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Titolo: conservazione momento angolare: perche'

domanda quasi filosofica...
la legge della conservazione del momento angolare e' semplice e
elegante, ma e' una formula.
Mi e' venuta in mente questa domanda.... perche' si conserva ?
Cioe, mi spiego meglio: se ruoto a braccia larghe e tiro le braccia
verso di me, la velocita' di rotazione aumenta: perche' ? So che e'
"perche' il momento angolare deve conservarsi"....
ma mi piacerebbe capire il motivo fisico, reale, materiale...
Alberto


Ti si può rispondere in molti modi diversi (quantistico: considerando la 
commutabilità dell'Hamiltoniana - classica o relativistica, con 
l'operatore del momento angolare; classico, considerando le simmetrie 
della lagrangiana...). Scelgo il modo più semplice magari più adatto a te.
Considera una "particella" avente impulso p (vettore), con posizione r 
(vettore) rispetto a un punto O. Il momento angolare (riferito a O) 
della particella è il prodotto vettoriale
L = r x p
Consideriamo la derivata di L rispetto al tempo
dL/dt = dr/dt x p + r x dp/dt
Ora, dr/dt = v = p/m
(dove m è la massa della particella), perciò dr/dt è un vettore 
parallelo a p, e il prodotto vettoriale dr/dt x p = 0. Quindi
dL/dt = r x dp/dt
Se la particella è soggetta a una forza F (F = dp/dt non nulla) in 
generale dL/dt non è diverso da zero (cioè L varia nel tempo e non è 
quindi una costante del moto: non si conserva); se però F è, in ogni 
punto della traiettora, parallela a r (forza centrale, diretta sempre 
verso O)
dL/dt = r x F = 0
Quindi, per forze centrali, L si conserva.
Ciao
Mauro

 della lagrangiana...). Scelgo il modo più semplice magari più adatto a te.
Sono d'accordissimo sulle dimostrazioni matematiche, ma non era quello
che cercavo...
cerco un motivo piu' fisico.... cioe, il singolo atomo che sta ruotando
viene avvicinato al centro di rotazione, e lui accelera.... ma chi
glielo fa fare ?
:-)
Conservazione momento angolare, conservazione energia cinetica,
potenziale, tutto il resto... e' tutta roba chiara, ma sono "solo"
formule e dimostrazioni matematiche (che adoro).... ma stamattina mi e'
venuta questa domanda filosofica :-)
non so se riesco a spiegare il senso della domanda.
Alberto

PS: so che la fisica "descrive" e non "spiega" un fenomeno.
Per capire meglio la mia domanda, a me interessa una "spiegazione"
della conservazione, non una "descrizione" o dimostrazione.

 glielo fa fare ?
Visto che la conservazione del momento angolare,  prima  delle 
simmetrie,  è  conseguenza diretta della forma delle equazioni del moto, 
  la domanda che ti fai è  equivalente a:  chi glielo fa fare di avere 
un' accelerazione proporzionale alla forza ?
Non vedo però  un modo per rispondere a questa domanda che non sia 
equivalente a "perché  è  così  che va il mondo":-).
Giorgio


Non so allora se questo è  il NG  adatto :-)
Giorgio

"perche' il momento angolare deve conservarsi"....
Non mi pare esista una spiegazione logica come non vi è nessuna
spiegazione al fatto che:
1) un corpo che si muove senza forze conserva la sua velocità.
2) il calore non passa naturalmente dai corpi freddi a quelli caldi
3) Al fatto che esistiamo
ecc ecc

 della conservazione, non una "descrizione" o dimostrazione.
Io ti ho capito... ma forse tu vuoi una cosa muy difficile....
il momento che si conserva .... e se non si conserva?....
La conservazione della quantita' di moto non e' garantita nei parcheggi
incustoditi.
Un corpo che in assenza di collisioni percorre lo spazio del campo
profughi si dice corpo diplomatico ma tiene paura comunque.
Un corpo che viaggia nel vuoto assoluto, con moto rettilineo uniforme,
dopo un paio di ore comincia a scazzarsi o' cazz
Un corpo in assenza di forze sviene.
Un corpo incandescente trattiene il calore finche' 'nu strunzo non ci
mette una mano sopra.
Le particelle di un fascio tendono a divergere dopo che il fascio e'
passato vicino al centro sociale occupato.
Un fascio di elettroni che attraversa una vasca da bagno fa scattare il
contatore della luce in tutto il condominio.
:)) CIAO



La ragione è che la natura è invariante per rotazioni.
Ti consiglio di leggere qualcosa sul Teorema di (Sig.ra) Noether.
Potrebbe esserti di interesse.
-- 
Rob
"Qualcuno doveva aver calunniato Josef K. perchè una mattina, senza che avesse fatto nulla, venne arrestato."

 Mi e' venuta in mente questa domanda.... perche' si conserva ?
Secondo me la domanda e' piu' che legittima.
Sto studiando anche io queste cose e proprio oggi ci ho sbattuto un po' la
testa.
Premetto che sono cose che non ho chiarissime ma sono convinto che qualcuno
estremamente piu' autorevole interverra' in questa discussione.
Noi viviamo in quello che definiscono spazio *omogeneo* e *isotropo* (piu'
tante altre proprieta' ma per ora ci interessano queste) il che significa
rozzamente che tutti i punti sono "uguali" e che non c'e' una direzione
privilegiata (simmetrie per rototraslazione).
Prendi due punti isolati (senza forze esterne) la loro quantità di moto
totale si conserva e vale P = p1 + p2 = mv1 + mv2 = costante. Se derivi
rispetto al tempo ottieni che F1 + F2 = 0 ==> F1 = -F2 (sono tutte relazioni
vettoriali). Questa, a prima vista, sembra nient'altro che la terza legge
della dinamica di Newton. Ma non e' cosi': infatti la terza legge di Newton
afferma che le forze uguale e contrarie agiscono sulla stessa retta d'azione
mentre nella formula che ho scritto prima questo non e' assolutamente
necessario infatti non abbiamo fatto assunzioni in proposito. ù
In poche parole: se si conservasse soltanto la quantita' di moto il
principio di Newton non sarebbe corretto.
Consideriamo sempre questi due punti e calcoliamo il momento angolare
considerando come polo un punto qualsiasi, anche non fisso.
Dopo tutti i calcoli (che ometto perche' li trovi su qualunque libro)
ottieni: dL/dt = -v0 x m v_cm + M_e + M_i (dove: v0 = velocita' del polo, x:
prodotto vettoriale, m: massa, v_cm: velocita' del centro di massa, M_e:
Momento delle forze esterne, M_i: Momento delle forze interne).
Se ci poniamo nel caso semplice, cioe' quello col polo fermo, il primo
termine va via. Se consideriamo il sistema isolato va via anche il secondo.
Rimane dL/dt = M_i ma sperimentalmente si verifica che in un sistema isolato
il momento angolare si conserva quindi M_i *deve* essere anch'esso nullo.
(Qui ci vorrebbe il disegnino) Il momento delle forze interne deve essere
nullo e questo puo' avvenire solo se le forze che agiscono su i due punti
sono uguali, contrarie e agenti sulla stessa retta d'azione.
Se valgono entrambe conservazione della quantita' di moto e conservazione
del momento angolare ottieni il principio di Newton
E' gia' un passo avanti.
Ma non e' finita perche' qualcuno di estrema intelligenza, suppongo, ha
dimostrato che ad ogni legge di conservazione corrisponde una proprieta' (o
simmetria, non so usare i termini esatti. So che esistono questi teoremi ma
non so assolutamente capirne la dimostrazione ne' la potenza ecc. Li ho
scoperti oggi e sono rimasto abbagliato) dello spazio. Come avrai gia'
capito:
Conservazione della quantita' di moto -> spazio omogeneo
Conservazione del momento angolare -> spazio isotropo.
Sono un  po' di fretta e mi sono espresso in una maniera terribile ma spero
che qualcosa sia passato. Ma soprattuto spero che qualcuno mi correga, come
dicevo prima: queste cose le sto studiando adesso anche io.
Ciao,
fadeh

