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Titolo: Paradosso con il teorema di Gauss

Non sono un fisico, ma ho studiato fisica nel corso di Ingegneria.
C'è un quesito che è nato nella mia testa al tempo in cui facevo
esercizi di elettromagnetismo e non ho mai trovato una risposta
soddisfacente.  Piu' che altro sembra un paradosso.
Brevemente, il teorema di Gauss (o legge di Gauss forse...) afferma
che, data una superfice chiusa nello spazio R^3, l'integrale di volume
della densita' di carica (cioe' la carica totale contenuta nella
superficie) e' pari al flusso del campo elettrico uscente dalla
superficie (a meno di un fattore epsilon).
Una volta date alcune nozioni di matematica, si trova che esso non e'
nient'altro che una diversa formulazione dell'equazione
  div(E) = rho
che suggerisce come la carica rho sia l'origine del campo elettrico.
Prendiamo una distribuzione di carica tale che la densita' di carica
sia positiva e uniforme in tutto lo spazio R^3 (cioe' la carica si
estende uniformemente all'infinito).  Mi rendo conto che tale
distribuzione non e' fisicamente possibile, dato che implicherebbe una
quantita' di carica infinita, ma mi pare che nulla nella teoria
elettrostatica vieti questa ipotesi.
La nostra intuizione ci suggerisce subito che il campo elettrico
risultante e' nullo ovunque, in quanto, preso un punto a piacere, data
la omogeneita' e isotropia della situazione, non vi e' alcun motivo
per giustificare un vettore campo elettrico che punti in una direzione
piuttosto che in un'altra.
Eppure, presa una superfice sferica a piacere, essa contiene una
quantita' di carica maggiore di zero e pertanto Gauss ci dice che il
flusso del campo elettrico uscente dalla sfera e' maggiore di zero; ne
consegue che esiste almeno un punto sulla superfice sferica dove il
vettore campo elettrico e' non nullo e diretto verso l'esterno (in
caso contrario l'integrale superficiale sarebbe minore o uguale a
zero).
Come la mettiamo?
Come e' fatto questo campo elettrico?
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Marco Coletti
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Come la mettiamo?
Presa una superficie sferica a piacere, essa contiene una quantita' di
carica uguale a zero e quindi il paradosso non esiste.
Prendi la tua superficie sferica (o della forma che vuoi), come fai a
dire che contiene una carica maggiore di zero? Se cosi' fosse, questa
carica maggiore di zero dovrebbe essere causa di un campo elettrico.
Ma se metti dove vuoi il corpo di prova, esso non sara' soggetto a
nessuna forza. Quindi non c'e' una carica elettrica maggiore di zero
dentro la superficie chiusa che prendi per fare il teorema di Gauss.
E' lo stesso discorso del "monopolo magnetico".


Non è una funzione trattabile essendo non definito in tutto lo spazio.
Ciao, Raskolnikof

Cerco di contribuire da un altro punto di vista.
Marco dovrebbe sapere che l'infinito va trattato sempre con molta
attenzione: dire che qualcosa ha estensione infinita e' lecito solo se
si dimostra che in pratica trauna cosa "molto grande" e una infinita la
differenza e' piccola; in altre parole, se le grandezze che stiamo
studiando hanno un limite quando la cosa va all'infinito. (Una "cosa"
che va all'infinito non sembra molto matematica, ma la ragione e' che
per definire il limite bisogna prima sapere di che "cosa" si tratta).
Qui la "cosa" e' la tua distr. di carica.
Supponiamo dunque di tenere costante la densita', e di far crescere le
dimensioni occupate dalla carica. Il imite esistera', e percio' il
ragionamento con distr. infinita avra' senso, se il risultato e' lo
stesso quale che sia il modo come vado a infinito.
1) Suppongo che la distr. sia sferica, con centro nel punto dove voglio
calcolare il campo. In questo caso e' ovvio che il campo e' nullo,
qualunque sia il raggio della sfera. OK: il limite in questo caso
particolare esiste.
2) La distr. e' ancora sferica, ma il punto che interessa lo metto a
meta' strada frail centro e il bordo. In questo caso il campo non e'
nullo, e applicando il tuo teorema di Gauss vedi che esso cresce
proporzionalmente al raggio, ed e' diretto radialmente.
Dunque quando r va a infito, il campo va a infinito anche lui; per di
piu' la direzione del campo dipende da dove ho messo il centro della
sfera.
3) Se la distr. di carica ha una forma diversa dalle precedenti, anche
senza fare il conto capisci che il campo puo' venire qualunque cosa.
Dunque il limite del campo per distr. di carica che va a infinito *non
esiste*.
Se ti limit a una distr. di dimensioni finite, anche se grandi,
naturalmente non c'e' nessun problema a calcolare il campo, e nessun
paradosso col teorema di Gauss.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa

dentro la superficie chiusa che prendi per fare il teorema di Gauss.
Mi sembra che ti sei arrotolato tautologicamente :))


non è nullo in tutto lo spazio, bensì non definito in tutto lo spazio. Ed
Questa infatti mi sembra la risposta piu' sensata: il campo elettrico
non e' definito.
Nel senso che le leggi dell'elettrostatica non consentono di desumere
un campo elettrico dalla distribuzione di carica che ho ipotizzato e
quindi tale distribuzione non rientra in quella teoria...
Pero', ripeto, non mi pare che i libri mettano in evidenza le
limitazioni a cui deve sottostare la distribuzione di carica per poter
procedere nello sviluppo della teoria.


non e' definito.
Appunto è non definito, e non "nullo ovunque" come dicevi nel primo post.
E quindi vedi bene che il paradosso non c'è.
Ciao, Raskolnikof

Mi sembra che ti sei arrotolato tautologicamente :))
Era quantomeno inevitabile, proponi una cosa assurda come ipotesi e
non e' molto facile risponderti "ammettendo che sia vera" :-)
Tutte le formule fisiche hanno significato solo in relazione alle
definizioni che fanno da presupposto alle teorie.
Nella teoria elettromagnetica hai un campo elettrico quando hai una
forza che agisce su una carica posta nella zona dello spazio sede del
campo. Se non hai una forza che agisce sul corpo di prova allora non
hai campo. Queste sono definizioni, puoi fare tutti gli integrali che
vuoi ma niente forza = niente campo !
Nella tua distribuzione un corpo di prova ovunque posto non subisce
l'azione di nessuna forza quindi non hai campo.
Avere una carica positiva omegenea ed isotropa in tutto lo spazio e'
come non averne. L'importante non e' "la carica" ma e' il fatto che un
punto dello spazio si possa "differenziare dagli altri" per una
proprieta' particolare.
Ti avevo scritto che era simile al discorso del monopolo magnetico.
Diciamo che "non esistono cariche magnetiche", ma possiamo dire allo
stesso modo e senza che le leggi dell'elettromagnetismo ne abbiano a
soffrire che "tutte le particelle hanno lo stesso rapporto carica
elettrica / carica magnetica".
Ancora una volta, non e' il possedere una carica che fa la differenza
ma e' il possederla "in modo diverso".
Se ci fosse una particella dotata di un diverso rapporto carica e. /
carica m. rispetto a tutte le altre particelle, allora avresti trovato
il monopolo magnetico... e tanto per uscire dalla "metafisica"
aggiungo che Dirac dimostro' che se esistesse anche un solo monopolo
magnetico allora sarebbe spiegato il perche' della quantizzazione
della carica elettrica!
Mi piacciono anche i "discorsi assurdi" come questo, ma non puoi
venirmi ad applicare le formule come se fossi in una situazione
"normale"!!!

farsi.
Ma se i libri di elettrostatica sono pieni di esempi ideali come:
- piani con carica superficiale uniforme (idealizzazione del
condensatore)
- fili di lunghezza infinita con carica lineare uniforme
Entrambi questi esempi considerano quindi una carica totale che e'
infinita (guarda un po' :)
Adesso mi dirai che quelle distribuzioni di carica sono "fisicamente
consistenti" perche' danno luogo a un campo definito...  Ma cosa ne so
io a priori se anche la densita' di carica uniforme e illimitata nello
spazio da' luogo o meno a un campo definito?
Io, confidando nella fomulazione letterale della legge di Gauss
applicata all'elettrostatica, faccio il mio esperimento ideale e mi
stupisco che ne escano fuori delle contraddizioni; se nel corso di
Fisica II mi avessero avvertito che tale legge e' applicabile solo con
opportune ipotesi (che non si riducono semplicemente a "carica totale
finita" o "distribuzione di carica fisicamente sensata", come
dimostrato dai due esempi di cui sopra) allora avrei evitato di
stupirmi e di annoiare i lettori di it.scienza.fisica :))


