Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Cambio di coordinate nella metrica

Buongiorno a tutti,
mi trovo a dover risolvere un problema, che sembra abbastanza semplice,
ma di cui non riesco a venire a capo.
Mi si chiede di dimostrare che con un cambio opportuno di coordinate la
metrica di Robertson - Walker (con parametro fissato k=-1 e a(t) = t)
non e' altro che la metrica dello spazio di Minkowski.
Ora la mia domanda e' piu' generica: esiste un metodo generale per
trovare un cambiamento di coordinate che permetta di passare da una
metrica ad un'altra? Come si imposta un problema del genere di solito?
Grazie a chi mi rispondera'.
Michele

Ciao,
"dimostrare che con un cambio opportuno di coordinate la
metrica di Robertson - Walker (con parametro fissato k=-1 e a(t) = t)
non e' altro che la metrica dello spazio di Minkowski"
La domanda è scritta in modo fuorviante: la metrica NON dipende dalle
coordinate, è un concetto intrinseco. La domanda in termini corretti
sarebbe:
"dimostrare che la metrica di Robertson - Walker  con parametro fissato
k=-1 e a(t) = t,  (in una regione di tale spaziotempo) coincide con la
metrica
dello spazio di Minkowski ristretta ad una  regione di tale
spaziotempo".
La metrica di R-W con k=-1 w a(t) = t si scrive esplicitamente:
-dt^2 + t^2 dR^2 + t^2 sh^2 R dOmega
dove dOmega è la metrica sulla 2-sfera di raggio unitario.
La soluzione io la vedo ad occhio (ma sono allenato!)
Poni r := t sh R e T = t ch R
ed il gioco è fatto, la metrica scritta sopra, si riduce, nella
regione
dello spaziotempo di R-W dove la trasformazione (t, R) -> (r,t) è
biettiva differenziabile con inversa  differenziabile alla forma:
-dT^2 + dR^2 + R^2 dOmega
che è la metrica di Minkowski scritta in coordinate polari.
Ti lascio da studiare quanto sia grande la regione suddetta
in R-W e a quale regione dello spaziotempo di Minkowski
corrisponda...
Metodo generale? Non c'è! Come ho fatto io: ho guardato la parte a
simmetria sferica e il fattore davanti a dOmega non poteva che essere
la coordinata radiale della metrica di Minkowski r := t sh R,
altrimenti
lo spaziotempo avrebbe dovuto ammettere due tipi di simmetria sferica
che mi pareva ben poco probabile.
Per esperienza (teoria dello spazio di Rindler, qui con spazio
scambiato con il
tempo) conosco che  r := t sh R,  T = t ch R
porta alla forma Minkowskiana della metrica in 2D...
 
   Ciao, Valter

Ciao,
"dimostrare che con un cambio opportuno di coordinate la
metrica di Robertson - Walker (con parametro fissato k=-1 e a(t) = t)
non e' altro che la metrica dello spazio di Minkowski"
La domanda è scritta in modo fuorviante: la metrica NON dipende dalle
coordinate, è un concetto intrinseco. La domanda in termini corretti
sarebbe:
"dimostrare che la metrica di Robertson - Walker  con parametro fissato
k=-1 e a(t) = t,  (in una regione di tale spaziotempo) coincide con la
metrica







Ciao, Valter
--------------------------------------------------------------------
Valter Moretti,
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 metrica ad un'altra? Come si imposta un problema del genere di solito?
Questo non lo so. Temo pero' che un metodo generale non esista.
In casi particolari ci possono essere delle indicazioni utili, per es.
l'esistenza di isometrie.
Se le due metriche rappresentano (anche solo localmente) la stessa
varieta', i loro gruppi di isometria debbono essere isomorfi.
Ma forse sono gia' andato nel difficile? :)
 
-- 
Elio Fabri

Grazie per le risposte molto esaurienti. Naturalmente ogni risposta fa
scaturire altre domande... :)
La metrica di R-W nelle nuove coordinate si riduce alla regione dello
spazio di Minkowski delimitata dalla retta:
t' = coth (r) r' (1)
cioe' t' > r'.
Ora mi chiedo: a che cosa corrispondono nel piano (t', r') le curve t =
cost. e r = cost. ?
L'asse r = 0 viene mandato in r' = 0 e t = t'. Ma che cosa succede per
t = 0? Tutto l'asse r viene mandato in un solo punto, l'origine nelle
nuove coordinate.Questa cosa mi perplime...
Inoltre le curve r = cost. sono rette nel piano (r', t') con equazione
data dalla (1)
e le curve t = cost. sono iperboli con equazione data da
(r')^2 - (t')^2 = t^2   (2)
ma la retta che limita la regione di spazio di Minowski che stiamo
studiando e'
r' = t'
questa equazione nelle vecchie coordinate ha forma:
t cosh r = t sinh r
la cui soluzione e' t = 0 o r = infinito (le considero tutte e due?).
Ma allora t = 0 a cosa corrisponde nelle nuove coordinate? E' un punto
o una retta? Mi sa che c'e' qualcosa di profondo che non capisco.
Grazie per le ulteriori delucidazioni che mi darete.
Michele

 o una retta? Mi sa che c'e' qualcosa di profondo che non capisco.
Non e' profondo...
Devi rispettare le disuguaglianze *strette* (3).
Non e' un caso se nella definizione di varieta' le carte sono definite
come _aperti_.
 
-- 
Elio Fabri