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Titolo: Funzione d'onda del fotone?

Dopo aver studiato la seconda quantizzazione e in particolare la
quantizzazione del campo elettromagnetico, mi sono ricordato che quando il
primo anno in cui ho studiato meccanica quantistica mi é stato accennato che
il potenziale vettore rappresenterebbe la funzione d'onda del fotone.
Qualcuno sa dirmi se questo é vero (e perché) ?
Oppure il concetto di funzione d'onda intesa come funzione d'onda di singola
particella, come in meccanica quantistica non relativistica, perde di
significato nell'ambito della teoria dei campi? 

 significato nell'ambito della teoria dei campi?
beh, c'e': costruisci proprio con gli operatori di creazione, che
dovresti aver
visto, gli stati a un numero finito di fotoni. Proprio perche' dovresti
averli visti
mi sfugge il senso della domanda...
Purtroppo non me ne e' piu' fregato quasi niente degli stati fotonici da
quando 
mi sono laureato e dunque potrei avere detto bestialita'.
In tal caso, se qualche esperto mi correggera', non potro' che essergli
grato
e chissa', magari mi ristudiero' un po' di fisica teorica(ragazzi che
casino!)
Saluti
Vittorio
-- 
http://www.science.unitn.it/~adesi

 del fotone. Qualcuno sa dirmi se questo é vero (e perché) ?
A dire il vero l'operatore che trovi nell'hamiltoniana della QED che
corrisponde al pot. vettore compare nel propagatore del fotone. Sempre se
i miei ricordi non sono sbagliati. Credo inoltre (ma non ho riguardato
nulla, mi ricordo cose studiate 3 anni fa e poi mai riguardate) che sia
l'operatore di CREAZIONE dei fotoni, sempre in QED.
Joe

 l'operatore di CREAZIONE dei fotoni, sempre in QED.
Dovresti stare sempre meglio di me, che queste cose le sapevo bene 30
(leggasi trenta) anni fa...
Pero' forse posso ancora dare un mano, anche se il discorso e'
tutt'altro
che semplice, e percio' anche lungo. Magari lo faccio a puntate, quando
trovo il tempo.
Per prima cosa dovremmo metterci d'accordo su che cosa intendiamo per
"funzione d'onda".
Assumo che si possa dire questo: deve essere una funzione L^2, il cui
modulo quadrato possa essere interpretato come densita' di probabilita',
e che abbia un'evoluzione temporale con un operatore unitario, ossia
soddisfi un'eq. diff. di Schroedinger:
i D\psi/Dt = H\psi (D derivata parziale)
con H operatore autoaggiunto.
Cominciamo dal caso piu' semplice: campo scalare libero (particelle di
spin 0).
Indico con A(x) l'operatore di campo; con |1> un generico stato del
campo con una particella presente.
(Puoi costruire questi stati applicando al vuoto |0> un'opportuna
combinazione di operatori di creazione.)
L'insieme degli stati |1> e' uno spazio di Hilbert (sottospazio dello
spazio di Fock del campo).
Cio' posto, posso tentare una definizione di f. d'onda al modo seguente:
\psi(x) = <0|A(x)|1>
(nota che x sta a significare 4 coordinate).
E' ovvio che \psi(x) soddisfa l'eq. di Klein-Gordon, visto che la
soddisfa A(x);
si dimostra inoltre senza difficolta' che \psi(x) e' scalare per trasf.
di Lorentz.
Purtroppo questo non e' del tutto soddisfacente, per due ragioni:
a) l'eq. di K-G e' di secondo ordine
b) |\psi|^2 non puo' essere una densita' di probabilita', perche' il suo
integrale sullo spazio non e' invariante, e quindi non puo' essere posto
= 1.
La soluzione per a) sta nell'osservare che in \psi entrano solo le
frequenze positive (solo la parte con operatori di distruzione di A(x)
da' contributo). Percio' e' possibile anche scrivere per \psi
un'equazione diff. del primo ordine nel tempo.
Tralascio i dettagli, che del resto non ricordo senza andare a cercarli.
L'eq. ha la forma
i D\psi/Dt = \int K(r-r') \psi(r',t) dr'
dove r e' il vettore delle coordinate spaziali, e K e' funzione solo di
|r-r'| (una funzione di Hankel modificata...).
Ne risulta dunque un'eq. integro-differenziale, ossia l'operatore H non
e' un operatore differenziale. Ma questo in se' non e' un ostacolo
serio.
La soluzione per b) sta nel modificare \psi, definendo una \psi_1 =
H^{-1/2} \psi
(salvo errori). Si puo' dimostrare (passando allo spazio degli impulsi)
che 
\int |\psi_1|^2 dr e' invariante di Lorentz.
Quindi \psi_1 puo' essere presa come funzione d'onda a tutti gli
effetti.
Con questo si risolve il problema di definire una funzione d'onda per
particelle di spin 0 (campo scalare). 
Come si fa per gli altri casi, lo vediamo in un'altra puntata (sperando
che quello che ho scritto sia tutto giusto...).
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
------------------------------------

