Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Chiarimenti sugli spazi multidimensionali...

Salve a tutti.
Mi scuso per non aver risposto subito a Mauro RICCARDI e a Paolo Pedaletti,
ma negli ultimi giorni sono stato un pò indaffarato.
Mi scuso anche per la lunghezza "esagerata" di questo post... ma,
evidentemente, in precedenza, sono stato poco chiaro.
In questo messaggio, cercherò di spiegare meglio ciò che intendo con
"quasi-ortogonalità"; in questo modo spero di rispondere sia a Mauro
RICCARDI che a Paolo Pedaletti.
Il mio ragionamento parte dalla seguente constatazione:  fin dallo studio
della fisica classica, chi ci autorizza a "disegnare" i diagrammi S-T su un
sistema di riferimento cartesiano ortogonale?
In altre parole, ciò che intendo dire è che noi siamo abituati ad usare
questi diagrammi S-T, senza chiederci perchè scegliamo un sistema di
riferimento ortogonale. Da un punto di vista algebrico, io posso scegliere
una base di vettori non-ortogonale, (tra loro linearmente indipendenti) e
rappresentare in questo sistema tutti i diagrammi S-T. Io credo che il
motivo principale che ha spinto i nostri predecessori ad usare un sistema
ortogonale è la semplicità di calcolo. Infatti, le equazioni che ne derivano
hanno una semplicità notevole se confrontate con un sistema non ortogonale.
Però da questo fatto, nasce un'implicita conseguenza... considerare
realmente lo spazio e il tempo come se fossero davvero ortogonali.
A questo punto mi sono chiesto: ma che cos'è l'ortogonalità? Ed inoltre: è
possibile estendere il concetto di ortogonalità ad uno spazio ad "n"
dimensioni?
Ho cercato di ridefinire tale concetto in chiave più astratta e il risultato
a quale sono pervenuto è il seguente: due o più dimensioni sono tra loro
ortogonali, quando dalla loro intersezione, lo spazio (di dimensione "n") a
cui esse appartengono viene suddiviso in "2^n" parti uguali. Ad esempio
l'intersezione di un punto con una retta, fa sì che il punto stesso divida
la retta in 2 parti uguali (punto: dimensione zero,  retta: dimensione
uno... 2^1). L'intersezione di due rette (tra loro ortogonali) suddivide il
piano in 2^2 (quattro) parti uguali. L'intersezione di tre rette (tra loro
ortogonali), suddivide lo spazio in 2^3 (otto) parti uguali.
Se agginugo una quarta dimensione (e la ipotizzo ortogonale alle
precedenti), questa dovrà suddividere lo spazio-tempo in 2^4 (sedici) parti
uguali... altrimenti non è ortogonale! E' qui il punto cruciale! Il tempo
dovrebbe dividere lo spazio-tempo in parti uguali! Ciò significa che per una
particella qualsiasi dovrebbe essere indifferente un movimento nel futuro o
nel passato. Però, difatto, le particelle si muovono solo verso il futuro...
Allora c'è da supporre che l'ipotesi di partenza (spazio e tempo ortogonali)
fosse sbagliata...
Bene allora a questo punto riprendiamo il discorso dal diagramma S-T.
Innanzittutto poniamoci in una regione spazio-tempo non influenzata da
grandi masse, al fine di rendere trascurabile l'effetto della curvatura
spazio-tempo indotta da quest'ultime. In tale regione, non dovrebbe essere
errato applicare la geometria euclidea (così come non è sbagliato applicarla
sul nostro pianeta :-)  ).    In questo caso, non c'è alcun bisogno di
utilizzare delle geometrie complesse per analizzare i fatti. Spero che
converrete con me, se affermo che, in particolari condizioni fisiche, la
geometria di Minkowski può approssimarsi con quella euclidea. Inolte, per
quanto riguarda l'osservazione che mi è stata fatta circa l'uso della
geometria euclidea, laddove dovrebbe essere usata quella di Minkowski,
vorrei far notare che ponendo u=ict (i = unità immaginaria; c = velocità
della luce; t = tempo), il formalismo matematico che ne deriva dalla
geometria minkowskiana è identico a quello della geometria euclidea... anche
se i concetti fondamentali sono diversi.
Per fissare le idee, usiamo un diagramma sul piano. Inizialmente dobbiamo
fissare un vettore che rappresenti il tempo. Una volta definito questo
vettore, prendiamone un'altro ad esso ortogonale. La direzione di questi due
vettori determina il classico sistema di riferimento cartesiano. Normalmente
avremmo attribuito al secondo vettore la dimensione spaziale, ma in virtù
del ragionamento precedente, questa cosa non può essere fatta. Cerchiamo
allora di capire dove deve essere rappresentato il vettore "spazio",
affinchè il nostro diagramma sia congruente con la realtà.
Per fare questo ragioniamo nel seguente modo: iniziamo assegnando al secondo
vettore (quello ortogonale al tempo) la dimensione spaziale. In un diagramma
simile cerchiamo di attribuire un significato omogeneo a tutte le rette
passanti per l'orgine, in modo da poter capire anche il significato della
retta temporale e di quella ad essa ortogonale. La retta temporale è
associabile ad un osservatore fermo; la retta ad essa ortogonale, è
associabile ad un osservatore che si muove con velocità infinita. Tutte le
rette intermedie, rappresentano le varie velocità (comprese fra zero ed
infinto). In particolare ci interessa la retta associata alla velocità della
luce, che per la sua particolarità, è molto vicina all'ipotetico asse
spaziale (s). Le rette che sono comprese fra quella della luce e quella "s"
non hanno senso fisico, perchè rappresentano velocità superiori a quelle
della luce. Attenzione: i punti (come giustamente mi aveva fatto notare
Mauro RICCARDI) hanno invece un senso fisico reale, e sono giustamente i
punti evento che sono al di fuori del cono di luce futuro. Essi, esistono
realmente... ma le rette, che invece sono associate alle velocità degli
osservatori che si muoverebbero a velocità superiori a quella della luce,
non hanno senso. Quindi, anche la retta ortogonale al tempo non ha senso!
Pertanto la retta associata alla velocità della luce è in realtà il vero
spazio del diagramma. Abbiamo quindi un diagramma S-T in cui i due assi
coordinati, non sono ortogonali.
Tutti i punti del diagramma S-T (non ortogonali) esistono realmente... essi
sono punti evento, ed "hanno tutto il diritto di esistere" (come dice Mauro
RICCARDI).
La differenza sostanziale stà nel fatto che ora il tempo non suddivide più
lo spazio in parti uguali, per cui ora esiste una sostanziale differenza tra
passato e futuro... cosa che non esisteva nel classico diagramma S-T.
Ora a questo punto si può prendere questo schema ed applicargli tutte le
complicazioni geometriche che ci interessano, ivi compresa la geometria di
Minkowki.
E' da notare che la differenza che c'è tra il diagramma S-T ortogonale e
quello non ortogonale, è talmente piccola che per velocità molto inferiori a
quella della luce, l'errore che si commette (nell'approssimarla ad
ortogonale) è praticamente trascurabile.
Spero di essere stato più chiaro; comunque per ogni strafalcione,
imprecisione o errata esposizione, sono a vostra completa disposizione.
Fatemi sapere che ne pensate... attendo le vostre risposte e i vostri
commenti.

