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Titolo: Sulla corrente di quantità di moto

Con questo post inizio un thread che è la naturale continuazione del
 
post "L'affaire DPG contro KPK..." delle 15:48 di oggi.
 
La motivazione di questo thread è l'uso che si fa nel KPK di questo
concetto e il giudizio che ne fu dato 7 anni da un apposito comitato
della DPG.
 
Ma voglio cominciare con alcuni quesiti.
 
1. Un corpo di massa 5 kg è appeso a uno spago a sua volta ancorato al
soffitto. Il tutto è in quiete.
a) Quale forza (grandezza, direzione) applica lo spago al corpo?
b) Quale forza (grandezza, direzione) applica lo spago al gancio che
lo fissa al soffitto?
c) Quanto vale la tensione dello spago in grandezza?
 
2. La tensione dello spago è diretta
a) verso l'alto
b) verso il basso
c) nessuna delle precedenti
d) dipende dalle convenzioni
e) la domanda sulla direzione non ha senso, riferita a una tensione.
 
Continuerò la discussione dopo aver letto le (eventuali) risposte.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
 
Consideriamo due porzioni di spago separate da un piano che lo taglia normalmente in un punto qualsiasi: la porzione sopra esercita una forza (tensione) diretta verso l'alto sulla porzione sotto, e viceversa. Detto questo, forse la risposta c) mi sembra la più adatta, ma sono comunque più sicuro della risposta che ho dato che di una delle 5.
 
--
Wakinian Tanka

 
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 mi sembra un vettore o se si vuole è un vettore a due punte 
 
Non so se una coppia di forze azione-reazione possa essere vista come 
"un vettore a due punte" ;-) ma forse sotto sotto con un bel tensore ci 
si arriva ;-) ;-)
 
Cmq. complimenti per la creativita' :-)

 2. La tensione dello spago è diretta
e) la domanda sulla direzione non ha senso, riferita a una tensione.
Preferisco considerarla uno scalare.
Spero che nessuno la consideri un tensore.
 
FP
 
 

 FP


 Continuerò la discussione dopo aver letto le (eventuali) risposte.
 
prego prof, mi smonti le convinzioni
con le convenzioni
 
ciao
Massimo

 
Un vettore a due punte non l'avevo mai sentita. 
Trattasi di "spazi bi-vettoriali"? :-) 
Non è che hai scritto un pò troppe reazioni di equilibrio ultimamente? :-) 
 
Comunque nemmeno io conosco la definizione di "tensione" in un filo e potrebbe anche essere uno scalare e le 2 forze a cui facevo riferimento avere un altro nome, non lo so. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 Elio Fabri

 e) la domanda sulla direzione non ha senso, riferita a una tensione.
io dico c)

 scommetto che adesso facciamo pendolare il corpo (LOL)
Sbagliato :-)
Non intendo scostarmi dal caso statico. E' sufficiente per ciò che
voglio discutere.
 
Per oggi mi fermo qui.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
 
La definizione che avevo in mente era quella del vettore, di modulo 49 N, che può essere diretto verso l'alto o verso il basso, in un determinato punto del filo, a seconda della porzione di filo considerat. Ecco perché c), anche se, come ho scritto, nessuna delle 5 risposte mi sembrava del tutto appropriata in base all'idea di "tensione" che avevo. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 muro, non è appropriata.
 
ne ero conscio, ma aperto il vaso di Pandora non mi 
interessava più solo il caso specifico del filo, ma qualcosa 
di elastico e deformato in senso lato.



 Comunque nemmeno io conosco la definizione di "tensione" in un filo 
 
Neanche io. Tuttavia, la definizione rigorosa dovrebbe passare per i tensonri (nomen omen), in particolare, il tensore di Cauchy. 
 
 
Ad ogni modo, se vale l'approssimazione di filo unidimensionale, allora, solo per la tensione interna (rappresentanto il fiolo in modo discreto come una successione di punti materiali, le forze di azione e reazione tra due punti materialei adiacenti) abbiamo due forze opposte; per la tensione alle estremità, ovviamente, abbiamo una sola forza: con un verso ad una estremità e l'altro verso all'altra. 
 
Ciao. 
--
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
ID DMR: 2228273

 allungamento. 
 
Se togli l'aggettivo "strana" dall'espressione "strana coppia" diventa 
una "coppia".


eh, ma coppia "plain" è già preso per un oggetto diverso (le 
due forze non sono coassiali). Se proprio vogliamo allora 
chiamiamola degenere o boh


 Invece "mg = 5 kg x 9.8 m/s^2 = 49 N" sarebbe stato ineccepibile.
 
Bello il cortese "non mi piace", seguito da un "Secondo le norme BIPM".
Ho ovviamente alcune obiezioni ragionevoli da fare sulle norme BIPM, che a volte ricordano le norme europee sulla grandezza delle vongole.
 
Nel 1968 nelle esercitazioni di Fisica  1 mi hanno insegnato che 5 kg x 9.8 m/s^2 non si deve scrivere, e dico cosa mi hanno detto:
 
 
a) i calcoli bisogna farli SEMPRE con le lettere, MAI con i numeri, a meno che non siano costanti, perché altrimenti viene voglia di svilupparli prima di arrivare alla fine aumentando gli errori dovuti alle approssimazioni (semplificazioni non fatte, numeri al denominatore prossimi allo zero...)
 
 
b) le unità di misura non vanno MAI scritte nei calcoli, a maggior ragione se uso costanti o parametri letterali per cui, in 5 kg x 9.8 m/s^2, k potrebbe essere un parametro, g una costante (accelerazione gravitazionale), m la misura di una massa e s la misura di una lunghezza. Eventualmente le unità di misura vanno scritte a parte o si fa un'analisi dimensionale.
 
 
 
Aggiungo - lo faccio per ridere ovviamente, e per amore di una non impegnativa discussione - che nel problema, sicuramente 5 kg non indica un valore compreso tra 4.5 kg e 5.5 kg (valore centrale di una misura), ma è un numero stabilito con precisione assoluta (che indicazioni fornisce BIPM: 5.00000000000... kg?); aggiungo ancora che non è detto su quale punto della superficie terrestre si svolga l'esperimento.
 
Ritengo, nella mia "umile" opinione, che "5g N", con la precisazione su cos'è "g", indica il risultato in generale, in qualsiasi punto della superficie terrestre (o lunare) mentre 49 N è un valore valido in uno specifico punto.
 
Furio

 che a volte ricordano le norme europee sulla grandezza delle vongole.
Anch'io ne ho molte, anche se probab. diverse dalle tue-
Avrei in preparazione un articolo sul tema; se e qwuando lo finirò
potrai vedere come la penso.
 
Ora però preferisco non replicare aquello che scrivi, anche se di cose
da dire ne avrei...
Ma non voglio andare fuori tema: ci tengo a sviluppare il discorso sul
KPK e la corrente di quantità di moto.
A pensarci bene, forse ho fatto male a inserire dei commenti sulle
unità ecc., che erano del tutto marginali rispetto allo scopo dei miei
quesiti.
Faccio ammenda, ma ora chiudo su questo punto.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
Allora aggiungiamo a "coppia" l'apposizione "azione-reazione".
 
 > Se proprio vogliamo allora chiamiamola degenere o boh
 
Questa non va bene! Sono due forze applicate su corpi diversi, non sono 
imparentate con la "coppia" a cui ti riferisci come nomenclatura 
standard: e quindi non bisogna vederle come un caso particolare di quel 
tipo di coppia.

 vederle come un caso particolare di quel tipo di coppia.
 
 


 sottile e il successivo.
 
 
In meccanica classica le cause del moto e delle deformazioni sono le 
forze che i corpi esercitano l'uno sull'altro. Quindi *devi* essere in 
grado di esprimere il concetto che hai in mente usando le forze. In 
questo caso (corpo continuo) ogni parte del corpo esercita una forza 
sulla parte restante (soddisfacendo il terzo princ.). Se la superficie 
e' grande la forza e' distribuita su tutta la superficie di contatto.
 
Se consideri una superficie molto piccola queste forze (che in questo 
caso sono piu' "concentrate") sono "la strana coppia".
 
Formalizzazione con calcolo differenziale: per il filo non c'e' bisogno 
perche' e' sottile e le forze sono dirette solo lungo il filo.


Continuo dal mio post del 25, ore 18;16.
Implicitamente risponderò ad alcuni post che sono stati scritti dopo
del mio.
 
A questo punto bisogna trovare la risposta alla domanda: che cos'è la
tensione in un filo?
Due osservazioni di partenza. La prima è che per rispondere conviene
affrontare il problema 3D, che poi si potrà ridurre facilmente a una
sola dimensione.
La seconda è che bisogna chiarire una certa mescolanza tra due punti
di vista diversi:
- quello microscopico
- quello macroscopico dei sistemi continui.
 
La difficoltà attraversa un po' tutta la fisica, il che mi permette di
esemplificare in un campo più familiare a tutti: quello
elettromagnetico.
Sappiamo che quando si tratta l'elettromagnetismo nella materia, anche
per il caso più semplice della conduzione elettrica nei solidi,
convivono due visioni, entrambe utili e talvolta necessarie, ma a
rigore incompatibili tra loro.
 
Una, la più antica, consiste in un modello *continuo* della materia e
della carica elettrica: la carica è un *fluido* e al suo moto si
applicano gli stessi concetti in uso per la meccanica dei fluidi.
Dove del resto nasce lo stesso problema: un liquido o un gas sono fatti
di *molecole discrete*, ma la meccanica dei fluidi lavora con funzioni
continue (anzi differenziabili più volte) dello spazio e del tempo.
Lo stesso accade alla carica elettrica: in un metallo il trasporto
della carica è dovuto al moto degli elettroni, ma la teoria di Maxwell
introduce campi scalari e vettoriali ignorando quelle entità discrete.
Si definisce una densità di carica e una densità di corrente; già
l'eq. di continuità connette le derivate di queste grandezze, e gli
elettroni *non ci sono*.
 
La giustificazione è prima di tutto storica (ma non solo): la teoria
basata sul fluido e sui campi (elettrico e magnetico) è nata ed è
giunta a maturità ben prima che si scoprisse l'elettrone.
Fu Lorentz, a cavallo tra 19-mo e 20-mo secolo, a cercare di costruire
un raccordo, in cui le grandezze continue figuravano (figurano) come
opportune *medie* delle distribuzioni corpuscolari.
 
Venendo al nostro caso, se si schematizza un filo come una successione
di punti materiali potremo parlare di coppie azione/reazione tra
questi punti.
Anche per un corpo reale, tridimensionale, avremo un insieme di atomi
o molecole che esercitano forze tra loro (microscopiche) in pratica
solo tra particelle adiacenti.
Dato che le distanze interatomiche sono assai piccole (dell'ordine
della frazione di nm in solidi e liquidi, non molto maggiori nei gas)
su una scala un po' più grande potremo definire delle medie che
tratteremo come funzioni continue e differenziabili quanto occorre.
Come fisici useremo degli "infinitesimi" che sono in realtà lunghezze,
aree, volumi molto piccoli rispetto alla scala macroscopica ma ancora
molto grandi rispetto alla scala atomica.
 
Così ad es. potremo considerare due porzioni A, B tra loro adiacenti
di un corpo, separate da una superficie regolare, e ridurre l'insieme
delle forze microscopiche agenti fra le due porzioni a una
distribuzione continua di "forze di contatto". Potremo esprimere
questa come una densità superficiale di forza: per ogni elemento dS
della superficie di separazione sarà definita una forza "infinitesima"
dF, dipendente dall'area dS e dal suo orientamento definito dal
versore n della normale, diretta a A a B.
dF(n,dS) è la forza infinitesima che A applica a B attraverso dS.
E' ovvio (mica tanto, se si vuol essere rigorosi dal punto di vista
matematico) che dF sia proporzionale a dS. Non è detto in generale che
dF abbia la direzione di n, ma si può dimostrare (Cauchy) che la
relazione tra dF e n è *lineare*.
Il significato preciso di "lineare" è il seguente.
 
Consideriamo un punto P e due elementi di superficie dS1, dS2 per P,
coi loro versori normali n1, n2. Siano dF1, dF2 le corrispondenti
forze.
Prendiamo ora il vettore n1 dS1 + n2 dS2: questo può sempre essere
scritto n dS e rappresenta quindi un elemento dS con normale n.
Avremo un corrispondente dF: linearità significa
dF = dF1 + dF2
qualunque siano n1, dS1, n2, dS2.
 
Questo è un caso particolare della seguente situazione matematica:
dato uno spazio vettoriale V, si chiama *tensore* (di rango (1,1)) una
funzione (operatore) lineare V --> V che manda un vettore u di V in un
altro v, con la proprietà che se
u1 |--> v1 e u2 |--> v2
allora presi due scalari a1, a2 sarà anche
a1 u1 + a2 u2 |--> a1 v1 + a2 v2.
 
Indicheremo con T il tensore che manda n dS in dF e scriveremo
dF = (T n) dS.
T si chiama il "tensore degli sforzi" (stress tensor).
 
Vale un corollario del teorema di Cauchy, noto come "osservazione di
Cauchy":
"se T n in un punto P è parallelo a n per ogni n, allora |T n| non
dipende da n, ossia Tn = pn con p costante in P per ogni n".
Se p>0 si chiama "pressione", se p<0 invece |p| si chiama "tensione".
 
Nota storica e conclusiva di questa puntata: tutto questo ai miei
tempi (1948-49) si studiava a Meccanica Razionale, corso del secondo
anno. Ora non so.
 
Il seguito ala prossima puntata.
Mi scuso se non riesco a essere più breve, ma così stanno le cose...
 
 
-- 
Elio Fabri

 anno. Ora non so.
 
 
 
Nel 1969 siamo riusciti a sostituire l'esame di Meccanica degli ingegneri, il cui titolare era Sobrero (creatore del CISM a Udine e amico di Palacios, "Luminare" ;-) spagnolo a sua volta nemico di Einstein). Al suo posto ho studiato "Meccanica Razionale" con Rimini, poi mi sono laureato con Ghirardi: mi è mancato Weber per collezionare la GRW...
 
 
Furio P.

... 
 
Anche qui avevi parlato della corrente di quantità di moto:
 
https://groups.google.com/d/msg/free.it.scienza.fisica/7mPSy2tBU3s/vPUcq7HXoVQJ
 
 
--
Wakunian Tanka

Letto questo dovrei dedurre che la mia sensazione di possedere
 peso sia dovuta al fatto che sono attraversato da una corrente di
 quantita' di moto.
 
 
-- 
 
 
----Android NewsGroup Reader----
http://usenet.sinaapp.com/
 

 ...
Più di 9 anni fa! E chi se lo ricordava?
Se l'avesero letto quei signori della DPG, si sarebbero risparmiata
una brutta figura :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 relazione tra dF e n è *lineare*.
 
Ho dato un'occhiata alla pagina di Wikipedia 
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor
 e mi pare che la 
dimostrazione usi il fatto che per una parte di materia piccola il moto 
e' determinato solo dalle "parti differenziali" degli sforzi mentre la 
relazione lineare si applica alle "parti finite" (mi esprimo in maniera 
imprecisa ma penso che verro' capito).
 
Non ho pero' ancora la sensazione di avere capito. In qualche passaggio 
del ragionamento c'e' "nascosta" l'ipotesi che le forze si trasmettano 
da una porzione all'altra del materiale, perche' la relazione tensoriale 
che dimostriamo vale solo per "lo stesso materiale e lo stesso punto". 
Se prendo una faccia di un pezzo di pietra e una faccia di un pezzo di 
pietra diverso, la relazione non si applica ;-)
 
Vedo che la "condizione di equilibrio" (che sopra ho descritto in 
maniera imprecisa riferendomi alle parti "finite" e "differenziali" 
degli sforzi) si applica ad una parte di materia data e quindi la 
conclusione si trae per un punto di un mezzo materiale. Ma non mi e' 
ancora chiaro perche' un'ipotesi che appare molto debole ("condizione di 
equilibrio") sia sufficiente per una conclusione che appare molto forte 
("gli sforzi sono descritti da un tensore").

 sforzi sono descritti da un tensore").
 
In 2D lo vedi bene. Prendi un elemento dxdy e hai: le 
componenti della forza lungo x, quella lungo y e il momento 
diretto come z che farebbe ruotare l'elemento nel piano. In 2D 
un vettore ha due componenti ma in questo caso ti servono tre 
numeri per elencare tutte le forze/momento agenti quindi serve 
un tipo di ente differente, che è il tensore.

 matrice, allora p è una autovalore?
Non c'è bisogno di tirare in ballo le matrici.
I concetti di autovettore e autovalore si possono definire
direttamente sugli operatori lineari.
Vediamo per es. come si dimostra l'osservazione di Cauchy:
"se T n in un punto P è parallelo a n per ogni n, allora |T n| non
dipende da n, ossia Tn = pn con p costante in P per ogni n".
 
Se Tn è parallelo a n, stiamo dicendo che n è autovettore di T con
un autovalore p.
Per ipotesi, tutti i vettori sono autovettori di T: presi due distinti
versori n1, n2:
T n1 = p1 n1  (1)
T n2 = p2 n2  (2)
e dobbiamo dimostrare che p1 = p2.
Sommiamo le (1), (2):
T n1 + T n2 = p1 n1 + p2 n2.
Per la linearità:
T(n1 + n2) = p1 n1 + p2 n2.
Ma per ipotesi
T(n1 + n2) = p (n1 + n2) per un qualche p.
Quindi
p1 n1 + p2 n2 = p (n1 + n2) = p n1 + p n2
(p1 - p) n1 + (p2 - p) n2 = 0.  (3)
Ma se n1 e n2 sono diversi la (3) richiede
p1 - p = 0,  p2 - p = 0
ossia
p1 = p2 = p
c.v.d.
 
 
-- 
Elio Fabri

 di pietra diverso, la relazione non si applica ;-)
Perché no?
Forse l'analogia col caso dell'elettrostatica nella materia può
aiutare (e forse è questa che ti ha messo fuori strada).
Lì definisci due campi vettoriali, E e D, legati dalla relazione
costitutiva D = eps*E (pensiamo solo a mezzi isotropi).
Se hai due mezzi e una sup. di separazione, lì nasce il problema della
continuità, ed è ovvio: eps *non è* continua, quindi E e D non possono
essere continui.
 
Ma nel nostro caso abbiamo definito solo il tensore degli sforzi, e
nessuna relazione costitutiva (non ancora, e io non la tirerò in
ballo, non ci penso proprio).
Se dovessimo fare teoria dell'elasticità avremmo accanto a T un
secondo tenosre U delle deformazioni (strain) con una complicata
relazione costitutiva tra i due (anche quando è lineare, il tensore
che la descrive è di quarto ordine...).
Lì nascerebbe il problema, perché alla discontinuità tra due mezzi T e
U non possono essere continui.
Quindi non sono definiti *sulla* superficie di separazione, ma su
aperti che hanno come parte del loro contorno quella superficie.
In altre parole, sono definiti in punti comunque vicini alla sup.
Tanto da poter definire limiti "destri" e "sinistri".
 
 
-- 
Elio Fabri


Consiglio
 
M.E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press
 
C'è la migliore dimostrazione moderna e rigorosa del Teorema di Cauchy
che io conosca (e credo di conscerle quasi tutte...)
 
Aggiungo che sono un po' colpito dal fatto che persone che qui
dimostrano di avere anche idee chiare su vari temi della Fisica
abbiano le idee invece così poco chiare su un argomento classicissimo
come questo.
 
Probabilmente è una questione culturale, legata al posizionamento
della Meccanica dei Continui (anche monodimensionali, tipo fili e
verghe) nel contesto didattico e scientifico.
 
Adesso non ho tempo per entrare nel dettaglio.
 
Saluti.

 diverso, la relazione non si applica ;-)
 
Dopo aver mandato il post precedente ho riflettuto che anche in 
questo caso un'esempio semplice aiuta: due molle uguali su una 
retta, collegate tra loro. Se comprimi le estremità è intuitivo 
che il punto in cui sono collegate sarà equidistante dagli 
estremi. Ma se una ha una costante elastica diversa, nel punto 
di collegamento, come prima, la forza scambiata non cambia. 
Cambia però la distanza del punto di collegamento dagli 
estremi, che non sarà più uguale.
 
A] Si vede facilmente che per trovare la coordinata del punto 
(=il tensore di deformazione, nel continuo) devi, anzi, puoi, 
partire dalla condizione di equilibrio (=il tensore degli 
sforzi, nel continuo): poichè gli estremi di ciascuna molla 
sono compressi dalla stessa forza basta dividere il valore per 
la costante elastica di ciascuna molla e avrai le rispettive 
lunghezze.
 
B] Nota che puoi anche procedere assegnando la coordinata del 
punto di collegamento e dal valore della costante elastica 
risalire alle forze in ciascuna molla. Generalmente saranno 
diverse ma poichè sei all'equilibrio devi imporre che siano 
uguali, e da questo ricavi la coordinata del punto in cui sono 
connesse.
 
In altre parole come si dice in gergo:
 
A] 'tra tutte le configurazioni equilibrate cerco l'unica 
congruente'
B] 'tra tutte le configurazioni congruenti cerco l'unica 
equilibrata'
 
La congruenza è il termine che esprime l'idea che il materiale 
non può auto-compenetrarsi, ovvero che il campo di spostamenti 
sia descritto da funzioni continue, monotone, derivabili e 
altro che non ricordo.
 
Il tutto se i legami costitutivi sono lineari crescenti, questo 
ti assicura l'unicità della soluzione.

 agenti quindi serve un tipo di ente differente, che è il tensore.
 
Vedi sopra: con questa considerazione hai solo mostrato che ti servono 
alcuni numeri per descrivere gli sforzi, non hai ancora mostrato che 
questi numeri formano un tensore. Naturalmente che formino un tensore e' 
ragionevole.
 

 soffitto. Il tutto è in quiete.
 
Il quadro teorico in cui si inquadra il concetto di "corrente di quantità di moto" è stato abbozzato in questi post.
 
Ora il KPK semplifica il tutto (si può fare?) riducendolo a un flusso monodimensionale (nelle immagini fornite a supporto).
 
Posso capire che, considerando la superficie chiusa che delimita "il corpo" si possa parlare di un flusso entrante (a partire da...? questo è già un primo problema) e di uno uscente verso lo spago.
 
Le immagini in seguito raffigurano la "chiusura" del circuito attraverso il soffitto, le travi che lo tengono e la superficie terrestre, per ripartire verso il "corpo": questa chiusura è - mi è sembrato - la giustificazione della causa della "quiete".
 
Siamo abituati a pensare a forze che si equilibrino, ma una quantità di moto che non "produca" moto è didatticamente più difficile da digerire. O no?
 
Scusate, ma a differenza di altri intervenuti, sono legato sempre al problema didattico (scuole superiori).
 
 
Non che un urto elastico tra due corpi sia poi così chiaro, anche se il moto, indubbiamente, c'è. Il fluire c'è nel corso dell'urto, ma c'è una direzione? Possiamo sempre scegliere un riferimento inerziale in cui uno o alternativamente l'altro stia "fermo" o entrambi si muovano.
 
Se tornassi a insegnare, e diventassi un adepto KPK, che dovrei dire?
 
Furio Petrossi
 

> di pietra diverso, la relazione non si applica ;-)
 
una faccia di un pezzo di pietra, vista dentro quel pezzo di pietra
 
e
 
una faccia di un altro pezzo di pietra, vista dentro l'altro pezzo di pietra
 
quindi completamente scollegate. Sarebbe bastato dire "vale solo per lo 
stesso punto".
 
In conclusione, sono arrivato all'idea che ho scritto nella prima frase 
di questo post:
si arriva al tensore combinando
- la curvatura della superficie non ha influenza
- II Newton vista come equilibrio (m*a e' trascurabile rispetto a 
ciascuna delle forze che si sommano)
- proprieta' X (che non so determinare) dello spazio tri-dimensionale

 
 
Sulla questione didattica non so cosa sia meglio fare, ma se il modo di 
ragionare e' coerente (mi pare intuitivamente e date le discussioni su 
isf che lo sia) la qdm e' costante (flusso entrante = flusso uscente).


