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Titolo: Già che ci sono: principio delle geodetiche e principio di equivalenza

 
Ciao a tutti, sono a casa in isolamento covid, per cui posso scrivere un po’ qui (ufficialmente sono in malattia come coordinatore del dottorato per cui mi lasciano in pace, d’altra parte ho 38,3 di febbre).
 
 
Elio mi aveva posto una questione interessante che, da quanto leggo su Wikipedia, salta fuori da una “dimostrazione” sul Weinberg di rel gen. Guadare la pagina geodesic in general relativity di Wikipedia.
 
 
Si tratta di due affermazioni, una più fisica e l’altra più matematica e si sostiene che la prima implichi la seconda. Non ho a casa il Weinberg, ma la prova su Wikipedia ha un bel buco logico ed è un bel non sequitur.
 
 
 
 
La proposizione più  fisica è il principio di equivalenza (metà di esso): nell’’intorno  di un evento possiamo “annullare” il campo gravitazionale studiando il moto di una particella in caduta libera semplicemente scegliendo coordinate locali furbe. Matematicamente: in tali coordinate, quando il punto passa esattamente per il centro delle coordinate spazio temporali, l’equazione del moto di esso coincide con quella che si avrebbe in relatività speciale in assenza di gravità.
 
 
 
La proposizione più matematica, il postulato delle geodetiche, consiste invece nel postulare che le linee di universo delle particelle soggette al campo grav sono geodetiche (di tipo tempo per corpi massivi), rispetto alla cosiddetta *connessione di Levi Civita*. Questa è un aggeggio matematico che si ha ed è unico quando si pensa lo spazio tempo della RG come dotato della solita metrica Lorentziana.
 
 
 
Orbene su Wikipedia si dichiara che la prima proposizione implichi la seconda. Tuttavia se leggete la dim si arriva solo a dire, in base al principio di equivalenza, che le storie dei corpi in caduta libera sono geodetiche *ma non rispetto alla connessione di Levi Civita*, bensì rispetto ad una certa connessione simmetrica che si costruisce (la costruzione è fondata matematicamente) dal principio dì equivalenza.
 
 
Quindi bisogna *ancora* provare che la connessione trovata è quella giusta. Per certi risultati matematici noti, questo è equivalente a richiedere che la derivata covariante della metrica rispetto a questa connessione costruia da Weinberg sia zero. 
 
 
Su Wikipedia c’è questo buco bello grosso che bisogna chiudere. Mi sembra incredibile che nessuno se ne sia accorto. Se l’ha scritto Weinberg il buco c’è comunque, anche se ha preso il nobel. Magari sul libro è più chiaro.
 
 
Non si può usare un argomento puramente matematico per tappare il buco  perché esistono connessioni simmetriche non metriche su ogni varietà con metrica. Per cui da matematici ci sono controesempi. Ci vuole un argomento fisico,  che sinceramente io non vedo.
 
 
 
Andando avanti con il formalismo si potrebbe usare un *principio di equivalenza forte* (le equazioni del prim’ordine valide nello spazio di Minkowski valgono anche in GR sostituendo la derivata ordinaria in coordinate Minkowskiane con quella covariante). A me sembra estremamente brutto fare così. In ogni caso bisogna aggiungerlo.
 
 
 
È importante invece osservare che se si assume che le storie di particelle soggette al campo grav, in GR, siano geodetiche di Levi Civita, allora il principio di equivalenza (la metà considerata) è banale e si può anche formulare in modo fisicamente più preciso (coordinate normali attorno ad una geodetica). 
 
Ciao,
Valter

 
 
 
 
 
 
 
Molto interessante.  Dal mio punto di vista, dipende da che principio di equivalenza usi. Se usi solo metà del principio di equivalenza hai sicuramente ragione tu. Ma se uno premette, come ho fatto io nel mio lavoro in cui uso la dimostrazione di Weinberg, "assumiamo la validità del Principio di Equivalenza di Einstein (cioè quello intermedio), allora stai anche assumendo che le equazioni del prim’ordine valide nello spazio di Minkowski valgano anche nelle teorie metriche sostituendo la derivata ordinaria in coordinate Minkowskiane con quella covariante (è una frase brutta come dici, infatti non l'ho scritta esplicitamente)".  Non so che premessa abbia usato Wikipedia. Altra osservazione, io avrei scritto la frase "Questa è un aggeggio matematico che si ha ed è unico quando si pensa lo spazio tempo della RG come dotato della solita metrica Lorentziana." Con "Questa è un aggeggio matematico che si ha ed è unico quando si pensa lo spazio tempo delle teorie metriche come dotato della solita metrica Lorentziana. "
 
Cari saluti,
Christian Corda


Valter Moretti ha scritto:
 > Ciao a tutti, sono a casa in isolamento covid,
 > ...
E' superfluo dire che anch'io ti ho letto con molto piacere.
Avrei una montagna di cose da dire, ma come vedrai mi limiterò molto.
Comincio proprio dal covid. Come suol dirsi, non tutto il male vien
per nuocere: sei costretto a casa e quindi hai tempo per srcivere qui
:-)
Devi sapere che ho appena fatto la stessa esperienza, a fine giugno,
dopo 4 dosi di vaccino.
Tutto si è risolto con febbre più o meno come la tua (anche un po' più
alta, nonostante la tachipirina); un leggero bruciore di gola, e in 4
giorni sono guarito.Tampone negativo dopo 9 giorni, ed eccomi qua.
 
 > Elio mi aveva posto una questione interessante
Vero e ho faticato per trovare il mio mail e la tua risposta, perché
risalgono a metà aprile: più di tre mesi fa!
Lamenti che non ho risposto: è vero e ti chiedo scusa, poi cerco di
giustificarmi.
Della tua risposta avevo capito poco (la spiegazione che hai dato ora
è molto più chiara) e per di più non avevi risposto a gran parte delle
domande.
Mi ripromettevo di studiare meglio la questione ... ma poi sono
insorti altri stimoli ed è finita che ho dimenticato che ti dovevo una
risposta.
Purtroppo questo mi succede continuamente: mi metto a lavorare su un
problema, la cosa si mostra più complicata di quanto credevo ...
arriva qualche domanda interessante che mi spinge a pensare a quella
... e alla fine mi trovo una quantità di cose in sospeso e incompiute.
Temo di non poterci far niente, è un effetto indesiderato dell'età.
 
 > che, da quanto leggo su Wikipedia, salta fuori da una
 > "dimostrazione" sul Weinberg di rel gen. Guardare la pagina geodesic
 > in general relativity di Wikipedia.
Infatti una delle domande era se potevi confermare che la
"dimostrazione" era di Weinberg.
Io non ho mai neppure aperto quel libro, o forse solo quel tanto che
mi è bastato per capire che W. è un fautore della RG come teoria di
campo.
Dato che secondo me questa è una solenne sciocchezza, ho dato addio a
W.
(Il quale, tra parentesi, il Nobel l'ha avuto (con Glashow e Salam)
per l'unificazione elettrodebole, che con la RG non ha proprio niente
a che vedere.)
 
Non vado oltre, perché non voglio partecipare a una discussione su
questo problema *in questo NG*.
Tu che non ci segui più da tempo non puoi sapere perché, ma Alberto e
Bruno (come molti altri) possono capirlo benissimo.
 
Hai scritto in altro post:
 
 > Riesco solo a scrivere ogni tanto su physics stack exchange (ma li
 > si discute ben poco).
Anch'io ho smesso di partecipare. Non ci scrivo più; ogni tanto leggo
un po' di domande (e di risposte, spesso insoddisfacenti).
 
 > I massimi sistemi come la quantum gravity mi hanno abbastanza
 > scocciato,
 > ...
 > non vorrei dire una mostruosità, ma non rimarrà quasi nulla in
 > futuro, diciamo tra un secolo, della maggior parte delle chiacchiere
 > attuali di fisica teorica delle alte energie secondo me.
Sono abbastanza d'accordo, con la sola cautela che ne capisco
pochissimo, per cui sono riluttante a esprimere giudizi.
(Però parlando di "massimi sistemi" mi sembra che offendi Galileo...)
 
Faccio un esempio: la rottura spontanea di simmetrie.
Saprai che ho lavorato sull'argomento attorno a 50 anni fa; quindi
almeno che cos'è una rottura spontanea credo di saperlo.
Il Modello Standard si regge sule rotture spontanee, ma io non sono
mai riuscito a capire se in QFT si sanno fare calcoli seri su una
rottura spontanea, o se tutt sui basa su modelli semiclassici (tipo il
classico sombrero).
D'altra parte esito a parlare di queste cose, perché temo sempte che
qualcuno mi dica "studiati questi e questi lavori ... e poi potrai
dire la tua".
 
 > La quantum information invece, malgrado a volte sia gestita da
 > ricercatori piuttosto ignoranti che riscprono l'acqua calda o
 > abbiano punti di vista piuttosto rozzi, si occupa di questioni
 > fondazionali in modo molto concreto (alla fine si deve produrre
 > tecnologia).
Ricordo di aver scritto anni fa (non so più dove) che gli ingegneri
informatici avrebbero dovuto capire la m.q.
Lo segnalavo come problema didattico; doveva essere in uno scritto su
che cosa della "fisica moderna" si può presentare nella scuola
secondaria.
 
Per finire: dovrei spiegare la mia frase che non ti è piaciuta:
"certamente non è un buon servizio per i suoi studenti".
Però è un altro argomento, anche se importante a mio parere, quindi
preferisco rimandarlo a un altro post.
 
-- 
Elio Fabri

 
 
Ciao, mi pare che siamo d'accordo allora sulla dimostrazione in Wikipeda che è riferita al testo di Weinberg. Comunque in non mi riferivo al tuo lavoro, che non conosco anche se consoco il tuo nome, ma solo a quanto scritto sulla pagina di Wikipedia. 
 
 
 
Quando dicevo metà del principio di equivalenza intendevo una cosa diversa da quella che dici tu mi pare. Nella mia terminologia il principio di equivalenza che usi è *in forma forte*. Invece io mi riferivo a "metà" del principio di equivalenza in forma fisica di Einstein quello scritto in termini un po' fumosi che che precede la formulazione matematica della RG e che dice che il campo gravitazionale si può localmente cancellare (proma metà) e si può localmente creare o simulare (seconda metà). Probabilmente avrei dovuto usare una terminologia diversa- 
Ciao, Valter

 
Ciao, grazie del chiarimento. Effettivamente sul principio di equivalenza a volte si può fare confusione per via del modo di dire o interpretare le cose. In questo caso ero io a non aver capito bene.
 
 
Mi fa piacere che conosci il mio nome, potremmo anche esserci conosciuti di persona perché nel lontano 2009 venni a Trento a tenere un seminario su invito del gruppo di Cognola. Il titolo era "Interferometric detection of gravitational waves: the definitive test of general relativity", tratto dal mio saggio che ottenne una menzione onorevole ai Gravity Awards di quell'anno. Visto il tuo campo di ricerca, potresti essere stato presente.
 
Al di la di questa questione sul principio di equivalenza mi stupisce, positivamente, il tuo giudizio sulla gravità quantistica in un altro topic, che mi permetto di riportare, in quanto lo condivido in toto:
 
 
" I massimi sistemi come la quantum gravity mi hanno abbastanza scocciato, non vorrei dire una mostruosità, ma non rimarrà quasi nulla in futuro, diciamo tra un secolo, della maggior parte delle chiacchiere attuali di fisica teorica delle alte energie secondo me"
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Il mio stupore deriva dal fatto che sei uno dei pochi fisici teorici "mathematically oriented" che la pensa così. Il problema è che su questa cosa c'è dietro un grosso business, e dunque interessi economici e "politica" di bassa lega. Chi è diventato ricco e famoso in questo campo (compreso qualche italiano) difficilmente ammetterà di star  producendo aria fritta. A mio parere, piuttosto che cercare una completa gravità quantistica, che potrebbe benissimo non esistere checché ne dicano Witten da una parte e Smolin dall'altra, è molto più utile cercare di capire l'eventuale controparte quantistica dei singoli casi in cui la RG classica ha dei limiti. Io ed un gruppo di colleghi ci stiamo provando da un po' di tempo a questa parte partendo dalla quantizzazione dello storico collasso gravitazionale di Oppenheimer and Snyder, che classicamente porta alla formazione del buco nero di Schwarzschild. Il nostro risultato preliminare è che si forma un sistema quantistico ben definito, non singolare e con spettro energetico discreto,  simile ad un atomo di idrogeno e governato da un'equazione di Schrodinger. Purtroppo, poiché non usiamo stringhe, loops, firewalls, fuzzballs ed altre cose strambe che oggi vanno di moda, il nostro approccio passa quasi inosservato. Come se utilizzare rigorosamente "solo" le vecchie RG e QM (cosa che oggi non sa più fare quasi nessuno) fosse una sorta di peccato. Ecco il commento di un referee: "Perché usare questo approccio particellare se oggi abbiamo una teoria fondamentale come la loop quantum gravity? Questo articolo non è abbastanza interessante da essere pubblicato". Peccato che la loop quantum gravity tanto cara a questo tizio in 35 anni non ha portato a niente, anzi, in certi casi è in contrasto con l'approccio semiclassico.
Potrei continuare, ma la questione sarebbe lunghissima. Forse si potrebbe aprire un topic in proposito.
 
Ciao,
Christian Corda


 Il mio stupore deriva dal fatto che sei uno dei pochi fisici teorici "mathematically oriented" che la pensa così.
 
 
 
 
 
Infatti io sono un fisico matematico e non un fisico teorico. Per me è una distinzione importante, mi occupo della costruzione logico-matematica e fondazionale delle teorie fisiche, non importa se classiche, quantistiche, relativistiche o quantistico relativistiche.  Ho messo le mani un po' dappertutto. Preferisco di gran lunga l'ambiente dei matematici e dei fisici matematici piuttosto che quello dei fisici teorici da cui provengo, almeno i teoremi sono veri o falsi. Comunque negli ultimi anni ho lavorato con i fisici sperimentali e devo dire che preferisco, per quel poco che ho visto, anche l'ambiente dei fisici sperimentali (fotonica) a quello della fisica teorica.
Ciao, Valter

Il giorno sabato 23 luglio 2022 alle 11:05:03 UTC+2 
cordac....@gmail.com
 ha scritto:
(cut)
 
 
 
 
PS. Grazie di avermi manzionato quel vostro ambito di ricerca e i vostri risultati. Sembra interessante, ma non ho veramente tempo per mettermi a leggere dato che sono sopraffatto dal lavoro (specie amministrativo come capo della scuola di dottorato) e riesco a dedicare alla ricerca poco tempo con un backlog enorme arretrato. D'altra parte ora sono in "pausa covid" e poi, appena guarito, non avrò più tempo di scrivere qui sopra. Erano diversi anni che non ci scrivevo. 
Ciao, Valter
 

On 23.07.22 11:21, Valter Moretti wrote:
 
 > almeno i teoremi sono veri o falsi.
 
La bravura potrebbe essere scegliere bene gli assiomi :-)


Vero però, nella fisica matematica, la tesi deve anche avere senso fisico. Anzi tutto quello che viene fuori dagli assiomi, non lo specifico teorema, deve essere tale. Questo è un vincolo fortissimo che distingue la matematica pura dalla fisica matematica. Elio dice che io uso un rigidissimo formalismo matematico, per me non c’è alcuna rigidità è semplicemente la libertà di scegliere la struttura matematica giusta, capisco che a lui possa sembrare una gabbia e probabilmente lo è, per me non lo è. Per questo dico che non sono un fisico e non faccio, né insegno fisica.
 
 
 
 
 Per confrontare con la fisica teorica posso ancora dire questo. Nella fisica teorica il rigore non è centrale invece. Conta il senso fisico (se la fisica è buona la matematica le va dietro come un treno e si riesce sempre ad aggiustare andando dal collega fisico matematico a chiedere, questo lo sa ogni buon fisico teorico). Per fare un esempio l’equazione di Schroedinger non è un’equazione alle derivate parziali. La topologia che si usa nella variabile t è del tutto diversa da quella per x,y,z. Negli articoli di fisica teorica, a meno che non sia quello il punto per ragioni fisiche, le diverse topologie non contano…per me confonderle è quasi una bestemmia…
 
 
 
Il problema che noto oggi, ma anche io non è che sia un giovincello aperto a tutto, è che non si capisce (io non capisco) più cosa sia il senso fisico in certi contesti della fisica teorica delle alte energie. Io non lo capisco e basta, per cui certe cose come la teoria delle stringhe, che non ha mai prodotto alcuna previsione azzeccata e necessita di un catafalco di ipotesi che gridano vendetta (ben più di 4 dimensioni), non ha alcun interesse, fare quella roba è bruciare la propria vita scientifica. 
 
 
 
 
 
Problemi cruciali sono invece legati  per esempio al processo di misura quantistico. Ora si possono fare anche esperimenti e si può capire *davvero* qualcosa di più del mondo fisico in quel punto oscuro che è il passaggio da micro a macroscopico. Esiste un mondo teorico per formalizzare quasi tutto. Con un’enormità di problemi aperti. Il postulato del collasso della funzione d’onda è per esempio per me oggi di un ingenuità disarmante. Come lo si racconta. In realtà è un caso limite degli strumenti quantistici in senso teorico teoria iniziata addirittura da voi Neumann negli anni 30. Ma tutto questo non è importante fisica teorica in alcune comunità almeno, perché non si occupa di soggetti autoreferenziali scelti, secondo me, per motivi storico politici. È chiaro che si tratta solo di politica non scienza. 
 
 
 
 
 
Lavorare con i fisici sperimentali per me è stato illuminante. Ho dovuto mettere da parte certi problemi molto astratti ( la scelta del gauge, Gupta Blesser, BRST), e concentrarmi per esempio su come formalizzare la funzione d’onda del fotone (stati parassiali) per prevedere veramente la lunghezza di coerenza di un esperimento, perché altrimenti non si vedeva nulla. Oppure convincere il referee incazzato che il nostro esperimento corroborava il teorema di Kochen Specker e dimostrava con la violazione della disuguaglianza di Bell che non era possibile interpretare i dati con una teoria a variabili nascoste non contestuale, e che non era una semplice evidenza di entanglement classico di luce.
 
 
È stata una discesa nel mondo reale e la mia formazione di fisico matematico è stata di aiuto cruciale per capire cosa si stava facendo. Anche per questo mi sento ormai lontanissimo dagli stiliti di una certa fisica teorica delle alte energie.
 
 
 
Abbiamo cercato di mettere su a Trento una laurea magistrale in ingegneria quantistica. Abbiamo anche i finanziamenti e le competenze, ma non ci stiamo riuscendo. All’ateneo, specie ingegneria e informatica, interessa poco. Stiamo perdendo un treno in corsa su cui è già sopra quasi tutto il resto dell’Europa.
 
Ciao
Valter

 
 
Forse una domanda rilevante è se ingegneria ed informatica dell'ateneo 
pensano di poter essere protagonisti nel campo.
 
 
 
 
 
 

 pensano di poter essere protagonisti nel campo.
 
 
 
 
Guarda tutti i corsi nuovi (costruiti a tavolino essenzialmente io e un mio collega fisico)  ed esclusi  quelli standard di laboratorio e per poter dichiarare che la laurea fosse di ingegneria (tutti corsi mutuabili)  li avremmo tenuti noi fisici e matematici. Sul nostro carico didattico. Gli avremmo passato lentamente i corsi mano a mano che i colleghi di ingegneria avessero acquisito le competenze o avessero reclutato docenti e ricercatori competenti, con i fondi trovati da noi ("noi" siamo questo 
https://quantumtrento.eu/#
 mi trovate nel managment board)
 
 
 
Nemmeno così va bene. L'aspetto cruciale è che sia *ingegneria* non fisica. Però i colleghi ingegneri non ci sentono (gli ingegneri hanno le loro ragioni, devono fare ingegneria biomedica, gli informatici non so perché e loro hanno anche persone competenti nel campo già pronti a tenere corsi di quantum machine learning). Noi  non possiamo fare una laurea in ingegneria a Fisica o Matematica...La sostanza è che saremo fuori dal gioco tecnologico internazionale sulle quantum technologies.
Ciao, Valter

 
 
 
Questa alla prima risposta me la sono fatta sfuggire. Brevi indicazioni 
per avere un'idea? Perché R^4 non va bene?


Perché si tratta di un'equazione che si ottiene derivando in t l'equazione di evoluzione (pongo 1 la costante di Planck razionalizzata)
 
psi_t = e^{-itH} psi     (1)
 
Dove psi è la funzione d'onda nello spazio di Hilbert al tempo 0 e psi_t è la funzione d'onda nello spazio di Hilbert al tempo t. 
La derivata in t si deve fare nella topologia dello spazio di Hilbert. 
 
