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Titolo: equazione d'onda

Hi,
la costante c^2 (oppure v^2) nell'equazione differenziale delle onde 
rappresenta la velocita' dell'onda.
Perche' ? Coas mi fa capire che c e' la velocita' dell'onda ?
Solo perche' ha la dimensione m/s ? oppure ?
Grazie
 
Salva 

 Coas mi fa capire che c e' la velocita' dell'onda ?
 
Perché le soluzioni dell'equazione differenziale sono del tipo:
 
f(x-ct) oppure f(x+ct)
 
Ovvero, se vario t (il tempo) di 1, per riottenere lo stesso valore del
campo devo variare x (la coordinata spaziale) di c (-c nel secondo
tipo), e questo vale qualunque sia x. Il che equivale a dire che la
forma d'onda sta traslando nello spazio con velocità c, in valore
assoluto.
 
-- 
Giacomo "Gwilbor" Boschi
http://gwilbor.wordpress.com/
 


In una dimensione x, l'equazione d'onda nella funzione incognita
f(x,t) fornisce  come soluzione una qualsiasi funzione del tipo g(x-
v*t) oppure g(x+v*t). Scritta in quel modo significa che si tratta di
una "forma spaziale" g(x) che si sposta nel senso della x positive (la
prima) o delle x negative (la seconda) con velocita' v. Infatti data
una funzione qualsiasi f(x), la funzione f(x-A) e' una funzione che e'
la f(x) traslata di una quantita' A sulle ascisse. Pertanto g(x-v*t)
e' la g(x) traslata sulle ascisse della quantita' v*t. Quindi se, a t
= 0 hai la parabola
g(x) = x^2, al tempo t hai la stessa funzione *ma traslata a destra*
di v*t quindi g(x-v*t) e' una parabola che si sposta a destra con
velocita' pari a v.
 
--
cometa_luminosa

salvasagu ha scritto:

oppure.
 
considera per semplicita' un'onda monodimensionale, per esempio la 
propagazione di una deformazione lungo una corda tesa omogenea, che si 
propaga in una data direzione senza distorsione, vale a dire che la 
"forma" dell'onda non cambia e puo' essere descritta in un dato istante 
dal grafico di una funzione f(x); se l'onda si sposta con velocita' 
costante v allora per ogni istante t e per ogni punto x la deformazione 
e' F(x,t)=f(x-v*t). ora:
 
@F/@x(x,t) = f'(x-v*t)
@^2F/@x^2 = f''(x-v*t)
@F/@t = f'(x-v*t)*(-v)
@^2F/@t^2 = f''(x-v*t)*v^2
 
da cui segue:
 
@^2F/@t^2 = v^2*@^2F/@x^2
 
ossia l'equazione d'onda.
 
bye
 
-- 
Questo problema si risolve benissimo con la tunze, te lo dico
non perche' io l'ho mai visto, ne' saprei risolverlo adesso,
ma so benissimo che la Tunze lo risolve brillantemente,
in termini molto piu' semplici, devi solo prendere i=0,001.


La risposta e' di natura matematica. Tutte le soluzione di tale equazione
a derivate parziali hanno (nel caso unidimensionale) la forma:
 
z = F(x - vt) + G(x + vt)
 
dove F e G denotano funzioni arbitrarie.
 
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)


ma wikipedia no?
http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation#General_solution
 


Assolutamente non basta il fatto di avere le dimensioni di una velocita'.
 
Piuttosto, puoi verificare gia' con l' eq. dele onde in 1D che ammette 
soluzioni del tipo f(x-vt) o g(x+vt). Questi sono dei profili che "si 
muovono" in direzione positiva o negativa con velocita' v.
 
Giorgio

 oppure ?
 
Soluzioni dell'equazione di d'Alembert sono tutte e sole le funzioni 
della forma
 
(2)   u(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct)
 
dove f e g sono due funzioni R -> R qualsiasi: basta che siano ovunque 
derivabili quanto basta.
 
 
Che tutte le u(x,t) della forma (2) siano soluzione della (1) lo puoi 
verificare direttamente calcolando le @^2 u / @t^2  e  @^2 U / @x^2.
 
La dimostrazione che tutte le soluzioni della (1) hanno la forma (2) e' 
un po' piu' lunga, ma la trovi in tutti i buoni libri e anche su 
Wikipedia e Wolfram, es.
http://mathworld.wolfram.com/dAlembertsSolution.html
 
 
 
Ma forse il tuo problema e' piuttosto "perche' c rappresenta *proprio* 
la velocita' dell'onda".
 
 
Consideriamo il caso in cui g=0, la (2) si riduce a
 
(3)   u(x,t) = f(x - ct)
 
all'istante assunto come iniziale, t0=0, e'
 
       u(x,0) = f(x)
 
ossia la soluzione, nel piano cartesiano x,u, ha un certo "profilo" che 
e' esattamente il grafico di f.
 
 
Ad un istante generico t1, in un punto generico x1, sara'
 
       u(x1,t1) = f(x1 - ct1) = f(x0),  con x0 = x1 - ct1
 
ossia: in x1, all'istante t1, il valore della funzione u sara' lo stesso 
che u aveva all'istante t0(=0) nel punto x0, che *precede* x1 e ne dista 
x1 - x0 = ct1. E questo vale per qualsiasi scelta di x1.
 
 
  =>  All'istante t1, l' *intero profilo* della funzione f si e' 
spostato *verso destra* percorrendo uno spazio ct1, alla velocita' c.
 
 
Una funzione che col passare del tempo *trasla* con velocita' costante 
e' proprio quello che chiamiamo "onda".
 
 
f(x - ct) e' quindi un'onda che trasla lungo l'asse x con velocita' 
positiva c.
 
 
Ripetendo pari pari il ragionamento, g(x + ct) rappresenta invece 
un'onda che trasla lungo l'asse x con velocita' negativa -c.
 
 
La soluzione della (1) quindi e' data dalla somma di due onde, che con 
il passare del tempo traslano lungo l'asse x, l'una in un verso e 
l'altra nell'altro, avendo entrambe c come valore assoluto della velocita'.
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 wrote:

Se consideri per esempio il caso unidimensionale (una sola variabile
spaziale x),
scopri che tutte le soluzioni dell'equazione differenziale sono del
tipo
f(x+vt) oppure f(x-vt) oppure una loro combinazione lineare.
Se vai a disegnare il grafico di f(x+vt) oppure f(x-vt) sul solo asse
delle x, cioè trattando la funzione come una funzione di una sola
variabile, ti accorgi che al variare del parametro t il grafico trasla
lungo l'asse x con velocità -v o +v rispettivamente.
Dunque v si interpreta proprio come la velocità di propagazione.
Come puoi vedere, si tratta di un ragionamento puramente matematico
che non riguarda le unità di misura, le quali vengono dopo come
conseguenza, non prima.
Ciao.
 
--
Gino Di Ruberto, Napoli
IK8QQM
Lettera inviata alle Istituzioni su "Emergenza rifiuti a Napoli e
Torce al Plasma"
http://groups.google.com/group/infonapoli-newsletter/msg/8289fa672a5d8f87?hl=it