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Titolo: Domanda sul 2° principio termodinamica

Ho osservato una pallina di gomma che rimbalzava tra il pavimento ed il
soffitto
della mia stanza, come c'era da aspettarsi la velocità della pallina in
prossimità del soffitto era più bassa rispetto a quella in prossimità del
pavimento per via dell'accelerazione di gravità. Inoltre se avessi fornito
la stessa energia  a una pallina di gomma più pesante, la differenza tra le
velocità della pallina che avrei osservato in prossimità del pavimento e
vicino il
soffitto sarebbe stata maggiore.
Supponiamo ora di avere un cilindro dalle pareti totalmente adiabatiche,
posizionato a terra in modo tale che la sua altezza sia parallela alla
direzione dell'accelerazione di gravità . All'interno di questo cilindro
poniamo un gas abbastanza pesante, per esempio iodio il cui peso molecolare
vale:
 PM[I2] = 127*2 = 254
cioè più di 8 volte quello medio dell'aria.
___________
|   ° molecola |
| a + bassa V.|
|                    |
|                    |
|                    |
|                    |
|                    |
|                    |
|                    |
| molecola     |
|  a V. + alta  |
|_°________|
Se il cilindro è sufficientemente lungo da fare in modo che le particelle,
durante la loro ascesa, rallentino in misura apprezzabile,
possiamo affermare che all'interno del cilindro la temperatura alla base è
più alta di quella alla sommità del cilindro?
Se effettivamente fosse così sarebbe come andare contro il 2° principio
della termodinamica, infatti, servendoci di una termocoppia, sarebbe
possibile sfruttare l'eventuale differenza di temperatura per produrre
energia elettrica.
Come uscire da questa apparente contraddizione?

 Come uscire da questa apparente contraddizione?
Di fatto,  se sottrai energia alle molecole in basso, queste non 
riusciranno a raggiungere la stessa altezza che avevano originariamente. 
Prima o poi estrai tutta l' energia cinetica del gas e  tutto finisce li'.
Il tuo modello e' comunque poco realistico.
Evidentemente stai pensando ad un gas ideale (== le molecole non 
interagiscono tra loro e hanno urti elastici con le pareti del contenitore).
In questa schematizzazione il sistema non ha nessun modo per raggiungere 
l' equilibrio (termico). Il gas ideale e' tanto bello (perche' semplice) 
ma  ha dei difetti importanti. Dal punto di vista della termodinamica 
statistica e' un sistema "non  ergodico": se lo prepari in un qualsiasi 
stato dinamico, nulla permette alle molecole di scambiare energia tra di 
loro. La conseguenza e' che se parti con una qualsiasi distribuzione 
delle velocita' non arriverai mai ad una maxwelliana.
Se invece permetti scambi di energia tra le particelle o tra queste e le 
pareti puoi  arrivare all' equilibrio termico dopo un transiente 
iniziale e tutto il gas avra' la stessa temperatura. A quel punto l' 
estrazione di energia senza altri effetti collaterali sarebbe una 
violazione del secondo principio.
Giorgio

 Il tuo modello e' comunque poco realistico.
E' vero che e' poco realistico, comunque il paradosso non c'e'.
Proprio grazie al fatto che la distribuzione delle energie cinetiche
all'equilibrio e' boltzmanniana, ossia esponenziale exp(-E/kT), se si
sottrae a tutte le energie una certa costante (la differenza di
energia potenziale alle due quote) e si guardano solo le molecole che
sono arrivate alla quota h, queste hanno ancora la stessa distribuzione
di energie cinetiche, quindi la stessa temperatura.
Inversamente, si puo' usare questo argomento, partendo dal secondo
principio. per dimostrare che la distribuzione deve essere
esponenziale.
Esattamente questo problema e' discusso nel cap. 40 del primo volu,e
delle lezioni di Feynman.
A mio giudizio quel capitolo e i successivi sono i piu' belli dei tre
volumi.
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 Giorgio

 volumi.
Concordo nel giudizio e ti ringrazio per avermelo richiamato alla 
memoria. Ho riletto il capitolo e, a distanza di anni (e di esperienza), 
ho ritrovato tutto il fascino di quando lo avevo studiato la prima 
volta. Noto anche che F. si preoccupa come prima cosa di osservare che 
il sistema deve in qualche modo termalizzare ;-)
Giorgio

 volumi.
Potresti fornirmi qualche indicazione per reperire questi volumi? Tipo
casa editrice e titolo esatto?
Grazie mille
nicola
-- 
"su ciò di cui non possiamo parlare, dobbiamo tacere.."
L. Wittgenstein
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 termodinamica. 
Se non ci sono scambi di energia tra gradi di liberta' diversi il 
sistema non e'  in grado di raggiungere l' equilibrio e la termodinamica 
non si applica (e neanche il secondo principio!).
Prova a pensare ad un recipiente cubico in cui le particelle simuovano 
solo lungo x.  Mettici accanto (lungo x) un secondo recipiente cubico 
vuoto.
Apri la parete divisoria. Il sistema restera' all' infinito con tutte le 
particelle che occupano solo meta' del volume a disposizione.
Strano ? Si'   ma perfettamente coerente con l' ipotesi di nessuna 
interazione tra particelle. (E poi... quale sarebbe la pressione sulle 
diverse facce della scatola ... ?). E volendo si possono immaginare modi 
per far passare l' energia da corpi freddi a quelli caldi etc. etc.
Insomma, per fare la termodinamica i sistemi *veramente* non interagenti 
non vanno proprio bene. Occorre ammettere che ci sia una piccola dose di 
  interazione. Q.b.  per garantire la possibilita' di raggiungimento 
dell' equilibrio.
Giorgio

 solo lungo x.  
corrige
..
 > solo lungo z.

 Giorgio
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 casa editrice e titolo esatto?
Sono le arcifamose "Feynman Lectures on Physics" (Addison Wesley).
In italiano "La fisica di Feynman", mi pare ora pubblicato da
Zanichelli.
Comunque Google oppure Amazon ti dicono tutto...


