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Titolo: sistemi non lineari

come si riconosce un sistema lineare da uno non lineare?
Per i sistemi dissipativi e' ovvio, ma per sistemi non dissipativi?
Ad esempio (e correggetemi se sbaglio): un biliardo e' un sistema lineare.
Ma perche' il biliardo di Sinai (quello con le circonferenze in mezzo) e' 
non lineare?
grazie 1000 :)
claudio

Claudio ha scritto:

Ti correggo :)
Temo che tu abbia letto qualcosa che ti ha confuso le idee, fra "non
lineare" e "caotico".
Un sistema (dinamico, in tempo continuo) si dice lineare se l'equazione
differenziale (o il sistema di equazioni) che ne descrive il moto e'
lineare. 
Non so se ne sai abbastanza di questa parte della matematica, in
particolare delle eq. differenziali. Temo di no, altrimenti la domanda
non l'avresti fatta; ma non vedo come spiegare di piu' in poche parole.
Ti do solo qualche esempio: tra i sistemi semplici che certo conosci,
l'oscillatore armonico e' lineare; il pendolo semplice non lo e', se non
nell'approssimazione delle piccole oscillazioni.
Un pianeta che gira intorno al Sole non e' lineare.
Non capisco come mai ti sembri ovvio se un sistema dissipativo e'
lineare o no; secondo me non lo e'.
Per es. l'oscillatore arm. di cui sopra resta lineare anche se ci metti
una resistenza al moto proporzionale alla velocita', ma non lo e' piu'
se la resistenza e' prop. al quadrato della velocita'.
Tutt'altra cosa e' un sistema caotico: si tratta di un sistema il cui
moto e' fortemente (esponenzialmente) sensibile alle condizioni
iniziali. Un effetto e' che un piccolo errore in queste viene
amplificato nel tempo, rendndo di fatto impossibile ogni previsione. Ma
di piu': il moto acquista un carattere complicatissimo, sul quale non
posso dilungarmi.
Ora si puo' facilmente dimostrare che un sistema lineare non e' mai
caotico: al piu' puo' avere dei punti d'instabilita', ma non e' mai
complicato.
Il viceversa non e' vero, nel senso che non e' detto che se un sistema
non e' lineare sia per forza caotico: i due esempi (pendolo, pianeta)
che ti ho fatto sopra non sono caotici.
E' pero' vero di fatto che sistemi non lineari e non troppo semplici di
solito sono caotici, o almeno hanno delle regioni caotiche. L'esempio
piu' famoso e' il problema dei tre corpi, studiato oltre un secolo fa da
Poincare': non un solo pianeta, ma due, se si tiene conto della mutua
attrazione tra i due pianeti.
Veniamo al biliardo. Il biliardo normale (ideale: sponde perfettamente
elastiche, niente attrito, una sola palla ridotta a un punto che non
rotola) non e' lineare, ma e' abbastanza semplice e ha una proprieta'
che tecnicamente si chiama "integrabilita'", da cui discende che non e'
caotico.
Invece la "piccola" modifica consistente nell'ostacolo circolare al
centro lo rende caotico, come ha dimostrato appunto Sinai.
Per la stessa ragione, basta che le palle siano due, e di nuovo il
sistema diventa caotico.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Grazie mille, sei stato veramente molto gentile e disponibile. Un'ultimo 
problema: perche' dici che il biliardo normale ideale e' non lineare?
grazie ancora
claudio

 Grazie mille, sei stato veramente molto gentile e disponibile.
E anche molto chiaro, aggiungo io.
Saluti
Woodridge
-- 
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http://www.Mailgate.ORG

 problema: perche' dici che il biliardo normale ideale e' non lineare?
Non c'e' di che :)
Ti faccio un esempio ancora piu' semplice: una pallina si muove su una
retta, dove e' presente un ostacolo rigido. Quando la pallina incontra
l'ostacolo rimbalza elasticamente, con la stessa velocita' (in modulo).
Domanda: e' un sistema lineare? Risposta: no.
Per vederlo usiamo un criterio necessario: consideriamo tre diverse
condizioni di moto, che chiamiamo x1(t), x2(t), x3(t), caratterizzate
dalle diverse condizioni iniziali.
Come certo sai, per individuare il moto occorre dare a un certo istante
iniziale, poniamo t=0, la posizione e la velocita' della pallina. Sono
dunque date:
x1(0), v1(0); x2(0), v2(0); x3(0), v3(0).
Le scelgo in modo che x2(0) sia media aritmetica fra x1(0) e x3(0), e
anche v2(0) sia media aritmetica fra v1(0) e v3(0). Possiamo addirittura
prendere v1(0)=v2(0)=v3(0): cosi' i tre moti differiscono solo per il
punto di partenza..
Il sistema e' lineare solo se la condizione 
x2(t) = (x1(t) + x3(t))/2  (*)
rimane valida a tutti i tempi.
(La condizione non e' sufficiente, ma si potrebbe riformulare in modo da
renderla sufficiente. Pero' a me basta che sia necessaria.)
E' chiaro che finche' nessuno dei tre moti incontra l'ostacolo, la
condizione (*) resta valida (ricorda che le tre velocita' sono uguali).
Ma che succede appena il moto piu' avanzato, supponiamo x1, incontra
l'ostacolo? Si ha il rimbalzo, mentre x2 e x3 proseguono in avanti:
quindi la (*) non vale piu', c.v.d.
La stessa cosa si puo' fare col moto dei pianeti.
Immagina che il pianeta 1 e il 3 si muovano attorno al Sole in orbite
circolari, a distanze diverse, con 1 piu' vicino al Sole; al tempo 0
siano allineati col Sole. Naturalmente bisogna prendere le velocita'
giuste perche' le orbite siano circolari; penso che tu sappia calcolare
queste velocita', ma non ci servono direttamente.
Ora mettiamo il pianeta 2 a meta' strada fra 1 e 3 al tempo 0, e con
velocita' media arimetica di quelle dei due pianeti.
se il sistema fosse lineare, *a ogni istante* il pianeta 2 dovrebbe
sempre trovarsi nel punto medio del segmento che unisce 1 e 3, e credo
sia ovvio che non succede. Tra l'altro l'orbita di 2 non sara' neppure
circolare, ma pensa solo che dopo un po' 1 e 3 saranno da parti opposte
del Sole, perche' 1 impiega meno tempo di 3 a fare un giro. A quel
momento 2 sara' in una posizione intermedia nel suo giro, ma certamente
non allineato con 1 e 3. 
(Non posso fare una figura, ma puoi farla tu, per vedere come stanno le
cose.)


 Secondo me lui ha il "dono" della divulgazione! :)
Ti ringrazio del complimento. Pero' tengo a precisare che la "mia"
divulgazione non ha niente a che vedere con cio' che oggigiorno passa
per divulgazione, non solo in TV, ma anche in molti libri di successo,
scritti magari da fisici di grido.
Io prendo a modello alcuni classici, purtroppo non recenti, che non cito
per non apparire presuntuoso, visto che sono tutti Nobel ;-)
Ne riparleremo in un altro thread, vedrai...
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

 Ne riparleremo in un altro thread, vedrai...
speriamo, sono curioso :)
ciao
 

 come si riconosce un sistema lineare da uno non lineare?
Nell'ambito della teoria dei sistemi dinamici un sistema e' lineare se
e solo se per esso vale il principio di sovrapposizione degli effetti,
cioe' :
sia y1 la risposta allo stimolo x1
sia y2 la risposta allo stimolo x2
combinando linearmente i due stimoli (x = a.x1 + b.x2), la risposta
sara' una combinazione lineare delle risposte precedenti (y = a.y1 +
b.y2).
Matematicamente questo significa che il sistema puo' essere descritto
con un sistema di equazioni diff. del tipo:
dx/dt = Ax + Bu
y = Cx + Du
dove x e' il vettore dello stato di dimensione n, u e' il vettore
degli ingressi di dimensione p, y e' il vettore delle uscite di
dimensione q.
A,B,C,D sono matrici di ordine rispettivamente
A n x n
B n x p
C q x n
D q x p
ciao
Luca
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"Sire, you brought the light of the Gods to barbarian darkness. 
You brought civilization and justice to the farthest."
Maximus Decimus to Marcus Aurelius  in 'Gladiator', by Ridley Scott -