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Titolo: Sfera di Bloch e Matrici di Pauli

Ciao
 
sto leggendomi un po' di documentazione sul computer quantistico di IBM.
 
Le convenzioni usate sono le medesime di Wikipedia: 
https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera_di_Bloch
 
(fatto salvo che IBM usa theta/2 e phi/2, ma direi che non cambia le 
carte in gioco)
 
e le matrici di Pauli:
 
X=(0, 1; 1, 0)
Y=(0, -i; i, 0)
Z=(1, 0; 0, -1)
 
 
quello su cui sto ruminando e' quanto segue.
 
Mi e' chiaro che la sfera di Bloch mappa sulla sua superficie (R^2) 
qualcosa che senza constraints sarebbe C^2 (quindi R^4 considerando i 
gradi di liberta' reali), infatti:
 
|psi> = c1 |0> + c2 |1>      con c1 e c2 complessi...
 
...ma poi interviene il vincolo di normalizzazione c1^2 + c2^2 = 1 e 
inoltre butto via un fattore di fase globale non misurabile (e che in 
fondo nella rappresentazione di Bloch potrebbe al piu' corrispondere 
all'angolo intorno a z con cui la sfera e' immersa nello spazio 3D che 
la contiene) e quindi la superficie della sfera diventa una varieta' 
dimensionalmente sufficiente alla mia rappresentazione del vettore di stato.
 
Forse per semplicita' e per dare inizialmente qualcosa di visivo da 
ricordare al lettore, le matrici di Pauli sono introdotte come gli 
operatori che, nell'ambito della sfera di Bloch ruotano il vettore di 
stato di Pi intorno agli assi da cui derivano il nome...quindi per 
esempio X esegue un bit-flip, cioe' una rotazione di 180 gradi intorno 
all'asse x (la base assunta come standard e' |0>,|1> "lungo" l'asse z)
 
Provando a fare due conti pero' spesso risalta fuori la fase globale, 
per esempio:
 
Y|0> = i|1>
Y|1> = -i|0>
 
Ora, alla luce di come la sfera di Bloch e' concepita mi e' chiaro che 
ciascun vettore di stato rappresentato in essa e' in realta' una classe 
di vettori di stato (che differiscono appunto per la famosa fase 
globale), pero' mi sembra un po' tirato per i capelli dire che stiamo 
ruotando il vettore di stato intorno a un asse (Y nell'esempio sopra)... 
mi verrebbe da pensare che stiamo facendo forse qualcosa di piu' 
complesso e poi buttiamo via un pezzo di risultato...
 
Quindi mi chiedo:
 
1) perche' si usano le matrici di Pauli? Non c'era qualche matrice 
unitaria che producesse "la rotazione" in maniera "pulita", senza fase 
globale?
 
2) se mi metto di santa pazienza e faccio tutti le moltiplicazioni 
matrice-vettore per ciascuna matrice di Pauli applicata ai vettori di 
base che giacciono su assi che non siano quello della rotazione sono 
confidente che (al netto della fase globale) in effetti avro' inversioni 
dei vettori di base (per cui |0> diventera' |1>, |+> diventera' |->, e 
cosi' via...)
Pero'... c'e' un modo piu' elegante (nel senso: meno conti e piu' motivi 
profondi) per dimostrare che le matrici rappresentano tali rotazioni?
Oppure e' tutta una "forzatura didattica"?
 
3) La curiosita' successiva sarebbe capire sempre in modo un po' "furbo" 
come la matrice di Hadamard che scambia base standard con base coniugata 
sia a ragion veduta definibile come rotazione intorno all'asse X+Z
 
 
PS
Professione di ignoranza profonda per permettervi di modulare 
un'eventuale risposta... affamato di comprensione ho letto su Wikipedia 
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrici_di_Pauli
 qualcosa che mi sembra 
centrare:
"Le matrici di Pauli sono proporzionali ai generatori del gruppo SU(2), 
la cui corrispondente algebra di Lie risulta essere isomorfa all'algebra 
di Lie del gruppo SO(3) delle rotazioni."
ma non so nulla di algebre di Lie, generatori, SU(*)...insomma per me e' 
arabo
 
Grazie!
Ciao
Andrea Barontini

 fase globale?
Non è vero che ci sia *in generale* un problema di fase.
Il fatto è che le formule che hai scritto per l'azione di Y le hai
scritte per C^2, non per S^2.
Dato che la sfera di Bloch non è uno spazio vettoriale, tanto meno ha
senso definirci operatori lineari, che siano X, Y, Z o qualsiasi
altro.
 
