Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Spazi di Hilbert non separabili

Ciao ragazzi e ragazze,
qualcuno ha in mente un qualche contesto fisico in cui la teoria 
matematica ha bisogno di spazi di Hilbert *non* separabili?
Fra il resto non mi e' chiarissimo, a livello fondazionale, perche' in 
meccanica quantistica si richiede che sia separabile. Mi sembra un 
accidente legato a quegli specifici operatori che difatto prendiamo come 
osservabili.
Naturalemte la mia domanda sulla non separabilita' dovete interpretarla 
in mniera "ampia": non e' riferita solo necessariamente alla meccanica 
quantistica.
ciao e grazie
slacky


Ciao, io non conosco casi fisici in cui si applicano spazi di H. non 
separabili. Per quanto riguarda la MQ pero' ti posso dire che se
non hai la separabilita' allora non funziona il teorema di Von Neumann
che ti assicura che (con un po' di precisazioni matematiche) le 
relazioni di Heisenberg degli operatori posizione e impulso 
determinino tutto lo spazio di Hilbert che risulta di conseguenza 
sempre unitariamente isomorfo ad un L^2(R^k) per qualche k intero 
positivo in cui gli operatori posizione ed impulso sono i soliti
operatori (moltiplicazione per la coordinata i-esima e derivata 
rispetto a tale coordinata con -i davanti)
Ciao, Valter
-- 
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 meccanica quantistica si richiede che sia separabile.
Mi sembra di ricordare che sia dovuto al fatto di estendere
la completezza anche a spazi di Hilbert infinito-dimensionali
(e quindi per comprendere tutti quegli operatori con spettro
continuo).
Mi pare che la completezza in tali spazi non valga se lo
spazio non e' separabile. C'e' un teorema che lo dimostra mi pare...
Andrea.
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.libero.it

 
Ciao, no,no, ti sbagli. La completezza e' nella -definizione- di 
spazio di Hilbert (nel caso di dimensione finita non serve mettere 
tale richiesta nella def.perche' e' automaticamente soddisfatta): uno 
spazio di H. sul campo complesso e' uno spazio vettoriale sul campo 
complesso dotato di un prodotto scalare hermitiano e completo rispetto 
a tale prodotto scalare.
La separabilita' e' una caratteristica ulteriore che puo' esserci
come non esserci: la separabilta' e' l'esistenza di un insieme denso
e numerabile nello spazio. Cio' equivale, negli spazi di Hilbert 
all'esistenza di un sistema ortonormale completo
numerabile. Tutta la teoria spettrale puo' fare a meno della
separabilita'...
ciao, Valter


 separabilita'...
 
Questo di non mi e' chiaro. Infatti in questo caso non e'
garantito che posso trovare un sistema (numerabile) di autovettori
convergenti. Cioe' potrebbero esistere dei vettori non esprimibili
in termini di spettro. Allora come e' possibile fondare la teoria
spettrale senza questo assunto?
(a meno che completezza non implica separabilita' quindi la si
puo' ipotizzare indipendentemente...)
Fammi sapere per favore.


 
Infatti completezza NON implica separabilta'.
La numerabilita' delle basi hilbertiane associate ad operatori a 
spettro discreto non e' richiesta nella teoria spettrale...
Gli esempi, o meglio i controesempi, bisogna costruirli a tavolino
ma ti assicuro che e' cosi' (vedi per es. i due testi di Rudin
"Analisi reale e complessa" e "Fuctional Analysis")
Ciao, Valter


 Separabilita' => (non ricordo anche se nell'altro senso) completezza.
occhio che la completezza e' un'altra cosa. L'implicazione corretta e' 
quella che ha dato Valter:
separabilita' => esiste un sistema ortonormale completo.
Per *completezza* si intende quella topologica solita degli spazi 
topologici(ed e' fra gli assiomi che definiscono uno spazio di Hilbert), 
mentre per *insieme ortonormale completo* un'altra cosa. E' un po' lunga 
da raccontare, ma se tiri fuori i llibri di analisi ti verra' subito in 
mente dopo uno sguardo.
ciao
slacky

 stai facedo un po' di confusione, nei ricordi... :-)
OK, grazie a tutti e due (Valter e Slacky).
Ovviamente non avevi dubbi sul fatto che Valter
avesse ragione... ;-)


 topologici
Ciao, credo che bisogna che gli spazi siano metrici oltre che 
topologici per avere la nozione di completezza, ma forse tu
conosci una estensione ancora piu' generale di tale nozione...
(Si parla di completezza anche per spazi con famiglie numerabili di 
seminorme come quelli delle distribuzioni, ma in realta' tali spazi 
sono metrizzabili e la completezza e' relativa alla metrica).
Ciao, Valter


 
grazie per la precisazione. Mi sono espresso prorpio male: pensavo al 
nostro spazio di Hilbert e quindi alludevo a spazi topologici metrici.
Spero di non aver creato ulteriore confusione in Andrea.
ciao
slacky

 ciao
No, riesco a seguire abbastanza il discorso. Solo che adesso
stavo cercando di ricordare in cosa la completezza in senso
topologico alla quale accenni, differisce dall'esistenza
di un sistema (ortonormale) completo.
Vado a memoria: completezza (nel senso topologico che intendi)
immagino sia la garanzia che data una qualsiasi successione
convergente di elementi dello spazio, tale succ. converge ad
un elemento dello spazio. Tanto e' vero che mi sembra di ricordare che
alcuni spazi, che non godono di questa proprieta' possono essere
"completati".
In questo senso immagino valga per spazi dove e' definito
almeno il concetto di intorno (quindi gli spazi metrici
ce li prendo). Quelli topologici in generali non so, ma in
generale se ricordo bene la definizione, in uno spazio topologico
e' solo definito un sistema di insiemi aperti e chiusi,
quindi in spazi topologici in generale non mi aspetto che valga
(se ho capito bene il senso della tua risposta sopra era questo).
Il problema e' che non riesco a vedere in cosa differisca
cio' dal fatto che esiste una successione (ortonormale)
di elementi completa. (Valter ha detto giustamente che
completezza e separabilita' sono indipendenti: non ho
dubbi, ma il problema e' che adesso come adesso non riesco
a vederlo)
Cioe', puo' esistere uno spazio dove non vale la proprieta'
di completezza (come detta sopra) e allo stesso tempo esistere
un sistema di elementi di base? In effetti, perche' no?
Purtroppo non ho sottomano dei libri di analisi funzionale
Aspetta, giusto adesso mi sovviene una altra definizione di
completezza: quella in senso di Cauchy (che assicura la
convergenza di una successione di elementi se posso trovarne
almeno due vicini a piacere). Mi sa che e' questa la completezza
nell'usuale senso topologico che intendevi?
Ma quante sono in effetti le proprieta' di "completezza"?
C'e' questa nel senso di Cauchy, e c'e' quell'altra sull'esistenza
del limite all'interno dello spazio (magari queste due sono
equivalenti). Poi c'e' la questione di un sistema di vettori di
base "completo"...
Una e' legata alla separabilita', e l'altra no.
Magari qualche minuto fa non avevo le idee confuse, adesso si'.
(comunque niente che non si possa risolvere con qualche buon libro
e in ogni caso non preoccuparti troppo, sopravvivo lo stesso...).


 separabili. 
Ricordo un articolo di Streater del 1966, in cui si fa la "teoria
rigorosa del ferromagnete infinito".
Si comincia con uno spazio non separabile, per poi restringersi subito a
un sottospazio separabile (quello in cui solo un numero finito di spin
sono "flippati").
Lo conosci?
Dicendo "ricordo" ho barato... Se non avessi avuto a portata di mano gli
appunti di un corso che ho tenuto nel 66-67, sarei stato ancora piu'
vago :)
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

 rigorosa del ferromagnete infinito".
grazie della info, appena ho un po' di tempo vado a cercare l'articolo.
ciao
slacky

 
No non lo conosco, conosco altri lavori di Streater.
Ciao, Valter
