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Titolo: orbita ellittica?

Buongiorno,
a proposito del moto in campo centrale ho letto il seguente passo:
_____________
Una nave spaziale di massa m si muove su un'orbita circolare alla quota h1 e
si
vuole trasferirla su un'orbita circolare alla quota h2 > h1 . Per effettuare
il trasferimento
si procede come segue: mediante un razzo si modifica istantaneamente la
velocità della
nave (senza cambiarne la direzione), in modo da porla su un'orbita ellittica
la cui massima
distanza dalla Terra sia h2, quindi, quando la nave ha raggiunto questa
distanza, si modifica
nuovamente con un secondo razzo il modulo della velocità in modo da
mantenerla alla distanza h2.
_____________
Io vorrei giustificare la seguente affermazione, tratta dal passo di cui
sopra:
[...] in modo da porla su un'orbita ellittica la  [...]
Precisamente, vorrei giustificare il motivo per cui l'orbita è -ellittica- .
So che, in campo centrale, le traiettorie chiuse sono ellissi, il fatto è :
perché la navicella per andare dall'orbita circolare alla quota h_1 nella
traiettoria circolare alla quota h_2 si muove su un arco di traiettoria
ellittica?
Vi prego di fornirmi qualche suggerimento per chiarirmi le idee.
Grazie in anticipo
Tern

 ellittica?
Verrebbe da rispondere: perche' no? Anche perche' non ho capito bene la 
domanda :-)
Quelle di cui stai parlando sono le orbite di trasferimento di hohmann, 
che permettono di cambiare orbita con il minimo impiego di carburante.
Nel trasferimento vero e proprio (cioe` mentre si passa da h1 ad h2) il 
volo e` a propulsori spenti, e quindi non puoi che percorrere una 
ellisse (a meno che la variazione di velocita` iniziale non sia stata 
tale da metterti su un'orbita iperbolica).
Sono orbite ellittiche perche' tutte le orbite con energia totale 
negativa (cioe` orbite che non scappano all'infinito), sono ellissi (o 
circonferenze).
Se cambi energia e quantita` di moto di un corpo in orbita circolare, 
vai a finire su di un'orbita ellittica (se non superi la velocita` di 
fuga). L'orbita di hohmann e` quella che permette di passare da h1 a h2 
con il minimo uso di carburante, ma non il minimo tempo di manovra.
Se specifichi meglio i tuoi dubbi, posso provare a essere piu` chiaro. 
La sola cosa che posso dirti e` che a motori spenti le orbite sono 
circolari o ellittiche (escludendo quelle che portano alla fuga), e se 
disturbi un'orbita circolare vai necessariamente su una ellittica.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

Buongiorno, tern ha scritto:

Solo per ragioni di efficienza energetica, infatti in questo modo si massimizza
l'energia cinetica acquistata dalla navicella a parita' di impulso fornito dai
motori a razzo (cedendo un dato impulso I (vettore) ad un punto materiale
di velocita' iniziale vettoriale v, la variazione di energia cinetica del p.m.
e' massima se I ha la stessa direzione e verso di v), e la somma delle variazioni
di energia cinetica (entrambe positive) fornite alla navicella durante le due spinte
e' pari alla variazione DE di energia meccanica della navicella tra le due orbite
circolari ad altezza h1 e h2.
Si potrebbe anche fare in modo che la navicella nel passare dall'orbita
iniziale a quella finale percorresse una traiettoria parabolica o iperbolica,
ma allora gia' con l'impulso ceduto inizialmente alla navicella bisognerebbe
fornirle un'energia cinetica maggiore di DE, mentre il secondo impulso
fornito dai motori a razzo (in direzione non parallela a quella del moto)
dovrebbe anche sottrarre alla navicella l'energia cinetica in eccesso, quindi
l'efficienza sarebbe minore che nel caso precedente.
ciao
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere inserire una sottolineatura
tra nome e cognome

Intanto grazie infinite Franco per aver risposto.
In questa ora, da quando ho postato per la prima volta, ho ragionato così:
la situazione che ho prospettato nel problema  è inerente il  moto in campo
newtoniano , dunque centrale dunque il vettore di Lenz (oltre al momento
angolare e all'energia totale) è una costante del moto. Ora l'eccentricità
della "traiettoria di trasferimento" dall'orbita circolare alla quota h_1
all'orbita circolare alla quota h_2  (che è un arco di conica)
è e= N/GMm ove N è l'intensità del vettore di Lenz, M = massa Terra, m =
massa nave spaziale, G = 6.71 newton m^2/Kg^2.
Per concludere che la traiettoria di trasferimento è un arco di ellisse
basta dimostrare che l'eccentricità e < 1 oppure (una circonferenza è in
particolare un'ellisse con e=1) e=1.
Siccome il vettore di Lenz
\vec N = \vec v wedge \vec L - GMm hat(r)
ove \vec v è il vettore velocità della nave, \vec L lo pseudovettore momento
della quantità di moto, hat(r) è il versore posizione della nave (preso un
sistema di coordinate con origine coincidente col centro di forze = centro
della Terra coincidente con l'origine del sistema di riferimento), è una
costante del moto, in particolare l'intensità N di \vec N è una costante del
moto dunque calcolerò N nell'istante in cui è entrato in funzione il primo
razzo. Sia v_1*  la velocità della nave dopo l'azione istantanea del primo
razzo (chiamo v_1 l'intensità (costante ) della velocità nell'orbita
circolare alla quota h_1 e R_1 = R_Terra + h_1).
In conclusione, facendo semplici conti (che implicano il calcolo di
un'espressione contenente un doppio-prodotto-vettore),
\vec N = - GMm hat(r)
==> N = G M m ==>
e = G M m / G M m = 1 ==> l'orbita di transizione è una circonferenza....c'è
qualcosa che non va, aiuto
Tern

> un'espressione contenente un doppio-prodotto-vettore),
scusate, ho commesso un errore nel calcolo del
doppio-prodotto-vettore infatti
vec v_1 wedge (vec v_2 wedge vec v_3 )=
(vec v_1 ; vec v_3) vec v_2 -
(vec v_1 ; vec v_2) vec v_3.
nel nostro caso vec v_1 = v_1*  ,
vec v_2 = R_1 hat(r)
vec v_3 = m v_1*
Il mio errore risiede nell'aver considerato
v_1 scalare v_3 = 0, in altri termini ho scritto prodotto scalare e ho
pensato prodotto vettoriale...
Andando avanti con i conti, i.e. calcolando _correttamente_ l'intensità del
vettore di Lenz, i conti si complicano
ergo
devo seguire un'altra strada per dimostrare che l'orbita di transizione è
un'ellisse.
Tern


 disturbi un'orbita circolare vai necessariamente su una ellittica.
Suppongo che "disturbi" significhi "modifichi di poco", ho ragione?
Infine, al fine di spiegarmi meglio, riporto di seguito altri ragionamenti
che ho fatto:
Supposto che l'orbita di transizione sia ellittica,
subito dopo l'accensione del primo razzo la nave si trova al perigeo (R_1)
di un'orbita il cui apogeo è R_2. Se v_1* e v_2* sono le velocità al perigeo
e all'apogeo rispettivamente,  dalla conservazione del momento angolare
v_1* R_1 = v_2* R_2,
per la conservazione dell'energia totale, sostituendo v_2* = v_1* R_1/R_2
trovata prima si trova facendo un po' di facili conti
v_1* = v_1sqrt[ 2 R_2 /  (R_1 + R_2) ].
Grazie per tutto quello che avete fatto per me.
Tern_

 Grazie per tutto quello che avete fatto per me.
Ma santa pazienza, l'avete letto bene l'enunciato del problema?
L'orbita di trasferimento dev'essere *tangente* tanto a quella
iniziale quanto a quella finale.
Che altro puo' essere se non un'ellisse? E' pura geometria!
Non c'e' da scomodare ne' Hohmann ne' Lenz.
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 Supposto che l'orbita di transizione sia ellittica,
Non puo` che essere ellittica perche' e` fatta a motore spento.
Il conto dell'energia totale non mi torna molto, mi sembra che abbia 
tralasciato il termine di energia potenziale.


 Non c'e' da scomodare ne' Hohmann ne' Lenz.
Il testo l'ho letto, e anche la domanda :-) (che peraltro non ho capito 
bene).
Secondo me la domanda diceva "perche' con una sola accensione istantanea 
l'orbita e` proprio ellittica e non di altra forma?"
E la risposta secondo me e` che qualunque orbita con energia <0 e a 
motori spenti non puo` che essere ellittica (o circolare).
Se si toglie la limitazione di due variazioni di impulso istantanee, 
l'orbita di trasferimento, pur essendo tangente alle orbite finale e 
iniziale, puo` avere forme diverse.
La domanda l'avevo capita come dinamica non geometrica.


