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Titolo: Equazioni differenziali di "spirali quantistiche"

Gentilissimi lettori di questo gruppo di piccole notizie matematiche. Mi
pregio del piacere di portarvi a conoscenza di un problema nel quale mi sono
imbattuto riflettendo su un articolo di Piergiorgio Odifreddi che riguarda
le cosiddette spirali di Cotes. Le spirali di Cotes sono spirali che
emergono qualora il potenziale di attrazione � un inverso di un quadrato
della distanza da un punto. Ovvero il campo di forze � un campo centrale la
cui intensit� attrattiva � come un cubo inverso. Il moto pu� essere
spiraleggiante in caduta, spiraleggiante in uscita oppure indifferente
secondo il valore del momento angolare. Questo � semplice da capire
scrivendo la riduzione unidimensionale del problema per un campo centrale.
Infatti la somma del potenziale quadratico con il termine centrifugo � del
tipo:
A/r^2
con A>0 se il potenziale centrifugo prevale sul potenziale attrattivo.
Per esponenti differenti da due � immediato riconoscere che fra il
potenziale centrifugo ed il potenziale attrattivo di tipo legge di potenza
con esponente maggiore di 2 vince il secondo a corto range, mentre c'� un
punto dal quale in poi il potenziale complessivo � maggiore di zero per
prevalenza del potenziale centrifugo, ma l'energia potenziale rimane
limitata superiormente, infatti c'� un punto stazionario per la derivata
prima di - -a/r^k + b/r^2 .
Rimanendo per un momento al caso k = 2 la versione quantistica di questo
problema porta a chiedersi se un atomo
retto da un tal tipo di forze sarebbe stabile o instabile. L'equazione
differenziale che ne scaturisce � abbastanza semplice, trattandosi di una
equazione con punto singolare di tipo regolare, e viene studiata
qualitativamente, in tutti i dettagli, ad esempio nel libro di Landau: come
nel caso classico sono possibili due situazioni: lo spettro � continuo e gli
stati sono di parcicella libera, oppure lo spettro � continuo ma gli stati
sono di particella confinata, e tutto secondo il valore del momento angolare
della particella.
Tornando al caso k>2: lo stesso Landau osserva che se il potenziale fosse di
tipo cubico o quartico o comunque andasse come l'inverso di una potenza di
esponente maggiore di due si avrebbero sempre stati legati che cadono sul
nucleo, ovvero uno spettro continuo non inferiormente limitato. Tuttavia la
dimostrazione di questa affermazione � basata su un argomento di tipo
"fisico" che fa ricorso al teorema di indeterminazione e non � basato su una
trattazione analitica esaustiva delle equazioni correlate. L'equazione
differenziale associata con il problema, dopo qualche elaborazione standard,
� riconducibile ad una equazione differenziale molto semplice per la parte
radiale della funzione d'onda, quando sia assegnato il momento angolare.
Ecco allora l'equazione in tutto il suo splendore per il caso di potenziale
cubo inverso.
u'' + u/r^3 + Eu - l(l+1) u/r^2 = 0 [ la parte radiale della funzione d'onda
R(r) = u/r ]
Si tratta quindi di un potenziale unidimensionale singolare ovvero di un
problema di Liouville, cosiddetto irregolare. Provando a risolvere in serie
di potenze di r questa equazione ho scoperto presto (dopo un paio di ore di
manipolazioni elementari) che la soluzione non solamente non pu� essere
analitica, ma nemmeno essere approssimata da alcuna serie di potenze
convergente, eccetto che nel caso E = 0. Di questa situazione � responsabile
la singolarit� di terzo ordine del coefficiente di u. Nemmeno la posizione
eventuale di soluzioni del tipo r^s f(r) migliora la situazione (che era
stato il mio tentativo di estendere a questo caso i metodi usati per il caso
di spirali di Cotes). Quindi per concludere che questo problema ammette uno
spettro continuo di soluzioni in L^2 occorre sviluppare un argomento pi�
sofisticato. Non conoscendo gli adeguati strumenti matematici per trattare
questo problema mi sono arrangiato con un argomento qualitativo che � circa
il seguente: siccome per valori di r adeguatamente piccoli i termini E ed
l(l+1)/r^2 possono essere trascurati rispetto ad 1/r^3 posso cercare di
trattare semplicemente il caso u/r^3. Quello che ho scoperto � che
l'equazione differenziale:
u'' + u/r^3 = 0
pu� essere ricondotta ad una equazione differenziale con punto singolare
regolare se pongo:
u ( r ) = g ( 1 / r )
il che non � vero per l'equazione completa di tutti i suoi termini. Quello
che conta � che so trattare l'andamento asintotico per l'equazione cos�
trasformata, facendo ricorso allo sviluppo in serie di potenze, e che trovo
che il comportamento asintotico in zero pu� essere scelto integrabile senza
essere particolarmente restrittivi al bordo di validit� della
approssimazione, questo mi permette di credere che plausibilmente, in
effetti, esistono soluzioni L^2 per qualsiasi valore di E. Nel portarvi a
conoscenza di questo problema voglio concludere con una formulazione
riassuntiva:
Dimostrare che l'equazione differenziale lineare del secondo ordine:
u'' + (1/r^3 + k/r^2 + E) u = 0
con k>0 ed E>0 (qualsiasi) ammette soluzioni a quadrato sommabile (con
supporto in r > 0) . Ovvero che ci� � falso.
E' probabile che fra i lettori di queste notiziule matematiche l'eccellenza
di qualcuno giunga a cifre tali da avere compassione di questo povero
scrivente, che non riuscendo a trovare, se non argomenti approssimativi e
vaghi per convincersi della verit� dell'affermazione, avrebbe gran
giovamento dal discendere dalle cime di un briciolo di sapienza e con questa
speranza di avere stimolato, poggiando sulle spalle dei giganteschi Newton,
Cotes, Landau nonch� dell'eccellente Odifreddi, una gradevole riflessione vi
rivolgo un arrivederci si questi schermi.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 u ( r ) = g ( 1 / r )
Un contributo modestissimo e per di piu' negativo...
A me pare che questo non sia vero: credo che tanto 0 che oo siano
punti singolari irregolari.
Oppure ho sbagliato il conto?
Se uno fosse regolare e l'altro irregolare, avremmo a che fare con
ipergeometriche confluenti, funzioni ben note (non a me, pero'...)
 
