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Titolo: Pianetini

Come al solito ricorro alla vostra saggezza per chiedere lumi su questioni
che mi ottenebrano alcuni momenti della giornata.
           Ho scritto un programmino per integrare le equazioni del moto per un sistema
di "pianeti" usando un semplice algoritmo di velocity Verlet che garantisce
che le costanti del moto del problema continuo siano costanti del moto per
l'approssimazione discretizzata. Con costante di gravitazione universale
posta arbitrariamente pari ad 1, considero quattro punti materiali disposti
ai vertici di un quadrato di diagonale lunga duecento unit�. Se i pianeti si
muovono inizialmente in direzione ortogonale alle diagonali, con versi
concordi (orario o antiorario rispetto al centro del quadrato), con uguali
velocit� le orbite descritte sono rigorosamente ellittiche ed ottengo
infatti delle bellissime orbite a forma di quadrifoglio.
        Se per�, ponendo masse unitarie, e velocit� di 0,1 per i pianeti lungo una
diagonale e 0,099 per i pianeti ortogonali all'altra diagonale ottengo una
curiosa danza. In un primo momento due pianeti (quelli lungo uno stesso
lato) si allontanano a coppie orbitando uno intorno all'altro, dopo per�,
poich� il momento angolare totale � conservato le due coppie si
riavvicinano. A questo punto dopo una rapida danza al centro dello schermo
si vedono due pianeti che rimangono in un orbita stretta uno intorno
all'altro, ed altri due pianeti che si allontanano in opposte direzioni.
Noto che per pochissimo che cambi il valore da 0,099 a 0,0991 non mi riesce
di riottenere i due pianetini stretti al centro, per taluni valori si
ottengono due coppie di pianeti che si allontanano orbitando uno intorno
all'altro in modo che il loro centro di massa venga asintoticamente a
descrivere un'iperbole. Per altri valori si vedono pianeti avvicinarsi
talmente da far pensare a collisioni ed in quel caso l'attendibilit� del mio
programma che ha un passo di integrazione fisso e nessuna regolarizzazione �
pressoch� nulla.
Guardano le equazioni quello che si pu� dire � che questo sistema, cos�
congegnato, pu� essere ridotto in prima istanza ad una lagrangiana che
dipende da quattro coordinate generalizzate (basta considerare le coordinate
polari di un solo pianeta per ogni coppia). I momenti coniugati relativi
alle coordinate angolari theta1 e theta2, per�, sono null'altro che i
momenti angolari rispetto al centro, separatamente non sono conservati ma la
loro somma � conservata. A ben vedere in effetti le coordinate generalizzate
che occorrono sono quindi solamente tre: le distanze di due pianeti dal
centro e l'angolo relativo fra i loro vettori. La trasformazione canonica
adatta non dovrebbe essere difficile da trovare.
 Al momento non trovo altri integrali del moto, a parte l'energia, per
ridurre la dimensionalit� del sistema. In questo modo rimangono 5 gradi di
libert�, mi sembra. Che cosa ne pensate? E' possibile che il sistema sia
caotico in questi gradi di libert�? Oppure per quella particolare condizione
iniziale che sto considerando si pu� sperare di separare analiticamente lo
spazio dei parametri secondo l'esito conclusivo del moto. Altra questione:
osservo spesso situazioni che sono molto prossime ad una collisione, ma
anche Arnold sostiene un argomento elementare che ho pensato per scartarle
nella generalit� dei casi. I gradi di libert� in una collisione diminuiscono
di due unit� per il moto piano, quindi la variet� lungo cui si hanno
collisioni � bidimensionale. Rispetto a questo argomento sono un poco
perplesso perch� se il moto � effettivamente caotico questa variet� potrebbe
non essere analitica, ma trattandosi della parola di Arnold sono certo di
essere in errore.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 caotico in questi gradi di libertï¿œ?
Se non ricordo male, ogni sistema gravitazionale con almeno tre corpi e' 
caotico.

Teti_s ha scritto:
� una cosa che scrivi per finalit� commerciali e/o di 
pubblicazione, o per mero piacere personale ?
Nel caso, ammettendo che non ti vada di distribuire n� 
sorgenti n� eseguibili, potresti considerare di magari 
catturare qualche filmato delle animazioni ?
Le traiettorie che descrivi mi incuriosiscono fortemente, 
sembrano molto affascinanti ...
Solo se hai tempo ovviamente
Ciao
Soviet
CUT ALL

 pressoch� nulla.
Prima di trarre qualsiasi conclusione,  sarebe da tener sotto controllo 
quanto bene si conserva l'  energi aocl tuo time step. Le  veriazioni di 
velocita'  in un'  orbita planetaria non quasi circolere sono 
sufficienti a rendere la conservazione dell'  energi abbastanza 
scadente. Comunque,  un semplice modo per migliorare la conservazione 
dell'  energia col velocity Verlet e' di usare un time step variabile 
modificando un valore iniziale (ragionevolmente buono) in modo 
inversamente proporzionale al massimo rapporto tra nuova e vecchia forza 
(massimo rispetto alle diverse componenti per i diversi gradi di liberta').
Sul resto dovrei pensarci (magari dopo aver riottenuto le orbite di cui 
parli).
Giorgio

 Giorgio


 CUT ALL


 pressoch� nulla.
I pianetini della tua simulazione sono puntiformi o hanno un raggio finito?
Le tue considerazioni mi hanno stimolato la seguente domanda.
Esiste per il caso generale di N-corpi (ma cominciare da quattro o anche
da tre corpi andrebbe gi� bene) una trasformazione generale delle masse, e
delle velocit�, ferme restando le altre condizioni iniziali, tali che le
traiettorie percorse dai corpi siano le stresse ma percorse a velocit�
inferiori (masse e velocit� pi� piccole) o superiori (masse e velocit� pi�
grandi) rispetto al caso iniziale?
Penso che questo ti divertir� non poco (puoi variare anche il numero di
corpi N:
http://nblg6.webhop.info/cgi-bin/astro_smalln/nbody/sa_triple2.pl?start_mode=chainplummer.sa4
Saluti,
Aleph
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 integratori simplettici?).
Attualmente il metodo piu'  diffuso per derivare e studiare integratori 
simplettici e'  quello di partire dall'  operatore di evoluzione 
temporale (introducendo il Liouvilliano com generatore) e  procedendo ad 
approssimare questo.
Giorgio

 approssimare questo.
Come ho scritto prima, all'incirca.



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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 mettere un controllo esplicito sull'energia.
...
E'  fondamentale per poter dire qualcosa di sensato numericamente. Di 
fatto i problemi iniziano abbastanza  prima del dt~periodo di 
rivoluzione.  Per esempio ti posso citare a memoria che col 
Velocity-Verlet, per il sistema Terra-Sole, un passo di integrazione di 
un giorno (86400 s) permette di avere risultati  accettabili sulla scala 
di qualche centinaio di orbite ma c'e' spazio per maggior precisione. E 
l'  eccentricita'  dell'  orbita terrestre e'  minore del 2%. Se usi 
periodi sensibilmente  maggiori le orbite cominciano a non essere piu' 
ellittiche (compare una precessione spuria effetto della discretizzazione).
Giorgio


E questo possibilmente anche se la serie di Goldberg � ancora convergente,
pu� dipendere dal fatto che la correzione perturbativa introdotta nel caso
armonico ad esempio contempla termini del tipo dt p q. Comunque sia per
quanto riguarda le simulazioni che ho fatto con t = 0,1 G=1, x1 = 100, vy1 =
0,01 x2=-100, v2 = -0,01 non c'� precessione per almeno un centinaio di
orbite. Precessione che compare immediatamente utilizzando ad esempio t = 1.
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 orbite. Precessione che compare immediatamente utilizzando ad esempio t =
1.
C'era un problema di coerenza con la teoria che mi turbava in questa storia.
Io avevo detto che il teorema KAM, per casi come questo, che sono
completamente integrabili garantisce che orbite periodiche vanno in orbite
periodiche ed orbite quasi periodiche in orbite quasi periodiche in virt�
della simpletticit� dell'integratore. Ma questo esempio sembra dire che non
� vero. A ben riflettere per� quello che succede in questo caso � che la
periodicit� � preservata in un riferimento rotante. In questo riferimento si
ritrovano, fino al secondo ordine incluso l'integrale energia e l'integrale
momento angolare nonch� la periodicit�, per l'appunto. Quello che cambia �
che un variabile d'azione cui era associato nel moto coulombiano una
frequenza angolare degenere (il vettore di Lenz � costante del moto), da ora
luogo ad una frequenza angolare non degenere, quindi le due componenti
periodiche del moto rimangono periodiche come da argomenti generali, ma
cambiano le frequenze. Per inciso questo significa che se utilizzassimo fin
da principio le giuste variabili canoniche potremmo costruire un integratore
simplettico migliore che conserva le quantit� conservate, infatti i prodotti
relativi ad esponenziali di integrali in involuzione, che cio� commutano, si
comportano come se fossero trasparenti (gli esponenziali di grandezze che
commutano commutano a loro volta).
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