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Titolo: correnti parallele

Sappiamo sperimentalmente che due fili paralleli percorsi da correnti di
verso uguale si attirano, e viene immediatamente la domanda cosa succede a
due fasci di elettroni paralleli e concordi.
La situazione sembrerebbe del tutto analoga, ma non è così!
I due fili sono neutri, mentre i due fasci elettronici sono carichi
negativamente.
Per capire l'inghippo non servono due correnti, ne è sufficiente una,
bisogna però ragionare sui sistemi di riferimento.
Prendiamo un filo conduttore lungo un metro,che contenga 100 Coulomb di
elettroni nel livello conduttivo, abbia una resistenza
di un Ohm e gli venga applicata ai capi una ddp di 1V.
In esso scorrerà una corrente di 1Ampere, quindi 1C/s, per cui la velocità
media degli elettroni, nel senso della corrente elettronica, che poniamo
vada da sinistra a destra, sarà di un cm/s.(infatti in un centimetro di
conduttore è contenuto un Coulomb di elettroni mobili).
Osservando il fenomeno dal laboratorio, fermo rispetto al filo,e che è lo
stesso dei protoni, vedremo 100 Coulomb di protoni fermi e 100 Coulomb di
elettroni che viaggiano verso destra ad 1 cm/s.
Tenendo conto che dal punto di vista magnetico le cariche ferme non contano,
in totale avremo una corrente negativa verso destra di 1A.(in realtà per
convenzione il verso della corrente è l'altro, ma non cambia nulla, è
appunto solo una convenzione.)
Se osserviamo dal riferimento degli elettroni in moto vedremo invece 100
Coulomb di elettroni fermi e 100 Coulomb di protoni che vanno verso sinistra
ad 1cm/s.
Ora 100 Coulomb positivi verso sinistra o 100 Coulomb negativi verso destra,
alla stessa velocità, dal punto di vista magnetico sono la stessa cosa.
Mettiamo però che il nostro strumento di misura viaggi verso destra a 10cm/s
cosa succederà?
Vedremo 100 Coulomb positivi verso sinistra a 10cm/s e 100 Coulomb negativi
verso sinistra a 9cm/s.
Cioè, per differenza, sempre 100 Coulomb positivi verso sinistra a 1cm/s.
Cioè il campo magnetico generato sarà del tutto indipendente dal sistema di
riferimento inerziale scelto.
Ora facciamo lo stesso ragionamento per un fascio di elettroni prodotto da
un cannone elettronico.
Le velocità in gioco saranno enormemente più alte, se vogliamo anche
relativistiche, la densità degli elettroni in genere molto più bassa.
Se l'intensità di corrente è ugualmente di 1A, e la velocità media degli
elettroni è di 10.000km/s, in un metro di fascio dovrebbero essere contenuti
1*10^-7 Coulomb di elettroni.
Dal laboratorio vedremo questa esigua quantità di elettroni muoversi verso
destra a questa enorme velocità, e l'effetto magnetico da noi misurato sarà
lo stesso del caso precedente.
Dal sistema di riferimento degli elettroni vedremo solo 1*10^-7  elettroni
fermi, e quindi NESSUN EFFETTO MAGNETICO.
E qui ci tengo a precisare che parecchi pensano che l'effetto magnetico
attrattivo sia semplicemente mascherato dalla preponderanza dell'effetto
elettrico repulsivo.
No! L'effetto magnetico nel sistema di riferimento degli elettroni
semplicemente non esiste!!!!!
Da un ulteriore sistema di riferimento vedremo un'altra cosa, ma questo non
influenzerà il moto degli elettroni che sono sottoposti solo alla carica
repulsiva elettrostatica.
Cioè il campo magnetico generato dipenderà dal sistema di riferimento
inerziale scelto e si applicherà solo a questo riferimento.
Quindi le due cose non sono per nulla equivalenti.
Questo concetto mi sembra ben espresso nella legge quando recita "due fili
percorsi da correnti..." e non "due correnti".
Ciao a tutti, Mauro D'uffizi.

veramente devastante.
.... il che e` pure vero.
Mi auguro che da due asserzioni vere nessuno abbia capito una
falsita`. Ad ogni buon conto ben venga il tuo chiarimento.
Ciao
Paolo Russo

 OK, a basse velocita`, naturalmente.
Non credo sia possibile avere correnti a velocità relativistiche all'interno
di fili conduttori; chissà... forse in regime di superconduzione....
Non capisco però la puntualizzazione.
Come si modificherebbe il campo a velocità relativistiche?
Grazie per l'apprezzamento, Ciao.
Mauro D'Uffizi.

Come si modificherebbe il campo a velocità relativistiche?
Mi riferisco sempre al moto del filo.
Per vedere cosa accade bisogna ricorrere al tensore
elettromagnetico (di solito in questi casi per alleggerire le
formule si pone c=1, assumendo il secondo-luce come unita` di
lunghezza):
 0   -Ex  -Ey  -Ez
 Ex   0   -Bz   By
 Ey   Bz   0   -Bx
 Ez  -By   Bx   0
che deve trasformarsi per righe e colonne seguendo le
trasformazioni di Lorentz. Diciamo che il filo giace lungo
l'asse x, la corrente scorre verso le x crescenti e il moto
relativo osservatore-filo e` pure lungo l'asse x. Nel sistema
di riferimento del filo abbiamo, in un certo punto accanto al
filo (spostandosi un po' lungo l'asse z), la sola componente
By del campo magnetico e niente campo elettrico (ovviamente,
essendo il filo neutro).
Il tensore in quel punto dovrebbe quindi ridursi a:
 0    0    0    0
 0    0    0    By
 0    0    0    0
 0   -By   0    0
Trasformo per righe: dato che il moto e` lungo l'asse x, solo
le colonne t e x (le prime due) vengono coinvolte:
 0    0    0    0
 0    0    0    By
 0    0    0    0
 Ez' -By'  0    0
dove:
-By'=((-By)-VEz)/sqrt(1-V^2)
Ez'=(Ez-V(-By))/sqrt(1-V^2)
essendo Ez=0:
-By'=-By/sqrt(1-V^2)
Ez'=VBy/sqrt(1-V^2).
Trasformo ora per colonne (solo le prime due righe vengono
coinvolte):
 0    0    0   -Ez'
 0    0    0    By'
 0    0    0    0
 Ez' -By'  0    0
Morale: se non ho cannato i passaggi, il campo magnetico
aumenta e si forma un campo elettrico radiale.
A questo punto pero` non vorrei lasciare l'impressione che
queste strane trasformazioni del campo avvenissero per una
qualche strana influenza *diretta* della relativita` sul
campo elettromagnetico.
Non dimentichiamo che la relativita`, eccezion fatta forse
per la gravita`, descrive delle trasformazioni ma non
fornisce di per se' un meccanismo fisico che le faccia
accadere; tale meccanismo deve venire da altre leggi fisiche.
La relativita` impone a priori certe restrizioni alla
struttura delle leggi fisiche, in modo tale che, tramite la
relativita`, si puo` prevedere che certe cose debbano
accadere a prescindere dal meccanismo esatto coinvolto, che
puo` perfino essere ignoto, ma che comunque *deve* esistere.
Nel caso dell'elettromagnetismo, la relativita` impone che le
equazioni di Maxwell abbiano una struttura ben precisa, che
e` poi quella che in effetti hanno.
Nel caso in esame (filo in movimento), tuttavia, se si
ragiona usando le *sole* equazioni di Maxwell, non si vede
proprio perche' mai dovrebbe comparire un campo elettrico e
aumentare quello magnetico.
