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Titolo: effetto sagnac e relativita'

C'e' qualche riferimento on-line che spiegherebbe
(in maniera semplice ma non troppo) perche' l'effetto
Sagnac *non* e' in contrasto con la relativita',
contro l'opinione della vulgata?
Ho trovato per ora solo un riferimento ad un libro,
per me praticamente introvabile.
maitre Aliboron

 contro l'opinione della vulgata?
quale vulgata? Sono curioso perch� io ho un poco il problema opposto
di non afferrare chiaramente se Sagnac pensasse che questo effetto
avrebbe confermato l'esistenza di un etere luminifero e sulla base di
quale quadro teorico, dipende dal fatto che consideravo piuttosto che
l'effetto fosse indicativo del fatto che le equazioni di Maxwell non
sono invarianti per trasformazioni di Galileo, ma penso che gi� al
tempo di Maxwell la questione dell'azione delle trasformazioni di
Galileo sui campi, in modo da mantenere la struttura delle equazioni
fosse stata analizzata in modo molto sottile e che la proposta di
Lorentz e Poincar� di un gruppo di invarianza non galileano fosse
piuttosto problematica da conciliare sia con l'impostazione di Maxwell
che con l'ipotesi di un etere impalbabile che permea la materia.
Quindi cosa direbbe la vulgata: Sagnac propose il suo effetto a
proposito dell'ipotesi di Lorentz o di altre ipotesi di etere?


 contro l'opinione della vulgata?
e perch� dovrebbe essere in contrasto?
La vulgata di cui parli � semplicemente
il famigerato esercito dei crank di ogni
tempo e paese, non dargli importanza.
Ciao,
Corrado 

 quale vulgata?
Quella secondo cui, a giudicare da quasi tutte
le pagine internet su cui sono capitato (la
vulgata), l'effetto Sagnac sarebbe la prova
definitiva contro la relativita' di E.
Quello che Sagnac pensasse del suo esperimento
non lo so e non mi interessa in questo momento.
maitre Aliboron

 definitiva contro la relativita' di E.
Esplicitane qualcuna di queste pagine, almeno si sa di che discutere.
Se possibile eviterei volentieri di discutere di quello che scrive
Selleri, uno degli autori che pi� facilmente si prestano ad essere
fraintesi a proposito dell'effetto Sagnac, ma che comunque non ha mai
scritto che l'effetto Sagnac � contro la relativit� di Einstein. Dice
per� che la relativit� speciale non spiega l'effetto Sagnac,
affermazione opinabile ma argomentabile.


> Esplicitane qualcuna di queste pagine, almeno si sa di che discutere.
Quando qualche giorno fa mi parlarono dell'effetto
Sagnac, fu in relazione ad un apparecchio per la navigazione
(una girobussola mi pare o qualcosa di simile). La persona
che me ne parlo' mi disse che questo effetto Sagnac era
controverso (riguardo la Rel.).
Cercando il funzionamento di questa girobussola sono capitato
in due o tre link che ribadivano questo aspetto controverso,
senza approfondire piu' di tanto, e poi mostravano il calcoletto
classico. Adesso non riesco a ritrovare il link, ma in particolare
ce ne era uno che insisteva un paio di volte questo fatto.
Niente di scientifico, ma sufficiente ad accendere la curiosita'.
Mi pare fosse questo, ma ne ricordo anche un altro che non trovo piu'.
http://digilander.libero.it/crombette/la_nasa_e_il_geocentrismo.htm
Puzza di crackpot? L'odore e' quello, comunque la presa di coscienza
che c'e' qualcuno (in effetti credo di avere ingigantito la mia
percezione) che ritiene questo effetto una prova contro, lo lessi qui
http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2007/Ucau070306d001/
(dove c'e' anche il riferimento al libro che accennavo)
sebbene lo scrittore faccia capire chiaramente la posizione
ufficiale della comunita' scientifica (calcoli... cerco
i calcoli, datemi qualche equazione a supporto!).
Poi cercando sono capitato in effetti su questo Selleri,
che tu sembri conoscere. In particolare questo articolo,
dove alla fine ne fa un accenno.
http://www.brera.unimi.it/sisfa/atti/2003/16-34Selleribari.pdf
Poi ne ho trovati un altro paio sullo stesso tono (uno
era una pubblicazione, in un giornale dal titolo che mi pare
spagnolo). Che devo dire, dall'apparenza pare un professore serio.
Ovviamente io non ho creduto un solo istante che questo
effetto fosse contro la relativita'. E' per questo che ho
chiesto approfondimenti in tale senso.
Non ho letto wikipedia perche' in genere non trovo mai quello
che cerco in quelle pagine, ma poi su wikipedia inglese ho
in effetti trovato (tra i link consigliati) qualche paginetta
di conti che con calma mi andro' a leggere.
maitre Aliboron


wrote:

Ciao, ho appena fatto un po' di conti con la relativit� ritrovando
facilmente le formule di Sagnac. Non ho capito perch� dovrebbe essere
in contrasto con la relativit�, i conti riproducono le formule che a
quanto ho letto sono state testate sperimentalmente. Inoltre si legge
su wikipedia che:
The Sagnac effect is employed in current technology. One use is in
inertial guidance systems. Ring laser gyroscopes are extremely
sensitive to rotations, which need to be accounted for if an inertial
guidance system is to return correct results.
Il punto � che il calcolo fatto con la fisica classica e con la
relativit� produce lo stesso risultato a meno di infinitesimi in
omega^2r^2/c^2.
Un'altra questione � che il trattamento relativistico � un po'
complicato perch� non esiste un sistema di quiete con l'osservatore
rotante in cui si possano sincronizzare gli orologi con la procedura
di Einstein, ma dato che tale procedura � convenzionale se ne pu�
usare un'altra senza problemi...anche se bisogna conoscere bene la
relativit� per non prendere cantonate.
L'articolo di Selleri che hai postato mi pare proprio che sia una
battaglia contro mulini a vento e che riscopra l'acqua calda, tra
l'altro usando un formalismo dell'et� della pietra...
Ciao, Valter

 affermazione opinabile ma argomentabile.
Ciao, non l'ho letto ma ti credo. Ma questo vuol dire che non conosce
la relativit� quanto vorrebbe far credere... mi dispiace per Selleri
che una volta lo stimavo, prima che partisse per la tangente...
Ciao, Valter

 i calcoli, datemi qualche equazione a supporto!).
Cosa c'� che non ti va bene nella presentazione inglese di wikipedia?
Se segui i passaggi che riguardano la trasformata di Born ed uguagli a
zero l'intervallo di tempo proprio trovi un'equazione quadratica per r
d theta/ dt. La risolvi ed ottieni due valori diversi per r d theta/
dt. Pu� giovare considerare i due riferimenti inerziali significativi
in un certo istante e confrontare le coordinate del disco. Quello che
si vede � che le coordinate sono praticamente identiche nel
riferimento inerziale solidale con il centro del disco, mentre le
coordinate di un riferimento inerziale con origine nel bordo del disco
e con velocit� quella del bordo differiscono dalle coordinate di Born
in un modo che rende conto della differente velocit� misurata.


 l'altro usando un formalismo dell'et� della pietra...
A scanso di equivoci, ribadisco che personalmente
non ho mai creduto un solo istante che l'effetto di
cui sopra fosse in contrasto con la relativita'.
Cercavo solo la dimostrazione dei calcoli fatti in
maniera relativistica e non classica.
Poi, le opinioni sono come le palle: ciascuno
ha le sue. Anche Selleri, immagino.
maitre aliboron


Ciao Tetis, quello che dici � un po' pericoloso... quello che si
critica � la sincronizzazione � la Einstein
tra coppie di orologi a distanza comune r dal centro. Questa �
impossibile.
Il problema � squisitamente di geometria differenziale: appare
un'assegnazione di sottospazi negli spazi tangenti agli eventi lungo
le linee di universo di questi orologi che non � integrabile...
La questione � subdola. Si possono definire coordinate rotanti ma NON
un sistema di riferimento rotante sincronizzato alla Einstein.
Tuttavia � possibile scegliere una differente sincronizzazione che
equivale a mettere una metrica spaziale sulle superfici a tempo
costante (tempo delle coordinate rotanti) che NON � quella indotta
dalla metrica dello spaziotempo ma che rispetta il vincolo fisico che
la velocit� della luce su un percorso chiuso � sempre c (questo �
usato per definire la distanza tra punti spazialmente separati).
Si tratta di una costruzione nota dai tempi di Adamo ed Eva...a la
trovi addirittura scritta nel Landau di teoria dei campi, anche se
incredibilmente nessuno che io conosco si � accorto dell'importanza di
tale costruzione [nella versione italiana non si capisce un emerito
c... come al solito].
Ciao, Valter

