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Titolo: Dal libro Gravità e spazio-tempo di John Wheeler

Riporto un brano letto nel libro.
 
 
 
 
< La massa del Sole incurva lo spaziotempo nel luogo in cui esso si trova.Tale curvatura, a sua volta, provoca la curvatura dello spaziotempo nelle immediate vicinanze; quest'ultima induce un'uleriore curvatura dello spaziotempo contiguo e cosi via.In tal modo anche lo spazio tempo piu' lontano, quello prossimo alla Terra, e' reso partecipe di una piccola curvatura, la quale agisce sulla Terra determinandone il moto.Vicino alla Terra la curvatura spaziotempo e' cosi piccola  che la traiettoria del nostro pianeta e' solo leggermente curva, ed ecco perche' esso impiega ben 365 giorni per completare una rivoluzione intorno al Sole.
 
 
Domanda: pero' a sua volta anche la Terra produce una curvatura nello spazio tempo (certo non paragonabile a quella del Sole), ma in ogni modo c'e' e (come dire?) deforma lo spaziotempo in contrasto con la deformazione prodotta dal Sole Come si calcola il risultato dello <scontro> tra queste due curvature ? Visto che come ho riportato sopra Wheeler dice : -ecco perchè la Terra impiega ben 365 giorni per compiere una rivoluzione completa-.
 
 
In fisica non sono ammesse ipotesi assurde...ma io ci provo lo stesso. Se <per assurdo> non ci fosse la curvatura prodotta dalla Terra, ma solo la curvatura prodotta dal Sole, si potrebbe affermare che in questo caso la Terra per compiere un giro intorno al Sole impiegherebbe non più 365 giorni ma (boh!) 362 giorni ? Si può fare questo calcolo preciso ?
saluti
Nello Coppola

Nello Coppola ha scritto:
 > Domanda: però a sua volta anche la Terra produce una curvatura nello
 > spazio tempo (certo non paragonabile a quella del Sole),
Non credere...
L'espressione della curvatura prodotta da una massa M a distanza r è
molto semplice: K = GM/(c^2 r^3)
(casomai il difficile è capire che cos'è "curvatura" in uno spazio 4D,
e infatti non ce n'è una sola, ma la formuletta dà un'idea sufficiente
per i nostri scopi).
Se calcoli K dovuta al Sole *alla superficie del Sole*, e quella
dovuta alla Terra alla sup. della Terra, trovi un risultato inaspettato:
quella della Terra è quasi 4 volte maggiore.
Del resto è ovvio: M/r^3 (a parte un fattore numerico) è la densità
media, del Sole o della Terra, e si sa che la seconda è circa 4 volte
maggiore.
 
 > ma in ogni modo c'è e (come dire?) deforma lo spaziotempo in
 > contrasto con la deformazione prodotta dal Sole.
Perché in contrasto? Sarà "in aggiunta", in un modo complicato perché
entrambe le curvature variano rapidamente con la distanza.
 
 > Se <per assurdo> non ci fosse la curvatura prodotta dalla Terra, ma
 > solo la curvatura prodotta dal Sole, si potrebbe affermare che in
 > questo caso la Terra per compiere un giro intorno al Sole
 > impiegherebbe non più 365 giorni ma (boh!) 362 giorni?
 > Si può fare questo calcolo preciso?
Il calcolo che si può fare preciso e abbastanza semplice è quello del
moto di una Terra di massa trascurabile.
Ma prima di parlarne voglio premettere una cosa.
 
Non ha molto senso porsi problemi come il tuo se non si ha una
conoscenza adeguata della situazione nella meccanica newtoniana.
Prendiamola alla larga: Galileo c'insegna che tutti i corpi in un
campo gravitazionale cadono con la stessa accelerazione.
E lo stesso accade per il moto orbitale.
Ne segue che il periodo di un moto circolare uniforme attorno al Sole
a una data distanza è lo stesso per qualsiasi corpo.
Però...
 
Prendi un libro di meccanica celeste.
Nelle prime pagine troverai trattato il moto di un pianeta che orbita
unico e solo attorno al Sole, restando a distanza costante r.
(Questo è il primissimo passo della meccanica celeste, ed è un caso
semploce del "problema dei due corpi".)
Dato che non so se conosci la formula, te la scrivo;
 
T = 2pi r^(3/2) / sqrt[G(M+m)]
 
dove M è la massa del Sole, m quella del pianeta.
(Incidentalmente la stessa formula vale anche per orbite ellittiche, a
patto di mettere pe r il semiasse maggiroe dell'orbita.)
 
Ma allora quello che avevo scritto prima non è vero!
A parità di r il periodo per pianeti di massa diversa non è lo stesso!
Lo è solo se m << M, il che nel sistema solare è vero solo
approssimativamente: tutto dipende da che precisione vuoi per il
risultato.
Se ti accontenti dell'1%, m è trascurabile per tutti i pianeti, ma già
all'1 per mille la massa di Giove non la puoi trascurare; se vuoi 6
cifre esatte non puoi trascurare neppure la massa della Terra, ecc.
 
Ma perché succede questo?
Semplicemente perché il pianeta esercita una forza sul Sole, quindi si
muovono entrambi.
Il calcolo si complica un po' ma poco, e il risultato è quello che ho
scritto sopra.
 
Ti starai chiedendo perché ho tirato in ballo la meccanica newtoniana,
se la tua domanda riguardava la RG.
La risposta è semplice: visto che per quasi due secoli la m.n.
spiegava in modo soddisfacente le osservazioni, il risultato del
calcolo RG non se ne deve discostare entro i limiti di quelle
osservazioni.
Quindi non occorre saper fare il calcolo in RG (io non lo so fare) se
non si pretendono parecchie cifre significative: la m.n. è
sufficiente.
-- 
Elio Fabri

 per i nostri scopi). 
 
Vorrei <tentare> di approfondire il concetto : cos'è una curvatura in uno spazio 4D
e infatti non ce n'è una sola..
Forse questo argomento è trattato nei suoi appunti  -
http://www.sagredo.eu-
 
oppure da qualche altra parte ?
 
Nello Coppola

 Elio Fabri scrive :
(casomai il difficile è capire che cos'è "curvatura" in uno spazio 4D,
e infatti non ce n'è una sola
Cosa significa -non ce n'è una sola-? 
C'è forse una curvatura per ognuna delle 4 dimensioni ?
 
af

Nello Coppola ha scritto:
 > Vorrei <tentare> di approfondire il concetto: cos'è una curvatura in
 > uno spazio 4D e infatti non ce n'è una sola..
Ecco, bravo: "tentare" :-)
 
 > Forse questo argomento è trattato nei suoi appunti
 > -
http://www.sagredo.eu-
 oppure da qualche altra parte?
Per cominciare, il tuo Wheeler non ne parla?
Quanto a me, sì, trovi un accenno nel Q16, più esattamente nella Lez.
10.
Visto però come si sviluppa il discorso, non ti posso indicare un
preciso punto. Lì si collegano continuamente maree e curvatura dello
spazio-tempo, ed è importante seguire tutto il ragionamento.
Dovresti quindi cominciare a pag. 130 e arrivare fino alla fine,
incluso il problema 1.
E anche così, perché il tensore di Riemann abbia 20 componenti non lo
verrai a sapere :-)
 
af44...@gmail.com
 ha scritto:

Peggio...
Potrei limitarmi a ciò che ho risposto a Nello Coppola, ma vorrei
aggiungere un commento, valido in generale.
Questa è matematica, più esattamente geometria differenziale delle
varietà.
Non è roba che si possa spiegare in quattro e quattr'otto.
 
Qualcosa si può fare e io nel Q16 ho cercato di fare del mio meglio.
Però per ottenere risultati questo non basta; bisogna che chi legge non
pretenda di fare le nozze coi fichi secchi.
(Siccome non so o non ricordo la tua età, e so che i giovani i proverbi
non li conoscono più, spiego: significa voler ottenere un risultato
difficile con poco sforzo.)
 
Un altro modo di vedere la questione è quello storico.
Oggi possiamo parlare - come facciamo - di maree, curvatura,
geodetiche ... in forme relativamente semplici, ma questo è stato
perché dei giganti ci hanno aperto la strada.
I nomi sarebbero molti ma debbo come minimo ricordare Gauss, Riemann,
Levi-Civita, e ovviamente Einstein.
Ma comunque per avvicinarsi alle loro idee i fichi secchi non bastano
:-) Occorre l'impegno personale.
Chi non è disposto, può sempre occuparsi d'altro.
-- 
Elio Fabri


Queste discussioni sulla curvatura dello spaziotempo sono molto interessanti, ed io
pur non avendo capito tutto (ma spero pian piano di riuscirci), volevo <collaborare> 
segnalando un link  
https://physics.stackexchange.com/questions/156584/relationship-between-mass-and-the-radius-of-curvature-of-space-and-time
 
ma forse sto ingarbugliando la matassa invece di scioglierla...infatti nel link c'è scritto :
 
    What is the relationship between mass and the radius of curvature of space and time created due to the presence of the mass?
 
It is not that simple. The curvature of space-time does not only depend on a mass, like for example on the mass of the earth.
 
 
The curvature depends also on the distance from this mass. Near to the mass the curvature is larger (hence the radius of curvature is smaller). And far away from the mass the curvature is smaller (hence the radius of curvature is larger).
 
 
But in the Newtonian limit of general relativity (i.e. weak gravity and slow speeds) there is actually a very simple relation between the radius of curvature R  in 4-dimensional space-time and the gravitational acceleration g:
 
R = c²/g
 
You may find a derivation of this formula in my answer to another question.
 
Example:
At the surface of the earth we have g=9.8 m/s2
. This gives a radius of curvature R=9.2�‹--10^15 m≈1 light-year.
 
Questa risposta mi ha ulteriormente confuso la mente (che già era confusa).
Perchè scrive : But in the Newtonian limit of general relativity (i.e. weak gravity and slow speeds)
e poi da il risultato R = 9.2�‹--10^15 m≈1 light-year.
Mentre con la formula  K = GM/(c^2 r^3)  il risultato viene 1.7*10^11 m
evidente mente si parla di due cose diverse...ma io come al solito non ho capito.
Bruno


 
Ma 1/K non è una lunghezza, è una lunghezza al quadrato. Non mi ricordo in che contesto hai trovato K = GM/(c^2 r^3), bisogna capire che significa.
 
--
Wakinian Tanka 


Wakinian Tanka scrive :
Non mi ricordo in che contesto hai trovato K = GM/(c^2 r^3), bisogna capire che significa. 
La formula si trova seguendo questo link : 
https://www.sagredo.eu/Q16/lez10.pdf
  e precisamente è la formula 10-9
e un poco più avanti il Prof.Fabri ci dice che per la Terra il valore trovato è 1.7*10^11m
ciao
Bruno

Alberto_Rasà ha scritto:
 > Nota che [c^2/g] = L:
 > la dimensione fisica di una velocità al quadrato diviso una
 > accelerazione è una lunghezza.
Come premessa generale, usare argomenti dimensionali per trarre delle
conclusioni fisiche è poco consigliabile, perché spesso si riesce a
dimostrare quello che si vuole.
Nel nostro caso, GM/c^2 è una lunghezza.
Quindi GM/(c^2 R) è un numero puro.
GM/(c^2 R^2) è l'inverso di una lunghezza.
GM/(c^2 R^3) è L^(-2).
Eccetera...
Ci sono quindi infiniti modi di estrarre una lunghezza ed è arbitrario
chiamarla "raggio di curvatura".
Occorre un argomento *fisico*.
 
Andando più in dettaglio:
2GM/c^2 è il raggio di Schwarzschild Rs, che non ha niente a che
vedere con la curvatura. Per la Terra vale circa 9 mm, per il Sole
3 km.
 
GM/(c^2 R) = Rs/(2R) viene usato spesso per stimare l'ordine di
grandezza degli effetti di RG.
Per la Terra vale 10^(-9) (ordine di grandezza), per il Sole qualche
10^(-6).
 
GM/(c^2 R^2) = g/c^2 è quello dato nel post su PSE come raggio di
curvatura, ma è un'idea del tutto errata.
"Curvatura" è un concetto con un significato matematico preciso, e non
si può usare a casaccio (v. appresso).
Sulla Terra g/c^2 vale circa 10^(-16) m^(-1) ed è utile per stimare il
redshift gravitazionale: appunto 10^(-16) per metro.
Invece dalla sup. della Terra all'infinito il redshift sarebbe
GM/(c^2 R) =~ 10^(-9).
 
 > Ma 1/K non è una lunghezza, è una lunghezza al quadrato. Non mi
 > ricordo in che contesto hai trovato K = GM/(c^2 r^3), bisogna capire
 > che significa.
Povero me, quanta fatica sprecata :-(
Q16, lez. 10.
Uno dei possibili modi di definire la curvatura di una varietà è di
ricavarla dalla deviazione delle geodetiche.
L'esperimento ideale con due masse nell'ascensore di Einstein fa
proprio questo,
La curvatura gaussiana è appunto l'inverso del quadrato di una
lunghezza, quindi ha senso definire raggio di curvatura 1/sqrt(K).
Ricordando però che in realtà in 4D non c'è una curvatura sola, anche
se ci si può aspettare che siano tutte più o meno dello stesso ordine
di grandezza.
Ne ho parlato in alcuni post recentissimi. Non li hai letti?
-- 
Elio Fabri