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Titolo: Spazio metrico ed assioma sulla disuguaglianza triangolare

 
Lo spazio metrico in quanto struttura astratta non definisce nessuna 
metrica precisa. Tuttavia se uno ha in mente di usare una metrica NON 
euclidea come la mette poi con la disuguaglianza triangolare che di 
fatto definisce una metrica euclidea?
 
Non è che lo spazio metrico è in realtà una struttura di spazio metrico 
euclideo?
 
 

 euclideo?
 
No. Puoi divertirti a giocare un po' con questo:
 
http://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid-Italian.html
 
 
Puoi vedere esempi di modelli metrici non euclidei nelle opere di Escher, 
come "Limite del cerchio III"
 
http://www.escapeintolife.com/wp-content/uploads/2010/08/
 
CircleLimitIII.jpg
 
o "Inferno e paradiso"
 
http://2.bp.blogspot.com/_dbOiYlXNVQE/S-7KIteT-vI/AAAAAAAABUY/F0pYZOopph8/
 
s1600/m_c_escher_002_inferno_paradiso_1960.jpg
 
per strano che ti possa sembrare definendo opportunamente la metrice le 
figurine rappresentate hanno tutte le stesse "misure".
 
Sono le 18:33 del 15/12/2011
 
-- 
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Prima di tutto ti ringrazio per i siti molto interessanti che hai linkato.
 
La tua risposta forse mi ha fatto venire in mente la domanda giusta: a 
cosa serve l'assioma sulla disuguaglianza triangolare nella struttura di 
spaizo metrico?
 
Se per es. uno non lo mette quell'assioma cosa può succedere?
 
Ciao
A.

 Se per es. uno non lo mette quell'assioma cosa può succedere?
 
E' una domanda interessante. Così su due piedi direi che non puoi avere 
una metrica, ma dovrei studiarmi meglio la questione. Comunque, per 
esempio uno spazio proiettivo non è dotato di metrica, ma conserva altre 
proprietà.
 
-- 
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 una metrica, ma dovrei studiarmi meglio la questione.
 
http://bit.ly/sCDc9B
 
 
bye
 
-- 
"Remember when teachers, public employees, Planned Parenthood,
NPR and PBS crashed the stock market, wiped out half of our 401Ks,
took trillions in TARP money, spilled oil in the Gulf of Mexico,
gave themselves billions in bonuses, and paid no taxes? Yeah,
me neither."

 
http://bit.ly/sCDc9B
 
 
Non ho capito perché la chiama simmetrico se la proprietà di simmetria è 
esplicitamente esclusa dall'assioma W.2. Adesso me lo leggo, ma mi fa uno 
strano effetto pensare a una semimetrica a cui è richiesto solo di essere 
positiva e nulla sulle coppie (x,x), non capisco cosa ci si possa cavare 
di interessante.
 
-- 
Firma in allestimento

 
 
Come sai la disuguaglianza triangolare stabilisce il fatto che la somma di 
due lati di un triangolo sia maggiore all'altro lato.
 
Questo fatto si realizza anche con i triangoli costruiti sulla superficie 
sferica per esempio. Probabilmente è un fatto talmente evidente che è stato 
postulato.
 
Pensare per es. alla possibilità di un triangolo che ha uno dei lati maggiori 
alla somma degli altri due ci conduce ad una verità se nel costruire il 
triangolo invece di usare rette (o geodetiche o altre linee simili) usiamo 
curve senza tenere conto del fatto che si tratta di usare curve di MINIMO 
percorso tra due punti.
 
Si tratta cioè di un assioma che definisce il fatto che la minima distanza 
tra due punti sia la linea retta nel piano e la geodetica sulla superficie 
sferica e curve simili su altre superfici.
 
Anche per altro genere di metriche non immediatamente riconducibili a fatti 
geometrici il problema si ripropone.
 
Per es. noi per stabilire la distanza roma milano possiamo usare il costo del 
biglietto del treno. Così per milano torino, torino firenze, roma firenze ecc 
ecc.
 
Ora se queste distanze sono realizzate tenendo conto del percorso minimo tra 
le due città ecco che la disuguaglianza triangolare funziona e funziona anche 
dire che in base al prezzo del biglietto ecco che la tratta firenze roma 
costa meno della tratta milano roma.
 
Tuttavia se la tratta firenze roma viene realizzata in modo tale che il treno 
si fa un giro per la sicilia e poi torna a firenze ecco che la metrica non 
funziona più.
 
Per noi è talmente EVIDENTE il fatto che queste tratte debbano essere 
realizzate con percorso minimo che neppure ci viene di postularlo mentre 
invece deve essere postulato altrimenti ogni possibile metrica perde la sua 
essenza e cioè il suo essere metrica.
 
La stessa cosa vale anche su altri insiemi che non siano il prezzo del 
biglietto del treno.
 
Cioè è ovvio che il prezzo milano torino + il prezzo  torino genova  debba 
essere MAGGIORE al prezzo genova milano.
 
Al massimo (come dice la disuguaglianza triangolare) il prezzo deve essere 
uguale e cioè dobbiamo pensare ad una tratta dove le tre città sono tutte 
sulla linea retta.
 
Se tre punti sono sulla retta ecco che la somma delle due distanza AB e AC è 
uguale alla distanza AC.
 
Devo dire che però a queste conclusioni per me corrette non sarei arrivato se 
non avessi avuto lo stimolo di poterne parlare qui con gli amici del ng e con 
te in particolare che mi hai aiutato con profonda gentilezza:)
 
Ciao e sinceramente grazie!
A.