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Titolo: Velocità relativistiche e gravità

Domanda forse ingenua...
 
 
Secondo la teoria della relatività all'aumentare della velocità aumenta la massa; all'aumentare della massa sappiamo che aumenta l'attrazione gravitazionale.
 
 
E' mai stato condotto un esperimento volto a generare una gravità "artificiale" facendo ruotare un cilindro all'interno di un campo elettromagnetico?
 
Raffaele

 Secondo la teoria della relatività all'aumentare della velocità aumenta la
massa;
 
La massa di un corpo è un invariante relativistico, pertanto è
indipendente 
dallo stato di moto del corpo rispetto a uno specifico sistema di
riferimento inerziale.
Il concetto di "massa relativistica" (quella che in un opttica
old-fashioned si supponeva variare con la velocità), concetto ormai
obsoleto e pressoché inutilizzato, si riferisce alla massa inerziale e non
alla massa gravitazionale.
Pertanto anche volendo guardare le cose dal punto di vista ormai superato
della "massa relativistica", la massa gravitazionale di una massa in moto
non varia con la velocità del corpo.
 
Saluti,
Aleph
 
 
 
-- 
 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it
 
 

 massa in moto non varia con la velocità del corpo.
 
Old fashioned...-concetto obsoleto...-punto di vista ormai
superato della "massa relativistica". Potresti,per favore,"esplodere" 
questi concetti e/o rimandarmi a libri/articoli/pagine web in cui questi 
argomenti vengono trattati in maniera precisa e "moderna" ?!?
Ti faccio un esempio: secondo quello che ricordo delle trasformazioni di 
Lorentz ecc.,la massa aumenta con la velocità. Adesso questo non è più da 
considerarsi vero ???  grazie.

 considerarsi vero ???  grazie.
 
Se vai a vedere le formule relativistiche per l'impulso o l'energia vedrai
che vi compare la *massa* (quella vera) e, a dividere, un termine che è la
radice della quantità (1-v^2/c^2); al tendere di v a c ciò che tende
all'infinito sono l'energia E e l'impulso p; l'affermazione secondo cui vi
tenderebbe la massa relativistica deriva dal definire quest'ultima come 
mo/sqrt(1-v^2/c^2), ma si tratta, come dicevo di una definizione non
particolarmente utile, visto che la "massa relativistica" non è una
grandezza invariante.
 
Testi, a esempio: Jackson Classical Electrodynamics o Landau Lifshitz
Teoria dei campi.
Su Internet divertiti a googlare con Special relativity mass.


 massa in moto non varia con la velocità del corpo.
Non e' cosi' semplice...
Tempo fa ho fatto un calcolo di questo tipo.
Mettiamoci nella geom. di Schwarzschild.
Un corpo cade in dir. radiale, e passa un laboratorio fermo con una
certa velocita' v.
Calcolo l'accelerazione, e la sostituisco nella formula della RR per
ricavarne la forza agente.
Sorpresa! La forza non e' GMm/r^2, ma (GMm/r^2)*gamma.
La stessa cosa capita anche se il moto e' tangenziale anziche' radiale.
 
Sembra dunque lecito concludere che la massa gravitazionale (passiva)
e' m*gamma.
 
Sto rivedendo gli appunti del calcolo per renderli piu' chiari.
Se e quando mi riuscira' di finire, li mettero' nel mio solito sito.
 
 
-- 
Elio Fabri
 
... ho dalla mia, dal tempo in cui entrai in politica, risultati
che saranno scritti nei libri di storia.
 
S. Berlusconi, 17-1-2011
 
http://www.ilfoglio.it/soloqui/10407
 

 Se e quando mi riuscira' di finire, li mettero' nel mio solito sito.
 
