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Titolo: Domanda per chi ha letto "la strada che porta alla realtà" di Penrose

Prima domanda:
a pag. 77 della mia edizione del libro si afferma che:
"Infatti possiamo scrivere esplicitamente il risultato della somma di
tutta la serie, trovando
1+x2+x4+x6+x8+...=(1-x2)-1
La domanda è perchè  è questa la soluzione?
Seconda domanda:
Non riesco a capire come è stato costruito il grafico presente nella
fig. 4.1 a pag. 78, chi me lo può descivere?
Grazie e a presto con nuove domande.

 La domanda è perchè  è questa la soluzione?
Questa è una serie geometrica di ragione -x^2 e converge a
1/(1-x^2)  per x^2<1 e diverge per x^2 maggiore o uguale a 1
Una dimostrazione euristica, assumendo di sapere che la serie
converga, è immediata.
Se S =1+x^2+x^4+x6+x^8+... allora
1+x^2 S = 1+ x^2(1+x2+x4+x6+x8+...) = 1 + x2+x4+x6+x8+...=S
quindi
1+x^2 S = S  => S(1-x^2) =1 => S= 1/(1-x^2)
Ciao, Valter

 1+x2+x4+x6+x8+...=(1-x2)-1
????????????
non e' che.... forse volevi scrivere:
1+x^2+x^4+x^6+x^8+...=(1-x^2)^-1  ?
se si allora:
E' la serie armonica.
Dunque:
S_n sia la Somma parziale
SOMMATORIA {k=0,n} x^k ;
SOMMATORIA {k=0,n} x^k  = S_n
Se moltiplichi S_n per (1-x) ottieni la cancellazione di tutti i
termini meno che primo e ultimo:
S_n  (1-x) = 1 -  x^(n+1);
Cosi' S_n = [1 -  x^(n+1)]/(1-x)  ---> che nel limite di n -->
infinito risulta
SOMMATORIA {k=0,n} x^k = 1 / (1-x) ;
Questo avviamente si applica solo a quei valori per cui ha senso
sommare come convergenza (x<1)....
Se x lo poni pari a k^2 allora otterrai
SOMMATORIA {j=0,n} k^2j = 1/ (1- k^2)......

 La domanda è perchè è questa la soluzione?
E' così, è il risultato di una operazione di limite. Per dimostrarlo credo
basti sviluppare in serie di Taylor il risultato, ma mi fido.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 1 (cioè x < -1 e x > 1) la funzione:
y = (1 - x^2)^(-1).
Ciao.


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http://arianna.libero.it/usenet/

 Geometrica, forse?
.... senza forse? senza, senza! :))


Penso che il libro sia corretto invece.
La serie di ragione x^2, e il cui termine ennesimo e' percio' (x^2)^n
si sviluppa nel seguente modo : 1+x^2+x^4+x^6+x^8 ... ecc..
e ha come somma (1-x^2)^-1 come hai spiegato in seguito.
Ciao
Mario

Ok per ora tutto chiaro, spero ;-)
Grazie di tutto.

Mi sembra un libro molto intrigante! Ad anni luce di certe altre
robacce (infatti è una lettura che presuppone impegno). Cmq
sfogliandolo ho notato un errore (mi pare a pag 231), dove dice che
l'integrale della collina gaussiana, quella in 3D, è sqrt(pi), quello
è l'integrale della curva gaussiana (in 2D), o si toglie l'esponente 2
alla G o si toglie la radice al pigreco. Non vi pare?


Si, hai ragione. Quasi sicuramente intendeva: "Quindi dimostrate che G
= Rad(pi)".
G = Int(-oo,+oo) e^(-x^2)dx.

 robacce (infatti è una lettura che presuppone impegno).
Si anche se, purtroppo per me, per chi non mastica molto la matematica
già nei primi capitoli si può trovare in difficoltà.
Io per esempio mi sono trovato in difficoltà quando si parlà di
funzione olomorfa e di tutto quello che ne viene dopo.
Potete consigliarmi, io che ho fatto solo analisi 1 all'università,
qualche libro di testo che tratti questi argomenti?
Saluti

guarda... ora vado di fretta, e peraltro avevo fatto quelle cose a
metodi matematici molto tempo fa e non le ricordo molto, cmq ti dico
che secondo me i libri di matematica migliori sono quelli della
collana schaum's (c'è "analisi matematica", "analisi di fourier",
"analisi complessa", "meccanica razionale", ecc.) sono gli unici ad
essere contemporaneamente semplici (per quanto possibile) ma molto
profondi (soddisfacenti a livello universitario). Cmq i libri di
quella collana che escono dall'ambito fortemente matematico (come ad
esempio "fisica generale" o "elettromagnetismo") sono non dico brutti,
ma solo mediocri. Sono quelli puramente matematici (aggiungendoci
meccanica razionale, che è quasi matematica pura) ad essere eccellenti.


Cerca "Metodi Matematici per la Fisica"  (o "Metodi Matematici per
l'Ingegneria") Dispense, Lezioni, Appunti.
Oppure, solo per quanto riguarda l'analisi in campo complesso:
"Analisi Complessa".
Qui ci sono alcune dispense:
http://theory.fi.infn.it/dominici/metodi.html
http://server1.phys.uniroma1.it/DOCS/DISPENSE/
Un testo:
C. Rossetti, \Metodi Matematici della Fisica", Ed. Levrotto e Bella,
Torino
Comunque tieni presente che Analisi I non ti basta, per poter
affrontare questi argomenti, almeno un minimo di Analisi II la devi
studiare.
Ciao.