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Titolo: System at rest

Essendo il mio sito web miracolosamente resuscitato dopo mesi di malfunzionamento,
posso levarmi qualche sassolino dalla scarpa a proposito del tema "hidden momentum"
sul quale ho mosso i primi passi proprio su isf:
 
http://pangloss.ilbello.com/Tmp/hidden_momentum_picasso.pdf
 
 
In seguito ho cercato di pubblicare su arxiv un articolo esauriente in merito.
Sono riuscito ad ottenere l'ambito endorsement per physics.class-ph, ma il preprint
da me inviato ad arxiv e' stato respinto dai moderatori. Esso e' visibile qui:
 
http://vixra.org/author/elio_proietti
 
 
Alcuni mesi fa ho inviato alla rivista AJP una versione del mio articolo, pressoche'
identica alla precedente, ma integrata da una opportuna sezione introduttiva:
 
http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Elettromagnetismo/em_momentum_v4.pdf
 
 
Non speravo nella pubblicazione del mio lavoro, ma mi aspettavo di ricevere una 
risposta critica interessante da parte di un referee competente. Sono stato 
accontentato, dopo pochi giorni mi e' pervenuta la seguente irritata stroncatura:
 
http://pangloss.ilbello.com/Tmp/hidden_momentum_report.txt
 
 
Non condivido una sola riga di tale risposta, ma ovviamente ho rinunciato in modo
definitivo ad ogni velleita' di divulgazione del mio lavoro.
Se ora ripropongo il discorso su isf e' solo perche' vorrei essere aiutato a capire
se il pesante giudizio negativo del consulente sia davvero fondato.
 
Comincerei da qui:
".....
The very first sentence of this paper shows that its author has
completely missed the point: the (relativistic) mechanical momentum of
an isolated system at rest is not necessarily zero--this is precisely
the "hidden momentum." 
....."
 
Cosa diavolo intende queso signore per "system at rest"?
Nella mia "very first sentence" dico chiaramente che in RR cio' puo' essere inteso
solamente come sinonimo di quantita' di moto meccanica totale nulla, ossia che il 
sistema fisico elettromagnetico e' osservato nel riferimento baricentrico. 
Sono forse possibili altre interpretazioni?
O la frase del referee e' intrinsecamente contradditoria?
Sul sito di K.McDonald (che sia lui il referee?) recentemente segnalato da JTS:
 
http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/
 
 
si trovano molti esempi di particolari sistemi fisici dotati di "hidden momentum" 
atti (forse) a chiarire dove stia l'equivoco. Ne riparleremo (spero).
 
Per ora mi fermo qui: una cosa alla volta per carita'! 
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 Sul sito di K.McDonald (che sia lui il referee?) 
 
 
Nel prossimo futuro provero' a capire qualcosa sull'argomento (per il 
momento non so abbastanza per discuterne seriamente), adesso posso dire 
delle cose basandomi su argomentazioni extra-scientifiche e su una 
singola lettura di alcune sezioni del tuo articolo.
 
IMHO il referee non e' McDonald, scrive in maniera diversa.
 
Inoltre la discussione del "center of energy theorem", sempre IMHO, va 
completata. Mi pare che tu nel tuo articolo ne parli senza citare una 
dimostrazione e magari hai ragione pero' da' l'impressione che te ne 
stai disinteressando.
 
Se vuoi posso inviarti l'articolo di Coleman e Van Vleck (Origin of 
"Hidden Momentum Forces" on Magnets, Sidney Coleman and J. H. Van Vleck, 
Phys. Rev. 171, 1370) il quale *dice* di avere la dimostrazione (e' 
molto sintetica, la ho letta ma non sono riuscito a seguirla, puo' darsi 
che faccia delle ipotesi che considera ovvie). Ho visto anche la 
confutazione di Franklin e non ho capito neppure quella ... piu' 
precisamente (cito dall'articolo di Franklin, 
https://arxiv.org/abs/1302.3880
, subito dopo l'eq. 43, vedere articolo 
di Franklin per capire cosa intendo):
 
While Eq. (42) may hold for mechanical systems, it is not complete for 
EM energy.
 
Questa e' una domanda per le persone che frequentano il ng: ma vi sembra 
ok la frase citata? A me sembra sospetta, il tensore T^{mu nu} non 
dovrebbe contenere tutti i campi e le componenti meccaniche del sistema 
(questo lo intuisco dalla lettura del lavoro di Coleman)?
 
Di nuovo IMHO, il rischio che corri - e questo vale anche in caso di 
pubblicazione dell'articolo - e' che il tuo lavoro sia visto come uno 
dei tanti articoli che discutono la questione ma non come la soluzione 
definitiva.
Per raggiungere questo fine (ancora IMHO) e' necessario mostrare anche 
dove gli altri hanno sbagliato (quindi non e' sufficiente sviluppare la 
teoria completamente e correttamente).
 
Da questo punto di vista la bibliografia dovrebbe essere piu' ampia e 
anche discussa puntualmente (se ti serve qualche articolo a cui non hai 
accesso te lo invio volentieri).
 
Sulla tua domanda "Cosa diavolo intende ques(t)o signore per "system at 
rest"?" lascio la parola ad altri postatori.
 
 

 ...
Ho provato a guardare di corsa, ma ho trovato problemi di cui si
discute la soluzione, ma si rimanda a Griffiths per l'enunciato.
Ho visto male?
Però una cosa è certa. McDonald dovrebbe imparare che il sistema MKSA
non esiste più da almeno 50 anni: ora si chiama SI.
 
 
-- 
Elio Fabri

 accesso te lo invio volentieri).
 
Questa giusta critica mi era gia' stata fatta circa un anno fa da G.Pastore.
Personalmente ho sempre detestato le bibliografie debordanti.
Quale fisico dilettante giudico piu' corretto citare solo le pubblicazioni 
che ho effettivamente consultato e che integrano il mio lavoro. 
So bene che invece molti autori citano di tutto, ovviamente tranne le fonti
dalle quali hanno eventualmente scopiazzato...    ;-)
 
Ciao e grazie per le tue utili osservazioni.


 contenitore, mentre non vediamo quello che c'è dentro, e che può avere qdm.
 
Sembra anche a me. Per il referee (e nei molti esempi di McDonald) il sistema
fisico e' considerato "at rest" trascurandone alcuni aspetti interni "non
visibili" (ad es. la presenza di portatori di carica in moto). 
 
