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Titolo: Achille e Tartaruga 2 - la vendetta -

E' chiaro, nonostante le contrarie capziose argomentazioni di Zenone, che Achille vinse la corsa con la tartaruga.
 
Meno noto è il fatto che la tartaruga ha chiesto una rivincita ad Achille, definendo nuove regole di gara.
 
Le nuove regole prevedono che Achille si leghi alla vita l'estremo di una banda elastica,  estensibile senza limiti, sulla quale la tartaruga possa camminare.
L'altro estremo dell'elastico è fissato al terreno, nel punto di partenza della gara.
Addirittura la tartaruga concede ad Achille una vantaggio di lunghezza L.
 
Alla partenza della gara, come in quella storica, Achille si mette a correre con velocità costante V, e la tartaruga a camminare (sulla banda elastica) con velocità v. 
Anche ora V>>v
 
Chi vincerà la gara? La tartaruga raggiungerà Achille in un tempo finito?


 
 > Le nuove regole prevedono che Achille si leghi alla vita l'estremo
 > di una banda elastica, estensibile senza limiti, sulla quale la
 > tartaruga  possa camminare.
 > L'altro estremo dell'elastico è fissato al terreno, nel punto di
 > partenza della gara.
 > Addirittura la tartaruga concede ad Achille una vantaggio di
 > lunghezza L.
 >
 > Alla partenza della gara, come in quella storica, Achille si mette a
 > correre con velocità costante V, e la tartaruga a camminare (sulla
 > banda elastica) con velocità v.
 > Anche ora V>>v
 >
 > Chi vincerà la gara? La tartaruga raggiungerà Achille in un tempo
 > finito?
Trovo il problema mal definito quanto alla velocità della tartaruga.
Come si deve intendere la velocità rispetto a un corpo non rigido?
Riesco a intendere due interpretazioni (ma non ne potrei escludere
altre):
 
a) Chiamo x un'ascissa lungo la banda in posizione iniziale. Per ogni
punto della banda anche allungata, x caratterizza ciascun punto della
banda, a prescindere da quanto questa si sia dilatata.
Velocità significa dx/dt.
 
b) Per ogni x indico con y l'ascissa rispetto a un asse fisso al
terreno: sarà y(x,t).
Velocità significa dy/dt = @y/@x*dx/dt + @y/@t
-- 
Elio Fabri


Si. Chiarisco.
La velocità V di Achille è rispetto a quello che ha sotto i piedi: il terreno.
La velocità v della tartaruga è rispetto a quello che ha sotto le zampe: la banda.
Dunque: interpretazione a)
 
La velocità della tartaruga rispetto al terreno è la somma della velocità v della tartaruga rispetto alla banda e della velocità del punto della banda rispetto al terreno.

Chi vincerà la gara? La tartaruga raggiungerà Achille in un tempo finito?
 
Dopo un tempo t dall'istante di partenza, Achille e' a distanza L+Vt
dalla partenza. Ammesso che la banda elastica si dilati omogeneamente,
quindi proporzionalmente a V a seconda della posizione su di essa, la
distanza della tartaruga dalla partenza s(t) al tempo t soddisfa
l'equazione differenziale 
 
s(t)'  = (v + V s(t)/(L+Vt) ), s(0)=0
 
ossia
 
s(t) = v/V (L + Vt)*log(1 + Vt/l)
 
sicche' la tartaruga raggiunge Achille all'istante
 
t = l/V (exp(V/v) - 1)
 
Ciao

 La velocità della tartaruga rispetto al terreno è la somma della velocità v della tartaruga rispetto alla banda e della velocità del punto della banda rispetto al terreno.
 
Siccome la tartaruga si muove rispetto ai punti dell'elastico, raggiunge 
Achille per ogni valore delle due velocità.

Achille per ogni valore delle due velocità.
 
IMHO di per se' quella di muoversi rispetto ai punti del'elastico non
e' una motivazione sufficiente: l'elastico potrebbe dilatarsi in modo
disomogeneo, pochissimo vicino allo start e tantissimo vicino ad
Achille, pur muovendosi dappertutto. Ciao


Hai ragione, mi era sfuggito. La dilatazione uniforme fa sì che la 
velocità sia inversamente proporzionale al tempo e quindi il suo 
integrale diverga. Avevo già incontrato la versione discreta di questo 
problema (Achille tira l'elastico di un metro e la tartaruga si muove di 
un centimetro).