 Come uscire da questa apparente contraddizione?
Non riesco proprio a vedere dove stia la contraddizione che invochi. 
Con un sistema fisico del genere (al di là della realizzabilità concreta e
dell'efficienza energetica conseguibile) ti troveresti a produrre energia
basandoti su *due* sorgenti di calore a *temperature differenti*. 
E cosa c'è di tanto strano?
Saluti,
Aleph        
-- 


 Aleph


 La violazione del secondo principio e' palese.
...
No, niente affatto. 
Pur ammettendo senza concederlo, ma su questo ci torno dopo, che un
sistema basato su una termocoppia riesca effettivamente a trasformare
calore in lavoro nelle condizioni che hai menzionato, si dà il caso che il
passaggio della corrente nel conduttore genererebbe per effetto Joule del
calore, che verrebbe rilasciato all'ambiente esterno e ciò consente di
affermare con sicurezza che il secondo principio rimarrebbe comunque
inviolato. 
In realtà però è proprio il meccanismo di generazione di lavoro basato
sulla termocoppia a non stare assolutamente in piedi nel caso sotto esame. 
Le termocoppie generano ddp quando vi è una differenza di temperatura tra
le due parti *prossime* alla giunzione tra due materiali opportuni, mentre
nell'ipotesi prospettata la differenza di temperatura si concretizza
macroscopicamente solo ai capi del cilindro di altezza h: posizionare la
giunzione, poniamo, ad altezza h/2 non aiuta in alcun modo.           
Per quanto riguarda infine l'effetto di "raffreddamento" verticale di un
gas in un *forte* campo gravitazionale direi che è piuttosto pacifico.
Per dimostrarlo si immagini un cilindro alto un metro, isolato
adiabaticamente e riempito di radiazione di corpo nero sulla superficie di
una nana nera freddissima (così non ci brucia il cilindro), caratterizzata
da un campo gravitazionale superficiale pari all'incirca a 100.000 volte
quello terrestre. Ebbene è immediato verificare che, per effetto del forte
campo gravitazionale, i fotoni che stanno in alto avrebbero fequenze ed
energie medie più basse di quelli che stazionano alla base del cilindro.  


 energie medie pių basse di quelli che stazionano alla base del cilindro.  
Di nuovo un sistema con seri problemi di ergodicita' :-(
I fotoni del corpo nero sono un sistema in equilibrio termico solo se 
interagiscono con le pareti (a temperatura uniforme)! La situazione che 
prospetti e' irrealizzabile a meno di scoprire come non far interagire i 
fotoni con le pareti.
Di fatto non e' altro che una variante del gas perfetto originale, 
realizzata con un gas perfetto di fotoni.
Continuo a non capire perche' volete applicare il secondo principio a 
sistemi non termodinamici (== sistemi che non raggiungono l' equilibrio) 
  :-(
Giorgio

 energie medie più basse di quelli che stazionano alla base del cilindro.
Perfetto, pensare ai fotoni e' un bellissimo modo per immaginare una maniera
di utilizzare le scale temporali per aggirare l'ostacolo, come dicevo alla
fine del mio precedente post. Naturalmente dovremo immaginare che i fotoni,
oltre a non interagire fra di loro (come e' nella realta'), non
interagiscano nemmeno con le pareti (come non e' nella realta') per
considerare isolato il nostro cilindro.
In questo caso (cioe' nell'ipotesi di interazioni fotoni-contenitore
trascurabili), l'intervallo di tempo tipico per la "termalizzazione" e'
infinito, cosi' sara' sempre vero che i fotoni in alto hanno meno energia
dei fotoni in basso.
Il problema pero' sopraggiunge nel momento in cui si vorrebbe sfruttare tale
differenza di "temperatura" (cioe' di energia media delle particelle (i
fotoni)) per far funzionare una macchina termica. E' vero che inizialmente
la macchina potrebbe funzionare, producendo lavoro, pero' nel produrre
lavoro sottrarrebbe energia ai fotoni piu' energetici cedendola a quelli
meno energetici. Cioe' i fotoni potranno anche non interagire con nulla
(cosi' quelli in basso saranno piu' energetici di quelli in alto) ma se
vogliamo costruire una macchina termica allora i fotoni in qualche modo
dovranno interagire con i componenti la macchina e tale interazione
(inevitabile) causera' la "termalizzazione".
Mi pare che la risposta di Giorgio Pastore sia sostanzialmente analoga a
quella riportata sopra.


 quella riportata sopra.
Non direi. 
Giorgio Pastore mi pare molto più drastico (anche del sottoscitto) sulla
questione. Egli invoca semplicemente l'inapplicabilità del secondo
principio (e anche, se ho capito bene, del concetto stesso di temperatura)
a sistemi fisici come quelli proposti in quanto non ergodici, ovvero non
in equilibrio termodinamico. Tuttavia (ma ci devo pensare un po' su) la
sua risposta, anche se formalmente sembra corretta, non mi soddisfa molto,
in quanto mi pare che non dica nulla sulla fisica sottostante ai sistemi
che stiamo considerando.


