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Titolo: vettore di poynting ed entropia

Si dice che il vettore di Poynting rappresenta l'energia che un' onda 
elettromagnetica trasporta attraverso l'elemento di area nell'unita' di 
tempo. Ma l'onda trasporta anche entropia ? Ed, eventualmente, c'entra 
con il vettore di poynting ? buonasera. Federico.

 Ma l'onda trasporta anche entropia ?
Be', qualunque scambio di energia, nelle condizioni giuste, altera 
l'entropia dei corpi che tale entropia si scambiano: dS=dQ/T. Quindi 
puo' farlo anche la radiazione elettromagnetica. Se prendi un corpo 
freddo e lo riscaldi ponendolo davanti ad una stufa elettrica stai 
aumentandone l'entropia, e la causa e' proprio (trascurando effetti di 
conduzione e convezione) l'assorbimento di radiazione.

 conduzione e convezione) l'assorbimento di radiazione.
Io direi che la cosa e' un po' piu' complessa: in dS=dQ/T (dove
accetto il dQ solo "pro bono pacis" :-) ) che cosa e' T?
Come sappiamo, il problema esiste anche nel caso semplice del contatto
termico tra corpi a temp. diversa, e io non so se Federico ha chiaro
questo.
Detto velocemente, se si ha contatto termico tra corpi a temp. diverse
siamo in presenza di un processo irreversibile, in cui si ha
necessariamente _produzione di entropia_.
Quindi il corpo che riceve il calore acquista piu' entropia di quanta
ne perda quello che lo cede.
Tornando alla radiazione, la domanda mi pare che sia: si puo'
associare un'entropia a una rad. e.m. che si propaga?
La risposta e' si', ma il calcolo richiede la conoscenza della
distribuzione spettrale e spaziale della raidazione.
A rigore solo una radiazione nera ha una temp. definita, e quindi le
puoi associare un'entropia pari a E/T, dove E e' l'energia
trasportata e T la temperatura.
Esempio: la radiazione che ci arriva dal Sole ha (appross.) una temp.
di 5700 K.
In casi diversi la situazione si complica: per es. una rad.
monocromatica e collimata ha entropia nulla, e infatti in linea di
principio la puoi trasformare integralmente in lavoro meccanico.
Tornando all'esempio del Sole, e' ovvio che se la usi per scaldare un
corpo poniamo a T0 = 300 K, questo corpo accrescera' la sua entropia
di E/T0, che e' molto di piu' dell'entropia posseduta dalla radiazione.
E infatti questo e' un modo poco intelligente di usare la luce solare.
La cosa ha grande importanza per il mantenimento della vita sulla
Terra: infatti sebbene il bilnacio energetico della Terra si ain media
nullo, tra energia ricevuta dal Sole ed energia riemessa nello spazio,
tuttavia lo stesso non vale per l'entropia.
L'entropia ricevuta e' molto minore di quella riemessa, e cio'
permette la sussistenza di processi irreversibili (che quindi creano
entropia) legati ai fenomeni vitali.
O meglio: permette che si mantengano condizioni di non equilibrio,
contro la tendenza verso l'equilibrio che comporterebbe u continuo
aumento di entropia.
 
-- 
Elio Fabri


Domanda interessante.
Pero' non parlei di 'onda' ma di campo elettromagnetico o in forma del
tutto generale
di tensore energia-impulso T_{mu nu}
(il vettore di Poynting ne costituisce le componneti T_{0i} per i=/=0
nel caso di un campo elettromagnetico.
T_{00} e' la densita' di energia).
Chiamerei densita' di entropia (in realta' non io, ho letto alcuni
lavori di Fridan su questioni lontanamente correlate, in particolare
chi fosse interessato alla questione in ambito quantistico e/o al
flusso di entropia nei quantum wires, puo' guardare cond-mat/0505084)
l
a quantita'
s=k\beta[T_{00}-<T_{00}>] e
J_{i}=k\beta T_{0i} la densita' di corrente di entropia, proporzionale
al vettore di Poynting nel caso di un campo elettromagnetico.
Con <T_{00}> ho indicato il valore all'equilibrio alla temperatura
inversa beta=1/kT.
Non ne so praticamente nient'altro.

Cerco di capire: se un'onda elettromagnetica incide su un corpo e ne 
viene (completamente, diciamo, per semplicita') assorbita ne innalza la 
temperatura, a prescindere dalla eventuale polarizzazione dell'onda.
Pero' e' difficile rinunciare all'idea che a radiazione polarizzata sia 
associata un'entropia minore di quella di un suo omologo non polarizzata.
Se ne deve concludere che l'informazione relativa allo stato di 
polarizzazione dei fotoni incidenti viene conservata nei moti 
microscopici dei costituenti del corpo, di modo che nel caso di luce
polarizzata risultino meno "casuali" rispetto al caso della radiazione 
non polarizzata ?
ciao ciao
P.S. Adesso che ci ripenso, sono sicuro di avere letto di una 
caratterizzazione del corpo nero ideale come l'emettitore che, ad una 
data temperatura, produce radiazione con la massima entropia. Pero'
era su una rivista online che non riesco a rintracciare.

 aumento di entropia.
ciao
Soviet_Mario

 > accetto il dQ solo "pro bono pacis" :-)
In che senso ?
 > A rigore solo una radiazione nera ha una temp. definita, e quindi le
 > puoi associare un'entropia pari a E/T
Vediamo se ho capito: la temperatura e' una grandezza che concorre a 
parametrizzare stati di equilibrio, dunque niente equilibrio, niente 
temperatura. Ad esempio, prendiamo radiazione avente spettro non termico 
(es, proveniente da un sincrotrone) e gettiamola nella famosa cavita' 
con forellino con cui si "approssima" un corpo nero ideale. Parte viene 
assorbita dalle pareti e ne accresce la temperatura, parte rimane nella 
cavita' dove, insieme a quella precedente, assume distribuzione 
spettrale di corpo nero. Solo allora si puo' parlare di temperatura 
della radiazione.
 > In casi diversi la situazione si complica: per es. una rad.
 > monocromatica e collimata ha entropia nulla
Non comprendo: questo ha attinenza con la formulazione del terzo
principio secondo cui nello stato a minima energia l'entropia ha un 
valore ben definito che dipende solo dalla degenerazione dello stato 
fondamentale ?

 sconvolto. Non avevo mai pensato a questo aspetto del problema.
Non ci avevi mai pensato? E' un anello fondamentale (quello che spiega 
l'origine ed il perpetuarsi della vita) della "catena riduzionista" 
fisica - chimica - biologia - sistema nervoso - modello previsionale - 
coscienza, indispensabile per una visione laica del "chi siamo e da dove 
veniamo".
Googla "strutture dissipative Prigogine".
ciao
--
TRu-TS

 polarizzata risultino meno "casuali" rispetto al caso della radiazione non polarizzata ?
E perche' mai? Mi sembra che tu ragioni come se l'entropia dello stato 
finale - il corpo riscaldato dalla luce - dipendesse da quella della 
luce incidente. Non e' cosi': il processo di assorbimento e' 
irreversibile e l'entropia del sistema comunque aumenta. Alla fine del 
processo l'aumento di T, dunque l'aumento di S (ipotizzo non vi siano 
altri effetti), dipende solo dall'energia totale ricevuta e non 
dall'entropia del mezzo da cui arriva. Per esempio, nell'esperienza di 
Joule l'aumento di T si ottiene tramite lo scendere di un peso collegato 
ad un agitatore. Il sistema peso+agitatore, visto come sorgente di 
energia potenziale gravitazionale, ha entropia nulla, ma questa energia 
pot. grav. viene interamente trasformata in moto termico nel liquido che 
viene agitato.

 inversa beta=1/kT.
Forse non l'ho capita bene, ma questa definizione non mi convince.
Dato che T_{00} puo' essere maggiore o minore di <T_{00}>, ne
seguirebbe che la densita' di entropia puo' essere sia maggiore che
minore di quella della radiazione nera?
Secondo me potrebbe essere soltanto minore.
 
