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Titolo: espansione della funzione di partizione

Stavo calcolando la funzione di partizione di un certo sistema
perturbato da un campo esterno e devo valutare delle espressioni del
tipo
Z[A]=Traccia[Exp(A+xB)]
con x c-numero piccolo e con A e B che non commutano (ne' hanno un
commutatore con semplici proprieta'  di commutazione rispetto ad A e
B, tranne il fatto che  il fatto che in realta' A e' proporzionale
all'Hamiltoniana libera del sistema e quindi genera le traslazioni
temporali, [A,O(t)] proporzionale a d/dtO(t) e B in generale puo'
dipendere dal tempo).
Il primo ordine in x usando la ciclicita' della traccia che permette
di risommare le serie si fa facilmente.
Suggerimenti per arrivare al secondo ordine?
Trovo due serie che non riesco a risommare in una forma chiusa
(qualcosa del tipo Traccia[sum_n sum_m C(m,n) A^(n-m) B A^m B] con
C(m,n) coefficienti opportuni... )
Inoltre poi non sarebbe male riuscire a tirare fuori un fattore Exp[A]
cosi' che il risultato sia del tipo
Z[A]=Z[A=0](1+xC<B>+x^2D<E>)
dove <> e' la media termica rispetto alla Z[A=0]. C l'ho trovato, mi
manca D ed E.
Il sospetto e' che dovro' usare il fatto che A e' prop
all'Hamiltoniana e che quindi avro delle derivate di B nella matrice
E.
Grazie e saluti

 B,
Ciao hai provato con la formula di Trotter?
Ora sono troppo stanco per fare il calcolo, ma , a naso mi sembra che
possa aiutarti.
Exp(A+xB) = lim_{n->+oo}   (Exp(A/n) Exp(xB/n))^n
Facendo le cose da fisici teorici (se funziona funziona sennò si cerca
di capire dov'è l'inghippo)
Tr Exp(A+xB) = lim_{n->+oo}   Tr (Exp(A/n) Exp(xB/n))^n
Il secondo membro lo approssimo con
 lim_{n->+oo}  Tr{ [Exp(A/n) (I + x B/n + x^2B/(2n))]^n}
Ora, per n sempre più grande, si calcolano le tracce a secondo membro
trascurando tutti i termini di ordine superiore a x^2.  Credo che al
crescere di n la cosa si stabilizzi. Tieni anche conto che la parte
non banale
a fattore di x^2 sarà per forza del tipo  C(n) Tr [Exp(A/n) B Exp(A/n)
B] o qualcosa del genere con due fattori
B e interposti un pò di esponenziali Exp(A/n) che tendono a I per n->
oo.
C(n) è un coefficiente che dipende da n che bisogna calcolare a mano.
 Nel limite per n-> +oo Tr [Exp(A/n) B Exp(A/n) B] -> Tr B^2
per cui c'è solo da calcolare il limite di C(n). Se converge a
qualcosa dovrebbe essere fatta.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Ciao, ho provato a fare i calcoli per la strada che dicevo, ma mi pare
che le cose siano piů diffiicli di quanto pensavo ieri sera. Se ho un
pň di tempo, piů tardi magari cerco di capire meglio. Ciao, Valter

 qualcosa dovrebbe essere fatta.
Ciao, mi sa che l'hai fatta troppo facile.
A me viene usando la formula di Trotter che il termine in x^2 e' un
po' piu' complicato di come descrivi. Mi viene cosi':
x^2 Lim_{n->oo} 1/n^2 sum_m^{n-1} (n-m+1) Tr{exp(A) exp{-A m/n} B
exp{A m/n} B}
Ho un controllo: se [A,B]=0 la somma si fa e il limite viene proprio
1/2 x^2 Tr[exp{A}B^2] come deve essere.
Se pero' [A,B]=/=0 non so che pesci prendere. Qualche suggerimento?
Mi e' stato suggerito anche di usare lo sviluppo perturbativo a tempi
immaginari analogo a quello che si usa in teoria delle perturbazioni
con la matrie S, dove apparira' un prodotto tempo-ordinato (e in
effetti A e' proporzionale all'hamiltoniana). Preferivo pero' trovare
un'altra via diretta con la quale fare il conto, magari che
funzionasse solo per il secondo ordine.
Grazie, ciao

 pò di tempo, più tardi magari cerco di capire meglio. Ciao, Valter
Ho gia' postato che il risultato mi veniva piu' complicato di quello
che dicevi ma tarda ad apparire.
Visto che prima o poi apparira' mi limito a dire che il termine
proporzionale a x^2
e' del tipo
Lim_{n->oo} 1/n^2 Sum_{m=1}^{m=(n-1)}  [(n-m+1) Tr[exp{A} exp{-A m/n}
B exp{A m/n}]].
Questa dovrebbe essere giusta perche' ad esempio da' il risultato
giusto nel caso [A,B]=0.
A questo punto credo di dover usare il fatto che A e' prop.
all'Hamiltonia e che B=B(t) quindi che [A,B(t)] e' prop. a d/dtB(t).
Ne segue che il termine del secondo ordine mi viene del tipo
Lim_{n->oo} 1/n^2 Sum_{m=1^m=(n-1)} (n-m+1) Tr[exp{A} B(t-ic m/n)
B(t)]. (c sara tipo l'inverso della temperatura)
A questo punto mi sono ricondotto a dover calcolare un valore di
aspettazione <B(t-ic m/n) B(t)> rispetto all'hamiltoniana
imperturbata.
Questa e' un'espressione che ho infatti avevo calcolato
precedentemente <B(t1)B(t2)> propa  {1/c^2 1/Sinh^2[1/c(t1-t2-
iepsilon)]}.
Dunque devo valutare una cosa  del tipo.
Lim_{n->oo} 1/n^2 Sum_{m=1^m=(n-1)} (n-m+1) {1/c^2 1/Sin^2[m/n]}.
Siccome c'e' 1/n^2 in fronte posso tenere solo i pezzi dominanti... lo
devo ancora finire ma non so se da' un risultato finito. ogni
suggerimento e' ben accetto.