Il discorso naturalmente m'interessa per cui aspetto di poter leggere i
tuoi appunti sull'argomento; tuttavia la questione posta in apertura del
thread concerne la massa gravitazionale attiva (e non passiva) del corpo
in movimento.
Non so se ti è mai capitato, ma non è raro leggere post in cui si dice che
un corpo dotato di massa M collaserebbe come un buco nero pur di muoversi
a velocità sufficientemente vicine a quella della luce. 


 Non ho capito che esperimento proponi, ma comunque leggi quanto segue.
 
Purtroppo ho nozioni molto scarse di fisica, quindi non ho capito i tuoi ragionamenti successivi.
 
 
Il ragionamento mio è forse basato su concetti errati, ma da quel poco che so spingere una massa a velocità relativistiche è pressochè impossibile in quanto, all'aumentare della velocità, aumenta la massa, e di conseguenza aumenta l'energia necessaria per accelerare ulteriormente il corpo.
Tale energia tende ad infinito avvicinandosi a c.
 
Però, se l'attrazione gravitazionale è legata alla massa, non dovrebbe aumentare di conseguenza?
 
Di conseguenza, un rotore ideale la cui rotazione arrivi a velocità relativistiche, non dovrebbe a sua volta generare un campo gravitazionale?
 
Raffaele

 questi argomenti vengono trattati in maniera precisa e "moderna" ?!?
 
V. ad es.:
 
http://www.df.unipi.it/~fabri/dialogo/dialogo.htm
 
 
http://www.itep.ru/theor/persons/lab180/okun/em_3.pdf
 
 
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html
 
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 fermi rispetto al sistema di riferimento del laboratorio.
 
Perche' non vera?
A me sembra invece proprio vera, poiche' l'energia
cinetica di rotazione da' un contributo all'energia *interna*
del corpo, e la massa gravitazionale del corpo aumenta
in conseguenza della E = mc^2, in cui E e' l'energia
interna.
Nel contesto della RG si puo' dire che quando il
corpo ruota allora varia il suo tensore energia-impulso
che e' sorgente del "campo gravitazionale" (geometria
dello spaziotempo), quindi varia la geometria dello
spaziotempo.
Chiaramente l'effetto non e' misurabile per corpi di
dimensioni macroscopiche, mentre sarebbe piu'
marcato (non so se misurabile, ad es. l'energia cinetica
dei quark nel nucleo da' un contributo determinante alla
massa del nucleo?) nel caso di corpi microscopici,
in cui la variazione di energia cinetica interna puo'
essere sensibilmente maggiore in rapporto alla
massa del corpo.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 spaziotempo.
OK, questo sì.
Ma ripeto, il discorso era partito all'interno della R.R.


 e' piu' da considerarsi vero ??? grazie.
Questo non e' mai stato vero.
Quello che puoi dimostrare usando le leggi di conservazione e le
trasf. di Lorentz e' che la q. di moto non e' proporzionale a v, ma e'
una funzione piu' complicata:
 
p = kv/sqrt(1 - v^2/c^2).
 
Per piccole velocita' questa si riduce a p = kv, dal che si vede che k
non e' che la solita massa newtoniana.
Punto e basta.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Ciao

 valido.
A quale articolo ti riferisci?
Perche' arriverebbe a risultati diversi dai miei...
 
 
-- 
Elio Fabri

 Perche' arriverebbe a risultati diversi dai miei...
Il link lo aveva gi� dato Bibbiani, comunque � qui:
http://www.worldscibooks.com/etextbook/6833/6833_02.pdf
La relazione cui mi riferivo � la (16) dove compare un prodotto scalare
tra il raggio vettore e la velocit� del corpo ultrarelativistico (di l� la
dipendenza dall'angolo cui accennavo).


 in relativitÃ  generale?
 
Avevo pensato a un esperimento del genere: due masse uguali di massa M
poste a distanza L l'una dall'altra, in moto a velocità ultrarelativistica
v nel piano x-y di un sistema di riferimento inerziale S, con direzione
parallela all'asse x e verso concorde con quello delle x positive.
 
