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Titolo: Lo stano caso dei fotoni correlati

Certo che questo fatto dell'entanglement quantistico e' davvero misterioso.
 
 
Una mente razionale, di fronte alla presentazione di questo comportamento, non può non pensare, in prima battuta, che lo stato di ciascuno dei due oggetti correlati sia predeterminato, da variabili non note.
 
Poi  Aspect dimostrò sperimentalmente, con i sui polarizzatori girevoli,  che qualcosa doveva arrivare al secondo oggetto, quando il primo veniva ridotto, a velocità superiore a quella della luce.
 
 
( tra parentesi: ho visto gli esperimenti Aspect, e mi pare di poter dire che nulla possa dimostrare che la "passione a distanza" avvenga istantaneamente, come si dice spesso. Si dimostra, semmai, che la diseguaglianza di Bell è violata, e che quindi la località non è garantita.
 
 
Inoltre non è detto che il fenomeno avvenga a qualsiasi distanza tra i due oggetti correlati, come si dice spesso. Gli esperimenti di Aspect  dimostrano che il fenomeno si presenta fino ad una decina di metri. Recentemente si è parlato di qualche chilometro, ma qui a dire " in ogni altro punto dell'universo" ce ne corre. )
 
Comunque, a me appare un effetto di enorme portata concettuale.
Sembra aprire una voragine di ignoranza. 
Sembra che ci dica che non abbiamo capito nulla.
 
Chissà che c'è dietro?
 
Si possono trovare pseudo spiegazioni. Ad esempio:
 
1 - I due oggetti entangled sono in effetti un unico oggetto, come le due facce di una stessa moneta.
Una moneta dalle ben strane proprietà, però
 
 
2 - Esiste un mediatore della "passione a distanza", che si muove a velocità superiore a C (valore da definire). Qualcuno, per altro, ipotizzò in passato l'esistenza di tachioni, ovvero di oggetti per cui C sia un limite inferiore, per la velocità. Peccato che non riusciremo mai a venire in contatto, con questi tachioni.
 
3 - L'estensione spazio temporale è un'illusione.  L'universo quadridimensionale è un ologramma di un volume tridimensionale. In un ologramma una parte conserva l'informazione del tutto, anche se sfumata. 
 
In fondo le relazioni di indeterminazione non sono che l'espressione di una incapacità di mettere a fuoco la realtà.  Bene: come andare oltre?
 
 
4 - Ogni volta che avviene la riduzione di una funzione d'onda si genera una biforcazione dello sviluppo dell'universo. Una in cui lo stato è definito A ed una in cui lo stato è definito B. Evvabbè. Ma come mai, in questa serie infernali di sentieri che si biforcano, i due oggetti continuano ad essere correlati?
 
Ovviamente questa non è fisica, ma solo parole.
Ma ciò non toglie che occorre fare fisica, dietro questo fenomeno.
Sembra che ciò debba condurre ad una nuova visione del mondo.
 
O no?
 
ReBim

 primo veniva ridotto, a velocità superiore a quella della luce.
 
No di certo, basterebbe che tu provassi a pensare come
operativamente si potesse distinguere il "primo" e il "secondo",
perche' ti risultasse chiara l'infondatezza dell'affermazione
sopra...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 
 

 Una moneta dalle ben strane proprietà, però
 
Secondo me bisogna immaginarsi una nuova entità fisica che superi la distinzione classica materia-particella/campo-onda, come fu fatto con l'introduzione dell'entità campo nell '800.
 
Alcune brevi note:
 
1- è vero che la distanza a cui può manifestarsi l'entanglement è stata provata solo per distanze brevi, ma guardando alle eq. della MQ non vi sono vincoli di distanze;
2- mi pare di avere sempre capito (letto) che quando avviene la riduzione di una funzione d'onda l'entanglement sparisce.
 
 
Ciao
Maurizio
 


 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)
 
 
---
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 perché nell'entanglement sembrerebbe non averlo ?
 
Beh, semmai il difficile ;-) sarebbe realizzare l'entanglement
in un sistema macroscopico, mentre attualmente si puo'
realizzare solo in sistemi microscopici anche se vengono
poi fatti separare per distanze macroscopiche.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 O no?
No. Solo se si trovasse qualcosa che la nostra teoria attuale è
incapace di spiegare.
Ma non ne vedo tracce per ora.
Naturalmente, "mai dire mai" :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 
In aggiunta a quello che dice Giorgio, ti consiglio di leggere questo pdf del Prof. Giancarlo Reali dell'Università degli studi di Pavia
http://www-3.unipv.it/fis/tamq/MQ%20a%20tutte%20le%20scale%20di%20grandezza.pdf
 
che presenta così:
 
"Questo documento non contiene nulla di originale da parte mia, ed e' in larga misura la traduzione di un intervento semidivulgativo di R. Balian (un fisico francese) che mi e' parso molto interessante per l'evidenziazione del ruolo della Meccanica Quantistica nella comprensione della Natura."
 
 
Se vogliamo invece vedere gli ordini di grandezza in cui la MQ opera, dipende anche da cosa quardi, ad esempio nei due fenomi tipicamente quantistici dispersione e interferenza:
 
 
1- dispersione: il fatto che un oggetto quantistico una volta localizzato, trovato in un range delta_x, poi con il passare del tempo il delta_x in cui può essere trovato aumenta 
prova a vedere questo 
http://musr.physics.ubc.ca/~jess/p200/gwp/gwp.html
 . 
Ti riporto per curiosità due conclusioni:
- The same electron initially confined to a 1 mm sized wave packet will take 0.0172 s to disperse to a wave packet 1.414 mm in size; 
 
- A one-gram marble localized to within 0.1 mm will delocalize spontaneously (the physical meaning of dispersion) to 0.1414 mm only after 1.89 x 10^24 s. (That is, 6x10^16 years!) 
 
2- interferenza
 
L'interferenza quantistica dipende dalla lunghezza d'onda di De Broglie lambda=h/p e per avere fenomeni di interferenza l'oggetto deve incontrare ostacoli di dimensioni paragonabili con essa:
lambda di una palla da tennis: circa 4x10^-34 m
lambda di granello di polvere da 1 microm: circa 0,7x10^-16 m
lambda di un elettrone nell'atomo di H: circa 3,2x10^-10 m, e qui si può possono realizzare esperimenti reali.
(fonte 
https://dl.dropboxusercontent.com/u/4339818/CC.pdf
)
 
 
Per quanto rigurda l'entanglement ti rimando a quelo che ha scritto Marco Giampaolo su FISF in 'Per Maurizio Malagoli su ISF ed anche per Soviet_Mario', 
anche se ho una domanda per lui.
 
Ciao
Maurizio
 
 


 
 


 La novità è "solo" sperimentale, non ha minimamente toccato la teoria.
 
si. Avrei dovuto arrivarci da solo.
In effetti, se si da per buono:
 
1 - che il risultato dalla riduzione non è pre definibile
2 - che si possano preparare sistemi a due oggetti in cui la "somma" degli stati sia una costante.
 
allora il fenomeno era già scritto nella teoria mq.
 
Ma le affermazioni 1 e 2 sono davvero compatibili tra loro?
 
In particolare: i principi di conservazione che riguardano la m.q. possono davvero essere categorici, o è meglio pensare che siano a loro volta affetti da indeterminazione, o che si degradino nel tempo e nello spazio?
 
ReBim

 nello spazio?
Tu puoi pensare quelo che vuoi, ma la m.q. non è così
Niente impedisce di concepire una teoria fatta come dici (a patto però
di farne una vera "teoria", non solo chiacchiere) e di metterla a
confronto con l'esperienza.
Ma questa teoria non sarà pià la m.q.
 
Però il mio problema a monte è: ma tu hai una conoscenza adeguata della
m.q., sì da poter affrontare problemi del genere con un minimo di
serietà?
 
 
-- 
Elio Fabri

 serietà?
 
Questa domanda e' davvero difficile.
Come sai non ho studiato fisica in modo organico o accademico.
Per di più non sento di possedere l'armamentario matematico della m.q.
Posso dirti di aver tentato di studiare, sul tema:
- Ghirardi. Un'occhiata alle carte di dio
- Picasso. Lezioni di meccanica quantistica
- Rossetti. Rudimenti di meccanica quantistica
ma non credo che ciò basti a conferire quell'adeguatezza a cui fai riferimento.
 
