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Titolo: differenziali

Ho letto che i differenziali, ad esempio dx, possono essere considerati o
come grandezze infinitesime o come grandezze finite, anche grandi. Infatti
il differenziale č l'incremento di una grandezza lungo una retta (la
tangnte) e non il "vero" incremento lungo la curva del diagramma. E solo
quando si considera un dx tendente a 0 i due incrementi coincidono: giusto
fin qui?
Ora, alla luce di quanto detto, l'espressioni:
dx = 3m dy,
dy/dx = 3x
oppure
dy = 4
hanno un senso aritmetico solo se si considerano dx e dy finiti? Se li si
considerano infinitamente piccoli, cioč infinitesimi, io credo che la prima
e la seconda relazione abbiano un valore solo in termini di una ben precisa
notazione (quella del differenziale e esedella derivata, ad esempio), ma non
abbiano un senso aritmetico (cioč: dy/dx non č una divisione!), mentre la
terza relazione non ha alcun senso.
E' vero tutto ciň?
Se č lecito, vorrei chiedere espressamete il parere di Elio Fabri (e degli
altri
ovviamente)
Grazie in anticipo

 come grandezze infinitesime o come grandezze finite, anche grandi. 
...
Prima di rispondere  alla tua domanda vorrei farti riflettere sull' uso
che fai del termine infinitesimo. E' un uso non giustificabile all'
interno dell' analisi (almeno quella standard) perche' comporterebbe l'
introduzione di enti diversi dai numeri reali. Il permanere di
incertezze sull' argomento risente delle impostazioni pioneristiche 
dell' analisi e di una perdurante cattiva didattica.
Nell' analisi standard si parla di infinitesimi ma solamente nel senso
di funzioni che hanno limite zero (e quindi analisi dell' ordine di
infinitesimo etc. etc.). Infinitesimo come "quantita' piu' piccola di
qualsiasi numero" e' invece un concetto che non ha cittadinanza in
analisi standard. L' unico punto di contatto (ed e' dove trova
giustificazione l' uso che se ne fa  in molta fisica) e' nel "teorema
del differenziale" che garantisce (sotto opportune ipotesi) che l'
approssimazione dell' incremento finito di una funzione mediante il suo
differenziale (*) e' (localmente) la migliore possibile. Questo permette
di razionalizzare l' uso di una terminologia che fa riferimento ai
differenziali come quantita' piccole ma senza collidere con le
fondazioni logiche dell' analisi standard.
Puoi provare quindi a reinterpretare le tue domande alla luce di queste
considerazioni.
Giorgio
(*) Possibile definizione  "pulita" di differenziale df di una funzione
f (reale di  variabile reale, per non complicare troppo la notazione, e
derivabile):
df: R^2 -> R |  (x,x0) -> f'(x0)*( x - x0 )     con f'(x0) derivata
prima di f in x0
da cui discende dx = (x-x0) , che e' un numero reale qualsiasi (grande o
piccolo non importa!), e che permette di riscrivere df = f'(x0)*dx,
nonche' di dare consistenza alla scrittura df/dx per la derivata prima.