Messo in questi termini il cosiddetto "hidden momentum" non sarebbe affatto un 
concetto _necessario_ per salvaguardare il principio di conservazione della qdm:
sarebbe solo un artificio contabile paragonabile ai "fondi neri" di un bilancio
aziendale disonesto.


 sospetto.
Sono alquanto stupito...
Deve essere successo qualcosa in anni recenti, quando non mi sono più
occupato di questi argomenti.
 
A me pareva un teorema ben noto di RR. Ho cercato se ne ho parlato in
qualche mio corso, ma ho trovato solo una trattazione abbastanza
ampia della dinamica relativistica dei continui, nei miei appunti di
Fisica Superiore 1960-61.
Ovviamente solo in offset...
 
Tuttavia me lo ricordo abbastanza bene (se è quello) e ora provo a
enunciarlo in due parole. Così potrai confermarmi se stiamo parlando
della stessa cosa.
 
Per un sistema isolato e che occupa una porzione di spazio limitata,
descritto da un tensore energia-impulso, è possibile definire un
punto (il centro dell'energia) che si muove di moto rettilineo
uniforme, con velocit\`a pari a c^2 P/E, dove P è il vettore impulso
totale del sistema (conservato) ed E l'energia totale (pure
conservata).
 
Un fatto importante (e in certo senso spiacevole) è che dette X^i le
coord. del centro dell'energia, e posto X^0=t (nel dato sistema di
riferimento) la quaterna X^\mu in generale *non si trasforma come un
4-vettore*.
E' un 4-vettore solo se \`e nullo il mom. ang. intrinseco (spin) del
sistema (che non sto a definire, altrimenti la facciamo lunga...).
 
Mi aspetto che tu conosca benissimo tale teorema: ma è di quello che
parlavi?
 
 
-- 
Elio Fabri

 parlavi?
 
Si' proprio di tale teorema si tratta.
Per l'enuciato e la relativa dimostrazione Griffiths, Mc Donald et al 
fanno solo riferimento all'articolo:
Coleman, Van Vleck - Origin of hidden momentum forces on magnets} -
Phys.Rew. 171, 1370-1375 (1968)
 
JTS mi ha gentilmente inviato una copia di tale paper (al quale non avevo
accesso), sicche' ho potuto finalmente visionare la dimostrazione tensoriale
di Coleman, che pero' non mi ha convinto per ragioni che vorrei discutere.
Allo scopo e' necessario confrontare attentamente la trattazione di Coleman
con il mio articolo (respinto da arXiv e da Am.J.Phys).
Possiedi il pdf di Coleman e quello mio?
 
Purtroppo il mio sito web, che avevo appena finito di aggiornare, e' di nuovo
diventato irraggiungibile. Spero di potere aprire presto un nuovo sito presso
un servizio di hosting diverso da ilbello. Nel frattempo posso inviare copia 
dei due articoli a chiunque sia interessato a continuare questa discussione.
 
So di non essere infallibile, ma vorrei venire a capo dell'intera problematica
con interlocutori competenti e disposti al dialogo.


 .....
 
Mi sono concesso un poco di tempo per esaminare il "Center of energy theorem"
sul quale nutrivo alcune perplessita' per i seguenti motivi:
- di tale "ben noto" teorema relativistico non avevo mai sentito parlare;
- secondo Griffiths et al, tale teorema implicherebbe l'esistenza di un "hidden
  momentum" in sistemi fisici dotati di campi elettromagnetici stazionari;
- per varie ragioni (che non illustro qui) sono ragionevolmente sicuro che il
  mio articolo "Momentum conservation in electromagnetic systems" sia corretto;
- il concetto di baricentro e/o quello di centro dell'energia non sono Lorentz
  invarianti poiche' implicano il concetto di simultaneita'.
 
Giudico il teorema citato formalmente brutto e fisicamente fuorviante, ma nelle
dimostrazioni di Coleman ed in quella di Boyer (2005) _non_ ho trovato errori.
 
Con mia sorpresa pero' sono anche giunto alla conclusione che l'asserzione fatta
dal teorema sullo stato di moto del centro dell'energia in sistemi isolati _non_
porti affatto alla necessita' di ammettere l'esistenza di un "hidden momentum"
(non elettromagnetico) come sostenuto da Griffiths, McDonald et al.
Anzi (per ironia della sorte) il "Center of energy theorem" si accorda bene con
il mio articolo fondazionale (respinto dai moderatori di arXiv e stroncato dal 
referee (Griffiths?) di Am.J.Phys.):
 
http://vixra.org/abs/1706.0107
 
 
Per chi fosse interessato, ho sviluppato la mia critica del ''Center of energy
theorem'' nel seguente articolo:
 
http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Elettromagnetismo/center_energy_theorem.pdf
 


 verificherebbe secondo le teorie che postulano l’esistenza di un ”hidden momentum”.
 
Non e' che e' proprio questo che dicono le teorie dell'"hidden momentum"?
 
 

 Non e' che e' proprio questo che dicono le teorie dell'"hidden momentum"?
 
Non mi pare proprio: nell'abstract dell'articolo di Griffiths et al (2009) si 
afferma che l'esistenza di campi elettromagnetici stazionari dotati di momentum
sarebbe in contraddizione con il teorema generale secondo il quale il total
momentum Qm + Qem di un sistema isolato e' zero se il suo centro dell'energia e'
fermo, a meno di non ammettere l'esistenza di un misterioso "hidden momentum".
Ma IMO tale contraddizione non esiste: se il centro dell'energia e' fermo,
il sistema isolato con Qem != 0 non e' in stato di quiete (e viceversa).
 
Comunque questo e' l'aspetto fisico cruciale!
Il mio interesse per la problematica "hidden momentum" e' iniziato oltre un anno
fa leggendo un estratto del libro di fisica generale di Picasso (segnalato su fisf
da Archaeopteryx), che focalizza bene il dilemma fisico dello stato di moto:
 
http://pangloss.ilbello.com/Tmp/hidden_momentum_picasso.pdf
 
 
Il carrello si sposta (come sostengo io) oppure non si sposta (come dice Picasso)?
E' necessario postulare l'esistenza di un "hidden momemtum" per salvaguardare il 
principio di conservazione della quantita' di moto?
Il "bellissimo e semplicissimo ragionamento dovuto a P.Menotti" e' corretto 
oppure e' uno strafalcione?



 
 
 
non sono accessibili in questo momento.
 
 

 
 
Non credo di essere in grado di arrivare ad una risposta seria e 
definitiva su questo, ma c'e' un aspetto che mi incuriosisce molto - e 
sul quale credo di poter arrivare ad una conclusione.
 
Il "bellissimo e semplicissimo ragionamento dovuto a P.Menotti" si 
applica solo al caso di quantita' di moto "macroscopica" e non 
"nascosta"? E perche'? Che cosa hanno di diverso? Mi pare ad intuito che 
sia sufficiente pensarci con calma per capire cosa succede. Lo faccio e 
poi posto di nuovo, se non ci riesco spero potro' almeno scrivere dove 
mi sono fermato e perche' (quale e' la difficolta' che non riesco a 
superare).

 
 
Ho dimenticato la nota!
 
Eccola.
 
Non credo che da j = j(r) e rho = rho(r) si possa dedurre che per i 
portatori di carica v = v(r). Mettiamo rho = 0 per comodita'.  Posso 
variare v(r) e variare anche la densita' dei portatori di carica mobili, 
credo sarebbe possibile soddisfare tutte le condizioni. Pero' credo 
questo implicherebbe variazioni del campo elettrico che fa muovere la 
cariche lungo il circuito (quello degli articoli che ho indicato nel 
mess. precedente) e quindi se aggiungiamo che tutti i campi elettrici 
devono essere costanti forse possiamo concludere.

 superare).
 
Nel contesto della fisica classica il principio di conservazione vale per la 
quantita' di moto totale  del sistema, ossia per il momentum elettromagnetico
piu' il momentum  meccanico (macroscopico o hidden che sia).
 
Secondo Picasso il ragionamento relativistico di Menotti dimostrerebbe che il
carrello non puo' spostarsi a seguito dell'attivazione-disattivazione del campo
elettromagnetico. Credo di avere schematicamente mostrato che il ragionamento
non regge: lo spostamento previsto non e' incompatibile con il principio di 
relativita'. Pertanto il ragionamento di Menotti-Picasso e' inconcludente.
 
Se e solo se una esperienza (di difficile esecuzione) dimostrasse che non vi e'
spostamento, bisognerebbe postulare l'esistenza di un "hidden momentum" non 
elettromagnetico per salvare il principio di conservazione del momentum.
Nel mio articolo:
 
http://vixra.org/abs/1706.0195
 
 
insinuo il sospetto che gli strani risultati ottenuti per l'emdrive (chiamato
dai media il "motore impossibile") non siano dovuti ad errori sperimentali,
ma possano essere invece un indizio a favore della mia tesi.


 elettromagnetico per salvare il principio di conservazione del momentum.
 
 
Il post e' lungo, lo divido in varie parti.
 
Menotti-Picasso
===============
 
Ho letto con attenzione il ragionamento di Menotti e secondo me vale (ma vedi due note alla fine di questo paragrafo). Pero' non sono d'accordo (o forse non ho capito bene) le conclusioni che ne trae Picasso (vedi dopo); ho anche un nuovo dubbio che espongo alla fine :-) . 
 
Riassumo qui Menotti-Picasso cosi' siamo sicuri di cosa intendiamo; dopo questo, sintetizzo quello che ho capito del tuo articolo; poi nelle altre parti dico quello che non mi va delle conclusioni di Picasso e infine espongo il mio nuovo :-) dubbio.
 
Menotti-Picasso. Stiamo parlando del solenoide dentro il condensatore.
 
1) Configurazione iniziale: il sistema e' fermo e almeno uno dei due campi e' nullo. Mettiamo che sia nullo il campo del solenoide, quindi corrente = 0. Il campo e.m. macroscopico del sistema ha q.d.m. = 0.
 
2) Accendo il solenoide (nota *). Il campo e.m. macroscopico del sistema ha q.d.m. != 0. Suppongo che la parte materiale del sistema acquisti q.d.m.: tutto il sistema si muove (nota **)
 
3) Spengo il solenoide (di nuovo nota *). Il sistema e' nella configurazione dei punto 1) quindi si deve fermare. Si ferma in un punto diverso da quello dove era all'inizio dell'esperimento.
 
4) Osservo l'esperimento in un sist. di riferimento con velocita' v non parallela allo spostamento del sistema.
 
5) Il momento angolare del sistema e' cambiato.
 
6) Il punto 5) viola la conservazione del mom. ang., quindi non e' possibile che il sistema si muova quando accendo il solenoide.
 
Il ragionamento non si applica all'"hidden momentum" perche' in questo caso il sistema e' nello stesso punto all'inizio e alla fine dell'esperimento. (Questa era la mia domanda del post precedente ma avevo saltato troppo leggendo il ragionamento di Menotti).
Quali sono le tue obiezioni a questo ragionamento?
 
Nota * 
 
Quando accendo il solenoide irradio qualcosa per forza. Potrebbe essere che il campo irradiato ha q.d.m. uguale e opposta alla q.d.m. del campo e.m. statico risultante? Non ho un argomentazione completa ma creo che la risposta sia no, perche' il campo irradiato dipende da quanto in fretta accendo il solenoide, e piu' precisamente dipende dalla derivata seconda della corrente, mentre il tempo in cui la corrente non e' stazionaria (e quindi il solenoide puo' irradiare) e' inversamente proporzionale alla derivata prima della corrente, quindi le due cose (intensita' della radiazione e sua durata) non mi pare si compensino. Pero' naturalmente dovrei mostrare che questo vale per la q.d.m. del campo irradiato. Metto da parte la questione per il momento, fidandomi del fatto che non e' importante
 
Nota **
 
Se il sistema si muove, trascina con se anche il campo e.m. che genera, e il campo e.m. che si sposta deve avere anche una q.d.m. associata. Questo, di nuovo ad occhio, non sembra importante perche' contribuisce al bilancio della q.d.m. come il movimento delle parti materiali. Inoltre non tocca il ragionamento di Menotti perche' per quello e' sufficiente che tra l'inizio e la fine dell'esperimento ci sia solo una traslazione dell'intero sistema.
 
 
Tuo articolo
============
 
Ora il tuo articolo, 
http://vixra.org/abs/1706.0107
. Lo ho letto con piu' attenzione, sto procedendo "dall'esterno all'interno", cioe' prima sto cercando di capire le affermazioni e il ragionamento complessivo, poi i dettagli (in questo periodo sono capace di imparare qualcosa solo cosi'). Sintetizzo quello che ho capito finora (ho un'altra osservazione sul tuo articolo che faccio separatamente nell'ultima parte del post).
 
Parto dalla formula (29): Q_m + Q_em = costante. Io capisco che tu dici, nell'esempio del condensatore + solenoide
 
1) Configurazione iniziale: il sistema e' fermo e almeno uno dei due campi e' nullo. Mettiamo che sia nullo il campo del solenoide, quindi corrente = 0. Il campo e.m. macroscopico del sistema ha q.d.m. = 0. 
 
2) Accendo il solenoide. Il campo e.m. macroscopico del sistema ha q.d.m. != 0.
 
3) Allora la parte meccanica deve avere q.d.m. uguale ed opposta
 
Ho capito bene? C'e' qualcosa che mi sfugge? IMHO per completare il ragionamento bisogna anche determinare dove e' questa q.d.m. meccanica; quello che dice Menotti esclude che possa essere un movimento complessivo del sistema; allora deve essere q.d.m. nascosta e da quello che capisco io e' data dal moto delle cariche che generano la corrente, che da' luogo a q.d.m. diversa da zero (qui c'e' il mio nuovo dubbio che pero' espongo alla fine).
 
 
Menotti-Picasso parte 2)
============
 
Adesso quello che non mi piace delle conclusioni di Picasso: sono vaghe. Parla delle tensioni interne nel materiale provocate dall'azione del campo elettromagnetico sulle sorgenti, e che da questo viene fuori una q.d.m. nei campi che tengono insieme la materia. Non riesco a seguirlo, sospetto che intenda che nei campi e.m. microscopici possa essere contenuta una q.d.m. uguale ed opposta alla q.d.m. del campo macroscopico. Ad ogni modo non mi piace questa interpretazione, credo che alla fine si rivelera' falsa (quella della q.d.m. contenuta nelle correnti mi piace molto di piu', mi sembra che la letteratura la dia come la spiegazione giusta, ma non ho letto con sufficiente attenzione), ma non ho obiezioni precise.
Inoltre, di nuovo non vedo come il tuo articolo dimostri che questo non va bene. Se la q.d.m. nascosta e' nel campo e.m. microscopico, allora
 
Q_em{macroscopica} + Q_em{microscopica} = 0
 
e quindi
 
Q_m = 0.
 
 
Mio dubbio
============
 
Non mi e' piu' chiaro come si applica il teorema del centro dell'energia.
 
Riprendo il ragionamento di Griffith come lo ho sintetizzato nel mio post precedente (togliendo qualcosa che ora non mi serve) - mi sa che dovro' ragionare con calma, perche' c'e' qualcosa che non va ... o leggere bene gli articoli.
 
 
1a) Nel sistema di riferimento in cui j e rho sono delle costanti in ogni punto la densita' e la velocita' dei portatori di carica sono delle costanti 
 
1b) i campi elettrici e magnetici sono costanti
 
2) Se in ogni punto dello spazio la densita' e la velocita' dei portatori di carica e' costante, e anche i campi E e B sono costanti, allora il centro dell'energia non si muove e la quantita' di moto totale e' uguale a zero nel sistema di riferimento considerato
 
(mi fermo qui perche' e' questa la parte su cui ho il dubbio).
 
 
Ho considerato correnti e campi, potrei considerare anche solo le correnti. Il ragionamento risultante sarebbe questo
 
1) Nel sistema di riferimento in cui j e rho sono delle costanti in ogni punto la densita' e la velocita' dei portatori di carica sono delle costanti
 
2) Se in ogni punto dello spazio la densita' e la velocita' dei portatori di carica e' costante, allora il centro dell'energia dei port. di car. non si muove e la quantita' di moto dei port. di car. e' uguale a zero nel sistema di riferimento considerato
 
Quindi avrei dimostrato che la q.d.m. nascosta non esiste ... cosa c'e' che non va? Ho capito male come funziona il teor. del centro dell'energia? Ho la vaga impressione che il problema sia che il sistema da me immaginato non soddisfa alle equazioni del moto in nessun caso (ne' se ammetto le particelle materiali cariche, ne' prive di carica, che a prima vista sono casi uguali per il ragionamento appena fatto), ma le mie idee in questo momento sono troppo vaghe. Qui forse avrei potuto riflettere di piu' prima di scrivere (il funzionamento del teor. del centro dell'energia e' un punto cruciale) ... ma posto cosi'.
 
 
Altre cose
==========
 
a) IMHO il modo migliore per concludere e' svolgere un esempio in maniera completa. Supponiamo che la risposta sia che la q.d.m. stia nel moto dei portatori di carica. Il calcolo lo deve mostrare, e la q.d.m. calcolata deve compensare bene la q.d.m. del campo e.m.
La compensazione deve essere esatta se i campi sono conosciuti esattamente e deve avere l'"approssimazione giusta" per il caso in cui i campi siano noti approssimativamente. Nel caso di una spira di corrente in un condensatore, mi sembra promettente il fatto che il momento magnetico della spira sia m = i*A, dove i e' la corrente e A e' l'area. Infatti vorremmo che la q.d.m. nascosta sia contenuta in effetti relativistici dovuti alla diversa velocita' dei port. di carica in diverse parti del circuito, queste diverse velocita' dipendono dall'energia potenziale nel campo del condensatore e la q.d.m. contenuta nelle correnti puo' benissimo essere collegata all'area (qualche integrale fatto sul filo); anche il campo magnetico e' collegato all'area e quindi anche la q.d.m. elettromagnetica lo e'. 
 
b) Della sezione 5) del tuo articolo possiamo tenere solo l'ultimo paragrafo, dove dici che rho e j sono quelle complessive, giusto?

 Quando accendo il solenoide irradio qualcosa per forza. 
Per evitare questo problema basta isolare il sistema in una gabbia di Faraday.
 
Concludendo, la teoria classica (se correttamente applicata) prevede che uno 
spostamento A->B ci sia. Se e solo se valide esperienze provassero il contrario
avrebbe senso andare alla ricerca di esoterici correttivi (hidden momentum), 
sponsorizzati da Picasso, Griffiths et al.
 
Mi fermo qui, se non siamo d'accordo la discussione non puo' proseguire.   :-( 


 Speravo che il mio schizzo potesse essere autoesplicativo.
 
Ops! Mi devo scusare, avevo letto troppo superficialmente quella parte 
del file e non avevo neanche visto gli ultimi paragrafi. Il foglio 
finale lo avevo visto e lo avevo interpretato come una riscrittura 
dettagliata del ragionamento di M.
 
