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Titolo: sommare onde "sfasate"

Salve a tutti!
 
Vi sottopongo questo quesito: se ho N sinusoidi, tutte della stessa
ampiezza e frequenza, ma la cui fase è una variabile aleatoria con una data
distribuzione di probabilità (diciamo normale) e le sommo (o medio) fra di
loro, cosa ottengo? Per essere più precisi: quale effetto (in termini di
ampiezza, forma, ecc.) è prodotto sull'onda "somma" (o "media") dai
parametri della distribuzione (deviazione standard e media)?
 
Grazie.
 
-- 
Marco


Ovviamente, la somma (o media) e' anch'essa una sinusoide con la stessa 
frequenza, ma di quale fase e ampiezza?
 
Ragiona sui fasori. Disegna una circonferenza di raggio R pari 
all'ampiezza A, fissa a piacere il punto di fase media, e disegna sulla 
circonferenza (meglio: sia all'esterno che all'interno) la tua 
distribuzione in funzione di theta, con ampiezza scalata in modo che il 
suo massimo sia <<R. 
 
Per N grandi, la media dei tuoi fasori e' il baricentro della figura che 
hai costruito.
 
Quindi: se la varianza e <<pi, l'ampiezza della media e' molto vicina ad 
A e la sua fase e' la fase media; se la varianza e' dello stesso ordine 
di grandezza di pi, la fase della media rimane la media delle fasi, ma 
l'ampiezza si riduce a valori dell'ordine di grandezza di A/2; se la 
varianza e' >>pi, l'ampiezza della media e' praticamente nulla.
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 varianza e' >>pi, l'ampiezza della media e' praticamente nulla.
Mi domandavo: a parità di varianza, l'effetto che mi hai spiegato sulle
fasi e sulla ampiezza della media dipende in qualche modo anche dalla
frequenza delle sinusoidi (nel primo post ho parlato di una sola famiglia
di sinusoidi che differivano solo nella fase, ora vorrei confrontare le
diverse famiglie di frequenza)?
 
Grazie infinite.
 
-- 
Marco

Il 06/02/2014, Tommaso Russo, Trieste ha detto :

Comunque è interessante studiare a parte il caso in cui la 
distribuzione delle fasi sia uniforme sulla circonferenza. In questo 
caso per N grande puoi applicare il teorema centrale del limite sulle 
due distribuzioni per la parte reale ed immaginaria della fase (che 
sono variabili aleatorie identicamente distribuite) ed otterrai una 
distribuzione gaussiana con media nulla e varianza N s0 dove s0 è la 
varianza della singola componente. Cioè in pratica otterrai una 
sinusoide la cui fase è una variabile aleatoria uniformemente 
distribuita sulla circonferenza, mentre l'ampiezza è una distribuzione 
della forma:
 
A r exp(-r^2/(N s0)) dr.
 
in pratica l'ampiezza risulta dell'ordine una variabile aleatoria con 
valor medio dell'ordine di sqrt(N). Compatibilmente con il fatto che il 
valor medio dell'ampiezza (che si ottiene dividendo per N) tende a 
zero, come tu hai osservato.
 


...
 
Se Walter Gautschi è nel giusto e se io non ho commesso errori nei calcoli, il tuo caso è risolubile analiticamente senza troppo sforzo.
 
 
 
Quello che si ottiene, facendo variare la fase con continuità nell'intervallo (-oo; +oo), è una sinusoide con la stessa frequenza delle onde componenti, fase uguale alla media m della distribuzione gaussiana delle fasi e ampiezza uguale all'ampiezza originale A moltiplicata per il fattore exp(-s^2/2), dove s^2 rappresenta la varianza della distribuzione gaussiana.
 
 
Nel limite di s << 1 , gaussiana molto molto stretta centrata sulla media m, si ottiene un risultato abbastanza intuitivo: la media delle sinusoidi <y(t)> è la sinusoide di ampiezza A e fase m. 
 
 
Nel limite di s >> 1, distribuzione molto molto larga centrata sulla media m, si ottiene invece che <y(t)> --> 0, per via dell'azione deprimente sull'ampiezza, determinato dall'esponenziale negativo contenete la varianza. 
 
Saluti,
Aleph

 diverse famiglie di frequenza)?
 
Ma allora hai una distribuzione funzione di due variabili, le frequenza 
e la differenza di fase. Il metodo dei fasori - ma, credo, anche il 
metodo analitico segnalato da Aleph e quindi il suo risultato per la 
distribuzione normale
 
   A_media = A exp(-sigma^2/2)                   (1)
 
e' applicabile solo su distribuzioni di sinusoidi con la stessa frequenza.
 
Per trovare la media dei segnali devi quindi prima sommare i segnali di 
frequenza (quasi) eguale, integrando sulla fase fra f e f+df per trovare 
A_media(f) e theta_media(f), e poi integrare i risultati in df. Se la 
distribuzione e' binormale, normale sia per la fase che per la frequenza 
e non correlate, e la fase media e' 0 per tutte le frequenze, alla fine 
non fai altro che la trasformata di Fourier di una gaussiana, e ottieni 
un'altra gaussiana.
 
Per distribuzioni piu' complesse, scrivere un programmino che faccia 
l'integrazione numerica non e' un lavoraccio  (ma sapendo qualcosa di 
piu' sulla tua *vera* distribuzione (*)). Per una eventuale integrazione 
analitica contero' su idee da parte degli altri intervenuti :-) Ma 
comincia col dirci qualcosa di piu' del problema vero che devi affrontare.
 
 
(*) Ad esempio, una distribuzione binormale sia in frequenza che in fase 
mi appare non realistica: in un caso reale, mi aspetto piuttosto di 
avere una distribuzione normale in frequenza, e una distribuzione 
normale non sulla fase (misurata in radianti) ma sul *ritardo* di fase 
(misurato in secondi), il che significa che per la fase sigma aumenta 
proporzionalmente alla frequenza, e quindi, per la (1), A_media(f) 
diminuisce esponenzialmente all'aumentare della frequenza. Una specie di 
filtro passa basso...
 
 
-- 
TRu-TS
buon vento e cieli sereni

 come tu hai osservato.
 
E' interessante: in sostanza tu hai calcolato la distribuzione di 
A_media e theta_media per un numero molto grande di campioni casuali 
diversi di numerosita' N. A prima vista avrei detto che il valor medio 
dell'ampiezza sarebbe risultato nullo.
 
Qualcosa mi dice pero' che queste considerazioni "del II ordine" non 
interessino l'OP tanto quanto il lim_N->inf.


 
 
 
 
Ieri sera ho dato un'occhiata: credo di poter dire che è abbastanza immediata la generalizzazione al caso in cui si consideri anche una distribuzione gaussiana indipendente delle frequenze, poiché le integrazioni (di fatto medie pesate con pesi statistici dati dalle due gaussiane normalizzate, con varianze s^2 (fasi), e s1^2 (frequenze), sono in pratica le stesse, e si eseguono in maniera indipendente l'una dall'altra.
 
 
Il risultato è ancora una sinusoide (smorzata questa volta) con frequenza (velocità angolare) <omega> e fase <alfa> pari alle rispettive medie delle due distribuzioni gaussiane:
 
     A_media*sin(<omega>*t + <alfa>)    (1*)
 
in cui A_media è uguale a:  
 
     A_media = A*exp(-s^2/2)*exp(-(s1*t)^2/2)                       (2*)
 
dove la t rappresenta la variabile indipendente.
 
La differenza notevole rispetto al caso precedente è che l'onda media risultante è smorzata esponenzialmente al crescere di t.
 
Per ottenere il risultato della somma di N onde (con N grande) basta moltiplicare il prodotto di (1*) e (2*) per N.
 
 
Le integrazioni sono piuttosto immediate e si eseguono sfruttando le formule dei seni e coseni della somma di angoli sin(a+b) e cos(a+b), le proprietà d'integrazione del prodotto di funzioni pari e dispari e decenti tavole d'integrali.
 
 
Questo ovviamente se si usano ancora i metodi ottocenteschi che ho usato io (ovvero carta e penna); con Mathematica o software del genere il tutto è più semplice e rapido, ma probabilmente meno divertente.
 
Saluti,
Aleph 

 
 
 
 
 
Non basta. Deve essere N |<exp(i phi)>| << sqrt(N) per quello dicevo invece che da considerare a parte è il caso in cui la distribuzione è proprio uniforme. In fondo l'OP non ha detto che vuole considerare la media di onde sfasate, quanto piuttosto la loro somma. Ora per <exp(i phi)> diverso da zero ci sono due regimi: a piccoli valori di N rispetto ad 1/|<exp(i phi)>|^2 dominano le fluttuazioni ed il valor medio dell'ampiezza dell'onda risultante per un gran numero di ripetizioni è dato circa da sqrt(N). Invece per N più grandi domina il valor medio, per la legge dei grandi numeri.

 interessino l'OP tanto quanto il lim_N->inf.
 
Non sono necessariamente del secondo ordine, se la distribuzione è 
rigorosamente uniforme.
 

 risultante è smorzata esponenzialmente al crescere di t.
 
sì, direi però superesponenzialmente. C'è un'osservazione di Arnold, 
nel suo libro di meccanica che dice questa cosa, che riporto, giusto 
per ricollegare il discorso "stazionario" che stiamo guardando qui con 
i casi "dinamici" reali:
 
La velocità media di allontanamento delle variabili d'azione dai valori 
iniziali, negli esempi noti è dell'ordine di exp(-1/sqrt(e)) dove e è 
il parametro di interazione cioè essa decresce più velocemente di 
qualunque potenza della perturbazione.  Dice poi che in generale 
l'incremento delle variabili d'azione sarà piccolo finché è piccolo il 
tempo in confronto a exp(1/e^d). Dove d è un esponente fra 0 ed 1.