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Titolo: tempo di Planck

 Per calcolare il tempo di Planck (o quanto elementare di tempo) 
bisogna tener presente che, secondo la relazione di Heisenberg, 
l'energia moltiplicata per il tempo non può essere inferiore alla 
costante di Planck: E * t >= h. L'ENERGIA CONTENUTA IN UNA SFERA DI 
RAGGIO ct, SECONDO LA RELATIVITA' GENERALE, E' UGUALE A c^5*t/G. 
Quindi tPlanck = sqr(hG/c^5).
Quel che mi chiedo è: PERCHE' l'energia contenuta in una sfera di 
raggio ct è uguale a c^5*t/G ? Qualcuno può spiegarmelo? Grazie.

 raggio ct č uguale a c^5*t/G ? Qualcuno puň spiegarmelo? Grazie.
Come sarebbe bello se quelli che non sanno la fisica non pretendessero
di spiegarla agli altri...
Quell'uso della rel. di Heisenberg e' barbaro.
Quanto c^5*t/G, la sola risposta seria che ti si puo' dare e' che
c^5/G e' l'unica grandezza con le dimensioni di una potenza che si
puo' costruire con c e G, e che quindi puo' comparire in rel. generale,
dove appunto c e G sono le sole costanti universali che contano.
Sarebbe quindi stato piu' corretto dire fin dall'inizio: vogliamo
costruire un tempo che abbia a che fare con la rel. gen. e con la mecc.
quantistica.
Dunque le sole costanti utilizzabili sono c, G, h.
Con queste costanti, l'unica espressione che abbia le dimensioni di un
tempo e' sqrt(h*g/c^5).
Faccio anche notare che di solito nell'espressione non si usa h, ma
hbar, ossia h/(2*pi).
Resta pero' la domanda sul significato fisico di questo tempo.
La cosa piu' semplice che posso dire e' questa.
Nei comuni modelli cosmologici (in rel. generale) esiste una
_singolarita'_ (il famoso "big bang") che e' un istante nel quale le
dimensioni dello spazio si annullano, la densita' di materia va a
infinito, la temperatura lo stesso.
L'obiezione piu' ovvia e' che la teoria non tiene conto degli effetti
quantistici (la RG non e' quantistica) e si puo' pensare che se si
sapesse tener conto di tali effetti la singolarita' potrebbe non
esserci.
Comunque, che per tempi abbastanza vicini al big bang le eq. della RG
non possano essere valide.
Ci si domanda allora che scala di tempo sarebbe interessata a queste
deviazioni, e la risposta e' data appunto del tempo di Planck.
Ripeto che - mancando ancora una teoria quantistica della gravitazione
- la sola cosa che si puo' fare e' congetturare l'ordine di grandezza
di questo tempo con argomenti dimensionali.
Dimenticavo: il tempo di Planck e' dell'ordine di 10^(-43) secondi.
 
-- 
Elio Fabri

 raggio ct č uguale a c^5*t/G ? Qualcuno puň spiegarmelo? Grazie.
Il discorso si basa su aspetti puramente spelucativi e teorici,
comunque la valutazione (qualitativa + che altro) discende da una
analisi dimensionale.
Un ipotetico micro-corpo di dimensioni infime potrebbe essere talmente
energetico da far si' che la sua lunghezza d'onda sia dello stesso
ordine del suo raggio di Schwarzschild, avendo quindi una situazione in
cui la sua lunghezza d'onda Compton vale quanto il suo raggio di
Schwarzschild che indica appunto la lunghezza di Planck. Un buco nero
di raggio Schwarzschild ( 2Gm / [c^2] ) e lungh.Compton  ( h / mc ) le
ha pari se ha massa m ~ (hc/G)^1/2.
Siccome E=mc^2  trovi che : E~(hc^5/G)^1/2....
Il t di Planck e' quello impiegato da un fotone a percorrere una
lunghezza di Planck, quindi nella relazione di indeterminazione vi
entra sia E (ricavata sopra) che il t di Planck.... e cosi' i conti
approx. tornano....

 wrote in message
news:200609031...@mynewsgate.net

Ti dico una possibile combinazione di formule per derivare questa
grandezza e poi aggiungo un commento con le mie perplessità
circa l'interpretazione corrente. 
E = h/T (questa relazione lega in vero il periodo di un fotone
alla sua energia). 
c T = L (questa relazione lega il periodo di un fotone alla sua
lunghezza d'onda).
E = mc^2 (questa relazione lega l'energia di riposo di un corpo
di massa m alla velocità della luce)
Gm^2/r = E (questa relazione lega l'energia potenziale di un sistema 
a due corpi di massa m alla loro distanza). 
la terza nella quarta porta a 
GE/rc^4 = 1
ovvero:
 
E = c^4 r/G 
da cui sostituendo r = c T risulta 
E=c^5 T / G.
ora ricorrendo alla prima equazione trovi  
T_p = sqrt(G h /c^5). 
da questa trovi una scala di lughezza:
L_p = c T_p
da questa poi trovi:
E_p = h/T_p
ed infine:
M_p = E_p/c^2
Questo schemino di formulette ha anzitutto una
utilità pratica in fisica. E' alla
base della costruzione di un sistema di unità 
di lunghezza, tempo, energia, massa che hanno 
la seguente proprietà: quando si convertano le
unità del sistema internazionale in termini di
queste unità "assolute" le costanti fondamentali
risultano uguali fra loro ed in particolare:
G=c=h=1. Il che permette di scrivere tutte le 
formule in modo semplificato. Si può includere
fra le costanti anche quella di Boltzmann risulta
k=1 in termini di unità fondamentali se assumiamo 
la posizione k Temp_p = E_p. C'è anche da ammettere
che queste formulette base sono in numero critico,
da un'altra relazione fondamentale un'altra costante,
che legasse lo stesso insieme di grandezze, non potrebbe
più essere posta arbitrariamente uguale ad 1. Non sarebbe
la prima volta che questo si verifica. Esistono
effettivamente grandezze adimensionali che non possiamo
porre uguali ad uno, sono emerse quando si è giunti
ad una migliore comprensione dell'elettrodinamica.
e^2/(2 eps_o h c) = 1/137,035
Oltre questa utilità pratica
Eddington tuttavia vedeva, nella combinazione
delle equazioni fondamentali,   
una portentosa opportunità di progresso della conoscenza, 
Einstein e Dirac leggevano invece, in queste considerazioni, 
un indizio di esistenza di una teoria ulteriore ma nessuna 
significativa interpretazione fisica conclusiva. Dirac, 
nella fattispecie, leggeva nella spropositata varietà 
di scale di grandezza e di tempo costruibili (per esempio
considerando altre lughezze fondamentali come la dimensione
dell'universo o una stima della sua massa totale) l'indizio
della nostra misconoscenza di altre leggi e grandezze 
fondamentali che legassero fra loro i fenomeni su scala microscopica
ai fenomeni su scala macroscopica. Una delle profezie di Einstein è
rimasta in alcune sue lettere e suona come: "nulla ci lascia pensare
che le nostre conoscenze sulla natura abbiano raggiunto una tale
completezza da poter dire che disponiamo di una teoria fondamentale,
per come la immagino io una teoria fondamentale,  dovrebbe legare fra
loro grandezze adimensionali che tengano traccia dei rapporti armonici
fra alcune delle tante grandezze che possiamo osservare in natura,
e fra altre che ancora non conosciamo, in un modo tale che 
l'architettura dell'universo appaia come una perfetta costruzione
descrivibile nelle sue linee portanti da relazioni esatte, possibilmente
semplicissime, fra le parti" il discorso di Einstein è in vero molto 
più articolato e si sviluppa anche in direzione critica rispetto alla 
possibilità concreta che un giorno si possa giungere ad una tale teoria,
e soprattutto circa il fatto che una teoria del genere risulterebbe
