Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Red-shift gravitazionale

In base alla teoria, la frequenza f di un fotone che si allontana
verticalmente dalla superficie terrestre di una distanza "dz"
dovrebbe diminure di una quantita' data da df/f=-gdz/c^2. Questa
formula si puo' dedurre a partire dal Principio di Equivalenza e
chissa' in quanti altri modi "corretti". 
Ma si puo' anche dedurre "scorrettamente", col classico ragionamento
di attribuire al fotone una massa in base alle relazioni 
energia-frequenza-massa (E=hf, E=mc^2, etc)).
Secondo questo ragionamento, il fotone perderebbe un' energia dE pari
al lavoro fatto per salire nel campo gravitazionale (-m*g*dz); posto
m=hf/c^2, si avrebbe dE=-hf/c^2 dz, da cui la relazione 
df/f=-gdz/c^2.
Quello che mi chiedo e' il seguente: come mai, benche' concettualmente
errato, il metodo porta allo stesso risultato? Forse perche' e', in
fondo, una specie di argomento dimensionale (e dunque un eventuale
fattore 2/5 lo avremmo perso), o c'e' qualcosa di piu' profondo? 
Michele
-- 
Signature under construction. 

Michele Andreoli ha scritto:

Questione interessante, perche' unpunto delicato dal punto di vista
didattico, quando sicritica la dimostrazione "scorretta' e' che si
puo' obiettare : "ma se torna giusta, come fa a essere scorretta?"
Ora e' vero che una deduzione sbagliata puo' anche portare a una
conclusione giusta, ma la critica resta comunque debole e poco
convincente (temo).
Direi che la questione dimensionale non c'entra: qui le cose tornano
bene col fattore giusto, e non e' un caso.
Mi pare che la risposta possa essere questa: che in ultima analisi la
dimostrazione scorretta e'una scorciatoia (scorretta, appunto) del
ragionamento corretto, quello fatto facendo salire e scendere un corpo
che riceve e poi restituisce l'energia del fotone.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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ragionamento corretto
Sono totalmente d'accordo col Prof. Fabri su questo punto.
Anzi ti dirò di più, la stessa cosa avviene se vuoi calcolare
ad esempio il raggio di Swarzchild, o la cosiddetta "densità critica" dell'
Universo. Ovvero, usando una strada "errata" (la meccanica classica) giungi
alle giuste conclusioni. 
Penso tuttavia che i risultati ottenuti per questa via, siano in qualche
modo più sensibili alle generalizzazioni. Mi spiego meglio.  
Il raggio di Swarzchild ricavato dalla relatività è uguale a quello ricavato
dalla meccanica classica se e solo se il buco nero è ad esempio, non
rotante. La densità critica dell'Universo si può altresi calcolare con la
meccanica classica, soltanto ricorrendo a simmetrie-postulati dei quali la
teoria della relatività non ha bisogno. 
Insomma, la "strada giusta" da seguire, è quella che per definizione
richiede meno postulati per giungere ad una specifica soluzione. 
Cosicchè nulla vieta che la meccanica classica possa giungere a risultati
uguali a quelli della relatività, soltanto che i primi si riferiranno ad
una fenomenologia più ristretta, ed avranno bisogno di postulati che
soltanto "col senno di poi" è possibile utilizzare.
Prof. Fabri è d'accordo? Se dice di si mi faccio monaco e vendo tutto ai
poveri. :-)
Pasquale

fattore 2/5 lo avremmo perso), o c'e' qualcosa di piu' profondo? 
la questione è stata studiata sperimentalmente da 
R. V. Pound e G. A. Rebka,Jr.,Phys.Rev. Letters 4, 337 (1960)
dove è stato trovato un ottimo accordo, con la formula scritta sopra.
Se poi tale formula si può ricavare nell'ambito di un modello
semiclassico, ci possiamo solo rallegrare.
La domanda è a questo punto:
In quali altri casi si può usare questo modello
semiclassico e perchè?
Ciao
Agatino

corpo che riceve e poi restituisce l'energia del fotone.
Ricordo d'averla vista questa dimostrazione basata sulla massettina
ausiliara; quel tipo di dimostrazioni, dal sapore un po' artificioso,
dove le cose scendono, poi salgono, poi riscendono ... e che
invariabilmente dimentico o non capisco :-)


