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Titolo: magnetismo: interazione sfera-sfera

Qual'e' il modo piu' semplice e diretto per dimostrare che l'energia
magnetostatica tra due sfere magnetizzate uniformemente puo' essere
calcolata esattamente tramite l'espressione dell'interazione dipolo-dipolo?
E' sufficiente sapere che il campo magnetico generato da ciascuna sfera e'
coincidente, nella regione esterna alla sfera stessa, al campo generato da
un dipolo posizionato nel centro della sfera e orientato parallelamente alla
direzione della magnetizzazione? o serve invece qualche informazione in piu'
tipo teorema di Gauss o proprieta' del campo magnetico?
Io sono capace di verificare la cosa in maniera brutale tramite calcolo
diretto, ma non mi soddisfa per niente.
Problema in dettaglio:
Due sfere di uguale raggio R, magnetizzazione M diretta lungo m1 e m2,
posizionate a distanza |rho| (rho e' un vettore) una rispetto all'altra.
Determinare l'espressione generale dell'energia magnetostatica di
interazione tra le sfere.
Sia noto che il campo magnetico generato da ciascuna sfera nella regione
esterna e' puramente dipolare:
H(r,mu) = 3/|r|^5 (mu.r)  r - 1/|r|^3  mu     per |r|>R
dove il punto denota il prodotto scalare tra due vettori.
Risp:
Definendo i momenti di dipolo delle due sfere mu1 = M V m1 e mu2 = M V m2,
con V volume delle sfere, si ha
E = 1/|rho|^3  mu1.mu2 - 3/|rho|^5 (mu1.rho)(mu2.rho)
Il risultato e' quindi che nel caso della sfera, come avviene quando ci sono
monopoli (carica, massa), possiamo calcolare l'energia come se la sorgente
(in questo caso momento di dipolo) fosse concentrata al centro della sfera.
Con altre forme, ad es. prismi o cilindri o ellissoidi, chiaramente cio' non
vale piu'.
Bye
Hyper

 magnetostatica di interazione tra le sfere.
Come ho detto, e' piu' facile calcolare l'energia che non la forza...
Suggerimento: pensa al caso di cariche con distribuzione a simmetria
sferica.
Sai solo che il campo all'esterno e' lo stesso di quello di una carica
puntiforme.
Come calcoleresti l'energia?
Io farei cosi':
a) Conosco l'espressione dell'energia per cariche puntiformi.
b) Calcolo l'energia per una carica puntiforme nel campo di una sfera
estesa: dato che il campo e' lo stesso, lo e' anche l'energia,
banalmente, essendo il lavoro per portare la carica all'infinito.
c) Ma quella appena calcolata e' anche l'energia di una carica estesa
nel campo di una puntiforme (ovvio: l'energia e' d'interazione!)
Dunque il lavoro per portare la sfera estesa all'infinito , che certo
dipnede dal campo in cui simuove, e'lo stesso che per una carica
puntiforme.
d) Allora, se debbo calcolare l'energia di una sfera estesa in
interazione con un'altra sfera estesa, vedo che otterro' lo stesso
risultato, perche' la prima sfera si trova in un campo che e' lo
stesso di quello di una carica puntiforme.
c.v.d.
(Natur. si fa l'ipotesi che il campo di una carica non alteri la
distribuzione sull'altra; nel tuo caso, che la magnetizzazione non
venga modificata dalla presenza dell'altra sfera.)
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 venga modificata dalla presenza dell'altra sfera.)
Certamente.
Bye
Hyper