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Titolo: Problemino (banale) di fisica. Necessita suggerimento urgente

Salve a tutti,
 
scusate l'intromissione. Spero con la presente di non contravvenire
eccessivamente
al regolamento del gruppo, ma avrei bisogno di un parere rapido sulla
seguente questione.
 
Tra i quesiti di ammissione alla siss vi è il seguente:
 
Un disco omogeneo orizzontale può ruotare intorno all'asse verticale
passante per il centro,
sotto l'azione di richiamo esercitata da una molla a spirale. Il suo
periodo di oscillazione è
T_1 = 3 sec.
Se il disco viene sostituito con un disco omogeneo dello stesso
materiale e spessore ma di diametro doppio, il periodo diventa
 
A) 1.5 s    B) 12 s   C) 6 s    D) 9 s    E) 3 s
 
Secondo il correttore la risposta corretta è la C (T_2 = 6s).
 
Probabilmente mi sfugge qualcosa, ma a mio avviso dovrebbe essere la B
(T_2 = 12 s).
 
Vediamo perché. Supponendo che la molla a spirale abbia un
comportamento analogo a quello della molla di richiamo (questo assunto
è corretto?), istante per istante, risulta
$$
I \theta"(t) = -k \theta(t),
$$
dove $I$ è il momento di inerzia del disco, $\theta$ lo scostamento
angolare dalla posizione di riposo e $k$ un'opportuna costante che
caratterizza la molla.
 
Ne segue che la pulsazione di oscillazione vale $\omega = \sqrt{k/I}$.
Il periodo sarà
$$
T = 2 \pi / \omega = 2 \pi \sqrt{I/k}
$$
Dunque per rispondere alla domanda basterà confrontare i valori di $I$
relativi ai due dischi.
 
Indicati con $R$ il raggio del disco, con $h$ il suo spessore e con $
\rho$ la sua densità, se non erro, dovremmo avere
$$
I = \pi \rho h R^4 / 2
$$
Dunque, detta $I$ l'inerzia del primo disco, quella del secondo sarà
$$
I_2 = \pi \rho h R_2^4 / 2 = \pi \rho h (2R_1)^4 /2 = 16(\pi \rho
hR_1^4 / 2) = 16 I_1.
$$
Conseguentemente,
$$
T_2 =  2\pi \sqrt{I_2/k} = 4( 2\pi \sqrt{I_2/k}) = 4T_1 = 12 sec.
$$
 
Potreste gentilmente indicarmi dove sbaglio?
 
Grazie,
 
Siccus
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Potreste gentilmente indicarmi dove sbaglio?
 
Potrebbe anche aver sbagliato chi ha indicato la risposta alla domanda.
 
Probabilmente avra` pensato che il momento di inerzia di un disco vale 
1/2 M R^2, dimenticando che nelle condizioni che ha specificato, anche 
dentro ad M c'e` un altro fattore R^2.
 
Oppure il testo faceva riferimento a un disco con la stessa massa e 
diametro doppio.

 (T_2 = 12 s).
 
Concordo con il ragionamento che hai fatto e il risultato che
hai ottenuto.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 Potreste gentilmente indicarmi dove sbaglio?
Non sbagli.
L'unica ipotesi che mi viene in mente, e' che il correttore sia stato
tratto in inganno dalla formula per il momento d'inerzia I = MR^2/2,
dimenticando che anche M e' prop. a R^2.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Secondo il correttore la risposta corretta è la C (T_2 = 6s).
 
D'istinto mi associo all'analisi degli altri tre che hanno risposto 
finora, si tratta facilmente di una svista dovuta all'aver trascurato 
il ruolo del termine di superficie nell'integrale d'inerzia (che 
aggiunge un ulteriore fattore k^2 a quello dovuto all'integrando) a 
parità di densità il momento d'inerzia scala cubicamente per variazioni 
di una sola delle dimensioni lineari in direzione ortogonale all'asse, 
quarticamente per variazione di due direzioni e con la quinta potenza 
per riscalamento spaziale.
 
Dal mio punto di vista però il testo non è perfettamente definito, in 
quanto manca l'esplicitazione delle modalità di applicazione della 
molla: se il modo più semplice in cui una molla a spirale piana può 
agire sul disco è per rotazioni intorno ad asse comune, bisogna poi 
stabilire se la molla è compressa all'interno del disco in modo che il 
punto di trazione è sul bordo (come nelle molle delle rondelle dei 
telefoni d'una volta) o è estesa ed applicata con l'estremo ad una 
distanza costante dell'asse.
 
Inoltre per molle a spirale si intendono anche molle coniche, rispetto 
ad una molla cilindrica hanno il vantaggio di essere stabili in 
compressione oltre che in trazione e potrebbero essere applicate con 
l'asse diretto tangenzialmente al disco in un punto della sua 
periferia.
 
 
In questo secondo caso la risposta corretta sarebbe effettivamente la 
C, in quanto la forza di richiamo sarebbe proporzionale ad R theta ed 
il momento di questa forza sarebbe proporzionale ad R^2 theta.
 
Nel primo caso, cioè la molla è compressa internamente ai due dischi, 
non sono sicuro di sapere come si comporta la costante elastica per le 
sollecitazioni tangenziali nelle due situazioni, ma se si assume che 
sia la medesima e dipende solo dallo spostamento assoluto 
dell'estremità ancora la risposta corretta sarebbe la C.
 
Quando ho fatto l'esame per l'ammissione alle Siss capitarono diverse 
domande che si prestavano a molteplici interpretazioni. Ricordo di 
avere io stesso richiesto tre chiarimenti al commissario presente in 
aula, i dubbi risultarono condivisi dall'aula e per due volte 
l'interpretazione corretta era contraria a quella ritenuta valida dalla 
maggioranza dei partecipanti, sicché i chiarimenti andarono ad 
effettivo beneficio della comunità e la "retta interpretazione" fu 
riferita per correttezza anche nell'altra aula d'esame.
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