Mi prendo ancora un paio di giorni per pensarci su, mi aspetto di 
rimanere della stessa opinione (il ragionamento vale, e il tuo nel 
foglio finale in conseguenza dimostra qualche altra cosa, non che il 
momento angolare di un sistema isolato e non soggetto a forze esterne 
puo' cambiare).

 puo' cambiare).
 
 
Ho letto, ho fatto i conti (una volta, il risultato e' uguale ai tuoi e 
mi fido perche' ha senso) e ci ho riflettuto su.
 
Non sono riuscito a completare l'analisi perche' ho le idee confuse sul 
momento angolare di spin del campo e.m (su questo devo lavorare ancora 
parecchio per capire come funziona). Posso dare un argomentazione che 
vale (secondo me) nel caso in cui il momento angolare di spin non sia 
importante nella situazione che stiamo analizzando e mi pare valga anche 
se e' importante.
 
Il momento angolare di un sistema isolato si conserva, e per sapere 
questo non c'e' bisogno di conoscere cosa succede all'interno del sistema.
 
Nel caso della spira dentro un condensatore, ipotizziamo che l'unica 
differenza tra l'inizio e la fine dell'esperimento e' che il sistema 
spira + condensatore si e' spostato (nel sistema di riferimento in cui 
cariche e correnti sono stazionarie nella fase intermedia dell'esperimento).
Allora possiamo calcolare il momento angolare prima e dopo in un sistema 
di riferimento in moto (con velocita' perpendicolare allo spostamento); 
il momento meccanico e quello e.m. "orbitale" cambiano perche' il 
vettore r del prodotto vettore r x p cambia. L'eventuale momento 
angolare di spin del campo e.m. rimane lo stesso per ipotesi (non 
dipende dal polo mi pare). Quindi il momento angolare totale cambia.
 
Siccome questo e' impossibile, allora non e' possibile che il sistema 
cambi di posto e non succeda niente altro.
 
Per quanto riguarda il tuo ragionamento. IMHO se il campo 
elettromagnetico trasferisce quantita' di moto al sistema meccanico due 
volte (una per metterlo in moto e una per fermarlo), come nella tua 
figura, e questo processo ha come risultato finale che il sistema 
meccanico piu' eventuale campo e.m. statico si sposta, allora ci deve 
essere radiazione. In questo caso il momento angolare totale del sistema 
si conserverebbe perche' la variazione per il sistema meccanico sarebbe 
compensata dal momento angolare del campo di radiazione. Non ho fatto 
nessun calcolo ma lo trovo molto ragionevole.
 
La tua obiezione che basta mettere il sistema in una gabbia di Faraday 
per eliminare la radiazione non e' corretta perche' la radiazione 
trasferirebbe q.d.m. alla gabbia (e di conseguenza anche momento 
angolare, nel sistema di riferimento in moto).
 
Quindi secondo me ci sono solo due possibilita' nel caso spira dentro 
condensatore:
 
- il campo elettromagnetico non ha q.d.m, perche' si generano campi e.m. 
microscopici con q.d.m. uguale e opposta a quella del campo macroscopico
 
oppure
 
- esiste la q.d.m. meccanica nascosta
 
Per quanto riguarda quest'ultima non ho ancora capito come dovrebbe 
funzionare ... credo che la chiave sia la formula (14) dell'articolo di 
Boyer - Illustrations of the Relativistic Conservation Law for the 
Center of Energy (
http://arxiv.org/abs/physics/0501134
) perche' U*X 
(dove U e' l'energia e X la posizione del centro dell'energia) puo' 
essere costante e P puo' essere diverso da zero se ci sono forze esterne 
(e nel caso della parte meccanica del sistema che stiamo considerando ci 
sono durante la parte statica dell'esperimento, sono quelle che 
accelerano le cariche all'inizio e alla fine delle parti della spira che 
contribuirebbero alla quantita' di moto nascosta; mi pare a prima vista 
che la possibilita' di fare "tornare i conti" ci sia). Sono cose che 
devo ancora imparare ma la sensazione che questa formula sia un mattone 
importante della costruzione..
 
Infine mi rendo conto che ci sono delle cose in quello che ho scritto 
che potrebbero sembrare contraddittorie ma mi fido del fatto che si 
possibile metterle a posto.

 angolare, nel sistema di riferimento in moto).
 
La gabbia di Faraday garantisce l'isolamento del sistema; ovviamente va intesa
come parte integrante del sistema stesso a tutti gli effetti (q.d.m. inclusa). 


 angolare del sistema. Mi sembra un discorso contradditorio.
 
Credo che o ci sia una grave incomprensione o che o io o tu stia 
commettendo un errore da qualche parte.
 
Riparto dal principio di conservazione della quantita' di moto. In un 
sistema isolato con cariche e campi la quantita' di moto e' costituita 
da una parte meccanica e una parte elettromagnetica, e si conserva. 
Questo lo hai ottenuto anche tu con i tuoi calcoli (spero di avere 
capito bene); e' per es. la (29) del tuo articolo su Vixra "Momentum 
conservation in electromagnetic systems":
 
Q = Q_m + Q_em = costante.
 
Ho capito bene quello che hai scritto? Mi sembra che sia quello che ho 
anche imparato da altre fonti (che non mi ricordo piu' quali siano!).
 
Su questo sei d'accordo? Se sei d'accordo su questo, allora sappiamo se 
che se Q inizialmente e' uguale a zero, e' uguale a zero sempre, e 
accendendo il campo Q_m si deve modificare, diventando
 
Q_m = - Q_em
 
(a meno che non esista un momento elettromagnetico microscopico che si 
genera assieme a quello macroscopico, ma lasciamo l'ipotesi da parte, 
perche' forse non abbiamo bisogno di usarla).
 
So inoltre (senza averne mai seguito la dimostrazione ... o forse 
dimenticata ... ma mi pare una cosa affidabile), che c'e' un'analoga 
equazione per il momento angolare.
 
L_m + L_em = costante
 
e da qui voglio far seguire il resto, ma mi fermo aspettando la tua 
risposta sul Q_m + Q_em (mi aspetto di sentire che tu sia d'accordo con 
me su Q_m + Q_em = 0).
 
(Il discorso sulla gabbia di Faraday lo possiamo riprendere quando 
abbiamo concluso sulle questioni di base).
 

 me su Q_m + Q_em = 0).
 
Qui stai mettendo il dito in una piaga.
Non conosco (e vorrei scrivere, ma non e' facile) un articolo dal titolo 
"Angular momentum conservation in electromagnetic systems", altrettanto
generale e rigoroso di quello da me scritto sulla q.d.m.
Non mi basta una semplice correzione intuitiva come quella da te suggerita.
Qualcosa si trova sul secondo volume delle "Lectures on Physics" di Feynman,
un classico notoriamente assai profondo ed originale, ma che sul momento
angolare em non va molto oltre a quello che tu intuitivamente dici.


 
 
Io molto probabilmente non sono in grado di fare questo calcolo.
Il primo passo che farei sarebbe naturalmente moltiplicare 
vettorialmente per r la tua equazione (15) - mi riferisco sempre alla 
copia su vixra, nella "v5" i numeri sono diversi. Ma poi non riesco ad 
individuare le difficolta' che nascono (e quindi non le posso risolvere 
:-) ); per esempio so che esiste un momento angolare di spin del campo 
e.m classico, che corrisponde alla polarizzazione (esiste nel caso di un 
singolo fotone e *quindi* deve risultare anche dai calcoli dell'e.m. 
classico); ma non so ricavarlo :-).
 
Fermo restando questo, alle conclusioni di Picasso possiamo arrivare con 
una ipotesi molto ragionevole: che il m.a. del campo e.m. cambi per 
traslazione del polo nello stesso modo in cui cambia il m.a. della parte 
meccanica. Possiamo anche ammettere che il m.a. sia somma un momento 
angolare di spin che non cambia, e di un resto che cambia con la stessa 
legge della parte meccanica.
 
Dato questo, come ho gia' scritto in questo thread, per me il 
ragionamento nel libro di Picasso e' valido, e dimostra che il sistema 
non puo' traslare: infatti nel calcolo del momento angolare includiamo 
sia la parte meccanica (che e' uguale a quella iniziale, ma traslata) 
che la parte e.m. (che, dopo che abbiamo spento il campo e.m., e' uguale 
a come era prima che lo accendessimo; qualunque essa fosse; ma e' traslata).
 
Questo per quanto riguarda il momento angolare. A me pare di avere 
scritto cose ragionevoli (e l'assenza di una dimostrazione a me nota non 
e' una cosa molto grave secondo me :-) ), fammi sapere cosa ne pensi 
perche' questo e' il punto cruciale.
 
Tornando alla q.d.m.
 
Diamo per buono che la parte meccanica del sistema acquisisca una q.d.m. 
nel momento in cui la parte e.m. macroscopica ne acquisisce uno (quindi 
ipotizziamo che accendendo il campo non creo per forza campi 
elettromagnetici nella polarizzazione della materia che abbiano proprio 
q.d.m. uguale e opposta a quella macroscopica).
 
Dobbiamo vedere se questa q.d.m. corrisponde o no alla traslazione del 
centro di energia della parte meccanica del sistema. Se si', e' "q.d.m 
di tutti i giorni"; se no, e' q.d.m. nascosta.
 
Io sono stato molto sorpreso nello scoprire l'equazione (14) 
dell'articolo di Boyer (di nuovo il link: 
https://arxiv.org/pdf/physics/0501134.pdf
). La copio qui:
 
\sum_i{(F_i \dot v_i) r_i} = d/dt (U*Chi) - c^2 * P
 
Le F_i sono le forze *esterne*, U l'energia, Chi il centro d'energia, il 
resto si capisce.
Non la ho verificata ma prendiamola per buona. Allora puo' essere che 
Chi = costante, U = costante ma P diverso da zero; sul sotto-sistema 
meccanico le forze e.m. sono forze esterne e il teorema che Coleman 
chiama "law of steady motion of the center of energy" vale per sistemi 
isolati.
 
In meccanica classica (considerando il centro di massa invece che il 
centro dell'energia) questo non e' possibile:
 
P = M *d(x_CM)/dt
 
Nella formula (14) di Boyer sta IMHO la un possibile modo di vedere la 
soluzione del problema concettuale.
 
Tutto quanto sopra, con la condizione che i calcoli non li ho fatti e 
quindi mi faccio guidare dalle cose che a me paiono sensate.
 
Infine: non riesco a capire se per la formula (14) di Boyer esista una 
formula analoga che descrive il moto del centro dell'energia del campo 
e.m. (quando lo consideriamo separatamente dalla parte meccanica) o se 
sia sufficiente applicare la (14). Non riesco a vedere che forze devo 
metterci dentro.
Forse e' possibile ottenere la formula che mi interesserebbe vedere in 
maniera un po' "furba" applicando le equazioni di conservazione di 
q.d.m. ed energia nei vari passi che fa Boyer partendo dalla sua (9) e 
ottenendo cosi' la formula "gemella" della (14) per il moto del centro 
dell'energia della parte e.m. di un sistema.
 



Fermiamoci momentaneamente qui, per carita'!
Hai certamente scritto cose ragionevoli, ma ho bisogno di tempo per riflettere
ed amo discutere una cosa alla volta: detesto i threads troppo lunghi.
Si potrebbe prossimamente aprire un thread intitolato "Conservazione del momento
angolare nei sistemi elettromagnetici" e riprendere in esso la controversia sul
Gedankenexperiment Picasso-Menotti.
Ci risentiremo presto, ti avverto che comincio a sentire odore di paradossi!


08/02/2018 ore 
 
Il giorno giovedì 8 febbraio 2018 00:30:03 UTC+1, JTS ha scritto:
[...] 
Scusate se mi intrometto nella vostra discussione.
 
Si potrebbe fare un breve riassunto delle definizioni sulle quali siete d'accordo? Tipo: 
 
1) quantità di moto meccanica, elettromagnetica e totale
2) energia (basta quella totale?) 
3) momento angolare meccanico, elettromagnetico e totale
4) centro dell'energia
... altre eventuali 
 
 
anche indicando dove sono scritte, magari aiutandomi nel passaggio CGS --> SI; non capisco ad es. perché Boyer usi il CGS e Griffiths il SI :-(, 
 
prima di parlare di teoremi e leggi di conservazione, per un povero profano che vorrebbe tentare di raccapezzarsi un tantino senza troppe pretese?
Grazie.
 
--
Wakinian Tanka

 
 
 
D'accordo. Non credevo di riuscire ad arrivare cosi' avanti nella 
comprensione delle cose (questo e' valido anche se quello che ho scritto 
si rivelera' sbagliato!) e quindi sono contento. Aspetto il thread sulla 
conservazione del momento angolare, magari nel frattempo provero' a 
vedere che dimostrazioni trovo in letteratura.
 

