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Titolo: Contrazione delle lunghezze in relatività

Volevo chiedervi se potevate aiutarmi a capire la contrazione della
lunghezza nella teoria della relatività.
Se per esempio prendiamo un treno lungo 600.000Km che viaggia alla
velocità di 100.000 Km/sec , un passeggero che si trova sul treno non
avrà difficoltà a dire che per lui il treno è lungo 600.000Km.
Se però la misura la effettua una persona che si trova a terra farà
in questo modo :quando la testa del treno sarà in linea con lui (che si
trova lungo i binari),emetterà un segnale luminoso , poi quando la coda
del treno a sua volta sarà in linea con lui emetterà un'altro segnale
luminoso . Ora come abbiamo detto questo osservatore ha segnato il tempo
del primo segnale luminoso e poi dato che il treno è lungo 600.000km e
viaggia a 100.000km/sec , dopo 6 secondi riceverà l'altro segnale
luminoso dalla coda del treno e quindi dirà che il treno è lungo
600.000km (la stessa misura effettuata dalla persona che si trova sul
treno). Quindi sembrerebbe che non ci sia stata nessuna contrazione
e quindi ho scritto cavolate.....
Mi potreste far capire magari riprendendo il mio esempio del treno 
di cui ho scritto sopra ?
Grazie
-- 
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Luca Andreoli ha scritto:
 > Se per esempio prendiamo un treno lungo 600.000Km che viaggia alla
 > velocità di 100.000 Km/sec , un passeggero che si trova sul treno non
 > avrà difficoltà a dire che per lui il treno è lungo 600.000Km.
Ovvio.
 > Se però la misura la effettua una persona che si trova a terra farà
 > in questo modo :quando la testa del treno sarà in linea con lui (che si
 > trova lungo i binari),emetterà un segnale luminoso , poi quando la coda
 > del treno a sua volta sarà in linea con lui emetterà un'altro segnale
 > luminoso . Ora come abbiamo detto questo osservatore ha segnato il tempo
 > del primo segnale luminoso e poi dato che il treno è lungo 600.000km e
 > viaggia a 100.000km/sec , dopo 6 secondi riceverà l'altro segnale
 > luminoso dalla coda del treno e quindi dirà che il treno è lungo
 > 600.000km (la stessa misura effettuata dalla persona che si trova sul
 > treno). Quindi sembrerebbe che non ci sia stata nessuna contrazione
 > e quindi ho scritto cavolate.....
Se dai per scontato che il secondo segnale arriva dopo 6 secondi,
certo non ci sara' nessuna contrazione...
Ma chi te lo dice che arriva dopo 6 secondi?
Ti dici: perche' il treno e' lungo 600000 km, e questa a casa mia
si chiama "petitio principii" :)
Il discorso va fatto in modo diverso: devi escogitare un modo
"neutrale" di misurare la lunghezza, riuscire a prevedere che cosa
risultera', e poi vedere...
Siccome stasera ho gia' scritto molto, sono un po' stanco, per cui me la
cavo facendoti una domanda preliminare: conosci il ragionamento (di
Einstein) con cui, sempre col solito treno, si dimostra la relativita'
della simultaneita'?
Se lo conosci, al prossimo giro ti mostrero' come da quel ragionamento
segua anche la contrazione di cui si parla.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 lungo 600.000km
Scusa ma mi sembra che il tuo sia un ragionamento circolare, dimostri che il
treno è lungo 600.000km ipotizzando che è lungo 600.000km!
Secondo me non puoi dire "dato che il treno è lungo 600.000km" perché è
proprio questo il punto, la RR, dice che nel riferimento fermo il treno non
è lungo 600.000km.
Secondo me il modo più semplice di comprendere il fenomeno della contrazione
delle lunghezze in RR è pensare alle proiezioni ortogonali.
Sai cosa sono?
Se no pensa a questo: se si prende un oggetto e con una lampada si proietta
la sua ombra su una parete questa ombra ha una certa forma.
Potresti anche misurare le dimensioni di questa ombra, ma se ruoti
l'oggetto, la forma dell'ombra cambia e cambiano anche le dimensioni
dell'ombra anche se l'oggetto è sempre lo stesso.
Secondo me in RR è lo stesso, fra due punti-evento dello spazio-tempo c'è
una ben precisa e assoluta distanza spazio-temporale.
Un osservatore che vuole misurare la distanza spaziale fra questi, misurerà
una proiezione di questa distanza spazio-temporale sulla "dimensione
spaziale".
Un altro osservatore in moto rispetto al primo misurerà per gli stessi
punti-evento una diversa distanza spaziale perché cambia la proiezione, ma
la distanza spazio-temporale rimane la stessa e come quando ruoti l'oggetto
l'ombra cambia ma l'oggetto è lo stesso.
Saluti.