 ripeto, la violazione del secondo principio quale sarebbe?
Evito di rispondere punto per punto in quanto non farei altro che ripetermi.
Riassumo solamente i punti centrali del mio intervento nella speranza che
possano risultare piu' chiari.
1) Il secondo principio, SPT, afferma che e' impossibile sottrarre calore da
una sorgente e trasformarlo integralmente in lavoro.
2) Il SPT si applica anche in casi in cui vengano utilizzate ***macchine
ideali***. Esempio di macchina ideale potrebbe essere una macchina che
assorbe calore da una sorgente S1, parte di questo calore lo trasforma in
lavoro L e parte lo cede ad una sorgente S2.
3) E' chiaro che una qualsiasi macchina reale dara' luogo a problemi tecnici
di vario tipo che andranno a sovrapporsi a quello dato dal SPT. Cioe' una
macchina reale assorbira' calore da S1, una parte lo trasformera' in lavoro
L, una parte lo cedera' alla sorgente S2 e una parte se ne andra' per
"questioni tecniche", tipo riscaldamento dei fili. Proprio questo fa si' che
il rendimento di una macchina reale sara' sempre minore di (T1-T2)/T1
essendo T1=temperatura di S1 e T2=temperatura di S2.
Invece in una macchina ideale (per la quale si suppongono risolte tutte le
"questioni tecniche", cioe' si suppone che non ci sia riscaldamento di fili
o altro: il calore assorbito finisce tutto in lavoro o in calore ceduto a
S2) il rendimento sara' proprio uguale a (T1-T2)/T1.
4) Se
un gas in campo gravitazionale, a contatto in basso con una sorgente S a
temperatura T evolvesse spontaneamente in modo tale da rendere la
temperatura in basso, T, maggiore della temperatura in alto,
allora
utilizzando una macchina termica ideale potremmo (dopo aver isolato il gas,
cioe' il gas potra' interagire solo con la macchina) sottrarre calore dal
basso, parte di questo calore potremmo trasformarlo in lavoro L e la
restante parte andrebbe a riscaldare le particelle in alto. Poiche' la
macchina la supponiamo ideale tutto il resto (fili ecc.) rimane invariato.
Il primo principio della termodinamica ci dice che l'energia interna del gas
e' diminuita' esattamente di L.
Fatto cio', rimettendo il gas a contatto con S, il gas evolverebbe
nuovamente in maniera spontanea verso la condizione iniziale, cioe'
tornerebbe con le particelle in basso a temperatura T e le particelle in
alto a temperatura minore di T. Per tornare nella condizione iniziale il gas
dovra' assorbire da S esattamente una quantita' di calore pari alla
diminuzione di energia interna avuta durante il ciclo a contatto con la
macchina, cioe' L.
A questo punto il gas e' tornato nella condizione iniziale, tutto il resto
(fili ecc.) e' sempre rimasto nella condizione iniziale, la sorgente S non
e' nella condizione iniziale in quanto ha ceduto una quantita' di calore che
si e' ***integralmente*** trasformata in lavoro.
Il punto 4) mostra, in maniera che proprio non riesco a vedere come si possa
negare, che l'ipotesi fatta deve essere sbagliata, oppure e' sbagliato il
SPT.
Sinceramente non ho capito cosa tu contesti del mio discorso.
E' certo che nelle macchine reali oltre ad avere calore assorbito dalla
sorgente calda e calore ceduto alla sorgente fredda, ci sara' anche calore
ceduto ad altri pezzi della macchina che saranno a temperatura intermedia
fra quelle delle due sorgenti, ma non e' quello il punto.
Il punto e' che *anche ipotizzando l'uso di macchine ideali* il SPT deve
essere soddisfatto.
Io sopra suppongo di utilizzare una macchina ideale per sottrarre calore dal
gas (sfruttando il fatto che sotto ha temperatura maggiore di sopra), quindi
suppongo di lasciare tutto inalterato durante l'uso della macchina stessa
tranne per il fatto che si sottrae calore dal basso, parte va in lavoro
parte va in calore ceduto in alto. Questa ipotesi (cioe' l'uso di macchina
ideale), unita all'altra ipotesi (cioe' che il gas spontaneamente evolva in
maniera da rendere la temperatura in basso maggiore di quella in alto), da'
luogo ad una violazione del SPT (come mostrato in 4)). Ne segue che la
seconda ipotesi deve essere sbagliata in quanto l'ipotesi di utilizzo di
macchina ideale e' permessa.
Ed e' sbagliata perche' il gas, anche se in campo gravitazionale, (come
sottolineato piu' volte da Giorgio Pastore, e anche da Elio nel post che ha
mandato in questo thread) evolve spontaneamente in maniera tale da rendere
la sua temperatura uguale ovunque.
Per evitare questo, cioe' per evitare la termalizzazione del gas, dovremmo
impedire alle particlle di gas di interagire fra di loro e di interagire con
il contenitore. Pero', se anche riuscissimo ad evitare queste interazioni
(cosi' permettendo al gas di rimanere con le particelle in basso calde e in
alto fredde), qualora andassimo ad utilizzare una qualsiasi macchina termica
per produrre lavoro sfruttando questa differenza di temperatura, avremmo che
le interazioni gas-macchina porterebbero dopo un po' alla termalizzazione
del gas.


Come gia' in altri casi, non riesco a seguire da vicino tutta la
discussione, per cui posso contribuire solo buttando la' alcune mie
idee, che derivano da quello che ho letto, ma non sono risposte punto
per punto.
1. Non riesco a capire se siete d'accrdo o no che la temperatura lungo
una colonna di gas all'equilibrio e' costante (lasciamo stare per il
momento l'ide del redshift di Aleph: ci torno dopo).
Preciso: supponiamo di avere un tubo isolante, su cui le molecole del
gas fanno urti elastici. Tra loro le molecole possono urtarsi o no:
non fa differenza.
Al fondo del tubo ci sia un contatto termico con un termostato a
temperatura T.
Affermo che in ogni punto del tubo la distribuzione delle velocita' e'
maxwelliana con la stessa T. Siete d'accordo o no?
2. Ora veniano al redshift.
In quelle condizioni senza dubbio la temperatura sara' diversa per la
radiazione e di conseguenza anche per un gas che sia in equilibrio con
quella.
Sicuramente si puo' dimostrare la variazione di temperatura del gas
senza ricorrere alla radiazione, ma per ora non vedo come.
La variazione di temperatura sara' DT/T = -gz/c^2 (D sta per Delta).
3. E' pero' importante vedere gli ordini di grandezza: sulla Terra si
avrebbe un DT/T di 10^(-16) per metro; assumendo un'atmosfera di 10
km, arriveremmo a 10^(-12).
Invece in 10 km la densita' dell'atmosfera varia in modo notevole, il
che vuol dire che solo una frazione delle molecole che si trovano al
suolo potrebbero arrivare a 10 km per la loro velocita'.
Dunque stiamo discutendo un effetto assai piccolo rispetto a quello
principale.
Naturalmente Aleph mi obietta che ha supposto un g molto maggiore:
OK, mettiamoci su una nana bianca, dove g e' circa 10^5 volte quella
sulla Terra.
Anche allora, in 10 km avremmo DT/T = 10^-7, mentre un'atmosfera con
la temperatura di quella terrestre sarebbe spessa meno di un metro...
4. In che condizioni dunque il redshift diventa importante?
L'altezza h di un'atmosfera a temperatura T e' dell'ordine di
(kT)/(mg), e il redshift risulta
DT/T = -gh/c^2 = -(kT)/(mc^2).
Perche' sia significativo, il gas deve essere relativistico.
5. Domanda: ma se la temperatura in presenza di redshift varia lungo
il tubo, potremmo usare il marchingegno di Bruno per violare il
secondo principio?
Risposta: no.
Siano infatti T1, T2 le temperature al suolo e a una certa altezza
(T1>T2). Se estraggo una certa quantita' di calore Q1 al suolo, puo'
sembrare che ne possa cedere una quantita' minore Q2 in alto
(Q2/Q1=T2/T1) ottenendo lavoro dalla differenza.
Se con questo il gas resta in equilibrio, avrei violato il secondo
principio...
Dov'e' l'errore?
Sta nel fatto che in quelle condizioni *nn si puo'* ottenere lavoro,
perche' per avere all'altezza h l'energia Q2 disponibile da cedere al
gas, occorre prelevare esattamente Q1 a terra.
Infatti "sollevare" dell'energia costa energia: del resto e' cosi' che
si dimostra il redshift...
Il costo e' Q1*gh/c^2, per cui prelevando Q1 a terra si puo' cedere in
alto giusto Q2, che vale infatti
Q1*(1 - gh/c^2).


All'equilibrio la Temperatura deve essere la stessa (se no non staremmo 
all'equilibrio). Quello che cambia è la pressione.
Scriviamo la legge dei gas perfetti: pV=NRT, la posso riscrivere come
p=nRT dove con n=N/V indico la densità, R è una costante e T è la 
temperatura.
Essendo T costante p è proporzionale ad n e per la precisione (facendo i 
conti con p=-(dF/dV) e T ed N costanti)
p(h)={(Nmg)/[(pi)R^2]}*{[e^-(mgh)/kT]/[1-e^-(mgL)/kT]}
(andamento esponenziale)
dove R è il raggio del cilindro, h l'altezza a cui calcoliamo p ed L 
l'altezza totale del cilindro.
Ed ho usato l'Hamiltoniana con somme su i [(p^2/2m)-mgz]
La parte cinetica e la parte gravitazionale agiscono separatamente e 
portano rispettivamente all'energia un contributo (usando il principio 
di equipartizione) 3/2kT la prima e kT la seconda.
Ovviamente parliamo di un sistema all'equilibrio, se potessimo accendere 
e spengere il campo gravitazionale avremmo un aumento di energia con 
conseguente aumento di temperatura che potrebbe essere sfruttato prima 
di raggiungere nuovamente l'equilibrio. Ma penso che l'energia che se ne 
potrebbe ricavare sarebbe molto minore che quella necessaria per 
accendere e spengere un campo gravitazionale ;o)
E' lo stesso discorso di un cilindro pieno di gas che ruota su se 
stesso, all'inizio la temperatura sarà maggiore verso l'esterno (le 
particelle avranno una maggiore energia dovuta alla rotazione 
(1/2)m[(omega)^2]R^2 ma poi termalizzeranno e all'equilibrio la 
temperatura sarà uguale ovunque.

 Elio Fabri


 m g z / K.
Come ho gia' detto, non ho trovato il modo didimostrarlo (non ho
meppure trovato il tempo per pensarci..).
Ma sono convinto che esista la dimostrazione che la temperatura
decresce come la frequenza causa redshift.


 decresce come la frequenza causa redshift.
Nuntio vobis gaudium magnum: habemus demonstrationem! :-)
Solo che e' troppo lunga e articolata per entrare non solo nel margine
di questo foglio, ma anche in un decente post.
Faro' una cosa: dato che ho scritto una noterella per mio uso
personale, appena gli avro' data una forma decente la metto in
sagredo/varie.


 Il che vuol dire che non hai letto Feynman...
:-) ... in effetti non l'avevo mai letto, e prima di mandare il post
precedente proprio li' ero andato a vedere, pero' non capivo bene, mi
sembrava che andasse per le lunghe (pensavo: "non sara' che poi me lo perdo
Elio che segue cento threads e il mio se lo dimentica?") e allora ho deciso
di mandare intanto quella risposta che mi pareva innegabile. Ma visto che tu
hai ribadito il concetto (T uguale ovunque anche se le particelle non
collidono fra loro) rimandandomi proprio a Feynmann, allora non ho piu'
potuto sottrarmi, sono andato a spulciarmi per bene la parte alla quale fai
riferimento che immagino proprio sia il Cap 40 del volume I.
Provo a riassumere cosi' potrai correggermi qualora avessi capito male.
1) Feynmann parte assumendo che (a causa delle collisioni) il gas sia tutto
a T costante.
Nel paragrafo 1 ad esempio parla di quella bacchetta che fa parte del
"meccanismo per eguagliare la temperatura".
2) Assumendo T costante ovunque arriva a dimostrare
n(h)=n(h=0)*exp(-EnP(h)/(KT)) dove n=densita' di molecole e
EnP=Energia potenziale della singola molecola (dimostra anche che qualora le
molecole fossero soggette a un campo di forze non conservativo allora
l'equilibrio termico non si potrebbe avere, non ho ben capito la
dimostrazione ma e' cio' che F. dice).
3) Dimostra che il numero totale di molecole, n[>0](h), che attraversano
nell'unita' di tempo la parete posta ad altezza h avendo una velocita' lungo
l'asse z maggiore di 0 e' uguale al numero di molecole, n[>vz](0), che
nell'unita' di tempo attraversano la parete posta ad altezza h=0 avendo una
velocita' lungo l'asse z maggiore di vz con (m/2)*vz^2=EnP(h).
Mostra cioe' che n[>0](h)=n[>vz](0).
4) Dice che il rapporto fra n[>0](h) e n[>0](0) deve essere lo stesso che
c'e' fra n(h) e n(0) cioe' deve essere uguale a exp(-EnP(h)/(KT)).
5) Dai punti 3) e 4) segue che la distribuzione della componente z della
velocita' (all'altezza h=0, ma tanto e' stato assunto che, essendo T
costante, la distribuzione dovra' essere la stessa ovunque) deve essere di
tipo exp(-m*vz^2/(2KT))
Quando passa al punto 4) F. ricorda che si e' assunto T costante ovunque con
le seguenti parole:
"Gia' sappiamo che la distribuzione delle velocita' e' la stessa, dopo la
discussione di prima circa il fatto che la temperatura e' costante in tutta
l'atmosfera. Cosi', siccome le distribuzioni di velocita' sono le stesse, e
accade proprio che di sotto ci sono piu' atomi, chiaramente il numero
n[>0](h), che passa con velocita' positiva all'altezza h, e il numero
n[>0](0), che passa con velocita' positiva all'altezza 0, sono nello stesso
rapporto delle densita' alle due altezze, che e' exp(-m*g*h/(KT))".
Inizialmente F. aveva notato che avrebbe trascurato gli urti, ma io
non capisco cosa possa intendere con cio' se continuamente fa uso
della ipotesi T costante ovunque e continuamente fa uso della
n(h)=n(h=0)*exp(-EnP(h)/(KT)) che e' basata sulla ipotesi T costante
ovunque. Mi pare che con "sto trascurando gli urti" F. intenda semplicemente
"faccio finta che gli utri non ci siano cosi' ottengo semplimente il
risultato 3), cioe' che n[>0](h)=n[>vz](0) con (m/2)*vz^2=EnP(h)".
Nel mezzo del paragrafo 4 F. torna sulla ipotesi in esame dicendo:
"Ora torniamo al fatto che abbiamo trascurato le collisioni: perche' non fa
alcuna differenza? Avremmo potuto svolgere lo stesso argomento non con una
altezza finita h, ma con una altezza h infinitesima, tanto piccola che non
ci sarebbe posto per le collisioni fra 0 e h.Ma questo non era necessario:
l'argomento e' basato evidentemente su una anlisi delle energie in gioco, la
conservazione dell'energia, e negli urti che hann lugo c'e' uno scambio di
energie fra le molecole. Tuttavia noi non ci curiamo in realta' se seguiamo
la medesima molecola, se c'e' semplicemente scambio di energia con un'altra
molecola. Cosi' risulta che anche se il problema e' analizzato con piu' cura
(ed e' piu' difficile naturalmente fare un lavoro rigoroso, ancora non c'e'
differenza nel risultato".
Devo dire che mi risulta abbastanza ostico questo passaggio, probabilmente
anche la traduzione non e' fra le piu' felici (ma anche dalla versione
inglese io non e' che ci capisca tanto di piu'). L'unica cosa che mi risulta
chiara e' l'ultima proposizione: se si fa il conto per bene si trova lo
stesso risultato cioe si trova una distribuzione di tipo exp(-m*vz^2/(2KT)).
Concludendo, io non ho proprio capito se le collisioni sarebbero proprio
ininfluenti dal punto di vista fisico (come mi pare stia sostenendo tu,
cioe' che la distribuzione sarebbe sempre quella anche se non ci fossero le
collisioni), o se, come parrebbe a me (ma non ne sono proprio sicurissimo),
il discorso di F. andrebbe interpretato alla seguente maniera: le collisioni
ci sono e sono fisicamente importanti altrimenti non sapremmo se T e'
costante ovunque o meno, pero' per fare un conto all'ingrosso che ci dia la
distribuzione delle velocita' ce ne possiamo anche dimenticare per un attimo
(tanto facendo i conti per bene si otterrebbe lo stesso risultato).


 Risposta: no.
...
E' quello che ho sostenuto sin da principio nella discussione con Bruno,
nella quale, pur senza fornire alcun argomento quantitativo, avevo
sottolineato che i bilanci termici che venivano assunti (da Bruno) come
*evidenti* erano invece (come hai mostrato) accuratamente da verificare.
Aggiungo per la cronaca che nel paragrafo 27 del libro "Fisica Statistica"
di Laudau - Lifshitz (a pag. 94 nell'edizione degli Editori Riuniti) c'è
uno stringatissimo riferimento alle generalizzazioni relativistiche (anche
nel senso della R.G.) di alcune relazioni termodinmiche. 
In particolare viene riportata (senza spiegazione) l'espressione della
variazione della temperatura all'interno di un corpo in equilibrio
termodinamico nell'approssimazione di campo debole. 
Si tratta chiaramente di un problema diverso da quelo che stiamo
considerando qui, ma anch'esso mostra l'influenza che ha la gravità nel
modificare la temperatura di un sistema in equilibrio termodinamico. 


 nel senso della R.G.) di alcune relazioni termodinmiche.
La (27.5) mi pare che sia proprio la relazione che Elio ha dimostrato (e
riportera' su un pdf in quanto non entra nel margine del foglio :-)) per un
gas immerso in campo gravitazionale in assenza di radiazione.
In sostanza, come diceva Elio, anche in assenza di radiazione, l'andamento
della temperatura del con l'altezza e' lo stesso che si avrebbe in presenza
di radiazione.
La (27.5) del Landau in sostanza dice che nel limite classico (c-->00) T in
basso=T in alto come detto da Elio e dal Feynman. Il mio problema e' capire
se Landau nel paragrafo 27 di "Fisica statistica", cosi' come Feynman nel
capitolo 40 del volume I delle sue lezioni, presuppongono le collisioni o
meno. A me parrebbe di si' (almeno per quanto riguarda Feynman, Landau l'ho
appena sfogliato). Elio pero' dice di no.


 gas immerso in campo gravitazionale in assenza di radiazione.
...
Sono sicuramente parenti, ma non credo siano la stessa cosa. 
Landau, se non ho capito male, parla di andamento della temperatura
interna a un corpo autogravitante in equilibrio termodinamico, che è caso
diverso dal nostro. 
Inoltre poichè nella (27.5) il potenziale gravitazionale phi è negativo,
la temperatura in quel caso va crescendo muovendosi dal centro alla
superficie del corpo.


 equilibrio termodinamico nell'approssimazione di campo debole.
No, la spiegazione c'e', ma occorre usare le notazioni che ha
introdotto nel volume II Teoria dei Campi, quando parla del
red-shift.
Landau indica con E0 l'energia, diciamo cosi', "coordinata"  (e'
l'integrale del moto relativo all'invarianza temporale) e con E=E(z)
l'energia misurata localmente da un osservatore in z; esattamente
come con w0 aveva indicato la "frequenza coordinata" del fotone, e
con w=w(z) quella misurata localmente a quota z.  In entrambi i casi,
dal fatto che E0=Sqrt[g00]*E, e dal fatto che che E0 e' costante in z
(diamine: e' l'energia, no?), deduce che 
                Sqrt[g00(z)]*E(z) = costante lungo il tubo
Questa relazione e' esatta ed e' diretta emanazione della relazione
tempo-coordinato/tempo-proprio( d(tau)=Sqrt[g00]*dt) ;
l'approssimazione che Landau introduce piu' in basso proviene
dall'aver posto g00(z) circa 1+2V(z)/c^2 , che e' il limite
newtoniano per la componente 00 del tensore metrico.
Dal fatto che l'energia "locale" E dipende da z, Landau deduce che
anche la temperatura "locale" T dipende da z. E questo lo dimostra
utilizzando la relazione termodinamica che definisce la temperatura,
e cioe' dS/dE=1/T: essendo S costante lungo il tubo (dipende solo dal
peso statistico degli stati W:  S=k*ln(W), il quale e' una proprieta'
instrinseca del sistema), deduce che T trasforma come E, e che quindi
E/T e' costante lungo il tubo.
La costanza di E/T e' interessante, dato che le le varie distribuzioni
(Gibbs, Boltzmann, etc)  dipendono proprio dal rapporto E/T, e
risultano quindi indipendenti da z.
In fondo, penso che quest'ultimo risultato si poteva dedurre anche
senza altro ragionamento che l'indipendenza da z dei pesi statistici
W. Mi sa che se W dipendesse da z (e quindi l'entropia dipendesse da
z ( S=S[z]) tutte le molecole dell'atmosfera si collocherebbero alla
quota dove W(z) e' massima. Ho detto una caz.ata, dite la verita' ...
Michele
-- 
Signature under construction. 