 
Nel caso tale spazio di Hilbert sia quello standard L^2(R) (lavoro in una dimensione),  e H sia l'estensione di un operatore differenziale del secondo ordine
 
H = -(1/(2m)) d^2/dx^2 + V(x)
 
 derivando in t la (1) 
ho
 
dpsi_t/dt = -iHpsi_t
cioè 
 
i dpsi_t(x)/dt =  -(1/(2m)) d^2 \psi_t(x) /dx^2 + V(x) \psi_t(x)
 
Questa è l'equazione di S. Ho assunto che psi_t sia sufficientemente differenziabile (in realtà il dominio di H permette cose ben peggiori)
 
 
Ma la derivata in t a primo memebro non è così. 
 
Per es, diciamo che g nello spazio di Hilbert è la derivata di psi_t a t=0 se
 
|| g - (psi_h - psi_0)/h||->0 per h ->0.
 
Quella norma che appare sopra, per funzioni d'onda di L^2(R), è costruita con l'integrale : 
 
|| f||^2= integ |f(x)|^2 dx...
 
 
Come vedi c'è un abisso tra quello che si fa in t e quello che si fa in x.
 
Ciao, Valter

 
 
In fondo è normale che ognuno porti acqua al suo mulino.
Succede sempre così, le proprie cose sembrano sempre più importati.
 
MF

...
 
 
 
 
Ciao Valter. Scusa se mi permetto di deviare un pochino dal subject. Parlavi di assiomi. Anni fa, una discussione, con te ed Elio, per me particolarmente interessante, è in qualche modo rimasta inconclusa. Chiedevo sul teorema di Noether applicato all'invarianza per traslazioni della lagrangiana ed è sorta la questione: e se la lagrangiana, come avviene molti spesso, è invariante per traslazioni solo all'interno di una regione di spazio? Semplicemente si applica il teorema su quella regione e se ne conclude che la qdm si conserva li (soltanto) ? Dalle vostre risposte non pareva così ovvio.
Hai qualcosa, anche un link ad una pagina web dove potrei approfondire la questione?
Ciao e scusa se ho approfittato di questo thread per questo argomento.
 
--
Wakinian Tanka

Però i colleghi ingegneri non ci sentono (gli ingegneri hanno le loro ragioni, devono fare ingegneria biomedica, gli informatici non so perché e loro hanno anche persone competenti nel campo già pronti a tenere corsi di quantum machine learning). Noi  non possiamo fare una laurea in ingegneria a Fisica o Matematica...La sostanza è che saremo fuori dal gioco tecnologico internazionale sulle quantum technologies.
 
Mah, temo che il problema maggiore non sia l'Università ma le aziende 
italiane e a loro sempre minore capacità di rispondere in modo da 
anticipare l'evoluzione tecnologica. Siamo molto lontani dalla 
situazione italiana degli anni '50, con la "visione" dell' Olivetti 
dell'epoca.
 
Tuttavia forse potreste esplorare due alternative:
1. partire nella classe di Fisica o in LM-44 (sfruttata 
p.es
. dai corsi 
di laurea magistrale sui sistemi complessi) per poi fare il passaggio 
completo verso ingegneria. Peraltro, con un ordine professionale dei 
fisici, è veramente essenziale per il mercato del lavoro di avere una 
laurea in ingegneria?
2. doppio titolo (fisica-ingegneria) o titolo congiunto con un'altra 
università europea?
 
Ormai di soluzioni creative se ne possono immaginare diverse.
 
Giorgio

 
 
 
Ciao, non saprei cosa consigliarti, ma mi pare che valga la legge di conservazione fino a quando l’evoluzione del sistema rimane nella regione in cui c’è la simmetria per un sistema di punti materiali. Per una teoria di campo la corrente conservata è tale solo nella regione di spazio tempo dove c’è la simmetria. Mi pare esca direttamente dalla dim del teorema senza problemi.
Ciao
Valter 


Grazie Giorgio, riferirò i tuoi suggerimenti quando (se) torneremo sulla questione.
Ciao,
Valter 


