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Titolo: elettrostatica: sfera conduttrice su piano conduttore

Il potenziale all'interno di una sfera conduttrice carica e' di 1 V. Se la
sfera viene portata a sfiorare un piano infinito conduttore, quanto diventa
il potenziale interno?
A me viene 0.557(3) V
Qualcuno ha voglia di confermare? Si riesce a scrivere il risultato
analiticamente, ammesso che sia giusto?
Bye
Hyper


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

Hypermars ha scritto:

Ti metto a disposizione un conto che ho fatto non molto tempo fa.
Credo sia piu' generale di quello che ti serve, e non ho provato ad
applicarlo al tuo caso. Vedi un po' che ne viene fuori, e poi fammi
sapere.
ftp://www.df.unipi.it/pub/sagredo/varie/sfere+filo.pdf
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 Hyper
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 
ftp://www.df.unipi.it/pub/sagredo/varie/sfere+filo.pdf
Uhm, ho problemi di accesso, mi dice che non accetta anonimi.
Bye
Hyper

 
ftp://www.df.unipi.it/pub/sagredo/varie/sfere+filo.pdf
Io ottengo il messaggio:
"impossibile visualizzare la pagina".
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 doppio che nel primo.
Interessante. La prima cosa che mi viene in mente e' di provare con il caso
piu' semplice possibile e risolubile: una sfera conduttrice e una carica
puntiforme. Questo potrebbe essere o un controesempio (se non funziona) o
una indicazione sul come affrontare l'eventuale dimostrazione generale.
Allora, partiamo dalle cose semplici: sfera nell'origine, raggio R, carica Q
sulla superficie congelata ad essere uniforme, e carica q puntiforme
posizionata a distanza d>R dall'origine. Scegliamo l'asse x lungo la
congiungente origine e carica puntiforme.
Il potenziale generato dalla sfera sull'asse e' Q/x, quindi direttamente il
lavoro necessario per portare la carica puntiforme all'infinito e' qQ/d.
La tua congettura implica che, qualora si considerasse la carica indotta
sulla sfera dalla presenza della carica q puntiforme, il lavoro per portare
la carica q puntiforme all'infinito sarebbe qQ/2d.
Mi sembra che in questo caso cio' non avvenga. Infatti, il potenziale
indotto dalla carica q sulla sfera, e' proporzionale a q, non a Q. Quindi il
contributo energetico, negativo (quindi effettivamente il lavoro e' minore),
e' un termine del tipo q^2, non qQ. Non vedo come si possa ottenere quindi
un contributo negativo esattamente pari alla meta' del termine qQ/d.
Forse pero' mi viene in mente che assumessi una carica totale identica tra
le due distribuzioni? quindi q=Q? In questo caso vediamo:
Il potenziale indotto e'
V = -Q \sum_{l>0} R^{2l+1}/x^{2l+2}
Anche qui...non mi pare che torni...
Forse con qualche vincolo in piu' sui conduttori, ad esempio stessa forma?
si potrebbe provare con le due sfere, che e' poi il problema originario di
questo thread. Se ho tempo ci provo.
Bye
Hyper