Sono sostanzialmente d'accordo ma, visto l'interesse, scrivo qualche
riga di chiarimento sul Teorema di Cauchy in Meccanica dei Continui.
 
La prima ipotesi, ma su questo vedi dopo, è che l'interazione fra due
parti P1 e P2 di un corpo B che sono separate da una superficie S sia
descritta tramite una funzione a valori vettoriali s(x,n) (ometto il
tempo) tale che se x è un punto di S e n è un versore normale alla
superficie allora s(x,n) è lo sforzo (forza per unità di superficie,
con le dimensioni quindi di una pressione) che la parte in cui n
*entra* esercita *sulla* parte da cui n *esce* (quest'ultima è una
convenzione, e libri più antichi adottano anche la convenzione
opposta). 
 
Come si vede stiamo "supponendo" che la prima approssimazione della
superficie (il piano tangente descritto dalla sua normale n in x) sia
tutto quello che conta. Potremmo pensare che nella funzione s(x,n)
debba essere introdotta anche una dipendenza dalla curvature, dal
secondo tensore fondamentale della superficie ecc., ma questo non si
fa. 
 
Cmq. questa supposizione è anche nota come "Ipotesi di Cauchy" perché
assunta implicitamente da Cauchy stesso (vedi sotto).
 
Quindi a un istante t generico lo stato di sforzo all'interno del
corpo B è descritto attraverso questa funzione s(x,n), dove x è un
punto della regione di spazio occupata dal corpo all'istante t e n è
un generico versore.
 
Quando vuoi esprimere la forza complessiva che una parte P1 esercita
sulla parte P2, separate da una superficie, fai l'integrale di
s(x,n(x)) sulla superficie che separa le due parti, dove n(x)
ovviamente indica la normale alla superficie di separazione che entra
in P2 ed esce da P1 nel punto x stesso.
 
Ora, classicamente si suppone che la dipendenza di s(x,n) da x, per
ogni n fissato, sia *continua* mentre (e questo è notevole) non
facciamo *alcuna* ipotesi sulla dipendenza di s(x,n) da n (ogni tanto
si leggono cose inesatte su questi due punti). 
 
La tesi del Teorema di Cauchy è che la dipendenza di s(x,n) da n è
lineare, nel senso che esiste un tensore T (che qui possiamo intendere
come sinonimo di trasformazione lineare da V in V, dove V è lo spazio
vettoriale associato allo spazio affine euclideo tridimensionale in
cui tutta la meccanica classica è collocata) tale che 
 
    s(x,n)=T(x)n
 
Si dimostra poi che tale tensore T è simmetrico.
 
La dimostrazione procede come segue. Si sceglie un punto x interno
alla regione occupata da B, e si costruisce il famoso tetraedro di
Cauchy T, con tre facce S1, S2, S3 perpendicolari ai versori degli
assi e la quarta faccia S perpendicolare a un assegnato versore n, con
x nel vertice dove si incontrano le tre facce  S1, S2, S3 e S a
distanza \delta da x. Poi, per questa parte di corpo si impone il
soddisfacimento della la prima equazione cardinale (o bilancio della
quantità di moto):
 
deriva temporale della quantità di moto della parte T uguale  alla
somma delle forze agenti su di essa. 
 
 
Queste forze vengono da due contributi: la forza di volume, definita
da un integrale di volume di un vettore b (tipicamente in pratica
questo è di solito il peso ma sono possibili altre situazioni) e un
somma di quattro integrali sulle superfici S1, S2, S3, S che
corrispondono alle forze di contatto che la parte di corpo esterna al
tetraedro esercita sul tetraedro stesso.
 
Si osservi che avendo scelto x all'interno del corpo se \delta è
abbastanza piccolo tutto il tetraedro sarà contenuto nella regione
occupata dal corpo.
 
A questo punto inizia la dimostrazione vera e propria. Si fanno varie
considerazioni, si lascia tendere a zero \delta e si giunge alla
conclusione. A volte la dimostrazione è fatta in modo un po'
disinvolto, ma oggi sappiamo che è possibile trovare dimostrazioni
scritte e sviluppate come veri e propri teoremi di matematica, con
tutti i dettagli a posto.
 
Il livello di rigore dipende anche dal contesto culturale
(Fisica-Matematica?, Scienza delle Costruzioni?) e dal pubblico a cui
ci si rivolge.
 
Comunque si osserva che la dipendenza continua di s(x,n) da x viene
sfruttata.
 
Poi si procede imponendo il soddisfacimento della prima equazione
cardinale a ogni parte di corpo e si deduce la prima equazione
indefinita di moto dei continui
 
    div T + b = \rho a
 
dove b è la forza esterna per unità di volume, \rho è la densità e a è
l'accelerazione. Ovviamente  div T indica la divergenza del tensore
degli sforzi. Qui si vede che adesso si suppone inoltre che T sia
funzione C1 di x. In alternativa si deduce l'equazione in forma
debole, ma lasciamo perdere.
 
Per dimostrare che il tensore T è simmetrico si impone il
soddisfacimento della seconda equazione cardinale (bilancio del
momento angolare) a ogni parte arbitraria di corpo e si deduce che
questa è soddisfatta se e solo se T è appunto simmetrico.
 
Alcune osservazioni:
 
L'ipotesi di Cauchy è proprio un postulato o si può dimostrare
rigorosamente? Si può dimostrare. La prima dimostrazione precisa credo
che risalga a Hamel ma una più moderna e molto rigorosa è stata data
da Walter Noll (posso fornire indicazioni).
 
La dipendenza continua di s(x,n) da x è una ipotesi indispensabile?
Sì, per la dimostrazione classica del Teorema di Cauchy. Esiste però
la possibilità di indebolire questa dipendenza e dimostrare il Teorema
con altre tecniche, molto complesse, che da 2/3 pagine lo trasformano
in un Teorema di 20/30 pagine e quindi improponibile a livello
didattico (cmq. risultato interessante dal punto di vista
scientifico). Non si può dimostrare il Teorema senza fare  ipotesi su
tale dipendenza (esistono controesempi), si può solo indebolire la
regolarità della dipendenza da x.
 
La struttura di spazio Euclideo è indispensabile? Sì, per la
dimostrazione classica, ma è possibile indicare una dimostrazione per
vie diverse che è valida anche in contesti Non-Euclidei (importante
per la Meccanica dei Continui relativistici). 
 
Sulla frontiera di B non è possibile dimostrare il Teorema di Cauchy
(il tetraedro sarebbe un po' fuori e un po' dentro il corpo) e di
solito si definisce T per continuità dall'interno di B.
 
Posso fornire indicazioni bibliografiche ai curiosi.
 
Infine interessante la storia del KPK, che ignoravo. Ma su questo
dovrei scrivere un altro post. Non ora.
 
Saluti.
 
 

 
Nel caso io fossi tra quelle persone puoi dirlo tranquillamente. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

Dove di preciso? (Ne ho una copia digitale non "ocr-izzata"). 
 
Cap. 5, pag. 101-105.

 conclusione.  >
 
Riguardando, il punto chiave mi pare (data l'ipotesi di continuita') 
l'uguaglianza per gli elementi di superficie del tetraedro
 
dA_i = (n_i dot n) * dA


Sì è una relazione che si usa. 
 
Ho guardato solo ora la pagina di wikipedia citata 
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor
 
 
e non mi piace troppo.
 
Intanto si dice  del vettore s(x,n) (che lì si chiama T(x,n)) che è
 
"assumed to depend continuously on the surface's unit vector"
 
citando il Chadwick. E' vero che il libro del Chadwick (dove non c'è
la dimostrazione del teorema) lo dice, ma è falso. Se lo supponi non
sbagli perché alla fine dimostri che la dipendenza è lineare, ma NON è
necessario supporlo, se uno conosce i dettagli della dimostrazione.
Sono rimasto stupito che Chadwick l'abbia scritto, a dire il vero.
 
Poi la frase
 
"The Cauchy stress tensor is used for stress analysis of material
bodies experiencing small deformations: It is a central concept in the
linear theory of elasticity. For large deformations, also called
finite deformations, other measures of stress are required, such as
the Piola�€"Kirchhoff stress tensor, the Biot stress tensor, and the
Kirchhoff stress tensor. "
 
I tensori citati sono tutti figli del tensore di Cauchy e cmq anche
per deformazioni finite ti serve usare anche il tensore di Cauchy. 
 
 
Poi c'è il 
 
Cauchy’s postulate
 
che adesso si dovrebbe sapere che è un teorema, e cioè dimostrabile
(il nome Postulate può andare bene per motivi storici)
 
 
Più  discutibile la frase:
 
"According to the principle of conservation of angular momentum,
equilibrium requires that the summation of moments with respect to an
arbitrary point is zero, which leads to the conclusion that the stress
tensor is symmetric, thus having only six independent stress
components, instead of the original nine"
 
Vero, ma è vero non solo in equilibrio ma anche in condizioni
dinamiche. Il tensore T è sempre simmetrico, a meno non si tratti di
materiali di tipo "polare", ma questi escono dalla trattazione
classica. La frase fa pensare che T sia simmetrico solo in statica.
 
 
Va be' non pignoliamo troppo. Cmq non ho letto tutto nei dettagli.

 
 
Anche qui se fossi in te correggerei, di nuovo non mi sento abbastanza 
autorevole (di nuovo lo smiley: ;-) ).
 
Utilizzando l'intuizione, comunque, il fatto che la somma dei momenti 
deve essere zero anche in condizioni dinamiche e' analogo al fatto che 
la II di Newton applicata a un tetraedro molto piccolo porta 
all'uguaglianza delle forze: per parti infinitesime di materia sono 
vietate differenze finite di forze o di momenti.
 
Sui materiali polari pero' sono curioso, mi basta un riferimento 
(infatti apparentemente violano il divieto che ho descritto nella frase 
sopra!).


 
Non c'è, e forse è qui che il DPG si è scandalizzato: si può dire sia "qdm diretta come il vettore V fluisce dal corpo A al corpo B", sia: "qdm diretta come il vettore -V fluisce dal corpo B al corpo A" :-) 
Il punto è che la qdm non è uno scalare! 
Se tu dici "l'energia E fluisce da A a B" non è  la stessa cosa di "l'energia E fluisce da B ad A"! Perché l'energia è scalare! 
E' questo che Fabri puntualizzava nel thread:
https://groups.google.com/d/msg/free.it.scienza.fisica/7mPSy2tBU3s/vPUcq7HXoVQJ
 
 
 
Li Eluo faceva l'esempio della carica elettrica: si può dire sia "A trasferisce a B carica positiva" che equivalentemente "B trasferisce ad A carica negativa". 
 
Questo però mi suggerisce una riflessione: si potrebbe applicare al trasferimento di carica elettrica, per analogia, il concetto di cui sopra di flusso di una quantità vettoriale? Si dovrebbe parlare di flusso di momento di dipolo elettrico? 
E se si applicasse all'energia parlando di flusso di energia positiva da A a B equivalente a flusso di energia negativa da B ad A? 
 
--
Wakinian Tanka
 
--
Wakinian Tanka

 
 
Cercherò, adesso non posso.
 
 
 

Dovrei scrivere la continuazione (e fine). Ma a qusto punto tanto vale
che scopra le carte.
 
Oltre 4 anni fa, sulla spinta dell'affaire DPG/KPK, avevo cominciato a
scrivere un articolo, intitolato
"Tensione di una corda, corrente di quantità di moto ... di che cosa
stiamo parlando?"
Come ormai mi capita spesso, l'articolo è ancora incompiuto (ma non
dispero di finirlo).
 
