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Titolo: Evoluzione di un pacchetto gaussiano

Salve a tutti,
 
mi domando se qualcuno potrebbe puntarmi nella direzione giusta. La 
dispersione di un pacchetto d'onda gaussiano nel tempo è un fenomeno 
irreversibile? Si associa a un aumento di entropia? Ho sempre pensato 
che l'aspetto irreversibile dell'evoluzione della fdo fosse il collasso, 
ma in questo caso non so cosa pensare.
 
Grazie,
 
Paolo

 irreversibile? Si associa a un aumento di entropia?
Sicuramente no.
E' perfettamente reversibile.
Puoi benissimo costruire una f. d'onda che a un certo istante è molto
più sparpagliata, e nel tempo si contrae fino ad assumere la larghezza
minima richiesta dal pr. d'indet.
(Il trucco è che ci sarà una correlazione tra posizione e impulso.)
A tempi successivi si sparpaglia di nuovo: l'evoluzione è *simmetrica*
nel tempo attorno al punto di minima larghezza.
Potrei scriverti l'espressione analitica, se non fosse proibitiva da
scrivere in ASCII :-)
 
Ma anche senza calcoli e formule, può bastare il fatto che
l'evoluzione temporale è un operatore unitario, che è invertibile per
definizione.
 
 
-- 
Elio Fabri

 l'evoluzione temporale è un operatore unitario...
 
Grazie, è quello che tornava anche a me, ma la domanda di uno studente 
molto bravo mi ha messo in imbarazzo. Ha pensato che lo sparpagliamento 
della funzione d'onda potesse essere analogo alla diffusione di un gas. 
A me sono venute in mente soltanto ragioni matematiche per 
controbattere. Mi rendo conto che non sono in grado di spiegare la 
differenza fisica fra i due processi che portano la posizione probabile 
di una particella a occupare, per così dire, volumi sempre più ampi.
 
Paolo

 più ampi.
La tua replica mi ha dato da pensare, per parecchi motivi, e ora
vorrei provare a spiegarli, anche se ci ho messo un po' :)
 
1. "La domanda di uno studente molto bravo".
Ecco il problema...
A parte che ormai non so se potrai raggiungerlo per dargli ulteriori
lumi, il problema è: per quanto sia bravo, che cosa *realmente* sa di
meccanica quantistica?
Sospetto poco, di necessità. E soprattutto temo che non abbia sentito
un punto essenziale: che cos'è uno *stato* in m.q.
Mi viene poi il dubbio che abbia acquisito una visione "epistemica"
della prob. quantistica, ossia che la veda come espressione di una
"insufficiente conoscenza" sullo stato del sistema.
Solo così potrei giustificare l'idea che l'allargamento di un
pacchetto implichi aumento di entropia.
(Però sulla questione entropia tornerò più avanti.)
 
2. In realtà se lo stato è rappresentato da un pacchetto, è comunque
esattamente determinato, la sua evoluzione è deterministica (anche
indietro nel tempo).
Lo stato resta determinato a ogni istante (evoluzione unitaria) anche
se sembra ci sia qualcosa di paradossale.
 
Vediamo di precisare.
Intanto, anche se tu non l'hai detto, io ho dato per scontato che
stiamo parlando di una particella libera.
Poi, che al tempo t=0 la sua f. d'onda sia una gaussiana (quindi reale).
 
Ci si domanda che cosa succede a t diversi.
Come ti ho già detto, l'espressione esatta a qualunque t si può
scrivere, ma non si può scrivere qui...
Mi limito quindi a descriverne alcune proprietà.
 
3. Intanto, per t=0 il pacchetto ha indet. minima:
Delta q * Delta p = hbar/2.
A tempi diversi, Delta q è maggiore, mentre Delta p non cambia (p è una
costante del moto).
Quindi Delta q * Delta p a ogni tempo, >0 o <0, è maggiore e aumenta
allontanandosi dal tempo 0.
 
Secondo: a ogni t (escluso t=0) la f. d'onda è *complessa*.
Questo è importante per due ragioni:
- Intanto perché il tuo studente molto bravo probab. non ha mai visto
o usato f. d'onda complesse, e quasi certamente non ha idea di quale
significato fisico ciò può avere.
Sarei pronto a scommettere che non vada al di là dell'interpr. di
|psi|^2 come densità di probabilità...
- Poi (connessa con la prima) il fatto che la psi sia complessa
si porta dietro una cosa che ho già citato: una *correlazione* fra le
due osservabili q e p.
E' questa correlazione che spiega in senso fisico come mai il
pacchetto si allarghi nonostante un'evoluzione unitaria.
 
Capisci bene che qui la padronanza di adeguati strumenti matematici
gioca un ruolo *essenziale*: senza la giusta matematica semplicemente
l'argomento *non può essere capito*, neppure nel contenuto fisico.
E' quello che intendo quando definisco la matematica "strumento di
pensiero" per la fisica.
 
4. Ora due parole sull'entropia.
Ovviamente non ha senso parlare di entropia per una sola particella.
Può trarre però in inganno l'interpretazione epistemica.
Si può credere che dare una f. d'onda in sostanza significhi dare un
*insieme statistico*, con tante particelle le cui posizioni si
distribuiscono secondo la densità di prob. data da |psi|^2.
Ma non è così: il carattere non deterministico dei risultati delle
misure emerge al contrario dalla ripetizione di un esperimento in cui
la particella viene messa *sempre nello stesso stato*, con la stessa
psi.
 
(E' qui il caso di ricordare che in m.q. *lo stato è la psi*, niente
di più e niente di meno.
Non c'è niente di più misleading, parlando di m.q., che dire che "non è
possibile determinare esattamente lo stato".
E' vero che non è possibile determinare esattamente una traiettoria, e
neppure i valori simultanei di q e di p a un certo istante, che
darebbero la completa specificazione dello stato secondo la m.
classica.
Ma appunto, la m.q. non è la m. classica: ha una diversa definizione
di stato e non bisogna confondere le acque...)
 
Quindi secondo la mecc. statistica quantistica l'insieme statistico di
cui stiamo parlando è quello che si chiama uno "stato puro", in cui
tutte le particelle dell'insieme occupano *lo stesso microstato*.
E questo rimane vero a ogni tempo: comunque tu voglia definire
un'entropia, essa non cambierà nel tempo.
 
Come giustamente dici, è l'operazione di misura che ha carattere
irreversibile: lo stato puro a causa della misura precipita in una
"miscela statistica", e questa ha realmente un'entropia maggiore.
Incidentalmente, ciò accade attraverso un'azione di "decoerenza",
ossia distruggendo i termini di correlazione.
Dopo una misura di posizione, i pacchetti tutti identici si sono
trasformati in una collezione di pacchetti più stretti (hai
determinato la posizione) ma *diversi*, e distribuiti con una densità
che coincide con l'originaria |psi|^2.
 
Forse (anzi, senza forse :) ) non è tutto quello che ci sarebbe da
dire, ma penso di averti dato materia per meditare :-)
In cambio, ti ringrazio, perché anche a me questa "semplice" domanda
ha richiesto un po' di lavoro e mi ha fatto riflettere meglio su cose
che pure sapevo :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 ... penso di averti dato materia per meditare :-)
 
Certamente!
 
Grazie ancora,
 
Paolo

 di informazione anche in fisica fondamentale...
 
 
In realta' (e questa e' l' uuale sorgente di confusione) qui di entropie 
ce n'e' piu' di una:
 
- termodinamica: non c'entra niente proprio perche' stiamo parlado di 
una sola particella e non c'e' nulla che assomigli ad uno stato 
termodinamico di equilibrio;
 
- entropia della teoria dell' informazione: e' definita per qualsiasi 
distribuzione di probabilita'.Una volta che la f.d'onda permette di 
calcolare una distribuzione di probabilita', la si puo' dare. Nel caso 
del pacchetto d'onda che si sparpaglia porterebbe ad un aumento della 
entropia dell' informazione.
 
- entropia di von Neumann: e' definita come Tr(rho log rho) dove rho e' 
la matrice densita' di un sistema quantistico. Per uno stato puro si 
annulla. In generale misura la concentrazione dello stato quantistico su 
pochi o molti autostati; Il Pacchetto d' onda, in quando sovrapposizione 
di un insieme fissato di stati ha entropia di v. N. costante.
 
Quale esempio migliore (ma non s quanto comprensibile per uno studente 
liceale, sia pur bravo) dei problemi causati dallao stesso von Neumann 
con i suo suggerire lo stesso nome a cose diverse ?
 
Una volta chiarito che si tratta di concetti diversi, che rapresentano 
diversi aspetti della fisica del sistema usando (purtroppo) lo stesso 
nome, ci si puo' anche convivere. Megio di tutto arebbe ppiccicare 
sempre all' "entropia" di cui si sta parlando anche il suo nome 
qualificante (termodinamica, di Shannon, di von Neumann, di Tsallis, di 
Renyi, di Kolmogorov, ...).
 
 
Giorgio

 - entropia di von Neumann: e' definita come Tr(rho log rho)...
 
Rileggendo mi accorgo di essere stato troppo sintetico :-(
Per evitare equivoci: anche  quella di v.N. e' di fatto un' "entropia 
dell' informazione". Solo che misura l' incertezza relativa ad eventi 
diversi rispetto a quelli misurati dalla |psi^2|.
 
Giorgio