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Titolo: Temperatura di una padella sul fuoco

Ciao,
se metto una padella su un fornello (una padella vuota!), la superficie
interna della padella comincerà a scaldarsi; vorrei sapere, dato che
immagino esista una temperatura a cui la padella si stabilizzerà: da 
cosa
dipende questo equilibrio?
In secondo luogo, quali sono le variabili che occorre considerare per un
eventuale calcolo? Immagino: materiale,spessore della pentola e sua 
superficie totale, "potenza" del fornello, e poi?
Grazie a chi vorrà rispondere ;)
-- 

sturm ha scritto:

La temperatura esterna,l'aumento di calore.....

 superficie totale, "potenza" del fornello, e poi?
Temperatura dell'aria esterna, coefficiente di convezione, dimensione e 
geometria della zona di contatto con la fiamma.
Volendp pensare a una semplificazione, pensa a un fornello con piastra 
elettrica circolare. Il tuo problema è quello di trovare la 
distribuzione di temperatura di un oggetto comporto da un disco di 
metallo di raggio R in cui il disco centrale di raggio r è tenuto a 
temperatura costante T0 (la temperatura del fornello incandescente).
Incidentalmente qui la risposta alla tua domanda è uno dei dati del 
problema - ho barato!
Se il disco della pentola è piccolo è ragionevole pensare che tutta la 
padella raggiungerà la temperatura T0, in un tempo che dipenderà dal 
materiale, dallo spessore e dal modo in cui l'ambiente disperde il 
calore.
Se il disco della pentola è grande, la superficie a cui dover erogare 
calore per portarla alla temperauta T0 cresce, e il fornello potrebbe 
non  essere abbastanza potente da contrastare la dissipazione verso 
l'ambiente esterno per convezione e irraggiamento.
La successiva complicazione consiste nel considerare il trasferimento 
di calore dalla superficie inferiore a quella superiore della pentola, 
per vedere se in quel caso si raggiunge l'equilibrio con la temperatura 
della fiamma - cosa che di sicuro non succede se nella pentola c'è del 
liquido o delle bistecche. (pensa all'esperimento del pentolino di 
carta posto sulla fiamma: la carta non brucia perchè l'acqua riesce a 
sottrarre calore in maniera efficiente alla superficie esposta alla 
fiamma).
Però il problema diventa un po' troppo complicato per essere risolto 
(da me) in cinque minuti e io passo la mano.
saluti,
Peltio
-- 
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 superficie totale, "potenza" del fornello, e poi?
La temberatura esterna, le resistenze termiche e la capacità termica della
padella.
Ciao
-- 
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 dipende questo equilibrio?
Dipende dalla T della fiamma e geometria rispetto al fondo della
padella.
T ambiente
Dimensioni e materiale della padella... a proposito, ci metti il
coperchio?


 Grazie a chi vorrà rispondere ;)
Considerando che:
- i normali fornelli hanno una potenza abbastanza standard (diciamo da 2 a 4 
Kw)
- viste le potenze in gioco, la pentola (vuota) "a regime" disperderà calore 
essenzialmente per irraggiamento termico
- l'irraggiamento termico è proporzionale alla *quarta* potenza della 
temperatura
- I'aria è trasparente alla radiazione elettromagnetica e può essere 
paragonata al vuoto
- è una situazione di "equilibrio dinamico", lo spessore della pentola (la 
massa) a regime è poco influente
direi che il parametro critico è la superfice radiante della pentola.


L'equazione del calore di Fourier dovrebbe rispondere in parte alla tua
domanda: detta T(t,x,y,z) la temperatura della padella al tempo t nel
punto (x,y,z) vale l'equazione alle derivate parziali
dT(t,x,y,z)/dt=c Laplaciano(T(t,x,y,z))
dove Laplaciano(T(t,x,y,z))=[d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2]T(t,x,y,z), e c
e' una costante.
Cerchi le soluzioni stazionarie cioe' quando dT(t,x,y,z)/dt=0 ovvero le
funzioni armoniche nello spazio tridimensionale. Per risolvere il
problema alle derivate parziali si devono assegnare le condizioni al
bordo: quindi il problema dipende sicuramente dalla geometria della
padella (o meglio dalla geometria delle condizioni al bordo assegnate).
Provo a fare una semplificazione drastica come esempio: considera una
padella tonda molto larga (rispetto alla dimensione z) con una fiamma
che e' anch'essa abbastanza diffusa da tenere tutto il fondo alla
stessa temperatura: finche' non ti interessi alla temperatura in
prossimita' del bordo della padella avrai che la temperatura e'
funzione solo di z:
d^2T(z)/dz^2=0
ovvero dT(z)/dz=costante a tratti. Se supponi poi che fino al bordo
della superiore della padella non ci siano discontinuita' nella
temperatura avrai quindi che T(z) e' una funzione lineare di z: detti
T_1 e T_2 le temperature al bordo assegnate rispettivamente al fondo
della padella e al lato superiore avrai che
T(z)=[(T_2-T_1)/s]*z+T_1
dove s e' lo spessore della padella e z e' la coordinata lungo lo
spessore con lo zero sul fondo.
Questa legge risolve il problema per assegnate condizioni al bordo
esterne. Ben piu' complicato e' il conto se si vuole determinare
l'evoluzione del sistema per il quale bisogna calcolare la funzione di
Green con opportune condizioni al bordo. Ancora piu' complicato e' il
caso realistico in cui si tiene conto dell'evoluzione del sistema
esterno.
Saluti.


L'equazione del calore di Fourier dovrebbe rispondere in parte alla tua
domanda: detta T(t,x,y,z) la temperatura della padella al tempo t nel
punto (x,y,z) vale l'equazione alle derivate parziali
dT(t,x,y,z)/dt=c Laplaciano(T(t,x,y,z))
dove Laplaciano(T(t,x,y,z))=[d2/dx2+d2/dy2+d2/dz2]T(t,x,y,z), e c
e' una costante.
Cerchi le soluzioni stazionarie cioe' quando dT(t,x,y,z)/dt=0 ovvero le
funzioni armoniche nello spazio tridimensionale. Per risolvere il
problema alle derivate parziali si devono assegnare le condizioni al
bordo: quindi il problema dipende sicuramente dalla geometria della
padella (o meglio dalla geometria delle condizioni al bordo assegnate).
Provo a fare una semplificazione drastica come esempio: considera una
padella tonda molto larga (rispetto alla dimensione z) con una fiamma
che e' anch'essa abbastanza diffusa da tenere tutto il fondo alla
stessa temperatura: finche' non ti interessi alla temperatura in
prossimita' del bordo della padella avrai che la temperatura e'
funzione solo di z:
d^2T(z)/dz2=0


 paragonata al vuoto
Questo non e' certo vero nell'atmosfera (hai presente l'effetto
serra?) ma sicuramente e' vero per spessori come si trovano in una
cucina :)
 
-- 
Elio Fabri

 dell'ambiente.
Certo, è così! Semplificavo in funzione dei valori in gioco. Applicando una 
formuletta "veloce" per calcolare la potenza scambiata per irraggiamento fra 
due piastre identiche parallele:
Qs = superficiepiastra * sigma * (T1^4 - T2^4)/((1/a1)+(1/a2)-1)
dove la costante sigma vale 5,67 * 10^-8 W/m^2 * K
T1 e T2 sono le temperature assolute delle due piastre, in questo caso 
poniamo T2 a 293 K (20 C°)
a1 e a2 i coefficienti di assorbimento delle due piastre che poniamo 
entrambi a 0,8 (corpi grigi)
vediamo che una piastra (padella) avente superficie di 0,1 m^2  irraggia 
3000 W (la potenza del fornello) alla temperatura di 946 K (673 C°); vediamo 
inoltre che aumentando la temperatura della piastra di 100 K (1046 K) la 
potenza diventa di ben 4500 W, per questo andamento avevo considerato che la 
convezione fosse marginale al fine del calcolo della temperatura della 
padella, anche se concordo che calcolarla è tutt'altro che semplice...
Se invece di usare la differenza delle temperature assolute fra le piastre 
(o fra la piastra e "l'ambiente")  usiamo la temperatura assoluta della 
piastra "calda" (ponendo quindi l'altra a 0 K) vediamo che la potenza 
irraggiata passa da 3000 W a 3027 W, un aumento trascurabile da cui la frase 
in oggetto.

 (673 C°);
E se tu avessi preso una padella piu' ragionevole, poniamo 0.04 m^2,
la potenza sarebbe scesa a circa 1200 W.
Inoltre a quella temperatura la padella sarebbe arroventata:
emetterebbe gia' un po' nel visibile!
Questo dimostra due cose:
a) che bisogna ridurre molto la temperatura, il che e' possibile (e
succede) solo perche' la convezione non e' affattotrascurabile
b) che avendo ridotto la temperatura, T2 diventa meno irrilevante.
 
-- 
Elio Fabri

 All'anima della padella! :-)
Ho preso ad esempio la mia padella preferita (quella per la Paella) da 30 cm 
di diametro, non ho considerato i "bordi" ma ho valutato che l'irraggiamento 
avviene da entrambi i lati della padella, quindi ho tolto qualcosina visto 
il basso coefficiente di assorbimento di un presunto piano di cottura in 
acciaio inox e la distribuzione radiale delle temperature data dal fornello. 
Purtroppo ora mi sono incuriosito e finirà che, armato di termocoppia, la 
mia amata padella la sacrificherò alla scienza!