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Titolo: QED e seconda quantizzazione

ciao a tutti,
sto leggendo le "lezioni" del prof Fabri sull'elettrodinamica
quantistica...mi piacciono molto, ma per capirci qualcosa mi sto aiutando
moolto anche su qualche testo "serio" di QED e QFT. non che le "lezioni" non
siano serie, ma rappresentano, come dice anche il Fabri, una "breve storia"
della QED, e sono comprensibili al meglio solo per gli addetti ai lavori (il
prof. Fabri ci ha provato e il risultato è più che buono, ma personalmente
penso che sia impossibile spiegare in modo semplice certi argomenti di
fisica teorica a chi non è del settore).
e infatti sto facendo un sacco di conti per toccare con mano certi argomenti
della mq relativistica...
non ho capito però un paio di cose:
"abbiamo quantizzato il "campo di Dirac", e poiché questo nasce già da una
quantizzazione (la teoria quanto-relativistica di Dirac) abbiamo fatto una
"seconda quantizzazione" "
ok, ma la "prima" quantizzazione era ottenuta, diciamo, trattando le
osservabili fisiche come operatori quantistici e sottoponendo questi ad
opportune regole di quantizzazione. per esempio le coordinate canoniche x e
p...ecc.ecc.
nella "seconda quantizzazione" invece sono le vecchie funzioni d'onda che
diventano operatori, e devono così soddisfare opportune relazioni di
(anti)commutazione...
ma cosa ne è delle vecchie x?? restano operatori? valgono ancora le
relazioni di commutazione? dalla trattazione del libro sembra che esse
tornino ad essere le vecchie coordinate classiche (anzi nella formulazione
covariante le x vengono associate al tempo t), ma non ho trovato niente in
proposito..
un'altra cosa:
come si fa a trovare le lagrangiane?
in un sistema meccanico classico e libero direi che L=-T,
ma nel mio libro di QFT l'espressione della densità di Lagrangiana di un
campo libero viene data senza troppe giustificazioni, dicendo poi che è
giusta perché imponendo a questa le equazioni di Euler-Lagrange ri-ottengo
le equazioni del moto che già conosco (Klein Gordon per i bosoni, Dirac per
i fermioni). e grazie tante..non dovrebbe esserci un procedimento più serio
per il calcolo di L?
e la lagrangiana di interazione??
le lezioni Fabri dicono che essa consiste (a meno di qualche matrice gamma
di Dirac) in un prodotto di 4 fattori (carica e, 4-potenziale A, campo psi e
campo aggiunto psi barra)...
ok ma che cos'è la lagrangiana di interazione? cioè come si calcola in
generale? ho il sospetto che in realtà coincida con il potenziale negativo,
o forse con l'hamiltoniana di interazione, ma -come dice anche Fabri-
quest'ultima non è neanche uno *scalare*, dato che è la componente T_00 del
tensore energia-momento.
qualcuno mi potrebbe spiegare come stanno le cose?
grazie, gigi
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.libero.it

gigi ha scritto:
 > sto leggendo le "lezioni" del prof Fabri sull'elettrodinamica
 > quantistica...mi piacciono molto, ma per capirci qualcosa mi sto
 > aiutando moolto anche su qualche testo "serio" di QED e QFT. non che
 > le "lezioni" non siano serie, ma rappresentano, come dice anche il
 > Fabri, una "breve storia" della QED, e sono comprensibili al meglio
 > solo per gli addetti ai lavori (il prof. Fabri ci ha provato e il
 > risultato è più che buono, ma personalmente penso che sia impossibile
 > spiegare in modo semplice certi argomenti di fisica teorica a chi non
 > è del settore).
A dire il vero la mia intenzione era diversa: in primo luogo non si
tratta di "lezioni"; secondo, il destinatario era piuttosto una
persona genericamente interessata (in modo serio) ma senza una
preparazione specifica in fisica teorica. Se mai, il complemento
naturale sarebbe il ... libretto di Feynman.
Tu ti poni problemi di ben altro livello, e fai bene, intendiamoci; ma
certo non potevi trovare li' le risposte...
