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Titolo: segno meno e vettori

Dire che la temperatura è di -20 gradi celsius non significa star 
utilizzando una grandezza vettoriale. Ma spesso il segno meno viene 
utilizzato per indicare, ad esempio, il verso di una velocità o di una 
accelerazione. Per es,: -10 km/h può essere la velocitàdi una macchina che 
percorre da destra a sinistra un asse orientato al contrario. Questi usi del 
segno meno mi lasciano perplesso quando adoperati davanti a grandezze 
scalari. E' ovvio che la velocità sia in sè una grandezza vettoriale, ma 
allora trattiamola come un vettore, con tanto di direzione, modulo e verso. 
In certi altri ambiti, invece, non si ricorre ai vettori, che neppure si 
nominano, ma si ricorre ad un segno meno per indicare evidentemente un verso 
opposto al positivo, quindi per indicare, direi, un solo aspetto della 
grandezza vettoriale. E' lecito ciò? Chi mi aiuta a riorganizzare le idee? 
Ma badate bene: non ho parlato di segni meno davanti a vettori, ma di segni 
meno davanti a numeri, quindi a scalari.
Grazie 

 allora trattiamola come un vettore, con tanto di direzione, modulo e
verso.
in un problema unidimensionale la direzione è fissata, il segno (+ o -)
identifica il verso.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 ha scritto nel messaggio 
news:uevhh.6699$BR1....@tornado.fastwebnet.it...

Certo, nel caso delle velocità ecc ecc, che sono grandezze 
vettoriali in quanto un corpo che si muove ha una direzione ed un 
verso, l'uso del meno davanti ad uno scalare è leggittimato dal 
contesto, che sottointende comunque una grandezza vettoriale, 
anche se non esplicitata.
Nel caso della temperatura, invece, è lecito perchè zero gradi 
centigradi non è la minima temperatura misurabile, quindi, per un 
oggetto più freddo del ghiaccio si deve necessariamente 
attribuire un valore inferiore a zero, e prendendo a riferimento 
i numeri(reali) gli diamo quel valore che nell'ordine precede lo 
zero, simmetrici a quelli che sono positivi, i valori negativi 
appunto.
Qualora la grandezza fisica sia vettoriali non c'è dubbio che il 
meno davanti indichi un verso diverso(opposto) a quello indicato 
dal più, e serve per questo, in altri ambiti(scalari) può 
significare un valore che sta a sinistra dello zero che nella 
scala dei valori di quella particolare grandezza non è il minimo, 
ma è magari stato scelto solo come riferimento, vedi la 
temperatura del ghiaccio e lo 0 celsius.
La colonnina di mercurio, come puoi notare, scende sotto lo zero, 
che valore pensi di attribuirgli? 

Ant.Flav ha scritto:

Come ben sai per misurare la temperatura di un sistema si utilizza un
termometro a mercurio. Il mercurio a sua volta è un metallo che si
dilata all'aumentare della demperatura secondo una legge lineare:
Volume_(t°C) = V_(0°C)*(1 + lambda*t°C) oppure
Volume_(t°C) = V_(0°C)*lambda*t +  V_(0°C)      Volume_(t°C) K*t°C + V_(0°C)
Se noi prendiamo due punti sulla retta t_1 e t_2 la loro differenza
può essere maggiore o minore di zero.

E' chiaro...
Si fa' confusione tra i tipi di grandezze.
I vettori dovrebbero essere direzionati quindi non con un segno, un segno 
per ogni componente che da' la direzione su quella componente.
Quando si prende "la velocita" parlando genericamente si intende il modulo, 
che in quanto tale e' positivo.
Pero' a volte fa' comodo mettere i segni ai moduli per fare i conti.
Ad essere rigorosi si dovrebbe usare sempre i vettori per i quali non ci 
sono questi problemi.
Ma visto che a volte si risolvono ben prima i conti usando grandezze scalari 
con segno..fino a che non ci si confonde troppo si fa questa confusione tra 
i due tipi di grandezze. 

Ant.Flav ha scritto:

Ogni componente di un vettore è uno scalare. Se la velocità è
diretta secondo l'asse x, ha solo componente x, quindi ha perfettamente
senso dire che la velocità è -10 Km/h in quel caso.

"Luca" <
postm...@pres8.biz
 (W@!ç!)> ha scritto nel messaggio 
news:4586d...@x-privat.org...

