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Titolo: energia e curvatura dello spazio e del tempo

salve,
ho letto che la densità dell'energia deforma lo spazio tempo
di quale energia si parla? Avviene per l'equivalenza massa energia
della relatività?
come fa a propagarsi e a concetrarsi l'energia? attraverso le onde?
queste sono sempre sulla massa?
ovvero può esserci energia senza fare riferimento a un corpo? e alla
massa?
si dice che l'energia è riferita a un sistema, a volte a un corpo, la
sua capacità di compiere lavoro. Esiste energia non riferita a un
corpo e alla massa, a parte quella totale?
grazie

 della relatività?
Ho lasciato queste domande per ultime, perche' qui debbo un po'
deluderti.
Una decente comprensione di questo argomento non e' possibile senza
essersi fatte idee chiare (piu' chiare di quelle che hai) sul
significato di energia in fisica.
Inoltre l'espressione che hai scritta "la densità dell'energia deforma
lo spazio tempo", che probabilmente hai preso da qualche testo
divulgativo, e' molto mal detta.
Non ha alcun senso mettere insieme parole come "deforma lo
spazio-tempo", che sono vaghe e prive di significato preciso (anche se
adombrano qualcosa di perfettamente vero e definito) e dall'altra
parte la "densita'" di energia.
Perche' la densita' e non l'energia semplicemente?
La ragione la so, naturalmente: chi ha scritto quelle parole sa che
nelle eq. di Einstein figura il "tensore energia-impulso" di cui una
delle componenti e' appunto la densita' di energia.
Ma infilare quel termine "dotto" in una frase vaga e tutto sommato
incomprensibile se non si sono capite un bel po' di altre cose, mi pare
segno di scarsa capacita' comunicativa.
<mode-provocazione on>
Perche' ho detto "incomprensibile"?
Perche' vorrei proprio sapere che cosa riesci a immaginarti tu quando
leggi "deforma lo spazio-tempo".
Deforma? Che vuol dire? Ne cambia la forma? Lo spazio-tempo avrebbe
una "forma"?
Forse dobbiamo immaginarcelo come un pezzo di plastilina, che puo'
essere stirato e appunto deformato di qua e di la'?
Ma poi gli oggetti di cui abbiamo esperienza e di cui possiamo pensare
di deformarli sono oggetti tridimensionali nello spazio comune.
Lo spazio-tempo che cosa e'? E' forse immerso in qualcos'altro, nel
quale possiamo "vedere" la deformazione"?
<mode-provocazione off>
Guarda che tutto questo l'ho scritto a scopo provocatorio, per farti
intuire quanto sia insensato il comune modo di parlare di queste cose
a livello divulgativo.
Le domande che ho scritto dovrebbe porsele chiunque legge quella
divulgazione, senza avere davanti l'autore da cui sperare in una
risposta :-)
 
-- 
Elio Fabri

 <mode-provocazione off>
la domanda č interessante e mi fa riflettere un po'
cosa vuol dire: (l'energia) "deforma lo spazio tempo"?
credo che l'energia sia qualcosa che si localizza, ad esempio si
concetra con le oscillazioni sulla massa (che distribuisce su se
stessa fino a rompersi la dove c'č piů energia), ma anche come
radiazione elettromagnetica, e in questo modo, come la stessa massa,
crei un "avvallamento" sulla geometria dello spazio tempo.
Trovo un po' strano che un pianeta che esploda o che ruoti attorno a
un altro pianeta provochi una ri- "distensione" elastica dello spazio
tempo (principio delle onde gravitazionali?).
cosa vuol dire "deforma"?
generalmente si parla di "curvatura", un esempio č quello di un corpo
che percorre una traiettoria e accelera apparentemente in modo
ingiustificato: č una curvatura dello spazio tempo. Un altro esempio č
la rotazione attorno ai pianeti: č come una traiettoria rettilinea che
appare curva dentro una "lente" spaziotemporale.
Forse piů che di forma si dovrebbe parlare di metrica, ma non č il mio
campo e non sono sicuro di questo.
lo spazio tempo č immerso in qualcos'altro?
questo non lo so. Si dice di no, almeno non avrebbe senso parlarne.
Pero' ci accorgiamo in qualche modo che lo spazio tempo si deforma (le
misurazioni della curvatura dell'universo, la distribuzione di massa
nell'universo con l'effetto lente...). Comunque possiamo creare un
modello  un numero inferiore di dimensioni e osservarlo nel nostro
sistema spazio temporale cosě che ci possiamo rappresentare l'universo
nelle quattro dimensioni. Possiamo pensare a un "fuori" del nostro
universo ma non possiamo pensare a un "fuori" alla nostra esistenza,
pertanto poiché la nostra esistenza č dentro l'universo, non ha senso
pensare un fuori, o almeno tutto deve essere portato dentro la nostra
esistenza.

 cosa vuol dire "deforma"?
Per andare da un punto ad un altro, qual e' il percorso piu' breve?
Mi sai rispondere? Se mi sai rispondere allora sappi che se quello che
<<sembra essere il percorso>> piu' breve in pratica si dimostra non
esserlo allora lo spazio in cui ti stai muovendo e' curvo.

 esserlo allora lo spazio in cui ti stai muovendo e' curvo.
Non mi sembra giusto. Se lo spazio è intrinsecamente curvo non vedo perché 
il cammino più breve non debba anche apparire tale a chi ci "vive dentro". 
Se invece stai pensando a cose tipo la superficie terrestre e le linee 
geodetiche, è chiaro che essendo noi tridimensionali le vediamo "dal di 
fuori".
-- 
Il popolo ha scelto Barabba.

 fuori".
Questa e' un distinguo che si usa fare... si parla di Spazio
Topologico che puo' avere o no una metrica ... allora hai uno spazio
metrico ma anche no... e poi
:Spazii Affini:
qui la curvatura (dello spazio in esame)  la puoi caratterizzare anche
prendendo un vettore, uno qualsiasi, in  un qualche punto scelto a
piacere e <<trasportandolo parallelamente>> lungo una curva. Se riesci
a dare una regola che descrive come muovere in modo coerente questo
vettore lungo la curva  senza mutarne la direzione allora sei nello
spazio [come tu dici: immerso] ma ne comprendi la curvatura senza
bisogno di immegerlo in uno di dimensione superiore ( e metrico).

 bisogno di immegerlo in uno di dimensione superiore ( e metrico).
Mah... in uno spazio curvo per esempio la composizione di traslazioni non 
è commutativa. Quel "senza mutarne la direzione" è molto euclideo.


 Deforma? Che vuol dire? Ne cambia la forma?
voi cosa pensate di questi esperimenti:
http://www.youtube.com/watch?v=VyscSun3VkA&feature=related
si dice che la levitazione degli oggetti con l'Effetto Hutchison non
e' il semplice risultato dell'azione elettrostatica o
elettromagnetica.
quindi potrebbe essere una deformazione dello spazio tempo? oppure una
modificazione della materia tale da rendere i materiali cosě leggeri
da lievitare?
l'effetto dovrebbe essere prodotto dall'interferenza di diverse
sorgenti radio operanti a bassa frequenza. Le zone in oggetto agli
effetti (imprevedibili) č stressata da centinaia di chilovolts.
Qualcuno ha parlato anche di vuoto quantico. che ne pensate?
altro materiale, qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/John_Hutchison

 esserlo allora lo spazio in cui ti stai muovendo e' curvo.
A me codesto discorso sembra un puro non senso.
Cerchiamo di fare un po' di chiarezza...
Nelle varieta' riemanniane si possono definire le _geodetiche_.
Lo si puo' fare in piu' modi, uno dei quali (con qualche cautela) si
rifa' al tuo "percorso piu' breve".
Ma siccome una geodetica e' per definizione il "percorso piu' breve",
se ci si ferma qui non si conclude niente: non vedo che possa
significare "sembra esserlo ma non lo e'".
Quello che invece bisogna fare e' confrontare l'andamento di due
geodetiche vicine.
Se le fai partire parallele, e trovi che strada facendo si allontanano
o si avvicinano, *questo* e' il segno distintivo di una curvatura.
Puoi usare, precisando bene il procedimento, quest'idea per definire la
curvatura della varieta' nel modo piu' accurato e tecnicamente
preciso. In poche parole, puoi arrivare a definire il _tensore di
Riemann_.
Se la cosa puo' sembare astratta o astrusa (o tutt'e due le cose)
basta pensare che ridotta all'osso la cosa e' semplice: su una sfera
due meridiani che partono perpend. all'equatore (e quindi paralleli
tra loro) poi si avvicinano. Dal modo come si avvicinano si puo'
calcolare il raggio di curvatura della sfera.
 
-- 
Elio Fabri

 mettersi per una strada matematica.
Ovviamente per poter comprendere a pieno una teoria scientifica e
operare a livello professionale occorre utilizzare il linguaggio delle
equazioni, tuttavia penso che le intuizioni di fondo della RG siano
accessibili anche senza una descrizione matematicamente precisa.
(Ovviamente, essendo un non addetto ai lavori, posso anche
sbagliarmi).
Provo con un'analogia:
Supponiamo di avere un blocco di silicone, elettricamente carico
(diciamo positivamente), con una densità di carica piuttosto elevata.
Nel blocco è stata scavata una vasta rete di tubicini non comunicanti,
disposti secondo varie direzioni. A riposo, tutti i tubicini sono
rettilinei.
Supponiamo ora di far passare all'interno di alcuni tubicini un
liquido elettricamente carico (negativamente), con una desità di
carica piuttosto bassa (così che la repulsione tra diverse porzioni di
liquido sia trascurabile rispetto all'attrazione tra il liquido e il
silicone).
Il risultato è che il blocco di silicone, e dunque i tubicini, si
deformano, determinando quindi una sorta di attrazione.
Ovviamente, come tutte le analogie è imperfetta, però creado che
catturi l'intuizione fondamentale della Relatività Generale: la
materia (liquido) deforma lo spazio (blocco di silicone) e con esso le
geodetiche (tubicini) entro cui essa stessa è costretta a muoversi.
(spero di non aver detto troppe fesserie)

 A me codesto discorso sembra un puro non senso.
invece no.
Stabilito il cammino minore per raggiungere 2 punti implica non averne
piu' a disposizione ... ho esaurito i percorsi possibili <<del mio
spazio>>. Se noto che qualcuno arriva "prima" di me, cosa mi deve far
pensare?
Che il mio non e' l'unico spazio...
Quindi se arrivo al polo sud dal polo nord, e sono andato sempre
dritto.... (sulla sup.fcie lungo il meridiano) ma tu sei arrivato
ancora prima, questo non significa in maniera semplice che hai
"bucato" lo spazio per percorrere una strada piu' corta?

 spazio per percorrere una strada piu' corta?
Continuo a non capire dove vuoi andare a parare. Insisti a parlare di 
percorsi _fuori_ dallo spazio, ma se sono _fuori_ cosa c'entrano?


 percorsi _fuori_ dallo spazio, ma se sono _fuori_ cosa c'entrano?
Sei immerso in uno spazio S.
Sai individuare il percorso piu' breve per andare da un punto A ad un
altro punto B, e calcoli la lunghezza del percorso P: |P|.
Se io misuro un percorso P' che collega i 2 pti A e B, con |P' | < |P|
tu cosa mi sai dire?

 pensare?
Ma che stai dicendo?
Questo qualcuno si muoverebbe in un altro spazio?
Non hai capito che tutte queste nozioni (metrica, geodetica, curvatura)
sono *intrinseche*, ossia non richiedono di pensare il tuo spazio
immerso in qualcos'altro?
Te l'ha gia' detto Valter.
 
-- 
Elio Fabri

 (spero di non aver detto troppe fesserie)
Ne hai dette quanto basta, ossia cio' che rende la tua presunta
analogia del tutto errata e fuorviante, come ho detto sopra.
Intanto, tu ti occupi dello spazio, mentre in RG si tratta di
spazio-tempo.
Ma soprattutto e' la *deformazione* che e' del tutto diversa.
Il tuo spazio deformato rimane uno spazio euclideo, solo che i punti
hanno cambiato posto.
Invece la vera "deformazione" (che infatti non e' affatto una
deformazione, e' tuttt'altro) e' tutt'altro: si tratta di passare da
uno spazio euclideo a uno che non lo e'.
Io capisco lo sforzo che hai fatto, e posso anche apprezzarlo nel
senso della buona volonta', ma solo per questo.
Il risultato pero' ti porta del tutto fuori strada, e quindi lo sforzo
di buona volonta' e' addirittura controproducente.
 
-- 
Elio Fabri

 non importa.
Credo che faccia confusione con l'equazione del "trasporto di Fermi"
di una tetrade "non rotante" che con la deviazione geodetica non
c'entra molto.
Ciao, Valter

 di buona volonta' e' addirittura controproducente.
Mah, tanto non essendo un professionista, per me si tratta di mere
curiosità.

 dire?
Che non capisci la questione. Scusami, ma adesso ci rinuncio.
-- 
"Detto tra noi, sono solo un brigante,non un re,
sono uno che vende sogni alla gente,
fa promesse che mai potrà mantenere."


Che o hai sbagliato a calcolare |P| o hai sbagliato a misurare |P'|.
Se P è il percorso più breve tra A e B per definizione non può esserci
un percorso P' con lunghezza minore.
Probabilmente tu pensi allo spazio curvo come contenuto in uno spazio
piatto a dimensionalità maggiore.
Ad esempio la superficie della terra è uno spazio bidimensionale curvo
contenuto in uno spazio euclideo tridimensionale. Tra due punti puoi
calcolare la distanza lungo la superficie, ma anche la distanza in
linea retta, che sarebbe la lunghezza di un tunnel scavato tra i due
punti, che è minore della distanza lungo la superficie.
Il fatto che queste due distanze sono diverse è conseguenza della
curvatura.
Nella relatività generale non c'è uno spazio esterno euclideo che
contiene lo spazio curvo, quindi non ci sono due diverse definizioni
di distanza che puoi confrontare.

 immerso in qualcos'altro?
Io cerco di far capire il concetto di spazio curvo.... che e' ben
diverso dal dare equazioni differenziali per calcolare la curvatura di
uno spazio, cioe' quello che fai tu.
Cosa pensi di ottenere dando quelle informazioni?
Bah... sinceramente ti dico che l'insegnamento e' qualche cosa di
diverso da come lo concepisci tu.

Valter  Moretti ha scritto:
 > Credo che faccia confusione con l'equazione del "trasporto di Fermi"
 > di una tetrade "non rotante" che con la deviazione geodetica non
 > c'entra molto.
L'ho pensato anch'io, ma non gliel'ho voluto dire perche' si cavasse
le castagne dal fuoco da solo.
BTW, hai visto che ora invece di rispondere qui al mio ultimo post ha
aperto un nuovo thread su free.it.scienza.fisica.
Chissa' perche'?
Forse e' stata una gentilezza nei mei confronti: infatti ora posso
rispondergli li' come si merita, senza dovermi preoccupare di
moderatori :-)
-- 
Elio Fabri

 Che non capisci la questione. Scusami, ma adesso ci rinuncio.
Beh la domanda che ti ho posto mi sembra legittima, il tuo non
rispondere mi fa pensare che hai il carbone bagnato.

 di distanza che puoi confrontare.
Ma parlare di spazio curvo non implica essere il RG.... e' geometria
questa, mio Dio.
O credi che lo spaziocurvo significhi <<equazione di Einstein>>?
Gli spazi curvi sono dei concetti (abbastanza astratti) di carattere
molto generale: geometria su questi spazi si puo' fare senza tirare in
ballo la gravita' o il principio di equivalenza.

 modo che i tubicini siano effettivamente delle geodetiche.
Ma quello spazio *e'* euclideo!
Per cercare di spiegarti l'errore dovrei fare un bel po' di lavoro...
Forse ci provero' (dovro' anche costruire delle figure "ad hoc").
Ma non posso impegnarmi ne' sul se ne' sul quando.
 
-- 
Elio Fabri

 rispondere mi fa pensare che hai il carbone bagnato.
MA PORC....
Ti ho già risposto quattro volte, QUATTRO!
Sei tu che ti incaponisci, non c'è verso, altro che carbone, non ci arrivi 
proprio: quindi BASTA COSI'.


 questa, mio Dio.
In generale, puoi definire spazi curvi senza che essi siano contenuti
in spazi euclidei esterni.
http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold

 euristicamente i cammini mediante le tracce di ferormoni.
Lo sai che quando ho letto questo che dici sulle formiche ho subito
pensato ai path integral di Feynman? Forse bisognerebbe farle a loro
le domande sulla MQ!  :-))

 Ma quello spazio *e'* euclideo!
Mmm, non direi.


Ma infatti hai ragione. E assumendo di parlare di sola geometria
spaziale (ammettiamo che sia ben definita, ma ci sarebbe un certo
discorso da fare in RG), per investigare la geometria dello spazio 3D
bisogna ricorrere agli oggetti fisici che corrispondono agli oggetti
geometrici. Con regoli rigidi costruisco le geodetiche, trasportando
parallelamente un regolo rispetto a se stesso (uso due regoli e sposto
uno sull'altro avendo cura di mantenere il contatto e costruisco una
linea, *fisica*, arbitrariamente lunga). Questa è, in pratica, la
nozione di trasporto parallelo del vettore tangente, per costruire una
geodetica. Alternativamente, fissati due punti, considero tutte le
catene di regoli contigui che li connettono e seleziono quella più
corta. Se lo spazio fisico è descritto da una geometria nel senso di
Riemann, allora la geodetica che ha il minor numero di regoli coincide
con la "linea" fisica che congiunge i due punti, costruita con il
"trasporto parallelo" che ho detto sopra.
Sappiamo che nel piccolo la geometria è quella euclidea, per cui le
geodetiche, i segmenti di geodetica, materialmente costruiti in questo
modo soddisfano le richieste della geometria euclidea (es, la somma
degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto). Tuttavia può
accadere che considerando segmenti molto lunghi le proprosizioni della
geometria euclidea vengano sperimentalmente violate. In tal caso
possiamo concludere che la geometria del nostro 3-spazio non è
euclidea.
Ciao, Valter

 curvatura.
Mica vero. Almeno non necessariamente.
Immagina un cilindro. Se consideri due punti non sulla stessa
generatrice, hai un arco di geodetica che li congiunge, e anche una
corda (tunnel), ovviamente piu' corta.
Eppure il cilindro non e' una superficie curva in senso intrinseco.
 
