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Titolo: Quesito 'particolare'...

Mettiamo il caso di effettuare un foro al polo nord del nostro pianeta 
passante per il centro della Terra e che sbuca al polo sud opposto (un foro 
tale per cui la massa della Terra non venga alterata in maniera 
apprezzabile). Mettiamo poi il caso di lanciare un sasso attraverso il foro 
praticato. Quale sarebbe il comportamento del moto del sasso nell'ipotesi 
che questo sasso possa materialmente attraversare tutto il foro praticato 
senza essere bloccato da nessuna asperit� o altro?
Grazie per quello che potrete dirmi... :-) 

 ha scritto ...

Per il teorema elettrostatico di Gauss, che si applica anche al campo 
gravitazionale (terrestre, nel nostro caso), dentro la terra l'accelerazione 
di gravita' varia linearmente con la distanza dal centro. Conclusione: il 
sasso, se cade da fermo, si muove esattamente come se fosse soggetto ad una 
forza elastica (oscillatore armonico).
Ciao,
Antonio 

Pytheas ha scritto:

Supponendo il pianeta sferico e omogeneo, il sasso lanciato
da fermo si muoverebbe di moto armonico, infatti l'energia
potenziale gravitazionale della particella di massa m a una
distanza r < R dal centro del pianeta di massa M e raggio R e':
U(r) = 1/2 G * M * m * r^2 / R^3,
che e' l'energia potenziale di un oscillatore armonico di
pulsazione omega = sqrt(G * M / R^3).
Il corrispondente periodo T coincide con il periodo
che avrebbe una particella che percorresse un'orbita
circolare radente alla superficie del pianeta, come segue
dalla terza legge di Keplero:
G * M = omega^2 * R^3.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 asperità o altro?
Il sasso accelera fino ad arrivare al centro della Terra, poi inizia a
rallentare; continua la sua corsa fino ad arrivare ad una distanza dal
centro pari a quella da cui tu l'hai lasciato andare e dopo... Cade di
nuovo verso il centro... Un moto alternato che, in assenza di attriti,
sarebbe perpetuo. Caso non ideale ma idealissimo :-D
Ció a causa della simmetria del sistema, senza stare
a tirare in ballo equazioni del moto o altro. Semplicemente c'è una
continuo "trasformarsi" di energia cinetica in potenziale, e viceversa,
con la loro somma che resta costante.
L'unico dubbio che ho è se il moto sarebbe esattamente armonico o meno;
non ho mai fatto i conti (pigrizia) ma così "a pelle", ragionando con
il T. di Gauss, direi di si.
-- 
Cuando era presidente del Banco Central de Cuba firmé los billetes con
la palabra Che, para burlarme, porque el dinero, fetiche de mierda, debe
echo Cuando era presidente del Banco Central de Cuba firmé los billetes
con


Immagino che gli effetti dovuti alla curvatura del campo
gravitazionale non ti interessino (anche perche' non saprei cosa
risponderti :-) ), percio' presumo che ti interessi una risposta
nell'ambito della meccanica newtoniana. Faccio l'ipotesi di forma
perfettamente sferica, densita' di massa omogenea ed assenza di aria
all'interno del foro (spero che queste ipotesi ti vadano bene,
altrimenti devi precisarle tu) percio' la risposta e' che il sasso si
muove di moto oscillatorio perenne da un polo all'altro.
Mi sembra di ricordare che il tipo di moto e' armonico (cioe' come un
oggetto attaccato ad una molla e fatto oscillare liberamente) ma non
sono sicuro, devo fare un po' di conti, poi se non ti hanno gia'
risposto su questo te lo ridico.
Ciao.

 il T. di Gauss, direi di si.
ti ringrazio molto per la risposta. E se avessi dell'aria nel foro? :-) 

 ha scritto nel messaggio 
news:4b869266$0$827$4faf...@reader5.news.tin.it...

per quello che so i pianeti nella fisica newtoniana vengono rappresentati 
come oggetti puntiformi sui quali � concetrata tutta la massa. Mi domandavo 
se fosse corretto pensare che comunque la sorgente gravitazionale sia tutta 
concentrata nel centro della terra anche se poi il mio sasso di fatto ad un 
certo punto trover� gran parte della massa della terra sopra di esso. 

