Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: esercizio di QM

Salve a tutti! Ho un dubbio con questo esercizio (nel testo indico h
tagliato con h, la pulsazione omega con w e le autofunzioni con f):
Una particella di massa m in presenza di un potnziale armonico si
trova in uno stato con valor medio 3/2hw, valor medio della parit� 1 e
probabilit� 0 di ottenere come risultato una misura dell'energia con
valore maggiore di 5/2hw.
Determinare lo stato in termini di autostati dell'hamiltoniano.
Potendo avere come valori dell'energia 3/2hw e 5/2hw, essendo gli
autovalori dell'energia di un oscillatore armonico E=hw(n+1/2), �
evidente che gli autovalori la cui misura ha una probabilit� diversa
da zero sono n=1 e n=2, per cui scriverei lo stato come:
|f>=A|1>+B|2>
per opportune costanti A e B, che determino con la condizione sulla
parit� (indico l'operatore con PI):
<f|PI|f>=(<1|A*+<2|B*)(PI)(A|1>+B|2>)=-|A|^2+|B|^2=1
imponendo la normalizzazione, trovo anche che
|A|^2+|B|^2=1
risolvendo ottengo A=-+i/sqrt(2) e B=+-1/sqrt(2). E' giusto il
procedimento? Se si, come faccio a scegliere i segni?
Grazie mille anticipatamente,
Achille

 Potendo avere come valori dell'energia 3/2hw e 5/2hw
Anche 1/2hw.

 risolvendo ottengo A=-+i/sqrt(2) e B=+-1/sqrt(2).
Qui mostri di avere delle serie difficolta' matematiche.
Primo: se |A|^2+|B|^2=1 e -|A|^2+|B|^2=1, mi pare evidente che dovra'
essere |A|=0, |B|=1.
Non riesco a immaginare come sei potuto arrivare alla tua "soluzione".
Anche senza calcoli, avresti dovuto capire che delle condizioni sui
moduli di A e B non potranno mai darti informazioni sui loro
argomenti.
In realta' avresti potuto osservare subito che, essendo gli autovalori
di PI +1 e -1, se il valor medio e' 1 lo stato sara' autostato di PI,
appunto con l'autovalore +1.
Nota che tutti gli autostati di H con n pari sono anche autostati di
PI con autovalore +1, e che la condizione data dice che potranno
figurare solo gli autostati con n=0 e n=2.
Cio' posto, che cosa impari dal fatto che il valor medio (suppongo
dell'energia) sia 3/2hw?
 
-- 
Elio Fabri
La conoscenza viene da Papa Bondye, appartiene a tutti, e se non si
condivide si perde.

 dell'energia) sia 3/2hw?
mi veniva da pensare che, se il valor medio dell'energia � 3/2hw,
questo deve essere autovalore dell'Hamiltoniano (secondo quanto
asserito dal III postulato della QM); per cui:
H|f>=3/2hw|f>
ma 3/2hw=hw(n+1/2) se n=1; sappiamo anche che:
H|1>=3/2hw|1>
ma se gli autovettori dell'oscillatore armonico sono non degeneri,
vuol dire che i vettori |f> e |1> sono al pi� proporzionali, e noto
che i vettori |n> costituiscono un sistema di base ortonormale, mi
verrebbe da dire che |f> deve essere poter espresso come combinazione
lineare di |0> e |2>.
Ma francamente non capisco la connessione con la parit�.
Spero di non aver detto troppe bestialit� anche stavolta; grazie
ancora.
Achille

 Anche 1/2hw.
ah, giusto, perch� 3/2hw � il valor medio... quindi scrivendo lo stato
mi troverei una condizione in meno? Grazie.

 Ma francamente non capisco la connessione con la parit�.
O bella: e allora perche' non hai detto che |f> e' una comb. lin. di
|0>, |1) e |2> ?
Puoi escludere |1> proprio perche' ha parita' negativa: se tu avessi
|f> = a|0> + b|1> + c|2>, quanto sarebbe il valor medio di PI?
Dimostra che se b=/=0, <f|PI|f> < 1.


 |0>, |1) e |2> ?
Ovvio, partivo da un ragionamento sbagliato e l'avevo escluso per un
altro motivo... e come giustamente lei precisa, |f> non � per forza
autostato di H, per cui se anche 3/2hw � uguale al suo valor medio non
� vero che, pur imponendo la normalizzazione del vettore |f>: <f|H|
f>=3/2hw<f|f>=3/2hw, come avevo implicitamente imposto in modo del
tutto errato.
Grazie ancora per le dritte! Buona serata!
Achille


 mi troverei una condizione in meno? Grazie.
ovviamente quest'ultima mail � da non considerare... anche perch�, al
massimo, avrei una condizione in pi�...