Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Energia campo magnetico e lavoro

Ciao a tutti
� noto che il campo magnetico su una carica in moto non compie lavoro,
ovvero l'energia cinetica di tale particella non viene modificata ci�
che cambia � solo la direzione della velocit�. Presupposto ci� allora
non mi spiego perch� ad esempio presa una spira circolare posso
definire un energia potenziale proporzionale al prodotto scalare tra
il momento della spira e il campo, se il campo non compie lavoro sulle
cariche in moto. Inoltre perch� definiamo una densit� di energia
magnetica se tale campo non compie lavoro?
In sostanza so fare l'esercizietti di calcolare l'energie ma non
riesco a raccordare il concetto di energia potenziale del campo
magnetico con il fatto che il campo non compie lavoro. Cio� per me se
non compie lavoro non c'� differenza di energia cinetica e quindi non
c'� nessuna energia potenziale magnetica.
C'� qualche testo magari che ne parla di questo problema?

 C'� qualche testo magari che ne parla di questo problema?
Lo trovi trattato in tutti i testi seri di elettromagnetismo (in questo 
momento ho in testa nel settore memoria fotografica il Landau di 
elettrodinamica nei mezzi continui e lo Stratton (ma sono sicuro che ci 
debba essere anche nel libro di Jackson e altri).
In breve, �  vero che la forza di Lorentz non fa lavoro. Ma se accendi 
un campo magnetico avrai anche un flusso magnetico variabile con annessa 
f.e.m.  che invece il lavoro lo fa  eccome! Facendo i conti il mister si 
risolve.
Giorgio


mica tanto...q in B => che q ha un moto accellerato => emissione di
o.e.m. => perdita d'energia

 C'ï¿œ qualche testo magari che ne parla di questo problema?
Direi tutti i manuali universitari di Fisica II - elettromagnetismo.
-- 
TRu-TS
Conoscenza non e' ricordare le cose,
ma ricordare in che libro cercarle.
Beniamino Placido

 Direi tutti i manuali universitari di Fisica II - elettromagnetismo.
La questione � che rimane ancora della confusione su questo argomento
che ha profonde radici storiche. E' solo con Maxwell che la cosiddetta
energia magnetica viene collegata all'induzione elettrica e diventa un
capitolo della energetica delle correnti quasi-stazionarie, ma fino a
tempi molti recenti, in mancanza di una teoria microscopica
soddisfacente dell'elettromagnetismo, ed anche dopo l'introduzione
della meccanica quantistica, rimangono delle zone d'ombra infatti
rimane la questione del ruolo dell'energia magnetica in presenza di
particelle dotate di momento magnetico intrinseco.
Spulciando i manuali classici: Becker, Landau, Feynman, Jackson
abbiamo un quadro molto variopinto di modi di affrontare la
questione.
Becker parla di energia elettrostatica, ma evita assolutamente di
parlare di energia magnetica fino al momento in cui non ha introdotto
il concetto di induzione magnetica. Infatti c'� un capitolo: energia e
forze meccaniche del campo elettrostatico,  mentre manca completamente
un capitolo energia e forze meccaniche del campo magnetico.
L'esposizione di Becker � molto complessa ed articolata e considera
sottili aspetti termodinamici in continuit� con la tradizione da Weber
a Planck, dedicando un capitolo al soggetto "l'energia del campo come
energia libera".
Feynman come Becker introduce la nozione di energia elettrostatica ma
non quella di energia magnetostatica e costruisce tutta la prima met�
della fenomenologia elettrica e magnetica focalizzando tutto sulla
descrizione dei campi e sui loro effetti dinamici. Solo dopo avere
sviluppato la dinamica intrinseca dei campi elettromagnetici parla con
disinvoltura del principio di conservazione dell'energia e dei
candidati classici per la densit� di energia del campo
elettromagnetico nel vuoto e dedica un capitolo al tema "l'ambiguit�
dell'energia del campo" assumendo l'atteggiamento molto pragmatico che
vengono accettate perch� non sono state mostrate in disaccordo con
l'esperienza.
Landau procede in modo pi� astratto, ma essenzialmente come Feynman,
nel volume dedicato alla teoria dei campi, presenta il teorema
generale di conservazione dell'energia impulso solo come conseguenza
della fenomenologia generale della elettrodinamica e della interazione
delle particelle cariche con i campi: nota bene non parla di momento
magnetico intrinseco perch� sa che gli implicherebbe non poche
difficolt� e perch� punta a ricostruire in poche pagine lo sviluppo
storico della teoria microscopica classica fino al teorema di Larmor.
