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Titolo: Domanda su campi quantistici

Salve a Tutti , cosa si intende quando si parla di teorie  quantistiche
col termine locale o non-locale?Molti testi fanno riferimento a tali
aggettivi senza darne una definizione diretta ma sempre in modo
indiretto , da quello che credo di aver intuito per teoria locale si
intende una teoria di campo cioe' una teoria che tratti operatori che
dipendono da un parametro coordinata spazio-temporale e per non locale
una teoria che abbia operatori che ne siano privi , e' giusto?
E' giusto definire , forse la domanda e' banale, definire un campo
quantistico come una famiglia parametrizzata di operatori?
Grazie per le risposte,e auguri di una serena Pasqua.
Saluti Corrado

Ciao corrado,
corrado wrote:
 > Salve a Tutti , cosa si intende quando si parla di teorie  quantistiche
 > col termine locale o non-locale?Molti testi fanno riferimento a tali
 > aggettivi senza darne una definizione diretta ma sempre in modo
 > indiretto , da quello che credo di aver intuito per teoria locale si
 > intende una teoria di campo cioe' una teoria che tratti operatori che
 > dipendono da un parametro coordinata spazio-temporale e per non locale
 > una teoria che abbia operatori che ne siano privi , e' giusto?
 >
innanzitutto vorrei chiederti a che livello bisogna darti la risposta, 
cioe' di che livello sono i libri che leggi(divulgativi, tecnici,ma solo 
introduzioni, o altro...) non perche' io sia difatto capace di dare ua 
risposta per ogni livello, ma almeno vorrei cercare di evitare di 
sparare troppo in alto o in basso. Per ora, i mancanza di informazioni 
provo a sparare in qualche modo, sperando di non essere del tutto 
incomprensibile.
Alla tua domandaessenzialmente direi di si', ma con le dovute 
precisazioni e ridefinizioni:
mettiamoci dapprima nel contesto della teoria *libera*, cioe' quella in 
cui i campi non interagiscono fra di loro(ma bisognerebbe dire neanche 
con se stessi ).
In questo contesto si dichiara innanzitutto che esistono alcuni sistemi 
di riferimento particolari, i riferimenti inerziali, si dichiara quale 
si vuole che sia il gruppo(proprio in senso algebrico) di trasformazioni 
  fra un sistema inerziale ed un altro e ci si costruisce una teoria di 
operatori che dipendono dalle coordinate spazio temporali in modo tale 
che gli operatori si trasformino sotto l'azione del gruppo in una 
particolare maniera(non voglio entrare nei dettagli tecnici, anche 
perche' li ho visti per l'ultima volta un paio di anni fa'.) e che 
valgano eventualmente altri principi che pero' dipendono dal tipo di 
teoria che si sta costruendo(per esempio un principio chiamato di 
microcausalita' nel caso delle teorie relativistiche).
Questi operatori che si costruiscono si chiamano *campi locali*.
Quello che e' fondamentale, secondo me, e' proprio che in questa 
costruzione interviene esplicitamente il gruppo scelto. Questi campi 
locali non sono pero' le osservabili locali del sistema fisico, ma si 
vede che queste possono essere costruite proprio combinando questi fra 
di loro in alcuni particolari modi.
In questa costruzione si fa si' che alcune grandezze fisiche globali, 
cioe' *non* dipendenti esplicitamente dai punti dello spazio tempo in 
cui ci si trova(per esempio l'energia totale) si possano ottenere da 
quelle locali integrando queste ultime in qualche modo
su regioni finite o infinite di spazio. In tutto questo ci sono un sacco 
di problemi tecnici, ma che nel contesto della teoria libera si 
risolvono(mi sembra).
Costruita la teoria libera si cerca di costruire quella interagente, e' 
molto piu' difficile, ma in modo un po' sporco(a mio parere) ci si 
riesce e cosi' si ha una teoria che in qualche modo riproduce tutta la 
meccanica quantistica standard e la estende introducendo nella teoria la 
possibilita' di ottenere risultati da misurazione che dipendono dalla 
regione di spazio tempo in cui ci si trova(qui sono ambiguissimo e mi 
sto esponendo ad attacchi di tutti i generi da parte i chi sa di cosa 
sto parlando, o semplicemente un po' di meccanica quantistica, e ha 
voglia di smazzolarmi; se qualcuno riesce, con un intervento, a 
eliminare le ambiguita' senza entrare in tecnicismi fara' sicuramente 
cosa gradita ai non esperti del gruppo).
 > E' giusto definire , forse la domanda e' banale, definire un campo
 > quantistico come una famiglia parametrizzata di operatori?
bella domanda! ma, a mio modestissimo parere, la risposta dipende dal 
contesto. Bisogna pero' vedere cosa intendo io per patrametro: per me e' 
una coordinata che non e' affetta in alcun modo dal gruppo(altromotivo 
per cui e' importante questo benedetto gruppo!) di trasformazioni di cui 
parlavamo sopra. Per esempio(senza bisogno di scomodare la teoria dei 
campi o le teorie quantistiche) il tempo all'interno della meccanica 
classica puo' essere considerato come un parametro perche' passando da 
un sistema di riferimento ad un'altro la coordinata temporale non viene 
toccata in alcuna maniera; naturalmente, con la mia definizione, le 
coordinate spaziali non sono parametri. In relativita' invece nessuna 
delle coordinate e' un parametro.
Trasportando il tutto nella teoria dei campi, se questa e' fondata 
usando come gruppo quello della meccanica classica, allora i suoi campi 
dipenderanno da tre coordinate + una particolare che  potremo chiamare 
parametro; se la teoria e' relativistica nessuna delle coordinate sara' 
un parametro.
 >
 > Grazie per le risposte,e auguri di una serena Pasqua.
buona feste anche a te
 > Saluti Corrado
slacky

