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Titolo: Perché si usa la gaussiana

Ultimamente ho cercato di riflettere sul fatto che per descrivere
l'esito delle misure sperimentali ci si serve di una gaussiana. Poi
non so come ho collegato con il problema del cammino casuale in una
dimensione e mi sono illuminato. E' come se i "disturbi" sperimentali
fossero una moltitudine di microscopici disturbi ciascuno dei quali ha
il 50% delle probabilità di "spingere" la misura da una parte
piuttosto che dall'altra. Modellizzando così appare chiaro che gli
esiti delle misure si distribuiscono in modo gaussiano attorno al
valore vero.
Certamente *nei fatti* la gaussiana che otterrò dopo le mie N misure
*non* sarà centrata sul valore vero. Come posso però valutare la
probabilità che il valore vero giaccia all'interno della mia
deviazione standard? Il problema statistico è bene impostato ed
ammette una soluzione? Io ho il Taylor, procede passo a passo su varie
questioni, ma alla fine non mi sembra che approfondisca più di tanto.
Grazie in anticipo!

 questioni, ma alla fine non mi sembra che approfondisca più di tanto.
Non ricordo se il Taylor tratta e in che modo questi argomenti.
Quello che stai chiedendo e' quanto segue:
Se X1 ... Xn sono i risultati di n misure indipendenti, ciascuno dei
quali assumiamo sia una variabile casuale a distribuzione gaussiana
(distr. tutte uguali tra loro) con media m e sqm sigma, come e'
distribuita la loro media aritmetica?
Risposta: ha distr. gaussiana con media m e sqm = sigma/sqrt(n).
 
-- 
Elio Fabri

 questioni, ma alla fine non mi sembra che approfondisca più di tanto.
Per calcolare la probabilita' di un qualsiasi evento riguardante una 
variabile casuale X bisogna conoscere la distribuzione di probabilita'.
Per le misurazioni di una grandezza fisica X vi sono effettivamente 
ragioni teoriche (
http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem
)
per ammettere che abitualmente tale distribuzione sia gaussiana, ma 
ovviamente il valore medio vero e lo scarto quadratico medio sqm  della
distribuzione non sono noti.
Se lo sqm fosse noto sarebbe facile calcolare (per integrazione numerica
o usando tabelle di Erf) la probabilita' che il risultato di una misura
differisca dal valore vero di X per meno di sqm o di un suo multiplo.
Ad esempio, la probabilita' che una singola misura sia affetta da un
errore superiore a 2*sqm risulta circa del 5% 
Per la media aritmetica di N misure lo sqm si riduce del fattore sqrt(N).
 
Disponendo di N misure di una grandezza X si puo' determinare il valore
medio empirico (media aritmetica) e la deviazione standard empirica del
set di risultati. La formula della varianza empirica ha curiosamente N-1
a denominatore, anziche' N come sembrerebbe di primo acchito: si dimostra
che questa e' la correzione ottimale per tenere conto della differenza 
tra il valore vero (incognito) ed il valore medio empirico (noto) di X.
Essendo la deviazione standard empirica cosi' calcolata la migliore
approssimazione disponibile dello sqm vero incognito, la migliore stima
possibile della probabilita' che chiedi va fatta usando tale dato come
valore dello sqm della distribuzione gaussiana.
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)


In verità il teorema, almeno nella formulazione di Lindeberg e Levy richiede 
che i momenti primo e secondo siano finiti. Mi pare che la richiesta che le 
n v.c. abbiano media nulla sia un po' troppo forte, non trovi? 

 l'esito delle misure sperimentali ci si serve di una gaussiana.
ti incollo un esempio:
<< Molte volte si pensa che determinismo e casualità o determinismo
siano concetti del tutto antitetici e che se un fenomeno è, per
esempio, deterministico non può essere, magari da un altro punto di
vista, casuale. Ebbene, questo modo di pensare può essere corretto o
meno a seconda di che cosa si vuole dire. Bisogna, come sempre,
distinguere.
Supponiamo di voler calcolare dove cadrà un proiettile sparato da un
cannone. Grazie alle leggi della meccanica classica e conoscendo la
velocità v con cui il proiettile esce dalla canna, l'angolo α con cui
è sparato e la densità dell'aria ρ, siamo in grado di predire
esattamente dove sarà il luogo di impatto (fig. 1).
Tuttavia, se fossimo degli artiglieri, sapremmo che sparando più volte
proiettili della “stessa” forma e delle “stesse” dimensioni, questi
non cadrebbero nello stesso luogo, ma ci sarebbe un'area di impatto
che avrà un massimo, se non vi sono difetti gravi nella costruzione
del cannone o dei proiettili, più o meno nel luogo calcolato
teoricamente. Questo è dovuto al fatto che le varie velocità iniziali
dei vari proiettili non saranno mai esattamente le stesse, come non
saranno mai esattamente gli stessi gli angoli di sparo. Inoltre
varierà, forse solo di poco, anche la densità dell'aria. Ossia
varieranno le condizioni iniziali e non sarà possibile conoscere con
assoluta precisione l'entità di tale variazione (fig. 2).
Dicendola diversamente, nel caso teorico, una volta determinate con
precisione le condizioni iniziali del sistema, vi è un'unica
evoluzione temporale e questa ha probabilità di realizzarsi pari a 1,
cioè si realizzerà con certezza. Nel caso reale, a causa di piccole
perturbazioni delle condizioni iniziali, perturbazioni che non
potremmo conoscere con precisione ma che dovremmo considerare sempre
entro un certo intervallo, vi saranno tante (infinite) evoluzioni
possibili del sistema, ognuna con una sua probabilità di realizzarsi.
Nel caso teorico l'evoluzione del sistema è deterministica, nel caso
reale è probabilistica.
Naturalmente non si può fare fisica dei proiettili senza il quadro
teorico, ma naturalmente non si può nemmeno essere degli esperti di
balistica senza tener conto della situazione reale. Tralasciamo
comunque quest'aspetto e riflettiamo sul fatto che, nel caso reale, è
consentito affermare che è casuale dove cadrà il proiettile. E'
consentito a patto che con “casuale” si intenda che dove cadrà dipende
dal nostro non conoscere con assoluta esattezza le condizioni iniziali
del sistema. Ma vi è un secondo aspetto da tenere presente: siamo
passati da un approccio deterministico (quello teorico) a uno
probabilistico (quello reale) e qui la probabilità ha proprio a che
fare con il caso, almeno con il caso nell'accezione appena vista.>>
(Giovanni Boniolo, pubblicato internet su ulisse)

 Come faccia ad apparirti "chiaro" proprio non lo so, ma e' vero.
Al di la' delle dimostrazioni rigorose, forse la cosa puo' apparire
"chiara" se si pensa alla macchina di Galton (e probabilmente Carlo ha
avuto modo di giocarci). Rifacendomi alla "visione" di Carlo,
assumendo un valore vero nullo e un certo numero NP di "disturbi"
tutti uguali a 1 in magnitudine e con segno random (50% di probabilità
di "spingere" da una parte o dall'altra), ho fatto una veloce
simulazione:
http://img840.imageshack.us/img840/7781/galton.gif
In ogni grafico è rappresentata la distribuzione statistica delle
misure sperimentali (50mila misure simulate), assumendo siano affette
da un numero NP di "disturbi" tutti uguali a uno. In pratica è la
macchina di Galton, in cui NP corrisponde al il numero di chiodi
incontrati dalla pallina, e il risultato della misura corrisponde al
N. di casella in cui la pallina va a finire.
Vero e' che il meccanismo produce una binomiale, e che le misure
sperimentali sono più complicate di così (NP dovrebbe essere
aleatorio, cosi' come l'intensità di ogni perturbazione)....
Pero', per NP=200, il fit gaussiano risulta perfetto:-)

vista, casuale.
E infatti è cosi.
Non è cambiato il fenomeno, è cambiato il modello che lo descrive.

 valore vero.
qui c'è un animazione che rappresenterebbe bene l'esempio in
questione:
http://www.stattucino.com/berrie/dsl/Galton.html
qui una spiegazione teorica:
www.astro-web.org/Quinconce_di_Galton.pdf
qui un esempio applicato all'entropia:
http://www.chim.unifi.it/~signo/did/etc/entropia/entropia-split0/

 come e' distribuita la loro media aritmetica?
devo riflettere sul perché la mia domanda è equivalente a questa
perché confesso che così sui due piedi non l'ho capito...

 non trovi?
Va bene, e a rigore l'esistenza dei momenti secondi non e' neppure
necessaria: si puo' dare una condizione piu' debole.
Ma a me interessava dare una risposta comprensibile a uno che e' alle
prime armi, e in relazione a un problema fisico dove assumere media
nulla e' del tutto ragionevole.
 
-- 
Elio Fabri

 l'esito delle misure sperimentali ci si serve di una gaussiana.
la forma a campana della gaussiana dovrebbe essere giustificata dal
calcolo combinatorio
ad esempio presa una riga del triangolo di tartaglia avremo il numero
di combinazioni di traiettorie come nella tavola di galton e che
descrive in modo intuitivo la distribuzione di gauss
quindi la campana è rappresentativa dei percorsi più frequenti per
giungere in una posizione
per quanto riguarda la teoria sugli errori di misurazione ho trovato
un testo abbastanza chiaro:
<<L'errore casuale o statistico è qualsiasi errore di misurazione che
può incidere con la stessa probabilità in aumento o in diminuzione sul
valore misurato. Gli errori casuali sono dovuti a inevitabili
fluttuazioni statistiche dei risultati delle misure. È possibile però,
attraverso ripetizioni identiche dell'esperimento, riuscire a
misurarli e quindi a tenerne conto nel risultato finale:
una serie ripetuta di misurazioni comporta la progressiva riduzione
dell'errore casuale, poiché i singoli scostamenti si annullano
reciprocamente.
Questo genere di errore è prodotto da fenomeni aleatori derivati da
errori di lettura degli strumenti o fluttuazioni indotte da fenomeni
esterni, come disturbi, variazioni di temperatura ecc. Più uno
strumento è preciso e meno questi fenomeni aleatori influenzano la
misurazione (e dunque più relativamente piccoli sono mediamente gli
errori casuali associati).
Gauss ha elaborato una teoria sugli errori casuali, ed è riuscito ad
esprimere la distribuzione della probabilità di un errore casuale.
La legge che ne deriva prende il nome di legge normale di Gauss.
Va detto che non è affatto certo che qualsiasi evento aleatorio di
tipo probabilistico segua la legge di Gauss, ma se il numero di misure
è molto alto, è molto probabile che accada, a causa del Teorema del
Limite Centrale.>>(
skuola.tiscali.it
)
<<Incertezza di misura è il grado di indeterminazione con il quale si
ottiene nella misurazione un valore di una proprietà fisica. Il
risultato di misurazione pertanto non è un unico valore bensì
l'insieme dei valori probabili che assume il misurando.
Il termine incertezza di misura viene spesso utilizzato come sinonimo
di errore di misurazione>>(wiki)

