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Titolo: Fisica matematica della relatività (ouch!)

Ciao,
ho comperato il libriccino millelire di Einstein,
"la teoria della relatività" in cui il nostro spiega
"da zero" (seee... per LUI) la sua teoria...
E insomma ho sbattuto contro i tensori :-)
Non chiedo a voi di spiegarmeli, perchè sospetto che
non sia una cosa breve, ma bensì vorrei il titolo di
un libro su cui studiarmeli... anzi, se c'è qualche
documento gratis online ancora meglio, così risparmio :-D
Sono un ingegnere elettronico, quindi di matematica
ne so già un bel pò... anche se sulla mecc. razionale
sono un pò debole, ehm =-)
Grazie a tutti


Ciao, io ho scritto (in inglese) delle dispense per
matematici (e anche qualche fisico).
Dicono che sono un po` troppo dure, pero` non ti costa nulla
dare un'occhiata:
http://degiorgi.science.unitn.it/~fismat/dispense.html
se scarichi il PDF ti conviene leggerlo con ghostview
se non lavori su una macchina UNIX o LINUX.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 E insomma ho sbattuto contro i tensori :-)
Quale libro e' esattamente? Temo che sia "Il significato della
relativita'". Oppure?
Io ti consiglierei di lasciar perdere i tensori, e anche Einstein, che
ormai come presentazione e' decisamente antiquato...
Spendi un po' piu' di millelire, e' leggiti per es. "Fisica dello
spazio-tempo" di Taylor e Wheeler (Zanichelli).
Per cominciare almeno, dei tensorisipuo' benissimo fare a meno.
Anzi, saro' piu' radicale: meno tensori inghiotti, e piu' fisica capisci
:)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 dare un'occhiata:
Mi associo al collega Elettronico... :-) (Saro' a breve... forse in uno 
spazio-tempo curvato.. un Informatico.. :-) )
Ahime'... le dispense le ho 'leggiucchiate' e devo dire che 'come al 
solito' :-) ottimo il formalismo, ma poca la pratica.... (ammetto anche che 
di Mate non ne ho studiata quanto un matematico o un fisico pero'....)
Potresti farmi un esempio pratico di calcolo tensoriale?
Il piu' scemo che c'e'...;-)
Anche qualche link va benissimo... (in realta' andrebbe bene anche una 
spiegazione un po piu' morbida.... ;-) )
Sinceramente (dopo aver letto il tuo curriculum...) mi fa strano darti del 
tu... pero' ne approfitto visto che siamo in Rete e non in aula 
Dottorandi... ;-)
P.S.
Il mio biennio scientifico (di Ing.) mi ha portato alle Sfere di Riemann 
(anche se molto da lontano...), ma non ai tensori... come il 'collega'... 
non ho studiato Meccanica Razionale.... anche se devo dire che 
interpellando 'amici meccanici'... non e' che si siano fatti capire poi 
tanto, provando a spiegarmi il tensore di inerzia...;-)
Ho visto che a Mate. si studiano a Geometria 2.... ma in Fisica?
Sono curioso...;-)
A presto,
        Silvio

 
Azzardo temerario un esempio "pratico". Premetto che sono solo uno
studentello al 3 anno di fisica quindi non mi massacrate. 
A me l'esempio che mi ha fatto pensare ai tensori come a qualcosa di diverso
che non matrici astratte è stato quello del tensore degli sforzi.
In questo caso il tensore rappresentato dalla matrice
3x3 ti dice che una forza applicata lungo una direzione (ad es z) produce
una componente l'ungo un'altra direzione x o y ortogonale a quella
originale.
Questo è quello che accade quando schiacci qualcosa di elastico (una
gomma). Questa non solo si accorcia ma anche si allarga.
Spero di essere stato di aiuto
Ciao
Francesco

 Anzi, saro' piu' radicale: meno tensori inghiotti, e piu' fisica capisci
Anche se so, avendo letto le tue dispense per l'insegnamento della fisica,
che la divisione canonica tra RR e RG non ti piace più di tanto potresti
rispondere a questa domanda:
La tua affermazione di sopra (sui tensori) vale solo per la RR o anche per
la RG?
Saluti.

 Anzi, saro' piu' radicale: meno tensori inghiotti, e piu' fisica capisci
Ah... ma sai, io ero abituato con la matematica e allora...
se una cosa non la metto in formule non mi sembra di averla
studiata :-D
Sì insomma, cosa ci vuoi fare... ormai son fatto così :-)

         Silvio
Un'applicazione pratica-pratica (in ingegneria) non esiste, i tensori
che ho conosciuto e trattato si applicavano (e credo si applichino
ancora) a quella che nei testi anglosassoni č chiamata "continuum
mechanics".
In italiano ovviamente suona male "meccanica dei mezzi continui", che
non č altro che la base su cui poggia la scienza delle costruzioni.
Poggia molto alla lontana, poichč i problemi di scienza delle
costruzioni si possono risolvere benissimo senza neppure conoscere il
calcolo tensoriale.
Il vantaggio dei tensori č che con il loro uso e la notazione che
viene applicata (matrici n x n) consente di generalizzare alcuni
problemi di calcolo riguardanti la dinamica dei sistemi continui.
Ovviamente in via teorica, in quanto per passare dal problema di un
campo di sollecitazioni su un mezzo continuo ad una trave elastica
appoggiata, incernierata o incastrata, si devono introdurre tali e
tante approssimazioni da dover ben presto abbandonare il calcolo
tensoriale per passare a calcoli molto piů terra terra ma molto piů
efficaci.
Bye

 gomma). Questa non solo si accorcia ma anche si allarga.
Quistai mettendo in ballo un altro aspetto: la relazione fra t. degli
sforzi e t. delle deformazioni (teoria dell'elasticita'). Tra i due c'e'
una relazione (lineare, se il corpo e' elastico) che pero' e'
complicata, proprio perche' si tratta di tensori.
Uno degli effetti e' quello che dici: la deformazione puo' avere una
forma parecchio diversa dalla forza applicata.


 la RG?
Occorre precisare il livello al quale ci mettiamo. E' chiaro che una
comprensione completa della RG senza l'apparato matematico (che non e'
solo tensori) e' impossibile.
Tuttavia molte cose si possono capire senza. Del resto il corso che ho
tenuto negli ultimi (circa) 10 anni segue proprio questo schema:
1^parte: la RG senza tensori e geometria differenziale, al di la' di
metrica e geodetiche definite come cuirve estremali.
2^parte: la matematica necessaria.
3^parte: tutto il resto (eq. di Einstein, varie soluzioni,
modellicsmologici apporfonditi, onde gravitazionali...).
La prima parte di questo corso e' accessibile, come matematica, al
livello del secondo anno.
In forma semplificata, ma senza perdere molta fisica, lo e' anche con la
matematica del liceo.


 studiata :-D
C'e' modo e modo. Comunque, se vuoi provare, poi fammi sapere.


a quella originale.
Questo e` solo un aspetto, ripeto: quello appunto delle tue matrici
astratte, anche se munite di una dimensione fisica.
Il concetto centrale e` che la tabella deve intendersi sempre
incondizionatamente associata ad un'altra che fornisca la legge di
trasformazione per ogni cambiamento di riferimento.
Altrimenti, senza legge di trasformazione oppure se non la rispetta,
essa non e` un tensore (ce ne sono di non-tensori neh).
-- 
Ciao,
Remigio Zedda
	/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */

 viceversa lo trovo dannoso per la fisica.
probabilmente avrei dovuto cambiare subject... ma queste parole mi hanno 
fatto venire in mente una domanda:
gli americani non solo all'avanguardia in quanto a sviluppo scientifico 
e tecnologico? si parla cosi' tanto di MIT, ecc., vero? ...come si 
concilia tutto cio' con il fatto che i libri americani sono 
"semplificati"?
(da: "MOLTO AMERICANO, con tante figure, formule scritte a parole")
?_?
....o forse nel post si faceva riferimento ad una battuta che non ho ben 
compreso? :-)

 livello del secondo anno.
Sul tuo sito c'è molta robba interessante ;-)
Potresti dirmi quali file corrispondono più o meno alla parte 1 di cui
sopra?
Saluti.

 sopra?
E' un file per capitolo, per cui avresti potuto capirlo dall'indice
(afridx.pdf, mi pare). Sono comunque i capitoli 1-7.