Vediamo di capirci qualcosa. Se si sottopone a trasformazione
di Lorentz il tensore della densita` di carica-corrente (Q,
Jx, Jy, Jz) (le lettere greche in ASCII non vengono granche'
bene) si ottiene:
Jx'=(Jx-VQ)/sqrt(1-V^2)
Q'=(Q-VJx)/sqrt(1-V^2)
essendo Q=0 (il filo e` neutro nel suo riferimento):
Jx'=Jx/sqrt(1-V^2)
Q'=-VJx/sqrt(1-V^2).
Vediamo dunque che il campo elettrico salta fuori perche' in
effetti compare una carica elettrica, e che il campo
magnetico aumenta perche' aumenta la (densita` di) corrente.
OK, ora resta da capire perche' compare la carica e aumenta
la corrente. Entrambi questi effetti sono riconducibili alla
contrazione della lunghezza e/o alla dilatazione e allo
sfasamento temporale. Consideriamo la carica elettrica. Nel
filo passa corrente, ma e` neutro. Cio` equivale a supporre
che la corrente abbia iniziato a scorrere in tutti i punti
del filo contemporaneamente, altrimenti si sarebbe accumulata
una carica in qualche punto. Cio` che e` contemporaneo in un
sistema di riferimento non lo e` in un altro. Rispetto
all'osservatore in moto a velocita` V, la corrente non ha
iniziato a scorrere contemporaneamente e, come risultato, nel
filo si e` accumulata una carica elettrica. Si puo` anche
ragionare diversamente: la contrazione della lunghezza
contrae il filo, ma la corrente risulta contratta ancora di
piu' (o di meno) perche' rispetto al sistema di riferimento
va piu' velocemente (o piu' lentamente) del filo e risulta
quindi contratta in maniera diversa; la densita` della carica
in moto aumenta o diminuisce, determinando in entrambi i casi
uno squilibrio rispetto alla densita` di carica del resto del
filo, che e` di segno opposto.
Giusto per confermarlo, faccio qualche calcolo. Nel sistema
di riferimento solidale con il filo, chiamo J la densita` di
corrente, costituita da una densita` di carica Q (elettroni
di conduzione) in moto a velocita` v: J=vQ.
Di quanto aumenta Q passando al sistema di riferimento in
moto a velocita` V (nello stesso verso di v, quindi le
velocita` si sottraggono)? Insomma, quanto vale Q'?
Innanzitutto bisogna notare che Q, nel sistema di riferimento
del filo, ha gia` un leggero addensamento dovuto alla
velocita` v della corrente; chiamiamo q l'ipotetica densita`
di carica a velocita` zero, non addensata:
Q=q/sqrt(1-v^2)
Dato che la velocita` della corrente, nel sistema di
riferimento in moto rispetto al filo, non e` v-V, ma
(v-V)/(1-vV) (la fornula relativistica di sottrazione delle
velocita`), abbiamo:
Q'=q/sqrt(1-((v-V)/(1-vV))^2)
con pochi passaggi si arriva a:
Q'=(1-vV)q/(sqrt(1-v^2)sqrt(1-V^2))
Sostituendo q con Q:
Q'=(1-vV)Q/sqrt(1-V^2))
La densita` di carica di segno opposto (-Q) del resto del
filo si trasforma, sempre per contrazione della lunghezza,
come segue:
(-Q)'=(-Q)/sqrt(1-V^2)
La carica che compare nel filo in movimento a velocita` V e`
la somma delle due:
Q'+(-Q)'=(1-vV)Q/sqrt(1-V^2))+(-Q)/sqrt(1-V^2)
Q'+(-Q)'=-vVQ/sqrt(1-V^2))
Q'+(-Q)'=-VJ/sqrt(1-V^2))
il che coincide esattamente con quanto si era ottenuto
subito all'inizio, trasformando direttamente il tensore
densita` di carica-corrente.
Si puo` fare un ragionamento analogo per giustificare in modo
un po' piu' intuitivo anche l'aumento della corrente, ma mi
pare di aver gia` scritto anche troppo.
Ciao
Paolo Russo