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Titolo: uuu

Salve a tutti,
una ricerca nella mia biblioteca e sulla rete non mi ha condotto a una risposta, perci� lo chiedo qui - cosa che avrei fatto volentieri subito, se non avessi avuto paura di apparire troppo pigro...
Perch� non pu� esistere una combinazione di quark uuu con spin 1/2, quindi con due spin antiparalleli? La Delta++ fu un problema proprio perch� con spin 3/2 sembrava che violasse il principio di Pauli. Mi viene da pensare che una combinazione uuu, 1/2 lo rispetterebbe ancor meglio...
OK, qualcuno sa darmi una risposta comprensibile? Grazie,
Paolo Cavallo

 Paolo Cavallo
Saluti, Dido.

OK, ricomincio ad avere problemi di posting.
Provo a riassumere. In un molto più lungo post, dicevo che se ricordo
bene (dato che ho visto queste cose tanti anni fa), è noto che i
barioni del decupletto come la tua Delta, hanno J=3/2 (non  ho idea,
da ormai, matematico come si verifichi sperimentalmente una cosa
simile). Puoi avere S=1/2 nel caso in cui L=1... Però questo produce
più stati barionici di quelli che credo si osservano. L'ipotesi
minimale S=0 riproduce esattamente, tenendo conto delle
rappresentazioni irriducibili dell SU(3) di sapore, sia gli stati
dell'ottetto (che hanno J=1/2) che quelli del decupletto con J=3/2
osservati. Non saprei se c'è qualche idea più furba per scartare L=0.
Volevo anche ricordare che su alcuni testi (per esempio, purtroppo, il
Caldirola-Cirelli-Prosperi) si trova scritto che gli stati del
decupletto, se si assume   J=3/2 e L=0, producono stati totalmente
simmetrici e questo contraddice la correlazione spin-statistica ed è
questa una ragione che ha portato ad aggiungere la simmetria SU(3)
(non rotta) di colore...Questo non è materialmente vero (magari lo è
storicamente), perché ricordo benissimo che sul libro di Morpurgo di
particelle elementari c'è il controesempio!
Ciao, Valter
PS. Spero che questo post arrivi intero e non maciullato come il
precedente

 Povh, Rith, Scholz, Zetsche - Particelle e nuclei - Boringhieri pag 213?
Sono tornato a quel testo e ne ho tratto di nuovo la stessa impressione. Si pone il problema degli stati di tre quark con lo stesso sapore con spin 3/2 e si mostra come sia essenziale lo spazio degli stati di colore, che permette di antisimmetrizzare la funzione d'onda. OK. Poi (pp. 214s) si considera la possibilità di stati con spin 1/2 e si osserva che la funzione d'onda dovrebbe essere parzialmente simmetrica nello spin. A questo punto il testo scrive:
/La parte della funzione d'onda che è legata al sapore dei quark dovrà possedere, a sua volta, una simmetria analoga, in modo che il loro prodotto, ossia la funzione d'onda spin-sapore, risulti puramente simmetrica./
Questo non è  possibile perché ipotizziamo un sistema uuu, OK. Ma perché il colore non può essere usato per risolvere il problema? Perché la funzione d'onda totale spin-sapore-colore non può avere la simmetria necessaria?
Grazie,
Paolo

