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Titolo: Campo Magnetico di una carica in movimento

Qualcuno mi sa spiegare come si ricava l'espressione del sakurai sul
campo magnetico generato da una carica in movimento?
B = (-v/c)xE
Ho provato a ricavarlo dall'equazione di Biot Savart ma non ci sono
riuscito.
Qualcuno mi potrebbe aiutare? L'espressione è fondamentale per
ricavare la Hamiltoniana di Spin-Orbita.
Saluti,
Filiberto

 Filiberto
Ciao, mettiti in quiete con la carica (in cui il campo è quello di
Coulomb E e non c'è campo magnetico B=0).
Quindi cambia riferimento e mettiti in quello in cui la carica ha
velocità v costante. Dalle trasformazioni di Lorentz del tensore
elettromagnetico hai che in questo riferimento, per v<<c:
 E'= E
 B' = (-v/c)xE
Se il moto dell'elettrone non è rettilineo uniforme, puoi comunque
aspettarti che per piccole accelerazioni la formula valga ancora...
Ciao, Valter

  B' = (-v/c)xE
Vorrei aggiungere qualcosa.
In primo luogo, che vale esattamente la relazione
B' = (v/c)xE'   (*)
(col segno opposto, dunque) anche se non e' v<<c.
Poi mi domandavo se non la si potesse dimostrare senza usare le traf.
di L. sul tensore e.m., che sono un po' macchinose.
Proporrei questa via.
1. Dato che il prodotto scalare E.B e' invariante di Lorentz, ed e'
nullo nel rif. della carica, dove B=0, sara' anche E'.B' = 0.
2. Per costruire un vettore ortogonale a E' si puo' solo fare il
prodotto vettore con v: dunque
B' = k vxE'
con k fattore scalare da determinare.
3. Consideriamo un pennello di cariche, per es. positive, con densita'
lineare d e velocita' v.
Alla distanza r dall'asse queste producono un campo elettrico
E' = d/(2pi*r)
e un campo magnetico
B' = dv/(2pi*c*r).
4. Considerando direzioni e versi, di vede che vale la (*).
 
-- 
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.

 con k fattore scalare da determinare.
E' vero... però bisognerebbe esplicitare anche qualche altra ipotesi,
uno potrebbe obbiettare che potrebbero saltare fuori delle derivate di
E per esempio. Bisogna assumere che le relazioni di trasformazione dei
campi siano lineari (vero perché E e B formano un tensore) e che non
ci siano punti o direzioni privilegiate (per il principio di
relatività inteso nella sua forma più generale). Sul resto non ho
commenti.
Ciao, Valter

 no?
Credo che tutto dipenda da che cos intendi con v, con K e con K'.
Direi che le tue formule si applicano se v e' la velcoita' di K
rispetto a K'.
Poi assumi B=0 in K, quindi e in questo rif. che la carica e' ferma.
Poi calcoli B' in K' dove la carica si muove con velocita' -v.
Io invece, seguendo quanto chiedeva l'OP, ho risposto alla seguente
domanda: che relazione c'e' tra B ed E prodotti da una carica che si
muove con velocita' v?
E del resto ho anche indicato un calcolo elementare, con teorema di
Gauss e legge di Biot e Savart.
E' vero che l'OP ha citato una formula come quella che sostieni tu, ma
questo ce lo dovrebbe spiegare lui, chiarendo in che contesto la
riporta Sakurai.
Io un'idea ce l'ho, ma per ora non la dico :-)