 "scorretto" in altri ambiti.
Usiamo il termine "corretto" con due significati diversi. Dovremmo
usare sia "corretto" che "attinente ai fatti". La Matematica
dev'essere solo corretta, ad esempio. La Fisica anche "attinenti ai
fatti". La Poesia, ne' quello ne' quell'altro (e meno male).
Per come lo uso io questo termine, la Meccanica di Newton e' 
"corretto" ma fornisce risultati "sbagliati" (o meglio dire: e'
attinente ai fatti solo in maniera approssimata). La deduzione del
red-shift che ho dato prima e' "scorretta" nel metodo, ma "giusta"
nel risultato (vedi nota*)
Siamo quindi nel campo della rabdomanzia, della magia, non della
Scienza: possiamo trovare l'acqua facendo vibrare il bastoncino, ma
solo se sappiamo in anticipo dov'e' l'acqua.
Michele
(*) Inoltre, il metodo "corretto" e' in grado di predire anche i
termini correttivi addizionali in potenze di 1/c; a differenza del
metodo "scorretto". E questo puo' fare la differenza.
-- 
Signature under construction. 

 stesso risultato?
sei sicuro che sia concettualmente errato?
Non voglio invocare il principio di autorità,
ma lo usa anche Wolfgang Rindler nell'esercizio
10 del cap. 7 a pagina 268 del suo "Essential Relativity"
(revised 2nd ed., 1979).
Per una critica al metodo vedi:
L.B. Okun and K.G. Selivanov,
V. L. Telegdi
< On the interpretation of the redshift
in a static gravitational field >
American Journal of Physics
febbraio 2000, volume 68, p. 115 -- 119
riassunto on line:
http://makeashorterlink.com/?L1EC2234A
(mettendo i dati nei riquadri).
Ciao e buona lettura
Corrado

 semiclassico e perchè?
Gia': per es. perche' per la deflessine non funziona?
Hai una risposta *interna* al tuo "modello"?
Ovviamente no, e questo secondo me taglia la testa al toro.


 Mi e' sembrato alquanto confuso.
Non so se e' confuso, ma "mi ha confuso"  si. Ad un certo punto dice:
    "...the energy (frequency) of the photon is conserved as it  
propagates in a static gravitation field  ... "
Che significa? Che il fotone si muove di moto libero??


 10 del cap. 7 a pagina 268  ...
"Peggio per lui", direbbe qualcuno ben noto su questo newsgroup  :-)
Michele
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Signature under construction. 

 principale, aprendo sottothread...
IMHO chi apre in continuazione sottothread inutili dovrebbe essere
totalmente ignorato, a prescindere dalle cose che dice, altrimenti non si
capisce piů nulla.
Saluti,
Aleph
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it




Si`, e` liberamente gravitante.
Lo spazio-tempo si dice stazionario se.. li hai fatti i
campi di Killing?
Lo spazio-tempo si dice statico se la varieta` V_4 e`, sia
stazionaria, sia tempo-ortogonale.
La motivazione di questa denominazione e` dovuta al fatto
che la geometria delle piattaforme spaziali Sigma, normali
all'asse temporale, e` invariante nel tempo.
La trattazione dello spostamento verso il rosso io la
conosco solo per questo caso di spazio-tempo.
Lo studio del moto di un fotone e` fatto pari-pari come
per le normali particelle: teoria unificata, quindi e`
molto significativo perche' risulta inserito in modo del
tutto naturale nel contesto della RG.
Se ti interessa fammi un fischio che vado avanti, ma bada
che ci metto la massa relativa del fotone neh;-)) insieme
alla sua energia totale relativa H: H=Ee^(-U/c^2)=cost.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 alla sua energia totale relativa H: H=Ee^(-U/c^2)=cost.
 
Soprattutto aiutami a metabolizzare come fa il fotone ad avere la
stessa energia, ma impulso decrescente, se puoi. Grazie.


