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Titolo: Basi del calcolo delle probabilità

Buongiorno.
Vedendo l'esperimento delle due fenditure trapassate da elettroni ( su 
cui per altro non ho ancor capito se di fatto realizzato o soltanto 
didatticamente posto )chiedo questo.
Se l'elettrone non si divide ( e infatti credo nessuno abbia mai visto 
mezzo elettrone ) allora l'evento a ( passaggio attraverso la prima 
fenditura ) e l'evento b ( passaggio attraverso la seconda fenditura )
si escludono mutualmente.
La base del calcolo delle probabilità dice che in questo caso P(A+B)=P
(A)+P(B). Questa legge è chiaramente errata, applicata alla realtà, 
visto che, almeno nell'esperimento detto si produce interferenza.
Mi viene spontaneo pensare ad una teoria della probabilità in cui P
(A+B) possa essere diverso da P(A)+P(B). Ma dove porta questa ipotesi? 
Si può costruire una teoria? Mi viene da pensare alla geometria in cui 
è negata l'ipotesi delle parallele.
Possibile che nessuno ci abbia pensato?

ivan ha scritto:

Ciao, hai ragione la teoria delle probabilità che si usa in MQ non è
quella solita.  Ti racconto le cose elementarissime della questione
che sollevi (spero tu sia  in grado di capirle, visto che non dichiari
quali siano le tue conoscenze di meccanica quantistica).
 Però un pò dovrai faticare.
Nella teoria della probabilità si lavora su quella che i matematici
dicono essere una "sigma-algebra" di eventi (eventi in senso
statistico):
 Questo significa quanto segue: gli eventi dei quali calcoli la
probabilità
li puoi  comporre usando due simboli che corrispondono all'unione ed
all'intersezione oppure, equivalentemente, al connettivo  logico  "o"
(disgiunzione) ed al connettivo logico "e" (congiunzione)
rispettivamente.
 Il "sigma" significa che puoi fare anche  unioni o intersezioni
infinite
numerabili...  Non preciso gli altri requisiti insiti
nella nozione  di sigma algebra che avrai visto  o vedrai in qualche
corso
che si occupi delle  nozioni di base della teoria della misura e
dell'integrazione... Una misura di probabilità è una funzione m che
associa
ad ogni evento  P un numero m(P) in [0,1], in modo tale che l'evento
che
corrisponde a tutto  lo spazio campionario X (l'evento sempre certo)
valga 1.
Infine  deve valere una  richiesta di (sigma)  additività: se  una
classe di
eventi  (al più numerabile)  P_1,P_2,P_3,... è tale che gli eventi
siano  a due
a due esclusivi,  la probabilità della loro unione è la somma delle
probabilità:
m(P_1 o P_2 o ....) = m(P_1) + m(P_2) +....
In meccanica quantistica le cose sono fisicamente più complesse.
Considerando gli "eventi" di un sistema quantistico, ci sono eventi
che non possono essere composti con i connettivi detti, sono gli eventi
_incompatibili in senso quantistico_ pensa al caso
 P= "la particella ha questa posizione"  e Q ="la particella ha questo
impulso".
In senso operazionale,  se P e Q corrispondono ad eventi
quantisticamente
incompatibili non esiste uno strumento di misura in grado di attribuire
un valore di verità  ("vero" o "falso") _contemporaneamente_ a P e Q e
quindi  alla proposizione  "P e Q" oppure "P o Q".
Questo implica che la nozione usuale di probabilità non si possa più
usare
nello spazio degli eventi di un sistema quantistico, qualsiasi cosa
esso sia.
A posteriori dopo che i concetti fisici fondamentali della MQ sono
stati chiariti,
von Neumann e poche altre persone (sicuramente anche Dirac) compresero
 che per un fissato sistema fisico (non teoria di campo), lo spazio
degli eventi
(che possono essere pensati come proposizioni che possono  essere
"misurate"
con esito "vero" oppure  "falso" e  con le quali costruisci tutte le
osservabili),
deve essere messo in corrispondenza biunivoca con (alcuni) i proiettori
ortogonali  dello spazio di Hilbert sul quale si descrive il sistema.
Parentesi: le osservabili generali le posso sempre decomporre in
proposizioni
elementari (questo è il significato fisico del famigerato teorema di
decomposizione
spettrale degli operatori autoaggiunti che si usa in MQ): l'osservabile
posizione
 della particella lungo l'asse  X non è altro che la classe delle
proposizioni
elementari:
P_E = "la particella ha posizione nell'insieme E"
al variare di E in tutti i modi possibili nei sottoinsiemi (Boreliani)
dell'asse X.
Quindi le proposizioni elementari sono prioettori nello  spazio di
Hilbert
associato al sistema quantistico. Quale è il criterio per distiguere
coppie di
proposizioni quantisticamente compatibili da quelle che non lo sono?
Eccolo (von Neumann ):
se e solo se due proiettori (=proposizioni) P e Q  commutano (PQ=QP),
allora  corrispondono a proposizioni  fisicamente compatibili in senso
quantistico per  il sistema fisico: c'è uno strumento di misura in
grado di
assegnare valore di verità  contemporaneamente a P e Q.
Se P e Q sono compatibili si può allora definire il proiettore
ortogonale che
rappresenta la disgiunzione delle due proposizioni:
P o Q := P+Q - PQ
e quello che rappresenta la congiunzione
P e Q := PQ
I secondi membri sono ancora proiettori ortogonali a causa della
commutatività
di P e Q, altrimenti non lo sarebbero.
Uno stato quantistico associa a _ciascuno_ dei  proiettori che
rappresentano
le proposizioni  elementari  una probabilità che sia vero se lo
sottopongo a
processo di misura. (in questo modo assegno valori di probabilità
anche agli
esiti delle misure delle osservabili!)
Però questa nozione di  probabilità non può essere qualla standard
perché
l'insieme degli eventi ha ora una  struttura diversa da qualla di sigma
algebra
(non sempre posso  fare unioni e intersezioni di eventi)
Risulta però che un insieme massimale di proiettori a due a due
commutanti
(più o meno quella che si dice in gergo "osservabile massima") sono
ancora
una sigma algebra e su questa si può costruire la solita teoria della
probabilità.
Tuttavia ciò non è fisicamente sufficiente in quanto, gli stati di
sistemi fisici
caratterizzano le probabilità _anche_ delle proposizioni fisicamente
incompatibili.
Allora bisogna generalizzare la nozione di probabilità estendendola da
sigma
algebre alla struttura più complessa data dal reticolo R dei
proiettori
ortogonali  su uno spazio di Hilbert. Questo è stato fatto e si
richiede che la
nuova  nozione  di probabilità sia una legge che associ ad ogni
prooettore
ortogonale  P in R un numero m(P) in [0,1] in modo tale che:
(1)   m(I) = 1  dove I è l'operatore identità (che è un proiettore
ortogonale
        e corrisponde alla proposizione sempre vera).
(2)   m si riduca ad una probabilità standard in insiemi massimali di
prioettori
       commutanti (non entro nei dettagli, ci sarebbe da dire molto).
Un celebre teorema dovuto a Gleason (il noto "teorema di Gleason")
dimostra che  se lo spazio di Hilbert è complesso ed ha dimensione
maggiore  di 2,  allora le funzioni m suddette non sono altro che
quelli che
i fisici  chiamano  "stati misiti" o  "operatori statistici" (operatori
di classe
traccia positivi con traccia unitaria).
Se rho è uno di questi opertaori statistici allora la misura di
probabilità
 associata m è data da
m(P) = tr (rho P)
per ogni evento (proiettore ortogonale) P in R. tr denota la traccia.
Gli stati puri,  come probabilmente saprai o imparerai tra poco se sei
studente,  sono dati dai vettori  di norma unitaria nello spazio di
Hilbert
(considerati a meno  di "fasi"), e sono  un sottocaso degli stati puri
(sono
completamente individuati dalla richiesta di essere i punti estremali
nello spazio
degli  operatori statisitici). In definitiva gli stati quantistici sono
le misure di
probabilità quantistiche.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 (considerati a meno  di "fasi"), e sono  un sottocaso degli stati puri
... evidentemente volevo scrivere "un sottocaso degli stati misti".
Visto che il mio messaggio è risultato uno schifo dal punto di vista
tipografico, vi chiedo, come posso fare ad evitare questo scempio
di righe spezzate a metà? Uso la form di google groups per scrivere
(ormai raramente) sul NG.



wrote:

Solo un'osservazione che probabilmente non centra niente con la
meccanica quantistica e con le funzioni d'onda. Perché mai
l'esperimento delle fenditure dovrebbe contraddire il fatto che P(A+B)
= P(A) + P(B)?
Se sullo schermo dietro le fenditure osservo la zona scura posso dire
che lì non è arrivato nessun elettrone. E perchè mai "nessun
elettrone" dovrebbe essere per forza passato da una delle due
fenditure? Invece posso sempre dire, credo, che qualora un elettrone
venga rilevato sullo schermo, sarà passato da una o dall'altra delle
due fenditure anche se non posso sapere quale...

 (ormai raramente) sul NG.
...
Probabilmente hai messo degli "a capo " espliciti.  Prova a non metterli.
Giorgio

 due fenditure anche se non posso sapere quale...
Ciao, non è cosi, ma non ho (più) tempo per spiegare perché non lo
è. Ti dico solo che se l'elettrone fosse passato per una delle due
fenditure (senza sapere quale), la figura che avresti sullo schermo
dopo le fenditure non avrebbe la forma che ha (non ci sarebbe
l'interferenza). Se tu cercassi di stabilire da quale delle due
fenditure passa l'elettrone, mettendo qualche strumento (che non
assorba gli elettroni) vicino alle fenditure troveresti alla fine
(accumulando macchie sullo schermo) proprio la figura che si ha in
assenza di inteferenza (somma banale delle intensità). Trovi questa
analisi su vari libri...
Ciao, Valter
PS. Giorgio, ho provato a non metterte degli  "a capo", vediamo cosa
esce...

ivan ha scritto:

Il punto è che non è vero che l'elettrone "o passa dalla prima
fenditura o passa dalla seconda", finchè non viene osservato (vicino
alle fenditure). Infatti, quando invece viene osservato, la figura
d'interferenza sparisce!
In tal caso ciò che si osserva sullo schermo è esattamente ciò che
risulta da P(A) + P(B), ovvero la sovrapposizione di due macchie
luminose, esattamente come nel caso di proiettili invece che luce, o
come nel caso di luce, o comunque radiazione elettromagnetica, con
lunghezza d'onda molto più piccola delle più piccole dimensioni delle
fenditure.
Es: fenditure di apertura e spaziatura 5 mm, e lunghezza d'onda 0.5
micron = 0.0005 mm (luce visibile); fenditure di apertura e spaziatura
0.01 mm e lunghezza d'onda 1 nm = 0.001 micron = 0.000001 mm (raggi X).
In questi casi, se lo schermo è a distanze dell'ordine del metro
dietro le fenditure, non si osserva alcuna interferenza.

 Ciao, Valter
Hai scritto cose interessantissime su cui non avevo mai riflettuto...
Potresti suggerire qualche testo leggibile che tratta l'argomento (e in
generale i fondamenti matematici della MQ)?
 
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


Ciao,
la cosa più elementare che conosco sono  il capitolo 7
delle mie dispense sui fondamenti matematici della MQ
che ho scritto qualche anno fa e mai completate
(le completerò quando riterrò il corso)
Sono le ultime che trovi alla pagina:
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
Esistono testi classici ben noti. Primo fra tutti quello
di von Neumann sui fondamenti matematici della MQ
ma c'è anche quello di Mackey, i titoli che non mi ricordo
sono sempre gli stessi "Mathematical Foundations of
Quantum Mechnics" o  roba simile. Li trovi nelle biblioteche
universitarie.
Ciao, Valter

 
Ciao Walter
Quell'aggettivo tranquillizzante che hai messo all'inizio delle tua 
risposta, alla fine della lettura ha incominciato a farmi paura.
Figuriamoci se le cose fossero state appena appena complesse.
Spero che la tua risposta sia giovata a molti. 
Per me, studente dell'ultimo anno di liceo, è comunque servita a farmi 
intuire quale comlessità ci sia dietro alle cose di fisica. Questa 
sensazione contrasta un poco con l'idea di estrema semplicità e di 
immediatezza che pensavo si associasse sempre ai grandi concetti fisici.
Ma forse si tratta solo di mia ignoranza abissale.
In fondo un analfabeta non può capire la bellezza di un romanzo.
Grazie, comunque
Ivan

ivan ha scritto:

Ciao, mi dispiace ma non sapevo che fossi "solo" uno studente di Liceo,
visto l'osservazione acuta che hai posto...  Non devi deprimerti
perché hai intuito una cosa che normalmente non intuiscono molti
(anche bravi) studenti di fisica e anche dopo aver studiato la
meccanica quantistica all'università. Riguardo al formalismo, non ti
preoccupare, se studierai fisica e se ti interessarà (vedi però  la
precisazione sotto) ne masticherai anche molto di più di qul poco che
ho usato io...
Comunque NON mentivo: ti ho detto le cose elementari, pensando che
fossi uno studente universitario con qualche conoscenza di base della
MQ (spazio di Hilbert, stati, osservabili),
dovresti "rinormalizzare" la tua impressione partendo da questo punto
di vista (lo farai tra qualche anno se studierai fisica e le cose che
ho scritto non ti sembreranno più tanto oscure
).
Però devo fare una precisazione molto importante: le cose di cui ho
parlato io riguardano la _rigorizzazione matematica_ di una certa
situazione che nasce dalla _fisica della meccanica quantistica_ ,
(pensavo fosse quello il senso della tua domanda), in pratica parlavo
più di "fisica matematica" che non di fisica. Per occuparsi di
meccanica quantistica NON serve assolutamente masticare "reticoli",
misure di Gleason e tutto il resto. Però se vuoi dare un senso
_preciso_ alla risposta alla domanda: ma la nozione di probabilità che
si usa in meccanica quantistica è la stessa che si usa "comunemente"?
E vuoi andare oltre l'osservazione che hai fatto tu (o quelle di quel
genere), un pò di formalismo le devi usare altrimenti non si riesce a
ragionare. Il linguaggio tecnico della matematica applicato alla fisica
quando usato a proposito, serve solo perché è chiaro e non ambiguo.
Un ultima cosa per metterti in guardia: L'estrema semplicità e
immediatezza che si dovrebbe associare ai concetti fisici è una
chimera, semplicemente NON esiste. In fisica le cose semplici  sono
tali solo dopo che le hai capite in senso tecnico. Capire cosa sia un
sistema di riferimento inerziale, il cardine della meccanica classica,
è una delle cose più difficili della fisica classica: né semplice,
né intuitivo  e nemmeno immediato ! Le idee importanti della fisica
sono spesso alla fine di un cammino contorto, durato decenni se non
secoli, molto spesso contro il senso comune dell' "evidenza" apparente
e contro lo stesso linguaggio comune. Senza gli strumenti concettuali
adatti (la cui misura dipende anche dal gusto personale) ed il
linguaggio adegueato è impossibile districarsi.
Per esempio, quando ero studente al liceo, si parlava spesso nella
divulgazione della fisica,  di "teorie unitarie" per descrivere le
"forze fondamentali". Io mi ero fatto delle idee sul significato di
qull'aggettivo "unitarie" pensando all'unìficazione delle forze e roba
simile. Poi da studente universitario ho cominciato a capire l'abbaglio
madornale basato sul significato nel liguaggio comune di "unitario"...
E' vero, come hai scritto tu, che in fondo un analfabeta non può
capire la bellezza di un romanzo, ma è anche vero che per leggere un
romanzo che pensa essere interessante, un analfabeta impara  a leggere.
Dai tuoi interventi sul NG credo che questo esempio calzi molto di più
il tuo caso.


 dietro le fenditure, non si osserva alcuna interferenza.
Non mi pare che gli esempi siano pertinenti, e infatti hai dovuto anche
dare un limite alla distanza dello schermo...
La questione e' se le due onde diffratte dalle due fenditure sono
coerenti o no.
Il dispositivo che determina da quale fenditura la particella e'
passata, distrugge la coerenza (ma questo non e' cosi' ovvio...)
 
-- 
Elio Fabri

 la spieghi nel seguito.
... non saprei cosa dirti è roba, oggi, abbastanza standard.
Vuoi dire che non hai mai sentito parlare del teorema di Gleason?
O dei  lavori successivi di Piron  ed altri (guarda per esempio
http://plato.stanford.edu/entries/qt-quantlog/
)
Ti avverto però che, come sai bene non ho più  tempo come una volta
discutere su cose così complesse, anche se ne avrei voglia.
...Qualcosa lo trovi anche da qualche parte sul libro a cura di G.
Boniolo
 "Filosofia della fisica".
Ciao, Valter

 (a metà della pagina)
Tempo fa scaricai il filmato bolognese, nella versione in inglese, da 
qui:
http://www.lamel.bo.cnr.it/educational/educational.html
Purtroppo oggi il link non funziona.
Spero che qualcuno possa proporre un link utile per vedere e scaricare 
il
film.
Quindici anni piu' tardi rispetto ai bolognesi, l'esperimento fu 
ripetuto
alla Hitachi nel 1989.
Qui c'e' la descrizione dell'esperimento giapponese:
http://www.hqrd.hitachi.co.jp/em/doubleslit.cfm
Il loro filmato puo' essere visto e scaricato qui:
http://www.hqrd.hitachi.co.jp/em/movie/doubleslite-n.wmv
 

