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Titolo: quesito su forza di Lorent e relatività

Chiedo aiuto per capire il seguente problema. 
 
 
In un sistema di rif inerziale S ci sia una carica q libera e ferma, in campo magnetico B stazionario creato tra le estremit� di un magnete permanente fermo.
 
Si consideri un riferimento S' in moto rettilineo unif. ripetto a S con velocit� trascurabile rispetto a c.
 
In S' la carica q si muove di moto rett. unif. (con velocit� v') e quindi la forza risultante sulla carica � nulla: Fris' = 0. 
1) Fris' = 0 perch� in S' il campo magnetico � nullo (B' = 0) e quindi qv' x B' = 0
 
2) Fris' = 0 perch� la velocit� che compare nella forza di Lorenz (qvelocit� x B') � la velocit� relativa di q rispetto alle linee del campo B', e tale velocit� � nulla dato che magnete e carica si muovono insieme. 
3) Fris' = 0 perch� in S' c'� anche un campo E' tale che qE' + qv' x B'= 0 
 
 
Se la risposta giusta � la 3) mi chiedo:  da dove salta fuori questo campo elettrico, dato che non pu� essere un campo elettrico indotto (da un campo magnetico variabile) perch� siamo in regime stazionario!

 Lorent, Lorenz.
 
Dimenticavo ;-), si scrive Lorentz...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 (da un campo magnetico variabile) perch� siamo in regime stazionario!
 
Il fatto che siamo in regime stazionario ci dice soltanto che i
valori dei campi E' e B' misurati in S' nel punto in cui si trova
istantaneamente la carica q saranno pure essi costanti.
I campi E e B non sono indipendenti, ma sono la rappresentazione
per componenti di un unico ente fisico che e' il tensore del campo e.m.,
al cambiare del riferimento le componenti si "mescolano" e anche se
il campo e' puramente magnetico in un riferimento in altri riferimenti
puo' comparire anche la componente elettrica, v. le leggi di
trasformazione:
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_electromagnetism_and_special_relativity#Transformation_of_the_fields_between_inertial_frames
 
 
per fare un esempio piu' elementare accade la stessa cosa considerando
un vettore posizione (x, y, z) rappresentato per componenti in un dato
riferimento cartesiano ortogonale S, in un sistema di riferimento ruotato
S', anche se ad es. in S la coordinata x risultasse nulla, la corrispondente
coordinata x' potrebbe non essere nulla, e risulterebbe funzione non solo
di x ma anche di y e z.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 (da un campo magnetico variabile) perch� siamo in regime stazionario!
Invece di dimostrare che il campo E esiste in S' basandosi sulle
propriet� di trasf. dei campi, ci si pu� arrivare direttamente,
esaminando quali sono le sorgenti di questi campi.
 
A dire il vero non � facile (direi che non � possibile senza m.q.
relativistica) farlo per il caso di magneti permanenti, dove le
sorgenti di B sono i momenti magnetici degli elettroni atomici.
Per� si pu� analizzare un caso pi� semplice e ben noto.
 
Pensa a un filo rettilineo (neutro) percorso da corrente costante.
Intorno al filo c'� un campo magnetico statico.
Una carica in quiete rispetto al filo (rif. S) non sente nessuna forza.
Ma nel rif. S' la carica si muove e quindi sente la forza di Lorentz...
Bisogna dimostrare che in S' c'� anche un campo elettrico, la cui
sorgente � nel filo.
Ossia bisogna dimostrare che in S' il filo *appare carico*, con la
giusta densit� di carica.
 
Sai come si fa?
Si trova in molti libri: per es. "La fisica di Berkeley", vol. 2, par.
6.7 fa un caso diverso ma del tutto simile.
Comunque se non lo vedi possiamo riparlarne.
 
 
-- 
Elio Fabri

 sorgenti di B sono i momenti magnetici degli elettroni atomici.
 
A proposito di questo c'ï¿œ qualche libro che discute per bene questa 
questione? In particolare penso ai limiti dell'ipotesi di Ampï¿œre 
secondo cui ogni campo magnetico ha origine da una corrente. Non mi 
preme perï¿œ tanto la questione della impossibilitï¿œ o difficoltï¿œ di 
trovare una corrente associata all'elettrone, quanto piuttosto se, su 
scala macroscopica, le proprietï¿œ spinoriali, anzichï¿œ vettoriali, di 
trasformazione degli elettroni possano mai evidenziare una difficoltï¿œ 
nell'ipotesi di Ampï¿œre, oppure al contrario la si possa perfettamente 
giustificare anche nel formalismo quantistico relativistico. Leggendo 
Landau o Greiner probabilmente ci si puï¿œ arrivare a scrivere qualcosa 
di sensato perï¿œ su quei libri non c'ï¿œ alcun riferimento diretto a ciï¿œ, 
o mi ï¿œ sfuggito, e non l'ho mai visto trattato in dettaglio, mi 
meraviglierebbe molto se non fosse stato trattato con dovizia di 
particolari.
 

 
Grazie Giorgio, mi pare di aver capito. Anche se non sono in grado di seguire tutti i dettagli matematici del link a wikipedia, penso che le leggi di trasformazione siano dedotte a partire da nientaltro che : 4 eq di Maxwell + legge di Lorentz + postulati relativit� ristretta.
 
Mi pare di capire poi, che un magnete in movimento generi nello spazio intorno a se' sia un campo B sia un campo E, i cui valori dipendono dalla velocit� del magnete (solo nel caso di magnete fermo E=0).
 
Mi chiedo ora se, in una regione limitata, tale campo E generato dal magnete in moto possa essere conservativo  (ad intuito in alcuni casi s� in altri no). Spero, naturalmente senza pretese, che qualcuno mi aiuti a risolvere anche questo mio dubbio.
 
Ringrazio ancora per la disponibilit� dimostrata.
 
Ciao, Carlo.
 
P.S. Certo, certo Lorentz e non Lorent, anzi Hendrik Antoon Lorentz, anche se dalla foto 
http://en.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentz
 
mi sembra una personaggio gentile che avrebbe perdonato bonariamente l'errore ;-)


per dare i nomi agli assi di S: l'origine O si trovi al centro del 
traferro, e q si trovi in O; il campo B in O (e in suo intorno) sia 
parallelo a z (verticale nella figura); l'asse y nella figura sia 
orizzontale e diretto a sinistra; l'asse x sia ortogonale al, ed 
entrante nel, foglio. Il magnete vero e proprio (quello con i poli N S 
nella figura) sia molto lontano da O: il piano xz risulta allora piano 
di simmetria per B(x,y,z) in un suo piccolo intorno.
 
Nel riferimento S, lungo la retta y=0, z=0, a magnete fermo, Bz risulta 
quasi costante in un intorno dell'origine, poi inizia a diminuire circa 
in corrispondenza dei bordi delle facce del traferro, per tendere a 0 
all'infinito:
 
^ Bz
|                  .-'''''''''''-.
|               .-'               '-.
|_________,...-'                     '-...,________
--------------------------O-------------------------> x
 
 
Suppongo che S' si muova rispetto ad S con velocita' vx=-v;
dato che v<<c, si usa la relativita' gelileiana, e quindi
 
  t'=t, B'=B, x'=x-vt, dx'=dx.
 
In S', dove il magnete risulta in movimento, l'intero grafico *trasla* 
con S, con velocita' +v, e Bz varia anche col tempo con la legge
 
   Bz(x',t) =  Bz(x'-vt)
 
quindi risulta (mi scuso per qualche abuso di notazione)
 
  @Bz(x',t)/@t = -v dBz(x)/dx
 
      = -rot_z (E'(x',t)) =  - @Ey'/@x' + @Ex'/@y'
 
Ma @Ex'/@y' = 0 per la simmetria speculare rispetto al piano x'z', quindi
 
  @Bz'(x',t)/@t = -v dBz/dx =  - @Ey'/@x'
 
e, poiche' sia Bz che Ey' tendono a zero all'infinito,
 
  Ey'(x',t) = int_-inf^x' @Ey'/@x' dx'
 
             = int_-inf^(x-vt) v dBz/dx  dx = v Bz(x-vt)
 
Ossia
 
   Ey'(x',t') =  v Bz(x',t').
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 l'errore ;-)
 
Non c'e' colpa e non c'e' niente da perdonare ;-), ma adesso
penso che non ti dimenticherai piu' come si scriva Lorentz...;-)
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 un campo magnetico variabile non induce "un campo elettrico".....
 
 
 
Credevo di poter dire: il campo elettrico presente in una certa regione dello spazio si pu� sempre considerare come somma di un campo coulombiano conservativo Es (calcolabile se conosco la distribuzione delle cariche elettriche) + un campo Eind non conservativo (calcolabile se conosco come B varia nel tempo nella regione).
E' tanto sbagliato?
 
Ciao, Carlo.

 Si trova in molti libri: per es. "La fisica di Berkeley"
 
Vedr� di procurarmi il libro
 
 
Ciao e grazie.

 Ringrazio ancora per la disponibilitï¿œ dimostrata.


 sì in altri no).
 
