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Titolo: verifica campo dipolare proiettato

Propongo una dimostrazione/verifica dell'identita' del campo magnetico 
esterno proiettato di tutte le forme magnetizzate aventi un asse di 
simmetria rotazionale, quando la proiezione avviene lungo l'asse di 
simmetria e la magnetizzazione e' ad esso perpendicolare.
Prendiamo una particella magnetizzata uniformemente. La forma della 
particella si puo' schematizzare con la propria funzione caratteristica 
D(*r*) che vale 1 quando *r* e' dentro (materiale magnetizzato), e zero 
quando *r* e' fuori (spazio vuoto). Esaminiamo forme con simmetria 
rotazionale, ovvero chiamando z l'asse di rotazione, imponiamo che
D(x,y,z)=D(r,z).
Scegliamo come asse y la direzione di magnetizzazione. L'asse di 
rotazione, che si assume perpendicolare alla direzione di *M*, e' z. Il 
restante asse x rappresenta la coordinate lungo la rimanente direzione 
perpendicolare sia a M che a z.
Il campo di magnetizzazione e' quindi semplicemente *M*=M[0,1,0]D(r,z), 
visto che per definizione la magnetizzazione esiste solamente dove c'e' 
materiale magnetizzato.
La relazione che lega *M* e *A*, dove *A* e' il potenziale vettore da 
cui ricavare *B* tramite rotore, e'
*A*(*r*)=\mu0/(4\pi) \int d^3*r*' *M*(*r*') \times *R*/R^3
dove utilizzo le maiuscole per indicare differenze di coordinate o 
vettori, quindi X=x-x', Y=y-y', Z=z-z', R=|(x-x')^2-(y-y')^2-(z-z')^2|.
Ho quindi, definendo B=\mu0 M
*A*(*r*)=B/(4\pi) \int d^3*r*' D(*r*') [0,1,0] \times *R*/R^3
*A*(*r*)=B/(4\pi) \int d^3*r*' D(*r*') [Z,0,-X]/R^3
e di conseguenza
*B*(*r*)=B/(4\pi) \int d^3*r*' D(*r*') [3XY,3Y^2-R^2,3YZ]/R^5
Fin qui tutto banale, stiamo dicendo che il campo magnetico totale e' la 
sovrapposizione dei campi di dipolo generati da ogni momento elementare 
presente nel materiale. L'integrale di sopra e', di fatto, una 
convoluzione tra il campo di dipolo e la forma della particella.
Limitiamo sin dall'inizio l'analisi al campo esterno, ovvero prendiamo 
|*r*|>a, dove a e' il raggio massimo della particella.
Eseguiamo ora la proiezione di B lungo z (l'integrale lungo z va da meno 
a piu' infinito):
Bp(x,y)=B/(4\pi) \int d^3*r*' D(*r*') \int [3XY,3Y^2-R^2,3YZ]/R^5 dz
Bp(x,y)=B/(2\pi) \int d^3*r*' D(*r*') [2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2
Poiche' la dipendenza da z' e' svanita nell'integrazione, rendiamo il 
tutto bidimensionale integrando anche su z':
Bp(x,y)=B/(2\pi) \int dx'dy' [2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2 \int D(r',z') dz'
L'integrale della D(r',z') in dz' non e' altro che lo spessore di 
materiale magnetico incontrato mentre andiamo da meno a piu' infinito in 
z, che chiamiamo tp(r'). Esempio: per un cilindro, tp(r')=t, se r'<a, e 
=0 se r'>a. Per una sfera, tp(r')=\sqrt{a^2-r^2} per r'<a, e zero per 
r'>a. Per un cono, tp(r')=t (1-r'/a) per r'<a, e zero per r'>a. E cosi' 
via. Puo' essere qualsiasi cosa, basta che non dipenda da \theta.
Quindi, passando in polari
Bp(x,y)=B/(2\pi) \int_0^a r'dr' tp(r') \int d\theta' 
[2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2
Per effettuare l'integrazione in \theta', che appare non banale, 
sfruttiamo una espansione standard in multipoli del termine da integrare 
(qui si sfrutta la condizione r>a, per espandere opportunamente in 
potenze di r'/r), che mostra come l'integrazione in \theta' abbia un 
solo termine sopravvissuto: quello di dipolo. Risulta
Bp(r>a)=B [\sin(2\theta),-\cos(2\theta),0]/r^2 \int_0^a r'dr' tp(r')
Non rimane che eseguire l'ultima integrazione, che evidentemente 
restituisce il volume della particella diviso per (2\pi). Risultato:
Bp(r>a)=BV/(2\pi) [\sin(2\theta),-\cos(2\theta),0]/r^2
per qualsiasi particella magnetizzata con simmetria circolare come 
specificato. CVD.
Il calcolo del risultato per la regione interna r<a non e' cosi' 
semplice, perche' dipende dalla forma (I vari multipoli non si annullano 
affatto dentro, come ci si puo' aspettare). Cilindro e sfera sono 
comunque calcolabili (forse anche il cono, non ho provato). Il cilindro 
e' semplicissimo:
Bp_cyl(r<a)=BV/(2\pi) [0,1,0]/a^2
mentre la sfera e' piu' noiosa da scrivere quindi concludo qui.
Bruno, spero di aver soddisfatto degnamente la prima delle tue 
richieste. La seconda, la verifica dei tuoi calcoli, la rimando un po' 
ancora.
Bye
Hyper

 Hyper
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 tutto bidimensionale integrando anche su z':
Ed il risultato č cioč:
mu_0/4pi [(m.r)r - m r^2]/r^5.
che puň essere ottenuto sia come rotore di un potenziale vettore che come
gradiente di un potenziale scalare: grazie al fatto che esternamente alla
sfera il rotore del campo si annulla. Comunque il momento magnetico rispetto
al momento elettrico rimane uno pseudovettore, ma rispetto a rotazioni le
leggi di trasformazione sono le stesse, si tratta cioč di un tensore sferico
di rango due contratto con un vettore a formare un tensore sferico di rango
1 . Ragione per cui applicando il teorema di Wigner Eckart č possibile
ricavare univocamente qualsiasi momento di multipolo elettrico o magnetico
per proiezione in armoniche sferiche. Per il termine di monopolo ottieni il
flusso del campo elettrico con il peso dato appunto da dS mentre per il
momento di dipolo ottieni una per una le tre componenti usando come peso (r
Y^1_x,y,z) dS . Ovvero la base di momento angolare uno del momento
magnetico. Qui citare Wigner Eckart č come usare l'elicottero per spostarsi
da un attico ad un altro evitando le scale, ma essenzialmente le scale non
sono complicate si tratta di sfruttare semplicemente la rappresentazione in
armoniche sferiche dei campi prodotti da un momento.
 
Per tutto il resto rimango perplesso. L'idea di collegare il momento
magnetico all'integrale del campo magnetico internamente alla regione
polarizzata mi sembra che possa funzionare ogni volta che per ragioni di
simmetria sia possibile stabilire che vige proporzionalitŕ fra i due. Per
esempio se il campo magnetico ed il momento di dipolo sono paralleli punto
per punto e proporzionali come nel caso della sfera. Oppure se la
proporzionalitŕ vige sulla componente integrata in una direzione in virtů
del fatto che le altre componenti si cancellano. L'idea di sostituire la
distribuzione di momenti con una distribuzione fittizia arbitraria per la
quale valga la regola che l'integrale del campo magnetico č proporzionale al
dipolo mi sembra un poco artificiosa, a meno che non celi una ragion pratica
che da qui non riesco a percepire.

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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 per punto e proporzionali come nel caso della sfera.
Accidenti Tetis, mi hai reso cosciente di questo problema non da poco.
Ingenuamente davo per scontato che \mu e diciamo \mu_B fossero
paralleli sempre. Non e' certo cosi', e ce l'avevo sotto gli occhi
tutto il tempo senza vederlo. Ti ringrazio molto.
Un'altra conseguenza comunque del tuo post che mi sembra di capire e'
che tu accetti 1) di dare significato fisico a \int B(r)d^3r = \mu_B
come momento magnetico del campo B, e 2) che non ti aspetti
necessariamente \mu_B = 0 come pare invece si aspettino almeno Elio ed
Enrico. Corretto?
Bye
Hyper

 proprio al centro del cilindro e la M parallela all'asse del cilindro.
Cosa che, onestamente, mi interessa relativamente perche' 1) il
segnale che si acquisisce e' l'integrale da meno infinito a piu'
infinito in z, e 2) la magnetizzazione e' nel piano perpendicolare
all'asse che si integra. Il grado di liberta' nella scelta del dominio
di integrazione e' solo nel piano dove giace M.
Bye
Hyper

 di integrazione e' solo nel piano dove giace M.
Ahhh, caspita!!! Pensavo tu potessi piazzare come ti pare questa particella
magnetizzata.


