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Titolo: Espansione libera di un gas.

     Propongo una variante ideale dell'esperimento di Joule Thomson. In una
scatola
composta da due contenitori cubici da 1 decimetro di lato ciascuno, separati
da un
setto, un gas occupa una metà. Il setto viene rimosso per un tempo
brevissimo e quindi
ricollocato. Il cammino libero medio è di qualche chilometro (ad esempio
10^14 molecole)
in modo che gli urti durante la rimozione del setto siano trascurabili. Si
sa che dopo
che il setto è stato ricollocato una frazione pari ad un decimo del gas
inizialmente
presente in uno dei due contenitori è passato all'altro. Che temperature nei
due
contenitori dopo il riequilibrio, assumendo pareti e setto isolanti?
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 contenitori dopo il riequilibrio, assumendo pareti e setto isolanti?
Nel limite di validità dell'approssimazione di gas ideale la stessa direi.
Sbaglio o la densità iniziale che postuli (10^14 molecole per dm^3) è un
po' bassina?
Saluti,
Aleph
-- 
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 contenitori dopo il riequilibrio, assumendo pareti e setto isolanti?
Dipende da quanta massa sia passata nel frattempo.
Assumendo la temperatura e ogni altro parametro  dei due gas uguali, il 
passaggio (vado  memoria), dei due gas nel secondo setto avviene come se 
l'altro gas fosse assente, questo porta a concludere che il gas ai fini 
pratici si sia espanso. Quindi partendo da quando massa sia rimasta nel 
primo setto ti calcoli la temperatura del primo gas, e fai lo stesso per 
l'altro gas che è passato nel setto considerando l'espansione di tipo 
adiabatico (in fondo per il gas corrisponde a un maggior "spazio 
disponibile")
Ti consiglio di calcolare la temperatura passando attraverso l'equazione 
di stato dopo aver calcolato la pressione totale e parziale dei due gas.


Se gli urti tra le molecole sono trascurabili, allora immagino che non
si possa definire una temperatura, in quanto questa richiede la
ridistribuzione dell'energia tra le molecole per urto.

Tetis ha scritto:

Visto che sei tu a proporre il problema non può avere una risposta 
semplice :-)
Normalmente uno direbbe: non si compie lavoro, tutto è adiabatico e 
quindi l'energia interna si mantiene. L'energia dipende solo dalla 
temperatura ergo la temperatura delle due parti si mantiene uguale a 
quella iniziale. Joule pari pari.
Ma visto che non può essere cosi semplice, immagino che tu ti riferisca 
alla possibilità che nell'aprire il setto per un tempo molto breve e per 
un gas molto rarefatto, la distribuzione delle velocità delle molecole 
nelle due parti risulti modificata rispetto a quella che c'era 
all'inizio nella prima parte. Distribuzione modificata -> riequilibrio 
-> temperature diverse (forse).
Forse è così ma, siccome l'apertura del setto non è un intelligente 
diavoletto di Maxwell, non ne vedo la ragione e per confutarlo sarei 
portato ad utilizzare una dimostrazione simile a quella di Feynman sulla 
stratificazione di un gas in un campo gravitazionale.
Daniele Fua
UniRomaUno

 contenitori dopo il riequilibrio, assumendo pareti e setto isolanti?
Non ho tempo di fare i calcoli espliciti, do solo una traccia della
soluzione (secondo me naturalmente :-).
Questo apparato e' sostanzialmente un selettore di velocita',
che favorisce la fuoriuscita delle molecole piu' veloci, quindi
chiamando 1 il contenitore in cui e' contenuto inizialmente il
gas e 2 l'altro, alla fine, dopo il riequilibrio, si avra' T2 > T1.
Per le ipotesi fatte, suppongo che le molecole urtino
elasticamente le pareti dei contenitori, e non interagiscano
tra loro. Se il setto giace nel piano y-z, allora
verranno influenzate solo le distribuzioni delle
componenti x delle velocita' delle molecole,
chiamando v il modulo della componente x della velocita',
se n1(v, t) e n2(v, t) sono le distribuzioni al tempo t dei moduli
delle componenti x delle velocita' delle molecole contenute
nei due recipienti, allora valgono le condizioni:
(1)  n1(v, 0) = NMB(v), n2(v, 0) = 0,
(2)  n1(v, t) + n2(v, t) = NMB(v),
ove NMB(v) e' la distribuzione di Maxwell-Boltzmann per
il modulo della componente x della velocita'
del gas nel recipiente 1 alla temperatura iniziale T
(normalizzata al numero totale di molecole N).
Il numero di molecole aventi velocita' in un intervallo
dv intorno a v che passano da un recipiente all'altro
in un tempo infinitesimo dt e' direttamente proporzionale
al valore di v e al valore di n(v, t), quindi
vale l'equazione differenziale:
(3)  dn2(v, t) / dt = - k * v * (n2(v, t) - n1(v, t)),
ove k e' una costante opportuna che dipende dalla geometria
dell'apparato, sostituendo la (2) nella (3) si ha:
(4)  dn2(v, t) / dt = - k * v * (2 * n2(v, t) - NMB(v)),
che ha soluzione, per la data condizione iniziale:
(5)  n2(v, t) = NMB(v) * [1 -  exp(- 2 * k * v * t)] / 2
imponendo la condizione che al tempo t1 nel recipiente
2 sia passato il 10 % delle molecole:
(6)  Integrale[n2(v, t1) dv, da 0 a +oo] = 0.1 * N,
si ricava il valore di k * t1 corrispondente, e si sostituisce
nella (5) per trovare la forma esplicita della distribuzione
nel recipiente 2 della componente x della velocita' al
tempo t1, quindi si sostituisce questa distribuzione
nella formula per il calcolo dell'energia totale delle
molecole, aventi massa m, nel recipiente 2
(k_B = costante di Boltzmann):
E = N / 10 * k_B * T +
Integrale[1/2 * m * v^2 * n2(v, t) dv, da 0 a +oo],
e si impone che all'equilibrio valga:
E = 3/2 * N / 10 * k_B * T2.
La differenza con l'esperienza di Joule sta nel fatto che
in quel caso le molecole che passano nel recipiente
2 sono termalizzate dagli urti con le altre molecole.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Giorgio Bibbiani
Ciao. Grazie per il tempo dedicato, mi piacerebbe adesso vedere
di impostare il problema dell'evoluzione delle distribuzioni nell'ipotesi
di indipendenza dei moti. Ci aggiorniamo.


 ha
scritto:

Sono trascurabili nel tempo di apertura del setto, mentre diventano
rilevanti in seguito, con 10^14 molecole, se non ho sbagliato i calcoli
il cammino libero medio è dell'ordine del chilometro, quindi il tempo
medio fra due collisioni, a temperatura ambiente, è dell'ordine di 3
secondi che è un'enormità rispetto al tempo di 10^(-2)/300 secondi
che stiamano il tempo di apertura necessario perchè un decimo della
popolazione passi da un settore all'altro.


 UniRomaUno


 soluzione (secondo me naturalmente :-).
[cut]
Non dovrebbero essere tenute in debita considerazione anche le
fluttuazioni statistiche delle grandezze termodinamiche all'interno del
gas?
Per 10^14 particelle abbiamo dT/T = 10^-7 che, immaginando il gas alla
temperatura iniziale Ti = 300 K, corrisponde a circa 3 centomillesimi di
grado; per la porzione di gas che finisce nella parte inizialmente vuota
del contenitore le fluttuazioni statistiche sono dell'ordine del
decimillesimo di grado.
Ora sebbene non abbia fatto i conti ho come l'impressione che la grandezza
delle fluttuazioni statistiche (almeno con la densità proposta da Tetis)
sia tale da nascondere l'effetto di "riscaldamento" dovuto alla selezione
operata (anche questa in media, vale a dire su numerose esecuzioni
distinte dell'esperimento) dal dispositivo sulle particelle più veloci del
gas. 