 nonche' di dare consistenza alla scrittura df/dx per la derivata prima.
Perfetto! Questa è la definizione pulita che mi dà anche il Silvestrini.
Quando scrivo df/dx, quindi, mi riferisco ad un rapporto tra quantità finite
(i differenziali delle due variabili per l'appunto, no?), però ovunque leggo
che dx è un incremento infinitamnete piccolo, ecc. ecc. Provo a
reinterpretare le cose sulla base di ciò che tu ed il Silvstrini mi dite.
Premettendo che:
1) la derivata è il rapporto tra due differenziali
2) i differenziali esprimono quantità finite
credo sia possibile affermare che il generico df altro non sia che un
incremeno di f a partire da f(xo) lungo la tangente ad f in xo. Insomma
sarebbe come ragionare in termini di una funzione che da un punto in poi
(xo) è come se divenisse lineare (intendo dire "esprimibile da una retta",
che è la tangente). Questo ovviamnete vale in elatà soltanto per la porzione
di diagramma "immediatamente" attigua a f(xo) e ben presto (col variare
della pendenza) bisognerà nuovamente ripetere il discorso. Ma
quel'immediatamente" mi fa tornare in tsta il concetto di quantotà
infinitamnte piccola.(che però ho capito che non va cjhiamata infinitesima).
In fondo quando parlo di velocità istantanea in to , parlo di una grandezza
che, se la funzione f(t) da to in poi coincidesse con la tangente in to,
sarebbe la velocità istantanea per ogni t>to. Non so se mi sono spiegato
:-( Io stesso, quando vedo trattare i differenziali come se fossero normali
nmeri (ed in realtà lo sono, ma non quando vengono considerate come quatità
infinitamnete piccole)  mi domando come sia possibile concepire operazioni
aritmetiche tra numeri ed incrementi indefinitamnente piccoli! Ed è proprio
questo che mi ha confuso e che mi ha spinto a coniderare che evidentemente
con dx potessero venire indicate due cose diverse:
- il differenziale pulito
- quantità infinitamente piccole.
Se tutto ciò che ho detto (caoticamente) è vero, mi spiegheresti come mai si
faccia tanta confusione ovunque in fisica? Basterebe capire cos'è il
differenziale, ed il concetto di quantità infinitamente piccola (distinto da
quello analitico di funzione infinitsima) non dovrebbe nè essere utilizzato
come un numero nè rappresentato da questo o quel simbolo: lo si
utilizzerebbe solo come "concetto", sicuramente fondamentale, per calcolare
i limiti delle funzioni. E' riduttivo ciò ched ico? Fammi sapere. Grazie
Giorgio.

 faccia tanta confusione ovunque in fisica? 
Mah, il mio punto di vista e' che nell' insegnamento (e nei libri) c'e'
spesso una stratificazione di concetti e di tradizioni didattiche di cui
a volte si e' perso coscienza. In alcuni casi, quelli in cui
storicamente ci sono stati usi incoerenti o contraddittori di concetti,
questi "remnant" di antiche diatribe provocano un senso di disagio o
delle manifeste contraddizioni la cui origine non sempre viene
adeguatamente spiegata allo studente, col risultato di perpetuare la
situazione.
E da questo punto di vista mi sembra che molte delle FAQ dei NG
scientifici siano una testimonianza della situazione di fatto.
Giorgio

 corretto che sia cosi').
Perchè è giusto? Perchè in analisi classica non vi sono quei "reali
infinitsimi" di cui parli sopra, ma solo numeri reali? O, in altere parole,
perchè se cercassimo di definire l'inorno avremmo immediatamente bisogno di
introdurre con rigore delle quantità infinitamente piccole? In ogni modo
credo che in analisi classica per quanto non vi siano degli "oggetti" in
grado di esprimere rigorosamente le quantità infinitamnete piccole e le loro
proprietà, almeno sul piano dei "concetti" quello di "quantità più piccola
di qualunque numero piccolo a piacere" sia un concetto sicuramete
fondamentale (vedi limiti di funzioni): giusto? e come si spaiega che un
concetto fondamentale non abbia, in analisi standard, un adeguata
caratterizzazzione formale?
Grazie Giorgio,
pol

 corretto che sia cosi').
Vedi che qui consideri importante e rigoroso, seppur non formalizzabile (o
meglio: non "quantificabile") il concetto di quantità infinit. piccola?
al.

 caratterizzazzione formale?
Su questo cerchero' di rispondere nella replica ad albert.
Giorgio
PS Per i moderatori: mi rendo conto che l' argomento sta diventando un
po' OT (i.s.m. sarebbe piu' appropriato). Confido pero' nel fatto che le
incertezze sugli infinitesimi, differenziali & co. sono pane quotidiano
dei fisici  piu' che dei matematici ( O no ?  ;-) ) per avere ancora
ospitalita' su questo NG.

 meglio: non "quantificabile") il concetto di quantità infinit. piccola?
Credo di aver chiarito sopra il mio punto di vista. 
Aggiungo solo, per chiarezza, che nell' analisi reale non c'e' proprio
modo di dare rigore ad un concetto di "quantita' infinitamente piccola"
senza entrare in contraddizione con le definizioni accettate dei numeri
reali. Quello che l' analisi infinitesimale delle origini faceva era
proprio di introdurre degli oggetti "nuovi", gli infinitesimi, che
permettevano di "giustificare" formule del tipo di:
(x+dx)^2 = x^2 + 2 x dx
con dx diverso da zero.
Il problema pero' e' che nell' ambito della matematica classica, l'
introduzione coerente di "oggetti" con queste proprieta' e' impossibile.
Da cui la necessita' di ripensare completamente il concetto di derivata
e di basarlo su una definizione corretta di limite.
Solo negli ultimi 50 anni l' analisi non-standard ha trovato un modo
consistente dal punto di vista matematico di introdurre accanto ai reali
anche "quantita' infinitamente piccole". Ma l' operazione non e' banale
venendo dall' analisi standard, anche se c'e' chi sostiene che da un
punto di vista didattico sarebbe piu' semplice partire dall' analisi
non-standard. Su questo non ho elementi per pronunciarmi.
Giorgio

 scientifici siano una testimonianza della situazione di fatto.
Vero. E ne segue che un po' di riflessione sulla didattica e sui
fondamenti sarebbe utile, anzi necessaria a tutti i docenti
universitari.
Invece per definizione un prof. univ. quanto alla didattica e'
intoccabile: si chiama (del tutto a sproposito) liberta'
d'insegnamento...
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

 Purtroppo ho tenuto il corso per un tempo troppo breve per poter
 > verificare se l'approccio funzionava...
In questi casi i risultati di una vera sperimentazione sarebbero 
estremamente utili.
Sarei molto curioso di capire l' efficacia relativa dell' approccio 
usuale e di questo. A livello personale (ma la cosa si riferisce ad uno 
stadio piu' tardo e quindi sicuramente influenzato dalle esperienze 
precedenti) ricordo che l' approccio alle derivate (funzionali) come 
miglior approssimazione lineare mi era parso poco soddisfacente la prima 
volta che lo incontrai. Anche se oggi lo considero il migliore ed e' 
quello che uso se devo introdurre il concetto di derivata funzionale.
Certo poi, un discorso a parte lo meriterebbe il problema di dover (all' 
alba del nuovo millennio) continuare ad insegnare cosa e' una derivata 
in corsi di fisica.
Qui a Trieste il problema e' stato risolto grazie ai famigerati ;-) 
trimestri, facendo partire il modulo di meccanica del primo anno di 
fisica al secondo trimestre dopo un modulo di calcolo differenziale ed 
integrale fatto al primo.
Mi continua però a rodere il dubbio che forse si potrebbe riuscire ad 
insegnare derivate ed integrali in tutte le medie superiori. Ma credo di 
avere molta difficolta' a comprendere la logica di chi disegna i 
programmi di matematica delle scuole!
Giorgio

 (senza alcuna limitazione).
E' molto interessante ciň che dici. Potrei chiederti un'ultima gentilezza:
faresti un ultimo sforzo per rendermi ancora piů chiaro quanto hai scritto
qui sopra? Te ne sarei davvero grato.
E' possibile leggere qualcosa che approfondisca ciň che tu dici? Grazie
albert

 "rigoroso" di intorno (che prescinde da considerazioni di tipo metrico)
Questo non mi è chiarissimo.
Grazie: mi stai davvero chiarendo le idee!
pol

