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Titolo: Goccia di pioggia

 
Una goccia di pioggia molto piccola è in una nuvola, assieme ad altre gocce. Trovare l'accelerazione con cui cade. Ipotizziamo che se colpisce un'altra goccia, le due assieme formano una goccia più grande.
 
Anche questo lo ho trovato in rete.

 le due assieme formano una goccia più grande.
 
 
Escludendo correnti discendenti (o ascendenti), una goccia, o una goccia più grande data dall'unione di due gocce piccole, in caduta nel fluido aria, raggiunge una velocità limite, quindi l'accelerazione è 0 (o almeno tende a 0).
Sbaglio? :-)
 
Notte.
-- 
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
ID DMR: 2228273

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Incontra un'altra goccia, diventa più grande, e accelera nuovamente. Non lo ho ancora risolto, ma IMHO bisogna fare una media su un intervallo di tempo ben scelto.

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sicuramente non capisco molte sottigliezze ...
imho il punto è
 
diametro iniziale => velocità di caduta LIMITE_1
 
diametro finale => velocità di caduta LIMITE_2
 
(non so se mi ricordo giusto ... Hagen-Poiseuille ? Andava 
per i fluidi viscosi, e forse solo per il moto laminare non 
ricordo ... non so se per aeriformi valga. Ma cmq se non 
vale lei qualche altra equazione esisterà che correla 
diametro o area sfera con delta_densità e viscosità)
 
Delta_V = LIMITE_2 - LIMITE_1;
 
ora una cosa che ignoro totalmente : l'accelerazione è 
costante ? La forza di attrito mi pare non vari linearmente 
con v ... o no ?
qui mi fermo :\
 
 
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 diametro finale => velocità di caduta LIMITE_2
 
 
 
Non credo sia l'unica cosa interessante considerare un "diametro finale". Mettiamo che durante la caduta nella nube la goccia incontri altre 20 o 30 gocce. Con che frequenza le incontra? L'incontro goccia-goccia è un evento discreto, credo sia approssimabile come un processo continuo, da qui mi aspetto venga fuori un'equazione differenziale. La legge dell'attrito per una goccia si può copiare da qualche parte.

 Una goccia di pioggia molto piccola è in una nuvola, assieme ad altre gocce. Trovare l'accelerazione con cui cade.
 
...
 
Quanto piccola? Perché c'e' una dimensione al di sotto della quale non 
cade più :-)

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E' parte del problema :-)
 
 
Però l'esistenza del valore di soglia non lo vedo, se non mi fidassi di te penserei che le nuvole non cadono perché ci sono correnti ascendenti. Ci devo pensare. 


Secondo tentativo ;-)
 
Abbastanza piccola perche' il moto browniano conti. Pero' adesso sarei 
tenuto a controllare che sia anche abbastanza grande per scatterare bene 
la luce. Me la cavo con una breve ricerca in rete che da' per il moto 
Browniano in aria dimensioni tipiche necessarie sotto il micrometro.

 Browniano in aria dimensioni tipiche necessarie sotto il micrometro.
 
Proprio quello che avevo in mente :-)

 penserei che le nuvole non cadono perché ci sono correnti ascendenti. Ci devo pensare.
 
 
Nelle nuvole, specie quelle a sviluppo verticale, ci sono correnti 
ascendenti (e discendenti) molto veloci. Gli scrosci di pioggia sono 
appunto generati da questi movimenti ascendenti, che quando si 
indeboliscono lasciano cadere le gocce, o i chicchi di grandine, che nel 
frattempo sono cresciuti.
 
I cumuli sono formati da correnti di aria ascendente, che porta alla 
condensazione l'umidita` che essa contiene, ma non sono "tenuti su" 
dall'aria ascendente, semplicemente al di sotto di una data dimensione 
delle gocce d'acqua la goccia praticamente non cade piu`.
 
Se vuoi fare dei conti con atmosfera in quiete, probabilmente bisogna 
anche tenere conto della forma delle gocce di pioggia, che non sono 
sferiche!
 
-- 
 
Franco
 
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)


Aspetto che qualcuno provi una soluzione con gocce sferiche (o la provo io), poi eventualmente aggiungo la non-sfericità

 
 
Prima di partire per la tangente come mi sembra che stia accadendo 
consiglio caldamente di informarsi su alcuni aspetti ben noti di questo 
problema e che sono descritti nel 6° capitolo del testo:
J.M. Wallace and P.V.Hobbs: Atmospheric Sciences, An introductory survey.
 