Massimo S. ha scritto:
 > ...
 > Secondo me in RR è lo stesso, fra due punti-evento dello spazio-tempo
 > c'è una ben precisa e assoluta distanza spazio-temporale.
 >
 > Un osservatore che vuole misurare la distanza spaziale fra questi,
 > misurerà una proiezione di questa distanza spazio-temporale sulla
 > "dimensione spaziale".
 >
 > Un altro osservatore in moto rispetto al primo misurerà per gli stessi
 > punti-evento una diversa distanza spaziale perché cambia la
 > proiezione, ma la distanza spazio-temporale rimane la stessa e come
 > quando ruoti l'oggetto l'ombra cambia ma l'oggetto è lo stesso.
Gia'...
Peccato che nella geometria di Lorentz-Minkowski la proiezione sia
*piu' lunga*, non piu' corta (a causa del segno meno nella metrica).
Per cui se la spiegazione fosse quella che dici, si dovrebbe avere una
"dilatazione di Lorentz", non una contrazione.
Pensaci su...


Il prof. Fabri ha scritto :
 facendoti una domanda preliminare: conosci il ragionamento (di
Einstein) con cui, sempre col solito treno, si dimostra la relativita'
della simultaneita'?
Se lo conosci, al prossimo giro ti mostrero' come da quel ragionamento
segua.
 
 Rispondendo alla sua domanda circa il ragionamento sulla simultaneitą
 di Einstein.....lo conosco , ma tuttavia sarebbe gradita una sua
 ulteriore spiegazione.
 Luca


Luca Andreoli ha scritto:
 > Rispondendo alla sua domanda circa il ragionamento sulla simultaneità
 > di Einstein.....lo conosco , ma tuttavia sarebbe gradita una sua
 >  ulteriore spiegazione.
Uhm... Qua mi tocca fare un corsettino di relativita' via internet...
Come minimo, dovrai avere pazienza, nel senso che scrivero' a puntate,
nella misura in cui resisto ;-)
Dunque: abbiamo il treno T (che e' un rif. inerziale) che viaggia a
velocita' v rispetto alla stazione S (anch'essa un rif. inerziale).
Sia L la lunghezza del treno, misurata nel suo stesso rif.
Dal punto medio M del treno partono due lampi di luce, uno verso la
testa A, l'altro verso la coda B: ovviamente arrivano insieme visti da
T, impiegando il tempo L/(2c).
Invece non arrivano insieme visti da S, perche' nel tempo che la luce
viaggia verso A, il treno si e' spostato in avanti, e quindi il lampo
deve fare piu' strada.
Parallelamente, il lampo che va verso la coda incontra B piu' presto,
perche' la coda si e' spostata incontro alla luce.
Tutto questo naturalmente perche' assumiamo che la velocita' della
luce sia sempre c, in entrambi i versi, e misurata tanto in S quanto
in T.
Dunque due eventi (arrivo della luce in A e in B) che sono simultanei
in T non lo sono in S: l'arrivo in B precede quello in A.
Per il seguito serve di calcolare *di quanto* l'arrivo in B anticipa
quello in A.
Indichiamo con tA il tempo che la luce impiega a raggiungere A (sempre
misurato da S). In questo tempo il treno si e' spostato di v*tA, quindi
la luce non deve percorrere un tratto pari a meta' della lunghezza del
treno, ma di piu'.
Nota bene: per prudenza non assumiamo che la lunghezza del treno sia L
anche misurata da S: diciamo che sia L' (poi dimostreremo che infatti
e' minore di L).
Allora il nostro lampo deve percorrere un tratto L'/2 + v*tA, e sara'
dunque
L'/2 + v*tA = c*tA (la luce ha sempre velocita' c!).
Risolvendo questa:
tA = L'/[2(c-v)].
In modo del tutto simile, si calcola il tempo tB che occorre alla luce
per arrivare in B. Ti do solo il risultato, che puoi ricavare senza fatica:
tB = L'/[2(c+v)].
Come vedi, tA > tB. La differenza e'
tA - tB = L'*v/(c^2 - v^2).
Fine della prima puntata.


 Pensaci su...
Ci ho pensato un pò.
Non ho affermato che la proiezione "spaziale" sia più corta della distanza
spazio-temporale.
Ma ho, implicitamente, affermato che la proiezione sulla dimensione
"spaziale" relativa al riferimento "fermo" è più corta della proiezione
sulla dimensione "spaziale" relativa al riferimento solidale con il treno.
Comunque ho tirato fuori la metafora dell'ombra sul muro perché mi sembra
che quello che stupisce i profani di RR sia non tanto che le dimensioni di
oggetti in moto si contraggano (si stupirebbero anche se si allungassero) ma
che la distanza, detto rozzamente la lunghezza di un oggetto, sia diversa se
misurata in riferimento rispetto a quando è misurata in un altro.
Mi sembra che ci sia un'analogia con l'oggetto che proietta un ombra sul
muro: l'oggetto e sempre lo stesso, ma la sua ombra cambia se lo si ruota.
Quest'analogia ti sembra non calzante e/o fuorviante?
Certo, come tutte le analogie, anche questa ha i suoi limiti, non si può
dire in senso letterale che la RR è la stessa cosa.
Non so se hai notato il cambiamento di registro della mia risposta a Luca:
inizialmente ho parlato in concreto della lunghezza del treno e delle
dimensioni dell'oggetto e della sua ombra, poi mi sono buttato sull'astratto
parlando di punti-evento e distanze spazio-temporali.
Il motivo è che mi ero "incartato" :-)
Nel senso che dopo aver parlato dell'ombra stavo per scrivere qualcosa tipo:
"La distanza spazio-temporale del treno è assoluta mentre la sua lunghezza
varia perché è la proiezione di questa distanza ecc..."
Poi mi sono reso conto di non saper definire cos'è la distanza
spazio-temporale del treno, anzi che forse questa dizione non ha proprio
senso.
Forse si potrebbe pensarla in questi termini:
Intanto facciamolo le solite semplificazioni: spazio-tempo a 2 dimensioni e
sbarra rigida al posto del treno.
Ipotizzo pure che in un riferimento inerziale all'istante t1 si materializzi
dal nulla la sbarra rigida, ferma e di lunghezza propria L; poi all'istante
t2 la sbarra viene disintegrata istantaneamente senza lasciare traccia.
Quindi il nostro "treno" in questo spazio-tempo bidimensionale è un
rettangolo L x (t2-t1) con i lati paralleli agli assi spaziale e temporale
Direi che se un osservatore solidale con il "treno" volesse misurare la sua
lunghezza troverebbe un valore pari all'intersezione di una retta parallela
all'asse spaziale con il rettangolo-treno cioè L.
Invece per un osservatore in moto uniforme rispetto al treno direi che il
"treno" sarebbe sempre lo stesso rettangolo ma con i lati non più paralleli
agli assi ma inclinati.
Ora se quest'osservatore "misura" la lunghezza del treno prendendo
l'intersezione del rettangolo con una retta parallela al suo asse spaziale
(che non tocchi i lati "spaziali" del rettangolo) troverà un valore L2
diverso da L.
Se la metrica fosse euclidea credo che L2 sarebbe per il teorema di Pitagora
maggiore di L.
Ma essendo la metrica lorentziana mi azzardo a dire che al contrario L2 è
minore di L, quindi il treno appare contratto al secondo osservatore.
Scusami per la prolissità
Ho detto molte castronerie?
Tendo le mani in attesa delle tua bacchettate, non darle troppo forte però!
;-)
Saluti.

