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Titolo: Operatore aggiunto

Quale e' l'importanza di introdurre l'operatore aggiunto di un dato
operatore f, che corrisponde ad una data grandezza fisica, nell'apparato
formale della Meccanica Quantistica ?
Mi chiedo questo perché le grandezze fisiche complesse realmente non
esistono (almeno credo), ed inoltre per dire che un operatore corrisponde ad
una grandezza fisica reale basta dire che e' hermitiano, non posso fare a
meno di dire che e' anche auto-aggiunto ?
Grazie, Ciao

 ha scritto nel messaggio
news:a72jie$3mt$2...@lacerta.tiscalinet.it...

L'autoaggiunzione serve per avere il teorema di sviluppo spettrale,
e questo per dare senso all'idea della completezza della decomposizione,
l'hermiticita` non e` sufficiente.
Ciao, Valter

Ciao,
gli operatori autoaggiunti sono i soli ad avere una base completa di
autovettori ortonormali a cui corrispondano autovalori reali. Non e'
sufficiente che un operatore sia Hermitiano perche' cio' sia vero.
Non ho mai capito profondamente le ragioni matematiche per cui vale
questo teorema. Ad ogni modo spiego quello che ho capito.
Un operatore Hermitiano non e' necessariamente "densamente definito";
i.e. il suo insieme di definizione non e' denso nello spazio di Hilbert. 
Ne segue (credo) che esiste un vettore per il quale l'operatore non e'
definito e che e' ortogonale a tutti i vettori per cui l'operatore e'
definito; quindi questo vettore e' perpendicolare a tutti gli
autovettori dell'operatore.
Se faccio una misura, per avere le probabilita' di ottenere i vari
risultati
devo proiettare il vettore dello spazio di Hilbert sugli autovettori
dell'operatore considerato, ma se sono nel vettore perpendicolare a
tutti gli autovettori trovo che la probabilita' di ottenere un qualunque
risultato e' zero; questo non ha senso fisico, quindi non si puo'
semplicemente dire che un operatore deve essere Hermitiano perche'
rappresenti una grandezza fisica.
Per concludere, se un operatore Hermitiano T e' densamente definito,
allora e' "simmetrico": ammette l'aggiunto (chiamiamolo T*); T* coincide
con T per i vettori per cui T e' definito, pero' T* potrebbe avere un
dominio piu' grande del dominio di T. Se anche i domini coincidono,
allora T e' "autoaggiunto" e  puo' rappresentare una grandezza fisica
(non so se poi tale grandezza esista per forza!). Se non coincidono (se
il dominio di T* e' piu' gande del dominio di T) puo' esistere
un'estensione di T, T', tale che T' coincida con T'* (il suo aggiunto),
o puo' non esistere. 
Mi piacerebbe vedere un esempio di operatore simmetrico non autoggiunto
ma con estensione autoaggiunta: non mi viene in mente niente.
         Ciao, Giovanni

          Ciao, Giovanni
Ciao, prendi semplicemente l'operatore i x derivata che
agisce
sulle funzioni Cinfinito a supporto compatto di R: e`
simmetrico, 
ma non autoaggiunto ed ammette un unica estensione
autoaggiunta.
Se prendi il laplaciano su R^2 senza l'origine e usi come
dominio le funzioni C infinito a supporto compatto con
supporto
che non include l'origine, hai un operatore simmetrico non
autoaggiunto che ammette *infinite* estensioni autoaggiunte.
Ciao, Valter
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 Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
 
mor...@science.unitn.it
 
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 ha scritto nel messaggio
news:a72jie$3mt$2...@lacerta.tiscalinet.it...
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Quale e' l'importanza di introdurre l'operatore aggiunto di un dato
operatore f, che corrisponde ad una data grandezza fisica, nell'apparato
formale della Meccanica Quantistica ?
Mi chiedo questo perché le grandezze fisiche complesse realmente non
esistono (almeno credo), ed inoltre per dire che un operatore corrisponde ad
una grandezza fisica reale basta dire che e' hermitiano, non posso fare a
meno di dire che e' anche auto-aggiunto ?
Grazie, Ciao

 > formale della Meccanica Quantistica ?
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Guarda un po` questi:
[cut]
ciao, cosa ne pensi del libro di von Neumann "I fondamenti matematici della
meccanica quantistica"? voglio dire, a parte il valore storico dell'opera ha
senso studiare oggi su di essa o un testo piu' moderno e' preferibile come
prima (o seconda) introduzione? lo chiedo perche' da non molto ho visto in
libreria una bella edizione in italiano commentata da Boniolo e quasi
quasi...
grazie, Lorenzo