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Titolo: energia, potenza ed intensità di un'onda

Premettendo che:
- la potenza è l'energia nell'unità di tempo
- l'intensità è l'energia per unità di tempo e di superficie (ossia la
potenza per unità di superficie)
Succede che un'onda sinusoidale ha:
1) una energia uguale a:
E = 1/2 mk^2A^2
k = pulsazione
A = ampiezza
ossia energia prorporzionale al quadrato dell'ampiezza ed al quadrato della
pulsazione (e quindi della frequenza).
2) una intensità
I = dE/dSdT = 1/2 d k^2A^2 v
E = energia
S = superficie
T = tempo
d = densità mezzo
v = velocità onda
3) una potenza uguale a
 P = I * S
Domanda: per un'onda che non sia una semplice armonica, ma un'onda complessa
descritta da A(x,t)  (ad es. un'onda elettromagnetica), come si calcolano
enegia,
potenza ed intensità? Vorrei delle indicazioni per capire come si arriva
dallo spettro di A(x,t) o dalla stessa A(x,t) a calcolare i parametri prima
indicati. Di certo deve restare valido il principio del quadrato del campo
elettrico. Mentre non dovrebbe valere più il discorso della frequenza [che
dovrebbe però essere reintrodotto in una visione quantistica, dove per
calcolare la potenza di un'o.e. bisognerebbe calcolare la somma delle
energie dei singoili fotoni (dipendenti dalle freq.) e dividere il risultato
per la durata della "conta fotonica". Per l'intensità si rapporta lòa
potenza alla superficie normale alla direzione dei fotoni che l'hanno
attraversata.]
Mi pare di aver trovato che:
energia dell'onda E(t,x)
E = campo elettrico
dovrebbe essere * l'integrale su t (da -ooa +oo : ma perchè poi in questo
intervallo se in effetti l'onda analizzata ha una durata limitata?) del
quadrato dell'ampiezza (del modulo) del campo elettrico o, equivalentemente,
** l'integrale del (modulo) quadrato della FT di E(t,x) su f, da -oo a +oo,
(dominio delle frequenze)
Sarebbe questi i formalismi che ci dicono di come l'energia, la potenza e
l'intensità di un'onda dipendanop dal quadrato dell'ampiezza?
Come si calcola la potenza nel caso del'onda complessa E(x,t)? Mi verrebbe d
a dire semplicemnte dividendo l'energia totale calcolata con i due metodi (*
e **) per il tempo di osservazione (il pezzo d'onda e.m. preso in esame)
Ho sbagliato tutto??
Grazie


Cominciamo con il ricordare che la parola spettro ha un'origine nella
pratica sperimentale,
ed in fisica matematica ha acquistato anche un'accezione diversa, con
riferimento all'insieme
degli autovalori di un operatore. (Al tempo)
Restiamo nell'accezione classica e parliamo di onde elettromagnetiche
secondo la
concezione di Maxwell. Occorre distinguere:
1) La trasformata di Fourier e' l'integrale del segnale moltiplricato per
un'onda piana
     (opportunamente normalizzata) sul periodo scelto. Il periodo va da meno
infinito a
     piu' infinito nel caso di un'onda infinita. Il risultato di questo integrale
dipende dalla
     frequenza e si chiama componente di Fourier dell'onda.
2) Il modulo quadro del campo elettromagnetica (E^2+B^2) e' proporzionale
alla densita'
     di energia associata all'onda elettromagnetica ed e' un numero che dipende
dal tempo.
     (se leggi un buon libro vedrai che la questione e' piu' difficile, c'e'
un'equazione di continuita'
      e come sia distribuita l'energia di un'onda e' fino ad un certo punto
accertato, si fa una
      scelta di semplicita' per un tensore energia impulso che sia conservato, ma
questa scelta
      non e' univocamente individuabile).
3) per onde piane E e B sono legati alla direzione di propagazione del campo
Nel caso
     di onda piana E e B sono ortogonali fra loro ed alla direzione propagazione
per via delle
     equazioni di Maxwell. E' utile ricorrere a vettori complessi. L'informazione
relativa all'ampiezza
     e' allora contenuta nel modulo quadro, l'informazione relativa al momento a
cui guardi l'onda
     e' nella fase.
4) Se E e B sono vettori complessi con la loro fase quello che tuttavia e'
misurabile in linea
    di principio e' solo la sua parte reale. (E+E*)/2 e (B+B*)/2 Da queste
grandezze costruisci
    la densita' di energia prendendo la somma dei quadrati ed il flusso di
energia attraverso
    una superfice prendendo il vettore di Poynting che e' il prodotto vettore di
questi due quello
    che risulta e' una grandezza proporzionale alla densita' di energia. Se
esprimi i campi in
    termini di potenziale vettore utilizzando onde piane, siccome il campo
elettrico e' la derivata del
    potenziale vettore trovi un'espressione che coinvolge omega per E, e siccome
il campo magnetico
    e' il rotore di A trovi un'espressione che coinvolge k. Siccome k e omega
sono legate da una relazione:
    c k = omega allora trovi l'espressione in k^2 che hai riportato su.
5) Se fai la trasformata di Fouriere della densita' di energia in un punto
ottieni alcuni prodotti di
     convoluzione fra le trasformate di fourier dei campi. Se pero' vai a
guardare il valor medio
     dell'energia su un tempo ragionevolmente lungo e su una regione di spazio
adeguatamente
     estesa rispetto alle frequenze ed alla lunghezza d'onda della luce
considerata, allora sono
     non nulli solo i moduli quadri delle componenti di fourier che sono relative
ad una data
     frequenza, ovvero i termini che contribuiscono alla componente di frequenza
zero della trasformata
     di Fourier dello spettro. Tutti gli altri termini di Fourier dello spettro
sono mediamente nulli, perche'
     variano periodicamente in modo simmetrico rispetto a zero.
 6) Per convincersi che compaiono solo i moduli quadri delle componenti di
Fourier dei campi
     e' piu' semplice procedere a ritroso, scrivere cioe'
     E(r,t) in termini di integrali di Fourier e sviluppare tutti i prodotti.
Trovi allora prodotti del tipo:
      E*(-k,-om) *E(k,om), se fai l'ipotesi che il campo E(r,t) sia reale allora
E*(-k,-om)=E(k,om)
      ed ecco spiegato il modulo quadrato della componente di Fourier.
      Esiste poi un teorema che aiuta a conoscere lo spettro di Fourier da E(x,t)
si chiama
      teorema di Wiener Kintchine e ti garantisce che la trasformata di Fouriere
della funzione
      di correlazione E*(x,0)E(x,t) uguaglia esattamente la densita' spettrale in
frequenza, quella
       che nel caso del campo elettromagnetico abbiamo potuto esprimere con i
quadrati delle
      componenti di E. Questa relazione si generalizza al caso quantistico.
7) Siccome e' possibile filtrare la luce con prismi che ne separino le
frequenzae i fisici si accorsero
     presto che l'energia relativa alle componenti di frequenza della luce
contenute in uno stretto intervallo,
     era data dal modulo quadro del valore delle componenti di Fourier di
quell'intervallo moltiplicate
     per l'ampiezza dell'intervallo. Allora siccome la luce divisa in frequenze
si era guadagnata il
     simpatico nome di spettro (oltre a quello di iride dei tempi di Newton)
questo divenne poi il
     nome per il modulo quadro delle componenti di Fourire del campo.
8) Se studi l'energia nel dominio del tempo e' un conto se studi il campo
nel dominio del tempo
     e' un'altro conto, esiste un nesso fra i due conti che e' dato appunto dal
modo in cui l'energia
     e' associata con l'intensita' del campo ed e' quello che ho cercato di
spiegare nei sette punti
     che qui precedono. Potresti obiettare che se A(t0 e' periodica hai uno
spettro non continuo
      (anche se formato da un'infinita' numerabile di componenti di frequenza e
che se e'
      monocromatica avrai una delta di Dirac.
9) Questo e' vero. Pero' l'energia dello spettro la calcoli comunque dal
modulo quadro dell'onda
      e torna proprio uguale, in media al valor medio del modulo quadro del campo
in rappresentazione
      complessa. Il completamento di un segnale finito ad un segnale periodico e'
un trucco di cui
     puoi fare a meno usando le trasformate di Fourier. Trovi in questo modo,
anche se dal punto di
     vista matematico potrebbe essere un'eresia, che la trasformata di Fourier di
un segnale periodico
      ha componenti non nulle solo per un insieme discreto di frequenze. Dunque la
serie di Fourier
     e' inclusa nella trasformata. Il problema principale che avevo con le
trasformate di Fourier
     rispetto alle serie era piu' o meno quello che avevo con il calcolo
integrale. La somma di infiniti
     infinitesimi e' diversa da zero. Inoltre la somma di infinite funzioni
periodiche non e' una funzione
     periodica.
non e' difficilissimo da capire: basta sommare due funzioni con periodi
incommensurabili per
avere una funzione aperiodica. Il procedimento con il quale un integrale di
funzioni puo' essere
approssimato con somme di Riemann che convergono ad una qualunque funzione,
comprese
funzioni limitate nel tempo, e' un poco piu' difficile da capire ma quello
che e' la chiave di volta
(non di Volta) della situazione e' che man mano che la somma di Riemann
viene raffinata
l'ampiezza della piu' grande funzione periodica viene ridotta.
 
      E*(-k,-om) = E(k,om)
     contribuiscono
 
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