottengo ricavando la divergenza di 
\vec [j] in coord. cartesiane:
nabla * \vec[j ]  = delta(t)/( 4*pi*(x^2+y^2+z^2)^(5/2) ) * 
(2x^2-y^2-z^2+2y^2-x^2-z^2+2z^2-x^2-y^2) = 0 

 Ribalto la domanda: a che serve?
Ad avere una rappresentazione mediante funzione generalizzata in 
coordinate polari del funzionale singolare "delta" nel caso che si 
vogliano esprimere le funzioni del dominio del funzionale in coordinate 
polari.
Il funzionale naturalmente lo si può considerare indipendente dalla 
scelta del sistema di cordinate. Ma può essere utile averne un' 
espressione adattata al sistema in cui risulta più naturale esprimere le 
funzioni del suo dominio.
Naturalmente occorre un po' di attenzione a definire la delta in 
coordinate polari
(cfr. 
http://www.mathematics.thetangentbundle.net/wiki/Dirac_delta_function
 
p.es
 )
Giorgio

 (NOTA 1) Se pu servire riporto ci che ottengo ricavando la divergenza di


 tenerne conto: a rischio, naturalmente, di incorrere in incongruenze.
A livello di eq. di M non c'e' nessun' ipotesi sull' origine di j e di 
rho. Sono due funzioni definite nello spazio e nel tempo. Se siano somma 
di due o 200 altre funzioni non interviene minimamente nel loro ruolo di 
sorgenti.
Il rischio di incongruenze, e' inesistente. Fino a prova contraria.
Può sembrare paradossale grazie alla tradizione di didattica 
"dissociata" tra EM (di stampo ottocentesco)  e MQ, ma e' proprio il 
considerare j definita in termini di rho e v (o rho+/- v+/- )  che è 
fuorviante :
cosa fai quando ti ricordi che c'e' la MQ ? cosa sarebbe v ??
Le incongruenze vengono fuori proprio qui.
P.es. la densità  di carica di un orbitale con l=1 e lz=1 non dipende 
dal tempo. E parlare di velocità di un elettrone in questo stato non va 
bene. Invece c'e' una corrente perfettamente definita (e da cui si 
ottiene il momento magnetico corretto secondo l' e.m. di Maxwell).
Giorgio

 Stai tranquillo: si vede di molto peggio :-)
Grazie, non ti nascondo che discutere con te ed altri mi incute sempre un 
po' di timore, nonostante io sia celato dietro un nick ed un monitor :-)
Rinnovo comunque tutta la mia stima a persone come te e come tutti coloro 
che partecipano al newsgroup, che mettono a disposizione il loro tempo per 
condividere la propria connoscenza con gli altri.
Sam 

 z'  = a*sin(fi)
Che poi, scusami, ma queste non sono coordinate cilindriche? 

 viene 0)
Qui il dubbio rimane ancora invece...
Infatti x,y e z possono variare in tutto R e questo mi fa pensare che il 
discorso che ho fatto sopra sul fatto della sostituzione poiche' r 
dev'essere non-negativo non ha molto senso.
Infatti, la divergenza dovrebbe uscire, seppure con un 'espressione diversa 
a seconda del sist.di coordinate, "uguale nella sostanza".
Grazie, Sam 

Sam_X ha scritto:
 > Ed ecco ora un nuovo problema: perché non viene semplicemente 0 ?
 > ...
 > (NOTA 1) Se può servire riporto ciò che ottengo ricavando la
 > divergenza di \vec [j] in coord. cartesiane:
 >
 > nabla * \vec[j ]  = delta(t)/( 4*pi*(x^2+y^2+z^2)^(5/2) ) *
 > (2x^2-y^2-z^2+2y^2-x^2-z^2+2z^2-x^2-y^2) = 0
Puo' servire, perche mette meglio in evidenza dov'e' che pasticci...
Non puoi fare una derivata dove la funzione non e' derivabile, e questo
e' appunto il caso dell'origine.
Giorgio Pastore ha scritto:
 > Ad avere una rappresentazione mediante funzione generalizzata in
 > coordinate polari del funzionale singolare "delta" nel caso che si
 > vogliano esprimere le funzioni del dominio del funzionale in
 > coordinate polari.
Gia', ma il guaio e' che le coordinate polari hanno un sacco di
problemi, e in particolare *non possono essere usate* nell'origine!
 > Naturalmente occorre un po' di attenzione a definire la delta in
 > coordinate polari
 > (cfr.
 > 
http://www.mathematics.thetangentbundle.net/wiki/Dirac_delta_function
 
