Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Angolo di rifrazione straordinario

Rieccomi!
 
Sempre in riferimento a questa immagine sulla rifrazione tra un mezzo 
isotropo ed un anisotropo
 
http://imageshack.us/photo/my-images/88/ellissoide.jpg/
 
 
il mio libro scrive:
 
tan(r) = { [ |e^2 - o^2|*sin(2a) + 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin(i) + 
e^2*cos^2(a)/sin(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a)) ] }^-1
 
dove
 
a rappresenta l'angolo che nel disegno si chiama alpha
e = 1/n_e
o = 1/n_o
 
Ma da dove esce questa formula? E' un'approssimazione? Non e' strano che non 
ci sia dipendenza da n_1 (indice di rifrazione del mezzo isotropo)? Ho fatto 
delle prove con geogebra ma non mi ci ritrovo. Ho provato a considerare 
l'ellisse e la circonferenza sia come se fossero delle sezioni delle 
superfici dei vettori d'onda straordinari (come e' corretto fare) sia come 
come se fossero delle sezioni degli ellissoidi degli indici (come ho scritto 
a matita nell'immagine e come dice il mio libro, ma come in realta' non e' 
! ) eppure quell'angolo non si ritrova mai.
 
La formula dovrebbe uscire dalla legge di Snell per il vettore d'onda 
straordinario.
Allora ho provato a risolvere per r:
 
n_1 * sin(i) = 1 / sqrt [ cos^2(90° + a - r) / (n_o)^2 + sin^2(90° + a - r) 
/ (n_e)^2 ] * sin (r)
 
ma non ci sono riuscito, nemmeno con Mathematica.
 
Grazie degli eventuali suggerimenti. 
 

 Ho fatto delle prove con geogebra ma non mi ci ritrovo.
 
Avevo sbagliato a disegnare XD Ora e' tutto ok.
 
Certo che Mathematica pensavo riuscisse a risolvere equazioni del genere, ma 
fosse va settato qualcosa, non so...
 
Grazie comunque.
 
Sam 
 

 Sam
 
Mi spiace di non aver saputo trovare di meglio, non mi sento pienamente 
soddisfatto da queste formule, ma se sei contento tu, per me provvederò 
:-)
 

 sapresti trasformare una formula nell'altra?
 
No XD (anche se non ho fatto molte prove...)
Pero' credo che forse c'entri il considerare i due casi e>o oppure o>e in 
modo da far scomparire il valore assoluto.
 

 modo da far scomparire il valore assoluto.
 
Comunque ci sono riuscito ed e' semplice.
Il "trucco" sta proprio nell'eliminare il valore assoluto presente sotto la 
radice (nella "tua" formula), considerando pero' il caso in cui o>e. I 
passaggi dopo sono banali ma nel caso li posto. Viene fuori la "mia" formula 
ma con il - davanti alla radice (evidentemente hai considerato l'angolo di 
incidenza "muovendoti" partendo dalla verticale all'interfaccia verso 
destra, mentre io immagino sempre di muovermi verso sinistra). Spero di 
essere stato chiaro...
 
Sam 
 

 modo da far scomparire il valore assoluto.
 
Nota che in questa formula il radicale è a numeratore, mentre nella 
formula che hai riportato sopra è a denominatore, inoltre cambia il 
segno, tuttavia le due curve coincidono. Probabilmente c'è di mezzo una 
semplice razionalizzazione, ma non è affatto banale.
 

 pari dell'angolo d'incidenza in questo nostro caso.
 
Premetto che ho solo dato una scorsa a questo thread,
e replico solo riguardo a quanto ho scritto su i.s.m., allora
infatti il problema non si poneva perche' Sam_X aveva scritto:
" i , a ed r sono angoli tra 0 e 90°".
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 razionalizzazione, ma non è affatto banale.
 
Scusami la "tua" formula e' (la copio pedissequamente):
 
tan(r) = (|o^2-e^2| sen(2a) - sqrt[2 ( e^2+o^2 - |o^2-e^2| 
cos(2a))/sen^2(i) - 4 e^2 o^2])/(2(e^2 sen^2(a) + o^2 cos^2(a)-1)
 
questa formula non e' ben formata perche' non si chiudono tutte le 
parentesi, io credevo che tu intendessi:
 
tan(r) = ((|o^2 - e^2| sin(2a) - sqrt(2 ( e^2 + o^2 - |o^2 - e^2| 
cos(2a))/sin^2(i) - 4 e^2 o^2))/(2 (e^2 sin^2(a) + o^2 cos^2(a))))^(-1)
 
se e' cosi (e ti chiedo conferma) il radicale si trova al numeratore.
 
La "mia" formula invece e':
 
tan(r) = ((|e^2 - o^2| sin(2a) +/- 2 sqrt(o^2 sin^2(a)/sin^2(i) + e^2 
cos^2(a)/sin^2(i) - o^2 e^2))/(2 (o^2 sin^2(a) + e^2 cos^2(a))))^(-1)
 
che ha il radicale comunque al numeratore.
 
Se le cose stanno cosi', basta che nella "tua" formula consideri o>e, 
eliminando opportunamente il valore assoluto sotto la radice e si arriva (e 
ho fatto tutti i passaggi) alla mia formula (per la precisione con il - 
davanti al radicale).
 
Forse ci stiamo (oppure mi sto) confondendo con le parentesi perche' la 
formula e' lunga.
Io le controllo con Derive per capire se ho scritto davvero cio' che intendo 
:)
 
Sam 
 

 Sam
 

 formali.
 
Questa non l'ho capita.
Come puo' essere la direzione d'incidenza sghemba rispetto al piano 
dell'asse ottico normale alla superficie rifrangente?
Con la costruzione che uso io il raggio incidente giace sempre *in* quel 
piano.
La costruzione che uso e' chiaramente esemplificata nella solita figura:
 
http://imageshack.us/photo/my-images/88/ellissoide.jpg/
 
 
(dove naturalmente le scritte a matita sono errate avendo da tempo appurato 
che quelle non sono sezioni dell'ellissoide degli indici ma sezioni della 
superficie dei vettori d'onda straordinari)
 
Il piano di cui tu parli dovrebbe essere il piano del foglio. Il vettore 
d'onda vi e' stato traslato appositamente.
Forse tu parli della possibilita' di trovare una formula che permetta di 
evitare finanche la traslazione del vettore d'onda incidente al centro della 
superficie dei vettori d'onda straordinari
 
x^2/(n_e)^2 + (y^2 + z^2)/(n_o)^2 = 1
 
?
 
Grazie mille ancora.
 
Sam 
 

 (2/Sin(i))*sqrt(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a) - o^2*e^2 sin^2(i))]  }
 
ricontrolla i dettagli anche di questa espressione, ma i grafici sono 
perfettamente coincidenti. Semmai avessi ancora dubbi o difficoltà ci 
metto qualche minuto a trascrivertele in TeX-online e mandarti un link.


 che ha il radicale comunque al numeratore.
 
Si, ma c'è il -1 ad esponente che ti riporta il radicale a 
denominatore.
 

 della superficie dei vettori d'onda straordinari
 
Il discorso che segue non è importante in prima istanza, tuttavia
di questo discorso che hai scritto in verità non capisco la ratio: per 
me i vettori che occorrono in questo discorso, come le loro direzioni, 
sono elementi astratti, classi di equivalenza rispetto a traslazioni 
nello spazio  affine che rappresenta lo spazio geometrico, e sono 
quindi elementi di uno spazio vettoriale, i vettori come elementi di 
uno spazio vettoriale non hanno un punto di applicazione (sebbene 
impropriamente, definendoli come classi di equivalenza nello spazio 
affine si possa dire che hanno per punto d'applicazione l'origine delle 
coordinate, scegliendo in questo modo un particolare segmento orientato 
come elemento rappresentativo), infatti, in tre dimensioni sono 
specificati da una terna di numeri e non da una coppia di terne di 
numeri (quelli che hanno un punto di applicazione sono i segmenti 
orientati nello spazio affine e sono descritti dalle coordinate del 
punto d'origine e dell'estremo):  sia nella costruzione della 
superficie dei vettori d'onda, sia nella definizione dei vettori 
d'onda, sia nella definizione delle giaciture di un piano, sono i 
vettori e non i segmenti orientati a giocare un ruolo.
 
 Infatti assegnare un segmento orientato, e cioè specificare un punto 
di applicazione per un vettore d'onda è completamente arbitrario, per 
non dire che è un non-sense, l'onda piana è per ipotesi infinitamente 
estesa, dove collocheresti l'origine del suo vettore d'onda?


 Cosa gli lo dovrebbe impedire?
 
Ho riflettuto meglio ed ho capito di aver detto una fesseria.
Mi sono fatto confondere dal termine "sghemba" riferito ad un retta rispetto 
a un piano.
Tu intendi che nulla vieta loro (direz. di propag. e solito piano) di essere 
incidenti ma non complanari.
Usi "sghemba" semplicemente per dire "non complanari".
 
Ora, pero', credo che la formula definitiva che abbiamo (hai) trovato non 
continui a valere in questo caso ancor piu' generico. Cioe' la formula 
ancora piu' generica che cerchiamo dovrebbe dipendere anche dall'angolo tra 
la direzione di propagazione e il piano "del foglio". Giusto?
 
Se puoi/vuoi spendici qualche parola.
Tu stesso hai detto che questa estensione"non dovrebbe presentarti 
particolari difficoltà formali". Se e' una cosa semplice e che non richiede 
un sforzo troppo noioso, ti prego di illuminarmi.
 
Ti ringrazio ancora, Sam. 
 

 Ti ringrazio ancora, Sam.