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Titolo: Numero di spire in una molla

E' possibile mettere in formule la relazione che intercorre tra la forza
elastica che esercita una molla ed il suo numero di spire?
(anche supponendo ad es. che per ogni lunghezza L ci siano N spire)
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 (anche supponendo ad es. che per ogni lunghezza L ci siano N spire)
Mi viene da pensare che la costante della molla non debba dipendere da come
il filo è avvolto, se in un raggio più piccolo o più grande, ma solo dalla
lunghezza totale del filo, quindi la formula dovrebbe essere
K=k0*N/L*2pi*R*H
con k0 costante dipendente dal materiale e dallo spessore (eventualmente
forma) del filo e R,H raggio e lunghezza della molla.
E' così oppure ho avuto un' idea sbagliata?

 
Potresti gentilmente fornirmi i calcoli?
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La classica molla elicoidale.
Il "tiro" sara' una "forza" (in realta' una coppia di forze, vedi sotto) che
giace sull'asse del cilindro della molla.
Isoliamo una spira (naturalmente tagliata). Per sollecitarla al centro del
cilindro dobbiamo estenderla idealmente con due barrette rigide infinitesime
radiali attaccate rispettivamente ai due lembi del taglio (ci vorrebbe una
figura)
La sollecitazione sulla spira si avra' spingendo una delle due barrette
verso l'alto e l'altra verso il basso con la forza di "tiro".
E' evidente che la forza, essendo al centro del cerchio e perpendicolare al
piano della spira, esercitera' sul filo della molla un puro sforzo di taglio
piu' uno di pura torsione. Saranno invece completamente assenti sforzo
assiale e flessione.
Trascuriamo il taglio che da un contributo trascurabile se la molla e'
sottile (il diametro del filo e' piccolo rispetto al diametro del cilindro).
Una barra soggetta a torsione ha una deformazione:
alfa = T / JG
dove:
alfa (rad/m)  - angolo di rotazione per unita' di lunghezza
T (N.m) - coppia torcente
J - momento di inerzia della sezione trasversale della barra rispetto al
baricentro della stessa (torsionale)
G - coefficiente di scorrimento del materiale
ora, detta F la forza con cui si tira la molla e R il raggio del cilindro
T = F.R
l'allontanamento tra le due barrette al centro:
delta = (alfa  * 2 pi R) * R = F . R / JG * R * 2 pi * R = 2 pi F R ^ 3 / JG
la costante k di una spira sara':
k = F / delta =  JG / (2 pi R ^ 3)
o, se estendiamo:
k = JG / (L ( R ^ 2))
dove L e' la lunghezza totale del filo qualunque sia il numero delle spire
Tutto quanto sopra se non ho sbagliato i calcoli
Saluti
Mino Saccone

 Potresti gentilmente fornirmi i calcoli?
Ho cercato di calcolare la lunghezza totale del filo e moltiplicarla per una
ipotetica costante k0 dipendente da come è fatto il filo.
Ripeto che questa è una mia ipotesi, attendo conferme o smentite.

 assiale e flessione.
Quindi tu dici che la forza della molla č generata dalla torsione del filo.
Io ero convinto che il filo fosse soffetto a flessione, e non mi hai
convinto del tutto.
Certo che un filo scarsamete resistente a torsione genererebbe una molla con
K basso, ma anche una ipotetica flessione del filo porterebbe ad un aumento
della lunghezza della molla, quindi penso che anche la flessione
contribuisca al K.
Forse č questione di numeri (come al solito non si mettono e Qualcuno
potrebbe arrabbiarsi) che rendono uno dei due effetti trascurabili, ma tu
dici che la flessione č ASSENTE.
Sei sicuro?

 E' così oppure ho avuto un' idea sbagliata?
E' sicuramente sbagliata, mi autocorreggo, infatti K deve essere
inversamente proporzionale alla lungezza del filo, come dice Mario Saccone
più sotto.


Sì, purtroppo senza figura si perde molto in evidenza. Faro' appello quindi
alla tua immaginazione:
Immagina appunto una sola spira. Senza forze applicate essa è piana.
Naturalmente essa è tagliata in un punto: un lembo attaccatto alla spira
sopra e l'altro alla spira sotto in una molla reale.
Sarebbe sbagliato rappresentare il carico della molla applicando una coppia
di forze opposte tra loro e perperpendicolari al piano direttamente ai due
lembi del taglio. Se guardiamo una molla reale essa è sollecitata non in un
punto qualsiasi della periferia, ma al centro delle spire e, se anche il
"tiro" fosse applicato forzosamente fuori centro, la molla si curverà in
modo che per il grosso della sua estensione (nel senso dell'asse del
cilindro e se il cilindro stesso è sufficientemente snello) il "tiro passi
per il centro delle spire. (Mi rendo conto che la mancanza di figura renda
questa spiegazione un po' oscura, ma spero che mi si capisca lo stesso).
A questo punto possiamo dire che, almeno per la maggior parte delle spire di
una molla molto lunga (molte spire) o per tutte le spire anche se la molla è
corta, purche' ben fatta (con l'anellino di terminazione ben centrato) lo
sforzo passa per il centro delle spire.
Torniamo ora alla nostra spira tagliata. E' chiaro, dopo quanto detto, che
non è corretto rappresentare il carico come una coppia di forze applicata
direttamente ai due lembi. Essi stanno infatti sulla circonferenza e non al
centro (se cosi' fosse si avrebbe una componente di flessione, ma spero di
aver mostrato che non e' cosi').
Dobbiamo invece immaginare che a ciascun lembo sia appiccicata una
barrettina rigida e sottile, lunga esattamente come il raggio, che arrivi
esattamente al centro della spira (un po' come la ripiegatura che collega
l'anellino delle molle ben fatte). La coppia di forze sara' quindi applicata
alle estremita' libere di queste barrettine cioe' in posizione centrale
rispetto alla spira, proprio come deve essere per quanto detto sopra.
Ora se consideriamo una delle due forze e in particolare il suo momento
rispetto a un punto qualsiasi della spira, esso sara' evidentemente il tiro
stesso moltiplicato per il raggio della spira e diretto secondo la spira in
quel punto, quindi puramente torcente e costante in modulo in ogni punto. Il
momento flettente ha una direzione perpendicolare alla spira ed e' quindi
nullo in ogni punto.
Nullo e' anche lo sforzo assiale, mentre lo sforzo di taglio sara' in ogni
punto uguale al tiro.
Saluti
Mino Saccone

 quindi nullo in ogni punto.
Non ho seguito in dettaglio il tuo ragionamento, per pigrizia e
perche' avevo in mente un argomento che secondo me taglia la testa al
toro...
Quando la molla si allunga, il passo dell'elica aumenta.
Ne segue che il raggio di curvatura delle spire aumenta anch'esso, e
quindi una flessione c'e'.
Sicuramente e' un effetto di secondo ordine, quindi ha ragione
Jena#100 che senza numeri non si puo' stabilire se e quando diventa
importante.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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La forza sempre centrale, produce un momento orizzontale in ogni punto della
molla. Ora, se la spira e' sensibilmente inclinata, la componente del
momento ortogonale alla spira produce flessione.
Diciamo che il rapporto tra momento flettente e momento torcente dovrebbe
essere la tangente trigonometrica dell'inclinazione della spira della molla,
di solito piuttosto bassa. Per questo, in prima approssimazione, si
trascura. Purtroppo, avendo schematizzato con la spira piana, ho scritto
ASSENTE (il maiuscolo non e' mio) invece di trascurabile.
Saluti
Mino Saccone