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Titolo: esercizi cattivi su forme differenziali lineari (Analisi2)

Allora, io non riesco a venirne a capo, e fra 2 settimane (!) ho lo
scritto;spero che voi possiate darmi una mano, perché sono nella c***a. In
particolare ho grossi dubbi su questi di seguito, che cercherò di scrivere
in modo più chiaro possibile (Outlook permettendo):
-Esercizio 1-
Data la f.d.l.  w = [ysiny / y^2 + x^2 (siny)^2]dx + [x(ycosy - siny) / y^2
+ x^2 (siny)^2]
si chiede di :
a) disegnare il dominio D di w e verificare che è semplicemente connesso
b) determinare l'unica primitiva F(x,y) di w che può essere estesa con
continuità a tutto R^2 e tale che F(0,pigreco) = 0
etc.
domanda 1: a me sembra che il dominio D sia l'unione dei 2 semipiani aperti
di R^2 aventi come frontiera l'asse x (cioè D = insieme dei punti del piano
tali che y diverso da zero), dal momento che solo i valori nulli di y
annullano il denominatore (no?); perciò come fa D ad essere sempl. connesso?
se D è quello che ho indicato io non è nemmeno connesso!; ed inoltre se è
vero il punto a) si farebbe subito a dire che w è esatta (oltre che chiusa),
proprio perché chiusa di classe C1 su un aperto semplicemente connesso...
b) Come si fà?
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-Esercizio 2-
Data in A = R^2 \ (0,0) la f.d.l.  w(x,y) = [(y^2 - x^2) / (x^2 + y^2)^2]
dx - [2xy / (x^2 + y^2)^2]dy
verificare che le sue componenti sono omogenee di grado -2 in A (- questo
è banale-).
Deteminare la legge delle primitive di w in A
Dunque: il dominio della f.d.l. è tutto R^2 tranne l'origine (0,0); domanda:
un tale insieme è conico? perché in tal caso sfrutteri quel teorema derivato
dal teorema di Eulero, in base al quale una f.d.l. è esatta se e solo se è
chiusa nel suo sottoinsieme conico di esistenza, e una primitiva della forma
è :
1/(p+1) * Sigma x(j)w(j)
dove per Sigma intendo una sommatoria, p è il grado di omogeneità e (j)
sono, a pedice, gli indici che variano fino ad n.
Certo che se A non fosse conico mi toccherebbe integrare, e mi dispererei!
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-Esercizio 3- (il più bastardo, secondo me)
Date le f.d.l.  w(x,y) = [(x^(2n-1)) / (a(x^2n) + y^2n + 1)]dx + [y^(2n-1) /
(x^2n + y^2n + 1)]dy  = w1 dx + w2 dy
determinare i valori del parametro a (naturale) per cui la circuitazione
delle w sia nulla per ogni curva chiusa regolare a tratti di R^2.
Ho pensato a due metodi: il primo che si basa sulla parametrizzazione di una
generica curva di R^2 , gamma = (x(t), y(t)) su cui integrare la mia w,
metodo che francamente non so dove può portare (integrare su un circolo
parametrizzabile in coseno e seno, oltre a far perdere in generalità
porterebbe anche ad un integrale che non so risolvere)...; il secondo è
quello più "semplice" che espongo in questi termini: affinché la f.d.l abbia
circuitazione nulla è necessario che essa sia esatta; mi riconduco dunque a
cercare i valori a per cui w sia esatta. Procedo allora nel modo classico,
integrando il primo coefficiente della forma in dx, ottenendo log(...) +
q(y) , espressione che poi derivo in y, ottenendo dq/dy = ... = w2; faccio
lo stesso col secondo coefficiente, in maniera però simmetrica e ottengo
dq/dx = ... =w1. Ora che ho le derivate di q rispetto a x e a y, le integro
rispettivamente in dx e in dy, e impongo che le funzioni q1(x,y) e q2(x,y)
che ricavo siano uguali, ed è questa l'equazione che mi permette di ottenere
a.
Ma c'è un "piccolo" problema: l'equazione è trascendente, il parametro a
nell'equazione si trova come fattore moltiplicativo e all'interno
dell'argomento di un logaritmo! Che disastro...Basterà la relazione finale
per la validità dell'esercizio? In fondo è una condizione necessaria per
l'esattezza della forma..., sempre che il ragionamento sia giusto (mmmm...)
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Scusatemi per la prolissità e per la barbara formattazione del testo, ma non
ho saputo esporre i problemi
diversamente senza allegare un file scritto con equation editor in cui
scrivere le equazioni come Dio comanda,ma non si può;
Mi fareste un immenso favore rispondendo anche solo ad una delle mie domande
(a mezza, un quarto, vedete voi  ), perciò non siate parchi nel darmi
suggerimenti: ne ho bisogno.
Grazie.

