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Titolo: Legge oraria

Sono uno studente del Liceo Scientifico e vorrei iscrivermi a
Fisica....forse...un giorno!
:-)
Sto leggendo le prime pagine di un libro universitario dove si parla di
legge oraria. Ho compreso il concetto di punto materiale ed il fatto che un
alegge oraria possa essere espressa sia in forma vettoriale (descrivendo
l'evoluzione del vettore posizione), sia in forma cartesiana, esplicitando
le proiezioni sui tre assi del vettore posizione.
Ho capito fin qui? Mi è stato detto di sì (spero da un o che abbia a sua
volta ed a suo tempo capito).
Ho letto poi come si definisce la velocità istantanea e quella media.
Pensavo di trovare difficoltà con la prima, invece l'ho trovata per la
seconda.
Qual'è la difficoltà?
Eccola......
La velocità (vettore) media è definita come il rapporto tra la differenza
tra due vettori posizione (vettore spostamento) ed il tempo in cui tale
spostamento si è realizzato.
Sulla base di quanto sopra, la velocità media non è la velocità alla quale
il punto materiale giungerebbe dal punto A al punto B nel tempo considerato
PERCORRENDO la reale traiettoria che ha percorso per andare dallìuno
all'altro, bensi' percorrendo la traiettoria ideale che uniscei due punti.
Mi sbaglio?
Non si dovrebbe calcolarla come rapporto tra la distanza realmente percorsa
ed il tempo necessario per percorrerla?
Lo so che questo sarebbe vettorialemnte difficile o impossibile, ma con
l'intento di esprimere le cose in senso vettoriale, che utilità ha avuto
sostituire la vera traiettoria allo spostamento?
Forse non hoi capito niente io.
Grazie

 Lo so che questo sarebbe vettorialemnte difficile o impossibile,
non sbilanciarti prima di aver studiato a fondo la materia ;)
Tit.

 analitica del testo.
Il testo dice che la velocità media è definita come il rapporto tra il
vettore spospamento ed il tempo.
Il punto è che il vettore spostamento è la differenza vettoriale tra due
vettori posizione
Ed un vettore posizione indica, appunto, la posizione al tempo t.
Ergo....
....il modulo del vettore velocità media, è la distanza minima tra i due
punti considerati e non la effettiva traiettoria che li unisce.
Scusami, ma nopn ho ben capito se hai confermato che quanto sopra è corretto
o mi hai consgliato di analizzare bene il testo.
Molte grazie.

 realmente percorsa ed il tempo necessario per percorrerla?
Questa che dici adesso e' la velocita' *scalare* media, ed e' tutt'altra
cosa ... Due definizioni diverse, due concetti diversi!
Esempio: se tu vai da una citta' ad un altra in macchina, quella che vedi
indicata sul tachimentro e' la velocita' scalare, ed e' quella che ti
serve sapere (tempo di percorrenza, consumi, multe!) - della velocita'
vettoriale ti importa poco ... tu segui la strada che c'e', non sempre
puoi fare la traiettoria ideale ...
Altro esempio: gas che scorre in un tubo. Qui le velocita' medie (scalare
e vettoriale) possono essere molto diverse, ma hanno entrambe un senso. 
Una e' legata alla temperatura o, piu' in generale, allo stato 
termodinamico del sistema. L'altra e' legata al flusso ... e alla 
bolletta!
 Ciao
 Federico

 bolletta!
Non ho capito. Me lo spciegheresti meglio?
Grazie molte.

 effettivamente è così. 
Effettivamente per nulla. la velocita' media   e'  definita dalla 
differenza delle posizioni (lo spostamento vettoriale) diviso per il 
tempo necessario allo spostamento.
In tal modo la velocita'  media permette di ottenere lo spostamento 
medio. Che poi questa sia la quantita'  piu'  significativa in ogni 
circostanza e'  un'  altra storia.
Non e'  necessario andare in piu'  dimensioni. Immagina un punto che 
parte dall'  origine e percorre 10 cm verso destra un 1 s e subito dopo 
10 cm verso sinistra in un altro secondo.
Qual e'  lo spostamento complessivo ? 0
E la velocita'  media ? 0
Consistente , no?
Naturalmente, come nel caso del pollo di Trilussa questa informazione 
non racconta tutta la storia. La cinematica del sistema e'  diversa da 
quella di un punto materiale che resta nell'  origine per 2 s.
Per questo puo'  essere utile qualche altra quantita'  che caratterizzi 
anche la distanza percorsa, quindi senza tener conto del segno. Una 
possibilita'  corrisponde a calcolare la media del modulo della 
velocita'. Questo ci  da'  una quantita'  *diversa*, ne'  migliore ne' 
peggiore della velocita'  media. Ci da' solo un'  informazione diversa 
sul moto.
Allo stesso fine potremmo preferire alla media dei moduli la radice 
quadrata della media dei quadrati delle velocita' (velocita'  quadratica 
media). Di nuovo,  si tratta di una terza quantita'  media che 
caratterizza ulteriormente il moto nel suo complesso. E volendo si puo' 
  continuare...
Se vogliamo ,la perplessita'  originale dovrebbe essere estesa al fatto 
che per le proprieta'  medie (qualsiasi esse siano) ci sono sempre piu' 
  definizioni possibili di "media". Nessuna delle quali e'  *piu' 
giusta* ma hanno il ruolo di caratterizzazioni parziali in grado di 
evidenziare aspetti diversi del processo in esame.
Giorgio

 Consistente , no?
Un giorno mi sono staccato dalla Terra e sono rimasto fermo nello spazio 
rispetto al Sole. Dopo un anno la Terra è ripassata di lì e sono 
atterrato di nuovo a casa mia.
Ho fatto 2 conti: la Terra è tornata dov'era prima rispetto al Sole, per 
cui la sua vmedia era nulla. Quindi la velocità angolare media è essa 
pure nulla, come la quantità di moto media.
Insomma, è la rivincita di Parmenide.
Tit.

 Non ho capito. Me lo spciegheresti meglio?
Io te la porgerei diversamente.
Prendi un recipiente in quiete che contenga N particelle identiche di gas.
Visto che il recipiente è fermo, la media della somma vettoriale delle 
velocità delle N particelle deve essere nulla, altrimenti vorrebbe dire 
che almeno una parte di esse si sposterebbe complessivamente lungo una 
certa direzione.
Ora prendiamo una sola particella, una qualsiasi: in un istante 
qualunque la sua velocità vettoriale ha 3 componenti: vx, vy e vz. Il 
quadrato della sua velocità vettoriale è v²=vx²+vy²+vz², giusto?
Ora, visto che il recipiente nel complesso è fermo, hai qualche motivo 
per ritenere che una delle componenti della velocità sia *in media* (nel 
tempo) diversa dalle altre? No: possiamo senz'altro assumere che 
*mediamente* (nel tempo) le tre componenti della velocità siano uguali:
media(vx)=media(vy)=media(vz). Ci saranno delle fluttuazioni locali e 
istantanee delle varie componenti della velocità, ma nella media si può 
assumere che siano uguali.
Da cui si vede che v²=3 [media(vx)]², cioè
[media(vx)]²=[media(vy)]²=[media(vz)]²=v²/3.
Bene. Questo discorso lo abbiamo fatto per una singola particella. Se 
ora facciamo la media fra le N particelle, viene fuori un valore non 
nullo (anzi, è proprio quella v calcolata sopra).
Ecco: questo è un esempio in cui le velocità vettoriali hanno media 
nulla, ma le velocità scalari hanno media non nulla.
Tit.

 Molte grazie.
La velocità media di un punto che si muove lungo una traiettoria 
curvilinea dovrebbe tener conto dello spazio percorso, ma dipende anche 
da come è stato introdotto il discorso, cioè il contesto, se è un 
esempio, se il discorso si riferisce a una figura in particolare, ecc.
Ecco perché serviva riportare parola per parola il testo.
Ora, lungi da me la presunzione di mettermi in cattedra, però è capitato 
al mio prof. di analisi I (invero molto pignolo) di avere fra le mani un 
testo di analisi matematica di un autore sconosciuto e che, secondo lui, 
aveva scritto molte cose inesatte e/o confuse.
Per quello che è la mia esperienza ho avuto anch'io a che fare con 
stampe che, confrontate con i testi sacri, ho scoperto poco "ortodosse".
È chiaro che se un testo scritto da Ciccio Paciccio non collima con 
quello che scrive Dirac, sono naturalmente portato a dare più credito al 
secondo. Il confronto di più fonti può anche aiutarti ad avere più punti 
di vista, e ti assicuro che non è proprio poco.
Inoltre bisogna fare dei distinguo: se il testo è rivolto a studenti che 
devono avere giusto un'infarinatura di fisica (tipo biologia, medicina, 
farmacia, ecc.) un certo rigore estremo è meno richiesto (anche se in 
teoria non dovrebbe essere così): considera anche questo.
Concludo rassicurandoti che non ho visto molte applicazioni del tempo 
medio che ci metti ad andare da qui a lì su dei tornanti (questo in 
fisica. Per gli appassionati di gare in auto invece è un altro discorso).
Le medie che interessano nella fisica sono di altro tipo.
A te il piacere di scoprirle. ;)
Tit.

 tempo necessario allo spostamento.
La definizione riportata qui sopra è senz'altro quella corretta perché 
stabilita per convenzione (come è già stato detto), ma non è coerente 
con la definizione matematica di media (rapporto fra certi integrali), e 
con tutte le medie che ho visto fin'ora, dalla fisica statistica alla 
struttura della materia.
Oltre al fatto che nella dinamica come nell'elettrodinamica porterebbe a 
delle assurdità.
Tit.

 |v| = v
Volevo scrivere:
|V|=v
con V veloc. vett. e v velocità scalare.
A proposito. Ho fatto un mare di esercizi a scuola considerando la velocità
scalare. Chessò: calcola la velocità media di una automobile che impiega 2
ore per fare 100 km, oppure - anche in riferiemento alla velocità
istantanea - calcola la derivata in t3 della legge oraria s=s(t), ecc.
Insomma...nessuna tracia di vettori.
Fin qui tutto bene.
In questi esercizi però, spesso e volentieri si ricorreva a velocità
negative: ad esempio un corpo che cade dalla finestra ha velocità o
accelerazione negativa, unc orpo che sale ha segno positivo.
Ma, mi domando, il discorso del segno non dovrebbe essere esclusivo
dell'approccio vettoriale? Insomma il segno non indica altro che un verso ed
il verso non dovrebbe essere riferibile ala velocità. Cioè: un conto è
dire -30 °C, perche indichiamo che siamo al di sotto di uno zero
convenzionale, un conto è dire che la velocità è -30m/s....il riferimento al
verso è evidente. E' corretto questo discorso o forse in questi libri si
cerca di rubare qualche concetto vettoriale senza il coraggio di introdurre
per bene certi argomenti?
Grazie

 per bene certi argomenti?
forse vuole fissare certi concetti prima di passare ad un livello superiore.
Un vettore è definito anche da una direzione; se nel valore del modulo 
possiamo farci entrare anche il verso e trattare tutto in modo scalare, 
certamente le cose vengono facilitate, purché si stia attenti a non 
uscire dal seminato della direzione univoca (in questo caso verticale) e 
si stia attenti a concordare il verso di percorrenza. Qui, come si vede, 
ci entrano a pieno titolo i concetti vettoriali, ma per comodità, 
laddove sia lecito, si può ridurre tutto a grandezze scalari.
Tit.

 verso ed il verso non dovrebbe essere riferibile ala velocità.
Tu non puoi saperlo, ma hai toccato un tasto dolente...
Ora ti dico come la vedo io, ma avvertendo che esistono punti di vista
diversi, nei testi, fra gli insegnanti...
Senza contare che ce ne sono che semplicemente non hanno le idee chiare
e pasticciano.
Esistono in uso *tre* definizioni di velocita' media.
1) Quella vettoriale che conosci.
Di per se' non serve a niente: e' solo un passaggio per arrivare con
un limite alla velocita' istantanea, che e' davvero importante.
Non so se l'hai gia' visto, ma lo stesso gioco si ripete con
l'accelerazione: anche qui la cosa davvero importante e' l'acc.
(vettoriale) istantanea, dato che con la seconda legge della dinamica
e' connessa alla forza.
E qui i vettori ci vogliono proprio, perche' se la traiettoria e'
curva accel. e forza *non sono tangenti* alla traiettoria.
Tutto questo giustifica ampiamente la definizione, nonostante il suo
aspetto poco intuitivo.
2) Quella della vita pratica, che avete impropriamente chiamato scalare.
Ho detto impropriamente, perche' ci sono due possibili usi del termine
velocita' scalare, e si rischia di fare confusione.
Nessun problema finche' il moto si svolge sempre nello stesso verso,
ma quando ci sono "ritorni indietro" bisogna stare attenti.
La definizione della vita pratica e' quella che uso in una frase come:
"ieri sono andato e tornato da Firenze in due ore: velocita' nedia 90
km/h".
Dato che non so se sai d'integrali, te la definisco cosi': si
decompone il moto in tratti nei quali non ci sono inversioni; si sommano
i percorsi per ciascun tratto, _prendendoli tutti positivi_, e si divide
per il tempo totale.
3) Quella che il mio testo di meccanica razionale chiamava "velocita'
scalare".
Il concetto e' utile soprattutto quando la traiettoria e'
prestabilita, come una macchina in autostrada o simili. Ma trova
applicazione anche in altri casi.
Si procede cosi': sulla traiettoria, che sara' una certa curva, si
fissa un'ascissa curvilinea.
Se il concetto ti e' nuovo, ecco come si definisce.
a) Fissa un punto O (origine) e un verso positivo.
b) A ogni punto P della curva associa un numero reale (e' tradizionale
la lettera s) pari alla lunghezza dell'arco OP, preso col segno
positivo se P segue O nel verso positivo, negativo nell'altro caso.
c) Allora la legge oraria del moto e' individuata dalla funzione s(t).
Cio' fatto, hai gia' capito come si definisce la velocita' scalare
media: [s(t2) - s(t1)]/(t2 - t1).
Quello che hai incontrato negli esercizi e' un caso particolare,
quando la traiettoria e' rettilinea.
Se la vediamo cosi', in questo approccio i vettori non c'entrano.
Ora una chiosa per Titanicus.
Tutte e tre le definizioni di velocita' sono integrali.
La prima: {\int_t1^t2 [dr(t)/dt] dt} / (t2 - t1).
Con r(t) ho indicato il vettore posizione.
La seconda: {\int_t1^t2 |ds(t)/dt| dt} / (t2 - t1)
dove s(t) e' quello che ho definito sopra.
La terza: {\int_t1^t2 [ds(t)/dt] dt} / (t2 - t1).
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 ma quando ci sono "ritorni indietro" bisogna stare attenti.
Mamma mia...addirittura un professore universitario mi risponde. Ma per
correttezza ti devo dire che io sono solo uno studente di liceo, mi
dispiace.
Comunque vengo al dunque.
Ho studiato oggi per bene e credo di aver capito. Magari sarai tu stesso a
confermarmelo o a correggermi.
Lo farò schematicamente, per semplicità:
1) sia data la traiettoria di un punto materiale. In queste condizioni,
conoscendo la relazione s=s(t), cioè la legge oraria, possiamo descrivere
completamente il moto.
2) per applicare la legge oriaria nel caso 1), dobbiamo stabilire un'origine
ed un verso (ecco i segni meno davanti ai numeri, nel caso in cui, da
posizioni poste a destra dell'origine, si dovesse tornare indietro verso di
essa). E' meglio a questo punto usare la s=s0+s(t), nel caso in cui al tempo
zero il punto non si trovasse proprio nell'origine.
3) La relazione appena scritta ci dice a che distanza dall'origine, lungo la
traiettoria, si trova il punto al tempo ti, dopo essere partito, al tempo
zero, da s0.
4) qual è la velocità media? Ad es., riferendoci al tratto di strada
compiuto tra il tempo t1 ed il tempo t2, abbiamo: s(t2) - s(t1)/t2-t1 Il
limite, per deltat tendente a zero, mi dà la velocità istantanea al tempo
t1. Sia la velocità media che quella istantanea, possono essere positive o
negative, in riferimento al senso di percorrenza della traiettoria. Anche
gli spostamente su di essa possono essere positivi e negativi per la stessa
ragione e per dove è fissata l'origine. I vettori non c'entrano nulla.
5) se ora volessimo applicare la relazione di sopra ad una traiettoria
sconosciuta, avremmo un bel problema. Un grosso problema. Perchè questa
relazione mi dice che distanza ha percorso dall'origine il mio punto
materiale dopo il tempo t, ma non mi dice dove devo andare a beccare questo
punto di "arrivo".
6) ecco la necessità di introdurre uno strumento che mi dica come varia la
posizione nel tempo: il vettore posizione.
7) per realizzare ciò non devo far altro che usare tre relazioni scalari
(per il moto nello spazio tridimensionale): una per ognuno dei tre assi
coordinati del sistema di riferimento. Devo cioè far finta che ora ci siano
tre punti materiali, ognuno su una ascissa rettilinea (così rientriamo nel
caso della traiettoria prestabilita).
8) definiamo vettore spostamento la differenza (vettoriale) tra due vettori
posizione: quello al tempo t2 meno quello al tempo t1.
9) dividendo questo vettore per t2-t1, otteniamo la velocità vettoriale
media.
10) se faccio il limite per t2-t1 tendente a zero, ottengo la velocità
istantanea vettoriale al tempo t1.(è ovvio che questi limiti li calcolo per
ognuna delle tre leggi orarie e poi, con la regola del parallelogramma, mi
calcolo eventualmente il modulo della velocità istantanea al tempo t1).
11) il modulo della velocità istantanea al tempo t1 è uguale alla velocità
istantanea scalare che calcolerei al tempo t1 se la traiettoria mi fosse
nota a priori (con il procedimento elencato nei punti da 1 a 4).
12) se voglio sapere invece esattamente la lunghezza del pezzo di
traiettoria attraversata dal mio punto materiale durante l'intervallo t2-t,
devo moltiplicare la velocità del punto materiaele per t2-t1 (in caso di
moto uniforme). In caso di velocità istantanea non costante nel tempo, devo
integrare. Ma cosa?
13) Non lo so! Ma mi verrebbe da dire. Visto che devo ottenere uno scalare
(la lunghezza di un pezzo di traiettoria), devo integrare evidentemente il
modulo del vettore velocità istantanea nel tempo da t1 a t2. Cioè sommare
una infinita' di "piccolissimi" prodotti ottenuti moltiplicando ciascun
intervallino di tempo per il valore della velocità "scalare" in
quell'intervallino.
14) Cioè INTEGR|V(t)|dt  tra t1 e t2. Dove ho indicatop il modulo del
vettore velocità istantanea con |V(t)|
15) non mi viene purtroppo di integrare direttamente il vettore V(t) nel
tempo, perchè avrei come risultato una grandezza vettoriale. Forse qui
sbaglio più che altrove.
scusate se è lungo, ma la mia fatica per arrivarci (sempre che non sia stata
anche vana) non è stata più breve.
Grazie Professore.
AJ

 Tutte e tre le definizioni di velocita' sono integrali.
Quelle che hai dato tu mi trovano senz'altro d'accordo.
Il problema è la definizione di velocità vettoriale media riportata in 
precedenza: il rapporto fra il vettore spostamento r2-r1 e il tempo 
impiegato t2-t1 per percorrerlo, indipendentemente dal tragitto.
Pensandoci bene alla fin fine ci può stare come curiosità, ma in una 
definizione sarebbe da mettrci un po' di rigore.
Riguardo alle velocità, la velocità quadratica media è
media(v²)=3 * media(vx²);
io invece ho scritto [media(vx)]²; è comunque inesatto, visto che avrei 
dovuto scrivere [media(|vx|)]²; con questa dicitura si può scrivere
media(|v|)=(media(|vx|), media(|vy|), media(|vz|))
e quindi
|media(|v|)|=sqrt{[media(|vx|)]² + [media(|vy|)]² + [media(|vz|)]²}
il che vuol dire che la velocità "scalare" media (in realtà il suo 
modulo) è nulla se e solo se tutte e tre le velocità scalari medie (i 
loro moduli) sono nulle.
Da notare che questo, pur se simile da trarre in inganno, non ha nulla a 
che vedere con la teoria cinetica dei gas e il KT di Boltzmann. Lì si 
tratta, si, con media(v²), perché è un'energia cinetica media che si 
mette in gioco.
Tit.

 Con r(t) ho indicato il vettore posizione.
Questa, come è chiaro dal mio precedente post (ai punti 13-14-15) non la
capisco proprio.
E una "sommatoria" di prodotti tra la velocità vettoriale istantanea ed il
tempo. Il risultato credo sia necessariamente un vettore, ma non riesco a
capire cosa significhi, dove punti, ecc.
Grazie.
Alex_j

 si mette in gioco.
Lascia stare l'energia cinetica: si tratta solo di ragionare
correttamente coi vettori, i moduli, le componenti e le medie.
Alla fine te lo dico: forse e' giusto che Otelma guadagni piu' di te.
Il guaio e' che guadagna anche piu' di me :-)))


 di programmazione?
http://www.google.it/search?q=latex
(standard internazionale per l'editoria scientifica)
Tit.

 riesco a capire cosa significhi, dove punti, ecc.
Sai che cosa ci sta sotto?
Nientemeno che il cosiddetto "teorema fondamentale del calcolo
integrale": che l'integrale della derivata riproduce la funzione di
partenza.
(Non ho scritto questo perche possa aiutarti a capire, ma solo per
farti vedere che stiamo toccando le radici dell'analisi matematica.)
Prova a immaginare che al posto di dr(t)/dt, che e' la vel.
istantanea, ci sia la vel. media nell'intervallino delta t. che cosa
otterrai?
La risposta stavolta non te la do ;-)


 partenza.
Che brividi quel "fondamentale"......:-)
Quindi vuol significare che integrando la derivata r(t)/dt nel tempo,
riottengo la r(t) daccapo?  Se è così questo teorema è semplicemente
bellissimo......:-)))))
Comunque la cosa che mi ha colpito è che dai l'impressione di leggere
nella mente :-)
Sarà la bravura estrema, l'esperienza, ecc., ma capivi dove io volessi
andare a
parare meglio di me stesso!
Il mio prof di fisica, non pre criticarlo, quando gli chiedo qualcosa, mi
dice "ogni cosa a suo tempo". E' saggio, ma non ho capito per lui questo
tempo quando arriverà, perchè finora non mi ha mai risposto.
E poi io trovo più chiari i libri (di mio fratello) dell'Università: i libri
del liceo rendono tuto più complicato. Troppe parole e poche formule. Io con
le parole mi confondo, mentre le formule dicono bello e chiaro quello che
devi sapere. Anzi a volte credo che la fisica non usi la matematica solo
come linguaggio, ma che addirittura ne utilizzi i concetti stessi. E' una
sensazione che non riesco ad esprimere a parole. E' come se nella matematica
la
fisica ci fosse già tutta dentro, da sempre.
Grazie tante, davvero, per tutta la gentilezza e la disponibilità.
Ho riassunto qui tutte le formule individuate sulle velocità medie e su
distanze e spostamenti (non le commento perchè lo abbiamo già fatto
lungo tutto il thread):
a) v. scalari
--[s(t2)-s(t1)]/(t2-t1)
--{\int_t1^t2 [ds(t)/dt] dt} / (t2-t1)
--{\int_t1^t2 |ds(t)/dt| dt} / (t2-t1)
b) v. vettoriali
--[r(t2)-r(t1)]/(t2-t1) = {\int_t1^t2 [dr(t)/dt] dt} / (t2-t1)
--{\int_t1^t2 |dr(t)/dt| dt} / (t2-t1)
--{\int_t1^t2 [du(t)/dt] dt} / (t2-t1)
c) distanze e spostamenti:
--[s(t2)-s(t1)]
--{\int_t1^t2 [ds(t)/dt] dt}
--{\int_t1^t2 |ds(t)/dt| dt}
--r(t2)-r(t1) = {\int_t1^t2 [dr(t)/dt] dt}
--{\int_t1^t2 |dr(t)/dt| dt}
--{\int_t1^t2 [du(t)/dt] dt},
con u(t)
=  |r(t)/dt| se r(t)/dt e' diretto nel verso positivo
= -|r(t)/dt| nella'ltro caso.
Alex_j

 Esistono in uso *tre* definizioni di velocita' media...
....snip...
Ebbene si, il tasto e' dolente e siccome sto' lavorando proprio su una 
cosa simile vi spiego alcuni risvolti di quando si entra in medie piu' 
complicate come possono essere quelle della climatologia.
Come dice Elio Fabri, la definizione di media e' un integrale (o una 
sommatoria nei casi si abbia a che fare con variabili discrete).
La definizione di media <f> di una qualsiasi funzione, f, della 
variabile x e' data da
<f> = [\int_x1^x2 f(x) dx] / (x2 - x1)
Primo problema: nella discussione non e' stato menzionato, ma quello che 
ho scritto come x, potrebbe essere indifferentemente il tempo o lo 
spazio (o, in principio, altre cose ma... vediamo di non complicare 
ulteriormente).  Se considero che f e' la velocita' di un treno in 
funzione del tempo ottengo un valore ma se la considero in funzione 
dello spazio, in generale, ottengo un valore diverso.
Qualcuno usa simboli diversi: in genere < > per le medie spaziali e una 
barra sopra per le medie temporali.
Secondo problema: il tempo, per fortuna, ha una dimensione sola ma lo 
spazio...  Nel caso del treno non ha molto senso ma nel caso, per 
esempio, della temperatura dell'atmosfera ha senso definire una 
temperatura media spaziale in z (altezza) oppure in y (latitudine) o in 
y (longitudine) oppure delle combinazioni opportune.
Pensate che fino a poco tempo fa non si era d'accordo se la temperatura 
media dell'atmosfera stesse crescendo o no proprio per problemi di 
questo tipo.
Terzo problema trattato nei precedenti post: se la funzione da mediare 
e' un vettore occorre stare attenti al come calcolare il modulo medio 
ed, eventualmente, la direzione media.  Direi che e' stato spiegato.
Quarto problema aggiuntivo: quando si fanno le medie e' spesso utile 
calcolare la deviazione standard.  Se l'oggetto da mediare e' uno 
scalare, non ci sono problemi.  Se l'oggetto e' un vettore? Sono 
dolori... e, devo confessare umilmente, io non so cosa fare di quello 
che viene fuori. Gli statistici, probabilmente, sono piu' abili.
Non e' un problema cosi' astruso: supponiamo di dover calcolare la 
direzione e il modulo del vento medio durante la mattina in un certo 
posto e di dover dare anche una stima della deviazione dalla media.
Ho visto spessissimo fare le medie e le deviazioni standard dei moduli e 
delle direzioni nel modo sbagliato: loro ottengono delle deviazioni che 
sono numeri, sbagliati e forse inutili ma almeno hanno dei "numeri" 
(degli scalari)... io NO!  :-(
:-)
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca

 partenza.


 posto e di dover dare anche una stima della deviazione dalla media.
In questo caso la cosa da calcolare e' la matrice di covarianza, che
generalizza la varianza di una singola variabile, e da' informazioi
anche sulle correlazioni.


 ...
Rileggi con attenzione quello che hai scritto: ci sono alcuni svarioni
che spero saprai correggere da solo ;-)


> --{\int_t1^t2 [du(t)/dt] dt},
questi vanno bene con le correzioni di sopra.
Li ho trovati tutti?
Alex_j

 Il guaio e' che guadagna anche piu' di me :-)))
....strane ingiustizie...
Tit.

 Le condizioni di equilibrio si verificano anche con velocità non nulla.
Ciao,
 scusa, ma io non sono d'accordo ... in un recipiente pieno di gas, in cui 
il gas si muove globalmente verso una parete, come fai a parlare di 
equilibrio?
 Ciao
 Federico

 ahi ahi ahi....queste non sono vettoriali, ma scalari ;-)
No, qui c'e' ben altro.
Primo: a parte la questione dei segni, u e' comunque una velocita'.
Che ci sta a fare allora du/dt?
Dovevi scrivere
\int_t1^t2 u(t) dt / (t2-t1).
Secondo: r(t)/dt non solo te lo boccia qualunque matematico: te lo
boccio pure io (e pure Leibniz :-) ).
Se a denominatore mi metti un dt, voglio un d"qualcosa" pure a
numeratore.
L'origine dell'errore sembra la stessa per cui volevi integrale r(t),
ma in peggio.
Perche' l'integrale di r(t) ha senso da un punto di vista matematico,
anche se non si vede che significato fisico possa avere. Invece la
scrittura r(t)/dt non sta proprio in piedi.


fisico possa avere.
Quesrto significherebbe, alla luce di quanto sopra, che integrare r(t)
significa fare, analogamente alla [1]
\int_r1^r2 dr (  =\int_r(t1)^r(t2) dr(t)  )
Mentre
\int_t1^t2 dr(t),
non è l'integrale di r(t), ma l'integrale della velocità nel tempo.
C'ho capito qualcosa?
Grazie davvero per tutto, sto capendo moltissimo.
Alex_j

 A proposito del significato di quel dr.
Ti prego di leggere questo post dopo la mia risposta data al tuo ultimo
intervento. Colgo comunque ancora l'occasione per ringraziarti: credo ti
porti via un bel po' di tempo questa nobile attività. Ma ti garantisco che è
tempo ben speso :-)
Riguardo a quanto sopra ed a quanto scritto nel mio post (a cui accennavo
qui sopra), credo di aver capito .....forse....quale problema possa
nascondere quel dr(t).
Pensavo al seguente ragionamento (da un punto di vista matematico, non
fisico):
1) \int_t1^t2 dt
significa una cosa be precisa: possiamo chiamarlo l'integrale dell'unità
adimensionale "1" tra t1 e t2. Di fatto è uguale al prodotto di
(t2-t1)*1[''], sia in vaore che in dimensioni.
2) \int r(t1)^r(t2) dr(t) = \int_r1^r2 dr
significa quanto sopra, tal quale, con la sola differenza che al posto di t
ci metto r(t)
3)  1) e 2) non credo abiano alcun significato fisico se non quello di
esprimere come integrale quello che può essere facilmente scritto
altrimenti.
Penso ad esempio a:
\int_t1^t2 f(t)dt,
con f(t)=k, da cui:
\int_t1^t2 f(t)dt = k*\int_t1^t2 dt
in cui appare quell'integrale solo perchè trascino fuori una costante.
4) \int_t1^t2 ds(t)
con s(t) la distanza scalare del punto materiale, lungo la traiettoria,
dall'origine dell'ascissa curvilinea.
Questo è diverso da sopra. E questo era il mio errore (questa volta
concettuale e non "di battitura").
Chissa perchè pensavo questa relazione come equivalente a quelle di sopra.
In
realtà così non è, poichè devo tener conto del fatto che in questa non
integro tra s1 ed s2, ma tra t1 e t2. Quindi, mi domando, che razza di senso
ha quest'ultima?
L'unico che trovo è il seguente: forse significa che a ds (o, ciò che è lo
stesso, a ds(t)) devo sostituire una qualche relazione che preveda il
prodotto
tra qualcosa e dt.
Ecco perchè insisti, credo, a dirmi: guarda che non integri r(t) lungo t, ma
dr(t)/dt.
Insomma potrebbe essere questo il mio errore?
Quel ds(t) o ds o dr o dr(t) (a seconda dei gusti e di quale grandezza
vogliamo integrare nel tempo) rappresenta quindi IMHO una espressione a cui
sostituire una più idonea. Nel senso che se ho la relazione:
ds = vi*dt, con vi = velocità istantanea,
è ovvio che l'integrale del secondo membro
\int_t1^t2 vi dt = \int_t1^t2 [ds/dt] dt
debba essere uguale al quello del primo:
\int_t1^t2 ds [1]
Solo che confondevo questo sopra, con quest qui:
\int_s1^s2 ds [2]
che è sicuramente uguale (in quanto al risultato), al precedente, nel senso
che se integro i due membri di:
ds=vi*st
ottengo:
\int_s1^s2 ds = \int_t1^t2 [ds/dt] dt
ed essendo:
\int_t1^t2 [ds/dt] dt = \int_t1^t2 ds,
si ha che:
\int_s1^s2 ds = \int_t1^t2 ds
E' solo che per me la [2] ha anche un senso matematico più evidente che non
la [1]. Ed il senso è quello che ho scritto qui sopra ['']. L'altro [1],
invece, la vedo più come una "conseguenza" algebrica.
Grazie e ciao.
Alex_j

 A proposito del significato di quel dr.
Ti prego di leggere questo post dopo la mia risposta data al tuo ultimo
intervento. Colgo comunque ancora l'occasione per ringraziarti: credo ti
porti via un bel po' di tempo questa nobile attività. Ma ti garantisco che è
tempo ben speso :-)
Riguardo a quanto sopra ed a quanto scritto nel mio post (a cui accennavo
qui sopra), credo di aver capito .....forse....quale problema possa
nascondere quel dr(t).
Pensavo al seguente ragionamento (da un punto di vista matematico, non
fisico):
1) \int_t1^t2 dt
significa una cosa be precisa: possiamo chiamarlo l'integrale dell'unità
adimensionale "1" tra t1 e t2. Di fatto è uguale al prodotto di
(t2-t1)*1[''], sia in valore (t2-t1) che in dimensioni (secondi).



Penso ad esempio a:
\int_t1^t2 f(t)dt,
con f(t)=k, da cui:


4) \int_t1^t2 ds(t)




sostituire una più idonea. Mi spiego.
Sia:
ds = vi*dt, con vi = velocità istantanea,
è ovvio che l'integrale del secondo membro
\int_t1^t2 vi dt (= \int_t1^t2 [ds/dt] dt)
debba essere uguale anche a:
\int_t1^t2 ds [1]
Solo che confondevo questa qui sopra, con la seguente:
\int_s1^s2 ds  [2],
definita come sopra [''] e che ottengo integrando il primo membro. E che,
inoltre, è sicuramente uguale alla precedente [1], nel senso che se sono
vere le due seguenti relazioni:
\int_s1^s2 ds = \int_t1^t2 [ds/dt] dt
e:
\int_t1^t2 [ds/dt] dt = \int_t1^t2 ds,
è  necessariamente vera anche questa:
\int_s1^s2 ds = \int_t1^t2 ds
E' solo che per me la [2] ha anche un senso matematico più evidente che non
la [1]. Ed il senso è quello che ho scritto qui sopra ['']. L'altra [1],


 (Adesso vedrai le reazioni :-))) )
Visto che la butti su questo piano ... ancora non mi e' chiaro se tanto
(troppo) rigore matematico sia mai stato utile nello studio della fisica 
:-))))))))))))
 Saluti cordiali a tutti
 Federico

 tempo, poi staro' via fino alla fine della settimana.
Mi scuso moltissimo per questo mio post, ma da molti giorni sto aspettando
una tua risposta ai miei due ultimi post.
Non scrivo per metterti fretta, ci mancherebbe...
Ma solo per sapere se questo thread si è concluso oppure no.
Grazie e scusami tanto.
Alex_j

 Ma solo per sapere se questo thread si è concluso oppure no.
Sono io che debbo scusarmi, ma ho avuto una successione d'impedimenti,
in parte previsti e in parte no (inclusa la pre-influenza: niente a che
fare coi polli :-) ).
Cosi' si sono accumulati i ost ai quali avrei dovuto rispondere, e ho
deciso che la cosa migliore fosse di tagliare quelli che mi parevano
meno necessari.
Inoltre nel tuo caso ho perso il filo...
Facciamo cosi': se ti restano cose che vorresti sapere, ricomincia da
capo.
Pero' cerca di essere breve...


 A proposito del significato di quel dr.


 Grazie davvero per tutto, sto capendo moltissimo.
Bene, pero' per oggi mi fermo qui.
 
-- 
Elio Fabri

 \int_t1^t2 dr(t) = r(t2) - r(t1)
Questa e' giusta, ma non immagini quanto ci si discute sopra...
A proposito del significato di quel dr.
---------
In questa compare sia dr(t) sia l'incongruenza tra il differenziale ed i
limiti dell'integrale. In che senso dicevi che č giusta?
Grazie infinite

 i limiti dell'integrale. In che senso dicevi che č giusta?
Nel senso che ho sbagliato...
Insisto e ripeto: espressioni come ds(t) o dr(t) non vanno.
Tu dici: ma allora dr(t)/dt ?
Qui le cose si complicano, nel senso che nonostante non faccia piacere
ai matematici, anche la matematica non e' proprio una scienza esatta,
almeno nel senso che le notazioni non sono sempre impeccabili, e
risentono di residui storici.
Una notazione come df/dt (Leibniz) sta a indicare la derivata delle
funzione f(t) rispetto a t.
Non c'e' niente di male a esplicitare il fatto che f e' funzione di t,
scrivendo df(t)/dt.
Pero' la scrittura df/dt puo' venir letta come "rapporto tra
infinitesimi" (e cosi' l'intendeva Leibniz).
Oggi gli infinitesimi attuali sono banditi dalla matematica (a meno di
non salire all'analisi non-standard, ma lasciamo perdere...) e quindi
df/dt va letta solo come un simbolo unico per indicare la derivata.
Invece il dt, ds, dr che figura nell'integrale ha un altro ruolo, ed
e' anche parecchio discusso, ossia i matematici non sono tutti
d'accordo.
I piu' rigidi dicono che sta solo a indicare la variabile su cui si
integra, ma non ha alcun altro significato o funzione.
Storicamente, sai benissimo che e' il ricordo del fatto che
l'integrale e' il limite di una somma.
E poi c'e' un'interpretazione piu' sofisticata, che in certi contesti
diventa necessaria: quella di forma differenziale.
Ma queste non sono cose per te: sei troppo piccolo ;-)
Te l'ho citata (come l'analisi non-standard) solo per mostrarti che
anche la matematica va capita per gradi, e che si puo' tornare su cose
gia' note reinterpretandole in modo piu' complesso e profondo.
 
-- 
Elio Fabri

 Ma queste non sono cose per te: sei troppo piccolo ;-)
Nonno malvagio! Mi mandi a letto prima del carosello. :-((
Grazie.

 dy(t)/dt?
Mmm...
Qua prima di rispondere avrei bisogno di capire che cosa intendi tu
per differenziale...
Dov'e' che ne hai sentito parlare? Nel libro di analisi di tuo
fratello? :)
 
-- 
Elio Fabri

 scrittura r(t)/dt non sta proprio in piedi.
Ci risiamo. Prometto di rileggere ogni post dopo averlo scritto, da ora e






r(t)/dt...........
al posto di :
dr(t)/dt

----------------------
fine citazione.
Grazie.

 sei perso nel periodo della febbre.
Hai ragione: me n'ero dimenticato.
Cosi' ora non ho piu' scuse, e debbo proprio risponderti :)
Mi pare che la questione fosse se sia corretta una scrittura come
dy(t)/dt e l'altra \int dr(t).
Sulla prima, direi che puo' essere criticata da un purista, ma mi pare
accettabile ed e' sicuramente in uso.
Puo' essere criticata perche' a rigore il differenziale ddelle
funzione y(t) dipende da due cose: dal punto t e dall'incremento (che
puoi chiamare dt).
Quanto alla seconda preferirei non usarla, anche se scommetto che
guardando libri di fisica si troverebbe...
La ragione sta in qualcosa che mi pare di aver gia' detto: in un
integrale il dr ha un significato un po' complicato e anche
controverso, ma di sicuro non e' la stessa cosa del differenziale
della funzione r(t).
Infatti \int dr ha senso senza che si debba pensare r come funzione di
t: basta che sia specificata la curva lungo cui si calcola
l'integrale.
 
-- 
Elio Fabri