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Titolo: Molla a lamina

Salve,
volevo sapere se qualcuno può indicarmi che modello utilizzare per
descrivere la deformazione di una molla a lamina incastrata ad una
estremità e sollecitata a flessione, nel campo dei grandi spostamenti.
Mi rendo conto che il modello risulterà non lineare (ovviamente) però,
nonostante le mie ricerche (forse non esaustive :( ) compiute su vari
testi di teoria elastica non lineare, non sono riuscito a trovare
niente.
Grazie
Edoardo

Edoardo ha scritto:

Anche se non lo dici, assumo le seguenti cose:
a) che il problema sia statico
b) che la deformazione della lamina sia piana (la curva delle mezzeria
giaccia in un piano)
c) che la lamina sia sollecitata da una forza costante nell'estremo
libero (dicendo "costante", intendo che la forza non dipenda dalla
forma assunta dalla lamina: per es. che sia il peso di un corpo
attaccato alla lamina)
d) che lo spostamento dell'estremo possa essere grande, ma non lo sia
la deformazione; in altre parole, in ogni punto il raggio di curvatura
sia molto maggiore dello spessore della lamina.
L'ultima ipotesi e' assolutamente cruciale (altrimenti non si potrebbe
parlare di "lamina". Percio' prima di procedere ne vorrei conferma.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Elio Fabri wrote:

^__^ grazie per la risposta,
dunque
a) 'quasi-statico'
b) direi di sì
c) non è costante ma dipende proprio dalla deformazione della lamina
d) lo spessore della lamina è di 0.2mm (il raggio deve mantenersi tra i 15 e
i 300 mm)
ciao
Edoardo

Edoardo ha scritto:
 > ^__^ grazie per la risposta,
 > dunque
 > a) 'quasi-statico'
 > b) direi di sì
 > c) non è costante ma dipende proprio dalla deformazione della lamina
 > d) lo spessore della lamina è di 0.2mm (il raggio deve mantenersi tra
 > i 15 e i 300 mm)
Procediamo cosi': descrivo la lamina (nel piano x-y) mediante eq.
parametriche x=x(s), y=y(s), dove s e' l'ascissa curvilinea.
Nel punto in cui la lamina e' fissata, assumo l'asse x tangente alla
lamina, e metto li' l'origine:
x(0) = 0, x'(0) = 0, y(0) = 0.
Oriento l'asse y nel verso della forza, che suppongo applicata
all'estremo della lamina (s=L).
Le funzioni x(s), y(s) non sono indipendenti, ma soddisfano l'identita'
[x'(s)]^2 + [y'(s)]^2 = 1.
La curvatura della lamina (inverso del raggio di curvatura) e' data da
K = x'y" - x"y'. Per deformazioni piccole posso assumere che K sia
proporzionale al momento flettente. La relazione non la ricordo a
memoria: c'entra il momento d'inerzia della sezione. Se non sai
trovarla, vedro' di ripescarla io. Scrivo dunque K = a M, dove M e' il
detto momento flettente.
M si calcola dalla condizione di equilibrio della parte di lamina tra
le ascisse s e L: M = F*(x(L) - x(s)).
Questo se F e' diretta secondo y; altrimenti basta fare il prodotto 
vettore...
Non ho capito che cosa puoi dire su F: hai scritto che non e' costante...
A questo punto abbiamo per x(s), y(s) le seguenti equazioni:
[x'(s)]^2 + [y'(s)]^2 = 1
x' y" - x" y' =  a*F*(x(L) - x(s)).
Se F e' costante, o e' una funzione nota di s, si puo' procedere; ma se
invece F dipende (come?) da x e da y, sono guai...


 Non ho capito che cosa puoi dire su F: hai scritto che non e' costante...
Ehh! in effetti mi sono espresso male. Intendevo dire che F dipende, in
maniera non lineare, dall'angolo di flessione della molla.
Comunque possiamo anche supporre che sia costante, proverò a fare degli
aggiustamenti successivi.
Grazie per ora, sei stato molto gentile ^__^
Edoardo

Edoardo ha scritto:
 > La relazione mi pare sia EJK, con E modulo di Young e J momento
 > d'inerzia della sezione rispetto all'asse di flessione.
Mi pare di si'.
 > Però non ho capito come ti ricavi la K.
 > Riprendendo i miei appunti di Scienza delle Costruzioni, nella
 > teoria elastica lineare, nel campo dei piccoli spostamenti, la K si
 > ricava derivando l'angolo di rotazione della generica sezione.
In realta' e' una questione di geom. differenziale delle curve (una
volta si faceva in Analisi II...)
Partiamo pure dalla tua definizione. La direzione phi della tangente
alla curva mediana della lamina e' phi = arctg(y'/x'). Deriva rispetto
a s...
 > Ehh! in effetti mi sono espresso male. Intendevo dire che F dipende,
 > in maniera non lineare, dall'angolo di flessione della molla.
 > Comunque possiamo anche supporre che sia costante, proverò a fare
 > degli aggiustamenti successivi.
Ma in concreto, che e' 'sta F?


 Ma in concreto, che e' 'sta F?
La F è il contributo alla parziale cancellazione del peso di un braccio
robotico, quindi varia con l'angolo di apertura dei due links, ovvero con
la posizione, nello spazio cartesiano, raggiunta dall'effettore finale.
Grazie comunque per le tue utili indicazioni ^__^
ciao
Edoardo