E già. Achille non è abituato a perdere; soprattutto quando, intuitivamente, pensa di avere in tasca la vittoria.
 
Per rifarsi, propone alla tartaruga una nuova sfida, del tutto simile alla precedente, con la differenza che egli si muoverà in modo accelerato, con accelerazione a costante.
Chi vincerà stavolta?
 
(la banda elastica può essere lo spazio in espansione, e Achille e Tartaruga il nome di due galassie)

Chi vincerą stavolta?
 
Se la banda elastica e' lunga L a riposo e si dilata uniformemente, la
legge oraria della tartuca e'
 
v (att + 2L) arctan((sqrt(a/(2L)) t))/(sqrt(2aL)
 
sicche' potrebbe raggiungere Achille all'istante 
 
t = sqrt(2L/a)*tan(sqrt(aL/2)/v)
 
se v >= sqrt(2aL)/pi, altrimenti no. Ciao

giannimorlacchi ha scritto:
 > La velocità V di Achille è rispetto a quello che ha sotto i piedi:
 > il terreno. La velocità v della tartaruga è rispetto a quello che ha
 > sotto le zampe: la banda.
 > Dunque: interpretazione a)
Forse farei meglio a stare zitto, visto che tutti tranne me sembrate
aver capito.
Ma a me sembra l'opposto.
Su Achille non ci piove.
Ma la tartaruga ha sotto le zampe la banda allungata (in modo diverso
a ogni t). Quindi io direi v = dy/dt.
-- 
Elio Fabri


A mio parere l'allungamento omogeneo dell'elastico non è una condizione necessaria per decidere se la tartaruga raggiungerà o meno Achille.
Possiamo anche supporre che la prima metà della banda (quella più vicina alla partenza) sia rigida.
La tartaruga coprirà L/2 in un tempo L/2v, per poi passare alla zona elastica. La soluzione del problema è la stessa.

 La tartaruga coprirà L/2 in un tempo L/2v, per poi passare alla zona elastica. La soluzione del problema è la stessa.
 
Potrebbe però succedere che l'allungamento si verifichi solo dove la 
tartaruga non è ancora arrivata. Non ho trovato (forse ... non ho ancora 
trovato) un modo semplice per vedere se il modo in cui l'elastico si 
allunga conti per determinare se la tartaruga raggiunge o no Achille.
 
 
Però la soluzione del problema come lo hai posto in questo messaggio non 
mi pare la stessa che nel caso "allungamento uniforme". Ottengo
 
t = L/(2V) exp(V/v) + L v/(2V^2) [exp(V/v)-1]
 
Per il calcolo del tempo necessario per percorrere la seconda metà 
dell'elastico ho riutilizzato il risultato di ElF ponendo
 
l = L/2 + V t1
 
dove L è la lunghezza iniziale dell'elastico e t1 = L/(2v), il tempo 
necessario per percorrere la prima parte.


Dicendo 'elastico che si dilata' mi sembra verosimile si intenda una 
dilatazione omogenea su tutta la lunghezza
Altrimenti qua non ci passa piu'

 a ogni t). Quindi io direi v = dy/dt. 
 
Il problema, come già detto, è definire la velocità rispetto ad un corpo non rigido.
 
Forse si può superare questa ambiguità ipotizzando che Achille alterni intervalli di tempo in cui si muove con intervalli di tempo in cui sta fermo. I due intervalli siano uguali.
Nell'intervallo in cui Achille è fermo ( e solo allora) si muove la tartaruga, con velocità v, avendo sotto i piedi un corpo rigido.
Mi pare che questa semplificazione non cambi il problema, a meno di raddoppiare il tempo in cui la tartaruga raggiunge Achille.  