 > non ho capito però un paio di cose:
 >
 > "abbiamo quantizzato il "campo di Dirac", e poiché questo nasce già da
 > una quantizzazione (la teoria quanto-relativistica di Dirac) abbiamo
 > fatto una "seconda quantizzazione" "
 >
 > ok, ma la "prima" quantizzazione era ottenuta, diciamo, trattando le
 > osservabili fisiche come operatori quantistici e sottoponendo questi
 > ad opportune regole di quantizzazione. per esempio le coordinate
 > canoniche x e p...ecc.ecc.
 >
 > nella "seconda quantizzazione" invece sono le vecchie funzioni d'onda
 > che diventano operatori, e devono così soddisfare opportune relazioni
 > di (anti)commutazione...
OK
 > ma cosa ne è delle vecchie x?? restano operatori? valgono ancora le
 > relazioni di commutazione? dalla trattazione del libro sembra che esse
 > tornino ad essere le vecchie coordinate classiche (anzi nella
 > formulazione covariante le x vengono associate al tempo t), ma non ho
 > trovato niente in proposito..
Infatti e' cosi'. Nota che nella m.q. di prima quantizzazione c'e' una
sostanziale dissimmetria fra il tempo e le coord. spaziali: mentre le
seconde sono operatori, il tempo non lo e': resta la variabile
indipendente della meccanica classica.
Invece in una teoria di seconda quantizzazione, ossia in una teoria
quantistica di campo (relativistica o no) x, y, z, t sono le variabili
indipendenti da cui dipendono gli operatori di campo.
 > un'altra cosa:
 > come si fa a trovare le lagrangiane?
 > in un sistema meccanico classico e libero direi che L=-T,
Veramente L = T, ma fa lo stesso.
 > ... ma nel mio libro di QFT l'espressione della densità di Lagrangiana
 > di un campo libero viene data senza troppe  giustificazioni, dicendo
 > poi che è giusta perché imponendo a questa le equazioni di
 > Euler-Lagrange ri-ottengo le equazioni del moto che già conosco (Klein
 > Gordon per i bosoni, Dirac per i fermioni). e grazie tante..non
 > dovrebbe esserci un procedimento più serio per il calcolo di L?
Questo in realta' non e' un problema quantistico: lo stesso problema
lo hai se vuoi scrivere la lagrangiana di un sistema continuo, ad es.
una corda vibrante. Posso indicare due metodi:
a) Discretizza la corda come un insieme di punti materiali con
interposte astine rigide prive di massa, scrivi la lagrangiana di
questo sistema, poi passa al limite.
b) Se la corda e' tra estremi fissi, sviluppa la funzione y(x) in
serie di Fourier, e usa i coeff. di Fourier come coordinate
lagrangiane. Esprimi energia cinetica e potenziale in termini dei
coeff. di Fourier, calcola la lagrangiana, e ritorna alle coord. di
partenza.
Una volta imparato come si scrive la lagrangiana in questo caso, e'
facile generalizzare a onde in tre dimensioni, poi tener conto che i
quanti hanno massa (Klein-Gordon).
Meno ovvio scrivere la lagrangiana di Dirac, ma dopo che uno ha
pasticciato un po' con le lagrangiane di campi, impara il trucco...
 > e la lagrangiana di interazione??
 > le lezioni Fabri dicono che essa consiste (a meno di qualche matrice
 > gamma di Dirac) in un prodotto di 4 fattori (carica e, 4-potenziale A,
 > campo psi e campo aggiunto psi barra)...
 > ok ma che cos'è la lagrangiana di interazione? cioè come si calcola in
 > generale? ho il sospetto che in realtà coincida con il potenziale
 > negativo, o forse con l'hamiltoniana di interazione, ma -come dice
 > anche Fabri- quest'ultima non è neanche uno *scalare*, dato che è la
 > componente T_00 del tensore energia-momento.
Quando l'interazione non contiene le derivate dei campi, la Lint
coincide con Hint cambiata di segno, come nel caso classico: H = T +
V, L = T - V. Nel caso QED, ad es., c'e' solo da fare il prodotto
scalare fra quadricorrente e quadripotenziale.
