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Titolo: forza dipendente da a

ciao
leggendo un testo di meccanica razionale, nella parte di dinamica del
punto diceva che la legge di Newton e'
F=ma
con F=F(r,v,t) dove r vettore posizione, v vettore velocita', t tempo.
Subito dopo diceva: 'in questo etsto non consideriamo forze dipendenti
dall'accellerazione ... '.
La mia domanda e': esistono forze dipendenti dall'accellerazione?
In quali contesti si trovano?
grazie

 In quali contesti si trovano?
Per esempio, consulta il testo "Elettrodinamica classica" di Jackson, 
capitolo 17.
Il problema riguarda l'equazione del moto di una carica elettrica tenendo 
conto dello smorzamento radiativo, cioe' del fatto che una carica accelerata 
irradia energia.
Ciao.
-- 
Gino, al secolo "Gigino Core Pazzo"
core...@gmail.com
 

 In quali contesti si trovano?
La domanda è lecita, ma si scontra con un problema di fondo (e mi
meraviglio che il tuo libro non ne parli): in realtà nello schema
logico della meccanica newtoniana *non sono ammesse* forze dipendenti
dall'accelerazione!
Come mai? Supponiamo di avere un punto materiale soggetto a una forza
del tipo F = F(r,v,a), e proviamo a determinarne il moto nel solito
modo, cioè col secondo principio: otteniamo l'eq. diff. del secondo
ordine in r data da
a = 1/m F(r,v,a)         (*)
Nota che, contrariamente a quanto accade di solito, questa eq. diff. non
è in forma normale, perchè l'accelerazione (la derivata di ordine più
alto) compare anche a secondo membro. Questo significa che i soliti
teoremi di esistenza e unicità (date le condizioni iniziali su r e v)
NON si applicano, in generale, alla (*). Cioè, il moto del nostro punto
materiale potrebbe non essere determinato. Questo è un disastro perchè,
per citare Feynman, "non puoi avere due soluzioni a un solo problema".
Quindi per salvaguardare la coerenza interna dello schema newtoniano è
necessario assumere che F dipenda al più dalla derivata prima di r.
Quanto poi alla seconda questione, per quanto mi riguarda conosco
effettivamente un caso in cui viene fuori una forza che dipende
dall'accelerazione (e infatti succedono casini)... ma per il momento
aspetto che siano altri a dirlo :-)
-- 
ws

scusate, nel precedente messaggio, invece di scrivere "irradia energia", 
avrei voluto (preferito) scrivere  "perde energia" irradiando. 

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no, in quanto causa non può dipendere dall'accelerazione. Poi se scrivi F=ma
certo che dipende dall'accelerazione

 conto dello smorzamento radiativo, ...
Precisiamo meglio: compare un termine  F_rad, che, in realta', non e' una 
forza esterna, anche se, matematicamente, puo' essere trattato come una 
forza aggiuntiva, il quale dipende (addirittura) dalla derivata 
dell'accelerazione, quindi dalla derivata terza della posizione rispetto al 
tempo.


 NON si applicano,....
Infatti, per esempio, l'equazione di Abraham-Lorentz per il moto di una 
carica elettrica, tenendo conto dello smorzamento radiativo, ammette anche 
le cosiddette "soluzioni di fuga" che non sono accettabili (e, per 
eliminarle, bisogna passare ad un'equazione integro-differenziale).


 aspetto che siano altri a dirlo :-)
Non so a che cosa pensi.
A me viene in mente il moto di un corpo in un fluido perfetto, dove la
reazione del fluido e' appunto prop. all'accelerazione, tanto che la
si puo' ridurre a una variazione della massa del corpo.
Nel caso particolare di una sfera, la massa della sfera va aumentata
di meta' della massa del fluido spostato (Archimede non c'entra
assolutamente nulla...)
Quindi nessun casino, il che vuol dire che pensavi a qualcos'altro.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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> r e v) NON si applicano, in generale, alla (*).
EF>  Beh, cosi' sei un po' troppo radicale...
EF>  Se l'eq. e' risolvibile rispetto ad a, non ci sono problemi.
EF>  In particolare va tutto bene se la F dipende linearmente da a.
Ciao, a parte il caso particolare che citi (dipendenza lineare dall'accelerazione),
non e' davvero cosi' semplice come dici tu. Invece  e' facilissmo
entrare nel territorio di "hic sunt leones" ammettendo una dipendenza
della forza dall'accelerazione relativamente semplice.
Prendi per esempio una forza dipendente da velocita' ed accelerazione
in modo polinomiale, per una particella di massa unitaria sulla retta,
data da
F(v,a) = a-a^3 + v
La forma dela forza e' semplicissima e l'equazione del moto
si risolve rispetto all'accelerazione in modo banale.
Fissa x_0 sulla retta in modo arbitrario e considera il problema
del moto con dati iniziali a x(t=0)=x_0, v(t=0)=0 nell'intervallo
[0, +oo)... Quante soluzioni ha? DUE!
La questione e' chiara: quando si invertono polinomi, vegono fuori delle
radici e queste distruggono facilmente la condizione di Lipshitz quando
si cerca di scrivere in forma normale l'equazione del moto.
Dal punto di vista generale il fatto di ammettere, in riferimenti inerziali,
forze che dipendano anche dall'accelerazione del corpo e' anche una questione
di principio.
Il fenomeno che accade in tali contesti e' che possa venire meno
il "principio del determinismo" della meccanica che dice che lo
stato cinematico del sistema ad un istante assegnato in un riferimento
inerziale determina il moto del sistema (ovviamente supposte note le
leggi di forza che agiscono sul sistema).
Dipende da quanto una persona  ritiene tale principio fondamentale nella
formulazione della meccanica.
Ciao, Valter


