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Titolo: Equazione di Eulero

Ciao!
Qualcuno potrebbe spiegarmi brevemente, quale e' l'utilita'
dell'equazione di Eulero? Serve solo ed unicamente a ricavare
l'equazione di Gibbs-Duhem (con cui possiamo descrivere il sistema
tramite r+1 equazioni e che ha quindi r+1 gradi di liberta') o
anch'essa permette la descrizione del sistema in un modo piu' comodo
che non con la relazione fondamentale in forma entropica (o
energetica)?
Altra domanda, simile: se ho un'equazione di stato non ho la
descrizione del sistema. E' necessario avere tutte e tre le equazioni
di stato o visto che ci sono r+1 gradi di liberta', in un sistema
monocomponente, e' sufficiente averne 2? Se fosse cosi', questo
giustifica la descrizione tramite i diagrammi T-P, o T-v ad esempio,
vero?
Grazie, 
Arianna

 vero?
Ci risiamo...
Tre eq. di stato? Quali sarebbero?
Mi stai dimostrando che la termodinamica non la so ;-)
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 Tre eq. di stato? Quali sarebbero?
Le equazioni di stato riguardano le grandezze intensive, T, P e nu
-> T=T(S,V,n)
P=P(S,V,n)
nu=nu(S,V,n)
Grazie, 
Arianna

 Mi stai dimostrando che la termodinamica non la so ;-)
Credo che anche Arianna non sappia che lingua TD stia usando!
Mi aspettavo che seguisse qualche strambo corso di fisica matematica,
mai piu' avrei pensato ad un corso di fisica tecnica.
Da quanto scrive nei suoi messaggi ho dedotto che Arianna sta studiando
su appunti o su dispense scopiazzate da:
H.B.Callen
Thermodynamics and an introduction to thermostatistics
J.Wiley & S.
 
Si tratta di un testo che fonda la TD su un sistema assiomatico originale
dell'autore, molto sofisticato dal punto di vista matematico ed alquanto
discutibile dal punto di vista fisico.
IMO il Callen e' sicuramente un testo interessante da consultare per
lo specialista, ma la sua impostazione logica e' improponibile in un
corso di TD propedeutico.
Povera Arianna! Parlare difficile e non citare le fonti e' una strategia
autodifensiva usata da molti docenti, solo i migliori possono concedersi
il lusso di approfondire i concetti per mostrarne l'elegante semplicita'
ai propri studenti.
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

 ai propri studenti.
Certo non e' facile avere a che fare con determinati concetti :-) Ma, ai
fini
del mio scopo, l'importante e' capire cio' che sto studiando ! :)
Arianna
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 discutibile dal punto di vista fisico.
Che cosa ci trovi di discutibile dal punto di vista fisico? Al di la' 
delle considerazioni didattiche, intendo.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 fini del mio scopo, l'importante e' capire cio' che sto studiando ! :)
Non vorrei infierire, ma da quello che scrivi sembra che i libri che 
usi ti propongano un complesso formalismo, senza discuterne in modo 
adeguato il significato fisico, cioe' appunto i concetti!
Prendiamo ad es. quel pastrocchio sulle grandezze estensive ed intensive 
che il tuo senso critico giustamente non accetta. Si tratta in realta' 
di una dicotomia molto semplice, che E.Fabri ti ha illustrato con la 
consueta cartesiana chiarezza.
Come procede il Callen? Definisce "grandezze intensive" le derivate 
parziali di quella che (solo lui) chiama "equazione fondamentale", 
cioe' della funzione U = U(S,V,N....) introdotta assiomaticamente (!).
Orbene, l'energia interna U e' una grandezza additiva, i parametri 
S,V,N... altrettanto, dunque al lettore esperto appare del tutto ovvio
che tali derivate siano grandezze intensive (non vale il viceversa!), 
trattandosi di rapporti tra due grandezze estensive.
Un altro motivo di preoccupazione nasce dai "rimaneggiamenti" che, a tuo 
dire, al politecnico avrebbero apportato all'impostazione del Callen.
Un sistema assiomatico formale va usato in modo rigorosamente deduttivo,
altrimenti perde ogni validita'. Non e' possibile dire a cosa serve 
una data equazione o se una certa proposizione e' un teorema, senza 
sapere quali "ritocchi" i tuoi docenti abbiano apportata alla logica 
del Callen. Solo chi ti ha portato in questo ginepraio puo' (e deve) 
darti gli strumenti per orientarti in esso.


 darti gli strumenti per orientarti in esso.
Precisando che non ho affermato che secondo me ci sono dei
rimaneggiamenti
rispetto a cio' che viene fatto nel Callen, bensi' sono gli stessi 
autori del libro consigliato durante il corso a scrivere tal avvertenza
(immagino con un minimo di cognizione di cio' che stanno facendo!), 
vorrei semplicemente aggiungere che le mie domande non erano volte a 
mostrare le eventuali lacune portate alla ribalta da scelte fatte (per 
qualche ragione che a me risulta sconosciuta) dai miei (dal mio)
docente,
bensi' per avere dei chiarimenti su alcune domande che mi sono sorte
durante
il mio studio e che, secondo me, non giustificano un viaggio da
pendolare
alla ricerca di un probabilmente occupato docente :-)Probabilmente ho
posto
domande che richiedono una certa "visione" sulla materia o su cio' che 
e' stato spiegato durante la lezione. Il mio fine era semplicemente 
quello di capire qualcosa in piu' e non di imparare le cose in modo
"mnemonico",
cosa che, non credo sia molto utile.
Ringrazio comunque per l'aiuto, 


 delle considerazioni didattiche, intendo.
Ho acquistato recentemente una copia del Callen, attratto dalla sua 
reputazione di rigore matematico e finora l'ho solo sfogliato: non 
posso ancora  esprimere un giudizio di merito, ma ho effettivamente 
alcune perplessita' iniziali "da discutere".
A prima vista il testo non delude le aspettative, ma il sistema di 
assiomi adottato e' stata per me una vera sorpresa. Il Callen fonda la 
TD su un set di quattro assiomi completamente diverso dai tradizionali 
principi della TD. Un matematico dira' che tali assiomi si prestano 
bene ad esplicitare le varie relazioni tra le funzioni TD e che essi 
sono logicamente equivalenti ai classici principi della TD.
Come fisico sono abituato a pensare che un sistema formale acquisti 
significato fisico solo se completato da adeguate definizioni 
operative. Tradizionalmente la definizione dell'energia interna U e 
dell'entropia S sono fondate su una (preliminare) enunciazione del 
I e del II principio. 
Come se la cava il Callen? Un matematico asserira' che U ed S sono 
definite implicitamente dagli assiomi. Per quanto riguarda le relazioni 
formali sono d'accordo, per il significato fisico operativo no.
Qualche dubbio deve averlo avuto anche l'autore, che nel paragrafo 
1.7 "Measurability of the energy" sente l'esigenza di affermare:
"There exist walls, called adiabatic, with the property that the work 
done in taking an adiabatically enclosed system between two given 
states is determined entirely by the states, indipendent of all 
external conditions. The work done is the difference in the internal 
energy of the two states."
A questo punto come fisico mi dichiaro soddisfatto, ma la suddetta 
proposizione io la chiamo "1mo principio della TD" ed il Callen non ne
puo' fare a meno, anche se non gli piace di citarlo ufficialmente
tra i suoi assiomi.
Potro' essere piu' preciso (o ritrattare...) quando avro' letto almeno 
parzialmente il mio Callen!  ;-)


 illustrato con la consueta cartesiana chiarezza.
Ti ringrazio per la "cartesiana chiarezza", anche se a me Cartesio e'
sempre stato poco simpatico (come fisico e come filosofo) :)
Come avrete capito tutti, non ho mai letto il Callen.
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 Come avrete capito tutti, non ho mai letto il Callen.
Nemmeno io ;-P Non si vedeva, eh?


 l'equazione di GIbbs-Duhem?
Prima ancora di Gibbs-Duhem permette di ricavare (dall' ipotesi o 
postulato dell' estensivita') relazioni sulle funzioni (non sui 
differenziali) come :
U = TS - PV + mu N
La cosa che forse andrebbe sottolineata e' che l' estensivita' non e' un 
obbligo di legge (per esempio per tutti i sistemi in cui gli effetti di 
superficie non siano trascurabili non vale!) e quindi assumere l' 
estensivita' dei potenziali TD (alla Callen) o la validita' dell' 
equazione di Eulero, ha un contenuto fisico non trascurabile e significa 
escludere dalla trattazione termodinamica (usuale) tutti i sistemi che 
non obbediscono a tale condizione. Un esempio per tutti e' un sistema di 
N corpi in interazione gravitazionale.
Elio Fabri wrote:
 >>Come avrete capito tutti, non ho mai letto il Callen.
 >Nemmeno io ;-P Non si vedeva, eh?
Io invece l' ho studiato e penso che adottarne anche in parte l' 
impostazione non e' per niente un' idea cattiva. Per lo meno non 
peggiore dell' approccio tradizionale (che pure ha i suoi problemi...).
Giorgio

 N corpi in interazione gravitazionale.
Eh, no, scusa, mica puoi buttarla lì così e lavartene le mani!
Scherzi a parte, ad Ingegneria mi fecero questo esempio ed a suo tempo
lo capii, ma ora sono "un pò" fuori allenamento e non vorrei che mi
sfuggisse qualcosa.
L'energia potenziale del sistema degli N corpi aumenta se aumento le
masse dei corpi. Perchè non è una grandezza estensiva? Perchè la
crescità non è lineare? P.es. 2 corpi, raddoppio la massa del sistema
=> quadruplico l'energia. Quindi U non è omogenea di primo grado in M.
Esatto?
Grazie,
Andrea

 Esatto?
E' conseguenza dell'esistenza di azioni a distanza a range infinito.
Nei sistemi usuali l'energia interna e' additiva (a parte effetti di
superficie) perche' il contributo dell'energia cinetica e' additivo
ovviamente, mentre l'en. potenziale e' additiva perche' ogni molecola
si accorge solo di quelle vicine.
Solo quelle in superficie sono in condizioni diverse, e infatti se
metti insieme due gocce di mercurio l'energia interna diminuisce,
perche' diminuisce l'area totale delle superfici: passando da due
sfere di raggio r a una di raggio r*2^(1/3), l'area passa da 8*pi*r^2
a 4*pi*r^2*2^(2/3).
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 Ti torna?
Si', mi torna: questioni epistemologiche analoghe si incontrano anche 
nella teoria della probabilita', nella meccanica quantistica, ecc.
IMHO pero' sul Callen i "postulati interpretativi" veri e propri non 
sono esplicitati, sebbene non manchino gli esempi applicativi.
Ho scoperto il Callen facendo alcune ricerche bibliografie, dopo avere 
letto mesi fa su isf alcuni interventi di B.Pastore sulle funzioni di 
stato TD. Nelle biblioteche universitarie di TO il Callen non c'e' (!)
e non mi e' rimasto che comprarne una copia a scatola chiusa.
Non sono rimasto deluso: la trattazione delle relazioni matematiche tra
variabili di stato TD e' sviluppata con virtuosa maestria.
Pur riconoscendo al Callen indiscutibili pregi matematici, continuo ad 
avere perplessita' sull'eccessiva disinvoltura con la quale l'autore
pretende di gestire la logica dell'interpretazione fisica.
Sono curioso di conoscere il tuo giudizio in merito, quando avrai avuto 
l'opportunita' di esaminare il Callen. Spero che anche B.Pastore trovi 
il tempo di intervenire. 
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 proposizione [esistenza di pareti adiabatiche] io la chiamo "1mo principio della TD" 
Non mi sembra. Il postulato di esistenza dell'energia interna di fatto 
sostituisce il 1^ principio, la cui enunciazione diventa semplicemente 
la definizione di calore. Si inverte, a mio modo di vedere, 
semplicemente la trattazione tradizionale nella quale si definisce, in 
modo piu' o meno soddisfacente, il calore e poi si enuncia il 1^ 
principio, ovvero l'esistenza di una grandezza dU=dQ-dL che e' un 
differenziale esatto.
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 differenziale esatto.
La trattazione che chiami tradizionale e' adottata solo dai libri di TD 
piu' grossolani. L'inversione logica che citi non e' certo una novita'
del Callen, ma e' adottata da tutti i migliori trattati di TD.
La frase citata che battezzi "postulato dell'energia interna" collima
_esattamente_ con la formulazione data al "I principio" dai testi seri. 
L'ultima riga di tale frase e' invece la definizione operativa di 
(differenza di) energia interna dU.
Successivamente si definisce operativamente il calore scambiato in una 
trasformazione non adiabatica come dQ = dU + dL.
Per quanto riguarda il I principio il Callen non differisce dunque dai 
testi di TD tradizionali. L'ambiguita' del Callen nasce dal fatto che 
esso cita con molta enfasi i suoi quattro postulati (che preferirei 
chiamare assiomi), lasciando intendere che non ne servano altri: il 
Callen non elenca ufficialmente alcun "postulato dell'esistenza dell'
energia interna" (alias I principio della TD). La proposizione c'e', ma 
e' contrabbandata come se fosse un semplice commento.
Insisto: il Callen offre una splendida trattazione matematica formale,
basata _esclusivamente_ sui suoi mitici "quattro assiomi".
Se il Callen vuole essere altrettanto rigoroso anche nell'interpretazione
fisica necessita _anche_ di "due postulati applicativi": il primo e' 
quello suddetto (che dunque c'e' ma non viene dichiarato come postulato). 
Il secondo proprio non c'e': indovinate un po' qual'e'...      ;-)
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 Non capisco a quale risposta ti riferisci. Mi sono perso qualche post?
Facevo riferimento al post di Elio, che faceva notare come l'interesse 
ai postulati interpretativi sia di fatto sorto con la Meccanica 
Quantistica, per ragioni che non e' il caso di ricordare ma che sono 
abbastanza evidenti. Nelle formulazioni delle altre branche della fisica 
vi si e` data meno attenzione, in parte perche` certe cose sembrano 
chiare o addirittura ovvie. Da un punto di vista logico certo non e' del 
tutto soddisfacente, ma parlando di fisica e non di fisica matematica si 
puo' accettare.
Se prendi per esempio le trattazioni piu' o meno assiomatiche della 
meccanica classica che trovi in giro credo che ben difficilmente 
troverai chiaramente esplicitati tali postulati. Eppure, lasciando da 
parte la questione se sia il modo didatticamente piu' utile di 
introdurre la MC a livello di primo anno, e' fuori di dubbio che queste 
formulazioni siano logicamente assai piu' soddisfacenti di quelle, che 
di solito contengono circolarita' logiche, presentate nei testi 
elementari di MC. Insomma, io vedrei il Callen come un "Goldstein" o 
"Landau I" per la termodinamica.
Se vuoi una trattazione rigorosa sotto tutti i punti di vista puoi 
riferirti a Caratheodory, ma e' talmente astratta da essere, credo, di 
poco interesse per un fisico "pratico".
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 poco interesse per un fisico "pratico".
Mi avevi chiesto perche' giudicavo il Callen "discutibile" dal punto di 
vista fisico: mi pare che ora ci siamo capiti.    :-)
Non sto parlando da fisico "pratico", ma da fisico "logico": il Callen 
e' un testo caratterizzato da una rigorosa formulazione assiomatica, 
merita dunque una particolare attenzione critica, che non vale la pena 
di sprecare per i libri-spazzatura.
Il I principio (nella formulazione adiabatica) permette di definire 
operativamente l'energia interna U e poi il calore Q scambiato in 
processi non adiabatici.
Il II principio (meglio se nella formulazione di Caratheodory) permette 
di definire la temperatura termodinamica T e l'entropia S.
Le grandezze TD definite operativamente tramite questi due fondamentali 
principi o "postulati interpretativi" soddisfano gli assiomi del Callen 
ed e' dunque lecito applicare ad esse l'intero apparato matematico 
costruito su di essi. 
Possono pero' esistere vari concetti fisici di entropia compatibili con
gli assiomi di Callen, come possono esistere vari concetti applicativi 
di probabilita' compatibili con gli assiomi di Kolmogorov.
I "postulati interpretativi" non sono deducibili dagli assiomi! 
Non dichiarandoli si fa semplice matematica e qualsiasi conclusione 
fisico-applicativa appare ingiustificata. 
Questo importante discorso epistemologico viene spesso dimenticato, 
soprattutto dai fisici "pratici" e dai matematici "puri".
Si sviluppano cosi' pericolose tendenze razionaliste, che sicuramente 
piacerebbero al filosofo Cartesio, ma non al fisico E.Fabri (visto che
Cartesio gli sta antipatico).     ;-)
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 Il II principio (meglio se nella formulazione di Caratheodory)
Su questo sono proprio in disaccordo. Trovo la formulazione di 
Caratheodory troppo astratta per essere maneggevole: dice se non ricordo 
male che "esistono stati non raggiungibili da uno stato dato tramite 
un'adiabatica reversibile" o qualcosa del genere. A questa formulazione 
preferisco senz'altro quella di Callen la quale, per esempio, da' un 
piu' diretto collegamento con la meccanica statistica (che occhieggia 
sempre nello sfondo).
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 preferisco senz'altro quella di Callen la quale ...
Come avevo gia' scritto ad Arianna, le molteplici formulazioni del II 
principio sono logicamente equivalenti. Quella di Caratheodory ha solo 
il vantaggio di portare subito alla condizione   dU + pdv >= 0
che permette di definire in modo diretto ed elegante la temperatura
termodinamica e l'entropia.
Non capisco invece quale sarebbe la formulazione del II principio del 
Callen, a meno che appunto non si attribuisca al formalismo matematico
una particolare interpretazione fisica IMHO non insita negli assiomi.
Evidentemente non condividi le conclusioni metodologiche del mio post 
precedente.   :-(
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 Callen,
Discende dal suo II postulato.
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