Innanzitutto Grazie per la risposta! Puoi essere molto piu' tecnico il
mio
ivello e' universitario e le mie lettutre sono il Weinberg  il Peskin -
Schroeder e l' Itzykson - Zuber dato che sei ,se ho ben capito, un
esperto del
ramo saro' piu' tecnico nel formulare la domanda, la domanda nasce dalla
lettura di una frase del weinberg dove spiega all'inizio del capitolo
quarto
la necessita' di introdurre li operatori di creazione e distruzione per
creare
teorie che verifichino il principio di decomposizione del cluster ,per i
non
esperti questa parola altisonante non significa altro che richiedere ad
una
teoria di creare oggetti osservabili la cui misura no inficia misure
simili in
altri laboratori , la frase e' la seguente:"Vi sono stati molti
tentativi di
formulare una teoria relativisticamente invariante che non sarebbe
dovuta
essere una teoria di campo, e' infatti possibile costruire teorie che
non
siano teorie di campo per le quali valga la loretz invarianza della
matrice S
per la diffusione di due particelle , ma tali sforzi producono sempre
risultati erronei quando trattano piu' di due particelle : o perche' la
matrice S con tre particelle non e' loretz-invariante , o perche' viola
il
principio di decomposizione del claster."Ora per comprendere questa
frase
avrei bisogno di sapere cos'e' una teoria non locale cosa che non viene
scritta in nessuno dei testi sopra citati.
Riguardo alla seconda domanda allora secondo la Tua definizione nessun
campo
che sia una rappresentazione irriducibile del gruppo di  Poincare' e'
una
famiglia parametrizzata di operatori allora qual'e' per te una corretta
definizione matematica di una campo quantistico, mi interessa perche'
ritengo
che sia estremamente importante sapere con che si ha a che fare cosi' se
ne
definiscono sia le potenzialita' sia i limiti soprattutto se si cerca di
manipolarli con una certa padronanza.
Vorrei aggiungere un'altra domanda , una delle cose piu' affascinanti
che si
scoprono nello studio della teoria dei campi e' che quando si introduce
una
simmetria sotto forma di operatori unitari essa stessa genera l'agebra
di Lie
dei propri generatori , forse la domanda e' banale, si e' mai cercata
una
simmetria che sia a fondamento della meccanica quantistica? Ovvero si e'
mai
cercata una simmetria dalla quale si potessero desumere le regole di
commutazione canoniche? O ci sono ragioni che io non vedo per le quali
e'
inutile a priori cercarla?
Grazie per le risposte e' l'attenzione
Saluti Corrado