completa. Einstein dice infatti: " per quanto sia nei miei desideri
giungere ad una tale comprensione della natura, è pur sempre nella 
natura che risiedono i confini ed i limiti della nostra possibilità
di comprensione per mezzo dell'esperienza, e non possiamo sapere
se la soddisfazione di questi desideri rientri nei piani della 
natura". 
Ad ogni modo al tempo in cui Einstein scriveva già
esisteva  anche un altro modo, meno aleatorio, di giungere
ad una scala di tempo simile a quella che abbiamo
illustrato prima. Si tratta di un modo più legato
a considerazioni fisiche fondamentali. 
Esiste una relazione che lega la massa di un buco nero
a simmetria sferica alla sua estensione questa relazione
è dovuta a Chandrasekar:
r = 2GM/c^2  
un buco nero di raggio ct ha quindi massa M = c^3t/2G
che risulta legata all'energia di riposo di una massa
M della relatività ristretta al modo seguente:
E = c^5t/2G (a meno del denominatore 2 è come la relazione
trovata prima). 
Dal tempo di Einstein (che già conosceva ancha la costante
di struttura fine che abbiamo scritto prima) altri progressi
sono stati compiuti, sia teorici sia sperimentali.
Hawking ha trovato un'altra equazione che lega il 
raggio di un buco nero con una temperatura. 
Questa temperatura una volta che la scrivi ha 
la forma seguente: 
hc/(8pi^2 k r) e da luogo all'energia di equipartizione:
hc/(8 pi^2 r) 
se, per avventura, proviamo ad uguagliare questa energia
con l'energia di riposo che corrisponde alla massa 
di un buco nero di raggio r trovi una nuova equazione 
del tipo di quelle che abbiamo scritto in principio, 
e che vincola il raggio ad un valore di 
sqrt( G h/ 4 pi^3 c^3).
il raggio di Planck che avevamo trovato rendendo 
adimensionali h,G,c è sqrt(Gh/c^3). Quello che 
si potrebbe pensare è che comincia ad emergere
un quadro coerente più vicino ai desideri di 
Einstein. Oggi esistono dei fisici che sono convinti
che quello che emerge pian piano è una dualità
conforme, insieme con altri tipi più cogenti di
dualità che vincolano effettivamente i fenomeni su 
scala universale  ai fenomeni su scala microscopica 
in termini di relazioni molto semplici. Esistono 
tuttavia delle cautele doverose. La temperatura
di Planck di un buco nero non è mai stata osservata
e risulta molto inferiore alla temperatura degli 
oggetti che si muovono intorno a quelli che riteniamo
essere buchi neri, quindi risulterebbe drammaticamente
esclusa da ogni possibilità di osservazione. 
Tuttavia
esistono altre equazioni molto prossime, per contenuto
teorico, alla relazione di Hawking e queste invece risultano
nelle evidenze sperimentali quali la radiazione di fondo 
e le sue anisotropie, che sono almeno in linea di principio
meglio misurabili. Allo stato attuale, tuttavia, lo scetticismo
che Dirac nutriva nella prima metà del secolo rispetto al grado
di comprensione raggiunto della natura merita di essere tenuto sempre 
vivo. Quanti protoni, quanti neutroni, quante antiparticelle, 
che radiazione di fondo, che grado di isotropia, che 
densità di energia, come darle un significato, tutte queste
entità e le molte altre evidenze che giungono dall'universo
lontano, avrebbero dovuto essere spiegati, a parere di
Dirac da un modello cosmologico, in cui le costanti fondamentali
misurate nell'universo vicino giocassero un ruolo centrale. 
Oggi abbiamo una migliore idea di quanto valgano queste 
grandezze rispetto al tempo di Dirac e una miriade di 
modelli cosmologici si sono alternati da quel tempo,
ma una coerenza fra tutti gli aspetti osservativi è
lontana dall'essere raggiunta. 
-- 
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http://arianna.libero.it/usenet/

 di questo tempo con argomenti dimensionali.
Domanda da profano: chi ci garantisce che non ci siano delle costanti 
adimensionali che portino ad un valore completamente diverso?
La divisione per 2Pi è un esempio, ma in linea di principio potrebbe 
anche essere divisa per 2000 Pi.
O no?
saluti,
Peltio
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 Planck rimane una posizione saggia, ma potrebbe essere rivedibile.
Tanto per cambiare di quasi tutto quello che scrivi capisco troppo
poco per poterlo commentare.
Pero' la frase che ho appena citato mi ha fatto venire in mente
un'osservazione che mi ha colpito molto quando l'ho scoperta :) tanto
che poi l'ho sempre raccontata a lezione.
C'e' un impiego della massa di Planck M_P nell'astrofisica "classica",
che di solito non viene evidenziato.
Comincio col ricordare che M_P vale circa 2x10^(-5) g, e la massa del
protone m_p = 1.6x10^(-24) g: il loro rapporto (numero puro) e' 10^19.
(Questo ha a che fare con la posizione di Dirac...).
Se andiamo a calcolare la massa di Chanrdasekhar, che e' la piu'
grande massa possibile per una nana bianca, troviamo che a parte
fattori numerici piccoli, essa si scrive
M_P*(M_P/m_p)^2.
Di solito la trovate espressa in termini di h, G, c, m_p, in un modo
complicato che non mostra questa semplice relazione...
E' anche notevole che la massa di Ch. sia praticamente uguale (un
fattore 1.4) alla massa del Sole: qualche unita' x 10^33 g.
Questo non sarebbe affatto scontato, se considerate che la massa
tipica di una stella di sequenza principale di vita lunga (come
appunto il Sole) e' determinata da fattori del tutto differenti da
quelli di una nana bianca.
Ma la cosa che piu' colpisce e' l'intervento - al quadrato - del
numero puro M_P/m_p.
Il che dimostra tra l'altro l'impossibilita' di arrivare alla massa di
Ch. con argomenti dimensionali...
 
-- 
Elio Fabri

 circa l'interpretazione corrente. 
[cut]
Una curiosità: perché si parla di tempo (lunghezza, massa, etc.) di Planck?
E' perché sono grandezze "piccole" e la loro dimensione ha a che fare
(anche se non solo) con la relativa piccolezza di h, oppure perchè fu
Planck in qualche suo lavoro a introdurle per la prima volta?
E, se non Planck, chi fu il primo a definirle?
Saluti,
Aleph   
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

E, se non Planck, chi fu il primo a definirle?
Per quel che ho letto su Barrow, "I numeri dell'Universo", è stato lo 
stesso Planck a proporre un insieme di unità che chiamò "naturali" 
fondate su G, c e appunto su h da lui trovata.