p.es
 )
Eh gia', occorre attenzione, che non abbonda nel sito che citi:
- non si sa come sia definita la distribuzione delta(r)
- ancor peggio per delta(r)/r^2
- addirittura vedo che scrivono anche delta^2(x)...
Forse si possono rendere le cose pulite, ma li' se ne guardano bene.
Tra l'altro, la "delta in coord. polari" nel sito che citi differisce
da quella data in mathworld: il famigerato fattore 2 di cui avevo gia'
parlato.
Si mettessero d'accordo, almeno :-(
Sam_X ha scritto:
 > Acrobazie del tipo quella che hai spiegato tu di definire la "delta in
 > coordinate sferiche" in modo da far si' che il suo integrale su R^3
 > valga 1?
 > Giusto? Ho capito bene?
No, quella non e' un'acrobazia: e' un elemento necessario della
definizione della delta.
Alludevo piuttosto a come dare significato a delta(r) o peggio a
delta(r)/r^2.
 > Rinnovo comunque tutta la mia stima a persone come te e come tutti
 > coloro che partecipano al newsgroup, che mettono a disposizione il
 > loro tempo per condividere la propria connoscenza con gli altri.
Grazie, ma come vedi ci troviamo a discutere anche tra noi, perche'
grazie a domande come le tue accade che vengano fuori aspetti cui non
si era pensato, o su cui ci sono opinioni diverse.
Cosi' finiamo per imparare tutti qualcosa.


Il testo di Fisica 2 Panofsky-Philips, nelle prime pagine, riporta
che:
nabla(1/r) = -r/ (\vec{r})^3
e che
nabla^2 (1/r) = -4(pi) delta(r)
Con queste 2 relazioni ricava un sacco di cose, sia nel caso di
cariche puntiformi (l'utilita' e 'soprattutto in qusto caso) che
distribuite; a me tornava sempre tutto...
--
cometa_luminosa

 introduttiva sulle equazioni di Poisson e Laplace.
Ah, ecco.
Sto leggendo.
Ho inviato il mio messaggio delle 14.51 poiché, misteriosamente, 
sull'altro mio computuer non vedo il messaggio di Tetis di cui sopra ho 
riportato lo stralcio piu' interessante....
Che stranezza, non so proprio perche'...
Grazie
Sam

 delta(r)/r^2.
Qua e' da molto che mi faccio una domanda:
per la proprietà del prodotto della delta per una funzione ( 
http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Dirac#Prodotto_per_una_funzione
 )
quell'espressione non dovrebbe essere indefinita?
Grazie ancora.
Sam

 nabla^2 (1/r) = -4(pi) delta(r)
E qui credo intendevi
nabla^2 (1/r) = -4 (pi) delta( \vec {r} )
Vero?
Sam

 Che poi, scusami, ma queste non sono coordinate cilindriche?
Eh si, le ho applicate senza neanche ricordarmi il nome. Spero mi
scuserai...
Ciao.
--
cometa_luminosa

 quell'espressione non dovrebbe essere indefinita?
Perche'? Allora dovrebbe essere indefinita la stessa delta(t - t_0).
La differenza tra delta(t - t_0) e alfa(t_0)*delta(t - t_0) e', per
esempio, che la prima ha 1 come integrale su R, la seconda ha
alfa(t_0).
--
cometa_luminosa

 nabla^2 (1/r) = -4 (pi) delta( \vec {r} )
Si, vedi sopra.
Ciao.
P.S. Come si fa a scrivere a penna in un post?  :-)
--
cometa_luminosa

 alfa(t_0).
Ma scusami, la proprietà e':
alfa(t)*delta(t - t_0) =  alfa(t_0)*delta(t - t_0)
Per la semplice delta(t-t_0) non da' nessun problema, infatti possiamo 
immaginare, in questo caso, che alfa(t)=1 e quindi anche alfa(t_0)=1.
Ora pero' nel caso che mi perplime abbiamo
1/(r^2)*delta(r)
Abbiamo che alfa(r) = 1/r^2  e  r_0 = 0
Pero' alfa(r_0) = alfa(0) = 1/0^2 che è indefinito.
O no?
Sam

