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Titolo: E=mc^2 questione di principio

La legge E=mc^2 č considerata un principio o una conseguenza di altri
principi? mi interesserebbe qual č, secondo voi,  l'insieme minimo (o
comunque piů bello) di principi e deduzioni necessario per ricavarla...

 comunque più bello) di principi e deduzioni necessario per ricavarla...
E' un principio primo. In alcuni casi particolari riesci ad arrivare a
provare quella formula (vi sono vari esperimenti ideali che "mostrano"
che quella formula deve essere vera, ripeto, almeno in casi
particolari), ma la sua universalità non la dimostri da niente, la
devi assumere.
Ciao, Valter

 E' un principio primo. 
In che senso? Io direi che la ottieni dai principi della dinamica 
relativistica. Certo devi ipotizzare una forma della Lagrangiana, ma da 
niente non si ottiene niente ;-) E poi non credo si possa fare il 
contrario, cioe' ottere L da E=mc^2... o sbaglio?


Io mi riferivo al *principio generale* che all'energia E corrisponde
la massa m= E/c^2. Dicevo che in casi particolari lo dimostri,  per
esempio, dopo aver dato una definizione opportuna di *energia
cinetica* relativistica (che soddisfa un teorema delle "forze vive":
lavoro = variazione di energia cinetica) riesci a dimostrare che per
questa forma di energia
vale la formula di cui sopra. Si possono fare ragionamenti piů
generali studiando sistemi a molti corpi incudendo un qualche tipo di
interazione che ha forma classica in un sistema fissato (di quiete
media)
e poi provare che  si deve attribuire al sistema una massa che tiene
conto anche del contenuto energetico (energia cinetica + potenziale).
Si puň fare qualcosa di simile studiando l'urto puntuale tra due
particelle che, nell'interazione, possono cambiare anche la massa.
Tuttavia non si puň fare una dimostrazione nel caso piů generale
possibile, come non la si poteva fare in fisica classica per il
principio di conservazione dell'energia: si poteva dimostrarlo per
sistemi particolari e poi usarlo per estendere la fisica (es. il primo
principo della termodinamica). Il principio di "equivalenza massa
energia" mi pare che abbia lo stesso tipo di status fondazionale che
aveva il vecchio principio di conservazione dell'energia...
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Dimenticavo di dire che, ovviamente, c'è anche il caso,
importantissimo, che dicevi tu: quando hai un sistema fisico descritto
da una lagrangiana o una densità di lagrangiana (campi) e vai a
studiare l'integrale primo che viene fuori dal'invarianza per
trasformazioni di Lorentz pure. Viene fuori la forma relativistica del
teorema del centro di massa e vedi che nell termine che definisce la
massa complessiva del sistema ci devi mettere l'energia divisa per
c^2. L'energia la definisci in questo caso come l'integrale primo
ottenuto per invarianza sotto traslazioni temporali...
Ri-ciao, Valter
Ciao, Valter

