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Titolo: Entanglement e leggi di conservazione

 
 
Tempo fa qui o su fisf (non ricordo il thread), Fabri fece un esempio di entanglement tra due particelle create per collisione di altre a quantita' di moto nulla del sistema: le due particelle create, per ipotesi uguali, dovendo rispettare la legge di conservazione della quantita' di moto, dovranno essere rivelate in direzioni esattamente opposte.
 
Ora, la quantita' di moto di un sistema fisico si conserva se su di questo non agiscono forze.
 
 
Se io prendo due particelle lontane, per es. due elettroni prelevati da altrettanti atomi, uno qui e l'altro sulla Luna, poi preparo questi elettroni in modo da conferire ad entrambi una quantita' di moto (quasi) perfettamente definita, in modo che la somma delle due sia zero, e li mantengo in tale stato, senza applicare ad essi alcun campo di forza, almeno per la durata dell'esperimento, ho reso i due elettroni entangled?
 
--
BlueRay

 elettroni entangled?
 
Direi di no almeno per quanto riguarda la q.d.m., infatti i 2
elettroni hanno ciascuno valori (quasi) definiti della q.d.m.,
dunque misurando la q.d.m. di un elettrone si trovera' il suo valore
che e' diverso da quello dell'altro elettrone, mentre se gli elettroni
fossero in uno stato intrecciato allora la misura della q.d.m. di un
elettrone darebbe un valore casuale tra i 2 valori (quasi) definiti.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 BlueRay ha scritto:
 Se io prendo due particelle lontane, per es. due elettroni prelevati
 da altrettanti atomi, uno qui e l'altro sulla Luna, poi preparo
 questi elettroni in modo da conferire ad entrambi una quantita' di
 moto (quasi) perfettamente definita, in modo che la somma delle due
 sia zero, e li mantengo in tale stato, senza applicare ad essi alcun
 campo di forza, almeno per la durata dell'esperimento, ho reso i due
 elettroni entangled?
 
Giorgio Bibbiani:
 Direi di no almeno per quanto riguarda la q.d.m., infatti i 2
 elettroni hanno ciascuno valori (quasi) definiti della q.d.m.,
 dunque misurando la q.d.m. di un elettrone si trovera' il suo valore
 che e' diverso da quello dell'altro elettrone, mentre se gli elettroni
 fossero in uno stato intrecciato allora la misura della q.d.m. di un
 elettrone darebbe un valore casuale tra i 2 valori (quasi) definiti.
 
 
Ok, pero' se tu non sapessi che qualcuno ha preparato gli elettroni in quel modo, come faresti a stabilire che la qdm che vai a misurare di un elettrone non e' un valore casuale?
 
Seconda domanda: se le cose stanno proprio come hai detto, allora che cosa distingue fisicamente questa coppia di elettroni non intrecciati da una coppia che lo e'? Devo prendere i due elettroni ed accoppiarli sessualmente per renderli intrecciati? :-)
Non riesco a capire cosa diamine gli succede a due particelle che prima non erano intrecciate e dopo si.
 
--
BlueRay

 e dopo si.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 

 
 
 
Per giungere a conlcusioni sullo stato quantistico di un sistema devi fare misure su una serie di sistemi preparati allo stesso modo. Non mi sembra che con una sola misura si possa dire qualcosa (alemno non mi viene in mente nessun possibile esperimento

 prima non erano intrecciate e dopo si.
Capisco, ma credo che in questo modo non andrete lontano.
Perciò avanzo una proposta: cercate di fare dei conti precisi.
Intendo: schematizzate la situazione, cercate di costruire
un plausibile stato del sistema, e poi vedremo se è intrecciato o non
lo è.
(Caution: se accettate, può darsi che il lavoro vi impegn per tutte le
vacanze. Siete disposti? :-) )
 
Suggerimenti:
1) Dimenticate gli elettroni, che vi obbligherebbero a considerare
anche gli spin. Idem per i fotoni.
Considerate particelle di spin zero, per le quali dovremo occuparci
solo di posizione e impulso.
Lavorate in una sola dimensione.
 
2) Per cominciare, scrivete una plausibile funzione d'onda che
rappresenti una particella di posizione nota grossolanamente (sta
sulla Terra, o sta sulla Luna) e che ha impulso piuttosto ben
definito.
Prenderei qualcosa del tipo
exp(ikx - a^2 x^2).
Questa non è normalizzata: per prima cosa calcolate il fattore di
normalizzazione.
 
3) Per questa f. d'onda, una volata normalizzata, rispondete alle
seguenti domande:
- quanto vale <q>?
- quanto vale Dq (s.q.m.)?
- quanto vale <p> ?
- quanto vale Dp ?
 
4) Scrivete una f. d'onda del sistema di *due* particelle identiche,
sapendo:
- che una sta sulla Terra e l'altra sulla Luna
- che hanno impulsi opposti.
 
