Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Equivalenza massa energia.

Questo post riguarda l'interpretazione delle cosiddette
soluzioni ad energia negativa delle equazioni di Dirac.
Se consideriamo
il coefficiente di onda piana della soluzione
di un'equazione di Dirac:
 
exp(i(t*p0-x*px-y*py-z*pz))
troviamo che per ogni soluzione con coefficiente a p0 positivo
possiamo trovare una corrispondente soluzione con p0 ad
energia negativa.
Se interpretiamo come energia questo coefficiente, in
continuità con l'identificazione di Schroedinger abbiamo
una difficoltà. L'equazione E=mc^2, valida per il riferimento
in cui la particella è in quiete non è vera.
Mentre contina a valere l'equazione (E/c)^2-p^2 = (mc)^2
D'altra parte, troviamo che la somma
di due quadrimpulsi: (E,p) (-E,-p) relativi ad un elettrone
e ad un positrone che propaga in direzione contraria
vale (0,0). E come noto esiste sempre un riferimento in
cui gli impulsi sono uguali e contrari.
Ne seguirebbe che il prodotto, nel riferimento di
centro di massa di una interazione fra queste due
particelle (che come noto produce due fotoni, lo stesso
Dirac valutò nel 1930 la sezione d'urto di questo processo),
comporterebbe invece un prodotto con impulso nullo
ed energia nulla. Ma contro questa eventualità sappiamo
che il quadrimpulso della somma di due fotoni ha sempre
quadrato invariante positivo. Come si esce da questo giallo terminologico?
Il giallo è che tanti e tanti libri continuano ad usare
questa infelicissima espressione: "energia negativa" e
raramente dedicano un righello a spiegare come sia la
carica a cambiar segno e come interpretare queste
espressioni.
La parziale spiegazione che mi sono dato di questo è che
l'autovalore p0 è identificabile con l'energia a meno di
un cambiamento di rappresentazione ovvero degli stati in termini
dei quali l'operatore di evoluzione temporale è descritto. E che ogni altro
modo di spiegare questa circostanza conduce a difficoltà. Tuttavia anche
questo modo non è soddisfacente.
E' vero tuttavia che continuo a trovare libri e libri che
scrivono che risolvendo l'equazione di Dirac si trovano
delle soluzioni con energia negativa.
Landau, pur stando attentissimo a non cadere in questo
burrone logico, lascia ugualmente interdetti perchè ti
guarda dritto negli occhi e ti dice, come un bravo
prestigiatore, che l'interpretazione della densità
associata con le soluzioni delle equazioni di Dirac,
e che risulta negativa non può più essere quella di
una densità di probabilità ma deve essere quella di una
densità di carica, e grazie tante per la spiegazione.
Sei lì che ancora vai a rileggere la definizione di
funzione d'onda, a cui lui stesso rinvia, e ti dici,
ma come, e perchè allora ora non fa vedere dove è il
limite di interpretazione nel caso dell'equazione di Schroedinger, perchè
non fa vedere come deriva l'equazione
di Schroedinger non relativistica per un positone, era interpretata al modo
giusto così per caso?
Poi mi spiegarono che quando quel libro fu scritto lui
non era ad assistere le bozze ed io commosso mi tenni
il dubbio ed il pensiero: ecco se l'avesse scritto lui
forse lo avrebbe messo un esercizio per far capire il
busillis.
Poi venne il Weinberg, siamo nel 1995, io avevo già
sostenuto l'esame di Istituzioni di fisica teorica,
trovai quel libro in una libreria di Chicago, era
appena uscito, ne sarebbero usciti in tutto tre da lì
a poco, ero in un mare di confusione che sarebbe OT
descrivere, il problema dell'interpretazione di quelle
pagine di Landau era un incubo che avevo relegato nel
dimenticatoio, ero alle prese con il ben più difficile
esame di fisica teorica, comprai quel libro, e le prime
pagine erano anni luce da quello che dovevo cercare di
capire per sostenere l'esame, di quelle risposte del
Weingerb non trovavo nemmeno il punto di domanda sui
libri che stavo studiando il cui atteggiamento pragmatico
era solidamente supportato dalla corrispondenza fra esercizi
che si potevano risolvere ed esperimenti pensabili, è pur vero che avevo
latitato le lezioni, e tutto questo mi sembrò strano, se avessi avuto la
pazienza di aprire qualche libro, come il libro di Fabri, di trent'anni
prima avrei trovata spesa qualche parola, pure se in linguaggio alieno da
quello che dovevo capire per superare l'esame, se avessi aperto il
Bogoliubov, come
feci, avrei trovato che attorno alla parola "negative"
c'erano due virgolette e una spiegazione, il rimando ad
un libro di Heitler del 1954 che spiega che il mare di
elettroni ad energia negativa non può essere reso
logicamente valido. Ma c'era l'ancora misteriosissima
frase: vediamo che il concetto di mare di livelli di
energia negativa è connesso con la mancanza di un ben
definito significato fisico della teoria dei campi
spinoriali classici. Per converso il significato fisico
della teoria quantistica dei campi spinoriali è interamente
chiaro, e permette di evitare l'introduzione di concetti
aggiuntivi come un mare, completamente riempito, di
livelli ad energia negativa, o di buchi in esso, etc...
Parole a cui Weinberg cercava di dare delle spiegazioni,
chiarendo che Dirac si meraviglia di trovare queste
soluzioni, che dopo non poche traversie una soluzione fu
trovata da Pauli e Weisskopf, che l'energia positiva
compete sempre alla creazione tanto di particelle
quanto di antiparticelle, che l'energia "negativa" è
un modo di descrivere particelle che sono state "assorbite",
ovvero interazioni che hanno spostato energia dal campo
di Dirac a qualcos'altro. E si capisce un pochino, alla
fine della sarabanda che si parla di interazioni che possono
dar luogo a particelle, e che non è il campo ad essere
quantizzato, ma solo gli operatori che mediano le interazioni,
"basiche" di creazione e distruzione, e le particelle fisiche
lo sono, quindi la frase molto chiarificatrice: sarebbe una buona cosa se
l'espressione,
fonte di equivoci, "seconda quantizzazione" non venisse
usata. Lui stesso poi parla di esprimere le interazioni in
termini di questi operatori, il che essenzialmente corrisponde
a descrivere gli operatori in termini di rappresentazioni
spettrali ovvero di valori fra stati possibili.
Quindi i campi quantistici tornano quello che erano
in principio mediatori di interazione. I mediatori
dell'interazione fra gli enti esistenti e misurabili:
gli stati fisici del sistema.
Questa mail, certamente piena di inesattezze e di punti
meglio spiegabili vuole essere un ringraziamento a coloro
che mi hanno spinto a comprendere, con il loro studio, con
le loro domande, ed un invito ad ulteriori aggiornamenti.
Una domanda che rimane alla fine di tutto questo è: ha
senso chiedersi quanto vale il campo in un certo punto
nell'ipotesi di conoscere lo stato iniziale
del sistema? La risposta che mi sembra di poter dare
è che ha senso se si precisa lo stato finale del
sistema. Ad esempio se lo stato iniziale di un sistema
fotonico è assegnato ha senso chiedersi come evolve il
campo in assenza di creazioni di coppie elettrone positone?
Il campo converge a qualcosa di statisticamente definito
quando si considerino sistemi a molti corpi?
Cosa dicono di tutto questo quelli che studiano le nuove
formulazioni delle teorie di campo?
                           Grazie in ritardo ed in anticipo.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

From: 
gianma...@inwind.it
 (Gianmarco Bramanti)
Newsgroups: it.scienza.fisica
Subject: Equivalenza massa energia.
Date: Tue, 09 Dec 2003 18:22:19 GMT
Gianmarco Bramanti ha scritto:
 > Questo post riguarda l'interpretazione delle cosiddette
 > soluzioni ad energia negativa delle equazioni di Dirac.
(seguono circa 180 righe).
Ti dico francamente che se tu non mi avessi tirato in ballo, ti avrei
ignorato. Punto.
Ma mi permetto di darti qualche consiglio:
1) Scrivi i tuoi interventi off-line.
2) Quando li hai scritti, rileggili e costringiti a ridurli a non piu'
di 50 righe (e non gia' tante).
3) Evita le divagazioni in cui sei maestro...
E ora passiamo alla sostanza che mi riesce di estrarre dal tuo post.
 > Se consideriamo
 > il coefficiente di onda piana della soluzione
 > di un'equazione di Dirac:
 >
 > exp(i(t*p0-x*px-y*py-z*pz))
 >
 > troviamo che per ogni soluzione con coefficiente a p0 positivo
 > possiamo trovare una corrispondente soluzione con p0 ad
 > energia negativa.
Cominciamo col dire che questo e' vero per qualsiasi eq. di onde
relativistica, non solo quella di Dirac.
Se tu avessi letto con attenzione (e capito...) quello che chiami il
mio libro, e che suppongo siano gli appunti del corso di FT del '69,
sapresti perche': per restringere l'eq. in modo da avere solo energie
positive, devi scriverla *non locale*.
Intendo con questo che compare un abominevole operatore:
sqrt(nabla^2 + m^2)
che e' in realta', nonostante le apparenze, un operatore integrale...
 > ...
 > Il giallo è che tanti e tanti libri continuano ad usare
 > questa infelicissima espressione: "energia negativa" e
 > raramente dedicano un righello a spiegare come sia la
 > carica a cambiar segno e come interpretare queste
 > espressioni.
Mi sembra che nn hai capito la situazione.
L'eq. di Dirac (come anche quella di Klein-Gordon) ha soluzioni a
energia negativa, che ti piaccia o no.
Pero' niente impedisce di scartarle, e di dire che consideriamo solo
quelle a energia positiva.
La reinterpretazione in termini di antiparticelle appartiene a un
altro ambito: la seconda quantizzazione. Ed e' bene non pasticciare
fra i due ambiti.
Finche' consideri particelle libere, puoi benissimo usare l'eq. di
Dirac, con le soluzioni a energia positiva. Il vero problema e' che
delle particelle libere ce ne facciamo poco, e quando proviamo a
introdurre un'interazione nascono le difficolta'.
Pero' qualcosa si puo' ancora fare: per es. puoi risolvere l'eq di Dirac
per l'atomo d'idrogeno, e ricavare la corretta espressione della
struttura fina.
Oppure: mettendo l'elettrone in un campo magnetico statico, puoi
dimostrare che ha il giusto momento magnetico.
Altro non vorrei dire, almeno per ora.
 > Cosa dicono di tutto questo quelli che studiano le nuove
 > formulazioni delle teorie di campo?
Qui io sono fuori causa ;-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 energia negativa, che ti piaccia o no.
Non sono  d'accordo su questa affermazione in particolare
per quanto riguarda l'equazione di KG (per quella di
Dirac il discorso e' un po' piu' complesso) se per soluzioni intendi 
"stati quantistici".
Se non intendi stati rimananedo in MQ,  non capisco l'affermazione 
perche'la nozione di energia, in MQ, si applica agli stati quantistici 
non alle "soluzioni" di qualche equazione.
Se invece intendi dire che il tensore energia impulso *classico* delle 
soluzioni dell'equazione di KG ha una densita' di energia che integrata 
non e' generalmente positiva, allora  siamo d'accordo.
Ma questo non ha molto a che vedere con la teoria quantistica della cosa
una volta che uno ha costruito il formalismo.
Mi ripetero' ma dico come la penso io, riguardo alla formulazione
quantistica che credo sia quello che dici anche tu.
Come verrebbero fuori gli stati ad energia negativa?
E' vero che nello sviluppo in modi stazionari delle soluzioni
compaiono esponenziali nel tempo con un coefficiente
(l'"energia") con il segno "sbagliato".
Pero' prima di partire con l'interpretazione di stati ad energia 
negativa devi dire come e' fatto lo spazio di Hilbert e l'osservabile 
energia, poi viene il resto. Se prendi le soluzioni di KG non soddifano 
una banale equazione di Schroedinger per cui non e' ovvio cosa sia lo 
spazio di Hilbert e bisogna darne una costruzione esplicita.
Per costruirlo devi proprio "buttare via" le soluzioni a "energia
negativa". Ma allora stai implicitamente ammettendo che tali
soluzioni NON siano nello spazio di Hilbert (se ce le metti a forza
il prodotto scalare dello spazio risulta essere indefinito
ed addio interpretazione probabilistica).
La questione e' che lo spazio delle soluzioni reali dell'equazione di KG
(per un campo reale) e' in corrispondenza biunivoca con lo spazio
delle parti a frequenza positiva di tali soluzioni.
Lo spazio di Hilbert ad una particella viene costruito in modo
piu' naturale su questo secondo insieme di funzioni (parti a frequenza 
positiva) in cui il prodotto scalare dello spazio di Hilbert e' quello 
solito (in rappresentazione quadri impulso) e l'operatore energia e' 
moltiplicativo (nella rappresentazione detta sopra) e le energie sono
_tutte positive_ come deve essere.
Nessuno pero' ci vieta, dato che la corrispondenza e' biunivoca,
di usare le stesse soluzioni e non solo la loro parte a frequenza 
positiva, per descrivere lo spazio di Hilbert e le osservabili.
In tal caso le espressioni delle osservabili e del prodotto scalare sono 
molto piu' involute (di fatto devono contenere l'operazione di 
estrazione della parte a frequenza positiva), pero' visto che l'energia
negativa non compare nella formulazione piu' standard basata sullo 
spazio a frequenza positiva, non potra' nemmeno comparire nella nuova 
formulazione della teoria che identifica gli stati con le stesse
soluzioni reali dell'equazione di KG (per un campo reale).
In definitiva secondo me, se si procede con la giusta cautela nel 
costruire i concetti fisico-matematici prima di cercarli di usare,
gli stati ad energia negativa NON compaiono mai e quando compaiono
compaiono solo  perche' si sta usando un'interpretazione sbagliata
del formalismo.
Il terribile (a differenza degli altri della stessa collana) libro di 
Landau di teoria quantistica relativistica e' pieno
di queste interpretazioni fuorvianti che funzionano solo quando funzionano).
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