 particelle elementari c'è il controesempio!
Questa mi è proprio nuova, ho sempre dato per scontato che la simmetria di
colore è l'unico modo per giustificare l'esistenza della Delta++(1232)
(anche se oggi abbiamo mille altre conferme la necessità di SU(3)c ). Darò
un'occhiata al Morpurgo, se lo trovo; devo dire però che l'argomento del
Caldirola è riportato anche in tanti altri libri.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 OK, qualcuno sa darmi una risposta comprensibile? Grazie,
Sapevi che la stessa domanda e' stata fatta giusto un mese fa (l'8
settembre) e non ha avuto risposta?
Io ci pensai allora, e non trovai una risposta suff. semplice, ma mi
pareva comunque i miei calcoli confermassero l'asserzione.
Restai in attesa che intervenisse qualcun altro, ma niente...
Ora ho riprovato (senza ricordare come avevo ragionato allora) e
confesso di essere perplesso, perche' a me invece parrebbe che la
combinazione che dici possa esistere.
Vorrei pero' che si facesse avanti qualcuno che sia piu' fresco sulla
materia. In mancanza, provero' a scrivere la mia risposta, e poi
staremo a vedere.
Confido che se sara' sbagliata non manchera' qualcuno che mi corregge
:-))
 
-- 
Elio Fabri

 Ciao, Valter
Ciao, Dido.
PS
Che fatica riprendere il Morpurgo. Carta orrenda, carattere orrendo, 
formato orrendo, notazioni orrende. Pero' ...

 formato orrendo, notazioni orrende. Pero' ...
E' verò è un libro terribile dal punto di vista della grafica e tutto
il resto, ma all'epoca a me piaceva
(intendo quello che c'è scritto dentro).
Morpurgo invece non mi piaceva dal lato umano. Era "vecchio stampo"
in tutti  i sensi.
Si arrabbiò con me per una stupidaggine e dovetti aspettare un anno
per dare
l'esame  con un altro docente (struttura della materia era l'esame),
dato che Morpurgo ti prendeva il libretto all'inizio dell'esame e poi
ti dava quello che
ti meritavi secondo i suoi canoni  (anche 12/30) e te lo tenevi, non
potevi rifiutarlo...
Ciao, Valter
Ciao, Valter

 settembre) e non ha avuto risposta?
Personalmente non essendo sicuro ho evitato di rispondere.
Consultando il Sakuray, vedo che
uuu ha J=3/2, J_z=3/2, L=0 e quindi e' simmetrica nel flavor (uuu),
nello spazio (L=0) e nello spin (tutti allineati).
La funzione d'onda risulterebbe dunque antisimmetric. Se si introduce
un grado di liberta' in piu', il colorre, si possono invece
costruire combinazioni antisimmetriche.
Valter mi ha messo la pulce nell'orecchio dicendo che forse questo
ragionamento e' sbagliato, ma no vedo dove.
ciao

 tutti i sensi.
Pensa tu... Io ci ho fatto l'esane di spettroscopia.
A Roma a quel tempo spettroscopia era usato come corso del terzo anno
per introdurre la m.q. Un "complementare abbligatorio" :-)
Pero' alle lezioni di Morpurgo non si capiva niente...
(Non ti dico che voto ho avuto per non farti rimanere nale :-)) )
 
-- 
Elio Fabri

 tre quark all'interno del barione.
Tipicamente i termini spettroscopici relativi ad un atomo p^3 (Azoto,
Fosforo, ...) sono 2^P,D,4^S. Ovvero lo stato in onda S ha spin 3/2: 3/2,
1/2, -1/2, -3/2. Ed energeticamente non è favorito perchè l'antisimmetria
introducendo luoghi nodali nella funzione d'onda aumenta l'energia cinetica,
pure se ciò compete con la circostanza che la repulsione coulombiana che
invece è diminuita. Nel caso in questione tuttavia, il campo non è centrale
e la forza forte è attrattiva anzichè repulsiva, quindi lo svantaggio
energetico è doppio? E' corretta quest'osservazione, oppure è sbagliato dire
che l'energia di legame è abbassata dalla antisimmetria della funzione
d'onda? Quello che mi lascia perplesso è la struttura di questi luoghi
nodali. La funzione d'onda orbitale per tre quark è in uno spazio a 9
dimensioni la condizione di totale antisimmetria implica che la funzione è
nulla nei luoghi r1 = r2, r2= r3, r1=r3 ed infine r1=r2=r3, che hanno
dimensione rispettivamente 6 , 6 , 6 , 3. Abbiamo infine che la funzione
d'onda verifica la condizione psi(r1,r2,r3) = - psi(-r1,-r2,-r3) con quel
che consegue sull'esistenza di ulteriori varietà nodali quantomeno
bidimensionali.
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Non ho capito bene quello che hai scritto (forse il primo
"antisimmetrica" doveva essere "simmetrica"?)
Comunque se ricordo bene, su alcuni testi c'è scritto che L=0, j=3/2,
S=3/2 e parte di flavour simmertrica
implica che tutto lo stato sia simmetrico (quindi anche parte
orbitale, rispetto al centro di massa e parte di spin).
E questo è impossibile perché le particelle sono fermioni e allora ci
vuole qualche grado di libertà in più su cui scaricare
l'antisimmetria.
Orbene Morpurgo dice che questo ragionamento è sbagliato perché si
riesce a costruire uno stato che, rispettando tutti i vincoli imposti,
è tutto simmetrico ma con parte orbitale antisimmetrica, e quindi
complessivamente antisimmetrico,
e questo evita di ricorrere a gradi di  libertà in più.  Il testo di
Morpurgo non ce l'ho, ma il Caldirola-Cirelli-Prosperi si!
L'affermazione incriminata si trova a pagina 862 e dice testualmente
alla fine della quinta riga partendo dall'alto:
"Tale decupletto è interpretato in maniera più naturale come uno stato
di tipo  ^4 S_3/2 (cioè J=3/2,L=0, S=3/2 in notazione spettroscopica)
e quindi simmetrico sia nelle variabili di spin * che in quelle
configurazionali *. Come risulta da un semplice conteggio delle
dimensioni d'altra parte; la rappresentazione 10 di SU(3) è la
componente completamente simmetrica della rappresentazione riducibile
3 x 3 x 3. La funzione d'onda dei tre quark sarebbe quindi
completamente simmetrica contro il principio di connessione spin e
statistica."
Ciao, Valter

 questo non l'ho trovato scritto .
Ciao, ho capito quello che hai scritto, ma secondo me non è chiaro.
Provo a riscriverlo, perché il sistema di cui parli è fatto da due e
non una
particelle identiche  (e quindi di massa identica). Si tratta di un
punto dato per scontato su vari testi, e che merita di essere scritto
per bene almeno una volta.
Passando alla massa ridotta ed alla coordinata baricentrale, il
sistema è descritto dalla posizione del baricentro
X = (mr_1 +mr_2)/(2m) = (r_1+r_2)/2
e dalla coordinata ridotta
r= r1-r2
Ammettendo lo stato del sistema complessivo della forma
| stato >  =  Psi(X) psi(r) S
e cioé che sia  fattorizzato in parte del centro di massa Psi(X),
parte orbitale (attorno al CM) psi(r) e parte di spin S, accade quanto
segue. Sotto scambio delle due particelle Psi è invariante (perché le
masse sono uguali!), S fa quello che deve fare a seconda del caso,
mentre psi(r)
diventa psi(-r).  Quindi psi è simmetrica sotto scambio delle due
particelle se è invariante sotto inversione di parità
*riferita alla coordinata ridotta* r.
Ecco ora il punto cruciale: se si assume che sia una autofuzione a
momento angolare L *rispetto al centro di massa* definito, vale la
regola che dice Tetis
P=(-1)^L
In realtà questa vale per una particella sola di posizione r, ma
risulta *nel caso in esame* che il momento angolare rispetto al centro
di massa delle due particelle coincide con il momento angolare
rispetto all'origine delle coordinate della particella fittizia di
posizione r .
Conclusione. Se il momento angolare totale rispetto al centro di massa
è pari (in particolare L=0), allora anche psi(r) è invariante per
scambio delle due particelle.
Nel caso di più di due particelle, e nel caso in esame erano 3,
bisogna passare a lavorare nelle cosiddette coordinate di Jacobi ed il
ragionamento non funziona più! Per ironia della sorte queste
coordinate sono discusse, da qualche parte, proprio nel testo di
Caldirola  Cirelli Prosperi....
Ciao, Valter

 Nel caso di tre quark il singoletto e' completamente antisimmetrico.
Confesso di avere pensato anch'io a questa risposta - nella forma "volgare" del vincolo che le particelle osservabili siano "incolori".
Č questa la risposta, allora? Se č cosě, come mai questa risposta cosě facile non č emersa prima? Non sono sicuro che sia ancora tutta qui, la storia...
Grazie,
Paolo

 Ciao, Valter


 "antisimmetrica" doveva essere "simmetrica"?)
si' ho scritto male. Il resto del ragionamento e' quello che riporti
anche tu ma che dici,
con Morpurgo, essere sbagliato.
Ciao.

 
...zip...
Testo citato pag. 443.
"...
, la funzione X^(10) (_r1_ , _r2_ , _r3_ ) e' la stessa per tutti i 
barioni del decupletto. Discutiamo un momento questa funzione
X^(10) (_r1_ , _r2_ , _r3_ ). In primo luogo, avendo L=0, essa e' 
invariante rispetto a rotazioni. Inoltre, poiche' essa e' la funzione 
d'onda _interna_ del barione (cioe' con impulso iniziale eguale a zero), 
dovra' pure essere invariante per traslazioni. Percio' X^(10) (_r1_ , 
_r2_ , _r3_ ) deve essere una funzione dei soli vettori
_r12_ = _r1_ - _r2_
_r13_ = _r1_ - _r3_
_r23_ = _r2_ - _r3_
invariante rispetto a rotazioni.
Inoltre ppoiche' i quarks hanno spin 1/2, la funzione d'onda 
complessiva, che e' il prodotto del fattore spaziale, di quello di spin 
e di quello di specificazione quarkica, dovrebbe essere completamente 
antisimmetrica.
Consideriamo, ad esempio lo stato N*++(1232). Poiche' la parte p1p2p3 
\alfa1\alfa2\alfa3 della funzione d'onda (1) (il rimando e' alla 
funzione d'onda complessiva dei contributi prima citati p \alfa X^(10)) 
e' simmetrica, occorre che sia antisimmetrica la parte spaziale
X^(10) (_r1_ , _r2_ , _r3_ ). E' ben possibile costruire una X^(10) 
(_r1_ , _r2_ , _r3_ ) invariante rispetto a rotazioni e traslazioni ed 
antisimmetrica. Ad esempio:
X^(10) (_r1_ , _r2_ , _r3_ ) =
=N(r12 ^2- r13 ^2) (r23 ^2-r21 ^2) (r31 ^2- r32 ^2) exp(- \alfa(r12 ^2+
				+r13 ^2 + r23 ^2))
dove N e' una costante di normalizzazione ed \alfa un parametro. La (4) 
non e' una funzione semplice, ma, in linea di principio e' possibile [si 
legge spesso che una funzione d'onda spaziale antisimmetrica con L=0 non 
si puo' scrivere, ma questo non e' vero]. Si obiettera' che, pur avendo 
L=0, la funzione (4) ha molti nodi e percio' il valore medio 
dell'energia cinetica dei tre quarks all'interno del barione e' alto; ed 
e' strano che lo stato fondamentale abbia una funzione d'onda con 
curvatura media cosi' alta. questa obiezione e' sensata, ma non e' 
decisiva perche', per quel che ne sappiamo, l'energia potenziale tra i 
quarks potrebbe essere attrattiva quando due quarks sono in uno stato 
antisimmetrico e repulsiva quando sono in uno stato simmetrico; cio' 
potrebbe spiegare come mai il legame si ha in uno stato come (4) (la 
funzione d'onda appena scritta ndr). Percio' "a priori" non avremmo 
motivi sostanziali per escludere una funzione del tipo (4); ed in 
effetti, se ciascun quark non ha altri gradi di liberta' che quelli di 
spin e spaziali, una funzione X^(10) (_r1_ , _r2_ , _r3_ ) 
antisimmetrica come la (4) costituisce l'unico modo di assicurare che i 
quarks si comportino come fermioni. [Nei lavori iniziali sul modello a 
quarks si fece appunto l'ipotesi di funzione d'onda spaziali 
antisimmetriche, come ora descritto; in realta' nei calcoli fatti 
allora- parte dei quali riportero' nei prossimi paragrafi- la parte 
spaziale della funzione d'onda non interveniva e quindi questo punto era 
irrilevante].
8. Il <<colore>>: un nuovo grado di liberta' dei quarks
..."
Saluti, Dido.
PS Spero che il post risulti globalmente "leggibile"

Elio Fabri ha scritto:
...zip...
 > dido ha scritto:
 >> A pag 443-444 fa la considerazione che hai richiamato con la segunte
 >> logica: la funzione d'onda e' il prodotto del fattore spaziale, di
 >> spin e di specificazione quarkica (non ha ovviamnete ancora introdotto
 >> il colore, lo fa il paragrafo dopo ndr); poiche' lo spin e la parte
 >> quarkica sono simmetriche _deve_ essere antisimmetrica la parte
 >> spaziale e allora costruisce una funzione d'onda invariante per
 >> rotazione e traslazione e antissimmetrica.
 > Mi piacerebbe vedere com'e' fatta.
 >
...zip...
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non e' una funzione semplice, ma, in linea di principio e' possibile [si 
legge spesso che una funzione d'onda spaziale antisimmetrica con L=0 non 
si puo' scrivere, ma questo non e' vero]. Si obiettera' che, pur avendo 
L=0, la funzione (4) ha molti nodi e percio' il valore medio 
dell'energia cinetica dei tre quarks all'interno del barione e' alto; ed 
e' strano che lo stato fondamentale abbia una funzione d'onda con 
curvatura media cosi' alta. questa obiezione e' sensata, ma non e' 
decisiva perche', per quel che ne sappiamo, l'energia potenziale tra i 
quarks potrebbe essere attrattiva quando due quarks sono in uno stato 
antisimmetrico e repulsiva quando sono in uno stato simmetrico; cio' 
potrebbe spiegare come mai il legame si ha in uno stato come (4) (la 
funzione d'onda appena scritta ndr). Percio' "a priori" non avremmo 
motivi sostanziali per escludere una funzione del tipo (4); ed in 
effetti, se ciascun quark non ha altri gradi di liberta' che quelli di 
spin e spaziali, una funzione X^(10) (_r1_ , _r2_ , _r3_ ) 
antisimmetrica come la (4) costituisce l'unico modo di assicurare che i 
quarks si comportino come fermioni. [Nei lavori iniziali sul modello a 
quarks si fece appunto l'ipotesi di funzione d'onda spaziali 
antisimmetriche, come ora descritto; in realta' nei calcoli fatti 
allora- parte dei quali riportero' nei prossimi paragrafi- la parte 
spaziale della funzione d'onda non interveniva e quindi questo punto era 
irrilevante].
8. Il <<colore>>: un nuovo grado di liberta' dei quarks
..."
Saluti, Dido.
Al moderatore:
Provo a reinviare il post con l'indirizzo email "in chiaro", senza 
antispam, al fine di conoscere le ragioni del rigetto.
Spiacente per la molesta insistenza, ma gradirei poter soddisfare la 
richiesta dello stimatissimo Prof. Fabri.
Grazie.
Cordiali Saluti, Remo.

 Elio Fabri


 intrinseche?
Per un controesempio, rispetto alla questione di principio, basta pensare al
caso di tre elettroni in tre orbitali p. Indico con (l,l_z,s_z) gli stati di
singola particella, con (L,L_z,S,S_z) i numeri quantici di entrambi
(1,1,1/2) (1,1,-1/2) (1,0,1/2) sono tre stati distinti quindi verificano il
principio di Pauli, infatti il prodotto delle tre rispettive funzioni d'onda
può essere antisimmetrizzata e conduce ad una funzione d'onda non nulla,
questo è uno stato ^2 D doppietto di spin, quintupletto di momento orbitale,
ovvero appartiene al prodotto diretto delle due rappresentazioni (L=2)
(S=1/2) e tuttavia la funzione d'onda non può essere espressa come prodotto
di uno stato con L=2 e di uno stato con S=1/2 ovvero come prodotto tensore
di vettori di stato appartenenti alle rappresentazioni irriducibili
parziali: orbitale e di spin.
P.s:
notare che la parte polinomiale della funzione è di grado 6, quindi richiede
rappresentazioni irriducibili fino all'orbitale "d" sui gradi di libertà
associati alle due particelle fittizie in coordinate di Jacobi, decisamente
difficile da ottenere per forza bruta senza un'intuizione semplice e
geniale, tuttavia notevole la coincidenza:
che la sua rappresentazione in coordinate di Jacobi contiene probabilmente
uno stato (L=2,L_z=2) ed uno stato (L=2,L_z=-2) fra gli addendi: di - do -->
L=0 :-)))


 richiesta dello stimatissimo Prof. Fabri.
Ti ringrazio molto, e mi dispiace di averti fatto fare un lavoro
superfluo, visto che nel frattempo avevo rintracciato il libro di
Morpurgo e trovato il brano che citi.
In effetti sembra che abbia ragione, anche se c'e' qualcosa che non mi
so spiegare...
Ma ci tornero' su se e quando avro' capito meglio.
-- 
Elio Fabri

 la storia...
Pero' la forma "volgare" non e' equivalente alla condizione di
singoletto: con tre quark puoi fare 6 stati con carica di colore nulla,
ma solo uno e' un singoletto.
 
-- 
Elio Fabri

 2(+,+,-) - 2(-,+,+)
Scusate, gli stati di spin, linearmente indipendenti che generano la
rappresentazione irriducibile:
**
*
sono:
(+,-,+)-(-,+,+)
e
(+,+,-)-(-,+,+)
entrambi autostati di S^2 e di S_z. In particolare se poniamo:
f1= x^2(y+z) - y^2(x+z)
f2= y^2(x+z) - z^2(x+y)
s1=(+,-,+)-(-,+,+)
s2=(-,+,+)-(+,+,-)
l'antisimmetrizzato dello stato:
x^2y s1
è lo stato non nullo:
f1 s1 + f2 s2
mentre provando a simmetrizzare il medesimo stato iniziale trovo dei fattori
orbitali di momento angolare intrinseco zero ma che non appartengono alla
rappresentazione irriducibile già scritta. Per ottenere la rappresentazione
necessaria occorre ricorrere alla trasposizione delle operazioni di
simmetrizzazione. E' tuttavia più semplice, in questo caso provare a
simmetrizzare una configurazione a spin zero e momento angolare zero. Il
risultato, concorde all'idea di Paolo Cavallo è il seguente:
{[x^2(y-z) - y^2(z-x)] s1 - [z^2(x-y) - y^2(z-y)]} exp(-x^2-y^2-z^2)
Questo stato è sovrapposizione di stati a momento angolare intrinseco nullo
e spin 1/2. Inoltre poichè le coordinate baricentriche sono espresse come
funzioni simmetriche rispetto alle permutazioni qualunque funzione d'onda
nelle coordinate del centro di massa non altera la simmetria complessiva
della funzione. Quindi in linea di principio uno stato di singoletto di
colore, ma di spin 1/2 pure se composto da tre quark di identico sapore è
possibile.
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