Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: discretizzazione della sfera

Salve a tutti,
ho un problema di geometria che dovrei risolvere, ma non riesco a
trovare dei testi che lo affrontino.
Il mio problema e' questo: devo dividere la superficie di una sfera in
n parti uguali (quindi dividere la sfera in n angoli solidi uguali), ed
identificare il punto "centrale" delle singole aree. In altre parole,
quello che mi serve e' una "discretizzazione" dell'angolo solido in n
vettori.
Sapreste consigliarmi un testo o un articolo dove trovare qualcosa
sull'argomento?
Grazie in anticipo
Natascia

 Natascia
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

pal_a...@yahoo.com
 ha scritto:

Ciao Natascia.
Il tuo primo problema credo sia quello del dividere in angoli solidi
uguali.
Devi calcolare l'area della porzione di superficie, e dividerla per il
quadrato del raggio della sfera.
Se sei in coordinate sferiche, puoi ricordare che l'elemento di
superficie e' (detto theta=t e phi=f)
r^2 x sin(t) x dt x df
se i contorni della tua area sono segmenti  di meridiani e paralleli,
l'area della porzione si calcola semplicemente:
A= | r^2 x int (f1,f2) { df } x int (t1,t2) { sin (t) dt } = r^2 x
(f2-f1) x (cos(t1)-cos(t2)) |
da cui si vede che se (f2-f1) e' tenuto costante per tutte le porzioni
(chiamiamolo F), anche (cos(t1)-cos(t2)) va tenuto costante, quindi
ovviamente essendo z=r x cos(t), basta creare degli spicchi che abbiano
z equispaziato.
Detto questo, puoi calcolare il centro di ogni spicchio facendo
l'integrale di x,y,z in coordinate sferiche, diviso per l'area A; ad
esempio, puoi scrivere
           r^2 x int (f1,f2){df} x int(t1,t2){ r x cos (t)x sin (t)dt }
<z> =
-----------------------------------------------------------------------------------
                | r^2 x int (f1,f2) { df } x int (t1,t2) { sin (t) dt }
|
e vengono sempre integrali trigonometrici che puoi esprimere come
funzione di cos(t1) e cos(t2) che si riportano sempre a z1 e z2.
Spero di non aver scritto troppe stupidaggini, e di esserti stato
d'aiuto...

 identificare il punto "centrale" delle singole aree. 
Non è difficile.
L'equazione parametrica di una superficie sferica, centrata nell'origine e
di raggio r è:
x(th,ph)=r*cos(th)*sin(ph)
y(th,ph)=r*sin(th)*sin(ph)
z(th,ph)=r*cos(ph)
con 0<=th<=2*Pi e -Pi<=ph<=Pi
th è la longitudine, ph la colatitudine. (Pi è pigreco)
A questo punto basta discretizzare i domini di riferimento di th e ph in un
numero voluto di punti discreti th(i) e ph(j).
Sostituisci le coppie {th(i); ph(j)} nelle equazioni parametriche e trovi
le componenti dei tuoi vettori.
Tutto chiaro?
maggiori dettagli sul riferimento sferico su
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html
Ciao,
Ishmael

 vettori.
Prova a usare le coordinate sferiche r=(R, T, P), ovvero (Rho, Theta, Phi).
Ogni punto della sfera può essere individuato univocamente dalle coordinate
T e P (angoli Theta e Phi)
Puoi prendere per esempio T nell'intervallo [-pi, pi[ e P nell'intervallo
[-pi/2, pi/2[,
dove pi=3.1415926535 etc.
Detto questo, puoi rappresentare i punti nel piano cartesiano T-P (ottieni
un rettangolo) e discretizzarlo costruendo per esempio una griglia mXm (con
m=sqrt(n)).
Al variare di i e j da 1 a m hai n vettori r(ij) =(R(i),T(j),P).
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

Scusa, ma mi č scappato un errore nello scrivere il dominio di ph, quello
corretto č:
0<=ph<=Pi
-- 
Ishmael

 non esistono equipartizioni perfettamente simmetriche.
Scusa Tetis ma quali sono i solidi platonici ?
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

Scusa Tetis ma quali sono i solidi platonici ?
Sono tetraedro, esaedro (cubo) ottaedro dodecaedro icosaedro regolari.
Detta in soldoni, Platone assegna a questi solidi una funzione di
tramite gnoseologico tra i disordinati fenomeni naturali e la
perfezione del mondo iperuranio, a causa anche delle loro molte
interessanti proprietà e regolarità. 
L'idea di un senso mistico di queste regolarità ebbe tanta fortuna
(venne ripresa dai geometri alessandrini, dai rinascimentali, da
Keplero etc.) che la denominazione "solido platonico" si è mantenuta
ancor oggi, anche se ovviamente priva del senso mistico originario. 
Se non sbaglio qualcuno qui aveva riportato che pure Penrose nelle sue
conferenze tira in ballo i solidi platonici, e mi incuriosirebbe
sapere che uso ne fa :-)
Saluti da Bhisma
-- 
... e il pensier libero è la mia fé!

 solido in n vettori.
Hai gia' avuto molte risposte (anche se in realta' non si vede dove
stia la fisica...).
Quindi potrei anche fare a meno di aggiungere la mia, ma forse a titolo
di chiarificazione...
Come lo enunci, il problema non e' chiaro: che cosa intendi con "n
parti uguali"?
Ti basta che siano uguali gli angoli solidi? Allora la risposta e'
banale: ci sono infinite soluzioni, ed e' solo questione di gusti.
Le parti invece debbono essere congruenti? Allora la risposta e' che
la soluzione esiste solo per n = 4, 6, 8, 12, 20 ed e' connessa ai
solidi platonici, alias "poliedri regolari".
Io sospetto che la tua richiesta non rientri in nessuno dei due casi,
ma non posso tirare a indovinare :)
 
-- 
Elio Fabri


 


 platonici
Gia': era lo stesso problema che mi era sorto quando ho visto che la
condizione di congruenza non portava solo ai solidi platonici...
 
-- 
Elio Fabri

 condizione di congruenza non portava solo ai solidi platonici...
:-) convergenze
