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Titolo: E^2 è isomorfo a SO(2)?

Salve a tutti!
C'è qualcuno che conosce il motivo per cui il gruppo euclideo E^2 nel piano
è isomorfo al gruppo SO(2)?
Io la risposta non la so ma sono sicuro che Elio e gli altri mi sapranno
illuminare.
Cordiali saluti,
Filiberto
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 č isomorfo al gruppo SO(2)?
Ciao, non č vero quello che sostieni.
E^2 (considerando solo le isometrie che non cambiano l'orientamento) č
il prodotto semidiretto di SO(2) e del gruppo abeliano delle
traslazioni del piano. Pertanto č piů grande di O(2): ha due
generatori in piů.
Ciao, Valter

 illuminare.
Il piccolo gruppo euclideo ovvero il sottogruppo di isotropia
di un punto dato, ovvero gli elementi di E^2 che conservano
un punto dato è isomorfo ad O(2).
Ogni elemento di SE^2 può essere pensato indifferentemente
come il prodotto di una traslazione e di una rotazione o
come una rotazione intorno ad un asse che non è necessariamente
l'origine. Ogni isometria del piano ha un punto fisso.
Anche qui però abbiamo due copie di SE^2 per ottenere E^2
come due copie di SO(2) per ottenere O(2).


 Ciao, Valter
Nella definizione di prodotto semidiretto č implicito un omomorfismo. In
questo caso dovrebbe essere un omomorfismo di SO(2) nel semigruppo degli
endomorfismi del gruppo abeliano delle traslazioni??
E' la prima volta che sento il termine prodotto semidiretto. Mi scuserai...
Comunque si hai ragione. La domanda che volevo fare č dimostratemi che che
questi due gruppi sono omomorfi (ho scritto isomorfi per errore, scusa).
Perchč sono omomorfi, vero?? In generale come si fa a dimostrare se due
gruppi sono o meno omomorfi?? Come si fa a capire se la struttura del gruppo
č conservata?
Cordiali saluti.
Grazie


 Grazie
Prego. Ciao, Valter
PS. Mi spiace non dire di più e non poter intervenire nella
discussione che ormai ha preso la tangente, ma sono troppo occupato.

 del gruppo è conservata?
Che ci sia l'omomorfismo, l'ho asserito sopra.
Un criterio generale molto utile e' proprio il _toerema
dell'omomorfismo_, che dice:
"Se esiste un imomorfismo da G _su_ G', allora il nucleo e' un s.g.
invariante H di G, e il quoziente G/H e' isomorfo a G'.
E' anche vero il viceversa."
Percio' un buon cirterio per verificare l'esistenza dell'omomorfismo
sta nell'identificare il nucleo, che deve essere s.g. invariante di G.
Nel nostro caso, se t e' una traslazione, e g un qualsiasi elemento di
E^2, e' sempre vero che gtg^(-1) e' ancora una traslazione (in genere
in direzione diversa).
Quindi T e' s.g. invariante di E^2.
Poi ricorda che un omomorfismo definisce una relazione di equivalenza:
soo equivalenti gli elementi di G che hanno la stessa immagine.
Dire che H e' s.g. invariante significa che l'equivalenza e' fatta "a
meno di elementi di H", ossia che sono equivalenti elementi che si
ottengono l'uno dall'altro moltiplcando a destra o a sinistra per un
elemento di H.
Nel nostro caso, sono equivalenti elementi di E^2 che differiscono uno
dall'altro per una traslazione.
Ne segue che in ogni classe di equivalenza c'e' un elemento che tiene
fissa l'origine, e che quindi appartiene a SO(2).
 
-- 
Elio Fabri

 3) per ogni g in G esiste un solo n in N e un solo c in C tali che g=nc.
Volevo solo precisare che la definizione che ho dato io e questa data
da Elio sono in realtà equivalenti.
Quella che ho dato io è detta più propriamente prodotto semidiretto
esterno, quella che ha dato Elio è anche chiamata prodotto semidiretto
esterno...
Ciao, Valter

 discussione che ormai ha preso la tangente, ma sono troppo occupato.
Ti ringrazio tantissimo per questa risposta. Sai che Ryders non sapeva
nemmeno perchè ci fosse questo omomorfismo? Ed è uno che si occupa degli
aspetti geometrici della fisica delle particelle nonchè collaboratore di
Peter Higgs. Ha fatto la tesi di dottorato con Higgs. Ora posso dire che ne
sai più di lui!!! Sei veramente un grande!! Ma perchè non scrivi un libro su
questi argomenti applicati alla fisica?? O ce ne sono già in letteratura? Io
ho fotocopiato lo sternberg, pensi che ci siano queste cose??
Tantissime grazie per questi tuoi preziosi interventi!!
Filiberto


 Tantissime grazie per questi tuoi preziosi interventi!!
Prego ma ci sono anche tante altre persone che sanno bene queste cose
qui sul NG.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html