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Titolo: Trasformate di Legendre

Cari amici
Per poter fare una buona domanda occorre aver compreso qualcosa 
dell'argomento trattato.
Non è il mio caso. Perciò, citando un personaggio che dovrebbe essere 
ben noto ai frequentatori di questo gruppo, vi prego di considerare 
questo messaggio un "atto di disperazione" !
IL problema è questo: sto preparando meccanica razionale ed 
immancabilmente nel passaggio dal formalismo lagrangiano a quello 
hamiltoniano sono state evocate le trasformate di Legendre (nel seguito, 
TDL).
Ho consultato, Arnold (Metodi matematici della meccanica), Callen, e 
tutta la mercanzia in voga in questi frangenti ma, sebbene abbia 
compreso la liturgia del procedimento, me ne sfuggono completamente le 
ragioni.
La trattazione delle trasformate di Legendre più completa che conosca è 
riportata in Arnold - "Metodi geometrici della teoria delle equazioni 
differenziali ordinarie". Ma è, (che Arnold mi perdoni!), illeggibile 
(per me, almeno!).
1. In vari testi di geometria differenziale si presenta la TDL come una 
trasformazione del fibrato tangente in quello cotangente e se ne 
fornisce l'espressione coordinata.
Mi chiedo:
1a: ma 'sta cosa agisce solo sui campi semispray o su un qualsiasi campo 
?
1b. in questo genere di trattazione svanisce la richiesta che la curva 
da trasformare sia convessa (posta nelle trattazioni elementari) ? Ed in 
questo caso come definire la convessità di una curva su una varietà 
differenziabile ?
1c: questa presentazione coordinata della TDL è necessaria o di questa 
esiste una definizione intrinseca (ad esempio, del tipo: la TDL è 
l'unica applicazione involutiva che ....)
1d: ma per definire la TDL occorre necessariamente scomodare strutture 
differenziabili ?
Non la si potrebbe introdurre semplicemente tra spazi di Banach ? O tra 
spazi vettoriali ?
Il summenzionato e (che Arnold mi perdoni!) vituperato enigma a forma di 
libro ("Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali 
ordinarie") recita:
"La TDL è un caso particolare di una costruzione generale delle 
geometria proiettiva ...
Lo spazio proiettivo degli iperpiani dello spazio proiettivo RP^n si 
chiama duale di RP^n ....
La TDL non è altro che i passaggio da una curva a quella proiettivamente 
duale, scritta in coordinate affini....
La dualità proiettiva consente di studiare casi più generali di quelli 
considerati con l'aiuto della TDL ..."
Arabo, arabo allo stato puro (per me, almeno!).
E quant'anche lo avessi capito, uno spazio proiettivo non è munito, di 
per se, di una struttura topologica e di conseguenza non può essere (a 
meno di imposizione di strutture ulteriori) carrier di uno spazio 
vettoriale rispetto a cui porre il problema della ricerca delle curve 
integrali (che è in ultima analisi la finalizzazione delle equazioni di 
Lagrange ma, a loro modo, anche di quelle di Hamilton). 
E sorvolando pure su questo: ma come c'entra tutto questo con la 
riduzione di un sistema di tipo lagrangiano (del secondo ordine) in un 
hamiltoniano (del primo) ?
Ho lungamente cercato con Google materiali che potessero aiutarmi a 
sciogliere l'enigma.
Ho preso un tè bollente e della valeriana.
Ho letto Saletan ("Theoretical mechanics"), Haud e Finch, Makunda.
Ho letto il, peraltro pregevole, libro di Benenti ("Modelli matematici 
della meccanica classica").
Ci ho pensato per una settimana.
Tutto questo non è servito a niente.
Non so a che santo votarmi.
Mi aiutate ? Anche indicazioni bibliografiche sono benvenute ! 
Grazie, grazie !!!
Giovanna
P.S.
Domanda strana ma sensata: "la circostanza che tutti 'sti libri si 
rimpallino l' "algoritmo" delle TDL senza illustrarne il significato, 
non è che, per caso, sia indizio del fatto che delle TDL non ci ha 
capito veramente niente nessuno ?"

 ragioni.
Scusa, ma a me pare che il Callen ne dia una spiegazione abbastanza 
comprensibile (forse l'unica in commercio). Che cosa non ti torna?
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 comprensibile (forse l'unica in commercio). Che cosa non ti torna?
Ciao Enrico,
per favore potresti dare il riferimento bibliografico completo, cosě lo 
inserisco nella guida, visto che a tuo parere il libro č consigliabile.
Grazie:)
Franco 

 per favore potresti dare il riferimento bibliografico completo
H.B.Callen, Thermodynamics, Wiley. E' caruccio, ma ne esistono almeno 
due edizioni, e siccome per cio' che riguarda la termodinamica 
macroscopica la prima non e' stata cambiata di molto, lo si puo' 
tranquillamente comprare usato.