si capisce piů nulla.
Ma questi non sono sottothread, sono le risposte di piu`
di un solo personaggio; e ci mancherebbe che potesse
rispondere solo il primo che lo fa.
Un sottothread invece e` quando si cambia argomento,
anche parzialmente.
Il fatto - tipico di isf - di inglobare le risposte a piu`
post/personaggi in un unico post ha il solo svantaggio che
chi non ne e` al corrente puo` smirare il post, cioe` non
accorgersi di aver ricevuto risposta.
Ma anche molti vantaggi..
Rimedio: basta leggersi _tutti_ i post di chi ha
quest'abitudine agglutinante:-))


 rispondere solo il primo che lo fa.
...
Al solito non hai capito :)) (devo ammettere comunque di non essermi
spiegato troppo bene): mi riferivo ad Agatino non a Fabri!
E' Agatino che ha l'antipatica abitudine di aprire nuovi thread (il
termine sottothread č effettivamente sbagliato) con lo stesso *identico*
nome di thread precedenti e ancora in svolgimento, vedi ad es. la
discussione presente e quella denominata "Quadrivolume". 
E' per censurare questo comportamento (di Agatino) al di fuori di ogni
regola di netiquette che sono intervenuto. 
Del resto un post di Cocciaro di qualche giorno fa, diretto anche ai
moderatori, lamenta esattamente questo fatto:
"Innanzitutto vorrei esprimere il mio disappunto per il fatto che
recentemente si sia diffusa, da parte di alcuni utenti (Agatino, Bruno e
ora Roby), la antipaticissima, nonche' scomoda, pratica di spezzare i
thread.
Ritengo la cosa decisamente irriguardosa nei confronti degli altri utenti e
personalmente mi augurerei un intervento da parte dei moderatori per porre
rimedio alla cosa (incidentalmente tutti e tre questi utenti oltre ad usare
questa pratica, sono comparsi di recente, hanno le stesse opinioni riguardo
all'uso della parola "massa" in relativita' ... strane coincidenze).";
risposta di Venier:
"...2) Da un punto di vista dell'educazione perň Bruno ha ragione al 100%,
il comportamento di chi spezza i threads č per lo meno da cafoni.
3) Come risolvere il problema? A mio parere semplice: evitate di
rispondere agli "spezzoni". Se rispondete attaccate le risposte al thread
originale e ignorate gli spezzettamenti. Cosě i "colpevoli" o impareranno
o si ritroveranno a parlare da soli."


 particella, questa E comprenderebbe dunque l'mgh.
Si' c'e' in ballo anche questo...
Ma vediamo bene.
Partiamo dalla definizione variazionale di geodetica, che dovresti
conoscere: curva che rende estremale il funzionale
\int g_{ab} dx^a/ds dx^b/ds.
Nota: scrivo a, b per intendere alfa, beta, e scrivo s per il
parametro affine, che piu' spesso viene indicato con lambda. Ma qui le
lettere greche sono una noia...
Questa definizione vale anche per le geodetiche di tipo luce, che sono
quelle che ci servono.
Come dovresti sapere, le geodetiche di tipo luce hanno pero' una
particolarita': che non c'e' una scelta "naturale" del parametro
affine, come accade per le altre.
Per quelle di tipo tempo si prende il tempo proprio, e allora il
vettore q-velocita', definito con u^a = dx^a/dtau, soddisfa
u^a u_a = 1. Poi hai la massa (invariante), e quindi il 4-impulso
p^a = m u^a.
Invece per la luce avremo sempre u_a u^a = 0, essendo u^a = dx^a/ds, e
u^a resta definito a meno di una costante moltiplicativa.
Questo ha la conseguenza che il q-impulso e' indefinito: lo puoi
identificare con la q-velocita', ma resta sempre il fattore
arbitrario.
Il che da un lato ci salva, perche' cosi' possiamo avere fotoni di
q-impulso qualsiasi...
Torniamo alla geodetiche: se lo spazio-tempo e' statico, e se x^0 e'
la coordinata temporale, il teorema di Noether ti dice che lungo ogni
geodetica resta costante g_{0b} u^b.
Ed ecco il punto: Okun et al. chiamano questa "energia", per l'ovvia
ragione che e' il momento coniugato alla coord. x^0, che e' il
"tempo".
Quando dicono che l'energia di un fotone si conserva intendono questo,
ma a mio parere non e' un bel modo di esprimersi.
Tu giustamente resti col dubbio che allora l'energia di un fotone non
sia piu' h\nu...
Per capire che cos'e' l'energia, e che cos'e' l'impulso, bisogna
introdurre un altro attore: il sistema di riferimento (sia pure
locale).
In termini matematici, significa scegliere, in un dato punto dello
spazio-tempo, una base ortonormale {f_a} nello spazio tangente:
(f_a.f_b) = \eta_{ab} (\eta sai che cos'e').
Ho usato il simbolo f per riservare {e_a} alla base associata al sistema
di coordinate: quella che soddisfa (e_a.e_b) = g_{ab}.
In linea di principio non c'e' nessuna relazione obbligata tra le due
basi, ma per il nostro scopo ci conviene che il riferimento sia
"fermo", ossia che la base {f_a} abbia f_0 parallelo a e_0; e allora.
se la metrica e' diagonale, tanto vale prendere anche gli altri
vettori paralleli: f_1 con e_1, ecc.
Si vede che deve essere
f_0 = (g_{00})^{-1/2} e_0.   (1)
A questo punto definisco energia e impulso: semplicemente chiamo
"energia" E la componente 0 e "impulso" la parte spaziale del
q-impulso, *rispetto alla base {f_a}.*
(Nota che in questa base p_0 = p^0.)
Dunque E = (p.f_0) = p_0 (g_{00})^{-1/2}.  (2)
Ora e' chiaro che cosa succede: se prendo due diversi punti A e B
sulla geodetica di tipo luce, avremo lo stesso valore per p_0 nei due
punti, se p_0 indica la componente rispetto alla base coordinate {e_a};
ma se invece voglio calcolare l'energia, avro' per le (1), (2)
E(A) (g_{00}(A))^{1/2} = E(B) (g_{00}(B))^{1/2}.
Dunque l'energia cosi' definita (che e' quella che uno sperimentale
misura) *non e' costante*.
Da qui tiri subito fuori il redshift, ecc.


 signature under construction
pazienza, aspetteremo :-)
bye
Corrado

stessa energia, ma impulso decrescente, se puoi. Grazie.
Nel teorema dell'energia ci sono termini che dipendono
dalla deformazione del [fluido di] riferimento.
Questi termini sono nulli se la V_4 e` stazionaria.
Allora il teorema diviene:
(1)	dE/dT-E/c^2 dU/dT=0,
essendo T un opportuno parametro sulla linea oraria,
ed invece U il potenziale gravitazionale relativo.
[T sarebbe il tempo relativo standard, che e` m/m il
tempo coordinato t della RR]
La (1) si puo` riscrivere cosi`: dH/dT=0, da cui
l'integrale: H=Ee^(-U/c^2)=cost., cioe` appunto la
conservazione dell'energia.
Guarda se l'energia totale relativa H ti piace al
prim'ordine per una particella materiale:
H = m_0c^2 + 1/2m_0v^2 - m_0U
che si puo` leggere: l'energia totale e` data dalla
somma dell'energia di riposo, dell'energia cinetica
e dell'energia gravitazionale.
Per un fotone la (1) da`: ni=ni_0 e^[(U-U_0)/c^2]
che indica la dipendenza della frequenza dalla intensita`
del campo gravitazionale.
Infine, circa l'impulso decrescente.. boh, a me risulta
che il 4-impulso P e` caratterizzato dalla condizione di
parallelismo delle geodetiche: dP/dsigma=0, a patto che
sigma sia un parametro affine, dunque non sembra
decrescente:-)
Sara` l'impulso relativo: p^2=(E/c)^2, ma questo e`
chiaramente dipendente dal Riferimento come E=h*ni,
con la ni che ho scritto appena piu` su.


 che riceve e poi restituisce l'energia del fotone.
se non sbaglio anche nel calcolo dell'angolo di lensing gravitazionale
operando con un ragionamento newtoniano su un fotone massivo viene un
risultato identico alla trattazione RG a parte un fattore 2.
stesso discorso?
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 fattore 2. stesso discorso?
Per questo avevo pensato alle "concidenze dimensionali". Qualunque
teoria, anche la piu' strampalata, purche' dimensionalmente
consistente, avrebbe condotto allo stesso risultato, a meno di un
fattore.
Temo che sia proprio questa caratteristica della Fisica che incoraggia
gli "scopritori mascherati" a venire allo scoperto. Essi mescolano un
po' di grandezze fisiche prese qua  e  la' e, se il risultato
concorda con quello universalmente conosciuto, mettono su un sito web
per pubblicare la loro fantastica scoperta: la "nuova gravita'" con
le 4 operazioni, o "perche' Einstein aveva torto", la propulsione
non-newtoniana e via di seguito.


 tempo coordinato t della RR]
m/m sta per mutatis mutandis? E' una notazione ... standard?


 una inconsistenza.
Secondo me invece non si tratta di approssimazione, ma di paradigma.
Se dici che i fotoni perdono energia nel camo gravitazionale, sei in
pieno paradigma newtonianao: campo, energia potenziale, ecc.
La RG fa tutt'altro discorso, ed e' incompatibile con questo.
Naturalmente esistera' un pricnipio di corrispondenza: per campi
deboli e moti lenti la RG si deve ricondurre alla teoria di Newton.
Il fatto e' che i fotoni "dotati di massa" non sono ne' carne ne'
pesce: non li puoi trattare come corpi in moto lento, pero' gli vuoi
applicare il paradigma newtoniano.
E' per questo che ho parlato di "papocchio" :)


m/m sta per mutatis mutandis? E' una notazione... standard?
Dipende.. e` piu` standard me/medesimo;-))
[io e` di li` che l'ho presa in prestito]
Bada piuttosto che il tempo relativo standard T e` stato
batezzato cosi` dal Cattaneo, quindi usalo con cautela e
a tuo rischio e pericolo:)
Se lo si adotta e` un sogno, perche' svolge lo stesso
ruolo del tempo relativo t della RR ed allora nello spazio
tangente hai tutto gia` fatto e vai in automatica come se
appunto si fosse ancora in RR.


 pagamento, mentre quello di Okun-Telegdi  me lo leggo adesso.
Provo a sintetizzare l'articolo di Unruh (& Opat),
che peraltro è brevissimo (se ricordo bene una pagina
e mezzo, se non meno):
considera un orologio (= meccanismo che vibra
periodicamente o almeno secondo una legge
ben definita) con energia interna H; l'equazione
del moto (interno) è data dalla solita legge di
Hamilton:
dA / dt  =  [ A , H ]                    ( 1 )
dove la variabile dinamica A è la "cosa che vibra",
t = tempo, [  ,  ] = parentesi di Poisson (la mia
tastiera non ha le parentesi graffe).
Considera un secondo orologio identico al primo,
ma collocato a quota diversa; la sua energia
interna non è  H,  ma    H + ( H / c^2 ) V  =
=  H ( 1  +  V / c^2 ) , dove V è la differenza di
potenziale gravitazionale tra le due quote;
questo perchè all'energia  H corrisponde la massa
H / c^2   = carica gravitazionale (per il principio di
equivalenza) e quindi l'energia potenziale gravitazionale
V H / c^2.
L' equazione del moto ha ovviamente la forma ( 1 )
anche per questo secondo orologio, e tenuto conto
della modificata energia interna abbiamo:
dA/dt    =  [ A , H ( 1 + V / c^2 ) ] =
= [ A , H ] ( 1 + V / c^2 )                ( 2 )
immediata da verificare, dato che  V  non dipende
dalle coordinate canoniche (che sono legate unica-
mente alla dinamica interna dell'orologio).
Il confronto fra ( 1 ) e ( 2 ) mostra che i due
orologi non possono mantenersi sincroni,
perchè i loro tempi  t  (primo orologio)
e  t*  (secondo orologio) sono legati tra loro da:
t  =  t* ( 1 + V / c^2 )                  ( 3 )
Questo risultato è universale (cioè indipendente
dal tipo di orologio usato) perchè (secondo il
principio di equivalenza) la frase " 'energia H
ha carica gravitazionale H / c^2 "  è vera
indipendentemente dal tipo di energia considerata.
Mi sembra poi che il risultato di Unruh e Opat
si possa generalizzare, nel senso che possiamo
dire questo:
se ogni forma di energia possiede una certa carica X
(al posto di X metti un qualunque campo conservativo)
allora in quel campo si ha perdita di sincronia degli
orologi posti a potenziale diverso  <-----> spostamento delle
frequenze (non necessariamente un redshift) <---->
la componente tempo-tempo del tensore metrico
dipende dalla posizione.
In altre parole se ogni forma di energia avesse
(poniamo) carica elettrica, il campo elettrico sarebbe
descrivibile in modo geometrico (intendendo questo
nello stesso senso in cui diciamo che il campo gravitazionale
è "geometrizzato" dalla RG ). Questa "geometrizzazione"
del campo elettrico non si osserva, e probabilmente non
esiste; e se non esiste possiamo dire che l'energia è
elettricamente neutra, in altre parole la frase:
 " la carica elettrica di un corpo cambia se si fornisce
energia al corpo " è falsa; è invece vera se al posto
di "carica elettrica" scriviamo "carica gravitazionale"
cioè " massa ". Commenti?
Ciao,
Corrado

 viene spesso indicato con gamma.
Landau scrive d(t)/d(tau)=[ g00] ^ (-1/2). Ma, tempo assoluto, tempo
proprio, tempo relativo  e tempo di Cattaneo, in che relazione sono?
Non so cos'e' C, scusa; devo prima fare i compiti ...