Arrivato a questo punto, mi accorgo che per rispondere al resto c'è da
scrivere non poco, e ci debbo lavorare.
Perciò rimando a un'altra puntata.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
Grazie, ciao!
 

 troppo importanti per farne a meno?
Per cominciare, *non ha senso* parlare di op. unitari sulla sfera di
Bloch, visto che non è neppure uno spazio vettoriale.
Ovviamente, dato che S^2 è immersa in R^3, le rotazioni di R^3 fanno
quello che cerchi.
Il problema diventa quindi:
- c'è un modo per mettere in relazione le rotazioni di R^3 con gli
operatori unitari di H (ossia di C^2)?
 
La risposta te la do subito: sì, il modo c'è.
Ma ci vuole un po' di lavoro e di sicuro non intendo parlarne oggi.
Vedremo ... (ha a che fare con le algebre di Lie :-)
 
Oggi mi limito a spiegarti perché sono utili le matrici di Pauli.
Immagino tu sappia che si chiamano così non perché Pauli le abbia
inventate (sono oggetti piuttosto ovvi per un matematico) ma perché
subito dopo la scoperta dello spin dell'elettrone fu lui che le usò per
aggiungere all'eq. di Schr. tradizionale il grado di libertà di spin.
La "vera" teoria dello spin sarebbe arrivata poco dopo: eq. di Dirac.
Ma tutto questo è fuori del nostro tema.
 
Dobbiamo invece capire che posto hanno le matrici di Pauli nella m.q.
dei sistemi a due stati (qbit, ma non solo).
Per questo bisogna occuparsi delle osservabili della teoria.
Certo sai che in m.q. le grandezze osservabili sono rappresentate da
operatori (matrici) hermitiani.
Nel nostro H le matrici sono 2x2, quindi abbiamo a che fare con
l'insieme M (purtroppo H l'ho già impegnata ...) delle matrici
hermitiane 2x2.
 
La prima osservazione è che M è in modo naturale uno spazio vettoriale
sui reali. Ciò vuol dire che se A, B sono due matrici hermitiane, lo è
anche aA+bB, con a,b reali.
La seconda osservazione è che questo spazio ha dimensione 4 (se
avessimo a che fare con C^n avrebbe dimensione n^2).
Quindi una base in M consisterà di 4 matrici lin. indipendenti, che si
possono scegliere in infiniti modi.
Un candidato naturale è I (la matrice identità), poi ce ne vogliono
altre tre.
Però I come osservabile è assai poco interessante, perché tutti gli
stati sono suoi autostati con autovalore 1, quindi non dà nessuna
informazione sullo stato.
Bisogna quindi trovare un sottospazio di M, di dim. 3, che non
contenga I; il che si può ancora fare in infiniti modi
 
Per ragioni che evito di spiegare, conviene prendere le matrici a
traccia nulla. E' ovvio che questo sottospazio N non contiene I, visto
che Tr(I)=2.
E' anche immediato verificare che le tre matrici di Pauli (che al tuo
pese chiamano X, Y, Z) hanno traccia nulla e sono tra loro
indipendenti, quindi sono una possibile base in N.
 
Comunque possiamo ora dire che ogni matrice F di M si può scrivere, in
modo unico
F = wI + aX + bY + cZ (w,a,b,c reali)
e che ogni matrice G di N si scrive
G = aX + bY + cZ.
 
