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Titolo: potenziale singolare in QM e stato fondamentale

Sono molto, troppo, arrugginito in meccanica quantistica e chiedo
aiuto a chi piu' esperienza o e' fresco di studi.
Prendiamo una  hamiltoniana unidimensionale
H=p^2/2+V(x)
con un potenziale monotono crescente singolare, va a meno infinito,
nell'origine x=0.
Per adesso assumiamo che V vada a zero all'infinito, eventualente
possiamo rilassare questa ipotesti piu' tardi. Inoltre assumiamo di
conoscere l'andamento di V(x) vicino a zero e ci sono vari contributi
divergenti, diciamo per fare un esempio esplicito
V(x)~ -c1/x -c2/x^2  per x~0
con c_{1,2} positvi.
Ora, per studiare in maniera approssimatica le proprieta' dello stato
fondamentale, e' valido tenere solo il leading order -c2 x^{-2} ?
Ad esempio, supponiamo che dall'equazione approssimata agli
autovalori
H_2 |E)= E|E)
con H_2=p^2/2 -c_2/x^2
e che ottenga che l'energia dello stato fondamentale e' positiva E>0
(cioe' che non ci sono in realta' stati legati ma solo stati di
scattering). Posso credere a questo risultato o devo guardare come si
comportano i valori medi degli stati di scattering sulla perturbazione
-c1/r, o altro ancora?
Nel frattempo ci penso di piu'...
ciao

 scattering).
Come ti viene questa idea?
Non ci metto la mano sul fuoco, ma al contrario direi che H_2 abbia
uno spettro che non e' limitato inferiormente.
O forse non e' neppure autoaggiunto? (ma qui ci vuole Valter ;-) ).
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
E lo sapevo che avresti fatto il mio nome, ma non ho proprio tempo per
pensarci, ho lezione tutti i giorni della settimana e non ho tempo di
fare altro... la questione mi sembra difficile...
Ciao, Valter

 O forse non e' neppure autoaggiunto? (ma qui ci vuole Valter ;-) ).
Non mi interessava il caso specifico 1/r^2, cmq credo che V=-c_2 /r^2
definisca un'hamiltoniana autoaggiunta per c2 positivi non troppo
grandi (affermazione che dipendera' dalla dimensione in cui ci
troviamo) oppure per c_2 negativi. Per opportune condizioni al bordo e
per c2 non troppo negativi il sistema credo che mostri anche una
simmetria di scala.
ciao

 fondamentale, e' valido tenere solo il leading order -c2 x^{-2} ?
Ciao
Se usi approx WKB allora devi considerare la parte dominante, quindi
raccordare le fasi all'infinito...

 troviamo) oppure per c_2 negativi.
Sono d'accordo che l'hamiltoniana sia autoaggiunta se lo spettro �
inferiormente limitato, quindi per c_2 > 1/4.


 ciao
Dunque la situazione mi sembra abbastanza pi� chiara adesso. Nel caso
che v_2 < 1/4 l'operatore di Schroedinger H_2 ha solo spettro
continuo. In effetti l'equazione differenziale per valori negativi di
E conduce a due soluzioni indipendenti divergenti prive di
combinazioni lineari ad integrale finito. Nel caso v_2 > 1/4, come
proponeva Elio Fabri, in qualche modo lo spettro risulta non limitato
inferiormente e continuo, infatti l'equazione differenziale ammette
soluzioni integrabili  con infiniti nodi in un intorno dell'origine e
non si pu� integrare. Nel caso per� che v_2 < 1/4 e l'hamiltoniana
contiene anche un termine -v_1/x pu� succedere che il sistema abbia
stati legati. Allo scopo di mostrare questa possibilit� basta
considerare il caso che il termine -v_2/x^2 possa essere visto come
una debole perturbazione rispetto al sistema di Hamiltoniana H_1 p^2/2m - c_1/x. Per risolvere l'equazione agli autovalori H_1 |E> = E|
E> ho iniziato dall'equazione differenziale associata. Ho notato che
il comportamento asintotico per grandi x � Exp(-sqrt(E) x) poi ho
notato che per piccoli x possiamo elidere il termine in E riducendoci
all'equazione differenziale:
u'' - u/x = 0
che pu� essere risolta in serie di Laurent a patto che uno dei termini
della serie ricorsivamente definita possa essere posto libertamente a
zero. Nel nostro caso questo pu� essere fatto in modo semplice in
quanto la condizione ricorsiva �:
a_i = (i+1)(i) a_(i+1)
ed allora a_0 pu� essere posto uguale a zero con tutti i termini a_i
per i<0 senza che questo implichi un vincolo di nullit� per a_1 (o
viceversa per eventuali soluzioni in serie di 1/x) infatti risulta
soddisfatto a_0 = (0+1)(0)a_1 per qualsiasi valore di a_1. Risulta che
l'andamento asintotico per piccoli x � proprio quello della funzione
x. Ma  con la sostituzione u = x exp(-sqrt(E) x) l'equazione
differenziale in questione si riduce ad una equazione differenziale
ben nota di soluzioni ipergeometriche. Solo una delle due soluzioni
indipendenti dell'equazione rimane limitata e tende a zero per x -> 00
la discretizzazione dello spettro si ottiene imponendo che u(0) = 0.
Infatti in tal caso solo i valori interi del primo argomento della
funzione ipergeometrica sono ammessi (in tutti gli altri casi
otteniamo che x y(x) tende ad un limite finito non nullo), una volta
procurata questa condizione risulta che il termine v_2/x^2 �
integrabile sugli stati legati dell'hamiltoniana H_1, ovvero ha valor
medio finito, sebbene questo risultato non basti a garantire la
sommabilit� della serie perturbativa pu� essere combinato con quello
che abbiamo gi� imparato prima sui comportamenti asintotici delle
autofunzioni eventuali a supporto della ragionevole ipotesi che in un
intorno destro di valori di v_2 = 0 l'hamiltoniana K+V1+V2 ammetta
stati legati.
Mi avanza per� adesso un dubbio sulla discretizzazione dello spettro.
Questo dubbio dipende dal fatto che per questa forma di singolarit�
nel problema di Liouville l'equazione differenziale asintotica ammette
due soluzioni indipendenti entrambe nulle in zero e d'altra parte il
vincolo che il comportamento asintotico a pi� infinito non sia
divergente elimina uno solo di questi parametri. Una possibile
spiegazione � che la conclusione che per v_2 in 0^+  l'operatore sia
autoaggiunto � un poco frettolosa.

Ciao, forse potrebbe interessarvi (a te ed ad argo) il mio vecchi
lavoro fatto con il mio collega N. Pinamonti
Nuclear Physics B 647 (2002) 131ï¿½152
C'ï¿½ una discussione abbastanza rigorosa (non come avrei voluto, ma
Nuclear Physics piï¿½ di tanto non permette) sull'hamiltoniano con
potenziale c/x^2, sul suo spettro, sulle estensioni autoagginte e
sulle rappresentazioni del gruppo confore ad esso legate (migliorando
e chiarendo alcuni risultati classici di  de Alfaro, Fubini e
Furlan). Avendo 10 ore di lezione a settimana non sono in grado di
partecipare alla discussione.
Ciao, Valter