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Titolo: Susskind & Friedman - Meccanica Quantistica - Minimo Teorico - Esercizio 3.1

A pag. 51 del libro di Susskind e Friedman, Meccanica Quantistica (Raffaello Cortina, 2015), viene proposto il seguente esercizio:
<<Esercizio 3.1
 
Dimostra che, se uno spazio vettoriale è N-dimensionale, è possibile costruire una base ortonormale di N vettori usando gli autovettori di un operatore hermitiano.>>
Secondo gli autori si tratta di una dimostrazione “facile”, lasciata al lettore. 
 
 
 
 
 
Mi chiedo: in che senso secondo gli autori questa dimostrazione è facile? Mi spiego meglio. Si trovano in rete diversi svolgimenti di questo esercizio (ne ho contati almeno sei), per la maggior parte non proprio facili, nel senso che fanno uso, in modo più o meno esteso, di risultati dell’algebra lineare, certamente di ordinaria amministrazione per chi conosce questa materia, ma che il libro in questione non presuppone siano nel bagaglio del lettore che si avvicina per la prima volta alla MQ. (Il libro è rivolto a non fisici) Quindi certamente non è facile per il lettore tipo cui si rivolge il libro.
 
 
 
 
 
 
 
Indubbiamente, con l’armamentario dell’algebra lineare la dimostrazione seguirebbe banalmente, ad esempio dal risultato di a.l. che ogni operatore che commuta col proprio aggiunto ammette una base di autovettori o.n. (dato che ciò vale a fortiori per un operatore hermitiano). Ma non credo sia ciò che gli autori intendono. Piuttosto, l’impressione è che il testo di Susskind & Friedman abbia l’ambizione di presentare la meccanica quantistica come qualcosa di “autosufficiente”, e dare al lettore i mezzi per risolvere i problemi indipendentemente dalla conoscenza di un apparato matematico formale ‘esterno’, ricavando i risultati nel momento e nella misura in cui servono. Tanto è vero che nei primi capitoli si introduce l’essenziale di un’algebra dei ket e dei bra, basata su principi e postulati di origine più ‘fisica’ che matematica, senza badare troppo al rigore formale.
 
 
Tornando all’esercizio, in realtà, a ben vedere, la soluzione è già nel testo, nella discussione sugli operatori hermitiani e basi ortonormali alle pagg. 49-50-51 (che trovate a questi link: 
https://ibb.co/RDBh9mM
 
https://ibb.co/p2WzLZd
 
 
 
 
https://ibb.co/w07v4zk
 ). C’è l’ipotesi ‘fisica’ che gli autovettori sono linearmente indipendenti, poiché diversamente non potrebbero rappresentare stati diversi. C’è la dimostrazione che due autovettori di autovalori non degeneri sono ortogonali. Questi autovettori si possono normalizzare, e se non ci sono autovalori degeneri la dimostrazione (una volta generalizzata a N dimensioni) finisce lì. Se invece qualche autovalore degenera si possono trovare autovettori ortogonali in coppie, normalizzare, e via. 
 
 
In definitiva forse gli autori intendono che la dimostrazione è facile nel senso che è sufficiente mettere insieme (generalizzando a N) pezzi già dimostrati nel testo.
 
 
Cosa ne pensate di questa mia lettura dell’intento degli autori con questo esercizio e più in generale, se conoscete il libro, dell’approccio da loro adottato per l’insegnamento della MQ.
 
Grazie a chi vorrà rispondere.
 
Pier Franco 

 Cosa ne pensate di questa mia lettura dell’intento degli autori con questo esercizio e più in generale, se conoscete il libro, dell’approccio da loro adottato per l’insegnamento della MQ.
 
Possiedo il libro ma non l'ho mai letto tutto (principalmente per 
mancanza di tempo). Quindi non mi sento di dare un giudizio globale. La 
questione che poni (sulla cotruzione della base ortonormale di 
autovettori) direi che è "facile" nel senso che ne dai sopra. Non 
dimentichiamo che, una volta che ci limitiamo a dimensione finita, vale 
esattamente tutta l'algebra lineare su spazi a dim finita e risultati 
come quello in questione sono effettivamente ricostruibili con poco.
 
