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Titolo: Hamilton-Jacobi

Qualcuno mi può gentilmente indicare testi e/o siti dove si trovino
spiegazioni comprensibili ma esaurienti sulla teoria di Hamilton-Jacobi?
Più nello specifico la mia domanda sarebbe: data una Hamiltoniana
indipendente dal tempo, che cos'è che permette, mediante l'equazione di
Hamilton-Jacobi, di risalire alla traiettoria di un punto nello spazio delle
fasi?

Topina ha scritto nel messaggio ...

ciao Silvia, prova al sito del mio ex-esercitatore di meccanica:
www.brazil.mat.uniroma1.it/dario/meccanica/node3.html
ci sono delle note di teoria dall'analisi del moto unidimensionale alle
trasformazioni alle variabili A-A, poi ci sono degli esercizi svolti sugli
argomenti, ed esercizi zippati scaricabili.
Comunque prova a chiedere H-J a qualche motore di ricerca tipo altavista o
yahoo io ho trovato più di qualcosa.
Per la domanda specifica non ho ben capito cosa vuoi dire ma mi sembra che
tu chieda quale sia la condizione che permette di tornare alle vecchie
variabili canoniche (p,q), allora c'è un teoremino che afferma fra le altre
cose l'invertibilità della trasformazione completamente canonica trovata con
H-J condizione come al solito espressa dal fatto che non si annulla il det
dell'hessiano della funzione generatrice W (o come la chiami tu, comunque:
funzione caratteristica di Hamilton): @^2W/ @q@a, dove a sono i nuovi
momenti cinetici coniugati. L'invertibilità ti permette una volta conosciuta
la funzione generatrice e la trasformazione c.c. di invertire le solite
relazioni:
p=@W/@q   ;   B=@W/@a     (1)             (la prima è scontata e ce l'hai
per "costruzione")(notazione vettoriale!)
il fatto di poter invertire la trasformazione ti permette una volta trovata
la soluzione esplicita dell'equazoini di Hamilton di invertirla e scrivere
la soluzione "vecchia" p,q in funzione delle nuove var. e della soluzione:
p=p(a,B+ ct)
q=q(a,B+ ct)   con c,a,B costanti e a,B+ct soluzioni dell'eq. di hamilton
con H=E(a).
Se vuoi introdurre le variabili A-A devi trovare una zona dello spazio delle
fasi in cui la "traiettoria" (in verità non è una vera e propria traiettoria
ma noi ci capiamo :-)), sia rappresentativa di un moto di rotazione o di
librazione per ognuna delle proiezioni di SdF^2n, su i piani coordinati
p_i,q_i  con i=1,2,..., n; (in verità puoi introdurre una variabile
azione-angolo anche per un solo piano ma questo non ha nessunissima
utilità). Per esaminare questa zona arriviamo (forse) al tuo problema,
prendi in considerazione la trasformazione banale p=@W/@q quindi in sua
virtù sostituisci nell'eq. di H-J ad ogni @W/@q_i una p_i, ovviamente devi
aver già separato le variabili, quello che ottieni è una espressione
quadratica della sola variabile p_i, cioè una eq. di 2° grado in p_i che
esplicitata ti da due rami di curve (un po' come succede per la
circonferenza), il ramo "sopra o sotto" lo scegli dalle condizioni inziali,
hai una funzione p_i=p(q) che è una traiettoria nello SdF (nella sua
proiezione) che puoi studiare con i normali metodi di analisi
unidimensionale. se calcoli l'area sottesa dalla curva in un periodo hai
para para la corrisponente variabile Azione a meno di un fattore
moltiplivativo 1/pi.
Scusa se ho parlato di cose che sapevi già e spero di aver colto il
problema, altrimenti ci riprovo:-)).
ciao Adriano.