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Titolo: vettori timelike e spacelike

Ammirati Colleghi
Gli scritti sulla RS si ripartiscono in due classi di
equivalenza in base al seguente criterio:
  metrica  1 -1 -1 -1
  spcelike < 0
  timelike > 0
  metrica  -1 1 1 1
  spcelike > 0
  timelike < 0
Mi domando: esiste una definizione che assegni il
quadrivettore u alla opportune categoria di appartenenza
senza fare menzione esplicita del segno della quantita'
< u , u > ?
In altri termini il segno corretto dovrebbe venire fuori
dalla scelta della matrice metrica e dalla definizione e
non essere adottato ad hoc, per far quadrare le cose.
Buon lavoro a tutti !
Imago Mortis

 < u , u > ?
u e' di tipo spazio se il modulo della
sua parte spaziale e' maggiore di quello della parte
temporale, di tipo tempo se il modulo della sua
parte temporale e' maggiore di quello della parte spaziale.
Cio' vale qualunque sia la segnatura della metrica.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

On May 5, 2:06 pm, "Giorgio Bibbiani"

Ciao, c'e' anche un altro modo, topologico, per distinguere i vettori
di tipo tempo da quelli di tipo spazio, indipendentemente dalle
convenzioni che si usano per scrivere la metrica.
Comunque scegli il segno della metrica, lo spazio tangente ad un punto
dello spaziotempo, risulta essere decomposto nell'unione di
4 insiemi. Uno, che indico con N, e' chiuso ed e' quello dei vettori a
norma nulla (e questo non dipende dal segno convenzionale della
metrica).
Se dallo spazio tangente togliamo N, l'insieme aperto che rimane ha 3
componenti connesse.
Due componenti sono anche convesse e la terza non lo e'.  Le due
componenti connesse convesse contengono tutti e soli i vettori di tipo
tempo,  mentre la componente connessa non convessa contiene tutti e
soli i vettori di tipo spazio.
Ciao, Valter

 soli i vettori di tipo spazio.
Molto interessante, perche' cosi' risulta evidente
l'invarianza per cambiamento di coordinate della natura
tipo tempo o tipo spazio o tipo luce di un vettore.
Personalmente mi era sembrato un po' arduo interpretare
le nozioni topologiche che hai riportato in termini algebrici,
come ingenuamente ho tentato di fare all'inizio per capire
cosa fossero questi insiemi connessi e, o non, convessi,
ma quando mi sono accorto che bastava visualizzare
il cono di luce di un evento nello staziotempo allora
la comprensione e' stata immediata :-)
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

On May 6, 3:00 pm, "Giorgio Bibbiani"

Ciao, si tratta di una caratterizzazione più complicata di quella che
hai detto tu, ma che è utile per introdurre la nozione di spaziotempo
temporalmente orientato. Dato che l'insieme aperto dei vettori di tipo
tempo ha due componenti sconnesse, SE esiste un campo vettoriale
*continuo* di tipo tempo, questo rimane sempre, al variare del punto,
in una delle due componenti (nota che non può mai annullarsi essendo
di tipo tempo). Questo prova che se lo  spaziotempo (connesso) ammette
un campo vettoriale di tipo tempo continuo X allora, ogni altro campo
vettoriale di tipo tempo continuo Y cade sempre nella stessa falda del
cono di X, al variare del posto, oppure sempre nell'altra falda. In
definitva esistono sempre due sole orientazioni temporali dello
spaziotempo, se è orientabile (cioé se ammette un campo vettoriale di
tipo tempo continuo).
La richiesta che lo spaziotempo sia temporalmente orientato è una
delle richieste fisiche più importanti...
Lo spaziotempo di Minkowski è banalmente temporalmente orientabile (un
campo ditipo tempo continuo è quello tangente ovunque all'asse
temporale di un sistema di coordinate di Minkowski), tuttavia esistono
semplici esempi di spazitempo NON temporalmente orientabili...
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 a quale metrica?
Ciao,
Ma a nessuna metrica!
La convessità dipende solo dalla struttura di spazio vettoriale: se
prendi due vettori T,T'
in un cono di luce (entrambi in quello superiore oppure entrambi in
quello inferiore) e ne fai una
combinazione lineare convessa, cioé aT + a'T, dove a+a'=1 e a,a'>0,
allora rimani in quel cono.
Stessa cosa per il cono inferiore. Se invece prendi due vettori di
tipo spazio e ne fai una comb lin convessa puoi anche finire dentro
uno dei due coni...
Ciao, Valter

 allora rimani in quel cono.
Ah bene. Allora, se ho ben capito, la convessita' si puo' definire per un
qualsiasi sottinsieme di uno spazio vettoriale sul corpo R (poi naturalmente
il sottinsieme puo' risultare convesso o meno)?
Non riesco ad immaginare quale caspita di significato fisico si possa (o si
debba) associare alla convessita'. Sto pensando non ad un qualsiasi spazio
vettoriale, ma proprio allo spaziotempo della RR. Forse il punto e' che non
riesco a capire quale significato fisico si dovrebbe associare alla somma di
due quadrivettori.
O questa convessita' e' una proprieta' esclusivamente formale per la quale
non c'e' motivo di immaginare un qualche significato fisico?


 non c'e' motivo di immaginare un qualche significato fisico?
Ciao, non lo so. Dubito che sia una proprieta' "formale" senza
significato fisico, dato che viene fuori anche in estensioni non
commutative dello spaziotempo lorentziano (ma dovrei controllare),
comunque al momento non mi viene in mente niente.
Ciao, Valter

 wrote in message
news:ad217e80-a782-4672...@k13g2000hse.googlegroups.com...

