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Titolo: Tempo di caduta

 
 
Se porto un peso da 1kg ad 1 Km di altézza e lo lascio andare verso tèrra
quanto tempo impiega ad arrivare a tèrra?
 
Se lo lascio andare da 2 km, impiega il doppio del tèmpo?
 
 
 
Ciao
 
 

 Se lo lascio andare da 2 km, impiega il doppio del tèmpo?
 
ovviamente no: la dipendenza di t da h e' non-lineare: 20 s circa.
 
\bye
 
-- 
1ettogrammo per 7 ettogrammi ??
Ve lo dico perche' e' domenica,
fa 7 ettogrammi.


 
per un peso di, 70kg?
 
Ciao
 
 

 ovviamente no: la dipendenza di t da h e' non-lineare: 20 s circa.
 
Eh pero', date le altezze in gioco e da come e' formulato il problema
(anche se incompleto) mi sembra ingiusto trascurare la resistenza
dell'aria, perche' il caso reale potrebbe essere molto diverso da
quello ideale in assenza di atmosfera.
 
Una palla da biliardo, ad esempio, dopo un po' si mette a cadere con
velocita' quasi costante, pari a circa 50 m/s (180 km/h).
Percorrerebbe cosi' il secondo km in 20 s.
 
Nel primo km, dalla quota di 2000 m a 1000 m, e' vero che la palla
deve accelerare, ma e' anche vero che l'atmosfera e' meno densa. Va a
finire che ci impiega circa 20 s anche qua.
 
Facendo i calcoli un po' piu' esattamente, dovrebbe esistere una sfera
di una certa densita' (vicina a quella della palla da biliardo) per
cui il tempo di caduta da 2000 m e' esattamente doppio di quello da
1000 m. Questo, almeno, per vincere una scommessa da bar! :-)
 
Ciao
Livio
 

 1000 m. Questo, almeno, per vincere una scommessa da bar! :-)
 
Scommettiamo? ;-)
 
La palla A che cade da un'altezza rispetto al suolo  h = 2000 m impiega
sempre meno del doppio del tempo T che la palla B impiega per cadere
da h = 1000 m, infatti A percorre  l'intervallo 0 m < h < 1000 m in un
tempo minore di T dato che la sua velocita' iniziale e' maggiore
rispetto a quella di B e percorre l'intervallo 1000 m < h < 2000 m
in un tempo minore di T perche' a quella quota l'atmosfera e' meno densa.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 in un tempo minore di T perche' a quella quota l'atmosfera e' meno densa.
 
Si', hai vinto!
Ho formulato male la scommessa. :-(
 
Dovrebbe essere cosi':
 
"Esiste una sfera di una certa densita' che, fatta cadere con partenza
da ferma dall'altezza di 2000 m, impiega lo stesso tempo a percorrere
il tratto 2000m-1000m che il tratto 1000m-0m."
 
Ciao
Livio
 
 
 
 
 

L'equazione e' questa:
 
http://tinyurl.com/dykv9mt
 
 
ma non me la fa risolvere (additional computation time required).
 
x(t) e' la coordinata che parte dal valore 0 alla quota fissata ed
aumenta al diminuire della quota, fino ad arrivare al valore x = 1000m
oppure 2000m. Chiaramente x'(0) = 0.
 
Ho ottenuto quell'equazione dai dati presi qui:
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Density_of_air
 
 
utilizzando la legge completa (non approssimata) per la densita'
dell'aria in funzione dell'altezza.
 
Se qualcuno puo' risolvere quell'equazione...
 
--
cometa_luminosa

cometa_luminosa ha scritto:

Qui si trova un grafico della soluzione numerica, con partenza
da fermo:
 
http://i46.tinypic.com/ymb7q.png
 
 
Potresti scrivere due parole di spiegazione su hai ricavato
quell'equazione, ad es. scelta della densita' del materiale del
corpo, del CX, della legge dell'attrito? ;-)
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

cometa_luminosa ha scritto:

ti ho gia' postato il grafico x-t...
 
ecco il grafico v-t:
 
http://www.myimg.us/images/12.11.12/30875.jpg
 
 
\bye
 
-- 
Riferiro' a Sorrentino che lo stai cercando, grazie.
Socratis.

cometa_luminosa ha scritto:

numericamente, vero?
 
il grafico x-t per t da 0 a 30 s e' qui:
 
http://www.myimg.us/images/12.11.12/30873.jpg
 
 
se vuo i dati grezzi dell'integrazione fammi sapere.


 
http://i46.tinypic.com/ymb7q.png
 
 
Mmmm...
Non mi torna.
Quale densita' del corpo hai usato?
Avevo detto che una palla da biliardo standard tenderebbe a
stabilizzare la sua velocita' in atmosfera bassa a circa 50 m/s.
Vediamo se ho sbagliato?
 
Una palla da biliardo standard ha diam=61 mm e peso 210 g.
 
La velocita' si stabilizza quando la forza-peso uguaglia la resistenza
aerodinamica:
 
F = m g = 0.5 ro Cx S V2
 
dove:
ro = 1.2 kg/m3
Cx = 0.47
S = 0.00292 m2
m = 0.21 kg
g = 9.8 m/s2
 
V = sqr(2 m g / (ro Cx S)) = 49.99 m/s
 

 
http://i46.tinypic.com/ymb7q.png
 
 
hai provato, per curiosita', a integrare fino a t=150 s?


 hai provato, per curiosita', a integrare fino a t=150 s?
 
Si ottiene un andamento analogo, ma a parte che probabilmente
l'ipotizzata legge di attrito non sarebbe piu' valida per la elevata
quota di partenza, comunque v. la mia risposta a Chenickname...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Non mi torna.
 
Hai ragione, mi ero limitato a far calcolare a Mathematica
l'equazione scritta da cometa_luminosa senza rifletterci
piu' di tanto :-(, ma in quell'equazione sicuramente
bisogna correggere almeno la legge dell'attrito, che darebbe
un attrito decrescente con il crescere di x e quindi con il
diminuire della quota...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 ma non me la fa risolvere (additional computation time required).
Non ci penso nepmmeno, perché l'eq. è priva di senso fisico, per più
ragioni.
 
1. Tu usi acriticamente la legge di resistenza (1/2) Cx rho S v^2,
senza curarti dei suoi limiti di validità.
Ora quella è una legge *approssimata*, valida *all'incirca* in un
campo di numeri di Reynolds tra 10^3 e 10^5, ma in modo fortemente
variabile con la forma del corpo che cade e soprattutto con la natura
della sua superficie.
 
2. Per es. è cruciale sapere la superficie è liscia o scabra: saprai
di certo che le palline da golf hanno una quantità di piccole
depressioni ("dimples") che contro l'intuizione riducono la res.
dell'aria sopra una certa velocità.
In altre parole, Cx è solo appross. costante, e il valore 0.47 per un
sfera è solo indicativo.
 
3. L'atmosfera standard che hai usato è puramente convenzonale, e non
corrisponde a nessuna atmosfera reale: per es. si assume un decremento
lineare della temperatura con la quota, che in realtà non si presenta
mai. Si possono avere spesso addirittura delle *inversioni*, ossia
temperatura che aumenta con la quota.
Senza contare l'influenza dell'umidità e altri.
Tra l'altro è curioso che i dati dell'atm. standard siano dati alcuni
con 6 cifre, altri solo con 2...
 
4. Nell'intervallo 0-2000 m la densità dell'atmosfera standard varia
solo dell'8%, se ricordo bene.
Visto quanto precede, non si guadagna niente a usare le tue formule
cmplicate, rispetto a una densità media costante, che ti darebbe
un'eq. integrabile elementarmente.
 
 
-- 
Elio Fabri

Scusate, non 0.7744 ma 0.97744:
 
http://tinyurl.com/cttbaq8
 
 
--
cometa_luminosa


In quella pagina che ho linkato si trovano le seguenti formule.
 
Temperatura dell'aria T come funzione dell'altitudine h:
T(h) = T_0 - L*h
 
T_0 = temperatura a quota zero; L = coefficiente
 
Pressione dell'aria p:
p(h) = p_0*(1 - L*h/T_0)^(g*M/R*L)
 
Densita' dell'aria rho:
rho(h) = p(h)*M/[R*T(h)]
 
M = massa molare aria secca
R = costante gas ideali
 
Combinando le tre equazioni:
rho(h) = rho_0*(1 - a*h)^b
rho_0 = p_0*M/[R*T_0]
 
Resistenza aerodinamica D su un corpo in moto a vel. V:
D(h) = (1/2)*C*S*rho(h)*V(h)^2
 
C = coefficiente aerodinamico
S = sezione frontale del corpo
 
Dati:
 
T_0 = 288,15 K
p_0 = 101325 Pa
g = 9,80665 m/s^2
L = 0,0065 K/m
M = 0,0289644 kg/mol
R = 8,31447 J/mol*K
 
C = coeff. aerod. sfera = 0.47
diametro nominale palla biliardo = 61.5 mm
densita' nominale palla da biliardo = 1700 kg/m^3
--> S = 5,941*10^(-4) m^2
m = 0,20709 kg
S/m = 2,8688+10^(-3) m^2/kg
 
 
L'equazione di moto allora e':
 
mx''(t) = mg - (1/2)*C*S*rho_0*(1 - a*h)*V(h)^2
 
x''(t) + alfa*[1 - a(H - x(t))]^b * [x'(t)]^2 - g = 0
 
H = quota massima = altezza da cui cade la biglia.
 
alfa = (1/2)*rho_0*C* S/m
a = L/T_0 = 2,256*10^(-5) m^(-1)
b = g*M/R*L - 1 = 4,256
 
Pero' mi accorgo che avevo fatto un errore, avevo scritto x al posto
di h nella formula per la densita'   :-(
 
*Spero* che ora sia giusta:
 
http://tinyurl.com/cdmw7dq
 
 
Ciao e grazie del calcolo
 
--
cometa_luminosa

 [...]
 
