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Titolo: Problema

 
Sia dato un filo infinito costituito da due semirette, perpendicolari fra loro, aventi il vertice in comune.
Il filo sia percorso da corrente I.
Dato un sistema di assi cartesiani, poniamo che le due semirette siano rispettivamente quelle delle x<0 e y<0.
 
Si chiede di determinare il campo _elettrico_ nel punto (d,d), con d>0.
https://www.dropbox.com/s/wyyielp3bivxlth/Filo.jpg?dl=0
 
 
 
Salvo errori a me viene che
 
 
1) il problema è malposto: mancano dei dati. Oltre a I va data una fra la velocita', v, delle particelle cariche in moto e la densita' lineare di carica, lambda0, delle particelle cariche che rimangono fisse nel filo. Poi le 3 grandezze sono fra loro legate da I=lambda0*v. Con v intediamo la velocita' in sincronizzazione standard;
2) il campo elettrico _non_ viene nullo.
 
 
Il campo elettrico lontano dal filo (il campo microscopico ovviamente non e' nullo, qui si vuole il campo a distanze molto maggiori della distanza fra le cariche) viene nullo per fili rettilinei ma, in generale, viene non nullo per fili non rettilinei.
 
E' nota una cosa del genere o sto sbagliando qualcosa?
 
 
 
Per un verso la cosa mi pare banale: pensando a un piccolo pezzetto di filo, il campo totale sara' quello dovuto alle cariche ferme positive (approssimabili, lontano dal filo, con una unica carica ferma) piu' quello dovuto alle cariche in moto negative (approssimabili, lontano dal filo, con una unica carica in moto). Ed e' noto che i due campi non sono opposti fra loro.
 
Per un altro verso mi chiedo se possa essere compatibile un risultato del genere con le equazioni di Maxwell, tenuto conto che la densita' di carica totale rho (in sincr. standard) e' nulla ovunque e che il campo magnetico e' "quasi" stazionario.
 
 
Il "quasi" e' dovuto al fatto che, per determinare il campo, possiamo sovrapporre i campi generati dalle due semirette, ma poi ci sara' anche, necessariamente, una parte ondulatoria dovuta al fatto che le cariche devono accelerare per passare da una semiretta all'altra.
 
Rivedo il calcolo e, al piu' presto, mando la risposta che avrei trovato al problema posto sopra.
 
Bruno Cocciaro

 d>0. 
https://www.dropbox.com/s/wyyielp3bivxlth/Filo.jpg?dl=0
 
 
Ma lo schema circuitale l'hai disegnato tu,
o è originale?
Lo chiedo perché nello schema è presente un
generatore di tensione, ciò fa dedurre che il
filo conduttore non sia ideale (superconduttore),
allora il campo elettrico esterno al filo
dipenderà da quello interno e quindi dalla
resistività del materiale e da I oltre che
dalla geometria del conduttore.
 
Invece supponendo il conduttore ideale allora
in condizioni stazionarie (I = cost.) il
campo elettrico sarà ovunque nullo, mentre
nel dato punto non sarà nullo quello magnetico
che si potrà calcolare applicando la legge di
Biot-Savart.
Io prenderei anche in considerazione l'ipotesi
di un refuso ("magnetico" diventato "elettrico")
nel testo dell'esercizio...
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

 Giorgio Bibbiani
 
Ciao
Bruno.

 Anche il campo magnetico viene solo in prima approssimazione (v<<c) pari a quello dato dalla usuale relazione di Biot-Savart.
 
Pr prima cosa direi che bisogna comunque chiudere il circuito,
anche superconduttore, per non avere un accumulo di cariche
crescente all'oo, quindi si potrebbe considerare il caso di
un filo idealmente conduttore ad es. di forma quadrata di
lato l (cioè una spira quadrata) e fissare d, allora il campo
elettrico sarebbe ovunque nullo e quello magnetico costante in P,
date per ipotesi una densità di carica uniformemente nulla
e una corrente costante, come risulta dalle eq.i di Maxwell
in condizioni stazionarie con la condizione al contorno
per cui i campi si annullano all'oo. Poi si potrebbe far
tendere l a +oo, ma nel limite il campo elettrico rimarrebbe
uniformemente nullo.


