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Titolo: Equazione del calore con sorgente

Salve, mi scuso in anticipo per la terminologia non troppo corretta:
Prendiamo l'equazione del calore standard: ut = K uxx (per 0<=x>=L;
t>=0)
Se prendiamo le condizioni al contorno u(0,t) = u(L,t)=T la soluzione
stazionaria esiste è sarà semplicemente la funzione costante T.
Se prendiamo le condizioni di newman con ux(0,t)=A ; ux(L,t)=B, la
soluzione stazionaria esiste solo se A=B.
Prendiamo ora una sorgente di calore, con questa l'equazione sarà ad
esempio: ut = K uxx + Q(x) (per 0<=x>=L; t>=0) con condizioni di
Dirichlet omogenee
1)Volendo trovare la soluzione stazionaria basterà porre K uxx + Q(x)
= 0
ma in questo caso devo verificare a priori se la soluzione stazionaria
esiste verificando che la conservazione della quantità di calore sia
soddisfatta?
2) E come si verifica? Io avevo pensato semplicemente, dato i discorsi
precedenti, di integrare tra 0-L la Q(x) verificando che l'integrale
venga zero. Infatti in questo caso la sorgente di calore è sia
positiva che negativa in modo tale da annullarsi a vicenda. Per
spiegarmi: se Q(x)=COST > 0 allora la sorgente di calore essendo
sempre positiva non fa arrivare mai la soluzione ad un risultato
stazionario perchè diciamo che c'è sempre un emissione di calore
(forse il mio errore è che intendo Q(x) come un flusso?)
Scusate per la lunghezza
Grazie

 (forse il mio errore è che intendo Q(x) come un flusso?)
Ma parli di condizioni di Dirichlet omogenee o di Neumann? Avevi detto
Dirichlet, ma dal discorso che fai poi sembra che tu ti riferisca alle
condizioni di Neumann omogenee...allora avresti ragione.

Dunque per verificare a priori la conservazione del calore mi basta
verificare che K(u_x(B)-u_x(A)) = -int[A,B] (Q(x) dx) dove Q(x) è
dato.
Con condizioni di Neumann u_x(A) = u_x(B) =COST (anche zero) avrei
semplicemente da verificare che int[A,B] (Q(x) dx) sia zero
Con condizioni di Neumann u_x(A) = C1 u_x(B) =C2 devo verificare  che -
int[A,B] (Q(x) dx) sia uguale a K(u_x(B)-u_x(A)) = K(C2 - C1)
Con condizioni di Dirichlet devo verificare  che -int[A,B] (Q(x) dx)
sia uguale a K(u_x(B)-u_x(A)) ma in questo caso prima però devo
risolvere l'equazione ordinaria
Ku_{xx} + Q(x) = 0 trovando l'integrale generale e poi sostituendola
all'equazione precedente per vedere se la soddisfa.
Il mio dubbio riguardava anche il fatto che in questo ultimo caso cmq
devo prima trovare la soluzione stazionaria e poi verificare se
soddisfa la conservazione della quantità di calore mentre nei primi
due casi, già con un primo sguardo potevo capire o meno se risultava
soddisfatta.
Ho capito bene?
Grazie

 Grazie
Per niente, non hai proprio afferrato il senso di quella verifica.
L'equazione del calore rientra fra le cosiddette equazioni di
conservazione, cioè equazioni per le quali ogni soluzione, se esiste,
soddisfa una condizione di conservazione, che nel nostro caso è
a) K(u_x(B)-u_x(A)) = -int[A,B] (Q(x) dx)
Ergo se tu trovi una soluzione stazionaria u, *lo sai già* che
soddisfa a), non ha senso che lo verifichi. E' ovvio: a) l'hai dedotta
proprio dall'equazione del calore + le BC, ergo poichè una soluzione
per definizione soddisfa l'equazione del calore e le BC, soddisfa pure
a) . L'uso che fai di a) è invece al contrario: se ancora non hai
trovato una soluzione, puoi verificare se è possibile che ne esista
una, vedendo se esiste una possibilità per a) di essere soddisfatta.
Per esempio, se hai condizioni di Neumann u_x(A) = u_x(B) =COST e hai -
int[A,B] (Q(x) dx)=\=0, allora la soluzione non la cerchi proprio,
perchè sai che qualsiasi soluzione stazionaria dovrebbe soddisfare a),
ma poichè non può esistere nessuna funzione u che soddisfi a), sai che
non esiste soluzione stazionaria.
Quindi nel caso di condizioni di Neumann, a) è una condizione
necessaria per l'esistenza delle soluzioni stazionarie. Nel caso di
condizioni di Dirichlet o Neumann, visto che le BC non fissano il
valore di Ku_{x}, a) non ti dice niente sull'esistenza o meno di
soluzioni stazionarie.
Se come credo sei uno studente laureato, complimenti per lo sforzo di
capire il senso di queste cose, invece di impararle semplicemente a
memoria.

