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Titolo: Chiarimento sui quadrivettori

 
C'è un modo per scrivere un quadrivettore in modo analogo alla notazione polare o esponenziale per i vettori del piano, ovvero come prodotto tra il modulo ed un opportuno "fattore di fase" o qualcosa del genere? 
 
--
Wakinian Tanka

 
 
Io non ti so rispondere, però per i quaternioni c'é: 
http://www.giuseppesottile.it/mathfis/quaternioni.php
 
il che mi porterebbe a pensare che ciò potrebbe essere vero anche per i quadrivettori. Attendo, curioso, altre risposte. Ciao. 
--
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
ID DMR: 2228273

 
Grazie per la risposta Gino! 
In effetti volevo farmi un ripasso sui quaternioni ;-) 
 
 
In effetti(2) non ho specificato che "si, lo so un quadrivettore non ha 2 sole componenti come un vettore del piano o un n. complesso ma per es. con i quaternioni si possono rappresentare le rotazioni nello spazio e quindi anche i vettori tridimensionali in forma polare". Ma mi basterebbe una risposta per quadrivettori ad una sola dimensione spaziale, del tipo (ct,x). 
 
Ma tanto non credevo veramente in una risposta di qualcuno... 
Perchè mi sono posto il problema? Ti accenno ma non lo far leggere se no mi prendono ancora meno sul serio :-) 
Faccio prima con un esempio. 
 
(ct,x) -> il modulo quadro è l'invariante ds^2
(E/c,p) -> il modulo quadro è l'invariante m^2c^2
E = energia, p = quantità di moto. 
 
Sappiamo che se un vettore, nel piano o nello spazio, ha modulo costante, deve essere rappresentabile per mezzo di opportune rotazioni. 
Prendi le prime due componenti: ct ed E/c. Il loro prodotto è dimensionalmente un'azione. Ovviamente lo stesso con x*p. 
Inoltre queste quantità in MQ sono legate dal pr. di indet. di Heisenberg:
 
∆x∆p>=hbar/2
∆t∆E>=hbar/2 
 
In MQ infatti quel prodotto è proprio l'azione. 
 
 
 
 
Feynman ci ha insegnato qual'è il corridpondente quantistico del principio di Hamilto, cioè dell'azione stazionaria, in meccanica Classica: l'azione in MQ è *una fase*, cioè la fase della funzione d'onda; detto ultrasemplicisticamente: se l'azione è stazionaria, la fase lo è e quindi tutti i vettori complessi hanno la stessa direzione e verso (visualizza un vettore nel piano in modo polare con il suo modulo ed il suo angolo), perciò si sommano "costruttivamente" dando luogo ad un vettore finale di maggior ampiezza. Quindi la fase è stazionaria nella traiettoria effettiva della particella. 
Dunque come si passa da meccanica classica a MQ? Azione S -> fase (fase=e^(iS/hbar)). Vedi "Path integral interpretation"
 
 
 
Ma allora, e qui vado SOLO nell'intuitivo più sfrenato, se x e p, oppure E e t (per es) sono componenti di una fase, potrebbero esserlo ct e x, oppure E/c e p? E queste due "fasi" rssere le componenti di una "superfase" la cui stazionarietà mi fornisce un qualche principio che sta ancora prima della RR e della MQ? 
 
Distruggi il messaggio dopo averlo letto! :-) 
 
--
Wakinian Tanka

 
Un possibile candidato "dell'angolo" spaziotemporale che cerco forse ha a che vedere con la rapidità, nella pagina wiki indicata con w: w = tanh^-1 (v/c): 
 
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Rapidity
 
 
che permette di considerare le trasformazioni da un riferimento ad un altro in moto rispetto al primo come semplici rotazioni nello spaziotempo.  
 
Se si scrive che l'azione S moltiplicata w è (proporzionale a) una fase quantistica:
 
Psi = e^{iS*w/hbar} 
 
che equazione soddisfa psi? 
 
Esiste una generalizzazione della rapidità a spazitempo curvi? 
 
(Non pretendo certo di trovare una funzione d'onda della gravità quantistica ma qualcuno molto più bravo di me potrebbe forse trarne qualche spunto?) 
 
--
Wakinian Tanka 

 vedere con la rapidità
Mi correggo: "E'" la rapidità:
https://ibb.co/gvxcn1G
 
:-) 
 
--
Wakinian Tanka

 
https://ibb.co/gvxcn1G
 
Tutto qui?
Il tuo accenno ai quaternioni mi aveva fatto credere che il tuo
obiettivo fosse più ambizioso, e avevo anche perso un po' di tempo a
pensare come risponderti.
Ora sei finito in una banalità: tutti i gruppi di Lie unidimensionali
ammettono una rappr. esponenziale.
Con due sole possibilità:
- gruppi compatti (tutti isomorfi tra loro): con espon. immaginario
- gruppi non compatti (di nuovo un unico gruppo a meno d'isomorfismi)
espon. reale.
 
Detto più semplicemente: i gruppi di Lie unidim. compatti hanno come
prototipo la circonferenza unitaria nel piano complesso.
I gruppi non compatti hanno come prototipo la retta reale.
Nel primo caso hai exp(i phi).
Nel secondo hai exp(theta).
 
Se chiedi perché invece compaiono matrici 2x2 (rotazioni nel primo
caso, trasf. di L. nel secondo) la risposta è che queste nnn sono
rappr. irriducibili.
Più esattamente: la matrice 2x2 di una rotazione è irrid. in campo
reale, ma si riduce in campo complesso.
La matrice di una TdL è riducbile anche in campo reale: come si
trasformano x+ct e x-ct? Oppure E+cp ed E-cp?
 
 
-- 
Elio Fabri

             
Trasformano in che senso? Con un boost di Lorentz? 
Cosa devo guardarmi dei tuoi scritti? Basta studiare il capitolo sui gruppi? 
Grazie della risposta, dato il carattere... esoterico della domanda non me l'aspettavo veramente. 
 
--
Wakinian Tanka

 gruppi?
Volendo ci sarebbe parecchia roba...
Ti ho già citato il cap. 3 di "Invar".
Un altro ciclo di lezioni, più elementare (si fa per dire :-) ) ma
dedicato ai gruppi in m.q. lo trovi in
http://www.sagredo.eu/lezioni/gruppi
 
Ti cito due risultati dimostrati nel cap. 6:
 
1. Il cosiddetto "secondo lemma di Schur":
Dato un gruppo G e una sua rappr. irr. rho sullo spazio complesso V a
dimensione finita, ogni endomorfismo alfa di V che commuti con tutti
i rho(g) e` un multiplo dell'identita`.
 
In parole più semplici: se tutte le matrici di una rappr. irr. di un
gruppo G su uno spazio vettoriale complesso commutano con una matrice
A, questa è un multiplo dell'identità.
 
Ne segue che se un'osservabile commuta con tutti gli operatori di una
rappr. irr. di un gruppo, quell'osservabile è degenere nello spazio di
rappresentazione.
 
Lascio a te di tradurre questo nel caso di una grandezza che commuta
col momento angolare, e quindi ...
 
2. Altro teorema:
Ogni rappr. a dimensione finita di un gruppo finito o compatto è
equivalente a una rappr. unitaria.
 
Questo è molto utile perché gli operatori unitari hanno poprietà
centrali in m.q.
Un esempio in negativo è il gruppo di Lorentz, che *non è compatto*.
Infatti tutte le sue rappr. a dim. finita non sono unitarie.
Non so se hai mai studiato l'eq. di Dirac e in particolare la sua
invarianza relativistica: è un po' un casino proprio per questa
ragione.
 
Termino osservando he quanto ho detto sopra sulla forma esponenziale
del gruppo di Lorentz vale per qualsiasi gruppo di Lie.
Quindi qusta è forse proprio la generalizzazione che cercavi.
Strettamente lgato p il fatto che lo studio di un gruppo di Lie si può
ricondurre in gran parte a quello della sua algebra di Lie, il che è
un grosso vantaggio perché l'algebra di Lie è più semplice da
maneggiare.
E' quello che si fa in molti casi in m.q.
Per es. le componenti del momento angolare con le loro relazione di
commutazione generano l'algebra di Lie del grupo delle rotazioni SO(3)
ovvero SU(2).
Qui ti lascio un po' di suspense: SO(3) e SU(2) hanno la stessa
algebra di Lie, ma non sono isomorfi: sono solo "localmente isomorfi".
Questo argomento è discusso nel cap. 11.
 
Buon divertimento :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 Dici? Fammi un esempio, perché la cosa mi giunge nuova.
 
Pagina wiki:
https://ibb.co/7XDKGZc
 
 
Grazie mille di tutto Elio! 
Non so se avrò il coraggio di studiare tutto quello che mi hai indicato, ma ci proverò senz'altro. 
Ciao! 
 
--
Wakinian Tanka

 trasformano x+ct e x-ct? Oppure E+cp ed E-cp?> Elio Fabri
 
Non conoscevo questa chicca, dove (e quando) l'hai trovata?
Se ho copiato i segni giusti, viene fuori che:
(x+ct)' = gamma (1+beta) (x+ct)
(x-ct)' = gamma (1-beta) (x-ct)
 
Molto bello,  ma fisicamente cosa significa?
Forse che le traiettorie di un raggio di luce "in avanti" e "all'indietro" non si mischiano (sono sottospazio invariante) in una TdL?

 Grazie mille di tutto Elio!
Non c'è di che.
 
 
-- 
Elio Fabri

 TdL?
Sì certo. Dato che siamo in 1+1 dimensioni, le sottovarietà invarianti
dello spazio-tempo sono:
 
1) l'origine (non so se sia corretto chiamarla "varietà")
 
2) le iperboli x^2 - c^2 t^2 = cost con la costante che può essere
positiva (intervalli di tipo spazio) oppure negativa (tipo tempo).
Anzi più esattamente, sono invarianti i *rami* delle iperboli, perché
tanto il segno di t per il tipo tempo quanto il segno di x per il tipo
spazio sono invarianti.
Nota che in 3+1 dim. la seconda cosa non sarebbe vera: gli iperboloidi
a una falda sono connessi. Puoi aggirare il cono luce restando sempre
in punti in cui r > ct.
 
3) il cono luce futuro, o meglio le due parti con x>0 e x<0
separatamente
 
4) idem per il cono-luce passato.
 
Può riuscire più comodo lavorare con altre coordinate:
u = x + ct
v = x - ct.
Allora l'invariante è semplicemente uv, e le trasf. di Lorentz si
diagonalizzano:
u' = ku
v' = v/k
e hai i due sottospazi invarianti v=0 e u=0
Per di più i segni di u,v sono invarianti.
 
Altro modo, che forse troverai più fisico.
Come avevo suggerito, si può studire la legge di trasf. di E, p, e si
trova
E' + cp' = k (E + cp)
E' - cp' = (E - cp) / k.
Per particelle di massa nulla E = c |p| e quindi
E' = kE.
Questo non è che l'effetto Doppler: E = h nu quindi
nu' = k nu.
Ecco il significato fisico di k.
 
Ultima notizia: esiste un libretto di H Bondi, intitolato "Relativity
and Common Sense" (1964) che fa parte della collana di monografie
sicentifiche in appoggio al corso PSSC.
In quel libretto Bondi fa sistematicamente uso del "k-calculus" per
spiegare le trasf. di Lorentz senza nominarle.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri

 della massa e dell'elicità/spin, alias le particelle libere"?
 
Mettiamo un po' d'ordine...
Anche solo restando ai gruppi propri (perché poi ci sono le inversioni
di spazio e tempo) c'è una gerarchia di gruppi e sottogruppi:
 
- Il gruppo di Poincaré in 3+1 dim.
- che è l'estensione inmogenea del gruppo di Lorenz 3+1
- ma ha anche come sottogruppo il gr. di Poincaré in 1+1 dim.
- infine c'è il gruppo di L in 1+1 (quello di cui abbiamo parlato) che
è sottogruppo di tutti gli altri.
Di tutti questi, solo l'ultimo è commutativo.
 
Figura da vedere monospaced:
                                P(3+1)
                                  /\
                                 /  \
                                /    \
                            L(3+1)   P(1+1)
                                \    /
                                 \  /
                                  \/
                                L(1+1)
 
Lo slogan che dici riguarda P(3+1).
Va anche detto che se pensi alle rappr. bisogna ricordarsi che i grupi
importanti L(3+1) e P(3+1) non sono semplicemente connessi, e in
fisica servono i loro ricoprimenti universali, risp. SL(2,C) e un
gruppo che non so se abbia un nome ma è il gruppo inomogeneo associato
a SL(2,C).
SL(2,C) è definito come il gruppo delle matrici complesse 2x2 a
determinante 1.
Senza di che, gli spin semiinteri non li trovi...
 
Qui c'è sotto una cosa che a essere onesto non ho mai capito a fondo,
anche se usavo mostrarla quando insegnavo Fisica Teorica :-)
 
 
-- 
Elio Fabri