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Titolo: Pendolo di Foucault

 
          Ho avuto modo di osservare di recente un pendolo di Foucalt.
Alcune evidenze osservative. Alla base del pendolo erano posti
dei birilli. Il pendolo ruotando puo' abbatterli in modo che risulti
evidenziato il suo moto. Sul fondo della biglia e' posto un laser
che meglio evidenzia la posizione del piano di oscillazione.
Il moto del pendolo non si smorza. Mi e' stato spiegato che c'e'
un meccanismo magnetico di rilancio. Il pendolo ruota di 240
gradi sessagesimali in un giorno, tradendo, secondo un calcolo
ideale una latitudine di circa 41.81 gradi sessagesimali. L'effettiva
latitudine e' invece circa 44.5 gradi Nord. Nel momento in cui e'
stato rilasciato il pendolo era stato tensionato con un filo legato
alla sfera che poi e' stato bruciato.
Quando il birillo e' stato raggiunto dal pendolo quello che ho
osservato e' che il birillo veniv toccato dal pendolo solo in fase di
ritorno. Non in fase ascendente. Questo e' avvenuto per tre volte
prima che il birillo venisse abbattuto, ma quando e' stato abbattuto
e' stato abbattuto in fase di andata.
Altra evidenza: il laser traccia una linea sinusoidale caratterizzata
da rapide (rispetto al periodo di una oscillazione completa)
oscillazioni trasversali.
La mia teoria per queste evidenze e': per quanto riguarda i moti
trasversali che il pendolo e' in verita' un pendolo doppio in cui la
seconda leva e' quella formata dalla sfera rispetto al punto in
cui e' attaccata al filo d'acciaio che la lega al soffitto. Ma non ho
chiaro quale possa essere l'interplay fra il meccanismo di
trasferimento dell'energia dai moti lungo il piano ai moti
trasversali, ne' il ruolo (quantitativamente parlando) che ha
nel mantenere ed innescare queste oscillazioni il meccanismo
magnetico di rilancio.
Per quanto riguarda il fatto che il birillo venga colpito solo in fase
di ritorno: non si puo' dire molto eccetto che il meccanismo di
rilancio deve essere responsabile del fatto che alla terza ascesa il
pendolo ha abbattuo il birillo e che il pendolo non oscilli esattamente
su un piano ma descriva in effetti approssimativamente delle ellissi
che ruotano.
Non so se la dinamica sia stata quella osservata anche inizialmente.
Faccio presente che nelle illustrazioni viene rappresentato il moto del
pendolo come
se avvenisse su una retta rotante in modo da descrivere delle rosette.
Le foglie viste da queste rosette compatibilmente con questa impostazione
metodologica di descrizione del moto non devono intersecarsi: questo
comporterebbe che nella seconda fase ascendente, se il moto avvenisse
su un piano in rotazione, la sfera che ha sfiorato il birillo nella fase
discendente immediatamente precedente lo tocchi ancora. Siccome
non e' quel che avviene avanzo l'ipotesi di un moto ellittico rotante.
Quello che ipotizzo e' che questo moto caratteristico si sarebbe
verificato comunque anche in assenza di perturbazioni esterne,
moto sotto campana a vuoto, per semplice effetto del protocollo
di rilascio adottato, ma sarebbe avvenuto in modo retrogrado
anziche' no, cioe' avremmo dovuto tradurre la condizione iniziale
in una velocita' contraria al moto di avanzamento del piano di
rotazione dunque le traiettorie avrebbero dovuto risultare, inizialmente,
tali che i birilli vengono colpiti nella fase ascendente piuttosto che nella
fase discendente. Tuttavia anche sotto vuoto ed in assenza del contributo
dinamico dato dall'impatto con i birilli c'e' da tenere conto di un altro
effetto. Ma vediamo rapidamente che questo effetto non e' tale da
eccitare un moto ellittico per come l'ho osservato.
Io ragiono adottando un sistema di coordinate
euclideo ottenuto sommando al moto terrestre di rotazione un moto
di rotazione tale da annullare la componente verticale della velocita'
angolare. In questo sistema di coordinate c'e' una velocita' angolare
residua delle coordinate orizzontale, dunque c'e' una forza apparente
di Coriolis che agisce verticalmente e dunque il piano di moto per
effetto di questa sola forza sarebbe conservato, ma a questa forza
si aggiunge una forza dovuta alla variazione della direzione del
vettore di velocita' angolare dell'atto di moto. Il contributo di questa
forza puo' essere scomposto in due contributi: un campo uniforme
orizzontale rotante di 252 gradi in un giorno ed un campo verticale
asimmetrico. Questo e' essenzialmente cio' che prende il posto del
contributo centrifugo in coordinate solidali con la terra. L'effetto di
questo contributo e', per come la vedo io una modulazione, ovvero
possiamo ricorrere in prima approssimazione alla soluzione per
l'oscillatore forzato: dunque dobbiamo sommare al moto libero del
pendolo un moto periodico.
In conclusione la mia ipotesi e' che il modo addizionale che si puo'
osservare puo' avere nell'ordine i seguenti responsabili:
il meccanismo di rilancio magnetico
il vento: pure se in luogo chiuso e' possibile
che ci siano delle deboli correnti d'aria.
l'impatto con i birilli.
Un meccanismo di trasferimento dell'energia cinetica
ai modi trasversali dovuto alle particolarita' dell'ancoraggio
al soffitto del cavo d'acciaio. In particolare mi baso sulla
seguente osservazione: se mettete in oscillazione un elastico
lungo un piano dopo un poco inevitabilmente osserverete
che il moto di oscillazione non e' piu' planare.
Tenendo conto pero' del fatto, riferito, che la rotazione effettiva
e' di circa 240 gradi in un giorno, mi sembra che le due ipotesi
piu' ragionevoli siano la prima e la seconda.
Mi piacerebbe ascoltare il parere, magari anche da parte
di qualcuno che ha visto a sua volta un pendolo di Foucault
in funzione.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 in funzione.
Nel 1982 alla Mole Antonelliana di Torino e' stato installato (mi pare 
dal Politecnico di Torino) un pendolo di Foucault davvero eccezionale 
(lunghezza 60m, massa 260 Kg), aperto al pubblico dei profani (e quindi
anche al sottoscritto).
Le anomalie di funzionamento che ho notato osservando tale pendolo mi 
impressionarono a tale punto, da indurmi a scomodare non so piu' quale 
assessore per ottenere il permesso di effettuare per alcune ore 
esperimenti "personali" fuori dall'orario di apertura al pubblico.
 
Le mie osservazioni private sono state alquanto rudimentali (non erano 
disponibili apparecchiature elettroniche, lasers ecc), ciononostante 
alquanto attendibili perche' protratte mediamente di un'ora dopo ogni 
lancio, grazie al lento smorzamento del maxi-pendolo.
Da allora ho un conto personale aperto con il pendolo di Foucault. 
Per quello che ho visto, nel pendolo libero smorzato le traiettorie sono 
ellissi: l'asse maggiore ruota conformemente alla teoria, l'eccentricita'
decresce con il trascorrere del tempo (mentre l'asse maggiore diminuisce
a causa dello smorzamento, l'asse minore invece aumenta), ma soprattutto
il verso di percorrenza delle ellissi e' (o comunque tende a divenire) 
_sempre_ retrogrado (cioe' _antiorario_ contro la rotazione _oraria_ del 
piano di oscillazione del pendolo).  
Ho verificato tale tendenza anche lanciando volutamente il pendolo con 
un moto iniziale ellittico orario: dopo mezz'ora la traiettoria si era
schiacciata fino a diventare rettilinea, dopo un'ora si era di nuovo 
riaperta vistosamente un'ellisse percorsa in verso antiorario!
Non posso escludere nessuna ipotesi, anche perche' non ho potuto esaminare
il sistema di ancoraggio del pendolo, ma da allora mi e' rimasto il forte
sospetto che il moto ellittico retrogrado sia un effetto non inerziale, 
piu' immediato da vedere della famosa rotazione del piano di oscillazione!
Naturalmente ho cercato di analizzare teoricamente il fenomeno, ma pur 
piccandomi di conoscere bene la meccanica razionale, non sono riuscito a
sviluppare una spiegazione analitica adeguata. 
Mi sono detto che se il moto ellittico retrogrado fosse davvero un effetto
non inerziale, il fenomeno sarebbe ben noto da lungo tempo. Ho rimosso il 
problema in attesa di eventuali nuovi riscontri sperimentali.
Come vedi ho ottime ragioni per essere molto interessato a quanto scrivi. 
Hai la possibilita' di usare quel pendolo disattivando la compensazione 
dello smorzamento?
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

 sviluppare una spiegazione analitica adeguata. 
Forse sto' dicendo una stupidaggine ma mi sembra che il problema sia 
abbastanza semplice.
Supponendo di usare la solita approssimazione delle piccole oscillazioni 
e trascurando l'attrito e' possibile scrivere due equazioni su due piani 
verticali ortogonali tenendo conto della forza di Coriolis.
Due equazioni differenziali lineari di second'ordine accoppiate e a 
coefficienti costanti; i termini di accoppiamento (forza di Coriolis) 
sono proporzionali alle derivate prime delle variabili dipendenti.
Il sistema e' facilmente risolubile analiticamente e mi aspetto che 
risultino in una combinazione di oscillazioni armoniche su due piani 
ortogonali le cui fasi relative spieghino le osservazioni di Tetis e 
Pangloss.
Appena ho tempo mi ci metto a meno che qualcuno non lo faccia prima...
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca


 


 Appena ho tempo mi ci metto a meno che qualcuno non lo faccia prima...
IMHO stai sottovalutando il problema.
Sviluppando la teoria del pendolo di Foucault con lo schema classico di
calcolo da te citato si trova che in un riferimento rotante (rispetto al
laboratorio) con velocita' angolare omega*cos(colat) le traiettorie
sono effettivamente ellissi aventi semiassi dipendenti dalle condizioni 
iniziali di lancio del pendolo.
In particolare, se il pendolo viene liberato con velocita' iniziale 
nulla rispetto al laboratorio (metodo del filo bruciato) il rapporto 
fra i semiassi vale b/a=omega*cos(colat)*sqrt(l/g), ossia ha un ordine 
di grandezza di 10^(-4) o di 10^(-5): lo schiacciamento e' cosi' forte 
da fare apparire la traiettoria rettilinea.
Il fenomeno da me osservato e' ben diverso; nel mio maxi-pendolo libero 
(smorzato) b/a cresceva con il tempo e tipicamente dopo mezz'ora era 
dell'ordine di 10^(-2). Tale moto ellittico (sempre retrogrado!) non e' 
previsto dalla teoria (almeno al livello di precisione al quale sono 
riuscito ad arrivare) e non si trova citato su alcuna pubblicazione di
mia conoscenza.  


 se siamo nell'emisfero australe
e' ovvio che questo e' irrilevante. l'integrale dell'accelerazione di
Coriolis
trasversale non sara' la velocita' trasversale alla fine del periodo.
Quello che conta e' solo la variazione del momento angolare e questa
sembra indicare che il contributo dovuto alla forza di Coriolis sulle
componenti verticali e' un contributo levogiro. Quindi nulla. Non ho
ancora nemmeno un barlume di teoria per le tue osservazioni. Anzi
sembra che per questa strada si arrivi a prevedere un comportamento
perfettamente contrario, piuttosto compatibile con l'osservazione fatta
a Bologna, che tuttavia e' largamente inaffidabile dal punto di vista
scientifico
per tutti i fattori che ti ho elencato. Mi chiedevo piuttosto se non si
possa cosrtuire
un mini pendolo usando fili di seta, un materiale pesante ed un contenitore
trasparente sotto vuoto sospeso in un sistema di attenuazione. Scommetto che
e' stato costruito qualcosa del genere.


 ...
Mi dispiace di non avere assolutamente tempo di mettermi a fare conti,
per cui debbo limitarmi a qualche commento da quattro soldi a quello
che dite.
Noto che nessuno di voi ha dato informazioni sull'ampiezza delle
oscillazioni.
Sara' piccola, ma siete certi che effetti non lineari non entrino in
gioco?
Ma a me sembra pero' piu' plausibile un altro aspetto, niente affatto
teorico.
Credo sia ben noto che il problema tecnico piu' delicato nella
costruzione di un pendolo di Foucault sta nel come si realizza la
sospensione.
Con masse come quelle di cui parlate, le sollecitazioni sulla
sospensione sono notevoli, per cui bisognerebbe assicurarsi della sua
rigidita', della perfetta :) simmetria ... tutte cose difficili da
accertare a meno di non andare in cima allla Mole o al soffitto di S.
Petronio, oppure consultando il progetto.
Nel caso di S. Petronio poi c'e' il sistema magnetico, che non ho
capito come sia fatto, ma potrebbe anche lui fare la sua parte...
Se non si accerta tutto questo, credo che approfondire tanto la teoria
serva a poco.
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 componenti verticali e' un contributo levogiro.
Scusa che sciocco che sono. La forza di Coriolis e' -2 om x v
non il contrario. Quindi il contributo dovuto allo smorzamento
sembra nel verso corretto. Resta solo da vedere quanto pesa
nel tempo. Vedremo, se ho un poco di voglia cerchero' di
valutare quanto pesa. Per curiosita' che fattore di qualita' aveva
il pendolo che hai visionato?


 Pero'. :-)
In effetti a mio parere i casi possibili rimangono solo due:
- o il fenomeno da me osservato era determinato in qualche oscuro modo dal 
sistema di ancoraggio del pendolo di Torino;     :-(
- o il fenomeno e' dovuto alla forza di Coriolis, nel qual caso sarebbe 
degno di pubblicazione.                          :-)
Se il pendolo di Bologna 2005 confermasse le osservazioni di Torino 1982,
varrebbe davvero la pena di affrontare seriamente il problema dal punto 
di vista teorico (e credo anche di sapere per quale via).


 mia conoscenza.
Per me continua a restare un mistero. Come ho scritto in
un altro e-mail ho impostato la valutazione del contributo
dato dalle componenti verticali della forza di Coriolis 
al momento angolare. Quello che trovo e' che risulta
da integrare la funzione:
K cos(\theta(t))sin(\theta(t)) theta'(t) dt. 
dove assumiamo che:
\theta(t) = A cos(\omega t) exp(-\alfa t).
questa e' un'approssimazione della soluzione,
tuttavia se guardi l'integrale che stima la 
variazione del momento angolare vedi che 
questo integrale si riduce ad una grandezza che
dipende solo dalla variazione assoluta dell'angolo
infatti il contributo al momento angolare risulta:
K cos(\theta)sin(\theta) d\theta 
che quindi non dipende dalla specificita'
della dinamica. Pertanto l'unico contributo
al momento angolare deriva dal fatto che 
dal momento del rilascio al momento in cui
viene completata la prima oscillazione il 
pendolo non torna alla posizione iniziale. 
E questo porta ad una variazione di momento: 
K [cos(\theta)sen(theta)]' \delta_\theta
Mentre K ha un valore massimo pari a:
K_max = 2 \Omega_T cos(\lambda) L^2
dove \lambda e' la latitudine ed L e'
la lunghezza del pendolo, mentre \Omega_T
e' la velocita' angolare del pendolo.
Se uso i 39 metri del pendolo in questione
trovo K_max = .15 m^2/s e la variazione di 
momento angolare specifico al tempo zero 
risulta M_max = .15 x \delta_\theta.
Se assumiamo che in una oscillazione il pendolo
perda una frazione dell'un per mille di energia
avremmo \delta_\theta = 1/1000 \Theta_max 
poniamo quindi un millesimo di radiante,
(visto che forse ho sottostimato la dissipazione 
sopravvaluto l'angolo di oscillazione)  dunque
circa .00015 m^2/s. Se dividiamo per la velocita'
del pendolo nel punto piu' basso otteniamo l'ampiezza
dell'escursione laterale e ponendo una velocita' di
circa 1 m/s l'escursione laterale e' di  2 decimi 
di millimetro. Ma il segno del momento angolare 
dipenderebbe dalla direzione iniziale del pendolo
se a Nord il contributo e' destrogiro, se a sud
e' levogiro. 
Ora tutto quello che ho detto fin qui sarebbe 
rigorosamente vero se K fosse davvero costante
e se non esistesse una lieve eccentricita' 
dell'orbita. Volendo continuare a trascurare
l'effetto dell'eccentricita' possiamo tuttavia
cercare di considerare l'effetto della variazione
di K. 
Dato K varia nel tempo e varia come 
K_max Cos(\Omega_T Sin(\lambda) t) 
essendo la componente della velocita' angolare
nella direzione del moto del pendolo, che come
ricordiamo sta ruotando. Quale sara' allora
l'effetto di questa rotazione? Forse esiste
un modo piu' corretto considerando qualche 
invariante adiabatico, tuttavia provo a fare la
stima in questo modo: considero che K(t) e' 
costante in una oscillazione e valuto il contributo
al momento angolare specifico in termini di 
Int K(t(\theta)) cos(\theta)sin(\theta) d\theta 
su un quarto di oscillazione. Trovo: 
circa K (1-cos^2(\Theta_max)/2) 
ora faccio variare t di un quarto di periodo 
ossia: \tau = T/4
e per ogni quarto di periodo considero la 
variazione di K come se avvenisse all'inizio
del quarto di oscillazione. Per ogni oscillazione
trovo un contributo al momento angolare specifico
pari a:
[+K(t)cos^2(\Theta) - K(t+\tau)cos^2(\Theta)] +
-K(t+2\tau) cos^2(k \Theta) + K(t+3\tau) cos^2(k \Theta)]/2 =
= K' \tau [cos^2(\theta) - cos^2(k \theta)]/2
dove k e' il fattore di attenuazione fra un
una emi-oscillazione e la successiva, e la
convenzione adottata e' quella di considerare
positivi i momenti angolari specifici destro-giri 
Ovvero circa:
- (1/2) K' \tau [\delta_\theta]^2 
-(1/2) K_max sen(alfa_o + \Omega_T t) \Omega_T \tau  [\delta_\theta]^2
siccome K sta diminuendo questo comporta un 
K' negativo ovvero un momento netto destro-giro
di ampiezza circa 1 e (-8) per ogni oscillazione.
In 3600 oscillazioni la situazione non mi sembra
che migliori di tanto rimanendo dell'ordine di 
3.6 e -5. Cioe' a dire che la deriva laterale e'
di un centesimo di millimetro. 
Con tutto questo pero' abbiamo imparato che se 
consideriamo la singola oscillazione la deriva
rispetto alla retta in rotazione, pure se dovrebbe
rimanere trascurabile alla fine dell'oscillazione,  
tuttavia dovrebbe essere apprezzabile durante
le singole oscillazioni. Se ora consideriamo
l'otto formato dall'oscillazione in direzione del
polo nord quello che risulta e' che la parte a Nord
dell'otto viene percorsa in senso antiorario. E quella
a Sud in senso orario. E questa oscillazione laterale
e' leggermente piu' ampia rispetto alla rotazione. 
millimetri rispetto a centesimi di millimetro.
Ora questo significherebbe che se questo fosse
l'effetto responsabile dell'osservazione che
facevo, l'altare di S.Petronio sarebbe 
orientato a Nord. Mentre pensando al sole a tarda
ora ho l'impressione che sia la facciata ad essere
orientata a Nord. Del resto dubito molto che sia questo
il motivo, visto il fatto che alla quarta oscillazione 
il pendolo ha urtato ed abbattuto il  birillo in fase 
ascendente, mentre nelle tre oscillazioni precedenti 
lo aveva toccato solo in fase discendente.
Dark matter. Help me. 
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 manomissione.
Non oserai affermare che e' tradizione della chiesa cercare di ostacolare
il cammino della scienza!?    ;-)
Puoi darmi almeno una sommaria descrizione di come sia fatto il sistema 
di compensazione dello smorzamento? 
Nella mia mente si sta formando un'interpretazione complessiva piuttosto
diabolica di tutti i risultati sperimentali. 
Sono pronto a scommettere che, disattivando la compensazione dello 
smorzamento, scomparirebbe subito quella che io considero la principale 
stranezza del pendolo di San Petronio: una velocita' angolare del piano 
di oscillazione inferiore del 5% rispetto alla latitudine di Bologna!


 serva a poco.
Come vedi dai miei scritti, condivido pienamente tali osservazioni ed 
anche la morale finale. 
C'e' pero' un vecchio tarlo che rode e vorrei finalmente eliminarlo...



 


 ....(cut)
Prendo atto che almeno per il momento:
- non si sa come funzioni il sistema di smorzamento;
- non e' possibile disattivare tale accessorio; 
- il dato dei "240 gradi/giorno" va inteso come "una decina di gradi 
  all'ora" (!).
Ne concludo che San Petronio non ha voluto farmi la grazia e che dovro' 
continuare a tenermi il mio tarlo. Bye.  


 Elio Fabri
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

>serva a poco.
A parte che ho dovuto cercare il significato della cortese espressione 
"IMHO", sono d'accordo che la mia mania di linearizzare tutto in questo 
caso, probabilmente, non porta a nulla di nuovo.
Di fatto le equazioni complete del pendolo, anche in assenza di 
dissipazione, sono non lineari.  Primo per la banale presenza di 
funzioni seno/coseno nelle equazioni del moto in x e y, ma anche per 
termini quadratici di accoppiamento nell'eventuale equazione in z.
Tuttavia alla fine sono d'accordo con l'impostazione di Elio Fabri per 
questa ragione da "sporco e impreciso sperimentale come me :-)": per un 
pendolo con oscillazioni cosi' piccole (~1m su 60m), mi aspetto che 
l'influenza dei termini non lineari sia decisamente di ordine superiore 
mentre la descrizione del fenomeno di Pangloss sembra mostrare un 
disturbo piuttosto importante (e interessante, non c'e' dubbio).
Sempre IMHO, non credo, cosi' a naso, che un termine dissipativo, 
proporzionale alla velocita' della "palla" e contrario al suo moto, 
possa spiegare l'insorgere di un moto "retrogrado" ma opterei per un 
qualche disturbo che forma un angolo con il vettore velocita' 
istantaneo.  Escludendo effetti Bernuilli, torsioni e onde sul cavo o 
misteriosi comportamenti della forza di Coriolis, mi sembrerebbe piu' 
semplice cercare la causa nel sistema di scappamento che mantiene 
l'oscillazione e che potrebbe dare l'impulso in una direzione che non 
giace esattamente sul piano di oscillazione istantaneo.
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca


 


 giace esattamente sul piano di oscillazione istantaneo.
Guarda che il pendolo della Mole Antonelliana era privo di dispositivi 
per compensare lo smorzamento. Sono comunque d'accordo quasi su tutto 
cio' che e' stato scritto da te e dagli altri qualificati interlocutori 
di questo thread (Fabri, Cocciaro, Tetis).
A questo punto non mi resta che passare all'aneddotica, per 
giustificare la mia insistenza.
Nel 1982, quando sono andato a vedere per la prima volta il pendolo 
della Mole, ho subito notato che il display elettronico (pilotato da un 
sistema di fotocellule che registravano la direzione di oscillazione 
del pendolo) forniva un'indicazione del periodo di rotazione errato per 
la latitudine di Torino. La causa era evidente: dopo una o piu' ore dal 
lancio la traiettoria era visibilmente ellittica, causando un errore 
sistematico nel passaggio del pendolo sopra le fotocellule.
L'inconveniente era sgradevole ed ho percio' interrogato in merito un 
custode addetto alle dimostrazioni per il pubblico. Ho cosi' appreso 
che i fisici (o gli ingegneri?) responsabili dell'installazione avevano 
attribuito il problema alle perturbazioni iniziali del sistema 
(pendolo+fune). Per minimizzare il difetto, il custode aveva ricevuto 
disposizione di aspettare ogni volta mezz'ora prima di bruciare il filo
di vincolo, ma l'inconveniente non era scomparso.
Lavorando all'epoca non lontano dalla Mole, sono passato varie volte a 
vedere il pendolo ed ho cosi' notato che non solo la traiettoria era 
ellittica, ma che il verso di percorrenza era sempre antiorario.
Colto dai primi dubbi ho nuovamente interrogato in merito il custode, 
che mi ha confermato che gli pareva che fosse sempre cosi'.
A questo punto il mio tarlo ha cominciato a rodere.
Ho scomodato l'assessore competente ed ottenuto il permesso di usare il
pendolo per i miei esperimenti personali.
Mi interessava fare alcune sia pure rudimentali osservazioni quantitative
del fenomeno, ma mi interessava soprattutto vedere come si sarebbe 
comportato il pendolo lanciandolo volutamente in modo che oscillasse 
inizialmente su un'ellisse percorsa in verso orario.
Sui risultati ho gia' riferito.
La diagnosi dei progettisti del pendolo di Torino era sbagliata: le 
condizioni iniziali non erano responsabili del disturbo, non vi era 
alcuna "dipendenza sensibile" dalle condizioni iniziali!
Rimaneva IMHO solo seriamente da sospettare qualche mancanza di 
rigidita' e di simmetria del sistema di sospensione (come giustamente 
ha osservato Fabri). Anche se avessi potuto esaminare il sistema o i 
disegni di progetto con i miei occhi, sarebbe comunque stato impossibile 
valutare seriamente l'entita' di eventuali anomalie.
L'unico modo semplice ed attendibile per accertare la causa nel sistema 
di sospensione era ed e' tuttora quello di ripetere le osservazioni su 
altri pendoli di Foucault, che dovrebbero presentare moti ellittici 
o inavvertibili o quantitativamente diversi e magari orari.
Certamente il sistema di sospensione rimane il principale indiziato e 
la forza di Coriolis presumibilmente non c'entra.
Il mio tarlo pero' trova strano che lanciando il pendolo in verso 
nettamente orario io abbia osservato dopo mezz'ora una traiettoria 
rettilinea e successivamente di nuovo la solita ellisse percorsa in 
verso retrogrado.
Nel mitico fenomeno dei vortici osservabili nei lavelli, il verso di 
rotazione e' imputabile a piccole asimmetrie del sistema e/o alle 
condizioni iniziali di non perfetta quiete dell'acqua.
In qualsiasi lavello si possono comunque innescare vortici stabili in 
verso orario o in verso antiorario semplicemente imprimendo un lieve 
moto rotatorio all'acqua prima di sturare il lavello: Coriolis non 
c'entra, siamo di fronte ad asimmetrie del sistema ed a dipendenza 
sensibile dalla condizioni iniziali.  
Il pendolo di Torino avra' avuto ovviamente le sue lievi asimmetrie e le 
condizioni di lancio saranno state affette da perturbazioni, ma 
traiettorie ellittiche stabilmente orarie non erano mai osservabili.
Non varrebbe la pena di levarsi lo sfizio, provando a staccare la 
corrente ai magneti di San Petronio?
(mi scuso per la lunghezza del post)



 


 delle oscillazioni nel corso della giornata?
Lo smorzamento era notevole, nonostante le grandi dimensioni del 
pendolo. Fortunatamente conservo ancora i miei dati sperimentali 
piu' significativi. In una serie di misure ho rilevato:
- t=00      a=395cm   b=0  cm
- t=50min   a=190cm   b=5.5cm
Comunque non credo che il fenomeno da me osservato sia determinato 
dalle forze dissipative. Credo piuttosto che quale che ne sia la causa 
(azione del vincolo o (sigh) Coriolis) l'apparato di compensazione 
dello smorzamento possa mascherare tale effetto.
A mia volta vorrei sapere: il pendolo di San Petronio e' mantenuto in 
oscillazione permanente tutto il giorno? Non e' proprio possibile 
sapere qual'e' l'effettiva velocita' angolare osservata, insomma avere 
un dato sperimentale piu' attendibile di quei 240 gradi al giorno?



 


      Elio Proietti


 mettevi in moto il pendolo ?
L'ancoraggio di lancio del pendolo era fissato esattamente a sud-est.
Avevo registrato tale dato proprio pensando che potesse in qualche modo 
essere significativo, ma non ho potuto eseguire esperimenti in altre 
direzioni, avendo avuto a disposizione il pendolo solo per poche ore.


 direzioni, avendo avuto a disposizione il pendolo solo per poche ore.
Ehhh, un vero peccato che tu non abbia potuto eseguire esperimenti in altre
direzioni. Sarebbe stata una controprova decisiva. Comunque direi che i
dati da te raccolti, essendo compatibili con un DeltaL dell'ordine del
millimetro (posto che io non abbia sbagliato i calcoli), siano sufficienti
per poter imputare l'effetto, con una buona probabilita', alla non perfetta
simmetria.


 wrote in message
news:4359e912$0$20493$
4faf...@reader4.news.tin.it

Ho fatto, per completezza, una stima dell'effetto dovuto alla
viscosita' atmosferica. 
Prima ho calcolato il numero di Reynolds per un oggetto di grandezza
l = .2 m con densita' dell'aria 1 kg m^(-3) ottenuta nell'ipotesi che
l'atmosfera sia composta di azoto e che una mole di azoto pesa 28 g
ed occupa un volume di 22 litri. Il numero di Reynolds e' dato da
rho v l / eta dove eta e' la viscosita' dell'aria che vale 
172 e -6 Poise' (unita' del S.I.). Valuto allora che la velocita'
di soglia fra comportamento laminare e comportamento turbolento e'
1.81 m s^(-1). 
Nel caso del pendolo in S. Petronio con lunghezza di 39 metri 
e che nei primi giorni era tenuto ad una ampiezza di oscillazione
di un paio di metri risulta una pulsazione \omega = 2 \pi / T
di .5 s^(-1) con una velocita' massima di 1 m s^(-1) quindi nessun
comportamento turbolento. 
Se possiamo fare l'ipotesi di risposta lineare proprio del
moto laminare possiamo stimare facilmente il fattore di qualita'  
dalla nota formula di Stokes per la forza viscosa: 
gamma v = 6 \pi \eta r v dove r e' il raggio della sfera pari
trovo allora gamma dell'ordine di 3.3 e (-4) kg s^(-1). 
ora il coefficiente di attenuazione e' dato da  
\gamma / 2m e vale circa .5 e -4 s^(-1) ipotizzando 
una sfera pesante 3 kg. 
L'energia dissipata in un periodo e' data da un semplice
integrale di \gamma x' dx che si riduce facilmente 
a 4 \gamma \omega Int_0^A sqrt(A^2-x^2) dx =
\gamma \omega A^2 \pi. E l'energia e' pari al 
picco di energia cinetica: 1/2 m A^2 (\omega)^2.
Dunque la frazione di energia dissipata su un ciclo
e' inversa del fattore di qualita': 
(m \omega) / (2 \pi \gamma); si
stima un fattore di qualita' che nel caso di S.Petronio
sara' circa 800 e che siccome cresce con la frequenza 
sarebbe, a parita' di massa sospesa, un pochino piu' basso 
nel caso del pendolo della Mole. Il tempo di attenuazione
invece non dipende dalla lunghezza. 
La velocita' di trasferimento del momento angolare in un periodo 
si ottiene da 1/T Int_0^T \gamma \Omega A_0^2 sen^2(\omega t) dt
e risulta pari a \gamma/2 \Omega A_0^2 dove \Omega e' la
velocita' angolare di rotazione del piano di oscillazione
mentre A_0 e' l'ampiezza. Ora integrando, avendo tenuto conto
della variazione di A(t) come exp(-\gamma t/2m) risulta:
M(t) = 1/2 m \Omega A_0^2(1- exp(-\gamma t/m) 
mentre siccome la velocita' di picco risulta:
v(t) = A_0 exp(-\gamma t/2m) si ottiene che lo spostamento
laterale ammonta a:
r(t) = (\Omega/\omega) A_0 Sinh(\gamma t/2m) 
ovvero con i miei dati: una velocita' iniziale 
di spostamento dell'ordine dei nanometri al secondo
e che in caso di moto lineare risulterebbe sempre 
molto contenuta. Tuttavia non va trascurato il
fatto che l'ampiezza di oscillazione diminuisce.
Quindi in accordo a questa formula risulterebbe,
per il caso del pendolo in S.Petronio un effetto
non inerziale dovuto alla resistenza atmosferica
che da uno scarto laterale di .8 /10000 nel caso
di una attenuazione pari ad 1/4. che si consegue 
in un tempo di circa 14 ore. Quindi per il caso
in questione l'effetto e' difficilmente osservabile.
Per quanto riguarda tuttavia il pendolo in S.Petronio
sono certo che gli effetti siano di tipo differente.
In particolare avendo potuto osservare il pendolo 
prima della dismissione ho notato che l'ampiezza era 
pari alla meta' dell'ampiezza iniziale e che in 
un'ora e' prima calata di un ventesimo (qualche 
centimetro, al punto da non toccare piu' le tessere
di domino che nel frattempo avevano sostituito i
birilli) e poi e' ricresciuta di un decimo
fino ad andare a toccare le tessere del domino con
la base della sfera. Poi si notava una leggera asimmetria
nell'ampiezza dell'oscillazione, ma questa a conti fatti non
puo' essere attribuita alla componente verticale di Coriolis,
infine a distanza di 45 minuti la rotazione era stata di
circa 7 gradi, ma in un giorno il pendolo appariva ruotato di
oltre 360 gradi, risultando allora evidente che: o era stato 
fermato e riavviato o che il meccanismo di rilancio influisce
molto sul moto.  
Va rilevato che nel caso di regime turbolento la situazione sarebbe,
a mio parere, molto differente e piu' delicata sia in vista delle
stime, sia in vista dei comportamente quantitativi. Ad esempio,
in caso di regime turbolento, il lento moto laterale comporterebbe
ancora una risposta di tipo lineare? Se si con la stessa costante
viscosa ed un diverso raggio efficace? Oppure sarebbero possibili
effetti di feed-back non lineare di altro genere fra il moto laterale
e la turbolenza residua fra un'oscillazione e l'altra?  
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