Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Resistenza all'urto al cambio di SRI

 
Mi sono imbattuto su facebook in una questione banale, relativa alle trasformazioni di Lorentz, che mi ha portato ad un’altra questione, apparentemente altrettanto banale, e che però mi lascia in scacco.
 
Permettetevi di rappresentarla con un esempio, mi piacerebbe mi indicaste il punto (o i punti, sono propenso a credere che siano più d’uno) in cui sbaglio.
 
Diciamo che sono un vetraio e un gioielliere mi chiede di realizzare un vetro antiproiettile che resista al proiettile tal dei tali (massa, forma, caratteristiche del materiale note). 
 
 
 
Mi parrebbe ragionevole dire che, noto il proiettile, per sapere se ho fatto un buon lavoro mi manca ancora di conoscere a che velocità viene accelerato dalla pistola. Siccome la risposta potrebbe essere “dipende dalla pistola che usi”, faccio una serie di esperimenti e concludo che se il ladro usa la pistola x resta fuori, ma se invece usa la pistola y il vetro non regge. Immaginando che le pistole possano anche essere “infinite” in buona sostanza concludo che il mio vetro regge fino a una v fissata, e non oltre.
 
Questo naturalmente viene sperimentalmente verificato nel sistema di riferimento in cui il vetro è fermo, ed in cui il parametro che ho individuato è la velocità del proiettile.
 
 
 
Se però passo ad un sistema di riferimento in cui il vetro non è fermo, e nemmeno il proiettile, con cosa sostituisco il parametro “velocità del proiettile”? Mi parrebbe ragionevole dire: la somma delle velocità di vetro e proiettile nel nuovo riferimento. Questo numero però, pur essendo parente strettissimo (per velocità basse), della velocità del proiettile nell'altro riferimento, non è a rigore uguale.  Basta usare “proiettili relativistici” (e vetri resistentissimi) per rendersene conto.
 
 
Tuttavia il fenomeno (vetro si rompe si/no) è un fatto obiettivo, indipendente dal fatto che lo analizzi in questo o quel sistema. Quindi come faccio ad analizzare il fenomeno nel riferimento non solidale al vetro? Non posso farlo così, e devo per forza ricondurmi ad un problema d’urto svolto in modo diverso? La resistenza del vetro non è invariante al cambio di riferimento? 
In poche parole, se il gioielliere mi denuncia perché il mio vetro fa schifo come affronta la questione il CTU del tribunale?

 Tuttavia il fenomeno (vetro si rompe si/no) è un fatto obiettivo, indipendente dal fatto che lo analizzi in questo o quel sistema. Quindi come faccio ad analizzare il fenomeno nel riferimento non solidale al vetro? Non posso farlo così, e devo per forza ricondurmi ad un problema d’urto svolto in modo diverso? La resistenza del vetro non è invariante al cambio di riferimento?
 
...
 
Intendo che la velocità del proiettile sia sempre diretta perpendicolarmente al vetro nel riferimento K_v del vetro.
 
Io non ho capito bene quale sia il problema: per un dato vetro e per un dato tipo di proiettile,
 
nel riferimento K_v si potrà determinare la massima velocità v_max  che il proiettile potrà
 
avere perché non rompa mai il vetro, questa è una velocità relativa al vetro, in un altro
 
riferimento K nel quale vetro e proiettile abbiano entrambi velocità non nulle, per capire se
 
il proiettile romperà o no il vetro, basterà trasformare la velocità del proiettile da K a K_v
 
e poi confrontarla con v_max per poter prevedere il risultato dell'urto.
 
Ciao
 
-- 
 
Giorgio Bibbiani

tuc...@katamail.com
 ha scritto:
 > Diciamo che sono un vetraio e un gioielliere mi chiede di realizzare
 > un vetro antiproiettile che resista al proiettile tal dei tali
 > (massa, forma, caratteristiche del materiale note).
 > ...
 > Questo naturalmente viene sperimentalmente verificato nel sistema di
 > riferimento in cui il vetro è fermo, ed in cui il parametro che ho
 > individuato è la velocità del proiettile.
 >
 > Se però passo ad un sistema di riferimento in cui il vetro non è
 > fermo, e nemmeno il proiettile, con cosa sostituisco il parametro
 > "velocità del proiettile"?
 > ...
 > Tuttavia il fenomeno (vetro si rompe si/no) è un fatto obiettivo,
 > indipendente dal fatto che lo analizzi in questo o quel sistema.
 > Quindi come faccio ad analizzare il fenomeno nel riferimento non
 > solidale al vetro?
 > ...
 > come affronta la questione il CTU del tribunale?
L'ultima frase che hai scritto è la più divertente :-)
Occorre un "consulente relativistico" :-D
 
Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Io non ho capito bene quale sia il problema: per un dato vetro e per
 > un dato tipo di proiettile, nel riferimento K_v si potrà determinare
 > la massima velocità v_max  che il proiettile potrà avere perché
 > non rompa mai il vetro, questa è una velocità relativa al vetro, in
 > un altro riferimento K nel quale vetro e proiettile abbiano entrambi
 > velocità non nulle, per capire se il proiettile romperà o no il
 > vetro, basterà trasformare la velocità del proiettile da K a K_v e
 > poi confrontarla con v_max per poter prevedere il risultato
 > dell'urto.
Se provi a leggere questa tua frase ad alta voce, vedrai che ti
mancherà il fiato :-)
 
Scherzi a parte, questa è la soluzione più semplice se la vel. di v
rispetto a K_v è perpendicolare al vetro.
Altrimenti la trasf. diventa complicata e conviene seguire un'altra
strada.
Sospetto che l'OP si sia messo nella prima ipotesi (vel. perpend.)
quindi non dico di più a meno che non chieda di vedere la sol.
generale.
-- 
Elio Fabri

 Io non ho capito bene quale sia il problema: 
 >
 
Forse: esprimere l'invariante che si calcola con un cambio di sistema di 
riferimento in una maniera tale che l'invarianza si colga dalla stessa 
espressione.


Valga ancora l'ipotesi già espressa sulla direzione della velocità del proiettile relativa al vetro.
 
 
Io rimango ancora perplesso, la velocità che in precedenza ho chiamato v_max
 
è già ovviamente un invariante, per come è stata definita...
 
Se il problema è riconoscere "facilmente" se venga superata,
 
qualunque sia la scelta del riferimento relativamente al quale proiettile
 
e vetro possano avere velocità non nulle, si può usare la rapidità:
 
se relativamente a un dato riferimento il proiettile ha rapidità alpha_p
 
e il vetro alpha_v allora la rapidità del proiettile rispetto al vetro sarà
 
alpha_p - alpha_v, che si potrà immediatamente confrontare con il
 
suo massimo valore accettabile arctanh(v_max / c).
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 Mi sono imbattuto su facebook in una questione banale, relativa alle trasformazioni di Lorentz, che mi ha portato ad un’altra questione, apparentemente altrettanto banale, e che però mi lascia in scacco.
 
Se ho ben capito cosa ti gira per la testa, allora dico che il tuo 
problema è malposto.
Non è possibile rispondere perché manca un dato: la massa del vetro.
A rigore ne mancano due, serve anche la massa del proiettile, per 
quanto, nell'ipotesi sottintesa massa del proiettile<<massa del vetro, 
si ha che la massa del proiettile si può approssimativamente trascurare.
 
La soluzione che banalizza il problema (quella riportata da Giorgio 
Bibbiani), in realtà vale solo nell'ipotesi che il vetro *non sia 
resistentissimo*, cioè che, per spaccarlo, non sia necessario un 
proiettile ultrarelativistico (in realtà più che ulrarelativistico, è 
necessario conoscere la massa del vetro quando la velocità del 
proiettile dà un gamma>>massa_vetro/massa_proiettile, potrebbe non 
essere necessario se fosse soltanto gamma>>1).
 
Sia K il riferimento in cui è fisso il vetro, e, in K, sia p_max il 
valore massimo della quantità di moto del proiettile per il quale il 
vetro non si rompe. Dette m e M rispettivamente le masse di proiettile e 
vetro, si ha che, in K, la velocità del centro di massa (salvo errori) è
v_cm=p_max*c/(Mc+Sqrt[m^2c^2+p_max^2]).
Si noti che, se p_max>>Mc (ipotesi che potrebbe essere soddisfatta anche 
se fosse m<<M), allora si ha v_cm<~c.
 
Nel riferimento del centro di massa siano p_cm e P_cm le quantità di 
moto rispettivmente di proiettile e vetro. Naturalmente sarà P_cm=-p_cm.
Si ottiene, sempre salvo errori,
p_cm=p_max * Mc/Sqrt[M^2c^2+m^2c^2+2McSqrt[m^2c^2+p_max^2]] (*).
 
