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Titolo: Alcune definizioni mecc. ondulatoria

Sto preparando l'esame di fisica dello stato solido, ma sul mio libro non
ho trovato una spiegazione esauriente del significato di alcuni termini
che ho incontrato quando parla della propagazione delle onde elastiche
nei reticoli.
In particolare non ho capito la differenza tra velocita' di gruppo, velocita'
di fase e velocità di propagazione.
Inoltre, quando si parla dell'analisi del grafico di dispersione, compare la
relazione:
vel.di gruppo= dw(k)/dk
dove k è il vettore d'onda pari a 2*Pi/(lambda) e w e' la pulsazione.
C'e' un metodo semplice per dimostrare la suddetta relazione?
E' vero che per "k" piccoli velocita' di gruppo e velocita' di fase tendono
allo stesso valore? Cioe' che la pulsazione delle oscillazioni degli atomi
w(k) si avvicina a quella dell'onda (pari a vel.propagazione*k)?
Grazie.

 C'e' un metodo semplice per dimostrare la suddetta relazione?
Bisogna passare per le trasf. di Fourier. Se questo per te sia
"semplice", non lo so :)
Poniamo
f(x,0) = \int g(k) exp[ikx] dk.
Si dimostra che allora
f(x,t) = \int g(k) exp[i(kx-wt)] dk
dove w(k) e' quella definita prima per le onde monocromatiche.
Supponiamo ora che g(k) sia sensibilmente diversa da 0 solo attorno a
un valore k0 di k (pacchetto quasi monocromatico). Potremo
approssimare w(k) con
w(k0) + (k-k0)*(dw/dk)_{k=k0} = w(k0) + w'*(k-k0)
dove w' e' un'abbreviazione per (dw/dk)_{k=k0}.
Sostituendo nell'integrale:

 Questa non l'ho capita.
Cerco di esprimermi meglio.Nel modello di Debye vengono
presi in considerazione i modi normali di vibrazione delle onde elastiche
che sono permessi in un cristallo (considerato come un continuo).
L'equazione che si sfrutta per ricavare le frequenze permesse e' la solita:
d^2[u(x,y,z,t)]/dx^2 + d^2[u(x,y,z,t)]/dy^2 + d^2[u(x,y,z,t)]/dz^2
= [1/c^2]*d^2[u(x,y,z,t)]/dt^2
dove c e' la velocita' di propagazione dell'onda elastica.
Sempre sullo stesso libro, l'autore, una volta che ha determinato
le frequenze permesse (e la frequenza soglia, freq. di Debye) delle onde
che si propagano all'interno del cristallo, intende calcolare l'energia
termica secondo tale modello semplificato.
Allo scopo ricava la funzione Z(v) che esprime il numero di modi normali
di vibrazione ad una data frequenza v.
Z(v) = 4*Pi*V*(2/c_t^3+1/c_l^3)*v^2
dove V: volume del cristallo, c_t velocità di propagazione per le onmde trasversali
mentre c_l per quelle longitudinali.
Poi ritira fuori la relazione di Planck per l'energia del singolo oscillatore:
eps=1/(e^hv/kT-1)
e dice che l'energia del reticolo è data da:
E = int(da 0 a v_D)[Z(v)/(e^hv/kT-1)dv]
dove v_D è la frequenza soglia di Debye.
ora, sotto il segno di integrazione compare la frequenza
dell'onda elastica e quella dell'oscillatore singolo, quindi, mi
aspetto che questa operazione abbia un senso solo se le due
frequenze coincidono. Mi pare pero' che in realta' questo fatto
non sia vero (specialmente per grandi valori di k),  ho pensato quindi
che quell'integrale valga solo sotto l'approssimazione di Debye,
(lecita appunto solo per piccoli k).
Spero solo di aver detto poche cavolate.
ciao.

 frequenze coincidono.
E infatti coincidono; gli oscillatori/modi normali nella teoria delle 
piccole oscillazioni dei cristalli sono proprio le onde di spostamento 
degli atomi. Le oscillazioni del singolo atomo *non* sono armoniche, nel 
senso di essere descritte da una sola frequenza (se facessi questa 
ipotesi, troveresti il modello di Einstein con w=costante).
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 ma in appendice non c'è nulla.
Non so come mai, ma in almeno due server la mia risposta non c'e'.
Per cui, per aiutare altri eventualmente interessati, la ricopio qui
sotto.
Di seguito la tua contro-risposta.
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

 ha scritto nel messaggio
news:447ADF87...@ts.infn.it...

Grazie. Un'ultima cosa, in questo corso si fa un gran palare di fononi,
ma cosa sono "fisicamente" i fononi?
Ciao.


 ma cosa sono "fisicamente" i fononi?
Sono la quantizzazione delle vibrazioni reticolari. Ovvero, prendi i 
modi normali di oscillazione del sistema (in approssimazione armonica) e 
li trasformi in "particelle" quantistiche, di massa nulla, energia hbar 
w e quantita' di moto hbar k. (A volte per abuso di linguaggio si parla 
di fononi come sinonimo dei modi normali.) Capire come si esegua la 
trasformazione esattamente richiede tecniche un pochino piu' avanzate 
della MQ elementare (seconda quantizzazione).


Non riesco a capire. Il post che segue, e che ho spedito il 29, su
alcuni newsserver c'e', su altri no.
Ora provo a ritrasmetterlo da un altro server, scusandomi in anticipo
coi moderatori... Ma debbo capire!
Chicco83 ha scritto:
 > Grazie per le info!
 > cmq il libro e' Fisica dello Stato Solido di Adrianus J. Dekker
 > ma in appendice non c'è nulla.
Non so come mai, ma in almeno due server la mia risposta non c'e'.
Per cui, per aiutare altri eventualmente interessati, la ricopio qui
sotto.
Di seguito la tua contro-risposta.
-----------------------------------------------------
Chicco83 ha scritto:
 > Sto preparando l'esame di fisica dello stato solido, ma sul mio libro
 > non ho trovato una spiegazione esauriente del significato di alcuni
 > termini che ho incontrato quando parla della propagazione delle onde
 > elastiche nei reticoli.
 >
 > In particolare non ho capito la differenza tra velocita' di gruppo,
 > velocita' di fase e velocità di propagazione.
Non so quale sia il libro che dici. Un libro ben fatto dovrebbe
spiegare queste cose, magari in un'appendice.
Cerchero' di darti qualche idea, ma succintamente, se non altro perche'
altrimenti affoghiamo nelle formule...
Intato limitiamoci a una sola dimensione spaziale: allora l'onda piu'
generale sara' una funzione di due variabili: f(x,t).
Un'onda progressiva ha la forma f(x-vt) e v e' la velocita' di fase.
In particolare, se l'onda e' monocromatica si potra' scrivere
exp[i(kx-wt)]
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Poniamo
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Si dimostra che allora
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f(x,t) = exp[i*(k0*x - w(k0)*t)] \int g(k) exp[i*(k-k0)*(x-w'*t)] dk =
        = exp[i*(k0*x - w(k0)*t)] F(x-w'*t).
|f(x,t)|^2 = |F(x-w'*t)|^2.
Da questa si vede che l'inviluppo del pacchetto si sposta con la
velocita' w', e sostituendo nella (1) si potrebbe dimostrare che w'
coincide con la velocita' di gruppo u.
