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Titolo: MQ: manca una descrizione matematica dell'atto di misura?

La meccanica quantistica (MQ) e' una teoria molto raffinata dal punto di vista matematico, usa un formalismo preciso e di alto livello. 
Tranne:
nel passaggio |u> --> |a_i>
 
ovvero tra un ket di stato |u> di un sistema quantistico ed un autostato |a_i> di una osservabile A, quando tale osservabile viene misurata  sul sistema. 
 
Questo perche', a meno che |u> sia gia' autostato di A, il risultato della misura non e' definito, ma e' uno, a caso, tra tutti i possibili autostati |a_i> e _nessuna funzione matematica_ e' in grado di fare una cosa del genere. 
(Come sappiamo, la MQ e' invece in grado di fornire la probabilità che dopo la misura il sistema si trovi in un certo stato |a_k>). 
 
Oppure mi sbaglio? 
 
Consideriamo per esempio gli stati di polarizzazione orizzontale |o> e verticale |v> di un fotone. 
Se il fotone e' inizialmente in uno stato di polarizzazione:
|u> = cos(theta) |o> + sin(theta) |v>, 
una misura di polarizzazione orizzontale porra' il fotone nello stato |o> con probabilità cos^2(theta), oppure lo distruggera' (e' giusto?) 
mentre una misura di pol. verticale lo porra' in |v> con probabilità sin^2(theta) o lo distruggera'.  
 
Esiste/e' possibile ideare un algoritmo, analogo ad uno che genera numeri casuali, in grado di generare, per es., 1 con probabilità data (cos^2(theta)) e 0 negli altri casi?  
 
--
Wakinian Tanka

 (cos^2(theta)) e 0 negli altri casi?
 
Banalmente sì, ad es. dato un algoritmo che generi
numeri pseudocasuali x compresi tra 0 e 1 con
distribuzione uniforme, gli si compone un altro
algoritmo che, dati in input theta e x,
dia come output 1 se x < cos^2(theta) e 0
altrimenti.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

 altrimenti. 
 
Grazie. 
Leggo in wiki 
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Generatore_hardware_di_numeri_casuali
 
 
che generatori hardware di veri numeri casuali "sono basati tipicamente su fenomeni microscopici come il rumore termico o l'effetto fotoelettrico _o altri fenomeni quantistici_".  
 LOL 
Sarebbe il massimo se per descrivere una misura quantistica dovessi usare l'effetto di una misura quantistica! :-) 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 quantistica! :-)  Ciao. 
 
Ora che mi ci fai pensare non so se possano esistere algoritmi 
per generare numeri realmente casuali; almeno tutti quelli che 
conosco io dall'unico testo in mio possesso che li tratta, non 
solo sono periodici ma la distribuzione non è quasi mai 
uniforme anche se in alcuni casi passano dei test abbastanza 
severi. Anche se il periodo fosse esprimibile con un numero 
molto grande, probabilmente esisteranno sempre applicazioni per 
cui non è sufficiente.
 
E a questo punto mi chiedo se esista qualche teorema che 
garantisca che un'algoritmo del genere è possibile anche se non 
noto. Un alternativa, per non dire l'alternativa, è che una 
sorgente di rumore o altro dispositivo il cui stato sia 
determinato da misure su un sistema quantitistico sia la sola 
definizione possibile di un generatore di numeri casuali.
 
Non lo so, lo chiedo...............

 un'algoritmo del genere è possibile anche se non noto.
 
Sicuramente un algoritmo che giri su un computer reale
senza ricevere infiniti input dall'esterno darà in output,
da un certo punto in poi, una sequenza periodica di bit,
questo perché la memoria di qualsiasi computer è limitata
e a un certo punto il computer si dovrà ritrovare in uno
stato già avuto in precedenza, e quindi ripercorrere
tutti gli stati conseguenti, essendo una macchina
deterministica (automa a stati finiti).
Naturalmente la capacità odierna di memoria dei
computer è tale che anche alla massima velocità
di elaborazione possono eseguire un programma
che darà un output non periodico per tutta la
loro durata di vita (e anche per l'ipotizzabile
"durata di vita" dell'universo ;-).


per generare numeri realmente casuali;
 
IMHO "realmente casuali" e' un nonsenso. La casualita' di un fenomeno
non e' una qualita' oggettiva (avente quindi una valenza di realta'),
ma dipendente dal soggetto che, osservandolo, non riesce a individuare
in esso una relazione deterministica.
 
In altri termini, se un algoritmo per pseudocasuali produce risultati
tali che non esiste test in grado di distinguerli da quelli di un
generatore hardware, non ha senso parlare di casualita' di diversa
specie. Ciao

 specie. Ciao
 
Secondo me la differenza sta nel fatto che la conoscenza
dell'algoritmo e delle condizioni iniziali del processo
permette di fare previsioni deterministiche, possibilità
che è preclusa nello studio di un fenomeno intrinsecamente
casuale (come sperimentalmente risulta per molti
fenomeni descritti in MQ).


fenomeni descritti in MQ).
 
... da Tizio che conosce un algoritmo A di generazione di pseudorandom
e sa dire esattamente quale sara' il prossimo numero. Per Tizio i
numeri di A non sono casuali, per me lo sono. Tutt'al piu' potrei
studiare sperimentalmente A dal punto di vista stocastico, proprio
come si fa col decadimento di una particella. Potrei trovarci una
certa distribuzione di probabilita', ma finche' non saro' in grado di
fare previsioni deterministiche, A sara' *soggettivamente (per me)
casuale* non meno di quanto lo e' un fenomeno di decadimento. Ciao 

In questa discussione si sono intrecciati diversi aspeti e temi che
sarebbe bene tenere distinti.
Cerco di dare un contributo in questo senso.
 
1. Numeri pseudocasuali e loro verifica.
Preciso subito che le mie conoscenze in materia sono una piccola parte
di quello che c'è nel vol. 2 di "The Art of Computer Programming" di
Knuth.
Il cap. 3 (150 pagine) tratta l'argomento.
Dico una piccola parte per ragioni di memoria: ho la seconda edizione,
del 1980, acquistata nel 1981; e anche ammesso che quando lo lessi,
più o meno a quei tempi, avessi capito tutto, oggi mi è rimasto assai
poco.
Si potrebbe anche pensare che nei 40 anni trascorsi le conoscenze in
materia siano avanzate, ma io non ne ho idea.
 
Quello che credo di ricordare bene è che un algoritmo di generazione
di n. pseudocasuali può essere assai difettoso, e non solo per la
periodicità.
Intanto la periodicità credo sia sempre assai più breve del limite
dato (come scrive GB) dalla finitezza del computer.
Anche considerando solo la RAM, e assumendo che sia piccola, diciamo 1
GB, ossia circa 10^10 bit, e assumendo una frequenza di generazione di
10^10 numeri/s (esagerata), dato che gli stati sono 2^(10^10) =
10^(3*10^9), se il periodo fosse questo, sarebbe di 10^(3*10^9 - 10)
secondi.
Da cui si vede una cosa curiosa: la velocità del computer è l'ultima
delle preoccupazioni, visto che conta come 10 rispetto a 10^9 :-)
 
Ma non è così: l'algoritmo si può ripetere con frequenza assai più
"umana" (si fa per dire: intendo testabile da un computer :-) ).
Sicuramente Knuth fa degli esempi, ma non ricordo.
Ma c'è dell'altro: una successione di n. pseudocasuali può essere
scadente anche senza essere di breve periodo; per es. se ci sono
correlazioni tra numeri successivi o magari parecchio distanziati ma
abbastanza da avere effetti in certe applicazioni.
Di qui la difficoltà della verifica: che cosa bisogna verificare?
Anche qui rimando a Knuth perché non so fare esempi concreti.
 
2. Causalità di fenomeni "casuali" naturali.
Intanto mettiamo in chiaro una cosa: la casualità di un fenomeno
naturale non è necssariamente un effetto quantistico.
Un esempio che avete considerato è il "rumore" nei ciruiti eletronici.
Ci sono varie sorgenti di rumore, ma consideriamo il più comune: il
rumore termico.
Si tratta di un effetto quantistico?
Bisognerebbe dire "dipende", ma posso asserire che nella quasi
totalità degli strumenti elettronici la riposta è no.
 
Qui debbo aprire una parentesi sulla teoria del rumore termico. Se
aprite un libro di elettronica troverete la famosa formula di Nyquist.
Potete trovare trattata la questione all'articolo "Johnson-Nyquist
Noise" in wikipedia. E al par. "Quantum effects at high frequencies or
low temperatures" ci trovate anche la risposta circa il carattere
quantistico o no del rumore.
Qui faccio un veloce riassunto.
 