Per me la fisica è un gioco di stupore e di fantasia.
Penso che entrambi gli attributi (la capacità di stupirsi e la fantasia ) siano vitali in buon fisico.
 
Per me, che non possiedo gli strumenti concettuali e operativi adeguati, sono solo requisiti per tirar fuori un po' di piacere nel giocare, nel pensarci quando sono solo in auto, e non certo per confezionare una qualsivoglia teoria fisica "seria".
Tutto qui.

 serietà?
 
Arrivo a serietà minime, ad esempio come segue.
 
Organizziamo un esperimento.
 
Un cannone elettronico produce coppie di elettroni correlati rispetto alla direzione di propagazione. 
Nel senso che i due elettroni della coppia hanno opposta direzione di propagazione.
Inserisco ora, diametralmente rispetto alla sorgente di elettroni, due doppie fenditure, e, successivamente, due schermi.
Si tratta cioè del famoso esperimento delle due fenditure duplicato specularmente ( parte A e parte B ), lavorando con oggetti correlati.
Presso la parte A, un tecnico, attraverso l'uso di luce, individua in quale fenditura passa ogni elettrone.
Quale sarà il risultato complessivo dell'esperimento?
Penso che lo schermo A non presenterà figura di interferenza.
 
Ma che dire dello schermo B? Se gli elettroni sono correlati, ogni volta che l'elettrone in A sarà ridotto a passare in una determinata fenditura, lo stesso succederà in B.
Dunque anche in B lo schermo non presenterà interferenza?
 
Ma se così è, come spiegherà l'assenza di interferenza un tecnico in B, che nulla potrebbe sapere di ciò che succede oltre il cannone?
 
ReBim

 B, che nulla potrebbe sapere di ciò che succede oltre il cannone?
 
*Se* in B non si osservera' interferenza, il tecnico giustamente
dedurra' che il fascio di elettroni incidenti sullo schermo non si
trova in una sovrapposizione di stati "elettrone che passa da
fenditura 1 + elettrone che passa da fenditura 2" bensi' in
una miscela statistica di stati "elettroni che passano da
fenditura 1" + "altri elettroni che passano da fenditura 2".
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 

 Penso che lo schermo A non presenterà figura di interferenza.
Ottimo: ora possiamo provare a dare una prima formalizzazione del tuo
esperimento.
Non mi preoccupo troppo di come si potrebbe concretamente realizzare:
questo lo lasciamo agli sperimentali :-)
Viste le tue letture, non dovresti avere difficoltà a seguirmi.
 
In sostanza mi dici che le due particelle sono in un autostato
dell'impulso totale, con autovalore 0. Potrei scrivere per es.
|1,p>|2,-p> (credo che la notazione sia chiara).
Però questo non è uno stato intrecciato: ciascuna particella è per
proprio conto in un autostato del suo impulso, solo che i due
autovalori sono opposti.
In queste condizioni non c'è alcun motivo perché una misura su 1 alteri
lo stato di 2, quindi ho fatto una schematizzazione troppo semplice.
 
Proviamo questa:
 
|1,p>|2,-p> + |1,q>|2,-q>.
 
Ora ci sono *due* autovalori dell'impulso (nota che in generale
saranno vettori: potrebbe servire); le due particelle hanno sempre
autov. opposti, quindi l'imulso totale è nullo. Ma l'impulso di
ciascuna particelle di per sé *non è determinato*.
Questo è uno stato intrecciato.
 
Ora dobbiamo descrivere le fenditure.
Per la particella 1, chiamo a,b le fenditure; per la particella 2 le
chiamo c,d.
Coerentemente, indico con |1,a> lo stato della particella 1 se è
passata dalla fenditura a, ecc.
 
