Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: ergodicità e caos

Salve a tutti,
ho sentito da qualcuno che l'ergodicità è una delle condizioni necessarie
affinchè un sistema fisico sia caotico.
È vero?
Grazie in anticipo
--
extrabyte

 ha scritto nel messaggio
news:u1bRa.179392$Ny5.5...@twister2.libero.it...

Mi puoi spiegare che cos'è l'ergodicità, per favore?
grazie in anticipo!
daniele

 ha scritto nel messaggio
news:dbkRa.80196$qa5.1...@news2.tin.it...

ciao, io direi che l'ergodicità è una proprietà della misura *m* (di
probabilità) associata ad un sistema dinamico (Q,S) dove Q è lo spazio delle
fasi ed S la trasformazione che produce la dinamica del sistema. Una
definizione standard di misura ergodica e quindi di sistema ergodico è
quella per cui per ogni insieme E misurabile si ha: o m(E)=0 oppure m(E)=1.
Certamente questa definizione non lascia trasparire molto il significato
fisico di ergodicità di un sistema, però in compenso ha il vantaggio di
essere molto "maneggiabile", nel senso che da questa si possono ricavare
tutte le note proprietà di un sistema ergodico, quali ad esempio il fatto
che ogni integrale primo è banale (costante), che puoi scambiare la media
temporale con la media spaziale, ecc.. Sul significato fisico comunemente si
usa dire che un sistema ergodico è un sistema per il quale ogni traiettoria
in Q copre (quasi) tutto Q, conviene osservare che se esistessero integrali
primi diversi dalle costanti allora potresti catalogare le traiettorie in
base al valore che l'integrale primo prende su queste e non sarebbe più vero
che ogni traiettoria copre tutto Q, proprio per definizione di integrale
primo.
Per quello che rigurada la domanda iniziale ( se l'ergodicità è necessaria
per avere un sistema caotico) io questa cosa non è che la vedo tanto. A
parte il fatto che non mi sembra ci sia un definizione univoca di sistema
caotico, come detto prima l'ergodicità dipende dalla misura che metti sul
sistema e biosgna tenere conto che in generale la misura iniziale (diciamo
quella con cui scegli i dati iniziali) non è più "buona" dopo che la
dinamica ha avuto inizio, in generale occorre lavorare con altre misure
dette SRB (Sinai-Ruelle-Bowen). Ora non mi ricordo se ci sono teoremi che
garantiscono ad esempio che se la misura iniziale è ergodica allora lo è
anche la SRB associata, probabilmente la cosa non è così intuitiva. Comunque
ad occhio a me non sembra che in generale l'affermazione sia vera (ma potrei
sbagliare, anzi...). Se ho un po' di tempo provo a vedere da qualche parte o
chiedere a chi ne sa più di me, magari rispondo fra qualche giorno.


ciao, in effetti l'affermazione iniziale è falsa. In parole povere la
proprietà di caoticità è una proprietà "geometrica" mentre, come già avevo
detto, l'ergodicità è un problema di misura associata al sistema. L'idea è
che puoi dimostrare l'ergodicità della misura partendo dalle caratteristiche
geometriche del sistema. Per caratteristiche geometriche intendo come è
fatto lo spazio delle fasi, come puoi "foliare" l'insieme degli spazi
tangenti e come agisce la dinamica sui punti di questi spazi. Quindi in
generale direi che è vero il viceversa della affermazione che hai sentito.
saluti, Adriano


io conosco quest'altra definizione (che tra l'altro hai postato in
precedenza) presa dal Fasano-Marmi
**************************************
Th.
Se M è un sottoinsieme invariante di Gamma (spazio delle fasi) metricamente
indecomponibile rispetto alla misura | |_rho, e f è una funzione
rho-sommabile, allora:
1/(|M|_rho)*Integrate[f(X)*rho(X)d^(6N)x, x preso su M]= media (d'insieme)
di f,      (1)
per quasi ogni X appartenente ad M.
Definizione.
Un insieme statistico (E,rho) è ergodico se e solo se la (1) si verifica per
ogni f che sia rho-sommabile (cioè la media temporale è uguale alla media
d'insieme). Se un sistema hamiltoniano ammette un sistema statistico
ergodico, si dice che esso soddisfa l'ipotesi ergodica
**************************************************
Per quanto riguarda la definizione di sistema caotico, da come ho capito è
tutt'altro che facile stabilire se un assegnato sistema dinamico sia caotico
o meno.
Se ad esempio, l'equazione che regola l'evoluzione dinamico di un sistema è
non lineare, posso affemare che il sistema è caotico??
--
extrabyte


in generale no. D'altraparte ci sono dinamiche semplicissime (
p.es
.: il
gatto di A'rnold) che sono estremamente caotiche, oppure puoi pensare ai
sistemi hamiltoniani perturbati: possono essere quasi-integrabili ma avere
delle equazioni orribili.
saluti, Adriano