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Titolo: Il Salto in Lungo

Ciao,
Leggendo un libro riguardante il Salto in lungo,
ho trovato una formula per calcolare, con una certa
approssimazione, la lunghezza del salto.
La formula è la seguente:
Lunghezza = (V^2 x sen2A) / g
dove: V è la velocità di stacco, A è l'angolo e
g è l'accelerazione di gravità.
Potreste spiegarmi tale formula e soprattutto
come ci si arriva?
Grazie
Paolo

 g è l'accelerazione di gravità.
[cut]
Per ricavare questa formula creiamo un modello molto semplificato del
saltatore, assimilandolo ad un punto materiale che si muove in un campo di
gravita' costante ed uniforme; l'approssimazione piu' importante che
facciamo e' di trascurare le dimensioni del saltatore, cioe' il fatto che il
baricentro del saltatore non e' inizialmente al livello del suolo e che le
varie parti del corpo del saltatore non hanno la stessa velocita', inoltre
trascuriamo l'attrito con l'aria ecc..
Studiamo il moto del p.m. in un sistema di riferimento coordinato cartesiano
con l'asse x orizzontale (nella direzione del suolo) e l'asse y verticale
(che punta verso l'alto), e utilizziamo il principio di indipendenza dei
movimenti di Galileo per studiare separatamente i moti lungo i due assi: il
moto lungo l'asse y e' uniformemente accelerato con componente
dell'accelerazione - g (per la definizione stessa del campo di gravita'),
mentre il moto lungo l'asse x e' uniforme dato che sul p.m. non agiscono
forze in direzione orizzontale.
Inizialmente (tempo t = 0) il p.m. e' al livello del suolo (y=0) e le
componenti della velocita' lungo i due assi sono Vx(0) = V * cos(A) e Vy(0)
= V * sen(A), Vx e' invariata nel tempo e la distanza percorsa in direzione
x vale quindi x(t) = Vx * t, mentre Vy varia nel tempo con legge Vy(t) =
Vy(0) - g * t.
Il p.m. raggiunge la quota massima quando Vy si azzera, cioe' al tempo Tmax
= Vy(0) / g, ed impiega a ricadere un uguale intervallo di tempo (questo
perche' il campo di gravita' e' costante, e il moto di caduta equivale ad un
moto di ascesa "temporalmente invertito", oppure segue anche dalla legge
oraria del moto uniformemente accelerato considerando che le distanze
verticali percorse durante la caduta e durante l'ascesa sono uguali), dunque
raggiunge il suolo al tempo T = 2 * Tmax = 2 * Vy(0) / g, nello stesso
intervallo di tempo si sposta orizzontalmente di uno spazio X = Vx * T = 2
*Vx *Vy(0) / g = 2 * V * cos(A) * V * sen(A) / g = V^2 * sen(2A) / g.
--
Giorgio Bibbiani

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Così ad occhio dovrebbe essere la formula della gittata di un corpo
scagliato con una velocità iniziale v ed un angolo A con la verticale.
E' del tut generale, nel senso che non riguarda solo il salto in
lungo.
Per ricavarla fai così:
scrivi le equazioni del moto sui due assi.
Sull'asse x non agiscono forze e perciò avrai solo un moto rettilineo
uniforme
x = vx t
dove vx è la componente orizzontale della velocità (vx = v cosA)
Sull'asse y invece agisce anche la forza peso, per cui
y = vy t - 1/2 g t^2
Se ora ricavi t dalla prima e lo sostituisci nella seconda trovi y
come funzione di x, cioè l'equazione della traiettoria, y=f(x).
Noterai che ha la forma di una parabola.
Ora, la tua gittata, cioè la lunghezza del tuo salto, è quando y vale
0: risolvi l'equazione f(x) = 0 e troverai i due valori per cui y=0.
Ovviamente una è x=0, l'altro sarà il tuo punto di caduta, cioè il
risultato che cercavi.
Spero di essere stato chiaro.
Ciao

il calcolo si fa con un po' di cinematica.
V è la velocità dell'atleta: fai un disrgno del piano, e hai un vettore
che forma con il piano un angolo A.
Il moto del baricentro dell'atleta è parabolico.
determini l'altezza massima raggiunta, con la coservazione dell'energia
totale (nella direzione y):
(1/2)M Vy^2 = Mgh
h = V^2*sen(A)/2g
sempre analizzando solo la componente lungo y, calcoli il tempo
impiegato per arrivare a tale altezza, usando l'equazione:
h = Vy*t0 - (1/2)g*t0^2
(ottieni un'equazione di secondo grado per la t0, che ha soluzione
positiva:
t0 = Vy/g. (si otteneva piu' facilmente dalla g*t0 = Vy)
contemporaneamente l'atleta si sposta orizzontalmente con velocità
costante (trascurando ogni attrito) Vx, quindi tocca terra dopo un tempo
2t0 nel quale ha percorso uno spazio pari a:
L= 2Vx*t0
sostituiamo il valore di t0:
L= 2 Vx*Vy /g
ora le componenti Vx e Vy sono banalmente:
Vx = V*cos(A)
Vy = V*sen(A)
tenendo conto che 
sen(A)*cos(A)=sen(A)/2
ottieni il risultato del libro.
L'approssiamazione di qui parla il libro, non è un'approssimazione di
calcolo, ma un'approssimazione sul modello, ovvero trascurando attriti
vari (nel vuoto il risultato sarebbe esatto).
E' da notare inoltre che la velocità V non è quella a cui l'atleta si
sposta mente corre, ma è quella che riesce a esprimere nella direzione
del salto.
Andrea, Roma

 wrote:
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E' la gittata di un proiettile.
E' una dimostrazione molto semplice 
(la trovi su un qualunque libro di fisica anche delle superiori).
Se qualcosa non ti torna ricorda che sin 2a = 2 sin a cos a
 
Non mi intendo si salto in lungo, ma credo che descrivere un uomo
che salta come una palla di cannone sparata ad una certa velocità
sia un'approssimazione un po' rozza.
Se così fosse l'angolo da prendere sarebbe 45 gradi 
(come nei vecchi videogiochi delle olimpiadi) mentre
mi sembra che in generali i saltatori stacchino ad angoli
più bassi.
____________________________
Alessandro Antonucci
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