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Titolo: oscillatore armonico e V(x) che subisce una variazione

Salve,
avrei bisogno di qualche chiarimento a proposito del calcolo degli stati
stazionari di un oscillatore armonico nel caso in cui il potenziale cambi.
Al tempo t=t0 il potenziale dell'oscillatore armonico unidimensionale
subisce una variazione che sposta in x=x0 il suo minimo cosicché
V'(x)=1/2mw^2(x-x0)^2.
Si dice espressamente che lo stato iniziale dell'oscillatore |psi(x,t)> (che
è una combinazione lineare degli autostati dell'oscillatore |fi_n> ) non
cambia.
A questo punto vorrei sapere come calcolo le nuove autofunzioni psi'_n(x) ?
P.S.
Mi è venuto in mente che, un po' come si fa nel caso di presenza un campo
elettrico diretto lungo x, se si effettua un cambiamento di varialibile
u=(x-x0) si ottiene una equazone di Schr. equivalente per cui le
autofunzioni sono le stesse ma per così dire traslate. E' questo la strada
giusta?
Grazie di tutti i suggerimenti che potrete fornirmi

Nargath ha scritto:
 > avrei bisogno di qualche chiarimento a proposito del calcolo degli
 > stati stazionari di un oscillatore armonico nel caso in cui il
 > potenziale cambi.
 > Al tempo t=t0 il potenziale dell'oscillatore armonico unidimensionale
 > subisce una variazione che sposta in x=x0 il suo minimo cosicché
 > V'(x)=1/2mw^2(x-x0)^2.
 >
 > Si dice espressamente che lo stato iniziale dell'oscillatore
 > |psi(x,t)> (che č una combinazione lineare degli autostati
 > dell'oscillatore |fi_n> ) non cambia.
Lasciami dire anzitutto che una scrittura come |psi(x,t)> e' parecchio
barbara...
Non so se sia tua o di chi, ma il mio giudizio non cambia.
O usi la notazione di Dirac, e allora |...> e' un ket (vettore
astratto) che non dipende da x, al piu' da t.
O usi la funzione d'onda, ma allora scrivila senza |...>.
Cio' posto, tu hai due diverse hamiltoniane, una per t<t0, e un'altra
per t>t0.
Entrambe hanno autovalori e autovettori, anche se non parlerei di
"stati stazionari" visto che l'hamiltoniana cambia nel tempo.
 > A questo punto vorrei sapere come calcolo le nuove autofunzioni
 > psi'_n(x) ?
Quello che hai scritto nel P.S. che non riporto e' giusto: se trasli
il potenziale, traslano nello stesso modo le autofunzioni, e gli
autovalori non cambiano.
Ma in tutto questo, dire che al tempo t0 lo stato non cambia e' del
tutto irrilevante.
Diventa importante solo se si chiede: dato lo stato per t<t0, come
evolvera' per t>t0?
Oppure: quali valori potro' ottenere, e con quali probabilita', se
misuro l'energia per t>t0?
-----------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 misuro l'energia per t>t0?
Esatto il mio problema è proprio questo. Si chiede che venga fornita la
probabilità di trovare la particella nello stato fondamentale fi'_0(x) (con
apice, quindi lo stato ground della "hamiltoniana traslata" H'), questo per
t=t0 e  x=x0...
A questo punto per calcolare la probabilità devo fare <fi'_0|psi> ed essendo
lo stato |psi> combinazione lineare degli autostati |fi_0> e |fi_1> della
hamiltoniana H mi riduco a dover calcolare:
<fi'_0|fi_0>
<fi'_0|fi_1>
E' esatto? Se sì trovo che sono degli integrali di funzioni del tipo
exp(a*x^2 + b*x + c) [primo caso]
x*exp(a*x^2 + b*x + c) [secondo caso]
Puoi darmi conferma di ciò e se possibile una traccia di come si risolvono
questo tipo di integrali? ;-)
Grazie mille
Nargath

 x*exp(a*x^2 + b*x + c) [secondo caso]
exp(a*x^2+...) misà non si risolve nemmeno a cannonate. Finisce che devi
usare la error function.

Nargath ha scritto:
 > A questo punto per calcolare la probabilità devo fare <fi'_0|psi> ed
 > essendo lo stato |psi> combinazione lineare degli autostati |fi_0> e
 > |fi_1> della hamiltoniana H mi riduco a dover calcolare:
 >
 > <fi'_0|fi_0>
 > <fi'_0|fi_1>
 >
 > E' esatto?
OK
 > Se sì trovo che sono degli integrali di funzioni del tipo
 >
 > exp(a*x^2 + b*x + c) [primo caso]
 > x*exp(a*x^2 + b*x + c) [secondo caso]
 >
 > Puoi darmi conferma di ciò e se possibile una traccia di come si
 > risolvono questo tipo di integrali? ;-)
Gli integrali saranno su tutta la retta reale.
Scrivi a*x^2 + b*x + c come a*(x-x1)^2 + q e poi con una sostituzione
ci arrivi.
Inoltre lo stesso integrale te lo troverai anche a denominatore
(normalizzazione) per cui non avrai bisogno di calcolarlo
esplicitamente: si cancella.
Tieni anche presente che \int x exp(-x^2) dx = 0 (sempre su tutta la
retta).
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 esplicitamente: si cancella.
Scusa se ho le idee un po' confuse in proposito, mi potresti spiegare per
bene (se puoi e ne hai voglia) questo procedimento?
Non ho ben capito come normalizzare il prodotto scalare (è questo che si
normalizza? oppure la funzione d'onda dello stato in cui si trova la
particella...)
Nell'integrale sono presenti fi'_0*(x) e fi_0(x) o, nel secondo caso,
fi'_0*(*) e fi_1(*) come dovrebbe apparire l'integrale di normalizzazione
che sarà presente nel denominatore?
Grazie

