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Titolo: Momento di inerzia

Ciao a tutti
ho dei seri problemi nel calcolare il momento di inerzia. Preso un corpo
dotato di un asse di simmetria, come posso calcolare il momento di
inerzia del corpo rispetto a tale asse? Per esempio, per un cono come
posso procedere?
Grazie in anticipo

 wrote in message
3857E9DD...@yahoo.com...


 Ciao Francesco
Attento, in questa parte hai detto delle cose scorrette che rischiano
di confondere il tuo interlocutore.
Lo dico piu' per te che per lui visto che lui e' ai primi passi in
questo campo mentre tu sembri saperne di piu'. 
Fissato un punto in un corpo rigido, rispetto a quel punto, 
*l'operatore d'inerzia* e' dato da un tensore covariante di rango 2
simmetrico come correttamente affermi, ma non da uno pseudo-vettore!
(cosi' sarebbe se il tensore fosse antisimmetrico). Dato l'operatore
d'inerzia J rispetto al punto il *momento d'inerzia* rispetto ad un asse
generico di versore n per quel punto e' dato quindi dal prodotto scalare
(n, J(n)).
Per completezza ti ricordo che, in ogni caso, data la simmetria del
tensore di inerzia rispetto ad un qualsiasi punto del corpo, riesci
sempre a trovare una base di assi ortonormali spiccata da quel punto 
e solidale con il corpo rigido, in cui la matrice che rappresenta il
tensore e' diagononale, anche se il punto non e' il baricentro. Questi
assi, come probabilmente sai, sono detti *assi principali d'inerzia*.
Inoltre quando parli di "asse baricentrale" immagino che tu ti stia
riferendo ad un asse principale d'inerzia passante per il baricentro
(se il corpo e' a simmetria assiale, l'asse di simmetria e' sempre una
asse principale d'inerzia) e quando parli del teorema di Huygens-Steiner
stai supponendo che la traslazione per portare l'asse in considerazione
su quello baricentrale avvenga lungo un asse principale d'inerzia 
*perpendicolare* a quello dato (in situazione di simmetria assiale, un
qualunque asse perpendicolare all'asse di simmetria e' principale
d'inerzia). Altrimenti la formula e' piu' complicata...
Ciao, Valter Moretti

Darth Vader
ICQ: 6486772 | FidoNet: 2:335/801.79
[Darth.Vader(at)TiscaliNetDOTit]

Ciao a tutti, Giovanni Rana (e colgo l'occasione di ringraziarlo) 
 mi ha fatto notare che ho confuso il teorema di Steiner-Huygens con 
 quello di Huygens-Koenig e pertanto ho "redarguito" del tutto 
 ingiustamente (su questo punto) Francesco Sarnari.
 
 E' vero (mi scuso con Francesco!) e cerco di fare chiarezza sui due 
 teoremi anche perche'l'ironia della sorte vuole proprio che io faccia 
 l'esercitatore di Meccanica Razionale e questa gaffe potevo anche 
 evitarla ;-) (il fatto e' che ho letto velocemente la seconda parte  
 del messaggio di Francesco prendendo lucciole per lanterne 
 e questo uno non dovrebbe mai farlo... ma "errare umanum est").
 Parto dal secondo teorema citato perche' implica il primo.
 Il teorema di H-K (nella versione che conosco io) dice che:
 
  se abbiamo un corpo rigido di massa M, consideriamo l'operatore  
  d'inerzia rispetto ad un punto O (anche non appartenente al corpo), 
  fissate due basi vettoriali ortonormali (per comodita'destrorse) 
  PARALLELE, una centrata in O e l'altra centrata nel centro di massa 
  G del corpo, 
  allora le matrici I(O) e I(G) che  rappresentano l'operatore d'inerzia 
  nelle due basi rispetto ai due differenti punti G e O 
  rispettivamente, sono connesse dalla relazione, in componenti nelle 
  terne dette,
 I(0)_{ij} = I(G)_{ij} + M ( |G-O|^2 d_{ij} - (G-O)_i (G-O)_j )   (1)
  dove d_{ij} e' il delta di Kroneker, G-O e' il segmento orientato 
  da O a G essendo |G-O| il suo modulo e (G-O)_k la sua k-esima
  componente rispetto alle terne dette (una qualsiasi delle due, tanto
  sono parallele).
  L'interpretazione fisica e' chiara ed e' la solita che appare in 
  tutti questi teoremi: la matrice (oppure l'operatore) d'inerzia 
  rispetto ad O e' quella rispetto a G piu' una matrice d'inerzia 
  rispetto a O  di un corpo costituito da un unico punto materiale 
  in G di massa uguale a quella del corpo M (tutta concentrata in G).
  Ricordo che ogni matrice d'inerzia rispetto ad un punto P e'sempre 
  (reale e) simmetrica per cui, per un noto teorema e' diagonalizzabile 
  su qualche terna (che possiamo sempre prendere destrorsa) in O.
  In questo caso i tre assi sono detti "principali d'inerzia".
  A questo punto ci sono due importanti corollari usando le stesse
  notazioni e convenzioni del teorema di H-K.
  1) Supponiamo che la *matrice* I(G) sia *principale d'inerzia*, cioe' 
     *sia in forma diagonale nella terna considerata*.
     Se la traslazione che porta la terna in G sulla terna in O
     avviene *lungo un asse principale d'inerzia della terna*,
     allora *anche la matrice I(0) e' principalke d'inerzia*.
  Dim. Supponiamo che la traslazione avvenga lungo l'i-esimo asse,
  si ha allora che
     (G-O)_k = d_{ki} |G-O|
  questo, sostituito in (1) implica subito  che anche la matrice 
  I(0) e' in forma diagonale.   QED
  Spesso direttamente questo corollario si e' detto Teorema di H-K
  Ricordo ora, che se n e' il versore di un asse generico passante per 
  un punto P allora il momento d'inerzia del corpo J[n,P] rispetto 
  all'asse individuato da n e P e definito nel solito modo, risulta 
  anche valere (direttamente per come e' definito l'operatore d'inerzia)
     J[n,P] =  (n, I(P) n)                         (2)
 
  dove ( ,  ) e' il prodotto scalare tra due vettori e I(P) e' la 
  matrice o l'operatore d'inerzia rispetto a P. Dalla definizione 
  di momento d'inerzia rispetto ad un asse si vede subito che 
  I(P) deve essere sempre semidefinita positiva essendo il primo membro 
  di sopra sempre non negativo. 
  La formula data e' la prima formula che prova l'importanza 
  dell'operatore d'inerzia; nella cinematica e nella dinamica dei corpi 
  rigidi ci sono le altre due fondamentali relazioni riguardanti il 
  momento angolare e l'energia cinetica dove ricompare l'operatore 
  d'inerzia.
  Passiamo al secondo corollario che e' il teorema di Steiner-Huygens
  (che e' quello che diceva correttamente Francesco)
  2) Consideriamo un asse, NON necessariamente principale d'inerzia,
     con versore n passante per G e un secondo asse con lo stesso 
     versore ma passante per O (quindi il primo e' baricentrale l'altro 
     non lo e' ma e' parallelo al primo), allora si ha:
     J[n,O] = J[n,G] + M d^2
     dove d e' la distanza tra i due assi paralleli.
   Dim. Facendo una figura, la distanza tra i due assi e' data, dal 
   teorema di Pitagora, da:  
 
     |G-O|^2 - (n , G-O)^2
 
   La dimostrazione del corollario  e' allora immediata usando 
   (1) e (2) insieme.   QED
 
  Un'ultima considerazione finale. Tutte queste formule valgono, 
  istante per istante, anche se il corpo NON e' rigido, ma non servono 
  a niente, perche' non essendo il movimento (l'atto di moto) un atto
  di moto rigido non e' possibile definire un "vettore omega" del corpo
  rispetto ad un sistema di riferimento e scrivere, in quel sisitema
  di riferimento, le equazioni cardinali della dinamica in termini 
  dell'operatore d'inerzia, il vettore omega e tutto il resto (che, 
  fissate condizioni iniziali,  determinano il moto del corpo  
  se e' un corpo rigido e se le forze esterne ed i momenti esterni 
  sono assegnati e anche, in certi casi (vincoli lisci), se alcune 
  reazioni vincolari sono incognite). 
 
  Ora spero che sia tutto chiaro, ciao a tutti, Valter Moretti