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Titolo: la lampadina questa sconosciuta

0)
da cui sostituendo:
(*)   i = VS/L(ro0 (1+a DT) )
si vede che questa relazione lega i e dT e non il tempo.
 A tale scopo bisogna legare la temperatura in funzione del tempo, a
tale scopo si può considerare l'identità:
Vi t =c m DT
ovvero
i^2 R t=c m DT
da cui
sostituendo R e risolvendo l'equazione di secondo grado in DT
DT = (-1+sqrt(1+4av^2t/mcro0)/a
sostituendo in (*)
i= VS/Lsqrt(1+4av^2t/mcro0)
ne segue che si ha una funzione del tipo k/sqrt(1+zt) una sorta di
iperbole equilatera con esponente frazionario 1/2, questo significa che
per t che tende ad infinito la lampadina si spegne, ciò è chiaro che
non corrisponde al reale (o no?)
Cosa ne pensate?

 Vi t =c m DT
No, qui non ci siamo. A parte che hai scritto Vi e dovevi scrivere la
potenza elettrica (come poi hai fatto bene appena sotto con i^2 R),
solo una piccolissima parte della potenza elettrica di una lampadina va
a scaldare il filamento, il resto (la stragrande maggioranza durante il
transitorio, la totalita' a regime) viene irraggiato sotto forma di
calore e (guarda caso) anche sotto forma di luce.
Quindi da qui in poi la tua trattazione non va bene.
Qualitativamente:
abbiamo un transitorio iniziale che dura una frazione di secondo piu' o
meno grande a seconda della capacita' termica del filamento. Avrai
notato a questo proposito che le lampade a bassa tensione (quelle delle
auto 
p.es
.) a causa del filamento grosso si accendono e si spengono un
po' piu' lentamente di quelle ad alta tensione (quelle di casa 
p.es
.)
che hanno il filamento sottile.
Durante questo transitorio, dicevo, avremo una salita di temperatura da
quella ambiente a quella di esercizio della lampada (2000-2500 o anche
piu' gradi a seconda del tipo di lampada). All'istante 0 tutta la
potenza va a scaldare il filamento. Esso pero', quasi subito, comincia
a irraggiare e, alla temperatura di esercizio, tutta l'energia
elettrica sara' irraggiata e il filamento non si scaldera' piu'
All'inizio avremo quindi una resistenza elettrica molto bassa, quindi
una corrente molto alta. Col riscaldamento, questa resistenza
aumentera' (di quasi 20 volte) e con essa diminuira' la corrente piu' o
meno come ho cercato di mostrare qui sotto.
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Ovviamente in ordinate la corrente, in ascisse il tempo.
La vera equazione analitica (anche se approssimata) e' assai difficile
da ottenere perche' richiede la risoluzione di un'eq. differenziale,
ulteriormente complicata dal fatto che l'irraggiamento va con T^4 (T
temperatura assoluta)
Saluti e, comunque complimenti per la parte svolta
Mino Saccone

 Vi t =c m DT
Scriverň:
V^2it = c m DT+ sigmaT^4
(sarebbe meglio porre "a* sigma T^4" visto che il filamento non č
propriamente un corpo nero, forse quando si arroventa lo si puň
approssimare come tale)
cioč devo tenere conto della legge di Stefen, giusto?
Ora perň T e  i  sono funzioni del tempo t, a questo punto cosa fare?
Grazie

 Ora perň T e  i  sono funzioni del tempo t, a questo punto cosa fare?
Certo, siamo arrivati all'equazione differenziale a variabili
separabili (anzi gia' separate) che si risolve calcolando l'integrale a
destra dell'uguale che e' del tipo
integr(dx/(a + bx^4))
Io non so risolverlo analiticamente, ma la mia matematica e' vecchia di
quarant'anni. Se qualcuno sa come fare.
Se no si integra numericamente.
Qualitativamente vale quanto gia' detto.
Saluti
Mino Saccone

 Mino Saccone
Saluti anche a voi
Ciao 
Patrizio

 potenza elettrica (come poi hai fatto bene appena sotto con i^2 R),
E' corretto comunque. No? Ri=V dunque Ri^2 ovvero anche V^2/R
dato che V è costante. Per il resto sarebbe bastato, immagino, il
commento: facciamo l'ipotesi che la dissipazione elettromagnetica e
termica, nel brevissimo transiente, sia
del tutto trascurabile. Quindi bastava mettere qualche numero, a
voler essere quantitativi oppure qualche ragionamento a supporto
di questa ipotesi. Mettiamo tutte e due. La
potenza prodotta nell'unità di tempo è V^2/R. [Facendo l'ipotesi di
una corrente alternata per un tempo di qualche decimo di
secondo la dissipazione è circa V^2/2R] Per V = 220 Volt ed
un consumo di E_p=100 W otteniamo una resistenza a regime di
R=V^2/2(E_p) = 220^2/200= 1.1 x 220 = 242 Ohm.
La superficie di un filamento può essere approssimata immaginando
una geometria ad elica di passo .1 mm raggio .5 mm diametro 10 micron
e lunghezza totale 1 cm. Si ottiene 0.01/.0001 = 100 spire di lunghezza
3.14 mm per un totale di 314 mm = .314 m. La superficie laterale è allora
6.28 x (10^(-5)) x (.314) = 1.97 x 10^(-5) m^2 Assumendo che tutti i cento
watt fossero dissipati in luce (che non è perchè una parte di
energia viene dissipata in energia termica attraverso il supporto del
filamento)
si ottiene un limite superiore alla temperatura di regime con l'ipotesi che
questa luce
sia radiazione di corpo nero di temperatura T e ricordando che
la costante di Stefan vale 5.67 e -8 W m^-2 K^-4. Dunque il limite
superiore alla temperatura è dell'ordine di 3100 K. Per questa
temperatura la lunghezza di Wien è 2.9 e (-3)/3100 poco meno di
1000 nanometri. Questo dà ragione del fatto che le lampadine
ad incandescenza hanno una bassa efficienza nel visibile: solo
il 40% della energia prodotta va in luce. Il resto alimenta modi
elettromagnetici infrarossi.
Anche ipotizzando che solo metà della potenza sia diffusa
per via elettromagnetica si avrebbe un valore di poco inferiore
(la potenza frazionaria 1/4 di 2 è 1.19) per la temperatura ed un
poco maggiore per la lunghezza di Wien.
Prima del raggiungimento di questa temperatura occorre certamente una
fase transiente in cui la temperatura
è inferiore alla metà della temperatura di regime mentre la potenza prodotta
è
doppia (minore resistenza -> maggiore potenza a parità di energia). In tal
modo
la potenza dissipata per via elettromagnetica è inferiore ad un ottavo.
Mentre per via della legge dello spostamento di Wien sappiamo
che la lunghezza di Wien è intorno a 2000 nm. A temperatura ambiente
la dissipazione è nell'infrarosso ma la
potenza bolometrica (ovvero complessiva) si riduce ad una frazione di un
decimillesimo. Invece in ipotesi di andamento lineare della resistività con
la temperatura, la potenza prodotta è dieci volte maggiore.
Volendo impostare le equazioni dettagliate si può procedere in
prima approssimazione assumendo che la potenza prodotta si
esprima istantaneamente sulla superficie e questo conduce alle
equazioni che hai scritto nel post che seguiva. Ma in effetti l'energia
prodotta nell'interno della lampadina deve raggiungere l'esterno
per conduzione e per radiazione e quindi ci impiega un poco.
L'aspetto davvero drammatico del bilancio energetico di una lampadina
è che sia la parte radiativa che la parte termica hanno un ruolo
significativo,
specie nella fase transiente è la modalità vibrazionale del reticolo quella
che ha un ruolo importante, quindi si può ragionevolmente impostare
un'equazione differenziale per il campo di temperatura nel tempo
fino alla superficie. Ma occorre una conoscenza più approfondita
della struttura della materia per comprendere se l'equazione del
calore richiede un coefficiente di conduzione che dipende dalla
frequenza e quale è questa dipendenza nonchè come scrivere
le equazioni di propagazione delle onde elettromagnetiche in un
materiale in cui le bande ottiche sono popolate per effetto della
temperatura.
Saranno poi lineari e differenziali le equazioni, oppure saranno più
adeguate
le equazioni radiative integro differenziali? Infatti viene prodotta luce ad
una
certa temperatura ed assorbita ad un'altra temperatura.
Per i cultori della meccanica quantistica basti citare il fenomeno
della risonanza di scattering nella propagazione di
elettroni nei gas scoperta da Townsend e Ramsauer ed il
fenomeno di Franck Hertz di scattering anelastico. Tutte
conoscenze la cui comprensione organica va molto al
di là persino di un corso universitario di meccanica quantistica.
Quindi devo dire che mi sembra che sia un bel tema d'esame
per un liceo, se non altro per gli stimoli a riflettere. Complimenti.

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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 ...
Scusa, in questo modo stai assumendo che il filmento possa perdere
energia solo per irraggiamento.
Secondo me non e' cosi'.
1) Perde energia per conduzione metallica verso i suoi terminali.
2) Ne perde per convezione, visto che nella lampada non c'e' il vuoto.
Non saprei dire quantitativamente in che misura i due effetti siano
importanti, ma a naso direi che lo sono: basta toccare il vetro della
lampadina...
Se mi dici che il vetro si scalda perche' assorbe nell'infrarosso (non
so se sia vero) allora non puoi tanto trascurare Ta^4, almeno nelle
fasi iniziali.
Vorrei anche sapere quanto e' buona la legge di Stefan per i
filamenti: basta trattarli come "corpo grigio", ossia inserire un
fattore correttivo costante?
 
-- 
Elio Fabri

 fattore correttivo costante?
Ah, questo proprio non lo so. Immagino che esistano tabelle sperimentali di
uso comune da parte dei fabbricanti di lampade. Pero' non saprei proprio
dove andarle a cercare.
Saluti
Mino Saccone

 Elio Fabri


 integr(dx/(a + bx^4))
Posso osservare una cosa?
Nel denominatore
V^2/R - alfa sigma (T ^ 4 )
vien fatta una ipotesi che R sia una costante mentre è funzione
lineare della temperatura, come ho già osservato prima vista la
dipendenza lineare della resistività dalla temperatura, ne segue che
siamo di fronte ad una funzione in T del tipo
k/(k'/(a+bT)+cT^4)=(a'+b' T)/(c+cT^4+dT^5).
Da cui un integrale di tipo diverso da quello da te indicato.
Saluti.
Roberto


Proprio cosi'. Svarione mio. Grazie
Saluti
Mino Saccone