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Titolo: risoluzione equazione di Schrodinger in un cristallo semiconduttore!

Salve a tutti,il mio quesito è il seguente: premesso che per calcolare la
funzione di distribuzione di un elettrone in un cristallo si utilizza
l'equazione di Schrodinger ricondotta al caso stazionario ed al caso di un
elettrone intrappolato
in una buca di potenziale il cui andamento è definito dalla funzione
V(x,y,z),e che la condizione di normalizzazione nonchè quelle al contorno
impongono ai valori possibili di energia dell'elettrone di appartenere ad un
insieme discreto,quello che mi chiedo è molto semplice:poichè gli
autovalori dell'equazione di Schrodinger (i valori di E) e le corrispettive
funzioni d'onda per l'elettrone (autofunzioni) vengono a dipendere
dall'andamento del potenziale V all'interno del cristallo (ovviamente
periodico nello spazio),se si vogliono conoscere tali autovalori,nonchè le
corrispettive autofunzioni,bisogna risolvere l'equazione di Schrodinger e
quindi conoscere l'andamento del potenziale V
nel cristallo!(nonchè le relative condizioni al contorno!).Ecco,quale
sarebbe l'andamento del potenziale relativamente a
cristalli come il Silicio,il Germanio,il GaAs che permette di risolvere
l'equazione di Schrodinger?E perchè?
Grazie in anticipo per eventuali risposte!
P.S. equazione di
Schrodinger: -h^2/(8*pigreco^2*m)*(d^2psi/dx^2+d^2psi/dy^2+d^2psi/dz^2)+V(x,
y,z)*psi=E*psi dove psi=psi(x,y,z,t) autofunzione o funzione d'onda!

 y,z)*psi=E*psi dove psi=psi(x,y,z,t) autofunzione o funzione d'onda!
 Per cominciare consideriamo il caso di elettroni non interagenti
(s'intende "non interagenti fra loro"). In questo caso il potenziale
sentito da un elettrone e' dato solamente dalla somma dei potenziali
coulombiani di interazione tra i nuclei e gli elettroni. Per un singolo
nucleo di carica Z sito nella posizione R il potenziale generato nel
punto r e' v(r) = -Ze^2/|r-R| (unita' di Gauss; si intende che r e R
sono vettori). Il pot. cristallino totale V(r) e' la somma di tutti i
v(r). Normalmente si assumono condizioni al contorno periodiche. (Nota
che per poter scrivere l'eq. di S. come sopra bisogna gia' avere fatto
l'approx di Born-Oppenheimer di separazione del moto ionico da quello
elettronico).
 Se gli elettroni sono interagenti, invece, il discorso si fa molto piu'
complesso e non e' in generale possibile trovare una forma esplicita per
V, che comunque rimane periodico (a T=0). La soluzione di solito
adottata e' di scrivere V come somma del pot. ionico piu' un potenziale
risultante dall'interazione "media" (in un senso da definire: si tratta
comunque di un'approssimazione) di un elettrone con tutti gli altri:
quindi V contiene le psi. L'eq. di S. diventa dunque un'equazione non
lineare che si puo' risolvere con metodi iterativi: in pratica, si cerca
di indovinare V, lo si usa per calcolare le psi, si usano queste per
calcolare un nuovo V, e via ripetendo finche' - si spera - V e psi
convergono.
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Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it:6163/~esmargia

 y,z)*psi=E*psi dove psi=psi(x,y,z,t) autofunzione o funzione d'onda!
 Al mio altro messaggio vorrei aggiungere che una eq. di S. cosi'
scritta e' una eq. a singola particella e percio' a rigor di termini NON
si puo' applicare ad el. interagenti. In particolare, non esiste un
potenziale V. Per poterlo definire in questo caso e' necessario fare le
approssimazioni di "media" cui accennavo.
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 V, che comunque rimane periodico (a T=0).
Ho capito,ma allora se le cose stanno così,non esiste una soluzione
analitica oppure anche se non analitica,esatta per l'equazione di
Schrodinger(poichè anche se siamo nel caso di elettroni non interagenti,od
in tale approssimazione,il potenziale dato da quella sommatoria non è
facilmente calcolabile,e tantomeno utilizzabile per risolvere
l'equazione),allora mi sorge spontaneo un dubbio,i grafici che rappresentano
l'andamento dei valori possibili dell'energia dell'elettrone(autovalori
dell'equazione di Schrodinger) in funzione di k (vettore nello spazio del
reticolo reciproco scalato o vettore di propagazione) in un cristallo,sono
stati ottenuti solo sperimentalmente oppure hanno avuto anche riscontro dai
risultati della meccanica quantistica?Perchè se non è possibile trovare una
soluzione esatta all'eq. di S. e cioè non è possibile determinare con
precisione le sue autofunzioni,questo si dovrebbe ripercuotere anche sui
corrispettivi autovalori,dico bene?

 risultati della meccanica quantistica?
 Anche calcolati. Al giorno d'oggi, nella maggioranza dei casi e' un
calcolo di routine.
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Ho capito!Ti ringrazio,sei stato piů che esauriente!A proposito,non č che mi
potresti suggerire (in via del tutto facoltativa) un'accurata bibliografia
dove approfondire la parte dedicata alla parte di cui sopra (cioč il calcolo
di E(k))?
Grazie ancora!