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Titolo: astrodinamica

Salve,
da un pň di tempo mi interesso di orbite e moti
astronomici...
Ho sentito dire che ci sarebbero, fra la terra e la luna,
cinque "punti di Lagrange" in cui degli oggetti ivi posti
resterebbero, senza piů muoversi rispetto alla terra o
alla luna. Insomma stabilmente. E' vero oppure ho
capito male io? Eventualmente come si dimostra una
cosa del genere matematicamente? (Con le lagrangiane
per caso?...)
So anche che c'č una "zona" di spazio fra la Terra e la
Luna in cui nessuna orbita puň essere stabile, per le
interferenze gravitazionali, e che questo limita la massima
ampiezza di un'orbita rispetto alla Terra ad un certo raggio
limite X: anche questo, come si dimostra? E quanto vale X?
Grazie...

 per caso?...)
I punti di Lagrange sono i punti di equilibrio del terzo corpo nel
cosiddetto "problema ristretto dei tre corpi, ossia nelle seguenti
condizioni:
a) il terzo corpo ha massa trascurabile rispetto ai primi due
b) i due primari si muovono mantenendo distanza costante, quindi di moto
circ. uniforme rispetto al comune centro di massa.
Per equilibrio si deve intendere "nel sistema di rif. (non inerziale)
che ruota insieme ai primari". In questo rif. si fanno equilibrio tre
forze agenti sul terzo corpo:
- l'attr. gravit. del corpo 1
- quella del corpo 2
- la forza centrifuga.
I 5 punti sono cosi' disposti: 3 punti, detti L1 L2 L3, sono allineati
coi primari, uno sta fra i due, gli altri all'esterno, da parti opposte.
Gli altri due punti, L4 e L5, formano triangoli equilateri coi primari.
Si dimostra che L1 L2 L3 sono sempre instabili; L4 e L5 sono stabili se
il rapporto delle masse dei primari M1/M2 (M1>M2) e' abbastanza grande
(non ricordo il valore esatto, ma e' certamente soddisfatto da
Terra-Luna e da Sole-Giove).
Nel caso del sistema Sole-Giove, gli asteroidi cosiddetti "troiani"
oscillano appunto attorno ai punti L4 e L5.
Dicendo instabili intendo che basta un piccola perturbazione per
allontanare il terzo corpo dalla pos. di equilibrio. Ma se il corpo e'
una sonda spaziale, puo' essere stabilizzata con l'azione di piccoli
razzi.
Il calcolo si puo' fare in modo diretto, da F=ma. Ci si mette, come ho
detto, nel rif. rotante. Si studia il moto attorno a un punto di
equilibrio, linearizzando le equazioni del moto e si verifica se le
soluzioni sono oscillanti o se hanno un andamento esponenziale crescente
nel tempo.
Nota bene: in F=ma e' necessario includere anche la forza di Coriolis.
Problemi: 
1) Cosa cambia se il moto dei primari non e' circolare uniforme? (questo
accade sia per Sole-Giove, sia per Terra-Luna, dato che l'eccentricitia'
in entrambi i casi e' attorno a 0.05).
2) Che effetto ha nel caso Terra-Luna la presenza del Sole?
Risposta: non lo so, ma e' sicuramente noto.
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Giovanni -Darth Vader- Neiman
IHM Dudi n.548 - Moderatore di IAFM
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[cut]
Solo per il piacere di saperlo:
gli asteroidi che seguono Giove (L5?) si chiamano "troiani veri", quelli che
lo precedono (L4?) invece si chiamano "achei" o "greci" (che poi è lo
stesso...).
Giò
«Sol chi di gentil schiatta è membro degno
può con fatica posseder quel pegno
a cui pervengon sol d'Ermete i figli
che ben sanno seguire i suoi consigli.»

 stesso...).
Vero, ma se ricordo bene c'e' qualche "intruso", forse Nestore?
La ragione e' ovvia: in un primo tempo non si era capito che
c'entrassero i punti di Lagrange, e i nomi vennero dati a caso, ma mano
che si scoprivano; poi si adotto' la regola che dici.