 valore vero.
Non so se cio' che segue ti puo' interessare.
E' tratto dal libro "Calcolo delle Probabilita' " di Sheldon M. Ross.
<<CARATTERIZZAZIONE DELLA DISTRIBUZIONE NORMALE
Siano X e Y le variabili aleatorie determinate dalla distanza
orizzontale e verticale dal centro, quando un proiettile viene sparato
contro un bersaglio e supponiamo che:
1. X e Y siano due variaboli aleatorie indipendenti e continue con
densita' che siano funzioni differenziabili.
2. La densita' congiunta f(x,y) = f_x(x)*f_y(y) di X e Y dipenda da
(x,y) solo attraverso x^2 + y^2.
Per chiarire le idee, la ipotesi 2 stabilisce che la probabilita' che
il proiettile colpisca un qualunque punto del piano (x,y) dipende solo
dalla distanza di questo punto dal centro del bersaglio e non
dall'angolo di orientazione rispetto a esso. L'ipotesi 2 puo' essere
espressa dicendo che la densita' congiunta e' una funzione invariante
per rotazioni.
Puo' essere interessante notare come le ipotesi 1 e 2 implicano che X
e Y si distribuiscono come due variabili aleatorie normali. Per
provare questo, notiamo da principio che le ipotesi danno la
relazione:
f(x,y) = f_x(x)*f_y(y) = g(x^2 + y^2)      (2.9)
per una qualche funzione g. Differenziando l'equazione (2.9) rispetto
a x otteniamo:
f'_x(x)*f_y(y) = 2xg'(x^2 + y^2)     (2.10)
Dividendo la (2.10) per la (2.9) abbiamo:
f'_x(x)/f_x(x) = 2xg'(x^2 + y^2)/g(x^2 + y^2)
ovvero:
f'_x(x)/2x*f_x(x) = g'(x^2 + y^2)/g(x^2 + y^2)    (2.11)
Siccome il valore del termine a sinistra dell'equazione (2.11) dipende
solo da x, mentre il termine a destra da x^2 + y^2, avremo che il
termine a sinistra dovra' essere costante per ogni valore di x. Per
vedere questo, consideriamo ogni x1, x2 e siano y1, y2 tali che:
(x1)^2 + (y1)^2 = (x2)^2 + (y2)^2.
Allora, da (2.11) otteniamo che:
f'_x(x1)/2x1*f_x(x1) = g'[(x1)^2 + (y1)^2] / g[(x1)^2 + (y1)^2] 
= g'[(x2)^2 + (y2)^2] / g[(x2)^2 + (y2)^2] = f'_x(x2)/2x2*f_x(x2)
Quindi:
f'_x(x)/x*f_x(x) = c
ovvero:
(d/dx) log[f_x(x)] = cx
il che implica, dopo aver integrato entrambi i termini, che:
log[f_x(x)] = a + cx^2/2
ovvero:
f_x(x) = ke^(cx^2/2).
Poiche' Int[-oo;+oo] f_x(x) dx = 1, segue che c deve essere una
costante negativa e possiamo scrivere c = -1/s^2  [nel libro c'e' la
lettera sigma al posto di s]. Avremo:
f_x(x) = ke^(-x^2/2s^2)
Cioe', X e' una variabile aleatoria normale di parametri mu = 0 e
s^2.
Un simile argomento applicato a f_y(y) mostra che:
f_y(y) = [1/s'*Rad(2pi)] * e^(-y^2/2s'^2)
Inoltre, segue dall'ipotesi 2 che s^2 = s'^2, e quindi X e Y sono
variabili aleatorie normali, indipendenti, identicamente distribuite
(i.i.d.) di parametri mu = 0 e s^2.>>


CUT
ciao
Soviet

 non direi, descrive il binomiale
La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità. Con n
molto grande ci si avvicina a una funzione continua: la distribuzione
Gaussiana è una funziona continua che approssima la distribuzione
binomiale degli eventi.
comunque ho detto "intuitivo" per intendere che i valori sono
indicativi dell'andamento a campana
Col teorema centrale del limite, come esposto da Elio Fabri, si vede
come una serie di valori casuali, con certe proprietà, vanno a formare
una campana gaussiana
Col triangolo di tartaglia o la tavola di Galton si vede come le
combinazioni dei percorsi che arrivano in un punto determinano la
probabilità di quell'evento
Sono due modi diversi di giungere alla forma a campana della funzione
rileggendo la domanda di partenza, sembra che ripetuti eventi di
sottrazione o addizione di una quantità fissa determinino il valore
della misura con il suo errore, il che corrisponde alla tavola di
galton e alla distribuzione a campana
http://www.mathcs.org/java/programs/CLT/clt.html
http://www.berrie.dds.nl/clt.html

 che l'uno giustifica la forma dell'altra non so che voglia dire.
Hai ragione soltanto in parte.
Infatti si dimostra che per n-->oo la distribuzione binomiale tende (in
un senso ben preciso) alla gaussiana.
-- 
Elio Fabri