 conservazione dell'energia...
Io la vedo diversamente.
Noto anche che avete tutti scelto una strada "alla Landau", per cosi'
dire, ossia centrata su principi variazionali e compagnia bella.
Io preferisco affrontare il problema in modo piu' fisico, seguendo
Einstein.
E. dedica all'argomento almeno tre lavori tra il 1905 e il 1907, e nel
terzo scrive (se traduco bene):
"La circostanza che il caso particolare li' [nei precedenti lavori]
considerato rende necessaria un'ipotesi di cosi' straordinaria
generalita' (sulla dipendenza dell'inerzia dall'energia) spinge a
dimostrare in modo piu' generale la necessita' ovvero la legittimita'
della citata ipotesi."
e poco dopo:
"La risposta _generale_ alla domanda sollevata e' per il momento
impossibile, poiche' noi non possediamo un'immagine completa del mondo,
corrispondente al principio di relativita'."
E con questo direi che E. da' "provvisoriamente" ragione a Valter :-)
Tuttavia secondo me una dimostrazione generale, basata sugli esempi
particolari, e' possibile: vi accenno come.
Consideriamo l'esper. ideale in cui due pacchetti di radiazione,
provenienti da direzioni opposte, vengono assorbiti da un corpo
fermo.
Si dimostra che la massa del corpo aumenta (e aumenta la sua
temperatura, aggiungo io).
Ora possiamo togliere al corpo l'energia ricevuta, per es. con una
macchina termica di rendimento che si puo' fare vicino a 1 quanto si
vuole.
Se cio' facendo la massa non ritornasse al valore iniziale, potremmo
dar luogo a un ciclo infinito in cui il corpo continua ad aumentare
massa: basterebbe infatti utilizzare l'energia ricavata dalla macchina
termica per riemettere radiazione, ecc.
Lo stesso ragionamento si puo' ripetere per qualsiasi modalita' con
cui il corpo scambia energia.
E quindi la massa del corpo aumenta o diminuisce, sempre nella stessa
misura, qualunque sia il modo con cui avviene il trasferimento di
energia.
E' curioso che questo e' proprio quanto E. afferma alla fine del primo
lavoro:
"E' naturalmente inessenziale che l'energia sottratta al corpo vada
proprio in energia della radiazione [E. ha considerato un processo di
emissione] e noi siamo cosi' condotti alla seguente conclusione
generale: 'la massa di un corpo e' la misura del suo contenuto di
energia [...]'"
Si vede che poi ci aveva ripensato :)
 
-- 
Elio Fabri

 E=mc^2.
Questione di punti di vista. Io preferisco partire da questa assunzione 
puttosto che da un risultato abbastanza particolare come E=mc^2.

 Si vede che poi ci aveva ripensato :)
Puo' essere che non gli andasse di giustificare un risultato della 
meccanica facendo appello ad una disciplina interamente distinta come la 
termodinamica.

 ha scritto:
Ciao, mi pare che il principio di equivalenza massa energia di Einstein dica
un pò di più.
In base alla tua dimostrazione hai che l'energia *contribuisce* alla massa
di un corpo secondo la relazione detta. Tuttavia Einstein si è spinto a dire
di più secondo me, e cioè che non c'è limite inferiore anche nel processo
inverso: detto in modo un pò ambiguo: tutta la massa può "tramutarsi" in
energia, non c'è un "nucleo duro di massa", sono la stessa cosa.
In termini più moderni, la massa è semplicemente la componente temporale del
quadriimpulso [cioé l'energia] valutata nel riferimento in cui tale
quadrivettore ha solo componente temporale. Non si può parlare di massa di
un sistema fisico se non esiste un tale riferimento; e non c'è una natura
sostanziale più profonda della massa che questa.
Credo che questo non si possa dimostrare da ipotesi prime di alcun genere,
ma possa solo essere assunto e poi verificato sperimentalmente...
Ciao, Valter
 
 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 cos ac'e` che non va?
Non ho la possibilita' di consultare il Panofski, ma direi che qualcosa
di poco chiaro ci sia.
In un dato rif. una particella di massa (propria) m sia in moto con
velocita' u; semplicemente ammettendo che anche in RR (ossia sotto il
principio di relativita') si possano definire la quantita' di moto p e 
l'energia cinetica T asserisco che si puo'scrivere un 4-vettore (E/c,p)
nel quale dE/dt = dT/dt e' la potenza meccanica impressa al corpo.
Forse questa e' proprio l'impostazione del Panofski.
Per andare oltre e' indispensabile postulare il principio di conservazione
dell'impulso negli urti; non vedo come il Panofski possa farne a meno.
IMO tale basilare postulato permette poi di dimostrare che:
1)   p = gamma mu                 
2)   E = gamma mc^2
3)   T = (gamma - 1) mc^2 = E - mc^2 
4)   Negli urti oltre che sum p si conserva sum E, mentre in generale
     non si conserva sum T ne' sum m (massa propria): si possono dunque
     osservare nell'urto trasformazioni di energia cinetica in massa e 
     viceversa.
1-2-3-4 sono teoremi che discendono dalle ipotesi "minime" adottate per 
costruire la dinamica relativistica.
 
Sebbene a questo punto sia naturale interpretare  mc^2 come energia a
riposo (ed E come energia totale) della particella, il principio 
generale di equivalenza massa/energia:
"ad ogni emissione/assorbimento di energia di un corpo corrisponde una
diminuzione/aumento di energia a riposo alias massa del corpo"      
rimane un'asserzione non dimostrabile.     
 
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

 puttosto che da un risultato abbastanza particolare come E=mc^2.
Di fatto faccio anche io la stessa cosa, anche se (ideo)logicamente
non mi piace del tutto.
Quando racconto queste cose agli studenti cerco di fargli vedere
diversi punti di vista...
Ciao, Valter

 dell'impulso negli urti; non vedo come il Panofski possa farne a meno.
Schematicamente io procederei cosi'; commenti e correzioni sono ben 
accetti ed anzi li invito.
Intanto do' per assodato che la RR si descriva mediante 4-vettori e 
grandezze collegate. In particolare mi definisco la 4-velocita' (gc,gu), 
con g=il solito gamma. Adottando la segnatura (+---) il modulo della 
4-velocita' e' c.
Ipotizzo si possa dare una formulazione lagrangiana. Mediante gli 
argomenti di Landau - a costo di far inorridire Elio :-) - o 
semplicemente postulandolo, dico che la L di una particella isolata e' 
prop. al modulo quadro della 4-v; quello di un insieme di particelle non 
interagenti la sua somma. Il coefficiente, invariante, preso positivo lo 
chiamo m, massa.
Uso il teo. di Noether per dire che esiste una grandezza conservata per 
un sistema  isolato, il 4-momento totale somma(gmc,gmu). La parte 
spaziale la si identifica facilmente come la generalizzazione della qdm.
Per stabilire cosa sia la parte temporale prendo in prestito il 
ragionamento di Panofski e calcolo cd(gmc)/dt. "Con un po' di paziente 
algebra" (cit.) si trova che d(gmc^2)/dt=dp/dt.u (prod.scalare tra 
3-vettori), ovvero la potenza trasmessa alla particella. Integrando ho 
gmc^2=E, a meno di una costante. La costante mi piacerebbe porla a 0 
dato che E e' definita a meno di costanti inessenziali - mi pare, ma non 
sono certo, che P. faccia cosi' - ma mi piacerebbe conservare quello che 
a volte si dice, ovvero che nella RR l'arbitrarieta' nello 0 
dell'energia scompare.
Che ne dite?

 dell'energia scompare.
La logica del discorso a mio parere va ritoccata leggermente.
Postulando il principio di conservazione dell'impulso (o in alternativa
il principio di minima azione) si e' stabilito che ad ogni particella in 
moto si puo' associare un 4-vettore (gmc,gmu).
La componente spaziale p=gmu e' l'impulso della particella.
L'esatto significato fisico della componente temporale a priori non e' 
noto, si sa pero' che cd(gmc)/dt=dp/dt.u e' la potenza meccanica applicata
alla particella.
Questo permette di calcolare l'energia cinetica T integrando da 0 ad u:
T = gmc^2 -mc^2
Introducendo formalmente la notazione E=gmc^2 la componente temporale del
nostro tensore risulta:
E/c = (T + mc^2)/c
Non ci sono costanti indeterminate in gioco.
Il punto fisico basilare e' un altro: si puo' dimostrare che negli urti
relativistici sum E si conserva sempre, mentre in generale sum T e sum m
non si conservano separatamente (si possono cioe' avere trasformazioni
di energia cinetica T in massa m e viceversa).
Tuttavia continuo a ritenere che il principio generale di equivalenza 
massa-energia formulato da Einstein non sia dimostrabile, come non lo e'
il primo principio della TD. 
A proposito, non ho capito bene quanto in merito ha scritto da E.Fabri.
Sono sostanzialmente d'accordo su quanto dice per la radiazione elettro-
magnetica, ma non riesco a seguirlo quando afferma:
"Lo stesso ragionamento si puo' ripetere per qualsiasi modalita' con
cui il corpo scambia energia."
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
 