Mi sa che forse l'ho trovato un significato fisico da associare a questa
convessita'.
Siamo nello spaziotempo della RR e abbiamo sincronizzato secondo relazione
standard.
L'evento EAin corrisponda all'inizio di un certo fenomeno la cui fine e'
associata all'evento EAfin.
L'evento EBin corrisponda all'inizio di un certo altro fenomeno la cui fine
e' associata all'evento EBfin.
In sostanza, il fenomeno A e' associato al quadrivettore EAfin-EAin, mentre
il fenomeno B e' associato al quadrivettore EBfin-EBin.
La somma dei due quadrivettori (EAfin-EAin)+(EBfin-EBin) corrisponde al
fenomeno "A+B" cioe' all'esecuzione di A, seguita da B (qualora si eseguisse
prima B poi A l'esito finale sarebbe lo stesso, cioe' la natura mostra che,
ai fini dell'evento finale, l'ordine non conta).
Esempio:
fenomeno A: lancio di una palla nel verso positivo delle x. All'arrivo la
palla si sara' spostata di 5 metri e l'orologio fisso nel punto di arrivo
segnera' un istante maggiore di 1 secondo rispetto all'istante segnato
dall'orologio fisso nel punto di partenza quando veniva lanciata la palla;
fenomeno B: lancio di una palla nel verso positivo delle y. All'arrivo la
palla si sara' spostata di 3 metri e l'orologio fisso nel punto di arrivo
segnera' un istante maggiore di 2 secondi rispetto all'istante segnato
dall'orologio fisso nel punto di partenza quando veniva lanciata la palla;
fenomeno "A+B": si lancia una prima palla secondo le prescrizioni del
fenomeno A, poi, nel momento in cui arriva la prima palla, e dal punto in
cui arriva, si lancia una seconda palla secondo le prescrizioni del fenomeno
B.
Si verifica sperimentalmente che se il fenomeno "A+B" ha come inizio
l'evento E, allora avra' come fine l'evento F tale che
F-E = (EAfin-EAin) + (EBfin-EBin)=(c*(3s), 5m, 3m, 0).
Si verifica anche sperimentalmente che il fenomeno "B+A" e' associato allo
stesso quadrivettore F-E (questo almeno finche' valgono le ipotesi della
RR).
Ora, una volta dato alla somma di quadrivettori il significato fisico appena
esposto, mi pare che alla convessita' dell'insieme dei quadrivettori di tipo
tempo si debba dare il significato fisico (peraltro ovvio) che eseguendo in
successione due fenomeni (A e B) associati entrambi a segnali subluminali,
non si potra' mai ottenere un fenomeno associato a un segnale superluminale
(o anche luminoso).
E' anche ovviamente non convesso l'insieme dei quadrivettori di tipo spazio:
eseguendo in successione due fenomeni associati a segnali superluminali
potro' ottenere un fenomeno associato ad un segnale subluminale (da A potrei
sparare un tachione verso B e, all'arrivo del tachione, da B potrebbe
partire un altro tachione verso C. Se i punti C ed A sono sufficientemente
vicini gli eventi "partenza da A del primo tachione" e "arrivo in C del
secondo tachione" possono ovviamente essere legati da un vettore di tipo
tempo).
In tutto quanto detto mi pare proprio che la sincronizzazione standard sia
non necessaria. Di certo non lo e' per sincronizzazioni legate alla standard
tramite trasformazione lineare. Ma anche per sincronizzazioni piu'
"esotiche" mi pare che il tutto si possa ripetere pari pari previa eventuale
ridefinizione della somma fra quadrivettori.
D'altro canto, non lo so, pero' direi che qualcosa del genere (cioe' la
convessita' dell'insieme dei vettori di tipo tempo, o qualcosa di analogo)
si debba poter dire anche in RG e in quel caso mi sa che si debba passare
per una qualche ridefinizione (o generalizzazione) delle operazioni che si
compiono in RR.


 convessita'.
...
Ciao, ora purtroppo non ho tempo per legge e pensarci (sto tenendo un
corso di introduzione alle equazioni alle derivate parziali che
finisce a giugno, quest'anno e' stato terribile per la didattica).
Appena ho un minuto prometto che leggo quello che hai scritto...
Ciao, Valter

 significato fisico,
Sembrerebbe una proprieta' sui vettori ''medi'', o forse sarebbe
meglio dire sui ''baricentri'':
dati N vettori tutti nel cono futuro, allora ogni loro combinazione
convessa,
cioe' una qualche media pesata degli N vettori, e' ancora nel cono
timelike futuro.
Cio' non e' piu' vero per vettori che stanno nei coni spacelike.
ciao