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Titolo: [Esercizio] Potenziale elettrico di un punto

Una linea di cariche crea nel punto P un campo
elettrostatico E=<Ex, Ey>. Per trovare il potenziale
ho integrato il campo elettrostatico da P a infinito
usando un integrale di linea e visto che ho le
componenti di E ho usato un integrando del tipo
(Ex)dx + (Ey)dy, invece di (E)dr.
Purtroppo il risultato è il doppio di quello corretto.
C'è un errore di calcolo o posso calcolare il potenziale
in qualsiasi direzione (per esempio la più facile) dal
punto P?
 
Ciao!
 

 punto P?
 
Bisognerebbe che tu esplicitassi il problema e il tuo
tentativo di soluzione, perche' ti si potesse dare un
consiglio utile.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 punto P?
 
Difficile rispondere senza la sfera di cristallo. Perche' non scrivi 
cosa hai usato per Ex Ey e E ?
 
Giorgio

 consiglio utile.
 
Beh, pero' una risposta la si puo' dare...
 
C'e' sicuramente un errore di calcolo, o tuo, o di chi ha calcolato il 
risultato che chiami "corretto", e *proprio* perche' si puo' calcolare 
il potenziale in qualsiasi direzione (per esempio la più facile).
 
 
-- 
TRu-TS
buon vento e cieli sereni

Ecco qualche dettaglio.
 
Diciamo che le cariche sono positive e distribuite uniformemente
su una linea che va da x=0 a x=L.
 
Ko = 1/(4*pi*eps_0)
lambda = Q/L
 
Le componenti Ex ed Ey, solo per questo caso specifico, sono:
 
Ex = (Ko)*(lambda)*((1/sqrt((x - L)^2 + y^2)) - (1/sqrt(x^2 + y^2)))
Ey = ((Ko)*(lambda)/y)*((x/sqrt(x^2 + y^2)) - ((x - L)/sqrt((x - L)^2 + 
y^2)))
 
Nel punto P(0,a), con a>0, il campo elettrostatico è un vettore che
ha una componente orizzontale Ex negativa e una componente verticale
Ey positiva:
 
Ex(0,a) = (Ko)*(lambda)*((1/sqrt(L^2 + a^2)) - (1/a))
Ey(0,a) = ((Ko)*(lambda)/a)*(L/sqrt(L^2 + a^2))
 
Devo trovare il potenziale V nel punto P(0,a) rispetto a zero,
cioè rispetto ad un punto che si trova a distanza infinita da P(0,a)
in direzione di E=<Ex, Ey>. Visto che ho le componenti di E, invece
di usare l'integrale V=int(E dr) uso l'integrale V=int((Ex)dx + (Ey)dy).
L'integrale per trovare il potenziale si ricava dall'integrale
che si usa per calcolare il lavoro, quindi lo svolgimento dei
calcoli dovrebbe essere lo stesso:
 
1) Parametrizzare il percorso dal punto iniziale al punto finale:
   in questo caso il percorso sarebbe da P(0,a) ad infinito in direzione
   di E, ma ho le componenti di E, quindi l'idea era di andare verso
   infinito lungo la direzione di Ex ed poi Ey. Visto che il percorso
   deve essere orientato(ed in questo caso è definito per casi) ho
   parametrizzato per x e y in questo modo:
 
   C1 -> x=x => dx=dx, -inf < x < 0
         y=a(costante) => dy = 0 => (Ey)dy=0
 
         integrale curva C1 = int((Ex)dx) da -inf -> 0
 
   C2 -> x=0 => dx=0 => (Ex)dx=0
         y=y => dy=dy, a < y < +inf
 
         integrale curva C2 = int((Ey)dy) da a -> +inf
 
   Il percorso dovrebbe essere orientato: per C1 parto da
   -inf(la componente orizzontale Ex è negativa quindi parto
   da -inf) vado verso destra fino al punto P(0,a); poi dal
   punto P(0,a) vado verso l'alto a +inf per la curva C2
   (cioè l'asse delle y).
 
2) Sostituire i parametri dentro Ex e Ey:
   ho parametrizzato per x e y quindi sono a posto.
 
3) Sparare il tutto dentro l'integrale e fare i calcoli:
   in questo caso gli integrali sono due, per trovare il
   risultato finale devo sommarli.
 