 La gaussiana, se non ricordo male, è una curva del genere di e^(-X^2)
L'esponente di 'e' è : -1/2*(X-Xmedio)^2 diviso sigma^2
Non ricordo come Gauss giunse a formularla, mi pare  partendo dal teorema di 
Bayes.
Bessel considerò che un errore risulta dal concorso di molte piccole cause 
indipendenti. Ogni causa determina un errore 'elementare' variabile in 
quantità e segno. L'errore complessivo è la somma algebrica di tutti questi 
errori 'elementari'. E' concepibile quindi che i valori grandi dell'errore 
complessivo (determinati da poche combinazioni degli errori elementari) 
siano molto meno probabili di quelli piccoli (determinati da molte possibili 
combinazioni di errori elementari). Arrivò alla stessa funzione di Gauss.
G. De M.

 Cmq probabilmente mi sfugge qualcosa di profondo.
Penso di sì.

 un modo banale di integrare la gaussiana in modo esatto ?
Come dicevo sopra l'integrale della gaussiana esiste su ogni
intervallo reale e si chiama funzione degli errori, se poi ti interessa
ottenere una *approssimazione numerica* di un dato valore della
funzione degli errori allora il metodo piu' semplice non e' di considerare
l'integrale di una binomiale per un valore di n >> 1 ma di integrare
numericamente la gaussiana, il che si ottiene facilmente integrando
per serie cioe' sviluppando in serie di potenze l'esponenziale che
e' l'argomento dell'integrale portando poi fuori dall'integrale il simbolo
di sommatoria e integrando a vista i vari termini della sommatoria.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 fosse una curva non integrabile
Sicuramente non si può scrivere la primitiva della gaussiana in
termini di esponenziali, logaritmi, seni, coseni, polinomi finiti,
ecc. Voglio dire... se ad un esame di analisi matematica trovi un
esercizio del tempo "calcolare l'integrale indefinito di e^(-x^2)"
potresti guardare sbigottito il foglio per un po' e poi chiedere
spiegazioni :-)
Però se si parla di metodi numerici (e un fondo anche quando si usano
logaritmi, esponenziali, funzioni trigonometriche, ecc. si stanno
usando metodi numerici, solo che certe serie le si "battezza")
ovviamente le cose cambiano, e praticamente qualsiasi funzione diventa
integrabile con le opportune approssimazioni (tranne quelle cose
patologiche che piacciono tanto ai matematici).
Premesso questo devo dire che non so nulla del legame che sussuste tra
la binomiale e la gaussiana, ho solo fatto qualche osservazione su
quel particolare pezzo del tuo messaggio.

 che davo per certe
http://www.roma1.infn.it/~dagos/PRO/node181.html
ciao
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 quel particolare pezzo del tuo messaggio.
Questo punto l'hanno già chiarito altri, grazie
ciao
Soviet

 Apperò, non solo non la sapevo,
Il senso ben preciso a cui (penso) si riferisse e' che n tende
al'infinito mentre p (parametro della binomiale che fornisce la
probabilita' del verificarsi di uno dei due possibili risultati di
misura) rimane costante. Nota che allora anche *la media e la
varianza* tendono ad infinito, dal momento che media = n*p e varianza
= n*p*(1-p).
Se invece n tende all'infinito, ma il prodotto n*p rimane costante
(ovvero p tende a zero con la stessa velocita') allora la
distribuzione Binomiale tende alla distribuzione di Poisson.

