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Titolo: [mecc. Fluidi] problema della pompa a pistoni

Buon giorno, sto cercando di calcolare la pressione istantanea in una 
“camera di pompaggio” di una pompa a pistoni assiali.
Ho bisogno dell’aiuto di qualche fisico che se vorrà potrà prestarmi 
attenzione.
Io sono stato ahimè un pessimo studente ma la mia curiosità mi porta a 
cimentarmi in problemi più grandi delle mie capacità.
So che un fisico è soprattutto un grande curioso e confido che qualcuno 
si senta incuriosito e magari potrà darmi qualche suggerimento.
In fondo non chiedo formule o calcoli, ma di seguire se il mio 
ragionamento è corretto o dove comincia a far acqua (per non dire olio) 
da tutte le parti.
Cercherò di semplificare al massimo il problema per tediare il meno 
possibile chiunque già farà tanto nel dedicarmi attenzione.
La parte più dura è forse spiegare in poche righe come funziona una 
pompa a pistoni (spero che chi legge le conosca, perché mi trovo in 
difficoltà a spiegarlo) ma devo provarci per coinvolgere un maggior 
numero di pesone.
Le pompe a pistoni assiali sono macchine volumetriche costituite da un 
blocco cilindri (che un solido cilindrico che ruota su un asse di 
rotazione passante per il centro della sezione ed ortogonale ad essa, 
"trainato" da un motore primario) con N fori paralleli all’asse di 
rotazione del blocco ma disposti su una circonferenza di raggio rb 
dall’asse di rotazione del blocco stesso. Questi N fori divengono le 
sedi di altrettanti pistoni che scorrono al loro interno.
La testa del pistone (la parte che sta fuori dal blocco cilindri) è 
vincolata meccanicamente ad un piano inclinato di un angolo alfa.
Il blocco cilindri viene fatto girare a velocità angolare costante omega 
e così ogni pistone si muove di moto armonico lungo il proprio asse che 
è parallelo all’asse di rotazione del blocco cilindri distante da esso 
rb e con una fase che è la omega per t.
Il periodo è T=2*PIGRECO/omega perché il moto del blocco cilindri è 
circolare uniforme.
Nel semiperiodo che va da quando un pistone è nel punto morto inferiore 
(PMI , il pistone è completamente dentro al cilindro) a quando si trova 
nel PMS il pistone si sposta di h=2*rb*tan(alfa) e in questa fase 
incamera olio nel volume del cilindro che si è “dilatato”, nell’altro 
semiperiodo il pistone ritorna nel PMI , e manda l’olio fuori dal cilindro.
All’esterno del blocco cilindri c’è un “distributore” che collega la 
camera del pistone all’aspirazione quando il pistone si muove da PMI a 
PMS e alla mandata quando il pistone si muove da PMS verso PMI. Questo 
collegamento realizzato dal distributore forza il fluido a passare per 
un restringimento di sezione.
---------------------------------------------------------------------
In pratica per semplificare al massimo questo sistema pensiamo ad una 
siringa con il suo cilindro e lo stantuffo interno, al beccuccio della 
siringa (dove ci si infila l’ago) con un tubicino al posto dell’ago che 
va in una valvola che “in un qualche modo” quando col dito tiriamo lo 
stantuffo la valvola mi collega ad una camera alla pressione pa (che 
supponiamo costante) e quando invece col dito spingo lo stantuffo la 
valvola mi collega ad una camera sotto pressione pd (assunta costante).
La pressione pa è molto minore della pressione pb (tipicamente alla 
pompa è collegato un attuatore che causa un aumento della pressione che 
si oppone al moto del fluido che esce dalla mandata della pompa).
Immaginiamo però che riusciamo a far muovere lo stantuffo di moto 
armonico e la posizione dello stantuffo nel tempo sia:
x(t)=rb*tan(alfa)*(1-cos(w*t));
con rb*tan(alfa) che è la metà della corsa massima del pistone, w 
sarebbe omega (con questo set di caratteri sono costretto a chiamarla w 
per non scrivere formule troppo lunghe) e t il tempo, quando t=0 x=0 (e 
siamo in PMI, punto morto inferiore), quando t=PIGRECO/w 
x=2*rb*tan(alfa) e siamo nel PMS.
Se la sezione dello stantuffo è Ap allora il volume istantaneo che lo 
stantuffo genera all’interno della siringa è: V(t)=Ap*x(t).
