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Titolo: Dubbio teorico su un doppio valore di d.d.p.

Problema tratto dall'Amaldi per i licei scientifici:
"Una batteria ha fem=20V ed una resistenza interna r=2,5 Ohm. La
batteria è connessa ad una resistenza esterna R che di conseguenza
dissipa una potenza P=20W.
Calcola la differenza di potenziale ai capi della batteria. Perchè il
risultato non è unico?"
Algebricamente è facilissimo ottenere 2 risultati per la ddp, ma la
questione è proprio il perchè!
Vorrei poter discutere con qualcuno su questo concetto di potenza
dissipata sul carico esterno e di ddp ai suoi capi. Non riesco proprio a
vedere il punto cruciale del perchè ci dovrebbero essere 2 valori di
tensione( tra l'altro molto diversi tra loro, secondo il risultato
dell'Amaldi dovrebbero essere 2,9V e 17V); è pur vero che impostando in
più modi risolutivi l'equazione sia per la corrente che per la ddp
utilizzando la potenza data di 20W si ottengono 2 risultati, ma perchè?
si tratta di quando la batteria è carica e di quando è scarica,per caso?
inoltre mi piacerebbe sapere se voi ottenete quei risultati perchè io
ogni volta che cambio equazione ottengo valori diversi cambiando strada.
Sono entrata nel pallone? Per farvi sapere il mio ragionamento: sbaglio
ad eguagliare la P sulla R(quindi 20W) alla differenza tra la potenza
totale della batteria( fem X i ) e la potenza dissipata sulla resistenza
interna (rXi^2)? impostando questa equazione di 2° grado ottengo 2
diversi valori di corrente e da qui poi posso trovare la ddp. Sbaglio se
trovo la R uguagliando le ddp una volta in funzione della potenza ed una
volta in funzione della resistenza? i risultati, sempre doppi per la R,
non mi danno poi gli stessi valori di corrente che ho trovato prima.
Grazie a chi avrà la gentilezza e la pazienza di soddisfare le mie
perplessità.
Ileana 
-- 
www.ilbarigelletti.org

 risultato non è unico?"
La somma algebrica delle variazioni di potenziale sul circuito deve 
essere nulla:
20 V -2,5*i - 20W/i =0
risulta un'equazione di secondo grado in i:
i^2 -8*i +8 =0
Soluzioni: i=6.83 A  i=1.17 A
Cadute di potenziale sulla resistenza interna:
Delta V = 17.1 V  Delta V = 2.9 V
Sottraendo a 20 V i due risultati si ottengono le ddp ai capi della batteria
V1=2.9 V   V2 = 17.1 V
Mettiamola cosi':
Se il testo fosse diverso, e ponesse la resistenza esterna a 2.5 ohm e 
la potenza dissipata internamente a 20 W, per risolvere il problema 
useremmo la stessa equazione. In altre parole, la Matematica non sa 
esattamente quello che la Fisica vuole, perche' le condizioni poste non 
vengono tutte formalizzate, e allora la soluzione vale per entrambi i 
problemi.
Le configurazioni possibili sono quindi
i= 1.17 A ; Delta V interna 2.9 V ; Resistenza esterna 14.6 ohm ; Delta 
V esterna 17.1 V
i= 6.83 A;  Delta V interna 17.1 V ; Resistenza esterna 0.42 ohm ; Delta 
V esterna 2.9 v
Nel secondo caso la bassa resistenza esterna provoca una corrente 
elevata e la maggior parte dell'energia potenziale elettrica si converte 
in calore all'interno della batteria.
Per questo e' vivamente sconsigliato mettere in corto una batteria ...
gavio

Intanto voglio aggiungermi qualcosa che sto analizzando man mano e cioè
ho provato a fare un analogo problema in cui fra i dati c'è la R e la P
e la fem, ma  non c'è la r interna e si deve calcolare anche qui la ddp.
Ho subito notato che, anche se il problema sembra simile, in realtà il
fatto di aver bloccato R e P non da doppi risultati sulla ddp. Quindi
deduco che su una resistenza se si lasciano incognite sia la R che la
ddp, allora ciò da adito ad una  doppia possibilità di ddp, con analoga
doppia corrente i. I risultati dati dall'Amaldi nel problema precedente
sono corretti perchè li ho ottenuti in tutti i modi possibili.
Assodato ciò non riesco però ancora a dare una motivazione fisica alla
possibilità di 2 diverse ddp ai capi della batteria.
Ripeto, può essere il fattore batteria che si scarica? ma cosa
rappresenterebbero esattamente quei 2 valori di tensione? c'è una
spiegazione oppure sono entrambe valide le soluzioni senza alcun
significato preciso?
ileana  
-- 
www.ilbarigelletti.org

 Ripeto, può essere il fattore batteria che si scarica?
No, la batteria e' carica e la sua FEM e' invariata:
Per quanto riguarda la giustificazione fisica delle due soluzioni vediamo di
cavarcela con un esempio estremo:
Supponiamo quindi che il problema chieda che potenza dissipata dal carico
esterno sia nulla.
Abbiamo due soluzioni ben diverse:
a) Circuito aperto ovvero resistenza esterna infinita. Non circola corrente
quindi dissipazione nulla
b) Corto circuito ovvero resistenza esterna nulla. Circola la corrente di
corto circuito:
Icc = FEM/Ri (Ri sta per resistenza interna)
Questa corrente circola anche nella resistenza esterna (nulla per ipotesi)
quindi in essa (resistenza esterna) la potenza dissipata e' ancora nulla.
Come vedi gia' in questo caso particolare il problema ha una doppia
soluzione. Per quanto riguarda la potenza dissipata sul resistore esterno,
diciamo, la potenza e' la stessa. Per quanto riguarda invece la batteria le
cose stanno ben diversamente, ma il problema imponeva potenza nulla sul
resistore esterno e abbiamo scoperto che due condizioni circuitali ben
diverse tra loro, anzi addirittura estreme, soddisfano il quesito. Tant'e'.
Per fare una caso piu' vicino al problema posto, immagina di sostituire una
grandissima resistenza Rea a quella infinita del caso a) e una piccolissima
Reb a quella nulla del caso b) chiamiamo i due casi a') e b')
a') la corrente circolante sara' bassissima e quindi la caduta di tensione
su Ri sara' trascurabile. Quindi una piccola potenza viene dissipata sulla R
esterna: Wea = FEM^2/Rea  potenza piccola essendo Rea molto grande in questo
caso.
b') la corrente circolante sara' ancora quasi quella del corto circuito, ma,
dato che la resistenza esterna e' piccola, ma non nulla, essa dissipera':
Web = Icc^2 * Reb piccola anch'essa essendi in questo caso Reb piccola.
E' chiaro che regolando opportunamente Rea e Reb si puo' facilmente fare in
modo che, come vuole il problema, Wea = Web
In altre parole e' il modo in cui e' formulato il problema che porta ad
avere due soluzioni, ognuna delle quali, spero di aver fatto capire,
corrisponde a una situazione circuitale ben diversa dall'altra: La corrente
che circola e' diversa, la tensione ai capi del resistore esterno e'
diversa, ma i prodotti Vea*Iea e Veb*Ieb sono uguali tra loro, quindi i due
resistori esterni dissipano la stessa potenza.
Saluti
Mino Saccone

 gavio
Ti ringrazio e sono d'accordo con te sui risultati che ho ottenuto anche
io, ma quindi alla domanda del perchè 2 risultati confermi che non c'è
un vero significato fisico, ma che è solo colpa della matematica?
ileana
-- 
www.ilbarigelletti.org

 ileana
Il significato e' semplice: puoi avere la stessa potenza dissipata sul
carico con due diversi valori di resistenza esterna; le due tensioni che
hai trovato sono quelle che si localizzano ai terminali della batteria
nelle
due diverse condizioni di carico.
Domanda semplice semplice: che valore devo dare alla resistenza esterna
affinche' essa dissipi la massima potenza?
Ciao ;)  
-- 
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questione è proprio il perchè!
Scusami... chiedo perdono per la mia risposta, che sicuramente non
avra' un gran valore non essendo io un fisico :)
Io la vedo cosi', visto che la massima efficienza si ha quando R=R(i)
( R=2.5 ohm, P(R)=40W ) e che la potenza stessa P(R) dissipata sul
carico tende a zero con R=0 ed R=oo, allora ci dovranno essere due
valori di R, uno 0 < R1 < 2.5 e l'altro 2.5 < R2 < oo per cui 
0 < P(R) < 40W , nel caso, P(R)=20W...
se qualcuno mi legge ed ho sparato una... baggianata :) spero che mi
corregga :)
Grazie, ciao!
-- 
Oscar M. AKA UoScAr - 30, Imola.
nuqDaq 'oH puchpa''e'
Gren fa hoe loth pex-pil?


...
 > Assodato ciò non riesco però ancora a dare una motivazione fisica alla
 > possibilità di 2 diverse ddp ai capi della batteria.
 > Ripeto, può essere il fattore batteria che si scarica? ma cosa
 > rappresenterebbero esattamente quei 2 valori di tensione? c'è una
 > spiegazione oppure sono entrambe valide le soluzioni senza alcun
 > significato preciso?
Mi pare che M.S. ti abbia fornito una risposta esauriente, ma vorrei 
precisare la mia affermazione. Non e' "colpa" della Matematica, ma del 
fatto che la stessa equazione risolve due situazioni circuitali diverse, 
e lo scaricamento della batteria non c'entra.
Un altro caso e' quello in cui la procedura risolutiva introduce 
soluzioni aggiuntive, che magari potrebbero avere ugualmente significato 
fisico.
Considera il seguente problema:
Lascio cadere in un pozzo una pietra, e registro il suono del tonfo 
nell'acqua cinque secondi dopo. Trascurando la resistenza dell'aria 
(poco realistico, con i valori in gioco), calcolare la profondita' del 
pozzo.
gavio


Non sono sicuro di aggiungere molto a quanto e' stato detto ma... vediamo.
La ragione per cui si trovano due soluzioni entrambe fisicamente 
possibili e, quindi, non dovute artificialmente alla matematica, e' che 
una delle condizioni del problema impone il valore di una grandezza che 
NON DIPENDE LINEARMENTE all'incognita.
Ci sono moltissimi esempi e in campi completamente diversi.  In fisica 
dell'atmosfera, tanto per fare un esempio che mi e' famigliare, si 
dimostra matematicamente che certi moti vorticosi possono girare in un 
senso o nell'altro indifferentemente. Entrambi sono fisicamente 
possibili e solo ulteriori condizioni (al contorno o iniziali) risolvono 
l'ambiguita'.
Ci sono casi nei quali occorre piu' attenzione: mi e' capitato di 
problemi che ammettono piu' soluzioni delle quali qualcuna complessa. Se 
  si stanno trattando grandezze reali, l'eventuale soluzione complessa 
in genere non ha senso fisico e va scartata.
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca

 resistori esterni dissipano la stessa potenza.
Ok, questa spiegazione mi sta benissimo e, come ho scritto sopra
parlando dell'analogo problema in cui la R esterna era data ed insieme
ad essa anche la P esterna, allora il problema ammetteva una sola
soluzione sia di corrente che quindi di ddp. In questo caso invece, non
avendo impostato nè R e nè ddp, ma solo potenza, la soluzione è dunque
doppia. Mi chiedo se però il fatto che non sia unica imponga per forza
che sia doppia? non poteva essere tripla o più? la risposta è forse
dalla dipendenza della potenza dal quadrato della corrente che quindi da
una equazione di 2° grado?
Grazie a tutti.
Ileana
-- 
www.ilbarigelletti.org

 wrote in message
news:1haumco.b5hpfa1asiywN%ileana.bariNOSP...@tiscali.it...

Si', se esprimi la potenza dissipata su Re in funzione di Re ottieni:
W(Re) = (FEM / (Ri + Re)) ^ 2 * Re
se studi questa funzione vedra che, come gia' detto, ha uni 0 per Re 0, un
massimo (Wmax)  per Re = Ri per poi tendere asintoticamente a 0 per Re
tendente a infinito (come gia' detto).
Messa in forma normale da appunto una equazione di secondo grado in Re
che
da:
due soluzioni distinte per 0 < W < WMax
due soluzioni coincidenti per W = WMax
nessuna soluzione reale per W > WMax
come appunto deve fare una brava eq. di secondo grado.
Saluti
Mino Saccone

 come appunto deve fare una brava eq. di secondo grado.
Grazie mille! ;-))
ileana
-- 
www.ilbarigelletti.org

 non mi danno poi gli stessi valori di corrente che ho trovato prima.
Qui non ho capito bene cosa hai inteso fare, ma occhio che
V I e R non sono indipendenti, per cui se determini due di
esse, la terza è fissata. Per cui non è che con i due valori
di V, e i due valori di R trovi *quattro* valori di I,
facendo I=V/R , e inserendo tutte le combinazioni di V e R
trovati. Era questo che intendevi? Probabilmente però non ho
capito bene io questo punto...
Ciao
Andrea

 pozzo.
Gavio ha ragione: non e' colpa della matematica.
Accanto all'esempio che ti ha fatto, ne metto un altro.
Lancio un sasso in verticale, con velocita' iniziale v0 data.
Voglio sapere dopo quanto tempo raggiunge una certa altezza h.
Anche qui puoi avere due soluzioni (oppure una sola, o nessuna, dato
che ti viene un'eq di secondo grado).
I problemi con "doppia soluzione" non sono sempre facili da capire, ma
sono molto istruttivi: caso per caso bisogna rendersi conto se le due
soluzioni sono davvero risposte al problema proposto, e in caso
negativo come mai sono venute fuori.
Nel caso di gavio solo una delle soluzioni e' accettabile; nel caso
del mio problema invece sono accettabili tutte e due...
 
-- 
Elio Fabri