User Name wrote:
...
Ho la sensazione, dalle domande che fai, che hai dei problemi molto 
tecnici legati alla meccanica ma che allo stesso tempo ci sia ancora 
qualcosa che ti sfugge a livello "elementare".
Per la trattazione "elementare" non posso che suggerirti il Callen di 
cui parla Enrico. In realta'  sulle TDL c'e' una differenza tra prima e 
seconda edizione ma non saprei quale delle due considerare migliore. 
(Forse la prima...). Qualcosa di succinto (forse se ti focalizzi sugli 
esempi  e'  meglio) c'e'  anche sull'  Arnol'd. Pero'  se non ti va giu' 
  forse e' meglio pensare ad altro.
In realta'  credo che ci debbano essere almeno altre due fonti di 
"illuminazione" sulla TDL. Devo pero'  poter passare in biblioteca per 
verificarle e postarle (pazienza per un paio di giorni al massimo :-) ).
Il nocciolo della questione e'  pero'  condensabile nella richiesta di 
poter riformulare un problema descritto da un certo "potenziale 
generalizzato" in termini di un nuovo "potenziale" in cui la dipendenza 
del vecchi da una delle variabili indipendenti e'  sostituita dalla 
dipendenza del nuovo potenziale rispetto alla derivata del vecchio 
rispetto alla variabile indipendente che si vuole eliminare.
In termodinamica puo' voler dire sostituire all'  energia libera di 
Helmoltz (come funzione di V,T,N) l' energia libera di Gibbs (funzione 
di P,T,N). P e' appunto la derivata parziale di F rispetto a V fatta a T 
ed N fissati.
In meccanica abbiamo il problema di sostituire alla Lagrangiana 
(funzione di q,\dot q,t) una nuova funzione, l' hamiltoniana, funzione 
di q, p = @L/@(\dot q),t. In meccanica questo ha anche l'  effetto di 
passare da una funzione definita sul fibrato tangente (lagrangiana) al 
fibrato cotangente dello spazio delle configurazioni (hamiltoniana).
Pero', mentre la geometrizzazione della meccanica ha una lunga storia, 
la geometrizzazione della termodinamica e' stata tentata/fatta piu' 
volte ma non mi sembra che fin qui abbia giocato  lo stesso ruolo che in 
meccanica. Percio'  preferisco considerare i problemi connessi all' 
interpretazione geometrica come un "di piu'" motivabile solo dopo che si 
e'  identificata e motivata fisicamente la struttura geometrica soggiacente.
In quest'  ottica le trattazioni "elementari" vanno tutte bene, salvo 
reinterpretare a posteriori certe costruzioni in termini piu' 
strettamente di geometria differenziale, nelle applicazioni alla meccanica.
Quindi risponderei al tuo post ripartendo da una domanda: se tralasci 
gli aspetti geometrici, quanto a tuo agio ti trovi con le TDL come modo 
per passare dal formalismo lagrangiano a quello hamiltoniano ?
Giorgio

Cari amici
Per poter fare una buona domanda occorre aver compreso qualcosa
dell'argomento trattato.
Non è il mio caso. Perciò, citando un personaggio che dovrebbe essere ben
noto ai frequentatori di questo gruppo, vi prego di considerare questo
messaggio un "atto di disperazione" !
IL problema è questo: sto preparando meccanica razionale ed
immancabilmente nel passaggio dal formalismo lagrangiano a quello
hamiltoniano sono state evocate le trasformate di Legendre (nel seguito,
TDL).
Ho consultato, Arnold (Metodi matematici della meccanica), Callen, e tutta
la mercanzia in voga in questi frangenti ma, sebbene abbia compreso la
liturgia del procedimento, me ne sfuggono completamente le ragioni.
La trattazione delle trasformate di Legendre più completa che conosca è
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Giovanna
P.S.
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-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 verificarle e postarle (pazienza per un paio di giorni al massimo :-) ).
...
Ho finalmente fatto il giro in biblioteca. Non sono soddisfatto al 100% 
  di quello che ho ritrovato (a memoria ricordavo qualcosa di piu' 
esaustivo) ma direi che due sorgenti di informazioni sono il vol. 2 del 
Courant e Hilbert "Methods of mathematical physics" e l'Abraham e 
Marsden (ma secondo me qui siamo peggio che con Arnol'd!).
Secondo me, mettendo insieme con quello che si puo' ricavare da Callen e 
Arnol'd si arriva ad una compresnione ragionevole delle tr. di Legendre.
Tornando alle tue domande, perche' parli di "curva da trasformare" ? Nel 
caso della TDL della meccanica non stai mica trasformando una curva. E 
l' oggetto che deve essere convesso e' la lagrangiana (che non e' una 
curva). O ho capito male ?
Giorgio

Cari amici
Dopo qualche giorno di riflessione torno sulla faccenda delle trasformate
di Legendre. Vi ringrazio molto per le vostre risposte e provo, nel
seguito, a ragionare un pò ad alta voce su questo argomento.
Rileggendo il messaggio mi sono resa conto che è un po' (troppo)
disorganico; ... ma quello che sto facendo è proprio tentare di far
combaciare i pezzi.
------ Punto 1. 
Il ruolo standard giocato in termodinamica dalle trasformate di Legendre
(TDL di qui in avanti) trova, a mio avviso, la più lucida rappresentazione
in 
Sergio Carra - Termodinamica - Bollati Boringhieri
dove viene discusso in dettaglio il sistema costituito da un gas perfetto.
(i) viene mostrato che l'informazione massimale sulle sue proprietà è
contenuta nella equazione  costitutiva U = U(S V n) e che il tentativo
naif di sostitute T ad S come parametro porta, da un  canto all'equazione
di stato, dall'altro ad una perdita di informazione che deve essere  
ripristinata con un'affermazione inerente il calore specifico isocoro.
(ii) viene presentata la TDL in maniera sostanzialmente identica al Callen
(non manca la famigerata figura con l'inviluppo di una curva)
(iii) Vengono introdotti i potenziali termodinamici entalpico, di Gibbs,
di Helmoltz. La 'ricetta' funziona. Non c'è dubbio. Mi è stato chiesto, in
un messaggio, se mi trovassi a mio  agio con il passaggio formale dalle
equazioni di Lagrange a quelle di Hamilton. Beh, la risposta  é: nel caso
meccanico, come in quello termodinamico, sono in grado seguire "le
prescrizioni". Di  comprenderne il significato no. Ed ancora una volta il
punto chiave è: se passando alla  rappresentazione di una funzione in
termini della sua derivata (Clairaut docet) si perde  informazione (viene,
ad esempio, introdotto una parametro libero sotto forma di una costante di
 
integrazione) come fa la TDL a impacchettare dentro l'equazione H=H(S P n)
tutta l'informazione  che era contenuta in U = U(S V n) ? E'chiaro che la
questione trascende la manipolazione formale  dei simboli e richiede una
più profonda comprensione delle strutture matematiche soggiacenti.
------ Punto 2. 
Ero ferma a questo punto. Vagavo in una valle di dolore, quando ho pescato
il lavoro di Mark  Peterson "Analogy between thermodynamics and mechanics"
(Am. J. Phys. 47(6)) dove si mette in  rilievo che 
- la termodinamica possiede una naturale struttura simplettica
- la termodinamica possiede delle sue proprie parentesi di Poisson
fondamentali
     [T,S] = -1
     [V,P] = -1
- cito: "That the Legendre transformations familiar in thermodynamics are
special cases of the  canonical coordinate transformations familiar in
mechanics is often noted. This ... analogy ...  has been explored ... in
Corben e Sthele".
Allora, se i potenziali termodinamici hanno ciascuno il ruolo di
"hamiltoniana del sistema" è  ragionevole ipotizzare che la TDL,
sostanzialmente, sia una tecnica per generare strutture  differenziabili
diffeomorfe e di trasformare il campo vettoriale le cui curve integrali
sono le  leggi di evoluzione del sistema in maniera tale che di queste
ultime vengano preservate proprietà essenziali (quali ?? non certo la
parametrizzazione).
------ Punto 3. 
Questo genere di approccio sembrerebbe essere confortato da quanto scrive
Antonio Romano in  
"Meccanica classica ed elementi di relatività" - Liguori Editore 
dove pag. 116 la TDL di un  sistema dinamico (della sua lagrangiana, cioè)
viene presentata come una trasformazione dal
fibrato tangente ( fibrato tangente (spazio delle configurazioni) )
a
fibrato tangente ( fibrato cotangente (spazio delle configurazioni) )
Tuttavia rimangono aperti gli interrogativi associati a punti chiave:
(i) dove viene introdotta, dalle TDL, la riduzione di un sistema di
equazioni differenziali del  secondo ordine ad uno del primo?
(ii) se si confronta quanto scrive Romano con quanto scrive Arnold (Teo.
geom. delle eq. diff. ord.) si forma forte il sospetto che l'uso che si fa
in meccanica delle TDL sia tutt'altro che 'naturale' nel  senso  che far
intervenire come dominio e codominio della mappa varietà con strutture
topologiche  e  differenziali appare sovrabbondante rispetto alle
richieste minimali perché se ne possa  parlare, che è solo l'esistenza di
una struttura lineare.
Punto 4. 
Mi era venuto "un lampo di genio" (mentre picchiavo mio fratello, che si
lascia spesso malmenare  dalla sua sorellina minore; lo ringrazio
pubblicamente per il suo contributo ai miei studi).
Mi ero detta: se 'sta famigerata figura dell'inviluppo fa comparire le
rette (che in sostanza sono 1-forme) vuoi vedere che le TDL sono in realtà
niente altro che la riscrittura del campo  vettoriale, che definisce una
equazione differenziale, in termini di componenti covarianti ?
E, rispondendo anche a quanto mi veniva chiesto dal prof. Giorgio Pastore
nel suo post, preciso:   se passo dal campo scritto in coordinate
controvarianti al campo scritto in coordinate covarianti  
e ne trasformo pure le CURVE integrali in maniera che il relativo vettore
tangente sia  quello  del campo è possibile che abbia individuato il
sistema differenziale associato dalle TDL al  primo. Mi sono presto resa
conto di stare pestando acqua nel mortaio: se abbasso dappertutto gli  
indici con la matrice metrica ... sono al punto di partenza, con 2n
equazioni non con n, etc. etc.
------ Punto 5. 
Sto cercando il Courant e Hilbert "Methods of mathematical physics".
Ho guadato e l'Abraham e Marsden ma non sono riuscita a trovare nulla
sulle TDL; mi viene un  dubbio: stiamo parlando di "Manifold, tensor
analysis and applications" ?
Ciao moderatore, ti sono grata di esserti sorbito 'sto papiro
interminabile.
Giovanna
P.S.
Perché nelle Università ci trattano così ? 
Perché le cose non ce le spiegano B-E-N-E ?
E' vero che sto al secondo anno, però ... !!
Perché dobbiamo fare 'ste decifrazioni dei geroglifici del faraone ?


 Perché dobbiamo fare 'ste decifrazioni dei geroglifici del faraone ?
Non credo che *questa* sia una vera situazione di cui lamentarsi. Ci 
sono molte cose che potrebbero essere fatte meglio, certo. pero'  ci 
sono anche casi, e questo mi sembra esemplare, in cui il problema di 
poca chiarezza e sistematicita' non dipende da scelte discutibili del 
docente (o dalla sua ignoranza) ma da uno stato di relativa mancanza di 
chiarezza nella tradizione didattica e nello stesso "status" di certi 
argomenti. Io non sono un fisico matematico e i miei interessi per la 
meccanica analitica sono da "dilettante". Pero' non ho mai trovato in 
letteratura una discussione esaustiva delle TDL che tenesse in conto 
simultaneamente tutti i vari risvolti dell' argomento come mi sembra 
interessi te.
Complimenti comunque per il livello di approfondimento a cui cerchi di 
arrivare al tuo livello (secondo anno triennale immagino). Permettimi 
solo un consiglio (non richiesto, quindi cestinabile): non trascurare 
gli altri corsi e gli altri argomenti per sviscerare le TDL!
Ciao
Giorgio


 
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 un sistema equivalente del primo ordine. ...
Uhm. Direi che ho esagerato. Dovrebbe essere vero sempre (forma normale 
o no).
A meno di smentite dai matematici :-)
Giorgio

 introdotto in modo evidente.
In verità l'approccio di
Hilbert e Courant è proprio volto ad evidenziare che la
trasformata di Legendre ha un ruolo specifico nel dare
un'espressione semplice alle equazioni differenziali.
Ma sono sempre stato convinto che apprezzare
questo passaggio richiedesse una buona intuizione di
alcune proprietà della geometria proiettiva. Cosa che al
tempo di Legendre, nella Parigi di Monge era senz'altro
più semplice che oggi nelle università italiane dove
nemmeno gli ingegneri studiano più la geometria
proiettiva. Apprezzare non è sinonimo di comprendere.
Per comprendere basta molto meno. Basta seguire i
passaggi di Hilbert e Courant e verificare che l'interpretazione
geometrica della trasformata è solo una ridescrizione fedele
dello stesso insieme di soluzioni e della varietà su cui vivono.
Descrizione ottenuta incollando l'insieme delle descrizioni
dei piani tangenti e riscrivendo le equazioni differenziali, ovvero
il campo e notando che diventano un vincolo lineare all'interno
di ogni piano tangente. A questo si arriva a mano seguendo la
strada di dedurre un sistema lineare dal sistema del secondo
ordine e cercando una struttura variazionale per il sistema ottenuto.
L'effetto collaterale della trasformata di Legendre
è proprio che il principio variazionale nello spazio delle funzioni
q(t) L(q,q',t) viene applicato in un principio variazionale
nello spazio delle funzioni q(t),p(t) anzi ad essere più
attenti in un principio variazionale nello spazio delle
funzioni f : R -> q, p, t. Ovvero ottieni un principio
variazionale nello spazio di Poincaré.
Per accorgersi che la sostituzione di q' con p non basta
a questo scopo è sufficiente rifarsi al funzionale
(q')^2-V(q) quello che scopri è che certamente
se sostituisci q' = p ottieni p^2-V(q). Ma in questo modo
non teniamo più conto del vincolo funzionale fra p e q.
E' questa la famigerata informazione che si perde, a meno
di non fare la trasformata di Legendre. Non di meno
ragionando sulle equazioni differenziali questo problema
non si pone. Il vincolo è una parte delle equazioni. Bene
allora per arrivare a dedurre un funzionale da cui
sortisca questo sistema differenziale cosa c'è da fare?
O indovinarlo e poi verificare che è quello corretto, come
suggerivo nella mail precedente oppure,
certamente, quello che si fa tutte le volte che si vuole
includere un vincolo in un problema variazionale. Si
aggiunge un moltiplicatore di Lagrange e si procede.
Alla maniera che insegna Dirac, ad esempio.
A questo punto però uno studente dotato di spirito critico
si può chiedere cosa cappero c'entra tutto questo con la
termodinamica. Che principio variazionale abbiamo in
termodinamica? Al tempo in cui ero studente sapevo che
l'entropia può essere visto come un "funzionale" che associa
ad una collezione di fasi un valore pari alla somma delle
entropie di ciascuna fase. E che questo funzionale tende
ad un massimo nelle trasformazioni spontanee che portano
il sistema, se isolato, in equilibrio. Sapevo anche che allontanando,
in modo antinaturale, il sistema dall'equilibrio si ottiene
una diminuzione di questo funzionale. Poi imparai con Landau
che questo comportava delle disuguaglianza circa le derivate
seconde dell'entropia. E finchè non lessi Courant Hilbert
non capivo come mai c'entrassero le trasformate di
Legendre. Poi quando vidi il Callen rimasi molto impressionato
dallo scoprire come tutto questo poteva essere riassunto in un
quadro assiomatico molto coerente.
Però ancora oggi vado cercando se mai non esista una
interpretazione variazionale della termodinamica e come
mai non sia presentato un parallelo netto fra dinamica e
termodinamica di equilibrio. E se non esiste questo parallelo
dove ne sia la ragione. Allora ieri, leggendo l'indicazione
bibliografica dell'articolo in cui si parla della struttura simplettica
della termodinamica mi è rinata una speranza.
Se ho inteso allora l'idea è che le equazioni di Hamilton per la
termodinamica
prendono la forma:
[dT^dS+dV^dP](X) = -dH
dove X è un campo vettoriale nello spazio delle fasi teorico P,V,T,S nel
quale solo una sottovarietà è fisica. Ovvero quella per la quale la
due forma canonica restituisce una forma differenziale esatta: quella
dell'energia cambiata di segno: T dS-pdV. In effetti da questa identità
che è un vincolo differenziale dovrebbero seguire le relazioni di Gibbs
Duhem e quelle di Maxwell. Purchè conosciamo l'espressione per
l'energia. Immagino poi che basti aggiungere d_mu^dN per trattare
i casi a particelle variabili.
Però, se così stanno le cose, questo dovrebbe condurre, da una parte
al principio variazionale TdS + VdP -Hdl dove l è il parametro libero
che parametrizza le trasformazioni, e dall'altra, mediante
la trasformata di Legendre inversa, ad un principio variazionale di tipo
lagrangiano. Quale? E quale ne è l'interpretazione fisica? Per
rispondere alla prima domanda ricordo che in meccanica
classica: pdq - H(q,p) dt conduce a L(q,q')=H+p(q',q)q'.
Il che si ha presupponendo la relazione p(q,q') come discende
dall'equazione q' = dH/dp. Allora noi dovremmo avere: (S', P')=dH/d(T,V)
da cui T(S',P') V(S',P') e quindi procedendo per analogia:
L(S,P,S',P')=U(S,P,T(S',T'),V(S',P'))+T(S',P')S'+V(S',P')P'. Cos'è?
Quello che non mi convince è il fatto che in questo schema ho
adottato un parametro l che è completamente riparametrizzabile,
quindi c'è qualcosa di differente rispetto alla meccanica classica.
Sospetto che la struttura in ballo qui sia presimplettica a causa
della particolare forma che hanno le H, cioè prescinde dal parametro,
se è così il pericolo è che procedendo per questa via si giunga ad una
lagrangiana perfettamente nulla, per evitare questo si procede al solito
modo: si aggiunge un parametro ausiliario che vincoli "l" ma questo
conduce ad una formulazione equivalente ma dove compare un parametro
artificioso, a meno di non trovare una interpretazione naturale,
se ne esiste una di questo parametro? E' come se mancasse una
struttura metrica nello spazio che parametrizza le trasformazioni
termodinamiche,
cosa che invece in meccanica classica non si verifica perchè il tempo ha un
ruolo. Ed allora mi viene da pensare che la struttura della termodinamica
sia
naturalmente conforme cioè definita a meno di riscalamenti, ma non è forse
questo quello che dice l'assioma di estensività? Cioè mi sembra che
questo problema si verifica perchè abbiamo usato una hamiltoniana che
è funzione omogenea in un insieme di parametri che coinvolgono gli impulsi.
Basta. Mi fermo e mi scuso anche perchè pensavo
di avere le idee più chiare ed invece potrei avere
aggiunto confusione.


 Quello che non mi convince ...
Piu' di qualcuno ha messo la termodinamica in veste "geometrica". Come 
osservavo en passant in un altro post, non mi risulta che nessuno di 
questi approcci abbia avuto un gran successo. Io sospetto fortemente che 
il problema sia nell' assenza (almeno fin qui)  di una forte motivazione 
   per la geometrizzazione della termodinamica.
Se mi riesce, vedro' di ritrovare qualcuno dei riferimenti rilevanti.
Giorgio

 eq. del primo ordine invece che n del secondo.
Ho fatto come mi ero riproposto, ho visto in che casi aiuta ed anzi ho
riaperto il Courant Hilbert. Anzitutto devo ammettere una cantonata.
Non mi ricordavo affatto lo spirito del problema. Il carattere involutivo,
come dicevi, me lo ricordavo ma non lo avevo affatto evidenziato.
Me ne dispiaccio.
Poi ho guardato gli esempi di Courant ed Hilbert. Sono tutti riferiti ad
equazioni differenziali a derivate parziali. E però non si capisce
perchè uno debba andare a pensare ad un nesso fra l'uso che si fa
della trasformata di Legendre nella teoria delle equazioni differenziali
alle derivate parziali e l'uso apparentemente del tutto diverso che se
ne fa in Meccanica e Termodinamic per trasformare le equazioni ordinarie
di Eulero Lagrange nelle equazioni di Hamilton o per passare da una forma
hamiltoniana ad un altra. Temo che la generalità della struttura non si
apprezzi
se non a posteriori, dopo avere sviluppato la teoria di Hamilton Jacobi e
delle
trasfrormazioni canoniche.
Mi potrei associare alla domanda iniziale: c'è qualcuno che l'ha
capita la trasformata di Legendre, a parte Arnold, diciamo?
Consapevole del potenziale offensivo di questa domanda e
delle difficoltà pratiche che comporta l'insegnamento
devo mitigarne la portata. Sono in tanti ad avere certo un quadro
parziale e pratico. Mentre non è da escludere che siano in pochi ad
avere seguito un percorso di studi che consente di abbracciare tutte le
implicazioni ed i cambiamenti di punti di vista connessi con la trasformata
di Legendre. Allora questo limite non può che riflettersi inevitabilmente
nelle
presentazioni didattiche che oltretutto devono fare i conti con i limiti di
tempo
e con la difficoltà di accordare fra loro i programmi delle diverse
discipline.
Tornando all'uso pratico delle osservazioni di Hilbert e Courant che servono
in termodinamica e meccanica al livello più basso, ovvero passare da un
potenziale ad un altro e passare dalla descrizione lagrangiana a quella
hamiltoniana mi sembra che quello che si usa è proprio poco. Ovvero
null'altro che la definizione unita all'osservazione che commuta una
derivata
parziale in un numero e viceversa un numero in una derivata parziale.
Mentre riesprime la funzione di partenza come somma di una nuova
funzione e di una combinazione bilineare. Meglio scriverla: l'effetto
della trasformata di legendre rispetto alle variabili x,y sulla funzione
u(x,y) è:
du/dx = \csi
du/dy = \eta
d(\omega)/d(\csi) = x
d(\omega)/d(\eta) = y
u = \csi d\omega/d\csi + \eta d\omega/d\eta - \omega.
dove \csi ed \eta sono le coordinata di Legendre la cui
interpretazione geometrica è che sono le coordinate dei
piani di inviluppo, ovvero le derivate, mentre \omega
esprime "la quota del piano" di inviluppo ed è una funzione
di csi ed eta. Chissà, forse che a Lagrange vedendolo scritta sulla
lavagna del collega Legendre venne il pensiero che permettesse
una connessione con le equazioni di mr. Hamilton?
Oppure il percorso inverso, chissà che a Legendre vedendo
scritte le equazioni del signor Lagrange non sia balenato
per un attimo la somiglianza e poi l'identità con la sua
trasformazione geometrica maturata nei dibattiti con
Monge e gli ingegneri che si occupavano delle problematiche
di inviluppo, insieme con la signorina Sophie Germaine ed
in corrispondenza con il signor Pluecker.


