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Titolo: Utilizzo delle Equazione di Maxwell

Scusate in anticipo la domanda (quasi) certamente banale...
I miei dubbi riguardano l'utilizzo delle equazioni di Maxwell.
Esse esprimono le proprietà di flusso e di circuitazione dei campi E e B in 
realzione alle sorgenti rho e j.
Ma conoscendo la distribuzione delle sorgenti posso risalire dalle eqn. di 
M. ai campi?
Mi chiedo se i campi E e B siano completamente definiti dalla loro divegenza 
e dal loro rotore e quindi se dalle proprietà di questi posso risalire ai 
campi.
Di analisi vettoriale so molto poco a parte le definizione e le proprietà 
più basilari, dei sistemi di equazione differenziali alle derivate parziali 
non so nulla...
Dal punto di vista pratico non sono più utili le relazioni che collegano 
direttamente i campi alle loro sorgenti?
Le proprietà espresse dalle eqn. di M. non si possono derivare dalle 
espressioni che ci dicono come densità di cariche e densità di correnti 
generano E e B?

Neanch'io so nulla di analisi vettoriale, ed è una questione che
diventa un po' complicata. Immagino che se tu sai rotore e divergenza
di un campo all'interno di uno spazio, e sai quanto vale il campo sulla
frontiera di questo spazio (condizioni al contorno) allora puoi dedurre
il campo stesso.
Di solito se tratti tutto lo spazio la condizione al contorno è che i
campi si annullino all'infinito.
L'idea intuitiva è che rotore e divergenza sono strumenti inventati
per la dinamica dei fluidi. Vedi il tuo campo vettoriale come una
distribuzione di corrente di un fluido. Se fai il flusso attraverso una
superficie chiusa di questo campo vedi quanto fluido sta uscendo o
entrando nella superficie nell'unità di tempo. Chiaramente se non ci
sono sorgenti di fluido all'interno della superficie, entra tanto
fluido quanto ne esce.
Le sorgenti introducono fluido all'interno del tuo spazio, che spinge
in fuori il fluido preesistente. Le sorgenti generano quindi delle
correnti.
Se fai il conto per la distribuzione di un fluido generato da una
sorgente puntiforme, ti viene che la densità di corrente è
distribuita radialmente e va come 1/r^2. La carica in elettrostatica
sarebbe l'analogo della quantità di fluido uscente dalla sorgente
nell'unità di tempo.
Puoi vedere quindi che questo campo ha circuitazione nulla.
Ci sono altri generatori di correnti, che non corrispondono a nessuna
sorgente. Ad esempio, se metti un elica in un fluido e la fai girare,
questa genererà delle correnti. Le altre sorgenti sono quindi i
vortici. Riconosci la presenza di un vortice quando le linee di flusso
sono chiuse su se stesse, e la velocità ha sempre lo stesso verso
lungo il percorso della curva, per cui ti verrà una circuitazione non
nulla.
Ovviamente, la corrente generata dai vortici ha flusso nullo attraverso
superfici chiuse, perché non ci sono sorgenti.
I vortici hanno un'intensità e una direzione, e quindi li indichi con
vettori. Immagino che supponendo che ci sia un vortice centrato in un
punto, diretto lungo un asse, e supponendo che la corrente generata sia
a flusso nullo, ti verrà una distribuzione di corrente lungo linee
circolari centrate sull'asse dato dal vortice.
Se supponi di conoscere quindi la distribuzione di sorgenti e di
vortici, puoi ricavare il campo supponendo che le sorgenti generino da
parte loro correnti a circuitazione nulla, mentre i vortici generano
correnti a circuitazione non nulla e flusso nullo.
Viceversa se sai il campo e vuoi determinare sorgenti e vortici in un
punto, fai la densità di flusso e densità di circuitazione in quel
punto (infatti i contributi degli altri vortici e le altre sorgenti che
non stanno in quel punto spariranno quando tenderai a uno spazio
piccolissimo che contiene solo quel punto).
Nei casi elettrostatici e magnetostatici è abbastanza facile ottenere
le espressioni dei campi in funzione delle distribuzioni di carica e di
densità di corrente. In alcuni casi, in cui un campo ha derivata
seconda rispetto al tempo nulla e l'altro ha derivata prima rispetto al
tempo nulla, è abbastanza facile determinare i campi, si procede in
maniera molto simile ai campi statici.
Nel caso dei campi elettrodinamici più complessi ci sono diversi
potenziali elettrodinamici.
Per prima cosa, si usa un potenziale vettore per il campo magnetico
(già introdotto nella magnetostatica). Dato che il campo B ha
divergenza nulla, c'è un teorema che dice che puoi esprimerlo come il
rotore di un altro campo, detto potenziale vettore, che di solito viene
indicato con A.
L'equazione di base è rot(A)=B
ora, supponendo che la condizione al contorno sia la solita per cui A
si annulla all'infinito, ti resta da definire la divergenza.
Questa credo si chiami scelta di "gauge".
In magnetostatica usi la gauge di Coulomb:
div(A)=0
In elettrodinamica ci sono diversi potenziali, che differiscono a
seconda della gauge che scegli per A.
Accanto al potenziale vettore trovi anche un potenziale scalare (che
nel caso le distribuzioni non cambino nel tempo si riduce al potenziale
elettrostatico che già conosci).
infatti se il vettore E non ha rotore sempre nullo per cui non si può
considerare come gradiente di un potenziale, il vettore:
E+DA/Dt invece ha rotore sempre nullo, quindi lo puoi esprimere come
gradiente!
infatti:
rot(E)+rot(DA/DT)=-DB/DT+Drot(A)/DT=-DB/DT+DB/DT=0
quindi:
-grad(V)=E+DA/DT
Tra i potenziali elettrodinamici ci sono quelli di Lienerd-Wiechart,
che non conosco, ma immagino discendano tutti da una particolare scelta
di gauge.
Poi ci sono quelli che mi stanno un po' più simpatici, quelli che si
ottengono con la gauge di lorentz.
Se infatti poni:
div(A)=-(1/c^2)*DV/Dt
allora riesci a ottenere delle equazioni d'onda di D'Alembert per V e
A, in cui le rispettive sorgenti sono rho/epsilon e mu*J.
Infatti:
div(grad(V))=-div(E)-div(DA/Dt)=-rho/epsilon-D(div(A))/Dt=-rho/epsilon+(1/c^2)*D^2(V)/Dt^2
(1/c^2)D^2(V)/Dt^2-div(grad(V))=rho/epsilon
div(grad(V)) è il laplaciano di V, e quella che vedi sopra è
un'equazione d'onda per V in cui le sorgenti sono rho*epsilon e la
velocità di propagazione dell'onda è c.
Vediamo invece come la si ottiene per il potenziale vettore A:
rot(A)=B
rot(rot(A))=rot(B)

