Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Funzione di Green. Equazione di Poisson in R^n.

Salve, posto questa domanda anche qui (e' in it.scienza.matematica)
perche' non ho avuto risposta ed effettivamente l'argomento interessa
anche la fisica. Nei libri di fisica (di metodi) ho trovato una
"derivazione" (almeno nel caso n=3 ma facilemnte estendibile) che pero'
applica il teorema di Guass ad una particolare funzione radiale (che va
come r^-(n-2))  e mostra che il problema sottoriportato ha proprio
quella soluzione.. pero' alla fine non risolve l'equazione diff, ma in
pratica fa una verifica un po' piu' raffinata...
In realtà la mia domanda è duplice perchè vorrei risolvere il
problema e capire
anche quello che il professore ha scritto in alcune dispense (che per
vari
problemi fra cui il fatto che è straniero, sono abbastanze oscure).
Il problema è trovare la funzione di Green G(x,y) x,y vettori di R^n
per
l'equazione di poisson nell'intero spazio. Devo quindi risolvere
l'equazione:
\nabla_{y} G(x,y)=\delta(x-y)
Richiedendo che G tenda a zero all'infinito.
Ovviamente va bene qualsiasi risoluzione del problema, però mi
piacerebbe capire la filosofia del ragionamento del professore che dice
che l'equazione di sopra è equivalente a:
\nabla_{y} G(x,y)=\frac{\delta(r)}{\omega_{n} r^{n-1}}
Con \omega_n che è la misura di S^(n-1).
Poi continua: *quindi* G(x,y) dipende solo da r e allora devo
risolvere:
\nabla G(r)=\frac{\delta(r)}{\omega_n r^{n-1}}.
Da questa in effetti si arriva alla soluzione (almeno per n maggiore
uguale a 3), tuttavia i due passaggi con cui si è passati
dall'equazione di partenza a quest'ultima non mi sono chiari (anzi
direi
che non sono conseguenze necessarie).
Vorrei quindi sapere come si risolve l'equazione inziale in qualsiasi
modo
o in questo giustificando però i passaggi che forse sono stati
considerati ovvi (non per me purtroppo :( )
Grazie

 
Pardon intendevo ovviamente nabla quadro (laplaciano insomma) come 
avrete immaginato...

Con \omega_n che è la misura di S^(n-1).
Allora, è un bel pò pasticciato (ma chi è il prof? straniero?)
Prima assume che la funzione di Green sia invariante per
traslazioni e questo è ragionevole visto che la delta a
secondo membro dipende da x-y. Quindi fissa un punto x una volta
per tutte che prende come origine e mette coordinate polari
n-dimansionali centrate in quel punto.
E' noto dalla teoria delle distribuzioni che la delta n-dimensionale
centrata nell'origine si può scrivere come
\frac{\delta(r)}{\omega_n r^{n-1}}.
dove delta(r) è la delta _sulla retta reale_ quindi unidimensionale.
Ciaio, Valter

Paolo Pani wrote:
 >> Grazie per la risposta, ora è tutto più chiaro!
Pensandoci un po' di più in realtà non l'ho capito :).
Cioè ho capito il passaggio dalla delta n-dim a quella unidim, però il
fatto che lui assuma la funzione di Green invariante per traslazioni
c'entra per caso con l'omogeneità dello spazio?
Comunque proprio oggi, casualmente, l'argomento è saltato fuori in un
altro corso (QED introducendo i propagatori) e il professore, vista la
nostra scarsa conoscenza a riguardo, ci ha promesso una lezione la prossima.
Quindi rimanderò il problema a quella lezione (dopo pasqua) e per
l'esame di domani ciccia visto che è solo uno dei tanti dubbi che
purtroppo mi son rimasti...

Vediamo se ho capito bene. Quindi per n=3:
\[
\begin{array}{l}
 \int\limits_0^{ + \infty } {f(r)4\pi r^2 dr = } 1 \\
 a > 0 \to \int\limits_a^{ + \infty } {f(r)4\pi r^2 dr = } 0 \\
 f(r)4\pi r^2  = 2\delta (r) \\
  \\
 f(r) = \frac{1}{{2\pi r^2 }}\delta (r) \\
 \int\limits_0^{ + \infty } {\delta (r)} dr = \frac{{\int\limits_{ -
\infty }^{ + \infty } {\delta (r)} dr}}{2} = \frac{1}{2} \\
 \end{array}
\]

 Allora, è un bel pò pasticciato (ma chi è il prof? straniero?)
[...]
Grazie per la risposta, ora è tutto più chiaro!
Lasciamo perdere la questione professore: non è solo il fatto che è 
straniere purtroppo (diciamo che è "un po' per le sue"... :) ). Comunque 
del problema ne abbiamo parlato alla commissione per la valutazione dei 
professori quindi non mi va di "pubblicizzarlo" ulteriormente :).
Riporto un link dove c'è uno dei capitoli delle sue dispense (esame di 
metodi "avanzati" per la laurea specialistica):
http://paolopani.altervista.org/output.ps
Non so, magari per te che sei esperto non sono così terribili e 
inconsciamente riesci a tappare i buchi che sono un po' ovunque e vedi 
subito gli errori che ci sono e li correggi...ma ti assicuro che, per 
uno che vede l'argomento per la prima volta è davvero traumatico (senza 
contare il tempo in più necessario per capire le cose). Ma la cosa 
peggiore è che, per quanto mi riguarda, di tutto quello che ha fatto mi 
è rimasto poco e niente, perchè anche il punto di vista con il quale ha 
trattato (male!) le cose non lo condivido.
Beh scusa lo sfogo ma ho l'esame domani e mi son davvero rotto :)
Alla prossima, Ri-grazie

 Ciaio, Valter
No, è sbagliato: manca un fattore 1/2 . Con un pò di "epsilonologia"
(ad esempio scrivendo la delta come "limite", per la varianza che tende
a 0, di gaussiane su R^n a media nulla) si "vede" facilmente.
Ciao,
deltaquattro

 a 0, di gaussiane su R^n a media nulla) si "vede" facilmente.
Ciao, probabilmente hai ragione, non ho controllato i singoli calcoli
visto che non ne avrei il tempo, solo  la procedura... 
Valter