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Titolo: Teoria del caos

Volevo chiedere al ng che considerazione riscuota  la teoria del caos
presso la fisica ufficiale, e quali strade puo' aprire alla conoscenza se e'
vero
che essa si pone nel "mezzo" rispetto al determinismo dell'ottocento e
l'indeterminazione
del novecento della Fisica.
L'argomento mi sembra non sia mai stato discusso sul ng, a parte un
thread (econofisica e psicostoria) proposto da "Ele" dove pero' si e'
scivolati  subito
nella letteratura fantascientoeconopolitica (scusate la parolaccia), e non
si e' piu'
affrontato scientificamente l'argomento.
Cosi mi sono chiesto se era considerata una teoria (che poi teoria non
doverbbe essere, essendo essenzialmente una serie di risultati matematici)
valida.
Grazie in anticipo (tanto e' gratis :-)
GP
--
Nuova moderazione in fase di test - perdonate i disagi

 del novecento della Fisica.
Ecco, tipico esempio di aureolazione misteriosa...
ciao!
a.


 a.
bah... se sbatti la porta (vedi punto esclamativo) perche' saluti?
GP


 Ecco, tipico esempio di aureolazione misteriosa...
Si', ma in senso culturale la cosa e' vera.
Cito:
"Qui, mi devo fermare e parlare a nome della grande comunita' di chi
pratica la meccanica. Siamo molto coscienti, oggi, del fatto che
l'entusiasmo che i nostri predecessori nutrivano per la meravigliosa
riuscita della meccanica newtoniana li ha portati a generalizzazioni,
nel campo della predicibilita' (...), che noi sappiamo ormai essere
false. Noi vogliamo collettivamente presentare le nostre scuse per aver
indotto in errore il pubblico colto diffondendo, a proposito del
determinismo dei sistemi che soddisfano le leggi newtoniane del
movimento, idee che si sono, dopo il 1960, rivelate scorrette".
Sir James Lighthill, presidente dell'International Union of Theoretical
and Applied Mechanics, citato in Prigogine, Entre le Temps et
l'Eternite', 1988 (la traduzione dal francese e' mia). L'articolo
originale e' J. Lighthill, "The Recently Recognized Failure of
Predictability in Newtonian Dynamics", in Proceedings of the Royal
Society, London, A 407, 1986, p. 35-50.
Fatto e' che la storiella del 'demone di Leibniz' o chiunque altro
fosse, insomma quello che riteneva di poter predire ogni evento ammesso
di possedere una conoscenza esatta dello stato dell'universo ad un dato
istante, si era diffusa nel pensiero colto (veramente anche per
Einstein, come e' noto, il tempo era reversibile, in teoria). Lo studio
dei sistemi caotici (cioe', in ultima analisi, dei sistemi mecanici non
integrabili) aveva portato almeno gli addetti ai lavori a comprendere
definitivamente che la storiella era falsa. Bisognava che qualcuno lo
facesse sapere anche al 'pubblico colto' (al quale mi onoro di
appartenere:), e pare che a partire dal 1986 ci stiano provando anche
nelle sedi "ufficiali".
In una parola, una strada che lo studio dei sistemi caotici ha aperto e'
quella verso la comprensione del fatto che, senza bisogno di conoscere
il principio di indeterminazione e la relativita' generale, ma solo con
un po' di meccanica newtoniana e di matematica, si puo' accedere alla
conoscenza del fatto che il futuro e' impredicibile per definizione. Vi
assicuro che per il 'pubblico colto' (lo so per esperienza diretta:) e'
una nozione fondamentale.
Federico Spano'


Definire "Giornale divulgativo" il Scientific American mi pare eccessivo ed
oltremodo offensivo...non vengono usate le eqq. perchè il target non è tanto
la ricerca quanto la discussione di argomenti scientifici molto complessi.
Una discussione che può essere divulgata solo a apersone con una solida base
scientifica, perchè chi, come me, legge il SF senza una solida base
scientifica capisce poco o niente!
Ciao e scusa l'intervento.