 magnetizzata.
Posso, ma gli elettroni non sentono la componente del campo magnetico
parallelo all'asse di propagazione.
Bye
Hyper

 parallelo all'asse di propagazione.
Ecco, questo mi pare che cambi un po' le cose.
Probabilmente lo avevi gia' spiegato in precedenza, nel qual caso mi scuso
se ho insistito su un integrale che non era quello di cui parlavi tu.
La f(x,y) che tu hai dall'apparato sperimentale *non e'*, come parrebbe
evincersi dall'integrale riportato sopra, una
fx(x,y)=\int Bx(x,y,z) dz
fy(x,y)=\int By(x,y,z) dz
fz(x,y)=\int Bz(x,y,z) dz
ma e' una
fx(x,y)=\int Bx(x,y,z) dz
fy(x,y)=\int By(x,y,z) dz
fz(x,y)=0
dove il campo B e' generato da una particella che ha simmetria cilindrica
attorno all'asse z ma ha una magnetizzazione uniforme parallela all'asse y,
e il dominio di integrazione su z va da -h ad h con la particella posta
verosimilmente in un punto avente z=0 (su x,y il dominio di integrazione e'
deciso dalle dimensioni del ccd).
Se ora ho finalmente capito correttamente i termini della questione (nel
qual caso, piu' o meno, quanto vale 2h e quali sono le dimensioni del ccd?)
direi che questo problema sia diverso dal precedente (cioe' da quello che
avevo capito io dove M era parallelo a z e si valutava anche \int Bz(x,y,z)
dz), pero' mi pare che si potrebbero fare considerazioni analoghe. Direi che
anche per questo problema (su domini di integrazione finiti !!!) si possa
determinare la soluzione esatta per poi ragionare su quella.


 determinare la soluzione esatta per poi ragionare su quella.
Si, tieni comunque conto di un altro fatto: tutta sta manfrina su sfera 
e cilindro e' solo un esempio ideale per testare l'algoritmo su un 
problema trattabile analiticamente. Il punto e' misurare il momento di 
particelle, o gruppi di particelle, che non hanno nessuna simmetria 
banale. Il che era una ragione in piu' per studiare il problema nella 
sua generalita', ovvero capire che relazione ci sia tra il momento 
magnetico definito come \int M(r) d^3 r, e la quantita' che si puo' 
misurare \int B^(r) d^3r (su dominio finito in (x,y) e infinito in z, OK).
Bye
Hyper

 misurare \int B^(r) d^3r (su dominio finito in (x,y) e infinito in z, OK).
D'accordo, dove "infinito in z" significa "molto maggiore delle dimensioni
del dominio finito in (x,y)", non "molto maggiore delle dimensioni della
particella" (il che e' anche vero ma non basta per considerare infinito il
dominio in z).
E comunque, finita la questione su sfera e cilindro, per fare passi avanti
mi pare si debba proseguire come segue.
Se non hai informazioni sulla forma della particella che genera il campo (e
magari non sai nemmeno se la sua magnetizzazione e' uniforme), a me pare che
l'unica cosa che puoi dire e' cio' che Jackson riporta all'equazione [5.62]
della seconda edizione (che e' sempre la (5.62) anche nella terza edizione,
dove peraltro Jackson si "converte" al sistema MKSA), cioe' che l'integrale
di B su una *sfera* che contiene la particella che genera il campo e'
(8/3)*PI*m (o (2/3)*mu0*m), indipendentemente dall'essere la sfera grande o
piccola rispetto alle dimensioni della particella (basta che il campo sia
generato *solo* da quella particella). Ma tu hai un dominio di integrazione
che e' ben diverso da una sfera quindi *devi tenerne conto*.
La speranza di trarre informazioni dall'integrale per il fatto che viene
eseguito su un "volume grande" e' vana in quanto, nel problema in esame, la
risposta dipende da *come* si fa grande il volume.
Magari mettendo prima la particella molto vicina all'emettitore di
elettroni, poi molto vicina al ccd (poi a meta'), si potrebbe per differenza
ricavare l'integrale su un cubo che contiene la particella (certo, la
precisione delle misure dovrebbe essere tale da dar senso alla differenza).
Ma sarebbe comunque un cubo, non una sfera. Comunque un cubo approssima una
sfera molto meglio di un parallelepipedo di altezza molto maggiore del lato
del quadrato di base. E se tu conoscessi almeno una qualche simmetria (anche
se non proprio la forma esatta della particella), o anche se conoscessi solo
la direzione di m, potresti stimare la differenza fra l'integrale fatto
sulla sfera e quello fatto su un cubo di lato grande rispetto alle
dimensioni della particella e con m parallelo a un lato del cubo.
Se non ho sbagliato i calcoli dovrebbe essere:
Integrale sul cubo = (4+3*Sqrt(2))/8 Integrale sulla sfera
essendo (4+3*Sqrt(2))/8=1.03033
l'errore che si farebbe integrando sul cubo invece che sulla sfera sarebbe
solo del 3% (e comunque si potrebbe correggere).
La stima si potrebbe fare anche per il parallelepipedo infinito (nel senso
precedentemente detto, cioe' h>>lato di base e lato di base>>dimensioni
della particella) e particella al centro (essendo il parallelepipedo di
integrazione infinito su z, questa condizione di "centralita'" della
particella si puo' considerare soddisfatta per distanza
particella/emettitore di elettroni e distanza particella/ccd molto maggior
del lato di base), e, sempre se non ho sbagliato calcoli, con m ortogonale
alla direzione lungo la quale e' infinito il parallelepipedo, il rapporto
integrale sul parallelepipedo/integrale sulla sfera dovrebbe essere
(3*Sqrt(2)-2)/8=0.28033.
Con questo mi pare che si dovrebbe finalmente chiudere la questione.


 Enrico. Corretto?
Mi sembra che loro si aspettassero che l'integrale non è definito, eccetto
nel caso speciale in cui si considera l'integrale del campo dipolare puro
integrato con rispetto alla sua anti-simmetria. Io penso che per alcune
configurazioni geometriche viga quella proporzionalità che hai detto. Per il
resto quello che so è che il campo H in assenza di correnti è irrotazionale,
quindi il suo flusso su qualsiasi superficie chiusa liscia e compatta è
nullo.


 (3*Sqrt(2)-2)/8=0.28033.
Non so che cavolo di conti avevo fatto. Li avevo eseguiti piu' o meno al
volo mentre scrivevo il post, erano poche righe di Mathematica, non li avevo
nemmeno salvati tanto pensavo di poterli riottenere rapidamente.
Invece, dopo diversi tentativi, mi sono ormai convinto che i numeri che ho
riportato sopra siano sbagliati. L'integrale sul cubo non mi pare che
Mathematica riesca a determinarlo (almeno io non ci riesco ... chissa' cosa
avevo calcolato l'altro giorno), di conseguenza nemmeno quello sul
parallelepipedo.
Invece si riesce a determinare l'integrale su un cilindro, e *soprattutto*
si riesce a darne il valore in termini del raggio d e dell'altezza 2h>2d
(cosi' e' possibile dare un senso ai vari integrali che si hanno al variare
del raggio d, cioe' non si e' costretti ad accontentarsi solo del valore
limite per h>>d rimanendo poi "allo sbando" nell'analisi dei dati perche'
non sapremmo quale d prendere come "giusto").
Con la particella al centro e con m diretto ortogonalmente all'asse del
cilindro l'integrale vale (in cgs):
(2/3) PI m (8 - 3 h /Sqrt(h^2+d^2)) + eps^2 * 3 PI m h d^2/(h^2+d^2)^(5/2) +
O(eps^3)
dove con eps ho chiamato la distanza della particella dal centro del
cilindro.
Ipotizzando eps trascurabile, lo sviluppo del primo addendo, in potenze di
d, da':
(10/3) PI m + PI m (d/h)^2.
Cioe' il fit dei dati al variare di d dovrebbe attestarsi su una parabola il
cui coefficiente del termine di secondo grado dovrebbe essere 3/10 del
termine noto.
Questa e' finalmente la funzione che risponde alla sostanza del quesito
originario posto da Hypermars. Quesito che, fra le righe, nascondeva la
domanda:
fissata h, al variare di d si trovano valori diversi dell'integrale. Come
vanno trattati i dati sperimentali (visto che non e' vero che all'aumentare
di d l'integrale converge)?
Su valori di d piccoli rispetto alle dimensioni della particella i termini
di multipolo dovrebbero fare casino, quindi il fit andrebbe fatto prendendo
solo i valori dell'integrale relativi a valori di d molto maggiori delle
dimensioni della particella.
Alla pagina
http://mio.discoremoto.alice.it/brunodisco/
ho messo un piccolo pdf ("integraleB.pdf") nel quale riporto i calcoli in
maniera un pochino piů estesa.


Ciao Bruno,
il risultato finale che hai ottenuto, se lo interpreto bene, dice che
per h->oo il risultato sarebbe 10/3 pi m, ovvero i 5/6 del momento in
SI (dividendo per il 4pi del cgs).
Non e' giusto. Il risultato per d finito e h infinito e' 1/2 del
momento. Su questo non ci sono dubbi. Ora s'ha da capire dove
esattamente le cose non tornano, e ho l'impressione che sia un
problema di fondo nel termine correttivo del campo di dipolo 2/3 m
delta(r).
Bye
Hyper

 Hyper
Ciao.


 Hai notato che li riferisco ad un cilindro si'? Non ad un parallelepipedo.
Si si.
Bye
Hyper

 Si si.
A parte che, su regioni distanti r dall'asse, con r>> delle dimensioni delle
sorgenti, il campo di dipolo parallelo a y, integrato su z fra -h e h con
h>>r, mi pare che venga simmetrico alle bisettrici 1-3 e 2-4 quadrante.
Quindi i contributi su parallelepipedo-cilindro dovrebbero annullarsi.


 Quindi i contributi su parallelepipedo-cilindro dovrebbero annullarsi.
Qui volevo dire antisimmetrico, non simmetrico, altrimenti non si capirebbe
proprio perche' dovrebbe annullarsi il contributo sulle regioni
parallelepipedo-cilindro che sono simmetriche rispetto alle bisettrici.


 positivo a causa del fatto che "vicino" ci sono contributi positivi.
Non e' possibile, semplicemente. Comunque non vorrei che fossimo
ritornati al problema Fubini. Il quale dice che anche su domini finiti
il risultato dipende dall'ordine con cui si integra.
Bye
Hyper

 il risultato dipende dall'ordine con cui si integra.
A occhio direi proprio di no. La funzione che si sta integrando e' continua
e limitata, e il dominio di integrazione e' anch'esso limitato. L'integrale
direi che debba esistere necessariamente.


Bruno, ho rifatto i conti alla tua maniera (spezzando in sfera e 
sfera-cilindro), e mi viene il -1/6 che ti accennavo.
Riassumo i conti in breve:
notazione:
R raggio della sfera di integrazione
2h altezza del cilindro di integrazione
assunzioni:
particella di forma arbitraria, magnetizzata lungo y, centrata 
nell'origine, con massimo raggio di estensione <R
campo dipolare da integrare (se vuoi cgs basta che togli il mu0/(4pi) 
davanti):
by(x,y,z)=mu0/(4pi) mu f(x,y,z)
f(x,y,z)=(2y^2-x^2-z^2)/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)
\int_S by(x,y,z) = 2/3 mu0 mu (dal Jackson)
\int_(S-C) f(x,y,z) =
= 2 pi \int_R^h dz \int_0^R r dr (r^2-2 z^2)/(r^2+z^2)^(5/2)
+ 2 pi \int_0^R dz \int_R(z)^R r dr (r^2-2 z^2)/(r^2+z^2)^(5/2)
dove lavoro in polari nel piano (x,y) e ho gia' integrato in d\theta. 
Nel 2 pi davanti c'e' il fattore due che viene dalla simmetria per z<0, 
e un pi dall'integrazione in d\theta. R(z)=\sqrt{R^2-z^2}
Integro in dr:
\int_(S-C) f(x,y,z) =
- 2 pi \int_R^h dz R^2/(R^2+z^2)^(3/2)
+ 2 pi \int_0^R dz [1/R-z^2/R^3-R^2/(R^2+z^2)^(3/2)]
Integro in dz:
\int_(S-C) f(x,y,z) =
- 2 pi [h/sqrt(h^2+R^2)-1/sqrt(2)]
+ 2 pi [2/3-1/sqrt(2)]
Risultato finale:
\int_(S-C) f(x,y,z) = 2 pi [2/3 - h/sqrt(h^2+R^2)]
che implica
\int_(S-C) by(x,y,z) = 1/2 mu0 mu [2/3 - h/sqrt(h^2+R^2)]
ovvero, visto che ti e' piu' familiare il cgs,
\int_(S-C) by(x,y,z) = 2 pi mu [2/3 - h/sqrt(h^2+R^2)]
Nel limite h>>R, si ottiene
\int_(S-C) by(x,y,z) = -1/6 mu0 mu   [SI]
\int_(S-C) by(x,y,z) = -2/3 pi mu    [cgs]
Risultando quindi
\int_C by(x,y,z) = 2/3 mu0 mu -1/6 mu0 mu = 1/2 mu0 m   [SI]
\int_C by(x,y,z) = 8/3 pi mu -2/3 pi mu = 2 pi m    [cgs]
Non so dove sia l'errore nei tuoi conti, o se il problema sia in Fubini, 
comunque 1/2 del momento e' il risultato corretto.
Bye
Hyper

 Hyper
Grazie, ciao.


 ha scritto:

Mi sembra che fino a quando fai l'integrazione in z e l'integrazione in z'
non sfrutti in alcun modo la simmetria cilindrica, ma solo il fatto che la
magnetizzazione è uniforme e parallela al piano z=0, quindi scrivi di fatto
che il campo vale:
B(x,y) = - 4 pi M tp(x,y) + 2 \Int dx' dy' tp(x',y') M.grad(
(r-r')/|r-r'|^3)
e le notazioni sono:
tp(x,y) lo spessore di materiale magnetico lungo z incontrato da un retta
che passa per il punto x,y ortogonale al piano z=0.
M è la componente parallela al piano z=0 della magnetizzazione.
r = (x,y)
r' = (x'-y').
per quanto riguarda lo sviluppo in multipoli una proprietà di un certo
rilievo è che il dipolo ed i multipoli di ordine superiore scalano in modo
diverso rispetto ad un fattore di scala k omogeneo sulle coordinate: la
densità di magnetizzazione va come 1/k^3, quindi il momento di dipolo è
invariato ma il momento di quadrupolo scala come k, ed in generale il
momento di 2^z polo scala come k^(z-1).In pratica aumentando l'intensità di
magnetizzazione e rimpicciolendo le dimensioni della particella risulta che
la magnetizzazione all'interno della particella risulta sempre più prossima
ad essere proporzionale al campo magnetico.
E' notevole comunque che scambiare l'integrazione nelle coordinate primate e
nelle coordinate non primate, dopo avere fatto l'integrazione in zeta e
zeta' conduce all'integrale:
\Int tp(x',y') M.grad((r-r')/|r-r'|^3) d^2r
in due dimensioni, che a prima vista non ha alcun significato, a meno di
considerare lo scambio di ordine di integrazione dopo avere introdotto una
regolarizzazione, assolutamente integrabile su dominio finito, della
funzione divergente in r ' in tal caso il limite sul parametro di
regolarizzazione va fatto dopo l'integrazione. In questo caso non mi sembra
in alcun modo immediato ottenere un termine \pi delta(x-x',y-y'), che
farebbe comodo, proprio perchè l'integrale è bidimensionale. Comunque questo
procedimento di regolarizzazione dovrebbe essere equivalente, nel caso di
simmetria circolare a quello di sviluppare in serie di potenze il campo
interno.


 perpendicolare sia a M che a z.
Ho preso in considerazione il caso che la sorgente del campo sia pressochè
un dipolo esatto ortogonale all'asse zeta (lungo y), ed applicato il metodo
del rotore: B = rot(A) assumendo A = (m x r)/|r|^3 , se considero la
circuitazione di A su un contorno posto in un piano che contiene l'asse z
ottengo l'integrale della componente ortogonale a questo piano del campo
magnetico all'interno del contorno. Questo rende particolarmente semplice
ottenere l'integrale del campo magnetico per volumi delimitati da rette
parallele all'asse zeta. Quello che ho fatto materialmente come esercizio è
stato calcolare l'integrale su una retta di assegnato x,y. Ottenendo
2mx/(x^2+y^2) (si tratta di phi(x,y)), moltiplicando per 2 ottengo il valore
dell'integrale di B_y fra le due rette parallele simmetriche rispetto al
piano z,y. Ho considerato quindi una circonferenza x^2+y^2 = d^2 ed ho
integrato il risultato rispetto ad y. In pratica x(y) = sqrt(d^2-y^2) da la
funzione: \int 2mx(y)dy/(x(y)^2+y^2). Il risultato che ottengo non dipende
da d: 2pi m. Quindi interpreto questo dicendo che l'integrale della
componente y del campo magnetico in un volume cilindrico è indipendente dal
raggio e vale 2pim. In secondo luogo ho integrato tenendo costante x=d e
variando y da -d a d ed ho ottenuto lo stesso numero. Quindi l'integrale su
un volume cilindrico o parallelepipedo a base quadrata ed altezza infinita è
lo stesso e vale 2pim. Infine ho valutato l'integrale variando y da
-infinito a più infinito ed ho ottenuto 4pim, ed anche questo integrale non
dipende da d. Quindi, come mi aspettavo, l'integrale del campo magnetico
lungo y proiettato, rispetto ad y, sul piano y=0 ed integrato in dz (a
questo livello l'ordine di integrazione è ancora intercambiabile) vale 4pim.
Mi sembra che questi risultati siano tutti compatibili con i limiti
asintotici degli integrali valutati da Bruno Cocciaro. Ho valutato poi
l'integrale tenendo fisso x = -d z che varia da -d a d. Questo numero
moltiplicato quattro, in modo da ottenere la circuitazione su un quadrato a
quota y assegnata risulta essere:
4m / [d(1+(y/d)^2)(2+(y/d)^2)^(1/2)]
quest'ultimo può essere poi integrato da -d a d e risulta nel numero 8pim/3.
Quindi l'integrale del campo magnetico di dipolo su un cubo è 8 pi m/3. Ed
ancora una volta, invece, l'integrale da -infinito ad infinito vale 4pi. E
si deduce questo dal solito argomento della proiezione sul piano della
magnetostatica che ho accennato altrove. Il risultato sarebbe identico se
considerassimo le circuitazioni.
Infine è semplice calcolare l'integrale del campo di dipolo su una assegnata
circonferenza ortogonale all'asse y con centro sull'asse y in y e raggio
assegnato r e vale:
2pi r^2 m / (r^2 + z^2)^(3/2).
ed integrando questo in z fra -R ed R con il vincolo z^2+r^2 = R^2 ottengo
ancora 8pim/3. Infine ho potuto verificare che effettivamente l'integrale
entro una sfera è ancora 8.pi.m/3 anche se il centro di questa sfera non è
proprio nel dipolo. Mi aspettavo anche questo risultato perchè, come
ricorderete, avevo verificato che l'integrale di flusso sul bordo sfera di
y.B per un campo di dipolo vale la componente y del momento di dipolo, ma
tutti i contributi dovuti ad multipoli di ordine superiore devono annullarsi
per ragioni di ortogonalità fra armoniche sferiche di momento angolare
differente. Il risultato conclusivo era che se sposto la sfera di
integrazione, in modo che il dipolo rimanga all'interno, allora il flusso di
y.B deve rimanere invariato, perchè invariato è il momento di dipolo anche
se occorre modificare il campo con i termini di multipolo per rappresentare
efficacemente il campo come se fosse generato dal centro della nuova sfera.
Ma siccome il flusso di y.B è l'integrale di volume della divergenza ne
concludevo legittimamente che la componente y del campo magnetico deve
essere uguale se integrata sulla prima e sulla seconda sfera. Il calcolo
iniziale era piuttosto difficile, diversamente il calcolo con il metodo
delle circuitazioni è piuttosto semplice.
In conclusione COMUNQUE SI SCELGA UNA SFERA CHE CONTIENE IL DIPOLO
L'INTEGRALE DEL CAMPO MAGNETICO VALE 8/3 pi m.
Non ho argomenti per sostenere che il campo interno ad un cubo, o ad un
cilindro, il cui centro non sia sul dipolo è lo stesso, ed in effetti per un
cubo traslato di d/2 in direzione del dipolo è differente. E vale:
8 m [ATan(1/3) + Atan(3/sqrt(17)] = m.7.6...
contro
8pi/3 m = m. 8.38...
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