Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: (lungo) aiuto! : problema concettuale riguardo rendimento macchina termica

Ciao a tuti ragazzi, ho questo problema:
un mio libro di testo mi dice che il rendimento n = W / Qa
dove W è il lavoro svolto dal sistema e Qa il calore assorbito, per cui il
rendimento sarebbe una misura della percentuale di calore totale assorbito
dal sistema, trasformato in lavoro, e qui ci siamo....., o almeno credevo,
poi ho iniziato un esercizio, credendo di saperlo svolgere facilmente,
invece:
uno dei punti dell'esercizio richiede di calcolare il rendimento per un
ciclo di Stirling, cioè un ciclo composto da 2 isoterme e da 2 isocore:
quindi abbiamo l'espansione isoterma alla temperatura T1 (temperatura +
alta), l'isobara dalla temperatura T1 alla temperatura (inferiore) T2, la
compressione isoterma alla temperatura T2 e infine l'isocora da T2 a T1 che
chiude il ciclo.
Il problema è che io per averlo studiato il ciclo di Stirling so che il suo
rendimento è uguale al ciclo di Carnot, cioè n = 1 + (Qc/Qa) o n = 1 -
(T2/T1), il fatto è che quando vado a svolgere i calcoli non mi risulta,
cioè tutto va bene, ma solo se considero il calore assorbito Qa solo per
l'isoterma a temperatura maggiore, ed il calore ceduto Qc per l'isoterma a
temperatura minore, e le due Isocore??????''
Anche durante le isocore il sistema assorbe e cede calore, perchè invece se
le considero nel computo del calore assorbito e calore ceduto totali il
risultato non è quello?
Sono io che sono deficiente (molto probabile) ?
In un altro libro ho trovato (l'Halliday & Resnick) che si deve considerare
come calore assorbito Qa solamente il calore assorbito dalla sorgente a
temperatura + alta, ed allora la definizione dell'altro libro (Il Mazzoldi)
è sbagliata, incompleta?
ciao a tutti ragazzi, un grazie a chiunque riuscisse a fugare i miei
dubbi....
santo giuseppe

 wrote in message
news:8k7o4f$q9p$1...@nslave1.tin.it...

Per rendimento si deve intendere il rapporto tra il lavoro ottenuto
e il calore assorbito (da qualunque sorgente esso provenga),
il calore in uscita deve essere considerato "perduto".
detti a,b,c,d i punti estremi delle trasformazioni con a in alto a sinistra
e procedendo in senso orario avremo:
ab = isoterma a T1                genera lavoro      assorbe calore
bc = isocora da T1 a T2        lavoro 0                genera calore
cd = isoterma a T2                assorbe lavoro    genera calore
da = isocora da t2 a T1        lavoro 0                assorbe calore
Assumendo tutti i calori positivi il rendimento diventa
eta = (Qab + Qda - Qbc - Qcd)/(Qab + Qda)
certo non dara'      1 - (T2/T1).
Le due isocore infatti fanno scambiare calore anche a
temperature intermedie tra T1 e T2 quindi il rendimento
globale deve essere minore di quello di un ciclo di
Carnot che scambia solo a T1 e T2
Saluti
Mino Saccone