Valter Moretti ha scritto:
 > Per fare un esempio l'equazione di Schroedinger non è un'equazione
 > alle derivate parziali. La topologia che si usa nella variabile t è
 > del tutto diversa da quella per x,y,z. Negli articoli di fisica
 > teorica, a meno che non sia quello il punto per ragioni fisiche, le
 > diverse topologie non contano ... per me confonderle è quasi una
 > bestemmia ...
 > ...
 > Per es, diciamo che g nello spazio di Hilbert è la derivata di psi_t a
 > t=0 se
 >
 > || g - (psi_h - psi_0)/h||->0 per h ->0.
 > ...
 > Come vedi c'è un abisso tra quello che si fa in t e quello che si fa
 > in x.
In effetti... Sebbene forse a livello inconscio lo sapevo, non credo di
aver mai messo in evidenza questo fatto in tutti gli anni che ho
insegnato MQ, QFT, ecc.
Però stanotte ci ho rimuginato, e ho qualche commento e qualche dubbio.
 
Per prima cosa chiarisco che la profonda differenza sta tra come
vengono trattati i vari campi classici (es. eq. di Maxwell) da una
parte, e le funzioni d'onda dall'altra.
Un campo classico - prendiamo il pot. scalare - è una funzione R^4-->R
(o magari un dominio più ristretto di R^4, ma sempre un aperto).
A questa funzione chiediamo proprietà di differenziabilità: forse C^2
basta?)
Questo è più forte che chiedere derivabilità rispetto a tutte le
coordinate: si vuole che esistano tutte le derivate direzionali, e
siano esprimbili come combin. lineari delle derivate parziali rispetto
a x,y,z,t.
Questo requisito impegna la funzione solo in un intorno del punto dove
si calcolano le derivate. Quello che succede in punti distanti è
valutato in intorni di quei punti, senxa alcun collegamento tra i
punti.
Non mi pare neppure che si chieda (a meno che non segua) la
convergenza uniforme del limite che figura nella definizione di
derivata. (Qui già si vedono i miei limiti sulla padronanza
dell'Analisi :-( )
 
In MQ invece si chiede la convergenza in norma, che in L^2 è una
proprietà integrale.
Quindi da un lato si accettano funzioni meno "buone" di quelle che si
accetterebbero come potenziale scalare, ma dall'altro il limite
(derivata in un punto) coinvolge *tutto* il dominio della funzione,
causa l'integrale.
 
E ora alcuni dubbi.
Tutto bene per l'evoluzione temporale, ossia per l'azione sullo spazio
di Hilbert del gruppo delle traslazioni temporali.
Ma che succede con le traslazioni spaziali?
Come gruppi astratti traslazioni in x e trasl. in t sono isomorfi, ma
l'azione è diversa.
Se T_a è l'operatore (unitario) che rappresenta una traslazione
spaziale di ampiezza a, la sua azione su una f. d'onda f(x) è
definita da
T_a f(x) = f_a(x) = f(x-a).
In primo luogo, essendo a un reale qualsiasi, occorre che f abbia per
dominio tutto R.
Secondo:
T_a = exp(-iaP)  (1)
e
df_a/da = -iP f_a = -df_a/dx
da cui
P = -i d/dx.  (2)
Ma queste che derivate sono? In norma?
 
A questo punto io mi perdo, perché conosco alcuni risultati che non so
come mettere insieme.
Il teorema di Stone mi assicura che P come scritto in (1) esiste,
autoaggiunto (e per di più unico).
Quanto alla (2) però so che l'operatore i*derivata esiste autoaggiunto
nel dominio delle funzioni assolutamente continue con derivata in L^2.
E' chiaro che la situazione è più complicata che nel caso delle
traslazioni temporali...
 
Ma non ho finito.
In mecc. q. relativistica è fondamentale il gruppo di Poincaré, che
include sia traslazioni spaziali sia temporali. Senza contare il
gruppo di Lorentz, che mescola spazio e tempo.
Dicendo m.q.r. non intendo teoria dei campi: penso alla m.q. di una
singola particella, mettiamo pure di spin 0 per eliminare una sfilza
di questioni.
Ovviamente non posso ammettere un trattamento speciale per le
traslazioni temporali: t,x,y,z debbono essere sullo stesso piano.
(Anche se nei primi anni '60 con Picasso lavoravamo proprio a un
approccio opposto: una m.q.r. che in ogni dato rif. inerziale è
costruita come la m.q. non relativistica a parte la forma della
hamiltoniana.)
Che significato hanno in questo caso le derivate rispetto alle
coordinate?
 
Chissà se sono riuscito a farmi capire...
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri