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Titolo: Induttanza 2 : la vendetta dei complessi !

Salve.
Nel mio post precedente qualcuno mi ha gentilmente dato la mostrazione della
formula dell'induttanza :
      Z= Sqrt[R^2 + ( Omega*L - 1/(Omega*C) )^2]
il fatto, è che però mi serviva in una notazione semplice.
Se qualche anima pia ha del tempo da dedicarmi potrebbe cominciare col darmi
la suddetta mostrazione in forma non complessa.
                                                                Grazie
                                                                    Kosby


Non lavorare con i numeri complessi ti costringe, in questo caso, a lavorare nel
dominio del tempo anziche' in quello della frequenza. Si tratta allora di risolvere
una equazione differenziale lineare a coefficenti costanti.
Supponi che all'ingresso della rete ci sia un generatore di tensione sinusoidale
di ampiezza A e di pulsazione Omega. Cioe':
V(t) = A*sin(Omega*t)
La corrente che circola nella rete e' ancora una sinusoide di pulsazione 
Omega ma sfasata di un angolo Phi e di ampiezza B. Cioe':
I(t) = B*sin(Omega*t+Phi)
(Il fatto che la risposta di una rete lineare ad un segnale sinusoidale sia 
sempre un segnale sinusoidale della stessa frequenza dipende essenzialmente 
dal fatto che la derivara o l'integrale di un seganle sinusoidale e' ancora
un segnale sinusoidale della stessa frequenza).
La differenza di potenziale ai capi della resistenza e' ovviamente 
Vr = R*I = R*B*sin(Omega*t+Phi)
La differenza di potenziale ai capi dell'induttanza (sarebbe piu' corretto
dire induttore..) e'
Vl = L*dI/dt = Omega*L*B*cos(Omega*t+Phi)
Infine la differenza di potenziale ai capi del condensatore e' data da:
Vc = (1/C)*Integrale(I dt) = -B/(Omega*C)*cos(Omega*t+Phi)
Devi ovviamente essere:  V(t) = Vr(t)+Vl(t)+Vc(t)     (I legge di Kirchoff)
Usando le formule trigonometriche:
sin(Omega*t+Phi) = sin(Omega*t) cos(Phi) + cos(Omega*t) sin(Phi)
cos(Omega*t+Phi) = cos(Omega*t) cos(Phi) - sin(Omega*t) sin(Phi)
si ottiene finalmente l'espressione:
A*sin(Omega*t) = B*sin(Omega*t) * {R*cos(Phi) + [1/(Omega*C) - Omega*L]*sin(Phi)} +
               + B*cos(Omega*t) * {R*sin(Phi) - [1/(Omega*C) - Omega*L]*cos(Phi)}
Affinche' questa equazione sia valida per ogni t deve essere necessariamente:
B*{R*cos(Phi) + [1/(Omega*C) - Omega*L]*sin(Phi)} = A         (a)
B*{R*sin(Phi) - [1/(Omega*C) - Omega*L]*cos(Phi)} = 0.        (b)
dall'equazione (b) si ricava immediatamente      tg(Phi) = [1/(Omega*C) - Omega*L]/R
che fornisce lo sfasamento della corrente rispetto alla tensione in funzione della
frequenza.
D'ora in poi indico la tg(Phi) semplicemente con tg. Sempre dalla trigonometria abbiamo:
sin(Phi) = tg/Sqrt(1+tg^2)    e    cos(Phi) = 1/Sqrt(1+tg^2) 
Sostituendo queste espressioni nell'equazione (a) otteniamo finalmente
A = B*{R/Sqrt(1+tg^2) + [1/(Omega*C) - Omega*L]*tg/Sqrt(1+tg^2)} 
ma [1/(Omega*C) - Omega*L] = R*tg    per cui
A = B*{R/Sqrt(1+tg^2) + R*tg^2/Sqrt(1+tg^2)} =
  = B*R*(1+tg^2)/Sqrt(1+tg^2) = B*R*Sqrt(1+tg^2).
Il rapporo A/B e' per definizione il modulo dell'impedenza della rete per cui:
Z = R*Sqrt(1+tg^2) = Sqrt{R^2 + [Omega*L - 1/(Omega*C)]^2}
-- 
Diego Passuello
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN)
Sezione di Pisa
Via Livornese 1291
56010 San Piero a Grado - Pisa - Italy
http://www.pi.infn.it/
VIRGO Project
Traversa H di via Macerata
56021 S. Stefano a Macerata - Cascina (PISA)
http://www.virgo.infn.it/

il fatto, č che perň mi serviva in una notazione semplice.
Ho il sospetto che la dimostrazione di Diego Passuello non ti sembri
piu' semplice di quella di Mino Saccone. Sbaglio?     ;-)
Come prerequisito suppongo solo che ti sia noto quanto segue:
- condensatori: reattanza capacitiva = 1/(omega*C);
                tensione v in ritardo di T/4 rispetto ad i;
- induttori   : reattanza induttiva  = omega*L;
                tensione v in anticipo di T/4 rispetto ad i.
Tensioni e correnti istantanee v ed i possono essere rappresentate
graficamente dalle proiezioni su un asse fisso di due vettori di
modulo costante V ed I (valori efficaci) opportunamente sfasati e
rotanti in figura con velocita' angolare omega.
Una serie RLC e' allora descritta dalla seguente figura:
- un vettore modulo I comune ai tre bipoli (ed al bipolo composto);
- un vettore modulo Vr = R*I parallelo concorde al vettore I;
- un vettore modulo Vc = I/(omega*C) perpendicolare al vettore I;
- un vettore modulo Vl = (omega*L)*I perpendicolare di verso opposto.
Graficamente si ottiene subito la somma dei tre vettori tensione, cioe'
il vettore rotante V che rappresenta la tensione ai capi dell'RLC.
Tale vettore in figura risulta sfasato di un generico angolo phi
rispetto al vettore I.
Basta usare il T.di Pitagora per calcolare il modulo di V:
V = sqrt(Vr^2 + (Vl - Vc)^2) = 
  = I * sqrt[R^2 + (omega*L - 1/(omega*C)^2]
e lo sfasamento risulta cos(phi) = R/Z.
Piu' semplice di cosi' non si puo'!   :))
 
-- 
 Elio Proietti        
Debian GNU/Linux