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Titolo: Cilindo e piano inclinato.

Classico problema di un cilindro che rotola senza strisciare (attrito
volvente trascurabile) su un piano inclinato. Complicazione aggiuntiva: il
piano inclinato a sua volta poggia su una superficie piana su cui può
muoversi liberamente senza attrito (in senso orizzontale, in senso verticale
è ovviamente vincolato).
La domanda classica è quella di trovare l'accelerazione del piano inclinato.
L'esercizio si risolve correttamente applicando, nel SR solidale al piano
inclinato, la forza apparente (non inerziale) data da -mc A, dove mc (è la
massa del cilindro e A è l'accelerazione incognita del piano inclinato).
La risposta corretta prevede che tale forza debba applicarsi nel CM del
cilindro, anzichè nella retta geometrica di contatto tra cilindro e piano.
La risposta che fornisco è che la forza apparente agisce su tutti i punti
del cilindro (aventi massa dm) essendo causata dalla sua "inerzia" rispetto
al SR solidale col piano inclinato e che quindi il suo effetto è equivalente
all'applicazione sul CM.
Vorrei tuttavia approfondire con voi questa questione che immagino possa
indurre ad errori tipici.
Pino
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 possa indurre ad errori tipici.
La forza inerziale e' distribuita su tutto il cilindro, su un elemento
infinitesimo del cilindro di massa dm agisce una forza inerziale
infinitesima dF = -dm * A. Per dimostrare che l'effetto di questa
forza distribuita e' equivalente a quello di una sola forza:
F = Integrale[dF, sul cilindro] = Integrale[-dm * A, sul cilindro] =
-mc * A,
applicata al centro di massa del cilindro basta dimostrare che
1) la risultante (cioe' la somma vettoriale) delle forze dF e' uguale a F
2) il momento risultante delle forze dF rispetto a un polo qualsiasi
e' uguale al momento di F rispetto allo stesso polo.
Dimostrazione:
1)  Per definizione di risultante si ha che
F = Integrale[dF, sul cilindro] = -mc * A
e' appunto la risultante delle forze dF.
2)  Sia O una origine arbitraria rispetto a cui calcolare i momenti,
e sia r il raggio vettore rispetto al polo O dell'elemento infinitesimo
del cilindro avente massa dm, allora il momento risultante delle
forze dF rispetto al polo O e' (x = prodotto vettore,
R_CM = raggio vettore del centro di massa del cilindro rispetto a O):
M = Integrale[r x dF, sul cilindro] = - Integrale[r x A dm, sul cilindro]
= - Integrale[r dm, sul cilindro] x A = - mc * R_CM x A = R_CM x F,
che e' il momento di F, supposta applicata al centro di massa del cilindro,
rispetto a O.
CVD
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 possa indurre ad errori tipici.
Giusto. Allora direi questo.
In entrambi i casi (gravita', forza apparente) si tratta di un sistema
di forze ripartite, in questo caso su un corpo che viene considerato
continuo, ma questo non cambia il discorso in modo essenziale.
La cosa che di solito si omette di dire e' che si tratta di un *corpo
rigido*.
Questo e' importante perche' esiste un teorema che assicura che *agli
effetti del moto di un corpo rigido* qualunque sistema di forze
equivale a un altro, che abbia la stessa risultante e lo stesso
momento risultante rispetto a un polo scelto a piacere (per es. il
centro di massa).
(Nota che se la risultante e' la stessa e il mom. ris. e' lo stesso
rispetto a un certo polo A, sara' lo stesso anche rispetto a qualunque
altro polo. Lo sai dimostrare?)
Se la forza ripartita ha direzione costante e modulo proporzionale
alla massa, e' facile dimostrare che il mom. ris. rispetto al cdm e'
nullo.
Quindi il sistema di forze ripartite equivale *agli effetti del moto
di un corpo rigido* alla sua risultante applicata nel cdm.
 
-- 
Elio Fabri

 di un corpo rigido* alla sua risultante applicata nel cdm.
MA = Somma(i) APi x cost mi = cost M AG
se A=G il momento rispetto a G è nullo.
Ti ringrazio per avermi dato spunti di riflessione.
Pino
-- 
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[it.scienza.fisica 09 ago 2008] @ Sandokan @ ha scritto:
.....
Mi era sfuggito questo thread (cilindro che rotola senza strisciare su
un piano inclinato, la cui base poggia su un piano orizzontale privo di
attrito).
Non ho nulla da eccepire su quanto e' stato scritto da Bibbiani, Fabri
e da te sulle forze agenti. Vorrei solo aggiungere che la risoluzione
completa del problema del moto di tale sistema e' una faccenda piuttosto
complicata ed interessante. BTW, conosci la risposta alla domanda sull'
accelerazione del piano inclinato?
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)