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Titolo: principio di indeterminazione, quale è il prodotto?

Dopo aver letto molti libri a livello divulgativo e molte pagine in rete
sull'argomento, mi sembra ci sia una certa confusione in merito a un
punto del principio di indeterminazione.
Mi spiego: secondo il PI il prodotto dell'incertezza o indeterminazione
nella posizione di una particella lungo un asse, poniamo x, e nella
quantità di moto della medesima lungo lo stesso asse non può essere
inferiore a un certo valore (fin qui spero di aver esposto abbastanza
correttamente); il punto è... quale è questo valore? Per qualcuno è
semplicemente la costante di Planck h, per altri è h/2, per altri ancora
h/2pigreco (o h-bar), e per qualcuno h/4pigreco (o h-bar/2).
Per quel poco che ne so, se la quantità di moto p è uguale a h/l (dove l
è la lunghezza d'onda), se si ipotizza che l'incertezza nella posizione
dx sia dello stesso ordine di grandezza di l si ha dx * dp >= l * h/l >=
h, perciò il prodotto dovrebbe essere maggiore o uguale alla costante di
Planck h pura e semplice. Da dove salta fuori la necessità di dividere
per 2pigreco, o addirittura per 4pigreco? 
Qualcuno è in grado di rispondermi in un modo comprensibile per chi ha
studiato fisica al liceo classico? Per intenderci, spiegazioni come
quella che si trova a questo indirizzo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_indeterminazione_di_Heisenberg
io non sono assolutamente in grado di comprenderle. Grazie per l'aiuto.

 per 2pigreco, o addirittura per 4pigreco?
Rispondere adeguatamente ad un livello pre-universitario non e' facile. 
Intanto ragionamenti di ordine di grandezza come il tuo non possono 
dirimere la questione, visto che sia h che h/2pi che h/4pi hanno circa 
lo stesso ordine di grandezza. Se si vuole un valore preciso questo deve 
essere per prima cosa ben definito matematicamente, secondariamente deve 
essere calcolato a partire da questa definizione e dai postulati della 
MQ. Quando fai questo calcolo vedi che il risultato e' quello dato dalla 
pagina di Wikipedia. Piu' esplicito di cosi' non sono in grado di essere.

 ha scritto:

Grazie della risposta, almeno adesso so in quale direzione devo continuare
a cercare.

 studiato fisica al liceo classico?
Se vuoi soltanto vedere esplicitamente che cosa dice il principio di
indet.basta risolvere un esempio.
Eccone uno semplice: lo stato di minima energia una particella in un
potenziale armonico unidimensionale V(x)=k x^2, puo' essere descritto
da una gaussiana f(x)=C Exp[-(x/DeltaX)^2] dove C e DeltaX sono due
costanti. Il quadrato di questa funzione, |f(x)|^2, rappresenta la
densita' di probabiita' di trovare la particella in un certo punto x.
Puoi calcolare la costante C (in funzione di DeltaX) dalla
normalizzazione della densita' di probabilita', Int |f(x)|^2 dx=1.
L'analisi dimensionale ti dice gia' che C e' proporzionale alla radice
quadrata di DeltaX, sqrt{DeltaX}.
 Nota che la posizione media della particella e' nell'origine x=0.
Anche la quantita' di moto media e' zero, p=0.
Il quadrato di quella che chiami incertezza sulla posizione e'
definita come la varianza rispetto alla media della posizione,
Dx^2=Int x^2 |f(x)|^2 dx e sara' proporzionale a DeltaX^2 (a te
spettano i conti espliciti...). Il quadrato di quella che chiami
incertezza sulla quantita' di moto e' definita come Dp^2=Int  f(x) d^2/
dx^2 f(x)  dx. Ti verra' proporzionale a 1/DeltaX^2.
Prendendo il prodotto Dp Dx otterrai un risultato proporzionale ad h.
La costante di proporzionalita' e' la risposta alla tua domanda. Nota
che in questo caso ottieni la saturazione della diseguaglianza.
ciao

 esplicito di cosi' non sono in grado di essere.
Al fondo hai ragione, tuttavia io vorrei provare a dire qualcosa di piu'.
Se riusciro' comprensibile, non so dirlo :)
Intanto parte della confusione ha ragioni storiche.
Quando Heisenberg scopri' il PdI come risultato matematico (teorema:
v. dopo) si trovo' di fronte alla necessita' di rendere plausibile un
risultato cosi' rivoluzionario, e percio' affronto' la questione da un
altro lato: quello delle possibili verifiche sperimentali.
O meglio, s'ingegno' a mostrare come qualunque esperimento proposto
per misurare x e p con precisioni incompatibili col PdI fosse
inattuabile a causa di limitazioni fisiche inevitabili.
Il piu' famoso di questi "esperimenti" e' quello noto come
"microscopio di Heisenberg", nel quale egli studia in dettaglio la
misura della posizione di una particella per mezzo di un microscopio,
e fa vedere come il carattere quantizzato della radiazione e.m.,
l'impulso associato a ciascun fotone, l'esistenza della diffrazione,
rendano complessivamente insuperabile il limite dato dal PdI.
Cio' che conta e' che l'analisi di questi esperimenti e' condotta con
argomenti tipo "ordine di grandezza", piu' o meno come quello che ha
enunciato l'OP. Questi argomenti non possono (per loro natura) dare
una stima accurata della disuguaglianza, e da qui nasce la varieta'
lamentata: h, h/(2pi), ecc.
Per informazione, c'e' un piccolo (ma densissimo) libro di Heisenberg,
intitolato "I principi fisici della teoria dei quanti" che ancora si
trova nel catalogo Bollati Boringhieri, anche se la mia copia e' del
1948.
In questo libro H. espone entrambe le parti del problema: il teorema e
la discussione degli esperimenti.
Va detto che la denominazione "principio" trae in inganno, perche' fa
pensare che si tratti di un enunciato indipendente.
La cosa e' aggravata dal fatto che ancor oggi c'e' chi tende a esporre
il PdI come una conseguenza di limitazioni alle possibilita' delle
misure.
Invece. come ho gia' detto e ripetuto, in una formulazione rigorosa
della m.q. il PdI e' una conseguenza dei postulati di base, ossia un
teorema.
Per questo motivo molti preferiscono un nome diverso: "relazione"
anziche' "principio".
Un altro aspetto della questione e' il seguente: del PdI spesso si fa
un uso _euristico_ (non debbo spiegare che cosa vuol dire, a chi viene
dal classico :-) ).
In tale uso non importa che la disuguaglianza sia rigorosa, ma spesso
basta un ordine di grandezza.
Non solo: dato che si tratta di una disuguaglianza i cui il caso
limite "=" vale solo in condizioni molto particolari, in tanti casi
pratici e' piu' utile enunciare il PdI "per eccesso", ossia con un
valore abbondante del limite.
(Nota: vedo che nel frattempo argo ha spiegato che il caso limite si
raggiunge (ed e' un caso importante) per lo stato fondamentale
dell'osc. armonico.)
Faccio un esempio, vicino a quello che ha scritto l'OP. Supponiamo che
una particella sia vincolata a muoversi in un segmento di lunghezza a.
Allora la sua lunghezza d'onda sara' al piu' pari a 2a (mezza lunghezza
d'onda riempie il segmento) e il valore corrispondente dell'impulso
sara' h/(2a).
In realta' l'impulso puo avere i due segni, quandi varia tra +h/(2a) e
-h/(2a), con un'incertezza di h/a.
L'incertezza nella posizione possiamo prenderla pari ad a, e allora
abbiamo Dx*Dp = h.
Per capire il teorema, occorrono delle conoscenze di m.q.; ma
limitandosi a un minimo descritto a parole, cio' che conta e' questo.
1) Lo stato della particella e' descritto da una funzione d'onda, e da
questa si puo' calcolare la distribuzione di probabilita' per una
misura della posizione x.
In particolare si puo' definire lo s.q.m. di questa distr. di
probabilita': chiamo questo Dx.
2) Dalla f. d'onda si puo' anche calcolare una distr. di prob. per le
misure di p (non spiego come ...).
Anche questa distr. di prob. ha uno s.q.m.: lo chiamo Dp
3) E' una risultato *puramente matematico* (teorema) che *qualunque
sia lo stato* (la f. d'onda) tra Dx e Dp sussiste sempre la
disuguaglianza:
Dx * Dp >= h/(4pi).
Faccio notare che qui si usa, come aveva osservato Enrico, una
definizione precisa di Dx e Dp, ben diversa da quella "all'ingrosso"
che avevo usata nell'esempio del segmento.
Proviamo ad applicare la disuguaglianza al caso della particella
vincolata a un segmento.
Do i risultati, senza fare calcoli.
Prendendo la piu' semplice f. d'onda possibile, ossia una sinusoide
che si annulla agli estremi del segmento, si trova in questo caso
(salvo errori):
Dx * Dp =~ 0.28 h,
che e' quasi 4 volte il minimo possibile, ma e' anche circa 1/4 della
stima che avevamo fatta prima.
 
