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Titolo: Relativita'

 Unruh oppure al teorema di Bisognano-Wickmann.)
Grazie di tutto, ma la frase finale mi e' oscura. L'effetto Unruh non mi
riesce nuovo, ma ho dimenticato che cos'e'. Il teorema che citi non l'ho
mai sentito nominare...
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

Elio Fabri wrote:

L'effetto U. e' il seguente: se metti un campo nello spaziotempo di Minkowski
nello stato di vuoto e poi prendi  un detector e lo acceleri ad accelerazione
costante (nel suo sisitema di quiete istantanea) allora lui "sente" un baglo
termico
di particelle ad una temperatura che dipende (mi pare che sia proporzionale)
alla
sua accelerazione.  Domani ti dico il resto ora dovrei chiudere...
a domani, Valter

 ...
Hai perfettamente ragione, e ti ringrazio.
Anche l'edizione inglese lo riporta, ma mi era sfuggito, non so perche'.
Il bello e' che io ero convinto, per un ricordo lontano, che ci doveva
essere.
E mi tornava, perche' la mia tesi e' che l'argomento e' scomparso solo
nei testi moderni. Evidentemente col passare del tempo si continua a
capire meglio la rel...


 alla sua accelerazione.
   (Continuazione)
    Un altro modo di vedere la cosa e' quello di fare la teoria dei campi nel
cuneo
    di Rindler (destro o sinistro) che e' una regione globalmente iperbolica.
    Tieni conto che il detector accelerato e' in quiete nelle coordinate statiche
di Rindler.
    Si costruisce lo stato di  vuoto detto di Fulling-Unruh decomponendo le
soluzioni
    dell'equazione di Klein-Gordon in parti a frequenza positiva e negativa
rispetto
    alla coordinata temporale di Rindler e costruendo il propagatore di Feynman
    esattamente come nel caso minkowskiano.  Lo stato di vuoto costruito genera
    uno spazio di Fock che non e' unitariamente equivalente a quello di Minkowski
ed
    ha le sue "particelle".
    La cosa notevole e' la seguente, se passi dagli stati puri a quelli misti,
scopri che
    il vuoto di Minkowski ristretto al cuneo di Rindler e' uno stato termico (KMS
piu'
    propriamente) e l'assenza di particelle minkowskiane corrisponde ad una
presenza
    infinita di particelle di Fulling-Unriuh, la temperatura dipende
dall'accelerazione
    dell'osservatore. Questo risultato e' in termini matematici, basati
    anche su teorema GNS, il contenuto del teorema di Bisognano-Wichmann. Esiste
un
    teorema successivo detto  di Sewell che estende il risultato a teorie
interagenti e
    non solo libere (tuttavia non mi ricordo ora l'enunciato preciso, dovresti
trovare tutto
    sul libro di Haag "Local Quantum Physics" della Springer).
    Esiste poi un teorema che generalizza in un certo senso questi risultati allo
spazio di
    Schwartzschild provando che se c'e' uno stato con particolari simmetrie simili
a
    quelle del vuoto di Minkowski (mi pare, anche qui dovrei controllare), allora
si tratta
    di uno stato termico (KMS) con la temperatura di Hawking. Questo e' il teorema
di
    Kay-Wald. Il teorema prova anche che in certi tipi di spaziotempo, tipo
    quelli con metrica "ruotante" non possono esistere stati termici come quello
di Hawking...
     Che c'entra tutto questo con le coordinate polari e cartesiane?
     Ecco qui. Come saprai, in coordinate minkowskiane
     puoi anche fare la teoria dei campi euclidea. Cioe' in riferimento alle
     funzioni ad n punti euclidee e poi tornare nel Minkowski. Nello spazio
piatto, la teoria
     euclidea e' ben fatta se soddisfa gli assiomi di  Osterwalder-Schrader, che
assicurano che le
     funzioni ad n punti ottenute prolungando nel tempo lorentziano quelle
euclidee soddisfano
     gli assiomi di Wightman.  Consideriamo per semplicita' solo le funzioni a 2
punti.
     Le funzioni a 2 punti euclidee sono piu' maneggevoli  per vari motivi, anche
perche',
     prima di tutto sono di meno: ci sono solo funzioni di Green propriamente
dette, mentre nel
     lorentziano hai le funzioni di Wightmann, il propagatore di Feynman e le
soluzioni
     anticipate e ritardate (ovvero il commutatore). Le funzioni a 2 punti
euclidee determinano
     con un prolungamento analitico nel tempo tutto il bestiario di funzioni a 2
punti lorenziane
     in un colpo solo.  La rotazione di Wick  e' il prolungamento analitico e tra
le altre cose e'
     quello che trasforma le coordinate minkowskiane in coordinate cartesiane
ortogonali.
     La cosa interessante e' che la procedura di "rotazione di Wick" nel *tempo di
Minkowski*
     commuta con quella nel *tempo di Rindler* e le due "rotazioni" producono due
sistemi
     di coordinate sulla stessa varieta' euclidea: le coordinate cartesiane e
quelle, polari in
     due coordinate in un piano di  R^4 passante per l'origine e cartesiane nelle
rimanenti due.
     L'angolo delle coordinate polari  dette e' il "tempo euclideo Rindleriano".
Infatti nella legge
     di trasformazione tra coordinate di Minkowski e quelle di Rindler si passa da
funzioni iperboliche
     a quelle trigonometriche se il tempo di Rindler e' preso immaginario.
     Tutto questo purche' si identifichino i punti sulla retta dei  tempi euclidei
di Rindler che
     differiscano per 2pi (con un fattore dipendente dall'accelerazione).
     Altrimenti la varieta' euclidea ha una singolarita' conica e non puo'
risolvere ovunque le
     Equazioni di Einstein della gravita' euclidee.
     Uno puo' allora andare a studiare, dimenticandosi della teoria fisica, le
funzioni di
     Green (cioe' l'inverso dell'operatore) di un operatore come  -laplaciano +
massa^2
     in R^4 e con qualche specificazione scopre che sono tutte figlie di quella
ben nota che
     si annulla uniformemente a zero all'infinito e che diventa proporzionale a
1/r^2 nel caso di
     massa nulla.
     Questa funzione di Green e' necessariamente periodica rispetto alla
coordinata polare
     angolare di cui sopra, perche' eredita questa invarianza dall'operatore di
Laplace
     (e dalle condizioni all'infinito). La cosa notevole e' che quando torni al
tempo lorentziano
     nel cuneo di Rindler in coordinate di Rindler,  la periodicita' di questa
funzione di Green
     si continua analiticamente  in una condizione  piu' complicata che altro non
e' che la condizione
     KMS che stabilisce che lo stato (che e' il vuoto di Minkowski) e' uno stato
termico
     rispetto al vuoto di Fulling-Unruh. Il periodo euclideo diventa l'inverso del
parametro
     beta che compare nella distribuzione energetica degli einsiemi canonici (che
non e' proprio
     l'inverso della temperatura misurata dal detector a causa della relazione di
Tolman, ma
     differisce solo per un fattore legato al termine g_00 della metrica di
Rindler).
      Spero che, ma temo che non,  sia  abbastanza chiaro, se vuoi notizie piu'
precise e
      bibliografia... basta dirlo.
      Ciao, Valter