Adottando questo punto di vista astratto si ricollega alla tradizione
pi� alta sul significato dei teoremi di conservazione dell'energia per
cui � implicito in Landau che c'� un energia potenziale generalizzata
che dipende dalle velocit�, dal punto di vista pratico � null'altro
che una lagrangiana utile a derivare le equazioni di forza per una
carica in un campo elettromagnetico esterno. Solo nel volume relativo
all'elettrodinamica dei mezzi continui Landau evita l'ipotesi di una
relazione diretta fra densit� di massa e di carica e dedica un
capitolo illuminante alla spiegazione del nesso fra forza
ponderomotrice di induzione in un circuito e forza di Lorentz e la
relativit� ristretta � il paragrafo 63. Aggiunge ivi il commento: in
tal modo, la legge di Faraday � vera qualunque sia la causa della
variazione del flusso magnetico: dovuta sia alla variazione del campo
stesso, sia al moto del conduttore.
Il libro di Sivuchin pur senza il rigore di Landau procede in modo
molto spedito a parlare dell'induzione, del teorema di Larmor e del
teorema di conservazione dell'energia accennando anche al problema del
fattore giromagnetico.
Il libro di Jackson fornisce la spiegazione microscopica pi� diretta
del modo in cui si stabilisce la nozione di energia del campo
magnetico nel capitolo 6.2 che � un poco l'equivalente del paragrafo
63 di Landau, con le parole: per mantenere costante la corrente, le
sorgenti di corrente devono compiere lavoro. Per determinare la
corrispondente potenza...
La differenza principale rispetto alle impostazioni degli altri libri
di Landau e Feynman � che questo capito precede e non segue
l'introduzione della corrente di spostamento, e deduce questo termine
per ragioni di coerenza logica ripercorrendo la via seguita  da
Maxwell.
a questo punto determina la forza elettromotrice. necessaria per
ridare alle particelle la componente di velocit� che esse perderebbero
per effetto della forza di Lorentz, ma � sbagliato pensare che questo
lavoro fatto dalla forza elettrica serva a restituire un'energia
cinetica sottratta dalla forza di Lorentz, non � cos� perch� la forza
di Lorentz non fa lavoro e non cambia l'energia cinetica nemmeno in
questo caso, cambia invece la direzione del moto e quindi lo stato
degli impulsi, per ripristinare il quale la forza elettrica deve fare
lavoro, la sottigliezza � possibile perch�  la forza di Lorentz non si
concilia con la nozione classica di forza potenziale, infatti la forza
di Lorentz non deriva dalla conservazione di una energia potenziale,
ma deriva da una estenzione del principio di conservazione
dell'energia (con l'introduzione di un termine lagrangiano dipendente
dalla velocit�) la cui piena coerenza pu� essere garantita solo
dall'introduzione di una energia associata al campo elettromagnetico.
Sempre il libro di Jackson infatti, nel capitolo successivo, deduce
l'esistenza del termine di spostamento, dalla equazione di continuit�.
Il libro di Berkeley segue un approccio analogo. L'essenziale che
rimane un poco nello sfondo � il fatto che i campi elettrici possono
essere ancora visti come campi conservativi derivanti da un potenziale
che dipende solo dalle posizioni delle cariche e non dalle loro
velocit�, i campi magnetici no, devono essere visti come campi
rivelati dalle forze lorentziane, dalla legge di induzione di Faraday,
e confermate indirettamente dalla legge di Amper�, ma che richiedono
un potenziale generalizzato per accordarsi con il teorema di
conservazione dell'energia. La conseguenza di questo teorema generale
di conservazione � il termine magnetico dovuto sottilmente al fatto
che variazioni del campo magnetico comportano variazioni del campo
elettrico.


Grazie a tutti per la risposta, scusatemi per il ritardo.
Provo a scrivere ci� che ho capito.
La possibilit� di definire un'energia magnetica � legata alla legge di
Faraday-Lenz. Ci� che dice Tesis citando Feynman e Landau �
sostanzialmente quello di dire se io mi scrivessi la lagrangiana del
campo elettromagnetico affinch� sia conservata l'energia ci dev'essere
un termine di energia magnetica che (permettimi di dire ci� Tesis)
controbilancia il termine di impulso generalizzato dovuto al
potenziale vettore, ma comunque sostanzialmente questa energia
magnetica � sempre riconducibile a una elettrica tenendo conto della
legge di faraday-lenz.