 di Lorentz.
Ciao, non sono sicuro sull'ultimo punto. Cioe` e` un po`(= 10 anni, ma
niente confronto ai tuoi 30) che non faccio tali
calcoli ma mi pare che non sia cosi` diretto. Dentro A ci sono
due gradi di liberta` fisici e due non fisici. Immagino che quel 1 si 
riferisca a fotoni trasversali cioe` fisici.
Se consideri
L'<0|A(Lx)|1>
dove L e` una trasformazione di Lorentz e L' e` la associata che agisce
sui co-vettori se capisco bene tu stai dicendo che ottieni
<0|A(x)|1'>
dove 1' indica che sui valori definenti |1> (per es impulso ed elicita')
ha agito la rappresentazione unitaria di L (o L^-1 non mi ricordo mai).
Mi pare che potrebbero saltare fuori dei pezzi di puro gauge. 
Una volta ho fatto tutto il calcolo e le cose non mi sembravano cosi` 
ovvie. Pero` non mi ricordo se avevo usato il gauge di Coulomb o
il formalismo di Gupta-Bleuler nel caso dei pezzi in piu` che saltavano 
fuori...
Ciao, Valter
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 Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
 
mor...@science.unitn.it
 
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 mi sfugge il senso della domanda...
...e a me sfugge quello della risposta.
Gli stati a numero finito di fotoni non danno informazione sulla probabilità
di trovare il singolo fotone in un volume dV (o sbaglio?).
Essi danno informazione della popolazione di ogni modo del campo.
Per campi di particelle con massa tipo Dirac o Klein-Gordon é possibile
definire una densità di particelle che assomiglia alla densità di
probabilità della mq non r. E' possibile che la massa sia responsabile di
ciò?
Grazie  
Ciao

 ciò?
Quello che dici e` vero. Per i campi a massa non nulla puoi definire
una funzione d'onda in funzione della posizione 
nel senso non relativistico e il suo modulo quadrato e` la densita` di
probabilita` di trovare la particella. Si chiama rappresentazione
di Newton-Wigner. Il prezzo che si paga e` che tale funzione d'onda
ha un comportamento non locale al variare del riferimento (cioe`
non e` un campo scalare/tensoriale/spinoriale). Ora non ho tempo
di mettermi a spiegare come si fa, ma forse Elio si (ne abbiamo
discusso diverse volete proprio sul NG lui ed io ed altri).


 ...
Va bene che andiamo sempre tutti di fretta, ma ti e' sfuggito che sto
parlando di un campo *scalare*?
Io invece sto andando piano nella mia spiegazione. Se correte avanti,
come ho visto nei post successivi, non posso stare al passo...


 ciò?
Problema interessante al quale non so rispondere: dovrei rimettermi a
pensare a questioni che non tocco da un bel po'.
Ricordo che avevo legato questo problema alla ricerca
del  limite non relativistico
della teoria relativistica, ma poi ho deciso che  mi sarebbe bastato fare
un confronto fra sezioni d'urto non
relativistiche e quelle relativistiche e  per questo non ho mai
avuto bisogno di riformularmi la teoria in termini dello spazio delle
coordinate.
Spero che qualcun altro ti risponda, cosi' sento qualcosa di nuovo anche
io.


 parlando di un campo *scalare*?
Veramente credevo che ti fosse scappato "scalare" per
sbaglio ma che intendessi proprio il campo potenziale
elettromagnetico, visto che hai scritto solo che
indicavi con A l'operatore di campo, ed A si usa solitamente
per il quadripotenziale e.m., ed il contesto era proprio
quello dei fotoni. Comuque capisco che invece sono io
che ho interpretato male. Infatti rileggendo attentamente
la fine del tuo post si vede che ti riferive esplicitamente
al caso scalare e non c'era possibilita' di fraintendimento. Scusa ero
di fretta, la prossima volta staro' piu' attento.


 Gupta-Bleuler nel caso dei pezzi in piu` che saltavano fuori...
Allora, stamattina ho piu' tempo di pensare al problema e ti posso dire
che in effetti saltano fuori pezzi dovuti esclusivamente alla simmetria
di gauge; la tecnica standard (almeno se non si usano gli integrali di
cammino, in quel caso non sono sicuro di cosa si fa) 
e' usare Gupta-Bleuler. 
Joe

 Indico con A(x) l'operatore di campo;
Vuoi dire che:
A(x)=somma(k) ak exp(ikx) a parte fattori di normalizzazione?
Mi viene un dubbio: tu intendi la funzione d'onda con la proprietà tipica
della mq non r cioé che sia una densita' di probabilita'; ma esiste per il
campo di Klein Gordon un operatore densità di particelle definito come:
ro(x)= somma(k,k') radq(wk/wk') * (a+k ak' exp(-i*(k-k')x) + hc)
che ha la proprietà che integrato su tutto lo spazio dà l'operatore N.
Come conciliare le due cose (se ho detto bene!) ?
Grazie
P.S. Mi puoi indicare un bel libro dove studiare queste cose?

 Ciao, Valter
Grazie sei stato molto chiaro
Mi puoi dire anche dove studiare queste cose? (Corsi di Fisica Teorica e
Teoria dei Campi)
Ciao

 Teoria dei Campi)
Ciao, prego e` difficile ricostruire... Un po` quando studiavo fisica
teorica
a genova con Carlo Becchi, un po` nel dottorato in fisica teorica che ho
fatto dopo a Trento, un po` discutendo con Marco Toller (prof. di fis.
teorica
a Trento ora in pensione, allievo di Elio Fabri), un po` nella prima
fase della
mia attivita` di ricerca (teoria dei campi in spaziotempo curvo ) quando
ero 
fisico teorico. Infine un po` qui sul NG, cone Elio ne abbiamo discusso
di tanto
in tanto... Se ti interessa la letteratura te la cerco, gli ultimi
lavori
furono di Wightman o Bergmann (?) chi si ricorda? Comuque ira la
questione 
ha perso interesse nella ricerca.
Ciao, Valter

 cammino, in quel caso non sono sicuro di cosa si fa)
In quel caso ci metti i campi ghosts e non vedi niente perche` si
mangiano 
tutto quello che "sporge"...
Ciao, Valter

 che quello che ho scritto sia tutto giusto...).
Caro Elio, ma le altre puntate quando arrivano? Stiamo aspettando!
Grazie

 Caro Elio, ma le altre puntate quando arrivano? Stiamo aspettando!
Hai ragione, ma in questo periodo siamo sotto trasloco, per cui per un
po' di giorni mi sentirete assai poco :(
