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Titolo: corpo nero e legge di Stefan-Boltzmann

Salve a tutti.
Come e' noto una cavita' (formata da pareti di materiale arbitrario)
tenuta in equilibrio termico e' permeata da radiazione nera e la
densita' di energia rho associata e' data dalla legge di Stefan-
Boltzmann
rho=CT^4
dove C e' una costante e T e' la temperatura. Il valore di C si puo'
calcolare in vari modi tra i quali ad esempio usando la legge di
Planck sull'energia spettrale.
Quello che un po' mi sorprende pero' e' che in questa formule non ci
sia traccia alcuna della presenza di un bordo che delimita lo spazio.
Cioe' non c'e' traccia alcuna di una sorrta di effetto Casimir in cui
rho dipende anche dalla posizione. Personalmente mi e' capitato di
fare calcoli analoghi in cui si va a cercare l'effetto del bordo
usando pero' il formalismo della teoria quantistica di campo (con
bordi): in tal caso ovviamente il bordo e' ''visibile'' per
costruzione quasi.
La domanda quindi e' la seguente: e' vero, come spesso sento dire, che
la legge di Stefan-Boltzmann cosi' come l'ho scritta sopra si puo'
ricavare con argomenti del tutto generali di termodinamica che
prescindono da tutti i dettagli microscopici ed anche dalla presenza
di bordi? Ma se cosi' fosse (e io non lo credo) l'effetto Casimir dove
lo mettiamo?
Grazie, ciao.

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Nel caso di una cavità di dimensioni microscopiche probabilmente non
ha molto senso usare la legge di Planck anche solo per il fatto di
avere un piccolo numero di atomi delle pareti, e quindi nella loro
interazione con la radiazione non si può prescindere, a mio avviso,
dalla natura delle pareti stesse, cioè dalle sue proprietà chimico-
fisiche, ad esempio dal tipo di atomi.

 fisiche, ad esempio dal tipo di atomi.
Bene, prendiamo allora una cavita' opportuna per la quale si possano
usare i soliti ragionamenti termodinamici. In tal caso quello che mi
stai dicendo e' che gli effetti di bordo sono piccoli?
Pero' visto che che il rho che calcoli scala con T^4, a basse
temperature devi riaccendere quei contributi di bordo che stai
tracurando (e che non dipendono da T).


 Certo. Del resto, a basse T ci sono soltanto fotoni di bassa
frequenza (per via del termine exp(hv/KT) nella formula di Planck) e
quindi, presumo, non si possono più trascurare le fluttuazioni di
energia del vuoto.


Dunque la pensi come me (anche se l'espressione ''fluttazioni di
energia del vuoto'' non la userei): ci sono termini di bordo oltre al
termine di Stefan-Boltzmann.
Allora ripeto la domanda, come si concilia questo termine di bordo in
piu' con le dimostrazioni generali, termodinamiche, ... che a quanto
si sente in giro  tirerebbero fuori solo il fattore termico?

 stai dicendo e' che gli effetti di bordo sono piccoli?
...
Gli effetti di bordo sono trascurabili per definizione di sistema 
termodinamico :-)
Se vuoi ricavare la TD  usuale, in  cui 
p.es
. l'  energia e'   una 
quantita'  estensiva, *devi*  eliminare qualsiasi effetto di bordo 
(perche'  non scalano col  volume).
Il  cosiddetto limite termodinamico e'  stato  inventato  per questo.
D'  altra parte,  che ci sia un  effetto di  bordo su sistemi finiti e' 
  evidente appena pensi al  fatto che le autofunzioni (e  gli 
autovalori)  del problema (classico o quantistico)  dipendono dalla 
forma del  bordo e dal tipo di  condizione (periodica, parete 
riflettente,...).
E'  un teorema di matematica che,  nel limite di cavita'  grandi, la 
forma e l'  esatto tipo di condizione non contano.  A  quel punto si 
sceglie il caso piu'  conveniente dal  punto di vista tecnico.
Se  invece vuoi trattare esplicitamente sistemi finiti,  per sistemi 
abbastanza grandi occorre tener conto di forma e tipo di condizioni. 
Per sistemi  realmente microscopici, diventa impossibile separare in 
modo netto l'  interno della cavita'  dagli atomi di cui sono costituite 
le pareti.
Giorgio

 lo mettiamo?
Direi che lo mettiamo tra gli effetti che scompaiono nel limite 
termodinamico. Gli effetti di bordo scalano come la superficie, ovvero - 
tranne casi patologici - come V^(2/3). Nel l.t. effetti di 
superficie/effetti di bulk e' prop. a V^(2/3)/V=1/V^(1/3)->0.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 Boltzmann
C'è un'ipotesi non fisica di base: le pareti del corpo devono
essere nere, cioè hanno coefficiente di assorbimento uguale
ad uno. Se non lo fossero, ma al contrario fossero perfettamente
riflettenti, non potresti applicare l'ipotesi di equilibrio termodinamico
con gli atomi delle pareti. Cioè in black body radiation black è
aggettivo di body non di radiation. Fra gli argomenti che
usò Kirkhoff c'è un argomento ideale basato sull'eventualità che
la radiazione sia anisotropa, se così fosse sarebbe possibile
violare il secondo principio, quindi la radiazione deve essere isotropa.
Assumendo l'ipotesi di equilibrio termodinamico, in pratica,
puoi infischiartene dell' ipotesi di assorbimento perfetto ed
emittività isotropa, in quanto queste derivano dall'ipotesi di
equilibrio. Considerando che la luce va veloce e l'assorbimento
totale di un fotone ha sempre una qualche probabilità puoi di
fatto convincerti che l'ipotesi di equilibrio termodinamico non sia
poi tanto peregrina.
Inoltre dentro la cavità potrebbe non essere
il vuoto ma un mezzo, in tal caso il mezzo può essere isotropo nel
senso che la velocità di propagazione della luce ed il coefficiente di
assorbimento devono essere isotropi, ma l'ipotesi di equilibrio
termodinamico
vincola solamente il coefficiente di emissione, al coefficiente di
assorbimento
in termini della intensità specifica di irraggiamento e l'eventuale ipotesi
di pareti
riflettenti in qualche intervallo di frequenza può essere sostituita
dall'ipotesi che il
mezzo non sia diatermo a quella frequenza.
Passando al linguaggio statistico i principi di equilibrio termodinamico e
gli associati teoremi di isotropia ed omogeneità devono essere formulati
in termini di limiti statistici ben precisi: il limite termodinamico
comporta che
il volume vada ad infinito e che il rapporto N/V sia mantenuto costante.
La meccanica statistica mostra in questo modo di essere uno
schema più ampio della termodinamica, per molti sistemi pratici, sotto
opportune ipotesi, i tre principi della termodinamica possono diventare
teoremi. Ma si può ottenere molto di più, dalla condizione di
bilancio che consegue dalla ipotesi di equilibrio Einstein dedusse
la celeberrima relazione che lega i coefficienti di assorbimento, di
emissione stimolata e di emissioni spontanea, in un modello a due livelli,
aprendo la strada ad una interpretazione molto profonda e generale del
coefficiente di Boltzmann, e più in generale Einstein dedusse alcune
relazioni
fra i coefficienti cinetici e di diffusione, noti come le relazioni di
Einstein,
il cui correlato più generale consiste nei cosiddetti teoremi di
fluttuazione
dissipazione.
Questi teoremi risultano validi, sotto opportune ipotesi,
ma con implicazioni più profonde che non in meccanica
classica, anche nella teoria quantistica dei
campi, il maggiore risultato, in ultima analisi, consiste nel
celebrato teorema che dalle condizioni KMS implicano un
legame fra le funzioni di risposta del sistema: la suscettività,
e le sue proprietà di rilassamento contenute nella funzione di
correlazione del sistema. Il teorema di Kramers Kroenig che è
la versione generale per sistemi lineari stazionari implica
una relazione fra la suscettività e l'attenuazione (parte reale ed
immaginaria)
ma in meccanica quantistica questo legame diventa un legame
anche fra grandezze dinamiche dello stesso sistema: dato che non è
strettamente necessaria la distinzione fra le osservabili legate
all'apparato di misura e le osservabili legate alle proprietà intrinseche
di risposta dall'altro. In verità questa interpretazione
comporta una differente interpretazione anche dell'ipotesi di regressione di
Onsanger: l'ipotesi che un sistema non può sapere se un valore non nullo
di una osservabile è dovuto ad una fluttuazione spontanea oppure ad una
perturbazione avvenuta nel passato significa solamente che l'hamiltoniana
del sistema contiene dei campi in mutua interazione e soggetti ad una
sola evoluzione dinamica che regola sia la distribuzione statistica dei
numeri di occupazione, sia la loro evoluzione dinamica. Quello in cui
la meccanica quantistica risulta più forte è nel segnalare insieme al
risultato le modalità delle possibili eccezioni.
Articoli chiave, rimanendo nella storia degli albori sono:
La teoria dei quanti di luce di A. Einstein
Investigation on the theory of the Brownian Movement
Il secondo si dovrebbe trovare in italiano in Opere scelte.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

superficie/effetti di bulk e' prop. a V^(2/3)/V=1/V^(1/3)->0.
E' vero scalano cosi'.
Pero' se un contributo di volume e' zero quello che conta dopo e'
quello di superficie. Cioe'a T abbastanza basse mi sembra che non si
possa buttare via il bordo per quanto macroscopico sia il sistema.
Ciao

 equilibrio. ...
Veramente la questione e'  lievemente  diversa, anche se e'  frequente 
trovare confusione.
Come dici tu,  la radiazione di corpo nero,  si riferisce ad un corpo 
"nero"  nel senso che il coefficiente di assorbimento e'  uguale ad 1.
Come dimostrato da Kirchoff su base termodinamica,  il potere emissivo 
dipende da T, la radiazione e'  isotropa e si puo'  ricavare la legge di 
spostamento di Wien.
Pero'  la relazione tra cavita'  e corpo nero non e'  che le pareti 
della cavita'  debbano esseere fatte di "corpo nero". Proprio perche' 
e'  sufficiente un meccanismo di raggiungimento dell'  equilibrio, le 
pareti possono essere fatte di qualsiasi materiale (con coefficienti di 
assorbimento  anche lontani da 1)  ma la *superficie*  di un piccolo 
foro praticato sulla parete della cavitŕ  si comportera'  con  ottima 
approssimazione come la superficie di un corpo nero. Che poi e'  il modo 
con cui si costruiscono "corpi neri di riferimento".
Giorgio

 Pero' se un contributo di volume e' zero
Il contributo di volume non e' mai zero, se non allo zero assoluto 
(irraggiungibile per il terzo principio).



Infatti ho specificato subito dopo che con zero intendevo piccolo a
piacere.
Il bordo contera' meno degli effetti di volume per T generico ma se il
suo (del bordo) contributo non dipende da T (come accade per l'effetto
Casimir) a temperature abbastanza basse diventa dominante per quanto
il sistema sia macroscopico. E' qui che vedo una sorta di
contraddizione con le affermazioni generali che si basano sulle solide
basi della termodinamica. Non mi sembra che si esca dalle condizioni
tipiche di un sistema termodinamico per cui valgano i principi della
TD eppure le conclusioni che ne trarrei sono diverse.
Mi ricorda anche quanto accade nelle rottura spontanea di simmetria in
cui lo stato fondamentale puo' ricordare le condizioni al bordo anche
nel limite termodinamico: tra stati di minima energia viene
selezionato quello fisico in base agli effetti di bordo.

