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Titolo: Un problema forse un po' meno semplice (ma sempre di RR)

Visto il grande successo del precedente problema :-) ve ne propongo un 
altro.
 
Siano (t,x) le coord. in un dato rif. inerziale~K. Un corpo si muove
rispetto a K con legge oraria(w1>0, h1>0)
x1 = h1 cosh(w1 tau1)
t1 = h1 sinh(w1 tau1)
ed emette impulsi luminosi in avanti, a intervalli regolari dtau del
suo tempo proprio, iniziando con tau1=0.
 
Un secondo corpo si muove con legge oraria (w2>0, h2>h1)
x2 = h2 cosh(w2 tau2)
t2 = h2 sinh(w2 tau2)
A quali valori del suo tempo proprio riceve gli impulsi?
-- 
Elio Fabri


Intendo che tau1 sia il tempo proprio del corpo 1,
allora w1 e h1 non sono indipendenti,
la quadrivelocità del corpo 1 è
u1 = (h1 w1 cosh(w1 tau1), h1 w1 sinh(w1 tau1)),
u1^2 = -1 => h1 w1 = 1,
analogamente per il corpo 2.
 
Il corpo 1 emetta impulsi ai tempi propri n dtau
con n naturale, questi arrivino al corpo 2 ai tempi
tau2, dato che gli eventi trasmissione e ricezione
sono separati da un intervallo invariante di tipo luce
si ha
 
x2 - x1 = t2 - t1  =>
h2 cosh(w2 tau2) - h1 cosh(n w1 dtau) =
h2 sinh(w2 tau2) - h1 sinh(n w1 dtau)  =>
h2 [cosh(w2 tau2) - sinh(w2 tau2)] =
h1 [cosh(n w1 dtau) - sinh(n w1 dtau)]  =>
h2 exp(-w2 tau2) = h1 exp(-n w1 dtau)  =>
log(h2/h1) - w2 tau2 = - n w1 dtau  =>
tau2 = n w1/w2 dtau + log(h2/h1) / w2,
 
cioè gli eventi di ricezione sono separati
da intervalli di tempo proprio w1/w2 dtau.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Intendo che tau1 sia il tempo proprio del corpo 1,
 > allora w1 e h1 non sono indipendenti,
 > ...
Secondo me tu hai infilato un troiano nel mio computer.
Altrimenti non si spiega quello che scrivi.
Ecco la soluzione che avevo preparata.
 
**************************************
Sia tau_n = n dtau (d sta per delta) il tempo proprio di emissione
dell'n-mo impulso. Le coordinate dell'evento emissione sono
t_n^e = h_1 sinh(n w_1 dtau)
x_n^e = h_1 cosh(n w_1 dtau).
Chiamo (t_n^r, x_n^r) quelle dell'evento ricezione dello stesso
impulso; sar\`a
x_n^r - x_n^e = t_n^r - t_n^e
o anche
x_n^r - t_n^r = x_n^e - t_n^e. (1)
 
Inoltre
x_n^e = h_1 cosh(n w_1 dtau)
t_n^e = h_1 sinh(n w_1 dtau)
x_n^r = h_2 cosh(w_2 tau_n^r)
t_n^r = h_2 sinh(w_2 tau_n^r)
dove i tau_n^r sono i tempi propri richiesti.
 
Inserendo queste coord. nella~(1):
 
h_2 cosh(w_2 tau_n^r) - h_2 sinh(w_2 tau_n^r) =
   h_1 cosh(n w_1 dtau) - h_1 sinh(n w_1 dtau)
 
h_2 exp(-w_2 tau_n^r) = h_1 exp(-n w_1 dtau)
 
log h_2 - w_2 tau_n^r = log h_1 - n w_1 dtau
 
w_2 tau_n^r = log(h_2/h_1) + n w_1 dtau
 
tau_n^r = (1/w_2) log{h_2/h_1) + n (w_1/w_2) dtau.
 
Però...
dx_1/dtau_1 = w_1 h_1 sinh w_1 tau_1
dt_1/dtau_1 = w_1 h_1 cosh w_1 tau_1
(dt_1/dtau_1)^2 - (dx_1/tau_1)^2 = w_1^2 h_1^2
che deve essere~1. Idem per il secondo corpo.
*************************************
 
Ora prova a rispondere a una domanda: perché ho proposto questo "esercizio"?
-- 
Elio Fabri

 Ora prova a rispondere a una domanda: perché ho proposto questo "esercizio"?
 
Questa è _la_ domanda difficile, non so,
ho riconosciuto il moto iperbolico, ma per
contestualizzare il risultato servirebbe una
maggiore ampiezza di vedute, che non possiedo
(risolvere l'esercizietto è un'altra cosa...)
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Giorgio Bibbiani ha scritto:
 > Questa è _la_ domanda difficile, non so, ho riconosciuto il moto
 > iperbolico, ma per contestualizzare il risultato servirebbe una
 > maggiore ampiezza di vedute, che non possiedo (risolvere
 > l'esercizietto è un'altra cosa...)
Volevo vedere se qualcuno mi dava una risposta diversa dalla mia.
Per ora a parte te tutti tacciono...
 
In sostanza, pensavo di riprendere su un esempio concreto un discorso
che qualcuno aveva fatto pochi giorni fa.
Purtroppo non ricordo chi fosse, ma parlava di come ci si dovrebbe
comportare col mio precedente "esercizio" se invece di avere
emettitore e ricevitore in moto circolare uniforme, li si avesse in
moto arbitrario.
Si dovrebbe usare la RG? E come?
 
Non riesco a ricordare chi ha scritto questo, e non riesco a
ritrovarlo, anche per la mancanza di parole chiave.
D'altra parte, non so se ci avete fatto caso, ma nell'ultima settimana
c'è stata una media di circa 10 post al giorno su questi argomenti.
 
Non voglio essere cattivo, per cui mi tengo per me il commento che
avrei sulla punta delle dita...
Aspetterò domani per scoprire le carte, forse con un altro esempio.
-- 
Elio Fabri

 Ciao
Ciao,
Bruno Cocciaro.
 
 
-- 
Questa email è stata esaminata alla ricerca di virus dal software antivirus AVG.
www.avg.com
 

 Si dovrebbe usare la RG? E come? 
 
Non riesco a capire a quale "discorso" tu possa riferirti.
 
Non credo che tu possa intendere questa mia proposta di modifica del tuo esercizio originale (l'ho mandata il 5 aprile), perché nella mia proposta, fra emettitore e rilevatore non c'è proprio moto arbitrario. Comunque, vedi tu se per caso è a questo che pensavi:
"Ad esempio un problema collegato a quello fornito da Elio potrebbe
essere determinare l'andamento nel tempo (misurato da un orologio in
quiete col ricevitore) di (l. d'onda ricevuta)/(l. d'onda emessa) con A
sul bordo del disco in rotazione e B fermo nel riferimento K di quiete
del centro del disco in un punto che sia anch'esso sul bordo del disco
rotante (però B, ovviamente, non ruota, è fermo in K).
Sia nel caso che sia A emettitore e B ricevitore che viceversa.
Credo che la soluzione si possa dare in termini di funzioni elementari
in entrambi i casi." 
 
 
 
 
Colgo l'occasione per dire a Bibbiani (unico ad aver risposto all'esercizio modificato da me proposto) che da giorni sono impegnato a mettere in bella copia la mia versione. Versione che differisce dalla sua come minimo perché io intendevo la soluzione *esatta* (avrei dovuto essere più chiaro), però, nche se non ho ancora controllato per bene, credo ci siano anche delle differenze sostanziali. Comunque, ormai spero di avere il file pronto al massimo in un paio di giorni, così, con la mia soluzione, si capirà anche come intendevo l'esercizio.
 
Bruno Cocciaro

Bruno Cocciaro ha scritto:
 > Non riesco a capire a quale "discorso" tu possa riferirti.
L'ho trovato: era Paolo Russo, il 13 alle 11:55.
In risposta a Corda che ripete fino alla noia che nel mio "piccolo
esercizio" è necessario usare la RG, replicava tra l'altro:
 > Del resto, se davvero ci volesse la RG per calcolare cosa succede,
 > avremmo un grosso problema: puoi vedere A e B come fermi in un
 > riferimento rotante, ma cosa faresti se A e B avessero traiettorie
 > diverse e del tutto indipendenti tra loro? Dovresti ogni volta
 > inventarti uno spazio-tempo distorto immaginario in cui potessero
 > essere considerati entrambi fermi e fare i calcoli li'?
 
Ho quindi pensato di fare un esempio definito.
Il calcolo in RR l'ha mostrato Giorgio Bibbiani.
Un supposto calcolo RG lo stiamo ancora aspettando.
-- 
Elio Fabri