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Titolo: Espansione libera di un gas nel vuoto (senza contenitore)

Immaginiamo per fissare le idee una sfera di raggio pari a 1 metro,
costituita di materiale rigido e isolante, riempita con 1 kmole di gas He
alla temperatura di 300 K. Al tempo t = to la sfera viene rimossa
istantaneamente e il gas � libero di fluire in maniera indefinita nel
vuoto (immaginiamo un vuoto assoluto o quasi).
 
La domanda �: " Come varia l'entropia per t > to? "
 
Saluti,
Aleph
 
 
 
-- 
 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it
 
 


Ma il vuoto a che temperatura e'? Si deve considerare anche
l'equilibrio termico radiante tra il gas ed il vuoto oppure no?
 
--
cometa_luminosa

 La domanda �: " Come varia l'entropia per t > to? "
 
Non si puo' dire, perche' per t > t0 l'entropia non e' definita,
dato che il gas non raggiunge mai una condizione di equilibrio
termodinamico.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 cometa_luminosa
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 non di un "vero" gas perfetto,
Scusa, fammi capire: io che c'entro? :-D
Se mi avete perdonato la battuta "spiritosa", ora dico una cosa seria.
 
Mi pare che nessuno abbia considerato che in una tale espansione dopo
un po' di tempo non ci sono più urti fra le moecole, che continuano
solo a espandersi radialmente.
In tal modo si produrrebbe uan differenziazione: troveremmo più
lontano le più veloci, ossia ci sarebbe una fortissima correlazione
tra posizione e velocità.
Inoltre la distribuzione delle velocità attorno a un dato punto non
sarebbe più isotropa.
 
Anche se non ho trovato un modo per rendere rigoroso l'argomento che
segue, ve lo butto lì lo stesso.
Causa teorema di Liouville, direi che la distribuzione delle molecole
nello spazio delle fasi cambierà durante l'espansione, ma in modo tale
che si abbia solo un riarrangiamento in celle diverse: sarei propenso
a pensare che l'entropia, definita come H di Boltzmann, resti
costante.
 
 
-- 
Elio Fabri
 
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
di un altro ancora ... quanti orologi! Come se lì il tempo fosse una
realtà molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.

 costante.
 
interessante, anche se non posso intuire minimamente donde 
venga la deduzione.


 "probabilistica" dell'entropia al posto di dQ/T ?
 
Perche' anche la definizione probabilistica presuppone
che il sistema si trovi in uno stato macroscopico definito,
ad es. non vedo come si potrebbe assegnare un valore
definito al volume occupato dal gas a un istante di
tempo t > t0 ecc. ecc..
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani


Mettiamo che il gas si espanda fino ad un volume finale V > (4/3) pi
m^3 all'interno di un recipiente di massa trascurabile (per trascurare
eventuali scambi termici con esso) e non conduttivo e poi si aspetti
finche' raggiunge l'equilibrio termodinamico. A quel punto l'entropia
e' uguale a quella iniziale, giusto?
 
--
cometa_luminosa

 Aleph
 

 l'equilibrio termico radiante tra il gas ed il vuoto oppure no?
 
Direi che non è rilevante: il gas di He non emette radiazione (in base a
quale meccanismo potrebbe o dovrebbe farlo?) e d'altra parte anche i
fotoni del CBR non interagiscono con l'He (nota bene che sto considerando
He neutro e non un plasma). 


 termodinamico.
 
Concordo pienamente con questa risposta (BTW, neppure la T è definita per 
t > to), tuttavia è diffuso anche il punto di vista che interpreta questo
fenomeno alla luce dell'aumento dell'entropia (vedi par. 4 link
sottostante):
 
http://digilander.libero.it/steve.little/Articoli/Bergia1997.pdf
 
 
Credo che alla base di tutto ci sia una sorta di reazione pavloviana di
alcuni fisici di fronte alle trasformazioni irreversibili (che poi sono la
totalità di quelle che coinvolgono sistemi fisici reali).
 
Visto che tutte le volte che siamo in presenza di una trasformazione
spontanea irreversibile di un sistema reale da uno stato di equilibrio
iniziale (1) a uno stato di equilibrio finale (2), riscontriamo
invariabilmente che (Secondo principio della termodinamica)
 
S2 > S1 
 
allora (ad alcuni) viene naturale pensare che laddove si realizza una
trasformazione irreversibile là, necessariamente, si verifica un aumento
dell'entropia.
 
L'affermazione è ovviamente corretta nella stragrande maggioranza dei
casi, ad eccezione di situazioni particolari come quella descritta in
apertura in cui, dopo la rimozione del contenitore, non si raggiunge più,
successivamente, lo stato di equilibrio termodinamico.  
 
A questo proposito è interessante un confronto con un caso simile (ma in
realtà profondamente diverso), quello della radiazione di fondo cosmica
nelle microonde (CBR): perché in questo caso parliamo tranquillamente di T
e di S (entropia) anche se il gas di fotoni relitto del BB è fuori
dall'equilibrio termodinamico da 13 e rotti miliardi di anni?


 costante.
 
E questo invece glie l'ho detto io.
 
E sono convinto che le due considerazioni *non* sono in contraddizione :-)
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 prima e dopo sarebbe già un po' troppo freddo/caldo.
 
Si,
ciao.
 
--
cometa_luminosa

 costante.
 
Il microstato a ogni istante sarebbe definito e unico (pensiamo a
particelle classiche), anche se cambierebbe con il tempo, quindi si
dovrebbe avere sempre S = 0 .
Ma questo modo di vedere le cose è vanificato a priori dal fatto che il
sistema considerato è sempre fuori dall'equilibrio termodinamico e quindi
la S non è mai definita per t > to.
 
