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Titolo: Semplice quesito sulla MQ

Saluti a tutto il gruppo.
Volevo sottoporvi un semplice quesito sulla MQ la cui risposta ho tentato inutilmente di trovare da solo tramite varie ricerche, ma invano.
Pertanto posto qua il mio semplice quesito che gli esperti del gruppo troveranno sicuramente banale.
 
Eccolo: si consideri una particella massiva in moto. Ad essa è associata la funzione d'onda di Schrödinger. Sappiamo che il quadrato del suo modulo, al tempo t, da la probabilità di trovare la particella in ogni punto dello spazio.
 
Supponiamo ora di effettuare, al tempo T e nel punto X, una misura di posizione: ovvero, una misura che ci dica se la particella, al tempo T e nel luogo X, si trovi effettivamente là. Supponiamo inoltre che la misura ci dica che la particella *non* si trovi in quel punto, sia assente.
 
 
Il mio quesito è il seguente: il fatto di aver effettuato una misura alla ricerca della presenza della particella in un punto e di non averla rilevata, fa collassare la funzione d'onda in una posizione X1, posizione che peraltro è a noi ignota, dato che noi abbiamo effettuato la misura *solamente* nel punto X? Oppure la nostra misura non fa collassare la funzione d'onda che continua ad evolversi secondo l'equazione di Schrödinger?
Spero di aver reso il mio quesito ben chiaro e di ricevere una vostra gradita risposta.
Ciao.
 
Sergio.

 secondo l'equazione di Schrödinger?
 
In generale certamente no, la funzione d'onda collassa e
poi riprende a evolversi in base alla nuova equazione di
Schroedinger.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Il mio quesito � il seguente: il fatto di aver effettuato una misura alla ricerca della presenza della particella in un punto e di non averla rilevata, fa collassare la funzione d'onda in una posizione X1, posizione che peraltro � a noi ignota, dato che noi abbiamo effettuato la misura *solamente* nel punto X? 
 
 
Si, collassa in un qualche X1=/=X (con X si deve intendere un volume infinitesimo dV centrato su X) al tempo della misura, e di li' ricomincia ad evolvere seguendo un nuovo Schroedinger con spazio e tempo iniziali dati da X1 e T

 Giorgio Bibbiani
 
Ciao Giorgio.
La tua spiegazione � certamente molto chiara ma voglio verificare se ho veramente capito bene.
 
Quindi, dopo la misura nella regione X, la nuova funzione d'onda  si modifica in modo tale da fornire una probabilit� nulla in X e non nulla in U-X, giusto?
Quindi si pu� parlare di "addattamento" pi� che di "collasso", come nel caso se si fosse trovata la particella.
Ho capito bene?
Ciao e grazie per la tua risposta!
 
Sergio.

 di "collasso", come nel caso se si fosse trovata la particella.
 
Avvertenza: vado a memoria, chiedo venia in anticipo per
le probabili inesattezze...
 
Io direi che si possa parlare di collasso anche in questo caso,
certo dipende tutto da come si *definisca* la misura della
presenza della particella in X.
Consideriamo un operatore di proiezione P che misuri la presenza
della particella in X, questo operatore ha solo due autovalori,
1 se la particella si trova in X e 0 se si trova altrove, in
rappresentazione di Schroedinger l'effetto di P su una funzione
d'onda |psi>, a meno della normalizzazione, e' di moltiplicarla
per la funzione indicatrice di X, I_X:
 
P |psi> = I_X |psi>,
 
ogni stato |psi> della particella sara' allora sovrapposizione di due
autovettori di P, |psi> = alfa |0> + beta |1>, se dopo una misura di
P sullo stato |psi> si trovera' l'autovalore 0 allora lo stato della
particella dopo la misura sara' la proiezione ortogonale di |psi>
sullo spazio U \ X, cioe' sara' |0>.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 tempo iniziali dati da X1 e T
 
Perche' dovrebbe collassare necessariamente in X1?
Senza avere ulteriori informazioni sulle modalita' del
processo di misura di posizione, tutto cio' che si puo'
dire e' che avendo misurato che la particella non si
trova in X allora subito dopo la misura la sua nuova
funzione d'onda |psi'> avra' supporto in U \ X (ove U
e' la regione di spazio complessivamente accessibile
alla particella, un fissato sottoinsieme di R^3), non e'
detto che |psi'> debba avere come supporto un
qualche volumetto infinitesimo...
 
