Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: scuse

In questi ultimi tempi, mi rendo conto di avere scritto i miei
 post veramente male ed ho dovuto correggerli con successivi addenda.
 Mi dispiace, ma ho un po' di problemi con l'editor e spesso quello
 che scrivo qui non e' quello che arriva sul NG: nelle operazioni
 di cut and paste (oltre che nelle mie mani o nel mio cervello ;-) )
 c'e' qualcosa che non funziona bene.
 Per favore, se mi e' sfuggito qualcosa e certe mie frasi risultano 
 proprio incomprensibili per problemi del tipo di cui sopra ed io non
 me ne sono accorto, fatemelo notare. Vorrei essere il piu' chiaro 
 possibile, solo cosi' posso essere utile a qualcuno e non aumentare
 il "rumore di fondo".
 Ciao a tutti, Valter

  me ne sono accorto, fatemelo notare.
Cose che capitano. pero' questa era proprio bellina:
" Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica
 Universita' di Trento
 come ci si aspetta. Quindi quello che dice l'articolo e' sbagliato"
;-)
Ciao

  Ciao a tutti, Valter
Ciao Valter,
per quanto mi riguarda i tuoi chiarimenti sono sempre stati assolutamente
comprensibili, cristallini direi.
In ogni caso la tua umiltà ti fa onore.
Con l'occasione avrei una ulteriore questione da discutere insieme: ricordi
il problema che ponevo sulla compattezza dell'operatore integrale di
Volterra? Forse è veramente banale, ma non sono riuscito a far vedere che se
B è un sottoinsieme limitato di C(0,1], la chiusura di T(B) è costituita da
un insieme di funzioni equicontinue ed eqiulimitate. Poi c'è quel problemino
del raggio spettrale.....come si mostra che il risolvente di B include il
risolvente di A?
Ti ringrazio ancora in anticipo per il prezioso aiuto.
Ciao, Francesco


  Caro Francesco, purtroppo non abbiamo piu' accesso al news server
  del cineca per qualche motivo che non capisco.
  Per cui riesco a postare solo da 
deja.com
 e non capisco bene
  se i messaggi arrivano o no.
  Appena ho tempo ti spiego in dettaglio la questione dell'operatore
  compatto. Ciaoi, Valter
Sent via Deja.com 
http://www.deja.com/
Before you buy.


Bene ho un po' di tempo, e rispondo alla prima questione, per la seconda
dovrai aspettare, ma contiunua a pensarci che fa sempre bene.
Dobbiamo provare che il tuo operatore T: C(0,1] -> C(0,1]  (norma sup)
e' compatto. Questo equivale a dire che per ogni sottoinsieme limitato B
di C(0,1], T(B) ha chiusura compatta (nella norma sup).
Ti ho gia' provato che in realta' l'immagine di T e' in C[0,1], allora
provero' che se B sottoinsieme di C(0,1] e' limitato,  allora T(B) e'
uniformemente limitato ed equicontinuo. Dato che T(B) e' in C[0,1]
possiamo applicare ascoli-arzela'che vale su questo spazio di Banach
che nelle due ipotesi dette (uniforme limitatezza ed equicontinuita' di
T(B)) assicura che la chiusura di T(B) e' compatta e questo conclude
la dimostrazione dato che B era generico.
Sia qunque B sottoinsieme limitato (nella norma sup) di C(0,1].
L'operatore e' dato da, se f e' in B o anche fuori,
(Tf)(x) = integrale da 0 a 1  di  G(x,y) f(y) dy
dove G(x,y) e' nulla per y>x e continua nel triangolo chiuso e limitato
di
R^2: y minore o uguale a x e x appartenente a [0,1].
(Guarda in uno dei miei primi post dove trasformavo l'integrale da 0 a x
in un integrale da 0 a 1.)
Se guardi come costruivo G vedi che e' anche una funzione  limitata su
[0,1] x [0,1] perche' dove non vale zero e' continua  su un compatto
(allora esistono massimo e minimo per weierstrass).
Sia dunque M = Sup|G(x,y)| su [0,1] x[0,1].
*LImitatezza uniforme.
Dato che B e' limitato, ci sara' un N>0 tale che se f e' in B sup |f| <
N
indipenentemente da f, allora ( <= significa "minore o uguale" )
|Tf(x)| <= integ. da 0 a 1  di  M N dy       <= M N < +oo
quindi |T(B)| e' un insieme uniformemente limitato di funzioni in
C[0,1].
*Equicontinuita'.
Prendiamo T e B come sopra. Dobbiamo mostrare che se g e' in T(B) e x,x'
in [0,1], allora, indipendentemente da g,x,x', per ogni e>o esite un d>0
tale che  |g(x) - g(x')| < e se |x-x'|<d.
Procediamo.
Se g e' in B sara' del tipo g = integ. da 0 a 1 di  G(x,y) f(y) dy
con f in B, allora
|g(x) -g(x')| <= int_0^1 |G(x,y)-G(x',y)| |f(y)| dy
<= N int_0^1 |G(x,y)-G(x',y)| dy                         (1)
Ora nota che |G(x,y) - G(x',y)| <2M per ogni x,x' e y e quindi, come
funzioni di y, la classe di funzioni di y *etichettate* dalle coppie
(x,x') definite da
 y |->|G(x,y)- G(x',y)|
sono tutte limitate in modulo dalla funzione costante che vale 2M su
[0,1] ed e' quindi e' integrabile su [0,1] in y.
Abbiamo dunque una successione di funzioni parametrizzate nell'indice
continuo (x,x')
h_{x,x'}(y) = |G(x,y)-G(x',y)|
Queste funzioni  sono misurabili in y e maggiorate da una funzione
y-integrabile e ancora vale:
h_{x,x'}(y) -> h_{l,l'}(y)    per (x,x') -> (l,l'),
dove l,l' sono numeri arbitrari di [0,1]
Il limite detto vale *quasi ovunque* in y su [0,1].
(Infatti fissati l e l' gli unici due punti dove il limite non vale sono
per y=l e y = l', basta fare il disegno per vederlo).
Puoi allora applicare il teorema della *convergenza dominanta di
Lebesgue*
e puoi passare il segno di limite sotto l'integrale e cio'
ti assicura tra le altre cose che la funzione di (x,x') in R:
(x,x') |-> integrale da 0 a1 di |G(x,y)-G(x',y)| dy
e' una funzione *continua* su [0,1] x [O,1]. In particolare varra'
anche,
dato che il dominio di questa funzione e' *compatto*, che la
funzione detta e' *uniformemente continua*.
E quindi in particolare:
per ogni e'>0 c'e' un d>0, che NON dipende  da x e x', tale che, se
|x-x'|<d allora
|integ. da 0 a 1 di |G(x,y)-G(x',y)| dy| < e'
Sostituendo in (1) e chiamando e=Ne', si ha che per ogni e>0 esiste un
d>0
tale che se g e' in T(B) allora |g(x)-g(x')| < e indipendnentemente da
g,
x e x' purche' |x-x'|<d. E questa e' l'equicontinuita'di T(B).
Quindi per ascoli-arzela' T(B) ha chiusura compatta e T e' per
definizione
compatto.
Ciao, Valter
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