 piacere.
Non cambia nulla. Siccome il termine di Stefan-Boltzmann e' prop. a V, 
nel limite termodinamico V->oo e' infinitamente maggiore di ogni termine 
di bordo per ogni T>0 (a meno di casi patologici tipo bordi frattali ecc.).
Quello che tu stai cercando di trattare e' un sistema di dimensione 
finita, ma qui esci dal dominio della termodinamica in senso proprio e 
le cose si fanno piu' complicate. Ti perdi una serie di cose come le 
transizioni di fase o (nella visione statistica) l'equivalenza di 
ensembles ecc.). Nulla di sorprendente che ti saltino fuori termini che 
in una trattazione termodinamica stretta non appaiono.


 in una trattazione termodinamica stretta non appaiono.
Anche io la penso cosi' (cioe' nulla di sorprendente se ci sono
termini in piu' di bordo se i bordi ce li teniamo) ma mi sono
scontrato invece piu' volte con lo scetticismo di altri fisici che
rifacendosi all'infallibilita' della TD  ovunque la si applichi,
sostenevano che contributi di bordo si potessero sempre buttare via
alla fine. Da qui il senso della mia domanda.

 Grazie, ciao.
Ciao....
il tuo iniziare col "come e' noto" significa che stai fissando una
base di conoscenza? :))
Ti rispondo in maniera strana: al contrario.
La migliore descrizione di un corpo nero e' quella data dall'approccio
termodinamico.
Perche' ti dico questo.... ?? Una trattazione termodinamica non si
cura affatto di un eventuale effetto casimir.... anzi, l'effetto
casimir e' manifesto soltanto quando avrai sezionato molto piu'
dettagliatamente la descrizione del sistema elettromagnetico-materia
del tuo corpo nero.... ma comque:
Che cosa e' per te un corpo nero?
Una cavita'? Allora che cosa e' il bordo? E il dentro della cavita'?
Solo onde em all'interno?
Un semplice ensamble di fotoni? E la materia fa da catalizzatore per
la redistribuzione energetica?
Quando si raggiunge l'equilibrio? E' raggiungibile in pratica
l'equilibrio? E se si... quale sara' la relazione tra:
Dimensioni della cavita' e periodo di tempo per la termalizzazione?
Quantita' di "materia" e periodo di tempo per la termalizzazione?
Qual e' la relazione tra radiazione (intendendo la lunghezza d'onda) e
la dimensione della cavita'?
All'interno della cavita' possono esserci onde em di lunghezza
maggiore della cavita' stessa?
Un sistema non e' nulla fin tanto che tu non lo descrivi: cioe' fin
tanto che non descrivi il comportamento suo o dei suoi costituenti.
Cosi' il bordo puo' essere semplicemente una superficie con indici di
rifrazione-assorbimento-riflessione oppure un aggregato di materiale
dielettrico oppure un insieme di strutture molecolari di tipo dipoli-
quadrupoli e cosi' via, oppure qualche cosa di ancora piu' complesso;
e di pari passo la descrizione della radiazione: elettrodinamica,
qed...
E' ovvio che man mano la descrizione si inspessisce tu rendi visibili
molti particolari che prima ti sfuggivano.
Ma se tu vuoi raggiungere un obbiettivo: la densita' di energia...
allora gia' stai facendo la media temporale sul Periodo dell'onda
della radiazione... insomma, gia' implicitamente hai fatte tali e
tante assunzioni che quello che cerchi ti e' gia' davanti.

 caratteristica L, la distanza tra le piastre, e' finita. 
Io questo lo tratterei come un sistema quasi-2D, un po' come le buche 
quantiche (2D nella direzione "orizzontale", cioe' quella parallela alle 
interfacce). In questo caso il limite TD da prendere e' quello per la 
superficie delle lastre che tende all'infinito.


 Giorgio