 
 Ciao, cosa intendi per "integrabili"?
 Intendi nel senso della teoria hamiltoniana (esistenza di 
 n integrali primi funzionalmente indipendenti e in involuzione). 
 Credo che quella di cui tu stai parlando e' piu' la teoria 
 dei sistemi ergodici che caotici.
 I sistemi caotici possono anche non essere hamiltoniani (basta 
 che lo spazio abbia dimensione dispari), anzi alcuni  sono 
 dissipativi e cio' e' impossibile per i sistemi hamiltoniani
 (per il teorema di Liouville). Comunque io non ho ancora visto
 una definizione precisa di sistema caotico, conosco solo sistemi
 detti "caotici" singolarmente, come il sitema di Lorenz, in cui 
 c'e' un attrattore strano...
 
 Ciao, Valter


Io sono uno studente in Fisica, l'anno scosro ho seguito nella mia Univ.
(Tor Vergata, Roma), il corso di "Fisica dei Sistemi Dinamici", tenuto dal
Prof. Benzi (credo si occupi di Turbolenza e argomenti affini alla
Metereologia).
L'argomento è molto scottante, perchè credo che sia innazitutto difficile
intendersi su cosa si sta effettivamente parlando.
Cosa intendi per "Teoria del Caos"?, io in effetti non è ho mai sentito
parlare se non in film di fantascienza tipo "Jurassic Park" (il
"Caosologo").
Non ho mai sentito parlare di Teorema del Caos per esempio.
Nel corso, il prof. Benzi, ci ha presentato un excursus di tematiche affini
alla problematica dei sistemi dinamici.
Tra di essi ci parlò del famoso articolo di Lorentz, in cui si parla di
"caos deterministico", ovvero di sistemi di equazioni, perfettamente
deterministiche che danno adito a soluzioni non-periodiche, e impredicibili
nella loro evoluzione.
Il grande passo avanti fatto dalla scienza da quel momento in poi e quello
di non essersi arresa di fronte a tali sistemi complessi, e apparentemente
ingenstibili.
Quella che tu intendi per TC, sono l'insieme dei tanti passetti avanti,
fatti nel cercare il modo giusto di studiare questi sistemi.
In effetti il problema è un probelma matematico (che  trova immediata
applicazione i questioni scottanti della fisica teorica moderna), ma è
principalmente un problema di "punto di vista".
Il sistema si presenta caotico, perchè non possiamo studiarlo con gli usuali
metodi, però possiamo studiarlo (se ci va bene) da un punto di vista
probabilistico, magari pero' la distribuzione di probabilità che ci servirà
non sarà comune, perchè, si è notato che i sistemi caotici spesso si
localizzano in insiemi di misura nulla molto strani (i frattali), oppure
dando una definizione di 'caoticità', possiamo "misurare", quanto un sistema
sia caotico (numeri di Lyapunov)...etc., etc.
Ho letto sull'argomento una raccolta di articoli (tra cui quello di
Lorentz), e lezioni, dal titolo "Chaos" (non ricordo né l'editore né
l'autore, ma quest'ultimo aveva un nome cinese o koreano non saprei dire).
Comunque sono daccordo con Alberto, perchè spesso si leggono in giro tante
baggianate, e l'argomento viene trattato con molta superficialità, anche da
persone del settore, il che a mio avviso getta molto fumo negli occhi e fa
apparire l'argomento come dotato di potenzialità che adesso come adesso non
ha.
Questo e a mio parere dovuto al fatto che (soprattutto negli Stati Uniti), i
ricercatori dovendo trovare personalmente i propri finanziatori, sono spinti
a farsi molta pubblicità, anche al di fuori dell'ambiente universitario.
Comunque l'argomento a me è piaciuto molto, e spero di poterlo approfondire
nel corso della mia carriera.
Andrea Coletta, Roma


 bah... se sbatti la porta (vedi punto esclamativo) perche' saluti?
??? Sbattere la porta ?
non sapevo che i punti esclamativi avessere anche questo significato :(
ti chiedo scusa e ti saluto :)
a.




 conoscenza del fatto che il futuro e' impredicibile per definizione. 
No, nell'ambito della meccanica newtoniana (e relativistica,
speciale e generale) il futuro e' *predicibile* per definizione,
anche nei casi caotici; e' "solo" esponenzialmente difficile da
prevedere. Disponendo di sufficiente potenza di calcolo in teoria
si potrebbe prevedere tutto, se non fosse per la Meccanica
Quantistica.
-- 
To reply, replace "smartassi" with "smargiassi" in my e-mail
address
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia



  Credo che bisogna mettersi d'accordo sui termini: che cosa 
  intendiamo per predicibile? Se intendiamo che c'e' una legge
  deterministica che descrive il sistema allora hai ragione.
  Se intendiamo invece che possiamo dire con qualche 
  approssimazione quello che accadra' allora hai torto.
  Io tendo a vederla come te, pero' ci sarebbe da discutere,
  forse Federico intende impredicibile in senso "pratico".
  Ciao, Valter


   Ciao, Valter
eh gia' e io aggiungerei qualcosa di piu':
anche dal punto di vista "galileiano" cioe' dal punto di vista di chi
considera "scientifico" solo cio' che si prevede e poi si sperimenta essere
come previsto allora, mi pare, la teoria del caos ha fatto capire che anche
nell'ambito della meccanica classica il futuro e' impredicibile. Possiamo
dire che e' "solo" esponenzialmente difficile da prevedere, ma nessun
esperimento (se andiamo in situazioni molto difficili da prevedere, e la
teoria del caos ci dice che la realta' e' sempre molto difficile da
prevedere) potra' provare la nostra affermazione; possiamo dirlo, ma e' solo
una affermazione di fede, mi pare. Attenendosi ai risultati sperimentali si
deve dire che, se anche la realta' fosse totalmente retta dalle leggi della
meccanica classica, allora non si puo' dare una risposta alla prevedibilita'
o meno della stessa, il che e' come dire, almeno cosi' sembra a me, che il
futuro e', anche "classicamente", impredicibile.
Io almeno l'ho capita cosi'.
--
Bruno Cocciaro
b.coc...@comeg.it
 
b.coc...@leonet.it
-------------------------------------------------------------------------
Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
Li spingemmo oltre il bordo. E volarono.
----------------------------------------------     (G. Apollinaire)


   forse Federico intende impredicibile in senso "pratico".
gli studiosi a cui mi riferivo nel post precedente sostengono
l'esistenza di sistemi descritti da leggi deterministiche, impredicibili
certo gia' in senso pratico, ma impredicibili anche in un senso piu'
'forte'; cioe', impredicibili anche se studiati con un arbitrario grado
di precisione.
E' appunto dell'esistenza di tali sistemi che vorrei una conferma da
qualcuno del gruppo.
Ricordo vagamente da studi fatti che esistono funzioni che hanno un
andamento 'piu' esponenziale degli esponenziali', non so nemmeno io che
cosa intendo dire, domando a voi se ha senso pensare a funzioni talmente
'esplosive' da non essere studiabili.
Federico Spano'


 ha.
--


 prevedere.
ben detto! per questo il parlare fumoso delle riviste divulgative
nasconde l'essenza dei sistemi caotici: aver ricondotto in ambito
deterministico
cio' che apparentemente non pareva modellabile deterministicamente
(scusate la ripetizione).
ciao


 
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|(O>   |\  Fabio Cavaliere (Homebrew apprentice & GLUG member)
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

 forse Federico intende impredicibile in senso "pratico".
Io credo di avere una posizione intermedia, forse perche' sono sensibile
agli ordini di grandezza in gioco.
Non concordo con l'affermazione di impredicibilita', come viene venduta
la pubblico che F. Spano' chiama "colto", perche' viene certamente
intesa in senso assoluto, senza qualificazioni.
Facciamo un esempio terra-terra: i moti di pianeti, comete, asteroidi
sono perfettamente predicibili, a condizione che si abbiano i dati
necessari. Ad es. qualche anno fa e' stato previsto esattamente che una
certa cometa avrebbe colpito Giove.
Eppure e' praticamente certo che il sistema solare e' caotico. Come
faccio a mettere d'accordo le due cose?
La risposta sta nel concetto di "tempo di Liapunov", che posso definire,
un po' alla buona, come il tempo in cui un errore iniziale nei dati si
amplifica di un fattore e (2.7...).
Ora e' probabile che per il sistema solare tale tempo sia dell'ordine
del centinaio di milioni di anni, quindi non c'e' nessun problema se si
vogliono fare previsioni entro un anno, un secolo, anche un milione di
anni. Con un miliardo di anni invece avremmo dei problemi, ma in realta'
li avremmo indip. dal caos, per il fatto che le forze in gioco non sono
esattamente note (non c'e' solo la gravita'...).
Viceversa, prendiamo un esempio ancora piu' banale e classico: un
biliardo con due palle (ideale: niente attriti, urti perfettamente
elastici, ecc.).
Anche questo e' un sistema caotico, e butto li' che se lancio una palla
con velocita' di 1 m/s il tempo di Liapunov sara' al massimo 10 s.
Supponiamo di voler prevedere le posizioni delle palle dopo un minuto,
con l'approssimazione di 1 cm: dato che il tempo e' 6 volte quello di
Liapunov, occorrera' che le posizioni iniziali siano note con incertezza
inferiore a 1/e^6 = 0.0025 cm. Non e' facile.
E se volessi fare previsioni a un'ora? Avrei bisogno di un'incertezza
iniziale inferiore a 1/e^360 < 5E-157 cm.
Percio' non e' questione di potenza di calcolo...
Mi pare pero' che la domanda originaria fosse "che cos'e' la teoria del
caos?"
Direi che l'espressione e' appunto un'invenzione della divulgazione di
cui sopra.
Non c'e' una "teoria del caos": c'e' un settore di ricerca che vanta
antecedenti illustri e antichi (Poincare', Liapunov) ma ha preso vigore
solo negli anni '60. 
La scoperta del "comportamento caotico", e del fatto che questo e' molto
piu' diffuso di quanto si credeva, ha portato a tentativi di trovare
leggi generali, anche attraverso ricerche "sperimentali" (matematica a
computer). 
Non puo' stupire che tali ricerche siano divenute possibili solo da
quando si dispone di potenze di calcolo (e di mezzi di rappresentazione,
ad es. grafici) adeguati.
Un altro settore della ricerca concerne l'applicazione di quelle ...
regolarita' allo studio di fenomeni naturali (es. battito cardiaco) o
comunque di laboratorio (es. eccitazione dei laser).
Questo e' quasi tutto quanto ne so, detto in breve.
Sul valore culturale: messe da parte le esagerazioni e le distorsioni,
e' un fatto che oggi non si puo' insegnare neppure la meccanica
elementare senza fare almeno un cenno al comportamento caotico; che la
distinzione dei sistemi hamiltoniani integrabili dai non integrabili
viene fatta con molto maggiore chiarezza.
Provate a riguardare ad es. il "magnifico trattato di LL" (parole, credo
sarcastiche, di Arnol'd): l'esposizione e' fatta in modo da lasciar
credere che i sistemi integrabili siano la regola, o quanto meno una
buona approssimazione di qualunque sistema hamiltoniano.
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica



Ma infatti! Questo è un tipico esempio di cambio di punto di vista!
Queste sono le possibili prospettive della TdC, le baggianate a cui mi
riferisco, sono i "caosologi" dei film americani tipo "Jurassic Park" che
annunciano che "tutto dipende dal caos", e che presto sapremo prevedere il
futuro!
La mia critica è sul giornalismo "sedicente scientifico", che spara i
titoloni, senza realmente approfondire argomenti che se non sono
approfonditi lasciano il tempo che trovano!
Se vai in una qualsiasi libreria e cerchi qualcosa sui frattali il piu' che
trovi sarà un libro di foto di disegni fatti al calcolatore di insiemi
frattali! La bellezza dei Frattali!
Sì!, per far si che i giovani acquistino interesse per questi argomenti,
bisogna passare anche per queste vie, ma secondo me spesso l'argomento è
trattato con eccessiva superficialità, e troppo spesso mi capita di sentire
dei giornalisti che si riempiono la bocca di paroloni buttati poi al vento!
Forse sto' uscendo troppo dal seminato, ma volevo dichiarare la mia
indigniazione nei confronti di questa situazione, e non era un'attacco
(spero si sia capito!) a nessuno dei partecipanti alla discussione.


  Ciao, cosa intendi per "integrabili"?
Ciao, metto insieme quel poco che so di matematica e le mie letture di
Prigogine per cercare di spiegare che cosa intendo per 'non
integrabili'.
Premesso che non ho conoscenze tali da capire alcunche' di quello che
hai scritto:
Usavo il termine 'non integrabili' solo perche' lo usava Prigogine, non
mi ero posto problemi piu' sottili.
Immagino che non ci sia una definizione precisa di 'sistema caotico'.
Credo che nella definizione si possano includere:
i sistemi deterministici (le cui leggi cioe' sono descritte da equazioni
in cui non compaiono termini casuali) il cui comportamento non e'
predicibile (basta il problema dei 'tre corpi' per ottenere questo);
i sistemi dissipativi;
altre cose che non so. Per esempio non so in che misura i due insiemi
che ho appena elencato possano intersecarsi.
In senso piu' stretto (e piu' utile) credo che vadano intesi come
sistemi caotici quelli dotati di un attrattore strano. Altrimenti a che
servirebbe studiarli?
Quello che mi premeva far sapere nel mio messaggio era che, per il
pubblico colto, lo studio dei sistemi caotici ha comportato due
sostanziali novita':
1. I sistemi fisici sono generalmente non predicibili;
2. Si possono studiare con profitto pratico sistemi impredicibili ma
dotati di attrattori strani.
Novita' non da poco, dato che comportano bazzecole come
l'irreversibilita' del tempo, che lo stesso Einstein non considerava.
Non so se la negasse, certo non la prendeva in considerazione.
Ciao
Federico Spano'



Ciao,  si hai ragione a meno che nella definizione di ergodico si richieda
esplicitamente
che sia  non integrabile (come io tendo a pensare, ma  e` vero, e`solo
convenzionale).
In effetti  dipende da cosa intendiamo per ergodico, se intendiamo alla
Landau
semplicemente che le medie  temporali sono uguali a quelle spaziali nella
regione dello spazio
delle fasi permessa al sistema (ovvero che il tempo che passa il punto
descrivente il sistema
in un insieme misurabile [secondo Riemann] della regione ammissibile
e`propozionale
al volume della regione)   allora ogni sistema integrabile non degenere
e`ergodico
a meno di un insieme di misura nulla nella scelta dei valori degli integrali
primi che
determinano il toro su cui avviene l'evoluzione...
Ciao, Valter
PS. questo e`uno degli ultimi messaggi che scrivo sul NG: non ho piu'
tempo  ed ho troppo da fare,  quando avro`piu`tempo ritornero


 ergodico?
 Ciao Elio, dipende dalle definizioni: per me "un sistema NON integrabile
 si dice ergodico quando...". pero' nella sostanza hai ragione: per i
 sistemi integrabili valgono i teoremi della media che si cercano di
 dimostrare in quelli ergodici (se a questo ti riferivi).
 Ciao, Valter


 buona approssimazione di qualunque sistema hamiltoniano.
Ahem.. allora non sono l'unico al mondo che osa trovare un tanticchia
sorpassato e facilone il mega-trattato di LL...
Ogni volta che cerco di dire la medesima cosa, le mie affermazioni
sono trattate peggio delle famose tesid i martin lutero..
ehm...
ehm...
ciao
Alberto d'Onofrio


Alberto d'Onofrio
ciao, non ho sottomano il LL ma di fatto la maggior parte dei testi di
meccanica improntano l'esposizione in modo da mostrare una meccanica fatta
di sistemi integrabili, questo è probabilmente riconducibile al fatto che se
venisse mostrata agli studenti, di cui molti poco o molto poco interessati
alla meccanica classica, una situazione fatta di sistemi in generale non
integrabili si avrebbe una caduta esponenziale della attenzione
all'argomento. Comunque non voglio fare Bastian contrario ma le situazione
fisiche riconducibili ad hamiltoniane integrabili o completamente separabili
sono di interesse del tutto generale anche e soprattutto in ambito di
approssimazione classica, esempio scontato l'oscillatore armonico, certo è
pure vero che le teorie usate si sono evolute proprio sul fatto che i
sistemi usati erano integrabili (o quasi). Altrettanto vero è che in
generale i sistemi integrabili sono pochi il resto non lo è o lo è quasi, ma
in quanti corsi di meccanica si fa teoria canonica delle perturbazioni?
saluti Adriano Amaricci


 
Scusate se mi intrometto nella discussione ma secondo me per 'non
integrabili' Prigogine intende quei sistemi dinamici descritti da
equazioni differenziali che non sono risolvibili per via analitica.
Infatti 'integrare una eq. diff." č un sinonimo di trovarne una
soluzione per via analitica, o almeno mi pare che sia cosě.
Saluti.


ciao,
io non mi riferivo tanto al punto particolare dei sistemi integrabili,
quanto
all'impostazione generale del corso di LL.
tra l'latro su questo punto specifico il LL sarebbe giustificato dal fatto
che
a quei tempi i mezzi di calcolo a disposizione degli studenti erano lapis e
carta...
e tu del LL che ricordo ne hai ? buono o  cattivo ?
a presto
a.


> Immagino che non ci sia una definizione precisa di 'sistema caotico'.
Un sistema č caotico se ha numero di Lyapunov positivo, ovvero se la
dipendenza dalle condizioni iniziali non č continua, ma anzi le soluzioni si
allontanano esponenzialmente al variare delle condizioni Iniziali.


 
Mi pareva di ricordare che, oltre alla sensibile dipendenza dalle
condizioni iniziali fosse necessaria la condizione di transitivita'
topologica.
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ciao, puoi spiegarti meglio, cosa č il numero di Lyapunov (intendi gli
esponenti?)? in che modo viene rotta la dipendenza continua dalle condizioni
iniziali?
ciao Adriano Amaricci


 topologica.
Cioč?


Credo che valga:
Sistema Caotico => Impredicibile
Impredicibile => non necessariamente Caotico (potrebbe essere semplicemente
Random, ammesso che esistano in fisica sistemi random... ma sono comunque
un'ottimo modello!)


 
Riferendomi a sistemi dinamici "discreti" (ma il ragionamento e' analogo),
detta f[n](U) l'n-ma iterata di f su U, dove U e' un sottinsieme
dell'insieme di definizione della mappa, per ogni sottinsieme V differente
da U esiste un m intero finito tale che
	\intersezione{f[m](U),V} non vuota.
Alcuni chiamano "mixing" questa condizione. Il mio prof (forse citando
qualcuno piu' celebre, non saprei) diceva che e' come mettere un po' di
cioccolata nell'impasto della torta e rimescolare: dopo un po' il
cioccolato si distribuisce in tutto l'impasto... Mi pare che la sola
dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali non garantisca questo
fatto. Ciao,
P.S. Mi pare che ci sia qualcosa a riguardo in "An introduction to chaotic
dynamical systems" di Devaney.
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 \intersezione{f[m](U),V} non vuota.
In pratica tale condizione equivale a dire che il sistema è ergodico (?).
Ovvero verrà esplorato tutto lo spazio delle fasi.


Scusate, ho bisogno di un aiuto per un problema molto semplice, che pure non mi
torna per qualche motivo.
Dovrei calcolare il campo risultante di un elettrone sospeso ad altezza  d/2
su di una lastra piana di lato d; il calcolo con l'integrale doppio lo so fare,
e il ris. torna, tuttavia ho dei dubbi nell'applicare Gauss, che dovrebbe
semplificare il discorso, e invece mi crea problemi.
Qualcuno saprebbe dirmi come si risolve mettendo dentro il flusso di E?