Visto che tratta esattamente la materia di cui stiamo discutendo, ho
deciso di diffonderlo nel suo stato presente di bozza. Sempre meglio
di uno sforzato riassunto, come sarei costretto a farlo nel NG.
 
http://www.sagredo.eu/temp/tensione1.pdf
 
 
Manca delle figure, tranne una che potete trovare in
 
http://www.sagredo.eu/temp/tensione-fig4.pdf
 
 
Tutte le critiche e obiezioni sono le benvenute. In questo caso ancor
più del solito, perché mi aiuteranno a migliorare l'articolo.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
 
Consideriamo un cubetto (centrato attorno all'origine, orientato secondo 
gli assi cartesiani, di lato 2*deltax); consideriamo solo il momento 
angolare lungo z.
Gli sforzi che possono far variare questo momento angolare sono s_xy e 
s_yx applicati sulle facce con normale rivolta verso x e verso y.
 
Le facce con normale n_x sono due. Su esse gli sforzi sono
 
s_xy(deltax) (faccia rivolta verso l'asse positivo, l'espressione fra 
parentesi e' la dipendenza dalla posizione in cui ho mantenuto solo la 
distanza dall'asse)
-s_xy(-deltax) (faccia rivolta verso l'asse negativo)
 
il momento meccanico rispetto all'origine e'
 
T_z (facce x) = (s_xy(deltax) + s_xy(-deltax))*deltax
 
Per le facce rivolte verso y:
 
T_z (facce y) = -((s_yx(deltax) + s_yx(-deltax)))*deltax
 
(il segno meno viene dalla terna x-y-z).
 
Quindi
 
T_z =
(s_xy(deltax) + s_xy(-deltax) - s_yx(deltax) - s_yx(-deltax))*deltax
 
Ora il passaggio essenziale: se faccio tendere deltax a zero non puo' 
rimanere un valore finito di T_z altrimenti metterei un momento angolare 
finito in un cubetto infinitesimo. Concludo che s e' simmetrico.
 
T_z con deltax finito e' diverso da zero e anche prima di fare i calcoli 
mi aspetto che le onde elastiche trasportino momento angolare: quindi il 
trasporto di momento angolare viene (esprimendomi come faccio di solito 
in maniera imprecisa) dalle parti differenziali di
(s_xy(deltax) + s_xy(-deltax) - s_yx(deltax) - s_yx(-deltax))
e mi aspetto si possa scrivere un'espressione per il trasporto di 
momento angolare mediante differenziali a partire dall'equazione del 
moto per il mezzo materiale.
 
Idem per l'equazione del moto: vediamo che s e' tensore con il 
tetraedro, imponendo che la somma delle forze sia nulla, ma il moto lo 
calcoliamo con le parti differenziali (e viene fuori l'equazione del 
moto per il mezzo materiale).

 stiamo parlando?"
 
 
Un bell'articolo "meta-didattico" (ovvero che interviene in una discussione tra insegnanti per individuare i problemi retrostanti a una proposta didattica). Per questo pubblico di insegnanti si presenta come "la semplicità che è difficile da farsi"(*).
 
Didatticamente.
 
Inizio con una divagazione.
 
A metà degli anni '70 un'articolo de Le Scienze analizzava modellini trasparenti di cattedrali con la luce polarizzata, mettendone in luce la distribuzione della tensione sfruttando la fotoelasticità, un po' come fanno su
https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbidU2848211726580&id#6492393362165
 .
Ho provato a farlo anch'io in classe, con i cucchiaini trasparenti del caffè.
Mi piacerebbe trovare una più chiara connessione tra questa analisi e quanto descritto nell'articolo.
Fine divagazione.
 
 
In effetti la forza, spesso applicata al baricentro di un corpo, è un oggetto utile, ma generico e astratto, rispetto alla densità di corrente di quantità di moto ddcqm (mancano due "d" all'acronimo...) e anche alla più complessiva cqm.
 
 
Forse per studiare l'efficacia di questa trattazione inizierei con tre cubetti appoggiati al suolo: ddc qm "entrante" (/"uscente") dal suolo e distribuita in maniera "abbastanza" omogenea tra i punti di contatto (i bordi? mah!).
 
Poi taglio diagonalmente i cubetti laterali, spostando le parti tagliate sopra i "mezzi cubetti" restanti, in modo da formare in sezione due parallelogrammi.
Cosa succede della ddc qm, cosa della cqm? Beh, la corrente di qm sarà uguale ma la sua densità nella zona di contatto cambia, aumenta.
 
Ho un piccolo problema a spiegare perché la densità aumenti, specialmente se la direzione scelta è dal suolo: siamo così abituati a fare il contrario... Più facile se parlo di pressione.
 
Comunque qui la direzione della ddc varia notevolmente: i cubetti "deformati" non comunicano con il suolo ma con due facce laterali del cubetto centrale; ecco che posso individuare delle linee che cambiano direzione.
 
Ohimé, mi verrebbe da dire "... e che si addensano in alcune parti", ma qualche anno fa sono stato bacchettato sulla densità delle linee di forza...
 
Ci sono sforzi di taglio (e qui il collegamento con la divagazione precedente) e solo la simmetria impedisce a cubetti di ruotare...
 
Mhh... e se tenessi integro un cubetto laterale e deformassi gli altri due in modo che solo quello laterale indeformato poggiasse a terra... ovviamente l'aggeggio ruota. Che succede della ddc di qm e della cqm?
 
Ecco i problemi didattici che mi porrei, se insegnassi ancora.
 
Amato da uno studente e odiato da altri ventiquattro. Con l'esame di maturità in cui i miei studenti si presenterebbero senza "forze" e pieni di ddc di qm.
 
 
Tuttavia la materia acquista più concretezza e l'apertura mentale verso il comportamento dei materiali magari porterebbe qualcuno su una strada utile alla scienza e al nostro Paese.
Senza esagerare.
 
Furio
 
---
(*) Uso una frase di Brecht molto... fuori contesto...

 entrambi si muovano.
Ottimo esempio: vediamo di analizzarlo in dettaglio, senza mai parlare
di forze.
 
Intanto precisiamo la situazione.
Abbiamo due palline A e B di ugual massa.
Inizialmente B è ferma; A arriva da sinistra e la urta elasticamente.
Sappiamo che alla fine dell'urto A sarà ferma e B viaggerà verso
destra con la velocità che aveva A prima dell'urto.
(Per semplicità le palline non ruotano, ma traslano.)
 
Immediatmente prima dell'urto, che cosa possiamo dire di qdm e sua
corrente?
Per quanto riguarda B è facile: sono tutte nulle.
Quanto ad A, ha una qdm integrata che è un vettore verso destra.
Esso è l'integrale di una densità di qdm (un campo vettoriale)
uniforme in tutto il volume di A.
 
Ora esaminiamo l'urto.
Consideriamo il piano verticale tangente alle due palle che si toccano
e orientiamo la normale verso destra.
Durante l'urto c'è un flusso di qdm attraverso il piano, il cui
integrale nel tempo dell'urto uguaglia la qdm iniziale di A, che
diventa la qdm finale di B: A cede a B tutta la sua qdm.
Però possiamo anche invertire l'orientamento della normale, e dire che
B cede ad A una qdm diretta verso sinistra: perciò la qdm di B che era
nulla, passa a un valore opposto a quella ceduta, ossia una qdm diretta
verso destra.
Al tempo stesso A riceve un qdm opposta alla sua iniziale, quindi alla
fine dell'urto ha qdm nulla.
 
Ma possiamo andare più a fondo: la qdm iniziale di A era distribuita
in tutto il suo volume, e alla fine la sua densità di qdm si è
annullata.
Dato che non ci sono forze esterne (stiamo dimenticando il peso) la
qdm in ogni volume può cambiare solo perché esiste un flusso attraverso
la superficie.
Prendiamo ad es,. un piano verticale passante per il centro di A; la
semipalla a sinistra perde qdm, perché attraverso questo piano della
qdm diretta verso destra fluisce alla semiapalla di destra.
Punto per punto su questo piano mediano ci sarà un flusso di qdm, di
cui non sappiamo quantificare né grandezza né direzione: sappiamo solo
quanto vale l'integrale su tutta la sezione e su tutto il tempo
dell'urto.
Per quanto riguarda la semipalla destra di A la situazione è simile:
anche questa aveva una qdm che si riduce a zero. Però qui abbiamo un
flusso entrante dalla semipalla sinistra, e un flusso uscente
attraverso il punto di contatto con B.
Il flusso uscente (vettore verso destra) è doppio del flusso entrante.
 
Un discorso del tutto simile possiamo fare per B, ma non lo faccio.
 
Potremmo poi studiare lo stesso fenomeno in un altro rif., per es.
quello del cdm totale.
Qui abbiamo la palla A che inizialmente ha velocità verso destra e poi
rimbalza verso sinistra con uguale velocità in modulo.
Una cosa simmetrica accade a B.
Potremmo studiare i flussi di qdm, prima attraverso il piano di
contatto, poi attraverso piani mediani delle due palle.
Se ti ci vuoi divertire...
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
CUT resto
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)


 
Approfitto di questa osservazione per una domanda di matematica.
 
Scrivo qui le cose che ho pensato senza metterle per iscritto e fare i 
conti (quindi c'e' un po' di pigrizia) ma voglio vedere se sto andando 
nella direzione giusta.
 
Se prendo due masse molto piccole (cosi'da poter definire il vettore 
posizione relativa) che si scambiano quantita' di moto, considero un 
intervallo di tempo piccolo cosi' che la derivata si approssimi con la 
differenza, la corrente di qdm dovrebbe potersi definire tramite due 
vettori: la posizione relativa e la qdm scambiata.
 
L'idea che mi e' venuta in mente e' che questo e' generalizzabile: ma 
nel tuo scritto, pag. 10, dici il contrario.
 
Mi pare che le cose potrebbero essere messe a posto cosi': dati i due 
vettori "posizione relativa" e "quantita' di moto scambiata" costruisco 
un tensore. Dato il tensore cosi' ottenuto, la decomposizione non e' 
unica, per cui la direzione non puo' essere definita.
 
C'e' un passo ulteriore che scrivo subito, prima di sapere se la 
affermazione "decomposizione non unica" e' vera.
Se la decomposizione non e' unica, come e' che prendendo l'esempio di 
due masse piccole la direzione privilegiata sembra esserci? Forse la 
"direzione privilegiata" corrisponde ad una fortemente diversa grandezza 
relativa degli autovalori del tensore?

 A metà degli anni '70 un'articolo de Le Scienze analizzava modellini trasparenti di cattedrali con la luce polarizzata
 
Ho trovato l'articolo
R. Mark, L’analisi strutturale delle cattedrali gotiche, Le Scienze, n. 54, febbraio 1973, 
su
https://apropositodiscienza.files.wordpress.com/2019/04/archi_rampanti_1973_054_6.pdf
 
 
fp

 
e)
In realta' la domanda e' mal posta.

 pezzi tagliati.
 
Ti chiedo di scusarmi, la descrizione verbale non è chiara.
Con una figura cerco di stabilizzare la terminologia.
Il disegno è
https://www.scuolefvg.org/doc/dcqm.jpg
 
 
Ti pregherei di emendare eventualmente il disegno indicandomi gli errori: il mio studio della meccanica razionale è di cinquant'anni fa e da allora non l'ho ripassato.
 
I miei dubbi...
Mi scuso se sono numerosi: nessuno si senta impegnato a rispondermi.
 
 
Nel disegno cerco di esprimere in simboli grafici "alla KPK" i diversi termini: quantità di moto, corrente di quantità di moto, flusso di tale corrente, densità di corrente della quantità di moto, densità di quantità di moto.
 
a) Il caso più semplice, per KPK, è la caduta libera (disegno a destra).
 
 
In KPK si afferma "Prendiamo in mano un oggetto e lasciamolo andare. Cade per terra. Adesso siamo in grado di spiegare il fenomeno: nell'oggetto fluisce una corrente di quantità di moto di intensità m g, quindi la sua quantità di moto aumenta costantemente. Più a lungo cade, più velocemente lo fa.".
 
E' giusto dire che una corrente di quantità di moto (linea rossa sottile) "porta" il vettore quantità di moto (freccia più larga) sul corpo e che tale quantità di moto "si accumula" nel corpo non fluendo altrove (freccia larghissima)? 
 
