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Titolo: equazione di schrodinger

salve sul mio libro di testo c'é scritto che l'equazione di schrodinger
degli stati stazionari è un'equazione agli autovalori nell'energia. che cosa
significa?c'è qualcuno che mi spiega gentilmente ed in termini semplici che
cosa significa?
grazie in anticipo G.M

 wrote in message news:RblTc.39749$1V3.1...@twister2.libero.it...

Sai già cos'è il problema agli autovalori?
Non mi riferisco alla meccanica quantistica.

giu_mata ha scritto:

Il problema e' che non ci dici a che punto sei; pero' azzardo che sei
a livello liceale.
Il che significa che per farti capire qualcosa bisognera' partire
parecchio indietro...
Per cominciare, l'eq. di Schr. che citi e' un'equazione
_differenziale_, e dubito che tu sappia che cosa significa.
Posso dirlo quasi in parole, ma e' da vedere se capirai...
In un'eq. algebrica l'incognita e' un numero (la solita x).
In un'eq. differenziale l'incognita e' una _funzione_: nel caso piu'
semplice (mi basta) una F(x).
Si dice "differenziale" perche' l'eq. da' una relazione tra la funzione
e le sue derivate.
Esempio semplicissimo:
F"(x) + k^2 * F(x) = 0.  (1)
Questa eq. lega la F alla sua derivata seconda F". C'e' poi un
parametro k, di cui riparleremo tra poco.
Risolvere questa eq. e' facile (se uno ha studiato qualcosa
sull'argomento). La soluzione non e' unica, ma ce ne sono infinite:
F(x) = a * cos(kx) + b * sin(kx)   (2)
dove a, b sono costanti arbitrarie.
Se sai fare le derivate, questo puoi verificarlo.
Di solito non siamo interessati a infinite soluzioni, ma a una
determinata: questo puo' accadere perche' conosciamo le "condizioni
iniziali", ossia sappiamo quanto valgono F(x) e F'(x) per un certo
valore x=x0.
Nota che cio' accade quando abbiamo un problema di meccanica: per es.
il classico oscillatore armonico ti da' proprio un'eq. come la (1):
m x"(t) + k x(t) = 0.
(Spero tu riconosca che a pare il camboiametno dei simboli e' proprio
la stessa equazione.)
Nel problema di meccanica si dice: al tempo t=t0 e' data la osizione e
la velocita': x(t0) e x'(t0). Si vuol trovare x(t).
Ma ci sono altri casi, che posso solo accennare, non spiegare in
dettaglio.
Pensa a una corda di chitarra: essa e' fissa a due estremi, ed e'
libera di vibrare.
Bene: se cerco le vibrazioni _a frequenza definita_, ossia quelle in
cui ogni punto della corda si muove di moto armonico con la stessa
frequenza, posso dimostrare che lo spostamento F(x) della corda dalla
posizione di equilibrio deve soddisfare proprio a un'equazione come la
(1). La costante k e' legata alla frequenza f, dalla relazione
k = 2pi*f/v
dove v e' la velocita' delle onde lungo la corda.
La soluzione l'abbiamo gia', ed e' la (2).
Pero' la (2) non ci assicura che gli estremidella corda sino fissi:
dobbiamo aggiungere le "condizioni al contorno".
Se mettiamo l'origine delle x a un estremo della corda, e se la
lunghezza e' l, dovremo richiedere
F(0) = F(l) = 0.
Se provi a sostituire queste condizioni nella (2), vedi che f(0) = 0
impone a=0, mentre f(l)=0 impone sin(kl)=0 ossia
k = n*pi/l. (n=1,2,...)
Questi valori di k per i quali e' possibile soddisfare le condizioni
richieste e l'eq. ha soluzione, si chiamano "autovalori".
Ne segue f = nv/(2l): ci sono infinite frequenze, la fondamentale
v/(2l) e le armoniche.
Ora finalmente posso tornare all'eq. di Schr.
Essa e' molto simile all'eq. della corda di chitarra: alposto di k^2
c'e' l'energia, al posto della F(x) c'e' la "funzione d'onda".
Poi in generale l'eq. e' parecchio piu' complicata, ma il problema
matematico e' lo stesso: trovare quali sono i valori di E (autovalori)
per i quali l'eq. con date condizioni al contorno ammette soluzione.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Elio Fabri ha scritto:
[...]
mamma mia Elio Fabbri (se posso permettermi di chiamarla per nome), quella
spiegazione è fantastica!
è un docente universitario per caso?
vivissimi complimenti...
saluti con tantissima stima.
-- 
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ab...@newsland.it

 vivissimi complimenti...
Beati i suoi alunni!!
:-)

 per i quali l'eq. con date condizioni al contorno ammette soluzione.
Ora azzardo un'ipotesi sperando di non sparare una grande cavolata... Se 
studio l'equazione d'onda di un elettrone in orbita attorno ad un atomo 
osserverò che l'equazione ammette soluzioni solo per valori discreti di 
E? Ovvero quei valori previsti da Bohr agli albori della m.q. e che 
costringono l'elettrone in determinate orbite?
Grazie ancora!

 Beati i suoi alunni!!
Non e' detto... Voi non conoscete l'altra faccia: quella degli esami ;-)
E poi c'e' il famoso detto: "nemo propheta in patria".


 Non e' detto... Voi non conoscete l'altra faccia: quella degli esami ;-)
Guarda, io preferirei mille volte avere un professore che tiene lezioni 
interessanti, stimolanti e chiare, e che _giustamente_ pretende agli 
esami, piuttosto che un docente che spiega poco e/o male, e poi gli 
esami sono un pacchia...non si imparerebbe granche', e sarebbe tempo 
perso da parte degli alunni e anche del docente (secondo me!).
Dan

io ho avuto un prof didatticamente favoloso e sebbene dopo lo scritto
seguiva un di 2 ore .....beh era un piacere!

 costringono l'elettrone in determinate orbite?
Esattamente!
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia