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Titolo: Potenziale di un disco uniformemente carico

Pongo qui la mia domanda, sebbene sia di matematica, perché in ism si
dedicano solo a "giochini" e di veri matematici ce n'è forse uno.
Chi penso sappia rispondermi segue anche qui.
 
Si tratta di un quesito di fisica matematica, sicuramente classico e
che tuttavia mi ha creato un recente problema.
Non sto a spiegare perché me ne sto occupando, in quanto irrilevante.
Vengo al punto.
 
Il problema sta nel titolo: trovare il potenziale elettrostatico
generato da un disco uniformemente carico.
So bene che se ne può dare un'espressione chiusa mediante un integrale
ellittico, ma il problema sta nel modo come il calcolo è condotto nel
Morse & Feshbach. Solo ora avrei scoperto che quel calcolo è
sbagliato, e chiederei conferma o smentita.
 
Accenno velocemente (chi vuole, trova il calcolo nel vol. II, pag.
1267).
Il potenziale sull'asse è elementare. A parte una costante
moltiplicativa è
 
sqrt(1+z^2) - z  (1)
 
(ho posto =1 il raggio del disco).
La (1) si può sviluppare in serie di potenze di z, ma con raggio di
convergenza 1.
(Apro una parentesi: è un esempio di funzione che sull'asse reale è
C^inf, ma la regione di convergenza della serie è dettata dai punti di
diramazione fuori dell'asse reale: z = +/-i.)
Per |z|>1 si può sviluppare in serie di w=1/z: la serie (di Laurent)
ha un termine 1/w a causa del polo in w=0, e ha ancora raggio di
convergenza =1.
 
Come si vede i due sviluppi valgono su insiemi disgiunti: nessuna
delle due serie converge per |z|=1.
Ma M&F non se ne curano :-)
Per calcolare il potenziale fuori dell'asse introducono due serie in
polinomi di Legendre:
- una con termine generico rho^{2k} P_{2k}(cos(theta))
- l'altra con termine generico (1/rho^{2k+1}) P_{2k}(cos(theta))
(con coefficienti da determinarsi).
Va precisato che alla prima serie occorre aggiungere un termine
rho |cos(theta)|
per fornire la discontinuità della derivata normale sul disco.
 
I coeff. vengono determinati imponendo che ciascuna serie sull'asse
(theta=0) si riduca alla corrisp. serie già nota.
Si ottiene così una soluzione per tutti i punti interni o esterni alla
sfera. Per rho=1 le serie convergono (e concordano) tranne nei punti
theta=0, theta=pi (se non ho commesso errori) dove divergono
logaritmicamente.
 
Fin qui potrebbe andar bene (però M&F non discutono la convergenza).
Il problema nasce se si va a verificare l'andamento delle derivate.
La derivata rispetto a rho mi risulta discontinua, mentre al
potenziale richiedo di essere almeno C^2.
 
Come la mettiamo?
La soluzione trovata è da buttare?
O la si può salvare in qualche modo?
Qualcuno che possiede libri di e.m. avanzato, tipo Jackson, potrebbe
verificare come viene trattato questo problema?
 
Grazie
-- 
Elio Fabri

 generato da un disco uniformemente carico.
...
 
So che da qualche parte ho visto la soluzione o qualcosa che ptrebbe 
aiutare. Ci sono studi di simulazione numerica di sistemi statistici di 
dischi carichi uniformemente. Purtroppo in questo momento non riesco a 
far mente locale. Le giornate volano dietro la trasformzione in tempo 
zero di una didattica tradizionale in una on-line.
Spero che arrivino presto tempi migliori.


come ti capisco ... in teoria avrei part-time e passo 
l'intera settimana sbattendo la testa con la lentezza 
elefantiaca di Moodle cercando di fare le cose più ovvie in 
modo totalmente diverso.
P.S. ho scoperto con disappunto che non supporta nativamente 
le RegEx :\ solo plugins. E l'admin poveraccio, è subissato 
di richieste a mitragliatrice, per cui non oso manco 
chiedergli di installarne.
P.P.S. non è una critica a Moodle, credo sia veramente 
potente, è che non è un tool che si padroneggi in modo 
veloce, comprendendo bene le conseguenze delle infinite 
opzioni che uno spunta. Non so valutare se abilitare 4 o 5 
volte la ripetizione di un quiz sia molto diverso, se la 
penalità del 33 % di default sia poca o tanta, e così via. 
Da settare e configurare bene è un mostro di flessibilità. 
Che sofferenza
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 verificare come viene trattato questo problema?
 
Dovrei ripassare molta matematica per seguirti... qualche decennio fa ce l'avrei fatta!
Tuttavia vedo affrontato l'argomento su
 
 
https://www.researchgate.net/publication/220318979_The_electrostatic_potential_of_a_uniformly_charged_disk_as_the_source_of_novel_mathematical_identities
 
 
Qui si usano le funzioni di Bessel.
 
Gli autori ammettono che "We attempted to prove some of theabove transformation formulas using various representations and identities involving complete elliptic integrals of the ﬁrst and second kind found in the literature, but we succeeded only in few cases. "

 
 
 
 
E' possibile (ma non lo vedo fino in fondo) che la questione che sollevo 
in questo post sia irrilevante ... ma la sollevo ugualmente: hai detto 
che le serie convergono per rho = 1, ma la serie che da le derivate li' 
converge? Dal fatto che hai detto che e' discontinua sembra di si', ma 
vorrei sentirlo da te.
 
Inoltre: l'idea del calcolo e' quella della continuazione analitica, 
cioe' se due funzioni analitiche coincidono in un insieme che abbia un 
punto di accumulazione, allora sono uguali dappertutto?
In questo caso la funzione soddisfa alla equazione di Laplace quindi e' 
la parte reale di una funzione analitica (in qualche modo, che non 
conosco, bisogna estendere il risultato da due a tre variabili reali ... 
la difficolta' che mi pare che ci sia e' che estenderlo da due a quattro 
variabili reali forse si puo' fare con l'estensione da una a due 
variabili complesse, ma con una variabile complessa e mezza non so come 
fare ;-) )