-- 
Elio Fabri

 Varietà differenziabile ti piace di più?
E che cosa avrebbe a che fare con uno "spazio astratto deformabile"?
Ma anche per questo, v. cio' che segue.
Riprendo il tuo esempio del silicone coi tubicini, ma lo trasformo in
un esempio matematico.
Supponiamo di avere un piano euclideo P con coordinate (x,y) dove e'
definita la metrica
ds^2 = dx^2 + dy^2. (1)
Consideriamo ora un secondo piano Q (o meglio, una seconda varieta'
2D, omeomorfa al piano R^2.
Su questa adottiamo coordinate (u,v).
Definiamo un'applicazione tra i due piani, definita da:
u = x
v = y + a*sin(x)
(a reale qualsiasi).
Osservo anzitutto che l'applicazione e' bigettiva: la sua inversa e'
x = u             (2)
y = v - a*sin(u). (3)
Con questa applicazione le retta y = c di P (che sono geodetiche)
vanno nelle curve di equazione
v = c + a*sin(u)
nel piano Q.
Domando:
a) il piano Q e' euclideo?
b) queste curve sono geodetiche?
Sospetto che tu risponderesti:
a) che non lo e'
b) che sono geodetiche
perche' mi pare che la situazione somigli molto a quella del tuo
silicone coi tubicini.
In realta' la risposta giusta e' che non si puo' rispondere, se non si
precisa che metrica si adotta nel piano Q.
Le possibilita' sono infinite, ma due vengono naturali:
1) adottare anche nel piano (u,v) la metrica euclidea:
dw^2 = du^2 + dv^2.
2) adottare la metrica indotta dall'applicazione, che si ottiene cosi':
differenzio (2) e (3):
dx = du
dy = dv + a*cos(u)*du
e sostituisco in (1):
ds^2 = [1 + a^2 * cos^2(u)]*du^2 + 2*a*cos(u)*du*dv + dv^2.
Allora la risposta alla domanda b) diventa evidente: nel caso 1) non
sono geodetiche, visto che non sono rette in (u,v). Nel caso 2) invece
lo sono, visto che ho mappato anche la metrica.
Un altro modo (istruttivo) per vedere questa seconda risposta e' di
osservare che niente m'impedisce di usare anche in Q le
coordinate (x,y) (per questo ho fatto notare che l'applicazione e'
bigettiva). Infatti le coordinate sono solo un modo per "etichettare" i
punti della varieta', e la coppia (x,y) va bene quanto la (u,v).
Ma se uso queste coordinate la metrica rimane la stessa che nel piano
P, mentre le curve mantengono le equazioni y=c, quindi sono certamente
geodetiche.
Non ho ancora dato la risposta alla domanda a), che e' questa: in
entrambi i casi Q *e' euclideo*.
Nel caso 1) e' ovvio, vista la metrica dw^2.
Ma lo e' anche nel caso 2) dal momento che posso usare le coordinate
(x,y), nelle quali la metrica e' identica alla (1).
Visti questi due esempi, nasce il problema: quando accade che la
varieta' non e' euclidea, e come faccio ad accorgermene?
Prima risposta: non e' euclidea se e solo se non esiste una trasf. di
coordinate che porta alla metrica (1).
Nell'esempio la trasf. era ovvia, in quanto era data in partenza.
Ma se do la metrica e basta?
Questa e' la seconda risposta: certe volte con un po' di "fiuto" si
scova la trasf. di coordinate giusta. Ma se non ci si riesce, questo
non dimostra che non esista: e allora?
Ci possono essere altre strade. Per es. se si riesce a trovare due
geodetiche che si avvicinano o si allontanano (nel senso che ho
spiegato in un altro post) e' fatta: la varieta' *non e'* euclidea.
Esiste poi un criterio generale (cond. nec. e suff.) perche' la varieta'
sia euclidea: calcolare il tensore di Riemann e vedere se si annulla.
Purtroppo non e' un criterio di grande utilita' per due ragioni:
1) calcolare il tensore di Riemann non e' mai semplice, richiede un
po' di calcoli (ma oggi, con Mathematica, Derive, Maxima... questo non
e' un gran problema)
2) anche verificato che il tensore si annulla, cio' non fornisce la
trasf. di coordinate che porta alla forma euclidea della metrica.
Per finire: perche' ho sciorinato questa pappardella?
Perche' spero di aver dimostrato che sotto l'idea di "spazio euclideo"
ci sono concetti tutt'altro che intuitivi.
E che non ci sono scorciatoie facili, analogie utili.
Il meglio che si puo' fare (credo) e' quello che ho fatto nel mio post
del 26/9. E checche' ne pensi qualcuno, questo e' un approccio che
puo' benissimo essere proposto anche a livello liceale; non richiede
altro che conoscenze elementari, e porta a capire in modo *serio* che
cosa significa curvatura.
Chi abbia un interesse *onesto* a saperne di piu' puo' studiarsi
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/Q16
(perditempo astenersi).
 
-- 
Elio Fabri

 la stessa che nel piano P
Questo perche' dalle equazioni:
x = u             (2)
y = v - a*sin(u). (3)
se ne deduce che a = 0 e quindi l'equazione:
dw^2 = [1 + a^2 * cos^2(u)]*du^2 + 2*a*cos(u)*du*dv + dv^2
diventa:
dw^2 = du^2  + dv^2 ?
--
cometa_luminosa

 mettersi per una strada matematica.
cut
mi sembra più chiaro il concetto di curvatura e di varietà. Grazie a
questa ed alle altre risposte.
Insomma, se disegno un triangolo e sono su una superficie curva,
allora la somma degli angoli non è più costante, se disegno quattro
segmenti perpendicolari della stella lunghezza, il quadrato non si
potrebbe chiudere...ecc non è la geometria euclidea.
non mi è chiaro ancora come l'energia (i fotoni, quanti discreti di
energia sempre in movimento c?) possa curvare lo spaziotempo.
L'energia è localizzata? ma se è in movimento c?


Ok.

 se ne deduce che a = 0
???


Se si sostituisce x ad u e y a v:
x = x
y = y - a*sin(x)
e affinche' le equazioni siano soddisfatte dovra' essere a = 0. Almeno
l'ho intesa cosi'.
--
cometa_luminosa

cometa_luminosa ha scritto:
 > Questo perche' dalle equazioni:
 >
 > x = u             (2)
 > y = v - a*sin(u). (3)
 >
 > se ne deduce che a = 0 e quindi l'equazione:
 >
 > dw^2 = [1 + a^2 * cos^2(u)]*du^2 + 2*a*cos(u)*du*dv + dv^2
 >
 > diventa:
 >
 > dw^2 = du^2  + dv^2 ?
Mi sfugge lo strano ragionamento che puo' averti portato a questa
conclusione...
 > Se si sostituisce x ad u e y a v:
 > x = x
 > y = y - a*sin(x)
 >
 > e affinche' le equazioni siano soddisfatte dovra' essere a = 0. Almeno
 > l'ho intesa cosi'.
Ora che l'hai spiegato, mi resce ancora piu' incomprensibile di prima :-)
Ripeto il discorso, non tanto per te, quanto per il beneficio di altri
che possano aver avuto difficolta' analoghe.
Evidentemente una cosa che a me pare ovvia, non lo e' poi tanto :)
Abbiamo i due piani P e Q, nei quali abbiamo definito *separatamente*
due sistemi di coordinate cartesiane: (x,y) in P, (u,v) in Q.
Poi introduciamo un'applicazione dai punti di P a quelli di Q, che si
definisce nel modo piu' naturale come relazione tra le coordinate:
u = x              (2)
v = y + a*sin(x).  (3)
Queste vanno lette cosi': al punto di P di coordinate (x,y) faccio
corrispondere il punto Q di coordinate (u,v) date dalle formule sopra.
E viceversa, come ho detto.
Poi nasce il problema della metrica da adottare in Q.
La prima scelta e' di usare la normale metrica euclidea
dw^2 = du^2 + dv^2.
La seconda meno banale e' di _trasportare_ la metrica di P usando
l'applicazione. Questo si fa come ho mostrato: si scrivono (x,y) come
funzioni di (u,v), si differenziano, si sostituiscono i differenziali
nella metrica euclidea di P.
La formula che risulta l'ho scritta e non la ripeto.
E ora il punto che a quanto pare ha creato problemi.
Nel piano Q non sono obbligato a usare le coordinate (u,v): niente mi
vieta di "etichettare" un punto con le coord. (x,y) legate a (u,v)
dalle (2), (3). Ma se faccio questo, la seconda metrica e' dx^2 +
dy^2, perche' e' proprio cosi' che l'ho costruita.
Le rette di eq. v = c + a*sin(u) si descrivono con l'equazione y=c, e
quindi sono geodetiche.
Aggiungo un commento: abbiamo visto che nel piano Q si possono
definire due metriche tra loro diverse ed entrambe euclidee, ossia
tali che la varieta' (che ho chiamato "piano" per essere breve, ma
senza che ci si debba attribuire il significato usuale del piano della
geometria euclidea) riesce in entrambi casi senza curvatura.
In effetti questo si puo' fare in infiniti modi, ma naturalmente si
possono anche definire infinite metriche che rendono la varieta' curva.
Un solo esempio:
(1+u^2)*du^2 + (1+v^2)*dv^2 2uv*du*dv.
-- 
Elio Fabri

"uno due" ha scritto:
 > non mi è chiaro ancora come l'energia (i fotoni, quanti discreti di
 > energia sempre in movimento c?) possa curvare lo spaziotempo.
 > L'energia è localizzata? ma se è in movimento c?
Non ha importanza se si muovono.
Quello che conta per determinare la curvatura e' la _densita' di
energia_ presente in ogni punto a ogni istante.
(E in realta' non solo quella, ma sorvoliamo.)
Anche se pensi a un gas, avrai tante particelle che si muovono, ma
istante per istante potrai calcolare quanta energia e' presente in un
dato volumetto, e ricavarne la densita' di energia.
Potra' anche cambiare nel tempo: non e' un problema.
Questo se ho capito il senso della domanda.
Ma forse nella tua domanda c'era qualcosa di piu': il tentativo di
farti un'immagine _concreta_ di come possa avvenire questo effetto di
curvatura.
Se e' cosi', penso che faresti bene a rinunciare: immagini concrete di
queste cose (secondo me) non sono possibili. Solo una trattazione
matematica di adeguato livello permette di capire (e imn un certo
senso anche d'intuire) quello che succede.
-- 
Elio Fabri

 dy^2, perche' e' proprio cosi' che l'ho costruita.
E' questo che non mi e' chiaro. Trasportando la metrica,
l'applicazione tra i piani mi trasforma il ds^2 = dx^2 + dy^2 del
piano P nel dw^2 del piano Q:
ds^2 = dx^2 + dy^2 |---> dw^2 = [1 + a^2 * cos^2(u)]*du^2 +
2*a*cos(u)*du*dv + dv^2
e percio' nel piano Q non abbiamo la metrica euclidea in quanto
l'ultima espressione non equivale a du^2 + dv^2. Se io adesso u e v li
chiamo x e y, tale espressione si scrive:
dw^2 = [1 + a^2 * cos^2(x)]*dx^2 + 2*a*cos(x)*dx*dy + dy^2
che non e' uguale a dx^2 + dy^2.
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cometa_luminosa

 che non e' uguale a dx^2 + dy^2.
Non e' quello che io ho detto. Ma hai letto con attenzione?
Io ho detto che *uno stesso punto* di Q lo posso rappresentare sia con
le coord. (u,v) sia con altre coord. a mio piacere.
Scelgo quelle, che chiamo (x,y), legate a (u,v) dalle solite relazioni
che mi consentirai di non riscrivere per l'ennesima volta.
In queste coordinate la metrica dw^2 si scrive dx^2 + dy^2, come spero
sia ovvio.
Se non ci siamo ancora, getto la spugna e chiedo aiuto a qualcuno che
forse trovera' parole diverse per convincerti...
 
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Elio Fabri

 sia ovvio.
Si, adesso si :-)
In Q effettuo una trasformazione di coordinate: f:Q-->Q, (u,v)-->(x,y)
dove la f e' quella che avevi scritto.
Grazie della spiegazione,
Ciao.
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cometa-luminosa