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Titolo: Spazio-tempo

 
 
 
 
 
per far capire meglio il concetto che la forza di gravità altro non è che la curvatura dello spaziotempo, molte volte vedo che si fa l'esempio di due persone che partono dall'equatore(distanti tra di loro per esempio 100km)e proseguono diritti verso il poli nord senza mai deviare nè a destra nè a sinistra. orbene, si vedrà che dopo un certo tempo la loro distanza che inizialmente era di 100km, ora è diminuita 8per esempio fino a 90km). E il loro avvicinamento non è dovuto ad una reciproca attrazione gravitazionale, ma semplicemente perchè si trovano in una superfice curva. Ora invece se facciamo viaggiare queste due persone nello spaziotempo avviene la stessa cosa, si avvicineranno perchè si trovano in un ambiente curvo...
Domanda e vi prego di non inorridire :
 
perchè devo tener conto anche del tempo ? Infatti si chiama spazio-tempo. La materia incurva lo spazio ok e un oggetto o un pianeta segue la curva dello spazio.
Perchè devo tener conto anche del tempo ?
Bruno

 Perchè devo tener conto anche del tempo ?
 
Prova a immaginare cosa accadrebbe se la gravita` fosse una
curvatura puramente spaziale. Immagina un corpo celeste la
cui gravita` fosse una siffatta deformazione dello spazio.
Immagina di voler mettere in orbita un satellite attorno a
quel corpo celeste.
Supponiamo che sia possibile mettere un satellite in
un'orbita circolare attorno a quel corpo, a una certa quota
e una certa velocita`.
Cosa accadrebbe cambiando la velocita` del satellite, a
parita` di quota? Prova a pensarci.
Non cambierebbe nulla. Il satellite continuerebbe a
percorrere la sua orbita circolare come un trenino percorre
i suoi binari, solo a una velocita` diversa. Addirittura, se
il satellite fosse fermo, rimarrebbe li' senza cadere.
Perche' dovrebbe cadere? Quale forza dovrebbe mai tirarlo
giu', se la gravita` fosse solo una deformazione dello
spazio?
A una quota diversa non esisterebbero orbite stabili. A
quote inferiori tutti i satelliti cadrebbero, qualunque
fosse la loro velocita`, che per inciso rimarrebbe costante
durante la caduta. A quote superiori tutti i satelliti in
moto a velocita` maggiore di zero si perderebbero nello
spazio.
In sintesi: se la gravita` fosse una curvatura dello spazio,
produrrebbe una forza proporzionale alla velocita` e sempre
puramente deviante, cioe` ortogonale alla velocita` del corpo.
Somiglierebbe insomma alla forza di Lorentz per le cariche
elettriche in un campo magnetico, o a quella di Coriolis.
 
La RG dice che la gravita` e` una curvatura dello
spazio-tempo. Tutti i corpi, anche quelli fermi rispetto al
corpo celeste che vogliamo considerare, descrivono una
traiettoria nello spazio-tempo: si chiama linea di universo.
E` questa traiettoria a venire deviata. Per corpi in moto a
velocita` molto piu' basse di quella della luce, la linea di
universo e` quasi verticale (nel senso di parallela all'asse
dei tempi, che di solito nei diagrammi spaziotemporali e`
l'asse verticale). E` proprio l'effetto di deviazione della
componente verticale (che tutti i corpi hanno) a produrre la
forza di gravita` indipendente dalla velocita` che tutti
conosciamo.
Come si sara` capito, in RG esiste *anche* un effetto
gravitazionale deviante proporzionale alla velocita`, ma a
basse velocita` e` trascurabile. A velocita` relativistiche
diventa importante ed e` il motivo per cui la deviazione
della luce stellare durante un'eclisse, di entita` doppia
rispetto a quella prevedibile in base alla teoria di Newton,
fu considerata una prova della RG.
 
Ciao
Paolo Russo

 conto anche del tempo ? Bruno
 
C'è una delle lezioni di Feynman, sta in 'sei pezzi meno 
facili'; nell'edizione color amarena della Adelphi del 2004 sta 
a pagina 205.
 
E' incredibile la sua capacità di spiegare le cose, Feynman ha 
davvero una dote rara; la curvatura dello spazio-tempo si vede 
con gli occhi, chiaramente a costo di usare una sola dimensione 
spaziale che oltretutto rende le cose semplici.
 
Ora, se non viene citato mai - e se pure sporadicamente sono su 
questo ng da secoli - è possibile che ci sia un motivo valido e 
se esiste spero che qualcuno competente ne voglia parlare 
rendendo ovviamente inutile e dannosa :D la mia segnalazione.
 
Nel caso invece che come spero, la presentazione di Feymam è 
poco citata solo perché il fisico quadratico medio non si mette 
nei panni di chi non ha la sua capacità di astrazione, ecco, 
penso valga la pena.
 
 
ps - non ho capito la RG: cito il testo solo come una specie di 
passamano da vagliare.

 Domanda e vi prego di non inorridire :perchè devo tener conto anche del tempo ? Infatti si chiama spazio-tempo. La materia incurva lo spazio ok e un oggetto o un pianeta segue la curva dello spazio.Perchè devo tener conto anche del tempo ?
 
 
Non puoi usare un orario ferroviario senza il tempo, cioè dove hai
 cancellato tutte le ore. 
In relatività generale la gravitazione è stata geometrizzata. Lo
 spaziotempo è astratto, non esiste. La materia dice al fisico
 come curvare a tavolino lo spaziotempo e lo spaziotempo serve al
 fisico per calcolare come si muove la materia. 
 
La curvatura non esiste, è un semplice strumento di calcolo, come
 lo spazio delle fasi di Gibbs (guardatelo in rete!), o come lo
 spazio dei parametri in meccanica analitica. 
Il resto è tutta una poetica divulgazione... un best seller rende
 molto bene sai!
 
 
-- 
anth

pcf ansiagorod ha scritto:
 > C'è una delle lezioni di Feynman, sta in 'sei pezzi meno facili';
 > nell'edizione color amarena della Adelphi del 2004 sta a pagina 205.
 >
 > E' incredibile la sua capacità di spiegare le cose, Feynman ha
 > davvero una dote rara; la curvatura dello spazio-tempo si vede con
 > gli occhi, chiaramente a costo di usare una sola dimensione spaziale
 > che oltretutto rende le cose semplici.
 >
 > Ora, se non viene citato mai - e se pure sporadicamente sono su
 > questo ng da secoli - è possibile che ci sia un motivo valido e se
 > esiste spero che qualcuno competente ne voglia parlare rendendo
 > ovviamente inutile e dannosa :D la mia segnalazione.
Ti spiego la mia situazione. Non ne ho mai parlato semplicemente
perché non la conoscevo.
Nella mia vecchia edizione non c'era: fa parte degli argomenti
aggiunti in edizioni successive.
Ora l'ho vista: è l'ultimo capitolo (42) del secondo volume.
E avendola vista, è molto probabile che se l'avessi conosciuta ne
avrei parlato, perché non mi sento affatto di raccmandarla.
 
Con questo non voglio dire che sia tutto da buttar via (è pur sempre
Feynman :-) ). Ma ci sono troppe cose che non mi pacciono, non mi
piace l'impianto generale e ci sono veri e propri errori.
Intanto cito due frasi che ho avvistato scorrendo di corsa, e che io
non scriverei neppure sotto tortura (beh, siamo onesti ... come mi
comporterei davvero sotto tortura proprio non lo so).
 
"some curvature components are nonzero both inside the earth and
outside. It is that curvature that we see as a gravitational force."
 
"You will remember that the measurement of time depends on the speed
at which you move. For instance, if we watch a guy going by in a
spaceship we see that things happen more slowly for him than for us."
 
Queste non solo non mi piacciono, ma sono proprio sbagliate.
Ma passiamo alla curvatura dello spazio-tempo (sez. 42-7). Il cuore
del discorso è la fig. 42-18, dove F. costruisce un quadrilatero che
avendo gli angoli retti e i lati ooposti uguali dovrebbe formare un
rettangolo, e invece non si chiude...
 
"And that's what we mean when we say that space-time is curved."
 
Sbagliato.
Il problema ora è come posso giustificare questa perentoria
affermazione. Ci ho pensato un po', e penso di potermela cavare come
segue.
 
In primo luogo, se si segue il ragionamento di F. si vede che ciò che
manca per chiudere il rettangolo è una lunghezza proporzionale a g
(acc. di gravità) ossia inv. proporz. a R^2 (R raggio della Terra).
Ne possiamo concludere che secondo F. la curvatura dello spazio-tempo
attorno alla Terra va come 1/R^2, Invece è noto che va come 1/R^3.
 
Un discorso più complesso, che taglia alla base il ragion. di F. si
basa sul principio di equivalenza. Visto che accelerazione equivale
a tutti gli effetti a gravità, e visto che l'accel. è relativa al rif.,
se ne concluderebbe che anche la curvatura è relativa; cosa che lo
stesso F. esclude in modo chiaro più avanti: la geometria dello
spazio-tempo *non dipende* dall'osservatore.
 
Del resto ti basterebbe leggere attentamente le lez. 9 e 10 del mio
Q16, che sono in gran parte dedicate all'esperimento di
Briatore-Leschiutta, alla sua interpretazione, e proprio al problema
della curvatura.
Ci trovi spiegato ad abundantiam che la curvatura non è legata alla
gravità, ma alle forze di marea, he vano appunto come 1/R^3.
 
Per tornare a F., ci sono anche cose che mi piacciono, ad es. la
dimostrazione che la RG riproduce (in appross. di piccole velocità e
campo debole) il moto newtoniano dei gravi.
Del resto esattamente lo stesso discorso (lo stesso, ma nato
indipendentemente) lo puoi trovare nel cap. 19 del mio "Per un
insegnamento moderno della relatività":
 
http://www.sagredo.eu/Ins-mod-rel/Ins-mod-rel-19.pdf
 
 
Non c'è da stupirsi che F. ricorra a un approccio variazionale: il pr.
della geodetica che porta all'integrale di Hamilton-Jacobi della mecc.
classica. È ben nota la predilezione che F. aveva per i principi
variazionali.
-- 
Elio Fabri

 gravità, ma alle forze di marea, he vano appunto come 1/R^3.
 
Ci sto sopra da un sacco di anni e le riprendo se non spesso 
almeno con un po' di costanza. E' evidente che sto cercando di 
forzare i limiti della mia capacità di comprensione e non è una 
cosa facile. Grazie come sempre :)

pcf ansiagorod ha scritto:
 > Sono abbastanza tristemente sbalordito, è come se fosse saltata in
 > aria la mia cassaforte :D Ovviamente ho sempre avuto il problema
 > sotto gli occhi senza saperlo vedere.
Non te la prendere :-) pensa quanta gente prima di te avrà letto
quelle pagine senza accorgersi di niente :-(
L'effetto Feynman colpisce sempre. Non è il solo, ma lui forse più di
altri.
 
 > Spero solo che qualcuno vorrà riprendere l'idea con numeri e formule
 > giusti. Probabilmente in una sola dimensione spaziale il percorso
 > che non si chiude dovrebbe ancora essere un concetto valido.
Non credo ci sia molto da riprendere, dato che si tratta di cose ben
note a chi capisce qualcosa di RG.
Il problema, al solito, è che con numeri e formule (e soprattutto
ragionamenti) giusti la cosa si complica subito.
 
Ora cercherò di metterti sulla strada giusta, ma non posso fare tutto
il discorso preciso per filo e per segno: questo è un NG, non un corso
universitario...
(Sono costretto a mettere l'aggettivo, perché mi sono ormai dovuto
convincere che non ci sono speranze di spiegare queste cose a un
livello più basso. Chiacchiere se ne possono fare - se ne fanno -
tante, ma i discorsi corretti sono ben più difficili, e come al solito
*non per la matematica*.)
 
Una parentesi: questo ed eventuali seguiti è l'unico post che apparirà
a mio nome su questo NG. Gli altri thread in corso ho deciso di
lasciarli al loro destino.
 
Vediamo dunque le basi logiche del discorso.
L'argomento del quadrato che non si chiude F. lo introduce
nell'esempio della sfera (con accenno ad altri casi).
Se non sbaglio la parola "geodetica" in tutta la lezione non appare, ma
è implicita tutte le volte che parla di archi di curva di lunghezza
minima (sulla sfera) o massima (più avanti, nello spazio-tempo).
 
Tuttavia è chiaro quando descrive il quadrato sulla sfera: i lati
debbono essere archi di cerchio massimo (che sono appunto le geodetiche
della sfera).
Quando passa allo spazio-tempo (della RR) la prima cosa che fa è (42-5)
definire le geodetiche (di tipo tempo) come le curve col massimo tempo
proprio, e dice anche che sono le linee orarie di un moto rettilineo
uniforme.
Introduce poi il PE, in un primo tempo nelle due forme:
- in un rif. in caduta libera la gravità scompare
- in un rif, accelerato i corpi si muovono come se vi fosse un campo di
gravità addizionale.
Dimentica però di dire una cosa importante: per tutto questo non ci
voleva Einstein, era già noto perfino a Newton, anche se non lo
esprimeva con queste parole.
Fa di peggio quando scrive
"Now let's compare that [l'astronave accelerata] with the situation in
a spaceship sitting at rest on the surface of the earth. /Everything
is the same!"/
Il grave difetto è che non spiega che cosa debba intendersi con quel
"everything". Se intendiamo "tutti i fenomeni meccanici", vale quanto
già detto: non ci voleva Einstein e non se ne può ricavare niente di
nuovo.
Il punto che avrebbe dovuto sottolineare con più tratti colorati, è
che E. qui fa un coraggioso salto: afferma che il PE abbia validità
generale in fisica, non ristretta al moto.
Di passaggio, è esattamente lo stesso salto che aveva fatto dal PR di
Galileo, la cui validità in meccanica era arcinota prima di lui, al
suo PR princpio generale della fisica, e per es. valido per le leggi
dell'elettromagnetismo (cosa al suo tempo ampiamente dibattuta: etere
o non etere?)
 
Invece F. in 42-6 *senza fare una piega* applica il PE per dedurne il
redshift gravitazionale (ovvero il cosiddetto rallentamento di un
orologio che si trovi in basso in un campo gravitazionale).
Lo deduce esattamente con lo stesso argomento che aveva usato E. (se
ricordo bene, nel 1911): prima dimostra in modo banale che l'effetto
esiste tra due orologi in testa e in coda di un'astronave accelerata,
nello spazio lontano, poi usa il PE per concludere che *quindi* la
stessa cosa deve succedere agli orologi quando l'astronave è ferma
alla superficie della Terra, quindi immersa nel suo campo
gravitazionale. (Più in dettaglio se ne parla nel Q16 a pag. 94.)
La previsione è quantitativa: alla fine della sezione F. fa il calcolo
sulla Terra, mostra quanto sia piccolo l'effetto, e conclude:
"However, just such a change has recently been found experimentally
using the Moessbauer effect. [La citazione è all'articolo di Pound e
Rebka del 1960.] Einstein was perfectly correct."
 
Tutto giusto, ma l'importanza del salto avrebbe meritato qualche
parola...
 
Per stasera mi fermo qui.
-- 
Elio Fabri

Riprendo il discorso, cominciando con una correzione. Avevo scritto:
 > Quando passa allo spazio-tempo (della RR) la prima cosa che fa è
 > (42-5) definire le geodetiche (di tipo tempo) come le curve col
 > massimo tempo proprio, e dice anche che sono le linee orarie di un
 > moto rettilineo uniforme.
Tutto vero, ma sta nella sez. 42-5.
Invece il PE è trattato in 42-6.
 
Passiamo ora alla sez. 42-7 (quella incriminata).
Qui F. si propone di dimostrare che lo spazio-tempo è curvo, con un
argomento che dovrebbe ricalcare quello - presentato per la sfera - di
un quadrato che non si può chiudere.
Esegue la costruzione della fig. 42-18, vede che il rettangolo non si
chiude, e conclude:
"[...] the pieces don't fit. And that's what we mean when we say that
space-time is curved."
Debbo ora spiegare che la costruzione di F, è platealmente sbagliata
(facile) e poi mostrare come sarebbe la costruzione corretta, che ci
può dire se lo spazio-tempo sia curvo o no (molto più difficile).
 
Riguardiamo la fig. 42-8. Come è costruito lo pseudo-quadrato? Si
parte dal punto A; si sceglie una direzione qualsiasi, e si traccia
l'arco di cerchio massimo avente quella direzione, per una lunghezza
poniamo di 100 pollici (come in fig. 42-7-a, relativa a un piano
euclideo). Poi si svolta a destra di 90°, si percorrono altri 100
pollici sempre su un cerchio massimo; ancora una svolta a destra,
altri 100 pollici, un'altra svolta (sempre di 90°) e infine il quarto
lato di 100 pollici ... ed ecco la sorpresa: si arriva in un punto B
diverso da A.
 
F. non lo fa, ma possiamo prenderci la briga di calcolare la distanza
AB. Per meglio dire: io l'ho fatto, e qui riporto il risultato. Tanto
sono sicuro che sai farlo anche da te :-).
Detto r il raggio della sfera, q il lato dello pseudo-quadrato, si ha
 
AB = 2r*arcsin[4*cos(a)*sin^3(a)]
 
dove a = q/(2r). (S'intende che AB è misurato *sulla sfera*, non è la
corda.)
Può essere interessante il caso limite q<<r;
 
AB =~ q^3/r^2.
 
Nota che mentre saprei giustificare l'espressione k*q*(q/r)^n, (con k
numero puro sconosciuto) non saprei dire perché debba essere k=1, n=2.
 
A parte il necessario uso della geodetica, c'è un'altra cosa da
osservare nella costruzione.
Lavorando su una sfera immersa nello spazio euclideo è automatico
usare, senza pensarci, la lunghezza degli archi: tutti lunghi 100
pollici o altro valore a piacere.
Ma quando passeremo allo spazio-tempo questo ci darà da pensare...
 
Dopo aver approfondito tutti i dettagli della costruzione sulla sfera,
posso demolire quella che F. fa nello spazio-tempo. O quanto meno,
mostrare che le due costruzioni non hanno niente in comune e quindi
non si può usare la prima per interpretare la seconda.
 
Intanto (l'avrai già visto) F. tenta di costruire un rettangolo, non
un quadrato. Su questo torneremo.
 
Poi (sarei felice se tu avessi visto anche questo) F. *non usa
geodetiche*, sebbene le abbia appena definite: usa invece un sistema
di coordinate (t,z) cosa che non aveva fatto per la sfera, e pretende
che anche la nuova costruzione debba chiudersi se lo spazio-tempo è
piatto.
Ma almeno le curve z=cost *non sono geodetiche*: lo stesso F. lo
dimostra nella sez. 42-8.
 
In realtà basta applicare il PE per capire che tale aspettativa è
ingiustificata. Se infatti ci mettiamo in una regione di spazio-tempo
lontanissima da masse, dove quindi non ci sono campi gravitaz.
apprezzabili, ci aspettiamo che lì valga la RR e lo spazio-tempo sia
piatto.
In termini fisici, basterà mettersi in un rif. inerziale (un'astronave
a motori spenti) per verificare che le cose stanno così: possiamo
usare la RR, adottando coord. di Minkowski (t,x,y,z) con metrica
 
ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.
 
Non c'è dubbio che con queste coord. la costruzione di F. avrebbe
pieno successo.
 
Mi dirai: ma che c'entra? F. ragiona sulla Terra, dove il campo grav.
c'è!
Ma è appunto qui che gioca il PE, usato per così dire alla rovescia.
Torniamo all'astronave nello spazio lontano, che costituiva il nostro
rif. inerziale.
Chiediamo al comandante di dare ordine di far partire i razzi,
regolati in modo di dare all'astronave un'accel. pari a g.
Che cosa ci dice il PE su questo rif., che ora ha accel. g?
Ci dice che *a tutti gli effetti fisici* quell'astronave sarà
indistinguibile da una ferma sulla Terra, verticale nella rampa di
lancio.
In particolare in entrambi si osserverà la discordanza tra orologi
posti in testa e in coda. Bella scoperta, mi dirai, è proprio così che
E. ha scoperto il redshift gravitazionale!
Giusto, rispondo, ma di questo non bisogna ricordarsi a giorni
alterni, solo quando serve per un scopo, e poi nasconderselo quando
darebbe problemi...
 
In particolare, lo spazio-tempo dentro e attorno a quell'astronave era
piatto quando aveva i motori spenti, ma non è cambiato avendoli
accesi: non è il fatto che i motori siano accesi e l'astronave
accelerata a decidere se lo spazio-tempo è o no piatto; la sua
curvatura è determinata dalla disribuzione delle masse nell'Universo,
e la massa dell'astronave è minuscola e irrilevante.
 
Ma che ci aspettiamo se facciamo l'esperimento con gli orologi, e poi
la costruzione di F., stando nell'astronave coi motori accesi? La
risposta ce la dà il PE: succederà quello che capita sulla Terra: gli
orologi scarteranno tra loro, e il rettangolo della figura *non si
chiuderà*.
È così dimostrato che la figura di F. *non dimostra che lo
spazio-tempo sia curvo*.
 
Mi dirai: va bene, questo l'avevi già detto. ma una figura che sia
l'analoga di quella sulla sfera, capace di rivelare l'esistenza di
curvatura, com si fa?
È qui che comincia il difficile... A domani.
-- 
Elio Fabri

 Passiamo ora alla sez. 42-7 (quella incriminata). 
questa direi che sia giusta: 42-7.
Infine, una curiosità. Cosa sarebbe l'effetto Feynman che dici nel post del 16/7 ore 0:55? Lo stupirsi nel notare un suo errore?
 
Bruno Cocciaro.

 suo errore?
 
O anche una forma debole del principio di autorità per cui non 
si pensa che potesse sbagliare quindi non si va ricontrollare 
tutto? Almeno su di me prende questa forma anche se capisco 
benissimo che la domanda non è rivolta a me.

Riprendo il discorso, e debbo correggere la correzione :-(
Le due righe
 > Tutto vero, ma sta nella sez. 42-5.
 > Invece il PE è trattato in 42-6.
vanno corrette:
Tutto vero, ma sta nella sez. 42-4.
Invece il PE è trattato in 42-5.
 
Il mio post precedente terminava:
 > Mi dirai: va bene, questo l'avevi già detto. ma una figura che sia
 > l'analoga di quella sulla sfera, capace di rivelare l'esistenza di
 > curvatura, come si fa?
 > È qui che comincia il difficile... A domani.
Vediamo perché dico che comincia il difficile.
Sembrerebbe facile: proviamo a costruire un quadrato nello
spazio-tempo, usando geodetiche, e vediamo che succede.
 
Il primo problema è che non abbiamo sul tempo lo stesso controllo che
abbiamo sullo spazio; bisogna ricorrere ad artifici poco naturali.
Ma procediamo passo passo.
Cominciamo pensando all'astronave ferma in assenza di gravità.
Anche così, avremmo difficoltà a costruire un quadrato, perché è
difficile capire come si fa a misurare la stessa lunghezza in direzione
tempo come in direzione spazio.
 
È per questo che F. in realtà prova a costruire un rettangolo, non un
quadrato. E del resto un quadrato non è necessario: sulla sfera
(spazio curvo) non sarebbe possibile costruire neppure un rettangolo,
ossia un quadrilatero con tutti gli angoli retti. Non c'è bisogno
d'imporre condizioni sui lati.
 
F. (fig. 42-10) parla dell'eccesso sferico per un triangolo, ma il
teorema vale per qualsiasi poligono. Per un n-gono la somma degli
angoli interni in geometria euclidea vale (n-2)*pi; per n=4 si ha
2*pi, che è appunto la somma dei 4 angoli retti di un rettangolo.
Il teorema dell'eccesso sferico dice che in geometria sferica la detta
somma è maggiore, e l'eccesso è area/R^2.
In un generico spazio curvo non vale un teorema così semplice, ma in
generale ci si deve sempre aspettare un eccesso (o un difetto);
quindi un tentativo di rettangOlo con gli angoli retti *non si
chiuderà*.
 
Tornando invece all'astronave ferma in assenza di gravità, la
costruzione ha successo: intanto tutte le rette sono geodetiche, poi
le rette t=cost e quelle z=cost sono tra loro perpendicolari (non è
banale, ma sorvolo) quindi una costruzione come quella della fig.
42-18 si può fare. Anche senza misurare i lati, il rettangolo si
chiude con C=C'.
Per di più si ha anche AB=CD (la differenza delle z è la stessa per
costruzione) e AC=BD (gli orologi in A e in B possono essere
sincronizzati e il sincronismo si mantiene: nessun ritardo né
anticipo).
Su quest'ultimo punto conviene fermarsi: che non ci sia problema con
gli orologi è in realtà un prerequisito per poter disegnare la figura,
coi suoi bravi assi cartesiani t e z.
Infatti questo si può fare proprio perché in RR in un rif. inerziale
si può definire una coordinata tempo in tutto lo spazio-tempo.
Non si tratta di una coord. arbitraria, ma proprio del tempo segnato
dagli (infiniti) orologi sincronizzati che possiamo disporre nel rif.
 
Forse riterrai inutilmente pignolesca e prolissa tutta questa
trattazione di un caso facile e familiare a chi conosce la RR.
Ma non lo è, perché è proprio la scarsa attenzione a tutti i punti
critici che poi crea problemi, equivoci, veri e propri errori (F.
insegna) quando si esce dal terreno tutto sommato tranquillo della RR.
 
Possiamo vedere la questione da un altro punto di vista. Lo
spazio-tempo della RG è riemanniano (o meglio pseudo-riemanniano). Il
che vuol dire prima di tutto che è possibile definire 4 coordinate per
rappresentare tutti i punti dello spazio-tempo.
L'unico requisito che si pone alle coordinate è che rappresentino lo
spazo-tempo in modo *biunivoco e continuo* (in realtà differenziabile
e magari C^inf, ma non occorre ora preoccuparsene).
Per quanto possa sembrare strano, all'inizio fu proprio questa estrema
libertà a porre problemi a Einstein, che cercava sempre di dare
un'interpretazione fisica alle coordinate, o almeno di restringerne la
scelta con qualche proprietà addizionale.
 
Possiamo largamente giustificare E, che era il primo a imbattersi in
un situazione del tutto nuova nel rapporto tra matematica e fisica:
che non esistesse un'unica struttura matematica capace di descrivere
correttamente i fatti. Che quindi la corrispondenza tra dati
dell'esperienza ed elementi della teoria potesse essere più complicata
di come si era abituati fino allora.
(Sono meno giustificati coloro - insegnanti, autori di testi) che
ancor oggi non hanno capito questa lezione. E ce ne sono...)
 
L'esempio del tempo è emblematico: nella fisica newtoniana t è il
tempo, ogni evento ha una coord. t ben definita.
Già in RR questo legame si allenta: bisogna dire *fissato un rif.
inerziale* ogni evento ha un tempo ben definito, ecc.
In RG semplicemente *un tempo non c'è*, e non è affare di riferimenti.
Sta largamente al teorico decidere quale sistema di coord. adottare, e
non è neppure detto a priori che una delle coordinate abbia
direttamente a che fare col tempo.
Resta il fatto che esistono gli orologi: ognuno di questi ha una sua
curva oraria, parametrizzata col tempo dell'orologio (tempo proprio).
Ma questo tempo di regola *non è una coordinata*.
 
Tutto ciò pone un grosso problema didattico: come si fa a presentare
in modo comprensibile queste idee, che sembrano richiedere una poderosa
capacità di astrazione?
Mi sembra che una via possibile sia di pssare attraverso le carte
geografiche. Queste forniscono un punto d'appoggio concreto per
costruire le idee portanti della RG.
La prima è proprio questa: un diagramma spazio-tempo non è che una
*carta* di una porzione dello spazio-tempo (più esattamente, di una
sua sezione, con una sola dimensione spaziale.)
Ma ci sono tanti modi di fare una carta; per la Terra si parla di
"proiezioni". Ogni proiezione ha le sue proprietà, più o meno
vantaggiose a seconda dello scopo per cui si fa la carta.
Lo stesso vale per le carte dello spazio-tempo, con una difficoltà
addizionale che ora esaminiamo.
 
La superficie della Terra e una sua carta geografica sono già in una
realazione complicata, che si descrive facilmente anche se la
risoluzione pratica presenta aspetti variati che bisogna imparare per
poter "leggere" la carta.
Cerco di non farla lunga, ma insomma...
 
La superficie della Terra in realtà non è neppure una superficie:
fisicamente è qualcosa di assai più complicato, con picchi, guglie,
cavità, grotte, pareti verticali ... e anche massi, sassi, alberi,
case...
 
Di tutto ciò nelle carte ci si dimentica o se ne dà una
rappresentazione simbolica: si esegue uno "smoothing" fino a ottenere
una superficie matematicamente trattabile, e si rappresenta quella;
colorando poi la carta, tracciando marcature varie che cercano di
ricordare tutto ciò che è stato ignorato nella rappresentazione.
 
Ma fatto questo, la superficie "lisciata" della Terra e il foglio
della carta sono entrambe superficie riemanniane con le loro
coordinate di cui ho già detto e con in più un altro elemento
strutturale caratteristico delle varietà riemanniane: detto alla
buona, una *distanza* definita *sulla* superficie.
Questa è un numero reale positivo che viene associato a ogni coppia di
punti sulla superficie. (Evito di dare le precisazioni matematiche che
sarebbero necessarie in generale, ma che possiamo trascurare per i
nostri scopi.)
 
Il rapporto tra la distanza reale e quella dei corrisp. punti sulla
carta è la "scala" della carta. Con l'importante avvertenza che in una
data carta questo rapporto in realtà non è costante; quando si dà la
scla di una carta di deve sempre intendere come una media.
Su una carta della Terra la scala non è *mai* costante: non è
possibile una carta che rappresenti una porzione della Terra senza
falsare poco o tanto le distanze.
 
In tema di distanze per lo spazio-tempo appare una differenza che non
possiamo trascurare, e che si nasconde dietro quello "pseudo-" che ho
prefisso quando ho definito la matematica dello spazio-tempo.
Per lo spazio-tempo resta vero che a ogni coppia di punti si associa
un numero d, che però non si può semplicemente intendere come distanza
e può anche essere nullo o negativo.
Basta conoscere la RR per capire di che cosa sto parlando: la
relazione tra due punti (eventi) può essere di tre tipi:
- tipo tempo: d>0, si prende come distanza sqrt(d)
- tipo spazio: d<0, distanza = sqrt(-d)
- tipo luce: d=0.
 
E qui facciamo pausa...
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
 
Peccato che sui news-group non si possa mettere un semplice "mi piace", 
ma bisogna per forza scrivere qualcosa ....
 
Ne approfitto per consigliare al mio amico Cocciaro la lettura attenta di queste illuminanti parole :-)
 
ciao,
Michele

Ho dovuto fare una pausa di tre giorni perché non ero soddisfatto
della strada che avevo preso. Prego quindi di sopprimere l'ultimo
capoverso, che inizia "In tema di distanze".
Ho deciso che non posso semplificare troppo il capitolo che stavo
affrontando: debbo chiarire che cos'è una metrica in una varietà
riemanniana, e poi mostrare la differenza nel caso prsudo-riemanniano
(come è lo spazio-tempo).
 
Restiamo pure all'esempio della superficie della Terra, per la quale è
in uso praticamente universale un unico sistema di coordinate,
longitudine e latitudine. Con una variante: spec. in ambito fisico è
più comune usare la "colatitudine", che va da 0 al polo nord a 90°
all'equatore e 180° al polo sud. Anche i simboli differiscono: in
fisica si usa theta per la colatitudine e phi per la longitudine. Così
farò qui, abbreviando theta in th e phi in ph.
 
In una carta geografica, come ho già detto, si possono trovare le più
diverse proiezioni, ma in tutte sono sempre indicate le curve th=cost
(paralleli) e quelle ph=cost (meridiani). La proiezione più semplice,
(che non so come si chiama, è quella in cui meridiani e paralleli sono
rette ortogonali equidistanti. Un esempio è la fig. 9-6 del Q16.
 
Una superficie matematica come la sfera, che idealizza quella della
Terra, è detta riemanniana; il che vuol dire - come già sappiamo - che
ammette coordinate, ma non solo: sulla Terra reale si possono misurare
*distanze*, e lo stesso si puo fare sulla sfera. E importante chiarire
la relazione tra distanza e coordinate, che si riassume nel concetto
di *metrica*.
 
Prendiamo due punti sullo stesso meridiano: è ovvio che se th1, th2
sono le loro colatitudini, la distanza è R*|th1-th2|.
Molto meno ovvio dare la distanza per due punti sullo stesso
parallelo.
Facile fare un ragionamento sbagliato: un parallelo è una circonf, di
raggio R*sin(th), quindi la distanza richiesta è
 
R*sin(th)*|ph1-ph2|. (1)
 
Dov'è l'errore?
L'espressione data misura la lunghezza dell'arco di parallelo tra i
due punti, ma questa non è la distanza che cerchiamo, perché *i
paralleli non sono geodetiche* (con l'eccezione dell'equatore).
Infatti le geodetiche della sfera sono le circonf. massime, e i
paralleli non lo sono.
Non darò la formula esatta della distanza, che non ci serve. Osservo
invece che la (1) è *approssimata*, con appross. tanto migliore quanto
più i punti sono vicini.
Si può essere più precisi scrivendo la (1) in forma differenziale:
 
R*sin(th)*dph  (2)
 
dove nel linguaggio impreciso dei fisici si usa dire che questa è la
distanza per punti "a distanza infinitesima".
Facciamo pure così, anzi facciamo lo stesso per i meridiani, dove non
ce ne sarebbe bisogno:
 
R*dth  (3).
 
Le (2) e (3) risolvono il prolema della distanza in termini delle
coordinate, ma solo per due casi particolari.
E se abbiamo due punti che differiscono in entrambe le coordinate?
La risposta è semplice: visto che meridiani e paralleli sulla sfera
sono tra loro ortogonali, c'è solo da applicare il teorema di
Pitagora:
 
ds^2 = R^2*dth^2 + R^2*sin^2(th)*dph^2. (4)
 
Questa si chiama la *metrica* della sfera in coord. sferiche. Ma se
usassimo altre coordinate, o se avessimo a che fare con una superficie
diversa (un cono, un ellissoide, un toro.. )? Dette (u,v) le
coordinate sulla superficie, la risposta, che generalizza la matrica a
una qualsiasi superficie riemanniana, si scrive
 
ds^2 = A(u,v) du^2 + 2 B(u,v) du dv + C(u,v) dv^2  (5)
 
che è l'espressione di una *forma quadratica* nei differenziali delle
coordinate. Le tre funzioni A, B, C si chiamano "coefficienti della
metrica" (o anche "componenti del tensore metrico", ma non spiego
perché).
 
Occorre ancora una specificazione: l'espressione a secondo membro
nella (4) deve sempre avere valore positivo, qualunque cosa siano u,
v, du, dv. Questo perché si tratta del *quadrato* ds^2 di una
distanza, che è un numero reale.
Si dice che la forma quadratica (5) deve essere "definita positiva".
 
Ancora un chiarimento: che ci sta a fare il secondo termine in du dv?
Nella metrica della sfera non c'era...
Risposta: non c'era perché le coord, (th,ph) sono *ortogonali*
(abbiamo usato il teoerema di Pitagora).
Ma può capitare di dover usare coord. non ortogonali, e allora
(teorema di Carnot) compare il prodotto dei lati, quindi quel secondo
termine.
 
Concludo questa puntata spiegando come la conoscenza della metrica
permetta di calcolare la lunghezza di qualsiasi curva.
 
Una curva sulla data superficie si può descrivere con le sue *equazioni
parametriche:
 
u = u(q),  v = v(q)
 
dove q è appunto il *parametro*.
Allora si può calcolare la lunghezza dell'arco infinitesimo:
 
ds^2 = [A(u,v) (du/dq)^2 + 2 B(u,v) (du/dq)(dv/dq) +
           C(u,v) (dv/dq)^2] dq^2
 
dove tutte le grandezze a secondo membro sono funzioni di q.
Si può quindi calcolare la lunghezza dell'arco di curva tra q=a e q=b
con un integrale definito:
 
s(a,b) = int[sqrt{A(u,v) (du/dq)^2 + 2 B(u,v) (du/dq)(dv/dq) +
            C(u,v) (dv/dq)^2},q,a,b]. (6)
 
Chiudo con alcuni commenti.
1. Le definizioni di metrica e di lunghezza non dipendono dal fatto
che la superficie sia intesa come sottovarietà dell'ordinario spazio
euclideo 3D.
2. Anzi si possono generalizzare (Riemann) a varietà di dimensione n
qualsiasi, dove saranno definite non due ma n coordinate.
3. Si può usare la definizione (6) di lunghezza per definire la
geodetica tra due punti come la curva di lunghezza minima.
 
E per oggi basta.
-- 
Elio Fabri

 rette ortogonali equidistanti. Un esempio è la fig. 9-6 del Q16.
Proiezione cilindrica equidistante o proiezione equirettangolare, 
attribuita da Tolomeo a Marino di Tiro.
 
Grazie per questa splendida serie di post!
 
-- 
Franco
 
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

> Grazie per questa splendida serie di post!
 
Mi associo di cuore.

Sono passati altri 5 giorni...
Mi sono impegnato a correggere un errore di Feynman, e mi sta costando
un bel po' di tempo.
Mi accingo a scrivere questa puntata, e non sarà ancora l'ultima.
 
Nella puntata precedente ho introdotto la metrica per una superficie
riemanniana e ho mostrato come possa servire per calcolare lunghezze
di archi.
Ho poi accenato che data la metrica si possono trovare le geodetiche,
e ho detto che gli stessi concetti si possono estendere a "varietà"
con numero qualunque di dimensioni
Ora voglio far vedere che ci si può anche servire della metrica in un
altro tipo di varietà: lo spazio-tempo.
 
In realtà la cosa non dovrebbe riuscire nuova: dopo Minkowski sappiamo
che la struttura matematica naturale della RR è appunto una varietà
pseudo-riemanniana, di dimensione 4 e segnatura (+---).
A dire il vero i fisici sono divisi in due partiti circa la segnatura:
una parte preferiscono la segnatura (-+++). Non so se siano mai stati
fatti sondaggi, ma la persistenza dei due partiti mostra che ciascuna
delle due scelte ha dei pregi (e ovviamente anche dei difetti).
Perciò dopo aver detto una cosa ovvia, ossia che io sono del primo
partito, non aggiungo altro.
 
O meglio, debbo chiarire che cosa s'intende con segnatura.
Significa solo che lo spazio-tempo ammette un sistema di coordinate in
cui la metrica si scrive
 
ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2
 
ossia una metrica *diagonale* con un termine positivo (il tempo) e tre
negativi (lo spazio).
 
Per la precisione storica, Minkowski scelse la (+++-), ma dato che lui
(e tutti i matematici del tempo) non avevano familiarità con metriche
non definite (cioè con termini anche negativi) nascose questo
"difetto" introducendo una quarta coordinata immaginaria:
 
x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z, x_4 = ict.
 
Così facende la metrica diventava
 
ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 + dx_4^2
 
e aveva l'apparenza di qualcosa di molto più familiare: una metrica
*euclidea* in 4D.
L'infelice trovata di Minkowski sopravvisse per oltre 40 anni: testi
autorevoli continuarono a farne uso almeno fino a tutti gli annni '50.
Per fortuna ai fisici più giovani una simile tortura è stata
risparmiata: sono almeno 50 anni che il tempo "è tornato reale" e la
metrica si scrive coi dovuti segni meno.
 
Artifici a parte, la presenza dei segni meno ha un significato
matematico che non si può eludere: non si può più usare la metrica per
definire una distanza per qualunque coppia di punti infinitamente
vicini.
Più esattamente, in ogni punto dello spazio-tempo il suo intorno
infinitesimo si divide in parti intrinsecamente diverse:
1) ds^2 = 0, dt > 0. È il "cono-luce" futuro.
2) ds^2 = 0, dt < 0. È il "cono-luce" passato.
3) ds^2 > 0, dt > 0. È l'interno del cono-luce futuro.
4) ds^2 > 0, dt < 0. Interno del cono-luce passato.
5) ds^2 < 0. Brevemente detto il "presente".
La differenza intrinseca sta in due fatti:
- ciascuna regione è connessa
- i punti di ciascuna regione conservano la propria classe in
qualunque rif. inerziale. Ovvero: le 5 regioni sono *invarianti per
cambiamento di rif.*
Si dice anche che
- gli spostamenti infinitesimi 1) e 2) sono "di tipo luce"
- quelli 3) e 4) sono "di tipo tempo"
- quelli 5) sono di tipo spazio.
 
Quanto detto, che è banalmente vero in RR (spazio-tempo piatto) resta
vero anche in uno spazio-tempo curvo, dove l'espressione generale
della metrica può essere molto più complicata e avere fino a 10
termini non nulli.
Se ci restringiamo a sole due dimensioni, una di tipo spazio e una di
tipo tempo, la cosa si fa più semplice: possiamo ancora scrivere la
(5) della puntata precedente,
 
ds^2 = A(u,v) du^2 + 2 B(u,v) du dv + C(u,v) dv^2
 
con la sola differenza che la forma quadratica non sarà più definita
positiva. Anzi: al variare di (du,dv) si presenteranno sempre le 5
classi che abbiamo visto per lo spazio di Minkowski.
 
Debbo però attenuare l'affermazione fatta sopra circa l'impossibilità
di definire una distanza in generale.
Qualcosa si può fare sempre, facendo opportune distinzioni.
 
Prendiamo una curva di tipo tempo. Con questo intendo una curva di eq.
parametriche
 
u = u(q), v = v(q)
 
tale che in tuttti i punti della curva sia ds^2 > 0. Su questa curva
posso definire una lunghezza, con lo stesso integrale scritto la volta
scorsa.
Di più: l'interpretazione fisica di una curva di tipo tempo è che essa
è la linea oraria del moto di un punto, e la lunghezza di cui sopra è
il tempo proprio, cioè il tempo segnato da un orologio che segue il
punto (per l'esattezza, tempo proprio moltiplicato per c, se vogliamo
conservare a ds la dimensione di una lunghezza).
 
Anche se la curva è di tipo spazio (ds^2<0) lungo tutto un arco,
possiamo calcolare la lunghezza: basta usare nell'integrale, invece di
quello che è scritto nella (6), la stessa espressione cambiata di
segno.
 
(Se a qualcuno ripugna la scrittura ds^2<0, faccio notare che si tratta
solo di una scorrettezza di notazione. La metrica è quella; la
scorrettezza è di denominarla ds^2 anche quando non è positiva.
In realtà nell'uso matematico si evita questa "sconcezza" facendo del
tutto a meno dei differenziali per definire la metrica. Ho scelto di
non dare la definizione matematica per brevità: avrei dovuto definire
il concetto di vettore tangente alla varietà, poi lo spazio dei
vettori tangenti, poi il prodotto scalare in questo spazio...)
 
Dopo proprio non c'è niente da fare, è con le curve di tipo luce:
lungo ognuna di queste curve l'integrale vale zero, ossia le curve di
tipo luce hanno lunghezza nulla.
 
Alla prossima, dove forse iusciremo a riprendere il filo del discorso
da cui eravamo partiti, ossia cosa avrebbe dovuto fare Feynman :-)
-- 
Elio Fabri

A questo punto si può cominciare a capire che cosa vorrebbe essere (ma
non è) la fig. 42-18 di Feynman: una carta dello spazio-tempo, con due
coord. (t,z). Dello spazio si considera una sola dimensione, che è
quella verticale.
 
Non ci sono problemi (sicuro?) per la coord. z, che è la distanza in
verticale da un'origine convenzionale.
Ma ce ne sono per t, che F. non spiega come sia definita per un dato
evento.
C'è però una definizione implicita nell'uso che se ne fa: t sarebbe il
tempo segnato da un orologio che sia fermo alla stessa z dell'evento.
Infatti F. basa la sua "dimostrazione che lo spazio-tempo è curvo" sul
fatto che un orologio posto più in alto "va più veloce".
Ma come fa a dire che va più veloce?
Semplice: le verticali per B e per D (eventi separati da 100s)
incontrano l'orizzontale alla quota 100 piedi sopra B nei due eventi A
e C', che sono separati da un tempo > 100s.
Nasce qui un problema: la coord. t del punto C' è 100s, come
indicherebbe il fatto che C' sta aulla verticale (stessa t) di D,
oppure è maggiore, come indicherebbe l'orologio posto alla quota di A,
che segna 0 in A ma segna più di 100 in C'?
 
Il problema ha origine nell'aver usato le coord. t,z senza definirle.
Come ho già detto, poco male per z, ma per t la lacuna è grave. Dalla
figura si capisce che t vuole essere una coord. indipendente dagli
orologi: ma come si può fare ciò?
Provo a esporre una procedura possibile, nella schematizazione qui
adottata:
- spazio-tempo statico
- una sola dimensione spaziale
- campo gravitazionale uniforme (sarà necessario?).
 
A ogni quota z si dispone di un orologio. Si assume come master
quello, detto O_0, posto a una certa quota z0 (questo non sarebbe
necessario, ma semplifica l'esposizione).
 
Ci si assicura della marcia di tutti gli orologi, mandando da O_0
segnali a intervalli regolari Dt0.
Con orologi reali i tempi segnati alla ricezione di un dato orologio
O_i non saranno equidistanti; si procederà alle opportune medie e si
terrà conto degli scarti come indicazione della qualità dei vari
orologi.
Da qui in poi assumo che gli intervalli di ricezione per un dato
orologio siano tutti uguali a un certo Dt_i.
Si può correggere la marcia di O_i finché si ha Dt_i = Dt_0; oppure si
può prender nota del fattore di correzione k_i = Dt_i/Dt_0.
La soluzione più pratica è la seconda, ma è più semplice assumere che
sia regolata la marcia dei vari orologi in modo che per tutti sia
Dt_i = Dt_0.
Fatto questo, gli orologi hanno la stessa marcia; si noti che così
facendo non solo sono state corrette le eventuali differenze
strumentali dei diversi orologi, ma è stato anche riassorbito il
redshift.
Resta solo da regolare lo zero di ciascun orologio.
 
Questo si fa con una sincronizzazione standard: O_0 manda un segnale
al tempo t_1, che viene ricevuto da O_i al tempo t_2 e subito rinviato
indietro. Sia t_3 al quale O_0 lo riceve: la correzione di zero da
apportare ad O_i è
(t_1 + t_3 - 2*t_2)/2.
 
La procedura descritta non assume che la velocità della luce tra O_0 e
O_i sia costante lungo il percorso e uguale a c; assume però che i
tempi di andata e ritorno siano fissi e uguali tra loro.
Per capire se ciò sia vero, dobbiamo scrivere la metrica, che sarà del
tipo
 
ds^2 = A(u,v) du^2 + 2 B(u,v) du dv + C(u,v) dv^2
 
ma con qualche semplificazione.
In primo luogo assumiamo (già detto) che lo spazio-tempo sia statico.
Ciò significa che esistono coord. (u,v) nelle quali B=0 mentre A, C
dipendono solo dalla coord. spaziale v, non da u. Quindi
 
ds^2 = A^2(v) du^2 - C^2(v) dv^2.
 
(i quadrati e il segno meno servono a rendere espliciti i segni).
Di più: si può anche, con un cambiamento di variabile, avere C=1.
Poniamo infatti
 
dv' = C(v) dv;
 
v' si esprime in funzione di v integrando. Anche A cambierà:
 
A'(v') = A(v)
 
quindi
 
ds^2 = A'^2(v') du^2 - (dv')^2.
 
Lascio cadere gli apici e ottengo
 
ds^2 = A^2(v) du^2 - dv^2. (1)
 
Resta solo da determinare la funzione A(v). Ci riusciamo tenendo
presente che già conosciamo il redshift: se lanciamo dalla quota v=0
due impulsi luminosi verso l'orologio a una certa quota v, sappiamo
che il tempo proprio dell'orologio in v differirà da quello in 0:
 
dtau(v) = (1 + g*v/c^2) dtau(0).
 
È facile calcolare dtau(0) e dtau(v) dalla (1). Per gli orologi, che
hanno v costante, la (1) fornisce
 
c dtau(0) = A(0) du
c dtau(v) = A(v) du
 
quindi
 
A(v) = 1 + g*v/c^2  (2)
 
(ho messo A(0)=1, il che è lecito).
A dire il vero abbiamo saltato un pezzo del ragionamento.
Per arrivare alla (2) abbiamo assunto che du sia lo stesso alla
partenza e all'arrivo dei due segnali. Il che è vero, perché la
metrica è statica.
Anche senza conoscere A(v) possiamo calcolare l'eq. delle curva
(geodetica di tipo luce) di ciascun segnale: basta porre ds^2 = 0 per
avere
 
dv = A(v) du
 
du/dv = 1/A(v)
 
e se H(v) è una primitiva di 1/A(v):
 
u(v) = H(v) + k
 
dove la costante d'integrazione si determina con le condizioni
iniziali.
Siano (u1,0), (u2,v) le coord. degli eventi partenza e arrivo del
primo segnale. Alla partenza avremo k = u1 e all'arrivo
 
u2 = u(v) = H(v) + u1.
 
Ragionando sul secondo segnale, con le coord. (u3,0) alla partenza,
(u4,v) all'arrivo, troviamo invece k = u3 e
 
u4 = u(v) = H(v) + u3.
 
Dunque u4-u2 (intervallo all'arrivo) è uguale a u3-u1 (intervallo
alla partenza) proprio come avevamo supposto.
Questo succede sempre quando la geometria è statica.
 
Ponendo la (2) nella (1) abbiamo la metrica del nostro spazio-tempo:
 
ds^2 = (1 + g*v/c^2) du^2 - dv^2.
 
Resterebbe da dimostrare che il tempo di andata è uguale a quello di
ritorno.
Lo lascio per esercizio :-)
 
Un'osservazione sulle notazioni. Perché ho usato u,v invece di t,z?
La ragione è che sto per usare il PE, impiegando la stessa metrica
- per l'astronave ferma al suolo con la gravità g
- per l'astronave nello spazio lontano, coi motori che danno accel. g.
Ho quindi preferito usare cord. "neutre" come u,v in luogo di t,z, più
connotate.
 
Ora abbiamo davvero tutto l'armamentario che ci occorre per capire che
cosa avrebbe dovuto fare Feynman...
Alla prossima puntata.
-- 
Elio Fabri

Ho scritto nella scorsa puntata:
 > Ponendo la (2) nella (1) abbiamo la metrica del nostro spazio-tempo:
 >
 > ds^2 = (1 + g*v/c^2)^2 du^2 - dv^2. (3)
 >
 > Ora abbiamo davvero tutto l'armamentario che ci occorre per capire
 > che cosa avrebbe dovuto fare Feynman...
Nota: il numero alla formula della metrica l'ho aggiunto ora, perché mi
serve.
Molto più importante: ho aggiunto un quadrato, che ci voleva, se
riprendete il ragionamento della volta scorsa.
Aggiungo che la (3) è una leggera variante di una metrica
conosciutissima come "metrica di Rindler" o (impopriamente)
"spazio-tempo di Rindler".
Ci sarebbero molte cose interessanti da dire su questa metrica, ma
debbo andare al sodo...
 
Che cosa avrebbe dovuto fare Feynman per dimostrare (si fa per dire)
che lo spazio-tempo vicino alla Terra è curvo?
Avrebbe dovuto tentare di costruire un quadrato, come aveva tentato
sulla superficie di una sfera, per arrivare a concludere che ciò è
impossibile.
Questa sarebbe stata davvero una prova della curvatura; ma abbiamo già
visto che non è quello che F. fa, e non voglio ripetermi.
Ho anche già osservato che c'è un problema a parlare di quadrato nel
nostro spazio-tempo, che ha una dimensione di tipo spazio e una di
tipo tempo: come si fa a confrontare segmenti in direzione u e in
direzione v? Una via d'uscita ci sarebbe, ma non è necessaria, perché
non è necessario pensare a un quadrato: basta un rettangolo, ossia un
qudrilatero con gli angoli retti.
 
"Angoli retti?" direte voi: "quando mai si è parlato di angoli? La
metrica ci dice come misurare lunghezze, non angoli".
In realtà non è così: se conosco i lati di un triangolo (infinitesimo,
quindi euclideo) conosco anche gli angoli (teorema di Carnot).
Ma poi a noi bastano angoli retti, e per questo basta verificare che
due spostamenti (infinitesimi) siano ortogonali, ossia con prodotto
scalare nullo.
Basta quindi sapere che la metrica non dà solo distanze, ma anche
prodotti scalari: si fa così.
Siano gamma1, gamma2 due curve che passano per uno stesso punto.
Siano (du1,dv1) e (du2,dv2) due "vettori infinitesimi lungo le due
curve" (vettori tangenti).
Se la metrica è
 
ds^2 = g_11 du^2 + 2 g_12 du dv + g_22 dv^2
 
il prodotto scalare è
 
g_11 du1 du2 + g_12 (du1 dv2 + du2 dv1) + g_22 du2 dv2.
 
In particolare se la metrica è diagonale manca il termine in g_12 e i
due vettori sono ortogonali se
 
g_11 du1 du2 + g_22 du2 dv2 = 0.
 
Con la metrica (3)
 
(1 + g*v/c^2)^2 du1 du2 - dv1 dv2 = 0.
 
C'è solo da aggiungere che i lati del rettangolo debbono essere
geodetiche, quindi per fare la verifica bisogna conoscere le
geodetiche.
Nel caso della metrica (3) si trovano facilmente, ma possiamo anche
risparmiarci la fatica con un altro espediente: un cambiamento di
coordinate.
 
Facciamoci ispirare dalla fisica. Sappiamo che nella metrica (3) la
cordinata u è il tempo, la v lo spazio.
Però mentre v misura esattamente la distanza tra due punti aventi la
stessa u, perché il coeff. di dv^2 è -1, lo stesso non è vero per u.
Intanto c'è una ragione dimensionale: u ha le dim. di una lunghezza,
quindi il tempo sarebbe se mai u/c.
Ma poi c'è il redshift: abbiamo già visto che
 
dtau(v) = A(v) du/c  = (1 + g*v/c^2) du/c
 
quindi il fattore di proporz. tra tau e u non è costante, ma dipende
da v.
 
Questi però sono dettagli: il punto importante è che (u,v) sono coord.
adatte a un rif. accelerato, non a un rif. inerziale (lontano dalla
Terra); quelle che voglio chiamare (t,z).
Qui debbo saltare un po' del ragionamento e dare direttamente la
trasf. di coord.:
 
t = (c/g) (1 + gv/c^2) sinh(gu/c^2)
z = (c^2/g) (1 + gv/c^2) cosh(gu/c^2).
 
Potete verificare (esercizio) che in queste coord. la metrica (3)
diventa
 
ds^2 = c2 dt^2 - dz^2. (4)
 
Scoperto questo, non resta più niente da fare.
La (4) è la metrica di Minkowski di uno spazio-tempo piatto, il che
prova un sacco di cose:
- che siamo in RR (spazio-tempo piatto)
- che la (4) è proprio la metrica di un rif. inerziale
- che in queste coord. le gedetiche sono rette
- che in particolare sono geodetiche le rette t = cost. e z = cost.
 
Infine il risultato voluto: un rettangolo fatto cone quelle geodetiche
*si chiude*, il che dimostra "alla Feynman" che lo spazio-tempo è
piatto, contro ciò che lui credeva :-)
 
Avrei finito, ma non posso non sciogliere un dubbio: ma lo
spazio-tempo attorno alla Terra non è curvo?
Risposta: certo, ma il fatto è che la metrica (3) è solo approssimata:
la metrica giusta [...] è quella di Schwarzschild.
Quello che qui premeva era dimostrare che l'esistenza del redshift da
sola non prova che lo spazio-tempo sia curvo: infatti basta mettersi in
un'astronave accelerata per vedere un disaccordo tra i due orologi a
poppa e a prua, sebbene lo spazio-tempo rianga piatto.
 
Voglio ripeterlo fino alla noia: l'essere lo spazio-tempo curvo o
piatto è proprietà *intrinseca*, che non viene cambiata cambiando
coordinate né cambiando rif. (da inerziale ad accelerato).
Cambia invece la presenza o meno di un campo grav.
 
In termini matematici: la curvatura è espressa dal tensore di Riemann,
che essendo un tensore, se è nullo in un qualche sistema di coordinate
è nullo in tutte.
Invece il campo grav. ha come corrispettivo matematico i coeff. di
connessione, che non formano un tensore, e quindi possono annullarsi
in un SC e non in un altro.
 
Naturalmente in tutto questo non c'è niente di nuovo e lo si trova in
qualsiasi libro.
Lo trovate anche nelle mie lezioni, per es. in
 
http://www.sagredo.eu/lezioni/irg
 
 
In particolare il cap. 4 tratta diffusamente della metrica di Rindler
e del rif. accelerato. Ci trovate anche diversi fatti che qui ho
dovuto tagliare.
Mi permetto di consigliarne la lettura, anche perché il livello
matematico è ancora modesto (niente tensori, derivate covarianti e
compagnia bella) ma la fisica (mi permetto di dire) è profonda.
-- 
Elio Fabri

 poppa e a prua ...
 
stupefacente
 
- sono in un'astronave a motori spenti e lontanissimo da altri corpi che mi 
possano accelerare
- a poppa e a prua ho due orologi sincronizzati
- accendo i motori e i due orologi cambiano ritmo in modo discorde
 
mi fido sulla parola (anche se mi par strano), ma come faccio a 
confrontare i due orologi prima e dopo l'accelerazione?

 piatto, contro ciò che lui credeva :-)
 
Grazie infinite, sicuramente da parte mia ma penso anche di 
molti altri. Per quanto mi riguarda spero che rileggendolo più 
volte e cercando di seguire anche la matematica (parte della 
quale mi manca, al momento) potrò capire in misura sufficiente.

Rileggendo l'ultima puntata ho visto qualche piccolo errore, qualcosa
che va spiegata meglio, e un'integrazione che mi pare opportuna.
Spero con questo di avere davvero concluso, ma mai dire mai :-)
 
Un errore: la (4) va scritta
 
ds^2 = c^2 dt^2 - dz^2. (4)
 
Un chiarimento: a un certo punto ho scritto
 > Risposta: certo, ma il fatto è che la metrica (3) è solo
 > approssimata: la metrica giusta [...] è quella di Schwarzschild
con quella misteriosa [...]. Che significa?
È una notazione che uso a scopo personale, per indicare che
bisognerebbe precisare qualcosa. Poi ho dimenticato di fare la
precisazione ed è rimasta la traccia.
 
Avevo in mente di dire meglio, perché scrivere "metrica giusta" non va
bene.
In primo luogo, "giusta" in che senso? Esistono in fisica le cose
"giuste"? Certo, esistono gli errori, gli strafalcioni, ai quali si
possono contrapporre le cose giuste; ma non è questo il caso.
Se scrivo una metrica, questa può essere giusta in riferimento a
una qualche situazione concreta, oppure "sbagliata", nel senso che non
descrive correttamente quella situazione.
 
Quello che intendevo si avvicina alla seconda interpretazione.
La metrica di Rindler è appropriata (giusta) se riferita a un campo
gravitazionale uniforme (e in realtà non è proprio vero neanche questo
...); oppure in uno spazio-tempo piatto visto da un rif. rigido con
accelerazione costante nel tempo.
E anche questo è vero solo con certe cautele, che qui non posso
introdurre altrimenti di certe non finisco più.
Chi vuole capire meglio, non ha che da studiarsi il caitato cap. 4 di
irg.
 
Ma se abbiamo in mente lo spazio-tempo attorno alla Terra le cose
cambiano ancora, ed è lì che entra in ballo Schwarzschild.
Però la metrica di Sch. non è ancora quella "giusta", perché vale solo
se la massa sorgente del campo è *a simmetria sferica*: cosa che la
Terra non è, per due ragioni:
- perché è schiacciata
- perché ruota.
 
La metrica di Sch. è una buona appross., accettabile quasi sempre,
visto anche che le correzioni di RG rispetto alla teoria newtoniana
non superano comunque il 10^(-9) *vicino* alla superficie e decrescono
quando ci si allontana.
Non sono a conoscenza della situazione più recente; potrebbe darsi che
per es. nella sincronizazione di orologi le correzioni alla Sch. non
siano suff. accurate, stante la raffinatezza davvero incredibile che
hanno raggiunto gli orologi "di ultima generazione" (metto tra
virgolette questa abusatissima espressione per prenderne un po'
le distanze :-) ).
 
E ora l'integrazione.
Ho fatto vedere che non c'è curvatura nei limiti in cui vale la
metrica (4) perché lo spazio-tempo è quello di Minkowsky in coordinate
di Rindler.
Quindi il rettangolo alla Feynman si chiude, perché le geodetiche sono
rette e gli angoli sono retti, se disegniamo la carta nelle coord.
(t,z).
Ma può restare la curiosità di vedere che aspetto avrebbe la carta
nelle coord. (u,v): ho aggirato il problema per non mettermi a cercare
le geodetiche in quelle coordinate, ma qualcuno "mai contento" potrebbe
insistere: "però io lo vorrei vedere, il rettangolo in coord. (u,v)..."
 
Va bene, facciamolo contento, il mai contento :-)
Non mi metterò a cercare le geodetiche nelle coord. (u,v) partendo
dalla metrica (3) ma ne scriverò le equazioni partendo dallla metrica
(4) e dalla trasf. dalle coordin. (u,v) alle (t,z).
 
Farò anzitutto una semplificazione introducendo al posto di v una
nuova coord. w:
 
w = v + c^2/g.
 
Questa è solo una traslazione di v, che semplifica la metrica e la
trasf. di coordinate: essendo dw = dv la (3) diventa
 
ds^2 = (g^2/c^4) w^2 du^2 - dw^2  (5)
 
e la trasf. di coordinate
 
ct = w sinh(gu/c^2)
  z = w cosh(gu/c^2)  (6)
 
(notate che u e v sono lunghezze).
Le geodetiche che abbiamo usato in coord. (t,z) avevano equazioni
banali: t = t1, t = t2 per due lati, z = z1, z = z2 per gli altri.
Usando le (6) queste diventano
 
w sinh(gu/c^2) = c t1 (oppure = c t2)
w cosh(gu/c^2) = z1 (opp. z2).
 
Qui ci vuole proprio una figura, e la trovate in
http://www.sagredo.eu/figure/pub-fig34.pdf
 
(descrizione in pub-fig34.txt).
 
C'è solo una cosa da osservare: non solo i lati del rettangolo sono
curvi (questo potevamo aspettarcelo) ma *gli angoli non sono retti*.
Ma non doveva essere un rettangolo?
Si potrebbe credere che la risposta stia nel discorso che abbiamo
fatto sulle carte geografiche: stiamo guardando due diverse carte (due
"proiezioni") dello stesso spazio-tempo.
Ma non è così.
 
Basta riflettere che lo stesso problema s'incontra in un caso molto
più semplice.
Spazio-tempo di Minkowski: coord. (ct,x) che riportiamo in un
diagramma cartesiano, di solito con x in ascissa e ct in ordinata.
 
Eseguiamo la trasf. di Lorentz alle coord. ct', x' di un diverso rif.
(non scrivo le formule, arcinote).
Se riportiamo sulla figura già fatta gli assi x', ct', come li
troviamo?
L'asse x' starà obliquo tra x e la bisettrice; l'asse ct' anch'esso
obliquo, tra ct e la bisettrice. L'angolo tra x e x' è uguale a quelo
tra ct e ct'.
Eppure la metrica resta la stessa nelle nuove coordinate, diagonale;
il che dimostra che anche x' e ct' sono tra loro *ortogonali*, come x
e ct. Però la figura racconta un'altra storia...
 
Non so se chi mi legge si è mai soffermato su questo aspetto, che
credo sia cruciale nell'insegnamento: come si fa a convincere i
ragazzi che gli assi x' e ct' sono ortogonali, quando si vede a occhio
che non lo sono?
La soluzione didattica non la so, forse non c'è: forse l'unica è che a
livello di s.s.s. non si parli di metrica, quindi di ortogonalità,
ecc.
Ma ciò non toglie che chi pratica questa materia dovrebbe avere le
idee chiare...
Mi sono reso conto del problema alcuni anni fa, ho cominciato a
pensarci su, e il risultato è uno scritto che trovate in
 
http://www.sagredo.eu/varie/rif-simul.pdf
 
 
Non sono sicuro che sia sempre chiaro; forse in qualche punto sono
stato un po' troppo stringato o veloce (e naturalmente potrei anche
aver commesso qualche errore :-) ).
Apprezzerei commenti in merito.
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
 
 
Ti segnalo un piccolo refuso a pag. 10. Nel secondo esempio, la prima volta  fig. 1 e fig. 2 sono da correggere in fig. 3 e fig. 4 rispettivamente.
 
Ciao,
PF
 

Pier Franco Nali
 > Ti segnalo un piccolo refuso a pag. 10. Nel secondo esempio, la
 > prima volta fig. 1 e fig. 2 sono da correggere in fig. 3 e fig. 4
 > rispettivamente.
Grazie, ho corretto.
Sarebbe cosa da poco, ma per uno che legge e già deve impegnarsi a
seguire il ragionamento, trovare il rimando a una figura che non gli
torna può provocare una reazione del tipo "aiuto! allora non ho capito
niente! :-)
-- 
Elio Fabri


Salve Prof. Fabri,
nell'allegato che ci ha dato  
http://www.sagredo.eu/varie/rif-simul.pdf
 
alla pagina (2) tra le altre cose si legge : < Senza contare che a rigore un rif.
solidale alla Terra non è inerziale, per due motivi: ancora la gravità, poi la
rotazione diurna>.
Mi sono perso sulla frase <la rotazione diurna>...e di notte ?
Nello

 Mi sono perso sulla frase <la rotazione diurna>...e di notte ?
 
Ambiguità della lingua e dell'utilizzo della stessa in fisica.
 
In italiano diurno ha due significati, legati al duplice significato del 
termine latino dies.
 
 
     1. Relativo al tempo che intercorre dall'alba al tramonto: le ore 
d.; astro d., il Sole; luce, calore d., quelli del Sole.
         Animali diurni, quelli che sono attivi durante il giorno.
         Uccelli rapaci diurni, i falchi e le aquile, contrapposti ai 
notturni ascritti alla famiglia degli Strigidi (per es. la civetta).
 
      2. Che ha la durata di un giorno.
 
Nel caso di moti planetari va utilizzato il secondo significato
Quindi rotazione diurna della Terra vuol dire la rotazione attorno al 
proprio asse nelle 24 h. La condizione di illuminazione non conta. Le 
maree lunari e solari sono distinte in semidiurne, quando hanno un 
periodo pari a circa 12  h, e diurne quando c'è solo un'alta marea nelle 
24 h (succede in diversi luoghi a causa della complessa circolazione 
oceanica). Ci sono anche maree più complicate ma questa è un'altra storia.