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Titolo: SL(2,C) e Lorentz gruop secondo sketch

    Non ho ancora guardato il Fulton Harris, ma il Cornwell suggerisce
questa strategia esplicativa per l'uso di SU(2) x SU(2) come base per
la costruzione delle rappresentazioni finito dimensionali di SO(3,1)+.
Dopo avere osservato che esiste un omomorfimo da SL(2,C) è il
rivestimento universale di SO(3,1)+ e che i generatori di SO(3,1)+
possono essere arrangiati come sappiamo, mediante combinazioni
complesse in su(2) + su(2) osserva che dalle rappresentezioni della
complessificazione di quest'algebra, che risulta in sl(2,C) + sl(2,C)
è possibile costruire le rappresentazioni della sottoalgebra isomorfa
ad SL(3,1)+. E spiega come fare a partire dalle due rappresentazioni
inequivalenti di sl(2,C).
A questo punto diventa anche trasparente la logica dei teoremi
che B.C. Hall enuncia sulle rappresentazioni di un gruppo semplicemente
connesso, SL(2,C) a partire dalle rappresentazioni di una forma
reale compatta della sua algebra, per sl(2,C) la forma reale compatta
è su(2).
Tornando poi alle algebre di Clifford risulta un risultato
un poco più generale che ricorda quella procedura riassunta da Filberto
a proposito del modo di procedere di Ryder.
Se consideriamo il gruppo di Spin_3,1 (rivestimento universale di
SO(3,1)) e ne consideriamo la componente che contiene l'unità
e la indichiamo Spin^0_3,1 abbiamo Spin_3,1 isomorfo ad SL(2,C),
ma se consideriamo Spin_3,1 abbiamo Spin_3,1 isomorfo ad
SL*(2,C) dove l'asterisco indica che il determinante delle matrici
può essere 1 oppure -1.
Inoltre l'algebra di Clifford Cl_3,1 è isomorfa a Cl_0,4, Ovvero l'algebra
delle matrici di Dirac e l'algebra di R^4 sono isomorfe. Questo è un
risultato in vero piuttosto importante che dà la vera misura del perchè
sia tanto importante studiare le rappresentazioni unitarie finito
dimensionali
del gruppo di Lorentz, specie in rapporto all'equazione di Dirac.
E' questo risultato in particolare, che può ingenerare la confusione
che abbiamo constatato e frasi come "SO(3,1) è allora essenzialmente
SU(2) x SU(2) " quello che è vero è che studiando il gruppo di Spin
di Cl_0,4 studiamo di fatto il gruppo di spin di Cl_3,1. Quindi studiando
SU(2) x SU(2) studiamo il gruppo di spin SO(3,1).
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 all'equazione di Dirac.
Il gruppo di Lorentz *non possiede* rappr. finito-dimensionali
unitarie (a parte quella banale).
 
-- 
Elio Fabri

 L'unico ignorante in un NG di sapienti? :-))
Non sei solo, stai tranquillo.
Sto cercando di recuperare studiando gruppi e algebre ma sono molto
molto lontano.
Le algebre di Clifford mi ricordo che sono le algebre tipo quella
delle matrici gamma di Dirac.
Ciao

 Vediamo domani...
Ci provo.
Partiamo dall'algebra di Lie A di un gruppo di Lie, che come si sa e'
prima di tutto uno spazio vettoriale sui reali (la struttura [.,.] nel
seguito avra' pochissimo ruolo).
Sia {e_i} una base di A (mi limito a dimensione finita).
La complessificazione A^c di A non e' che lo sp. vett. su C generato
dalla stessa base {e_i}.
E' facile dimostrare che cambiando base si ottiene sempr4e lo stesso
spazio.
A^c rimane ancora un'algebra di Lie, con [.,.] definito per linearita'
a partire dalla base.
Due diverse algebre, A e A', possono avere complessificazioni tra loro
isomorfe, quindi astrattamente *la stessa* complessificazione.
E' questo per es. il caso di so(4) e sl(2,C).
In altre parole, A^c puo' essere ristretta ad algebra reale in piu' di
un modo (ovviamente con basi diverse, che non sono connesse da comb.
lineari *reali*).
Rappresentazione di un'algebra di Lie si definisce al solito modo:
essenzialmente come omomorfismo f da A dentro l'algebra degli
endomorfismi di uno spazio vettoriale V (a noi interessa complesso).
La rappr. e' irriducibile se f(A) non ha sottospazi invarianti propri
in V.
Ed ecco il punto: se f e' una rappr. irr. di A su V, la sua estensione
ad A^c (ovvia) *e' ancora irriducibile* (ovvio anche questo).
Meno ovvio che sia vero anche il viceversa: se f e' una rappr. irr. di
A^c, essa e' anche rappr. irr. di *ogni* algebra reale contenuta in
A^c.
Nel nostro esempio, da cio' discende che le rappr. irr. di sl(2,C)
sono le stesse di so(4).
Vi torna?
Certamente non ho detto niente di nuovo (ci mancherebbe :-) ) ma
almeno ho messo in ordine cose che avevo insegnato oltre 40 anni fa,
senza averle capite per bene :-))
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 Direi che manca l'enunciazione esplicita di un paio di teoremi.
Ci risiamo :-(
Da qui in poi non ho capito praticamente niente.
-- 
Elio Fabri

 versione iperbolica,
Bello :-)
Si direbbe che tu nei miei appunti ci abbia trovato cose che non sapevo
di averci messo :-))
 
-- 
Elio Fabri