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Titolo: Simmetria materia - curvatura in RG

In unit� tali che 8 pi G = c = 1, le equazioni della RG sono:
R_ik  - ( R/ 2 ) g_ik  =  T_ik                          ( 1 )
Per contrazione, ricordando che g_ik g^ik = numero
di dimensioni del continuo ( e quindi = 4 perch� siamo
nello spazio-tempo) otteniamo le equazioni equivalenti:
T_ik  - ( T / 2 ) g_ik  =  R_ik                         ( 2 )
Si vede subito che ( 1 ) e ( 2 ) sono simmetriche rispetto
allo scambio dei due tensori R_ik e T_ik.
Non mi sembra una cosa banale, perch� altre teorie
gravitazionali alternative in quattro dimensioni (esempio
famoso la Brans Dicke) non presentano affatto questa
simmetria.
Secondo voi c'� qualcosa di profondo sotto?
Saluti,
Corrado 


Ciao, si la cosa che dici � interessante. Non saprei se ci sia sotto
qualcosa, anche io mi sono sempre chiesto se ci fosee sotto qualcosa
(mi viene in mente vagamente la trasformata di Legendre ma non credo
c'entri qualcosa). Una cosa interessante dal punto di vista storico �
che Einstein arriv� prima alle equazioni nella forma (2) che nella
forma (1), essenzialmente perch� non conosceva l'identit� di Bianchi
(poi Levi-Civita lo istru�...)
Ciao, Valter

 Secondo voi c'� qualcosa di profondo sotto?
Mi sono dimenticato di dire che la (4) del messaggio precedente si puo
mettere nella forma interessante
Y_ik  - ( Y/ 4 ) g_ik  =  0                          ( 5)

 Y_ik  - ( Y/ 4 ) g_ik  =  0                          ( 5)
Non vedo il tuo "messaggio precedente".
Fin qui capisco solo che la (5) � una identit�.
Spero che il resto compaia.
Ciao,
Corrado 

Valter Moretti ha scritto:
 > Ciao, si la cosa che dici � interessante. Non saprei se ci sia sotto
 > qualcosa,
Non so se serva a niente osservare che il primo membro della (1) e' la
traccia del doppio duale del tensore di Riemann.
Lo dico, ma forse non c'entra...
 > Una cosa interessante dal punto di vista storico � che Einstein arriv�
 > prima alle equazioni nella forma (2) che nella forma (1),
 > essenzialmente perch� non conosceva l'identit� di Bianchi (poi
 > Levi-Civita lo istru�...)
In realta', stando a come la racconta Pais, la storia e' ancora piu'
complicata. Prima di scrivere la (1), E. scrisse un'eq. palesemente
(oggi...) sbagliata, ossia
R_ik = T_ik. (1')
E la uso' per calcolare la precessione di Mercurio, cosa possibile
perche' *fuori del Sole* T_ik=0, e quindi (1) e (1') sono equivalenti.
Giorni dopo scrive la (1), ma ancora non conosce l'id. di Bianchi e
quindi non ha capito che dalla (1) *segue* che la divergenza di T_ik
sia nulla.
In realta' pare che la relazione con l'id. di Bianchi sia venuta
parecchio dopo: Pais l'attribuisce a Harward nel '22.
Nota che l'annullarsi della divergenza di G_ik risultava dalla
deduzione variazionale delle eq. di Einstein, ma che questa sia
conseguenza dell'invarianza della lagrangiana per trasf. di coordinate
(gauge) via teorema di Noether (1918) e' stato capito soltanto piu'
tardi, non so quando...
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
Ciao, non capisco bene cosa c'entri il teorema di Noether qui. Non
credo che si possa applicare il teorema di Noether per dimostrare che
G_ik si "conservi",almeno non nella forma solita... puoi spiegare
meglio?
Ciao, Valter

Valter Moretti ha scritto:
 > Ciao, non capisco bene cosa c'entri il teorema di Noether qui. Non
 > credo che si possa applicare il teorema di Noether per dimostrare che
 > G_ik si "conservi",almeno non nella forma solita... puoi spiegare
 > meglio?
Forse qualcuno lo chiama "secondo teorema di Noether".
Ma in sostanza: fai una trasf. di coord. inifnitesima
x^i |--> x^i + \xi^i, col che hai
g_ik |--> g_ok + \xi_{i;k} + \xi_{k;i}
Se g e' invariante, \xi e' un vettore di Killing e hai un'isometria.
Ma se non lo e', dato che l'integrale d'azione e' invariante per una
trasf. arbitraria di coordinate, imponendo l'invarianza per ogni \xi
ottieni proprio
G^{ik}_{;k} = 0.
-- 
Elio Fabri


Ciao, si ho capito era quello che sapevo anche io, ma non l'ho mai
chiamato n� sentito chiamare teorema di Noether anche quello.
Ciao, Valter

 Fin qui capisco solo che la (5) � una identit�.
ciao. Sono passate settimane. Riposto piu' o meno quello che volevo
dire.
Osservavo che sommando e sottraendo 1) e 2) ottieni delle equazioni
ancora piu'
semplici e simmetriche in termini di X_ik=(R_ik+T_ik)/2 e Y_ik=(R_ik-
T_ik)/2 . Anzi, per X_ij ottieni una banale identita', mentre per Y_ij
ottieni appunto
Y_ik  - ( Y/ 4 ) g_ik  =  0 che e' interessante perche' la traccia non
porta a nessuna relazione come se non potesse essere ulteriormente
semplificata.

 Osservavo che...
ops, ho postato senza fare il logout da un altro indirizzo email, ma
non sono altro che ''Argo''.
ciao.