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Titolo: dubbio (banale ?) di meccanica - effetti della pressione sui solidi

 
Stavo pensando a un problema dove c'erano in ballo le 
deformazioni meccaniche di un corpo solido sottoposto a 
pressioni (come rulli, calandre, coclee etc).
Siccome questo avrebbe potuto danneggiare la struttura 
interna (ammettiamo che il materiale sia disomogeneo, o 
meglio ... diciamo piuttosto anisotropico), mi sono detto : 
allora PRESSURIZZIAMO semplicemente l'ambiente in cui viene 
prodotto.
La pressione applica forze omogenee, giusto ? Poi mi sono 
messo a pensare a questo assioma, e, forse prendendo una 
cantonata, mi sono risposto : mah, dipende ?
 
Ho pensato alla sfera. Tutto perfetto.
 
Poi a un cilindro di altezza H e raggio R e diametro D 
(vabbè, D=2R lol)
 
e mi sono detto. Se la pressione è (per definizione) 
uniforme, la superficie laterale subirà nel complesso una
FORZA : F_lat = P·2·PI·R·H
ciascuna delle facce subirà una
FORZA : F_fac = P·PI·R^2
 
ora se il cilindro è alto e magro, H >> R
F_fac diventa << F_lat
 
e questo comporterebbe che, se almeno una (anzi una sola, 
esattamente F_lat) delle due forze dovesse superare la 
resistenza alla deformazione plastica per compressione del 
materiale (anisotropo o meno, qui non è cruciale), il 
cilindro si deformerà, e si deformerà nel senso di 
assottigliarsi e allungarsi.
 
E mi si crea il "paradosso" (* lo è ?) di un problema 
matematico divergente.
Perché più si stringe, più le forze opposte sulle basi, che 
lo schiaccerebbero, diventano trascurabili su quella 
laterale che lo strizza.
 
Cosicché diventerebbe al limite una sorta di filo monoatomico.
 
Ora non voglio entrare nel merito di come vari la resistenza 
meccanica dei corpi in seguito alla deformazione, 
incrudimenti e cmq variazioni di modulo elastico.
Volevo solo capire se sto prendendo una cantonata già su 
questa premessa su basi puramente geometriche. E solo se non 
lo è, eventualmente, approfondire un filino se
 
Tra l'altro questo problema mi ha anche ricordato l'altra 
situazione divergente, dei due palloncini elastici collegati 
a una cannuccia, in cui il meno gonfio si sgonfia quasi del 
tutto e il più gonfio si gonfia di più.
 
(*) torno sulla ragione per cui mi sembra un paradosso.
In apparenza pensavo che un corpo dovesse assumere forma 
sferica, non "asimmetrizzarsi" ulteriormente. Perché in 
quella forma presenta la superficie minima, e quindi sfugge 
alla forza esterna, minimizzando il grado di ulteriore 
deformazione meccanica. In altre parole la forma sferica mi 
pareva un "attrattore" convergente al problema.
 
In effetti se penso a un cubo, mi aspetto che il materiale 
vicino ai vertici, dove "c'è più superficie per unità di 
volume", sia soggetto a più compressione di quello al centro 
delle facce, sicché mi immaginavo il cubo stondarsi sino a 
diventare una palla, comprimendosi meno possibile e 
immagazzinando meno energia elastica e di deformazione 
possibile. Energeticamente, a prescindere dal valutare se 
sia giusta o meno, questa soluzione mi attirava di più per 
la minizzazione dell'energia del sistema.
 
Infece per il cilindro che viene trasformato in un filo mi 
pare accadere il contrario.
 
P.S. forse sto anche usando male il principio di 
minizzazione dell'energia, nel senso che magari in un 
sistema isolato tutto liscio, ma qui abbiamo DUE parti 
interagenti : il provino e l'esterno, e forse in questo 
caso, il trasferimento di lavoro dal sistema al provino, è 
meglio se sia il massimo possibile, perché stabilizza il 
sistema esterno più di quanto destabilizzi il provino. Se il 
cilindro si comprime di più, la pressione alta del sistema 
si ridurrà di più.
 
Ok, ho le idee confuse, qualche dritta è gradita !
 
 
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

la minizzazione dell'energia del sistema.
 
E' impossibile ipotizzare comportamenti degli oggetti basandosi
solamente sulla loro geometria, senza conoscere la loro struttura
interna o altre caratteristiche. Ciao

 schiaccerebbero, diventano trascurabili su quella laterale che lo strizza.
...
 
Vedi, lo scrivi tu stesso. oltre alle forze entrano in gioco le 
deformazioni. E non hai necessità di arrivare a deformazioni plastiche. 
Molto prima sei in regime di elasticità lineare. Già lì le deformazioni 
non hanno l'obbligo di essere omogenee.
 
Le forze su una superficie solida in teoria dell' elesticità vengono 
rappresentate convenientemente a partire dal tensore degli sforzi. 
Questo in 3D, e in cordinate cartesiane, è  rappresentabile mediante una 
matrice simmetrica 3x3, sigma_{ij},  il cui prodotto matrice per vettore 
con il vettore normale ad un elemento di superficie unitario dà come 
risultato il vettore forza su quella superficie. Forza che in generale 
può avere componenti normali ma anche tangenziali alla superficie 
(sforzi di taglio).
 
Parallelamente le deformazioni sono descritte dal tensore di 
deformazione u_{ij}, anche questo rappresentabile mediante una martice 3x3.
 
La più generale risposta elastica collega linearmente il tensore di 
deformazione al tensore degli sfrorzi. E questo, in generale, richiede 
una "matrice" a 4 indici, c_[ijpq}, il tensore dei coefficienti elastici:
 
u_{ij} = \sum_p \sum_q c_[ijpq} sigma_{pq}
 
A seconda del materiale, del tensore degli forzi e  del tensore c, 
possiamo avere diverse risposte (deformazioni). Anche applicando forze 
isotrope (tensore degli sforzi diagonale e con tutte le componenti 
uguali). Possiamo avere deformazioni anisotrope.
Cfr 
https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law#Matrix_representation_.28stiffness_tensor.29
 
 
E siccome c'e' già molto da digerire, mi fermo qui.
 
Giorgio

 
 
 
No. Se il sistema per semplicità è omogeneo,  isotropo e lineare, la deformazione non dipende dalla forza ma dalla forza per unità di superficie. Il che è intuitivo: un cavo di una sezione 2A reggerà il doppio del peso di un cavo di sezione A, giusto? Un pilone verticale di cemento di sezione A che lavora in compressione reggerà la metà del peso di un pilone di sezione 2A, ecc. 
Per i dettagli sulla relazione sforzo-deformazione vedi la rispostadi Giorgio Pastore. 
 
--
Wakinian Tanka

 sezione 2A, 
... 
Detto male. 
Meglio:
"... reggerà la meta del peso che regge un pilone di sezione 2A". 
 
--
Wakinian Tanka

 Wakinian Tanka


 resistenza meccanica del provino
 
Spostare  materiale sembra andare molto oltre il regime elestico cui mi 
riferivo.
 
Anche senza componenti tangenziali, il tensore di elasticità può dare 
deformazioni anisotrope anche in presenza di una pressione isotropa.
 
Il messaggio di fondo era questo: la relazione tra sforzi e 
deformazioni, anche in regime lineare e con sforzi isotropi, può dar 
luogo ad anisotropie dovute alla costituzione (anisotropia) del materiale.
 
Se questo avviene già in regime lineare, può continuare a valere in 
regime non-lineare e plastico.
 
Giorgio


 
 
Ma io ho scritto di un materiale lineare, omogeneo e isotropo. Comunque le conclusioni nella tua domanda fanno riferimento solo alla forma del solido, ad es del cilindro (più o meno sottile) di cui hai scritto: fai un calcolo utilizzando esclusivamente i valori delle forze dovute alla pressione esterna omogenea ed isotropa sulle varie superfici di questo cilindro, quindi rimane un calcolo errato. 
IMHO, naturalmente. 
 
