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Titolo: Congettura su schermi magnetici

Congettura: Inesistenza dello schermo magnetico perfetto.
In una regione di spazio vuoto sia presente un campo magnetico uniforme
stazionario B_o di origine esterna.
E' impossibile trovare una distribuzione di materiali ferromagnetici 
(non pre-magnetizzati) che annulli totalmente il campo magnetico almeno
in un punto P della regione.
NB: Ovviamente si intende escluso il ricorso a materiali pre-magnetizzati,
cioe' dotati di magnetismo residuo (ciclo di isteresi): la relazione B,H 
sia data dalla curva di prima magnetizzazione (saturazione inclusa).
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

      Elio Proietti
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 [cut] materiali ferromagnetici  (non pre-magnetizzati)
Quindi paramagnetici...
Se un materiale magnetico non ha magnetizzazione residua in assenza di
campo, non e' ferromagnetico. O e' paramagnetico, o super-paramagnetico. O
no?
Bye
Hyper

 del materiale. I campi B,M,H interni al corpo sono a priori incogniti.
Certamente.
Io non sono del campo pero' immagino che l'interesse verso problemi nei
quali viene assunta per ipotesi una M uniforme sia dovuto a quanto segue:
il campo esterno B_o e' molto intenso (altrimenti il materiale non
raggiungerebbe la saturazione) e si immagina che, all'interno del materiale,
sia ovunque B_o>>B_m dove B_m e' il campo generato dal materiale
magnetizzato, cosi' che il campo totale Btot sara' ovunque dato dalla somma
B_o+B_m ~ B_o.
A questo punto ipotizziamo che B_o sia anche uniforme e che M abbia ovunque
la direzione di Btot ~ B_o, ne segue che anche M sara' uniforme.
Io l'ho pensata cosi'. Certo che, senza ipotesi del genere che ci permettano
di assumere una qualche M "semplice", la soluzione generale (con B_o e B_m
confrontabili) mi pare che diventi molto piu' complicata.


Allora, dopo aver risposto (in maniera un po' scocciata, e chiedo scusa, ma
non era nulla di personale o di riferito al thread), ho pensato a un
modellino semplice per provare a mostrare la differenza tra effetto di un
campo esterno in un materiale para- o ferro-magnetico. Vediamo se riesco a
convincerti del fatto che la tua congettura e' probabilmente valida solo con
materiali paramagnetici, e non con ferromagneti, seppur dolci.
A livello fondamentale, la differenza tra para- e ferro-magnetismo e'
nell'interazione di scambio. Nel materiale paramagnetico la magnetizzazione
avviene come conseguenza dell'applicazione di un campo esterno. Nel momento
in cui questo viene rimosso, la magnetizzazione sparisce. Quel che succede
e' che ogni momento magnetico elementare del materiale e' accoppiato a tutti
gli altri in maniera esclusivamente (o quasi) dipolare. L'interazione
dipolare e' intrinsecamente antiferromagnetica, nel senso che se non c'e'
nulla a tenere allineati gli spin (l'interazione di scambio appunto), questi
si orientano in modo tale da minimizzare il campo magnetico totale, con la
sua energia annessa. Quindi, si formano vortici, e altre strutture che
mantengono la magnetizzazione complessiva a zero. Ad es:
->->->->->
<-<-<-<-<-
->->->->->
<-<-<-<-<-
eccetera. Vediamo di semplificare all'osso un sistema paramagnetico.
Prendiamo due spin, uno su e uno giu'. L'energia del sistema e', in assenza
di campo:
Ed = -mu0 mu^2/(4 pi r^3)
ovvero l'interazione dipolare e nient'altro. Ora accendiamo un campo
applicato che porta l'energia
Eh = -mu0 H (mu1+mu2)
dove mu1+mu2 e' una somma vettoriale. Risulta, fino a che gli spin sono uno
su e uno giu', Eh = 0.
Come fa il campo a produrre una "magnetizzazione", ovvero una somma
vettoriale di mu1+mu2 diversa da zero? Vediamo di valutare l'energia del
sistema quando, in presenza di campo, gli spin sono allineati (tutti e due
su).
Ed = mu0 mu^2/(4 pi r^3)
Eh = -2 mu0 H mu
Esiste quindi un campo critico che porta in saturazione il sistema?
certamente, quando avviene che
E[su,su] < E[su,giu']
Ovvero
mu0 mu^2/(4 pi r^3) - 2 mu0 H mu < -mu0 mu^2/(4 pi r^3)
che porta a
H > mu/(4 pi r^3)
Se il nostro sistema rappresenta, in maniera ridotta all'estremo essenziale,
una sferetta di materiale paramagnetico, possiamo porre r=R, ovvero
distribuiamo i due spin grossolanamente dentro la sferetta.
Considerando che mu = M V per definizione, abbiamo
H > M (4/3 pi R^3)/(4 pi R^3) = M/3
Cio' mostra semplicemente come per un sistema dipolare/paramagnetico, il
campo necessario per saturare e' necessariamente maggiore di M/3. Che e'
esattamente il risultato del Jackson a cui facevi riferimento. Per valori
intermedi di campo, la somma vettoriale di mu1+mu2 dara' valori intermedi,
portando a una definizione di "permeabilita'" del sistema intesa come
rapporto tra campo applicato e magnetizzazione indotta.
Cambia qualcosa se il sistema e' ferromagnetico? assolutamente si!
l'interazione di scambio modifica drasticamente il bilancio energetico,
rendendo molto piu' favorevole l'allineamento degli spin, riducendo (o
annullando!) il campo necessario a saturare (magnetizzare) il sistema.
Vediamo
Ex = -J cos(x)
x e' l'angolo che i due spin formano. Se x=pi (su, giu'), Ex=J
[sfavorevole]. Se x=0 (su, su), Ex=-J [favorevole].
Non appena il J supera la differenza energetica dipolare tra i due stati del
sistema, ecco che ottieni immediatamente la magnetizzazione in assenza di
campo (una sorta di permeabilita' infinita). Nei casi intermedi, hai il
bilancio tra i tre termini energetici, che puo' tranquillamente portare a
magnetizzare per bene un materiale con molto ma molto meno che 1/3 del campo
applicato.
Ti torna? il modellino e' molto semplificato, ma secondo me descrive
abbastanza bene la differenza para- ferro-, e indirettamente mostra come sia
in effetti possibile ottenere con materiali ferromagnetici dolci dei punti
dello spazio dove il campo applicato sia nullo, in contraddizione con la tua
congettura.
Bye
Hyper

 puo' mai avere direzione opposta a quella di B_o.
I calcoli svolti nel tuo pdf sono interessanti, raffinati e (mi pare)
ineccepibili. Fra l'altro il tuo risultato per il cilindro cavo collima 
esattamente con quello che tempo fa avevo gia' ottenuto per conto mio 
(con metodo diverso). Non condivido pero' (o forse non capisco) i tuoi
commenti finali relativi al trapezioide di rotazione.
Prima di discutere eventuali dettagli si impone una riflessione globale.
I calcoli tuoi (e presumo quelli di Hypermars) prendono in considerazione
corpi ferromagnetici aventi magnetizzazione M uniforme _per_ipotesi_.
Gli esempi trattati presentano simmetria cilindrica e sono internamente 
cavi, ossia il centro di simmetria O (unico punto nel quale calcoli B) e'
esterno al corpo. I campi B ed H all'interno del materiale ferromagnetico 
non vengono analizzati.
Il problema in discussione e' pero' ben piu' complesso.
Il corpo considerato (inizialmente smagnetizzato) viene sottoposto ad 
un campo esterno B_o parallelo al suo asse (prodotto da un solenoide).
Il campo in O (ed altrove) va calcolato in funzione di B_o, conoscendo 
esclusivamente la geometria del corpo e le proprieta' ferromagnetiche 
del materiale. I campi B,M,H interni al corpo sono a priori incogniti.
Per una sfera piena si dimostra che i campi interni B,M,H indotti da B_o
sono uniformi; questo permette di risolvere il complicato problema 
induttivo usando i risultati ottenuti per il magnete sferico dotato di 
magnetizzazione M uniforme (Jackson 5.10-5.11). La questione e' delicata 
e porta a risultati tutt'altro che ovvi, che qui riassumo affermando 
che sulla curva di prima magnetizzazione (saturazione inclusa) risulta:
M < 3 B_o/mu_o   (SI)         alias   M < 3/4pi B_o  (Gauss)
Per corpi non sferici i campi interni B,M,H non sono uniformi ed il 
collegamento tra il problema induttivo ed i calcoli svolti per i corpi 
uniformemente magnetizzati viene meno (cfr. anche Berkeley II 9.11).
I risultati rigorosi del caso sferico mostrano comunque che per un 
corpo di forma assegnata esistono forti limitazioni (indipendenti dalla 
permeabilita' del mezzo!) al valore della magnetizzazione M indotta
da un campo esterno B_o prefissato.
Non posso ovviamente escludere che la mia congettura sia falsa, ma 
discutere in modo inoppugnabile un eventuale controesempio (magari il 
tuo trapezioide) non mi sembra un compito facile... 


