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Titolo: Perché le bilance funzionavano?

 
Ricordate le bilance a 2 piatti? In un piatto si metteva la merce e sull’altro un peso metallico di valore noto e se erano uguali i 2 piatti si mettevano alla stessa altezza. Già, ma perché? 
 
 
 
 
Mi spiego meglio: la procedura era questa. Su un piatto si mette il peso metallico di 1 kg e sull’altro niente. Il piatto col peso va tutto giù e il piatto vuoto tutto su. Ok. Poi il fruttivendolo prende supponiamo un cavolo di 1 kg e lo mette sul piatto vuoto. Adesso il piatto col cavolo scende, quello col peso sale fino a mettersi alla stessa altezza. Ma di regola non dovrebbe andare così. Essendo i 2 pesi uguali, se 1 kg sale di 10 cm, l’altro scende di 10 cm, quindi qualunque movimento non produce nessun abbassamento della massa complessiva. Quindi la bilancia potrebbe rimanere anche con i piatti ad altezza diversa. Quale è la forza che spinge il cavolo giù? 

 bilancia potrebbe rimanere anche con i piatti ad altezza diversa.
...
 
Se il giogo della bilancia è orizzontale allora il baricentro
del giogo è sulla verticale del fulcro O (punta del coltello)
_al disotto_ di O, dunque se il giogo non è orizzontale
allora il momento risultante rispetto a O della forza peso
agente sul giogo è non nullo e tale da riportarlo verso la
posizione di equilibrio, quando le forze esercitate dai piatti
e dai pesi appoggiati sui piatti risultino uguali e abbiano
allora momenti uguali e opposti rispetto al polo O.
 
PS le bilance a 2 piatti funzionano ancora...;-)
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scrutto:
 > Se il giogo della bilancia è orizzontale allora il baricentro del
 > giogo è sulla verticale del fulcro O (punta del coltello) _al
 > disotto_ di O, dunque se il giogo non è orizzontale allora il
 > momento risultante rispetto a O della forza peso agente sul giogo è
 > non nullo e tale da riportarlo verso la posizione di equilibrio,
 > quando le forze esercitate dai piatti e dai pesi appoggiati sui
 > piatti risultino uguali e abbiano allora momenti uguali e opposti
 > rispetto al polo O.
 >
 > PS le bilance a 2 piatti funzionano ancora...;-)
Questa è la sola cosa giusta che hai scritto :-(
 
Sono allibito...
Giorni fa, il 24/11, sulla mailimg list "sagredo"
(
sag...@www.sagredo.eu
) facevo notare (e la ritenevo una cosa
scandalosa) che la figura di una bilancia in un articolo sul "Giornale
di Fisica", edito dalla Socità Italiana di Fisica, era grossolanamente
sbagliata (e aveva avuto pure l'onore della copertina).
Quello che veramente non mi sarei aspettato è che non solo fosse
sbagliata la tua spiegazione, ma che la larga maggioranza delle figure
che si trovano in internet cercando "scale (balance)" lo fossero
altrettanto, e quelle che sono giuste lo fossero per caso, perché non
c'è mai una spiegazione accettabile.
 
Sono moltissime, ma a meno di sviste ne ho trovato una sola veramente
chiara e giusta:
https://www.flipkart.com/yigooood-montessori-wooden-balance-beam-weighing-scale-sensorial-early-childhood-training-wood-toy/p/itmf278tbyhugehz
 
 
Non è né necessario né sufficiente che il baricentro del giogo sia
sotto il punto di appoggio di questo sul sostegno fisso.
Ciò sarebbe necessario e sufficiente per la stabilità dell'equilibrio
se non ci fossero i piatti coi corpi pesanti su di essi.
Occorre guardare dove sono posti i punti di sospensione dei piatti.
Si ha certamente equilibrio stabile per qualunque entità dei pesi
posti sui piatti, solo se oltre la condizione sul baricentro del giogo
è anche vero che la congiungente tra i punti di sospensione dei piatti
passa *sotto* il punto di appoggio del giogo.
 
Per rendere comprensibile la cosa all'OP dovrei fare una figura e
scrivere qualche formula, ma purtoppo non ho tempo.
-- 
Elio Fabri

Il 03/12/2022 18:23, Elio Fabri ha scritto:
...
Nel mio messaggio precedente io ho scritto:
"E ora spiego come mi sono formato una opinione errata sull'argomento:" ecc. ecc..
 
In realtà ora mi è sorto un dubbio, aspetto di verificare di persona
come sono fatte le barre in questione, poi semmai aggiungerò
un'integrazione/correzione.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 scrivere qualche formula, ma purtoppo non ho tempo.
 
Ho preparato una paginetta di spiegazione, per ragionare con scalari
piuttosto che con vettori e semplificare allora la stesura del testo,
ho ricavato il minimo dell'energia potenziale gravitazionale in funzione
dell'angolo di rotazione del giogo, v.:
 
https://drive.google.com/file/d/1jMImNar4iFUIDoea37V2_EIxoCrObmR9/view?usp=share_link
 
 
E ora spiego come mi sono formato una opinione errata sull'argomento:
in laboratorio didattico di Fisica, quando facciamo al 1° anno
esperienze sull'equilibrio del corpo rigido e sulla leva, non usiamo
la bilancia a 2 piatti (ne abbiamo che mi risulti una, esposta
in un armadio a vetri, per le misure attuali di massa usiamo per
questioni di tempo bilance elettroniche a 1 piatto, che siano da cucina
o analitica da laboratorio), ma usiamo una barra metallica con una
fila di fori simmetrici rispetto al centro e allineati con un asse
di simmetria della barra, la barra è fulcrata a metà lunghezza ma
il fulcro quando la barra è all'equilibrio si trova leggermente al
disopra del suo baricentro, in modo che all'equilibrio la barra si
dispone orizzontalmente. Dato che i fori a cui si sospendono i
vari pesi a varie distanze _si trovano sull'asse della barra_ allora
all'equilibrio (cioè quando la somma dei momenti delle forze
esercitate sulla barra dai pesetti risulterà nulla) la barra si
dispone orizzontalmente proprio in conseguenza della posizione
del fulcro rispetto al suo baricentro.
Insomma, io in passato mi ero posto la stessa domanda dell'OP,
e la spiegazione che mi ero dato andava bene per lo scopo
attuale ma l'ho generalizzata indebitamente al caso della
bilancia a 2 piatti...
 
Ciao, e grazie ancora!
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 Ricordate le bilance a 2 piatti? In un piatto si metteva la merce e sull?altro un peso metallico di valore noto e se erano uguali i 2 piatti si mettevano alla stessa altezza. Giŕ, ma perché? Mi spiego meglio: la procedura era questa. Su un piatto si mette il peso metallico di 1 kg e sull?altro niente. Il piatto col peso va tutto giů e il piatto vuoto tutto su. Ok. Poi il fruttivendolo prende supponiamo un cavolo di 1 kg e lo mette sul piatto vuoto. Adesso il piatto col cavolo scende, quello col peso sale fino a mettersi alla stessa altezza. Ma di regola non dovrebbe andare cosě. Essendo i 2 pesi uguali, se 1 kg sale di 10 cm, l?altro scende di 10 cm, quindi qualunque movimento non produce nessun abbassamento della massa complessiva. Quindi la bilancia potrebbe rimanere anche con i piatti ad altezza diversa. Quale č la forza che spinge il cavolo giů? 
 
La mia risposta personale č semplicissima: nelle bilance a due
 piatti di alta precisione c'č una leva, che ti permette di
 portare i piatti a livello per l'operazione di caricamento e
 rilasciarli liberi per vedere se, pesando uguale, restano in
 piano o se il piů pesante scende. Perciň partono con l'ago giŕ
 sullo zero. 
 
-- 
anth

 passa *sotto* il punto di appoggio del giogo.
 
Fore non ho capito qualcosa di banale. Ma siccome i punti del giogo, 
piatti e gli stessi punti di sospensione si muovono tutti su 
circonferenze centrate sulla verticale del punto di sospensione,  se il 
baricentro del giogo (corpo rigido) fosse coincidente col punto di 
appoggio, cosa darebbe un momento di forza in grado di dare la posizione 
orizzontale del giogo come equilibrio stabile, a carico uguale dei 
piatti? E' vero che con piatti e carico il baricentro si sposta sotto il 
fulcro. Ma resterebbe allineato con questo per qualsiasi rotazione dei 
bracci.
 
Giorgio


La risposta sta nella tua stessa frase: 
"il piatto _col cavolo_ scende" 
quindi non scende affatto. 
:-) 
Perdonami non ho resistito :-) 
 
--
Wakinian Tanka

 con piatti e carico il baricentro si sposta sotto il fulcro. Ma resterebbe allineato con questo per qualsiasi rotazione dei bracci.
 
Non resterebbe allineato sulla verticale del fulcro, si vede ad es. dalla
dimostrazione nella paginetta che ho scritto seguendo la spiegazione di Elio.
Comunque, considera il caso limite di giogo avente momento d'inerzia
nullo rispetto all'asse di rotazione z passante per l'origine O di un sistema
di coordinate cartesiane levogiro Oxyz, con l'asse x orizzontale e y verticale
con verso verso l'alto, si abbiano 2 p.m. di massa M nei punti del giogo (ovvero
punti di sospensione dei piatti) che hanno coordinate (tralascio z), quando il
giogo è orizzontale, (1, -1) e (-1, -1) in unità arbitrarie, il loro baricentro
è in (0, -1), se allora il sistema viene ruotato in senso orario di Pi/4
intorno a O le nuove coordinate sono (0, -sqrt(2)) e (-sqrt(2), 0),
il baricentro adesso ha coordinate -(1, 1)/sqrt(2) e il momento rispetto
all'asse z della forza peso agente sul sistema ha il verso di z positivo e
tende a riportalo nella posizione di equilibrio con giogo orizzontale.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 il baricentro adesso ha coordinate -(1, 1)/sqrt(2) ...
 
Ma io vedo le coordinate dei punti del giogo date prima che diventano
(-1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) e (1/sqrt(2),1/sqrt(2)).
le masse sui piatti sono alle stesse ascisse dei punti del giogo appena 
scritte (l'allineamento verticale massa-punto di sospensione non varia) 
ma a quote inferiori di 1:
(-1/sqrt(2), -1/sqrt(2)-1) e (1/sqrt(2),1/sqrt(2)-1).
 
Se la massa è concentrata sulle masse da pesare, la posizione del 
baricento resta (0,-1 ).
 
Giorgio P

 (-1,0) (1,0)
 
Quelle coordinate non vanno bene per il nostro scopo:
come spiegava Elio, occorre che questi 2 punti di sospensione
abbiano quota verticale inferiore a quella del fulcro quando
il giogo è orizzontale, cioè allora la loro coordinata y
dovrà essere negativa.
Altrimenti, come scrivi, l'equilibrio sarebbe condizionato
solo dalla posizione del baricentro del giogo...
...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Ho preparato una paginetta di spiegazione, per ragionare con scalari
 > piuttosto che con vettori e semplificare allora la stesura del
 > testo, ho ricavato il minimo dell'energia potenziale gravitazionale
 > in funzione dell'angolo di rotazione del giogo, v.:
 >
 > 
https://drive.google.com/file/d/1jMImNar4iFUIDoea37V2_EIxoCrObmR9/view?usp=share_link
 
 
Benissimo, così posso commentare quella.
Comincio dalla figura.
Avresti fatto bene a dire esplicitamente che nei punti (-x0,y0) e
(x0,y0) ci sono delle articolazioni, per cui il segmento sotto quei
punti resta sempre verticale, anche quando theta non è nullo.
Altrimenti l'espressione dell'en.pot.grav. si complica e in particolare
dipende da forma e posizione delle masse, anche quando queste sono
uguali in misura.
Inoltre scrivi
"La distribuzione del giogo sia tale che quando il giogo è orizzontale
allora il suo baricentro si trovi sulla verticale del fulcro F e per
semplicità non al disopra del fulcro."
In realtà il tuo calcolo va bene solo se quel baricentro *coincide* con
F. Altrimenti devi tener conto dell'en.pot.grav. del giogo.
 
Siano (0,yg) le coordinate del detto baricentro, m la massa del giogo.
All'en.pot.grav. va aggiunto un termine m*g*yg*cos(th) (a meno di
costanti).
L'en.pot.grav. totale è
 
(2*M*g*y0 + m*g*yg)*cos(th)
 
e l'equilibrio è stabile se e solo se
 
2*M*y0 + m*yg < 0.
 
Se tanto y0 quanto yg sono < 0 l'equilibrio è sempre stabile, quali
che siano le masse (purché non negative :-) ).
Ma se per es. fosse yg>0, si avrebbe stabilità solo se M è abbastanza
grande rispetto a m, ecc.
 
Aggiungo alcune considerazioni di vario carattere.
 
1. Per rispondere all'OP occorre mostrare che in generale *non è vero*
che quando il giogo s'inclina uno dei piatti sale e l'altro scende
*nella stessa misura*.
Implicitamente l'hai scritto.
Se th>0, il piato di destra sale di
 
x0*sin(th) + y0*cos(th) - y0
 
mentre quello di sinistra scende di
 
x0*sin(th) - y0*cos(th) + y0.
 
L'uguaglianza c'è solo se y0=0: in questo caso (dimenticando il giogo)
l'equilibrio è indifferente come pensava l'OP.
Appunto: l'OP (come in molte delle figure di cui ho parlato nell'altro
mio post) dimentica che i punti di sospensione dei piatti *non sono
alla stessa quota* del centro di oscillazione del giogo.
 
2. Se ci si pensa bene, la bilancia è uno strumento meraviglioso nella
sua semplicità.
Colpisce anzitutto la sua antichità: se non ricordo male ce ne sono
esempi nelle pitture egizie, ma forse la conoscevano addirittura i
sumeri.
Tutti costoro non sapevano niente di momenti di forze né di energia
potenziale, eppure (immagino per tentativi) arrivarono a capire come
doveva essere fatta una bilancia per funzionare correttamente.
Uno dei molti esempi in cui la tecnica precorse la scienza.
Anzi, sicuramente la riflessione scientifica fu motivata proprio dai
problemi posti da soluzioni tecniche: funziona, ma perché funziona?
 
3. Aspetti didattici.
Credo che l'approccio di GB non sia praticabile a livello liceale.
Ho consultato un Caforio-Ferilli di 16 anni fa, ma non penso che i
testi siano molto cambiati su questo argomento.
 
In quel testo l'equilibrio (di corpi rigidi) è trattato in due modi:
prima come annullamento di risultante e momento risultante, poi (per
il caso gravitazionale) come condizione che il baricentro non si alzi
né si abbassi per piccoli spostamenti. Col che viene poi anche data la
condizione per l'equilibrio stabile: che il baricentro non possa
abbassarsi.
L'en.pot.grav. viene introdotta più avanti, ma non è considerata per
l'equilibrio.
Ovviamente (per noi) dire baricentro è dire en.pot.grav.
Ma il limite è che nella statica sono trattati solo il punto e il
corpo rigido, mentre la bilancia *non è un corpo rigido*, ma tre corpi
tra loro incernierati.
Salvo errori nel Caforio-Ferilli di bilance non si parla.
 
Il metodo dei momenti mi pare più praticabile: dato che tutte le forze
sono verticali e gli assi vincolari orizzontali e tutti paralleli, non
occorre neppure il prodotto vettore: basta usare il momento come
"forza x braccio".
 
4. Ma per capire la bilancia occorre altro...
Nella pratica non basta chiarire l'equilibrio stabile: contano molto
- la sensibilità
- il periodo di oscillazione
- gli attriti.
Dirò solo poche parole.
 
I calcoli di GB considerano solo il caso di masse uguali, ma in
pratica serve sapere qual è la più piccola differenza di massa che la
bilancia riesce ad apprezzare.
Si può definire una sensibilità assoluta o relativa.
Il modo più semplice per ottenere alta sensibilità è di rendere
piccole y0 e yg, avvicinarsi quindi all'equilibrio indifferente.
Ma si creano due problemi.
 
Il primo è che aumenta il periodo di oscillazione, e c'è poco da fare.
Si possono ridurre tutte le masse, al prezzo però di ridurre anche la
portata.
Non a caso ci sono diverse bilance, da quella del fruttivendolo a
quella dell'orefice o del chimico...
 
Il secondo problema è che alta sensibilità significa aumento
dell'importanza degli attriti.
Per questo mentre la bilancia del fruttivendolo usa dei semplici ganci,
quella del chimico usa i "coltelli d'acciaio su piano di agata" :-)
 
Un modo per ridurre l'importanza dell'attrito è la "lettura in
oscillazione.
Non si aspetta che l'ago si fermi, ma si leggono tre posizioni
successive: destra, sinistra, destra.
Un'opportuna media cancella l'attrito al primo ordine.
 
5. A proposito di baricentro.
Si può capire tutto della bilancia se si sa tracciare la traiettoria
durante le oscillazioni del baricentro globale dei tre corpi rigidi
che formano la bilancia.
Ma c'è un trabocchetto: questa traiettoria *non è una circonferenza*!
Lascio la dimostrazione a chi ne ha voglia.
 
6. Concludo dicendo che sono un po' meno allibito :-)
Ero partito pensando che la conoscenza del funzionamento della
bilancia si dovesse richiedere a chi si muove anche poco nella fisica,
ma mi sono dovuto ricredere.
 
Anche se fa uso di principi di base semplici, non è affatto banale, e
fa parte dei molti argomenti che finiscono messi di parte per far
posto a cose più recenti e ritenute più importanti.
Così finisce che il "Giornale di Fisica" possa impunemente pubblicare
in copertina una figura vergognosa, che però appare tale solo a
qualche vecchio incorregibile :-(
-- 
Elio Fabri

Il 04/12/22 15:56, Giorgio Bibbiani ha scritto:

Ok, ma questo conferma che l'affermazione di Elio richiedeva un 
chiarimento. Quello che mi aveva lasciato perplesso era che 
apparentemente la posizione del baricentro del giogo più piatti giocasse 
un ruolo  complementare se non marginale rispetto al punto di sospensione.
 
A me sembra che invece resta centrale.  Basta analizzare che succede ad 
una bilancia a Y con il punto di diramazione della Y fisso e i tre 
bracci a 120 gradi uno dall'altro che ruotano rigidamente.
Sempre per semplificare, concentriamo la massa di ciascun braccio (M per 
quello in basso, m per i due in alto) a distanza 1 dal centro di 
rotazione. Se la verticale verso il basso è l'angolo 0, le coordinate 
dei 3 punti saranno
(punto con massa M) (cos(th), sin(th))
i due punti con massa m (cos(th + 2 pi/3), sin (th + 2 pi/3)) e
(cos(th - 2 pi/3), sin (th - 2 pi/3)).
La posizione del cdm sarà quindi:
 
( (M-m) sin(th) , - (M-m) cos(th) )
 
E' evidente che se M>m, anche se i punti di sospensione fossero agli 
estremi dei rami in alto della Y, e quindi la congiungete al di sopra 
del centro di rotazione, il baricentro sarebbe al di sotto del punto di 
sospensione, garantendo per pesi uguali sui due piatti oscillazioni 
attorno alla posizione di equilibrio.
 
Ovviamente la Y è solo una esagerazione per vedere meglio dove sta il 
punto importante che mi sembra resti la posizione del baricentro del 
giogo + piatti.
 
Giorgio P

 + piatti.
 
Grazie, ho capito. Diciamo che per me il punto importante era
riconoscere come avevo errato nel trascurare l'effetto dei piatti
e dei corpi pesati relativamente all'equilibrio della bilancia,
infatti nel calcolo che ho fatto successivamente ho tralasciato
coscientemente l'energia pot. del giogo per concentrarmi su
quella dei piatti e dei pesi su cui Elio aveva attirato la mia attenzione,
cioè mi interessava solo ricavare l'effetto sull'equilibrio dato
dalla posizione dei punti di sospensione ricordata da Elio.
Poi, naturalmente, per descrivere l'equilibrio di una bilancia reale
occorrerebbe quantificare i contributi dei vari termini, anche
se immagino che si cercherà di limitare quello del giogo volendo
migliorare la sensibilità della bilancia: se il baricentro del giogo
fosse molto in basso e la massa del giogo fosse grande allora la
bilancia starebbe (quasi) in equilibrio comunque... ;-)
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 ma mi sono dovuto ricredere. 
 
giustissimo, basta prendere un rettangolo di cartoncino
infilarci uno spillo al centro: non vi sarà una posizione di equilibrio;
se lo infili spostato verso uno dei lati lunghi, l'equilibrio compare
(il baricentro è dove c'è il primo buco)

 *nella stessa misura*. 
 


 
https://drive.google.com/file/d/1lvGhi-GF6BFEVGHNqYNYXAOlQQl-Wwcv/view?usp=share_link
 
 
Sì, se il baricentro del tutto coincide con F.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

 Oppure, al contrario, rileva il fatto che i piatti siano “appesi” alle estremità dei bracci, e quindi quando il giogo ruota cambia il loro angolo rispetto al giogo, e questo fa muovere il baricentro complessivo del giogo (inteso come giogo+piatti) in maniera più complessa, i pesi non sono sulla stessa circonferenza, i punti a dx e sx non sono più simmetrici e quando uno scende di 10 l'altro sale di 8 e il baricentro è al punto minimo solo quando il giogo è orizzontale? (il che però non è intuitivo) 
 
con altri due spilli appendi due cartoncini uguali e oscillanti alle estremità del giogo con lo spillo al centro (nel baricentro)
poi vedi che succede se i due spilli son in linea con lo spillo centrale oppure no
 
mi pare tutto molto intuitivo