Il vetro si spacca quando p_cm soddisfa la (*).
Quindi, osservando il fenomeno da un qualsiasi altro riferimento, K', 
dette p' e P' le quantità di moto di proiettile e vetro in K', si 
determina la quantità di moto di proiettile e vetro nel riferimento del 
centro di massa, viene
p_cm(p',P')=(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])^2-(p'+P')^2],
e, se la p_cm(p',P') è maggiore della p_cm data dalla (*), allora il 
vetro si rompe.
 
Dalla (*) risulta evidente che, se p_max<<Mc (come è sempre 
ultraverificato per ogni situazione di proiettili e vetri reali), allora 
si ha
p_cm<~p_max,
che è la soluzione proposta da Bibbiani,però, nel caso di proiettile 
ultrarelativistico, cioè p_max>>Mc, si ha
p_cm<~Sqrt[Mc p_max/2]
il che rende evidente che l'ipotesi M>>m rende superflua la conoscenza 
della massa M *solo* se pc_max<<Mc.
 
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (Anonimo, attribuito a G. 
Apollinaire)
 
 
-- 
Questa email è stata esaminata alla ricerca di virus dal software antivirus AVG.
www.avg.com
 

 stessa espressione.
 
Sia data la precedente ipotesi sulla direzione della velocità del proiettile relativa al vetro.
 
Siano u_p e u_s le quadrivelocità di proiettile e specchio,
 
il prodotto scalare ps := u_p . u_s è invariante e, con la metrica -+++,
 
calcolato nel riferimento dello specchio vale -gamma(v_p),
 
che in modulo è una funzione crescente della velocità v_p del proiettile
 
e calcolato relativamente a un riferimento arbitrario permette di stabilire
 
se il modulo di v_p nel riferimento dello specchio risulti maggiore o no di v_max
 
a seconda che |ps| risulti o no maggiore di gamma(v_max).
 
Comunque tutti i metodi citati si equivalgono sostanzialmente, stiamo sempre
 
sfruttando il Princìpio di Relatività per riconoscere che la descrizione del fenomeno
 
si può ricondurre a quella che risulta nel riferimento dello specchio...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 A rigore ne mancano due, serve anche la massa del proiettile...
 
 
 
Grazie per la risposta, probabilmente sarei in grado di seguire la risposta inerente l'analisi con la quantità di moto, ma non l'ho fatto perchè temo di non essermi spiegato bene. 
Avevo anche scritto una breve risposta ad un altro intervento ieri, spero nel frattempo non venga pubblicato perchè sembrerei davvero 
 
Ho già esplicitamente detto che le caratteristiche del proiettile sono note (ne ho elencate alcune: massa, forma, materiale); ma implicitamente anche del vetro.
 
Io semplicemente ho in mente questi fatti, almeno uno dei quali deve essere sbagliato. Vorrei capire come si analizza questo problema al cambio di riferimento, ammesso sia possibile farlo, senza cambiare approccio (cioè senza fare il calcolo che mi hai gentilmente illustrato)
 
1) costruisco un vetro e verifico sperimentalmente che non si infrange e trattiene il proiettile tal dei tali (completamente noto)  fino diciamo a 0.88c (uso velocità irrealistiche per rendere più evidente l'effetto composizione delle velocità);
 
 
2) un laboratorio non solidale al vetro verifica che il medesimo proiettile che viaggia (nel riferimento del vetro) a 0.88 c viaggia a 0.6c e il vetro a 0.6c nell'altro verso. Come può ragionare il tecnico di laboratorio che assiste all'urto se vuole prevederne l'esito avendo in mando la mia garanzia di vetraio?
 
Certamente può farsi i conti relativi alle condizioni sperimentali in cui il certificato è prodotto, applica Lorentz, verifica che il proiettile si muove a 0.88c e pertanto è border line rispetto alla rottura/non rottura.
 
 
Però questo mi sembra un trucco. Restando nel mio laboratorio a me verrebbe da dire che la velocità limite andrebbe paragonata alla somma delle due velocità nel mio riferimento (ossia 1.2c), ma allora evidentemente trarrei una conclusione sbagliata, perchè prevederei una catastrofica rottura. 
Evidentemente quindi commetto uno o più probabilmente più errori, e non so individuarli. 
Avevo già risposto in un messaggio non publicato: sì, assumo che la velocità sia ortogonale al vetro.

 A rigore ne mancano due, serve anche la massa del proiettile,...
 
Secondo me, una volta riconosciuto che nel riferimento del vetro si definisce il valore
 
v_max come in precedenza, allora il problema risulta puramente di cinematica,
 
come da mie risposte precedenti.
 
...
 
 > p_cm(p',P')=(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])^2-(p'+P')^2],
 
...
 
L'equazione sopra è dimensionalmente scorretta.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 p_cm(p',P')=(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p^2]+Sqrt[M^2c^2+P^2])^2-(p'+P')^2],
 
p_cm(p',P')=(P' Sqrt[m^2c^2+p'^2]+p' 
Sqrt[M^2c^2+P'^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+P'^2])^2-(p'+P')^2]
 
Ricordando la definizione di p_cm data dalla (*) del mio precedente 
post, sembrerebbe che la disequazione che, in base al mio discorso, 
dovrebbe certificare che il vetro non si rompe, cioè
 
p_cm(p',P')<p_cm
ovvero
(P' Sqrt[m^2c^2+p'^2]+p' 
Sqrt[M^2c^2+P'^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+P'^2])^2-(p'+P')^2] 
   <
p_max * Mc/Sqrt[M^2c^2+m^2c^2+2McSqrt[m^2c^2+p_max^2]]
 
si debba poter esprime solo in termini u_max=p_max/m, u'=p'/m e U'=P'/M 
(cioè la risposta alla domanda "il vetro si rompe?" è esclusivamente 
cinematica).
Anche nel caso limite p_max>>Mc (e M>>m), quando la disequazione si 
approssima a
(P' Sqrt[m^2c^2+p'^2]+p' 
Sqrt[M^2c^2+P'^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+P'^2])^2-(p'+P')^2] 
   <
Sqrt[M c p_max/2]
mettendola solo in termini di u_max, u' e U' a me pare rimangano termini 
in m/M e in (m/M)^2 che non vedo come possano scomparire.
Avrò sbagliato i calcoli, ma li ho controllati con Mathematica, boooh
 
Ciao,


Ho scritto:
 
...
 
 > (2)  p_cm^2 =  p'_max^2 M^2 / (m^2 + M^2 + 2M Sqrt[p'_max^2 + m^2])
 
 > cioè il massimo valore della q.d.m. che il proiettile può avere nel c.d.m.
 
 > dipende non solo da quello che può avere in K' ma anche dalle 2 masse,
 
 >il ché è plausibile
 
...
 
 
Detto meglio, dato che la velocità del sistema del c.d.m. rispetto a K'
 
dipende anche dai valori delle 2 masse, è prevedibile che il valore di
 
p_cm relativo a quel sistema dipenda anch'esso dalle 2 masse...
 
RiCiao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 p_cm(p',P')=(P' Sqrt[m^2c^2+p'^2]+p' Sqrt[M^2c^2+P'^2])/Sqrt[(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+P'^2])^2-(p'+P')^2]
 
...
 
Anche la formula sopra non mi sembra corretta:
 
consideriamo il caso limite per cui K' sia già il sistema "del c.d.m.",
 
cioè p' = -P', allora risulterebbe
 
p_cm(p',-p') = p'(-Sqrt[m^2c^2+p'^2]+ Sqrt[M^2c^2+p'^2])/(Sqrt[m^2c^2+p'^2]+Sqrt[M^2c^2+p'^2])
 
che in modulo è diverso da |p'|, come invece dovrebbe essere.
 
Credo che per un refuso il segno + tra gli addendi a numeratore abbia
 
sostituito il corretto segno -, allora la formula sopra coinciderebbe con
 
quella che ricavo a seguito.
 
 
I 2 quadrimomenti in K' abbiano componenti (c = 1, considero solo una dimensione spaziale)
 
(Sqrt[p'^2 + m^2], p') e (Sqrt[P'^2 + M^2], P'),
 
nel riferimento del c.d.m. nel quale la parte spaziale del quadrimomento totale è nullo hanno componenti
 
(Sqrt[p_cm^2 + m^2], p_cm) e (Sqrt[p_cm^2 + M^2], -p_cm)
 
essendo il loro p.s. invariante si ha
 
- Sqrt[(p'^2 + m^2)(P'^2 + M^2)] + p' P' = -Sqrt[(p_cm^2 + m^2)(p_cm^2 + M^2)] - p_cm^2  =>
 
(1)  p_cm^2 = (2 p'^2 P'^2 - 2 p' P' Sqrt[(p'^2 + m^2)(P'^2 + M^2)] + p'^2 M^2 + P'^2 m^2) /
 
(m^2 + M^2 - 2 p' P' + 2Sqrt [(p'^2 + m^2)(P'^2 + M^2)]).
 
 
Verifichiamo la (1) in alcuni casi limite:
 
- se M = 0 e P' = 0 allora |p_cm| = 0
 
come deve essere perché il riferimento del c.d.m. è quello del corpo di massa m
 
- se p' = -P' allora |p_cm| = |p'|
 
come deve essere perché il riferimento del c.d.m. è K'.
 
 
Imponiamo ora che K' sia il riferimento di quiete del vetro (P' = 0) e
 
che allora p' assuma il valore massimo p'_max, si ottiene:
 
(2)  p_cm^2 =  p'_max^2 M^2 / (m^2 + M^2 + 2M Sqrt[p'_max^2 + m^2])
 
cioè il massimo valore della q.d.m. che il proiettile può avere nel c.d.m.
 
dipende non solo da quello che può avere in K' ma anche dalle 2 masse,
 
il ché è plausibile considerando che nella legge di trasformazione della q.d.m.
 
compaiono anche le masse (nella formula dell'energia, ovverosia come quadrato
 
invariante del quadrimomento), diversamente dal caso della velocità...
 
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani


(u_max/c) / Sqrt[1+eps^2+2epsSqrt[1+(u_max/c)^2]].
 
Ora, dire che il problema è cinematico equivale a dire che la (***) deve 
potersi scrivere in temini di soltanto b', B' e u_max/c, cioè deve 
potersi "semplificare" la eps.
E non riesco proprio a vedere come ciò sia possibile.
 
Questo è il mio problema. Ho cercato di fare i salti mortali con 
Mathematica ma non ci sono riuscito (si fa per dire, in realtà, come è 
peraltro evidente, con Mathematica riesco a fare sì e no qualce 
capriola). Mi veniva sempre che la eps non poteva scomparire. Per 
questo, prima del tuo intervento indiscutibile, avevo detto che il 
problema era dinamico.
Però, certo, non è un gran problema. Sul fatto che la eps debba poter 
scomparire dalla (***) direi che non debbano esserci dubbi. Il fatto che 
io non riesca a farla scomparire può avere la semplice spiegazione che 
io non so usare Mathematica :-).


 Il punto è che, come hai fatto notare tu correggendo quanto avevo detto io, il problema è *cinematico*.
 
Si suppone che il proiettile di massa m spezzi il vetro di massa M
 
solo se la sua velocità relativa al vetro e diretta perpendicolarmente
 
al vetro sia maggiore di v_max.
 
 
Siano v e V le velocità di proiettile e vetro relative a un riferimento K', allora
 
la velocità del riferimento del c.d.m. rispetto a K' dipende da m e M, trasformando
 
v e V nel riferimento del c.d.m. anche le velocità trasformate v_cm e V_cm
 
dipenderanno da m e M, e anche la condizione che stabilirà se per una data v_cm
 
il vetro allora si spezzerà dipenderà da m e M: il problema _è_ di cinematica,
 
ma le masse compaiono necessariamente perché abbiamo (hai...;-)
 
deciso di risolverlo nel riferimento  del c.d.m..
 
 
Dato che ciò che si calcola nel caso generale relativistico (risultato che ho già scritto)
 
deve valere anche nel limite non relativistico, provo a convincerti con il
 
calcolo immediato nel caso n.r.:
 
relativamente al riferimento del vetro, il riferimento del c.d.m. ha velocità
 
v m / (m + M), la velocità del proiettile trasformata al c.d.m. è v_cm = v M / (m + M),
 
la condizione che deve essere soddisfatta perché il vetro non si spezzi è
 
v_cm < v_max M / (m + M).
 
Come vedi, il problema rimane di cinematica, ma le masse compaiono
 
nella soluzione perché abbiamo arbitrariamente deciso di risolverlo
 
relativamente al riferimento del c.d.m..
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 (***) (v'-V')*M/(m+M)>v_max*M/(m+M)<->v'-V'>v_max.
 
Va bene, ma allora hai semplicemente riscritto che la velocità del proiettile
 
relativa al vetro, ovverosia la velocità del proiettile nel riferimento del vetro,
 
non può superare v_max, ed è sparita la _sola_ velocità del proiettile nel riferimento
 
del c.d.m..
 
Anche nel caso relativistico, come già scritto, si ottiene un risultato
 
analogo in cui viene a mancare la dipendenza da m e da M,
 
ragionando con le rapidità o le quadrivelocità di _entrambi_
 
i corpi relative a un riferimento arbitrario.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 Ciao 
 
Ciao,
Bruno Cocciaro