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Titolo: aiuto elettromagnetismo

Abbiamo iniziato il corso di fisica B (elettromagnetismo) ed essendo
arrivati con Analisi ai limiti mi sono trovato abbastanza in difficoltà con:
-integrali di superficie;
-integrali di volume;
-gradiente;
-divergenza;
-teorema del rotore;
Ho provato a guardare il libro di Analisi, ma è troppo teorico...Qualcuno
saprebbe indicarmi dove trovare delle dispense che trattano gli argomenti
sopraelencati principalmente sul versante fisico?


Andrea Fusar Poli ha scritto:

Per conto mio proverò a fornirti una risposta "difficile", che richiederà
forse uno sforzo di astrazione, ma che -a mio avviso- potrebbe ampiamente
"risarcire" della faticaccia
Sebbene quel che sto per dire sia difficilmente proponibile in un corso
ufficiale, a mio avviso può essere molto illuminante venire quanto prima a
contatto con quello che Arnold definsce (non ti spaventare): <<formula di
Newton - Leibniz - Gauss - Green - Ostrogradskij - Stockes - Poincaré>>
Come vedi tutti i "grandi nomi" che hanno dato un contributo essenziale al
calcolo degli integrali, riuniti in una sola "formula" (ma si tratta -di
fatto- di un teorema).
L'importanza di questo teorema è quello di mostrarti che, alla fin fine,
tutti quei complicati teoremi sugli integrali dicono "la stessa cosa".
Spero sia chiaro quanto possa essere importante avere questa "visione
unitaria". Il problema è che per riuscire a raggiungere una prospettiva
abbastanza ampia da poter scorgere questa "unità" occorre mettere a punto
tutta una serie di strumenti matematici abbastanza complessi da definire in
modo rigoroso.
Se però accettiamo di essere "poco rigorosi", allora quella "formula
unitaria" non è poi così spaventosa come si potrebbe immaginare. La cosa più
importante da fare è usare i "differenziali" nella maniera "ingenua" in cui
li usavano i fisici in passato (e li usano ancora, ammettiamolo).
Per riuscire a mettere sulla pagina quella benedetta "formula" occorre compr
endere (almeno) due cose:
1)
Proviamo (intuitivamente) ad aggermare che una espressione del tipo
Adx + Bdy + Cdz + ...
è un differenziale dello "stesso ordine" di dx, dy, dz.
Mentre invece una espressione del tipo
A dx dx  +  B dx dy  + ...
sarà una espressione del "secondo ordine" rispetto a dx, dy, dz, eccetera.
Un'altra cosa che dovrebbe essere abbastanza intuitiva è che per passare da
una "forma differenziale" del tipo
A dx
ad una "grandezza finita", basta avere un "integrale semplice".
Mentre invece per ottenere una "grandezza finita"  da una "forma
differenziale" del tipo
A dx dy dz
occorre integrare "tre volte", ovvero calcolare un "integrale triplo".
Abbiamo allora che
Integrale n-plo di un "forma differenziale" del n-mo ordine = quantità
"finita"
(Qui i matematici si staranno stracciando le vesti, ma noi facciamo finta di
nulla).
2)
Adesso viene il bello, perché la seconda cosa da capire è che un "integrale"
è sempre l'"inverso" di un qualche "operatore differenziale".
Anche qui, anziché andare dietro ai complicati teoremi dei matematici,
potremmo aiutarci con un bel po' di *geometria* (non serve la fisica, come
dicevi tu, basta la geometria).
Ad esempio immagino tu sia in grado, tracciando il grafico di una funzione,
di "vedere" che l'integrale della funzione è pari alla superficie sottesa
dal grafico, e quindi dovresti anche essere in grado di "vedere" che
l'integrale della derivata di una funzione è pari alla differenza del valore
della funzione nelle estremità dell'intervallo di integrazione.
Ecco, in due-tre dimensioni e con integrali doppi o tripli le cose si fanno
assai più complesse, tuttavia c'è sempre un modo "geometrico" per
"accoppiare" certi "operatori integrali" con i rispettivi "operatori
differenziali inversi".
1) + 2)
E adesso proviamo a mettere assieme quanto affermato al punto 1) con quanto
affermato al punto 2)
Indichiamo con I[n] un integrale n-plo in k dimensioni (con k>n ovviamente)
e con D[n]f un operatore che associa ad una funzione f una "forma
differenziale" di ordine n.
Ad esempio se abbiamo f : R --> R si ha:
D[1]f = df/dx dx
Ebbene, in qualche modo bisogna che I e D si "annullino", quindi
I[n] D[n] f  ~ f
Ecco, adesso dobbiamo cercare di capire meglio quel segno "~"
Se tu consideri il caso semplice degli integrali e derivate delle funzioni
da R a R, vedi -come dicevamo- che l'integrale della derivata di f fatto
sull'intervallo [a,b] è uguale non proprio ad "f", ma alla differenza di f
calcolata nei punti a e b:
I[1] D[1] f  = Delta f
[a,b]              [a],[b]
Come vedi a sinistra c'è tutto l'intervallo [a,b], mentre a destra c'è solo
la "frontiera" di quell'intervallo, ovvero i punti a e b.
Come forse sai la frontiera di un insieme viene anche definita "derivato" di
quell'insieme, sicché potremmo scrivere così:
I[1] D[1] f = Delta f
[a,b]             D[a,b]
Non solo, ma potremmo fare qualcosa di più. Infatti "Delta", al pari
dell'integrale, è per certi versi una "somma". Ciò che lo distingue
dall'integrale è che:
1) Più che essere una "somma" è una "differenza", ma a questo possiamo
ovviare "orientando" la frontiera dell'intervallo [a,b] in modo tale che
f(b) si sommi e f(a) si sottragga (mentre ti dico questo comincia a pensare
al modo in cui si "orientano" le "frontiere dei volumi" -che sono poi le
superfici chiuse- nello spazio tridimensionale).
2) In secondo luogo l'integrale è una infinità di addendi, mentre il "Delta"
è un numero finito di addendi. Poco male: diremo che il "Delta" è un
integrale non singo-lo, ne tanto meno doppio, ma zeru-plo, così come si dice
che un punto ha "dimensioni zero".
Fatto questo la nostra formula diventa la seguente:
I[1] D[1] f = I[0] f
[a,b]             D[a,b]
Da leggersi così: l'integrale singolo del differenziale singolo di f
sull'intervallo [a,b] è pari all'integrale 0-plo di f sul derivato di [a,b]
E adesso possiamo anche generalizzare con gli integrali n-pli in k
dimensioni:
I[n] D[n] f = I[n-1] f
A                  D[A]
dove A è un insieme n-dimensionale di R^k, e di conseguenza D[A] è
(n-1)-dimensionale.
E così abbiamo anche capito che l'operatore D[n] più che essere l'"inverso"
di I[n] in generale lo "semplifica":
1) l'integrale da n-plo diviene (n-1)-plo
2) il dominio di integrazione da A diviene DA
E adesso siamo pronti per applicare questa formula generale ad una serie di
CASI PARTICOLARI:
A) funzioni da R a R (k=1, n=1,0)
A.1) : Teorema di Newton - Leibniz
Integrale su [a,b] della Derivata di f = Delta di f fra a e b
B) funzioni da R^3 a R^3 (k=3, n=3,2,1,0)
B.1) : Teorema di Gauss
Integrale (triplo) sul volume V della Divergenza di f = Integrale (doppio)
sulla frontiera di V (= superficie chiusa) di f
B.2) : Teorema di Stokes
Integrale (doppio) sulla superficie S del Rotore di f = Integrale (semplice)
sulla frontiera di S (= circuito) di f
B.3) :
Integrale (semplice) sulla curva L del Gradiente di f = Delta di f fra le
estremità di L
E così abbiamo elencato *tutti* i "teoremoni" sugli integrali.
Spero di essere riuscito nell'intento di farti vedere quella "unità" di cui
ti parlavo.
Altrimenti scusa per l'ulteriore confusione che devo averti prodotto.
Ciao,
Davide

Davide Pioggia ha scritto:
 > Per conto mio proverò a fornirti una risposta "difficile", che
 > richiederà forse uno sforzo di astrazione, ma che -a mio avviso-
 > potrebbe ampiamente "risarcire" della faticaccia
 > ...
Il problema che vedo e' che nella tua esposizione manca un pezzo,
senza del quale non si capisce perche' per es. nel teorema di Sokes ci
vada il rotore, o in quello della divergenza appunto la divergenza...
Anzi, i pezzi sono due.
1) Le tue forme differenziale "di secondo ordine" nn hai detto che
debbono essere antisimmetriche.
2) Manca la dualita', che ti permette di trattare une 3-forma come una
0-forma, con le dovute avvertenze.
Non puoi dire che lo fai per semplificare; non tanto perche' cosi'
avvilisci il lavoro del povero Cartan :) quanto perche' in realta' senza
quelle indicazioni manca il modo sicuro di collegare tutti i vari casi
particolari.
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 vari casi particolari.
Sì, ma secondo me un po' di "unità" nel mio discorso la si poteva cogliere.
Spero, ad esempio, che ora il nostro amico veda che un integrale triplo
diventa doppio, uno doppio diventa singolo, uno singolo diventa una
differenza. E contemporaneneamente un operatore differenziale che agisce
sulla "forma" da integrare si "trasferisce" al dominio di integrazione, che
viene trasformato nel suo "derivato".
E' una equazione che è "esteticamente entusiasmante".
Peccato che ora tu mi dimostrerai che non l'ho capita... ;-)
Ciao, grazie per gli spunti.
Davide

 vari casi particolari.
Sì, ma secondo me un po' di "unità" nel mio discorso la si poteva cogliere.
Spero, ad esempio, che ora il nostro amico veda che un integrale triplo
diventa doppio, uno doppio diventa singolo, uno singolo diventa una
differenza. E contemporaneneamente un operatore differenziale che agisce
sulla "forma" da integrare si "trasferisce" al dominio di integrazione, che
viene trasformato nel suo "derivato".
E' una equazione che è "esteticamente entusiasmante".
Peccato che ora tu mi dimostrerai che non l'ho capita...
Ciao, grazie per gli spunti.
Davide

Davide Pioggia ha scritto:
 > ...
 > So che tu sei contrario alla "divulgazione", però so anche che quando
 > vuoi sai dare delle belle spiegazioni "intuitive", per questo mi
 > interessa sapere come faresti tu (non è quindi una "sfida").
Beh qui non si tratta di divulgazione...
Caso mai, si tratta di quello che ogni buon insegnante dovrebbe fare,
ossia spiegare che cosa c'e' "sotto" al formalismo, il perche' di certe
scelte.
Pero' come farei io in questo caso non lo so, anche perche' non mi
sono mai trovato nella necessita'.
 > Io avrei seguito la strada a cui ho accennato poco fa.
 > ...
Di tutto quello che segue, io capisco poco.
Intendo dire che se non sapessi gia' le cose per conto mio, non ci
capirei niente...
 > Beh, qui direi che il discorso è in gran parte collegato a quello
 > precedente. L'unico termine che ci interessa è dxdydz, e quindi il
 > "coefficiente" è unico.
 >
 > E' vero che poi lo andiamo a "distribuire" tutto attorno alla
 > "diagonale di un cubo" per avere la nostra anti-simmetria, ma quel
 > "cubo antisimmetrico" ha un solo "grado di libertà".
 > Non puoi dire che lo fai per semplificare; non tanto perche' cosi'
 > avvilisci il lavoro del povero Cartan  quanto perche' in realta'
 > senza quelle indicazioni manca il modo sicuro di collegare tutti i
 > vari casi particolari.
 >
 > Spero, ad esempio, che ora il nostro amico veda che un integrale
 > triplo diventa doppio, uno doppio diventa singolo, uno singolo diventa
 > una differenza. E contemporaneneamente un operatore differenziale che
 > agisce sulla "forma" da integrare si "trasferisce" al dominio di
 > integrazione, che viene trasformato nel suo "derivato".
???
Cerco di prendere il problema da un altro lato.
Consideriamo il teorema di Stokes: la circuitazione di un campo
vettoriale lungo una curva chiusa e'uguale al flusso del suo rotore
suuna qualsiasi superficie che si appoggi a quella curva.
(Questo e' l'enunciato "antico", quelo che si trova su tutti i libri
di Fisica II che ne parlano.)
Nel linguaggio di Cartan diventa:
\int_@S w = \int_S dw
dove S e' una superficie (orientabile) dotata di bordo @S, w una
1-forma, dw la sua derivata esterna (una 2-forma).
Il problema e' far capire perche' ci vuole la derivata esterna, che
genera un tensore antisimmetrico, ossia una 2-forma.
E poi perche' invece dell'integrale di linea del campo vettoriale si
trova l'integrale ("tout court") della 1-forma.
Che relazione c'e' tra w e il campo vettoriale v? E tra dw e rot v?
Secondo esempio: il teorema della divergenza.
Nell'enunciato antico e': il flusso diun camo vettoirale attraverso
una superficie chiusa S e' uguale allintegrale della divergenza nel
volume racchiuso.
Notazione moderna:
\int_@V w = \int_V dw
identica alla precedente! E qui sta il bello, concordo con te.
Pero' attenzione: qui w e' una 2-forma, dw una 3-forma.
Ti ci vuole la dualita' per stabilire una corrispondenza tra una
2-forma (in tre dimensioni) e un campo vettoriale, e lo stesso per
scoprire che dw e' uno scalare moltiplicato per dx^dy^dz, e che quello
scalare e' proprio la divergenza di cui sopra.
E' sempre la dualita' che spiega come mai il flusso di v sia ora
diventato un "semplice" integrale della 2-forma w.
Insomma: se vuoi e' di nuovo una questione di divulgazione...
Mi pare che alla tua maniera si perda parecchio della sostanza. Al
piu' si coglie una vaga parentela, ma niente che permetta di
costruirci sopra qualcosa.
