Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: sull'età dell'universo

Stavo pensando a come sia possibile stabilire l'età dell'universo:
se valutiamo la distanza del nostro pianeta (in anni luce) dagli altri, 
possiamo stabilire quanti anni potrebbe aver impiegato il pianeta a 
percorrre la distanza che ci separa. Quindi il pianeta piu lontano ci 
direbbe l'età dell'universo. Ma forse bisognerebbe conoscere l'andamento che 
la sua velocità ha avuto nel tempo ...
Se i pianeti si muovessero alla velocità della luce, per la teoria della 
relatività lo spazio si deformerebbe aumentando .. quindi in realtà come si 
potrebbe valutare in questo caso la distanza che separa i pianeti?

 ha scritto nel messaggio 
news:gFokk.126336$FR.3...@twister1.libero.it...

Ciao
non sono un esperto, ma la questione che hai posto viene affrontata in un 
bellissimo libro divulgativo, "La trama del cosmo" di Brian Greene, i 
pianeti, le galassie e tutto ciò che si trova nell'universo in realtà resta 
quasi immobile relativamente allo spazio, è lo spazio che li contiente ad 
espandersi costringendo i corpi  ad allontanarsi gli uni dagli altri, questo 
è in perfetto accordo con la relatività ristretta che afferma che niente 
viaggia più veloce della luce, infatti niente che SI TROVA nello spazio 
viaggia più veloce della luce ma la relatività non impone nessun limite alla 
velocità di espansione dello spazio che, come confermano i dati, si espande 
a una velocità ben superiore a quella della luce, con la conseguenza che i 
corpi più distanti da noi sembrano allontanarsi a una velocità maggiore di 
quella della luce.
Per maggiori approfondimenti ti rimando al libro sopra citato.
Ciao
Prof. Celsius 

*FeDe* ha scritto:

Forse dovresti chiarirti un paio di cosette...
Parli di "pianeti" come se fossero oggetti isolati che si muovono per
proprio conto, e osservabili a distanze ultragalattiche.
Ovviamente non e' affatto cosi': un pianeta (per definizione) e' un
corpo celeste relativamente piccolo e legato gravitazionalmente a una
stella.
Ma neanche alle stelle si puo' applicare il tuo ragionamento, perche'
anche queste sono troppo poco luminose per essere visibili alle
distanze che interessano.
Solo intere galassie (e le supernovae, quando capitano) possono essere
a fini cosmologici.
Poi non esiste questa misteriosa deformazione dello spazio di cui
parli... Chissa' a che cosa ti riferisci e che cosa hai capito?
Infine: la prima cosa da imparare e' che tutti i modelli basati sulla
consieta goemetria e sulla normle propagazione della luce *non
funzionano* su scala csomologica.
Come si possano quindi misurare distanze e affrontare il problema che
tu chiami della "eta' dell'universo" e' argomento troppo complesso per
poterlo affrontare in un piccolo post...
Comunque, se fai una ricerca vedrai che di questi argomenti se ne
parla piuttosto spesso, in questo NG e in altri affini.
 
-- 
Elio Fabri

 quella della luce.
Non è il principio su cui si basa l'ipotetico motore "Alcubierre"?
http://en.wikipedia.org/wiki/Alcubierre_drive
Raffaele

 ...
Non l'ho letto, ma ho letto "L'universo elegante" dello stesso autore.
E questo mi basta per sconsigliarlo vivamente.
 
-- 
Elio Fabri

 espandersi costringendo i corpi ad allontanarsi gli uni dagli altri,
Questo succede nel sistema di riferimento comovente, che è per definizione
solidale con l'espansione.
Ma fisicamente non è proprio così: l'espansione è osservabile. Per esempio,
le singole galassie, il sistema solare, le stelle e i pianeti (e in generale
tutti i sistemi autogravitanti) non si dilatano con l'espansione, così come
noi non ci dilatiamo e neanche i nostri sistemi di misura... altrimenti non
potremmo mai osservarla questa espansione.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 due contributi ?
Il redshift non e' in grado di distinguere, per cui occorre aggiungere
qualche ipotesi.
Per cominciare: la Terra e' in moto rispetto alla radiazione di fondo
cosmico a circa 600 km/s.
Di questi, 30 km/s sono la velocita' orbitale attorno al Sole; 2150
km/s sono la velocita' orbitale del sole nella nostra galassia; il
resto e' il moto della galassia rispetto al fondo cosmico.
(Naturalmente la composizione e' vettoriale, e al momento non ricordo
le direzioni.)
Si assume che il fondo cosmico definisca un rif. "privilegiato", coem
conseguenza del modello cosmologico accettato, nel quale si aasune
omogeneita' e isotropia.
Altro esempio: se osservi il redshift di una certa galassia, questo
dipende dal moto generale di espansione (redshift cosmologico) ma
anche dal moto "peculiare" di quella galassia rispetto all'ammasso di
cui fa parte.
E ci si deve chiedere quale sia il moto del centro di massa
dell'ammasso...
Alla fine ti trovi sempre a ricorrere ad argomenti statistici: assumi
che in media su molti oggetti non ci siano un moto privilegiato a
parte l'espansione.
 
-- 
Elio Fabri

 ? Quali altre tecniche si possono usare per distinguere i due contributi ?
ciao
non ho proprio idea di come si possa effettuare questa sottrazione ma credo 
che i risultati ottenuti con il red shift si riferiscano al moto relativo 
tra due generiche galassie ovvero quello comprensivo della velocità di 
background dell'espansione.
Tornando alla questione originaria sull'età dell'universo in base al calcolo 
della distanza e della velocità di allontanamento degli oggetti più lontani 
da noi credo che non funzionerebbe in ogni caso, infatti esistono alcune 
regioni dello spazio che si trovano confinate oltre l'orizzonte cosmico, 
ovvero la luce emessa dagli oggetti confinati in questa regione non è in 
grado di arrivare fino a noi perchè viaggia a una velocità molto inferiore a 
quella dell'espansione, quindi quello che noi osserviamo con i telescopi è 
soltanto una porzione dell'universo collocata nei limiti del nostro 
orizzonte cosmico, anche in questo caso entra in gioco una sorta di "censura 
cosmica" analoga ma fisicamente diversa a quella che si presenta per i buchi 
neri e l'orizzonte degli eventi.
Prof. Celsius 

 possono usare per distinguere i due contributi ?
La misura rileva entrambe le componenti e in effetti non distingue i due
contributi, ma devi considerare due cose che discendono dalle ipotesi di
omogenità e isotropia dell'Universo (principio cosmologico);
1) Mentre il redshift è sistematicamente "red", il moto peculiare non ha
direzioni privilegiate rispetto alla nostra quindi può contribuire alla
misura in entrambi i sensi. Se fai un numero alto di osservazioni (tanti
oggetti astrofisici) in media il contributo delle velocità peculiari è
nullo.
2) Mentre il redshift cresce con la distanza, ci si aspetta che le velocità
peculiari delle varie galassie siano sempre le stesse o dello stesso ordine
di grandezza anche in regioni più lontane di Universo. Quindi a distanze
molto alte ti aspetti che il contributo di moto peculiare diventi
trascurabile rispetto all'arrossamento dovuto all'espansione.


 parte l'espansione.
quest'ultima osservazione forse mi ha un po' illuminato, ma 
non del tutto.
Non so se ho capito bene ...
Dovremmo considerare gli aggregati alla massima scala 
osservabile (ammassi o cluster di galassie o come altro si 
chiamino), in modo che il centro di massa calcolato (che 
media un infinità di oggetti diversi elidendone i moti 
locali relativi) e stimare il LORO moto relativo per vedere 
soltanto il contributo di deriva collettiva dovuto 
all'espansione ?
Ma poi mi viene un altro dubbio a cascata : abbiamo qualche 
certezza che esista un limite superiore alla scala di 
aggregazione ? Cioè, è vero che non esistono altre strutture 
ancora a più grande scala, dopo gli ammassi di galassie, e 
che quindi, di conseguenza, l'intero universo possa essere 
fatto solo di codesti ammassi, tali da potersi considerare 
puntiformi a sufficiente distanza reciproca, e l'universo 
stesso come una sorta di gas composto da questi aggregati ?
Mi scuso di nuovo della terminologia. Il problema è che la 
mia testa non è particolarmente efficace nell'isolare 
diversi paradigmi lessicali ciascuno nel contesto che gli 
competerebbe. A volte divento prolissi anche per il 
tentativo di supplire con la ridondanza alla imprecisione, 
sperando nell'effetto mediazione :-)
ciao
Soviet_Mario

popinga ha scritto:

abbi pazienza, sarò duro, ma anche se mi è parso 
interessante, non ho capito il tuo reply.
Dunque, per "non si dilatano" intendi che le singole parti 
interne mantengono gli stessi rapporti spaziali, circa, vero 
? Mentre le galassie si muovono relativamente al comune 
centro di massa .... Se sin qui ci sono, ecco il dubbio :
Sarà forse originato dalla errata comprensione di cos'è 
l'espansione dello spazio, ma tant'è, come facciamo a dire 
che noi non ci dilatiamo, se assumiamo di dover prendere 
come campione di lunghezza (come campione di spazio) un 
oggetto fatto del medesimo spazio ?
Voglio dire che se l'espansione è uniforme in ogni luogo (ma 
lo è ? boh), i nostri righelli raddoppiano, noi raddoppiamo, 
e quando ci misuriamo scopriamo che siamo rimasti uguali a 
prima. Ma lo siamo davvero ? E su che base lo diciamo ?
E' il problema che in altro post (a cui mi ha risposto il 
prof. Elio Fabri) chiamavo che l'espansione dello spazio mi 
sembra trasparente all'utente, e mi chiedevo come potesse 
essere possibile aggirare il fatto di essere noi stessi e i 
nostri strumenti fatti dello stesso spazio che vogliamo 
indagare, e vedere oltre.
L'espansione dello spazio cambierebbe le leggi della fisica, 
quelle che dipendono dalle distanze ad es. ? O magari si 
rifletterebbe in egual modo in parametri che consideriamo 
delle costanti ma magari dipendono anch'essi dall'espansione 
dello spazio ?
Ti faccio un esempio.
Tengo due enormi palle di ferro a distanza fissata 
(attraverso un dinamometro sensibile), e dico : se nel tempo 
(tempo congruo !) tale strumento misura sempre la stessa 
forza di attrazione, stante che la distanza tra i corpi al 
quadrato è inversamente prop. alla forza, se la forza resta 
costante, allora la distanza stessa è costante e lo spazio 
non si è espanso ... eh eh he, un po' naif ! E mi chiedo, 
semagari la distanza fosse raddoppiata, ma la costante di 
forza gravitazionale parallelamente fosse quadruplicata, la
forza medesima non sarebbe rimasta costante lo stesso ? 
Quelle costanti di proporzionalità (parametri di molte leggi 
fisiche) hanno una natura intima nota o sono pure esse una 
sorta di "black box" che risentono di certi fenomeni di 
scala cosmologica, in modo a noi non osservabile ?
Ciao
Soviet_Dubbioso_Mario


 oggetto fatto del medesimo spazio ?
Ok forse non possiamo dirlo, ma questo non ha a che vedere con l'espansione
cosmica, i cui effetti sono invece osservabili. Mi fermo qui e spero che ti
risponda qualcun altro perché non sono sicuro di aver capito bene i tuoi
dubbi.


popinga ha scritto:

grazie, sei stato molto chiaro. Alcuni dubbi mi sono svaniti.
Altrove però (su questo NG o l'altro) ho letto che esistono 
(non so come si dimostr) regioni dell'universo così remote 
da avere velocità di allontanamento superiori a quella 
luminosa (e quindi ci risultano totalmente invisibili ... 
direi oltre il confine ipotetico in cui il red shift è tale 
che la luce ci arriva "nera", eh eh he he)
Risulta anche a te che l'universo sia così esteso e/o che la 
deriva sia così elevata ?
ciao
Soviet


 Soviet:Mario
ciao! 

 deriva sia cosě elevata ?
Sě. Ma a questo punto, per saperne di piů, forse č il caso di passare a
qualche lettura seria...


 ha scritto nel messaggio 
news:151Z49Z181Z146Y...@usenet.libero.it...
(....................)
riguardo alla questione  "cosa si espande e cosa no,
e perchè no"  vi segnalo due vecchi, nutritissimi threads
di otto anni fa,
it.scienza.fisica
luglio - settembre 2000
titoli:   " Espansione dello spazio"
e " Regoli ed espansione "
scommetto che vi piaceranno!
bye
Corrado 

 universo collocata oltre tale orizzonte?
Cominciamo col dire che e' meglio non tirare in ballo i gravitoni: qui
siamo nell'ambito di una teoria (la RG) che *non e' quantistica* e
ignora i gravitoni. Del resto queste sono entita' del tutto
fantastiche, visto che non esiste a tutt'oggi alcuna teoria in cui
appaiano come enti ben definiti.
Ma la tua idea, sebbene ingegnosa, non regge per ragioni di coerenza
interna.
Ho detto sopra che stiamo all'interno di un certo _modello
cosmologico_, che si basa sull'ipotesi che esista una materia
distribuita uniformemente.
Da qui segue l'espansione e tutto il resto.
La teoria (la RG di Einstein) assorbe e supera la visione newtoniana
della gravita', e quindi e' illecito fare uso di questa nel quadro di
un universo costruito con la prima.
 
 
-- 
Elio Fabri

 si puo' avere orizzonte anche in modelli con successiva contrazione.
Qui sono al buio.
Azzardo: un universo iperbolico/piatto è  sempre infinito,
dall'inizio, da cui in qualche modo segue questo?

