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Titolo: Fluido ideale in condotta obliqua

Sono uno studente ex diplomato e volevo porvi questo mio dubbio sul 
teorema di Bernoulli per capire dove sbaglio, perchè sicuramente 
trascurerò qualcosa. Immagino di avere l'acqua di un fiume che ha un 
salto di livello dal punto 1 al punto 2,
 
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          \
           \
            \-- 2 -----
 
Nell'ipotesi di fluido ideale, uguaglio le due energie totali in A e B, 
date ciascuna dalla somma dei 3 termini, gravitazionale, cinetico e di 
pressione. Successivamente considero le pressioni e le velocità uguali 
nei due tratti, cioè pA=pB e vA=vB, elimino i termini cinetico e di 
pressione e mi resta
 
hA = hB
 
che evidentemente è un assurdo perchè A sta in alto e B in basso
 
Appunto, dove sbaglio ?
Grazie

 Appunto, dove sbaglio ?
Qualche volta è un vantaggio che questo NG sia lento :-)
Ho visto che avevi posto lo stesso quesito in fisf, e non ne è venuto
fuori niente.
Vediamo dove arrivo io...
 
Una premessa inessenziale.
Tu come tanti, inclusi molti testi, parli di "3 termini", che secondo
me è sbagliato, perché non esiste nessunissima "energia di pressione".
Ma non importa, sono solo parole. L'eq. di Bernoulli, nelle opportune
ipotesi, vale in modo indip. da coem viene interpretata a parole.
 
Il punto centrale è: sarà lecito usare il teorema di Bernoulli?
Tu hai parlato di fluido ideale, ossia (credo) incomprimibile e non
viscoso) e in quest'ipotesi il teorema vale.
Ma visto che si arriva a un palese assurdo...
O meglio: a un palese contrasto con ciò che dice l'esperienza.
"Assurdo" dovremmo riservarlo a una contraddizione logica, che qui non
c'è.
Dunque, qualche ipotesi è incompatibile con la realtà. Quale?
Hai anche posto uguali le pressioni: su che base?
 
Cerchiamo di precisare la situazione reale.
Hai un serbatoio a monte, e una presa che porta l'acqua alla condotta.
Al pelo libero del serbatoio la pressione è quella atmosferica P0.
Al livello della presa, ma lontano da questa, sarà P1, di poco
maggiore (legge di Stevino). Possiamo trascurare la differenza,
rispetto al dislivello assai maggiore che avremo nella condotta:
P1 =~ P0.
 
All'imboccatura della condotta avremo P2, che potrà essere solo
minore di P1, grazie a Bernoulli: la velocità dell'acqua è maggiore.
Però proviamo a fare una stima, che ci servirà poi:
rho*v1^2/2 + P1 = rho*v2^2/2 + P2 (le quote sono uguali)
 
P1 - P2 = rho*(v2^2 - v1^2)/2.
 
Assumerò v1 trascurabile, v2 (velocità nella condotta) = 1 m/s; rho 10^3 kg/m^2, quindi
 
P1 - P2 = 10^3*1/2 = 500 Pa
 
ossia una differenza esigua (ricorda che la press. atmosferica è circa
10^5 Pa). 500 Pa sono prodotti da un dislivello di 5 cm!
La trascuro, e quindi anche P2 =~ P0.
A valle, se la condotta si apre nell'aria, abbiamo di nuovo P3 = P0.
Quindi la tua ipotesi è corretta.
 
Se ci fosse una qualsiasi ostruzione, per es. le pale di una turbina,
P3 potrebbe essere sensibilmente > P0, aggravando l'assurdo.
Ma c'è di peggio...
 
Supponiamo che il dislivello nella condotta sia z2 - z3 = 500 m.
Nell'eq. di Bernoulli abbiamo
 
P2 + rho*g+z2 = P3 + rho*g*z3
P3 - P2 = rho*g*(z2 - z3) = 10^3*10*500 = 5*10^6 Pa
 
che è assolutamente incompatibile con le ipotesi fatte!
 
Credo che avrai capito dove sta l'inghippo: il teor. di B. non è
applicabile perché il fluido non può essere considerato ideale.
Non si può trascurare la viscosità.
 
Proviamo a tenerne conto, supponendo per semplicità che il flusso sia
laminare.
La legge di Poiseuille ci dice, per la perdita di carico:
 
P2 - P3 = 8*eta*L*Q/(pi*R^4)
 
dove
eta (visc. dell'acqua) = 1 mPa s.
L (lunghezza) lo prendo = 1 km
Q (portata) l prendo = 1 m^3/s
R (raggio del tubo) lo prendo = 0.5 m.
Sono valori arbitrari, ma mi sembrano ragionevoli.
Se vuoi, puoi cambiarli e rifare i conti.
Abbiamo
 
P2 - P3 =~ 40 Pa.
 
Una perdita di carico incredibilmente piccola per un tubo lungo 1 km!
Ancora qualcosa che non funziona.
Forse il flusso non è laminare?
Proviamo a calolare il n. di Reymolds:
 
Re = v*2R*rho/eta = 10^6
(ho preso v = 1 m/s; facendo i conti pe bene, con quella portata, in
regime laminare, la velocità al centro del tubo sarebbe 2.5 m/s).
Con un Re così grande, altro che regime laminare!
 
