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Titolo: equivalenza O(3) con SU(2)

Carissimi,
sto studiando l'equivalenza (forse è più corretto dire omeomorfismo?) tra il
gruppo delle rotazioni O(3) in uno spazio tridimensionale euclideo e il
gruppo SU(2) delle matrici unitarie con determinante uno.
E' difficile spiegarmi a parole ma ci provo. Per fare ciò ho considerato la
matrice unitaria U 2x2 che dipende solo da due parametri a e b. L'ho
applicata a uno spinore a due componenti e ho notato che ci sono due spinori
che si trasformano nello stesso modo sotto trasformazione unitaria con det =
1. Quindi entrambi sono due elementi del gruppo SU(2). Anche gli hermitiani
coniugati si trasformano nello stesso modo. Ora prendendo il prodotto dello
spinore csi per il suo hermitiano coniugato csi croce posso dire che questo
(il prodotto) si trasforma come il prodotto di quello equivalente per il suo
hermitiano coniugato sotto SU(2). In questo modo arrivo a definire una
matrice H a traccia nulla che pero non è hermitiana e non mi pare nemmeno
unitaria (correggetemi se sbaglio) ma è importante perchè sotto SU(2) si
trasforma come il prodotto tra l'hermitiano coniugato dello spinore e lo
spinore stesso.
Adesso cosa faccio? Voglio costruire una matrice sempre a traccia nulla che
si trasforma sotto SU(2) esattamente come H, quindi come il prodotto csi
croce csi. Questa matrice che chiamo h è proprio il prodotto scalare tra il
vettore delle tre matrici di Pauli e il vettore posizione (x, y, z). A
differenza della H, h è hermitiana ma non mi pare essere unitaria (a meno di
un segno). Quindi siccome dico che sotto SU(2) si trasforma come la H (in
realtà dovrei dimostrarlo), allora anche la matrice trasformata h' rimane
hermitiana e a traccia nulla e ha come det 1 (Quest'ultimo passaggio mi
sembra poco chiaro) Dall'uguaglianza dei determinanti ricavo che il modulo
quadro del vettore posizione rimane costante. Quindi è una rotazione. Quindi
concludo dicendo che una trasformazione SU(2) su uno spinore in uno spazio
complesso bidimensionale equivale a una trasformazione O(3) su un vettore
posizione. O(3) è quindi equivalente a SU(2).
Di questa dimostrazione, fatta nel capitolo 2 del quantum theory (credo) non
capisco un paio di cose.
1) Sulla base di cosa posso identificare la matrice H con h?
2)Le due matrici si trasformano allo stesso modo sotto SU(2), cioè sotto
trasformazioni unitarie con determinante 1 ma come faccio a dire che in
virtù di questo fatto la trasformazione conserva il carattere
dell'hermeticità se H non è hermitiana??
3) Nella dimostrazione a un certo punto dico che la trasformazione unitaria
su h induce una rotazione del vettore posizione. Per fare ciò basta che
faccia vedere che il modulo quadro del vettore posizione si conservi?? Ma
allora mi basta la condizione sul determinante, no?
Spero che qualcuno mi riesca a capire. Altrimenti date un'occhiata al
quantum paragrafo 2.3.
Cordiali saluti,
Filiberto
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 quantum paragrafo 2.3.
Faccio prima a ricominciare daccapo...
Partiamo da uno spazio C^2 (gli spinori), su cui facciamo agire le
matrici di SU(2).
L'elemento generico di SU(2) e' una matrice 2x2 unitaria e a det. 1.
Si puo' dimostrare che una tale matrice dipende da tre parametri
reali: per es. la puoi scrivere cosi':
U = cos(phi/2) + i*sin(phi/2)*(n.s)
dove n e' un vettore 3-dim. reale, s e' il vettore delle tre matrici
di Pauli, (n.s) indica l'ordinareio prodotto scalare di R^3.
Il parametro phi va da 0 a 2pi.
La piu' generale matrice hermitiana a traccia nulla su C^2 si scrive
invece:
H = (x.s)
dove x e' un elemento di R^3: esplicitamente potrei scrivere
H = x_1 s_1 + x_2 s_2 + x_3 s_3.
Osserva che det H = -(x.x).
Nel seguito per comodita' indichero con M' la matrice inversa di M,
con M" la sua hermitiana coniugata. Di conseguenza per una matrice
unitaria U' = U".
Se ora calcoliamo
K = U" H U = U' H U  (1)

 spinore stesso.
Mi sembra che ci siano due cose mescolate. csi x csi+ è hermitiana,
non è però unitaria, invece csi+ x csi è un numero. Trasformando
csi con la moltiplicazione a sinistra per U e csi+ con la moltiplicazione a
destra per U+ risulta che il prodotto csi+' x csi' = csi'+ x csi' = csi+ x
csi è
conservato. Mentre csi' x csi'+ rimane hermitiano. Quindi
la matrice a traccia nulla, costruita secondo la ricetta indicata prima
rimane una matrice a traccia nulla.
Appena un poco in generale quello che c'è alla base di tutto questo
è la struttura di algebra di Clifford associata agli spazi euclidei. Motivo
per cui in verità anche SU(N) agirà sulle matrici hermitiane N x N che
risultano dal prodotto di csi x csi+ - (csi+ x csi) Id/2 , con csi elemento
di C^N conservando la traccia nulla, il prodotto scalare definito come
prima e la norma unitaria. La dimensione dello spazio vettoriale
euclideo associato sarà 2N - 1. (che fa tre se N=2). Quindi analogamente
a prima che SU(2) -> SO(3) Ed SU(N) -> SO(2N-1)


 a prima che SU(2) -> SO(3) Ed SU(N) -> SO(2N-1)
Scusate. Questa generalizzazione è evidentemente improbabile
dettata da una considerazione piuttosto superficiale. Infatti in
generale non è vero che le matrici (csi x csi+ - csi+ x csi) sebbene
hermitiane
a traccia nulla, diano luogo ad un prodotto scalare mediante forma
simmetrica. Questo come dicevo, discende dall'algebra
anticommutativa a cui obbediscono le matrici di Pauli.
 
La generalizzazione passa appunto per la considerazione
dell'algebra di Clifford. Se uno spazio euclideo 3 dimensionale
ha associato un vettore con due grandezze complesse (z1, z2)
non lo stesso si verifica invece per un generico numeri dispari
di dimensioni allorchè le grandezze spinoriali associate
per 2n+1 dimensioni sono 2^n. Esiste allora effettivamente
un modo di costruire delle matrici di dimensione 2^n che
verificano le proprietà di prima. Ovvero il quadrato sarà la
norma per l'identità il prodotto simmetrico sarà la semi somma
del prodotto delle matrici associate. (ovvero queste matrici
anticommutano come le matrici di Pauli).
Tuttavia l'azione del gruppo su queste matrici non sarà semplice
come prima, perchè diversamente che nel caso 3 dimensionale
l'azione del gruppo delle rotazioni su queste matrici, che ne
forniscono evidentemente una rappresentazione, non è più
irriducibile, ma risulta nella somma di una parte scalare (che
nel caso 3 dimensionale toglievamo togliendo la traccia) una
parte vettoriale, .... fino a grandezze tensoriali di rango N (che
se N = 1 come nel caso 2N+1 = 3 risultano essere appunto i
vettori).
Lasciando da parte questo seguito spero che la parte precedente
fosse comprensibile.


 H = (x.s)
Esattamente!! Questa matrice H che stai prendendo in considerazione è la mia
h!! Finalmente iniziamo a capirci. Se provi a scriverla ha questa forma:
                                                             z x - iy
 
                                                           x + iy -z
Sotto trasformazioni SU(2) questa h viene mandata in U h U+ che possiamo
chiamare h'. Ora siccome i determinanti delle matrici hermitiane sono uguali
a 1
det h = det h'
Quindi
x ' ^2 + y ' ^2 + z ' ^2 = x ^2 + y ^2 + z ^2
Il libro conclude dicendo che un trasformazione unitaria sulla matrice h
induce una rotazione nel vettore posizione n, come l'hai chiamato tu. Adesso
dice che si possono identificare le due matrici H e h. E' solo identificando
queste due matrici che fa l'omeomorfismo tra SU(2) e O(3). Dice che una
trasformazione SU(2) su uno spinore complesso equivale a una trasformazione
O(3) (e non SO(3) come dici tu elio) su un vettore tridimensionale n. Lega
infine le componenti del vettore a quelle dello spinore.
Il segreto sta nell'identificazione dei quelle due matrici. Mi capisci
meglio ora???
Ciaooo


 a prima che SU(2) -> SO(3) Ed SU(N) -> SO(2N-1)
Ops. Come già dicevo. La generalizzazione si può effettivamente
costruire a partire dall'algebra di Clifford, ma l'esito non è quello
che ho scritto qui. In generale avremo che sugli spinori agisce un
gruppo Spin(2N+1) che fornisce per ragioni analoghe a prima
un doppio rivestimento di SO(2N+1). Nel caso 3 dimensionale,
in particolare l'azione sugli spinori che sono a due componenti
risulta formire la rappresentazione SU(2) bidimensionale di Spin(3).
In generale. Si hanno poi una serie di fenomeni che riguardano
2N+1 rispetto ai numeri 4 ed 8. Per cui il caso N = 3 mod (4)
differisce dal caso N = 2,1 mod(8) e questi tre da tutti gli altri
casi per il numero di rappresentazioni irriducibili inequivalenti.


 a prima che SU(2) -> SO(3) Ed SU(N) -> SO(2N-1)
L'algebra di Clifford non l'ho mai sentita. Ho studiato l'algebra di Lie, di
Cartan ma Clifford mi manca. Chi era?
Comunque mi pare una generalizzazione molto molto interessante anche se
forse più da matematici che da fisici. Sbaglio??
Grazie per la tua interessantissima risposta. C'è sempre qualcosa da
imparare da te.
Spero che ce ne siano altre.


 tridimensionale n.
Lo dico perche' e' cosi', c...o!
Fai una cosa: la matrice diag(-1,-1,-1) appartiene a O(3). Ora prova a
costruirla nel modo che dici.
Poi prova a dimostrare che non si puo'...
 
