Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: il paradosso dei due palloncini

Una mia studentessa per stupirmi mi dice che in una trasmissione di
fisica hanno detto la seguente cosa: se prendiamo due palloncini
identici e li gonfiamo in modo diverso, dopodiché li mettiamo in
contatto il palloncino che si gonfierà sarà quello più gonfio e non
come intuitivamente potrebbe sembrare quello di meno.
Una vostra riflessione. Grazie. Roberto

 come intuitivamente potrebbe sembrare quello di meno.
Sospetto che la tua studentessa abbia preso fischi per fiaschi, ovvero
bolle per palloni :-)
Infatti la cosa e' sicuramente falsa per i palloncini, mentre e' vera
per le bolle di sapone.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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roberto ebbe a scrivere:

Ha ragione la fanciulla, secondo me. A causa della tensione della
superficie, la pressione dentro un palloncino di raggio R va come
1+A/R (assumendo 1atm come pressione atmosferica, A=cost). Il
palloncino piu'  grande ha pressione inferiore.
Michele
-- 
Signature under construction. 

 Elio Fabri
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)


Seguendo il thread già discusso su it.hobby.enigmi
trovi anche la soluzione

 per le bolle di sapone.
    In realtà, le bolle di sapone si "fondono", quindi non è del tutto 
corretto dire che è vero. Anche nelle bolle c'è una pressione interna ad 
esse, che è uguale (credo leggerissimamente superiore, per mantenere in 
tensione la bolla) a quella atmosferica. Questo è vero per entrambe, quindi 
l'aria della bolla più piccola non passa alla più grande ma, per l'appunto, 
le due bolle si fondono in una unica. Sennò vedremmo delle piccole bolle 
sgonfie cadere a terra ;))))
Stefano 


forse voleva dire che esiste una remotissima possibilita' che "il
palloncino che si gonfierà sarà quello più gonfio"
-- 
Luciano (TL1000S)

"roberto" ha scritto:

E' così. Almeno fintantoché si resta nella legge di Hooke, cioè
nella linearità dell'allungamento elastico in funzione della forza.
Per convincersene si può pensare al palloncino come ad un
icosaedro di elastici, per poi estendere il concetto ad una
geodetica infinitesimale. Scomponendo le forze ci si rende
conto che la forza complessiva che spinge la membrana verso
il centro e' proporzionale al raggio, mentre quella che spinge
verso l'esterno è data dal prodotto della pressione per la
superficie, quindi è proporzionale al quadrato del raggio.
Quindi, entro i limiti di elasticita' lineare, cioè lontani dallo
scoppio, più il palloncino è gonfio, minore è la pressione
al suo interno. (E' maggiore solo la quantità d'aria).
Questo spiega il comportamento a *flip/flop* di due
palloncini collegati tra loro da un tubicino.
Ciao

per le bolle di sapone.
"Sicuramente" mi pare eccessivo. Credo dipenda dal materiale
di cui sono fatti i palloncini. Quando da bambino provavo
a gonfiarne uno, dovevo soffiare molto forte all'inizio e
poi sempre meno forte quanto piu' era gonfio, e questo ogni
volta che volevo gonfiarlo, non solo la prima. Questo mi
fa pensare che sarebbe successo proprio il fenomeno in
questione, anche se non ho mai provato. Non so pero' di che
materiale si trattasse.
Ciao
Paolo Russo

Com'e' che e' vera per le bolle di sapone?
Ciao, 
BP

"roberto"  ha scritto nel messaggio

Vero.
Guarda il thread su it.hobby.enigmi:
Da: "Quisque faber fortunae suis est"
Oggetto: quesito
Data: venerdì 11 febbraio 2005 1.28
Ciao, Nino

"roberto"  ha scritto nel messaggio

Vero.


 "Sicuramente" mi pare eccessivo.
OK, ho sbagliato... Credo che l'abbiate ormai capito tutti (non so se
ne hanno anche parlato a "porta a porta" :-)))
Quando mi capita una cosa cose', poi tresto per un bel po' a chideremi
che cosa mi ha indotto a dire quello che ho detto: inquesto caso non ci
sono arrivato.
Comunque per espiare ora vi presento la mia teoria del fenomeno.
Assumero' che la deformazione del palloncino (sferico) sia elastica.
Il che non vuol dire una relazione lineare tra sforzo e doformazione,
ma solo che ci sia reversibilita' (deformazione non plastica).
Cosi' mi e' possibile attribuire a ogni stato digofniamento del
pallone, ossia a ogni raggi, una "energia elastica", che sara'
funzione del raggio: E(r).
La pressione dovuta al pallone, che dara' la differenze tra la
pressione esterna e quella interna, si esprime come p = dE/dV =
(dE/dr)/(4*pi*r^2).
Sara' dunque p1 > p2 se
(1/r1^2)*(dE/dr)_(r=r1) > (1/r2^2)*(dE/dr)_(r=r2)
e avremo equillibrio stabile r1=r2 se e solo se
(1/r^2)*(dE/dr) e' funzione crescente di r.
Se supponiamo per es. E = k*r^2 (energia prop. all'area) abbiamo
(1/r^2)*(dE/dr) = 2k/r e la condizione non e' soddisfatta.
Se poniamo E = k*r^n, l'equilibrio sara' stabile solo per n>3.
Questo non accade di regola, ma potrebbe essere cosi' quando il
palloncino e' vicino al limite elastico: sta per scoppiare...
Nel caso delle bolle di sapone E e' esattamente prop. all'area, quindi
sicuramente la situazione a palloncini uguali e' instabile.
Era l'unica cosa di cui avevo diritto di essere sicuro...
Per chi ha chiesto come si fa a vedere quello che succede con le bolle
di sapone: si tratta di un esperimento classico, che si puo' fare
anche con mezzi artigianali, disponendo di tubetti che si collegano a
T, in modo da poter a volonta' soffiare aria in un ramo o nell'altro
della T.
Agli estremi di questa si formano le bolle, poi si chiude il gambo
inferiore lasciando comunicanti gli altri, e si guarda che succede.
Spiegazione canina: se qualcuno sa spiegare meglio...


 funzione del raggio: E(r).
Mi parrebbe che una E(r) = (1/2) k (r-r0)^2
(con r0=raggio del palloncino sgonfio) dia luogo a previsioni in buon
accordo, almeno qualitativo, con quanto si osserva sperimentalmente.
La pressione dovuta al palloncino sarebbe:
p = k (r-r0) / (4*pi*r^2)
cioe' sarebbe crescente nell'intervallo [0, 2 * r0], assumendo valori
da 0 fino a pmax= k/(8*pi*r0), e decrescente nell'intervallo [2 * r0, + oo].



 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 sono arrivato.
...
Secondo me, nella fretta della risposta, ti č venuto naturale assimilare i
due palloncini a un sistema costituito da due vasi comunicanti. 
E' un'associazione piuttosto immediata (anche visivamente) da fare, anche
se la fisica coinvolti nei due casi č differente.
Saluti,
Aleph
 
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 come intuitivamente potrebbe sembrare quello di meno.
Se entrambi i palloncini lavorano in campo elastico e la costante di
proporzionalità tra tensione e deformazione della membrana è la
stessa, il palloncino più grande si sgonfia soffiando aria dentro al
piccolo (che si gonfia).
Derfel


W la coerenza!
Considero l'energia x^2+y^2 ed il vincolo x+y = V_tot
con x>0 ed y>0. Minimizzo la funzione:
x^2 + (V-x)^2 = 2 x^2 - 2 V x + V^2
derivando rispetto ad x. 4x - 2V =0
dunque x=V/2 e' la soluzione di equilibrio.
Ora provo con un altra variante. Il vincolo sia x^3 + y^3 = V.
In tal caso l'equazione diventa certamente
x^2+(V-x^3)^(2/3) ed uguagliando a zero la
derivata si trova, sbagliando: x= 2/3 V^(1/3).
Invece la valutazione esatta porta ancora ad x^3 = V/2.
Probabilmente occorre considerare allora un
fenomeno aggiuntivo nell'espressione dell'energia.
Infatti l'aria fluisce dal palloncino con
pressione piu' alta al palloncino con pressione piu' bassa.
Con cio' l'energia elastica complessiva aumenta, infatti la
diminuzione di energia elastica per il palloncino piu' piccolo
e' minore dell'aumento di energia elastica del palloncino
piu' grande, in quanto la funzione: x^2+(V-x^3)^(2/3) ha un
punto stazionario in x=V/2, come gia' abbiamo dimostrato, ed
inoltre e' convessa.
Se utilizziamo un estensore,
ovvero un martinetto, per controllare il flusso, l'energia guada-
gnata dall'estensore risulta pari alla differenza di pressione per
lo spostamento lineare. Ora la differenza di pressione e' data
da:
[1/x - 1/(V-x^3)^(2/3)]
(Per vedere come e' stato ottenuto questo andamento vedi
l'altro e-mail che ho inviato su questo thread).
Lo spostamento della parete sostenuta dall'estensore
risulta lineare nella variazione di volume, ovvero in un
termine differenziale: -x^2 dx. Se x e' il raggio del palloncino
in basso e supponiamo che il palloncino in basso e' quello
meno gonfio. Ne risulta che la variazione di
energia e':
-x + x^2/(V-x^3)^(1/3)
****************************************************************
NOTA CRITICA:
In verita' il bilancio dettagliato risulta piu'
complesso perche' la pressione al diminuire del raggio
risulta avere un andamento piu' complesso rispetto ad 1/x.
(Confronta ad esempio con l'osservazione di Bruno Cocciaro
circa il fatto che a riposo il palloncino ha un volume non nullo
ed una superfice non nulle).
Inoltre la variazione di x^3 non misura esattamente
lo spostamento del setto. Perche' la pressione aumenta e
dunque occorrerebbe impostare l'equazione adiabatica
pV^gamma = K in modo che in effetti il lavoro fatto sul martinetto
non risultera' esattamente uguale all'aumento di energia elastica.
In quanto una parte dell'energia va in energia di compressione del
gas. Comunque su questo punto tornero' in seguito. Per il momento
ammettiamo questa schematizzazione sbagliata e vediamo dove
conduce. C'e' da riconoscere che la schematizzazione e' proprio
assurda perche' in effetti il volume del gas viene assunto invariato
mentre una pressione cresce e l'altra diminuisce, quindi il gas in
verita' non sta facendo lavoro, stiamo assumendo che non stia
scambiando nemmeno energia termica, e tuttavia il suo stato sta
cambiando. Un vero e proprio miracolo :-{ .
*******************************************************************
seguitiamo:
dobbiamo allora cercare un potenziale efficace che renda
conto di questa variazione di energia del martinetto.
Questo potenziale efficace e' certamente
l'integrale della funzione -x + x^2/(V-x^3)^(1/3).
L'integrale di questa funzione e' certamente:
-x^2 - (V-x^3)^(2/3). Allora questa e' una misura
dell'energia accumulata dall'estensore cambiata di
segno. Ed e' proprio l'energia complessiva del sistema:
palloncini + gas. Questo sistema ora minimizzera' la
propria energia facendo lavoro sull'estensore. E fara'
lavoro sull'estensore fino ad avere raggiunto il minimo
energetico.
Dunque siamo in grado di costruire un bilancio
globale dell'energia (non proprio: vedi nota critica,
si tratta di un bilancio coerente con una
approssimazione non fisica della trasformazione, tuttavia
questo bilancio e' qualitativamente in accordo con quello
fisicamente corretto).
In questo bilancio la funzione energia
e' ancora la funzione di prima ma cambiata di segno,
e' una funzione con un minimo in x=0 ed uno in x^3 = V.
Minimo oltretutto a derivata non nulla e dovuto solo alle
restrizioni geometriche su x. La derivata risulta invece
nulla in x = 0. Come doveva. Quindi in effetti abbiamo ottenuto
una spiegazione consistente con i fenomeni attesi.
La considerazione della situazione concreta va condotta da un punto
di vista piu' termodinamico e la risposta e' elementare, ma comunque
non banale, solo se assumiamo trasformazioni lente, altrimenti e' solo
non banale. Tutto quello che possiamo tentare con semplicita' nel caso
di flusso rapido e' stabilire disuguaglianze oppure modellizzare con
attenzione i flussi d'aria e la produzione di entropia, oppure seguire
la via dell'esperimento. Quello che si verifica ha qualcosa di
controintuitivo: l'energia interna e la temperatura finale del gas
risulteranno piu' alte, ma anche la pressione sara' piu' alta, con
il risultato di un minore volume e di una minore energia elastica.
 
Le forze di pressione che sono in disequilibrio portano
gas dal settore piu' compresso (1) a quello meno compresso (2).
Se il gas fluisce molto lentamente allora possiamo impostare
per l'insieme dei due gas il bilancio energetico:
dU1 =T1 dS1 - p1 dV1 - 3/2 k T1 dN
dU2 =T2 dS2 - p2 dV2 + 3/2 k T2 dN
 
p1>p2
La variazione complessiva porta ad una diminuzione di U.
Cioe' dU = dU1 + dU2 < 0 mentre l'energia elastica cresce
in misura pari a p1 dV1 + p2 dV2 ed e' un numero positivo.
3/2 k (T2 - T1) dN varia in accordo con il segno di T2 – T1.
Risulta che la variazione di energia elastica misura la
variazione di energia termica che e' data da:
T1 dS1 + T2 dS2 + 3/2 dNk(T2-T1)
Ovvero la variazione di energia totale meno il lavoro meccanico.
Possiamo allora trovare la temperatura ad ogni istante se assumiamo
che il sistema non scambi calore con l'esterno. In tal caso
T1 dS1 + T2 dS2 + 3/2 Nk(T2-T1) = 0. Questa equazione insieme
con la conoscenza delle funzioni p1(r1), p2(r2), V1(r1), V2(r2)
e con la conoscenza della equazione di stato permette di
risalire alle tre funzioni T1(r1) T2(r2) N(r1). Mentre N1(r1)
ed N2(r2) si desumono dal vincolo N1(r1)+ N2(r2)=N.


Svusami ma la costante A da cosa sarebbe data?

 come intuitivamente potrebbe sembrare quello di meno.
 
L'esperimento...
https://www.youtube.com/watch?v=OT-z5yzCxlg
 
 
fp