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Titolo: Autofunzioni del potenziale coulombiano

Salve a tutti. Studio ingegneria elettronica al Polotecnico di Milano e ho
da poco iniziato lo studio dei fondamenti della meccanica quantistica
riassunto nel nostro indirizzo nel corso di Fisica III. Dato il livello
(introduttivo) del corso e del libro impiegato (Eisberg-Resnick) mi sono
sorte alcune difficoltà, primariamente imputabili all'approccio tutt'altro
che formale finora seguito. So di rivolgermi a fisici, per cui perdonatemi
se utilizzo un linguaggio poco formale :).
Nel momento in cui mi accingo a risolvere l'equazione di Schroedinger per
l'idrogeno, devo quantomeno ipotizzare che la soluzione sia a variabili
separabili. E' possibile ricavare questo risultato a priori? Più
precisamente: l'operatore Lz e l'operatore L^2 commutano con l'Hamiltoniano,
e questo ci fa ben sperare; ma è sufficiente questo fatto per arrivare a
dire che essi hanno le medesime autofunzioni di H (e quindi concludere che
la psi fattorizzi, nell'ottica che tali operatori sono funzioni il primo
della sola fi, il secondo della fi e della teta (in coordinate sferiche)).
In altre parole: è elementare dimostrare che se due operatori A e B hanno le
stesse autofunzioni, essi commutano. L'inverso non riesco a dimostrarlo,
perciò mi chiedo: l'inverso è vero in generale oppure no? Ringrazio
dell'attenzione concessami, sperando in una vostra risposta.
Simone Dalla Stella

 dell'attenzione concessami, sperando in una vostra risposta.
Sei partito da una domanda di FIsica e ei fiito ad una di Geometria! :-)
E' proprio cosl: se due operatori normali commutano hanno gli stessi autovettori, e
viceversa; un operatore h normale se commuta con il proprio aggiunto, quindi sia
gli operatori unitari (in cui l'aggiunto coincide con l'inverso) sia quelli
autoaggiunti (o hermitiani, che coincidono con i propri aggiunti e sui quali si
basano gli osservabili della meccanica) sono normali.
Per sommi capi, se due operatori commutano, nella base in cui il primo (A) h
diagonale il secondo sar` diagonalizzato a blocchi, con i blocchi corrispondenti ad
autovettori dello stesso autovalore di A (cioh ad un autovalore a di A degenere di
ordine n corrisponde un blocco n x n in B): questo lo ricavi rirettamente dalla
condizione di commutazione (assieme alla diagonalit` di A). Ora diagonalizzi anche
i blocchi di B (troverai una nuova base per ogni blocco, ma anche per questa A sar`
ancora diagonale, poichi in corrispondenza del blocco c'era un solo autovalore,
cioh una matrice identit` per quell'autovalore).
Bene, ti ho dimostrato, se non altro, che sono un cane a spiegare (comunque prova a
seguire con carta e penna).
-- 
Hamlet

Il tuo problema può essere affrontato in diversi modi
1) Come fa il tuo libro, puoi supporre inizialmente che le autofunzioni
siano nella forma fattorizzata R(r)*TETA(teta)*FI(fi), risolvere per
separazioni di variabili e quindi (cosa che il tuo e nessun libro di fisica
di mia conoscenza fa) si dimostra che il sistema di autofunzioni trovato è
un un sistema ortonormale completo. In questo modo dimostri che quello
trovato è un sonc di autofunzioni, che l'hamiltoniano deve possedere secondo
il teorema spettrale. Cioè, "a posteriori" si dimostra che il metodo di
separazione delle variabili è lecito perchè da un risultato consistente.
2) La teoria spettrale afferma effettivamente che non solo operatori che
hanno un sonc di autofunzioni comuni commutano, ma anche il viceversa.
Pertanto, dimostrato che L^2 Lz ed H commutano, è lecito "a priori" il
procedimento di separazione delle variabili con cui in pratica risolvi
l'equazione agli autovalori per H nei sottospazi comuni di L^2 ed Lz.
Se sei davvero interessato a saperne di più, ti consiglio il libro che ho
usato per preparare l'esame di istituzioni di fisica teorica: Caldirola,
Cirelli, Prosperi - Introduzione alla fisica teorica - UTET
Se invece ti interessano dimostrazioni sull'ortonormalità e soprattutto
sulla completezza dei sistemi di autofunzioni (R(r) e funzioni associate di
Legendre) non ho la minima idea di dove rintracciarle (al tuo posto non me
ne preoccuperei tanto, anche perché credo che pochi, anche tra i fisici, si
siano guardati tali dimostrazioni)
 Stefano