Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: un liceale chiede aiuto

sono ancora un pivellino ed ho un problema da risolvere:
un proiettile è stato lanciato in modo da sfiorare nel punto più alto della
sua trettoria la sommità di una collina alta 200 m e situata a 400m dal
punto di lancio. calcolare la velocità del proiettile, la sua gittata e
l'angolo k di lancio risperro all'orizzontale.
io posso usare la formula:
y=-gx^2/2v^2cos^2k+tankx
non so come fare: sostituendo i valori rimangono delle incognite e usando il
grafico ho trovato un angolo facendo una maedia strana.
grazie e ciao
luigi


più che la formula, di cui non capisco bene il senso, e visto che il
problema si presta a semplici considerazioni io farei in questo modo:
1) La massima altezza del proiettile è 200 metri e la traiettoria è
simmetrica rispetto alla collina, quindi il tempo necessario a raggiungere
il culmine della
traiettoria è uguale a quello impiegato per cadere al di là di questa e
cioè:
200 = 0.5*G*t*t  => t = 6.39 s  ( G=9.8 m/s*s )
2) analogamente la componente verticale della velocità del proiettile
all'arrivo sarà uguale a quella di partenza cioè:
Vy = G*t = 62,6 m/s
3) Per quanto riguarda la componente orizzontale sappiamo che il culmine
viene raggiunto a 400 metri (in orizzontale) dal punto di lancio quindi:
Vx = 400/t = 62,6 m/s.
4) Infine la gittata è chiaramente, sempre a causa della simmetria della
traiettoria, di 800 metri. Per quanto riguarda l'angolo di "sparo", questo
si può calcolare tramite il rapporto tra le componenti orizzontale e
verticale della velocità: angolo=arctan(Vy/Vx). Visto però che le due
componenti sono uguali, si deduce subito che l'angolo di lancio è di 45°
(che per inciso è l'angolo che permette la maggior gittata a parità di
velocità iniziale del proiettile).
RILANCIO: Ho provato ha risolvere il problema nel caso non banale che lo
sfioramento in x=400,y=200 non avvenga necessariamente nel punto più alto
della traiettoria ma mi sono ritrovato un'equazione "bastarda" di secondo
grado con temini misti che non sono riuscito a risolvere in modo analitico.
Perciò chiedo ai volonterosi di risolvere il problema in  modo da ottenere
una famiglia di traiettorie che soddisfano i vincoli dati.
NOTA STORICA/AMARA: A me risulta che i calcolatori elettronici siano nati
proprio allo scopo eseguire rapidamente i calcoli balistici (chiaramente più
complessi di questi perchè comprendenti anche l'attrito dell'aria) verso la
fine della seconda guerra mondiale. Sembra proprio che si debba ringraziare
i militari per quasi tutti i progressi tecnologici fatti dall'umanità.
Evviva. :-)
Saluti
Stefano





Io farei in questo modo:
sappiamo che un proiettile (trascurando il solito attrito) compie sempre una
traiettoria parabolica la cui generica equazione è:
f(x)=ax^2+bx+c
Abbiamo quindi tre parametri (a,b,c) e due condizioni, cioè:
f(0)=0   (pongo l'origine nel punto di lancio e l'asse x parallelo al
"terreno")
f(400)=200
la prima fornisce c=0, la seconda invece 2b=1-800a (se non ho sbagliato i
conti), sostituendo si ottiene:
f(x)=ax^2+(1/2-800a)x
al variare del parametro a trovo tutte e sole le parabole che passano per i
due punti di vincolo (attenzione però al segno di a, se è positivo, ottengo
parabole con la concavità rivolta verso l'alto che non sono compatibili con
il problema).
Nel problema originale avevamo anche una condizione sulla derivata (cioè uno
dei vincoli era anche che il massimo della parabola coincidesse con uno dei
vincoli) e quindi potevamo definire in maniera univoca la traiettoria. Per
completezza se così fosse:
Df(x)=2ax+(2-200a) tale che Df(400)=0, quindi: 800a=-b, risolvendo il
sistema:
800a=-b
800a=1-2b
si ottiene -b=1-2b cioè b=1 e a=-1/800 cioè:
f(x)=-1/800 ax^2+b
l'angolo di lancio è l'arcotangente della derivata calcolata in 0:
Df(0)=1 (=b) quindi trovo 45 gradi, poi trovo la velocità con le equazioni
postate nel mail precedente.
N.B. nel problema originale non aveva senso fare questa complessa
trattazione, ma nel "rilancio" non vedo altra via d'uscita.
Ciao, un altro Stefano