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Titolo: Algebre di Lie

Ciao a tutti,
mi č capitato di sentire parlare di rappresentazioni _unitarie_ di algebre
di Lie. Mi chiedo che cosa si intenda con ciň, dal momento che l'insieme
degli operatori unitari definiti su uno spazio di Hilbert non costituisce in
generale un'algebra. Forse si intende che la rappresentazione "proviene" da
una rappresentazione unitaria del gruppo di Lie (e l'algebra č quella
associata a tale gruppo)? Se fosse cosě, qual č il legame tra le due
rappresentazioni?
Grazie,
Giaco

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Ciao, si intende una rappresentazione fatta di operatori del tipo
iA con A (essenzialmente)autoaggiunto su un dominio denso invariante
comune. "mani e piedi" significa che l'algebra "proviene" da una
rappresentazione unitari di un gruppo di Lie.
(In realta' e' in genenrale falso che se hai una rappresentazione 
dell'algebra di Lie di un gruppo allora hai anche la
rappresentazione unitaria del gruppo...)
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 Ciao, Valter
Scusate, non dovrebbe essere exp(iA) ?

 Ciao, Valter
Grazie. Sempre "mani e piedi", un elemento della suddetta algebra di
operatori anti-autoaggiunti va a finire in un elemento del gruppo di
operatori unitari via la mappa esponenziale "canonica". Quindi mi sembra che
sia qui il legame, a spanne. Spero di non aver capito male, e grazie ancora.
Giaco


Se il gruppo e' ad un solo parametro allora e' vero.
Se e' un gruppo di Lie non unidimensionale le cose si complicano.
Se sono soddisfatta certe condizioni (di Nelson)
sulla rappresentazione dell'algebra di Lie, allora esiste
una rappresentazione unitaria del gruppo la cui algebra di Lie
e' rappresentata dagli operatori A_i...



Ciao,  la mappa esponenziale la puoi usare solo se gli operatori sono
autoaggiunti, inoltre NON e' detto che dia luogo ad una rappresentazione
(fortemente continua) unitaria del gruppo. In ogni non e' vero che tutti 
gli elementi del gruppo siano del tipo exp{i somma su j t^j A_j } dove 
A_1,A_2,...,A_n
sono una base di operatori che rappresentano l'algebra di Lie...
Bisogna considerare, in generale, piu' prodotti di tali esponenziali.
Nell'ultimo capitolo delle dispense di teoria spettrale e matematica
della MQ, mettero' qualcosa su questi argomenti.


 Ciao, Valter
Leggerò volentieri...ora stavo studiando la teoria dei gruppi di Lie in
generale (approccio "pulito" con geometria differenziale etc.), forse è
meglio digerire per bene questa e poi passare con calma all'applicazione in
meccanica quantistica con spazi di Hilbert, altrimenti rischio di fare una
gran confusione... :-)
Mi rileggerò meglio la tua risposta tra qualche settimana, sperando di avere
maggiore cognizione di causa!
Giaco

Valter Moretti ha scritto:
 >
 > Se sono soddisfatta certe condizioni (di Nelson)
 > sulla rappresentazione dell'algebra di Lie, allora esiste
 > una rappresentazione unitaria del gruppo la cui algebra di Lie
 > e' rappresentata dagli operatori A_i...
Ecco un'altra delle tante cose che non so...
Ci ho pensato un po', ma non viene in mente niente.
Che genere di condizione ci vuole?
 > Ciao, la mappa esponenziale la puoi usare solo se gli operatori sono
 > autoaggiunti, inoltre NON e' detto che dia luogo ad una
 > rappresentazione (fortemente continua) unitaria del gruppo. In ogni
 > non e' vero che tutti gli elementi del gruppo siano del tipo exp{i
 > somma su j t^j A_j } dove A_1,A_2,...,A_n sono una base di operatori
 > che rappresentano l'algebra di Lie... Bisogna considerare, in
 > generale, piu' prodotti di tali esponenziali.
Fino all'autoaggiunto ci arrivo...
Ma mi scombussola la cosa che dici dopo: mi faresti un controesempio,
in cui nn tutti gli elementi del gruppo sono del tipo
exp{i somma su j t^j A_j } ?
A me pare che per i gruppi che conosco sia sempre vero.
Qual e' il trucco?
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 exp{i somma su j t^j A_j } ?
non vorrei confondermi, ma...basta che esci dalla componente connessa 
all'identita'...
ciao
slacky

slacky ha scritto:
 > non vorrei confondermi, ma...basta che esci dalla componente connessa
 > all'identita'...
Tutto qui?
Ma e' ovvio che io pensavo a gruppi connessi!


[A causa di problemi di data il post viene approvato a mano solo oggi] 
(
sag...@unisa.it
)
Elio Fabri wrote:
  > Valter Moretti ha scritto:
  >  >
  >  > Se sono soddisfatta certe condizioni (di Nelson)
  >  > sulla rappresentazione dell'algebra di Lie, allora esiste
  >  > una rappresentazione unitaria del gruppo la cui algebra di Lie
  >  > e' rappresentata dagli operatori A_i...
  > Ecco un'altra delle tante cose che non so...
  > Ci ho pensato un po', ma non viene in mente niente.
  > Che genere di condizione ci vuole?
Una condizione sufficiente (mi pare che sia anche necessaria)
e' che ci deve essere un dominio (sottospazio) D denso nello
spazio di Hilbert, invariante per tutti gli A_i e tale che
l'operatore
T = summa su i di    A_iA_i
sia _essenzialmente autoaggiunto_ su D
(ti ricordo che A: D ->H con D denso in H e' detto
essenzialmente autoaggiunto se e' simmetrico [cioe'
<f|Ag> = <Af|g> per ogni coppia f,g in D]
e vale che l'aggiunto di A, A*, e' autoaggiunto)
Si trovano dei controesempi classici studiando il
"gruppo di Heisenberg", che e' l'estensione centrale
del gruppo abeliano delle traslazioni bidimensionali:
per (no)i fisici e' il gruppo la cui algebra di Lie
e' data dall'operartore posizione, l'operatore impulso
e l'operatore identita'.
Se prendi la particella nella scatola con condizioni
di annullamento ai bordi oppure con condizioni
periodiche, riesci comunque a definirti degli operatori
simmetrici (e anche autoaggiunti) che soddisfino l'algebra
di Heisenberg, pero' e' impossibile definirli in modo tale
che la condizione di Nelson sia verificata...
(si avrebbe una contraddizione con un altro celebre teorema
dovuto a von Neumann che dice che se c'e' una
rappresentazione unitaria (irriducibile) allora lo spazio
e' L^(R) e gli operatori posizione e impulso sono quelli noti,
cosa impossibile per ipotesi nel caso detto per le propriet'a
spettrali differenti).
Per cui, nel caso in esame, c'e' un'algebra di Lie di Heisenberg,
ma non  c'e'alcuna  rappresentazione unitaria del gruppo associata.
  >
  >  > Ciao, la mappa esponenziale la puoi usare solo se gli operatori sono
  >  > autoaggiunti, inoltre NON e' detto che dia luogo ad una
  >  > rappresentazione (fortemente continua) unitaria del gruppo. In ogni
  >  > non e' vero che tutti gli elementi del gruppo siano del tipo exp{i
  >  > somma su j t^j A_j } dove A_1,A_2,...,A_n sono una base di operatori
  >  > che rappresentano l'algebra di Lie... Bisogna considerare, in
  >  > generale, piu' prodotti di tali esponenziali.
  > Fino all'autoaggiunto ci arrivo...
  > Ma mi scombussola la cosa che dici dopo: mi faresti un controesempio,
  > in cui nn tutti gli elementi del gruppo sono del tipo
  > exp{i somma su j t^j A_j } ?
Come ha detto Slacky, basta che il gruppo non sia connesso, ma anche per
i gruppi connessi puo' succedere. (C'e' comunque un teorema che assicura
che se il gruppo e' connesso e compatto allora tutti gli elementi sono
esponenziali). Sono sicuro che un controesempio si trova studiando
SL(2,R), perche' ci ho sbattuto il naso qualche tempo fa. Pero' ora
non ho tempo per andare a cercare quel controesempio.
Non ci ho mai pensato seriamente, ma mi pare che ci siano controesempi
anche con il gruppo ortocrono proprio di Lorentz (che e' connesso ma
non compatto): credo che, in generale, se consideri una trasformazione
che non sia ne' una rotazione tridimensionale e nemmeno un boost,
non sia possibile scriverla come singolo esponenziale.
Purtroppo non ho tempo per cercare di dimostrarlo, se mi viene in mente
qualcosa la posto.
Ciao, Valter


