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Titolo: Matrice densità

Nelle pagg. 60 e 61 del Landau di MQ si ricava l'espressione della
variazione della matrice densità r(x, x', t) di un sistema. Ad un certo
punto c'è scritto : "Il nostro ragionamento può essere semplificato se
osserviamo che l'equazione differenziale lineare cercata per r(x, x', t)
deve essere soddisfatta anche nel caso particolare in cui il sistema ammetta
una funzione d'onda, cioè r(x, x', t) = F(x, t) F*(x', t)". Con F(x, t)
indico la funzione d'onda del sistema. Dopo di ciò con un po' di calcoli
viene ricavata l'espressione i h dr(x, x', t)/dt = (H - H'*)r(x, x', t) dove
con d/dt indico la derivazione parziale fatta rispetto al tempo, h costante
di Planck diviso per (2 pi) e H, H' hamiltoniani agenti su x e x'
rispettivamente.
Ma il Landau, con il passo che ho riportato, vuole dire che l'equazione
ricavata vale anche nel caso in cui il sistema non ammetta una funzione
d'onda e la ricava per semplicità nel caso particolare in cui il sistema
ammette funzione d'onda ? Se si non riesco a capire come l'equazione
ricavata nel caso di sistema che ammette funzione d'onda si possa estendere
al caso di sistema che non l'ammette. Se no allora come si ricava
l'espressione per la variazione della matrice densità per un sistema che non
ammette fun. d'onda ? Forse derivando rispetto al tempo l'espressione
che definisce r(x, x', t) e cioè r(x, x', t) = integr(F(q, x, t) F*(q, x',
t) dq) ?
Poi vorrei chiedere alcune altre cose :o) Un sistema ammette funzione d'onda
se e solo se non scambia energia con l'esterno ? Se invece scambia
energia con l'esterno allora può essere descritto soltanto mediante
la matrice densità ?
Grazie, Ciao :o)



 
Non proprio, dipende da come prepari lo stato del sistema: se fai
una "misura completa" lo stato in uscita e` puro, e` cioe` una funzione
d'onda. Se prendi vari sistemi *identici* pero` preparati su stati puri
in generale differenti F_1, F_2, ...  e "li mischi" in modo tale che
le funzioni d'onda si sovrappongano (in tal modo non puoi piu` distinguere
i vari sistemi in alcun modo) e poi prendi un sistema a caso nel  miscuglio
a questo non potrai assegnare piu` una funzione d'onda. Ma solo una 
funzione d'onda con una certa probabilita` che sia quella (che dipende
da quanti sistemi del miscuglio avevano quella funzione d'onda), cioe`
assegnerai a ciascun sistema del gruppo una matrice densita`.
La seconda domanda credo che si riferisca alla seguente situazione.
Hai due sistemi S e S' che interagiscono e, proprio a causa dell'interazione
(mi riferisco precisamente all'Hamiltoniano d'interazione), lo stato
del sistema complessivo non e` uno stato fattorizzato nel prodotto
di due funzioni d'onda anche se inizialmente era tale.
Allora lo stato sara` qualcosa del tipo
F = somma su i c_i F_i F'_i
dove F_i e` una funzione d'onda S e F'_i per S'. I c_i sono numeri
complessi. F e` supposto normalizzato.
Posso sempre supporre che le funzioni F'_j siano ortonormali
(se non lo sono le decompongo secondo una base ortonormale e inserisco
la decomposizione nello sviluppo di sopra  cambiando  i numeri c_i).
Se le funzioni F_i sono state normalizzate (non orto-nromalizzate in generale)
<F|F>=1 equivale a somma_i |c_i|^2 = 1. Assumero` cio` sotto.
Se A e` una grandezza definita per il solo sottosistema S,
il suo valore medio
<F|A|F> = somma su i e j C*_ic_j <F_i| A |F_j> <F'_i|F'_j>
         = somma su i  |c_i|^2 <F_i| A |F_i>
dove ho usato l'ortonormalita` delle F'_j.
Se definisco la matrice densita` per S, usando le notazioni di L-L,
r(x,y) =  somma su i |c_i|^2 F*_i(x)F_i(y)
(si verifica subito che e` proprio una matrice densita`),
il valore medio di A su tale matrice densita` coincide con
<F|A|F>, ti lascio la prova immediata.
(In realta` ci sarebbero un po` di cose da considerare, come
per esempio il fatto che le somme di sopra sono, in generale,
delle serie e non ci si puo` lavorare impunemente come se fossero
somme finite...bisogna aggiungere un po` di ipotesi sul dominio di
A, e usare il fatto che e` un operatore chiuso per poter dire
*davvero* quanto scritto sopra.)
Quindi posso ignorare la presenza di S' e descrivere lo stato
di S tramite una matrice densita` fino a quando considero
grandezze relative al *solo sottosistema S* (La cosa si generalizza
anche ad altre cose che non siano i semplici valori medi, ma dovrei
entrare nei dettagli).
Il risultato ha un'importanza decisiva in meccanica statistica
quantistica.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 assegnerai a ciascun sistema del gruppo una matrice densita`.
Non capisco che cosa intendi con f. d'onda che "si sovrappongono".
La procedura che hai descritto produrra' comunque una miscela
statistica, quali che siano le f. d'onda che hai preso.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

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(questo messaggio probabilmente arrivera` doppio)
Ciao, si mi sono espresso male. Volevo dire questo: supponi che io
prepari un sistema in uno stato puro dato da un pacchetto d'onde
che ha una distribuzione spaziale concentrata e lo mando verso un
misuratore di qualche sua proprieta. Poi aspetto un mese e faccio
la stessa cosa con un sistema identico preparandolo in un altro
stato puro a pacchetto d'onde concentrato  e cosi` via, ai fini
delle misurazioni, non ha molto senso usare il formalismo delle 
matrici densita`, ma ha chiaramente senso assegnare ad ogni sistema
il suo stato puro. (Anche se la miscela quantistica si puo` definire
senza alcun problema anche in questo caso.)


 scrivere le cose.
ti ringrazio per la risposta al quesito e per la chiarezza :o)
A me hanno consigliato vari testi per iniziare a studiare la MQ
1) Landau
2) Sakurai
3) Messiah
Per uno che inizia cosa consiglieresti tra 1), 2) e 3) ?
Mi basta se mi rispondi semplicemente con un numero. Oppure pensi che sia
meglio qualche altro libro ? A me inizialmente interesserebbe solo la
chiarezza e la completezza anche a scapito di altre cose. Mi andrebbe anche
bene un libro mettiamo prolisso e ridondante, purché chiaro. Dato che ci sei
mi potresti dire anche qualche eserciziario con esercizi svolti ? :o)
Io avevo iniziato , per la teoria (anche se ci sono pure gli esercizi), con
il Landau però alcune volte secondo me ci sono delle
cose dette in maniera non proprio chiara, credo almeno per uno che inizia a
vedere queste cose. Avevo già chiesto un consiglio su quale libro iniziare,
ma poi io ho iniziato con il Landau perché avevo acquistato questo. Mi hanno
già detto di passare ad un altro testo e studiare magari il Landau dopo,
però prima di spendere altri soldi vorrei vedere bene cosa fare.
Giuro che non vi annoierò più chiedendovi consigli su libri di MQ
Ciao, DJ



Elio Fabri wrote:
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Ciao, si mi sono espresso male. Volevo dire questo: supponi che io
prepari un sistema in uno stato puro dato da un pacchetto d'onde
che ha una distribuzione spaziale concentrata e lo mando verso un
misuratore di qualche sua proprieta. Poi aspetto un mese e faccio
la stessa cosa con un sistema identico preparandolo in un altro
stato puro a pacchetto d'onde concentrato  e cosi` via, ai fini
delle misurazioni,non ha molto senso usare il formalismo delle matrici
densita`, ma ha chiaramente senso assegnare ad ogni sistema
il suo stato puro.
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 mi potresti dire anche qualche eserciziario con esercizi svolti ? :o)
L'unico eserciziario che conosco e` quello di Passatore
"Problemi di meccanica Quantistica elementare"
Franco Angeli Editore
Ciao, Valter

 scrivere le cose.
ti ringrazio per la risposta al quesito e per la chiarezza :o)
A me hanno consigliato vari testi per iniziare a studiare la MQ
1) Landau
2) Sakurai
3) Messiah
Per uno che inizia cosa consiglieresti tra 1), 2) e 3) ?
Mi basta se mi rispondi semplicemente con un numero. Oppure pensi che sia
meglio qualche altro libro ? A me inizialmente interesserebbe solo la
chiarezza e la completezza anche a scapito di altre cose. Mi andrebbe anche
bene un libro mettiamo prolisso e ridondante, purché chiaro. Dato che ci sei
mi potresti dire anche qualche eserciziario con esercizi svolti ? :o)
Io avevo iniziato , per la teoria (anche se ci sono pure gli esercizi), con
