Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: spazio delle fasi

La domada potrà sembrarvi ingenua...cos'è lo spazio delle fasi?
Grazie per le risposte!!
Marco


provo a risponderti io;
se hai un punto libero di muoversi nello spazio ordinario,
questo ha 3 gradi di liberta' e per descriverne la posizione
hai bisogno di 3 coordinate indipendenti;
una volta introdotto un opportuno sistema di riferimento
il tuo punto nello spazio sara' individuato da una 3-upla
(x,y,z)
se hai un sistema di N punti materiali liberi di muoversi nello spazio,
allora il sistema avra' 3*N gradi di liberta' e per descriverlo
avrai bisogno di 3*N coordinate indipendenti;
anche in tal caso in linea di principio potresti introdurre
ad esempio un riferimento cartesiano e dare per ogni punto
le sue coordinate, per mezzo di una 3-upla (x,y,z)
per un sistema di N punti avresti N di queste 3-uple:
(x1,x2,x3)
(x4,x5,x6)
....
( x3N-2 , x3N-1 , x3N )
supponi ora di scrivere tutte queste coordinate di seguito
in un'unica 3N-upla
(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,..., x3N-2 , x3N-1 , x3N )
prima avevi una 3-upla in uno spazio di 3 dimensioni,
ora hai una 3N-upla in uno spazio di 3N dimensioni;
lo stato del sistema e' ora individuato da un unico punto
nello spazio delle fasi 3N-dimensionale
tu ti chiederai giustamente a cosa serve tutto questo;
senz'altro a semplificare le notazioni, a questo punto lo stato
di un sistema complicato e' individuato da un vettore
in completa analogia con il caso tridimensionale;
se vuoi scrivere delle equazioni complicate le puoi ora scrivere
piu' facilmente utilizzando vettori e matrici ed eliminando somme
ed indici; analogamente del resto a quello che fai quando
scrivi un sistema di equazioni o un cambio di base in forma matriciale
altro vantaggio e' nel modo di pensare, dato che allo spazio delle fasi
puoi riferire semplici considerazioni (come le traiettorie) che utilizzi
molto intuitivamente nel caso tridimensionale
e poi ci saranno sicuramente molti altri motivi che ancora non conosco :-)
sottolineo che il numero e il 'tipo' di coordinate che caratterizzano
lo spazio delle fasi sono completamente liberi;
se un sistema e' soggetto a vincoli di qualche tipo allora per
descriverlo serviranno meno coordinate, e quindi utilizzerai solo quelle
(se ad es. i tuoi N punti si muovono su un piano le coordinate
indipendenti saranno soltanto 2N)
inoltre le coordinate non sono necessariamente cartesiane, ad esempio
potresti voler utilizzare degli angoli (ovviamente quando e' possibile);
o ancora potresti introdurre coordinate non necessariamente legate
alla posizione delle particelle, ma magari alle loro velocita';
tutto questo naturalmente a seconda degli scopi che ti poni
ciao, giulio

 > La domada potrà sembrarvi ingenua...cos'è lo spazio delle fasi?
Lo spazio delle fasi è generato da N coordinate lagrangiane + le N
coordinate a queste coniugate ( N è il numero di gradi di libertà del
sistema ). Esempio: una particella libera nello spazio. Essa ha tre gradi di
libertà, dato che può raggiungere tutti i punti determinati dalle 3
coordinate spaziali. Consideriamo poi le tre componenti del suo vettore
velocità: le tre coordinate spaziali + le tre componenti della velocità
danno lo spazio delle fasi 6-dimensionale ( di solito si usa l'impulso p=mv
invece che la velocità, comunque...).
Se a questo spazio aggiungi un asse temporale ottieni lo spazio delle linee
di universo.
Lo spazio delle fasi è utile per descivere gli stati di un sistema (
classicamente determinati completamente da un set di 2N coordinate
lagrangiane ). Es. Un pendolo, ovvero una massa m appesa a un filo. Lo
spazio delle fasi è 2-dimensionale, dato dall'angolo del filo rispetto
all'asse verticale e dalla velocità angolare. Il moto oscillante del pendolo
( non smorzato ) è rappresentato nello spazio delle fasi da un cerchio ( un
ellisse, in realtà, che però è topologicamente equivalente a un cerchio );
se il pendolo è smorzato avrai invece una spirale che viene attratta
dall'origine, cioè il punto a velocità zero e ampiezza zero ( il pendolo
smorzato si ferma sulla verticale...).
Tutto chiaro?
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.libero.it

 
(...)
  Quando si parla di spazio delle fasi normalmente ci si riferisce
alla teoria Hamiltoniana in cui ci sono anche le coordinate
cinematiche: molto rozzamente parlando, le 3N componenti delle 
velocita', per cui lo spazio delle fasi per N punti non vincolati ha
6N dimensioni in tutto.
Quello che hai descritto tu e' quello che si chiama
lo spazio delle configurazioni di N punti non vincolati.
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html


grazie della precisazione, ho controllato sul goldstein e ho
visto che mi ero sbagliato con i termini, come da tua correzione;
spazio delle configurazioni mi faceva pensare
alla 'configurazione' del sistema, e quindi all'insieme delle
coordinate generalizzate + quelle cinematiche, mentre spazio
delle fasi alle sole coordinate generalizzate

Valter Moretti ha scritto:
 > Quando si parla di spazio delle fasi normalmente ci si riferisce
 > alla teoria Hamiltoniana in cui ci sono anche le coordinate
 > cinematiche: molto rozzamente parlando, le 3N componenti delle
 > velocita', per cui lo spazio delle fasi per N punti non vincolati ha
 > 6N dimensioni in tutto.
Aggiungerei una cosa: quello che dice Valter si riferisce ai sistemi
hamiltoniani (o lagrangiani, che fa lo stesso, visto che si puo' sempre
passare da una forma all'altra).
Ma il discorso, e il termine "spazio delle fasi", ha una portata piu'
generale nella teoria dei sistemi dinamici. Se hai un sistema di un
numero qualunque (finito) di eq. diff. di qualsiasi ordine, le puoi
sempre ridurre a eq. diff. di primo ordine, introducendo variabili
ausiliarie.
Si parla di "spazio delle fasi" per lo spazio che ha come coordinate
queste variabili.
Il vantaggio e' che in questo spazio il sistema di eq. diff. non fa che
darti per ogni punto (se il sistema e' autonomo, ossia non
esplicitamente dip. dal tempo) le componenti di un vettore "velocita'"
in ogni punto. Allora le traiettorie (nello spazio delle fasi) non sono
che le curve integrali di questo campo di velocita', e si possono
usare una quantita' di concetti relativi aicampi vettoriali, che
permettono di "geometrizzare" lo studio del problema.
Nel caso di un sistema hamiltoniana poi ha delle proprieta' in piu': per
es. il teorema di Liouville, che asserisce l'invarianza del volume per
evoluzione temporale.
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 numero qualunque (finito) di eq. diff. di qualsiasi ordine, [...]
Scusate se mi intrometto, ho capito (o almeno credo...) che un "sistema 
hamiltoniano" e' un sottoinsieme dei sistemi che si possono scrivere con 
le equazioni differenziali...
Qualcuno saprebbe dirmi "intuitivamente" in cosa consiste un tale 
sistema "hamiltoniano"? Magari un esempio di sistema hamiltoniano e uno 
non hamiltoniano?
[Conoscenze possedute dal sottoscritto: sostanzialmente le basi 
dell'analisi, incluse le eq. diff.]
tnx
Dan

 passare da una forma all'altra).
Sul resto sono d'accordo, pero' volevo precisare si studiano anche 
sistemi hamiltoniani, descritti nel solito spazio delle fasi a 2n 
dimensioni, che non derivano da una formulazione lagrangiana
in quanto la trasformata di Legendre e' singolare.


Valter Moretti ha scritto:
 > Sul resto sono d'accordo, pero' volevo precisare si studiano anche
 > sistemi hamiltoniani, descritti nel solito spazio delle fasi a 2n
 > dimensioni, che non derivano da una formulazione lagrangiana in quanto
 > la trasformata di Legendre e' singolare.
Hai ragione, naturalmente. La fretta...


Danguard ha scritto:
 > Scusate se mi intrometto, ho capito (o almeno credo...) che un
 > "sistema hamiltoniano" e' un sottoinsieme dei sistemi che si possono
 > scrivere con le equazioni differenziali...
Hai capito bene.
 > Qualcuno saprebbe dirmi "intuitivamente" in cosa consiste un tale
 > sistema "hamiltoniano"? Magari un esempio di sistema hamiltoniano e
 > uno non hamiltoniano?
 >
 > [Conoscenze possedute dal sottoscritto: sostanzialmente le basi
 > dell'analisi, incluse le eq. diff.]
Hai fatto bene a specificare le tue conoscenze: a quanto pare non hai
studiato meccanica analitica, altrimentila risposta la sapresti.
Ti do la definizione piu' elementare di sistema hamiltoniano.
E' un sistema la cui evoluzione temporale e' data da 2n eq. diff. di
primo ordine nelle coordinate q_1...q_n, p_1...p_n.
Il sistema e' definito da una funzione (di Hamilton, o "hamiltoniana)
delle q, p, ed event. del tempo.
Le equazioni sono:
dq_i/dt = @H/@p_i
dp_i/dt = -@H/q_i.
E' possibile una formulazione piu' elegante e piu' astratta, ma
richiede altre conoscenze.
Un sistema hamiltoniano ha una serie di proprieta', a una delle quali
ho gia' accennato (teorema di Liouville).
Esempi: tutti i sistemi conservativi della meccanica. Si tratta solo
d'identificare le possibili coordinate q_i, p_i.
Controesempi banali: tutti i sistemi di eq. diff. di ordine dispari.
Controesempi meno banali: i sistemi meccanici dissipativi (attrito).
