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Titolo: Regressione ed errore nel calcolo delle differenze

Ciao,
 
 
consideriamo il problema classico della regressione: ho due variabili X ed Y misurate sperimentalmente, e voglio stimare Y in base ai valori di X. Considerando per semplicità il caso di regressione lineare, so che 
 
(Y_est-mu_Y)/sigma_Y = r * (X-mu_X)/sigma_X
 
 
dove mu sono le medie, sigma le deviazioni standard ed r il coefficiente di correlazione. So anche che, supposti gli errori distribuiti normalmente, l'intervallo
 
[Y_est-2*sqrt(1-r^2)*sigma_Y, Y_est+2*sqrt(1-r^2)*sigma_Y]
 
contiene il valore reale di Y il 95% delle volte. Ho tre dubbi:
 
 
 
 
 
1. Come sono legate sigma_Y e la precisione del mio strumento di misura? Posso ridurre sigma_Y a piacere, aumentando il numero di prove ripetute, oppure non posso mai andare sotto un certo limite, legato alla precisione dello strumento? Immagino che la risposta dipenda dallo strumento: mi sembra impossibile poter misurare una lunghezza con accuratezza superiore al millimetro, usando un metro con tacche millimetriche, anche se ripeto la prova un sacco di volte. Ma per strumenti via via piu' complessi come voltmetri, termocoppie, trasduttori di pressione, ecc., magari le cose stanno in modo diverso.
 
 
 
2. Oltre che dalla calibrazione dello strumento, sigma_Y dipende da errori casuali, dovuti all'operatore, come il suo tempo di risposta nello schiacciare il bottone di un cronometro, oppure alle condizioni ambientali (es. oggi fa molto caldo e il pezzo di ferro da misurare si dilata). Questi errori sono certamente riducibili facendo più prove ripetute. Ci sono altri tipi di errore oltre a questi?
 
 
 
 
3. Se pure la precisione della misura di Y non potesse mai superare la precisione E dello strumento di misura (che mi sembra ragionevole), penso che l'errore nelle *variazioni* di Y possa essere ridotto a piacere. In altre parole, se stimo Y per due valori diversi di X, X2 ed X1, e faccio tendere X2-X1  a 0, ovviamente Y2_est-Y1_est tende a 0 con la stessa velocità. Anche la differenza vera Y2-Y1 tende a 0. Pertanto l'errore nella stima della *differenza* non può essere limitata inferiormente da E: è giusto? In quali ipotesi vale questa conclusione?
 
 
 
 
 
L'origine di tutta questa discussione, per chi fosse interessato, è che lavoro in un team di numerici, e calibriamo dei codici di calcolo sui risultati forniti dal team sperimentale. Io sostengo che i codici,così calibrati, si possano utilizzare per studiare gli effetti sui parametri dipendenti, di piccole variazioni dei parametri indipendenti, molto più piccole delle variazioni usate nella calibrazione dei codici. Un collega del mio team invece ritiene che anche la precisione nella stima delle variazioni sia limitata dalla precisione delle misure sperimentali da cui i codici derivano. Io sostengo che dica una sciocchezza:
 
 
1. so per certo che a variazioni nulle dei parametri indipendenti corrisponde una variazione nulla dei parametri dipendenti, a prescindere dalla calibrazione. Per parametri indipendenti includo anche le condizioni ambientali, ovviamente.
 
 
2. se così fosse, sto dicendo che posso "fidarmi" dei codici per calcolare "grandi" variazioni, ma non "piccole"? Ma se tutta la teoria del calcolo numerico dice esattamente il contrario! (a meno di non arrivare all'epsilon macchina, ma sulle nostre macchine questo rischio non c'é :)
 
Cosa ne pensate? Grazie,
 
ciao
 
deltaquattro

non può essere limitata inferiormente da E: è giusto? In quali ipotesi vale questa conclusione?
 
Sì e no. Va precisato meglio cosa vuoi fare.
Se tu vuoi interpolare un valore Y_n nel punto X_n tramite una
regressione fatta su vari punti presi sia prima che dopo X_n allora
otterrai come errore sulla stima Y_n un errore molto piccolo. Molto
inferiore ad E. Di quanto dipende dal numero di punti che hai usato e
come son distribuiti intorno a X_n. Ci son delle formulette che
stimano l'errore sui punti interpolati.
Le ipotesi son quelle citate prima. Ossia, in formule, che sia vero
che y_i=m*x_i+b + E(0,sigma_Y). Ossia che 1) il modello sia esatto e
2) che gli errori siano realmente casuali e a media zero. In questo
caso tanti più sono i punti x_i su cui misuro le y_i minore sarà
l'errore m e su b, da cui minore sarà l'errore sulle y interpolate
(quello che vorresti fare con soli 2 punti non mi è ben chiaro...)

(quello che vorresti fare con soli 2 punti non mi � ben chiaro...)
 
 
 
Non hai capito il mio esempio, � ovvio che non uso due punti di misura: ne ho, tipicamente, una sessantina, diciamo 57 per fissare le idee (57 coppie intendo! Cio� faccio variare il mio parametro indipendente X fra 57 valori, e misuro i corrispondenti valori del mio parametro dipendente Y, ricavando (X_1,Y_1),......,(X_57,Y_57). A questi 57 punti fitto la legge lineare col metodo dei minimi quadrati:
 
1) y_i=m*x_i+b + E(0,sigma_Y)
 
 
 
 
 
Ricavo cos� m e b: le loro espressioni in funzione dei punti di misura le conosco, quello che non conosco sono le espressioni dei relativi intervalli di confidenza di m e b, ma sicuramente ci sar� una dipendenza dalla deviazione standard delle misure, e dalla radice del numero di punti. Ora, voglio stimare l'errore sulle *variazioni* di Y, invece che su Y. Allora considero un punto X_n in cui ho una misura: la formula 1) mi permette di calcolare y per qualsiasi valore di X, anche per valori che non corrispondono a nessun punto misurato. Per esempio, in un punto X fra X_ne ed X_(n+1), molto prossimo ad X_n. Avr�:
 
 y_n=m*X_n+b=Y_n-E(0,sigma_Y)
 
y=m*X+b 
 
 
Ora, se faccio tendere X ad X_n, y tender� ad y_n, e quindi la differenza y_n-y tende a 0. Quindi l'errore nella differenza pu� rendersi piccolo a piacere, facendo tendere X-X_n a 0, indipendentemente dall'accuratezza dello strumento con cui ho preso le 57 misure. Ti torna?

Ti torna?
 
Ecco... Questo non mi torna affatto.
Non mi � neppure chiaro cosa vuoi fare.
Se fai 57 misure nel punto X (senza bisogno di scomodare i limiti)
calcoli la media e la varianza delle y misurate in quel punto ed
ottieni una stima di y con un errore uguale all'errore di misura/
sqrt(56). Ovviamente sotto l'assunto (essenziale!!!) che gli errori
che fai in ogni misura siano scorrelati tra di loro.
 
Non mi � chiaro per� perch� vuoi fare tendere X_n a X in genere
invece. Anzi... Se tu prendi mille misure nello stesso identico punto
e fai un fit a due parametri (m e b) sar� invece impossibile fare un
fit perch� esistono infinite coppie m e b che descrivono il risultato.
Per cui � meglio proprio allargare al massimo possibile il range di
misura.