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Titolo: Help trave

Per ragioni che è inutile spiegare, da un po' mi sto arrovellando
attorno a un problema, e mi manca qualcosa per arrivare in fondo.
Il problema è questo.
 
Abbiamo una trave a sezione rettangolare, incstrata orizzontalmente in
un muro.
Fissate le dim. trasversali, qual'è la max lunghezza della trave prima
che si spezzi sotto il suo peso?
 
Sono noti i dati necessari: densità del materiale, caratteristiche
elastiche (isotropia, modulo di Young e rapporto di Poisson), carico
di rottura a trazione e a compressione (spero bastino)-
Suppongo inoltre che si possa restare nel campo delle piccole
deformazioni, quindi equazioni lineari ecc.
 
Le eq. del caso, sulle componenti del tensore degli sforzi, le
conosco. Dal Landau ho anche appreso che queste si possono esprimere
mdiante tre funzioni biarmoniche.
Un problema a parte è venuto dalle condizioni al contorno; non sulle
sup. libere, ma nella sezione d'incastro.
L'ho superato assumendo che lì la condizione sia di anullare le
componenti del tensore di deformazione nel piano della sezione.
 
A questo punto ho tutte le eq. e cond. al contorno, e il problema è che
non so come risolverle...
Spero (anzi sono quasi sicuro) che nel NG ci sia qualcuno che ha
studiato scienza delle costruzioni o roba simile, e quindi sa come si
trattano problemi del genere.
Non vorrei però soluzioni numeriche, tipo elementi finiti.
Esistono sol. anlitiche, tipo sviluppo in opportune serie di funzioni?
 
Chiarisco che se non trovo il modo di risolvere il problema potrò
tranquillamente abbandonarlo: non è per niente vitale :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 deformazioni, quindi equazioni lineari ecc.
 
Bah, se
 
1) rimaniamo nel campo della teoria dell'elasticità
2) il materiale della trave è omogeneo
 
si ha che la flessione la fa da padrone.
Verificando la classica disuguaglianza:
 
M/W < sigma ammissibile    dove:
 
M = momento dato dal peso proprio
W = modulo di resistenza a flessione della trave
sigma ammissibile = resistenza del materiale oltre il quale si entra in campo plastico
 
M = ql^2/2  (l=luce sbalzo, q carico al metro sulla trave)
W = b(h^2)/6 (sezione rettangolare)
 
si ottiene un risultato NON a rottura ma in campo elastico.
Di solito tra la rottura e la fine del campo elastico, per i normali materiali da costruzione, c'è ovviamente un coefficiente maggiorativo

On 11/12/2015 21:50, Elio Fabri wrote:
 
Non capisco se e` un problema da fisico o da ingegnere, cioe` se vuoi 
sapere come si fa a scienza delle costruzioni oppure se lo vuoi 
impostare con il metodo che hai descritto.
 
Se hai problemi con le condizioni al contorno sull'incastro, hai provato 
a considerare una trave di lughezza doppia appoggiata in mezzo?
 
Viene fuori comunque una singolarita`, forse pero` se cerchi una 
soluzione simmetrica e` piu` semplice.
 
 
Franco
 
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 che si spezzi sotto il suo peso?
 
provi a consultare il Cestelli Guidi
sull'argomento.
Dovrebbe essere esauriente.
 
saluti
Massimo 


 
La trattazione del problema della trave elastica viene affrontato nel 
corso di Scienza delle Costruzioni, ad ingegneria.
 
Si derivano tutte le espressioni relative a linea elastica, tensioni nel 
materiale, reazioni vincolari, imbozzamenti (per sezioni snelle), ecc.
 
Penso di essere in grado di aiutarti, però vorrei risponderti dopo aver 
consultato i testi (che ora non ho sotto mano) perché non credo ti 
accontenteresti di qualche fomula buttata là...
 
Sarebbe anche utile avere qualche informazione in più sulla tua indagine 
perché stai partendo dalle origini (tensore di sforzi e deformazioni) 
mentre non hai nemmeno nominato Navier...
 
 
Gianluca
 
--- news://
freenews.netfront.net/
 - complaints: 
ne...@netfront.net
 ---

p.s.
 
questo software gratuito completo di
manualistica sviluppato
dagli studenti di ingegneria
dovrebbe essere completo
sull'argomento
 
http://www.ingegneriaedintorni.com/2014/01/califfo-10-carico-limite-delle.html
 
 
saluti
Massimo 

 
 
 
...e mi manca qualcosa per arrivare in fondo... Č sul concetto del qualcosa o del fondo che non concordiamo? Diciamo che non si risolve a meno di situazioni particolarissime (in rete. 
https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.dicar.units.it/mdp/Zaccaria/Triennali%2520(esaurimento)/Dispense/SdC_Parte_4_FR.pdf&ved
 BsQFjAAahUKEwjGofDF5pLJAhXDChoKHc_9AkI&usgŻQjCNGXhO1HnPglos5h65wczjg2mQ3-Hg&sig2=7JExBLw-VXaJF8rT-_VYqA )

 Dovrebbe essere esauriente.
 
 
Qualunque manuale dell'ingegnere o forse anche del perito
contiene le travi.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  


 
Provo a darti una risposta che segue la traccia dello studio che se ne 
fa in S.d.C.
 
Sembra dalle tue ipotesi sembra che tu intenda riferirti a materiale 
isotropo, ad esempio di un qualche metallo.
 
La trave in Oggetto è caricata con il solo peso proprio; è un carico 
uniformemente distribuito: lo chiamo p (kN/m)
Le dimensioni sono b*h
 
Se L è la lunghezza della trave, il momento di incastro vale M=(pL^2)/2 
e il taglio V=pL
 
La tensione normale in una generica sezione si valuta con: σ=(My)/(EJ)
Dove: M=momento flettente; y=altezza della fibra in cui si cerca σ 
(praticamente h/2); E=modulo di elasticità del materiale; J=modulo 
d'inerzia della sezione pari a b*h^3/12
 
La tensione tangenziale in una generica sezione si ottiene dalla famosa 
espressione τ=(VS)/(Jb); per sezione rettangolare questa si semplifica 
in τ=3/2*V/(bh)
 
Si possono quindi ricavare facilmente σ e τ nella sezione d'incastro, 
più sollecitata.
 
Veniamo alla questione più delicata: all'aumentare della lunghezza L, 
quando si romperà la trave?
Per rispondere a questa domanda dobbiamo conoscere il valore di σ e τ 
massimi del materiale, ma non basta.
Ci sono diverse teorie che affrontano il problema in modi diversi: 
alcune pongono limitazioni ai valori delle tensioni, altre pongono 
limitazioni alle deformazioni (tensioni e deformazioni sono ovviamente 
legati, ma non in modo diretto --> εx dipende sia da σx che da σy e σz).
 
Tutte arrivano a definire una tensione ideale monoassiale a cui riferire 
lo stato tensionale (cfr. Tresca - Von Mises).
 
Ad esempio, nel criterio di Tresca si limita la tensione tangenziale 
massima e il criterio di resistenza diventa: σid=√(σ^2+4(τxz^2)) in 
questo caso.
 
Per Von Mises (limita il lavoro di deformazione) σid=√(σ^2+3(τxz^2)) in 
questo caso.
 
Nelle espressioni sopra non vedi il valore del coefficiente di Poisson 
perché è stato inglobato.
 
La linea elastica della trave a mensola uniformemente caricata è data 
dall'equazione EJy"=pl^2/2
La doppia integrazione, imponendo le condizioni al contorno in x=L --> 
y'=0 e y=0 fornisce EJy=px^4/24-pl^3x/6+pl^4/8
 
Se il materiale non è isotropo le condizioni di resistenza cambiano (es. 
cemento armato).
 
Spero che la risposta ti sia in qualche modo utile: non è facile 
trattare argomenti studiati 30 anni fa e mai più ripresi!


 soluzione simmetrica e` piu` semplice.
Ci avevo pensato, ma mi sembra una situazione troppo diversa da un
incastro.
 
Comunque grazie a tutti e due.
 
 
-- 
Elio Fabri

 incastro.
 
Dipende da come modelli l'incastro. Se alla fine della trave metti una 
superficie che non si muove con "incollaggio perfetto" non sei molto 
distante dalla trave appoggiata in mezzo: il piano di simmetrica non si 
muove e le tensioni sigma dovrebbero essere circa le stesse.
 
Cambiano molto probabilmente le forze di taglio, non so se si possa 
cercare una soluzione prodotto di due termini in X e Y o usare una 
sovrapposizione degli effetti...
 
 
-- 


 )
 
 
Che bel link...
 
 
-- 
AIOE łżł  

 --> εx dipende sia da σx che da σy e σz).
 
 
In una trave incastrata il taglio diventa trascurabile rispetto
alla flessione quanto più aumenta la lunghezza.
 
 
Una curiosità che ho sentito da un ingegnere civile è che i
ponti ferroviari sono progettati con limitazione della
deformazione e non rispetto alla sollecitazione.
 
Cioè sono notevolmente più "massicci" di quel che basta per
tenere su il treno.
Ma in quel caso il ponte si piegherebbe molto di più (sempre
entro l'elasticità) con brutte conseguenze sulla marcia e
inolte ci sarebbero sollecitazioni dinamiche indesiderate.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  


 
Se ho capito bene, vuoi impostare le equazioni di equilibrio (e 
congruenza) nel caso più generale.
 
Forse allora fa al caso tuo consultare del materiale sul principio dei 
lavori virtuali; ho visto una trattazione su wiki italiana che non è il 
massimo, ma qualcosa si capisce. Poi tu queste cose dovresti masticarle 
bene.
 
Puoi anche vedere qui:
https://it.wikiversity.org/wiki/Il_problema_di_Saint_Venant
 
la trattazione di DSV che affronta un problema simile al tuo.
Sono anche esplicitate le ipotesi semplificative (altrimenti la 
formulazione generale del problema non è risolvibile).
 
Nel caso della tua trave, se x è l'asse della trave e z l'asse 
verticale, si annullano tutte le tensioni con indice y, per evidenti 
ragioni (il carico dovuto al peso proprio è solo verticale).
 
Rimane aperta la questione di "quando si rompe" (vedi mio precedente 
post del 15/11).


 contiene le travi.
 
capisco.
Dunque un problema scientifico a tutti gli effetti,
non tecnico.
Come allora non tener conto di come gli
effetti gravitazionali di una trave sospesa non
innescano una risonanza?
 
ciao
Massimo

 trattare argomenti studiati 30 anni fa e mai più ripresi!
Complimenti e lode alla tua memoria: non solo per il filo logico ma 
anche per le formule (ma forse avrai ripreso qualche vecchio appunto :-) ).
 
Mi sento di dare un consiglio al Fabri: che provi a guardare le dispense 
per l'analisi delle strutture isostatiche, anche in corsi tipo di 
costruzione di macchine.


 
Non è affatto una curiosità! e vale per ogni struttura.
Soprattutto per l'acciaio, le verifiche di deformabilità sono molto più 
stringenti delle verifiche a rottura: se a rottura una IPE 200 è 
verificata per progettare correttamente senza eccessive deformazioni 
magari devi usare una IPE 240 o anche più grande.


 ragioni (il carico dovuto al peso proprio è solo verticale).
Se capisco bene, in questo modo il poblema si ridurrebbe a 2D.
Ci avevo pensato subito, ma le "evidenti ragioni" a me non paiono
evidenti, anzi.
Mi sarebbe piaciuto trovare un argomento per considerarla una lecita
approssimazione, ma non l'ho trovato.
 
 
-- 
Elio Fabri

 trave prima che si spezzi sotto il suo peso?
 
 
Questo è un problema statico che si risolve in un minuto col
manuale dall'ingegnere.
 
Trave incastrata lunga L, sezione rettangolare BxH; carico il
peso proprio.
 
Dati del materiale: densità ro, resistenza sigma_max.
 
Momento flettente nell'incastro:
Mmax=ro*g*L*B*H*L/2
 
Sollecitazione massima a flessione:
sigma= Mmax/W con W=J/(H/2) e J=B*H^3/12 (W=B*H^2/6)
     = ro*g*B*H*L^2*6/(2*B*H^2) = ro*g*3*L^2/H
 
Per cui la L massima corrispondente risulta:
L_max^2=(sigma_max*H) / (3*ro*g)
L_max=sqrt(sigma_max*H/(3*ro*g))
 
Quindi la lunghezza max cresce con la radice di H e non dipende
da B.
 
Per l'acciaio
ro= 10^3 kg/m^3, g= 10 m/s^2, sigma= 10^8 Pa
L_max ~ sqrt(10^8*H/10^4) = 100 sqrt(H)
H=1 m L_max=100 m
H=0,1 m L_max=30 m
 
La deflessione dell'estremità è
f_max=ro*g*B*H*L*L^3/(8*E*J)=ro*g/(8*E) * B*H*L^4*12/(B*H^3)
     =ro*g*3/(2*E) * L^4/H^2
 
acciaio E~2*10^11
 
f_max ~ 10^-7 * L^4/H^2 
L=100 m H= 1m f_max~10 metri ~10%
 
 
Naturalmente sono stime a occhio.
 
-- 
AIOE ³¿³  

 ...
E tu pensi che io avrei avuto bisogno di un "manuale dell'ingegnere"
per trovare questa "soluzione"?
Non ti ha sfiorato il dubbio che quella soluzione mi paresse
insoddisfacente, o quanto meno con limiti di validità di cui il
suddetto "manuale" di certo non parla, e che io volessi capire proprio
questo?
 
Del resto come mai questa semplice risposta non è arrivata prima?
Probab. perché altri avevano capito un po' meglio la mia richiesta...
 
 
-- 
Elio Fabri

Come ha fatto l'autore del manuale a scrivere quelle formule? Avrei chiesto... Tuttavia le risposte che troverei (ma che non vorrei trovare) sono: 
A) Vedi sul manuale 
B) Con misure carico_rottura
C) avendo risolto le equazioni :) ....
 
L'ing è sempre ing

 funzioni? 
 
 
Beh comunque si può chiedere anche su altri NG di ingegneria,
mi pare che chi studia queste cose sono gli ingegneri più che
i fisici.
La teoria della resistenza dei materiali ("normali") mi pare
ben assestata da tempo.
 
Adesso rispedisco il tuo messaggio originario sul NG di ing.
civile, vediamo che ne esce.
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 approssimazione, ma non l'ho trovato.
 
Mi aggancio alle tue "evidenti ragioni", per riprendere una domanda che 
mi ero fatto quando al corso di costruzione di macchie mi dissero che 
l'andamento delle tau è differente se l'incastro è così
|
oppure
_
 
Se nel primo caso sono circa uguali lungo tutta la lunghezza, con un 
massimo a metà lunghezza, nel secondo i picchi sono molto accentuati ai 
bordi.
 
Non so se però mi sono spiegato sufficientemente bene.

 dipende da B.
 
 
Si ha che una trave a "sollecitazione costante" (stessa sigma
su tutta la lunghezza) ha un profilo longitudinale con H
costante e B a forma di parabola, oppure B costante e H
lineare.
 
 
 
-- 
AIOE ³¿³  

 Che c'entra la risonanza?
 
mi sembra troppo semplice
perchè il prof. non ci arrivi da solo.
Per quanto riguarda la risonanza
puoi dare un'occhiata qui
 
http://www.provincia.bz.it/umweltagentur/download/PRIMA_PARTE_Dinamica_e_Misura_delle_vibrazioni.pdf
 
 
se si verificano delle vibrazioni
libere la trave può cedere
non solo per il suo peso.
 
per il resto ok.
 
ciao
Massimo 

Il 30/11/2015 21:03, Elio Fabri ha scritto:
 
 > Comunque no, il mio problena non è *impostare* le equazioni: questo
 > l'ho già fatto (a parte un'incertezza sulle condizioni all'incastro).
 > Il problema è come risolverle...
 >
 >> Nel caso della tua trave, se x è l'asse della trave e z l'asse
 >> verticale, si annullano tutte le tensioni con indice y, per evidenti
 >> ragioni (il carico dovuto al peso proprio è solo verticale).
 > Se capisco bene, in questo modo il poblema si ridurrebbe a 2D.
 
Sì, l'idea era quella.
 
 > Ci avevo pensato subito, ma le "evidenti ragioni" a me non paiono
 > evidenti, anzi.
 
Qui stavo pensando al fatto che non abbiamo forze di superficie 
ortogonali a z e y per cui σy=σz=0 però senza dirlo io ragionavo fuori 
dall'incastro. Vedi sotto.
 
 > Mi sarebbe piaciuto trovare un argomento per considerarla una lecita
 > approssimazione, ma non l'ho trovato.
 >
 
Ci ho riflettuto un po' e rispondo solo ora per mancanza di tempo e solo 
dopo aver consultato alcuni testi; la risposta non è facile, come si 
capirà nel seguito; ne approfitto anche per chiarire alcune mie risposte 
in altri post che possono aver causato confusione, e per questo mi scuso.
 
Le condizioni sotto le quali vuoi studiare la trave, all'incastro in 
effetti conducono a considerare uno stato triassiale di tensione.
Se x è l'asse della trave e z l'asse verticale, l'imposizione che la 
deformazione all'incastro sia nulla nel piano yz conduce ad annullare 
(uso la notazione scalare perché maneggiare i tensori non mi è familiare...)
1)  εz=1/E(σz-(σx+σy)/m)
2)  εy=1/E(σy-(σx+σz)/m)
dove 1/m= coeff. di Poisson
Praticamente, appena fuori dalla sezione d'incastro, nella metà 
inferiore la sezione si dilata mentre nella metà superiore si restringe.
 
(Nel mio post del 15/11 osservavo che all'incastro sono nulli gli 
spostamenti, non le deformazioni: mi riferivo alla deformazione lungo 
l'asse della trave, mentre tu stavi parlando di deformazioni nel piano 
della trave, per cui l'osservazione era inutile).
 
Questo genera una zona perturbata in prossimità delle zone in cui sono 
applicati carichi concentrati (tipicamente i vincoli).
Nella trattazione classica di DSV si considera un sistema di forze 
applicate alle sole basi della trave e si assume che i risultati della 
trattazione siano validi con l'eccezione di un tratto iniziale della 
lunghezza dello stesso ordine di grandezza delle dimensioni trasversali 
(questo per sezioni di forma raccolta: per sezioni di forma dispersa il 
regime di tensioni alla DSV puo risultare molto perturbato per tutta la 
lunghezza della trave).
 
Dal punto di vista matematico il tuo approccio generale conduce a 
equazioni non risolvibili analiticamente e difatti lo stesso DSV fu 
costretto a imporre notevoli semplificazioni.
 
Si tratta di capire (mi pare che sia questo il tuo obiettivo) quanto sia 
lecito trascurare nella soluzione generale ciò che accade nella zona 
perturbata. Occorrerebbe fare in qualche modo una valutazione di σy e 
σz, ad esempio prendendo per buona l'espressione di σx=M/W della 
trattazione alla DSV ed estendendola fino alla sezione d'incastro (con 
W=bh^2/6 per sezione rettangolare); ponendo εz=εy=0 nelle 1) e 2) si ricava:
σy=σz=σx/(m-1) e prendendo m=10/3 si ha σy=σz=(3/7)σx quindi non 
trascurabile.
D'altra parte stiamo ipotizzando un incastro perfetto, che nella realtà 
non sarà mai.
Supponendo, in modo del tutto arbitrario, che la dilatazione trasversale 
nelle 1) e 2) sia dell'ordine di (1/100)εx=(1/100)σx/E (per approssimare 
comunque una situazione vicina all'incastro) si ha (se non ho sbagliato 
i conti):
σz=(m+1)/(100m-1)σx e sostituendo per m il valore 10/3 σz=(13/997)σx che 
in questo caso è trascurabile.
 
Stavo tentando di dare una quantificazione alla lunghezza di 
perturbazione e avevo iniziato col valutare il valore del momento alla 
distanza dx dall'incastro: M=p(l-dx)^2/2 --> e conseguente σx
Pensavo quindi di imporre le 1) e 2) prendendo per σy e σz il valore 
stimato prima per cercare di trovare una qualche legge di variabilità di 
σy e σz con x ma le complicazioni matematiche (posto che l'approccio sia 
corretto) non sono alla mia portata per cui mi fermo.
 
In questi conti le approssimazioni sono notevoli: ad esempio non ho 
considerato l'interdipendenza fra le condizioni di congruenza interna.
 
Volevo invece riprendere un argomento del mio post del 15/11 usato anche 
qui sopra.
L'estensione dei risultati di DSV anche alle sezioni di vincolo è una 
approssimazione che però /funziona/, nel senso che sono tante e tali le 
semplificazioni che si fanno nei calcoli ingegneristici che si accetta 
anche questa.
D'altra parte la stessa formula per le tensioni tangenziali τ=(VS)/(Jb) 
è approssimata: infatti è ricavata con sole considerazioni di equilibrio 
ma non di congruenza.
Anche l'equazione della linea elastica (EJy=px^4/24-pl^3x/6+pl^4/8) 
considera solo la deformazione flessionale: per tener conto 
dell'influenza del taglio bisognerebbe aggiungere a EJy"=pl^2/2 il 
contributo tagliante e integrare.
 
 
Gianluca
 
 

 contributo tagliante e integrare.
Questo mi è chiaro, ma non me ne ero preoccupato, facendo l'ipotesi
che E sia così grande che non si manifesti flessione apprezzabile.
 
Comunque, grazie di nuovo.
 
 
-- 
Elio Fabri

Il 15/12/2015 17:51, Elio Fabri ha scritto:
 > Ci sono delle differenze di linguaggio, ma credo che possiamo
 > superarle, con un po' di pazienza :)
 
Sì, penso non sia un problema.
 
 > Un altro problema, di natura "informatica", sta nelle lettere greche e
 > altri caratteri...
 > Ho sempre dei problemi con UTF-8.
 > Visto che usi Linux, posso spiegare meglio.
 
Siccome io i n.g. li uso e basta, una curiosità: come hai fatto a vedere 
che uso Linux?
 
 > Quindi sono costretto a riscrivere a mano in ASCII, come ho fatto
 > sopra, dove il tuo "sigma x" l'ho tradotto in "s_x".
 
Mi adeguo io.
 
 >> (uso la notazione scalare perché maneggiare i tensori non mi è
 >> familiare...)
 > Già, ma per me è l'inverso :-)
 
L'argomento "tensori" fa parte di una delle tante dispense che mi sono 
scaricato e ripromesso di approfondire. Purtroppo mi manca il tempo :(
Inoltre il formalismo matematico puro mi è diventato di ostacolo: io 
ragiono per immagini e l'astrazione con sommatorie su indici ripetuti mi 
fa venire il nervoso e mi blocco...
 
 >> Dal punto di vista matematico il tuo approccio generale conduce a
 >> equazioni non risolvibili analiticamente e difatti lo stesso DSV fu
 >> costretto a imporre notevoli semplificazioni.
 > Certo, ma mi domandavo se fossero stati sviluppati metodi di
 > approssimazione (per es. sviluppo in autofunzioni di qualche genere).
 
Questo mi ha fatto ricordare che nella trattazione di stati piani di 
tensione, nelle lastre sottili, si introduce la funzione di Airy.
Devo avere da qualche parte una dispensa ciclostilata in cui si spiegava 
il formalismo e dove sono trattati alcuni casi pratici (lastra 
incastrata in vari modi e caricata, ecc.).
Potrebbe essere un'idea far ricorso o trarre ispirazione da quella 
soluzione per applicarla al tuo caso (sempre che tu ammetta di 
considerare uno stato piano di tensione, ad esclusione della zona 
d'incastro).
Si tratterebbe comunque di considerare la sezione della tua trave di 
spessore piccolo rispetto all'altezza.
Ad ogni modo una ricerca in rete per "funzione di Airy" mi ha aperto un 
mondo.
Tutto quello che potrei scriverti io è spiegato molto meglio nei 
documenti che ho trovato in rete per cui permettimi di richiamare dei 
link a cui fare diretto riferimento per rispondere anche ad alcune 
domande che fai nel seguito.
 