Inoltre considerando la S costante (o nulla) durante l'espansione ci
troveremmo di fronte al caso di una trasformazione spontanea irreversibile
non accompagnata da aumento di entropia, in pratica una violazone del
secondo principio visto che, date le ipotesi di partenza, il gas sarebbe
di fatto isolato.


 Ciao


 Aleph


 e' uguale a quella iniziale, giusto?
 
Dato che la trasformazione e' irreversibile e il sistema e'
isolato allora  l'entropia deve aumentare, per il secondo
principio.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 miliardi di anni?
 
Direi che si trovi in una situazione di equilibrio "congelato",
visto che ha smesso di interagire con il resto dell'universo
(il fatto che la distribuzione spettrale della CBR vari al
trascorrere del tempo e' conseguenza dell'espansione
dell'universo, non di una sua interazione con altri sistemi,
e comunque rimane quella del corpo nero corrispondente
a una temperatura decrescente nel tempo).
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 e' uguale a quella iniziale, giusto?
 
E perche' ? Se si espande da uno stato di equilibrio a volume V1 a uno 
di equilibrio a  volume V2 a E e N fissati l' entropia varia
( 
http://it.wikipedia.org/wiki/Gas_ideale_monoatomico
 , formula per 
S(E,V,N) ). Piu' e' grande V2, maggiore e' l' entropia finale (e quindi 
la variazione di entropia).
 
Giorgio

 e computare S un pezzettino alla volta.
 
Perché in questo caso (in alcune categorie di sistemi fuori
dall'equilibrio ma stazionari puoi ancora parlare di entropia e di
funzioni di stato in maniera coerente) partizionando il sistema che è
fuori dall'equilibrio otterrai ancora pezzettini fuori dall'equilibrio per
i quali l'entropia non è definibile.


 e' uguale a quella iniziale, giusto?
 
No, cresce monotonicamente.
 
Per una mole di gas hai
 
DS = R*ln(Vf/Vi) > 0 sempre.
 
Lo vedi considerando il gas reale come una buona approssimazione del gas
perfetto (nel caso che ho posto dell'elio non siamo in presenza di grandi
densità).
In questo caso T non varia e la variazione di entropia si può considerare
prendendo gli stati iniziale e finale lungo l'isoterma reversibile a
temperatura T uguale a quella del gas, segue facilmente che:
 
DS = R*ln(Vf/Vi).


 adiabatica.
...
 
Direi che diminuisce un pochino, visto che il potenziale intermolecolare
nelle condizioni fisiche cui ci stiamo riferendo è attrattivo.


 t > to), .....
 
Premesso che anche io concordo con Giorgio Bibbiani,
vi dico che cosa penso e vorrei sapere se siete d'accordo.
Credo che, se proprio si vuole cercare uno stato finale di equilibrio
in base al quale valutare la variazione di entropia, occorra
ipotizzare di poter attendere un tempo infinito:
il gas, espandendosi sempre più, tenderebbe ad avere volume infinito e
densità nulla, ossia tenderebbe a trasformarsi nel vuoto stesso, il
quale rappresenterebbe lo stato finale di equilibrio con cui definire
l'entropia
(certo, in realtà, però, ci sarebbero molte
considerazioni cosmologiche da fare, a cominciare dalla geometria
dell'universo)
Quindi si potrebbe porre
lim t->oo S uguale entropia del vuoto
e considerare la variazione di entropia
delta S uguale lim t->oo S - S(t0)
 
A questo punto, secondo me, l'unica cosa che si potrebbe concludere è
che,
potendo considerare il gas in espansione libera come un sistema
isolato (trascurando effetti legati all'equilibrio termico radiante),
si avrebbe
delta S maggiore uguale di 0
anzi
maggiore di 0 perchè la trasformazione è non reversibile.
 
In sintesi:
l'unica risposta che si può dare alla domanda posta è che al vuoto
corrisponde la massima entropia.
 
Che ne pensate?
Ciao.
--
Gino Di Ruberto, Napoli
IK8QQM - K8QQM
http://groups.google.com/group/infonapoli-newsletter?hl=it
 
"E' curioso a vedere che quasi tutti gli uomini che valgono molto
hanno le maniere semplici e che quasi sempre le maniere semplici sono
prese per indizio di poco valore."
(Giacomo Leopardi)

 i quali l'entropia non è definibile.
 
uhm, non sono ancora del tutto convinto.
Non qualitativamente, qualitativamente capisco e mi pare 
sensato. Ma quantitativamente non mi pare che sorgano i 
problemi che dici.
Definiamo, genericamente, l'entità del disequilibrio di un 
volumetto generico (in un modo qualsiasi).
Ebbene, al decrescere di questo volumetto, tale scarto 
dall'equilibrio decresce pure e, penserei, sino ad un 
livello da essere praticamente assimilabile ad uno in 
equilibrio. Ora il contributo di ciascun volumetto sempre 
più piccolo all'entropia totale, naturalmente diminuisce, ma 
aumenta il loro numero, e la sommatoria (integrale se 
estendiamo) dovrebbe convergere a un numero finito, che mi 
parrebbe una buona stima dell'entropia del sistema.
 
Provo a esaminare la cosa della suddivisione da un altro 
punto di vista.
Energia (proprietà estensiva) vs Temperatura (proprietà 
intensiva).
La seconda è manifestamente una proprietà media che perde di 
senso quando si passi ad esaminare un numero di molecole 
troppo scarso per definire la distribuzione di energie.
Ma la prima si mantiene consistente persino considerando le 
molecole alla volta. L'energia (ad es. cinetica e 
potenziale) di un sistema, è la sommatoria di contributi di 
ciascuna singola molecola.
Dovendo scegliere se trattare l'entropia al modo della 
temperatura (che perde significato partizionando sino ad 
ottenere volumi omogenei) o dell'energia, per il fatto che 
anche l'entropia è additiva, allora direi che possa essere 
computata anche partizionando sino alla singola molecola. 
Come fare non so : questo è pane per voi altri :-)
ciao


 DS = R*ln(Vf/Vi).
 
strano ma proprio questa tua risposta mi rinforza la mia idea.
 
Se ammettiamo di fare avvenire l'espansione a scalini (con 
una serie di sfere concentriche "a scomparsa", otteniamo una 
sequenza di entropie crescenti (e il sistema rimane omogeneo).
Se invece non dividiamo in gradini di espansione discreti e 
in intervalli di tempo per l'equilibrazione, i due stati 
finali non saranno coincidenti. E tuttavia intuitivamente, 
rimanendo uguale la natura di base del processo 
(un'espansione adiabatica), mi pare si possa dire che 
l'entropia (o la meta-entropia) del sistema debba crescere 
in entrambi i casi, anche se non della stessa misura.
 
La definizione probabilistica di S, include la temperatura ? 
Non lo ricordo ... ma se è così, capisco la ragione per cui 
non è computabile S. E mi chiedo se sia stato cercato 
qualche indicatore di disordine di più basso livello e meno 
restrittivo ... forse quella che genericamente si chiama 
"contenuto informativo" ? Mah ...
Questa tematica mi interessa e profondamente, per un sacco 
di ragioni, un po' perché tempo fa leggiucchiavo cose, a 
livello dilettantesco, sulla compressione dei dati, ma 
soprattutto perché ritengo che abbia a che vedere con la 
natura ultima della vita (pure piena di non-equilibri in 
ogni sua sfaccettatura, e nondimeno caratterizzata dalla 
conservazione di un qualcosa che pare il contenuto 
informazionale, non parlo solo a livello di DNA e di 
eredità, ma proprio a livello locale e istante per istante : 
tutto deve restare simile a sé stesso con le molecole nei 
posti giusti alle concentrazioni giuste).
Se l'entropia è così "debole" da non poter graduare sistemi 
non in equilibrio neppure semplici come la bolla di gas, 
possibile che non si sia mai cercato (e trovato) un qualche 
surrogato meno esigente ?
 
Perplesso
Soviet


 Che ne pensate?
 
Che non e' difficile calcolarla (nel caso classico),
avresti allora una bella sorpresa...;-)
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani


Penso che Cometa intendesse "iniziale" nel senso di "subito dopo che il 
contenitore di volume V1 si e' dissolto". E in questo caso, l'hai detto 
piu' volte tu stesso, il gas si troverebbe in un microstato (molto 
improbabile) dello stesso macrostato dell'equilibrio finale in V2, e 
quindi con la stessa entropia.
 
Avrei voluto sviluppare considerazioni sul tema (parlando di una valvola 
aperta fra una bombola piena e una vuota) nel thread sull'esergia (o 
exergia ;-), ma una delle due code di moderazione e' ferma (con alcuni 
miei post) da 3 settimane. E anche questo messaggio non so quando 
comparira', posso solo sperare che finisca nell'altra coda :-)


 "contenuto informativo" ? Mah ...
 
A quanto ne so sono state proposte varie generalizzazioni del concetto di entropia, ma non mi sembra che queste idee abbiano fatto molta strada.
 
 
 
 
 
Il concetto di entropia, che è vecchio di circa 150 anni, si è rivelato molto fecondo e ha rappresentato la traduzione in maniera quantitativa del secondo principio della termodinamica, in modo da consentirne l'applicazione "quantitativa" a una grande varietà di casi concreti. Tuttavia esistono una moltitudine di situazioni (tra i quali il caso in discussione) in cui i criteri per poter definire questa grandezza fisica non sono soddisfatti, anche se questo non significa che non si è in grado di capire se ci si trova di fronte a una trasformazione irreversibile oppure no (il gas in espansione perenne è, ovviamente una trasformazione irreversibile).
 
 
Come esempio per analogia (non molto stretta, ma può aiutare nondimeno a capire il nucleo della questione) preso dalla matematica considera la funzione logaritmo (in base e). Bene, come sai, essa non è definita per i numeri negativi ovvero ln(x) con x < 0 non esiste. 
 
Puoi battere i piedi per terra e urlare contro il destino cinico e baro ma, in maniera del tutto coerente, con gli assiomi della teoria dei numeri e delle funzioni e i loro sviluppi logici rigorosi non troverai mai il logaritmo di un numero negativo.
Mutatis mutandis...  
 
 
 
 
In quanto agli esseri viventi, oltre ad essere sistemi termodinamici non isolati e neppure chiusi, sono prepotentemente fuori dall'equilibrio termodinamico (l'equilibrio termodinamico per un essere vivente, e anche per l'Universo, ammesso che sia lecito considerarlo globalmente, significa la morte), anche se l'omeostasi garantisce una certa stazionarietà relativamente ad alcuni parametri particolari come ad esempio la temperatura corporea nel caso degli animali a sangue caldo.
 
Non mi avventuro oltre su questo terreno poiché, INHO, molto di quello che è stato scritto sull'argomento è distillato di fuffa.
 
Saluti,
Aleph


Durante l'espansione il CBR mantiene la distribuzione spettrale di un corpo nero con temperatura decrescente come T(t) = To/a(t) , 
 
a(t) è il fattore di scala dell'espansione normalizzato in modo che a(to) = 1 e 
 
To = 2,73 K.
 
 
 
 
La proprietà fondamentale che consente al gas di fotoni di mantenere la propria distribuzione spettrale al trascorrere del tempo è (a differenza di quanto avviene nel caso del gas di particelle dotate di massa) la circostanza che la velocità di propagazione è la stessa (uguale a c) per tutti i quanti della radiazione, in modo che l'espansione questa volta non può agire come un filtro sulle velocità, ma nemmeno sulle frequenza visto che queste scalano tutte allo stesso modo. 
 
In ogni istante andando a misurare i fotoni del fondo in una data zona dello spazio li troveremo distribuiti in modo da rappresentare la distribuzione spettrale di corpo nero originaria, seppure con la temperatura scalata di un fattore costante e crescemte con t.    
 
Saluti,
Aleph

 Non mi avventuro oltre su questo terreno poichï¿œ, INHO, molto di quello che ï¿œ stato scritto sull'argomento ï¿œ distillato di fuffa.
 
Non ne ho mai letto. Le poche cose che ho letto sul tema mi 
erano parse rigorose per quanto possibile.
Cmq mi piacerebbe sapere qualcosa di piï¿œ su questi 
"tentativi di estendere l'entropia" che sono giï¿œ stati 
fatti. Che termini di ricerca potrei impostare ? Non saprei 
che nome dare a questo parametro ...


 potrei impostare ? Non saprei che nome dare a questo parametro ...
 
Cerca termodinamica del non-equilibrio (meglio se traduci in inglese).


 quindi con la stessa entropia.
 
E quindi ... niente. L' entropia della mecc. statistica corrisponde ad 
un macrostato. Non c'e' nulla che possa definirsi entropia di un 
microstato.
 
 
Giorgio


Ma appunto. Qual e' il macrostato del gas nel contenitore di volume V2 
un attimo dopo che il contenitore di volume V1 si e' "dissolto"? Non e' 
*lo stesso* dello stesso gas nel contenitore di volume V2 quando avra' 
raggiunto l'equilibrio? Il microstato in cui si trova e' del tutto 
irrilevante, in quanto puo' essere considerato un particolare microstato 
dello stesso macrostato.
 
Non e' questo il succo delle risposte che hai dato piu' volte 
sull'argomento, per esempio qui
http://groups.google.com/group/free.it.scienza.fisica/msg/0d52506c35b91d62?hl=it
 
 
e qui
http://groups.google.com/group/it.scienza.fisica/msg/7da20755b7a7a1d0
 
?
 
Ho capito male?


 loro stato senza il vincolo dell'equilibrio
 
No, no, proprio non esiste (e cinque!) :)).


 La domanda è: " Come varia l'entropia per t > to? "
 
Ho caricato una figura qui
http://imageshack.us/photo/my-images/442/fluctuationtheorem.jpg/
 
 
da
Denis J. Evans & Debra J. Searles (2002): "The Fluctuation Theorem", 
Adv. Phys. 51, 1529-1585, DOI: 10.1080/00018730210155133
 
Mostra la PDF risultante della componente del tensore di pressione, con 
produzione di entropia. Le molecole lente dissipano e producono 
disordine, quelle veloci producono ordine (l'He ha una distribuzione di 
velocita' molto larga). La figura e' per T,V costanti.
 
Ora, nel tuo esperimento mi aspetterei una distribuzione non piu' 
gaussiana, ma anisotropa (siamo nel *quasi* vuoto, giusto?)
 
Interessante anche questo
B. J. Alder and T. E. Wainwright (1970). "Decay of the Velocity 
Autocorrelation Function". Phys. Rev. A 1 (1): 18�"21
Sostiene che esiste un limite di densita' per cui quello di cui sopra 
e' valido.

 No, no, proprio non esiste (e cinque!) :)).
 
per caso hai provato a spulciare le pagine di wiki (en) 
sulla termodinamica dei sistemi di non-equilibrio ?
Se le visiti, poi riporta le tue impressioni magari.


 No, no, proprio non esiste (e cinque!) :)).
 
O meglio (o peggio, a seconda dei gusti), esisterebbe, ma.... non e' 
computabile ;-)
 
 
Giorgio

 dello stesso macrostato.
 
Il microstato, appunto, non il macrostato. Vale la prima risposta di
Giorgio: "Non c'è verso di assegnare un valore di S a un microstato".


 un attimo dopo che il contenitore di volume V1 si e' "dissolto"?
 
 
Il microstato subito dopo la scomparsa del contenitore fa sicuramente 
parte del' insieme dei microstati compatibili con quei valori di E,V,N 
(ancorche' di infima probabilita'), con V pari al volume finale.
 
Quindi  quel microstato fa parte del' insieme di tutti i microstati a 
cui (all' insieme) associo una certa entropia.
 
Questo ci autorizza a dire che il microstato in questione ha una certa 
entropia ?
 
Non piu' di quanto l' affermazione
"Il dottor X fa parte dell'  Ordine dei Medici di Trieste" autorizzi a 
dire che "il dott. X ha la stessa numerosita' dei medici triestini".
La numerosita' e' una proprieta' dell' insieme dei medici e non del 
singolo medico. (Sperando di non aver scelto un esempio con trappole 
impreviste :-( )
 
Giorgio

 uhm ... non capisco bene la distinzione
 
Pi� o meno � la stessa distinzione che passa tra chi ha una concezione
platonica degli enti matematici come *reali* (ci sono matematici del
calibro di Alain Connes che credono in questa concezione) e chi ritiene
che l'esistenza degli enti matematici alberghi solo all'interno dlla
nostra mente.


 singolo medico.
 
Cioe', nel nostro caso, dei microstati accessibili al sistema. La 
dissoluzione dei contenitore di volume V1 (o, per essere piu' 
realistici, l'asportazione di un setto fra due contenitori di volume V1 
e V2-V1) aumenta la loro numerosita', e percio' stesso aumenta 
l'entropia del sistema. Il fatto che noi si abbia qualche informazione 
relativa all'effettivo microstato non dovrebbe avere la minima 
importanza, come non l'avrebbe la misura di qualche effetto browniano su 
eventuale polvere contenuta in V2 a equilibrio raggiunto.
 
Non e' questo che intendevi?


 computabile ;-)
 
Non so se ho capito bene, vuoi dire che tu estenderesti la definizione S =
k*logW, anche per sistemi molto lontani dall'equilibrio, rispetto ai quali
abbiamo "solo" un limite pratico (e insuperabile) di computabilit�?
 
Personalmente ritengo che in tal caso l'informazione desumibile da S
sarebbe di difficile utilizzo e a dirla tutta non so neppure che
significato avrebbe.
 
Saluti,
Aleph


 dall'altra etc.
 
Stai parlando di due cose completamente diverse. L'esempio che fai per 
l'entropia vale anche per i gas perfetti, e *non* vale se non si dispone 
di alcun modo per distinguere una molecola dall'altra: e questa e' la 
considerazione che fa Gibbs per rendere conto del "paradosso di Gibbs":
 
"Again, when such gases have been mixed, there is no more impossibility 
of the separation of the two kinds of molecules in virtue of their 
ordinary motions in the gaseous mass without any especial external 
influence, than there is of the separation of a homogeneous gas into the 
same two parts into which it has once been divided, after these have 
once been mixed."
 
(citata in
http://www.mdpi.org/lin/entropy/cgibbs.pdf
 
pg. 3 in fondo)


 Concordo in pieno.
 
 
Questo mi conforta molto.
 
Le riflessioni che sto facendo in tema di esergia/exergia (presto 
riprendero' quel thread, rimasto per un po' in sonno) mi portano a 
propendere verso l'idea, appunto, che l'entropia non sia una proprieta' 
di un sistema, ma sia piuttosto una grandezza che ci dice cosa *noi 
umani* siamo in grado *di ricavarne* agendo opportunamente, e che il suo 
valore *dipenda* dal tipo di azioni che ci sono, o che *stimiamo* ci 
siano, permesse.
 
Mi preoccupava che Elio Fabri, su fisf, nel suo intervento dd 03/08/2012 
20:36 nel thread "Sull'entropia", stigmatizzasse questa posizione come 
"soggettivista". Ma in effetti, per essere coerenti, bisognerebbe dire 
proprio che l'entropia di un sistema *e'* una grandezza soggettiva (o 
almeno "antropocentrica"), e che *proprio per questo* non andrebbe 
considerata una grandezza *fisica* (casomai, "ingegneristica" :-).


 Giorgio


 nostra mente.
 
quindi ï¿œ un ente astratto che esiste solo in un modello ?
Ma ï¿œ solo l'entropia o lo sono tutti gli "enti" della fisica 
? Io non sono molto avvezzo a queste sottigliezze, per me 
queste cose si usano e basta :)


 considerazione che fa Gibbs per rendere conto del "paradosso di Gibbs":
...
 
L'esempio che ho fatto a proposito dell'entropia � connesso al Paradosso
di Gibbs, ma non � esattamente la stessa cosa.
 
Nel Paradosso di Gibbs il confronto riguarda la variazione di entropia
dovuta al mixing di due gas diversi (positiva) vs quella che si ha nel
"mixing" di due parti contenenti lo stesso gas (nulla).
 
A me interessa invece considerare (da un punto di vista squisitamente
teorico) la variazione di entropia dello stesso gas all'equilibrio quando
� contenuto in un recipiente non partizionato e dopo che vi vengono
introdotte una o pi� partizioni.
 
Se si esamina la situazione considerando i volumi occupati dal sistema e
poi dai sottositemi componenti nello spazio delle fasi � del tutto
evidente, con la definizione di Boltzmann, che il maggiore di tali volumi
si ottiene nella situazione in cui il setto separatore non � presente.
Naturalmente � possibile argomentare (ed � sostanzialmente corretto), che
la variazione nel volume occupato su Gamma nei due casi � piccolissima e 
quindi per un fisico (non per un matematico) � come se fosse nulla.


 definibile né definita.
....
 
Azz... speravo che non venisse fuori questa asservazione :-). Ero 
rimasto in dubbio, nel rispondere a Tommaso, se discuterla o meno ma mi 
sembrava che ci fosse gia' abbastanza incertezza su altre cose da 
preferire lasciar stare questo punto se non fosse stato sollevato.
 
Visto che lo fai, vediamo di affrontarlo.
 
Spero che a chi legge non cominci a girar troppo la testa.
 
la tua osservazione e' pertinente. Se consideriamo il sistema in cui 
apriamo il rubinetto o addirittura facciamo scomparire una parete 
divisoria, lo stato macroscopico che si ottiene, e che e' lo stato 
macroscopico di partenza di un' evoluzione successiva che "termina" 
macroscopicamente quando si raggiunge il nuovo equilibrio, NON e' un 
macrostato di equilibrio. Pertanto l' enorme semplificazione della 
termodinamica (poche variabili per descrivere un sistema costituito da 
tantissimi gradi di liberta' crolla miseramente. In principio 
occorrerebbe descrivere la dinamica di ogni singolo grado di liberta', e 
anche con un po' di "semplificazione, non ce la si cava con meno di un 
numero enorme di variabili di campo su scale spazio-temporali 
enormemente estese.
 
Questa e' una descrizione "nel tempo", "dinamica" del sistema e del suo 
raggiungimento del nuovo equilibrio.
 
C'e' pero' un' alternativa a questa complessita', se lo scopo e' solo 
quello di ottenere info relative a stati di equilibrio, eventualmene 
anche prima e dopo la rimozione di vincoli. E questa e' la strada della 
meccanica statistica di Boltzmann-Gibbs: invece di preoccuparmi dell' 
evoluzione dinamica del mio sistema, lavoro su un ensemble di sistemi 
tutti uguali e tratto il problema dal punto di vista statistico, 
sostituendo a medie temporali media sull' ensemble. Sotto opportune 
ipotesi questa riscrittura funziona. E in quest' ambito la descrizione 
della situazione in cui non c'e' il setto, la parete ma il gas e' tutto 
da una parte, ha una connotazione completamente differente. Non lo 
trattiamo piu' come macrostato (a cui poso applicare la categoria di 
equilibrio o non equilibrio, ma lo vediamo, come un microstato (di cui 
non si puo' dure se di quilibrio o di non equilibrio) facente parte 
della popolazione che costituisce l' ensemble. Possiamo alora parlare 
della sua probabilita'. Se l' ensemble e' il microcanonico, quel 
microstato avra' esattamente la stessa probabilita' di qalsiasi altro 
microstato (p. es uno in cui le molecole stanno dappertutto nel volume 
grande, uno in cui stanno all' interno di un voume ancora piu' piccolo 
etc. etc. )
 
Quello che risulta difficile da apprezzare, per noi esseri umani 
abituati a maneggiare sistemi con pochi gradi di liberta', e' che quando 
il n. di gr. di liberta' e' abbastanza  grande l' *insieme* di 
microstati corrispondenti all' evento "il gas sta nel volume originale" 
diventa a tutti gli effetti pratici *trascurabile* rispetto all' insieme 
di microstati in cui le molecole sono piu' equidistribuite.
Per cui e' concettualmente possibile considerare il microstato o anche 
l' insieme dei microstati corrispondenti al gas confinato nel volume 
iniziale. Ma nessuno di noi avra' la minima chance di vederlo neanche se 
vivesse 10 volte l' eta' stimata dell' universo. In pratica si tratta di 
un evento a probabilita' nulla.
 
Sperando di non creare maggior confusione...
 
Giorgio


Adesso sostituisci "particella" a "medico" e "posizione, impulso" a
"numerosita' " e vedi quello che viene  :-)
 
(Scusate l'OT).
 
--
cometa_luminosa

 importanza,
 
OK su questo.
 
Giorgio

 abbiamo "solo" un limite pratico (e insuperabile) di computabilit�?
 
No e' tutta un' altra stria. Lasciamo stare i sistemi fuori equlibrio, 
per i quali non e' ovvio quanti gradi di liberta' siano necessari per 
darne una descrizione decente.
 
Il punto che toccavo con quella frase era che in realta' c'e' un modo 
*assolutamente non costruttivo (in senso matematico)* per definire l' 
entropia di una sigola configurazione. E' quello di passare per un' 
opportuna entropia computazionale del microstato, in grado di ridare l' 
entropia di Shannon come media sugli stati. E l' entropia di Shannon, 
prendendo la distribuzione di probabilita' corretta per ' ensemble di 
interesse coincide con la corrispondente entropia di Gibbs per quell' 
ensemble, e quindi con quella termodinamica. L' anello debole di questo 
"bellissimo" programma e' che non c'e' modo di calcolare l' entropia 
computazionale del singolo microstato :-( Si tratta di una funzione non 
computabile  :-((((
 
E mi fermo qui perche' a questo punto sono arrivato ai limiti della mia 
personale comprensione del problema.
 
 
Giorgio

 considerata una grandezza *fisica* (casomai, "ingegneristica" :-).
 
Forse con sfumature diverse, ma concordo in pieno con Elio. L' entropia 
non e' piu' o meno soggettiva di quel che possa essere *qualsiasi* altra 
grandezza fisica. Di fatto la natura conosce *fenomeni*, le grandezze 
fisiche sono nostre costruzioni mentali. Ma le oro misure e le relazioni 
reciproche non sono a nostra disposizione. Le ricaviamo dagli 
esperimenti (direttamente o indirettamente).
 
Giorgio

 in assenza di flussi termici o d'altra forma d'energia.
 
Stai cercado di dare un nome all' enrtopia di Shannon. E  qui torna 
utile ripetere la ben nota storiella secondo cui (riporto da wikipedia 
inglese ( 
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_entropy
 )
 
 
In 1949, however, when Shannon had been working on his equations for 
some time, he happened to visit the mathematician John von Neumann. 
During their discussions, regarding what Shannon should call the 
“measure of uncertainty” or attenuation in phone-line signals with 
reference to his new information theory, according to one source:[10]
“ 	My greatest concern was what to call it. I thought of calling it 
‘information’, but the word was overly used, so I decided to call it 
‘uncertainty’. When I discussed it with John von Neumann, he had a 
better idea. Von Neumann told me, ‘You should call it entropy, for two 
reasons. In the first place your uncertainty function has been used in 
statistical mechanics under that name, so it already has a name. In the 
second place, and more important, nobody knows what entropy really is, 
so in a debate you will always have the advantage. 	”
 
According to another source, when von Neumann asked him how he was 
getting on with his information theory, Shannon replied:[11]
“ 	The theory was in excellent shape, except that he needed a good name 
for “missing information”. “Why don’t you call it entropy”, von Neumann 
suggested. “In the first place, a mathematical development very much 
like yours already exists in Boltzmann’s statistical mechanics, and in 
the second place, no one understands entropy very well, so in any 
discussion you will be in a position of advantage.
 
 
:-)
 
Giorgio

 Sperando di non creare maggior confusione...
 
No, non direi, dopotutto per chi conosce la meccanica statistica si tratta
pur sempre di un utile ripasso; anche se dal punto di vista della
definizione dell'entropia di un microstato, di cui si dscuteva, mi pare
non cambi nulla.


 OK su questo.
 
Benissimo. E ora tutto torna, il perche' lo scrivo nell'altro post.


 Sperando di non creare maggior confusione...
 
Mi pare di no :-)


 possibile errore dovuto a fluttuazioni.
 
non avevo mai pensato all'aspetto di mediazione temporale. 
Solo a quello "numerale" su vasti insiemi.

e quale sarebbe questa nuova definizione operativa "extended" ?
 
CUT
 
ciao
CCCP


 e quale sarebbe questa nuova definizione operativa "extended" ?
 
Dato un sistema A in uno stato S1 definito, non necessariamente
all'equilibrio, si definisce "esergia (o exergia) di A rispetto alla
temperatura T" il massimo lavoro ottenibile da un processo che
coinvolga qualsivoglia altro sistema, ma che al termine lasci in uno
stato diverso da quello iniziale solo: il sistema A stesso, un
termostato a temperatura T, e il sistema che immagazzina il lavoro
ottenuto (
p.es
. un peso che viene fatto salire).
 
La differenza fra l'energia di A nello stato iniziale S1 e la sua
esergia rispetto alla temperatura T e' detta anergia di A rispetto
alla temperatura T, e la indico con An(A,S1,T).
 
Si dimostra che, per due diversi stati di A, S1 ed S2, il rapporto
 
[An(A,S2,T) - An(A,S1,T)] / T
 
e' indipendente da T (almeno nel limite delle basse T) e che, per
stati S1 ed S2 all'equilibrio, coincide con la differenza di entropia
fra i due stati.
 
Sono stato piu' rigoroso di qua nel post iniziale del thread
sull'exergia:
http://groups.google.com/group/it.scienza.fisica/browse_frm/thread/c3adc39d3371dfae
 
 
dove ho riportato anche il link alla trattazione di Beretta:
http://ehakem.com/index.php/IJoT/article/view/211/195
 


 esterni sul sistema nel frattempo.
 
Ma non ti rendi conto di quanto sia paradossale la tua posizione?
 
In pratica attribuisci un valore istantaneo all'entropia del sistema
all'istante t, subito dopo la rimozione del setto, tuttavia questo valore
dipende da come si deciderà (eventualmente) di agire *in futuro* sul
sistema in un periodo di tempo compreso tra t e t + t_ril (tempo di
rilassamento del sistema per giungere al nuovo stato di equilibrio).
 
Per visualizzare con un esempio pratico l'assurdita dell'approccio
immagina due contenitori cilindrici uguali (piuttosto lunghi e con volumi
discretamente grandi, in modo che i tempi di rilassamento siano
sufficientemente lunghi), separati da un setto rimovibile e contenenti gas
di specie diverse, nelle stesse considerazioni di temperatura e pressione.
 
Rimuovendo il setto, un istante dopo, in base alle tue prescrizioni,
abbiamo S = S_fin (l'entropia finale al raggiungiomento dell'equilibrio);
tuttavia, qualche tempo dopo, prima che il mescolamento dei due gas sia
completo e l'equilibrio termodinamico venga raggiunto, inseriamo
nuovamente il setto divisore. A questo punto i due sottosistemi
raggiungeranno separatamente l'equilibrio e saranno caratterizzati da
entropie finali S1 e S2 definite e, in generale, diverse tra loro, con
 
S1 =/= S2 =/= e S1+S2 =/= S_fin, in barba al fatto che tu assegnavi
(arbitrariamente) il valore S_fin al sistema già un'istante dopo la
rimozione del setto.


 nuovamente il setto divisore.
 
E io avevo detto "chiudiamo il rubinetto". Ma cosi', per la TD classica, 
*cambi il sistema* (o agisci come un diavoletto di Maxwell in grado di 
riconoscere una fluttuazione macroscopica :-)
 
 
E' proprio per evitare questo paradosso che mi sono orientato verso la 
definizione di entropia sviluppata al MIT da Keenan, Hatsopoulos, 
Gyftopoulos, Beretta et.alt., basata sull'esergia(exergia) e anergia 
rispetto a un termostato di qualsiasi temperatura prefissata: per 
definizione, l'esergia e' il massimo lavoro ottenibile dal sistema nello 
stato considerato *anche intervenendo sul sistema*, ossia, nel nostro 
caso, chiudendo immediatamente il rubinetto.
 
 
Il problema della definizione del MIT e' che non e' chiaro quali siano 
gli interventi *permessi* sul sistema considerato. Sicuramente il 
partizionamento in due sottosistemi in equilibrio a parametri diversi e' 
permesso, ma se il rubinetto non c'e'? Possiamo schiacciare il tubo? :-)
 
 
Un altro caso problematico e' quello di un cilindro di materiale 
mediocre conduttore di calore, isolato alla superficie laterale, e con 
le basi messe a contatto con due termostati a temperature diverse, T1 e 
T2. Dopo il raggiungimento dello stato stazionario, a t=to isoliamo 
anche le basi. Come calcolare l'esergia (e quindi l'entropia) dello 
stato immediatamente dopo l'isolamento? Ovviamente, secondo la TD 
classica, e' quella del cilindro a temperatura (T1+T2)/2, a equilibrio 
raggiunto. Ma se tagliamo il cilindro a meta' e isoliamo le due nuove 
basi (o, che e' lo stesso, poniamo due mezzi cilindri "in serie" e a 
t=to isoliamo tutt'e quattro le basi), otteniamo due mezzi cilindri a T 
diverse, da cui possiamo estrarre lavoro con una macchina di Carnot 
prima di ritrovarci nello stato in cui T=(T1+T2)/2 per entrambi. 
L'esergia totale risulta quindi superiore, e cosi' l'entropia.
 
E se lo tagliamo in 4, 8, 16, 32... cilindri di altezza 1/4, 1/8, 
1/16...? Esergia ed entropia all'aumento del numero di divisioni tendono 
a limiti finiti. Possiamo considerare *quelli* i loro valori per il 
cilindro intero? Ma se non siamo abbastanza *rapidi* a partizionare, 
tutto quel lavoro extra lo perdiamo irrimediabilmente ;-)


 infinita.
 
La risposta è inconsistente per una serie di motivi uno più fondamentale
dell'altro.
 
Intanto dare un valore infinito in atto a qualunque grandezza fisica di un
qualsiasi sistema fisico è un chiaro segno di patologia e del fatto che la
grandezza in questione ha perso ogni significato concreto: la variazione
di entropia misura, per così dire, la quantità di cambiamento cui è andato
un incontro un sistema durante una trasformazione, considerarla infinita
(oltretutto relativamente a un processo che non raggiunge mai lo stato di
equilibrio) è palesemente assurdo.
 
Nel caso in discussione inoltre ti chiedo: "Ma dove li vedi gli infiniti
stati microscopici di cui parli?
 
Il gas in espansione perenne (senza contenitore), che può essere pensato
completamente classico (evitando complicazioni quantistiche), ha una
configurazione microscopica definita in ogni istante dalle posizioni e
momenti delle particelle, la quale deriva deterministicamente dallo stato
del gas all'istante precedente.
Lo sviluppo dinamico del sistema è univoco e irreversibile e passa
attraverso stati determinati e sempre diversi senza possibilità di tornare
arbitrariamente vicino al macrostato (o ai microstati) di partenza (come
accade nei sistemi all'equilibrio,(vedi teorema del ritorno di Poincarè),
per il semplice fatto che il moto del gas non è in alcun modo invertibile
in modo spontaneo.
E scusami se è poco.


 stato d'equilibrio).
 
Il microstato non ha variabili di stato definite (e neppure l'entropia)
nel transiente fuori dall'equilibrio termodinamico (questa volta parliamo
del gas che si espande in un contenitore più grande); le avrà soltanto
quando avrà raggiunto l'equilibrio termodinamico non prima.


 quando avrà raggiunto l'equilibrio termodinamico non prima.
 
Istantanee, non le avra' neanche allora: le variabili di stato 
misurabili istante per istante sono soggette a fluttuazioni, tanto 
maggiori quanto piu' piccolo e' il numero di gradi di liberta' del 
sistema. Dato il sistema in qualsiasi microstato, le variabili di stato 
sono le medie temporali misurate in un tempo infinito. Anche la TD 
classica e statistica "gioca con l'infinito", salvo poi sostituire ai 
fini pratici "infinito" con "molto grande". Uscendo dall'ambito in cui 
quest'approssimazione regge (es. sistema con meno di una decina di gradi 
di liberta', tempi di rilassamento paragonabili con l'eta' 
dell'Universo), la teoria non e' piu' applicabile. Motivo di piu' per 
stare molto attenti a *non* "giocare con l'infinito".


 sono le medie temporali misurate in un tempo infinito.
 
A mio parere questo è un altro errore concettuale piuttosto grave, che
credo derivi dal fatto che stai confondendo le medie statistiche sugli
ensemble, con le medie che alcuni strumenti di misura di grandezze
termodinamiche effettuano sulle microsollecitazionioni ricevute dai
sistemi che misurano.
 
Se tu consideri il gas prodotto da un'esplosione (ma puoi pensare a
qualsiasi altro esempio ti venga in mente di sistema fisico molto lontano
dall'equilibrio termodinamico), ponendo degli strumenti in vari punti in
grado di eseguire, che so, misurazioni di temperatura e pressione (ammesso
che tu possa rilevare qualcosa di sensato), non otterrai la *Temperatura*
e la *Pressione* del sistema, anche facendo una media arbitraria sugli
eventuali risultati parziali delle singole misure: semplicemente il
sistema in studio *non ha*, in quelle condizioni, temperatura e pressione
definite, essendo lontanissimo dall'equilibrio termodinamico.
E' così che funziona la termodinamica ed è così che funziona la Meccanica
Statistica, che definisce anch'essa le variabili di stato per sistemi
fisici in equilibrio termodinamico.
 
Saluti,
Aleph
 
P.S.: Leggerò con interesse la tua eventuale replica, ma per quanto mi
riguarda, a meno di fatti nuovi, ritengo di aver detto tutto quello che
avevo da dire e pertanto mi fermo qui.   