Le due masse sono inizialmente ferme (al tempo t'=t=0 in cui gli assi x' e
y' coincidono con i corrispondenti assi del sistema S) nelle posizioni (0,
L/2) e (0, -L/2) del sistema S', che si muove rispetto ad S con velocità
pari a v nel senso delle x crescenti.
 
Analizzando il moto sulla base della supposizione che viste da S le masse
gravitazionali appaiano pari a M*gamma, mentre viste da S' siano uguali a
M, mi sembra che si giunga a un risultato contraddittorio.
Risulta anche a voi?


 ultrarelativistico (di l� la dipendenza dall'angolo cui accennavo).
Ho visto, grazie.
Purtroppo Okun non dice come ci si arriva, ne' cita alcuna fonte.
Tu ne sai qualcosa?
 
-- 
Elio Fabri
[...] il pilone era quasi completamente ricomparso, con il suo legno
nerastro e viscido circondato da grappoli di schiuma. Era la marea,
aveva cercato di spiegargli suo padre, ma lui aveva sempre saputo che
era il pilone. Solo che certe volte non lo si vedeva. Senza pilone,
non c'era nemmeno la marea.

 Aleph
Ad ogni modo questa formula riguarda una forza calcolata in un 
riferimento diverso da quello a cui si riferisce Fabri. Qui i punti di 
coordinate r rimangono costanti nel tempo, usando queste coordinate il 
sistema non è localmente inerziale, del resto la formula contiene un 
fattore gamma infatti la "massa" di prova è proprio E/c^2.
Lo stesso problema affligge i riferimenti "inerziali" 
dell'approssimazione di campo debole. Se uno vuole studiare la 
deflessione della luce naturalmente può usare riferimenti in caduta 
libera, ma al momento dell'uscita deve andare a raccordarsi in ogni 
caso ad una metrica piatta, quindi va bene fare i conti con tutti i 
coefficienti di connessione usando anche coordinate come quelle 
dell'articolo di Okun, se però si pone questioni operative che 
riguardano la misura dell'inerzia gravitazionale  di un oggetto in moto 
rispetto ad un ideale laboratorio spaziale deve considerare che il 
laboratorio spaziale è in caduta libera.

 Aleph

 Risulta anche a voi?
A me non risulta, semplicemente perche' non capisco il quadro teorico
di riferimento.
Non puoi ragionare sulla forza gravitazionale in RR come se fosse una
forza elettrica
Sappiamo che una gravitazione relativistica esiste, ma si chiama RG.
Dovresti trattare l'esperimento in RG (cosa che io non so fare) e mi
aspetto che nascerebbero delle difficolta' gia' a enunciare con
chiarezza il problema.


 forza elettrica
...
 
Ok, questo è pacifico, ma in questo modo si ritorna nuovamente al tema di
partenza del thread: mettiamo in fila alcuni punti fermi.
 
La relazione tra "massa relativistica" e velocità è una relazione propria
della R.R., non della R.G. 
La domanda di apetura chiedeva, sulla base dell'identificazione "massa
inerziale" (relativistica) e "massa gravitazionale" in R.R., se era stato
mai eseguito un certo tipo di esperimento per rilevare l'eventuale
incremento degli effetti gravitazionali dovuti a un aumento della "massa
gravitazionale" con la velocità, nella guisa della ben nota formula che
esprime in R.R. la "massa relativistica" m= mo/sqrt(1 - v^2/c^2).
 
La gravità non è definibile coerentemente (cosa peraltro nota) nel quadro
teorico della R.R.?
Perfetto.
Ma allora la risposta chiara alla domanda dell'OP deve essere che non ha
senso identificare in R.R. "massa relativistica" inerziale e "massa
gravitazionale".
 
In R.G. il problema teorico posto dall'esperimento è trattabile
teoricamente, ma anche lì non sembra esistere, neppure
nell'approssimazione di ricorrere al concetto di forza, che non è proprio
della R.G., una "massa gravitazionale" con valore E/c^2.


 fattore gamma infatti la "massa" di prova Ã¨ proprio E/c^2.
 
Non è E/c^2, poiché tale espressione è modulata dai termini in parentesi,
uno dei quali dipende dall'angolo tra vettore velocità e raggio vettore.
In quanto al fatto che il sistema non sarebbe inerziale, in realtà lo è
con eccellente approssimazione visto che Okun sta considerando un corpo
della massa di un elettrone nel campo gravitazionale di un corpo delle
dimensioni del Sole o della Terra.


 Aleph

Tetis ha scritto:
 > Ad ogni modo questa formula riguarda una forza calcolata in un
 > riferimento diverso da quello a cui si riferisce Fabri. Qui i punti di
 > coordinate r rimangono costanti nel tempo, usando queste coordinate il
 > sistema non e' localmente inerziale, del resto la formula contiene un
 > fattore gamma infatti la "massa" di prova e' proprio E/c^2.
Ho due obiezioni: la prima e' che tu non sai in quale rif. ho
ragionato io, perche' non l'ho detto :)
La seconda e' che di quello che dice Okun io non capisco niente.
Ho qui davanti l'articolo, e copio la frase rilevante:
"In the simplest case of a light relativistic body such as a photon or
an electron of mass m traveling with energy E and velocity c = beta*c
in the gravitational field of a very heavy body of mass M such as the
Earth or the Sun, the force acting on the light body has the form (eq.
16)"
Non capisco il contesto: RR o RG? Sembrerebbe RR, e se cosi' fosse si
spiegherebbe che non spieghi il rif. (e' quello inerziale del corpo M)
ne' il significato delle coordinate come r.
Pero' non so da dove piova la forza di gravita', e come si giustifichi
la formula.
Se invece il contesto fosse RG, avrebbe bisogno di molte spiegazioni:
quale rif. sta usando? Che cosa significano le coordinate e grandezze
come v?
Soprattutto: come e' definita la forza?
Ho fatto una ricerca, sia in internet sia in biblioteca, ma non ho
trovato niente: ne' nei libri che ho a casa (Landau, Moeller, Rindler,
MTW) sia in Wald o Weinberg.
Qualcuno sa dare indicazioni dell'origine e giustificazione di quella
formula?
Quanto al mio ragionamento, avevo annunciato un appunto scritto, ma mi
sono fermato in attesa di chiarire la misteriosa formula (16): se
infatti si tratta di un risultato ben noto, visto che e' molto diverso
dal mio, dovrei capire come si giustifica, per decidere se ho scritto
c...ate :)
Comunque vi accenno molto sommariamente le basi del mio ragionamento.
1. Geom. di Schwarzschild.
2. Mi metto in un lab. *fermo* (r, theta, phi costanti) e studio il
moto di un corpo che segue una geodetica di tipo tempo.
3. Distinguo due casi particolari: cauta radiale e moto tangenziale.
Di questi, il primo e' molto piu' semplice.
4. Questo moto nel rif. (lab.) accennato appare accelerato: le misure
di spazio e di tempo le faccio usando tempo e lunghezza proprie del
lab., che ovviamente differiscono dalle coord. di Schw.
5. Trovata l'accelerazione, la collego alla forza usando la dinamica
della RR, e cosi' ottengo la forza misurata nel lab.
6. Nel caso del moto tangenziale c'e' una difficolta' addizionale:
dato che le sezioni spaziali non sono euclidee, anche una geodetica di
tipo spazio e' curva, e la curvatura (acc. centripeta) dovuta alla
gravita' va corretta sottraendo questa curvatura.
7. Alla fine, trovo che in entrambi i casi la forza e' proporzionale al
prodotto M*m*gamma.
Aleph ha scritto:
 >> Non puoi ragionare sulla forza gravitazionale in RR come se fosse una
 >> forza elettrica
 > Ok, questo è pacifico, ma in questo modo si ritorna nuovamente al
 > tema di partenza del thread: mettiamo in fila alcuni punti fermi.
 > ...
 > La gravità non è definibile coerentemente (cosa peraltro nota) nel
 > quadro teorico della R.R.?
 > Perfetto.
E allora il tuo problema che cosa significa?
 > In R.G. il problema teorico posto dall'esperimento è trattabile
 > teoricamente, ma anche lì non sembra esistere, neppure
 > nell'approssimazione di ricorrere al concetto di forza, che non è
 > proprio della R.G., una "massa gravitazionale" con valore E/c^2.
Avevo anticipato che per quanto mi riguarda non lo e'.
Sara' ignoranza mia, ma non saprei da dove cominciare.
Se e' stato trattato, potresti indicarmi da chi, dove?
 > In quanto al fatto che il sistema non sarebbe inerziale, in realtà lo è
 > con eccellente approssimazione visto che Okun sta considerando un corpo
 > della massa di un elettrone nel campo gravitazionale di un corpo delle
 > dimensioni del Sole o della Terra.
Questo non mi e' chiaro.
Potresti spiegarmelo alla luce di quanto ho scritto sopra?
Tetis ha scritto:
 > A prima vista la forza cui fa riferimento Okun sembra ottenuta in
 > questo modo: si parte da un riferimento inerziale, e si definisce il
 > moto in assenza della massa centrale, in questo riferimento il moto
 > dell'elettrone e' inerziale e possiamo considerare intorno all'elettrone
 > un riferimento inerziale. A questo punto si aggiunge una forza che
 > __non perturba__ il riferimento la cui intensita' e' G(M gamma) m/r^2 
nel
 > riferimento di quiete dell'elettrone, e si ritorna al riferimento
 > inerziale di partenza: le formule che sortiscono sono quelle che ha
 > scritto Okun.  Lo possiamo controllare nei due limiti: la forza che
 > agisce su una particella in moto lungo la direzione stessa di
 > applicazione della forza e' uguale alla forza nel riferimento di quiete,
 > (nel nostro caso GM(e/c^2)/(r)^2 dove e == m gamma) la forza che agisce
 > su una particella in moto lungo la direzione ortogonale a quella di
 > applicazione della forza e' uguale alla forza nel riferimento di quiete
 > divisa per gamma (nel nostro caso GM(e/(gamma c^2))/(r^2) = GMm/r^2 )
 >
 > Questi comportamenti limite sono coerenti con la modalita' di
 > derivazione che ho illustrato, ricordo infatti che per particelle in
 > quiete nel riferimento S' in moto a velocita' beta lungo x rispetto ad
 > S risulta:
 >
 > Fx = Fx'
 > Fy = Fy'/gamma
Piano, piano :-)
Ci sono un paio di cose che non capisco...
 > la cui intensita' e' G(M gamma) m/r^2 nel
 > riferimento di quiete dell'elettrone,
Perche'?
 > le formule che sortiscono sono quelle che ha scritto Okun.
 > Lo possiamo controllare nei due limiti:
 > ...
A me non sembra proprio. L'hai guardata bene la formula di Okun?
Nel caso trasversale c'e' un fattore 1+beta^2, che da' il fattore 2
per i fotoni.
Come lo concili con quello che dici tu?


