Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Coordinate localmente inerziali

Avevamo discusso  su it.scienza.matematica
dell'esistenza di coordinate localmente inerziali
che esistono per un tempo finito attorno ad 
un osservatore in caduta libera (e non solo
per un istante). Ho deciso di postare anche 
la dimostrazione che ho fatto  perche` magari 
puo` servire anche a qualche 
studente... (inoltre la cosa rimane sull'archivio
di deja e se qualcuno ripone la stessa domanda
basta invitarlo a rileggersi 'sto  paccazzo).
Premessa 
La funzione exp e` definita come segue:
fisso un evento dello spaziotempo p. Prendo
un vettore nello spazio tangente a p, V,
q= exp_p(V) e` il punto vicino a p che e` connesso
a p con l'unica geodetica che parte da p e finisce 
in q (quando il parametro in cui e` descritta vale s=1)
ed ha vettore tangente in p (s=0) dato proprio da V.
Se v_0,...,v_3 e` una base nello spazio tangente
T_pM, la funzione
(x^0,...,x^3) |-> exp_p( x^mu v_mu)
(somma su mu da 0 a 3) definisce un sistema  
di coordinate locali attorno a p dette coordinate
normali Riemanniane in p. La particolarita` e` che
in tali coordinate ed esattamente in p si annllano
tutti i coefficienti di connssione o che e` lo stesso
le derivate prime del tensore metrico si annullano
in p. In queste coordinate le geodetiche che 
escono da p sono funzioni lineari e cio` traduce
in termini matematici il principio di equivalenza 
di Einstein: ci sono sistemi di coordinate in cui
le geodetiche temporali appaiono (almeno in modo
approssimato in un intorno sufficientemente piccolo)
come moti rettilinei uniformi. Tali sistemi
sono detti localmente inerziali.
Elio mi faceva notare che in realta` secondo Einstein
tali coordinate si devono poter trovare nonn solo
attorno ad un evento, ma lungo l'evoluzione di
un osservatore in caduta libera in un campo 
gravitazionale. Questo punto non e` mai ben
spiegato sui libri, ma significa che divrebbro
esistere, per una fissata geodetica di tipo tempo,
delle coordinate costruite attorno ad una porzione 
di curva (piu` di un evento solo), in cui i simboli
di connessione si annllano lungo la geodetica.
Ecco la dimostrazione che mi ero fatto qualche 
anno fa e che questa mattina mi sono rifatto
per esercizio.
 
*Dimostrazione che per una data geodetica temporale
e fissato un evento su di essa, esistono coordinate 
definite nell'intorno di tale evento in cui i simboli 
di conenssione sono nulli su tutti i punti della 
porzione di geodetica passante per l'intorno*
Fissiamo una geodetica di tipo tempo
z=z(t), t tempo proprio, z coordinate arbitrarie nello 
spaziotempo. A t=0 mettiamo una base di vettori di 
tipo spazio normali alla geodetica  e_1 e_2 e_3 
e trasportiamoli parallelamente lungo la curva.
(Posso anche usare il trasporto di Fermi-Walker,
sulle geodetiche coincide xcon quello parallelo) 
Poi consideriamo la funzione
(t,x^1,x^2,x^3) -> exp_{z(t)} (x^i e_i)
Lascio da verificare, dalle proprieta` di exp che il 
differenziale nel punto t = x^1 = x^2 = x^3 =0 
di tale mappa e` non nullo, per cui si ha un 
diffeomorfismo locale intorno al punto 
e i paramtri  t, x^1,x^2,x^3 sono coordinate 
ammissibili in tale intorno.
Mostro che, in tali coordinate, i coefficienti della
connessione di Levi-Civita si annullano esattamente 
sulla geodetica temporale considerata. In tal modo
tali coordinate definiscono un riferimento inerziale
locale in caduta libera (non solo nell'intorno di
un evento ma per un tempo finito).
I coefficienti di connessione li indico con
G^mu_{nu tau}. usero' pero' lettere latine per
gli indici da 1 a 3 e t oppure 0 per l'indice 
temporale.
le derivate parziali le indico con @, cosi'
il vettore tangente alla curva e` @/@t.
Nelle coordinate t,x^i la geodetica e` semplicemente
x^i =0 e t=s con s parametro affine.
Ancora, dato che il trasporto parallelo e` isometrico,
avrai *per ogni t* dato che cio` vale a t=0
g_{00} = -1,  g_{0i} = 0, g_{ij} = delta_{ij}
Infatti le componenti della metrica di sopra non sono
altro che il prodotto scalare (T,T) e (T,e_i), (e_i,e_j)
lungo la curva, dove T = @/@t e` il versore tangente 
e gli e_i sono quelli trasportati da tampo nullo.
Ora fissiamo un t e consideriamo una geodetica che esce
dalla curva tangente a V^i e_i in quel punto. Dalle
proprieta` di exp devi avere che tale geodetica ha
equazione : x^i = V^i e t=0.
Scrivendo l'equazione geodetica si ha subito che 
G^i_{jk}=0, G^0_{ik}=0,  per s=0 cioe` in tutti
i punti della geodetica temporale iniziale.
Facendo la stessa cosa per la stessa geodetica temporale 
di partenza si ottiene che G^{0}_{00}=0 lungo tutta 
la curva.
Rimangono da considerare  G^i_{00} proporzionale a
@g_{00}/@x^i e G^i_{0j} e` proporzionale a 
@g_{0i}/@x^j + @g_{0j}/@x^i
Questo e` il punto difficile. Ti mostro che i 
coefficienti di connessione in questione sono nulli
sulla curva.
Partiamo da G^i_{0j}.
@g_{0i}/@x^j = @/@x^i < @/@t, @/@x^j > 
= D_i < @/@t, @/@x^j > 
dove D_i e` la derivata covariante rispetto
a x^im e <,> indica il prodotto scalare.
 D_i < @/@t, @/@x^j > = <D_i @/@t, @/@x^j> 
+ <@/@t, D_i @/@x^j>
Il secondo addendo e` nullo perche` 
D_i @/@x^j = 0 per l'equazione delle
geodetiche.
Dato che la connessione ha torsione nulla
D_i @/@t = D_t @/@x^i + [@/@x^i, @/@t]
Il commutatore e` pero` nullo perche` i vettori
sono tangenti alle coordinate (la base e` olonoma)
Quindi D_i @/@t = D_t @/@x^i e
@g_{0i}/@x^j =  <D_t @/@x^i, @/@x^j>
In definitiva 
G^i_{0j} e` proporzionale a 
<D_t @/@x^i, @/@x^j> + <D_t @/@x^j, @/@x^i>
= @/@t g_{ij} = 0
perche' g_{ij} = delta_{ij}
lungo la geodetica come detto sopra.
Similmente troviamo che 
 G^i_{00} e` proporzionale a 
<D_j @/@_t, @/@t> 
ragionando come sopra questo vale
<D_t @/@x^j, @/@t> + 
<@/@x^j, D_t @/@t>
il secondo addendo l'ho aggiunto perche` 
e` nullo (perche` la curva e` geodetica
temporale) e lo posso fare.
Quindi G^i_{00} e` proporzionale a 
@/@t g_{0j} =0 perche' g_{0j}=0
sulla geodetica temporale come visto 
sopra.
In definitiva TUTTI i coefficienti
di connessione sono nulli lungo la
geodetica temporale considerata.
NOTA. In certi testi si trova scritto
es. Landau, che e` possibile annullare 
i coefficienti di connessione lungo una 
curva qualsiasi (non geodetica), pero` 
non ho mai letto la dimostrazione e secondo 
me e` FALSO (dal punto di vista fisico 
significherebbe che puoi mettere un sistema 
loc.inerziale attorno ad un *qualsiasi* 
osservatore anche NON in caduta libera!)
Se qualcuno si vuole cimentare...
Ciao, Valter
 
 
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 Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
 
mor...@science.unitn.it
 
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 basta invitarlo a rileggersi 'sto  paccazzo).
Ciao Valter, ho appena salvato tutta la dimostrazione (appena avrò tempo me
la studierò). Ho notato che è completamente diversa (leggi: più avanzata) di
quelle comunemente riportate sui libri di testo. Quella che conosco io è
così:
Condizione necessaria e sufficiente affinchè uno spazio tempo sia localmente
euclideo è che le connessioni affini C[alpha, mu, nu] siano simmetriche
negli indici inferiori mu e nu.
Nota: [alpha, mu, nu] sono indici tensoriali; precisamente, alpha è un
indice superiore, mentre mu, nu sono indici inferiori. Adotto la convenzione
secondo cui con le lettere greche si indicano indici spazio-tempo, cioè
variabili da 0 a 4, mentre le lettere latine indicano indici spaziali e come
tali variabili da 1 a 3.
Una possibile dimostrazione geometrica è la seguente:
Sia P un evento arbitrario; quindi considero due vettori infinitesimi
controvarianti du[nu] e dv[nu] applicati in P.
dv*[nu]=dv[nu]-C[nu, alpha, beta]dv[alpha]du[beta]
Cioè, dv*[nu] è il vettore dv[nu] parallelamente trasportato lungo la
direzione du. Il risultante dei vettori du[nu] e dv*[nu] è:
da[nu]= du[nu]+ dv[nu]-C[nu, alpha, beta]dv[alpha]du[beta]        (1)
Adesso eseguo il trasporto parallelo infinitesimo di du[nu] lungo la
direzione dv:
du*[nu]=du[nu]-C[nu, alpha, beta]du[alpha]dv[beta]
Quindi faccio il risultante di dv e du* :
db[nu]= dv[nu]+ du[nu]-C[nu, alpha, beta]du[alpha]dv[beta]        (2)
Il confronto con la (1) porge:
db[nu]=da[nu]+2(C[nu, alpha, beta]- C[nu, beta, alpha])dv[alpha]du[beta]
Se db[nu] è diverso da da[nu], il parallelogramma non si chiude, e la
geometria differisce da quella euclidea anche a piccola scala, mentre noi
vogliamo il contrario. Quindi:
Per ogni dv, du,  db[nu]=da[nu] => C[nu, alpha, beta]- C[nu, beta, alpha]=0
Cioè le connessioni sono simmetriche negli indici inferiori.
Assegnato uno spazio-tempo in cui le connessioni affini sono simmetriche, ci
si può chiedere se esiste un sistema di coordinate localmente definito in
cui esse sono nulle. La risposta è affermativa e tale sistema può costruito
nel seguente modo:
1) Prendo ad arbitrio un punto P(y) dello spazio-tempo e un suo intorno
infinitesimo w(P).
2) Eseguo una trasformazione di coordinate in tale intorno:
x'[mu]=f(x[nu]),   con  x in w(P)
3) Espando f in serie di potenze di (x-y) troncata al second'ordine.
x'[mu]=(x[mu]-y[mu])+A[mu, alpha, beta](x[alpha]-x'[alpha])(x[beta]-x'
[beta])    (3)
Qui A[mu, alpha, beta] sono coefficienti costanti.
N.B. La permutazione degli indici muti porge: A[mu, alpha, beta]= A[mu,
beta, alpha]
4) Inverto l'espansione di f:
x[mu]-x'[mu]=x'[mu]+ B[mu, sigma, rho]x'[sigma]x'[rho]       (4)
Sostituendo la (4) nella (3) e conservando i termini fino al second'ordine
in x, otteniamo:
B[mu, alpha, beta]=- A[mu, alpha, beta]                 (5)
A questo punto, mi vado a calcolare le connessioni affini nel nuovo sistema
di coordinate, attraverso l'equazioni di trasformazione, e imponendo C'=0
(dopo molti passaggi) si ottiene:
A[mu, alpha, beta]=(1/2) C[mu, alpha, beta]             (6)
In virtù della (6) la (3) diventa:
x'[mu]=(x[mu]-y[mu])+C[mu, alpha, beta](x[alpha]-x'[alpha])(x[beta]-x'
[beta])    (7)
Nel nuovo sistema di coordinate è C'=0. Quindi, comunque prendo un vettore
b[mu], risulta deltab[mu]=0, essendo delta l'operatore di trasporto
parallelo infinitesimo. Questa condizione caratterizza uno spazio euclideo
in coordinate cartesiane. Ciò ci autorizza ad asserire che relativamente al
nuovo sistema di coordinate, lo spazio è euclideo.
 INTERPRETAZIONE FISICA.
Principio di equivalenza.
Un campo gravitazionale è equivalente a un sistema di riferimento
accelerato, quindi non inerziale.
Possibilità di eliminare localmente un campo gravitazionale.
Se in un certo sistema di coordinate risulta C=0, posso avere due casi
distinti:
a) Mi trovo in uno spazio-tempo piatto, ma sono capitato in un complicato
sistema di coordinate curvilinee. In tal caso esiste sempre una
trasformazione \ di coordinate che mi annulla le connessioni. Ad esempio,
nello spazio euclideo R^3 in coordinate sferiche le connessioni sono non
nulle. Tuttavia, se passo a coordinate cartesiane, esse si annullano. Uno
spazio siffatto non contiene materia e come tale è privo di interesse
fisico.
b) Mi trovo in uno spazio-tempo curvo. Adesso non esiste una trasformazione
globale di coordinate che mi annulla le connessioni. Fisicamente, significa
che sono immerso in un campo gravitazionale, il quale non può essere
eliminato attraverso una trasformazione di coordinate. Ciò però può essere
fatto localmente, passando a coordinate localmente geodetiche. Qui lo spazio
è euclideo, perciò il sistema di riferimento è inerziale (localmente).
Infatti, in un riferimento inerziale lo spazio verifica i postulati della
geometria euclidea.
Quindi, la richiesta della simmetria delle connessioni affini è vitale,
affinchè un campo gravitazionale possa essere eliminato localmente.
Un sistema di riferimento localmente inerziale è un sistema in caduta libera
in un campo gravitazionale. Infatti, assegnato un campo gravitazionale, a
parità di condizioni iniziali, particelle di massa diversa, si muovono allo
stesso modo nel campo, poichè l'accelerazione è indipendente dalla massa. Un
aggregato di tali particelle simula un sistema inerziale, giacchè esse sono
in quiete relativa.
Cosicché, attraverso un sistema in caduta libera, eliminiamo localmente un
campo gravitazionale.
Secondo te, è corretto questo procedimento o ci sono dei bachi.
Un grazie in anticipo
Rob_jack

 Rob_jack
Ciao, Valter


Grazie di nuovo.
Ho visto (forse lo sapevo gia', ma l'avevo dimenticato) che l'argomento
e' trattato in "Gravitation", alla fine del cap. 16. Anzi e' trattato il
problema generale, non quello della geodetica, dicendo pero' la cosa
giusta: i coeff. di connessione non si annullano, ma possono solo essere
portati a una forma standard che contiene l'accelerazione e la vel.
angolare.
Purtroppo quel ragionamento non l'ho mai capito, perche' non ho mai
capito che cos'e' il trasporto di Fermi-Walker. Mi e' chiaro il
requisito che il vettore tangente alla curva resti tangente, anche se
non e' una geodetica (quindi non si puo' fare col trasporto parallelo).
Ma la rotazione spaziale con quale condizione viene determinata? 
Non direi che MTW si spieghino, e per es. su Wald l'argomento manca del
tutto.
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
------------------------------------

 tutto.
Appena ho un po' di tempo raccolgo le idee e ti racconto quello che
conosco.
Ciao, Valter

Allora ecco quello che sono riuscito a mettere insieme
del trasporto di Fermi-Walker ripescando nella mia memoria.
La questione e` un po' tecnica ma non
impossibile.
Premessa: se ho una matrice L del gruppo (ortocrono
proprio) di Lorentz, c`e` un *unico* modo di decomporla
in un prodotto
L = P R
dove R e` una semplice rotazione 3x3 che non altera
la componente temporale e P e` una matrice di Lorentz
che ha la proprieta` di essere *simmetrica*.
Questo genere di trasf. sono dette trasformazioni
*pure* di Lorentz (le trasf. speciali sono trasformazioni
 pure lungo uno dei tra assi cartesiani spaziali).
Dal punto di vista delle algebre di Lie le trasf. pure
sono tutte e sole le trasf di Lorentz generate dai
cosiddetti "boost".
Dal punto di vista fisico le trasf. pure rappresentano
le trasf di Lorentz tra sistemi di coordinate inerziali
"non ruotati uno rispetto all'altro".
Sussiste un'analoga decomposizione, unica anche essa,
L= RP' (R e` la stessa ma P no).
Un fatto importante e` che le trasf. pure non formano
un sottogruppo ma la composizione di due trasf. pure
contiene una rotazione: l'effetto fisico di cio`
e` qualla che si chiama "precessione di Thomas".
(Altre conseguenze vengono fuori in teoria dei campi
quantistica relaivistica con la "rotazione di Wigner"
quando si rappresenta unitariamente il gruppo di Lorentz
per particelle dotate di spin. )
Torno al trasporto di Fermi-Walker.
Mi metto in Relativita` Speciale e prendo un corpo
puntiforme che porta una terna ortonormale
(infinitesima) e lo lascio evolvere con una curva
di tipo tempo. Ad ogni istante t di tempo proprio
la terna ed il quadriversore normale alla curva
spaziotemporale dell'oggetto determinano un sistema di
coordinate minkowskiane di un riferimento
inerziale in quell'istante in quiete con l'oggetto:
4 versori applicati alla curva di cui 3 spaziali,
E1,E2,E3
perpendicolari tra di loro e alla curva
e uno dato dal versore tangente E0
Avro` una legge di evoluzione:
Ek= Ek(t), k=0,1,2,3
Questa legge mantiene la geometria (ortonormalita`
della terna) per ipotesi.
Fissiamo due istanti t e t+dt, con i corrispondenti
riferimenti inerziali I(t) e I(t+dt) determinati
dalle coordinate Minkowskiane come detto.
Ci sara` una trasformazione del gruppo di Lorentz
che connette i due sistemi di coordinate L(t,t+dt),
lavorando al prim'ordine in dt ci chiediamo se
e` possibile fissare la legge di evoluzione di sopra
in modo tale che L(t,t+dt) sia, per ogni t
una trasformazione *pura* di Lorentz.
Si dimostra (con un po' di contacci)
che c'e` un unico modo di fare cio':
il Trasporto di Fermi-Walker: le leggi di evoluzione
Ek = Ek(t)
devono risolvere separatamente l'equazione
di Fermi-Walker che ora scrivo in componenti.
Se V = V^mu e` un campo vettoriale definito sulla curva,
mu indice controvariante, il trasporto di F-M
e` dato dall'equazione
 dV^mu/dt = (A^nuT^mu -A^muT^nu) V_nu  (1)
t e` la lunghezza propria della curva, il tempo proprio,
T  e` il versore tangente alla curva, A la derivata
di T rispetto al tempo proprio.
La (1) la posso usare anche in Relativita` Generale
per definire il concetto di vettore (o terna di vettori
spaziali normali alla curva) trasportati "senza ruotare"
su una curva assegnata.
Notare che se fisso un vettore a t=0 su una curva,
la soluzione (l'unica) della (1) con tale condizione
iniziale mi determina un vettore per ogni t (cioe`
trasportato) lungo la curva, in questo senso la (1)
e` un'equazione di trasporto.
Lascio da verificare che il vettore tangente T
e` sempre trasportato senza ruotare lungo
una curva (infatti la "rotazione" riguarda
solo cio' che accade nel trispazio di quiete
con gli eventi della curva di universo istante
per istante). Inoltre, e` immediato verificare
che se la curva e` una geodetica l'equazione di F-W
coincide con l'equazione del trasporto parallelo.
Se faccio evolvere senza ruotare  nel senso detto,
per esempio una particella con momento angolare intrinseco,
(basta che nel sistema istantaneo di quiete il momento
delle forze sia nullo) in modo che non descriva una geodetica
e che per  un osservatore inerziale arbitrario fissato
l'accelerazione non sia parallela alla velocita`,
si puo` mostrare che (dato che le
trasformazioni pure non formano un gruppo),
l' osservatore  descrivera` il (quadri) vettore
di spin ruotare comunque, rispetto alle sue coordinate
minkowskiane. Questo fenomeno e` la
precessione di Thomas che e` stata osservata
sperimentalmente...
Ciao, Valter