 Cosa c'� che non ti va bene nella presentazione inglese di wikipedia?
Niente, solo che non avevo visto la pagina di wikipedia
prima di fare la domanda.
maitre Aliboron

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

Ciao, mi pare che parliamo di cose diverse riguardo al libraccio (la
traduzione italiana) di Landau. Comunque il mio punto di vista lo
trovi espresso nella sezione
8.4 delle mie dispense di relativit�
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
 Teoria della Relativita' Speciale: formulazione matematica
(Con un'introduzione alla formulazione della Relativita'
generale)
No ho ancora avuto tempo di finire di scrivere quella parte. Tra
l'altro sarebbe il caso di scrivere anche sull'effetto Sagnac, dato
che � una banalit� una volta capite certe cose.
PS. Ho mandato un altro post simile ma mi pare che sia stato respinto
dal robot moderatore perch� c'era troppo testo citato...

 dal robot moderatore perch� c'era troppo testo citato...
Tornando al discorso relativo alla sincronizzazione, quel discorso che
fai sul fatto che la velocit� della luce misurata rispetto al tempo
proprio � invariante su una circuitazione non l'ho ben capito. Si
tratta certamente di contestualizzarlo. Nel caso di uno spazio-tempo
piatto � certamente possibile definire un sistema di coordinate con
questa propriet� (un qualunque riferimento inerziale), � vero anche se
esiste una foliazione euclidea per una metrica stazionaria? In
presenza dell'ipotesi di stazionariet� localmente � sempre possibile
definire un sistema di coordinate di Fermi e in quel sistema di
coordinate mi sembra che si possa ragionar se � vero che:" usango i
righelli in quiete, applicando il principio di equivalenza, la
velocit� di circuitazione della luce � costante". Si tratta per� di
tener conto correttamente del fatto che in presenza o meno di
curvatura un sistema di coordinate di Fermi non evolve rigidamente. Ad
ogni modo dal momento che un riferimento di Fermi � composto da una
nebula di punti in caduta libera � lecito chiedersi se questi campo
vettoriale � integrabile (l'evoluzione � non collisionale), e nel caso
risulti integrabile la metrica definisce sezioni spaziali che non
necessariamente rimangono piatte al variare della coordinata
temporale. Nelle tue dispense dimostri il teorema della mappa
esponenziale che d� garanzie riguardo all'esistenza di coordinate di
Fermi nell'intorno di un punto.
Nel caso di metrica piatta le coordinate di Fermi si estendono a tutta
la variet� e coincidono con le coordinate di Einstein per il
riferimento inerziale.
 Altro esempio di coordinate � quello che si ottiene lasciando in
caduta libera i punti solidali al riferimento rotante in un certo
istante di tempo universale, definiscono certamente un riferimento non
rigido, ma con sezioni euclidee conformi e per ciascun punto la
velocit� di circuitazione � costante, il campo di velocit� � infatti
integrabile e si trova facilmente che la distanza euclidea fra due
punti misurata nel riferimento inerziale del centro � modificata dal
fattore conforme universale sqrt(1 + \omega^2  t^2). Per attribuire il
giusto valore alla velocit� occorre utilizzare questo fattore ed il
tempo universale di questo sistema di coordinate coincide con quello
di Born. Comunque in generale, data la metrica � possibile predire
l'evoluzione di un esperimento.
Per il momento di pi� non so aggiungere.

 come quando esce l'ultimo disco di una star musicale apprezzata?
ah ah ah, bella questa....
allora cosa dici di quelle di teoria spettrale, che ora sono
"completamente rinnovate"
e ammontano a la bellezza di 650 pagine? La prima parte, quella
generale sugli spazi normati e di Banach l'ho ampliata molto....

Si  sono completamente d'accordo, ma non avendo messo nelle dispense
(in QUELLE dispense) n� la teoria delle forme n� il teorema di
Froebenius, ho dovuto trascrivere tutto in un linguaggio pi�
elementare e senza usare le forme. Sono d'accordo con te, che si
potrebbe usare subito Froebenius...
Sul resto che hai scritto devo leggere con calma.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
--
Ciao Neo

 velocit� di circuitazione della luce � costante".
Mi pare che le coordinate di Fermi non siano quelle che servono qui.
Le coordinate di Fermi sono coordinate attorno ad una curva di
universo in cui viene fissata anche la "rotazione" della terna
trasportata. Se ricordo bene, se la curva � una geodetica, il
trasporto di Fermi coincide con il trasporto parallelo.
Ma tutto questo mi pare che non c'entri niente con il discorso
iniziale, perch� tu stai pensando, correggimi se sbaglio, che la
metrica spaziale, cio� le lunghezze dei regoli sulle ipersuperfici a
tempo costante (per una definizione di tempo opportuna) coincida con
la metrica *indotta* da quella dello spaziotempo. Il punto � che
questo punto di vista non � sempre sostenibile, in particolare NON lo
� lavorando con le coordinate rotanti.  Vediamo di fare un po' di luce
su questo punto.
Un sistema di riferimento nelle teorie relativistiche � fatto da due
enti distinti:
(a) un campo vettoriale X di tipo tempo, che individua delle curve di
universo  che riempiono lo spaziotempo (o la regione considerata)
(b) una foliazione di tale regione in termini di 3-superfici di tipo
tempo. Questa foliazione � individuata da una funzione non singolare T
dallo spaziotempo in R. Le foglie della foliazione sono le
ipersuperfici
T(x)=t, per ogni valore di t. Sono lo "spazio al tempo t".
Assegnato il riferimento (X,T), ogni evento ha un posto: la curva di
universo che lo intercetta e un tempo: la superficie della foliazione
che lo intercetta (ovvero il valore di T su quella superficie).
E' naturale fare ancora una richiesta: che gli intervalli di tempo
misurati in termini del parametro delle curve integrali di X coincida
con l'intervallo di tempo misurato dalla funzione T. Questa richiesta
si scrive  X(T) =1, dove X � visto come operatore differenziale.
Questa � la versione pi� generale possibile di sistema di riferimento,
quella che per esempio si usa nella teoria ADM. Il punto � ora di
mettere delle strutture metriche nel riferimento.
Lungo le curve integrali di X si conosce gi� tutto. C'� un'ascissa
curvilinea privilegiata, che in generale non coincide con il parametro
della curva integrale, che � il tempo proprio. Questa � la lunghezza
d'arco usando la metrica dello spaziotempo.
Pi� delicato � il discorso della metrica spaziale sulle superfici a T
costante. Uno potrebbe sostenere che la metrica sia automaticamente
quella indotta da quella dello spaziotempo. Ma si vede che questo
contraddice il requisito che la velocit� della luce calcolata su un
percorso chiuso valga il solito valore c, nel momento in cui si assume
anche che le particelle di luce evolvono con curve di tipo luce.
Questo � un punto centrale che non � mai chiarito sui libri ed invece
� di fondamentale importanza
dal punto di vista fisico.
Il ragionamento che porta a definire la metrica spaziale � il
seguente.
Si prende una curva integrale di X, cio� si fissa il *posto* attorno
al quale si vule determinare la metrica spaziale. Si lancia un segnale
luminoso fino ad un evento  E e si  rimanda indietro nello stesso
posto da cui � partito.  L'evento E si trover� in un altro posto e in
un tempo t particolare (misurato dalla funzione T).  La richiesta che
la velocit� di andata e ritorno sia c determina la distanza tra il
posto da cui parte il segnale ed il posto in cui si trova e.
E ovvio che si tratta di una nozione di distanza che contiene un
intervallo di tempo: per eseguire il processo passa del tempo per cui,
tutto il discorso ha senso per lunghezze "infinitesime" (in modo tale
che il tempo che intercorre nella misura � infinitesimo) e pertanto si
determina qualcosa nello spazio tangente. Facendo i calcoli si vede
che la procedura determina davvero una metrica definita positiva
(cio� riemanniana) su ogni superficie a tempo T fissato. Tale metrica
coincide con quella indotta dalla metrica dello spaziotempo se e solo
se il campo X � normale alle superfici a T fissato, altrimenti �
differente. Non solo, ma usando questa metrica, si vede che la
velocit� della luce "one-way" � DIVERSA da c e dipende da come � stato
costruito il riferimento. Invertendo la procedura si pu� dire che il
riferimento � stato costruito con una precisa procedura di
sincronizzazione "one-way".
E' evidente in tutto questo discorso quanto sia convenzionale la
procedura di sincronizzazione � la Einstein.
A cosa serve tutto cio'? Serve in certi casi in cui uno � costretto a
lavorare con sistemi di riferimento in cui le curve tangenti a X NON
siano perpendicolari alle superfici a T costante...In questa
situazione, se uno si costringe a pensare che la metrica spaziale sia
quella indotta da quella dello spaziotempo prende delle cantonate
fisiche enormi.
Il tipico caso in cui questo accade sono proprio le coordinate rotanti
di cui si discute. IN tale caso la metrica spaziale nello spazio di
quiete del riferimento che ha senso usare NON � quella indotta dalla
metrica di Minkowski, ma � quella costruita richiedendo che la
velocit� della luce calcolata su un percorso chiuso abbia valore c.
Questa � la metrica che si deve usare per discutere l'effetto Sagnac
senza fare pasticci. In effetti una volta che uno ha chiare queste
cose i calcoli acquistano un significato fisico evidente e non si
corre il rischio di dire fesserie.
Ciao, Valter

