Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Costanti del moto

Desidererei che qualcuno mi desse qualche indicazione sulle costanti del 
moto. Trovo sul Landau di Meccanica Classica che un sistema meccanico 
chiuso a n gradi di liberta' ha sempre 2n - 1 costanti del moto 
(paragrafo 6).
Come si concilia questo con l'altra cosa che spesso si sente dire, che 
questo o quel sistema "non possiede integrali del moto"?
Ovviamente mi riallaccio alla discussione sul problema dei tre corpi; e 
la' Elio Fabri ha accennato al fatto che gli integrali, che devono 
esistere, possono essere "delle funzioni assai cattive".
Ma mi piacerebbe qualche delucidazione in piu'.
Grazie in anticipo per le risposte.
 


Newsgroups: it.scienza.fisica
Subject: Costanti del moto
Date: Fri, 12 Mar 2004 03:40:50 GMT
John Travolta Sardus ha scritto:
 > Desidererei che qualcuno mi desse qualche indicazione sulle costanti
 > del moto. Trovo sul Landau di Meccanica Classica che un sistema
 > meccanico chiuso a n gradi di liberta' ha sempre 2n - 1 costanti del
 > moto (paragrafo 6).
 > Come si concilia questo con l'altra cosa che spesso si sente dire, che
 > questo o quel sistema "non possiede integrali del moto"?
 >
 > Ovviamente mi riallaccio alla discussione sul problema dei tre corpi;
 > e la' Elio Fabri ha accennato al fatto che gli integrali, che devono
 > esistere, possono essere "delle funzioni assai cattive".
Buona domanda...
Ti posso rispondere con un esempio semplicissimo.
Prendi un oscillatore armonico bidimensionale _anisotropo_: la
hamiltoniana sara' una cosa come
(px^2 + py^2)/(2m) + (h*x^2 + k*y^2)/2.
Qui n=2, e Landau ti dice che devi aspettarti tre integrali primi.
Due sono ovvi:
Hx = px^2/(2m) + h*x^2/2  e  Hy = py^2/(2m) + k*y^2/2.
Il problema e' il terzo...
Proviamo a ragionare cosi'. Lo spazio delle fasi ha 4 dimensioni; se
fissi le due costanti del moto gia' viste, ti resta una sottovarieta'
2-dimensionale, che e' un toro (l'ha dimostrato Arnold in generale).
Considera ora la traiettoria di fase, che si deve mantenere su questo
toro: dato che x e px hanno periodo diverso da y e py, in generale la
traiettoria e' densa nel toro (a meno che i due periodi non siano in
rapporto razionale).
Se esistesse un terzo integrale primo, ossia una funzione di x, y, px,
py, che assume valore costante su ogni traiettoria di fase, esso
sarebbe costante su questo insieme denso.
Se chiedi che sia funzione continua delle coordinate, ne segue che
deve essere costante su tutto il toro, quindi deve dipendere solo da
Hx, Hy.
Quindi non e' un terzo integrale primo, funzionalmente indip. da
quelli gia' noti.
Dunque: se questo integrale primo esiste, non puo' essere f. continua
delle coordinate canoniche.
E' quello che si chiama talvolta un "integrale primo non uniforme".
In effetti nell'esempio che ho detto si riesce a scrivere
l'espressione di questo integrale primo (ora sarebbe problematico
ricavarla) ma risulta appunto una "bestiaccia".
Nota pero' che l'esempio dell'osc. armonico e' comunque buono, nel
senso che n=2 integrali si trovano e il sistema e' integrabile.
Nei casi veramente brutti non si arriva neanche a questo.
Il problema ristretto dei due corpi e' di questo tipo.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Il problema e' il terzo...
per la ricerca del terzo è di qualche utilità l'osservazione secondo cui date due costatni
del moto, la loro parentesi di poisson è un sicuro integrale primo?
o pure questa è funzionalmente dipendente dalle prime due? a occhio il wronskiano mi pare
diverso da zero.
e il metodo di hamilton-jacobi che ruolo può avere nel determinare le costanti del moto?
li si usa il fatto che si può trovare una trasformazione canonica che annulla
l'hamiltoniana, cioè una ham. in cui coordinate e impulsi sono costanti, ma questo non
dice certo che coordinate e impulsi di partenza sono costanti, però mi puzza di buono ...
cosa si può dire con HJ sugli integrali primi?
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tutto ciò che ho scritto è sempre In My Humble Opinion (IMHO)
probabilmente l'ho scritto di fretta, quindi scusate se sono stato sbrigativo.

foice ha scritto:
 > per la ricerca del terzo è di qualche utilità l'osservazione secondo
 > cui date due costatni del moto, la loro parentesi di poisson è un
 > sicuro integrale primo? o pure questa è funzionalmente dipendente
 > dalle prime due? a occhio il wronskiano mi pare diverso da zero.
Nell'esempio che ho fatto la pdP delle due hamiltoniane parziali Hx e
Hy e' ovviametne nulla.
 > e il metodo di hamilton-jacobi che ruolo può avere nel determinare le
 > costanti del moto?
 > li si usa il fatto che si può trovare una trasformazione canonica
 > che annulla l'hamiltoniana, cioè una ham. in cui coordinate e impulsi
 > sono costanti, ma questo non dice certo che coordinate e impulsi di
 > partenza sono costanti, però mi puzza di buono ...
Certo: il metodo HJ si applica a sistemi integrabili, e ti fornisce 2n
integrali primi.
L'osc. armonico, anche anisotropo, e' certamente integrabile...
Il problema e' che quando si parla di integrali primi in questo
contesto li si vuole che non contengano esplicitamente il tempo: solo
funzioni delle q,p.
Invece di 2n int. primi che ottieni, n contengono il tempo.
(Questo succede pure nel caso banale di una particella libera: e'
costante p, poi e' anche costante x - pt/m, che non e' altro che la x
al tempo 0.)
Allora per trovare n-1 int. primi senza t, devi eliminare t, ed e' li'
che nascono i guai...
Ma ti consiglio di provare: il calcolo e' banale, e appena ci provi
capisci subito qual e' il problema. Spiegarlo qui sarebbe complicato
per via delle formule da scrivere.


per via delle formule da scrivere.
Roberto


 >L'osc. armonico, anche anisotropo, e' certamente integrabile...
Grazie a tutti e due per le risposte
Giovanni