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Titolo: K(t) in oscillatore armonico (4° repost)

Non riesco a risolvere il seguente esercizio:
Dimostrare che per un oscillatore armonico l'energia cinetica e':
K(t) = Km (1 + sin (omega * t))
dove Km e' l'energia cinetica media.
Un aiuto dettagliato? Grazie.
Di seguito, i miei tentativi infruttuosi:
Km = <1/2 * m * v^2> 
= 1/2 * m <v^2> 
= 1/2 * m * 1/T * integrale tra 0 e T di [v^2] in dt
Dove <..> indica la media e T il periodo di oscillazione. Poiche' e' un
oscillatore armonico, posso scrivere 
x = A * cos (omega * t) 
v = A * omega * sin (omega * t)
quindi:
Km = 1/2 * m * 1/T * integrale tra 0 e T di [A^2 * omega^2 * sin^2 (omega
* t)] in dt 
= 1/2 * m * 1/T * A^2 * omega * integrale tra 0 e T di [sin^2 (omega * t)]
in d(omega * t)
Ora l'integrale e' del tipo sin^2 (x) in dx, con soluzione 
1/2 * (x - sinx * cosx) 
e integrato tra 0 e T tutto l'integrale mi da 1/2 * T, quindi:
Km= 1/4 * A^2 * omega * m 
Ora calcolo K(t):
K(t) =  1/2 * m * v^2 
= 1/2 * m * A^2 * omega^2 
= 2 * omega * Km * sin^2 (omega *t)
che e' diverso da quanto si ha nell'esercizio.
F.M.
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il moto armonico:
S = Smax cos(wt)
v = -w Smax sen(wt)
Ec = 1/2 m v^2 = 1/2(w Smax)^2 sen(wt) ^2 = K sen(wt)^2 con K = 1/2(w
Smax)^2
Alcune considerazioni "trigonometriche":
(sen x) ^ 2 = (1 - cos 2x)/2
questa e' una fuzione sinusoidale di ampiezza 1/2 ma traslata verso l'alto
di esattamente 1/2
quindi il suo valor medio e' 1/2
quindi detto il valor medio dell'energia cinetica
Ecm = 1/4(w Smax)^2
Ec = Ecm ( 1 - cos 2wt)
La differenza?
a parte segno meno e coseno al posto del seno che si correggono traslando
l'asse dei tempi, la vera differenza e' che l'energia cinetica ha una
frequenza doppia di quella dell'oscillazione armonica. Questo deriva,
matematicamente parlando, dal quadrato della funzione trigonometrica.
Fisicamente parlando: l'energia cinetica e' nulla ai due estremi della corsa
(due volte per periodo) e massima al centro della corsa (ancora due volte
per periodo).
Saluti
Mino Saccone
P.S. se vogliamo fare i pignoli, il valor medio della funzione     senx ^ 2
e' 1/(2PI) integrale tra 0 e 2PI (1/2 - 1/2cos2x) dx  = 1/2

 K(t) = 2 * omega * Km * sin^2 (omega *t)
K e Km hanno le stesse unita' di misura (energia), e un omega in mezzo 
proprio non ci puo' stare. Per fare i conti, tieni conto che cos^2(x) e 
sin^2(x) mediati su un periodo danno sempre 1/2.
Ora, quella del libro mi sembra sbagliata, se non altro perche' ha lo 
stesso periodo del moto, e invece l'energia cinetica dovrebbe avere un 
periodo lungo la meta'. Basta pensare al classico blocchetto attaccato alla 
molla: l'energia cinetica e' massima quando passa per il 
p.to
 di 
equilibrio, e ci passa due volte in un periodo del moto.
Ciao by
][S][t][e][

 (ancora due volte per periodo).
Concordo su tutto, pero' ancora non mi spiego perche' il fattore 2
nell'argomento della funzione trigonometrica non esiste nell'enunciato del
problema. 
Ho trovato in rete anche un articolo che usa la stessa formula. Evito di
postarlo in questo messaggio.


 K(t)= 2 * Km * sin^2(omega*t)
Giusto, giustissimo. Mi aveva gia' corretto Mino Saccone, ma ho
perseverato nell'errore. Il motivo e' che avevo dimenticato che cambiano
anche gli estremi di integrazione, non piu' tra 0 e T (il periodo) ma tra
O e omega*T. Ora, come gia' scriveva Mino Saccone, ho: 
Ec = Ecm ( 1 - cos 2wt)
e, sempre per usare le sue parole, "segno meno e coseno al posto del seno
si correggono traslando l'asse dei tempi". Rimane pero' il problema del
fattore 2 nell'argomento della funzione trigonometrica. Dato che non e'
passato il post contenente un brano in Inglese, lo traduco in Italiano. 
L'articolo e' di Harvey, su Journal of computational chemistry, "Vol. 19,
No. 7, 726-740 (1998)".
********
Supponiamo che l'energia potenziale di un grado di liberta' interno, x,
dipenda quadraticamente dalla deviazione di x da suo valore ideale, x0.
L'esempio piu' comune e' quello di un termine di allungamento della
lunghezza di legame con una costante di forza k (seguendo la convenzione,
abbiamo incorporato nella legge di Hooke il fattore 0.5). Denotiamo
l'energia potenziale di questo grado di liberta' con U:
U(x) = k (x - x0)^2
L'energia cinetica per il grado di liberta' interno e' denotata da Ei,
dove il pedice i indica "interna". x e le sue derivate sono oscillanti, e
cosi' lo e' E. Denotiamo la frequenza angolare dell'energia
cinetica di oscillazione con omega. E' facilmente dimostrabile che: 
Ei(t) = epsilon * (1 + sin (omega*t))
dove epsilon indica l'energia cinetica media del grado di liberta'
interno, <Ei>.
********
Insomma, qui l'unica differenza e' che include il fattore 1/2 in k, ma usa
la stessa formula...
Qualcuno ha idea del perche'?
Grazie, F.M.


 Ei(t) = epsilon * (1 + sin (omega*t))
Mmm..Mi pare che dica che per lui omega e' per definizione la frequenza
angolare _dell'energia cinetica_, e dunque per la sua convenzione la
frequenza angolare del moto sarebbe 1/2*omega...se e' cosi' tutto torna,
si vede che nel prosieguo del discorso gli serve solo la freq.
dell'energia e non quella del moto, e allora e' piu' comodo cosi'. 
Ciao,
][S][t][e][

 problema.
Mi sembre evidente da quanto detto finora che la frequenza dell'energia 
cinetica o di quella potenziale e' doppia di quella di oscillazione. E che 
questo valga per qualsiasi moto armonico.
Se quindi qualcuni scrive:
Ec = Em (1 + sen wt)
non si puo' dedurre altro che questo omega (w) sia quello dell'energia e non 
quello della coordinata spaziale.
Saluti
Mino Saccone