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Titolo: Date un'occhiata a questo problema di meccanica

Io l'ho risolto ma mi viene solo una soluzione (50m), mentre me ne
dovrebbero venire 3 (30m, 50m, 72m)
Questo e' il testo:
2 ragazzi si allenano in piscina: si tuffano insieme dagli estremi opposti
della vasca e procedono  a elocita' costante; giunti in fondo invertono il
percorso e continuano a nuotare, ciascuno sempre con la propria velocita'
iniziale.
Il primo incontro dei 2 avviene a 22 metri dall'estremo sud della vasca e il
secondo incontro a 16 metri dall'estremo nord.
Quanto puo' essere lunga la vasca?
Detta v1 la velocita' del nuotare che inizia da sud, v2 la velocita' del
nuotatore che inizia da nord, t1 il tempo trascorso dall'inizio del moto dei
2 nuotatori al loro primo incontro, t2 il tempo trascorso dall'inizio del
moto al secondo incontro,
h=22m , d=16m, L la lunghezza della piscina
Ho scritto le equazioni del moto dei 2 nuotatori
(1)    v1 * t1 = h
(2)    v2 * t2 = L - h
(3)    v1 * t2 = L + d
(4)    v2 * t2 = (2 * L) - d
Ho sottratto membro a membro le prime 2 e le ultime 2:
(v1 - v2) * t1 = 2*h - L
(v1 - v2) * t2 = 2*d - L
quindi:
(v1 - v2) = (2*h - L) / t1
(v1 - v2) = (2*d - L) / t2
e
(2*h - L) / t1 = (2*d - L) / t2
Il rapporto  t2 / t1 = (2*d - L) / (2*h - L)
Tale rapporto e' uguale anche a  t2 / t1 = (L + d) / h , dividendo la (3)
con la (1)
Risolvendo viene:
(3 * L * h) - (L * L) - (L * d) = 0
L = 3*h - d = 66m - 16m = 50m
Ho cercato di eliminare i termini della velocita' e del tempo per ottenere
la lunghezza della piscina, ma ho ottenuto solo una soluzione
Chi mi sa spiegare dove ho sbagliato?
p.s. x Ginzo
Qualche tempo fa avevi svolto un problema di statica con 3 cilindri
Non e' che me lo potresti ripostare, o in e-mail o sul newsgroup
Ciao e grazie ancora

 (4)    v2 * t2 = (2 * L) - d
La (2) è stata da me corretta (c'era un errore di battitura e ti dico questo
per dovere di cronaca).
Questa però è solo una ipotesi delle 3 possibili.
Le eq. (1) e (2) valgono per tutti e 3 i casi: nel primo incontro nessuno
dei due nuotatori raggiunge il lato opposto della piscina perchè viaggiano
in direzioni opposte.
Per il secondo incontro invece si devono discriminare i 3 casi possibili
corrispondenti alle 3 diverse soluzioni:
Caso 1
Nuotatore 1 raggiunge il lato opposto - Nuotatore 2 NON raggiunge il lato
opposto:
(3.1)   v1 * t2 = L+d
(4.1)   v2 * t2 = d
Caso 2
Nuotatore 1 NON raggiunge il lato opposto - Nuotatore 2 raggiunge il lato
opposto:
(3.2)   v1 * t2 = L - d
(4.2)   v2 * t2 = 2*L - d
Caso 3
Nuotatore 1 raggiunge il lato opposto - Nuotatore 2 raggiunge il lato
opposto:
(3.3)   v1 * t2 = L + d
(4.3)   v2 * t2 = 2*L - d
Devi semplicemente ripetere il procedimento che hai utilizzato anche per il
caso 1 e 2 (tu hai escluso a priori il verificarsi di casi possibili).
Il mio precedente metodo di soluzione basato sui tempi caratteristici (forse
più macchinoso del tuo), ma tipico di un fisico, faceva vedere
immediatamente il verificarsi di queste 3 eventualità e dimostrava che ce ne
potevano essere solo 3.
Ciao
Sir Launcelot
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Risposta data a suo tempo:
Innanzitutto fissiamo gli elementi del problema:
Il ragazzo 1 parte dal lato SUD;
Il ragazzo 2 parte dal lato NORD;
Sia L la lunghezza (NORD-SUD) incognita;
Introduciamo l'asse x con origine nel lato SUD per descrivere il moto dei
due ragazzi;
Sono definiti due tempi caratteristici:
T1=L/v1 : tempo che impiega 1 per raggiungere la parte opposta (v1 è la
velocità costante di 1)
T2=L/v2 : definito analogamente per 2.
Si ha:
x1(t)= v1 * t                     se t <= T1
x1(t)= L - v1 * (t-T1)         se T1 <= t <= 2 * T1
e
x2(t)= L - v2 * t                 se t<= T2
x2(t)= v2 (t-T2)                 se T2<= t <= 2 * T2
Dato che 1 e 2 partono insieme (all'istante t=0) e vanno in direzioni
opposte, per l'istante del primo incontro tp si ha:
tp<min (T1,T2)  e:
22 =v1 * tp = L - v2 * tp
da cui la relazione 22=L *  (v1/(v1+v2))
(prima equazione)
ts sia l'istante del secondo incontro; si ha
ts>min (T1,T2) perchè almeno uno dei due ragazzi deve poter raggiungere
prima del secondo incontro il lato opposto
Per il secondo incontro sono possibili 3 casi:
a) T1<ts<T2 (1 ha finito la prima vasca e 2 no)
L-16=x1(ts)=x2(ts), cioè
L-16=L - v1 *(ts-l/v1)=L-v2 *ts
da cui L * (v2/(v1-v2)) = 16
Il problema può essere risolto con questa equazione e con la prima se
consideriamo come incognite L e solamente v1/(v1+v2). Si ha infatti
v2/(v1+v2) = 1 - v1/(v1+v2)
Il sistema fornisce l=29.7 (solo 1 slz. dell'eq. di 2^ grado).
b) T1<ts e T2<ts (1 e 2 hanno finito la prima vasca)
L-16=L - v1 *(ts-L/v1)=v2(ts-L/v2)
da cui 16=L * ( 3 * (v1/(v1+v2)) - 1 )
In questo caso quest'equazione, posta in sistema con quella iniziale,
fornisce L=50
c) T2<ts<T1 (2 ha finito la prima vasca e 1 no)
E' analogo al primo caso......scusa ma non mi fa voglia di fare il
conto....tanto ormai è chiaro...
Riflessione dal punto di vista fisico:
Dato che NON è richiesto il calcolo dei tempi, è importante capire che la
posizione dell'incontro dipende solo dal rapporto delle velocità e non dai
loro valori (in quest'aspetto riconosco la difficoltà del problema che
sicuramente sfugge ad una prima veloce lettura...)
Quindi può sembrare di avere 3 incognite e 2 equazioni...,ma in realtà le
incognite sono due; esempio:
se v1=2 * v2 si ha subito
v1/(v1+v2) = 2/3 e v2/(v1+v2) = 1/3
Ovvero la slz è invariante per v1 ---> k *v1, v2 ---> k *v2
per ognuno dei 3 casi.