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Titolo: tre quesiti di elettrostatica

Ciao, sono Luigi.
Ho dei dubbi sui problemi di dirichlet e neumann.
Voglio dire, il mio libro (Halliday) non ne parla. Sulle dispense del
prof. si accenna all'algoritmo risolutivo ma mancano gli esempi. Su
internet non ho trovato nulla.
Chiedo a voi ...
1) Un esempio svolto (o anche solo impostato) di problema di dirichlet
(che non sia gia' risolvibile con gauss, possibilmente);
2) Idem, per neumann;
3) Non so se c'entra con i primi due quesiti, ma come faccio a
dimostrare che il campo elettrico all'esterno di un condensatore a
piatti paralleli (ed infinitamente estesi, magari) e' nullo? O,
equivalentemente, che la carica si distribuisce solo sulle due facce
interne dei due piatti ?
Grazie, Luigi
PS: due settimane all'esame ...     :-(

 interne dei due piatti ?
Rispondo solo al punto 3), per dimostrare che il campo all'esterno del
condensatore piano *infinito* e' nullo (nell'ipotesi che le densita' di carica
superficiale totali sulle due armature siano uguali e opposte) si utilizza il
principio di sovrapposizione, infatti il campo esterno e' sovrapposizione
dei campi generati dalle due distribuzioni di carica presenti sulle due armature
del condensatore, il campo esterno generato da ognuna delle due distribuzioni
si calcola facilmente per mezzo della legge di Gauss sfruttando la simmetria
del sistema (nota che per fare questo non e' necessario sapere in anticipo
se la carica sia distribuita o no su entrambe le facce di un'armatura).
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 interne dei due piatti ?
so trattare solo il caso ideale delle piastre piane infinitamente 
estese.
Credo che tu debba usare il principio di sovrapposizione = ogni 
carica/sistema di cariche se ne frega degli altri e va per la sua strada 
(cioe': ogni carica agisce indipendentemente dalla presenza di eventuali 
altri cariche; il risultato finale e' quindi la semplice somma dei 
risultati "parziali" dovuti alle singole cariche)
Se consideri due schemi in cui hai, in ciascuno una piastra del 
condensatore, e li fai sovrapporre, ottieni proprio il risultato voluto 
(= campo nullo all'esterno; oltre che campo uniforme all'interno).
Piastra carica + :
     (+)
  <-- | -->
  <-- | -->
  <-- | -->
Piastra carica - :
     (-)
  --> | <--
  --> | <--
  --> | <--
Sovrapposizione (tenendo conto che due frecce parallele di modulo uguale 
e verso opposto si elidono):
     (+)     (-)
      | ----> |
      | ----> |
      | ----> |
      | ----> |
nota che all'intero il campo e' uniforme e di modulo doppio rispetto al 
paino generato da una sola piastra piana.
ciao
coden

Grazie mille a tutti e due. In effetti mi era proprio sfuggito il
vostro ragionamento. E si' che l'avro' letto almeno tre volte sul
libro. Mah ...
Ma vorrei tornare a Neumann e Dirichlet.
C'e' nessuno che puo' spiegarmi qualcosa?
Si tratta del "problema fondamentale dell'elettrostatica":
noti i potenziali posseduti da n corpi conduttori (e nota la geometria
del sistema), ricavare V e sigma (densita' superficiale di carica) in
ogni punto dello spazio.
So che esistono due algoritmi risolutivi: di Neumann e di Dirichlet,
appunto.
Li ho anche capiti. Solo che mi servirebbe un esempio non banale
(voglio dire, che non sia gia' risolvibile con Gauss), della
applicazione di tali metodi.
Ho gia' visto su tutto il newsgroup: ho trovato solo un post
vecchissimo che non mi e' stato utile.
Mi date un aiuto?
Grazie, Luigi.



Mi sa che stai facendo un po' di confusione....
Neumann e Dirichlet non sono due algoritmi risolutivi, come tu dici,
bensì due diversi tipi di problemi matematici  per un'equazione alle
derivate parziali. Questi differiscono in base al "tipo" di condizione
al contorno: se non ricordo male con dirichlet hai assegnata la
fuznzione lungo il bordo del dominio di definizione, mentre con
neumann si assegna la derivata in direzione normale sempre al bordo
del dominio.
Questi due problemi matematici hanno poi, a seconda delle
applicazioni, un significato fisico. In particolare, l'esempio che hai
scritto corrisponde a risolvere un problema di dirichlet per
l'equazione di laplace.
Ciao,
Luca

