Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: chiarimento di idee

Salve gruppo,
sono un appassionato di Fisica autodidatta e competenze molto ridotte 
(purtroppo) sia dal punto di vista nozionistico, sia matematico.
 
Ho un dubbio che vorrei qualcuno potesse chiarirmi una volta per tutte.
 
Nello studio delle oscillazioni periodiche il primo elemento che viene 
trattato è l'oscillatore armonico. Nelle tre dimensioni si parla di 
oscillatore isotropico e ho visto risolvere il sistema sia nel sistema 
di riferimento cartesiano (x, y, z), sia in quello polare (r, theta, phi).
 
Non ho capito bene le conclusioni delle trattazioni, e sto scrivendo qui 
sul gruppo.
 
Secondo la trattazione relativa al Sistema di Riferimento Cartesiano si 
ha che, essendo il moto sulle tre coordinate assolutamente indipendente 
ed essendo arbitraria la scelta dell'asse x, si arriva alla descrizione 
di 3 moti armonici indipendenti ma sovrapposti. Questo dovrebbe 
garantire ad una ipotetica particella di descrivere tutti i punti 
interni ad una sfera di raggio R.
 
Secondo la trattazione relativa al Sistema di Riferimento Polare si 
giunge alla conclusione che il moto avviene su una traiettoria ellittica 
e che il momento angolare totale del sistema è costante. Non essendovi 
dunque alcuna forza (coppia) che causa la variazione del momento 
angolare, l'orbita rimane su un piano e da lì non si sposta.
Questo mi porta a concludere che la particella descrive nel tempo una 
traiettoria che al massimo traccia solo la "circonferenza" della 
superficie di un ellissoide non avendo alcuna tendenza a penetrare al 
suo interno.
 
Vorrei sapere se ho capito bene le due trattazioni e come si conciliano 
le due conclusioni in apparenza differenti.
 
Grazie,
alessandro

alessandro volturno ha scritto:
 > Ho un dubbio che vorrei qualcuno potesse chiarirmi una volta per
 > tutte.
Una volta per tutte forse è un po' troppo :-)
Comunque proviamo a fare qualche passo.
 
 > Secondo la trattazione relativa al Sistema di Riferimento Cartesiano
 > si ha che, essendo il moto sulle tre coordinate assolutamente
 > indipendente ed essendo arbitraria la scelta dell'asse x, si arriva
 > alla descrizione di 3 moti armonici indipendenti ma sovrapposti.
E' vero ma hai dimenticato di dire una cosa importantissima.
Ciascuno dei tre moti può avere una sua ampiezza e fase, del tutto
arbitraria.
Ma la frequenaza (o periodo) è la stessa per tutti, ed è indipendente
da ampiezza e fase: quello che si chiama *isocronismo* del moto
armonico.
 
 > Questo dovrebbe garantire ad una ipotetica particella di descrivere
 > tutti i punti interni ad una sfera di raggio R.
Perché lo dici? Suppongo per via intuitiva ma arbitraria: è una
conclusione ingiustificata.
 
Al contrario, stante l'isocronismo, se T è il periodo comune ai tre
moti sui tre assi, succede che al tempo T tutte e tre le coordinate
tornano al valore che avevano al tempo 0, quindi il punto (in tre
dimensioni) torna nella stessa posizione e la traiettoria si chiude.
Lo stesso capita ai tempi 2T, 3T... quindi il moto è *sempre*
periodico.
Ci vuole un po' di geometria analitica per dimostrare che la
traiettoria chiusa è un'ellisse con centro nell'origine.
Però le caratteristiche dell'ellisse (piano in cui sta, semiassi)
dipendono dalle condizioni iniziali.
 
 > Secondo la trattazione relativa al Sistema di Riferimento Polare si
 > giunge alla conclusione che il moto avviene su una traiettoria
 > ellittica e che il momento angolare totale del sistema è costante. Non
 > essendovi dunque alcuna forza (coppia) che causa la variazione del
 > momento angolare, l'orbita rimane su un piano e da lì non si sposta.
Tutto giusto, ma la conservazione del momento angolare (e
dell'energia) le puoi ricavare anche in coord. cartesiane.
Sono proprietà *fisiche* del sistema, che valgono indip. dalle
cordinate che scegli.
 
 > Questo mi porta a concludere che la particella descrive nel tempo
 > una traiettoria che al massimo traccia solo la "circonferenza" della
 > superficie di un ellissoide non avendo alcuna tendenza a penetrare
 > al suo interno.
Non ho capito che cosa sarebbe questo ellissoide.
Certamente un'ellisse con centro nell'origine sta su infiniti
ellissoidi, ma che cosa avrebbe di particolare quello che dici?
 
Per es. potresti chiederti: se fisso energia totale e modulo del
momento angolare, quali traiettorie (ellissi) posso ottenere?
La risposta è che sono fissati i semiassi a, b mentre l'orientamento
dell'ellisse può essere qualsiasi.
Se fai l'unione di tutte queste ellissi ottieni un guscio sferico, di
raggio esterno a e raggio interno b.
-- 
Elio Fabri

 interni ad una sfera di raggio R.
 
No. Perché indipendentemente dal sistema di coordinate la forza punta 
sempre verso il centro. E in un campo di forza centrale il momento 
angolare si conserva. Da questo si pu`o dedurre che il moto resta 
confinato in un piano. Ovviamente la conclusione è indipendente dal 
sist. d coordinate.
 
Giorgio

Il 20/05/2021 11:10, Elio Fabri ha scritto:
 
 > alessandro volturno ha scritto:
 >> Ho un dubbio che vorrei qualcuno potesse chiarirmi una volta per
 >> tutte.
 
 > Una volta per tutte forse è un po' troppo
 > Comunque proviamo a fare qualche passo.
 
purtroppo hai ragione il mio peggior difetto è la memoria troppo corta. 
Mi accorgo che devo tenere sempre freschi gli argomenti o poi mi resta 
solo la trattazione qualitativa di un fenomeno ma non quella 
quantitativa. Capisci quanto è frustrante dover sempre imparare "a 
camminare" nello studio
 
 >> Secondo la trattazione relativa al Sistema di Riferimento Cartesiano
 >> si ha che, essendo il moto sulle tre coordinate assolutamente
 >> indipendente ed essendo arbitraria la scelta dell'asse x, si arriva
 >> alla descrizione di 3 moti armonici indipendenti ma sovrapposti.
 
 > E' vero ma hai dimenticato di dire una cosa importantissima.
 > Ciascuno dei tre moti può avere una sua ampiezza e fase, del tutto
 > arbitraria.
 
ovviamente. Questo lo so ma l'ho dato per scontato parlando di moti 
armonici. Grazie della precisazione.
 
 > Ma la frequenza (o periodo) è la stessa per tutti, ed è indipendente
 > da ampiezza e fase: quello che si chiama *isocronismo* del moto
 > armonico.
 
questo fenomeno penso che sia ascrivibile all'aggettivo *isotropico* del 
moto di cui parla il libro, cioè al fatto che si considerano le tre 
costanti di forza di richiamo della stessa grandezza. O mi sbaglio?
 
 >> Questo dovrebbe garantire ad una ipotetica particella di descrivere
 >> tutti i punti interni ad una sfera di raggio R.
 
 > Perché lo dici? Suppongo per via intuitiva ma arbitraria: è una
 > conclusione ingiustificata.
 
L'ho pensato perché ho immaginato che la particella in qualche modo si 
muova su raggi interni della sfera, oscillando attorno all'origine degli 
assi, un po' come farebbe una mosca se dovesse volare in uno spazio 
sferico ridotto.
 
Dopo le tue parole, riflettendo sulla composizione di due moti armonici 
sul piano (figure di Lissajux - un cerchio se lo sfasamento dei due moti 
di uguale ampiezza è pi/2 o un'ellisse per moti periodici che hanno la 
stessa frequenza ma sfasamento diverso da pi/2), ho pensato che 
considerando anche la terza dimensione del moto, il risultato fosse che 
l'orbita ellittica (caso più generico generico) del moto non fosse più 
sul piano XY ma che formasse con esso un certo angolo.
 
Se l'angolo fosse costante nel tempo la descrizione del moto 
coinciderebbe con quella che ho fatto parlando delle coordinate Polari 
sferiche, se l'angolo variasse nel tempo otterrei traiettorie che 
descriverebbero un'ellissoide di rotazione, ottenuto ruotando l'ellisse 
attorno all'asse maggiore.
 
 > Al contrario, stante l'isocronismo, se T è il periodo comune ai tre
 > moti sui tre assi, succede che al tempo T tutte e tre le coordinate
 > tornano al valore che avevano al tempo 0, quindi il punto (in tre
 > dimensioni) torna nella stessa posizione e la traiettoria si chiude.
 > Lo stesso capita ai tempi 2T, 3T... quindi il moto è *sempre*
 > periodico.
 
certo i moti sono periodici
 
 > Ci vuole un po' di geometria analitica per dimostrare che la
 > traiettoria chiusa è un'ellisse con centro nell'origine.
 > Però le caratteristiche dell'ellisse (piano in cui sta, semiassi)
 > dipendono dalle condizioni iniziali.
 
ovvero dalle ampiezze e dallolo sfasamento dei 3 moti armonici. OK 
questo lo capisco - composizione di moti periodici.
 
 >> Secondo la trattazione relativa al Sistema di Riferimento Polare si
 >> giunge alla conclusione che il moto avviene su una traiettoria
 >> ellittica e che il momento angolare totale del sistema è costante. Non
 >> essendovi dunque alcuna forza (coppia) che causa la variazione del
 >> momento angolare, l'orbita rimane su un piano e da lì non si sposta.
 
 > Tutto giusto, ma la conservazione del momento angolare (e
 > dell'energia) le puoi ricavare anche in coord. cartesiane.
 > Sono proprietà *fisiche* del sistema, che valgono indip. dalle
 > cordinate che scegli.
 
Questo non l'avevo capito perché immaginavo la particella come se fosse 
in movimento dall'origine degli assi XYZ e diretta radialmente verso 
l'esterno. E immaginavo che Il suo punto più estremo del moto così 
composto descrivesse la superficie di una sfera (so che nel caso più 
generico essa descriverebbe un ellissoide, ma immaginavo i moti con 
stessa fase e ampiezza iniziale).
 >> Questo mi porta a concludere che la particella descrive nel tempo
 >> una traiettoria che al massimo traccia solo la "circonferenza" della
 >> superficie di un ellissoide non avendo alcuna tendenza a penetrare
 >> al suo interno.
 
 > Non ho capito che cosa sarebbe questo ellissoide.
 > Certamente un'ellisse con centro nell'origine sta su infiniti
 > ellissoidi, ma che cosa avrebbe di particolare quello che dici?
 
spero di aver spiegato un po' meglio le mie idee (confuse) in questa 
risposta sennò correggimi pure, magari iniziando una risposta senza 
quotare le frasi già scritte che sono diventate tante.
 
 > Per es. potresti chiederti: se fisso energia totale e modulo del
 > momento angolare, quali traiettorie (ellissi) posso ottenere?
 > La risposta è che sono fissati i semiassi a, b mentre l'orientamento
 > dell'ellisse può essere qualsiasi.
 > Se fai l'unione di tutte queste ellissi ottieni un guscio sferico, di
 > raggio esterno a e raggio interno b.
 
qui vai oltre alle mie capacità matematiche. Però l'immagine che 
descrivi è bella. Giusto una domanda: fissare l'energia totale non è di 
per sè sufficiente a caratterizzare il moto? cioè non stabilisce essa 
già il modulo del momento angolare?
 
In sostanza per riassumere la particella descriverebbe una traiettoria 
chiusa, ellittica, su un piano fisso, sia che la studi in coordinate 
polari sferiche sia Cartesiane. Il mio ragionamento era corretto solo a 
metà. Purtroppo il libro che leggo non va oltre la legge oraria del moto 
armonico Cartesiano (la legge sinusoidale dell'oscillazione) e io avevo 
costruito un castello immaginando in modo errato la composizione dei 
moti armonici.
 
Per la cronaca il libro che ho ri-iniziato a leggere è
 
Introduction to Quantum Mechanics
with application to chemistry
 
L. Pauling
E. B. Wilson Jr.
 
edizione Dover in lingua inglese
 
Il capitolo introduttivo fa un sunto della formulazione della meccanica 
classica Lagrangiana e Hamiltoniana e applica i risultati con qualche 
esempio.
 
Manco a dirlo, capisco non tutto quello che leggo, ma se mi limito solo 
a testi di Fisica Generale, non imparo altro.
 
Grazie,
alessandro

alessandro volturno ha scritto:
 > questo fenomeno penso che sia ascrivibile all'aggettivo *isotropico*
 > del moto di cui parla il libro, cioÃ¨ al fatto che si considerano le
 > tre costanti di forza di richiamo della stessa grandezza. O mi
 > sbaglio?
Secondo me qui l'aggettico in uso è "isotropo", ma la cosa è
secondaria.
Hai ragione solo in parte.
Sicuramente serve l'isotropia per avere la stessa frequenza per le tre
componenti.
Però ciascun osc. armonico unidimensionale è isocrono, nel senso che
la frequenza non dipende dall'ampiezza.
Questo va tenuto presente perché di regola non è vero. Pensa ad es. al
pendolo, dove per avere isocronismo (approssimato) ci si deve limitare
alle piccole oscillazioni.
 
 > spero di aver spiegato un po' meglio le mie idee (confuse) in questa
 > risposta sennò correggimi pure, magari iniziando una risposta senza
 > quotare le frasi già scritte che sono diventate tante.
Le costanti del moto di un osc. arm. isotropo sono tante e non ti sto
a fare il discorso generale.
 
Però è facile capire in primo luogo che sono costanti le energie dei
tre oscillatori x, y, e z separatamente (l'energia totle è la somma).
 