Perdonatemi tutti, ma la spiegazione a cui rispondo è quella che mi 
chiarisce meglio le idee (pur essendo validissime anchelòe altre). Perchè 
per me, mettere un meno davanti ad uno scalare per indicare un verso di 
percorrenza, è pur sempre una convenzione simile, ma non così completa, a 
quella che ha portato alla costruzione del concetto di vettore. Nel caso del 
vettore, il segno meno alle tre componenti scalari indica solo una precisa 
coordinata del sistema di riferimento adottato, e quindi non vuole indicare 
un verso (neppure quando il vettore coincide con un asse, visto che in 
realtà rimane un vettore, cioè una terna con un numero magari negativo e due 
zeri per gli altri due assi). Mettere un meno davanti al modulo della 
velocità per invertirne il verso, per me è una specie di "vettorializzazione 
parziale" della grandezza velocità.
Del vettore si prende solo modulo e verso e se ne ignora la direzione, visto 
che è già stata fissata altrimenti. Ma utilizzare i vettori "tutti interi", 
sarebbe a mio avviso più completo e risponderebbe alla ragione perc ui i 
vettori sono stati "inventati". E'solo la spiegazione che miconvince di più, 
ditemi se sbaglio.
Grazie a tutti. 

 troppo si fa questa confusione tra i due tipi di grandezze.
Solo nella fase finale dei calcoli, quando non c'è più alcuna 
possibilità di interpretazione erronea!
Prima si usano i vettori!

Ant.Flav ha scritto:

Dipende dal contesto. Se è chiaro che si sta parlando della
componente, allora si può scrivere  -10Km/h, se è chiaro che si parla
del modulo, è sbagliato scriverlo, se non è chiaro, è bene scrivere
la forma vettoriale.

