Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Relazione tra simboli di Chritstoffel e metrica..

Salve a tutti, ci sono dei passaggi della costruzione dell'espressione dei
simboli di C. in termini della metrica $g_{\mu\nu}$ che non mi sono chiari.
Si sfrutta il fatto che la derivata covariante della metrica e' nulla:
$g_{\mu\nu ;\beta}=0$ [indico la derivata covariante con il ; e la derivata
ordinaria con la virgola], da qui esplicitando l'espressione della derivata
e con un po' di algebra si arriva al risultato. Il problema e' invece come
arrivare a dimostrare che tale derivata covariante e' nulla, l'idea dovrebbe
essere questa ma secondo me manca l'ipotesi che i vettori $A^\mu$ e $B^\nu$
siano costanti (vedi dopo) oppure c'e' qualcosa che non capisco:
Dato un vettore $A^\mu$ la sua lunghezza $A^\muA^\nu g_{\mu\nu}$ deve essere
invariante per trasformazioni di coordinate generali, analogamente se si
costruisce il prodotto scalare $A^\muB^\nu g_{\mu\nu}$, questo deve essere
invariante per trasporto parallelo (che e' diverso dal dire che e'
costante).
A questo punto il libro su cui sto studiando dice, senza fare ulteriori
ipotesi, che da questo segue che il precedente prodotto scalare ha derviata
ordinaria nulla: $(A^\muB^\nu g_{\mu\nu})_,\beta=0$, mi chiedo come e'
possibile questa cosa. Voglio dire che da questa identita' segue che anche
la derivata covariante e' nulla, e fino a qui sono d'accordo perche' il
trasporto parallelo per vettori con indici in basso ed in alto e' di segno
opposto e quindi i due contributi  si cancellano per costruzione, ma
rimangono le derivate ordinarie dei vettori che si cancellano solo se tali
vettori sono costanti, come si esce da questo impiccio? Mi sembra strano che
il libro trascuri di fare una ipotesi cosi' importante quindi sospetto che
ci sia qualcosa che non mi e' chiara nei passaggi precedenti.
Grazie mille per l'aiuto.
Saluti, Adriano

siano costanti (vedi dopo) oppure c'e' qualcosa che non capisco:
Nel caso euclideo il tensore metrico g coincide col tensore
di Kronecker: [(*)=prodotto tensoriale]
(1)	g=g_ik e^i(*)e^k=g^ik e_i(*)e_k=delta_i^k e^i(*)e_k
questa (1) mostra dunque l'uniformita` di g: [*=p. scalare]
(2)	e^i*e_k=delta^i_k
e porta al Teorema di Ricci: "La derivata covariante[*]
del tensore metrico e` identicamente nulla".
Questo teorema mostra anche che i coefficienti della
connessione non sono indipendenti dal tensore metrico,
ma sono in corrispondenza biunivoca con le derivate
parziali della metrica g_ik:
(3)	[ik,j]=1/2 (g_kj,i+g_ji,k-g_ik,j)
In questo caso euclideo i coefficienti della connessione
si chiamano infatti simboli di Christoffel di prima
specie: [ji,k], e di seconda specie: {ji^k}.
----------------
[*] Che testo hai? Perche' sembrerebbe che siamo rimasti
in pochi a chiamare "derivata covariante" la derivata
covariante:-(
Dalla nostra per fortuna c'e` pero` anche T. Regge che ci
da` man forte;-)  [cfr. la sua postfazione ai Fondamenti di
Meccanica relativistica; Levi-Civita; Zanichelli; (C) 1982]
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: remigioz tiscali it
			-- Linux 2.4.22 su Slackware 9.1

 covariante:-(
Come la chiamano adesso?
Ciao,
Corrado

Come la chiamano adesso?
Non la chiamano.
Invece intendono con "derivata covariante" cio` che in
realta` e` la derivazione assoluta.
La derivazione assoluta e` un caso particolare della
differenziazione assoluta di un campo di vettori
(o tensori) secondo un campo prefissato di altri vettori.
Di questo ne avevamo gia` parlato (qui stesso su isf)
circa un anno fa.. prova a cercare il thread: "Equazione
di evoluzione", e anche: "ancora sull'equivalenza massa
inerziale e gravitazionale".


Adriano Amaricci ha scritto:
 > Salve a tutti, ci sono dei passaggi della costruzione dell'espressione
 > dei simboli di C. in termini della metrica $g_{\mu\nu}$ che non mi
 > sono chiari. Si sfrutta il fatto che la derivata covariante della
 > metrica e' nulla:
 > ...
 > Il problema e' invece come arrivare a dimostrare che tale
 > derivata covariante e' nulla, l'idea dovrebbe essere questa ma secondo
 > me manca l'ipotesi che i vettori $A^\mu$ e $B^\nu$ siano costanti
 > (vedi dopo) oppure c'e' qualcosa che non capisco:
Premessa: la difficolta' a risponderti e' che non so di preciso come
sono stati introdotti i concetti base: derivata covariante e trasporto
parallelo.
Assumero' che ci sia una definizione di der. cov., e che il tr.
parallelo sia definito di conseguenza (ma su questo torno fra poco)
Per inciso, entrambi i concetti non richiedono la metrica.
Il problema che tiponi riguarda la condizione di compatiblita' tra
der. cov. e metrica, quando sono definite entrmabe.
 > Dato un vettore $A^\mu$ la sua lunghezza $A^\muA^\nu g_{\mu\nu}$ deve
 > essere invariante per trasformazioni di coordinate generali,
Va bene, ma che c'entra? Questo dice solo che il tensore metrico si
trasforma appunto come un tensore...
 > analogamente se si costruisce il prodotto scalare $A^\muB^\nu
 > g_{\mu\nu}$, questo deve essere invariante per trasporto parallelo
 > (che e' diverso dal dire che e' costante).
Questo e' appunto un modo di porre la condizione di compatibilita' che
dicevo.
Chiariamo. Hai due campi vettoriali, A e B (gli indici ce li mettero'
solo quando servono, e usero' indici latini per economia di scrittura).
Poi hai una curva: sulla curva sono definite le restrizioni di A e B,
dalla varieta' multidimensionale di partenza alla varieta'
unidimensionale che e' appunto la curva.
Prendi un punto p della curva, ed esegui il tr. parallelo di A, da p a
un generico punto q della curva: in questo modo definisci un _secondo_
campo vettoriale sulla curva, che chiamo A' per distinguerlo dalla
restrizione di A che ho detto sopra.
La legge che definisce A' e'
u^i A'^k_{;i} = 0  (1)
in ogni punto della curva, u^i essendo il vettore tangente.
La (1) esplicitata e' un'eq diff. del primo ordine, lineare, che
determina A' su tutta la curva appena lo assegni in un
punto.
Fai la stessa cosa con B, e ottieni B'.
A questo punto puoi calcolare il prodotto scalare di A' e B',
ovviamente usando il tensore metrico:
A'^i B'^k g_{ik}
Nota che g_{ik} lo prendi col suo valore, punto per punto sulla curva.
 > A questo punto il libro su cui sto studiando dice, senza fare
 > ulteriori ipotesi, che da questo segue che il precedente prodotto
 > scalare ha derviata ordinaria nulla: $(A^\muB^\nu
 > g_{\mu\nu})_,\beta=0$, mi chiedo come e' possibile questa cosa.
Il fatto e' che questa e' la condizione di compatibilita':
(A'^i B'^k g_{ik}),j = 0  (2)
se e solo se metrica e der. cov. sono compatibili.
Ora moltiplica la (2) per u^j, tieni presenti la (1) e la
corrispondente per B, sviluppa ... e troverai, chiedendo che tutto
valga per ogni curva e per tutti i vettori A, B, che g_{ik;j} = 0
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 prova a cercare il thread: (...)
grazie
Corrado