Il teorema di Nyquist dice che la potenza del rumore è data da
4kT*B
dove k è la costante di Boltzmann, T la temp. assoluta, B la
larghezza di banda interessata.
Se la formula è valida, di tratta di un romore bianco, ossia con
spettro uniforme sulla frequenza.
In realtà si sa di più: è un rumore bianco *gaussiano*, ma non
insisto.
 
Il fatto che nella formula non compaia la costante di Planck già
dimostra che non si tratta di un fenomeno quantistico.
In realtà la formula cade in difetto se non è soddisfatta la
condizione hf << kT.
A temp. ambiente questa fornisce f << 250 THz e dimostra che anche
l'elettronica più veloce, a parte esperimenti appositamente condotti
per generare frequenze non lontane da quelle della luce visibile,
soddisfa ampiamente la condizione.
 
La situazione è del tutto analoga a quella in cui si pone, per la
radiazione nera, il limite di Rayleigh-Jeans rispetto alla formula di
Planck.
Si vede però una differenza: la legge di R-J dà una distribuzione
spettrale che va come f^2, mentre la legge di Nyquist dà una distr.
costante in frequenza. Come mai?
La risposta è che la legge di R-J considera radiazione nera nello
spazio 3D, mentre la legge di Nyquist assume propagazione
unidimensionale (es. un cavo coassiale).
In 3D il n. di modi normali della radiazione in un intervallo df di
frequenze cresce come f^2, mentre in 1D è uniforme.
 
Conclusione: a parte casi eccezionali, il rumore termico è quello
dovuto a una radiazione e.m. *non quantizzata*.
Quindi non ha niente a che fare con la "causalità quantistica".
 
3. Determinismo e casualità.
Grossa questione, da filosofi della scienza (a patto che sappiano
parecchio di fisica :-) ).
 
3.1 Il caos deterministico.
Il primo tema che viene in mente è il "caos deterministico".
Anche qui, riassumo le poche cose che so.
Un sistema meccanico definito secondo la meccanica classica è
*deterministico*: date le condizioni iniziali a un istante t0, il suo
stato (posizioni, velocità) è completamente determinato a qualsiasi
altro istante.
Tuttavia c'è un fenomeno la cui scoperta risale nel modo più generoso
a 120 anni fa, ma nella visione generale a forse 60 anni fa.
(Badate che la parola "fenomeno" non è qui usata nel senso della
fisica sperimentale: in effetti il caos deterministico è un fenomeno
esclusivamente matematico, non legato a condizioni fisiche
particolari, ma solo alla natura delle equazioni che reggono il
sistema.
 
Detto nei termini più semplici possibili, si tratta della
"sensibilità" alle condizioni iniziali".
Che detto così non spiega niente...
In termini più precisi, accade che per qualunque sistema meccanico,
tranne i più semplici o particolari (es. sistemi lineari) si dimostra
che una variazione delle condizioni iniziali produce variazioni dello
stato a un tempo diverso che diventano grandi a piacere, con un
andamento tipicamente esponenziale nel tempo.
Più esattamente ancora, questa variazione è determinata da un tempo
caratteristico tau, detto "tempo di Liapunov", nel senso che se Dx(t0)
è la distanza in senso astratto (nello spazio delle fasi) all'istante
iniziale tra due diverse condizioni iniziali, la distanza degli stati
a un tempo t è tipicamente Dx(t) = Dx(t0) * exp((t-t0)/tau).
(Attenzione, questa descrizione è tutt'altro che precisa, ma ci sno
dei limiti su quello che si riesce a dire in un NG.)
 
Qui nasce un vero problema: possiamo dire che dunque anche la
meccanica classica risulta di fatto non deterministica?
Oppure l'indeterminatezza è solo soggettiva, in quanto derivante
dall'incertezza nella conoscenza delle condizioni iniziali?
O ci sono altre risposte?
 
Comunque, nel gergo dei filosofi della scienza, questa è una
probabilità "epistemica", in quanto deriva da insuff. conoscenza del
sistema.
Vedremo fra un attimo la differenza col caso quantistico.
 
3.2 La meccanica quantistica.
La differenza è netta, in quanto qui non ci sono possibilità di
restringere l'incertezza affinando le conoscenze (come nel caso
determ.)
Nel caso quantistico se abbiamo un sistema posto in uno stato
determinato, una misura di gran parte delle osservabili non fornisce
un risultato certo.
Nel senso che se si riproduce *lo stesso stato* e si ripete *la stessa
misura* il risultato sarà in generale diverso, e non di poco.
Non c'è nessun modo di ridurre questa incertezza del risultato: la
teoria è solo capace di precisare la probabilità dei possibili
risultati (autovalori dell'osservabile).
 
I tentativi di ridurre anche questo caso sotto l'etichetta epistemica,
assumendo l'esistenza di "variabili nascoste", si sono scontrati prima
contro un risultato teorico (disuguaglianza di Bell) e poi contro
verifiche sperimentali: il teorema di Bell dice che in presenza di
variabili nascoste certi parametri statistici relativi alle misure
debbono soddisfare una data disuguaglianza, e ormai si sono
moltiplicati gli esperimenti in cui la disuguaglianza è stata violata.
Quindi siamo stati costretti a ricnoscere che nel caso quantistico
l'intervento della probabilità è *non epistemico*, ossia non derivante
da insuff. conoscenza da parte dello sperimentatore sullo stato del
sistema.
 
El Filibustero:
 > soggettivamente, non ho informazioni che mi
 > consentano di fare previsioni deterministiche, differentemente...
Primo: a me pare inappropriato usare il termine "soggettivo" per
qualcosa che ha carattere universale che più non si può.
Secondo: il punto è che in questo caso _as far as we know_ l'algoritmo
non esiste, non esiste il Tizio in grado fare previsioni
deterministiche. Le violazioni della disug. di Bell parlano in questo
senso.
Naturalmente non è possibile confutare un Sempronio che insista:
quello che non sappiamo oggi, lo sapremo domani. O lo sapranno i
nostri discendenti...
 
Il fatto rilevante per un fisico è che oggi (in realtà da un secolo)
abbiamo una teoria (la m.q.) che non solo asserisce l'impossibilità di
trovare l'algoritmo, ma al tempo stesso è anche una teoria positiva.
Questo viene trascurato troppo spesso.
La m.q. ha rivoluzionato il mondo, perché ha spiegato una quantità di
fatti e fenomeni, e di conseguenza ha permesso di progettare congegni,
applicazioni di grandissima portata...
In questo senso i fisici considerano la m.q. una teoria *vera* (ferma
restando, in modo banale, la possibilità di falsificazioni future).
Quindi ha senso, in questo preciso senso, dire che l'indeterminismo
della m.q. è *non epistemico*.
Se qualcuno in futuro scoprirà il contrario, staremo a vedere.
Ma rifiutare oggi questo punto di vista solo sulla base di convinzioni
personali che hanno solo il valore di un atto di fede, non mi pare
molto scientifico.
Chi sa e può, costruisca una teoria alternativa e la metta alla prova
dell'esperienza. Solo allora potremo discutere.
 
-- 
Elio Fabri

 4kT*B
Scusate, il 4 me lo sono sognato. O meglio c'è, in un'altra formula.
 
 
-- 
Elio Fabri

 "durata di vita" dell'universo ;-).
 
C'e' un aspetto della questione che non mi sembra sia emerso: in realtà 
numeri "veramente casuali" sono mlto poco interessanti dal punto di 
vista scientifico-pratico (lo sono di più per chi organizza giochi 
d'azzardo). Il motivo è che se ho un qualsiasi algoritmo stocastico 
(basato quindi sui numeri casuali) e devo implementarlo su un computer, 
avrò bisogno di passare per una fase di validazione/debugging
  del codice. Con un algoritmo per numeri pseudocasuali ho la completa 
riproducibilità dell' esperimento numerico. Con numeri realmente casuali 
potrei dover attendere un tempo arbitrariamente lungo per ritrovare le 
condizioni di un errore. Morale di cio': un fisico computazionale non 
abbandonerebbe mai un buon generatore di numeri pseudocasuali in favore 
del più  impredicibile fenomeno naturale.
 
Giorgio

 
 
Mica sono i filosofi che hanno rinunciato al realismo locale.
E nemmeno la natura.
Rinunciare al realismo locale equivale ad affermare che nel
 presente non ci sono eventi.
 
-- 
 
 
----Android NewsGroup Reader----
http://usenet.sinaapp.com/
 

 in esso una relazione deterministica. 
 
 
si, eppure esistono numeri reali la cui sequenza decimale non è esprimibile 
da alcun algoritmo (in realtà sono la maggior parte)
(
un algoritmo è un insieme finito e discreto di passi / istruzioni
)
 
questo perchè la potenza  di  R  è  maggiore  della  potenza dell' insieme di
tutti i possibili algoritmi 
 
perciò a parer mio  ESISTE una "vera casualità" , seppur astratta.
Ossia  una  casualità  che  è  tale per ognuno indipendentemente dalle sue 
conoscenze
 
 


l' assenza di risposte a questo mio post potrebbe significare (forse) che
non è affatto chiaro
 
Quindi cercherò di spiegarmi meglio
 
Ogni numero reale ad esempio dell' intervallo (0,1) puo' essere espresso 
mediante 0, seguito da infiniti decimali
 
La maggior parte di queste sequenze non è computabile (o costruibile)
da ALCUN algoritmo, se per algoritmo intendiamo un qualsiasi insieme
FINITO di "passi" o "istruzioni"
 
Questo perchè l' insieme di tutti gli algoritmi ha potenza solo numerabile,
mentre l' intervallo (0,1) ha potenza del continuo : quindi ci sono molti
piu numeri in (0,1)  che algoritmi
 
Questi numeri reali sono fatti in modo tale, quindi,  che nessuno puo' 
avere la benchè minima idea di quale decimale arriverà dopo l' ennesimo : 
sorpresa totale. 
 
E perciò, per ogni n "arrivato", l' n+1 esimo decimale è COMPLETAMENTE 
casuale e non cè modo di conoscerlo se non DOPO averlo "visitato" 
 
A me pare che questa sia la pura e unica vera "casualità" : del tutto teorica
ed astratta, ma (mi sembra) almeno concepibile. 
 
 
 

 
 
credo di essere un filo OT, ma visto che rilanci l'argomento lasciami 
dire che secondo me il tema che poni diventa suggestivo in relazione al 
concetto di informazione (informazione alla Shannon, in cui 
l'informazione veicolata da un simbolo dipende dalla sua *casualita'* di 
occorrenza):
 
https://www.quantamagazine.org/does-time-really-flow-new-clues-come-from-a-century-old-approach-to-math-20200407/
 


Assolutamente  si,  ed  è  anche  intuitivo : l' informazione è tanto maggiore quanto più ... 
come dire ... quanto piu risulta inaspettata. 
 
Pero questa cosa non tocca in alcun modo il concetto di casualità, ossia rimane sempre 
la domanda : COSA è davvero casuale ? 
 
Ecco, secondo me cio che è davvero e assolutamente casuale è cio che non puo' essere 
previsto in alcun modo a prescindere dalla conoscenza dell' osservatore. 
 
E mi sembra che, come detto prima, cio accade per taluni numeri reali che esistono ma
che in un certo senso non sono "conoscibili". Non in un tempo finito. 
 
Per es. il  Pi  greco  non  è un reale casuale perchè  esiste  un algoritmo in grado di 
calcolarlo.  
 
Ma cè un ma : per quanti decimali il soggetto A invii al soggetto B il soggetto  B  non 
potrà mai essere sicuro che A stia seguendo il Pi
 
Allora per B quella sequenza è ancora casuale ?  Credo di si, assolutamente si. Ed in
cio do ragione a El Filibustero
 
 In fin dei conti io credo che nella realtà  fisica la vera casualità, assoluta, non possa 
esistere. Esiste solo nell' astrazione matematica. 
 
 
 
 
 

 
 
Certo: se lo stato del PRNG è di N bit, il periodo non può essere più
lungo di 2^N. Un periodo di 2^128 già sufficiente, soprattutto se c'è un
modo di fare salti arbitrariamente lunghi nel periodo (in modo da
generare, per es., 2^64 sequenze senza nessuna sovrapposizione, ognuna
di 2^64 bits; per esempio i generatori di Vigna hanno questa possibilità
http://prng.di.unimi.it/
).
 
Uno dei generatori più comuni, il Mersenne Twister, ha uno stato enorme
di 20032 bit e un periodo di 2^219937; Marsaglia aveva presentato (credo
per gioco) un generatore con uno stato dell'ordine di 1 megabyte (mi
pare) e un periodo spropositato dell'ordine di 2^(10^7). Il problema di
avere uno stato grosso, a parte che è inutile e può danneggiare le
prestazioni, è l'inizializzazione. Lo stato iniziale va settato con bit
'abbastanza' casuali, e bisogna capire da dove prenderli.
 
Riguardo alle definizioni di cosa significa che una sequenza sia
casuale, posso segnalare questo articolo:
K. Landsman "Randomness? What randomness?"
https://arxiv.org/abs/1908.07068v1
 
 
L.