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Titolo: Corrente in un filo

Ho una domanda per chi vorrà rispondermi. Mettiamo di avere un filo
cilindrico conduttore, percorso da corrente. Questa corrente creerà
all'interno del filo un campo magnetico B, che in teoria dovrebbe
influenzare le cariche in moto. La domanda è come varia la densità di
corrente all'interno del filo spostandosi dal centro verso la periferia?
[Sono uno studente di 5° liceo, se mi volete dare indicazioni o soluzioni
saranno ben accette]
VA

...

Il problema non e' per nulla semplice, anche se lo sembra. Non ti
delineo la soluzione ma ti faccio vedere i perche' della
complicazione. Immagina che la distribuzione di corrente nel tuo filo
sia uniforme in senso radiale. Allora il campo B all'interno del filo
cresce linearmente con la coordinata radiale. Per la presenza di una
densita' di corrente e di un campo ad essa perpendicolare vi sara' una
Forza di Lorentz che tende a spingere la densita' di corrente verso
l'esterno del filo. A questo punto la distribuzione di corrente non e'
piu' uniforme il campo non ha piu' la forma che avevi considerato
all'inizio e quindi la forza di Lorentz non e' quella che avevi
calcolato. Per risolvere bene il problema puoi utilizzare strumenti
matematici di cui non disponi cioe' le equazioni di Maxwell che sono
equazioni differenziali. Forse si puo' studiare un metodo per
calcolarlo con strumentipiu' semplici ma ci devo pensare. Io durante
la tesi avevo fatto piu' o meno la stessa cosa pero' con un
superconduttore e ci ho messo un mese e piu' per fare girare la
simulazione al computer.

 calcolato.
Forse mi sono spiegato male, non mi interessa l'evoluzione della
distribuzione di cariche nel filo, nel tempo, ma solo la distribuzione ad
equilibrio raggiunto, quindi quando forza di lorentz e forza elettrostatica
sono bilanciate.
VA

Lo so che non sa di granchè farsi le domande e rispondersi, però forse ho
risolto.
 Al'equilibrio va imposta nulla la risultante di forze su ogni carica.
Si possono considerare fisse le cariche positive, disposte nel filo con una
densità p, mentre la densità di carica per unità di volume delle cariche
negative, in movimento a velocità v, sarà q(R), funzione unica del raggio
(il che è abbastanza plausibile).
Ora, con la legge di Gauss si determina il campo elettrico E+(R) che si crea
nel filo a distanza R dal centro [che dovrebbe avere come espressione
E+(R)=p*R/(*eps0)]
Sempre con la legge di Gauss si trova E-(R). Qui ce va di mezzo un
integrale, visto che q varia con r.
Quindi si dovrebbe avere
E-(R)=1/(eps0*R)*INT(q(R)dV)=1/(eps0*R)*INT[0,R](r*q(r)dr).
L'ultima forza da considerare è quella di Lorentz che vale
F(R)=qv(vett)B(R). B(R) l'ho calcolato col teorema d'Ampere considerando che
la i che scorre dentro il cilindro interno al filo di raggio R vale
INT(J(R)dA) [J(R)=q(R)*v]. Insomma fatti tutti i conti mi viene che
B(R)=mu0*v/R*INT[0,R](r*q(r)dr). Come si vede stranamente l'integrale è
uguale a quello del campo elettrico.
Ora va imposto che E-(R)=E+(R)-v(vett)B(R) (le cariche le ho tolte tanto
sono uguali).
Fatto il calcolo (l'integrale l'ho fatto sparire derivando... credo possa
andare...) si trova che q(r)=p/(1-eps0*mu0*v^2)... quindi costante....
Naturalmente può darsi che sia tutto molto approssimativo....
VA

 VA
Anzitutto mi complimento per due cose:
1) La voglia di capire.
2) Una capacita' di schematizzazione e di ragionamento non comuni in
quinta liceo.
Ti faccio notare alcune cose, che, partendo dai miei complimenti
potranno farti arrivare alla soluzione (io non l'ho calcolata). Parti
dal fondo, cioe' dalla densita' di cariche negative che hai trovato.
La densita' di cariche positive e' costante per ipotesi (gli ioni del
reticolo non si sono spostati). L'integrale della densita' di cariche
positive sulla sezione (dato che essa e' costante basta moltiplicare
per Pigreca*R^2) deve essere pari all'integrale delle cariche negative
sulla sezione. Poiche' anche la densita' di cariche negative ti
risulta indipendente da r allora anche qui basta moltiplicare per
Pigreca*R^2. Uguagliando dovrebbe risultare che p=p/(1-eps0*mu0*v^2)
che e' vero solo nel caso in cui sia v=0 cioe' un caso statico. Quindi
ci deve essere qualcosa che non va. Non ti dico di che si tratta ma ti
istillo dubbi qua e la (anche sbagliati ma sono convinto che tu lo
risolvi).
1) Hai considerato la possibilita' che la velocita' v vari anch'essa
con r? Se si' perche' l'hai esclusa, se no pensaci.
2) L'operazione di derivazione che hai introdotto e' forse un po' poco
ortodossa?
3) Non hai utilizzato la relazione che lega l'integrale della densita'
di corrente alla corrente totale nel filo.
4) Non hai utilizzato (e come hai visto puo' essere utile) la
relazione di neutralita' nel filo.
A risentirci
Flavio

 di corrente alla corrente totale nel filo.
No l'ho fatto.... ho usato i=INT(J(R)dA) per poi calcolare B(R) con il
teorema d'Ampere.
ciao!
(per ora)
VA

 ha scritto nel messaggio
news:3r1ia.1119$mg5....@twister2.libero.it...
Una cosa che mi sono dimenticato. Nel filo evidentemente non basta come
coefficiente per il campo d'induzione magnetica B mu0, va moltiplicato per
il coefficiente adeguato...

...

Adesso ti dico come stanno le cose, dopo averto invitato a riflettere
su un po' di cose. Sono stato un po' cattivo perche' ti ho invitato a
riflettere su cose che non c'entravano niente. Sicuramente pero'
l'esercizio e' stato molto utile e ho apprezzato il fatto che tu abbia
dimostrato capacita' critica.
Anzitutto per studiare un problema ci vuole un sistema di riferimento
e tu, anche se non ne hai fatto specifica menzione, ti sei posto in un
sistema di riferimento solidale al reticolo di ioni positivi. Va
benissimo, i sistemi sono tutti ugualmente degni. I passi che hai
fatto poi sono:
1) Calcolo del campo elettrico prodotto dalle cariche positive
utilizzando il temorema di Gauss.
2) Calcolo del campo elettrico prodotto dalle cariche negative
utilizzando il temorema di Gauss.
3) Calcolo del campo magnetico con il teorema di Ampere.
4) Imposizione dell'annullamento della forza agente su una carica a
distanza r qualsiasi dal centro.
Poi su mia sollecitazione
5) Controllo della neutralita'di carica del filo.
Ti posso dire che il ragionamento che hai fatto e' sostanzialmente
corretto e se avessi fatto meglio in quinta liceo mi sarei stupito
perche' ti mancano delle conoscenze. Il problema sta nei punti 1,2,5.
Il teorema di Gauss si applica a un volume (valutando la carica in
essa contenuta)e alla sua superficie (valutando il flusso attraverso
essa). In tutti e tre i punti tu hai considerato invece la quantita'
di carica su una superficie e il flusso attraverso la circonferenza
che la delimita. Tu mi dirai:"Se voglio considerare il volume mi basta
moltiplicare la base per un tratto di lunghezza del cilindro, diciamo
L o meglio ancora 1. Questo fattore si ritrovera' sempre e poi verra'
semplificato. Il tuo ragionamento non fa una grinza pero' purtroppo
questo tratto, che ha lunghezza L nel sistema di riferimento solidale
alle cariche positive, si accorcia a L*(1-(v/c)^2)^0.5 se visto nel
sistema di riferimento solidale alle cariche in moto. Questo si
applica nel calcolare il campo elettrico al punto 2 e si riapplica nel
controllo della neutralita' al punto 5. Prova a rifare il problema
tenendo conto di questo. Non e' una tua colpa non potevi sapere queste
cose (almeno credo). Quando hai altri problemi fai un fischio che qui
trovi semrpre qualcuno pronto a risponderti, anche molto ma molto piu'
preparato di me.
flavio