Un altro metodo per arrivarci e' quello del "minimal coupling" (che
e' il punto di partenza delle teorie di gauge): si sostituisce nella
lagrangiana libera ogni derivata rispetto alle coord. spazio-temporali
con @+ieA.
Spero di essere stato suff. chiaro; se no, chiedi ancora.

 con @+ieA.
 
ho visto che questo metodo è potente ed elegante: se poi separo la parte
libera dall'interazione e riottengo lo stesso risultato. ma anche qui non ho
capito bene come si giustifica tale sostituzione.
se studio il moto di una particella in un campo em classico la sostituzione
minimale nell'hamiltoniana è giustificata dal fatto che poi nelle equazioni
canoniche ritrovo la ben nota espressione della forza di Lorentz, giusto?
ho però il sospetto che ci sia qualcosa di ben più profondo dietro tutto
questo (anzi ora ne sono sicuro). la derivata covariante se non sbaglio
emerge dall'analisi tensoriale: se cerco una derivata che abbia le stesse
proprietà di trasformazione della funzione di partenza e le trasformazioni
sono quelle di Lorentz-Poincaré, allora la derivata usuale non produce
tensori, ma se ad essa aggiungo un termine è tutto a posto. questo è quello
che credo di aver capito, ma non riesco a collegarlo bene con
l'elettromagnetismo e le interazioni. il mio libro (Mandl-Shawn) non dice
molto (per ora sono andato avanti lasciandomi dietro questo problema: per
esperienza ho visto che questo tipo di dubbi si chiarificano da soli quando
si comincia ad avere una visione globale...).
-un altra cosa che non mi spiego molto è da dove viene fuori la lagrangiana
(di Fermi) del campo elettromagnetico libero... probabilmente anche qui devo
"pasticciare un po' con le lagrangiane dei campi e imparare il trucco"
-e poi: che significa teorie di gauge? sono quelle teorie gauge-invarianti?
-e un'ultima cosa: Lagrangiana e Hamiltoniana vanno scritte in maiuscolo o
minuscolo??
grazie ancora in anticipo


gigi ha scritto:
 > ho visto che questo metodo è potente ed elegante: se poi separo la
 > parte libera dall'interazione e riottengo lo stesso risultato. ma
 > anche qui non ho capito bene come si giustifica tale sostituzione.
 > se studio il moto di una particella in un campo em classico la
 > sostituzione minimale nell'hamiltoniana è giustificata dal fatto che
 > poi nelle equazioni canoniche ritrovo la ben nota espressione della
 > forza di Lorentz, giusto?
Infatti questo e' il punto di partenza.
 > ho però il sospetto che ci sia qualcosa di ben più profondo dietro
 > tutto questo (anzi ora ne sono sicuro). la derivata covariante se non
 > sbaglio emerge dall'analisi tensoriale: se cerco una derivata che
 > abbia le stesse proprietà di trasformazione della funzione di partenza
 > e le trasformazioni sono quelle di Lorentz-Poincaré, allora la
 > derivata usuale non produce tensori, ma se ad essa aggiungo un termine
 > è tutto a posto.
Finche' resti alle trasf. di Lorentz non c'e' bisogno di derivata
covariante: ne hai bisogno o quando usi coordinate curvilinee, quindi
trasf. di coordinate piu' complicate, o - peggio - quando lo
spazio-tempo e' curvo, per cui le coordinate lorentziane semplicemente
non esistono.
 > questo è quello
 > che credo di aver capito, ma non riesco a collegarlo bene con
 > l'elettromagnetismo e le interazioni. il mio libro (Mandl-Shawn) non
 > dice molto (per ora sono andato avanti lasciandomi dietro questo
 > problema: per esperienza ho visto che questo tipo di dubbi si
 > chiarificano da soli quando si comincia ad avere una visione
 > globale...).
Hai ragione: per ora non preoccupartene troppo.
Ti dico solo questo: il problema della derivata covariante nel
contesto della teoria dei campi nasce quando si pensa a trasformazioni
di simmetria locali (ossia dipendenti dal punto dello spazio-tempo).
Allora occorre un "trasporto parallelo" per confrontare i campi in punti
diversi, e quindi anche una derivata covariante.
E' cosi' che nascono le teorie di gauge, che generalizzano il semplice
caso delle trasf. di gauge dell'elettromagnetismo.
 > -un altra cosa che non mi spiego molto è da dove viene fuori la
 > lagrangiana (di Fermi) del campo elettromagnetico libero...
 > probabilmente anche qui devo "pasticciare un po' con le lagrangiane
 > dei campi e imparare il trucco"
Sai che non ricordo la terminologia? Qual e' la lagr. di Fermi?
 > -e poi: che significa teorie di gauge? sono quelle teorie
 > gauge-invarianti?
Vedi sopra.
 > -e un'ultima cosa: Lagrangiana e Hamiltoniana vanno scritte in
 > maiuscolo o minuscolo??
Forse c'e' differenza di uso nelle diverse lingue: in italiano io
scriverei minuscolo; puo' darsi che in inglese sia meglio maiuscolo. Ma
non garantisco.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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grazie di tutto!!non ho altre domande..almeno per ora:)
Ah, per quella cosa che ho chiamato "lagrangiana di Fermi",
riporto dal Mandl Shawn (scusa per la notazione poco intelligibile:-):
La lagrangiana del campo em è
L=-(1/4)FF -(1/c)jA
invariante per Lorentz e gauge.
(F è il tensore del campo em, A il potenziale, j la corrente, FF e jA
sottintendono la somma sugli indici in modo da avere scalari).
Sfortunatamente però questa non è utilizzabile per la quantizzazione, poiché
il campo coniugato (@L/@A') ha la componente temporale identicamente nulla,
e questo non è compatibile con le regole di commutazione canoniche che
vorremmo imporre.
Allora una lagrangiana proposta per la prima volta da Fermi (chissà come
l'ha trovata!) è:
L=-(1/2)(@A)(@A)-(1/c)jA
questa forma (come anche la precedente) permette di ottenere le eq di campo
@@A=j/c (@@ d'alembertiano) con la condiz. di Lorentz @A=0.
ecc. ecc. [...]
da qualche parte credo di averla vista anche come "lagrangiana di
Fermi-Maxwell", possibile?


gigi ha scritto:
 > Ah, per quella cosa che ho chiamato "lagrangiana di Fermi", riporto
 > dal Mandl Shawn (scusa per la notazione poco intelligibile:-):
 >
 > La lagrangiana del campo em è
 >
 > L=-(1/4)FF -(1/c)jA
 >
 > invariante per Lorentz e gauge.
 > (F è il tensore del campo em, A il potenziale, j la corrente, FF e
 > jA sottintendono la somma sugli indici in modo da avere scalari).
 > Sfortunatamente però questa non è utilizzabile per la
 > quantizzazione, poiché il campo coniugato (@L/@A') ha la componente
 > temporale identicamente nulla, e questo non è compatibile con le
 > regole di commutazione canoniche che vorremmo imporre.
OK
 > Allora una lagrangiana proposta per la prima volta da Fermi (chissà come
 > l'ha trovata!) è:
 >
 > L=-(1/2)(@A)(@A)-(1/c)jA
Mi sa che ti sei perso -(1/4)FF...
 > questa forma (come anche la precedente) permette di ottenere le eq
 > di campo @@A=j/c (@@ d'alembertiano) con la condiz. di Lorentz @A=0.
 > ecc. ecc. [...]
Ho capito. In effetti l'ha trovata Fermi: ho ripescato addirittura la
citazione orignale in un vecchio libro di teoria dei campi.
Dici come l'ha trovata?
Lascia perdere il termine con la corrente, che non ha importanza ora.
Cerchi una lagr. che sia quadratica nelle derivate dei potenziali,
inv. di Lorentz, non nec. gauge invariante (basta che cambi per una
divergenza).
Trovi un'espressione che include come casi particolari entrambi i casi
che hai scritto:
fallo per esercizio ;-)
 > da qualche parte credo di averla vista anche come "lagrangiana di
 > Fermi-Maxwell", possibile?
Non so. Certo Maxwell non c'entra, visto che l'idea di derivare eq. di
campo da una lagrangiana e' successiva. Non so chi l'abbia pensata per
primo.
