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Titolo: Curvatura dello spazio-tempo

Secondo la RG la massa curva lo spazio-tempo.
Di solito si fa l'esempio del tappeto elastico, se ci metto una
sfera sopra questo si incurva ecc...
Però il tappeto è una superficie bidimensionale che si incurva
nella terza dimensione.
Nella RG cosa accade? Lo spazio 3d si incurva nella dim. del tempo?
Oppure lo spazio-tempo 4d si incurva, ma in quale dimensione?
Saluti.

...

ciao, spero che troverai qualcuno più ferrato di me in materia (e ce ne sono
sul ng), ma intanto ti rispondo io. In generale non c'è bisogno di
specificare in quale spazio n+1-dimensionale l'ipersuperficie n-dim. si
incurva, questo perchè dopo aver definito una n-varietà come sottoinsieme di
un certo spazio R^m (m>n), dello spazio in questione te ne puoi liberare
completamente, nel senso che puoi ricavare tutta la struttura della varietà
V non facendo riferimento ad altro che a se stessa ed ha utili funzioni
f_i:R--->R^n che (molto brutalmente) approssimano localmente la varietà ad
uno spazio R^n (prendi questa affermazione veramente con le molle). In
questo modo studi un spazio che *intrinsecamente* curvo, cioè è curvo di per
se non solo rispetto ad uno spazio contenitore, è ovvio che puoi riguardare
a qualunque varietà come immersa in uno spazio almeno n+1-dimensionale, ma
questo non è ne utile ne comodo, soprattutto come puoi tu stesso intuire, in
ambito di GR (perchè introdurre un universo a più dimensioni quando ne
bastano 4 per descrivere correttamente le cose?). Per definire per bene il
concetto di curvatura ci vorrebbe svariato tempo che qui non ho ne posso
occupare, basta comunque sapere che esiste un oggetto matematico detto
tensore di Riemann che caratterizza completamente il modo in cui uno spazio
è curvo, e lo fa sfruttando solo proprietà intrinseche dello spazio
(metrica), questo oggetto in GR descrive la curvatura dello spazio-tempo in
modo da verificare l'equazione di campo di Einstein che lo legano ad un
altro oggetto interessante detto tensore energia-impulso che rappresenta
"l'energia dovuta alla materia ponderabile" (e non solo), in questo senso va
vista la frase "la massa incurva lo spazio-tempo". Probabilmente non c'è
visione più scorretta del tappeto elastico per mostrare le proprietà dello
st curvo, proprio perchè induce una concezioni di curvatura in uno spazio
più grande quando questo non è per niente necessario ai fini di una corretta
comprensione di ciò che succede. Riconosco il fatto che aldilà della mia
probabile poca chiarezza espositiva, c'è una certa difficoltà a cogliere
quello di cui si parla senza aver fatto almeno qualche rudimento di
geometria differenziale, ti assicuro che con qualche cosa studiata, ti
saranno parecchio più chiari i concetti di spazio curvo come più su
descritto.
saluti Adriano Amaricci

 descritto.
Mi sembra che anche senza fare nessun discorso matematico si possa
efficacemente riuscire a farsi un'immagine mentale della curvatura
intrinseca dello spazio-tempo:
1. si rinuncia all'esempio del tappeto elastico, che come tu gia'
spieghi e' completamente fuorviante
2. si immagina uno spazio le cui proprieta' geometriche variano di punto
in punto, a me risulta facile anche senza usare i formalismi matematici
che peraltro non conosco. Per esempio si puo' pensare lo spazio fatto in
modo tale che spostandosi da un punto all'altro si verifica qualcosa di
simile a quello che si vede muovendosi davanti a uno specchio
deformante. Con un po' di fantasia in piu', si puo' riportare la
situazione da quella bidimensionale dello specchio a quella
tridimensionale che stiamo cercando di rappresentarci mentalmente. Forse
ancora migliore puo' essere l'analogia con la visione che noi abbiamo
dei pesci nella classica palla di vetro piena d'acqua.
Un contributo da parte degli esperti potrebbe essere quello di spiegare
quale possa essere l'analogia migliore, in particolar modo quale
dovrebbe essere la curvatura dello specchio o comunque del dispositivo
ottico deformante per fornire l'analogia migliore con lo spaziotempo
reale.
Federico Spano'

 Sez. Astronomia e Astrofisica
Per me questi post sono stati illuminanti,
spero anche per te.
Ciao
Giorgio
..

 uno spazio R^n (prendi questa affermazione veramente con le molle). CUT
Vabbene lo so che si può tratta re una spazio curvo n-dimensionale
usando solo n dimensioni, però tu scrivi che la varietà n-dimensionale è
inclusa in uno spazio R^m con m > n quindi esite uno spazio almeno di
dim n+1?
La mia domanda non è se si può capire se uno spazio n-dimensionale è
curvo rimanendo nelle n dimensione, ma è: il fatto che uno spazio
n-dimensionale è curvo implica logicamente che esiste una dimensione
n+1?
Ciao.

Ciao.
ciao, non sono sicuro di aver capito bene le tue domande, poi ci sono dei
problemi con i caratteri di outlook ovvero io scrivo in europa occidentale
poi quando lo spedisco mi leva i  +1 sugli n, quindi cerca di capire bene le
cose scritte:(. Per la prima: mi sembra ovvio che esista uno spazio
n+1-dim., ma questo non ha senso rispetto alla varietà. La varietà è ben
definita in uno spazio R^m  m>1 ed è  fatta in modo che n<m, tutte le
considerazioni sull'esistenza di spazi di dimensione più grande di n non
hanno alcun riferimento con la varietà stessa, tutto quello che ti serve è
la metrica eventualmente la connessione ecc...La seconda domanda non è in
generale vera, può dipendere dalla definizione che dai di varietà, ma in
generale una volta che hai specificato cosa intendi per varietà potendo
dimenticarti completamente dell'esistenza di una dimensione superiore non
c'è più una implicazione logica sulla sua esistenza. se io vivo in uno
spazio 4-dim e posso trattare tutti i problemi di origine fisica in questo
spazio allora non ha alcun senso fisico sapere e considerare uno spazio di
dimensione superiore, lo so che magari può sembrare una cosa strana ma
spesso la fisica funziona in questo modo. Quindi in generale non c'è una
implicazione logica (almeno secondo la logica fisica), cioè non puoi dedurre
l'esistenza di uno spazio 5-dimensionale dal fatto che lo spazio-tempo è
curvo, di come siamo arrivati "matematicamente" a tale definizione di
varietà non è più fondamentale, abbiamo definito uno spazio degli eventi
fisici, abbiamo definito in generale un metrica su questo spazio (nota bene
senza fare nessuna ipotesi a priori su questa metrica), possiamo dimostrare
che da proprietà intrinseche dello spazio definito esce fuori un equazione
di campo ecc...nulla ci può indicare l'esistenza di uno spazio superiore
5-dim solo per il fatto che in generale la metrica è diversa da quella
euclidea standard. Se intendevi chiedere qualcosa di diverso allora scusami,
e riprova (forse sarai più fortunato:))
saluti Adriano Amaricci