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

Valter Moretti ha scritto:
 > Non sono d'accordo su questa affermazione in particolare per quanto
 > riguarda l'equazione di KG (per quella di Dirac il discorso e' un po'
 > piu' complesso) se per soluzioni intendi "stati quantistici".
Stavo per darti interamente ragione, facendo ammenda e chiarendo che
avrei dovuto dire soltanto "frequenza negativa".
Ma ci ho ripensato ;-)
Se \psi e' un'onda piana monocromatica, e la penso come soluzione di
un'eq. di Schr. del tipo
i d\psi/dt = H\psi,
con H una hamiltoniana non meglio specificata, si vede che l'onda con
andamento temporale exp(-ip0 t) corrisponde a un autovalore p0 di H.
E' a questo che pensavo quando ho scritto "energia negativa".
Quello che dici dopo e' tutto giusto, ma dimentichi la storia...
Le cose sono nate, come sempre, in modo piu' confuso di come oggi le
vediamo.
E' in gran parte questo che giustifica tutta la complicata discussione
attorno alle "energie negative".
Non a caso, nel corso di FT di cui ho parlato mi feci un obbligo di
arrivare all'eq. di Dirac per una via del tutto diversa da quella
storica, partendo appunto dalle rappr. irr. del gruppo di Poincare',
ecc.
Ho scritto "in gran parte" invece di scrivere "soltanto" perche' c'e'
anche il problema della localita' e dell'interazione e.m.
Ma si puo' dire che questo nasce perche' si vuol trattare in prima
quantizzazione un aspetto (l'interazione) che ha senso solo in seconda.
A proposito: perche' scrivi
 > (per quella di Dirac il discorso e' un po' piu' complesso
?


Gianmarco Bramanti ha scritto:
 > Non capisco perchč. Se perchč energeticamente
 > dispendioso forse avrei fatto lo stesso anch'io.
E' molto faticoso leggere post cosi' lunghi sullo schermo.
Bisognerebbe stamparseli, ma cosi' la faccenda si allunga...
D'altra parte, dai un occhiata al tuo browser, e vedrai che i post di
Gianmarco Bramanti sono sistematicamente i piu' lunghi, sia qui sia su
ism.
Possibile che tu abbia sempre tante cose importanti da dire, piu' di
tutti?
 > ...
 > Che significa qualsiasi equazione di onde relativistica.
 > Si parla di equazioni differenziali a derivate parziali?
 > Lineari? Di che ordine? Si parla di un'equazione o di
 > una famiglia di equazioni.
 >
 > Cosa significa relativistica?
Questa e' la cosa piu' semplice.
Un'equazione seleziona in un certo spazio di funzioni il sottoinsieme
delle sue soluzioni.
Chiamo "relativistica" un'equazione se questo sottoinsieme e' unione di
orbite del gruppo di Poincare'.
Per il presente contesto, l'eq. sara' una PDE lineare, di primo o di
secondo ordine.
Ma a rigore la linearita' potrebbe anche non essere richiesta, mi
pare.
 > Il libro mi pare che sia "Principi di invarianza in fisica"
 > mi pare del 1967,
Allora e' "Principi d'invarianza nella teoria assiomatica dei campi"
(da un corso di perfezionamento in Normale, 1965-66).
Ma li' non c'e' molto sulla questione che stiamo discutendo.
Invece nelle lezioni di FT che ti ho citato la trattazione era molto
piu' estesa.
 > Cioč devo scrivere non locale l'equazione di
 > Schroedinger per avere solo soluzioni con
 > la parte positiva dello spettro coniugato
 > alla variabile temporale. Intendo per spettro
 > coniugato alla variabile temporale lo spettro
 > di -i d/dt.
Si', a parte che e' +i d/dt.
 > Quindi stiamo parlando dell'equazione di Klein Gordon,
 > o di Schroedinger relativistica.
Il discorso e' piu' generale: vale anche per l'eq. di Dirac, per
esempio.
In ogni caso devi cercare un insieme di funzioni che appatengano a un
sottospazio invariante irriducibile del gr. di Poincare'.
C'e' sempre l'invariante P_\mu P^\mu, e inoltre anche il segno di P_0.
Ti sembrera' strano se dico che il discorso vale anche per l'eq. di
Dirac, e infatti non e' stato capito subito: la trasf. di
Foldy-Wouthuysen, che risolve la questione, e' degli anni '50.
 > ...
 > Ma perchč forse che un'onda piana č locale?
Questa e' solo questione di definizioni: dico locale un'eq. diff.
quando coinvolge solo un ordine finito di derivate.
La forma integrale esplicita di \sqrt{\nabla^2 + m^2} e' - se ricordo
bene - una funzione di Hankel modificata, ma non ricordo di che
ordine.
 > ...
 > Provo subito, perň prima mi vado a guardare un libro
 > russo che scrive queste cose qui senza dire che sta
 > facendo lo sviluppo perturbativo dell'elettrodinamica
 > al primo ordine.
Non ho capito lo sviluppo perturbativo, e direi che non c'entra
niente...
Non puoi trovare gli stati legati con uno sviluppo perturbativo: qui si
tratta di risolvere *esattamente* l'eq. di Dirac con aggiunto un pot.
scalare -1/r.
 > Anche il fattore giromagnetico ad esempio?
 > Perň mi ricordo che Bjorkern Drell diceva
 > che occorrono le correzioni perturbative per
 > spiegare quel che si osserva. E che ci
 > riesce poi a spiegarlo.
No, certo...
Trovi solo il termine dominante, ma fu gia' un bel risultato, visto
che era un rompicapo come mai il fattore giromagnetico fosse doppio di
quello che ci si aspettava.
Se poi vuoi tutte le cifre che si tirano fuori dalle misure, non so a
che ordine devi andare, forse il sesto...