Carissimi Elio e Walter,
la formula in questione � le 5.3.3 del sakurai che porta alla
hamiltonina di spin orbita ma il sakurai la generalizza  a una carica
in movimento soggetta a un campo elettrico E. La dimostrazione di
Walter con il tensore elettromagnetico mi convince completamente. Per�
anche io cercavo una dimostrazione alternativa sulla base della legge
di Biot-Savart. La dimostrazione la puoi trovare anche sull'Eisberg.
La legge di Biot Savart �
dB = (mi0/4pi) (i dS x r) / r^3
Se introduciamo la definizione di corrente
dB = (mi0/4pi) (dQ v x r) / r^3
Per una carica puntiforme sar�
B = (mi0/4pi) (Q v x r) / r^3
Ora specifichiamo che siamo nel caso di un atomo di idrogeno o
idrogenoide in cui abbiamo un elettrone che ruota attorno al nucleo di
carica Ze. L'elettrone si muove con una velocit� v nel sistema
solidale con il nucleo mentre se ci mettiamo nel sistema solidale con
l'elettrone il nucleo avr� una velocit� -v. Quindi il campo magnetico
nel riferimento dell'elettrone �
B = - (mi0/4pi) (Ze v x r) / r^3
Il campo elettrico generato dal nucleo �
E = (Ze/4pi eps0) r/r^3
pertanto
B = - eps0 mi0 v x r  =  - (v x E)/ c^2
L'unico problema � il c^2 al denominatore ma penso che sia un problema
dovuto al fatto che Sakurai � in CGS mentre l'Eisberg � in MKS. Questo
� l'unico punto problematico che ho incontrato. La dimostrazione di
Elio � interessante ma non c'� bisogno di scomodare il teorema di
gauss e poi non tiene conto delle costanti come eps0, mi0, c.
In ogni caso il discorso sulla velocit� e su -v ( a seconda del
sistema di riferimento) si pu� sempre fare anche se non � ben definito
il moto della particella carica. Questo � importante perch� ci
permette di fuoriuscire dall'approssimazione del modello atomico di
Bohr, che � decisamente meglio.
Ciao ciao

 La legge di Biot Savart č  [...]
Il problema e' che B-S vale solo per casi stazionari, ovvero per 
densita' di carica costante. Nel caso di una carica singola questa 
condizione ovviamente non e' soddisfatta, e la deduzione che riporti, 
anche se da' il risultato giusto, a rigore non e' corretta. Puoi 
considerarla come un argomento euristico, non di piu'.

 considerarla come un argomento euristico, non di piu'.
Ciao, ma a rigore nemmeno la mia è corretta, o meglio bisogna fare
delle precisazioni: l'elettrone "ruota" almeno classicamente, questo
significa che la sua velocità cambia istante per istante. Per cui la
formula che stiamo considerando la dobbiamo pensare valida ad ogni
istante in un riferimento *differente*, inerziale, che ha la stessa
velocità della carica ma non la stessa accelerazione. Quando facciamo
il calcolo dell'interazione spin-orbita dobbiamo metterci in tale
classe di riferimenti, oppure dobbiamo metterci in quello solidale con
il nucleo atomico? Dal punto di vista teorico la cosa è piuttosto
subdola, in quale riferimento l'hamiltoniano dell'elettrone è quello
coulombiano + quello spin-orbita? (Dove il secondo si interpreta come
se l'elettrone - o meglio il suo momento magnetico - "vedesse" il
campo B  che appare nel suo riferimento inerziale di quiete
istantanea.)
Sappiamo che *se* sommiamo i due hamiltoniani senza pensarci tanto e
diciamo che il risultato è l'hamiltoniano totale dell'eletrone nel
riferimento solidale con il nucleo, i risultati tornano abbastanza
bene con i risultati sperimentali, ma io non ho mai trovato questo una
risposta soddisfacente (poi non è che ci abbia mai pensato tanto).
Ciao, Valter

 Ciao, ma a rigore nemmeno la mia č corretta,
Ma almeno e' valida per il moto rettilineo uniforme; e' certo piu' 
vicina ad una spiegazione rigorosa. Inoltre mi sembra che nella tua non 
ci sia nessun punto in cui si possa dire "qui hai trascurato questo 
termine che deve esserci"; e' lacunosa ma non dimostrabilmente errata. 
Quella che parte da Biot e Savart invece fa (almeno un') ipotesi 
dimostrabilmente non verificata.