 cioè " massa ". Commenti?
Stai dicendo che:  dando per buona l'equivalenza  massa/energia (per
ogni energia), se scoprissimo  l' equivalenza
energia/carica-elettrica (sempre per ogni energia), allora masse e
cariche sono equivalenti? 
Beh, allora non ci stupiremmo affatto che campi gravitazionali e campi
elettromagnetici possano finire insieme nel tensore metrico: sono la
stessa cosa! Il problema e'  dimostrare la clausola "per ogni forma
di energia". O il principio di equivalenza e' cosi' potente?
Michele
-- 
Signature out-of-order. 

 hai,
Ho quelle vecchie. Ora sto stampando afrel ed. 2003.


Non so cos'e' C, scusa; devo prima fare i compiti...
Te l'avevo scritto: e` il versore dell'asse 0.. ma lascia
perdere anche lui;-))



per fortuna vengono puntualmente smascherati.
cmq è bello che anche la scienza abbia degli eretici, no?


 V H / c^2.
Questo argomento non mi convince affatto.
Ricordo di aver discusso proprio su questo non molto tempo fa (forse
un mese) ma non ricordo il titolo del thread ne' il nickname di chi
aveva posto la questione. Si parlava del Gran Sasso...
Secondo questa interpretazione del PE, un corpo portato sul Gran Sasso
avrebbe massa maggiore, eccetera.
Non vedo proprio come lo si possa ricavare dal PE, e certamente
Einstein non lo ha mai detto.
Andro' a controllare l'articolo, ma sono piu' che sicuro che l'hai
riportato fedelmente. Hai mica visto se c'e' stata discussione?


 cmq è bello che anche la scienza abbia degli eretici, no?
Ma per avere eresia ci vuole un dogma, altrimenti  e'  piu' che altro 
presunzione o  stupidita'.


 geodetica resta costante g_{0b} u^b.
ecc ecc
Perche' valga quello che e' stato correttamente dimostrato da Elio
e' sufficiente che lo spaziotempo sia solo _stazionario_ cioe' che,
localmente  g_{ab} in coordinate opportune sia indipendente dalla coordinata
temporale x^0 (che deve essere di tipo tempo).
La richiesta di staticita' apparentemente usata da Elio e' piu' forte: richiede
anche che ci sia una ipersuperficie di tipo spazio ortogonale al campo di Killing,
cioe' in coordinate in cui mla metrica non dipende da x^0, che valga l'ipotesi
aggiuntiva g_{i0}=0 dove i=1,2,3.
Il fatto di usare spazitempo stazionari _ma non statici_ permette di
considerare situazioni fisicamente importanti sia per la "nonconservazione
dell'energia" sia per lo studio del red shift, in cui la sorgente del
campo gravitazionale "ruota" (metriche di Kerr) e in cui non esiste spazio di
quiete esteso ("osservatore rotante") e in cui non vale nemmeno
l'invarianza per inversione temporale...
Nel caso di metrica stazionaria ma non statica (p, e_0) e' comunque conservato
al variare del (di ogni) parametro affine lungo la geodetica, come conseguenza del
teorema di Noether (oppure dell'equazione di Killing rispetto al campo di Killing
e_0 e dell'equazione della geodetica).
Detto cio', ripetendo quanto ha detto Elio, definiamo l'energia  nel riferimento
di quiete con e_0 (vettore tangente alla curva coordinata x^0)
come
E = (p,f_0)
Il riferimento e' individuato da una quaterna di _versori_ f_0,f_1,f_2,f_3
_ortonormalizzati rispetto alla metrica di Minkowski eta_{ab}_
con il vincolo che f_0 sia parallelo a e_0 (e diretto verso il futuro),
ossia:
f_0 = e_0/(g_{00})^{1/2}
*attenzione, in generale ora, a differenza del caso statico,  i tre versori
spaziali f_1,f_2,f_3 che definiscono lo spazio di quiete del riferimento,
non potranno piu' essere scelti nel piano individuato da e_1,e_2,e_3*
come nel caso di spaziotempo statico.
In altre parole le superfici a tempo x^0 costante non appaiono
piu' "in quiete" con il riferimento di quiete con e_0.
Vale comunque immediatamente che:
E (g_{00})^{1/2} = (p,e_0)
che e' quindi conservato lungo la geodetica. Da cui segue quanto dice Elio.
Ciao, Valter
-------------------------------
Valter Moretti
Department of Mathematics
University of Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 di energia". O il principio di equivalenza e' cosi' potente?
no, il principio di equivalenza non prevede la condizione
( 2 ) , e secondo me se lo facesse vorrebbe dire che è falso:
questo perchè la ( 2 ) con a  =/= 0 non vedo come possa
concordare con le osservazioni. Considera questo:
il principio di relatività (anche solo in forma ristretta)
esige che la costante di proporzionalità  a  sia la stessa
in tutti i sistemi inerziali, quindi nel passaggio da un
sistema K a un altro K* , se è vera la ( 2 ) abbiamo la
legge di trasformazione
E* / q*  =  E / q
cioè, la carica elettrica si trasforma come l'energia.
Ma questa conclusione è clamorosamente in contrasto
con tutti gli esperimenti e le osservazioni sulle cariche
in movimento!
Ho trovato l'articolo di Unruh e Opat qui:
http://vigo.ime.unicamp.br/UO.pdf
Se non riesci a collegarti dimmelo e te lo mando
via e-mail.
Ciao,
Corrado

 Hai mica visto se c'e' stata discussione?
sull' American Journal of Physics  non ricordo
discussioni, ma potrebbeero essermi sfuggite.
In rete ho trovato questo:
http://www.ime.unicamp.br/~asaa/UO.htm
Se ci sono difficoltà di collegamento posso mandare
tutto per e-mail.
Bye
Corrado

 però oggi ho ritrovato l'articolo in rete:
Trovato in bilbioteca, fotocopiato e letto (e' una smilza
paginetta...).
E mi pare invece diverso da come l'avevi raccontato.
Solo che adesso non riesco piu' a trovarlo, cosi' vado a memoria...
Partono da un'ipotesi che sottolineano indip. dalla relativita': che
l'energia abbia peso: che ogni energia E contribuisca alla massa grav.
con un contributo aE (a costante non precisata).
Allora se H e' l'hamiltoniana che discrive i moti interni di un
"orologio" di massa M, quando portiamo l'orologio all'altezza z la sua
energia aumenta di (M + aH)*g*z, il che e' come dire che
l'hamiltoniana diventa H' = H*(1+a*g*z).
Da qui in poi il discorso procede come hai detto: le frequenza
dell'orologio viene moltiplicata per lo stesso fattore 1+a*g*z, ecc.
La RG entra solo nel fissare il valore di a=1/c^2.
Spero di averlo riportato fedelmente, ma non mi sento di dare un
parere: ci sono alcune cose su cui vorrei pensare.
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 La RG entra solo nel fissare il valore di a=1/c^2.
*Solo*, eh? Le parole esatte suonano ancora piu'  ... irriverenti vero
il PdE :
 
         "the only additional information supplied by these additional
principles is that the factor a is 1/c^2"
Da un articolo precedente di questo thread, mi sembrava di aver capito
che il fattore 1+agz e' solo un'approssimazione di Taylor del
risultato vero della RG (che contiene infatti una radice). Ci sono
infinite teorie che danno questi stessi primi termini dello sviluppo. 
In una di queste il fattore e' exp(a*g*z)   :-)
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 E mi pare invece diverso da come l'avevi raccontato.
me ne sono accorto, mi dispiace.
L'avevo letto anni fa e avevo completa-
mente cancellato dalla mente la prima parte.
bye
Corrado


 
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 Dove sbaglio?
Se commento dicendo "divertente" magari qualcuno (non tu) mi
rimprovera che non sta bene divertirsi sugli errori degli altri :)
Ma e' divertente perche' l'errore e' banale eppure riposto...
Semplicemente: quella Ec che tu hai scritto *non e'* una hamiltoniana!
Scrivila in coordinate canoniche, e riprova...
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 hamiltoniana! Scrivila in coordinate canoniche, e riprova...
Questa Ec?
                Ec=1/2 m (dh/dt)^2 + 1/2*k* h^2
A me sembra l'innocua energia dell' oscillatore armonico, cosa cambia
se introduco l'impulso canonico? In ogni caso, la deduzione delle
frequenze w^2 veniva fatta attraverso le forme quadratiche della
lagrangiana, piuttosto che dell'hamiltoniana.
Confesso che al momento non vedo dov'e' nascosto l'errore :-(
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 lagrangiana, piuttosto che dell'hamiltoniana.
Tu scrivi l'hamiltoniana come si deve, mettici il fattore
moltiplicativo che sai, ricava le eq. di Hamilton, e vedrai :-))
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 moltiplicativo che sai, ricava le eq. di Hamilton, e vedrai :-))
Accidenti. Ho visto. 
 