Ciao Fabio Ceccarelli,
 > spaziale (s). Le rette che sono comprese fra quella della luce e quella "s"
 > non hanno senso fisico, perchè rappresentano velocità superiori a quelle
 > della luce. Attenzione: i punti (come giustamente mi aveva fatto notare
 > Mauro RICCARDI) hanno invece un senso fisico reale, e sono giustamente i
 > punti evento che sono al di fuori del cono di luce futuro. Essi, esistono
 > realmente... ma le rette, che invece sono associate alle velocità degli
 > osservatori che si muoverebbero a velocità superiori a quella della luce,
 > non hanno senso. Quindi, anche la retta ortogonale al tempo non ha senso!
 > Pertanto la retta associata alla velocità della luce è in realtà il vero
 > spazio del diagramma. Abbiamo quindi un diagramma S-T in cui i due assi
 > coordinati, non sono ortogonali.
secondo me continui a fare confusione tra rappresentazione di un evento ed
evento vero e proprio.
Es: diagramma V(P) a T costante:
V     .
|    .
|   .
|  .
| .
|.
-----------P
trovi qualcosa di strano? :-)
all'aumentare della P il V aumenta.
Ovviamente quella retta non rappresenta un comportamento "normale".
E tu come risolvi il problema?
"storti" gli assi, oppure dici che sono gli assi ad essere sbagliati.
Evidentemente non e' la soluzione giusta.
Altro esempio:
in genere si trova rappresentato l'atomo come un grumo di palline colorate
circondate da un certo numero di palline bianche che ruotano intorno.
Da questa rappresentazione cosa puoi dedurre?
Che gli elettroni *sono* bianchi?
Che gli elettroni hanno una posizione/dimensione ben precisa?
Non puoi tornare indietro banalmente, dalla rappresentazione al fenomeno
fisico.
Non puoi attribuire o far ricadere i limiti della rappresentazione scelta
sul fenomeno fisico.
Renditi conto dei limiti che una QUALSIASI rappresentazione introduce
"cerco di arrivare il piu' tardi possibile
	a delle conclusioni affrettate"
-- 
Paolo Pedaletti, Como, ITALYa < paolo . pedaletti @ flashnet . it >
VOTE AGAINST SPAM! 
http://www.politik-digital.de/spam/it/

 se i concetti fondamentali sono diversi.
Il formalismo matematico e' diverso, ed e' meglio che tu lasci perdere in
questa nostra discussione *fatta a gesti* dei trucchetti formali come
questo: la faccenda si fa davvero spinosa se non si puo' discutere usando
il necessario linguaggio matematico.
Tra l'altro, credo che tu non abbia ben chiaro in mente cosa si intende
per *geometrie approssimabili con altre geometrie* ...
Piu' di tanto non me la sento di continuare, perche' il tuo post e'
intriso della tua ipotesi iniziale, che e' contraddittoria ... capisci,
non e' per cattiveria o pigrizia, ma e' proprio che non posso parlare (ma
nemmeno leggere !) di cio' che scrivi tu nel seguito ... semplicemente non
lo capisco !
Comunque ti preannuncio un *secondo fascicolo* del post, per evitare di
appesantire troppo il presente.
   grazie per lattenzione
                      bye     mr

 ortogonali), suddivide lo spazio in 2^3 (otto) parti uguali.
L'intersezione di tre rette perpendicolari e' ancora un punto. Ma stavolta
neanche l'unione ti salva. Infatti l'unione di tre rette non divide lo
spazio.
ciao,
	Em.

 a delle conclusioni affrettate"
Lo spero ;-)
Ciao e grazie per essere intervenuto.
Fabio Ceccarelli

 Em.


                       bye     mr
Sono io invece che ti ringrazio per avermi dedicato tutto il tuo tempo. Ad
ogni critica o correzione sarò sempre ben disposto a discuterla.
Ciao...  da Fabio.

Salve a tutti.
Questo messaggio è un "errata corrige"
Il messaggio precedente, che aveva come mittente Roberto, era in realtà un
mio messaggio.
C'è stato un errore dovuto alla modifica delle impostazione dell'account del
Newsgroup da parte di mio fratello, per cui anzichè comparire Fabio
Ceccarelli, è comparso Roberto.
Mi scuso con tutti i partecipanti al Newsgroup per l'inconveniente ;-)
Fabio Ceccarelli