 Se Zampino intendeva altro, allora non ho capito l'obiezione.
Si può calcolare *numericamente* e *senza approssimazione* la 
probabilità di fare una testa su due lanci dove la probabilità di una 
testa vale pi.greco/4?

 testa vale pi.greco/4?
e questo che c'azzecca con il calcolo del COEFFICIENTE 
BINOMIALE in modo esatto ? Il coefficiente moltiplicativo 
sarà esatto, poi la probabilità dell'evento, contenendo 
l'irrazionale come termine moltiplicativo, sarà pure essa 
irrazionale, ma non c'entra una mazza col binomiale in sé 
stesso e la sua computabilità esatta (per numeri ragionevoli 
però) ... onestamente, mi sembra più pertinente la mia 
"auto-obiezione" sui binomiali contenenti numeri enormi, che 
ricascano praticamente nel caso del pigreco o qualsiasi 
altro irrazionale, anche se tale binomiale *RESTA* cmq un 
numero esatto e finito, ancorché enorme, mentre 
l'irrazionale non è conoscibile in sé.
Se tu conosci un coefficiente binomiale irrazionale, 
citamelo, io non lo conosco. Introdurre una probabilità 
arbitraria di un evento non è pertinente.
ciao
Soviet

 dove la probabilità di una testa vale pi.greco/4?
E questo come lo sai?
-- 
Il popolo ha scelto Barabba.

> In verità il teorema, almeno nella formulazione di Lindeberg e Levy

Bè, se non hanno media nulla si possono sempre normalizzare. Concordo sul 
fatto che se si parla di errore, assumere media nulla è ragionevole.
Io ricordo dimostrazioni che non richiedono la distribuzione identica delle 
v.c., che fanno o meno uso della f. caratteristica, ma a memoria ricordo che 
viene richiesta sempre l'esistenza di varianza (secondo momento) finita 
(Liapunov e Lindeberg richiedono var(xn)<oo). Di sicuro non si richiede che 
esista la funzione generatrice dei momenti, ma questa è un'altra faccenda. 
Mi puoi indicare, per favore, quale teorema non richiede la varianza finita, 
o quale è la condizione più debole cui accenni? Grazie. 

 E questo come lo sai?
Non lo so. Ho inventato l'esempio. Perché nella famiglia delle variabili 
binomiali n e p sono parametri, non costanti. Non è che p debba per 
forza essere sempre uguale a 1/2.
Soviet_Mario scrive "il binomiale, che è una funzione discreta, [] si 
integra numericamente SENZA approssimazione" e poi "e questo che 
c'azzecca con il calcolo del COEFFICIENTE BINOMIALE in modo esatto".
Se parliamo di probabilità, mi pare che oltre al calcolo dei 
coefficienti binomiali occorra tenere conto del fattore moltiplicativo 
p^n(1-p)^(n-p).


Sì, ma la tavola di Galton si costruisce a partire da un esperimento, che si 
fa con chiodi, tavole di legno e palline. Il fine credo fosse quello di dare 
una dimostrazione empirica del teorema limite centrale. Il triangolo di 
Tartaglia, invece, è un utile strumento nel calcolo combinatorio. Peraltro, 
sommando i valori delle diagonali si ottengono i numeri di Fibonacci, e 
magari al suo interno si cela anche il numero del prossimo biglietto 
vincente della lotteria  di capodanno :-) 

 finita, o quale č la condizione piů debole cui accenni? Grazie.
Dato che sono tutt'altro che un esperto in materia, posso solo rifarmi
all'unica autorita' che conosco, ossia il vecchio libro di Feller (An
Introduction to Probability Theory...).
Il discorso e' di gran lunga troppo complicato per poterlo ripetere
qui.
Ti rimando alla fonte: vol. 2, pag. 544, teorema 1a e commento
esplicito proprio sulla questione della varianza finita.
 
