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Titolo: Modi acustici e ottici e altro...

Un salve a tutti...
spero che possiate darmi una mano....
Ho qualche questione poco chiara che riguarda fisica dello stato solido.....
1) Se per ogni cella primitiva ci sono p atomi e ci sono N celle abbiamo 3pN
modi normali....perchè "solo" 3 acustici e il resto ottici?
C'è qualcosa di fisicamente interessante in questo o semplicemente questioni
di nomenclatura? Non mi riferisco alla differenza tra modi ottici e acustici
ma al fatto che ce ne siano solo 3 acustici e che il resto siano "ottici"...
2) La resistività di un metallo ha un andamento per certi valori (bassi,ma
non bassissimi) di temperatura come T^5 (Bloch). Ma da dove nasce questo
T^5?C'è un contributo di T^3 dovuto al crescente numero di fononi (sotto la
T di Debye) e l'altro T^2 dove spunta?
3) La differenza tra i coeff. di assorbimento teorici (omega^4 T) e quelli
sperimentali (omega T^4) per le interazioni fononi longitudinali-fononi
longitudinali
è tutta da ricercare nel principio di indeterminazione da considerare per la
omega(k) nel valutare i processi che conservano energia e momento o c'è
dell'altro?
Mi scuso per il linguaggio sbrigativo ma spero di essere stato chiaro.
Dimenticavo...avete qualche libro da consigliare che sia magari un pò più
chiaro su questi punti e sugli argomenti correlati?
Ovviamente il Kittel è escluso!
Grazie in anticipo a chi mi vorrà dare una mano!

 Ovviamente il Kittel è escluso!
Consiglio l'Ashcroft-Mermin "Solid state physics".
 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 Ovviamente il Kittel č escluso!
Spiacente: il Kittel e' l'unico libro che conosco...
E incidentalmente, la figura che dicevo sta a pag. 111 della mia
edizione.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Ancora grazie...

 Si, infatti! Ho sbagliato...
Se hai scritto "modi" ma pensavi "branche" avevi invece pensato giusto: 
per un cristallo di N celle con p atomi per cella ci sono sempre 3 
branche acustiche e 3p-3 ottiche (a meno di casi speciali di cui diro' 
piu' avanti), ognuna comprendente N modi, un modo per ogni branca e per 
ogni vettore k. Ovviamente il numero totale di modi deve coincidere col 
numero totale di gradi di liberta' del cristallo, che e' 3pN.
 > perchè cresce il numero dei modi ottici e non quello dei modi
 > acustici?
La ragione dell'esistenza di tre modi acustici e' questa. Prendiamo per 
semplicita' un cristallo 1-D con p=1 e parametro reticolare a. Allora i 
modi di oscillazione, che sono "onde di spostamento" degli atomi, sono 
della forma
u_k(n,t) = e_k exp[i(k*a*n-w*t)]
dove u e' lo spostamento, e_k e' l'ampiezza (in 3-D diventa il vettore 
polarizzazione), n l'indice di atomo, k il vettore d'onda e w la 
frequenza. Per k=0 ovviamente abbiamo un modo a  "lunghezza d'onda 
infinita", o meglio un modo in cui gli atomi si muovono di conserva 
mantenendo esattamente costanti le distanze relative. Siccome 
consideriamo (questo e' lasciato implicito nella maggior parte delle 
trattazioni, ma e' importante) un cristallo isolato, questo modo 
corrisponde ad una traslazione rigida e libera del cristallo (nota che 
le forze interne sono in questo caso zero, perche' le posizioni atomiche 
relative non variano), che puoi considerare come una oscillazione con 
frequenza nulla: w=0. Ecco il modo acustico.
Per p>1 il discorso e' analogo, basta considerare il modo in cui tutti 
gli atomi della cella si muovono in fase, e sara' il modo acustico; 
quelli in cui si muovono con fase diversa non sono traslazioni del 
cristallo e genereranno delle forze interne, per cui w!=0 anche per k=0: 
ecco i modi ottici.
Per 3-D il discorso e' del tutto simile, solo che il cristallo ha tre 
direzioni in cui si puo' muovere - se preferisci, il centro di massa ha 
tre gradi di liberta' - per cui le branche acustiche sono tre.
Infine  i casi speciali a cui accennavo: possono darsi casi in cui 
w(k)->0 per k!=0. Si tratta di situazioni in cui il cristallo diventa 
instabile e puo' trasformarsi in un altra struttura cristallina. Infatti 
w=0 implica che la costante di forza elastica si annulla per quel 
particolare modo, ovvero perche' gli atomi, effettuando quel particolare 
moto collettivo, non incontrano forze di richiamo. Pertanto il loro 
spostamento non e' necessariamente piccolo e, se non siamo nel caso di 
traslazione rigida di cui ho parlato prima, continuano a spostarsi fino 
a trovare una seconda configurazione di equilibrio. Questo e' il 
meccanismo che guida molte transizioni tra fasi cristalline.
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 una cella, globalmente neutra, hanno ioni dei due segni.
La distinzione si ha in tutti i cristalli con piu' di un atomo per cella 
unitaria. Ovviamente il termine "ottico" e' rimasto li' per ragioni 
storiche. Peraltro anche i modi acustici possono interagire con la luce, 
sebbene piu' debolmente.


 
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia
Grazie tante!

 di queste forze interne di cui parli? 
Certo. Prendi il caso semplice di un cristallo 1-D con 2 atomi per 
cella, di tipo A e B. Il fonone ottico a k=0, come ti ha gia' detto 
giustamente Elio Fabri, consiste nel movimento in opposizione di fase 
degli atomi di tipo A e B. Quando quelli di tipo A si muovono - 
rigidamente, essendo k=0 - verso destra quelli di tipo B si muovono 
rigidamente verso sinistra, e viceversa. Ovviamente le distanze A-B 
variano e questa variazione genera la forza di richiamo.
Un'ultima osservazione. Quando parlo di forze nulle mi riferisco a forze 
nulle *nell'approssimazione armonica*. E' infatti possibile che si 
abbiano forze non armoniche che vadano, per esempio, come kx^n invece 
che come kx. Queste forze danno origine a frequenze nulle (lo vedi 
facilmente notando che le frequenze - al quadrato - sono proporzionali 
alla derivata della forza rispetto ad x per x=0, e questa e' nulla per 
n>1) ma sono nulle solo ad x=0.