 Potrebbe esserti di interesse.
Non so se l' OP considerera' questa ragione come un "fisico, reale, 
materiale...".  Io confesso che ho difficoltà  a vederlo così,  anche se 
teorema di Noether e connessioni tra invarianze e simmetrie le conosco 
da diversi anni.
Una cosa però  mi sembra importante puntualizzare (anche in funzione del 
messaggio di fadeh cui risponderò  tra poco): dire che "la natura è 
invariante per rotazioni" è  un po' troppo vago.  So bene che tu sai 
cosa c' è  dietro.  Ma per chi legge unafrase del genere senza un 
background di meccanica analitica temo che faccia l' impressione di un 
coniglio che esce dal cappello e soprattutto,  pensandoci un po' su' 
suona metafisica.
Perchè  mai "la natura"  dovrebbe essere invariante per rotazioni ? Di 
sicuro non lo è  dalla prospettiva della stanza in cui mi trovo adesso. 
E se anche lo fosse e da questo si ricavasse la conservazione del 
momento angolare,  srgerebbe spontanea la domanda: e allora quando non 
si conserva che vuol dire ? Che la natura si è domenticata di essere 
invariante ?  :-)
Io preferirei  volare basso e attenermi ad un più  prosaico  e pedante 
"Se le funzioni che descrivono la dinamica di un sistema conservativo 
(lagrangiana o hamiltoniana) sono simmetriche (invarianti) rispetto ad 
una trasformazione continua  esiste una costante del moto collegata a 
questra simmetria".
Non sarà  perfetta, ma mi sembra che fa passare chiaramente il messaggio 
che quello che importa non è  la simmetria della natura (?)  o dello 
spazio vuoto (?) ma delle interazioni o di alcune interazioni di un 
particolare sistema fisico  e delle equazioni del moto.
Gli ingredienti essenziali sono cioè  F=ma +  alcune proprietà  delle 
forze.  In assenza anche di uno solo degli ingredienti di conservazione 
di momento agolare non se ne parla più.
Inoltre,  con  la mia formulazione pedante, rendo chiaro che questa 
connessione  non è  per nulla banale (almeno allo stato attuale delle 
conoscenze). Per cui,  per comprenderla, occore impadronirsi del 
formalismo adatto.
Giorgio

 principio di Newton non sarebbe corretto.
Sono anch' io di fretta  e mi limito a commentare questa tua 
affermazione. Se hai appena detto che sono relazioni vettoriali, perchè 
  sostieni che F1 = -F2 non sta dicendo che le forze sono uguali e 
contrarie e agiscono sulla stessa retta di azione ?
Mi sembra che neghi un' evidenza.
Giorgio


Faccio  presente che il momento angolare non sempre si conserva per
istemi isolati, penso ad esempio all'hamiltoniana di un fermione libero
di massa zero: lo spin non commuta con H, pero' si conserva la
componente di spin lungo la direzione di moto, la cosiddetta elicita'.
Un altra considerazione piu' di carattere filosofico: ti chiedi perche'
si conserva il momento angolare come se questo fosse qualcosa di dato
dall'esterno che, stupore, appunto si conserva. Secondo me invece e'
l'uomo che costruisce, si interessa, delle grandezze che si conservano
perche' aiutano a rispondere a molte domande complicate. Se leggi della
natura fossero diverse credo che i fisici cercherebbero comunque
grandezze conservate dando loro un qualche nome. Che senso avrebbe
allora chiedersi perche' si conservano?
La domanda pero' potrebbe diventare: perche' la natura e' tale che
riusciamo a comprenderla almeno in parte attraverso anche le leggi
conservazione? Anzi perche' comprendiamo almeno in parte le leggi di
Natura? Da qui in poi credo si cambi NG.
Una ultima considerazione antropica-filosofica: io credo che siamo noi
uomini che guardiamo la natura e che cerchiamo nelle manifestazioni
fisiche delle regolaria', delle analogie, dei legami. Non dobbiamo
stupirci quindi se con il linguaggio con cui proviamo a descrivere il
mondo troviamo quindi cose tanto semplici e regolari come le leggi di
conservazione: sono il frutto di secoli di studi dell'uomo sul libro
della natura.
Saluti.

 Mi sembra che neghi un' evidenza.
Due vettori uguali in modulo, verso opposto piazzati su due rette parallele, 
per esempio.
Ciao,
fadeh 

 per esempio.
OK, risultato dell' aver violato il principio  "mai rispondere se non si 
ha tempo di far mente locale" :-(
A piů tardi.
Giorgio

invariante per rotazioni" č  un po' troppo vago.  
verissimo, ma volevo lasciare un po' di suspence per invogliare il
lettore a cercare di capire la questione partendo da lě.
-- 
Rob
"Qualcuno doveva aver calunniato Josef K. perchč una mattina, senza che avesse fatto nulla, venne arrestato."

 formalismo adatto.
I agree.
Per tornare all'OP, se e quando riuscira' a farmi capire che cosa
vorrebbe, potro' anche provare a rispondergli in modo diverso da come
gli e' gia' stato risposto.
 
