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Titolo: sulla composizione delle trasformazioni di Lorentz

Salve a tutto il NG.
E' da poco tempo che mi sono 'lanciato' a studiare le proprietà di
questo gruppo particolare e siccome non ho dei validi testi di
riferimento sotto mano a cui poter attingere chiedo cortesemente il
vostro aiuto.
In un post precedente ho appreso che il gruppo di Lorentz si puo'
scrivere in forma generale nel modo seguente :
siano x , v vettori di R3 nel sistema di riferimento inerziale
solidale con O e t il tempo (dove x è il solito vettore di posizione e
v è la velocità relativa di O' risp. O):
x'(v) = x + (gamma(v) - 1)*[(x,v)/|v|^2]*v - gamma(v)*t*v
t'(v) = gamma(v)*(t - (x,v)/c^2)
dove
gamma(v) = (1 - |v|^2/c^2)^(-1/2) e (.,.) è il solito prodotto scalare
euclideo
Inoltre sempre in quel messaggio era stato scritto che la
trasformazione sulle coordinate spaziali poteva essere riscritta in
una forma equivalente :
x'(v) = L(v)*x - t*gamma(v)*v
dove
L(v) è una particolare matrice quadrata di ordine 3 che ha per
autovalori : gamma(v), 1 , 1
Si era detto che gli autovettori di gamma(v) erano i vettori paralleli
alla velocità v , mentre gli autovettori di 1 erano i vettori
perpendicolari a v
Fin qui nulla di strano , ho appurato di persona che i conti tornano e
ho constatato di persona che queste trasformazioni mantengono
invariata la forma quadratica |x|^2 - c^2*t^2 e rispettano altre
proprieta' inerenti.
Adesso vi presento la mia domanda.
Supponiamo di prendere due vettori v , w in R3 e di comporre le
trasformazioni lorentziane sulle coordinate spaziali utilizzando la
rappresentazione appena citata.
(mi scuso in anticipo se la notazione utilizzata puo' risultare
ambigua)
x'(v) ° x'(w) = x'(v)(x'(w),t'(w)) =
= L(v)*x'(w) - gamma(v)*t'(w)*v =
= ... =
= L(v)*L(w)*x + gamma(v)*gamma(w)*[(x,w)/c^2]*v -gamma(w)*t*(L(v)*w +
gamma(v)*v)
I conti mi danno questo risultato ...spero che sia giusto !
Facendo un piccolo confronto tra quest'ultima espressione (che è stata
ottenuta per composizione ) e quella generale data in partenza si nota
che in entrambe il tempo t compare nel secondo addendo.
Allora la domanda che pongo è questa :
esiste un particolare vettore u in R3 tale che :
gamma(u)*u = gamma(w)*(L(v)*w + gamma(v)*v)  
e tale che :
L(u)*x = (L(v)*L(w)*x + gamma(v)*gamma(w)*[(x,w)/c^2]*v)   ?
La domanda è motivata dal fatto che se io compongo tramite Lorentz due
sistemi di riferimento inerziali (O' e O'') tali per cui O' si muove
di moto rettilineo uniforme rispetto ad O e O'' si muove di moto
rettilineo uniforme rispetto a O', allora quello che mi aspetto è che
anche il sistema di riferimento O'' si muova di moto rettilineo
uniforme rispetto ad O' e il vettore u dovrebbe rappresentarne le
velocità.
Spero di essere stato chiaro.
In definitiva se esiste questo vettore velocità u ottenibile mediante
composizione di moti rettilinei uniformi , qualcuno saprebbe indicarmi
se è stata cercata e trovata una formula per determinarlo.
Grazie in anticipo a tutti.

 L(u)*x = (L(v)*L(w)*x + gamma(v)*gamma(w)*[(x,w)/c^2]*v)   ?
La risposta in generale e' no.
Succede se e solo se v e w sono parallele.
Altrimenti la composizione di L(v) e L(w) produce anche una rotazione.
Per darti la dimostrazione ci dovrei pensare un po', ma credo si trovi
su molti libri.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Si , infatti non esiste in generale questo vettore u.
Componendo i tempi pero' riesco cmq a ottenere questo vettore u.
Pero' funziona solo per i tempi.
Infatti se compongo t'(v)°t'(w) =
= t'(v)(x'(w),t'(w)) = ... 
ottengo
gamma(u)*[t - (x,u)/c^2]
dove u = [w + v/gamma(w) + (gamma(w)-1)*(v,w)*w/(gamma(w)*|w|^2)]/[1 +
(v,w)/c^2]
si dimostra anche che
gamma(u) = gamma(v)*gamma(w)*[1+(v,w)/c^2]
Tuttavia questo vettore u non va bene per le coordinate spaziali.
Ho provato a vedere numericamente se la composizione spaziale
eguagliava la quantità :
L(u)*x - gamma(u)*t*u
e in generale la risposta ottenuta è no tranne nel caso in cui i due
vettori siano paralleli .
Grazie di tutto.

 (v,w)/c^2]
Non ho controllato se questa u e' giusta, ma puo' essere.
Che torni per i tempi e' ragionevole, visto che la compos. di due
trasf. di Lorentz non e' una trasf. di Lorentz, ma come ho detto ne
differisce solo per una rotazione spaziale, e questa non modifia il
tempo.
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Ho ripescato un mio vecchio appunto, dove ci sono tutte le formule del
caso. Per la velocita' risulterebbe:
u = (v + w + g(w)*((vxw)xw)/(g(w) + 1)) / (1 + (v,w))
dove (vxw) e' il prodotto esterno (prodotto vettore).
Non escludo che coincida con la tua. Se vuoi controllare...
Avrei anche la formula per l'angolo di rotazione, ma te la risparmio.
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 Avrei anche la formula per l'angolo di rotazione, ma te la risparmio.
Io trovo:
tan(theta) = |u x w| / { g(w) * [ (u + w , w )] }
che funziona anche se non pongo c = 1. Mentre il modulo:
u = sqrt( (w+v)^2 - |w x v|^2)/(1 + (u,v))
poi c'e' anche: g(u) = g(v) g(w)( 1 + (v,w))
Naturalmente non ci sarei mai riuscito senza seguire il
corso di complementi di P.R. li' a Pisa che mi fece rifare
tutti questi conti e pure quelli per lo scattering e senza il
libro di Jackson in costante supporto morale circa l'utilita'
di questo genere di torture per capire fenomeni concreti.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

> vettore_u(v,w)
u =
   0.5031 + 1.0943i  -0.7547 + 0.6918i   0.1258 - 0.2264i
u_ef =
   0.5031 + 1.0943i  -0.7547 + 0.6918i   0.1258 - 0.2264i
Non è una dimostrazione , pero' il risultato coincide in ogni
tentativo.
La formula dell'angolo di rotazione ormai è superflua dato che ho già
ricevuto una risposta al mio quesito , ma cmq interessante dal punto
di vista matematico.
Ringrazio Elio e Tetis.
Grazie

 di vista matematico.
Cioe' dici: se coincidono anche con velocita' maggiori di c allora
per forza sono la stessa formula. No? Carino. Ad ogni modo
senza che ti vai a riguardare l'algebra quello che conta sono
le interpretazioni geometriche dei prodotti vettoriali. Ed il fatto
che le componenti tangenziali ed ortogonali si trasformano
in modo molto semplice.
Se indichiamo con u_p e w_p le componenti parallela a v allora
u_p = (w'_p + v)/(1+v w)
u_t = w_t / g(v)(1 + v w)
con queste formulette diventa semplicissimo non solo ricavare le
espressioni di Fabri, ma anche quelle per gli angoli ed i moduli.


 per forza sono la stessa formula. No? Carino. 
Mai detto . Il fatto che l'esempio dia buoni risultati è solo
condizione necessaria ma non sufficiente per l'uguaglianza.


Potrebbe essere carino studiare quanti punti devono essere
identici per concludere che le espressioni daranno sempre
lo stesso risultato.