Poi sono costanti del moto le tre componenti del momento angolare, e
anche questo lo puoi ricavare facilmente se sai che per es. la
componente z è
L_z = m(x v_y - y v_x).
Sai che la legge oraria per la x è
x(t) = a_x cos(wt) + b_x sin(wt)
con w = sqrt(k/m).
A questo punto credo che le tue capacità matematiche bastino :-)
Troverai un'espressione per L_z dove il tempo non compare.
E' ovvio che la stessa cosa succederà anche per L_x e L_y.
 
 > Giusto una domanda: fissare l'energia totale non è di per sé
 > sufficiente a caratterizzare il moto? cioè non stabilisce essa già
 > il modulo del momento angolare?
Ci vuol altro...
Non sto a farti il conto, ma puoi arrivarci da solo.
Comunque: l'energia totale è semplicemente
k(a^2 + b^2)/2
dove a e b sono i semiassi dell'ellisse risultante.
Invece il modulo del mom. angolare è
|L| = m*w*a*b.
E' chiaro che fissato a^2+b^2 il prodotto ab può variare da 0 a un
massimo, che si ottiene quando a=b (circonferenza).
Quindi ci sono infinite ellissi, che vanno da un segmento a una
circonf., che hanno la stessa energia ma diverso mom. amgolare.
 
Si può anche fare un ragionamento generale che mostra come i parametri
necessari per fissare forma e dimensioni della traiettoria (ellisse)
nonché la sua posizione nello spazio, siano addirittura 5.
Anzi facciamo *due* ragionamenti :-)
 
Il primo è puramente geometrico.
Dimensioni e forma dell'ellisse richiedono i due semiassi: due
parametri.
Il piano in cui giace è determinato da altri due parametri (due
angoli).
Un altro angolo serve per orientare l'ellisse nel piano.
Totale 5.
 
Secondo ragionamento.
Il moto del punto è determinato in modo univoco assegnando le
condizioni iniziali: le tre coordinate e le tre componenti della
velocità.
Cambiando anche uno di questi dati la traiettoria cambia...
 
No, non è esatto.
Immagina di far partire il tuo punto all'istate t=0 dalla posizione
(x0,y0,z0) con velocità (v_x0, v_y0, v_z0).
Percorrerà una certa ellisse.
 
Poi fai partire un secondo punto, dalla stessa posizione e con la
stessa velocità (vettore) ma a un tempo t=t1>0.
Credo evidente che il cambiamento dell'istante di partenza non cambia
la traiettoria: il secondo punto rincorrerà il primo sulla stessa
curva, arrivando in ogni posizione con un ritardo t1.
 
Da qui si vede che i 6 dati iniziali dicono di più di quello che si
cercava: non solo dicono quale sarà la traiettoria, ma anche a che
tempo (con che fase) verrà percorsa.
Quindi per avere solo la traiettoria i dati necessari sono 5, cme già
avevamo visto per via diretta.
 
 > In sostanza per riassumere la particella descriverebbe una
 > traiettoria chiusa, ellittica, su un piano fisso, sia che la studi
 > in coordinate polari sferiche sia Cartesiane.
Beh questo lo potevi capire a priori, come ti ha già fatto notare
Giorgio.
La scelta delle coordinate è tua, libera, ma non può acambiare le
caratteristiche, né geometriche né cinematiche, del moto.
 
 > Per la cronaca il libro che ho ri-iniziato a leggere è
 > Introduction to Quantum Mechanics with application to chemistry
 >
 > L. Pauling
 > E. B. Wilson Jr.
 >
 > edizione Dover in lingua inglese
Nientemeno!
Pensa che su quel libro io ho fatto un primo approccio alla meccanica
quantistica, quando facevo il terzo anno.
Era il 1950...
Non mi ricordo niente di come era fatto, ma certo se vuoi capire la
meccanica non è il massimo.
Non mi sono chiari i tuoi obiettivi, ma potresti provare a guardare un
altro classico (un po' meno antico): il Goldstein (Meccanica Classica:
esiste anche la trad. italiana).
-- 
Elio Fabri

 esiste anche la trad. italiana).
 
La lingua Inglese non è un problema.
Per lo studio della meccanica ho letto (e capito solo per grosse linee)
 
Corben, Stehle
Classical Mechanics 2nd edition
Dover
 
Mi interessa la meccanica Quantistica applicata agli atomi e alle 
molecole. All'università ho studiato Chimica, ma sbagliai indirizzo 
scegliendo quello di Chimica Organica.
 
Siccome il libro citato di Pauling e Wilson inizia con la trattazione 
Lagrangiana ed Hamiltoniana della meccanica ho pensato di leggere 
qualcosa di specifico su questa disciplina basilare. Ma leggendo sulla 
Meccanica sono emerse altre mie lacune e quindi sono arrivato alla 
conclusione di accontentarmi di riuscire a seguire concettualmente i 
discorsi, per il solo piacere di conoscere gli argomenti.
 
Il testo di Goldstein l'ho sentito nominare ma non l'ho mai letto.
 
Per la cronaca aggiungo che provai a leggere il libro di Dirac sulla 
meccanica Quantistica (lettura iniziata una 15na di anni fa ma non 
conclusa) e incredibilmente riuscivo a seguire l'algebra dei Bra e dei 
Ket che si costruisce nel testo, ma al solito non avendo le basi 
matematiche necessarie a capire gli spazi vettoriali a più dimensioni, 
l'analisi di funzioni complesse etc, ho dovuto abbandonare quella strada.
 
Ho insomma il rammarico di non essermi iscritto alla facoltà di Fisica 
quando ho terminato le superiori e sono sicuro che se lo avessi fatto mi 
sarei dispiaciuto delle limitate nozioni matematiche che avrei potuto 
imparare in quel corso di studi. Ma ovviamente il più grosso limite sono 
le mie capacità intellettive ;)
 
Una nota conclusiva:
Spero che un ente internazionale come ISO decida di uniformare la 
simbologia ed i caratteri tipografici da utilizzare nelle discipline 
Fisiche perché ogni testo che ho visto utilizza per gli stessi concetti 
simboli o lettere diverse.
 
Grazie,
alessandro

 
Almeno i concetti base sui numeri complessi sono indispensabili: la psi è complessa! 
 
Eventualmente chiedi su questo forum riguardo ad argomenti specifici di MQ o della matematica e fisica richiesti (se no ogni volta bisognerebbe fare un mini trattato o  rimandarti a dei testi generici). 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka 

 Almeno i concetti base sui numeri complessi sono indispensabili: la psi è complessa!
 
Ma non avevi sponsorizzato i bra e ket? :-)
 
Giorgio

 
Glie lo spieghi tu come mai <u|v> = <v|u>^*?  :-) 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka 

 Glie lo spieghi tu come mai <u|v> = <v|u>^*?  :-)
 
Per definizione di prodotto scalare in uno spazio vettoriale complesso.
Non è difficile :-)


Naturalmente, ma almeno un minimo di giustificazione vogliamo dargliela? 
https://ibb.co/YTrFssL
 
Poi ricomincerei da:
Integrale_{-oo} ^{+oo} |psi(x)|^2 dx = Integrale_{-oo} ^{+oo} [psi(x)]^* psi(x) dx =  
= <psi | psi>... 
ecc. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 = <psi | psi>...
 
E quindi fai rientrare dalla finestra le funzioni d'onda (che portano 
con sé le equazioni differenziali a derivate parziali etc. etc.) che 
avevi messo alla porta in favore del formalismo astratto-algebrico dei 
bra e ket.
 
Intendiamoci, io non ho nulla contro questo modo di fare (tranne forse 
di non battezzare "psi" i ket per chiarire meglio la differenza tra 
funzione d'onda e stato astratto). Registro però una scuola di pensiero 
(e di didattica della MQ) che preferisce posporre, e talvolta non 
introdurre mai, le rappresentazioni degli stati come funzioni a modulo 
quadro integrabile. E' su questo che sono intervenuto perché, per quanto 
possa sembrare attraente di non doversi preoccupare di risolvere 
equazioni a derivate parziali, alla lunga penso che generi un'immagine 
concettuale della MQ abbastanza distorta.
 
Giorgio

 Glie lo spieghi tu come mai <u|v> = <v|u>^*?  :-)
 
A questo ci arrivo da solo.
Si può facilmente verificare che (sviluppando i prodotti tra due numeri 
complessi A, B):
 
A = (a + ib)
B = (c + id)
 
si ha la relazione A*B = B*A che equivale alla notazione bra ket <a|b> = 
<b|a>*
 
dove
 
A* vale (a - ib)
B* vale (c - id)
 
alessandro


Allora ce l'hai con me oggi! :-) 
 
Era ovviamente un espediente didattico per generalizzare dall'integrale al prodotto scalare. Se scrivevo <u | u> oppure <1 | 1> oppure <lambda | lambda> come lo giustificavo? E poi la psi che scritto lì dentro è solo un nome, *non ho scritto psi(x) * o dato a intendere che lo fosse. 
Ma questa critica me l'aspettavo da Elio (abbiamo discusso mooolte volte sul formalismo di Dirac), che fai, cerchi di precederlo? :-) 
23/05/2021 16:52
 
--
Wakinian Tanka
 
 
 

alessandro volturno ha scritto:
 > Per la cronaca aggiungo che provai a leggere il libro di Dirac sulla
 > meccanica Quantistica (lettura iniziata una 15na di anni fa ma non
 > conclusa) e incredibilmente riuscivo a seguire l'algebra dei Bra e dei
 > Ket che si costruisce nel testo, ma al solito non avendo le basi
 > matematiche necessarie a capire gli spazi vettoriali a più
 > dimensioni, l'analisi di funzioni complesse etc, ho dovuto abbandonare
 > quella strada.
Questo post è dedicato a Dirac, bra e ket.
Spero non ti riesca troppo ostico.
 
Alberto_Rasà ha scritto:
 > Guarda che usando la trattazione "astratta" con bra e ket non c'è
 > molto di più da sapere rispetto all'algebra lineare e gli spazi di
 > vettori "di tutti i giorni" come i vettori del piano. Da ricordarsi
 > che i bra sono trasformazioni di questi vettori. Poi, il fatto che
 > questi vettori possono essere funzioni loro stesse e vivere in uno
 > spazio vettoriale infinito-dimensionale, puoi anche dimenticarlo
 > completamente mentre li tratti come vettori con quel formalismo (ecco
 > uno dei motivi per il quale è stato inventato!)
Vai avanti a leggere e vedrai se è come dici...
 
 > Quello che intendo è che non è essenziale saper risolvere l'eq. di
 > Schr. tridimensionale per capire le fondamenta.
Mi permetto di osservare sommessamente che "fondamenta" sono quelle
delle case (che però si chiamano anche "fondazioni"). Quando si tratta
di una scienza si dice "fondamenti". V. ad es.
https://www.treccani.it/enciclopedia/fondamenti-o-fondamenta_%28La-grammatica-italiana%29/
 
 
Giorgio Pastore ha scritto:
 > I bra e i ket sono una notazione neanche tanto felice inventata da
 > Dirac. Purtroppo oggi si tende a pensare che basti usare bra e ket
 > invece di notazioni più standard dal punto di vista matematico per
 > fare MQ. Ci sono approcci "moderni" alla MQ dove si lavora
 > praticamente solo in spazi a dimensione finita. Personalmente penso
 > che sia diseducativo al massimo. Può forse funzionare per chi si deve
 > occupare di quantum computing ma già a livello chimico mi sembra
 > eccessivamente riduttivo.
Già sai che io sono molto più filo-Dirac di te, anche se non ometto
critiche.
Del resto ho una lunga esperienza di uso di bra e ket nei miei corsi
di Istituzioni di Fisica Teorica, poi di Fisica Teorica, poi di Teoria
dei Gruppi.
E se ci sono campi dove bisogna stare attenti, sono la teoria dello
scattering e quella delle rappresentazioni dei gruppi di simmetria; ma
non ho mai avuto difficoltà.
 
Quello che dici sulla tendenza moderna lo condivido solo in
superficie.
Secondo me il problema oggi è che moltissimi usano bra e ket senza
sapere che cosa sono e come vanno usti, già al livello di notazione.
E sicuramente la radice sta nell'insegnamento. Quando scrivevo su PSE
scrissi diversi post per correggere cattive abitudini, spiegare i
concetti di base, ecc. Poi ho desistito, perché ogni volta dovevo
ricominciare da capo. Posso divertirmi a fare il bastian contrario, ma
alla lunga la battaglia "Elio Fabri contro il resto del mondo" non la
posso reggere :-( Ti cito un esempio:
 
https://physics.stackexchange.com/questions/637945/from-bra-ket-vectors-to-wave-functions
 
 
dove la confusione del poverino che scrive sicuramente non è colpa sua.
E fai attenzione alle risposte, che non si sono curate di correggergli
se non in parte la notazione balorda.
 
E andiamo a cominciare...
Possiedo la terza edizione (1947) del Dirac, comprata credo nel 1950
alla Lion Bookshop di Roma e pagata 2750 lire.
Il primo capitolo (The Principle of Superposition) è pieno di
sottolineature (a matita) e porta anche qualche mia nota.
Questo sta indicare quanto lo considerassi importante e quanto mi
piacesse l'approccio.
Infatti Dirac porta passo passo il lettore a costruire la struttura
matematica della MQ alternando considerazioni fisiche sperimentali
alla definizione degli enti e concetti che ne costituiscono la
matematizzazione.
 
Ricordo che un'impressione simile me la fece, pochi anni dopo, un
altro libro classico, che non parlava di fisica e che forse pochi di
voi conoscono: "Theory of Games and Economic Behavior" di von Neumann
e Morgenstern.
Anche questo procedeva allo stesso modo in un campo dove una
trattazione matematica pareva inverosimile. Non che la matematica non
fosse stata applicata all'economia, ma qui è tutt'altra musica...
Fu questo libro a mostrarmi l'illimitata potenza della matematica...
Ma basta con questa divagazione.
 
Sebbene non usi queste parole, nel §5 Dirac introduce i ket come
elementi di uno spazio vettoriale sul campo complesso. Osserva che la
combinazione lineare di due ket fornisce di regola un nuovo ket che
rappresenta un diverso stato, sovrapposizione dei due di partenza.
Questo però non è vero quendo si fa la sovrapposizione di un ket con
se stesso. In altre parole, i multipli scalari di un ket rappresentano
lo stesso stato.
Quindi la corrispondenza stato-ket non è biunivoca: uno stato
corrisponde a un'intera retta (0 escluso) nello spazio dei ket.
Insomma, lo spazio degli stati è uno spazio *proiettivo* (ma Dirac non
usa questa parola).
Nota: per molto tempo ancora Dirac non dirà niente sulla dimensione di
questo spazio, vettoriale o proiettivo che sia.
C'è solo l'esempio degli stati di polarizzazione dei fotoni, che
formano uno spazio (complesso) 2D, come provano le proprietà di
polarizzazione della luce, che valgono anche a livello del singolo
fotone.
 
La notazione di Dirac la conoscete: i ket sono scritti |...> dove al
posto dei puntini si può mettere qualsiasi cosi si reputi utile per
individuare il ket. Volendo anche un verso di Dante :-)
Io aggiungo una mia regola, che prende ispirazione da un racconto di
Borges: "Il giardino dei sentieri che si biforcano."
Non importa riassumere il racconto. Basta ricordare che a un certo
punto uno dei due protagonisti chiede all'altro:
- In un indovinello sul tempo, qual è l'unica parola proibita?
L'altro risponde subito:
- La parola "tempo".
Quasi per la stessa ragione, fra le infinite possibilità come etichetta
per un ket, pongo un unico divieto: la lettera greca psi.
Guarda un po', proprio quella che viene usata più spesso oggigiorno :-(
Perché la vieto? Perché dopo Schroedinger la psi è la *funzione
d'onda*: tutt'altra cosa che un ket. Per cui scriverla dentro un ket è
un modo sicuro per fare casino (vedi il post su PSE che ho citato).
 
Taglio un po' di cose, e passo al §6, dove si comincia a parlare di
bra.
E qui bisogna fare attenzione. Dirac definisce lo spazio dei bra come
il *duale* di quello dei ket.
Se V è lo spazio dei ket, lo spazio duale V* è formato dalle funzioni
lineari V-->C.
E' noto ma è facile dimostrare che V* ha una struttura naturale di
spazio vettoriale complesso. Gli elementi di V* sono i bra.
 
A questo punto mi distaccherò provvisoriamente dalle notazioni di
Dirac. Il motivo apparirà tra poco.
Userò le ultime lettere minuscole dell'alfabeto, da "p" a "z", per
indicare un generico ket; le lettere da "f" a "n" per i bra, qualle da
"a" a "c" per i numeri complessi.
Invece Dirac usa le stesse lettere per bra e ket, alimentando a questo
punto una buona confusione.
Infatti bra e ket appartengono a spazi vettoriali *diversi*, e non va
bene usare le stesse lettere, almeno finché ... vedremo.
 
Seguendo Dirac, se <f| è un bra (funzione lineare sui ket) e |z> è un
ket, il valore di f su z, che normalmente verrebbe scritto f(z), viene
scritto <f|z>.
 
E qui c'è un errore di Dirac: dichiara che <f|z> può essere visto come
un prodotto scalare.
Il che va contro l'uso matematico consolidato. Il termine "prodotto
scalare" (o "prodotto interno") è riservato al *numero* associato a
una coppia ordinata di vettori *dello stesso spazio*.
In altre parole, il prodotto scalare è una funzione VxV --> C (poi al
prodotto scalare si richiedono altre proprietà, ma ora non serve
parlarne).
Qui invece abbiamo due vettori di due spazi distinti: abbiamo una
funzione V*xV --> C.
 
Procedendo, Dirac percorre una strada equivalente ma diversa da quella
consolidata nella matematica. Il risultato finale è lo stesso, ma non
vedo ragioni per seguirlo.
(Al tempo in cui lo lessi sapevo poco o niente di questa matematica,
quindi non me ne accorsi.)
Seguendo la via tradizionale assumeremo ora che V sia uno spazio di
Hilbert, il che vuol dire un bel po' di cose:
 
1. In V è definito un prodotto scalare hermitiano, che scriverò (w,z),
temporaneamente senza ket.
Hermitiano significa lineare sul secondo argomento, antilineare sul
primo:
(w,az) = a (w,z)
(aw,z) = a* (w,z).
Inoltre
(w,z) = (z,w)*.
 
2. (z,z) >= 0, l'uguaglianza avendosi solo se z=0.
 
3. In V è definita una norma:
||z|| = sqrt(z,z).
Quindi V è uno spazio *normato*.
 
Non sarebbero finite le proprietà del prodotto scalare e le
conseguenze della sua esistenza in uno spazio vettoriale, ma non
voglio affaticare i lettori con eccessivi tecnicismi.
 
A questo punto Dirac *assume* che tra V e V* esista quello che
tecnicamente si chiama una anti-isomorfismo.
Il che vuol dire:
- corrispondenza biunivoca (o se preferite bigettiva) tra ket e bra
- che conserva le somme
- che manda il multiplo c|z> di un ket nel multiplo c*<f| del bra
corrispondente a |z>.
 
Questa assunzione è secondo me la cosa più strana, perché in realtà
questo per spazi a dim. finita è vero banalmente, e per spazi a dim.
infinita, sotto una precisa ipotesi, è un famoso teorema: il teorema
di Riesz (1907).
Il quale dice che per uno spazio vettoriale V su C, a dim. infinita a
dotato di prodotto scalare hermitiano, a qualunque elemento <f|
*limitato* del duale V* corrisponde un preciso elemento |p> di V tale
che per ogni |z>:
<f|z> = (p,z) per ogni |z>.
 
Chiarisco che cosa significa che <f| è limitato.
Semplicemente che esiste un M reale > 0 tale che per ogni |z>
|<f|z>| <= M ||z||.
Se si definisce	quando un bra è limitato, vuol dire che non lo sono tutti.
Non sarebbe difficile dare esempi, ma ve ne faccia grazia.
Lo spazio duale come l'ho definito sopra si chiama "duale algebrico".
Il suo sottoinsieme formato dai bra limitati si chiama "duale normato"
e d'ora in poi ci occuperemo solo di questo.
Dirac lo assume, il che non è vero, nel senso che i vettori duali non
limitati esistono.
Quello che si fa in MQ è di usare solo il duale normato (che im
conseguenza del teorema di Riesz è uno spazio vettoriale, doatato di
prodotto scalare, ecc. ecc.)
 
Dirac fa di più: sfrutta l'anti-isomorfismo garantito dal teoerem di
Riesz per usare la stessa etichetta per un ket e per il bra
corrispondente.
Quindi a questo punto rimuoerò la distinzione dele lettere da usare, e
scriverò liberamente
 
<f|g> = (f,g)
 
dove a secondo membro abbiamo due elementi di V mentre a primo membro
f sta in V* e g sta in V.
 
Con questo il cap. I del Dirac è praticamente finito.
In realtà c'è un'altra innovazione sostanziale che Dirac ha fatto, ed
è quella d'introdurre i ket "non normalizzabili" e la conseguente
"normalizzazione a delta. Delta di Dirac, ovviamente.
Col che entrano in ballo dei nuovi enti metematici: le distribuzioni
di Schwartz.
Che insieme con gli "autovalori continui" formano forse la parte che
solleva più obiezioni dal punto di vista matematico.
Non che non si possa mettere a posto (in matematica tutto è possibile
:-) ). Ma Dirac se ne guarda bene: con indubbia genialità riesce a
mettere insieme una cosa che funziona, anche se le regole matematiche
sono tutt'altro che chiare.
E come vi ho già detto, ci si può tranquillamente costruire sopra un
intero corso di Fisica Teorica, senza problemi :-)
-- 
Elio Fabri

 <b|a>*
 
no scusate ho controllato i passaggi e la relazione corretta è
A*B = (B*A)* questa sì che corrisponde a <b|a>*
 
alessandro


Il 22/05/2021 19:23, alessandro volturno ha scritto:
 
 >> Di MQ per chimici, forse, non di MQ "standard". Comprati il Sakurai
 >> "Meccanica quantistica moderna".
 >
 > Penso di farlo, prima o poi, grazie. Ad esempio il testo
 >
 > Atkins, Friedman
 > Molecular Quantum Mechanics 5ed
 > Oxford Huniversity Press
 
ORRORE! ho scritto University con l'h!
vergognati alessandro.
 
ciao

 
Il prodotto tra 2 numeri complessi qualsiasi è commutativo:
A*B=BA*
AB=BA
ecc. 
Invece |u>, |v> sono _vettori_. 
(Di uno spazio vettoriale normato e completo con norma indotta da un prodotto scalare che è hermitiano, ovvero per cui <u|v>=<u|v>*.) 
Sai cos'è un prodotto scalare? 
 
--
Wakinian Tanka 

 Sai cos'è un prodotto scalare?
 
Il prodotto scalare è una proprietà dei vettori che ne trasforma una 
coppia in numero. Non ricordo l'esatta definizione e le sue proprietà 
matematiche ma credevo di saperlo calcolare.
 
Tutti i nodi vengono al pettine...e le mie lacune vengono fuori.
 
Grazie a tutti voi per la disponibilità e la pazienza.
 
alessandro

> Era il 1950...
 
a proposito di questo libro, ne possiedi una copia?
a pagina 11 c'è una equazione di cui non riesco a seguire i passaggi 
risolutivi.
 
a parte un errore di segno che mi pare evidente non capisco come si 
passa dall'equazione 1-38 a quella 1-39
 
Non mi riferisco al riarrangiamento dei termini, ma alla risoluzione 
dell'integrazione rispetto al tempo che se ne compie.
 
Grazie,
alessandro

alessandro volturno ha scritto:
 > a proposito di questo libro, ne possiedi una copia?
No, mi spiace.
-- 
Elio Fabri

 
 
Con calma ho fatto tutti i passaggi (alla femminina - da te si dice allo 
stesso modo?) e sono riuscito ad arrivare alla formula incriminata. Non 
c'è alcun errore in quello che riporta il libro, però ho dovuto cercare 
online un integrale indefinito particolare.
 
Posso chiedere, invece, di aiutarmi a trovare l'equazione dell'orbita 
(che deve essere un'ellisse con centro nell'origine?).
Il testo dice di eliminare t dalle relazioni (1) e (2) dopo aver risolto 
rispetto al tempo l'equazione differenziale (1)
 
(1) dχ/dt = p/(mr²)    soluzione:   (χ - χ₀) = (t - t₀) p/(mr²)
 
 
(2) r² = 1/(8π²ν₀²){b + A sen[4πν₀(t - t₀)]}
 
           ___________________
dove A = √ b² - 16π²ν₀²p²/m²
 
 
Qui ho proprio bisogno di aiuto perché il libro non riporta nulla.
Almeno sapere che forma deve avere l'equazione dell'orbita.
 
Grazie

 
Spero si legga:
https://ibb.co/pXsW4jn
 
 
25/05/2021 - 20:32
 
--
Wakinian Tanka 
 

 
 
Qui mi occorre l'aiuto di qualcuno di voi.
grazie,
 
alessandro


Grazie, Alberto.
 
Si legge bene. Cercavo un modo per condividere delle immagini sul web e 
il sistema da te proposto mi pare perfetto.
 
alessandro

 
 
Ho sviluppato qualche passaggio del sistema tra le equazioni (1) e (2).
Qui c'è il risultato parziale del mio ragionamento:
 
https://ibb.co/G7WhSFz
 
 
mi sono fermato perché dovendo esplicitare il raggio in funzione 
dell'angolo χ, ottengo r² da entrambi i lati dell'uguale e uno dei due 
termini lo contiene come argomento nella funzione seno.
 
Come posso aggirare questa (mia) difficoltà?
grazie
 
alessandro

alessandro volturno ha scritto:
 > Come posso aggirare questa (mia) difficoltà?
Non riesco a leggere i tuoi conti. Dovrei ingrandire l'immagine,
lavorarci un po', poi non è detto che capirei.
E tutto sommato non mi sembra l'aiuto migliore che ti posso dare.
Se davvero vuoi capire il problema dei due corpi, mi permetto, senza
falsa modestia, di consigliarti questo:
 
http://www.sagredo.eu/lezioni/astronomia/p3c1rf.pdf
 
 
Quanto meno è una trattazione più moderna di Pauling e Wilson.
 
Ripeto che non ho guardato i tuoi conti, ma da quello che scrivi ho
il sospetto che tu ti sia imbattuto in una cosa famosa col nome di
"equazione di Keplero".
Poi mi dirai se ci ho preso :-)
 
-- 
Elio Fabri

Il 04/06/2021 21:20, Elio Fabri ha scritto:
 > alessandro volturno ha scritto:
 >  > Come posso aggirare questa (mia) difficoltà?
 > Non riesco a leggere i tuoi conti. Dovrei ingrandire l'immagine,
 > lavorarci un po', poi non è detto che capirei.
Per ingrandire l'immagine basta farci clic sopra.
 
 > E tutto sommato non mi sembra l'aiuto migliore che ti posso dare.
 > Se davvero vuoi capire il problema dei due corpi, mi permetto, senza
L'equazione riportata non è quella relativa al problema dei due corpi,
che nel testo di Pauli e Wilson viene trattato qualche pagina più avanti.
Si tratta dell'equazione dell'orbita di un oscillatore isotropo nelle 
tre dimensioni.
 
 > falsa modestia, di consigliarti questo:
 >
 > 
http://www.sagredo.eu/lezioni/astronomia/p3c1rf.pdf
 
 >
Grazie, lo leggerò appena posso.
 
 > Ripeto che non ho guardato i tuoi conti, ma da quello che scrivi ho
 > il sospetto che tu ti sia imbattuto in una cosa famosa col nome di
 > "equazione di Keplero".
Se segui il link al libro di Pauling su google libri puoi leggere i 
primi due capitoli. Qui è dove tratta un richiamo delle nozioni di 
meccanica classica e la "vecchia" meccanica quantistica (quella cioè 
prima dello sviluppo della meccanica ondulatoria).
 
Grazie,
 
alessandro

 Poi mi dirai se ci ho preso :-)
 
pare di no :-)
 
Mi sono permesso di "scalare" (nel significato alpinistico del termine) 
l'indirizzo del problema dei due corpi che Lei mi ha indicato e sono 
arrivato al sito 
www.sagredo.eu
 dove ho notato che è raccolta una 
quantità incredibile di argomenti fisici scritti da Lei.
 
Spero di chiarire qualche punto oscuro con i Suoi scritti.
 
PS:
Le faccio i miei complimenti perché non mostra gli anni che ha lasciato 
intuire da una Sua considerazione sul libro di Pauling e Wilson che Ha 
letto al terzo anno di università nel 1950.
 
Lo studio è "ginnastica" per la mente.
 
Saluti,
alessandro

alessandro volturno ha scritto:
 > Mi sono permesso di "scalare" (nel significato alpinistico del
 > termine) l'indirizzo del problema dei due corpi che Lei mi ha
 > indicato e sono arrivato al sito 
www.sagredo.eu
 dove ho notato che
 > è raccolta una quantità incredibile di argomenti fisici scritti da
 > Lei.
Se ho configurato quel sito in modo che sia "scalabile" da chiunque,
vuol dire che l'intento con cui l'ho costruito era appunto che
chiunque potesse attingervi.
Al più quello che mi aspetto è che se qualcuno dovesse utilizzare una
cosa mia, sia così onesto da riportare la fonte.
(Tra parentesi, l'uso nei NG è di darsi del tu, a prescindere da
titoli, età, ecc.)
 
 > PS:
 > Le faccio i miei complimenti perché non mostra gli anni che ha
 > lasciato intuire da una Sua considerazione sul libro di Pauling e
 > Wilson che Ha letto al terzo anno di università nel 1950.
Mi permetto una piccola civetteria: mi devi togliere due anni rispetto
alla stima che avrai fatto,
A maggio del 1950 avevo compiuto solo 20 anni :-)
 
 > Lo studio è "ginnastica" per la mente.
Non ti nascondo che questa è una motivazione non piccola per me, per
continuare a seguire questo NG e altri.
Anche se a volte è faticoso, come con la ginnastica che esercita i
muscoli anziché i neuroni :-)
-- 
Elio Fabri

Il 09/06/2021 21:26, Elio Fabri ha scritto:
 > alessandro volturno ha scritto:
 >  > Mi sono permesso di "scalare" (nel significato alpinistico del
 >  > termine) l'indirizzo del problema dei due corpi che Lei mi ha
 >  > indicato e sono arrivato al sito 
www.sagredo.eu
 dove ho notato che
 >  > è raccolta una quantità incredibile di argomenti fisici scritti da
 >  > Lei.
 > Se ho configurato quel sito in modo che sia "scalabile" da chiunque,
 > vuol dire che l'intento con cui l'ho costruito era appunto che
 > chiunque potesse attingervi.
 > Al più quello che mi aspetto è che se qualcuno dovesse utilizzare una
 > cosa mia, sia così onesto da riportare la fonte.
 > (Tra parentesi, l'uso nei NG è di darsi del tu, a prescindere da
 > titoli, età, ecc.)
 
OK vada per il TU :-)
 
 >  > PS:
 >  > Le faccio i miei complimenti perché non mostra gli anni che ha
 >  > lasciato intuire da una Sua considerazione sul libro di Pauling e
 >  > Wilson che Ha letto al terzo anno di università nel 1950.
 
 > Mi permetto una piccola civetteria: mi devi togliere due anni rispetto
 > alla stima che avrai fatto,
 > A maggio del 1950 avevo compiuto solo 20 anni :-)
 
OK, ma ti faccio ancora i miei complimenti.
 
 >  > Lo studio è "ginnastica" per la mente.
 
 > Non ti nascondo che questa è una motivazione non piccola per me, per
 > continuare a seguire questo NG e altri.
 > Anche se a volte è faticoso, come con la ginnastica che esercita i
 > muscoli anziché i neuroni :-)
 
Approfitto di questo thread per chiederti se sei riuscito a vedere 
l'immagine che ho pubblicato su 
ibb.co
 e se puoi aiutarmi a risolvere 
quel sistema di equazioni. Se il testo omette quei passaggi vuol dire 
che sono ostici, almeno io penso che sia così.
 
Grazie,
alessandro

alessandro volturno ha scritto:
 > Approfitto di questo thread per chiederti se sei riuscito a vedere
 > l'immagine che ho pubblicato su 
ibb.co
 e se puoi aiutarmi a
 > risolvere quel sistema di equazioni. Se il testo omette quei
 > passaggi vuol dire che sono ostici, almeno io penso che sia così.
Sempre nello spirito della ginnastica, ho guardato i tuoi conti e
anche il P&W.
Nell'integrare l'eq. 1 hai commesso un grave errore: hai trattato r
come se fosse costante.
Dovevi invece sostituire per r^2 l'espressione data dalla (2).
Il risultato come funzione di t richiede un integrale elementare che
si può fare in più modi.
Io comincerei col sostituire il sin con la sua espressione via
esponenziali complessi, ma se non hai familiarità coi n. complessi può
non essere la via migliore per te.
Ma puoi trovare in chissà quanti posti la strada da seguire.
E forse anche l'integrale già calcolato.
 
Però permettimi due suggerimenti:
 
1) Semplifica un po' le espressioni, per es. usando un unico simbolo
per 4pi nu_0.
Più un'espressione è semplice, meno errori si fanno :-)
(Anche se qui i colpevoli sono gli autori: avrebbero dovuto scrivere
omega al posto di 2pi nu.)
 
2) Quando scrivi espressioni complicate, com radici, lettere greche,
ecc. evita di ricorrere a simboli che a te appaiono ben scritti, ma
che non appartengono a un qualche linguaggio di uso universale.
Per es. in una formula che hai scritto nel tuo post del 4, ore 11:53
hai preteso di porre la barra della radice quadrata sopra una lunga
espressione, ma ame appre tutta spostata.
Non è grave, si capisce lo stesso, ma poteva andare peggio...
-- 
Elio Fabri

Ho scritto ieri:
 > Ma puoi trovare in chissà quanti posti la strada da seguire.
 > E forse anche l'integrale già calcolato.
 > ...
 > 1) Semplifica un po' le espressioni, per es. usando un unico simbolo
 > per 4pi nu_0.
Vorrei integrare e in parte correggere questi suggerimenti.
 
