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Titolo: [semi-OT] integrale di linea sinusoidale

Scusate, sono OT ma pur avendo cercato di usare risolutori 
online, le soluzioni trovate mi risultano persino più 
complesse del problema (pratico) da risolvere e che avevo 
modellizzato. Sicuramente a molti di voi la cosa risulterà 
banale e provo a chiedere (non sono iscritto al NG di 
matematica ...)
 
 
Allora ho delle lastre ondulate di tegolit che probabilmente 
hanno una sezione SINUSOIDALE (e se non lo sono 
perfettamente, faremo finta che lo siano).
 
Questa sinusoide ha altezza reale 60 mm (che fingiamo siano 
54 mm), e passo longitudinale 200 mm (che usiamo per tali).
 
Per plottarla ho usato l'equazioni
 
Y = 54 * sin (200 * X / 2PI)
nel caso che il plotter sia impostato in radianti, o
Y = 54 * sin (200 * X / 360)
nel caso che il plotter sia impostato in gradi sessagesimali.
Y = ordinata in mm, X = ascissa in mm (non è l'angolo)
E veniva con le proporzioni corrette, diciamo
 
poi ho chiamato K = 54 ed L = 200/360 = 0,5555555555556
(se l'angolo è in gradi)
 
Avevo poi impostato il calcolo della lunghezza della curva 
come integrale di linea (perché devo dimensionare dei pezzi 
di lamiera in modo che seguano il profilo diciamo e 
tagliarli a lunghezza adeguata) con la funzione
PATHLEN = SUM[_0, ^PI] sqrt (1 + (K * L * sin (L * X))^2)
 
notazione wolfram
\int _0^{\pi }\:\:\sqrt{1+\left(K\cdot L\cdot 
cos\left(L\cdot x\right)\right)^2}dx
 
notazione symbolab
\int _0^{\pi }\:\:\sqrt{1+\left(K\cdot 
cos\left(x\right)\right)^2}dx
 
notazione integral-calculator online
√k2l2sin2(lx)+1
 
π∫0√1+(klsin(lx))2dx
 
il problema è che i solutori mi forniscono una soluzione con 
funzioni chiamate INTEGRALI ELLITTICI COMPLETI (che non 
conosco). Seguendo i rimandi sino a wikipedia, sono saltate 
fuori equazioni troppo complicate per i miei mezzi.
 
Se qualcuno gentilmente sapesse senza ammattircisi troppo 
aiutarmi a calcolare questo path coi parametri dati 
(l'angolo in radianti o gradi scelga lui, tanto è una 
variabile intermedia che non finisce nel risultato).
A me serve integrare il path della MEZZA ONDA, e questa 
mezzonda è larga 200 mm e alta 54 mm. Poi boh ... fate vobis 
diciamo, tanto se sono implicate equazioni così incasinate, 
io non lo capirò come esce fuori il risultato. Ma mi serve 
quel risultato (approssimato al mm va più che bene) per 
tagliare le strisce di lamiera in modo che possano venire 
martellate sullo stampo e lo coprano tutto diciamo così.
 
Se volete per curiosità capire da dove esce il problema, è 
questo : devo tappare gli accessi sotto il tegolit dai 
ghiri, che mi stanno facendo ammattire. Rosicchiano tutta la 
notte il tavolato di legno sotto la lastra tegolit di 
fibrocemento, e devo formare dei tappi in lamiera a partire 
da forme diverse non sinusoidali.
Ecco ... pls, help !
 
ciao
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 per i miei mezzi.
 
 
Visto che hai i solutori, dopo che hai ottenuto la soluzione puoi 
sostituire i valori numerici. A me viene 234 mm per una mezza onda (se 
ho fatto giusti i calcoli).
 
Piuttosto nelle equazioni che hai scritto, per esempio
 
Y = 54 * sin (200 * X / 2PI)
 
mi sembra che il 200 debba andare al denominatore, mentre il 2*pi al 
numeratore: se voglio un'onda piu' lunga, devo raggiungere il 2*pi per 
valori piu' alti di X, quindi devo moltiplicare X per numeri piu' picoli.


Non ho seguito tutto, che francamente mi sembra un po' confuso.
Pero' intanto ti dico. Se la curva e' rappresentata dalla funzione y(x),
cioe' (x,y(x)), la sua distanza e' data da
int ds = int sqrt(1+y'^2) dx
 
Dunque se y(x) = sin(x),  l'elemento di linea e'
ds = sqrt(1+cos(x)^2)
 
e non sin come scrivi tu.
 
La primitiva e' una funzione ellittica, ma non ti serve per la parte 
numerica. Se y(x) = sin(a*x) con periodo 2pi/a, chiaramente
sqrt(1_a^2 *cos(a*x)^2)
avra' periodo dimezzato, pi/a. Se a e' grande la funzione oscillera' 
selvaggiamente ed e' un problema calcolarla numericamente. Ma bastera' 
farlo su di un periodo solo e moltiplicare per il numero di periodi.

 
 
a me serve il primo mezzo giro, integrazione tra 0 e 
pigreco. Immagino che non sarà nemmeno periodica in 
quell'intervallo, perché la funzione integranda era pure 
sempre positiva ...
 
Spero che se sai fare il calcolo agevolmente, tu possa 
confermarmi il dato di JTS (234).
 
tra l'altro, ho tentato di fare una stima pedestre della 
serva con una mezza ellissi di semiassi 100 e 54 mi esce 
241,902634326 (che è superiore, ma ha più curvatura 
immagino, mentre la sinusoide ha due tratti rettilinei)
 
diciamo che cmq l'ordine di grandezza del calcolo di JTS è 
giusto, e quindi sarà giusto anche l'algoritmo :)
 
ciao e grazie


 conosco).
Certo, quello *è* un integrale ellittico completo (di seconda specie)
:-)
Di sicuro i solutori saprebbero anche dartene il valore numerico, ma
io ho scelto la via dell'integrazione numerica diretta, usando Maxima.
Coi dati altezza 54 mm, passo 200 mm trovo 304.9 mm.
 
Se l'interpretzione dei dati non è quella, fammi sapere.
 
 
 
-- 
Elio Fabri

 moltiplicare X per numeri piu' picoli.
 
mmm, penso di no, per il significato che per me ha la X nei 
grafici. Per me X è una misura lineare e non l'angolo, è la 
coordinata geometrica ascissa sull'onda del pezzo.
Il prodotto di X * il fattore davanti, deve produrre un angolo.
Ora siccome la lambda era 200, ogni 200 mm di spostamento 
lineare l'angolo "ideale" (ossia l'argomento totale tra 
parentesi) deve spazzare due pigreco.
 
Ma all'inizio anche io avevo pensato come te, lo ammetto, è 
più intuitivo, perché istintivamente identifichiamo la X con 
l'angolo, e sempre istintivamente ogni parametro aggiuntivo 
come ADIMENSIONALI.
Invece il mio fattore 200 non è adimensionare, è una 
lunghezza (ma anche X è una lunghezza sicché deve essere il 
loro rapporto X/200 a esprimere la percentuale di 
completamento del passo dell'onda, come frazione tra 0 -> 0° 
e 1 -> 360° o duepigreco)
 
cmq grazie del dato, alla fine a me serve quello.
Devo verificare se ho delle scatolette di latta con un 
perimetro compatibile (uguale o superiore, se è superiore le 
ripiego con le pinze)


 per i miei mezzi.
 
Ho pochissimo tempo ma a questo link trovi tavole numeriche
 
https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/50/jresv50n1p43_A1b.pdf
 

 Y = 54 * sin (200 * X / 2PI)
 
Come ti ha fatto notare JTS, l'argomento del seno e' errato. 
L'argomento deve essere una fase e quindi Adimensionale, mentre li risulta avere dimensioni l^2 (lunghezza al quadrato).
La fase e': numero di onde moltiplicato 2pi e quindi (x/200)*2pi.
15/07/2018 - 18:55
 
--
Wakinian Tanka 

 dato di JTS (234).
 
Ho provato anch'io e integrando con Mathematica trovo 232.2 mm;
non farà differenza dato il tuo scopo, ma è strano...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

 Se l'interpretzione dei dati non è quella, fammi sapere.
 
eh si, pls, verificate un attimo, perché escono numeri 
diversi e sono in impasse su cosa prendere ... siccome poi 
mi sono spiegato ad minchiam ...


 
 
 


 Ciao


 
 
Dunque la mezzonda non c'entra!
 
Io avevo capito tutt'altro, e la risposta che ho
dato si basava su quanto avevo capito...
 
Suggerimenti per un'altra volta:
 
- se non ti è familiare la terminologia matematica,
magari potresti pubblicare uno schema grafico
- non è difficile trovare su internet quali siano
le corrette denominazioni per caratterizzare una
sinusoide...
 
