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Titolo: Entropia

Quando si legge dell'entropia su testi divulgativi, si parla di come un
mazzo di carte mischiato abbia piů entropia di uno ordinato, ecc.
Mi domando: ma i due mazzi di carte, se non per una questione di sequenza
convenzionale,
non sono fisicamente identici? In che modo si puň
applicare a sistemi macroscopici (come il mazzo di carte ed una libreria piů
o meno ordinata) l'espressione dell'entropia S = RlnO???
O questa vale solo per i sistemi microscopici? E come mi non dovrebbe valere
per il disordine di insiemi macro? Come posso calcolare l'entropia di un
sistema di oggetti macoscopici?
Grazie in anticipo

 o meno ordinata) l'espressione dell'entropia S = RlnO???
Rovescio l'ordine delle domande: l'entropia (nel senso
meccanico-statistico) non e' necessariamente associata ad un
sistema macroscopico; e' pero' associata ad un sistema di molte
particelle. Se avessi un sistema composto da una mole (cioe' un
numero di Avogadro) di palle da biliardo sarebbe perfettamente
legittimo chiedersi qual e' la sua entropia, anche se il sistema
in questione risulterebbe decisamente macroscopico.
Quanto all'identita' dei sistemi, sono effettivamente identici
salvo che per l'ordinamento. La tua perplessita' e' giustificata:
non ha senso definire l'entropia di *una configurazione*, ha
senso definire l'entropia di *un ensemble di configurazioni*.
Ovvero, parlando alla grossa, chiedersi quanta parte dello spazio
delle fasi e' occupata dall'ensemble che consideri.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

Grazie Enrico per questa spiegazione molto chiara e per i link annessi. Sul
mazzo di carte mi sisono chiarite le idee, ma vorrei chiederti precisazioni
in merito all'ipotetico sistema macroscopico costituito da un numero di
Avogadro di palle. Ti pongo di seguito il quesito.
"Se prendo un gas contenuto in una bottiglia da litro e lo libero in una
stanza di 16 metri cubi, capisco bene come il mio processo fisico determini
un aumento di entropia. Se rovescio sul pavimento
un barattolo di biglie..beh..comincio ad avere un pò di difficoltà nel
pensare la stessa cosa di sopra. Se agito un pallottoliere "speciale"
costituito da una superficie sulla quel ho dispoto 100 oggetti uguali ognuno
su un diverso nodo di una rete disegnata precedentemente: come gli atomi di
un cristallo bidimensionale, insomma; poi vado ad agitare questo mio
scatolone contenente i miei 100 oggetti ordinati: questi non finiranno più
sui nodi della rete, ma piuttosto nelle sue maglie: questo processo, legato
alla maggior probabilità di occupare maglie rispetto a nodi, mi sembra molto
vicino a quello dell'entropia, ma ho comunque difficoltà a vederlo come la
stessa cosa. Forse mi confonde il fatto che i formalismi che si applicano
alla entropia comunemnte includono termini come la temperatura, la cost R,
ecc che mi sembrano inappropriati per un sistema mavroscopico (che così
sembra soltanto metaforicamnete vicino ad un gas che si espande). Dov'è che
sbaglio? Anche il sistema a cui alludi, costituito da una mole di palle da
bigliardo, mi crea difficolta quando devo trattarlo come una mole di gas:
forse perchè la temperatura  è un fenomeno  già legato agli atomi di ogni
palla. E comunque in ognuno dei processi prima citati l'entropia aumenta,
perchè comunqe trattasi di fenomeni irreversibili, del nostro mondo: ma non
capisco (riferendoci per esempio al piano con disegnata la rete) se
l'entropia aumenti *solo* perchè gli oggeti che si muovono sfregano fra di
loro e sul piano (e quindi sempre per ragioni legate alle molecole che
costituiscono gli oggetti, alla loro agitazione trmica, ecc) oppure perchè
realmente c'è un disordine macroscopicoche si è generato.
Spero di essere stato chiaro: purtroppo è difficile esserlo in riferimeto ad
un argomento che ti crea confusione."
Magari posso provare questa più sintetica (e chissà forse più chiara)
esposizione del quesito:
"se consideriamo un megapallottoliere con una mole di palline in moto al suo
interno oppure un puzzle con un numero di avogadro di tessere che si
infrange al suolo scomponendosi, come faccio ad applcare le formule:
S = klogW
S =integr dq(rev)/dt?"
Si credo che il punto sia proprio questo.
Grazie

