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Titolo: planckiana e steradianti

Ciao a tutti,
ho un dubbio, banale, ma non vorrei prendere una cantonata.
Se ho l'intensità (I) di un corpo nero
I = (2hc^2)/(lambda^5)*(1/exp(hc/lambda*K*T)-1)
questa è definita come l'intensità per unità di angolo solido. Quindi anche
se dimensionalmente -in unità cgs- ho erg s^{-1} cm^{-3} poichè è definita
per unità di angolo solido dovrei scrivere erg s^{-1} cm^{-3} str^{-1}
Se ora voglio intensità su tutto lo spazio, devo semplicemente moltiplicare
per 4(pi), no?
Mi sorge questo dubbio, perchè ho preso lo spettro -sintetico- di una stella
e plottato spettro e la rispettiva planckiana scritta sopra. Tuttavia per
farli -grossomodo- sovrapporre (o più quantitativamente parlando, per avere
integrale della planckiana che corrisponde a quello dello spettro), dovrei
moltiplicare la formula scritta sopra semplicemente per pi, senza il fattore
4.
Mi sorge il dubbio su cosa intendono i libri quando dicono che intensità
scritta sopra è definita per unità di angolo solido ...
Grazie!
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 moltiplicare per 4(pi), no?
No, per due ragioni.
La prima, banale, e' che una superficie potra' emettere solo in meta'
spazio.
La seconda e' che l'emissione in direzione obliqua ha un cos(theta)
(legge di Lambert).
Fai l'integrale, e vedrai che ti viene proprio il fattore pi che dici
dopo.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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
Ancora non esiste un pieno accordo sulle grandezze da utilizzare nei 
calcoli radiativi anche se c'e' una tendenza a uniformarsi.
La parola "intensita'" e', probabilmente, la piu' ambigua ed eviterei di 
utilizzarla ma eccoti qualche indicazione: le grandezze radiative 
principali sono l'irradianza e la radianza e occorre stare attenti a 
distinguerle.
L'irradianza, E, viene definita come flusso di energia sotto forma di 
radiazione incidente/uscente su/da una superficie unitaria da/verso 
tutto il semispazio per unita' di tempo. (Qui avrei una parentesi da 
aggiungere: nelle benedette definizioni si parla sempre di "unita' di 
qualcosa"; be', non sono "unita'" un bel niente, perche' alla fine 
dovrebbero sempre tendere a zero! - fine della parentesi) Nota che la 
stessa grandezza si puo' utilizzare sia per radiazione incidente che per 
radiazione uscente; l'ambiguita' viene chiarita di volta in volta dal 
problema in esame.  In unita' SI, quindi, watt/m2.  In calcoli di 
bilancio energetico questa e' la grandezza piu' importante. Se occorre 
tener conto della lunghezza d'onda si definisce l'irradianza spettrale 
come derivata dell'irradianza rispetto alla lunghezza d'onda dE/d\lambda 
ma, in genere, io preferisco la definizione inversa: l'irradianza 
spettrale e' quella funzione che, integrata su tutte le lunghezze 
d'onda, da' l'irradianza. Dimensionalmente l'irradianza spettrale (in 
lunghezza d'onda) ha una "lunghezza alla meno uno" in piu' rispetto 
all'irradianza - altra causa di confusione specialmente se lambda non e' 
espresso in metri!
In certi problemi, oltre che della dipendenza dalla lunghezza d'onda, 
puo' essere importante tener conto della dipendenza dalla direzione: 
all'irradianza su una certa superficie puo' contribuire in modo diverso 
radiazione che proviene da diverse direzioni.  Si definisce allora la 
seconda importante grandezza, la radianza L come flusso di energia sotto 
forma di radiazione incidente/uscente su/da una superficie unitaria 
PERPENDICOLARMENTE alla superficie stessa, per unita' di tempo, per 
unita' di angolo solido. Dimensionalmente: watt/(m2 sr).
Il legame tra radianza e irradianza e'
E = \int2\pi d\omega L cos \theta
cioe', l'irradianza e' l'integrale su due pigreco (angolo solido 
corrispondente al semispazio) della radianza pesata con il coseno 
dell'angolo zenitale.  Notare che il coseno viene fuori da quel 
PERPENDICOLARMENTE scritto sopra e NON per il passaggio a coordinate 
polari che, eventualmente, producono un sin \theta.
Nel caso fortunato in cui L non dipenda da \theta, l'integrale dato 
sopra si calcola banalmente e si ottiene la relazione
E = \pi L
l'irradianza e' uguale numericamente alla radianza (indipendente dalla 
direzione) moltiplicata per pigreco.  La radiazione di corpo nero E' 
isotropa e, quindi, soddisfa questa relazione.
Arriviamo alla funzione di Planck che puo' essere data in varie forme e 
- credimi - alla mia tenera eta' non so neppure se le ho viste tutte!
Prima di tutto e' una grandezza spettrale quindi ha una dimensione in 
piu' rispetto alla radianza/irradianza non spettrale.  Se e' spettrale 
in lunghezza d'onda ha una lunghezza alla meno uno in piu' che puo' 
essere: Angstrom^(-1), micrometri^(-1), nanometri^(-1),... etc.
Se e' spettrale in frequenza ha un s (secondi) in piu' e se e' spettrale 
in quel numero d'onda che piace agli spettroscopisti ha un cm in piu'. 
Gia' basterebbe questo per scrivere una decina di :-(
Se viene data come radianza possiede un sr^(-1) in piu' rispetto 
all'irradianza ma, PER FORTUNA, per passare a quest'ultima basta 
moltiplicare per pigreco e cancellare il sr^(-1).
Piccola curiosita': non tutti lo sanno ma se si calcola il massimo della 
funzione di Planck per una data T, lo si trova in punti diversi a 
seconda che sia spettrale in lunghezza d'onda o in frequenza: strano ma 
non contraddice nessun principio!
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca