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Titolo: esercizio "elementare" di e.m.

Mi sono incartato su questo esercizio apparentemente elementare che, 
pero', secondo me denota anche un certo sadismo nel suo inventore.
Una lamina conduttrice a forma di parallelepipedo di altezza a (in z), 
larghezza b (in y) e lunghezza c (in x) la cui resistivita' dipende sia 
da x che da y, \rho(x,y). (Resistivita' = resistenza per unita' di 
sezione, per unita' di lunghezza).
Supponendo che si ponga una differenza di potenziale tra le due facce 
opposte parallele al piano yz e il vettore J in ogni punto interno alla 
lamina sia parallelo all'asse x, trovare la resistenza della lamina tra 
le due facce.
Il problema e' che per trovare la resistenza risultante occorre 
considerare sia il caso di infinite resistenze infinitesime in serie che 
  quello di infinite resistenze infinitesime in parallelo e mi trovo 
differenziali in posti "strani".
C'e' un modo rigoroso di trattare il problema?
Con un po' di vergogna... :-(
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca

Ciao, forse non ho capito bene...Sono passati tanti anni da quando  mi
occupavo  di elettromagnetismo, ma io farei cosi'.
Dentro il parallelepipedo c'è un campo E uniforme ottenuto conoscendo
la ddp e la dimensione c.  Ora basta usare la legge di Ohm microscopica
J = sigma E con sigma = 1/resistività
e si ricava J punto per punto.  Da J si calcola I integrando J sulla
faccia piana
perpendicolare a x. Infine, il rapporto ddp/I definisce la resistenza
voluta.
Ciao, Valter

Valter Moretti ha scritto:

Mi hai aperto nuovi orizzonti! Io cercavo di risolverlo in tutt'altra 
maniera.  Comunque non mi convince molto l'uniformità di E che porta di 
conseguenza alla non uniformità di J visto che la resistività varia 
anche in x. Non ci sono problemi di accumulo della carica elettrica?
Forse è proprio J ad essere uniforme.
Daniele Fuà
Uni. Milano-Bicocca

Daniele Fua ha scritto:

No non ci sono accumuli di carica: grazie al fatto che sigma
è funzione di y e z ma non di x, ma J è diretta (come E) lungo x
vale come Maxwell comanda (in situazione stazionaria):
div J =0  (=> assenza di accumuli di carica e quindi I ben
definita) e div E=0 oltre che  rot E=0.
Infine la soluzione che propongo è in accordo anche con Ohm
per costruzione. 
Ciao, Valter

Scusa, ho riletto bene le tue ipotesi: ho preso un abbaglio
hai scritto che la resistività è funzione di x e y non di z e y!
Allora hai ragione: la mia soluzione non funziona : ha accumuli
di carica. Domani ci penso ancora. Sei sicuro che la dipendenza
sia in x e y?
Ciao, Valter


Si, era cosi. Comunque direi che il problema ormai e' risolto grazie al 
tuo suggerimento del metodo. Per continuita' J dipende solo da y e 
utilizzando la relazione di Ohm che hai scritto e' possibile trovare 
l'integrale di E tra le due facce e quindi la ddp; poi con altri calcoli 
elementari (un'integrazione in y) si arriva alla soluzione.
Grazie. Effettivamente con il tuo metodo era tutto molto semplice e mi 
rimangio il sospetto di "sadismo". Anche io sono piuttosto arrugginito...
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca



 calcoli elementari (un'integrazione in y) si arriva alla soluzione.
Eh no, troppo facile...
Riassumo le ipotesi:
1) Il mezzo ha resistivita' r(x,y) (uso r unvece di \rho per ovvi
motivi).
2) E' assegnato il potenziale sulle facce x = 0, x = c.
Prendo V(x=0) = 0, V(x=c) = V0.
3) La densita' di corrente ha solo la componente x.
Possiamo trascurare la coordinata z, il che semplifica le formule e
permette figure nel piano...
Da 3) e da div j = 0 segue @j_x/@x = 0, quindu j_x dipende solo da y:
j_x = f(y).
Da E = r*j allora E_x = r(x,y)*f(y) mentre le altre componenti di E
sono nulle.
Imponiamo rot E = 0: solo la componente z del rotore non e' banalmente
nulla, e dice @E_x/@y = 0.
Dunque r(x,y)*f(y) dipende solo da x: poniamo
r(x,y)*f(y) = g(x).
E' dunque necessario che r(x,y) sia fattorizzata: r(x) = g(x)/f(y).
Altrimenti le ipotesi sono in contraddizione.
In altre parole, per una r(x,y) generica *non e' vero* che j possa
essere diretta lungo x.
E allora il problema si complica parecchio...
Da qui in poi si procede in modo ovvio.
Un'alternativa sarebbe di suppore b<<c.
Dato che sulle facce y=0 e y=b j e' certamente diretta lungo x, allora
lo stesso sara' vero _approssimativamente_ in ogni punto.
 
-- 
Elio Fabri

 Altrimenti le ipotesi sono in contraddizione.
r(x,y) necessariamente fattorizzabile: eccezionale!!! Elio, mi sei 
proprio simpatico e aspetto sempre con grande curiosita' e ammirazione i 
tuoi interventi!
Grazie.
Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca


Vedo solo ora la continuazione del thread. Infatti io dicevo, dopo aver
riletto
le ipotesi con attenzione, che c'è accumulo di carica. Volevo
sempliciemente
dire che la traccia di soluzione  che avevo scritto io nelle ipotesi
generali iniziali,
senza la modificazione di Elio, non era corretta perché non si può
imporre
l'equazione di continuità stazionaria div j=0 preservando
l'irrotazionalità di
E e richiedendo che j sia diretta lungo x.
Ciao, Valter