 Ti odio... Le avevo appena stampate (solo 250 pagine per�)... :-(
Ciao, ma qualcosa c'� scritto di lato sulla pagina riguardo allo stato
di avanzamento. In ogni caso � pi� di un anno che sono pi� di 500
pagine, per cui la tua versione � molto vecchia. La versione attuale
credo che sar� abbastanza definitiva.
Ciao, Valter

 credo che sar� abbastanza definitiva.
No non � vecchia ho stampato solo 7 capitoli (dall'uno al sette) che
erano quelli che mi servivano. Praticamente la parte pi� modificata �
il capitolo 2 vero?


 fisiche enormi.
Infatti.

 Sul resto che hai scritto devo leggere con calma.
Io non ci provo neppure, tanto so che non mi riuscirebbe.
Pero' da un'occhiata superficiale ho trovato parecchie somiglianze
(anche in quello che avevi scritto tu in precedenza) con un mio
scritto "privato" di qualche anno fa.
Nel caso aveste voglia di darci un'occhiata, tenete presente che era
scritto solo per me ed era incompleto.
Ma m'interessa comunque se ci trovate errori o cose criticabili.
Lo troverete da domani in
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/rotante.pdf
-- 
Elio Fabri

 costruzione della metrica di Minkowski, in cui le particelle di luce hanno la storia descritta da, appunto curve di tipo luce.
che � per l'appunto ci� che sostengo.
Ma rimango con un dubbio. Sembra che esiste un altro tipo di
problematica sviluppando la struttura matematica della relativit� ed �
una problematica generale della geometria differenziale, si vede che
la struttura ammette delle libert� in pi�, riguardo alla connessione,
di quante se ne utilizzino in pratica, sembra che finch� si rimane su
un piano di fisica classica l'arbitrariet� di questa scelta non
comporti conseguenze osservabili (eccetto per un punto che � gi�
problematico in fisica classica e che � la scelta simmetrica del
tensore degli sforzi in elettromagnetismo). Ad ogni modo a livello
atomico intervengono gli spin seminteri. E si usano orologi che fanno
uso di spin. Prevedere l'effetto del campo sugli spin � una questione
pratica importante ed a qualcuno potrebbero essere venuti dei dubbi
circa il modo in cui la connessione funzioni per gli spin.  Landau ad
esempio accenna in modo un poco sibillino ad una questione fin dalle
prime pagine dedicate alla relativit� generale nel suo libraccio,
riassumendo egli dice:  un conto � il principio di equivalenza, un
altro il modo in cui lo si esplicita nella teoria e se ne tiene conto
nella dinamica.

 wrote:
Ciao, scusa ma, per impegni improvvisi,  non ho tempo di proseguire
questa discussione davvero interessante
ora, spero di riprenderla pi� avanti. Mi dispiace davvero perch� mi
interessava!
Ciao, Valter


Beh, quando possibile, nel frattempo spero di riuscire a capire meglio
la seguente questione: se il sistema che produce il segnale luminoso
comincia a muoversi liberamente lungo una geodetica subito dopo, e
viene poi raggiunto dalla luce � vero o no che in tal caso il percorso
� legato al tempo proprio misurato dall'orologio dalla relazione
spazio = c * tempo? Quello che so per certo � che se il sistema di
coordinate � definito su una variet� piatta allora la risposta �
affermativa. Se invece � definito su una variet� curva mi sembra
ragionevole, ma la dimostrazione non mi sembra ugualmente semplice.

proprio dalla restrizione spazialmente unidimensionale del riferimento
rotante. La forma differenziale dt - d\theta con t reale e \theta
definito in S1, � una forma chiusa, ma non � esatta, in altre parole �
solo localmente integrabile, ma non � globalmente integrabile. Il
difetto di integrabilit� � anzi una misura dello sfasamento fra il
tempo misurato dall'orologio in quiete ed il tempo nel quale la luce
percorrerebbe la lunghezza propria del circuito se questa lunghezza
fosse solidale ad un riferimento inerziale. Questo tempo pu� risultare
in eccesso o in difetto secondo la direzione del moto.
Infine riguardo alla questione delle correnti: la prima cosa che ho
pensato, nell'immediato, � che � vero che la quantit� di carica fissa
(i nuclei del reticolo conduttore) residente sul circuito deve
rimanere la stessa, se il conduttore viene forzato dallo stato di
quiete allo stato di rotazione, ma nulla garantisce che rimanga
invariata la quantit� di carica mobile. Del resto questa � una
risposta sbrigativa ma che sollecita a chiedersi in che modo si
intende porre in rotazione il filo. Ed infatti: consideriamo una
situazione in cui in ogni riferimento tangente "ad una carica fissa"
appaia che la densit� di carica locale � nulla, ovviamente la densit�
di carica rispetto a questo riferimento tangente non sar� nulla negli
altri punti del cilindro, ma al contrario deve risultare ovunque
maggiore di zero, come si vede facilmente da considerazioni
geometriche nello spazio 2+1 dimensionale: le linee orarie delle
cariche sono eliche su un cilindro retto sezionato obliquamente dal
piano a tempo costante del riferimento tangente. Detto questo rimane
da studiare la questione sul piano dinamico si pu� pensare al
riferimento tangente al generatore e studiare cosa succede se abbiamo
un generatore di corrente o un generatore di potenziale. La prima cosa
che mi vien da pensare � che abbiano ancora una volta un ruolo le
circuitazioni degli integrali sulle sottovariet� piane associate al
campo di traslazione temporale. Ma questo per il momento lo rimando.
Analogamente riguardo alla spira rettangolare dove circola una
corrente, supponendo di osservarla da un sistema in moto traslatorio
succede che:
1) il lato dove la corrente procede concorde al moto del centro della
spira mostra densit� di carica differente dalla densit� di carica sul
lato opposto, nel riferimento solidale alla carica campione (in moto
relativo rispetto alla spira).
2) la densit� di carica nel riferimento solidale al generatore � nulla
(perch� questo fatto non pu� dipendere dalla circostanza che la si
stia guardando da un altro sistema :-) in virt� del non banale
principio di realt�).
Del resto non mi sembra si possa dar per certo che il filo in
movimento avrebbe la stessa lunghezza apparente del filo in quiete nel
riferimento inerziale (come �, in parte, chiarito dal problema delle
molle, in pratica se le molle venissero accompagnate in modo da
rimanere equidistanti dal centro e senza stress il raggio dovrebbe
risultare diminuito di un fattore gamma, del resto a conseguenza della
non integrabilit� locale del sistema di sezioni sincrone sulla variet�
3d (tempo, raggio, theta),  una evoluzione globale senza stress
interni a causa dell'accelerazione del disco non � possibile: in
parole semplici se vengono lasciate senza stress le molle tangenziali,
sorge per necessit� una compressione nelle molle radiali) � anche vero
che nel caso del filo abbiamo una differenza proprio per via della
corrente, ma comunque tutto questo mi sembra di secondaria importanza
rispetto all'argomento di prima.
Si pu� descrivere comunque un esperimento differente da quello
suddetto: consideriamo il sistema composto di due cilindri in moto
rotatorio relativo in un riferimento inerziale, sui quali sono poste
delle quantit� di cariche prestabilite uguali e contrarie e poi
poniamo il tutto in rotazione, i raggi dei due cilindri dovessero
risultare modificati. Mi aspetto che risultino modificati in questo
modo:  il cilindro che era inizialmente fermo sar� contratto per un
fattore:
 gamma(om r)
dove r � il suo raggio quando � in rotazione, il cilindro che era
inizialmente in moto rotatorio sar� contratto di un fattore:
 gamma(om r) * (1+om om' r^2 /c^2)
per la legge di composizione delle velocit�, e si pu� quindi fare in
modo che i due raggi nella configurazione di rotazione simultanea
siano uguali. Adesso la questione diventa: dal momento che direi che
le cariche rimangono identiche, la corrente risulta definita solo
dalla differenza di velocit� e quindi obiettivamente c'� soltanto una
corrente, un poco differente da quella iniziale (e da quella che si
produrrebbe con una trasformata di Lorentz per via della variazione
del raggio), ma nessuna carica: allora nel riferimento inerziale, in
cui la carica esterna � rimasta ferma, questa configurazione non crea
forze di sorta.
 Del resto nel riferimento tangente, per quanto possa apparire strano
dovr� pure risultare che non agiscono forze, comunque � interessante
notare che in tal caso deve esserci un effetto di compensazione fra i
campi elettrici e magnetici. Lo si vede dalla circostanza che nel
riferimento tangente i campi elettrici delle due distribuzioni non
risultano pi� compensati, e questo a casua del fatto che nelle sezioni
spaziali sincrone rispetto al campo del tempo del riferimento tangente
le distribuzioni di cariche pertengono a due cilindri a sezione retta
ellittica ma a causa della rotazione la distribuzione di carica sui
due cilindri non � pi� neutra. Per capire questo basta pensare che le
curve orarie dei due cilindri sono eliche di passo differente, allora
nel riferimento tangente abbiamo sezioni oblique del cilindro il
risultato � che vedremo ancora due ellissi coincidenti, ma non neutri
e con corrente diversa da punto a punto, in accordo all'equazione di
continuit�.