 > E' vero che per "k" piccoli velocita' di gruppo e velocita' di fase
 > tendono allo stesso valore?
Si', ma non mi chiedere di dimostrarlo... Non voglio fare notte :-)
 > Cioe' che la pulsazione delle oscillazioni degli atomi w(k) si
 > avvicina a quella dell'onda (pari a vel.propagazione*k)?
Questa non l'ho capita.
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Chicco83 ha scritto:
 > Cerco di esprimermi meglio.Nel modello di Debye vengono presi in
 > considerazione i modi normali di vibrazione delle onde elastiche che
 > sono permessi in un cristallo (considerato come un continuo).
 > L'equazione che si sfrutta per ricavare le frequenze permesse e' la
 > solita:
 >
 > d^2[u(x,y,z,t)]/dx^2 + d^2[u(x,y,z,t)]/dy^2 + d^2[u(x,y,z,t)]/dz^2
 >
 > = [1/c^2]*d^2[u(x,y,z,t)]/dt^2
 >
 > dove c e' la velocita' di propagazione dell'onda elastica.
A rigore questa e' l'approssimazione per piccoli k, dove appunto c non
dipende da k (vedi sopra).
 > ...
 > Allo scopo ricava la funzione Z(v) che esprime il numero di modi
 > normali di vibrazione ad una data frequenza v.
 >
 > Z(v) = 4*Pi*V*(2/c_t^3+1/c_l^3)*v^2
 >
 > dove V: volume del cristallo, c_t velocità di propagazione per le
 > onmde trasversali mentre c_l per quelle longitudinali.
 >
 > Poi ritira fuori la relazione di Planck per l'energia del singolo
 > oscillatore:
 >
 > eps=1/(e^hv/kT-1)
Energia media...
 > e dice che l'energia del reticolo è data da:
 >
 > E = int(da 0 a v_D)[Z(v)/(e^hv/kT-1)dv]
 >
 > dove v_D è la frequenza soglia di Debye.
 >
 > ora, sotto il segno di integrazione compare la frequenza dell'onda
 > elastica e quella dell'oscillatore singolo, quindi, mi aspetto che
 > questa operazione abbia un senso solo se le due frequenze coincidono.
 > Mi pare pero' che in realta' questo fatto non sia vero (specialmente
 > per grandi valori di k), ho pensato quindi che quell'integrale valga
 > solo sotto l'approssimazione di Debye, (lecita appunto solo per
 > piccoli k).
 > Spero solo di aver detto poche cavolate.
Solo una, bella grossa, pero' :-)
Naturalmente non so se sia colpa tua, o del libro che non e' chiaro.
Gli oscillatori di cui sta parlando non sono i singoli atomi, che in
nessun caso potresti trattare come indipendenti, visto che sono
accoppiati tra loro.
Si tratta invece degli oscillatori associati a ciascun modo normale,
per cui l'identificazione e' proprio la cosa giusta da fare.
Tra l'altro, nota che proprio per piccoli k e' intuitivo che gli atomi
oscillano in modo collettivo: quelli vicini oscillano quasi con la
stessa ampiezza, e sempre con la stessa fase.
--
Elio Fabri

 stessa *fase*, e sempre con la stessa *ampiezza*?
Vediamo se questa volta i server capricciosi accettano il mio post...
No, volevo dire quello che ho detto, e mi rendo conto del motivo per
cui esprimi perplessita'.
In un'onda progressiva le cose vanno come dici tu: stessa ampiezza e
fase variabile.
Ma i modi normali di un cristallo _finito_ non sono onde progressive,
bensi' stazionarie: in questo caso tutti i punti oscillano in fase,
mentre l'ampiezza varia da punto a punto.
Agli effetti dei calcoli che stai studiando, spesso si ragiona sulle
onde progressive, che a rigore richiederebbero un cristallo infinito.
Ma la differenza e' insignificante, date le dimensioni dei cristalli
reali rispetto ai passi reticolari, e fare i conti con le onde
progressive e' alquanto piu' semplice...
 
-- 
Elio Fabri


Con la stessa fase solo nei modi acustici... in quelli ottici oscillano
in controfase...
saluti

 Elio Fabri

dan ha scritto:

Hai letto bene quelo che avevo scritto?
"Piccoli k": quindi certamente modi acustici.
 
-- 
Elio Fabri

 "Piccoli k": quindi certamente modi acustici.
Ti devo correggere: ci sono anche modi ottici per piccoli k. Forse 
pensavi ai piccoli w.


 del numero d'onda.
Non e' tanto la velocita' di gruppo che importa, ma la relazione di 
dispersione w=w(k). Anzi, in realta' di solito basta la densita' degli 
stati g(w) = 1/(2 pi)^3\int delta(w-w(k))dk (sommato su tutte le 
branche), che ha anche il vantaggio di permettere una generalizzazione a 
sistemi non cristallini, dove w(k) non e' definibile ma g(w) si'.
Infatti le grandezze termiche sono tutte esprimibili come integrali di 
un'opportuna funzione moltiplicata per il numero di occupazione f(w) 
(distribuzione di Bose) e moltiplicata  a sua volta per g. Come esempio, 
prendi l'energia:
U = somma_branche 1/(2 pi)^3 \int hbar w f(w).


 pensavi ai piccoli w.
No, in realta' ho risposto senza pensare...
La risposta che avrei dovuto dare era un'altra.
Dato il modo come il problema e' nato (modello di Debye) i modi ottici
non c'entrano niente, perche' il modello assume un cristallo
monoatomico.
E anche se si vuole allargare il discorso a cristalli poliatomici non
cambia niente, perche' ai fini del calore specifico contano solo i
modi acustici, a meno di non andare a temperature a cui forse il
solido non e' piu' solido.
Sbaglio?
-- 
Elio Fabri

     
Allora,  *in generale* ci sono anche i piccoli k  dei modi ottici (che 
non sono lineari in k).
E'  anche vero  che se si sta trattando i calori specifici a bassa 
temperatura,  i modi ottici possono essere ignorati (danno un contributo 
esponenzialmente piccolo ai calori specifici).
Giorgio

Giorgio Pastore ha scritto:

Certo,
io avevo risposto estrapolando l'affermazione del prof. Fabri dal
contesto: conteneva infatti *in generale* un'imprecisione. Ringrazio
Pastore e Smargiassi, che inconsapevolmente hanno proprio aiutato un
triestino scientificamente d'adozione "contro" un pisano ;-) [si fa per
scherzare]...
Saluti

 solido non e' piu' solido.
Esistono circostanze pratiche in cui il contributo degli ottici in un 
solido e' sensibile. Infatti l'ordine di grandezza delle energie dei 
modi acustici e' quella dell'energia di Debye, e molti materiali sono 
solidi alla temperatura di Debye: per esempio, il silicio ha TD=645 K, 
ma fonde a quasi 1700K.
Non c'e` da sorprendersi di questa differenza, visto che le frequenze di 
vibrazione dipendono dalla parte armonica del potenziale interatomico, 
mentre la T di fusione da quella anarmonica (un cristallo perfettamente 
armonico non fonde).


 cristallo perfettamente armonico non fonde).
Ubi major... :)
Almeno sulla fisica dei solidi non posso competere con te ;-)
Magari l'esempio del silicio non e' il piu' appropriato, visto che non
ha banda ottica.
Ma ho controllato una tabella di semiconduttori binari, e praticamente
tutti hanno la temp. di Debye parecchio inferiore a quella di fusione.
Questo non lo sapevo.
 
-- 
Elio Fabri

 ha banda ottica.
Come no? Tutti i solidi con piu' di un atomo per cella unitaria 
possiedono branche ottiche, ed il silicio ha la struttura del diamante 
(due atomi per cella FCC).


 (due atomi per cella FCC).
Naturalmente hai ragione: io la fisica dei solidi non la so :-(
Pero' ho fatto di piu' che darti ragione ;-)
Mi sono fatto una bella figura del reticolo del diamante e ho
calcolato i modi normali e la relazione di dispersione.
Non perche' non ti credessi, ma a scopo di esercizio: a quest'eta' e'
una ginnastica indispensabile :)
 
-- 
Elio Fabri

 Naturalmente hai ragione: io la fisica dei solidi non la so :-(
Se io ignorassi la Relativita' Generale come tu ignori la fisica dei 
solidi sarei estremamente contento :-)
