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Titolo: geodetiche e vettori di killing

Leggendo un articolo mi e' venuto il seguente dubbio.
Una particella massiva si muove in uno spaziotempo curvo secondo
l'equazione delle geodetiche.
Se lo spazio e' metricamente compatibile l'evoluzione temporale  non
cambia i prodotti scalari lungo la traiettoria.
Direi quindi che esiste una isometria (anzi una classe di isometrie che
dipende dal campo vettoriale che do come condizione iniziale per la
velocita') che non e' altro che il flusso di evoluzione temporale sullo
spaziotempo.
In tal caso non dovrebbe esistere anche un campo di Killing? Questo
campo di Killing non e' proprio il campo vettoriale che do come
condizione iniziale dell'voluzione?
Cioe' e' sempre vero che l'evoluzione temporale e' il flusso di un
vettore di Killig?
Lo chiedo anche perche' pensando alla metrica di  schwarzschild il
vettore di Killing di coordinate (1,0,0,0) rispetto a quelle standard
in cui
ds^2=(1-2M/r)dt^2-(1-2M/r)^(-1)dr^2+r^d\Omega
diventa di tipo spazio spazio per r<2M (dentro l'orizzonte) e mi sembra
strano che un vettore di tipo spazio sia associato all'evoluzione
temporale.
Saluti.

 Leggendo un articolo mi e' venuto il seguente dubbio.
[...]
Rileggendo il post direi che ho scritto un mucchio di fesserie, pero'
c'e' qualcosa che non mi quadra, non riesco bene a formulare cos e'.
Faccio una certa confusione tra conservazione del prodotto scalare su
una geodetica e simmetria per traslazioni temporali della metrica...
Diciamo che la domanda del post di prima rimane sperando che le vostre
risposte mi facciano chiarezza
Saluti.

 vettore di Killig?
Il problema e' che in generale \mu come l'ho definita *non e'*
un'isometria.
Il suo differenziale \mu_* applica Tp (spazio tangente in p) su Tp',
ma non conserva i prodotti scalari.
Infatti \mu non coincide in genere col trasporto parallelo.
Lo puoi verificare con un controesempio, che si puo' prednere
semplicissimo: basta uno spazio(x,t) di Minkowski (piatto).
Come S prendi l'asse x, il camo u sceglilo in modo semplice, puirche'
non consista di tutti vettori paralleli.
Ora guarda come e' fatta S_tau, immagine di S mediante \mu: vedrai che
non e' affatto una retta parallela all'asse x, ma una curva; e questo
basta per capire che i prodotti scalari non si conservano.
 
-- 
Elio Fabri

 basta per capire che i prodotti scalari non si conservano.
Purtroppo non mi risulta cosi' semplice, potresti illustrarmelo meglio?
Ti seguo finche' dici che S_tau e' una curva, pero' da qui a dire che i
prodotti scalari non si conservano?  Dalla discussione fatta sopra
anch'io concordo che il prodotto scalare non si conservera' pero'
graficamente non lo vedo. 
Grazie in anticipo.
Saluti.

 meglio?
Facciamo un caso banalissimo: prendo S (come avevo detto) coincidente
con l'asse x.
Poi scelgo un punto sull'asse t, a coord. negativa: (0,t1) con t1<0.
Poi considero le rette (geodetiche di tipo tempo) per (0,t1), che
hanno equazione
x = k(t-t1) (|k|<1)
e intersecano l'asse x in x(k) = -k t1.
Nel punto p=(x(k),0) prendo u coincidente col vettore tangente a quella
retta: quindi le componenti di u(k) sono
(km, m) dove m = 1/sqrt(1-k^2).
Scelgo tau a piacere e definisco p' = (x(k)+k*m*tau, m*tau).
Il luogo di p' e' S', la cui equazione e'
x^2 t^2 = (t^2 - tau^2)(t - t1)^2  (salvo errori).
E' ovvio che il vettore tangente a S' in p' (lo chiamo v') non e'
parallelo all'asse x, mentre u(p') = u(p).
Ma v' = \mu_* v, essendo v il vettore tangente all'asse x: quindi vedi
che \mu_* non conserva i prodotti scalari.
(Una figura avrebbe chiarito meglio...)
 
-- 
Elio Fabri

 (Una figura avrebbe chiarito meglio...)
E'  chiaro anche senza figura pero' ho ancora qualche domanda:
a) il vettore v e' tangente ad S ma siamo sicuri che v'=\mu_* v sia
tangente ad S',evoluzione geodetica di S con condizione iniziale u(k)?
b)questa e' la stessa domanda dell'inizio del post: u(k') non e'
diverso da \mu_*u(k)? Se si', perche si confronta u(k') (e non
\mu_*u(k)) con v'=\mu_* v  per far vedere che \mu_* non conserva i
prodotti scalari?
(Tuttavia in questo esempio specifico che hai fatto lo spazio e' piatto
e il trasporto parallelo di u(k) potrebbe coincidere con l'applicazione
di \mu_* essendo la connessione banale).
Grazie per le risposte cosi' dettagliate.
Saluti.

 di \mu_* essendo la connessione banale).
Non so se dipenda dal fatto che lo spazio e' piatto, ma certo per
costruzione, come ho gia' detto, \mu_* manda u(k) in u(k')/
 
-- 
Elio Fabri

 piu' facili di questa, che cosi' prendono la precedensa...
Figurati, considerando che questo post non interessa a nessun altro e'
il minimo che vada in attesa.
Grazie ancora per le risposte, devo pero' pensarci ancora un po' su ...
Saluti.