 Saluti Corrado
slacky
--
http://www.physics.it

Ciao , riguardo all' Itzykson-Zuber anch'io lo ritengo un testo
difficile e
non lo consiglierei come prima lettura , ma  se ne possono apprezzare le
costruzioni formali quando gia' conosci le "regole del gioco".Potresti
essere
piu' chiaro riguardo alla definizione di campo quantistico? Cosa intendi
per
distribuzione a valori operatoriali? Potresti fare un esempio?
Grazie!
Saluti Corrado

Ciao, ti rispondo io.
Per quanto riguarda il campo reale di Klein-Gordon phi, si tratta di una
funzione dallo spazio delle funzioni infinitamente differenziabili a
decrescenza rapida (o a supporto compatto) a valori su una algebra A
astratta dotata di involuzione *.
(Tale algebra puo' essere pensata come data da combinazioni lineari di prodotti di
operatori (non limitati in generale) su uno spazio di Hilbert e definiti sullo
stesso dominio denso. In tal caso * e' l'operazione di aggiunzione seguita
dalla restirzione al dominio detto. Ma non e' necessario)
Le ipotesi minimali su phi sono le seguenti
1) phi(af+bg)= a phi(f) + b phi(g) per numeri complessi a,b e funzioni f,g
2) phi(f)=0 se e solo se f= Kg dove K e' l'operatore di Klein Gordon
3) phi (f*) = phi(f)* dove  f* indica il complesso coniugato di f e phi(f)*
    l'aggiunto dell'operatore phi(f)
4) -i[phi(f),phi(g)] = D(f,g) dove D( , ) e' il propagatore causale (la funzione
di Green avanzata meno quella ritardata)
L'algebra A e' quindi data da tutte le combinazioni lineari finite di prodotti
finiti di oggetti phi(f) con f arbitrario, piu' l'identita' dell'algebra I.
Uno stato quantistico e' un funzionale lineare F dall'algebra A nel campo
complesso che sia positivo: F(p*p)> o = 0 per ogni p in A  e normalizzato:
F(I)=1.
Si puo' allora provare che ("teorema GNS") se e' dato uno stato F,
esiste ed e' unica a meno di trasformazioni unitarie che preservano
le rappresentazioni e gli stati di vuoto, una terna (H, P, Omega) dove H e'
uno spazio di Hilbert,P una rappresentazione dell'algebra A in termini di
operatori su H con dominio comune denso, Omega e' un vettore di H detto stato
di vuoto, tale che
F(p)  = (Omega, P(p) Omega)
per ogni elemento p di A e dove (, ) e' il prodotto scalare in H. Inoltre il
sottospazio di H generato da tutti gli elementi P(p)Omega e' denso in H.
Si puo' infine provare che sotto ipotesi semplici su F (stato quasilibero
ossia, in soldoni vale il teorema di Wick per le funzioni a n punti)
H di sopra e' uno spazio di Fock simmetrico in cui Omega e' lo stato
di vuoto e gli operatori P(phi(f)) con f reale sono essenzialmente autoaggiunti.
Si ha cosi' la teoria di campo libero standard.
Nello spaziotempo si Minkowski si devono fare altre ipotesi sulla natura di
Omega (cioe' F) che essenzialmente richiedono la sua invarianza sotto una
rappresentazione unitaria del gruppo di Poincare'. Piu' altre ipotesi tecniche
sullo spettro dei generatori delle traslazioni spaziotemporali (positivita'
dell'energia) e sul dominio in cui si scelgono le funzioni f che e' propriamente
quello delle funzioni smooth a decrescenza rapida.
L'insieme di tutte queste richieste (in realta' presentate in forma un po' diversa
su testi classici come il Wightman Streater, io ho presentato la versione di Segal
che si adatta agli spazitempi curvi) sono i celebri "assiomi di Wightman"

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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html