 memoria.
Grazie, sono uno studente di ingegneria civile che deve finire
l'ultimo anno. La matematica mi piace però devo dire che un aiuto
grande rispetto ai semplici appunti del corso (essenzialmente
matematici) me lo ha dato il libro di Stanley Farlow " Partial
Differential Equations for Scientists and Engineers" che mi ha
permesso, prima di gettarmi sulla metodologia di risoluzione, di
vedere il significato fisico che l'equazione con le sue condizioni
rappresenta,  e questo è un grosso aiuto per me.

 rappresenta,  e questo č un grosso aiuto per me.
Sě, questo modo di trattare le PDE tralasciando le applicazioni č
abbastanza diffuso in Italia, e capisco che faccia cascare le palle.
In particolare a te che sei un undergraduate d'ingegneria, che
immagino abbia meno basi matematiche e si ritrova privato proprio
della parte che potrebbe capire meglio. Perň il Farlow č un testo
superficiale e incompleto. Sarei tentato di suggerirti qualcos'altro,
ma ti conviene di piů finire gli esami e laurearti che non disperderti
su altri testi. In bocca al lupo.


Chiudo il thread:
per verificare la conservazione della quantità di calore piuttosto che
ragionare sui flussi, in questo caso, posso data una condizione
iniziale trovare appunto la quantità di calore iniziale...poi trovando
la soluzion stazionaria posso integrare questa per poter trovare la
quantità di calore a tempo infinito... se le due quantità non
coincidono non c'è conservazione di calore
P.S.
Gran parte della mia confusione era anche dovuta alla relazione che
c'è o non c'è tra conservazione e soluzione stazionaria.


Se vuoi chiuderla qui ok, ma secondo me sei più fuori strada di prima.
int[A,B](u(x,t)dx) = f(t) di certo non è una funzione costante del
tempo: tu arrivi alla stessa soluzione stazionaria a partire da
infinite soluzioni iniziali diverse, per ognuna delle quali int[A,B]
(u(x,0)dx) = f(0) è diverso. Invece la soluzione stazionaria u_s,
fissate le condizioni di Dirichlet e Q(x), è unica, e ha un ben
preciso valore di int[A,B](u_s(x)dx) che in genere sarà diverso da
f(0). L'unico senso in cui puoi dire che f "si conserva" è che la sua
variazione nel tempo è pari a flussi entranti - flussi uscenti +
produzione. Insomma secondo me l'esercizio ti chiedeva semplicemente
di ricavare la relazione
K(u_x(B)-u_x(A)) = -int[A,B] (Q(x) dx)
(valida per la soluzione stazionaria) oppure
int[A,B]((u(x,T)-u(x,0))dx) = int[0,T] ( (Ku_x(B,t)-Ku_x(A,t) +
int[A,B] (Q(x) dx)) dt )
(valida per ogni T). Bisognerebbe leggere il testo esatto
dell'esercizio, o meglio ancora dovresti parlarne col tuo prof.

 Bisognerebbe leggere il testo esatto
dell'esercizio, o meglio ancora dovresti parlarne col tuo prof.
ci andrò la settimana prossima!
intanto però grazie al tuo aiuto mi sto addentrando meglio nel
problema.

 (forse il mio errore è che intendo Q(x) come un flusso?)
Esatto, il punto è che il flusso è dato da - k Grad(u) quindi è
perfettamente ammissibile avere un flusso di calore uscente per assegnate
condizioni di Dirichlet omogenee (è il caso di una lampadina per esempio: il
calore generato dalla corrente viene continuamente dissipato ai bordi, dove
la temperatura raggiunge un valore stazionario, e se è lecito assumere
proporzionalità fra contenuto termico per unità di volume e temperatura hai:
u(x) = a T(x) quindi fissare la temperatura al bordo equivale a fissare il
contenuto termico specifico) diversamente, se imponi le condizioni di
Neumann il flusso termico è fissato e non necessariamente bilancia la
produzione termica).
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 problema.
Mi fa piacere per te. In bocca al lupo x l'esame.