Più in generale direi che l'approccio è tipico di Süsskind. Ricordo di 
aver visto un video su YouTube che mi aveva colpito moltissimo (in 
positivo) perché introduceva le nozioni di analisi complessa che gli 
servivano in modo diretto, senza fronzoli e andando all'essenziale. In 
questo modo riusciva ad essere estremamente efficiente. Se lo confronto 
con l'atteggiamento di diversi docenti di mia conoscenza che richiedono 
un paio di corsi propedeutici in cui si sviscerano tutti i dettagli fini 
di argomenti "accessori", non posso non ammirare la sintesi di S.
Poi, a volte questo atteggiamento rischia di nascondere qualche problema.
 
In particolare, mi chiedo quanto l'attuale insistere sulla parte più 
algebrica e meno analitica del formalismo degli spazi di Hilbert, 
privilegiando quelli a dimensione finita, non porti a ignorare tutta una 
serie di questioni, forse complesse, ma secondo me importanti (
p.es
. la 
completezza, l'esistenza di operatori non limitati e quindi non definiti 
su tutto lo spazio di Hilbert, etc.).
 
Giorgio
 

 
 
Non prendo "assiomaticamente" libri scritti dagli stringhisti (e suggerisco ai miei studenti di non prenderne) perché ritengo costoro una categoria fuori dal contesto della fisica teorica e dentro il contesto della metafisica. Susskind poi ha fatto rivoltare Landau nella tomba con questa buffonata del "minimo teorico". Susskind sta a Landau in fisica teorica quanto Cicciolina sta a Madre Teresa in verginità....
Ciao a tutti,
Christian Corda


 tutti, Christian Corda
 
Landau ha scritto anche libri per le scuole secondarie e stando 
alla sua bio nel volume di Meccanica, gli faceva anche piacere 
e sperava di diffondere la fisica un po' a tutti i livelli.
 
Credo che se potesse vedere i libri di Susskind (ma dato che 
era un fervente materialista dialettico non può) sarebbe 
contento che la sua idea sia germogliata. Ovviamente non 
possiamo saperlo.
 
Credo che esista un minimo teorico per tutti, e tutti i minimi 
teorici abbiano pari dignità se c'è il desiderio sincero di 
imparare.

 Non prendo "assiomaticamente" libri scritti dagli stringhisti (e suggerisco ai miei studenti di non prenderne) perché ritengo costoro una categoria fuori dal contesto della fisica teorica e dentro il contesto della metafisica. Susskind poi ha fatto rivoltare Landau nella tomba con questa buffonata del "minimo teorico". Susskind sta a Landau in fisica teorica quanto Cicciolina sta a Madre Teresa in verginità....
 
Ognuno può avere i propri gusti e opinioni personali. Io però preferisco 
limitare giudizi in pubblico a fatti ben delimitati e con critiche o 
apprezzamenti puntuali. Tu stai bollando Süsskind non per qualcosa di 
specifico ma per l'appartenenza a quello che individui come gruppo degli 
"stringhisti". Mi suona un po' "razzista" come giudizio.
 
Peraltro l'approccio alla MQ del libro di S. non è sua invenzione ma è 
comune a diversi altri testi contemporanei. Magari la tua opinione su 
questo punto potrebbe essere più interessante della poca simpatia per 
gli stringhisti :-)
 
Giorgio

grazie, apro Amazon e compro!
 
tua recensione su quello di fisica-matematica-meccanica? Ciao

> tua recensione su quello di fisica-matematica-meccanica? Ciao
 
Come lettore medio (ed è l'unica prospettiva che posso offrire 
in questo contesto) l'ho trovato ben fatto, ha il pregio di 
aver scelto un livello di esposizione e averlo mantenuto 
costante. Mi sembra spiegare chiaramente le cose. Però in 
grandissima parte mi erano note e quindi mi è difficile 
mettermi in altri panni. Dato che non ho esperienza didattica 
di insegnamento della meccanica (anzi, pressoché pochissima in 
totale al livello a cui si colloca l'esposizione) non so 
mettermi nei panni del lettore. Ma uno che questa esperienza ce 
l'abbia potrebbe farlo.
 
Soprattutto, è stata a suo modo un'operazione coraggiosa, 
ovvero quella di rivolgersi alla 'middle class' del pubblico 
interessato a cose scientifiche; un 'target' per il quale 
almeno quando mi capita di passare nell'unica libreria fornita 
qui a RM mi pare non esista da tempo quasi niente. Non so come 
sia la situazione negli states dove presumo sia il contesto in 
cui è nato. Qui a mio parere potrebbe incontrare il favore di 
un pubblico piuttosto ristretto e apprezzo davvero molto il 
coraggio dell'editore.
 
Una cosa che mi è piaciuta in particolare tra le altre positive 
è l'esempio del calcolo dell'azione discretizzando la 
lagrangiana. Per cui anche chi non riuscisse a fare il calcolo 
con gli strumenti dell'analisi può prendersi carta, penna e 
tanta pazienza ma ci riesce. E' un tipo di cose che mi 
piacciono molto e nel mio piccolissimo ci ricorrevo 
massicciamente quando mi capitava di spiegare qualcosa (intendo 
lo smontaggio del problema: mai spiegato a chicchessia il 
principio di minima azione).
 
Mi è piaciuta meno certa enfasi che somiglia (non me ne voglia) 
agli articoli di Aranzulla. OK lettore, sei comodo sulla sedia? 
Seguimi, ora faremo insieme cose fantastiche, eccetera, e anche 
le citazioni a inizio capitoli le trovo una specie di suo 
flusso di coscienza perché spesso non ne vedo la connessione 
col resto. O meglio la vedo ma penso che non serva allo scopo 
che si è prefisso di inserire episodi di respiro nel testo. 
L'idea è buona e merita comunque un plauso, almeno secondo me.
 
Last but not least gli esercizi. Tra i primi c'è quello di 
derivare funzioni semplici e credo proprio che serva un altro 
testo per svolgerli con piena o almeno media comprensione. 
Comunque son facili. Poi (pag 144 dell'edizione inglese che ho 
ora sott'occhio, lezione 6 esercizio 7) c'è da calcolare il 
momento angolare per un pendolo doppio e dimostrare che si 
conserva in assenza di campo gravitazionale. Ho qualche dubbio 
che come unico testo possa essere autosufficiente ma anche qui, 
ci può stare anzitutto perché potrebbe essere un livello 
ragionevole per gli esercizi ma potrei non accorgermene io 
senza un bel ripasso generale.
 
Mi riallaccio a quanto dicevo all'inizio. Io conoscevo gli 
argomenti e li ho trovati esposti in modo molto affine a come 
sono fatto io. Ma non so che effetto potrebbero produrre sul 
lettore ideale che ha in mente e che non conosca niente della 
meccanica.

 
Un altro esempio di questo approccio molto pragmatico e a-formale di S., tagliato per il target del corso, lo trovo al par. 3.8 IL PRINCIPIO DI SPIN-POLARIZZAZIONE, pagg. 69-70 (vedi qui: 
https://ibb.co/c8Zp4gz
 
https://ibb.co/5Gbg9D8
 ).
 
Si tratta del risultato per cui, dato un qualsiasi stato di singolo spin, esiste un operatore, corrispondente a una certa direzione dello spin, che ha quello stato come autovettore con autovalore +1.
 
 
 
 
 
 
Anche la dimostrazione di questo teorema è lasciata al lettore, però questa volta gli autori non si sbilanciano sul livello di difficoltà. Il problema, comunque, è ancora una volta abbordabile anche con un armamentario formale ridotto al minimo. In precedenza vengono introdotte le matrici di Pauli e ricavati alcuni risultati (riassunti anche in appendice) partendo da casi semplici e poi a salire, ma senza mai raggiungere la massima generalità, dato che non serve. Tuttavia, gli esempi svolti in precedenza e la discussione degli autori bastano a illustrare il metodo, e il lettore volenteroso saprà riconoscere la relazione (tra le componenti del vettore di stato e gli elementi di matrice dell’operatore di spin) che rende esplicita la corrispondenza spin-polarizzazione. Abbastanza abbordabile anche il successivo calcolo (che richiede comunque una certa attenzione) dei valori di aspettazione degli operatori di spin, risultati anche questi enunciati ma non dimostrati nel testo. 
 
