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Titolo: spin elettrone

Salve a tutti!
Sono uno studente di fisica del quarto anno e vorrei alcune delucidazioni
spicciole sullo spin dell'elettrone. Mi spiego meglio: ho già dato gli esami
di fisica teorica e quindi in linea di principio dovrei saperne abbastanza.
Il problema è di ordine pratico e intuitivo: lo spin è una grandezza che non
ha analogo classico, ok; tuttavia viene trattato come momento angolare e
come generatore di rotazioni. Ora, se si usa la formuletta semiclassica del
momento angolare mvr=h/2pi ( a parte il fattore 1/2 ), sostituendo la massa
dell'elettrone e il suo raggio "classico" ( dell'ordine di 10^-17 cm ) trovo
una velocità di rotazione dell'ordine di 10^18 cm sec^-1, molto maggiore di
c. Ne conseguirebbe, se non vogliamo turbare il sonno eterno di Einstein,
che non si può intendere lo spin come rotazione dell'elettrone intorno al
suo asse. E allora? Nei corsi che ho seguito e nei libri che ho studiato la
cosa non viene affatto approfondita o, al massimo, sviata con definizioni al
limite della comprensibilità. Qualcuno sa darmi una risposta precisa alla
domanda "che cos'è lo spin dell'elettrone e qual è il suo significato
fisico?"?
Grazie per l'attenzione.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


Lo spin e' lo spin! Mi pare che tu stia cercando una spiegazione 
_classica_ dello spin, che non c'e'! Anche per il motivo che hai
scritto tu. Il significato fisico lo fornisce la teoria attuale (MQ)
e non la  "precedente teoria" (Meccanica Classica) che si e' rivelata
inadeguata alla descrizione del mondo microscopico.
La cosa piu' generale che si puo'dire e' che le particelle elemetari 
essendo gli oggetti elementari di cui e' fatto il mondo, devono essere
rappresentati in spazi di Hilbert che sono rappresentazioni
irriducibili del gruppo di Poincare' che e' il gruppo sotto cui la
fisica e' invariante (trascurando la gravita').
Le rappresentazioni irriducibili del gruppo di Poincare' sono 
caratterizzate da alcuni numeri dati dagli autovalori degli
operatori di Casimir del gruppo. Uno di questi numeri e' appunto detto
spin. Tale numero caratterizza la rappresentazione irriducibile
del (sotto)gruppo delle rotazioni sotto cui e'invariante la
descrizione della particella quando e' descritta nel suo riferimento
di quiete. In questa rappresentazione il gruppo
delle rotazioni e' generato da 3 operatori che hanno la stessa algebra
dei tre operatori che definiscono il momento angolare orbitale, ma
a differenza di tale caso, i valori dell'operatore che corrisponde
al momento angolare al quadrato sono costanti (invece che variabili).
Tuttavia, si vede, da molti punti di vista (per esempio richiedendo che 
il momento angolare totale sia in generatore dell'azione del gruppo 
delle rotazioni sul sistema della particella descritta in un arbitrario 
riferimento inerziale),  che se si cerca di definire il momento angolare 
totale di una particella, si e' costretti
a sommare al momento angolare orbitale l'analogo operatore definito con 
i tre generatori di spin detti sopra.
In questo senso i tre operatori di spin "assomigliano" ai tre operatori
del momento angolare orbitale ed ha senso dire che lo spin rappresenta 
il momento angolare "intrinseco" della particella: perche' e' quello che 
rimane quando si annulla quello orbitale.
Tuttavia altre speculazioni risultano essere prive di senso come hai 
toccato con mano pensando alla particella quantistica come una "pallina".
  Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

a.m.boy ha scritto:
 > Ora, se si usa la formuletta semiclassica del momento angolare
 > mvr=h/2pi ( a parte il fattore 1/2 ), sostituendo la massa
 > dell'elettrone e il suo raggio "classico" ( dell'ordine di 10^-17 cm )
 > trovo una velocità di rotazione dell'ordine di 10^18 cm sec^-1, molto
 > maggiore di c.
Guarda che il raggio classico dell'elettrone vale 2.8x10^(-13) cm.
Anche cosi' pero' v riesce >> c (avresti v/c dell'ordine di 1/alfa,
costante di struttura fina.
Del resto che cos'e' il raggio classico dell'elettrone? Solo il raggio
di una distribuzione di carica la cui energia valga mc^2.
Risale al tempo in cui si tentava d'interpretare la massa
dell'elettrone come "massa elettromagnetica".
Anche questo non ha funzionato: da tutti i punti di vista non puoi
dare un'interpretazione classica dell'elettrone...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 fisico?"?
Le risposte di Elio e Valter sono ineccepibili dal punto di vista 
formale. Pero' a me, quando ero al quarto anno, non avrebbero 
completamente soddisfatto.
Io non ho una risposta molto migliore (e sicuramente meno ricca, dal 
punto di vista formale di quella di Valter) pero' forse potrebbe darti 
qualche spunto di riflessione.
Prima pero' fammi prendere la questione un po' da lontano e cominciare 
da un commento iniziale. Cosa significa la domanda  "cosa e' e quale e' 
il significato di una certa proprieta' fisica ?" Occorre rifletterci un 
momento perche' altrimenti si danno per scontate cose che non lo sono.
Un modo ragionevole di interpretare la domanda e' di considerarla 
equivalente a chiedere quali sono i fenomeni ed i concetti che possono 
essere usati come concetti correlati, analogie, modelli, utili per 
descrivere la proprieta' in questione.  Alla domanda "cosa e' e qual e' 
il significato del momento angolare di un sistema di particelle 
classiche" si puo' rispondere dicendo che e' una proprieta' fisica che 
si misura in un certo modo, tale che valori non nulli sono collegati 
alla presenza di velocita', che, per sistemi non soggetti a  momenti di 
forze si conserva, per cui esiste una certa espressione formale, che e' 
il generatore infinitesimo delle rotazioni....
Allora cosa e' e quale e' il senso fisico ? Un po' tutte queste cose. 
Magari la prima cosa che viene in mente e' una trottola in rotazione ma 
poi ci si pensa un po' su' e si sovrappone a questa immagine mentale 
quella di una particella in moto rettilineo uniforme che pure e' dotata 
di momento angolare (conservato). Tutto questo non e' completamente 
formale, benche' usi il formalismo, ma serve soprattutto a permettere di 
sviluppare  la capacita' di trovare scorciatoie, di "indovinare" per 
analogia la risposta a problemi piu' complessi. Quello che qualcuno 
chiamerebbe l' "intuito fisico".
Qual e' la situazione dello spin dell' elettrone ? Anche qui abbiamo 
varie proprieta' misurabili e formali che possiamo accumulare sotto l' 
etichetta "spin dell' elettrone" (cfr. messaggio di Valter). Pero' ci 
sono dei problemi. In particolare dobbiamo rinunciare alla connessione 
(che e' fortissima in meccanica classica) tra momento angolare e 
rotazione (intesa come qualcosa che "gira"). Il perche' e' chiaro. In 
parte il conto che hai impostato e che in ogni caso rende la rotazione 
incompatibile con i limiti imposti dalla relativita'. In parte perche' 
l' impossibilita' di associare un valore ben definito di posizione e 
simultaneamente di velocita' mi sottrae quasi tutta la capcita' di 
"visualizzazione" mentale del moto che tanto puo' aiutare in  meccanica 
classica.
Allora, se cerco una spiegazione che sia un aggancio ad altre proprieta' 
e non voglio rassegnarmi alla affermazione, peraltro vera, che lo spin 
e' una quantita' quantistica senza analoghi classici che posso fare ?
Secondo me qualcosa e' fattibile se ci si ricorda quale e' l' origine 
fenomenologica osservativa dello spin: la presenza di un momento 
magnetico. Un momento magnetico e' una proprieta' connessa ad una 
meccanica (il momento angolare) ma che fa scattare altre immagini ed 
associazioni. P.es; la deflessione in un campo magnetico non uniforme, 
precessioni, allineamenti...
E questi concetti sono tranquillamente utilizzabili anche per elettroni 
quantistici, non solo per gli aghi delle bussole.
Ci si puo' spingere un passo piu' in la'. In elettromagnetismo classico 
un momento magnetico deriva da una distribuzione di correnti. Questo 
continua a valere anche nel formalismo della MQ. La presenza dello spin 
la puoi associare alla presenza di una distribuzione di correnti che 
danno luogo ad un momento magnetico non nullo anche nel sistema di 
riferimento in cui la massa dell' elettrone e' in quiete.
Ecco questo per me e' una possibile risposta alla domanda che hai fatto. 
Non e' una risposta finale. Non so "visualizzare come venga generata la 
distribuzione di correnti. So che e' necessaria una funzione d' onda con 
almeno 2 componenti per poterla avere ma non so cosa veramente voglia 
dire che ci vuole una f. a 2 componenti. Pero' mi permette di vedere una 
coerenza del formalismo e di aggiungere  sotto la voce "spin dell' 
elettrone" delle proprieta' che mi possono tornar utili nel momento in 
cui devo usare il concetto stesso.
Ma questo non e' lo stesso per i concetti "classici " ?
Giorgio