-- 
Elio Fabri

[snip]
Si, sono d'accordissimo con voi, la storia sui teoremi di Noether era una 
cosa un po' buttata li' tanto per dire: ci sono, non li conosco ma sembrano 
interessanti. Quello che pensavo fosse "utile" era tutto l'altro pezzo...
Ciao,
fadeh 

 necessario infatti non abbiamo fatto assunzioni in proposito. 
Non è  completamente vero. Newton dice "Actioni contrariam semper et 
æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo 
semper esse æquales et in partes contrarias dirigi." Molto liberamente, 
  sta dicendo che le forze tra due corpi sono ad ogni istante mutuamente 
uguali e contrarie.
Non so se Newton avesse in mente casi  espliciti  in cui le forze non 
fossero sulla stessa retta d' azione. E' un fatto però  che il terzo 
principio lo enuncia in questa che è  la cosiddetta foma debole (e più 
generale). In questa forma è  completamente equivalente alla 
conservazione del momento.
Tu stai considerando come terzo principo la forma forte in cui si 
richiede anche la stessa retta di azione (che è  il caso delle forze 
centrali). Convengo con te che la sola conservazione del momento non 
basta per dimostrare la terza legge in questa variante.
Giorgio

 componente di spin lungo la direzione di moto, la cosiddetta elicita'.
Se fosse vero che ci sono sistemi isolati in cui il mom. amg. non si
conserva, sarebbe un fatto a dir poco sconvolgente...
Ma non e' cosi'.
Intanto quello che dici succede anche per fermioni dotati di massa,
nel senso che se nell'usuale rappresentazione della teoria di Dirac
calcoli il commutatore di H con sigma, non e' nullo.
Il problema e' pero' duplice:
a) Sigma da solo (se volgiamo essere precisi, hbar*sigma/2) non e'
tutto il mom. angolare: c'e' la parte orbitale r x p. Se consideri
anche quello, la somma
J = r x p + hbar*sigma/2
si conserva e come.
b) Ci sarebbe da discutere sull'interprpetazione di hbar*sigma/2 come
"spin": conosci la trasf. di Foldy-Wouthuysen?
E' vero che in ogni caso (massa nulla a no) sigma.p si conserva, ma
questo succede perche' coincide con J.p e J, p sono entrambe costanti
del moto per la particella libera.
Quello che e' caratteristico della massa nula e' il fatto che
l'elicita' e' un _invariante relativistico_; cosa che non accade per
fermioni massivi.
 
-- 
Elio Fabri

 fermioni massivi.
Questo lo devo verificare ma non dovrebbe essere un problema.
Per verificare le affermazioni di cui sopra ho preso l'hamiltoniana
H=gamma^0(somma_i  gamma^i.p^i -m)
che viene prendendo l'equazione di Dirac per lo spinore psi(x) e
scrivendola in forma di evoluzione temporale alla schroedinger.
Questo pero' mi fa nascere la domanda seguente: come dovrei procedere
se volessi verificare la legge di conservazione del momento angolare in
teoria dei campi dove psi(x) e' un operatore e l'hamiltoniana e' quella
nota di Dirac?
Grazie e saluti.

 momento angolare totale J fosse conservato mentre lo spin no.
....
Un momento argo. Lo spin si conserva!
Io mi riferisco qui allo spin degli elettroni relativistici
descritti in prima  quantizzazione.
Lo spazio di prima quantizzazione è un prodotto tensoriale
L^2(R^3) x C^2   (trascuro lo spazio C^2 di carica che produce
i bispinori di Dirac e permette di introdurre l'inversione di parità).
Gli operatori di spin sono definiti nel C^2 tramite le solite matrici
di Pauli
(tuttavia gli operatori che generano il  boost mischiano i due spazi
come deve essere non  esistendo rappresentazioni finitodimensionali
 *unitarie* del gruppo di  Lorentz).
Il primo spazio L^2 è quello dell'impulso definito sull'iperboloide di
massa
o in R^3 a seconda dei gusti. L'Hamiltoniano è
H = sqrt{P^2 +m^2} e
agisce solo in tale spazio, per cui COMMUTA con gli operatori di spin.
FINE
Il punto è, come si scrivono gli operatori di spin in seconda
quantizzazione?
(una volta noti questi, riducendosi allo spazio ad una particella
a carica definita si devono  trovare i soliti operatori di spin).
L'idea ingenua è quella di usare il teorema di Noether e identificare
lo spin con la parte locale dell'integrale primo che si ottiene
dall'invarianza
per rotazione, prendere l'ordinamento normale fermionico e basta.
Se ricordo bene (ma potrei sbagliarmi), la cosa per questa via NON
funziona direttamente,  mi pare  che venga proprio il termine discusso
da argo che non è conservato. Non mi ricordo più come se ne esce
dato che mi ero  occupato di questo casino quando ero studente
avendo notato il problema, ma, ricordo bene  che quando se ne esce
si trova lo spin "vero" che ho detto all'inizio. (però ora mi confondo
un pò
con calcoli  analoghi che avevo fatto per l'elicità, ma mi sembra che
il casino
sia legato al fatto che gli operatori di creazione e distruzione
anticommutino
invece di commutare, la stessa cosa che accade con la carica e
l'energia
che cambiano in seconda quantizzazione la prima diventando indefinita
e la seconda diventando definita positiva, se si tiene conto
dell'anticommutazione)
Ora non ho i miei vecchi appunti per andare a vedere come avevo fatto.
Se Elio non  risponde prima lui, magari domani in ufficio guardo cosa
avevo scritto. 
Ciao, Valter