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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 ?
 Ti rispondo ubito partendo da quanto hai detto sopra.
  Per parlare di hamiltoniani genenrici bisogna comunque
  definire uno spazio di Hilbert e per fare questo
  ci vuole una nozione di prodotto scalare conservato
  durante l'evoluzione temporale della funzione d'onda.
  Gli unici candidati che vengono fuori per
  una nozione di norma dall'equazione
  di KG sono le correnti conservate del teorema di 
  Noether. Prendendo un campo di KG carico c'e' 
  la correnteassociata a U(1) e ci sono le cariche  
  del tensore energia impulso, di cui l'unica sensata 
  in  questo contesto, perche' isotropa, e' l'energia
  totale. Queste due cariche non sono definite 
  positive per cui, se non si vuole scendere a 
  considerare un sottospazio dell'insieme generale delle
  soluzioni, non si ha uno spazio di Hilbert e non ha      
  senso usare il teorema spettrale per alcun 
  "hamiltoniano generico"...
  (si potrebbe usare uno spazio di Krein ma e' noto
  che non si finisce da nessuna parte se non alla solita
  formulazione, l'unica che funziona, anche per quella     via). 
  Le uniche due vie a priori percorribili 
  sono quelle di usare una delle due cariche dette    
  restringersi ad un sottospazio in cui sono definite 
  positive e prenderne il completamento. Si  vede che 
  si arriva comunque al solito risultato che e' l'unico 
  che funziona: la formulazione standard che si usa 
  oggi.
 
  Il caso dell'equazione di Dirac e' piu' complicato,
  perche' una delle due cariche conservate dette sopra
  (quella di U(1)) e' definita positiva mentre l'altra 
  (quella dell'energia) e' indefinita.
  La situazione si ribalta quando si passa ai campi
  quantistici in cui le variabili sono di Grassmann
  e anticommutano...(vedi otto).
  In questo contesto si puo' usare la carica  
  definita positiva per  definire un prodotto 
  scalare ed uno spazio di Hilbert iniziale. 
  Questo e' quello che si fa quando si analizza
  l'atomo di idrogeno con l'equazione di  Dirac.
  Nel caso della teoria libera pero' accade proprio
  che compaiono, in questa formulazione quantistica,
  gli STATI a energia negativa e l'Hamiltoniano della
  teoria non e' definito positivo. A differenza del  
  caso di KG, questo e' un discorso *serio* dal punto 
  di vista matematico perche' si puo' davvero usare
  la teoria spettrale e l'interpretazione standard
  della MQ, in questa compare l'energia negativa.
  Qui non basta la matematica per mettere a posto le 
  cose, ci vuole una piu' fine analisi fisica.
  In questa formulazione si parte riducendosi a         
  considerare allora solo il sottospazio       dell'Hamiltoniano 
  iniziale con energia positiva  e si considerano solo 
  queste funzioni d'onda come     fisicamente sensate per avere una
  teoria stabile.
  Un problema che viene fuori da queta procedura e' 
  che la carica elettrica conservata per l'invarianza 
  U(1) ha segno fissato invece che doppio, per cui, 
  per rendere conto   dell'esistenza sperimentale 
  delle antiparticelle, si deve introdurre "a mano" 
  un altro tipo di particella con carica opposta che  
  soddisfa anch'essa l'equazione di Dirac ed ha energia   
  positiva.
  (NB. Di fatto l'introduzione di questo nuovo tipo di
  particelle sembra che possa recuperare il sottospazio
  a energia negativa che avevamo buttato via prima.     
  Volendo si puo' procedere seriamente con questa     
  interpretazione e si capice che in realta' quel   sottopazio descriveva      
  stati di antiparticella   sottoposti *anche*   all'inversione   
  temporale che     genera l'apparente segno   sbagliato   
  dell'energia: l'energia delle   antiparticelle e'   
  comunque     positiva...)
  Questa procedura, che non e' l'unica possibile a         
  differenza del caso di KG, e' pero' l'unica 
  compatibile con l'estensione ad una teoria di 
  campo pensando gli operatori fermionici come           
  anticommutanti. 
  La scelta, in seconda quantizzazione, 
  degli operatori   anticommutanti ha il pregio di       
  rimettere automaticamente tutte le cose a posto
  quando ci si riduce, dalla teoria nello spazio di Fock,  
  a quella nello spazio (gli spazi) di  singola     particella: 
  l'energia e'  sempre positiva,  
  la carica ha i due    segni e i due tipi di 
  particelle   vengono fuori automaticamente...
 
