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Titolo: dinamica e diagonalizzazione dell'operatore densità

0. - RIEPILOGO DEL POST PRECEDENTE
Nel post precedente ho ricordato che lo stato puro di un sistema composto
può sempre essere scritto come sovrapposizione coerente di stati
ortogonali e fattorizzabili in stati puri dei suoi sottosistemi
(biortogonalizzazione di Schmidt). Dopodiché ho mostrato che gli stati puri
dei sottosistemi ottenuti in questo modo sono anche quelli che consentono di
esprime in forma diagonale l'operatore densità ridotto relativo ai due
sottosistemi.
Fatto ciò ho avanzato i due seguenti problemi:
1) questa scomposizione la si può fare "istante per istante", ricavando così
delle "traiettorie" negli spazi di Hilbert dei due sottosistemi ed ottenendo
una descrizione *cinematica* dei due sottosistemi; ma che ne è della
*dinamica* di quelle "traiettorie"?
2) come ricavare altre basi in cui l'operatore densità sia diagonalizzato,
oltre a quella che si ottiene con la biortogonalizzazione degli stati del
sistema composto?
1. - DINAMICA DELL'OPERATORE DENSITA'
Affrontiamo ora questi due problemi, cominciando dal primo.
Per comprendere la dinamica dell'operatore densità del sistema S quando
quest'ultimo interagisce con E, è bene considerare prima il caso in cui S è
isolato, al fine di confrontare poi i due casi.
1.1. - Sistema isolato
Supponiamo dunque che il sistema S sia isolato ed il suo stato sia descritto
da un operatore densità rho[s]. Che accade al passare del tempo?
Sia rho[s](0) l'operatore densità all'istante t=0, e supponiamo di averlo
diagonalizzato in una base |s[k](0)>:
     rho[s](0) = sum{k} p[k](0) |s[k](0)><s[k](0)|
Ora, se al tempo t=0 il sistema ha una probabilità p[k](0) di trovarsi nello
stato |s[k](0)>, al tempo t esso avrà ancora la probabilità p[k](0) di
trovarsi nello stato
     |s[k](t)> = U[s](t)|s[k](0)>
dove U[s](t), al solito, è la matrice unitaria generata dalla hamiltoniana
del sistema S. Ne segue che gli autovalori di rho[s] non cambiano nel tempo,
mentre i suoi autostati evolvono secondo la dinamica determinata
dall'operatore unitario U(t):
     rho[s](t) = sum{k} p[k] |s[k](t)><s[k](t)|
In sintesi: le probabilità restano costanti nel tempo, mentre gli autostati
di rho[s] al passare del tempo non sono altro che l'evoluzione temporale dei
suoi autostati iniziali. Tutto molto facile e persino intuitivo, dunque.
1.2. - Sistema in interazione con l'ambiente
Passiamo ora a considerare il caso in cui il sistema S interagisce con
l'ambiente E. Abbiamo detto e ripetuto che uno stato puro del sistema SE può
essere sempre biortogonalizzato e che gli stati così ottenuti diagonalizzano
gli operatori densità dei sottosistemi. Sia dunque, all'istante t=0:
     |se(0)> = sum{k=1,N(0)} c[k](0) |s[k](0)>|e[k](0)>
da cui:
     rho[s](0) = sum{k=1,N(0)} |c[k](0)|^2 |s[k](0)><s[k](0)|
con, al solito,
     N(0) <= min{dimH[e],dimH[s]}
Lasciamo ora che passi un tempo t, sicché lo stato |se(0)> evolve nello
stato |se(t)>. Ebbene, come si biortogonalizza questo stato? Che rapporto
esiste fra gli stati che biortogonalizzano |se(t)> e quelli che
biortogonalizzano |se(0)>? E qual è la dipendenza dal tempo dei
coefficienti? E che ne è del numero N di stati fattorizzabili che occorre
sovrapporre?
