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Titolo: particelle identiche

Salve a tutti.
Mi sto convincendo sempre piu' che le proprieta' di simmetria o
antisimmetria di un sistema di particelle non dipenda affatto come si
dice di solito dal fatto che sono identiche e che quindi una loro
permutazione e' una simmetria della lagrangiana.
Direi piuttosto che si postula che un sistema fisico ha l'Hamiltoniana
che commuta con le permutazioni che scambiano le particelle (identiche
o no che siano). Personalmente mi spiego questo fatto pensando che la
fisica non deve dipendere da come enumero le particelle, da quale
ordine utilizzo per differenzarle.
E' corretto questo modo di vedere le cose? E prima ancora e' vero
quanto ho scritto sopra circa il ruolo delle particelle identiche?
Grazie e saluti.

argo ha scritto:

Non ho tempo per dire tutto quello che vorrei dire. Dai un occhiata
a quello che ho scritto nel 2002 (come passa il tempo!!!)
nel thread "Neutrone".
   Ciao, Valter

 nel thread "Neutrone".
Ciao,
ho dato una lettura veloce al thread e mi sembra che li' la questione
sia tutta incentrata sul teorema spin-statistica.
A me non interessa tanto la connessione tra lo spin e statistica, mi
interessava piuttosto chiarire il ruolo dell'aggettivo identiche
associato ad insiemi di particelle anche dello stesso spin.
Supponiamo di avere solo 2 tipi di particelle di spin 1/2: l'elettrone
e il muone (e consideriamole libere).
Dal teorema di spin statistica sappiamo che il vettore di stato di un
insieme di piu' elettroni e' dispari sotto lo scambio di due elettroni
qualunque. Lo stesso per sistemi di di soli muoni. Solitamente questa
invarianza dello stato del sistema si attribisce al fatto che le
particelle sono identiche.
Pero' se considero un vettore di elettroni e muoni non dovrebbe anche
questo essere dispari sotto lo scambio di due particelle qualunque,
anche non della stessa specie?
Penso questo perche' gli operatori di creazione dell'elettrtone a* e
del muone b* anticommutano  tra loro {a*,b*}=0 e quindi
a*(1)a*(2)...a*(n)b*(1)...b*(m)|0>=
--[a*(1)a*(2)...b*(1)a*(n)...b*(m)]|0>.
Mi chiedo dunque: che c'entra quindi l'argomento delle particelle
identiche?
A me sembra che non c'entri nulla, o se vuoi mi sembra che ai fini
delle proprieta' di scambio si possano considerare uguali tutte le
particelle della stessa statistica, prescindendo dagli altri numeri
quantici che le caratterizzano.
E' un modo corretto di vedere le cose?
Grazie, ciao.

 a*(1)a*(2)...a*(n)b*(1)...b*(m)|0>> --[a*(1)a*(2)...b*(1)a*(n)...b*(m)]|0>.
Guarda che non hai scambiato niente in questo modo. Lo spazio di
Hilbert del sistema è il prodotto tensoriale dei due spazi di Fock
antisimmetrizzati: degli elettroni e dei muoni e quindi c'è un ordine
fissato una volta per tutte (anche se convenzionale): prima gli
elettroni e poi i fermioni, in tutti gli stati.
Non guardare al cosa con gli operatori di  creazione e distruzione, ma
usa gli spazi di Hilbert a numero fissato di particelle. Gli stati
elettronici e muonici sono separatamente invarianti a meno del segno
per scambio delle particelle costituenti, mentre scambio tra uno stato
elettronico ed uno muonico semplicemente non si può fare perchè
usciresti dallo spazio di Hilbert. Facciamo il caso elementare: un
elettrone ed un muone. Lo spazio di Hilbert è il prodotto tensoriale
dello spazio di Hilbert di un elettrone e dello spazio di Hilbert di un
muone. L'ordine conta: prima gli elettroni e poi i muoni. Gli stati del
sistema sono tutte le combinazioni lineari anche infinite di stati
prodotto |Elettorne> tensor | Muone>  con ovvie notazioni. Scambiare le
due particelle corrisponderebbe a
|Elettorne> tensor | Muone>  ->  | Muone> tensor |Elettrone>
Il secondo stato non appartiene allo spazio di Hilbert del sistema.
Se vedi la cosa nello spazio di Fock il primo stato (|Elettorne> tensor
| Muone>)è,
se a* crea elettroni e b* muoni:
a*(Elettorne)b*(muone) |vuoto complessivo> = -
b*(muone)a*(Elettorne)|vuoto complessivo>
il secondo stato (| Muone> tensor |Elettrone>)  non è nello spazio di
Hilbert...
Ciao, Valter

 Hilbert...
Se il primo membro e' nello spazio di Hilbert degli stati, per
l'uguaglianza anche il secondo lo e'.
La mia domanda se vuoi si puo' porre in vari contesti: perche' tutti i
fermioni nel formalismo dell'integrale funzionale sono variabili di
Grassman e quindi anticommutano tutte tra di loro (stessa specie o no)?
Quando nella teoria perturbativa scambio due fermioni anche di specie
diversa per fare le contrazioni di Wick prendo un segno meno che va
messo.

 messo.
Per i fermioni dello stesso tipo la anticommutatività è quella che
mette a posto varie cose come la positività dell'energia che non hai a
livello classico ma ce l'hai in seconda quantizzazione proprio per il
segno meno che appare scambiando gli operatori di creazione e
distruzione per avere l'ordinamento normale. L'anticommutazione di
campi fermionici differenti e per campi fermionici e bosonici è una
delle possibili *convenzioni*. Il problema è stato studiato da Araki
che ha mostrato che ci sono diverse convenzioni possibili ma che
attraverso una ridefinizione dei campi, che conserva la fisica, ci si
può sempre ricondurre alla convenzione standard. 
Ciao, Valter


Mi stai dicendo che dato un vettore |v> nello spazio di Hilbert
H=Antisimm.(H_e) x Antisimm.(H_mu)
a*b*|v>=-b*a*|v>
dove
a*b*=a* x b* e b*a*=-a* x b*?
Messo cosi' sembrerebbe solamente una questione di notazione, visto che
cosi' l'ordine di a* e b* non conta piu' nulla. Addirittuta sembrebbe
che uno possa definire a*b*=b*a* come se fossero bosoni (o ancora  con
una fase  a*b*=exp(i phi) b*a* che non mi fa uscire dal raggio). In
questo schema lo scambio di un elettrone e di un muone vorrebbe dire
scambiare gli indici che caratterizzano lo stato
a*(k1)b*(k2)|0>----->a*(k2)b*(k1)|0>=-b*(k1)a*(k2)|0>.
La cosa che non mi quadra molto e' che questa notazione permette una
costruzione di questo tipo.
Potrei aggiungere un numero quantico m in piu' che mi numera la specie
(m=m_e per gli elettroni m=m_mu per i muoni, se vuoi m sarebbe la
massa) e usare un solo (si fa per dire visto che dipende da un indice a
due valori) operatore di creazione a*(k,m):
a*(k,m_e)|0> e' lo stato di un elettrone decritto da altri numeri
quantici k (per esempio l'impulso)
a*(k,m_mu)|0> e' lo stato di un muone ...
Poi impongo {a*,a*}={a,a}=0 e
{a(k1,m1),a*(k2,m2)}=delta(k1,k2)delta(m1,m2), e costruisco gli stati a
piu' particelle
a*(k1,m1)a*(k2,m2)|0>, a*(k1,m1)a*(k2,m2)a*(k3,m3)|0>,...
In questo modo ho semplicemente riscritto le regole usuali di
anticommutazione ect, solo che ora non si vede motivo (formale) di dire
che lo spazio di Hilbert  e' il prodotto tensore di due spazi di
Hilbert separati (gli Hilbert degli stati che si ottengono dal vuoto
per applicazione di a*(k1,m=m_e) e a*(k2,m=m_mu)). Sembrerebbe piu'
logico trattare il sitema come costituito da una sola particella (con
due diversi autostati di massa possibili) e quindi costruire lo spazio
di Hilbert dal vuoto applicando simultaneamente a*(k1,m_e) e
a*(k2,m_mu). Lo spazio che si ottiene sara' descritto da vettori
antisimmetrici nello scambio di di particelle e differisce dal prodotto
tensore di cui sopra, nel senso che sono ammissibili stati |m_e,m_mu>
che |m_mu,m_e>.
L'invarianza del fatto che la fisica non dipenda dall'ordine con cui
descrivo le cose si vedrebbe nel fatto che |m_e,m_mu>=-|m_mu,m_e>.
Sto vaneggiando e prendendo lucciole per lanterne?
Grazie della pazienza e del tempo che mi hai dedicato (e che spero mi
dedicherai).
Saluti.

 del muone b* anticommutano tra loro {a*,b*}=0
??? non so
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 ??? non so
il fatto e' che ci sono simmetrie che mescolano particelle di specie
diversa (chesso' SU(2) elettrodebole) e quindi direi che e' quasi
obbligatorio decidere {a*,b*}=0 tra fermioni se vuoi tenere una
notazione semplice.
Quello che mi chiedo e': si parla solo di notazione o c'e' di piu'?

 per applicazione di a*(k1,m=m_e) e a*(k2,m=m_mu))
Questo è un altro discorso che non avevo capito prima, perché partivo
dal presupposto di sapere *a priori* come era costruito lo spazio di
Hilbert del sistema sapendo a priori che è composto da due particelle
elementari.
Ti stai mettendo da un punto di vista completamente matematico. E stai
usando il fatto che il prodotto tensoriale di due  spazi di Fock
antisimmetrizzati F(H1) X F(H2) è isomorfo allo spazio di Fock
antisimmetrizzato F(H1+H2) dove + indica la somma diretta hilbertiana.
E' vero quello che dici, ma bisogna vedere se questo punto di vista ha
senso fisico. In certi casi ragionamenti di questo tipo hanno un
significato fisico profondo. Ci sono due casi importanti: quello dello
spazio di Hilbert di un sistema di oscillatori (molecole di un
cristallo) accoppiati (prodotto tensoriale) che cambiando ottica
diventa uno spazio di Hilbert che assomiglia ad uno spazio di Fock di
particelle dovute alla quantizzazione dei moti collettivi: _i fononi_
che poi si osservano davvero (o se ne osservano conseguenze, ci
vorrebbe uno strutturista)
L'altro caso viene fuori studiando gli elettroni in un semi-conduttore.
Con una ridefinizione degli operatori di creazione e distruzione
definisci nuove particelle: le buche che hanno un'importanza
determinante nello sviluppo della teoria, ma la hanno ancora di più se
si estende il punto di vista agli elettroni liberi arrivando a
costruire le antiparticelle. Anche quando studi la superfluidità e la
superconduttività ci sono accorgimenti simili molto utili (per la
superfluidità la cosa è relativamente semplice...) che passano dal
sistema iniziale di particelle ad un sistema di "quasiparticelle"(che
inglobano nella loro definizione parte dell'interazione mutua) e che
descrivono moti collettivi di "parti del sistema iniziale". La
relazione di dispersione delle quasiparticelle è spesso stramba e per
esempio questa stramberia produce il fenomeno che macroscopicamente si
interpreta come superfluidità...
Nel caso che consideri tu c'è un'ostruzione di carattere fisico se
vuoi che il "particellone" descritto nello spazio a una particella
H1+H2 sia una _particella elementare_: la massa non sarebbe fissata e
questo implica che lo spazio NON supporti una rappresentazione
irriducibile del gruppo di Poincaré (la massa è un operatore di
Casimir proporzionale all'identità). Non riusciresti ad imbrigliare le
funzioni d'onda in una campo che soddisfa un'equazione covariante
ecc...
Più di questo, senza consultare i libri non mi viene in mente. Ciao,
Valter

 Casimir proporzionale all'identità).
Ottima osservazione. Potrei pero' lavorare con campi di stessa massa
(tra l'altro nel modello standard muone ed elettrone hanno la stessa
massa=0 fintanto che non si roppe  SU(2)xU(1) a U(1)) e richiedere che
siano solo le interazioni a distenguerle.
Grazie ancora, ciao.