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Titolo: Moti "non naturali" in un sistema meccanico vibrante

Ciao Forum
 
Sono stato assalito da uno sgradevole dilemma e chiedo a voi 
lumi. Ho partecipato, con mio infinito pentimento, a una 
discussione sul perchè la legge del moto di una corda vibrante 
è tale che vengano emessi solo armonici multipli della 
fondamentale. La discussione si è prolungata per un pò e mi è 
stato chiaro che la domanda implicita attorno cui alcuni 
partecipanti giravano era: perchè per esempio data f la 
fondamentale la corda non vibra con frequenza (17/13)f?
 
Mi vergogno parecchio, alquanto, non poco, assai della risposta 
che ho dato e che almeno ho provveduto rapidamente a 
cancellare; in sostanza ho chiamato in causa il principio di 
minima azione sostenendo che occorrerebbe spendere energia per 
far emettere alla corda armoniche di frequenza diversa dai non 
multipli della fondamentale.
 
Naturalmente dopo aver detto la stupidaggine ho pensato che 
quanto sopra non è fisicamente realizzabile senza tirare il 
collo al contesto per una questione di condizioni al contorno, 
e ho cercato un controesempio per me stesso; l'unico che mi sia 
potuto venire in mente è una configurazione in cui il modo di 
vibrazione 'anomalo' venga raccordato a una piccola distanza da 
uno degli estremi in modo che il vincolo sia rispettato (quello 
all'altro estremo è banale si può liberamente imporre).
 
Per chiarire meno peggio possibile, detta L la lunghezza 
pensavo a una funzione del tipo u = sin ((pi/2L)x) per 
0<=x<(L-eps) e u = w(x) per (L-eps) <= x <= L e tale che w(L)=0 
più ovviamente u(L-eps)=w(L-eps), sicuramente 
u'(L-eps)=w'(L-eps). La funzione non è la scelta migliore 
perché corrisponde a una subarmonica ma spero di aver 
illustrato cosa avessi in mente: in generale, qualsiasi 
funzione sinusoidale che assumerebbe valore non nullo a piccola 
distanza da uno degli estremi, e opportunamente raccordata per 
rispettare il vincolo di estremità.
 
Le mie domande sono:
 
1) Con spostamenti imposti e differenti da una delle 
autofunzioni, cosa accadrebbe all'ascolto? Ho semplicemente 
nascosto la polvere sotto il tappeto e anche lo sviluppo in 
serie mostrerebbe che il sistema acusticamente si comporterà 
come una normale corda lasciata libera? Oppure il mio 
controesempio funzionerebbe in pratica, ovvero potrei fare 
emettere un suono percepito non corrispondente alla geometria 
della corda libera (inteso come lunghezza, densità lineare, 
modulo elastico, etc.)?
 
2) Ho paura che il principio di minima azione non sia 
l'inquadramento più pertinente per esaminare il problema. Che 
debba valere è pacifico ma è molto probabile che l'argomento si 
possa esporre in modo più limpido. Come si potrebbe fare?
 
3) Supponiamo di imprimere la legge di spostamento 'forzosa' e 
poi lasciare il sistema a sè stesso. So cosa accadrebbe 
risolvendo l'equazione del moto, la configurazione a 
quell'istante come condizione iniziale e poi una somma di 
soluzioni sinusoidali. Ma l'ipotetico musicista che volesse 
capire meglio potrebbe domandarmi: ma perchè a quel punto 
l'altezza del suono che percepisco cambia e torna quella della 
corda libera? Perché lo sviluppo in serie di Fourier sembra 
'incastrato' nella fisica della corda? Perchè non potrebbe 
esistere un altra base di funzioni compatibili con i vincoli? E 
se ci fosse quale sarebbe il risultato all'ascolto? Certo 
potrei ribattere che le funzioni base in seno e coseno sono 
quelle più semplici per la soluzione dell'equazione e che posso 
sempre passare da una base all'altra senza cambiare il suono 
percepito, è solo una descrizione formale; ma onestamente mi 
sento mancare il terreno sotto i piedi, forse perché non è solo 
fisica ma anche una questione di percezione sensoriale. Però 
certo non posso sostenere che l'orecchio e il SNC si sono 
'evoluti in seni e coseni'.......
 
Vedo che la 1) e 3) sono domande confuse, e difatti come mi 
accade sempre quando non ho la visione chiara di qualcosa non 
so nemmeno cosa vorrei sapere :) Ho sempre pensato che fare una 
domanda giusta presupponga aver capito un argomento almeno a 
3/4. Quindi sì, prima che lo dica qualcuno, lo so benissimo che 
meglio non potrei: non ho capito niente della fisica. Inoltre 
non capisco perchè per anni le cose sembrano certezze assolute 
poi a un certo punto si dissolvono completamente, come se si 
precipitasse nelle sabbie mobili :(
 
Scusate le tante imprecisioni in un post chilometrico...... Ma 
stamattina sono rimasto un pò male per la stupidità della mia 
risposta :(
 
Con l'occasione buon anno a tutti voi :)

 autofunzioni, cosa accadrebbe all'ascolto?
Hai mai sentito una chitarra?
 
 
-- 
Elio Fabri

> Hai mai sentito una chitarra?
 
Mi sono preso la nottata per dormirci sopra, dato che non ho 
saputo inquadrare la domanda. Suppongo sia di genere maieutico 
ma non ho partorito nulla di interessante (e ovviamente sì, per 
qualche anno l'ho anche studiata). Direi solo:
 
1) Rileggendo vedo che non ho specificato abbastanza 
esplicitamente che ipotizzavo gli estremi fissi e su supporto 
rigido, in modo che non ci fossero trasferimenti di energia. 
Però mi pare che in strumenti come la chitarra ci siano 
trasferimenti di energia e questo non mi fa apparire strano che 
le corde possano vibrare con frequenze che non sono multiple 
intere della fondamentale intesa come quella che 
corrisponderebbe alla più bassa che si possa emettere in 
funzione della geometria dello strumento.
 
2) A differenza di quanto ipotizzavo penso sia sostenibile che 
l'orecchio e la corrispondente sezione del SNC si siano 
'evoluti in seni e coseni'. L'input fisico è una membrana 
vibrante e a naso (non a orecchio...) non cambia molto, solo 
che in 2d ci sarà il prodotto di funzioni che contengono seni e 
coseni su due assi. E potrebbe darsi che il cervello 
'riconosca' la funzione sin/cos come l'elemento discriminante 
per la percezione. Però non solo questa ipotesi non mi aiuta a 
diradare la nebbia, ma la trovo una pezza a un problema fisico 
che non so definire.
 
Non so cos'altro pensare.......

 pezza a un problema fisico che non so definire.
Stai dimenticando che tra il suono e il cervello c'è di mezzo il
trasduttore, ossia la coclea e l'organo del Corti.
Non sono in grado di approfondire gran che la fisica/fisiologia del
problema.
Non ho neppure capito la differenza tra "sintonizzazione passiva" e
"attiva".
Mi è chiaro che lungo lo sviluppo della coclea l'ampiezza della
vibrazione causata da un'onda monocromatica ha un largo massimo che si
sposta al cambiare della frequenza.
(Mi sono fatto l'idea che al confronto con la fisiologia dell'occhio
quella dell'orecchio sia in una fase meno avanzata, sebbene in teoria
debba essere più semplice, appunto perché unidimensionale.)
 
C'è una vaga somiglianza tra la discriminazione delle frequenze sonore
e quella dei colori.
In entrambi i casi i recettori hanno una risposta molto larga, eppure
il SNC riesce a ricostruire colori e frequenze con grande sensibilità.
Comunque non mi sembra utile tirare in ballo la fisiologia se il
problema è come può vibrare una corda (di chitarra o di pianoforte).
 
 
-- 
Elio Fabri

 corda non vibra con frequenza (17/13)f?
...
 
 
Provo a dare una risposta telegrafica su questo punto.
 
La frequenza fondamentale è quella del modo di oscillazione con 
lunghezza d'onda lamda_0=L/2 (se L è la lunghezza del monocordo). E' il 
modo con solo 2 nodi agli estremi.
 
Tutte le altre frequenze sono relative a modi con ulteriori nodi in 
aggiunta a quelli agli estremie quindi le corrispondenti lunghezze 
d'onda sono lamda_0/n, n=2,3,4...
 
Le frequenze sono collegate alle lunghezze d'onda da una propozionalità 
inversa e quindi frequenze non multipli interi non ce ne sono.
 
Però questo nel caso di un monocordo ideale. Nella realtà il monocordo è 
montato su uno strumento che ha le sue possibilità di oscillazione con 
la possibiità di sopprimere o esaltare frequenze del monocordo ma anche 
di aggiungerne altre.
 
Poi a livello di ascolto entra in gioco anche la fisiologia ma quella è 
un'altra storia.
 
Giorgio

Grazie per le risposte, ho riflettuto e in effetti la 
percezione se mai c'entra non ha quel ruolo primario che 
pensavo avesse.
 
Credo che in condizioni ideali, ovvero niente dissipazioni e 
supporti perfettamente rigidi, le condizioni iniziali 
dovrebbero ripresentarsi periodicamente. Forse è solo a causa 
del trasferimento di energia ai supporti e dei termini 
dissipativi che la corda cambia rapidamente configurazione e 
diventa quella classica, ovvero (approssimativamente) 
esprimibile come somma delle armoniche multiple della 
fondamentale. Se fosse così, tutti i miei dubbi sarebbero 
automaticamente disinnescati.
 
Grazie per il tempo speso :)

automaticamente disinnescati.
 
Peccato per il mancato disinnesco dei dubbi, perche' e' proprio nel
caso di una corda ideale senza dissipazione che la configurazione e'
stabilmente esprimibile come somma di armoniche multiple di una
fondamentale. Ciao

 fosse così, tutti i miei dubbi sarebbero automaticamente disinnescati.
 
Non è che ci sia una fase "non classica" e poi una "classica". Il 
profilo della corda in funzione del tempo è sempre esprimibile come 
serie trigonometrica con frequenze multiple di una fondamentale.
 
Sul ripresentarsi periodico del profilo iniziale il problema è: dopo 
quanto tempo?
 
Giorgio

 multiple di una fondamentale.
 
Niente, come non scritto............ Una delle mie classiche 
distrazioni; avevo 'dimenticato' tante cosucce a cominciare dal 
fatto che la soluzione dell'equazione è il prodotto tra una 
funzione del tempo e una della coordinata spaziale (per restare 
a 1d) e ho messo 'tutto insieme'.
 
Credo che di fatto stessi chiedendo in maniera, confesso, molto 
poco comprensibile per primo a me quindi immagino all'esterno, 
come si comporta un oscillatore meccanico dopo che abbia smesso 
di agire una forzante a frequenza diversa da una di quelle 
naturali :(

 forzante a frequenza diversa da una di quelle naturali :(
 
Beh, in quel caso è semplice. qualunque sia la causa della 
perturbazione, appena emette di agire lascia il sistema in una 
particolare sovrapposizione di modi normali. E siccome i modi normali 
(in un sistema ideale) non interagiscono tra loro, quella 
sovrapposizione resterà per sempre (a meno di effetti di smorzamento nei 
sistemi reali).
 
Giorgio

 effetti di smorzamento nei sistemi reali).
 
Già, ero arrivato alla conclusione (mi ci sono voluti due 
giorni e mezzo) ma una conferma fa sempre piacere soprattutto 
quando sono letteralmente decenni che certe nozioni non vengono 
usate :(