Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: matrici hermitiane

 Qualcuno potrebbe spiegarmi in maniera sufficientemente rigorosa cosa sia
una matrice hermitiana senza traccia (traceless) e in che modo sia connessa
in QCD ai generatori di campi? (spero di essermi spiegato bene)
Grazie
molte.
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.iol.it

 in QCD ai generatori di campi? (spero di essermi spiegato bene)
Matrice hermitiana: una matrice la cui trasposta coincide con la
complessa coniugata. In altre parole: l'elemento a_{ik} e' il c.c.
dell'elemento a_{ki}. Ne segue che gli elementi diagonali sono reali.
Traceless = a traccia nulla: la somma degli elementi diagonali e' zero.
(Ma possibile che non sai queste cose?)
Passiamo ora a QCD. La teoria e' invariante sotto un gruppo SU(3),
formato dalle matrici 3x3 unitarie a determinante 1.
Ogni matrice unitaria U si puo' mettere nella forma U = exp(iA), con A
hermitiana.
Se det U = 1 allora Tr A = 0.
Ecco da dove spuntano le matrici hermitiane a traccia nulla.
Generatori, ovvero algebra di Lie. Detto in maniera non tanto rigorosa
(ma siamo in un NG di fisica ;-) ) se U differisce infinitamente poco
dell'identita', si puo' sviluppare l'esponenziale, e allora U = I + iA.
In questo senso le matrici A "generano" il gruppo SU(3).
I campi fermionici (quark) si trasformano con le matrici U
(rappresentazione "fondamentale" di SU(3)). I campi di gauge (gluoni) si
trasformano come le matrici A (rappresentazione "aggiunta" di SU(3)).
Quante matrici A indipendenti esistono? Dato che sono hermitiane, gli
elementi diagonali sono reali, e di quelli fuori diagonale basta darne 3
per conoscere anche i simmetrici. Bastano e occorrono quindi 3 reali + 3
complessi = 9 reali. Ma la traccia e' nulla, quindi gli elementi
diagonali non sono indipendenti: ne bastano 2.
Risultato: 8 matrici indipendenti, 8 campi di gauge.
Non so se e' questo che volevi, e se ti basta...
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

-Che cosa giustifica il fatto che le matrici A generano il >gruppo SU(3)?


 gruppo SU(3)?
Non e' che mi chiedi un piccolo corso sui grupopi di Lie? :)
Pero' una cosa non capisco: tu stai studiando Fisica Teorica (o forse
Ist. di Fis. Nucl e Subn.?)
Nessuno ti ha mai spiegato queste cose? Ne' conosci libri che le
trattino?
Comunque:
Dato che lavoriamo con matrici finite, le cose sono abbastanza semplici,
anche se molte proprieta' valgono anche per matrici infinite (oper. su
spazi di Hilbert). 
1. Una matrice unitaria ha sempre una base (ortonormale) di autovettori.
2. Scritta in quella base, la matrice e' diagonale, e i suoi autovalori
sono n. complessi di modulo 1: exp(ia), exp(ib), exp(ic).
3. La matrice diagonale (reale) A, con a, b, c sulla diag. principale,
ha gli stessi autovettori di U, ed e' U = exp(iA), perche' questa
relazione vale su ciascun autovettore.
4. Tornando alla base iniziale, la relazione rimane conservata (nota che
la puoi anche scrivere come serie di potenze: U = I + iA + ... Ma U
torna ad essere quella da cui eravamno partiti, e A si trosforma in una
generica matrice hermitiana (autovalori reali, autovettori ortogonali).
Questo per la prima domanda.
Seconda domanda: ricorda che ora le matrici A sono a traccia nulla; con
lo stesso argomento di cui sopra, usato all'inverso, partendo da
qualunque A hermitiana ottieni con exp(iA) una matrice unitaria. Se la
traccia di A e' nulla, det U =1. Infatti a+b+c=0, quindi
exp(ia)*exp(ib)*exp(ic) = 1 e d'altra parte il det. di una matrice
(unitaria) e' il prodotto degli autovalori (ricorda che il determinante
si conserva per cambiamento di base ortonormale).
Dunque ogni A hermitiana a traccia nulla produce una U unitaria a det.
1; viceversa, se U e' unitaria a det. 1, posto U = exp(iA) risulta che A
e' hermitiana e a traccia nulla.
C'e' dunque corrispondenza uno-uno fra le A e le U. (Beh, non
esattamente: v. dopo.)
D'altra parte le A formano uno spazio vettoriale reale di dimensione 8:
le puoi ottenere tutte come combinazione lineare reale di 8 tra loro
indipendenti. Quindi tutto SU(3) e' generato scrivendo U =
exp(\sum_{k=1,8} x_k A_k) dove le x_k sono reali.
In realta' non e' necessario che le x_k assumano tutti i valori reali:
scegliendo bene le A_k, puoi limitarle tutte a a un intervallo, per es.
[0,2pi). Lascio a te capire perche'.


migliori)
Fily


 migliori)
E' un problema, se non mi fai capire quali basi matematiche (solide)
hai.
Infatti gli argomenti di cui abbiamo parlato si studiano dal primo al
terzo anno, se non oltre...
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

Sez.
Astronomia e Astrofisica
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.iol.it
 

 d'accordo? :) 
Si'; la mia domanda era per orientarmi.
Non ti so consigliare un libro preciso, ma ti indirizzerei verso libri
che abbiano titoli del tipo "Matematica avanzata (o superiore, o
moderna) per fisici e ingegneri". 
Di solito ci trovi trattati gli argomenti che chiedi.
Anche libri su "Algebra lineare e teoria dei gruppi" possono esserti
utili.
Magari qualcun altro ti sapra' consigliare testi specifici: le mie
conoscenze sono un po' indietro nel tempo., perche' da molto non ho piu'
ne' studiato ne' insegnato questi argomenti.
-- 