 Mi e' venuta in mente questa domanda.... perche' si conserva ?
Secondo me la domanda e' piu' che legittima.
Sto studiando anche io queste cose e proprio oggi ci ho sbattuto un po' la 
testa.
Premetto che sono cose che non ho chiarissime ma sono convinto che qualcuno 
estremamente piu' autorevole interverra' in questa discussione.
Noi viviamo in quello che definiscono spazio *omogeneo* e *isotropo* (piu' 
tante altre proprieta' ma per ora ci interessano queste) il che significa 
rozzamente che tutti i punti sono "uguali" e che non c'e' una direzione 
privilegiata (simmetrie per rototraslazione).
Prendi due punti isolati (senza forze esterne) la loro quantità di moto 
totale si conserva e vale P = p1 + p2 = mv1 + mv2 = costante. Se derivi 
rispetto al tempo ottieni che F1 + F2 = 0 ==> F1 = -F2 (sono tutte relazioni 
vettoriali). Questa, a prima vista, sembra nient'altro che la terza legge 
della dinamica di Newton. Ma non e' cosi': infatti la terza legge di Newton 
afferma che le forze uguale e contrarie agiscono sulla stessa retta d'azione 
mentre nella formula che ho scritto prima questo non e' assolutamente 
necessario infatti non abbiamo fatto assunzioni in proposito. ù
In poche parole: se si conservasse soltanto la quantita' di moto il 
principio di Newton non sarebbe corretto.
Consideriamo sempre questi due punti e calcoliamo il momento angolare 
considerando come polo un punto qualsiasi, anche non fisso.
Dopo tutti i calcoli (che ometto perche' li trovi su qualunque libro) 
ottieni: dL/dt = -v0 x m v_cm + M_e + M_i (dove: v0 = velocita' del polo, x: 
prodotto vettoriale, m: massa, v_cm: velocita' del centro di massa, M_e: 
Momento delle forze esterne, M_i: Momento delle forze interne).
Se ci poniamo nel caso semplice, cioe' quello col polo fermo, il primo 
termine va via. Se consideriamo il sistema isolato va via anche il secondo. 
Rimane dL/dt = M_i ma sperimentalmente si verifica che in un sistema isolato 
il momento angolare si conserva quindi M_i *deve* essere anch'esso nullo. 
(Qui ci vorrebbe il disegnino) Il momento delle forze interne deve essere 
nullo e questo puo' avvenire solo se le forze che agiscono su i due punti 
sono uguali, contrarie e agenti sulla stessa retta d'azione.
Se valgono entrambe conservazione della quantita' di moto e conservazione 
del momento angolare ottieni il principio di Newton
E' gia' un passo avanti.
Ma non e' finita perche' qualcuno di estrema intelligenza, suppongo, ha 
dimostrato che ad ogni legge di conservazione corrisponde una proprieta' (o 
simmetria, non so usare i termini esatti. So che esistono questi teoremi ma 
non so assolutamente capirne la dimostrazione ne' la potenza ecc. Li ho 
scoperti oggi e sono rimasto abbagliato) dello spazio. Come avrai gia' 
capito:
Conservazione della quantita' di moto -> spazio omogeneo
Conservazione del momento angolare -> spazio isotropo.


 quantizzazione?
Percio' direi che la seconda quantizzazione non c'entra.
Si potrebbe obiettare: da dove piove il requisito di localita'?
Risposta: dal fatto che quando vai a introdurre l'interazione e.m.,
solo se lo fai sulla forma locale di Dirac ottieni accordo coi fatti
sperimentali.
 
-- 
Elio Fabri


Qui non sono del tutto in accordo, però non ho tempo per spiegarmi
bene. Dico solo che la procedura che segui io da studente per ricavare
la forma "corretta" dello spin e dell'elicità in termini di funzioni
d'onda
era quella di  costruire lo spin nello spazio di Hilbert ad una
particella
con la teoria delle rappresentazioni, passare in seconda
quantizzazione,
mettere l'ordinamento normale (che per i fermioni fa comparire dei
segni
meno) e leggere il risultato in prima quantizzazione (operatori
di creazione e distruzione = semplci coefficienti di Fourier) tenedomi
però i segni meno. Ovviamente bisogna lavorare con funzioni d'onda
che hanno solo frequenze positive (indipendentemente dalla carica).
Si vede così che l'espressione dello spin ottenuta dal  teorema
di Noether è sbagliata se si vuole interpretare il campo di Dirac come
"funzione d'onda di una particella".
Comunque viene fuori una teoria non locale (infatti è una cosa del
tipo
Newton-Wigner) che è unitariamente equivalente a quella che hai citato
tu.
Non dico altro perché i miei ricordi sono troppo fumosi e non ho
tempo di rileggere gli appunti (centinaia di pagine che scrissi da
studente
cercando di fare luce su queste cose)
Ciao, Valter

ilt...@libero.it
 ha scritto:

Non credo di essere all'altezza di risponderti ma forse se qualcuno sa
rispondere alla seguente domanda puo' andare vicino anche a rispodere
alla tua:
se ruoto le braccia significa che c'e' un SR fisso (inerziale) che non
ruota, e cioe' quello che comunemente si intende con le "stelle fisse".
Supponiamo che questo non ci sia, ovvero che io sia nel vuoto assoluto.
Chi mi dice che sto ruotando se non ho nulla a cui fare riferimento?
Succede la stessa cosa?
Stessa domanda si puo' fare con l'esperimento classico del secchio
pieno d'acqua: ruoto velocemente il secchio, all'inizio l'acqua sta
ferma. Poi per via dell'attrito l'acqua ruota con la velocita' angolare
del secchio e si deforma aderendo alle pareti. Ora fermo di colpo il
secchio e l'acqua continua a ruotare finche' non si ferma per attrito.
Questo succederebbe anche nel vuoto assoluto? Chi dice all'acqua di
aderire alle pareti, come fa a sapere se sta girando se non c'e'
intorno alcuna materia "ferma" a cui fare riferimento?

 lo spin "vero" si deve conservare
Ma siete sicuri che lo spin si conservi?
Dalla simmetria sotto trasformazioni di Poincare' sappiamo che ci sono
10 operatori hermitiani che generano le trasformazioni unitarie sullo
spazio di Hilbert degli stati: P^{\mu} per le traslazioni e J^{\mu\nu}
per la parte omogenea, che soddisfano certe regole di commutazione.
]Tra queste che P^0 (che e' l'Hamiltonina H perche' genera le
traslazioni temporali) commuta con P^i (conservazione dei generatori
delle traslazioni spaziali quindi dell'impulso) e con le componenti
J^i=epsilon^{ijk}J^{jk} (conservazione momento angolare totale che
genera le rotazioni).
Mi sembra che in tutto questo lo spin  non entra perche' siamo ancora a
livello algebrico, anzi lo spin si definisce proprio scegliendo una
rappresentazione delle rotazioni che  sono classificate da numeri
0,1/2,1,... Che senso ha chiedersi dunque se lo spin S^i si conserva?
Anzi chi e' lo l'operatore di Spin nello spazio di Hilbert?
Per descrivere fermioni si usera' una certa rappresentazione
semidispari, per descrivere bosoni si usera' invece una
rappresentazione intera.
Sto facendo confusione?
Ancora, passando dagli stati ai campi abbiamo che sull'operatore di
campo psi(x) una trasformazione di Poincare' x-->Lx+a agisce in maniera
lineare
psi(x)-->U^(-1)(L,a)psi(x)U(L,a)=M(L)psi(Lx+a)
dove M(L) e' una matrice che fornisce una rappresentazione del gruppo
di Lorentz: e' qui che si sceglie lo spin decidendo quale
rappresentazione usare per le rotazioni (poi c'e' il teorema
spin-statistica che vincola questa scelta alle proprieta' statistiche)
Il fatto che lo spin si conservi mi sembra piu' una questione
cinematica che dinamica (la sto sparando grossa?). Penso ad esempio ad
uno stato a piu' paricelle in cui avremo il prodotto tensore delle
rappresentazioni quindi la somma dei momenti angolari J^i e le regole
di Clebsch-Gordan.
So che sono stato un po' vago ma probabilmente se sapessi esprimermi
meglio potrei anche rispondermi da solo. 
Grazie e saluti.

 intorno alcuna materia "ferma" a cui fare riferimento?
Appurato che nel vuoto succede la stessa cosa, continuo a non capire dove 
sta il problema del "principio di Mach" e perchè dobbiamo ricorrere a strani 
effetti "gravitazionali" distanti per spiegare gli effetti manifestati da un 
corpo in rotazione.
Se consideriamo il corpo in rotazione come "unico", allora è indispensabile 
ricorrere ad un sistema di riferimento esterno per poter asserire che esso 
ruota, ma nella realtà i corpi che ruotano sono insiemi di "particelle" 
tenute insieme da forze e sono solo gli aggregati che possono "ruotare". Si 
può forse parlare di rotazione per un atomo? Quindi il sistema di 
riferimento è intrinseco all'insieme; ad esempio le particelle agli estremi 
di un disco in rotazione si muovono in direzione opposta (naturalmente 
ognuna rispetto al sistema di riferimento dell'altra) e per inerzia 
tenderebbero ad "andare diritte", sono i legami molecolari a costringerle a 
"curvare"; la conservazione del momento angolare non è che la conservazione 
della quantità di moto di ogni particella. In pratica: nulla si crea, nulla 
si distrugge.
Quindi, a mio vedere, il sistema di riferimento corretto non è dato dalle 
"stelle fisse", ma dall'insieme dei sistemi di riferimento delle particelle 
componenti il corpo. D'altro canto, anche nel vuoto (o meglio vuoto senza 
gravità) sarebbe facile capire se il disco ruota (come l'osservatore) o "è 
fisso": basterebbe versarvi sopra un liquido e vedere cosa succede.
Ma le cose non sono certo così banali.... Cosa non ho capito? 

 Ma le cose non sono certo così banali.... Cosa non ho capito?
Questo esperimento nessuno l'ha mai fatto (nel vuoto assoluto intendo).
Il problema e' proprio questo.
Non capisco bene cosa intendi per insieme di sistemi di riferimento. Un
sistema di riferimento certamente lo puoi prendere anche nel vuoto, ma
da qui a capire se e' inerziale o no c'e' un passaggio non banale. Se
il secchio ruota rispetto al SR e l'acqua si deforma significa che il
SR secondo il nostro modo di pensare e' fermo, ma fermo rispetto a
cosa? Non stiamo parlando di vuoto nel senso di assenza di gravita' o
di aria, ma nel senso di mancanza assoluta di materia. Supponi che
anche l'osservatore giri insieme al secchio: se non c'e' materia
attorno a cui fare riferimento, e' come se fosse tutto fermo quindi la
contraddione e' che sia il sistema "fisso" se cosi' si puo' chiamare
sia quello rotante apparentemente sono inerziali

 sia quello rotante apparentemente sono inerziali
E' l'esempio che avevo fatto, sia il secchio sia l'osservatore "girano 
insieme" nel vuoto: non considerando gli effetti che anche l'osservatore 
percepirebbe (si sentirebbe "stirare", ad alta velocità sarebbe un buon 
sistema per aumentare di statura...) potrebbe capire che il sistema sta 
ruotando proprio dal disporsi dell'acqua nel secchio. Non consideriamo il 
secchio come un corpo, ma come insieme di particelle. Proviamo a ingrandire 
il sistema: sempre nel vuoto hai una coppia di pianeti legati dalla sola 
forza gravitazionale, sappiamo che essi ruotano intorno al "centro comune di 
massa" (semplifico) e tu rispetto allo stesso asse ruoti alla stessa 
velocità. Non hai altri sistemi di riferimento, come puoi capire che il 
sistema ruota e non è fisso? Semplicemente osservi che i due pianeti non 
stanno dirigendosi uno verso l'altro ma "mantengono una certa distanza", 
sapendo le masse dei due pianeti e la distanza fra questi puoi quindi 
calcolare la reciproca velocità: indubbiamente stiamo ruotando! Stessa cosa 
fra le particelle nel disco, solo che al posto della gravità giocano le 
forze molecolari.
Se ho ben capito il vero "problema di Mach" è *perchè esiste* l'inerzia. Ma 
qui forse qualcuno più "dotto" di noi può darci qualche delucidazione. 

 qui forse qualcuno più "dotto" di noi può darci qualche delucidazione.
Io riassumerei cosi': ci sono due sistemi di riferimento nel nulla
assuluto, uno dei quali e' inerziale, diciamo SR1. Ora, prendiamo un
altro sistema  SR2 che ruota con velocita' angolare uniforme rispetto a
SR2. Perche' questo non dovrebbe essere inerziale? Ossia: se non ci
sono le "stelle fisse" come facciamo a dire che SR1 e' un sistema
privilegiato rispettoa s SR2?
Non sono sicuro che esista la risposta a questa domanda, ma in materia
sono abbastanza ignorante. Qualcuno ne sa di piu'?

 sono abbastanza ignorante. Qualcuno ne sa di piu'?
In attesa di una puntualizzazione "esperta", vorrei sapere se concordi che, 
mentre il sistema su cui fissi SR1 può essere approssimato puntiforme e 
indivisibile, il sistema  SR2 se ruota *deve* essere composto da almeno due 
parti e da una qualche forza che lega le parti. Sarà una constatazione 
banale ma, sempre a mio vedere, mi sembra il nocciolo della questione. 
Naturalmente parlando di sistemi fisici, non di astrazioni matematiche. 

