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Titolo: Meccanica del continuo, tensori, isotropia...help!!

Ciao, vorrei chiedere il vostro aiuto per chiarirmi alcuni concetti che
sto studiando x lavoro. Il mio problema è analogo a quello, più noto,
di dare un modello per la dipendenza del tensore degli sforzi R_ij(x,t)
(x = coordinate euleriane) dal campo di velocità di un fluido, cioè
dare la cosiddetta relazione costitutiva del fluido. Perciò d'ora in
poi mi riferirò a quest'ultimo.
Nell'ideare un simile modello si è soliti richiedere che la relazione
fra R_ij(x,t) ed il campo di velocità V soddisfi alcune proprietà,
tra cui l'azione locale (R_ij(x,t) dipende solo dal campo di velocità
in un intorno di x) e il determinismo (R_ij(x,t) può dipendere solo
dai valori di velocità per tempi T =< t). In particolare assumo la
forma più semplice di determinismo che è la mancanza di memoria (R_ij
può dipendere solo dal campo di velocità al tempo t). Inoltre,
essendo gli sforzi delle forze vere, non apparenti, R_ij gode della
proprietà di indifferenza materiale <=> il tensore è lo stesso in due
riferimenti animati di moto relativo rigido qualunque. Da qui deduciamo
che:
1) R_ij non può dipendere dalla velocità in x, per via
dell'invarianza galileiana, ma dipenderà solo dal gradiente di
velocità in x, G_ij = @V_i/@x_j. **Prima difficoltà**: perchè solo
dal gradiente di velocità e non anche dalle derivate successive?
Immagino derivi dalla proprietà di azione locale (tronco lo sviluppo
in serie di Taylor al primo ordine in deltax).
2) R_ij dipende solo dalla parte simmetrica del gradiente di velocità,
cioè dal tensore velocità di deformazione D_ij = 1/2 * (@V_i/@x_j +
@V_j/@x_i). Questo perchè la parte antisimmetrica è legata alla
rotazione locale della particella di fluido, per cui non è invariante
nel cambio fra due riferimenti l'uno rotante rispetto all'altro, contro
la proprietà d'indifferenza materiale di R_ij. Inoltre di solito
assumiamo la nullità di coppie di sforzo e momenti di volume, perciò
R_ij è simmetrico, e ci "aspettiamo" che dipenda solo dalla parte
simmetrica di  G_ij.
Arrivato qui, mi impappino 1 pò. Difatti per i fluidi si fa quasi
sempre l'ipotesi che il legame fra R_ij e D_ij sia isotropo, cioè
invariante per rotazioni.  E qui c'è il  **secondo inghippo**: che
vuol dire fisicamente "invariante per rotazioni"? Intuitivamente io
penserei che una volta scritto il legame fra R_ij e D_ij in forma
tensoriale, questo sarà valido in qualsiasi sistema di riferimento,
per cui qualsiasi legame così scritto sarebbe invariante x rotazioni.
Ovviamente non può essere così, non tutti i modelli tensoriali sono
isotropi! Penso che ciò che si debba intendere è che la funzione
f(G_ij) =R_ij resti *esattamente la stessa* a seguito di una rotazione.
Voglio dire che supponendo ad esempio che f sia lineare, essa sarà
esprimibile come  R_ij = N_ijkm * G_ij, dove N_ijkm dev'essere un
tensore isotropo, cioè che *ha le stesse componenti* nei due
riferimenti ruotati. Questo è più forte che dire semplicemente che le
componenti di N_ijkm si trasformano secondo la regola dei tensori.
Ci ho azzeccato fin qui? Ho saltato qualcosa? Passiamo allora al mio
**terzo ed ultimo problema**: si tratta del teorema di
rappresentazione, cioè quel teorema che dice che l'unica relazione
isotropa fra R_ij e D_ij è
R_ij = (-p+alfa)*I + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj
dove p è la pressione, e alfa, beta e gamma sono scalari che dipendono
solo dagli invarianti di G_ij (volendo, da questa formula si può
ottenere come caso particolare la ben nota relazione lineare fra R_ij e
G_ij, espressa in termini di sole due costanti). Il problema è che di
questo teorema non ho mai trovato una dimostrazione chiara e semplice:
potete darmi una mano in tal senso?
 
Bè, questo è tutto, ciao e grazie in anticipo x l'aiuto,
Andrea


 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 potete darmi una mano in tal senso?
Vediamo se ti convince questo.
Supponiamo che occorra un terzo termine:
R_ij = (-p+alfa)*I_ij + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj +
        delta * G_ik*G_kl*G_lj.                           (*)
(come vedi, ho preferito esplicitare le componenti anche per il
tensore identita').
Dato che G e' simmetrico, esiste una rotazione di coordinate che lo
diagonalizza e sulla diagonale avrai gli autovalori w_k.
Allora la (*) si scrivera'
R_ij = (-p+alfa)*I_ij + beta*w_i*I_ij + gamma * w_i^2 I_ij +
        delta * w_i^3 I_ij.
Ma gli autovalori di una matrice 3x3 soddisfano l'equazione secolare,
che e' di terzo grado; quindi w_i^3 si esprime linearmente mediante le
potenze piu' basse, con coeff. che sono funzioni degli invarianti di G.
Allora l'ultimo termine fornisce solo termini addizionali agli altri.
A questo punto inverti la rotazione, e ritrovi un'espressione del tipo
che avevi scritto, solo con alfa, beta, gamma cambiati.
Lo stesso puoi ripetere per termini di grado qualsiasi in G.
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri



Sarebbe una dimostrazione davvero elegante, ed anch'io avevo provato con
un metodo simile, ma purtroppo il ragionamento è incompleto :-( come
d'altronde ci si aspetta visto che non abbiamo usato la proprietà di
isotropia del legame funzionale fra R_ij e D_ij. Riporto nuovamente
l'enunciato del teorema di rappresentazione: " dati R_ij e D_ij tensori
simmetrici legati da una relazione funzionale isotropa, la relazione può
essere solo del tipo
R_ij = alfa * delta_ij + beta * D_ij + gamma * D_ik*D_kj
dove alfa, beta e gamma sono scalari funzioni degli invarianti di D_ij"
(il fatto che io scriva (-p+alfa) al posto di alfa ha a che fare con un
assioma della fluidodinamica che qui non ho introdotto, fate finta che
sia solo una ridefinizione di alfa).
Riprendiamo la relazione funzionale fra R_ij e D_ij:
1)R_ij = f_ij(D_kl)
dove f_ij in generale può benissimo non essere lineare. Immagino però
che, assumendo come al solito "tutta la regolarità che mi fa comodo",
f_ij sarà sviluppabile in serie di matrici. Fin qui ok, ed uno potrebbe
credere, erroneamente, di poter scrivere:
2) R_ij = (-p+a_1)*delta_ij + a_2*D_ij + a_3*D_ik*D_kj +
a_4*D_ik*D_kl*D_lj +a_5*D_ik*D_kl*D_lj+....
Dopodichè io applicavo il teorema di Cayley-Hamilton, che dice che
qualsiasi matrice quadrata di ordine n, è radice del suo polinomio
caratteristico. Pertanto D_ik*D_kl*D_lj è esprimibile  come combinazione
lineare di delta_ij, D_ij e D_ik*D_kj con coefficienti i coefficienti
del polinomio caratteristico/equazione secolare, e così tutte le potenze
successive. Come vedi, è simile alla tua linea d'attacco.
A questo punto l'errore sarà chiaro a tutti, ma voglio comunque
sottolinearlo con un esempio. Esplicito la 2) per la componente 13 di R_ij:
R_13 = (-p+a_1)*0 + a_2*D_13 + a_3*(D_11*D_13+ D_12*D_23 + D_13*D_33) +....
Chi mi autorizza a dire che R_13 non dipende linearmente anche da
D_12, per esempio? Ma soprattutto, come faccio a dire che il
coefficiente del termine lineare è lo stesso per R_13, per R_12, ecc.,
ecc.? Insomma, anche se non conosco la teoria degli sviluppi in serie di
matrici, immagino che i coefficienti di un tale sviluppo in serie
debbano essere in generale matrici, non scalari.
D'altra parte che ci debba essere un errore è ovvio, perchè non abbiamo
mai usato la proprietà di isotropia, mentre il teorema di
rappresentazione vale solo in questa ipotesi.
Insomma, se non si fosse capito, sono perso: qualche altra idea?
Di nuovo grazie x tutto,
ciao,
Andrea

 la tua intuizione: 
[..]
Non ci siamo capiti, non era una mia intuizione: il fatto che alfa, beta
e gamma dipendano solo dagli invarianti di D_ij fa proprio parte
dell'enunciato del teorema di rappresentazione. Per quanto riguarda il
metodo di dimostrazione del teorema, ti va di guardare la
mia risposta ad Elio? I miei tentativi erano simili a quello che ha
postato lui.
Ciao e grazie di nuovo,
Andrea


 


 alle stesse dinamiche macroscopiche.
Si certamente, dall'impostazione microscopica emerge
per definizione il carattere simmetrico. <u_i u_ j >


 f_ij sarà sviluppabile in serie di matrici.
Ma questo non esclude a priori oggetti come D_kl D_kl D_ij
o anche D_kk D_ij? In questo caso anche l'argomento di Elio
va rivisto e circoscritto al caso di dipendenze polinomiali dalla
matrice di deformazione. In fondo anche Tr D^2 D_ij
e Tr D D_ij sono relazioni isotrope no?


 ha scritto:
Vediamo se ho inteso: ti serve qualcosa del
genere seguente:
Consideriamo lo spazio generale dei tensori
A_ij di rango due. Senza condizione di simmetria
imposte a priori. Consideriamo una funzione degli
elementi tensoriari di un certo numero M di tensori
di rango due. Supponiamo che il risultato debba
essere un tensore: f_ij che dipende da tutte queste
grandezze. In più risulterà una dipendenza dalla
posizione. Ora vogliamo costruire la più generale
forma funzionale la cui forma rimane identica a
seguito di una rotazione, ovvero l'orientazione degli
assi soggiacenti non deve entrare esplicitamente nella
dipendenza funzionale. In altre parole cerchiamo la più
generale espressione invariante per rotazioni.
In primo luogo occorre costruire un'algebra
che sia densa nello spazio delle funzioni possibili
senza alcun vincolo di isotropia, allora l'algebra dei
polinomi va bene. In secondo luogo vogliamo imporre
su questa algebra il vincolo di isotropia, ottenere una
sottoalgebra e sperare che la sua chiusura verifichi
ancora le condizioni di isotropia richieste e non tagli
fuori alcuna dipendenza funzionale. Oppure come
dici tu possiamo limitarci a dipendenze funzionali
sviluppabili in serie di Taylor rispetto agli elmenti dei
tensori argomento, ma dipendenti in modo invariante
per rotazioni.
 Siccome possiamo scegliere la posizione
come origine della rotazione, vogliamo dimostrare
che le sole combinazioni invarianti per riflessioni e rotazioni
sono ottenute per tramite di contrazioni dei tensori
argomento con i tensori intrinsecamente invarianti.
Inizialmente limiteremo l'attenzione alle rotazioni.
In dimensione N questi tensori sono ottenuti dalle
rappresentazioni irriducibili del gruppo delle rotazioni.
Vogliamo anche dimostrare che in dimensione tre i
soli tensori invarianti per rotazioni proprie sono
delta_ij ed eps_ijk e forse per questo esiste una
via abbreviata. Mentre è facile dimostrare che queste
contrazioni siano invarianti in forma per rotazioni non
è facile dimostrare che siano le sole espressioni.
Inoltre sarebbe comodo poter classificare tutte le forme invarianti
per rotazioni in termini dei soli tensori d_ij eps(i1,i2,...in)
per ottenere una base completa occorre sempre ricorrere
alla teoria delle rappresentazioni, le rappresentazioni irriducibili
sono state classificate da tempo da Young e dalla scuola
tedesca e corrispondono alla nota teoria dei tensori sferici.
E' stato effettivamente dimostrato che tutti i proiettori in
sottospazi irriducibili possono essere espressi con l'ausilio
di opportune combinazioni di d_ij. La parte di questa teoria
che serve allo scopo della ricerca delle combinazioni lineari
la trovi espressa in forma compiuta nelle note on-line di
Valter Moretti.
Infine vorresti qualcosa per dimostrare, per questa via
che la classe dei tensori di rango quattro invarianti per
trasformazioni ortogonali è definita dai tre parametri
A,B,C e si esprime nella forma:
U_ijkl = A d_ik d_jl + B d_ij d_kl + C d_il d_jk
Se abbiamo questi teoremi, o mattoncini fondamentali
possiamo ottenere per esempio il più generale tensore
invariante per rotazioni proprie e che sia lineare
negli argomenti in modo ovvio. Utile applicazione,
i seguenti sono invarianti scalari di A_ij costruibili con
questa tecnica:
Tr(A) = d^ij A_ij,
Det(A)=eps(ijk) A_1i A_1j A_1k
eps_1jk A_2j A_3k + eps_2lm A_1l A_3m + eps_3no A_1n A_2o
questi sono i tre invarianti caratteristici della matrice A.
Vedo se riesco a trovare questa teoria già sviluppata
magari on-line in modo che ti sia subito disponibile.
Forse già nelle dispense sull'algebra dei tensori
di Valter Moretti appena ho tempo gli dò un'occhiata.
E' questo che cerchi?