Per l'integrale, la cosa migliore è ricorrere a Wolfram alpha. Lo
trovi anche cercando con google "integrator".
Però devi dargli l'espressione più semplice possibile.
 
In primo luogo, fai sparire quell'inutile t0.
Questo vale in generale, non solo per l'integrale.
Visto che il tuo sistema non dipende dal tempo (i meccanici dicono che
è un "sistema autonomo") quel t0 non ha alcun significato fisico.
 
Poi poni omega = 2pi*nu0.
 
Infine all'integratore dai la funzione ancora semplificata, per es.
1/(a + sin(w*t)). Attento, sin e non sen...
Lavorerà meno e ti darà un risultato più leggibile.
(Ho fatto la prova.)
-- 
Elio Fabri

 Non è grave, si capisce lo stesso, ma poteva andare peggio...
 
Capito anche questo :-)
con 
imgbb.co
 riesco a postare le immagini che voglio. Utilizzerò questo 
modo per comunicare le formule.
 
 
Ti ringrazio per qualsiasi informazione vorrai darmi,
alessandro


Elio,
ho fatto dei calcoli che sviluppati mi pare portino ad una conclusione 
che trovo alquanto curiosa, per usare un eufemismo (sicuramente ho 
sbagliato qualche passaggio).
 
guarda qui: 
https://ibb.co/XDkfXKh
 
 
Il testo dice che l'equazione è una ellisse con centro in O
Se hai sviluppato i calcoli potresti indirizzarmi sulla strada giusta?
 
Grazie,
alessandro

alessandro volturno ha scritto:
 > ho fatto dei calcoli che sviluppati mi pare portino ad una
 > conclusione che trovo alquanto curiosa, per usare un eufemismo
 > (sicuramente ho sbagliato qualche passaggio).
 >
 > guarda qui: 
https://ibb.co/XDkfXKh
 
Ho visto. Non riesco a immaginare che pasticcio hai combinato e non
posso divinarlo da quello che leggo.
Comunque risparmiami altri dettagli, che tanto non avrei tempo di
esaminare.
 
 > Il testo dice che l'equazione è una ellisse con centro in O
Certo che è un'ellisse! Mi pareva che ne avessimo già parlato, e dal
calcolo in coord. cartesiane si vede molto più facilmente.
Il tuo compito ora sarebbe di ritrovare l'ellisse dal calcolo in
coord. polari.
 
Piuttosto chiariamo un po' la terminologia e i concetti.
Se hai le espressioni delle cordinate (cartesiane o polari che siano)
in funzione del tempo, queste collettivamente si chiamamo "legge
oraria".
Se vuoi trovare la curva percorsa dal corpo (che si chiama
"traiettoria", ed è quella che è un'ellisse) devi eliminare il tempo,
ossia trovare un'eq. che leghi r e chi e che si possa riconoscere come
l'eq. di un'ellisse in coord. polari.
 
Io non ho idea di che calcolo ti sei messo a fare, ma è evidente che
non hai ancora chiaro quanto sopra.
Il problema è puramente matematico: eliminare il tempo tra le due
espressioni di r e di chi in funzione di tau, cha hai già.
 
Come sempre il problema si semplifica molto se si sa dove si deve
arrivare. Quindi è utile conoscere l'eq. di un'ellisse in coord.
polari.
Questa si trova facilmente partendo dall'eq. cartesiana, che però non
sono sicuro che tu conosca. Tradizionalmente si scrive
 
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1  (1)
 
ma tu hai già impengato b con un altro significato...
Forse ti converrebbe rimpiazzare la tua b con un'altra lettera
qualsiasi, in modo di lasciare l'eq. dell'ellisse nella forma che ti
ho scritto.
Dalla (1) all'eq. polare è un attimo: basta sostituire
 
x = r cos(chi)    y = r sin(chi)
 
ottenendo
 
r^2 cos^2(chi)/a^2 + r^2 sin^2(chi)/b^2 = 1.  (2)
 
C'è però un problema: la (1) e la (2) sono scritte assumendo che
l'asse maggiore dell'ellisse stia sull'asse x e l'asse minore sull'asse
y.
Ma tu hai un'ellisse nello spazio: sai solo che sta in un piano dove
le coord. polari sono r e chi (che è uno degli angoli di Eulero).
Ma l'orientamento dell'ellisse in questo piano non è conosciuto
esplicitamente...
 
Però puoi chiederti a che tempo (a che valore di tau) il corpo passerà
per un vertice dell'asse maggiore.
Sarà ovviamente quando r è massimo, e dall'esperessione di r^2 in
funzione di tau vedi subito che questo accade per tau=0 (oppure per
tau=pi, all'altro estremo.
Vedi anche quanto vale a.
 
Nasce però un'altra difficoltà.
Hai trovato il calcolo dell'integrale, quindi puoi scrivere una
(complicata) espressione per chi in funzione di tau.
Naturalmente l'espressione conterrà una costante arbitraria, che
andrebbe fissata usando le condizioni iniziali.
Per una scelta generica di queste, troverai sempre un'ellisse, ma il
massimo di r non ti corrisponderà a chi=0: l'ellisse potrà essere
ruotata in modo qualsiasi.
 
Debbo però aprire una parentesi.
L'espressione che mi hai dato in 
https://ibb.co/F0P4qWB
 non ha senso.
Se parti da
 
dchi = s dtau/[b/A + sin(c tau)]
 
dovrai scrivere da ambo le parti degli integrali definiti, con estremo
inferiore che fissi in base alle cond. iniziali, ed estremi superiori
liberi:
 
int_{chi_0}^chi dchi' = s int_0^tau dtau'/[b/A + sin(c tau')]
 
chi - chi_0 = s int_0^tau dtau'/[b/A + sin(c tau')]
 
A secondo membro sostituirai l'espressione che hai trovato per
l'integrale, e a primo membro ti resterà chi-chi_0: chi_0 è appunto la
cond. iniziale, valore di chi all'istante tau=0 (t=t0).
 
Ci semplifichiamo moltissimo la vita se decidiamo di porre chi_0=0.
Ciò significa che l'asse maggiore dell'ellisse sta sulla retta x' (v.
figura in P&W); ossia che all'istante iniziale il corpo stava
sull'asse x', con velocità diretta come y'.
Questa è una scelta particolare, che però grazie alle singolari
proprietà dell'osc. armonico 3D non è in realtà particolare, ossia è
rappresentativa di tutte le soluzioni possibili.
 
Ma i problemi non sono finiti qui, e se sarai così perseverante da
voler continuare il calcolo te ne accorgerai subito: nell'espressione
trovata per chi compare una tangente di (c tau/2), e per c tau = pi
ecc. la tangente diventa infinita :-(
 
Tuttavia è un problema più apparente che reale: per verificare che
l'eliminazione di tau porta a un'ellisse, devi calcolare cos^(chi) e
sin^2(chi).
Se fai il conto, vedi che la tangente sparisce e non ci sono in realtà
infiniti.
 
Per oggi credo di averti dedicato abbastanza tempo (a essere onesto,
direi anche troppo).
Quindi chiudo qui.
-- 
Elio Fabri