Se avessi solo la particella 1, direi che l'ampiezza per la particella
con impulso p che passa per a è <1,a|1,p>. La rispettiva probabilità
sarà |<1,a|1,p>|^2.
Se x è la posizione di un punto sullo schermo, la probab. che una
particella nello stato |1,a> arrivi in x sarà |<x|1,a>|^2.
Sempre se avessi solo la particella 1, per es. in uno stato |1,p>, e
le due fenditure, lo stato della particella dopo le fenditure sarebbe
 
|1,a><1,a|1,p> + |1,b><1,b|1,p>.  (1)
 
Nota che si tratta di una sovrapposizione di |1,a> e |1,b>, con
oportuni coefficienti.
La probab. di rivelare la particella in x sarebbe
 
(<1,p|1,a><1,a|x> + <1,p|1,b><1,b|x>) *
   (<x|1,a><1,a|1,p> + <x|1,b><1,b|1,p>) 
|<a|p>|^2 |<x|a>|^2 + |<b|p>|^2 |<x|b>|^2 +
   <p|a><a|x><x|b><b|p> + <p|b><b|x><x|a><a|p>
 
(ho soppresso l'1 che al momento è superfluo).
I primi due termini sono risp. la prob. che la particella atterri in x
essendo passata per a oppure per b.
Gli altri due sono i termini d'interferenza (che sia così, lo si
potrebbe vedere dando un'espressione per <x|a> e <x|b>: si scoprirebbe
che la somma dei due termini oscilla al variare di x, come ci si
aspetta da brave frange d'interferenza.
 
Naturalmente se il tecnico ha messo qualcosa che gli permette di
rivelare *dove* la particella è passata, la probab. che arrivi in x
sarà semplicemente data dalla prima riga, cioè la semplice somma delle
due probab. di rivelare la particella in x se è passata per a, e se è
passata per b.
Perché questo? quale sarebbe in questo caso lo stato della particella
dopo le fenditure?
Non sarebbe più uno stato puro sovrapposizione di |1,a> e |1,b> con
quei coefficienti: sarebbe una /miscela statistica/ (incoerente) dei
due stati, coi pesi |<1,a|1,p>|^2 e |<1,b|1,p>|^2.
 
Se sei riuscito a seguirmi fin qui, ne sono felice.
Ma siccome non ne sono sicuro, credo più saggio lasciarti prendere
fiato e darti spazio per eventuali domande.
Poi si continua...
 
 
-- 
Elio Fabri

 Ciao
ReBim

 Poi si continua...
 
Ciao.
Ti ringrazio per questo accompagnamento didattico.
 
Di fatto ciò mi fa anche sentire un po’ scemo, perché pongo delle questioni sul comportamento della natura senza aver prima fatto la cosa più sensata, ovvero tentare di applicare il modello fisico applicabile, e leggere la risposta.
 
Comunque: direi che ti sto seguendo.
In effetti da solo sono arrivato a scrivere
|1,a><1,a|1,p> + |1,b><1,b|1,p>. come stato di una particella che sia passata da a oppure da b.
 
Sono anche quasi arrivato alla probabilità che la particella impatti in x 
P(x1)= (<1,p|1,a><1,a|x> + <1,p|1,b><1,b|x>) * 
   (<x|1,a><1,a|1,p> + <x|1,b><1,b|1,p>) 
|<a|p>|^2 |<x|a>|^2 + |<b|p>|^2 |<x|b>|^2 + 
   <p|a><a|x><x|b><b|p> + <p|b><b|x><x|a><a|p> 
 
Dico "quasi" perché commettevo un errore formale nell'applicazione dell'algebra dei Braket.
 
Invece, quello che _non_ sono arrivato a scrivere è
S = |1,p>|2,-p> + |1,q>|2,-q>. 
E anche se ci fossi arrivato, avrei pensato che q=p per la condizione che l'impulso totale è nullo, ritornando alla 
1,p>|2,-p>, che non porta da nessuna parte.
Questa formula che hai scritto in fondo è banale, ma bisognava arrivare a "tradurre" l'indeterminazione.
Bravo! :)
 
Bene, a questo punto occorre andare avanti, per vedere cosa comporta, in 2, il fatto che in 1 togliamo  interferenza.
 
Nel caso generale, vale in 2 la stessa distribuzione che hai scritto per 1
P(x2)= (<2,p|2,a><2,a|x> + <2,p|2,b><2,b|x>) * 
   (<x|2,a><2,a|2,p> + <x|2,b><2,b|2,p>) 
|<a|p>|^2 |<x|a>|^2 + |<b|p>|^2 |<x|b>|^2 + 
   <p|a><a|x><x|b><b|p> + <p|b><b|x><x|a><a|p> 
 
Ma la distribuzione in 2 è legata dalla distribuzione in 1 dalla
|1,p>|2,-p> + |1,q>|2,-q>. 
 
Dovrebbe dunque risultare possibile scrivere la P(x2) in funzione della P(x1)
E _poi_  azzerare il temine di interferenza in 1 e vedere quanto rimane in 2.
 
Però non ci riesco, e questo mi fa incazzare.
:)
ReBim

 inespugnabile.
 
Peggio: potremmo inviare segnali piu' veloci della luce
(la crittografia quantistica esiste gia`).
Anni fa avevo immaginato uno schema simile basato
sull'entanglement, ma poi a conti fatti era la relazione
di indeterminazione a far quadrare i conti impedendo la
formazione delle figure di interferenza e quindi il
passaggio di informazione. Sospetto fortemente che sia
cosi' anche nel tuo caso, ma bisognerebbe formalizzare
tutto per bene tenendo conto di tutto, compresi gli
scambi di quantita` di moto nelle interazioni tra
fotoni, schermi e fenditure.
Ho provato a cercare quel vecchissimo thread ma non
riesco a trovarlo.
 
Ciao
Paolo Russo

 
ma mi ero dimenticato di sostituire, oltre che 1 con due, anche p con q.

 inespugnabile.
Debbo dire che in queste cose sono piuttosto tardo :-)
per cui non ho capito il tuo ragionamento.
Primo: come si fa a vedere che non c'è interferenza?
Vorresti darmi una descrizione *precisa* della procedura operativa?
 
Secondo: quale sarebbe il bit d'informazione trasferito?
 
terzo: in che consisterebbe la crittografia inespugnabile?
 
Te l'ho detto: sono tardo, quindi ho bisogno di risposte
*assolutamente* precise...
 
 
-- 
Elio Fabri

 Però non ci riesco, e questo mi fa incazzare.
Non te la prendere :-)
Ti faccio presente che provando ad andare avanti mi sono accorto che
stava diventando un discorso lungo e anche illeggibile, per le
limitazioni del mezzo.
Perciò ho preso una decisione: ho trasferito tutto in un file pdf.
Il file è in evoluzione, e potrà cambiare, anche se non ho idea
di quanto tempo mi ci vorrà per arrivare in fondo (anzi, neppure se ci
arriverò...).
 
Lo trovi in
http://www.sagredo.eu/temp/fenditure-temp.pdf
 
Controlla la data, perché come ho detto cambierà quando avrò qualcosa
di sensato da aggiungere.
Per ora ci trovi tutto quello che avevo già scritto, più un po' di
sviluppi (incluse alcune precisazioni matematiche che mi sono sembrate
utili, anche se forse le troverai superflue).
 
 
-- 
Elio Fabri


 
Divido il laboratorio in due zone per mezzo di un bel tendone nero.
Chiamo A e B le due zone.
 
Pratico un foro nella tenda, e sospendo nel foro il cannone elettronico in grado di emettere coppie di elettroni intrecciati. Della coppia, un elettrone sarà emesso nella zona A e l'altro nella zona B.
Le strutture che vado a mettere nel laboratorio saranno identiche nelle due zone, simmetriche rispetto al tendone. 
Preparo, in ognuna delle due zone, uno schermo, e, tra lo schermo ed il cannone, due fenditure.
 
 
Lo schermo è in grado di registrare la posizione in cui impatta ciascun elettrone. Un elaboratore, collegato allo schermo, effettua un test di adattamento tra la distribuzione dei punti di impatto ed i due modelli statistici "corpuscolare" ed "ondulatorio".  Se il numero di elettroni è sufficientemente alto la probabilità che il calcolatori si sbagli è decisamente piccola.
Ci saranno due persone, il tecnico A ed il tecnico B.
 
Il cannone acceso emette una serie di coppie di elettroni.
 
Il cannone viene acceso per un tempo Ta, durante il quale emette un numero elevato di coppie, dopo di che viene spento per un tempo Ts; dopo di che viene riacceso ancora per Ta, e cosi nel seguito.
Un segnale, visibile da entrambi i tecnici, informa se il cannone è acceso oppure spento.
 
Consideriamo un tempo Ta. 
Supponiamo che il fatto che gli elettroni siano intrecciati implichi che se sullo schermo A non ci sia interferenza non sia nemmeno su B, e viceversa.
Questa ipotesi è appunto quella su cui volevo indagare, ma ora supponiamo sia valida.
 