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 della forza dall'accelerazione relativamente semplice.
Fra le altre cose si puo' costruire una variante dell'esempio che hai
scritto
in cui le soluzioni con condizione iniziale: v=0 sono infinite.
f(a,v) = a - cos(a) + v
Poi un esempio in cui i valori di velocita' per cui non c'e' soluzione
unica sono un insieme denso in R. In concreto questo genere di
situazioni si presenta quando si considerano feed-back o forward-back.
E nella pratica sono situazioni in cui l'effettivo comportamento dinamico
del sistema e' sensibile a fattori accidentali estranei allo schema, e
richiedono
uno schema completamente nuovo per essere trattati, tipicamente si richiede
una adeguata trattazione del rumore ed una descrizione statistica del moto.


 Non so a che cosa pensi.
In realtà avevo lasciato quell'ellissi perchè non ero sicuro di
ricordarmi bene: e infatti mi ricordavo male.
Avevo in mente, come è già saltato fuori nel thread, la radiazione di
frenamento in elettrodinamica classica.
Ricordavo male perchè lì si ottiene una forza che addirittura dipende
dalle derivate seconda e terza della posizione, quindi
dall'accelerazione e anche dall'accelerazione dell'accelerazione :-)
Il termine dipendente da a (lineare) in effetti non dà problemi perchè
si riassorbe rinormalizzando la massa della carica in moto (alla faccia
di chi pensa che la rinormalizzazione venga fuori solo nelle QFT :-))
I casini vengono, ovviamente, dal termine con la derivata terza:
soluzioni esplosive, non unicità delle condiz. iniziali, ecc.
-- 
ws

 
Credo di capire dove vuoi arrivare: vuoi dire che in fisica contano solo
le cose "a meno di insiemi di misura nulla" oppure solo le soluzioni
"stabili" e cosi' via... Si, potrei anche essere d'accordo, ma la questione
diventa enormemente complicata se la mettiamo in quest'ottica, io volevo
rimanere ad un livello "terra-terra"...
Non ho invece ben capito il riferimento alla teoria geometrica della
misura. Puoi spiegare meglio? (Forse non riusciro' a replicare
perche' il mio tempo libero e' finito).
Ciao, Valter

 f(a,v) = a - cos(a) + v
Ciao, non sono del tutto d'accordo sul fatto che la generalizzazione
sia rilevante per la discussione: l'esempio che citi non e' tale che
l'equazione differenziale del moto sia univocamente esplicitabile come
d^2x/dt^2 = f (t,x, dx/dt)
che era la richiesta di Elio che io (da matematico) giudicavo insufficiente.
Con la tua equazione di partenza
f(a,v) = a - cos(a) + v
ci sono infinite esplicitazioni possibili
nella forma di sopra,
d^2x/dt^2 = arcos(dx/dt)
a causa del fatto che la funzione coseno non ha
un'unica inversa.
Nell'esempio che citavo io l'equazione era invece unica:
  d^2x/dt^2 = (dx/dt)^{1/3}
e non ci sono altre possibilita'. Tuttavia, se fissi
condizioni iniziali v(0)=0,  x(0) = x_0
ci sono due soluzioni in [0,+oo)
x(t) = x_0
per ogni t in [0,+oo)
e, se non ho sbagliato i conti,
x(t) = (3/2)^(3/2) (2/5) t^{5/2} + x_0,
    per ogni t in [0,+oo)
Mi sembrava che fosse chiaro dal tuo precedente post.
Ciao, Valter

 perche' il mio tempo libero e' finito).
La gamma convergenza permette di ottenere risultati globali sul
comportamento di sistemi in cui le proprieta' importanti vengono
confinate ad una parte di uno spazio che descrive un sistema in un
contesto molto ampio, come quello di spazio funzionale. Questo
suggerisce che le strutture importanti sono piu' ricche di quelle
della tradizionale analisi matematica fatta di punti e topologia
in dimensione finita.
