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Titolo: domanda sul teorema di Helmoltz (?)

Avrei una questione da chiarire, e spero che qualcuno di voi
mi dia una mano.
Non sono sicuro che si chiami "di Helmoltz", ma esiste
comunque un teorema che ci assicura che conoscendo
divergenza e rotore di un vettore, il vettore stesso e'
univocamente determinato.
Formalmente:
Se:
Rot(v)=c
Div(v)=s
con s e c noti
Allora:
v e' univocamente determinato.
Questo teorema e' di indubbia utilita' in elettromagnetismo,
poiche' ci permette di risalire ai campi partendo dalla loro
circuitazione (c) e sorgente (s).
Il mio dubbio pero' e' questo (siamo in elettromagnetismo classico):
supponiamo che il vettore v corrisponda al potenziale
vettore A.
Come e' ben noto, scegliendo un Gauge opportuno (ad esempio
Div(A)=0), possiamo calcolare il potenziale vettore
corrispondente a un campo magnetico assegnato (infatti
Rot(A)=B). Tuttavia, per l'invarianza di Gauge, possiamo
sempre scegliere una funzione arbitraria, ed aggiungere il
suo gradiente ad A mantenendo invariato il campo magnetico
(e se scegliamo una funzione che soddisfa l'equazione di
Laplace, ci manteniamo pure nel Gauge scelto Div(A)=0).
Ne consegue che il "teorema di Helmoltz" andrebbe
completato, specificando che l'univocita' raggiunta e' "a
meno di un gradiente"?
Questa sarebbe la soluzione piu' semplice, tuttavia
l'obiezione principale che si puo' fare e':
ma allora, se e' cosi', perche' se applichiamo il teorema in
un secondo caso, con v = B (campo magnetico), s = 0 (campo
magnetico solenoidale) e c = J (densita' di corrente),
ovvero se vogliamo calcolare il campo magnetico generato da
una distribuzione di correnti note, l'univocita' e'
assicurata, infatti in genere i problemi sono ben posti e risolubili?
Grazie per l'aiuto,
Ciao
Marco

 v e' univocamente determinato.
E` gia` chiaro che se v soddisfa le identita` di sopra
e se consideri v'= v + costante, v' soddisfa le identita'
di sopra comunque! Per cui le due sole condizioni date
non sono in grado di determinare univocamente v.
Perche` sussista un teorema di unicita' devi pensare di risolvere
il sistema di sopra in una regione connessa A, assegnando anche
condizioni al contorno (supposto regolare) di A (se A e` infinita, 
devi assegnare condizioni all'infinito).
Supponiamo dunque di sapere che esista un v tale che, oltre a 
risolvere le due equazioni di sopra risolva anche v=u sul bordo 
di A, dove u e` una funzione nota definita sul bordo di A. 
Piu' debolmente per il discorso che fai e` suffiente fissare la
componente normale al bordo di A di v, se N e` il versore normale 
al bordo di A e (,) e` il prodotto scalare, assumeremo che
(v,N) = g 
dove g e` una funzione definita sul bordo di A.  
Se ora aggiungiamo non solo una costante, ma come giustamente
osservi tu, il gradiente di un campo scalare a v
v' = v + grad f 
v' soddisfa ancora le equazioni di sopra, purche` su A
Lf = 0   
dove L e` il laplaciano = div grad
Se vogliamo che anche v' soddisfi le condizioni al contorno
v'=u ul bordo di A, risultera' che 
(grad f, N) = 0 sul bordo di A
Quindi gli f ammissibili soddisfano Lf =0 in A unitamente
a (grad f, N) = 0 sul bordo di A
Questo e` un problema di Neumann che, se f e` C^2 in A e
C^1 fino al bordo di A incluso, ammette una sola soluzione
a meno di costani additive. Una soluzione per f che soddisfa
le condizioni e` f=0, questa e` dunque unica a meno costanti
additive e cio' significa che SE ESISTE v che soddisfa 
SIA le due equazioni SIA la condizione al bordo, esso
non puo' essere modificato aggiungendoci gradienti. 
Allora uno potrebbe chiedersi se non si possa modificare 
v in altro modo producendo un v' che soddisfa sia le
equazioni che le condizioni al bordo.
Se ci fosse un altro v' che soddisfa le stesse equazioni,
dovra` essere che V = v-v' soddifa div V=0 e rot V=0.
Inoltre (V,N)= g-g=0 sul bordo di A.
Allora, da rot V=0, se A e` semplicemente connesso, segue 
V = grad f su A, mentre div V=0 implica ancora Lf = 0.
Ma valendo a anche (grad f, N)=0 sul bordo e 
ragionando come sopra troviamo che f e` costante e V e` nullo
in A, ossia v=v'. 
Se A non e` semplicemente connesso, mi pare che bisogna faticare 
un po' di piu' perche' f suddetta esiste solo nell'intorno di ogni 
punto di A, ma non su tutto A in generale... 
(in ogni caso assumendo V di classe C^2 si vede subito che 
l'esistenza locale di f implica che le singole componenti di V,
V_1,V_2,V_3, soddisfano LV_k = 0. Se fissiamo 
come condizione al bordo v = u nota sul bordo di A, ci si riconduce
ad un problema di Dirichelet per ogni componente e risulta V=0
nuovamente... forse c'e' una via piu' economica, non ho tempo
di pensarci ora). I ragionamenti si adattano anche a regioni illimitate, 
ma e`un piu` complicato....  
Il succo del discorso e` chiaro: le due equazioni ammettono un UNICO v
(se esiste!) se fissi *anche* delle condizioni al contorno.
Dimostrare invece che ESISTE v soddisfacente tutto quanto detto 
e` tutto un altro paio di maniche (se si lavora nello spazio infinito 
e` abbastanza facile provarlo passando in trasformata di Fourier
assumendo opportune condizioni di decrescenza rapida all'infinito di v).
A questo punto puoi risponderti da solo per le "applicazioni"
del tuo dubbio ai problemi di fisica che citi: considera che in fisica
insieme alle equazioni ci sono sempre le condizioni al contorno...
Ciao, Valter

 rispondere.
Caro Valter,
grazie della risposta piu' che esaustiva (alla faccia del
pochissimo tempo!).
Avevo trovato tracce della tua dimostrazione anche
sull'Arfken (e in altri libri), sebbene abbia capito molto
di piu' leggendo la tua esposizione.
In effetti, rileggendo le dimostrazioni che avevo esaminato,
compariva sempre la frasetta "with boundary conditions" dopo
le due equazioni Rot(v)=c e Div(v)=s, ma l'avevo sempre snobbata.
Vorrei esplicitare maggiormente la mia perplessita',
portandoti un esempio relativo alla determinazione di un
campo magnetico quando e' nota la densita' di corrente, e
poi a quella di un potenziale vettore quando e' noto il
campo magnetico. Questo pero' richiedera' piu' tempo di
quanto io ne abbia oggi, percio' per ora mi limito a
chiederti una precisazione, anzi due:
qual'e' il ruolo (o meglio il significato fisico) delle
condizioni al contorno che si dovrebbero imporre al
potenziale vettore per assicurarci la sua unicita'?
ha senso cercare di ottenere un potenziale vettore
"univocamente specificato" partendo da un campo magnetico noto?
Insomma, ancora non riesco a conciliare questa unicita'
proveniente dal teorema di Helmoltz, con l'indeterminazione
(collegata ai Gauge e ai gradienti arbitrari) per il
potenziale vettore.
Poi magari ti spiego anche da dove e' nata la discussione e
a che riguardo esattamente.
Grazie ancora,
Ciao
Marco

 
Ciao, capisco, ma ti devo dire la verita`: non ci ho mai pensato
davvero. E` chiaro pero` che se fissi delle condizioni al contorno 
sul potenziale magnetico A devi stare ben attento a fissarle in modo 
che siano fisicamente misurabili: quindi non puoi fissare direttamente
A su qualche bordo, ma devi fissare le sue derivate e precisamente 
devi dare condizioni che ti permettano di ricavare qualche componente
del rotore di A su qualche bordo. E` come per il campo elettrico: 
realisticamente sono le condizioni di Neumann (ossia derivata 
normale del potenziale sul bordo dell'insieme) quelle che si possono
assegnare senza ambiguita`: le condizioni di Dirichelet (assegnare 
il potenziale elettrico sul bordo) sono affette dall'ambiguita` della
costante additiva arbitraria. In effetti anche il problema di Neumann
fornisce il potenziale solo a meno di una costante. Ma piu` di questo
non si puo` chiedere alla fisica anche perche` il fine e` determinare il
campo elettrico e non il potenziale elettrico (che non e` determinabile
se non dopo avere precisato *arbitrariamente* il suo valore in qualche
punto). Quindi NON ha senso fisico ottenere un potenziale vettore
univocamente determinato: quello che ha senso fisico e` ottenere un
campo magnetico univocamente  determinato.
Ciao, Valter