Osserva che sia [ysiny / y^2 + x^2 (siny)^2] che [x(ycosy - siny) / y^2
+ x^2 (siny)^2] sono funzioni infinitesime per y-->0.
per la prima basta usare lo sviluppo di Taylor al primo ordine per la
seconda occorre anche il successivo non identicamente nullo cioč il terzo:
cosy ? 1 -y^2/2 e siny ? y - y^3/3!.
Cosi facendo ottieni [x((y(1 -y^2/2) - y - y^3/3!)] / y^2 ? [ x(y -y^3/2 - y
+y^3/3!) ]/y^3 che č proporzionale ad y e quindi nullo per y-->0.
Quindi la forma č definita in R che č connesso.
il resto in seguito
Ciao
Francesco


Grazie mille per la risposta; temevo che sarei stato ignorato.
A questo punto attendo con ansia ulteriori spiegazioni, sempre che ti sia
possibile.
Ciao.
P.S.: sono studente di fisica, e tante cose dell'analisi non riesco proprio
a metabolizzarle...

bhe cominciamo con l'aggiustare qualche errore di copia ed incolla e di
battitura veloce che sempre mi capita.
"Quindi la forma è definita in R^2 che è connesso." , ma era ovvio.
"Cosi facendo ottieni [x((y(1 -y^2/2) - y - y^3/3!)] / y^2 ? [ x(y -y^3/2 -
y
+y^3/3!) ]/y^2", in quest'ultima ci voleva un quadrado al denominatore e non
un cubo.
Veniamo a qualche altro spunto, perchè non mi va di fare (più che altro
scrivere) tutti gli esercizi.
1)    b) Come si fà?
Non sempre puoi evitare le integrazioni. Accertato che sia una forma diff
esatta, e questo lo puoi fare usando il teorema di Schwartz, cioè
controllando che le derivate parziali in croce siano uguali. Mi spiego
meglio:
Sia w = f1(x,y)dx + f2(x,y)dy devi verificare che sia df1/dy =df2/dx, dove
qui l'operatore d è la derivata parziale. Questo ti servirà anche per gli
altri esercizi, per questo es. è scontato dal testo.
In questo credo debba necessariamente fare le integrazioni. Così:
Scegli uno punto A(x1,y1) poi  il punto P(x,y), integrale della forma
differenziale se esatta non dipende dal percorso perciò può convenire
spezzare l'intgrale di w in due parti. La prima da A a B(x,y1) in cui varia
solo la x la y rimane costante ad y1 quindi il secondo pezzo (quello in dy)
non ci sarà e la seconda da B a P in cui varia solo la y l'ascissa è
bloccata ad x, (ed il primo integrale non ci sarà in quanto dx =0).
Così l'ho fatto, credimi non lungo a penna ma seccante da trascrivere per il
formalismo.
Ottenuta la primitiva generale non ti resta che imporre la continuità in
(0,Pi).
Nota che la tua f2 ha un primo pezzo che è (ycosy - siny) / y^2 =
d(siny/y)dx  perciò l'integrale non è difficilissimo.
per il secondo, non so cosa s' intende per "Deteminare la legge delle
primitive di w in A", quindi non  so farlo, ma da qualche calcolo eseguito
direi che non è una forme differenziale esatta.
Il terzo mi sembra meno complicato di come immagini tu.
Lça circuitazione è nulla per ogni curva chiusa se e solo se la forma
differenziale è esatta, quindi come sopra farai delle derivate e le
uguaglierai invece di lavorare con gli integrali, proprio ciò che volevi
evitare.
Ciao
Francesco

Innanzitutto ti ringrazio per i preziosi suggerimenti.
Ti chiedo: se so dal principio che l'insieme dov'è definita la forma
differenziale non è stellato, sempl.connesso ecc. (condizioni dalle quali ho
chiusura <=> esattezza), potrebbe accadere che una primitiva che ricavo in
qualche modo (integrando lungo una spezzata coi segmenti paralleli agli assi
coordinati ad esempio) non sia differenziabile in qualche punto; ma allora è
sempre necessario differenziare di nuovo la primitiva che trovo per vedere
se torna la f.d.l. di partenza, dopo averne studiato la differenziabilità?
Scusa se mi approfitto della tua disponibilità, ma l'esame...
Ciao.