Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Teorema di Noether e boosts

Dunque sto studiando le basi di QFT e mi sorge un dubbio che e' il
seguente:
applicando il teorema di Noether per una Lagrangiana di campo scalare
e trasformazioni del gruppo di Poincare' trovo un certo numero di
quantita' conservate.
In seguito alla simmetria per traslazioni vedo che il tensore energia-
impulso e' conservato, in particolare la componente 00 e'
l'hamiltoniana e le componenti spaziali sono le componenti
dell'impulso.
In seguito alla simmetria per il solo gruppo di Lorentz trovo un altro
tensore la cui componente temporale da' le cariche conservate.
Queste cariche sono 6 a cui corrispondo le 3 componenti del momento
angolare e 3 boosts.
Mi soffermo su questi ultimi. Che significato fisico hanno? A occhio
non lo vedo.
Ma un'altra considerazione mi lascia perplesso: quando promuovo questi
oggetti a operatori, continuano a corrispondere a quantita'
conservate? Weinberg dice esplicitamente nel suo libro che i boosts
non sono conservati perche' non commutano con l'hamiltoniana (infatti
non si usa K per caratterizzare gli stati dello spazio di Hilbert,
bensi' P).
Ma allora il teorema di Noether vale solo per la teoria classica? O mi
sono perso qualcosa?
Grazie e saluti.

 Grazie e saluti.
Ciao,
Valter
----------------------------------------------------------------------
Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

  @K/@t + [H, K] = 0
Weinberg non ha detto quella scemenza infatti nel cap7 dove calcola le
correnti conservate associate al gruppo di poincare' scrive la tua
equazione sopra.
Quello che dice semplicemente (anche prima nel cap2 se non mi sbaglio)
e' che [H,K]=/=0 e quindi non usa K per classificare gli stati fisici.
Ciao.

 Ciao.
Ciao, Valter

 angolare e 3 boosts.
Dato che sulla vera domanda ti ha risposto Valter, mi limito a
correggere un certo numero d'imprecisioni in quello che dici.
Forse sai benissimo come stanno le cose, e hai solo tirato un po' via
a scrivere, ma forse no... Nel secondo caso i miei commenti possono
esserti utili.
Dall'invarianza per traslazioni segue che la 4-divergenza del tensore
e-i (T_ab) e' nulla (scrivo a, b per alfa, beta...).
(Spesso si dice sbrigativamente che "e' conservato", ma e' bene sapere
che il signicato esatto e' quello che ho detto.)
Da cio' derivano due conseguenze, relativamente agli integrali P_a sul
3-spazio delle componenti T_a0:
1. P_a si trasforma come un 4-vettore.
2. Tutte le sue componenti sono costanti, nel senso che assumono lo
stesso valore su tutte le sezioni x_0=cost.
Analogamente, l'invarianza Lorenz porta a dimostrare che il tensore
H_abc = x_a T_bc - x_b T_ac
ha anch'esso 4-divergenza nulla.
Ne segue che l'integrale spaziale J_ab di H_ab0:
1. E' costante
2. E' un tensore (antisimmetrico).
 
-- 
Elio Fabri

Grazie delle risposte.
Senza nulla togliere a Weinberg di cui ho massimo rispetto ci tengo
pero' a riportare il testo del suo libro proprio al capitolo 2 (che di
solito leggo prima del capitolo 7 ;-) )
"In QM a special role is played by those operators that are conserved,
i.e. that commute with H. [poi elenca i generatori del gruppo di
Poincare' P, J e K]
These [i boosts] are *not conserved* [gli asterischi sono miei ma nel
testo la parola not e' in corsivo], which is why we don't use the
eigenvalues of K to label physical states."
Allora a questo punto la mia domanda e': che vuol dire Weinberg con
"These are not conserved"?
Grazie e saluti,
Michele


Il generatore della trasformazione di Lorentz è, come dicevo,
dipendente parametricamente dal tempo:
                                         K(t) = K(0) -t P
Questa scrittura vale in rappresentazione di Schroedinger e t è il
parametro tempo.
L'evoluto di Heisenberg di K(t) scritto sopra è costante e questa è la
conservazione del
boost...
K_H(t) := U(t)K(t)U(t)*   = K(0)
Forse il K di Weinberg è quello che io ho indicato con K(0)....
Ciao, Valter


Lo dice lui stesso nel passo che riporti: non commutano con
l'Hamiltoniana.
Non di meno sono costanti nel tempo: d\dt(K)=-P+i[H,K] = 0
La confusione nasce dal fatto che i K dipendono esplicitamente dal
tempo e quindi la derivata totale ha un contributo che viene dalla
derivata parziale.
Inoltre c'e un abuso di nomenclatura: K conservata<==>[K,H]=0, ma in
generale questo non vuol dire costante del moto (d/dt(K)=0 ).
Ciao.



Perfetto. Chiarito tutto. "Conserved" non significa "costante del
moto". Ecco l'inghippo ;-) Non sapevo di questo pericolo...  Grazie
della spiegazione!
@Elio Fabri: grazie per la precisazione, anche se queste cose Weinberg
le dice ;-)
Ciao