 Sto facendo confusione?
No, questo e' appunto l'approccio alla Newton-Wigner: si definisce
"sistema elementare" una rappr. irriducibile del gruppo di Poincare'.
Dato che gli invarianti di Casimir del gruppo sono due: m^2 e
m^2*s*(s+1) (a parte il caso eccezionale m=0) un sistema elementare e'
caratterizzato da un valore della massa e da un valore dello spin.
Scegliamo s=1/2, e andiamo a costruire esplicitamente la rappr.
(unitaria) del g. di P. Avremo uno staio di Hilberto dove sono
definiti in modo naurale (come hai detto) energia, impulso, momento
angolare, e altre tre osservabili, che sono i generatori delle
"accelerazioni" (boosts).
Il gioco e' che a partire da questi puoi costruire in modo univoco,
col solo requisito delle relazioni di commutazione, le osservabili di
posizione R.
Dopo di che definisci "spin" S^i = J^i - (RxP)^i.
E' ovvio che commuta con H = P^0.
Ovviamente se procedi cosi non troverai affatto l'usuale rappr. di
Dirac, bensi' quella di Foldy.
 
-- 
Elio Fabri

 Naturalmente parlando di sistemi fisici, non di astrazioni matematiche.
Non vedo perche' ci dovrebbe essere questa distinzione.
Secondo me per lo scopo che ci stiamo prefiggendo, cioe' capire se uno
dei sistemi e' privilegiato e inerziale, bisogna che non sia
puntiforme. Anzi, non vedo come un sistema di riferimento possa essere
puntiforme. Forse non ho capito cosa vuoi dire; comunque ho
l'impressione che se non parli di hamiltoniane, lagrangiane e meccanica
quantistica nessuno qui si infiamma... chissa' se qualcuno rispondera'
(e' una provocazione? yes!)
ciao

 Alberto
Probabilmente fra tutti i post ricevuti c'è anche la risposta che
cercavi, comunque per quanto possano valere, ecco i miei 2 cents...
il mio professore di fisica sosteneva ( e sostiene) che, al di la delle
formule, il 'motivo' fisico è il seguente:
- il momento angolare si conserva perchè lo spazio (vuoto) è
isotropo, e la quantità di moto si conserva perchè lo spazio  (vuoto)
 è omogeneo
Se lo spazio è omogeneo, chi glielo dice al tal corpo che ha già
percorso tot km ed è ora di fermarsi? nessuno, quindi lui procede di
moto rettilineo uniforme...
Per  dirla tutta, tirava il gesso in aula e diceva ' vedete? non è
andato di moto rettilineo uniforme perchè in quel punto lo spazio non
è omogeneo' In genere non era omogeneo perchè c'era il muro. Altre
volte le nostre zucche.

 volte le nostre zucche.
Non mi convince.
Perché allora la "spiegazione"  coinciderebbe col fatto che in assenza 
di forze  (il muro, il "qualcosa che glielo dice...") la quantita'  di 
moto si conserva.  Che bisogno c'e' di scomodare l' omogeneita'  dello 
spazio ?
E se il moto non è  circolare uniforma come la mettiamo con la 
conservazione del momento angolare ? Eppure il m.angolare si conserva 
anche in moti non circolari...  Quale "anisotropia dello spazio" 
direbbe ad un pianeta quando è  ora di rallentare e quando accelerare?
Scusa l'  intervento polemico (non nei tuoi confronti naturalmente ma di 
quanto riporti dal tuo prof) ma,  come avevo osservato altrove in questo 
thread, le storie dell' omogeneità  o dell'  isotropia dello spazio 
(vuoto) sono delle leggende metropolitane che infestano una didattica 
che a volte tende ad essere un po'  troppo approssimata.
Naturalmente,  chissà  quanto è  infestata da approssimazioni la *mia* 
didattica :-)
Giorgio

 nessuno qui si infiamma... chissa' se qualcuno rispondera'
Direi che ci sono 3 possibilità:
1) Stiamo dicendo delle sciocchezze
2) Stiamo dicendo banalità, non vale la pena di intervenire
3) La questione non è facile come sembra
Quale accendiamo?

 Giorgio
Acc. che peccato, mi era sembrata una spiegazione fisica abbastanza
convincente...
Penso comunque che la responsabilità sia mia, sicuramente ho omesso o
dimenticato qualcosa circa la spiegazione originale
Vatti a fidare della tradizione orale...