 Ch. con argomenti dimensionali...
Non ne sarei del tutto sicuro, nell'accezione contemporanea gli
argomenti dimensionali sono anche gli argomenti che riguardano
i fattori di riscalamento rispetto al gruppo di rinormalizzazione
dimensionale.
Variando le costanti la massa del protone potrebbe scalare in
linea di principio diversamente da come scala la massa di Planck,
quindi un argomento dimensionale potrebbe sussistere.
In base a questi argomenti alcuni esponenti possono essere
predetti. Magari non così semplicemente in questo caso, ma
chissà? Forse in un qualche futuro. Una storiella al margine
di questa lunga discussione: Heisenberg in una lettera a
Dirac scrisse: "La costante di struttura fine?" Suppongo sia
pi / 2^4 x 3^3. Ma naturalmente è uno scherzo".
Avevo letto a suo tempo il libro di Barrow che riporta questo
aneddoto senza prestare attenzione alla numerologia specifica,
ma tempo addietro riflettendo sulla formula di Erone e sul triangolo
equilatero è saltato fuori 1 / (2^2^2 x 3^3). Sarebbe il quadrato dell'area
di un triangolo equilatero di perimetro uno, ed ovviamente è anche
l'area massima per un triangolo a parità di perimetro. Inoltre
2^2^2 a differenza di qualsiasi numero a^a^a non è ambiguo.
Pi greco
invece non avevo idea di come ottenerlo in termini di aree,
poi riflettendo su una generalizzazione dell'argomento di
Archimede per la superficie della sfera ho trovato questo:
Considero il rapporto fra l'area della superficie
di una sfera di perimetro unitario
ed un triangolo di perimetro 1.
Considero poi il rapporto fra l'area della superficie di una sfera di raggio
Gamma(1/2) (la radice di pi greco) ed un triangolo di perimetro 1.
Risulta che il prodotto di questi rapporti è un numero adimensionale
0.72722. Spero di avere contribuito a ricostruire alcuni dei possibili
argomenti ludici di Heisenberg :-).


 fondate su G, c e appunto su h da lui trovata.
Non è esattamente così (vedi i riferimenti nell'altro messaggio): la
proposta delle unità naturali è precedente alla sua "scoperta" di h.
Ennesima conferma del fatto (cui accenna se non ricordo male anche
Feynman in qualche suo libro) che la storia della fisica raccontata dai
fisici è spesso molto diversa dalla storia vera...
-- 
ws

 E, se non Planck, chi fu il primo a definirle?
Effettivamente l'idea di un sistema di unità di misura "naturale" è
stata introdotta da Planck in un lavoro del 1899. Su Wikipedia trovo che
il riferimento esatto è:
"Über irreversible Strahlungsvorgänge", Sitzungsberichte der Preußischen
Akademie der Wissenschaften, vol. 5, p. 479.
(pare sia anche visionabile via internet...)
Da notare che il celeberrimo lavoro sullo spettro del corpo nero è
*posteriore* di più di un anno all'articolo in questione, tant'è vero
che in esso h non compare affatto...
-- 
ws

 Aleph wrote:



Se ho capito bene h non compare nel lavoro del 1899, ma allora vuol dire 
che Planck non potè ricavare le le "grandezze di Planck" in quel lavoro.
Ma allora chi fu il primo a farlo? Planck in un suo lavoro posteriore al
1900 o qualcun altro?


 la proposta delle unità naturali è precedente alla sua [di 
Planck] "scoperta" di h.
È vero: infatti in quel libro (Barrow, "I numeri dell'Universo") da me 
citato si parla di un certo Stoney, che propose delle "unità naturali" 
basandosi su G, c ed e (carica dell'elettrone). Quelle di Planck hanno avuto 
più fortuna, forse perché sono state proposte a ridosso della rivoluzione 
quantistica.


Sarà che non ho abbastanza confidenza con il
tedesco, ma io in quell'articolo di Planck le unità
naturali le ho trovate solo evocate come una
necessità logica conseguente alla determinazione
di una soglia di ignota natura fisica all'energia
emessa da un dipolo. Non ho trovato alcun numero
e non ho trovato alcuna formula che pretendano di
definire (per mezzo di sostituzione di numeri misurati)
un sistema di unità naturali.
Forse si possono desumere dalla costante di Stefan
anche senza una teoria quantistica e senza equivalenza
massa energia:
aT^4 = E
kT = E
1/2 mv^2 = E
c = L/T.
dalla quarta si riduce una dimensione delle quattro L,M,T, Temp
dalla terza si desume un'unità di Energia come l'energia cinetica
associata ad una data massa in moto alla velocità della luce (non
ha alcun significato alla luce della relatività ma ciò non toglie che
sia un link dimensionale corretto). Dalla seconda si ha la temperatura
in termini delle unità di massa, dalla prima si ha una relazione
adimensionale.
Proviamo a vedere che valori sortiscono?
