Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: I numeri perpless..... ehm complessi

Salve gente, ho un quesito da porvi, xche' esistono i numeri complessi?
Io ho notato che con questi si possono risolvere alcune equazioni
differenziali di Eulero che altrimenti non si potrebbero risolvere, ma
proprio non riesco a capire cosa sia realmente un numero complesso.
Ringrazio chiunque abbia la pazienza di rispondermi.
--
Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi

Ringrazio chiunque abbia la pazienza di rispondermi.
I numeri complessi sono una generalizzazione dei numeri reali che
trovano un sacco di applicazioni in fisica come in matematica.
Talmente tante che non saprei da dove partire per giustificarne
l'introduzione.
Sono una generalizzazione dei reali nel senso che i numeri reali ne
costituiscono un sottoinsieme.
Non c'è nulla di particolare in un numero complesso che non vi sia in
un numero reale, a parte il fatto che i numeri complessi non possono
essere ordinati come i reali.
Si introduce una unità immaginaria denotata con i con la proprietà di
avere quadrato negativo e da qui ogni numero complesso ha la forma A +
iB dove A e B sono numeri reali (ci sono poi altri modi per
esprimerli).
Tutti i calcoli che fai con i numeri reali li puoi fare con i
complessi, con la differenza che l'introduzione dei numeri complessi
ti permette di effettuare operazioni vietate con i reali, come ad es.
la radice di un numero negativo.
Mi rendo conto che questa mia spiegazione sia incompleta, ma , a
livello diciamo amichevole, i numeri complessi sono questo.
Tanto per poterli visualizzare aggiungo un'ultima cosa.
I numeri reali possono essere visualizzati come una retta, in cui a
cisascun punto è assegnato un numero: per i complessi è necessario un
piano.
Disegna un piano cartesiano, ogni punto del piano rappresenta un
numero complesso, la sua ascissa è la sua parte reale e l'ordinata la
sua parte complessa, i numeri reali sono quelli che appartengono
all'asse x e perciò hanno parte complessa nulla.
In questo modo puoi esprimere un numero complesso nella forma A+iB che
ti indicavo prima (forma cartesiana) oppure lo puoi identificare con
la distanza del punto nel piano dall'origine e con l'angolo formato
dal raggio vettore che congiunge il punto del piano con l'origine con
l'asse x (forma polare).


 Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi
Preambolo:
Che cosa sono i numeri reali? Essenzialmente un insieme che gode di tante
belle proprietā. E' un insieme su cui si riesce a definire un'operazione
SOMMA per cui valgano le proprietā associativa (AS), esistenza dell'elemento
neutro "0" (EN), esistenza dell'inverso (IN), commutativa (CO) e
un'operazione PRODOTTO per cui valga AS, EN =1, IN per tutti i numeri
diversi dall'elemento neutro della SOMMA, CO; vale inoltre tra le due
operazioni la proprietā distributiva (DI). Ci sono anche altre belle
proprietā quali l'ordine e la completezza, ma per ora tralasciamole.
Problema:
Ora voglio considerare un altro insieme, il prodotto cartesiano RxR, ossia
l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali; chiamiamo questo insieme X.
Per ora su X non č definita alcuna proprietā; mi chiedo se sia possibile
definire su X una "SOMMA" e un "PRODOTTO" che godano delle stesse proprietā
di quelle di R.
Soluzione:
La definizione di somma č la pių intuitiva: se indichiamo con (a1,b1) e
(a2,b2) due generici elementi di X, definiamo
(a1,b1)+(a2,b2):=(a1+a2,b1+b2). Si verifica che questa rispetta le quattro
proprietā sopra elencate, e (0,0) ne č l'EN. Verrebbe voglia di definire il
prodotto (a1,a2)*(b1,b2):= (a1*a2,b1*b2), e come EN porre dunque (1,1).
Purtroppo queste definizioni non soddisfano le proprietā, ad esempio
l'elemento (37,0) non ha inverso. Come fare? Beh, se definiamo
(a1,a2)*(b1,b2):= (a1*b1-a2*b2, a1*b2+b1*a2), con EN=(1,0), si scopre che
tale definizione č buona.
Ma che definizione artificiosa! E poi che c'entra tutto ciō con i numeri
complessi?
Abusiamo della notazione introdotta, ossia l'elemento (1,0) lo chiamiamo "1"
mentre chiamiamo "i" l'elemento (0,1). Cosė ogni elemento (x,y) di X si puō
scrivere come (x,y)= 1*x+i*y, in breve come x+iy. Applicando la definizione
data sopra si vede che i*i=(-1,0)=-1. In altre parole per eseguire le
operazioni tra elementi di X basta usare le elementari regole algebriche,
ricordando che i*i=-1. In una parola il nostro X non č altro che C,
l'insieme dei numeri "complessi".
Conclusione:
Tutta questa spiegazione (per la lunghezza della quale mi scuso) puō
sembrare astratta e artificiosa, ma io penso che sia l'approccio pių
corretto a C. I numeri complessi non sono altro che coppie di numeri reali
su cui č definito un opportuno prodotto. Nient'altro. Possono sembrare
strani, ma come i numeri reali non sono altro che strumenti logico-
matematici che ci permettono di operare sul reale. Vengono usati perchč
"funzionano".
Saluti.


Premetto che sono un po' formalista, e che ritango dunque che i numeri
complessi esistano e basta. Al di la' di questo, la spiegazione che a me e'
stata data dei numeri complessi e' decisamente formale, ma molto bella. Non
vorrei pero' perdere tempo a ripetere cose magari gia' a te note. Per cui ti
invito a scrivermi, magari anche direttamente via e-mail, cio' che tu sai
dei numeri complessi, se li hai visti solo nella forme 3i+1, o se gia'
conosci la loro rappresentazione vettoriale, o la definizione di C come
insieme di coppie ordinate. Se queste cose le sai gia' allora le nostre
conoscenze sono pari, con la differenza che pero' a me stanno simpatici,
altrimenti posso darti qualche informazione untile. Attendo risposta e ti
saluto. Ciao.


 Ringrazio chiunque abbia la pazienza di rispondermi.
A me hanno insegnato che i č la soluzione dell'equazione
i^2 = - 1
Mentre nei numeri reali non esiste soluzione, pensando ad un insieme RxR in
cui esista la soluzione dell'equazione, si ottiengono i numeri complessi.
Analogamente, tramite la risoluzione di un equazione sono stati ottenuti
tutti gli insiemi a partire dai numeri naturali, i quali sono gli unici a
dover essere accettati come tali, perchč definiti dagli Assiomi di Peano.
Si dice che i numeri complessi siano l'invenzione matematica piů importante
dopo la definizione del limite.

 dopo la definizione del limite.
Si, sono molto importanti perche' permettono di estendere molte
operazioni/funzioni (tipo radice di un numero negativo) che in R
esistono solo in un intervallo piu' piccolo di valori (per la radice,
solo per valori positivi).
Inoltre, come disse la mia prof. di Analisi 2: "Perche' usare i n.
complessi se i problemi che affrontiamo trattano n. reali? Perche' a
volte puo' essere piu' semplice passare attraverso i complessi per poi
giungere a un risultato relativo a n. reali".
Ciao!
-- 
Fabio Costa a.k.a. Ph0ton