Un dubbio mi viene da pag. 10 del pdf, in cui è scritto "Ogni trenino trasporta un vettore, che è la corrente di qdm" e, più sotto, " la freccina (qdm trasportata)...": cos'è trasportato, qdm o c di qdm?
 
 
a2) Se il corpo è omogeneo e "g" è costante la densità di quantità di moto (non di corrente) è uniformemente distribuita nel corpo o si crea un gradiente di densità di qdm?
 
 
 
b) Sulla misura della qdm, nel pdf ricordi che il dinamometro è uno strumento di misura della corrente della qdm; è corretto affermare che dopo una deformazione (strain) originata dalla corrente si crea uno stato di equilibrio in cui è definita una specifica tensione (stress, tensore)?
 
 
 
c) a sinistra tento di raffigurare la circolazione della corrente, che trasporta un vettore. In realtà il disegno (mutuato dal KPK) non mi convince: dovrebbe esserci non una sola linea, ma piuttosto una serie di linee che vanno indipendentemente a interessare le diverse parti del solido rappresentato dal parallelogramma di sinistra: è legittimo disegnare una sola linea?
 
 
d) il tensore degli sforzi viene spesso rappresentato da vettori che rappresentano gli sforzi normali alle superfici e da altri vettori (in verde) rappresentanti gli sforzi di taglio: è una rappresentazione corretta, nel disegno?
 
 
e) Attraverso la superficie di contatto con il suolo ho disegnato più linee che si addensano, per rappresentare una maggiore densità di corrente della qdm: è giusto dire che tale grandezza corrisponde alla pressione?
 
Finisco qui (anche se i miei dubbi non sono finiti).
Per chi ha letto fin qui: grazie per la pazienza.
 
Furio Petrossi
 
 
 
 

  
Non ho capito se la definizione di tensore degli sforzi θ che hai dato è:
 
dP = θ x n dσ dt
 
oppure se l'hai data tramite l'equazione di continuità 
 
∂P/∂t + ∇•θ = 0
 
o entrambe, o cosa. Una definizione "diretta" sarebbe matematicamente troppo complessa? 
Ciao 
 
--
Wakinian Tanka

 a2) Se il corpo è omogeneo e "g" è costante la densità di quantità di moto (non di corrente) è uniformemente distribuita nel corpo o si crea un gradiente di densità di qdm?
 
Rispondo da me: no, se il corpo è in caduta libera.
Nel caso in cui il corpo fosse appoggiato a terra però?...

Di nuovo sbaglio terminologia.. non riesco ad adattarmi! normalmente, per un fluido in un contenitore appoggiato al suolo parlo di gradiente di pressione, che termine equivalente viene usato?


Visto quanto sopra, potrebbe dipendere dal fatto che non l'hai capita? 
Come dovrebbe invece essere posta la domanda?  
 
--
Wakinian Tanka

 A?
Qui invece bisogna chiarire.
Può essere utile pensare a tre diverse grandezze scalari: carica,
calore, energia.
Tutte hanno una storia complicata.
Credo di sapere che nel '700 si discusse molto se esistesse *un solo*
fluido elettrico oppure due, uno positivo e l'altro negativo.
La teoria con un fluido prevalse e si affermò l'idea che un corpo con
carica positiva aveva un eccesso di carica, uno con carica negativa un
difetto.
 
La differenza dal punto di vista della presente discussione è che con
due fluidi puoi sempre dire che un corpo che ha carica positiva ha un
eccesso del fluido positivo o un difetto di quello negativo. Lo stesso
vale per la scambio di carica tra due corpi.
Tieni presente che i fluidi sono *sostanze*, anche se inosservabili.
 
Con un solo fluido hai una sola sostanza e una sola grandezza fisica:
la carica elettrica Q. Questa misura lo *sbilanciamento* del fluido
elettrico rispetto all'equilibrio: eccesso Q>0, difetto Q<0.
In questo caso un passaggio di carica ha un solo verso "reale": il
corpo che cede fluido diminuisce la sua Q, l'altro l'aumenta.
 
Il punto di vista moderno, diciamo però ottocentesco, arriva a
"desostanzializzare" la carica: non sappiamo che cosa la carica sia,
attribuiamo *per convenzone* valore positivo a carti casi e negativo
ad altri, ma Q (e tutte le grandezze derivate) è solo una *grandezza*
scalare (nn una sostanza) che può avere i due segni dei numeri reali.
 
Perciò quando c'è uno scambio di carica tra due corpi puoi solo dire:
inizialmente ci sono le due cariche Q(A) e Q(B); dopo lo scambio
avremo Q'(A) e Q'(B). dato che la carica si conserva,
Q(A) + Q(B) = Q?(A) + Q'(B)
quindi
Q'(A) - Q(A) = -[Q'(B) - Q(B)]
DQ(A) = - DQ(B)
dove DQ significa *variazione* di Q.
In questo spirito non ha senso parlare di "flusso di carica positiva"
o di carica negativa: ha senso invece parlare di *segno* del flusso di
carica.
 
Dopo la scoperta dell'elettrone ecc. le cose sono cambiate di nuovo, e
i fisici si sono abituati a usare insiem due paradigmi:
- quello otttocentscoe della carica senza sostanza
- quello moderno della carica trasortata da particelle (elettroni, ma
anche altro).
Quidi bisogna stare attenti  non creare confusione.
Nell'articolo ho cercato di mostrare i due aspetti quando ho scritto
per es. l'espressione della ddc in presenza di portatori di carica dei
due segni.
 
Passiamo al calore, cercando di andare più veloci.
Sai bene che è esistita una teoria del calore come fluido: il (fluido)
calorico.
Potrei ripetere quanto detto sopra per la carica come fluido.
 
Tramontato il calorico, il calore è definito come una variazione di
energia (dovuta ad azioni microscopiche).
Anche se il linguaggio tradisce l'uso antico (calore "acquistato" o
perduto, A "cede" calore a B, ecc.) nella termodinamica moderna Q è un
tipo di *variazione* di energia di un corpo.
Occorre stabilire una convenzione per il segno, e purtroppo ne sono in
uso due, che io chiamo "dei chimici" e "degli ingegneri".
Secondo la prima (che preferisco) Q>0 signifca che il corpo *aumenta*
la sua energia.
Il primo principio si scrive
DU = Q + L.
Dato che Q non è una grandezza termdinaica definita in un dato stato
del corpo, non ha senso parlare di Q come la W di cui sopra, né di
densità di Q.
Invece Q è l'integrale nel tempo di I_U (quando non ci sia lavoro) e
lo stesso si può dire a proposito della "densità di corrente di
calore", che è sbagliatissima, perché andrebbe vista come una
componente della densità di corrente di energia.
 
Infine l'energia.
Questa è *desostanzializzata*, quindi non ci sono due *tipi* di
energia, positiva e negativa (vallo a dire ai new age...).
L'energia non è una specie di yin-yang.
Per l'energia *grandezza fisica* puoi usare tutto: densità, corrente,
ddc.
Naturalmente I_E(S) dipende dall'orientamento di S: una corrente
positiva di energia da A a B equivale a una corrente negativa di
energia da B ad A.
Ma nota bene che ho scritto "corrente positiva di energia" e non
corrente di energia positiva!
 
 
-- 
Elio Fabri

 sbagliare.
 
e io pure, sicuramente avrò frainteso il dubbio ...
 
SNIP (il resto lo taglio perché seguo poco il 3D, capendoci 
anche meno)


 Come dovrebbe invece essere posta la domanda?
 
Poche idee e ben confuse, vedo.
 
Partiamo da questo punto. L'op non avra' problemi  a riconoscere, spero, 
 
L = -1/(2 pi alpha') int ds^2 sqrt(d/dt X^2 - X'^2)
 
Ora, cosa e' alpha' ? Uno scalare, certo. Ma che altro?

 attraverso una superficie S darebbe una corrente di polarizzazione.
... 
Grazie di tutta la risposta (ne ho citata solo una parte a caso). 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 *aumenta* la sua energia.
Non riesco proprio a capire come sia nata nella mia testa una simile
confusione.
Le due convenzioni esistono, ma relative al *lavoro*, non al *calore*.
Infatti trovate il primo principio scritto
DU = Q + L
oppure
DU = Q - L.
 
 
-- 
Elio Fabri

   
 
Ecco, adesso mi torna :-) 
 
--
Wakinian Tanka

 più del solito, perché mi aiuteranno a migliorare l'articolo.
 
E' stato un piacere leggerlo.
 
Ci sono forse due punti cui sarebbe  utile almeno accennare, se non 
discutere.
 
1. la non unicità della densità di corrente. L'addizione di un campo 
solenoidale arbitrario non altera né l'eq. di continuità, né la corrente 
di qdm, ma rende le affermazioni sulla ddc dipendenti dalla "gauge" 
utilizzata.
 
2. Dal punto di vista concettuale, ancor prima che didattico (ma con 
pesanti ripercussioni su quest'ultimo), nel caso statico (equilibrio tra 
forze non nulle), la scelta formalmente ineccepibile di leggerlo come 
l'annullarsi di due densità di corrente  di qdm opposte, apre la strada 
a sostanzializzare la qdm, invece di considerarla, come nell'approccio 
calssico, una *proprietà* di un sistema fisico? Stiamo introducendo una 
qdm "pura", dopo aver a lungo cercato di evitare di parlare di 
un'energia pura?
 
Giorgio

 Giorgio


(...)
 
Sto ancora rileggendo il tuo documento e riconsiderando i miei errori di interpretazione.
 
 
Per chiarirmi le idee, invece che lavorare su una dimensione, preferisco immaginare il caso di due dimensioni, caso in cui di solito si rappresenta il tensore attraverso una immagine simile alla seguente:
https://www.scuolefvg.org/doc/TensoreSforzi02.png
 .
I valori degli sforzi sono espressi nei diversi documenti con una unità di misura dimensionalmente uguale a quella della pressione.
 
 
Nel tuo scritto si dice che questo tensore (in realtà da rappresentare in 3D) corrisponde alla densità di corrente della quantità di moto, mente la corrente di qdm è un vettore (la Forza) .
 
Posso quindi rappresentare un campo tensoriale associando ad ogni punto un tensore come quello in figura TensoreSforzi02.png .
 
 
L'analogia del paragrafo 10." Il problema del trasporto" sembra affermare che il trasporto della qdm avviene "attraverso" tale campo, che non ha una direzione precisa.
Ma quale circuito scegliere?
 
 
Se ad esempio prendo in considerazione un corpo a forma di "T" maiuscola, piantato al suolo, devo immaginare forse un circuito che dal suolo risale al ramo sinistro della "T", prosegue a destra e poi "si scarica" al suolo attraverso la base della "T", completando in seguito il ciclo.
 
Per andare dal ramo sinistro all'asse della "T" si deve girare con un certo angolo, per cui si verificano sforzi di taglio (con le Forze risulta maturale, si tratta di una "mensola").
Se fosse così, sulla parte inferiore della "T" gli sforzi verticali sarebbero maggiori (maggiore ddc di qdm), comportando una maggiore pressione.
 
(Mi è più facile capire cosa avvenga a livello di strain, con compressioni e deformazioni anche laterali, ma lo stress è comunque collegato e forse più semplice: in questo caso siamo in quiete).
 
In questo caso 2D che caratteristiche ha il tensore associato ai punti esterni al solido? 
Lo devo immaginare come una "tensione" verticale?
Come collego i punti esterni al solido con quelli interni? Con l'equazione di continuità? 
Ho fatto di nuovo confusione?
 
Mi scuso.
Forse queste cose dovrei saperle, avendo studiato Fisica, eppure - onestamente - mi trovo in difficoltà.
 
Resta un ultimo dubbio, forse meno consistente: come rappresentare il corpo in caduta libera, in cui la qdm aumenta?
Grazie comunque per gli stimoli positivi.
 
Furio Petrossi

 Resta un ultimo dubbio, forse meno consistente: come rappresentare il corpo in caduta libera, in cui la qdm aumenta?
 