Acc... Mi avete inguaiato :-(
Mi sa che dovro' andare a ristudiarmi qualcosa che scrissi attorno
a 40 anni fa...
-- 
Elio Fabri


In sintesi. Mi sembra che tutto quello che puo' cambiare, rispetto alla
proposta iniziale di scrivere tutte le combinazioni possibili contraendo
ed aggiungendo delta di kronecker e' il numero di parametri. Ovvero
tenendo conto delle simmetrie il numero dei parametri corrisponde al numero
delle rappresentazioni irriducibili. Mi sa che avevo semplificato troppo,
per
una volta che non complico, visto cosa succede ? :-)


 Andrea
Invio in forma incompleta. 
Ho cominciato a rivedere l'argomento. 
Voglio ri-impostare l'argomento di Valter 
nei termini che mi sono piu' consueti, spero
che Valter abbia il tempo per leggere  e 
segnalare se qualcosa e' fuori posto.
I) Una funzione non lineare di grado finito nelle componenti di
un tensore, che risulti invariante per rotazioni si puo' scrivere 
secondo la somma di rappresentazioni irriducibili del momento 
angolare. Ovvero: esiste un tensore k tale che 
R_ij = k_lmij W^lm 
Traccia di impostazione: consideriamo il caso lineare ed
un'azione locale.
R_ij = k_lmij W^lm. Qui si intende la convenzione di somma
sugli indici ripetuti, ma non ho avanzato la richiesta a
priori che k sia un tensore. K e' fin qui solo una tabella
di numeri. La condizione di isotropia richiede che questa
funzione non dipenda in forma dal riferimento. Ovvero la
tabella dei numeri k non dipende dalla scelta di coordinate.
O per essere piu' precisi: la dipendenza dalle coordinate
non deve produrre effetti rispetto alla posizione arbitraria
in cui k non dipende dalle coordinate. Occorre ragionare
in questo modo: facciamo due esperimenti in due riferimenti
ruotati uno rispetto all'altro. Misuriamo W e misuriamo R,
in entrambi i riferimenti supponiamo ottenere le stesse 
descrizioni di W, allora dobbiamo aspettarci che la descrizione
di R nei due riferimenti e' identica. In caso contrario avremmo 
un'osservazione che distingue i due riferimenti.
Ora se esiste una relazione lineare alla stregua di quella
che abbiamo detto prima, valida per qualunque W ed R possiamo
scegliere i coefficienti K, per i due riferimenti, uguali indice per 
indice. 
D'altra parte supponiamo di fare un secondo esperimento in cui
in uno dei due riferimenti risulta che la descrizione di W e' ruotata 
rispetto al W osservato nell'altro riferimento, ma i due campi di
velocita' siano di fatto coincidenti a meno di una traslazione.
Anche R deve seguire la stessa sorte, in caso contrario avremmo
un esperimento che distingue fra i due riferimenti. 
Tuttavia per cambio di coordinate W ed R vengono applicati in
nuove combinazioni lineari dalle matrici di rotazione. 
Esercizio preliminare:
nell'ipotesi semplificata che W sia un tensore arbitrario,
sfruttando le relazioni di ortogonalita' per una generale 
rotazione ed il fatto che la matrice inversa di una trasformazione
ortogonale coincide con la sua trasposta, dimostrare che la 
richiesta di isotropia equivale a dire che k_lmij e' un tensore
invariante. 
nell'ipotesi che invece W sia un arbitrario tensore simmetrico 
e' possibile mostrare
che, senza perdita di generalita', si puo' scegliere per  K  un 
tensore k_ijlm invariante e simmetrico rispetto allo scambio
degli indici lm. Allo scopo basta osservare che la seguente
idendita':
R_hz = (O_ih O_jz O_lr O_ms K^ijlm)W_rs = K^hzrs W_rs
implica l'identita':
 