                                                 
La risposta mi ha dato molti spunti di elucubrazione
Spero che vorrai metterci ancora qualche pezza. In alcuni 
punti ho l'impressione che sarebbe possibile
ciao
soviet_mario

 Dubbio sensatissimo, e infatti sembra che sia proprio cosi'.
Questo č interessante. A quanto mi risulta, ci sono studi topologici
dell'universo a grande e grandissima scala, e un'ipotesi interessante sulla
sua topologia globale č quella della "spugna", cioč una struttura
gravitazionale fatta di regioni "vuote" circondate da regioni ("piene") di
super-ammassi di galassie o viceversa. In tale spugna ogni vuoto non č
isolato ma topologicamente connesso a qualsiasi altro vuoto, e lo stesso
vale per il pieno. Come un formaggio svizzero a buchi in cui partendo da un
buco posso arrivare a qualsiasi altro buco (e lo stesso vale per il
"pieno"). In pratica ho due soli insiemi connessi, il vuoto (i buchi) e il
pieno (il formaggio).


 pieno (il formaggio).
si ottima spiegazione (al mio livello :-)) Ma nell'esempio 
il pieno del groviera era il vuoto, quantitativamente 
parlando, vero ?
ciao
Soviet_Mario


 prima ok, la seconda non capisco cosa significhi
Concettuale. Per definire una velocita' di qualcosa devi dare un
_sistema di riferimento_, che deve estendersi fino a dove si trova il
qualcosa.
Nella fisica newtoniana, no problem: lo spazio e' infinito ed
euclideo, e il tempo e' assoluto; quindi in linea di principio io posso
pensare a un sistema di regoli rigidi che si estendono lontano quanto
voglio, e di orologi anch'essi situati dove mi pare e sincronizzati tra 
loro.
Uso i regoli e gli orologi per definire la velocita' (rispetto a
questo rif.) di qualsiasi oggetto.
Ma se lo spazio-tempo e' curvo, tutto questo non si sa piu' come farlo.
In certe condizioni (es. la geometria di R-W) qualcosa si puo' fare:
si possono definire delle sezioni spaziali di omogeneita' e definire su
queste una distanza tra due oggetti.
Si possono definire le coordinate comoventi, e punto per punto
definire la velocita' appunto rispetto a queste coordinate.
Ma queste due velocita' sono diverse, in sostanza perche' la prima
include l'espansione e la seconda no. Ecco perche' dicevo che
si possono dare _piu'_ definizioni.
Potrei tentare di avvicinarti a questi misteri scrivendo alcune
semplici equazioni, ma non stasera: ho lavorato abbastanza :-)
 
-- 
Elio Fabri

 parlando, vero ?
A questo non avevo neanche pensato. L'equivalenza č topologica, e dal punto
di vista topologico vuoto e pieno sono totalmente equivalenti (l'aspetto
quantitativo non entra in gioco).
Per capirsi, in topologia una ciambella e una tazzina sono la stessa cosa:
http://tinyurl.com/2cvet3
: )


 cosa:
Sempre che la tazzina abbia uno e un solo manico :-)
Comunque non c'entra niente.
 
-- 
Elio Fabri

Ci ho riflettuto un po' (in realta' ci ero arrivato da un pezzo, il
ritardo ha altre cause). Confermo la mia impressione: non e' vero in
generale che ci sia equivalenza topologica.
Ora il problema e' spiegarlo senza figure...
Cominciamo da questo esempio semplice: pensa a un reticolo cubico
infinito.
Piu' esattamente, agli spigoli sostituisci delle bacchette di spessore
finito, in modo che vuoto e pieno siano entrambi insiemi dotati di
punti interni.
Il pieno sono le bacchette, il vuoto l'insieme complementare.
In questo caso l'equivalenza c'e': infatti puoi immaginare un altro
reticolo cubico coi vertici nei centri dei cubi del primo reticolo, e
ottieni una situazione come quella che dicevi.
Ma ora al posto del reticolo cubico pensa a un reticolo a prismi
esagonali. Ogni cella e' in contatto - lungo gli spigoli laterali -
con altre 6.
Se vuoi costruire un reticolo che rappresenti il vuoto, devi collegare
tra loro i centri di tutte le celle, come prima; ma cosi' facendo
ottieni un reticolo di prismi *triangolari*.
Non so se sono riuscito a spiegarmi, ma ti ho dato un controesempio, e
tanto basta...
-- 
Elio Fabri

 tanto basta...
Ci sei riuscito bene, grazie.
Mi resta un piccolo dubbio, ma forse č un falso problema: se questi reticoli
sono infiniti o illimitati (es che si applica al ns universo) siamo sicuri
che questa non-equivalenza che hai segnalato valga ancora? A naso direi di
sě, ma non ne ho la certezza.


 ancora? A naso direi di sě, ma non ne ho la certezza.
Anch'io direi di si', in quanto la non equivalenza e' locale, ossia
vale attorno a ciascun nodo.
Ma come avevo gia' scritto, le mia conoscenze di topologia algebrica
sono scarse. Qualcosa avevo imparato una quindicina di anni fa, quando
avevo un po' lavorato sul calcolo di Regge, ma ora e' svanito quasi
tutto...
 
