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Titolo: Variazione del momento angolare di una sfera in rotazine soggetta a forze esterne

Una sfera omogenea ruota libera, ma ferma, intorno ad un asse, senza
che vi agisca alcun momento di forze con velocità angolare costante.
Ad un certo istante applichiamo una coppia di forze di uguale modulo,
ma verso opposto, quindi la loro risultante è zero, che esprimono un
momento pari a M.
Premetto che a questo è il problema, pur non essendo fresco di studi,
mi ero gia risposto in modo intuitivo, ma in rete ho già trovato una
parte della risposta che è quella che segue:
Il movimento, cioè la dinamica, dei corpi in rotazione è regolata
dalla seconda legge della dinamica applicata ai corpi estesi, che è
M=L'  
Questa equazione vuol dire che la somma dei momenti delle forze
esterne M provoca una variazione proporzionale del momento angolare L.
 
Se M è parallelo o antiparallelo a L, l'unico cambiamento che si avrà
sarà una variazione del modulo di L, per cui la sfera continuerà a
ruotare intorno allo stesso asse ma cambierà la sua velocità angolare.
Se M è perpendicolare a L (e resta perpendicolare anche negli istanti
successivi al primo) questo provoca una rotazione costante della
direzione di L, e quindi dell'asse di rotazione, senza far variare il
modulo del momento angolare, per cui la velocità angolare intorno
all'asse di rotazione resterà la stessa, solo che l'asse non sarà più
fisso nello spazio. Per inclinazioni di M rispetto a L intermedie si
ha un effetto combinato di variazione dell'asse di rotazione e della
velocità angolare.
La seconda parte del problema riguarda più da vicino la sfera. 
Se si tracciano sulla superficie della sfera due puntini in
corrispondenza dell'asse di rotazione e poi applichiamo le forze
esterne in modo che M sia perpendicolare a L, cosa accadrà ai nostri
puntini?
Seguiranno l'asse di rotazione?
Potrei avere la trattazione matematica di questo aspetto del fenomeno?

 Seguiranno l'asse di rotazione?
La trattazione matematica la devo ancora pensare. Però si può fare una
notevole analogia col caso Sole-Terra elissoidale inclinata di 23° ca.
Ebbene, la forma elissoidale ci serve solo per applicare la coppia torcente
di cui considereremo solo la componente perpendicolare all'asse di rotazione
terrestre: infatti questa è l'unica che sposta l'asse di rotazione, l'altra
cambia un po' la velocità angolare della Terra. Ebbene è noto che se le
componenti sono solo queste l'asse dei poli descrive un perfetto bicono.
Perciò, se avessi dipinto un punto ai Poli geografici, questi
descriverebbero una circonferenza con una velocità angolare non esattamente
costante (a causa della componente parallela del momento applicato e che
varia al variare delle stagioni).
La sfera in oggetto ipotetica, non avendo problematiche stagionali, descrive
un bicono perfetto con velocità angolare costante. Naturalmente il fenomeno
è asintotico perché applichiamo M ad un certo istante. Nulla vieta però di
pensare una situazione già a regime (M applicato al tempo meno infinito).
Sì, secondo me i puntini seguono l'asse di rotazione, come la Terra. Ora
riprendo i libri di Fisica1 e provo a fare di conto.             Ciao,
Pighin

 Potrei avere la trattazione matematica di questo aspetto del fenomeno?
Sia dato un sistema di assi cartesiani:  z in alto,  x a destra e y in
avanti.
La sfera ruota con baricentro nell'origine e momento angolare L vettore in
direzione di z.
Sulle sommità superiore e inferiore applico una coppia di forze F1,
parallele a x, con risultante nulla e momento uscente dal baricentro in
direzione y.
Tale momento vale:     Tau = r * F1        l'altra legge che si applica è
DeltaL = Tau*DeltaT
In un tempo DeltaT  il momento L si muoverà di una quantità perpendicolare a
L pari a DeltaL descrivendo un angolo DeltaFi nel piano zy.
La velocità angolare di precessione sarà    OmegaP = DeltaFi / DeltaT
Essendo il triangolo di lati L, L+DeltaL, DeltaL molto sottile vale:
DeltaFi = (circa) = DeltaL / L = Tau*DeltaT / DeltaL       quindi
OmegaP = DeltFi / DeltaT = Tau*DeltaT / L*DeltaT = 2*r*F1*DeltaT / L*DeltaT
= 2*r*F1/L = OmegaP
Quindi L precede nel piano zy e i puntini dipinti lo seguono.  Disegnando si
capisce tutto.   Ciao,       Pighin

 Potrei avere la trattazione matematica di questo aspetto del fenomeno?Non puoi, perche' il problema e' mal definito.
Occorre sapere come sta messo M rispetto alla sfera.
In termini piu' fisici, occorre sapere che cosa produce il momento M.
Ti faccio due esempi:
1) Nei "puntini" ci sono due cariche elettriche opposte, e la sfera
sta in un campo elettrico uniforme.
2) la sfera porta una carica elettrica superficiale, uniformemente
distribuita, e si trova in un campo magnetico uniforme.
Le cose vanno diversamente nei due casi.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Scusate mi sono reso conto soltanto ora che il mio ultimo post è stato
rifiutato dal RobotModeratore. Sigh!
In realtà ho commesso una leggerezza nel porre il problema.
Bisognerebbe definire l'applicazione delle forze negli istanti
successivi al primo, ma questo complica le cose.
Il modello della terra proposto da Pighin mi aiuta.
Supponiamo che un meteorite colpisca il polo nord: orbita e asse di
rotazione cambiano.
Come?
E i miei puntini (fatti con un inchiostro a prova di meteorite:))
seguono l'asse di rotazione?