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Titolo: piccola dimostrazione di relatività ristretta

La formula per calcolare la velocità relativa tra due velocità "v" e
"u" è (nel caso unidimensionale :
f(u,v)=(v-u)/(1-u*v/c^2)
Ora mi chiedevo se per arrivare a questa funzione fosse possibile
partendo da certe ipotesi:
[1] f(u,u)=0 per u!=c
Se due corpi si muovono alla stessa velocità (diversa da quella della
luce) devono apparire fermi uno rispetto all'altro.
[2] f(u,v)=-f(v,u)
La velocità relativa di v rispetto a u è esattamente opposta a quella
di u rispetto a v.
[3] f(0,v)=v
La velocità relativa di v rispetto a un corpo fermo è proprio v.
[4] f(u,c)=c
La velocità relativa della luce rispetto a un corpo in moto dev'essere
ancora c.
Se supponiamo che f(u,v) sia sviluppabile in serie di potenze
nell'intorno di (0,0) queste quattro condizioni sono sufficienti a
determinare i coefficienti.
Per esempio dalla [1] ricaviamo che lo sviluppo è esattamente
divisibile per (v-u), quindi scriviamo:
f(u,v)=(v-u)*g(u,v)
la [2] diventa: g(u,v)=g(v,u).
la [3] diventa: g(0,v)=1;
la [4] diventa: g(u,c)=1/(1-u/c);
Se f(u,v) è sviluppabile in serie di potenze, anche g(u,v) lo è, e
dalla [3] possiamo dedurre che g(0,0)=1.
Per sfruttare la [4] prendiamo per semplicità h(u,v)=1/g(u,v).
h(u,v)=sum Aij*u^i*v^j
Dalle condizioni [2],[3] e [4] potete escludere facilmente tutti i
coefficienti tranne A00=1 e A11=-1/c^2
Lo so, è un punto abbastanza debole supporre che tutte queste funzioni
siano sviluppabili in serie di potenze.

 coefficienti tranne A00=1 e A11=-1/c^2
la [2] diventa: g(u,v)=g(v,u).
h(u,v) = h(v,u) -> i=j
la [3] diventa: g(0,v)=1;
h(0,v) = 1 -> h(0,0) = 1 -> A00=1
la [4] diventa: g(u,c)=1/(1-u/c);
h(u,c) = (1-u/c) ->
-> 1 + A11*u*c + A22*u^2*c^2+... = 1-u/c ->
A11uc = - u/c
A11 = - 1/c^2
f(u,v) = (v-u) / h(u,v) = (v-u) / (1-u*v/c^2)
Complimenti, funziona !
Ciao,
Paolo 

 siano sviluppabili in serie di potenze.
non mi sembra debole, è un' ipotesi facile da
accettare.
Secondo me, giustificando meglio la divisibilità
per (v - u) ,  potresti mandare il tutto a una rivista
di impostazione didattica, come American
Journal of Physics o European Journal of Physics.
Riscoprire cose vecchie con nuovi metodi e sotto
nuovi punti di vista è una cosa molto apprezzata dai fisici.
bye
Corrado

 nuovi punti di vista è una cosa molto apprezzata dai fisici.
(Oppure potrebbe sottometterlo on-line tipo su 
http://lanl.arxiv.org/
 e
vedere che gli dice la gente)
A proposito di cose vecchie con metodi nuovi, visto che carino questo lavoro
di Gould
http://lanl.arxiv.org/abs/astro-ph/0504486
Ciao,
T.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 nuovi punti di vista è una cosa molto apprezzata dai fisici.
Ti ringrazio, ma penso che non sia abbastanza importante da mandare a
una rivista di fisica. Probabilmente molti fisici professionisti la
vedrebbero come una cosa ovvia. Ho fatto il primo anno di fisica (più
l'esame annuale di elettromagnetismo) e ho conosciuto gente veramente
in gamba che cose come queste le liquiderebbe in meno di un minuto.
Comunque sono contento di vedere che ha avuto in generale una reazione
positiva, e vi ringrazio tutti.
Vedo che in questo gruppo bazzica spesso il prof. Elio Fabri, che tiene
appunto il corso di meccanica relativistica e analitica all'università
di Pisa. Visto che è sicuramente molto pratico di dimostrazioni di
relatività, volevo chiedere un suo parere per verificarne la
correttezza.