Facciamo un'ulteriore osservazione: lo stato è determinato se si
consoce il vaolr medio di tutte le osservabili su quello stato (non è
mica ovvio, però: è un teorema).
Ma se M è uno spazio vettoriale, tutti i velori medi sono noti se
conosciamo quelli su una base.
Anzi il valore medio di I non dice nulla, visto che è sicuramente 1.
Quindi basta occuparsi delle osservabili di N, e perciò bastano i
valori medi di X, Y Z (o di qualqueu altra base di N).
 
E ora ecco il gioco di prestigio: per ogni vettore di stato |s>
definiamo
x = <s|X|s>/<s|s>
e simili per y, z.
Quindi x, y, z sono i valori medi di X, Y, Z sullo stato rappresentato
da |s> (puoi facilmente verificare che x non cambia se moltiplico |s>
per un n. complesso qualsiasi (non zero).
Dunque la conoscenza di x,y,z *determina lo stato*.
Anzi sono troppi, visto che lo spazio degli stati è 2D.
Deve dunque esserci una relazione tra x,y,z.
 
Si dimostra che la relazione è
x^2 + y^2 + z^2 = 1
e che quindi il punto (x,y,z) sta sulla sfera di Bloch. Anzi: è proprio
il punto che rappresenta lo stato |s>.
Non conosco (o non ricordo) una dimostrazione semplice. Quella che ti
potrei dare è un po' lunga e del resto in modo calcoloso ci puoi anche
arrivare da solo.
La sola cosa che ti dico è che nella dim. lunga ma non calcolosa
entrano le seguenti proprietà delle matrici di Pauli:
 
X^2 = Y^2 = Z^2 = I
XY + YX = XZ + ZX = YZ + ZY = 0.
 
E per oggi basta.
 
 
-- 
Elio Fabri

 visto che Tr(I)=2.
Emendamento.
Se assumiamo che sia X^2 = I e X indip. da I, è facile dimostrare che
Tr(x)=0.
 
Infatti X^2=I implica che gli autovalori di X possono solo essere
+1 o -1. Sarebbero possibili tre casi: (+1,+1), (+1,-1), (-1,-1).
Ma il primo ci dà X=I, il terzo X=-I quindi X non indip. da I come
richesto. Rimane il secondo, e dato che la traccia è la somma degli
autovalori si ha Tr(X)=0.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
uhmmm sembra che l'emendamento di prima alla fine abbia "smascherato" il 
proprio ruolo.... ;)
 
 
Alla prossima!
 

 che proiettata su un foglio diventa un cerchio (2D)
Mi ci vorrà un bel po' per mettere insieme il tuo post con quello che
già avevo in mente di dire...
Per ora posso sbrigare un questione marginale, ossia l'origine del
nome "spazio proiettivo".
 
Si tratta di una questione di storia della matematica, che attraversa
diversi secoli e non ha niente a che vedere né con la fisica né col
nostro tema.
Mi va di parlarne perché quand'ero studente lo trovai un argomento
appassionante..-.
Magari invece a te non interessa affatto, e puoi saltarlo senza danno.
 
La storia comincia nel '400, coi pittori del primo Rinascimento
italiano.
Come saprai, è lì che vieme scoperta la *prospettiva* come modo per
riprodurre sul piano del dipinto una scena tridimensionale in modo che
dia l'esatta impressione visiva della scena reale.
Ci sono molti dipinti dove si riconosce quella tecnica; il più famoso
credo sia la "Città ideale" che si tova nel Palazzo Ducale di Urbino, e
di cui non so se sia stata fatta un'attribuzione certa.
Piero della Francesca? Francesco di Giorgio Martini? O forse Leon
Battista Alberti?
 
