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Titolo: dubbio quantistico piuttosto urgente... per favore!

Sfruttando l'equazione di Schrodinger e imponendo che il modulo quadro
di psi soddisfi l'equazione di continuità, possiamo pervenire alla
densità di corrente di probabilità J = (hbar)/(2im) (psi^* grad psi -
psi grad psi^*). Consideriamo una funzione d'onda a simmetria sferica,
che dipenda cioé soltanto dalla distanza dall'origine. Conviene
ovviamente utilizzare le coordinate sferiche e si ottiene che la
densità di corrente giace lungo la direzione dei raggi (la
probabilità fluisce verso l'origine o in direzione opposta, a seconda
di r, accumulandosi in certi strati (gusci sferici) o diradandosi in
altri, ma mai in direzione trasversale). Ora, poiché possiamo vedere
mJ come densità di coorente della massa ci aspettiamo che il momento
angolare di questo sistema sia
L = m int_V r times J dV
(ho usato la notazione latex, V è il domino dell'integrale e per times
intendo il prodotto vettoriale) Poiché r e J sono sempre paralleli (o
antiparalleli) otteniamo L=0. Il risultato mi sembra un po' assurdo. Il
solo fatto che la funzione sia a simmetria sferica (non c'erano altre
ipotesi) implica automaticamente che il momento angolare totale sia
nullo? Credo di avere sbagliato, e a naso mi sembra che l'errore sia
qui (ma non riesco a correggerlo): la simmetria sferica della funzione
d'onda non dovrebbe implicare che la ednsità di corrente abbia sempre
direzione radiale. Però il gradiente di un campo scalare a simmetria
sferica ha certamente direzione radiale... Grazie a chi vorrà
rispondermi per cercare di chiarirmi le idee perché c'ho un casino in
testa che la metà basta!

3p ha scritto:
 > ...
 > Il risultato mi sembra un po' assurdo. Il solo fatto che la funzione
 > sia a simmetria sferica (non c'erano altre ipotesi) implica
 > automaticamente che il momento angolare totale sia nullo?
Certo che si'!
E' condizione nec. e suff.
Infatti una f. d'onda a simmetria sferica e' invariante per qualsiasi
rotazione, qundi applicandovi Lx, Ly, Lz ottieni sempre zero.
Viceversa, se L=0 la tua funzione sara' autof. simultanea di Lx, Ly,
Lz con autovalore 0, il che vuol dire che applicando Lx, Ly o Lz avrai
zero, e che quindi la f. d'onda non dipende dalle coordinate
angolari.
-- 
Elio Fabri

Grazie!!! Non vorrei abusare della disponibilità ma smanettando con
gli esercizi senza avere ancora speso sufficientemente tempo sulla
teoria (aimhé come ne sono coscente!) mi sono imbattuto in un altro
dubbio e non posso non esporlo perché mi tormenta (anche se
probabilmente assai stupido). E' il seguente. L^2 e L_z commutano e
dunque vi sono stati del sistema che sono autostati di entrambi. Ma non
possono esistere stati del sistema che sono autostati dell'uno ma non
dell'altro? La dimostrazione del principio di indeterminazione sembra
portare alla conclusione che grandezze che non commutano non possono
condividere lo stesso autostato (perché gli autostati sono stati
determinati e quindi verrebbe ad annullarsi il prodotto delle
deviazioni standard delle distribuzioni di probabilità) ma ciò non
implica necessariamente che uno stato che è autostato per una certa
grandezza, sia necessariamente autostato anche di un'altra per il solo
fatto che le due grandezze commutano. No? Non so se mi sono spiegato
bene :-P Ad esempio per L^2 e L_z si ottengono autofunzioni comuni a
variabili separabili che condividono la stessa parte angolare (le
armoniche sferiche). Questo però caratterizza gli autostati comuni e
non necessariamente gli autostati di L^2 o L_z presi singolarmente. O
no?

 dell'altro?
Si, hai ragione: ci sono autostati di L^2 che NON sono autostati di
L_z.
E ci devono essere, eccone la dimostrazione.
Dato che anche L^2 e L_x commutano, ci sarà una base
di autostati di L^2 e L_x contemporaneamente. Se tutti questi fossero
anche autostati di L_z, ci sarebbe una base di autostati comuni per
L_x e L_z. Questo è impossibile dato che L_x e L_z non commutano.
Quindi c'è almeno un autostato di L^2 (che  è anche autostato di
L_x) che non  è autostato di L_z.
Ciao, Valter

 gli autostati di L^2 o L_z presi singolarmente. O no?
Ho gia' risposto sopra.
Aggiungo che se un autovalore e' degenere per un operatore (come
accade ad es. per L^2) puo' appunto accadere (anzi accade di certo)
quello che dicevamo: esistono autostati di L^2 che non sono autostati
di Lz (e viceversa).
 
-- 
Elio Fabri

 dell'altro?
Ciao
2 sono le strade : o ne vedi il senso logico (diciamo cosi' ne
interpreti l'essenza) e riesci a ricondurti al perche' succede (e nel
tuo caso riesci a vedere in modo logico xche' NON SUCCEDE) oppure ti
attieni al significato matematico e ne trai le corrette risposte.
In modo sincero e' il linguaggio matematico quello piu' potente, di
gran lunga rispetto a quello concettuale o logico, per interpretare
classi di fenomeni, ma d'altronde non risulta in esso sempre chiara a
prima vista la risposta a varie domande; non e' possibile eliminare
delle difficolta' intrinsecamente contenute nelle teorie, nelle
descrizioni fisiche degli eventi.
Studiare la matematica che sottende la meccanica quantistica e'
importante perche' (a mio avviso) tale teoria non ha ancora una chiara
interpretazione concettuale, e' l'embrione di teorie e modelli sempre
piu' evoluti.
Io ti suggerisco di affidarti alla matematica: se due operatori
commutano allora hanno un insieme completo di autostati in comune, vale
anche l'inverso; ma questa e' algebra.
Se invece cerchi di raffigurare la cosa in modo diverso puoi
interpretare la misura come il risultato che si ottiene avendo
applicato ad un sistema un certo operatore, quindi una coppia di misure
puo' dare, o meno, la stessa coppia di risultati qualora venga
invertito l'ordine temporale di esecuzione.
E' diverso (per la meccanica quantistica) misurare prima l'impulso e
poi la posizione dal misurare prima la posizione e poi l'impulso.

Grazie bis!!! Offrire aiuto in cambio di niente è sempre una cosa
molto gentile. Per voi sono cosette ma per me no :-) In effetti
l'impatto con la meccanica quantistica è stato traumatico come
nessun'altro studio, e mi ha fatto rendere conto che, anche dopo aver
chiarito il casino che mi gira adesso in testa, è assai improbabile
che potrò spingermi molto oltre! Avrei un'ultima domanda, che divaga
un po' dai problemi tipici da esame, una mia curiosità. Riguarda il
fatto che non possiedo il bagaglio matematico per dedicarmi
all'equazione di dirac ma pensavo all'eventualità che sia possibile
scrivere in modo relativamente semplice una formula ULTRArelativistca
dell'equazione di Schrodinger. Qualcuno sa indirizzarmi a qualche libro
(non disumano)? Se anziché scrivere la conservazione dell'energia come
p^2/2m+U=E la scriviamo come pc+U=E otterremmo un'equazione simile a
quella di Schrodinger ma con il primo termine sostituito da (nel caso
unidimensionale)  c*hbar/i*d/dx, cioé insomma l'operatore momento
solito ma moltiplicato per c. Ammesso che non sia una boiata (eppure
sostituendovi la generica onda elementare otteniamo pc+U=E) sorgerebbe
anche il problema che p non compare al quadrato quindi il caso
tridimensionale non porta a un operatore bello. Si può isolare pc ed
elevare al quadrato ma si ottiene un'equazione brutta (con operatori
belli ma brutta) perché anche per potenziali stazionari non può
essere risolta separando le variabili (un'equazione che peraltro in
assenza di potenziale si riduce semplicemente a quella delle onde
elettromagnetiche). Ribadendo che probabilmente sono boiate, qualcuno
sa se esiste una forma semplice per l'equazione di Schrodinger
ultrarelativistica e dove reperire informazioni?

 poi la posizione dal misurare prima la posizione e poi l'impulso.
Ecco un esempio dei pericoli che si corrono...
L'ordine in cui esegui le misure non ha niente a che vedere con l'ordine
del prodotto degli operatori.
Eseguire una misura *non signiica* applicare l'operatore al vettore di
stato.
Quindi non c'e' nessuna ragione "logica" per cui se due osservabili
non commutano (come operatori) allora l'ordine in cui esegui le misure
cambia il risultato.
Naturalmente una ragione (riposta) c'e'...
Devi far uso di uno dei postulati interpretativi: quello che ti dice
che la misura di un'osservabile trasforma il vettore di stato nella
sua proiezione ortogonale su uno degli autospazi dell'osservabile.
Da qui si capisce che se prima misuri A e poi B, lo stato finale sara'
autostato di B; mentre se prima misuri B e poi A, sara' autostato di A.
 
-- 
Elio Fabri

 autostato di B; mentre se prima misuri B e poi A, sara' autostato di A.
Io sinceramente non ho capito se la meccanica quantistica sia stata
frutto di una induzione o di una deduzione.

Eppure il problema mi sembra affascinante! Mi sembra evidente che se ho
una particella in una buca infinita e restringo le pareti fino a
costringere la particella ad avere una energia cinetica confrontabile
con la sua energia a riposo, l'equazione di Schrodinger non può più
portare a risultati corretti, che forma prende la funzione d'onda? Come
è stranoto le relazioni di de Broglie (allo stesso tempo così
semplici e miseriose in un modo disarmante) sono valide in ogni
contesto, relativistico o meno, ma l'equazione di Schrodinger si
appoggia su K=p^2/2m, non ne esiste una forma ultrarelativistica
semplice?
P.S. E' evidente che nel mio post precedente mancano degli uguali
davanti alle E di energia, è che a volte ho casini con l'editor

semplice?
Non ne so molto. Prova a googlare "Klein-Gordon equation".
Ciao
Paolo Russo