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Titolo: Sistema dinamico a massa variabile

Qui viene descritto un problema (un secchio sospeso in verticale da una molla e contenente vernice che perde dal fondo con una certa legge temporale) e la sua soluzione, che non mi convince del tutto:
https://www.facebook.com/groups/327721555160536/permalink/670017130930975/
 
Voi come lo risolvereste?
 
 
--
Wakinian Tanka 

Se il link non venisse visualizzato queste sono due schermate del problema:
https://ibb.co/6P36Zf9
 
https://ibb.co/BjLyZPD
 
 
--
Wakinian Tanka 

 
https://ibb.co/BjLyZPD
 
 
La soluzione che citi è errata come si vede nel caso
limite k -> 0, allora dalla seconda equazione non deriva
y'' = - g, come invece dovrebbe (' = d/dt).
L'eq. da risolvere è invece:
 
(1)  m y'' = - m g - k y,
 
e numericamente si ha la soluzione:
 
https://drive.google.com/file/d/1DkO2gdP8Vu1jyyQdMAy9bxqR8SNEiI1W/view?usp=sharing
 
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani

Alberto Rasà ha scritto:

Lasciamo stare la fisica: una legge di svuotamente esponenziale non
credo sia realizzabile, epoi si cono altre obiezioni.
Ma anche prendendo per buona l'eq. diff. la soluzione è certamente
errata.
 
A occhio non credo che esista una sol. in forma chiusa, ma potrei
sbagliare.
Non ho voglia di perderci tempo, ma tu hai provato a verificare la
soluzione? Si tratta solo di fare qualche derivata...
-- 
Elio Fabri

 Voi come lo risolvereste?
 
Prima della soluzione, è la formulazione del problema e la traduzione in 
formule che è sbagliata.
 
Formulazione:
Abbiamo un secchio di vernice appeso a una molla e in quiete. Andava 
scritto in questo modo. Non è la sola forza di gravità che lo porta in 
quella configurazione. Se non ci fossero dissipazioni, il secchio posto 
in unna posizione non di equilibrio oscillerebbe per l'eternità. Nota 
bene che non è solo una pignoleria. Se c'e' un attrito che porta alla 
configurazione stazionaria, ci sarà anche dopo, quando (e se il secchio 
si muove. Possiamo ignorarla per semplificare un po' le equazioni, ma 
allora va detto espolicitamente.
 
Non ho mai potuto apprezzare una legge esponenziale come quella 
ipotizzata nel testo. Capisco che anche qui revalga il desiderio di 
avere equazioni più maneggevoli ma non è una ragione convincente se si 
vuol fare fisica e non matematica travestita da fisica.
 
Con queste cose non dette, citare la resistenza dell' aria suona 
vagamente surreale.
 
Mancano poi alcune informazioni la cui necessità diventa evidente quando 
si passa alla scrittura di un'equazione del moto.
 
Traduzione in formule
Principio fondamentale quando si laora con sstemi a massa variabile: 
MAI, MAI e poi MAI pensare che basta scrivere dp/dt = F e cavarsela con 
la dipendenza dal tempo della massa senza dare ulteriori informazioni su 
come varia la quantità di moto  del sistema come vettore. Il problema 
diventa evidente se ci si immagina la situazione solo lievemente diversa 
di un contenitore sigillato pieno di gas al posto del secchio. E si 
considerino due situazioni estreme:
1. foro sul fondo da cui fuoriesce il gas con una qualche legge 
assegnata e una data velocità;
2. tanti forellini diposti simmetricamente.
E' evidente, o lo diventa pensando al caso senza molla e senza gravità, 
che il moto del sistema nel caso 1 e 2 `deve essere diverso. Una perdita 
di massa simmetrica non comporta variazione della qdm. una asimmetrica 
sì e funzione della velocità di uscita.
 
Però il problema non parla di fori ma del fondo che cede. In questo caso 
una perdita di massa esponenziale è assolutamente da escludere. 
Piuttosto io farei l'ipotesi di un distacco istantaneo. Questo però 
comporta  una diversa formalizzazione (equazioni) del moto.
 