 la terna ed il quadriversore !!!normale!!! alla curva
Scusate, ovviamente ho scritto NORMALE invece di
TANGENTE.
 Ciao, Valter


 Cerco di capirlo da sotto.
Proprio qui sta la ragione del post, nel senso che ho le idee piuttosto
confuse al riguardo. Dunque, se prendo una varietà differenziabile M, io so
che per *definizione* essa è ovunque dotata di spazio tangente. Facendo un
esempio molto elementare (scusami se manco di rigore), M può essere
interpretata come la generalizzazione di una superficie regolare immersa in
R^3. Tale sup. essendo regolare, è ovunque dotata di piano tangente, che nel
caso della varietà rappresenta lo spazio euclideo tangente.
È corretto questo ragionamento?
Ciao, Rob_jack

indice superiore, mentre mu, nu sono indici inferiori.
Una domanda, ma sono molto arrugginito e forse e` una boiata:-((
Pero`, tanto per seguire un po'..
Ma i coefficienti della connessione NOn hanno necessariamente
carattere tensoriale.. e allora?
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */

Ma la rotazione spaziale con quale condizione viene determinata? 
Dalla derivata covariante g_ij/k del tensore fondamentale
g_ik != g_ki (cioe` completo).
Guarda, prendilo con le pinze questo che ti dico perche' e` molto che
non guardo queste cose, e poi non so neppure se possa servirti.
La "rotazione spaziale" e` controllata, se non ho capito male quel che
chiedi, dal tensore di torsione di Cartan T_ji^k, che altro non e` se
non la parte emisimmetrica (se non e` nulla) dei coefficienti di
connessione (che a differenza della parte simmetrica e` un tensore).
Se invece g_ik e` simmetrico, allora essi coefficienti non
differiscono, come ben si sa`, dai simboli di Christoffel (ii specie).



Le connessioni affini C_jk^i si possono esprimere come:
C_jk^i = C_(jk^i) + C_[jk^i]
dove:
C_(jk^i) = C_(kj^i)         componenti *simmetriche*
C_[jk^i] = - C_[kj^i]     componenti *antisimmetriche*
Le compononenti simmetriche *non* sono tensori, mentre le comp.
antisimmetriche lo sono. Quindi il carattere non tensoriale delle
connessioni affini deriva proprio dalle comp. simmetriche. Come ho detto nel
post, affinchè lo spazio sia loc. euclideo le C devono essere simmetriche,
quindi il termine antisimmetrico si annulla. Poi il termine antisimmetrico è
ripreso in alcune teorie che prevedono un termine di torsione associato alla
densità di spin delle particelle. Precisamente:
densità di energia -> curvatura dello spazio-tempo (che poi si esprime
attraverso il tensore di Riemann, che è una funzione delle C);
densità di spin -> torsione dello spazio-tempo.
Rob_jack

 differiscono, come ben si sa`, dai simboli di Christoffel (ii specie).
Ciao, no, stiamo parlando di due cose del  diverse: quello che dici
tu funziona quando hai una connessione che non e` metrica ed ha torsione.
Mentre nel trasporto di F-W si usa proprio la connessione di Levi-Civita
che e` metrica ed ha torsione nulla cioe` i coefficienti di connessione 
sono proprio i simboli di Christoffel di seconda specie.
Ciao, Valter

 
Quale ragionamento? Vuoi dire se e` vero che ogni varieta` la puoi
vedere come immersa in qualche R^n e che il piano tangente ha in questo
caso una rappresentazione ovvia come piano in quell' R^n... Si, pero` e`
come ammazzare una pulce con una pistola: non e` necessario immergere la 
varieta` in un R^n per definire lo spazio tangente. Lo spazio tangente
si definisce in modo autonomo. Non ho capito comunque cosa c'entra tutto
questo con eventuali connessioni affini messe sulla varieta`...
Ciao, Valter


Il problema è che ho le idee abbastanza confuse al riguardo. In effetti ho
studiato RG bypassando nozioni di geometria differenziale, nel senso che ho
appreso il calcolo tensoriale, attraverso libri di testo del tipo di Landau,
in cui un tensore viene definito in base alla legge di trasformazione delle
sue componenti quando si passa da un sistema di coordinate ad un altro. Il
dubbio che mi assilla è questo: lo spazio tangente che viene automaticamente
definito assegnando una qualunque varietà differenziabile, ha una qualche
relazione con il sistema di coordinate localmente inerziale?
Rob_jack


   Allora, puoi vedere la cosa come segue.
   (1) Quando hai una varieta` M hai *automaticamente*
   lo spazio tangente T_pM ad ogni suo punto p. I vettori
   tangenti a M applicati in p.
 
   (2) Domanda: c`e`qualche corrispondenza biunivoca
   e regolare tra i punti di M *attorno* a p ed i vettori
   tangenti ad M in p?
 
   Se la risposta fosse positiva, fissando una base 
   dei vettori in p avrei costruito *anche* un sistema
   di coordinate su M intorno a p (in un intorno finito).
   NOTA: Sul Landau non si capisce niente di tutto cio'
   perche` "localmente" per lui vuol dire, a volte,
   in un intorno "infinitesimo" cioe` nello spazio 
   tangente, altre volte invece in un intorno finito,
   cioe` su M. 
   (3) Risposta: se la varieta` e` dotata di una connessione
   (quindi in particolare quella di Levi-Civita e` OK), 
   allora la corrispondenza biunivoca suddetta esiste
   in un intorno sufficientemente piccolo (ma finito) di p.
   E quindi una base in T_pM determina un sistema di coordinate
   in un intorno finito di p su M. 
   Tali coordinate si costruiscono, cosi`: si fissa una base
   vettoriale in T_pM, quindi assegnato un vettore V in T_p,
   cioe` n numeri reali (se n = dim M), si lancia l'*unica*
   geodetica che esce da p (dove il parametro affine vale 0), 
   con vettore tangente in p dato da V.  
   Si guarda il punto q(v) in cui arriva la geodetica su M  quando
   il parametro affine vale 1.  Questo crea una corrispondenza 
   tra v e un punto q(v) vicino a p. 
   Si scopre che tale corrispondenza e`  biunivoca e regolare purche` 
   si lavori in un intorno del vettore nullo sufficientemente piccolo
   in T_pM. Le componenti di v rispetto alla base detta sono dunque
   *anche* coordinate di punti *sulla varieta'*.
   (4) Queste coordinate hanno il regalo che la parte simmetrica 
   dei coefficienti di  connessione *esattamente* in p si annulla. 
   Se la connessione e` senza torsione, significa che i coefficienti 
   si annullano completamente in p. Se la connessione e` quella di 
   Levi-Civita significa che anche le derivate della metrica si
annullano
   in p.
   (5) In ogni caso le geodetiche che escono da p, nelle coordinate
   dette (fino a quando la geodetica non esce dall'intorno
   *finito* considerto) sono descritte da equazioni lineari. 
 
   (6) Se la varieta` e` lo spaziotempo, significa che i moti dei corpi 
   in caduta libera che partono dall'evento p, *nelle coordinate dette*
   sono letti come moti rettilinei uniformi: questa e` la traduzione 
   geometrica del principio di equivalenza. 
   Dimmi se ora e` chiaro. (E dai fuoco al Landau ;-)))


    Dimmi se ora e` chiaro.
Chiarissimo!
E dai fuoco al Landau ;-)))
:-)))))
Ciao, Rob_jack

tu funziona quando hai una connessione che non e` metrica ed ha torsione.
THNX, infatti ora e` anche arrivato qualche altro tuo post piu`
esplicito che prima non c'era.. qui su tiscalinet gli arrivi hanno
un ritmo non prevedibile:-((
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connessioni affini deriva proprio dalle comp. simmetriche.
Appunto, sembrava tu parlassi proprio di queste come tensori.. cmq ora
e` chiaro, THNX!
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 Dimmi se ora e` chiaro. (E dai fuoco al Landau ;-)))
Hai cambiato idea? Mi pare che tempo fa fossi io a "parlar male" del
Landau, e tu a difenderlo...
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 No, ti ricordi male sul mio conto: e` vero che
 per un po` non ne ho pensato troppo male, ma poi
 (l'anno scorso forse o prima) c`e` stata una discussione
 sulla questione dei "riferimenti localmente galileiani"
 (mi pare che cosi` li chiami Landau).
 Uno studente ci chiedeva lumi su una "dimostrazione"
 del Landau. Dalla discussione qui sul NG e` emerso,
 testo di landau alla mano, che nel suo "magnifico
 manuale" ci sono alcune contraddizioni *logiche*.
 Non mi ricordo piu` il punto, ma facendo una ricerca
 con deja, credo che si ritrovi tutto. Tutto cio'
 mi ha fatto cambiare idea *anche* sul volume di
 teoria dei campi. Di quello di teoria quantistica 
 relativistica penso da sempre il peggio possibile, 
 quello di meccanica classica e` bello, ma ha diversi 
 errori fatti notare da Arnold nel suo ottimo testo, 
 gli altri li conosco troppo poco per dare un giudizio.)
 
  A proposito, hai capito qualcosa della mia spiegazione
  sul trasporto di Fermi-Walker? Se ti interessa ti posso
  mandare via fax le parti delle sue dispense su F-W, 
  pero` prima devo cercarle...
  Purtroppo non ho testi da citarti, le uniche informazioni
  mi arrivano dal corso di Fisica Matematica a Genova molti
  che frequentai da studente in fisica molti anni fa: era un 
  corso eccezionale per l'epoca, tenuto da Enrico Massa, 
  dal quale ho imparato moltissimo.
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   pero` prima devo cercarle...
Scusa non delle "sue dispense", non ho dispense del signor
Fermi-Walker :-), volevo scrivere delle dispense del citato
E. Massa.
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 pero` prima devo cercarle...
Finalmente ho avuto la concentrazione necessaria per studiare la tua
dimostrazione.
E' chiarissima, grazie. Anzi, come succede spesso, dopo averla letta mi
son detto che avrei anche potuto arrivarci da solo... Ma non ci ero
arrivato, e si' che ci avevo pensato un po'. Credo che il punto centrale
sia l'idea di definire le coord. su tutto un intorno tubolare della
geodetica mediante il trasporto parallelo. 
Ne faro' tesoro  a lezione. Grazie mille.  
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 Ne faro' tesoro  a lezione. Grazie mille.
Prego, sono molto contento di esserti stato di aiuto e 
per il tuo "mitico" corso di relativita`!
Ricordo che quando ero studente in fisica di relativita`
(o forse era fisica matematica) mi ero posto il problema 
delle coordinate loc. inerziali attorno ad una geodetica.
L'idea della soluzione mi venne subito, ma la dimostrazione 
matematica completa (tra l'altro manca ancora un pezzo
in quello che ho scritto: bisogna provare che lo jacobiano
della trasf e` non nullo sulla curva, ma e` la cosa piu` 
facile) l'ho scritta completamente solo qualche anno fa 
armato di ben piu` solidi strumenti matematici quando mi sono
riposto il problema per altri motivi.
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