-- 
Elio Fabri


Non si capisce bene come entra in gioco il limite.  Il concetto di *limite 
in probabilità* coincide con quello usuale, a parte il fatto che si trova un 
valore di n a partire dal quale vale la diseguaglianza non con certezza, ma 
con una certa probabilità.
Partiamo dalla scrittura seguente
lim            P[|Xn(a)-X(a)|<=e]=1
N->oo
ovvero:
lim            P[!Xn(a)-X(a)|>=e]=0
N->oo
Essa  non assicura tuttavia che tutti i valori entro parentesi quadra si 
manterranno inferiori a *e* al di sopra di un certo N, per ogni elemento a 
dello spazio degli eventi, ma che l'*insieme* dei valori che superano e ha 
una probabilità trascurabile, al limite nulla.
Al fine di assicurare che per la più parte delle successioni si abbia
|Xn(a)-X(a)|<=e
occorre introdurre il limite quasi certo o in probabilità 1, ovvero:
P [   lim       |Xn(a)-X(a)|<=e]=1
       N->oo
In questo caso, vi è certezza dell'esistenza di un insieme di elementi a che 
per N->oo tende a coincidere con lo spazio campionario e per i quali la 
successione di numeri reali Xn(a) tende a coincidere con il limite nel senso 
ordinario dell'analisi.
Come vedi, la faccenda non è poi così semplice...
 

 p^n(1-p)^(n-p).
Certo.


 -- 
Grazie, andrò a cercarlo. Scusa se rompo ancora, ma per il caso di varianza 
infinita si richiede per caso che le vc siano identicamente distribuite e si 
introduce la definizione di *distribuzione stabile*? Perché ora mi pare di 
ricordare che per le distribuzioni stabili si possa generalizzare il teorema 
centrale del limite anche nel caso di secondo momento non finito. 


ah beh, quindi tu identifichi il coefficente binomiale (uno 
dei termini) con la probabilità complessiva dell'evento. In 
quest'ottica capisco che calcolo "numerico" e "senza 
approssimazione" facciano a pugni.
Io no, per coefficiente binomiale esatto e numerico 
intendevo soltanto ENNE SU KAPPA e stop (che come rapporto 
tra fattoriali è un numero RAZIONALE, ergo è in principio 
conoscibile in modo esatto anche con calcoli numerici e non 
analiticamente esprimibili). Ovviamente (e purtroppo) non 
cade l'auto-obiezione sulla computabilità numerica di 
calcoli iterativi con numeri grandi.
Cmq, spiegato l'arcano ... ah, ancora una cosa, anche con 
rimando alla spiegazione di Elio Fabri, che non sono più 
sicuro di avere capito.
Quando il prof. diceva che per grandi numeri la curva 
binomiale approssima la Gaussiana, intendeva la mera 
rappresentazione del solo coeff. binomiale, o l'intera 
probabilità inclusiva SIA del coeff. binomiale SIA dei 
termini esponenziali con la probabilità dell'evento e del 
complementare ?
Chiederei una conferma dei due (ho una mia ipotesi, ma non 
la dico, perché facilmente è errata :-)
ciao
Soviet

 secondo momento non finito.
Lo vedi che ne sai piu' di me? IO senza il mio caro Feller sarei nel
buio piu' completo...
Comunque credo che tu abbia ragione. Infatti l'enunciato del teorema
contiene la seguente asserzione:
"(3) Only stable distributions have a domain of attraction."
Preciso che il teorema sta nel Cap. 17 (Infinitely divisible
distributions) sect. 5. Questo per l'eventualita' che tu andassi a
cercare in un'edizione diversa.
 
-- 
Elio Fabri

 del complementare ?
La seconda che hai detto.


Grazie. Non è che ne so più di te, il fatto è che ho studiato quasi 
esclusivamente statistica in tutte le salse, compresa la snobbata statistica 
descrittiva (sulla popolazione), la multivariata, la non parametrica e via 
di questo passo :-) Adesso non è che mi ricordi molto...