Nargath ha scritto:
 > Scusa se ho le idee un po' confuse in proposito, mi potresti spiegare
 > per bene (se puoi e ne hai voglia) questo procedimento?
 > Non ho ben capito come normalizzare il prodotto scalare (è questo che
 > si normalizza? oppure la funzione d'onda dello stato in cui si trova
 > la particella...)
 > Nell'integrale sono presenti fi'_0*(x) e fi_0(x) o, nel secondo caso,
 > fi'_0*(*) e fi_1(*) come dovrebbe apparire l'integrale di
 > normalizzazione che sarà presente nel denominatore? Grazie
La prima cosa che mi viene di dire e': ma benedetti ragazzi, i libri
non li conoscete? Non li usate?
Tu sei (almeno) al terzo anno, e io ho risposto dando per scontato che
su certe cose non occorressero spiegazioni...
Se invece ti occorrono, lasciami dire che forse non stai messo tanto
bene.
A tua parziale discolpa, si puo' dire che ora la "produttivita'" di
un'universita' si misura in base a quanti laureati sforna; mica serve
sapere che cosa hanno imparato :-<
Comunque...
Se devi calcolare l'integrale da -oo a +oo di exp[-(ax^2+bx+c)], ti
avevo detto: trova x1 e q tali che
ax^2 +bx +c = a*(x-x1)^2 + q
(e questo proprio non te lo spiego...).
Cio' fatto, avrai
\int exp[-(ax^2+bx+c)] dx = \int exp[-a*(x-x1)^2 + q] dx = e^q * \int exp[-a*(x-x1)^2] dx.
Poni y = x-x1, e l'integrale diventa \int exp(-y^2) dy, sempre tra -oo
e +oo.
Questo non occorre calcolarlo, perche' lo ritroviamo tra poco.
Quanto a
\int x*exp[-(ax^2+bx+c)] dx
avrai, con la stessa sostituzione:
\int (y+x1)*exp(-y^2)] dy
che si spezza in due, di cui il primo e' nullo, e il secondo e' quello
gia' visto.
Ora la prima probabilita' richiesta e' |<0|0'>|^2, dove |0> e |0'>
sono vettori *normalizzati*.
Tu conosci gia'il fattore di normalizzazione, perche l'hai scritto; ma
se invece non lo conoscessi, e per |0> scrivessi la f. d'onda
C*exp(-a*x^2), scopriresti che per calcolare C dovresti fare di nuovo
lo stesso integrale di cui sopra.
Ovvero, lavorando con vettori non normalizzati, la prob. sarebbe
  |<0|0'>|^2
------------.
<0|0><0'|0'>
Prova a scrivere gli integrali, e vedrai che l'integrale che era
rimasto si cancella sempre tr anumeratore e denominatore.
Naturalmente lo stesso vale anche per |<0|1'>|^2.


 Naturalmente lo stesso vale anche per |<0|1'>|^2.
Dunque il mio dubbio sta nel fatto che devo calcolare la probabilità che la
particella si trovi nello stato fondamentale |0'> mentre il sistema è nello
stato |psi> (che è combinazione lineare di |0> e |1>).
Secondo quanto mi dici la probabilità richiesta dovrebbe essere questa:
   |<0'|psi>|^2
 ------------.
 <0'|0'><psi|psi>
E' Giusto?
Come mi devo comportare coi due pezzi di cui abbiamo parlato nei precedenti
post? Devono essere loro comunque normalizzati? Oppure si deve agire sul
prodotto <0'|psi> di cui sopra?
Grazie

Nargath ha scritto:
 > ...
 > Dunque il mio dubbio sta nel fatto che devo calcolare la probabilità
 > che la particella si trovi nello stato fondamentale |0'> mentre il
 > sistema è nello stato |psi> (che è combinazione lineare di |0> e |1>).
 > Secondo quanto mi dici la probabilità richiesta dovrebbe essere
 > questa:
 >
 >    |<0'|psi>|^2
 >   ------------.
 >  <0'|0'><psi|psi>
 >
 > E' Giusto?
Direi di si'.
 > Come mi devo comportare coi due pezzi di cui abbiamo parlato nei
 > precedenti post? Devono essere loro comunque normalizzati? Oppure si
 > deve agire sul prodotto <0'|psi> di cui sopra?
Non ho capito bene le domande, anche perche' e' passato un po'
dall'inizio del thread, e forse ho un po' perso il filo.
Mi sembrerebbe di poter dire che va bene la seconda alternativa che
dici, ma non vorrei equivocare.
Se puoi riepilogare il problema, cerchero' di rispondere meglio.
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