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1/2 * N / 10 * k_B * T2.
E correggo la correzione precedente (evidentemente
farei meglio a pensare prima di scrivere :-(
Se nella hamiltoniana di una molecola del gas ci sono K
termini quadratici, allora l'energia totale e':
E = (K - 1) / 2 * N / 10 * k_B * T +
Integrale[1/2 * m * v^2 * n2(v, t) dv, da 0 a +oo],
e si impone che all'equilibrio valga:
E = K / 2 * N / 10 * k_B * T2.
Spero che sia giusto adesso... :-)
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

"Tetis" ha scritto:
...
Ho capito leggendo la tua risposta che
avevo interpretato male l'enunciato del problema,
giustamente tu intendevi che il setto e' una intera parete
che separa i due cubi, mentre io lo avevo inteso
(evidentemente mi piaceva tentare di risolvere quest'altro
problema ;-) come un foro nella parete, abbastanza
grande perche' durante il processo fossero trascurabili
gli urti intermolecolari, ma abbastanza piccolo perche'
nei due recipienti le distribuzioni delle molecole
fossero a ogni istante spazialmente uniformi
(la prima richiesta e' automaticamente soddisfatta
se si considera idealmente un gas di punti
materiali non interagenti, la seconda puo' essere
soddisfatta solo approssimativamente).
Altro mio errore: nella parte finale ho chiamato
energia totale E quella che invece e' solo
l'energia cinetica totale di traslazione delle molecole
del gas, comunque sarebbe bastato imporre piu'
semplicemente che:
Integrale[1/2 * m * v^2 * n2(v, t) dv, da 0 a +oo] =
1/2 * N / 10 * k_B * T2.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 di 1/3 in più della temperatura iniziale. 
...
Come ottieni questo risultato? 
L'espressione per l'energia totale delle molecole passate nel recipiente
inizialmente vuoto che ho trovato io è la seguente (integrale doppio):
E = (m/2)*N*INT[0,1]dl(INT[vmin(l), infinito](f(v)*v^2*dv)
dove:
- m è la massa delle particelle (gas monoatomico) 
- N = 10^14  
- l = x/x0 con x0 = 10 cm lato del recipente
f(v)*dv = probabilità secondo Maxwell di avere una particella con velocità
lungo x compresa tra v e v +dv
- vmin(l) = x0*(1-l)/dt velocità minima necessaria a una particella che si
trova in x ( con   0 < x < xo ) per passare dall'altra parte entro il
tempo dt di apertura del dispositivo (dell'ordine del milionesimo di
secondo).   
Dopo la termalizzazione delle particelle la temperatura di equilibrio nel
secondo recipiente diventa quindi:
Tf = (m/3k)*INT[0,1]dl(INT[vmin(l), infinito](f(v)*v^2*dv) 
 
Non so quanto viene poiché non ho svolto esplicitamente i calcoli, ma
considerando il taglio esponenziale piuttosto violento che compare nella 
f(v) il risultato che hai fornito mi sembra esagerato.
Saluti,
A.M. 


 Giorgio Bibbiani



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 particolare, però, può essere evitato.
E' questo il punto che non mi convince.
Nelle formule che ho scritto sopra il risultato contiene appunto integrali
gaussiani incompleti e a priori non mi sembra che si possa approssimarli
estendendo il limite inferiore d'integrazione.
Del resto il calcolo numerico esatto (almeno per chi possiede software
come Mathematica o consimili) non dovrebbe essere troppo complicato da
eseguire. 
Quando ho un minuto voglio provare a calcolare l'espressione semplificata
della (2') (quella con l'integrale semplice) con Excel, ma dubito che
otterrò un risultato preciso. 
Saluti,
Aleph



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