 
 
Approfitto del thread per una curiosita' che oggi ho per la prima volta.
 
Per una distribuzione di correnti costante e densita' di carica nulla le 
eq. di Maxwell dicono che il campo elettrico e' nullo.
 
Ma le cariche accelerano, il loro moto non e' rettilineo uniforme. Come 
si risolve questa apparente contraddizione?

 si risolve questa apparente contraddizione?
 
 
 
A parte la quantita' di moto delle cariche, che di solito e' trascurabile (ma non lo so in un cado di cinduttori perfetti come questo) la quantita' di moto del campo varia dopo "la curva" proprio come varia la qdm du un'auto che svolta. Se la corrente va verso l'alto e poi a sinistra, lo stesso fa la qdm del campo (vettore di Poynting) quindi si deve "reggere il filo" applicandogli una forza verso sinistra. 
 
Se poi e' vero che il campo elettrico e' sempre nullo anche in questo caso allora il campo em generato dalle cariche che accelerano deve venir annullato da un corrispondente campo opposto locale prodotto da una opportuna distribuzione di cariche in prossimita' della piegatura del filo. 
IMO. 
 
--
Wakinian Tanka 

 
 
Appunto. Normalmente si trascura l'effetto della curvatura dei circuiti, ma se tu vuoi sezioni piccolissime e di conseguenza curvature grandissime, devi confrontarti con una "radiazione di sincrotrone" che non so calcolare. 
 
--
Wakinian Tanka 


La discussione non mi ha convinto.
 
Prima osservazione - equazioni di Jefimenko per verificare che il campo 
elettrico e' nullo.
 
Come conseguenza quantita' di moto il campo non ne ha.
 
Seconda osservazione: credo sia possibile una distribuzione di correnti 
senza distr. di carica, mi pare basti soddisfare l'eq. di continuita'.

 Giorgio Bibbiani
 
Ciao, Bruno


Ho fatto il calcolo per una spira circolare percorsa da corrente costante - solo per il centro della spira: ho calcolato prima il campo dovuto ad una carica puntiforme in moto circolare uniforme e poi ho integrato rispetto all'angolo. Viene zero come deve essere ma il punto e' che devo integrare su tutta la spira per ottenere zero.
 
C'e' ancora un fattore 1/r^2 che nel calcolo non mi torna (sono partito dall'equazione di Feynman per pigrizia) ma lo prendo per buono per il momento.
 
 
Il mio sospetto nel tuo caso e' che tu abbia trascurato parti del circuito che non puoi trascurare - vedi messaggio di Giorgio B. sulla chiusura del circuito.
 
 
Mi piacerebbe trovare una dimostrazione generale del fatto (integrando i campi delle cariche si ottiene zero) e per il momento non ho neppure una buona visione intuitiva. 
 
Consideriamo infatti il problema di Bruno, e consideriamo il campo elettrico vicino all'angolo. 
Chiudo il circuito con tre quarti di circonferenza che partono ed arrivano ai lati tratteggiati.
 
 
 
Prendo in considerazione una carica che fa il giro del circuito. Qquando e' vicino all'angolo l'accelerazione e' proporzionale a 1/R^2, dove R e' il raggio di curvatura, e, diciamo, la distanza dal punto di osservazione (metto il punto di oss. nel centro di curvatura dell'angolo) e' R. Mi aspetto un campo elettrico di valore 1/R^3.
 
 
Questo ragionamento vale anche per i tre quarti di circonferenza che chiudono il circuito, che quindi e' di valore 1/r^3, con r raggio di curvatura della parte "grande" del circuito.
 
 
Con queste stime non vedo la compensazione: integrando mi rimane un fattore 1/R^2 per la parte piccola e 1/r^2 per la grande e questi non si compensano.
 
Iniziamo con una sola carica che fa il giro del circuito

 
 
Correggo: l'accelerazione e' proporzionale a 1/R (fisso la velocita')!
 
 
La compensazione non la ottengo ancora, mi rimangono i fattori 1/R e 1/r.
 
Per la parte che viene fuori dai calcoli di Bruno (la parte che dipende 
dalla velocita') attendo un'ispirazione ;-)

 Certo rimane aperta l'ipotesi che io stia sbagliando qualcosa. Spero domani di finire di mettere il tutto in bella copia. Vediamo cosa salta eventualmente fuori.
 
Allora, intanto il risultato che ottengo io.
 
Il problema, come dicevo nel post di apertura e' malposto. Si deve dare anche la velocita' dei portatori di carica, v (do qui i risultati facendo uso delle grandezze definite in sincronizzazione standard). Poniamo poi lambda0=I/v e chiamero' b=v/c e g=1/Sqrt(1-b^2).
Nelle condizioni che specificavo, cioe' quelle riportate nella figura
https://www.dropbox.com/s/wyyielp3bivxlth/Filo.jpg?dl=0
 
il campo nel punto (d,d) a me viene:
 
vec{E}=k*lambda0/d (-b^3,b^3,0) g^2/Sqrt(2+b^2+g^2)
 
 
L'effetto, come avevo forse gia' detto, e' relativistico. Va come b^3, quindi, a meno di non usare portatori di carica che abbiano velocita' paragonabili a c, diventa arduo apprezzarlo sperimentalmente (sempre posto che sia corretto quanto dico).
 
 
Ritengo di aver anche capito dove e' l'origine del mio risultato diverso da quanto parrebbe dedursi dalle equazioni che dovrebbero venire fuori dai potenziali ritardati ecc. (ho imparato da JTS che si chiamano equazioni di Jefimenko).
 
E' un po' complicato senza figure ma ci provo (e la mia bella copia e' improponibile. Nella mia trattazione non faccio uso di alcuna sincronizzazione e, senza previa preparazione sulle grandezze non convenzionali di cui faccio uso, immagino non sia di facile lettura).
 
 
 
Prendiamo in considerazione, in prossimita' del punto (0, 0, 0), un piccolo pezzetto di filo lungo dx. La distanza fra le cariche *fisse* nel filo sia comunque molto minore di dx. Sia n>>1 il numero di cariche positive fisse nel filo presenti nel pezzetto considerato. Sia q la carica di ciascuna particella. Nel filo siano presenti anche cariche mobili, di carica -q, che si muovono, poniamo verso destra, a una certa velocita' v.
La densita' di carica positiva e' data da
lambda0+ = n q/dx.
 
Le cariche mobili sono anche esse uniformemente distribuite e, *nel loro riferimento di quiete* sono distanti dx/(n*Sqrt(1-b^2)). Questo, in sincronizzazione standard, si dice, definendo una densita' lineare di carica anche per particelle in moto, lamdba-, ponendo
lambda- = - n q/dx.
 
A questo punto, per come pare a me, per determinare il campo nel punto (d,d,0), nelle equazioni di Jefimenko, tanto le le cariche positive ferme quanto le cariche negative in moto vengono trattate come una singola carica di intensità, rispettivamente, nq e -nq.
Questo, a mio avviso, e' corretto per le cariche ferme ma *e' sbagliato* per le cariche in moto.
 
 
Tutta la trattatazione dei potenziali ritardati ecc si basa sul fatto che per determinare in campo in P si deve prendere il campo prodotto da ciascuna carica nel punto in cui lei si trovava quando ha generato il campo: la particella i-esima si trovava nel punto x_i in un certo momento e tutti i campi delle n particelle, generati in quei punti, poi arriveranno simultaneamente in P.
 
 
In sostanza, la prima particella (quella piu' a sinistra) si deve "accendere" per prima (perche' deve recuperare la maggiore distanza che ha da P rispetto alle altre particelle). Sia x_1 il punto in cui si "accende" la prima particella. L'ultima particella, dovendosi "accendere" dopo la prima, si accenderà in un punto x_n che dista da x_1 *piu' di* dx (perché nel frattempo lei si e' mossa verso destra).
 
