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Titolo: Carica che cade su piano metallico

Ciao a tutti, 
non riesco a risolvere un es. del 3zo capitolo del Griffith- Introd.
to classical electrodynamics. 
Si vuole calcolare il tempo impiegato da una carica rilasciata con 
velocita' nulla a distanza d da un piano metallico infinito. 
Non c'e' gravita', il problema e' puramente elettrostatico.
Si puo' sostituire il piano con la carica immagine, ma poi?
Se si scrive l'eq. differenziale del moto risulta non lineare e non va
perche' credo l'esercizio e' risolvibile con metodi elementari.
Energeticamente quando le due cariche puntiformi si urtano l'energia e'
infinita (e anche se non lo fosse non darebbe il tempo).
Se avete suggerimenti per favore scrivetemi direttamente oltre che 
eventualmente impostarli.
Grazie in anticipo
Sergio

Ciao, non ho tempo per pensarci bene, pero',
mi pare chiaro cosa "vuole" l'esercizio:
trasformi il problema in un problema con due cariche
usando la carica immagine come tu stesso hai suggerito
(dal punto di vista fisico essendo il problema di
elettroDINAMICA ci sarebbe un po' da discutere...).
A questo punto il problema (unidimensionale)
e' quello di due cariche opposte che si attirano
liberamente partendo da ferme.
Nel processo si conserva l'energia meccanica del sistema:
hai dunque un integrale primo (l'integrale di jacobi).
Usando l'equazione di conservazione scritta con le
velocita'in termini di derivate rispetto al tempo,
trovi facilmente un'espressione integrale per il tempo
impiegato...
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 
Forse ho capito male quello che dici, ma non ci riesco, l'eq. 
dell'energia e' comunque non lineare; mostraci qualche passaggio
Ciao, Sergio

 Ciao, Sergio
  Ciao, forse mi sbaglio (perche') sto scrivendo di corsa
  e non ho tempo per pensarci bene, ma secondo me
  l'equazione di conservazione dell'energia (tenuto conto
  che al tempo 0 l'energia cinetica e' zero e quella potenziale
  si calcola subito in funzione della distanza iniziale)
  dara' qualcosa del tipo sara' qualcosa del tipo
  (dx/dt)^2 = f(x)
  dove f e' una funzione positiva nota e x e' la distanza dal
  piano. Quindi
   dx/(f(x))^(1/2) = dt
  integrando tra la distanza iniziale e 0, il primo membro
  il risultato e' il tempo totale richiesto.
  Ciao, valter


 Sergio
Ciao.
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Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 data da k*(-q*q)/(4*x).
Non ho ben capito bene il discorso del campo nullo nel semispazio...
Io ragiono cosi':  (1) il campo elettrico che sente la carica e' quello 
di una carica immagine. (2) tale campo si modifica al muoversi della 
carica reale verso il piano (e' questo il punto delicato che e' falso in 
pratica per vari motivi) come se anche la carica immagine avesse la 
stessa velocita' di quella reale ma nella direzione opposta verso il 
piano e la carica reale.
Quindi  *per simmetria* (di riflessione e di scambio di carica): 
*l'insieme delle due cariche ha un moto che e' soluzione dll problema
di due cariche opposte, ma con la stessa massa, poste ad una distanza 
assegnata (il doppio della distanza iniziale della carica reale dal 
piano) e lasciate andare (con velocita' iniziale nulla e trascurando 
tutti gli effetti di radiazione).*
Allora il problema iniziale lo risolvo risolvendo quello associato
di due cariche. In questo nuovo problema la conservazione dell'energia 
dice che, se d e' la distanza iniziale tra carica reale e piano,
q>0 la carica in valore assoluto, m la massa della carica reale,
x>0 la distanza della carica vera dal piano (e -x quella della
carica immagine)
(1/2) m (dx/dt)^2  + (1/2) m (d(-x)/dt)^2 - kq^2/(2x) = -kq^2/(2R)
ossia
(dx/dt)^2 = (kq^2/(2m))[(1/x)  -  (1/d)]
che e' il tuo stesso risultato ma per me il campo e' ovunque
nel modello con due cariche.
Ciao, Valter


