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Titolo: Formulazione rigorosa del problema della "linearizzazione" della geometria ellittica

Anche se la si poteva facilmente intuire, voglio esplicitarvi la mia 
formulazione rigorosa del problema che mi piace chiamare della 
"linearizzazione" della geometria ellittica.
Chiaramente, il problema e` quello della struttura dello spaziotempo nella 
Relativita`, ma per il momento voglio esporlo in maniera semplificata, ossia 
prescindendo dall'ordinamento della struttura algebrica e considerando, 
appunto, solo la struttura algebrica, il che, nel caso piu` generale, 
impedisce ad esempio di parlare di giacenza di un punto tra altri due punti.
Per semplicita`, inoltre, e` meglio pensare il problema nel caso 
bidimensionale, dato che poi non ci vuole molto ad estenderlo ad un numero 
di dimensioni maggiore.
Dunque.
Sia (X,+,*) una struttura algebrica a due operazioni interne (a priori 
consideriamo una struttura algebrica generale e quindi non imponiamo 
condizioni alle operazioni).
Definiamo "piano lineare P su X" la coppia (X^2, L), dove X^2 e` il quadrato 
cartesiano di X ed L e` l'insieme di tutti i sottoinsiemi A di X^2 tali che 
esista una terna (a,b,c) di elementi di X tali che A sia uguale all'insieme 
delle coppie (x,y) appartenenti ad X^2 tali che a*x+b*y=c. Gli elementi di 
X^2 saranno detti "punti di P" e gli elementi di L saranno detti "rette di 
P".
Chiaramente, a seconda delle proprieta` algebriche di X dipendono le 
proprieta` geometriche del piano lineare su X. Ad esempio, se X e` il campo 
dei numeri reali, allora il piano lineare su X gode delle proprieta` di 
piano affine, che sono le seguenti:
1) per ogni coppia di punti p e q di P, con p diverso da q, esiste un'unica 
retta l di P tale che sia p che q appartengono insiemisticamente ad l;
2) per ogni retta l di P, esiste una coppia di punti p e q di P, con p 
diverso da q, tali che sia p che q appartengono ad r;
3) esiste una coppia di rette r ed m di P tali che r sia insiemisticamente 
diversa da m.
4) per ogni retta l di P, e per ogni punto p di P tale che p non appartenga 
ad l, esiste un'unica retta r di P tale che p appartenga ad r e 
l'intersezione di l ed r sia vuota.
Le proprieta` che io chiamo di "piano ellittico astratto", "astratto" 
perche' piuttosto povero di proprieta`, si ottengono prendendo le proprieta` 
di piano affine e sostituiendo la proprieta` 4 con la seguente:
4') per ogni retta l di P, per ogni punto p di P tale che p non appartenga 
ad l, e per ogni retta r includente insiemisticamente p, l'insersezione di l 
ed r e` diversa dal vuoto.
Ora, il problema che vorrei porre e`: esistono strutture algebriche X tali 
che il piano lineare P su X goda delle proprieta` di piano ellittico 
astratto? La risposta e` quasi sicuramente affermativa. E, allora, di quali 
proprieta` godono tali strutture algebriche X? Ovviamente non possono godere 
di tutte le proprieta` di campo. Quali proprieta` continuano a rimanere 
valide tra le proprieta` di campo?
Ciao!
Giovanni

 ellittico astratto? La risposta e` quasi sicuramente affermativa.
Secondo me e' sicuramente negativa.
Prendi le due rette
(a*x)+(b*y)=c
e
(a*x)+(b*y)=c'
con c' diverso da c.
Infatti:
a) Esiste certamente un punto della seconda retta che non appartiene alla
prima.
b) Le due rette non hanno alcun punto comune.
Debbo dimostrarlo?
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Anche se la si poteva facilmente intuire, voglio esplicitarvi la mia 
formulazione rigorosa del problema che mi piace chiamare della 
"linearizzazione" della geometria ellittica.
Chiaramente, il problema e` quello della struttura dello spaziotempo nella 
Relativita`, ma per il momento voglio esporlo in maniera semplificata, ossia 
prescindendo dall'ordinamento della struttura algebrica e considerando, 
appunto, solo la struttura algebrica, il che, nel caso piu` generale, 
impedisce ad esempio di parlare di giacenza di un punto tra altri due punti.
Per semplicita`, inoltre, e` meglio pensare il problema nel caso 
bidimensionale, dato che poi non ci vuole molto ad estenderlo ad un numero 
di dimensioni maggiore.
Dunque.
Sia (X,+,*) una struttura algebrica a due operazioni interne (a priori 
consideriamo una struttura algebrica generale e quindi non imponiamo 
condizioni alle operazioni).
Definiamo "piano lineare P su X" la coppia (X^2, L), dove X^2 e` il quadrato 
cartesiano di X ed L e` l'insieme di tutti i sottoinsiemi A di X^2 tali che 
esista una terna (a,b,c) di elementi di X tali che A sia uguale all'insieme 
delle coppie (x,y) appartenenti ad X^2 tali che a*x+b*y=c. Gli elementi di 
X^2 saranno detto "punti di P" e gli elementi di L saranno detti "rette di 
P".
Chiaramente, a seconda delle proprieta` algebriche di X dipendono le 
proprieta` geometriche del piano lineare su X. Ad esempio, se X e` il campo 
dei numeri reali, allora il piano lineare su X gode delle proprieta` di 
piano affine, che sono le seguenti:
1) per ogni coppia di punti p e q di P, con p diverso da q, esiste un'unica 
retta l di P tale che sia p che q appartengono insiemisticamente ad l;
2) per ogni retta l di P, esiste una coppia di punti p e q di P, con p 
diverso da q, tali che sia p che q appartengono ad r;
3) esiste una coppia di rette r ed m di P tali che r sia insiemisticamente 
diversa da m.
4) per ogni retta l di P, e per ogni punto p di P tale che p non appartenga 
ad l, esiste un'unica retta r di P tale che p appartenga ad r e 
l'intersezione di l ed r sia vuota.
Le proprieta` che io chiamo di "piano ellittico astratto", "astratto" 
perche' piuttosto povero di proprieta`, si ottengono prendendo le proprieta` 
di piano affine e sostituiendo la proprieta` 4 con la seguente:
4') per ogni retta l di P, per ogni punto p di P tale che p non appartenga 
ad l, e per ogni retta r includente insiemisticamente p, l'insersezione di l 
ed r e` diversa dal vuoto.
Ora, il problema che vorrei porre e`: esistono strutture algebriche X tali 
che il piano lineare P su X goda delle proprieta` di piano ellittico 
astratto? La risposta e` quasi sicuramente affermativa. E, allora, di quali 
proprieta` godono tali strutture algebriche X? Ovviamente non possono godere 
ti tutte le proprieta` di campo. Quali proprieta` continuano a rimanere 


Comunque, le proprieta` algebriche, che definiscono la struttura algebrica 
cercata, possono essere calcolate facilmente.
Basta considerare una generica struttura algebrica X a due operazioni 
interne e poi scrivere tutti gli assimi della geometria ellittica in termini 
di equazioni lineari per le rette. Dopodiche', basta "sintetizzare" le 
condizioni imposte.
Forse pero` e` un po' troppo laborioso per i miei gusti...
G 

La proprieta` caratteristica, quella relativa all'assioma che caratterizza 
la geometria ellittica, algebricamente diventa questo:
(Per ogni a, b, c, d, e, f, x, y), se (ax+by!=c e dx+ey=f)), allora 
(Esistono h, k) tali che (ah+bk=c e dh+ek=f).
Questa proprieta` e` ovviamente incompatibile con gli assiomi di campo.
Pero` ovviamente e` possibile in una struttura algebrica qualsiasi.
Innanzitutto vorrei capire se questa proprieta` di piu` dire in maniera piu` 
semplice o comunque dedurre da proprieta` piu` forti ma piu` semplici.
Poi vorrei capire con quali altre proprieta` algebriche e d'ordine puo` 
essere compatibile questa proprieta`.
G 

La proprieta` algebrica voluta puo` essere meglio scritta cosi`:
(Per ogni a, b, c, d, e, f) (Esistono x, y) tali che (ax+by=c e dx+ey=f)

,
hai ragione.
G

,
pero` si potrebbe usare la forma "y=ax+b" e forzare quindi la struttura 
algebrica ad avere elementi infiniti.
G