 Il potenziale all'interno di una sfera conduttrice carica e' di 1 V. Se la

Ripetendo di nuovo tutte le valutazioni il risultato 
dovrebbe essere questo: dopo n doppie "riflessioni" 
tutte le n-1 repliche precedenti sono neutralizzate,
in corrispondenza del piano.
Solo l'ultima immagine contribuisce al potenziale sulla
sfera. In che misura? Valuto il potenziale sul punto di
contatto fra la sfera ed il piano. Il risultato è questo:
l'ennesima immagine ha carica Q/(n+1) ed è collocata nel 
punto (n+1)a/(n+2) dove a è il raggio della sfera. Poi ci sono
le immagini ennesime delle cariche compensative che sono
entrate in gioco alla seconda, alla terza, fino alla 
n-1 esima riflessione e valgono -Q/2, +Q/3, ... (-)^(n+1)Q/n  
ognuna di queste cariche poi è compensata da una carica di
segno contrario posta nel centro. Il risultato se valuto 
il potenziale nel punto di contatto è 
Q/r[n/(n+1) - (n-1)/[2(n)] + ... ]. 
Questa somma è limitata dal basso da una somma armonica di
secondo grado ottenuta contraendo telescopicamente i termini
a segni alterni e dunque dà luogo ad un numero che risulta
essere maggiore di (Q/r)[(pi)^2/12].  
Il numero che trovo risulterebbe più alto del numero che 
hai trovato. Il che mi fa pensare che devo avere sbagliato
qualcosa algebricamente o metodologicamente. Sai trovare 
l'errore? L'esperimento cosa dice? 


 doppio che nel primo.
Interessante. La prima cosa che mi viene in mente e' di provare con il
caso
piu' semplice possibile e risolubile: una sfera conduttrice e una carica
puntiforme. Questo potrebbe essere o un controesempio (se non funziona)
o
una indicazione sul come affrontare l'eventuale dimostrazione generale.
Allora, partiamo dalle cose semplici: sfera nell'origine, raggio R,
carica Q
sulla superficie congelata ad essere uniforme, e carica q puntiforme
posizionata a distanza d>R dall'origine. Scegliamo l'asse x lungo la
congiungente origine e carica puntiforme.
Oltre alla precisazione di prima, che i conduttori devono essere
in equilibrio elettrostatico ne manca un'altra essenziale: 
uno dei due conduttori deve essere a potenziale nullo, ovvero
globalmente neutro. Altrimenti è ovviamente falso, come
osservi nel seguito quando fai le considerazioni sugli 
ordini di grandezza delle cariche indotte. 


 doppio che nel primo.
Interessante. La prima cosa che mi viene in mente e' di provare con il
caso
piu' semplice possibile e risolubile: una sfera conduttrice e una carica
puntiforme. Questo potrebbe essere o un controesempio (se non funziona)
o
una indicazione sul come affrontare l'eventuale dimostrazione generale.
Allora, partiamo dalle cose semplici: sfera nell'origine, raggio R,
carica Q
sulla superficie congelata ad essere uniforme, e carica q puntiforme
posizionata a distanza d>R dall'origine. Scegliamo l'asse x lungo la
congiungente origine e carica puntiforme.
No, non ci siamo capiti. La configurazione di partenza
deve essere una configurazione di equilibrio elettrostatico
in cui i conduttori sono liberi di condurre. Stabilito 
l'equilibrio si hanno due possibilità: 
a) i conduttori subiscono una transizione ad isolante e vengono
allontanati a distanza infinita con lavoro L
b) i conduttori rimangono conduttori e vengono portati a distanza 
infinita con lavoro L'
Congettura: L=2L'. 
Nei casi semplici che ho controllato 
è sempre verificato.
Gli appunti di Fabri le trovi all'indirizzo seguente:
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/
Oppure puoi riferirti direttamente ai metodi matematici per la
fisica di Morse Feshbach, ma in tal caso ti toccherebbe il
lavoro di aratura e dissodamento che Fabri ha impiattato. 
Continuando a ragionare sul tuo quesito ho 
trovato che in effetti ponendo una distanza piccola fra
sfera e piano non ci sono problemi di convergenza nella
serie delle cariche immagine. Quindi mi sembra questa la
via da seguire per ottenere il risultato corretto in modo
iterativo. E' un trucco analogo alla regolarizzazione della
teoria della rinormalizzazione, ma viene suggerito direttamente
dalla fisica del problema, e conduce anche alla giusta forma 
della serie condizionatamente convergente ed all'ordine di
somma da adottare. Grazie per la bella domanda.


 Uhm, ho problemi di accesso, mi dice che non accetta anonimi.
"Mi dispiace, signore. Io commetto molti errori."
(R. Chandler: "Il grande sonno")
Per fortuna ha gia' detto Tetis dove si trova. Comunque ripeto:
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/sfere+filo.pdf


 ordini di grandezza delle cariche indotte.
Ok, potresti mostrare esplicitamente l'esempio della sfera conduttrice
tenuta a terra con la carica puntiforme?
Bye
Hyper

 L'esperimento cosa dice?
Mica l'ho fatto l'esperimento. Il motivo della domanda e' che dovrei
valutare l'influenza in termini di sfasamento elettro-ottico del trattare
una sub-micro-sferetta di latex su substrato come isolante o come
conduttore. Se la tratto come isolante, quindi cariche congelate, ho un
certo sfasamento. Se la tratto come conduttrice, ho un altro sfasamento. E
volevo quantificare sta differenza.
Continuo altrove, in risposta a Elio.
Bye
Hyper

 
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/sfere+filo.pdf
Allora, innanzitutto mi sembra una trattazione molto carina, sebbene
personalmente la trovi un po' difficile da gestire praticamente.
Specialmente nel passare dalla condizione di potenziali assegnati a quella
di cariche assegnate. Nel modo in cui avevo affrontato i calcoli (senza
usare le bisferiche), si riusciva quasi banalmente ad assegnare la carica Q
costante sulla sfera (e quindi -Q sulla sfera immagine) e di conseguenza a
calcolare il valore del potenziale interno alla sfera man mano che questa si
avvicina al substrato. Viceversa, con le bisferiche mi risulta molto
difficile fare i limiti che servono, ad es. d->oo, o peggio ancora d->2R,
che i coefficienti K_n diventano o 1 o 0.
Io avevo affrontato il problema nel modo seguente:
1) V=V1-V2
2) entrambi i potenziali scritti come \sum (R/r)^(l+1) P_l(\cos\theta) con r
e theta diversi chiaramente
3) sviluppo di uno dei due potenziali in base all'espansione della carica
traslata su z
4) impongo carica Q su una sfera prendendo il limite per d->oo e facendo in
modo che il potenziale risultante sia la somma di due Q/r
5) impongo che il potenziale sia costante per r=R e da questo ricavo un
sistema per i coefficienti dello sviluppo
6) non risolvo il sistema che non son capace, pero'...
7) lo risolvo per via perturbativa all'ordine che serve
Questa procedura era poi quella che mi ero riproposto di provare quando,
mesi (o anni boh) fa hai suggerito qui nel NG questo problema. Le bisferiche
non le avevo assolutamente considerate, e ora, visto che una soluzione in
forma chiusa hai mostrato esistere, vorrei capire come far quadrare le cose.
Comunque, come faresti per specializzare i tuoi calcoli bisferici e
verificare che il numero che ho dato a inizio thread (il mezzo volt e
qualcosa) sia corretto?
Bye
Hyper


Certo, sono anche certo che risulta molto utile ad indirizzare
una eventuale dimostrazione del tutto generale, però tempo addietro
dopo averci pensato qualche giorno pochi minuti al dì, e qualche
ora di un sabato, ed avere rispolverato
i risultati generali sulle variazioni di energia nel campo
esterno ad un conduttore ero stato preso da altre cose
da fare, mi avrebbe fatto piacere sapere da te se è un risultato
noto. Vedo se trovo qualche ora per rispolverare il tutto
e per il problema che hai proposto.
Circa il metodo che hai descritto nella risposta a Fabri
devo sollevare una perplessità: tu essenzialmente puoi
sviluppare il potenziale ad un certo ordine perturbativo
qualsiasi con distanza finita. E poi fare il limite per distanza
nulla. Ottieni così un numero e puoi controllare quanto è
stabile al crescere dell'ordine di correzione impiegato.
Il punto teoricamente delicato è che, a rigore, per essere certo
di ottenere il risultato corretto, dovresti fare prima il
limite per ordine perturbativo che tende ad infinito e poi
il limite per la distanza voluta. In caso contrario il rischio è che
le correzioni limite trascurate siano nel complesso dell'ordine di
quelle conteggiate. Questo in linea teorica del tutto generale ed a
meno di avere un teorema che ti permetta l'intercambiabilità
dei limiti.
A me sembra che si possa pervenire ad un tale
teorema, ricorrendo ad argomenti che fanno ricorso alla
convergenza dominata, almeno per punti della sfera lontani
dal punto di contatto e prescrivendo le regole di raggruppamento
dei termini perturbativi, per esempio valutanto la serie che descrive
il potenziale a distanza 2a dal piano conteggiando tutte le immagini
al passo n. Ma non è banale. Tutta e sola
la difficoltà sta nel trovare una funzione positiva che risulti in una
maggiorazione sommabile (indipendente dalla distanza) della serie
perturbativa.
Questa funzione non esiste se si
considerano i termini parziali, dovuti alle singole immagini della
serie perturbativa, ma mi sembra che esiste se si considerano le
correzioni perturbative del complesso delle immagini al passo
n di iterazione. Studiando in questa chiave il metodo che avevo
suggerito mostra una difficoltà in quanto consiste in un riordinamento
arbitrario dei termini parziali nell'ordine di esecuzione dei limiti.
Se invece ad ogni passo uno tiene conto di tutte le immagini,
e valuta la serie in un punto dove non si hanno variazioni brusche,
allora è costretto a scrivere la serie limite nel modo corretto, compatibile
con il metodo della convergenza dominata. Da quello che dici non mi
è ancora chiaro se la soluzione che proponi conserva l'ordine di somma
necessario per la convergenza dominata oppure no.
 Intanto mi è preso il desiderio di comprare un Voltmetro da portare
appresso. Anche qui le difficoltà non sarebbero lievi: fra superfici
metalliche si rischia una scarica, con superfici smaltate ci sono gli
effetti di polarizzazione dello smalto, insomma anche l'idea di avvicinare
una sfera di un cuscinetto al pannello anteriore di un frigo tenendo
questo a terra e la sfera carica non è esente da difficoltà di principio,
quindi misurare il potenziale con la sfera molto lontana dal frigo e poi
con la sfera molto vicina non è esente da difficoltà di principio.


 con la sfera molto vicina non è esente da difficoltà di principio.
Beh, invece di portarla molto vicina si puo' portarla "abbastanza" vicina, e
rovesciare l'esperimento: a che distanza dal piano il potenziale della
sfera, che all'infinito e' 1V, si abbassa a 0.75 V? (o altro valore). Dai
calcoli, tale distanza si ricaverebbe come valore particolare del parametro
R/d che fa convergere la serie al valore richiesto. Poi si confronta.
Bye
Hyper

 R/d che fa convergere la serie al valore richiesto. Poi si confronta.
Intelligente proposta, però occorre andare molto vicino se si vuole testare
il comportamento dei termini più alti della serie. Quello che dico è che
finchè c'è una distanza finita il passo di convergenza è a/eps dove a è
il raggio della sfera, ed eps la distanza. Ovvero bastano a/eps iterazioni
del metodo delle immagini per ottenere convergenza. Ma non sai quanto
possono pesare gli altri termini di questa serie per distanze più piccole
finchè non trovi il loro comportamento asintotico, come ho fatto, spero
correttamente, io. E quello
che io trovo è che contano, non tantissimo, ma abbastanza. Passando
da a/eps=e^3 ad a/eps=e^4, ovvero per una variazione relativa della distanza
del centro, relativamente esigua, la variazione relativa è di 1/3-1/4=1/12.
Questa sensibilità in effetti potrebbe essere controllata sperimentalmente.
Spero di non rimanere deluso dall'esperimento se e quando avrò la
possibilità di effettuarlo. Ma tu intanto mi dici come hai fatto a trovare
quel valore che suggerivi? Cioè si può vedere qualche espressione
esplicita?