In verit� in uno schema coerente non ha un significato ben definito la
distinzione fra i diversi contributi, anzi per parlare di campo
magnetico dobbiamo fare una precisa scelta di riferimento, e cambiando
riferimento abbiamo sempre un campo elettrico associato con quel che
altrimenti era un campo magnetico puro e semplice.  La questione della
compensazione fra quadri-impulsi associati alle particelle e quadri-
impulsi associati ai campi appare un poco come il colpo d'occhio  che
chiude un quadro composto faticosamente tassello dopo tassello, e con
il senno di poi ha un che di inevitabile.
 Comunque la sostanza della questione che stavo ponendo � semplice da
spiegare anche rimanendo sul piano  delle difficolt� e delle barriere
logiche dello stato delle conoscenze ottocentesco senza spingersi alle
teoria della relativit� ed alle teorie di gauge. Posso riassumerlo con
un esperimento ideale molto semplice.
 Un insieme di biglie elettricamente cariche che si muove in un tubo
chiuso sotto l'azione di un campo magnetico ortogonale al piano del
tubo: il campo elettromagnetico devia sistematicamente le biglie verso
le pareti del tubo, e supponiamo che queste rimbalzino elasticamente
sulle pareti neutre, rimane garantita una corrente costante fino al
momento in cui non decidessimo di lasciare liberi di allontanarsi due
lati del tubo, avendo procurato che gli altri due lati siano dotati di
parti mobili libere di scorrere una nell'altra.
In questo modo l'effetto sul moto delle cariche � quello che,
rimbalzando sulle pareti perdono energia cinetica, a favore delle
pareti, anche in questo caso non c'� stato alcun lavoro prodotto dal
campo magnetico, ma solo una variazione della distribuzione degli
impulsi, nel sistema.
Un effetto delle diminuita energia cinetica delle biglie cariche �
quello di aumentare il tempo di percorrenza all'interno del tubo, cio�
la corrente diminuisce. Questo rimane vero qualunque sia il modo che
abbiamo scelto per deformare il circuito. Se vogliamo ripristinare la
corrente iniziale dobbiamo applicare un campo elettromagnetico che
ripristina la distribuzione statistica iniziale degli impulsi degli
elettroni, il potenziale da applicare � dato dalla legge  di Faraday.
Quindi in pratica la variazione di energia cinetica delle particelle
cariche, dovuta alle collisioni con le pareti pu� essere quantificata
in termini della variazione del flusso del campo magnetico.
Un altro esempio � quello di un sistema rigido carico in moto in un
campo magnetico non uniforme: poich� le forze di Lorentz non fanno
lavoro l'energia cinetica totale di questo oggetto rimane costante, ma
la parte traslazionale e la parte rotazionale possono cambiare per
effetto delle forze vincolari. Pu� benissimo risultare che il centro
di massa di questo sistema, inizialmente fermo, si muova nella
direzione della risultante delle forze di Lorentz, creando l'illusione
di un lavoro delle forze di Lorentz, ma in verit� la variazione di
energia cinetica traslazionale deriva dall'energia rotazionale del
sistema.
Infine per fare apprezzare un altro aspetto della coerenza della
teoria dei campi e della stranezza delle forze magnetiche consideriamo
un sistema soggetto solamente al campo prodotto da se stesso: un
anello carico elastico ruota rimanendo su un piano intorno al proprio
centro, ed inoltre ha un moto radiale, ora se consideri le forze di
Lorentz in ogni punto di questo sistema scopri che il momento angolare
non � conservato. Questo � in evidente contraddizione con il teorema
di conservazione del momento angolare di  un sistema chiuso che si
basa sul principio di azione e reazione. Come � possibile questa
situazione? E' possibile perch� le forze di Lorentz non risultano
allineate, ma � violato allora il principio di azione e reazione? La
risposta � che se si tiene conto dei gradi di liber� del campo
elettromagnetico il campo elettromagnetico diventa portatore di un
momento angolare tale da compensare la variazione del momento angolare
dell'anello.