-- 
Elio Fabri

 Poi prova a dimostrare che non si puo'...
Mi verrebbe da dire che questa matrice mi manda un generico vettore nel suo
simmetrico rispetto all'origine delle coordinate. Per esempio se prendo un
vettore nel piano xy mi ruota il vettore di 180 gradi. Adesso io voglio
vedere se c'è una corrispondente matrice unitaria con determinante uguale a
1 che corrisponda a questa rotazione. Direi che esiste e che è la matrice
2x2 diag (i , - i). Questa matrice è unitaria, ha determinante 1, quindi
appartiene al gruppo SU(2) e corrisponde a una matrice di rotazione di 180
gradi nel gruppo O(3). Dimmi dove sbaglio...
Grazie per la risposta.


Salve a tutti mi chiamo Antonio. Per aiutare la vostra discussione vi
dico che il libro indicato da Filiberto è
"Quantum field theory" di Lewis H. Ryder. Effettivamente parla sempre
di O(3).
A questo punto sarei anch'io molto curioso di sapere perchè nel libro
di cui sopra viene indicato O(3) quando ho sempre sentito SO(3).
Si tratta di omorfismo perchè la relazione di commutazione tra i
generatori dei due gruppi è la stessa?
Perchè non è un omeomorfismo?
Falabella Antonio


OK, facciamo un pò di chiarezza su tutta questa questione.
Prendiamo due gruppi di Lie G e G' supponiamo che i due gruppi di Lie
* abbiano *la stessa* algebra di Lie g=g', più precisamente
assumiamo che esista un isomorfismo di algebre di lie f : g -> g'.
(In pratica, supponiamo che nell'algebra di Lie di G esistano N
generatori X1,...,XN con
[Xi,Xj] = Cij^k Xk               (somma sugli indici ripetuti)
e che
nell'algenra di Lie di G' esistano N generatori X'1,...,X'N con
[X'i,X'j] = Cij^k X'k
per cui le costanti di struttura Cij^k sono *le stesse* per i due
gruppi, e quindi l'unica applicazione lineare f : g -> g'  individuata
da
f(Xi) = X'i è un isomorfismo di algebre di Lie. Viceversa se esiste un
isomorfismo di algebre di Lie si possono sempre trovare delle basi
nelle
due algebre di lie in modo da avere le stesse costanti di struttura.)
L'esempio tipico è G = SO(3) e G' = SU(2). I generatori sono
rispettivamente le tre matrici che generano le rotazioni attorno agli
assi S1,S2, S3
e le tre matrici di Pauli (con un coefficiente mi pare dato da i/2).
Le costanti di struttura sono in questo caso date dal simbolo di Ricci
epsilon_ijk
completamente antisimmetrico. Se allarghiamo SO(3) a O(3), il gruppo
ottenuto cessa di essere connesso, ma l'algebra di Lie rimane *la
stessa* (la parte aggiunta a SO(3) per formare O(3)  NON contine
l'dentità), per cui non è fondamentale parlare di SO(3) invece che di
O(3), anche se i
risultati più fini si ottengono scegliendo SO(3) come dirò sotto.
Esiste un teorema generale, dovuto a Lie, che dice che quando le
algebre di lie g e g' sono isomorfe secondo f, esiste anche un
diffeomorfismo
*locale* F da un intorno dell'indentità J di G ad un  intorno
dell'identità di J' di G', che conserva la struttura (locale) di
gruppo.  F è unicamente individuato dalla richiesta che l'applicazione
che F : J ->J'  induce tra le algebre di Lie  coincide proprio con f :
g->g' assunta esistere.
F è quindi un  OMEOMORFISMO locale perchè è differenziabile con
inversa differenziabile  e quindi, a maggior ragione
continuo con inversa continua,
F è anche OMOMORFISMO gruppale locale perché conserva la struttura di
gruppo. Dato che è invertibile è più precisamente
ISOMORFISMO locale gruppale.
Quel  "locale" ha un'importanza centrale. Come detto significa che
F è definito in un intorno J (aperto, sufficientemente piccolo)
dell'identità di G e la sua immagine è un analogo intorno J' (aperto,
sufficientemente piccolo) dell'identità di G'.
La proprietà di omomorfismo è quindi subordinata a tale richiesta: se
a e b appartengono a J, l'identità, allora F(ab) = F(a)F(b)
vale solo se F(a) e F(b) appartengono al corrispondente J'.
Nel caso in esame esiste dunque un diffeomorfismo locale F: J_SU(2) ->
J_SO(3). Questo si ottiene con varie procedure (come detto da Elio e
Tetis) oppure usando noti teoremi di decomposizione gruppale...
Nel caso in esame ci si può chiedere se  F si possa estendere su
*tutto* SU(2) e che cosa succeda alla sua immagine SO(3). La risposta
è positiva F si estende unicamente ad un omomorfismo (globale)
gruppale differenziabile F: SU(2) -> SO(3)  e che, come abbiamo già
visto, si riduce ad un diffeomorfismo ed isomorfismo gruppale locale
nell'intorno J_SU(2) dell'identità.
In pratica ad ogni matrice di U(2) si associa una matrice di SO(3) e
questa associazione è un omomorfismo differenziabile suriettivo.
Non è biettivo dato che se U è in SU(2), vale F(U) = F(-U).
(In realtà la possibilità di tale estensione globale di F è più
generale e deriva dal fatto che SU(2) è connesso ed è  il
"rivestimento universale" del gruppo di Lie connesso SO(3)...ma non
entro in questi dettagli ora)
Torniamo, per finire alla questione di O(3) vs SO(3). Come ha detto
Elio O(3) = SO(3) U PSO(3), dove P è l'inversione di parità
diag(-1,-1,-1) e quindi PSO(3) contiene tutte e sole le matrici di
rotazione a determinante -1.
In realtà SO(3) e  PSO(3) sono le due componenti connesse di O(3): il
gruppo è decomposto in questi due sottoinsiemi disgiunti e  sconnessi
SO(3) e  PSO(3). L'identità di O(3) può solo appartenere ad uno di
essi: SO(3) (pertanto PSO(3) NON è un sottogruppo).  Come conseguenza
l'algebra di Lie di O(3) e quella di SO(3) sono la stessa e quasi
tutto quanto detto sopra si può riformulare per O(3) al posto di
SO(3). Sicuramente l'esistenza di F definito localmente vale ancora
banalmente, dato che nell'intorno dell'identità SO(3) e O(3) sono la
stessa cosa.
L' omomorfismo (globale) gruppale differenziabile F: SU(2) -> SO(3)
può anche vedersi come un omomorfismo (globale) gruppale
differenziabile F: SU(2) -> O(3). Quello che si perde, con questa
estensione del codominio,  è che l'omomorfismo F cessa di essere
suriettivo, in quanto la sua immagine NON contiene alcuna matrice di
O(3) con determinante negativo.
* i gruppi di Lie sono varietà differenziabili e quindi anche
topologiche, dotate di struttira di gruppo, in modo tale che le
operazioni di gruppo siano differenziabili. L'algebra di Lie g di un
gruppo di Lie G è lo spazio tangente all'identità del gruppo dotata
dell'applicazione commutatore
 [ .,. ] : gxg -> g individuata in modo canonico dalla struttura di
gruppo di Lie.
Ciao, Valter
PS. Sul Ryder ho studiato 15 anni fa, era abbastanza bello, ma
contiene diverse imprecisioni...
----------------------------------------------------------------------
Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 Dimmi dove sbaglio...
Un'inversione rispetto all'origine *non e'* una rotazione.
Le rotazioni hanno determinante 1, l'inversione ha det. -1.
Tu devi invertire tutte le componenti: non ti puoi limitare al solo
piano (x,y).
 
-- 
Elio Fabri

 comm. siano conservate.
Per esempio??

Si hai ragione. Io interpretavo l'inversione come un tipo particolare di
rotazione.


 più fini si ottengono scegliendo SO(3) come dirò sotto.
C'e' un motivo per cui io non parlerei di algebra di Lie per un gruppo
non connesso.
Dall'algebra di Lie di un gruppo nascono i sottogruppi
unidimensionali, e se non erro se il gruppo e' connesso ogni suo
elemento appartiene a uno di questi sottogruppi.
(Chiedo lumi su questo: non so se sia sempre vero.)
Di qui la rappresentazione "esponenziale" del gruppo .
Ma e' chiaro che le componenti non connesse con l'identita' non
si potranno mai rappresentare in questo modo.
 
-- 
Elio Fabri


Ciao, mi pare che erri. Quanto dici è vero se il gruppo oltre ad
essere connesso è anche compatto
(es. SU(2), SO(3),...). Negli altri casi (es. SO(1,3)^,  Sp(2),...)
sussiste una proposizione più debole: se il gruppo di Lie è connesso e
A è un elemento del gruppo, per ogni intorno connesso dell'identità
esiste un numero finito di elementi (dipendenti da A), il cui prodotto
è A. Se l'intorno è sufficientemente piccolo, ogni elemento
dell'intorno è di tipo esponenziale come dici tu. Conclusione: nel
caso generale di gruppo di Lie connesso, ogni elemento è un prodotto
di un numero finito (ma non necessariamente uno solo) elementi
appartenenti a sottogruppi ad un parametro.
(Per trovare esempi dovrei cercare sui libri, ma ora non li ho sotto
mano. Non ho mai letto la dimostrazione e nemmeno ci ho pensato, ma
credo che già per il gruppo ortocrono proprio di Lorentz NON sia
possibile esprimere *ogni* elemento come l'esponenziale di un
corrispondente elemento dell'algebra di Lie.)
Per le componenti non connesse, ovviamente, non si può usare un unico
intorno connesso dell'identità...
   Ciao, Valter

Rieccomi, ho fatto un giro su wikipewdia, in particolare sotto la voce
"Lie group". Non ho trovato dimostrazioni di controesempi, ma ho
trovato l'affermazione che corrobora quanto dicevo:
"The exponential map from the Lie algebra to the Lie group is not
always onto, even if the group is connected (though it does map onto
the Lie group for connected groups that are either compact or
nilpotent). For example, the exponential map of SL(2,R) [quello che ho
indicato sopra
con Sp(2)] is not surjective."
Ciao, Valter

 corrispondente elemento dell'algebra di Lie.)
Scusa che cos'è il gruppo ortocrono proprio di Lorentz??
E' quello che in fisica chiamiamo banalmente gruppo di Lorentz costituito da
sei generatori: le tre rotazioni e i tre boost di Lorentz??
Inoltre il fatto che ogni elemento si può esprimere come l'esponenziale lo
usiamo anche nel gruppo SU(2) quando facciamo lo sviluppo per piccoli
angoli. Questo sviluppo in serie mi pare che giustifichi la definizione
della matrice di SU(2) come exp [(i sigma .alfa)/2]. Fare l'esponenziale e
dire che l'intorno deve essere sufficientemente piccolo è la stessa cosa
vero??
Queste raffinatezze sulla teoria dei gruppi in che corsi dovrebbero essere
studiati??
I gruppi di Lie so che vengono introdotti in un corso della vecchia
geometria 2, l'attuale geometria 3 e 4, probabilmente ma a fisica queste
cose non ce le insegna nessuno. Vero Elio??
Cordiali saluti,


 Per esempio??
Esempio della prima situazione: qualsiasi gruppo discreto.
Per la seconda, puoi pensare al gruppo euclideo E^n (rotazioni e
traslazioni, anche solo nel piano, se vuoi).
Esiste un omomorfismo di E^n su SO(n), che certo non conserva le rel.
di commutazione, visto che le due algebre di Lie hanno addirittura
dimensioni diverse.
 
-- 
Elio Fabri

 indicato sopra con Sp(2)] is not surjective."
Che cosa vuol dire nilpotente (detto di un gruppo)?
Quanto a SL(2,R) o Sp(2) che dir si voglia, confesso che igruppi
simplettici li ho frequentati assai poco, per cui non ne ho una
conoscenza intuitiva come in altri casi.
Pero' sono alcuni giorni che tento invano di trovare anche qui il
controesempio. Eppure dovrebbe essere facile :-(
 
-- 
Elio Fabri

 controesempio. Eppure dovrebbe essere facile :-(
 
Controesempio di cosa??
Cordiali saluti,


 Ciao, Valter


 bensì su una considerazione generale.
Scusa ma se fosse vera questa cosa i fisici sbagliano praticamente tutti i
giorni a considerare l'esponenziale del gruppo di Lorentz. No?
Il Ryders come si può leggere sull'altro post considera l'esponenziale del
gruppo di Lorentz che mi insegnate essere omomorfo a SL(2,C)
Io credevo che fosse una cosa ampiamente conosciuta e invece ci sono molte
perplessità ancora. Forse bisognerebbe chiedere a qualche fisico teorico
molto bravo... tipo Cabibbo.
Cordiali saluti,
Filiberto


 giorni a considerare l'esponenziale del gruppo di Lorentz. No?
Stiamo parlando di due gruppi differenti. SL(2,R) ed SL(2,C).
In particolare se scrivi i generatori di SL(2,R) vedi che uno dei
tre è nilpotente. Nel caso SL(2,C) invece i generatori si arrangiano
in due classi che commutano mutuamente infatti SL(2,C) è localmente
isomorfo ad SO(4) e ad SU(2) x SU(2) e non sono presenti generatori
nilpotenti. Ancora: SL(2,C) è semplicemente
connesso, mentre SL(2,R) che è il gruppo simplettico delle trasformazioni
che conservano l'area dello spazio delle fasi dei sistemi unidimensionali
ha gruppo fondamentale di omotopia Z.


 Questi due cosa rappresentano? Sono gli spinori? Boh
questo non l'ho capito.
Ogni matrice 2x2 hermitiana a traccia nulla è
rappresentata
come x1 s_x + x2 s_y + x3 s_z. La trasformazione
aggiunta di
questa matrice 2x2 sotto azione del gruppo di Lie
SU(2) in termini
del vettore (x1,x2,x3) risulta in una matrice di SO(3)
che agisce su
(x1,x2,x3). Allo spinore ortogonale a csi, che
costruisci
in seguito è associata ugualmente una matrice
hermitiana, a traccia
nulla, diversamente da quel che dici e che non
capisco, questa matrice
corrisponde con il vettore opposto (-x1, -x2, -x3).
L'osservazione di
prima quindi si traduce in qualcosa di estremamente
più semplice.
L'azione indotta mediante la mappa di coniugio
ortogonale da una
trasformazione ortonormale è identica per il vettore
iniziale e per il
suo coniugato. O(-x) = - Ox Ovvero l'inversione
spaziale commuta
con le rotazioni.
Cosa succede ora se in R^3 identifichiamo x con -x?
Ovvero identifichiamo
i punti opposti di S^2? Otteniamo quello che si chiama
modello ellittico
della geometria sferica due dimensionale,
limitatamente ad S^2, nonchè
una mappa dello spazio proiettivo 3-dimensionale.
L'azione di SU(2)
su questo spazio è coerente. Cioè quello che fa il tuo
libro si può fare.
Inoltre l'azione di -Id (elemento di O(3)) in questo
spazio coincide
con l'azione di Id.
Tornando un passo indietro possiamo anche osservare
che
ad ogni elemento di SU(2) possiamo indifferentemente
associare due matrici di rappresentazione dell'azione
aggiunta entrambe in O(3). Ma solamente metà formano
un gruppo SO(3): sottogruppo di O(3), mentre l'altra
metà sono una classe laterale
del sottogruppo. Ovvero SU(2) puoi immergerlo in O(3)
in duplice
copia, mediante un omeomorfismo locale intorno
all'identità ed
a -Id, che risulta in due distinte funzioni non
invertibili a livello globale.
In altre parole identificando gli opposti di S^3
otteniamo una mappa
fedele di SO(3). Considerando una duplice copia di
SO(3) otteniamo
una mappa di O(3).