Nel caso che l'ipotesi fatta da alcuni astronomi in base alla
provenienza delle comete a lunga orbita sia vera, ovvero che la
presunta nube di Oort sia perturbata dalla presenza di un pianeta di
10 o più masse gioviane orbitante intorno al Sole a una distazna
compresa fra 1 e 2 anni luce, potrebbero essersi formati dei punti di
Lagrange equigravitazionali e quindi in quei punti essersi
"raggruppati" più "corpi" giustificando quelle che sembrano essere
provenienze privilegiate nel cielo?
Io ho buttato giù un programmino in VB per calcolare i punti di
Lagrange tra due corpi di massa con rapporto tra M/m < 0,03 e quindi
con centro di massa nel corpo M.
L'ho usato con Sole-Giove e dà risultati accettabili anche se non ho
iterato le equazioni per raffinarli.
Lo si può usare anche per trovare eventuali punti di equilibrio
gravitazionale tra il supposto "corpo" orbitante fra 1 e 2 anni luce
dal Sole?
Forse gli eventuali punti di Lagrange del sistema Sole-Corpo X
avrebbero potuto raggrumare in qualche miliardo di anni una parte
delle comete?
Qualcuno è in grado di controllare e migliorare il programmino che
segue?
Grazie per l'attenzione.
Ernesto
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PROGRAMMA IN VB PER IL CALCOOLO DEI PUNTI DI LAGRANGE
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Option Explicit
Dim MassaCorpoGrande As Integer
Dim d As Integer
Dim kmL1 As Long
Dim kmL2 As Long
Dim kmL3 As Long
Dim kmL4 As Long
Dim kmL5 As Long
Dim kmL2daCorpoGrande As Long
Dim kmL1daCorpoGrande As Long
Dim kmL3daCorpoGrande As Long
Dim kmL3daCorpoPiccolo As Long
Dim kmL2daCorpoPiccolo As Long
Dim kmL1daCorpoPiccolo As Long
Dim a As Double
Dim b As Double
Dim m As Double
Dim x2 As Double
Dim x1 As Double
Dim x3 As Double
Dim L1 As Double
Dim L2 As Double
Dim L3 As Double
Dim L4 As Double
Dim L5 As Double
Private Sub Command1_Click()
MassaCorpoGrande = 1
m = InputBox("immetti la massa del corpo piccolo in millesimi rispetto
a quella del corpo grande", "Lagrange points")
m = m / 1000
d = InputBox("immetti la distanza media tra i due corpi in milioni di
km.", "Lagrange Points")
a = 1 / (1 + m)   'distanza di M dal centro di massa
b = m / (1 + m)   'distanza di m dal centro di massa
                  'si fa uguale a 1 la somma a+b
x2 = (b / 3 * (1 - b)) ^ (1 / 3) 'primo valore stimato valore per
			   ' eventuale iterazione
x1 = (b / 3 * (1 - b)) ^ (1 / 3) 'idem
x3 = 1 - (7 * b / 12)            'valore per eventuale iterazione per
			    aumentare la precisione
L2 = (b * (1 - x2) ^ 2) / (3 - 2 * b - x2 * (3 - b - x2))
L2 = Log(L2) * 1 / 3
L2 = Exp(L2)
L2 = Round(L2, 5)
kmL2 = d * L2 'trasformazione in km
kmL2daCorpoGrande = d - kmL2
kmL2daCorpoPiccolo = kmL2
L1 = (b * (1 + x1) ^ 2) / (3 - 2 * b + x1 * (3 - b + x1))
L1 = Log(L1) * 1 / 3
L1 = Exp(L1)
L1 = Round(L1, 5)
kmL1 = d * L1 'trasformazione in KM
kmL1daCorpoGrande = d + kmL1
kmL1daCorpoPiccolo = kmL1
L3 = ((1 - b) * (1 + x3) ^ 2) / (1 + 2 * b + x3 * (2 + b + x3))
L3 = Log(L3) * 1 / 3
L3 = Exp(L3)
L3 = Round(L3, 5)
kmL3 = d * L3 'trasformazione in KM
kmL3daCorpoGrande = kmL3
kmL3daCorpoPiccolo = 2 * d
kmL4 = d
kmL5 = d
lb1Risposta.Caption = " il valore di L2 è " & L2 & ", cioè di " &
kmL2daCorpoGrande & "milioni di km dal corpo M e di km " &
kmL2daCorpoPiccolo & " dal corpo m, sulla congiungente dei due corpi."
lb2Risposta.Caption = " il valore di L1 è " & L1 & ", cioè di " &
kmL1daCorpoGrande & "milioni di km dal corpo M e di km " &
kmL1daCorpoPiccolo & " oltre l'orbita del corpo m, sulla congiungente
dei due corpi"
lb3Risposta.Caption = " il valore di L3 è " & L3 & ", cioè di " &
kmL3daCorpoGrande & "milioni di km dal corpo M ma sulla parte opposta
dell'orbita di del corpo m, e di km " & kmL3daCorpoPiccolo & " dal
corpo m, sulla congiungente dei due corpi."
lb4Risposta.Caption = " il valore di L4 precede di 60° sull'orbita di
m a circa km " & kmL4
lb5Risposta.Caption = " il valore di L5 segue di 60° sull'orbita di m
a circa km " & kmL5
End Sub
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Il terrorismo spera si risponda alla barbarie con altra barbarie:è una trappola!

 in entrambi i casi e' attorno a 0.05).
OK, visto che ci siamo e che intanto non sono stato con le mani in mano,
ho un'altra domanda... :-)))
Con un programmino di simulazione  di sistema solare, Gravity,
ho impostato nel sistema solare la presenza di un nuovo pianeta
e sono rimasto a vedere cosa succedeva: per orbite "normali" o
anche controrotanti ma circolari il sistema solare restava stabile
(almeno per il tempo che è durata la mia pazienza di osservatore...)
mentre se gli davo l'orbita di una cometa ( MOOLTO ellittica, con
perielio vicinissimo al Sole e afelio un bel pezzo oltre Plutone) le
orbite dei pianeti subivano perturbazioni sempre maggiori con
l'andare del tempo: Giove si era allargato, Mercurio aveva sempre
più eccentricità, l'orbita di Nettuno incrociava quella di Saturno e
la Terra finiva dalle parti di Venere... insomma un casino 8-)
Ora vi chiedo: è possibile che le comete "trasportino" energia e
quantità di moto fra i pianeti del nostro sistema solare? Va bene
che son piccole, ma sono anche tante e hanno a disposizione
miliardi di anni...

 che si scoprivano; poi si adotto' la regola che dici.
In effetti tra i greci figura anche Ettore, mentre Patroclo è tra i
troiani... i casi della vita...
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