Quando uno pensa solo al campo prodotto da un sistema di cariche pu�
avere la sensazione, che  venga derivata la conservazione dei momenti
e dell'energia solo in modo da garantire, tautologicamente, i principi
di conservazione,  questa sensazione si attenua di molto quando uno
considera invece l'azione misurabile dei campi elettromagnetici sulle
correnti e sui magneti, allora riguadagna la confidenza con il fatto
che i principi di conservazione siano in larga misura verificati nella
pratica. Comunque conservare spirito critico in proposito dei principi
di esperienza fa sempre bene perch� quello che appare vero in larga
misura non � detto lo sia sempre in dettaglio e non c'� teorema che
possa dimostrare un principio, tuttavia i teoremi possono aiutare a
riconnettere principi a prima vista indipendenti, ma la loro realt�
non � questione accertabile con forze umane.

 Faraday-Lenz. 
Per quanto riguarda la densità di energia del campo elettromagnetico è 
effettivamente così.
Invece l'energia potenziale di una spira percorsa da corrente situata
in un campo magnetico è connessa solo con la forza di Lorentz. 
E' vero che tale forza non lavora mai, ma se esamini con attenzione la
teoria del flusso tagliato, cioè la circuitazione lungo una spira mobile
di un campo magnetico B stazionario, risolverai il tuo dilemma.
Bada a non confondere la fem indotta dalla forza di Lorentz (banalmente
spiegabile e pertinente al tuo quesito) con la fem prodotta dal campo 
elettrico indotto in caso di campo magnetico  B variabile; la legge di 
Faraday è notoriamente schizofrenica, ma il "lato oscuro della forza em"
non c'entra con il tuo quesito, parola di yedi.    ;-D
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)

 legge di faraday-lenz.
Rimanendo nel merito della tua osservazione che ho letto pi� e pi�
volte, quello che mi lasciava perplesso � l'ordine logico delle tue
espressione: tu parli di scrivere la lagrangiana del campo
elettromagnetico affinch� sia conservata l'energia.
La ragione della perplessit� essendo che in verit� � pi� immediato
scrivere la lagrangiana in modo che, date le equazioni di Eulero
Lagrange le equazioni del moto siano quelle fenomenologiche, non si d�
per scontato a priori che l'energia sia conservata, anzi � il teorema
di Noether a garantire che se la lagrangiana non dipende dal tempo la
funzione di Hamilton associata � conservata.
Si pu� anche procedere, tuttavia, nell'ordine implicito nelle tue
parole. Si pu� cio� cercare una hamiltoniana indipendente dal tempo
che dia luogo alle equazioni del moto, questa funzione di Hamilton
risulta conservata e tramite la trasformata di Legendre si pu�
risalire alla funzione di Lagrange per le considerazioni del caso.
Nel caso di un sistema di cariche immerse in un campo magnetico
esterno, delle quali si possa trascurare l'irraggiamento, a  conti
fatti si vede che la funzione di Hamilton associata non � altro che
l'energia cinetica totale, ma a differenza dal caso delle classiche
forze conservative, anche se dipende solo dall'energia cinetica, non �
uguale alla funzione di Lagrange. Vediamo di chiarire il perch�.
In termini delle quantit� di moto delle singole particelle, che
indichiamo con p, la funzione di Hamilton risulta proporzionale alla
somma di termini p^2 / 2m dove p = mv. Ad ogni modo l'impulso
generalizzato che corrisponde a queste particelle non � uguale alla
quantit� di moto p, ma risulta pari a \pigreco = (p + eA), ora se
intendevi dire questo quando scrivevi che c'� un termine di energia
magnetica che controbilancia il termine di impulso generalizzato �
quello che intendevo anch'io quando scrivevo che risulta
immediatamente che ciascun contributo p^2/2m = (\pigreco-eA)^2/2m �
una costante del moto perch� la sua parentesi di Poisson con
l'hamiltoniana � nulla in quanto somma di parentesi di Poisson che
riguardano variabili indipendenti, o perch� sono la parentesi di
Poisson di due termini eguali, che � quanto dire che l'energia
cinetica del sistema � conservata.
Per quanto riguarda la parentesi di Poisson di p= \pigreco-eA con
l'hamiltoniana non � conservata, ma il vettore che ne risulta �
ortogonale a \pigreco-eA/c.
Quindi lo schema hamiltoniano traduce ancora una volta l'evidenza
empirica che le forze associate ad un campo magnetico non fanno lavoro
sulle cariche in movimento. E porta con se che la quantit� di moto
consta di due parti una dipendente solo dall'impulso generalizzato
l'altra dipendente solo dalle coordinate generalizzate (che nel nostro
caso coincidono con le coordinate euclidee dello spazio), di riflesso
l'energia cinetica consta di tre termini:
uno dipende solo dall'impulso generalizzato (il quadrato
dell'impulso), uno solo dalle coordinate (il quadrato del potenziale
vettore) ed un terzo � un prodotto scalare nell'impulso e nel
potenziale vettore.
