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Titolo: momento di quadrupolo questo sconosciuto

Salve,
Conosco la definizione di momento di dipolo elettrico per un insieme di
cariche puntiformi:
\vec p = sum_{i=1}^n q_i  \vec r_i
(dove \vec sta per freccetta di vettore)
Sapreste dirmi per cortesia che cosa si intende con "momento di
quadrupolo" e "momento di ottupolo" ?
Grazie in anticipo,
Ludo

 quadrupolo" e "momento di ottupolo" ?
Per il quadrupolo e' abbastanza semplice.
E' un tensore simmetrico a traccia nulla.
Ti scrivo l'espressione della componente (i,j), usando a come indice per
sommare sulle cariche.
Q_{ij} = \sum_a q_a [x_{ai} x_{aj} - r_a^2 \delta_{ij} /3].
(x_{ai} e' la i-ma componente del raggio vettore della carica a-ma.
r_a^2 e' il quadrato del modulo del vettore.
Per l'ottupolo si procede in modo simile: e' un tensore a tre indici
ma l'espressione diventa piu' complicata e a memoria non la so.
Esiste un altro metodo piu' elegante per definire questi oggetti,
usando le armoniche sferiche: le conosci?
 
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Elio Fabri

 usando le armoniche sferiche: le conosci?
No, però ne ho sentito parlare spesso e mi piacerebbe conoscerle
almeno per curiosità! Che cosa sono? Dove posso studiarle? Come si
definiscono questi oggetti in modo + elegante?
Grazie, Ludo

 definiscono questi oggetti in modo + elegante?
Mi sarebbe piu' facile risponderti se sapessi che cosa studi.
Qualche cosa che hai scritto in altri post mi fa pensare che tu sia un
futuro ingegnere: sbaglio?
Ora provo a presentarti le arm. sferiche nel modo che mi sembra piu'
semplice.
Poniamoci il seguente problema: nello spazio (x,y,z), quali sono i
polinomi omogenei di grado n che hanno laplaciano nullo? (ecco perche'
"armoniche").
Per n=0 la risposta e' banale: i polinomi sono costanti, e vanno tutti
bene.
Anche per n=1 la cosa e' semplice: ogni polinomio della forma ax+by+cz
e' armonico.
Comincia a diventare interessante il caso n=2: infatti ora non tutti
i polinomi sono armonici. Te ne scrivo 5:
x^2-y^2, x^2+y^2-2z^2, xy, xz, yz.
Si puo' dimostrare (esercizio!) che tutti i pol. armonici di grado 2
sono combinazioni lineari di quei 5, ossai che i pol. armonici di
grado 2 formano uno spazio vettoriale (sui reali o sui complessi) di
dimensione 5).
Ora torna utile scrivere i detti polinomi usando coord. polari:
1) r^2 * sin^2(theta) * cos(2*phi)
2) r^2 * (3 - cos^2(theta))
3) r^2 * sin^2(theta) * sin(phi) * cos(phi)
4) r^2 * sin(theta) * cos(theta) * cos(phi)
5) r^2 * sin(theta) * cos(theta) * sin(phi)
e torna ancora piu' utile rimescolarli usando exp(i*phi) e exp(-i*phi):
1') r^2 * sin^2(theta) * exp(2*i*phi)
2') r^2 * sin(theta) * cos(theta) * exp(i*phi)
3') r^2 * (3 - cos^2(theta))
4') r^2 * sin(theta) * cos(theta) * exp(-i*phi)
5') r^2 * sin^2(theta) * exp(-2*i*phi).
A questo punto si toglie il fattore comune r^2, che su una sfera e'
costante, e si ottengono (a meno di qualche fattore) le "armoniche
sferiche di ordine 2):
1") sin^2(theta) * exp(2*i*phi)
2") sin(theta) * cos(theta) * exp(i*phi)
3") 3 - cos^2(theta)
4") sin(theta) * cos(theta) * exp(-i*phi)
5") sin^2(theta) * exp(-2*i*phi).
Tornando indietro, lo stesso procedimento defkisce le ar. sferiche di
ordine 1:
1) sin(theta) * exp(i*phi)
2) cos(theta)
3) sin(theta) * exp(-i*phi).
Allo stesso modo, con maggiori complicazioni, si definiscono le arm.
sferiche di qualsiasi ordine n.
A che servono? A molte cose.
Per es. si dimostra che la piu' generale funzione armonica entro una
sfera di raggio 1 si puo' scrivere come serie di armoniche sferiche
(ciascuna moltiplicata per r^n e con un coeff. arbitrario).
Piu' generale vorrebbe dire di classe L^2, ma non sottilizziamo...
Dove si trovano? In un sacco di posti...
Le puoi trovare in testi avanzati di elettromagnetismo (forse anche il
Jackson?).
Le trovi di sicuro in tutti i libri di mecc. quantistica.
Poi nei libri sulle "funzioni speciali" della fisica matematica...
Ora vediamole al lavoro nel nostro problema dei multipoli.
Le componenti del momento di dipolo di un sistema di cariche sono
\sum q_a x_a, \sum q_a y_a,\sum q_a z_a,
e x_a, y_a, z_a sono le arm. sferiche di ordine 1.
Proviamo a fare la stessa cosa all'ordine 2:
\sum q_a (x_a^2-y_a^2),  \sum q_a (x_a^2+y_a^2-2z_a^2),
\sum q_a x_a y_a,  \sum q_a x_a z_a,   \sum q_a y_a z_a.
Forse non e' immediato, ma queste sono le 5 componenti indip. del
momento di quadrupolo.
E la cosa si puo' generalizzare a un ordine qualunque.
Pero' ora mi fermo...
 
-- 
Elio Fabri