-- 
Elio Fabri

 fondamentale ?
Ripeto a te la confessione che ho gia' fatto a Soviet_Mario: in quel
post ho scritto un po' di cose che avrei difficolta' a giustificare
per bene.
Non che pensi che sono sbagliate, ma solo che l'esatta giustificazione
non mi pare immediata. Forse e' come dici tu.
Commento: questo thread promette di essere parecchio stimolante :)
 
-- 
Elio Fabri

 Forse non l'ho capita bene, ma questa definizione non mi convince.
Cerco di spiegare qui quello che ho capito (no molto a dire il vero :-
( ) del senso di quella definizione.
L'idea e' di cercare di capire quale sia la variazione di entropiadi
un sistema
una volta che l'hamiltoniana H0 rispetto alla quale il sistema si
trovava in equilibrio alla temperatura T:
H=H0+deltaH. I valori di aspettazione di una certa osservabile O,
<O>=, sono modificati dal valore
<O>=<O>_{eq} ala valore <O>=<O>_{eq}+delta<O>. L'entropia S e' data
da
S=k(1-\beta\partial_{\beta})\lnZ
dove Z e' la funzione di partizione del sistema Z=Tr[exp(-\betaH)].
Il cambio di entropia sara' dato da
\deltaS=...=k\beta\delta<H0>=k\beta\delta\int_{V} <T_{00}>
dunque e' naturale definire l'operatore densita' di entropia s come
s=k\beta[T_{00}-<T_{00}>_{eq}] e
J_{i}=k\beta T_{0i} .
Inoltre, siccome la ''matrice densita''' rho(t) evolve secondo
\partial_{t}\rho(t)=-i[H,\rho(t)]
si ha che il valore di aspettazione <O>=Tr[O(t)\rho(t)]
evolve nel tempo rispetto ad una H perturbata seguendo
\partial_{t}<O(t)>=<\partial_{t}O(t)>+i<[\deltaH,O(t)]>.
Dunque per la densita' di entropia segue (seguirebbe d'obbligo perche'
come dicevo sono confuso sull'argomento) che
\partial_{mu}<J^{mu}>=i<[\deltaH,s(t,x)]>
dove J^{mu}={s,J^{i}}.
Integrando quest'ultima espressione (cioe' integrando entrambe le
densita' di entropia ai due membri e trascurando termini di bordo) si
ottiene
d/dt <S(t)>=i<[\deltaH,S(t)]> =ik\beta<[\deltaH,H]>=ik\beta
[\deltaH,H0].
Torno a rifletterci su perche' poche cose di quelle che ho scritto mi
sono veramente chiare (le ho scritte perche' in realta' qualcuno tra
voi mi aiutasse in queste riflessioni :-) ).
ciao.

 per un sistema non in equilibrio?
Scusa, e perche' mai non si dovrebbe potere? Un sistema (chiuso) lontano 
dall'equilibrio non e' semplicemente un sistema in uno stato a entropia 
molto minore di quella massima possibile? Per definire l'entropia di un 
sistema in uno stato noto non occorre usarne la temperatura (che, lei 
si', puo' essere non definibile), basta calcolare la numerosita' (in 
microstati) del suo macrostato e applicare la relazione di Boltzmann.
--
TRu-TS

 microstati) del suo macrostato e applicare la relazione di Boltzmann.
Si pero' Boltzmann nasce e cresce e si sviluppa solo perche'  ci siamo
messi a ragionare su un sistema che --consideravamo-- in equilibrio

 microstati) del suo macrostato e applicare la relazione di Boltzmann.
Non funziona se non sei all' equilibrio.  E poi un termodinamico d.o.c. 
obbietterebbe  che l'  entropia dovrebbe essere riconduvibile a misure 
di quantita' termodinamiche.
Giorgio

 messi a ragionare su un sistema che --consideravamo-- in equilibrio
Si': ma, come dicevo a Pastore, il conteggio della numerosita' dei 
microstati di un macrostato dato e' possibili, in linea di principio, 
per qualsiasi sistema; Boltzmann ha dimostrato che con la sua relazione 
si arriva, *in caso si equilibrio*, alla stessa quantita' S definita per 
via termodinamica (e che ha senso solo quando T sia definibile almeno 
localmente).
ciao
--
TRu-TS

 di quantita' termodinamiche.
Io riconosco ai termodinamici doc il merito storico di aver definito 
l'entropia e di aver dimostrato molte proprieta' correlate facendo uso 
di sistemi all'equilibrio, ma non l'esclusiva! :-)
ciao
--
TRu-TS

 dimostrato Boltzmann, con la definizione termodinamica)?
Prendi il caso di un' espansione libera. Prendi un gas in un contenitore 
isolato, metti tutto il gas nella meta'  di sinistra del contenitore e 
chiudilo in questa meta'  con una parete rigida.
Il sistema e'  caraterizzato da un'  energia E, numero di particelle N 
e volume V/2. Se  e'  in regime di gas ideale ne puoi agevolmente 
ricavare l'  entropia mediante la formula di Boltzmann che tiene conto 
del volume V/2.
Rimuovi il setto. Sicuramente,  dopo un po'  di tempo (quello necessario 
a raggiungere l' equilibrio) il sistema sara'  caratterizato da un' 
entropia consistente con la formula di Boltzmann   relativa ad un volume 
V (energia E  e numero di particelle N).
Cosa possiamo dire nel transiente da che togliamo il setto a quando il 
sistema si riequilibra a volume doppio ?
La formula di Boltzmann direbbe che appena togliamo il setto il numero 
di configurazioni accessibili al sistema corrisponde al valore relativo 
al volume V. Questo ci darebbe un cambiamento istantaneo e discontinuo 
dell'  entropia di poca e dubbia utilita'  fisica.
Inoltre (e molto piu'  alla radice del problema) perche' la formula di 
Boltzmann contiene il numero di microstati compatibili col macrostato ? 
Perche' si faceva l'  ipotesi che il comportamento fisico del sistema 
potesse essere descritto dalla distribuzione di probabilita' nello 
spazio delle fasi. E nel microcanonico la distribuzione di probabilita' 
  e'  uniforme. Ma attenzione perche' alla base di questa ultima 
affermazione c'e' l'  altra ipotesi che siamo all'  equilibrio.  Se 
invece non siamo all'  equilibrio la distribuzione di probabilita' 
nello spazio delle fasi non e'  piu'  costante, diviene una funzione 
esplicita del tempo e non abbiamo piu'  motivi per dare lo stesso peso a 
tutti i punti delle sperfici ad energia costante => fine della formula 
di Boltzmann nella versione originale e  a buona parte delle connessioni 
tra meccanica statistica e termodinamica a cui siamo abituati.
Giorgio