stupisco che ne escano fuori delle contraddizioni; ....
Beh, se dopo tutta la discussione insisti col dire che ci sono delle
contaddizioni non so proprio cosa dire.
A questo punto io piu' che dire che con la tua distribuzione
di carica  (e ti ho ampiamente spiegato il perché), "IL TEOREMA DI GAUSS
NON E' APPLICABILE PERCHE' NON SONO SODDISFATTE LE CONDIZIONI
PER LA SUA APPLICABILITA'",  non so che fare.
Cedo il testimone a qualcun altro se ha tempo e voglia di spiegarti, magari
meglio
di come ho fatto io, come stanno le cose.
Ciao, Raskolnikof
P.S:
Perché non hai risposto alla domanda del mio post precedente
su teorema di Gauss e carica puntiforme infinita?

su teorema di Gauss e carica puntiforme infinita?
Perche' quella non e' solo una situazione fisicamente impossibile, ma e' anche
difficile da immaginare in via ipotetica: infatti si verificano
contemporaneamente due problemi:
- la carica totale e' infinita (come nel mio esempio)
- la densita' di carica e' infinita in un punto (come nel caso di carica finita
puntiforme)
Posso provare a dare un senso alla situazione, considerando una carica
puntiforme finita (che genera un ben noto campo radiale) e poi facendo tendere
a infinito il valore della carica.
Il "risultato" e' un campo radiale di modulo infinito ovunque, ammesso che
questo concetto abbia un senso (ma se accettiamo una densita' di carica
infinita e una carica infinita, allora possiamo accettare anche questo); la
legge di Gauss ovviamente non mi dice nulla di utile: flusso infinito su
qualunque superficie che racchiuda la carica.

 e' uniforme nei due semispazi esterni al piano.
Mi sembra di aver notato che in tutta questa discussione nessuno ha
fatto riferimento a un mio intervento, dove cercavo di mettere in
termini concreti il significato di "limite infinito".
Comunque, anche i due casi che citi qualche problema lo danno.
Per il filo, e' giusto che il campo va come 1/r, e ne segue che il
potenziale va come ln(r). Il che e' sgradevole, perche' va a infinito
per r --> inf.
Spiegazione: un filo puo' essere considerato infinito solo se si resta
abbastanza vicino al filo. Li' il campo va come dici. Ma prima o poi il
filo finisce, e a grande distanza il campo va comunque come 1/r^2.
Per il piano, c.s.: il campo e' uniforme, il potenziale va a infinito
anche peggio. La spiegazione e' la stessa: nessun conduttore reale e'
infinito, ma se ci stai vicino fa poca differenza. A distanza ricadi
sempre nel campo 1/r^2.


Come la mettiamo?
Mi ero posto lo stesso problema quando stavo preparando l'esame di
fisica nuclere, e come te non ho trovato risposta. però, per quel
pochissimo che so, ti posso dire che dall'equazione di Dirac segue
(non so in che modo) che l'universo è in realtà "pieno" di
antimateria; cerco di spiegarmi meglio: in ogni punto dello spazio
sono presenti infiniti livelli di energia negativa pieni di
antiparticelle: antielettroni, antiprotoni, etc... se io fornisco
energia sufficente, ad esempio con un raggio gamma che abbia energia
superiore a 0,51 Mev io posso "estrarre" un antielettrone da un
livello di energia negative e portarlo ad un livello di energia
positiva, in modo che "compaia" nello spazio e si possa così
osservare. 
Dirac suppose che i livelli di energia di negativa (supponendo il
vuoto con energia 0) fissero pieni proprio perchè se no una particella
con energia positiva avrebbe potuto riempirli.
Il problema che mi sono posto: queste particelle cariche a livelli di
energia negativa non creano una distribuzione di carica in tutto lo
spazio, uniforme? Quindi il problema dell' "universo uniformemente
pieno di carica" non mi sembra così assurdo.
Forse mi sbaglio, qualcuno potrebbe aiutarmi?