 
http://plato.stanford.edu/entries/qt-quantlog/
)
Fino al teorema di Gleason ci arrivo. Piron invece non lo conosco.
Ma io volevo dire una cosa diversa.
Non mi pare che ci sia bisogno di una "diversa" teoria di
probabilita': le procedure standard ed elementari della m.q. sono
sufficienti per ogni applicazione. Ripeto, anche su questioni di
fondamenti.
Forse non riesco a spiegarmi bene, ma a mio parere insistere su questa
idea di una "diversa" probabilita', specie con chi non e' addentro
alle cose, mi sembra che rischi piu' che altro di confondere le idee.
Trovo piu' utile mettere subito in chiaro che la struttura base in
m.q. sono ampiezze, prodotti scalari, elementi di matrice, o come
preferisci: le probabilita' non sono oggetti primari (stavo per
scrivere "primitivi").
Peccato che tu non abbia tempo, ma c'e' poco da fare...
 
-- 
Elio Fabri


Ciao, oggi è domenica è qualche minuto libero ce l'ho :-)
Capisco quello che vuoi dire.
Però la persona che ha fatto la domanda ha intuito qualcosa di
interessante e, visto tutto quello che si è detto in letteratura,
sarebbe stato veramente "immorale" dirgli che tutto è OK e il probelma
posto è falso, ovvio o facilmente risolvibile, dato che ci sono vari
punti di vista proprio su quell'argomento a livello di fondazione della
MQ.  *Certo se avessi saputo che era uno studente di scuola superiore,
e non uno studente di università che si facesse delle domande su
quello che aveva da poco appreso, avrei detto cose ben diverse*.
Dal punto di vista didattico mi pare di essere d'accordo con te: e'
vero che quando si impara la MQ, è meglio vederla come dici tu ed è
anche vero che l'uso di misure di probabilità generalizzate non è
_obbligatorio_ per formulare la MQ.
Però, andando avanti, specie se uno si occupa di fondamenti, ma anche
di teoria della misurazione quantistica oppure di sviluppi ulteriori
della MQ, fissarsi con gli strumenti che si usano nella una
formulazione elementare, invece di mirare alla struttura fondamentale
nel modo più sintetico possibile, mi pare un pò troppo riduttivo.
C'è un altro motivo, un pò più didattico, per cui l'approccio che ho
citato mi è piaciuto subito (in pratica l'ho riscoperto in gran parte
da solo cercando di sistemare, per uso personale, le idee fondamentali
della MQ).
Quando ero studente, lo scoglio maggiore che incontrai e che
incontrarono i miei colleghi, fu quello della nozione di osservabile
data da un operatore autoaggiunto: era troppo astratto e troppo "ad
hoc". Si tratta di una nozione apparentemente molto distante dalla
nozione di grandezza osservabile in fisica classica. Invece non è
cosi, se si guarda la cosa dal punto di vista delle misure di
probabilità. Dal punto di vista classico le proposizioni elementari
sono una classe di insiemi (per esempio di Borel) sullo spazio delle
fasi: ogni proposizione caratterizza un insieme sul quale è verificata
(all'istante considerato). Se e solo se lo stato del sistema a
quell'istante è nell'insieme, allora la proposizione è verificata...
poi le proprosizioni si compongono con i connettivi che corrispondono
alle operazioni tra insiemi e tutto questo è naturale e converge verso
la nozione di sigma algebra.
Gli stati sono quindi misure di probabilità di Dirac sullo spazio
delle fasi. Per fare la meccanica statistica basta sostituire queste
misure di Dirac con misure date da densità di Liouville...
Le osservabili classiche sono funzioni  (abbastanza regolari: continue
o, più debolmente misurabili) dallo spazio delle fasi F a R. Si vede
facilmente che ogni funzione f : F -> R del tipo detto è in
corrispondenza biunivoca con la classe degli insiemi di F
E_{[a,b)} = f^{-1}([a,b))
cioé alla classe di proposizioni
"la misura di X cade nell'intervallo [a,b)" al variare di tutti gli
intervalli.
Ognuna di queste classi  ricostruisce biunivocamente la funzione f: F
-> R con una specie di integrazione... La stessa cosa accade il MQ,
solo che ora la funzione f risulta essere un operatore autoaggiunto e
la procedura per costruire f è ora il teorema spettrale... non entro
nei dettagli, ma sono relativamente semplici (si possono illustrare
banalmente agli studenti nel caso finitodimensionale)...
Ciao, Valter