Anzi, l'inghippo si vede ancora meglio usando direttamente la
notazione lagrangiana. Il termine addizionale a*Ec*g*z (energia
potenziale che compete alla massa-energia) infatti, porta due termini
quadratici nella lagrangiana: quello cinetico e quello potenziale
(col segno concorde). Quando li separo in L=T-V, contribuiscono con
segni opposti all'energia cinetica T e alla potenziale V.
In sostanza, T viene moltiplicato per (1-a*g*z), mentre V viene
moltiplicata per (1+a*g*z).
Le frequenze w^2=V/T=k/m vengono dunque moltiplicate per il fattore
(1+agz)/(1-agz). Considerando "a" piccolo, possiamo approssimare
1/(1-agz) con (1+agz), ottenendo per le nuove frequenze l'espressione 
w^2=k/m * (1+agz)^2.
Basta fare la radice quadrata per ritrovare il fattore (1+agz), come
dice l'articolo.
Ma perche' devo sviluppare in serie? Perche' ho effettuato la
correzione nella lagrangiana invece che nell'hamiltoniana? 
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 correzione nella lagrangiana invece che nell'hamiltoniana?
Non lo so.
Si potrebbe dire che nell'argomento e' implicito che a*g*z sia
piccolo: vedi dopo una prova ovvia.
Ma non capisco perche' debbano venire risultati diversi.
La prova ovvia che tutto il discorso del redshift ricavato dalla
conservazione dell'energia funziona solo se a*g*z e' piccolo, te la
da' il seguente ragionamento.
Se parti dal livello 0 e arrivi al livello z, il redshift e' 1+gz
(metto c=1). Se parti dal livello z e vai a 2z, hai ancora 1+gz,
quindi da 0 a 2z avrai (1+gz)^2, mentre applicando la formula
direttamente da 0 a 2z avresti 1+2gz.
Tutto torna solo se gz<<1.
Pero' si puo' ripulire: ci avevo lavorato qualche anno fa.
Eur. J. of Phys. 15 (1994), 197.
Acc... qualche anno voleva dire undici. Come passa il tempo...
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 Acc... qualche anno voleva dire undici. Come passa il tempo...
A proposito. I suoi riferimenti al tempo, specie gli ultimi anni,
vanno sempre piu' assumendo un colorito melanconico, piu' che
relativistico. 
Non ci faccia preoccupare, professor Fabri: lei sta bene, vero? 
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 Eur. J. of Phys. 15 (1994), 197.
Trovato il tuo articolo qui ....
 
http://www.iop.org/EJ/abstract/0143-0807/15/4/007
ma e' a pagamento, o bisogna essere registrati. 
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 State parlando di un riferimento uniformemente accelerato vero?
Nein.
Di geom. di Schw. casomai, approssimata per piccoli dislivelli.
Se i dislivelli non sono piccoli, sarebbe da vedere.
Ma anche un rof. unif. accelerato, se e' molto esteso ha una metrica
(Rindler) che e' ancora diversa.
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 Non ci faccia preoccupare, professor Fabri: lei sta bene, vero?
Stai tranquillo...
Malinconico puo' essere, ma e' solo la constatazione che a quest'eta'
il tempo ti sfugge tra le dita, proprio quando sai che te n'e' rimasto
poco.
Aggiungi (visto che siamo sul piano esistenziale) che io sono sempre
stato molto sensibile al passare del tempo.
Pensa che quando avevo piu' o meno la tua eta' o meno, mi dicevo
sempre: "nel 2000, se ci arrivi, avrai 70 anni". E non riuscivo a
immaginare una cosa cosi' lontana.
E adesso siamo gia' 5 anni oltre...
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 Ci sono anche le biblioteche :)
Mi ci vuole una mattina tra andare, fotocopiare e tornare.
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