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Titolo: somma in quadratura

Poniamo che misurando la lunghezza di una sbarra A trovo che le mie
misure si distribuiscono in modo gaussiano (come DEVE avvenire, se
faccio tante misure e uso uno strumento che misura troppo "finemente",
tipo usare un cronometro centesimale utilizzando semplicemente i
propri riflessi), magari ci sono in ballo anche errori sistematici ma
non mi interessa qui, diciamo che ottengo che la sbarra ha lunghezza A
+-a. Misuro poi una seconda sbarra e trovo che ha lunghezza B+-b. Ora
accosto le due sbarre (supponendo che abbiano i bordi perfettamente
lisci e che le accosto perfettamente bene). Cosa posso dire sulla
lunghezza di questa nuova sbarra che ho creato? Posso affermare che è
caratterizzata anch'essa da una distribuzione di probabilità
gaussiana? Se si, la sua deviazione standard e data da sqrt(a^2+b^2)?
Se si, posso considerare tutto ciò come una giustificazione della
procedura di somma in quadratura?
Grazie a chi vorrà rispondere.

 procedura di somma in quadratura?
No. in questo caso le variabili casuali NON sono le lunghezze delle sbarre, 
ma le MISURE di dette lunghezze. La misura della sbarra ottenuta accostando 
la prima alla seconda è del tutto indipendente dalle misure effettuate sulle 
sbarre singole. Per cui la variabilità della variabile casuale 'misura della 
nuova barra' dipenderà solo dalle condizioni sperimentali in cui essa sarà 
effettuata.
G. De M: 

 Grazie a chi vorr rispondere.
Ciao
Vorrei suggerirti una cosa.
Supponi di aver misurato la tua sbarra, con gli errori e tutto il
resto, e i valori ben riportati su una scheda... diciamo N misurazioni
in totale.
Ora, secondo te... se prendi la sbarra e la dividi in n pezzi (non
uguali ehhh).... oppure e poi in m pezzi, e poi in s pezzi, e cosi'
via, ed ogni volta operi sempre e soltanto N misurazioni (quindi N/n
oppure N/m su ogni pezzo... etc etc) alla fine ottieni o no lo stesso
valore per la intera sbarra?

 sperimentali in cui essa sarà effettuata.
Come dire che le informazioni già in tuo possesso sono perfettamente 
inutili e la nuova barra non ha assolutamente nulla a che vedere con le 
precedenti?
Le condizioni sperimentali sono le seguenti: separo le due parti che 
compongono la sbarra completa, quindi le misuro una a una, dopodiché 
riunisco le due parti prendendo come MISURAZIONE (e NON come MISURA) la 
somma dei due valori.
Quindi non fare il saputello e cerca di capire la domanda prima di 
postare: non hai notato il "Cosa posso dire sulla lunghezza di questa 
nuova sbarra" ?
-- 
Il popolo ha scelto Barabba.

 nuova sbarra" ?
Io ho risposto alla domanda:
"Se si, la sua deviazione standard e data da sqrt(a^2+b^2)?"
A mio parere no, perchè la formula suddetta si applica al calcolo della 
deviazione standard di una variabile casuale che è somma di due variabili 
casuali (indipendenti l'una dall'altra). I risultati della misurazione della 
barra ottenuta dall'unione delle due barre non è la somma delle misure 
ottenute nelle misurazioni precedenti.
G. De M.

 procedura di somma in quadratura?
Credo che la procedura possa essere dimostrata matematicamente, in maniera
semplice, almeno nel caso gaussiano e di misure indipendenti, facendo
appunto riferimento al significato probabilistico/statistico delle
incertezze sperimentali, cioe' associando all'intervallo A+-a un contenuto
di probabilita' che si richiede sia uguale a quello di S+-s, dove S=A+B,
appunto (le regole della propagazione degli errori in generale sono
approssimate ma in questo caso, lineare, credo si tratti di un risultato
esatto).
se invece hai davvero delle sbarre da misurare e stai cercando una
giustificazione sperimentale, il risultato non e' cosi' scontato.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 procedura di somma in quadratura?
Dalla mia risposta non puoi giustificare nulla, casomai e' la mia
risposta che ha bisogno di una giustificazione :-)
Per evitare di manipolare sbarre, ti propongo un problema equivalente,
molto frequente in pratica. Vi sono tre punti sul terreno, P1,P2 e P3.
Con strumenti da geometra misuri il dislivello fra P1 e P2, trovando
A+-a, e fra P2 e P3, trovando B+-b. Puoi dire che il dislivello fra P1 e
P3 e' A+B +-sqrt(a^2+b^2)? Se le due misure effettuate sono del tutto
indipendenti si', ed e' quello che si fa normalmente quando la misura
diretta del dislivello fra P1 e P3 non sia praticamente possibile
(perche' per esempio P1, P2 e P3 si trovano lungo la curva di una galleria).
La giustificazione teorica sta nella teoria della propagazione degli
errori (googla o cercalo su Wikipedia).
Cosa accade se ora riesci ad effettuare, con una terza misura
indipendente, anche la misura diretta del dislivello fra P1 e P3?
Otterrai un terzo valore C+-c, ed in generale *non* sara' C=A+B
(devi aspettarti pero' che C cada all'interno dell'intervallo
A+B-sqrt(a^2+b^2) - A+B+sqrt(a^2+b^2). Se questo non avviene, devi
sospettare la presenza di errori grossolani e provare a ripetere tutte
le misure. Se di nuovo questo non avviene, devi sospettare la presenza
di errori sistematici, e metterti a cercarli.)
Posto z(P1)=z1=0, ti ritrovi con tre equazioni in due incognite z2 e z3:
z2 = A
z3 = C
z3-z2 = B
che non possono, in generale, essere soddisfatte da un'unica soluzione.
Con le conoscenze che hai ottenuto dalle misure, puoi cercare pero' la
loro stima piu' probabile, il che si ottiene con una compensazione ai
minimi quadrati. Googla, una buona trattazione (non so se alla tua
portata) e' qui:
http://geomatica.como.polimi.it/presentazioni/MQ.pdf
Un sottoprodotto di tale procedura e' la matrice varianza covarianza di
tutte le grandezze stimate, dalla quale si puo' ricavare l'incertezza
della stima di z3 *tenendo conto di tutte le misure effettuate*:
l'incertezza risultera' inferiore sia a c che a sqrt(a^2+b^2).
Il bello e' che *anche* per z2 e z3-z2 otterrai nuove stime, diverse da
A e da B, e le incertezze delle stime di z2, e di z3-z2, risulteranno
inferiori rispettivamente ad a e a b: la terza misura consente di
affinare le stime anche delle grandeze misurate in precedenza.
-- 
TRu-TS