Sappiamo che in un volume vale la formula:
Qin-Qout=dV/dt+(V/b)*(dp/dt)
Qin e Qout sono la somma algebrica delle portate entranti ed uscenti.
V è il volume, b è il modulo di compressibilità isoterma (per l’olio 
minerale vale 1.75*10^9 Pascal), p è la pressione, quindi:
dp/dt = (b/V)*(Qin-Qout-dV/dt)
Sappiamo che la portata in un restringimento di sezione è data dalla 
formula (moto turbolento):
Q=Ce*A*sqrt(2* | deltaP | /ro)*sign(deltaP)
(il deltaP sotto radice è in valore assoluto).
Ce è un coefficiente d’efflusso, A è la sezione attraversata dal fluido, 
deltaP è la differenza di pressione prima e dopo il restringimento e ro 
è la densità del fluido (per l’olio usato nelle trasmissioni 
idrostatiche vale circa 850 kg/m^3).
Quindi nel primo semiperiodo, con t che varia da zero a PIGRECO/w lo 
stantuffo aumenta il volume, la valvola mette in contatto il volume con 
la zona a bassa pressione pa, Qout è zero mentre parliamo di portata 
entrante:
Qin(t)= Ce*A*sqrt(2* | pa-p | /ro)*sign(pa-p) , Qout(t)=0 per 0<t<PIGRECO/w
Nel secondo semiperiodo, con t che varia da PIGRECO/w a 2*PIGRECO/w, lo 
stantuffo ritorna e riduce il volume, la valvola chiude il canale 
d’aspirazione e apre quello di mandata sottoposto ad una pressione molto 
maggiore pd, quindi ora Qin è zero ma c’è una portata che esce.
Qout(t)= Ce*A*sqrt(2* | p-pd | /ro)*sign(p-pd) , Qin(t)=0 per 
PIGRECO/w<t<2*PIGRECO/w.
Trascuriamo il fatto che in realtà A dipende anch’essa dal tempo, ma noi 
  per ora assumiamo la forzatura che sia costante.
Trascuriamo per ora anche le perdite di fluido che nella realtà ci sono 
e sono localizzate principalmente tra lo stantuffo ed il cilindro e 
nella distribuzione commutata (tra aspirazione e mandata, una esigua 
quota di portata viene persa), che sono perdite in regime laminare del 
tipo Q=Cel*Al*deltaP comunque esigue rispetto alla portata scambiata 
perché l'area Al è molto piccola (è data dai giochi d’accoppiamento tra 
i componenti).
Io vorrei sapere in definitiva, se con queste ipotesi, è vero che:
per 0<t<PIGRECO/w vale la dp/dt = (b/V)*(Qin-dV/dt),e
per PIGRECO/w<t<2*PIGRECO/w vale la dp/dt = (b/V)*(-Qout-dV/dt), con le 
ipotesi fatte fino ad ora.
Per il momento mi accontento solo di sapere se le cose stanno così 
oppure ho tralasciato qualcosa, poi per risolvere queste equazioni è 
tutto un altro capitolo perché, anche sostituendo ottengo:
dp/dt = b/(TAN(alfa)*AP*rb*(1-COS(t*w))) * (Qin-Qout 
-TAN(alfa)*AP*rb*w*SIN(t*w))
ma il grosso problema è che alternativamente in Qin o in Oout mi compare 
la p sotto radice e l’equazione a mio avviso è piuttosto complicata, 
tuttavia per ora mi basta sapere se a vostro avviso c’è qualcosa che non 
va o se invece l’impostazione è corretta.
Al limite vedrò di cercare qualche metodo numerico.
Avevo visto un software commerciale che faceva queste cose ma non so 
quale procedimento utilizzava e nemmeno sono sicuro che abbia utilizzato 
queste equazioni.
Io ringrazio tutti per l’attenzione, mi scuso per la lunghezza di questo 
mio post e desidero comunque augurare a tutte le persone accomunate a 
vario titolo dalla passione per la fisica un 2006 fruttuoso e sereno.
Paolo Ferraresi (Modena).

Scusate, se ho dovuto ripostare questo mio messaggio, ma non riuscivo a 
rettificare una frase che avevo tralasciato. Infatti, nella formula del 
volume ho aggiunto un volume residuo Vm che avevo tralasciato...
Per domande o chiarimenti resto a disposizione. grazie...
Re-post Oggetto: [mecc. Fluidi] problema della pompa a pistoni
Buon giorno, sto cercando di calcolare la pressione istantanea in una 
“camera di pompaggio” di una pompa a pistoni assiali.