Supponiamo che l'hamiltoniana del sistema SE generi l'operatore unitario
U[se](t). Allora si ha:
     |se(t)> = U[se](t)|se(0)> = sum{k}c[k](0) U[se](t) |s[k](0)>|e[k](t)>
Se il sistema S ed il sistema E non interagissero fra di loro allora
U[se](t) sarebbe fattorizzabile nel prodotto di un operatore che agisce solo
in H[s] ed un operatore che agisce solo in H[e], sicché il trasformato
temporale di uno stato fattorizzabile sarebbe ancora fattorizzabile:
     U[se](t)|s[k](0)>|e[k](t)> = U[s](t)|s[k](0)> U[e](t)|e[k](t)> =
      = |s[k](t)>|e[k](t)>
Ma d'altra parte se S ed E non interagissero allora S sarebbe un sistema
isolato e ci ritroveremmo nel caso precedente. A noi qui interessa il caso
in cui i due sottosistemi interagiscono, sicché U[se](t) non è
fattorizzabile, e pertanto l'operatore U[se](t) "rimescola" le componenti in
H[s] ed in H[e] dello stato |se>.
Ne segue che se al tempo t vogliamo biortogonalizzare |se(t)>, dovremo usare
degli stati ortogonali |s[k](t)> ed |e[k](t)> che *non* sono ricavabili come
"evoluzioni temporali" degli stati |s[k](0)> ed |e[k](0)>.
1.3. - Variazione dell'entanglement
Non solo, ma anche il numero N di stati fattorizzabili che occorre
sovrapporre per ottenere |se> in genere può variare nel tempo. In paricolare
se esso all'istante t=0 è minore della dimensione minima dei due spazi di
Hilbert:
     N(0) < min{dimH[s],dimH[e]}
puù crescere nel tempo fino a raggiungere le dimensioni dello spazio più
piccolo, nel qual caso l'entanglement fra i due sistemi è massimo.
Ce ne rendiamo conto se consideriamo il caso particolare in cui i due
sistemi fino all'istante t=0 non interagiscono fra di loro, sicché per t<=0
essi non sono entangled e lo stato di SE può essere fattorizzato:
     |se(0)> = |s(0)>|e(0)>     con    N(0)=1
Ebbene, non appena inizia l'interazione l'operatore dell'evoluzione
temporale comincerà a "rimescolare" i due fattori, sicché dopo un certo
tempo t il numero N(t) di stati fattorizzabili da sovrapporre per
ottenere |se(t)> potrà essere aumentato fino alle dimensioni del più piccolo
dei due spazi di Hilbert (che nel nostro caso sarà solitamente H[s], visto
che l'"ambiente" avrà maggiori gradi di libertà).
E' soprattutto questo meccanismo ad impedirci di porre una relazione
dinamica fra i vettori |s[k](0)> ed |s[k](t)>, ovvero il fatto che al
variare di t i secondi possono diventare di più (o, eccezionalmente, di
meno) dei primi.
1.4. - Variazione delle probabilità
Inoltre, dal momento che la biortogonalizzane di |se> all'istante t=0 non è
legata dinamicamente alla biortogonalizzazione all'istante t, ad ogni
istante i coefficienti c[k] vanno "ricalcolati", sicché essi in genere
dipendono dal tempo.
Abbiamo dunque:
     |se(t)> = sum{k=1,N(t)} c[k](t) |s[k](t)>|e[k](t)>
con N(t), c[k](t), |s[k](t)> e |e[k](t)> che vanno scelti istante per
istante e che dipendono da |se(t)>.
Se ora andiamo a considerare l'evoluzione temporale dell'operatore densità
ridotto rho[s], troviamo:
     rho[s](t) = sum{k=1,N(t)} |c[k](t)|^2 |s[k](t)><s[k](t)|
Rispetto al caso in cui il sistema S era isolato, troviamo che gli
autovalori di rho[k] oltre a variare in numero possono anche variare nel
tempo. Dal punto di vista dinamico questa dipendenza temporale ci preclude
definitivamente la possibilità di intendere la dipendenza temporale di
rho[s] come l'evoluzione dello stato di un sistema che al tempo t=0 aveva
una certa probabilità p[k] di trovarsi in vari stati |s[k](0)>. Infatti se
lo stato |s[k](t)> fosse in qualche modo (magari a noi ancora ignoto) legato
dinamicamente allo stato |s[k](0)> (se, coè, ne fosse l'"evoluzione") allora
il sistema S che al tempo t=0 si trovasse nello stato |s[k](0)> dovrebbe
trovarsi nello stato |s[k](t)> al tempo t, sicché la probabilità p[k]
dovrebbe restare costante nel tempo. Qui invece non solo p[k] varia nel
tempo (il che è difficilmente concepibile), ma saltano fuori anche dei
"nuovi" stati |s[k](t)> con k>N(0) i quali, dunque, non corrispondono alla
"evoluzione" di alcunché.
1.5. - Impossibilità di isolare la dinamica del sistema
D'altra parte se anche fossimo in grado di scrivere delle complicate
funzioni che ci forniscono tutte le dipendenze temporali di
N(t), |c[k](t)|^2 ed |s[k](t)> troveremmo che tali funzioni dipendono in
genere non solo dalle interazioni di S con E, ma anche da tutti i dettagli
dello stato |se(t)>, sicché per sapere come evolve il nostro sistema S
dovremmo conoscere in ogni istante lo stato dell'intero universo!
Tutto ciò ci fa comprendere che la biortogonalizzazione dello stato |se> può
avere solo ed esclusivamente un valore *cinematico*, e *non* può essere
utilizzata in alcun modo per comprendere l'evoluzione del sistema S dal
punto di vista *dinamico*.
E' un po' come se avessimo scelto un sistema di riferimento "sbagliato" dal
punto di vista dinamico, ed ora ci trovassimo alle prese con una miriade di
"cicli ed epicicli", e l'impossibilità di isolare - anche solo
approssimativamente - certi sottosistemi o certi gradi di libertà.
Certo, la biortogonalizzazione di |se> ci ha fatto comprendere che esiste
una specifica relazione fra interferenza, entanglement e comportamento
"classico". Ma se vogliamo fare dei passi avanti bisogna trovare il modo di
ritrovare quella relazione anche dal punto di vista dinamico.
2. DIAGONALIZZAZIONE E OSSERVABILI CLASSICHE
L'analisi della dinamica dell'operatore densità ci consente di comprendere
meglio anche il secondo problema, quello costituito dalla necessità di
trovare anche altre basi in cui diagonalizzare rho, per lo meno quelle basi
corrispondenti a tutte le grandezze "classiche". Questa è, quantomeno, una
condizione necessaria per poter "recuperare" la MC dalla MQ, poiché fino a
quando una grandezza mostra delle interferenze essa manifesta con la massima
evidenza la sua natura "quantistica".
Avevamo una base che ci sembrava potesse andare bene, che è quella
ottenibile dalla biortogonalizzazione, ma abbiamo scoperto che non è
utilizzabile dal punto di vista dinamico: è come se avessimo scelto il
sistema di riferimento sbagliato.
Così l'unico sistema di stati ortogonali in cui rho[s] si diagonalizza
esattamente si rivela inutile dal punto di vista dinamico, e allo stesso
tempo abbiamo bisogno di diagonalizzare rho[s] rispetto a tutti gli
"osservabili "classici". Mettendo assieme le due cose comprendiamo che se
vogliamo usare questa strada per recuperare la MC dalla MQ dobbiamo
rinunciare ad una o entrambe delle seguenti "pretese":
1) usare un sistema di vettori *ortogonali*;
2) effettuare una diagonalizzazione *esatta*.
Il prossimo passo da compiere sarà dunque quello di cercare di capire se sia
possibile ottenere delle diagonalizzazioni *approssimate* di rho[s], usando
eventualmente delle basi *non ortogonali*. E' quanto cercherò di fare nei
prossimi post.
Saluti.
D.

 prossimi post.
è una promessa o un minaccia?...:-))
Saluti osservabili
Luigi

Gigi Loreti ha scritto:



decisamente una minaccia :-)
fb
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 decisamente una minaccia :-)
Okkei, la faccio finita ;-)