Faccio un esempio, supponiamo che la particella
sia una molecola contenuta in un cilindro con stantuffo
mobile, inizialmente la sua funzione d'onda |psi> abbia
ad es. come supporto tutto il volume V del cilindro,
ora spostando lo stantuffo riduciamo il volume a V'
contenuto in V, in generale allora la nuova funzione
d'onda |psi'> avra' supporto contenuto in V' ma non
necessariamente di volume infinitesimo.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Io direi che si possa parlare di collasso anche in questo caso,
 > certo dipende tutto da come si *definisca* la misura della
 > presenza della particella in X.
 > ...
Ha già detto tutto Giorgio, e sono d'accordo.
In ogni caso si tratta di collasso.
Forse il punto centrale è chiarire bene che non è possibile fare
un'esatta misura di posizione, né dal punto di vista fisico né da
quello matematico:
- dal pdv fisico perché ogni strumento ha una risoluzione finita
- dal pdv matematico perché l'operatore che rappresenta l'osservabile
posizione ha uno spettro continuo, e non ha autovalori e autovettori in
senso proprio.
Perciò bisogna inventare un'osservabile che schematizzi meglio una
reale operazione di misura; come ha fatto Giorgio col suo proiettore
P, che ha due autovalori, 0 e 1, e due sottospazi corrispondenti,
quello S1 delle funzioni a supporto in X per l'autovalore 1, quello S0
delle funzioni nulle in X per l'autovalore 0.
I due sottospazi S0 e S1 sono tra loro ortogonali e insieme generano
l'intero spazio delle f. d'onda.
 
Una misura di P darà o il risultato 1 oppure 0: nel primo caso, la
funzione psi(x) collasserà nella sua proiezione su S1, definita da
psi1(x) = psi(x) se x è in X
           0 altrimenti.
Nel secondo caso collasserà in psi2(x) definita da
psi2(x) = 0 se x è in X
           psi(x) altrimenti.
O meglio, psi1 e psi2 andrebbero definite normalizzate: il fattore di
normalizzazione al quadrato è proprio l'inverso della prob. di trovare
quel risultato.
 
Si vede bene che tra psi1 e psi2 non c'è nessuna differenza di
principio: sono entrambe funzioni in cui collassa psi dopo la misura.
Come non c'è nessuna differenza tra X e il suo complementare: sono due
insiemi esclusivi di posizioni, che il nostro schematico misuratore di
posizione sa distinguere.
Disponendo di più contatori si potrebbe arricchire la casistica,
aumentando gli autovalori e i sottospazi possibili, ma senza
differenze di sostanza.
-- 
Elio Fabri

Grazie mille Giorgio ed Elio per la vostre risposte, che mi hanno finalmente aiutato a capire bene lo scenario da me descritto.
Ciao!
 
Sergio.

 qualche volumetto infinitesimo...
 
Io avevo capito che secondo marcofuics X fosse un "volumetto 
infinitesimo", ed X1 il suo complementare (quello che hai chiamato Y).
 
Ma non si dovrebbe piuttosto limitare il valore non nullo di |psi'> al 
solo sottospazio in cui la proiezione sugli autovettori relativi 
all'autovalore X e ai suoi vicini sia nulla?
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 relativi all'autovalore X e ai suoi vicini sia nulla?
 
Non e' forse la stessa cosa che avevo scritto sopra? ;-)
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 qualche volumetto infinitesimo...
 
si
capisco quello che intendi
una misurazione che mi dica quello che tu stai intendendo sarebbe una sorta di "trappola".
 
Se scatta al tempo T allora a quel tempo la particella si <<materializza>> proprio li', ha collassato in quella esatta posizione in cui avevo posto la trappola, X. 
E se no?
Dire che la trappola non scatta significa che la nostra funzione d'onda ancora e' tale, potenziale, e quindi non ha subito alcun collasso.

 Dire che la trappola non scatta significa che la nostra funzione d'onda ancora e' tale, potenziale, e quindi non ha subito alcun collasso.
 
C'e' qualche cosa che non mi torna.
 
Se so che P non e' in X, ho fatto o no una misura?
 
Perche' se misuro allora il collasso viene a significare solo che ho attuato una irreversibilita' micro-macro al sistema, facendolo passare dalla sovrapposizione di autostati possibili a quel preciso autostato.
 
 
 
Se invece io da uno intero spazio delle posizioni a disposizione tolgo solo quella parte di spazio (a misura nulla) mi sa che non avviene alcun collasso in termini di irreversibilita' strumentale in cui precipita il sistema, quella per cui il sistema particella+strumento da un iniziale stato metastabile precipita in modo irreversibile in uno o in un altro dei suoi stati stabili.