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Titolo: Osservabili compatibili X e Y

 
 
Due osservabili A e B sono compatibili se e soltanto se sono funzioni di una terza osservabile T, ossia è possibile avere A=f(T) e B=g(T) [(riferimento "I FONDAMENTI DELLA TEORIA QUANTISTICA SECONDO VON NEUMANN" di Nisticò Giuseppe, 
https://www.mat.unical.it/~nistico/dispense/VonNeumann.pdf
, cap.3)].
Prendiamo il caso di funzione d'onda bidimensionale \psi(x,y) e le osservabili X e Y che commutano. 
Quale può essere una terza osservabile T per cui si X=f(T) e Y=g(T)?

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Si dimostra in matematica che gli insiemi R e R^2
sono equipotenti, cioè esiste h:R^2->R bigettiva,
allora definendo l'osservabile T = h(X, Y)
nell'ipotesi che X e Y siano misurabili
contemporaneamente e definendo f(T) come il 1°
termine e g(T) come il 2° termine della coppia
ordinata h^-1(T) = (X, Y), si ottiene quanto richiesto.
Dunque in base al formalismo della MQ esisterà un
operatore autoaggiunto che rappresenterà la stessa
osservabile T ad es. nello schema di Schroedinger
(non saprei dire quale fosse), mentre ovviamente
per misurare T nella realtà mi sembra che la cosa
più semplice sarebbe misurare contemporaneamente
X e Y e calcolare poi h(X, Y)...
Vorrei sottolineare che il fatto che 2 osservabili
siano compatibili o meno è un fatto stabilito dalla
realtà fisica, la commutazione dei corrispondenti
operatori nel formalismo della MQ è solo una
conseguenza di quanto sopra.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

 realtà fisica, ...
A parte il caso banale di X funzione di Y. Nel qual caso è un teorema.

Grazie!
Maurizio

 conseguenza di quanto sopra.
ha strettamente a che vedere, ma confesso di non veder chiaro se
condividerla o no.
 
Qui mi fermo, spernado di aver detto quacosa di utile :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 Qui mi fermo, spernado di aver detto quacosa di utile :-)
 
Come sempre hai dato motivo, a me e ad altri, di meditare
sui concetti e approfondirli, grazie mille :-).
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Grazie al suggerimento di Giorgio Bibbiani ho pensato così.
Supponiamo di avere una serie di rivelatori. 
 
 
Definisco l'osservabile T in questo modo: se scatta il rivelatore i-esimo assegno all'osservabile T il valore i. Poi ho una funzione che che associa a ciascun rivelatore, a ciascun valore i, una coppia di valori x_i, y_i: questa funzione è biunivoca poiché ad ogni i si ha una e una sola coppia x_i, y_i e viceversa.
Per cui ho la funzione che mi permette di avere i valori delle osservabili X e Y come funzione dell’osservabile T.
Questo non so se regge tutti i teoremi necessari, ma mi sembra una procedura sensata.
 
 
 
 
Il  ‘vedere’ una coppia di osservabili che commutano come osservabili che dipendono da una terza osservabili mi ha permesso di ‘capire’ la frase che si legge spesso a proposito di queste: ‘devono essere simultaneamente misurabili’. Il ‘simultaneamente’ mi ha sempre messo in crisi, in quanto l’ho letto sempre riferito al tempo e faccio fatica a pensare di avere due procedure di misura che possono essere eseguite contemporaneamente. Invece come le spiega Nisticò il simultaneamente viene riferito al fatto che possono essere misurate assieme, tramite una unica procedura di misura.
 
Maurizio

 eseguite contemporaneamente.
 
Mah, io ho sempre inteso che 2 osservabili A e B
si dicano compatibili (e gli operatori associati
commuteranno) se, quando la misura di A che fa
collassare il sistema in un autostato di A viene
_seguita_ (quindi non è indispensabile la
contemporaneità) da una misura di B, allora il
sistema collassa in uno stato che rimane
autostato di A corrispondente allo stesso
autovalore che in precedenza.
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 (mail non letta)
 
 
Quello che dici è indubbiamente vero, ma non ho ancora trovato un esempio che illustri ciò, un esempio in cui vi siano delle misure 'vere', ossia dove vi sia un ente fisico, uno strumento, che cambia di stato e dal cambiamento di questo stato si deduce un numero ed un riferimento.
La domanda è: un misura in MQ è ripetibile?
La risposta è sempre si, ma mi piacerebbe vedere un esempio che lo illustra.
Ma di questo, se non ricordo male, ne abbiamo già parlato.
Ciao
Maurizio