 Ma m'interessa comunque se ci trovate errori o cose criticabili.
A quanto pare ho fatto un poco di confusione con un precedente invio.
Quello che volevo chiederti � se la condizione di integrabilit� la
scegli per particolari ragioni di comodit� rispetto alla condizione di
Frobenius: d\sigma ^ \sigma = 0. Ad esempio � pi� pratica ai fini di
cercare di integrare la forma, oppure per ragioni di principio, ad
esempio perch� � pi� indicata nel caso di pseudo-metriche, oppure
ancora chess�? Ad esempio � una condizione di carattere globale,
anzich� locale?
Sempre sulla condizione di integrabilit� ad un certo punto dici che
una forma differenziale in una variet� bidimensionale � sempre
integrabile. Questo per� � vero solo localmente, mentre globalmente un
controesempio � dato, ad esempio, proprio dalla metrica del
riferimento rotante quando si scelga di considerare la metrica su una
restrizione unidimensionale. La variabile angolare non � una funzione
continua su S^1 e quindi la forma che corrisponde al differenziale
della coordinata angolare � chiusa ma non  � esatta.
Il difetto di integrabilit� � anzi una misura dello sfasamento fra il
tempo misurato dall'orologio in quiete ed il tempo nel quale la luce
percorrerebbe la lunghezza propria del circuito se questa lunghezza
fosse solidale ad un riferimento inerziale. Questo tempo pu� risultare
in eccesso o in difetto secondo la direzione del moto.
Per il resto: sintetizzando pi� possibile, e rimandando all'altro post
gi� inviato per alcuni dettagli. Per la questione del "paradosso?" ho
pensato che la risposta pi� naturale � che effettivamente il
generatore fornisce la differenza di cariche mobili necessarie
affinch� nel riferimento tangente il conduttore rimanga localmente
neutro dal che segue che nel riferimento inerziale di partenza la
densit� di carica non � nulla. E' criticabile l'ipotesi che il filo si
mantenga della stessa lunghezza, ma la contrazione non sembra avere un
ruolo. Nel caso in cui effettivamente si voglia pensare ad una
quantit� totale di carica mobile invariata siamo in presenza di una
condizione fisicamente differente da quella di un circuito
alimentato.