La sostanza e' che i pezzi di filo dove le cariche scorrono in modo da avvicinarsi (allontanarsi) al punto P daranno luogo a una "densita' di carica efficace" minore (maggiore) di lambda0.
 
Io il conto l'ho fatto cosi': ho preso la lambda "efficace" (la quale, peraltro, e' ben definibile in maniera non convenzionale).
 
 
Che cosa debba poi eventualmente succedere alle rho e J nelle eq. di Maxwell e' tutto un altro discorso, ma, intanto, a me pare corretto che il conto si debba fare alla mia maniera, no?
 
Bruno Cocciaro

 Bruno Cocciaro

 non ho neppure una buona visione intuitiva.
 
Aveva scritto qualcosa Elio nel thread:
 
https://groups.google.com/forum/?hl=it#!searchin/free.it.scienza.fisica/Energia$20em/free.it.scienza.fisica/bRsUOv-GXCI/7p5m_bvlYNkJ
 


 senza distr. di carica, mi pare basti soddisfare l'eq. di continuita'.
 
 
 
 
 
Ma scusa, secondo te come fa una carica elettrica a deviare la sua traiettoria? Ci vuole almeno un campo elettrico e questo puo' essere fornito solo da un opportuno addensamento di cariche in prossimita' del gomito, e cio' genera un campo non nullo anche all'esterno, no? Per fare una metafora, se una sferetta metallica scorre senza attrito dentro un tubo che fa un gomito, verra' generata una reazione vincolare ortogonale alla superficie del tubo, nel gomito, che comprime il tubo stesso, quindi una interazione (di natura elettromagnetica) tra sferetta e parete del tubo; nel nostro caso chi e' responsabile di tale interazione?
 
--
Wakinian Tanka


Grazie per il link, l'idea di cominciare con due cariche e' ottima!

 
 
Non ci ho mai pensato molto (ho raccolto tempo fa alcuni articoli a 
proposito ma poi non li ho letti) ma puo' essere che il campo elettrico 
che tu dici che deve esistere non esista (non sono sicuro).
 
Ecco l'argomentazione: le equazioni di Maxwell sono soddisfatte senza 
ampo elettrico, quindi non c'e'. Ma non ho le idee chiare.

 
 
Mi pare che il tuo ragionamento dovrebbe essere lo stesso anche per un 
filo rettilineo illimitato, per il quale hai gia' ottenuto zero; magari 
sai come ti si annulla il campo elettrico nel caso del filo rettilineo e 
perche' non ti succede per il filo con il gomito? C'e' una compensazione 
in un caso e nell'altro no?
 
Inoltre sarebbe interessante sapere cosa succede nel tuo calcolo 
raccordando i due tratti rettilinei del circuito con un arco di 
circonferenza invece che farli incontrare ad angolo retto; si dovrebbe 
vedere se il limite per il raggio del raccordo che tende a zero e' 
uguale al risultato che hai gia' ottenuto.
 
A parte questo, le equazioni (Jefimenko, Lienard-Wiechert o Feynman, 
dovrebbero essere equivalenti!) per quello che ne so io dovrebbero 
tenere conto del ritardo.

> Forse si fa prima a trovare i potenziali e dopo i campi (derivandoli).
....
 
D' un' occhiata al post di maestrale1971 si f.i.s.f. (titolo Radiazione 
EM da circuito in continua)  al link che ha li' riportato.

 tenere conto del ritardo.
 
 
 
A me pare che quelle equazioni tengano conto solo del ritardo fra i diversi pezzetti infinetisimi di filo. Non tengono conto del fatto che ciascun singolo pezzetto non puo' essere trattato come una unica particella in moto avente carica lambda0*v, perche', cosi' facendo, si trascurano i ritardi fra le cariche contenute all'interno di ciascun singolo pezzetto.
 
