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Titolo: dilemmi cosmologici (conti)

Un grazie in anticipo a chi avrà voglia di seguire i conti :)
Iniziamo col definire la metrica di Robertson-Walker:
ds^2 = (cdt)^2 - a[dr^2/(1-Kr^2) + r^2(d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2)]
Dove a è il parametro di espansione (funzione del tempo).
La distanza propria di un punto P dall'origine è definita come "la
distanza misurata al tempo t da una catena di osservatori che collegano
P all'origine", quindi:
d_pr = \int_0^r a/sqrt(1-Kr'^2)dr' = a*f(r),
dove f(r) è arcsin(r), r, arcsinh(r) rispettivamente per K=1, 0, -1.
Prima domanda: come la mettiamo con la limitatezza dell'argomento
dell'arcoseno? Non mi pare di aver messo limitazioni su r! Ci dev'essere
qualcosa di fondamentale che non afferro...
Ma veniamo ora ad un altro problema. In un contesto che non introduco
per brevità, l'integrale che ho scritto prima:
\int_0^r 1/sqrt(1-Kr'^2) dr'
viene approssimato con r + O(r^3). Ora: la matematica sarà anche giusta,
ma quando r>1 non posso certo trascurare un O(r^3)! Evidentemente per
qualche motivo r è limitato all'intervallo [0,1], ma davvero non capisco
perché! (Non è una limitazione intrinseca nella definizione, dato che K
può essere anche -1.)
p.

 dell'arcoseno? Non mi pare di aver messo limitazioni su r!
si che le hai messe: per k=1 il pezzo della metrica
dr^2/(1-Kr^2)
perde significato per r=1 e -1. In effetti la coordinata r si sceglie,
in quel caso, per avere metrica definita negativa, in (-1,1), che e'
il dominio dell'arcoseno.  Bisogna tenere conto che, in generale la
forma della metrica di RW vale solo in una carta, a r=+1 e -1 non ci
sono, in genrale, singolarita' della metrica, il problema e' solo
della carta locale che stai usando.
Ciao, Valter

 ...
O bella! Ma se non dici il contesto, che senso ha la domanda?
 
-- 
Elio Fabri

 (-1,1), che e' il dominio dell'arcoseno.
Grazie per la risposta, mi č stata molto utile soprattutto perché mi ha
spinto a rifare alcuni conti. Ho deciso di spiegare (molto) piů
lungamente il mio problema, ma per evitare ripetizioni rispondo solo al
post di Elio. Fai conto perň che la riposta sia anche per te :)
Ciao,
p.

 O bella! Ma se non dici il contesto, che senso ha la domanda?
Il fatto è che nel momento in cui ho scritto il problema mi sembrava
quasi esclusivamente matematico, per cui ho ritenuto il contesto
superfluo. Ora ho capito qualcosa di più, e in quando segue non ho
intenzione di essere breve :) Se non avrai voglia di seguire i conti non
mi offenderò.
Partiamo andando alla ricerca di una metrica per cui
ds^2 = (c*dt)^2 - dl^2.
In particolare cerchiamo la parte spaziale (3-dimensionale) del tensore
metrico nel caso di uno spazio omogeneo e isotropo. Cominciamo dal caso
più semplice di uno spazio bidimensionale. Tale spazio può essere: (1)
l'usuale piano cartesiano, (2) una superficie sferica di raggio R, (3)
la superficie di un'iperboloide.
Nel primo caso la metrica, in coordinate polari rho \in [0,infty) e phi
\in [0,2pi) è nella forma
dl^2 = a^2*(dr^2 + r^2*d\phi^2),
dove abbiamo introdotto la coordinata adimensionale r = rho/a, con
r \in [0,infty), e la costante a, con le dimensioni di una lunghezza.
Passiamo al caso (2). Sulla superficie di una sfera di raggio R la
metrica in coordinate theta \in [0,pi) e phi \in [0,2pi) è
dl^2 = a^2*(d\theta^2 + sin^2(theta) d\phi^2)
dove a = R. Se poniamo r = sin(theta), con r \in [0,1), possiamo
scrivere anche:
dl^2 = a^2(dr^2/(1-r^2) + r^2 d\phi^2,
al costo di avere la metrica non definita per r = 0 (ma comunque è solo
un problema di carta locale, come dicevate). [ATTENZIONE: già qui il mio
libro fa variare r tra 0 e 1 COMPRESI, senza fare commenti, ma
bolliamolo come errore di stampa.]
Caso (3): iperboloide. La metrica è data da
dl^2 = a^2*(d\theta^2 + sinh^2(theta)d\phi^2)
     = a^2*(dr^2/(1+r^2) + r^2 d\phi^2)
con r = sinh(theta), r \in [0,\infty).
Generalizzando a tre dimensioni, per i tre casi abbiamo
(1) dl^2 = a^2(dr^2 + r^2 dOmega^2)
(2) dl^2 = a^2(dr^2/(1-r^2) + r^2 dOmega^2)
(3) dl^2 = a^2(dr^2/(1+r^2) + r^2 dOmega^2)
dOmega^2 = d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2. Importante: nei tre casi le
limitazioni sul parametro r sono le stesse di prima!
I tre valori di K nella metrica di RW corrispondono quindi ai casi
(1)-(3) appena elencati. Importantissimo (ma forse sbagliato, non l'ho
trovato scritto ma dedotto io): quando scegliamo un valore di K (e
quindi un tipo di curvatura) stiamo anche scegliendo l'intervallo in cui
varia il parametro r!
Fino a qui *sembrano* non esserci problemi.
Vogliamo ora esprimere il parametro r in funzione del redshift.
Per un raggio di luce ds^2 = 0, quindi (t = tempo di emissione, t0 tempo
di ricezione, r = luogo di emissione)
\int_t^t0 c/a dt = \int_0^r 1/sqrt(1-Kr^2) dr
[sempre se la direzione del raggio è quella individuata da 0 (origine)
ed r, e sempre se abbiamo orientato gli assi in un certo modo, DICO IO,
nel libro non è scritto].
Comunque, esprimendo il primo membro in funzione di z (1+z = a_0/a), e
poi espandendo a in serie di potenze, otteniamo:
c/a_0 * \int_t^t0 [1 + H0(t_0-t) + ...] = r + O(r^3)
Ha fatto l'integrale a prescindere dal valore di K. Vediamo un po'. A
seconda del valore di K le primitive dell'integrale sono:
K = 0   =>  r = r + 0r^2 + 0r^3 + ...
K = 1   =>  arcsin(r) = r + x^3/6 + ...
K = -1  =>  arcsinh(r) = r - r^3/6 * ...
quindi la matematica è giusta, sono tutte r + O(r^3). Ma ricordiamoci
degli intervalli in cui può variare r! Nel caso K = -1 non potrò MAI
pensare troncare lo sviluppo asintotico senza aver fatto qualche
ipotesi! Il libro invece procede con un bel "therefore":
r = c/a_0 * [(t_0-t) + H0(t0-t)^2/2 + ...]
Ha integrato, scambiato primo e secondo membro E APPROSSIMATO r + O(r^3)
CON r!
Ecco il mio problema. Spero solo che dopo aver scritto tutto questo
l'inghippo non sia dopo due righe. Ti (vi) segnalo il libro, magari
qualcuno di voi lo ha sotto mano:
Coles, Lucchin: Cosmology, The Origin and Evolution of Cosmis Structure,
seconda edizione, Wiley.
Il passaggio incriminato è a pagina 18 (sigh).
p.

Ciao, ho letto tutto. Sinceramente non capisco il problema, č chiaro
che le formule trovate valgono per |t-t_0| piccolo (cioč r vicino a
0). Qual'č il problema? Non dico che non ci sia, ma non ho proprio
capito cosa non ti piace...
E' vero che la SERIE di 1/sqrt{1+x^2} converge in (-1,1), tuttavia il
polinomio di Taylor esiste ed č ben definito anche fuori da tale
intervallo
e il resto, per esempio nella forma di Lagrange, si riesce a
stimare...Usando i polinomi di Taylor si possono giustificare tutti i
calcoli.
La formula r = c/a_0 * [(t_0-t) + H0(t0-t)^2/2 + ...]  non mi aspetto
che converga (non ho fatto i calcoli) e deve essere intesa come serie
asintotica, valida per t-> t0. Anche tu parli di sviluppi asintotici
mi pare, non serie convergenti...
Ciao, Valter

 capito cosa non ti piace...
Siamo d'accordo che per |t-t0| piccolo funziona tutto. Il fatto è che,
in tutta quella trattazione, non ho mai fatto quest'ipotesi, e nemmeno
mi sembra ragionevole farla visto che voglio che le definizioni siano
valide in tutto lo spazio e per ogni scelta di K! Probabilmente è qui
che sbaglio, nel senso che in realtà è lecito considerare |t-t0| piccolo
(= r vicino a 0) , ma non vedo perché.
p.


Ciao, mettiamoci d'accordo: le formule che ha scritto sono vere
sempre, mi pare (non ho pensato a tutti i passaggi).
Il punto e' che se t non e' vicino a t_0  ecc, non servono a niente
dal punto di vista fisico, dato che,
per esempio,  O(|t-t_0|^3) puo' essere piu' grande di |t-t_0|.
Nello stesso modo
1/(1-x) = 1+ x + O(x^2)
e' un'identita' corretta per ogni valore di x diverso da 1  (e NON
SOLO nell'intervallo  (-1,1) dove la serie geometrica converge).
Puo' darsi che *in seguito*, il tuo testo faccia l'ipotesi di t-t_0
piccolo...
certo che non e' che si spieghi tanto bene quel libro.
Ciao, Valter

 certo che non e' che si spieghi tanto bene quel libro.
Ma che pretendi? E' solo un libro di cosmologia :-)
-- 
Elio Fabri