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Titolo: Dubbio correlazione simmetria e principi di conservazione

 
Buonasera. Leggo che il principio di conservazione della quantità di moto è legato alla simmetria spaziale, mentre quello della energia a quella temporale. 
 
 
Qui simmetria viene a coincidere, rispettivamente, con traslazione della origine spaziale e di quella temporale del sistema e intervallo in cui vien condotto l'esperimento.
 
 
 
 
 
Intanto, avrei un dubbio in merito a questo uso del termine. Infatti, 'simmetria' dovrebbe corrispondere a un insieme generale di proprietà di regolarità e invarianze (isotropia, omogeneità spazio-temporali), di cui quelli delineati risultano casi particolari. Le traslazioni del sistema e dell'intervallo, dovrebbero infatti essere denotate con omogeneità spaziale e temporale rispettivamente. Quindi, credo, in quanto detto sopra si dovrebbe correggere il termine a cui si legano i due principi, poiché la simmetria non è propriamente una proprietà, ma individua una classe. È giusta questa osservazione? 
 
 
In secondo luogo, il discorso che i due principi si appoggino su queste due assunzioni (di omogeneità) in via esclusiva, mi pare un po' fuorviante.. non aggiungo altro, siccome vorrei sentire da parte vostra un parere indipendente da mie considerazioni. Grazie.

 
 
Si' e' spesso fuorviante perché mette l'accento sull' uniche entità che 
non giocano un ruolo diretto nella dinamica in meccanica classica o 
quantistica: lo spazio e il tempo. Invece l' invarianza che si va a 
verificare riguarda funzioni delle coordinate (nel caso generale 
lagrangiana o hamiltoniana del sistema). In pratica il ruolo di base lo 
giocano le interazioni.
 
Giorgio

 Si' e' spesso fuorviante perché mette l'accento sull' uniche entità che 
non giocano un ruolo diretto nella dinamica in meccanica classica o 
quantistica: lo spazio e il tempo. Invece l' invarianza che si va a 
verificare riguarda funzioni delle coordinate (nel caso generale 
lagrangiana o hamiltoniana del sistema). In pratica il ruolo di base lo 
giocano le interazioni. 
 
Credo di capire che tu ti stia riferendo alla invarianza per cambi di direzione; se sbaglio prego corregermi.
 
 
 
 
 
 
 
Questo e' importante, perche' mi chiedevo se fosse solo omogeneita' come indicato, pero' la mia richiesta (rileggendo vedo che non era molto chiara) era questa: il testo letto afferma esplicitamente che a quantita' di moto corrisponde omogeneita' spaziale, mentre per la energia, quella di tempo; allora io mi chiedevo se fosse imprecisa questa attribuzione univoca della omogeneita', perche' guardando per esempio lo schema seguito per arrivare alla costanza della quantita' di moto, noto che viene assunta una relazione per ogni istante, e questo fatto sembra indicare in modo chiaro che entri anche la omogeneita' temporale, e non solo spaziale come invece afferma dopo (e del resto, si e' in contesto dinamico). Idem penso per l'energia: non dovrebbe essere solo temporale, altrimenti in diversi laboratori potrei avere risultati differenti.. Puoi per favore confermare oppure correggermi? Grazie.

 Questo e' importante, perche' mi chiedevo se fosse solo omogeneita' come indicato, pero' la mia richiesta (rileggendo vedo che non era molto chiara) era questa: il testo letto afferma esplicitamente che a quantita' di moto corrisponde omogeneita' spaziale, mentre per la energia, quella di tempo; allora io mi chiedevo se fosse imprecisa questa attribuzione univoca della omogeneita', perche' guardando per esempio lo schema seguito per arrivare alla costanza della quantita' di moto, noto che viene assunta una relazione per ogni istante, e questo fatto sembra indicare in modo chiaro che entri anche la omogeneita' temporale, e non solo spaziale come invece afferma dopo (e del resto, si e' in contesto dinamico).
 
 
 
 
 
 
Faccio un esempio prima che Giorgio dia una risposta generale. Supponiamo di avere due corpi che interagiscono con un potenziale che dipende dalla reciproca distanza (per esempio V = -a*f(r) con a che non dipende dalle coordinate spaziali). La quantita' di moto del sistema complessivo e' conservata sia se a e' costante sia se a dipende dal tempo.


La trasformazione che si deve effettuare non e' banale da spiegare senza usare la matematica e dover descrivere in dettaglio la Lagrangiana. 
Se ti interessa puoi dare un'occhiata, soprattutto, a questo post di Valter Moretti: 
 
https://groups.google.com/d/msg/free.it.scienza.fisica/LswwizvP1GI/DryNw7sDoZ8J
 
 
Ma temo sia un po' complicato: che studi hai fatto? 
23/08/2018 15:09
 
--
Wakinian Tanka 
 

 discusso piu' di una volta su questi ng). ....
 
