Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Relazione tra raggio di curvatura spazio-tempo ed accelerazione di gravità

Nel Quaderno 16 di Elio fabri -Insegnare relatività nel XXI secolo- nella lezione
10 tra le altre cose il Prof. parlando della curvatura dello spazio-tempo generato dalla Terra scrive che Rc = 1.7*10^11m
Mi chiedevo se in qualche modo c'è una relazione tra questo dato e la 
accelerazione di gravità terrestre g=9.81m/s^2
Se la massa della Terra (tenuto conto anche delle sue dimensioni e densità)
riesce ad incurvare lo spazio-tempo con un raggio di curvatura 
Rc = 1.7*10^11m
e poi la stessa Terra ha g=9.81m/s^2
C'è una relazione ?
Cioè se avessi come dato solo Rc = 1.7*10^11m , potrei ricavarmi la (g)?
Molto probabilmente sto scrivendo sciocchezze...perché per il raggio
di curvatura Rc siamo nello spazio-tempo, mentre invece per 
l'accelerazione di gravità g siamo nel campo del solo spazio.
P.S. che grande cosa è internet, si possono fare domande senza il rischio
di essere presi a pedate come accadrebbe se fatte in presenza di un Prof.
in classe.

 Cioè se avessi come dato solo Rc = 1.7*10^11m , potrei ricavarmi la (g)? 
 
Roberto Puzzanghera ha cercato di riportare il discorso di Fabri in una classe di Liceo
https://wiki.sagredo.eu/doku.php?id=curvatura_dello_spazio-tempo#la_curvatura_dello_spazio-tempo
 
 
 
Su 
http://www.sagredo.eu/Q16/lez10.pdf
 alla formula 10-10 è scritto che Rc (in prossimità della superficie terrestre) dipende solo dalla densità media della Terra, a meno di costanti.
1/Rc^2 = 8 pi/3 G/c^2 rho
 
---
Furio Petrossi

 Cioè se avessi come dato solo Rc = 1.7*10^11m , potrei ricavarmi la (g)?
 
No, non ti basta. La curvatura dello spaziotempo sulla superficie del 
pianeta, come ti e` stato indicato nel messaggio precedente, dipende 
solo dalla densita` del pianeta.
 
Se prendi due pianeti con la stessa densita`, ma di diametro diverso, la 
curvatura e` la stessa, mentre l'accelerazione di gravita` e` maggiore 
per il pianeta piu` grande.
 
Questo e` dovuto al fatto che la densita` e` proporzionale a M/R^3 (M 
massa del pianeta e R raggio del pianeta), mentre l'accelerazione di 
gravita` e` proporzionale a M/R^2, sempre con altri fattori costanti. 
Per passare da un mondo all'altro serve conoscere il raggio del pianeta.
 
Se vuoi passare dalla curvatura all'accelerazione di gravita`, sapendo 
di cambiare completamente "lingua", da relativistica a classica, una 
formula c'e`,
 
g=(c^2 R)(2 Rc^2) dove Rc e` la curvatura, R il raggio del pianeta, c la 
velocita` della luce.
 
 
-- 
Wovon man nicht sprechen kann...
 
-- 
This email has been checked for viruses by AVG.
https://www.avg.com
 


Roberto Puzzanghera propone anche dei problemi :
Problemi
Calcolare 
 
Rc per la Terra, per il Sole, per una nana bianca, per una stella di neutroni.
Dove si possono leggere i risultati di tali problemi ?

 c la velocita` della luce.
 
La formula va bene, a patto però di tener presente che nello
spazio-tempo non si può parlare di *una* curvatura.
Quello della formula è il raggio di curvatura (non la curvatura, che è
1/Rc^2) della sezione (t,z).
La questione è accennata in fondo a pag. 139:
 
"Se le dimensioni sono più di due non basta un solo numero per
caratterizzare le proprietà di curvatura della varietà. Ciò accade
ovviamente per lo spazio-tempo: per descrivere completamente la
curvatura occorre il tensore di Riemann. Questo tensore ha una sola
componente indipendente in due dimensioni, ma più d'una se le
dimensioni sono 3 o più (nello spazio-tempo sono ben 20)."
 
Aggiungo che il numero 20, che è n^2*(n^2-1)/12, deriva dalla
definizione del tensore di Riemann, che non posso dare qui (se interessa
la trovate nei miei appunti (afrel o irg).
 
Mi limito a chiarire un punto. Nel Q16 si parla solo di deviazione
delle geodetiche, e si potrebbe pensare che misure di dev. delle
geodetiche in diverse sezioni dello spazio-tempo permettano di
determinare il tensore di Riemann.
Nasce però una difficoltà: le possibili sezioni sembrano soltanto 6:
(x,t), (y,t), (z,t), (x,y), (x,z), (y,z). Come si possono ricavare 20
numeri da 6 misure?
 
In effetti, se il tensore di Riemann fosse un vettore, non ci sarebbe
problema: la conoscenza delle componenti secondo t, x, y, z determina
completamente il vettore.
Coi tensori va diversamente. Pensiamo al caso 3D e al tensore degli
sforzi, che è di rango 2 simmetrico, quindi ha 6 componenti
indipendenti: Txx, Tyy, Tzz, Txy, Txz, Tyz.
A prima vista la misura della componente normale lungo tre direzioni
permette di ricavare solo le componenti diagonali: Txx, Tyy, Tzz.
Ma se aggiungiamo le misure lungo altre direzioni, per es. le
bisettrici degli assi, si verifica che il tensore si determina
completamente.
 
Per quanto più complicato, lo stesso è vero per il tensore di Riemann
e le deviazioni delle geodetiche.
Se si usano non solo deviazioni come (t,x) ecc, ma anche quelle in
piani orentati in altre direzioni, si vede che il tensore di Riemann è
del tutto determinato da un numero sufficiente di deviazioni
geodetiche.
 
Per finire: tutto questo ovviamente riagurda un livello più elevato di
studio. Nel Q16, dedicato alla scuola secondaria, ritengo sufficienti
quei semplici cenni.
Aggiungendo l'osservazione che in casi non strambi, piuttosto regolari
come i pianeti, le diverse deviazioni geodetiche non differiscono
molto; per cui una o due possono bastare se siamo interessati
all'ordine di grandezza e ai parametri da cui dipende.
I problemi 1 e 4 riguardano il calcolo nella sezione (t,x), che
fornisce una curvatura di segno opposto e valore metà della (t,z).
 
 
 
-- 
Elio Fabri