 esplicita?
Mi fa piacere che il thread non si sia ancora spento. Ora sono al classico 
congresso + vacanza tipica del periodo estivo (a dire il vero e' gia' la 
seconda quest'estate...la prima alle hawaii e la seconda in svizzera e 
italia...ma e' questo uno dei tanti lati positivi dell'essere fisici no?), 
ma appena posso replico ed estendo.
Bye
Hyper 

 di questa sensibilità.
Appena ho avuto nuovamente accesso al file del prof. Fabri, che ringrazio
per
la solerzia, ho cercato un modo per confrontare i risultati, il punto
più delicato, su cui ho trovato una difficoltà che al momento non
mi riesce di superare è collegare la soluzione esatta, espressa
in forma di serie, per
il potenziale con l'espressione per la carica. La difficoltà che trovo
è che per ottenere la carica sulla superfice della sfera, assunto il
potenziale sul piano uguale a zero ed il potenziale sulla sfera unitario,
devo valutare gli integrali dei polinomi di Legendre di ordine n
con l'elemento di area delle coordinate bisferiche, che dai conti
fatti risulta pari a sen(nu)/(cosh(mu)-cos(nu))^2. Questo va
moltiplicato per la densità superficiale di carica, che si ottiene
dal potenziale mediante la derivata normale. Ovvero gradiente dei
termini potenziali moltiplicati scalarmente per il vettore normale
alla sfera. Oppure più semplicemente, sfruttando l'ortogonalità
delle coordinate, derivata parziale rispetto a mu divisa per
l'elemento di lunghezza dl/d_mu.
 Se non fosse per questa derivata normale, che coinvolge una
radice quadrata del fattore di lunghezza lungo r, si tratterebbe di semplici
integrali razionali. La difficoltà che non sono certo di riuscire ad evitare
è quella di ricorrere ad uno sviluppo di Taylor. In tal caso le espressioni
diventano complesse da gestire in forma chiusa per ogni ordine
di sviluppo, problema che era stato evitato gradevolmente, per lo
sviluppo del potenziale, dall'uso di variabili separabili.
Nuovamente potrebbe porsi un problema di
espressioni ricorsive ed un problema nella gestione dei limiti, analogamente
a quello che trovavo con la concatenazione delle
cariche immagine, alcune delle espressioni che ho trovato dai
primi tentativi richiedono una descrizione per iterazioni che
riecheggiano effettivamente le iterazioni nel caso del metodo
delle cariche immagine.
Riepilogando:
per quella via, che deriva dal metodo di inversione di Poisson e porta, nel
caso generale di due sfere a sviluppi in frazioni continue della posizione
delle immagini, trovavo delle equazioni ricorsive
per le cariche, di cui non ho trovato poi un'espressione immediata in
termini
di frazioni continue, ma solamente approssimazioni asintotiche.
Quindi __espressioni semplici per le posizioni, espressioni più laboriose
per le cariche__. Nel limite in cui la distanza dal piano si assottiglia
fino
ad annullarsi sommare la serie che esprime il potenziale richiede la
considerazione di moltissimi termini, perchè la convergenza è di
tipo logaritmico e non permette di giungere ad una approssimazione
ben controllata in tempi brevi, a meno di non ricorrere ad avanzate
tecniche di trattamento del problema discreto soggiacente.
Ora alcuni degli integrali che trovo proseguendo sulla via proposta
dal professor Fabri sono invece delle serie ipergeometriche.
Il modo in cui ho derivato queste espressioni passa per lo
sviluppo in serie di Taylor del binomio: (Cosh(mu)-cos(nu))^k
Questo sviluppo che in sé è di notevole semplicità anche per k
seminteri, come nel nostro caso, deve essere considerato in
combinazione con i polinomi di Legendre. Risulta che gli
integrali in dy di cos^n(y) Legendre_m(y) sen(y) sono in generale
diversi da zero anche se m è diverso da n. Purchè questa
differenza non sia tale che 2m>n o 2n>m. Questo porta a dovere
considerare per ogni ordine una molteplicità di contributi. Quindi
ancora mi ritrovo a dovere gestire espressioni di cui non conosco
una forma chiusa.
Guarderò di cercare qualche trucco per domare
la difficoltà di queste espressioni, ammesso che ne esista
qualcuno, perchè sono davvero desideroso di trovare
un'espressione anche approssimata, ma valutabile in tempi
ragionevoli del potenziale di questo tostissimo problema proposto
da Hypermars e Fabri, quando cioè la distanza è zero.
Intanto ho implementato anche la ricorsione per il problema a
distanza non nulla ed ho trovato che per ottenere potenziale
..557(3) occorre una distanza d dal piano tale che d/a = .303
dove a è il raggio della sfera. Per questi valori la serie
converge, già in 5 iterazioni del metodo delle immagini,
oltre la quarta cifra significativa.
Btw, sospetto che esista un seguito a queste pagine. Discuteva
forse una espressione della carica totale in funzione del potenziale e
dei parametri geometrici, come promesso nell'introduzione? Se si
mi piacerebbe dare una sbirciatina alla soluzione.
Se non esisteva è perchè il problema è resistente o perchè non
è stato affrontato?


 Hyper


 è stato affrontato?
Non c'e' nessun seguito.
E' forse opportuno che spieghi come nascono e che scopo hanno quei
piccoli files.
In sostanza sono solo un modo di mettere "nero su bianco" qualche
calcolo che mi capita di fare, per le piu' svariate ragioni.
Ci sono argomenti profondi (e naturalmente non risolti ;-) ) come pure
giochi o problemini piu' o meno frivoli.
Sono solo un modo piu' ordinato di tenere appunti.
Nel tempo ne ho messi insieme alcune decine...
Percio' spesso sono calcoli non finiti, a volte perche' mi sono
arenato per qualche difficolta', altre volte per caduta d'interesse.
Magari li riprendo a distanza di tempo, anche anni...
Ne segue che non posso neppure garantire che tutto quello che c'e'
scritto sia giusto, e questa e' una buona ragione per cui non sono
entusiasta di renderli pubblici: dovrei metterci una nota cautelativa
tipo "chi usa queste pagine lo fa a suo rischio e pericoo" :-)



 


 limite di distanza infinita non funziona.
Penso di aver capito piu' o meno che cosa non ti torna, ma non ho idea
del perche'. Dovrei provare a fare il conto io, ossia ad andare
avanti, come dici...
Ma chissa' quando mi sara' possibile.


 Hyper


 Il potenziale all'interno di una sfera conduttrice carica e' di 1 V. Se la

Ho una risposta che ritengo parzialmente conclusiva, ma questa
conclusione contiene delle difficolta' che vorrei sottoporre
alla vostra attenzione. Il potenziale puo' 
essere valutato sia con il metodo delle immagini che per soluzione 
diretta del potenziale. Per soluzione diretta del potenziale 
l'espressione a cui pervengo e':
Lim  1/{(2 Sinh[z])*[Sum_(n=0)^(oo)(1/(Exp[(2n+1)z-1]-1))}
z->0 
non mi riesce di provare che questo limite sia un numero 
diverso da zero. Mentre mi riesce facilmente una dimostrazione
del contrario, basata sulla circostanza che si applica lo scambio
del limite con la sommatoria sul limite della funzione inversa di
quella che ho scritto si ottiene una serie divergente. Ovviamente
la dimostrazione non e' supportata facilmente dai conforti teorici
elementari adatti allo scopo, proprio perche' il teorema della
convergenza dominata richiederebbe la convergenza della serie limite
per essere applicato. Un'altro test indica tuttavia un valore del limite
pari a zero. Se infatti sostituiamo la sommatoria con un
integrale troviamo un limite molto semplice che tende a zero.
In effetti che il potenziale tenda a zero puo' apparire paradossale
perche' se la sfera ed il piano hanno potenziale zero allora non
c'e' carica sulla sfera. La situazione puo' tuttavia essere pensata
in altro modo significa solo che tutta la carica della sfera si
concentra in prossimita' del punto di contatto. In modo che la
serie dei multipoli si approssima a zero, ovvero avremmo una
soluzione limite un poco paradossale in cui tutta la carica finisce
compensata da una carica contraria distribuita puntualmente ma con
momento di dipolo e con i momenti di ordine superiore nulli. Questo
e' pensabile. Infatti se avviciniamo due cariche puntiformi fino
a portarle a contatto otteniamo carica nulla.  
Per contro il metodo delle immagini produce valore per valore gli 
stessi risultati delle espressione che ti ho scritto qui sopra,
fino a quando i due metodi risultano entrambi a convergenza, come
deve essere poiche' i due metodi sono entrambi esatti. Ma quando
effettuiamo il limite per z che tende a zero nel caso del metodo 
delle immagini posso affermare che questo limite converge a patto di
dimostrare che la sequenza delle cariche compensative dia luogo ad
una serie sommabile. E' possibile dimostrare che la sequenza delle
cariche compensative converge? 
Per questo scopo devo passare per un truccaccio: trasformo l'equazione
sommatoriale che definisce la carica centrale all'iterata n
in un'equazione integrale. Poi trasformo questa equazione integrale
con Laplace ottenendo una trasformata di Laplace di una possibile
soluzione che in 0 risulta valere un numero finito. Questo metodo 
potrebbe essere intrinsecamente errato, perche' la soluzione algebrica
dell'equazione che definisce la trasformata di Laplace e' la trasformata
di Laplace della soluzione a meno di funzioni improprie che potrebbero
compromettere la convergenza con valori in zero intrinsecamente
infiniti. Tutto dipende dalle condizioni asintotiche
per valori della variabile minori di zero. 
D'altra parte, come dicevo la serie delle cariche immagine che 
corrisponde alla soluzione che ho trovato converge logaritmicamente,
basta allo scopo studiare il comportamento in zero della trasformata
di Laplace, allora anche ammesso che questa stima del potenziale sia
corretta essa non permette stime elementari del valore del limite. 
A questo punto domando a voi: quale ritenete che sia lo scenario 
piu' sensato: il potenziale della sfera nella condizione di tangenza
e' zero oppure e' diverso da zero? Se volete scrivo in un file tex
tutte queste chiacchiere, mettendo pero' nero su bianco tutti i 
passaggi utilizzati. 


 (Sinh[mu]\Sum_{n=0}^{\infty} e^{-(2n+1)mu}/[1-e^(-(2n+1)mu])^{-1}
Vedo che l'avviso e' servito :-))
Comunque grazie.
Ora sarei un po' in obbligo di contribuire alla fatica che stai
facendo, ma non faccio promesse...


 corretta essa non permette stime elementari del valore del limite. 
Scusate ma mi sbagliavo. In effetti mi ero accorto subito di
una cosa che li' per li' mi aveva infastidito, mentre adesso
mi risulta non solo soundly ma sorprendente. In effetti la
trasformata di Laplace per la sequenza delle cariche centrali
e' unitaria in zero. Cioe' a dire le cariche centrali 
compensano esattamente la carica. Quindi anche questo approccio
a volersi fidare del risultato indica che il potenziale e'
nullo quando la sfera va contatto con il piano. Inoltre i due
metodi concordano nel prevedere convergenza logaritmica. 
Quindi io a questo punto voto per lo zero. Che e' il voto 
che do' a questo compito. Dato che era la prima risposta
che avevo pensato nel leggere il testo del tuo quesito, ma
che poi avevo pervicacemente negato, un mese intero per 
trovare cio' che avevo detto in primisi pensando di sbagliarmi.
bah. 