 
Vedo che questo tema è affrontato didatticamente, in termini di (densità di) corrente della qm dallo svizzero Hans U. Fuchs (collabora con il KPK ed Hermann) in "Do We Feel Forces?"
http://www.hansfuchs.org/MATERIALS/Forces.pdf
 , riadattamento di un documento del 1987 
 
 
Non parla di tensori ma ammette che "The actual mechanism of momentum transport through fields and through bodies in fields is much more complicated. However, the net result is the one stated here."
 
Viene affrontato anche il problema della tensione di una fune.
 
 
Considera il "Momentum transport" per convezione, conduzione e irraggiamento, ammettendo per quest'ultimo tipo di "trasporto" una certa contro-intuitività (Tabella 1).
 
C'è comunque un documento più tecnico in cui parte dalla "narrativa" degli studenti e analizza la "fisica del continuo" parlando di tensori: 
http://www.hansfuchs.org/MATERIALS/FiM_final_submission.pdf
 .
 
 
Lui ritiene, parlando di didattica, che il concetto di forza non sia sufficiente per formulare le equazioni usate in ingegneria o nelle scienze "applicate". Ritiene che sia necessario poter formulare delle narrazioni in linguaggio naturale che costituiscano una premessa alla formalizzazione del problema.
 
Furio P.
 
 
 
 

 Altro ancora?
Beh, mi dai l'occasione di chiarire meglio una questione che ho forse
accennato varie volte ma senza approfondire.
 
A mio parere questo ha a che fare con un insieme di "dualismi" che
esistono e si confondono nel pensiero occidentale e a maggior ragione
nel senso comune diffuso.
Substantia / accidens, res extensa / res cogitans, materia / spirito e
forse altri.
 
Il primo lo usa ad es. don Ferrante nei "Promessi sposi".
A proposito della peste argomenta così:
"o la peste è sostanza, o è accidente. Poi continua, nel più puro
stile peripatetico, per escludere entrambe le alternative.
Ne conclude che la peste non esiste.
Manzoni conclude sarcasticamente:
"His fretus, vale a dire su questi bei fondamenti, non prese nessuna
precauzione contro la peste; gli s'attaccò; andò a letto, a morire,
come un eroe di Metastasio, prendendosela con le stelle."
 
http://www.sansepolcroliceo.it/nascita/don-Ferrane.htm
 
 
Il secondo è dovuto a Cartesio e il terzo ne è una versione tradotta e
usata da molti altri filosofi, con varie declinazioni.
Per es. per Gentile solo lo spirito eaiate.
 
Ma anche la teologia cristiana fa ampio uso di questo dualismo: ci
sono i "puri spiriti", mentre l'uomo è un'unione di anima e di corpo
(il greco ànemos e il latino spiritus sono sinonimi).
 
Il dualismo è quindi radicato in certa cultura, e anche la superiorità
del secondo ente sul primo.
Nella fisica volgare a questi dualismi si affianca quello tra materia
ed energia, dove quindi l'energia si apparenta allo spirito.
Energia pura = puro spirito: non contaminati da una sostanza
inferiore, che è la materia.
Naturalmente l'energia ha dei poteri, delle qualità. Ricorda anche "la
Forza sia con te" di Star Wars, dove la Forza acquista un carattere
di divinità. (A questo livello forza ed energia si confondono.)
 
Ecco che cosa si nasconde sotto l'energia pura.
Tra le particelle ci sono quelle "impure", in cui l'energia è
parzialmente sotto forma di massa (e qui c'è lo slittamento semantico
tra massa e materia: la massa è inerte, resiste, pesa).
L'equivalenza "massa-energia" diventa un'intercambiabilità tra le due
sostanze: una immateriale, l'energia, l'altra materiale, che si
manifesta come massa.
 
Quando una coppia elettrone-positrone si annichila in due fotoni, si
ha una conversione della sostanza materiale in immateriale: pura
energia, visto che i fotoni non hanno massa.
 
Se questo ti sembra tutto un grandioso pasticcio, sono con te.
Ma quando leggiamo scritti divulgativi dovremmo sempre tener presente
che spesso simili pasticci non sono innocenti: tendono a "dimostrare"
che la fisica moderna ha finalmente disvelato questa realtà
dualistica, che si manifesta in E=mc^2.
Ossia cercano di rinforzare delle visioni che non so bene come
definire, fondandole sull'autorità della scienza.
(Finché la scienza fa comodo. Quando invece disturba, introduce leggi,
richiami alla realtà, vincoli sgraditi, allora diventa
"materialistica", ossia spregevole.)
 
 
-- 
Elio Fabri

 del manichino per fare più agevolmente la stima?
 
Ora qualche conto.
Due sferette di massa m legate da una bacchetta lunga 2l, di massa
trascurabile.
Il tutto si trova nel campo grav. di un corpo sferico di massa M.
Il centro delle masse sta a distanza r dal centro del corpo.
Considero due situazioni:
a) la bacchetta è in direzione verticale
b) " " in dir. orizzontale.
Mi metterò sempre nel rif. (inerziale) in cui M è fermo.
Il sistema delle due masse sia in caduta libera verticale.
 
a) Calcoliamo la risultante delle forze sulle due masse.
F = GMm[1/(r-l)^2 + 1/(r+l)^2] = 2GMm (r^2 + l^2)/(r^2 - l^2)^2.
Si vede che
F > F0 = 2GMm/r^2
che sarebbe la forza risultante se le due palline si trovassero
entrambe nel centro.
Quindi il sistema cade con accelerazione
a = GM (r^2 + l^2)/(r^2 - l^2)^2
maggiore di quella di un punto materiale posto a distanza r dal
centro di M.
Naturalmente vale sempre il teorema del cdm, che ho applicato: il cdm
del sistema cade con accel. F/(2m), ed essendo rigido anche le due
palline hanno la stessa accel.
 
Consideriamo la pallina superiore che dista r+l da M.
Se fosse libera, cadrebbe con accel. GM/(r+l)^2 < a
Visto che cade con accel. a, vuol dire che è soggetta a un'ulteriore
forza verso il basso, di grandezza
ma - GM/(r+a)^2 = 2GM rl/(r^2 - l^2)^2.
Questa forza è dovuta alla bacchetta.
 
Per la pallina inferiore abbiamo un'accel. a inferiore a quella che
avrebbe se fosse libera.
Esiste dunque una forza verso l'alto, che vale (in val. assoluto)
GMm/(r-a)^2 - ma = 2GMm rl/(r^2 - l^2)^2.
Ancora dovuta alla bacchetta.
Queste sono le *forze di marea*, che si sentirbbero anche se ci
mettessimo in un rif. che cade col sistema palline + bacchetta.
Risultato: la bacchetta è soggetta a una *tensione*
T = 2GM rl/(r^2 - l^2)^2
Se l<<r possiamo approssimare
T =~ 2GMm l/r^3  (1)
(notare la dipendenza da r^3. tipica delle forze di marea).
 
Sia K il carico di rottura della bacchetta. Questa si spezzerà se T>=K,
ossia
r^3 <= 2GMml/K.
Se M è un buco nero (di Schwarzschild) l'orizzonte degli eventi sta a
R = 2GM/c^2. Quindi la rottura si ha per
r^3 <= (mc^2 R l)/K.
Non c'è una relazione semplice tra r e R.
Lascio al lettore di provare che cosa succede con valori ragionevoli
dei parametri.
 
b) Di nuovo calcoliamo la risultante.
La distanza delle palline da M è sqrt(r^2 + l^2), quindi ciascuna
pallina sente una forza
F1 = GMm/(r^2 + l^2).
Però le due forze non sono parallele, in quanto dirette entrambe verso
il centro di M. Facendo i conti la risultante vale
F' = 2GMmr/(r^2 + l^2)^(3/2) < F0.
Quindi ora l'accel. del cdm è minore.
 
Ma è più interessante osservare che la forza su ciascuna pallina ha
una componente diretta verso il cdm, che vale
F" = GMml/(r^2 + l^2)^(3/2).
Dato che la distanza tra le palline non può variare, F" deve essere
compensata da una forza verso l'esterno dovuta alla bacchetta.
Per reazione questa è *compressa* con ugual forza ed è quindi soggetta
a una tensione negativa:
T = -GMml/(r^2 + l^2)^(3/2).
Nella solita approssimazione:
T =~ --GMml/r^3
che è metà della (1) oltre ad avere segno opposto.
Ecco perché ci vuole una bacchetta: un filo si allenterebbe e
lascerebbe avvicinare le palline.
 
************************
 
Ora passiamo al manichino.
Lo schematizzo come un cilindro, altezza 2l, raggio di sezione b.
Indicherò con s l'area della sezione: s = pi*b^2.
Assumerò b<<l.
La massa del cilindro è
m = 2*rho*s*l (rho = densità).
 
Il cilindro cade verticalmente nel solito campo.
Calcoliamo la risultante delle forze di gravità.
Assumo un asse z con origine nel centro del cilindro e orientato verso
l'alto.
A differenza del caso dele duepalline, qui converrà fare attenzione ai
segni. Forze e accel. sono date col segno positivo verso l'alto.
 
Attenzione: non sto assumendo un rif. che cade col cilindro.
Fisso un certo r e prendo l'origine di z in un punto a quel valore di r.
Il cilindro cade e a un certo istante il suo centro passa per quel
punto.
Tutti i calcoli si riferiscono a quel particolare istante.
 
Su una fettina posta a una quota z rispetto al centro, e di spessore
dz, agisce una forza
dFgr = -GM*s*rho*dz/(r+z)^2  (2)
che integrata su z da -l a +l dà
Fgr = -2GM*s*rho*l/(r^2 - l^2) = -GMm/(r^2 - l^2).
Si vede che |F| < |F0| = GMm/r^2.
L'accel. di caduta è
a = -GM/(r^2 - l^2).
 
Riprendiamo la fettina: data a, la forza risultante agente è
dFris = a*s*rho*dz = -GM*s*rho*dz/(r^2 - l^2)  (3)
che differisce dalla (2).
Infatti la (3) è la somma di tre forze:
- la forza di gravità (2)
- la spinta verso il basso in z dovuta alla tensione in z: -s*T(z)
- la spinta verso l'alto in z+dz dovuta alla tensione in z+dz:
s*T(z+dz).
 
Quindi
-GM*s*rho*dz/(r^2 - l^2) = -GM*s*rho*dz/(r+z)^2 - s*T(z) + s*T(z+dz)
 
dT/dz = GM*rho[1/(r+z)^2 - 1/(r^2 - l^2)].
 
Integrando su z:
 
T(z) = -GM*rho[1/(r+z) + z/(r^2 - l^2)] + c  (4)
 
(c è una costante arbitraria).
Si vede che
T(l) = T(-l) = -GM*rho*r/(r^2 - l^2) + c.
Ma deve essere T(l) = T(-l) = 0
quindi
 
c = GM*rho*r/(r^2 - l^2)
 
e dalla (4)
 
T(z) = GM*rho/[(r^2 - l^2)] * (l^2 - z^2)/(r + z).
 
Con la solita appross. trascuriamo l e z rispetto a r:
 
T(z) =~ [GM*rho/r^3] * (l^2 - z^2).
 
Si vede che T va come 1/r^3, si annulla agli estremi ed è massima al
centro:
 
Tmax =~ GM*rho*l^2 / r^3 = GMm*l/(2s*r^3).
 
A questo punto si può fare il conto.
Si trova (salvo errori) r = 730 km mentre il raggio di Schwarzschild
vale circa 30 km.
 
 
-- 
Elio Fabri

 evitare di parlare di un'energia pura?
Direi però che la stessa obiezione puoi farla all'uso di una "corrente
di energia" (in e.m. flusso del vettore di Poynting).
 
Parlare di una corrente induce a pensare che ci sia qualcosa che
"corre" (come l'acqua di un fiume).
Ma mi sembra un problema generale della fisica, quello di far uso
talvolta di termini del linguaggio comune che si portano dietro un'aura
semantica che bisogna abbandonare nel discorso fisico.
E' una questione di addestramento (quindi squisitamente didatttica).
Certo occorrerebbe prestarvi più attenzione di quanto si faccia di
solito: le parole della fisica debbono essere assunte in senso
astratto e bisogna rispettare la regola che il loro significato sta
nel come vengono usate.
 