 campo magnetico univocamente  determinato.
Grazie delle ulteriori delucidazioni. Quest'ultima frase mi
lascia tuttavia un po' perplesso, perche' in effetti il
campo magnetico non e' l'unica grandezza fisica che si puo'
derivare dal potenziale vettore, e non necessariamente il
"senso fisico" si dovrebbe associare al campo magnetico. Sto
parlando in sostanza dell'effetto Aharonov-Bohm (non
descrivibile in termini di campo magnetico, ma solo tramite
il potenziale vettore), che e' alla radice anche del quesito
originale sul teorema di Helmoltz.
Se tu, o qualcun'altro a cui interessa l'argomento, avete
ancora voglia e tempo di provare ad aiutarmi, proverei a
proporre un'altro quesito, piu' generale, che si ricollega
comunque al discorso. 
Supponi di avere una equazione che descrive il tuo campo
magnetico, mettiamo F(B)=0  (puoi pensarla come equazione di
Laplace Lapl(B)=0, di Poisson Lapl(B)-s=0, o qualche altra,
a seconda del problema fisico che stiamo affrontando). Da
questa equazione, si puo' ricavare una seconda equazione per
il potenziale vettore, che sara' F(Rot(A))=G(A)=0
Ora, un campo magnetico unico e' determinato dalla soluzione
della F(B)=0 con le opportune condizioni al contorno. Fin
qui tutto bene.
Se esamino l'equazione G(A)=0, mi accorgo che in realta'
questa non e' unica, ma e' una delle infinite equazioni
derivabili da F(B)=0, ciascuna che differisce dall'altra per
un gradiente arbitrario. In sostanza, pare che da F(B)=0 si
possa derivare una classe di equazioni, piuttosto che
un'equazione unica, perche' G(A) oppure G(A+Grad(f))
soddisfano ancora F(B)=0 (mi rendo conto di non esprimermi
in maniera rigorosa, ma spero tu possa seguirmi).
Il risultato di cio', e' che io posso ottenere due diversi
potenziali vettori, uno che mi deriva dalla soluzione
diretta di G(A)=0, e un secondo che mi deriva
dall'applicazione del teorema di Helmoltz (ovvero trovo B, e
ricavo A invertendo il sistema Rot(A)=B e Div(A)=0). In
genere, scelgo sempre delle condizioni di annullamento della
soluzione all'infinito, visto che il dominio, seppur diviso
in sottospazi (materiale magnetico e vuoto), non e' limitato.
Come mi aspetto, i due potenziali vettori differiscono per
un gradiente (dovendo dare lo stesso campo magnetico), ma
quello calcolato dalla G(A)=0 soddisfa ovviamente
l'equazione stessa, mentre il secondo, calcolato dal campo
B, soddisfa una G(A+grad f)=0.
Ora, a me pare che in un qualche modo questa sia una
violazione del teorema di unicita' che mi hai mostrato, e
sinceramente non mi sembra nemmeno una cosa negativa,
perche' mi salvaguarda la possibilita' di cambiare il Gauge.
Capisco che senza un esempio concreto sia difficile seguire
il discorso, ma ci terrei a sviscerarlo ancora un po', prima
di ritornare sui libri e sui calcoli.
Spero in un qualche commento,
Ciao e grazie
Marco

 
Si e` cosi`!
M> Ora, a me pare che in un qualche modo questa sia una
M> violazione del teorema di unicita' che mi hai mostrato
Capisco quello che vuoi dire. Tu stai dicendo: partiamo dalle stesse
equazioni fisiche + definizione matematica ottenendo il sisitema 
in A (J e` noto)
(1) div B = 0
(2) rot B = J
(3) B = rot A
(4) condizioni al contorno su A.
 
Quello che ti stupisce e` che ci sono due modi per maneggiare 
il sistema + le condizioni, e i due modi portano a risultati 
diversi ANCHE se imponiamo le stesse condizioni al contorno 
per A: un metodo determina un unico A e l'altro NO! 
E` cosi` ?
Vediamo, un metodo e` il teroema di Helmoltz: questo prende il
sistema e` butta fuori una soluzione che e` unica se c'e' qui
funziona tutto e basta. 
Il secondo metodo in realta` e` una carente dal punto di vista
logico ma funziona perche` sacrifica solo cose non fisiche. 
Si procede cosi`.
Prendo la (2) e gli applico il rotore ad ambo membri. Ricordando
che rot rot = grad div - L, usando (1), trovo che se B soddisfa
(1) e (2) allora soddisfa anche L(B)= rot J
(5) L(B) = rot J
(6) condizioni al contorno su A
Quindi se A risolve (1)-(4) => risolve (5)(6). OK
Il punto centrale e` che  pero` il viceversa e'
FALSO. E` la stessa cosa per cui se a = b => a^2 = b^2 ma non e`
vero il viceversa. 
La perdita di informazioni al passare da un sistema all'altro 
e` pero' fisicamente irrilevante perche` le informazioni che perdo
non alterano B, ma solo A.
 
Dal punto di vista di B, non si perdono informazioni passando dalle
equazioni (1)(2) e (3) aL(B) = rot J con debite condizioni 
al contorno su B questa volta.
Si potrebbe pensare che mentre in (1)-(4) B tenga conto di tutto
J, in (5)(6) solo rot J appare. Ma e` falso: facendo la divergenza in 
(2) si ha che div J = 0. Al solito div J e rot J determinano J
[con condizioni al contorno] per cui tutto cio' che serve di J
e` gia' in rot J.
Ciao, Valter

 originale sul teorema di Helmoltz.
[cut]
Vorrei fare un'osservazione, forse ovvia.
Quando si realizza un esperimento, sia esso classico o quantistico, in cui
si studia la dinamica di particelle che si muovono in un apparato contenente
magneti, i risultati dell'esperimento evidentemente non possono dipendere
dalla scelta della gauge che e' stata assegnata al potenziale vettore,
infatti la natura nulla sa' del fatto che le persone che eseguono gli
esperimenti abbiano assegnato l'una o l'altra gauge ad A.
Cio' si esprime matematicamente nel fatto che le equazioni che descrivono la
dinamica delle particelle devono essere invarianti al variare della gauge,
quindi anche se il potenziale vettore non e' univocamente determinato non ne
derivano conseguenze fisiche osservabili.
Questo e' vero anche per l'effetto Aharonov-Bohm, in cui tutti gli effetti
osservabili sono esprimibili in funzione dei soli valori assunti da B in
tutto lo spazio.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere togliere la h nell'indirizzo e-mail.

...


Ciao, questo e` quanto si e` detto sempre prima dell'esperimento di
A-B.
Nell'esperimento di A-B, a detta degli autori non e` piu` cosi`: il
campo A
assume un ruolo fisico nel momento in cui esamini risultati (figura di
diffrazione) di diffusione di particelle cariche quantistiche che
passano
in una regione di spazio  in cui B e` nullo ma A non e` nullo. 
La cosa non e` per niente ovvia...
Purtroppo non ho bibliografia sotto mano, ma la trovi facilmente.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Caro Giorgio, purtroppo non sono riuscito a contattare colui
che ha fatto la tesi sull'esperimento di A-B per chiedergli dei lavori
contro l'interpretazione standard da te riportata (tutto cio` che si osserva
si puo` esprimere tramite il campo B anche nell'effetto A-B).
Il fatto e` che non mi ricordo come si chiama l'autore della tesi
ed ho perso i contatti quando mi sono trasferito a Trento.
Comunque e` una tesi in Fisica che si trova ancora al Dip.
di Fisica di Genova. Se ci capiti la trovi, e` dei primi anni `90
e nel titolo si parla dell'effetto A-B.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Si certamente, probabilmente sono stato troppo stringato e in conseguenza
poco
chiaro, quello che volevo dire e' che l'effetto di interferenza che si
osserva nell'esperimento di Aharonov-Bohm e' determinato dai *soli* valori
che B assume in *tutto* lo spazio, cioe' la conoscenza dei valori che B
assume nella regione di spazio che non e' attraversata dalla particella e'
sufficiente a determinare il flusso di B e quindi il termine di fase che
determina l'interferenza (che su Sakurai, Meccanica Quantistica Moderna, e'
espresso come e * flusso di B / (htagliato * c)).
La conseguenza e' naturalmente che la scelta della gauge, anche se influenza
i valori di A, dato che non influenza B non da' luogo a effetti fisicamente
misurabili.


 Si procede cosi`...[...]
ho tutto quello che mi serve per meditare e sistemare i calcoli.
Grazie dell'aiuto, Valter.
A risentirci,
Marco

 La cosa non e` per niente ovvia...
Infatti.
Purtroppo non vedo su questo news.server il messaggio di
Giorgio Bibbiani (ne' eventuali sue repliche successive),
pero' Valter ha gia' risposto.
E cmq, rimane sempre valido il discorso di base, cioe' che
il potenziale vettore e' presente nell'equazione di
Schrodinger, e non e' ne' eliminabile con trasformazioni di
Gauge, ne' trasformabile in termini di solo campo magnetico.
Percio' c'e' poco da fare, qualche effetto lo deve per forza
avere. E infatti lo ha.
Ciao
Marco

 post non abbia tenuto conto di questo esperimento.
Ciao, mi pare che ne parlasse. Ma il punto era nell'interpretazione
di esso. Mi pareva che non fosse in discussione il risultato
dell'esperimento, ma se contasse davvero il potenziale A piuttosto
che il campo B. Come diceva Bibbiani in via piu` generale, 
mi pare che si sostenesse da parte di alcuni che in realta`
tutto cio' che e` misurabile nell'esperimento si possa esprimere
alla fine con il solo B. Non chiedermi come perche` non me lo ricordo.
Piu` di questo non saprei dirti...
Ciao, Valter