 tuo trapezioide) non mi sembra un compito facile...
Se prendi un pezzetto di permalloy, e gli applichi un campo di qualche
gauss, questo va praticamente in saturazione. Che e' il motivo per cui si
mette un nucleo di ferro dentro a un solenoide (aumentare il campo prodotto
dalla sua corrente). Questo e' un fatto sperimentale su cui mi pare ci sia
poco da discutere. La magnetizzazione del permalloy e' di circa 1 T, e per
arrivarci basta qualche gauss (puoi verificare in qualsiasi curva di
isteresi, anche esaminando solo la curva di prima magnetizzazione). Vedi un
po' tu come metter d'accordo questo fatto con la trattazione *paramagnetica*
(se leggi il jackson vedrai che dice esplicitamente che il fatto del M < 4/3
B_o perde di validita' per materiali ferromagnetici) su cui basi la tua
congettura. Io non ci riesco.
Bye
Hyper

 Hyper


 congettura. Io non ci riesco.
Con riferimento al Jackson 5.11 (Sfera magnetizzata in un campo esterno)
ho parlato testualmente di "risultati tutt'altro che ovvi, che riassumo 
affermando che sulla curva di prima magnetizzazione (saturazione inclusa)
risulta M < 3 B_o/mu_o  (SI)".
Tale affermazione e' mia, ma poggia sui risultati del Jackson.
Per sfere di materiale paramagnetico (B = mu H con mu>mu_o) il Jackson 
dimostra che:
M = (3 B_o/mu_o)* (mu-mu_o)/(mu+2mu_o)
donde segue banalmente la limitazione:
M < 3 B_o/mu_o
Il Jackson asserisce che "per una sostanza ferromagnetica il procedimento
seguito cade in difetto", ma osserva che comunque in ogni caso si ha:
B_int + 2mu_o H_int = 3 B_o
ed utilizza tale relazione insieme con il ciclo di isteresi per mostrare
come si determinano i campi B,H,M in un magnete permanente (B_o=0).
Io invece ho sempre ribadito che mi riferivo a corpi ferromagnetici 
inizialmente smagnetizzati; utilizzo la relazione citata insieme con la 
curva di prima magnetizzazione (non illustrata sul Jackson), che esce 
dall'origine (B=H=0) e percorre il primo quadrante con mu variabile 
internamente al ciclo di isteresi.
A differenza di quanto accade in un magnete permanente, durante la prima
magnetizzazione i campi B_int e H_int sono concordi, dunque risulta:
B_int < 3 B_o
Per una sfera magnetizzata uniformemente si ha riassumendo:
B_o + 2mu_o M/3 = B_int < 3 B_o
donde segue la tesi:
mu_o M/3 < B_o
A questo punto ci prospettano tre possibilita':
a) Pangloss si e' fatto qualche grossa papera;
b) siamo di fronte ad un grave paradosso della magnetostatica;
c) la contraddizione tra gli indiscutibili fatti sperimentali da te 
citati e le mie affermazioni teoriche non sussiste: le configurazioni 
magnetostatiche esaminate sono completamente diverse.
Qual'e' la tua risposta?
Ciao!


 Qual'e' la tua risposta?
Spero non la d) :-p
Vediamo se riusciamo a metter qualche puntello. Prima cosa, possiamo
assumere che la trattazione fatta per la sfera, sia valida anche per altre
forme? o la sfera e' una geometria particolare, l'unica facile per i
calcoli, ma fuorviante se si applica ad un caso piu' generale?
Io penso che la risposta, tra quelle listate sopra, sia in un certo senso la
c). Dimmi se vedi qualcosa di sbagliato nel ragionamento che segue:
Invece della sfera, prendo un cilindro molto lungo. Anche se con qualche
approssimazione, con questa geometria si puo' prendere per buono un diverso
fattore di smagnetizzazione dall'1/3 della sfera. In particolare, il fattore
di smagnetizzazione per un cilindro lungo e' 0. Cosa significa? che se il
cilindro e' magnetizzato lungo l'asse, sostanzialmente il campo H_in
(notazione Jackson, io lo chiamo campo di smagnetizzazione come sai), e'
trascurabile.
Riformuliamo quindi la trattazione del Jackson per un cilindro di materiale
ad alta permeabilita':
B_in = B_0 + mu0 M
H_in = 1/mu0 B_0
Ripetendo il calcolo fatto per la sfera, assumendo B_in = mu H_in,
otteniamo:
B_0 + mu0 M = mu (1/mu0 B_0)
ovvero
M = 1/mu_0 B_0 (mu/mu0-1)
Se misuriamo M e B nelle stesse unita' (in Tesla), e chiamiamo mur la
permeabilita' relativa del mezzo, abbiamo quindi
M = (mur-1) B_0
da cui si vede bene come un materiale come il permalloy, con mur ~ 25000 (se
non ricordo male), si magnetizza immediatamente appena si accende il campo.
Questo se si sceglie di magnetizzare un *cilindretto* del materiale, non una
sfera.
La conseguenza di cio'? la tua congettura probabilmente e' valida se
aggiungi la specifica "di forma sferica" al "materiale ferromagnetico
dolce". Cade invece se si prende un cilindro.
Se tutto quanto sopra e' corretto, si potrebbe generalizzare un pochino
prendendo i veri e propri fattori di smagnetizzazione per le varie forme. Ma
non credo ne valga la pena. Rimane comunque vero che io intuivo una
particolare cosa in maniera errata: io pensavo che mettendo una sferetta di
permalloy dentro un solenoide, e accendendo un campo, questa andasse subito
in saturazione. Invece forse (molto probabilmente, a questo punto) non e'
cosi'. E' cosi' solo se alla sferetta sostituisco un cilindro, o una altra
forma caratterizzata da un fattore di smagnetizzatione tendente a zero.
Bye
Hyper

  <cut>
Ora ci capiamo, anche per me la risposta e' c), il che non esclude che 
entrambi possiamo essere un po' fusi...     :((
Giustamente tu poni una questione di forma: non e' detto a priori che la 
diseguaglianza provata per la sfera sia valida in generale.
IMO pero' il punto cruciale e' un altro.
Il tema della schermatura magnetica e' difficile ed infido: che significa
"porre un corpo (sfera, cilindro, cilindro cavo ecc.) in un campo esterno
uniforme B_o"?
Apparentemente si tratta di una frase innocente, che io ho interpretato 
alla stregua del Jackson 5.10-5.11-5.12. Il campo B risultante e' dato
ovunque (all'interno del corpo e nello spazio esterno ad esso) dalla
somma vettoriale del B_o esterno e del B_m dovuto alla magnetizzazione M 
indotta nel corpo (uniforme o no che sia).
Per un corpo sferico il campo esterno prodotto dalla magnetizzazione 
e' rigorosamente dipolare, per altre forme diviene asintoticamente 
dipolare (e tende a zero) al crescere della distanza dal corpo; comunque 
il campo risultante B approssima asintoticamente il campo uniforme B_o
a distanze sufficientemente grandi dal corpo.
Questa situazione si presenta, ad esempio, sottoponendo un cilindro 
di ferro al campo B_o terrestre.
 
Se invece il campo B_o e' prodotto da un solenoide avvolto sul cilindro 
stesso (come avviene nella determinazione sperimentale del ciclo di 
isteresi), la configurazione magnetostatica e' radicalmente diversa, 
come l'andamento del campo B esterno evidenzia in modo inequivocabile. 
La differenza concettuale non sta nell'intensita' dei campi usati, ma 
nella diversa topologia delle linee di flusso (per dirla alla maniera di
B.Cocciaro).
Insomma, parlavamo davvero di configurazioni diverse e siamo stati tutti
poco precisi. In quanto alla mia congettura, dopo avere precisato come 
va inteso il campo esterno B_o, continua a sembrarmi plausibile.
Ciao.


 va inteso il campo esterno B_o, continua a sembrarmi plausibile.
Ammetto che piu' faccio i conti e piu' in effetti pare plausibile anche a
me. Ma ripeto, non e' la specifica sul campo B_o a far convergere le
prospettive. Piuttosto, e' che facendo il calcolo con l'ellissoide piuttosto
che con la sfera, risulta ancora che il campo esterno generato dalla
magnetizzazione e' sempre minore in modulo del campo applicato.
Riesci a fare il passo da congettura a teorema?
Bye
Hyper