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Titolo: Fattorizzazione di sistemi fermionici

Se si postula che esistano oggetti con spin semintero ( es: 2 elettroni )
non distinguibili, allora lo stato del sistema deve essere descritto da una
funzione d'onda antisimmetrica ( la dimostrazione mi č chiara ).
F(1,2)= - F(2,1)
Ciň dovrebbe implicare che il sistema ( sempre di due elettroni )  __non__
possa essere descritto da:
F(1,2)= A(1)B(2)
cioč __non__  possa esistere in uno stato fattorizzato.
Occorre, necessariamente, ricorrere ad una funzione d'onda antisimmetrica
del tipo:
F(1,2)= k (A(1)B(2) - A(2)B(1))
che corrisponde ad uno stato entangled.
Sembrerebbe quindi, se non sto sbagliando la conclusione, che un pacchetto
di due oggetti identici e di spin semintero, non possa essere ridotto. (
invece il problema non sussiste per i bosoni ).
Questa conclusione mi pare alquanto bizzarra.
Chi mi da un aiutino, su questo problema tecnico?
Ciao
Eleonora

Eleonora Norese wrote:
EN> Se si postula che esistano oggetti con spin semintero ( es: 2 
elettroni )
EN> non distinguibili, allora lo stato del sistema deve essere descritto 
da una
EN> funzione d'onda antisimmetrica ( la dimostrazione mi č chiara ).
EN>
EN> F(1,2)= - F(2,1)
EN>
Ciao,
quale dimostrazione? Non c'e' alcuna dimostrazione di questo fatto,
nella teoria quantistica NON relativistica! Oppure tu stai parlando
del teorema spin-statistica? Ma quello e' in teoria dei campi 
quantistica relativistica, tu non stavi imparando i primi rudimenti di
MQ?
EN> Ciň dovrebbe implicare che il sistema ( sempre di due elettroni ) 
__non__
EN> possa essere descritto da:
EN> F(1,2)= A(1)B(2)
EN> cioč __non__  possa esistere in uno stato fattorizzato.
EN>
EN> Occorre, necessariamente, ricorrere ad una funzione d'onda 
antisimmetrica
EN> del tipo:
EN> F(1,2)= k (A(1)B(2) - A(2)B(1))
EN> che corrisponde ad uno stato entangled.
EN> Sembrerebbe quindi, se non sto sbagliando la conclusione, che un 
pacchetto
EN> di due oggetti identici e di spin semintero, non possa essere ridotto. (
EN> invece il problema non sussiste per i bosoni ).
EN> Questa conclusione mi pare alquanto bizzarra.
tieni conto che c'e' anche lo spin, per cui puoi avere uno stato
del tipo (per es.)
[1/sqrt(2)] (|+>|-> - |->|+>)f(x1)f(x2)
dove ho fattorizzato la parte di spin e quella "orbitale" cioe'
nelle coordinate spaziali. In ognuno dei prodotti scritti sopra
il primo stato (es |+> in |+>|->) e' riferito alla prima particella
di coordinate spaziali x1 mentre il secondo alla seconda di coordinate
x2.  Dal punto di vista spaziale lo stato e' simmetrico, esattamente
come si avrebbe se le particelle fossero bosoni (con spin 0). La 
"fermionicita' si vede in questo stato solo analizzando lo spin.
Ciao, Valter


Se consideri due elettroni in uno stato di singoletto, la parte 
antisimmetrica e' nella funzione di spin, e quindi hai
f(1)f(2)*(alpha(1)beta(2)-alpha(2)beta(1))
In uno stato di tripletto invece, puoi avere
fa(1)fb(2)-fa(2)fb(1)(alpha(1)alpha(2))   (o le altre due componenti)
Non mi e' chiaro dal tuo messaggio se A e B descrivono solamente la 
parte spaziale della funzione d'onda o anche la parte di spin.
ciao S.

 Eleonora
Ciao, Gianmarco.
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.libero.it

Eleonora Norese wrote:



 ha scritto nel messaggio
news:3EE483AF...@hotmail.com...
|
|
| Eleonora Norese wrote:
| EN> Se si postula che esistano oggetti con spin semintero ( es: 2
| elettroni )
| EN> non distinguibili, allora lo stato del sistema deve essere descritto
| da una
| EN> funzione d'onda antisimmetrica ( la dimostrazione mi è chiara ).
| EN>
| EN> F(1,2)= - F(2,1)
| EN>
|
| Ciao,
| quale dimostrazione? Non c'e' alcuna dimostrazione di questo fatto,
| nella teoria quantistica NON relativistica! Oppure tu stai parlando
| del teorema spin-statistica? Ma quello e' in teoria dei campi
| quantistica relativistica, tu non stavi imparando i primi rudimenti di
| MQ?
Ciao Valter.
Pur restando nei rudimenti: il fatto che due oggetti siano identici, implica
che il quadrato della funzione d'onda debba comportarsi come invariante
rispetto allo scambio. Ciò è vero per funzioni simmetrice ed
antisimmetriche.
Il principio di esclusione di Pauli implica che due elettroni non possano
essere negli stessi stati, dunque la funzione d'onda deve essere
antisimmetrica. ( perchè bisogna scanbiare anche lo spin )
Solo questo intendevo quando ho detto che avevo chiara la dimostrazione.
Il fatto, poi, che oggetti con spin semintero seguano la statistica di Fermi
( e quelli con spin intero di Bose ) è dato, nel Feynman 3, come dato
empirico.
Mi fa piacere che esista una teoria che "lo spieghi", ( in cui questa
relazione spin-statistica è un teorema ) ma non la conosco.
| tieni conto che c'e' anche lo spin, per cui puoi avere uno stato
| del tipo (per es.)
|
| [1/sqrt(2)] (|+>|-> - |->|+>)f(x1)f(x2)
|
| dove ho fattorizzato la parte di spin e quella "orbitale" cioe'
| nelle coordinate spaziali. In ognuno dei prodotti scritti sopra
| il primo stato (es |+> in |+>|->) e' riferito alla prima particella
| di coordinate spaziali x1 mentre il secondo alla seconda di coordinate
| x2.  Dal punto di vista spaziale lo stato e' simmetrico, esattamente
| come si avrebbe se le particelle fossero bosoni (con spin 0). La
| "fermionicita' si vede in questo stato solo analizzando lo spin.
| Ciao, Valter
Grazie!
Eleonora

Eleonora Norese wrote:
1> Pur restando nei rudimenti: il fatto che due oggetti siano identici, 
implica
2> che il quadrato della funzione d'onda debba comportarsi come invariante
3> rispetto allo scambio. Ciň č vero per funzioni simmetrice ed
4> antisimmetriche.
5> Il principio di esclusione di Pauli implica che due elettroni non possano
6> essere negli stessi stati, dunque la funzione d'onda deve essere
7> antisimmetrica. ( perchč bisogna scanbiare anche lo spin )
8> Solo questo intendevo quando ho detto che avevo chiara la dimostrazione.
  Ciao, la cosa non e' cosi' ovvia come dici (lo e' perche' lavori
con 2 particelle sole!). Ora devo fare lezione, tra due ore ti rispondo 
meglio.
Ciao, Valter

 antisimmetrica. 
  Ciao, volevo osservare che pero' non esistono solo due elettroni
  nell'universo e uno deve tenere quindi conto del fatto di dover
  lavorare con sistemi a piu' particelle. In tal caso, il fatto che
  permutando gli stati le probabilita' di trasizione non devono cambiare
  non implica automaticamente che lo stato complessivo debba essere
  simmetrico o antisimmetrico. A priori potrebbero esserci simmetrie piu'
  complesse ("parastatistiche"). Il discorso e' un po' tecnico e non
  saprei se e' il caso di fartelo ora. Fammi sapere.
  Ciaoi, Valter

 di due oggetti identici e di spin semintero, non possa essere ridotto. 
Ora io prendero' la questione un po' alla larga, ripetendo anche in
parte cose gia' dette. Il discorso non sara' elementare, perche' certe
cose *non si possono discutere bene con strumenti elementari*.
Se Eleonora capisce, bene; altrimenti potra' sempre chiedere chiarimenti
o aspettare un po' per capire bene...
Per una particella di spin 1/2, la trattazione alla Pauli (ossia non
relativistica, non alla Dirac) si fa usando come spazio di Hilbert H
degli stati un prodotto tensoriale di due spazi: il primo e' quello
delle ordinarie funzioni d'onda, ossia L^2(R^3) (uno spazio complesso a
dimensione infinita: lo chiamero' Hf). Questo descrive i gradi di
liberta' di traslazione; le osservabili associate sono posizione,
impulso, momento angolare orbitale, ecc.
Il secondo e' uno spazio di dimensione due, sempre sul campo complesso:
lo chiamero' Hs. Questo descrive il "grado di liberta' di spin", e le
osservabili sono le componenti sx, sy, sz dello spin e loro combinazioni
lineari (niente altro, perche' per spin 1/2 gia' i prodotti non sono
linearmente indipendenti dalle sx, sy, sz).
In Hf possiamo assumere una base ortonormale a piacere; per il seguito
mi fara' comodo prendere come due elementi di questa base due
"pacchetti", che indichero' con |A>, |B>, che descrivono una particella
localizzata in due piccole regioni di spazio *ben distinte tra loro*. Se
le due regioni hanno intersezione vuota, i due vettori |A> e |B> sono
ortogonali.
Naturalmente per avere una base in Hf oltre ad |A> e |B> occorrerebbero
infiniti altri vettori, ma non ne faro' uso.
In Hs prendero', come usa di solito, una base formata da due autovettori
di sz: indichero' con |+> e |-> i due autovettori per gli autovalori
+1/2 e -1/2 (unici a meno di un fattore di fase).
Nel prodotto tensoriale H = Hf*Hs (uso * come simbolo di prodotto
tensoriale) posso prendere come base |A>*|+>, |A>*|->, |B>*|+>, |B>*|->,
...
Abbreviero' la notazione cosi': |A+>, |A->, |B+>, |A->, ...
Dunque |A+> indica un elettrone che si trova nella regione spaziale A
con spin "in su", ecc.
In H = Hf*Hs le osservabili sono tutte quelle di Hf e Hs (a rigore,
quelle di Hf moltiplicate in senso tensoriale per l'identita' di Hs e
viceversa) piu' innumerevoli combinazioni piu' complicate, come ad es
y*sz, altri prodotti analoghi, e loro combinazioni lineari (ovviamente
non mi pongo, per semplicita' e perche' e' irrilevante per i miei scopi,
il problema di verificare se e quando si tratti veramente di
osservabili, ossia di operatori autoaggiunti).
Osservo che le osservabili di Hf commutano con quelle di Hs.
Passiamo ora a un sistema di due elettroni, dimenticando in un primo
tempo che sono indistinguibili e sono fermioni.
Allora per ciascuno dei due elettroni ho uno spazio di Hilbert: H1 =
Hf1*Hs1 e H2 = Hf2*Hs2, con relative osservabili. Come vettori base
avro'
|1,A+>, |1,A->, |1,B+>, |1,A->, ... e |2,A+>, |2,A->, |2,B+>, |2,A->,
...
(credo che la notazione sia self-explanatory).
Per il sistema dovro' considerare lo spazio H = H1*H2, nel quale un
vettore base tipico sarebbe |1,A+>*|2,A+>, che abbrevio {A+,A+>.
Il significato e' chiaro: qui ho due elettroni che si trovano entrambi
nella regione A e con spin in su (stato proibitissimo, come si vedra'
tra poco, ma non anticipiamo).
Invece |A-,B+> vuol dire che il primo elettrone sta nella regione A con
spin in giu', e il secondo nella regione B con spin in su.
La notazione non e' ambigua: la prima coppia di indici si riferisce
all'elettrone 1, la seconda all'elettrone 2.
Naturalmente posso usare qualsiasi combinazione lineare di questi
vettori. Per es. se volessi descrivere uno stato in cui l'elettrone 1
sta in A e l'elettrone 2 sta in B, mentre lo spin totale e' 0, scriverei
|A+,B->-|A-,B+>.
Nota: qui e in seguito trascuro fattori di normalizzazione.
Faccio notare che e' solo una scelta di notazione scrivere invece questo
stato cosi': |A>|B>(|+>|->-|->|+>). La differenza sta solo nell'ordine
in cui convengo di scrivere i diversi fattori del prodotto tensoriale.
Certe volte conviene uno, certe volte un altro...
Le osservabili in H = H1*H2 sono tutte quelle dei due elettroni
separatamente, ma anche tutti i possibili prodotti, somme, ecc. Per
esempio, giusto per indicare una cosa sensata, la componente z del
momento angolare totale:
x1 py1 - y1 px1 + x2 py2 - y2 px2 + sz1 + sz2.
Nota: tutte le osservabili di H1 commutano con quelle di H2.
E ora facciamo intervenire l'ipotesi che le particelle siano identiche.
La prima importante conseguenza e' che non tutte le osservabili sono
piu' ammesse: lo sono soltanto quelle *simmetriche* nello scambio delle
due particelle.
Esempio: non puo' esistere l'osservabile x1, perche' non si puo'
misurare la posizione _della particella 1_. Si puo' solo misurare la
posizione _di una particella_, ma senza sapere quale. Si puo' misurare
x1+x2, x1*x2, |x1-x2|.
Osserviamo ora che in H si possono distinguere particolari vettori:
quelli simmetrici nello scambio, e quelli antisimmetrici. I primi
formano un sottospazio H+, i secondi un sottospazio H-, e si ha H = H+ +
H-; anzi H+ e H- sono _ortogonali_.
E' facile mostrare che un'osservabile simmetrica non ha elementi di
matrice fra H+ e H-, e questo assicura che uno stato di H+ non puo' mai
uscire da H+, ne' per evoluzione temporale (anche l'hamiltoniana e'
un'oss. simmetrica) ne' a causa di un'operazione di misura. Lo stesso
vale per H-.
Possiamo dunque aspettarci che esistano due tipi di particelle: quelle
che formano solo stati in H+ e quelle che formano solo stati in H-.
Questi sono i bosoni e i fermioni.
(In realta', pensando a piu' di due particelle il discorso si complica,
ma lasciamo stare...)
Abbiamo quindi una prima risposta: se si parte da uno stato di H-
(fermioni, ma lo stesso vale per i bosoni) si ottera' sempre e comunque,
anche con una misura, ancora uno stato di H-. 
Ma vediamo meglio, considerando un esperimento alla EPR, in cui lo stato
iniziale (prima della misura) e' descritto a parole cosi': un elettrone
e' in A e l'altro e' in B; lo spin totale e' zero. 
Quale sara' il vettore di stato? Non |A+,B->-|A-,B+>, che non e'
antisimmetrico nello scambio delle due particelle, ma invece
|A+,B-> - |A-,B+> - |B-,A+> + |B+,A-> ovvero (|AB>+|BA>)*(|+->-|-+>),
usando l'altra notazione.
Ora eseguiamo una misura di spin di una particella: piu' esattamente,
misuriamo sz per la particella che si trova in A. Due risultati sono
possibili: o la particella in A ha lo spin in su (e allora quella in B
ha lo spin in giu') o viceversa.
Nel primo caso, lo stato finale e' |A+,B-> - |B-,A+>; nel secondo, e'
|B+,A-> - |A-,B+>. 
I vettori sono in entrambi i casi antisimmetrici: sono anche
"entangled"? Questo si puo' discutere.
Infatti nel primo caso abbiamo, a parole: "una particella si trova in A
con spin in su, e l'altra in B con spin in giu'"; analogo nel secondo
caso. Il solo motivo di "entanglement" e' che in ogni caso non posso
dire _quale_ particella si trova in A, e quale in B.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

 relazione spin-statistica č un teorema ) ma non la conosco.
 Grazie!
 Eleonora


 ha scritto nel messaggio
news:3EE5E5BB...@hotmail.com...
|
|   Ciao, volevo osservare che pero' non esistono solo due elettroni
|   nell'universo e uno deve tenere quindi conto del fatto di dover
|   lavorare con sistemi a piu' particelle. In tal caso, il fatto che
|   permutando gli stati le probabilita' di transizione non devono cambiare
|   non implica automaticamente che lo stato complessivo debba essere
|   simmetrico o antisimmetrico. A priori potrebbero esserci simmetrie piu'
|   complesse ("parastatistiche"). Il discorso e' un po' tecnico e non
|   saprei se e' il caso di fartelo ora. Fammi sapere.
|   Ciao, Valter
Non so.
Per un sistema a n elettroni deve valere comunque che la (funzione d'onda
complessiva) ^2
rimanga invariante rispetto a __tutte__ le permutazioni degli n indici.
Occorre caratterizzare la classe delle funzioni che godono di questa
proprietà.
Poi toglierei quelle banali e quelle incompatibili con il principio di
Pauli ( è da escludere la forma fattorizzata ).
A parte quella corrispondente ad uno stato entlangled completo ( che mi
sembra evidente essere in questa classe ) rimane da vedere cosa rimane di
fisicamente interessante.
Qui serve un matematico!
Per altro se ciò portasse a qualcosa di fisicamente interessante, mi
crollerebbe quella mia sensazione che mi suggerisce che i concetti della MQ
siano completamente racchiusi in sistemi di non più di due oggetti.
E' probabilmente prematura, caro Valter, una tua spiegazione ( se rivolta a
me soltanto ).
Ti ringrazio sul serio della tua gentilezza.
Eleonora


No. Ci sono dei casi con n>2 in cui e' possibile fattorizzare la parte 
spaziale e la parte di spin. Ad esempio con 3 elettroni in uno stato di 
quartetto (fai conto, un certo stato eccitato dell'atomo di Litio). La 
parte di spin si fattorizza, ed e' alpha alpha alpha (ad esempio)
Se invece parti di fattorizzazione della parte spaziale in n fattori, 
anche qui vi sono dei casi fisicamente interessanti e non banali (non 
con gli elettroni)
ciao Dario

Il 10 Giu 2003, 15:48, 
giana...@inwind.it
 (Gianmarco Bramanti) ha
scritto:

Chiedo scusa. E' evidente che la costruzione che
ho proposto e' contradditoria. Infatti se indico con
p(i,j) lo scambio degli indici fra parentesi
risulta che p(i,l)=p(j,l)p(i,j)p(j,l). Allora la fase
corrispondente alla simmetria p(i,l) e' uguale alla
fase corrispondente alla simmetria p(i,j). Ma poiche'
p(j,l)=p(i,l) p(i,j) p(i,l), ne segue che la fase
di p(j,l) e la fase di p(i,j) non possono essere poste
arbitrariamente, ma devono essere identiche.
Esiste poi un teorema che torna utile in questo caso.
Questo teorema garantisce che ogni permutazione puo'
essere scomposta, in modo unico, in cicli. La dimostrazione,
noiosa da scrivere, non e' difficile da intuire.
Data una permutazione possiamo considerare un qualunque
elemento e seguirne l'immagine finche' non torna l'elemento
di partenza e cosi' per tutti i cicli distinti (che
non possono intersecarsi). Esempio:
(1234) -> (3241)
allora 1->3->4->1 e 2->2 e' una descrizione equivalente.
Ogni ciclo puo' poi esser visto come prodotto di scambi
elementari fra coppie di elementi. Il passo immediatamente
successivo sta nell'osservare che permutando i nomi
i periodi dei cicli non cambiano. Allora permutazioni
equivalenti devo avere la stessa fase.
Nel caso di tre elementi abbiamo due tipi di permutazioni
equivalenti:
Gli scambi semplici,
le ciclazioni di periodo 3.
Passo ulteriore: ogni rotazione di periodo n
puo' essere costruita componendo n-1 scambi semplici.
esempio:
123 -> 231
si ottiene applicando
p(12)
e
p(13).
Conseguenza di cio' e' che se vogliamo che la fase
ritorni quella iniziale quando applichiamo due volte
una qualsivoglia operazione di scambio semplice allora
la fase associata ad uno scambio semplice puo' essere
pari o dispari. Nel primo caso abbiamo la statistica di
Bose-Einstein, nel secondo la statistica di Fermi.
Infatti uno stato del primo tipo e' compatibile
con una somma di fattori di stato identici. Ad esempio:
A(1)A(2)+A(2)A(1). La seconda no. Il che conduce alla
statistica di Pauli.
Quindi le parastatistiche devono essere oggetti piu' complessi.
Ad esempio se la funzione d'onda cambiasse segno ogni volta
che trova un ciclo di ordine tre. Allora evidentemente
sarebbe f(y,y,y)=0. Ora mi sembra che ci voglia un matematico
per costruire una funzione con questo tipo di simmetria.
Perche' io non ci riesco.


 con gli elettroni)
Attenzione, perche' Eleonora, per fattorizzazione intende quella
rispetto al complesso delle coordinate (continue o discrete) di
stato della particella.
f(1)g(2)h(3) dovrebbe essere f(1)g(3)h(2)=-f(1)g(2)h(3) per ogni valore
delle coordinate. dunque g(2)h(3)=-g(3)h(2). In particolare
g(2)h(2)=-g(2)h(2)
Quindi g o h si annulla. Se e' g(2)<>0 ed h(2)=0 allora g(2)h(3)=0 Dunque h
si annullerebbe ovunque. Se annullarsi in 2 e' h allora g si annullerebbe
ovunque.


 Eleonora
Ciao, OK, infatti lo pensavo. IN ogni caso
nel 2002 avevo postato un po' di materiale
sulla faccenda (come si maneggiano in generale,
dal punto di vista matematico i sistemi di particelle
identiche non relativistiche con piu' di due particelle
e come saltano fuori le parastatistiche)
ecco gli estremi dei due post su google
Da:Valter Moretti (
vmor...@hotmail.com
)
Soggetto:Re: Neutrone
View: Complete Thread (47 articoli)
Original Format
Newsgroups:it.scienza.fisica
Data:2002-12-01
Da:Valter Moretti (
vmor...@hotmail.com
)
Soggetto:Re: Neutrone
View: Complete Thread (47 articoli)
Original Format
Newsgroups:it.scienza.fisica
Data:2002-12-02
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html


Vero, ma la funzione di partenza che prendi (f(1)g(2)h(3)) se f,g e h 
sono generiche (diverse tra loro quindi) non va bene perche' non ha la 
simmetria corretta.
Per lo stato di quartetto dell'atomo di Litio che citavo, puoi dire 
*rigorosamente* che la funzione d'onda esatta la puoi esprimere come
F(1,2,3)alpha(1)alpha(2)alpha(3), dove F(1,2,3) e' una funzione spaziale 
dei tre elettroni (9 coordinate quindi)
F e' totalmente antisimmetrica, e non e' separabile. Ne puoi costruire 
delle approssimazioni se vuoi, utilizzando esplicitamente gli operatori 
di permutazione.
Se invece vuoi utilizzare gli orbitali, fai l'approssimazione del campo 
medio (ad esempio) e dici che la F(1,2,3) e' scritta
*non* come prodotto f(1)g(2)h(3), ma come prodotto *antisimmetrizzato* . 
Un determinante quindi. Det[f(1)g(2)h(3)]
E se poni due coordinate uguali, come fai sopra (2 ->1 ad esempio) 
automaticamente il determinante e' nullo.
ciao S.

 
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html


 Eleonora
Controesempio elementare:
g(x,y)=h(x,y)+exp(if(x,y))h(y,x).
dove f(x,y)=-f(y,x)
per scambio si ha la funzione:
g(y,x)=h(y,x)+exp(if(y,x))h(x,y)=exp(if(y,x))(exp(if(x,y)h(y,x)+h(x,y))=
exp(if(y,x))g(x,y).
Quindi ogni punto può cambiare fase in accordo con la fase introdotta,
ed ovviamente il modulo quadro rimane invariato. Tenendo conto della
definizione di probabilità di transizione da uno stato di funzione d'onda
g ad uno stato di funzione d'onda g^ in termini di modulo quadro
dell'integrale di g* g^ si trova che se anche la funzione g è normalizzata
ad uno ed ha probabilità di localizzazione costante, tuttavia non è lo
stesso
stato. E la probabilità di riduzione di g(x,y) a g(y,x) è data dal modulo
quadro dell'integrale di exp(if(y,x))|g(x,y)|^2.


 che cio' significa).
Io credo che il punto di vista delle osservabili  sia il
modo piu' generale di affrontare il problema della simmetria
degli stati quantistici. Il concetto di funzione
d'onda, in rappresentazione posizione, e' utile
solo a basse energie (sistemi non relativistici).
Nei sistemi relativistici il concetto di funzione d'onda
*in rappresentazione posizione* diventa complicatissimo (a volte 
impossibile) e non locale e non vale piu' la pena mettersi
in tale ottica. Si potrebbe lavorare in rappresentazione impulso,
ma dal punto di vista intuitivo non ne vale la pena.
Il punto di vista delle osservabili e' molto  generale
perche' non richiede alcuna scelta di rappresentazione
particolare (anche se non ci fosse lo "spazio" si potrebbe fare)
ed e' molto facile definire cosa sia un sistema
di N particelle identiche in tale ottica: un sistema di N particelle
per cui le osservabili ammissibili del sistema hanno senso
solo se sono invarianti sotto l'azione del gruppo delle permutazioni
di N oggetti. In altre parole, scambiando il ruolo delle particelle
in uno stato, i valori (risultati delle misure, valori meddi ecc...) 
delle  osservabili ammissibilo i sullo stato modificato devono
rimanere gli stessi.
A questo punto si vede, dagli assiomi stessi della MQ, che se uno
stato ha una certa simmetria sotto l'azione del gruppo al tempo 0, 
qualunque cosa succede dopo tale tempo
(evoluzione di Schroedinger con qualunque osservabile ammissibile come
hamiltoniano, processo di misura secondo osservabili ammissibili)
la simmetria dello stato permane per sempre. Pero', se N>2, ci sono
piu' possibilita' per tale simmetria (oltre a simmetria propriamente 
detta e anti simmetria). La dimostrazione che in realta' ci sono solo
due simmetrie possibili anche se N>2 e' il teroema spin statistica
che assume altre ipotesi oltre agli assiomi elementari della
MQ (rozzamente parlando assume la relativita'speciale).


 ciao S.
