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Titolo: vettori e cambiamenti di base: quesito.

Ciao a tutti,
avrei un quesito sui vettori. 
Ho letto su un post precendente di W. Moretti che 
"assegnare un vettore e' equivalente ad assegnare una terna di
numeri per ogni terna di vettori formanti una base, purche' le terne
di numeri, cambiando base si trasformino secondo la legge lineare
di cui sopra."
dove per "legge lineare di cui sopra" si intende la legge di
trasformazione di base (per chiarezza riporto uno stralcio del post di
Walter Moretti)
"I vettori "ordinari" li puoi pensare sia come coppie 
orientate di punti che individuano una freccetta, sia come
una terna di numeri. Piu' precisamente, se fissi una terna di
vettori di riferimento in un punto dello spazio, ogni vettore
e' ottenuto assegnando tre numeri che specificano le
proiezioni del vettore su quella terna di vettori detta base.
Ovviamente, cambiando la terna ma mantenendo fisso il vettore, cambiano
i tre numeri associati. E' possibile scrivere la legge di
cambiamento di questi tre numeri passando da una terna all'altra
per un vettore fissato. Questa legge e' di tipo lineare e dipende
dalle due terne scelte."
Mi sembra di capire che non tutte le terne di numeri individuano un
vettore. Cioč se la terna (x,y,z) č tale che per un cambiamento di base
non si trasforma secondo una legge lineare allora la terna non rappresenta
un vettore.
Ma non mi viene in mente nessun esempio pratico. 
Qualcuno puņ fornirmi un esempio? 
Grazie.
-- 
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Qualcuno puň fornirmi un esempio? 
Temo che tu abbia capito una cosa sbagliata: se io ho una terna di
numeri (x,y,z) essa individua sempr eun vettore.
Una trasformazione lineare opportuna puň essere associata ad un
cambiamento di coordinate che trasforma questa terna in una terna che
rappresenta le componenti del vettore nel nuovo sistema di
riferimento.
Da come la dici tu puň essere che una terna obbedisca ad  una legge di
trasformazione non lineare... ma la legge di trasformazione č una cosa
che stabilisci tu nel momento in cui definisci il nuovo sistema di
coordinate, non č una cosa in qualche modo associata al vettore.
E' associata al cambiamento di riferimento che effettui.

 
Non mi pare il problema sia questo. Piuttosto il problema, se ho capito 
bene la domanda, risiede nel fatto che per poter definire un qualsiasi 
vettore nello spazio, hai bisogno prima di definire il tuo sistema di 
riferimento, ovvero una terna di vettori linearmente indipendenti che 
"costituiscano" la tua base. Sottolineo la indpendenza lineare, che e' 
il nocciolo della questione. Io posso dire che ho un vettore r(0,0,1), 
ma se non dico anche da dove lo misuro, non dico in realta' nulla. 
Tantomeno se non mi assicuro che i tre vettori siano in grado di 
descrivere tutto il mio spazio 3d in cui ho immerso il mio vettore. Se 
un solo vettore della terna fosse dipendente da un altro, mi troverei ad 
avere a disposizioni solo due vettori per descrivere il mio spazio, e 
questo potrei farlo solo ammettendo "l'ignoranza" di una delle 
coordinate, ovvero in soldoni dicendo che posso definire un piano, ma 
che questo piano potrebbe essere quasi ovunque (soluzione parametrica) :-)
CiruZ
-- 
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....e al fine della licenza
io non perdono e tocco...
Cyrano, F. Guccini
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 indipendenti che "costituiscano" la tua base.
Sono di parere diverso da entrambi.
Ricordate che stiamo parlando di fisica (ma anche in matematica
si possono ripetere gran parte delle cose che diro').
Quando mi chiedo se la forza e' un vettore, o magari se lo e' il
momento d'inerzia, sto parlando di oggetti che hano una loro propria
definizione, possono essere misurati, ecc.
E' in base alle proprieta' che risultano dalla loro definizione fisica
che posso decidere se sono vettori o no, e in questo non c'e' niente di
arbitrario, e soprattutto non ha niente a che vedere con la scelta e/o
il cambiamento del sistema di coordinate, che potrei anche non usare
affatto.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 Elio Fabri
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

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

 numeri (x,y,z) essa individua sempr eun vettore.
Non sono d'accordo. La cosa e' probabilmente vera in informatica, ma non in
fisica.
Direi che non sia vero che una terna di numeri costituisce sempre un vettore
per lo stesso motivo per cui non e' vero che un numero costituisce sempre
uno scalare. A tale proposito riporterei questo breve passo tratto da
"Filosofia della fisica" a cura di G. Boniolo, Bruno Mondadori (1997) pag
10:
"Si faccia attenzione a non confondere uno scalare con un numero. Uno
scalare e' un ente geometrico il cui valore non cambia per trasformazioni di
coordinate. Ecco il motivo per cui si parla di prodotto scalare, ossia di un
prodotto il cui risultato numerico (uno scalare) e' invariante per
trasformazioni di coordinate. Non tutti i numeri godono pero' di questa
proprieta'. Ad esempio, il valore dell'energia cinetica e' un numero che
cambia a seconda dei sistemi di riferimento. Mentre tutti gli scalari sono
numeri non tutti i numeri sono scalari".
Dal saggio "Dalla relativita' galileiana alla relativita' generale" di G.
Boniolo e M. Dorato.
Date tre particelle, le loro energie cinetiche costituiscono una terna di
numeri che non individua un vettore.
Ciao


 riferimento), secondo le leggi di trasformazione delle coordinate?
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      Dobbiamo ora tornare alla fisica, per rispondere a una domanda: a
che servono i vettori? Abbiamo gia' visto che possiamo usare un
vettore per individuare un punto nello spazio, ed e' percio'
abbastanza evidente che i vettori riescono utili per descrivere il
moto dei corpi (lo vedremo in dettaglio nel cap. seguente). Infatti
non e' difficile dimostrare che velocita', accelerazione, q. do moto
sono vettori; la cosa riesce pero' meno evidente per altre grandezze,
come ad es. le forze.
      Nelle presentazioni elementari si usa dire che una grandezza ha
carattere vettoriale quando per determinarla occorre assegnarne
_intensita'_, _direzione_ e _verso_. Sebbene questo sia accettabile
come approccio intuitivo, non soddisferebbe un matematico; e anche dal
punto di vista fisico lascia a desiderare, per due ragioni:
- non e' detto che sia sempre facile definire intensita', direzione e
verso di una grandezza vettoriale
- viceversa, si possono dare esempi di grandezze non vettoriali, per
le quali si potrebbe assegnare in modo naturale tutte e tre queste
caratteristiche: il piu' chiaro e' quello delle rotazioni, su cui
pero' non possiamo ora soffermarci.
      In effetti la propreita' piu' importante dei vettori e' la
possibilita' di _sommarli_: dunque perche' una grandezza sia un
vettore e' necessario che si possa parlare di somma. Vediamo il caso
delle forze.
      Definire la somma di due forze e' facile: date due forze F1 e F2,
applicate _allo stesso punto_ di un dato corpo, la loro somma e'
quella forza che applicata sempre nello stesso punto produce lo stesso
effetto dell'applicazione congiunta di F1 e F2. Per effetto intendiamo
tanto il moto che quelle forze possono produrre, quanto eventuali
deformazioni di un corpo vincolato.
Nota: E' necessario che le forze siano applicate allo stesso punto.
Infatti potremmo avere due forze opposte, applicate agli estremi di
una molla: sebbene la somma delle forze sia zero, l'effetto delle due
forze non e' nullo, perche' la molla si allunga. Ancora: se due forze
opposte ma non sulla stessa retta agiscono su di un corpo, questo
ruotera', e di nuovo non potremo sostituirle con una forza nulla, ecc.
      E' un _fatto sperimentale_ che una tale forza esiste sempre, e
che si ottiene da F1, F2 con la regola del parallelogramma: il che
dimostra che la somma di forze ha le proprieta' richieste alla somma
vettoriale. Ormai siamo talmente abituati a cio' (l'abbiamo sentito
dire fin da bambini) che non ci rendiamo piu' conto che si tratta di
una verita' di fatto, ossia che potrebbe anche essere diversamente. Ma
non e' stato cosi' per i fondatori della meccanica: il problema della
composizione delle forze ha dato da pensare - da un punto di vista
logico - ancora in questo secolo.
      La piu' forte verifica sperimentale del carattere vettoriale
delle forze sta nella meccanica celeste. Per descrivere il moto di un
pianeta e' necessario tener conto delle attrazioni gravitazionali del
Sole e di tutti gli altri pianeti. Queste forze vengono _sommate
vettorialmente_ nella seconda legge della dinamica, per determinare
l'accelerazione del pianeta: i risultati dei calcoli concordano con le
osservazioni, che sono di grande precisione (almeno 10^{-8}).
      Veniamo a un altro punto: le equazioni della fisica connettono
fra loro grandezze _dello stesso tipo_: ades. F=ma e' una relazione
fra vettori, il primo principio della termodinamica e' una relazione
fra scalari, ecc. (Ci sono anche oggetti piu' complicati, ma in questo
corso non avremo occasione d'incontrarli.) Non accade mai che a primo
membro di un'equazione ci sia un vettore, e a secondo membro uno
scalare, o altre cose del genere. Puo' sembrare che questa sia una
banalita', piu' o meno come "non si possono sommare le mele con le
galline", ma non e' cosi': c'e' sotto una questione profonda, sulla
quale pero' non e' il caso di fermarsi, almeno per ora.
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Questa era la parte finale del cap. 4 dei miei "Appunti di fisica
generale" (1992).
Visto che ce l'avevo gia' scritto, ho fatto prima a copiarlo, che a
scrivere di nuovo le stesse cose...


