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Titolo: spazio delle traiettorie

Salve, sono alle prese con l'esame di meccanica analitica, ho seguito il 
corso durante l'anno e quindi lo conosco nelle sue linee generali. Sono 
tornato ora a vedere la parte principale di tale corso: il principio di 
minima azione. Il mio libro (esposito) definisce quindi uno spazio ove 
avviene un particolare moto, due punti x1 e x2 che sono gli estremi della 
traiettoria e un tempo di percorrenza T che deve essere rispettato dal 
moto. A questo punto parla dello "spazio delle traiettorie", ossia uno 
spazio vettoriale in cui una traiettoria è identificata da un punto, la 
domanda che mi si pone è la seguente: come posso parlare di spazio 
vettoriale senza introdurre il concetto di somma di vettori e prodotto 
per uno scalare? Oppure in altro modo, che genere di somma e prodotto 
scalare sono associati a quello spazio? Prese infatti due traittorie 
distinte che vanno da x1 a x2 nel tempo T, la semplice somma delle 
coordinate delle traittorie non da una nuova traiettoria che continua ad 
andare da x1 ad x2 nel tempo T. Per il prodotto di uno scalare poi si 
presenta il medesimo problema, come fare a definire queste due operazioni 
in modo tale che ogni traiettoria ottenuta attraverso una di esse rimanga 
sempre nell'insieme definito?
-- 
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Ah, contact me to 
fedel...@yahoo.it

 scalare sono associati a quello spazio?
Ecco, così suona decisamente meglio :-)
Si tratta di uno spazio affine, ovvero di uno "spazio vettoriale traslato";
per ottenerlo prendi uno spazio vettoriale e somma ad ognuno dei suoi
elementi un vettore fissato. Nel tuo caso gli elementi dello spazio
vettoriale sono le traiettorie (o meglio i movimenti) che si annullano agli
estremi: x(0) = x(T) = 0 (=vettore nullo); in questo modo, infatti, si vede
subito che una combinazione lineare di traiettorie di questo tipo è ancora
una traiettoria che si annulla agli estremi. Il vettore fissato è una
traiettoria qualunque (senza condizioni agli estremi).
Ciao,
Giaco
giaco (punto) dos (presso) tiscali (punto) it

 
-- 


 traiettoria con x(0)=x(T)=0, mi sbaglio?
Aspetta, non precipitiamo...
Il principio di minima azione afferma che tra tutti i movimenti _con estremi
fissati_, quello che rende stazionaria l'azione hamiltoniana soddisfa le
equazioni di Lagrange con le relative condizioni al contorno (determinate
dagli estremi fissati). Esattamente come nel caso del principio di Fermat:
prima decidi da dove parte e dove arriva il tuo raggio di luce, quindi puoi
applicare il principio e trovi la traiettoria della luce.
Quindi funziona così: prima fissi le condizioni agli estremi, ovvero
x(0)=x_0 e x(T)=x_T, dopodiché ti costruisci lo spazio affine dei movimenti
che hanno quegli estremi (vedi il mio post precedente), infine puoi
applicare ad esso il principio di minima azione; il fatto che non sia uno
spazio vettoriale non deve preoccuparti, giacché tu vuoi poter considerare
delle rette (per poter restringere l'azione a queste e fare le tue belle
derivate direzionali) e questo lo puoi fare anche in uno spazio affine. Ecco
tutto. Quindi alla tua domanda risponderei: no, ogni traiettoria generica ti
determina un diverso spazio affine (naturalmente sono tutti isomorfi tra
loro), generato usando le traiettorie che si annullano agli estremi. Non c'è
una corrispondenza sensata tra "traiettoria qualsiasi" e "traiettoria con
estremi nulli".
Ciao,
Giaco

 che hanno quegli estremi (vedi il mio post precedente),
e nel fare questo utilizzo traiettorie diverse per cui x(0)=x(T)=0, la 
somma di queste traiettorie "diverse" con la mia traiettoria saranno gli 
elementi dello spazio, ora forse va meglio, no?
[cut]


 elementi dello spazio, ora forse va meglio, no?
sě, esatto :-)
Ciao,
Giaco