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Titolo: meccanica relativistica

Scusate, fose la domanda può essere banale, ma mercoledì 12 ho la
maturità ( porto la relatività e un pò di epistemologi come popper e
Kuhn) e adesso non mi ricordo come si arriva a questa formula, il mio
professore lo aveva spiegato ma adesso  ho dimenticato tutto.
Il mio libro di testo, dopo aver definito (non spiegato) la formula
della quantità di moto relativistica, dice: << Nella meccanica
relativistica definiamo la forza risultante che agisce su una
particella come la rapidità di variazione della quantità di moto
relativistica. Si può quindi calcolare il lavoro compiuto da questa
forza (come? ndme) e lo si può eguagliare alla variazione di energia
cinetica. I risultati di questo calcolo verranno dati senza
dimostrazione (perdindirindina! nd me) L'energia cinetica di una
particella che si muove a velocità v è data da Ec="gamma"mc^2-mc^2 >>
se qualcuno riesce a darmi qualche spiegazione non troppo complicata
anche sulla quantità di moto relativistica sarò ancora più contento!
vi ringrazio in anticipo
ciao
Stefano Vetrini
PS "gamma" è naturalmente uguale a 1/(1-(v^2/c^2))^(1/2)
--
LLARK
IHGGER 831
Nano: "spendo altre due monete d'argento in birra"
Master: "vabbè, ora controllo quanto costa... costa
2 tin pieces a pinta... Mio Dio, hai già bevuto 4000
pinte!!!!"
Nano: "dov'è il problema?"

 --
data l'urgenza per te ci vorrebbe un e-mail;
purtroppo per ragioni tecniche da oltre un mese non posso
mandare e-mail a nessuno; quindi ti scrivo sul NG
(ma penso che qualcuno ti abbia già risposto privatamente)
Siamo in un laboratorio K con una particella ferma
davanti a noi; vogliamo accelerarla fino a una velocità
finale V;  che energia dobbiamo darle? Definisci la forza così:
F = d P / d t                        ( 1 )
dove t è il tempo (misurato dagli orologi di K) e P è la 
quantità di moto (o momento lineare, suona meglio).
Il lavoro infinitesimo fatto dalla forza lungo il tratto 
infinitesimo dz è 
d L = F dz =  ( dP / dt) dz = (dz / dt) dP = v dP
dove v = dz / dt è la velocità della particella rispetto a K.
Il lavoro da fare per arrivare alla velocità V è ovviamente
l'integrale di dL ; questo lavoro sarà anche l'energia cinetica Ec 
(non è uno starnuto) della particella a velocità V, e quindi
Ec = integrale di v dP =  S v dP 
dove S è il segno di integrale; integriamo per parti e abbiamo:
Ec = v P -- S P dv    
dove gli estremi di integrazione sono v = 0 e v = V.
A questo punto ricordiamo che 
P = m v / ( 1 - v ^ 2 / c ^ 2 ) ^ 1/2 = m v g   (per brevità)
dove m è costante (cioè non dipende da v: è ciò
che qualche volta viene chiamata massa di quiete)
e otteniamo
Ec = m v ^ 2 g   -- ( m / 2 ) S g (v) d ( v ^ 2) 
che conviene scrivere così:
Ec = m v ^ 2 g  --  ( m c^2 / 2) S g (v) d ( v^2 / c^2 ) 
cioè (ponendo (v / c) ^ 2 =  x )
Ec = m v ^ 2 g   --  ( m c ^ 2 / 2 ) S (1  --  x ) ^ ( -- 1 / 2) d x
L'integrale è veramente facile. Si trova (tenendo presenti 
gli estremi di integrazione x = 0  e  x = V ^ 2 / c ^ 2 )
Ec = m v ^ 2 g  + m c ^ 2 (1 / g) -- m c ^ 2
cioè, sistemando i termini,
Ec = m c ^ 2 g  --  m c ^ 2
dove  g = 1 / ( 1 - V ^ 2 / c ^ 2 ) ^ ( 1 / 2 ).
Per v << c diventa la solita Ec = m V ^ 2 / 2
 
(si può dimostrare che 1 / ( 1 -- q^2)^1/2 =
1 + ( 1 / 2) q ^ 2  se si trascurano potenze di q
superiori alla seconda.)   
Per quanto riguarda la definizione di quantità di moto,
in relatività si usa P = m v / ( 1 -- v ^ 2 / c ^ 2 ) ^ 1 / 2
perchè solo questa (e non la vecchia m v) si conserva
in tutti i sistemi di riferimento. 
Si può anche dire: è il principio di conservazione della
quantità di moto che impone l'abbandono della vecchia
m v e l'adozione della nuova P = ecc.
Per v << c si ritrova P = m v.
Ci sarebbe altro da dire, ma l'urgenza consiglia di
fermarci qui.
Ciao !
Corrado