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Titolo: Reazioni vincolari

E' sempre possibile esprimere in maniera analitica i vincoli a cui
è soggetto un sitema materiale?
Nel caso in cui ciò non sia possibile, il concetto di 'reazione vincolare'
perde di senso o esistono delle estensioni più aderenti alla realtà
fisica?
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Grazie x l'attenzione!


In un qualsiasi testo decente di meccanica razionale trovi la
risposta: alcuni vincoli non possono essere espressi in maniera
analitica, per esempio lo scivolamento, anche senza attrito, di un
punto materiale sopra ad una sfera; ad un certo momento il punto si
stacca dalla superficie della sfera e questo lo fa dipendentemente
anche dall'energia cinetica iniziale del punto, quindi il vincolo del
punto sopra la sfera va espresso tramite una disuguaglianza e non
tramite un'equazione.

 wrote:

Ciao, la nozione di reazione vincolare è piuttosto complessa.
In generale viene fuori nella seguente situazione pratica. Uno ha un
sistema di punti materiali (o corpi solidi) in cui solo una parte
delle forze è assegnata in termini di funzioni dell'atto di moto, cioé
delle posizioni e delle velocità dei vari punti del sistema. Questo
genere di forze vengono dette forze attive. La rimanente parte delle
forze, dette reazioni vincolari, invece è incognita, ma si suppone che
esista imponendo che continui a valere, per ciascuno dei punti del
sistema l'equazione di Newton F= ma, dove F è ora la somma delle forze
attive e delle razioni vincolari per ogni punto materiale o parte di
sistema. L'esistenza delle forze vincolari è postulata per il fatto
che il sistema fisico è soggetto a vincoli di carattere geometrico o
cinematico e le sole forze attive non sarebbero in grado di garantire
che il moto del sistema soddisfi tali vincoli. Il problema di
determinare il moto del sistema quando sono assegnate le condizioni
iniziali diventa quindi più complesso, perché una parte delle forze
sono incognite come il moto stesso e, d'altra parte, sono date
informazioni in più di tipo geometrico o cinematico appunto assegnando
i vincoli.
Queste sole informazioni non sono sufficienti, da sole, a determinare
tutte le incognite dette sopra, lo diventano se si aggiungono
ulteriori informazioni che caratterizzano ulteriormente il tipo di
vincolo e che prendono il nome di relazioni costitutive o
caratteristiche del vincolo.
Per alcuni tipi di vincoli detti vincoli bilateri olonomi ideali (che
sono una generalizzazione abbastanza vasta dei vincoli lisci e che
includono il vincolo di rigidità e quello di rotolamento quando è
integrabile), è possibile dimostrare (è questa l'essenza della
formulazione di Lagrange della meccanica), che passando dalle
coordinate cartesiane di ogni punto ad un sistema ridotto di
coordinate adattate al sistema (coordinate lagrangiane o libere), si
arriva ad un sistema di equazioni differenziali nelle quali sono del
tutto assenti le reazioni vincolari. Tali equazioni differenziali del
secondo ordine sono dette di Eulero-Lagrange e, sotto opportune
ipotesi di regolarità delle funzioni coinvolte, hanno anche la
proprietà di ammettere sempre una ed una sola soluzione quando sono
assegnate le condizioni iniziali (posizioni e velocità di ogni punto
del sistema all'istante iniziale). In definitiva, assegnate le
condizioni iniziali, dalle equazioni di E-L si determina il moto del
sistema ignorando l'esistenza delle reazioni vincolari. Una volta noto
il moto del sistema, usando ancora F=ma, in cui ora si conosce tutto
ecce3tto le reazioni vincolari, si ricavano le reazioni vincolari sul
moto considerato al variare del tempo.
 Alternativamente, ma questo è leggermente più difficile da vedere
senza scrivere un po' di formule, usando ancora F=ma ma senza
risolvere le equazioni di E-L si riesce a scrivere l'espressione
analitica delle reazioni vincolari in funzione di posizione e velocità
dei punti del sistema, tenendo conto che tramite le equazioni di E-L
l'accelerazione a si può esprimere in funzione di posizione e velocità
e che le forze attive  sono a loro volta funzione di posizione e
velocità.
Tutto questo funziona nel caso di vincoli olonomi ideali. Si riesce a
dire qualcosa per vincoli cinematici, ma è molto più difficile (e non
sono un esperto dell'argomento).
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

Grazie per il dettaglio della spiegazione... sono arrivato con il fiatone
fino alla fine.
Il mio dubbio sulle reazioni vincolari, a prescindere dal fatto che
possano essere 'mascherate' matematicamente attraverso le equazioni
di Lagrange e le coordinate lagrangiane, è sul postulato a cui tu fai
cenno: si _postula_ l'esistenza di forze (incognite) per garantire
la validità di F=ma nota F, dal momento che quest'ultima da sola
non giustifica il moto... il fatto è ke l'equazione in questione
è un'eq. differenziale e, nonostante debba essere risolvibile
con riferimento ad ogni situazione fisica macroscopica,
ci possono essere reazioni vincolari abbastanza irregolari da
impedire la soluzione (almeno analitica) dell'eq.
Non so se è chiaro dove voglio andare a parare... F=ma DEVE
essere valida ma per esserlo DEVE anche essere risolvibile
in ogni situazione fisicamente osservabile... o no?


Ciao, non capisco bene la domanda. Dal punto di vista matematico, io
credo che uno riesca
ad inventarsi sicuramente dei vincoli tanto folli (sia come struttura
geometrica o cinematica che come
caratterizzazione costitutiva) che F=ma, pur mettendoci forze
vincolari incognite
non possa essere verificata/risolvibile.  Tuttavia credo che queste
siano patologia di tipo
completamente matematico. Infatti, dal punto di vista fisico io credo
invece che la risposta sia negativa.
F=ma, in fisica classica macroscopica vale sempre, siamo noi che non
conosciamo la forma esplicita
della forza vincolare, ma questo è un nostro limite, o meglio un
limite del modello che stiamo facendo:
se avessimo una descrizione più precisa del vincolo, magari partendo
dalla sua natura microscopica,
in linea di principio potremmo scriverci l'espressione analitica per
la forza vincolare a livello macroscopico
in funzione di vari parametri misurabili...
Ciao, Valter