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Titolo: help baricentro piramide con vincolo geometrico

 
mi sto incasinando a trovare il baricentro di una piramide a 
base quadrata con un vincolo ...
 
il baricentro deve essere equidistante da tutti i vertici
 
mi interesserebbe sapere essenzialmente lo spostamento del 
baricentro rispetto al piano della base, cioè di quanto deve 
stare sopra. Se chiamiamo X questo spostamento, e D la 
distanza da qualsiasi vertice (sia dai 4 alla base sia 
dall'apice) allora la piramide sarebbe complessivamente alta D+X
 
per vie trigonometriche ottengo espressioni che non so 
risolvere, e per via geometrica un terzo grado completo di 
ogni termine che parimenti non so risolvere :\
 
grazie delle dritte
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 il baricentro deve essere equidistante da tutti i vertici
 
Il baricentro della piramide, per simmetria, si trova
sull'asse di simmetria, e, come si dimostra direttamente,
a una distanza dalla base pari a 1/4 dell'altezza della piramide.
Se chiamiamo l il lato di base e h l'altezza allora
la condizione di equidistanza dai vertici è:
 
(l/2)^2 + (l/2)^2 + (h/4)^2 = (3h/4)^2  => l = h
 
cioé la piramide ha altezza pari al lato della base
quadrata.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 Ciao


 minimamente ... ma probabilmente sbaglio eh
 
Il baricentro della piramide ha _sempre_ distanza
dalla base pari a 1/4 dell'altezza.
Fissata la base l, allora l'altezza h può assumere
_qualsiasi_ valore positivo, e nel caso h = l allora
il baricentro sarà equidistante da tutti i vertici.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)


ti ringrazio molto. Mi serviva per implementare un modellino 
di atomo pentacoordinato con Openscad, facendo in modo che 
oltre che esteticamente bello fosse un minimo realistico
 
denghiu
 
cia'


 a apice) = diagonale dal centro verso uno dei vertici basali ?
 
Sì, è compatibile e puoi verificarlo facilmente. Sia L il lato del 
quadrato di base della piramide. Un triangolo rettangolo con un vertice 
nel baricentro della piramide ha per cateti: C = 1/4 dell'altezza, D = 
la metà della diagonale del quadrato di base; e per ipotenusa: I = 3/4 
dell'altezza. Per Pitagora:
 
         I^2 = C^2 + D^2
 
e avendo posto H = L calcoliamo:
 
   (L*3/4)^2 = (L/4)^2 + (sqrt(2)*L/2)^2
 
   L^2 *9/16 = L^2 *1/16 + L^2 *8/16
 
Quod erat demonstrandum.
 
Bye,
 
   *GB*

 ti ringrazio molto.
 
Domanda: sapresti tu dimostrare con la geometria elementare che "il 
baricentro della piramide ha _sempre_ distanza dalla base pari a 1/4 
dell'altezza"?
 
Bye,
 
   *GB*

    *GB*


dell'altezza"?
 
Un ragionamento elementare "cavalieriano" potrebbe essere il seguente.
Si osserva anzitutto che e' cosi' per una piramide molto particolare,
il tetraedro regolare: mediante il th. di Pitagora si puo' provare che
la distanza del suo centro (cioe' punto equidistante dai vertici, che
non puo' che essere anche baricentro) da un vertice e' tre volte tanto
la sua distanza dal piano degli altri tre vertici.
 
Consideriamo ora un cono "retto" qualsiasi, "retto" nel senso che il
segmento congiunge vertice V e baricentro G della base e'
perpendicolare alla base. Si puo' immaginare un tetraedro regolare che
ha lo stesso vertice V del cono, lo stesso piano di base e il
baricentro della base coincidente con G; grazie all'omotetia, tutte le
lamine indivisibili // alla base del cono (e a questa simili) avranno
lo stesso baricentro delle lamine del tetraedro corrispondenti (cioe'
situate alla stessa altezza) e masse proporzionali, sicche' il
baricentro del cono retto resta a 1/4 dell'altezza.
 
Se poi il cono non e' piu' retto, sempre per via dell'omotetia il
baricentro resta comunque a 1/4 della congiungente GV, e pertanto a
1/4 della distanza del vertice dal piano di base. Ciao

 
PIRAMIDE QUADRATA
              _ _ _ _ _ _ _ _
 
            /\                 ^
 
         /      \              |
      /_a(z) _\           H
   /        |z       \        |
/______|_______\    v
|<--------L--------->|
 
 
Come in figura:
L = lato del quadrato di base della piramide;
H = altezza piramide;
z = altezza generica di una "fetta" piana orizzontale, quadrata, di spessore dz;
a(z) = lato della fetta quadrata generica di cui sopra. 
 