 Inoltre (e molto piu'  alla radice del problema) perche' la formula di Boltzmann contiene il numero di microstati compatibili col macrostato ? Perche' si faceva l'  ipotesi che il comportamento fisico del sistema potesse essere descritto dalla distribuzione di probabilita' nello spazio delle fasi. E nel microcanonico la distribuzione di probabilita'  e'  uniforme. Ma attenzione perche' alla base di questa ultima affermazione c'e' l'  altra ipotesi che siamo all'  equilibrio.  Se invece non siamo all'  equilibrio la distribuzione di probabilita' nello spazio delle fasi non e'  piu'  costante, diviene una funzione esplicita del tempo e non abbiamo piu'  motivi per dare lo stesso peso a tutti i punti delle sperfici ad energia costante = fine della formula di Boltzmann nella versione originale e  a buona parte delle connessioni tra meccanica statistica e termodinamica a cui siamo abituati.
  Di questo non sono convinto. Secondo Gibbs, un ensamble microcanonico
comprende, all'equilibrio statistico, microstati arbitrariamente vicini a
*tutti* i microstati permessi dall'energia totale, anche quelli lontanissimi
dall'equilibrio termodinamico, con la stessa densita' in fase. Semplicemente,
per N grandi la numerosita' in microstati della configurazione o partizione
compatibili col macrostato e' una frazione della numerosità totale talmente
vicina a 1 che le si puo' confondere.
  E tutte le precauzioni che si prendono nella trattazione statistica
dell'entropia (l'ipotesi ergodica, i tempi piu' che astronomici del tempo di
primo ritorno di Poincare' per configurazioni a bassa  numerosita', i teoremi
ergodici di Birkhoff e Van Neumann) hanno lo scopo di assicurare che
*all'equilibrio termodinamico* (anche se solo locale, nella formulazione di Van
Neumann) il valore dell'entropia calcolato con metodi statistici corrisponda a
quello che possiamo aspettarci di ottenere misurando (per tempi
sufficientemente lunghi da mediare nel tempo le fluttuazioni microscopiche) le
grandezze di stato. Il fatto che lontano dall'equilibrio tali grandezze in
alcuni casi possano non essere misurabili in tempi lunghi abbastanza, perche'
variabili troppo rapidamente, non ci impedisce di prenderne in considerazione
il solo valore statistico, come un indice del "disordine" del sistema, senza
cercarne relazioni con valori di pressione e temperatura "inesistenti".
     - o -
  Sono abbastanza convinto di quello che ho scritto, ma non intendo difendere a
spada tratta l'estensione statistica del concetto di entropia: che comunque ha
un limite, in quanto posso pensare che per alcuni sistemi caotici il microstato
effettivo possa essere non solo non misurabile, ma neppure modellizzabile per
una simulazione ab initio.
  Il senso della mia risposta a Elio Fabri e' che di entropia di un sistema in
evoluzione si puo' parlare: se non altro per certi sistemi, almeno rallentando
il processo che portera' all'equilibrio in modo da rendere possibili equilibri
locali o temporanei: nell'espansione libera, per esempio, posso pensare di
lasciar espandere il gas per step successivi, aprendo e rinchiudendo un
rubinetto, e lasciandolo chiuso ogni volta un tempo sufficiente a lasciar
smorzare le onde di pressione (la temperatura dovrebbe comunque rimanere
costante ovunque); oppure di rendere il processo estremamante lento, con un
setto poroso, in modo da poter considerare sempre i due semivolumi
all'equilibrio mentre la pressione si va equilibrando fra i due. Stessa cosa
per due corpi neri o grigi, a temperature diverse, che si vedono e irraggiano
verso l'altro solo tramite piccole porzioni di superficie.
  L'argomento mi interessa perche' voglio esaminare proprio il processo che
porta all'equilibrio, in una risposta che ho promesso a Elio Fabri ancora il 14
dicembre.
ciao
--
TRu-TS

 smorzare le onde di pressione ...
Ok.  Pero'  stai di fatto utilizzando l'  approccio classico della 
termodinamica per cui per calcolare la differenza di entropia,  essendo 
questa una funzione di stato,  posso sostituire al processo reale, di 
non equilibrio e rapido quanto voglio, un processo quasi-statico 
controllato che mi permetta di ottenere la diff. di entropia dalla 
misura dei flussi di calore.
Giorgio

 non sai neanche definire operativamente lo "stato" (qui e' il macrostato)?
vorrei distinguere fra microstato (quello calcolabile a precisione macchina), 
distribuzione (nello spazio a 6 dimensioni) e macrostato (la distribuzione piu' 
probabile). Operativamente so definire una distribuzione lontana 
dall'equilibrio (quella di un equilibrio vincolato, subito dopo aver rimosso il 
vincolo). Poi posso etichettare arbitrariamente le molecole presenti in quella 
distribuzione e seguire l'evoluzione del microstato risultante in una 
simulazione. Vorrei essere legittimato a parlare di un'entropia calcolabile del 
microstato simulato, che nelle situazioni di equilibrio iniziale e finale, 
ossia prima della rimozione del vincolo e all'equilibrio finale, coincide con 
l'entropia calcolabile termodinemicamente.
ciao
--
TRu-TS

 legittimato a parlare di un'entropia calcolabile del microstato 
Per quello che ho detto sopra (molto succinto,  lo ammetto) non lo puoi
fare in generale. Di entropia del microstato come la intendi tu  si puo'
  parlare nel caso molto particolare del gas perfetto e poco piu'.
C'e' una terza "entropia"  che invece potrebbe essere utilizzata per
dare un senso al'  entropia di un microstato (nel senso di Gibbs) che e'
  l'  entropia algoritmica del microstato. Ma questa e'  un'  altra
storia irta di difficolta' concettuali e pratiche ancora maggiori.
Giorgio

 > il cosmo, freddo), e quindi la terra fa né più né meno da macchina
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