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Titolo: Principio di Fermat

Ciao,
il principio di Fermat definisce il raggio come la curva che rende
stazionario il termine integrale(nds).
Cosa si intende per stazionario ?
grazie.

 Cosa si intende per stazionario ?
Considera una curva vicina al raggio reale, e calcola lo stesso
integrale (il cammino ottico) su quella curva.
Stazionario vuol dire che la variazione del cammino ottico e' di
secondo ordine (almeno) rispetto allo scostamento delle due curve.
E' una generalizzazione dell'idea di derivata: se hai una funzione di
una variabile e la derivata prima si annulla in un punto, la funzione
attorno a quel punto e' "stazionaria" nello stesso senso.
 
-- 
Elio Fabri

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che è un massimo o un minimo relativo.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

Si, il senso ora mi è chiaro ma sempre in merito al principio di
Fermat il prof. ci ha fatto la seguente considerazione (che spero di
aver capito!)
Premettendo che non ho mai studiato il calcolo delle variazioni la cosa
dovrebbe andare così...
si sa che  df(xo)=f'(xo)dx. Se il punto xo è stazionario per la
funzione, allora f'(xo)=0, quindi il differenziale è nullo per ogni
dx.
Fatta questa premessa considero il cammino ottico, ovvero
l'integrale(nds). Se questo integrale soddisfa il principio di Fermat
allora è stazionario. Quindi, considerando una piccola variazione
dell'integrale delta_integrale(nds) ottenuta perturbando la curva di
partenza con un delta_x, delta_y e delta_z si dovrebbe avere una
situazione analoga a quella che si aveva con il differenziale,
ovvero che delta_integrale(nds) = 0, qualsiasi sia il delta.
Questo dimostra, sostituendo nds ad una particolare funzione L(non
entro nei dettagli) all'interno dell'integrale che la particolare curva
che soddisfa questa condizione è l'equazione dei raggi.
Detto questo, mi è rimasto un dubbio...perché è sbagliato affermare
che l'equazione della curva deve rendere _MINIMO_ l'integrale ?
Cosa c'è di sbagliato nella condizione di minimo ?

 Cosa c'è di sbagliato nella condizione di minimo ?
OK per quanto precede.
E' sbagliato parlare di minimo perche' non e' sempre un minimo.
Puo' essere un massimo, o non essere ne' uno ne' l'altro.
Un esempio che potresti verificare con un po' di pazienza e' questo.
                     |
      A -------------|---------------- B
                     |
A e' la sorgente, B il punto d'arrivo del raggio AB.
In mezzo c'e' una lente convergente, di cui AB e' l'asse ottico.
Prova a calcolare che cosa succede al cammino ottico se consideri un
raggio perturbato che va da A alla lente in un punto fuori asse e poi
arriva in B.
(Nota bene che *non ho detto* che B sia l'immagine di A!)
Dovresti dimostrare che il segmento AB ha il cammino ottico minimo o
massimo a seconda che B si trovi a destra o a sinistra dell'immagine
di A.
 
-- 
Elio Fabri

 Cosa c'è di sbagliato nella condizione di minimo ?
Ti hanno già risposto, ma mi permetto di aggiungere tre esempi 
elementari:
Considera due punti A e B nello stesso mezzo: il percorso più breve è 
quello che li congiunge in linea retta (andrebbe dimostrato anche 
questo ma diamolo per scontato) e in quanto tale soddisfa il pricipio 
di Fermat.
Ora cerca un percorso che vada da A a B ma sia vincolato al passaggio 
per un punto P (da determinarsi) su una superficie S, una superficie 
riflettente (che sarà il caso, per semplificarsi la vita. di 
considerare in due dimensioni).
MINIMO===
Se la superficie riflettente è un piano puoi scrivere l'espressione 
della lunghezza complessiva del percorso ottico, in funzione della 
coordinata del punto P, e poi cercare il valore di tale coordinata per 
cui il percorso ha un punto di stazionarietà. Indicate con a e b le 
distanze dei punti A e B dal piano, e con x  e (d-x) la distanza delle 
loro proiezioni dal punto di intersezione P, la lunghezza del cammino 
ottico è:
    Sqrt[a^2+x^2]+Sqrt[b^2+(d-x)^2]
E questa è una funzione che ha un minimo relativo (facilmente 
calcolabile). Dal punto di vista geometrico vedi subito, creando il 
punto B' simmetrico di B rispetto alla superficie S, che il percorso 
più breve è quello che ha la stessa lunghezze del percorso AB'. Tutti 
gli altri sono più lunghi (perchè si discostano dal percorso in linea 
retta del caso precedente).
MASSIMO===
Prendi ora una superficie riflettente sferica e i punti A e B agli 
estremi di uno stesso diametro. Per un dato punto P sul bordo della 
circonferenza chiamiamo x la distanza x della sua proiezione dal punto 
A, allora abbiamo che la distanza dal punto B vale 2R-x e la sua 
'quota' è h=Sqrt[R^2-(x-R^2)]. La lunghezza del percorso ottico è 
allora
    Sqrt[2R](Sqrt[2R-x]+Sqrt[x])
E questa funzione ha un bel massimo relativo per una x a metà strada. 
Geometricamente, di tutti i percorsi che vanno da A a B passando per S 
(ed escludendo il caso di connessione diretta di A e B), quello che 
corrisponde alla condizione di riflessione è quello più lungo.
STAZIONARIO===
Se la superficie riflettente è un ellisse e prendi i punti A e B nei 
fuochi, tutti i percorsi che congiungono i due punti passando per S 
hanno lo stessa lunghezza. I fuochi si chiamano fuochi mica per niente : 
). Questo è il caso in cui la lunghezza del percorso è stazionaria, 
anzi credo sia il caso per eccellenza.
Il calcolo della distanza in funzione della coordinata 'libera' del 
generico punto P è lasciata come esercizio allo studente.
saluti,
Peltio
-- 
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 ...
Hai ragione, questi sono piu' semplici e convincenti.
Avrei dovuto ricordarmeli...
 
-- 
Elio Fabri

 Ti hanno già risposto, ma mi permetto di aggiungere tre esempi elementari:
Ne aggiungo un altro dall'Halliday-Resnick:
Siano A e B due punti lungo l'asse x. B e' contenuto in uno 
sferocilindro (cilindro sormontato da una semisfera, entrambi di raggio 
R) di materiale trasparente con indice di rifrazione n, coassiale con 
l'asse x, A invece e' nel vuoto.
E' ovvio che il percorso della luce per andare da A a B e' lungo l'asse 
x (attraversando l'apice dello sferocilindro). E' facile calcolare il 
tempo che impiega la luce per andare da A a B lungo traiettorie 
parassiali e trovare che la traiettoria vera puo' essere un minimo, un 
massimo od un flesso a seconda del valore dell'espressione R(n+1)/(n-1).
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 trasparente con indice di rifrazione n,
Un diottro.
O perlomeno, dal punto di vista operativo visto che il percorso è 
contenuto all'interno dello 'sferocilindro' e la superficie laterale 
del corpo cilindrico non viene coinvolta (a giudicare dall'espressione 
che riporta la dipendenza da R), è come se si trattasse di un diottro.
La Sisal, la Sip, l'Inam e ora anche i diottri: tutt'un tratto sento di 
stare invecchiando.
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