La funzione di Lagrange associata �, in termini della quantit� di
moto:
(p+eA)^2/2m - (eA)^2 = p^2/2m + eAp/(m)
quindi nella funzione di Lagrange la parte di energia cinetica risulta
"corretta" da una funzione "potenziale" che dipende dalla velocit�, a
questo potenziale si da il nome di potenziale generalizzato. Questa �
la lagrangiana che per esempio Landau deriva dall'espressione
dell'azione relativistica (non giustificata) e questo intendevo
dicendo che: � implicito in Landau che c'� un energia potenziale
generalizzata che dipende dalle velocit�.
Osserviamo che non abbiamo ancora incluso l'interazione fra le cariche
e le correnti, o pi� precisamente, che non abbiamo affatto considerato
n� il ruolo delle cariche e delle correnti quali sorgenti dei campi
elettromagnetici, n� il modo in cui si connettono le variazioni dei
campi,  ma sulla base degli esempi che ho illustrato nella risposta
precedente � gi� possibile intravedere che solo la considerazione
completa di tutti questi fenomeni in uno schema unitario, garantisce
la coerenza logica con tutti i principi fisici fondamentali: principio
di equivalenza e principi di conservazione.
"" Questo � quello che intendevo quando scrivevo: infatti la forza di
Lorentz non deriva dalla conservazione di una energia potenziale, ma
deriva da una estenzione del principio di conservazione dell'energia
(con l'introduzione di un termine lagrangiano dipendente dalla
velocit�) la cui piena coerenza pu� essere garantita solo
dall'introduzione di una energia associata al campo elettromagnetico.
Sempre il libro di Jackson infatti, nel capitolo successivo, deduce
l'esistenza del termine di spostamento, dalla equazione di continuit�.
""
Se non ci interessiamo per il momento di questi aspetti secondari e
restringiamo  l'attenzione alla legge di Faraday, nel caso
stazionario, cio� di campi magnetici costanti, allorch� dipende solo
dalla deformazione del circuito, possiamo dire che essa discende in
modo abbastanza semplice da una rappresentazione delle correnti come
cariche scalari in  movimento senza bisogno di molto altro che della
legge di Lorentz, (a patto di tralasciare, di primo acchito le sottili
questioni che riguardano l'interpretazione dei fenomeni "dal punto di
vista delle cariche in movimento" ovvero pi� precisamente le questioni
legate ai cambiamenti di riferimento). In quanto per mantenere
costante la corrente � necessario applicare un differenziale di
potenziale in accordo alla legge di Faraday, lo stesso si ha quando
siano i campi magnetici a variare ed il circuito a rimanere fisso,
cio� la legge di Faraday � piuttosto solida e vera in molteplici
situazioni diversissime fra loro, perci� viene utilizzata per definire
l'energia potenziale di un sistema di correnti, e l'energia associata
al campo magnetico.
Un altro sistema che possiamo considerare � una piccola variante di
quello suggerito da Proietti: un anello rigido carico in moto in un
piano. Per questo sistema la funzione di Lagrange assume, con un poco
di algebra la forma piuttosto semplice:
 MV^2/2 + I\omega^2/2 + Q V.A + Q/(2pi) flusso(B).\omega.
la ragione di ci� deriva semplicemente dall'osservazione che A.V lungo
l'anello pu� essere trascritta come A. (\omega r). L'hamiltoniana che
corrisponde a questa funzione di Lagrange � come di consueto l'energia
cinetica totale che come ci aspettiamo � costante del moto e dove,
nell'espressione delle quantit� di moto compare il solito termine
dipendente dal potenziale vettore che "controbilancia" l'impulso
generalizzato.
Questi due casi esemplificano quello che intendevo scrivendo:
" L'essenziale che rimane un poco nello sfondo � il fatto che i campi
elettrici possono essere ancora visti come campi conservativi
derivanti da un potenziale che dipende solo dalle posizioni delle
cariche e non dalle loro velocit�, i campi magnetici no, devono essere
visti come campi
rivelati dalle forze lorentziane, dalla legge di induzione di Faraday,
e confermate indirettamente dalla legge di Amper�, ma che richiedono
un potenziale generalizzato per accordarsi con il teorema di
conservazione dell'energia. La conseguenza di questo teorema generale
di conservazione � il termine magnetico dovuto sottilmente al fatto
che variazioni del campo magnetico comportano variazioni del campo
elettrico. "
cio� si possono seguire diverse strade per arrivare alla funzione di
Lagrange che in questo caso abbiamo ottenuto come proponevi tu dal
teorema di conservazione dell'energia cinetica inventando un impulso
generalizzato ed un termine dipendente dal potenziale vettore in
accordo con la legge di Lorentz.  Quando si prendono in considerazione
gli impulsi e l'energia associati al campo elettromagnetico � ancora
questa forma lagrangiana dell'interazione fra i campi e la materia che
deve essere presa in considerazione (nella sua forma covariante), ma
in pi� la funzione di Lagrange deve riprodurre le equazioni di
Maxwell, in questo modo pu� essere dimostrato il teorema generale di
conservazione dell'energia impulso introducendo il tensore canonico
dell'elettrodinamica nel vuoto in presenza di sorgenti elementari.
Va osservato che la teoria classica delle sollecitazioni
elettromagnetiche sulla materia � un argomento ben lungi dall'essere
esaurita e compresa, in uno schema del genere.
 Anche considerando tutta la fenomenologia classica, osserva Landau,
la teoria relativistica rende molto difficile l'introduzione del
concetto di interazione non puntiforme, sebbene nella meccanica
quantistica la situazione cambi sostanzialmente. La teoria quantistica
relativistica garantisce un ulteriore guadagno di coerenza: infatti
permette di considerare unitariamente tanto il campo elettromagnetico
quanto il campo delle particelle materiali.
La teoria relativistica classica procede sulla falsa riga della
presentazione che abbiamo qui delineato, ma conduce alla fine ad una
semplificazione molto considerevole, che per Landau � il punto di
partenza (non giustificato) ovvero l'azione di una particella scalare
in un campo elettromagnetico consta di due termini, uno � l'integrale
d'azione della particella libera, l'altro � l'integrale d'azione del
potenziale scalare A che � una forma differenziale. Questo modo di
partire � comune all'interpretazione geometrica della elettrodinamica
classica.
Per  comprendere in modo pi� quantitativo come si stabilisce la
connessione fra la variazione del flusso e la variazione della
corrente c'� un esercizio molto semplice la cui importanza viene
spesso sottovalutata e si tratta dell'osservazione seguente: un
particella carica in moto in un campo magnetico uniforme ortogonale al
piano di moto effettua, in assenza di ulteriori vincoli esterni, dei
moti circolari chiusi, queste rotazioni impiegano un tempo
indipendente dalla velocit� iniziale, la frequenza delle rotazioni si
esprime: eb/mc, dove b � il campo magnetico, e la carica, m la massa,
c la velocit� della luce. In altre parole tb � un invariante.
Un'altra cosa da tenere sempre presente � che l'integrale lungo un
circuito chiuso del potenziale vettore � uguale al flusso del campo
magnetico attraverso la superficie racchiusa da questo circuito.
La combinazione di questi due ingredienti � essenzialmente alla base
della trattazione statistica dei sistemi elettrodinamici classici che
per esempio non permette di comprendere il ferromagnetismo (teorema di
Liouville se non erro), mentre comprende bene il diamagnetismo. La
teoria microscopica del ferromagnetismo,  ritorna coerente con lo
schema classica che abbiamo qui accennato, e ne diventa un'estensione
nel contesto della teoria quantistica relativistica. E' questa
circostanza, in parte, che rende conto del motivo per cui il tensore
degli sforzi di Maxwell ed il tensore degli sforzi di Helmoltz  per la
parte magnetica siano in generale molto pi� complicati di quanto non
sia il tensore degli sforzi per la parte elettrica (si trova una
derivazione, in un caso particolare, di questo tensore degli sforzi,
in presenza di ferromagnetismo, nel libro di Becker).
E' la possibilit� di introdurre un tensore degli sforzi garantisce di
per se, teorema della divergenza, che un sistema soggetto a campi
elettromagnetici statici generati dal sistema stesso non risulti
soggetto a forze totali e momenti angolari totali non nulli.
Storicamente l'energia magnetica � stata introdotta nello studio dei
sistemi ferromagnetici (ed � a questa tradizione che si ricollega
Becker nel capitolo dedicato all'energia magnetica) per dedurre le
condizioni di equilibrio per sistemi isolati.