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Titolo: Regole di superselezione in QM

Salve, c'e' qualcuno che potrebbe spiegarmi cosa sono le regole di
superselezione che operano sugli stati di un sistema quantistico?
Se possibile gradirei qualche esempio e qualche riferimento bibliografico.
ciao zeb

rufo rufo wrote:

Ciao, allora la questione e` la seguente. Come sai gli stati (puri)
di un sistema quantistico S sono descritti da vettori *non nulli*
in uno spazio di Hilbert H. La corrispondenza non e` biunivoca:
ad uno stato corisponde una classe di vettori a|f> doeve |f>
e` non nullo e a e` un qualsiasi numero complesso non nullo
(spesso si scelglie |a|=1 per comodita' e si lavora con vettori
normalizzati a 1.)
Vale quello che si chiama il "principio di sovrapposizione degli
stati": se due vettori |f> e |f'> rappresentano stati di S
a |f> + b |f'> (se e` diverso da zero), con a  e b numeri complessi,
e` ancora  rappresentante uno stato del sistema S.
In certi casi il principio di sovrapposizione e` falso e cio`
da luogo ad una "regola di superselezione".
Cio` vuol dire che H e` decomposto in una somma diretta di due (o piu')
suoi sottospazi H = H_1 + H_2, e gli stati del sistema S sono descritti
da vettori in H_1 e vettori in H_2, ma non da vettori del tipo
a|f> + b|f'> con |f> in H_1 e |f'> in H_2.
L`esempio tipico e` quello del momento angolare. Se un sistema
fisico ammette momento angolare J, gli autovalori di J^2
possono essere interi o semi interi. per ogni valore di J^2
si ha un sottospazio di H (l'autospazio di J^2 con quell'autovalore)
e H e` somma diretta ortogonale di tutti questi autospazi.
Facciamo finta (per comodita') che H = H_1 + H_2 dove H_1
corrisponde ad un autovalore intero di J^2 e H_2 ad un autovalore
semi intero di J^2. C`e` una regola di superselezione che dice
che non sono ammissibili stati  di S
a|f> + b|f'> con |f> in H_1 e |f'> in H_2.
Vediamo perche`. Come saprai il gruppo delle rotazioni O(3)
(piu` oprecisamente il suo rivestimento universale U(2)) agisce
diversamente a seconda dello spin. Non entro nei dettagli matematici,
ma cio` che accade e` che se |f> e` un autostato di J^2 con autovalore
intero, una rotazione di un angolo giro lascia inalterato |f>,
viceversa, se l'autovalore e` semi intero, l'azione della rotazione
di un angolo giro su |f'> agisce come |f'> -> -|f'>. Cio` non altera lo stato
associato al vettore (|f'> e a|f'> individuano lo stesso stato se a e`
non nullo). Dal punto di vista fisico pero` ruotare un sistema di un
angolo giro significa non fare nulla. Supponiamo che ci sia uno stato
rappresentato come |f> + |f'>, con |f> non nullo in H_1 e |f'> non nullo in H_2.
Facendo agire la rotazione di un angolo giro, il vettore diventerebbe
|f> - |f'>
che NON individua piu` lo stesso stato perche` non esiste alcun numero
complesso a tale che a(|f> - |f'>) = |f> + |f'>
(se cio` fosse sarebbe, dato che |f> e |f'>  sono ortogonali
   (<f| + <f'|) a(|f> - |f'>) =   (<f| + <f'|) |f> + |f'>   ossia
a(<f|f> + <f'|f'>) = <f|f> + <f'|f'> => a =1 per cui
  |f> - |f'> = |f> + |f'> e quindi |f'>=0 che e` assurdo per ipotesi.)
Dal punto di vista fisico puoi distiguere con esperimenti
|f> + |f'> e |f> - |f'> perche` producono probabilita` di transizione
diverse...per cui NON sono lo stesso stato.
Quindi: (regola di superselezione dello spin):
"NON sono ammessi stati rappresentati da combinazioni
lineari di vettori fatte da due vettori di cui uno e` autovettore
di J^2 con valore intero e l'altro semi intero".
Esistono altre regole di superselezione (della carica e della massa)
che si ottengono con altri tipi di ragionamenti...
Per i riferimenti bibliografici, dato che l'argomento e` statndard
(almeno per lo spin) credo che dovresti trovare tutto su un qualsiasi
testo di MQ...
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

