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Titolo: Per fisici matematici: forme differenziali, dx,dy etc

Ciao a tutti,
ho un dubbio di analisi su varieta' differenziali. Non ho problemi ha
capire la definizione rigorosa che si da dei vari dx, dy etc. Cioe'
basi (duali) per lo spazio funzionali lineari sullo spazio vettoriale
tangente in un punto di una varieta' differenziale. Non riesco pero' a
recuperare cio' che lega queste definizioni almeno in dimensioni 2 e 3
al significato intutivo o uso informale, non rigoroso dei dx, dy che
si fa in fisica e anche nelle introduzioni di analisi matematica.
Tanto per chiarire ulteriormente i miei dubbi. Quando mi trovavo di
fronte a un Adx of Adxdy li consideravo simboli che riassumenvano un
processo di limite che potevo rendere rigoroso (Rienmann). Li vedevo
come il valore della funzione A moltiplicato per un interevallo o
areola che potevo rendere piccola a piacere. Non riesco a capire come
questo sigificato di dx e dxdy si possa collegare alla definizione
formale di cui sopra...
Grazie e tutti!!!
Scarabeo


wrote:

Ciao, la questione non e' per nulla ovvia ed in realta' si tratta di
piu' questioni. Ti dico il mio punto di vista.
Quando tu consideri cose del tipo
df|_p = somma_i @f/@x^i|_p dx^i
queste le puoi interpretare in entrambi i modi, come "variazioni
infinitiesime" in senso intuitivo, oppure come elementi dello spazio
cotangente in p. Il fatto che l'interpretazione sia duplice risiede
nel fatto che, in entrambe le interpretazioni, quando cambi
coordinate, gli oggetti dx^i
si trasformano con la stessa legge (usando l'interpretazione intuitiva
di dx cone Delta x "piccolo" devi trascurare termini del secondo
ordine).
Questo e' il punto centrale attorno a cui ruota tutto.
Passando ad oggetti piu' complicati come Adxdy in R^2, le cose si
complicano. In quel caso dxdy, rigorosamente, lo devi interpretare
come dx wedge dy dove wedge e' il prodotto esterno di forme. Anche in
questo caso la duplice interpretazione e' possibile a causa della
legge di trasformazione di dxdy da una parte ed dx wedge dy
dall'altra. In entrambi i casi appare un determinante jacobiano, per
motivi diversi.
La radice di tutto e' in realta' basata sul fatto che piccolo viene
operativamente tradotto con "linearizzato" quando si passa dalla
fisica alla matematica, dato che "piccolo" a rigore non vuol dire
niente, se non, in questo caso, "e' possibile trascurare termini non
lineari".
Dal punto di vista intuitivo sarebbe molto meglio introdurre prima lo
spazio cotangente dei dx^k, notando che quello che si usa nel
maneggiare i dx^i e' solo la loro legge di trasformazione lineare che
deriva dal trascurare i termini non lineari. Formalmente, questa legge
di trasformazione, quando si lavora con trasformazioni di coordinate
inveribili e bidifferenziabili, implica che i dx^i si possano pensare
come basi vettoriali di oggetti astratti (basi proprio perche' la
legge lineare di trasformazione ha determinante non nullo!).  Una
volta notato questo si potrebbe introdurre lo spazio tangente, quello
generato dai @/@x^k come il duale dello spazio generato dai dx^i.
Solo a questo punto uno potrebbe notare che i vettori dello spazio
tangente si possono anche interpretare come le componenti di vettori
tangenti a curve. Nella realta' si procede in senso inverso...
Ciao, Valter

Chiaro! L'unico modo per dire "piccolo" e' dire "lineare". Ma esiste
un libro, dispense etc che spieghi queste cose con chiarezza. Non
credo di essere l'unico a essere spiazzato da queste cose...
Grazie.
Scarabeo


wrote:

Ciao. Io non l'ho mai trovato. ma in fondo non mi e' mai servito, una
volta capito quello che ti ho scritto...
Ciao, Valter

 Scarabeo
--
Ciao Neo


wrote:

Ad una p-forma è possibile associare una rappresentazione in termini
di oggetto geometrico, senza la definizione a priori di un sistema di
coordinate. In particolare le 1- forme possono essere viste come una
famiglia di superfici piane equispaziate. Tale descrizione ha il
carattere di approssimazione locale: così come un vettore tangente
approssima la linea di mondo di una generica particella, così una 1-
forma approssima le superfici di fase costante dell'onda di de broglie
associata alla particella. Il prodotto scalare tra la 1-forma e il
vettore tangente dà come risultato il numero di superfici attraversate
dal vettore (e anche il verso per cui sono attraversate), cioè la
differenza di fase tra due punti. Una 2-forma è invece associata ad
una struttura "honeycomb-like", cioè data dall'intersezione di due set
di
superfici (due 1-forme) che formano un reticolo  di "tubi di forza"
per i quali è definito un verso di percorrenza (dx wedge dy da' verso
opposto rispetto dy wedge dx).
Questa trattazione è presentata nei primi capitoli di "Gravitation"

 tangenti a curve. Nella realta' si procede in senso inverso...
Mi interessa questa trovata di definire prima lo spazio cotangente e dopo
lo spazio (coco)tangente. E' un'idea tua? 
Tanto per cominciare, data una varieta' differenziale, come definiresti
_esattamente_ lo spazio cotangente in un punto P?
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

      Valgioie (TO)
C

      Valgioie (TO)
--
Ciao Neo

 struttura di spazio vettoriale...
A me questa tua idea e' sembrata subito l'uovo di Colombo per risolvere
in modo definitivo la dicotomia lamentata da Scarabeo e per definire in
modo meno farraginoso lo spazio cotangente. 
Ci ho ancora pensato su un pochino e funziona benone, perbacco!
Amo la matematica ed esigo il rigore logico, ma anche l'aspetto estetico
e quello intuitivo sono importanti: IMHO alla geometria differenziale un
lieve lifting non farebbe male.


 Ci ho ancora pensato su un pochino e funziona benone, perbacco!
Ciao, a me sembrava un pò troppo pesante. La mia idea è che gli
oggetti matematici sono alla fine definiti solo dalle loro proprietà
"manipolatorie", anche se derivano da idee intuitive, e se necessario
conviene lasciar cadere le prime a livello formale (anche se devono
essere tenute in mente) e tenersi le seconde nelle definizioni. Forse
sono ormai troppo lontano dalle difficoltà iniziali che uno ha a far
coincidere l'intuizione (oggetti "infinitesimi"), con le cose più
operative (trasf lineari, duale ecc...). A mio parere è sufficiente
dire, all'inizio ed in modo del tutto informale, perché le cose
definite come si fa oggi rendono *anche* conto delle idee di
"infinitesimo", (dicendo che infinitiesimo si traduce con lineare e
dicendo qualcosa di più delle idee che ho buttato giù prima), ma non è
bene cercare di inglobare quelle idee intuitive nelle definizioni e
nelle procedure definitorie perché risulta troppo pesante e gli
oggetti sarebbero troppo polarizzati verso certe idee, che alla fine
limitano le stesse possibilità. Recentemente ho anche cominciato a
pensare che definire il prodotto tensoriale usando le applicazioni
multi lineari sia controproducente. Una definizione categoriale basata
solo sulle proprietà manipolatorie è probabilmente meglio...
Ciao, Valter


Grazie a tutti,
ho il Lee sulle smooth manifolds, ma confesso di aver avuto bisogna di
qualcosa di ancora piu' elementare. In un prossimo post vi scrivo una
lista di testi che mi hanno aiutato a superare le mie difficolta' e
vedrete che si tratta proprio di cose elementari. Avevo bisogno di una
visione d'insieme che mi permettesse di abbracciare la materia
intuitivamente. Per quanto riguarda l'idea di Valter, di partire da
duale (se ho capito bene), mi sembra di aver visto da qualche parte
una trattazione delle manifolds per matematici che parte proprio
cosi'. Se la ritrovo, la posto.
Ciao Scarabeo