Sta di fatto che quei pittori (alcuni anche matematici) stabiliscono
le regole della prospettiva, ma su base ancora empirica.
Le cose cambiano lentamente, con uno sviluppo più deciso quando la
palla passa ai matematici francesi: Desargues, Pascal, Poncelet, Monge
... che cominciano a trasformare la scoperta pittorica in un capitolo
della matematica: la *geometria proiettiva*.
Si tratta di rispondere alla domanda: che cosa accade quando una
figura che sta su un piano pi vieme *proiettata* su un altro piano
pi', non parallelo al primo, da un punto O esterno a entrambi?
La domanda ha a che fare con la pittura, perché se O è l'occhio
dell'osservatore, la figura di partenza e quella proiettata
produrranno la stessa impressione visiva.
Quindi scoprire come la figura proiettata si trasforma ci darà le
precise regole per dipingere in prospettiva.
 
Alcune cose (negative) sono subito evidenti:
- rette parallele su pi non lo sono più su pi': il loro punto
d'intersezione si chiamerà "punto di fuga"
- circonferenze di pi diventeranno ellissi, ma perfino parabole o
iperboli su pi': sempre coniche, del tutto diverse.
Ma questo fornisce un primo risultato *positivo*: le coniche si
trasformano in coniche (come dimostrarlo?), quindi il fatto di essere
una conica è un *invariante proiettivo*.
Eccetera...
 
Per gran parte dell'800 la geometria proiettiva (g.p.)si sviluppa come
capitolo a sé della matematica, e così resta anche nell'insegnamento,
fin ben avanti nel '900.
Ancora a Roma, nel 1948, agli studenti di matematica veniva insegnata
la g.p. classica; dovevano (dovevamo) fare perfino tavole di
costruzioni geometriche...
 
Una delle idee principali della g.p. nasce dal fatto che la relazione
di parallelismo fra rette non è invariante per proiezioni.
Ma lo diventa se si esegue un'astrazione: chiamare *punto improprio*
(punto all'infinito) la classe di equivalenza di quella relazione.
Ossia: tutte le rette parallele tra loro hanno in comune un punto: il
loro punto improprio.
(Nota che il punto improprio di una retta è uno solo: la retta
proiettiva è *chiusa*.)
Fatto questo, la relazione più generale fra rette "avere un punto in
comune" diventa invariante per proiezioni.
In due sensi:
 
a) Il postulato della geom. euclidea secondo cui due rette distinte
hanno sempre uno e un solo punto in comune, a meno che non siano
parallele, si enuncia senza eccezione:
"due rette distinte hanno sempre uno e un solo punto in comune"
(proprio o improprio)
Il che tra l'altro lo rende simmetrico rispetto all'altro postulato:
"per due punti distinti passa sempre una e una sola retta".
(Una caratteristica della g.p. del piano è la *dualità* tra punti e
rette.)
 
b) Se tre o più rette di pi passano per uno stesso punto, lo stesso è
vero per le loro proiezioni su pi'.
 
L'insieme dei punti impropri del piano proiettivo è la *retta
impropria*.
Non è banale chiamarla retta, perché ciò implica che in ogni
proposizione quando si parla di retta si possa intendere anche la
retta impropria.
 
Ma le proprietà proiettive possono essere molto più complesse.
Ti faccio l'esempio del teorema di Pascal:
Data una conica e su di essa 6 punti A,B,C,D,E,F, le intersezioni
- P di AB e DE
- Q di BC e EF
- R di CD e FA
stanno su una stessa retta.
 
Ed ecco un esempio di quanto detto dopra circa la retta impropria.
Come caso particolare del teorema di Pascal, se P e Q sono improppri,
lo è enche R.
Nel linguaggio della geom. euclidea questo si enuncia come teorema a
parte:
"Se AB e DE sono parallele, e così pure BC ed EF, anche CD e FA sono
parallele."
 
E' evidente che il teorema di Pascal appartiene alla g.p., perché fa
uso di "conica", di "appartenenza" e di "intersezione": tutti
invarianti proiettivi.
 
Ora nel mio excursus storico debbo cambiare discorso, e parlare della
"algebrizzazione della geometria".
Ho già detto che in origine la geometria è un capitolo a parte della
matematica, distinto dall'aritmetica e anche dall'analisi.
Tuttavia un ponte era già stato gettato da Cartesio, con l'invenzione
della geom. analitica:
- un punto è una coppia ordinata (x,y) di reali
- una curva è un'equazione cui soddisfano (x,y)
- in particolare:
-- una retta è un'eq. lineare (anche non omogenea: ax + by + c = 0)
-- una conica è un polinomio di secondo grado uguagliato a 0.
Intersezione di due curve è un punto che soddisfa il sistema delle due
equazioni, ecc.
 
La geom. analitica permette di trasformare qualsiasi problema
geometrico in problema algebrico o più in generale in problema di
analisi.
Ma c'è di più: non occorre disporre di un sistema di assiomi
indipendenti per la geom. euclidea: questi seguono dagli assiomi sui
reali e dai teoremi sulle funzioni di due variabili reali.
Questo procedimento di riduzione della geometria ad analisi è appunto
detto "algebrizzazione" della geometria.
(Dovrei spiegare perché si parla di algebra, ma debbo limitarmi...)
Anche nella didattica, niente più tavole, niente più figure nei libri
di geometria!
Questo processo inizia (forse) col secolo scorso ed è oggi del tutto
compiuto.
Basta vedere il contenuto dei corsi che hanno "geometria" nel titolo
:-)
 
Ma che cosa ha a che fare questo con la g.p.?
E' stata algebrizzata anch'essa? Risposta affermativa.
La chiave è stata l'invenzione delle "cordinate omogenee".
 
Nella geom. analitica le coord. (x,y) sono reali, ovviamente finiti.
Come si può rappresentare un punto improprio?
Soluzione: al posto di due coordinate ne usiamo tre: (xi,eta,zeta) con
x = xi/zeta, y = eta/zeta.
Che bell'affare, dirà il lettore: usare tre coord. dove ne bastano
due, perdendo così la biunivocità...
Infatti (xi,eta,zeta) e (k*xi, k*eta, k*zeta) rappresentano lo stesso
punto, per ogni k reale non nullo.
Vero, ma poniamo zeta=0: non esiste nessuna coppia (x,y) che
corrisponda a (xi,eta,0).
Abbiamo quindi *ampliato* il piano euclideo, e si può intuire che
l'ampliamente consiste proprio nell'aggiunta dei punti impropri.
Quindi le terne (xi,eta,zeta) *a meno di un fattore moltiplicativo*,
rappresentano il piano proiettivo.
 
"A meno di" sta a significare un quoziente: il piano proiettivo è R^3/R'
dove R' = R\{0}.
E siamo arrivati: in generale, se V è uno spazio vettoriale su un
campo K, il corrispondente spazio proiettivo è V/K'.
Nel nostro caso (sistema quantistico a due stati), lo spazio degli
stati è C^2/C'.
(Dove al solito con C' indico C\{0}.)
Si dà il caso che questo quoziente sia omeomorfo a una sfera S^2: la
sfera di Bloch.
 
Ma non è finita. Al posto delle coord. cartesiane omogenee si possono
introdurre le più generali "coordinate proiettive", di cui le prime
sono un caso particolare.
Non posso darti dettagli (se no, alle solite, scrivo un libro :-) ) e
mi limito a dire, senza dimostrazione, che se introduci coord.
proiettive nei due piani pi e pi', la proiezione di cui ho parlato
all'inizio si rappresenta con una semplice *trasf. lineare* delle
coordinate.
 
Come esempio dell'utilità delle coord. proiettive, in queste cord. una
conica ha come equazione P(xi,eta,zeta) = 0, dove P è un polinomio
*omogeneo* di secondo grado: una *forma quadratica*.
Così ci si può servire di tutto l'amamentario di cui si dispone per le
forme quadratiche.
Diventa immediato dimostrare ciò che avevo asserito: che la proprietà
di essere una conica è invariante per proiezioni.
Infatti una forma quadratica rimane tale se si opera un trasf. lineare
sulle variabili.
 
Le cose da dire sarebbero ancora moltissime, ma qui mi fermo.
Concludendo quindi che quando senti parlare di spazio proiettivo devi
pensare a Piero della Francesca, a Leon Battista Alberti, ma anche a
Leonardo (L'ultima cena) o a Raffaello (La scuola di Atene).
-- 
Elio Fabri

 Leonardo (L'ultima cena) o a Raffaello (La scuola di Atene).
 
Ora pero' vado a ripassarmi il mio post precedente a questo tuo, 
altrimenti quando mi rispondi non sono piu' sul pezzo neanche rispetto a 
quello che dicevo io :)
 
Ciao
Andrea

 
 
Scusa Elio, lungi da me volerti tirare per la giacchetta, ma piuttosto 
solo togliermi il dubbio: il fatto che questo thread sia morto dipende 
da qualcosa che ho fatto o detto (nel qual caso inconsapevolmente)?
 
Ciao
Andrea
 

 inconsapevolmente)?
Acc... è passato un mese :-(
Stai tranquillo e al tempo stesso scusami tu.
Sono stato distratto da altre questioni e alla fine ho dimenticato che
non avevo finito la mia risposta.
Ora dovrò ristudiare tuttto il thread, perché non ricordo più
niente...
Meglio che non faccia promesse su quando riuscirò a scrivere quello
che manca.
-- 
Elio Fabri

 che manca.
 
tranquillo, tanto anch'io mi devo rileggere un po' bene le puntate 
precedenti
 
ciao
Andrea

 precedenti
Eccomi qua, con un po' di tempo e la speranza di riuscire a fare un
discorso dotato di un filo logico...
Mi riattacco al mio post del 12/10, dove ti avevo fatto vedere che i
valori medi delle matrici di Pauli individuano un punto (x,y,z) di R^3
che sta sulla sfera di Bloch, ed è proprio il punto rappresentativo
dello stato |s> su cui si è fatto il valor medio.
 
Prima però sbrigo una tua perplessità sulla denominazione "prob. di
transizione" che si dà a P(u,v) = |<u|v>|^2.
Non devi interpretare alla lettera quell'espressione.
Sta solo a significare una cosa che sai benissimo.
 
Se |v> è lo stato del sistema a un certo istante, e si esegue una
misura di una qualche ossservabile A, il risultato sarà un autovalore
a di A e subito dopo la misura troverai il sistema in uno stato che è
autostato di A per quell'autovalore. Sia |u> il corrisp. vettore.
La probab. di questo particolare risultato è proprio P(u,v).
Non c'è altro.
 
La ragione per dare importanza a P(u,v) è che a differenza di <u|v>
dipende solo dagli stati, dai raggi, non dalle fasi.
Un'applicazione importante di questo fatto è un famoso teorema di
Wigner (non so se lo conosci):
"Una trasf. W uno-uno negli stati di un sistema, che conservi tutte le
P(u,v), è sempre rappresentabile nello spazio di Hilbert da un
operatore unitario o antiunitario.
Il caso antiunitario si presenta solo se W implica l'inversione del
tempo."
 
Questo teorema è la base della teoria della simmetria in m.q. come
teoria delle rappresentazioni unitarie di gruppi (e scusa se è poco).
Mi pareva di averti segnalato le mie lezioni
http://www.sagredo.eu/gruppi
 
ma forse mi sbaglio. La ragione è che la seconda lezione contiene
appunto l'enunciato (non la dimostrazione) del teorema di Wigner.
 
Ma torniamo alle matrici di Pauli.
Ho già introdotto lo spazio N delle matrici 2x2 hermitiane a traccia
nulla, in cui X, Y, Z formano una base.
Se G è hermtiana a traccia nulla, l'espressione
U = exp(iG)  (1)
definisce una matrice unitaria.
Due parole sulla dim.
Intanto l'esponenziale di una matrice è sempre definito, per es.
mediante la serie:
exp(iG) = I + iG + (iG)^2/2! + ...
che converge sempre (anche per G non hermitiana né a traccia nulla, e
di qualunque ordine).
 