Ho bisogno dell’aiuto di qualche fisico che se vorrà potrà prestarmi 
attenzione.
Io sono stato ahimè un pessimo studente ma la mia curiosità mi porta a 
cimentarmi in problemi più grandi delle mie capacità.
So che un fisico è soprattutto un grande curioso e confido che qualcuno 
verrà coinvolto e magari potrà darmi qualche suggerimento.
In fondo non chiedo formule o calcoli, chiedo solo di seguire se il mio 
ragionamento è corretto dato che in pratica non sono riuscito a 
risolvere l’equazione che ho tirato fuori da questo sistema e vorrei 
sapere se almeno formalmente è corretta o dove il mio ragionamento ha 
fatto acqua!!
Cercherò di semplificare al massimo il problema per tediare il meno 
possibile chiunque già farà tanto nel dedicarmi attenzione.
Le pompe a pistoni assiali sono macchine volumetriche costituite da un 
blocco cilindri (che un solido cilindrico che ruota su un asse di 
rotazione passante per il centro della sezione ed ortogonale ad essa) 
con n fori paralleli all’asse di rotazione del blocco ma disposti su una 
circonferenza di raggio rb dall’asse di rotazione del blocco stesso. 
Questi fori divengono le sedi di altrettanti pistoni che scorrono al 
loro interno.
La testa del pistone (la parte che sta fuori dal blocco cilindri) è 
vincolata meccanicamente ad un piano inclinato di un angolo alfa.
Il blocco cilindri viene fatto girare a velocità angolare costante omega 
e così ogni pistone si muove di moto armonico lungo il proprio asse che 
è parallelo all’asse di rotazione del blocco cilindri distante da esso 
rb e con una fase che è la omega per t.
Il periodo è T=2*PIGRECO/omega perché il moto del blocco cilindri è 
circolare uniforme.
Nel semiperiodo che va da quando un pistone è nel punto morto inferiore 
(PMI , il pistone è completamente dentro al cilindro) a quando si trova 
nel PMS il pistone si sposta di h=2*rb*tan(alfa) e in questa fase 
incamera olio nel volume del cilindro che si è “dilatato”, nell’altro 
semiperiodo il pistone ritorna nel PMI , e manda l’olio fuori dal cilindro.
All’esterno del blocco cilindri c’è un “distributore” che collega la 
camera del pistone all’aspirazione quando il pistone si muove da PMI a 
PMS e alla mandata quando il pistone si muove da PMS verso PMI. Questo 
collegamento realizzato dal distributore forza il fluido a passare per 
un restringimento di sezione.
In pratica per semplificare al massimo questo sistema pensiamo ad una 
siringa con il suo cilindro e lo stantuffo interno, al beccuccio della 
siringa (dove ci si infila l’ago) con un tubicino al posto dell’ago che 
va in una valvola che “in un qualche modo” quando col dito tiriamo lo 
stantuffo la valvola mi collega ad una camera alla pressione pa (che 
supponiamo costante) e quando invece col dito spingo lo stantuffo la 
valvola mi collega ad una camera sotto pressione pd (assunta costante).
La pressione pa è molto minore della pressione pb (tipicamente alla 
pompa è collegato un attuatore che causa un aumento della pressione che 
si oppone al moto del fluido che esce dalla mandata della pompa).
Immaginiamo però che riusciamo a far muovere lo stantuffo di moto 
armonico e la posizione dello stantuffo nel tempo sia: 
x(t)=rb*tan(alfa)*(1-cos(w*t));
con rb*tan(alfa) che è la metà della corsa massima del pistone, w 
sarebbe omega (con questo set di caratteri sono costretto a chiamarla w 
per non scrivere formule troppo lunghe) e t il tempo, quando t=0 x=0 (e 
siamo in PMI, punto morto inferiore), quando t=PIGRECO/w 
x=2*rb*tan(alfa) e siamo nel PMS.
Se la sezione dello stantuffo è Ap allora il volume istantaneo che lo 
stantuffo genera all’interno della siringa è: V(t)=Ap*x(t)+Vm.
C’è comunque un volume residuo Vm anche quando il pistone è nel PMI.
Sappiamo che in un volume vale la formula:
Qin-Qout=dV/dt+(V/b)*(dp/dt)
Qin e Qout sono la somma algebrica delle portate entranti ed uscenti.