-- 
Elio Fabri


Non � proprio esatto: l'equazione differenziale rimane singolare sulla
sfera di Riemann, ma la singolarit� essenziale viene traslocata nel
polo, per� questa singolarit�  non rappresenta pi� un problema
riguardo alla solubilit� per serie, scrivendo il metodo iterativo si
scopre che la soluzione in serie per la seconda equazione c'� e mi
sembra che converga benone. Se non ho sbagliato il conto.

Tetis ha scritto:
 > Non � proprio esatto: l'equazione differenziale rimane singolare sulla
 > sfera di Riemann, ma la singolarit� essenziale viene traslocata nel
 > polo, per� questa singolarit� non rappresenta pi� un problema riguardo
 > alla solubilit� per serie, scrivendo il metodo iterativo si scopre che
 > la soluzione in serie per la seconda equazione c'� e mi sembra che
 > converga benone. Se non ho sbagliato il conto.
"Non e' proprio esatto" e' un eufemismo :)
In realta' avevo sbagliato in qualche punto che non ho cercato.
Ho invece scritto la serie che dici, e questa mi ha portato alla
soluzione.
L'equazione u'' + u/r^3 = 0 ha una soluzione regolare all'infinito, che e'
u(r) = \sqrt r J_1(2/\sqrt r).
Ovviamente ci sara' una seconda soluzione indipendente che ha un polo
all'infinito: \sqrt r Y_1(2/\sqrt r)
Tutte hanno una sing. essenziale in r=0.
Almeno per ora non so invece dire niente sull'equazione di partenza.
-- 
Elio Fabri