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Titolo: paradosso


 
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Se ammetti la divisibilita' all'infinito sei anche costretto ad assumere
che abbiano senso le somme infinite (cosi' non faceva Zenone che non
riusciva ad uscire dal tuo paradosso).
Oggi sappiamo maneggiare bene le somme infinite che si chiamano
"serie".
Nel caso in esame e' noto che la somma in
AB*(1/2 + 1/4 + 1/8 + .....)
vale  AB * 1 cioe' AB. Stessa cosa per i tempi.
Non c'e' quindi alcun paradosso.
Ciao, valter

 indefinitavemente come può superarlo?
Il paradosso è già stato formulato da Zenone, nell'antica Grecia.
Se sommi ai 2,5 s necessari ad arrivare a metà strada, gli 1,25 s per
percorrere un quarto, gli 0, 625 successivi etc. ottieni una somma di
infiniti termini che vale 5 s.
Ovviamente la risposta matematica non risolve di per se il problema
"filosofico" del moto!
Ciao
               Danilo

Il tuo è uno dei paradossi di Zenone: un altro famoso è quello della
freccia che lanciata deve percorrere la metà dello spazio... e dopo
un'altra metà... e così via... per cui la freccia non arriverà mai a
destinazione!
La domanda a questo punto sorge spontanea: in virtù diquesta
conclusione, ti metteresti come bersaglio di una freccia (visto che
questa non ti raggiungerà mai?)  ?  ;-)
Allora c'è un errore nel tuo ragionamento e l'errore sta che in una
sommatoria infinita il risultato non è obbligatoriamente infinito.
Nel senso che sommando infinitesimi di tempo come hai fatto tu, non si
ottiene tempo infinito... ma tempo  FINITO
AB/2    ci mette      t a percorrerlo
AB/4    ci mette      t/2
AB/8    ci mette      t/4
AB/16  ci mette      t/8
....
AB/ 2^n  (2 elevato alla n) ci mette    t/2^(n-1)       (t diviso 2
elevato alla (n-1) )
Ebbene la sommatoria per  n    che va  da    1   ad    infinito    di
1/ 2^n   non dà un tempo infinito bensì   1
Quindi dopo un numero inifinito di dimezzamenti quali quelli proposti da
te non sarà trascorso un tempo infinito ma semplicemente un tempo pari a
t che, visti i dati del tuo problema è pari a 5 sec


 
|~~~~~~| 
|(O>   |\  Fabio Cavaliere (Homebrew apprentice & GLUG member)
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+------+

 indefinitavemente come puň superarlo?
Oddio, il I paradosso di Zenone!
Non si puo' coprire una distanza, perche' prima bisogna coprirne la meta';
Ma neanche la meta', perche' prima bisogna coprire la meta' della meta'...
eccetera eccetera...
Credo che la spiegazione piu' semplice per spiegare che "nel mondo reale"
noi ci riusciamo a coprire questa benedetta distanza sia (con qualche
cambiamento) quella data da Democrito...
In pratica quella divisione dello spazio non e' infinita, ma finita, quindi
si potra' arrivare a coprire una distanza...
--
______        ___       |ZeD|
\    /       |   \      +---+------------------------------------------+
    /        |    \     |Un giorno Dio creo' la padania.               |
   /^^^^^^^/ |     \    |Poi s' accorse dell' errore e creo' la nebbia.|
  /_______/  |      \   +-------------------+--------------------------+
 /           |       \  |Membro del Big Shot|
/___________\|________\ |e del W.K.F.C.     |

indefinitavemente come puň superarlo?
Quello che hai appena enunciato č uno dei piů famosi "Paradossi di
Zenone", ed č stato un vero rompicapo per molti matematici e non del
passato.
Non esiste una vera e propria soluzione, in quanto č l'approccio al
problema ad essere errato. Il concetto di infinito potrebbe produrre,
similmente, un numero indefinito di paradossi.
Il fatto che una distanza sia riducibile un numero infinito di volte
non vuol dire che essa non possa essere superata.
Jalabert 

Fabrizio Chiarello ha scritto nel messaggio ...
-ieri mattaina il prof di fisica ci ha spiegato il moto retilineo
-uniforme. dopo una notte insonne ho fatto il seguente ragionamento:
-poniamo un punto A fermo e B con v=2m/s, e la distanza tra A e B di
-10m: dopo 5 secondi B raggiunge A e poi lo supera.
-ora ripartiamo da capo, dopo 2,5s B sarà a AB/2 da A, dopo ad AB/4,
-eccetera.
-Qui mi perdo perchè non ci capisco + niente, perchè se si avvicina
-indefinitavemente come può superarlo?
E' l'antico paradosso di Zenone.
Effettivamente se tu analizzi per un tempo che si dimezza in continuazione
non lo supererà mai, in quanto alla fine l'incremento temporale infinitesimo
ti porterà al limite di tempo pari a 5 secondi.
Ma infatti lo sappiamo tutti che in cinque secondi lo potrà solamente
raggiungere ma non superare.
Solo che il tempo continua a passare e non si ferma a cinque secondi, e
nemmeno B si ferma a 10 metri.
Ciao, Mauro.