Allora, se permettete, cambio ancora una volta il testo del problema,
anche se nella sostanza restera' simile. Pero' poi risolvetemelo, eh!
 
"Alcuni amici fanno una scommessa. Faranno cadere da ferma
dall'altezza di 2000 m una sfera liscia come una palla da biliardo.
Vincera' la scommessa chi fara' in modo che il tempo impiegato dalla
sua sfera a percorrere il tratto 2000-1000m sara' piu' vicino al tempo
impiegato a percorrere il tratto 1000-0m. [Verra' valutato l'errore
relativo E=Mod(2(t1-t2)/(t1+t2)) ].
 
Quale densita' scegliereste voi per la vostra sfera?"
 
Saluti
Livio
 


In effetti mi sarebbe piaciuto verificare proprio questo, ovvero
quanto prendere quella legge complicata avesse influito sul risultato
finale, confrontando il calcolo con quello che utilizza una legge che
non tiene conto delle variazioni di densita' dell'aria (avevo gia'
escluso l'effetto della spinta di Archimede).
Ciao.
 
--
cometa_luminosa

 Quale densita' scegliereste voi per la vostra sfera?"
Questo dimostra solo che non hai capito la sostanza delle mie obiezioni.
 
Io non posso risolvere il tuo problema:
a) perché non so scrivere una legge della resistenza che si possa
ritenere accurata nel campo di velocità che interessano il problema
b) perché non mi dici niente delle caratteristiche dell'atmosfera, che
influiscono in modo determinante.
 
Perciò come problema *di fisica* è mal definito e insolubile.
 
Diversa sarebbbe la situazione se tu dicessi:
1) si assuma la legge XXX per la forza resistente che la palla
incontra in funzione della velocità e degli altri parametri fisici
(massa, raggio..)
2) si prenda per l'atmosfera la seguente legge YYY per la dipendenza
della densità dalla quota.
 
Sarebbe un problema di scarso contenuto fisico, ma matematicamente ben
definito, e potresti chiedermi di risolverlo.
Però ti risponderei che non lo trovo abbastanza interessante per
impegnarci il tempo che presumibilmente richiede.
 
 
-- 
Elio Fabri

 ...
 
Strano. Io credo di averle perfettamente comprese le tue obiezioni.
Per questo ho parlato di "scommessa". Sara' cura dell'eventuale
scommettitore scegliersi la legge e il modello di atmosfera che
riterra' piu' probabili, mancando i dati che li determinino
univocamente. Lo scommettitore puo' anche proporre delle condizioni.
Se poi nessuno vuole scommettere, pasiensa! :-)

 Se poi nessuno vuole scommettere, pasiensa! :-)
 
Accetto la scommessa, nel senso che provo a risolvere
il problema...
Invece, in base a tutte le considerazioni che sono
state fatte relativamente all'applicabilita' del dato
modello matematico al caso reale, non mi sembra
che valga la pena di mettersi, come suggerivi, a
minimizzare fino allo stremo l'errore relativo.
 
Usando l'equazione definitiva di cometa_luminosa, si
trova che la densita' della pallina per cui il tempo di
caduta nei primi 1000 m e' uguale a quello nei
successivi 1000 m e' 43.8 kg/m^3, nei grafici
seguenti sono rappresentati rispettivamente la legge
oraria del moto per la densita' di cui sopra e il
tempo di percorrenza dei due tratti in funzione della
densita':
 
http://i49.tinypic.com/2s79hf4.png
 
 
http://i45.tinypic.com/28tky14.png
 
 
http://i45.tinypic.com/28lvv2w.png
 
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

...
 
Mmmm... anche a me viene ..43.. ma di un ordine di grandezza piu'
densa.
 
Ora rivedo i miei calcoli (che sono una simulazione numerica) perche'
io sono uno che sbaglia. :-) Non vorrei aver dimenticato qualche g
 
Pero' 43 kg/m3 sono una densita' da polistirolo espanso. Mi
aspetterei, ad occhio e croce, che un pezzo di polistirolo espanso
vada piu' velocemente nel primo tratto dove la densita' e' circa il
10% piu' bassa del secondo.
 
Verifico e poi ti dico. Intanto grazie.
 
Ciao
Livio