 Come lo concili con quello che dici tu?
 
In realtà con quello scambio di segni nemmeno si concilia: in direzione 
radiale i beta entro parentesi si cancellano e rimane Fx', come 
corretto, ma in direzione tangenziale rimane Fx'/gamma^2 e non 
Fx'/gamma.
 

 Potresti spiegarmelo alla luce di quanto ho scritto sopra?
 
Ho fatto confusione.
In effetti Okun chiarisce che la eq. (16) vale nel sistema del laboratorio
che è "localmente non inerziale" ed è questo quello che conta.


 prodotto M*m*gamma.
 
 
Seguendo questa impostazione ed il paragrafo 88 di Landau, problema 1, 
giungo alla tua stessa conclusione: per una metrica costante statica, 
cioè indipendente dal tempo e senza termini metrici di tipo misto 
spazio-tempo, come è il caso della metrica di Schwarzschild, la forza 
che agisce su una particella in moto con velocità spaziale di 
laboratorio v risulta:
 
f = - mc^2 gamma(v) grad(ln(g_00)/2)
 
mentre l'accelerazione di un corpo in quiete nello stesso punto è 
naturalmente ottenuta utilizzando questa stessa formula con v = 0 e 
ricordando che la forza nel limite newtoniano è pari ad ma quindi 
risulta:
 
a = - c^2 grad(ln(g_00)/2)
 
perciò in termini dell'accelerazione, misurata dai dinamometri o dagli 
esperimenti di moto libero dei gravi nel laboratorio, la forza che 
agisce su un punto materiale in moto in questa metrica è certamente:
 
f= m a gamma(v)
 
Per quanto riguarda i termini quadratici nella velocità facilmente 
possono residuare da un errore di calcolo. Il fatto che non compaiano 
dipende infatti da una cancellazione esatta fra i termini che compaiono 
dall'equazione geometrica del moto, che esprime la derivata della 
velocità rispetto al tempo locale ed uguali termini che provengono 
dalla derivata covariante dell'impulso, basta dimenticarsi di tenere 
conto della connessione nel calcolare la derivata dell'impulso per 
trovarsi dei termini quadratici in beta simili al primo termine in 
parentesi dell'equazione 16 di Okun.
 
Per avere un comportamento anisotropo della forza, dipendente dalla 
direzione relativa del campo e della velocità il discorso è più 
delicato, occorrerebbe che la metrica avesse delle componenti miste di 
tipo tempo-spazio, ma nessuna approssimazione della metrica di 
Schwarzschild può dar luogo a termini di questo tipo.  Più facilmente 
potrebbero comparire usando coefficienti di Christoffel approssimati o 
erroneamente calcolati.
 
L'unico caso in cui termini del genere potrebbero sortire, non per un 
errore di calcolo ma per una particolare scelta di coordinate diverse 
da quelle consuete di Schwarzschild come di Einstein è il caso in cui 
si ridefinisse la coordinata temporale come una qualche funzione 
t(r,theta,phi,t_s). Qui intendo che t_s è la coordinata temporale di 
Schwarzschild. In questo caso infatti potrebbero comparire termini 
misti di tipo spazio-tempo nella metrica. Ad ogni modo  una semplice 
ricalibrazione centrale cioè del tipo t(r,t_s) non porterebbe alcuna 
anisotropia nelle misure di forza.
 
Curiosamente Okun, nel suo libro, secondo il link proposto recentemente 
da Aleph cita proprio la formula 3 della sezione 87 del Landau, che è 
la formula di Newton generalizzata al caso della relatività generale, 
come punto di partenza per calcolare la forza del campo gravitazionale 
su un punto materiale, ma non considera che il calcolo esatto della 
forza che sta cercando, ammesso sia quello che capisco dalle sue 
parole, può essere effettuato in modo generale nel caso di metrica 
statica, ed in modo esatto per la metrica statica di Schwarzschild, 
quanto meno per le particelle dotate di massa di riposo.
 
Tenendo conto dell'espressione per l'energia (costante del moto):
 
E = mc^2 gamma(v) g_00^(1/2)
 
l'espressione già ricavata per la forza prende la forma generale:
 
f = - (E/(g_00)^(1/2)) grad(ln(g_00)/2)
 
nel caso particolare della metrica di Schwarzschild risulta:
 
g_00 = (1-r_g/r)
 
ovvero, ricordando che r_g = 2 GM/c^2:
 
f = GMm gamma(v)/[(1-r_g/r)r^2]
 
ed in termini dell'energia:
 
f =  GM (E/c^2)/(r^2(1-r_g/r))