 indefinitavemente come può superarlo?
Eh, eh, dici la verità. sei uno studente di Filosofia e i paradossi di
Zenoneti hanno fatto ingrippare, per cui vuoi che li risolviamo noi
....Scherzi a parte, la risposta al tuo dubbio è in un certo senso
equivalente a quella del paradosso, nel senso che se si risolve la
 tua, anche il paradosso di Achille e della tartaruga è risolto. In
 effetti non c'è nulla di paradossale: semplicemente, come negli
 altri paradossi, Zenone fa degli errori di fisica o di logica
 matematica, ma dato che, se ( e sottolineo se ) non sbaglio,
 la fisica "fatta bene" nasce con Galileo e la logica matematica con
 Frege, nessuno può fargliene una colpa. Comunque già Aristotele risolse
 i paradossi ( come scrittore della "Fisica" e padre della logica, era
tenuto  a farlo), ma da quello che oggi ci è arrivato dei suoi testi non
 è semplice capire bene il suo ragionamento, per cui provo prima
con un ragionamento diverso.
Prima di tutto osserva che B si trova a AB/2 dopo 2,5 sec.,ma ad AB/4
ci arriva in soli altri 1.25 sec. E ad AB/8 arriva in altri 0.625 sec.,
eccetera: insomma vedi che per trovare l'istante di tempo t* in cui B
 arriva ad A, devi sommare infiniti intervallini di tempo, ma sempre più
 piccoli. Detto senza troppo rigore, qual è la loro somma per il
 numero di intervallini che va allo infinito? Si tratta della serie
2.5* sum(n,0,+inf)  [ 1/2^n], che ovviamente converge e ha per somma
 proprio... 5 , guarda caso! La somma degli infiniti intervallini non
è un tempo infinito, ma soli 5 sec. ergo dopo 5 sec. i due punti si
 incontrano: paradosso sgamato.
Se ancora non sei convinto, provo con un ragionamento logico, più che
matematico, che è + o - equivalente a quello che usa Aristotele. Col tuo
ragionamento tu dimostri che esistono infiniti istanti Tn in cui A e B non
si sono incontrati, difatti, per ogni n naturale, a Tn la distanza fra A e B
è pari ad AB/2^n, che non è mai zero (anche se tende a zero per n che va
all'infinito). E allora? Se non dimostri che questi istanti di tempo vanno a
l'infinito, ciò non dimostra affatto che l'istante t* di incontro (che non
appartiene  a {Tn}) fra A e B non esista, o sia infinito. Pure se tu hai
  una sbarra di ferro di estremi P e Q (altro paradosso di Zenone...)
e ci fai  una tacca a metà,  poi un'altra tacca a metà più metà di metà
 verso Q ,  eccetera eccetera, tu fai infinite  tacche sulla sbarra, che,
 per n che va all'infinito, si addensano verso Q, anche se nessuna tacca
 coincide con Q. Ma ciò non  vuol dire che la sbarra sia lunga infinito,
 nè tanto meno che Q non esista!
Spero di esser stato chiaro: il ragionamento in stile Zenone è in effetti
suggestivo, ma logicamente e matematicamente (se ha senso distinguere
fra le due) sbagliato. Se invece non mi son spiegato bene, spero di
aver il tempo per poter chiarire il mio discorso, ma, per motivi di studio,
non potrò frequentare il NG con regolarità, alemno per un pò.
Ciao
P.S.: La soluzione  vale pure se anche A si muove, ovviamente con
VA< 2 m/s, ( si ha esattamente il paradosso di Achille e della
 tartaruga): basta fare un semplice cambio di riferimento.

 Ciao, valter
Temo che non sia cosě semplice. 
Tempo fa credevo anch'io che i paradossi di Zenone
fossero facilmente risolvibili nell'ambito dell'analisi, poi 
ho dovuto cambiare opinione leggendo il libro di Martin Gardner,
 " Ah ! Ci sono ! " (Zanichelli 1987) capitolo 6, pag 209. 
Gardner dice che la soluzione dei paradossi di Zenone
richiede una teoria sistematica degli insiemi infiniti 
come quella di Cantor. La prova di ciň (dice Gardner)
č dovuta a  Bertrand Russell che nel libro "La conoscenza
del mondo esterno",  esamina i paradossi di Zenone e
conclude che la matematica pre-cantoriana (che include
le serie) non puň risolverli.     
Salute !
Corrado Massa
_
cm...@tin.it

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cm...@tin.it
Ciao, interessante. Ma spiegami un po', dov'e' il paradosso?
Io credevo che Zenone non assumesse per principio che avessero
senso le somme di infiniti enti  tutto qui. Invece dov'e' il punto?
Ciao, Valter


Direi che assolutamente non è così!
Un segmento si può matematicamente pensare come in corrispondenza biunivoca
con un sottoinsieme dei numeri reali, quindi i suoi punti sono infiniti (non
numerabili peraltro): una suddivisione del segmento continua
indefinitamente. No, la risposta giusta è quella che già hanno dato in
molti, cioè che la sommatoria infinita dei termini della successione 1/2^n
(cioè la serie) converge ad un limite finito; o qualunque sua variante si
voglia considerare.