Fatto questo (non credo che ce la farete prima di una settimana)
cominceremo a ragionare...
Di sicuro scopriremo cose che di solito non vengono dette ("quello che
i fisici teorici non dicono") :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

Scusami, Elio, ma debbo oppore una contestazione.
Cio' che stai facendo (o meglio stai descrivendo nel post) è 
 
un tentativo di interpretare (sulla realtà fisica che magari è troppo più complessa di una semplice schematizzazione) quello che una certa teoria quantistica (ti riferivi a KleiGordon) porta in sè come conseguenza di opportune "ipotesi iniziali".
 
 
Ora quanto questo sia "congruente" all'entaglement, secondo me imho, è un (diciamo così) prova del nove, un fattore che a posteriori potrebbe (e sottolineo potrebbe) solamente corroborare una Idea che nasce da altre considerazioni (che tu hai chiamato altrove filosofiche) 
 
ma solo IMHO

 i fisici teorici non dicono") :-)
 
Aha, attendo con curiosita' il seguito...
 
Grazie mille Elio!
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 Non so, io ci ho provato, adesso lascio spazio alle correzioni...;-)
Nessuna correzione, e siamo parecchio in anticipo sulle previsioni, ma
adesso viene il bello...
 
 
-- 
Elio Fabri

 filosofiche)
Questo mi è proprio incomprensibile.
Non so a che cosa ti riferisci, ma in quello che ho proposto non ci
vede *assolutamente niente* di filosofico.
 
 
-- 
Elio Fabri

 esercizio di m.q., senza nessuna interpretazione addizionale.
 
 
 
 
 
 
 
Adesso comprendo meglio, e dunque riesco anche ad indirizzare la mia obiezione, che (per carità) non vuole essere null'altro che una richiesta di informazioni supplementari. Dunque
Sull'entaglement
 
 
 
Non capisco... ma io adesso la butto li' nella speranza che tu possa capire quello che le mie parole nascondono negli spazi bianchi:
 
ma l'entaglement esiste anche prima della sua manifestazione?
 
 

 Elio Fabri ha scritto:
...
 2) Per cominciare, scrivete una plausibile funzione d'onda che
 rappresenti una particella di posizione nota grossolanamente (sta
 sulla Terra, o sta sulla Luna) e che ha impulso piuttosto ben
 definito.
 Prenderei qualcosa del tipo
 exp(ikx - a^2 x^2).
 Questa non è normalizzata: per prima cosa calcolate il fattore di
 normalizzazione.
 
Giorgio Bibbiani: 
 Ad es. sqrt(a) (2 / pi)^(1/4) (ipotizziamo a > 0).
 
Si, mi torna.
 
Fabri:
 3) Per questa f. d'onda, una volata normalizzata, rispondete alle
 seguenti domande:
 - quanto vale <q>?
 
Giorgio Bibbiani:  
 0 perche' la funzione d'onda ha modulo quadro pari e l'operatore
 moltiplicativo x e' dispari.
 
Si.
 
Fabri: 
 - quanto vale Dq (s.q.m.)?
 
Giorgio Bibbiani:  
 1 / (2a).
 
Ok.
 
Fabri: 
 - quanto vale <p> ?
 
Giorgio Bibbiani:  
 hbar k.
 
Ok.
 
Fabri: 
 - quanto vale Dp ?
 
Giorgio Bibbiani:  
 hbar a,
 
Viene cosi' anche a me.
 
Giorgio Bibbiani: 
 per avere un impulso ben definito occorrera' a << k, 
 
ovvero imponi: Dp << <p>. Giusto.
 
Giorgio Bibbiani: 
 questo e' uno stato di minima indeterminazione: Dq Dp = hbar/2.
 
Si, del resto il fatto che la psi fosse gaussiana (a meno di un fattore di fase) lo faceva intuire.
 
Fabri:
 4) Scrivete una f. d'onda del sistema di *due* particelle identiche,
 sapendo:
 - che una sta sulla Terra e l'altra sulla Luna
 - che hanno impulsi opposti.
 
Giorgio Bibbiani:  
 Essendo le 2 particelle bosoni la funzione d'onda del sistema dovra'
 essere simmetrica rispetto allo scambio delle particelle.
 
Questa non mi sarebbe venuta in mente :-)
 
Giorgio Bibbiani:  
 Se Psi(k, a, x) e' la funzione d'onda normalizzata di cui sopra per una
 particella sulla Terra, quella per una particella sulla Luna con impulso
 opposto sarebbe Psi(-k, a, x - L) ove L e' la distanza Terra-Luna, la
 funzione d'onda normalizzata del sistema sara' allora (chiamo 1 e 2
 le particelle):
  1/sqrt(2) [Psi(k, a, x_1) * Psi(-k, a, x_2 - L) +
 Psi(k, a, x_2) * Psi(-k, a, x_1 -  L)],
 
 
Non mi sarebbe venuta in mente neanche questa e non sono nemmeno tanto sicuro di averla capita :-) Il secondo termine della fdo e' semplicemente il primo con le particelle scambiate ed hai scritto una somma perche' la fdo deve appunto essere simmetrica (una differenza se fossero stati fermioni)?
 
Giorgio Bibbiani:  
 avendo supposto che le 2 funzioni d'onda siano ortogonali cioe'
 1/a << L, ad es. 1/a = raggio della Terra << L.
 
 
Non ho afferrato bene: questo perche' 1/a e' approssim. la larghezza della regione di spazio in cui ogni psi e' diversa da zero e quindi se la loro separazione e' grande: integrale[-oo;+oo] (psi1*) psi2 dx = 0?
 
Fabri:
 Fatto questo (non credo che ce la farete prima di una settimana)
 cominceremo a ragionare...
 
Mi sa che se tu non gli avessi detto in quel modo ci avrebbe messo di piu' :-)
 
--
BlueRay

 adesso viene il bello...
 
Attendo con interesse...;-)
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 
 
 

 piu' :-)
 
Ah ah ;-), comunque adesso rallentero' visto che stiamo arrivando
all'osso (per me) duro che e' l'entanglement...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 

 Giorgio Bibbiani ha scritto:
 la funzione d'onda normalizzata del sistema sara' allora
 (chiamo 1 e 2 le particelle):
 1/sqrt(2) [Psi(k, a, x_1) * Psi(-k, a, x_2 - L) +
 Psi(k, a, x_2) * Psi(-k, a, x_1 -  L)],
 avendo supposto che le 2 funzioni d'onda siano ortogonali cioe'
 1/a << L, ad es. 1/a = raggio della Terra << L.
 
Fabri:
 Tutto bene.
 Ora la domanda centrale: questo è uno stato intrecciato o no?
 
Sinceramente non so la risposta.
 
 
 
Mi *sembra* che stati intrecciati siano combinazioni lineari di autostati di una qualche osservabile del sistema. Qui l'osservabile e' la quantita' di moto p, pero' le singole fdo: Psi(k, a, x_1), Psi(-k, a, x_2 - L) non sono autostati di p perche' la derivata di psi rispetto ad x, ad es. della prima psi, fornisce: (ik - 2ax)*psi che non e' proporzionale a psi per via del fattore 2ax, che e' diverso da zero a meno che a = 0, ovvero a meno che le psi siano non trascurabili in tutto lo spazio tra le due particelle.
 
Ma non so se tutto cio' ha nulla a che fare con gli stati intrecciati...
 
--
BlueRay


 
 
Una qui la posso dire io, fermandomi al momento al caso di stati puri: 
uno stato di due particelle e' entangled se non e' possibile esperimerlo 
come prodotto diretto di due stati di particella singola. L'intuizione 
che ho - potrebbe essere sbagliata, non sono in grado di darne una 
dimostrazione - e' che per una coppia di bosoni il requisito della 
simmetria della funzione d'onda per scambio delle particelle faccia si' 
che due particelle sono sempre entangled a meno che non siano nello 
stesso stato. Per una coppia di fermioni, invece, sono sempre entangled 
senza eccezioni.
 
---
Diese E-Mail wurde von Avast Antivirus-Software auf Viren geprüft.
https://www.avast.com/antivirus
 

 Elio Fabri
 
Ciao,
Bruno Cocciaro

 
 
 
 
Che si sparpagli sono d'accordo, ma dovrebbe mantenere la forma gaussiana - senza fare i conti: la trasformata di Fourier di una gaussiana e' una gaussiana, e aggiungendo a ogni termine della trasformata di Fourier un fattore di fase (che descrive l'evoluzione temporale) ottengo ancora una gaussiana (con "chirp", cioe' dipendenza della frequenza da tempo o posizione ... detto in una maniera non rigorosa).

 sempre entangled senza eccezioni.
Per ora questo non lo vorrei commentare.
Un passo per volta :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

Il giorno lunedì 27 luglio 2015 18:24:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
 Per oggi mi fermo qui, lasciandovi con una domanda/esercizio.
 Il solito stato |k,T>, ossia la Psi(k,a,x) di Giorgio rappresenta uno
 stato stazionario per una particella libera?
 
 
Mi serve la definizione di stato stazionario perche' non mi sembra ci sia consenso nella letteratura. Significa che i valori medi nel tempo di tutte le osservabili rimangono costanti? In questo caso come osservabili dovrei prendere anche Dx e Dp?
 
Comunque, visto che almeno <x> varia nel tempo (evolve come la corrispondente variabile classica: <x> = v*t) non sarebbe uno stato stazionario secondo quanto sopra.
 
--
BlueRay

 anche se le particelle si separano e si allontanano...
 
no
secondo me non stanno così le cose
anche prima sono intrecciate;
 
e perchè mai allora dovrei ipotizzare una sorta di cut-off da attribuire alla interazione? E' come se stessi dicendo che la qualsiasi interazione (che mi definisce la matrice S) al di sotto di una qualche soglia sia solo "ipotetica, potenziale", mentre al di sopra diviene "efficace".

 ha una forma semplice.)
 
Lavoriamo sempre nello schema di Schroedinger:
 
- <p> e Dp si conservano dato che p commuta con H.
 
- sia |t> il ket di stato al tempo t, l'operatore di evoluzione
temporale per gli stati e' U(t) = exp(-iHt / hbar) e si ha
|t> = U(t) |0>, il valore medio di q al tempo t e' allora:
 
(1)  <t|q|t> = <0|U(t)^+ q U(t)|0>,
 
ponendo [, ] = commutatore si ha:
 
(2)  [q, U(t)] = q U(t) - U(t) q =
(uso il noto risultato per cui [q, f(p)] = [q, p] @f/@p)
= [q, p] @U(t)/@p = t/m U(t) p,
 
quindi:
 
(3) q U(t) = U(t) q + [q, U(t)] = U(t) (q + t/m p)  =>
U(t)^+ q U(t) = q + t/m p,
 
avendo usato l'unitarieta' di U(t), allora la (1) diventa:
 
(1')  <t|q|t> = t/m <0|p|0> = t/m hbar k,
 
in evidente accordo con il teorema di Ehrenfest.
 
- ricavo ora Dq^2 = <t|q^2|t> - <t|q|t>^2, si ha:
 
(4)  <t|q^2|t> = <0|U(t)^+ q^2 U(t)|0>
 
(5)  [q^2, U(t)] = q^2 U(t) - U(t) q^2 = q[q, U(t)] + [q, U(t)]q =
t/m (q U(t) p + U(t) p q)
 
inoltre si ha da (3):
 
(6)  q U(t) p = U(t) (q + t/m p) p
 
 da cui sostituendo in (5) e riordinando:
 
(7)  q^2 U(t) = U(t) q^2 + [q^2, U(t)] =
U(t) (q^2 + t/m(p q + q p + t/m p^2)),
 
(8)  U(t)^+ q^2 U(t) = q^2 + t/m(p q + q p + t/m p^2),
 
pertanto:
 
(9)  <t|q^2|t> = <0|q^2 + t/m(p q + q p + t/m p^2)|0>,
 
esplicitando il calcolo si ottiene che <0|p q|0> e'
immaginario puro, quindi <0|p q + q p|0> e' nullo,
da cui:
 
(10)  <t|q^2|t> = <0|q^2 + t^2/m^2 p^2|0> =
1/(4a^2) + t^2/m^2 hbar^2 (a^2 + k^2),
 
(11)  Dq^2 = 1/(4a^2) + t^2/m^2 hbar^2 a^2.
 
cioe' come previsto il pacchetto d'onda si allarga al
passare del tempo.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 
 

 d'onda non mantenga la forma gaussiana e si sparpagli. E' cosi'?
Non so che conto hai fatto.
Io farei così:
1) Trasf. di Fourier, ovvero rappr. dell'impulso.
Sia q il generico valore dell'impulso.
Ottieni una gaussiana centrata in q = hbar*k
2) In rappr. dell'impulso l'evol. temp. per una particela libera è
banale: moltiplica la f. d'onda per exp[-i q^2 t/(2m*hbar)]
3) Antitrasf. di Fourier, per tornare alla rappr. di Schr.
Ti trovi un integrale che richiede un piccolo trucco nel piano
complesso, ma niente di più.
4) Risultato: il pacchetto rimane gaussiano: si muove con velocità
hbar*k/m e si allarga come ha scritto Giorgio.
 
NB: siccome la larghezza dipende da t, anche il fattore di normal. ne
dipende.
 
 
-- 
Elio Fabri

 passare del tempo.
Non solo: il grafico di Dq in funzione di t è un ramo d'iperbole con
centro nell'origine, simmetrico rispetto a t.
Per grandi t, Dq va come t/(ma*hbar).
Interessante anche il fatto che finché t<0 il pacchetto si restringe
al crescere di t; per t=0 raggiunge l'indet. minima, poi si allarga di
nuovo.
Questo insegna che non è vero che un pacchetto debba sempre allargarsi
al crescere di t: in m.q. *non c'è una freccia del tempo* !
 
NB: qualche parentesi in più nelle tue formule faciliterebbe la
lettura (almeno secondo me).
 
 
-- 
Elio Fabri

 sopra diviene "efficace".
Mi sa che non hai capito.
Il punto è che se vado a scrivere l'evol. temporale del mio stato,
questa dipende da una hamilt. fatta di tre parti:
A) quella del protone
b) quella dell'elettrone
c) quella d'interazione.
Ora accade che la parte c) ha elem. di matrice nulli tra tutti gli
stati in cui protone ed elettrone hanno f. d'onda in forma di pacchetti
lontani tra loro.
O per essere più precisi: quegli elementi di matrice sono dell'ordine
exp(-a^2 L^2), e possono essere largemente trascurati.
 
Perciò il sistema evolve come se ci fossero solo a) e b): protone ed
elettrone si muovono come particelle libere, fin quando la condizione
aL>>1 non cessa di valere.
(Potrebbe anche non cessare mai, se le due particelle hanno
traiettorie che non si avvicinano mai.)
 
 
-- 
Elio Fabri

 lettura (almeno secondo me).
 
Come sopra va un po' meglio? ;-).
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 

 hbar*k/m e si allarga come ha scritto Giorgio.
*Non è vero* che il pacchetto rimane gaussiano!
 
Lo si capisce subito osservando che un pacchetto gaussiano ha indet.
minima; ma il nostro pacchetto ha Dq crescente e Dp costante, il che
significa che l'indet. non resta minima.
Poi ho fatto il conto (abbastanza incasinato) che ha confermato
l'idea.
Non ci provo neppure a scrivere la psi(x,t).
Osservo solo che è gaussiana |psi|^2, ma questo non basta per definire
il pacchetto "gaussiano".
Comunque io intendevo che fosse gaussiana la psi (a meno di un fattore
exp(ikx)) e questo non succede.
 
Cominciamo ora a parlare dell'intreccio...
Giorgio ha deciso che un qualunque stato simmetrizzato è intrecciato,
il che secondo la def. è vero.
Però...
Non me lo ricordavo, ma la questione è discussa da Ghirardi, 14.4.
Se avete il libro potreste leggerlo e poi ne riparliamo.
Ora vi anticipo solo che Ghirardi definisce quel particolare tipo
d'intreccio con un termine che credo sia di sua creazione: lo chiama
"benigno".
Sottinteso che poi ci sono anche gli intrecci "maligni", e il problema
che dovremo esaminare è: come si distinguono?
 
Proprio questo avevo in mente quando ho scritto la frase "quello che i
fisici teorici non dicono".
Perché non ricordo di aver mai trovato, nelle discussioni sugli
esperimenti alla Aspect e simili, dove si lavora con due fotoni, che
effetto ha la simmetrizzazione dello stato.
Ma non voglio dire di più :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 Se tu hai in mente una def. diversa, lo devi dire.
 
 
no no, x me vale come x te: Stato intrecciato è quello. Quello per il quale non puoi fattorizzare in maniera separata, ma ti trovi a dover valutare "le coppie" in maniera contestuale
 
Io mi chiedo però qualche cosa di diverso: dico.
Ma fin tanto che i 2 canali IN e OUT hanno elementi "dinamici" distinti ok, ci sto
è l'effetto dovuto, quello per il quale stiamo dando una ragion d'essere alla matrice S.
 
 
Ma io rimango perplesso quando "le variabili che identificano la Variazione-post-interazione" (tra l'altro ho dei dubbi profondi sul concetto di interazione.... sarà mai essa un qualche cosa che nasce cresce e muore, oppure è sempre stata?) impattano anche su quelle caratteristiche "nascoste".
 
 
Cio' significa che l'interazione <<deve>> coinvolgere qualche cosa di noscosto alla interazione stessa : e già, come hai testè tu detto, l'elemento di interazione "hai chiamato PARTE C", non coinvolge minimamente gli elementi nascosti... ma tuttavia questi ne fuoriescono alterati.
 
Allora ecco perchè parlavo del fatto che
 
###anche prima sono intrecciate###
 
 
semplicemente perchè non vedo alcun motivo per il quale tale "intreccio" debba rendersi evidente DOPO ... ma dopo l'applicazione di un operatore che non ha nessuna consapevolezza (per lo meno noi non gliela diamo in maniera formale) di tali elementi di intreccio.


 
 
Ecco, questa e' la parte che interessava a me, e riprendero' in mano in 
libro di Ghirardi. Perche' gli esperimenti in cui si dimostra che coppie 
di fotoni non sono "intrecciati" esistono ... pero' qui c'e'un altro 
punto in cui ho le idee confuse - ovvero - i fotoni sono bosoni/i fotoni 
sono eccitazioni di modi del campo elettromagnetico - se i modi sono 
diversi (per esempio due modi a frequenza diversa) sono distinguibili o 
indistinguibili???


 Se avete il libro potreste leggerlo e poi ne riparliamo.
 
L'ho ordinato e mi arrivera' a breve, nel frattempo leggero' con
molto interesse gli interventi di chi gia' lo possiede.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 

 Non ci provo neppure a scrivere la psi(x,t).
 
 
Io ci ho provato ma non posso scrivere tutti i conti. Certo il risultato non e' tanto bello da vedersi :-) (ammesso che comunque non abbia sbagliato qualcosa, il che e' molto probabile vista la complessita'):
 
psi(x,t) = exp{-a^2*x^2(1-ibt)/(1+b^2*t^2)} * exp{-(ib*k^2*t+4i*a^2*k*x)/4a^2(1+ib*t)} / sqrt(1 + ib*t)
 
dove: b = 2a^2*hbar/m
 
--
BlueRay

 lambiccato invano!
 
Vi chiedo scusa per la sintassi contorta, e' una conseguenza
del "copia e incolla" fatto di fretta :-(, doveva essere:
 
"Grazie per il suggerimento :-), su questo punto mi ero
lambiccato invano!"
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 ...
Da qui in poi è buio totale.
Ma ormai sono ani che ogni tanto discutiamo: è possibile che non ti
riesca ancora di esprimerti in un modo per me comprensibile?
 
O forse pensi che è colpa mia? Che sono irrimediabimente ottuso?
Ma allora lascia perdere...
 
 
-- 
Elio Fabri

 dove: b = 2a^2*hbar/m
Appunto: è una formula pressoché illeggibile (non per colpa tua).
A un esame non proprio superficiale, somiglia parecchio a quello che ho
trovato io, ma che sia la stessa non posso giurarlo: ci sono molti modi
equivalenti di scrivere quell'espressione, e quindi ci vorrebbe un
bel po' di lavoro per svolgere il confronto accurato.
Non ne ho voglia...
 
 
-- 
Elio Fabri

 distinguibili o indistinguibili???
Sono distinguibili allo stesso modo di due fotoni con polar. diversa o
con direzione diversa dell'impulso.
 
Certamente puoi dire "c'è un fotone di frequenza nu1 e uno di
frequenza nu2" ma non puoi dire "*questo* fotone ha freq. nu1" ecc.
Mentre se hai un elettrone e un protone, li distingui per la carica, la
massa, il numero barionico...
Che non sono osservabili allo stesso modo.
Un elettrone ha un valore *fisso* della massa, e così un protone: in
questo senso nn sono osservabili, ma costanti caratteristiche di
quell'oggetto.
Idem per la carica, ecc.
(Anche se al livello della QFT su questo si dovrebbe approfondire...).
 
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
 
Ciao,
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire) 
 

 Appunto: è una formula pressoché illeggibile (non per colpa tua).
 
 
 
 
Ci dovrebbe essere un'analogia con un fascio laser gaussiano che si 
propaga nello spazio.
 
In questa maniera (provo ad intuizione, senza fare veramente i calcoli): 
il tempo t nell'eq. di Schr. corrisponde alla posizione z lungo l'asse 
di propagazione del fascio. La quantita' di moto media del pacchetto, 
p0, all'inclinazione del fascio rispetto all'asse di propagazione.
 
 
L'analogia ci deve essere perche' la diffrazione, nello spazio delle 
frequenze spaziali, corrisponde per la moltiplicazione per un fattore di 
fase immaginario quadratico (nell'approssimazione di Fresnel!) (e lo so 
che ad Elio non piace chiamare fattore di fase qualcosa che dipende 
dalle coordinate ;-) ); nell'equazione di Schr. dipendente dal tempo il 
fattore di propagazione exp(iEt/hbar) (spero di non fare caos qui!) per 
una particella libera e' uguale a exp(i * (p^2/(2m))*t/hbar) che 
contiene il fattore quadratico p^2 nello spazio di Fourier e che 
possiamo riscrivere centrato attorno al p0 del pacchetto - e da questa 
ultima operazione otteniamo un termine lineare in p.


 molto interesse gli interventi di chi gia' lo possiede.
Intanto cominciamo col mettere un po' d'ordine nel problema.
 
Ridotto all'osso, è questo.
Abbiamo lo spazio H = H1 @ H2.
Possiamo ridurre H1 e H2 a spazi con 4 vettori base:
|k,T>, |k,L>, |-k,T>, |-k,L>
e H ha dim. 16 e una base è
 
|k,T>|k,T>, |k,T>|k,L>, |k,T>|-k,T>, |k,T>|-k,L>
|k,L>|k,T>, |k,L>|k,L>, |k,L>|-k,T>, |k,L>|-k,L>
|-k,T>|k,T>, |-k,T>|k,L>, |-k,T>|-k,T>, |-k,T>|-k,L>
|-k,L>|k,T>, |-k,L>|k,L>, |-k,L>|-k,T>, |-k,L>|-k,L>.
 
Prò se ci limtiamo a stati in cui l'imulso totale è nullo resta solo
il sottospazi con base
 
|k,T>|-k,T>, |k,T>|-k,L>
|k,L>|-k,T>, |k,L>|-k,L>
|-k,T>|k,T>, |-k,T>|k,L>
|-k,L>|k,T>, |-k,L>|k,L>
 
che ha dim. 8.
Se inoltre accettiamo solo stati in cui una delle due part. sta su T e
l'altra su L, ma non entrambe su T o entrambe su L, ci riduciamo
ancora:
 
|k,T>|-k,L>, |k,L>|-k,T>, |-k,T>|k,L>, |-k,L>|k,T>.
 
Lo scambio delle particelle manda il primo nel quarto (e viceversa) e
il secondo nel terzo.
Invece di questi ossiamo usare gli stati simmetrici e antisimmetrici
per scambio:
 
|k,T>|-k,L> + |-k,L>|k,T>  (1)
|k,L>|-k,T> + |-k,T>|k,L>  (2)
(simmetrici)
 
|k,T>|-k,L> - |-k,L>|k,T>
|k,L>|-k,T> - |-k,T>|k,L>
(antisimmetrici).
 
Se le paticelle sono bosoni, avremo solo i primi due.
 
Finalmente la domanda: queli scritti sono stati intrecciati?
Secondo la definizione sì.
Però Ghirardi lo chiama un intreccio "benigno": perché?
 
Supponiamo di avere, sia sulla Terra che sulla Luna, un rivelatore che
scatta quando vede una particella, e ne misura anche l'impulso.
Se lo stato è (1), la particella su T darà sempre impulso k, e
simultaneamente la misura su L darà una aprticela con impulso -k.
Situazione del tutto diversa da un "vero" stato intrecciato, in cui lo
stato di una singola particella *non è determinato*, e il risultato di
una misura è *incerto*.
 
Consideriamo la soma di (1) e (2):
|k,T>|-k,L> + |-k,L>|k,T> + |k,L>|-k,T> + |-k,T>|k,L>.
Che cosa ci dice ora il contatore sulla Terra?
In tutti e 4 i termini la particella sulla terra c'è, ma nei primi due
ha impulso k, negli altri due -k.
Quindi ora sì, che sebbene lo stato del sistema sia dato, non si può
trovare con prob. 1 unc erto valore dell'impulso.
Tuttavia se su T si traova impulso k, su L si trova certamente -k, e
viceversa. ossia tra gli impulsi misurati su T e su L c'è una rigorosa
correlazione.
 
Questo è un *vero* stato intrecciato!
Ghirardi lo chiamerebbe "intreccio maligno"? Non possiamo saperlo,
perché non lo dice :-) ma non ha molta importanza..
 
Termino osservando che quello che ho trattato è un caso assai
semplice; per es. se ci fossero osservabili di spin l'aspetto degli
stati intrecciati potrebbe essere ben più complesso.
Idem se non avessi arbitrariamente limitato a due i valori ammessi per
l'impulso.
 
 
-- 
Elio Fabri

Elio Fabri ha scritto:
...
Come sempre, taglio nella replica ma tanto ho salvato tutto...
 
Nel frattempo mi e' arrivato il Ghirardi, ho iniziato a leggerlo ed
e' molto interessante (forse lo stile e' un po' prolisso, ma questo
e' un difettuccio in confronto all'esposizione chiara e coinvolgente che
da' degli sviluppi e della storia della MQ, e in confronto ai contenuti, per
me in parte nuovi, che presenta), non sono ancora arrivato al capitolo
sulle particelle identiche, ma dopo aver letto la tua spiegazione
*chiarissima e che si legge in un fiato* sono certo che non avro'
problemi...
 
PS: penso che io e gli altri lettori ormai abbiamo capito che lo stato
intrecciato delle 2 particelle rappresentato da |kT>|-kL> + |-kL>|kT>
corrisponde a un intreccio cosiddetto "benigno", grazie ancora!
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 
 
 

 per me in parte nuovi, che presenta),
La prolissità fa parte della scelta che G. ha fatto per rendersi
comprensibile a lettori non fisici e poco familiari con la matematica.
Secondo me è una scelta perdente: non credo che un lettore non fisico
riesca a seguire quei ragionamenti solo perché non ci sono formule,
quando dentro c'è tutto un modo di pensare che solo anni di studio
della fisica possono rendere familiare a una persona.
 
Sono anche d'accordo con te che in quel libro si trovano notizie e
argomenti che non è facile trovare altrove; quindi lo ritengo
utilissimo per un fisico.
A un fisico penso sarebbe piaciuto uno stile più asciutto e qualche
formula più stringata nei punti giusti; ma temo che se G. avesse fatto
così non gliel'avrebbero pubblicato :-(
 
 
-- 
Elio Fabri

 dipende dalle coordinate ;-) );
Chiarisco.
Sicuramente avrò usato anch'io chissà quante volte l'espressione
"fattore di fase" con quel significato (ossia per intendere una
qualsiasi cosa a modulo 1).
Quindi la mio obiezione non è assoluta: nel contesto, era didattica.
Dato che BlueRay sta studiando m.q., volevo sottolineare per lui che
c'è fattore di fase e fattore di fase: che una fase costante non
produce alcun cambiamento nello stato, ma una fase che dipende da
qualche variabile ho un altro peso...
 
 
-- 
Elio Fabri

 BlueRay
 
Giorgio Bibbiani scrive :
Nel frattempo mi e' arrivato il Ghirardi, ho iniziato a leggerlo ed
e' molto interessante...
 
Forse questo libro sarebbe un bel regalo per una persona che conosco (Prof. di Liceo Scientifico), ammesso che non lo possieda già !
Cortesemente potreste dirmi oltre all'autore che ho capito si chiama Ghirardi, 
anche il titolo del libro e la casa editrice ?
Marco

 anche il titolo del libro e la casa editrice ?
 
http://www.ilsaggiatore.com/argomenti/scienza-natura/9788842821359/unocchiata-alle-carte-di-dio-2/
 
 
Mi auguro che il tuo conoscente abbia una vista acuta, i caratteri in questa
recente ristampa sono in un formato  minuscolo e le (poche) dimostrazioni
matematiche nelle appendici sono in un carattere ancora piu' piccolo ;-).
Pero' e' un ottimo libro, di lettura (e rilettura immagino, alcuni argomenti
devono essere meditati...) estremamente gradevole per chi si interessi
alla materia.
 
Nota: su un noto negozio virtuale e' attualmente in vendita con sconto del
15% rispetto al prezzo di listino.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 fase immaginario quadratico (nell'approssimazione di Fresnel!) 
 
Ovvero: la tras. di F. di un fascio monocromatico che ha attraversato una piccola apertura contiene un fattore di quel tipo?
 
--
BlueRay

 |k,T>|-k,L> + |-k,L>|k,T> + |k,L>|-k,T> + |-k,T>|k,L>.
 
E questo?
Ciao.
 
--
BlueRay


 
 
Con un po' di pazienza dovrebbe essere piu' facile controllare se la 
formula ottenuta e' giusta, avendo gia'in mente come deve essere. In 
realta' e leggermente piu' facile farne un pezzo usando l'analogia con 
la diffrazione di un fascio gaussiano e un pezzo con l'idea che il 
centro di massa del pacchetto si deve muovere con la velocita' data 
dalla velocita' di gruppo giusta. Ho deciso di mandare un primo 
messaggio con solo la verifica della velocita'di gruppo - (e non ho 
ancora fatto in tempo a finire neanche questo: ... ma credo di sapere 
dove andare a parare) e poi un altro messaggio con la verifica della 
dispersione.



 
 
 
Uhm ...
 
copio la formula dal messaggio di BlueRay:
 
psi(x,t) = exp{-a^2*x^2(1-ibt)/(1+b^2*t^2)} *
exp{-(ib*k^2*t+4i*a^2*k*x)/4a^2(1+ib*t)} / sqrt(1 + ib*t)
 
prendendo il modulo quadro si vede che il centro di massa della 
distribuzione non si muove con t, quindi qualcosa di sbagliato ci deve 
essere. Si vede anche che l'ampiezza della gaussiana cresce con 
sqrt(1+b^2*t^2), che e' proprio come la propagazione di un fascio 
gaussiano, quindi ci deve essere anche qualcosa di giusto.


 BlueRay


 distribuzione non si muove con t, 
 
Per semplificare i conti e vedere semplicemente quello che succede in linea di massima prendo:
 
b = 2a^2*hbar/m = 1
4a^2 = 1
k = 1
 
facendo i conti, sempre che non li abbia sbagliati (il che e' ancora molto probabile :-) ) mi verrebbe:
 
|psi(x,t)|^2 = [1/4sqrt(1+t^2)]*exp{-(x+2t)^2 /2(1+t^2)}
 
quindi il centro di massa dovrebbe muoversi a velocita' 2t?
 
--
BlueRay

 quindi il centro di massa dovrebbe muoversi a velocita' 2t?
 
Oops! Intendevo a velocita' -2: se x = -2t l'esponenziale e' costantemente pari a 1.
 
--
BlueRay
 


A velocita' 2: x + v*t! Cmq. sono io che ho sbagliato brutalmente i calcoli. Li rifaccio e posto di nuovo, ma non riesco a farlo prima di stasera!

 
https://dl.dropboxusercontent.com/u/6678812/newfile1.pdf
 
 
Qui (pag 8 e seguenti)
 
http://www2.pv.infn.it/~rimini/MeccanicaQuantistica/MeccanicaQuantistica1011/04_2_PartLib.pdf
 
 
viene affrontato e risolto esplicitamente il problema dell'evoluzione temporale della funzione d'onda proposta da Elio.
 
Dalla soluzione presentata mi pare che non risulti evidente il fatto che il pacchetto mantiene la sua forma gaussiana a meno di un fattore exp[i fi(x,t)] come invece risulta dalla soluzione che ho messo su 
https://dl.dropboxusercontent.com/u/6678812/newfile1.pdf
 
 
Ad ogni modo, ho controllato e le due soluzioni coincidono a meno di due punti che immagino siano errati nel mio file originario (uno lo e' di sicuro):
nell'espressione della fase fi(x,t),
1) al primo addendo, k_0*h*t/(2*m) va sostituito con k_0^2*h*t/(2*m);
2) il secondo addendo e' (1/2)*ArcTan[-2*h*t/(m*a^2)] invece di ArcTan[*h*t/(m*a^2)].
 
 
Per t->+oo la fase diventa indipendente da x e tende dunque a -Pi/4 (invece di Pi/2 come riportavo nella mia soluzione originaria). Non ho la minima idea se questa cosa possa avere un qualche contenuto fisico.
 
Bruno Cocciaro