 Ciao, Valter
Ciao


 
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Interessante discussione! Eccocome la vedo io.
In primis, liberiamoci dal problema dell'infinito: possiamo pensare a
una sferetta, con carica distribuita (fissa) sulla superficie.
La domanda e': come si muove?
Occorre calcolare la forza cui e' soggetta.
La forza e' dovuta alle cariche indotte sul piano, quindi bisogna
trovare il campo che queste cariche porducono nella posizione della
sferetta.
Il problema e' risolvere un'eq. di Poisson con condizioni al contorno
miste: densita' di carica assegnata sulla sferetta, potenziale
assegnato (nullo) sul piano.
Ammesso di sapere gia' che la soluzione e' unica, si ricorre al metodo
delle immagini, come ben noto.
(Nota didattica: raramente il metodo delle immagini viene spiegato
bene: e' cruciale l'unicita' della soluzione...)
Dunque in tutto il semispazio il campo *totale* e' noto: e' quell
generato della due cariche q e -q.
Ma a noi interessa quello delle cariche indotte, e lo si trova
sottraendo da quello totale il campo della carica q: dunque il campo
delle cariche indotte e' identico al campo della carica immagine -q.
Ne segue che anche la forza che sente la sferetta e' uguale a quella
che sentirebbe dalla carica immagine, *se questa esistesse davvero*.
A questo punto posso scrivere F = ma e scoprire l'integrale
dell'energia: l'energia potenziale e' uguale all'energia del campo
*nel semispazio destro.
E' chiaro che il mio ragionamento e' piu' vicino a quello di Bruno che
a quello di Valter. Naturalmente anche quello di Valter e' giusto, ma
mi pare didatticamente meno consigliabile, perche' rischia di confondere
con l'introduzione di una carica che non esiste, ma avrebbe massa, si
muoverebbe, ecc.
Dove mi sono un po' distaccato da Bruno, e' nell'essere arrivato
all'energia in modo meno immediato. Anche questo solo per ragioni
didattiche: e' chiaro che uno che conosce il trucco fara' molto
piu'presto, ma chi deve capir bene come il trucco funzione ha bisogno
di essere portato piu' passo passo.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 *nel semispazio destro.
Secondo me non e' proprio cosi' banale (conti alla mano ) se la carica 
non e' puntiforme: hai una procedura semplice per dimostrare
che  l'energia potenziale e' uguale all'energia del campo *nel 
semispazio destro.?
In particolare, il risultato non dipende da come e' fatta la carica
non puntiforme? (carica uniforme, oppure no, solo sulla superficie
o nel volume ecc...) Se e' puntiforme esplode tutto e bisogna
sottrarre un infinito...ma credo che sia proprio in questo limite
che il risultato rinormalizzato non dipende dai dettagli di come e' 
fatta la carica...forse mi sbaglio, ma non e' un punto molto chiaro
(fisicamente)
Ciao, Valter


Valter Moretti ha scritto:
 > Pero' se vuoi l'unicita' devi anche imporre delle condizioni di
 > annullamento del campo all'infinito ANCHE fuori dal piano.
Hai ragione: avrei dovuto aggiungere potenziale nullo all'infinito.
 > Secondo me non e' proprio cosi' banale (conti alla mano ) se la carica
 > non e' puntiforme: hai una procedura semplice per dimostrare che
 > l'energia potenziale e' uguale all'energia del campo *nel semispazio
 > destro.?
Non so se sia semplice, ma la procedura e' standard: si prende l'energia
del campo, s'integra per parti, si usano le condizioni al contorno...
Ma siccome questo lo sai, penso di non aver capito la questione.
 > In particolare, il risultato non dipende da come e' fatta la carica
 > non puntiforme? (carica uniforme, oppure no, solo sulla superficie
 > o nel volume ecc...)
Guarda che l'avevo detto: carica superficiale *fissa*, ossia non
modificata dalle cariche indotte.
Cosi' il campo interno e' nullo, e quello esterno e' lo stesso di una
carica puntiforme.
L'argomento che giustifica l'immagine resta vero, l'immagine e' fatta
allo stesso modo (o anche puntiforme, non importa).
Il campo nella regione "reale" e' identico a quello di una carica
puntiforme + immagine, solo che l'energia non diverge.


 modificata dalle cariche indotte.
Si non mi riferivo alla tua scelta, mi chiedevo se il risultato
fosse davvero indipendente da altre scelte di configurazione di
carica  nel limite per il raggio tendente a zero e sottraendo la 
divergenza. Non l'ho mai appurato ma mi aspetto di si.


   Ciao Valter
Ciao.


Grazie a tutti del contributo. In maniera forse troppo semplicistica
io
vedo che la soluzione esatta si ha senza considerare ne' l'energia
potenziale
ne' quella cinetica della carica immagine perche' essendo il piano
perfettamente
conduttore non dissipa alcuna energia, determina solo un cambiamento
della configurazione del campo.
Sergio

 Ciao, Valter
Ciao.


 
Ciao, e' molto tempo che non faccio piu' quei conti (da quando ero 
esercitatore del corso di fisica II).
Il punto e' che vicino ad una carica puntiforme (situata in r=0),
E^2 cresce come 1/r^4. Se fai l'integrale di volume in coordinate polari 
devi moltiplicare per un r^2 e rimane un 1/r^2 che fa divergere 
l'integrale dell'energia.
Per cui U3 diverge sempre in presenza di cariche puntiformi mentre U1
e' finita. L'energia infinita che manca e' quella "necessaria" per
costruire le cariche puntiformi. Si puo' mostrare con una procedura di
limite prendendo cariche sferiche sempre piu' piccole oppure integrando
in una regione che esclude piccoli volumetti che contengono le cariche
puntiformi e mandando a zero tali volumetti attorno alle cariche
puntiformi, che il calcolo di U3 fornisce U1 a meno di un termine
che diverge nel limite detto che si butta via (questa e' la 
rinormalizzazione a cui mi riferivo). Ho sempre visto questo calcolo
con ipotesi particolari sulla procedura del limite e mi
chiedevo quanto fosse generale...ma e' piu' che altro, in 
elettromagnetismo classico, una questione accademica.
   Ciao, Valter
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