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Titolo: Re: "Riflessione" in una linea di trasmissione

La disdicevole neuroanatomista lussemburghese arrestata per traffico
illegale di cellule gliali ha scritto:
[...]
Ciao,
premetto che non mi ricordo quasi nulla di linee di trasmissione,
riflessione,...
Il tuo mi sembra un problema ''interpretativo'', cioe' in cui non ti e'
chiara l'''interpretazione del fenomeno''.
Personalmente sono uno di quelli che non amano molto le interpretazioni
o i paralleli perche' portano spesso a confusioni (pur essendo validoi
aiuti mnemonici o guide per l'intuito).
Tuttavia ti faccio anch'io un esempio che forse non ti sconvolge
perche' lo vivi tutti i giorni: la riflessione della luce su uno
specchio. Se accetti questo perche' dovresti porti problemi
interpretativi in altri casi?
Comunque il classico parallelo della corda oscillante mi sembra
pertinente: serve a far capire che l'equazione delle onde e le
condizioni iniziali non bastano a specificare il problema in maniera
univoca in presenza di un bordo: quando l'onda arriva al bordo bisogna
specificare come si comporta con l'ostacolo. Se lo supera o no, come,
...
Queste informazioni sono codificate nelle cosiddette condizioni al
bordo di cui gli esempi classici sono le condizioni di Dirichlet
(l'onda si annulla sul bordo), di Neumann (la derivata normale al bordo
dell'onda si annulla), di Robin o mista (una combinazione lineare di
onda e derivata si annulla sul bordo), e altre ancora...
Beh immagino che per le linee di rasmissione accada la stessa cosa: ci
sara' un'equazione evolutiva alle derivate parziali tipo equazione
delle onde che descrive il comportamento dell'onda nell'ambiente, pero'
c'e' un bordo non banale e quindi bisogna dare le condizioni al bordo.
Perche' una resistenza rappresenta un bordo?
Fin qui il problema era puramente mamtematico, ora bisogna affrontare
un problema fisico. Solitamente c'e' molta liberta' nel fissare le
condizioni al bordo, e ogni scelta da' luogo ad una fisica diversa, ad
un comportamento diverso delle onde. Bisogna essere guidati dalla
fisica del problema e mi aspetto (non sono sicuro perche' appunto non
mi ricordo molto sulle linee di trasmissione) che la scelta di una
resistenza piuttosto che di un condensatore guidi proprio la scelta
fisica delle condizioni al bordo.
Spero di averti risposto, ciao.

Magari potessi aiutarti...
Al secondo anno l'argomento non viene trattato in Fisica 2. Una volta ci han 
detto veniva  _accennato_ in laboratorio di Fisica...Ma l'anno che l'ho 
frequentato io hanno tolto le linee di trasmissione dal programma.
E adesso continuo a trovare:"siccome questa cosa e' una linea di 
trasmissione e le impedenze non sono perfettamente accoppiate il segnale 
viene trasmesso solo nellla tal percentuale".
Senza contare che per passione sono un musicista, ho la camera piena di 
cavi, e li' le impedenze non si accoppiano ma le uscite hanno impedenza 
sempre di uno o 2  ordini di grandezza inferiori degli input a cui sono 
destinate(a parte per le casse dove sono bene accopiate)
Chissa' poi perche'...
Spero di trovare una trattazione rigorosa prima o poi... 

 destinate(a parte per le casse dove sono bene accopiate)
Diciamo che se la lunghezza elettrica del collegamento è molto
inferiore alla lunghezza d'onda, gli effetti di propagazione sono
trascurabili. Questo vuole dire che usare la teoria delle linee di
trasmissione per un cavetto di 5m usato in banda audio è sparare con
un cannone ad un moscerino (anche se ovviamente questa permette di
descrivere correttamente il risultato).
Bisognerebbe fare una trattazione rigorosa: non conosco altri metodi
per capire a fondo la teoria.
Detto in maniera confusa ed in poche parole, si parte da un modello
distribuito (capacità ed induttanza per unità di lunghezza, più
eventualmente le perdite) che permette di ottenere delle equazioni
differenziali chiamate equazioni dei telegrafisti (google is your
friend).
Queste equazioni possono essere combinate insieme per ottenere una
equazione d'onda per la tensione ed una equazione d'onda per la
corrente. La soluzione generale di queste equazioni comprende due
termini che rappresentano un'onda che si propaga in un senso (diciamo
progressiva) ed un'onda che si propaga in senso opposto (regressiva).
Usando le equazioni dei telegrafisti, si vede che l'onda di tensione e
l'onda di corrente sono legate dall'impedenza caratteristica della
linea, che dipende sostanzialmente da come è fatta la linea stessa.
Normalmente, la tensione e la corrente totali sulla linea sono date
dalla somma dei contributi (tensione e corrente) dati dall'onda
progressiva e regressiva. Se la linea è omogenea, le due onde non
interagiscono fra di loro.
Quando hai una linea caricata su un'impedenza che non è l'impedenza
caratteristica, essa impone che la legge di Ohm sia rispettata per la
tensione e corrente TOTALI nella sezione ove si trova il carico. In
altri termini, si accoppia l'onda progressiva con quella regressiva
provocando una riflessione.

 magnetico, induzione etc.)?
Direi che una spiegazione "for Dummies" non esiste; è già problematico 
spiegare con esempi idraulici la legge di Ohm , figuriamoci quando entrano 
in gioco numeri complessi, riflessioni, rotazioni di fase, ecc. ecc.
Per fortuna su Internet si trova molto materiale a proposito, ad esempio una 
spiegazione con un taglio abbastanza "divulgativo" la trovi qui: 
http://www.ilmondodelletelecomunicazioni.it/linee_file/linee.htm
 

> Se la linea è omogenea, le due onde non interagiscono fra di loro.
Una piccola correzione: più che "omogenea", sarebbe da dire "che non
ha discontinuità".

 nel mezzo?
Guardala cosi': nel cavo coassiale (supponiamolo senza perdite e con le
sole TEM) l'onda e-m si propaga ne verso dettato [cioe' se l'impedenza
caratteristica e' costante lungo la linea a 50 Ohm] e non si hanno
altri fenomeni... il perche' cio' si verifichi credo non sia da
discutere, non e' questo il punto della tua domanda.
Dunque se l'imp caratteristica e' costante nel mezzo non hai
<riflessione>.... pero' dal punto di vista dell'onda cio' che viene
"visto" in avanti non e' un "cavo coassiale" bensi' una impedenza.
Cioe' ogni punto del cavo e' visto dal segnale sotto forma di impedenza
(alla propagazione).
Se tu ad un certo punto del cavo sostituisci il cavo stesso con un
terminatore che ha lo stesso carico... dal punto di vista dell'onda
sono sempre 50Ohm, cioe' non cambia nulla ed il segnale continua
indisturbato poiche' avanti a se' trova una situazione di continuita'
(bada che il segnale TEM apprezza solamente le caratteristiche
elettriche, come l'impedenza).
Ma se tu ad un certo punto varii l'impedenza allora l'onda puo'
riflettersi.
Se ad esempio tagli il cavo ad impedenza "infinita" ottieni una
riflessione <totale>: l'energia del segnale deve conservarsi;
arrivato al taglio usa il principio di Huygens-Fresnel, e vedrai che
l'unica soluzione e' la riflessione: ogni punto e' sorgente di una
nuova onda la quale non ha possibilita' di prosecuzione in avanti e
quindi si ribalta all'indietro.
Se non e' un taglio ad infinito, otterrai semplicemente un fenomeno
ibrido tra la <riflessione totale> e <la propagazione in avanti senza
alcun eco>; quindi una riflessione parziale.

 provocando una riflessione.
Immagino che sara' uno dei soliti sistemi di equazioni delle onde da 
risolvere...Mi fara' bene per stare in esercizio.
Quello che hai detto mi spiega poco..Finiti gli esami a febbraio mi 
cerchero' una trattazione rigorosa.
Anche perchè mi sto riempiendo dei dubbi tipici di quando si ha solo una 
spiegazione qualitativa del problema...
Del tipo:"ma allora dopo il terminatore nel circuito che preleva il segnale 
che succede?"

 che succede?"
Stavolta sono io che non capisco la domanda, che cosa vuoi dire?

 ...
Comincio col dire che cosi' e' detto male.
Non c'e' una corrente che "viaggia": quella che viaggia e' un'onda (di
corrente e di tensione).
Per lo stesso motivo, non e' la corrente che torna indietro: e' l'onda.
Ritengo utile, anche per il seguito, che tu pensi non a grandezze
sinusoidali (nel tempo e nello spazio) ma a un _impulso_, come nello
schizzo qui sotto.
                             /\
                            /  \
                        ___/    \___
-------------------------------------------------------------1
-------------------------------------------------------------2
Questo impulso pensalo viaggiare verso destra: rappresenta insieme
la ddp (V1-V2) e la corrente (che assumo positiva verso destra).
Piu' semplice pensare a una linea bifilare anziche' a un cavo
coassiale, se non altro perche' si fa meglio la figura...
Allora quella e' la corrente nel filo superiore; quella nel filo
inferiore e' opposta (ma come impulso viaggia sempre verso destra).
In condizioni semplici (assenza di perdite, modo TEM) la propagazione
e' non dispersiva, e l'impulso viaggia inalterato lungo tutta la
linea.
In ogni punto il rapporto V/I ha lo stesso valore, che e' appunto
(definizione) l'impedenza caratteristica.
Nota che sulla stessa linea potrebbe viaggiare anche un impulso in
verso opposto, ma ci sarebbe una differenza: se l'impulso di tensione
e' lo stesso di prima, l'impulso di corrente ha segno opposto.
Data la linearita' delle equazioni, i due impulsi possono anche
coesistere senza disturbarsi. Che cosa succede quando s'incontrano?
Succede che l'impulso di tensione si raddoppia, mentre i due impulsi
di corrente (che come ho detto sono opposti) nel punto d'incontro si
annullano.
Poi i due impulsi si separano, e tornano a essere quelli di prima.
Tutto quanto precede valeva per una linea infinita.
Ora supponiamo che invece sia terminata a destra con la sua imp.
caratteristica.
Allora l'impulso che viaggia verso destra trova soddisfatte in ogni
punto le condizioni per potersi propagare come prima: quando arriva
alla terminazione, esso viene semplicemente "assorbito" dal carico (il
quale viene percorso dalla corrente per il tempo di durata
dell'impulso) e sparisce.
Ovviamente l'energia trasportata dall'impulso te la trovi dissipata
nel carico.
Altro caso: linea aperta.
In questo caso hai una "condizione al contorno" a destra: I = 0.
Questa non puo' essere soddisfatta dal semplice impulso cha va verso
destra, che in generale non ha certo I=0.
Ma abbiamo gia' visto una disposizione che soddisfa quella condizione:
aggiungi all'impulso reale un "impulso immagine", che incontri quello
reale proprio alla fine della linea.
Allora la somma dei due avra' I=0.
Nel corso del tempo, l'impulso reale scompare, e appare l'immagine, che
viaggia verso sinistra.
Se invece la linea e' in corto circuito, allora la condizione e' V=0.
Questa puo' essere soddisfatta aggiungendo ancora un impulso immagine,
ma che abbia pero' V opposta e I invece concorde con l'impulso reale.
Il resto va come nell'altro caso.
Piu' complicato spiegare che cosa succede se la linea e' chiusa con
una R maggiore o minore di Z0, ma puoi forse immaginare che occorrera'
un impulso immagine, pero' di ampiezza diversa (minore) e diritto o
ribaltato a seconda che sia R>Z0 o viceversa.
L'impulso immagine ha certamente ampiezza minore, perche' deve
trasportare un'energia minore: infatti un po' di energia viene
dissipata nel carico.
Puo' darsi che tu non sia soddisfatto da questa spiegazione, in quanto
essenzialmente matematica: infatti ti ho solo fatto vedere che
l'impulso riflesso ci vuole per soddisfare le eq. del sistema e le
condizioni al contorno.
Per darti una spiegazione piu' fisica, potrei ricorrere a un esempio
diverso: non un impulso ma un gradino.
Pero' dovrei scrivere un'altra paginata di roba, e da una parte non so
se sia necessaria, dall'altra sono anche un po' stanco...
Inoltre sarei pronto a scommettere di avere gia' scritto qualcosa del
genere, magari anni fa.
Prova a cercare "impedenza caratteristica" su 
groups.google.com
 in
it.scienza.fisica: penso che troverai qualcosa scritto da me ;-)
 
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Elio Fabri