Non so come mai ma il libro è disponibile a questo link:
 
https://www.academia.edu/37366881/Atmospheric_science-_wallace_and_hobbs.PDF
 
 
Daniele Fua
 

Il problema non lo capisco e non dirò niente.
Ma su tutto quello che avete scrotto ha qualcosa da dire.
 
Il primo commento è: come al solito, un sacco di chiacchiere ma non un
numero che sia uno.
QUESTA NON E' FISICA!
 
Visto che vi siete messi a ragionare sulle nuvole e sul moto browniano...
Senza numeri non si conclude niente.
Il moto browniano non abolisce la forza di gravità.
Impedisce solo (se è suff. ampio) che gli oggetti che cadono si
depositino al suolo.
Per es. la distribuzione esponenziale di densità dell'aria in atmosfera
isoterma è dovuta al "moto browniano" delle molecole del gas.
Vero, questo di solito non si chiama moto browniano, ma a tutti gli
effetti lo è.
L'atmosfera isoterma ha per la densità la legge exp(-z/h)
con h = kT/(mg)
dove m è la massa delle molecole.
 
Proviamo a stimare h per l'aria a 280 K.
M(N2) = 2.2x10^(-26) kg.
h = 1.4x10^(-23) * 280 / (2.2x10^(-26) * 9.8) = 18 km.
 
E ora per gocce d'acqua di raggio 1 micron (le gocce nelle nuvole sono
in genere ben più grandi).
h = 1.4x10^(-23) * 280 / (1.3x10^(-14) * 9.8) = 3.2x10^(-8) m.
 
Questo dimostra che il moto browniano nelle nuvole è totalmente
trascurabile.
Se non ci fossero moti convettivi le nuvole non potrebbero esistere:
tutta l'acqua si depositrebbe al suolo.
 
Quanto alla forma delle gocce.
Un conto sono le gocce di pioggia, che sono sensibilmente schiacciate
dalla differenza di pressione.
Un altro le gocce delle nuvole, dove ritengo prevalga la tensione
superficiale e che quindi siano sferiche.
Ma non ho fatto il conto.
 
Però ho fatto il conto con la legge di Stokes per la velocità
terminale di una goccia.
Se il raggio è 1 micron trovo 1.5x10^(-7) m/s.
La formula è
v = 2 * r^2 * g / (9 * nu)
dove nu = eta/rho è la viscosità cinematica.
Per l'aria nu = 1.5x10^(-5) m^2/s.
 
 
-- 
Elio Fabri


Lo ho trovato anche presso l'INGV (primo link con una ricerca su Internet).
 
 
IMHO è anche apprezzabile l'impostazione "da newsgroup": prima provare per conto proprio, poi controllare i libri. D'altra parte riuscire ad impostare una soluzione sensata e controllare quanto è vicina o lontana dalla realtà è divertente:-)

 
 
Ok, provo con un'equazione
 
La goccia incontra per unita' di tempo un numero di goccioline pari a
 
N_g = N * VBar
 
dove N e' il numero di goccioline nella nuvola per unita' di volume (le 
supponiamo uniformemente distribuite, e, utile per il seguito, tutte 
dello stesso volume) e Vbar e' il volume spazzato dalla goccia 
nell'unita' di tempo:
 
Vbar = pi*R^2*v
 
dove v e' la velocita' della goccia e R il suo raggio.
 
Il suo volume quindi aumenta con la legge
 
dV/dt = N Vbar Vg
 
con Vg volume delle goccioline (uguale per tutte le goccioline come ho 
detto). Il suo raggio quindi aumenta con
 
dR/dt = dV/dt *1/(4*pi*R^2) = 1/4 N v Vg
 
 
La velocita' cresce con
 
dv/dt = g - Fv/m
 
dove Fv e' la forza d'attrito che prendo dalla legge di Stokes e m e' la 
massa = rho*4/3 pi R^3
 
Quindi
 
dv/dt = g - 9/2 mu*v/R^2
 
(se ho fatto bene i calcoli)dove mu e' il parametro di viscosita' che 
c'e' nella legge di Stokes.
 
Devo quindi considerare le due equazioni
 
dv/dt = g - 9/2 mu*v/R^2
 
dR/dt = 1/4 N v Vg
 
Per risolverle, mi sembra sia piu' facile sostituire la prima nella 
seconda che viceversa, ma non ho ancora provato.

