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Titolo: Esempi di equazioni differenziali

Sto cercando esempi di fenomeni fisici descritti da una semplice 
equazione differenziale possibilimente del tipo x'+x=0 da usare come 
esempi introduttivi per mostrare a che cosa servono le equazioni 
differenziali.
 
Oltre alla solita scarica Resistenza Capacita`(e duale Resistenza 
Induttanza), mi era venuto in mente la caduta di una gocciolina 
nell'aria in cui valga il modello di Stokes. Molto oltre a questo non 
riesco ad andare: ad esempio gia` il raffreddamento di un corpo richiede 
di vederlo come eq. della diffusione.
 
Altro esempio che mi era venuto in mente era l'andamento di pressione e 
densita` dell'aria sottoposta a gravita` costante e in condizioni di 
temperatura costante. Quest'ultimo esempio ha anche il vantaggio di 
avere una derivata rispetto allo spazio e non al tempo.
 
Ma oltre questi esempi non mi viene in mente nulla. Qualche altra idea?
 
Poi a complicare si fa sempre in tempo: la resistenza puo` essere non 
lineare (ad esempio un MOS), la gocciolina puo` avere numeri di Reynolds 
non piccolissimi, la colonna d'aria puo` esseere a temperatura variabile 
con la quota...
 
Grazie!
 
-- 
 
Franco
 
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)


 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 la prima è la classica "decadimento radioattivo"
 
Sposibo! Quella del decadimento radioattivo proprio me l'ero dimenticata 
ed e` anche semplice da spiegare. Forse la cinetica delle reazioni 
chimiche si riesce ancora ma richiede una maggiore conoscenza pregressa.
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Franco ha scritto:
 > Sto cercando esempi di fenomeni fisici descritti da una semplice
 > equazione differenziale possibilimente del tipo x'+x=0 da usare come
 > esempi introduttivi per mostrare a che cosa servono le equazioni
 > differenziali.
 >
 > Oltre alla solita scarica Resistenza Capacita`(e duale Resistenza
 > Induttanza), mi era venuto in mente la caduta di una gocciolina
 > nell'aria in cui valga il modello di Stokes. Molto oltre a questo non
 > riesco ad andare: ad esempio gia` il raffreddamento di un corpo richiede
 > di vederlo come eq. della diffusione.
Non capisco perché: se assumi che la conduzione sia retta dalla legge
di Fourier: dQ/dt = -k Delta T, e che il calore specifico sia
costante, non ti serve altro.
-- 
Elio Fabri

 Ma oltre questi esempi non mi viene in mente nulla. Qualche altra idea?
 
Hai pensato a esempi di dinamica delle popolazioni?
 
*Riproduzione di un escherichia coli* immesso in un mare infinito di brodo:
 
dN/dt = rN, con r, tasso di riproduzione, =1/30 minuti^-1, N(t=0)=1.
 
Molto istruttivo, perche' rende evidente che se il mare non e' infinito, 
ma e' limitato 
p.es
. ad un bicchiere, la crescita non puo' continuare 
indefinitamente (in pochi giorni la massa dei batteri supererebbe quella 
del brodo), ma deve incontrare qualche "limite dello sviluppo": quindi:
 
*modello logistico*:
 
dN/dt = rN - bN^2 = N (r - bN) = r (1 - N/K) N
 
dove b e' il coefficiente di competizione intraspecifica (per 
appropriarsi delle proteine necessarie alla riproduzione), e K = r/b la 
c.d. "capacita' portante".
 
La soluzione ovviamente e' la logistica:
 
N = c*K*exp(rt)/(c*exp(rt)+1)
 
con c=N(0)/(K-N(0))
 
 
*Se proprio vuoi strafare, equazioni di Volterra cacciatore/preda*:
 
     dN_p/dt = (A - B N_c) N_p
 
     dN_c/dt = (C N_p - D) N_c
 
dove (piu' o meno) A e' il tasso riproduttivo delle prede, B misura la 
loro possibilita' di essere mangiate, C la possibilita' che un 
cacciatore si sfami abbastanza da riprodursi, D il suo fabbisogno di 
sussistenza.
 
Ovviamente l'unica integrazione possibile e' quella numerica: qualche 
aiuto didattico:
 
http://www.office-guru.com/book/export/html/131
 
http://hhbio.wasser.tu-dresden.de/projects/lv/
 
 
 
Le equazioni di Volterra possono essere ampliate a piu' di 2 specie:
 
   dN_i/dt = [ A_ii + sum_j!=i (A_ij N_j) ] N_i
 
con A_ii tasso riproduttivo della specie i-esima, A_ij coefficente 
d'interazione, ossia effetto della presenza della specie j-esima sulla 
capacita' riproduttiva della i-esima. Gli A_ij possono essere tarati in 
modo da descrivere le varie interazioni possibili fra le specie: 
parassitismo, predazione), commensalita', simbiosi, concorrenza per le 
stesse nicchie... L'integrazione numerica porta a evoluzioni del tutto 
simili alle sequenze serali con cui le specie pioniere colonizzano un 
nuovo territorio e aprono la via ad altre specie che poi magari le 
sostituiscono, per terminare in una distribuzione stazionaria: il 
climax. Avevo fatto delle simulazioni in merito, se ti interessano te le 
mando.
 
Ciao
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 differenziali.
 
Trovare la velocita' di un punto materiale conoscendo la forza a cui
e' sottoposto come funzione del tempo? Es: punto materiale dotato di
carica elettrica ed investito da un campo elettromagnetico.
 
Trovarne la posizione conoscendone la legge di velocita'.
 
Trovare la lunghezza L di un filo per un salto finito di temperatura T
conoscendone la lunghezza iniziale ed il coefficiente di dilatazione
lineare k: dL/L = k*dT.
 
Trovare in quanto tempo si svuota un recipiente cilindrico pieno
d'acqua nel fondo del quale sia praticato un foro di dimensioni note:
la velocita' di svuotamento e quindi il flusso d'acqua uscente in ogni
istante e' funzione dell'altezza H(t) del livello d'acqua (teorema di
Torricelli) che a sua volta si puo' scrivere come funzione del livello
iniziale e di quanta acqua e' gia' uscita; la legge risultante e'
un'equazione del primo ordine in H(t).
 
--
cometa_luminosa

 mando.
 
Sequenze serali? Ho trovato piu` o meno che cosa sono, adesso vado a 
cercarne l'etimologia.


 un'equazione del primo ordine in H(t).
 
A questo non avevo proprio pensato. Grazie!