 procedura di somma in quadratura?
Come ha detto Army, se X e Y sono due variabili casuali gaussiane di
medie mu_x e mu_y, varianze (sigma_x)^2 e (sigma_y)^2 rispettivamente,
la loro somma Z = X + Y e' ancora una variabile casuale gaussiana di
media: mu_z = mu_x + mu_y e, se sono  indipendenti, varianza:
(sigma_z)^2 = (sigma_x)^2 + (sigma_y)^2.
Quest'ultima relazione si dimostra facilmente.
Per definizione (sigma_x)^2 = E[(X-mu_x)^2]
dove E(V) indica il valore di aspettazione di una variabile V
(Expectation in inglese).
Allora E[(Z-mu_z)^2] = E{[(X+Y) - (mu_x + mu_y)]^2} =
= E{[(X-mu_x) + (Y-mu_y)]^2} =
= E[(X-mu_x)^2 + (Y-mu_y)^2 + 2(X-mu_x)(Y-mu_y)]
= (linearita' del valore di aspettazione) =
= E[(X-mu_x)^2] + E[(Y-mu_y)^2] + 2E[(X-mu_x)(Y-mu_y)] =
= (per l'indipendenza delle variabili X e Y l'ultimo termine e' 0)=
= (sigma_x)^2 + (sigma_y)^2.
Nota che in questa dimostrazione ho usato l'indipendenza di X e Y ma
non il fatto che fossero gaussiane (la loro distribuzione puo' essere
qualunque).

 sbarre, ma le MISURE di dette lunghezze.
I bayesiani avrebbero qualcosa da ridire su ciò...


 I bayesiani avrebbero qualcosa da ridire su ciň...
Di Bayes conosco solo il teorema omonimo (della probabilitŕ delle cause).
Non mi č chiaro perchč i bayesiani avrebbero da ridire sulla mia 
affermazione.
G. De M. 

Grazie di tutte le risposte. Sulle quali rifletterò! Io ho provato a
fare dei conti. Ho supposto che le misure della sbarra A siano una
successione A_i e le misure della sbarra B siano una successione B_i
(con lo stesso numero n di misure). Ho considerato una terza
successione A_i+B_i e ne ho calcolato il quadrato della deviazione
standard, imponendo che sia uguale al quadrato delle altre due
deviazioni standard. Si semplificano molte cose e ho trovato che le
deviazioni standard si sommano in quadratura se
n sum_i (A_i B_i) = (sum_i A_i) (sum_i B_i)
Questo è vero se le misure di A sono sempre uguali e le misure di B
sono sempre uguali (caso poco interessante, sigma nulla...) ma non
vedo perché debba essere sempre vero se le due misure sono
indipendenti. Nell'ottenere quell'equazione ho supposto che la
sommatoria per i che va da 1 a n di un termine che non contiene la i,
vale quel termine moltiplicato per n (ad esempio la sommatoria per i
che va da 1 a n di 2 è 10), è giusto?

 che va da 1 a n di 2 e' 10), e' giusto?


 che va da 1 a n di 2 è 10), è giusto?
Giusto, solo ti sei dimenticato di scrivere n = 5. ;-)
In conclusione, e' vero in generale che la varianza della somma di
due variabili casuali indipendenti e' uguale alla somma delle varianze,
non e' vero che la varianza campionaria di due variabili casuali
indipendenti sia uguale alla somma delle varianze campionarie delle
due variabili.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 due variabili.
Cio�. se ho capito, la mia scelta di utilizzare per la sbarra composta
le stime A_i + B_i (lavorando su quella che chiami varianza
campionaria) e non tutte le stime che realmente potevo ottenere, ha
compromesso tutto?

 compromesso tutto?
No.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 


Secondo qualche interpretazione della probabilità, la probabilità di un 
evento deterministico (o di un evento già passato) è sempre o 0 o 1...



Forse si tratta di una questione di lana caprina, ma non vedo perchè si 
debba considerare 'casuale' una grandezza sconosciuta.
Poichè però, alla fin fine, si può lavorare solo sulla distribuzione dei 
valori osservati, le differenti definizioni finiscono per essere 
irrilevanti. O no?
G. De M.