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Titolo: AAA cercasi operatore

Salve a tutti,
cerco un operatore lineare A da H in H, con H spazio di Hilbert (il dominio
di A non coincide necessariamente con H), tale che:
1) il grafico di A sia chiuso
2) esista un chiuso C di H tale che A(C) non sia chiuso.
Grazie in anticipo,
Giaco

Ciao, ti faccio un esempio che viene dalla meccanica quantistica,
per una particella definita sulla retta reale.
Prendi l'operatore X che manda la funzione f=f(x) in g(x) = xf(x) dove f e'
un elemento di L^2((0,+oo)). Questo e' l'``operatore posizione''
in meccanica quantistica.  Se il dominio di X, D(X) e' definito come
D(X) = { f in  L^2((0,+oo))  t.c. x -> xf(x) e' una funzione di L^2((0,+oo)) }
allora X e' autoaggiunto come ben noto. L'aggiunto di un  operatore (se esiste)
e' chiuso. Quindi X e' chiuso, essendo chiuso ha il grafico chiuso.
Quindi considera il sottospazio chiuso C delle funzioni L^2
nulle quasi ovunque fuori da [0,1]. E' chiaro che C e' incluso in D(X).
Ti mostro che X(C) non e' chiuso esibendo un suo punto di accumulazione
che non appartiene all'insieme stesso.
Considera la successione di funzioni
f_n(x)  =  x^{-1/2} se  1/n  < x < 1
f_n(x)  =  0        altrimenti.
Le f_n sono tutte in C per costruzione inoltre
(Xf_n)(x) =  x^{1/2} se 1/n < x < 1
(Xf_n)(x) =  0        altrimenti.
E' immediato verificare (usando per es. la convergenza dominata
di Lebesgue) che nella convergenza L^2
(Xf_n) -> h
dove
h(x) =  x^{1/2} se 0 < x < 1
h(x) = 0        altrimenti
Tuttavia h non e' elemento di X(C). Se cosi' fosse
sarebbe h(x) = x g(x) per qualche g in C. Tale g
dovrebbe soddisfare quasi ovunque in (0,+oo)
g(x) = h(x)/x
In particolare
g(x) = x^{-1/2}      se 0<x<1
ma tale g non e'quindi  nemmeno in L^2(R) per cui a maggior ragione
non e' elemento di C.
Abbiamo provato che c'e' un punto di accumulazione di X(C), h,  che non e'
contenuto in X(C). Quindi X(C) non e' chiuso non contenendo tutti i suoi
punti di accumulazione.
Ho scritto tutto molto in fretta perche' al solito non ho tempo,
controlla bene tutto quello che ho scritto...
Ciao, Valter

-- 
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

ehm...come dire...ecco perché non ne trovavo uno facilmente!
Mi sembra congegnato proprio bene, c'è solo una cosa che non ho capito:
come faccio a vedere che il sottospazio C delle funzioni L^2 nulle quasi
ovunque fuori da [0,1] è chiuso? Siccome non hai dato peso a ciò, deduco che
sia una banalità; tuttavia non riesco a dimostrarlo (a proposito, visto che
si parlava solo di L^2((0,+oo)), immagino che intendessi (0,1]; sto
diventando vergognosamente pedante...).
Grazie ancora per la dettagliata risposta.
Giaco
giaco (punto) dos (presso) tiscali (punto) it

 Giaco
prego,
ciao, Valter


 chiuso.
Che dire? Magnifico! Queste sģ che sono dimostrazioni eleganti...io mi stavo
impelagando con disuguaglianze, epsilon, mostruositą varie...
Mille grazie!
Giaco
P.s.: non ho potuto fare a meno di curiosare sul tuo sito
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
 e devo dire che appena
troverņ un po' di tempo leggerņ (o meglio studierņ) con piacere alcune delle
tue dispense: promettono veramente bene! Congratulazioni da un pisquanello
quale io sono.

 quale io sono.


 fisica matematica del prossimo settembre.
Buono a sapersi! Non mancherò di bazzicare il tuo sito ogni tanto.
Ciao,
Giaco

 fisica matematica del prossimo settembre.
Buono a sapersi! Non mancherò di bazzicare il tuo sito ogni tanto.
Ciao,
Giaco