In fondo è la stessa questione della "energia pura" su cui ho risposto
a Soviet_Mario.
 
 
-- 
Elio Fabri

 semantica che bisogna abbandonare nel discorso fisico.
 
Su questo mi pare abbia indagato Enzo Tonti in The Mathematical Structure of Classical and Relativistic Physics: A General Classification Diagram.
Le diverse specializzazioni poi portano con sé diverse abitudini.
 
 
Tonti esamina in 2.8 Many Meanings of “Flux” i diversi usi, anche impropri del termine nelle diverse letterature scientifiche: portata, corrente, densità di corrente (associati a intervalli di tempo), flusso, densità di flusso (associati a istanti di tempo); lui considera il flusso sempre come variabile "associata" a superfici e istanti di tempo.
 
fp

 troppo complessa?
Se tu lasciassi perdere le lettre greche mi faresti un favore.
Thunderbird me le mostra, ma io con emacs non riesco a scriverle.
 
Comunque la definizione è la prima.
Che cosa c'è che non ti va?
 
 
-- 
Elio Fabri

 a Soviet_Mario.
 
No, la tua risposta a Soviet_Mario non risponde alla mia obiezione. E 
bemmeno  quanto scrivi qui sopra. Il problema per l'energia non è tanto 
(o non solo) quello di puro/impuro, con/senza massa. Piuttosto è quello 
"energia di che?". Correggimi se sbaglio, ma non c'è una sola situazione 
in fisica in cui l'energia non sia una *proprietà* di un sistema. 
Nell'esempio dell' annichilazione, si passa dall' energia  di e+ e- a 
quella dei due gamma. Massa o non massa sappiamo a chi attribuire la 
proprietà energia.
 
Anche nelle situazioni in cui macroscopicamente non abbiamo modo di 
associare un sistema materiale che trasporti il flusso di energia, a 
livello microscopico sappiamo che ci sono particelle o campi a cui 
possiamo associare un'energia e la diminuzione/aumento di questa energia 
*di qualcosa* permette di dar conto degli scambi energetici attraverso 
correnti. Calore e lavoro, possono esser visti come flussi di densità di 
corrente di energia e, a livello microscopico possono essere messi in 
contatto con energie di costituenti microscopici del sistema.
 
Possiamo fare la stessa cosa per una densità di corrente di qdm? Nel 
caso del  vettore di Poynting possiamo dire che attribuiamo al campo em 
qdm e momento angolare. Tutto sommato i campi em non li vediamo. Ma nel 
caso di un sistema elastico trovi davvero naturale attribuire una 
corrente locale di qdm ad una campo di deformazione statico? (ripeto, mi 
è chiaro che si può fare. E' la "naturalezza" della descrizione su cui 
ho dubbi; già il vettore di Poynting è tutto tranne che un oggetto 
"naturale" da maneggiare)). E se anche la risposta fosse affermativa, 
non sarebbe un problema per un uso didattico (a livello introduttivo) 
del concetto?
 
Giorgio

            
Al paragrafo 8 scrivi:
 
dP = Theta n d_sigma dt
 
 
(E mi va bene, magari direi esplicitamente che il tensore Theta lo definisci proprio così, eventualmente dopo aver detto che si dimostra esistere una relazione lineare tra dP/dt ed n d_sigma, ecc), 
 
ma dopo, vicino a fondo pagina, scrivi:
 
"Stante la relazione generale F = dP/dt,... "
dF = Theta n d_sigma". 
 
Non dovrebbe essere F = Theta n d_sigma? 
 
--
Wakinian Tanka 
 
 

 Non dovrebbe essere F = Theta n d_sigma?
Hai toccato un punto delicato, e per di più, senza accorgertene, mi
hai segnalato un serio errore.
Comincio da questo.
L'eq. 9 (par. 12) è scritta
@P/@t + div Theta = 0
mentre a primo membro ci voleva la *densità* di qdm, che non ho mai
definita.
 
C'è pure un problema di notazione: secondo la presentazione generale
fatta per i campi scalari, la densità di una grandezza conservata W
dovrei indicarla con la corrisp. minuscola, ossia nel nostro caso con
p grassetto.
Però poco dopo p (corsiva) indica la pressione, con rischio di
confusione.
Ho deciso d'indicare la densità di qdm con pigreca grassetta minuscola.
E dovrò anche aggiungere due parole per definirla.
 
Veniamo ora alla tua questione.
Qui si tocca con mano l'inadeguatezza del modo usuale (di noi fisici)
di usare simboli come dP, ds, dV. Vediamo.
 
Quando scrivo F = dP/dt sto semplicemente usando la notazione di
Leibniz per la derivata: P indica la qdm di un (pezzo del) sistema
come funzione del tempo ed enuncio la seconda legge di Newton mella
forma
"forza = derivata della qdm rispetto al tempo".
Nel nostro caso la qdm può variare solo per l'apporto dovuto
all'interazione col resto del sistema, che si trova *fuori* della
superficie chiusa Sigma.
Questo apporto si esprime come integrale su Sigma della corrente di
qdm:
 
I_P(Sigma) = int_Sigma Theta-n ds.
 
Dato il significato della corrente, questo integrale è proprio dP/dt,
quindi è F.
 
Ma che cosa intendo con dF poco sotto, scrivendo
dF = Theta.n ds ?  (1)
Nota che Theta è una densità di corrente, quindi è "per unità di tempo".
Se integri questa su Sigma ottieni I_P(Sigma), ossia F:
F = int_Sigma dF.
Cioè il "d"F ci vuole a causa del dsigma, mentre la derivata rispetto a
t è già inclusa nella def. di Theta.
Se preferisci, avrei potuto scrivere:
dP = Theta.n dsigma dt
ossia (horribile dictu!) dP è infinitesimo per due ragioni: perché si
riferisce all'intervallin dt e anche all'areola dsigma.
Quindi qui dP/dt è ancora infinitesimo per colpa di dsigma e perciò è
giusto indicarlo con dF.
 
Spero di essere stato chiaro, e anche di averti spiegato perché non
potevo mettermi a scrivere tutto questo.
Nel linguaggio fisico usuale il tutto è dato per scontato, senza che
di solito ci si sforzi molto a spiegare che cosa c'è sotto.
 
Ma non voglio fermarmi qui.
Questo modo di scrivere suppongo fosse comprensibile a Eulero
(1707-1783) ed è rimasto in uso nella fisica matematica per tutto
l'800.
Se si volesse usare il linguaggio matematico odierno, come ci si
dovrebbe comportare?
 
Intanto si dovrebbe fare una distinzione tra diversi "d".
dt, dP sono *differenziali* di funzioni (del tempo).
dsigma invece indica una *misura* su cui si integra.
 
F quindi è una notazione ambigua, perché è usata sia per indicare una
funzione del tempo, sia l'integrale di una misura.
Potrei scrivere la (1)
dF/ds = Theta.n ?
Ossia: si può fare la derivata di una misura rispetto a un'altra misura?
Si può: ce lo dice il teorema di Radon-Nikodym, che risale (nota bene)
a solo un secolo fa.
 
Strasemplificando: se F e s sono misure, sotto una certa condizione
che non dico esiste una funzione f tale che
F = int f ds.
Si scrive f = dF/ds e f si chiama la "derivata di Radon-Nikodym" di F
rispetto a s.
 
Quindi la mia formula dice che la derivata di R-N rispetto a s (misura
area, definita sul contorno Sigma) coincide con Theta-n.
 
Non m'illudo di esere stato comprensibile.
Ma ho voluto dare qualche idea di quello che c'è sotto e del fatto che
solo da un secolo la matematica ha messo a posto le cose che i fisici
usavano già da un paio di secoli.
Il problema didattico è: che potremmo fare se volessimo evitare le
nostre usuali "porcherie"?
Io la risposta non ce l'ho.
Magari se gli insegnanti fossero più consapevoli di quello che c'è
sotto, forse riuscirebbero a parlare in modo più sorvegliato (non
pretendo rigoroso).
Però sono il primo, in questo caso, a non esserci riuscito :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

... 
Senza alcuna pretesa di aver compreso tutto, faccio una proposta. 
 
 
 
Indico con "pi" il simbolo pi greco minuscolo grassetto di cui hai parlato nel tuo post, e con "delta" un simbolo, da scegliere, ad es. tipo "lettera greca delta minuscola" (questo però si usa prevalentemente nel calcolo delle variazioni quindi non so quanto sarebbe appropriato qui) per diversificarlo dal "d" del differenziale totale e dalla "d con asta ricurva a sinistra" del differenziale parziale. Indico inoltre con "sigma" la lettera greca sigma minuscola, con "Theta" il tensore degli sforzi e con "n" il versore normale all'elemento di superficie delta sigma. 
1. Densita' di qdm:
pi = delta P/delta sigma
dove delta P è la qdm che fluisce attraverso un elemento di superficie d sigma. 
2. d pi/dt = d(delta P/delta sigma)/dt = 
 
= delta (dP/dt)/d sigma = delta F/delta sigma = [trovare un simbolo e/o un nome per ciò che in inglese è lo "stress" cioè la forza per unità di superficie] . 
3. Definire Theta nel seguente modo:
[Stress] = delta F/delta sigma = 
d pi/dt = Theta n
A questo punto si ha:
delta F = Theta n delta sigma, d pi = Theta n dt, ecc. 
Certo, sarebbe una complicazione formale... 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 Indico con "pi" il simbolo pi greco minuscolo grassetto di cui hai parlato nel tuo post, e con "delta" un simbolo (...)
 
 
E' proprio una vergogna il fatto che la comunicazione via rete, sviluppata in ambito scientifico, non abbia proposto fin dall'inizio uno standard per la scrittura di espressioni matematiche.
L'attuale standard web MATHML è orribile.
 
Mi sono ritrovato con questo problema quando, in un contesto di ambienti informatici per l'apprendimento in rete, dovevo far scrivere, o scrivere io stesso, espressioni matematiche.
Ho allora proposto di usare lo standard AsciiMath (che semplifica il lavoro di scrivere in MathJax): 
http://asciimath.org/#syntax
 .
 
Ammetto che non tutto è compreso (il gradiente grad c'è, ma come scrivere la divergenza? Grad - con la "G" maiuscola - mi sembrerebbe orribile e \nabla di difficile lettura): la soluzione, ibrida, è, ad esempio
(del rho) / (del t) + nabla* bb j=0 
(del bb p) / (del t) + nabla* Theta=0 
(da provare in 
http://asciimath.org/
 )
 
Stackexchange usa direttamente MathJax che mi sembra pesantissimo:
https://math.meta.stackexchange.com/questions/5020/mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference
 
 
Scusate l'off topic.

 Stackexchange usa direttamente MathJax che mi sembra pesantissimo:
 
Ma se uno conosce LaTeX, Mathjax non è un serio problema problema.

 Ma se uno conosce LaTeX, Mathjax non è un serio problema problema.
LaTeX è già una semplificazione notevole, ad esempio si può scrivere
\int_0^\infty f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i e^{x_i} f(x_i)
 
AsciiMath cerca di essere più naturale e scrive
`int_0^oo f(x) dx approx sum_(i=1)^n w_i e^(x_i) f(x_i)`
 
anche se accetta l'input Mathjax "puro"
 
 
Comunque si tratta *non* di una proposta, ma della manifestazione di una insoddisfazione nel non poter usare in un forum di fisica una sintassi non ambigua.
Dovremmo pure poter scrivere senza ambiguità formule come quelle indicate in 
https://physics.info/equations/
 !
 
FP

 Comunque si tratta *non* di una proposta, ma della manifestazione di una insoddisfazione nel non poter usare in un forum di fisica una sintassi non ambigua.
....
 
Occorre aver chiaro lo strumento che si utilizza. I NG non sono forum 
web, assomigliano più a mailing list pubbliche. Con il vincolo comune di 
non usare linguaggi di descrizione del testo (markup languages).
 
Teoricamente potrebbero essere tecnicamento innovati, ma la diminuzione 
di interesse di molte comunità rende improbabile una rivoluzione a 
breve. Aggiungo, che un vantaggio c'e' nel costringere a descrivere 
tutto il più possibile a parole o con caratteri all' interno di 
codifiche standard: la maggior fruibiità per chi ha limitazioni e deve 
ricorrere 
p.es
. a sintsi audio del testo scritto. Botoriament complicata 
per formule matematiche.

 \int_0^\infty f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i e^{x_i} f(x_i)
 
Lo puoi scrivere tranquillamente anche in Mathjax.
 
M.

 tranne che un oggetto "naturale" da maneggiare)).
Che cosa sia più o meno naturale in fisica è problematico, e ha molto
a che vedere con un altro argomento che stiamo discutendo in sagredo:
la possibilità d'insegnare fisica moderna (intesa in senso molto lato,
direi ultimi due secoli) nella scuola secondaria.
La "naturalezza" non è certo una proprietà intrinseca: è fortemente
influenzata dall'addestramento pregresso e anche da attitudini
personali.
 
Comunque io vedrei la corrente di qdm (come il vettore di Poynting, di
cui è stretto parente - in relatività sono componenti dello stesso
tensore energia-impulso) come entità *astratte*.
E' una pretesa eccessiva che tutti i concetti fisici debbano (o
possano) avere un corrispondente intuitivo.
E come sai io non mi reputo operazionista, quindi non m'interessa che
questi concetti abbiano un corrspondente osservabile.
Come strumenti del pensiero fisico sono ugualmente utili.
Non è neppure una novità: questo in fisica c'è *sempre* stato.
Non a caso in un articolo che forse ho già citato (esagero con le
autocitazioni?)
http://www.sagredo.eu/articoli/matfis.pdf
 
dedicai un ampio spazio a illustrare il caso del tempo newtoniano
(pagine 6-8).
Intendevo dimostrare che la matematizzazione insita nel tempo come già
lo usa Newton è tutt'altro che "naturale" e certo non desumibile
dall'esperienza.
 
Le ovvie implicazioni didattiche non sono secondo me sufficientemente
discusse, probab. perché il problema non viene generalmente visto come
tale.
Quindi non mi chiedere una soluzione bell'e pronta...
 
 
 
-- 
Elio Fabri

 possano) avere un corrispondente intuitivo.
 
Posso seguirti nel caso e.m. ma per un mezzo continuo la necessità di un 
simile salto verso l'astratto, quanto tutto il resto della 
rappresentazione ha un riscontro operativo diretto mi risulta mal 
digeribile.
 
Sospetto che almeno parte della difficoltà abbia a che fare con la  ben 
nota non unicità del tensore degli sforzi. Ma dovrò riguardare da vicino 
la questione.
 
Giorgio

 
Un urto elastico tra due biglie uguali A e B: prima l'energia cinetica era di A, poi di B. Null'altro l'ha trasportata da A a B. 
 
A meno che tu voglia parlare di fotoni virtuali ma allora non avresti problemi nemmeno a parlare di corrente di qdm nel caso di tensioni statiche in un materiale elastico, probabilmente. 
 
--
Wakinian Tanka

 A meno che tu voglia parlare di fotoni virtuali ma allora non avresti problemi nemmeno a parlare di corrente di qdm nel caso di tensioni statiche in un materiale elastico, probabilmente.
 
Sto parlando di sistemi fisici, non del mondo di carta della teoria 
perturbativa.
 
Giorgio

 
 
 
 
Guarda che avevo capito. Infatti nel mio esempio il vettore non c'è: hai il corpo A che trasferisce energia al corpo B nel momento in cui vengono a contatto, senza che ci sia un flusso di materia o di altro che trasporta energia tra i due corpi, esattamente, almeno così pare a me, come nel caso (che avevi portato come esempio di assenza di vettore) di un corpo A che trasferisce energia interna ad un corpo più freddo B nel momento in cui vengono a contatto, senza che ci sia alcun vettore (alcun "calorico"). 
 
--
Wakinian Tanka

 Guarda che avevo capito. Infatti nel mio esempio il vettore non c'è: hai il corpo A che trasferisce energia al corpo B nel momento in cui vengono a contatto, senza che ci sia un flusso di materia o di altro che trasporta energia tra i due corpi, esattamente, almeno così pare a me, come nel caso (che avevi portato come esempio di assenza di vettore) di un corpo A che trasferisce energia interna ad un corpo più freddo B nel momento in cui vengono a contatto, senza che ci sia alcun vettore (alcun "calorico").
 
Evidentemente non riesco a farmi capire.  L'urto è un processo 
schematizzato (si approssima a zero il tempo durante il quale avviene 
l'interazione), ma anche così non costituisce un controesempio: prima e 
dopo l'urto si sa benissimo a chi attribuire l'energia.  l'istante 
esatto dell' urto è solo un'approssizione su scala macroscopica di un 
processo complesso che avviene su un intervallo di tempo che può durare 
microsecondi. E a livello microscopico c'è una descrizion in grado di 
attribuire ad un sistema di molti corpi un' energia. Non c'è mai 
un'energia "staccata" da un "sistema fisico che *ha* quell' energia".
 
Idem per l'esempio di trasmissione del calore.
 
Ma mentre in questi esempi c'e' un livello microscopico che aiuta la 
comprensione, permettendo di ritrovare un sistema fisico cui attribuire 
un'energia, con una corrente di qdm mi sembra di no. Mi sembra una 
situazione "nuova" in cui si riesce a parlare di una qdm "pura" staccata 
da qualsiasi sistema di cui possa essere una "proprietà".
 
Che a livello puramente formale lo si possa fare non mi crea problemi. 
Anche uno spostamento virtuale in un problema di statica esiste solo nel 
mondo di carta ed è utile. Ma anche in quel caso si tratta dello 
spostamento di qualcosa.
 
Forse le correnti di qdm vanno pensate come qdm "virtuali". Ma questo 
non mi sembra che le renda didatticamente più interessanti, temo. Almeno 
non ad un livello elementare e di pensiero non educato.
 
Giorgio

 Giorgio
 
 


 spostamento di qualcosa.
 
Un problema simile, ma potrei sbagliarmi, si poneva, in stretto contatto con il KPK un "non fisico" esperto din didatica, Hans Fuchs, in
http://www.hansfuchs.org/MATERIALS/Forces.pdf
 
che avevo già citato.
 
 
Prendendo in considerazione la caduta libera (A. A first example: Free fall) ricordava che un riferimento in caduta non rileva la densità di corrente di qm (di superficie). Lui suggeriva (non da esperto però) di suddividere in due modalità di trasporto, quella convettiva e quella radiante.
 
In tal caso il campo gravitazionale "deposita" direttamente sulle diverse parti del corpo una quantità di moto "at a rate" sigma_P=(rho g) portando l'equazione del moto ad essere
rho Delta v / Delta t + Delta j_P / Delta x = sigma_P
in cui Delta j_P / Delta x è la parte conduttiva e sigma_P  una sorgente.
Nella caduta libera sigma_P=(rho g) per cui resta 
Delta j_P / Delta x = 0 .
 
Non tutto l'ho capito né tutto mi convince...
 
Furio P.

 non ad un livello elementare e di pensiero non educato.
 
ho letto poco e non sono sicuro di capire cosa intendete per qdm
(quantità di moto?), ma non è la stessa questione di come il protone
trattiene gli elettroni? scambio di fotoni virtuali? (Feynman QED)


Ma tu stavi discutendo con Elio sulla _corrente_ di energia e non su "chi ha l'energia prima e dopo":
 
Elio Fabri:
 Non so se capisco bene, ma mi sembra che tu intenda che una corrente
 d'energia possa (debba?) sempre avere associato un "qualcosa" che
 trasporta l'energia.
 
Giorgio Pastore:
 Esattamente. Hai controsempi?
 
 
Riguardo invece alla corrente di qdm sono d'accordo che sia un concetto astratto. Però concetti astratti di fisica si ritrovano anche alle medie superiori: la corrente elettrica è sempre uno spostamento di cariche positive anche quando a spostarsi sono solo le cariche negative :-) 
E vogliamo parlare del concetto di "campo"? 
 
Caso mai è il termine quantità *di moto* che può confondere; potremmo dargli un nome differente, nel caso generale? "Corrente d'impulso"? Forse no, non lo so. 
 
--
Wakinian Tanka

Nel documento
http://www.sagredo.eu/temp/tensione1.pdf
 
si analizza - in parte - la tensione di una corda.
 
L'equazione di continuità
@p/@t + div Theta = 0
con p densità di quantità di moto e Theta tensore degli sforzi
veniva ridotta, nel caso a una dimensione, ad un caso più semplice perché Theta si riduceva ad uno scalare.
 
Ma prendiamo un corpo di massa m in caduta libera: la trattazione che usa la "corrente di quantità di moto" deve poter trattare questo caso.
 
 
Normalmente questo caso viene trattato con un corpo di massa m che subisce gli effetti di un campo esterno: in tal caso indubbiamente senza la comparsa del campo gravitazionale descritto dal vettore "g" lungo la verticale non si va da nessuna parte.
 
Consideriamo l'asse "x" come verticale e v= v_x. 
 
E' prassi normale descrivere questo caso introducendo una variabile che esprima l'accelerazione del corpo subita da ogni sua parte, quindi nel complesso legata anche alla massa volumica rho
@p/@t + div Theta = 0
dovrebbe quindi diventare
rho @v_x/@t + div Theta = rho g
 
Siamo nel caso di presenza di una sorgente "rho g" diversa da zero.
 
 
Theta, come detto, si riduce a uno scalare che rappresenta la densità di corrente di quantità di moto j=j_P, per cui in una dimensione tutto si riduce a 
rho dv/dt + dj/dx = rho g 
rho a + dj/dx = rho g
con a vettore accelerazione lungo la verticale.
 
Nel caso della caduta libera la formula si scrive
rho g + dj/dx = rho g  , ovvero
dj/dx = 0 per ogni x, quindi j(x)=costante in tutta la verticale
 
 
Per il riferimento in caduta libera j(0)=0, per cui j(x)=0 : per tale sistema non è misurato alcuno stress nel corso della caduta, come ovvio.
 
 
E' vero che l'equazione di continuità rappresenta il caso di conservazione, ma è giusto anche il caso di un sistema soggetto a sollecitazioni esterne.
 
FP

 
A proposto di KPK e chiarimento sulla ***natura tensoriale*** della tensione, vedo che alcune precisazioni ci sono sul volume 5 del corso (e rispettiva guida per l'insegnante) in tedesco e inglese.
 
Se ne parla in 
http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/download/mechanics_senior_high_teacher.pdf
 
al punto
2. Momentum and momentum currents 
Stress and strain e successivi
 
Sulla ***gravità*** invece alcune cose sono dette sul testo per gli studenti
http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/download/mechanics_senior_high.pdf
 
al punto
4.5 Weightlessness
 
In cui le figure Fig. 4.11  e Fig. 4.12 sono un po' errate (fa entrare il campo dal lato...) ma allusive (notare i puntini che alludono al fatto che la gravitazione si manifesta all'interno del corpo)
 
Viene detto
"Momentum flows into every part of his body via the gravitational field, and this momentum has to be conducted back into the Earth"
 
Il campo gravitazionale è quindi, mi sembra di capire, *portatore* della corrente di qdm, secondo la loro interpretazione.
 
 
Parlano poi della caduta libera con una frase preoccupante "Freely falling bodies are weightless." anche se in riferimento alla pressione esercitata da un corpo su uno sottostante nella caduta libera.
 
Sono stati scritti due volumi per l'Università, sulla Termodinamica e sull'Elettromagnetismo.
http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publications/englisch.html
 
 
FP
quantità di moto (it) = momementum (en) = impulse (de) quanto spazio per fraintendimenti linguistici!
 

 non mi sembra che le renda didatticamente più interessanti, temo. 
 
Vedo che questo thread è sostanzialmente in pausa, per cui molte sollecitazioni rimangono sospese.
 
 
Materialisticamente mi sembra che "virtuale" possa essere lo strain, la deformazione (cosa succederebbe se levassi il corpo dallo spago?), la cui variazione avrebbe effetti a cascata.
 
fp