Insomma, se non accontenta i palati più fini, questo lavoro mi sembra comunque un tentativo abbastanza ben riuscito di presentare la MQ a quanti, da non (ancora) specialisti, vogliono avvicinarsi in modo non superficiale a questa materia.
 
Pier Franco

Pier Franco Nali ha scritto:
 > Un altro esempio di questo approccio molto pragmatico e a-formale di
 > S., tagliato per il target del corso, lo trovo al par. 3.8 IL
 > PRINCIPIO DI SPIN-POLARIZZAZIONE, pagg. 69-70 (vedi qui:
 > 
https://ibb.co/c8Zp4gz
 
 > 
https://ibb.co/5Gbg9D8
 ).
 >
 > Si tratta del risultato per cui, dato un qualsiasi stato di singolo
 > spin, esiste un operatore, corrispondente a una certa direzione
 > dello spin, che ha quello stato come autovettore con autovalore +1.
 >
 > Anche la dimostrazione di questo teorema è lasciata al lettore, però
 > questa volta gli autori non si sbilanciano sul livello di
 > difficoltà. Il problema, comunque, è ancora una volta abbordabile
 > anche con un armamentario formale ridotto al minimo.
Sul libro non posso dir niente perché non lo conosco, e non bastano
certo quelle due pagine.
Ho visitato il sito dell'editore e ho letto il proposito della
collana. Ho i miei dubbi...
L'intenzione di scrivere un testo autosufficiente dal punto di vista
matematico non è originale; per quanto io conosca pochissimi libri di
m.q., questo lo fece già Dirac.
A me il Dirac quando lo lessi (al quarto anno di fisica) piacque
molto, ma non ero digiuno di m.q. Che Dirac avesse compiuto
un'operazione molto originale lo capii molto dopo; capii che lui
sapeva molta più matematica di quanto poteva apparire da quel libro.
Dubito che si possa dire lo stesso di S. (per l'originalità).
 
Riguardo ai teoremi, osservo che sono teoremi di matematica; la fisica
non c'entra proprio.
Il secondo teorema che citi è facile o difficile? Provo a rispondere
scrivendo la dimostrazione così come mi viene in mente.
 
Sia |A> un generico ket (normalizzato). Un operatore hermitiano che ha
|A> come autovettore è immediato: à il proiettore
P = |A><A|.
Può essere della forma n.s (s sta per sigma)?
Sicuramente no, perché s_x, s_y, s_z hanno traccia nulla mentre
Tr(P) = 1.
Ma a questo si rimedia subito:
Q = A - I/3
ha traccia nulla.
Per completare la dim. occorre solo provare che ogni op. hermitiano a
traccia nulla è combin. lineare di s_x, s_y, s_z.
Intanto ogni op. hermitiano è combin. lineare di I, s_x, s_y, s_z:
questo si vede subito dalle matrici.
Sia dunque
Q = n_0 I + n_x s_x + n_y s_y + n_z s_z
con n_0, n_x, n_y, n_z reali.
La condizione Tr(Q) = 0 comporta subito n_0=0.
(Si lascia al lettore di determinare n_x, n_y, n_z dato |A>.)
 
Domanda: questa dim. è facile o difficile?
Dipende per chi.
A mio parere per un autodidatta, anche se nel libro ci sono tutte le
informazioni occorrenti, è difficile.
La difficoltà è che quel lettore non è abituato a costruire
dimostrazioni, a traccaire un filo di ragionmento, a mettere insieme
ciò che sa per arrivare al risultato.
 
Altra domanda: S. dice che quel teorema vale solo per spin 1/2?
Se non lo dice, sono sicuro che chi lo legge penserà che valga sempre,
il che è invece falso, com'è facile dimostrare contando i parametri
liberi.
 
Ma a parte tutto questo, avrei una domanda.
Da ciò che avete scritto non sono riuscito a farmi un'idea di come è
trattata la *fisica*.
 
In un altro post leggo:
 > Tanto è vero che nei primi capitoli si introduce l'essenziale di
 > un'algebra dei ket e dei bra, basata su principi e postulati di
 > origine più 'fisica' che matematica, senza badare troppo al rigore
 > formale.
Il problema non è il rigore.
Ciò che a mio parere è indispensabile cercando d'insegnare la m.q. *a
qualsiasi livello* è di far capire la rottura col paradigma
newtoniano, a cominciare da ciò che s'intende con "stato" di un
sistema.
Qualunque tentativo di rendere "naturale" questo passaggio è secondo
me un pesante travisamento, un inganno che avrà gravi conseguenze
nella comprensione della m.q.
 
