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Titolo: Istituzioni di Fisica Teorica

Provo per la terza volta a postare questo messaggio, non so perche'
newsland si mangia i miei messaggi :)
Mi servirebbe una risposta per il seguente esercizio:
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U(x) = Uo, per a<x<b
U(x) = 0, per b<x<a
U(x) = infinito, per x>a
U(-x)= U(x)
Per quali valori di b e di Uo(>0) l'autovalore minimo dell'operatore
hamiltoniano, Eo, e' uguale ad Uo?
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Spero in una vostra soluzione, grazie mille!
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 U(x) = infinito, per x>a
Ciao, ti faccio notare che quanto scrivi
e' privo di senso: le prime due condizioni
sono incompatibili perche' per avere senso
entrambe dovrebbe essere a<b e b<a insieme.
La terza condizione implica che U_0 sia
infinito. Poi e' a>0 o cosa? Questo perche'
abbia senso anche U(x)=U(-x) che richiedi
ulteriormente...
Ti convine ripostare la domanda dopo avere
corretto la definizione di U.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

Valter Moretti ha scritto:
[...]
Ops, scusa, come dicevo era la terza volta che riscrivevo il messaggio, e
mi sono confuso, se fai caso nell'altro (che poi e' arrivato) non c'era
l'errore :-)
Comunque correggo:
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U(x) = Uo (0<x<b)
U(x) = 0 (b<x<a)
U(x) = infinito (x>a)
U(-x)=U(x)
Per quali valori di b e di Uo (>0) l'autovalore minimo dell'operatore
hamiltoniano, Eo, e' uguale ad Uo?
In particolare, quale e' il minimo valore di Uo per cui questo si puo'
verificare?
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Grazie mille per la sicura risposta!


 
-- 


Valter Moretti ha scritto:
 > Ciao, purtroppo non ho tempo di svolgere i calcoli,
 > ti dico qualche suggerimento su cosa devi fare.
 > ...
Ma guarda che vista la particolare richiesta, i conti sono assai
semplici.
Si chiede un autovalore = U0.
Allora nella regione |x|<b l'en. cinetica e' nulla, e la funzione
d'onda e' lineare.
Data la simmetria del potenziale, la autof. sono o pari o dispari.
Dato che si parla di autovalore minimo, l'autof. non ha nodi, quindi
e' pari e costante per |x|<b.
Allora nell'intervallo b<x<a ci entra un quarto di l. d'onda, e la l.
d'onda vale 4(a-b).
Il resto lo lasciamo al discente ;-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 semplici.
   ...purtroppo sono talmente occupato che
non ho prprio tempo di pensare ai dettagli, che in
questo caso da quanto leggo erano essenziali per capire
la facilita' del problema a dispetto del caso generale.
Ciao, Valter


 semplici.
Grazie mille, non ero certo di poter fare l'assunzione che l'autof. fosse
costante nel tratto centrale... ne ero quasi sicuro, ma non certo, grazie
per la delucidazione.
Avevo provato a risolvere il problema nel caso "generale", senza
presupporre semplificazioni, ma la mole di conti era realmente proibitiva!
Ancora grazie.


 d'onda vale 4(a-b).
Scusa ancora, un ultimo dubbio. L'esercizio l'ho (penso) risolto,
imponendo la fdo costante nella parte centrale e i vari punti di raccordo.
Non mi e' pero' molto chiara la tua ultima affermazione. Come faccio a
sapere che nell'intervallo b<x<a ci entra un quarto di ldo? Dai miei conti
mi risulta che va bene qualsiasi cosa, basta che avanzi un quarto di
lunghezza d'onda alla fine (quindi anche, ad esempio, 5/4 di ldo). Perche'
tale caso e' vietato?
L'unica che mi viene in mente e' che il caso 5/4 sarebbe il secondo
autovalore, ma in tal caso per il primo autovalore al centro l'energia
sarebbe negativa, e, a meno che b e Uo non siano piccoli, la particella
sarebbe o a destra o a sinistra. Sarebbe comunque un autovalore del
potenziale in questione?
E' un regola fissa che il numero di nodi corrispondono al valore
dell'autovalore, o e' riferito a questo caso particolare?
Grazie mille per la disponibilita', Capital.


Capital ha scritto:
 > Scusa ancora, un ultimo dubbio. L'esercizio l'ho (penso) risolto,
 > imponendo la fdo costante nella parte centrale e i vari punti di
 > raccordo.
 >
 > Non mi e' pero' molto chiara la tua ultima affermazione. Come faccio a
 > sapere che nell'intervallo b<x<a ci entra un quarto di ldo? Dai miei
 > conti mi risulta che va bene qualsiasi cosa, basta che avanzi un
 > quarto di lunghezza d'onda alla fine (quindi anche, ad esempio, 5/4 di
 > ldo). Perche' tale caso e' vietato?
 >
 > L'unica che mi viene in mente e' che il caso 5/4 sarebbe il secondo
 > autovalore, ma in tal caso per il primo autovalore al centro l'energia
 > sarebbe negativa, e, a meno che b e Uo non siano piccoli, la particella
 > sarebbe o a destra o a sinistra. Sarebbe comunque un autovalore del
 > potenziale in questione?
Se prendi una f. d'onda con l. d'onda piu' corta, l'energia cinetica
e' maggiore. Quindi per avere il livello piu' basso devi prendere
quella con l. d'onda massima compatibile con le condizioni del
problema.
Nota che potresti anche prendere una funzione dispari: lineare ma non
costante per |x|<b, e che quindi si annulla al centro. Ma anche questa
ti da' un'energia maggiore.
 > E' un regola fissa che il numero di nodi corrispondono al valore
 > dell'autovalore, o e' riferito a questo caso particolare?
E' regola generale, per un problema di Sturm-Liouville, come l'eq. di
Schroedinger unidimensionale, che le autof. corrispondenti ai
successivi autovalori hanno 0, 1, ... nodi.
Se non ricordo male, avevo alluso a questo fatto, dando per scontato
che tu lo conoscessi.