 del SPT "theory-dependent".
La differenza e' questa:
T=temperatura del termostato=temperatura del gas in basso (h=0)
T'=T(1-gh/c^2)=temperatura del gas all'altezza h.
Questo e' ovviamente un effetto relativistico e Elio ci ha fatto notare il
motivo per il quale la macchina ideale proposta da me non potrebbe
funzionare.
Prescindiamo da questoni relativistiche, quindi immaginiamo che le molecole
abbiano ovunque una velocita'<<c e immaginiamo che sia (come verosimilmente
intendeva Chicco83)
T*=T-2mgh/(3K)=temperatura del gas (supposto monatomico anche se non e'
essenziale) all'altezza h.
La disequazione T*<T' equivale alla (3/2)KT<mc^2 che nelle ipotesi fatte e'
sempre verificata. Ne segue che e' sempre vero che T*<T'.
Essendo T*<T' la macchina presentata da me funzionerebbe:
immaginiamo che con il gas di fotoni (T sotto e T' sopra) la situazione sia
tale che sottrando 1 J dal basso dovremmo poi cedere 0.5 J in alto. La
macchina non funzionerebbe perche' per spostare in alto i 0.5 J dovremmo
spenderne altri 0.5.
Con il supposto gas di particelle (T sotto e T* sopra), essendo T*<T'
avremmo un rendimento maggiore quindi potremmo essere ad esempio in
situazione tale da sottrarre 1.1 J dal basso per poi cederne 0.5 J in alto.
Anche tenendo conto del fatto che per spostare in alto 0.5 J dobbiamo
spenderne altri 0.5 ci rimangono comunque 0.1 J puliti.
Cioe' se la differenza di temperatura alto-basso fosse quella prevista dalla
relativita' la macchina non funzionerebbe, se la differenza fosse maggiore
di quella prevista dalla relativita' (come quella supposta da Chicco83)
allora la macchina funzionerebbe.


 radiazione.
Scusate: c'e' da qualche giorno, ma avevo dimenticato di avvertire.
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/redtem.pdf
Commenti e/o correzioni sono graditi.


 situazione tale da sottrarre 1.1 J dal basso per poi cederne 0.5 J in alto.
...
Ripropongo nel seguito ("mutatis mutandis") il ragionamento originale di
Elio applicandolo al caso del gas monoatomico nelle ipotesi (ovviamente
sbagliate) riportate sopra, i pezzi tra parentesi [ ] li ho aggiunti io.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
5. Domanda: ma se la temperatura ... (omissis) ... varia lungo
il tubo, potremmo usare il marchingegno di Bruno per violare il
secondo principio?
Risposta: no.
Siano infatti T1, T2 le temperature al suolo e a una certa altezza
(T1>T2). Se estraggo una certa quantita' di calore Q1 al suolo, puo'
sembrare che ne possa cedere una quantita' minore Q2 in alto
(Q2/Q1=T2/T1) ottenendo lavoro dalla differenza.
Se con questo il gas resta in equilibrio, avrei violato il secondo
principio...
Dov'e' l'errore?
Sta nel fatto che in quelle condizioni *non si puo'* ottenere lavoro,
perche' per avere all'altezza h l'energia Q2 disponibile da cedere al
gas, occorre prelevare esattamente Q1 a terra.
Infatti "sollevare" dell'energia costa energia: ...(omissis)
Il costo e' [Q1*2gh/<v1^2>, per cui prelevando Q1 a terra si puo' cedere in
alto giusto Q2, che vale infatti
Q1*(1 - 2gh/<v1^2>).
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Mi puoi spiegare cosa c'è che non va nella mia "parafrasi" del
ragionamento originale di Elio?


 ragionamento originale di Elio?
L'errore sta nel fatto che il costo e' minore di quello detto da te. Inoltre
il "costo" e' un puro effetto relativistico e non puo' essere indipendente
da c.
Supponiamo di prelevate Q1 dal basso (temperatura T1). Dovremo restituire in
alto (temperatura T2<T1) una quantita' di calore Q2=(T2/T1)Q1. Pero',
spostare energia in alto costa energia, cioe' partendo dal basso con una
quantita' di calore Q0 arriveremo in alto con una quantita' di calore
Q(h)=Q0*exp(-gh/c^2). Questo significa che per poter arrivare in alto con
una quantita' di calore Q2 dovremo avere a disposizione in basso di una
quantita' di calore Q0=Q2*exp(gh/c^2) cioe'
Q0=Q1*(T2/T1)*exp(gh/c^2). Poiche' la quantita' di calore prelevata dal
basso e' Q1 allora se Q1>Q0 la macchina potra' funzionare: si preleva Q1 dal
basso, si sposta Q2 in alto e per spostarlo il costo sara' (Q0-Q2) (cioe' in
totale, fra costo per lo spostamento e calore da cedere in alto, dovremo
spendere Q0). Ad ogni ciclo viene prodotto lavoro pari a Q1-Q0.
La questione decisiva e' che sia Q1>Q0, cioe' (T2/T1)*exp(gh/c^2)<1, cioe'
T2 < T1 * exp(-gh/c^2).
Notiamo intanto che per un gas di fotoni si ha proprio esattamente T2 = T1 *
exp(-gh/c^2), quindi con un gas di fotoni la macchina non potra' funzionare.
Per un gas di molecole Elio nel pdf e, mi pare, anche Landau nel passo
ricordato da te, mostra che vale esattamente la stessa relazione, quindi la
macchina non potra' mai funzionare ne' con le molecole ne' con i fotoni.
Pero' il motivo per il quale la macchina non funziona con le molecole e'
sottile (cioe' e' esattamente lo stesso motivo per il quale non funziona
nemmeno per i fotoni, ma non e' per niente ovvio vedere che l'andamento
della  temperatura con l'altezza, sia per i fotoni che per le molecole, e'
sempre lo stesso). Tale motivo sottile era molto lontano dalle idee di
Chicco83 il quale riteneva che la relazione T2 < T1 * exp(-gh/c^2) fosse
verificata per le molecole. In particolare lui riteneva (essendo nel limite
classico) che fosse T2=T1-2mgh/(3K). ***Questo era l'errore di Chicco83***.
Egli non sbagliava nel dire che se fosse T2=T1-2mgh/(3K) si avrebbe una
violazione del secondo principio (quindi in questo egli andava confortato,
gli andava detto "Si', se fosse vero quanto detto da te si avrebbe una
violazione del secondo principio"), faceva un errore piu' sottile, errore
che avrebbe commesso pari pari qualora egli avesse ripetuto il suo
ragionamento tenendo conto degli effetti relativistici (il che prova che
l'errore era proprio quello che sto cercando di indicare, cioe' Chicco83 non
aveva avuto una "intuizione corretta", aveva proprio commesso un errore che
andava sottolineato). A supporto di quanto detto sopra vado ora io a
parafrasare il discorso di Chicco83 tenendo conto degli effetti
relativistici. Vedremo che, commettendo lo stesso errore che Chicco83
commetteva in ambito classico, arriveremo ad avere anche qua una violazione
del secondo principio.
Lanciamo verso l'alto una particella di massa m. La sua energia avra' un
andamento di tipo
E(h)=E(0)*exp(-gh/c^2).
A noi interessa l'energia cinetica Ec (che e' proporzionale alla
temperatura); sara':
Ec(h)=E(h)-mc^2=E(0)*exp(-gh/c^2)-mc^2.
Detto Ec(0)=E(0)-mc^2 e
eps=Ec(0)/(mc^2)
otteniamo dopo qualche calcolo:
Ec(h)=Ec(0)*[exp(-gh/c^2) - (1/eps)*(1-exp(-gh/c^2)) ]
cioe', vista la proporzionalita' fra Ec e T:
T(h)=T(0)*[exp(-gh/c^2) - (1/eps)*(1-exp(-gh/c^2)) ]   (*).
La (*) nel limite classico eps-->0 (e nell'ulteriore limite (gh/c^2)-->0)
da':
T(h)=T(0)*[1 - mgh / Ec(0) ],
cioe' esattamente il risultato visto sopra qualora si sostituisca
(3/2)*K*T(0) ad Ec(0).
Cioe', come doveva essere, otteniamo che il calcolo che tiene conto degli
effetti relativistici si riduce al calcolo classico nel limite c-->oo.
Nel limite ultrarelativistico eps-->oo la (*) da':
T(h)=T(0)*exp(-gh/c^2)
cioe' lo stesso andamento che si ha nel gas di fotoni il che sta ad indicare
che, quando e' trascurabile l'energia di riposo delle particelle, che si
tratti di particelle massive o di fotoni e' (al limite) la stessa cosa.
Vediamo ora perche' questo ragionamento sbagliato porta a violazioni del
secondo principio:
abbiamo gia' visto sopra che qualora fosse T2 < T1 * exp(-gh/c^2) la
macchina proposta da me funzionerebbe, cioe' si avrebbe violazione del
secondo principio.
Dovrebbe cioe' essere T(h) < T(0) * exp(-gh/c^2), ma vediamo che la
relazione (*) (che e' sbagliata!!! e' la relazione relativistica risultato
del ragionamento sbagliato con il quale vorrei parafrase quello di Chicco83.
La relazione corretta e' T(h)=T(0)*exp(-gh/c^2), sia per i fotoni che per le
particelle) da' sempre (per ogni valore di eps) una T(h) < T(0) *
exp(-gh/c^2). Cioe' utilizzando un gas di particelle massive la macchina
proposta da me funzionerebbe sempre (in qualsiasi limite, sia per particelle
classiche che per particelle ultrarelativistiche, con la colonna di gas
avente una qualsiasi altezza).
Ne segue che anche qua, come per il post originariodi Chicco83, c'e' da
chiedersi perche' la (*) e' sbagliata.
E la risposta e' che la relazione corretta e' T(h)=T(0)*exp(-gh/c^2) cioe',
nel limite classico in cui verosimilmente si poneva Chicco83, T(h)=T(0).
Sui motivi per i quali il discorso fatto sopra e' sbagliato io non mi saprei
esprimere. Purtroppo non ho nemmeno capito per bene perche' e' sbagliato il
discorso analogo nel limite classico ... il discorso del perche' in assenza
di collisioni si avrebbe sempre lo stesso risultato ... ho avuto delle
indicazioni ma proprio non me la sentirei di dire che ho capito.


 quota dove W(z) e' massima. Ho detto una caz.ata, dite la verita' ...
No, probabimente no. Pero' io quell'argomento dell'entropia non l'ho
capito. Dovrei pensarci su...
E' per questo che avevo citato Dante, e ora mi devo scusare, prima di
tutti con padre Dante appunto: il verso giusto e'
"Maestro, il senso lor m'e' duro."
Inganni della memoria :-(


 capito. Dovrei pensarci su...
Per quel che ho capito io interpolando qua e la', Landau assume che il
campo gravitazionale non influenza l'entropia S, ma non mi e' chiaro
sotto quali limitazioni (se ve ne sono. Ve ne sono??).  Da questo,
suddividendo in cilindretti la colonna di aria, si deduce che ogni
cilindretto, indifferentemente dalla quota z, all'equilibrio, ha la
stessa entropia S(E); dunque la stessa derivata dS/dE=1/T, e dunque
la stessa temperatura T(E). 
Pag 95, Ed. Riuniti, Vol V):  " ... l'entropia, per la definizione
stessa, dipende unicamente dallo stato interno del corpo e quindi non
varia al comparire di un campo gravitazionale ..." 
Ad occhio, essendo  l'entropia il logaritmo degli stati accessibili al
sistema W(E) per una data energia E [  S=k*ln(W)],   essendo cioe' 
il risultato di un mero conteggio di stati,  e dato che il campo
gravitazionale non e' altro che (in fondo) un cambio di sistema di
riferimento,  avevo inizialmente trovato ragionevole l'affermazione.
Perche' mai la geometria dello spazio tempo dovrebbe influenzare il
conteggio di quanti stati microscopici corrispondano ad uno stato
macroscopico?
Per quanto riguarda gli aspetti relativistici, poi, io mi regolo come
Bruno C.:  ce li metto solo quando devo definire  *chi misura cosa*
(ma non perche' ci riesco, poi). In particolare, se si usa il punto
di vista dell'osservatore locale in z, si ottengono grandezze E(z) e
T(z) variabili con l'altezza, ma in un modo tale che E(z)/T(z)
risulta nuovamente costante in z. E anche questo fatto e'
convincente:  il rapporto E/T (per un gas perfetto, almeno) e'
proporzionale ai gradi di liberta'  "f" delle molecole (E=N*f*kT/2)
ed e' naturale aspettarsi che i gradi di liberta' (e quindi il calore
specifico molare) non dipendano dal campo gravitazionale.
Ora pero' mi chiedo se e' davvero cosi' naturale. Chi mi dice che
un'onda gravitazionale intensa non possa "sciogliere" altri gradi di
liberta' (ad esempio rotazionali, vibrazionali, etc) della molecola?
Davvero la geometria non influenza i gradi di liberta' e il calore
specifico di un gas perfetto? Mi pare strano. Le stesse parole
(geometria, gradi di liberta' ...) sembrano cosi'  correlate. Chi ha
girato per Torino con la macchina sa cosa voglio dire :-)