 
 
Per le definizioni di energia e quantita' di moto (meccanica ed e.m.) 
potresti vedere il Jackson. Gli ho dato un'occhiata adesso (senza 
controllare nulla: lo do per buono sulla fiducia), nell'edizione che ho 
io (terza edizione inglese, 1999) la questione viene discussa nella sez. 
6.7.
 
Sul centro dell'energia mi pare che la definizione di Boyer (sua formula 
(2)) vada bene, tieni conto che non ho fatto i calcoli quindi mi fido di 
quello che c'e' scritto nell'articolo.
 
https://arxiv.org/pdf/physics/0501134.pdf
 
 
C'e' la definizione anche in un problema del Jackson (12.19).
 
Per quanto riguarda il momento angolare ho trovato una definizione in 
uno dei problemi del Jackson (7.27) ed e' identica a quella 
dell'articolo di Boyer (con unita' diverse).
 
Nota che quando dico che e' identica ... non ho controllato! Ma mi 
aspetto che siano veramente identiche.
 
Io ed Elio (Elio P.) siamo d'accordo su
 
1) Conservazione della quantita' di moto (totale)
2) Collegamento tra moto del centro dell'energia e quantita' di moto per 
sistemi isolati
 
Mi pare che Elio non abbia ancora esaminato il collegamento tra moto del 
centro dell'energia e quantita' di moto per sistemi su cui agiscono 
forze esterne (importante per la q.d.m. nascosta secondo me). Inoltre io 
sto prendendo la conservazione del momento angolare totale per buona 
senza conoscerne la dimostrazione (ho fatto un calcolo a partire dalla 
stessa equazione da cui si ricava quella per la q.d.m. e la ho ottenuta, 
ma non mi fido del mio risultato); Elio invece vuole la dimostrazione.
 
Nota per Elio: potresti vedere se la sezione 12.10 del Jackson (terza 
edizione inglese, di nuovo) ti aiuta; io non capisco queste cose e non 
so valutare cosa dicono. Secondo Boyer la conservazione del m.a. nella 
forma che io sto dando per buona e' conseguenza della teoria dei gruppi, 
magari ti conviene guardare anche questo (Boyer rimanda all'articolo di 
Coleman, ma bisogna conoscere la teoria dei gruppi).
 
Infine: la conversione fra sistemi di unita' di misura in 
elettromagnetismo non la so fare, quindi per questo non ti posso aiutare.
 
 
 

 Am 08.02.2018 um 19:45 schrieb Wakinian Tanka:
... magari aiutandomi nel passaggio CGS --> SI; 
non capisco ad es. perché Boyer usi il CGS e Griffiths il SI :-(,
 
Come ben noto SI e' il sistema legale del BIPM.
Poiche' pero' buona parte della fisica teorica e' basata sul paradigma della
relativita' il sistema di Gauss (caratterizzato dall'uso della sola costante
universale c) non tramontera' mai. Quasi tutti i libri di RR lo usano!
 
In quanto alle conversioni SI <--> Gauss (CGS ecc.) la regola pratica e'
quella di arraggiarsi.     ;-)
Personalmente mi sono stufato ormai da molti anni di trovare formule ed unita'
diverse passando da un libro di fisica teorica all'altro ed ho risolto tale 
problema una volta per tutte prendendo il toro per le corna, come ampiamente
illustrato nella esoterica sezione di metrologia del mio sito:
http://pangloss.ilbello.com/
 


 perche' questo e' il punto cruciale.
 
"Paradosso JTS"
Nel riferimento S  un sistema fisico isolato fermo (Qm = 0) sia dotato di un
campo em stazionario con Qem =! 0. Nulla varia, nulla si sposta...
In un riferimento S' in moto rispetto al precedente (in direzione non parallela
a Qem) il momento angolare elettromagnetico (e quindi anche il momento angolare
totale) del sistema isolato non si conserva.     :-(


 
 
Intuitivamente non vedo il paradosso. Potresti fare il calcolo? Mi 
aspetto che sia possibile fare il calcolo senza conoscere i dettagli del 
sistema.
 
Anche l'affermazione "il momento angolare elettromagnetico ... del 
sistema isolato non si conserva" non mi e' chiara, piu' precisamente non 
capisco se vuol dire che il momento angolare elettromagnetico del 
sistema isolato, calcolato nel sistema di riferimento S', e' funzione 
del tempo.

 totale) del sistema isolato non si conserva.     :-(
 
Nessuno può farci niente, se il momento angolare si conserva oppure no. Rassegnati.

 a come era prima che lo accendessimo; qualunque essa fosse; ma e' traslata).
 
Provo ad esporre il paradosso come segue:
Non ha nessuna importanza che lo spostamento A->B sia dovuto ad un power ON
in A seguito da un power OFF in B (come mel Gedankenexperiment di Picasso).
Supponiamo che succeda nulla, ma che nel riferimento S considerato il sistema 
isolato sia in moto inerziale con q.d.m. Qm costante e che in esso vi sia un 
campo elettromagnetico stazionario con Qem =! 0 (non parallela al moto). 
Rispetto ad O il momento angolare meccanico Lm si conserva (Qm costante e braccio
invariato), invece il momento angolare elettromagnetico Lem non si conserva (Qem 
costante ma braccio variabile).
Se ti ho frainteso chiedo venia, altrimenti qualcosa non quadra...



Mi scuso se mi intrometto e capisco anche, che senza il contesto che sta dietro, 
quello che dico puo' apparire senza senso, anche se a te personalmente ho 
accennato qualche cosa.
 
Se si esamina il problema proposto da Picasso "pag. 192", si osserva un campo 
elettrico ed uno magnetico che nascono da due fenomeni diversi, ma troviamo un 
vettore di Poynting di valore "Costante".
 
Se guardiamo il vettore di Poyntig generato nel cirduito, reppresentato in:
 
http://strutturafine.altervista.org/NuovaCartella/sul_vettore_di_Poynting.pdf
 
 
in ogni punto il vettore di Poynting e' anche qui "Costante", ma qui il campo 
elettrico e quello magnetico sono generati da uno stesso fenomeno.
 
Diciamo P "costante", in quanto reputiamo E ed H valori costanti.
 
"Reputiamo" la grandezza H costante, se il modello che conosciamo e' realmente 
corretto, ma se come realmente e', E ed H fossero delle grandezze variabili, 
sappiamo che il loro prodotto puo' avere un valore nullo "Esempio di Picasso" o 
un valore diverso da zero "Mio esempio".
 
Ancora una volta devo ribadire che dette cosi', possono sembrare parole senza 
senso, ma fanno parte di un modello coerente.
 
Ciao

 Non posso pubblicare una figura, il mio sito e' di nuovo irraggiungibile.  :-(
 
Senti, ma adesso che ti sei impratichito un po' a gestire un sito 
gratuito su il bello, non sarebbe ora di passare ad affittarne uno? Su 
Aruba costa 35 euro all'anno e il mio non e' mai andato giu'.
 
-- 
TRu-TS
buon vento e cieli sereni


Non mi piace questa tua frase. La speranza e la rassegnazione sono 
sentimenti che possono esserci ma e' possibile capire le cose in maniera 
spassionata. E' necessario solo analizzare la situazione fino in fondo e 
questo vuol dire anche considerare tutte le possibili obiezioni.
 
La ricerca dei paradossi e l'eventuale dimostrazione che il paradosso 
non sussiste servono a legare tra loro i vari concetti e avere la 
conferma che l'insieme e' coerente - una conferma che ha un valore 
psicologico: la familiarita' con l'uso dei concetti aumenta.

 
 
Devo pensarci bene ma mi pare che una differenza ci sia.
 
Nella dimostrazione che spegnendo e accendendo il campo, il sistema non 
puo' spostarsi, abbiamo bisogno solo di sapere come si trasforma il 
momento angolare per un cambiamento del polo. Rimaniamo sempre nello 
stesso sistema di riferimento, che scegliamo in modo tale che il sistema 
fisico sia in moto; l'unica cosa che dobbiamo sapere sul sistema fisico 
e' (di nuovo) come cambia il momento angolare per cambiamento del polo 
(ho dato per scontato che cambi per la parte e.m nello stesso modo in 
cui cambia per la parte meccanica).
 
Nel paradosso che proponi adesso invece mi pare che il cambiamento di 
sistema di riferimento sia essenziale. Tu parti da un sistema fisico di 
cui sai che non si muove, e che il campo e.m. e' dotato di quantita' di 
moto. Dopo analizzi lo stesso sistema fisico in un altro sistema di 
riferimento: devi trasformare la quantita' di moto.
 
Questo come considerazione iniziale. Il ragionamento in generale mi apre 
interessante perche' vorremmo vedere come si trasforma il momento 
angolare e.m. per cambi di sist. di rif. e il fatto che la quantita' di 
moto non sia parallela alla velocita' sembra non andare bene a prima vista.
 
Questo pomeriggio ho visto un sito web in cui diverse espressioni per il 
mom. ang. e.m. sono elencate (separato in diversi modi come somma di 
termini) e poi me lo sono fatto sfuggire ... spero di ritrovarlo. Forse 
infatti e' il caso che per discutere questo argomento io abbia le idee 
chiare sulla separazione del mom. ang. del campo e.m. in parte orbitale 
e parte di spin.

 e parte di spin.
 
Se trovi elementi utili segnalali! 
Sto cercando di costruire per l'angular momentum un articolo analogo a quello
rigoroso sul linear momentum 
http://vixra.org/abs/1706.0107
 
Ho esaminato tutto cio' che dice il Jackson, ma la trattazione e' frammentaria
ed alcuni punti importanti sono proposti come "problemi" di oscura soluzione.
Probabilmente apriro' presto un thread specifico per esporre alcuni dubbi.


 Se si'  perche' invece nel Gedankenexperiment di Picasso sarebbe diverso?
 
Nel Gedankenexperiment Picasso-Menotti invece e' diverso perche' e' 
sufficiente ipotizzare che per cambiamento di polo il momento angolare 
del campo e.m. o
 
1) cambi come quello della parte meccanica
 
oppure
 
2) non cambi
 
o anche un misto di 1) e 2)
 
In questo caso la variazione della parte meccanica non viene compensata 
dalla variazione della parte e.m.
 
Nota conclusiva: la parte meccanica possiede q.d.m. uguale ed opposta 
alla parte e.m.
Quello che non e' vero e' che a questa q.d.m meccanica corrisponda 
necessariamente un moto del centro di energia della parte meccanica.
Questo e' il parere che mi sono formato nel corso di tutta questa 
discussione. La formula (14) di Boyer (di nuovo: 
https://arxiv.org/abs/physics/0501134
) mi pare mostri questo.
 
Ho letto in un tuo post (che adesso non ho cercato) che il concetto di 
centro dell'energia si ritorce contro i sostenitori della q.d.m. 
nascosta: no (prendendo per buona la formula di Boyer). Dovresti esaminarla.

 nascosta: no (prendendo per buona la formula di Boyer). Dovresti esaminarla.
 
Lo faro', anzi riesaminero' con attenzione tutti i tuoi numerosi interventi in
questo thread. Le tue critiche mi sono state gradite ed utili, ora pero' sento
il bisogno di una pausa di riflessione.
 
Sicuramente mi occupero' ancora del problema di fondo, cioe' se il concetto di
"hidden momentum" sia necessario per la coerenza della teoria elettromagnetica
classica. La questione mi interessa perche' ha _carattere fondazionale_: essa
coinvolge infatti l'interpretazione fisica di vari principi di conservazione 
della fisica classica (linear and angular momentum, center of energy theorem).
 
Per ora mi fermo qui, spero di risentirti nel thread che probabilmente apriro'
(prima o poi) sul momento angolare elettromagnetico.
 
Ciao e grazie!


 
 
Conto di comparire, e' possibile che potro' ringraziarti per un 
eventuale tuo lavoro e basta :-)
 
Mi sto convincendo che il calcolo che ho fatto per derivare la 
conservazione del momento angolare in presenza del campo 
elettromagnetico vada bene. Sono partito dall'equazione per la quantita' 
di moto (prima di considerare l'integrale), ho moltiplicato 
vettorialmente per r e ho mostrato in coordinate cartesiane che
 
\nabla \dot T \times r
 
(T e' il tensore degli sforzi) si rappresenta come la divergenza di 
un'altra quantita' (e quindi integrando dovrebbe dare zero ... se non ho 
fatto caos con gli indici e se non mi e' sfuggito che per grandi valori 
di r la quantita' non va a zero in maniera sufficientemente rapida).
 
Se questo funziona, io sono soddisfatto. Aspetto comunque il tuo thread 
per maggiori informazioni.