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Titolo: Dimostrazione rigorosa.

Salve,
rileggendo un post abbastanza recente, mi sono chiesto come dimostrare
rigorosamente che in elettrostatica all'interno di un conduttore il campo
elettrico è nullo e la sua superficie è a potenziale costante.
Mi chiedo, di conseguenza, come e perchè possa essere escluso a priori
l'esistenza di configurazioni di equilibrio in cui, pur essendo la
superficie del conduttore a potenziale costante:
a) Il campo è non nullo in regioni interne dove c'è densità di carica nulla;
b) c'è una densità volumertica di carica non nulla in qualche regione
interna e lì il campo è nullo;
Se si parte dall'asserzione: la densità di carica volumetrica è nulla
all'interno torna tutto:
un potenziale costante su tutto il conduttore soddisfa le condizioni al
contorno, il suo laplaciano è nullo,  si può dimostrare l'unicità della
soluzione in base ad una nota proprietà per le funzioni armoniche ed in base
alla linearità dell'eq. di Laplace.
Ma se non voglio partire da lì? Come posso fabbricarmi una dimostrazione
senza ricorrere al teorema di Green? E' possibile farlo?
Mi sono costruito un esercizio banale: conduttore sferico di raggio r0 con
superficie a potenziale costante. Per la simmetria sferica del problema se
si ipotizza un distribuzione di carica ro(r) con uno sviluppo in serie di
Taylor in r, si trova che anche il campo e il potenziale sono legati ai
soliti coefficienti, quindi se per un certo r ro(r) è diverso da 0 anche
E(r) lo sarà e quindi questa configurazione comporta il movimento di cariche
se la sfera è conduttrice. Quindi l'unica funzione ammessa per il conduttore
sferico è ro=0 dappertutto, da cui segue E=0 e potenziale=costante.
Pare che tutto fili liscio...
Ma per una configurazione non sferica, che posso dire?  Forse il problema è
più matematico che fisico, cmq mi interesserebbe saperlo.
Forse ro=0 dappertutto vale per qualche principio che mi sfugge, anche se
fisicamente capisco che non può non essere così: localmente il campo avrebbe
divergenza diversa da 0 e se considero il flusso del campo attraverso una
superficie interna al conduttore esso non è 0: quindi in qualche punto della
superficie E avrà una componente normale diversa da 0....
Grazie per chi mi chiarisce questo dubbio,
Claudio

 Forse ro=0 dappertutto vale per qualche principio che mi sfugge, ...
beh..., forse la dimostrazione che ro=0 dentro un conduttore potrebbe essere
questa:
Se si ammette che la funzione ro debba essere continua nel conduttore si
procede così:
supponiamo per assurdo che in un punto P interno ro(P)>0;
per il teorema della permanenza del segno esisterà un intorno sferico di
raggio a>0 in cui ro>0 dentro e sulla frontiera;
considerando il flusso del campo elettrico attraverso la superficie sferica
si ha che eisterà almeno un punto P1 (con un suo intorno) posto sulla sfera
dove E(P1) è diverso da 0. In P1 si avrebbe ro>0 ed E diverso da 0 che non
può essere dato che il conduttore è in equilibrio elettrostatico.
Mi è venuta in mente ora.........  forse può bastare!
Ciao
Claudio

 senza ricorrere al teorema di Green? E' possibile farlo?
...
Parti dall' equazione di continuita' per la corrente. Per semplicita' 
supponi di avere un conduttore di conducibilita' finita sigma uniforme.
Nel conduttore j = sigma E  (j= vett. densita' di corrente, E= vett. 
campo elettrico).
l' e. di continuita' ti dice :
derivata di rho rispetto a t = - sigma div E = - sigma/epsilon rho
(usando la legge di Gauss).
Questa, come eq. diff. per rho ti dice: rho = rho(t=0) e^(-sigma/eps0 t)
Quindi, se c'e' una distribuzione di carica di volume, *in condizioni 
stazionarie*, si raggiunge una distribuzione di carica nulla in un tempo 
tanto minore quanto maggiore e' la conduttivita'.
Non so se questo ti e' sufficiente.
Giorgio

 Non so se questo ti e' sufficiente.
Sì, è sicuramente convincente. Seguendo il tuo discorso, qualunque sia la
distribuzione spaziale della densità di carica all'interno del conduttore il
suo andamento nel tempo è exp decrescente con costante tempo uguale
all'inverso della conduttività indipendente dalla posizione ed in condizioni
stazionarie quindi si ha ro=0.
Le obiezioni che potrei fare, probabilmente anche non del tutto corrette,
riguardano però il punto di partenza che usi: l'eq. di continuità discende
direttamente dalle equazioni di Maxwell, mentre la relazione tra j ed E in
un conduttore vale sicuramente nel caso di campi stazionari e in condizioni
di regime. In generale però la relazione andrebbe un po' giustificata per
trascurare la parte di j derivante dalla corrente di spostamento
(sicuramente corretta nel caso quasi-statico, ma il quasi dovrebbe essere
comparato mediante l'introduzione di grandezze caratteristiche), quindi
personalmente non partirei da lì se dovessi costruire una teoria formalmente
corretta dell'elettrostatica classica senza fare ulteriori ipotesi.
L'idea di considerare la corrente mi pare buona, perchè si potrebbe pensare
ad argomentazioni di carattere energetico: se si assume che la presenza di
corrente produca dissipazione di energia si ha che essa non può mantenersi
stazionaria se non vi sono sorgenti di energia esterne; quindi all'interno
di un conduttore in equilibrio elettrostatico non può esistere densità di
corrente (a livello macroscopico). Per questo motivo, dato che la presenza
di una densità di carica diversa da 0 produrrebbe localmente un campo
elettrico in accordo con
div E = 4 pi ro
e nel conduttore perchè tale si avrebbe il movimento della carica per azione
del campo, per quanto detto sull'impossibilità dell'esistenza di j ciò non
può avvenire in condizioni di equilibrio.
Ciao
VV