 Giorgio
Grazie anticipate.


 TDL!
Aggiungo la mia adesione al consiglio "cestinabile".
Dico anche che nella mia ormai lunga epserienza ho visto alcuni
studenti che si sono "persi" proprio perche' rifiutavano di andare
oltre o di studiare altre cose, in quanto insoddisfatti di alcuni
punti per loro centrali.
Per quanto possa sembrare insoddisfacente, e' meglio non pretendere di
capire tutto da principio. Acquistando maturita' e maggiori
conoscenze, cose che erano apparse oscure diventano piu' chiare.
Se tu sapessi quante cose io le ho capite solo a 40 anni, e anche
ben oltre...
Per me c'e' sempre stato un test: ritengo di aver capito una cosa
quando mi sento d'insegnarla.
Anche se e' vero pure il viceversa: che solo quando ci si prova a
insegnare, si e' costretti a capire :)
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 da hamiltoniane. C'e' dunque una differenza strutturale?
Per niente. Esiste sempre la possibilita' di introdurre delle 
"hamiltoniane parziali" (non e' un nome standard, lo sto introducendo io 
per farli capire). in cui si faccia  la TDL solo su alcune velocita' 
generalizzate. E' un capitolo un po' esotico della meccanica ma esiste. 
Si chiama formulazione di Routh. E le "hamiltoniane parziali" si 
chiamano "funzioni di Routh". Puoi trovarle in una sezione del libretto 
di F. Gantmacher "Lectures in analytical mechanics" Mir (le mitiche 
edizioni Mir!), 1975.
Giorgio

 delle equazioni dei gas perfetti. Pero' la distanza e' considerevole.
Uhm. Non e' solo questo. La termodinamica non ha, a stretto rigore 
bisogno di un unico tipo di dinamica "sottostante". La dinamica serve 
solo per ottenere gli stati di equilibrio. Dinamiche diverse potrebbero 
garantire gli stessi stati di equilibrio (pensa ai sistemi di spin).
Giorgio

 dE = T dS - P dV (21).
Se derivi la 21 trovi 0 = dT^dS - dP ^ dV = dT^dS +dV^dP, che e'
vera solo su una sottovarieta' delle trasformazioni nello spazio delle
fasi, che per mr Peterson mi sembra che sia dato dalle coordinate
S,P e dagli impulsi T,V anzi e' quello che dichiara esplicitamente.
D'altra parte che su questa sottovarieta' la forma sia nulla si desume
dalla constatazione che essendo l'equazione di stato a svolgere il
ruolo di hamiltoniana, nella varieta' fisica vige identicamente
che dY = 0. Come conseguenza del fatto che la termodinamica e'
estensiva. Peccato pero' che una struttura simplettica si da solo
nel caso di due forma non degenere. Per questo dicevo che mi
sembra che si tratti di una struttura pre-simplettica. Dirac sembra che
le abbia studiate, dopo aver studiato la relativita' generale.


 e dagli impulsi T,V anzi e' quello che dichiara esplicitamente.
Si', pero' la cosa mi resta indigesta (chissa' se Giovanna ne sara'
lieta oppure :-) )
Sto continuando a cercare di chiarirmi le idee, ma con scarsi
risultati.
Pero' mi e' venuto in mente questo: l'espressione
dS = \sum p_i dq_i - H dt
e' una cosa. Ma poi c'e'
dS = \sum p_i dq_i - \sum P_i dQ_i.
Mentre la prima vale per l'azione (integrale di L su una traiettoria
di fase, funzione di q_i, t) la seconda riguarda invece la generatrice
della trasf. canonica che fa passare dalle (p,q) alle (P,Q).
Se ho capito qualcosa, il punto di vista di Peterson sarebbe il primo,
con E (energia interna) al posto di S.
Ossia per lui lo spazio delle fasi avrebbe 4 dimensioni, dove
coordinate lagrangiane sarebbero S,V e i momenti coniugati T,-P.
A me pare piu' promettente dire che lo spazio delle fasi ha dimensione
2, e che che tanto la coppia (S,T) quanto la (V,P) danno coordinate
canoniche.
La struttura simplettica e' data dalla 2-forma dT^dS che e' identica a
dP^dV, proprio grazie alla
dE = T dS - P dV.
Gli altri potenziali termodinamici sono le generatrici di altre trasf.
canoniche, corrispondenti al fatto che anche (T,-S) e (P,-V) sono
coord. canoniche.
Non sono andato oltre, ma intanto ditemi che ne pensate.


Cari amici
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Trasformate di Legendre
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Sto seguendo assiduamente e con grande interesse il thread ma
non sono più intervenuta per tre motivi:
1. Ho accolto questo suggerimento:
"Permettimi solo un consiglio (non richiesto, quindi cestinabile): non 
trascurare 
gli altri corsi e gli altri argomenti per sviscerare le TDL!"
e quindi sto dando "un colpo al cerchio ed uno alla(e) botte(i)".
2. Sto riflettendo (e mi ci vuole tempo!!).
3. Sto aspettando di mettere le mani su alcuni dei volumi citati nei 
messaggi.
Appena avrò qualcosa di sensato da dire ... lo dirò.
Vi ringrazio per le feconde sollecitazioni e spero che mi farete 
compagnia anche sull'altro  
"fronte di guerra" che mi si è aperto: le trasformazioni canoniche, in 
merito al quale conto di  
postare dopo un altro po' di meditazione.
Approfitto, comunque, di questo messaggio per sollevare una questione.
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Domanda sui fibrati
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Antefatto:
- una funzione è ... una funzione. ok. :-)
- una derivata è anch'essa una funzione, ma in virtù del suo status di 
derivata è una funzione  
"un po' speciale" nel senso che
"Sia f una funzione numerica definita nell'intervallo I e ivi 
derivabile. Allora
f' non può ammettere in I che discontinuità di seconda specie"
Fatto:
Per analogia (o, forse, solo per assonanza), mi viene un sospetto:
- una varietà differenziabile è ... una varietà differenziabile. ok. :-)
- un fibrato tangente (e/o uno cotangente) è anch'esso una varietà 
differenziabile ma non è che  
dall'essere fibrato di una varietà gli discenda qualche speciale 
proprietà ?
Che, magari, non è necessariamente condivisa dalle varietà 
differenziabile che (diciamo così) non "hanno una primitiva" nel senso 
che non esiste una varietà differenziabile di cui esse siano il  
fibrato tangente ?
Peraltro, se non ho frainteso quanto scrive Schutz in "Geometrical 
methods of mathematical  
physics" (cap. "A deeper look at fiber bundles") distinguendo tra fiber 
bundles che sono 'locally trivial' da quelli che sono 'globally 
trivial' mi pare di capire che data una varietà  
differenziabile se ne possano generare *PIU' DI UNA* che localmente ne 
sono il fibrato tangente  
ma che 'globalmente' sono diverse.
(Se fosse vero uno stesso spazio delle configurazioni, a parità di 
struttura riemanniana definita dall'energia cinetica, potrebbe ospitare 
dinamiche diverse)
Ho preso fischi per fiaschi ? Lucciole per lanterne ? Assi per coppe ?
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Saluti
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Saluti, saluti, saluti.
Giovanna

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Mettendo in ordine: se in MECCANICA vale che:
Lo spazio delle fasi e' p,q
lo spazio di Poincare' e' p,q,t
l'hamiltoniana H(p,q,t). L'azione S(q,t).
Dove la funzione
@H/@p e' invertibile rispetto alla variabile
p perche' H e' funzione convessa di p.
lo spazio delle configurazioni sarebbe q, attrezzato
del suo fibrato tangente vincolato mediante la scelta
di fissare il parametro per le curve orarie t. La funzione di
Lagrange che genera le traiettorie in CxTCxTTC e'
L(q,q',t)=H(p(q,q'),q',t) - p(q,q')q' dove la funzione
p(q.q') si ottiene dall'equazione di Hamilton per q':
q' = @H/@p
allora in TERMODINAMICA, stante l'analogia, varrebbe:
lo spazio delle fasi e' T,S
lo spazio di Poincare' e' T,S,V
l'hamiltoniana e' P(S,T,V).
L"azione E(S,V).
Ammesso e non concesso che P sia
funzione convessa in T allora la funzione
@P/@T e' funzione invertibile rispetto alla variabile
T. E' un caso o una necessita'?
lo spazio delle configurazione sarebbe S,
insieme con il suo fibrato tangente, ed il ruolo
del tempo e' svolto dal volume. Ed il principio
variazionale che genera il sistema differenziale
del secondo ordine in SxTSxTTS (dove T e' inteso
per spazio tangente) sarebbe:
Int{P(T(S,S'),S')-T(S,S')S' }dV. La perplessita' principale
e' sul fatto che in generale sia vero che questo e' un
principio variazionale.
Mi sembra che l'anello debole in termodinamica
sia la convessita' della pressione rispetto alla
temperatura. Nel caso dei gas perfetti trovo che
P e' in effetti una funzione di S e T convessa in T e non
dipende esplicitamente dal parametro V. E' un caso
o una necessita'?
Come otteniamo P(S,T)? Un modo e' partire dall'espressione
per l'energia (nota l'azione in meccanica costruiamo l'hamiltoniana
dall'equazione di Hamilton Jacobi). E(S,V), per definizione troviamo:
-P = @E/@V e T=@E/@S ovvero P(S,V) e T(S,V). Occorre verificare
che V e' esprimibile in generale come funzione di S e T. Ovvero
che T(S,V) e' invertibile rispetto a V, ma questo discende dal fatto che
dT^dS = dP^dV Dunque P e V sono variabili indipendenti fra loro,
come T ed S ma non sono funzionalmente indipendenti da S e T.
Dietro questo fatto c'e' sempre il teorema di Dini, insieme alle proprieta'
delle espressioni di Pfaff. Anche stabilito questo non sono invece
riuscito ad accertare che @P/@S sia in generale una funzione invertibile
di S e T rispetto a T.
Per inciso rimeditanto tutto questo mi sono accorto di aver sbagliato
clamorosamente l'espressione per il potenziale chimico nella risposta
a Derfel sui palloncini e che c'e' qualcosa di molto profondo nell'abilita'
a scrivere questo potenziale chimico correttamente. Mi scuso ovviamente
con Derfel e spero di scrivere una lettera in cui metto in chiaro l'origine
quantistica della difficolta'.


 Ho preso fischi per fiaschi ? Lucciole per lanterne ? Assi per coppe
?
Forse un pò di tutte e tre ma non più di tanto.
Anzitutto il fibrato non ha una struttura riemanniana
di per se. Una lagrangiana come l'energia cinetica
induce una struttura metrica che è minima sulle traiettorie
e se ne infischia della parametrizzazione. Ma la situazione
generale è più complicata infatti la lagrangiana può dipendere
anche dalla posizione, ed infine la lagrangiana può dipendere
anche dal tempo. Quindi certamente a parità di energia cinetica
sono possibili tante dinamiche quante sono le lagrangiane che puoi
scrivere. E' vera infine un'altra cosa: fissata l'energia, in una
situazione in cui la lagrangiana non dipende dal tempo, esiste una
metrica che è minima sulle traiettorie. Questo è un effetto
dell'esistenza
di una particolare struttura di contatto sulle sotto-varietà dello
spazio delle fasi nelle quali l'energia è costante. Questa particolare
struttura
di contatto è quella che dà luogo ai cosiddetti spray. Ovvero
strutture differenziali di secondo ordine nello spazio delle
configurazioni
in cui le accelerazioni dipendono quadraticamente dalla velocità.
Effetto, diciamo, dell'arbitrarietà dell'unità di misura del tempo.


 una selva di definizioni di varietà differenziabile.
[cut]
In realtà di definizione ne esiste una sola: quella di varietà
differenziabile *di classe C^k*, dove k è il grado di differenziabilità
delle trasformazioni tra carte locali. 
Peraltro, se non ricordo male esiste un teorema secondo cui, se una
varietà ammette una struttura differenziabile di classe C^1, allora ne
ammette anche una (eventualmente più piccola) di classe C^inf, per cui
non è in teoria restrittivo limitarsi a considerare quest'ultimo caso.
(Certo che se poi a uno servono proprio quelle coordinate che restano
tagliate fuori...)
-- 
ws

 ws


 ha scritto:

Anzitutto ti ringrazio di questa spiegazione, che ha il pregio di essere
mossa dall'intenzione positiva di togliere confusione dove forse ce
n'era gia' troppa, tuttavia questo mi sembra non basti. Quando
uno studia i sistemi dinamici trova per esempio nel caso delle dimostrazioni
del teorema KAM che occorre una differenziabilita' di ordine C^{2+\epsilon}.
Cosa significa questo genere di scrittura? Ha qualcosa a che fare con la
derivabilita' a tratti, con la derivabilita' in spazi funzionali?
Inoltre quello che dicevo era mosso dalla considerazione che la definizione
che ci hai ricordato oltre che dipendere da k e dalla dimensione, e
contenere
quindi in effetti infiniti tipi di varieta' prevede una dimensionalita'
finita. A questo
scopo sono state proposte le varieta' di Frechet. In effetti quando
consideri uno
spazio di Banach, se lo doti di una opportuna struttura differenziale noti
che ha una
struttura in tutto simile a quella di varieta' differenziabile. Pero' e'
infinito dimensionale
Ancora, nelle applicazioni piu' concrete, uno mette sopra una varieta' delle
funzioni,
delle metriche, e costruisce dei morfismi fra strutture diverse, questo ha
portato a
riconoscere una difficolta' non legata solo alla scomodita', nella
definizione di varieta'
che hai ricordato, ed alla formulazione della nozione di spazi diffeologici.
Ed allora
non e' raro trovare oggi dei libri, ma soprattutto articoli di ricerca in
campi applicativi
in cui la formulazione della nozione di varieta' passa attraverso la teoria
di Stone e la
caratterizzazione mediante diffeomeomorfismi.
D'altra parte la nozione di varieta' fuchsiana, di superfice di Riemann, di
rivestimento
universale, di gruppo di omotopia, sono nozioni che hanno ormai piu' di un
secolo e
si impongono in modo abbastanza naturale senza troppe pretese sulla
differenziabilita',
tanto da far sospettare che quello che conta sono i gruppi di invarianza.
Gli sviluppi
spettacolari della teoria algebrica, la connessione fra le simmetrie
discrete e le simmetrie
continue vanno imponendo un nuovo punto di vista, anche rispetto alla
nozione di
differenziabilita' e di "spazio tangente": per esempio la necessita' di
ricorrere alla struttura
di spin rende insufficiente la struttura di spazio vettoriale, pure se
metrico. Nel frattempo
le derivate di Frechet gli spazi di Banach, e di Hilbert sono entrati a
pieno titolo in
molti programmi dei corsi di laurea in fisica ed allora
negare ad uno studente una applicazione come quella alla generalizzazione
della
nozione di varieta' ad infinite dimensioni risulta una limitazione
della liberta' paragonabile ad una tortura psicologica. Come chiedergli di
raccontare
un paesaggio senza usare mai la parola sfumatura ed evitando i nomi dei
colori.
Si puo' fare, ma perche'?