 Non puo` che essere ellittica perche' e` fatta a motore spento.
Leggendo ueste due righe sopra ho la sensazione che 1) io non ho capito
niente
vel 2) tu hai dimenticato quello che tu stesso hai    scritto
Grazie per ora
Tern

 (L. Wittgenstein)
di fronte all'immensit\à\\almeno due tteggiamenti\\
in breve l'immobilit\à\\la sua negazione\\energia e possibile
soddisfazione,\\il primo rassicurante.\\
possiamo fare qualche passo avanti\\forse \è tutto.\\
(R. Anonimo)

 transizione è una circonferenza
scusate, un altro errore:  l'eccentricità di una circonferenza è
           e = c/a = 0 / r = 0
in cui c è la posizione del fuoco e a = r  è il semiasse maggiore, i.e. il
raggio della cfr.
Tern

Che altro puo' essere se non un'ellisse? E' pura geometria!
Puo` essere una parabola, o anche un ramo d'iperbole.
Alla circonferenza esterna la conica aperta e` tangente
nel vertice, mentre invece tocca quella interna, cioe`
l'iniziale, in due punti simmetrici.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 scritto
Ricominciamo da capo...
Teorema.
-------
Ipotesi: ci sono solo due impulsi, alla partenza e all'arrivo, che
possono modificare solo il modulo ma non la direzione della velocita'.
Siamo d'accordo su questo?
Tesi: in queste ipotesi l'unica orbita di trasferimento possibile
e' una semiellisse, che ha il perige alla partenza e l'apodeo
all'arrivo.
Dim.
Dalla dinamica del problema prendo solo che l'oribta e' una conica con
un fuoco nel centro del pianeta.
Dalle ipotesi segue che detta conica e' tangente alle due orbite
circolari di partenza e di arrivo.
Ora *e' un fatto puramente geometrico* che l'unica orbita con queste
proprieta' e' quella descritta nella tesi.


un fuoco nel centro del pianeta.
OK, col fuoco li` c'e` solo l'ellisse.
[lo scrivo perche' ieri avevo contestato queste
argomentazioni "solo geometriche", ma ignoravo questa
condizione, che invece avrei potuto ritenere anche
sottintesa se avessi seguito tutto il thread]


 -----------------------------
Finalmente, dopo qualche anno, ho capito chi sia lei.
Tern

 un fuoco nel centro del pianeta.
E qui c'e` la differenza di background fra te e me :-). Tu hai insegato 
queste cose all'universita`, e quindi interpreti le domande come quelle 
di uno studente che si e` perso un pezzo di spiegazione, mentre la mia 
esperienza in questo campo e` da "domande da bar", in cui 
l'interlocutore non ha ben chiaro di che cosa si parla.
Al solito, sapere il contesto e le conoscenze di chi fa le domande aiuta 
a capire quale sia il dubbio.


 Finalmente, dopo qualche anno, ho capito chi sia lei.
???
C'e' il mio nome, cognome, e Dip. dove lavoro. Che altro hai scoperto
adesso? :-))
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
From

 C'e' il mio nome, cognome, e Dip. dove lavoro. > Che altro hai scoperto
adesso? :-))
L'ufficio. Il primo istinto era quello di ringraziarla personalmente per
tanti infinitamente
validi aiuti, ricordo in particolare quello riguardante la curvatura
Gaussiana e la
nozione di "intrinseco" , datato un anno e qualche mese fa.
Tornerò sicuramente su queste problematiche almeno quando studierò
con maggior dettagli le varietà di Einstein.
Meglio ringraziarla qui, per vari motivi di cui Lei certo converrà.
Grazie
Tern

 Che cosa ne pensa?
Ne penso che hai la testa dura :-)
Ho detto e ridetto che la questione e' esclusiavametne geometrica; ti
ho suggerito di scrivere l'eq. polare della conica...
E tu continui col vettore di Lenz ecc...
r = p/(1 + e cos(phi)).
La distanza al perigeo e' p/(1+e).
Se e<1 la conica e' un'wllisse, e la distanza all'apogeo e' p/(1-e).
Negli altri casi la traiettoria si estende fino all'infinito.
Qual e' la condizione nec. e suff. perche' in un certo punto la curva
sia tangente a una circ. con centro nel fuoco della conica?
Quante di tali circ. tangenti ci possono essere a seconda del valore
di e?
Dopo di che, non ti dico piu' niente.


 Che cosa ne pensa?
Ne penso che hai la testa dura :-)
Ho detto e ridetto che la questione e' esclusiavametne geometrica; ti
ho suggerito di scrivere l'eq. polare della conica...
E tu continui col vettore di Lenz ecc...
r = p/(1 + e cos(phi)).
La distanza al perigeo e' p/(1+e).
Se e<1 la conica e' un'allisse, e la distanza ll'apogeo e' p/(1-e).
Negli altri casi la traiettoria si estende fino all'infinito.
Qual e' la condizione nec. e suff. perche' in un certo punto la curva
sia tangente a una circ. con centro nel fuoco della conica?
Quante di tali circ. tangenti ci possono essere a seconda del valore
di e?
Dopo di che, non ti dico piu' niente.
 