Ecco che tutto si chiarisce...
Il flusso nel tubo è turbolento.
La perdita di carico è molto maggiore di quella calcolata.
L'eq. di Bernoulli non vale, a meno di non correggerla inserendoci la
perdita di carico:
 
P3 - P2 = rho*g*(z2 - z3) - DP
 
dove ho indicato con DP la perdita di carico turbolenta, che non mi
azardo a calcolare, ma che potrà benissimo compensare il termine
piezometrico, che vale 5*10^6 Pa, come avevamo già visto.
 
Non so se sono stato chiaro, e nemmeno se tutto quello che ho scritto è
giusto.
La buona volontà ce l'ho messa :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

Faccio seguito al mio post precedente, prima che intervenga qualcun
altro...
Infatti in quello che ho scritto c'è qualcosa di grossolanamente
errato, come mostrerò subito.
Quanto alla soluzione, vedremo.
 
Ripeto i dati che ho usato:
Dislivello         z2 - z3 = 500 m
Raggio del tubo          R = 0.5 m
Portata                  Q = 1 m^3/s
Velocità media (stimata) v = 1 m/s.
 
Con questi dati facciamo qualche calcolo di potenza.
1 m^3 d'acqua nella discesa perde en. potenziale, in misura di
 
rho*V*g*(z2-z3) = 5*10^6 J.
 
Dato che 1 m^3/s è giusto la portata, abbiamo una potenza disponibile
pari a 5 MW. Ragionevole.
 
Alla base della condotta, con la velocità v = 1 m/s, quest'acqua ha
un'en. cinetica
rho*V*v^2/2 = 500 J.
Quindi la potenza utile, che potrebbe essere trasmessa alla turbina e
convertita in potenza elettrica dal generatore, è di ben 500 W:
neppure sufficiente a un singolo appartamento.
Veramente un bell'impianto :-(
Si butta il 99.99% della potenza disponibile...
 
Ho cercato di documentarmi, e credo di aver capito quanto segue.
Un impianto con quei dati molto probab. userà una turbina Pelton, in
cui l'acqua arriva sulle a grande velocità e bassa pressione.
Nalla condotta invece la velocità è piccola e costante su tutto il
salto, il che vuol dire al termine della condotta la pressione P3 non
può essere quella atmosferica, ma molto maggiore.
In assenza di perdite, sarebbe quella statica, già calcolata in 5 MPa,
ossia 50 atm.
Dunque la condotta deve resistere a questo po' po' di pressione...
Si può tollerare un 10% di perdite, e si scende a 4.5 MPa.
 
Bisogna quidi convertire un flusso di grande sezione (0.8 m^2) e
piccola velocità (1 m/s) in uno a piccola sezione e grande velocità;
inoltre dalla pressione P3 a quella atmosferica P0.
Di nuovo Bernoulli:
 
rho*v^2/2 + P3 = rho*v'^2/2 + P0
v'^2 = v^2 + (P3 - P0)/rho = 1 + 4.5*10^6/10^3 = 4.5*10^3
v' = 67 m/s.
 
A questa conversione è adibito un organo detto /distributore/;
essenzialmente uno o più ugelli con uscita di piccolo diametro.
Esempio con ugello singolo: per la solita portata
 
pi*R'^2*v' = Q
R' = sqrt(Q/(pi*v')) = 0.07 m.
 
Mi pare che ora il gioco sia abbastanza chiaro, ma lo riassumo.
A monte l'acqua viene prelevata a pressione circa P0 (atmosferica) e
bassa velocità (1m/s).
A valle arriva alla stessa velocità, ma ad alta pressione (4.5 MPa,
tenuto conto di un 10% di perdite).
Dopo il distributore la velocità è molto maggiore (67 m/s), la
pressione quella atmosferica.
L'en. cinetica dell'acqua corrisponde alla dimin. di en. potenziale
(perdite a parte).
 
-- 
Elio Fabri


Ho un po' di problemi a comprendere il contesto della tua domanda: il titolo parla di condotta obliqua, e fa pensare al problema dei due serbatoi, nel qual caso, peraltro, ha effettivamente senso parlare di teorema di Bernoulli. 
Nel testo, invece, si parla di fiume, e sembri far riferimento ad un problema completamente diverso, tipo salto di fondo in alveo.
 
In questo caso non si parla di teorema di Bernoulli, e, al di là dei nomi, non è utile introdurre il termine di pressione, che è sempre uniformemente pari alla pressione atmosferica (supposta costante). 
La matematica per trattare le correnti a pelo libero è però un po' diversa,e non so quanta familiarità tu abbia con essa.
 
 
Pertanto, per il momento,  ti dirò solo che in questo tipo di problemi si usa di norma ragionare con le energie specifiche rispetto al fondo, ed entrano in gioco parametri quali la pendenza dei vari tratti e la natura della corrente (correnti lente, veloci, profili di moto) in funzione della pendenza stessa, della portata e della forma della sezione.