Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Spinori

Dati  \xi_R e \psi_R due spinori right-handed, come si dimostra che
 
\dagger \xi_R \  \sigma^\mu  \psi_R
 
� un quadrivettore controvariante?
Devo applicare la trasformazione di Lorentz ad ambedue gli spinori.
Ma anche alle matrice \sigma^\mu? Se no perch�? e se si perch�?
 
e poi procedere usando le propriet� delle matrici di Pauli per giungere alla 
tesi
(\Lambda_R)^\mu_nu  (.....)^nu
 
dove (.....) � la quantit� iniziale.
 
Ringrazio anticipatamente che mi dar� una mano.
Claudio
 

 dove (.....) � la quantit� iniziale.
Immagino che il contesto sia QFT, quindi \xi_R e \psi_R sono
operatori di campo.
 
In QFT alle trasf. di Lorentz (anzi tutto il gruppo di Poincar�) sono
associati operatori *unitari* che agiscno sui vettori di stato e sugli
operatori di campo, nel modo che devi sapere:
 
U(\Lambda) \psi_R U+(\Lambda) = ...
 
e analoga per \dagger\x_R.
 
Invece le \sigma sono *numeri*, che non vengono alterati dalla
trasformazione.
 
Non ti garantisco la coerenza della notazione che ho usato con quella
che avrai visto tu, ma non ho capito che cosa sarebbe \Lambda_R: per me
esiste solo \Lambda.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
 
Nella trattazione che stavo leggendo vengono inizialmente presentati gli
spinori left-handed e right-handed:
le rappresentazioni spinoriali del gruppo di Lorentz possono essere
costruite come le rappresentazioni (1/2 , 0) e (0,1/2) di SU(2)x SU(2)
rispettivamente left-h e right-h.
Uno spinore _L trasforma secondo Lorentz \Lambda_L -> exp ( (-i\theta -
\eta)  \vec{\sigma}/2)  \Lambda_L
mentre uno R in
\Lambda_R -> exp ( (-i\theta + \eta)  \vec{\sigma}/2)  \Lambda_R
 
Ci� deriva dal fatto che l'algebra del gruppo di Lorentz � ottenuta da
combinazioni complesse dei generatori di SU(2).
 
Comunque al di l� di questo non ero ancora arrivato ai campi e per il
momento credevo di interpretare \psi_R come un vettore nello spazio
vettoriale di dimensione 2 sul corpo complesso, rappresentazione (appunto
spinoriale) di SU(2).
Il testo propone la quantit� in esame e raccomanda di verificare per
esercizio che trattasi di quadrivettore.
Non avrei difficolt� a fare la cosa, almeno l'idea ce la ho: sviluppo in
serie dell'esponenziale, propriet� delle matrici di Pauli (algebra del
momento angolare).
Mi chiedevo il motivo del perch� le 4 matrici di sigma non dovessero essere
in qualche modo trasformate: una probabile risposta forse � perch� sono i
generatori del gruppo e, nella rappresentazione SU(2), hanno ovviamente la
stessa forma.
(Esiste un altro insieme di matrici 2x2 che soddisfa la medesima algebra?)
 
 
Claudio
 

 essere in qualche modo trasformate:
Semplice, perch� quello che devi dimostrare � che se al posto dei due
spinori \psi_R, \xi_R, sostituisci i due trasformati secondo Lorentz,
l'espressione
 
j^\mu = \xi_R^\dagger \sigma^\mu \psi_R
 
e quella
 
j'^\mu = \xi'_R^\dagger \sigma^\mu \psi'_R
 
calcolata con gli spinori trasformati, stanno tra loro nella relazione
della trasf. di Lorentz di un 4-vettore.
Detto pi� esplicitamente: \psi_R, \xi_R sono certe f. d'onda di
particelle; \psi'_R, \xi'_R sono *nuove* f. d'onda, che differiscono
dalle precedenti per l'azione della trasf. di Lorentz sulle f. d'onda.
Si deve dimostrare che j^\mu, calcolato con le nuove funzioni (l'ho
chiamato j'^\mu) si ottiene da j^\mu con la trasf. di un 4-vettore.
 
BTW: Sai che cosa significa "punto di vista attivo" o "passivo" quando
si fanno trasf. come queste?
Sarebbe utile chiarirlo, perch� potrebbe darsi che il tuo testo adotti
un punto di vista diverso da quello che ho usato io, anche se non �
probabile.
 
 
-- 
Elio Fabri

 probabile.
 
Attivo: la rotazione di un angolo theta>0 nel piano (x,y) ruota la posizione 
di un punto P in senso antiorario rispetto ad un sistema di riferimento 
fisso e un boost con velocit� \vec{v} porta una particella in quiete ad 
avere la velocit� \vec{v}.
Passivo � inteso come rotazione del sistema di riferimento dell'angolo theta 
in senso orario e la trasformazione del sistema di riferimento in uno che si 
muove con velocit�  -\vec{v}
 
Il testo (Maggiore - A Modern Introduction to QFT) usa il punto di vista 
attivo: � esplicitamente evidenziato in una nota a margine.
Il testo comunque non � di immediata comprensione anche se utilizza un 
approccio tutto sommato semplice; continuer� con la lettura, ma credo che 
per alcune cose dovr� riguardare qualcosa sul Peskin-Schroeder o sul 
Mandl-Shawn
(purtroppo studio queste cose nei ritagli di tempo o dopo il lavoro e non ho 
un periodo continuativo di alcune decine di giorni per dedicarmici 
esclusivamente).
 
Claudio 


 
mi inserisco nel thread (che per me e' ancora troppo) solo per dire che 
io ne ho sentito parlare in relativita', ma di sfuggita, e un' 
"ascoltata" a un'ulteriore spiegazione mi farebbe molto piacere, se e' 
utile anche al thread e all'OP.
 
Saluti
Andrea Barontini