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Titolo: Paradosso apparente sui boost

Mentre progettavo un programmino per simulare il moto di
alcuni corpi in RR, mi sono imbattuto in un problema di
logica che mi e` sembrato interessante. Mi sono servite
alcune ore e 150 righe di C++ per venirne a capo (mi piace
scrivermi tutto da me), ma chissa`, magari qualcuno trova la
soluzione a colpo.
 
Sia dato un corpo esteso, anche solo in due dimensioni, ad
esempio un rettangolo ABCD:
 
D-C
|+|
A-B
 
Se e` in moto a velocita` v_1 (diciamo verso destra)
rispetto al laboratorio, risultera` contratto in quella
direzione:
 
DC
||
AB
 
Supponiamo ora di volergli far cambiare velocita`.
Supponiamo di volerci semplificare la vita, evitando
accelerazioni graduali: gli facciamo cambiare velocita` di
colpo (cosa fisicamente impossibile, ma se ci limitiamo alla
cinematica della RR non dovrebbe creare problemi). Assume
quindi una velocita` v_2 (diciamo verso l'alto).
Ci aspetteremmo che il corpo diventasse cosi', schiacciato
in verticale anziche' in orizzontale:
 
D-C
A-B
 
o, quanto meno, ci aspetteremmo che un software che
simulasse decentemente la RR portasse a questo risultato.
Il problema e` che questo cambio di deformazione non puo`
succedere per magia. In qualche modo il programma deve
simulare come accade. Nella realta` sarebbe causato da
tensioni interne al corpo. Se il programma si limitasse a
far cambiare velocita` a ogni punto del corpo, e basta,
il corpo manterrebbe lo schiacciamento orizzontale
originale. Non andrebbe bene.
Supponiamo pero` di volerci semplificare la vita ancora di
piu', evitando di simulare le tensioni interne. Far
cambiare forma al corpo di colpo, d'ufficio, al momento
del cambio di velocita`, sarebbe un po' troppo brutale ai
fini della simulazione perche' i punti ABCD dovrebbero
cambiare posizione istantaneamente e questo non va bene in
RR neanche se ci limitiamo alla cinematica.
Allora mi e` venuta in mente una possibile soluzione: far
cambiare velocita` di colpo a ogni punto del corpo, ma non
tutti i punti nello stesso momento. Si puo` trovare una
regola che facendo cambiare velocita` a ogni punto in un
momento opportuno consente di mantenere sempre nulle le
tensioni interne?
 
Ora vi dimostro che e` impossibile.
Basta guardare il rettangolo di cui sopra: se gli estremi
A e B cambiano velocita` allo stesso momento, il segmento AB
non puo` cambiare lunghezza come dovrebbe; se invece A e B
cambiano velocita` in momenti diversi, il segmento AB non
puo` rimanere orizzontale come dovrebbe.
 
Ora vi dimostro che invece e` possibile.
Consideriamo il sdr in moto a velocita` (v_1+v_2)/2. In
questo riferimento il cambio di velocita` del corpo
corrisponde a una semplice inversione del verso di moto.
Facciamo cambiare velocita` a tutti i punti del corpo
nello stesso momento (in questo sdr): il corpo mantiene
quindi la forma, e quindi la direzione in cui e` contratto,
il che e` corretto per una semplice inversione del verso di
moto. Di conseguenza, non ci saranno tensioni interne. Al
piu' eventuali orologi interni al corpo perderanno la
sincronizzazione, ma questo non e` un problema perche' e` un
effetto reale di un'accelerazione ed e` giusto che la
simulazione lo riproduca.
 
Quindi abbiamo due ragionamenti che portano a conclusioni
opposte. Quale dei due e` corretto?
 
Ciao
Paolo Russo

opposte. Quale dei due e` corretto?
 
IMHO non e' il caso di parlare di correttezza o non correttezza: direi
che -- come lo sono in generale i gedankenexperimenten relativistici
-- il tutto e' insensato. Ciao

Paolo Russo ha scritto:
 > Mentre progettavo un programmino per simulare il moto di
 > alcuni corpi in RR, mi sono imbattuto in un problema di
 > logica che mi e` sembrato interessante. Mi sono servite
 > alcune ore e 150 righe di C++ per venirne a capo (mi piace
 > scrivermi tutto da me), ma chissa`, magari qualcuno trova la
 > soluzione a colpo.
Primo: quello che poni non è affatto un problema di logica.
Secondo: non capisco proprio come si possa risolvere la questione con
un programma (di 150 righe!)
 
Dico questo perché secondo me il problema non sussiste.
Tutto discende dal fatto che sembri avere una concezione errata della
contrazione di Lorentz.
Non ti dice quello che succede se cambi la velocità di un corpo.
Non esiste una risposta univoca, perché il cambiamento può essere
prodotto da infiniti modi diversi di applicare forze.
 
La contr. di L. ti dice solo:
se un corpo fermo in un rif. K ha lunghezza L, in un rif. K' che si
muove rispetto a K con vel. v la lunghezza (secondo una precisa
definizione) diventa L/gamma(v).
(Ovviamente ho omesso di precisare dettagli che conosci benissimo.)
-- 
Elio Fabri

 prodotto da infiniti modi diversi di applicare forze.
 
Certo, il modo in cui applichi le forze determina il
comportamento del corpo durante l'accelerazione e per un
certo breve periodo di tempo successivo. Tuttavia, se il
corpo e` solido e non viene danneggiato dall'accelerazione,
a transitorio terminato, oscillazioni e vibrazioni varie
terminate, nel suo riferimento solidale sara` ritornato alla
sua lunghezza originale. Se fissiamo questo requisito, che
potremmo chiamare postulato di solidita` (rigidita` mi
sembra eccessivo, la rigidita` perfetta non e` possibile in
RR), l'indeterminazione di cui parlavi viene risolta (a meno
del periodo transitorio, ovviamente). Le tensioni interne
riportano il corpo alle sue dimensioni originali nel suo
riferimento solidale, e quindi negli altri riferimenti ne
determinano la contrazione.
Il fatto che la RR consenta di prevedere questa contrazione
in generale, senza bisogno di sapere come funzionino le
forze interne al corpo che lo rendono solido, non toglie
nulla al fatto che negli altri riferimenti siano, in
generale, queste forze a causare la contrazione.
Il mio problema originale e` che implementare la solidita`
di un corpo, cioe` simularne le tensioni interne in seguito
a sollecitazioni e deformazioni, e` un discreto casino che
mi volevo risparmiare. Da qui e` emerso il problema di cui
parlavo: esiste o no matematicamente un modo di accelerare
istantaneamente in momenti diversi i vari punti del corpo
senza provocare tensioni interne?
 
Ciao
Paolo Russo

 
 
 
Credo che abbiano torto entrambi ElF e Elio.
 
 
ElF: se "il tutto è insensato" è segno che qualcuna delle proprietà del sistema fisico che si sono postulate non è compatibile con la relatività
 
Elio: credo che la soluzione del "paradosso" posto da P.R. esista.
 
Secondo la mia intuizione - non faccio i calcoli ;-) :
 
 
 
se il corpo si deforma in un riferimento non ne segue che ci sono tensioni interne. Cambi velocità a un angolo prima di cambiarla all'altro; uno dei lati diventa obliquo (meglio, curvo, perchè cambi la velocità di punti adiacenti in maniera continua) ma "prima che la tensione interna si propaghi" (interpretate questa frase nel modo favorevole all'argomentazione) gli altri punti via via accelerano in modo da mantenere la tensione uguale a zero.
 
 
Un esempio analogo è la sbarra in moto parallelo alla terra che incontra una voragine appena più lunga di essa stessa e ci cade dentro: nel sistema di riferimento della sbarra la voragine è più corta della sbarra, quindi questa si deve deformare.

 Ci aspetteremmo ....
 
I programmi possono dire solo quello che ci metti.
 
Io mi sono fermato di fronta alla frase riportata.
Cosa intendi per far cambiare la velocità "di colpo" ?
E' un corpo esteso, non un punto materiale. Il tuo "di colpo" quando 
avviene per i diversi punti nei due sistemi di riferimento? Non potrà 
essere simultaneamente di colpo in tutti e due i SdR, giusto? Se non 
chiarisci questo non puoi sperare di dire nulla.
 
Giorgio

Paolo Russo ha scritto:
 > ...
 > Se fissiamo questo requisito, che potremmo chiamare postulato di
 > solidita` (rigidita` mi sembra eccessivo, la rigidita` perfetta non e`
 > possibile in RR), l'indeterminazione di cui parlavi viene risolta (a
 > meno del periodo transitorio, ovviamente). Le tensioni interne
 > riportano il corpo alle sue dimensioni originali nel suo riferimento
 > solidale, e quindi negli altri riferimenti ne determinano la
 > contrazione.
Vediamo se ho capito.
Quello che chiami postulato di solidità io lo chiamerei definizione di
corpo solido: un corpo che ha i seguenti requisiti.
1) Ha un'unica configurazione di equilibrio in assenza di forze
esterne.
2) In questa configurazione non ha tensioni interne.
3) E' quasi elastico. Con ciò intendo che se soggetto a forze esterne
si deforma quasi reversibilmente seguendo le leggi dell'elasticità;
meglio se i vari moduli di elasticità sono grandi, sì che le
deformazioni con forze ragionevoli siano piccole
4) Il "quasi" si riferisce al fatto che quando cessano le forze
esterne il corpo torna, dopo un transitorio dissipativo, alla
configurazione di equilibrio.
 
Dal punto di vista della relatività un tale corpo può esistere.
E' importante discutere la conservazione dell'energia.
Le forze esterne faranno in generale lavoro positivo, quindi l'energia
del corpo aumenterà: sia quella cinetica macroscopica sia quella
microscopica.
Dovremo distinguere meglio: l'en.cin. macro consisterà di due parti:
a) moto di traslazione del cdm e di rotazione rigida attorno al cdm
b) vibrazioni e oscillazioni dei vari gradi di libertà macroscopici.
La a) si mantiene, in quanto impulso totale e mom. amgolare totale si
conservano quando le forze esterne sono cessate.
Invece la b) si trasferisce all'insieme di tutti i gradi di libertà
(quasi solido significa appunto che c'è un accoppiamento tra tutti i
gradi di libertà).
L'energia totale si conserva, ma si equipartisce fra tutti i gradi di
libertà, per cui le vibrazioni si estinguono a tutti gli effetti.
(Qui è interessante osservare che in relatività non esiste
"dissipazione" dell'energia. La temperatura del corpo può anche
aumentare, ma la sua energia totale - e quindi la sua massa totale -
non cambiano.)
 
Nota che l'invarianza di Poincaré prevede in generale 10 costanti del
moto:
- energia (una)
- impulso (tre)
- momento angolare (tre)
- posizione iniziale del cdm (tre).
 
 > ...
 > Da qui e` emerso il problema di cui parlavo: esiste o no
 > matematicamente un modo di accelerare istantaneamente in momenti
 > diversi i vari punti del corpo senza provocare tensioni interne?
Ora che le cose sono più chiare, ti rispondo affermativamente.
Però la soluzione è terribilmente complicata per un sistema continuo.
Diventa praticabile solo per un sistema formato da un numero finito di
punti materiali eventualmente vincolati da sbarre solide di massa
trascurabile.
 
La soluzione ha a che fare col paradosso di Bell, col moto iperbolico
e col cosiddetto "spazio di Rindler". Nome improprio, perché si tratta
solo di un sistema di rif. acelerato in uno spazio-tempo piatto.
Se mi dici quanto conosci questi argomenti, potrò spiegarti che cosa
ho in mente senza dover ripetere cose che ti sono note.
-- 
Elio Fabri


Ammesso che abbia significato cambiare istantaneamente la velocità,
la relatività ci parla di sistemi a regime e nulla ci dice sui transitori.
Cosa che sicuramente deve succedere con un tempo diverso da zero.
 
MF

  > ...
 
scusate l'intromissione da profano, ma questo 3 D mi ha 
causato un particolare dubbio circa la questione 
dell'accorciamento/allungamento relativistico.
 
Per il poco che so, questo si verifica in corpi che si 
muovono a VELOCITÀ elevate, ma non (o non per forza) 
soggetti ad accelerazioni.
 
Se il corpo che viaggia a boh 280000 km/s non è soggetto ad 
accelerazioni, immaginavo fosse pure NON soggetto a forze 
(né esterne né interne).
 
Immaginavo quindi che la variazione di dimensioni non fosse 
dovuta a forze, come invece mi pare di intuire ora visto che 
si parla di modulo di elasticità, e che fosse un qualcosa 
connesso alla modifica della struttura dello spazio in sé, 
come dire, a una sua contrazione o espansione attorno al bolide.
 
Se è soggetto invece a forze, trattandosi di moto uniforme, 
di che natura sono ? Chi le esercita su cosa ?
 
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 
 
 
 
La stessa natura delle forze che ci sono quando è fermo, con il valore prescritto dalla relatività a partire dal valore per il corpo fermo. Dato che una teoria basata sulle forze (per esempio elastiche) deve rispettare la relatività, le forze si devono trasformare in maniera tale che la configurazione di equilibro del corpo sia quella prescritta dalla relatività.
 
Idem per qualunque altra teoria, per esempio la meccanica quantistica è una teoria basata sui potenziali (non sulle forze) e i potenziali si devono trasformare in maniera tale che la configurazione di equilibrio dei corpi sia quella prescritta dalla relatività.
 
 
In altre parole il comportamento di un corpo (quindi ad es. la sua configurazione di equilibrio o la sua oscillazione) si può calcolare attraverso le leggi fisiche che lo regolano, la forma delle quali è vincolata a soddisfare le relazioni relativistiche (le equazioni sono covarianti).
 
 
 
Puoi leggere, se hai voglia, "How to Teach Special Relativity" di John Bell (per esempio in "John S Bell on the Foundations of Quantum Mechanics", pp. 61-73 (2001), World Scientific), e dopo che ci hai pensato un pò ti accorgi che la chiave è che tutte le leggi fisiche che introduce sono covarianti, ma ti accorgi anche che puoi applicare le leggi fisiche a tutti i corpi, anche a quelli in moto :-)

 essere simultaneamente di colpo in tutti e due i SdR, giusto?
 
In effetti qui non mi sono spiegato molto bene.
In questa parte del discorso quel "di colpo" e` piu' che
altro una dichiarazione d'intenti di voler rendere la
simulazione piu' semplice possibile, evitando di dover
simulare un'accelerazione finita per un tempo finito, ma
senza ancora chiarire come si intenda procedere.
 
Nel seguito comincio a precisare meglio come si potrebbe
realizzare la cosa: ogni punto del corpo passa bruscamente
da v_1 a v_2, ma rimane da definire *quando* ogni singolo
punto compia questa transizione. Non e` imposta la
simultaneita`: a priori non e` affatto detto che, per
soddisfare la condizione di tensioni interne sempre nulle,
esista un SdR in cui il cambio di velocita` possa avvenire
simultaneamente per tutti i punti del corpo.
 
Nell'ultima parte "dimostro" (sempre che il ragionamento sia
corretto) che un tale SdR esiste, ed e` quello in moto a
velocita` (v_1+v_2)/2 rispetto allo stesso riferimento base
in cui s'intendevano definite v_1 e v_2.
Tuttavia cio` sembra in contrasto con un'altra parte del
ragionamento... l'apparente paradosso deriva da qui.
 
Ciao
Paolo Russo

 corta della sbarra, quindi questa si deve deformare.
 
Questo esempio non l'ho mica capito.
In questo genere di esempi, se la caduta viene causata dal
fatto che entrambi gli estremi della sbarra si trovano
"contemporaneamente" sulla voragine, c'e` il problema del
tempo di propagazione dei segnali lungo la sbarra. Tenendone
conto, mi sa che la sbarra non fa in tempo a cadere. Stai
ipotizzando qualche condizione aggiuntiva, tipo una caduta
sincronizzata a orologeria?
 
Ciao
Paolo Russo

 ho in mente senza dover ripetere cose che ti sono note.
 
Andiamo maluccio, non ne so nulla (a parte lo "spazio di
Rindler", che come nome non mi e` nuovo e quindi forse un
tempo ne sapevo qualcosa, ma devo averlo ormai dimenticato
totalmente).
Comunque, mi fai venire dubbi sulla validita` della
soluzione semplice (per un sistema continuo) che avevo in
mente. Ma forse si spiega: io volevo far cambiare la
velocita` bruscamente, il che ovviamente non e`
dinamicamente realistico perche' implicherebbe
un'accelerazione infinita.
Immagino che la soluzione complicata a cui alludi sia invece
una soluzione *vera*, con accelerazione finita.
Ti ringrazio per la disponibilita`, ma francamente me la
risparmierei.
Sto cercando di semplificarmi le cose, ed e` probabile che
in una prima versione decida addirittura di non implementare
proprio il cambio di velocita` par i corpi estesi, perche'
perfino la mia "semplice" soluzione brusca mi creerebbe
qualche complicazione implementativa, non terribile ma
comunque un po' fastidiosa.
 
Ciao
Paolo Russo

 
 
 
 Sì, bisogna modificare l'esempio, e mi sono reso conto che funziona ma c'è un dettaglio che non va bene (forse non essenziale per l'esempio) neanche dopo averlo modificato.
 
- Sbarra su una superficie sottile
- Apertura sulla superficie sottile lunga quanto la sbarra
 
Nel riferimento della superficie:
 
- Metto la sbarra in moto, questa adesso è più corta dell'apertura
- Sorreggo la sbarra lungo tutta la sua lunghezza (per esempio con degli elettromagneti o con degli gnomi)
 
- Quando la sbarra è sopra l'apertura, gli gnomi la lasciano contemporaneamente; questa cade dentro e va nella parte di spazio sotto la superficie sottile
- Dato che è in caduta libera, non ci sono tensioni interne
 
Nel riferimento della sbarra:
 
- la superficie è in moto, l'apertura è più corta della sbarra
- gli gnomi lasciano la sbarra in tempi diversi
 
- essa cade dentro l'apertura deformandosi, ma non ci sono tensioni internet (ho dato per buono che "non esserci tensioni interne" sia un invariante relativistico)
 
L'esempio credo che vada bene per tensioni "trasversali rispetto alla caduta". Mi pare che invece
 
 
 
 
 
D'altra parte se prendo due piccole masse posta una sopra l'altra in un campo gravitazionale uniforme e le lascio cadere contemporaneamente (nel sdr in cui entrambe sono ferme), nello stesso sdr la loro distanza reciproca non varia durante il moto perché si muovono con la stessa legge oraria. Questo mi pare violi il principio di equivalenza (ammesso che lo stia interpretando bene): è possibile vedere che le due palline sono in caduta libera, nel riferimento che si muove assieme a loro, perché si allontanano l'una dall'altra; qui prendo per buono che i corpi solidi che si muovono insieme alle palline si contraggano relativisticamente. La sbarra dell'esempio avrebbe tensioni "lungo il moto".
 
C'è qualcosa che non va in quest'ultimo ragionamento? Elio tu vedi l'errore? Altri?

 stessa legge oraria.
 
Stavo per rispondere che probabilmente si tratta del noto
limite di validita` solo locale del PE ma mi sono reso conto
che devo pensarci un po' piu' a lungo, non sono sicuro che
si tratti di questo.
 
Ciao
Paolo Russo

Paolo Russo ha scruito;
 > Immagino che la soluzione complicata a cui alludi sia invece
 > una soluzione *vera*, con accelerazione finita.
 > Ti ringrazio per la disponibilita`, ma francamente me la
 > risparmierei.
 > Sto cercando di semplificarmi le cose, ed e` probabile che
 > in una prima versione decida addirittura di non implementare
 > proprio il cambio di velocita` par i corpi estesi, perche'
 > perfino la mia "semplice" soluzione brusca mi creerebbe
 > qualche complicazione implementativa, non terribile ma
 > comunque un po' fastidiosa.
Il fatto è che - anche se non lo sai - hai messo il piede su un nido
di vipere. Per questo vale la pena di perderci un po' di tempo.
Leggi la descrizione della storia all'inizio di "Bell's spaceship
paradox".
Già la lunghzza dell'articolo fa capire che la questione è grossa...
Se vuoi leggertelo tutto, fa' pure; ma tieni presente che non tutto
quello che c'è scritto mi soddisfa.
La sezione "Constant proper acceleration" definisce il moto
iperbolico, ma preferirei definirlo seguendo una strada leggermente
diversa.
Non in questo post, però.
 
Ma prima ti spiego che cosa intendevo scrivendo di "soluzione
terribilmente complicata". Ogni punto del sistema si dovrebe muovere
con moto iperbolico, ma con accelerazioni diverse da punto a punto, Il
che si ottiene (se non vuoi tensioni interne) applicando forze esterne
costanti nel tempo ma di durata e intensità diversa in punti diversi.
Per di più il limite di forza impulsiva si può fare solo in certi
punti, ma non in tutti.
 
Ora ti espongo sommariamente la soluzione, senza dimostrare come e
perché lo è.
Abbiamo, come detto, un insieme finito di punti di masse m_i.
Siano x_i le loro ascisse iniziali, quando sono tutti fermi in un rif.
K, in equilibrio, senza tensioni nelle sbarre (di masse trascurabili)
che li uniscono.
(Nota che questo è assicurato se le sbarre sono in numero minimo
necessario per assicurare la solidità.
Per es. per 4 punti nello spazio occorrono 6 sbarre.)
Indicherò con x_1 la minima tra le varie ascisse.
 
Al tempo t=0 applichiamo ai punti forze dirette nel verso positivo
delle x, costanti nel tempo (v. appresso).
Le intensità sono
F_i = k*m_i/(x_i + r)
dove k è una costante positiva arbitraria; r pure costante > -x_1.
 
Le forze cessano a tempi diversi: precisamente ai tempi t_i dati da
t_i = s*(x_i + r)
con s costante positiva arbitraria.
Ne segue che per t>max(t_i) tutti i punti hanno velocità dirette come
x e *tutte uguali*. Indico con v questa velocità comune.
Esiste quindi un rif. K' di quiete comune, nel quale le condizioni
sono le stesse che in K per t=0.
Meno ovvio che esista tutta una famiglia di rif. con velocità rispetto
a K comprese tra 0 e v, che sono tutti rif. di quiete senza tensioni.
 
In quanto precede ci sono alcune costanti arbitrarie: r, k, s
indipendenti tra loro.
Tenendo ferme k e s possiamo considerare il limite r --> -x_1.
Si vede che F_1 --> oo, mentre t_1 --> 0.
Quindi la massa m_1 subisce una forza impulsiva, Ma ogni altra forza e
relativo tempo restano finiti tutte le volte che x_i > x_1.
-- 
Elio Fabri