Giorgio

 (1) m y'' = - m g - k y, 
...
Grazie Giorgio, ma il mio dubbio verte proprio su come impostare il problema, ovvero quale sia l'equazione differenziale da risolvere.
 
 
 
Affermi quindi che va scritto my" = F con F = risultante forze esterne? Perchè io applicherei invece la 2a cardinale a tutto il sistema "secchio più vernice già colata" e non al secchio con vernice presente in un dato istante e basta. Mentre la vernice cola, per esempio quando il secchio si sta muivendo in basso, come forza esterna al secchio c'è anche la reazione ("vincolare" non la chiamerei, "idrodinamica"?) della vernice che sta colando, no? 
 
Per Elio
Non l'ho verificata proprio perché il mio problema è a monte: quale/quali equazioni scrivere? 
 
--
Wakinian Tanka

 
Ovviamente. 
 
--
Wakinian Tanka 

Perchè io applicherei invece la 2a cardinale a tutto il sistema "secchio più vernice già colata" e non al secchio con vernice >presente in un 
dato istante e basta. Mentre la vernice cola, per esempio quando il secchio si sta muivendo in basso, come >forza esterna al secchio c'è anche 
la reazione ("vincolare" non la chiamerei, "idrodinamica"?) della vernice che sta colando, <no?
 
 
Allora mancherebbero informazioni sufficienti a risolvere il problema,
la forza che la vernice che cola esercita sul secchio dipenderà da
tanti fattori non noti (forze di coesione, geometria del getto di
vernice e altro).
 
PS il secchio nelle sue oscillazioni raggiunge anche
valori positivi di y, v.:
 
https://drive.google.com/file/d/1q9BN4hH50K0AQZHEp9ZLvM8kfHa2rGyu/view?usp=sharing
 
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani


 
Alberto_Rasà ha scritto:
 > Appunto. E' questo che infatti non mi torna, come ho scritto anche a
 > Giorgio Bibbiani e riferendomi anche ad Elio. A parte le
 > precisazioni che fai dopo sulle dissipazioni che per me passano in
 > secondo piano, il mio problema è quale o quali equazioni scrivere.
Stavo proprio pensando che forse era il caso di mostrare come
ragionerei io, ma il problema come è scritto non sta in piedi, da cima
a fondo, Quindi occorre riscriverlo.
 
A parte la discutibilissima legge esponenziale, che vuol dire che "il
fondo cede"? Che si stacca del tutto, lasciando la vernice del tutto
libera di cadere?
Ma se è così, la soluzione è banale: la vernice cade per suo conto,
attaccato alla molla resta solo il barattolo (che ha una massa, mai
indicata).
A parte l'assurdità di non dire niente dela viscosità della vernice,
che tipicamente è grande (*deve* essere grande, altrimenti come si
potrebbe verniciare una parete verticale?
(Ripensandoci, l'andamento esponenziale potrebbe essere dovuto proprio
alla viscosità della vernice?)
 
Quindi non resta che riformulare da zero il problema, per es. come
segue.
 
"Zio Peppe ha appeso un barattolo pieno d'acqua a una molla e ha
atteso che si realizzi l'equilibrio, con la molla estesa quanto
occorre per equilibrare il peso del barattolo + acqua.
 
All'istante t=0 sul fondo del barattolo si apre un foro, e il
barattolo si svuota con una legge oraria del tipo:
 
m(t) = m0 exp(-p*t). (1)
 
Si chiede il moto del barattolo.
Si trascurino:
a) viscosità e tensione superficiale dell'acqua
b) la velocità dell'acqua che rimane nel barattolo a ogni t>0,
rispetto a questo
c) la resistenza dell'aria."
 
Nota: ho lasciato sopravvivere la fantasiosa legge di svuotamento,
giusto per dire che sto modificando il problema originale.
Si sarebbe altresì potuto ricavare la legge di svuotamento dal teorema
di Torricelli.
 
Soluzione.
---------
A ogni istante t>0 la massa dell'acqua rimasta nel barattolo e ferma
rispetto a questo è data dalla (1).
La qdm nel rif. del laboratorio è
 
Q(t) = m(t)*v(t)
 
essendo v(t) (positiva verso l'alto) la velocità del secchio.
 
Tra t e t+dt esce dal secchio una massa
 
p*m(t)*dt
 
con velocità u(t) (verso il basso) relativa al secchio.
Per calcolare u(t) manca almeno un dato.
Se s è la sezione del foro e r la densità dell'acqua avremo
 
dm/dt = -p*m = -r*s*u
 
quindi
 
u = (p*m)/(r*s) = q*m
 
con q = p/(r*s).
 
Importante ricordare che u è prop. a m (p, r, s e quindi q sono
costanti).
La qdm trasportata dalla massa uscita è
 
p*m*(v-u)*dt
 
(la velocità nel rif. del lab. è v-u).
Q cambia per due ragioni distinte:
- per il trasporto come appena visto
- per effetto delle forze esterne: -k*y e -m*g.
In totale:
 
dQ = -k*y*dt - m*g*dt - p*m*(v-u)*dt.
 
Quindi
 
Q(t+dt) = Q(t) + dQ = Q(t) - k*y*dt - m*g*dt - p*m*(v-u)*dt
 
ossia
 
m(t+dt)*v(t+dt) = m(t)*v(t) - k*y*dt - m*g*dt - p*m*(v-u)*dt
 
dm*v + m*dv = -k*y*dt - m*g*dt - p*m*(v-u)*dt
 
-p*m*v + m*a = -k*y - m*g - p*m*(v-u)
 
-p*m*y' + m*y" = -k*y - m*g + -p*m*(y'-u)
 
-p*y' + y" = -(k/m)*y - g + p*(y' - q*m)
 
y" - 2*p*y' + (k/m0)*exp(pt)*y = -p*q*m0*exp(-pt) - g. (2)
 
Per il momento non so dare l'integrale di questa eq.diff.
Né faccio promesse...
-- 
Elio Fabri

 
Ma qui perché -p è diventato +p? 
Mi verrebbe:
y"(t) = -[k/m(t)] *y(t) - g - p*q*m(t) 
perché il termine in y' si cancella. 
Questa è più abbordabile ;-) 
 
Ti ringraziamo della risoluzione del problema!
Ciao.
 
--
Wakinian Tanka

Poco fa ho scritto:
y"(t) = -[k/m(t)] *y(t) - g - p*q*m(t)
 
Ma divevo scrivere invece:
y"(t) = -[k/m(t)] *y(t) - g + p*q*m(t)
 
18-03-2022
12:41
 
--
Wakinian Tanka 

Alberto_Rasà ha scritto:
 > Ma qui perché -p è diventato +p?
Semplice: per vedere se mi leggete attentamente :-)
In realtà, anche se non l'avevo scritto, facevo affidamento
sull'attenzione almeno di qualcuno, per scoprire eventuali errori.
 
 > Mi verrebbe:
 > y"(t) = -[k/m(t)]*y(t) - g - p*q*m(t)
 > perché il termine in y' si cancella.
 > Questa è più abbordabile ;-)
Vero, anche se non proprio banale.
E poi:
 > Poco fa ho scritto:
 > y"(t) = -[k/m(t)] *y(t) - g - p*q*m(t)
 >
 > Ma divevo scrivere invece:
 > y"(t) = -[k/m(t)] *y(t) - g + p*q*m(t)
Non vorrei spendere troppo tempo, quindi do solo indicazioni di come
risolverla.
 
Le condizioni iniziali sono
y(0) = -m0*g/k
y'(0) = 0.
 
Per l'eq. omogenea v. ad es. Abramowitz-Stegun 9.1.54 che dà
l'integrale generale come combin. lineare di due funzioni di Bessel di
ordine 0, con argomento un po' complicato.
L'integrale generale dell'eq. inomogenea si può trovare col metodo di
variazione delle costanti arbitrarie (ad es. vedi wikipedia, che
eccezionalmente è buono anche in italiano.
 
Non ho provato a fare i conti, quindi non so se gli integrali che
compaiono si possano esprimere con funzioni elementari o almeno ben
note, tipo f. di Bessel.
-- 
Elio Fabri