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Titolo: Problema ottica ondulatoria

 
 
 
Si ha un fascio (sottile, es un laser) di luce monocromatica di lunghezza d'onda L = 6000 angstrom. Se nel percorso del fascio viene introdotta una lamina di vetro (ortogonale al fascio) di spessore d = 1mm e indice di rifrazione n = 1,2 si ha uno sfasamento fi dell'onda. Cambiando l'inclinazione della lamina e dunque lo spessore attraversato, si varia lo sfasamento fi. Di quale angolo a si deve ruotare la lamina affinche' lo sfasamento vari di 2pi?
 
Ho fatto nel modo seguente.
Introducendo la lamina la fase del fascio passa da 0 a k'*d dove k' = 2pi/L' = 2pi*n*d/L.
 
Se ruoto la lamina di un angolo a, il percorso diventa d' = d/cos(a) e la fase varia quindi di 2pi*n*d'/L = 2pi*n*d/(L*cos(a)).
 
La differenza tra questo valore ed il precedente e' (2pi*n*d/L)*(1/cos(a) - 1).
 
Invece il libro scrive che la variazione dello sfasamento e' 
2pi*(n-1)*d/L)*(1/cos(a) - 1).
 
Perche'? Dove sbaglio?
 
--
BlueRay

 Perche'? Dove sbaglio?
 
Il raggio in uscita dalla lamina non ruotata, per raggiungere la stessa
"ascissa" del raggio nel punto in cui esce dalla lamina ruotata e
in cui si confrontano le fasi, deve ancora percorrere *nel vuoto*
un tratto d *(1/cos(a) - 1), il corrispondente sfasamento si somma
a quello iniziale e modifica nel tuo risultato il fattore n in (n - 1),
come e' giusto dato che se n = 1 non si avra' alcuno sfasamento
ruotando la "lamina" fatta di vuoto.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

Il giorno martedě 16 giugno 2015 15:25:02 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha scritto:
 
 Il raggio in uscita dalla lamina non ruotata, per raggiungere la stessa
 "ascissa" del raggio nel punto in cui esce dalla lamina ruotata e
 in cui si confrontano le fasi, deve ancora percorrere *nel vuoto*
 un tratto d *(1/cos(a) - 1), il corrispondente sfasamento si somma
 a quello iniziale e modifica nel tuo risultato il fattore n in (n - 1),
 come e' giusto dato che se n = 1 non si avra' alcuno sfasamento
 ruotando la "lamina" fatta di vuoto.
 
Hai ragione! 
Detto in modo leggermente diverso, il cammino ottico prima e':
nd - d = (n-1)*d e il cammino ottico dopo e': 
nd/cos(a) - d/cos(a) = (n-1)*d/cos(a). La differenza tra i due e' quindi: 
(n-1)*d/cos(a) - (n-1)*d = (n-1)*d*(1/cos(a) - 1).
Grazie.
Ciao.
 
--
BlueRay

 ...
Secondo me state amncora commettendo un errore.
Per mancanza di tempo dico solo una parola: "rifrazione".
Spero che basti a illuminarvi :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 Spero che basti a illuminarvi :-)
 
Era la prima (!) cosa a cui avevo pensato, ma poi dato che altrimenti
il calcolo sarebbe risultato piu' complicato e il risultato diverso da
quello indicato nel testo, e i raggi in uscita dalla lamina prima e dopo
la rotazione sarebbero stati diversi e non sarebbe stato evidente quale
avrebbe dovuto essere il punto comune (?) in cui calcolare lo sfasamento
tra prima e dopo la rotazione, ho inteso che si chiedesse di calcolare
comunque la differenza di fase nel punto appena oltre la lamina
ruotata e *allineato* con il raggio incidente (analogamente a come si
calcolano gli sfasamenti negli integrali sui cammini, anche se i
cammini non corrispondono alla traiettoria del moto reale).
 
Questa mia supposizione e' sbagliata (immagino...) per qualche
altro motivo?
 
Ciao e grazie :-)
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 altro motivo?
Yessir :-) e suppongo che anche il testo abbia fatto lo stesso errore.
Se ti metti da un ount di vista ondulatorio, devi usare non i raggi ma
i fronti d'onda.
Per aiutarti ho prodotto una figura:
http://www.sagredo.eu/figure/pub-fig17.pdf
 
 
Le linee oblique marcate sono i bordi della lamina.
La spezzata blu è il raggio che si rifrange due volte, ed esce
parallelo a come è entrato.
Le due spezzate rosse sono due fronti d'onda, all'entrata e all'uscita.
E' tra questi che va calcolato lo sfasamento, confrontandolo con quello
senza lamina, che si legge usando il fronte d'onda tratteggiato.
 
Spiegazione: se la lamina facesse per es. parte di un interferometro,
l'onda piana incidente verrebbe da una sorgente puntiforme posta nel
fuoco di una lente, e l'onda piana uscente verrebbe raccolta da una
seconda lente, che formerebbe un'immagine puntiforme nel secondo fuoco.
Rifletti: se ruoti la lamina, l'immagine si sposta?
 
Il cammino ottico lo devi calcolare tra sorgente e immagine, ma per
definizione di lente "perfetta" il cammino lungo qualsiasi raggio tra
la sorgente e l'onda piana incidente è sempre lo stesso.
Analogamente è lo stesso il cammino lungo ogni raggio tra l'onda piana
uscente e l'immagine.
Ecco perché ciò che conta è il cammino ottico tra le due sup. d'onda
entrante e uscente.
La diff. dei cammini ottici non è che n AC - AD.
Lascio a te dimostrare che vale
 
d*[sqrt(n^2 - sin^2(i)) - cos(i)]
 
dove d è lo spessore della lastra.
 
Se segui l'approccio alla Feynman calcolerai la fase lungo un raggio,
ma non cambia niente, visto che i raggi sono normali alle sup. d'onda.
 
 
-- 
Elio Fabri

Il giorno venerdì 19 giugno 2015 21:42:02 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
...
 E se il risultato indicato fosse sbagliato?
 
Gia'. A questo punto e' evidente.
 
Fabri:
 Yessir :-) e suppongo che anche il testo abbia fatto lo stesso errore.
 Se ti metti da un ount di vista ondulatorio, devi usare non i raggi ma
 i fronti d'onda.
 Per aiutarti ho prodotto una figura:
 
http://www.sagredo.eu/figure/pub-fig17.pdf
 
 Le linee oblique marcate sono i bordi della lamina.
 La spezzata blu è il raggio che si rifrange due volte, ed esce
 parallelo a come è entrato.
 Le due spezzate rosse sono due fronti d'onda, all'entrata e all'uscita.
 E' tra questi che va calcolato lo sfasamento, confrontandolo con quello
 senza lamina, che si legge usando il fronte d'onda tratteggiato.
 Spiegazione: se la lamina facesse per es. parte di un interferometro,
 l'onda piana incidente verrebbe da una sorgente puntiforme posta nel
 fuoco di una lente, e l'onda piana uscente verrebbe raccolta da una
 seconda lente, che formerebbe un'immagine puntiforme nel secondo fuoco.
 Rifletti: se ruoti la lamina, l'immagine si sposta?
 
No perche' i raggi in uscita rimangono paralleli tra loro e una lente focalizza in uno stesso punto raggi diversi ma paralleli.
 
Fabri: 
 Il cammino ottico lo devi calcolare tra sorgente e immagine, ma per
 definizione di lente "perfetta" il cammino lungo qualsiasi raggio tra
 la sorgente e l'onda piana incidente è sempre lo stesso.
 Analogamente è lo stesso il cammino lungo ogni raggio tra l'onda piana
 uscente e l'immagine.
 Ecco perché ciò che conta è il cammino ottico tra le due sup. d'onda
 entrante e uscente.
 La diff. dei cammini ottici non è che n AC - AD.
 Lascio a te dimostrare che vale
 d*[sqrt(n^2 - sin^2(i)) - cos(i)]
 
 
 
Viene cosi' anche a me: nAC - AD = nd/cos(r) - dcos(i-r)/cos(r) e da sin(i)/sin(r) = n si trova cos(r), si sostituisce e dopo pochi passaggi si trova quella, che rappresenta lo sfasamento dopo aver ruotato la lamina. Lo sfasamento prima della rotazione e' nd - d = (n-1)d e allora la differenza tra i due sfasamenti e' d*[sqrt(n^2 - sin^2(i)) - cos(i) - n + 1].
Usando le approssimazioni si dimostra che tale espressione vale circa:
d*(n-1)*(1/cos(i) - 1) per i piccolo.
 
Ciao e grazie!
 
--
BlueRay

 ma non cambia niente, visto che i raggi sono normali alle sup. d'onda.
 
Grazie ancora :-).
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 

 d*(n-1)*(1/cos(i) - 1) per i piccolo.
 
Quasi ;-), nella seconda espressione sopra
manca un fattore 1/n.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 il problema che hai riportato era quello letterale, da dove lo hai tratto?
 
Dal libro "Problemi di Meccanica Quantistica" - Emilio D'Emilio, Picasso Luigi E.:
http://www.libreriauniversitaria.it/problemi-meccanica-quantistica-emilio-emilio/libro/9788846708670
 
 
--
BlueRay

 manca un fattore 1/n.
 
Orca miseria, hai ragione!
Mannaggia la fretta...
Allora l'autore non ha manco la scusante che il calcolo andava bene per piccoli angoli :-)
L'Esercizio e' il 3.1 a) del libro che ho linkato, ho l'edizione 2003.
 
--
BlueRay