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Titolo: Calcolo velocità istantanea

Ho trovato questa pagina in rete e ve la voglio far vedere per poi porvi
una domanda.
Obiettivi:         Concetto di derivata e di differenziale
TEMPO     SPAZIO
  0          0
  1          4,9
  2          19,6
  3          44,1
  4          78,4
1. Un oggetto è lasciato cadere da una torre alta 100 metri e la tabella
precedente mostra, trascurando la resistenza dell'aria, gli spazi
percorsi (in metri) dalla sommità in funzione del tempo trascorso (in
secondi).
Quale sarà la velocità dell'oggetto dopo 3 secondi?
Una prima grossolana valutazione può essere data dividendo lo spazio
percorso per il tempo:    44,1
                         ------ = 14,7 m/sec
                           3                                      
Ma la velocità non è costante a causa dell'accelerazione di gravità e
gli spazi percorsi sono dati approssimativamente dalla legge s=4,9t^2
Restringiamo allora l'intervallo, esaminando quello tra 2 e 3 secondi:
seconda valutazione    44,1 - 19,6
                      -------------- = 24,5 m/sec
                            1          
Procediamo restringendo ulteriormente l'intervallo:
tra 2,5 e 3  (terza valutazione)  44,1 - 30,625
                                 ---------------- = 26,95 m/sec
                                      0,5
 
tra 2,95 e 3 (quarta valutazione)  29,155 m/sec              
e così via, possiamo ottenere valori sempre più precisi.
Possiamo anche studiare gli intervalli per tempi decrescenti:
tra 3 e 3,2         30,38
    3 e 3,1         29,89
     3 e 3,05       29,645    
e osservare che(indicata con v la velocità):29,155>v>29,645
Non riusciamo però, in questo modo, ad arrivare al valore esatto della
velocità al tempo t = 3.
Cerchiamo un'altra strada.
Indichiamo con h l'intervallo di tempo trascorso dopo i 3 secondi; in
tal caso lo spazio percorso sarà dato da 4,9(3+h)^2 ,  con h > 0.
La velocità media nel tempo h sarà allora  4,9(3+h)^2 - 44,1
                                          --------------------
                                                   h
 
 e tale velocità tende a 29,4 per h che tende a zero:
 
In questo senso possiamo riguardare 29,4 m/sec come la velocità v
nell'istante  t = 3 sec.
Dopo questo lungo preambolo pongo la mia domanda:
si è visto che restringendo i tempi si ha un valore della velocità
sempre più preciso,infatti abbiamo visto che con tempi tra
     3 e 3,2         30,38 m/sec
     3 e 3,1         29,89 m/sec
     3 e 3,05       29,645 m/sec
 che sono velocità diverse ma comunque già abbastanza  <vicine>
 ora invece io ho provato a considerare un intervallo di tempo
 di 0,01 ed avrò :
 s = 4,905*(3+0,01)^2
 s = 4,905* 9,0601 = 44,43979
 44,43979 - 44,1     0,33979
----------------- = --------- = 33 m/sec
    0,01              0,01
 e restringendo ancora di più l'intervallo con t = 0,001 sec avrò :
 s = 4,905 * (3+ 0,001)^2
 s = 4,905 * 9,006001 = 44,174434
 44,174434 -44,1      0,074434
------------------ = ---------- = 74 m/sec
    0,001               0,001
 ora è proprio quest'ultimo valore che mi mette in crisi......
 come è possibile uno sbalzo così grande nel passare da circa
 30m/sec  a 74 m/sec ?
 evidentemente sono io che faccio un errore ma che non riesco a capire.
 Mi potreste aiutare ?
 Grazie
-- 
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 Scusate per l'incolonnamento delle frazioni, quando le ho scritte
 erano incolonnate  bene ma poi quando è apparso  il post mi sono reso 
 conto che erano incolonnate male, ma credo tuttavia che si riesca a 
 capire.


  evidentemente sono io che faccio un errore ma che non riesco a capire.
Hai cambiato il valore dell'accelerazione di gravita` (diviso 2). Hai 
cominciato con 4.9 m/s^2, e poi in queste due ultime formule hai messo 
4.905 m/s^2 nel primo termine (quello che moltiplica (3s+h)^2), mentre 
nel secondo termine, 44,1 m hai usato il vecchio valore 
dell'accelerazione moltiplicata per (3s)^2.
Se usi in ambedue i termini lo stesso valore di accelerazione (mezzi) i 
conti tornano.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 
Lo sbaglio è che tu hai usato 4,905 m/s^2 mentre nel testo i valori sono
stati calcolati con 4,9 m/s^2. Se usi 4,905 m/s^2 la posizione dopo 3
secondi non è 44,1 m bensì 44,145 m e quindi
 44,174435 m -44,145 m   0,029435 m
 --------------------- = ---------- = 29,435 m/s
       0,001 s             0,001 s
Maurizio

  30m/sec  a 74 m/sec ?
Il problema è nell'approssimazione: se la legge oraria è s=4.905*t^2, 
dopo 3 secondi s=44.145, quindi approssimando a 44.1, dal rapporto 
incrementale ottieni
44,174434 - 44,1   = 0,074434
invece di
44,174434 - 44,145 = 0,029434
e c'è una bella differenza :-)
-- 
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurità"
http://amnestypiacenza.altervista.org