 O no?
No.
Stai lavorando con la delta come se fosse una funzione ma non lo è.
il fattore 1/r^2 serve solo a "eliminare" il fattore r^2 nell' integrale 
radiale che vien fuori dall' utilizzo di coordinate polari ed "estrarre" 
  il valore  della funzione integranda (dell' integrale 3D) in 0.
Giorgio

 il valore  della funzione integranda (dell' integrale 3D) in 0.
Questo fatto l'ho capito però che facciamo rinunciamo alla proprietà di cui 
sopra? Oppure, per risolvere, diciamo che se alfa(r_0) non e' definita in 
r_0, la proprietà non vale? (Come poi forse è)
Grazie 

 definita in r=r_0, ma la proprietà non è un errore.
Il concetto di distribuzione è fortemente intrecciato con l' esistenza 
di funzionali esprimibili come integrali.
Non è  esattamente lo stesso integrare in 1D o 3D (o altra dimensionalità).
Occorre tener conto della misura e, per riscrivere l' integrale in modo 
da far apparire una delta 1D serve il fattore 1/r^2. Dopo di che, non 
puoi però applicare alla cieca quel risultato che citavi. E' il motivo 
per cui dicevo che tratti la delta come se fosse una funzione che non è. 
Nel modo più semplice di interpretarla è  un promemoria per una classe 
di equivalenza di successioni di funzioni che definiscono funzionali 
regolari esprimibili come integrali e quindi strettamente dipendenti 
dalla dimensionalità  dello spazio.
Il modo corretto di riscrivere l' identità cui ti riferivi, se ne hai 
bisogno)  è:
alpha(r) delta(r)/(4 pi r^2) = alpha(0) delta(r)/(4 pi r^2).
Giorgio

 r_0, la propriet non vale? (Come poi forse )
Le funzioni test sono a supporto compatto ed infinitamente derivabili,
quindi non la puoi prendere una alfa non definita in un punto, o
comunque non puoi usare la teoria delle distribuzioni in una regione
che comprende quel punto.
--
cometa_luminosa

 che comprende quel punto.
Ah, ecco.
In fondo in fondo, è tutto una specie di guazzabuglio di approssimazioni, 
perche' se nell'origine non posso usare la teoria delle distribuozioni 
(almeno quella "standard") non potrei nemmeno usare li' la delta di Dirac.
Secondo voi non e' cosi'?
Sam 

 Secondo voi non e' cosi'?
No, non è così e non c' è un guazzabuglio di approssimazioni. Nessuna 
approssimazione. Solo definizioni che possono rsultare più o meno utili.
In tutto questo, delle delta e delle distribuzioni potresi probabilmente 
fare a meno. Ma se le vuoi usare, devi sapere bene cosa stai facendo. 
Purtrppo c'e' la tendenza (trai fisici) a usare "formule magiche" (es: 
"nel senso delle distribuzioni") ma poi cercare di usare "a scatola 
chiusa" l' armamentario. Che sarà anche semplice ma non semplicissimo. 
Io ti consiglierei di investire un poco di tempo nell' abc della teoria 
delle distribuzioni e funzioni generalizzate. Alla lunga ripaga.
Giorgio

 delle distribuzioni e funzioni generalizzate. Alla lunga ripaga.
E' cio' che sto tentando di fare, principalmente su due libri:
1) Marco Codegone - Metodi matematici per l'ingegneria
2) Gianni Gliardi - Analisi tre
1) è un testo molto breve, poco rigoroso, ma con il "pregio" di inquadrare 
le cose "utili" in modo da avere una visione di insieme.
2) invece è un testo rigorosissimo, dove pero' non mancano parti 
descrittive, ma è troppo lungo e tedioso per il mio livello di interesse.
Sto cercando una specie di mediazione, anche se mi rendo conto che le cose 
fatte per metà non stanno mai fatte bene.
Ti vorrei chiedere e vorrei chiedere a tutti voi, quale testo consigliate? 
Su che testo avete studiato voi questi argomenti?
Le distribuzioni (così come le trasformate di F. e L.) sono tra gli 
argomenti che per me risultano più spinosi.
Grazie
P.S.: possiedo anche il libro di Barozzi - Matematica per l'ingegneria 
dell'informazione ma non l'ho mai "studiato" seriamente... 

Ciao,
Il libro di Gilardi lo conosco ed è fatto benissimo, ma per
un'introduzione più
"umana" ti consiglio il testo di Metodi Matematici della Fisica di G.
Cicogna,
testo molto chiaro e abbastanza intuitivo. Ci sono molti esempi e
tratta anche
le trasformate di Fourier e di Laplace.
In alternativa, ci sono le dispense on line di Sergio Benenti
dell'Università di
Torino che sono scritte veramente molto bene.
In bocca al lupo.

