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Titolo: demagnetizzazione di un disco

Mi aiutate a verificare un calcolo, che so affrontare solo in un modo un po'
contorto e che avrebbe bisogno di un riferimento incrociato con metodi
standard (numerici, ecc)?
Prendiamo un disco di materiale magnetico, raggio R e spessore t (aspect
ratio \tau=t/2R uguale a 1/10, ovvero diciamo <<1) che giace su un piano
(x,y) con l'asse del disco lungo z.
Supponiamo che il disco sia talmente piccolo da supportare una
magnetizzazione perfettamente uniforme grazie all'interazione di scambio
(sia M0 il modulo di M). La magnetizzazione e' diretta lungo l'asse x
(l'anisotropia di forma favorisce, per \tau<0.9 circa, una M che giace nel
piano, e scegliamo x lungo la direzione di M). Dovrei valutare il campo di
demagnetizzazione H (mi interessa solo la componente x, la stessa della
direzione di M) al centro del disco, ovvero nell'origine, e al di fuori del
disco a una distanza pari a 4 volte il raggio, ovvero nel punto x = 4R.
Il risultato mi verrebbe circa
Hx(0,0,0) = -1/20 M0
Hx(4R,0,0) = +1/600 M0
e gradirei molto conferma.
Tutto questo, perche' in un articolo [Phys. Rev. B 56, R8499 (1997)] ho
trovato affermazioni che reputo un po' esagerate sull'effetto
dell'accoppiamento magnetostatico tra nanodischi, e sto cercando di capire
meglio la cosa, quantitativamente.
Grazie
Hyper

Hypermars ha scritto:
 > ...
 > Dovrei valutare il campo di demagnetizzazione H
Sempre nella mia vena cruscaiola...
Ho imparato da piccolo che i magneti si "smagnetizzano", non si
"demagnatizzano".
E a dire il vero, sopporto male anche il verbo "supportare"...
Lo so, le lingue evolvono...
Sara' l'eta', ma a me questa non sembra un'evoluzione, ma
un'involuzione. Si perdono parole, e si rimpiazzano con sostituti
quasi sempre inutili e spesso anche ambigui.
Scusate l'OT.
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 quasi sempre inutili e spesso anche ambigui.
No, cmq hai ragione. Il fatto Elio e' che si fa davvero fatica a switchare
(eheh) tra italiano e inglese, vivendo all'estero. Le contaminazioni
diventano sempre piu' profonde e difficili da elmininare. Credimi se ti dico
che prima di inviare il post ho controllato e ridotto per quanto possibile i
termini non propriamente cruscaioli, come dici tu. Pensa che adesso l'uso
della parola "consistente" mi suona molto ma molto meglio della parola
"coerente", e davvero non riesco piu' ad autocorreggermi.
Cmq, una mano per la verifica?
Bye
Hyper

Hypermars ha scritto"
 > Secondo me sono due cose diverse. Un magnete si "smagnetizza" quando
 > applichi un campo apposito, sostanzialmente contrario a M. Un magnete
 > si "demagnetizza" quando sottoposto al suo stesso campo H, generato da
 > M.
Secondo me non sono affatto cose diverse (dal punto di vista
linguistico, intendo). Solo che "smagnetizzare" esiste in italiano,
"demagnetize" esiste in inglese".
Come diresti in inglese quello che in italiano chiameresti
"smagnetizzare"? :)
 > Considera che il tensore N o K si chiama tensore di
 > "demagnetizzazione" non tensore di "smagnetizzazione, anche in
 > italiano.
Avevo un antico ricordo, e sono andato a verificare.
C'e' un vecchissimo libro, il Becker (sentito mai nominare?) tradotto
in italiano da Ageno, in cui si parla di "fattore di
smagnetizzazione".
 > No, cmq hai ragione. Il fatto Elio e' che si fa davvero fatica a
 > switchare (eheh) tra italiano e inglese, vivendo all'estero.
Non solo all'estero: il fatto e' che si legge e si scrive solo in
inglese, e bisogna imparare a pensare in inglese, per scrivere un
inglese almeno tollerabile...
Poi ci sono casi in cui la traduzione non e' facile, per piu' ragioni.
 > Cmq, una mano per la verifica?
Non ci ho ancora pensato. Vedro'...


Ho fatto qualche conto.
Il campo al centro e' semplice: l'espressione generale e'
-2 \pi M_0 \tau / \sqrt{1 + \tau^2}.
Invece quello esterno non lo so dare in forma analitica. Ho fatto un
calcolo numerico, ma non trovo piu' il risultato. Dovro' rifarlo...
Ma mi fare fosse molto piu' piccolo di quello che dici, e negativo.


 Ma mi fare fosse molto piu' piccolo di quello che dici, e negativo.
No, non puo' essere negativo scusa. Come fa? dentro al disco e' B = M+H,
dove H e' negativo e minore di M (non ci puo' essere totale
smagnetizzazione). All'esterno e' B = H, con H positivo. Se non fosse cosi',
B non potrebbe raccordarsi con continuita' all'interfaccia, e si creerebbe
una regione a divB =/= 0. Invece, le due divergenze di H e M, non nulle
all'interfaccia, si devono compensare. Questo indica che H non puo' che
cambiare segno tra dentro e fuori.
Tra l'altro, sarebbe come dire che dal polo uscente (nord?) di un magnete si
genera un campo entrante!
Grazie dell'aiuto
Hyper
Rappresentazione (visualizzare a caratteri fissi):
       Vuoto          Disco           Vuoto
M: ______________|---> ---> --->|______________
H:  ->   ->   -> |<--  <--  <-- | ->   ->   ->
B:  ->   ->   -> | ->   ->   -> | ->   ->   ->

Hypermars ha scritto:
 > Uhm, non mi torna il 2 \pi. Che sistema di unita' hai usato? poiche'
 > io ottengo M_0/20, e la tua espressione darebbe \pi M_0/5 (al
 > prim'ordine in \tau), e il rapporto tra i risultati e' 4 \pi, deduco
 > che tu abbia usato...come si chiama? il sistema Gauss?
Infatti... Scusa se non l'ho detto, ma anche tu non avevi detto il tuo
sistema di unita', e d'altra parte hai scritto cose come B = H + M, che
andrebbe bene in un cgs razionalizzato (se ricordo bene la
terminologia) ma non nel SI.
 > No, non puo' essere negativo scusa.
 > ...
Hai tutte le ragioni!
Me lo dicevo anch'io, ma il conto mi dava negativo...
Ce ne ho messo per trovare l'errore :-(
Allora, il risultato per i tuoi parametri (\tau = 1/10, x = 4R)
dovrebbe essere 0.0824 M_0 (mettendo a posto il 4\pi).
Parecchio piu' grosso del tuo.
Se vuoi ti scrivo l'integrale che ho calcolato numericamente. Del
calcolo numerico penso di potermi fidare.


 Parecchio piu' grosso del tuo.
Si, pare che non ci siamo. Allora, se non ti spiace, proviamo a controllare
anche gli integrali e l'impostazione dei calcoli.
Quello che faccio io, in soldoni e dopo tutta una serie di calcoli
analitici, e' ridurre il calcolo al seguente integrale (dove ho gia'
considerato un \tau molto piccolo, sviluppato, e mi interessa solo il
prim'ordine)
Hx(r,0,0) = -\tau/2 M_0 \int_0^\infty q dq J_1(q) [J_0(q r)-J_2(q r)]
dove r e' x/R (x e' il punto in cui voglio calcolare il campo). 4R
corrisponde quindi a r=4. L'integrale vale solo per r>1, ovvero x>R. Le J
sono funzioni di Bessel.
La soluzione analitica e' esprimibile in termini di funzioni ipergeometriche
(come e' intuibile dal mio nick, le apprezzo), e il risultato e'
Hx(r,0,0) = 1/(4 r^3) \tau M_0 [3*2F1(1/2,5/2,2,1/r^2) +
2F1(3/2,3/2,2,1/r^2)]
da cui il valore nel punto in questione
Hx(4R,0,0) = 1/256 \tau M_0 [3*2F1(1/2,5/2,2,1/16) + 2F1(3/2,3/2,2,1/16)]
Hx(4R,0,0) = 1/256 1/10 M_0 4.2 = 0.00164 M_0
che avevo approssimato a 1/600 M_0.
E' cmq sospetto che i nostri risultati abbiano un rapporto che si avvicina
molto a 16 \pi (0.0824/0.00164 = 50.2343; 16 \pi = 50.2655). E' possibile
che sia uno strascico della conversione di unita' di misura?
Bye
Hyper

