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Titolo: Relatività e paradossi

Ciao
Ho appena cominciato a studiare l'esame di relatività e mi è venuto in
mente di cercare di risolvere il problema, di cui si era discusso su
questo ng, dello sciatore e della buca.
Sarei veramente felice se qualcuno mi fornisse qualche titolo di testo
chiaro che mi facesse comprendere una volta per tutte 'sti
paradossi...(per me sono veramente ostici).
Io sono convinto di aver compreso quello dei gemelli nella versione data
sul libro di struttura di "Brehm e Mullin"( in cui un gemello parte a
velocità prossima a quella della luce, viaggia un po' poi
istantaneamente inverte la rotta), non riesco invece ancora a concepire
una trattazione dei gemelli che sia completamente simmetrica(ovvero
prendo i due pargoli, che hanno la stessa massa, li metto su una molla e
li faccio rimbalzare) a occhio sembra spontaneo dire in questo caso che
i loro orologi al momento del ricongiungimento segneranno lo stesso
orario(il problema è simmetrico) però ciò sembra in contrasto col fatto
che l'orologio dell'uno nel sistema dell'altro dovrebbe sempre essere
più lento....
Aspettando titoli che spieghino i 2 interessanti problemi, vi saluto
 Ciao
    Paolo
     Grazie

 
  Ciao, nel caso dei due gemelli in moto simmetrico rispetto ad un sistema
  inerziale (e quindi in moto simmetrico rispetto alla "geometria dello spaziotempo"),
  la cosa migliore per convincersi che i loro orologi segneranno lo stesso tempo al secondo
  incontro se lo segnavano al primo e' notare che l'intervallo di  tempo e' la lunghezza 
  minkowskiana di ciascuna curva di universo, la simmetria fa il resto.
  OK, ma questo non ti piace immagino, perche' vorresti capire cosa "vede" ciascun
  gemello riguardo al tempo segnato dall'orologio dell'altro durante il viaggio.
  Allora bisogna fare delle precisazioni.
  1) Quando hai un osservatore nello spaziotempo di Minkowski,
  cioe'per essere antropomorfi un omino che descrive il mondo intorno a se stesso, §
  cio' determina una linea di universo nello spaziotempo (l'omino puo' essere sostituito da
  un robot o da una macchina che registra, non c'entra niente il fatto che uso esseri viventi
  o meno). Lo spazio di quiete con l'omino deve essere pensato come un iperpiano a 3 dimensioni 
  che interseca la curva in un evento. 
  Nell'intersezione il piano e la curva sono perpendicolari (nel senso pero' della geometria
  minkowskiana) e questo corrisponde, non entro nei dettagli, al postulato di invarianza
  della velocita' della luce.
  L'orologio dell'omino assegna un tempo, quello segnato dal suo orologio nell'evento
  intersezione piano - curva, a tutto l'iperpiano. Ci sara' un piano per ogni evento
  e quindi per ogni tempo sulla sua curva di universo OK?
  Se la curva di universo dell'omino e' una geodetica, cioe' una retta dello spaziotempo,
  accade che i vari piani, a tempi diversi, non si intersecano mai.
  Purtroppo, se la curva di universo non e' una geodetica, cioe' se l'omino accelera, 
  ci saranno piani a tempo diverso per l'omino che si intersecano (puoi intuirlo
  benissimo pensando la curva nello spazio euclideo a 3D ed i piani bidimensionali 
  normali a ciascun punto sulla curva: se la curva non e' una retta, ci saranno
  dei piani che si interscano).
  Tutto questo mostra come la nozione di "spazio di quiete ad un tempo fissato" con 
  un osservatore accelerato e' una nozione pericolosa e maldefinita, perche' puo' accadere 
  che *lo stesso evento*, a detta di un osservatore accelerato appaia *due volte* in due 
  tempi diversi nello spazio di quiete dell'osservatore corrispondente ai due tempi.
  2) Quando hai un osservatore con la sua linea di universo e i suoi spazi di quiete
  ad ogni tempo, e hai anche un secondo osservatore, questo tagliera' ogni piano di
  quiete del primo osservatore. (Nota che gli spazi di quiete con il secondo
  osservatore NON coincidono con quelli di quiete del primo: ogni osservatore "seziona"
  lo spaziotempo in "fette spaziali" in modo diverso, la contrazione di Lorentz e' facile da
  intuire da questo punto di vista.) 
  Quando ci riferiamo ai fenomeni come la dilatazione  dei tempi e cose simili, stiamo 
  confrontando i seguenti intervalli di tempo.
  Si prendono i piani di quiete con *un* osservatore etichettati ad intervalli regolari
  del *suo* tempo, diciamo Dt e si considerano gli intervalli di tempo Dt' misurati 
  dall'*altro* osservatore tra due intersezioni successive con i piani di quiete del
  *primo* osservatore. (come vedi la situazione non e' per niente simmetrica dato chegli spazi
  di quiete dei due osservatori non coincidono, ed e' per  questo che la dilatazione dei tempi
  puo' essere vista da *entrambi* gli osservatori senza paradossi logici...)
  Consideriamo ora il tuo problema: due osservatori prima nello stesso posto allo stesso
  tempo, evento A, che poi si allontanano a velocita' costante, accelerano (negativamente)
  per invertire  il loro moto riprendono il loro moto di avvicinamento a velocita' costante, 
  e si incontrano nuovamente in un evento B.
  La situazione sia di perfetta simmetria in un riferimento inerziale in cui si osserva
  il fenomeno. Siano a e b i due osservatori. Consideriamo la linea di universo di a ed
  e gli spazi di quiete di a etichettati dal tempo di a ad intervalli regolari, diciamo
  un secondo. Consideriamo quindi le intersezioni su *questi piani* della curva di universo
  dell'*altro* ossevatore, b ed gli intervalli di tempo segnati dall'orologio di b tra due intersezioni
  successive. Tutto quanto diremo, puo' essere detto per b al posto di a in perfetta 
  simmetria, usando i piani di quiete di b invece che di a.
  Ecco quello che accade qualitativamente: prima che b inverta il senso di marcia ed il suo 
  moto e' a velocita' costante rispetto ad a (e rispetto ad un osservatore inerziale) gli 
  intervalli di tempo di b tra due piani successivi di a risultano essere piu' *corti* di 
  quelli misurati da a. Il fattaccio avviene negli eventi in cui b accelera e  cambia direzione
  del suo moto per riavvicinarsi ad a. In quel tratto di strada la situazione cambia completamente 
  e gli intervalli di tempo di b risultano essere piu' *lunghi* di quelli di a, tanto che
  alla fine della fase di accelerazione l'orologio di b ("visto" sugli iperpiani di quiete di a)
  si trovera' avanti rispetto ad a.  A questo punto la velocita' di b ridiventa costante e
  al solito gli intervalli di tempo di b risulteranno piu' *corti* di quelli che legge a sul
  suo orologio e cio' e' sufficiente per cancellare, all'incontro finale in B l'anticipo 
  dell'orologio di b, e in B i due orologi segneranno ancora la stessa ora.
 
  Si puo' fare esattamente lo stesso discorso per a rispetto a  b.
 
  Fammi sapere se sono stato chiaro.
  Ciao, Valter

Ciao
  .....o meno). Lo spazio di quiete con l'omino deve essere pensato come un iperpiano a 3 dimensioni
  che interseca la curva in un evento.
  Nell'intersezione il piano e la curva sono perpendicolari (nel senso pero' della geometria
  minkowskiana) e questo corrisponde, non entro nei dettagli, al postulato di invarianza
  della velocita' della luce.
  L'orologio dell'omino assegna un tempo, quello segnato dal suo orologio nell'evento
  intersezione piano - curva, a tutto l'iperpiano. Ci sara' un piano per ogni evento
  e quindi per ogni tempo sulla sua curva di universo OK?
  Se la curva di universo dell'omino e' una geodetica, cioe' una retta dello spaziotempo,
  accade che i vari piani, a tempi diversi, non si intersecano mai.
  Purtroppo, se la curva di universo non e' una geodetica, cioe' se l'omino accelera,
  ci saranno piani a tempo diverso per l'omino che si intersecano.....
Dunque ne deduco che può esistere un evento dello spazio-tempo contemporaneo a (per esempio) due ore
diverse del mio orologio?
Ritengo che tu abbia spiegato abbastanza chiaramente cosa succede in quel caso, però mi resta un problema:
non riesco a far conciliare questa descrizione con il fatto che  dt=gamma*dt'  e che quindi per calcolare
quanto tempo è trascorso sull'orologio del gemello B nel sistema di riferimento del gemello A devo
integrare l'equazione sopra...(nella quale il tempo proprio scorre sempre più velocemente!)
Ciao
 Grazie
    Paolo

     Paolo

 
  Ho capito. Fai una cosa: fatti un diagramma spaziotempo in cui in un terzo riferimento inerziale
  rappresenti il moto simmetrico rispetto all'asse t dei due osservatori che ci iteressano
  (approssima i loro moti con due rette (geodetiche) spezzate (prima divergono e poi convergono. Disegna
  i piani di quiete per bene e ti accorgerai del disatstro che accade nei punti in cui le rette
  si spezzano...
  Ciao, Valter