E' una citazione _fuorviante_, estrapolata da:
 
https://it.wikipedia.org/wiki/Isotropia#Simmetrie_fisiche_nel_tempo_e_nello_spazio_e_principi_di_conservazione
 
 
Nota: IMHO con l'OP perdete solo tempo...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

 non esattamente, vedi sopra
 
 
 
 
Intendi dire che trovando un *nuovo* tipo (tralascio il significato preciso di tipo perché ora come ora lo ignoro) trasformazione della L. tale che questa risulti invariante, per esempio rispetto a traslazioni, allora omogeneita' spaziale interessera' una ulteriore quantita' conservata (rispetto alla q.d.m.)? Cioe' il teorema di Noether afferma che a ogni trasformazione cui corrisponda qualche invarianza, necessariamente corrisponde una grandezza che si conserva nel sistema?
 
 
 
Il testo che sto rileggendo e' di Fisica, e in quanto tale, approssima l'aspetto formale, per cui a volte certe affermazioni sembrano esoteriche perche' non comprovate. Sono perfettamente d'accordo con te sul fatto che per descrivere senza ambiguita' e in modo sintetico, occorra usare il linguaggio matematico.
 
 
Purtroppo in base alle risposte noto che i concetti appartengono al capitolo di Meccanica Analitica, che per qualche motivo non avevo letto; buona occasione  per farlo adesso.
 
 
 
Tuttavia, sfogliando preliminarmente, non ho notato riferimenti al teorema della Noether: sebbene gli specifici principi di conservazione pare vengano mostrati (cosa che peraltro veniva fatta anche nei capitoli precedenti sulla dinamica dei sistemi materiali), non ho visto riferimenti alla invarianza, cmq e' solo un colpo d'occhio quello che ho dato. 
 
@Giorgio: sì la fonte e' quella. Cosa significa OP? Io ho trovato:
1. lat.: Ordo Predicatorum (Ordine dei Predicatori), domenicani
 
2. Ospedale Psichiatrico. :-)

 Cosa significa OP?
 
Original Poster, cioè a_the_an in questo caso ;-).
Da cosa e _da come_ scrivi mi sono fatto l'opinione
che tu stia discutendo _superficialmente_ di argomenti
non attualmente alla tua portata, ergo è mia
opinione che il dialogo tra te e gli  altri
intervenuti sarà un dialogo tra sordi...


 intervenuti sarà un dialogo tra sordi...
 
Grazie per la franchezza (mi era venuto in effetti il vago sospetto.. :-)
 
 
Dunque per l'apparato matematico brevemente posso dirti che arrivo a Analisi 1, 2, so cosa è un funzionale, Algebra astratta (gruppi, anelli ecc), Probabilità.. per cui penso di essere in grado di leggere un testo di meccanica, per quanto la lettura sia tediosa e complicata.
 
 
 
Ovvio poi, come ho specificato, che se ho interrotto la lettura alla fine di dinamica dei sistemi materiali, mi manca tutta la impalcatura concettuale per affrontare formalmente la discussione: come detto, capisco chiaramente che gli strumenti lagrangiano e hamiltoniano siano correlati a matematica avanzata, per cui effettivamente su questo piano il dialogo è tra sordi, non avendoli io minimamente trattati.
 
 
 
 
 
 
Detto ciò, bisogna anche osservare che in generale, come si suol dire, non si 'nasce imparati', quindi sono qui per imparare, appunto, e per risolvere dubbi, anche proponendomi di approfondire a parte la questione se attualmente troppo intricata per esser risolta direttamente in questa sede per via di qualche gap (cosa che effettivamente è). Quindi diciamo basterebbero indicazioni di carattere generale, segnalazioni di errata interpretazione, riferimenti corretti che mettano sulla retta via.. le affermazioni discorsive, argomentazioni in linguaggio naturale, sono per definizione ambigue; non parliamo poi dei cenni a qualcosa.. figurarsi che a volte anche trattazioni rigorose formalizzate, se contenenti errori logici o tipografici non banali, diventano problematiche
 
 
Pertanto, il testo di MR è quello di Mauro Fabrizio degli anni 90, in cui, nella parte della presentazione delle equazioni di Newton si utilizza un approccio che fa uso della Teoria dei Sistemi.
 
 
 
 
Ora io dovrei rispolverare brevemente i 2 capitoli che precedono la Meccanica analitica, poiché lo lessi anni fa e non ho un disco rigido nella testa. Tuttavia, avendo notato (ho sì sfogliato rapidamente, ma sono sostanzialmente certo di questo) che non compare il teorema della Noether, e alcun riferimento al concetto di simmetria e affini, ho qualche perplessità. Questa mancanza mi sembra strana, e in particolare mi dispiacerebbe rispolverare il testo, affaticarmi sul capitolo della MA, per poi ritrovarmi con un pugno di mosche rispetto al dubbio di partenza.
 
