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Titolo: Commutatore di H con operatore (1/4)[(1/H)PQ + QP(1/H)]

Definiti, per un sistema quantistico monodimensionale, libero, di massa m:
Q = operatore posizione
P = operatore quantità di moto
H = P^2/2m
T = (1/4)[(1/H)PQ + QP(1/H)]
 
voglio calcolare, a mero scopo di esercizio, il commutatore 
[H, T] = HT - TH.
Il mio risultato è -iħ (se il simbolo non si leggesse il risultato è - i hbar).
 
I miei calcoli, che vi chiedo di controllare, sono i seguenti:
 
https://ibb.co/8rs5VnV
 
 
--
Wakinian Tanka

Alberto Rasà ha scritto:
 > ...
 > voglio calcolare, a mero scopo di esercizio, il commutatore
 > [H, T] = HT - TH.
 >
 > I miei calcoli, che vi chiedo di controllare, sono i seguenti:
 >
 > 
https://ibb.co/8rs5VnV
 
 
I tuoi conti sono di una complicazione stratosferica e per di più
scritti a meno.
Non ho la minima intenzione di controllarli.
Piuttosto, seguendo il proverbio cinese, preferisco insegnarti a
pescare (ossia a fare il conto in due battute).
 
Intanto si buttano le costanti inutili.
Poi devi calcolare
[P^2,(1/H)PQ] = (P/H) [P^2,Q] = (P/H) (-2i hbar) P = -2i hbar.
L'altro pezzo si fa allo stesso modo.
Ho usato
[Q,f(P)] = i hbar df/dP.
Nel tuo risultato ti sei perso il 2m a dividere.
-- 
Elio Fabri

 scritti a m(a)no. 
 
Aggiungo la mia a quella di Elio. Hai un sacco di possibilità.
- TeX/LaTeX (con vari ausilii)
- i word processor (Word adesso scrive le equazioni bene con qualche difetto, LibreOffice lo ho usato da poco e mi è parso migliorato)
- Markdown con estensione per LaTeX, esportabile in pdf (vari editor, ad esempio Zettlr)
- TeXmacs (quello che uso io, per me il migliore)
e ce ne sono altri che non ho in mente
 
Scrivendo a mano, migliora la leggibilità (anche io vengo respinto dal tuo foglio scritto a mano)
- scrivere in maniera regolare, senza correzioni e rimandi con frecce
- rispettare margini più larghi nel foglio (almeno 2 cm sui lati e un po' di più in alto e in basso)
- usare un foglio senza quadri e senza buchi.
 
Le formule devono essere allineate bene. Se una formula è spezzata su due righe, la seconda riga deve rientrare rispetto alla prima.
 
 
Infine mi pare che il servizio che hai scelto permetta di vedere la pagina o troppo piccola o troppo grande. Ci sono servizi che mostrano le pagine di un documento in pdf in formato A4  in maniera comoda con un solo click.
 

 
Perché? 
 
4T = (1/H)PQ + QP(1/H). 
4(HT - TH) (i fattori 2m sopra e sotto si cancellano, 
H(1/H) è 1, P(1/P^2) è 1/P) 
 
 = PQ + P(PQ)(1/P) - (1/P)(QP)P - QP = - ihbar + P(QP-ihbar)(1/P) - (1/P) (PQ+ihbar)P = -ihbar + PQ - ihbar - QP - ihbar = -4ihbar
=> (HT - TH) = - ihbar. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka 

 
Nel senso che non capisco come si passa (immediatamente) da sinistra a destra. 
 
--
Wakinian Tanka 

Il 26/02/23 03:23, Alberto Rasà ha scritto:

Il commutatore tra due qualsiasi funzioni di P è identicamente nullo.
Dalla "regola di Leibnitz" per i commutatori
( [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] )
segue il risultato, con A=P^2, B=(1/H)P e C=Q.
 
Giorgio
 
PS ti puo` essere utile dare un'occhiata alle formule per l'algebra dei 
commutatori (cfr 
https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator
  identities 
(ring thery). Si ricavano in modo banae e velocizzano i conti.


Grazie. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka 

 (Comunque, a prescindere dal fatto che bisogna ricordarsi bene quella regola, "a me" non risultava immediato ;-) ).
 
Che possa non risultare immediato se non si sono fatti esercizi 
sull'algebra dei commutatori non è strano.
 
La regola non ha bisogno di essere ricordata a memoria. Basta sapere che 
si deve andare a finire in qualcosa di affine alla regola di Leibnitz 
per la derivata di un prodotto. Dopo di che ritrovare l'ordine giusto 
tra i vari operatori è semplice;
 
[A,BC]  = (per def) A BC  -  BC A
occorre trasformare questo commutatore nella somma di due commutatori. 
Prevedibilmente occorre sottrarre e sommare lo stesso prodotto di 3 
operatori in modo opportuno. Provando con BAC - BAC otteniamo:
 
ABC  - BAC + BAC-  BCA = [A,B]C + B[A,C]
 
ci siamo!
 
Giorgio


Buon trucco. Grazie. 
 
--
Wakinian Tanka 


Trovato. 
Si dimostra facilmente per induzione che:
[Q, P^n] = ihbar n P^{n-1}
Dopodiché basta scrivere F(P), che deve essere sviluppabile in serie di potenze, come: 
F(P) = Somme_{n=0}^oo a_n P^n
ed applicare la linearità del commutatore:
[A, B+C] = [A, B] + [A, C]
 [A, kB] = k [A, B] 
e si può scrivere:
 
 
[Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] Somme_{n=0}^oo a_n [Q, P^n] ihbar + ihbar Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1} = ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = ihbar dF/dP. 
 
--
Wakinian Tanka 


Mi è sparito qualche segno di uguaglianza. 
 
Corrige:
 
 [Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = =Somme_{n=0}^oo a_n [Q, P^n] = ihbar + ihbar Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1}
 
= ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = ihbar (d/dP) [Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = ihbar dF/dP. 
 
--
Wakinian Tanka 

 
C'era un ihbar di troppo :-) 
Corrige-2:
 
 [Q, Somme_{n=0}^oo a_n P^n] = 
= Somme_{n=0}^oo a_n [Q, P^n] = ihbar Somme_{n=1}^oo a_n n P^{n-1} 
= ihbar Somme_{n=0}^oo a_n dP^n/dP = 