 
Risposta versione 1.0 (da aggiornare sicuramente a versioni successive anche da altri). 
massa goccia: m = V•rho_H2O
V = volume
peso = m•g
 
Spinta di Archimede: S = V•rho_aria•g
 
Accelerazione goccia: a = (m•g - S)/m = g•(rho_H2O-rho_aria)/rho_H2O ~= 
 
~= g•(1000-1,3)/1000 ~= 0,999g
 
(indipendentemente da r). 
 
--
Wakinian Tanka

 tutta l'acqua si depositrebbe al suolo.
 
Perche' la nebbia non si deposita al suolo? In condizioni di aria 
stabile, al mattino, in campagna la nebbia rimane immobile per lunghi 
periodi di tempo.
 
Una nuvola vista da dentro e` un nebbione fitto e grigio, con 
visibilita` che va da qualche decina di metri a meno di 10 metri.


 
 
C'e' un errore: quando la goccia incontra una gocciolina, quest'ultima 
accelera fino alla velocita' della goccia. Credo sia necessario 
impostare il calcolo con F = dp/dt, il calcolo che ho fatto mi aspetto 
sia quantitativamente cattivo.

 periodi di tempo.
Avevo scritto il dato e la formula della velocità terminale.
1 micron di raggio sarà poco, ma 10 micron è un valore ragionevole, e
ti dà una velocità limite di 1.5x10^(-5) m/s (va come r^2).
Quindi per cadere di un metro impiega quasi un giorno.
 
 
-- 
Elio Fabri

 sia quantitativamente cattivo.
 
Le equazioni "giuste" (con l'idea che la goccia trascini con se tutte le 
goccioline che incontra) credo siano
 
dR/dt = 1/4 N v Vg
dv/dt = g - (3/4R)*rho v^2 N Vg - 9/2 mu*v/R^2
 
Si possono risolvere numericamente, ma non trovo il modo di verificare 
il risultato con i dati sperimentali facilmente accessibili: grandezza 
delle gocce e velocita' con cui arrivano a terra.
 
Infatti la grandezza delle gocce credo dipenda dalla densita' di 
goccioline nella nuvola e dal suo spessore in una maniera tale che la 
velocita' di caduta non compare (la goccia trascina con se tutte le 
goccioline che incontra e quindi la velocita' non conta). La velocita' 
della goccia quando arriva al suolo e' la velocita' limite, che dipende 
solo dalla grandezza della goccia.
 
Credo che dovro' aprire il libro segnalato da Daniele Fua o controllare 
la soluzione sul sito :-)

 la soluzione sul sito :-)
 
Pero' il problema non mi sembra formulato in modo... eccezionale. 
 
 
Non si dicono molte cose, ad es. si omette di chiedere a quale fase dello stato in cui si trova la goccia se ne vuole determinare l'accelerazione e quali forze si devono considerare: nella parte sottostante di una nuvola, le gocce possono  evaporare generando la corrente ascensionale che sostiene la nuvola stessa; li l'accelerazione e' diretta verso l'alto... 
 
--
Wakinian Tanka

 
 
Questo vale se le uniche forze in gioco sono la gravità (corretta da 
Archimede) e attrito alla Stokes.
 
Un conto più "completo" per una giccia molto piccola potrebbe esser 
fatto sulla falsariga del calcolo della legge di ohm nel modello di 
Drude. Per quanto, anche in quel caso la discussione delle ipotesi è 
importante tanto quanto metter numeri nelle formule.
 
Una questione di principio su cui andrebbe fatta una riflessione è che 
dal punto di vista teorico attrito viscoso lineare nella velocità e urti 
molecolari non sono due meccanismi diversi ma due modi di vedere lo 
stesso fenomeno rilevanti su scale diverse. Alla scala attorno al micron 
(limite inferiore alle dimensioni delle goccioline (*)) siamo in una 
regione di transizione.
 
Una stima di ordini di grandezza è, in questo caso, illuminante:
massa di una sferetta di acqua di raggio 1 micron = 10^-6 m =~
1000*4*10^(-18) = 4*10^(-15) kg
che, alla velocità limite che hai calcolato avrebbe un momento mv ~ 
6x10^(-22) kg m /s.
 
A temperatura ambiente, usando le relazioni per gas ideali, una molecola 
di N_2 o do O_2 ha una velocità in media dell' ordine di 500 m/s che, 
per masse dell' ordine della "molecola media" (ovvero usando la massa 
molecolare media dell' aria di ~29 g/mol) significa ~ 4x10^(-26) kg e 
quindi un momento medio di 2x10^(-23) kg m/s. Un po' più di un  ordine 
di grandezza non è tanto e per una gocciolina di raggio metà verrebbe 
praticamente recuperato.
 
Giorgio
 
(*) Quando ho risposto a JTS non avevo verificato i dati noti sulle 
misure delle goccie di pioggia nelle nuvole. Vedo adesso che il limite 
inferiore che viene dato per assestato è dell' ordine di 1-2 micron. 
Tuttavia, mentre è perfettamente plausibile che questo sia il limite 
inferiore per frazioni significative, ho seri dubbi che ci sia un taglio 
netto per piccole dimensioni e mi piacerebbe avere maggiori dettagli sui 
possibili errori sistematici nelle metodologie di misura.

 
 
Ho letto la soluzione. Per trovare l'accelerazione con un calcolo 
analitico, pongono la resistenza dell'aria uguale a zero. Non ho ancora 
controllato quanto questo sia lontano dalla realta' in questo caso, 
potrebbe essere (sorprendentemente) una buona approssimazione.
 
La soluzione stessa e' un'espressione molto semplice e (di nuovo) 
sorprendente.
 
Data la soluzione (una volta che uno la ha trovata), e' interessante 
trovare quanto una goccia si scalda cadendo attraverso la nuvola.
Altra cosa (per la quale il libro segnalato da Daniele Fua dovrebbe 
essere un riferimento autorevole) e capire se questo semplice modello 
(la goccia coalesce con le gocce che incontra cadendo) possa rispondere 
alla domanda "Data questa nuvola, piove?"


Ti do parzialmente ragione: ho letto la soluzione e c'e' un'ipotesi 
semplificatrice che a me non e' venuta in mente, che e' niente attrito. 
Scrivo un post a parte a questo proposito.
 
In generale pero' a me i problemi piacciono cosi': testo sintetico, e 
tocca a te aggiungere le ipotesi che rendono possibile risolvere il 
problema.

 altre gocce.
Ovvio assumere che la goccia soggetto della propos. sia delle stesse
dimensioni delle altre.
Tu invece (senza dirlo) l'hai supposta molto più grande, in modo da
poter approssimare il processo discreto e casuale di cattura delle
altre gocce con un processo continuo (le tue eq. differenziali).
 
Inoltre bisognava assumere una cosa del tutto irrelistica: che le gocce
nella nuvola siano in quiete - niente moti convettivi.
 
Per spiegare meglio che cosa intendo dovrei scrivere di più, ma faccio
prima a rimandarti a
 
http://www.sagredo.eu/articoli/problemi92.pdf
 
pag. 7.
 
A pag. 26 e seguenti puoi trovare la nostra discussione di quel
problema; che non ha niente a che vedere con quello attuale, ma qui
ciò che conta è il metodo.
 
 
-- 
Elio Fabri


Grazie per il link al tuo scritto, ne ho letto una parte e legegro' con 
calma il resto.
 
Detto questo, sono ancora convinto che l'enunciato del problema vada 
bene (forse eccetto per la necessita' di precisare che si trascura 
l'attrito, ma forse neanche quello).
 
Infatti siamo in un newsgroup e
 
 > Ovvio assumere che la goccia soggetto della propos. sia delle stesse
 > dimensioni delle altre.
 
quelli che leggono l'enunciato sono adulti: possono giudicare da soli 
quali ipotesi sono sensate.
 
D'altra parte IMHO la discussione fra te e Giorgio sul moto Browniano e' 
anche stata stimolata dal fatto che il problema era aperto. Da quel 
punto di vista mi interessa la formalizzazione dell'idea "collisioni 
stocatische, campo uniforme e limite inferiore al moto" e l'espressione 
di qualche proprieta' del moto (l'espressione di <r(t)^2>): forse ci 
pensero' un po'.
 
Per quanto riguarda la necessita' di precisare che si trascura 
l'attrito: senza attrito il problema diventa "facilmente" risolubile 
(con soluzione sorprendentemente semplice), accorgersi di questo e' 
stato superiore alla mia intuizione: magari per qualcun altro e' possibile.

 
 
Visto che nessuno prova:
 
g/7
 
in assenza di attrito.
 
Non ho ancora un'idea intuitiva del perche' non ci sia dipendenza dalla 
densita' delle goccioline.
 
(A proposito e' possibile che ci sia un errore nella mia equazione 
perche' ottengo un'espressione diversa per l'accelerazione, e pure 
dimensionalmente scorretta).