Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Si può derivare la forza di Lorentz direttamente dalle equazioni di Maxwell?

 
Lo so, probabilmente è un argomento trito e ritrito ma, essendo di nuovo incappato in questa discussione con dei colleghi/amici, mi interessa sapere da Voi lo stato dell'arte.
 
 
So che si può derivare la forza di Lorentz assumendo che l'interazione cariche-campi venga introdotta mediante l'accoppiamento minimale, compatibile con l'invarianza di gauge: p->p-q/c*A, dove p=impulso, A=potenziale vettore.
 
 
 
So anche che, se si calcola l'energia contenuta in un condensatore con cariche +q e -q, e si deriva rispetto alla distanza tra le piastre x, si trova una forza f=dU/dx che è effettivamente proporzionale a q*E; mentre il termine magnetico dell'espressione f=q(E+vxB) lo si può ottere mediante una trasformazione di Lorentz di velocità v.
 
 
 
La mia domanda dunque è: perchè occorre ricorrere a cose tipo l'invarianza di gauge per tirar fuori la forza di Lorentz dalle equazioni di Maxwell, quando già il semplice condensatore, più l'espressione della densità di energia elettrica u, danno già una risposta che è quasi quella giusta?
 
grazie,
Michele


Non mi sono documentato prima di scrivere, ci ho solo pensato un po'. 
Quindi non rispondo sullo stato dell'arte ;-)
 
Ad occhio:
 
1) La forza di Lorentz è la definizione del campo. Questo secondo me 
implica che le derivazioni della forza di Lorentz dalle equazioni di 
Maxwell non sono tali, perché ipotizzano proprietà delle equazioni che 
sono vere solo perché la forza ha la forma di Lorentz.
 
2) A naso, l'accoppiamento minimo è valido perché dà le equazioni del 
moto corrette, quindi si basa sulla definizione di campo
 
3) Sempre a naso ma parzialmente, parzialmente a memoria, e parzialmente 
scavando nella comprensione delle cose che mi è rimasta in mente, 
l'espressione dell'energia del campo e.m. si ottiene utilizzando il 
lavoro del campo elettromagnetico sulle cariche, e quindi di nuovo 
dipende dalla definizione di campo.

 dipende dalla definizione di campo.
 
Però, l'espressione della densità di energia elettromagnetica si può estrarre come
componente T00 del tensore energia impulso, il quale si può derivare direttamente dalla lagrangiana
del campo e, mi pare di capire, senza parlare direttamente di forza e lavoro ...
 
ciao
 
 

 
 
Come sai che la Lagrangiana che deriva dall'accoppiamento minimo è corretta?

Michele Andreoli ha scritto:
 > So che si può derivare la forza di Lorentz assumendo che
 > l'interazione cariche-campi venga introdotta mediante l'accoppiamento
 > minimale, compatibile con l'invarianza di gauge: p->p-q/c*A, dove
 > p=impulso, A=potenziale vettore.
 >
 > So anche che, se si calcola l'energia contenuta in un condensatore
 > ...
 > La mia domanda dunque è: perché occorre ricorrere a cose tipo
 > l'invarianza di gauge per tirar fuori la forza di Lorentz dalle
 > equazioni di Maxwell, quando già il semplice condensatore, più
 > l'espressione della densità di energia elettrica u, danno già una
 > risposta che è quasi quella giusta?
 
JTS ha scritto:
 > 1) La forza di Lorentz è la definizione del campo. Questo secondo me
 > implica che le derivazioni della forza di Lorentz dalle equazioni di
 > Maxwell non sono tali, perché ipotizzano proprietà delle equazioni
 > che sono vere solo perché la forza ha la forma di Lorentz.
 >
 > 2) A naso, l'accoppiamento minimo è valido perché dà le equazioni del
 > moto corrette, quindi si basa sulla definizione di campo
 >
 > 3) [...] l'espressione dell'energia del campo e.m. si ottiene
 > utilizzando il lavoro del campo elettromagnetico sulle cariche, e
 > quindi di nuovo dipende dalla definizione di campo.
 
Il problema che state discutendo è sommamente intricato, a causa della
sua antichità e delle molteplici forme che ha assunto col passare del
tempo e a seconda del contesto in cui lo si discute.
Per brevi cenni:
- La cosiddetta "forza di Lorentz" compare già nel "Treatise" di
Maxwell, almeno vent'anni prima che Lorentz intraprendesse il suo
programma di ricostruire elettromagnetismo e struttura della materia a
partire dalla scoperta dell'elettrone.
Naturalmente siamo nell'ambito della fisica classica (non quantistica
e non relativistica).
- Il tensore energia-impulso nasce ovviamente con la formulazione
relativistica dell'elettromagnetismo. Non so dire la data, ma
azzarderei anni 20 del secolo scorso, inizialmente indip. dalla m.q.
Però la parte spaziale, ossia il "tensore di Maxwell", esiste già in
Maxwell.
- La formulazione variazionale, quindi l'espressione della densità
lagrangiana, penso sia pure dei primi decenni del secolo scorso. Non
saprei se sia nata come teoria classica e sia poi stata applicata alla
QFT, o viceversa sia nata nella QFT e si sia poi visto che poteva
essere usata anche nell'e.m. classico.
- Il "minimal coupling" va visto nell'ambito delle teorie di gauge,
quindi è più recente: almeno seconda metà del secolo scorso.
 