 (T2/T1), il fatto è che quando vado a svolgere i calcoli non mi risulta,
Questo invece è un errore  comune: parecchie persone credono
a torto che tutti i cicli reversibili abbiano rendimento uguale, e pari a
quello del ciclo di Carnot. Ma il teorema di Carnot dimostra solo che tutti
i cicli reversibili _con due sole sorgenti_ hanno rendimento uguale, non
che tutti i cicli reversibili hanno uguale rendimento: questo è anche ovvio
facendo due conti con l'integrale di Clausius. In effetti sappiamo che
non possono esistere cicli termici con meno di due sorgenti (secondo
principio della Termodinamica), e sappiamo pure che, se il nostro
cilco reversibile o meno scambia calore con più sorgenti a temperatura
intermedia fra Tsup e Tinf, il rendimento è di sicuro minore rispetto a
quello di un ciclo reversibile che scambia con le due sole sorgenti a
Tsupe a Tinf . Quindi i cicli a massimo rendimento sono quelli reversibili
con 2 sorgenti: il ciclo di Carnot è tale, perchè durante le due
adiabatiche non scambia calore per def. e durante le due isoterme
scambia calore ma appunto a Tf( fredda, cioè la Tinf  ) e Tc (calda, cioè
la Tsup), con due sorgenti sole. Il ciclo a cui tu fai riferimento invece
non è tale: se io voglio che il lavoro ottenuto sia positivo, allora dopo
la prima isoterma non posso tornare indietro su di un' isoterma, ma devo
abbassare T , per cui debbo cedere energia ( se hai un gas perfetto
U = n*Cv*T ) con l' isocora. Ma durante l' isocora non viene fatto
lavoro (p*dV=0),  per cui durante essa devi cedere calore=> T varia
durante le due  isocore => scambi calore con infinite sorgenti, non
con due, e non vale più n = 1-Tf/Tc.
Se vuoi le varie (semplici) dimostrazioni, chiedimele sul Ng.
Ciao,
Giovanni

Volevo aggiungere che se mi posti i dati numerici e le soluzioni, sono
interessato al tuo esercizio. Grazie.

Ciao Giuseppe,
mi chiamo Nik è ho letto il tuo mess. nel newsgroup it.scienza.fisica . Io
ho dovuto risolvere quel problema sul ciclo di Stirling agli esami di Fisica
Gen I, e fortunatamente ci sono riuscito. Purtotroppo ora non mi ricordo
esattamente tutti i passaggi che ho fatto, spero xò di esserti d'aiuto
riportandoti quel che mi ricordo.
Prima xò vorrei confermarti quanto hai detto sul rendimento di una macchina
: esso è la percentuale di Calore assorbito Qa da un sistema che esso
trasforma in Lavoro. X quanto riguarda la tua affermazione sul libro
Halliday (il mio testo) non ricordo che esso affermi una cosa del genere x
una trasformazione qualunque, bensì lo dice solo nel caso del ciclo di
Carnot.
Cmq una cosa è certa: nel caso del ciclo di Stirling in una delle due
isoterme il calore è assorbito dal sistema (cioè nella isoterma in cui vi è
un passaggio da un volume Vi a uno Vf in cui Vi<Vf, cioè vi sia un
espansione del cilindro) e nell'altra viene ceduto (il volume diminuisce).
Ti consiglio al riguardo di controllare di aver rispettato le convenzioni
sui segni del lavoro (positivo secondo il mio testo se fatto sul sistema) e
sul calore (positivo se assorbito dal sistema). Credo cmq che tu abbia
commesso qualche errore nel considerare i calori ceduti e assorbiti xchè il
risultato deve necessariamente coincidere essendo uno dei possibili
procedimenti.
Cmq questo è il modo in cui io ho affrontato e risolto (ringraziando Dio) il
problema: anzitutto invece di calcolarmi le quantità di calore assorbito e
ceduto dal sistema, ho preferito calcolarmi il lavoro fatto dal sistema e la
quantità di calore assorbito dal sistema, semplificandomi i calcoli, e
utilizzando la prima eq. da te scritta, cioè nu=W/Qa.
Ora se noi guardiamo il grafico del ciclo di Stirling (e se me lo ricordo
bene) e prendiamo in considerazione le eq del lavoro durante le varie
trasformazioni, abbiamo che nelle 2 isocore il W è nullo, mentre nelle 2
isoterme il lavoro sarà dato dalla W= -nRT ln(Vf-Vi), dove Vf= Vb e Vi=Va
nella prima isoterma [ W= -nRT1 ln(Vb-Va) ] con Va<Vb, mentre Vf=Vd e Vi= Vc
nella seconda a T2 [ W= -nRT2 ln(Vd-Vc) ] con Vc>Vd. Il lavoro totale sarà
la somma dei lavori cioè Wtot= -nR [ T1 ln(Vb-Va) + T2 ln(Vd-Vc) ].
Consideriamo ora le quantità di calore assorbito dal sistema:  nella prima
isoterma il volume aumenta , quindi il calore viene assorbito e l'eq. è
QaT1= -W = nRT1 ln(Vb-Va). Nella prima isocora invece la temperatura
diminuisce è quindi vi è cessione di calore. Idem x la seconda isoterma in
cui xò è il volume a diminuire. Nella seconda isocora invece vi è
assorbimento di calore (la temperatura aumenta) e l'eq. è Qa2= n Cv (T1-T2).
anche in questo caso il calore totale assorbito sarà la somma : QaTot= nRT1
ln(Vb-Va) + n Cv (T1-T2).
Ritornando alla prima eq. n= Wtot/QaTot, abbiamo:
nu= -nR [ T1 ln(Vb-Va) + T2 ln(Vd-Vc) ] / [nRT1 ln(Vb-Va) + n Cv (T1-T2) ]
dove n può essere eliminato xchè fattore comune, quindi si ottiene:
nu = -R [ T1 ln(Vb-Va) + T2 ln(Vd-Vc) ] / [ RT1 ln(Vb-Vc) + Cv (T1-T2) ],
che con qualche aggiustamento con le proprieta dei log dovrebbe dare il
risultato che tu hai. Io non ricordo adesso se i passaggi sono giusti o
meno, ma sono sicuro che il procedimento è giusto. Cmq ti prego di
confrontare il mio risultato, dopo averlo aggiustato, con il risultato
esatto e dirmi se rifacendolo me lo sono ricordato giusto. Spero di averti
aiutato in qualche modo. Ciao.
Nik

 Mino Saccone
Ciao Mino, e grazie
santo giuseppe

 wrote in message
8kfv04$38b$1...@nslave2.tin.it...

Beh, ciao ho provato a scrivere al tuo indirizzo, ma...
per cui riposto la risposta sul NG:
Ciao Nik, ti ringrazio per avermi risposto...
ti rispondo prima di aver visto le risposte sul NG (se ce ne sono):
allora, m'è venuta questa idea perchè dopo aver fatto un esercizio, prima
con la formuletta che si trovava sul libro di fisica Mazzoldi (nu = 1 -
(T1/T2) con T1 < T2) e dopo aver svolto le operazioni secondo il concetto di
rendimento che avevo appreso........, beh, mi sono accorto che non
coincidevano, ora non vorrei farti perdere altro tempo, le operazioni che
hai scritto sono giuste, tranne che per il logaritmo naturale, che avrai
sbagliato a scrivere per distrazione come ln (Vb-Va) quando invece è ln
(Vb/Va), e se infatti provi a svolgere con i dati che ti darò otterrai 2
risultati diversi:
T2 = 400 °K; T1 = 300°K; (Vb/Va) = 5/2;
allora riporto la formula: nu = W/Qa = [Wab + Wcd] / [Qab + Qda]
(naturalmente sia i termini W che Q vanno intesi dotati di segno secondo la
convenzione adottata....)
nu = [n R T2  ln(Vb/Va) + n R T1 ln(Va/Vb) ] / [ n R T2 ln(Vb/Va) + n Cv
(T2-T1) ];
allora, mettiamo in evidenza "n * R" tenendo conto che per un gas
monoatomico Cv = (3/2) * R;
nu = n R [T2 ln(Vb/Va) + T1 ln(Va/Vb)] / n R[T2 ln(Vb/Va) + (3/2) * (T2 -
T1)];
semplifichiamo e notiamo che ln(Va/Vb) = - ln(Vb/Va)
quindi il tutto diventa......
nu = ln(Vb/Va) (T2-T1) / [T2 ln(Vb/Va) + (3/2) (T2 - T1)];
sostituiamo i valori:
nu (circa uguale a ) = (0.91 * 100 °K) / (400 °K * 0.91 + 1.5 * 100 °K);
cioè nu = 91 / 514 = 0.17 circa...
invece la teoria prevede nu = 1 - (T1/T2) = 0.25
che è praticamente il valore che si ottiene se noi utilizziamo la formula:
nu = W/ Qcd dove W è il lavoro ottenuto dalla somma dei lavori positivi e
negativi lungo le isoterme, mentre Qcd è il calore (= lavoro) negativo
durante la seconda isoterma, quella in cui il gas viene compresso...
==> nu = 761.8 J / 3047.2 J = 0.25 circa...., e adesso come la mettiamo,
forse l'isocora non contribuisce al calore assorbito?
Beh, magari sto ancora sbagliando, ma proprio l'altro ieri un ragazzo ha
fatto lo stesso errore, e sai perchè perchè sul libro (il Mazzoldi) la
formula viene gettata quasi senza spiegazioni, e i contributi dei calori
assorbiti e ceduti dalle isocore si annullano l'un l'altro, al che il
professore l'ha cazziato e gli ha detto "ma che fai? elimini i calori l'uno
con l'altro, ma dove siamo????"
Boh, io sono sempre + confuso........
Comunque ti ringrazio, e mi scuso di averti fatto perdere tanto tempo, bah,
vado a vedere le parolacce che mi avranno detto in it.scienza.fisica.
Grazie ancora, e se hai bisogno di q/sa butta un fischio....
ciao Nik
santo giuseppe

 Giovanni
Grazie Giovanni, ma vorrei chiedere una cosa:
nessuno ha mai consultato il libro di Fisica edito dalla EdiSES (autori
P.Mazzoldi - M.Nigro - C.Voci)?
Com'č possibile che ci sia un errore cosě madornale?
ciao santo giuseppe


Allora:
T2 = 400 °K; T1 = 300 °K;
Vb/Va = 5/2
Secondo il risultato dell'esercizio, il rendimento è nu = 0. 25 [1- (T1/T2)]
mentre se ricordo bene il risultato divrebbe essere circa uguale a 0.17
ciao Sergio...
santo giuseppe

 con l'altro, ma dove siamo????"
Scusa, ma qui sei proprio poco chiaro ( o mi sono scemunito io):
1) i due calori *sono uguali in modulo e opposti in segno*, perchè è
chiaro che i deltaU durante le due isoterme sono nulli. Ma deltaU su
 tutto il ciclo è nullo, per cui Qbc+Qda=0;
2) Se il tuo collega stava scrivendo il numeratore di nu , per esempio,
allora faceva bene ad eliderli ed il tuo professore è una grande sola. Se
invece, come credo, stava scrivendo il *denominatore* di nu, allora
qui ci vanno solo i calori assorbiti e dunque Qbc e Qda non si
annullano semplicemente perchè Qbc qui non ci vuole,  e allora il tuo
professore aveva ragione. Qual era la situazione?
Comunque, se il Mazzoldi ecc. è il vostro libro di testo, allora il
professore potrebbe risparmiare fiato per le cazziate e spenderlo
per informarvi circa le eventuali imprecisioni contenute nel testo
( che magari è pure un ottimo testo, dato che non è un singolo
errore che rovina un libro ).
Ciao,
Giovanni
(*) Per sistemi a due gradi di libertà termodinamici, come ad esempio
un gas perfetto che non scambi massa con l' ambiente (ergo se misuro
p e V conosco T, S, U, H, f, G, ecc. dato che n è costante), si può
fare una dimostrazione molto più elegante. Sei in grado di trovarla?

 fare una dimostrazione molto più elegante. Sei in grado di trovarla?
Uhm, elegante non è proprio il mio 2° nome (ne 3° ad essere sincero), e poi
sono venuto in it.scienza.fisica solo per caso (per necessità) comunque devo
dire che la fisica mi affascina, e molto probabilmente la studierò con +
passione, e spero che  anche io possa discutere con voialtri fra qualche
tempo....
Saluti
santo giuseppe