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Titolo: Set irriducibili di operatori

 Tutti gli spazi di Hilbert separabili di uguale dimensione (sullo stesso campo) sono isomorfi. 
 
 
 
In una pagina delle dispense del corso universitario di meccanica quantistica che ho seguito leggo che i "set irriducibili di operatori" sono quelli che non hanno sottospazi invarianti in comune e che "la assunzione di un certo set come irriducibile caratterizzi i gradi di libertà del sistema fisico in esame". Le dispense dicono anche che lo "vedremo più avanti" ma io non ho cercato ;-)
 
E comunque non avevo capito neppure quando avevo seguito il corso. Qual è il significato fisico di "assumere di un certo set come irriducibile"?
 
Trovo facile da enunciare un esempio ma non lo capisco:
 
p, q per una particella senza spin
p,q e abbastanza operatori per lo spin per una particella con spin

 p,q e abbastanza operatori per lo spin per una particella con spin
 
Non mi è chiara la terminologia delle tue dispense, ma il tema sembra essere 
quello della definizione di un sistema quantistico privo di analogo classico.
La procedura standard consiste nella scelta di un adeguato set di operatori,
associati ad opportune regole di commutazione. L'algebra che ne deriva potrà 
così individuare univocamente uno spazio vettoriale, irriducibile in relazione
al set di operatori.
 
Ad esempio l'ipotesi dello spin dell'elettrone (formulata nel 1925 per ragioni 
sperimentali) è stata inserita nella meccanica quantistica classica aggiungendo  
agli operatori vettoriali p e q un operatore vettoriale sigma di spin, avente
componenti conformi alle regole di commutazione di un momento angolare. 
Nella consueta rappresentazione con sigma_z diagonale le tre componenti dell'
operatore sigma sono descritte dalle matrici 2x2 di Pauli.
 
In meccanica quantistica relativistica l'equazione di Dirac nasce già con i suoi
operatori di stato interni (gamma_o, gamma_1, gamma_2, gamma_3), le cui regole di
commutazione vengono determinate richiedendo la compatibilità dell'equazione di 
Dirac con quella relativistica di Klein-Gordon. L'algebra che ne deriva porta alla
costruzione di uno spazio vettoriale degli stati interni dell'elettrone avente 
dimensione quattro, sicchè in MQR lo stato delle particelle di spin 1/2 è descritto
dai cosidetti spinori.
 
Insomma, anzichè di "set irriducibili di operatori" io parlerei di spazi vettoriali
irriducibili rispetto ad un dato set di operatori.
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 
 
Per me, capire come funziona questo sarebbe comunque un buon primo passo, potenzialmente i vari concetti si possono poi collegare.
 

 Va però "sezionato" (uso una parola che mi sono inventato: non so cosa vada fatto) in modi diversi.
 
Lo spazio degli stati per l'elettrone è il prodotto (tensoriale) dello spazio delle variabili
dinamiche (p,q) e dello spazio delle variabili interne (di spin), costruito algebricamente.
Mi pare che tu voglia inversamente "sezionare" ciò che con il prodotto si è "assemblato".


Pangloss ha scritto:
 > Lo spazio degli stati per l'elettrone è il prodotto
 > (tensoriale) dello spazio delle variabili dinamiche (p,q) e dello
 > spazio delle variabili interne (di spin), costruito algebricamente.
 >
 > Mi pare che tu voglia inversamente "sezionare" ciò che con il prodotto
 > si è "assemblato".
Intervengo con un certo ritardo, stavolta per una ragione specifica.
Per costruire una risposta utile ho dovuto ripassare cose che un
tempo (diciamo quasi 60 anni fa) cooscevo bene, e che si sono alquanto
perse nelle nebbie del tempo...
Il riferimento è a
http://www.sagredo.eu/lezioni/invar
 
in particolare invar08.pdf, invar13.pdf, invar17.pdf
 
Notate bene: lì si tratta di teorie di campo; qui il punto di vista è
meno ristretto, in quanto si pensa a una generica MQ, anche di
particella singola o di un numero finito di particelle, e anche non
relativistica.
Però alcuni tratti fondamentali sono comuni, a cominciare del punto di
partenza, costituito dall'algebra delle osservabili, e dalla ricerca
di "rappresentazioni" dell'algebra su uno spazio di Hilbert
separabile.
Invece l'invarianza relativistica si riduce di molto: ciò che si può
assumere in generale è solo l'invarianza per traslazioni temporali,
più eventualmente quelle per traslazioni spaziali e/o per rotazioni
nello spazio. Ma queste sono caratteristiche di sistemi particolari,
per quanto importanti.
 
È in questo contesto che si può dare significato ai concetti di cui
state discutendo. Anticipo che l'idea da cui siete partiti:
"la assunzione di un certo set come irriducibile caratterizzi i gradi
di libertà del sistema fisico in esame"
credo sia sbagliata, anche se molto diffusa.
Vedremo meglio in seguito.
 
Ho anche ripescato il fondamentale articolo di Haag-Kastler (1964),
anche quello per noi molto più complicato del necessario perché
riguarda un teoria di campo, quimdi relativistica.
A questo punto posso fare un tentativo azzardoso: scrivere
un'assiomatica appropriata per rappresentare l'ordinaria MQ non
relativistica, in una forma che dia senso alla problematica in
discussione. ("Problematica" l'ho scritto soprattutto perché fa rima
con "assiomatica" :-D )
 
Però mi ci vorrà un po' di tempo...
-- 
Elio Fabri

 discussione. 
 
Bene bene :-)

Ho scritto:
 > Però mi ci vorrà un po' di tempo...
Intanto ecco un bel pezzo.
 
1. Le osservabili di un dato sistema fisico costituiscono
un'algebra C* (che chiamerò A).
 
Nota: per definizione gli elementi di un'algebra C* hanno una norma,
quindi alla fine verrano rappresentati da operatori *limitati*, mentre
in MQ siamo abituati a operatori non limitati, anche per le grandezze
più banali.
Questa non è però una vera limitazione: parlando in termini di
operatori, ogni operatore X autoaggiunto non limitato può essere
sostituito dal corrisp. operatore unitario U = exp(iX).
Grazie al teorema di Stone il viceversa è vero se non si ha solo U, ma
un *gruppo*: U(t1+t2) = U(t1) U(t2) fortemente continuo su t.
Il teorema assicura infatti l'esistenza di X autoaggiunto tale che
U(t) = exp(iXt).
Anche per le relazioni di commutazione non c'è problema: consideriamo
per es. [Q,P] = iI.
Definisco U(a) = exp(iaP), V(b) = exp(ibQ).
Si dimostra che
U(a) V(b) = V(b) U(a) e^{iab}.
 
2. Gli stati del sistema sono i funzionali lineari positivi continui su
A a valori complessi. (Non dettaglio il significato di positivo e
continuo; ricordo solo che per un funzionale lineare "continuo" è
sinonimo di "limitato".)
 
Osservazione: l'insieme F dei funz. di cui all'assioma 2 è *convesso*:
se f, g sono elementi di F e p, q sono reali positivi con p+q=1, anche
pf+bg appartiene a F.
 
Definizione: un funzionale h si dice *puro* se non esistono f, g, p, q
tali che h = pf+bg (a parte le soluzioni banali p=1, q=0, f=h oppure
p=0, q=1, g=h).
 
A questo punto posso già enunciare il fondamentale
 
Teorema di ricostruzione (Gel'fand, Naimark, Segal, 1947-48):
(enunciato semplificato)
 
Scelto un qualsiasi funzionale f reale positivo continuo su A, esiste
uno spazio di Hilbert separabile in cui è definita una
rappresentazione r(A) di A.
Se f è puro, esiste in H un vettore |xi> tale che per ogni elemento B
di A: f(B) = <xi|r(B)|xi>.
Altrimenti esiste una operatore statistico (matrice densità) rho tale
che f(B) = Tr(rho r(B)).
Il vettore |xi> è *ciclico*, il che significa che l'insieme r(A)|xi> è
denso in H.
Se e solo se f è puro, la rappresentazione r(A) è *irriducibile*.
 
Nota: una rappr. r(A) si dice irriducibile se il commutante r'(A),
ossia l'insieme degli operatori di H che commutano con tutti gli
operatori di r(A), si riduce a un multiplo dell'operatore unità.
 
Commento: Intanto la definizione che ho data equivale a un'altra: r(A)
è irriducibile se non possiede sottospazi invarianti propri.
Poi si vede che l'irriducibilità è una proprietà della rappr. una
volta assegnata l'algebra A: una rappr. irriducibile per A può
diventare riducible per una sottoalgebra.
E' anche una proprietà dello spazio H: una rappr. riducibile in H
diventerà irr. in qualche sottospazio di H.
 
Quindi si dovebbe meglio parlare della riducibilità o meno come una
proprietà congiunta di tre entità:
- un'algebra (o altra struttura, per es. un gruppo)
- uno spazio vettoriale
- un'applicazione dell'algebra in quella degli operatori definiti
sullo spazio.
 
3. Su H è definita una rappr. unitaria e continua U(t) del gruppo
delle traslazioni temporali.
 
Osservazione: da 3, per il teorema di Stone, segue l'esistenza di un
operatore autoaggiunto E (non posso usare H che è già impegnata)
(energia, hamiltoniana).
 
Non aggiungo altri assiomi, che penso sarebbero necessari per
costruire una MQ ma non servono per chiarire la questione in oggetto.
 
In una puntata a seguire svilupperò l'asserzione fatta in precedenza,
che ripeto.
Credo che l'idea da cui siete partiti:
"la assunzione di un certo set come irriducibile caratterizza i gradi
di libertà del sistema fisico in esame"
sia sbagliata, anche se molto diffusa.
 
Sperando di riuscire a dare forma chiara al modo come la vedo...
-- 
Elio Fabri

Avevo scritto:
 > Sperando di riuscire a dare forma chiara al modo come la vedo...
Trovate in
http://www.sagredo.eu/varie/gradi-lib.pdf
 
una prima stesura.
(Ho dovuto ricorrere a TeX --> pdf perché troppi simboli non erano
riproducibili in solo testo, e html mi avrebbe fatto perdere troppo
tempo.)
 
Non sono affatto sicuro che sia priva di errori anche importanti,
quindi leggetela con le pinze e comunicatemi senza scrupoli se
qualcosa non va.
-- 
Elio Fabri

 qualcosa non va.
 
 
Scrivere esplicitamente la definizione di "gradi di libertà"?
 
Giorgio

 non possono quindi avere per dominio l'intero H definito come chiusura della base {|n>}
 
 
E' vero che operatore illimitato -> operatore non si può estendere a tutto H? Prendiamo un operatore K con set di autovettori uguale ad {|n>}. Se K |n> = sqrt(n) |n>, come trovo un vettore
\sum a_n |n>
tale che 
\sum a_n sqrt(n) |n>
non sia un vettore dello spazio di Hilbert?

 non sia un vettore dello spazio di Hilbert?
 
 
Rispondo a me stesso: |a_n|^2 deve essere tale che \sum |a_n|^2 converga e \sum (n * |a_n|^2) no. Questo è anche possibile per qualunque set di autovettori illimitato (non riesco a mettere a fuoco, ma basta che \sum |a_n|^2 converga "di pochissimo".
Per completare la dimostrazione, bisogna slegarsi dagli operatori dotati di autovettori. Mi pare l'enunciato, che non so ancora dimostrare, sia:
 
data una successione di vettori v_n tali che K v_n abbia norma illimitata, esiste una successione u_n tale che lim u_n tende ad un vettore di H e  l'insieme |K u_n|  abbia norma illimitata.

Giorgio Pastore ha scritto:

 > Scrivere esplicitamente la definizione di "gradi di libert"?
Eh, non hai mica torto :-)
A mia scusante, ho fatto finta di credere che sia una nozione comune.
Ma non è mica vero!
Quanto meno, non ricordo di aver mai letto una definizione suff.
inclusiva.
Intendo dire che per un sistema avente analogo classico non c'è
problema, ma poi?
 
Avendoci pensato un po', proporrei:
"Con 'numero di gradi di libertà' di un sistema quantistico s'intende
il numero di osservabili che formano un insieme commutante completo e
minimo."
"Commutante" è ovvio.
 
"Completo" ha un enunciato chiaro per operatori con spettro discreto:
vuol dire che la conoscenza di un set di autovalori simultanei di
quegli operatori determina lo stato.
Però non so dare una definizione altrettanto precisa nel caso di
spettro continuo.
Dovrebbe intanto esistere un teorema che assicuri che se n operatori
autoaggiunti commutano, esiste una risoluzione spettrale dell'identità
comune a tutti. Esiste?
Oppure l'approccio alla von Neumann non è quello che serve?
"Minimo" mi pare chiaro: l'insieme di operatori è minimo se
togliendone uno qualsiasi cessa di essere completo.
-- 
Elio Fabri

 minimo."
 
Coincide quindi col concetto di insieme massimale di osservabili 
compatibili come definito 
p.es
. in
http://www.science.unitn.it/~dalfovo/lezioni/mq/mq-dalfovo.pdf
  ?
 
Giorgio

Giorgio Pastore ha scritto:
 > Coincide quindi col concetto di insieme massimale di osservabili
 > compatibili come definito 
p.es
. in
 > 
http://www.science.unitn.it/~dalfovo/lezioni/mq/mq-dalfovo.pdf
 ?
Non direi, per più ragioni.
(Per inciso: lo fate apposta a segnalarmi appunti e libri di MQ, per
vedere le mie critiche?)
 
1. Dal Fovo (lo dice apertamente) scansa tutte le difficoltà poste da
operatori non limitati, spettro continuo... Il mio problema riguarda
invece solo lo spettro continuo,
 
2. La definizione di Del Fovo procede per crescita (ecco perché
massimale): si aggiungono operatori finché non si rimuove la
degenerazione. Dunque massimale non perché non si possa andare oltre,
ma perché non ce n'è bisogno.
 
3. Io invece procedo per sottrazione: il n. di operatori commutabili e
formanti un insieme completo è infinito. Esempio banale nell'osc.
armonico: N, 2N, N^2 ... tutte le funzioni di N. Ma le funzioni di N
sono inutili: se le tolgo, l'insieme (formato dal solo N) è già
completo.
 
4. Non è evidente che i due procedimenti forniscano lo stesso
risultato. E non è neppure necessario. L'es. dei due osc. armonici lo
dimostra: la coppia (N1,N2) è un insieme commutabile completo, ma lo è
anche il solo N definito alla fine. Altra soluzione più semplice: sia
a un irrazionale compreso tra 1/2 e 1. Definisco M = N1 + a N2.
M ha autovalori non degeneri e dipende linearmente da N1, N2.
Ha un difetto: i suoi autovalori non sono separati, nel senso che
scelto eps esistono infinite coppie di autovalori di M che differscono
meno di eps.
(Perché ho preso a tra 1/2 e 1? Perché questo assicura che tra due
autovalori interi ce ne siano al più due non interi.)
 
Insomma la situazione è tutt'altro che chiara...
Comunque è chiaro che per un dato sistema fisico non c'è un unico
insieme completo di osservabili commutabili, e comunque la cardinalità
di questo insieme non coincide necessariamente col numero dei gradi di
libertà.
 
(Ora mi chiederai di definire "sistema fisico"? :-) )
-- 
Elio Fabri