 Secondo voi non e' cosi'?
No, un momento. Quello che ho detto e' che non puoi usare una funzione
test che non e' ivi definita, la delta di Dirac la devi poter usare
per forza, se no che l'hanno inventata a fare?  :-)
--
BluRay = cometa_luminosa

 Laplace.
Questa indicazione mi fa piacere, visto che in un tempo remoto sono
stato relatore di tesi di Cicogna :)
Naturalmente scherzo, perche' i meriti del libro di Cicogna sono
soltanto suoi.


 usare li' la delta di Dirac.
Non direi che si tratti di approssimazioni, ma di definire
correttamente gli oggetti matematici che si vogliono usare.
Sicuramente non puoi usare delta(r) e tanto meno delta(r)/r^2 come se
fossero le solite distribuzioni delta che usi in coord. cartesiane.
La strada e' che ci sara' sempre un fattore r^2 derivante dallo
Jacobiano, e quindi le funzioni alle quali applicare il funzionale
sono un insieme piu' ristretto di quelle (infinitamente diff. e a
supporto compatto) che si usano per definire le distribuzioni.
Quanto al tuo problema originario, che era, se ricordo bene, come
calcolare correttamente la divergenza di una densita' di corrente
definita da j(r) = r/|r|^3, e in particolare come trovare l'attesa
delta nell'origine, puo' servire di vedere il caso in cui la carica
non e' puntiforme, ma per es. e' distribuita uniformemente in una
sferetta di raggio a.
Il calcolo si fa esattamente senza singolarita', e poi si puo' vedere
che cosa succede facendo a --> 0.


 che cosa succede facendo a --> 0.
Scusa, ma se il problema e' quello che dici (non ho letto tutti i post
di Sam_X perche' mi si "infrenano" gli occhi :-) ) allora dovrebbe
essere semplice:
r/|r|^3 = -nabla(1/r) e div[nabla(1/r)] = nabla^2(1/r) =
= -4(pi)delta(\vec{r})
quindi il risultato sarebbe 4(pi)delta(\vec{r}).
--
BluRay = cometa_luminosa

 quindi il risultato sarebbe 4(pi)delta(\vec{r}).
Si', in effetti con quelle due formule che hai fatto vedere è tutto 
molto semplice. Ora pensavo da dove saltano fuori, ma quest e' un'altra 
storia.....
Grazie
Sam

 = -4(pi)delta(\vec{r})
Che però è quello che Sam_X vuole dimostrare.  Un modo è sostituire la
funzione 1/r con la funzione regolare V_e(r)=1/(r^2+e^2) e condurre il
limite per eps che tende a zero di:
4 \pi r (r V_e(r))'' f(r) dr
con f nello spazio delle funzioni test. Questo integrale si calcola,
per un dato valore di e, integrando due volte per parti alla prima
integrazione il termine da valutare negli estremi è 4 \pi r (r V_e
(r))' f(r) che in zero è nullo perché la derivata di r V_e(r) vale e^2/
(r^2+e^2)^(3/2) ovvero in zero rimane limitata mentre il fattore 4pi r
f(r) tende a zero (perché anche la funzione test è limitata in zero),
mentre ad infinito tende a zero perché r(rV_e(r))' è asintoticamente
equivalente ad 1/r^2. Integrando una seconda volta si ottiene fuori
dall'integrale - 4 \pi r V_e(r) (r f)' , dove r V_e(r) tende a zero
mentre ( r f )' = f + r f ' rimane limitata. Del resto sotto
l'integrale rimane 4 \pi r V_e(r) (r f(r))'' dr. Poichè le funzioni
test sono a decrescenza rapida è ora ammesso il passaggio al limite
sotto il segno di integrale che lascia la funzione integranda 4 \pi (r
f(r))''. L'integrale di questa funzione è definito e la primitiva si
annulla ad infinito, mentre vale 4 pi (r f(r))' in zero. Derivando
trovi 4 \pi [f(r) + r f '] che in r = 0 vale   4 \pi f(r).
Una regolarizzazione molto più semplice (equivalente al suggerimento
del prof. Fabri)  consiste nel riderifinire a tratti la funzione
lasciandola tal quale fuori di un certo raggio "e" e sostituendola con
un arco di parabola all'interno V_e(r) = 3e/2 - r^2/(2e^3). In questo
modo esternamente alla sferetta il laplaciano è zero, mentre
internamente si riduce a 3/e^3. L'integrale con la funzione test di
( \nabla^2 V )f  si riduce quindi a -4\pi 3r^2 f(r)/e^3 e con la
sostituzione y = er questo integrale si riduce a
-4\pi Int_0^1  3y^2 f(ey) dy
passando al limite e --> 0 rimane:
-4 \pi f(0) Int_0^1 3y^2 dy  = -4 \pi f(0).
Q.E.D.


 davvero pedante...
Ma non e' colpa tua, l'ho detto nel senso che leggere le formule
scritte con i caratteri e i simboli che si possono usare qui, e' molto
faticoso.
Ciao.
--
cometa_luminosa