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Titolo: una carica si muove di moto uniforme crea un campo magnetico?

Come da oggetto:
una carica (lo so che è paradossale che una sola carica si muova, di
solito è in buona compagnia), si muova di moto rettilineo uniforme,
varia così il flusso del campo E e quindi, per la legge di maxwell
derivata dalla legge di Ampere, si crea B attraverso il termine della
corrente di conduzione.
D'altra parte però se io la vedo come una corrente "costante" (non so
se il moto uniforme mi autorizzi a farlo) posso pensare che sia il
termine della corrente di conduzione che crei B.
Sotto forma di quale dei due termini la carica crea B?
Se invece il moto della carica è circolare uniforme sappiamo dalla
letteratura che questa crea una onda elettromagnetica. D'altra parte
però quando si parla  ad esempio di spire circolari percorse da
correnti costanti (e il moto della carica che si muove di moto uniforme
a questo la paragono) si parla di campi magnetici costanti e non di
campi magnetici variabili gli unici che motiverebbero la creazione di
onde elettromagnetiche.
Grazie a chi mi darà una risposta

 onde elettromagnetiche.
Se provi a calcolare la potenza dissipata sottoforma di radiazioni
elettromagnetiche (radiazione di sincrotrone) da una carica (elettrone) in
moto in una spira metallica percorsa da corrente ottieni dei valori
insignificanti: secondo i miei calcoli (spira di 10 cm di diametro
percorsa da una corrente di 1 A) qualcosa dell'ordine di 10^[-80] J/s.
Anche sommando su tutti gli elettroni presenti nella spira l'intensità
della radiazione di sincrotrone teorica resta molto al di sotto della
soglia di rivelabilità; oltretutto la lunghezza d'onda della radiazione
dovrebbe essere estremamente lunga (ma questo non l'ho calcolato).
Saluti,
Aleph  
-- 
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Il campo della carica in moto rettilineo uniforme lo trovi risolvendo
le equazioni di maxwell, includendo fenomeni di induzione! Sta ben
attento quindi a non dire che la circuitazione di B è proporzionale al
flusso di corrente, ma al flusso di corrente e di corrente di
spostamento.
In pratica il campo è variabile rispetto al tempo, ma è una funzione
che può essere espressa in questo modo:
E(x,y,z,t)=E(x-vt,y,z) ...cioè è come se il campo "traslasse" alla
stessa velocità della carica.
La carica NON irraggia...infatti esiste un riferimento inerziale in cui
la carica è ferma, in cui hai il solito campo elettrostatico che va
come 1/r^2 e non hai irraggiamento. Se non irraggia in questo sistema
di riferimento, non irraggia neanche nell'altro.
Le onde elettromagnetiche ci sono, ma non sono emesse dalla carica. In
realtà sono le regioni di spazio vuoto che trasmettono energia e
quantità di moto alle regioni contigue in modo che il campo
elettromagnetico "si sposti" insieme alla carica.
Trovare la soluzione dei campi con le equazioni di Maxwell in forma
integrale (circuitazioni e flussi invece che rotori e divergenze) mi
sembra piuttosto difficile, e alla fine dovresti ridurti a calcolare
circuitazioni su curve infinitesime comunque, per cui tanto vale usare
le equazioni di Maxwell in forma differenziale.
Sei uno studente del liceo? Anch'io non capivo un'acca in questi casi
di elettromagnetismo, ma dopo avere imparato a maneggiare le equazioni
di maxwell anche in forma differenziale tutto è diventato più chiaro.
Ti dico due cose che ti permettono di capire rotore e divergenza:
divergenza=densità di flusso
rotore=densità di circuitazione
Magari sarò uno stupido ad avere bisogno del calcolo differenziale per
capire questi casi, ma diventano spesso troppo complessi per essere
trattati solo intuitivamente.
Tutta via c'è uno strumento abbastanza comodo che si ricava dalle
equazioni di maxwell: i potenziali ritardati. Hanno delle forme molto
simile ai potenziali elettrostatici e magnetostatici, solo che
includono il ritardo di tempo. Con i potenziali ritardati si trovano in
modo relativamente semplice i campi magnetici ed elettrici della carica
in m.r.u.

 elettromagnetico "si sposti" insieme alla carica.
Sono d'accordo che c'e un trasferimento di energia e q. di moto da un
punto all'altro dello spazio, ma non parlerei di "onde e.m."
Infatti questo trasporto e' localizzato, si annulla all'infinito come
1/r^4, e quindi non lo vedo come un'onda.
Se vuoi e' una questione di definizione, ma dato che stiamo spiegando
a uno che non sara' un esperto, e' bene essere cauti con le parole...
 
-- 
Elio Fabri

 calcolato).
La lunghezza d'onda sarebbe facilissima da calcolare, visto che il
periodo lo sai...
Ma il fatto e' che quando sommi su tutti gli elettroni la radiazione
emessa *si cancella completamente*
Il motivo e' semplice: elettroni che si trovano in punti diversi della
spira emettono onde sfasate l'una rispetto all'altra, e la somma sugli
elettroni significa in sostanza integrare un seno (o un coseno) da 0 a
2pi.
 
-- 
Elio Fabri

Infatti con una distribuzione di carica circolare CONTINUA, con il
cerchio che ruota a velocità angolare costante, non c'è
irraggiamento. Il sistema non è statico, ma è stazionario.
Il campo elettrico è il campo elettrostatico dato da un anello
circolare di carica, il campo magnetico è quello di una spira di
corrente.
Comunque tornando al caso della carica in moto rettilineo uniforme, ho
detto che le parti di spazio vuoto "emettevano onde elettromagnetiche"
perché obbediscono esattamente all'equazione d'onda di D'Alembert.
Quando una parte di spazio vuoto trasmette energia e qm la trasmette a
velocità c. Apparentemente la quantità di moto e l'energia del campo
si sposta a velocità v (velocità della carica), ma credo che sia un
classico esempio di "velocità di fase", in cui per questione di
sincronismi tra onde che viaggiano tutte a velocità c si ha
l'impressione che l'informazione viaggi a velocità diversa da c.

di riferimento, non irraggia neanche nell'altro
Ora seguimi però in questo calcolo:
C(B)=fi'(E) (derivata del flusso fi(E) attraverso S)
ora il flusso del calpo creato da q attraverso S risulta:
fi(E) =S*kq/r^2
se r=v*t
allora
fi(E) =S*kq/(v^2*t^2)
da cui
C(B)=fi'(E) =-2/t^3*(Sk/v^2)
da cui
C(B) è variabile nel tempo e quindi dovrebbe irradiare.
Dov'è l'errore? Visto che il tuo ragionamento mi convince?
Grazie

 l'impressione che l'informazione viaggi a velocità diversa da c.
Qui secondo me ci sarebbe da discutere.
Come definisci la velocita' alla quale viaggia l'energia (e la qm)?
(BTW, l'informazione la lascerei stare: qui non ha nessun ruolo, e
forse (secondo me) non ne ha mai...)
Vedo un solo modo: so calcolare punto per punto la densita' di
energia U, e la densita' della sua corrente S (vettore di Poynting).
Definisco la velocita' come S/U.
Sono pronto a scommettere che con questa definizione il risultato e'
v.
Risulta c solo in casi particolari, come le onde piane; ma non in
generale.
 
-- 
Elio Fabri

Be', prima di tutto:
il campo elettrico della carica in mru, quando ha velocità v diversa
da 0, non va come 1/r^2, ha un andamento un po' più complicato.
Dipende anche dall'angolo theta che forma il tuo raggio con il vettore
velocità.
La formula è:
E=(q/(4piepsilon)*(1-v^2/c^2)*[1-(v^2/c^2*sin(theta^2)]^(-3/2)*1/r^2
Ci sono diversi modi di dedurla. Ora è più usato dedurla dal campo
elettrostatico della carica ferma con delle trasformazioni
relativistiche.
Ma non è necessario sapere relatività per trovarla. In realtà ci si
può arrivare semplicemente usando le equazioni di Maxwell.
Seconda cosa, anche se il campo andasse come 1/r^2 nel riferimento in
cui la carica è in moto, non credo sia giusto il tuo modo di calcolare
il flusso. Il flusso non è solamente campo per superficie, ma
l'integrale di campo PRODOTTOSCALARE dS.
E poi chi ti dice che r(t) (la distanza dal punto in cui calcoli il
campo e la carica) va come v*t ?
sia theta(0) l'angolo che r(t) forma all'istante 0 con v.
r^2(t)=[(r(0)*cos(theta(0))-vt)^2+(r(0)sin(theta(0))^2]=r^2(0)-2r(0)cos(theta(0)vt+v^2*t^2
come vedi ha un'andamento un po' più complicato.
Posso dirti in breve perché il campo elettrico della carica in mru non
va come q/r^2.
Il campo 1/r^2 è soluzione delle equazioni di maxwell per E se supponi
che C(E)=0 (campo conservativo). Qui invece hai un campo magnetico
variabile quindi non è vero che C(E)=0, e quindi il campo 1/r^2 non è
più una corretta soluzione.
Prima di darti una traccia su come trovare il campo elettrico e
magnetico della carica in mru, devo farti notare una cosa: è vero che
i campi elettrici e magnetici sono variabili nel tempo, ma non
significa per questo che la carica debba irraggiare.
Vedila in questo modo: puoi dire con le eq di Maxwell che la
circuitazione di E dipende da dB/dt, ma viceversa puoi anche dire che
data la circuitazione di E determini dB/dt.
Idem per la relazione tra circuitazione di B e dE/dt.
Il campo ha una forma tale a ogni istante per cui le circuitazioni sono
tali da darti esattamente la dE/dt e la dB/dt che serve per fare
cambiare il campo, ossia in questo caso il campo "si sposta" a
velocità v insieme alla carica; una definizione più precisa di questa
affermazione è dire che le soluzioni del campo E e B per la carica in
mru sono:
E(x,y,z,t)=E(x-vt,y,z)
B(x,y,z,t)=B(x-vt,y,z)
che è coerente con il fatto che la distribuzione di carica e di
densità di corrente nello spazio si sposta anche essa a velocità v:
rho(x,y,z,t)=rho(x-vt,y,z)
J(x,y,z,t)=J(x-vt,y,z)
Questo significa che il campo di per se ha una forma tale per cui le
regioni di spazio vuoto trasmettono spontaneamente energia e qm alle
regioni adiacenti.
Trovare la soluzione del campo con le equazioni di maxwell non è
semplice, però intuitivamente ragionando sulle simmetrie e sulle eq di
maxwell si possono dedurre alcune cose che ti semplificano la
risoluzione del problema.
Per prima cosa, vedi subito che il campo ha simmetria di rotazione
attorno all'asse dato dalla carica e dalla sua velocità. Se esprimi il
campo in coordinate sferiche: r=distanza dalla carica, theta angolo tra
raggio vettore e velocità, phi la "longitudine" (cioè l'angolo di
rotazione rispetto all'asse), ti viene che i campi non dipendono dalla
variabile phi.
Notiamo un'altra simmetria dei campi E e B: E(+theta)=E(-theta), con
theta che va da 0 a pi.
Alla fine sfruttando simmetrie, circuitazioni e flussi si dovrebbe
potere dedurre che c'è un campo elettrico radiale E che dipende da r e
da theta, e un campo magnetico lungo linee circolari che dipende anche
lui da r e da theta.
A questo punto usi le equazioni di maxwell in questo modo: fai
circuitazioni e flussi su curve e superfici di dimensioni infinitesime,
per cui ti verranno delle relazioni con le derivate parziali di E e di
B.
Ti compariranno per via delle leggi dell'induzione anche dei termini di
derivazione rispetto al tempo, ma puoi convertirli in derivazione
rispetto allo spazio ricordando che la carica è in mru:
DE/Dt=DE/Dr*Dr/Dt+DE/Dtheta*Dtheta/Dt
Dr/Dt=-vcos(theta)
Dtheta/Dt=(v/r)*sin(theta).
e alla fine dovrai risolvere le eq alle derivate parziali nelle
variabili r e theta.
Ah a proposito, credo che dalla legge di gauss si possa dedurre che il
campo E si possa scrivere nella forma:
E=1/r^2*f(theta)
cioè si possono separare le variabili r e theta.
Infatti, se fai il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa
infinitesima, che è delimitata da r e r+dr, theta e theta+dtheta, phi
e phi+dphi, il flusso è circa:
d(E*r^2)*angolosolido(dtheta*dphi)
questo flusso dev'essere nullo (nello spazio vuoto non c'è carica, per
cui:
d(E*r^2)*angolosolido(dtheta*dphi)=0
dividi per angolosolido(dtheta*dphi)*r^2*dr (che rappresenta il volume
di quella superficie chiusa infinitesima):
(1/r^2)*d(E*r^2)/dr=0
d(E*r^2)/dr=0
da cui deduci che E*r^2 dipende solo da theta.
E*r^2=f(theta)
E=f(theta)/r^2
calcoliamo il flusso di E attraverso una calotta sferica che forma un
angolo theta rispetto alla velocità v, centrata ovviamente sulla
carica:
integrale da 0 a theta di [1/r^2*f(s)*2pi*r*sin(s)*r*ds]=integrale da 0
a theta di [2*pi*f(s)*sin(s)] *ds
come vedi il flusso non dipende da r ma solo dall'angolo theta della
calotta.
quindi sia flusso(E)=g(theta)
dflusso(E)/dt=dg/dtheta*dtheta/dt)=2*pi*f(theta)*sin(theta)*(v/r*sin(theta))
facciamo la circuitazione di B lungo il bordo della calotta (ricordando
che per definizione mu_0*epsilon_0=1*/c^2) e usiamo la legge
dell'induzione per avere:
B*2pi*r*sin(theta)=(mu_0*epsilon_0)*2*pi*f(theta)*sin(theta)*(v/r)*sin(theta)
[*] B=(v/c^2)*f(theta)*sin(theta)*(1/r^2)=(1/c^2)*v*E*sin(theta)
ossia B=(1/c^2)*v(prodottovettore)E .... questa relazione torna spesso
comoda, ovviamente vale solo per i campi di una singola carica in moto,
ma puoi riutilizzarla quando ad esempio hai diverse cariche che si
spostano tutte con la stessa velocità)
ok, allora ci resta solo da trovare la misteriosa f(theta), usiamo
quindi l'altra legge dell'induzione.
Calcola la circuitazione di E su una curva infinitesima delimitata da
(r,theta), (r+dr,theta), (r+dr,theta+dtheta),(r,theta+dtheta). Questa
vale circa:
-d(E)/dtheta*(dtheta)*dr
la circuitazione dev'essere pari a -dflussoB/dt, cioè in questo caso
flusso di (-dB/dt)
(-dB/dt)*r*dtheta*dr
d(E)/dtheta*(dtheta)*dr=(dB/dt)*r*dtheta*dr
[**]  dB/dt=[dE/dtheta*1/r]
ora tu sai che:
dB/dt=dB/dtheta*dtheta/dt+dB/dr*dr/dt
dtheta/dt=v/r*sin(theta)
dr/dt=-vcos(theta)
quindi
dB/dt=dB/dtheta*v/r*sin(theta)+dB/dr*[-vcos(theta)]
abbiamo visto prima che:
E=1/r^2*f(theta)
B=1/r^2*f(theta)*(v/c^2)*sin(theta)
arrivi finalmente con sostituzioni all'equazione differenziale:
(df/dtheta)*[1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]=3*(v^2/c^2)*f*cos(theta)*sin(theta)
la riscrivi come:
(df/dtheta)*(1/f)=3*(v^2/c^2*cos(theta)*sin(theta))/[1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]
il termine a sinistra è derivata del log naturale di f, quello a
destra è la derivata di (-3/2)*log([1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2])
quindi:
log(f)=(-3/2)*log([1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]+c
f=k*[1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]^(-3/2)
per cui abbiamo quasi trovato l'espressione di E (ci manca solo la
costante arbitraria k)
E=1/r^2*f=(1/r^2)*k*[1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]^(-3/2)
per trovare k imponi semplicemente che il flusso di E su una sfera sia
pari a q/epsilon....
abbiamo rispettato tutte le equazioni di maxwell?
Bè, vediamo: legge di gauss per il campo elettrico: l'abbiamo usata
nei calcoli, quindi è rispettata
legge di faraday-lenz: l'abbiamo usata nei calcoli, quindi è
rispettata:
legge di gauss per il campo magnetico: il campo ha linee circolari e
non dipende dall'angolo di rotazione phi, per cui il flusso è sempre
nullo: rispettata;
legge di maxwell/ampere: l'abbiamo usata nello spazio vuoto, e viene
rispettata...abbiamo rispettato anche la legge di gauss per il campo
elettrico, quindi dovremmo automaticamente averla rispettata anche
nelle zone in cui c'è una densità di corrente: data una qualsiasi
curva chiusa su cui calcoli la circuitazione, puoi scegliere tu una
qualsiasi superficie su cui calcolare il flusso del vettore
J+epsilon*dE/dt...quindi puoi fare una superficie che viene "bucata"
dalle linee di flusso solo nelle zone in cui J è nullo.

Per quanto riguarda il discorso del vettore di Poynting, credo che la
mia interpretazione si possa accordare in questo modo: vediamo ogni
singola zona di spazio vuoto come "sorgente" di onde elettromagnetiche,
irraggiate in tutte le direzioni (con intensità variabile a seconda
della direzione). Le onde "emesse" da ogni elemento di spazio vuoto si
spostano a velocità c. Tuttavia la loro sovrapposizione può essere
tale da spostarsi a velocità diversa da c.
Credo che anche se fisicamente non è un'interpretazione giusta, si
possa usare l'interpretazione dello spazio vuoto come mezzo elastico,
in cui ogni zona di spazio occupata dal mezzo può essere vista anche
come sorgente. Quindi allo stesso modo possiamo vedere ogni zona di
spazio vuoto come "generatrice" di un campo nel resto dello spazio.
Mentre è valido il principio di sovrapposizione per E e B, per S/U non
è valido (S è bilineare in E e in B, U è non lineare in E e in B).
Le chiedo, possiamo scomporre il campo totale E e B in campi E_i e B_i
tali per cui (S_i/U_i), ma S_tot/U_tot (che ripeto, NON è
assolutamente la somma di S:i/U_i) NON ha modulo c, ma anzi forse è
anche necessariamente inferiore a c?
Credo che il termine "informazione" possiamo vederla anche
matematicamente come la velocità con cui si propagano le condizioni
iniziali nella nostra PDE....che è appunto c

Scusate piccola nota al post di prima,
quando parlavo dei campi E_i e B_i generati da ogni elemento si spazio
vuoto, ho scritto "tale per cui (S_i/U_i)" senza completare la frase...
la frase era "tale per cui (S_i/U_i) ha modulo c"

 2pi.
Vero, anche se mi creava qualche dubbio il fatto che dal punto di vista
della velocità di drift gli elettroni siano soggetti a un moto collettivo
ordinato.


 2pi.
Ripensandoci la spiegazione qualitativa che hai dato sopra non mi convince
del tutto. E' noto che negli acceleratori di particelle circolari, gli
elettroni, anche quelli in volo stazionario (modulo di v costante),
emettono una gran quantità di radiazione di sincrotrone. Ora come mai in
questo caso i contributi dei vari elettroni, che possiamo pensare
omogeneamente distribuiti lungo un percorso circolare, danno un contributo
netto positivo all'emissione e non si annullano vicendevolmente? 
Risposta: "Perché sono in fase in quanto partecipano a un moto collettivo
dalle caratteristiche comuni". Bene, ma allora cosa c'è di concettualmente
diverso (a parte la situazione fisica molto differente esistente tra gli
elettroni in lento moto di "deriva" all'interno di una spira circolare
metallica e gli eletroni in moto nel "vuoto" di un anello di
accumulazione? Non sono forse entrambi soggetti a moti collettivi in fase?
A questo punto probabilmente la risposta più corretta alla domanda di
rofilippi resta la prima: "L spira non irradia poiché, dati i parametri
fisici in gioco, l'irradiazione è del tutto trascurabile".


 annullano vicendevolmente?
Bello questo esempio...
Pero' non e' vero che gli elettroni siano distribuiti omogeneamente:
sono in "bunches", e penso che la differenza sia tutta qui, inseme al
fatto che sono ultrarelativistici.
Mi spiego.
Considera elettroni in moto circolare uniforme, tra loro equidistanti
lungo la stessa crf.
Un elettrone ovviamente irraggia.
Anche due elettroni irraggiano, pero' c'e' una differenza: nella
radiazione manca il termine di dipolo elettrico.
Con 4 elettroni manca anche il quadrupolo, ecc.
Quando il n. di elettroni va a infinito, tutti i multipoli si
annullano, e al limite hai una corrente continua che non iraggia di
certo.
Che cosa cambia nel caso della radiazione di sincrotrone?
1) Dato che hai un n. finito di bunches, solo un n, finito di
multipoli si annullano.
2) Dato che sono ultrarelativistici, nel campo del singolo elettrone
esistono (penso: non ho fatto il conto) multipoli di ordine assai
elevato, con ampiezze importanti.
 
-- 
Elio Fabri

 anche necessariamente inferiore a c?
Vero. Non dovresti avere difficolta' a dimostrarlo: basta la
disuguaglianza triangolare (o poligomale, piu' in generale).
 
-- 
Elio Fabri