 
 
Anche io, nel mio calcolo, tratto ciascun pezzetto infinitesimo come una unica particella in moto, ma la sua carica e' lambda*dx (non lambda0*dx) dove lambda e' la densita' lineare di carica _efficace_ (lambda0 e' la densita' di carica definita in sincr. standard = - densita' lineare delle cariche ferme).
 
Ciao,
 
Bruno Cocciaro

 Ora calcolo il campo, sia elettrico che magnetico, in ogni punto dello spazio. Poi voglio vedere come sono divergenza e rotore dei campi.
 
Questo e' il controllo che da' la sicurezza (sostituire nelle eq. di 
Maxwell, vedere se sono soddisfatte). Ovviamente per le soluzioni note 
(Lienard-Wiechert etc.) questo dovrebbe essere vero sempre.
 
Per me per oggi e' piu' che sufficiente :-)
 

 Radiazione EM da circuito in continua) al link che ha li' riportato.
Ho scaricato l'articolo, l'ho scorso senza seguirlo (troppe formule
:-) ).
Non lo conoscevo, ed è quindi una coincidenza che nello stesso periodo
mi fossi messo a studiare lo stesso problema, credo sotto lo stimolo
della passata discussione alla quale ha dato il link Giorgio Bibbiani.
Il titolo è
"Perch\'e una spira percorsa da corrente continua non irraggia?"
Purtroppo non l'ho concluso, e per questo non l'ho messo in rete.
Però per la presente discussione forse anche la trattazione parziale
può avere un minimo interesse.
Lo trovate temporanemente in
http://www.sagredo.eu/temp/irragg-spira-inc.pdf
 
 
Noto che l'autore di quell'articolo è lo stesso MacDonald che è citato
in un articolo sul Giornale di Fisica:
http://www.sagredo.eu/articolo/esp-Iorio.pdf
 
 
La relazione tra quest'ultimo problema e quello di cui stiamo ora
parlando è naturalmente il fatto che nel punto di passaggio tra la
semiretta verticale e quella orizzontale i portatori di carica
avrebbero un'accelerazione, quindi dovrebbero irradiare.
E qui, a differenza della spira circolare, non c'è una facile
compensazione (ma azzardo che la compens. ci sia comunque, nei
conduttori "storti".
Però il vero problema è che secondo te (Bruno) il campo elettrico non
sarebbe nullo anche a piccola distanza, quindi senza relazione col
problema della radiazione.
Non ho seguito il tuo discorso, quindi non mi pronuncio (ma sono
scettico).
 
Ho invece provato a fare una stima della forza occorrente per far
deviare gli elettroni dalla direzione y a quella x.
Ecco i dati della stima.
I = 1 A
S = 1 mm^2 (sez. del filo)
n = 10^(-29) m^(-3) (densità numerica degli elettroni).
 
A meno di errori, la forza ha l'espressione
 
F = m*I^2/(n*e^2*S)
 
e vale 1 fN.
 
 
-- 
Elio Fabri

 e vale 1 fN.
 
Confermo il risultato.


 peraltro, e' ben definibile in maniera non convenzionale).
 
Ma dovendo il circuito essere *chiuso*, lambda =/= lambda0 non 
violerebbe la conservaz. della carica?
 
-- 
M.

 M.
 
Ciao,
 
Bruno Cocciaro.

 Elio Fabri
 
Ciao,
 
Bruno Cocciaro.

 Esatto, per quanto io lo direi in altra forma: l'assunzione e' praticamente sempre sbagliata. Solo in alcuni casi particolari (come il filo rettilineo), o sotto particolari condizioni (come velocita' dei portatori di carica<<c), l'assunzione potrebbe valere (esattamente o approssimativamente).
 
 
 
Pero' qua dovrei dirlo meglio. Non e' che, assumendo il paradigma discreto, sarebbero sbagliate le conclusioni che si trarrebbero dal paradigma continuo in quanto tale. Si potrebbe anche seguire un paradigma continuo ma, affinche' i due paradigmi portino alle stesse previsioni, quello continuo andrebbe opportunamento modificato rispetto a come viene seguito oggi (le equazioni di Jefimenko vanno modificate) 
 
Bruno Cocciaro.