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Titolo: specchio convesso

Salve a tutti
Ho un problema che nn riesco a risolvere:
una sottile lastra di vetro  semiriflettente è posta a distanza b=7cm
davanti ad uno specchio convesso. Una sorgente luminosa S è posta a distanza
a davanti allo specchio convesso, in modo che la sua immagine nello specchio
convesso coincida con quella nella lastra semiriflettente. Dato il raggio
dello specchio R=30cm, si calcoli la distanza a e il rapposrto della
magnificazione delle due immagini.
Secondo me lo specchio convesso non riesce a riflettere sulla lastra
semiriflettente un'immagine uguale a quella sullo specchio, uguale nel senso
delle dimensioni. Almeno che la sorgente non venga posta all'infinito.
Mi sbaglio? Come posso risolverlo?
Grazie mille a tutti quelli che vorranno darmi un aiuto!
V


Allora, ovviamente, specificando R, parli di uno specchio sferico convesso.
Intanto, la questione ha senso solo se la lastra semiriflettente si trova
tra S e lo specchio sferico convesso.
Dunque, andando nel verso dallo spazio degli oggetti allo spazio delle
immagini, troviamo nell'ordine:
S -----> lastra -----> specchio sferico convesso
(Infatti, se la lastra si trovasse oltre lo specchio, ossia se lo specchio
fosse tra S ed essa, la luce proveniente da S non giungerebbe sulla lastra;
se la lastra si trovasse prima di S, ossia S fosse tra la lastra e lo
specchio, l'immagine di S data dalla riflessione della lastra si formerebbe
prima della lastra e l'immagine di S data dalla riflessione dello specchio
si formerebbe oltre lo specchio dunque le due immagini non potrebbero
coincidere.)
Pertanto, la prima informazione immediata che abbiamo è
a > b    [relazione (*)]
Ora, come richiesto, dobbiamo imporre che l'immagine di S data dallo
specchio coincida con quella data dalla lastra.
Come sai, la legge dei punti coniugati per lo specchio sferico è
(1/p) - (1/q) = -2/R
dove
p è la posizione dell'oggetto (distanza dallo specchio)
q è la posizione dell'immagine (>0 se l'immagine si forma oltre lo specchio)
R è il raggio di curvatura dello specchio sferico, assumendo R>0 se lo
specchio è convesso, come nel nostro caso.
Questa legge può anche essere scritta:
q = Rp / (R + 2p)
Nel nostro caso, la distanza dell'oggetto, che è la sorgente S, dallo
specchio è
p = a
Dunque, l'immagine di S si forma nella posizione
q = Ra / (R + 2a)     [equazione (1)]
(Essendo q>0, perchè nella frazione figurano solo quantità positive,
l'immagine si forma oltre lo specchio, quindi è virtuale.)
Vediamo, invece, in che posizione si forma l'immagine di S data dalla
lastra.
Poichè S è in posizione p = a,
mentre la lastra è in posizione p = b,
S è a distanza a - b dalla lastra.
La lastra semiriflettente si comporta come uno specchio piano e, dunque,
forma l'immagine di S
sempre a distanza a - b, ma dal lato opposto, ossia più vicino allo
specchio.
In sintesi, l'immagine di S formata dalla lastra si trova in posizione
p = b - (a - b) = 2b - a
Ma, la distanza q delle immagini è considerata positiva quando esse si
formano oltre lo specchio, dunque ha segno opposto rispetto alla degli
oggetti che si trovassero nella medesima posizione considerata.
Pertanto, per la distanza dallo specchio dell'immagine di S data dalla
lastra lastra, abbiamo
q = - p = a - 2b    [equazione (2)]
Se, come richiesto, vogliamo che le due immagini coincidano, dalle equazioni
(1) e (2), otteniamo
Ra / (R + 2a)  = a - 2b
ossia
Ra  = (a - 2b) (R + 2a)
ossia
Ra = aR + 2a^2 - 2bR - 4 ab
ossia
a^2 - 2 ab - bR = 0
ossia
a = (2b +- RadiceQuadrata ( 4b^2 + 4bR )) / 2 =
= cm (2*7 +- RadiceQuadrata (4*7^2 + 4*7*30)) / 2 =
= cm (14 +- RadiceQuadrata (196 + 840) / 2 =
= cm (14 +- 32.2) / 2
Delle due soluzioni, dobbiamo prendere quella positiva, affinchè valga la 
relazione (*) vista all'inizio.
Dunque la distanza della sorente S dallo specchio è
a =cm (14 + 32.2) / 2 = 23.1 cm
e così la prima risposta è stata data.
Per quantp riguarda il rapporto delle magnificazioni (immagino che il testo 
si riferisca all'ingrandimento trasversale Gy, cioè in direzione 
perpendicolare all'asse ottico), esso è semplicemente uguale 
all'ingrandimento trasversale Gy dello specchio sferico, in valore assoluto, 
poichè la lastra semiriflettente, comportandosi come uno specchio piano, non 
opera alcun ingrndimento, cioè fornisce immagini delle stesse dimensioni 
degli oggetti.
In valore assoluto,
Gy = y_immagine/y_oggetto =
come notoriamente si dimostra
= q/p = R/(R + 2p) =
poichè S è in posizione p=a
= R/(R + 2a) = 30/(30 + 2*23.1) = 0.39
cioè l'immagine data dallo specchio sferico convesso è più piccola rispetto 
a quella data dalla lastra semiriflettente.
Ricordiamo che entrambe le immgini sono diritte (cioè non capovolte, in 
senso trasversale), perchè tali sono sempre le immagini date da uno specchio 
piano (quindi anche dalla nostra lastra semiriflettente) e tali sono sempre 
le immagini date da uno specchio sferico convesso.
Spero di non aver sbagliato qualche stupido passaggio.
Ciao.
--
Gino, al secolo "Gigino Core Pazzo"
core...@gmail.com
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