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Titolo: Domanda sull'entanglement.

Salve a tutti, vorrei soddisfare una mia curiosità riguardante
l'entanglement.
Dunque, supponiamo di avere un fotone che, dopo essere passato
attraverso un beam-splitter, viene suddiviso in due fotoni legati tra
loro in, ad es., uno stato di singoletto, e che lo stato sia dunque
psi = (1/sqrt2)(|H>|V> + |V>|H>), con H e V polarizzazione orizzontale
e verticale.
Ora, supponiamo che uno dei due fotoni passi attraverso un altro beam-
splitter, e che venga quindi suddiviso in altri due fotoni entangled.
La mia domanda e': i tre fotoni finali sono tutti legati da
entanglement, oppure il secondo split ha rotto l'entanglement che
esisteva con il fotone che non e' passato attraverso il secondo beam-
splitter?
Grazie delle eventuali risposte.

 Grazie delle eventuali risposte.
Non saprei dire se esistono lavori sperimentali a proposito. Potrebbe anche
darsi ma certamente la cosa non e' semplice in quanto le efficienze sono
spaventosamente basse. Come ordine di grandezza, se ben ricordo, ogni 10^10
fotoni a 351 nm si ottiene una coppia di fotoni a 702 nm (che poi si
sparpagliano sui due coni e quelli interessanti sono solo quelli che passano
nei punti di intersezione). Se poi fai passare uno dei due fotoni entangled
su un nuovo cristallo hai un'altra botta di 10^10 (10^20 se di cristalli ne
metti 2, uno per fotone).
Poi i cristalli non fanno downconversion (cioe' ci spari un fotone e ne
escono due di frequenza meta' della incidente) a tutte le frequenze, ci
sarebbe quindi da trovare una coppia di cristalli che facciano
downconversion sulle frequenza giuste.
Comunque, indipendentemente dall'eventuale verifica sperimentale,
personalmente non vedo perche' dovrebbe rompersi l'entanglement nel caso da
te presentato.
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire) 

 te presentato.
Beh, riprendiamo ad esempio l'equazione di singoletto: |psi> = (1/
sqrt2)(|H>|V> + |V>|H>).
Ora, supponiamo che uno dei due fotoni "splitti" in altri due fotoni
entangled, sempre in stato di singoletto pero' stavolta con
polarizzazione circolare destrorsa R e sinistrorsa L.
Allora, lo stato complessivo dovrebbe risultare ora |psi> = (1/2)(|R>|
L> + |L>|R>)(|H> + |V>), dove l'ultimo termine tra parentesi è lo
stato del fotone non splittato.
In sintesi, cio' che inizialmente era uno stato entangled massimo ora
e' solo uno stato entangled parziale, poiche' il fotone non splittato
risulta "slegato" dagli altri due fotoni entangled. O no?

 risulta "slegato" dagli altri due fotoni entangled. O no?
Nessuno che sappia darmi una risposta?

 risulta "slegato" dagli altri due fotoni entangled. O no?
No.
Hai supposto che il primo fotone se e' |H> si divida in due fotoni
|L>|R>+|R>|L> (tralasciamo i fattori di normalizzazione).
E se e' |V>? Che cosa gli succede?
Confesso che non conosco la teoria dello "splitting", quindi non so
dire che possa restare intero.
Se puo', avrai uno stato finale
(|R>|L>+|L>|R>)|V> + |V>|H>
che pero' e' una notazione difettosa, perche' non indica che le
energie dei fotoni ora sono diverse.
Comunque avrai uno stato finale che non ha un numero definito di
fotoni.
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri


 vietata?
Esatto, non ho assolutamente affermato che il fotone deve essere
necessariamente |H>,
ma semplicemente che i due nuovi fotoni generati dal passaggio del
fotone precedente
attraverso il cristallo nonlineare dovrebbero essere anche loro in
stato entangled, e mi chiedevo
se lo stato complessivo dei tre fotoni finali fosse uno stato
entangled massimo o parziale.
In sintesi:
1) un fotone passa attraverso il cristallo, generando una coppia di
fotoni entangled.
Diciamo quindi che il loro stato e': |psi>=(1/sqrt2)(|H>|V>+|V>|H>);
2)ora, uno dei due fotoni passa attraverso un altro cristallo,
generando anch'esso una
coppia di fotoni entangled, poniamo di stato |fi>=(1/sqrt2)(|R>|L>+|L>|
R>);
3)adesso, il fotone della prima coppia che non e' passato attraverso
il cristallo dovrebbe
trovarsi (correggetemi se sbaglio) in uno stato |x>=(1/sqrt2)(|H>+|
V>);
4)per cui, sempre se non ci siano bischerate, lo stato complessivo
finale dei tre fotoni
dovrebbe essere |psi>=|fi>*|x>=(1/2)(|R>|L>+|L>|R>)(|H>+|V>), e mi
rimane il dubbio se
dunque la nuova coppia di fotoni entangled sia "intrecciata" anche con
l'altro fotone oppure no.

 R>);
e' questo che chiedevo se dal punto di vista teorico era accettabile o no.
Anche senza complicare le cose, rimanendo al caso di un singolo fotone, la
questione e':
sparando un fotone su un certo oggetto (es. un cristallo o altro) si possono
ottenere in uscita due fotoni che abbiano un ben preciso stato di
polarizzazione (ad esempio entangled) indipendentemente dalla polarizzazione
del fotone incidente ?
Ho come l'impressione che una cosa del genere possa essere vietata (da una 
qualche legge di conservazione di qualcosa) o che, qualora fosse permessa, 
andrebbe a tutti gli effetti considerata una misura perche' si avrebbe 
qualcosa tipo una "proiezione" che avrebbe diminuito la dimensionalita' 
dello spazio. Nel secondo caso non ci sarebbe da stupirsi se si rompesse 
l'entanglement nel caso presentato da te.



Grazie mille per il chiarimento!

 stupirsi se si rompesse l'entanglement nel caso presentato da te.
L'hai detto tu sopra che e' vietata...
Io non lo so, ma mi sembra ragionevole.
Ma se fosse permessa non la vedrei come una misura, perche' non
distrugge le relazioni di fase.
Vorrei anche precisare a myrra che lo stato di "singoletto" e' HH+VV
oppure LR+RL (sono la stessa cosa).
Ammesso che questa terminologia sia in uso: io ne so troppo poco, ma
ho ragionato a modo mio...
 
-- 
Elio Fabri

 ho ragionato a modo mio...
Allora dovrei gettare alle ortiche il mio testo di ottica quantistica
(M. Fox, Oxford Press), poiche' dice che HV+VH e' uno stato di
singoletto e HH+VV uno stato di Bell.
Comunque ringrazio ancora entrambi per i preziosi chiarimenti! :-)

 Elio Fabri
Ciao.


 singoletto e HH+VV uno stato di Bell.
Avrai notato che mi ero espresso con una certa cautela, perche' ero
tutt'altro che sicuro...
Ora ho approfondito un po' la questione e ti dico che cosa ho capito.
Intanto la terminologia "singoletto" e "tripletto" e' piuttosto
infelice, e direi che sia mutuata da quella spettroscopica che
riguarda sistemi di due elettroni e spin relativi.
Nel caso degli elettroni, uno stato di singoletto (S=0) e'
*antisimmetrico* negli spin, mentre gli stati di tripletto (S=1) sono
*simmetrici*.
Per analogia, si chiamano singoletti e tripletti gli stati di
polarizzazione di due fotoni, quando hanno quella stessa simmetria.
Quindi il singletto sara' HV-VH (nota il segno) mentre i tre stati di
tirpletto saranno HH, VV, HV+VH.
Mi sembra poi di aver capito che tutti vengano chiamati "stati di
Bell".
Sei sicuro che il tuo libro chiami singoletto HV+VH ?
 
-- 
Elio Fabri

 Sei sicuro che il tuo libro chiami singoletto HV+VH ?
No, in effetti era HV-VH! Vado ad autoflagellarmi!
Beh, almeno il senso della mia domanda non č cambiato! ;-)