Proverň a rispondere a tutti i tuoi dubbi in maniera telegrafica. Ma sappi
che non dirň nulla di diverso, in sostanza, da quanto scritto da Giorgio
Pastore.
1) per infinitesimo in xo si intende quella funzione che ha limite = 0 per x
tendente a xo
2) qualunque utilizzo dei termini "infinitesimo"  e derivati
(infinitesimale, ecc).non ha alcun senso in analisi standard: nč sul piano
semantico, nč su quello concettuale, nč su quello formale.
3) i differenziali sono quantitŕ finite che vengono indicati col medesimo
simbolismo utilizzato per indicare, un tempo, le quantitŕ infinitamente
piccole. Mi riferisco alla notazione, dx, df, dy.
4) il rapporto tra i differenziali df e dx č a tutti gli effetti = alla
derivata di f, ma non definisce quest'utlima. E'  vero il contrario. Ma alla
luce della teoria dei differenziali č corretto affermare che la derivata di
una funzione sia esprimibile come rapporto df/dx. Come vedi ci sono due
punti di confusione fin qui:
a) si utilizza per i differenziali la stessa notazione utilizzata in passato
per gli infinitesimi (che vennero cosě aggettivati come "attuali" per
distinguerli da quelli spiegati al punto 1)
b) la derivta č = al rapporto tra i differenziali. E nemmeno a farlo a posta
viene fuori che essendo quindi lecito scrivere df/dx per la derivata, si
ritorna proprio alla medesima notazione di derivata che veniva usata quando
si consideravano df e dy come infinitesimi attuali! La notazione preferibile
per la derivata di f č cosě f'.
5) Affermato quanto sopra, passiamo alla definizione di derivata. La
derivata č il limite, per delta(x) tendente a "0" del rapporto incrementale
delta(f)/delta(x).
6) il fulcro del calcolo integro-diffrenziale, oggi, č il concetto di limite
e non di infinitesimo attuale.
7) le nozioni di limite di una funzione o di continuitŕ non richiedono l'uso
nč di numeri nč del concetto di infinitesimi (attuali)
8) la frase di Giorgio "piů piccolo in potenza e non in atto", significa
che: la nozione di limite richiede l'introduzione di infinite classi di
intervalli che divengono sempre piů piccoli, oltre ogni limite, ma che di
fatto non si introducono mai intervalli che non siano finiti. Si deve a
Weierstrass questa conclusione che č tutt'altro che grossolana: sfugge
ancora oggi a molti addetti ai lavori.
9) In altre parole, il fulcro dell'analisi standard moderna, č il conceto di
limite. Il concetto di limite non richiede quello di infinitesimo (attuale)
ma solo quello di intorni via via sempre piů piccoli, ma *sempre* finiti. In
analisi standard, si ha a che fare con numeri e non con grandezze astratte.
Con numeri reali soprattutto (ma anche con altri insiemi numerici).
Pertanto bisogna prestare attenzione alle miriadi di abusi di notazione che
si fanno nella speranza (vana) di rendere didatticamnete piů chiare certe
cose. Ad esempio:
a) č lecito fare le normali operazioni aritmetiche tra differenziali (in
quanto "quantitŕ finite")
b) non č lecito dire che il valore di una funzione (che potrebbe essere un
limite, una derivata, un integrale, una funzione semplice, ecc) sia, per un
determinto valore della variabile indipendente, uguale a + o - oo! Questi
non sono numeri ma quantitŕ astratte e non ha nessun senso scrivere che:
- lim f(x), per x---->xo, = oo
- dy/dx = -oo
- f(xi) = oo
Sono notazioni comode ed utili, perchč diversamente bisognerebbe, ogni volta
che si deve dire ciň che le notazioni sopra riportate esprimono
immediatamente, "scrivere la tesi che verifica: per ogni M reale,
esiste un delta>0 tale che per ogni x in [x_0-delta,x)U(x,x_0+delta] si ha
f(x)>M... Abbastanza scomodo, direi." In altre parole, in analisi standard,
si ha a che fare con i numeri e nč oo nč gli infinitesimi attuali sono tali.
10) il dx che appare negli integrali secondo alcuni non indicherebbe
esattamente un differenziale, ma qualcosa di simile...: per me č un
differenziale a tutti gli effetti!
11) una relazione tra infinitesimi attuali e funzioni infinitesime, in
analisi standard, non esiste e quella a cui accenna Giorgio mi sembra un po
forzata (forse non l'ho capita ;-)).
12) spero di essere stato chiaro
13) Ciao, Perceval ;-)

Ho dimenticato il punto "14"
14) Giorgio ti ha parlato di topologia. La topologia è una branca della
matematica (più precisamente della geometria moderna) che studia proprietà
non metriche di diversi enti e precisamente quelle proprietà che rimangono
immutate in seguito a definite trasformazioni operate su detti enti
(omeomorfimi). Gli intorni sono infatti da includersi nel capitolo
"Topologia in R".
ciao

 grandezze.
Ciao. Potrei chiederti una gentilezza? Non voglio costringerti ad andare OT,
ma ho davvero bisogno di un chiarimento a questo punto:
mi fai un esempio concreto di topologia non metrica? O meglio: mi spieghi
più approfonditamente come il concetto di limite prescinda da proprietà
metriche?
Te ne sarei grato
Pabl

 grandezze.
Mi è venuta in mente una cosa. Ma il concetto di intorno è sì un concetto
topologico, ma in riferimento ad una retta reale (ad esempio) lo specifico
spazio topologico che ci serve è uno spazio metrico (quello con i delta e
gli epsilon): ciò non reintroduce la necessità di misurare e quantificare?
So che c'è una falla in qusto discorso: la sento, ma non capisco dove.
Sforzati di essere chiarissimo in questa risposta e forse avrai  risolto i
problemi di molti di noi in questo thread.

 (senza alcuna limitazione).
Con tutto il dovuto rispetto, ma credo che qui tu "scenda" ad una
definizione di limite meno generale di quella a cui alludi sopra. Se parli
di epsilon e delta allora parli di un caso particolare di spazio topologico
che è lo spazio metrico (tu stesso lo dici) e per me questa è una scelta
infelice. Infatti rinunci al fatto che si possano definire i limiti solo
sulla base dei generici intorni topologici e tiri in campo gli intorni
metrici (Russell ti direbbe: perchè rinunci solo al concetto di quantità
infinitesima e non al concetto di quantità in genere?). Così facendo sei poi
costretto a parlare di potenza ed atto e cose simili. Ma ti si potrebbe dire
che il fatto di non specificare quanto valga delta non significa certo che
tu non stia parlando di una quantità (che, genericamente per l'appunto, vale
delta. Per me dovevi limitarti a dire che per la definizione di limiti ed
intorni i numeri nion servono proprio (e così addio ai generici delta,
epsilon, ecc).
A tal fine segnalo agli interessati questo interessante link: si tratta di
qualcosa di estremente semplificato, ma rende ben 'idea. Nel paragrafo
"Definizione rigorosa" definisce i limiti ricorrendo al generico intorno
topologico. Soltanto più avanti spiega come possa essere opportuno passare
ad intorni e spazi metrici (per un fatto di comodità sceglie un criterio
meno generale e più circosritto)
http://digilander.libero.it/lucianobattaia/matematica/a_limiti/topol.htm
,
clicca su Indice (in alto a destra), clicca su "La definizione di limite" e
scendi con il cursore a "Definizione rigorosa". In fondo, in "Ossevazioni",
vienen introdotto il concetto di semiampiezza, di intorno circolare, delta,
epsilon e compagnia bella.

 programmi di matematica delle scuole!
Questione controversa. In parte sarei con te: dopo tutto Fermat,
Torricelli ... Eulero facevano derivate e integrali senza epsilon e
delta. Voglio dire che si potrebbe anche un approccio piu' garibaldino,
e rimandare il rigore ai corsi universitari.
Tanto chi non ristudia l'analisi all'universita', della matematica
liceale dimentica tutto in ogni modo...
Pero' che la matematica propriamente detta debba restare fuori
dell'insegnamento secondario, i matematici non l'accetterebbero mai, e
io neanche.
Lo so che tu non l'hai detto, ma lo vedo come comseguenza logica, se si
vuole anticipare l'analisi in un modo trattabile.


 vuole anticipare l'analisi in un modo trattabile.
Non mi sembra che le cose siano esclusive. Certo, alle superiori ci si 
aspetta un approccio piu' rigoroso che alle medie inferiori ma.. e' vero 
? Certo, se si passano mesi a fare casi particolari di disequazioni, 
razionalizzazioni, formule trigonometriche, resta poco per fare altro.
Pero' c'e' per lo meno una certa schizofrenia in programmi che da un 
lato pretendono di dare fin dalle medie inferiori un' idea della 
matematica del novecento e programmi delle superiori che sembrano 
terrorizzati dal fare qualcosa di analogo per la matematica del '700.
E allora perche', *oltre* a dare un' idea piu' precisa della matematica 
(e sempre ammesso che questo avvenga, i miei amici matematici non sono 
sempre d' accordo su questo) , non si danno dei rudimenti "imprecisi" 
(ma poi non si tratta di dire corbellerie!) di tecniche che sarebbero 
utili anche nella vita di tutti i giorni ?
Non ho mai capito perche' la filosofia di Hegel dovrebbe essere 
comprensibile per un diciottenne e una semplice derivata o integrale 
dovrebbe richiedere una mente superiore!
Giorgio

 A tal fine segnalo agli interessati questo interessante link...
La definizione di limite in spazi topologici si trova su moltissimi
libri di analisi. Io l' ho imparata nel corso di analisi 1 al primo anno
di fisica (30 anni fa!).
Giorgio

 metriche?
Io proporrei una cosa! Questo thread sta un pò andando OT. Su i.s.m. ci
sono due thread:
- omeomorfismi e f(x) plurivoche
- concetto topologivo di limite
a cui ho partecipato anch'io, che a mio avviso risolverebero bene un bel
po di problemi a chiunque in questo thread sia interessato a quella che
io chiamerei la "seconda parte" del problema. Già, perchè questo thread
è
nato, se non ricordo male, da alcune domande di pol circa l'uso degli
infinitesimi (impropriamente detti) in analisi standard. Questa direi
che
è la prima parte del problema ed a questa diciamo che abbiamo dato
delle risposte. In questo mio intervento
news:oSeha.28070$
Jg1.6...@news1.tin.it
   credo di  aver fatto un
riassunto della questione e mi sono anche preso la briga, a tal fine, di
leggere vecchi thread sia su i.s.f. che su i.s.m.
A questo punto potremmo considerare chiusa la questione che ho indicato
come "prima parte del problema" (gli infinitsimi ed i differenzioli).
In realtà si potrebbero versare fiumi di inchiostro anche su questa
prima parte,
ma credo che le idee di pol
siano sicuramente più chiare dopo i chiarissimi interventi di Giorgio
Pastore. Ci rimane solo la seconda parte del problema che probabilmente
Giorgio ha "fatto male" a tirare in campo e che io ho fatto "ancor più
male" a tentare di approfondire: mi riferisco al concetto topologico di
limite. Questo problema ritengo sia prettamente matematico e se Giorgio
è a favore di questa mia proposta, proporrei di spostare la discussione
(in gran parte già fatta) su i.s.m. Io qui vorrei limuitarmi a
sottolineare alcune cose. Non so se valga la pena impantanarsi nei
menadri della astrattissima algebrizzazione dell'anlisi standard. Credo
che sia utile solo capire una cosa: la definizione classica di
Weirestrass (quella con i delta e gli eps.), nell'ottica di Russell,
sarebbe la "prova" del fatto che tutte le volte che si pensa di avere a
che fare con quantità infinitesime, si ha in realtà a che fare con
quantità finite, via via sempre più piccole, avente come limite lo zero:
e quaindi abiamo fatto fuori gli odiatissimi infinitsimi; in analisi
standard ci bastano i numeri reali e non ci serve nè l'oo nè gli
infinitesimi. La definizione di Weirestrass si "svolge" in uno spazio
metrico a tutti gli effetti. La topologia (e con strumenti diversi anche
Russell) generalizza il concetto di limite in maniera via via
crescente. Ora ognuno è libero di vedere come si definisca un limite in
maniera prettamete topologica o "alla Russell" basandosi solo sul
concettodi ordinamento. Si renderà conto che più è generica la
definizione, più è atsratto il concetto e più si perdono quelle
prorpietà
dei limiti tanto utili nella "comune e classica" analisi. Credo pertanto
sia utile affrontare un discorso di tal genere ben "premuniti"! Io penso
che
se abbiamo contribuito a sfatare il mito dell'infinitesimo, non vedo
perchè, ai fini della analisi "applicata" (che credo sia quella che
serve di più ad un fisico), ci si debba confondere le idee con
astrazioni allucinanti.
 Credo sia sufficiente sapere che, in un'ottica più generale, il
concetto di limite
è un concetto che può prescindere da una metrica e, in casi ancora più
generali, anche dall'esistenza di un ordinamento: basta e avanza la
topologia.
Ma a questo punto davvero si può dire che "questa è un'altra storia".
Spero che il mio
modesto contributo sia stato utile. Ed a tal fine gradirei avere anche
l'opinione di Giorgio.
Grazie
******************
Per il moderatore: ho già inviato una vesrione "caotica" di questo post
e se si potesse non pubblicarla sarbbe meglio ;-))
Inoltre questa comunicazione tra **** volendo può essere cancellata,
pubblicando solo quanto sopra.
Grazie
******************

 di fisica (30 anni fa!).
Certo! Ma sei io segnalavo quel link è perchè in maniera "semplice"
mostrava come si possa "passare", in maniera non disdicevole ;-), dalla
def. topologica a quella metrica: cioè esattamente quello che dici tu!
Ma forse ti è sembrato un pò brusco il mio modo di pormi? Me ne scuso!
Il tuo però mi sembra un po risentito..ma forse sono i limiti del
"mezzo". ;-)
perce

 "mezzo". ;-)
Non c'era risentimento ne' mi son fatto mai problemi di modo (almeno per
discussioni civili come questa!). Solo il tentativo di chiarire meglio
qualcosa che mi sembrava (probabilmente non era) lievemente differente
nel mio e tuo discorso.
E poi sappiamo tutti che i post sono un sistema limitato di
comunicazione e gli emoticon aiutano solo fino ad un certo punto...
Giorgio

 liceale dimentica tutto in ogni modo...
Quindi secondo te e'  un ' utopia sperare che in un futuro gli studenti
diplomati dalla scuola superiore (tutti gli indirizzi) conoscano talmente
bene l' analisi matematica di base da poter partire al primo anno
direttamente con Analisi II? Sarebbe bello e comodo... I fisici non
dovrebbero perdere le prime lezioni a spiegare le derivate e gli integrali a
chi ha fatto il classico e a chi ha fatto lo scientifico e *crede* di
conoscere l' analisi.
ciao

 conoscere l' analisi.
E' ovvio da quanto ho scritto sopra che non ho un tale desiderio, e che
non individuo in questo punto il nodo centrale della didattica
universitaria della fisica.


 direttamente con Analisi II? 
Ciao, scusa se mi intrometto, ma sono scoppiato a ridere
(senza cattiveria :-)) quando ho letto quanto sopra. Io insegno
in vari corsi di fisica matematica sia a fisici
che a matematici e devo dire che quello che si osserva negli ultimi anni
e' proprio il contrario, gli studenti che arrivano dalle superiori per
studiare matematica o fisica  sono sempre piu' "somari" in matematica
(in particolare quelli che vengono a studiare matematica, i fisici sembrano
in media un po' piu' bravi forse perche' sono piu' motivati); e non parlo
certo analisi matematica, parlo di algebra, equazioni algebriche
di secondo grado o trigonometria elementare per esempio.
Non conosco le ragioni di questo andazzo...ma e' un dato di fatto.
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 in media un po' piu' bravi forse perche' sono piu' motivati); 
Mi hai fatto venire in mente quello che diceva Bombieri molti anni fa,
quando teneva il corso di geometria per fisici.
Diceva in realta' una cosa un po' diversa: che secondo lui in media i
fisici (studenti) erano piu' intelligenti dei matematici. 
Detto da un matematico :-)


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ciao
andre

 Ciao, Valter
ciao
andre

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ciao

 ha scritto nel messaggio
news:3E8C8DB1...@mclink.it...


 Fisica.
Vedi sopra... Per chi e' stato scritto quel libro (edizione riveduta
della mia edizione 1946)?
Per me e' molto molto piu' serio un altro aspetto. 
Parliamo del secondo esame di lunedi': astrofisica I (esame del terzo
anno).
La fanciulla ignora la distanza Terra-Sole, e molti altri dati numerici:
"sa, io per i numeri proprio...". 
Le diciamo la distanza Terra-Sole (150 milioni di km: lo dico perche'
non sono mica sicuro che tutti quelli che leggono la conoscano...), e
poi chiediamo quanto potra' valere il diametro del Sole. Naturalmente
non lo sa, ma invitata ad azzardare una cifra, spara: "100 milioni di
km?"
Siamo al terzo anno, ripeto, del corso di laurea in Fisica.
E ha pure avuto 22...
A che c... serve, a una cosi', propinarle l'analisi?
Queste cose vengono *assolutamente* prima! Non si dovrebbe passare
neppure il primo anno, in quelle condizioni! E invece...
A proposito: come forse sapete, e forse no, ora i docenti hanno anche un
fondo d'incentivazione, il che vuol dire che possono guadagnare di piu'
se lavorano di piu'.
Uno dei criteri e' il "rating didattico". Credete che significhi che uno
insegna bene? Mai piu'!
E' arrivata ieri la spiegazione (per la nostra facolta'). Il rating si
basa sul numero di esami superati dagli studenti del proprio corso.
Occorrono commenti?


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ciao
andre

 avrebbero dovuto dire cosa andava e cosa non andava nei vari corsi.
La storia della "Guida Michelin" compilata dai nostri studenti circa 10
anni fa, l'ho gia' raccontata, quindi non sto a ripetermi.
Queste cose alla maggior parte dei docenti non piacciono affatto. A me
non danno nessun fastidio. Eppure non sono mai stato tenero agli
esami...


 anni fa, l'ho gia' raccontata, quindi non sto a ripetermi.
Ho fatto una ricerca con google, ma non ho trovato nulla.
Hai voglia di ri-raccontarla?
Ciao!
 
--
Roberto Rosoni
<roberto...@liberoLock.it> (Remove the Lock in your replies)
 
I rapporti sessuali prima del matrimonio fanno arrivare tardi alla cerimonia.
 

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ciao, andre

 Ho fatto una ricerca con google, ma non ho trovato nulla.
Manco io.
ciao

 italiani).
A me in linea generale il Berkeley non dispiace. Pero' il modo come e'
trattata la massa relativistica fa davvero pena. Ci sono anche un po' di
strafalcioni :-<


 -------------------
ciao
andre

 Fra l' altro le edizioni Zanichelli di questi manuali sono tutte datate.
Quelli di cui parlo io non sono errori di traduzione. Si tratta proprio
di pasticci relativi al modo di trattare la massa relativistica.


 Reif). Sara' un caso?
non vuol dire...  negli usa non ristampano piu' o quasi neppure i capolavori
del Grande Rex Stout ! :-O
ciao
a.

 diverse.. non c'e' paragone...
L' Halliday  volume 2 e' scritto dagli stessi autori del primo, ma in
effetti
non c'e' paragone... A onor del vero escono continuamente nuove edizioni in
cui vengono tolti argomenti e ne vengono aggiunti altri. Io conosco la terza
e la quarta. Ora credo ci sia la 5. Ovviamente parlo di FISICA non di
FONDAMENTI DI FISICA che potrebbe andar bene forse per i biologi.
Per il Berkeley-se ti stavi riferendo a questo- l' autore del vol 2 e'
Purcell, mentre il volume 1 e' scritto da 3 autori di cui uno e' C. Kittel
autore di un noto manuale di Fisica dello Stato Solido, pubblicato anche in
italiano.
ciao
andre

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ciao
andre

 del malcapitato secondo te?
Domanda provocatoria :-)
Per che potesse fare una buona fine occorrerebbe una combinazione
insolita di circostanze:
a) che il "malcapitato" fosse davvero solido sull'argomento, quindi
capace di sostenere la tesi, e non solo di rimandare a una presunta
autorita'
b) che l'esaminatore fosse abbastanza ... sportivo da apprezzare il
coraggio e la capacita' dell'esaminato.
Tutto sommato, l'evento meno probabile e' il primo, non il secondo.
Comunque il prodotto delle probabilita' e' suff. piccolo per farmi
sconsigliare la prova :-)


 italiano.
si', ce l'avevo.. libro chiaro ma, imho, con pochi approfondimenti e
pochissima
formalizzazione matematica :-(
c/miao

 semplice, in quanto richiede la teoria (logica) dei modelli.
Non sono un esperto e magari mi sbaglio, ma penso che il problema piu'
grosso di quella teoria sia che per studiare un oggetto che esiste in ZF
(mi pare proprio che l'esistenza dei reali non richieda Zorn) ne usa uno
che non esiste se non si assume anche C (o, equivalentemente, Zorn),
visto che l'esistenza di un ultrafiltro non principale (e quindi di *R)
e' uno degli equivalenti del lemma di Zorn.
S.
PS
Nell'universita' di Hull (v. e-indirizzo) c'e' un gruppo abbastanza
nutrito di analisti non-standard, quindi la disciplina non e' estinta...
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