Potrebbe non raggiungerlo mai, anzi allontanarsi
Dipende dalla velocita' del pelide vs quella della tortuga
----------------------------------
Elastico lungo 2 mt
Tortuga nella mezzeria
Velocita' pelide Achille 1m/s
Velocita' rettilo 0 m/s
Ponti via:
T0 - tortuga a 1 mt dal pelide
T1 - tortuga a 1,5 mt dal greco
T2 - rettilo a 2 mt dall'eroe
----------------------------------
Elastico lungo 2 mt
Tortuga nella mezzeria
Velocita' pelide Achille 1m/s
Velocita' rettilo 0,5 m/s
Ponti via:
T0 - tortuga a 1 mt dal pelide
T1 - tortuga a 1 mt dal greco
T2 - rettilo a 1 mt dall'eroe
----------------------------------
Elastico lungo 2 mt
Tortuga nella mezzeria
Velocita' pelide Achille 1m/s
Velocita' rettilo 0,75 m/s
Ponti via:
T0 - tortuga a 1 mt dal pelide
T1 - tortuga a 0,75 mt dal greco
T2 - rettilo a 0,50 mt dall'eroe
 
Come si puo' appalesemente mirare, la risposta (alla domanda: ma la 
tartarucca ce la fara' at acchiapparo lu eroe?) sta nel rapporto tra le 
due velocita'
Basta el metro da murari, nin occorre andare col migroscoppio

 On Mon, 12 Dec 2022 19:24:22 +0100, JTS wrote:>Siccome la tartaruga si muove rispetto ai punti dell'elastico, raggiunge >Achille per ogni valore delle due velocità.IMHO di per se' quella di muoversi rispetto ai punti del'elastico none' una motivazione sufficiente: l'elastico potrebbe dilatarsi in mododisomogeneo, pochissimo vicino allo start e tantissimo vicino adAchille, pur muovendosi dappertutto. Ciao
 
Invece secondo me è sufficiente, perché ad ogni istante aumenta la
 percentuale di elastico già percorso e diminuisce quella del
 restante per raggiungere Achille. Perciò prima o poi raggiunge il
 100% in un tempo finito. 
Tutto questo per ogni scelta delle velocità e modalità di
 dilatazione nonché posizioni iniziali. 
 
-- 
anth

allunga conti per determinare se la tartaruga raggiunge o no Achille.
 
IMHO e' ovvio che in questo problema conta tutto, per determinare se
la tartuca raggiunge Achille o no: modalita' di dilatazione elastico,
leggi orarie di Achille e della tartuca. In altri termini, non e' un
semplice problema qualitativo. Ciao

 Come si puo' appalesemente mirare
 
Se il risultato che ottieni è diverso da
"la tartaruga raggiunge Achille all'istante
 
t = l/V (exp(V/v) - 1)",
è sbagliato.

 Invece secondo me è sufficiente,
 
Adesso devi solo dimostrarlo ;-)

 ha scritto:r>> On Mon, 12 Dec 2022 19:24:22 +0100, JTS wrote:>Siccome la tartaruga si muove rispetto ai punti dell'elastico, raggiunge >Achille per ogni valore delle due velocità.IMHO di per se' quella di muoversi rispetto ai punti del'elastico none' una motivazione sufficiente: l'elastico potrebbe dilatarsi in mododisomogeneo, pochissimo vicino allo start e tantissimo vicino adAchille, pur muovendosi dappertutto. Ciao> > Invece secondo me è sufficiente,Adesso devi solo dimostrarlo ;-)
 
È un teorema, la distanza da Achille è funzione del tempo monotona
 decrescente e Achille è punto d'accumulazione, perciò esiste il
 limite ed è zero. 
 
-- 
anth

> Come si deve intendere la velocità rispetto a un corpo non rigido?
 
 
Lo ho fatto ad intuizione.
 
Ho ipotizzato che l'allungamento dell'elastico conti solo globalmente, e 
che quindi localmente possiamo approssimare il moto della tartaruga come 
moto su un corpo rigido che si muove alla velocità dell'elastico in quel 
punto; come passo ulteriore, ho indovinato che questa approssimazione 
diventa esatta quando calcoliamo/definiamo la velocità.


Devi dimostrare che Achille è punto di accumulazione. Piccolo 
suggerimento: non lo è, quindi non puoi dimostrarlo.

giannimorlacchi ha scritto:
 > Il problema, come già detto, è definire la velocità rispetto ad un
 > corpo non rigido.
 > ...
Non credo che aiuti cambiare il problema: poi dovresti dimostrare che
la modifica si riporta al problema originario con un opportuno
limite...
Preferisco attenermi a quello che ho già detto: v = dy/dt.
Da qui la soluzione si ricava in poche battute, e non ho capito come
vi riesca di farci entrare equazioni differenziali ed esponenziali...
 
Volutamente non l'avevo scritta nel mio post precedente, sperando che
qualcuno mi seguisse e la trovasse. Ma vedo che così non è.
Ecco quindi la mia soluzione.
 
La lunghezza iniziale della banda è L. Quindi al tempo 0 y=x, e per
Achille y(0)=x(0)=L.
Per la tartaruga y(0)=x(0)=0.
Al tempo t, Achille ha percorso (rispetto alla strada) un tratto Vt,
quindi y(t) = L+Vt (mentre resta x(t)=L).
Per la tartaruga, come ho già detto, v=dy/dt ed essendo v costante,
sarà y=vt.
 
Se al tempo t1 la tartaruga raggiunge Achille, dovranno avere la
stessa y:
 
v*t1 = L+V*t1.
 
Ma essendo v<V, per qualunque t1 il primo membro è sempre minore del
secondo, quindi la tartaruga non raggiungerà mai Achille.
 
Per confutare questa ovvia soluzione bisogna negare la mia asserzione
base: v=dy/dt.
-- 
Elio Fabri

 
 
Prova questa:
_alternativamente_ la tartaruga si muove di un centimetro, e Achille 


 Prova questa:_alternativamente_ la tartaruga si muove di un centimetro, e Achille tira l'elastico di un metro
 
Elio ha detto tutto quello che c'e' da dire sul paradosso di Zenone.
I greci non avevano quelle tecniche di calcolo sulle serie
 infinite che permettono di uscire dal paradosso e far tornare a
 coincidere i calcoli con la realta' osservata.
Se poi volete aggiungere molle elastici ecc. allora io metto un
 razzo sul carapace della tartaruga.
Ma a che serve?
Io aspetto ancora risposta alla domanda sulla misura.
Dal punto di vista di appassionati di fisica pensavo meritasse
 piu' attenzione.
 
-- 
 
Ciao Massimo
 
 
#####
 
"questa frase non e' una frase"
 
 
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https://piaohong.s3-us-west-2.amazonaws.com/usenet/index.html
 

JTS ha scritto:
 > Prova questa:
 > _alternativamente_ la tartaruga si muove di un centimetro, e Achille
 > tira l'elastico di un metro
Diverticiti tu, se ne hai voglia.
Io credo di aver speso già troppo tempo su questo problema.
E poi non credo che sia affatto più semplice il caso discreto del
continuo, e che non sia banale passare al limite.
 
"Largo spazio di filosofeggiare ..."
(cit. col solo cambiamento di un parola).
-- 
Elio Fabri

 Diverticiti tu, se ne hai voglia.
 
Già fatto, il problema mi era stato proposto nel 1995 circa :-)
 
Viene la serie armonica. Si vede facilmente perché i passi restano 
uguali e la lunghezza dell'elastico aumenta come n, numero dei passi; 
quindi i passi della tartaruga vanno come 1/n rispetto alla lunghezza 
dell'elastico, e quindi la loro somma diverge, e quindi ...

   infinite 
 
neanche noi le dobbiamo usare.

 
 
E da chi te la aspetti la risposta?

 ha scritto:r

da chi conosce la relativita' generale.
Credo che sia l'effetto Unrhu ma non capisco come un tale fenomeno
 rientri nella relativita'.


 ha scritto:r>> On Mon, 12 Dec 2022 19:24:22 +0100, JTS wrote:>Siccome la tartaruga si muove rispetto ai punti dell'elastico, raggiunge >Achille per ogni valore delle due velocità.IMHO di per se' quella di muoversi rispetto ai punti del'elastico none' una motivazione sufficiente: l'elastico potrebbe dilatarsi in mododisomogeneo, pochissimo vicino allo start e tantissimo vicino adAchille, pur muovendosi dappertutto. Ciao> > Invece secondo me è sufficiente,Adesso devi solo dimostrarlo ;-)> > È un teorema, la distanza da Achille è funzione del tempo monotona>   decrescente e Achille è punto d'accumulazione, perciò esiste il>   limite ed è zero.> Devi dimostrare che Achille è punto di accumulazione. Piccolo suggerimento: non lo è, quindi non puoi dimostrarlo.
 
Eccola: il punto A (Achille) è estremo superiore del segmento OA.
Mostralo tu un controesempio che A non è di accumulazione, oppure
 i valori dei parametri tali che T (Tartaruga) non raggiunge A in
 un tempo finito. Dovresti avere già tutto, visto il suggerimento.
 
 
-- 
anth


Nelle ipotesi iniziali, dopo t = sqrt(2L/a)*tan(sqrt(aL/2)/v) la 
tartaruga continua a muoversi (più rapidamente di Achille!), quindi non 
rimane in corrispondenza di Achille. Quindi Achille non è punto di 
accumulazione---utilizzando lo stesso linguaggio che hai utilizzato tu, 
per usare le parole nel senso solito dovremmo applicarle al caso 
discreto di movimenti alternativi di Achille e la tartaruga.
 
Dal mio punto di vista se la tartaruga raggiunge Achille sempre, 
nell'ipotesi velocità di Achille costante e allungamento dell'elastico 
non uniforme, è ancora da stabilire.

 Nelle ipotesi iniziali, dopo t = sqrt(2L/a)*tan(sqrt(aL/2)/v) 
 
Ho copiato la formula sbagliata :-)
 
Dopo t = L/V (exp(V/v) - 1)

non uniforme, è ancora da stabilire.
 
Se Achille accelera, abbiamo visto che la tartuca potrebbe non
raggiungerlo anche con elastico uniforme.
 
Se ci limitiamo al caso di Achille e tortuca in moto uniforme,
comincio a sospettare che si tratti di un problema qualitativo, nel
senso che la legge oraria e locale n(t,x) della velocita' di
scorrimento dell'elastico (rispetto al terreno, all'istante t e a
distanza x dalla partenza) sia ininfluente sull'inevitabile esito che
la tartuca raggiunge Achille. 
 
Questo per elastici "ragionevoli", che scorrono sempre in avanti e non
variano costante elastica nei vari punti in modo arbitrario: ad
esempio, se l'elastico si smagliasse al centro e riportasse la tartuca
indietro, e' ovvio che essa non raggiunge Achille; cosi' pure se
alcune parti che fino a un certo istante si erano espanse, dopo
quell'istante assumessero costante elastica infinita.
 
A questo punto, l'argomento IMHO interessante e': qual e' la legge di
scorrimento n(t,x) dei punti di un elastico composto da una sequenza
di N segmenti di lunghezza li e costante elastica ki, i=1..N, in cui
un estremo e' fisso e l'altro si muove di moto uniforme? Ciao

 altre):
 
Per come l'ho capita io, la velocita` v della tartaruga e`
relativa all'intorno di nastro su cui si trova. Credo che
questo caso, che porta alla formula di El Filibustero, non
sia nessuno dei due che hai previsto.
A questo punto per confrontare meglio il caso che ho detto
rispetto ai tuoi dovrei provare a definire una coordinata y
tale che v=dy/dt, ma non ci riesco: se voglio che per v=0
(e quindi per y costante nel tempo) la tartaruga resti
agganciata al punto del nastro su cui si trova, come
dev'essere per quanto detto sopra, a ogni punto del nastro
deve corrispondere un valore di y che non sia funzione del
tempo, ma allora non riesco a riprodurre il fatto che al
passare del tempo la distanza in y tra due punti del nastro
aumenti.
Francamente, ho la vaga idea che senza tirar dentro mezza RG
non ci sia modo di definire un sistema di coordinate con le
proprieta` desiderate, e dubito che ne valga lo sforzo.
 
Ciao
Paolo Russo

 Dal mio punto di vista se la tartaruga raggiunge Achille sempre, nell'ipotesi velocità di Achille costante e allungamento dell'elastico non uniforme, è ancora da stabilire.
 
 
-- 
anth

 On 16.12.22 11:11, JTS wrote:>>> > > Nelle ipotesi iniziali, dopo t = sqrt(2L/a)*tan(sqrt(aL/2)/v) Ho copiato la formula sbagliata :-)Dopo t = L/V (exp(V/v) - 1)
 
Non avevo visto questo con l'errata-corrige, adesso capisco!
Beh A è punto d'accumulazione a sinistra, se sei d'accordo allora
 lo raggiunge qualsiasi siano i valori dei parametri, come dissi
 nel mio primo intervento. 
 
-- 
anth

un estremo e' fisso e l'altro si muove di moto uniforme?
 
Comunque sia questa legge, qualunque siano N, li, ki, resta la
considerazione qualitativa risolutiva che i punti di congiunzione tra
i vari segmenti non possono muoversi a velocita' maggiore dell'estremo
trainato, sicche' la tartuca li raggiungera' uno dopo l'altro in ogni
caso, arrivando infine ad Achille.
 
Questo vale anche per N grandissimo. Ma se N-->+inf, avremmo una
distribuzione continua di costanti elastiche lungo l'elastico. E'
sensato chiedersi come si evolve nel tempo questa distribuzione
trainando un estremo dell'elastico? Vale lo stesso la conclusione che
la tartuca raggiunge Achille in ogni caso? Ciao

Paolo Russo ha scritto:
 > Francamente, ho la vaga idea che senza tirar dentro mezza RG
 > non ci sia modo di definire un sistema di coordinate con le
 > proprieta` desiderate, e dubito che ne valga lo sforzo.
Non vedo che c'entri la RG; tra l'altro il problema è unidimensionale.
Però ho ricontrollato il mio ragionamento e ho trovato un errore.
Rifacendo i conti per bene trovo lo stesso risultato già dato da altri,
anche se mi sembra di arrivarci per una strada diversa.
Riportare i passaggi sarebbe fastidioso e ormai non mi sembra utile.
-- 
Elio Fabri


Mi correggo sulla definizione che avevo in mente (senza averla detta) di 
punto di accumulazione, avevo dimenticato che il "punto di 
accumulazione" si definisce per tutti gli insiemi e pensavo si definisse 
solo per insiemi fatto di punti isolati.
 
Detto questo, non credo che la tua dimostrazione vada bene. C
 
La distanza da Achille può essere monotona decrescente senza tendere a 
zero. E in più non è neppure monotona decrescente!
La differenza fra la velocità di Achille v_A=V e la velocità della 
tartaruga v_T è
 
v_A - v_T = V - v [1 + log (1 + V t /L)]
 
(partendo dalla posizione della tartaruga calcolata da ElF come
s(t) = v/V (L + Vt)*log(1 + Vt/l))
 
che è negativa solo se t è sufficientemente grande affinché
 
log(1+ V t /L) > V/v -1

ogni caso?
 
si' perche' a v si sommano velocita' vieppiu' grandi, qualitativamente
lo stesso che nel caso discreto. Ciao

lo stesso che nel caso discreto. Ciao
 
Credo che -- nonostante questa precisazione -- nella sostanza non
cambi nulla. La tartuca raggiunge Achille qualunque sia k(x). Ciao

 
 
A questa non c'ero arrivato. Però non ho ancora chiaro come si dimostra 
che s(t) è illimitata; non lo ho capito dal tuo messaggio (forse non ho 
pensato abbastanza alle conseguenze di "a v si sommano velocita' 
vieppiu' grandi".
 
Il ragionamento che ho in mente.
Nel caso discreto la tartaruga fa passi lunghi uno su un elastico che 
diventa lungo L*n (la velocità della tartaruga e quella di Achille 
possono essere scelte a piacere senza perdita di generalità). Questo non 
dipende da come si deforma l'elastico, quindi la tartaruga raggiunge 
sempre Achille.
Nel caso continuo questo pare equivalente a mostrare che l'integrale di 
v/(L + V * t) diverge. "Purtroppo" mi è venuta in mente una ragione per 
cui non è così, solo che non me la ricordo, e finché non me la ricordo e 
mi convinco che la ragione non va bene, non mi fido più del ragionamento :-)

 log(1+ V t /L) > V/v -1
 
Quindi su questo mi sono sbagliato.
 
Il punto è che puoi mostrare IMHO che Achille è punto di accumulazione 
per l'insieme dei punti raggiunti dalla tartaruga solo tramite la 
dimostrazione che la tartaruga raggiunge Achille

vieppiu' grandi".
 
Forse si puo' dire meglio cosi'. Sia eps un positivo minore della
velocita' v della tartuca. C'e' un punto P1 dell'elastico che si muove
a velocita' eps, dato che w(0)=0, w(L)=V e w e' continua. Essendo
eps<v, la tartuca raggiunge P1 in un tempo t1 finito. Procedendo essa
dopo aver raggiunto P1, la sua velocita' e' almeno v+eps. Ora, esiste
P2 movente a velocita' 2eps; dato che v+eps>2eps, la tartuca lo
raggiunge in un tempo t2, e cosi' via. Per il postulato di Archimede,
per quanto piccolo sia eps e grande V, esiste un intero N per cui
V<N*eps, sicche' la tartuca raggiunge Achille in un tempo inferiore
alla quantita' finita somma{i=1..N}ti. Ciao

A questa non c'ero arrivato.
 