 generale" (1992).
Leggeremo mai un libro di fisica generale scritto da te? :-)
Sono convinto che non solo io, ma mooolte persone di questo ng lo
apprezzerebbero...
Ciao
-- 
Riccardo Campana
cam...@despammed.com
 (This is a valid address!)
"Physics is like sex: sure, it may give some practical
results, but that's not why we do it"  (Richard Feynman)

 Qualcuno puň fornirmi un esempio?
Chiedi un esempio di una terna di numeri che non rappresenta un
vettore. Puo' sembrare tautologico: si tratta di considerare tre numeri
che non sono interpretati come le tre componenti di un elemento di
uno spazio vettoriale di dimensione tre. Ad esempio se in uno spazio
vettoriale considero tre punti le tre distanze che posso ottenere non le
interpreto come un vettore. Che queste terne non formino uno spazio
vettoriale discende dal fatto non contengono l'opposto. Escludere per
esempio l'esistenza di un'estensione del concetto di classe di triangoli
(a,b,c) a spazio vettoriale e' impossibile. R^3 e' uno spazio vettoriale.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 G. Boniolo e M. Dorato.
A me quel saggio e' sembrato la parte forse peggiore del libro, e
contiene vere e proprie ... beh non lo posso scrivere, se no i
moderatori mi sgridano, ma avete capito ;-)
Questa e' una.
Questi signori confondonn sistema di corrdinate e sistema di
riferimento.
Mettiamoci in fisica newtoniana: secondo loro l'energia non e' uno
scalare?
Perche'? Perche' (dicono) dipende dal sistema di riferimento.
Ottimo.
Invece la velocita' e' un vettore: perche'? Forse c'entra il modo come
la vel. cambia passando da un rif. inerziale a un altro?
"Filosofia della fisica"...
Non bisognerebbe prima sapere la fisica?


 Elio Fabri
Ciao.


 automaticamente soddisfa il PR.
In relativita' cambia prima di tutto lo spazio ambiente, che diventa
spazio-tempo.
E' per questo che i vettori sono 4-dimensionali.


Qualcuno puň fornirmi un esempio? 
Ci sono due strade, cambi la base ad arbitrio, oppure
ad arbitrio cambi le coordinate.
Se sei in coordinate curvilinee, allora la base non puoi
cambiarla come ti pare.
Voglio dire che in questo caso la legge lineare, perche'
sempre lineare e`, dev'essere quella ricavata dal
cambiamento di coordinate che - essendo curvilinee - non
e` lineare (quest'ultima neh).
Cioe`, per chiarezza:
(y^i) <=non lineari=> (y^i') --> Base <=lineari=> Base'
Pero`, dire che una terna non rappresenta un vettore,
non mi sembra detto bene (se e` questo che volevi dire),
anche perche' le componenti (terne) di ogni vettore
si trasformano con la matrice inversa di quella che 
interviene per i vettori della base: legge di
contravarianza, ergo linearmente.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 E' per questo che i vettori sono 4-dimensionali.
Beh si' certo, io quello lo davo per sottinteso: dando il nuovo prodotto
scalare si deve necessariamente dare anche il suo dominio, quindi il nuovo
spazio ambiente. Capisco che questo possa sembrare un modo poco "pratico" di
dire le cose. Prima e' meglio definire il nuovo spazio e poi dare il nuovo
prodotto scalare.


 trasforma come dovrebbe se fosse un vettore.
Io invece non la chiamo vettore perche' non ha nessuna interpretazione
fisica: e' una costruzione puramente arbitraria.


 vettoriale."
Ahh forse ho finalmente capito.
Forse.
Pero' o non ho capito proprio benissimo oppure devo ancora digerire per bene
la cosa.
Dovrebbe entrarci il fatto che F e' un ente misurabile (invece (E1,E2,E3)
come cavolo si misurerebbe? Quello e' solo la collezione di tre misure
distinte). Pero' i tensori di ordine superiore come li sistemiamo? E' li'
che dovrei ancora "digerire".
Beh, intanto ti ringrazio, poi se per caso mi viene da dire qualcosa di un
pochino meglio articolato (e anche meglio comprensibile, innanzitutto per
me) eventualmente riprendo il punto in futuro.