Mi spiace di essere riuscito a leggere solo parte dei papiri precedenti
Comunque
1. Dio non ha nulla a che fare con questo NG
2. Cio' che concorre ad una visione 3D del nostro ambiente:
- La visione stereoscopica: attraverso 2 proiezioni bi-dimensionali di un
ambiente a 3 dim. siamo in grado di valutare le distanze tra gli oggetti
nello spazio (prova a giocare a tennis con un occhio bendato, prova a
valutare la posizione nello spazio 3D del pallone durante una
partita a calcio in televisione e dal vivo)
(... a questo punto la domanda diventa: di quante proiezioni n-1
dimensionali abbiamo bisogno per una visione n-dimensionale? ...)
- Anche il solo fatto che gli oggetti vicini coprono parzialmente gli
oggetti distanti fornisce una informazione sulla distanza degli oggetti e
quindi sulla terza dimensione.
.
L'unico contesto che conosco nel quale il tempo ha qualcosa a che fare con
la dimensionalita' (a parte la relativita' che non c'entra per niente in
questo discorso) e' il seguente:
E' stato osservato che un filmato bidim. (un normale film) e'
in grado di creare una visione tridimensionale se viene effettuato in una
condizione tipo video camera ferma che riprende dal finestrino di un treno
in corsa.
Osservando tale filmato cio' che si vede e' una sorta di visione 3D ed e'
stato ipotizzato che cio' sia dovuto ad un ritardo percettivo della visione
di un occhio rispetto ad un altro. in questo modo mentre un occhio osserva
un'immagine l'altro occhio ne osserverebbe una differente corrispondente ad
una proiezione da un diverso punto di osservazione.
Ciao Beppe

ripete?
Hai mai sentito parlare di teoria del Caos?
Ciao Beppe

 semipiani, ora parlo di semispazi.
Guarda, non riesco proprio a seguirti. Quale sarebbe il semispazio
individuato da una retta?
ciao,
	Em.

 uguali... è la stessa cosa!
Si', peccato che il concetto di "uguale" si basa sull'aver fissato un
prodotto scalare nel piano. Altrimenti non sei in grado di dire quando due
insiemi del piano sono "uguali" (provare per credere).
Em.

 insiemi del piano sono "uguali" (provare per credere).
Il prodotto scalare, per poter essere definito in modo univoco, ha bisogno
di una funzione di sostegno. La funzione in questione è il coseno. Quindi,
prima di definire il prodotto scalare, devi definire la funzione coseno. Ma
quando definisci la funzione coseno, sei costretto a prendere un riferimento
cartesiano "ortogonale", nel cui origine vi è il centro della circonferenza
di raggio unitario...
Ma nel momento in cui tu prendi questo sistema di riferimento (per definire
il coseno), stai utilizzando già il concetto di "prodotto scalare"...
E' un ragionamento ricorsivo...  Infatti per definire il prodotto scalare
hai bisogno del coseno; per definire il coseno hai bisogno di un sistema di
riferimento cartesiano ortogonale; per definire il sistema di riferimento
cartesiano ortogonale hai bisogno del prodotto scalare.
L'unico modo per venirne fuori è quello di usare il concetto di traslazione
e confronto (tanto caro alla geometria euclidea...). Così, traslando (e
ruotando) il primo quadrante, e sovrapponendolo al secondo, puoi renderti
conto che sono uguali. In questo modo, hai già definto il riferimento
cartesiano ortogonale. Ora puoi tranquillamente definire il coseno, ed
infine il prodotto scalare.
Ciao, e grazie per essere intervenuto.

 Ciao, e grazie per essere intervenuto.
Di niente, figurati!
ciao,
	Em.

di raggio unitario...
forse diro` cose che non c'entrano nulla, ma non ho seguito il thread
fin dall'inizio. non e` vero che per definire il prodotto scalare
hai bisogno di un coseno.
penso che storicamente sia andata come dici, ma poi si e` astratto il concetto
e il prodotto scalare e` definita come una forma bilineare simmetrica e 
strettamente positiva.
simmetrica x*y=y*x per ogni x,y
bilineare (ax+by)*z=ax*z+by*z e lo stesso nel secondo argomento
strettamente positiva x*x>0 x*x=0 sse x=0
questa definizione permette di estendere la def di prodotto scalare su spazi
complessi (in realta` in questo caso si richiede la sesquilinearita`, cioe`
antilineare nel primo argomento e lineare nel secondo) e anche su spazi 
infinito-dimensionale, come gli spazi funzionali.
si dice che x e` ortogonale a y sse x*y=0.
come vedi non ho introdotto alcuna funzione coseno.
poi si ha che ogni spazio di dimensione finita n e` isomorfo a R^n (teorema
di tychonov) e quindi si recupera la formula con il coseno.
spero di non aver creato confusione. se ho detto cose inutile scusatemi.
-- 
Chicco
se vuoi scrivermi, togli NOSPAM dal mio indirizzo