Anche a me incuriosice molto il tuo quesito. Io penso che qualunque sistema
mascroscopico possa essere  trattato rigorosamente con i metodi della
termodinamica. Penso ad esempio al sistema costituito dalla mia stanza ed a
quello che avviene in essa: penso che di ogni trsformazione si possa
valutare la variazione di energia ed entropia (sostituendo al famigerato PdV
ad esempio un Fdl = forza*spostamento).
Anche da un punto di vista della termodinamica statistica la mia stanza può
essere guardata come un sistema di particelle, alcune tra loro aggregate,
altre no, ecc)Sicuramente bisognerebbe considerare anche la termodinamica
dei processi irreversibili, ecc. Non so se sia giusto il mio discorso ed
oltre a quello di Enrico a cui tu ti rivolgi, vorrei (se è lecito) sapere
anche cosa ne pensa Elio Fabri del quale lessi in passato interventi sul
tema dell'entropia.
Grazie.

 Si credo che il punto sia proprio questo.
Direi due cose: 
a) Non e' vero che l'entropia sia legata esclusivamente alla
temperatura.
Anche per sistemi "normali", puoi avere un equilibrio "congelato",
ottenuto raffreddando il sistema rapidamente, in cui esso resta in uno
stato metastabile.
Nel tuo esempio delle biglie, lo stato con le biglie nel barattolo ha
entropia minore di quello con le biglie sparse per la stanza; ma da solo
il sistema non passera' mai dal primo stato al secondo, perche' c'e' da
superare una "barriera di potenziale" (le biglie dovrebbero salire oltre
il bordo del barattolo) e non c'e' suff. energia cinetica per questo.
Pero' la prima relazione che hai scritto si puo' applicare.
b) Il secondo punto e' connesso, e mi serve per spiegare perche' non
puoi usare la seconda relazione.
Per un gas di biglie, a temperature ragionevoli l'en. cinetica media di
traslazione delle biglie sara' sempre 3kT/2, ma le velocita'
corrispondenti sono minuscole, causa le enormi masse delle "molecole".
Quindi le biglie non si muovono, non si mescolano, ecc.
Invece le energie potenziali (come quella gravitazionale per uscire dal
barattolo) sono molto molto maggiori di kT, e percio' tutte le barriere
di potenziale sono assolutamente invalicabili.
Di conseguenza non sei mai nelle condizioni di "quasi equilibrio"
necessarie per applicare la seconda relazione. O se preferisci, tutti
gli equilibri sono congelati.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

 gli equilibri sono congelati.
Ancora non kmi è chiaro. La differenza di entropia
S2-S1 = integ dq(rev)/dt è uguale alla differenza (klnW2-klnW1): come mai
non è applicabile la prima relazione?
Credo che dq(rev) dovrebbe rappresentare il calore scambiato qualora le
biglie attratte dalla gravità fossero sottoposte ad una forza netta "quasi
nulla" e raggiungessero il pavimento in un tempo quasi infinito: giusto?
Quiindi è vero ciò che dice Luca: basta trattare un sistema macroscopico
avendo cura di rendere quasi nulle le forze nette agenti sui vari sistemi
materiali: in tal modo basta considerare il calore scambiato, applicare lka
relazione n°2 che automaticamnete sarà ugulae alla n°1
Grazie per la tua risposta
mariom


 ad esempio un Fdl = forza*spostamento)
Attenzione pero': Fdl deve riferirsi a spostamenti di parametri
del sistema {"macroscopici") ed a forze su questi parametri.
Quindi per esempio il movimento del pistone del solito cilindro
dei testi di termodinamica e la forza su di esso, ma *non* la
forza, per esempio, su di una singola molecola (o biglia, o
scrivania :-). 


 scrivania :-).
Ma il punto č che io non voglio considerare delle molecole giganti e basta
(ossia biglie congelate, lisce, ecc ecce): voglio considerare le mie vere
biglie calde, immobili e ruvide, a loro volta fatte da atomi che si
comportano come le biglie giganti congelate e lisce! E non vorrei riferirmi
neanche a ciň a cui allude Elio in riferimento alla barriera di energia
rappresentata dall'uscire dal barattolo. Questo infatti č un concetto piů
cinetico che termodinamico. In termodinamica mi interessa solo sapere se uno
stato finale S2 ha una maggiore o minore energia libera di 1: a me, in
particolare,  interessa sapere se S2 ha una entropia minore o maggiore di S1
(cioč ignoro sia l'enrgia interna - e quindi quella libera - che
un'eventuale "energia di attivazioni" che sicuramente le biglie non avranno
mai. E poi posso sempre capovolgere il barattolo e buttarle a terra io. E
comunque credo che importino solo lo stato iniziale e quello finale: biglie
nel barattolo e biglie a terra). Infatti, in luogo delle biglie che
richiamano inevitabilmente il discorso delle molecole di un gas, vorrei
considerare un altro sistema: una automobile ed una persona in un box
termicamente isolato. Allora: se io spingo la macchina (che non si accende
:)) di due metri, un aumento di entropia ci deve essere stato per forza
(basta pensare al glucosio bruciato ed al calore prodotto). Ora: io posso
considerare il mio box come un grosso agglomerato di molecole ed applicando
la:
S =klnW  (1)
posso vedere se S2>S1 (s1 = macchina ferma e uomo fermo in x1, S2 macchina
ferma ed uomo fermo in x2)
Potrei pensare ad altre situazioni come uno sportello sbattuto, un colpo di
tosse o o il mio box totalmente bruciato!
Capisco come applicare la (1) in tutti questi casi, ma proprio non riesco a
capire come applicare la (2)
S2-S1= integ. dq(rev)/T,
perchč questa relazione richiede che si calcoli il calore q(rev) che
verrebbe scambiato durante una trasformazione reversibile. Ora: come faccio
a spingere la macchina, a fare la tosse, a rovesciare le biglie (reali!) a
terra ed a sbattere lo sportello della mia macchina in maniera
reversibile????
Io penso che dovrei farlo con delle forze nette quasi nulle, cioč in un
tempo quasi infinito e che le forze a cui mi sto riferendo siano realmente
qualla applicata alla macchina per spingerla o qualla gravitazionale che si
tita  terra le palline, in quanto, questa volta, le mie palline non sono dei
"molecoloni", ma sono del tutto assimilabili al mio pistone cilindrico. Vi
supplico di dirmi se questo discorso č giusto (prima che impazzisca :)),
perchč non ne posso piů di libri in cui gli unici processi fisici che
avvengono sono la conduzione termica e l'espansione di un gas: a casa mia
cadono anche le biglie a terra!!!!
Grazie

 tita  terra le palline
Secondo me e' giusto, pero' non imporrei a tutti i costi che le
forze siano "quelle" (muscolare per la macchina, gravitazionale
per le biglie ecc.). Se lo stato iniziale e quello finale sono
d'equilibrio, puoi scegliere *qualunque* forza per effettuare la
trasformazione. Per esempio, potresti spostare le biglie con un
elettromagnete: se la situazione finale e' la stessa di quella
che avresti spostandole per gravita' il dS e' lo stesso. Pero'
attenzione: deve essere la stessa anche la situazione iniziale e
finale di tutto il resto; quindi anche del magnete, della
batteria che lo alimenta ecc..


 non e' applicabile la prima relazione?
Non e' che la prima non sia applicabile: ma devi trovare la trasf.
reversibile che fa al caso tuo.
Pero' mi sembra che il tuo vero problema sia un altro: tu sembri credere
che l'entropia sia indissolubilmente connessa col calore. Non e' cosi'.
Provo a spiegartelo per una via diversa.
Considera un normale gas in un volume assegnato. Anche se di solito non
si fa, torna utile per il nostro discorso ricordare che se le molecole
sono costrette in uno spazio finito, i  valori dell'energia di
traslazione (odio parole come "traslazionale") sono quantizzati, anche
se estremamente fitti quando il volume e' macroscopico.
quandoil gas e' all'equilibrio a una certa temperatura, questi livelli
(i=1, 2, ...) sono popolati secondo la solita legge di Boltzmann:
n_i = A*exp(-E_i/kT)   (1)
(trascuro per semplicita' eventuali degenerazioni).
L'entropia e' 
S = k \sum(n_i * ln n_i)   (2)
(la puoi ricavare dalla k*ln W calcolando la W dagli n_i e usando la
formula di Stirling per i fattoriali).
Ora vediamo che cosa accade se assoggettiamo il gas a qualche
trasformazione di quelle solite.
A) Riscaldamento a volume costante.
Aumenta T, quindi per la (1) cambiano gli n_i, nel senso che sipopolano
livelli piu' alti; per cosi' dire, la distribuzione delle molecole fra i
livelli "si dirada".
Si dimostra che questo porta a un aumento dell'espressione (2), in
accordo con cio che avresti previsto per via termodinamica.
B) Compressione adiabatica (reversibile).
Se si riduce il volume, i livelli si spostano, nel senso che si
distanziano di piu'.
Il teorema adiabatico assicura che le popolazioni non cambiano: gli n_i
restano gli stessi.
Percio' l'entropia (2) _non cambia_.
Invece l'energia del gas aumenta, visto che tutti i livelli sono saliti:
infatti per comprimere il gas occorre spendere lavoro.
C) Espansione adiabatica brusca (irreversibile) senza pressione esterna.
In questo caso i livelli si abbassano e s'infittiscono.
Dato che l'espansione e' rapida, le molecole non cambiano energia, ossia
restano all'altezza che avevano. 
La temperatura non cambia.
Ma dato che i livelli si sono infittiti, il numero di molecole in
ciascun livello si riduce: le molecole si distribuiscono tra piu'
livelli di prima. Ne segue un aumento di S.
Come vedi, in tutti i casi l'esame della distribuzione tra ilivelli
porta a spiegare i risultati noti dalla termodinamica.
E vedi anche che non c'e' una realzione _diretta_ fra calore ed
entropia.


 entropia.
Sě, io ho capito come le due cose non siano cosě legate come le intendo io,
ma cmq deve o non *necessariamnete* esserci nella trasf. reversibile lo
scambio di dq(rev)?. O, ciň che č lo stesso: "con qualunque relazione la si
calcoli, rimane sempre valida la relazione classica che ho scritto sopra?".
Grazie per la tua infinita pazienza :)
Mariom


 > S2-S1 = integ dq(rev)/dt
introducendo una trasformazione reversibile fittizia ma che unisca gli
stessi stati della trasformazione reale? La discussione esplicita di
questo esempio fu per me molto utile.
Se la cosa e' gia' stata discussa vi chiedo di scusarmi.
Paolo Cavallo

 batteria che lo alimenta ecc..
Stupendamente chiaro! Grazie di cuore per questa spiegazione illuminante:
non sai quanti miei prof non hanno saputo spiegarmi la questione di persona
come tu hai fatto via mail. E non dico ciò per criticare i prof., ma solo
per ringraziarti. Vorrei chiederti una cosa: posso trovare un libro che
parli di termodinamica *cos'* come ne abbiamo parlato qui?. Cioè dove oltre
al gas che si espande vi sono anche bambini che giocano con le biglie?
Grazie.
Luca

 al gas che si espande vi sono anche bambini che giocano con le biglie?
Eh... non saprei prorio dirti. Io temo che la termodinamica sia
una delle discipline la cui didattica e' piu' trascurata. Io
personalmente posso raccomandarti il Reif Fisica Statistica della
Fisica di Berkeley (e' molto chiaro ma non e' esattamente quello
che mi chiedi); ma puo' ben essere che ci sia di meglio.
Grazie dei complimenti :-)


 S = k \sum(n_i * ln n_i)   (2)
con n_i numeri di occupazione degli stati discreti di una particella in
una scatola.
Chiaramente per un gas non degenere quegli n_i sono 0 o al piu' 1.
Avrei dovuto fare un discorso piu' complicato, raggruppando gli stati
vicini in energia e chiamando n_i il numero di occupazione totale...


 S = k \sum(n_i * ln n_i)   (2)
con n_i numeri di occupazione degli stati discreti di una particella in
una scatola.
Chiaramente per un gas non degenere quegli n_i sono 0 o al piu' 1.
Avrei dovuto fare un discorso piu' complicato, raggruppando gli stati
vicini in energia e chiamando n_i il numero di occupazione totale...
------------------


 S = k \sum(n_i * ln n_i)   (2)
con n_i numeri di occupazione degli stati discreti di una particella in
una scatola.
Chiaramente per un gas non degenere quegli n_i sono 0 o al piu' 1.
Avrei dovuto fare un discorso piu' complicato, raggruppando gli stati
vicini in energia e chiamando n_i il numero di occupazione totale...
------------------


 questo esempio fu per me molto utile.
Non mi pare che sia stato discusso: ma a quale caso ti riferisci? Forse
ho perso un po' il filo :)
P.S. Colgo l'occasione per scusarmi del triplo invio di ieri. Avrete
capito che c'e' stata una qualche ... incomprensione fra il mio browser
e il server dall'altra parte, per cui non riuscivo a capire se il post
fosse arrivato a destinazione.


 senso definire l'entropia di *un ensemble di configurazioni*.
Non ho avuto molto tempo per seguire il thread.
Vorrei pero' aggiungere un commento.
Dal punto di vista della connessione meccanica statistica-termodinamica, 
  l' approccio di Gibbs all' entropia (ha senso definire l' entropia di 
un ensemble, di un macrostato corrispondente a piu' microstati) e' 
soddisfacente e sufficiente.
Cio' non toglie che la definizione di Gibbs risulti insoddisfacente se 
si desidera associare l' entropia ad un microstato ed in particolare 
alla maggiore o minore "tipicita'" dello stesso.
Attenzione, lo ripeto. L' entropia di Gibbs non puo' fare niente del 
genere. Non c'e' modo di calcolarla conoscendo un singolo microstato.
Pero' la richiesta di un' entropia (o qualcosa di analogo) che permetta 
di caratterizzare i microstati non e' una richiesta folle. Basti pensare 
ad esempio all' entropia di Bolzmann (quella che appare nel teorema H).
E qui si va a toccare un terreno delicato su cui in passato ci sono 
state lunghe discussioni in letteratura le cui tracce in genere 
scompaiono nei libri di testo, salvo lasciare un po' "appesi" vari 
argomenti e concetti.
In epoca piu' recente, sono stati fatti vari passi avanti nella 
possibilita' di definire una "entropia" di configurazione e per quel che 
ne so, l' approccio piu' regionevole e' quello che cerca di connettere 
l' entropia alla nozione (tecnica) di complessita' di Kolmogorov.
Di questi ultimi argomenti (complessita' algoritmica) non mi sento un 
esperto. Sto cercando di capirli meglio proprio in questo periodo.
Direi pero' che il problema dell' entropia (e del suo significato e 
connessioni con l' entropia termodinamica ) di un mazzo di carte sia 
direttamente connesso.
Giorgio

 C) Espansione adiabatica brusca (irreversibile) senza pressione esterna.
Supponiamo che V raddoppi.
Qui si puo' calcolare la variazione di entropia notando che l'energia
del gas non varia (ne' Q ne' L) e quindi non varia neppure la temperatura
(per un gas perfetto) e possiamo immaginare che le velocita' e le energie
cinetiche delle molecole rimangano invariate. Aumenta invece il numero di
modi in cui posso disporre le molecole nello spazio: se il volume raddoppia
il numero di microstati viene moltiplicato per 2^N, dove N e' il numero di
molecole. Prendendo il logaritmo del numero W di microstati si ha che
l'entropia e' moltiplicata per il logaritmo di 2:
    \Delta S = k ln(2^N W) - k ln(W) = k ln(2^N) = n R ln(2).
Macroscopicamente, una trasf. rev. che porti allo stesso stato finale, con
V raddoppiato e T invariata, e' una isoterma reversibile a contatto con una
sorgente di calore. Questa volta il gas non si espande nel vuoto, altrimenti
l'espansione non sarebbe quasi-statica, quindi compie un lavoro, contro una
pressione esterna, pari a
    L = \int P dV = n R T \int dV/V = n R T ln(V_f/V_i) = n R T ln(2).
Per un gas perfetto in un'isoterma Q=L e T rimane costante. La variazione
di entropia risulta semplicemente Q/T = n R ln(2), come prima.
L'isoterma reversibile e' puramente fittizia e il suo uso e' soltanto
strumentale al calcolo macroscopico dell'entropia.
Spero di essermi spiegato correttamente. A me questo esempio concreto
e' servito molto, a suo tempo.
Paolo Cavallo

 Viceversa quando la parete si sposta verso l'esterno.
E questo è chiaro. Ma dove posso trovare qualcosa su questa "termodinamica
quantistica"?
Grazie.
PS:.Colgo l'occasione per ringraziare Enrico per la sua chiarissima
spiegazione.

 e' servito molto, a suo tempo.
Benissimo. Non avevo capito che pensavi a questo.


 e' servito molto, a suo tempo.
Anche a me ;)
Percev.

 aggiornato di me quanto a libri.
Mah, tanto aggiornato non sono. Non mi e' capitato di doverla
insegnare, per cui sono rimasto, come tanti, ai testi del mio
periodo di studio. Comunque io trovo che i due Reif - minor,
nella Fisica di Berkeley; major, Fundamentals of Statistical and
Thermal Physics - siano testi ottimi e comprensibili. Hanno anche
il vantaggio specifico che partono direttamente da una visione
quantistica ed il limite classico e' raggiunto in seguito.
