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Titolo: E=M e definizione dell'energia.

In QFT l'energia totale di un campo e' definita  a meno di una
costante.
Tuttavia tale costante puo' giocare un ruolo non banale in diversi
ambiti.
Ad esempio la radiazione termica all'equilibrio termodinamico dentro
una cavita'
modifica l'energia del vuoto per un valore finito (proporzionale al
volume della cavita' e alla quarta potenza della temperatura) che
certamente potremmo sottrarre: perderemmo qualcosa? Direi di si', se
cambiamo il volume o la temperatura infatti l'energia dopo il
cambiamento sara' diversa da quella di prima, in particolare pottrebbe
risultare inferiore. Questo effetto e' visibile se uno puo'
effettivamente modificare l'energia dello stato agendo su quest'ultimo
cambianado dei parametri.
Un caso analogo e' l'effetto Casimir: l'energia dello stato di vuoto
in presenza di bordi non banali e' sensibile alle modifiche della
geometria del sistema.
A questo punto come definisco la massa di un sistema?
Dire E=M nel sistema del centro di massa non basta perche'
il membro di sinistra e' definito a meno di un a costante. Bisogna
fissare dunque quella costante.
Mi spiego con un esempio. Prendo una cavita' sferica tenuta in
equilibrio ad una temperatura T.
In un sistema di riferimento in cui la sfera e' ferma quale e' la
massa della cavita'?
E' zero? Certamente no visto che abbassando T (adiabaticamente e
tenendo tutto il resto fissato) potrei abbassare l'energia e quindi la
massa a valori negativi (cioe' dovremmo ritenere di aver sbagliato la
scelta della costante additivia all'energia).
La risposta naturale sembrerebbe porre dunque a zero il minimo
dell'energia raggiungibile cambiando tutti i parametri.
E' cosi?
Ad esempio dovremmo includere anche il contributo Casimir all'energia
totale (che scala come 1/R) e minimizzare l'energia nel piano (R,T)?
Per una sfera perfettamente conduttrice il problema e' semplice: il
minimo e'
(T=0,R=oo) cioe' l'ordinario spazio senza bordo e senza radiazione
termica.
La cosa curiosa e' che se teniamo T fissato il minimo dell'energia e'
per un certo R non nullo e non infinito,
(corrisponde a pressione nulla sulle pareti della sfera, c'e'un
bilanciamento tra la presione termica della radiazione e la pressione
per effetto Casimir).
Con una sfera potremmo ritenerci soddisfatti?
In realta' uno potrebbe cambiare la forma della sfera deformandola e
studiando come
cambia l'energia per geometrie diverse, o prendere un
semiconduttore,...
Come si puo' dunque fissare a priori la costante dell'energia in modo
che E=M?
Ciao e grazie.

 ....
Ciao, poni delle questioni difficili su cui esiste una letteratura
vastissima.
In linea di principio l'energia la devi sempre definire integrando un
tensore energia impulso nella regione considerata. Il punto è che il
tensore, visto come valore medio di un operatore su uno stato (termico
o di vuoto) diverge, per cui devi rinormalizzare. Prima devi togliere
la singolarità locale universale, quella di Hadamard, che non dipende
dalla geometria globale, ma da quella locale e non dipende dalla
temperatura ecc... Se il volume è una porzione  del Minkowski,
togliere la singolarità di Hadamard è equivalente a sottrarre rispetto
alla funzione a due punti del vuoto di Minkowski (attenzione: del
vuoto di Minkowski, NON di quello nella scatola!).
Poi rimangono ancora termini di rinormalizzazione (la teoria di questi
è complicata, e non sono sicuro che sia stata fatta nel caso generale
per varietà con bordo) e saranno questi quelli che devi calibrare con
le varie richieste fisiche. L'articolo che ti citavo nell'altro thread
non riguarda questi termini, ma solo la sottrazione minimale di
Hadamard (che è un pò meno banale di quello che ho scritto sopra). Di
fatto, in assenza di bordi, i termini di rinormalizzazione possibili
devono costituire un tensore conservato, dipendente dalla geometria
locale solamente e che rispetti alcuni requisiti di scaling ed
analiticità in caso di metriche analitiche. Questi requisiti fissano i
termini ad un  numero *finito* (il primo tentativo è dovuto a Wald, i
famosi assiomi di Wald). La teoria per fare ciò è stata sviluppata
recentemente da Hollands e Wald per quanto riguarda i polinomi di
Wick, su lavori che ho citato nell'articolo che ti ho suggerito, ed in
articoli successivi per i polinomi di Wick derivati, come il tensore
energia impulso (di fatto generalizzano l'operatore energia-impulso
che ho definito nel mio articolo che ti ho citato nell'altro thread) .
Non saprei cosa succede nel caso di presenza di bordi, non ci ho mai
pensato seriamente, anche se ho lavorato molto sulla rinormalizzazione
(minimale) del tensore e-impulso in spazitempo statici ed a
temperatura finita, con la procedura della zeta-function in passato
(c'è anche un libro che ho scritto con altri colleghi). Ora però mi
occupo di altro e non ricordo bene queste cose...
Più di questo ora non mi viene in mente.
Ciao, Valter