Comuque l'espressione di n(t,x) -- oltretutto esplicitabile in pochi
casi, credo -- non e' rilevante al fine di dimostrare cio' che
interessava. Cio' che conta e' che in una serie di elastici hookeani
(o al limite in un elastico con distribuzione continua di k) in cui un
estremo e' trainato di moto uniforme con velocita' V, tutti i punti si
muovono uniformemente, con tutta la gamma di velocita' comprese tra 0
e V.
 
Da cio' segue: 
 
1. La tartuca scalera' tutti i punti dell'elastico (cio' che
interessava)
 
2. Poiche' i punti mantengono la velocita' w(u) che avevano quando
l'elastico inizia a essere trainato, la superficie che rappresenta
z=n(t,x) e' la rigata fatta dalle rette
 
z=w(u) ; x = t*w(u) + u
 
dove il parametro u varia da 0 a L. La relazione 
 
x = t*n(t,x) + w^-1(n(t,x))
 
esprime questo. Ciao

 muovono uniformemente, 
 
Ho messo a fuoco oggi che questo è importante. Per adesso ho un concetto 
intuitivo di questo risultato. Alle equazioni penserò prossimamente: se 
è già presente nelle equazioni dei messaggi precedenti, vuol dire che ci 
sono annegato dentro ;-)
 
 > con tutta la gamma di velocita' comprese tra 0
 > e V.
 
E quindi la tartaruga salta da un punto all'altro.
 
 


Passa, non salta. Proviamo a riassumere tutte le precedenti
considerazioni con un ragionamento rigoroso.
 
Sia N il minimo naturale per cui V/N=eps<v. Per j=0..N-1 siano Pj i
punti dell'elastico a riposo situati a xj:=w^-1(j*eps) dalla partenza,
siano rj le seguenti rette del piano t-x che ne rappresentano le
rispettive leggi orarie:
 
x = j*eps*t + xj
 
e rN quella di Achille: x = Vt + L.
 
Quando la tartuca ha raggiunto e superato Pj, la sua velocita'
rispetto terra e' non inferiore a v+j*eps. Quindi una stima per
eccesso del tempo di raggiungimento di Achille si puo' avere
supponendo che nel transito da Pj a P{j+1} la sua velocita' sia
esattamente v+j*eps. Con questa ipotesi, il grafico orario della
tartuca (piu' lenta di quello che e' in verita') interseca:
 
r1 all'istante t1 tale che v*t1 = eps*t1 + x1, ossia t1 = x1/(v-eps),
 
r2 all'istante t2 tale che t1*eps+x1 +(t2-t1)(v+eps) = (2*eps)*t2+x2,
ossia t2 = (t1*v+x2-x1)/(v-eps),
 
...
 
rj all'istante tj tale che 
 
t{j-1}*(j-1)*eps+x{j-1}+(tj-t{j-1})(v+(j-1)*eps) = (j*eps)*tj+xj,
ossia tj = (t{j-1}*v+xj-x{j-1})/(v-eps)
 
r{N-1} all'istante finito
 
somma{j=1..N-1} (xi-x{i-1})*v^(N-1-i)/(v-eps)^(N-i)
 
anche il tempo per passare da r{N-1} a rN e' finito. Ergo la tartuca
raggiungerebbe Achille in un tempo finito anche se fosse piu' lenta di
quello che e'. Ciao

 Chi vincerà la gara? La tartaruga raggiungerà Achille in un tempo finito?
 
 
 
In questo caso, anche se la tartaruga ha la possibilità di camminare sulla banda elastica, Achille vincerà comunque la gara. Ciò accade perché, mentre Achille si muove con velocità costante V lungo il terreno, la tartaruga deve spostare anche il proprio peso sulla banda elastica, il che comporta una forza di attrito che rallenta il suo movimento. Inoltre, la banda elastica si allungherà man mano che la tartaruga si avvicina ad Achille, il che significa che dovrà lavorare contro la forza elastica della banda per continuare a muoversi.
 
 
 
Tutto ciò significa che, nonostante la tartaruga possa muoversi più lentamente di Achille, quest'ultimo raggiungerà sempre la tartaruga prima che questa possa raggiungere lui. In altre parole, la tartaruga non raggiungerà mai Achille in un tempo finito, poiché Achille continuerà a distanziarsi sempre di più.