Questo panorama storico, frammentario e forse anche in parte
sbagliato, aveva lo scopo di fissare un punto: non ha senso la
discussione se non si fissa il paradigma nel quale ci si vuol muovere:
- classico (prerelativistico o relativistico)
- quantistico ante teoria dei campi
- QFT ante teoria di gauge
- infine quadro dell'attuale modello standard.
 
A me pare che sia più utile semplificare al massimo, quindi presento
la situazione come la si vede restando a Maxwell più formulazione
variazionale della teoria.
Intendo teoria dell'e.m. in presenza di sorgenti.
 
Di passaggio: qualche tempo fa ho fatto il lavoro di fornire una
versione leggibile del cap. 9 della parte IV del "Treatise" di
Maxwell. La trovate in
http://www.sagredo.eu/varie/treatise-2-IV-9.pdf
 
 
Scrivo la densità lagrangiana del campo e.m. in presenza di sorgenti
(forma non covariante a vista)
 
L = (1/2)(E^2 - B^2) - rho*phi + j.A
 
Il primo termine è la lagrangiana del campo e.m. libero, gli altri due
termini danno l'interazione con le sorgenti.
E' inteso che B = rot A e E = -@A/@t - grad phi.
Variando l'integrale di azione rispetto ad A, phi si ottengono le eq.
di Maxwell *con le sorgenti rho, j*.
Se si aggiunge a L la lagrangiana della materia (per es. in forma di
particelle), variando rispetto alle coord. delle particelle si
ottengono le eq. del moto di queste, e nelle equazioni *è presente la
forza di Lorentz*.
La cosa notevole è che il termine d'interazione j.A - rho*phi fornisce
*da solo* sia i termini di sorgenti nelle eq. di Maxwell sia la forza
di Lorentz sulle cariche.
-- 
Elio Fabri

 di Lorentz sulle cariche.
 
Allora forse è questo il senso nascosto della domanda di M. A.
 
Da una parte la definizione di campo deriva dalla forza diviso la 
carica; ma questo non garantisce che nella Lagrangiana del campo e nella 
Lagrangiana della materia il termine che accoppia materia e campo sia lo 
stesso.
 

 Come sai che la Lagrangiana che deriva dall'accoppiamento minimo è corretta?
 
Sì, in effetti c'è il pericolo della circolarità.
Beh, perchè produce la forza f=q(E+vxB) che è sperimentalmente verificata?
 
-m
 
 
 

 Allora forse è questo il senso nascosto della domanda di M. A. 
 
Il senso "nascosto" è questo (provo a spiegarmi meglio):  se calcolo l'energia contenuta in
un condensatore U=u*V, usando soltanto u, la densità di energia del campo e.m., la 
cui espressione si ricava dalla sola parte di campo tr(F^2), e se la derivo rispetto alla
distanza x tra le piastre, trovo f=q*E/2 (da discutere la fastidiosa presenza di questo 1/2,
ma sicuramente un significato lo avrà).  Dunque, detta così, parrebbe che l'espressione
della forza f=q*E sia contenuta già nelle equazioni della sola parte di campo.
 
Per quanto riguarda la parte qvxB, questa si può otterenere con una trasformazione
di Lorentz sul tensore e.m. Fij.
 
Dunque: perchè mi viene fuori la forza di Lorentz senza neanche aver introdotto l'accoppiamento
con la materia? Dove sbaglio?
 
 
ciao,
m
 
 

 cui espressione si ricava dalla sola parte di campo tr(F^2), ....
 
E come fai a sapere che tr(F^2) è l'energia del campo se hai a 
disposizione solo le equazioni per i campi liberi?
 
Mi sembra che il punto chiave della questione sia che misuriamo 
*variazioni* di energia. E senza l'espressione di come i campi dipendono 
dalle sorgenti (equivalente al termine di interazione) è un po' dura 
sperare di venirne fuori.
 
Giorgio
 

 della forza f=q*E sia contenuta già nelle equazioni della sola parte di campo.
...
 
Io non me ne meraviglio più di tanto, dato un campo conservativo allora assegnare
la legge dell'energia potenziale equivale ad assegnare quella della forza...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 la legge dell'energia potenziale equivale ad assegnare quella della forza... 
 
 
 
Anche io non me ne meraviglio. A me pare che *ogni volta* che si scrive vec{E} si intende sempre il rapporto vec{F}/q dove q è una carica ferma nel punto del riferimento in cui diciamo essere presente il campo vec{E} e vec{F} è la forza avvertita in quel punto dalla carica. Discorso analogo, con le dovute modifiche, per vec{B}.
 
Bruno Cocciaro.

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Dato il condensatore piano parallelo "infinito" con densità di
 > carica superficiale uniforme di modulo sigma allora il campo
 > elettrostatico è nullo all'esterno e ha modulo sigma / eps_0
 > all'interno (unità SI), la forza per unità di area su un'armatura è
 > allora sigma E / 2, il fattore 1/2 deriva dal fatto che il campo
 > agente sulle cariche distribuite sulle armature è quello _medio_ tra
 > interno ed esterno.
Due commenti.
 
1. Il "misterioso" fattore 1/2 risulta anche da un calcolo più
elementare.
L'energia di un condensatore è notoriamente CV^2/2 = Q^2/(2C).
Se il condensatore è piano, di area S e spessore x, la capacità è
(appross.) C = eps0*S/x da cui
 
U = (Q^2 x)/(2 eps0 S)
 
e derivando rispetto a x:
 
F = -Q^2 / (2 eps0 S).
 
Nota: è meglio usare l'espressione con Q, poiché in un condensatore
carico isolato Q si conserva.
Se si usasse quella con V, per avere V costante si dovrebbe attaccare
il condensatore a una pila, ma allora bisognerebbe tener conto del
lavoro elettrico fatto dalla pila durante lo spostamento dx.
 
2. La questione non è che si debba fare la media, ma è che se vuoi
calcolare la forza su un'armatura devi mettere in conto solo il campo
prodotto dall'altra.
Entrambe producono campi Q/(2 eps0 S) in valore assoluto, ma i versi
sono tali che i due campi si sommano dentro il condensatore mentre si
cancellano fuori.
Quindi il campo interno totale è Q/(eps0 S) ma quello che va usato per
calcolare la forza è la metà.
-- 
Elio Fabri

 calcolare la forza è la metà.
 
OK, ma le cariche su un'armatura, che saranno distribuite su uno
spessore non nullo dell'armatura, "non sanno" quale sia l'origine
del campo agente su di esse, e il ragionamento che ho scritto sopra
rimane anch'esso corretto, v. le p. da 30 a 32 del Purcell 3rd ed.:
 
https://drive.google.com/file/d/1oPDIUrxBB9MiF00PCsoeRvpDSZCr7bYY/view?usp=sharing
 
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Pastore
 
Io forse mi sono spiegato male, e in qualche punto ho parlato di lagrangiana libera. Però non intendevo usare nel ragionamento 
la lagrangiana libera. In quel caso, infatti, l'esercizio del condensatore non si potrebbe fare.
 
Infatti, se è vero che l'energia del condesatore la posso calcolare  moltiplicando
la densità di energia per il volume U=(u*V), apparentemente senza usare cariche elettriche, e quindi con la 
sola lagrangiana libera,  e che la forza  tra le piastre è f=dU/dx, per calcolare questa derivata io ho
bisogno dell'espressione del  campo di una piasta E=sigma/eps_0, altrimenti non mi viene f=cost*q*E
(anzi, non mi viene neanche q :-))
 
Se l'accoppiamento materia-campi fosse diverso, a parità di equazioni di Maxwell nel vuoto,
-- ad esempio, se avessimo div(E)=rho^2/eps_0  invece che div(E)=rho/eps_0--  il condensatore avrebbe
 la stessa energia u*V, la pressione sulle piastre sarebbe la stessa, ma la forza avrebbe un'espressione diversa.
 
Resta il fatto che io ho sempre letto frasi tipo: le equazioni complete di Maxwell descrivono come la
materia crea i campi, ma non ci dicono niente su come i campi agiscano "sulla" la materia, per cui la forza di Lorentz
va assunta a parte.
 
Però poi penso al condensatore, e mi rendo conto che, con le sole equazioni di Maxwell potrei descrivere
come le piastre accelerano l'una verso l'alta, senza fare nessuna assunzione supplementare. 
 
L'unica, in effetti, è che questa frase sia sbagliata, o che me la sono sognata: la forza di Lorentz *è* inclusa 
nelle equazioni di Maxwell (complete), anche se tutti i libri la scrivono a parte.
 
Basta vedere che l'energia totale di un sistema di cariche si scrive U=1/2*Sum { q_i*phi(x_i)} (vedi Landau II p 124,
ed 1976, dove viene ricavata con un integrale di volume), e che l'espressione f=-q*dphi/dx=q*E ne sortisce direttamente.
 
Quanto f=q(E+vxB), come s'è già detto, la parte vxB la si ottiene con una trasformazione relativistica sul 
tensore Tij.
 
 
 
ciao,
-m
 
 

 
 
Sul resto torno eventualmente dopo; questa affermazione mi ha fatto 
capire che sul tema ho le idee molto confuse. Per un po' ho pensato che 
debba essere per forza come dici, poi mi è venuta in mente la seguente cosa.
Per l'elettromagnetismo non c'è la ricetta L = T - V che dà le equazioni 
del moto giuste, c'è solo una Lagrangiana "indovinata" che dà le 
equazioni giuste. Per questo motivo, noi non sappiamo se sia possibile 
scrivere un solo termine di interazione campi-particelle che dia sia la 
dipendenza dalla sorgente giusta per i campi che l'azione dei campi 
sulle particelle.
Nel mentre che scrivo non sono in grado di fare il calcolo (Lagrangiana 
-> equazioni del moto) per il campo e.m. mi pare che prima di un altro 
eventuale post dovrò imparare come si fa.