 cui il corpo scambia energia."
Perchè con quel ragionamento (molto interessante) dimostra che la
massa del corpo ritorna al valore iniziale indipendentemente dalla
modalità con cui gli viene sottratta l'energia che aveva acquistato
con la radiazione EM; quindi la massa persa deve essere equivalente a
quella energia sottratta, che appunto può essere di tipo qualunque.

 sperimentalmente...
In primo luogo, stiamo parlando (secondo me) di due cose diverse.
Un conto e' le propr. di trasf. di impulso ed energia, e l'esistenza
dell'invariante massa.
Un altro e' che un sistema *composto* possa andare incontro a processi
in cui la *somma delle masse* dei costituenti varia.
In sostanza il lavoro di E. del 1905 e i seguenti dimostrano proprio
questo: per es. che se un corpo di massa M assorbe due fotoni (massa
nulla) e ciascuno di energia epsilon, che hanno q. di moto nulla,
allora necessariamente il corpo avra' alla fine la massa M +
2*epsilon.
Ovvio che se sai gia' che energia e impulso formano un 4-vettore che
si conserva, e sai che la massa e' il suo invariante, puoi dare la
dim. per via puramente formale, in quattro e quattr'otto.
 
-- 
Elio Fabri

in cui la *somma delle masse* dei costituenti varia.
Hai ragione, nella fretta ho mischiato due discorsi. Però le due cose
sono
intimamente legate.  La massa (quella invariante) è proprio l'energia
valutata nel sistema di quiete (divisa per c^2) e, nel caso di un
sistema composto, il riferimento di quiete è diverso  per ogni
particella componente il sistema in generale.
Infine la legge di conservazione riguarda l'energia totale in un
ulteriore  fissato riferimento, in generale, *differente da quelli in
cui si calcolano le masse*.
Pertanto, per motivi "cinematici",  non si ha più il vincolo sulla
somma delle masse che classicamente doveva rimanere costante.
Non ha nemmeno molto senso fisico, nel caso generale, definire un
grandezza data dalla somma delle masse dei costituenti.
Certo tutto questo è un discorso a posteriori, quando uno ha già
capito cosa c'è dentro "E=mc^2", come fai notare alla fine.
Ciao, Valter

 (l'ultima versione di pochissimi anni fa).
Ho controllato su libri che ho in ufficio: ho trovato la questione
della "non esistenza del limite"
sull'ultimo  Rindler ("Relativity" del 2006)  e anche sul vecchio
testo di Tolman  (anche se in una versione meno forte che nel
Rindler). Sul "significato dell relatività" di Einstein invece non c'è
nulla, praticamente nessuna discussione. A casa ho ancora qualche
testo che raggruppa articoli di Einstein, questa sera ci darò un'
occhiata ... se mi ricordo.
Ciao, Valter


Io non capisco il passaggio in cui si ricava la lagrangiana o
l'azione. Diamo per buono che la dinamica di una particella sia
governata dalla ricerca del minimo di un integrale dipendente dal
moto, concetto anche bello a mio parere, perchè sintetico e ricorrente
in fisica; ora, seguendo Landau, sotto il segno d'integrazione ci
dev'essere un differenziale scalare (per la Lorentz-invarianza) del
primo ordine (?) che non può che essere l'intervallo ds. Ora perchè
non esistono altri scalari Lorentz-invarianti oltre all'intervallo? Mi
sfugge qualche concetto importante o è un passaggio, come dire...
accompagnato dall'intuito?
Grazie a tutti
cordiali saluti