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Titolo: Minimizzazione: errori associati ai parametri e Minuit

Si tratta di una problema più di statistica che altro.
Intanto definiamo il problema fisico, che è un problema comunissimo:
Ho un set di dati sperimentali, N punti (Y,X), dove i valori Y sono
affetti da errori noti (mentre le X si possono assumere privi di
errori).
E poi ho un modello teorico che descrive  y= f(x; a,b), dove a e b
sono i parametri da stimare (diciamo 2 parametri).
A questo punto l'approccio standard per stimare p e q è quello di fare
un "fit", cioè trovare qual è il valore
della coppia (A,B) per ci la funzione f(x) riproduce meglio i dati
osservati. Un criterio popolare è quello dei minimi quadrati, cioè la
miglior stima (A,B) è quella per cui il  "chi-quadro" (Chi2)
corrispondente assume valore minimo.
Siccome f(x; a,b) non è una semplice funzione analitica, ma è
costruita in maniera molto complessa, allora ho stimato i parametri
usando MINUIT, un programma che minizza una generica funzione, detta
"FCN", restituendo i parametri (nel nostro caso A e B) per cui la FCN
è minima. MINUIT restituisce anche gli errori associati a questa
stima, dA e dB. E volendo anche la loro (matrice di) correlazione.
Ora veniamo al mio dubbio.
A quanto ho letto in giro, perché gli errori sui parametri assumano
corretto il significato statistico (ad esempio dA e dB devono essere
corrispondenti a una sigma, cioè associati al 68% di probabilità
etcetc.)
è sufficiente (e necessario) che la FCN corrisponda al Chi-quadro del
problema.
Il fatto è che, a quanto ne so, gli errori dipendono anche dal numero
di *gradi di libertà* del problema
(in sostanza dato dal il numero di punti usati per calcolare il
Chi2).
Per capirsi, se dovessi fare il fit e cercare gli errori "a
mano" (cioè senza Minuit) definirei gli intervalli di incertezza di A
e B come i ranges di possibili valori (per A e B)  per i quali il Chi2
è inferiore a un valore critico "Chi2Cut", dove questo Chi2Cut dato
dalla condizione "P-value" = 68%. Il calcolo di questo valore critico
(in pratica è la coda dell'integrale della distribuzione statistica
del chi-quadro) *dipende* dal numero di gradi di libertà del problema.
(Nota: forse ho confuso P con 1-P, ma non è questo il problema).
Ma tornando al calcolo Minuit, qui ho un programma che minimizza un
Chi-quadro senza conoscere il numero di gradi di libertà del problema
(perché non gli vengono comunicati).
Come è possibile che calcoli correttamente gli errori sui parametri??
D'altra parte va detto Minuit calcola la Chi-quadro per tutti i valori
di A e B. Cioè usa la "forma" della funzione
Chi2=Chi2(A,B) attorno al minimo (sarà una funzione a forma di buca)
per determinare l'intervallo di incertezza.
Per cui la mia domanda, in definitiva, è:
-E' possibile conoscenzo la "forma" del Chi-quadro in funzione di A e
B, ottenere le incertezze associate dA e dB *senza* conoscere i gradi
di libertà con cui il Chi-quadro è stato calcolato??
E nello specifico:
-Posso fidarmi degli errori stimati da Minuit?

 -Posso fidarmi degli errori stimati da Minuit?
_Mi sembra_ di capire che per default Minuit stimi gli errori
sui parametri in termini di ellisse di errore, cioe' la curva
lungo la quale il valore di FCN aumenta di 1, v. cap 7 di:
http://wwwinfo.cern.ch/asdoc/minuit/minuit.ps
allora questi errori sarebbero appunto quelli che nel caso del
minimo Chi^2 e ricavati per massima verosimiglianza
corrisponderebbero a una deviazione standard sui valori
dei parametri.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani

 invoca Hesse e Minos dopo la minimizzazione.