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Titolo: HELP Gravita' !!!!

Grazie in anticipo per l' interessamento al mio problema.
Sono uno studente di quinto liceo scientifico e mi domando se esiste
una legge che regola il modo dei corpi in accelerazione quando questa
non e' costante. Ad esempio considerando un corpo ad una distanza x
dalla terra tale che la sua g=5 questo cadra' "accelerando la sua
accelerazione" fino ad arrivare sulla superficie dove g=9,8.
In pratica vorrei trovare una funzione s=f(t), indicando con s lo
spazio percorso e t il tempo.
Illuminatemi
Daniele Pinchera

 percorso e t il tempo. 
 Se tu conoscessi come varia l'accelerazione nel tempo, ossia se avessi la
forma esplicita a(t), basterebbe integrare due volte, ossia, immaginando
che il corpo parta da fermo: 
	v(t) = integrale di a(z) * dz tra z=0 e z=t
	x(t) = integrale di v(y) * dy tra y=0 e y=t
 Spero che la notazione sia abbastanza chiara... 
 Nel problema che hai posto, pero', noi conosciamo esplicitamente
l'accelerazione in funzione di x, non di t, quindi il doppio integrale non
si puo' piu' fare. Si tratta di risolvere un'equazione differenziale,
ossia un'equazione in cui l'incognita non e' un numero ma una funzione: 
	deriv. seconda di x(t) = a(x) 
il che puo essere piu' o meno banale a seconda della forma di a(x), ma
comunque non credo che al liceo scientifico questo tipo di equazioni venga
trattato. 
 Nel caso gravitazionale a(x) = G * M / x^2, ma ammetto di non sapere se
esista una soluzione esatta del problema; sfruttando la conservazione
dell'energia e' facile calcolare v(x), e l'equazione da risolvere diviene
allora: 
        deriv. prima di x(t) = v(x) 
ma qui mi fermo e giro il quesito agli altri :-) 
 In bocca a lupo per gli esami!!! 
					Ciao a tutti
					   Federico

 Daniele Pinchera
Supponiamo che tu abbia una traiettoria rettilinea, e' solo una
semplificazione per poter trattare tutto in una dimensione, ma non si
perde generalita', per un corpo che si muove con accelerazione generica
di modulo "a=a(t)" (ovverossia non costante) , si puo' calcolare la
velocita' integrando l'espressione:
a=dv/dt,
ovverossia, scelto un istante iniziale per cui t= 0, scrivere che:
v(t)-v0 = "integrale definito fra 0 e t" a(t)dt   (spero di essere stato
chiaro, e' difficile
riprodurre  i simboli).
dove v0 e' la velocita' posseduta dal corpo all'istante t=0.
Ripetendo l'operazione con s=dv/dt e supponendo di conoscere la
condizione iniziale s0 si ottiene una funzione s=s(t) che fornisce la
legge oraria del moto.
Ora se a e' una funzione del tempo, per ottenere la legge che tu chiedi
si deve avere la forma funzionale di a, cioe' si deve sapere come a
dipende dal tempo, altrimenti non si puo' ricavare la funzione primitiva
in termini analitici (a meno di non usare tecniche numeriche).
Per esempio, supponiamo che sia  a=gt (qui g non e' l'accelerazione di
gravita', ma solo una costante) e supponiamo per semplicita' che v0=0 e
s0=0, allora la prima integrazione fornisce v(t)=(1/2)gt^2, una
successiva integrazione fornisce:
s(t)=(1/6)gt^3
questa e' una legge che vale solo se a=gt, se a fosse uguale a gt^2
dovresti ripetere il procedimento di integrazione.
Spero di essere stato chiaro.
Se pero' tu sei uno studente del 5 anno di liceo scientifico e trovi
difficolta' con questi concetti io mi chiedo cosa ti insegna il tuo
docente di matematica e fisica e soprattutto, quanto e' preparato? Penso
di avere una risposta, ma la terro' per me per non essere offensivo con
qualcuno che non puo' rispondermi.
ciao, enzo b.

 spazio percorso e t il tempo.
Daniele,
esponi un problema genrale o specifico all'esempio che fai?
In generale, se conosci la legge a(t) con cui varia l'accelerazione, puoi
arrivare a s(t) con una doppia integrazione:
v(t) = v(0) + Integrale(da 0 a t) a(t)dt
s(t) = s(0) + Integrale(da 0 a t) v(t)dt
Nell'esempio che fai non conosci a(t) ma a(s), cioe' l'accelerazione di
gravita' a in funzione della distanza s dal centro della terra:
a = GM/s^2
(G costante universale della gravitazione, M massa della Terra)
per cui... sei nei guai. :-)
Infatti hai da risolvere un'equazione differenziale:
d^2 s/ dt^2 = GM/s^2
e non credo che essa rientri nei tuoi programmi scolastici. E la cosa non
finisce qui, se consideri che la forza alla quale e' soggetto il corpo che
cade non e' solo quella di attrazione gravitazionale ma anche la forza
d'attrito (se il moto si svolge nell'atmosfera terrestre). La forza
d'attrito e' proporzionale alla velocita' (ds/dt) e la costante di
proporzionalita' dipende da s (cioe' dalla distanza dalla Terra, cioe' dalla
densita' dell'atmosfera). :-(
 
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