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Titolo: gauge -potenziale vettore

Salve, ho studiato il campo magnetico e mi è venuto questo dubbio. Vi
chiedo una mano per uscirne.
Intanto ho capito che essendo il campo magnetico \vec B a divergenza
nulla, deve esistere un vettore \vec A il cui rotore sia uguale a \vec
B, i.e.,
\vec B = rot \vec A   (1)
D'altra parte esiste una classe di vettori \vec A soddisfacenti (1).
Una tale classe si restringe senza ridurla al vuoto imponendo
l'ulteriore condizione
\vec B = rot \vec A,  div \vec A = 0   (2)
Osservo adesso che non esiste un unico vettore \vec A soddisfacente
(2), infatti tutti i vettori che si ottengono sommando ad un vettore
\vec A tale che vale (2) un vettore costante, soddisfano ancora (2).
Vi chiedo se presi comunque due vettori soddisfacenti (2), questi
differiscono per un vettore costante.
Grazie in anticipo, ciao, Ludo

 differiscono per un vettore costante.
Non necessariamente, se X e Y sono due campi vettoriali soddisfacenti
(2), allora posto Z = X - Y, si ha div Z = div (X - Y) = div X - div Y = 0,
cioe' Z e' un campo a divergenza nulla (solenoidale).
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 differiscono per un vettore costante.
No. Due vettori soddisfacenti (2) possono differire per il gradiente di un 
campo scalare a laplaciano nullo:
A' = A + grad(phi)
div(A') = div(A) + div[grad(phi)] = 0 + lapl(phi) = 0  se  lapl(phi) = 0
Bye,
Hyper 

 Grazie in anticipo, ciao, Ludo
Ciao, gt

 differiscono per un vettore costante.
Rettifico, nella precedente risposta avevo supposto che la (2) fosse _solo_
div \vec A = 0, ma se la (2) comprende anche  \vec B = rot \vec A,
allora abbiamo, se i campi X e Y soddisfano (2) e se Z = X - Y:
div Z = 0, rot Z = 0,
da rot Z = 0 segue che esiste una funzione scalare del punto phi tale che
Z = grad phi, da div Z = 0 segue che div grad phi = 0, quindi i campi
X e Y differiscono per il gradiente di una funzione armonica.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Z = grad phi, 
perché, potresti dimostrarlo?

 perché, potresti dimostrarlo?
E' una storia lunga ;-), se ti accontenti di una traccia di dimostrazione
eccola qua:
preciso che il teorema vale nell'ipotesi che il dominio D su
cui e' definito il campo Z sia un aperto (in questo caso di |R^3 o
piu' in generale di |R^n) semplicemente connesso, grossolanamente
diciamo privo di "buchi" cilindrici, e che il campo Z sia di classe C^1
su D.
La condizione rot Z = 0 equivale in |R^3 alla condizione
@Z_i / @Z_j = @Z_j / @Z_i, (@ = simbolo di derivata
parziale) per ogni i, j = 1, 2, 3, da questa condizione si puo'
dimostrare che segue il fatto che date due curve chiuse C1 e C2
di classe C^1 a tratti omotope come curve chiuse aventi sostegno
in D, l'integrale di linea di Z calcolato su C1 e' uguale a quello
calcolato su C2.
Ma se il dominio D e' semplicemente connesso, allora ogni curva
chiusa C avente sostegno in D e' contrattile, cioe' e' omotopa come curva
chiusa ad una curva costante (avente come sostegno un punto di D),
quindi l'integrale di linea di Z calcolato su qualsiasi curva chiusa C
di classe C^1 a tratti avente sostegno in D e' nullo, e cio' e' sufficiente
a dimostrare che il campo Z e' conservativo in D, cioe' esiste una funzione
potenziale phi il cui dominio e' D tale che Z = grad phi.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani