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Titolo: Fisica dei plasmi e sistemi non hamiltoniani

Salve a tutti, scrivo questo post poich� non ho diverse domande
riguardo ai sistemi non hamiltoniani.
Tutto nasce dall'esame di fisica dei plasmi (un parto) in cui ho
scoperto che probabilmente certe cose non le avevo proprio chiare. La
scoperta che ho fatto � che un plasma (classico x semplicit�) non � un
sistema hamiltoniano, quindi non vale il teorema di Liouville e quindi
non vale (almeno rigorosamente).
Ora il fatto � che nello sviluppo della fisica dei plasmi (ho studiato
sia sul Chen che sul Krall presenti nella biblioteca di fisica di
pisa) le interazioni sono sempre a due particelle (per esempio tramite
potenziale coulombiano) e da qui si derivano tutte le equazioni
relative alle funzioni di partizioni ad N particelle di cui le pi�
interessanti (almeno per lo studio che ho affrontato io) sono la f_1 e
la f_2. Quello che mi ha fatto notare il prof. mentre mi interrogava �
che tutta questa teoria � molto approssimata e, che il thm di
Liouville "valeva" solo se i campi (E e B) introdotti  nel problema
erano quelli macroscopici medi (autoconsistenti?), altrimenti lo
schema non funzionava poich� il sistema non � hamiltoniano (da qui il
mio dubbio che non sono riuscito a colmare in diversi mesi di studio
pi� approfondito sugli stessi libri). Quindi vorrei chiedere
delucidazioni in materia di sistemi non hamiltoniani (non solo per
quanto riguarda i plasmi) ed anche referenze su cui andare a studiare.
Visto che ci sono vorrei anche ampliare la questione poich� in materia
di sistemi non hamiltoniani ci si � scontrato a suo tempo anche il
buon Feynman quando cerc� di costruire una teoria di azione a distanza
per l'elettrodinamica classica (insieme al suo prof. Wheeler mi
sembra) arrivando poi alla conclusione che tale teoria non era
hamiltoniana (PERCHE'?) e quindi non quantizzabile.
Auguro a tutti buone feste e buon anno nuovo,
FP
PS: In realt� le domande che avrei in merito a ci� sono molte di pi�,
ma eventualmente le faccio in altri post altrimenti questo diventa
troppo pesante.
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EZLN

 hamiltoniana (PERCHE'?) e quindi non quantizzabile.
a mia conoscenza ci sono sistemi a infiniti gradi di liberta' (leggi
teoria dei campi) che non sono hamiltoniani nel senso che non esiste
una ''densita' '' di hamiltoniana e che pero' possono essere
quantizzati (inoltre esiste un'hamiltoniana tout court che genera le
traslazioni temporali. Si tratta comunque di sistemi particolari in
cui spesso ci sono dei bordi spaziali.  Inolte credo ci sia una larga
classe di teorie di campo non unitarie che non sono hamiltoniane e che
possono essere quantizzate.
ciao.



Sono d'accordo. Il fatto di ammettere una descrizione di Hamilton, per
sistemi con un numero finito o infinito di gradi di libert� non
significa necessariamente che il sistema non ammetta una versione
quantistica.
Ciao, Valter

 quantistica.
Vi confesso che questi fatti non mi erano noti... dove e come posso
approfondire tutto ci�? A me sembra che nei testi di meccanica
analitica e di fisica quantistica che vengono adottati non c'� mai
nessun riferimento a queste cose. Sinceramente ho sempre visto sistemi
fisici descritti da un'hamiltoniana e poi quantizzati.... ma a quanto
sembra si possono quantizzare anche sistemi che una descrizione di
Hamilton non ce l'hanno.
Ciao,
Francesco

 Hamilton non ce l'hanno.
Il campo di Dirac non ammette descrizione di Hamilton (ma lagrangiana
si)
 anche se ammette hamiltoniana e si quantizza.
Il punto � che "quantizzare" un sistema fisico � un termine molto
vago, tu ti stai riferendo  al principio di corrispondenza di Dirac,
che funziona quando funziona, comunque per funzionare richiede che
esista una descrizione di Hamilton del sistema classico...ma i sistemi
quantistici esistono indipendentemente da questa procedura. Ci sono
anche sistemi intrinsecamente quantistici con alcun corrispondente
classico (lo spin).
La descrizione della teoria dei campi quantistici nella formulazione
di Wightman e anche altre pi� avanzate non parte dalla formulazione
hamiltoniana di un sistema classico, ma direttamente dalle funzioni a
n-punti della teoria...Per� ci sono troppe cose da dire e ti conviene
occuparti di queste cose con calma senza fare passi troppo lunghi. Mi
dispiace non poter dire altro dato che non ricordo pi� nulla del
sistema fisico al quale ti riferivi.
Ciao, Valter

 classico (lo spin).
La questione viene affrontata in modo abbastanza moderno da Marsden,
egli considera il rotatore rigido come esempio di sistema non
hamiltoniano e del resto, come insegna Arnold, esiste una stretta
analogia fra le equazioni di Eulero del rotatore rigido e le equazioni
di Eulero di un fluido nel limite non dissipativo o debolmente
dissipativo, ed esiste analogia formale anche con altri sistemi, ad
esempio il limite di Vlasov. Secondo Marsden il problema si verifica
in quasi tutti i sistemi vincolati. Ora quando lessi questa
osservazione rimasi pressoch� tramortito, dal momento che, in modo
anche abbastanza acritico, al tempo in cui studiavamo meccanica
analitica eravamo tutti passati per lo studio della lagrangiana del
rotatore rigido ed avevamo dato per scontato che detta lagrangiana
ammettesse anche una trasformata di Legendre. Il punto � che come la
lagrangiana non � definita globalmente, per via della singolarit�
delle coordinate allo stesso modo le variabili canoniche coniugate non
possono essere definite globalmente, e questo lungi dall'essere un
problema marginale di singolarit� del sistema delle coordinate svela
una propriet� topologica intrinseca della variet� dinamica che ha
delle conseguenze che richiedono la giusta prospettiva ed estensione
della nozione di sistema hamiltoniano. Per quanto riguarda la
quantizzazione questo tipo di questioni pone un problema immediato
alla procedura di quantizzazione di Dirac e conduce alla necessit� di
escogitare altre strategie di quantizzazione pi� generali e
possibilmente indipendenti dalle regole di commutazione canoniche.
Sempre Marsden illustra la possibilit� di introdurre una quantit�
conservata che svolge il ruolo del generatore di Liouville, infatti
l'hamiltoniana del sistema pu� essere scritta come somma di un termine
cinetico e di un termine potenziale, ma il termine cinetico �
quadratico in tre operatori che non commutano, ovvero gli operatori
del momento angolare. Questa possibilit� dipende dalla struttura
topologica della variet� dinamica, che continua ad essere simplettica
e non degenere nonostante l'ostruzione alla realizzazione globale
delle relazioni di commutazione canoniche, e ricca di simmetrie nel
caso libero. Questo tipo di struttura pu� essere allora affrontato con
la tecnica di riduzione di Marsden che � uno sviluppo particolarmente
attento al rigore della trattazione gi� sviluppata da Dirac del
problema dei vincoli. Infatti non solo il teorema di Liouville, ma
anche il teorema di Noether richiede, in presenza di vincoli, delle
nuove calibrazioni teoriche. In questo sviluppo sono centrali le
propriet� dei gruppi di simmetria e gli invarianti di Casimir
dell'algebra.
Riguardo alle conseguenze che questo ha per lo sviluppo della
idrodinamica teorica e della magneto-idrodinamica si pongono diverse
questioni, ma essenzialmente il problema dei vincoli dipende molto
dalla configurazione iniziale del fluido. L'aspetto idrodinamico �
trattato da Arnold, ad esempio, nel volume sugli invarianti topologici
della fluidodinamica, ma � un libro difficile. Per quanto riguarda le
conseguenze nello sviluppo della teoria dei campi da queste
osservazioni � nato il filone della teoria topologica dei campi
quantistici.
http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_quantum_field_theory
Per quanto riguarda la fisica dei plasmi � nato il filone della
magnetoidrodinamica topologica che � strettamente legata agli sviluppi
della meccanica classica che seguirono il teorema K.A.M. (qualcosina
si trova, se non ricordo male, sul Fasano Marmi a proposito del
teorema K.A.M.) e che si rivelarano ricchi di conseguenze quando fu
scoperto che molti dei fenomeni di non linearit� scoperti nel tempo
potevano essere chiariti da una trattazione hamiltoniana
generalizzata. Le parole chiave che riguardano questo filone di
ricerca sono separazione delle variabili e strutture bi-hamiltoniane.
Ora temo che si troppo complicato partire da tutta la letteratura
esistente, e trovo che il libro di Marsden sia interessante ma
difficile e dispersivo, riguardo al libro di Arnold � anche quello
esageratamente complicato, l'unica via sensata mi sembra sarebbe
quella di partire da problemi concreti, scegliendo il campo nel quale
si vuole approfondire e rivolgersi a chi ne sa di pi�, nella
fattispecie sono certo che a Pisa non hanno solo la bravura di metter
pulci nell'orecchio ma anche quella di fornire a richiesta dei buoni
problemi che fungono da balsamo :-) Vai a parlare francamente con il
tuo professore, tanto l'esame l'hai fatto ormai, e chiedigli qualcosa
per iniziare, chiss� che non venga fuori un buon tema per una
tesi.


 in quasi tutti i sistemi vincolati.
Ciao, il punto � che a me tutte quelle procedure alla Marsden et al
per "quantizzare"
non sono mai piaciute perch� sono solo formali. Voglio dire, il
massimo che ottengono sono operatori
 hermitiani o al pi� simmetrici su certi spazi di Hilbert costruiti
sullo spazio delle fasi. Ma questa e solo una procedura formale:
dovrebbero tirare fuori operatori autoaggiunti e questo io non l'ho
mai visto fare.
Non ho mai visto una discussione sulle estensioni autoaggiunte delle
osservabili pensate come operatori differenziali.
Non ho ben capito perch� dici che la lagrangiana del rotatore rigido �
maldefinita a causa della singolarit� delle coordinate (se ho capito
bene). La lagrangiana � ben definita: � una funzione scalare sullo
spazio tangente allo spazio delle configurazioni che � una variet�
differenziabile. Le singolarit� in coordinate non creano problemi
classicamente.
 Certo che per�, se uno pretende di associare operatori autoaggiunti
alle coordinate � un'altro paio di maniche...
 ma non sono per niente convinto che tale punto di vista abbia senso
come procedura di "quantizzazione".
Ciao, Valter