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Titolo: Conservazione quantità di moto e spazio omogeneo e isotropo

Ho sempre visto il principio di conservazione della quantità di moto (e
quindi le equazioni cardinali della dinamica) come condizione necessaria
e sufficiente del principio di azione e reazione.
Altre fonti però precisano che quest'ultimo deriva dall'ipotesi di
omogeneità e isotropia dello spazio.
In che senso la condizione di spazio omogeneo e isotropo implica il
terzo principio della dinamica?
-- 
Lurkos

 terzo principio della dinamica?
La risposta dipende dalle tue conoscenze di fisica, a che livello sei?

 questo e' vero.
Mi sembra che manchi anche un pezzo, il momento delle "forze interne" 
deve essere nullo. No?
Ciao,
fadeh

 La risposta dipende dalle tue conoscenze di fisica, a che livello sei?
Direi complessivamente abbastanza buono (studio Ingegneria), sebbene a
causa della dannata riforma del 3+2 si abbia sempre di più la tendenza
a non dare il giusto peso ad alcuni concetti fondamentali o, peggio, a
trasmette una conoscenza esagerata su alcuni punti e magari carente su
altri. Non sono quindi in novellino, ma neanche un esperto mondiale,
anche perché probabilmente non mi sarebbe venuto questo dubbio.
Sicuramente la risposta è in gran parte una banalità, ma, non avendo
mai affrontato questo problema, in questo momento non mi viene in
mente una possibile soluzione (né ho trovato riferimenti validi in
rete).
-- 
Lurkos


Che lo spazio (di un riferimento inerziale in fisica classica o in
relatività speciale) sia omogeneo, significa che: la lagrangiana (in
realtà si può indebolire riferendosi all'azione) di un qualsiasi
sistema fisico isolato è invariante per traslazione in una ogni
direzione.
Questo fatto astratto ha una conseguenza, che entro certi limiti è
equivalente all'omogeneità dello spazio, e che ha un significato
fisico più diretto. se vale l'omogeneità dello spazio nel senso
scritto sopra allora vale anche quanto segue. Se faccio un esperimento
preparando il sistema con certe condizioni iniziali e lasciandolo
evolvere, e poi ripreparo il sistema con condizioni iniziali traslate
della traslazione comune u, allora l'evoluzione che ne viene fuori è
la stessa di prima, eccetto che è *cambiata per la sola traslazione
u*, con cui avevo traslato le condizioni iniziali.
Se la lagrangiana di un sistema fisico è invariante per le traslazioni
nella direzione u (e questo accade per principio, per ogni sistema
isolato studiato in un riferimento inerziale e per ogni direzione u)
il teorema di Noether ti assicura che esiste un "integrale primo",
cioé una grandezza conservata sui moti del sistema, associata alla
direzione u. Per definizione l'integrale primo associato alla
direzione u è la componente della quantità di moto del sistema lungo
u.
Nel caso in cui il sistema fisico sia classico ed elementare, cioé un
insieme di punti che interagiscono (istantaneamente) tra di loro, con
forze dedotte da un potenziale, si vede, facendo il conto, che
l'integrale primo che salta fuori è davvero la quantità di moto totale
del sistema come definita in meccanica classica poiettata sulla
direzione u.
Nel caso in cui il sistema è più complesso, per esempio particelle +
campi d'interazione che si propagano ed hanno la lor lagrangiana, il
teorema funziona ancora, però questa
volta l'integrale primo che viene fuori, tiene conto anche di un
contributo dovuto ai campi. Per esempio, in questo modo scopri che il
campo eletrromagnetico porta impulso...(non è l'unico modo di scoprire
ciò, ci sono modi anche più elementari...)
La cosa non è limitata alle traslazioni, il teorema di Noether vale
per tutto il gruppo delle isometrie dello spazio di Minkowski (gruppo
di Poincaré) oppure dell'analogo gruppo dello spaziotempo della fisica
classica (gruppo di Galileo). E vengono fuori 10 grandezze conservate
scalari: 3 componenti dell'impulso, 3 componenti del momento angolare
(invarianza per rotazioni), 1 l'energia (invarianza per traslazioni
temporali)     +    ?   ne mancano 3 !
(chi sono i 3 che mancano dovuti all'invarianza sotto i 3 boost/
trasformazioni pure di Galileo?? ;- )   )
Il teorema di Noether si estende alle "simmetrie interne" (per esempio
la conservazione della carica elettrica deriva, in quest'ottica,
dall'invarianza di gauge...) che si usano in teoria dei campi
(quantistica e no)...ed ha dato  il linguaggio stesso per la
formulazione delle teorie unitarie (unitarie significa che la
lagrangiana è (più o meno) invariante sotto un gruppo di tipo
"unitario") che popi hanno portato al modello standard.
Il teorema di Emmy Noether (nelle sue varie versioni) si è rivelato,
probabilmente, il teorema più importante di tutta la fisica teorica.
La storia vale con le debite modifiche anche nelle teorie quantistiche
(in tal caso non c'è più l'azione ma l'osservabile hamiltoniana, anzi
l'evolutore temporale) e in relativià generale (ma in tal caso ci
vuole il tensore energia impulso e le simmetrie di Killing),  ma si
entra nel difficile e non saprei se hai voglia di sentirlo...di certo
io non ho più tempo per spiegarlo ora ;-) ).
   Ciao, Valter

 rete).
Non credo sia proprio una banalita' se quello che ha in mente Enrico e' 
parlare di meccanica lagrangiana.
Ciao,
fadeh

 trasformazioni pure di Galileo?? ;- )   )
Scusa, me lo puoi spiegare meglio questo fatto? Le 3 grandezze
conservate che mancano dovute alle trasf. galileiane pure non si
conoscono o lo hai posto come esercizio?

 conoscono o lo hai posto come esercizio?
L'ho lasciato per esercizio...
Prova, è interessante
Ciao, Valter

 deve essere nullo. No?
Non mi pare, direi che basta la condizione di a/r Fi(Rj)=-Fj(Ri). Nel 
caso 
p.es
. di due particelle ($ e' l'integrale), 
P=p1+p2=$(F1+F2)dt=$0dt=costante. Non mi pare che si facciano altre 
ipotesi. O mi sfugge qualcosa?

Enrico SMARGIASSI ha scritto:

La conservazione della quantita' di moto ti dice solo che Fi(Rj)=-Fj(Ri) 
  in modulo e che le forze hanno verso opposto.
Ma il principio di azione e reazione dice che le forze devono agire 
sulla stessa retta d'azione.
Affinche' questo sia verificato e' necessario dire che il momento 
angolare di un sistema isolato si conserva, il che equivale a dire che 
il momento delle forze interne e' nullo. Quest'ultimo risultato si 
ottiene appunto considerando le forze interne come coppia di forze con 
braccio nullo. A questo punto se il momento delle forze interne non 
fosse nullo non potremmo concludere che le forze agiscono sulla stessa 
retta d'azione.
Cosa ne pensi?
Ciao,
fadeh

*fadeh* wrote:

La meccanica analitica l'ho studiata, ma poi mai più usata.
Non posso quindi dire di essere fresco come il giorno dopo l'esame, ma
neanche di essere a zero.
Devo però ammettere che la spiegazione di Valer Moretti, sebbene penso
valida, si basi su alcuni teoremi non trattati all'epoca e quindi devo
ammettere che mi mancano le basi per comprenderla a fondo.
-- 
Lurkos

 angolare di un sistema isolato si conserva,
Ah, ecco: puoi *dedurre* il fatto che le forze si esercitano sulla 
stessa retta d'azione se aggiungi il principio della conservazione del 
momento della qdm. Ma allora questa condizione (forze sulla stessa 
retta) una conseguenza del III principio, non una condizione. P.es. se 
avessi due particelle, la 1 in (0,0,0) e la 2 in (1,0,0), e F1=(0,1,0) e 
F2=(0,-1,0), il III principio sarebbe soddisfatto ma il mom. della qdm 
non sarebbe conservato.

 > conoscono o lo hai posto come esercizio?
Ciao, se fai il calcolo scopri che viene fuori un integrale primo che
se ne scrivi la legge di conservazione   enuncia il "teorema del
centro di massa":
l'impulso totale diviso per la massa totale vale quanto la velocità
del centro di massa.
Classicamente non è molto interessante, ma relativisticamente lo è,
dato che la massa totale
non è più la somma delle masse...
Ciao, Valter

 Non e' la versione che conosco io.
Curioso: io invece ho sempre conosciuto la versione con la stessa
retta d'azione.
Detto in altre parole: azione e reazione formano una coppia di braccio
nullo.
Per la storia, va detto che l'enunciato newtoniana non contiene in
modo esplicito questa asserzione. Ma sono sicuro che Newton
l'intendesse cosi', e che se si leggessero con attenzione i
"Principia" si vedrebbe che ne fa uso.
-- 
Elio Fabri

 "Principia" si vedrebbe che ne fa uso.
Be', la gravita' e' una forza centrale...

 Be', la gravita' e' una forza centrale...
Si', qui ti do ragione: Newton non si occupa praticamente di altre
forze.
In realta' c'e' una parte sul moto in mezzo viscoso, ma dubito che li'
faccia uso del terzo principio. Pero' non me lo ricordo.
 
-- 
Elio Fabri


Non ti scrivo i calcoli (sbagliati) che ho fatto, ti dico solo che non
sono ancora riuscito a far venir fuori il risultato. Ho scritto la
variazione della lagrangiana, tenendo conto che varia sia lo spazio x
che il tempo t e che x = vt...e poi non vado più avanti. Ti sarei
grato se mi spiegassi come si fa.
Ciao.

 Ciao.
Ciao,  guarda il numero 2 in esempi 9.5 del cap. 9 delle mie dispense
di meccanica, le prime che trovi alla pagina:
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
Il caso relativistico è più complicato per punti materiali (a causa
del tipo di interazioni che
sono ammissibili) invece è relativamente facile per teorie di campo,
ed in tal caso entra in
gioco la componente T^00 del tensore energia impulso...
Ciao, Valter

 terza legge, e parlare solo di conservazioni.
Infatti credo che sarebbe meglio. Mi pare che il Berkeley faccia cosi'. 
Poi, se uno vuole mantenere la terza legge per scopi didattici, se ne 
puo' discutere.

 la terza legge come ho detto.
Scusate se entro nella vostra discussione, ma a proposito della terza
legge avrei una domanda:
nel caso di interazione tra due cariche elettriche, l'azione e la
reazione sono sulle due cariche o su una delle due ed il campo
presente in quel punto?

 di meccanica, le prime che trovi alla pagina:
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
Grazie,
Ciao.

 presente in quel punto?
Gi� che ci siono entro anche io in questa discussione. Nel caso di
forze elettromagnetiche la terza legge, nel senso di coppia di forze
 "azione e reazione",  non vale pi�. Primo perch� c'� un "ritardo" tra
azione e reazione quando muovi una delle due cariche, dovuta alla
finitezza della velocit� di propagazione delle perturbazioni del
campo, ma non solo: una parte di impulso finisce nella radiazione e
non viene ricevuta dall'altra carica.  Parlare di forza agente sul
campo in un punto non credo sia tanto sensato (il campo EM non si pu�
a modellizare come un continuo sottoposto a forze di volume e di
superficie...).
Quello che vale ancora � comunque la conservazione dell'impulso totale
delle due cariche pi� il campo. Da questo punto di vista si capisce
come il principio di conservazione dell'impulso sia pi� fondamentale
del principio di azione e reazione.
Ciao, Valter