Errata corrige:
mi scuso di nuovo, ma mio fratello ha cambiato di nuovo le impostazioni
dell'account del Newsgroup. Il messaggio firmato: Roberto. Era in realta' un
mio messaggio...
Fabio Ceccarelli

 strettamente positiva x*x>0 x*x=0 sse x=0
Perfetto! Allora eccoti un problema...
Hai due vettori nel piano. A prima vista si direbbero ortogonali, ma
potrebbero non esserlo. Se ciò che hai detto ha un senso anche pratico, deve
essere possibile applicarlo! Allora visto che non hai definito il coseno (e
le funzioni trigonometriche, e gli angoli), applica ciò che hai detto alla
situazione reale. Sei in grado (usando soltanto quella definizione) di dire
se i due vettori sono ortogonali?
Credo proprio di no! Da un punto di vista pratico, se non misuri gli angoli
e non applichi la funzione coseno, non puoi dire assolutamente nulla.
Inoltre la forma bilineare simmetrica, altro non è (da un punto di vista
pratico) che una proiezione di vettori... che non puoi fare senza la
funzione coseno!
Come vedi la definizione algebrica di prodotto scalare, per quanto possa
essere elegante da un punto di vista formale, non è applicabile se non usi
la funzione coseno.
Io nella fattispecie, stavo cercando di applicare tale definizione ad un
problema reale...
Ciao e grazie per aver risposto
Fabio Ceccarelli

 sei nemmeno in grado di misurare le distanze dei punti...
Non c'è bisogno di effettuare una misura... i due insiemi (in questo caso)
si estendo all'infinito. Basta, ruotare il primo quadrante fino a quando non
si sovrappone completamente al secondo.
Come vedi non ho bisogno di "misurare" le distanze fra i punti...
Ciao.
Fabio Ceccarelli

se i due vettori sono ortogonali?
dammi questi due vettori e ti diro` se sono ortogonali o meno.
come faccio a dirtelo? semplicemente adottando la definizione dei prodotto
scalare nel piano, che e` stata data in un latro post dello stesso thread.
pensa che sono anche in grado di dirti se due funzioni sono ortogonali, se
mi dai un prodotto scalare tra funzioni. e il coseno qui non compare
neanche volendo.
questa dscussione sta diventando un discorso tipo "e` nato prima l'uovo o la 
gallina".
dammi le componenti (mi sento geeg :-)) e ti dico se i due vettori
soo ortogonali o meno. non sei obbligato a darmeli in una base 
ortonormale, ce la faccio lo stesso.
e` ovvio che l'uso del coseno e` utile in determinate situazioni e magari il 
prodotto scalare sul piano e` nato proprio con il coseno, ma poi l'astrazione
matematica (gran bella cosa) ha detto che del coseno possiamo fregarcene e 
fare molto di piu`.
facciamo cosi`: eccoti due vettori a caso complessi
(1+i4,i) (3-i,6)
dimmi se sono ortogonali o meno usando il coseno. misurami l'angolo che c'e` 
tra i due.
se solo provi a dirmi che l'angolo e` il rapporto tra il loro 
prodotto scalare e il prodotto dei moduli ti metto nel
killfile :-)


se solo provi a dirmi che l'angolo e` il rapporto tra il loro 
                             ^^^^^^
ovviamente volevo dire il "coseno"


 killfile :-)
Mi sono salvato dal "killfile"?
Ciao, e grazie di nuovo per aver risposto ;-)
Fabio Ceccarelli