 
 

 Ora io dovrei rispolverare brevemente i 2 capitoli che precedono la Meccanica analitica, poiché lo lessi anni fa e non ho un disco rigido nella testa. Tuttavia, avendo notato (ho sì sfogliato rapidamente, ma sono sostanzialmente certo di questo) che non compare il teorema della Noether, e alcun riferimento al concetto di simmetria e affini, ho qualche perplessità. Questa mancanza mi sembra strana, e in particolare mi dispiacerebbe rispolverare il testo, affaticarmi sul capitolo della MA, per poi ritrovarmi con un pugno di mosche rispetto al dubbio di partenza.
 
 
 
 
Io prenderei un testo di meccanica razionale in cui ci sia la spiegazione dell'effetto delle "coordinate ignorabili" nella Lagrangiana. Lo so per sentito dire, ma il teorema di Noether dovrebbe essere una generalizzazione di quello.

 vostra un parere indipendente da mie considerazioni. Grazie.
Intervengo dopo diversi giorni, quando hai avuto già diverse risposte
(mi succede spesso).
Per questo motivo (ma non solo) mi sembra meglio fare un'esposizione
del mio punto di vista sull'importante questine che poni, indip. dagli
altri interventi.
Ho avuto molti anni per riflettere sul problema, e ho maturato certe mie
convinzioni, che in parte si discostano da ciò che puoi trovare scritto
nei libri e in parte anche dagli interventi che mi hanno preceduto.
Spero che questo non ti disorienti, anche se lascio a te il lavoro di
districarti :-)
 
Comincerei col rimandarti a un mio scritto abbastanza recente:
http://www.sagredo.eu/articoli/simmetria-q.pdf
 
Non ci troverai la risposta diretta al tuo quesito, ma una trattazione
di base e più elementare, in cui tra l'altro si fissano alcuni termini
che io uso in modo diverso da quello corrente.
Poi tenterò di rispondere alle tue domande.
 
Anticipo qui le linee essenziali di quello che potrai leggere
nello scritto citato.
Il punto centrale è la distinzione che faccio tra "simmetria" e
"invarianza".
Distinzione che nell'uso corrente dei fisici generalmente non trovi.
 
Uso il termine "simmetria" per intendere una *trasformazione* delle
grandezze fisiche relative a un dato sistema, che ha per effetto di
cambiare lo *stato* (in senso lato) del sistema.
 
Esempio semplice: una rotazione.
La posizione spaziale di tutti i punti del sistma viene cambiata
secondo una precisa legge geometrica, ma questo non bsta.
Il sistema avrà delle velocità, energie, q. di moto, e magari cariche
elettriche, campi el. e magnetici...
La simmetria sarà esattamente definita quando avrò indicato in modo
preciso come intendo trasformare *tutte* queste grandezze.
Alcune le lascerò invariate (es. l'energia o la carica elettrica);
altre le cambierò secondo certe leggi di uso comune (es. la trasf.
come vettori di velocità, forze, campi...).
 
Ciò che è sommamente importante è che nella mia definizione di
simmetria tutte queste leggi di trasf. sono *assolutamente
arbitrarie*: non considerò *mai* che la legge di trasf. di una
grandezza sia "naturale" o "necessaria".
Perché questo, lo spiego immediatamente.
 
Fissata come ho detto una simmetria, potrà accadere che il sistema (la
sua configurazione, il suo stato) rimanga invariato, oppure no.
Una sfera rimane invariata per qualunque rotazione con asse passante
per il centro; un cubo no: solo per alcune rotazioni, in numero
finito. Nell'uso comune si dice in tali casi che il sistema è
/simmetrico/. Io preferisco dire /invariante/.
 
Più importante per la fisica è considerare che cosa accade al
comportamento del sistema nel tempo.
Più in generale, che cosa accade alle leggi fisiche che si applicano al
sistema o a un'intera classe di sistemi.
 
Quando il comportamento del sistema *rimane lo stesso*, dico che il
sistema /è invariante/ per quella simmetria (vedi gli esempi
nell'articolo).
Lo stesso dico per le leggi fisiche: la definizione precisa di
/invarianza/ di una legge fisica la trovi nella sez. 3 del'articolo.
 
Nella sez. 9 si discute che cosa intendiamo con l'espressione che
qualcosa è vera "per ragioni di simmetria".
Per es. "l'orbita di un pianeta è un curva piana", appunto per ragioni
di simmetria.
Troverai spesso argomenti simili, ma raramente troverai una
speigazione accurata di che cosa significhino e come si possano
giustificare.
 
