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Titolo: Dimostrazione conservazione energia in pendolo reale

Ciao a tutti,
vorrei chiedervi un piccolo aiuto.
Riguarda la dimostrazione della conservazione dell'energia in un pendolo
reale, ovvero in un pendolo sempre senza attrito ma in cui le oscillazioni
non siano più supposte piccole.
Parto dal sistema di equazioni sottostante:
dx/dt = y
dy/dt = -w^2*Sin(x)
dove w^2 è la pulsazione. Imposto l'equazione di conservazione dell'energia,
supponendo per comodità di calcolo la massa pari a m=1, ovvero:
E = 1/2*v^2 + g*h
ed al posto di v^2 sostituisco y^2. Ora per l'altezza, da brevi
considerazioni geometriche essa risulta essere l(1-cosx) dove l è la
lunghezza del pendolo. Il problema arriva ora: scrivendo infatti l'energia
come
E = 1/2*v^2 +g*l(1-cosx)  e provando a derivarla rispetto al tempo la
derivata non mi viene nulla.
Il docente a lezione invece di scrivere l'energia potenziale come
g*l(1-cosx) ha scritto g/l(1-cosx) ed in questo modo viene.
Tuttavia da considerazioni geometriche appare evidente che è come dico io...
L'ultima precisazione è che io per scrivere la formula dell'altezza ho
ancora considerato il pendolo soggetto a piccole oscillazioni, in modo da
considerare la distanza x di proiezione percorsa quasi uguale all'angolo
sotteso w*t.
Penso che l'errore sia qui e che il docente abbia introdotto un modo per
esprimere l'altezza tenendo conto che non stiamo più trattando un caso di
piccole oscillazioni.
Chi riesce a darmi una mano?
Grazie mille!
Francesco

 piccole oscillazioni.
ricordando che w e' la pulsazione delle piccole oscillazioni (non quella delle grandi come
si evince dalla 2) e quindi:
w^2 = g/l
con Ep = g*l(1-cosx)
dEtot/dt viene identicamente uguale a 0
Saluti
Mino Saccone

 ed al posto di v^2 sostituisco y^2.
E' qui lo sbaglio: v = l*y.
Pero'... Tutti modesti questi ragazzi quando scelgono il nick :-))
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 dEtot/dt viene identicamente uguale a 0
scusa ma a me continua a non venire uguale a zero.... Infatti:
dE/dt = (dE/dx) * (dx/dt) + (dE/dy)*(dy/dt)
e siccome l'energia totale č: E = 1/2*y^2 + g*l(1-cosx) risulta:
dE/dx = g*l*sinx
dx/dt = y
dE/dy = y
dy/dt = -w^2*sinx
e mettendo insieme
dE/dt = y*g*l*sinx - y*sinx+w^2
dove sostituendo w^2=g/l non risulta zero...
forse non ho inteso bene io che cosa volessi dirmi.
La strada della dim č giusta, dove mi inceppo secondo te?
Saluti
Francesco

 Parto dal sistema di equazioni sottostante:
Non ho ben capito le variabii che hai scelto per trattare il problema.
In genere, per ragioni di simmetria, il pendolo semplice viene trattato
utilizzando le coordinate polari, in pratica il solo angolo alfa tra la
posizione di equilibrio stabile e la posizione attuale del pendolo, poiché
la lunghezza l è costante. 
In queste coordinate l'equazione del moto e dell'energia diventano
rispettivamente:
d^2(alfa)/dt^2 = - (g/l)*sin(alfa)                      (*)
E = (1/2)*m*l^2*(d(alfa)/dt)^2 + m*g*l*(1 - cos(alfa))  (**)
 
Derivando la (**) rispetto al tempo abbiamo:
dE/dt = m*l^2*(d(alfa)/dt)*(d^2(alfa)/dt^2) + m*g*l*sin(alfa)*(d(alfa)/dt)
sostituendo nell'espressione precedente la derivata seconda dell'angolo
alfa con il secondo membro dell'equazione del moto (*) abbiamo infine:
dE/dt = m*l^2*(d(alfa)/dt)*(-(g/l)*sin(alfa)) +
m*g*l*sin(alfa)*(d(alfa)/dt) = 0
Q.E.D.
Saluti,
Aleph
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 Pero'... Tutti modesti questi ragazzi quando scelgono il nick :-))
:-) in effetti la modestia è una gran bella cosa, ma il nick l'ho scelto
solo per ammirazione!
Saluti
Francesco

 Ho in mente una spiegazione ma non mi oso...
                                     ^^
Ho idea che Galileo (quello vero) l'italiano lo sapesse meglio di te
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