 compreso? :-)
Nessuna battuta: se leggi un libro made un USA per un livello pari al
nostro primo anno di universita', puoi facilmente vedere che le cose
stanno cosi'. Non parliamo poi dei livelli piu' bassi...
Prima ipotesi: l'insegnamento scientifico in USA si tiene su livelli
piu' modesti dei nostri, almeno per la matematica. Il che non esclude
che poi salga piu' rapidamente nei corsi superiori, per cui negli anni
terminali, e nelle grandi scuole (dai quali e dalle quali soprattutto
dipende lo sviluppo scientifico e poi tecnologico) si riguadagna
terreno.
Seconda ipotesi: nella nostra scuola semplicemente ci s'illude che i
ragazzi capiscano e soprattutto sappiano usare la matematica che
studiano. Gli americani sono piu' pratici e piu' realisti.


 essa non e` un tensore (ce ne sono di non-tensori neh).
Riconosco che questa presentazione: tabella piu' legge di
trasformazione, e' molto comune anche tra i fisici. Io pero' non la
trovo la migliore.
Secondo me un oggetto fisico, come il tensore degli sforzi o il campo
e.m., e' un tensore *prima* che ne vanga definita una rappresentazione
in un caerta base e la trasformazione delle componenti al variare della
base.
Per es. il tensore degli sforzi e' un tensore perche' permette di
associare a una direzione nello spazio (normale all'elemento di
superficie) il vettore forze agegente attraverso quell'elemento di
superficie, e perche' si dimostra che la relazione vettore --> forza e'
lineare.
Lo stesso dico nella m.q.: gli stati di un sistema sono raggi in uno
spazio di Hilbert, prima che funzioni L^2 o successioni l^2.
Che non tutte le tabelle di numeri 3x3 siano tensori, e' pacifico:
l'insieme delle eta' mie, di mia moglie, dei miei 4 figli e 3 nipoti
sono 9 numeri che posso mettere in tabella, ma non sono un tensore :)
Sarebbe comunque importante che agli studenti venisse psiegato subito,
con estrema chiarezza, che da questo punto di vista c'e una profonda
differenza dall'uso informatico, dove invece vettori e tabelle (arrays)
hanno senso in se'.


 computer nel Dip.
Exploring Black Holes, Addison Wesley Longman 2000.
Il libro enuncia la metrica di Schwarzschild, senza ricavarla dalle
equazioni di Einstein (che non introduce), poi ne illustra significato e
conseguenze fisici.
Paolo Cavallo

hanno senso in se'.
Mah.. Guarda questo array:
int array[5] = { 12, 2, 54, 26, 78 };
se poi mi dici che senso in se' puo` mai avere..
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: 
remi...@tiscali.it
 
	-- Linux 2.4.18 su Debian GNU/Linux 3.0 "Woody"

 se poi mi dici che senso in se' puo` mai avere..
Ha perfettamente senso essendo corretto, nel linguaggio in cui è
espresso, sia dal punto di vista sintattico che da quello semantico. Se
ti riferisci all'interpretazione delle costanti in esso contenute ad un
livello diverso (più astratto) rispetto a quello informatico allora è un
altro discorso. Ma Elio si riferiva, appunto, al significato
informatico.
EMG
--
EMAG Software Homepage:     
http://www.emagsoftware.it
The EMG's ZX-Spectrum Page: 
http://www.emagsoftware.it/spectrum
The Best of Spectrum Games: 
http://www.emagsoftware.it/tbosg

e` un tensore?
Vuoi dire senza definirlo in termini di componenti?
Si puo' e secondo me e' molto interessante farlo.
Al posto di un semplice simbolo formalmente utile (e tensoriale quasi 
per caso) appare per incanto un basilare concetto fisico-matematico di 
natura tensoriale ovvia.
Per dirla con Elio Fabri, anche questo tensore viene *prima* della sua 
rappresentazione con la delta di K.!  
-- 
 Elio Proietti        
Debian GNU/Linux

natura tensoriale ovvia.
Parli per enimmi.. potresti gettare un po' di luce?
Ps. E visto che mi hai risposto.. be', tu avresti potuto anche farmi
un cenno sull'inesattezza che ho detto sui simboli di Christoffel, o
forse in forma mista (ii specie) cambiano nome?


informatico.
Sicuro-sicuro? Quanto ci giocheresti? Dieci a uno? ;-)


Parli per enimmi.. potresti gettare un po' di luce?
In effetti ho solo detto che si puo' fare, ma non ho detto come.
Per ora abbozzo solo una risposta incompleta, perche' potrei avere 
frainteso il problema e rischio di andare per le lunghe...
Suppongo che per simbolo o delta di Kronecker generalizzato si intenda
quel coso con n indici _per definizione_ uguale a 0 se gli indici non
sono tutti distinti, uguale a +1 se la permutazione degli indici e' 
pari, uguale a -1 se e' dispari.
Visto in questi termini, si tratta ovviamente solo di un simbolo, 
di una notazione formale piu' o meno utile.
Ci si puo' chiedere se, in uno spazio vettoriale di dimensione n, il 
set di n^n valori delta ottenuti considerando le permutazioni con 
ripetizione degli indici costituisca la rappresentazione di un tensore 
(di rango n).
Applicando brutalmente al nostro simbolo le formule di trasformazione
per le componenti di un tensore covariante di rango n si ottiene 
un'espressionaccia. La chiave di lettura sta nell'accorgersi che, 
quando gli indici del trasformato sono tutti distinti, 
l'espressionaccia non e' altro che il determinante della matrice di 
trasformazione usata; similmente si vede che con indici non tutti 
distinti si ottiene zero. Tagliando corto sui dettagli, cio' mostra che 
il set trasformato ha le proprieta' del simbolo di K. purche' il 
determinante della trasformazione valga +1: e' il caso delle rotazioni 
proprie (alias trasformazioni ortogonali).
Stabilite cosi' le proprieta' pseudo-tensoriali del set delta di K., 
pasticciando un po' ci si puo' accorgere che, zavorrando le componenti 
con la radice quadrata del valore assoluto del determinante del tensore 
metrico, salta fuori una rappresentazione tensoriale DOC. Molti libri 
parlano di tensore totalmente antisimmetrico o di tensore delle 
permutazioni.
Avrai capito che questo approccio analitico non mi soddisfa, perche' 
non si riesce a cogliere il significato del tensore. E' come leggere 
le note di uno spartito musicale senza essere in grado di cogliere la 
melodia. E' come utilizzare il tensore di Riemann in RG, vedendo in 
esso solo un mostriciattolo a 256 componenti.
IMHO la via che conduce all'illuminazione e' un'altra: *prima* bisogna 
intuire e definire il tensore, poi analizzare le rappresentazioni. 
Prima bisogna sentire in testa la musica, poi scrivere lo spartito. 


 conseguenze fisici.
Mi e' arrivato appena stamattina, quindi non posso pronunciarmi sul
contenuto.
Che la traduzione abbia poche probabilita', non mi meraviglia: troppe
equazioni.
E poi c'e' poco da fare: la RG non passa.
Da noi per es. e' diventata quasi di moda per la laurea specialistica,
ma per i primi tre anni non se ne parla.


Prima bisogna sentire in testa la musica, poi scrivere lo spartito. 
Ah beh in testa.. allora ritiro l'accenno alla sordita`
dell'Illustre!
---------------
[*] Cmq il simbolo di K. puo` anche avere k < n, come l'esempio
fatto sopra. Se invece k > n allora son tutti zeri, ovviamente.


farvelo tirar fuori:-(
Provo a risponderti...
Spero di non fraintendere il tema in discussione e di non sentirmi dire 
che ho riscoperto l'acqua calda! Quanto segue non e' altro che una 
rilettura "tra le righe" dei miei libri, arrangiata secondo uno schema
originale conforme ai miei gusti personali.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sopra un corpo A.
Le applicazioni multilineari del tipo: VxVx..xV -> A
sono per definizione tensori covarianti che chiamo funzioni lineari di
r vettori: a = F(v1,v2...vr)
Qui ci interessano le funzioni totalmente antisimmetriche, cioe' quelle 
che cambiano di segno scambiando tra loro due vettori qualsiasi. 
E' facile vedere che per r=n una funzione siffatta e' completamente 
individuata dallo scalare s che essa associa ad una data base vettoriale
u1...un e che le componenti covarianti che la rappresentano sono:
 s * e_k1...kn  (s * simbolo delle permutazioni o di Kronecher)
Il bello viene quando lo spazio vettoriale e' metrico.
E' facile provare che se ad una particolare base ortonormale la funzione
associa lo scalare s, ad ogni altra base ortonormale e' ancora associato
+s oppure -s (ove il segno + vale per le basi congrue, cioe' ottenute da 
quella prefissata mediante una rotazione propria).
Dunque in uno spazio vettoriale metrico di dimensione n esiste una sola 
funzione antisimmetrica di n vettori normalizzata, che ad ogni base 
vettoriale ortonormale congrua associa lo scalare 1 (o meglio esistono 
due funzioni siffatte, contrarie di segno).
Io chiamo quest'applicazione privilegiata, automaticamente definita dal 
tensore metrico, con il nome di *tensore di volume* (o di estensione): 
essa associa ad ogni n-pla di vettori uno scalare suscettibile di essere 
interpretato geometricamente come il volume dell'iper-parallelepipedo
avente tali vettori per spigoli. Le basi vettoriali ortonormali fungono 
da unita' di misura per il volume.
Ho cosi' definito algebricamente un tensore di basilare importanza, 
senza necessita' di parlare di componenti.
La sua rappresentazione in base ortonormale congrua e' espressa dal 
simbolo delle permutazioni (alias delta di Kronecker) e_k1..kn.
mentre in base qualsiasi la sua rappresentazione covariante risulta 
dopo facili calcoli:
+/- sqrt(|g|) e_k1..kn 
ove g denota il determinante del tensore metrico.
E' appena il caso di osservare che in base non ortonormale il tensore 
puo' essere rappresentato in forma covariante, controvariante o mista, 
grazie all'isomorfismo metrico.
Ho dovuto tagliare parecchio sui dettagli e non posso dilungarmi sui 
vantaggi offerti da tale interpretazione. Ad es. si possono ottenere
in modo particolarmente rapido ed intuitivo formule assai generali 
per volumi di iper-parallelepipedi, formule di integrazione in 
geometria differenziale ecc.
Ciao, spero di non averti annoiato, ora mi ascolto un po' di Beethoven..


Ciao, spero di non averti annoiato, ora mi ascolto un po' di Beethoven..
Tutt'altro!  E te ne sono grato:-)  Io vado invece coi Dire Straits..


 ma per i primi tre anni non se ne parla.
Avvilente anche questo: pensavo che qualcosa fosse cambiato dalla mia laurea
nel 1984.
PC

l'ombra.. che delusione questi tensori "vivi che vengono prima" ! ;-)
Beh, e' chiaro che Fabri, Rez e Pangloss intendono quel *prima* in 
senso logico e non certo metafisico o cronologico. Si discuteva della 
possibilita' di definire certi tensori senza partire da un set di 
componenti e relative proprieta' di trasformazione.
Ora a me pare che se in uno spazio vettoriale metrico ad n dimensioni 
(anche non euclideo) definisco tensore di volume una funzione lineare 
totalmente antisimmetrica di n vettori (dimostrandone l'unicita')
il discorso sia logicamente corretto. Quali componenti abbia questo 
tensore in basi varie diventa un discorso analitico successivo.
Elio Fabri ritiene preferibile definire il tensore degli sforzi o il 
tensore d'inerzia come applicazioni lineari tra certe grandezze 
meccaniche, sviluppandone solo in un secondo tempo la rappresentazione 
analitica matriciale. E' questione di gusti. Non credo proprio che 
Fabri intenda dire che *prima* di apparire come matrici i tensori
vivano in un mondo delle idee platonico.
Nella sua bibbia (I principi della meccanica quantistica) P.A.M.Dirac 
caldeggia il "metodo simbolico" (algebrico) rispetto al "metodo delle 
rappresentazioni" (analitico) asserendo che esso "sembra approfondire 
di piu' la natura delle cose". E' o non e' lo stesso tema? 
In quanto all'illuminazione, non sono un Buddha, lo ammetto...e (mi 
vergogno a dirlo) non conosco nemmeno un pokemon!
Comunque grazie per lo stimolante confronto di idee! :-)


 di piu' la natura delle cose". E' o non e' lo stesso tema? 
Certo che lo e'! Infatti non nego di essere stato fortemente influenzato
da Dirac, che era la mia "bibbia" quando ero studente...


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Beh.. mi auto-rispondo:
Non e` un tensore no. Eppure e` una tabella;-)
E` il celebre "Indicatore di Levi-Civita".