JTS ha scritto:
 > ...
 > D'altra parte se prendo due piccole masse posta una sopra l'altra in
 > un campo gravitazionale uniforme e le lascio cadere
 > contemporaneamente (nel sdr in cui entrambe sono ferme), nello
 > stesso sdr la loro distanza reciproca non varia durante il moto
 > perché si muovono con la stessa legge oraria. Questo mi pare violi il
 > principio di equivalenza (ammesso che lo stia interpretando bene): è
 > possibile vedere che le due palline sono in caduta libera, nel
 > riferimento che si muove assieme a loro, perchÃ© si allontanano
 > l'una dall'altra; qui prendo per buono che i corpi solidi che si
 > muovono insieme alle palline si contraggano relativisticamente. La
 > sbarra dell'esempio avrebbe tensioni "lungo il moto".
 >
 > C'è qualcosa che non va in quest'ultimo ragionamento? Elio tu vedi
 > l'errore? Altri?
 
Ci ho dovuto pensare un po', soprattutto su come scrivere la risposta.
Direi che hai dimostrato un teorema di RG:
"Se in qualche rif. esiste un campo gravitazionale uniforme, allora lo
spazio-tempo è curvo."
Come si dimostra? Anche qui mi sono dibattuto su diversi livelli di
risposta.
La cosa più sicura sarebbe di tradure l'eninciato verbale in un
enunciato matematico preciso. Questo lo so fare (forse) ma non so se
saprei poi costruire la dimostrazione.
Cerco solo di accennarti la strada.
1. Scrivo l'equazione delle geodetiche che discende a quel camo
uniforme.
2. Confrontando con l'eq. generale, ricavo i valori di (alcuni) coeff.
di connessione.
3. Ricavo la metrica che ha quella conessione (di Levi-Civita).
 
In termini non formali, la dim. del "teorema" si può dare osservando
che se nel rif. di quiete istantanea delle palline queste tendono ad
allontanarsi, vuol dire che c'è una deviazione delle geodetiche, il
che equivale a curvatura.
 
Vale il viceversa: se nel rif. di quiete istantanea le palline non si
allontanano, si dimostra che il campo grav. equivalente *non è
uniforme*-
Questa non è che la soluzione di Rindler.
Un altro modo di presentare il tuo esempio è il "paradosso di Bell".
Lì non hai un camo grav. uniforme, ma due astronavi che in un certo
rif. inerziale sono inizialmente ferme e poi partono, allo stesso
istante e con la stessa accelerazione.
Tra la due astronavi è teso un filo. Si chiede che succede al filo: si
rompe? resta teso? altro?
 
Il problema col tuo teorema è che potrebbe essere vero, ma senza che
si possa mai trovare verificata l'ipotesi, ossia l'esistenza di un
campo grav. uniforme.
 
Ti fornisco una prova (su cui non potrei giurare) che no si può mai
avere, in un aperto dello spazio-tempo, un campo grav. uniforme
diverso da zero.
Se esiste un SC in cui si calcoa un camp grav. uniforme, i coef. di
conessione non possono dipendere dalle coordnate e lo stesso accade
per il tensore metrico (questo è il punto debole: il passaggio à
lecito?).
Ma allora lo spazio-tempo è minkowskiano, quindi il detto campo
uniforme è nullo.
-- 
Elio Fabri

 campo grav. uniforme.
 
Tanto per confondervi un po' le idee (:-), aggiungo qualche
mia considerazione.
Premesso che ho pochissima confidenza con la RG, trovo utile
a volte vederla come teoria di campo. Su queste basi, mi
sembra che la definizione del problema in questione abbia un
aspetto poco chiaro. Un campo gravitazionale uniforme... ma
uniforme dove? Nell'universo reale o in quello osservabile
(per usare i termini che ho definito in un paio di post
tempo fa)? Mi spiego meglio.
 
Partiamo da uno spaziotempo piatto e mettiamoci un campo
gravitazionale che un osservatore lontano giudicherebbe
uniforme. Le due palline di cui si parlava si trovano a
potenziali diversi, quindi i loro orologi risultano
rallentati in modo diverso nel riferimento dell'osservatore
lontano. Questo significa che per la RG debba esserci una
curvatura. Tuttavia, per questo stesso motivo il campo
gravitazionale ipotizzato non potra` essere giudicato
uniforme dagli osservatori locali. Immaginiamo che questi
osservatori siano fermi rispetto all'osservatore lontano,
ad esempio perche' hanno i piedi sulla superficie di un
pianeta o si trovano a bordo di astronavi con i motori
accesi per contrastare la gravita` mantenendo invariata nel
tempo la posizione. Nei loro riferimenti si accorgeranno
quindi del campo gravitazionale, ma non potranno
considerarlo uniforme; anche solo per via della dilatazione
temporale, due accelerazioni a quote diverse che sono uguali
per l'osservatore lontano non saranno uguali per gli
osservatori locali (sempre che non ci siano effetti spaziali
che compensano).
 
Quindi credo che per impostare il problema si debba prima
decidere rispetto a che riferimento il campo vada definito
come uniforme.
 
Ciao
Paolo Russo

 F_i = k*m_i/(x_i + r)
 
OK, grazie. Tuttavia, continuo a pensare che anche la mia
soluzione sia valida. Sospetto che quella che hai riportato
sia stata ottenuta imponendo che le F_i inizino tutte
contemporaneamente nel riferimento di quiete iniziale del
corpo e che quindi senza quel requisito siano possibili
altre soluzioni, come la mia.
Penso che la mia sia valida per due motivi: perche' la sua
dimostrazione (parte finale del mio primo post) sembra
semplice e perche' i calcoli in C++ confermano che e`
valida (a fine spinta un quadrato risulta in generale
ruotato ma, nel suo riferimento, non deformato). Potrei aver
sbagliato sia ragionamento che software ma che entrambi
portino per errore alla medesima conclusione mi sembra una
coincidenza un po' improbabile.
 
Ciao
Paolo Russo

 
 
 
Campo uniforme = l'accelerazione misurata da un osservatore posto nella posizione della pallina è uniforme? Sotto forma di domanda perché non conosco la RG.

 perché non conosco la RG.
 
La conosco poco anch'io. Ho letto solo un libro, vent'anni
fa, e neanche tutto.
D'accordo, puoi definire il campo come uniforme in
corrispondenza degli osservatori locali, pero` allora non
credo che un osservatore remoto lo giudicherebbe uniforme.
Rispetto a lui, le palline non avrebbero la stessa
accelerazione.
Quindi in sostanza sospetto fortemente, pur non potendo
esserne sicuro dal basso delle mie miserrime conoscenze,
che per avere un campo localmente uniforme in una certa
regione di spazio serva uno spaziotempo curvato in un modo
molto specifico e non ho idea se una curvatura che goda di
una tale proprieta` sia possibile. Non so nemmeno se abbia
davvero senso chiamare uniforme un campo cha e` sempre
uguale in modulo e verso in ogni punto di una regione che
pero` e` curva. Forse il concetto di campo uniforme ha
sempre sottinteso uno spaziotempo piatto in cui ambientarlo.
 
Ciao
Paolo Russo

 spazio-tempo è curvo." 
 
 
Mi sto preoccupando ;-) :
 
il ragionamento non dipende dalla distanza tra le palline, quindi pare che l'effetto della curvatura non diminuisca considerando regioni di spazio "sempre più piccole". Mi sfugge qualcosa?


Forse la soluzione è:
 
l'effetto della curvatura diminuisce considerando regioni di *spazio-tempo* sempre più piccole. In questo caso bisogna considerare intervalli di tempo piccoli rispetto a un intervallo di tempo che costruiamo a partire da g e c (credo vada bene delta_t piccolo rispetto a c/g).
Sto scrivendo cose sensate??
 
 
Ammesso di sì: è sorprendente che la distanza fra i due punti che accelerano non conti, forse vedrei come funziona se avessi qualche idea su come è fatta la varietà quadri-dimensionale che descrive lo spazio-tempo che abbiamo fissato in questo esperimento ;-)