Un altro punto che sempre si trascura, è che non si può capire la m.q.
se non si ha una sufficiente padronanza di gran parte della fisica
classica: almeno meccanica, ottica, e.m.
Mi direte che allora ben pochi studenti di fisica possono capire la
m.q.? Infatti...
Ma al livello semidivulgativo, dove sembra stare Susskind, l'impresa
la reputo disperata, a meno di non partire dedicando spazio e tempo
adeguati alle premesse necessarie.
 
Quanto alla preoccupazione di Giorgio:
 > In particolare, mi chiedo quanto l'attuale insistere sulla parte più
 > algebrica e meno analitica del formalismo degli spazi di Hilbert,
 > privilegiando quelli a dimensione finita, non porti a ignorare tutta
 > una serie di questioni, forse complesse, ma secondo me importanti
 > (
p.es
. la completezza, l'esistenza di operatori non limitati e quindi
 > non definiti su tutto lo spazio di Hilbert, etc.).
Direi che è certo fondata, tanto che io avevo inizialmente pensato che
quel libro fosse dedicato a un particolare target: gli informatici
quantistici.
Non so quanti q-bit occorreranno per avere un computer rispettabile,
ma sarà sempre un numero finito, e lo stesso accadrà del relativo
spazio degli stati.
Né si potrà usare l'appross. usuale in fisica dei solidi, del
cristallo periodico infinito...
 
Ma se il libro è dedicato a un lettore che si è pentito di non aver
studiato fisica, dovrà contenere almeno la spiegazione quantistica del
modello atomico di Bohr, che già usa uno spazio L^2(R^3).
C'è? Scommetto di no :-)
Per non parlare della relazione d'indeterminazione...
Conoscerne il *vero* significato fa o no parte del "minimo teorico" di
Susskind?
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
 
 
Non l'ho ancora letto tutto ma il modello di Bohr mi pare manchi. All'indeterminazione è invece dedicata una lezione/capitolo ma devo ancora leggerlo.
 
Pier Franco

 Pier Franco
 
 
Riprendo questo thread sul libro di Susskind della serie “il minimo teorico”, dedicato alla MQ, dovendo una risposta a Elio, che mi chiedeva come Susskind tratta l’indeterminazione. 
Avendone appena ultimato la lettura provo ora a rispondere.
 
Nel capitolo sul pdi Susskind comincia col dimostrare il teorema che se esiste una base completa di autovettori simultanei di due (o più) osservabili L, M, … le osservabili devono commutare tra di loro (formando un insieme completo di osservabili commutanti), e viceversa.
 
 
 
Lega poi questo risultato al concetto di misura, dato che il th. implica che se misurando due osservabili L, M (in un unico esperimento) il sistema è lasciato in un autovettore simultaneo di L, M, allora L, M devono commutare. Ciò significa che se L, M non commutano, in generale non sarà possibile misurare entrambe le osservabili simultaneamente in modo non ambiguo. Esprime poi questo fatto in modo più quantitativo attraverso il principio di indeterminazione, che ricava nella forma generale di cui quello di Heisenberg è un caso particolare. 
 
 
Alla indeterminazione (su una osservabile A) attribuisce il significato di ‘deviazione standard’, calcolata operatorialmente. Definita l’indeterminazione (al quadrato) su A come (Delta A)^2=<(A-<A>)^2> fa infine uso della disuguaglianza di Schwarz per dimostrare il principio di indeterminazione generale: (Delta A)(Delta B)>=1/2<[A,B]>.
 
 
 
Ora che ho letto l’intero libro, che in alcune parti mi ha richiesto un certo sforzo, trovo conferma della mia prima impressione, cioè che tutto sommato gli autori sono riusciti abbastanza bene nell’intento di esporre la materia con un taglio adatto a un target di non-fisici professionisti, che intendono rispolverare i loro studi di fisica per attestarsi su un ‘minimo’ da cui poi ripartire per affrontare gli argomenti con un taglio più tecnico.
 
PF