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Titolo: dimostrazione sul pendolo piano

Consideriamo un pendolo semplice 
la cui massa sospesa sia "m", 
con lunghezza del filo inestensibile privo di massa "l". 
 
Il filo resta sempre in tensione se e solo se 
l'ampiezza delle oscillazioni è minore di 90°. 
 
Se la traiettoria del pendolo cessa di essere circolare, 
esiste cioè theta* tale che la tensione del filo tau(theta*) = 0, 
indicata con v_0 la velocità del pendolo nel punto di minima quota, 
risulta cos(theta*) = (2/3)*[1-(1/2)*v_0^2/(gl)]. 
 
Mi propongo di descrivere il moto del pendolo 
in un piccolo intorno destro dell'istante in cui 
la tensione del filo si annulla. 
Quando tau(tetha*) = 0, dalla conservazione dell'energia 
ricavo v_theta* = sqrt{v_0^2 -2gl[1-cos(theta*)]}. 
Il vettore velocità la cui intensità è v_theta* 
risulta tangente alla traiettoria circolare percorsa fino a quel momento. 
 
In un piccolo intorno destro dell'istante in cui tau si annulla 
il filo, privo di massa, è del tutto ininfluente. E' mentalmente eliminabile. 
 
Il moto del pendolo è parabolico. 
 
Vorrei dimostrare che effettivamente il moto è parabolico 
e cioè che la parabola traiettoria del moto è costituita da punti 
la cui distanza dal punto di sospensione non supera "l", come nel 
disegno seguente 
http://it.tinypic.com/r/2libeqa/8
 
 
Per dimostrare questo fatto 
potrei scrivere l'equazione cartesiana della traiettoria 
e dimostrare che la distanza tra il generico punto di detta 
traiettoria e il punto di sospensione è effettivamente minore di "l". 
 
Esiste una via più rapida per dimostrare quanto ho affermato? 
 
Grazie, 
André

 Esiste una via più rapida per dimostrare quanto ho affermato?
 
Quando al tempo t il p.m. passa da P allora il filo ha tensione
tau nulla, facciamo l'ipotesi (ansatz) che tau rimanga nulla in un
intorno destro I di t e poi verifichiamo se l'ipotesi e' soddisfatta.
Se tau e' nulla allora la forza agente sul p.m. e' solo quella
di gravita' e la traiettoria e', per t in I, un arco di parabola C,
dato che la velocita' v in P e' fissata allora C e' tangente
alla traiettoria circolare in P e non la potra' intersecare
altrove in tutto un intorno di P, verifichiamo che C
rimane al disotto della circonferenza, infatti il componente
orizzontale della velocita' del p.m. che percorre C e' costantemente
uguale al componente orizzontale v_o di v, inoltre dato che
in tutti i punti che si trovano a una quota maggiore di quella
di P il componente orizzontale della velocita' del pendolo
(supposto rigidamente vincolato al centro di rotazione in modo
da percorrere la traiettoria circolare) avrebbe un'intensita'
minore di quella di v_o (come si ricava esaminando
l'effetto della forza vincolare sul pendolo) allora C non
intersechera' la traiettoria circolare rimanendo sotto
a essa dato che a pari quota (maggiore di quella di P) la
tangente a C e' meno inclinata rispetto all'orizzontale di
quella alla circonferenza (le 2 tangenti sono dirette come
le rispettive velocita').
Dunque per t in I tutti i punti di C si trovano a una distanza
dal centro di sospensione minore di l, la tensione del filo e'
nulla, l'ipotesi di partenza e' verificata e il moto del pendolo
e' parabolico.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani