Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: degenerazione dovuta a simmetrie

Buongiorno a tutti. Vi pongo il mio quesito:
Suponiamo di avere un sistema fisico descritto da un Hamiltoniana H.
Supponiamo inoltre che G sia il gruppo delle sue simmetrie, cioe'un gruppo
rispetto alle cui trasformazioni spazio temporali il sistema fisico sia
invariante.
Ponendo che si abbia che [T,H]=0 , dove T sono tutti gli operatori che
rappresentano il gruppo, e ponendo anche che tutti gli operatori che
generano le trasformazioni infinitesime del gruppo commutino fra loro,
allora si puo'dire che lo spettro energetico non avra'degenerazione dovuta a
quel gruppo?
La cosa varra'per qualsiasi osservabile Q t.c. [Q,T]=0?
Se e'cosi'come si puo'dimostrare e quale e'il significato fisico della cosa?
Grazie a tutti.
           ... see The Giant ...
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.libero.it

 La cosa varra'per qualsiasi osservabile Q t.c. [Q,T]=0?
Questa domanda e' mal posta, o io non la capisco.
Comunque probabilmente ora puoi risponderti da solo
vista la strada che ho indicato.
Riguardo al "significato fisico", non saprei...
ormai sono un matematico ;-)))
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

GiantPM ha scritto:
 > Suponiamo di avere un sistema fisico descritto da un Hamiltoniana H.
 > Supponiamo inoltre che G sia il gruppo delle sue simmetrie, cioe'un
 > gruppo rispetto alle cui trasformazioni spazio temporali il sistema
 > fisico sia invariante.
 > Ponendo che si abbia che [T,H]=0 , dove T sono tutti gli operatori che
 > rappresentano il gruppo, e ponendo anche che tutti gli operatori che
 > generano le trasformazioni infinitesime del gruppo commutino fra loro,
 > allora si puo'dire che lo spettro energetico non avra'degenerazione
 > dovuta a quel gruppo?
In altre parole, G e' commutativo...
Bene: puoi dire che non c'e' nessuna ragione per avere degenerazione,
ma a rigore potresti bnissimo averla, non e' proibito.
 > La cosa varra'per qualsiasi osservabile Q t.c. [Q,T]=0?
Che vuoi dire? Se e' una sola osservabile, certamente.
 > Se e'cosi'come si puo'dimostrare e quale e'il significato fisico della
 > cosa?
Il nocciolo della dimostrazione sta qui.
Si dimostra che i sottospazi invarianti minimi di G sono autospazi di
H, con autovalore unico per un dato sottospazio.
Se tali sottospazi hanno dimensione maggiore di 1, questo implica
degenerazione.
Pero' se G e' commutativo i sottospazi invarianti minimi sono
unidimensionali, quindi non si puo' concludere niente sulla
degenerazione.
Se vuoi capire meglio la dimostrazione, devi sapere alcne cose su
gruppi e rappresentazioni. Non so quanto ne sai.
Puoi guardare
ftp://osiris.df.unipi.it/pub/sagredo/gruppi
Ci trovi gli appunti di un breve corso sull'argomento.
Quanto al significato fisico, non so che dirti: dipende da che cosa
chiami "significato fisico".
Ho paura che quello che potrei dirti non sarebbe che una parafrasi del
risultato matematico.
Posso farti un esempio: sia G il gruppo delle rotazioni, e considera
un'autofunzione di H che non sia invariante per rotazioni.
E' facile dimostrare che se applichi a questa autofunzione una
rotazione, ottieni ancora un'autofunzione con lo stesso autovalore,
che e' linearmente indip. dalla prima: quindi l'autovalore e'
degenere.
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

Grazie mille.
Il fatto di aver malposto la domanda uniotamente alla tua spiegazione mi ha
fatto capire un po'meglio la cosa. Ora ci ragiono.


Grazie mille della spiegazione. Vado subito a vedere il link.