Le ultime 3 sezioni sono dedicate a un problema spinoso: la trasf. del
campo magnetico per riflessioni.
Sai bene che si dice correntemente che per riflessioni B si trasforma
come uno /pseudo-vettore/ (vettore /assiale/)
 
A mio parere il significato corretto di una tale asserzione non è
ontologico ("è nella natura del campo amgnetico di trasformarsi così").
Invece si deve dire: se definiamo il campo B come un vettore assiale,
otteniamo *l'invarianza per riflessioni* delle leggi
dell'elettromagnetismo.
 
Dato che ora dovrei cambiare argomento, scriverò una seconda puntata in
un altro post.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
Che testo e'? E ripeto, che studi hai fatto? 
 
Forse le affermazioni non saranno nemmeno "ben definite" nel senso che non si puo' dare una definizione precisa, tecnica, a delle mere parole o frasi che magari evocano un significato solo immaginato. 
 
 
Che vuol dire esattamente "coordinate", "trasformazione", "variazione/derivata", in questo contesto, se non le hai gia' studiate? Non lo puoi sapere e ti devi accontentare di quello che ti viene detto. Il massimo che posso fare e' farti vedere come si fa, ma almeno Analisi 2 la devi conoscere... 
26/08/2018 
 
Re-invio questo post perche' non accettato dal robomoderatore (file binari?). 
 
--
Wakinian Tanka

Continuo dal post precedente (30/8, 17:04).
Passiamo a vedere la connessione tra invarianze e costanti del moto.
Qui c'è una situazione curiosa: in m.q. a *ogni invarianza* corrisponde
una costante del moto.
In fisica classica (meccanica, elettromagnetismo) no: c'è una forte
condizione in più, che ora esaminiamo.
 
Possiamo distinguere le simmetrie (e le conseguenti invarianze, quando
ci sono) in due classi, che indicherò per ora con i termini "discrete"
e "continue".
Un esempio di simmetrie/invarianze discrete è quello del quadrato,
descritto in simmetria-q.pdf, §8.
 
Il gruppo di simmetrie rispetto al quale un quadrato è invariante
consiste di 8 elementi (identità compresa). Questo è quindi anche il
gruppo d'invarianza del quadrato.
Subito sotto faccio vedere che un rettangolo non è invariante per
l'intero gruppo, ma per sole 4 simmetrie: il gruppo d'invarianza del
rettangolo è un /sottogruppo/ di quello del quadrato.
 
Che siano 4 opure 8, sono sempre in numero finito.
Si potrebbe quindi credere che le simmetrie discrete siano quelle che
formano un gruppo finito, ma non è così.
Per esempio il gruppo di simmetria (invarianza) spaziale (space group)
di un cristallo perfetto infinito consiste di infiniti elementi, ma è
un gruppo discreto.
In termini molto più astratti, l'insieme Z degli interi relativi è un
gruppo rispetto all'addizione, ed è un gruppo infinito discreto.
 
Invece il gruppo d'invarianza per il moto di un punto materiale che
parte dalla quiete in campo grav. uniforme (rotazioni intorno alla
verticale (descritto al §9, punto 5 a pag. 10) è /continuo/: non solo
le rotazioni possibili sono infinite, ma sono parametrizzate da un
numero reale (l'angolo di rotazione).
 
La definizione esatta di gruppo discreto lasciamola perdere, visto che
non ci serve. Quella di gruppo continuo invece la debbo chiarire e
precisare.
L'esempio delle rotazioni appena visto può servire come punto di
partenza: gli elementi del gruppo sono parametrizzati da *una*
coordinata (un numero reale: gruppo unidimensionale).
Se prendessimo tutte le rotazioni che lasciano fisso un punto dello
spazio, troveremmo qualcosa di più ricco e complesso: le coordinate
necessarie sono 3 (per es. gli angoli di Eulero). Questo è un gruppo di
dim. 3.
In generale, quello che ho chiamato prima gruppo continuo ora lo
vediamo come un gruppo che è anche una /varietà/: ammette una
descrizione biunivoca e continua mediante un insieme di reali.
Ma non basta: per i nostri scopi occorre anche che la parametrizzazione
mediante coordinate sia /differenziabile/.
Dovrei essere ancora più preciso, ma ve lo risparmio perché possiamo
sorvolare per i nostri scopi.
Un gruppo che sia anche una varietà differenziabile si chiama /gruppo
di Lie/.
 
Torniamo alle costanti del moto.
Come ho già detto, in m.q. ogni invarianza dà luogo a una costante del
moto: un'osservabile che commuta con la hamiltoniana, per cui tutti i
suoi elementi di matrice, tra stati qualsiasi, non variano nel tempo.
In particolare non varia nel tempo il valor medio su qualsiasi stato.
 
In mecc. classica dobbiamo invece far ricorso al teorema di Noether:
 
In un sistema lagrangiano classico, se la lagrangiana è invariante
sotto un gruppo di simmetria che è un gruppo di Lie, allora esistono
costanti del moto indipendenti, in numero uguale alla dimensione del
gruppo.
 
