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Titolo: tensore di Riemann

Ammirati colleghi
--- premssa ---
I funzionali multilineari definiti sui duali algebrici degli spazi 
fattori stanno ai tensori un po' come R^3 sta ad uno spazio vettoriale 
di dimensione 3 sui reali: sono una "implementazione" della struttra
e la "realizzano" modulo identificazioni, isomorfismi, etc.  Spero che 
questo mi sia chiaro.
--- dilemma ---
Mi sono appena accorto, cosa che mi era imperdonabilmente sempre 
sfuggita (non sempre si vede quello che si guarda ...), che il tensore 
di Riemann pur avendo solo tre operandi ha quattro indici perche' e' a 
valori in uno spazio vettoriale, non nel campo sul campo degli scalari.
Si tratta solo di una questione di "comodita'" e la struttura geometrica 
in oggetto potrebbe essere realizzata in termini di funzionali 
multilineari, o c'e' qualcosa che, ancora, mi sfugge (sia in senso 
fisico che matematico)?
Cordiali saluti.
Imago Mortis


wrote:

Il tensore di Riemann trasforma multilinearmente una terna di vettori
in un
vettore, per cui deve avere 4 indici.  Potrebbe essere pensato
comunque come
un funzionale multilineare a 4 entrate, contraendo quella di uscita
con co-vettori...
Ti quadra?
Ciao, Valter

 Ti quadra?
Mi quadra dal punto di vista matematico, ma come al solito mi appare
fuorviante nell'interpretazione fisica. So di esprimere un punto di vista
poco condiviso, ma un ng serve appunto alla discussione.
Per il matematico e' naturale identificare fra loro strutture isomorfe,
ma IMHO quando il linguaggio matematico viene applicato alla fisica certe
identificazioni possono diventare inopportune, pur rimanendo corrette
sintatticamente.
Mi spiego con un esempio banale, usando alcune grandezze vettoriali della
meccanica classica. 
Un bell'esempio di tensore di rango 2 potrebbe essere l'op. d'inerzia
di un corpo rigido, che si presenta naturalmente come un'applicazione
lineare tra la velocita' angolare ed il momento angolare, insomma come
un'applicazione di tipo V -> V.
Se mi si viene a dire che potrei invece considerare tale tensore come una
applicazione multilineare di tipo V* x V -> R, il significato fisico del
tensore d'inerzia (inteso come un'applicazione che ad un covettore ed un
vettore associa un numero) diviene piuttosto oscuro.
Veniamo ora al tensore di Riemann di rango 4, la cui introduzione in
geometria differenziale e' legata anzitutto alla non commutativita' degli
operatori di derivazione agenti sui campi vettoriali. Da qui nasce l'
esigenza di considerare il commutatore di siffatti operatori, pervenendo
ad un bellissimo tensore di tipo VxVxV->V, indispensabile per gestire le
derivazioni. 
Capisco che matematicamente un tensore del tipo V*xVxVxV->R sia isomorfo
al precedente, ma pensare ad una contrazione su un covettore non mi aiuta
certo a rendere piu' intuitiva l'interpretazione fisica del gia' complesso
apparato matematico, insomma come fisico non mi aiuta a capire di che cosa 
sto concretamente parlando quando faccio certi calcoli in RG.
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

 vettore associa un numero) diviene piuttosto oscuro.
qui non sono del tutto d'accordo... I vettori, nel momento in cui hai
una metrica
li puoi indistintamente pensare come co- o contro- varianti.
Il tensore d'inerzia entra in gioco in due modi distinti:
(1) come trasf lineare da V a V (quindi un tensore in VxX*) che serve
a calcolare
     il momentio angolare iun funzione del vettore omega
(2) come forma quadratica da V cartesiano V in R (quindi un tensore in
VxV )
che serve a calcolare l'energia cinetica in funzione del vettore
omega.
A questo punto uno può sbizzarrirsi e pensare il vettore omega come
vettore
o co-vettore o vettore in un'entrata e covettore nella seconda. E in
questo modo
hai tutti i casi possibili per il tensore d'inerzia.
Ciao, Valter