 applicazione di tali metodi.
[cut]
Su Jackson, Elettrodinamica Classica, ci sono diversi esempi,
alcuni piuttosto laboriosi per quanto riguarda la matematica impiegata,
altri piu' semplici (ad es. metodo delle immagini).
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 coden
Riposto la mia replica, dopo essermi accorto che la precedente era
stata respinta dal robomoderatore (chiedo venia).
Dunque, dopo aver riflettuto, non sono piu' daccordo con la tua
risposta.
Dici di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.
Se avessimo due piani carichi paralleli ISOLANTI sicuramente cio'
sarebbe possibile: la presenza del campo elettrico dovuto ad un piano
non influenza particolarmente la distribuzione di carica nell'altro
piano.
Ma qui' abbiamo due piani CONDUTTORI: il campo elettrico prodotto da
un piano DEVE influenzare la distribuzione di cariche nell'altro piano
(per induzione elettrostatica).
Quindi, secondo me, in quest'ultimo caso il principio di
sovrapposizione degli effetti non si puo' applicare: avvicinando il
piano b al piano a, su quest'ultimo si osserva una ridistribuzione di
carica (che poi e' cio' che mi interessa, perche' io voglio capire
come mai le cariche si dispongono solo sulle superfici interne delle
armature).
Ho studiato e ristudiato il sistema con la legge di Gauss (ed
adottando il principio di simmetria). Ecco tutto cio' che ho trovato:
1) (q-) = - (q+) (per il principio di conservazione della carica);
2) E tra le armature: uniforme (ed ortogonale ad esse);
3) E' all'esterno delle armature: uniforme (ed ortogonale ad esse);
4) sigma (densita' superficiale di carica): uniforme sulle due
superfici interne e sulle due superfici esterne;
5) (sigma-) = - (sigma+)
6) (sigma'-) = - (sigma'+)
7) E = (sigma+) / epsilon0
8) E' = (sigma'+) / epsilon0
Come si vede, nulla impedisce che E' sia diverso da zero.
Come faccio ? 
Non vorrei aver trovato un problema risolvibile solo con i metodi di
Dirichlet e Neumann (a suo tempo citati). Sigh!
Sbrogliate l'arcano please!
Luigi

 armature).
[cut]
Il principio di sovrapposizione e' sempre applicabile (almeno
limitatamente all'ambito in cui valgono le eq.i di Maxwell, che
sono lineari), ovviamente la distribuzione delle cariche su ciascuna
delle due armature del condensatore e' influenzata dalla presenza
dell'altra armatura, ma il campo elettrico risultante in tutto lo spazio e'
comunque sovrapposizione dei campi elettrici generati dalle cariche
presenti sulle due armature.
Consideriamo una delle due armature piane infinitamente estese e
supponiamo che giaccia in un piano verticale, per simmetria le distribuzioni
di carica sulle due facce dell'armatura (in presenza dell'altra armatura)
saranno uniformi e il campo E da esse generato sara' sovrapposizione
dei campi generati dalle due distribuzioni, campi che si possono calcolare
usando la legge di Gauss e sfruttando la simmetria della distribuzione di carica,
il risultato e' che il campo totale generato dall'armatura e' uniforme
e ortogonale all'armatura sia nello spazio a destra dell'armatura che
in quello a sinistra, inoltre nei due spazi E ha uguale intensita' e verso
opposto.
Calcolando in modo analogo il campo E generato dalla seconda
armatura, e sfruttando il fatto che le densita' di carica totali (somma delle
densita' di carica sulle due facce di un'armatura) sulle due armature sono
uguali e opposte, si vede applicando ancora il principio di sovrapposizione
che il campo risultante nello spazio esterno al condensatore e' nullo, quindi
e' nulla anche la densita' di carica superficiale sulle facce esterne del
condensatore (sempre per la legge di Gauss).
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

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

 
Ho riflettuto molto sulla tua risposta e su quella di Bibbiani.
In effetti e' vero: nel caso particolarissimo del condensatore a
piatti piani e paralleli il principio di sovrapposizione si puo' usare
(il campo elettrico generato da un piano e' normale alla superficie,
quindi non puo' spostare cariche nell'altro piano, che e' parallelo al
primo).
Tuttavia (e non chiedo di risolvere il problema) ritengo che il
principio di sovrapposizione sia inapplicabile con armature di forma
qualsiasi (es: due sfere).
Cioe', necessariamente il campo elettrico di un'armatura sposta le
cariche nell'altra armatura, fino ad una nuova situazione di
equilibrio.
Conseguentemente ciascuna sfera non e' piu' una distribuzione
simmetrica di carica, etc, etc.
Insomma, secondo me in quest'ultimo caso non si puo' definire il campo
elettrico risultante sommando vettorialmente i campi generati dalle
due sfere prese singolarmente. E' cosi' ?
Luigi

 due sfere prese singolarmente. E' cosi' ?
Il campo risultante non e' la somma dei campi che ciascuna sfera genererebbe
*in assenza* dell'altra, ma e' la somma dei campi che ciascuna sfera genera
*in presenza* dell'altra.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 
Scusa, ma il principio di sovrapposizione non dice che "l'effetto
complessivo e' dato dalla somma (vettoriale o scalare che sia) degli
effetti che si otterrebbero prendendo le singole 'cause' singolarmente
- ossia come se ciascuna fosse l'unica ad agire" ?
Luigi

 - ossia come se ciascuna fosse l'unica ad agire" ?
Si', ma l'affermazione che non mi convinceva nel tuo messaggio era:
"Tuttavia (e non chiedo di risolvere il problema) ritengo che il
principio di sovrapposizione sia inapplicabile con armature di forma
qualsiasi (es: due sfere)."
Penso comunque che concorderemo sul fatto che:
se una sfera conduttrice isolata (cioe' in assenza di altri corpi) S1 posta
nella posizione r1 e avente carica Q1 genera un campo E1 ed una sfera
conduttrice isolata S2 posta nella posizione r2 e avente carica Q2 genera
un campo E2, allora il campo totale E quando S1 e' in r1 ed S2 e' in r2
non e' E1 + E2, ma e' uguale alla somma di altri due campi, E1' che e'
il campo generato dalle cariche su S1 quando e' presente anche S2, ed
E2' che e' il campo generato dalle cariche su S2 quando e' presente
anche S1, quindi, in questo senso, il principio di sovrapposizione e'
applicabile anche ad armature di forma sferica, e non solo ad armature piane.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani