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Titolo: Simmetria

Ciao
Consideriamo un elemento, tipo il boro, che abbia due elettroni 
nell'ultimo orbitale s e un elettrone in un orbitale p.
Gli orbitali p sono 3: px, py e pz.
Trascurando la struttura fine ed iperfine, l'elettrone si trova in uno 
stato dato dalla combinazione lineare di px py e pz? Quindi la 
distribuzione di densità di carica è sferica?
In generale si può dire che, sempre trascurando la struttura fine ed 
iperfine,  per un qualunque atomo la distribuzione di densità di carica 
e sferica?
Grazie e ciao

abc ha scritto:
 > Consideriamo un elemento, tipo il boro, che abbia due elettroni
 > nell'ultimo orbitale s e un elettrone in un orbitale p.
 > Gli orbitali p sono 3: px, py e pz.
 > Trascurando la struttura fine ed iperfine, l'elettrone si trova in uno
 > stato dato dalla combinazione lineare di px py e pz? Quindi la
 > distribuzione di densità di carica è sferica?
Non mi e' tropo chiaro quanto sai di m.q., ma debbo assumere che tu ne
sappia quanto basta, altrimenti non posso dare la risposta.
Pero' non dovevi dire che "gli orbitali p sono 3": l'espressione
corretta e' che l'insieme degli orbitali p e' uno spazio vettoriale di
dimensione 3.
Puoi scegliere come ti piace 3 orbitali indipendenti come base, e
costruire tutti gli altri come combinazioni lineari.
Tipicamente i chimici usano quelli che hai scritto tu, mentre i fisici
usano gli autostati di Lz.
Comunque la risposta alla tua domanda e' no.
Supponiamo naturalmente che l'atomo non sia soggetto a campi esterni,
ne' in interazione con altri atomi, altrimenti e' ovvio che le cose si
complicano piu' o meno e la simmetria non c'e' di certo.
In queste ipotesi tutti gli orbitali p hanno la stessa energia, il che
e' come dire lo stato fondamentale del boro ha degenerazione 3
(trascurando gli spin, come hai proposto).
Potra' quindi trovarsi indifferentemente in una infinita' di stati,
tutti di pari energia e nessuno dei quali ha simmetria sferica per la
distribuzione di carica.
Questo si vede dal fatto che tutti gli orbitali possibili sono
autovettori del modulo del momento angolare (orbitale) con l=1 e
quindi non sono invarianti per rotazioni.
Mi puoi dire che a te interessa solo la distribuzione di carica, che
resterebbe invariata anche se la rotazione alterasse l'orbitale solo
per un fattore di fase; ma questo e' impossibile quando l=1.
Ci sarebbero altre cose da dire, ma non voglio andare oltre almeno
finche' non so se quello che ho detto ti e' chiaro.
Eventualmente, attendo altre domande :)
-- 
Elio Fabri

Ciao
Consideriamo un elemento, tipo il boro, che abbia due elettroni 
nell'ultimo orbitale s e un elettrone in un orbitale p.
Gli orbitali p sono 3: px, py e pz.
Trascurando la struttura fine ed iperfine, l'elettrone si trova in uno 
stato dato dalla combinazione lineare di px py e pz? Quindi la 
distribuzione di densità di carica è sferica?
In generale si può dire che *matematicamente*, sempre trascurando la 



No, la densita' di carica e' sferica solo per stati S, cioe' con momento 
angolare L=0.
Se L>0 lo stato elettronico e' degenere. Se scegli una base nel 
sottospazio degenere e' possibile scegliere una combinazione lineare con 
simmetria sferica.
Se la domanda e': "un atomo di Boro nel vuoto con energia uguale 
all'energia dello stato fondamentale ha carica con simmetria sferica?"
la risposta e': se non si sa nient'alto non si puo' dire, perche' a 
causa della degenerazione specificare l'energia non e' sufficiente a 
specificare lo stato.

 Comunque la risposta alla tua domanda e' no.
Io invece direi di si'. E' vero che se lo stato fondamentale non e' l=0 
la fdo non ha simmetria sferica; e' pero' anche vero che, in assenza di 
perturbazioni esterne (e nele perturbazioni ci includo anche le misure) 
la "direzione" dell'orbitale e' arbitraria. Quindi l'atomo e' in una 
combinazione lineare di stati con lo stesso l con coefficienti uguali, e 
tale distribuzione ha simmetria sferica (teorema di Unsoeld).

 tale distribuzione ha simmetria sferica (teorema di Unsoeld).
Mi correggo: e' la distribuzione di carica risultante ad avere simmetria 
sferica.

 specificare lo stato.
Ma quindi se si facesse un esperimento misurando molte volte la 
posizione dell'ultimo elettrone dell'atomo di boro, che ne verrebbe 
fuori? È un esperimento ideale, in quanto a causa dello spin la 
degenerazione viene rimossa, ma supponiamo un sistema in cui lo spin non 
c'entri; mi stai dicendo che la meccanica quantistica non predice il 
risultato di un tale esperimento? oppure o capito male?
Ciao e grazie

 Eventualmente, attendo altre domande :)
Un'ultimissima domanda: la questione mi è venuta in mente perché, "a 
naso", mi sembrava strano che in un potenziale di tipo sferico, come 
quello del  B+ (boro con un elettrone in meno) l'elettrone potesse avere 
una distribuzione non sferica; perché in alcune parti l'elettrone si 
dovrebbe trovare più vicino al nucleo oppure si dovrebbe trovare con una 
maggiore probabilità, rispetto ad altre parti?
Scusami se ti ho fatto troppe domande, o scritto troppa roba...
Ciao e grazie

 tale distribuzione ha simmetria sferica (teorema di Unsoeld).
Uhm. A ripensarci, direi che non e' vero, se non per shell chiuse o
piene a meta'.

 dovrebbe trovare più vicino al nucleo
Le funzioni d'onda devono essere ortogonali, e non c'e` modo di ottenere 
cio' con due funzioni sfericamente simmetriche aventi lo stesso numero 
quantico principale.

 quantico principale.
Si, ma io non volevo che ogni p fosse simmetrico: mi sarebbe bastato che
l'ultimo elettrone del boro, che si dovrebbe trovare in una combinazione
lineare dei tre p, si "distribuisse" sui tre p in modo da dare una
distribuzione di carica simmetrica.
Infatti il fatto che la distribuzione non sia simmetrica mi causa questa
perplessità:
la distribuzione di carica non è simmetrica, quindi l'ultimo elettrone,
chiamiamolo e5, si dovrebbe trovare con probabilità diversa in diverse
parti; diciamo che si trova con probabilità P in
direzione x.
Ma il potenziale che sente e5 è sferico, quindi noi potremmo ruotare il
nucleo insieme con tutti gli elettroni *eccetto* e5, ed e5 avrà ancora
probabilità P di trovarsi in direzione x.
Ciò mi sembra violare l'isotropia dello spazio: infatti avremmo trovato
un modo per distinguere la direzione x dalle altre direzioni e cioè
basterebbe fare un esperimento per vedere in quale direzione l'ultimo
elettrone si trova con probabilità P; tale direzione sarà x.
C'è qualcosa che non capisco...
Grazie dell'attenzione e ciao


Ti dico come la vedo io. In casi reali c'e' sempre una perturbazione che 
  rompe la degenerazione (es. un debole campo elettrico esterno che 
rompe l'isotropia dell'hamiltoniano) e quindi gli stati non sono 
esattamente degeneri. Oppure, anche se assumiamo che al tempo di 
osservazione non ci siano perturbazioni, l'atomo di sicuro nel passato 
sara' stato soggetto a queste perturbazioni (campo elettrico esterno 
ecc.) e si potrebbe immaginare che lo stato sia rimasto "congelato" 
dall'ultima volta che la perturbazione c'era e la degenerazione rotta.
Fra l'altro, un piccolo appunto: tu ragioni in termini di orbitali 
atomici, che pero' saprai sono solo una approssimazione che si deriva in 
alcuni modelli/approssimazioni della equazione di Schrodinger per tutti 
gli elettroni, Hartree-Fock in testa. Risultati sulla degenazione dello 
stato fondamentale si posso pero' ricavare in maniera esatta con la 
teoria dei gruppi una volta fissati i numeri quantici dell'atomo (cioe', 
L, S, J, i numeri quantici esatti dell'atomo).
Se hai accesso ai giornali online dalla tua universita' potresti 
guardare questo articolo: 
http://prola.aps.org/abstract/PRA/v62/i5/e052511
H.A. Fertig and W. Kohn, Symmetry of the atomic electron density in 
Hartree, Hartree-Fock, and density-functional theories, Phys. Rev. A 62, 
052511 (2000)

 parti?
Scusa, ma il potenziale gravitazionale del Sole ha simmetria sferica,
eppure le orbite dei pianeti sono ellittiche :-)
Riesci a vedere la relazione? (e' piuttosto profonda, nel senso non di
"riposta" ma di "fondamentale").
 
-- 
Elio Fabri

 (cut)
Non pretendo di risolverti i dubbi ma credo che un esempio preso da un
contesto un po' diverso possa gettare un po' di luce su una confusione molto
simile a quella che avevo anche io a terzo anno di università.
Il tuo ragionamento mi sembra il seguente: se il potenziale ha simmetria
sferica, com'è possibile uno stato fondamentale che non ha la stessa
simmetria?
In realtà lo stesso avviene nello stesso problema affrontato in meccanica
classica: pensa al moto in campo centrale (problema di Keplero), in generale
le orbite non sono circolari, ma ellittiche, e l'orbita che hai in un
"esperimento" dipende da come l'orbita è stata ottenuta (non fissi solo
l'energia, ma anche il momento angolare).
Allo stesso modo, nel problema degli stati atomici, lo stato in cui si trova
l'atomo dipende da come l'atomo è stato preparato. La simmetria del
potenziale si ripercuote, piuttosto che nella forma degli stati, nella
degenerazione dei livelli energetici. Non è la meccanica quantistica che non
è in grado di rispondere alla tua domanda, ma è la sola conoscenza
dell'energia che non è sufficiente a dirti qual è esattamente lo stato
dell'atomo (per esempio, per conoscere lo stato, devi sapere anche qual è il
momento angolare e la sua proiezione lungo un asse).
Ciao.
P.S. ho l'impressione che il libro che citi sia scritto con un po' di
leggerezza, prova a leggere sulla stessa questione dei testi di meccanica
quantistica e non di chimica.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 della base, quindi penso che mi sto confondendo :(
Scusate lo sbaglio: volevo dire
<<ma fisicamente la |psi|^2 non può dipendere dalla scelta *di a, b, c* 
[...]>>
e non
<<dalla scelta *della base*>>
In altri termini: se è lecito scegliere diverse combinazioni di a, b, c 
questa scelta "matematica" non può influenzare una eventuale misura, 
quindi non può influenzare la |psi|^2. Ma è giusto?

 dall'ultima volta che la perturbazione c'era e la degenerazione rotta.
D'accordissimo: era una delle cose che avevo in mente quanto avevo
scritto che ci sarebbe stato ancora altro da dire.
 
-- 
Elio Fabri

 perturbazione c'era e la degenerazione rotta.
Ora penso di aver capito: se facessimo un esperimento misurando la
posizione dell'elettrone più esterno, troveremmo che questo starà in un
certo stato; se facessimo lo stesso esperimento su un altro atomo
troveremmo, in generale, che l'elettrone più esterno starà in uno stato
diverso da quello dell'atomo precedente ecc.
Non c'avevo mai pensato!!!
Grazie

Ciao, ti volevo solo ringraziare per la tua risposta; non so perché ma
mi ha illuminato e mi ha (spero) fatto capire anche tutto quello che mi
hanno detto gli altri.
Grazie di nuovo, ciao

 "riposta" ma di "fondamentale").
Penso di aver capito:
il potenziale gravitazionale del sole ha simmetria sferica; quando
mettiamo un pianeta, il sistema sole+pianeta non ha più simmetria
sferica; infatti il pianeta ha una certa posizione e velocità iniziali
che "non hanno simmetria sferica". Ciò si ripercuote sulle orbite che
non hanno simmetria sferica.
Similmente nel caso del B+ (boro con un elettrone in meno), il
potenziale è sferico; ma quando aggiungiamo un elettrone dobbiamo
specificare anche il suo momento angolare e la proiezione lungo un asse;
quindi il fatto che l'elettrone ha un momento angolare vuol dire che in
generale non c'è più simmetria; ciò ha come conseguenza il fatto che gli
orbitali non hanno simmetria sferica.
Se l'elettrone aggiunto avesse momento angolare nullo, allora andrebbe
in uno stato s (diciamo il 3s), ma, poiché questo non è lo stato con
minore energia, l'elettrone emette un fotone con momento angolare, di
modo che anche lui abbia momento angolare (opposto al fotone) e possa
andare in uno stato p con energia minore.
Spero di aver fatto una giusta analisi...
Ciao e di nuovo grazie

 stato diverso da quello dell'atomo precedente ecc.
Invece secondo me hai capito male...
Se misuri la posizione, trovi *una* posizione, e se anche i tuoi 1000
atomi si trovavano esattamente nello stesso stato, in generale troverai
100 posizioni diverse.
Questo perche' in uno stato stazionario dell'atomo la posizione degli
elettroni sicuramente *non e' definita*.
Invece qui si stava dicendo che i tuoi 1000 atomi possono trovarsi in
*stati* diversi.
Riesci a vedere la differenza? E' strettamente connessa con la
definizione quantistica di "stato". Secondo me e' questa che nonhai
afferrato.
Ma vorresti togliermi una curiosita'? Che cosa stai studiando? Fisica
o chimica? A che anno?
 
-- 
Elio Fabri

 o chimica? A che anno?
fisica, sto al terzo anno e ho fatto l'esame di meccanica quantistica,
anche se probabilmente non l'ho ancora digerito :(
Grazie ancora, ciao

 anche se probabilmente non l'ho ancora digerito :(
Direi anch'io, ma non mi meraviglia...
La m.q. e' un cibo di digestione mooolto lenta :-)
 
-- 
Elio Fabri

 di l succede.
E' falso che non succeda con gli stati p: solo per gli stati di spin
1/2 le cose stanno come ho detto.
Spiego il ragionamento sbagliato che mi ha portato a
quell'affermazione.
Le combinazioni lineari dei tre orbitali px, py, pz si trasformano per
rotazioni come vettori, e ovviamente ogni vettore normalizzato si
ottiene da qualunque altro con una rotazione.
Questo e' vero, ma solo per le combinazioni *a coeff. reali*.
Invece lo spazio degli stati p e' C^3, ossia uno spazio vettoriale sui
complessi.
Per es. da pz (che e' autovettore di Lz con autovalore 0) non si
otterra' con nessuna rotazione l'autovettore con autov. 1, che e'
px + i*py.
 
-- 
Elio Fabri