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Titolo: meccanica hamiltoniana: caos senza separatrici ?

Buongiorno a tutti. 
Seguo da parecchio questo ng anche se scrivo poco o niente.
Vorrei chiedere informazioni su questo problema di dinamica hamiltoniana classica.
 
Ho un sistema hamiltoniano classico autonomo H(x,y,px,py), dove (x,y) sono due coordinate e (px,py) i rispettivi momenti coniugati.
 
L'analisi numerica delle traiettorie mostra tutte le stimmate di un sistema caotico: separazione esponenziale tra traiettorie prossime, Poincarè plot senza traccia di strutture regolari, invarianti adiabatici non conservati.
 
 
 
Però, se ispeziono la struttura di H nello spazio delle fasi, ad esempio fissando due delle coordinate e disegnandone le curve di livello al variare delle altre due, non trovo alcuna traccia di punti iperbolici: niente separatrici e X-points.   L'aspetto assomiglia molto a quello di un oscillatore armonico classico, forse più prossimo ad una cosa come H = px^2/2 + a x^4 (l'hamiltoniano esatto è costruito a partire da una griglia di valori ottenuti numericamente, quindi non è possibile darne qui un' espressione analitica compatta). 
 
A me i due risultati sembrano in contraddizione, eppure sono entrambi verificati e "robusti" (l'integrazione numerica delle equazioni di Hamilton è fatta con un integratore simplettico ben testato).
 
Qualcuno ha una proposta di spiegazione ?
Grazie
F. Sattin 

 un'espressione analitica compatta.
Peccato perché risponderti così al buio è problematico, almeno per me
che non sono certo un esperto del campo...
 
Tra parentesi la tua frase mi riesce oscura: "costruito a partire da
una griglia di valori ottenuti numericamente".
Ma un'espressione analitica, per quanto complicata sia, ce l'hai?
 
E temo che anche la domanda seguente avrà risposta negativa: il tuo
sistema è vicino a un sistema integrabile?
(Idea non tanto nascosta: si può applicare il teorema KAM?)
 
 
-- 
Elio Fabri

 
Grazie dell'interessamento.
 
Fornisco qualche altro dettaglio: l'hamiltoniano in questione è relativo ad una particella carica che si muove in un campo magnetico statico funzione delle coordinate (x,y).
Quindi H = px^2/2 + (py-Ay(x,y))^2/ + (pz-Az(x,y))^2/2     
Uso unità in cui carica = massa = 1. Siccome H non dipende da z, pz è una costante del moto.
 
Il potenziale vettore (0,Ay,Az) è costruito "a ritroso" a partire da un campo magnetico B del quale ho una espressione analitica, ma molto complicata. In ogni caso il procedimento di inversione B --> A richiede la soluzione di equazioni differenziali, che è puramente numerica.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Per quanto riguarda la seconda domanda, divido la risposta in due pezzi: il campo magnetico (solo quello, senza la particella) può essere scritto in una formulazione hamiltoniana, ed è integrabile. Quindi, una particella che seguisse esattamente le linee di campo magnetico avrebbe una dinamica regolare. La domanda che mi ponevo è se la stessa cosa è vera per una particella generica (in altre parole, con un raggio di Larmor finito). Dal momento che ho una costante del moto (l'energia), per assicurarmi che il moto sia integrabile basta trovarne una seconda. Normalmente si assume che, se il raggio di Larmor della particella è piccolo rispetto alle scale spaziali caratteristiche di variazione di B, questa seconda costante del moto esista, ma sia non un invariante esatto ma solo adiabatico: il momento magnetico. Di fatto, quello che trovo integrando le equazioni del moto, è che questo invariante adiabatico non è affatto invariante, ma anzi varia in maniera notevole ed in modo irregolare. Questo, come scrivevo--insieme agli altri test--suggerisce che il moto della particella non sia affatto regolare, ma caotico.   Tuttavia, dal basso della mia scarsa conoscenza, ritenevo che questo fatto dovrebbe essere riflesso nella struttura di H: da qualche parte, nello spazio della fasi, dovrebbe esistere almeno un punto iperbolico. E invece non ne trovo alcuna traccia.
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 iperbolico. E invece non ne trovo alcuna traccia.
Parrebbe anche a me.
Ma non ci sarà qualche errore a monte?
 
 
-- 
Elio Fabri


 
Forse no. Come capita talvolta, le soluzioni si trovano quando uno, disperato, smette di cercarle e chiede aiuto, e forse è successo stavolta.
Se giungo ad un risultato, lo posterò qui, come doveroso riconoscimento dell'attenzione ricevuta.