Il tecnico A intende trasferire al tecnico B un bit di informazione.
L'accordo è: Interferenza =1, non interferenza=0
 
 
Se il tecnico A vuole trasferire "0", accende la sua attrezzatura che gli consente di sapere in quale delle due fenditure è passato ciascuno dei suoi elettroni.
Lo schermo B registrerà una distribuzione "non ondulatoria" per cui il tecnico B riceverà correttamente il bit d'informazione.
 
Un alfabeto morse.  
 
Sulla inespugnabilità: ho detto una sciocchezza, ripensandoci.
 
Invece sto pensando, come già mi è stato detto, che una simile attrezzatura potrebbe consentire la trasmissione di informazione a velocità maggiore di C. 
Non credo, ma ora devo dire precisamente perché non è possibile.
Mi prendo un po' di tempo, per questo.
 
Ciao
ReBim
 
 

Tu scrivi:
....  Gli altri due sono i termini d'interferenza (che sia così, lo si 
potrebbe vedere dando un'espressione per <x|a> e <x|b>: si scoprirebbe 
che la somma dei due termini oscilla al variare di x, come ci si 
aspetta da brave frange d'interferenza. 7
.......
 
Si, ma non è una cosa banale, fare questo.
 
Il fatto è che dietro la notazione di Dirac ci sono gli spazi di Hilbert, e dietro gli spazi di Hilbert ci sono le equazioni differenziali. Le quali ( eq. diff ) sono le uniche, in quanto relazione tra le grandezze e le loro variazioni, delegate a fare fisica.
 
Tu mi dici: dai un'espressione a <x|a>, che per altro, per complicare la vita, è un prodotto scalare ma anche un funzionale.
Mica facile: quella di Dirac è una notazione di alto livello astratto. E nemmeno chiarissima
 
 
 
Ovviamente un minimo di sensibilità mi fa dire che, se considero gli elettroni come onda ( la cui lunghezza si ricava seguendo DeBroglie) e se so la geometria dell'apparato, allora quegli x per i quali la differenza di distanza dalle due fenditure è una semi lamda saranno di massimo o di minimo.
Evvabbè.
 
 
La cosa certa è che non posso andare avanti così. Non posso capire al 50% quello che leggo. Non posso andare a cercare le cose su internet per eccezioni, e poi sperare che tutto si fonda in una conoscenza apprezzabile. Ogni argomento si apre in altri, come scatole cinesi.
Ho bisogno di un piano di studi.
 
Be':  comunque tra qualche mese finisco giurisprudenza. Mi mancano due esami, e ho già pronta una bella fetta di tesi.
Poi ci penso seriamente, a stacazzo di Fisica.


 Elio Fabri
 
Buongiorno.
Controllo spesso la data, che però non varia.
La chiusura è sempre la sconsolata frase finale.
:)
 
 
 
Ho provato a cambiare la tua
 
|1,p>|2,-p> + |1,q>|2,-q>. 
 
con
 
|1,Ku>|2,-Mu+d> + |1,Mu-d>|2,-Ku>.
 
 
dove u è un vettore impulso unitario, d è un vettore piccolo, normale ad u, e K ed M sono due numeri ( senza perdere generalità K potrebbe essere 1 ).
 
Ciò anche perchè l'intreccio potrebbe essere solo sulle direzioni opposte di propagazione, senza che si debba imporre l'eguaglianza dei moduli degli impulsi.
 
Mi pare che ciò semplifichi i calcoli, perché risulta nullo il prodotto scalare tra u e d, ma, se ripercorro i tuoi calcoli, non vado in fondo.
 
Proviamo a cambiare completamente formalismo?
 
Mi sono letto "approccio spazio temporale alla meccanica quantistica non relativistica, di R.P. Feynman, NY 1948.
La formulazione proposta mi piace molto. Fantasiosa, elegante.
 
E' vero che non aggiunge nulla, concettualmente, alla formulazione degli autovalori, ma nel caso delle due fenditure e degli elettroni intrecciati la trattazione potrebbe risultare più semplice.
 
Per ogni percorso la densità di probabilità è
Pj=J e^ (iS/htagliato) ove S è l'azione
Il vantaggio è che qui abbiamo solo due percorsi.