Hypermars ha scritto:
 > Si, mentalmente considero tutto in Tesla. Ovviamente la relazione e'
 > B=\mu_0(M+H).
Ahinoi... Io sono abituato a usare B = \mu_0 H + M.
Percio', per evitare pasticci, nel seguito mi atterro' al cgs.
 > ...
 > Quello che faccio io, in soldoni e dopo tutta una serie di calcoli
 > analitici, e' ridurre il calcolo al seguente integrale (dove ho gia'
 > considerato un \tau molto piccolo, sviluppato, e mi interessa solo il
 > prim'ordine)
 >
 > Hx(r,0,0) = -\tau/2 M_0 \int_0^\infty q dq J_1(q) [J_0(q r)-J_2(q r)]
 >
 > dove r e' x/R (x e' il punto in cui voglio calcolare il campo). 4R
 > corrisponde quindi a r=4. L'integrale vale solo per r>1, ovvero x>R. Le J
 > sono funzioni di Bessel.
Abbiamo un problema: io ho fatto il conto in tutt'altro modo, perche'
non ho trovato f. di Bessel ne' integrale da 0 a infinito.
Ti spiego come ho proceduto.
1. Una magnetizzazione uniforme equivale a una carica sulla superficie
laterale del disco, di densita' superficiale M_0\cos\phi.
2. Questa produce quindi un campo:
H_x(x,0,0) = \int_{-t/2}^{t/2} dz int_0^{2\pi} d\phi
    M_0\cos\phi (x - R\cos\phi) (x^2 - 2xR\cos\phi + R^2 + z^2)^{-3/2} =
(l'integrale su z si fa elementarmente)
= M_0 Rt \int_0^{2\pi} \cos\phi (x - R\cos\phi)
             (x^2 - 2xR\cos\phi + R^2 + t^2/4)^{-1/2} =
   (4M_0 r^2\tau) \int_0^\pi \cos\phi (1 - r\cos\phi)
      (1 - 2r\cos\phi)^{-2} (1 - 2rR\cos\phi + r^2 + r^2\au^2)^{-1/2}.
3. Questo l'ho calcolato numericamente, nel modo piu' banale: bastano
5 punti per avere il risultato con 4 cifre esatte.
Ottengo: 0.006556 M_0.
Vedi un po' tu se ci cavi qualcosa...
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 Ottengo: 0.006556 M_0.
Eh, stavolta c'e' un fattore 4 di mezzo, esatto esatto, tra il tuo risultato
e il mio (0.001639). Ho verificato anche con la tua procedura, ripetendo i
passi, e torna (tenendo conto del 4 pi).
Direi che posso considerarmi soddisfatto, grazie ancora per l'aiuto.
Bye
Hyper

Hypermars ha scritto:
 > ...
 > Qui ti sei dimenticato un R. Probabilmente nella definizione
 > dell'elemento di area, che sarebbe R d\phi.
Ovviamente, ma solo nel copiare il passaggio.
 > Uhm, l'integrale in z forse non e' cosi' banale
 >
 > \int_{-t/2}^{t/2} (a+z^2)^{-3/2} = t/a (a+t^2/4)^{-1/2)
 >
 > Non ti manca il 1/a?
Come sopra...
 > Mi sono perso. Hai chiamato r cosa? x/R o R/x? il termine
 > (1-2r\cos\phi) da dove spunta ora?
Hai ragione: copiando ho fatto un gran casino. Ho messo r = R/x invece
di x/R come avevi fatto tu. Il termine (1-2r\cos\phi)^{-2} e' appunto
quello che avevo saltato al passaggio precedente.
E' ben noto che quando uno copia il compito, e' facile smascherarlo
proprio con errori di questo genere: cose che spariscono a meta' conto
e riappaiono alla fine :-)
 > Eh, stavolta c'e' un fattore 4 di mezzo, esatto esatto, tra il tuo
 > risultato e il mio (0.001639). Ho verificato anche con la tua
 > procedura, ripetendo i passi, e torna (tenendo conto del 4 pi).
Dici che mi sono perso un fattore 4 da qualche parte? Non ho
ricontrollato, ma puo' essere.
Ma se alla fine ti torna, sono contento.
 > Direi che posso considerarmi soddisfatto, grazie ancora per l'aiuto.
Non c'e' di che...
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