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Titolo: flessibilita' e proprieta' elastiche

Ho un sistema tipo una barretta, che si flette. L'energia del sistema
e'
E=E0+a/R^2
dove R e' il raggio di curvatura della barretta. E0 e' l'energia del
sistema quando la barretta e' dritta. a e' un coefficiente (funzione
delle dimensioni della barretta) che so calcolare.
1) Come si definisce la flessibilita' della barretta?
Se ora invece che fletterla la barretta viene "stirata" in maniera che
la sua lunghezza passa da L a L+x, l'energia risulta
E=E0+b x
dove b e' un altro coefficiente funzione delle dimensioni che so
calcolare.
2) Come si puo' definire una sorta di costante elastica, visto che
l'energia va come x e non come x^2 (Hooke).
Grazie...sono davvero una frana in quello che riguarda elasticita' e
deformazioni...
Bye
Hyper


No, l'energia elastica (per unita' di lunghezza) sara' qualcosa come 1/2 x^2 
* S * E
con E ancora modulo di Young e S superficie della sezione della barretta
Saluti
Mino Saccone

Mino, ti ringrazio per la risposta, ma temo di essermi spiegato male.
La "barretta" che ho non e' ne' prismatica ne' standard. Infatti e'
caratterizzata, come detto, da
1) E=E0+a/R^2
quando la piego
2) E=E0+bx
quando la stiro [a dire il vero questa e' solo l'espansione al primo
ordine, l'energia sarebbe E=E0/(1+x)^3]
Lascia stare il punto 2) che ho risolto (introducendo un modulo di
Young strain-dependent), il punto 1) ancora mi sfugge.
Se l'oggetto (dimenticati della barretta che e' misleading) e' a
riposo, quindi dritto, la sua energia e' E0. Se l'oggetto viene
piegato leggermente, la sua energia aumenta passando a E0+a/R^2. La
mia domanda e': conoscendo l'energia del sistema, e come cambia per
piegamento dell'oggetto, posso definire un qualche tipo di
flessibilita'? e come?
Grazie ancora,
Bye
Hyper

 flessibilita'? e come?
Tipicamente l'energia elastica associata ad un "piegamento" (E_b) si
definisce
come l'integrale della curvatura media (H) al quadrato dell'oggetto
deformato
per una costante (k) con le dimensioni di energia. Quest'ultima è
chiamata
spesso "bending rigidity" e fornisce appunto una misura della
flessibilità
di un solido elastico. Nel tuo caso:
             /
E_b = k | dA H^2 = k A / R^2 = a / R^2
            /
dove A è l'area della sbarretta. Dunque:
k = a/A.
è la flessibilità che stai cercando.Questo calcoletto assume che la
sbarretta
sia bidimensionale. Il caso di una sbarretta tridimensionale di
spessore h<<L
(dove L è la lunghezza tipica nelle altre direzioni) si ricava
semplicemente da
qui e lo lascio a te.
Un commento. Non sono un amante dei problemi basati su leggi fisiche
fittizie (i.e. E=E0+bx). Confondono chi sta imparando e quelli che
vengono
interpellati in cerca di consigli. Le leggi fisiche "vere" offrono già
un campionario
piuttosto vasto di spunti per gli esercizi. Non c'è bisogno di
adulterarle.
saluti,
- Pistacchio

 adulterarle.
Adulterarle? ripeto che non c'e' niente di fittizio in queste richieste 
o in queste energie.
Bye
Hyper

In effetti io pensavo che stessi risolvendo un esercizio
preso da qualche libro di testo. Capisco invece che il
tuo problema è autentico. Benissimo parliamone.
Però sarebbe molto utile se potessi darci qualche
dettaglio in più, anche in breve. Esattamente cosa
rappresenta il sistema? E cosa vuol dire che non è
nè 2d nè 3d, ma diverso? E ancora, se l'energia di
stretching dipende dal segno della deformazione
vuol dire che comprimendo la barretta (o qualunque
cosa sia) si riduce l'energia totale. Sembrerebbe
quindi che il tuo sistema voglia collassare su se
stesso. Commenti?
L'espressione che ho scritto sopra si chiama energia
di Helfrich, si ricava nell'ambito dell'elasticità delle
membrane, prendendo in considerazione invarianti
del secondo ordine del tensore di curvatura
estrinseca (il tensore della seconda forma
fondamentale della superficie). L'integrale è esteso
a tutta la superficie. Tutto questo è vero per una
membrana di spessore trascurabile (in questo caso
bending e flexural rigidity sono la stessa cosa). Nel
caso di un solido tridimensionale la bending rigidity
è una funzione delle coordinate, ma è la costante
su ogni superficie di livello.
ciao,
- Pistacchio

 stesso. Commenti?
No, la compressione non la esamino. Solo stiramento.
Per il bending, non sapevo da che parte cominciare. Comunque, anche
grazie ai tuoi suggerimenti, sono riuscito perlomeno a partire da una
definizione di questo tipo
E=k/2 \int ds [dt(s)/ds]^2
per il costo energetico associato al bending, dove k (kappa) e' il
bending modulus, con unita' di J m, oppure N m^2, oppure Pa m^4.
Considerando la catena come oggetto 1-dim, e assumendo che la
magnetizzazione di ciascuna sferetta sia tangenziale alla curva su cui
giace la catena piegata, si ottiene una espressione per k che risulta
abbastanza sensata. Ho confrontato con un paper dove sperimentalmente
ottengono valori dell'ordine di 10^20 J m in catene di particelle
paramagnetiche. Per la stessa catena che risulta avere Y(0)=80 MPa,
ottengo k~10^22 J m.
Questo bending moment si riesce anche a scrivere come prodotto di Y
per una sorta di momento di inerzia I= pi R^4/2, che produce una cosa
tipo
k = Y I A(N)/N
che e' molto simile alle espressioni comunemente accettate per la
"flexural rigidity" della meccanica delle deformazioni. Eccetto il
fattore che dipende da N, che la' non compare.
Hai commenti? ogni cosa e' ben accetta.
Ora devo proseguire e passare da sfere (situazione appunto di
riferimento) ad altre forme, in maniera da capire se con altre forme
la situazione di minima energia possa essere diversa dalla catena
dritta (come pare osservarsi nei batteri), e comunque se si possa
quantificare la flessibilita' di una catena di nanoparticelle
magnetiche di forma arbitraria.
Ciao e grazie,
Bye
Hyper