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Titolo: Gradiente & Co.

SALVE !!!
Vorrei avere una spiegazione qualitativa e quindi concettuale dei concetti
di:
Gradiente e divergenza.
Grazie
Giuseppe Lupo
Palermo

...

Il gradiente merita sicuramente un approfondimento più ampio date le sue
innumerevoli applicazioni (non che la div. non le abbia, tutt'altro) e
quindi lo discutiamo in seguito. Innanzitutto entrambi sono degli operatori
differenziali agenti su funzioni vettoriali (sia a valori reali sia
vettoriali):
DEF.: sia f una funzione definita in R_n continua e almeno derivabile
chiamiamo "gradiente" di f, lo indichiamo con uno dei seguenti simboli: Df,
gradf, (nabla)f,..., il vettore delle derivate parziali prime df/dx_i
(ovviamente se la funzione è a valori in R_m non è un vettore ma una bella
matrice nxm).
DEF.: sia f una funzione definita in R_n a valori in R_n (campo vettoriale),
definiamo l'operarore "divergenza" di f come il prodotto scalare dell'
operatore (formale) gradiente per la funzione f  stessa ovvero:
D x f = divf= Somme (i:1,..,n) df_i/dx_i = df1/dx + df2/dy +...+ dfn/dw
con x,y,...,w n variabili reali.
L' operatore div. è molto usato in fisica sopratutto in elettromagnetismo
per la trattazione dei campi elettrico e magnetico e quindi del campo
elettromagnetico infatti si possono formulare le 
eq.ni
 di Maxwell in termini
di divergenza e di rotori di questi campi, ovvero di prodotti
(rispettivamente) scalari e vettoriali dell' operatore gradiente con i
vettori rappresentativi dei campi, sia in termini locali sia in termini
integrali grazie ai teoremi della div. ed al teroema di Stokes (che in
verità poi sono un teorema solo nella trattazione dell' integrazione su
spazi e varietà n-dimensionali ma non complichiamoci la vita), infatti si
può esprimere grazie a questo teroema il flusso uscente da una superficie S
come l'integrale di volume della divf ( f è la funzione vettoriale che
"fluisce") fatto sul volume che la superficie S delimita. Analogamente si
esprime la circuitazione del campo f su una curva chiusa dS (bordo di una
superficie grazie al teorema di Jordan) come il flusso del rotore di questo
campo fatto attraverso la superficie S.
Date le sue applicazioni al concetto di flusso l'applicazione alla
fluidodinamica è assolutamente immediata (io credo che proprio da lì sia
partita) anche se ammetto di non sapere in quele modo sia fatta questa
applicazione: confesso inoltre di non sapere se questi operatori siano
applicabili anche a campi tensoriali (penso di si), giro la domanda!
Passiamo al gradiente: hai visto fin da subito che in effetti entrambi gli
operatori div. e rot. di un campo f possono essere elegantemente espressi
per mezzo del solo operatore gradiente questo permette (come sempre in
fisica) una certa economia degli operatori; l'operatore gradiente viene
introdotto in analisi per estendere il concetto di derivata prima utilizzato
per le funzioni di una sola variabile ed in effetti ne è la sua ovvia
generalizzazione, le sue innumerevoli applicazioni vanno dall' utilizzo
nello sviluppo in serie di Taylor al primo ordine all' uso come base per lo
spazio Vp tangente in un punto p ad una varietà n-dim., passando per l'
espressione del differenziale totale df come prodotto scalare di Df con il
vettore incremento dx:  df=(Df,dx). Come vedi di "concettuale" non è che ci
sia poi molto anche se dietro in effetti c'è una discreta quantità di
analisi matematica, il gradiente ha solo una infinità (numerabile :-)) di
applicazioni sia alla matematica sia alla fisica ed alle scienze in generale
(naturali ed economiche). Sicuramente il suo utilizzo più famoso è per
trovare i punti stazionari delle funzioni scalari e vettoriali f al quale
corrisponde in meccanica al fatto di poter trovare delle posizioni di
equilibrio (stabile o instabile sarà da definire) per un certo sistema
dinamico.
Ciao, Adriano Amaricci


Inanzitutto la divergenza è una quantità vettoriale mentre il
gradiente è uno scalare. Il gradiente di un vettore è uguale alla
somma delle derivate delle varie componenti rispetto ai rispettivi
indici, cioè la somma della componete x di un vettore derivata per x
(n.b. la componete x in teoria puo essere una funzione anche di y e z)
più la somma della componete lungo y derivata per y e così via.
La divergenza è un vettore che ha per componenti le derivare delle
componeti di un vettore per i rispettivi assi, cioè la componente in x
è  la derivata della componete x del vettore derivata per x e così via
..
Ciao :-)

 è  la derivata della componete x del vettore derivata per x e così via
...e questo è il gradiente.
In termini più concreti, la divergenza, che è una quantità scalare, da'
una misura (differenziale) del flusso di un certo campo vettoriale
attraverso una superfice infinitesima che "circonda" il punto in cui
stiamo calcolando la divergenza stessa.
Per quanto riguarda il gradiente di una funzione scalare, è una quantità
vettoriale; le sue componenti, fissato un certo sistema di riferimento,
ti dicono come varia la funzione scalare lungo quella direzione.
Ciao.
-- 
Ecco a voi la limpida carriera di Silvio Berlusconi...
7 luglio 1998:2 anni e 9 mesi per le tangenti alla Gdf (l'appello deve
essere ancora celebrato). 
13 luglio 1998:condanna di primo grado per All Iberian (2 anni e 4 mesi
e 10 miliardi di multa)(prescrizione). 
Condanna ad un anno e 4 mesi (condonata) per l'acquisto della casa
cinematografica Medusa.


GRADIENTE:
Qualitativamente:
supponiamo di essere in montagna. L'altezza in ogni punto
rappresenti il valore di una funzione scalare di x,y che in
questo caso rappresentano la x e la y della carta geografica.
Immaginiamo in ogni punto un vettore orizzontale diretto secondo
la linea di massima pendenza e di valore uguale al valore della
pendenza. Esso ci dice in ogni punto in che direzione (opposta)
rotoleremmo e con quale ... accelerazione.
Questo vettore e' il gradiente del campo scalare rappresentato
dal profilo della montagna.
DIVERGENZA:
Sempre qualitativamente:
Immaginiamo il moto di un liquido (incomprimibile). Esso puo'
rappresentarsi con un campo vettoriale in cui, in ogni punto,
e' definito/misurato un vettore velocita'. La singola particella di
liquido, pur muovendosi e deformandosi, non cambiera' di volume.
Questo campo vettoriale di velocita' e' a divergenza zero.
Se immaginiamo invece lo stesso campo di velocita' per un gas e
supponiamo che nel muoversi il gas cambi di densita' da punto a punto,
dove il gas si espande avremo divergenza positiva,
dove si comprime divergenza negativa.
Le formule sono gia' state date ampiamente da Adriano Amaricci.
Un terzo importante operatore dei campi vettoriali e' il rotore.
Esso misura in intensita' e direzione la "vorticosita"
del campo vettoriale da cui e' calcolato. Esso (insieme ai due sopra) non e'
importante solo in idraulica (anzi li' lo e' abbastanza poco)
ma, sopratutto nello studio dei campi elettromagnetici
(equazioni di Maxwell);
Gli operatori citati possono essere facilmente estesi a campi tensoriali...
ma, per ora:
hic manebimus optime.
Ciao
Mino Saccone

 
il gradiente di una funzione f e' definito come quel vettore che ha per
componente i-ma la derivata prima di f rispetto alla i-ma variabile,
questo vettore rappresenta, se consideri la funzione con dominio in un
sottoinsieme di uno spazio euclideo, un vettore perpendicolare alla
superfici formate dai punti per cui f assume lo stesso valore, quindi in
definitiva la direzione del gradiente ti individua la direzione in cui
e' massima la variazione infinitesima della funzione f, in particolare
il verso ti dice il verso in cui f aumenta piu' velocemente, il modulo
e' tanto maggiore quanto maggiore e' la variazione di f. In fisica
la definizione piu' "famosa" in cui si utilizza il gradiente e' quella
che eguaglia una forza conservativa a meno il gradiente della sua
energia potenziale, il meno in questo caso ti dice che la forza e'
diretta verso i punti a energia potenziale piu' bassa, e quindi
rispecchia il principio secondo cui l'evoluzione meccanica della natura
tende verso i minimi dell'energia potenziale.
Il gradiente puo' anche essere visto come un operatore differenziale,
cioe un oggetto matematico che ha una forma vettoriale ma le sue tre
componenti sono le operazioni di derivata rispetto alle tre variabili
cartesiane, in questo caso e' spesso chiamato "operatore nabla" e di per
se non ha significato fisico, ma e' comodo per scrivere in modo compatto
alcune equazioni.
La divergenza infatti puo' essere scritta formalmente come il prodotto
scalare tra l'operatore nabla e il campo vettoriale di cui si calcola la
divergenza (infatti la divergenza di un vettore e' la somma delle tre
componenti del vettore ognuna derivata rispetto alla rispettiva (scusa
la cacofonia) variabile cartesiana, cioe' la derivata rispetto a x della
componente x + la derivata rispetto a y della componente y + la derivata
rispetto a z della componente z)
Non so se esiste un'interpretazione fisica della divergenza che non sia
quella di "tasso di variazione del flusso del campo vettoriale
attraverso un punto", che e' abbastanza inutile perche' non e' altro che
una banale messa in parole di come viene introdotta la divergenza di un
vettore a partire dal teorema di Gauss, pero' non mi sorprenderei se non
ci fosse, perche' io finora non ho mai trovato una teoria o altro in cui
fosse introdotta la divergenza di qualcosa se non a partire da argomenti
direttamente o indirettamente legati al teorema di Gauss (del resto
anche il "cugino" della divergenza, il rotore :), non mi pare che abbia
un interpretazione fisica che trascenda dal concetto di ciruitazione e
conservativita' di un campo vettoriale).
-- 
Saluti
Valar
collegato telepaticamente con Allanon, Roland, Capo Rosso e F2
ex-Maestro Jedi di Abulion Yorgen
ICQ 51287994
"Diciamo la verita': a tutti piacciono le minorenni, per questo c'e' una
legge!" Daniele Luttazzi
per rispondere sostituite (underscore) con _

 ..
Ahem, non ci siamo. Tutto sbagliatao.
Restando al normale calcolo vettoriale in R^3, la divergenza e' un
operatore di derivazione che si applica a vettori (meglio campi
vettoriali) per dare campi scalari.
In coordinate cartesiane, se ho un campo vettoriale di componenti
A_x,A_y,A_z (dove ognuna delle componenti A_i e' una funzione delle
coordinate x,y,z)
div(A) =  @A_x/@x +@A_y/@y + @A_z/@z
che e' uno scalare.
( @ = simbolo di derivata parziale)
Il gradiente e' invece un operatore di derivazione che si applica a
campi scalari e produce campi vettoriali.
Dato il campo scalare F(x,y,z),
grad (F) = e_x @F/@x + e_y @F/@y + e_z @F/@z
dove e_x, e_y, e_z sono i versori nelle direzioni x,y,z.
Le espressioni per grad e div in coordinate diverse da quelle cartesiane
sono piu' complicate e meno "intuitive". 
Ciao
Giorgio Pastore

 matrice nxm).
La mia ignoranza al riguardo tende ad infinito... ma volevo chiedere una
precizazione.
Io credevo che il gradiente fosse definito solo per funzioni R_n-->R, mentre
nel caso R_n-->R_m si parla di matrice di Jacobi.
In pratica ho sempre creduto che il gradiente fosse solo un caso particolare
della matrice di Jacobi nx1.
Chiedo scusa se ho perso qualche post... ma il server fa le bizze e ne vedo
solo la metà
--
________________________________
per rispondermi iliasba(at)
tin.it
bye Brain