In una regione limitata certamente si': dove, appunto, a un certo 
istante e' @B/@t=0; per magnete traslante, ogni regione interna ad una 
dove B e' uniforme.


 densit� di carica sia diversa da una parte rispetto ad un'altra.
Ottima obiezione, e debbo dire che me l'aspettavo :-)
Si tratta di uno degli innumerevoli paradossi causati dal considerare
distribuzioni di cariche e correnti che si estendono all'infinito.
 
Vedo che hai anche capito la risposta: un filo percorso da corrente
deve chiuderi da qualche parte.
Se lo pensi in forma di spira rettangolare, troverai che i due lati
paralleli alla velocit� essendo percorsi da corrente in versi opposti,
in S' appaiono carichi di segno opposto
Solo che se metti la carica di prova vicino a uno dei lati, l'effetto
dei campi prodotti dall'altro lo puoi trascurare, e quindi non �
sbagliato ragionare su un filo infinito, che semplifica i conti.
 
Tra l'altro se consideri la spira scopri un'altro aspetto della
questione: la spira in S possiede un momento magnetico.
In S' possiede anche un momento di dipolo elettrico, che � in una
semplice relazione col momento magnetico.
Questa relazione vale in generale, per es. vale anche per il mom.
magnetico di un elettrone.
 
 
-- 
Elio Fabri

 tanto sbagliato?semplice
 
Non tanto: il punto e' che la regione dove *devi* conoscere la 
variazione del campo magnetico per calcolare il campo elettrico non 
conservativo deve includere anche un punto in cui conosci gia' E_ind, 
altrimenti la soluzione ti resta determinata a meno di una costante 
(vettoriale) additiva. Il modo piu' naturale di farlo e' di estendere la 
regione all'infinito (o almeno, a una distanza abbastanza grande da 
poter ritenere che l'effetto di tutte le sorgenti presenti vi sia 
trascurabile) e porre lim_r->inf E_ind = 0.
 
Per calcolare invece la FEM indotta in una spira, ti basta conoscere 
@B/@t su una superficie che ha la spira per contorno: in tal caso, 
infatti, la costante additiva non ha alcun effetto e puo' restare 
indeterminata.


 Ciao, Carlo.
 
Le informazioni differenziali non bastano, come ti ha spiegato Tommaso 
Russo, che mi pare hai calcolato poco, ti occorrono anche le condizioni 
al bordo. Se del campo conosci la divergenza div(E) = rho(x,t) ed il 
rotore rot(E) = -dB(x,t)/dt ma non il comportamento all'infinito non 
puoi risolvere il problema di Cauchy associato. Inoltre ï¿œ chiaro che 
per ragioni di coerenza non puoi assegnare arbitrariamente rho(x,t) e 
B(x,t) perchï¿œ la carica ï¿œ una grandezza conservata ed in generale la 
variazione di carica in una regione ï¿œ quindi associata ad una corrente 
che genera campi magnetici e questi a loro volta generano campi 
elettrici.
 




 puoi risolvere il problema di Cauchy associato... 
 
 
Non so cos'e' il problema di Cauchy associato, ma credo di aver capito il succo del discorso, dato che so che le eq. diff. si risolvono a meno di una o più costanti, per determinare le quali occorrono delle informazioni ''al bordo''.
 
Grazie, Ciao.
 
Carlo

 risposte multiple...
 
 
 
La domanda me la sono inventata io. Mi era stato detto che dato che Fis = 0 allora in S' c'è un E' tale che qE' =-qvB. Io non capivo da dove saltasse fuori E' e quindi credevo che la Fris fosse zero per qualche altro motivo, io pensavo Fris=0 perchè la velocità da mettere nella forza di Lorentz fosse la velocità relativa tra q e magnete (che resta zero).
 
Ciao e grazie.
 
Carlo

 Carlo
 
Ciao, Gianmarco.
 

 velocità relativa tra q e magnete (che resta zero).
 
Questo modo di vedere e' molto intuitivo, ed ha precedenti illustri: e' 
stato il ragionamento che ha fatto Weber per ricavare la sua Teoria 
dell'Elettrodinamica ("relazionale", cioe' basata solo sulle distanze, 
velocita' di variazioni di distanze e accelerazioni di variazioni di 
distanze fra cariche elettriche, attribuendo i fenomeni magnetici al 
modello microscopico di Ampere  che ha citato Gianmarco).
 
L'ED di Weber spiega bene i fenomeni elettromagnetici piu' comuni, ma 
non prevede ne' spiega le onde elettromagnetiche, cosa che invece faceva 
la concorrente "teoria dell'etere" di Maxwell. Quando Hertz ne provo' 
sperimentalmente l'esistenza, Weber abbandono' la sua teoria in favore 
di quella di Maxwell, ed iniziarono gli esperimenti (fra cui quelli di 
Michelson & Morley) tesi a determinare il "vento d'etere".
 
L'etere si dimostro' pero' piuttosto sfuggente, e refrattario alla 
determinazione del "riferimento assoluto" in cui doveva essere a riposo, 
dato che i risultati di M&M davano una sua velocita', relativa alla 
Terra, sicuramente inferiore alla velocita' tangenziale della Terra 
attorno al Sole, e questo sia in estate che in inverno, quando il verso 
della velocita' della Terra si inverte. ANCHE per questo, Lorentz 
ritenne che l'interazione dell'etere con la materia la facesse contrarre 
nel senso del moto, proprio del valore necessario a vanificare la 
determinazione della loro velocita' relativa con l'esperimento di M&M. 
Questo aveva altre conseguenze incoerenti, che Lorentz stesso e 
Poincare' corressero con ulteriori postulati, fino a giungere nel 1905 
ad una teoria in cui l'etere c'era, ma era impossibile determinarne la 
velocita', perche' tutte le leggi della Fisica note risultavano 
identiche in tutti i riferimenti inerziali in moto relativo.
 
La RR di Einstein consiste sostanzialmente nell'assunzione di 
quest'ultima frase come postulato, abbandonandone la spiegazione che 
faceva uso di un etere che non conferisce alcuna proprieta' speciale al 
riferimento "assoluto" in cui e' fermo, e che risulta cosi' ipotesi 
superflua perche' priva di conseguenze fisiche (verificabili o 
falsificabili sperimentalmente). Le proprieta' dell'etere (tensioni e 
vibrazioni che dessero conto dei fenomeni EM) vennero quindi sostituite 
da proprieta' dello spazio misurabili con un qualsiasi riferimento, dove 
"sono presenti campi (funzioni matematiche di x,y,z e t) che pero' 
interagiscono fra loro e con la materia".
 
I campi E e B, pero', cambiano da un riferimento all'altro, esattamente 
come "l'altezza" di un segmento lungo L puo' variare da L a L/sqrt(2) a 
L/2 a 0 a seconda dell'angolo che il "piano orizzontale" del riferimento 
scelto per misurarla forma con esso (scelta che, in assenza di gravita', 
e' del tutto arbitraria). Cio' che si mantiene invariante come L, fra un 
riferimento e un altro, sono proprieta' caratteristiche di un altro 
oggetto matematico, che viene chiamato tout court "campo 
elettromagnetico", e dal quale, per un qualsiasi riferimento dato, si 
possono ricavare i valori di E e B che verranno misurati. Ma per questo 
serve altra matematica ancora.
 
La velocita' v da usare nelle formule dell'ED moderna e' percio' quella 
rispetto *al campo*, ossia *al riferimento scelto*, non alla *sorgente 
del campo*.


 Sai come si fa?
 
 
Si', adesso lo so,
come ringraziamento, e ad uso di qualche lettore/visitatore del mio livello scolastico, riporto il mio percorso.
 
Per prima cosa ho fatto il percorso inverso rispetto a quello che voleva Elio.
Supponendo che in S la corrente formata da flusso di sole cariche positive, in moto  con velocità u (in direzione delle x positive), so che: 
1)Circuitazione di Ampere--> B= mu0*I/(2Pigreco*D)  
2) I= Qpiu/dt = Qpiu/L*L/dt = LAMpiu*u 
dove LAMpiu è la densità delle sole cariche positive in moto.
In S il filo è neutro
3) LAMpiu + LAMmeno =0
 
In S' (in moto rispetto ad S con velocità v<<c nel verso negativo dell'asse x)le leggi di trasformazione suggeritemi da Giorgio Bibbiani mi dicono:
4)E' = vB
5) B'= B (tra l'altro questo, da circuitaz di Ampere, implica I'=I cosa che ho trovato interessante)
Inoltre:
6) Gauss--> E' = eps0*LAM'/(2Pigreco*D)
dove LAM' è la densità lineare di carica del filo.
da 4) 6) 1) 2) si ricava:
7) LAM'=LAMpiu*u*v/c^2
 
Poi sono passato a cercare di applicare la contrazione relativistica delle lunghezze, che è quello che voleva Elio.
 
Ho pensato che in S ci fossero due binari, in uno c'e' un treno di vagoni fermi con le cariche negative, tutti sono lunghi L, ciascuno trasporta una carica -Q.
 
 
Sull'altro binario parallelo c'e' un treno di vagoni che trasportavano cariche positive: vagoni tutti della stessa lunghezza L (misurata in S) e ciascuno con la stessa carica +Q. Questo treno è in moto con velocità u. 
La lunghezza propria di questi vagoni è
8) Lpiu0 = L/SQRT(1-U^2)
Avendo posto per semplicità  V=v/c U=u/c e indico con SQRT la radice quadrata.
 
In S' i vagoni negativi risultano lunghi
9)Lmeno'=L*SQRT(1-V^2)
da cui
10)LAMmeno'= Q/Lmeno'= LAMmeno/SQRT(1-V^2)
 
In S' vagoni vagoni positivi risultano lunghi
10) Lpiu'= Lpiu0*SQRT(1-(V+U)^2)  = L*SQRT(1-(V+U)^2)/SQRT(1-U^2)
avendo usato la composizione galileiana delle velocità e la 8).
Da cui
11) LAMpiu' = Q/Lpiu' = LAMpiu*SQRT(1-U^2)/SQRT(1-(V+U)^2)
 
Ora: LAM' = LAMpiu'+LAMmeno' 
sostituendo la 10) la 11) e considerando la 3) risulta:
LAM' = LAMpiu*(robaBruttaPienaDiRadici)
 
E qui mi sono depresso, perchè era una espressione ben diversa dalla 7)
 
Ma il giorno stesso è arrivato il post di Tommaso Russo con il link a dei problemi simili, dove c'era il trucco: le radici possono essere approssimate perchè U e V tendono a zero: SQRT(1-U^2)=1-0,5*U^2
 
Facendo queste approssimazioni, con un paio di passaggi algebrici e avendo cura di trascurare U e V rispetto all'unità (nei fattori al denominatore), e trascurare U^2*V^2 rispetto a U*V (al numeratore),
la (robaBruttaPienaDiRadici)diventa uguale a U*V.
Cosi' e' riapparsa la 7) 
LAM'=LAMpiu*u*v/c^2
e io ho gioito ;-)
 
Spero solo sia giusto!
Ciao.
Carlo

 di Lorentz che agisce sulle cariche di conduzione del filo. 
 
Questo  mi ha lasciato interdetto per due motivi: 
punto1) credevo che la circuitazione della forza di Lorentz dovesse essere sempre zero
 
 
 
questo punto1) credo che si risolva dicendo: Se faccio una fotografia al circuito in moto (dentro al filo c'è un treno di cariche in moto che forma la corrente) vedrò che la velocità di una carica non è tangente al filo e quindi la circuitazione calcolata in quello specifico istante della forza di Lorentz non è zero. Giusto?
 
Punto2) credevo che la fem fosse la circuitazione del solo campo elettrico
Questo punto non l'ho risolto e chiedo aiuto. Ormai ci ho preso gusto ;-)

 
No, è italiano, ma credo che in tutti i libri di testo delle superiori le eq di Maxwell si studino solo in forma integrale.
Comunque io adesso ho visto anche le formule in forma differenziale.
 
 
Mi pare di aver capito che, a prescindere dalla conoscenza della relatività ristretta, se vogliamo che le eq di Maxwell mantengano la stessa forma in diversi sistemi inerziali in moto relativo occorre abbandonare le trasformazioni di Galileo e adottare quelle di Lorentz.
 
Chiedo se esiste una dimostrazione di questo alla portata di uno studente di quinta liceo o primo anno d'università, magari a riguardo di un caso semplificato.
 
Ciao.

 Si consideri un riferimento S' in moto rettilineo unif. ripetto a S con velocitï¿½ trascurabile rispetto a c.
 
(cut)
 
 
 
 
Se ho ben capito, tu tu chiedi perchè, dato il riferimento del laboratorio ed un magnete ed una carica inizialmente fermi in esso (che restano  quindi fermi l'una rispetto all'altro, non essendo la carica soggetta ad alcuna forza), facendo traslare in moto rettilineo uniforme magnete e carica alla stessa velocità e nella stessa direzione e verso (vale a dire facendo traslare il laboratorio in un altro riferimento esterno) non cambia nulla, continuano a restare  fermi l'una rispetto all'altro.
 
 
 
 
Se è così, ti pregherei di leggerti il paragrafo di cui qui sotto ti do il link, in cui si fa vedere come in ogni caso (qualsiasi sia il moto relativo della carica rispetto al magnete) con la traslazione di tutto il laboratorio non cambia nulla, cioè lo sperimentatore non sa dire se il laboratorio, rispetto ad un ipotetico spazio assoluto, sia fermo o stia traslando : il punto d'interesse per il caso di magnete e carica fermi l'uno rispetto all'altro è il 4°.
 
http://www.lucianobuggio.altervista.org/campi/?p=33
 
 
Ciao
 
Luciano Buggio

 forza di Lorentz che agisce sulle cariche di conduzione del filo.
 
In relazione al punto2) del mio post precedente.
 
Sono stato tratto in inganno dall'avere in quel momento sotto mano un libro (Fisica di J. Walker VOL 3 , pag E163) in cui effettivamente c'e' scritto fem= circuitaz(E) 
Il libro non lo dice esplicitamente ma ovviamente (credo) questo e' giusto solo nel caso in cui il circuito sia fermo.
Nel caso del circuito in moto credo di doverla pensare cosi':
 
 faccio una fotografia in un certo istante che "congeli" lungo i punti del circuito C: i campi , le velocita' delle cariche in moto e la forza F su di esse, la definizione di fem lungo C dovrebbe essere:
 
 
 
fem= INTEGRALElungoC(f*dl) dove f=dF/dq dove dq e' la carica presente nel tratto di circuito dl e dF è la forza (di qualsiasi tipo??) che agisce in quell'istante su dq. Nel caso che nel circuito non ci siano cariche posso pensare lo stesso che ci siano, tanto il risultato è indipendente da dq e dipende solo dalla velocità del tratto dl di circuito (la velocità con cui dq si muove lungo il filo origina infatti un componente della forza di Lorentz perpendicolare al filo e quindi non da' contributo alla circuitazione)
 
 
 
A questo punto la fem deriva da due termini: uno dovuto alla circuitazione del campo elettrico l'altro dovuto alla circuitazione della forza di Lorentz (circuitazione quest'ultima che non è nulla, perchè la velocità istantanea di dq non è in generale tangente alla linea lungo cui integro, che è la foto del circuito in quell'istante).
 
 
 
Spero che qualcuno voglia dirmi se è giusto, perchè questa cosa nei libri da liceo da me consultati non c'è, e ci sono arrivato guardando qua e la' in internet. Devo dire che  secondo me il concetto di fem è presentato in modi un po' contorti. A cominciare dal fatto che prima parlano di fem di una batteria (cioè lungo un percorso aperto) e poi lungo un circuito chiuso.
 
Ciao.
Carlo
 

 non lo è più?
 
Ecco: se v di S' e' parallela al filo infinito, la corrente si mantiene 
stazionaria anche in S'. Ma in una spira in moto, in qualche punto v 
deve avere una componente ortogonale al filo.


 di un caso semplificato.
 
Un esempio di quanto scrivi sopra e' dato dalla legge della
trasformazione della velocita' delle onde e.m. nel vuoto.
 
Come saprai, le eq.i di Maxwell prevedono l'esistenza
di onde, dette e.m., che si propagano nel vuoto con
velocita' c = 1 / sqrt(epsilon_0 mu_0), se in un dato riferimento
inerziale valgono le equazioni di Maxwell, queste, per il
Principio di Relativita', devono valere in ogni altro riferimento
inerziale con gli stessi valori delle costanti universali epsilon_0
e mu_0, quindi anche la velocita' delle onde e.m. nel vuoto
deve essere la stessa in ogni riferimento inerziale, chiaramente
cio' e' in contrasto con la legge galileiana di trasformazione delle
velocita', infatti dato un riferimento K e un altro K' moventesi
con velocita' v rispetto a K, se in K un'onda e.m. si propagasse
nel vuoto nella stessa direzione e verso del moto relativo di K'
e se l'onda avesse velocita' c in K allora in K' la sua velocita'
sarebbe c' = c - v in contrasto con il PR, mentre in base alla legge
di trasformazione delle velocita' che deriva dalle trasformazioni
di Lorentz la velocita' dell'onda e.m. in K' risulterebbe:
c' = (c - v) / (1 - cv/c^2) = c,
ora in accordo con il PR.
 
Ovviamente quanto sopra non e' una *dimostrazione*, ma soltanto
un risultato che ci fa intuire quale debba essere la corretta
legge di trasformazione delle coordinate tra diversi riferimenti.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Questo punto non l'ho risolto e chiedo aiuto. Ormai ci ho preso gusto ;-)
 
Questo è vero appunto solamente nel caso di conduttori in quiete nel 
laboratorio, altrimenti occorre tenere conto delle forze agenti sulla 
carica di prova solidale ad una circuitazione ideale che si muove con 
il conduttore. Si scopre inoltre che anche se questa carica di prova 
non fosse solidale con una determinata deformazione della circuitazione 
ideale ma si muovesse in modo da mantenersi comunque al suo interno 
sarebbe soggetta alla medesima forza lungo la direzione tangente alla 
circuitazione, cioè la fem non dipende dalla velocità con cui le 
cariche si muovono all'interno del conduttore, ma solo dal moto del 
conduttore stesso.
 

 SQRT(1-U^2)=1-0,5*U^2
No: possono essere approssimate perché U e V *sono piccole*.
"Tendere a zero" qui non ha nessun senso, dato che si tratta di valori
assegnati, che non puoi cambiare a piacimento.
Speriamo che non ti abbia letto il/la tuo/a prof di matematica :-)
 
Ora non posso, ma se trovo un po' di tempo ti farò vedere come si fa il
calcolo generale, anche con notazioni un po' più semplici.
Comunque mi compiaccio prima di tutto perché ti ci sei messo, e poi
perché un risultato l'hai trovato. Non capita spesso.
 
 
-- 
Elio Fabri

 calcolo generale, anche con notazioni un po' più semplici. 
 
Ne sarei veramente molto felice!
 
Ciao e Grazie.
 
Carlo

 il calcolo generale, anche con notazioni un po' più semplici.
Approfitto del fatto che sono bloccato a casa dalla piena dell'Arno, per
scrivere il calcolo che dicevo.
 
Dovremo far uso di tre riferimenti:
 
1) Quello "del laboratorio", che chiamerò K, nel quale è fermo il filo
e quindi la sue cariche positive (perché tu hai messo ferme le cariche
negative?)
In K le cariche negative (elettroni) si muovono con velocità u
(negativa, se vogliamo una corrente positiva).
Sempre in K la carica di prova si muove con velocità v (di che segno,
non importa).
 
2) Quello in cui sono ferme le cariche negative, che chiamerò K'.
 
3) Quello in cui è ferma la carica di prova: lo chiamo K0.
 
Voglio dimostrare:
a) che in K0 il filo appare carico
b) che di conseguenza, sempre in K0, la carica di prova è soggetta a
una forza che si ottiene dalla forza che si misura in K con la giusta
legge di trasformzione.
 
Indicherò con Lp la densità lineare delle cariche positive in K, con Ln
quella delle cariche negative.
Dato che il filo è neutro, sarà Lp + Ln = 0.
La corrente in K vale I = Ln*u ( >0, perché tanto Ln quanto u sono
negative).
Il campo B (in K) vale
 
B = [mu0/(2 pi r)] * I
 
(antiorario attorno alla corrente) e la forza agente sulla carica di
prova q è F = qvB in modulo; la direzione è radiale, verso il filo.
 
Passiamo a K'. Qui avremo due densità Lp', Lm', che sono connesse a Lp,
Lm dalla contrazione di Lorentz. Posto
g(u) = sqrt(1 - u^2/c^2)
sarà
 
Ln' = Ln / g(u)  (1)
 
(il perché lo sai: la carica è invariante, quindi le densità lineari
si trasformano in modo inverso alle lunghezze).
 
Il rif. K' serve solo come intermediario per arrivare a K0.
La velocità v' di K0 rispetto a K' si ottiene dalla legge di
trasformazione delle velocità:
 
v = (v' + u)/(1 + u*v'/c^2)
 
o se preferisci, usando U = u/c, V = v/c, V' = v'/c:
 
V = (V' + U)/(1 + U*V').
 
Viceversa,
 
V' = (V - U)/(1 - U*V).  (2)
 
Allora:
 
Lp0 = Lp * g(v)
Ln0 = Ln' * g(v')
 
e per la (1))
 
Ln0 = Ln * g(v') / g(u).
 
Dunque in K0 c'è una densità di carica L0 non nulla:
 
L0 = Lp0 + Ln0 = Lp * g(v) + Ln * g(v') / g(u)       Ln [g(v') / g(u) - g(v)] = Ln [g(v') - g(u) * g(v)] / g(u).
 
Ti dimostro sotto l'identità
 
g(v') = g(u) * g(v) * (1 - U*V)  (3)
 
da cui
 
L0 = -Ln * g(v) * U * V = -I * g(v) * V/c  (4)
 
(nota che L0 < 0 se v > 0).
 
-------------------------------
Dimostrazione dell'identità.
Calcoliamo 1/g(v')^2 = 1 - V'^2. Per la (2)
 
 
 
1 - V'^2 = 1 - (V - U)^2 / (1 - U*V)^2             [(1 - U*V)^2 - (V - U)^2] / (1 - U*V)^2             [(1 - U*V) - (V - U)] * [(1 - U*V) + (V - U)] / (1 - U*V)^2             (1 - V)(1 + U)(1+ V)(1 - U) / (1 - U*V)^2             (1 - V^2)(1 - U^2) / (1 - U*V)^2             (1/g(v)^2) * (1/g(u)^2) * (1/(1 - U*V)^2).
 
g(v')^2 = g(v)^2 * g(u)^2 * (1 - U*V)^2.
 
Estraendo la radice quadrata ottengo la (3).
-------------------------------
 
In K0 abbiamo dunque un campo elettrico
 
E0 = 1/(2pi eps0 * r) * L0 = -[1/(2pi * eps0 * c^2 * r)] * I * v * g(v)
 
che produce su q la forza
 
F0 = -[1/(2pi * eps0 * c^2 * r)] * q * I * v * g(v).
 
Il segno - significa che la forza (radiale) è diretta verso il filo.
 
Confrontando con F si vede che
 
F0 = F * g(v)
 
in direzione e verso (occorre usare c^2 = 1/(eps0 * mu0)).
 
Come mai c'è il fattore g(v)?
Questo fattore è sempre presente, quando si trasforma la forza agente
su un punto materiale, passando dal rif. K0 in cui il punto è fermo a
quello K in cui ha una velocità v, se F è ortogonale a v.
 
Non credo che tu abbia mai visto queste leggi di trasformazione, ma
dato che ho già scritto molto, non posso dare la dimostrazione.
 
 
-- 
Elio Fabri

 di un caso semplificato.
 
La dimostrazione della NON invarianza delle 
eq.ni
 di Maxwell per 
trasformazioni di Galileo e' famosa, e va dritta al cuore del problema: 
dalle 
eq.ni
 di Maxwell si ricavano immediatamente le equazioni delle 
onde di d'Alembert
 
   Div Grad E = - eps mu @^2E/@t^2
 
   Div Grad B = - eps mu @^2B/@t^2
 
che ci dicono che, nel vuoto, le variazioni di E e B devono propagarsi 
con velocita' 1/sqrt(eps0 mu0) = c. Ma per le trasformazioni di Galileo 
c non e' un invariante...
 
 
Le trasformazioni di Lorentz si determinano semplicemente richiedendo 
che siano lineari, e che c sia invariante. Ne segue immediatamente che 
le equazioni delle onde EM sono invarianti per trasformazioni di Lorentz.
 
 
La dimostrazione che *tutte* le 
eq.ni
 di Maxwell sono invarianti per 
trasformazioni di Lorentz e' quasi banale usando alcuni strumenti 
matematici (pseudometrica di Minkowsky, quadrivettori, tensori...) che 
pero' si acquisiscono solo al secondo anno di alcuni Corsi di Laurea.
 
La dimostrazione utilizzando solo strumenti alla portata di un liceale 
(che mastichi un po' di derivate parziali) e' possibile ma piuttosto 
complessa: e' quella che ha fatto Lorentz (con apporti da Poincare'), pero'
 
1) ci ha messo una ventina d'anni a trovare la versione definitiva
 
2) anche se gli strumenti matematici che ha utilizzato sono alla portata 
di un liceale (sveglio) di oggi, le sue conoscenze erano piuttosto piu' 
vaste. Tanto per fare un esempio, concetti come "divergenza", "rotore", 
"flusso" hanno un'origine concretissima che deriva dalla Fluidodinamica, 
mentre possono essere visti come concetti matematici  astratti da chi li 
affronta per la prima volta studiando Elettrodinamica (al II anno 
d'Universita'; ma probabilmente anche da te, visto che sei andato a 
cercarti le equazioni in forma differenziale). Lorentz, Poincare' ed 
anche Maxwell la Fluidodinamica la conoscevano a fondo (nell' '800 era 
una disciplina all'avanguardia), mentre in un corso di laurea in Fisica 
odierno e' facile non andare oltre il teorema di Bernoulli. Ne sanno di 
piu' alcuni ingegneri (idraulici, aeronautici e anche chimici).


 complessa: e' quella che ha fatto Lorentz (con apporti da Poincare'), 
 
Se qualcuno conoscesse un testo o un link dove trovarla, mi piacerebbe almeno vedere come è impostata.
 
Ciao e Grazie.
Carlo.

 ma dato che ho già scritto molto, non posso dare la dimostrazione. 
Sarei molto grato se qualcuno mi suggerisse dove posso trovare la dimostrazione.
 
Ho provato a cercare in rete ma trovo sempre le solite trasformazione per lunghezze e tempi. Ho trovato in una dispensa che la forza non sarebbe più parallela all'accelerazione, ho preso paura e ho terminato le ricerche :-)
 
Ciao e grazie. 
 
Carlo.