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Titolo: una domanda balistica

Supponiamo di sparare un proiettile verticalmente nel vuoto, esso
raggiunger� una certa altezza h. Supponiamo poi che l'ambiente si
riempia di un mezzo che opponga al moto una forza d'attrito
direttamente proporzionale alla velocit� e di ripetere l'esperimento
con l'intenzione di raggiungere la medesima altezza h. E' chiaro che
dovr� sparare il proiettile a una velocit� maggiore di prima, e che mi
ricadr� addosso a una velocit� minore. Non mi � per� per niente chiaro
se il proiettile ci metter� di pi� o di meno a raggiungere l'altezza h
(da un lato c'� la velocit� iniziale maggiore, dall'altro c'�
l'attrito...). Ci devo arrivare coi conti o si pu� arrivare alla
risposta anche con un arguto ragionamento alla Salviati? Grazie a chi
vorr� rispondere.

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Obiezione marginale: la forza d'attrito non sara' prop. alla velocita',
a meno che questa non sia bassissima.
Ma possiamo limitarci a supporre che una resistenza del mezzo esista,
e cresca con la velocita'.
Credo che effettivamente si possa rispondere senza calcoli, per via
grafica, Il problema e' che non posso fare la figura, la posso solo
descrivere...
Conviene ragionare in un diagramma tempo-velocita'.
Se non ci fosse la res. dell'aria, il grafico partirebe da un calore
positivo di v, scenderebbe linearmente fino a v=0 (fine della fase di
salita) e proseguirebbe sempre rettilineo con velocita' negativa.
Lo spazio percorso e' dato dall'area sotto il grafico: il proiettile
ricade a terra quando lo spazio (l'area) e' zero.
Come vedi dal grafico, hai due triangoli, e l'area totale sara' nulla
quando i due triangoli sono uguali, quindi con basi uguali: cio'
dimostra che il temo di discesa e' uguale a quello di salita.
Fin qui e' banale, ma serviva per preparare il terreno,
Come si modifica il grafico quando c'e' l'aria?
Non sara' piu' rettilineo, ma curvo. La pendenza (accelerazione)
durante la salita sara' maggiore  (in modulo) quando la velocita'
e' piu' grande, perche' la res. dell'aria si somma alla gravita'.
Quindi il grafico e' concavo verso l'alto.
Invece nella discesa avviene l'opposto: la pendenza decresce con la
velocita', perche' la res. dell'aria si sottrae alla gravita'. Di
conseguenza il grafico e' ancora concavo verso l'alto.
Naturalmente il grafico e' continuo, nel senso che v(t) e' continua
con tutte le derivate, ma questo e' secondario. Cio' che conta e' che
se prendi due istanti, uno prima e uno dopo dell'istante di massima
quota, la velocita' (ordinata) nella salita e' sempre maggiore in
modulo che durante la discesa.
Percio' se prendi due intervalli uno prima e uno dopo l'istante di
massima quota, ugualmente estesi e contigui, l'area in salita sara'
sicuramente maggiore di quella in discesa.
Ne segue che per avere aree uguali occorre che l'intervallo di salita
sia minore.
Conclusione: il tempo di salita e' minore.
 
-- 
Elio Fabri

 l'attrito...).
Sia s la coordinata di posizione del proiettile lungo la traiettoria
verticale, s ha valore iniziale 0 e valore finale h, in ogni posizione
di coordinata s il proiettile nel secondo caso ha velocita' V2(s)
maggiore della velocita' V1(s) nel primo, questo perche' la sua
energia cinetica nella posizione s deve essere uguale e opposta
al lavoro della forza di gravita' e della forza di attrito nello
spostamento da s a h (per il teorema  dell'energia cinetica),
che e' minore (maggiore in  modulo) nel secondo caso.
Quindi per i tempi di volo si ha:
deltat1 = integrale[ds / V1, da 0 a h] >
integrale[ds / V2, da 0 a h] = deltat2,
e nel secondo caso il tempo impiegato e' minore.
Nota che il risultato non dipende dalla forma della legge di attrito.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 Conclusione: il tempo di salita e' minore.
Non ti seguo proprio del tutto :-( ma ragionando sulla tua idea di
considerare il grafico v(t) e sulle cose che mi scrivi, ho buttato gi�
l'idea cos�. Tracciamo il grafico in assenza di attrito (ovviamente
una retta) fino al punto di massima altezza. Ora tracciamo il grafico
con attrito tenuto conto che
1) La velocit� iniziale deve essere maggiore (ovvio)
2) La curva � continua con concavit� � rivolta verso l'alto (per via
delle considerazioni che fai, man man che sale e la velocit�
diminuisce, la forza d'attrito diventa trascurabile e la forza
frenante diminuisce)
3) L'area sottesa deve essere la stessa (l'altezza h � la stessa)
A pensarci bene una riflessione geometrica su questi punti non
basterebbe ad affermare che il tempo di salita � minore (la curva
potrebbe avere una coda finale che sale sopra la retta, facendo
tornare l'area uguale), tuttavia se consideriamo anche che
4) L'accelerazione frenante diventa minima nel punto di massima
altezza (dove va a coincidere con quella di gravit�, cio� la pendeza
della retta che avevamo disegnato)
Considerando quest'ultimo punto, basta tracciare i grafici per
rendersi conto che la velocit� deve essere minima in un istante che
precede quello del caso in assenza di attrito.
Devo osservare che l'idea di Bibbiani mi sembra bellissima per il modo
in cui arriva al risultato d'un balzo ed in modo semplice che mi
sembra anche impeccabile! A parit� di altezza in ogni istante la
velocit� nel secondo caso deve essere maggiore!
Grazie per le interessanti risposte.

 velocit� nel secondo caso deve essere maggiore!
Senza dubbio la soluzione di GB e' la piu' elegante.
Se non ti ho dato una souzione del genere, ma mi sono orientato verso
una soluzione grafica, e' stato perche' non ritenevo che tu avessi
familiarita' con gli integrali.
E' il solito problema: capita spesso che non si sappia come
"calibrare" una risposta, per mancanza d'informazioni sul livello di
conoscenze del richiedente.
 
-- 
Elio Fabri