"Giorgio Bibbiani" <giorgio_bi...@virgilio.it.invalid> ha scritto 
nel messaggio news:4b8690cc$0$1101$4faf...@reader4.news.tin.it...

ma se avessi aria nel foro il mio sasso come si comporterebbe? 

 T. di Gauss, direi di si.
Lo sarebbe se il pianeta fosse omogeneo, ma la Terra è moooolto più densa 
in profondità che in superficie.

 wrote in message 
news:4b868599$0$827$4faf...@reader5.news.tin.it...

Penso che Pytheas voglia sapere, come del resto anch'io, qual'e' il punto in 
cui l'energia potenziale gravitazionale e' zero, considerando come "datum" 
il centro della sfera.
Supponiamo invece che il pianeta Terra sia cavo, cioe' al centro ci sia uno 
spazio sferico di un certo diametro ( 1000 Km., diciamo ...). Un oggetto 
collocato in un qualsiasi punto di quello spazio interno, dove viene 
attratto ? Cioe', quale sarebbe il punto, o l'insieme di punti, con energia 
potenziale zero ?
Grazie.
Salva 

 punti, con energia potenziale zero ?
Sempre per il pianeta ideale a simmetria sferica e omogeneo, per
la legge di Gauss la forza gravitazionale sarebbe nulla ovunque nel
volume sferico cavo interno e concentrico al pianeta, e il potenziale
gravitazionale sarebbe ivi costante e pure l'energia potenziale (il
valore dipende dalla scelta della costante arbitraria nel potenziale).
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 ma se avessi aria nel foro il mio sasso come si comporterebbe?
Probabilmente andrebbe a sbattere contro le pareti, a
causa della forza esercitata dall'aria in moto turbolento,
idealmente modellizzando la presenza dell'aria con
l'introduzione di una forza di attrito viscoso, il sasso
compirebbe delle oscillazioni armoniche smorzate
di ampiezza via via decrescente intorno al centro
del pianeta.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 ma se avessi aria nel foro il mio sasso come si comporterebbe?
Correggo quanto ho scritto in precedenza, se l'aria avesse
sulla superficie del pianeta di massa e raggio terrestri una
pressione normale allora il moto del sasso, considerando
il contributo dell'aria al moto come un attrito viscoso (e
anche questa e' una approssimazione non lecita, ma
prendiamola per buona ;-), sarebbe chiaramente sovrasmorzato,
e il sasso non riuscirebbe neanche a completare
una oscillazione prima di fermarsi, quindi partendo da
fermo il sasso avrebbe una fase iniziale di accelerazione,
poi raggiungerebbe rapidamente la velocita' massima, e la
velocita' diminuirebbe in modo monotono, finche' il sasso
si fermerebbe nel centro del pianeta.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 parte della massa della terra sopra di esso. 
È corretto, in quanto l'interazione coulombiana e quella gravitazionale
newtoniana hanno la stessa dipendenza da r^-2, che è (se non ricordo
male) la condizione da cui dipende la validità del TY. di Gauss.
Matematicamente non c'è differenza tra i due tipi di interazione
(tralasciando il segno delle cariche, che solo fa variare
la direzione della forza, ma non la sua intensità).
Se sei una carica q in una sfera conduttrice carica cava, non "senti"
nessuna forza che agisce su di te.
Analogamente, se scavi una caverna nel centro della Terra, lì dentro
non "senti" nessuna forza: fluttui in assenza di gravità.


 foro? :-) 
Ecco, questa è una domanda interessante. Innanzitutto il sasso
raggiungerebbe presto un regime di accelerazione nulla (velocità
costante) fino a passare per il centro, punto a partire dal quale
inizia a rallentare fino a fermarsi (ad una distanza dal centro,
stavolta, minore di quella da cui è stato lanciato). Poi la situazione
si inverte, analogamente a prima, con la differenza che stavolta le
oscillazioni avrebbero ampiezza ogni volta minore. Fino ad annularsi,
con il sasso "sospeso" (fermo) nel centro.
Energeticamente, stavolta l'energia potenziale continua a trasformarsi
in energia cinetica (e viceversa) ma stavolta, per il sasso, la somma
non si mantiene costante, dato che parte di essa viene dissipata,
appunto, nell'interazione con l'aria.
Il problema qui è che l'attrito è un fenomeno complesso e dipende dalla
velocità in forma non banale: se non ricordo male a basse velocità
dipende direttamente dalla velocità, mentre ad alte velocità la
dipendenza si fa quadratica (però controlla, che è da tempo che non ci
guardo). Ergo, la soluzione esatta del problema, ossia  forse non è
semplicissima (almeno per me).
Saluti!


 densa in profondità che in superficie.
Mi sembrava sottinteso che si fosse in regime di "schematizzazione
assoluta": Terra permettamente sferica, omogenea, assenza di attriti.
Se la Terra non fosse omogenea, allora c'è da tener conto,
nell'equazione del moto, della variazione di densità. Se tale
variazione solo è a simmetria sferica, ciò si fa facilmente con il
(sempre sia lodato) T. di Gauss.


 Giorgio Bibbiani
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire) 

 ha scritto nel messaggio 
news:4b868599$0$827$4faf...@reader5.news.tin.it...

ringrazio in maniera cumulativa tutti coloro che mi hanno risposto!  :-) 

 non "senti" nessuna forza: fluttui in assenza di gravità.
in questo senso allora perchè comunque il sasso lanciato in un foro con aria 
tende a fermarsi nel centro se di fatto in quella posizione non c'è più 
gravità? 

 inizia a rallentare fino a fermarsi
Pensandoci bene, il punto da cui inizia a rallentare ï¿œ prima del centro:
la forza decresce via via che si avvicina, mentre la viscositï¿œ no! Se al
posto dell'aria avessimo un fluido molto viscoso, il grave rallenterebbe
talmente tanto da non raggiungere mai il centro. ï¿œ in tutto e per tutto
un oscillatore armonico.
-- 
Giacomo "Gwilbor" Boschi
http://gwilbor.wordpress.com/



Perchè in quel caso non sono è solo la forza peso quella che agisce, ma
vi è anche una forza opposta, che è appunto la resistenza dell'aria. Ma
questa, ovviamente, non entra nel T. di Gauss e va considerata
separatamente.
In assenza di aria, il
sasso, al passare dal centro non tende a fermarsi, bensì si trova
in un regime di accelerazione nulla (e quindi velocità costante) visto
che nel centro non vi sono che su di esso agiscono. In assenza di forze
non si ha staticità, quanto conservazione dello stato di moto.


 centro. È in tutto e per tutto un oscillatore armonico.
Potresti aver ragione, in effetti. Dipende dal fluido, ovviamente.
Grazie per la precisazione.


 Giacomo "Gwilbor" Boschi


 piï¿œ gravitï¿œ?
Perche' e' l'*unica* posizione in cui non c'e' piu' gravita'.
-- 
TRu-TS
Conoscenza non e' ricordare le cose,
ma ricordare in che libro cercarle.
Beniamino Placido

 non possono esistere punti di equilibrio stabile.
Perche' il centro della terra non e' un punto di equilibrio stabile? Un 
massa al centro della terra e' come se fosse soggetta ad una molla in 
condizioni di riposo.
Tutto cio', ovviamente, (ma l'avevo dato per scontato) supponendo la terra 
una sfera omogenea non rotante, e trascurando la presenza del foro. 
Naturalmente senza prendere in considerazione il problema dal punto di vista 
relativistico.
Ciao
Antonio

> talmente tanto da non raggiungere mai il centro.
ï¿œ da intendersi nel senso che si avvicina asintoticamente al centro. In
breve stavo descrivendo il caso sovrasmorzato di un oscillatore


 un oscillatore armonico.
Come puoi dire quale sarebbe il moto? Dipende dallo smorzamento. Anche
assumendo una forza resistiva proporzionale alla velocita' (oscillatore
armonico smorzato) puoi avere vari tipi di moto proprio a seconda
dell'entita' dello smorzamento (forte, critico, debole).
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 dell'entita' dello smorzamento (forte, critico, debole).
Che ï¿œ quello che ho detto:
1. In presenza di attrito, velocitï¿œ e posizione non sono in quadratura
di fase (cioï¿œ il punto di velocitï¿œ masssima non sta nel centro)
2. Aumentando l'attrito, si cade nel caso sovrasmorzato.


popinga ha scritto:



Concordo.
Oltretutto, anche tralasciando (trattandosi di un non realistico ma
ultraidealizzato) complicazioni varie (piccole: tipo la rotazione della
Terra; o grosse come una casa: tipo il gradiente di temperatura interno
alla Terra) permangono altri problemi.
Ad esempio, l'andamento della densit� al diminuire della distanza dal
centro della Terra, fa s� che il massimo della gravit� lungo l'asse si
raggiunga nel mantello, a circa un migliaio di chilometri (qualcosa in pi�
mi pare di ricordare) al di sotto della crosta e questo dovrebbe creare un
addensamento dell'aria in quella zona.
Saluti,
Aleph
 
 
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 Antonio


 dovrebbe essere cos� ?
In effetti hai ragione, non � cos�: il massimo addensameno si dovrebbe
avere (escludendo l'effetto dei gradienti di temperatura) proprio nel
centro.


 All'interno del foro non puo' esistere alcun punto di equilibrio stabile
Traducendo per i non addetti ai lavori, significa che se il centro della 
terra fosse cavo un qualcosa tipo una pallina da tennis *non* rimarrebbe 
comunque fermo in aria ma "andrebbe deriva"?

 rimarrebbe comunque fermo in aria ma "andrebbe deriva"?
Significa che se fornisci un impulso ad un pallina inizialmente in
quiete rispetto alla parete del "foro", la pallina acquisterà un moto
che rettilineo ed uniforme. Esattamente come succederebbe se invece di
stare "nel" centro della Terra fossimo su un astronave sufficientemente
lontana da qualunque massa.
Detto in soldoni, una posizione per un corpo è di equilibrio stabile
quando, per piccoli spostamenti, il corpo tende a tornare in quella
posizione (il termine "piccoli" si può formalizzare).
In tal senso, allora, non esistono  posizioni di equilibrio stabile
all'interno del foro.
-- 
"Cuando era presidente del Banco Central de Cuba firmé los billetes con
la palabra Che, para burlarme, porque el dinero, fetiche de mierda, debe
ser feo"

 ha scritto nel messaggio 
news:4bde896d$0$1123$4faf...@reader3.news.tin.it...

Caspita ma come mai un  nuovo intervento dopo tutto questo tempo?
Ad ogni modo, non si stava parlando della Terra cava tipo "palla da tennis", 
ma della Terra con una galleria cilindrica che la attraversa dal polo Nord 
al polo Sud. Le due situazioni sono diverse in quanto in un caso c'e' 
simmetria sferica, nell'altro no. I punti all'interno della sfera cava tipo 
palla da tennis sono di equilibrio indifferente, cioe', come detto da El 
Che, un corpo lasciato in un punto qualsiasi interno al buco si muoverebbe 
di moto rettilineo uniforme.
Nel caso di Terra attraversata dalla galleria polo Nord-polo Sud, ci sarebbe 
un solo punto di equilibrio all'interno del buco: il centro della Terra. 
Pero' sarebbe un punto di equilibrio instabile: un corpo lasciato fermo al 
centro della Terra, a seguito di una piccola fluttuazione che lo spostasse 
infinitesimamente dal centro, non tornerebbe nella posizione iniziale ma se 
ne allontanerebbe sempre piu' fino a battere sul bordo del buco.
