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Titolo: Varieta' differenziabili e spazi topologici

Qualcuno potrebbe spiegare ad un povero studente di analisi II Cosa sono
queste follie matematiche? mi fareste un grande piacere.
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Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi

 ha scritto nel messaggio
news:39DA2DF9...@libero.it...
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Allora, uno spazio topologico e'una coppia (X,T)
dove X e T  e' una classe di sottoinsiemi di X detta topologia su X. 
T deve soddisfare le seguenti proprieta'
1) T deve  contenere l'insieme
vuoto 
2) se A e B sono in X allora anche l'intersezione di A e B deve essere in T.
3) L'unione di una quantita' arbitraria di elementi di T deve essere un elemento
di T.
Gli elementi di T si dicono (insiemi) aperti. Se x e' in X, ogni aperto 
che contiene x e' detto intorno di x. (C'e' un'altra definizione di
intorni inequivalente, ma non entro nei dettagli ora).
Esempio banale
e di topologia: prendi R^n e considera le sfere aperte piene di raggi
arbitrari. Considera poi la classe T di sottoinsiemi di R^n data dall'insieme 
vuoto e da tutti gli insiemi che sono unione di sfere del tipo detto.
(R^n, T) e' uno spazio topologico. 
Se (X,T) e (X',Y') e' uno spazio topologico, allora una funzione 
f : X->Y e' detta essere continua se e solo se la controimmagine
di ogni aperto di X' e' un aperto di X.
Si verifica subito che f e' continua se e solo se, per ogni x in X,
la controimmagine di un intorno di f(x) e' un intorno di x. Da cui
nel caso di (R^n,T) si vede che la definizione di continuita' di
f da R^n in R^p equivale a quella data con epsilon e delta...
Ovviamente questi sono i primissimi rudimenti di topologia che 
poi diventa una branca della matematica enorme...
Il concetto di varieta' necessita di quello di topologia.
L'idea e' la seguente, prendi una sfera (superficie) e cerca di
metterci sopra un sistema di coordinate definito ovunque: e'
impossibile, ci sono sempre dei problemi, alcuni punti sulla
sfera (per esempio in coordinate polari sferiche i poli) non sono in
corrispondenza biunivoca con coppie di numeri... Si conclude che 
sulla sfera ci vogliono *almeno* due sistemi di coordinate 
per  poterla descrivere adeguatamente. 
L'idea di varieta' e' quella di un insieme di punti su cui ci sono
vari sistemi di coordinate che costruiscono corrispondenze 
biunivoche tra i punti di sottoinsiemi della varieta' e di R^n.
Lo spaziotempo della relativita' e' una varieta' (dotata di metrica). 
Lo spazio(-tempo) delle fasi di un sistema di Hamilton e' una varieta'... 
gli esempi sono infiniti... Sulle varieta' ci vivono i campi tensoriali
a spinoriali e con quelli si fa tanta bella fisica...
Tecnicamente devi avere un insieme M dotato della struttura 
di spazio topologico di Hausdorff a base numerabile localmente
omeomorfo ad un  R^n. E questa e' una *varieta' topologica*. 
SPIEGAZIONI.
Uno spazio topologico e' di Hausdorff se e solo se per ogni
coppia di punti p e q esistono due intorni uno di p e l'altro
di q, che siano disgiunti. 
"Base numerabile" significa che esiste una sottoclasse numerabile
della topologia con cui costruire tutti gli aperti della topologia.
Il fatto che M sia localmente omeomorfa a R^n, significa che
per ogni p in M esiste un intorno di p ed una funzione da tale
intorno in un intorno in R^n (dotato della topologia di cui sopra)
che sia continua, biettiva e con inversa continua.
L'ultima richiesta dice che localmente M e' "come" R^n,
almeno per la continuita'.
Il perche' delle prime due richieste e' un po' complicato (servono
almeno a costruire una "partizione dell'unita'" e serve a fare 
il calcolo integrale sulla varieta', ma e' veramente complicato 
spiegarlo qui)
Una carta locale sulla varieta' topologica M e' un'applicazione
f da un aperto A(f) di M, detto dominio di f, in un aperto di R^n 
che sia almeno continua con inversa continua. Un atlante 
differenziabile  ordine k>0 (intero) e' un insieme massimale 
di carte locali i cui domini ricoprono tutta M e tale che,
nell'intersezione di due domini A e B, se f e g sono le 
funzioni a valori in intorni di R^n corrispondenti, la funzione
g composta f^-1 e' differenziabile di ordine k.
Ogni carta locale costruisce quindi un sistema di coordinate 
su M e dove sue sistemi di  coordinate si sovrappongono
si passa dalle prime alle seconde con una trasformazione di 
coordinate differenziabile fino all'ordine k.
Una varieta' *differenziabile di ordine k* e' una varieta' 
topologica dotata di un atlante differenziabile di ordine k.
Vabbe' e' fin troppo, mi pare, spero di avervi detto
qualcosa di utile...
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 Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi
Allora, uno spazio topologico e'una coppia (X,T)
dove X e T  e' una classe di sottoinsiemi di X detta topologia su X. 
T deve soddisfare le seguenti proprieta'
1) T deve  contenere l'insieme vuoto e X stesso;
2) se A e B sono in X allora anche l'intersezione di A e B deve essere in T;
3) l'unione di una quantita' arbitraria di elementi di T deve essere un elemento
di T.
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SPIEGAZIONI.
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Ciao, Valter
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 dove X e T  e' una classe di sottoinsiemi di X detta topologia su X.
Mi sono mangiato un pezzo di frase, spero si capisse, doveva essere
dove X e' un insieme e T  e' una classe di sottoinsiemi di X 
detta topologia su X
Ciao, Valter
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 Ciao, Valter
sulla sfera vale la geometria ellittica di Riemann ?
magari ho fatto un gran casino.... perdonatemi
ciao
ele
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Ciao
In questi giorni sto studiando relatività.
Sarei alla ricerca di qualche buon libro sulla geometria differenziale.
Non che mi manchino le definizioni o libri che spieghino k-forme etc.. ma
sarei alla ricerca di qualcosa che contenesse molti esempi, grafici et
disegni in modo da poter avere oltre ad una conoscenza formale anche una
conoscenza intuitiva.
(il titolo ideale sarebbe "La geometria differenziale a fumetti"...)
Per esempio: il duale di hodge di una k-forma.
Bella invenzione! Si nota che la dimensione di una k-forma è la stessa di
una n-k forma e si inventa il duale di hodge.
Intuitivamente a cosa si creca di arrivare col duale di hodge(dalla
definizione so che centra coll'elemento di volume...).
Ancora  sarebbe bello qualche esempio sulla geometria iperbolica in
R2(quasi tutti gli esempi di diagrammi spazio temporali della relatività
speciale sono in 2-D).
Un'ultima osservazione (che mi è passata per la mente or ora) mi pare che
in analisi1 quando si definiva la metrica tra le proprietà che si
richiedevano c'era la diseguaglianza triangolare, mentre non mi pare che
ciò venga richiesto quando si definisce la distanza con i tensori(a dirla
proprio tutta in analisi si chiedeva che la metrica fosse una funzione da
VxX in R+... mentre già la metrica dsi minkowski può dare che la distanza
tra due vettori è negativa) .
Ciao
  Paolo
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   Paolo
 il confronto e` meglio farlo tra la nozione di prodotto scalare
 euclideo e  la nozione di prodotto scalare lorentziano: il primo
 e` definito positivo, cioe` (u,u) > 0 e nullo solo se u =0,
 il secondo e` non degenere, indefinito, con un solo autovalore -1
 quando ridotto a forma canonica di Sylvester.
 La "distanza" sullo spazio (non sui vettori) viene definita 
 sullo spazio a causa del fatto che e` uno spazio affine su cui
 i vettori agiscono come traslazioni.
 La perdita della disuguaglianza triangolare segue solo dalla
 perdita della definitezza positiva del prodotto scalare...
 Ciao, Valter
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 spedisco un ottima referenza in proposito:
EHI, posta sul NG, che anch'io sono interessato !!!
ciao!
a.
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mi associo alla richiesta !
basta co sti libri di geometria differenziale senza neppure un a figura o un
esempio fisico !
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 è sempre magiore di 180° ?
Questa è un'altra conseguenza della sostituzione del "postulato delle
parallele".
Credo che tentando di rifare la classica dimostrazione sulla somma degli
angoli, in assenza di parallele, si ottenga ciò.
Comunque la geometria euclidea continua a valere "in piccolo", proprio
perché la deviazione da 180° dipende dalla dimensione del triangolo. Ciò
implica tra l'altro che non possono esistere triangoli simili non congruenti
(sulla stessa sfera).
ciao
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Danilo Giacomelli
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Il sonno della ragione genera ragionieri
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  Per Avogadro e D'Onofrio ecco la referenza:
  "Differential Forms in Mathematical Physics"
  di C. von Westenholz
  North-Holland, Amsterdam 1978
  Ciao, Valter
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 sulla sfera vale la geometria ellittica di Riemann ?
Naturalmente :-)
 
Ciao
Giorgio
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 (il titolo ideale sarebbe "La geometria differenziale a fumetti"...)
Qualcosa del genere e' il libro di Dodson e Poston "Tensor geometry" Pitman.
Mi sembra di ricordare anche un libro di Spivak ma non ne ricordo il titolo.
Un altro libro che ho trovato estremamente chiaro e leggibile e' 
T. Frankel "The geometry of Physics" Cambridge University Press
Spero sia utile 
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 Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi
Moooolto valido il Frankel, ma trovo ancora imbattibile lo Schutz
" Geometrical methods of mathematical physics" Cambridge
saluti
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è sempre magiore di 180° ?
Questo calcolo viene dallo studio fatto da Gauss sulle curvature di
una superficie. Quando calcoli la somma degli angoli interni e pensi
che sia 180 ti riferisci ad uno spazio EUCLIDEO. Ma delle coordinate
lungo una superficie non sono uno spazio euclideo, a meno che questa
superficie non sia "piatta" (ossia la curvatura delle curve coordinate
sia 0).
Calcolare la formula degli angoli interni non e' difficile. Se stai
alla Sapienza comprati all'ufficio dispense un piccolo fascicolo di
Romani (Geometria I).
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