  |f> - |f'> = |f> + |f'> e quindi |f'>=0 che e` assurdo per ipotesi.)
Banalmente basta osservare che se
  a(|f> - |f'>) =    |f> + |f'>
allora
  (a-1)|f> = (a+1) |f'>
ma dato che i due vettori sono ortogonali e non nulli,
facendo il prodotto scalare per <f| e poi per <f'|,
deve valere a-1 =0 e a+1 =0 che sono incompatibili.
Riciao, Valter


 che si ottengono con altri tipi di ragionamenti...
Aggiungiamo ancora che se c'e' supersel. tutte le osservaabili del
sistema sono "diagonali a blocchi".
Vuol dire questo: siano P_1, P_2 ... i proiettori associati a H_1, H_2
... Allora ogni osservabile commuta con tutti i P_k, quindi con tutte le
loro funzioni (per es. con la carica, che ha autovalori distinti su H_1,
H_2...).
Ne segue che nessuna osservabile ha elementidi matrice fra H_i e H_k
diversi.
In particolare commuta con la carica (o con osservabili dello stesso
tipo) la hamiltoniana del sistema.
Questo significa solo che la carica si conserva, che non sono possibili
transizioni fra stati con diversa carica: sarebbe una "regola di
selezione". 
Si parla di "superselezione" appunto perche' la condizione e' piu'
forte: e' limitato l'insieme degli stati e delle osservabili possibili.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 forte: e' limitato l'insieme degli stati e delle osservabili possibili.
 Ciao, grazie della precisazione. 
Non mi e` chiaro se quanto hai aggiunto tu
faccia parte di  una aggiunta di definizione oppure di un teorema.
Mi pare che sia un teorema se preciso meglio la definizione che
ho dato e la tesi che voglio provare. 
Intanto quando diciamo che gli operatori 
(osservabili) non devono avere elementi di matrice non nulla 
tra due settori in cui e` decomposto lo spazio di Hilbert dalla 
regola di superselezione, io lo intendo in senso forte:  sono i 
proiettori della misura spettrale associata  ad ogni osservabile che 
non devono fare cio`.
Assumendo che i diversi settori devono essere ortogonali a due a due 
(mi posso sempre ricondurre a cio` modificando
il prodotto scalare in modo da non alterare la fisica se la decomposizione
in settori non e` ortogonale ma e` diretta), il divieto di avere stati
rappresentati da combinazioni lineari di vettori di settori diversi, implica
che le misure spettrali delle osservabili non abbiano elementi
di matrice non nulli tra settori diversi. E automaticamente
cio` implica che l'evoluzione temporale conserva il settore
di partenza (usando l'operatore Hamiltoniano ed in gruppo
unitario generato).
Dimostrazione riguardo agli elementi di matrice dei proiettori.
Sipponiamo lo spazio di Hilbert si decomponga ortogonalmente come 
H = H_1 + H_2 (la presenza di altri settori non altera la prova)
e valga una regola di superselezione rispetto a tale decomposizione:
non sono ammessi stati rappresentati da f = f_1 + f_2 con f_1 in H_1
e f_2 in H_2 entrambi non nulli. 
Sia P un proiettore ortognale di qualche misura spettrale
di qualche osservabile A relativo al sottoinsieme dello spettro E. 
Supponiamo esista g_1 in H_1 e g_2 in H_2 non
nulli tali che <g_1| P g_2> e` non nullo. In particolare Pg_2
non puo` essere nullo. Questo significa che c`e` probabilita` non nulla
che misurando A sullo stato g_2 il risultato della misura cada in E.
Se cio` accade, dopo la misura lo stato del sistema sara`, a meno di 
normalizzazione, P g_2. 
Deve essere, data la decomposizione iniziale:
P g_2 = f_1 + f_2  (*)
Allora,
<g_2|Pg_2> = <g_2|f_2> (l' altro addendo e` nullo per ortogonalita`)
il primo membro vale, essendo PP=P e P*=P,
<Pg_2|Pg_2> che e `non nullo come detto sopra. 
Quindi f_2 non puo` essere nullo.
Sempre da (*) abbiamo similmente
<g_1|Pg_2> = <g_1|f_1>.
Il primo membro non e` nullo per ipotesi percui anche f_1 e`
non nullo e Pg_2 viola la regola di superselezione.
Ciao, Valter

 forte: e' limitato l'insieme degli stati e delle osservabili possibili.
Ciao, grazie della precisazione. 


 faccia parte di  una aggiunta di definizione oppure di un teorema.
Teorema.
Volevo solo mettere meglio in luce altre proprieta' delle regole di
superselezione, che tra l'altro ne motivano il nome. Nient'altro.