--
Wakinian Tanka

 Giorgio


Il 11/08/21 16:35, Alberto Rasà ha scritto:

sì ma non capisco la ragione per cui sia errato ...
 
ci ripenserò ...


Non cito nessuno, perché non avrebbe senso.
Infatti non riesco a destreggiarmi tra le varie ipotesi,
controipotesi, ragionamenti semplicmente del c... da parte di chi è
completamente analfabeta sull'argomento; altri che vanno avanti a un
tanto al chilo :-(
Potrei salvare solo Giorgio, ma in realtà neppure lui, che non ha il
buon senso di capire che dare spiegazioni come le sue a uno come
Soviet_Mario è peggio che tempo sprecato. E' anche perdita di tempo
per chi vorrebbe capirci qualcosa e si trova sballottato tra livelli
di discorso incompatibili.
 
Io per mio conto ho cercato di stabilire un enunciato preciso del
problema:
"Assumiamo un solido omogeneo e isotropo, immerso in un fluido. In
condizioni statiche e assenza di gravità, quindi con pressione costante
nello spazio e nel tempo.
Ciò posto, nel limite elastico (vulgo, legge di Hooke) si può asserire
che la deformazione del solido è uniforme, ossia che il solido cambia
la sua forma solo per similitudine, e che il tensore degli sforzi al
suo interno è omogeneo e isotropo?
 
Chi non capisce la terminologia per favore vada a farsi una
passeggiata al fresco e non mi faccia perdere tempo.
Il problema non è di quelli che si trattano a chiacchiere (ammesso che
ve ne siano in fisica).
 
Fatto questo, mi sono riletto le prime pagine della "Teoria
dell'elasticità" di L&L (l'unico libro che ho in materia).
Debbono bastare le prime pagine, perché poi si va molto più nel
difficile.
Mi aspettavo, a dire il vero, che la questione fosse trattata magari
velocemente ma con chiarezza, oppure che fosse rimandata a qualche
problema. Ma sono rimasto deluso.
Sarò rimbambito? Sta di fatto che non ho ancora capito se la risposta
ci sia, se sia banale, oppure come si debba procedere per trovarla.
 
Forse sapete che io non sono mai stato molto tenero con L&L, in
generale. Lo trovo un trattato dogmatico, ossia pochissimo critico,
che scarsamente indica le basi e spesso dà troppe cose per scontate.
Lo stesso è capitato ora.
Se riuscirò a fare progressi mi farò vivo, ma per ora eviterò anche di
leggervi, per le ragioni che ho già detto.
 
Se mi giudicate un vecchio incazzoso magari avete ragione, ma anch'io
credo di avere le mie ragioni.
 
PS per Soviet. Sono ancora alle prese con l'altro problema, quello dai
gruppi acidi su una matrice solida immersa in un liquido.
Le equazioni le ho scritte da tempo, e credo si possano risolvere per
funzioni elementari.
Però (e qui sicuramente l'età ha il suo peso) i conti procedono
lentamente, con frequenti errori che debbo correggere :-(
Chissà se riuncirò ad arrivare in fondo...
-- 
Elio Fabri

 
Tu hai scritto (devo sintetizzare per via del rbmd = robomoderatore):
 
<<... comporterebbe che, se almeno una (anzi una sola, esattamente F_lat) delle due forze dovesse superare la resistenza alla deformazione plastica per compressione del
materiale (anisotropo o meno... >>
Ti chiedo di definire con un'equazione, e non in termini più o meno intuitivi, il termine "resistenza a deformazione plastica" 
e di fare un *semplice* esempio (no cilindri, solo piccoli elementi ∆S di superficie oppure cavi in trazione, tanto per fare un esempio). 
Senza una tale definizione *non potrai mai* capire. Le definizioni *sono fondamentali* in fisica. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 Ciao.


 quantitativo, 
... 
 
Mario, in assenza di una equazione o di una definizione, non puoi dire *nulla*, nemmeno una parola! Tutta la tua ultima risposta, per esempio, è del tutto inutile! 
In fisica non c'è la "qualitativa" e la "quantitativa" come in chimica analitica, c'è SOLO la seconda! 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

scorrimenti tali da assottigliare il filo.
 
Per fissare le idee, un cilindro di materiale elastico isotropo tipo
tappo auricolare antirumore andrebbe bene? La cosa migliore è fare
l'esperimento e constatare che non si ha alcuna deformazione nel senso
che dici tu. Ciao

 che dici tu. Ciao
 
eh, e come potrei materialmente ?


eh, e come potrei materialmente ?
 
Siringa vulgaris, riempita di rarissima H_2O. Ciao

Il 13/08/21 16:41, El Filibustero ha scritto:

geniale. Presumo riuscirei ad applicare una cinquantina di 
newton (5 kg) su 2 o 3 cmq circa di superficie.
 
Quando sarò sospeso senza stipendio questo autunno, magari 
trovo il tempo di imbastire, fotografare e misurare !


 elastica del pezzo, 
... 
 
1) La compressione elastica si ha SEMPRE per sforzi inferiori al limite di elasticità (dopo c'è lo snervamento poi la rottura, mi riferisco ad una trattazione semplice). 
 
 
2) E' errato parlare di "forze" quando si discutono le deformazioni dei materiali perché le forze *devono* essere considerate distribuite sulla superficie, a livello di trattazione ingegneristica convenzionale (altrimenti le cose diventano incredibilmente più complesse e certamente non trattabili in un ng al livello a cui lo stiamo facendo, e comunque non sarebbe nemmeno utile in questo caso). 
 
Essendo distribuite sulla superficie, diventano grandezze estensive quindi ci si riferisce sempre a forze *per unità di superficie* ovvero a "sforzi" e "tensioni". 
Vedi ad es. :
 
http://www.tecnologica.altervista.org/php5/index.php?title=Diagramma_di_tensione-deformazione
 
 
 
Anche per questo ti avevo invitato a fare, PRIMA, considerazioni su sforzi e deformazioni su un caso semplice, come quelli di un cavo sottoposto a prova di trazione: se non altro per tarare la terminologia della discussione. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka 

 suo interno è omogeneo e isotropo?
...
 
Io al massimo arrivo a verificare che la soluzione ipotizzata
soddisfi a tutte le condizioni esplicitate nel LL, non che
sia unica. Nel seguito uso le convenzioni di LL con
riferimento all'ed. italiana.
 
Sia p la pressione esterna, _ipotizzo_ come soluzione
per il tensore degli sforzi (delta_ik = delta di Kronecker)
 
(2.5)  sigma_ik = -p delta_ik,
 
che soddisfa alle condizioni al contorno all'equilibrio
 
(2.8)  sigma_ik n_k = -p n_i = P_i
 
dando appunto un vettore (densità superficiale di) forza esterna
diretto perpendicolarmente verso la superficie e di modulo uniforme,
come da ipotesi.
 
Nelle ipotesi di isotropia ed elasticità, si ricava il tensore
di deformazione dalla legge di Hooke (K = modulo di compressione
uniforme, e in questo caso 1/K = compressibilità isoterma):
 
(4.8)  u_ik = -p / (3K) delta_ik,
 
allora per la definizione
 
(1.5)  u_ik = 1/2 (@u_i/@x_k + @u_k/@x_i)
 
_ipotizzo_ una soluzione per il vettore di deformazione
 
u_i = -p / (3K) x_i
 
(con x_i coordinata i-esima del raggio vettore del dato punto
del corpo indeformato, avendo scelto come origine degli assi
cartesiani quelli del punto che sia rimasto invariato nella
deformazione) che soddisfa alle 2 eq.i precedenti e corrisponde
a una deformazione uniforme (per similitudine) del solido.
 
La condizione di equilibrio per sigma_ik (2.6) è verificata,
così come le condizioni di equilibrio (7.4), (7.6) e (7.7).
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)