Ciao


 quanto avevo capito...
In effetti non è facile capirlo.
A me ha risposto che va tutto bene quello che ho detto e il calcolo
che ho fatto, ma secondo me, da quello che dice, avrei dovuto prendere
come ampiezza della sinusoide 27 mm.
Tu dici che avevi capito tutt'altro, ma stai un po' a vedere :-)
 
Avevo detto di aver fatto il calcolo con Maxima.
Copio qui la routine, che è chiara, salvo l'ultima riga.
 
======================================l: 200$
h: 54$
f : h*sin(2*%pi*x/l)$
g: diff(f,x)$
F: sqrt(1 + g^2)$
quad_qag(F,x,0,l,1,'epsabs=0.01);
 
======================================I $ in fine riga sono terminatori che non danno risposta.
Invece il ";" produce la risposta.
 
"quad_qag" è la funzione d'integrazione numerica.
Gli argomenti sono:
- la funzione integranda
- la var. d'integrazione
- i due estremi
- "1" indica il procedimento più semplice, largamente suff. nel nostro
caso
- epsabs è il max errore assoluto che si richiede.
 
Questa mi risponde:
 
[304.8898287907637,7.036287023254317*10^-6,105,0]
 
Il primo numero è il risultato.
Il secondo la stima dell'errore assoluto.
Il terzo il n. d'intervalli usati.
L'ultimo è il codice di errore: 0 significa OK.
 
Questo era il calcolo con h=54.
E ora lo ripeto con h=27.
Ecco che cosa mi dice.
 
[232.1788401312093,7.060734150132753*10^-10,105,0]
 
Dunque proprio quello che avevi trovato tu!
 
Osservazione finale.
Non ho provato, ma si poteva usare un arco di parabola al posto della
sinusoide.
L'integrale si esprime con f. elementari, e sono sicuro che il
risultato cambierebbe pochissimo.
Molto meno delle tolleranze di lavorazione del lattoniere :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 Molto meno delle tolleranze di lavorazione del lattoniere :-)
 
specialmente dal momento che il lattoniere sono le mie mani, 
forbicioni e martello :(



E' una questione di terminologia, tu gli dai il significato intuitivo, mentre in matematica e fisica ha un significato tecnico:
 
f(x) = A*sin(x) 
 
A e' l'ampiezza. La f oscilla tra -A ed A. 
 
A e' importante in fisica perché, ad esempio, l'energia delle grandezze oscillanti e' spesso proporzionale ad |A|^2, si possono fare infiniti esempi. 
 
1. Onda elettromagnetica sinusoidale (piana, nel seguente esempio):
 
Il campo elettrico e' E(x,t) = E_0*cos(wt +fi), w = omega, fi = sfasamento). L'intensità dell'onda e' proporzionale ad |E_0|^2 (il campo magnetico, che contribuisce all'intensità, è proporzionale ad E, in questo tipo di onda). 
2. Lo stesso per il suono, se ad E si sostituisce la pressione. 
3. Corpo massivo connesso ad una molla e vincolato a muoversi di moto unidimensionale (esempio di oscillatore armonico semplice)
 
x(t) = A*cos(wt + fi), A e' l'ampiezza. 
 
x'(t) = derivata temporale di x = velocità = -Awsin(wt+fi) 
L'energia e' la somma dell'energia potenziale elastica della molla e di quella cinetica del corpo:
 
E = (1/2) k x^2 + (1/2) m v^2 
= (1/2) k A^2 cos^2(wt+fi) + (1/2) m w^2 A^2 sin^2(wt +fi) 
 
= (si dimostra risolvendo l'equazione di moto che la pulsazione omega vale sqrt(k/m) quindi k = m w^2) 
= (1/2) m w^2 A^2 cos^2(wt+fi) + (1/2) m w^2 A^2 sin^2(wt+fi) 
= (1/2) m w^2 A^2.
 
L'energia e' dunque proporzionale all'ampiezza al quadrato. 
 
Si può fare lo stesso, meglio, usando i numeri complessi. 
 
4. In meccanica quantistica, la funzione d'onda (*necessariamente * complessa) di una particella si scrive ad es (caso unidimensionale) 
 
psi(x,t) = psi_0 exp(ikx+wt) 
 
 
psi_0 (che in certi casi puo' a sua volta essere funzione di x, ma non complichiamo e' l'ampiezza. |psi|^2 = |psi_0|^2 e' la densità di probabilità di trovare la particella tra x e x+dx. 
 
ecc, ecc. 
 
--
Wakinian Tanka 

 
 
Si puo' fare anche in stile "Fermi". Tracciare la funzione, stendere 
della colla poco appiccicosa sopra, farci coincidere un filo sottile di 
cotone, segnare inizio e fine, misurare il filo.

 
 
Con Mathematica
 
1) sostituisci alle variabili simboliche variabili numeriche
 
2) metti //N alla fine dell'espressione


una buonissima idea. In effetti ho talvolta usato ritagliare 
la carta per "integrare" le aree. Con la carta moderna 
arrivi senza fatica a tre cifre significative, se stai 
attento imho pure a 4, che sono comparabili a svariati 
strumenti normali e non introducono sensibili errori grossolani.
 
Se non fosse per problemi di "aliasing" potrei anche usare 
un programmino che avevo scritto (ma era per windows però 
...) per misurare le aree dal colore dei pixel di immagini 
raster, e potevi scegliere o se sequire una pista di dato 
range di colore senza uscirne, o se contare tutto TRANNE 
quel range.
Mi era servito molto per i libri di fantasy per poter fare 
delle tabelle con dei territori tratti da mappe politiche 
colorate coi territori a diversi colori in modo 
quantitativo. Colorare avevo colorato i confini e poi dentro 
"flood-fill". E poi per la misurazione avevo usato quello.
Ma per com'era nato era adatto alla misura di aree, di regioni.
Per adattarlo a misurare una LINEA come AREA, immagino avrei 
dovuto rivedere la logica di inclusione dei confini (che 
nemmeno ricordo del tutto), perché purtroppo per una linea 
la zona di frizione con lo sfondo è saliente, al contrario 
di una area "massiccia" che ha poco confine.
 
Con Linux non sono ancora operativo a programmare, sto 
lentamente e a fatica digerendo tool diversi, e miriadi di 
differenze, e boh ... l'età è pure quella che è
ciao
Ah grazie anche a Tatanka !! Mi ha chiarito che facevo molto 
male a considerare praticamente indifferenti l'ampiezza 
d'onda e il suo doppio, per la questione dei QUADRATI (che 
pure sapevo ma non avevo collegato i neuroni), che 
giustamente non possono più essere pure loro linearmente 
additivi, e che sono importanti in miriadi di contesti dove 
le onde interessano per l'energia relativa.
Rispondo solo qui pure a lui, spero che legga, sto intasando 
con questo semi-OT ...
ciao


 Se non fosse per problemi di "aliasing"
 
 
1) Non credo che in questo caso ci siano
 
2) Se ci fossero: misuri la curva per parametri per cui la misura e' facile e poi fai una proporzione

 
 
Mi e' venuto in mente che hai anche la funzione da integrare: la
 
sqrt (1 + (K * (2*pi/L) * sin (2*pi * X/L))^2) 
 
 
Tracci questa, ritagli e pesi.
 
G.

 a svariati strumenti normali e non introducono sensibili errori grossolani.
 
Bene, questa _è_ Fisica ;-).
 
Voglio cercare di capire con quale accuratezza
bisognerebbe effettuare il taglio della carta
per ottenere il dato errore di misura.
 
Intendo che sia stato ritagliato il contorno della figura,
pesato il ritaglio e si sia rapportata la massa a quella
di un ritaglio di area campione, il rapporto sarà la
misura dell'area della figura in unità dell'area
campione.
 
Data la convenzione sulle cifre significative se si
riportano 4 c.s. allora l'errore sarà sulla quarta cifra,
cioè l'errore relativo sarà dell'ordine di 10^-4,
considero ora il caso della misura dell'area A di un
ritaglio quadrato di lato l, trascuro per semplicità
cause di errore come la misura delle masse, disomogeneità
locali nella carta, differenti umidità della carta ecc. ecc.,
dato che A = l^2 allora gli errori relativi di A e l sono
dello stesso ordine di grandezza (dA / A = 2 dl / l),
dunque per avere l'errore richiesto occorrerebbe
misurare il lato con una accuratezza dell'ordine
di 10^-4 (trascuro ulteriori cause di errore come
lati non paralleli, non perfettamente regolari...),
ad es. dato l = 10 cm occorrerebbe ritagliarlo con
un'accuratezza 10^-2 mm...



mmm allora famo TRE cifre significative :)
E' la carta in sé che potrebbe arrivare a 4, ma col bisturi 
è difficile. Poi c'è forma e forma, se ritagli la carta 
geografica, probabilmente scendi a fatica sotto le 2. Con un 
quadrato e il bisturi vai tranquillo