 Ciao, Valter


Gianmarco Bramanti ha scritto:
 > ...
 > Una parola. Perchè poi per sapere di non aver lasciato
 > nulla da parte bisogna avere imparato a classificarle
 > tutte queste orbite. Quindi la domanda ridiventa subito:
 > come è fatta la più generale orbita del gruppo di Poincarè?
 > E la risposta direi che passa per la teoria delle rappresentazioni.
Si', ma e' semplice.
Conviene lavorare nello spazio degli impulsi (trasf. di Fourier).
Allora il gr. di Lorentz agisce transitivamente sugli iperboloidi p^2
= m^2.
Le traslazioni (spaziali e temporali) moltiplicano la funzione per un
fattore di fase exp(ipa) (px prodotto di quadrivettori, a traslazione).
E questo e' tutto.
 > Certo è + i d/dt. Ma perchè poi?
 > cambierebbe qualcosa? Non sono
 > equazioni invarianti per inversione temporale?
Non cambierebbe niente, ma bisogna mettersi d'accordo una volta per
tutte, per non fare casino.
Saprai di certo che esiste un disaccordo fondamentale tra fisici e
ingegneri: per i fisici, un'onda monocromatica va come exp(-iwt); per
un ingegnere, com exp(iwt).
Basta saperlo...
 > Provo a indovinare, cerco un sottospazio invariante
 > irriducibile perchè su quel sottospazio applico il
 > lemma di Schur. Dico giusto?
Si'.
 > Punto poco evidenziato. La trasformazione di Foldy-W.
 > l'avevo vista ma non avevo certo capito che servisse
 > a questo scopo.
Beh, onestamente non escluderei che sia nata con un altro scopo:
risolvere il problema della "Zitterbewegung".
Poi si e' capito che era lo stesso problema...
Ricordo in proposito un lavoro del solo Foldy, che mi pare fosse del
'52 o giu' di li'.
Puo' darsi che il titolo fosse "Synthesis of covariant particle
equations", ma forse sto inventando. Ha a che fare con quello che
scrivero' tra poco a Valter.
 > Piano, vediamo se ho capito: io so che le funzioni di
 > Hankel sono delle soluzioni dell'equazione:
 >
 > [quadratello - m^2]psi=0
 >
 > ottenute essenzialmente per sovrapposizione di onde
 > piane con P0 fissata. Mi sembra che siano le soluzioni
 > in coordinate sferiche. Però anche le onde piane
 > sarebbero soluzioni.
Le f. di Hankel (modificate) di per se' sono funzioni di Bessel con
argomento immaginario, e con andamento asintotico esponenziale
decrescente.
Ce ne sono per ogni ordine reale.
Quello che volevo dire e' che il nucleo di cui stiamo parlando e' una
f. di Hankel modificata di argomento k|r-r'|.
E' quello che ottieni facendo la TdF di \sqrt(p^2 + m^2).
 > ...
 > Se uno trova gli stati legati per l'equazione
 > di Dirac, con il potenziale 1/r a me, con l'occhio
 > del contemporaneo, uscendo dalla prospettiva storica
 > del libro di Dirac, sembra che non consideri una
 > quantità di fisica del sistema, non saprei spiegare
 > bene dove se l'è dimenticata, però direi che manca.
Ah certo: mancano tutti i processi virtuali in cui si creano coppie,
magari altre particelle...
 > Comunque devo pensare meglio al problema, da studente ero rimasto
 > come bloccato fra due punti di vista che mi sembravano lontanissimi ma
 > parlavano delle stesse cose, infatti la diagrammatica riguardava
 > essenzialmente stati liberi, per descrivere uno stato legato
 > risolvendo l'equazione di Dirac tralascio o considero essenzialmente
 > in un sol blocco una quantità infinita di diagrammi.
Infatti io non so neppure bene come si faccia, e probabilmente un
calcolo rigoroso nel senso che vorresti tu non l'ha mai fatto nessuno.
Dal tuo punto di vista, gli stati legati sono poli della matrice S (nel
secondo foglio...).
Il problema e' che un approccio perturbativo non ti dara' mai i poli.
So che in qualche modo si fa, ma l'ho dimenticato :-(
 > Appunto, ma che significa risolvere l'equazione di Dirac? A spanne
 > direi che significa essenzialmente interpretare il termine misto, fra
 > potenziale vettore ed impulso come se non potesse esserci in mezzo
 > nulla. Ma quando uno scrive l'evoluzione temporale con la stessa
 > lagrangiana, e in più ci mette anche il campo elettromagnetico trova
 > delle altre possibilità.
Non ho capito.
Guarda che non c'e' nessun pot. vettore, solo scalare.
Ti scrivi l'equazione per gli stati stazionari, e cerchi gli
autovalori.
Credo che il conto si trovi su tutti i libri. Certamente c'e' sul Dirac.
 > Ho fatto un pò di conti sul caso classico,
Su questo debbo metterti sull'avviso.
Il conto come l'avevi impostato ha un difetto: troverai una soluzione
che non e' uno scalare di Lorentz.
Devi mettere come elemento di volume quello invariante: d^3p/p0.


 > Non ho ben capito la tua riposta.
 > Secondo me non ha senso parlare di "hamiltoniani generici", bisogna
 > fare le cose per bene altrimenti si continuano a prendere fischi per
 > fiaschi ed a porsi problemi che non esistono specie per gli studenti.
 > Non ho dimenticato la storia di questa faccenda anche perche' ne ho
 > "subito" l'effetto sulla mia pelle quando studiavo queste cose da
 > studente a fisica e tutto quanto scrivo in questi post sull'argomento
 > e' tutto frutto dei miei pensieri di studente (incazzato!).
 > Parafrasando Hegel me la ricordo la storia perche' non voglio
 > ripeterla!
Beh, non sei il solo...
Ricordo di averci lavorato parecchio negli anni '60, con Picasso, e
l'approccio cui ho accennato del corso di FT era il risultato di
questo lavoro.
In un certo senso pero' il problema l'avevamo affrontato "dall'altra
parte".
Avevo intenzione di fartene un rapida sintesi, ma ora ho gia' scritto
un bel po' e mi sono stancato, per cui temo che non sarei troppo chiaro
o magari infilerei qualche c...
Preferisco rimandare a domani.
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OK, aspetto.
Ma hai capito perche' dico che il caso dell'equazione di Dirac
e' diverso dal caso dell'equazione di KG?
Ciao, Valter

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OK, aspetto.
Ma hai capito perche' dico che il caso dell'equazione di Dirac
e' diverso dal caso dell'equazione di KG?
Ciao, Valter
P.S. Aspetto ancora i toi commenti sul Caldirola...
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Valter Moretti ha scritto:
 > OK, aspetto.
 > Ma hai capito perche' dico che il caso dell'equazione di Dirac
 > e' diverso dal caso dell'equazione di KG?
 > Ciao, Valter
 > P.S. Aspetto ancora i toi commenti sul Caldirola...
Peggio di un elefante, eh? :-))
Ma non ce la faccio... Ormai e' passato tempo, e dovrei ricominciare a
scorrerlo. Ed e' troppo un mattone...
Veniamo al tema.
L'approccio era questo. Si costruisce una rappr. irr. del gr. di
Poincare': cominciamo con spin 0 (poi, un altro giorno, vedremo spin
1/2).
Questo si puo' fare con le funzioni L2(R^3), che scrivo \phi(p) (p
vettore 3-dim.). Dato che la massa e' fissata, l'energia e' \sqrt(p^2
+ m^2), positiva per definizione: in seguito la chiamero' E.
Si presentano spontaneamente due possibii norme:
||\phi||_1^2 = \int d^3p |phi(p)|^2
oppure
||\phi||_2^2 = \int d^3p/E |phi(p)|^2.
Entrambe hanno vantaggi e svantaggi:
- la 1 si presta meglio all'interpretazione fisica della f. d'onda (v.
dopo)
- la 2 e' Lorentz invariante, se si assume che \phi si trasformi come segue:
\phi(p) |--> \phi(\Lambda^{-1} p)
dove Lambda e' una matrice di Lorentz, e la notazione \Lambda^{-1} p
va intesa nel senso che si trasforma il q-vettore (E,p) in un (E',p')
e si mette p' come argomento di \phi.
Questa la chiamo una legge di trasf. "locale": il perche' si capira'
meglio in rappr di Schr.
Va osservato pero' che se \phi e' locale e ha la norma 2, allora
\phi' = E^{-1/2} \phi e' tale che ||\phi||_2 = ||\phi'||_1, ma \phi'
ha una legge di trasformazione piu' complicata, non locale.
La rappr. dell'algebra di Lie del gr. di P. si fa cosi':
P \phi(p) = p \phi(p)   H \phi(p) = E \phi(p)
dove P sono i generatori delle tralazioni spaziali, H della trasl.
temporale.
J \phi e' banale: J = -i p x \nabla_p.
Infine K (generatori dei boost):
K \phi = i E \nabla_p (norma 2).
P e J sono ovviamente hermitiani (e autoaggiunti). Meno banale che o
sia anche K, dato che E non commuta con \nabla_p; ma e' vero, con la
norma 2.
Abbiamo quindi realizzato un rappr. unitaria, come si voleva.
Se invece si usa la norma 1 cambia solo K, che diventa
K = i E^{1/2} \nabla_p E^{1/2} (norma 1).
Questo e' haermitano a vista, come deve, visto che la norma 1 e' la
solita norma L^2, senza fattori correttivi nell'integrale.
E adesso comincia il bello: bisogna definire l'operatore posizione.
Sembra ovvio che si debba porre
X = i \nabla_p (norma 1)
ma questo e' vero solo con la norma 1, perche' con la norma 2 questo
operatore non e' hermitiano. Per averlo hermitiano bisogna porre
X = i E^{1/2} \nabla_p E^{-1/2} (norma 2).
Per dare l'usuale interpretazione della m.q., e' utile passare alla
rappr. di Schr., cosa che si fa con una trasf. di Fourier.
Ma a questo punto sono di nuovo stanco...
Il seguito alla prossima puntata ;-)
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Mi sa che oggi consumero' tutto il tempo a rispondere a Valter, e non
me ne restera' per andare avanti...
Aggiungiamo che sono nel corso di un deprimente appello di
Astrofisica, nel quale sto constatando il sempre piu' basso livello di
preparazione *generale* dei nostri studenti, il che per via molto
indiretta riduce la mia voglia di dedicarmi a questi discorsi. Sigh...
Valter Moretti ha scritto:
 > Mamma mia! Mica basta per dire che cosi' hai una rapp unitaria!
 > Bisogna precisare e verificare altre cose (Mi rendo conto che
 > probabilmente nei vostri lavori avrete fatto le cose per bene
 > e che qui mi stai facendo il riassunto).
Allora, precisiamo un po' di cose...
1. Ai tempi di cui stiamo parlando (circa 40 anni fa) in realta' di
questa matematica ne sapevo meno di oggi, il che e' tutto dire.
Valter e' troppo giovane per conoscere la storia della cultura
matematica dei fisici a quei tempi, ma semplicemente la conoscenza
del gr. di Poincare', delle sue rappresentazioni, delle proprieta' e
condizioni connesse, erano allora padroneggiate da poche "mosche
bianche" nel mondo, tra le quali io non mi sono mai annoverato.
Cionostante, a Pisa ero tra i pochissimi specialisti dell'argomento
(l'unico altro era appunto Picasso).
2. A parte cio', il mio discorso non aveva e non ha lo scopo di essere
rigoroso dal punto di vista matematico (cosa di cui, lo ripeto, non
sarei capace).
Aveva e ha invece lo scopo di mostrare certe relazioni fra gli aspetti
algebrici (gruppi, rappresentazioni) e certi problemi fondamentali
della m.q. relativistica.
Problemi sui quali secondo me la maggior parte dei testi glissano, e
su cui non tanti ancor oggi - secondo la mia personale opinione,
ma potrei sbagliare - hanno le idee chiare.
3. Il punto su cui e' possibile un sostanziale dissenso con Valter e'
se si possa parlare di tutto cio' senza fare le cose veramente pulite
dal p. di vista matematico.
Io credo di si', mentre prob. lui pensa di no...
Ammetto che la questione non e' banale, anche perche' se uno accetta
di essere un po' "sloppy" con la matematica, sorge la domanda: dove
ci si puo' fermare?
Ovviamente la mia ipotesi e' che ci si possa fermare dove mi fermo io
;-)
 > Lo saprai meglio di me, ma per dire che c'e' davvero la
 > rappresentazione di SL(2,C) bisogna che ci sia un dominio denso in
 > L^2 comune a tutti i generatori su cui l'operatore P^2+J^2+K^2 sia
 > essenzialmente autoaggiunto (cioe' il sua aggiunto sia
 > autoiaggiunto).
No, non lo so meglio di te, e lo sai benissimo...
 > ...
 > Si possono fare dei controesempi banali e fisicamente interessanti
 > considerando per esempio il gruppo di Heisenberg con algebra di Lie
 > I,X e P, quando si lavora su un cerchio o con condizioni al contorno
 > di Dirichelet.
Questo dovrei saperlo...
Ma per il nostro problema, mi accontento della congettura che in
realta' tutto si possa sistemare.
In altre parole, le cose di cui voglio discutere ritengo siano
scorrelate con l'esistenza della rappr. unitaria, che penso esista.
Sto parlando di tutt'altro genere di problemi.
O mi sbaglio?
 > Immagino che a questo punto o quasi entri la rappresentazione di
 > Newton-Wigner.
Mi piacerebbe poterti dire si', ma doveri ricordarmi che cosa c'era di
preciso nel lavoro di N-W.
C'era di sicuro il concetto di "sistema elementare" come quello il cui
spazio degli stati e' sede di una rappr. irr. del gruppo di Poincare'.
Poi non ricordo altro :-(
A quel tempo lo conoscevo bene, e forse ne ho ancora una fotocopia, ma
chissa' dove.
Quindi quasi certamente dovro' ripetere cose che ho imparato li', ma
penso ci sia anche dell'altro. Solo che non sono capace oggi di
separare.


 me ne restera' per andare avanti...
E io, a seguire (si fa per dire) voi due "al lavoro", riesco a sentirmi cosě
ignorante, ma cosě ignorante, ma cosě ignorante...
Solo, vi prego, giuratemi che quello che vi dite, almeno per voi due ha un
senso, un senso qualsiasi... :-)
Saluti!
 
-- 
Roberto Rosoni
<roberto...@tisLOCKcali.it> (Remove the lock in your replies)
 
Se la Montagna viene da te, e non sei Maometto, scappa! E' una frana!
 

 Poi non ricordo altro :-(
Mi riferivo al fatto che in quella rappresentazione (NW)
l'operatore posizione diventa moltiplicativo e questo fa a pugni con la 
trasformazione locale delle funzioni d'onda. Credevo che nei vostri 
lavori, arrivando all'operatore posizione, aveste accennato alla 
questione in confronto alla situazione molto piu' banale della teoria 
non relativistica. Anche visto che  qualche anno fa su questo NG 
discutemmo della rappresentazione di NW e sulla questione della non 
localita' della trasformazione delle funzioni d'onda in questa 
rappresentazione dove comunque l'operatore posizione assume la forma 
solita. (A parte il solito Toller, sei l'unico fisico teorico che 
conosco che sappia cosa sia la rappresentazione di NW... per conto mio 
la costruii da solo quando ero studente e poi la ritrovai su un libro di
Fulling nel dottorato).
Prometto solennemente di non interrompere piu' con questioni
"matematiche" questo thread (e lasciamo pure perdere NW).
Mi interessa invece il seguito del vostro approccio!
Ciao e grazie di questa bellissima (almeno per me) discussione!
Valter


 Saluti!
Ciao, sono morto dal ridere per quanto hai scritto sopra!
Per me questa discussione e' molto bella perche' mette a confronto
due modi di pensare apparentemente simili, ma anche con profonde 
differenze di impostazione.
Credo che si capisca bene la differenza tra la fisica teorica (Elio)
e la fisica matematica (io).
Ciao, Valter


 e la fisica matematica (io).
Giusto quella, e con un bel "forse" davanti.
Mi ricordate quei prof. all'Università quando durante le lezioni dicevano
"...è quindi banalmente evidente che...".
Come minimo si passava una settimana a scervellarsi, e alla fine il più
coraggioso degli studenti andava dal prof. per dirgli (o meglio: sussurare),
con la mimica facciale volta all'umiltà più totale: "Ehm... scusi...,
professore..., potrebbe chiarirmi meglio questo punto..." :-D
Ma vi prego, continuate pure (e scusate la digressione).
Non ci capisco assolutamente alcunché in quello che vi state dicendo, ma la
vostra discussione, dal punto di vista puramente estetico, è magnifica. ;-)
Ciao!
 
-- 
Roberto Rosoni
<roberto...@tisLOCKcali.it> (Remove the lock in your replies)
 
"Ai bambini buoni la Dolce Euchessina" "E a quelli cattivi?" "Che spingano!" (M.Marchesi)
 


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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


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Roberto Rosoni ha scritto:
 > ...
 > Solo, vi prego, giuratemi che quello che vi dite, almeno per voi due
 > ha un senso, un senso qualsiasi... :-)
Oggi vorrei dedicarmi al seguito delle mie elucubrazioni, ma prima
debbo riservare un po' d'attenzione a questo "grido di dolore" :)
Potrei cavarmela sbrigativamente osservando che per loro natura i NG
sono aperti a tutti, si parla di tutto. Anche questo, che e' un NG di
fisica, spazia dai problemi con le molle (e anche questioni piu'
elementari) fino ai certami come quelli tra me e Valter.
Potrei quindi dire: ognuno stia a quello che e' in grado di capire.
"Sutor, ne ultra crepidam", mi pare dicesse Orazio...
Ma invece voglio andare un po' oltre.
La preoccupazione che Roberto ha espresso in modo spiritoso, in
realta' aleggia da lungo tempo nella fisica. Per es. si legge ne "Il
mondo di carta" di Bellone degli attacchi ai quali Boltzmann era
soggetto da parte di Kelvin e Tait, per il fatto di nascondere la
fisica sotto un'orgia terroristica di formule (cito a memoria).
Questo in quanto colpevole di avere inventato la meccanica
statistica... (v. dopo).
Per quanto mi riguarda, mi sento abbastanza assolto, perche' accanto a
un certo culto delle questioni astratte non ho mai perso di vista la
concretezza pratica degli esperimenti, dei numeri, delle stime di
ordine di grandezza, ecc.
Dicevo appena ieri o l'altro ieri della sofferenza negli esami di
astrofisica. Ora vi racconto un punto nodale di questa sofferenza.
Ho scoperto che *nessuno* (dico nessuno!) degli studenti esaminati,
incluso uno che ha avuto 30, sapeva rispondere alla seguente domanda:
"Visto che in tutte le stelle l'idrogeno e' l'elemento di gran lunga
piu' abbondante, come mai nello spettro di certe stelle si vedono le
righe dell'idrogeno, ma in molte altre queste righe sono deboli o
addirittura assenti?
Si finiva poi a chiedere:
"Se prendo una boccia piena d'idrogeno a temperatura ambiente, vedo
che e' trasparente. E anche se faccio le misure piu' raffinate, non
trovo traccia di assorbimento nel visibile. Come mai, visto che esiste
la ben nota serie di Balmer, che consiste appunto di righe di
assorbimento nel visibile?"
Andando a grattare si scoprivano le cose piu' nere:
- alcuni studenti non sapevano dire come fosse fatto lo schema
dei livelli dell'idrogeno
- altri (o gli stessi) non sapevano dire all'incirca l'energia di
ionizzazione dell'idrogeno
- quasi nessuno sapeva dire l'energia di un fotone nel visibile
- solo uno (quello del 30), e solo dopo essere stato indirizzato,
arrivava a connettere il fatto di cui sopra con la distribuzione di
Boltzmann, quindi col fatto che la popolazione dei livelli dipende
dalla temperatura, e che la serie di Balmer in assorbimento parte dal
primo livello eccitato.
Ora per me queste sono tra le conoscenze *assolutamente basilari* per
qualsiasi fisico, *qualunque* tipo di specializzazione voglia assumere,
qualunque lavoro debba fare in futuro.
Questo per dirvi che le rappresentazioni del gruppo di Poincare' vengono
*molto* dopo, anche se a me piace molto ragionarci.
Un'altra cosa. Non mi metterei a scrivere di questi argomenti in un NG
se non pensassi che c'e' qualcun altro, oltre Valter e me, cui possono
interessare. Del resto il thread e' nato, mi pare, da una questione
posta da uno studente di teoria dei campi, o giu' di li'.


Valter Moretti ha scritto:
 > ...
 > Anche visto che  qualche anno fa su questo NG
 > discutemmo della rappresentazione di NW e sulla questione della non
 > localita' della trasformazione delle funzioni d'onda in questa
 > rappresentazione dove comunque l'operatore posizione assume la forma
 > solita.
Povero me! Non me ne ricordavo affatto...
Mi sto dunque ripetendo? E' ben noto che ai vecchi capita...
Ma facciamo finta di niente, e andiamo avanti.
Breve riassunto: ho definito due norme:
||\phi||_1^2 = \int d^3p |phi(p)|^2
||\phi||_2^2 = \int d^3p/E |phi(p)|^2.
- la 1 si presta meglio all'interpretazione fisica della f. d'onda
- la 2 e' Lorentz invariante: \phi(p) |--> \phi(\Lambda^{-1} p)
Questa seconda l'ho chiamata "trasf. locale".
Se \phi e' locale e ha la norma 2, allora \phi' = E^{-1/2} \phi e'
tale che ||\phi||_2 = ||\phi'||_1, ma \phi' ha una legge di
trasformazione piu' complicata, non locale.
Poi ho mostrato la rappresentazione dell'algebra di Lie del gr. di P.
nei due casi.
Poi ho discusso la definizione dell'operatore posizione, per le due
norme.
Ed ero arrivato al punto d'introdurre la rappr. di Schroedinger, facendo
la TdF delle \phi(p).
Niente di piu' facile: basta definire
\psi(x) = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p exp(ipx) \phi(p).
Questa \psi soddisfa la nota relazione
\int |\psi(x)|^2 d^3x = \int |phi(p)|^2 d^3p
quindi la norma di \psi e' proprio la stessa che si usa in m.q. non
relativistica, se per \phi adotto la norma 1.
Dopo di che si scrivono senza difficolta' le rappresentazioni di tutte
le osservabili: X e' semplicemente moltiplicativo per x; P e' -i\nabla_x.
Un po' piu' complicata la rappr. dell'algebra di Lie.
H\psi e' un operatore integrale:
(H\psi)(x) = \int H(x - x') \psi(x') d^3x'  (1)
dove la funzione H(x) dipende solo da |x| (e' una qualche funzione di
Hankel modificata che non ricordo) ma ha come supporto l'intera
semiretta reale positiva. Dato che H genera le traslazioni temporali,
quindi determina l'evol. temporale della \psi, ne segue che l'eq. di
Schr. in questa rappr. *non e' locale* (e neanche causale): per
conoscere la \psi(x,t) occorre dare la \psi(x,0) *per ogni x*.
Naturalmente e' facile scrivere l'evol. temporale usando la TdF:
\psi(x,t) = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p exp(i(px-Et)) \phi(p).
Dalla (1) segue l'eq. di Schr.
i d\psi(x,t)/dt = (H\psi)(x,t) = \int H(x - x') \psi(x',t) d^3x'. (2)
Fin qui la m.q. rel. di una particella di spin 0 non differisce gran
che da quella non rel.: l'unica differenza sta nell'espressione piu'
complicata (non locale) dell'hamiltoniana.
Ma naturalmente vogliamo anche vedere come agiscono le trasf. di
Lorentz: non e' difficile, trasformando le rappresentazioni
dei generatori K che avevamo gia' visto. Si trova
K = H^{1/2} x H^{1/2}
che pero' funziona solo per t=0. Infatti K non commuta con H
(relativita' della simultaneita') e quindi la sua rappr. deve dipendere
dal tempo:
K = H^{1/2} x H^{1/2} + it \nabla_x.
Comunque la vera grana e' che la trasf. di Lorentz della \psi *non e'
locale*.
Per concludere questa puntata, osservo ancora che l'eq. (2) puo'
essere semplificata iterandola:
d\psi/dt = -iH\psi ==>
d^2\psi/dt^2 = -iH d\psi/dt = -H^2 psi = (m^2 - P^2)\psi =
(m^2 + \nabla^2)\psi (3)
che e' l'eq. di Klein-Gordon.
Il prezzo che si paga e' l'introduzione di soluzioni spurie: infatti
la (3) e' soddisfatta anche dalle soluzioni di
i d\psi/dt = H\psi,
ossia quelle che impropriamente si chiamano "soluzioni a energia
negativa" o meglio a frequenza negativa. Ricordiamo che H e' infatti
definito positivo.
Naturalmente si possono escludere queste soluzioni imponendo la (2)
come condizione iniziale: l'eq. di K-G essendo di 2^ ordine, occorre
dare al tempo iniziale tanto la \psi come la d\psi/dt.
Commento finale per questa puntata. Mi sono un po' dilungato su questo
approccio (che non ho mai visto trattato sui libri) per mostrare che si
puo' coerentemente seguire da vicino la strada della m.q. non
relativistica, come interpretazione delle osservabili, normalizzazione,
ecc.
Il prezzo e' la non localita'. Ma su questo c'e' poco da fare, perche'
il "vero" operatore di posizione e' quello che abbiamo visto, la "vera"
densita' di prob. e' |\psi(x)|^2 come definita sopra.


 densita' di prob. e' |\psi(x)|^2 come definita sopra.
Se ricordo bene ci sono dei  problemi nel caso m=0 anche nel caso 
scalare, ma non mi ricordo piu' dove. Tu ti ricordi qualcosa del genere?
Ciao, Valter


Valter Moretti ha scritto:
 > ...
 > Se prendi una delta di dirac centrata in x_0 in rappresentazione
 > posizione e poi vedi a quale funzione d'onda in t e x corrisponde
 > nella rappresentazione della norma con il fattore 1/E, vedi che non e'
 > una delta ma una distribuzione piu' complicata che "assomiglia" ad una
 > delta fuori da un intervallo Dx. Con il principio di H puoi stimare il
 > Dp corrispondente a que Dx e tale Dp corrisponde ad un DE ~ 2m
 > cioe' l'energia per la produzione di una coppia. Questo fatto mi aveva
 > dato da pensare...
Si' infatti viene un K_u(mr) dove u e' un qualche indice come 1/4...
E le funzioni K hanno andamento asintotico esponenziale decrescente.
Del resto un fenomeno analogo si presenta anche per spin 1/2, ed e'
legato alla Zitterbewegung. Chissa' se arrivero' mai a parlarne?
Forse l'anno prossimo :-)
 > ...
 > Se ricordo bene ci sono dei problemi nel caso m=0 anche nel caso
 > scalare, ma non mi ricordo piu' dove. Tu ti ricordi qualcosa del
 > genere?
Non credo di aver mai fatto il conto per m=0, ma c'e' da aspettarsi
grane.
Non a caso le teorie assiomatiche facevano (fanno?) sempre l'ipotesi di
"mass gap".



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