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Titolo: Modi normali: pulsazioni con molteplicita' >1

Ciao a tutti e ben ritrovati dopo la mia lunga assenza
Sto studiando in meccanica razionale i modi normali.
Giusto per far iniziare la mia domanda da qualche parte vi dico che mi 
hanno definito operativamente (immagino secondo una consuetudine 
abbastanza standard) le pulsazioni caratteristiche dei modi i valori w_s 
(s indice) tali che
(1)     det[K - w_s^2 * M] = 0
essendo arrivati al determinante PARTENDO dall'equazione delle piccole 
oscillazioni espressa in forma matriciale...
(2)     [K - w_s^2 * M] A_js e^(i w_s t) = 0
con i fasori:   (3)     A_js e^(i w_s t)
dove A_js e' un vettore (j componente del vettore, s indice della 
pulsazione)
...E IMPONENDO la condizione (del determinante nullo appunto) che 
garantisce l'esistenza di soluzioni non identicamente nulle.
(K e M sono le matrici ottenute tagliando al secondo ordine l'energia 
potenziale e la cinetica rispettivamente).
Mi chiedo: il caso in cui una qualche w_s^2 abbiamo molteplicita' > 1 
come radice del polinomio caratteristico (1), in quale situazione 
"speciale" dal punto di vista fisico mi trovo?
Voglio dire:
------------
se le molteplicita' sono tutte 1, per ciascuna pulsazione caratteristica 
risolvendo il sistema
(4)     [K - w_s^2 * M] A_js = 0
trovero' un vettore A_js o -meglio- uno spazio vettoriale di dimensione 
1, che pero' ha la proprieta' molto piacevole di essere costituito da 
vettori reali , o "se proprio va male" complessi ma con parti reale e 
immaginaria uguali o al limite linearmente dipendenti:
quindi posso sempre immaginare A_js reale e confinare l'eventuale parte 
immaginaria (e quindi lo sfasamento della sinusoide reale) in un 
coefficiente moltiplicativo complesso "arbitrario" che mi codifichera' 
le condizioni al contorno per quel particolare modo, indipendentemente 
dalle sue proiezioni sulla base che sto usando come gradi di liberta'.
In sostanza esiste un C_s complesso che moltiplico per il modo con A_js 
reale, che mi dara' (una volta tornato nel dominio del tempo):
(5)     |C_s| * A_js * cos (w_s * t + arg[C_s])
Tornando "a bomba" dopo questa lunga premessa che pero' forse mi aiuta a 
contestualizzare i miei dubbi, mi chiedo:
qualora un w_s abbia molteplicita' > 1 invece il sottospazio soluzione 
della (4) avra' dimensione pari alla molteplicita' (Rouche-Capelli!?) ma 
a quel punto avro' della liberta' nella mia scelta dei vettori (plurale 
perche' appunto la dimensione del sottospazio sara' >1) A_js ,pur 
decidendo magari di prenderli linearmente indipendenti per "coprire" 
tutto il sottospazio.
Inoltre:
faccio un esempio con w_s con molteplicita' 2 = dimensione sottospazio:
-----------------------------------------------------------------------
una soluzione potrebbero essere i due vettori reali linearmente 
indipendenti:
A1 e A2
ma a quel punto sarebbero soluzione anche, per es:
A1 + i A1    e   A2 + i A2    (Ok, analogamente al caso a dimensione 1)
ma anche:
A1 + i A2    e   A2 + i A1
per i quali, essendo A1 e A2 linearmente indipendenti -per 
"definizione"- allora non riuscirei piu' a isolare la parte immaginaria 
nel coefficiente C_s delle condizioni al contorno (cioe', 
matematicamente, non riuscirei a trovare un numero complesso che 
moltiplicato per A1 mi dia come risultato A1 + i A2 e viceversa con A1 e 
A2 scambiati)
Quindi tirando le somme, per molteplicita' di w_s maggiori di 1:
- cosa significa *fisicamente* che posso *scegliere* (ovviamente in 
maniera opportuna -> lin indip) gli A_js ?
Lo chiedo perche' credevo di aver capito che gli A_js (o meglio le 
direzioni degli A_js) fossero intrinseche al sistema... c'e' allora 
qualcos'altro di intriseco per quando riguarda i modi a molteplicita' 
 >1, a parte la frequenza?
- perche' (sempre fisicamente) non riesco a "eliminare" dagli A_js la 
parte immaginaria tramite il coefficiente delle condizioni al contorno? 
Istintivamente mi verrebbe da dire che e' perche' c'e' uno sfasamento 
intrinseco imposto dal sistema tra modi di quel sottospazio, ma questa 
motivazione mi cade nel momento in cui torno a pensare che alla fine 
comunque ho liberta' di scelta sugli A_js (e quindi forse anche lo 
sfasamento potrebbe variare e quindi non essere piu' intrinseco): quindi 
mi sembra che per i sottospazi delle molteplicita' > 1 potrei avere 
degli sfasamenti tra i modi a quella frequenza, che pero' non sono 
intrinseci non sono.. e la cosa mi turba....
- avete un esempio di sistema fisico (magari meccanico in 3 dimensioni 
;-P tanto per provare a rimanere su qualcosa di abbastanza intuitivo) in 
cui si ha una molteplicita' >1 ?
Scusate per la lunghezza
Grazie e buone festivita' a tutti!
Andrea Barontini

 in cui si ha una molteplicita' >1 ?
Questo l'avrei chiesto a te :-)
L'esempio e' talmente ovvio, che mi meraviglio non ti sia venuto in
mente.
Considera un osc. armonico 2D isotropo, ossia un punto materiale che
si muove su un piano, con energia potenziale
V(x,y) = k*(x^2 + y^2)/2.
Facile verificare che avrai proprio una radice con molteplicita' 2.
Avrai quindi due autovettori indipendenti, che puoi scegliere in
infiniti modi.
Pensa a quale sara' il piu' generale moto di quel punto, a come dovrai
descriverlo a seconda dei modi normali che scegli.
Quando avrai pensato, se non ti e' ancora tutto chiaro, fatti sentire
di nuovo.
 
-- 
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.

 cui si ha una molteplicita' >1 ?
Molecola lineare triatomica simmetrica (ABA) : 9 gradi di libertï¿œ. 5 
modi normali banali (3 trasazioni e 2 rotazioni)
In genere hai 4 modi a frequenza non nulla:
2 modi 1d:
(1 stretching simmetrico: atomo centrale B fisso e i due A che oscillano 
sull' asse molecolare in opposizione di fase) e
(1 stretching asimmetrico:B si avvicina ad un A  e si allontana dall' 
altro periodicamente)
ed infine
1 modo 2d:
oscillazioni di "bending" dei 2 atomi A.
Queste possono avvenire in due qualsiasi  piani fissi indipendenti ma 
possono invece essere sfasate in modo tale da far descrivere a tutti e 
tre gli atomi delle ellissi perpendicolari all' asse molecolare "medio". 
Trovi un disegno del moto in figura 6-4 del Goldstein seconda edizione 
(c' era anche nella prima edizione ma non credo che la numerazione sia 
esattamente la stessa). Un' animazione (non chiarissima ma meglio di 
niente) la trovi su 
http://jchemed.chem.wisc.edu/JCEWWW/articles/www0001/index.html
 .
Giorgio

 descriverlo a seconda dei modi normali che scegli.
Fatto.
In questo caso il vettore A_js puo' essere un qualsiasi vettore di R^2, 
o meglio di C^2.
Deduco quindi che per molteplicita' > 1 il sistema non riesce a fissare 
univocamente la direzione del modo, ma solo il piano in cui giace tale 
direzione quando la molteplicita' e' 2, o "addirittura" il volume  nel 
quale e' contenuta la direzione quando e' 3, e cosi' via....
Per quanto riguarda l'isolare la parte immaginaria in un coefficiente 
"fuori" da A_js (la parte immaginaria ora non e' piu' in generale lin. 
dipendente dalla parte reale del vettore vista la dimensione dello 
spazio) direi questo:
per pulsazioni con molteplicita > 1 avro' sempre la possibilita' di 
specificare almeno due componenti nello sviluppo in modi (di fatto 
scelgo una base rispetto alla quale scomporre il mio A_js complesso 
"qualunque"), e a quel punto posso in generale  sfruttare la cosa per 
avere uno dei componenti con vettore direzione uguale alla parte reale 
di A_js, e l'altro con vettore direzione uguale alla parte immaginaria, 
che pero' sara' ancora una volta un vettore reale moltiplicato per un 
coefficiente immaginario "i".
Con un minimo di matematica:
molteplicita' w_s = 2   => vettore A_js = R + i I   appartenente a un 
sottospazio vettoriale complesso di dimensione 2 (proprio C^2 se 
partivamo da un sistema con 2 gradi di liberta')
(dove ovviamente R e I sono le parti reale e immaginaria di A_js).
Quindi quando andro' a sviluppare in modi normali nel dominio del tempo 
avro':
|C1_s|*R*cos(w_s t + arg[C1_s]) + |C2_s|*I*cos(w_s t + arg[C2_s] + pi/2)
che ovviamente e' una procedura che funzionera' anche per 
molteplicita'>2 (semplicemente avro' piu' possibilita' nella scelta 
della scomposizione del vettore, ma la "furbata" sara' sempre avere uno 
dei vettori di base nella direzione della parte immaginaria del vettore 
A_js originario).
Corretto?
Grazie
Saluti
Andrea Barontini

 Corretto?
Confessoi che non sono riuscito a seguirti...
Puo' darsi che tu abbia scritto tutte cose giuste, ma io avrei fatto
tutto un altro discorso.
Avrei cominciato con l'osservare quali sono i moti possibili, a
seconda delle condizioni iniziali.
La traiettoria sara' in generale un'ellisse, che potra' degenerare in
un segmento, oppure diventare una circonf.
Assi dell'ellisse (in grandezza e direzione) e fase temporale del moto
lungo l'ellisse sono liberi, come pure il verso di percorrenza.
Ma tutti questi moti si ottengono sempre come composizione di due
soluzioni particolari, comunque scelte.
Per es. puoi prendere due moti armonici lungo due direzioni diverse:
avrai la liberta' di scegliere ampiezze e fasi dei due moti, che sono i
4 parametri che corrispondono ai due coeff. complessi dei due
autovettori (complessi) che puoi combinare linearmente.
Ancora piu' in particolare, puoi prendere moti armonici lungo x e
lungo y.
Ma puoi anche (per es.) partire da due moti circolari, uno orario e
l'altro antiorario: anche qui hai libere ampiegge (raggi) e fasi,
cioe' di nuovo 4 parametri.
Domanda: quali sono gli Ajs corrispondenti ai moti circolari che ho
detto?
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Moto circolare anti-orario:    A_js = C_1 * (1, -i)
Moto circolare orario:         A_js = C_2 * (1, i)
con C_1 e C_2 complessi.
Grazie!
Andrea Barontini

 con C_1 e C_2 complessi.
OK
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