-- 
Elio Fabri


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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 vale attorno a ciascun nodo.
Interessante! Anch'io avrei detto fosse così, prima dell'obiezione di 
Popinga. Però le cose, almeno nel piano, sembrano andare diversamente.
Se prendi un reticolo quadrato e un reticolo triangolare, questi non 
sono omeomorfi perché nel primo ci sono punti "quadrupli" e nel secondo 
punti "tripli". Se però "ingrassi" questi reticoli, allora quello che 
ottieni è in entrambi i casi un insieme che è omeomorfo al piano tolti 
una quantità numerabile di punti. Dunque sono omeomorfi!
E.

 piano tolti una quantità numerabile di punti. Dunque sono omeomorfi!
Mumble mumble...
In 2 dim. sembra tu abbia ragione, ma in tre?
Non lo so dire in modo rigoroso, ma la tua operazione di "ingrasso"
in questo caso non ti lascia dei punti, ma degli insiemi multiplamente
connessi.
 
-- 
Elio Fabri

 una quantità numerabile di punti. Dunque sono omeomorfi!
Confesso di non aver seguito il thread dall'  inizio e non ho riletto 
tutto. Puo'  darsi quindi che prenda un abbaglio.
Tuttavia non capisco proprio cosa vuoi dire con la frase sopra riportata.
Cosa intendi per omeomorfismo tra reticoli? E,  visto che ci siamo, 
cosa hai in mente con "reticolo". Ho la sensazione che in realta' tu 
stia considerando il grafo planare ottenuto connettendo i primi vicini.
Cosa intendi per "ingrassare"  mi e'  ancora meno chiaro :-(
Giorgio


Vediamo in tre dimensioni. Hai un insieme che è ottenuto attaccando tra 
loro infiniti tubi pieni, giusto? Il punto è che questi tubi li puoi 
spostare praticamente come vuoi... Per esempio metti di avere un 
reticolo cubico. In un vertice hai 6 tubi che si collegano tra loro. 
Riesci però a spostare uno di questi tubi lungo un'altro tubo in modo da 
lasciarne solo 5. Quei 5 rimasti li puoi deformare in modo da formare il 
vertice di un reticolo composto da prismi esagonali. Quello rimasto lo 
puoi spostare lungo tutto il reticolo e metterlo insieme ad altri 4 
estremità di tubi "avanzati". Siccome hai infiniti tubi, riesci 
sostanzialmente a riarrangiarli come meglio credi...
E.


Dunque i reticoli sarebbero dei grafi. Ad esempio per il reticolo 
quadrato puoi prendere i punti del piano che hanno almeno una coordinata 
intera. Il suo complementare è un unione di quadrati aperti di lato 1.
Se X è un insieme, lo "r-ingrassato" di X sarebbe l'insieme dei punti 
che distano meno di r da X. Dunque l'ingrassato del reticolo di cui 
sopra (con r abbastanza piccolo) è una unione di strisce. Il suo 
complementare è una unione di quadrati disgiunti di lato 1-2r.
Due insiemi si dicono "omeomorfi" se possono essere messi in 
corrispondenza biunivoca tramite una funzione continua con inversa 
continua. Due insiemi omeomorfi sono indistinguibili dal punto di vista 
topologico, quindi hanno gli stessi gruppi di omotopia e di omologia.
E.