-- 
Elio Fabri
La conoscenza viene da Papa Bondye', appartiene a tutti, e se non si
condivide si perde.

 Se riusciro' comprensibile, non so dirlo :)
Grazie della spiegazione, sono riuscito a comprenderla quasi per intero.
Chiaramente sugli s.q.m. a partire dalla funzione d'onda e sul seguito, come
ho detto, non possiedo le "basi" e quindi non potr� mai comprendere il
motivo per cui alla fine al denominatore si aggiunga quel 4pi, ma questa �
una conseguenza del mio curricolo di studi e non � certo colpa tua n� di
nessun altro :)

 non e' certo colpa tua né di nessun altro :)
Intanto vorrei correggere una cosa.
Non e' giusto dire che "si aggiunge quel 4pi".
Come se h fosse qualcosa di naturale e comprensibile, e il resto no.
E' vero che se vuoi capire queste cose hai solo una strada: studiare
fisica ;-)
Ma una parte del ragionamento possiamo farla.
Ho detto e ripetuto che la rel. d'indet. e' un teorema.
Ora (questo lo sai di certo) un teorema si dimostra a partire da certe
proposizioni di base di una teoria (gli assiomi): quali sono nel nostro
caso gli assiomi?
Non posso enunciarteli per bene, ne' spiegarteli, per la solita
questione delle basi; ma e' li' che si "nasconde" la costante di Planck.
Non devi pensare ad affermazioni semplici come la relazione di de
Broglie, che fa parte della fase di costruzione della teoria, ma non
e' un assioma e non permette di costruire dimostrazioni.
Se guardi l'articolo di wikipedia, nella parte per te piu' astrusa,
troverai quali sono gli assiomi, in particolare questi:
- ogni grandezza osservabile e' rappresentata in m.q. da un
*operatore* (lo so che non sai che cosa significa, ma non importa)
- in generale due operatori diversi non commutano tra loro: AB e'
diverso da BA
- in particolare, quando si tratta di osservabili come posizione e
impulso, se indico con X e P gli operatori, si ha
XP - PX = ih/(2pi).   (1)
Tralascio qualche assioma che servirebbe ma non e' essenziale per il
mio discorso. Quello che conta e' che *su queste basi* la rel d'indet.
*si dimostra*, e viene col 4pi a dividere che ti disturba :)
Ma come vedi, un 2pi a dividere c'e' gia' in un assioma.
Perche' c'e'? Beh, potrei tentare varie spiegazioni, ma forse quella
che puoi capire meglio e' questa: con la (1), scritta proprio cosi',
puoi anche ricavare la rel. di de Broglie tra l. d'onda e impulso.
