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Titolo: potenziale 1/r e Dirac in QM

E' vero che in QM (quindi consideriamo solo stati ad una particella)
l'hamiltoniana per un campo di Dirac a massa nulla (o comunque in
regime relativistico) in potenziale V=-a/r  e' non autoaggiunta per
a>1?
In un lavoro di Miransky del 1985 (Nuovo cimento, 90A, N.2) si fa
riferimento a questo fatto discutendo che questo comportamento e'
sintomo di un'instabilita' che porta alla formazione di stati legati e
allo 'shield
spontaneously the charge' (in una footnote).
Qualcuno ne sa nulla?
ciao

 a>1?
ehm... in che unit� ?  Comunque, la soluzione dell'  equazione di Dirac 
per l' atomo di idrogeno non d�  pi� energie reali per Z>1/costante di 
struttura fine.
Giorgio


In effetti un problema simile si trova senza spingersi a masse nulle:
� noto, fin dagli albori della teoria relativistica quantistica (non
dei campi), che per valori eccezionalmente alti del numero atomico
emergono autovalori formalmente complessi,  (basta Z > 1/alfa, la
costante di struttura fine). Il significo di queste soluzioni � molto
controverso, alcuni ne escono semplicemente dicendo che per queste
soluzioni, che comunque presuppongono un nucleo puntiforme condizione
non fisica per i nuclei reali, non ci sono e che quindi i livelli
hanno un minimo momento angolare, supportando questa "soluzione" con
argomenti semiclassici, ma questa soluzione non quadra in nessun modo
nel caso di massa nulla perch� non c'� valore del momento angolare che
possa risolvere il problema. Bjorkern Drell nel suo libro di meccanica
quantistica relativistica osserva testualmente: "queste soluzioni
esibiscono un comportamento oscillatorio reminiscente di quello
trovato nel paradosso di Klein. In questo caso manca un gap fra lo
spettro delle energie positive e lo spettro delle energie negative e
manca una interpretazione fisica delle soluzioni". Questa osservazione
rimanda ad un interpretazione in termini di instabilit� dello stato di
vuoto della teoria dei campi quantistici associata alla teoria dei
campi.
Ad ogni modo sul piano strettamente matematico una possibilit� � che
appunto l'operatore, semplicemente, non risulti essenzialmente
autoaggiunto, bens� ammetta, per certi valori particolarmente elevati
di Z una degenerazione nel comportamento asintotico nei pressi
dell'origine in modo che la soluzione trovata � una soluzione spuria
che non � nello spettro di alcun operatore autoaggiunto. In tal caso
si pu� forzare l'autoaggiunzione vincolando  tutte le autofunzioni ad
approssimare l'origine con una fase costante, rimane da capire quale
sia il significato fisico, ammesso che esista, per questa fase (in un
contesto di teoria dei campi questi parametri potrebbero essere, per
certi versi, l'analogo  dei parametri osservabili di una teoria
efficace non rinormalizzabile, la teoria efficace � in questo caso il
limite ad "una particella" di una teoria pi� completa e
rinormalizzabile, ma per inquadrare la cosa in questi termini occorre
sapere meglio di cosa si sta parlando, ad esempio si considerano
oggetti analoghi a fermioni massless nella teoria della
superconduzione in grafite arricchita e ci sono problemi di chiusura
degli sviluppi perturbativi per la teoria efficace che viene fuori che
vengono risolti con un misto di considerazioni basate sulle
osservazioni e su calcoli ab-initio di tipo Montecarlo, altrimenti
limitandosi alla matematica occorre dire che l'operatore ammette una
molteplicit� di estensioni autoaggiunte e che non esiste un quadro
contestuale che permetta di sceglierne una anzich� un'altra)
Un problema matematico simile lo avevamo notato anche a proposito
dell'operatore di Schroedinger per potenziale -g/x^2 quando il valore
di g supera 1/4 non esiste alcun modo di vincolare la fase
nell'origine perch� la funzione d'onda oscilla infinite volte, nel
caso che invece il potenziale � -g/x^2 a corto range, con g < 1/4  ed
aggiungiamo un potenziale che stabilizza le continuazioni delle
soluzioni a lungo range avevo notato che l'operatore non �
essenzialmente autoaggiunto, sono possibili estensioni autoaggiunte
parametrizzate dal valore asintotico della fase. Il caso in questione,
quello cio� di particella di Dirac in potenziale coulombiano,
corrisponde probabilmente ad una situazione del primo tipo e
personalmente non ho chiaro come sia possibile, rigorosamente,
regolarizzare gli integrali in modo da ottenere estensioni
autoaggiunte, Landau propone un metodo di regolarizzazione ma per
renderlo rigoroso occorre probabilmente qualche ora/giorno di studio o
qualche decina di minuti-Moretti :-) Del resto l'analogia fra i due
problemi non � affatto casuale, in quanto nel caso non relativistico
l'equazione di Dirac conduce, con il metodo della quadratura, ad una
equazione di Schroedinger proprio del tipo che ho studiato in
relazione al problema che avevi proposto, semplici contacci, ma ho
trovato della letteratura che conferma questi contacci.
Sempre a proposito del problema pi� semplice della mancata
autoaggiunzione essenziale dell'operatore di Dirac per interazioni
coulombiane intense ho trovato questi articoli:
http://www.iop.org/EJ/abstract/0305-4470/10/1/007
http://www.springerlink.com/content/t4983148x281138j/
http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/9801/9801012v1.pdf
il secondo mi sembra particolarmente indicativo del fatto che
nell'ottantuno era stato chiaramente riconosciuto che il problema �
effettivamente quello dell'autoaggiunzione  che non � pi� essenziale e
che sulle singole estensioni autoaggiunte il problema non si presenta.
Infine il terzo articolo affronta il problema per il caso della
dinamica eccitonica in due dimensioni e lo tratta trovando le stesse
soluzioni che trovavo io, due settimane fa per il problema che avevi
proposto, nel caso di potenziale coulombiano e quadratico, trova che
queste soluzioni dipendono da due parametri (come � ovvio) che
determinano il comportamento asintotico in zero, usa poi il metodo di
regolarizzazione usato da Landau per il potenziale -1/r^2 e trova che:
" il vuoto di Dirac � instabile, rispetto alla produzione di coppie
elettrone-positrone, in due dimensioni in presenza di potenziale
coulombiano forte per valori di carica critica significativemente pi�
contenuti di quanto avvenga nel caso tri-dimensionale."
 Ma rimane sempre il problema di chiarire con che criterio si sceglie
un'estensione autoaggiunta e prima ancora, nel contesto di una teoria
dei campi, se le simmetrie implicite nella costruzione dello spettro
di Dirac sono stabili o si rompono in qualche modo a causa di
instabilit� resistenti alle trattazioni non perturbative, i due
problemi vanno in verit� di pari passo: perch� per dare un criterio
concreto di "super selezione" sulle fasi occorre trovare una soluzione
fondamentale valida, con un metodo di tipo statistico o non-
perturbativo, delle equazioni di campo che si intende associare
all'equazione di Dirac.
Per il caso massless, come avevamo discusso tempo addietro, questi
problemi mi sembra che siano particolarmente spinosi nel senso che il
problema di regolarizzare le soluzioni nei pressi dell'origine si
salda con il problema di regolarizzare le divergenze della teoria e
con il problema di definire il contenuto di particelle e le simmetrie
stabili. Altrimenti, se la topologia globale della teoria  lo permette
� pi� facile che una carica topologica barely massless acquisti massa
piuttosto che le simmetrie di vuoto schermino la carica di una
particella massless.

 struttura fine.
E' proprio a questo risultato che mi riferivo, cioe' intendevo la
domanda in unita' naturali tali che
V=-a/r con a=Z e^2/4pi=Z alpha.
ciao e grazie

 controverso,
[...]
Mi sono accorto che un mio post in risposta al tuo non e' mai apparso.
Non mi ricordo neanche bene che cosa avevo scritto e dove mi avevano
portato le riflessioni sull'argomento :-(
Intanto ti ringrazio e semmai mi rifaccio vivo,
ciao.