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Titolo: Conservazione del momento angolare o dell'energia cinetica

Ho il seguente problema. Supponiamo di avere una massa m che gira attaccata
ad un filo. Il filo fuori esce da un piano forato. Siano trascurabili
l'attrito e la gravità. Se tiriamo il filo da sotto il piano, diminuisce il
raggio di rotazione della massa. La forza che viene esercitata è
perpendicolare alla traiettoria, perciò non compie lavoro. Anche il momento
di tale forza è nullo poichè essa è parallela al raggio vettore.
Quindi l'energia cinetica e il momento angolare restano costanti.
Dalla conservazione del momento angolare:
mv1r1 = mv2r2
v1 = v2*r2/r1
Da quella dell'energia cinetica:
mv1^2/2 = mv2^2/2
v1 = v2
Mettendo insieme:
v1 = v1*r2/r1
r2 = r1
Il che è assurdo...
Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa ho sbagliato?

 perpendicolare alla traiettoria, perciò non compie lavoro.
Attenzione: se stai accorciando la lunghezza del tratto di filo che esce
fuori dal foro, la massa sta seguendo una traiettoria a spirale, dunque c'è
una componente del suo moto che è nella direzione della forza che stai
applicando.
Questa forza è la tensione del filo, ed è dovuta al fatto che la massa si
sta muovendo, se tiri il filo molto lentamente, di moto approssimativamente
circolare: dunque la tensione del filo sarà approssimabile ad ogni istante
con (m/r)*v^2, dove r e v sono raggio e velocità relativi all'istante
considerato.
Il fatto che la traiettoria sia approssimativamente circolare ti può
semplificare l'espressione della forza di tensione del filo, ma non ti salva
dal dover considerare che se tiri il filo, anche molto lentamente, compi il
lavoro: dL = F * dr, che va integrato dal raggio iniziale al quello finale,
utilizzando per F la tensione del filo, espressa in maniera appropriata e
ovviamente in funzione di r.
Spero di averti aiutato!
Antonio

 Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa ho sbagliato?
Spero di averlo spiegato
Saluti
Mino Saccone

In realtà il dubbio mi era venuto leggendo la soluzione di un esercizio che
mi aveva lasciato perplesso. Riporto l'esercizio:
Una pallina di raggio sferico a = 1cm si muove in torno a un piolo liscio
cilindrico di raggio R = 40 cm con velocità iniziale v0 = 8m/s. La pallina è
costretta ad avvolgersi attorno al piolo perchè trattenuta da un filo di
massa e sezione trascurabili inchiodato al piolo stesso. Si ripetono
numerose prove nelle condizioni sopra indicate, ma con palline di densità
diverse. Si trova che negli esperimenti con palline di massa superiore a 30g
il filo si rompe prima che la pallina colpisca il piolo. Il filo usato negli
esperimenti può essere usato per sostenere il carico di un peso di 2.5Kg?
Io ho ragionato utilizzando la conservazione del momento angolare:
se lmin è la distanza minima raggiungibile, quando il filo è tutto avvolto:
L = mv0(l+a) = mv*(lmin+a)
v = v0(l+a)/(lmin+a)
quindi la forza massima che subisce il filo è:
Fmax = mv^2/(lmin+a) = mv0(l+a)^2/(lmin+a)^3
Per poter calcolare Fmax ho bisogno di l che non mi è fornito dal problema.
La soluzione fornita invece utilizza la conservazione dell'energia cinetica,
asserendo che la velocità v0 è costante.
Quindi Fmax = m*v0^2/(lmin+a)
ricavando geometricamente lmin = 8cm
Quindi Fmax = 21.3N
Qualcuno può chiarirmi le idee?

> Io ho ragionato utilizzando la conservazione del momento angolare:
Utilizzi la conservazione del momento angolare, ma stai attento perchč ad
ogni istante il raggio vettore cambia punto di applicazione (il raggio del
piolo mi sembra tutt'altro che trascurabile...) quindi ad ogni istante stai
cambiando polo di riferimento. Invece mi pare non ci siano problemi a
considerare costante l'energia cinetica.
Cosě mi pare.
Ciao, Antonio

 ha scritto nel messaggio
news:Lon4b.278966$lK4.8...@twister1.libero.it...

Se il filo si avvolge attorno al piolo, il punto rispetto al quale si
calcola il momento angolare varia continuamente, non si puo' quindi
applicare il principio della conservazione del MA.
Come si vede questo caso e' molto diverso da quello di un filo passante per
un foro e tirato a mano; in questo caso il punto non varia e il "tiro"
fornisce energia.
E' invece evidente che, nel caso in esame, in assenza di attriti, dato che
nessuno sta fornendo energia al sistema, l'energia cinetica si conserva.
In questo caso poi l'energia cinetica e' interamente dovuta al moto della
pallina, quindi la velocita' della pallina sara' costante per tutto il
percorso.
Saluti
Mino Saccone

Mino Saccone ha scritto:
 > Se il filo si avvolge attorno al piolo, il punto rispetto al quale si
 > calcola il momento angolare varia continuamente, non si puo' quindi
 > applicare il principio della conservazione del MA.
Scusa, il punto attorno alquale calcolare il mom. ang. la scelgo io
come mi pare: nessuno m'impedisce di prenderlo sull'asse del piolo.
Solo che in questo caso la forza (tensione del filo) non ha momento
nullo, ma negativo, quindi il mom. ang. diminuisce.
Il calcolo e' semplice: la forza vale v^2/r, con v costante, e r
(raggio di curvatura istantaneo della traiettoria) che decresce.
Infatti r non e' che la lunghezza del tratto di filo dalla massa al
punto di contatto col piolo.
Il momento della forza e' -a*v^2/r (a raggio del piolo).
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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