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Titolo: Energia cinetica relativistica

Vorrei saper dimostrare la formula dell'energia cinetica relativistica.
Dal testo dell'Halliday leggo che basta seguire lo stesso procedimento
che si usa in meccanica classica, ma sicuramente si dovrà tener conto
degli effetti relativistici della massa e quant'altro. Potreste
consigliarmi un testo su cui sia riportata la dimostrazione oppure è
sufficiente qualche dritta in proposito?
Grazie mille anticipatamente.
Ileana
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www.ilbarigelletti.org

basta dimostrare che dp/dt prodotto scalare v (dove p è il vettore
quantità di moto e v è la velocità) è pari a dm/dt*c^2.
m(t)=m_0*(1-(v*v)/c^2)^(-1/2)
v*v è il prodotto scalare di v per se stessa che ti da il modulo
quadro.
d(v*v)/dt=2*v*dv/dt
cioè prodotto scalare tra v e dv/dt...
da cui ricavi quanto è dm/dt:
dm/dt=m_0*((1-(v*v)/c^2)^(-3/2))*(v*dv/dt)/c^2=m(t)*(v*dv/dt)/(c^2-(v*v))
ora p=m(t)*v(t), quindi dp/dt=m(t)dv/dt+dm/dt*v

Prova cosi':p arti dal fatto che il lavoro elementare:
\delta L = F*ds con * prodotto scalare.
di qui procedi :
F*ds = d/dt (\gamma v m_o)*ds. Siccome le formule diventano incasinate
ti passo un link con la formula:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/be198fb0db88cc3e3ed1e6707dfdb256.gif
da qui integri per parti. 
Saluti Neo

 quantità di moto e v è la velocità) è pari a dm/dt*c^2.
 
Intanto ti ringrazio per il suggerimento. Sono riuscita a dimostrare
questa uguaglianza anche seguendo i tuoi passaggi, ma non riesco a
trovare ancora il nesso tra ciò e l'energia cinetica. Potresti
illuminarmi un po' di più? so che il lavoro è l'integrale del prodotto
scalare tra la Forza e lo spostamento e che la forza è la derivata di p
e quindi riesco a capire ciò che mi ha suggerito Neo( che ringrazio
molto), ma della tua spiegazione non capisco cosa significhi il prodotto
scalare fra dp/dt e v. Scusami, ma è proprio il principio logico che non
riesco ancora a vedere di ciò che mi hai indicato tu con l'uguaglianza
sopra.
Grazie e scusa le mie dimenticanze su alcuni argomenti di studio ormai
lontani e più ripresi.......
Ileana
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 da qui integri per parti
Ti ringrazio, č molto chiaro, ma ho un dubbio: v^2 al denominatore lo
devo considerare variabile nel tempo nell'integrazione?
Ileana
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 quantità di moto e v è la velocità) è pari a dm/dt*c^2.
In pratica mi fai calcolare la potenza facendomi fare dp/dt scalar v?
come mai questo giro un po' vizioso? non c'è una strada diretta per
arrivare all'energia cinetica? 
-- 
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 quantità di moto e v è la velocità) è pari a dm/dt*c^2.
Scusami se i miei interventi sono incasinati, ma è anche colpa del fatto
che non sono immediati qui sul NG ed io invece sto cercando in tutte le
maniere di arrivare a capo di qualcosa e quindi aggiungo sempre qui le
mie ultime notizie. Ho capito che il calcolo che mi hai fatto fare
equivale alla potenza e di conseguenza se integro P dt ottengo il
lavoro, giusto? dal fatto che la potenza era uguale alla dm/dt * c^2 se
integro anche quest'ultimo otterrò esattamente la K = mc^2- m(0)c^2 che
è ciò che mi prefiggevo di ottenere; giusto? se così fosse sarei
veramente soddisfatta!!
Grazie ancora.
Ileana
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 devo considerare variabile nel tempo nell'integrazione?
scusa la domanda banale, è chiaro che sia variabile e quindi potresti
indicarmi un po' meglio quali sostituzioni prendere per poter integrare
per parti? la mia memoria è un po' troppo confusa su certi
argomenti.....;-((
Grazie
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 Grazie
I calicoli sono macchinosi e bruttissimi purtroppo. Ma puoi osservare
questo:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/2652781f7b2e44d5bde9f64993e868c7.gif
Quindi a questo punto puoi fare le sostituzioni e integrare anche se e'
molto noioso...
Ciao Neo

Uhm in effetti hai ragione...cosě dimostrei solo che la variazione di
energia č K=m*c^2-m(0)*c^2....perň non so se questo basti a
dimostrare che si abbia un energia anche a riposo.
Cioč, integrando l'equazione differenziale dE/dt=dm/dt*c^2, dimostri
che E(t)=E(0)+[m(t)-m(0)]*c^2, perň non ho dimostrato che E(0) č
proprio m(0)*c^2.
ci vorrebbe l'aiuto di qualcuno!

 dimostrare che si abbia un energia anche a riposo.
Se ti ricordi il mio problema era proprio voler dimostrare l'espressione
dell'energia cinetica e quindi sono soddisfatta, direi!
Il calcolo sull'energia E si fa confrontando l'espressione della K con
quella della p e si ottiene tutto, già fatto e i conti tornano! ;-)
Ciao e grazie.
Ileana 
-- 
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 e' molto noioso...
Gia'. Ragione per cui io preferisco un approccio diverso.
Supponiamo di aver dimostrato (come?) che la forma relativistica della
relazione tra p e v e'
p = mvg (g sta per gamma).  (1)
(Per inciso: un modo per arrivarci sicuramente non lo accetto: quello
che passa per la "variazione della massa con la velocita'". Ma ora il
mio obiettivo e' diverso.)
A questo punto definisco arbitrariamente una certa grandezza, che
chiamo E (la potrei anche chiamare "Pippo": per il momento e' soltanto
un nome).
E = mc^2 g. (2)
Ora bisogna interpretare E.
Si vede facilmente che da (1) e (2) discendono:
v = c^ p / E. (3)
E^2 - c^2 p^2 = m^2 c^4. (4)
Differenziamo la (4) per un corpo che viene accelerato e quindi
cambia velocita' impulso e anche la misteriosa E:
E dE = c^2 p dp
da cui
dE = c^2 p dp / E = v dp (5)
(ho usato la (3)).
Ora usiamo la seconda legge della dinamica:
dp/dt = F
dp = F dt
e sostituendo nella (5):
dE = v F dt = F ds = dL.
Dunque tra due istanti qualsiasi:
E2 - E1 = L (lavoro fatto dalla forza in quesot intervallo di tempo).
In meccanica classica conosco il teorema delle forze vive:
T2 - T1 = L.
Se voglio scoprire una definizione relativistica dell'energia
cinetica, che mantenga la stessa proprieta', vedo che sara'
necessariamente
E = T + cost.
Il valore della costante si determina scegliendo un istante in cui il
corpo e' fermo. Allora per la sua definizione (2) E = m c^2, mentre
T=0 per mia scelta, onde matenere la proprieta' che vale nella mecc.
newtoniana.
Allora la costante vale m c^2, e abbiamo trovato
E = T + m c^2
T = E - mc^2.
Commento finale.
Se qualcuno crede che con questo abbiamo anche dimostrato la
"famosa relazione di Einstein" E = m c^2, e' fuori strada...
 
-- 
Elio Fabri

 Gia'. Ragione per cui io preferisco un approccio diverso.
Carissimo prof, sono lieta del suo intervento. Se ha seguito nel mio
messaggio anche l'altro suggerimento ricevuto potrà constatare che la
strada che ho percorso è quella che passa dal calcolo della potenza come
dp/dt scalar v e poi dell'integrale per arrivare al lavoro e da qui al
risultato dell'energia cinetica relativistica. Per quanto riguarda
invece la E ho messo a confronto l'energia cinetica con la quantità di
moto e così facendo ho ottenuto i suoi risultati.
Che ne pensa?
P.S.
sarei molto interessata, dopo aver letto il suo intervento, a scoprire
qual è il modo da lei accettato per giustificare l'espressione della
quantità di moto relativistica dal momento che non le sta bene la
variazione della massa con la velocità! a proposito, anche ques'ultima
formula come la giustifica? sull'halliday non se ne parla nemmeno......
Grazie
Ileana
-- 
www.ilbarigelletti.org

 nemmeno......
Anche se ritenessi corretto parlare di massa che dipende dalla
velocita' (il che non e') non potrei certo ammettere che ci si basi su
quello per definire la q. di moto.
Un metodo classico per ricavare l'espressione relativistica della q.
di moto e' lo studio di urti elastici. Si trova dappertutto, e in
particolare in qualche mio scritto che credo di aver gia' segnalato in
passato, ma senza alcuna pretesa di originalita' su questo punto.
Si tratta comunque di un ragionamento complesso, per cui non lo
consiglierei in generale. A mio parere e' meglio dire due cose:
a) Che sotto certe ragionevoli ipotesi (dire quali) _si dimostra_ che
la q. di moto ha quella certa espressione.
b) Che comunque esiste ormai una quantita' _sterminata_ di verifiche
sperimentali. Nel libro di Taylor e Wheeler ("Fisica dello
spazio-tempo", Zanichelli) c'e' molto materiale sull'argomento.
Quanto alla massa relativistica, ho scritto piu' volte e qui non
potrei dare una sintesi chiara.
Ma di recente (nel thread "elettrone che si muove alla velocita'
vicina a quella della luce?") ho indicato il "Dialogo sulla massa
relativistica".
 
-- 
Elio Fabri

 spazio-tempo", Zanichelli) c'e' molto materiale sull'argomento.
La ringrazio molto e non solo per il testo consigliatomi. Si ricorda che
a suo tempo mi suggerì una raccolta di monografie della zanichelli che
trattavano di maree, onde acustiche e radar etc etc..? bene, ho chiamato
la casa editrice, ma sembra che non abbiano trovato nulla del genere.


 Ileana
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)