V è il volume, b è il modulo di compressibilità isoterma (per l’olio 
minerale vale 1.75*10^9 Pascal), p è la pressione.
dp/dt = (b/V)*(Qin-Qout-dV/dt)
Sappiamo che la portata in un restringimento di sezione è data dalla 
formula (moto turbolento):
Q=Ce*A*sqrt(2* | deltaP | /ro)*sign(deltaP)
(il deltaP sotto radice è in valore assoluto).
Ce è un coefficiente d’efflusso, A è la sezione attraversata dal fluido, 
deltaP è la differenza di pressione prima e dopo la strozzatura e ro è 
la densità del fluido (per l’olio usato nelle trasmissioni idrostatiche 
vale circa 850 kg/m^3).
Quindi nel primo semiperiodo, con t che varia da zero a PIGRECO/w lo 
stantuffo aumenta il volume, la valvola mette in contatto il volume con 
la zona a bassa pressione pa, Qout è zero mentre parliamo di portata 
entrante:
Qin(t)= Ce*A*sqrt(2* | pa-p | /ro)*sign(pa-p) , Qout(t)=0 per 0<t<PIGRECO/w
Nel secondo semiperiodo, con t che varia da PIGRECO/w a 2*PIGRECO/w, lo 
stantuffo ritorna e riduce il volume, la valvola chiude il canale 
d’aspirazione e apre quello di mandata sottoposto ad una pressione molto 
maggiore pd, quindi ora Qin è zero ma c’è una portata che esce.
Qout(t)= Ce*A*sqrt(2* | p-pd | /ro)*sign(p-pd) , Qin(t)=0 per 
PIGRECO/w<t<2*PIGRECO/w.
Trascuriamo per ora le perdite di fluido che nella realtà ci sono e sono 
localizzate principalmente tra lo stantuffo ed il cilindro e nella 
distribuzione commutata (tra aspirazione e mandata, una esigua quota di 
portata viene persa), che sono perdite in regime laminare del tipo 
Q=Cel*A*deltaP comunque esigue perché A l’area è molto piccola (è data 
dai giochi d’accoppiamento tra i componenti).
Trascuriamo anche il fatto che in realtà A dipende anch’essa dal tempo, 
ma noi la assumiamo costante.
Io vorrei sapere in definitiva, se con queste ipotesi, è vero che:
per 0<t<PIGRECO/w vale la dp/dt = (b/V)*(Qin-dV/dt),e
per PIGRECO/w<t<2*PIGRECO/w vale la dp/dt = (b/V)*(-Qout-dV/dt).
Per il momento mi accontento solo di sapere se le cose stanno così 
oppure ho tralasciato qualcosa, poi per risolvere queste equazioni è 
tutto un altro capitolo perché, anche sostituendo ottengo:
dp/dt = b/(TAN(alfa)*AP*rb*(1-COS(t*w))+Vm) * (Qin-Qout 
-TAN(alfa)*AP*rb*w*SIN(t*w))
ma il grosso problema è che alternativamente in Qin o in Oout mi compare 
la p sotto radice e l’equazione a mio avviso è piuttosto complicata, 
tuttavia per ora mi basta sapere se a vostro avviso c’è qualcosa che non 
va o se invece l’impostazione è corretta.
Io ringrazio tutti per l’attenzione, mi scuso per la lunghezza di questo 


 -TAN(alfa)*AP*rb*w*SIN(t*w))
E' quindi:
dp/dt = b/(TAN(alfa)*AP*rb*(1-COS(t*w))+Vm) * 
(Qin-Qout-TAN(alfa)*AP*rb*w*SIN(t*w))
scisate l'imprecisione.

Ho già scritto questo messaggio ma continuo a non vederlo apparire nel 
thread quindi lo riposto dato che è una rettifica fondamentale.
Paolo ha scritto:
 > Se la sezione dello stantuffo è Ap allora il volume istantaneo che lo 
stantuffo genera all’interno della siringa è: V(t)=Ap*x(t).
Scusate... dimenticavo... rimane comunque un piccolo volume residuo Vm 
anche quando il pistone è nel punto morto inferiore e quindi rimane:
V(t)=Ap*x(t)+Vm.
 > tutto un altro capitolo perché, anche sostituendo ottengo:
 > dp/dt = b/(TAN(alfa)*AP*rb*(1-COS(t*w))) * (Qin-Qout 
-TAN(alfa)*AP*rb*w*SIN(t*w))
E' quindi:
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 -TAN(alfa)*AP*rb*w*SIN(t*w))
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