Qua trovi (pag. 166) una semplice introduzione alla funzione di Airy:
http://www.scienzadellecostruzioni.co.uk/Documenti/Franciosi-1/6.%20Stati%20piani%20di%20tensione%20e%20deformazione.pdf
 
 
Qui ci sono delle soluzioni per casi particolari, sempre per stati piani 
di tensione, che potrebbero darti qualche idea:
http://www.ing.unitn.it/~summer.shahzad/paper/Shahzad_Master_thesis.pdf
 
 
 
 >> D'altra parte stiamo ipotizzando un incastro perfetto, che nella realtà
 >> non sarà mai.
 > Anche questo problema mi ero posto, ma non avevo idea di come discuterlo.
 >
 
Prendo atto di non averti convinto a trascurare le tensioni s_{yy} e 
s_{zz} oltre a s_{yx} e s_{yz} (nella tua notazione).
Eppure l'idea di porre un limite alle eps_z e eps_y all'incastro mi 
sembrava buona e grossolanamente conduceva a determinare un valore 
trascurabile per le tensioni trasversali...
 
 >
 >> In questi conti le approssimazioni sono notevoli: ad esempio non ho
 >> considerato l'interdipendenza fra le condizioni di congruenza interna.
 > Che cosa sono le "cond. di congruenza interna"?
 
Le condizioni di congruenza interna sono equazioni che tengono conto 
della non compenetrabilità (di volumi) e sovrapprosizione (di spigoli) 
tra elementi infinitesimi dxdydz contigui.
Coivolgono espressioni nelle derivate seconde delle componenti di 
deformazione.
Al link seguente trovi il Bengodi delle formule usate nella teoria 
dell'elasticità:
http://www1.unipa.it/giovanni.petrucci/Disp/Teoria%20Elasticita.pdf
 
In particolare alla prima pagina trovi le sei equazioni di congruenza 
interna esplicitate.
Non ho trovato in rete una rappresentazione grafica decente di 
compenetrazioni di volumi e sovrapposizioni di spigoli (che ho però in 
un libro di testo).
Nel modo rozzo che avevo immaginato di affrontare lo studio della zona 
perturbata non ho considerato la congruenza interna nel passaggio dalla 
sezione di incastro alla sezione lontana dx; penso invece che in qualche 
modo bisogna tenerne conto, ma come ho già detto questo va oltre le mie 
capacità.
 
Da quanto sopra immagino che tu abbia affrontato il problema utilizzando 
un principio variazionale tipo Principio dei Lavori Virtuali: sarei 
curioso di vedere, anche in forma tensoriale, le equazioni alle quali 
sei arrivato.
Non potrò aiutarti a risolverle, ovviamente, però mi fa piacere 
riprendere cose viste molti anni fa.
 
 >
 >> D'altra parte la stessa formula per le tensioni tangenziali
 >> tau=(VS)/(Jb) è approssimata: infatti è ricavata con sole
 >> considerazioni di equilibrio ma non di congruenza.
 > Che cos'è tau? Non ce ne sono tre?
 >
 
Nella tua notazione sono le s_{ij} con i diverso da j
Sono tre e si ha s_{ij}=s_{ji} per ogni i,j per la reciprocità delle 
tensioni tangenziali, ma questo lo sai di certo.
 
 > Comunque, grazie di nuovo.
 
Grazie a te.
 
Gianluca

 fatto a vedere che uso Linux?
 
 
Nello header del tuo messaggio:
User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:38.0)
Gecko/20100101 Thunderbird/38.4.0
 
 
-- 
AIOE ³¿³