 chiarisce meglio le idee (pur essendo validissime anchelòe altre). 
Contento tu... Io non ho trovato la "spiegazione"  di Luca 
particolarmente chiara.
Ho la forte sensazione che tu abbia delle idee un po' particolari su 
scalari e vettori. In particolare mi sembra che confondi moduli dei 
vettori con gli  scalari e  inoltre che consideri vettori solo il  caso 
particolare di vettori tridimensionali.
Siccome non capisco che background hai,  provo a spiegare la cosa 
cercando di evitare tecnicismi.
La  definizione di vettore come quantità  dotata di modulo, direzione e 
verso è  onnipresente nei libri di testo delle superiori (e oltre). Non 
è  sbagliata ma occorre capire bene cosa significa realmente e cosa 
viene limitato e cosa no dalla definizione.
Tanto per cominciare non c' è  nessuna limitazione sulle  dimensioni 
dello spazio. Non c'è  da nessuna parte,  nel concetto di quantità 
vettoriale ,l' obbligo di avere a che fare con vettori 3D.  Possiamo 
applicare la definizioen a vettori del piano (2D)  ma anche 1D o  ND. 
Considerare " più  fondamentali" i vettori 3D può  derivare dal come è 
stato introdotto il concetto di vettore la prima volta che uno lo ha 
incontrato ma non proviene da nessun principio né  matematico né  fisico.
Dopo di che,  la definizione a base di modulo, direzione e verso, 
sottolinea uno degli aspetti  caratteristici di grandezze vettoriali e 
cioè  che dato un vettore (non nullo) viene immediatamente individuato 
un  insieme di oggetti  della stessa classe (vettori) ottenibili dal 
vettore dato per semplice moltiplicazione per un numero reale. I vettori 
così  ottenuti possono  essere messi in corrispondenza biunivoca con i 
punti di una retta.  Siccome la retta ha due orientazioni possibili,  il 
verso del vettore corrisponde a scegliere un' orientazione della retta.
Quello che resta implicito nella definizione a base di modulo, 
direzione e verso (per semplicità  la chiamerò  la definizione a 
freccette) sono almeno tre cose molto importanti.
1.  esiste un modo per definire la moltiplicazione di un vettore per un 
numero reale (lo scalare): se r è  un vettore e a uno scalare a*r  è  un 
vettore che ha la stessa direzione, modulo pari al modulo di r per |a| e 
  verso uguale o opposto a quello di r  a seconda che a  sia positivo o 
negativo. Questo permette di sommare vettori con la stessa direzione.
2. esiste un modo per sommare due vettori qualsiasi (anche se non hanno 
la stessa direzione).  Questo corrisponde alla famosa "regola del 
parallelogramma". Nota bene che così  la regola deve essere data "a 
parte" ripetto alla definizione di vettore in quanto non è  contenuta in 
quest' ultima.
3. il modo  operativo  di definire ed assegnare direzione e verso 
presuppone di aver scelto un riferimento che significa di aver scelto un 
certo numero di vettori "indipendenti" (non allineati,  non complanari 
etc...)  rispetto ai quali abbia senso  definire operativamente  la 
direzione  e  il verso. Il numero esatto di questi vettori indipendenti 
  è  la dimensione dello spazio.
Per questo motivi i matematici da tempo hanno sostituito la definizione 
a freccette con una più esplicita in cui si enunciano chiaramente tutti 
  i requisiti fondamentali di un insieme di vettori (per avere un' idea 
prova a guardare sulla pagina di wikipedia relativa a spazi vettoriali).
Una cosa interessante è  che per definire in modo utile un vettore non è 
  neanche necessario essere in grado di attribuirgli un modulo. Questa è 
  una caratteristica in più di cui godono alcuni spazi vettoriali ma non 
tutti.
Tornando alla domanda di partenza, occorre fare attenzione a non 
confondere vettori e scalari. Dal  punto di vista fisico la cosa è 
abbastanza semplice. Alcune proprietà  fisiche sono vettori 
(spostamenti, forze, campi elettrici, ...).  Le proprietà  fisiche in sé 
   non sono numeri (o n-ple di numeri)  ma spostamenti etc. Noi possiamo 
mettere in corrispondenza (tecnicamente rappresentare) queste quantità 
mediante numeri se scegliamo un riferimento (
p.es
. 3 forze indipendenti, 
  cioè  non allineate e non complanari) e  decomponiamo  un vettore 
assegnato come somma dei  vettori del riferimento moltiplicati per 
opportuni scalari. A  questo punto gli scalari (le componenti) 
rappresentano il  vettore dato nel riferimento prescelto (i vettori 
scelti come riferimento).
Rappresentare significa che tutte le affermazioni algebriche che 
possiamo fare sui vettori possono essere tradotte in affermazioni su 
n-ple di scalari (le componenti).
P. es., in termini di componenti  moltiplicare un vettore per -1 
corrisponde a moltiplicare ciascuna delle componenti per -1.
Nota bene che le componenti non sono i moduli e non hanno alcun obbligo 
di essere quantità  positive.
Se allora i vettori sono rappresentabili come n-ple di numeri reali in 
dimensione n,  come faccio a sapere se una quantità rappresentata da un 
solo numero reale è  o meno una quantità  vettoriale in 1 D ? (non può 
essere un vettore in più  di 1D  perché  questi avrebbero bisogno di un 
numero maggiore di numeri reali per essere rappresentati). La risposta è 
semplicemente che non fa differenza.
A stretto rigore ogni quantità  fisica descritta da uno scalare può 
esser considerata un vettore 1D (che non appartiene a nessun sottospazio 
dei vettori posizione 3D). Infatti il numero che rappresenta la 
proprietà  fisica indica quante volte occorre prendere l' unità  di 
misura (omogenea alla quantità  fisica che vogliamo misurare).
P.es.  se dico che una carica elettrica vale 0.02 C posso copnsiderare 
le cariche come vettori 1D  in uno spazio astratto  di cariche 
elettriche in cui l' unico vettore di base (il riferimento)  è  la 
carica di 1 C.
Questo non è  il modo usuale di presentare le cose ma aiuta a capire 
cosa succede quando cambio unità  di misura e perché  non posso sommare 
p.es
. temperature a lunghezze  d' onda  anche se la somma di numeri 
reali è  ben definita.
Non so se con questo sono riuscito a chiariti le idee o a confondertele 
di più ;-). Fammi sapere.
Giorgio

 semplicemente che non fa differenza.
Ti dico cosa intendevo io, finora. Se prendo una retta orientata, e 
dall'origione mi sposto di una certa quantita nel versonegativo, giungendo 
alla quantita -x, -x č unn vettore o uno scalare? Io capisco, sulla base 
delle considerazioni matematiche ineccepibili che hai fatto, la tua 
affermazinone di qui sopra: "non c'č differenza"
Ma io, inmaniera certamente banale, credo - se sto parlando di fisica (e 
nonostante tu mi abbia spiegato come ogni grandezza fisica non vettoriale 
possa essere considerata un vettore 1D) -, che penserŕ a -x come ad un 
vettore di modulo x, direzione quella dell'asse e verso quello negativo 
(quindi -x in sč č la componente sul riferimento 1D del mio vettore), solo 
se ritengo che la grandezza fisica in ballo si intrinsecamente vettoriale 
(cioč nel senso fisico). RIferito alla carica o alla temperatura, a me non 
viene spontaneo parlare di vettore 1D. Chiaro č, a questo punto, che se ci 
riferiamo ad esempio allo spostamento lungo una retta, operare la 
distinzione tra vettore e scalare possa essere inutile. E quindi ciň 
risponde alla mia domanda iniziale.
Ed allora, per vedere se ho capito, provo a rispondermi da solo:
Cosa significa che la veloicitŕ č - 30 m/s? Cos'č quel numero? La componente 
scalare di un vettore o il vettore in sč? Non cěč differenza, nel senso che 
non si puň dire!
Condividi?
Grazie

> Ogni componente di un vettore è uno scalare.
Questo è un errore.
Un vettore (o generalizzando un tensore) è definito dalle sue leggi di
trasformazione.
UNo scalare è invariante, rimane lo stesso in tutti i sist. di
riferimento.
Un vettore si trasforma secondo la matrice di trasformazione per la
trasformazione opportuna (es. Rotazioni, Lorentz x'^i = R_ik x^k).
Quindi le componenti di un vettore sono diverse da un sist. all'altro.
Nei corsi di Fisica Generale  he ho frequentato premevano molto spesso
su questo punto,
ricordandoci che non sono suff. 3 numeri per fare un vettore (pensiamo
alla connsessione affine di Christoffel che è un oggetto a 3 indici ma
nn è un tensore, o la velocità che non è un vettore ... di Lorentz).
Poi ai fini del trhead non conta molto, ma penso fosse giusto
precisare.
Ciao
Stefano

 Condividi?
Qui devi fare attenzione alle ambiguità  del linguaggio.  Cosa intendi 
per velocità ? Supponendo di sapere che ci stiamo riferendo ad un moto 
1D, il "non si può  dire" va inteso come "possiamo equivalentemente 
usare l'  una o l'  altra descrizione".
Da un punto di vista matematico nulla più  del riconoscere che R può 
essere considerato uno spazio vettoriale con R stesso come campo degli 
scalari.  Quindi gli stessi oggetti (numeri reali) rappresentano i 
vettori e le componenti. Dal punto di vista fisico mi sembra più 
naturale considerare -30 m/s  equivalente a prendere la quantità  fisica 
"velocità  nella direzione data pari a 1 m/s"  e usare questa come base 
per rappresentare tutte le altre velocità  sulla linea. Di nuovo, 
sottolineo che in 1D  non c'è  nessuna utilità pratica evidente per 
questo approccio.
Giorgio

 non fa comodo è una necessità!
Non mi sembra una necessita'. Infatti a far cosi' io tipicamente sbaglio 
tutti i conti.
Appena i sistemi che devo studiare diventano un minimo complessi scrivo su 
carta ordinatamente tutti i vettori che vanno sommati o sottratti secondo le 
leggi che sto usando e metto dentro al vettore il segno giusto rispetto al 
sistema di riferimento scelto.
Certe volte invece si preferisce ragionare piu' intuitivamente facendo cose 
del tipo:"ho una forza di x N(modulo quindi) che tira in quella direzione 
rispetto all'asse che sto analizzando quindi ci metto un meno, poi sto 
analizzando il lavoro che fa' su quel tal corpo quindi ci va un altro meno 
pero' succede che.......)
Insomma piuttosto che fare i conti rigorosamente si preferisce leggere il 
modulo dalle formule e poi mettere il verso ad occhio con questo tipo di 
considerazioni tramite il segno.
Che per conti dove non ci si confonde e' molto piu' rapido.
Quando si e' alle superiori  i vettori non si ha ben chiaro cosa sono e non 
li si sa maneggiare speditamente.
E questo uso pur intuitivo di mettere i segni ai moduli dei vettori in 
questo modo, facendo una specie di notazione mista...Confonde tantissimo.
Perche' se poi entra un coseno che mette un meno...Ma quel meno ci va'? 
Oppure ce l'ho gia' messo io prima? 

 secondo la RG, quindi la risposta è si.
Vedi sopra.
Non e' la stessa cosa perche' la massa e' invariante (come l'intendo
io) mentre l'energia e' la componente temporale di un 4-vettore.
Naturalmente chi ama la massa relativistica in realta' sta parlando
dell'energia, per cui essendo la stessa cosa, ha anche lo stesso
effetto.
Ma non e' lo stesso effetto di una massa invariante.
Per es., come ho detto in un altro post, non si riesce a creare un buco
nero solo grazie all'artificio di aumentare la "massa" aumentando la
velocita'...
 
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Elio Fabri