 controesempio. Eppure dovrebbe essere facile :-(
Ricordo che, come conseguenza di una dimostrazione su un articolo di
teorie conformi che ho scritto nel 2004 o 2005 mi sono accorto che le
matrici di SL(2,R) della forma
 -exp a       0
   0        -exp(-a)
non appartengono ad alcun sottogruppo ad un parametro che esce
dall'identità, se a>0.
Purtroppo non ho scritto la dimostrazione. Ora non ho tempo per
rileggere tutto e cercare di capire come mi era venuta in mente una
cosa simile.
Ciao, Valter

 Controesempio di cosa??
di matrice di SL(2,R) che non si possa scrivere come exp(A) per A
nell'algebra di Lie di SL(2,R).
Ciao, Valter

 Filiberto
Ciao, Valter

 nell'algebra di Lie di SL(2,R).
Cioè un gruppo simplettico che non sia esponenziabile...
Scusa avrei un'altra domanda che mi ha chiesto il prof Ryders ma a cui non
so rispondere. Per cui chiedo a te. Perchè E^2, il gruppo euclideo nel piano
è isomorfo a SO(2)?? Mi sa che la propongo come tema di discussione. Ryders
è l'autore del libro su cui sto studiando l'equazione di Dirac.


 nilpotenti.
Inesattezza. L'algebra di SL(2,C) può essere ottenuta, ovviamente,
complessificando l'algebra di SL(2,R) quindi si trovano due generatori
nilpotenti. Ma per un piano bidimensionale in sei dimensioni un
loop può essere sempre ridotto ad un punto. Mentre una retta in
tre dimensioni, circondata da una spira non permette alla spira di
essere ridotta ad un punto.
Esiste in particolare una parametrizzazione di SL(2,R) che ho trovato
mentre giocava con i generatori del gruppo che è molto istruttiva,
soffermandomi sull'interpretazione geometrica delle trasformazioni
che conservano l'area:
ogni elemento di SL(2,R) è simile ad una trasformazione diagonale
mediante una trasformazione di SO(2).
I generatori di SL(2,R) possono essere ricondotti a quelli di SU(2),
ricordando che in SU(2) uno dei tre generatori non è reale: s_y, se
non erro, si può utilizzare in effetti i*s_y/2 come elemento dell'algebra di
SL(2,R). Risulta allora un'algebra le cui regole di commutazione
sono [a_i, a_j] = eps_ijk a_k posto a1,3= s_1,3/2 ed a2=s_2/2.
Con l'usuale identificazione 1-x 2-y 3-z. La combinazione lineare
di queste matrici è sempre una matrice a traccia nulla e quindi
conserva l'area.
 