Occorre però capire bene che cosa significa "la lagrangiana è
invariante".
Spiacente, ciò richiede un discorso spero non difficile, ma non breve.
Ricordo che la lagrangiana di un sistema è una funzione
- delle coordinate q
- delle loro derivate rispetto al tempo, q'
- eventualmente anche del tempo t.
 
Prima di tutto: che cosa succede della lagrangiana quando si fa una
trasf. di coordinate qualunque?
La risposta è semplice: la lagrangiana dipende dalla /configurazione/
del sistema, non dalle particolari coordinate usate per
rappresentarla; pertanto la lagrangiana è /invariante in valore/.
Mi spiego con un esempio banale.
Supponiamo di avere un solo grado di libertà, una sola cordinata q (e
la sua der. rispetto al tempo: q').
Sia
 
L = m*q'^2/2 + k*cos(q)  (1)
 
(questo è un pendolo semplice, ma non importa saperlo).
Passiamo a una nuova coordinata Q = 2q (quindi Q' = 2q') ossia
q = Q/2
q' = Q'/2.
La nuova lagrangiana, chiamiamola M, si ottiene sostituendo queste
nella (1):
 
M = m*Q'^2/8 + k*cos(Q/2).  (2)
 
Ma che vuol dire "la nuova lagrangiana è"?
Anche se non si è mai vista una lagrangiana, tutto ciò che occorre
sapere è che da essa si ricavano le eq. del moto del sistema, in forma
di /equazioni di Lagrange/.
Allora dire che M data dalla (2) è la nuova lagrangiana, significa che
scirvendo le eq. di Lagrange ricavate da M si ottengono nient'altro
che le vecchie eq. del moto, espresse nelle nuove cordinate.
Nel nostro caso le vecchie eq. del moto erano una sola:
 
m*q" + k*sin(q) = 0
 
che scritta nelle nuove coordinate diventa
 
m*Q"/2 + k*sin(Q/2) = 0.  (3)
 
Bene: chi conosce le eq. di L. può verificare che da M si ottiene
proprio la (3).
 
In generale, invarianza in valore significa
 
L(q,q',t) = M(Q,Q',t).  (4)
 
Questa è un'identità soddisfatta sostituendo in M al posto di Q, Q'
le loro espressioni in funzione delle vecchie coordinate.
 
Ma allora l'invarianza di cui si parla nelle ipotesi del teorema di
Noether che cos'è?
E' diversa: richiede che M e L siano *la stessa funzione*:
 
L(q,q',t) = M(q,q',t).  (5)
 
ovvero, stante la (4):
 
L(q,q',t) = L(Q,Q',t)
M(q,q',t) = M(Q,Q',t).
 
Si vede subito che la (1) non soddisfa la (5).
 
Termino questa pesante lezione (ma qualcuno crede che studiare fisica
sia una passeggiata?) applicando il teorema di Noether a un caso
semplice che ci porterà al cuore fisico della questione da cui siamo
partiti.
 
Consideriamo un punto materiale vicnolato a muoversi su una retta e
non soggetto a forze.
Assumiamo come coordinata x un'ascissa cartesiana sulla retta.
In questo caso la lagrangiana è semplicissima: coincide con l'energia
cinetica
 
L = m*x'^2/2.  (6)
 
L'eq. di L. è
 
m*x' = 0
 
(moto uniforme). Più semplice di così...
 
Ora consideriamo il gruppo di trasf.
 
X = x + a (a reale qualsiasi).  (7)
 
Dato che X' = x', si vede che M = L (in forma):
 
M = m*X'^2/2 = m*x'^2/2.
 
Siamo quindi nelle ipotesi del t. di Noether; dato che il gruppo
d'invarianza ha dimensione 1, ci aspettiamo una costante del moto, che
è ovviamente la quantità di moto m*x'.
 
Qui l'applicazione del t. di N. è stata semplice: visto che L non
dipende da x, è ovvio che c'è invarianza per le traslazioni (6).
Però io nell'enunciare il teorema avevo solo detto che esistono
costanti del moto, senza dire quali sono.
Ora lo dico (ma non lo dimostro) per questo caso particoare, in cui L
non dipende da una delle coordinate: la costante del moto è @L/@x'.
Verificate facilmente che per la lagrangiana (6) è proprio
 
@L/@x' = m*x'.
 
Dunque: se la lagrangiana è invariante per traslazioni in una
coordinata spaziale, la corrisp. componente della q. di moto si
conserva.
 
E qui ci fermiamo per oggi :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 m*x' = 0
 
Manca un apostrofo :-) 
m*x" = 0
 
Ti ringrazio della lezione, che ho salvato, e spero che tu continui la trattazione. 
04/09/2018 12:05
 
--
Wakinian Tanka

 lo giocano le interazioni.
 
Ma io la vedo diversamente.
Il punto di partenza è il /cambiamento di riferimento/ e il corrisp.
/principio di relatività/ (PR: in un senso nuovo, non quello
tradizionale tra rif. inerziali, che ne diventa un caso particolare).
Chi ha letto mie cose sa che io per rif. intendo qualcosa di concreto,
fisico: un laboratorio per essere semplici.
Quindi cambiam. di rif. significa occuparsi della fisica in due diversi
laboratori.
Naturale chiedersi: troveremo la stessa fisica?
La risposta non è scontata, perché può dipendere da che cosa
includiamo nel riferimento (laboratorio): quali oggetti.
Il che è quanto dire come definiamo il sistema fisico del quale
vogliamo occuparci.
 
Ora cerco di farla corta, e passo a chiarire che cosa debba intendersi
per "omogeneità dello spazio".
Considero due laboratori, che differiscono ta loro solo per una
traslazione spaziale.
Nel sistema in studio includo tutto ciò che sarà rilevante, il che è
quanto dire che il sistema sarà /isolato/.
Vale allora il PR: due esperimenti eseguiti nei due laboratori A e B
danno gli stessi risultati (i taccuini dei due sperimentatori sono
indistinguibili).
 
Anche se non lo dice in questo modo, Galileo si basa esattamente su
quest'idea quando determina l'altezza dei monti della Luna applicando
alle ombre lassù le stesse leggi dell'ottica geometrica che valgono
sulla Terra.
E lo stesso fa ragionando sulla riflessione e diffusione della luce,
col che arriva a dimostrare che la Luna dev'essere molto più scura
della Terra.
Gli aristotelici non erano d'accordo: la fisica nel mondo celeste per
loro non seguiva le stesse leggi che nel mondo sublunare.
(Ecco perché la prima giornata dei Massimi Sistemi è importantissima,
più di quanto generalmente si dica.)
 
Un punto essenziale è ora che in A sia anche possibile studiare il
sistema in B.
Le grandezze fisiche dei due sistemi, in A e in B, descritte entrambe
da A, sono connesse da una /legge di trasformazione/, che è contenuta
nella definizione data in partenza dei due rif.
Quindi il PR ci dice che le leggi fisiche sono invarianti per quella
data trasf. di simmetria.
Per es. sono invarianti per traslazioni spaziali.
 
Ecco che cosa c'entra l'omogeneità dello spazio: dire che lo spazio è
omogeneo significa dire che non ha importanza *dove* (in quale regiooe
dello spazio) eseguiamo l'esperimento.
Tradotto in termini formali, questo diventa l'invarianza in forma della
lagrangiana.
 
Per non essere chilometrico ho tralasciato una quantità di precisazioni,
anche importanti.
Sono sicuro che qualcuno le scoprirà e potremo precisare :-)
 
Esercizio: applicare il t. di Noether al PR in senso stretto, ossia
all'equivalenza tra due rif. inerziali in moto relativo.
Quali costanti del moto ne risultano?
a) caso galileiano
b) caso einsteiniano.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
Già. Ma nascoste da qualche parte, in questa omogeneità dello "spazio" 
ci sono le interazioni, o meglio (in caso di invarianza) l'assenza di 
interazioni.
 
Si capisce secondo me con l' esempio di una particella in una scatola 
(necessaria peraltro in MQ per avere funzioni d'onda normalizzabili). Se 
l'interazione con le pareti e' elastica, dentro la scatola nessuna 
interazione, e se la scatola e' un parallelepipedo le tre componenti 
della q.di moto si conservano solo finché non avviene un urto con una 
parete.  Perche'? perche' non possiamo traslare la particella 
ulteriormente nella stesso verso quando arriva sulla parete. E' 
l'interazione con la parete che distrugge l'"omogeneità dello spazio".
 
Stesso discorso per il momento angolare. Si conserva solo fino all' urto 
con una parete.
 
Se però cambiamo la forma della scatola e passiamo all' interno di una 
sfera, la q.d.moto per lo stesso motivo di prima non si conserva all' 
urto con le pareti. Invece il momento angolare adesso si conserva 
perche' il termine di interazione con la parete ha simmetria sferica.
 
Nel caso della particella libera nello spazio infinito si recuperano sia 
la conservazione della q.di moto sia del momento angolare perché 
scompare la possibilità di interagire con le pareti, una volta che 
queste recedono a infinito.
 
Intendiamoci, in un certo senso possiamo considerare questo punto di 
vista formalmente sullo stesso piano di quello che sottolinea invece le 
"proprietà dello spazio". Solo che, da un punto di vista fisico:
 
1. non ho mai capito come si facciano affermazioni sullo spazio e basta 
senza dover piuttosto scomodare un sistema fisico distinto dal 
cosiddetto "spazio".
2. Siccome abbiamo la possibilità di giocare con interazioni diverse, 
come la mettiamo se nella stessa "scatola" mettessimo due particelle, 
una che interagisce con le pareti e un'altra che non interagisce. 
introduciamo due tipi di "spazio" diversi all' interno della scatola? 
uno omogeneo e l'altro no?
 
Per questi motivi preferisco considerare le leggi di conservazione 
figlie di proprietà di invarianza come dovute a proprietà visibili e 
verificabili sulle funzioni dinamiche (lagrangiana o hamiltoniana) 
piuttosto che a proprietà dello spazio (che quindi dovrebbero essere 
indipendenti dal sistema dinamico che ci "vive".
 
Giorgio

 b) caso einsteiniano.
 
Lo dicesti tu in uno di quei famosi (mitici) thread, rispondendo ad una mia (imprecisa) domanda. 
Ciao. 
16/09/2018 19:49
 
--
Wakinian Tanka 

[Re-invio corretto; precedenti post simili da me eliminati]
 
 
 
 
 
 
Salve, intervengo ora perche' ho letto gli interventi dei signori Elio e Wakinian precisamente del 30 agosto, una settimana fa, e mi ci e' voluto una altra settimana per riflettere, digerire e raccapezzarmi (almeno spero) in relazione al post di Elio, cioe' il riferimento pdf che conteneva (ho avuto anche parecchi problemi con l'invio di questo post). Vedo che ci sono altri interventi, ma al momento mi fermo qui, perche' avrei alcuni dubbi da chiarire, i restanti li guardero' successivamente per non complicarmi prematuramente la vita. Ho trovato online un testo (appunti) di meccanica razionale che fa al caso mio, perche' tratta nel dettaglio tutti questi aspetti (Noether compresa), inoltre la impostazione classica mi sembra migliore di quella del testo precedente di Marro. 
 
 
 
Prima mi rivolgo a Wakinian. La tua risposta mi fa capire chiaramente il succo del discorso (i dettagli tecnici a dopo): data la L della grandezza, se si varia solo un parametro e essa non e' suscettibile di variazione, allora resta provato che si conserva e che e' irrilevante assumere invarianza per quella trasformazione, perche' essa segue necessariamente. 
 
 
 
 
 
 
 
Ovviamente non ho fatto studi fisici o matematici, altrimenti questi concetti mi sarebbero gia' noti, ma statistici, tuttavia trovo stimolante e (direi il piu') importante questo ramo della scienza, magari anche per quanto possibile per avere un po' piu' cognizione di causa rispetto alla scarsissima e quasi nulla che altrimenti si avrebbe. Il testo, come ho detto, e' il primo volume di Resnick e altri; ottimo testo, solo che la impostazione non e' al livello di un testo di meccanica, per cui certe affermazioni a volte sono vaghe poiche' non si entra nel dettaglio per ragioni di spazio e scopi del libro. Per es. sul moto di una trottola, si danno in poche righe indicazioni sommarie incomprensibili, facendo riferimento a fantomatiche nutazioni; solo nel libro di meccanica ho trovato la esposizione dettagliata, ma in parecchie pagine di argomentazione. Per fortuna questo capita raramente nella lettura; la simmetria e' un altro dei punti deboli che fanno scricchiolare il pensiero. 
 
Per es. nella parte incriminata, nel dettaglio si legge: 
 
 
 
 
 
 
 
 
«In *qualsiasi istante* la qdm totale del sistema dei due corpi vale P = p1 + p2, che possiamo valutare prima, dopo e durante la collisione... » poi si perviene alla dimostrazione della costanza della qdm complessiva del sistema prima e dopo. Poco dopo si afferma poi: «Più avanti troveremo altri principi di conservazione, per es. dell'energia, del momento a. o della carica elettrica. Sono principi di grande importanza teorica e pratica. Esiste una profonda connessione teorica fra grandezze che si conservano e simmetrie della natura. Cosi' il principio di cons. della qdm e' legato alla simmetria spaziale della natura...», e qui era sorto il dubbio per via del confronto con la dimostrazione di cui sopra, in particolare quel *in qualsiasi istante* mi aveva fatto pensare a un ricorso anche alla invarianza di tipo temporale - e sinceramente, in questa dimostrazione, sono ancora convinto si usi questa assunzione. Ovviamente in essa non si fa uso di alcuna lagrangiana per l'aspetto spaziale... Dovrebbe a questo punto risultare chiaro il ragionamento che avevo seguito e mi aveva indotto al dubbio qui esposto. 
 
 
 
Una altra affermazione generica di questo tipo e' presente oltre, nel capitolo sulla relativita' ristretta, dove si afferma che le trasformazioni di Lorentz sono derivabili dai postulati assumendo come ovvie proprieta' di spazio e tempo simmetria e omogeneita' (anche qui discorso ambiguo, non avendo dato gli Autori definizioni preliminari di questi termini). 
 
 
 
Ora mi rivolgo a Fabri. Pur avendoci riflettuto per una settimana, avrei qualche dubbio residuo. Premetto che non avevo mai visto un simile approccio, ma ammetto che in trattazioni di livello elementare e non, capita di leggere "per ragioni di simmetria", e in effetti la cosa senza ulteriori precisazioni suona esoterica, anzi a questo punto direi sarebbe forse meglio nemmeno scriverlo. 
 
 
Dal suo pdf, in cui si trattano solo casistiche spaziali, elenco alcune riflessioni e dubbi (sono gradite le correzioni del caso la' dove affermassi cose scorrette): 
 
 
 
 
 
1) Si da' una definizione ipergenerale di simmetria, in pratica una qualunque trasformazione dei punti di corpi in altri punti, mantenendo pero' inalterato il sistema di riferimento. Questa considerazione mi pare si discosti abbastanza da quanto si fa nella geometria affine e piu' in particolare euclidea, poiche' in quell'ambito il discorso trasformazioni si circoscrive a  piu' ristrette e specifiche classi di funzioni (affinita' e isometrie), quindi non ha intersezioni con la teoria matematica giusto?). Un caso del genere implica poi due laboratori differenti, ma aventi identici riferimenti (sist. coordinate) per le misurazioni spaziali. 
 
2) E' essenziale ai fini della argomentazione il concetto di osservatore (sia esso di tipo umano o artificiale), cioe' il principio del taccuino. 
 
3) L'osservatore, parte del sistema, subisce la stessa trasformazione degli altri enti. 
 
 
 
4) Si cercano simmetrie utili ai fini del risultato che si pensa di ottenere, sempre sulla base di una certa informazione o apparato teorico preesistente, cioe' si dovra' pur dire e fissare qualche cosa prima, in relazione alle manifestazioni fenomeniche investigate. Le simmetrie interessanti a questo scopo sono quelle che non influenzano le leggi rilevanti (o informazioni) del fenomeno indagato. 
 
 
 
 
 
 
 
5) Con riferimento alla fig. 9 p. 10, sorge spontanea questa osservazione: affinche' la deduzione sia corretta, e' necessario assumere che la misurazione effettuata dall'osservatore tenga conto anche delle posizioni relative tra singoli elementi dell'esperimento e suo risultato. Dico questo perche', in caso contrario, immaginando una certa rotazione del grave, mi pare che nulla implichi che la traiettoria non possa essere la (A) indicata nella figura. Per essere piu' preciso, se i posizionamenti relativi tra parti/elementi dell'esperimento e effetto risultante *non* contassero (ma mi sembra che la regola del taccuino affermi proprio il contrario), allora nel secondo esperimento si potrebbe tranquillamente rilevare la stessa traiettoria (A) (stesse coordinate, v. punto 1 precedente), senza pregiudicare nulla, a parte il fatto, come detto, che essa sarebbe in una relazione spaziale falsata con gli elementi del secondo laboratorio rispetto alla relazione ottenuta nell'esperimento del primo. 
 
 
 
 
 
 
 
6) Esempio campo magnetico 1. Nella prima parte si usa una simmetria (rotaz. 180°) inadeguata, che non da' frutti perche' non da' esiti precisi circa il posizionamento spaziale del campo. La seconda parte usa un altro tipo di simmetria, ma anche questa non fornisce riscontri utili, per via della informazione preliminare assunta circa la grandezza osservata, cioe' il considerarlo come vettore polare. Dubbio, p. 15: il campo parallelo al filo si evince perche' (a) nel caso non fosse parallelo al piano, si otterrebbe variazione di direzione del vettore (quindi non invarianza) e (b) (dubbio!) nel caso parallelo al piano ma non al filo, poiche' applicando la simmetria precedente (rotaz. 180°) si avrebbe che il campo, invertendo il verso, darebbe un risultato falsato (tuttavia non sono sicuro di questo, mi vien da pensare che anche tutti questi casi (b) restino potenzialmente ammissibili)? 
 
 
 
 
7) Campo magnetico 2. Si cambia quindi il supporto teorico, il campo considerando/trasformando come pseudovettore, e si ottiene per una simmetria (riflessione in piano parallelo al campo) che non si ha invarianza, mentre per un'altra (piano ortogonale) si'; questi due fatti implicano che la stessa configurazione della seconda parte del punto (6) precedente dia ora il risultato atteso per il campo. Dubbio: la considerazione ontologica finale significa: poiche' in realta' esso e' operando della operazione di prodotto vettoriale (cioe' e' vettore classico)?   
 
 
Spero di non aver scritto sciocchezze, ma nel caso, evidenziarmelo oppure, se corretto, confermarmi tutto quanto. Dopo leggero' i commenti successivi a quelli del 30 agosto. 
 
Sinceramente grazie per il tempo dedicato e le ottime risposte fornite.


No, vuol semplicemente dire che /p1+p2 e’ costante nel tempo/. 
28/09/2018 1:19
 
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Wakinian Tanka