(o tensori) secondo un campo prefissato di altri vettori.
Ti aggiungo, visto che cerchi sempre approfondimenti, che
la differenziazione assoluta la ritrovi a sua volta come
caso particolare della generalissima derivata di Lie [*]
quando in essa e` costante il campo di vettori secondo cui
viene effettuata.
[*] IMHO e` la piu` generale perche' definita senza
l'intervento della connessione (ne e` indipendente)


 a sua volta come (...)
OK, grazie anche di questo.
Corrado

Ciao,
premetto che non ho seguito tutto il thread.
rez wrote:
 > Ti aggiungo, visto che cerchi sempre approfondimenti, che
 > la differenziazione assoluta la ritrovi a sua volta come
 > caso particolare della generalissima derivata di Lie [*]
 > [*] IMHO e` la piu` generale perche' definita senza
 > l'intervento della connessione (ne e` indipendente)
beh...non direi che la derivata di Lie e' piu' generale; bisogna stare 
attenti ad un importante particolare quando la si confronta con la 
derivata covariante:
la derivata di Lie e' di un *campo* vettoriale rispetto ad un'altreo 
*campo* vettoriale; la derivata covariante e' di un campo rispetto 
rispetto ad una "direzione" che puo' essere definita solo nel punto in 
cui si fa il calcolo.
Dunque IMHO la derivata di Lie e' semplicemente diversa...
ciao
vittorio

Dunque IMHO la derivata di Lie e' semplicemente diversa...
Be', vedi se ora mi e` riuscito di essere piu` chiaro e se
tu allora ti ci ritrovi, o se ti sembra ancora diversa.


 alla derivata covariante come dici qui.
non dico questo...ma forse ti sto fraintendendo e penso
che tu abbia capito quello che ho detto.
C'e' qualcosa pero' che non mi torna proprio nel tuo asserto:
"campo costante"? a meno che non si abbia una strututra particolare
sulla varieta', tipo una struttura affine, non ha senso dire che un campo
e' costante: lo puo' essere al piu' in qualche sistema di coordinate.
Ti diro' di piu': preso un campo vettoriale qualsiasi esiste sempre
un sistema di coordinate in cui questo e' costante...
ciao
vittorio

 un sistema di coordinate in cui questo e' costante...
per l'esattezza in opportuni intorni de punti in cui il campo non si
annulla...e se il campo e' abbastabza regolare.
ciao
vittorio
P.S.
forse parto e non sono sicuro di quando potro' riscrivere.

forse parto e non sono sicuro di quando potro' riscrivere.
Be', allora mi sa che conviene rimandare, anche perche'
forse converrebbe passare ad esempi, cosi` e` piu` facile
scriverli a macchina.


 derivata covariante della metrica e' nulla: $g_{\mu\nu ;\beta}=0$
Ciao, questo risultato è noto come "Teorema di Ricci". Ti copio e incollo in
formato LaTeX la dimostrazione, tenendo però conto che non sono sicuro che
sia corretta:
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
\begin{proof}
Sia $A^{\mu }$ un campo vettoriale arbitrario.
$A_{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\nu }$
$A_{\mu ;\alpha }=\left( g_{\mu \nu }A^{\nu }\right) _{;a}=g_{\mu \nu
;\alpha }+g_{\mu \nu }A_{;\alpha }^{\nu }$
ma \ $A_{\mu ;\alpha }=g_{\mu \nu }A_{;\alpha }^{\nu }$
che immessa nella precedente
$\forall A^{\nu },$ $g_{\mu \nu }A_{;\alpha }^{\nu }=g_{\mu \nu ;\alpha
}+g_{\mu \nu }A_{;\alpha }^{\nu }$ \ $\Longrightarrow g_{\mu \nu
;\alpha }=0$
\end{proof}
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
--
extrabyte

Ciao,
premetto che nonho seguito tutto il thread.
rez wrote:
 >> Ti aggiungo, visto che cerchi sempre approfondimenti, che
 >> la differenziazione assoluta la ritrovi a sua volta come
 >> caso particolare della generalissima derivata di Lie [*]
 >> [*] IMHO e` la piu` generale perche' definita senza
 >> l'intervento della connessione (ne e` indipendente)
beh...non direi che la derivata di Lie e' piu' generale; bisogna stare
attenti ad un importante particolare quando la si confronta con la
derivata covariante:
la derivata di Lie e' di un *campo* vettoriale rispetto ad un'altreo
*campo* vettoriale; la derivata covariante e' di un campo rispetto
rispetto ad una "direzione" che puo' essere definita solo nel punto in
cui si fa il calcolo.
Direi che semplicemente la derivata di Lie e' diversa...
ciao
vittorio