 da c.
Niente affatto.
Nel momento in cui ipotizzi che la temperatura, in "fantatermodinamica
classica", vari con l'altezza secondo l'espressione
T(h) = T1 - (2mgh/3k) (0) ,
il "costo" da pagare compare, inevitabilmente, anche come effetto
fantatermodinamico. E in maniera del tutto indipendente da c.
La differenza nei due "costi" è soltanto di tipo quantitativo.
Nell'ipotesi "fantatermodinamica" trasportare il calore Q1 all'altezza h
ha inevitabilmente un costo (poiché l'energia cinetica media del gas
diminuisce al crescere di h), e questo costo è proprio, come ho già scritto
nel post precedente:
Q1*2gh/<v1^2>  (1).
Ora, è ben noto che una macchina termica ideale, che lavora tra due
temperature T1 e T2 (con T1 > T2), funziona assorbendo il calore Q1 dalla
sorgente a temperatura più alta, cedendo il calore Q2 alla sorgente a
temperatura più bassa e trasformando in lavoro la differenza residua
Q1 - Q2.
Sappiamo però che per una macchina ideale vale la relazione
Q2/Q1 = T2/T1  (2) ,
e questo fatto ci consente di determinare univocamente il valore Q2 che
viene ceduto alla sorgente a temperatura più bassa, ovvero
in "fantatermodinamica"
Q2 = Q1*(T2/T1) = Q1*(1 - 2gh/<v1^2>) (3).
Sommando a Q2 (relazione (3)) il costo perso per trasportare il calore Q1
ad altezza h (relazione (1)) otteniamo esattamente Q1.
Vale a dire che non esiste, neppure nel caso
dell'ipotesi "fantatermodinamica", alcuna quantità di calore residua da
poter utilizzare per produrre lavoro.
Le conclusioni finali riguardo al rapporto tra (ipotetiche) violazioni del
secondo principio e variazione con l'altezza di un gas in equilibrio
termodinamico in un campo gravitazionale sono quindi riassumibili come
segue:
1) La variazione di temperatura con l'altezza di un gas in equilibrio
termodinamico in un campo gravitazionale è un effetto fisico reale,
spiegabile coerentemente all'interno delle teorie relativistiche, ma
quantitativamente trascurabile in condizioni "normali" (campo
gravitazionale terrestre, etc.).
La realtà dell'effetto non pone in ogni caso alcun problema di violazione
del SPT.
2) In termodinamica classica la variazione della temperatura del gas con
l'altezza non si verifica.
E quindi anche in questo caso, come ovvio, non si ha alcun alcun problema
di violazione del SPT.
E fin qui abbiamo parlato di fisica.
Passiamo ora invece a considerare la "fantafisica", o meglio
la "fantatermodinamica".
3) In *fantatermodinamica* (prescindendo, com'è giusto, da ogni
considerazione relativistica) vi sarebbe una variazione della temperatura
del gas con l'altezza secondo la relazione (0), ma anche in questo caso
non si determinerebbe alcuna violazione del SPT, poiché non vi sarebbe
modo, per i motivi esposti sopra, di trasformare una qualsiasi frazione
del calore Q1 assorbito alla temperatura T1 in lavoro.
E con questo sperando (ma non ci conto troppo), di averti finalmente
convinto, prendo commiato (non avendo null'altro da aggiungere) da questa
discussione che rischia di trasformarsi in una defatigante querelle.
Saluti,
Aleph
P.S.: Se intendi replicare a questo mio ultimo messaggio ti prego di farlo
al massimo in trenta righe :))).


 al massimo in trenta righe :))).
Temo proprio di non esserci riuscito, ma ormai da tempo ritengo che sia
meglio una parola di piu' piuttosto che rischiare di fraintendersi (e'
meglio anche dal punto di vista di banda da risparmiare perche' i
fraintendimenti poi danno luogo a threads lunghissimi). Certo, chi lo sa
fare riesce anche ad essere comprensibile, ad evitare i fraintendimenti,
anche con poche parole. Io putroppo questa capacita' non ce l'ho. Non ancora
almeno :-).


 Commenti e/o correzioni sono graditi.
Io ho una domanda, spero che vada bene lo stesso...
Per la dimostrazione che in meccanica classica una colonna di gas 
pesante è una isoterma mi pare di capire che:
-le particelle a quota zero con v>v1 sono una frazione exp(-E1/kt) del 
totale delle particelle a quella quota.
-le particelle che arrivano a quota z sono una frazione exp(-mgz/kt) di 
quelle a quota 0 e quelle con velocità maggiore di v1 sono 
exp(-E1/kt)exp(-mgz/kt) per cui la frazione di particelle a z con 
velocità >v1 è la stessa che a quota 0.
La mia osservazione è questa: se non conosco a priori il fatto che la 
temperatura è la stessa in tutta la colonna non dovrei supporre che il 
gas sia fatto "a fette" con temperature differenti?
ovvero da 0 a dz    T=T0
da        dz a 2dz  T=T1
da       2dz a 3dz  T=T2
etc...
In pratica come si fa a dire che la frazione di particelle con v>v1 a  è 
data da exp(-E1/kt)exp(-mgz); quello che mi indispettisce è il vedere la 
stessa temperatura t che c'era in fondo al cilindro nella formula!
Paradossalmente questo mi pare vero se suppongo il gas non interagente e 
quindi posso usare la distribuzione di velocità che avevano a terra, ma 
se le particelle possono interagire tra loro non mi è banale il poter 
utilizzare la medesima temperatura a altezze differenti.
Quindi sarebbe utile un chiarimento!
grazie
   ciao
     Paolo