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-- 
A risentirci presto
r-Daneel

Elio Fabri ha scritto :
Fine della prima puntata.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Grazie per le spiegazioni della < prima puntata > , e un grazie
per le eventuali <puntate> successive. Come sempre lei è di una
chiarezza unica !
Luca


Seconda puntata.
Posso utilmente sfruttare una domanda di r-Daneel, che ha scritto:
 > Potrebbe dirmi se i raggi colpiscono fisicamente insieme la testa e la
 > coda del treno in tutti e due i casi? Cioe' se per S il ritardo e'
 > dovuto al tempo che l'immagine della testa del treno illumunata
 > impiega a tornare agli occhi di S?
Mi accorgo infatti che non avevo chiarito un punto, che stranamente
(per me) ritorna sempre in ballo: se essere o no simultanei certi
eventi in un dato rif. significhi che la luce emessa in questi eventi
arriva insieme *a chi guarda*...
Risposta netta: niente affatto.
Occorre assolutamente scordarsi l'eventuale presenza di un "uomo che
guarda" (e' per questo che io aborro l'uso del termine "osservatore").
La fisica si fa con strumenti, e le osservazioni dirette hanno un
ruolo del tutto marginale. Si capisce che alla fine qualcuno deve
leggere gli strumenti, ma questo puo' accadere in un secondo tempo, a
distanza, ecc. ecc.
Invece quello che non avevo precisato e' che in ogni rif. si deve
assumere di disporre di una batteria (teoricamente infinita) di
_orologi_, piazzati in tutti i punti dello spazio, e tra loro
_sincronizzati_.
Sincronizzati come? Per es. mediante l'invio di segnali luminosi. Dato
che gli orologi sono fermi uno rispetto all'altro, e che assumiamo
nota la velocita' della luce, e' facile tener conto, una volta per
tutte, del tempo di propagazione, e regolare gli orologi di
conseguenza.
Quindi abbiamo orologi sul treno, e orologi sulla banchina della
stazione.
Quando dico che il segnale arriva simultaneamente in A e in B, "visto
da T", la parola "visto" ha un significato puramente metaforico, non
coinvolge nessun "occhio vedente". Coinvolge invece i due orologi in A
e in B, che registrano l'arrivo e poi vengono letti. Se segnano lo
stesso tempo, questa e' la _simultaneita'_.
Quando dico che tra l'arrivo in B e quello in A intercorre un ritardo
tA - tB = L'*v/(c^2 - v^2), visto da S, intendo che i due orologi che
si trovano a coincidere con A e con B quando i due segnali arrivano
segnano tempi che differiscono di quella entita'.
Incidentalmente, questo chiarisce anche che cosa vuol dire che "visto
da S" il treno e' lungo L'.
Significa che se vado a cercare due orologi che hanno registrato *allo
stesso tempo* uno il passaggio di A e l'altro quello di B, li trovo
distanziati di L'.
Questo e' essenziale, perche' se non si ha chiaro che cosa significa
misurare la lunghezza di un oggetto in moto, non si puo' capire se e
perche' quella lunghezza debba risultare contratta.
E ora riprendiamo il discorso dove era rimasto.
Aggiungiamo agli strumenti di cui sono dotati gli sperimentatori due
aggeggi, situati sul treno, uno in testa e uno in coda, che quando
ricevono il lampo di luce sparano un paletto, un proiettile, uno gnocco
di vernice, quello che vi pare ... comunque qualcosa che resta sulla
massicciata e indica la posizione che avevano A e B rispetto a S
quando hanno ricevuto il lampo.
Chiamiamo A' e B' questi due punti: per quanto gia' detto, la loro
distanza (misurata da S, ovviamente) e' L'.
E' quanto vale la loro distanza misurata da T? Basta pensare a quello
che ho detto sopra, per capire che tale distanza e' L: uguale alla
lunghezza del treno.
Esaminiamo dunque la situazione a questo punto.
Abbiamo due segmenti: AB e A'B'. Il primo e' fermo rispetto a T, il
secondo e' fermo rispetto a S.
Misurati da T, hanno la stessa lunghezza L; misurati da S?
La lunghezza di AB l'abbiamo chiamata L': per il momento e' solo un
simbolo.
La lunghezza di A'B' non la sappiamo, ma possiamo calcolarla.
Ricordiamo che il treno (rispetto a S) e' lungo L', e va alla
velocita' v. La sua testa raggiunge A' *dopo* che la sua coda ha
raggiunto B': il ritardo e' il solito L'*v/(c^2 - v^2).
Ma in questo tempo il treno si e' spostato di L'*v^2/(c^2 - v^2), che
va aggiunto alla lunghezza L' del treno: risultato (fate il conto!)
L'*c^2/(c^2 - v^2).
Posso dunque compilare una tabella:
      |         S                 T
-----+------------------------------------
AB   |         L'                L
      |
A'B' |  L'*c^2/(c^2 - v^2)       L
      |
Abbiamo dunque una provvisoria conclusione: due segmenti che appaiono
uguali se misurati da T, appaiono diversi se misurati da S.
E ricordate: "appaiono" vuol dire soltanto "secondo i risultati delle
misure, come sopra definiti".
Ma facciamo un altro passo: poniamo L' = k*L.
Il senso di questa posizione e': k e' il "fattore di contrazione" per
la lunghezza di uno stesso segmento tra quando lo si misura nel rif.
in cui e' fermo, e quando lo si misura nel rif. in cui si muove con
velocita' v.
(Al momento non sappiamo quanto vale k; se non ci fosse nessuna
contrazione, sarebbe k=1. Quindi aver introdotto questo k non
c'impegna in nessun modo.)
Ma anche A'B' e' in questa situazione: e' fermo rispetto a S, si muove
(con velocita' v) rispetto a T. Dunque mi aspetto che sia
L = k*L'*c^2/(c^2 - v^2) = k^2*L*c^2/(c^2 - v^2).
Da qui ricavo subito k:
k = sqrt(1 - v^2/c^2)
et voila': siamo arrivati alla contrazione di Lorentz.
Pero' fermiamoci un momento a riflettere su che cosa abbbiamo usato.
In primo luogo, la solita invarianza della velocita' della luce.
Poi, proprio alla fine, abbiamo usato il _principio di relativita'_,
in questa forma:
"I due rif. S e T sono equivalenti (inerziali). Dunque se c'e' un
effetto di contrazione, dev'essere lo stesso tanto da S, quando si
guarda un segmento fermo rispetto a T, quanto da T, se si guarda un
segmento fermo rispetto a S."
Ecco perche' ho usato lo stesso fattore di contrazione k.


