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Titolo: momento di dipolo

Ciao, potreste aiutarmi a dimostrare che l'unica componente non zero
del momento di dipolo della seguente configurazione è quella lungo
l'asse z?
Le basi di un cilindro, quella superiore carica uniformemente con
distribuzione superficiale di carica pari a \sigma, quella inferiore
anch'essa carica uniformemente ma con distribuzione superficiale di
carica pari a  - \sigma.
Ciao e grazie, 
Serenella

 carica pari a  - \sigma.
Si dimostra sfruttando la simmetria del sistema:
La configurazione di carica che da sola determina il momento di
dipolo p (vettore) ha simmetria cilindrica, cioe' e' invariante per tutte
le rotazioni eseguite intorno all'asse z del cilindro, ne segue che
p deve essere invariante per tutte le rotazioni eseguite intorno
all'asse z, e gli unici vettori che soddisfano a questa condizione
sono quelli diretti lungo l'asse z.
Un modo piu' fantasioso per vedere la cosa e' questo:
immagina di trovarti in un laboratorio dove e' stato preparato
il cilindro carico di cui sopra, di aver misurato il momento di
dipolo e aver ottenuto come risultato un vettore che non sia
parallelo all'asse del cilindro, avente dunque coordinate cilindriche
(r, teta, z) con r non nullo; a un certi momento esci dal laboratorio,
e mentre sei fuori, a tua insaputa, una persona nel laboratorio ruota
il cilindro intorno all'asse z di un angolo fi che non sia un multiplo intero
di un angolo giro, quindi rientri nel laboratorio, esegui nuovamente
la misura del momento di dipolo e trovi un nuovo vettore (r, teta + fi, z)
diverso da quello precedente! Ma questo e' assurdo perche' tu vedi che
la configurazione di carica di cui misuri il momento di dipolo e' invariata,
di conseguenza anche p deve essere invariato, pertanto l'unica possibilita'
e' che  p sia rappresentato da un vettore della forma (0, teta, z) in modo
che anche il vettore (0, teta + fi, z) coincida con p.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 carica pari a - \sigma.
Basta la simmetria. Non la vedi?
 
-- 
Elio Fabri

 carica pari a  - \sigma.
Il sistema e' invariante sotto la trasformazione inversione di
carica+inversione spaziale asse z:
d(x,y,z)=-d(x,y,-z)    (*)
dove d(x,y,z) e' la densita' di carica (in particolare abbiamo
d(x,y,z)=\sigma*heaviside(R^2-x^2-y^2)[diracdelta(z-h)-diracdelta(z+h)],
con h altezza del cilindro, R raggio delle basi, deltadirac la funzione
delta di Dirac, heaviside la funzione a gradino di Heaviside).
La componente i-esima del momento di dipolo e' l'integrale
sull'elemento di volume dV=d^3x
p^i=int dV d(x,y,z)x^i
da cui quindi
p^i=-int dV d(x,y,-z)x^i.
Il segno della z nella densita' d(x,y,-z) che appare nell'integrando
puo' essere riassorbito con un cambio di coordinate z-->-z: ne segue
immediatamente che
p^x=-p^x-->p^x=0
p^y=-p^y-->p^y=0.
Cosi' l'unica componente non nulla e' quella lungo l'asse z.
Come vedi questa conclusione non dipende dalla particolare
distrinuzione di carica ma dalla proprieta' di invarianza (*).

 ...
Si dimostra per simmetria. Il tuo sistema di cariche presenta una simmetria
di rotazione rispetto all'asse del cilindro, tutto quello che si puo'
dedurre da questo sistema presenta necessariamente la stessa
simmetria, quindi in particolare anche il momento di dipolo elettrico. Ho
sentito dire che una volta un grande fisico teorico contemporaneo disse la
seguente frase : "Una certa cosa ha una certa simmetria se e' possibile
compiere certe operazioni senza che cambi nulla", forse era Feynman ? Pare
che per i fisici moderni il concetto di simmetria sia molto importante,
addirittura parlano di "supersimmetria", ma che e' ?
--
per rispondere via e-mail togliere "xyz"
dalla fine dell'indirizzo

le rotazioni eseguite intorno all'asse z del cilindro
[...]
Quello che dite e' vero, pero' non e' essenziale: si puo' rilasciare
l'invarianza sotto rotazioni intorno all'asse del cilindro ed ottenere
la stessa conclusione usando il fatto che la densita' d(x,y,z) di
carica e' dispari in z (cioe' invarianza per coniugazione di carica
piu' riflessione rispetto al piano z=0):
d(x,y,z)=-d(x,y,-z).
Se invece rilasciassi questa proprieta' e tenessi l'ivarizanza sotto
rotazioni intorno all'asse del cilindro, ad esempio prendendo le
distribuzioni di carica superficiale sule basi uguali (senza il segno
relativo), avrei che il sistema puo' avere momento di dipolo anche
lungo gli altri assi (basta pensa alla trasformazione di coordinate
x^i-->x^i+a^i che manda p^i-->p^i+Qa^i con Q carica totale del sistema
diversa da zero).
 
saluti.

Paolo wrote:
 > > Si dimostra per simmetria. Il tuo sistema di cariche presenta una simmetria
 > > di rotazione rispetto all'asse del cilindro, tutto quello che si puo'
 > > dedurre da questo sistema presenta necessariamente la stessa
 > > simmetria, quindi in particolare anche il momento di dipolo elettrico.
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