I due integrali danno lo stesso risultato(che dovrebbe essere quello
corretto):
 
V = (Ko)*(lambda)*LN((L + sqrt(L^2 + y^2))/y)
 
 ma purtroppo quando vado a fare la somma ho *due* volte il
risultato corretto.
 
Ciao!
 

 Difficile rispondere senza la sfera di cristallo
 
Provo a usare la mia :-)
 
Alberto, hai per caso sommato
 
int_x(P)^inf Ex dx lungo la semiretta y=y(P) e
 
int_y(P)^inf Ey dy lungo la semiretta x=x(P) ?
 
Perche' allora e' chiaro che ti viene il doppio del potenziale, ognuno 
dei due integrali e' sufficiente a calcolarlo tutto.


Il 18/02/2016 02:29, alberto ha scritto:
 
 >     l'idea era di andare verso
 >     infinito lungo la direzione di Ex ed poi Ey.
 
Bingo! La mia sfera di cristallo funziona ancora! :-D
 
 >     C1 -> x=x => dx=dx, -inf < x < 0
 >           y=a(costante) => dy = 0 => (Ey)dy=0
 >
 >           integrale curva C1 = int((Ex)dx) da -inf -> 0
 
Con questo hai calcolato il potenziale in P.
 
 >     C2 -> x=0 => dx=0 => (Ex)dx=0
 >           y=y => dy=dy, a < y < +inf
 >
 >           integrale curva C2 = int((Ey)dy) da a -> +inf
 
e con questo l'hai calcolato di nuovo. Se sommi i risultati, ovviamente 
ottieni il doppio del risultato corretto.



 
Il motivo?
Perchè il potenziale è una grandezza scalare o perchè sto andando verso
infinito e non importa la direzione?
Andare verso infinito in direzione di E non è la stessa cosa che andare
verso infinito lungo ognuna delle componenti di E?
 
Ciao!
 

 verso infinito lungo ognuna delle componenti di E?
 
No, lungo UNA delle componenti di E, non entrambe.
 
ciao


 No, lungo UNA delle componenti di E, non entrambe.
 
Per la precisione, si va a infinito lungo una direzione, non lungo una 
componente del campo.
Lungo questa direzione puo' succedere (come nel caso in questione) che 
solo una componente del campo sia diversa da zero.
 
In questo problema E ha direzione radiale rispetto al filo. Se ci si 
muove lungo l' asse x c'e' solo Ex, lungo y solo Ey e lungo qualsiasi 
altra direzione ci sono due componenti Ex e Ey (ciascuna delle quali 
funzione dela sola distanza radiale).
 
Per un campo radiale la cui intensita' E(r) dipende solo dalla distanza 
r dal filo
Ex= E(r) cos(phi)
Ey= E(r) sin(phi)
 
se phi e' l' angolo che individua una determinata direzione radiale.
Uno spostamento di ampiezza dr avra' lungo questa direzione avra' componenti
dx = dr cos(phi)
dy = dr sin(phi)
 
e il lavoro lungo questa direzione corrispondera' ad integrare da r_a a r_b
E.dr = Ex dx + Ey dy = E(r) dr cos^2(phi) + E(r) dr sin^2(phi) = E(r)dr
 
(il primmo termine e' un prodotto scalare tra vettore E e vettore 
spostamento dr. Nei casi estremi di phi=0 o phi=pi/2 E coincide col solo 
Ex o Ey.
 
Giorgio

 solo una componente del campo sia diversa da zero.
 
OK. Grazie mille per le risposte, ragazzi!
 
Credo di aver capito.
Ho frainteso il significato di potenziale V=0 a distanza infinita.
Insomma posso considerare l'infinito come un
*unico* punto(anche se ci arrivo con percorsi
diversi) con potenziale V=0; il lavoro svolto
dal un campo elettrostatico su una carica che parte
da infinito fino al punto P č lo stesso
indipendentemente dal percorso. Quindi se devo
trovare il potenziale di un punto P rispetto a V=0,
parto da P e vado verso infinito usando il percorso
piů facile(tanto il risultato č lo stesso per
qualsiasi percorso).
 
Ciao!
 

 qualsiasi percorso).
 
Si'. Ma attenzione che questa e' una caratteristica particolare del 
campo di forze. Non e' vera per qualsiasi dipendenza del campo dal 
punto. Quindi, o hai una caratterizzazione del campo che ti permette di 
concludere sull' indipendenza dal cammino, oppure devi dimostrarla (per 
ogni cammino possibile).
 
Giorgio