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Titolo: Esercizio di fisica. Autofunzioni simmetriche

Ciao a tutti.
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio e siccome fino a
giovedì non posso consultare il prof, vorrei sapere se è la strada
giusta:
data una particella soggetta a un potenziale armonico a simmetria
sferica U(r)= 1/2 k*r^2 trovare le autofunzioni che siano anch'esse a
simmetria sferica. Trovare poi i relativi autovalori.
Io procedo cercando delle autofunzioni del tipo u(r, teta, fi)= u(r)
cioè non c'è dipendenza dalla parte radiale.
E' corretto dire che la parte relativa alle armoniche sferiche ha come
numeri quantici L=0 e m=0? Mi pare che siano le uniche armoniche che
presentino la simmetria richiesta.
Se sostituisco queste funzioni nell'hamiltoniano ottengo un'equazione
per la sola parte radiale che mi risulta del tipo:
-h/2m d^2u/dr^2 + 1/2 k*r^2u = w u
<lo so, leggere la notazione via mail è un tormento><h è in realtà h
tagliato, w l'autovalore di u>
Questa non è altro che l'eq per le autofunzioni dell'oscillatore
armonico monodimensionale, per la quale posso usare i risultato
conosciuti <è un suggerimento del testo>.
A questo punto mi viene da dire che le soluzioni per la parte radiale
sono del tipo:
u(r)=Nn*Hn(ar)*e^[(-ar)^2]/2  dove Nn è una costante di
normalizzazione e Hn sono i polinomi di Hermit di grado n-esimo.
"a" è una costante che dipende da m,k e h.
Ora ho alcuni dubbi <il primo dubbio è "sto sbagliando qualcosa?"> :)
1) in effetti r va da 0 a infinito, mentre in genere la soluzione per
oscillatore armonico va da meno infinito a più infinito. questo
comporta una costante di normalizzazione diversa per le u(r) rispetto
a quelle che so ottengono dall'oscillatore classico. ci sono altre
conseguenze?
2) ho una perplessità riguardo lo stato fondamentale: questo dovrebbe
avere autovalore w=h*v*(n+1/) e se n=0 si ottiene che l'autovalore è
h*v(1/2). se però cerco le soluzioni in coordinate cartesiane, queste
sono il prodotto delle tre autof. relative alle tre coordinate u(x),
u(y), u(z). Ciascuna di queste porta un contributo all'energia dello
stato fondamentale, e si ha che per nx=ny=nz=0  l'autovalore è w=
h*v*3/2. POichè lo stato nx=ny=nz=0 è ovviamente a simmetria sferica,
qualcosa non torna...
Nello studio in coordinate sferiche dovrei avere che lo stato
fondamentale è quello con n=1 per ottenere medesimo autovalore...o
forse sto incasinando qualcosa
3) i polinomi Hn(ar) hanno parità definita da n, in particolare sono
pari se lo è n. Più ci penso e più mi convinco che solo le funzioni
con una certa parità possono essere le u(r) richieste ma non trovo
nessuna "evidenza" matematica
Se qualcuno avesse la pazienza di spendere un pò di tempo su un
problema <decisamente banale, lo so...ma non m itorna> gliene sarei
grato.
Un saluto.
Moonself

 grato.
Mi conquisto la tua gratitudine con poco sforzo :)
Ti sei dimenticato la condizione u(0)=0.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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                    Il 03 Dic 2004, 17:15, "Moonself" <trap...@NOSPAMtiscalinet.PUNTOit> ha
scritto:

Si in effetti l'errore sta nel modo in cui hai scritto il laplaciano
in coordinate sferiche. Se noti nell'espressione corretta hai
(1/r) d^2/dr^2 (r u)
allora in effetti l'equazione si riduce a quella per un oscillatore
armonico in una dimensione per la nuova funzione v = r u.
Le condizioni di bordo sono ancora differenti. Tuttavia puoi
sempre utilizzare le funzioni di Hermite per verificare l'equazione
nel dominio [0, +oo). Imponendo il vincolo che il modulo
quadrato della funzione d'onda sia integrabile otteniamo la
condizione che il quadrato di v sia integrabile che e' verificata
automaticamente dalle funzioni di Hermite. Tuttavia questo insieme
e' ancora troppo ampio rispetto alla fisica del sistema. Occorre infatti
richiedere che l'energia sia limitata e questa condizione non e'
compatibile con una divergenza nella funzione u se l'energia potenziale
e' limitata nei pressi dell'origine, di conseguenza v, nei pressi di zero,
deve comportarsi al peggio come r, di conseguenza v(0)=0.
la condizione che v(0)=0 implica, come avevi intuito, la condizione
che gli autovalori devono essere dispari e dunque troviamo autovalori
della forma (2k+1 + 1/2)h om. Questa condizione e' verificata
automaticamente dallo stato fondamentale ma non per esempio da
tutte le funzioni r * f(x)f(y)f(z) con f autofunzione dato che non tutte
queste
funzioni sono a simmetria sferica.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


Grazie della risposta :)
Però mi sfugge "leggermente" il perchè di questa condizione...Ora ci
penso un pò sopra.
A ogni modo hai davvero la mia gratitudine.
A presto.
Moonself

Riposto la risposta che avevo inviato il 6 Dicembre.
Ma apporto delle correzioni.
                    Il 03 Dic 2004, 17:15, "Moonself"
<trap...@NOSPAMtiscalinet.PUNTOit> ha scritto:

Si in effetti l'errore sta nel modo in cui hai scritto il laplaciano
in coordinate sferiche. Se noti nell'espressione corretta hai 
(1/r) d^2/dr^2 (r u) allora in effetti l'equazione si riduce a quella 
per un oscillatore armonico in una dimensione per la nuova funzione 
v = r u. 
Le condizioni di bordo sono ancora differenti.  Tuttavia puoi
sempre utilizzare le funzioni di Hermite per verificare l'equazione
nel dominio [0, +oo).  Imponendo  il vincolo che il modulo
quadrato della funzione d'onda sia integrabile otteniamo la
condizione che il quadrato di v sia integrabile che e' verificata
automaticamente dalle funzioni di Hermite. Tuttavia questo insieme
e' ancora troppo ampio rispetto alla fisica del sistema. 
ERRATA:
____ Occorre infatti
richiedere che l'energia sia limitata e questa condizione non e' 
compatibile con una divergenza nella funzione u se l'energia potenziale
e' limitata nei pressi dell'origine, di conseguenza v, nei pressi di 
zero, deve comportarsi al peggio come r, di conseguenza v(0)=0_____
In verita' forse si possono trovare esempi di funzioni divergenti
la cui energia cinetica non e' definita nell'origine 
e nella quale tuttavia e' prolungabile con continuita'. 
CORRIGE:
Le autofunzioni u di un'equazione di Schroedinger
con potenziale inferiormente limitato sono ovunque limitate. Di
conseguenza v(0)= r u(r) |0 == 0. Questa e' in effetti una condizione
piu' debole di quella che ho enunciato in precedenza. Questo
si verifica perche' V e' una funzione limitata inferiormente.
la condizione che v(0)=0 implica, come avevi intuito, la condizione 
che gli autovalori devono essere dispari e dunque troviamo autovalori 
della forma (2k+1 + 1/2)h om. Questa condizione e' verificata 
automaticamente dallo stato fondamentale ma non per esempio da 
tutte le funzioni r * f(x)f(y)f(z) con f autofunzione dato che non 
tutte queste funzioni sono a simmetria sferica.  
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

Hai ragione l'esercizio non e' difficile, basta ragionare in termini
di gradi di libertà del sistema.
L'equazione di Schrodinger di una particella nel campo U=1/2mw^2(x^2 +
y^2 + z^2) ammette la separazion edelle variabili che conduce a tre
equazioni del tipo dell'oscillatore armonico lineare. I livelli
energetici sono quindi
E = hw(n1 + n2 + n3 + 3/2)= hw(n + 3/2) con n=n1 +n2 +n3
Le autofunzioni a simmetria sferica sono quelle con l=0 e m=0.
La coordinata radiale "r" è definita positiva perchè rappresenta la
distanza della particella dal centro del potenziale, quindi varia tra
0 e infinito. Per tener comto di tutto lo spazio ci sono le variabili
angolari.
 in una dimensione la coordinata spaziale varierà tra -infinito e +
infinito.
comunque se vuoi saperne un po' di più guarda sul Landau 3 di
meccanica quantistica (teoria non relativistica) al capitolo V
paragrafo 33 esercizio 4.
buono studio
Marco

Grazie a tutti, veramente.
Moonself