 topologico, quindi hanno gli stessi gruppi di omotopia e di omologia.
Sull'  omeomorfia in generale non avevo dubbi.
E'  che la piega presa da questo discorso non mi torna completamente. 
Sia al livello della discussione sulla topologia dei reticoli,  sia a 
livello della motivazione di partenza (struttura topologica dell' 
universo) e questo per un motivo comune.
Cominciamo dal discorso sui reticoli,  matematica quindi, 
indipendentemente dal  modellare alcunche'. Trovo un po' fuorviante far 
riferimento "al"  reticolo quadrato  o triangolare.  Infatti in 
generale, e  anche tu lo confermi, uno puo'  partire da un insieme di 
punti del piano. E  qui di metrico non si parla. Possiamo parlare anche 
del suo complementare (e  di nuovo non intervengono concetti metrici).
Possiamo anche introdurre il grafo delle connessioni tra punti.  Ma  il 
grafo piu'  ovvio e'  quello ottenuto dai "bond"  tra punti. Questo 
corrisponderebbe all'  unione delle frontiere  delle cellette elementari 
(parallelepipedi)  del reticolo. Con questo grafo tutti i reticoli  di 
bravais del piano sono equivalenti (In ogni nodo incidono 4 vertici 
etc...). E qualsiasi omeomorfismo del piano preserva gli invarianti di 
questo grafo.
Se  pero'  introduciamo i  bond basati  sulla metrica euclidea e  sul 
collegare i  soli primi vicini, otteniamo grafi distinti.
A  questo punto, il triangolare corrisponde a vertici su cui incidono 6 
bond il quadrato 4  e  il rettangolare 2.
A  questo  punto l'  omeomorfismo di cui parli mi risulta meno ovvio. 
C'e' sempre il gruppo degli omeomorfismi del piano.  Ma questo non 
preserva la metrica.  Quindi non ha molto senso caratterizzare il grafo 
mediante proprieta'  metriche.  O no? Oppure stai parlando di altri 
omeomorfismi  e su questo chiedevo lumi.
Tornando poi all'  universo,  il punto che ho fatto qui sopra e' 
rilevante anche per la modellizzazione. Anche qui mi sembra che andrebbe 
compresa meglio la relazione tra aspetti topologici e  metrici (nello 
spazio-tempo e nelle sezioni spaziali).
Giorgio

 E.
Mi sembra parzialmente inesatto. Un nodo in R^3 è omeomorfo ad un nodo in
R^4 ma non tutti i nodi sono equivalenti dal punto di vista topologico.
Infatti i gruppi di omologia relativa del nodo e del complementare possono
differire da nodo a nodo. In tal modo potrebbe, in linea di principio,
verificarsi che il gruppo di omologia relativa del pieno rispetto al vuoto e
del vuoto rispetto al pieno differiscano. Non mi sembra immediato trovare un
esempio per il caso di reticoli infiniti. La perplessità di Giorgio tuttavia
è ad un livello ulteriore, infatti la differenza topologica fra linea e
volume è ad un livello differente rispetto all'omotopia? La topologia
combinatoria o algebrica di un reticolo è indubbiamente utile in alcuni
contesti applicativi. Dal punto di vista dell'analisi simpliciale è evidente
una maggiore ricchezza strutturale del simplesso tetraedrico rispetto alla
sfera. Questa ricchezza strutturale ha sempre a che fare con l'omologia
relativa. Inoltre in teoria degli insiemi le gerarchie di derivazione degli
insiemi permettono strutture più complesse rispetto a quelle che possono
essere ottenute considerando semplicemente sottoinsiemi di spazi topologici
euclidei. Questo è importante in fisica perchè la differenza fra
un'istantanea ed un film è piuttosto sostanziosa e modellizzare una dinamica
richiede spesso strutture più forti di quelle fornite dalla geometria
euclidea. Per esempio: un reticolo booleano pieno modellizza bene la
topologia degli spazi di Stone, ma occorrono reticoli di Heyting ovvero
sottoinsiemi di reticoli booleani a modellizzare vincoli di carattere
temporale. In un caso hai categorie gruppali in un altro categorie
monoidali. Nei completamenti di spazi di Stone che chiami spazi polacchi
vige la classificazione di Baire delle categorie di derivazione, nei
completamenti costruttivisti di reticoli di Heyting la classificazione si
apre a categorie di derivazione non standard. Inoltre, tornando alla
topologia dello spazio tempo: le algebre di Von Neumann dei prodotti
tensoriali infinito dimensionali, che si applicano nella teoria delle reti
di spin ammettono molteplici strutture di derivazione, e quella di Boole
impone di trattare punti lontani come se fossero vicini per via di un
fenomeno che si verifica negli spazi di Hilbert infinito dimensionali quando
si considera la generalizzazione del gruppo unitario al caso infinito
dimensionale. Infatti mentre i gruppi U(N) sono gruppi di Lie
differenziabili e compatti con buone proprietà metriche, il gruppo unitario
infinito dimensionale è un gruppo di Lie con struttura Frechet e le nozioni
di differenziale di Frechet e di Gateaux che sono strettamente connessi nel
caso finito dimensionale vanno trattati con cautela nel caso infinito
dimensionale. I principi variazionali richiedono modificazioni sostanziali
per adattarsi alla fenomenologia che va sotto il nome di quantum ladder. Fra
tutte le strutture che è possibile estrarre dai reticoli del gruppo unitario
infinito dimensionale quelle che sembrano più promettenti sono quelle che
somigliano di più, strutturalmente, al gruppo dei diffeomeomorfismi del
cerchio, ma lo generalizzano ad una struttura di contatto anzichè
simplettica, l'algebra di Virasoro associata con il gruppo dei
diffeomeomorfismi del cerchio ammette un'estensione centrale, ma non
permette l'implementazione della teoria dei campi generalizzati di Einstein
perchè comporta tensori simmetrici, l'algebra della CFT, diversamente, che
sembra emergere naturalmente in modelli di reti di spin con direzione
temporale, come nello studio del gruppo di De Sitter, ha un'estensione
centrale compatibile con la teoria dei campi di cui parla Einstein
nell'articolo ripubblicato da Le Scienze in occasione del quarantennale
della rivista. Sempre su Le Scienze di Settembre si parla di reti di spin
con vincolo di causalità e viene accennato al problema che dico a proposito
della struttura metrica dei gruppi infinito dimensionali. Loro sostengono di
risolvere, con il semplice trucco di includere la causalità in una teoria di
reticolo quantistica pseudo-euclidea, un annoso problema dovuto alla
instabilità dello stato di vuoto 3+1 dimensionale. Ma le questioni teoriche
connesse con questa scoperta numerica sono tutt'altro che compiutamente
esplorate: allora ritengo, da dilettante allo sbaraglio, che un progresso
significativo potrebbe discendere dall'approfondimento delle estensioni
centrali che risale al matematico Ovsienko, in relazione con lo studio dei
complessi simpliciali infinito dimensionali. Quello che mi ha colpito è in
particolare che in entrambi i casi: simulazioni numeriche e gruppi infinito
dimensionali con un certo tipo di estensioni centrali emergono dimensioni
spettrali reali che si esplicitano in densità tensoriali ad indice reale nel
caso del gruppo dei diffeomeomorfismi del cerchio e come principi
variazionali finsleriani anzichè riemanniani.


 spazio-tempo e nelle sezioni spaziali).
L'interpretazione fisica non l'ho capita neanch'io...
E.

 R^4 ma non tutti i nodi sono equivalenti dal punto di vista topologico.
Certo, perché non guardi solo al nodo in sé (che è omemorfo a S^1) ma 
anche allo spazio ambiente. Due nodi sono equivalenti se esiste un 
omeomorfismo di tutto l'ambiente che manda un nodo nell'altro.
E.

 da rette parallele, giusto?
No. E'  dato da punti disposti su due fasci ortogonali di rette 
parallele equidistanti con distanze diverse.
In pratica i punti ottenibili come
n1 a1 + n2 a2  con (n1,n2) elementi di Z^2  e a1 a a2 vettori ortogonali 
non con lo stesso modulo.
Giorgio

 E.


 topologico, quindi hanno gli stessi gruppi di omotopia e di omologia.
Per cominciare, faccio ammenda per aver intodotto io il termine
"reticolo" che in matematica ha un significato gia' stabilito e
diverso, e in fisica dei solidi pure (diverso da quello matematico,
ovviamente :) ).
Riferendomi a quelli che ?manu* chiama "reticoli ingrassati", proporrei
un termine che spero non sia gia' stato usato: "traliccio".
L'argomento di ?manu* sull'omeomorfismo tra traliccio quadrato,
esagonale e triangolare in tre dim. non mi convince: ora cerchero' di
spiegare perche'.
Disegno il traliccio quadrato in due dim.:
   ___|______|______|______|______|___
      |      |      |      |      |
      |      |      |      |      |
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   ___|______|______|______|______|___
      |      |      |      |      |
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      |      |      |      |      |
   ___|______|______|______|______|___
      |      |      |      |      |
      |      |      |      |      |
      |      |      |      |      |
   ___|______|______|______|______|___
      |      |      |      |      |
S'intende che le righe sono da considerare "spesse", ossia strisce.
Se capisco bene, ?manu* dice che con un omemorfismo lo si puo'
trasformare in questo:
      |______|      |______|      |___
      |      |      |      |      |
   ___|      |______|      |______|
      |      |      |      |      |
      |______|      |______|      |___
      |      |      |      |      |
   ___|      |______|      |______|
      |      |      |      |      |
      |______|      |______|      |___
      |      |      |      |      |
   ___|      |______|      |______|
      |      |      |      |      |
      |______|      |______|      |___
      |      |      |      |      |
e poi in questo:
        \____/      \____/      \__
        /    \      /    \      /
     __/      \____/      \____/
       \      /    \      /    \
        \____/      \____/      \__
        /    \      /    \      /
     __/      \____/      \____/
       \      /    \      /    \
        \____/      \____/      \__
        /    \      /    \      /
     __/      \____/      \____/
       \      /    \      /    \
        \____/      \____/      \__
        /    \      /    \      /
Fin qui OK. Ma in tre dim. c'e' una novita': se chiamo "montanti" gli
elementi verticali del traliccio, queli che collegano i nodi su piani
orizzontali adiacenti, nel passaggio dalla prima alla seconda versione
i montanti debbono essere raddoppiati.
Questo non si puo' fare scindendone uno in due (non sarebbe un
omeomorfismo) ma credo di capire che secondo ?manu* si possa fare
"prendendoli dall'infinito", cosi' come si potrebbe fare in una
struttura lineare
    ---x---o---x---o---x---o---x---o---x---o---x---o---
dove gli "o" sono posti vuoti e gli "x" sono posti pieni.
Basta far scorrere tutti i punti verso l'origine, con una contrazione
di un fattore 2, et voila'...
Viceversa, la trasf. da quadrato a trinagolare richiede di fondere due
montanti in uno, e si puo' fare com la mappa inversa.
Il mio dubbio discende dal fatto che noi all'omeomorfismo dobbiamo
richiedere di piu': non solo deve trasformare il traliccio, ma allo
stesso tempo deve anche trasformare il traliccio complementare.
Nell'esempio che io avevo fatto, il traliccio complementare a quello
cubico e' ancora cubico, ma quello complementare all'esagonale e' il
triangolare.
Non mi sembra che si possano trasformare *insieme*, anche se non vedo
come dare la prova che non si puo'...
Quanto alle obiezioni di Giorgio, mi dispiace ma non le ho proprio
capite.
Mi verrebbe da pensare che stiamo pensando a cose diverse; forse le
mie figurine possono aiutare a decidere questo punto.
 
-- 
Elio Fabri

 un termine che spero non sia gia' stato usato: "traliccio".
A me sembra che sia andato dimenticato il problema iniziale per passare ad
una maggiore articolazione problematica. Ovvero il problema iniziale era la
eventuale equivalenza topologica fra pieno e vuoto supposta da Popinga. Nel
caso bidimensionale quello che prova l'esempio di Manu è esattamente che un
traliccio è un esempio di spazi pieni non equivalenti agli spazi vuoti. E si
vede a livello di componenti connesse: un insieme è connesso, il suo
complementare no. Nel caso tridimensionale le componenti connesse non
necessariamente bastano, ma possono bastare considerazioni di omotopia. Una
semplice sfera compatta ha secondo gruppo di omotopia isomorfo all'elemento
neutro, mentre lo spazio attorno ha secondo gruppo di omotopia Z. Solo a
costo di rendere compatto lo spazio ambiente, ad esempio consideranto
un'universo sferico, i due insiemi diventano topologicamente equivalenti, ma
anche in questo caso si può costruire un controesempio considerando varie
sfere e bastano nuovamente le componenti connesse. Volendo considerare
reticoli un'idea semplice è quella di considerare un reticolo con l'aggiunta
di una ciambella concatenata. Il complementare di questo insieme differisce
a livello di componenti connesse. Se la ciambella viene attaccata ad un
traliccio entrambi gli insiemi sono connessi, ma possiamo chiederci se: in
primo luogo il traliccio modificato non può più essere deformato con
continuità ad un traliccio semplice perchè tutt'al più lo si può ridurre ad
un reticolo semplice con una ciambella attaccata ad un sol "ramo" del
reticolo? In secondo luogo se il complementare ha una topologia differente.
Per il momento per quanti sforzi abbia fatto di trovare degli invarianti
topologici che differenziano questa configurazione da quella di traliccio
semplice non ne ho trovata alcuna davvero convincente.
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 triangolare.
No, infatti questo non č chiaro che si possa fare, anzi l'impressione č 
che non si possa fare (ma su queste cose l'intuizione puň giocare brutti 
scherzi). Quello che volevo mostrare č che il traliccio esagonale č 
omeomorfo al suo complementare (il traliccio triangolare).
Se capisco bene ora tu chiedi se esiste un omeomorfismo dell'intero 
spazio che manda il traliccio esagonale nel suo complementare 
triangolare... questo č molto piů difficile da ottenere...
E.


Ed anzi nel caso piano si può effettivamente pensare una deformazione
continua di un reticolo quadrato in un reticolo con una ciambella legata ad
un ramo, basta deformare un bond del reticolo fino a costruire una ciambella
e poi sostituirlo con quelli che provengono da infinito. Lo stesso si può
fare nel caso di un reticolo cubico. Sperando che siamo d'accordo che stiamo
pensando a reticoli nel senso di insiemi di punti dotati di spessore intorno
ad una griglia di rette parallele.
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