 f(u,v)=(v-u)*g(u,v)
Ciao, Paolo 

 vedere che gli dice la gente)
Ciao a tutti, non mi pare proprio il caso di mandarlo agli archives o a un giornale,
visto che la dimostrazione e' sbagliata!
Controesempio:
  f'(u,v) = (v-u)/(1- u*v/c2 +  uv(c-u)(c-v)(u-v)2 P(u,v))
  dove P(u,v) e' un polinomio arbitrario, e di grado
  arbitrario, in u e v tale che P(u,v)=P(v,u).
(1) la funzione k(u,v) = uv(c-u)(c-v)(u-v)2 P(u,v) soddisfa
  k(u,u) = 0
  per cui, per v=u, f' si riduce a f e la [1] e' automaticamente
  soddisfatta.
(2) la funzione k(u,v) soddisfa
  k(u,v) = k(v,u)
  per cui la [2] continua a funzionare.
(3) la funzione k(u,v) soddisfa
  k(0,v) = 0
  per cui, per u=0, la f' si riduce a f e vale
  automaticamente [3].
  (4) la funzione k(u,v) soddisfa
  k(u,c) = 0
  per cui, per v=c, la f' si riduce a f e vale
  automaticamente [4].
  Infine evidentemente in un intorno sufficientemente piccolo
  di u=v=0 la funzione f' e' analitica essendo un rapporto
  tra polinomi con denominatore che non ammette (u,v)=(0,0) come zero.
  Quindi f' (ma anche l'analoga di h che e' ora un polinomio)
  e' sviluppabile in serie di Taylor in u,v nell'intorno dell'origine...
  La ragione e' che avete sbagliato a fare i conti con le serie
  e vi e' sfuggita tutta una classe infinita di funzioni come quelle di
  sopra...
   Ciao a tutti,
   Valter
  ----------------------------------------------------------
  Valter Moretti
  Dipartimento di Matematica
  Università di Trento
 
http://www.science.unitn.it/%7Emoretti/home.html

  f'(u,v) = (v-u)/(1- u*v/c2 +  uv(c-u)(c-v)(u-v)2 P(u,v))
  L'ultimo 2 e' un'elevazione alla seconda potenza di (u-v),
  avevo scritto (u-v)^2 ma nel post  e' sparito il simbolo ^,
  spero che non sparisca anche ora.
  Riciao, Valter


   Valter
===
Grazie, Paolo 

Ciao, la formula che ho dato io l'ho sempliciemnte
costruita "a mano" per fare quadrare i conti, niente di piu'.
Non e' senz'altro la piu' generale possibile. Se P
e' analitica nell'intorno dell'origine e simmetrica in u e v,
ma non e' un polinomio
funziona ancora...
Riguardo all'errore: non saprei, ho provato a seguire la
dimostrazione ma poi nella procedura per determinare h
non ho capito come si concludeva, cioe' secondo me
non si trova un unico h e la funzione che ho dato, in effetti
differeisce per h dalla formula della relativita' (che siprova per via
diretta
dagli assiomi della relativita' e la dim si trova su tutti i libri, mie
dispense
incluse).
E' chiaro che la f NON si trova imponendo delle condizioni
su un numero finito di curve nel piano u,v come si cerca di fare qui:
e' impossibile determinare in questo modo tutti i coefficienti
di uno sviluppo di Tayolr di DUE variabili per una funzione reale.
Sarebbe possibile se le funzioni fossero analitiche complesse
a valori complessi...
 Ciao, Valter

 Ciao, Valter
===
Grazie, Paolo 

Sigh, vabbè, ringrazio per l'attenzione comunque accorgermi
dell'errore che dicevi era veramente fuori dalla mia portata.
La matematica può offrire un'infinità di possibilità, e quando viene
usata per fisica se ne prende una parte ristretta.