 Grazie per l'attenzione.
C'è un famoso articolo, che sembra fatto
apposta per te:
autore: Hans C. Ohanian,
titolo: " What is Spin? "
rivista: American Journal of  Physics ,
anno 1986, volume 54,  pp. 500 - 505.
L'articolo sostiene che un' interpretazione
intuitiva dello spin è possibile.
Puoi trovare alcuni estratti dell'articolo
nel mio intervento su it.scienza.fisica,
data: primi di settembre 2000,
thread: " Re: Spin ", seguito da un commento
di Elio Fabri.
Altro materiale lo trovi con Google:
digita
" Ohanian, spin "
e potrai leggere alcuni thread del NG americano
sci.physics.research sia sull'articolo che ti ho detto
sia più in generale sul tema che ti stà a cuore, con
commenti di McIrvin e John Baez.
Buona lettura
Corrado

 Grazie per l'attenzione.
Ciao, da studente provo a fartelo capire con il seguente ragionamento, poco
formale ma molto intuitivo.
Considera una particella libera il cui moto è descritto dall'equazione di
Schrodinger, come sicuramente avrai visto nei corsi del terzo anno. Il suo
momento angolare orbitale (totale) in questa teoria è conservato, poiché per
ogni componente vale la relazione operatoriale
[H,L]=0;
dove H è il suo operatore hamiltoniano (alla Schrodinger).
Questo risultato permette di ottenere autofunzioni comuni di H e L (o meglio
di H, L^2, L_z) e di avere una descrizione del suo stato quantistico in
termini dei relativi autovalori, rappresentati da numeri quantici.
Nel caso relativistico però la teoria di Schrodinger non vale
più...descriviamo allora la nostra particella libera attraverso l'equazione
(quantistica&relativistica) di Dirac.
Avremo allora una nuova hamiltoniana (relativistica) che descrive il nostro
semplice sistema fisico, solo che ora la quusiamo l'equazione di Dirac per
la quantità [H,L] non è più uguale a zero, ma restiuisce un oggetto che però
ha proprietà molto simili a quelle di un (operatore di) momento angolare
(stesse relazioni di commutazione tra componenti
[L_(i),L_(j)]=ihE_(ijk)L_(k)).
Poniamo allora [H,L]=-S, (per ogni componente di L).
In questa visione il momento angolare orbitale della particella non è più
conservato! Non ho più autovalori, non ho più numeri quantici...ma per una
buona descrizione del mio sistema devo riferirmi a osservabili fisiche i cui
operatori associati commutino con l'hamiltoniana e tra di loro.
Definisco allora l'operatore J=L-[H,L], cioè J=L+S.
Ovviamente si avrà [H,J]=[H,L]-[H,L]=0,
e si puo' osservare che l'operatore J soddisfa alla stessa algebra
dell'operatore L (e di S), ma è (a differenza di L) una costante del moto:
allora -a pieno diritto- chiamo J "operatore di momento angolare totale",
poichè ora è J la quantità conservata, non più L.
 
Quindi in questa descrizione quantistica relativistica il momento angolare
totale è somma di due termini (L e S):
-uno è il vecchio momento angolare orbitale, ben noto anche in fisica
classica;
-il secondo contributo è un oggetto sconosciuto che però si comporta proprio
come un momento angolare...e lo chiamo allora "momento angolare intrinseco",
o "spin" (e guarda caso questo oggetto coincide proprio con lo Spin
introdotto ad hoc da Pauli etc, etc...).
Ecco che cos'è lo spin dell'elettrone: una quantità S da aggiungere al
momento angolare orbitale L affinché si ottenga una grandezza L+S che si
conservi!


Giorgio Pastore ha scritto:
 > Allora, se cerco una spiegazione che sia un aggancio ad altre
 > proprieta' e non voglio rassegnarmi alla affermazione, peraltro vera,
 > che lo spin e' una quantita' quantistica senza analoghi classici che
 > posso fare ? Secondo me qualcosa e' fattibile se ci si ricorda quale
 > e' l' origine fenomenologica osservativa dello spin: la presenza di un
 > momento magnetico. Un momento magnetico e' una proprieta' connessa ad
 > una meccanica (il momento angolare) ma che fa scattare altre immagini
 > ed associazioni. P.es; la deflessione in un campo magnetico non
 > uniforme, precessioni, allineamenti...
Giustissimo, anche se nella storia dello spin credo abbia avuto un
posto importante un probnlema non legato ai momenti magnetici: la
regola di selezione ortoelio-paraelio.
 > Ci si puo' spingere un passo piu' in la'. In elettromagnetismo
 > classico un momento magnetico deriva da una distribuzione di correnti.
 > Questo continua a valere anche nel formalismo della MQ. La presenza
 > dello spin la puoi associare alla presenza di una distribuzione di
 > correnti che danno luogo ad un momento magnetico non nullo anche nel
 > sistema di riferimento in cui la massa dell' elettrone e' in quiete.
Qui c'e' una difficolta', come ben sai: che il fattore giromagnetico
per l'elettrone e' il doppio che per il momento orbitale. Cosa che e'
all'origine dell'effetto Zeeman anomalo, ecc.
Il che vuol dire che non e' possibile farsi un modello dell'elettrone
come una distribuzione di carica rotante, almeno se si vuol assumere
che la densita' di carica sia proporzionale alla dnesit'a di massa.
Ma piu' fondamentale: io non incoraggerei tantativi d'interpretazione
che si appoggino sull'immagine intuitiva di un elettrone "dotato di
struttura", visto che per quanto ne sappiamo oggi, non e' cosi'.


gigi ha scritto:
 > ...
 > Nel caso relativistico però la teoria di Schrodinger non vale
 > più...descriviamo allora la nostra particella libera attraverso
 > l'equazione (quantistica&relativistica) di Dirac.
Beh, non necessariamente: se la particella in questione avesse spin 0,
non useresti l'eq. di Dirac...
 > Avremo allora una nuova hamiltoniana (relativistica) che descrive il
 > nostro semplice sistema fisico, solo che ora la quusiamo l'equazione
 > di Dirac per la quantità [H,L] non è più uguale a zero, ma restiuisce
 > un oggetto che però ha proprietà molto simili a quelle di un
 > (operatore di) momento angolare (stesse relazioni di commutazione tra
 > componenti
 > [L_(i),L_(j)]=ihE_(ijk)L_(k)).
 > Poniamo allora [H,L]=-S, (per ogni componente di L).
Scusa, questo non e' vero. E' vero che H non commuta piu' con L, ma
commuta con L+S.
 > ...
 > e si puo' osservare che l'operatore J soddisfa alla stessa algebra
 > dell'operatore L (e di S), ma è (a differenza di L) una costante del
 > moto: allora -a pieno diritto- chiamo J "operatore di momento
 > angolare totale", poichè ora è J la quantità conservata, non più L.
 > ...
 > Ecco che cos'è lo spin dell'elettrone: una quantità S da aggiungere al
 > momento angolare orbitale L affinché si ottenga una grandezza L+S che
 > si conservi!
Io preferirei dirla cosi': vogliamo che la nostra teoria sia ancora
invariante per rotazioni, ma il vecchio L non va bene come generatore
delle rotazioni (perche' non commuta con H).
Scopro che per avere invarianza debbo usare una cosa diversa: J=L+S,
il che tra parentesi si spiega, perche' L ruota le coordinate
spaziali, ma non "mescola" le 4 componenti dello spinore.
Invece H li mescola, in un modo dipendente dalle coordinate, quindi
occorre generare le rotazioni con qualcosa che faccia entrambi i giochi.
Naturalmente tutto il discorso diventa pulito solo studiando le
rappresentazioni del gruppo di Lorentz.
Se poi questo sia o no formale, dipende anche molto dal significato
che diamo alla parola "formale"...


 che la densita' di carica sia proporzionale alla dnesit'a di massa.
...
Infatti non ho mai pensato a modelli a carica rotante. La corrente e ' 
un effetto quantistico assolutamente non visualizzabile in modo classico.
Per esempio, il fatto che gli orbitali idrogenoidi a m non nullo 
corrispondano a correnti non implica assolutamente un densita' di carica 
rotante.  Si tratta di quelle situazioni in cui si tocca con mano che la 
psi non e' solo il suo modulo quadro.
Giorgio