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Titolo: [MATH] significato della linearizzazione

Ciao a tutti,
mi scuso se il tema non è prettamente "fisica", ma sul NG di matematica
non sembrano essere interessati a darmi una risposta. Il quesito, d'altra
parte, sarà banale per molti di voi e per questo mi son risolto a postarlo
qui. Ecco il problema:
cercando di mettere un po' d'ordine tra le mie sparse cognizioni di
"matematica", mi sono imbattuto negli interessantissimi appunti dell'ing.
Corrado Brogi.
http://spazioweb.libero.it/corradobrogi
Il livello al quale l'ing. Brogi presenta i vari argomenti, è quello
giusto per me, e spesso trovo che le sue osservazioni mi diano un po' di
comprensione in più.
L'altro giorno mi sono però imbattuto in questa, che vi riporto, della
quale non mi capacito. Si parla di linearizzare una funzione, dunque
andare a trovare il limite del rapporto incrementale ed arrivare a
descrivere, limitatamente all'intorno infinitesimo di un certo punto x_0,
la funzione come una retta di coefficiente angolare dy/dx = m.
Ora, quello che non mi torna, è la seguente affermazione, che cito:
"Nasce così quello che sarà chiamato calcolo infinitesimale, che in
definitiva è una linearizzazione di un fenomeno complesso, al fine di
rimanere (sia pure al limite infinitesimo) nel campo dei numeri
razionali". E poi aggiunge, come a chiarire: "un numero reale irrazionale
o più generalmente non razionale, è espresso da infinite cifre non
esprimibile con frazioni di numeri finiti".
Ciò che non capisco è: perché dice che si rimane nel campo dei razionali?
Sembra voler affermare che "dx" e "dy" siano "numeri finiti", giacché solo
così il loro rapporto può essere considerato un numero razionale. A me
pare però che il concetto di "infinitesimo" sia possibile solo
ammettendo di essere nei reali, il che non ci dà alcuna assicurazione che
dx e dy siano razionali...Anzi, direi che è proprio il contrario!
Cosa vuol dire, poi, "finiti"? E' sinonimo di "finite cifre decimali,
oppure periodico"? E anche in questo caso, come posso attribuire a dx e dy
queste proprietà?
Vorrei da voi qualche delucidatio ;-)
M
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questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 
http://spazioweb.libero.it/corradobrogi
Sembra che il sito non esista.
Ad ogni modo, per la matematica rivolgiti a un matematico, non a un 
ingegnere. Non lo dico con disprezzo, sono ingegnere anch'io. Però gli 
ingegneri si occupino di ingegneria, i matematici di matematica e i 
fisici di fisica. Sono 3 discipline che si intersecano, ma dentro sono 
mosse da 3 filosofie profondamente diverse (e non è poco).
Non dico che non ci possano essere casi in cui uno specialista di una di 
esse si occupi di un'altra, semplicemente per sviluppare delle 
conoscenze matematiche ti suggerisco di rivolgerti a un matematico.

 conoscenze matematiche ti suggerisco di rivolgerti a un matematico.
Ok, grazie per il suggerimento. C'è anche da dire che non ho matematici a
portata di mano. Devo desumere che sia per coerenza con quanto affermi che
hai deciso di non spendere una parola nel merito della questione vera e
propria?
Michele


 che riporto ha un senso oppure no.
Seconmdo me no. Io ho sempre visto trattare l'analisi matematica sul
campo reale, e non credo si trattasse di uno sfizio: restando nei
razionali tanti teoremi non sono piu' validi. Il primo esempio che mi
viene in mente: non e' piu' vero che una successione monotona limitata
ammette limite; per cui non puoi definire il numero di Nepero e tutta
la teoria degli esponenziali va a pallino. E di conseguenza non vale
piu' il teorema sull'esistenza delle soluzioni di un'eq.diff. (visto
che 
p.es
. l'eq' x'=x non ammette soluzione) ecc..


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 e' falsa.
Il link giusto č: 
http://spazioinwind.libero.it/corradobrogi/index.htm
Il punto č nel primo volume (La Matematica, la Geometria...) a pagina 83.
Siccome mi sembri molto ferrato, sarebbe bellissimo se potessi leggere
quelle righe e dirmi cosa ti viene in mente.
Il resto della risposta mi sembra denso di spunti...Ora lo stampo e me lo
leggo con calma...Penso che potrei tornare con una buona dose di
domande...Saresti disposto ad ascoltarle?
Grazie,
Michele


 Michele Ancis wrote:
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
Infatti...Anche a me pare che senza la "densità" dei Reali (lo riporto tra
virgolette perché il concetto che ne ho non è poi cosi solido) non si
possano fare discorsi di intorni, dunque infinitesimi, dunque rapporti di
infinitesimi e derivate. Siccome però mi sembra che il personaggio fosse
tutt'altro che sprovveduto, ho pensato in prima battuta (e ancora aspetto)
di essere IO in errore, piuttosto che lui. E' una mia prassi abituale ;-)
Per esempio, un altro argomento "contro" è il seguente: a suo dire, dy/dx
è un tentativo di rimanere nei Razionali, giusto? Bene, ma noi sappiamo
che dy/dx è la tangente di un angolo, dunque una funzione definita nei
Reali, non "nei razionali". Come si può dire che questo valore è un
Razionale?
Ammenoché, la citazione non sia da intendere in tutt'altro modo...Un modo
che però mi sfugge.
M


 e dy queste proprietà?
Ripeto, con dx e dy non c'entra proprio niente.
Tra l'altro e' molto bello quel "numero reale irrazionale o più
generalmente non razionale": secondo il Nostro "non ragionale" sarebbe
piu' generale di "irrazionale"?
Direi comunque che con "finiti" voglia intendere numeri esprimibili
con un numero finito di cifre.
Cosa che con un razionale puoi senpre fare, visto che e' il rapporto
di due interi.
Ma comunque mi sembra un grosso pasticcio: lo commenterei con la
solita frase: "might cause irreversible brain damage" :-)
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 possano fare discorsi di intorni, dunque infinitesimi,
Beh, questo si puo' anche fare, dopotutto si puo' imporre una topologia
su qualunque insieme. Il problema principale per quel che mi sembra e'
l'incompletezza (nel senso tecnico del termine) del campo dei
razionali, per cui molti limiti non esistono e percio' molti teoremi
non valgono.

                                          
Una possibilità sarebbe quella ventilata da Tetis, e praticamente anche da
te, ossia che Brogi volesse intendere "proporzione", al posto di
"Razionale"...Mi viene in mente che le funzioni "razionali" sono proprio
quelle esprimibili con frazioni di polinomi...Comunque mi è chiaro che con
queste "associazioni libere" non si vada molto lontano ;-)
Grazie per la risposta,
Michele

 teoremi non valgono.
Esempio banalissimo: in un moto unif. accelerato, il rapporto fra il
tempo necessario per percorrere un dato spazio e quello per percoorere
lo spazio doppio, non esiste senza gli irrazionali.
Piu' in generale, come esempio dei teoremi cui allude Enrico: solo nei
reali e' vero che se un corpo ha una legge oraria s(t) continua allora
dati s1 = s(t1) e s2 = s(t2), e preso un s compreso fra s1 e s2,
esiste certamente un t tale che s(t) = s.
In parole: un corpo cha va da un posto a un altro passa per tutti i
posti intermedi.


Michele scrive:
....Ammenoché, la citazione non sia da intendere in tutt'altro
modo....
Dopo aver letto gli scritti del Brogi lo penso anch'io.
Il ragionamento che fa Brogi e' al limite :
Lui dice che per andare avanti su una retta [ parla di una y=mx ] devi
aggiungere un delta ( per ogni Dx c'e' un corr. Dy fisso OK ) e  la
cosa vista nel senso limite ( su una curva devi diminuire il Dx fino a
renderlo dx ) ti porta a m=dy/dx e quindi Brogi s'inganna perche' pensa
che comunque m e' un razionale perche' sia dy che dx sono numeri che
possono esprimersi con un numero finito di cifre visto che egli sta
mano mano andando al limite negli incrementi ; egli passa da un
incremento finito ad uno man mano piu' piccolo, cosi' pensa che debba
esprimerlo con un numero sempre maggiore di cifre .... ma mai un numero
infinito!
Vedendola cosi' il suo discorso torna [ ma purtroppo c'e' un ERORE ]



Si hai ragione...Con densità intendevo, in realtà, completezza, che è
quello che hai detto tu. Però forse i due concetti sono parenti...Ma questo
posso andare a guardarmelo in un libro di Analisi...Tu ne hai qualcuno da
consigliarmi?
M


il problema si pone principalmente con le funzioni trascendenti e
con le funzioni inverse di funzioni razionali. Finche' ci si limitasse
a funzioni razionali le derivate sarebbero sempre numeri razionali
lo stesso si verifica per qualsivoglia ordine di approssimazione
mediante funzioni razionali di una funzione trascendente o
irrazionale.


 esiste certamente un t tale che s(t) = s.
...E' sicuramente giunto il momento che un libro di Analisi faccia la sua
comparsa nella mia libreria :-)
Sapresti consigliarmene uno "buono"? Mi interessa soprattutto che sia
didatticamente valido, ossia che spieghi i concetti a bocconcini piccoli,
digeribili da uno stomaco piccolo qual è il mio.
M



Ma..ma...Tetis, non è forse questo esattamente ciò che afferma Brogi?
Uhm...mi sembra di scorgere un barlume...senti un po' se la cosa potrebbe
andare:
1 - E' corretto affermare che, se ci limitassimo alle sole funzioni
razionali, non "avremmo bisogno" di introdurre l'insieme dei Reali? (Nel
senso delle derivate e limiti, come hai detto tu...)
2 - Se (1) fosse vera, visto che la "linearizzazione" consiste proprio
nell'approssimare una funzione - qualsivoglia - con una retta, allora ciò
che afferma Brogi avrebbe un senso: mi riconduco in un ambito dove "posso
fare a meno" dei "non razionali", perché uso una funzione razionale (per
ora di primo grado, ma poi con Taylor diventa di grado "n") per
descriverla. Rimane da capire se questa approssimazione sia anche "la
migliore", in un qualche senso. Se il fatto di lasciar fuori dei numeri non
mi crei dei problemi, insomma.
Sento che la probabilità di scrivere scemenze è - per me - altissima...
Mi chiedo: ma "dx" e "dy", alla fine, sono "numeri"? Posso dire che siano
trascendenti, irrazionali, razionali?
M, confuso :-)

 piccoli, digeribili da uno stomaco piccolo qual è il mio.
Temo di non piterti essere utile, per due ragioni.
La prima e' che non ho esperienza didattica in materia
La seconda, che la mia epserienza come studente risale a troppo tempo
fa.
Spero che qualcuno piu' giovane possa darti la dritta che chiedi.


 M, confuso :-)
Pensa la confusione dei pitagorici... che non avevano mai
sentito parlare di Dedekind. Pero' che Brogi sbagliava lo
avrebbero capito anche loro, anche se se lo sarebbero
tenuto per se.