 VxV )
Riciao,
scusa sopra volevo scrivere .
...quindi un tensore in V*x V*
ovviamente!
Ciao, Valter

 vettore, per cui deve avere 4 indici.
ho sempre preferito vedere il tensore di Riemann come un doppio
differenziale (covariante), quindi con due indici di spaziotempo, che
manda vettori in vettori, dunque avente altri due indici interni. Poi
siccome questi indici interni sono essi stessi di spaziotempo (se i
vettori in questione sono i vettori tangenti allo spaziotempo stesso),
si ha un tensore con un totale di 4 indici di spaziotempo. Insomma lo
penso di solito esattamente come l' F_{mu nu} delle teorie di gauge
non abeliane. [F_{mu nu}]^{a}_{b}=R^a_b_{mu nu}.
ciao

 si ha un tensore con un totale di 4 indici di spaziotempo. 
Cosa potrei leggere per arrivare a comprendere questo passo ?
--- 3 ---
Visto che sono qui, vi domando ancora una cosa: c'e' qualche libro dove 
sia spiegato in dettaglio a cosa si riduce tutto l'apparato della 
geometria differenziale (tensore di Riemann, di Ricci, etc...) quando 
applicato alle superfici immerse in R^3 ? Un esempio di quello che 
intendo potrebbe essere la discussione della derivata covariante che si 
trova in 
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/2/DerivataCovariante.htm
Buon lavoro a tutti !!
Imago MOrtis

 questo modo hai tutti i casi possibili per il tensore d'inerzia.
Hai ragione. 
IMO lo stesso discorso puo' applicarsi anche al tensore di Riemann.
Provo a sviluppare ulteriormente il mio punto di vista, per sottoporlo al
tuo vaglio critico ed anche per rispondere piu' a fondo all'op.
Il tensore di Riemann nasce come applicazione che ad una terna di vettori
associa un'immagine vettoriale, dunque ha 1 indice controvariante e tre
indici covarianti.
Naturalmente e' possibile vederlo come funzionale multilineare a 4 entrate
che fornisce un valore reale riempiendo tutti i suoi slots, in particolare
contraendo l'indice controvariante con un covettore, ma come ho detto
questo punto di vista mi sembra penalizzante per l'interpretazione fisica,
che diviene tortuosa ma non per questo impossibile.
Usando una metrica (penso in particolare alla connessione affine LC) si
puo' comprendere anche quale senso fisico abbia il numero reale ottenuto
saturando l'entrata controvariante con un covettore: esso e' il risultato
ottenuto moltiplicando scalarmente il corrispondente vettore per l'immagine
vettoriale fornita dal tensore di Riemann per una data terna di vettori.
Ovviamente con questo ho appena fornito un'interpretazione fisica del 
tensore di Riemann 4-covariante VxVxVxV->R, metricamente isomorfo a quello
originale (commutatore op.derivazione).
Morale: se non vogliamo uscirne con il mal di testa, e' importante usare
nelle definizioni quelle piu' direttamente suscettibili di interpretazione
fisica: sotto questo aspetto una struttura isomorfa non vale l'altra.
Mi conforterebbe sapere che sei d'accordo con me. Ciao e grazie.


 passo ?
Almeno a te basta leggere. Se esistesse satana una
comprensione decente di matematica e fisica sarebbe tra le
cose da mettere sul piatto per eventuale scambio con la
mia anima... :) Credo che per me non ci sarebbe altro modo ^^

      Valgioie (TO)

 Cosa potrei leggere per arrivare a comprendere questo passo ?
forse studiando le teorie di gauge non abeliane


Ciao, mi pare che tu stia considerando una cosa molto più generale,
cioè
la forma di curvatura per un fibrato principale con un gruppo di
struttura arbitrario.
Il caso della connessione di Levi-Civita è molto più banale perché
alcuni indici di fibra
sono anche pensabili come indici di base e questo semplifica tutto (e
permette di scrivere
l'azione di Einstein invece che quella di Yang-Mills per il campo)...
Ciao, Valter