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Titolo: L(q, q', t), H(q, p, t)

Sia: L(q, q', t) = q' * e^q. 
H(q, p, t) è:
a) = 0
b) > 0
c) < 0
d) non definita
e) oo.
 
--
Wakinian Tanka


Non lo so; ma credo che per far sì che la trasformata di Legendre sia 
invertibile sia necessario che la funzione da trasformare sia convessa.

 
Zero. L non e' una funzione convessa, la trasformata di Legendre e' nulla.
Cio' e' vero per un ogetto tipo q'*f*(q).
 
Diverso se avesse un termine cinetico, del tipo q'^2*f(q), con f(q) opportuna (quale? Esercizio).
Avresti p = dL/dq' = 2q'*f(q),  H = sup_q'( pq'-L )= L.
Nessun mistero, dato che L=T, solo termine cinetico, e' un punto fisso per la trasformata di Legendre.

 e) oo.
 
Più che altro io mi chiedo quale possa essere un sistema dinamico
la cui lagrangiana sia identicamente nulla (a meno di una
derivata totale rispetto al tempo di una funzione della posizione).
Poi, se dovessi rispondere a un quiz, sceglierei la a),
ma solo come risultato formale.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Alberto Rasà ha scritto:
 > Sia: L(q, q', t) = q' * e^q.
 > H(q, p, t) è:
 > a) = 0
 > b) > 0
 > c) < 0
 > d) non definita
 > e) oo.
Immagino che vorresti la risposta :-(
Ma qualunque libro di meccanica analitica te la dà...
Comunque:
 
p è definito da
 
p = @L/@q'  (1)
 
H è definita da
 
H = pq' - L
 
con var. indipendenti q,p.
Ocorre quindi risolvere la (1) rispetto a q'.
Con la data L la (1) è:
 
p = e^q
 
che non contiene q', quindi la risposta è d): quella lagrangiana non
ammette hamiltoniana.
-- 
Elio Fabri

Il 07/08/23 06:18, Elio Fabri ha scritto:

La maggior parte dei libri si ferma a questo punto. Però la storia è un 
po' più articolata (as usual :-) .
 
Quella lagrangiana ha dei problemi ma quello della non risolvibilità 
della (1) rispetto a q' (ovvero la non convessità di L rispetto a q') è 
un problema noto (Lagrangiane singolari), affrontato e risolto da Dirac 
col metodo dei vincoli che forse conosci. Ma questo è argomento quasi 
sempre assente nei libri di meccanica analitica.
 
L'idea di fondo del metodo di Dirac è di
1. definire i momenti coniugati al solito modo; Nel caso di L. 
singolari, questo dà luogo ad una relazione tra q e p che viene letta 
come *vincolo*.
2. definire una hamiltoniana H' al solito modo in termini di q,p,q'. In 
1. e 2 non si cerca di fare nessuna inversione rispetto a q'.
3. introdurre una hamiltoniana vincolata H = H' + moltiplicatore di 
Lagrange * vincolo ottenuto in 1. Il moltiplicatore di Lagrange deve 
aver parentesi di Poisson nulla con q e p.
4. derivare rispetto al tempo l'equazione del vincolo per eliminare il 
moltiplicatore di Lagrange da H.
 
In tal modo dalle eq.uazioni di hamolton per H si riottengono i moti 
descritti dalle eq. del moto relative alla Lagrangiana originale.
 
Il caso di Alberto mi sembra che abbia però un problema aggiuntivo 
legato al fatto che H' è identicamente nulla. Ma forse mi sono un po' 
arruginito sull'argomento. Ci devo pensare.
 
Comunque la risposta che io darei alla domanda originale è: d) se si 
intende la procedura standard per passare da lagrangiana a hamiltoniana.
 
Giorgio

 
Grazie. 
 
 
Credo che in un caso monodimensionale come questo la tua sia la risposta più semplice. Nel caso pluridimensionale qualcuno dice di vedere se è diverso da 0 lo jacobiano della trasformazione di coordinate da q1,... qn, q1',... qn' a Q1,... Qn, p1,... pn con Q1=q1,... Qn=qn, cosa che già mi tornerebbe di più; qualcun altro dice di vedere se è diverso da 0 lo jacobiano ("della trasformazione di Legendre"):
|@^2L/@qi'@qj'|, 
il che lo capisco molto meno. 
 
JTS ha scritto:
<<... per far sì che la trasformata di Legendre sia invertibile sia necessario che la funzione da trasformare sia convessa.>>
Puoi espandere un pochino? Qual è la funzione da trasformare e come la scriveresti la richiesta di convessità qui? 
 
Abraham Simpsons ha scritto:
<< Zero. L non e' una funzione convessa, >>
 
Cioè? Come la scrivi qui la condizione di convessità? 
 
<< la trasformata di Legendre e' nulla.
Cio' e' vero per un ogetto tipo q'*f*(q).>>
 
Certo. 
 
<< Diverso se avesse un termine cinetico, del tipo q'^2*f(q), con f(q) opportuna (quale? Esercizio).>>
 
Non lo so perché per f(q) non nulla mi verrebbe da dire che H(q, p) è comunque non nulla: 
p = 2q'*f(q)
H = pq' - L = 2q'^2*f(q) - q'^2*f(q) = q'^2*f(q). 
 
<< Avresti p = dL/dq' = 2q'*f(q), H = sup_q'( pq'-L )= L.>>
 
Questa definizione con il sup_q' non la sapevo. Ma di preciso che significa? q' è una funzione. 
 
Giorgio Bibbiani ha scritto:
<< Più che altro io mi chiedo quale possa essere un sistema dinamico
la cui lagrangiana sia identicamente nulla (a meno di una
derivata totale rispetto al tempo di una funzione della posizione).>>
 
Intendevi l'hamiltoniana naturalmente. Quale possa essere il sistema dinamico non lo so nemmeno io ma credo che quello che ho posto sia un problema essenzialmente matematico. 
 
Giorgio Pastore ha scritto:
<<... >>
Scusa ma mi sa che sono arrugginito anch'io: la tua risposta non la decifro (capisco che dovrei approfondire il problema). 
 
--
Wakinian Tanka 
 

 Quale possa essere il sistema dinamico non lo so nemmeno io ma credo che quello che ho posto sia un problema essenzialmente matematico.
 
Beh, comunque la mia domanda mi sembra sensata,
tra l'altro non so (sicuramente per mia ignoranza!)
quale utilità potrebbe avere quella lagrangiana anche in
matematica, visto che comunque l'equazione di Lagrange
si riduce a un'identità...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 Wakinian Tanka

 Scusa ma mi sa che sono arrugginito anch'io: la tua risposta non la decifro (capisco che dovrei approfondire il problema).
 
Versione semplificata: la non stretta(*) convessita di quella 
lagrangiana è l'ultimo dei problemi. Di lagrangiane singolari sono piene 
le teorie di gauge.
 
Il vero problema sono le equazioni del moto (?) che se ne ricavano. 
Parafrasando un noto detto in computer sciene
Lagrangiana-garbage-in => Hamiltoniana-garbage-out
 
Giorgio
 
(*) in accordo con la definizione si convessità quella lagrangiana è 
convessa in q' ma non strettamente convessa.

On 07/08/23 11:09, Alberto Rasà wrote:
 
 >
 > JTS ha scritto:
 > <<... per far sì che la trasformata di Legendre sia invertibile sia 
necessario che la funzione da trasformare sia convessa.>>
 > Puoi espandere un pochino? Qual è la funzione da trasformare e come 
la scriveresti la richiesta di convessità qui?
 >
La Hamiltoniana è la trasformata di Legendre della Lagrangiana (vedi 
post di Abraham Simpson).
 
Prendiamo per buono quello che ha scritto GP sulla procedura di Dirac 
(non ho capito come funzionano i calcoli solo leggendo), potresti 
leggere questo:
 
https://www.andrew.cmu.edu/course/33-765/pdf/Legendre.pdf
 
 
che ho letto in parte e anche
 
R. K. P. Zia, Edward F. Redish, Susan R. McKay; Making sense of the 
Legendre transform. American Journal of Physics 1 July 2009; 77 (7): 
614�€"622. 
https://doi.org/10.1119/1.3119512
 
 
che invece non ho letto ;-)
 
Di quest'ultimo trovi una versione su ArXiv: 
https://arxiv.org/abs/0806.1147
 

 
https://www.andrew.cmu.edu/course/33-765/pdf/Legendre.pdf
 
 
E' un ottimo riferimento per la trasf. di Legendre. Io la versione col 
sup la chiam Legendre-Fenchel per distinguerla (è più generale) dalla 
trasf di Legendre che richiede una funzione derivabile e con derivata 
continua.
La trasf. di Legendre-Fenchel permette di trasformare anche funzioni 
convesse ma con intervalli di concavità.Tuttavia non sono sicuro su 
quanto e se siano utilizzate in meccanica per Lagrangiane singolari (mia 
ignoranza). In termodinamica è l'unica versione veramente utile. Da 
notare che anche nella cosiddetta teoria del funzionale della densità 
per QM e mecc. statistica, si fa uso di trasformate di Legendre 
(funzionali) e anche lì la versione Legendre-Fenchel è superiore per 
potenza e semplicità alla versione Legendre pura.
 
Giorgio

 
 
 
Grazie alla tua e altre risposte e ad un piccolo approfondimento hi capito un tantino meglio. Il punto che mi confondeva è che in meccanica analitica, prima si definisce p = @L(q, q')/@q' e poi si definisce H(q, p) = pq' - L(q, q'): invertendo la prima equazione (se ciò è possibile) si trova q' in funzione di q e p ed inserendola nella seconda la dipendenza da q' sparisce. 
Ma in una generica trasformazione di Legendre (ometto la dipendenza da q in quanto non rilevante):
g(p) = pq' - f(q') 
si deve utilizzare un modo per far scomparire la dipendenza da q' e che sia coerente con... altre cose. 
Un modo è:
g(p) := sup[q'] [pq' - f(q')] se f è convessa
g(p) := inf[q'] [pq' - f(q')] se f è concava. 
 
Nel nostro caso dell'hamiltoniana, f(q') = L(q') è convessa (non mi è del tutto chiaro perché non possa essere concava al di la del fatto che si richiede una energia cinetica T definita positiva, almeno in meccanica classica), dunque:
g(p) := sup[q'] [pq' - f(q')]
A questo punto, assumendo anche (almeno) la derivabilità di f, per trovare quel sup si cerca il valore di q' per cui 
d[pq' - f(q')]/dq' = 0, cioè p = df(q') / dq'
che è appunto la definizione di p data sopra come @L/@q', che ora invece è ricavata :-)
Thanks! 
 
--
Wakinian Tanka

 che è appunto la definizione di p data sopra come @L/@q', che ora invece è ricavata :-)
 
Però il punto importante è che il sup (e quindi la trasformata) lo 
ottieni anche se hai una funzione con derivata sinistra e destra diverse 
in un punto. Situazione in cui Legendre naufraga alla grande.
 
Giorgio

 
Grazie. 
 
--
Wakinian Tanka