L'esponenziale dei generatori di
a_x ed a_z , nella rappresentazione in cui a_z è diagonale, ed a_x
hermitiana, conduce a funzioni iperboliche ed esponenziali,
mentre l'esponenziale di a_y conduce a funzioni trigonometriche
circolari.
La chiave per comprendere la circostanza che SL(2,R) non è
esponenziale sta nell'interpretare in termini intuitivi il teorema
di Hausdorf - Campbell. In particolare cosa significa il raggio di
convergenza della formula di Hausdorf-Campbell. Se questa
valesse globalmente e non solamente per un intorno dell'identità
avremmo certamente che una espressione di similutidine ad una
matrice esponenziale di qualsiasi elemento del gruppo implica
che il gruppo è esponenziale. Tuttavia non è questo il caso per
SL(2,R), diversamente che per SU(2), in quanto per le regole di
commutazione è evidente che scelti due generatori hermitiani
il terzo non può esserlo a sua volta. La presenza di un operatore
non autoaggiunto unitamente all'ostruzione allo scioglimento dei
loops comporta che SL(2,R) può non essere geodeticamente completo,
ovvero che la formula di Baker-Hausdorf-Campbell non sia
verificata per ogni coppia di elementi dell'algebra. Se il gruppo
di Lie è semplicemente connesso vale la formula di Baker Hausdorf Campbell
globalmente, e se inoltre vale una qualche parametrizzazione
in termini di coniugio da mappe esponenziali allora il gruppo è
esponenziale.
Ad esempio SL(2,C) è semplicemente connesso ed il gruppo di Lorentz,
di cui SL(2,C) è il rivestimento universale è tale che ogni elemento può
essere ridotto ad un boost a meno di una rotazione spaziale. Quindi SL(2,C)
è esponenziale, in quanto sia i boost che le rotazioni sono elementi
esponenziali semplici.
Chiarito questo non resta che scrivere esplicitamente
la mappa esponenziale di sl(2,R), o mostrare che SL(2,R)
non è geodeticamente completo (mentre lo è SL(2,C)).
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Ciao Tetis!
Mi interessa quello che hai scritto, ma non ho capito bene. Il fatto
che SL(2,R) non sia esponenziale si verifica a mano come segue (mi
sono ricordato come avevo fatto a dimostrarlo...). Prendi come
generatori dell'algebra di Lie le matrici di Pauli con sigma_2
moltiplicata per -i. Quindi
          0     1
T1 :           1    0
           0    1
T2 :          -1    0
          1     0
T3 :          0    -1
Sono tre matrici a traccia nulla linearmente indipendenti e pertanto
sono una base per sl(2,R).
Se esponenzi una combinazione lineare a1T1 + a2T2 +a3T3 ottieni, con
qualche calcolo abbastanza banale e se non ho sbagliato i calcoli, la
matrice E (a1,a2,a3)
                            C + a3                  S (a2+a2)
E (a1,a2,a3)                            S(a1-a2)                C-a3
dove
C= cosh[ (a2^2 - (a1+a3)^2)^1/2 ]
S= {sinh[ (a2^2 - (a1+a3)^2)^1/2 }/(a2^2 - (a1+a3)^2)^1/2
Notare che le due funzioni sono ben definite ed a valori *reali* per
a1,a2,a3 variabili in R (la polidromia della radice è cancellata dalle
buone proprietà di sinh e cosh ecc...).
Le matrici
  -b    0
   0  -1/b
per b>0 sono sicuramente in SL(2,R), tuttavia non possono essere
espresse come delle E (a1,a2,a3).  Imponendo tale identità si trova
infatti che deve in particolare essere (usando i termini sulla
diagonale principale)
2 cosh[ (a2^2 - (a1+a3)^2)^1/2 ]   = -b -1/b
Se  a2^2 - (a1+a3)^2 >=0 il coseno iperbolico è strettamente positivo
per cui l'identità di sopra è falsa se b>0. Nel caso a2^2 - (a1+a3)^2
< 0, il coseno iperbolico diventa un coseno ed è pertanto limitati in
[-1,+1], ma -b -1/b < -1 strettamente se b>0.
Tu invece ti riferivi al dominio di convergenza del secondo membro
della formula di H-C. Capisco che se hai un teorema di fattorizzazione
degli elementi di un gruppo come prodotti di due esponenziali (e
questo accade per SL(2,C) e per la componente  del gruppo di Lorentz
che contiene l'identità) e se il dominio della funzione che appare a
secondo membro nell'equazione di H-C allora è fatta. Ma non ho capito
come controlli il dominio di tale funzione. Mi pare che interpreti i
gruppi ad un parametro come geodetiche rispetto ad una metrica
invariante e ti occupi della connessione per geodetiche del gruppo di
Lie visto come varietà semiriemanniana. Però non capisco come ottieni
la connessione per geodetiche di SL(2,C) e del gruppo di Lorentz...
Puoi essere più preciso?
Ciao, Valter

globalmente,
Se è vero questo, dato che la decomposizione polare del gruppo SL(2,C)
ne produce una decomposizione in due esponenziali hai finito.
Dove si trova la dimostrazione dell'affermazione che hai fatto
sopra???
C'è sul Najmark Stern?
Ciao, Valter

  Ciao a tutti,
       ho finalmente trovato una dimostrazione del fatto che il gruppo
ortocrono proprio di Lorentz sia esponenziale ponendo fine ad una mia
curiosità che avevo da sempre. E' il teorema 6.5 del recente libro
"Symmetries and Curvature Structure in General Relativity" di G.S.
Hall, World Scientific 2004. La dimostrazione è diretta e non usa
niente di più di proprietà algebriche dopo avere decomposto ogni
trasformazione di Lorentz in modo non canonico usando cosiddette "null
tetrads" e lavorando nei complessi (senza usare il ricoprimento
universale però)...
             Ciao, Valter

 Ciao, Valter


 Ciao, Valter


 appartiene ad SL(2,C) (nonchè ad SL(2,R)).
Se capisco bene la logica è questa: se Y è in SL(2,C) e NON è
diagonalizzabile, ma si scrive in modo esponenziale, allora Y è simile
a  ( Id + X ) ed ha quindi 1 come autovalore.
La Z che dici sopra è in SL(2,C), non è diagonalizzabile ed ha come
unico autovalore -1.
Pertanto Z non è esponenziale.
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Quindi si ha la seguente situazione che non mi aspettavo proprio
1)  SL(2,C) (rivestimento universale di SO(3,1)+^) NON è esponenziale
ma
2)  il gruppo di Lorentz ortocrono proprio SO(3,1)+^ E' esponenziale.
Molto interessante. Avrei detto il contrario. Quindi la semplice
connessione non c'entra proprio un tubo (come fai notare anche tu) con
l'esponenzialità, dato che il primo dei due gruppi è semp. connesso,
ma non lo è il secondo.
Ciao, Valter
PS. la dim di esponenzialità del Lorentz, come ho detto, si trova su
un libro di GS Hall, il tuo controesempio si trova su un libro di B.
C. Hall. Che buffa coincidenza di cognomi.