Poi coniugando la (1)
U^+ = exp(-iG)
e si vede che UU^+ = U^+ U = I
quindi U è unitaria.
Di più: è vero per matrici qualsiasi che
det(exp(M)) = exp(Tr(M))
e se Tr(M)=0 ne segue det(exp(M) = 1.
Quindi le matrici definite dalla (1) sono unitarie e a det=1.
E' ovvio che formano un gruppo, che si chiama SU(2).
Ciascuna matrice del gruppo è generata da una G.
Inoltre le matrici iG (non le G) formano un'algebra di Lie:
- formano uno spazio vettoriale reale
- l'insieme è chiuso rispetto al commutatore.
Infatti
[iG1,iG2] = -[G1,G2]
e il commutatore di due matrici hermitiane è antihermitiano..
Poi
Tr[iG1,iG2] = -Tr[G1,G2] = 0
perché la traccia di un commutatore è sempre nulla in quanto
Tr(G1G2) = Tr(G2G1).
 
Ecco la connessione: l'algebra M è l'algebra di Lie di SU(2).
(NB: l'algebra di Lie si definice per qualunque gruppo di Lie, ma non
in questo modo semplice: occorrono argomenti differenziali che qui si
possono trascurare.)
 
Per ciò che segue ti debbo rimandare alla lez. 11 (ultima) del già
citato
http://www.sagredo.eu/gruppi
 
Qui mi limito a un veloce riassunto.
 
Il gruppo SU(2) che è definito sopra agisce su H (spazio di Hilbert di
un sistema a due stati, vulgo qbit).
Prendiamo una U e applichiamola al generico |s>; otterremo un diverso
stato
|s'> U|s>.
Se |s> ci aveva fornito le coordinate (x,y,z) di un punto sulla sfera
di Bloch, lo stesso accadrà con |s'>. Che relazione c'è tra (x,y,z) e
(x',y',z')?
Per es.
 
x' = <s'|X|s'> = <s|U^+ X U|s>.
 
U^+ X U è hermitiana a traccia nulla, quindi appartiene a M. Dato che
X,Y,Z sono una base di M, esisteranno tre reali a,b,c tali che
 
U^+ X U = aX + bY + cZ
 
e quindi
 
x' = ax + by + cz.
 
Lo stesso vale per y' e per z'. Il tutto si sintetizza dicendo che
esiste una matrice reale che fa passare da (x,y,z) a (x',y',z').
Si dimostra (lo trovi nella citata lezione) che questa matrice è
ortogonale e ha det = 1, quindi è una rotazione di R^3.
Ecco l'annunciata relazione tra matrici di Pauli e rotazioni della
sfera di Bloch!
 
Nel gergo della teoria dei gruppi, le matrici ortogonali a det. 1
formano un gruppo che ha nome SO(3).
Quindi abbiamo stabilito una mappa che manda ogni elemento di SU(2) in
uno di SO(3).
Si dimostra che questa mappa è un omomorfismo 2 --> 1: due matrici di
SU(2) vanno nella stessa matrice di SO(3).
La cosa è ovvia, osservando che nella (2) (a,b,c) non cambiano se
sostituisco -U a U.
 
Forse ti ho propinato un piatto che richiederà tempo per essere
digerito, quindi è meglio se mi fermo :-)
-- 
Elio Fabri

 digerito, quindi è meglio se mi fermo :-)
 
Grazie! Si :-) in effetti penso che avro' il tempo di attaccare tutta 
questa roba con la concentrazione che serve non prima delle vacanze di 
Natale, anche perche' il materiale sui gruppi su Sagredo e' davvero 
corposo (dubbio corretto, non me lo avevi ancora indicato).
Quindi per un po' staro' silenzioso, ma riappariro' ;)
 
Solo una cosa, anche a beneficio degli altri lettori: il link corretto 
e': 
http://www.sagredo.eu/lezioni/gruppi/
 
 
Ciao e se non ci si sente prima buon Natale
Andrea