R_hz = (O_ih O_jz O_lr O_ms K^ijml)W_rs = K^hzsr W_rs
e quindi anche l'identita' fra le semisomme. (nota
che non ho usato la condizione che R sia simmetrico).
Da questo discende che senza perdere generalita' possiamo
imporre la condizione che la tabella K sia simmetrica
rispetto allo scambio di lm.
Se W_rs e' un arbitrario tensore simmetrico allora
ne discende la condizione che: 
O_ih O_jz O_lr O_ms K^ijml -K^hzsr = H^hzsr 
dove H e' una tabella di numeri antisimmetrica per lo
scambio di s con r. Ma se abbiamo imposto la simmetria
rispetto allo scambio dell'ultima coppia di indici in
K ne discende la condizione che K e' un tensore simmetrico
rispetto allo scambio di m ed l ed e' un tensore invariante. 
*********** NOTA FACOLTATIVA ******************************
Analogamente a quanto avviene nel caso della trasformata
di Fourier questa equazione ha anche la sua forma 
in termini delle componenti irriducibili del gruppo
delle rotazioni. Come nel caso della trasformata di 
Fourier si individuano i numeri "quantici" d'onda,
nel caso presente i numeri quantici sono quelli 
del momento angolare. Le relazioni di ortogonalita'
in questo caso sono, tuttavia, piu' dispettose.
Mentre nel caso delle traslazioni basta che la 
somma dei numeri quantici si corrisponda e questo
conduce al prodotto di convoluzione, perche' le
traslazioni sono un gruppo abeliano, nel caso
delle rotazioni cartesiane il prodotto di grandezze
irriducibili  e' piu' elaborato e procede secondo 
i pesi di Clebsch Gordon. Ovvero:
R_(q,qz) = C_(q,qz,q1,q1z,q2,q2z) K_(q1,q1z) W_(q2,q2z)
qui sono J1^2 J1z e J2^2,J2z che commutano fra loro, ma
J e Jz non commutano con J1z,J2z,J1,J2. Questo porta
alla circostanza che il coefficiente C ha la forma:
C(q,qz,q1,q1z,q2-q1,q2z-q1z).  
*************************************************************
Io non so cosa si verifica se W non puo' assumere 
qualsiasi valore. Ovvero in tal caso quello che 
possiamo concludere e' che la tabella dei numeri
K e' un tensore a meno di una tabella additiva 
ortogonale a W. 
Per quanto riguarda i gradi piu' alti e' lecito,
se W e' un tensore qualsiasi, procedere per termini
omogenei. Il modo di dimostrare questo e' semplice, 
e puo' essere lasciato per esercizio (tradotto: non ho
voglia di stare a scrivere per esteso) si tratta di
considerare le trasformazioni W -> aW. E considerare
poi le derivate successive rispetto ad a in 1. Si deduce
cosi' che condizione equivalente all'isotropia e' che:
O^{j1,i1}...O^{jm,im} K_{i1,i2,...,im} W^{j3,j4}...W^{j_m-1,jm} = 
K_j1,j2,...,jm W^{j3,j4}...W^{j_m-1,j_m}.
Questa equazione deve esser verificata per ogni O e per ogni
W simmetrica. In primo luogo possiamo sempre simmetrizzare
questo K rispetto ad indici contigui di cui il primo in
posto dispari maggiore di 1. Quindi possiamo procedere 
a considerare una W^il = (d_im d_lk + d_ik d_lm)/2. 
Se ora consideri una rotazione infinitesima del solo piano
{m,k}  
II) Ogni tensore cartesiano che trasformi secondo la rappresentazione 
irriducibile del momento angolare di grado superiore al secondo risulta
simmetrica per lo scambio di due indici. Ed a traccia nulla rispetto 
alla contrazione di qualsivoglia coppia di indici.
Applicando ora questo teorema, di cui rinvio al momento la
dimostrazione, ne consegue che k_lmij e' 
III) La contrazione completa di un tensore di rango due con una propria
copia e' uguale alla somma delle contrazioni complete delle componenti
irriducibili. 
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