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Titolo: Periodo di un pendolo semplice

Per 90° non sono riuscito a calcolare il valore... :-((
In meccanica razionale si dimostra che il periodo di oscillazione di un
pendolo semplice oscillante con ampiezza theta risulta:
T = 4*sqrt(L/g) * K(sin(theta/2))
ove K è l'integrale ellittico completo di prima specie, sicchè:
coeff.k = (2/pi) * K(sin(theta/2))
Il tuo sviluppo in serie è corretto (congratulazioni!), ma l'argomento del
sin va dimezzato. Anche i tuoi valori numerici sono corretti, se riferiti ad
oscillazioni di ampiezza doppia: ad es. k=1.1375 vale per oscillazioni entro
[ -80°,+80°].
Per theta -> 180° il periodo diverge, com'è fisicamente ovvio essendo la
posizione 180° di equilibrio instabile. Giusto per strafare aggiungo che i
trattati sulle funzioni ellittiche dimostrano che per  x -> 1
K(x) = ln(4/sqrt(1-x^2)) + O[(1-x^2)*ln(sqrt(1-x^2))]
Elio Proietti
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Ho provato a ri-ricavare il risultato e mi sembra che la tua formula sia
*quasi* corretta: l' argomento del seno dovrebbe essere theta/2 se theta
e' l' angolo di elongazione massima.
Comunque la strada e' quella di usare la conservazione dell' energia
(uso phi invece di theta per risparmiare tasti :-) :
m/2 L^2 phi'^2 + 2 m g L sin^2(phi/2) = E         [1]
dove m e' la massa, phi l' angolo (in radianti) dalla posizione di
equilibrio stabile, ' indica la der. rispetto al tempo.
Se siamo in regime di moto oscillatorio, E = 2 m g L sin^2(phi_max/2)
dove phi_max e' la massima elongazione del pendolo.
A questo punto, tenendo presente la simmetria della traiettoria, [1]
puo' essere integrata tra t=0 e t=T/4, ovvero tra phi=0 e phi=phi_max
per dare il periodo T come integrale di una funzione di sin(phi/2):
T=(T_0/pi)integrale (tra 0 e phi_max) d phi/(sin^2(phi_max/2) - sin^2(phi/2))^(1/2)
dove T_0 e' il periodo delle piccole oscillazioni.
L' integrale a secondo membro e' un integrale ellittico di prima specie
di cui esistono tabulazioni o puo' essere valutato numericamente con la
precisione desiderata.
Un' espansione in serie in potenze di sin(phi_max/2) puo' essere ottenuta
facilmente con un cambio di variabili ( sin(phi/2)/sin(phi_max/2) = sin
z )
che trasforma l' integrale in un integrale tra 0 e pi/2 di (1-K^2 sin^2(z))^(-1/2)
con K = sin(phi_max/2). Espandendo la radice in serie di K^2 sin^2(z) ed
integrando termine a termine si ottiene l' espressione desiderata. 
A phi_max = pi la serie diverge ( e' il risultato corretto: il periodo
diviene infinito). A pi/2 il periodo e' maggiore di quello delle piccole
oscillazioni di qualcosa vicino al 10%.
Ciao 
Giorgio

Elio Proietti
ciao a tutti
Lucky Dog

essere possibile... :-/
A scanso di equivoci:
- per ampiezza di oscillazione theta intendo che l'elongazione dal punto
di equilibrio stabile varia da -theta a +theta;
- il pendolo semplice è un punto materiale vincolato a muoversi su una
circonferenza verticale. Il vincolo va inteso come traiettoria predefinita.
Almeno per ampiezze di oscillazione theta>90°, immaginalo come un binario
senza attrito, piuttosto che come un filo flessibile ed inestendibile privo
di massa, per escludere la libertà di moto interna alla circonferenza
(cadute libere paraboliche).
Elio Proietti
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