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Titolo: Espansione dell'universo e fattore di scala

In un vecchio post (del prof. Fabri) in cui si parlava di espansione
dell'universo, il prof. appunto diceva tra le altre cose :< Prima di
tutto devo fissare il modello cosmologico in cui mi muovo;
Assumo un universo omogeneo ed isotropo e a sezioni spaziali piatte
(curvatura nulla).
In questo modello c'e' un parametro che chiamero' Raggio
dell'Universo ,anche se in realta' non ha il significato geometrico di
raggio, ma solo di - fattore di scala - . Lo indichero con R
dipendente da t . L'esatta dipendenza la si ottiene risolvendo le
equazioni di Einstein, e qui do il risultato R = bt^(2/3) dove b e'
una certa costante che come vedremo se ne va nei conti che servono > .
Mi potreste far capire meglio quanto segue ?
R e' un fattore di scala
b e' una costante (ma poi va via)
t e' il tempo
se per esempio avessi t 100 sec
avrei R = b* 100^(2/3)  e dato che b va via........ avrei R =
100^(2/3) ,  R = 21,5 (circa)
ora questo 21,5 e' un fattore di scala , ma cosa significa
esattamente ?
Io sapevo (forse erroneamente) che per esempio un fattore di scala 2
significa che una cosa e' semplicemente < raddoppiata > rispetto alle
sue dimensioni iniziali , ma questo significa che devo avere - le
dimensioni iniziali - altrimenti la cosa raddoppia rispetto a quali
misure ?
E quindi tornando a quel fattore di scala 21,5 di cui sopra , le
dimensioni dell'raggio dell'universo aumentano con un fattore di scala
di 21,5 , ma rispetto a quali dimensioni iniziali ?
Luca

 esattamente ?
Prendi un oggetto cosmico distante e immagina che la sua "proper distance"
 (è la distanza che misureresti con un metro a nastro, si fa per dire :)),
se potessi bloccare l'espansione dell'Universo e congelare le posizioni di
tutti gli oggetti che ne fanno parte) al presente sia, poniamo, 100
milioni di anni luce (m.a.l.). 
Il fattore di scala dell'espansione è fissabile arbitrariamente e di
solito (ma non è obbligatorio) si normalizza in modo tale che al tempo
presente to risulti:
R(to) = 1 
il che consente di scrivere in generale, ad ogni tempo t:
R(t) = (t/to)^2/3 .
La distanza fisica dell'oggetto cosmico considerato varia in maniera
proporzionale al fattore di scala, ovvero:
d(t) = R(t)*100 m.a.l. = [(t/to)^2/3]*100 m.a.l. 
 
In pratica R(t) esprime il fattore di riduzione con cui moltiplicare  le
distanze tra gli oggetti cosmici lontani che si misurano al presente, per
ottenere le rispettive grandezze al tempo t.
Saluti,
Aleph
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 100^(2/3) ,  R = 21,5 (circa)
eh no, non è così che funziona.
Queste sparizioni magiche le fa Harry Potter ma
in fisica non si fanno :-)
Tutto quello che puoi dire è che al tempo t = 100 s
(non è importante ma te lo dico:  in fisica non si usa
più sec, si preferisce la semplice  s ) avresti R = b 100^(2/3)
e fin qui OK, ma a questo punto devi specificare quale
coppia di galassie consideri, perchè sei libero di scegliere
la coppia che ti pare:se scegli due galassie molto lontane hai
un b grande, se ne scegli due non tanto lontane hai un b più
piccolo; insomma, nello stesso istante  t  (stessa epoca cosmica)
esistono tanti b quante sono le coppie che puoi considerare.
Una volta scelte le due galassie A e B (e la scelta è arbitraria)
devi tenere sotto osservazione sempre quelle due galassie,
e dal modo in cui si allontanano col passare del tempo puoi
tracciare il diagramma  R - t  ; ebbene, nel caso di spazio piatto
la RG  prevede che tu, in base a queste osservazioni ripetute in
diversi  t  sulla stessa coppia di galassie, troveresti la curva
R =  b t^(2/3), e il parametro b vale quello che vale per quella
data coppia, ma se avessi fatto le misure osservando un'altra
coppia avresti trovato sì la stessa legge (cioè una legge di potenza
con esponente 2 / 3 ) ma con un b diverso. E' chiaro che  b  deve
sparire dalle formule generali che caratterizzano il modello, dato
che b è legato all'arbitrarietà di scelta delle coppie mentre le leggi
generali devono avere validità universale. Per esempio non sarebbe
sensato un risultato del tipo H = H (t , b) perchè avresti nella stessa
epoca tante costanti di Hubble tutte diverse fra loro, quante sono
le galassie a disposizione dell'osservatore.
La ragione del fatto che in uno spazio piatto R e t  sono legati
tramite un  parametro b non ben definito (cioè: b  non è una
costante universale ma dipende, fissato un istante t, dalla coppia
di galassie che consideri) viene dal fatto che in spazio piatto non
esiste una lunghezza "speciale" che si possa prendere come
riferimento naturale per la misura delle distanze. E' chiaro questo
punto? Voglio dire che se sei in uno spazio piatto e ti domandi
"c'è in questo spazio una lunghezza particolarmente interessante ? "
la risposta è no. Nello spazio curvo invece una lunghezza speciale
c'è  ed è il raggio di curvatura dello spazio, che è una lunghezza fornita
dalla natura stessa e che è quindi molto **naturale** (appunto)
assumere come unità di misura, o se preferisci come lunghezza di
riferimento, o se preferisci come fattore di scala R capace di descrivere
l'espansione (o eventualmente la contrazione, dipende dal modello).
Ecco perchè nello spazio curvo la funzione R(t) non contiene
nessun b eliminabile. Se non ne sei convinto ti ci faccio sbattere
contro il naso con formule molto concrete:
Nello spazio piatto la RG prevede:
R (t)  =  b t^(2 / 3 )  (e questo lo sapevi già)
e prevede anche (forse non lo sapevi)
b = ( 9/2) ^(1/3) ( G / c^2)^(1/3) M(R) ^ (1/3)
dove G è la costante di gravitazione, c la velocità assoluta
(volgarmente chiamata "velocità della luce") e M....cos'è  M?
Ecco il punto: M è la massa racchiusa nel volume di spazio
di raggio R, dove R, come ti ho già detto, è la distanza fra
le due galassie campione che hai deciso di prendere in esame
per studiare la legge dell'espansione. E poichè puoi scegliere
le galassie che ti pare, R è arbitrario e quindi anche M è arbitrario.
Cioè, M è sì ben definito e quindi anche b è ben definito, una volta
scelta una certa coppia, però se ne scegli un'altra, hai un altro M e
quindi un altro b. Non so se mi sono spiegato.
Nello spazio curvo invece non succede niente del genere, perchè
il legame R  e  t è di altro tipo: per esempio, nello spazio a
curvatura positiva (cioè con volume finito: è il famoso spazio
finito e illimitato che probabilmente conosci perchè fino a poco
tempo fa ne parlavano tutti i libri di divulgazione - bisogna
ammettere che ha un certo fascino - e che oggi però è passato di
moda perchè è invalsa l' idea che lo spazio sia piatto, solo che non
c'è ancora nessuna prova di questo fatto) trovi che R è sì legato a
M , solo che adesso in questo M non c'è niente di arbitrario: è
nient'altro che la massa totale della materia racchiusa nel volume
totale (finito) dello spazio e il suo ammontare è quel che è, non
dipende dalla scelta arbitraria delle galassie che hai deciso di tenere
sotto osservazione.
Ecco perchè in questo caso non esiste nessun  b  arbitrario ed elimi-
nabile. Un discorso analogo vale nello spazio a curvatura negativa
che è, a differenza del caso positivo, infinitamente esteso ma che
essendo curvo ha un preciso raggio di curvatura R che è oggettivo,
e non contiene nessuna arbitrarietà. Anche qui non cè nessun b.
Ti risparmio i dettagli.
Ah, non che sia importante ai fini del nostro discorso
ma solo per precisare:
l'espansione non avviene tra le galassie ma tra gli ammassi.
che sono molto più lontani tra loro di quanto non siano
le galassie, quindi avrei fattto meglio a scrivere:
"scelti due ammassi A e B " e parlare di coppie di ammassi,
e non di galassie. A questo punto sorge spontanea una domanda
più volte sollevata in questo NG e cioè: come mai l' espansione
si manifesta solo oltre una certa distanza e non su scala locale ?
Ma questo è un altro problema.
Bye
Corrado

 esistono tanti b quante sono le coppie che puoi considerare.
[cut]
Un'osservazione.
Lo R(t) che hai definito in questo modo non è quello che si intende
usualmente per fattore di scala dell'espansione (quello di cui parlava
Fabri nel post citato dall'OP e che molte volte si indica in letteratura
con il simbolo a(t)), ma la distanza fisica tra due oggetti arbitrari in
funzione del tempo t, che nel mio post ho indicato con il simbolo d(t). 
In pratica, data una coppia di galassie arbitrarie, il tuo b associato
alla coppia altri non è che la distanza comobile (o comovente) tra di esse.
Penso tuttavia sia più utile, soprattutto per un principiante, considerare
il fattore di scala dell'espansione come adimensionale e universale (uno e
uno solo per ogni coppia di galassie dell'Universo e per ogni istante di
tempo cosmico t), in questo modo la distanza fisica tra una qualsiasi
coppia di galassie in funzione del tempo è espressa come:
d(t) = do*R(t) = do*(t/to)^2/3 
(l'ultima uguaglianza vale nel caso di un Universo di Einstein-de Sitter) 
con la normalizzazione R(to) = 1 e la distanza comobile uguale alla
distanza fisica al tempo presente (to).


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By the way: ma qualcuno sa perche' da qualche tempo su Usenet ho
assistito ad un'involuzione nella decodifica dei caratteri unicode?
Fino a qualche tempo fa riuscivo a leggere le lettere accentate,
adesso da un poco a questa parte mi accorgo che in alcuni post
spariscono come ai bei tempi in cui erano supportati solo i caratteri
ASCII.