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Titolo: conseguenze interessanti del campo coniugato nullo?

che vuole dire a livello fisico che il campo coniugata ad un altro è
nullo?
cioè se dL/(dx/dt) = 0 ovvero la lagrangiana non dipende dalla
velocità se il campo in cosiderazione è la posizione che conseguenze
ci sono a livello fisico?
io riesco solo a immaginare le conseguenze sulla hamiltoniana, cioè
H = - L
se c'è un solo campo, oppure
H = Somma(i != j<N)[x_i * p_i] - L
se ci sono N campi indipendenti.
Tutto questo mi pare sia immediatamente signficativo per il caso N=1
dove H = - L e cioè minimizzare la densità di energia è uguale a
minimizzare la densità di lagrangiana e quindi torna col principio di
minima azione
dS = 0
S = Int(t_1 .. t_2)[ L(x,v,t) ]
voi che mi dite siete d'accordo su questo? conoscete altri fatti
interessanti legati al campo coniugato nullo?

 ci sono a livello fisico?
A me sembra che questo voglia semplicemente dire che il sistema sta 
inchiodato in una posizione di equilibrio. Se infatti @L/@(dq/dt)=0, 
allora @L/@q=0, ma questo implica che la forza agente sul sistema e` 
nulla ad ogni istante, dunque il sistema non schioda da una posizione di 
equilibrio. O sbaglio?
Stefano Baroni


 equilibrio. O sbaglio?
non lo so bene perchè non ho mai seguito il corso di meccanica
razionale e sto studiando da solo e sono all'inizio.
a primo acchitto mi pare esageratamente drastico inchiodare un sistema
alla quite per un campo coniugato nullo.
il tuo ragionamento mi pare fondato su questo gioco di differenziali
0 = @L  /  (@Q/@T) = (@L/@Q ) @T
=> @ L / @ Q = 0
cioè la lagrangiana è una costante al variare della posizione e della
velocità di una particella
 il passaggio matematico mi pare corretto in virtù della finitezza di
@T ma dello stato di quiete non so , ci devo pensare ... spero di dare
presto una opinione più definita.
a presto

foice wrote:
 >> che vuole dire a livello fisico che il campo coniugata ad un altro è
 >> nullo?
Vuol dire che la lagrangiana e' degenere e che non esiste la teoria
hamiltoniana associata. Pero' non e' detto che la teoria non sia
interessante: quando fai la teoria dei campi dei campi di Dirac
ricadi proprio in tale situazione...Il fatto che non esista una teoria
hamiltoniana associata non ti permette di definire le parentesi di
Poisson e quindi la quentizzazione e' piu' complessa. Infatti per quei
campi si usano gli anticommutatori e non i commutatori (come risultato
segue che il campo di Dirac non e' osservabile (lo e' il campo di
corrente bosonico associato) perche' viola la causalita'...
Ciao, Valter
 >>
 >> cioè se dL/(dx/dt) = 0 ovvero la lagrangiana non dipende dalla
 >> velocità se il campo in cosiderazione è la posizione che conseguenze
 >> ci sono a livello fisico?
 >>


 se dL/dQ/dT = 0
e L = T - V(q) = 1/2 mv^2 - V(q)
allora L= -V(q)
ora se poggio la pallina in un certo q che non sia un punto
stazionario di V, quella si deve muovere per forza.
in questo senso mi pare che sia contraddetto il fatto che 
dL/dQ = 0 da cui F = 0 oppure V = cost
forse c'è qualche vincolo matematico che non permette di fare
dL(q,dq/dt, t) / (dq/dt)  = 0  => dL/dq = 0
...
e dovrei pure saperlo forse, ma la matematica in questo momento non mi
sovviene ... chiedo aiuto 

Ciao, Valter
in effetti la mia domanda è partita dal constatare come il campo
coniugato a psi-croce sia nullo non dia fastidio a nessun autore da me
consultato per la teoria dei campi, mentre la nullità del campo
coniugato al potenziale vettore secondo la lagrangiana classica porti
all'utlizzo della lagrangiana di fermi per l'e.m. e la condizione di
gauge di lorentz.
sto ancora riflettendo sulle differenze, ma ora il panorama si
arricchisce con le tue annotazioni. vedrò di mettere tutto assieme,
magari apro un post separato su questa differnza tra dirac e pot.
vettore.

 gauge di lorentz.
Quella del campo EM e' un'altra storia ancora perche' si parla di bosoni 
in quel caso e quindi bisogna tirare fuori i commutatori ed affrontare
il problema davvero. In quel caso  l'annullarsi del momento coniugato e' 
dovuto al fatto che la teoria ha dei vincoli: i veri gradi di liberta' 
sono inferiori a quelli della teoria ingenua, le rimanenti equazioni 
sono equazioni di vincolo che sono soddisfatte sulle soluzioni, ma che 
NON sono esse stesse soluzioni delle equazioni di Hamilton per qualche 
variabile. Pertanto non hanno una  seconda equazione associata (quella 
dei momenti coniugati che in realta' non esistono: sono nulli). Allora 
bisogna ridursi a lavorare con i veri gradi di liberta'... e il resto lo 
sai bene...
Ciao, Valter
-- 
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

sovviene ... chiedo aiuto 
forse mi sono aiutato da solo ..
la velocità è un grado di libertà a se stante e per questo si scrive
L(q,p,t) e non L(q,t)
"smontare" i differenziali come hai fatto tu, questo caso signfica
fare diventare L funzione di q e t e basta cioè L(q,t) ma non è
fisicamente corretto, e credo neppure matematicamente ...
direi quindi che 
dL/dQ =! 0 in generale quando dL / (dQ/dt) = 0
qualcuno è d'accordo o si oppone?

Quindi mettendo il teorema di pauli sulla connessione tra spin e
statistica a monte si potrebbe dire che la tua risposta sia:
la nullita del momento coniugata a psi-croce non è problematica perché
si dovrà quantizzare secondo anticommutari mentre coi bosoni, vedi
4-pot. vettore, dovendo usare i commutatori la nullità del momento va
superata in altro modo (Gupta Bleuer 
p.es
.)
però una cosa non mi torna
coi bosoni 
[A , dL/(dA/dt) ] = delta
ma c'è un problema se dL/(dA/dt) = 0
perché allora
A dL/(dA/dt) - dL/(dA/dt) A = 0 =! delta
mentre coi fermioni devo imporre 
{phi, psi}= delta
ma se phi = 0 sono nello stesso problema che si ha coi bosoni ...
phi psi + psi phi = 0 =! delta
in effetti nella teoria di dirac
 si danno come regole di anticommutazione quelle tra psi e il suo
coniugato ma non quelle tra psi-croce e il suo coniugato, e proprio
queste ultime darebbero problemi.
però psi e psi-croce compaiono nella lagrangiana con "pari diritti" se
così si può dire.
in sostanza, non mi pare che la quantizzazione con anticommutatori
tolga la necessità di avere campi coniugati non  identicamente nulli.

 
Stai prendendo un granchio! :-)
Nelle  relazioni di commutazione o anticommutazione
i campi sono FUNZIONALI, non funzioni, non ha alcun senso,
interpretando il campo come funzionale dire che vale zero!
Riflettici un po' sopra evitando di fare subito i calcoli
Ciao, Valter


Riflettici un po' sopra evitando di fare subito i calcoli
io avrei detto che i campi sono operatori e che un operatore può
essere nullo, come lo è il campo coniugato a psi-croce dalla
lagrangiana di dirac.
tu invece parli di funzionali, cioè particolari operatori, escludendo
che un funzionale possa essere nullo, o meglio che un campo, inteso
come funzionale, possa essere nullo.
non capisco però cosa ci sia di male per un funzionale ad essere nullo
se non che il campo potrebbe essere poco interessante e/o poco utile o
addirittura dannoso per costruire una buona teoria dei campi.

 come funzionale, possa essere nullo.
Forse non ho capito la tua questione ma cerco di  spiegarmi meglio: se 
guardi i campi come distribuzioni a valori operatoriali a, OK sono 
operatori quando fissi la funzione test su cui operano, pero' li puoi 
anche guardare come funzionali a valori su un algebra. In ogni caso e' 
la stessa cosa ai fini della questione sollevata.
Facciamo che siano distribuzioni a valori operatoriali. Hai scritto:
 > mentre coi fermioni devo imporre
 > {phi, psi}= delta
 > ma se phi = 0 sono nello stesso problema che si ha coi bosoni ...
 > phi psi + psi phi = 0 =! delta
La relazione di sopra non e' una relazione tra operatori, ma tra
distribuzioni a valori operatoriali...
La stessa teoria ti dice che phi NON e' la distribuzione
che associa ad ogni funzione di prova l'operatore nullo anche se
per certe funzioni di prova l'operatore si annulla.
Viceversa nel caso di quantizzazione del campo EM, la stessa teoria
ti dice che la distribuzione a valori operatoriali che corrisponde
ad un certo momento coniugato e' la distribuzione nulla


Ora comincio a riflettere sul significato dell'espressione Psi(x) in
relazione alle distribuzioni a valore operatoriali. 
Direi che:
Una distribuzione è un funzionale lineare continuo.
un funzionale f(omega) è un operatore che va da un spazio vettoriale
di partenza V, in qesto caso lo spazio di prova della distribuzione,
ai complessi.
nel nostro caso di distribuzione a valori operatoriali lo spazio di
arrivo è lo spazio degli operatori, che rappresentano le grandezze
fisiche. possiamo dire che lo spazio di arrivo è lo spazio delle
matrici.
Quindi un campo è una distriduzione a valori operatoriali, ma lo
spazio di prova che ruolo ha? chi sono le funzioni di prova?
la scrittua Psi(x), dove x è un punto dello spazio-tempo, quindi un
4-vettore, non mi pare conciliabile con la definizione di
distribuzione
f(omega)=Int ( f(t)omega(t) dt )
piuttosto sembra che psi(x) debba comparire nell'integrando, come
f(t).
rimane cmq aperto il problema di stabilire chi è omega(t), la funzione
di prova.


Colgo la differenza tra una distribuzione nulla, che annulla quindi
tutti gli integrali, e una distribuzione che annulla solo certe
funzioni dello spazio di prova.
Però non capisaco perché il momento coniugato di A sia la
distribuzione nulla e quello di Psi-Croce no.
Grazie ancora.
Roberto

Ciao, appena ho tempo provo a risponderti, ma guarda che e'
lunga e ci vuole un po' di  formalismo (formulazione simplettica
della teoria dei campi) per capire per bene le cose...
Ciao, Valter

-- 


 Roberto
-- 


Cosa ne concludi?
quello che forse già sapevo, o avrei dovuto:
la lagrangiana di Dirac è indipendente da Psi-Croce mentre la
lagrangian di radiazione non è indipendente da @_0 A_mu 
Solo che il campo coniugato che viene fuori è F_0mu che si anulla per
mu=0 per l'antisimmetria di F_munu.
nel caso di dirac, fai giustamente notare che la lagrangiana potrebbe
equivalentemente essere scritta con psi-croce e psi scambiati, a meno
di un segno e fattori inessenziali per le eq. del moto, avendo che
Psi-Croce ha un momento non nullo, mentre Psi ha momento nullo perché
Psi-Punto non compare mai.
detto un po' in modo poco rigoroso:
la nullità del momento coniugato a psi-corce non è fisicamente
rilevante, mi pare di capire, perchè la lagrangiana si scrive con psi
e psi-croce, ma è come se non ammettesse più di un momento coniugato,
e psi e psi-croce ce lo potrebbero avere con pari diritti.
se ne sceglie una, ma si potrebbe anche prendere l'altra.
posso azzardare che:
considerato il campo coniugato a  psi, quello coniugato a psi-croce
non è interessante data la "simmetria" della lagrangiana per lo
scambio psi-psiCroce?

 wrote:
pur di capire bene di che si parla, oramai da mesi per me, sono
disposto, se tu lo sei
la formulazione simplettica non l'ho mai sentita nominare. di che si
tratta?
conosco poco, ma so dove leggerla, la formulazione col funzionale
generatore.
sono in un mare di guai con la formulazione assiomatica di cui non so
niente.
hai nel frattempo qualche libro da consigliare?
considera che sono uno studente di fisica ... 
grazie molto molto

Ciao, purtroppo non ho molto tempo.
Ti posso preannunciare che ci sono due approcci ai fini 
dell'interpretazione dei campi come distribuzioni a valori
operatoriali: in un caso si assume che il campo agisca su
funzioni Cinfinito a supporto compatto (o di Schwarz) e
produca operatori, l'integrazione avviene su tutto lo spaziotempo
(cioe' in 4 dimensioni); nel secondo si assume che il campo agisca,
tramite una forma simplettica, su funzioni test che soddisfino
l'equazione del campo stesso. Nel secondo caso l'integrazione
avviene su ipersuperfici di tipo spazio tridimensionali: lo spazio di
quiete di un riferimento inerziale se si lavora nello spazio
di Minkowski. Si passa da una formulazione all'altra attraverso
il propagatore causale.
Il primo approccio in linea di principio si usa sia per le teorie
libere che quelle autointeragenti, mentre il secondo si usa nel caso di 
teorie libere, ma anche nel formulare rigorosamente le formule
LSZ nel caso di presenza di interazione.
Si estende il tutto alla teoria dei campi in spaziotempo curvo...
Un testo dove si vedono queste cose anche in modo elementare
(nei primi capitoli) e'"Quantum Field Theory in Curved Spacetime and 
Black Hole Thermodynamics" di Wald, Chicago University press.
Ciao, Valter



 scambio psi-psiCroce?
Dell'azione non della lagrangiana!
Ciao, Valter