 
OK Giuseppe, cominciamo dal GRADIENTE: 
Immagina: sei qui (punto A) vicino a un fuoco acceso e senti caldo,
vai là (punto B), e senti freddo: questo avviene perchè
la temperatura cambia con la posizione nello spazio.
Il gradiente (termico) ti dice quanto rapidamente cambia la temperatura
al cambiare della posizione, e quindi si misura in gradi / metro
*************
( Puoi saltare questa parentesi a una prima lettura, perchè è noiosa.
Misura prima la temperatura in A , poi la temperatura in B, poi fà la
differenza tra i due valori, poi prendi il risultato e dividilo per la
distanza fra A e B, il risultato finale è il gradiente medio
tra A e B. esempio: in A ci sono 10 gradi, in B solo 6 gradi;
10 meno 6 fà quattro; se la distanza tra A e B è (poniamo) venti metri,
il gradiente medio è 4 / 20 = 0 virgola 2 gradi / metro,
nelle unità usate.  Se la termperatura fosse costante dappertutto, 
il gradiente sarebbe zero
Se invece del valore medio tra due punti vuoi il valore in un punto, devi
semplicemente calcolare il valore medio fra il punto che ti interessa
e un punto infinitamente vicino, tanto vicino da confondersi praticamente
con quello che ti interessa; insomma devi fare la derivata della
temperatura
rispetto alla distanza). 
*************
In generale: il gradiente è una costruzione matematica che ti dice
quanto rapidamente varia una cosa nello spazio, cioè quanto fortemente
o debolmente la cosa dipende dalla posizione; può essere una cosa 
qualsiasi, non è obbligatorio che sia una temperatura;
può essere l'intensità di un suono, di una luce, un potenziale elettrico,
la pressione dell'aria...di tutte queste cose puoi calcolare il gradiente,
e solo se queste cose sono costanti dappertutto avrai un gradiente nullo.
Una cosa può anche avere un valore enorme, ma se è costante dappertutto 
il suo gradiente sarà zero. Se invece la cosa cambia alla svelta, cioè
(tornando alla temperatura) se basta fare due passi per passare da un 
caldo infernale a un freddo glaciale, diciamo che il gradiente di quella
cosa è molto grande.
Si può  avere un gradiente grande anche se lo sbalzo di temperatura
è piccolo, magari un solo grado; perchè ciò avvenga bisogna che la
variazione si manifesti su una distanza breve, diciamo di un millimetro;
il gradiente sarà allora 1000 gradi / metro, cioè grande quanto
quello che c'è nelle vicinanze di un forno (dove saltando
dall'esterno all'interno -- salto lungo un metro --  si passa dalla
temperatura ambiente a mille gradi; anche qui il gradiente è 
mille gradi / metro).  
Insomma, il gradiente non dice quanto cambia la cosa, dice però 
quanto cambia in rapporto al cambiamento di posizione; non dà 
informazioni separate sul cambio della cosa e sul cambio di posizione, 
ma solo sul loro rapporto.      
Fin qui è chiaro ?
Adesso precisiamo meglio le cose:
primo: il gradiente è un vettore.
Infatti per definirlo completamente non basta un numero ma ci 
vuole anche una direzione.
Questo fatto lo vedi tornando all'esempio della temperatura.
Supponi che la temperatura intorno al fuoco diminuisca molto
rapidamente andando da sud a nord, ma diminuisca meno 
rapidamente andando da est a ovest; per esempio: se fai pochi
passi verso nord ti metti subito a battere i denti per il freddo, se
invece ne fai altrettanti verso est senti solo un pò di fresco; in
questo caso si vede subito che il cambio di temperatura in rapporto
allo spostamento dipende dalla direzione in cui fai lo spostamento;
non basta dunque dire: la temperatura sul prato cambia di tre gradi
al metro, l'informazione non è completa se non si specifica la
direzione in cui questo cambiamento avviene. 
Questo è tutto quello che so dirti del gradiente senza usare 
formule, cioè parlando solo in modo qualitativo come hai chiesto
tu.
Ti dispiace se per la divergenza rimandiamo a un altro
giorno? Se sai cos'è il flusso di un campo vettoriale,
la spiegazione della divergenza è fulminea.
Però non so se lo sai. Dammi tue notizie.
Ciao!
Corrado massa
_
cm...@tin.it

...bye Brain.
Niente scuse, non ti sei perso niente è solo una questione di nomi ( Bruce
Lee diceva "non ti formalizzare: è solo un nome"): la matrice di Jacobi è
senza dubbio una cosa molto più generale del gradiente, è possibile però
considerare tale matrice J come un gradiente per le funzioni vettoriali non
è che porti chissà quali vantaggi a livello matematico ma se vuoi
"addolcisce" la notazione in certi casi specifici, nulla di particolare.
Solo un nota (di purissima pedanteria) la matrice è meglio considerarla 1xn
e non nx1, cioè come vettore colonna piuttosto che come vettore riga (e qui
non è una questione di notazione), il fatto è che nell'ambito dei sdr
ortonormali questo tipo di notazione (1xn op. nx1) non fa nessunissima
differenza mentre quando hai a che fare con sdr non più ortononormali le
cose cambiano: i vettori colonna si trasformano in  un modo mentre quelli
riga in un altro.
ciao,    Adriano

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