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Titolo: Dubbi sul Teorema di Gauss

Salve a tutti
Ho una difficoltà nel dimostrare il Teorema di Gauss relativo al
flusso del campo elettrico attraverso una superficie nel caso in cui
la carica non sia puntiforme ma sia una distribuzione continua,
infatti se la carica è puntiforme il flusso del campo elettrico da
essa prodotto attraverso la superficie S è dato da phi(E_0)=Q/eps_0
dove Q è la carica contenuta internamente alla superficie S, se invece
la carica non è puntiforme ma è un distribuzione i carica allora il
flusso assume la seguente espressione phi(E_0)=int_V {rho dx dy
dz}/eps_0 dove int_V è l'integrale esteso al volume V racchiuso dalla
superficie S (cioè il dominio di R^3 di cui S ne è la frontiera).
Questa generalizzazione come si ottiene certamente non sostituendo
brutalmente alla Q  l'integrale su V di rho.
Io ho immaginato che la dimostrazione sia la stessa che viene fatta
nel caso in cui il campo è prodotto da una carica puntiforme se si
suppone di prendere in considerazione un volume infinitesimo in cui
sia presente una carica infinitesima dq=rho dx dy dz e quindi si
ottiene che il flusso del campo elettrico prodotto da tale cubetto
elementare attraverso la superficie S è dato da phi(e_0)=dq/eps_0.
Sommando i contributi di tutti i volumi infinitesimi (dx dy dz) in cui
si è immaginato di dividere il volume V si deve fare l'integrale
esteso al volume V di dq/eps_0 e il risultato che si ottiene è il
flusso del campo elettrico prodotto dalla distribuzione di carica rho
attraverso la superficie S.
Tale risultato però non mi convince molto perché viene condotta
l'approssimazione dq=rho dx dy dz considerata come carica puntiforme.
Questo risultato è legato alla funzione rho e nulla mi assicura che
tale funzione sia finita nel volume dx dy dz o che non sia in alcuni
punti un infinito.
Mi chiedevo se la dimostrazione veniva condotta così o se c'è un
metodo diretto calcolando cioè il prodotto scalare di E_0 * n dS con
E_0=(1/4 pi eps_0) int_V {(rho dx dy dz)/r^2} 
Vi ringrazio sin d'ora per l'aiuto 

 Vi ringrazio sin d'ora per l'aiuto
Prego, ma sono io che ringrazio te. Mi hai dato modo di pensare e
riflettere (all'inizio stavo scrivendo che la tua idea di sommare i
flussi dei volumetti interni per ottenere il flusso totale era
sbagliata, poi mi sono accorto dei contributi delle superfici affacciate
che si compensano e mi sono ricreduto, e' solo (forse!) poco elegante).
Prova invece tu a chiederti la seguente cosa: le carice interne alla
superficie S danno il flusso che abbiamo detto, quelle esterne non
contribuiscono; che dire di quelle esattamente sulla superficie?
Saluti
Woodridge
-- 
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La tua risposta mi ha fatto riflettere, e mi ha reso evidente un
errore concettuale grave che commettevo ma che tu non potevi sapere e
ti ringrazio di ciň.
La dimostrazione "naturale" č chiaramente quella che hai enunciato tu
con gran chiarezza.
Nel formulare la mia dimostrazione avevo come giustamente hai intuito
pensato di sommare dei flussi o meglio il contributo al flusso totale
fornito da ogni singolo volumetto ma ciň evidentemente non era proprio
una idea elegante vero hai ragione!! Mi era venuta in mente perché
quando facevo la dimostrazione considerando prima il campo risultante
dovuto a tutti i volumetti agente sulla superficie elementare dovevo
disfarmi del termine 1/r^2 da cui dipende il campo elettrico che
compare sotto il segno dell'integrale di volume; nella dimostrazione
quando č presente una carica puntiforme il problema non si pone
perché, nel valutare il prodotto scalare tra il vettore dS e E_0 si
pone dS_n=dS cos(alfa) = d Omega*r^2 dove il dSn č la proiezione di dS
sulla sfera avente raggio r e centro in O sede della carica e Omega č
l'angolo solido sotto cui viene vista la superficie dS  dal punto O,
insomma mi hai capito credo sia inutile spiegare il significato dei
simboli, che sicuramente conosci, utilizzando del puro testo a meno di
non ricorrere ad una cosa poco immediata che assomigli ad un sorgente
LaTeX. Ritornando al problema la questione, come dicevo, non si pone
quando vuoi valutare il flusso di una carica puntiforme perché in quel
contesto 1/r^2 del campo elettrico e r^2 che moltiplica l'angolo
solido si elidono. E nel caso di una carica avente una distribuzione
rho come togliere il fattore 1/r^2 che compare nell'espressione del
campo elettrico? Ebbene il suggerimento me l'hai dato facendo
l'esempio di due cariche in quel caso infatti gli angoli solidi da
considerare sono due uno relativo alla carica q_1 e uno relativo alla
carica q_2 e allora passando al caso di una distribuzione di carica di
volume l'angolo solido da considerare  d omega va messo sotto
l'integrale di volume perché ad ogni volumetto (cioé carica
elementare) corrisponde un suo angolo solido d omega e quindi anche
l'annesso r^2 č ogni volta dipendente dalla carica elementare che si
sta scegliendo e quindi si elide con quello che compare al
denominatore nell'espressione del campo elettrico e sono ambedue sotto
lo stesso integrale.
Quanto all'ipotesi di considerare puntiforme la carica presente nel
volumetto dx dy dz la tua spiegazione mi ha fugato ogni dubbio
Spero di essere riuscito a spiegarmi comunque  ti ringrazio ancora per
avermi dato l'opportunitŕ di notare l'errore.