segnano tempi che differiscono di quella entita'.
Finalmente ho capito: S considera i punti A' e B'
sovrapposti ad A e B al momento in cui A e B si
illuminano e non quelli sovrapposti al momento in cui
partono i segnali e per i quali S come centro di emissione
dei segnali sarebbe punto medio.
Quindi lo credo bene che vede prima B' e poi A' perche'
infatti la luce nel sistema S lo incontra prima, ma ci
credi se ti dico che nei libri c'e' o comunque si capisce
invece nell'altro modo?


 raggiunto B'
Io (testone) volevo solo aggiungere che mi era sembrato di capire
dalla domanda iniziale di Luca che egli presentasse la cosa un po'
diversamente e cioè non è che la testa e la coda del treno vengono
visti contemporaneamente (per quanto possa valere questo termine
contemporaneamente)dai punti A e B , ma la sulla banchina esiste
un solo punto di osservazione (diciamo il punto A)e per il punto A
una volta passa la testa e una volta passa la coda del treno e lui A
misura la lunghezza del treno conoscendo la velocità e il tempo
intercorso tra i passaggi della testa e della coda del treno.
Probabilmente il risultato non cambia , ma ripeto mi era sembrato
che Luca indendesse questo.
Umberto


Umberto Simone ha scritto:
 > Io (testone) volevo solo aggiungere che mi era sembrato di capire
 > dalla domanda iniziale di Luca che egli presentasse la cosa un po'
 > diversamente e cioè non è che la testa e la coda del treno vengono
 > visti contemporaneamente (per quanto possa valere questo termine
 > contemporaneamente)dai punti A e B , ma la sulla banchina esiste un
 > solo punto di osservazione (diciamo il punto A)e per il punto A una
 > volta passa la testa e una volta passa la coda del treno e lui A
 > misura la lunghezza del treno conoscendo la velocità e il tempo
 > intercorso tra i passaggi della testa e della coda del treno.
Hai ragione, e ti ringrazio di avermelo ricordato.
 > Probabilmente il risultato non cambia , ma ripeto mi era sembrato che
 > Luca indendesse questo.
Infatti il risultato non cambia, ma avrei dovuto completare il discorso.
Se a un certo istante in S testa e coda del treno distano di L', e se
il treno si muove a velocita' v, la coda raggiungera' la posizione
prima occupata dalla testa dopo un tempo L'/v.
Se procediamo a rovescio, ossia misuriamo questo tempo e
moltiplichiamo per v, ovviamente otteniamo L'
L'errore di Luca era stato di dare per scontato che fosse L'=L, per
dimostrare che appunto L'=L: ecco perche' lo avevo "accusato di
"petitio principii" :)
