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Titolo: Aiuto! Numero di gradi di libertà della radiazione elettromagnetica in una cavità metallica cubica di lato L

Ciao,
ho molti dubbi relativi alla dimostrazione della legge di
Rayleigh-Jeans. Per chi non si ricordasse di che si tratta, trattasi di 
determinare lo spettro del corpo nero all'equilibrio termico. Con un 
paio di sottili osservazioni di termodinamica, dimostriamo che tutto il 
problema si può ricondurre allo studio dello spettro del campo 
elettromagnetico all'interno di una cavità metallica cubica, quando le 
pareti hanno temperatura uniforme T.
Il problema m'è sembrato subito un banale caso di PDE lineari in dominio
rettangolare D, per cui ho cercato le autofunzioni dell'operatore 
"equazione delle onde in D + opportune condizioni al contorno su @D", 
dopodichè applicando il principio di completezza delle autofunzioni 
avrei ottenuto "gratis" la soluzione (se non v'è chiaro cosa ho detto 
passate direttamente alla parte B) del post). Il problema sono le 
"opportune condizioni al contorno"!
A)
Detto in altre parole, Ex (risp. Ey, Ez) soddisfa l'equazione delle onde 
classica:
(@^2/@t^2)Ex = c^2*(@^2/@x^2+@^2/@y^2+@^2/@z^2)Ex
con le condizioni al contorno (pareti perfettamente conduttrici)
y=0, y=L => Ex = 0
z=0, z=L => Ex = 0
ma per x=0, x=L?? Ho Ex = sigma/epsilon0 che per ottenere delle 
autofunzioni decenti fa solamente schifo. Naturalmente me la cavo con un 
argomento di simmetria che fornisce sigma(0,y,z,t) = sigma(L,y,z,t) => 
Ex(0,y,z,t) = Ex(L,y,z,t) e a questo punto trovare le autofunzioni è 
"piece of cake": notare che le autofunzioni trovate sono sì onde 
stazionarie ma non sono affatto piane, manco per idea. Così facendo 
ritrovo facilmente tutti i risultati di Rayleigh-Jeans. Vi quadra? 
Sapreste farlo senza ricorrere alla simmetria?
B)
Di solito il ragionamento non è quello che facevo io, ma quest'altro: si 
considera come generica soluzione un'onda armonica piana polarizzata 
linearmente,  diretta lungo un vettore k qualsiasi: che questo sia 
lecito deriva ovviamente dalla teoria di Fourier per PDE vettoriali 
lineari a coefficienti costanti. Ora, si dice che "poichè le pareti sono 
a due a due ortogonali, le componenti dell'onda non si mescolano fra 
loro". Che vuol  dire? Io di componenti conosco quelle del campo 
elettrico, ma di certo  qui non si riferisce a quelle, ma alle 
"componenti dell'onda", cioè? Ha a che fare con la dimostrazione che 
che il vettore d'onda è, appunto, un vettore? Che vuol dire che "non si 
mescolano"?
Ma andiamo avanti: il nostro scopo è dimostrare che l'onda piana è
stazionaria, e calcolarne i numeri d'onda ammissibili. Ovviamente non
posso dire che quest'onda vettoriale ha nodi sulle pareti, visto che 
direzione di propagazione e oscillazione sono generiche. Allora si usa 
il "trucchetto", cui ricorre pure Feynman, di decomporre quest'onda 
piana in tre onde piane "componenti", aventi direzione di propagazione 
lungo gli assi x,y,z. Ma ancora una volta, che significa "onde 
componenti"? Non sono le componenti del campo elettrico, e non sono 
manco componenti in frequenza perchè sia l'onda piana che le sue 
"componenti" sono onde monocromatiche aventi tutte la stessa pulsazione. 
Come ottengo un'onda piana diretta lungo una direzione qualunque tramite 
composizione di onde piane dirette lungo tre direzioni indipendenti? Non 
per combinazione lineare, mi pare: dico questo perchè se ricorro alle 
formule di addizione e sottrazione, mi ritrovo con dei *prodotti* di 
onde piane, non combinazioni lineari. Sto in pratica *fattorizzando* la 
soluzione, e questo funziona perchè il dominio è rettangolare. E' questo 
che si intende? Immagino che ci sia sotto un potente concetto di spazio 
vettoriale delle onde: per passare da prodotti a combinazioni lineari e 
finire in un bello spazio vettoriale, suppongo che dovrò ricorrere agli 
esponenziali complessi...Insomma qualcosa che già conosco ma visto da un 
altro punto di vista, più fisico e meno matematico. Mi aiutate ad 
esplicitare questo punto di vista? Grazie mille,
Ciao,
Andrea
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 di otto versi di propagazione e di 16 onde piane
Perchè otto versi? Non posso prendere le k_i sempre positive introducendo se
necessario costanti di compensazione di fase?
 Lascia stare le condizioni di polarizzazione ed il completamento con
l'aggiunta del campo elettromagnetico, quello è giusto ma in questo tipo di
ragionamento "ce lo infiliamo alla fine", cioè subito prima di calcolare i
gdl moltiplico per due :-)
[..]
Del resto parliamo alla prossima se no mettiamo troppa carne al fuoco,
grazie di tutto e alla prossima,
Ciao,
Andrea
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 la dipendenza dal tempo potrei cambiare idea. 
Anzi, ho cambiato idea, mi sembra di no e basta se ragiono
nel contesto della rappresentazione complessa delle onde.
Invece va bene se considero la rappresentazione trigonometrica.
Infatti la rappresentazione trigonometrica non richiede un
segno per k. Pero' attento: cercando una interpretazione per
questo numero d'onda in termini di impulso mi ricordo che sono
ammattito per giorni sbattendo la testa sul vettore di Poynting
fin quando non ho studiato la rappresentazione complessa del campo,
di cui pero' non si apprezza mai la necessita' finche' si resta
in ambito classico e d'altra parte anche dopo avere studiato la
meccanica quantistica si deve faticare ancora prima di giungere
ad una descrizione decente del campo quantizzato e li' si trovano
nuove difficolta' fra cui anche quella di trovare su base
quantistica una interpretazione per le grandezze classiche. 
Tuttavia affrontato questo percorso si puo' apprezzare effettivamente
che la semplicita' della notazione complessa del campo elettromagnetico
si impone. Mentre in ambito classico sembra solo una elegante 
semplificazione delle formule, senza che risalti la necessita'.   
