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Titolo: teoria dei campi vs maccanica

Non mi e' chiarissimo il legame tra le due teorie.
Per fare un esempio non mi e' chiaro come si impostano i conti per
calcolare i livelli dell'atomo di idrogeno da un punto di vista
relativistico campistico. E ancora: come si fa a passare dalla
notazione di campo a quella di funzione d'onda che devo dire mi
sembrano molto distanti?
Grazie


Credo sia un tema delicato e che la distanza non sia solo
apparente.
Qualcuno ritiene che ci sia un'autentica contraddizione logica
fra la seconda quantizzazione e la teoria quantistica ondulatoria.
Qualcuno ritiene al contrario che possa avere significato parlare
di funzione d'onda e sua evoluzione con riferimento allo stato dei
campi e che le tradizionali funzioni d'onda sono valide nella misura
in cui si ammette la validità di alcune procedure, legate alla
rinormalizzazione, della separazione fra le variabili.
Molto pragmaticamente la teoria ondulatoria può essere pensata
come una approssimazione di campo medio, ammettendo che
i gradi di libertà relativi ai campi possano essere trattati secondo
opportune ipotesi statistiche. Ma in termini pratici le questioni
sottese a questo aspetto sono molto delicate per via
dell'entanglement e del fatto che le procedure di rinormalizzazione
sono state pensate originariamente per sistemi di campi all'equilibrio.
La procedura standard per ottenere il limite ondulatorio consiste
nel considerare lo stato intero del sistema in termini di matrice
densità, proiettare sui gradi di libertà che non interessano, ed
ottenere la proiezione della densità lagrangiana efficace (già
rinormalizzata). Una applicazione molto semplice la puoi trovare
da te. Parti dalla densità lagrangiana rinormalizzata di Maxwell
Dirac (QED): aggiungi al campo libero un campo esterno prefissato,
ad esempio il campo generato da un nucleo. Scrivi le equazioni
di Eulero Lagrange per questa densità lagrangiana. Vedrai che somigliano
in tutto e per tutto alle equazioni di Dirac, la sola differenza è che
l'operatore
di Dirac lo trovi applicato su un campo. Ora procedi in questo modo:
pensa una base per il tuo spazio di Hilbert, e considera gli elementi di
matrice del campo fra il vuoto e questi vettori di base, e poi il contrario,
otterrai delle funzioni, queste funzioni, obbediranno le equazioni di
Dirac. Secondo che consideri gli elementi di matrice dal vuoto agli
stati o dagli stati al vuoto otterrai l'equazione di Dirac per il positrone
o per gli elettroni.
Da qui in poi puoi procedere a scrivere le equazioni di Heisenberg
su questa base. E' piuttosto tricky, ma è fatto bene sul Weinberg.
Quello che è piuttosto interessante però è anche la domanda
contraria. Ovvero come si fa a passare da una teoria quantistica
ondulatoria ad una teoria statistica quantistica e relativistica?
Sembra qualcosa di assurdo ma è un argomento da non
trascurare.
Un modo è quello di considerare inizialmente la meccanica
statistica alla Boltzmann, quindi sostituire le parentesi di Poisson
con i commutatori. E' una generalizzazione di un approccio seguito
da Schwinger per introdurre la quantizzazione del campo
elettromagnetico. Si scopre che questa procedura dà sempre luogo
ad una teoria di gauge con l'aggiunta di una variabile ausiliaria,
che può essere interpretata come il tempo o come la temperatura.
Questo procedimento non era molto soddisfacente per via della
natura non relativistica dell'approccio. Fu sviluppato in direzione
relativistica negli anni
settanta da una serie di articoli che facevano uso dei quaternioni
e delle algebre di Lie. Finkelstein è stato uno dei maggiori propugnatori
di questo approccio. Questo sviluppo, per quanto a prima vista
artificioso diventa piuttosto naturale se si parte da una formulazione
covariante della fisica statistica, l'esigenza di riferire le parti fluide
le une alle altre fa il resto. Nel frattempo i modi di quantizzare
la meccanica statistica e la teoria dei campi classici sono andati
crescendo. Un modo di procedere recupera la complessificazione
vecchio stile, ma agisce muovendo dal principio di equivalenza
alla Weyl, ovvero postulando la simmetria conforme.
I gruppi di Lie nella meccanica statistica non relativistica sono inclusi
gratuitamente fin dall'inizio, perchè le strutture di vorticosità intrinseca
sono classificate mediante le rappresentazioni irriducibili del gruppo
delle rotazioni. I fermioni e le rappresentazioni spinoriali si ottengono
per supersimmetria. L'ho appena pensata a dire la verità, ma so che
in parte è già stata fatta questa teoria. Nell'introduzione al seguente
articolo c'è un assaggio del tipo di idee coinvolte:
http://www.arxiv.org/abs/hep-th/9904080
I campi massless sono di norma la regola quando si parte da una
formulazione statistica classica si ottengono equazioni delle onde
libere in forma di Klein Gordon, ma se si muove dalla simmetria
conforme oltre alle Klein Gordon ci sono le rappresentazioni proiettive,
gli spinori, e tutti i prodotti diretti e semidiretti delle rappresentazioni
locali. Quest'altro punto di vista è stato sviluppato da Senechal et al.
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 funzione d'onda che devo dire mi sembrano molto distanti?
Qui forse mi sfugge il senso della tua domanda, perche' la risposta mi
sembrerebbe troppo facile...
Se hai uno stato |1> con *una* particella, la sua f. d'onda e'
<0|A(x)|1>.
Oppure sbaglio in qualcosa di grossolano?
 
-- 
Elio Fabri

 Oppure sbaglio in qualcosa di grossolano?
Beh anch'io a prima vista direi cosi' ma e' che non ne sono convinto
(anche perche' su quali libri e' discusso questo aspetto? Non e' che
e' tralasciato perche' non banale?).
In fin dei conti si tratta di capire chi e'  <x| e viene naturale dire
che e' <0|A(x)  (per A(x) Hermitiano) visto che se lo applico a |
p>=a*(p)|0> ottengo una sorta di onda piana normalizzata
relativisticamente. Tuttavia poiche' int_x |x><x| non da'
l'identita' (proprio per quella normalizzazione relativistica) non
sono sicuro che le cose stiano proprio come sopra.


Ciao, stai facendo un pò di casino. Intanto la x che appare in A(x) è
un punto (o quadrivettore) nello spaziotempo e non tra coordinate
spaziali. Pertanto cose come
int_x |x><x|
non hanno senso. Poi si tratta di una "definizione" e non c'è molto da
discutere, cioé si può discutere sulla appropriatezza di tale
definizione e sull'unicità di essa in base alle richieste.
Quello che si richiede è che la rtappresentazione unitaria U_g che
rappresenta il gruppo di Poincaré nello spazio di Hilbert lasciando il
vuoto invariante agisca in modo co-variante (a seconda della
rappresentazione usata, cioé del tipo di campo) sulle funzioni d'onda
(stimao parlando della funzioni d'onda covarianti, non di quelle di
Newton-Wigner).
Nel caso di partticelle scalari ciò significa che la funzione d'onda
f_g(x) di U_g|1>, per ogni elemento g del gruppo di poincaré sia
legata alla funzione d'onda f(x) di |1> tramite la rappresentazione
appropriata del gruppo di Poincaré:
f_g(x) = f(g(x))
e questo succede: usando l'invarianza del vuoto
f_g(x) = <0|A(x)U_g |1> = <0| U*_g A(x)U_g |1>
usando la covarianza del campo  U*_g A(x)U_g = A(g(x)) si ha infine
f_g(x) = <0| U*_g A(x)U_g |1> = <0|A(g(x))|1> = f(g(x))
Per concludere, _da matematico_ faccio notare che <0|A(x)|1> in realtà
non esiste a meno di non interpretarlo come (il nucleo integrale
dell)a distribuzione di Schwartz
h -> <0|A[h]|1>
dove A[h] è l'operatore di campo regolarizzato (smeared with) la
funzione test h.
Ciao, Valter

 wrote:
....
Dimenticavo: un'altra richiesta è che la funzione d'onda soddisfi le
equazioni di campo
nel caso di campi liberi. E' evidente che la definizione data soddisfa
tali equazioni visto che sono soddisfatte dal campo A...
Ciaoi, Valter

Ultimo: un punto di vista costruttivo, però relativo solo alle teorie
libere (altrimentio ti rimando agli assiomi di Garding-Wightman), lo
trovi nei capitolo 9 e 10 del "Lezioni di Fisica Teorica" di
Digiacomo, Edizioni ETS 1992.
Ri-ri-Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Ok, anche per i messaggi successivi.Solo una cosa: conosco il libro di
DiGiacomo con il quale ho fatto l'esame di teorica e devo dirti che
non mi piace molto (il libro naturalmente).
Ciao.

 non mi piace molto (il libro naturalmente).
Non piace nemmeno molto a me per due motivi: (a) è un pò troppo
stringato, (b) inglesizza un pò troppo l'italiano, ci sono per esempio
verbi intransitivi che sono usati transitivamente perché così accade
in inglese...E' in pò fastidioso! Però ha il pregio di essere un libro
dove le cose fondamentali della teoria dei campi perturbativa sono
trattate in modo "moderno" (basta confrontare con il Landau teoria
quantistica relativistica o peggio con il Davidov) senza eccedere nel
formalismo verso la teoria costruttiva alla Wightman-Streater. Sarei
stato molto contento di un libro di quel tipo da studente...Per
esempio quando ero studente capii che ci doveva essere una cosa come
la rotazione di Wigner: quando fai agire una trasformazione di Lorentz
pura sopra una funzione d'onda spinoriale, la trasformazione non si
fattorizza nello spazio dei momenti e in quello dello spin, ma nello
spazio dello spin si ricorda anche del momento tramite una certa
rotazione che dipende dall'impulso, questo è dovuto al fatto che non
esistono rappresentazioni unitarie del gruppo di Lorentz
finitodimensionali [al contrario di ciò che accade per il gruppo delle
rotazioni]. Feci anche il calcolo di come doveva essere fatta questa
rotazione, ma non trovai alcun libro alla portata di uno studente su
cui confrontare il risultato...Sul Landau non si capisce niente! Sul
Di Giacomo invece c'è il calcolo e la questione è studiata in un certo
dettaglio anche se nel solito modo stringato. Un'altra cosa  è la
rappresentazione del gruppo di Lorentz nello spazio di Hilbert di una
particella senza massa, ma con elicità: su Landau secondo me non si
capisce niente nuovamente, è tutto fatto "alla buona" con trucchetti e
analogie. Mi ricavai la struttura generale di tali rappresentazioni,
ma anche quella volta non trovai un libro comprensibile su cui
confrontare il risultato. Di nuovo su Di Giacomo la questione è
spiegata decentemente... Oggi c'è anche il libro in 3 (o 4?) volumi di
Weinberg che è abbastanza chiaro su queste cose (a parte la grafica
orripilante a mio parere).
Ciao, Valter

 orripilante a mio parere).
A mio avviso il Weinberg e' molto buono, meglio delle note di di
DiGiacomo che appunto solo soltanto delle note per gli studenti del
suo corso.
Ciao.


Interessante e, visto che tu ci hai lavorato,
che tu sappia esiste una deduzione rigorosa dell'equazione di GP?
Oppure è ancora un problema aperto?
Ciao, Valter

 Oppure è ancora un problema aperto?
Cosa intendi per deduzione rigorosa? Da qualche altra equazione o
teoria in certi limiti?
Purtroppo conosco solo quella euristica ad esempio se vuoi studiare la
funzione d'onda di una particella ''soggetta alla propria gravita' ''.
Ciao

 teoria in certi limiti?
Si proprio quello, ma fatto rigorosamente.
Ciao, Valter



Scusa, una curiosità: non potresti chiederlo direttamente a Pitaevskij?
Se non mi sbaglio è a Trento pure lui.
:-)
Ciao.



Si Lev è nel mio stesso edificio, al piano di sopra del mio, però non
è sensibile a questo tipo di questioni "rigorose" come intendo io, è
della scuola del "minimo teorico" di Landau...
Ciao, Valter



Sono d'accordo con te argo. Va distinta una questione strettamente di
fisica (ad es, in un problema di scattering non relativistico posso
usare la meccanica quantistica non relativistica (nrQM) o la teoria
relativistica dei campi (QFT), e trovo che le sezioni d'urto sono le
stesse a meno di correzioni relativistiche) da una questione di
formalismo.
La tua e' una domanda sul formalismo: a cosa corrisponde la funzione
d'onda di nrQM in QFT? credo che il punto non sia tanto guardare la
teoria di campo nel limite c-->oo, quanto studiare la teoria di campo
nell'appropriato regime non relativistico ( e con c finito!! ). Cioe'
studiare gli stati in QFT che hanno un comportamento non relativistico
(nota che non tutte le teorie dei campi ammettono stati non
relativistici, dipende dalla dinamica).
ciao, eugenio

 procedura detta da Elio Psi(x) ) = <0|A(x)|1>.
Di Gross Pitaevski non so niente, ma sulle definizioni relativistiche
di funzione d'onda, e relative normalizzazioni, so tutto :-)
La questione e' connessa col modo come si costruisce la rappr. del
gruppo di Poincare' che diceva Valter, e che non e' unico.
Il tutto e' ampiamente discusso nel cap. 6 di quegli appunti che mi
dovro' decidere a rendere pubblici...
(Incidentalmente, direi che nel cap. 7 sia anche discussa la
"rotazione di Wigner", anche se non c'e' questo nome.
 
-- 
Elio Fabri

 Spiegami un po' (da matematico :) ) come si aggiusta 'sta cosa...
(ho cancella to il precedente post perché c'è un modo più semplice di
arrivare alla stessa conclusione scritto in questo).
Vediamo un pò, non ci ho mai pensato seriamente. E' il momento giusto
di farlo!
Lo spazio dei vettori |1> lo definisco prendendo le funzioni L^2
sull'iperboloide di massa dai quadri impulsi rispetto alla misura
Lorentz-invariante.
Consideramo la distribuzione
h -> <0|A[h]|1>
Questa è ben definita per ipotesi, inoltre dato che A[h]|0>  è denso
nello spazio ad una particella quando h varia nelle funzioni smooth a
supporto compatto e A è simmetrico, la distribuzione
h -> <0|A[h]|1>
individua completamente |1> dati che è equivalente ad assegnare i
prodotti scalari di |1> su tutti gli elementi dello spazio ad una
particella.
L'applicazione che associa a stati |1> distribuzione <0|A[ . ]|1> è
lineare e biettiva.
 Questo significa che nello spazio delle distribuzioni  <0|A[ . ]|1>
al variare di |1> nello spazio degli stati ad una particella puoi
mettere un prodotto scalare sullo spazio di tali distribuzioni in modo
da identificarlo con uno spazio di Hilbert, quello ad una particella.
Abbiamo trovato che lo spazio delle funzioni donda è uno spazio di
Hilbert di distribuzioni.
A questo punto è ben noto che alcune distribuzioni sono funzioni e
quello che c'è da capire se questo spazio di Hilbert di distribuzioni
è *contiene  solamente funzioni*
Nella teoria non relativistca era fatto SOLO da funzioni, anzi da
funzioni definite a meno di insiemi di misura nulla (infatti sono
distribuzioni NON funzioni) essenzialmente (lavorando a t=0) da tutti
gli elementi di L^2(R^3) R^3 spaziale.
Nella teoria relativistica, questo a priori non è più garantito:  le
distribuzioni <0|A[.]|1> le ottieni da una trasformazione di Fourier
in 4D , che si deve pensare come una trasformazione di Fourier di
distribuzioni
dato che gli oggetti che integri contengono una delta sull'iperboloide
di massa ....
da qui non viene fuoori niente di preciso, perché non sappiamo se tali
traformate di Fourier producano solo distribuzioni che sono o meno
funzioni  Scegliendo un riferimento e mettendosi a t=0 si può cercare
di interpretare la trasformazione come una trasformazione di Fourier
su R^3 facendo sparire la delta. Si ha (ora x è un trivettore spaziale
e p un trivettore d'impulso)
psi(t=0, x) = int  exp{ipx} f(p)/sqrt{p^2 +m^2} dp  (1)
e vale, data la definizione dello spazio ad una particella:
 int  |f(p)|^2 /sqrt{p^2 +m^2} dp < +oo (2)
quindi psi(x) è la trasformata di Fourier della distibuzione
g(p) = f(p)/sqrt{p^2 +m^2} che soddisfa
 int   |g(p)|^2 sqrt{p^2 +m^2} dp < +oo (2)'
Ma allora se m >0, (se non ho sbagliato i conti sopra)
int   |g(p)|^2  dp < +oo
(Proof. Per ogni costante C >0: |g(p)|^2 <=  |g(p)|^2 sqrt{p^2 +m^2}/C
se |p| > =  r abbastanza grande. Per |p|<r  vale invece
sqrt{p^2 +m^2}|g(p)|^2 <=  |g(p)|^2sqrt{p^2 +m^2} (sqrt{p^2
+m^2})^{-1} < K  |g(p)|^2sqrt{p^2 +m^2}
per qualche K >0)
Questo significa che psi(t=0, x) è _ancora_ una funzione di
L^2(R^3) dato che la trasformazione di Fourier di distribuzioni si
riduce a quella di Fourier Plancherel lavorando su L^2 che manda L^2
in L^2.
Cambiando tempo non succede niente di drammatico visto che appare solo
una fase davanti a g che non altera i risultati.
Conclusione: le funzioni d'onda relativistiche sono ancora funzioni di
t e x (definite al solito a meno di insiemi di misura nulla in x ) che
sono  L^2(R^3) ad ogni tempo.
L'intuito è in accordo con la matematica...
Ciao, Valter

 )        (*)
La condizione e' che si abbia che -Laplacian f(x)<<M^2 f(x). Notate
che, perche' lo stato | f > sia normalizzabile, la funzione f(x) deve
essere L^2 e per avere uno stato normalizzato a uno si deve avere Int
dx | f(x) |^2 = 1. Questo gia' indica la risposta alla domanda da cui
siamo partiti: lo smearing f(x) nell'eq (*) e' proprio la funzione
d'onda di nrQM.
Ma c'e' di piu': finora abbiamo discusso solo la cinematica. Perche' |
f > sia uno stato non relativistico in un senso dinamico, esso deve
evolvere in uno stato che sia ancora non relativistico. Per il campo
scalare libero la dinamica e' data dall'operatore H = Int dp/(2
pi)^3   w_p  a+(p) a(p)   e l'eq di Schroedinger e'
i @_t  | f >  = H | f >
Mettendo dentro la forma (*) per lo stato | f > si trova proprio
l'ordinaria eq. di Schroedinger per la funzione d'onda f(x)
i @_t f(x) = (M - Laplacian/2M^2 ) f(x)
con l'Hamiltoniana non relativistica h= - Laplacian/2M^2 +costante.
Chiaramente le cose iniziano a diventare piu' interessanti quando si
parte da una teoria di campo interagente come phi^4 o con interazione
di Yukawa. O almeno da una teoria di campo in una scatola o in un
campo esterno.
ciao a tutti, eugenio

 dovro' decidere a rendere pubblici...
Spero proprio che lo siano presto. Segnalaci quando lo saranno.
Grazie, ciao.

Ciao, sei il Bianchi con il quale ho discusso al congresso SIGRAV a
settembre?
Solo un commento sulla rappresentazione di Schroedinger che usi. La
descrizione di Schroedinger in spaziotempo curvo, in generale NON
esiste a meno che lo spaziotempo non sia stazionario e le sezioni
spaziali non siano a t costante del tempo di Killing. Sono condizioni
piuttosto forti. Non č chiaro come possono indebolirsi tali ipotesi,
ma sono noti diversi controesempi (cfr due articoli di Torre e
Varararajan).
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Ricordo che a Torino ti avevo chiesto qualcosa proprio sulla
rappresentazione
di Schroedinger in spaziotempo curvo.
Giusto per uniformarci alla nomenclatura standard: generalmente in
teoria
dei campi uno chiama rappresentazione di Schroedinger quella in cui
gli
stati sono funzionali della configurazione del campo, Psi[phi]. Per
certi
problemi vale la pena usare questa rappresentazione. Cioe' ci si
guadagna
qualcosa a usarla. Lavorare in rappresentazione di Schroedinger in
teoria
dei campi, generalmente, e' difficile perche' richiede di avere sotto
controllo
la teoria dell'integrazione sullo spazio delle configurazioni phi(x),
dove x
sono coordinate sulla sezione spaziale.  Tuttavia se uno e'
interessato solo
all'ordinaria teoria perturbativa su Minkowski e con tempo di Killing,
tutto si
riduce a integrali funzionali gaussiani. In particolare gli elemeti
della base
di Fock (autostati del numero di particelle e dell'impulso) sono
funzionali
gaussiani di phi(x).
Poi c'e' lo schema (picture) di Schroedinger in cui gli stati evolvono
nel tempo,
e che ho usato nell'altro post. Nel caso dell'ordinaria teoria
perturbativa su
Minkowski e con tempo di Killing, passare dallo schema di Schroedinger
a
quello di Heisenberg e' immediato.
Nello schema di Schroedinger, gli stati sono associati a sezioni
spaziali.
Questo modo di ragionare e' accattivante perche' sembra facilmente
generalizzabile a spaziotempo curvo: potrei ad esempio considerare
due
sezioni di Cauchy a tempi diversi, e propormi di calcolare l'ampiezza
di
transizione da uno stato su una sezione a uno stato sull'altra.
I lavori di Torre e Varadarajan a cui ti riferisci riguardano la
teoria di un campo
scalare libero su Minkowski, fatta nello schema di Schroedinger ma con
una
foliazione generica. In particolare riguarda l'operatore evoluzione
temporale
che manda stati di Fock (nello schema di Schr.) definiti su una
sezione
spaziale piatta in stati Fock definiti su una sezione spaziale
generica. Il risultato
interessante e' che trovano un teorema no-go: tale operatore
evoluzione
temporale non puo' essere unitario!!
Questo sembra precludere completamente l'uso dello schema di
Schroedinger
su spaziotempo curvo. Infatti, e' naturale aspettarsi che le cose li'
possano
solo peggiorare.
Ho qualche commento su questa cosa, ma provo a postarlo
separatamente.
ciao, eugenio

 ciao, eugenio
Ciao, Valter


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