 tale che e^X = e^A e^B.
e' FALSA e proprio il controesempio che hai riportato (la matrice Z
per SL(2,C) semplicemente connesso)
ne è la prova.
In effetti siamo stati sviati dal fatto che SL(2,C) è un gruppo di Lie
matriciale e pertanto la mappa exp è definita non solo sull'algebra di
Lie di SL(2,C), ma più in generale sull'algebra (non di Lie) delle
matrici complesse 2 x 2. Pertanto si poteva pensare che l'elemento Z
si potesse scrivere come Z= exp X con X matrice 2x 2 complessa NON
nell'algebra di Lie di SL(2,C), salvando capra e cavoli.
Tuttavia l'affermazione (1) è data per un generico gruppo di Lie G
(almeno per come l'hai scritta tu). Pertanto exp si deve intendere
come definita sulla sola algebra di lie g di G. Se il gruppo G non è
matriciale exp è definita solo su g e, in generale, non si estende
oltre (si estende se G è sottogruppo di Lie di un altro G'...ma non
siamo in queste ipotesi nel caso generale). Per cui l'affermazione (1)
si deve intendere precisamente come:
 1) Se un gruppo di Lie G è semplicemente connesso e  A e B sono due
elementi dell'algebra di Lie di G allora esiste X  NELL'ALGEBRA DI
LIE
     di G tale che e^X = e^A e^B."
Consideriamo ora il tuo controesempio. L'elemento Z di SL(2,C) NON può
essere del tipo exp X con X nell'algebra di Lie di SL(2,C) come
dimostrato. D'altra parte Z si decompone sempre come e^A e^B con A e B
nell'algebra di Lie di SL(2,C).
Quindi la (1) è falsa per SL(2,C) ed è quindi falsa essendo una
proposizione generale.
Ciao, Valter

 proposizione generale.
Certamente.


On Sep 2, 10:23 pm, 
lje...@yahoo.it
 (Tetis) wrote:
un mucchio di cose! Posso essere d'accordo con quello che scrivi,
sarebbe bello avere più informazioni su quello statement incriminato
sull'esponenziale. Ma dove lo hai pescato in rete?
Riguardo all'isomorfismo locale tra SL(2,C) e SU(2) x SU(2),
sicuramente non è globale: se lo fosse (intendo un isomorfosmo di
gruppi di Lie e quindi in particolare un diffeomorfosmo e quindi un
omeomorfismo) manderebbe un non compatto (SL(2,C)) in un compatto
(SU(2)xSU(2)), e questo è impossibile!
Ciao, Valter


--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 ...
Ho capito, debbo essere rincitrullito :-(
Perche' vi ci mettete in due a dire una cosa secondo me sbagliata...
A mio parere SL(2,C) e SU(2)xSU(2) *non sono* neppure localmente
isomorfi: le loro algebre di Lie sono diverse!
E' solo attraverso l'espediente della complessificazione che si
stabilisce un isomorfismo, che in questo caso non so come si chiami...
E' invece vero che sono localmente isomorfi SO(4) e SU(2)xSU(2); il
che fornisce la risposta alla mia domanda di cui sopra: SO(4) *non e'*
semplicemente connesso, e il suo gruppo fondamentale e' SU(2)xSU(2).
E' tutto sbagliato quello che ho scritto?
Attendo con ansia ;-)
P.S. Sono stato via una settimana, e vi ritrovo ancora sullo stesso
problema. Mi fa piacere :)
 
-- 
Elio Fabri


Infatti. Tuttavia esiste questo teorema sul B.C. Hall
se G ed H sono gruppi semplicemente connessi
le cui algebre di Lie sono isomorfe allora i due gruppi
sono isomorfi. Non sono del tutto convinto di questo
corollario, che discenderebbe dal teorema seguente:
se G ed H sono due gruppi di Lie e G è semplicemente
connesso ed esiste un'omomorfismo f fra l'algebra g e
l'algebra h allora esiste un unico omomorfismo F da G in H
tale che F(e^(x)) = e^(f(x)).
Forse ho inteso: sl(2,C) è un algebra su R ma è anche un'algebra
su C. Come algebre su R l'algebra di Lie sl(2,C) e quella:
su(2) + su(2) sono isomorfe, ma come algebre su C non
sono isomorfe.
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 su(2) + su(2) sono isomorfe,
Invece no, basta fare i calcoli, non sono isomorfe se usi combinazioni
lineari reali, guarda il post di Elio! Io non mi ero messo a fare i
conti
Ciao, Valter

 problema. Mi fa piacere :)
Sullo stesso problema si, ma abbiamo fatto notevoli passi avanti, a
parte la cantonata ultima...
Ciao, Valter

 Elio Fabri
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