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Titolo: [mat-fis-ing] problema del tubo a spirale (crosspost)

ho già chiesto prima, e io teoria ho anche le equazioni di 
vari risolutori online, ma mi sto incasinando anche con le 
unità di misura di angoli e lunghezze, allora provo a 
"ri"-proporvi alcuni problemi strettamente correlati 
all'avvolgimento di tubi a spirali con alcuni vincoli 
iniziali diversi
 
vincolo comune a tutte le varianti :
lunghezza totale del tubo = L (100 m)
 
Devo disporre (tra l'altro dovrò costruirmi uno svolgitore 
sia per il peso sia per evitare torsioni o pieghe, ma su 
questo non vi tedio) del tubo di diametro esterno "D_T" (che 
sarà 2,5 o 3 ma lasciamolo parametrico) in una spirale 
archimedea a "passo" costante, che chiamiamo PS, partendo 
tangente ad un cerchio minimo interno di diametro "Dim" (che 
sarà correlato a D_T per evitare tensioni eccessive e 
potrebbe essere sulle venti volte D_T visto che il tubo è 
spesso e rigidello). Scrivo tangente a e non che il primo 
giro sarà un cerchio, se no sarebbero due funzioni 
matematiche da raccordare, invece facciamo che parto subito 
con una spirale senza nessun cerchio iniziale (diciamo che è 
il raggio vettore iniziale in coord polari il nostro "Dim") 
Fatto questo avrò che terminata la bobina di tubo la spirale 
finirà tangendo un cerchio esterno massimo di diametro 
"DeM", ed avrà "girato" per un angolo totale (in giri e 
frazioni di giro) AlfaTot.
 
Caso 1) Imposizione vincolo su : D_T, Dim, PS
calcolo analitico di AlfaTot e di Dem
(quanto risulta grossa la sagoma circoscritta e quanti giri 
di tubo ?)
 
Caso 2) Imposizione vincolo su : D_T, Dim, Dem
calcolo analitico di AlfaTot e PS
(che passo devo usare e e quanti giri di tubo ?)
 
Non mi vengono in mente altri scenari "concreti", nel senso 
che devo dimensionare i telai su cui montare questa spirale 
e verificare se sia materialmente possibile depositare e 
fissare 100 m di tubo su di essi.
 
Lo scenario 2) sembra il più logico
Tuttavia anche il vincolo sul PASSO non è del tutto assurdo, 
perché coinvolge l'auto-ombreggiamento delle anse e la 
diminuzione di efficacia di cattura del sole ad angoli 
radenti. Per cui in teoria non sarebbe malaccio avere Dim > 
1,5 D_T, magari anche il doppio o oltre (solo che il telaio 
diventa molto ingombrante).
 
In sostanza devo accrocchiare roba varia con un occhio 
all'ottimizzazione di parecchi parametri, di disponibilità 
di parti commerciali per costruire, e di efficienza finale.
 
Mi rendo conto che per un fisico o un matematico è una noia 
mortale questo genere di problemi pratici, ma boh tentare 
non nuoce.
Magari qualcun altro prima o poi vorrà costruirsi delle 
girellone scalda-acqua e i calcoli torneranno utili per il 
dimensionamento.
cmq grazie in anticipo.
Provo a crosspostare anche su Energie Alternative, con 
ancora meno speranze per la verità.
ciao
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 
 
 
Ho letto una volta e capirei meglio con un disegno.
 
Detto questo: la variabile alpha_tot mi sembra mal scelta. A cosa serve? Inoltre il diametro del tubo non mi sembra importante per i calcoli.
 
 
 
Altra domanda: perche' c'e' bisogno di un calcolo preciso? Potresti forse applicare il teorema di Pitagora - un lato e' costituito dalla somma delle circonferenze di tutti i giri e l'altro dall'altezza dei telai, nel mio "occhio della mente" sembra sensato. Come raggio prendi la media del minimo e del massimo.
 
 
Potresti anche considerare di costruirti un modellino del telaio con carta e fil di ferro. Poi prendi le misure con un filo. Te lo fai per due o tre rapporti tra il cerchio minimo e quello massimo e per tutti gli altri interpoli e scali.

 
 
 


 
 
L'approssimazione che mi viene in mente (la ho provata e mi sembra 
sensata) e' lasciare da parte le derivate della variazione del raggio 
nell'espressione della tangente (che si integra per trovare la lunghezza 
della curva). E fare un'approssimazione simile anche per l'integrale.
 
Per fare in fretta e non pensare ho linearizzato l'espressione esatta 
della norma della tangente e l'approssimazione sembra buona anche per un 
angolo del cono grande soprattutto se non si vuole portare l'elica fino 
alla punta. Migliora se l'elica sale piano, cosicche' per ogni giro il 
raggio varia di poco. Fammi sapere se interessa.

 due in piu' per esempio?
 
non sarebbero spire libere, appena fatto uno scavalcamento
del tubo sul telaio, andrebbe bloccato, se no col cavolo che
una bobina, che ha la memoria di forma di mesi di stoccaggio
con una certa curvatura e una certa torsione, se ne sta
buona buona posata sul telaio. Il PE è elastico assai.

non so. Dipende se escono fuori equazioni risolvibili (anche
un fitting polinomiale parametrico potrebbe andare) con la
calcolatrice in modo che si possano esplicitare sia in
funzione del diametro massimo esterno, fissato passo e
numero di spire, sia in funzione di passo e numero di spire
fissato il diametro massimo.
Però se escono equazioni trascendenti, chiaramente poi non
saprei manipolarle a mano ...
boh ...
 
Ad ogni modo vedi tu, avendo ordinato quei tappetini in
gomma srotolabili ora sto pensando più che altro a scegliere
un coibente per il fondo che i GHIRI detestino rosicchiare
(penso lana di vetro, confinata in qualche modo) e a un
telaio minimale che non si appanni per montare una plastica
di copertura.
L'autocostruzione della girella è passata in sordina dal
mutato orientamento
 
Alcuni mesi fa questo articolo vendeva solo nel mondo
anglosassone, ma ora l'ho trovato su EBay da un venditore
tedesco che spende a costo zero e l'ho comprato.
Presumibilmente spenderò meno e sarà più efficiente. E' solo
la durevolezza che non sarà confrontabile. La girella in
PE100 PN10 sarebbe stata quasi eterna. 'sta gomma boh, ho
idea che se dopo 5 anni ancora funge devo considerarmi
fortunato.
Con una copertura doppia in PET potrei attenuare gli UV a
sufficienza per prolungare la vita di qualche anno ... o
almeno spero



 
Non e' necessariamente rilevante :-) La precisione che *ti serve* non e' 
detto che dipenda dalle formule che devi usare, anzi, e' molto piu' 
probabile che dipenda dal risultato che vuoi ottenere.
 
E' importante che i metri di tubo nell'avvolgimento siano proprio 100? 
Allora ti serve una precisione alta. Se sono 80 o 120 va bene lo stesso? 
Allora ti va bene un calcolo con approssimazione larga.
 
Per il calcolo abbi un po' di pazienza. Se mi dai valori tipici delle 
grandezze faccio un confronto tra calcolo esatto e approssimazione (che 
poi puoi usare in forma parametrica). Per il calcolo esatto ho pensato 
di farlo numerico, ma da quello che scrivi hai una formula: puoi 
postarla insieme alla fonte o a come ci sei arrivato?

 postarla insieme alla fonte o a come ci sei arrivato?
 
 
Aspetto dati e eventuale formula per fare i calcoli.

 postarla insieme alla fonte o a come ci sei arrivato?
 
l'ho presa da Wolfram Alpha integrando linearmente la 
spirale (e anche altri simulatori hanno confermato).
Non la so scrivere in ascii :\
provo a incollarlo
 
L = 1/2 K • [θ • sqr(1 + θ^2) + ln (θ + sqr(1 + θ^2))]
 
il termine logaritmico mi pare sia SettHypSin(θ)
Questa però è la formula indefinita, non definita


 
 
 
Ho quasi finito.
 
Per il momento ti dico due cose.
 
1) Visto che c'e' il risultato esatto, lo si puo' usare. Ho fatto il 
calco con Mathematica e per la lunghezza d'arco devo ancora confrontare 
il risultato con quello su Mathworld (parametrizzazioni diverse).
 
2) Ho provato l'approssimazione del tronco di cono come un cilindro di 
raggio medio e per i valori che ho messo funziona sorprendentemente bene.
 
Credo di poter concludere in tempo utile :-)


cono ? cilindro ?
Scusa ma non sto parlando della "spirale" elicoidale, bensì 
di quella piana (tipo la girella), ora sentendo parlare di 
solidi mi viene il dubbio di non essere riuscito a farmi 
capire ...


 
 
 
Ho fatto i calcoli con questa
 
x = t r cos(a t)
x = t r cos(a t)
z = t
 
Adesso vedo la tua equazione Rho = A + B * Theta. Pero' io ti avevo 
detto di fare un disegno :-)
 
Arrivera' :-) pero' ora sospetto che la stessa approssimazione (cerchio 
di raggio medio) funzioni bene.

 di raggio medio) funzioni bene.
 
 
Ho provato la
 
lunghezza = ((f-i) (f+i) * pi)/d
 
dove i e' il raggio iniziale, f quello finale e d il passo della spirale
 
e sembra funzionare bene (la confronto con quella esatta).
 
Per avere qualche centinaio di metri di tubo con il raggio iniziale di 
30 cm e il raggio finale di 1 metro (se ho capito le misure che ti 
interessano) hai bisogno di un passo di qualche cm.
 
Ad occhio si vede cosi': il raggio medio e' sui 70 cm, quindi per ogni 
spira ci sono circa 4 metri di tubo.
 
Puoi fare 25 spire, il passo quindi e' di circa 3 cm.
 

 Puoi fare 25 spire, il passo quindi e' di circa 3 cm.
 
cavoli altri calcoli mi davano 32-33 spire. Uhm


 uhm, "qualche cm" non mi direbbe assolutamente nulla
 
 
Sono stato poco chiaro.
 
La formula
 
lunghezza = ((f-i) (f+i) * pi)/d
 
ti da' un'ottima approssimazione. Ho aggiunto i calcoli fatti ad occhio 
con approssimazione rozza che ho usato per convincere me stesso che la 
formula da' risultati senati.