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Titolo: [OT ? ... boh !]. A proposito delle dimensioni frazionarie, frattali e altro

 
Il quesito di ReBim mi ha riattivato una vena languente 
sotto la brace.
Quella della dimensionalità frazionaria dei frattali.
 
Non so se esista un termine appropriato, ma nella mia testa 
uso il termine di dimensionalità ospite quello che 
sostanzialmente è l'inviluppo che circoscrive un frattale. 
Immagino di avvolgerlo in un palloncino di gomma, parlo di 
frattali limitati in ogni dimensione, senza "infiniti", che 
non so visualizzare, e poi risucchiare aria senza però 
strappare il palloncino.
E a seconda della natura del frattale potrei ottenere una 
retta (polvere di Cantor e simili), una curva lineare che si 
estend in 2D, o persino in 3D, oppure una superficie 2D 
schietta (planare), una superficie 2D che si estende in uno 
spazio 3D, o infine un solido pieno 3D a pieno titolo.
Divagazione : già con gli "inviluppi" non frattali ho dei 
dubbi a considerare la dimensionalità, perché una mi pare 
quella "propria", l'altra dello spazio ospitante.
Le prime tre si possono ricondurre a 1D mediante 
deformazioni elastiche dello spazio per raddrizzarla.
Le seconde due si possono ricondurre a 2D con lo stesso modo.
Ma queste operazioni di deformazione della fittezza della 
trama spaziale, sono lecite o alterano la "vera" 
dimensionalità dell'oggetto ? Non lo so: so che non sono né 
traslazioni, né scale, né rotazioni né deformazioni isotrope.
 
Ma torniamo al quesito iniziale, definito alla meno peggio 
lo spazio ospitante, e tornando alla dimensionalità 
matematicamente calcolabile (io non so come, ma ho visto dei 
numeri in giro sicché suppongo che almeno in certi casi 
siano computabili), mi chiedevo :
 
esistono frattali che hanno uno spazio ospitante 3D (o >= 
2D) ma con dimensione "propria" < 1D ?
 
 
pensavo a qualcosa tipo questo : definizione operativa, non 
matematica
 
su un asse (es X) una funzione generatrice G parametrica in 
un parametro intero N, crea dei punti a distanze 1/(16*N)
su un asse (es Y) una funzione generatrice H parametrica in 
un parametro intero M, crea dei punti a distanze 1/(36*M)
 
Il nostro frattale genera punti di coordinate X, Y solo dove 
le due funzioni producono entrambe una coordinata valida 
contemporaneamente.
Ora questa terza "funzione" o quel che è, spargebbe punti 
nel piano (sicché avrebbe un inviluppo di dimensionalità 
superiore) ma ho come la sensazione che la sua fittezza di 
punti debba essere inferiore ad entrambe G, H (che pure 
erano ospiti in spazi 1D).
 
Non so se ho potuto spiegare bene il dubbio ... avete 
consigli su cosa potrei cercare ?
Sostanzialmente mi interessano casi estremi di frattali o 
"quasi-piani" o "quasi-solidi" (come dire, solidi appena 
porosi), e dall'altro caso estremo, frattali che si 
spaparanzano in 3D facendo i gradassi, ma poi son tutta aria 
fritta, così rarefatti che la loro dimensione propria è 
addirittura minore di 1D.
 
BTW mi è venuto in mente che quando mi era venuta la 
fissazione compulsiva di usare DESMOS, spesso generavo 
grafici ipnotici in 2D con questa natura bizzarra (e il 
povero desmos si lamentava : dettagli non risolti, 
impossibile espandere il calcolo etc).
 
vabbè ... lo so che è poco fisico, però il thread sui tempi 
supplementari mi ha innescato elucubrazioni bislacche
 
 
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 l'inviluppo che circoscrive un frattale.
 
Rispondo brevemente sui vari punti.
 
Dimensione non intera: considera un cerchio di raggio r, la sua 
superficie e' proporzionale ad r^2. Per una sfera in 3 dimensioni, il 
volume e' ~ r^3. In generale in d dimensioni la ipersfera avra' 
ipervolume proporzionale ad r^d.
 
Vista cosi', per un ipervolume nessuno ti impedisce di considerare 
dimensioni d non intere, ad esempio 3/2 (una funzione di 1.5 variabili e' 
un po' piu' difficile da definire...).
 
Per il frattale: la sua dimensione si puo' misurare mediante la 
dimensione di Hausdorff (non e' l'unico modo). Essenzialmente lo ricopri 
con una somma di sfere in d dimensioni di volume r^d, sum_i r_i^d.
 
La dimensione del frattale e' il valore minimo (piu' precisamente l'inf) 
sui d di tale somma, che come vedi puo' avere valore non intero.
 
Dimensione del frattale minore di quella dello spazio in cui e' immerso:
 
Considera le traiettorie dei moti browniani (se preferisci, all'incirca i 
random walks: su di un reticolo ti sposti ogni volta di un segmento con 
direzione completamente a caso). Per tutti i moti browniani in dimensioni 
maggiori o uguali a 2, la dimensione di Hausdorff e' sempre pari a 2.
 
 

Il 02/09/19 19:47, MM ha scritto:
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avresti sottomano qualche link dove ci siano un po' di 
figure o animazioni o qualcos'altro di analogo ? Ho delle 
enormi difficoltà ad astrarre negli spazi a più di 3 dimensioni.
Avevo visto un video su un ipercubo, che mi ipnotizzava, ma 
sostanzialmente non lo capivo :\
