Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: buca di potenziale?

Salve
In un dibattito su it.scienza � venuto fuori che se si immagina si
scaavare un tunnel che attraversa diametralmente la terra, al centro si
creerebbe una buca di potenziale con punto di stabilit� al fondo:
classicamente, lascianado cadere un oggetto, esso oscillerebbe intonro al
detto centro.
Io non sono d'accordo.
Il centro della terra per me sarebbe solo un punto instabile di sella.
Secondo voi?
Luciano buggio
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Ciao, ho provato a fare qualche conto, ma in fretta, per cui potrei
avere scritto delle scemenze... controlla i calcoli per piacere.
Consideriamo la terra come una palla di raggio R >> r omogenea (una
follia pura dal punto di vista geofisico).
In prima approssimazione uno pu� trascurare la massa che togliamo
dalla terra scavando il buco (che immagino un cilindro che passa per
il centro della terra di raggio r con asse che coincide con un
diametro della terra).
In seconda approssimazione possiamo tenere conto anche di questa massa
tolta, ed immagino che a te interessi questo caso, dato che con la
precedente approssimazione al centro della terra c'� un punto di
equilibrio stabile e basta.
Prima calcolo il campo di accelerazione della terra prima di togliere
il cilindro. Usiamo il teorema di Gauss. Per la simmetria sferica, ad
una distanza d dal centro della terra, il campo g sar� radiale
entrante ed il suo modulo soddisfer�:
4 pi d^2 g = k (4/3) pi d^3
dove k � la densit� volumetrica di massa della terra moltiplicata per
la costante universale che appare nella legge di Newton. Concludo che
g(d) = k d/3
cio�
g(x,y,z) = -(k/3) (x^2+y^2+z^2)^{1/2}    (x/(x^2+y^2+z^2)^{1/2} e_x +
y/(x^2+y^2+z^2)^{1/2} e_y + z/(x^2+y^2+z^2)^{1/2} e_z )
Cio�, dove ora g indica il vettore accelerazione
g(x,y,z) = -(k/3) (x e_x + ye_y + ze_z)
Questa accelerazione la ricavi dal potenziale
U(x,y.z) = k (x^2+ y^2 + z^2) /6
facendo il gradiente e cambiandolo di segno. In questa approssimazione
si vede che c'� un punto di equilibrio stabile
nel centro della terra. Andiamo oltre. Teniamo conto del cilindro di
massa sottratto. Per fare ci� possiamo immaginare di sovrapporre alla
terra una cilindro di massa negativa (della stessa densit� della
terra, ma con segno opposto) al posto del buco e sommare
l'accelerazione g' (ora uscente dalla terra) che si ottiene, a quella
gi� calcolata.  Dato che R >> r   (r/R potrebbe stimarsi come qualcosa
dell'ordine di 10^{-5} o 10^{-6}) e che ci interessa lavorare vicino
al centro della terra, assumo il cilindro infinito ed applico ancora
il teorema di Gauss in coordinate cilindriche r, phi, z con asse z
dato dall'asse del buco cilindrico.  Il vettore g' sar� perpendicolare
al cilindro e di modulo pari a g'(r) indipendente da h e da phi. Per
il teorema di Gauss, su un cilindretto di altezza h:
2 pi r  h g'(r) = k  pi r^2 h
da cui
g'(r) =  k r/2
Quindi, come vettore:
g'(r) = + (k r/2) e_r
dove e_r � il versore radiale uscente (in coordinate cilindriche).In
altre parole, come vettore:
g'(x,y,z) =  +(k/2) (x e_x + ye_y)
Questa accelerazione la ricavi dal potenziale
U'(x,y.z) = -k (x^2+ y^2)/4
facendo il gradiente e cambiandolo di segno. In definitiva,
nell'approssimazione considerata, il potenziale totale che si sente
nel buco cilindrico vicino al centro della terra � (se non ho
sbagliato i calcoli):
V(x,y,z) = -(k/12) (x^2+y^2) + (k/6) z^2
Quindi (se non ho sbagliato i calcoli) come dici tu c'� un punto di
sella e l'equilibrio � instabile al centro della terra.
Un corpo che cade nel buco  sar� attirato verso il centro nella
direzione z, ma anche trascinato verso le pareti del condotto (escluso
il caso praticamente irrealizzabile in cui la direzione di caduta sia
esattamente un diametro).  Il moto del corpo dentro il condotto sar�
quindi pi� complicato di una semplice oscillazione attorno al punto di
equilibrio, perch� la forza di gravit� lo tirer� verso le pareti ed
allora interverranno forze di altro tipo dovute alle pareti. Tuttavia
*se* le pareti del lunghissimo buco sono supposte *prive di attrito*,
le forze eserciate da esse non avranno mai componenti tangenti alle
pareti del buco e quindi, in particolare, nella direzione z. In tal
caso, malgrado il moto nelle direzioni y e x sia complicato, il moto
nella direzione z sar� comunque un moto armonico semplice (nell'ambito
dell'approssimazione fatta).
Ciao, Valter

 Il centro della terra per me sarebbe solo un punto instabile di sella.
Io non sono d'  accordo. Secondo me sarebbe solo un punto xyz (mettere 
al posto di xyz quello che si preferisce). Poi si apre un dibattito e ha 
ragione la maggioranza :-)
Non mi sembra un gran modo di discutere di fisica. Perche'  non dici 
quali sono le ragioni che ti portano a questa conclusione ?
Giorgio

 Secondo voi?
Ho difficolta' a immaginarlo. Innanzi tutto perche' r la distanza
dalla centro e' una quantita' non negativa e quindi se la forzasi
annulla a r=0 e dici che e' instabile e' sicuramente un massimo locale
del potenziale.
Comunque posta pure le tue argomentazioni e vediamo che ipotesi usi.
ciao

 Il centro della terra per me sarebbe solo un punto instabile di sella.
Perchï¿œ?
In realtï¿œ il centro ï¿œ marginalmente stabile se si trascurano gli
attriti. Con gli attriti, diventa asintoticamente stabile.
-- 
Giacomo "Gwilbor" Boschi
http://gwilbor.splinder.com/

argo ha scritto:
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
Non capisco perch� Moretti ha capito perfettamente il porblema (e risolto
esattamente in linea con mie valutazioni qualitative), metre tu, Giocomo e
 Giorgio no.
Non credo di essermi espresso male.
Luciano Buggio


 Secondo voi?
Se conduci una analisi puramente geometrica ti vien fuori che lungo la
traiettoria diametro della sfera (diaciamo con densita' omogenea) una
sonda ptiforme sperimenta una forza linearmente legata al raggio (usa
gauss) diciamo
f ~ |r|
 e al centro hai una discontinuita'  della @.
Densita' rho
f --> (4/3) Pi G (r)^3 rho /(r)^2= (4/3) G rho Pi |r|
Ma integrando la forza nel dt non accusi problemi, e quindi
Una oscillazione perfetta... tipo molla
Ovviamente la traiettoria e' esattamente lungo un diametro...
qualsiasi deviazione non e' contemplata qui e ti crea dei moti "alla
Liuville"
Ora applicando le correzioni
La terra nn e' una sfera
la densita' non e' omogenea
la luna crea la marea
il tunnell e' dritto quanto? e quanto largo?
Quanto si discosta dall'essere ptiforme la sonda?
ti vien fuori che.... boh

 del potenziale.
Aah! ho detto una gran cavolata! dimenticatela please.

 Non credo di essermi espresso male.
Mi spiace, ma per me ti sei espresso in modo incompleto e di fatto era 
questo il senso della mia critica: avevi proposto una soluzione di un 
problema mal definito e  che poteva essere interpretato in modi diversi.
Onore a Valter che ha intuito a  quale possibile schematizzazione ti 
potevi riferire.  Io non avevo voglia di fare ipotesi e ritenevo (e 
ritengo)  che la tua affermazione (punto sella) andasse suffragata da un 
minimo di discussione, almeno per far capire a che 
schematizzazione/idealizzazione ti riferissi per un probema che *non 
puo'* non richiedere diverse ipotesi semplificatrici.
Giorgio

 ti vien fuori che.... boh
Ma tutto questo non serve!
Si trattava di un problema di dinamica elementare ove la sfera � perfetta
ed omogenea, il cilindro � anch'esso un oggetto geometrico, ed un
eventuale esploratore o un punto materiale.
Se questa volta me lo fa passare, incollo qui di seguito qui la prima
versione del mio lancio, che il moderatore ha rifiutato dicendo che dovevo
circostanziarla, da cui intenderai meglio lo spirito della domanda.
Cia.
Luciano
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Salve
Data una sfera omogenea di massa M e raggio R, perforata diametralmente da
un corridoio cilindrico di raggio r calcolare l'andamento del potenziale
gravitszinale lungo una direzione ortogonale al corridoio passante per il
centro.
Luciano Buggio
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 minimo di discussione,
Un po' di discussione c'e` stata su it.scienza, ed e' risultato che 
Buggio ci ha preso per puro caso.

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Ciao, che cosa ha scatenato questo problemaino... ho visto poco fa,
spinto dalla curiosit�
che anche su it.scienza ci sono threads kilometrici!...
io ho capito (cio� ho intepretato) quello che sosteneva Luciano perch�
pensavo alle propriet� delle funzioni armoniche... Vedi il mio post su
free.it.scienza.fisica
Ciao, Valter

 Giorgio Pastore wrote:
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Certo � stato un bel colpo di culo: con tutte le cose che ci sono, anche
senza uscire dal cavallo, sono andato a pensare proprio alla sella.
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 Certo � stato un bel colpo di culo:
Una possibilita' su due: il 50%.