Scusate se continuo a postare ma il messaggio iniziale è stato
tagliato a metà continua a non apparire la seconda parte della
discussione
Vediamo invece come la si ottiene per il potenziale vettore A:
rot(A)=B
rot(rot(A))=rot(B)
 
rot(rot(A))_i=grad(div(A))_i-div(grad(A_i))=-(1/c^2)D(grad(V)_i)/Dt_i-div(grad(A_i))=(1/c^2)D[E_i+DA_i/Dt]/Dt-div(grad(A_i))=(1/c^2)DE/Dt+(1/c^2)*D^2(A_i)/Dt^2-div(grad(A_i))
rot(B)_i=mu*J_i+(1/c^2)*DE_i/Dt
(1/c^2)DE_i/Dt+(1/c^2)*D^2(A_i)/Dt^2-div(grad(A_i))=mu*J_i+(1/c^2)*DE_i/Dt
per cui eliminando a sx e a dx il termine di DE_i/Dt ottieni finalmente
l'equazione d'onda per ogni componente i del potenziale vettore A:
(1/c^2)*D^2(A_i)/Dt^2-div(grad(A_i))=mu*J_i
le sorgenti di A_i sono mu*J_i e la velocità di propagazione dell'onda
e (1/c^2).
Ok, adesso vorrai sapere come si esprimono questi potenziali in
funzione delle sorgenti.
Prendiamo per esempio l'equazione:
(1/c^2)D^2(V)/Dt^2-div(grad(V))=rho/epsilon
La soluzione di quest'equazione è molto simile al potenziale
elettrostatico, dipende da rho e va come 1/r dove r è la distanza
dalla carica, però c'è una differenza: il potenziale in un certo
punto a distanza r da una carica, sente la densità di carica con un
ritardo pari a r/c, quindi sente un potenziale pari a :
(1/4piespilon)*rho(t-r/c)/r
Idem per il potenziale vettore, tratti come scalari le componenti
singole A_i di A, e queste vanno come : (mu/4pi)*J_i(t-r/c)/r
Se supponi che rho e J siano costanti nel tempo, V si riduce al
potenziale elettrostatico e A al potenziale vettore magnetostatico.
Il motivo intuitivo per cui la soluzione dell'equazione d'onda vada
come 1/r e abbia il ritardo di tempo, sta nel fatto che puoi vedere la
sorgente puntiforme dell'onda che emette onde sferiche uniformemente in
ogni direzione. La potenza è associata al quadrato della funzione
d'onda, e supponi che l'energia si conservi e quindi si distribuisca
uniformemente su sfere di raggio sempre maggiore:
V^2(t,r)*r^2=V^2(t+tau,r+c*tau)*(r+c*tau)^2
da cui:
V(t,r)*r=V(t+tau,r+c*tau)*(r+c*tau)
da cui deduci che:
V(t,r)=f(t-r/c)/r
infatti:
V(t,r)*r=f(t-r/c)
V(t+tau,r+c*tau)*(r+c*tau)=f(t+tau-r/c-c*tau/c)=f(t-r/c)

 correnti generano E e B?
Si', ma a patto di conoscere quelle relazioni per cariche e correnti
qualsiasi.
Per es. da dove ricaveresti i campi prodotti da una carica accelerata?
 
-- 
Elio Fabri

 Per es. da dove ricaveresti i campi prodotti da una carica accelerata?
Per quanto ne so il campo magnetico prodotto da una particella in moto (da 
un punto di vista classico almeno) è:
B = (1/c^2)*(v x E) dove il campo elettrico è quello elettrostatico.
Continua a valere la formula elettrostatica anche se la carica è in moto 
giusto?