Il volume di quella fetta quadrata sara', evidentemente:
 
dV = [a(z)]^2 • dz
 
e la sua massa:
 
dm = ρ•dV = ρ•[a(z)]^2 • dz 
 
dove: ρ = densità = M/V
M = massa piramide
V = volume piramide. 
 
Mi serve a(z) e lo si calcola con la similitudine fra triangoli (vedere la figura):
 
a(z) / (H-z) = L/H
 
a(z) = (L/H)  • (H-z) 
 
Calcoliamo V. 
 
V = integr [0;H] dV = integr [0;H] [a(z)]^2 • dz 
= (L/H)^2 integr[0;H] (H^2 -2H•z + z^2)•dz 
= H•L^2/3.
 
 
Adesso calcoliamo il centro di massa, CM, della piramide. Per simmetria si trovera' sulla verticale passante per il vertice in alto (la "punta") e il centro del quadrato di base, ad una altezza Z_CM. 
 
Per definizione di centro di  massa:
 
Z_CM = (1/M) integr[0;H)] z•dm 
 
= (1/M) • integr[0;H)] z•ρ•[a(z)]^2•dz 
= (ρ/M) • integr[0;H)] z•[a(z)]^2•dz 
 
= (1/V) •  integr[0;H)] z•(L/H)^2•(H-z)^2•dz 
 
= (1/V)•(L/H)^2 • integr[0;H)] z•(H-z)^2•dz 
 
= (3/H^3) • integr[0;H)] (z^3 -2H•z^2 + H^2•z)•dz 
= (3/H^3) • (1/12)•H^4 = H/4.
 
 
Calcoliamo adesso quando si verifica che le distanze tra il CM ed i 5 vertici della piramide sono tutte uguali. La distanza tra CM e vertice in alto e' semplicemente H - H/4 = ¾ H. 
 
Distanza dai verttici della base quadrata: la semidiagonale del quadrato vale L/sqrt(2) quindi la distanza cercata vale 
sqrt{(H/4)^2 + [L/sqrt(2)]^2} = ¼ sqrt(H^2 + 8L^2). 
 
Impongo che tale distanza sia pari a  ¾ H:
 
¾ H = ¼ sqrt(H^2 + 8L^2) -->
 
--> 9H^2 = H^2 + 8L^2 --> H = L. 
 
--
Wakinian Tanka

 1/4 della distanza del vertice dal piano di base. Ciao
 
Un po' vaga la tua risposta e più forbita di calcoli quella di Wakinian 
Tanka (a cui propongo di usare Alt+250 che dà · invece di •). Per parte 
mia mi permetto di concludere con queste modestissime considerazioni 
sparse, nell'eventualità che possano avere qualche interesse per l'OP.
 
Il baricentro geometrico coincide con il centro di massa fisico solo 
quando la densità del solido è la stessa in tutti i suoi punti. Ma se 
avessimo una piramide di vetro con una bolla d'aria inclusa, 
difficilmente il centro di massa fisico coinciderebbe con il baricentro 
geometrico, essendo la densità dell'aria molto minore di quella del vetro.
 
Invece quando la densità è costante in ogni punto, la massa è 
proporzionale al volume: da D = m/V si ha m = D·V. Quindi sotto tale 
condizione il baricentro è il centro di volume. Ciò significa che 
facendo passare per esso un piano parallelo alla base, il volume della 
piramide più piccola soprastante il baricentro deve essere uguale al 
volume del tronco di piramide che rimane sotto il baricentro. Pertanto 
il baricentro di una piramide si potrebbe anche ricavare uguagliando 
quei due volumi.
 
E siccome il volume di ogni piramide (trigonale, quadrangolare, 
esagonale...; regolare o irregolare; retta o non) e di ogni cono 
circolare o ellittico è dato sempre da un terzo dell'altezza per l'area 
della base, è facile intuire che per tutti quei solidi il baricentro si 
trova sempre a un quarto dell'altezza a partire dalla base (o a tre 
quarti dall'apice).
 
Il tetraedro regolare è una piramide trigonale. Ma l'ottaedro regolare? 
Esso è una bipiramide quadrata (ovvero due piramidi quadrate unite per 
le basi), solo che l'altezza di ciascuna delle due piramidi non è uguale 
al lato e il baricentro si trova all'intersezione delle diagonali del 
quadrato di base. Tenere conto di questo se la struttura pentacoordinata 
da modellare è quella di IF5, in quanto la coppia di elettroni solitaria 
si dirige a uno dei vertici dell'ottaedro e quindi lo iodio si trova nel 
piano del quadrato di base (addirittura un po' sotto per via della 
maggiore repulsione della coppia solitaria sui legami I-F) e non invece 
nel baricentro di una piramide quadrata singola.
 
Bye,
 
   *GB*

della base,
 
E a questo risultato come ci si arriva elementarmente, se non con il
principio di Cavalieri? Ciao

 quei due volumi.
 >
 
Questa mi sembra sbagliata. I volumi vanno pesati con la distanza dal 
baricentro.
 
 
 

 volume del tronco di piramide che rimane sotto il baricentro.
 
vol. piramide soprastante = (3/4)^3 vol. totale = 27/64 vol. totale
 
Quindi non č vero.
 
M.
 
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 dal baricentro.
 
Aggiungo, tanto per dire, che con tale "definizione"
il baricentro non sarebbe neanche definito univocamente,
basti pensare al caso di 2 punti materiali separati,
allora il baricentro, che per simmetria si troverebbe
sulla congiungente i 2 punti, potrebbe essere in
qualsiasi punto interno al segmento avente per estremi
i 2 punti...



Hai ragione! Se esprimiamo la base B della piramide in funzione del 
quadrato dell'altezza h:
 
   B = k·h^2
 
e il baricentro si trova a 1/4 dell'altezza dalla base, allora la base 
della piramidina sopra il baricentro (coincidente con la base minore del 
tronco di piramide sotto il baricentro) sarà proporzionale al quadrato 
della sua altezza:
 
   b = k·(h·3/4)^2
 
Quindi i volumi V della piramide, v della piramidina e w del tronco di 
piramide (come loro differenza) vengono ad essere rispettivamente:
 
   V = k·h^3/3
 
   v = 27/64·k·h^3/3
 
   w = V - v = 37/64·k·h^3/3
 
da cui è evidente che v <> w
 
Ooohmmm, come dice in questi casi Soviet_Mario... :-(
 
Bye,
 
   *GB*

 Quindi non è vero.
 
Lo ammetto, ho scritto una cavolata senza verificarla. Era l'una e mezza 
del mattino, ma comunque... ooohmmm
 
Bye,
 
   *GB*

 i 2 punti...
 
Ti ringrazio sinceramente per questa tua fulminante critica. Non mancate 
di punire gli svarioni degli improvvisatori ubriachi dopo mezzanotte, mi 
raccomando... altrimenti tanto varrebbe togliere la moderazione al NG.
 
Bye,
 
   *GB*

 raccomando...
 
Fa parte del "gioco".
 
IT, Giorgio, mostra un possibile modo di cercare cosa c'e' che non va in 
una formula o definizione.


Non si capisce quello che ho scritto :-)
 
Riscrivo con le virgole giuste:
 
Giorgio Bibbiani ha mostrato un possibile modo di cercare cosa c'e' che 


 
 
uhm, rispondo qui (a me stesso) perché vedo di avere 
sollevato un po' un vespaio del tutto inatteso, e la bontà 
delle domande mi costringe a prendere atto che non avevo 
nemmeno posto bene la domanda ... pensavo, superficialmente, 
di si, ma in realtà è NO.
 
Mi spiego meglio : il vincolo della uguaglianza delle 
distanze di TUTTI i vertici (apice e basali) dal centro, è 
abbastanza forte.
 
Il resto, dove ho parlato di baricentro, in effetti non mi 
serve a niente.
 
In teoria la mia piramide sarebbe quella in cui l'apertura 
della base rispetto al vertice è tale che le repulsioni 
elettrostatiche sono minime.
 
Se non sbaglio si può ragionare in maniera "integrale" 
minimizzando l'energia totale, ma presumo (l'avevo fatto 
anni fa, ma non posso riconvertire facilmente i programmi 
linux su windows) funzioni anche in maniera differenziale 
usando le FORZE (non l'energia) e imponendo risultanti non 
dirette lungo i vincoli nulle (o diversamente risultanti 
delle forze dirette solo lungo i vincoli).
 
Ora a naso presumo che la dipendenza quadratica dalla 
distanza renda davvero naif l'idea di usare il baricentro 
... però non ho tempo di riscrivermi un programma del genere 
(la grafica era la cosa peggiore), che cmq usando le forze 
ripristinava molto bene i poliedri regolari anche se le 
configurazioni trovate "vibravano" un tantino attorno a 
posizioni di equilibrio (non avevo saputo  smorzare bene la 
scansione evolutiva delle diverse configurazioni in modo che 
non saltellassero attorno a minimi pianeggianti).
 
Quindi ... boh ? Mi serve davvero il baricentro ? Credo che 
salvo situazioni di tale simmetria da poter considerare il 
baricentro privilegiato, direi di no


elettrostatiche sono minime.
 
e' infinita. Ciao


uhm, mi pareva di avere detto che le congiungenti al centro 
di ogni vertice dovesse essere uguale (e intendevo una 
lunghezza fissa, non l'infinito :) )


lunghezza fissa, non l'infinito :) )
 
In questo caso la risposta e' banale: cariche nei vertici di un
tetraedro regolare. Ciao

 
Scusa Mario, potresti definire esattamente il problema? Tipo
"Trovare la minima distanza a cui devono stare delle cariche unitarie nei vertici di una piramide/tetraedro/ottaedro/quel che ti pare per minimizzare l'energia potenziale elettrostatica" o qualsiasi altra cosa tu intenda. 
Capisco che puo' essere difficile matematizzare la propria idea, ma ti assicuro che e' incredibilmente piu' difficile leggere nella mente degli altri :-) 
 
--
Wakinian Tanka 


no ho cinque vertici.
 
Concretamente esistono due configurazioni di minimo 
piuttosto vicine : la piramide a base quadrata di apertura 
... boh ! :) e la bipiramide a basi triangolari (un ottaedro 
difettivo di un vertice).
 
La piramide quadrata ha più spazio al vertice che sulla base 
(ed è preferita a volte quando un unico pezzo è o più vicino 
o più grosso degli altri 4 (o entrambi).
 
la bipiramide ha più spazio sulla base trigonale (e cmq è 
più simmetrica)
 
il pattern a 7 stranamente ha solo la bipiramide a basi 
pentagonali (ma lì i posti larghi sono ai vertici non nella 
base).
 
ciao


 
 
 


 la bipiramide ha più spazio sulla base trigonale (e cmq è più simmetrica)
 
Una bipiramide trigonale può benissimo avere un atomo al suo 
(bari)centro e altri 5 atomi ai vertici. Quella è la struttura di PF5 
dove cmq le distanze P-F non sono identiche: i fluori sopra e sotto 
distano 158 pm dal fosforo mentre quelli ai vertici del triangolo di 
base ne distano 153 pm. Anche AsF5 e SbF5 hanno la stessa struttura.
 
Bye,
 
   *GB*

difettivo di un vertice).
 
formata naturalmente da due piramidi di base triangoloequilaterale di
lato sqrt(3) e altezza 1. Ciao

piramide.
 
Ooops, cosi' abbiamo si' la minimizzazione della repulsione
complessiva tra cariche *in modulo*, ma cio' non corrisponde in
generale all'equilibrio elettrostatico. E' il potenziale che va
minimizzato; minimizzando il potenziale si ha un risultato di
pochissimo differente, cioe' che il lato della base quadrata della
piramide a minimo potenziale sarebbe circa 1.372. Ciao


Quindi il problema sarebbe:
"Date 5 cariche uguali, tutte legate a distanza fissa ad un atomo centrale, trovare la configurazione di minima energia elettrostatica"? 
E quindi vorresti ritrovare le 2 configurazioni "bipiramide trigonale" e "piramide a base quadrata":
 
https://goo.gl/images/VGsL4a
 
 
e con certi parametri geometrici, per via matematica? 
Chiarisci il problema. Tu dici che "e' banale" ma solo perché' "tu lo vedi" ma noi no! 
 
--
Wakinian Tanka


no io ho scritto che la risoluzione numerica - analogica era 
banale, con le dimostrazioni matematico-geometriche invece 
non ho dimestichezza.
 
P.S. quel programma (che innescavo con configurazioni 
random) trovava i minimi relativi talvolta. E se non ricordo 
male (son passati quasi 15 anni) per i poliedri euclidei 
finiva per trovare sempre e comunque quelli, mentre con 
quelli meno simmetrici e meno privilegiati, talvolta trovava 
l'una o l'altra (mi pare che la soluzione a bipiramide 
trigonale fosse un attrattore più potente della piramide 
quadrata), ma non so se si trattasse di un vizio nella 
generazione random delle configurazioni iniziali o di una 
effettiva stabilità maggiore.
 
Cmq dei minimi relativi profondi sono soluzioni accettabili, 
perché possono esistere realmente variando anche di 
pochissimo i postulati iniziali (lunghezze di legame 
identiche e ingombri e polarità identiche per i gruppi). 
Proabilmente persino la polarità del mezzo influisce se le 
energie sono vicine.


    *GB*
 
 


 piramide a minimo potenziale sarebbe circa 1.372. Ciao
 
se non è complicatissimo, come hai ottenuto numericamente 
questi dati ? Hai qualche simulatore, modellatore proprio di 
molecole, procedimenti matematici ...


questi dati ? 
 
Molto semplicemente, risolvendo (numericamente) l'equazione dU/dx = 0.

 ...
Premessa 1: non riesco a vedere dove sia la fisica, se non nel
lontanissimo enunciato, che parlerebbe (v. appresso) di energia
potenziale elettrostatica.
 
Premessa 2: a me (e credo a tutti gli altri) non frega assolutamente
niente di come tu avresti risolto il problema di calcolo. Potrebbe
(forse) interessare che tu riuscissi una buona volta a enunciare con
chiarezza il problema.
 
Ciò posto, io avrei capito questo.
"Disporre su una sfera 5 punti in modo tale che la somma degli inversi
delle distanze sia minima."
 
Che dite, mi sono guadagnato il Nobel (per la Field Medal sono troppo
vecchio)?
 
 
-- 
Elio Fabri

 vecchio)?
 
se ti fai le treccine e ti metti un cartello tutti i venerdì 
sicuramente :)


> Anche AsF5 e SbF5 hanno la stessa struttura.
 
E in Wikipedia leggo che in AsF5 le lunghezze di legame sono 172 pm 
(assiale) e 167 pm (equatoriale): anche qui troviamo 0,97·172 = 167
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Arsenic_pentafluoride#Properties
 
 
   Arsenic pentafluoride is a colourless gas and has a trigonal 
bipyramidal structure.[3] In the solid state the axial As-F bond lengths 
are 171.9 pm and the equatorial 166.8 pm.[3]
 
Bye,
 
   *GB*

Molto semplicemente, risolvendo (numericamente) l'equazione dU/dx = 0.
 
altro modo, piu' complicato ma piu' elementare. Niente estremanti di
potenziale quindi niente calcolo differenziale, solo considerazioni di
forze. 
 
Sia V il vertice della piramide, sia ABCD la sua base quadrata di
centro H; sia O il centro della sfera di raggio 1 in cui e' inscritta.
 
Sia t l'angolo formato dall'altezza VH e da uno spigolo obliquo VA
della piramide. La semidiagonale AH della base e' sin(2t); lo spigolo
obliquo AV e' sqrt(2+2cos(2t)).
 
Quali forze agiscono sul punto A?
 
* 1/(2u)^2, dovuta alla carica C opposta in diagonale, che agisce
appunto in direzione AC; 
 
* due forze di modulo 1/(sqrt(2)*AH)^2, dovute ai vertici B e D,
agenti lungo i lati AB e AD; essendo queste forze uguali danno una
risultante di modulo sqrt(2)/(2AH^2) diretta lungo AC; se la sommiamo
alla forza di prima, otteniamo una forza F di modulo
 
(sqrt(2)/2+1/4)/AH^2 = (sqrt(2)/2+1/4)/sin(2t)^2,
 
sempre diretta lungo la diagonale AC.
 
* la forza G dovuta a V, che ha modulo 1/(2+2cos(2t)), agente lungo lo
spigolo obliquo AV.
 
Ora, se A e' in equilibrio, la somma vettoriale F+G deve avere
necessariamente direzione radiale AO: applicando il th. dei seni al
parallelogramma formato da F e G concorrenti in A, si ha che
 
|F| : sin(VAO) = |G| : sin(OAH)
 
ossia
 
|F| : sin(t) = |G| : sin(pi/2 - 2t)
 
e ricordando i moduli di F e G,
 
(sqrt(2)/2+1/4)*cos(2t)/sin(2t)^2 = sin(t)/(2+2cos(2t)),
 
equazione goniometrica che risolta numericamente da'
 
t =~ 0.
6625658601
 
 
che corrisponde appunto a 
 
AB=sqrt(2)AH=sqrt(2)*sin(2t)=~1.371753081,
 
stesso risultato della soluzione approssimata di dU/dx=0 del post
precedente. Ciao

* 1/(2u)^2,
 
leggasi 1/(2AH)^2

On 18/03/19 22:28, El Filibustero wrote:

scusa, mi sto prendendo tempo, perché per leggere post 
"matematici" impiego molto e tendo a deferirli sino a quando 
posso avere tempo a sufficienza.
 
ma ti ringrazio anticipatamente e spero che saprò capire
