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Titolo: onde

Ciao a tutti.
Avrei daporre due quesiti.
a) Ho una onda descritta dalla funzione A(x). Qual è l'energia di 
quest'onda? Dipende da che onda è! Tuttavia sempre credo si dovrà avere una 
qualche grandezza che rappresenti la densità di potenza (ad esempio watt/m 
nel caso unidimensionale). Integrando questa grandezza lungo x. Questa 
densità dovrebbe essere comunque, in ogni punto, proporzionale al quadrato 
dell'ampiezza A. Penso a Poynting (w/m^2) e suppongo sia possibile esprimere 
anche una densità per unità di volume, watt/m^3
E' corretto cio?
E se avessi la funzione A(t)?
b) quando opero la trasformata di Fourier di A(x) o di A(t) ottengo uno 
spettro che ha sulle ordinare la densità di ampiezza (o di fase) della mia 
onda e sulle ascisse le diverse frequenze. Come posso ottenere lo psettro di 
potenza? Immagino utilizzando il quadrato della trasformata in funzione 
della frequenza. Lo spettro di potenza così ottenuto ha quindi la stessa 
"forma" di quello di ampiezza? Cioè: le armoniche che partecipano di più 
all'ampiezza sono quelle che partecipano di più anche alla potenza?
Grazie 

 partecipano di più anche alla potenza?
Scommetto che sei uno studente d'ingegneria e sei alle prese con la
teoria dei segnali...
Se e' cosi' stai attento, perche' esiste un gergo un po' speciale che
e' diverso da quello dei fisici, che ho usato finora.
Il tipo generico di segnale di cui ti occupi sara' effettivamente una
funzione di una variabile A(t), ed e' molto improprio chiamarlo
un'onda. Potrebbe essere la tensione o la corrente all'estremo di un
cavo coassiale, come ho detto sopra, ma potrebbe anche essere
qualsiasi altra grandezza variabile nel tempo: la teoria dei segnali
tende appunto a trattare "segnali" di tipo generale, senza richiedere
particolari ipotesi fisiche sulla loro natura.
Si potrebbe anche trattare della pressione dell'aria sul mio timpano,
dell'accelerazione misurata da un sismografo...
Allora possiamo dire genericamente che la potenza istantanea e'
|A(t)|^2, e il suo integrale in t dara' l'energia totale del segnale.
Se fai la TdF ottieni una A^(f) e quello che hai chiamato "spettro di
potenza" e' |A^(f)|^2, il cui integrale su f ti da' di nuovo l'energia
totale.
Percio' all'ingrosso e' vero che le armoniche importanti per
l'ampiezza sono anche imortanti per la frequenza e viceversa, nel
senso che c'e' la relazione di A^ con |A^|^2.
Per tornare alla A(x): potrebbe darsi che in questo contesto ti sia
stato detto che invece di considerare un segnale funzione del tempo
puo' interessare di considerare un segnale funzione dello spazio.
Questo e' soprattutto vero in due dimensioni (immagini).
Sfortunatamente si usano gli stessi termini anche in questo caso:
si parla di frequenza (spaziale), di potenza, ecc.
Niente di male se si hanno le idee chiare e non si fa confusione...
 
-- 
Elio Fabri

 totale.
Va bene. Ma che senso ha allora parlare di potenza e di energia in 
riferimento ad un segnale? Cioè: non hanno quindi un significato fisico?
Quindi le dimensioni "fisiche" delle ordinate dello spettro dipotenza sono 
quelle di una energia/frequenza (quindi è sempre una densità di energia, in 
un certo senso)?
Una sola domanda, con una breve premessa.  Posso trasformare con F. sia un 
segnale del tipo A(t), sia uno del tipo A(x), nel senso che hai spiegato tu, 
s'intende.
Se considero la TdF di una onda ideale unidimensionale (un'onda nel senso 
fisico del termine, seppur idelamente 1D), A(x,t), e considero solo il pezzo 
di onda che va da t_1 a t_2 (caso A(t)), ovvero considero solo il pezzo di 
onda che, al tempo t_0 va da x_1 a x_2, che relazioni troverò tra l'energia 
nella teoria dei segnali e l'energia "fisica"?
Ad esempio, nel secondo caso (trasf. A(x)), al pezzo di onda considerara, al 
tempo t_0, è associata una energia E, che posso calcolarmi integrando la 
densità di energia lungo x. Se integro lungo f lo spettro di potenza, che 
relazioni avrò con E?
Oppure: mi interessa l'evoluzione dell'onda nel punto x_0, tra il tempo t_1 
e t_2, integro la potenza istantanea lungo t ed ottendo l'energia in x_0 in 
qell'ìintervallo di tempo. Che relazione tra questa quantità e la potenza 
che ottengo integrando il modulo quadrato della TdF lungo f?
Azzardo una risposta ardita: sono la stessa quantità. Soltanto che i 
medesimi termini si applicano anche quando il segnale non è un'onda nel 
senso fisico del termine.
Grazie
 

 nel senso fisico del termine.
Vero, ma si tratta solo di un'identita' matematica per le TdF:
l'identita' di Parseval.
 
 
-- 
Elio Fabri

 senso della fisica.
Ok,è tutto chiarissimo. Però io una cosa la devo capire. Ma ha senso fare la 
TdF di un'onda fisica.....ad esempio un onda em: prendo un pezzo di onda 3D 
e faccio la trasformata in tre dimensioni, oppure prendo solo, al tempo t, 
un superficie finita e faccio la rasformata in due D o prendo solo, al tempo 
t, un segmento del campo e faccio la trasformata in una sola dimensione, o 
prendo l'evoluzione temporale del campo elettrico e faccio la trasformata 
per avere lo spettro in quel punto tra il tempo t1 e t2? Credo che un senso 
ce l'abbia: pensiamo allo spettro solare, ecc. Questo non credo sia da 
mettere in dubbio. Quello che tu mi sconsigli di fare, se ho ben capito, è 
applicare poi i concetti di energia, potenza, ecc, nel senso della teoria 
dei segnali, con la pretesa di vederli identici o legati in qualchew modo 
alle corrispettive grandezze fisiche: giusto?
Grazie mille

 alle corrispettive grandezze fisiche: giusto?
In sostanza si'.
 
-- 
Elio Fabri

 In sostanza si'.
Ok, grazie. Ma vorrei capire solo un'ultima cosa: quando in Fisica si 
applica la trasformata di Fourier (nel tempo o nello psazio 1, 2 o 3D) a 
veri e prorpi fenomeni ondulatori? Ad esempio si applica per il campo 
elettromagnetico?
Grazie

 campo elettromagnetico?
Ma certo!
La TdF e' uno strumento di lavoro indipensabile in un sacco di campi.
Nel caso e.m. certamente (in particolare in ottica).
E' centrale per tutta la meccanica quantistica: per es. se hai mai
sentito nominare le relazioni d'interminazione di Heisenberg, quelle
derivano da un teorema della TdF, applicato alle funzioni d'onda.
L'elenco potrebbe continuare, ma stai tranquillo...
Infatti le TdF sono uno degli argomenti dei corsi di "metodi
matematici" per gli studenti di Fisica.
 
-- 
Elio Fabri