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Titolo: Dubbi fisico-matematici

Vi scrivo per chiedervi alcune delucidazioni, non tanto sulla fisica in
sé, ma su alcuni "metodi matematici" che non mi risultano chiari.
Sto studiacchiando un libro di fisica, ed alcuni passaggi nn mi sono
chiari. Premetto che non riuscendo a riportare tutta la simbologia
usando la tastiera, indicherò con lettere maiuscole i vettori, e con
lettere minuscole i loro moduli o gli scalari.
si parla di moto circolare. Il libro fa vedere che il vettore V=dR/dt (R
è il vettore posizione della particella) è tangente alla traiettoria.
Per fare ciò parte dalla Vmedia = deltaR/deltat. Solita ipotesi dei due
punti infinitamente vicini (per passare a V istantanea) e fa vedere
(facendone la differenza) che il dR (e già il delta è sparito) è
tangente alla traiettoria. arriva a dire quindi che V=dR/dt
A sto punto passa alla accelerazione. A=dV/dt. Per fare ciò inserisce il
versore Ut (tangente alla traiettoria9 e dice che V=Ut*v. fin quì nulla
di male. Poi derivail tutto: dV/dt = Ut*dv/dt + dUt/dt*v.
Quì cominciano i problemi: come si deriva un vettore?
il libro fa vedere, utilizzando los tesso meccanismo usato per R, che 
dUt è parallelo al versore Un normale alla traiettoria, ed il suo modulo
è uguale a da (a dovrebbe essere un theta, che nn so come si scrive, cmq
è l'angolo tra i due versori Ut).
Fin quì ci siamo: angolo in radianti, versori modulo unitario...
ottenuto che dUt= Un*da, divide tutto bellamente per dt ottenendo
dUt/dt= Un*da/dt
E questo nn mi e chairo. anche in un passaggio successivo moltiplica e
divide per un ds (s è la lunghezza del tratto di traiettoria della
particella), in modo da far usicre quello che serve.
Per dirla in parole brevi dalla derivazione di Ut*v, fatta applicando la
regola della derivazione del prodotto, fa usicre le due componenti
dell'accelerazione, quella normale e quella tangenziale.
sono giusti questi passaggi dal punto di vista matematico? si può
moltiplicare e dividere per un differenziale ad libitum?
Mi manca qualcosa?
Grazie mille a tutti
Fabio
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 moltiplicare e dividere per un differenziale ad libitum?
Non so se c'e' un teorema che consenta cio'.
....Pero', secondo me puoi, in una "sequenza logica":
1. dividere e moltiplicare per un "delta maiuscolo" (quindi una 
quantita' *finita*, anche se eventualmente piccola);
2. fare il limite per delta che tende a zero, ottenendo cosi', delle 
derivate
Io mi trovo bene a pensare le derivate come rapporti incrementali di 
"delta maiuscoli", quando poi si fa tendere i delta a 0 (e i delta 
maiuscoli si "trasformano" in "de", cioe': "d" delle derivate).
Infatti, secondo me per le derivate e' meglio la notazione df/dt che non 
  f' o Df, poiche' la prima notazione mi ricorda in maniera piu' chiara 
e diretta il significato di derivata (almeno, il significato che intendo 
io, non se se ci sono altri modi di motivare o definire le derivate), 
oltre al fatto che quando si scrive df/dt si capisce che si sta 
derivando rispetto alla variabile "t" e non ad altre variabili, che so, 
x, z, etc.
Ciao

 particella), in modo da far usicre quello che serve.
E' un tipico modo di fare da fisici :-)
Ma comunque e' del tutto corretto, e si puo' riformulare in modo
rigoroso.
Tu hai Ut che e' funzione del tempo.
La prima relazione che hai scritto dUt = Un*da dice che l'incremento
di Ut e' uguale a Un per l'incremento dell'angolo, a meno di
infinitesimi di ordine superiore.
Se dividi per l'incremento di t e passi al limite hai appunto
dUt/dt = Un * da/dt.
 
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Elio Fabri