[Post con problemi di data: approvato a mano dal moderatore 
sag...@unisa.it
]


 sia possibile scriverla come singolo esponenziale.
Questo invece (sempre a meno di errori) non mi torna.
Secondo me e' sempre possibile.
La differenza tra i due casi sta proprio nel reale e complesso.


 La differenza tra i due casi sta proprio nel reale e complesso.
Come ti dicevo era solo un'idea, ma non ci ho mai pensato seriamente.
Se mi fai vedere come lo dimostri mi  interesserebbe, visto che non
ho tempo (e nemmeno voglia) per pensarci da solo...


 tempo (e nemmeno voglia) per pensarci da solo...
Vediamo.
La piu' generale matrice di SL(2,C) si scrive
B = p*I + q1*S1 + q2*S2 + q3*S3  (1)
dove indico con I la matrice identita', con S1, S2, S3 le matrici di
Pauli, con p, q1, q2, q3 numeri complessi.
La condizione det A = 1 impone
p^2 = 1 + q1^2 + q2^2 + q3^2  (2)
(quadrati, non moduli quadrati).
Invece le matrici dell'algebra hanno la stessa espressione senza il
primo termine, in quanto hanno traccia nulla:
A = c1*S1 + c2*S2 + c3*S3.
Bisogna dunque dimostrare che comunque scelti q1, q2, q3, e *per
entrambe le scelte di p* che soddisfano la (1), esistono c1, c2, c3
tali che exp(A) = B.
Si ha
exp(A) = cosh(r)*I + (a1*S1 + a2*S2 + a3*S3)*sinh(r)/r  (3)
dove ho posto r = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) (e' indifferente quale
radice (complessa) si prende, dato che cosh(r) e sinh(r)/r sono
funzioni pari.
Confrontando (1) e (3) si vede che occorre
cosh(r) = p  (4)
dopo di che basta prendere a1 = c1*r/sinh(r) ecc.
E qui casca l'asino... Ero stato un po' frettoloso...
Infatti (4) si puo' sempre risolvere (ha infinite soluzioni) ma se
p=-1 risulta sinh(r)=0 mentre r non e' 0, e siamo nei guai.
Invece p=1 non da' problemi, perche' posso scegliere r=0 e
r/sinh(r)=1.
Conclusione: quello che avevo asserito e' falso.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 del 2003 di Moskowitz e Sackstaeder).
Non è vero ho scritto una frase che fa confusione.
se il gruppo è reale e connesso occorrono due esponenziali, mentre se il
gruppo è anche compatto ne basta uno, se non è reale non saprei.
Riaussumendo: se è compatto, oppure è abeliano, oppure è "solvable"
(ovvero la sua algebra è nilpotente ed il gruppo è
connesso) allora il gruppo è esponenziale.
Quello che mi chiedo è: si può
indebolire qualche ipotesi? Se si può compattificare
in qualche senso non standard qualunque gruppo
probabilmente si può dire che ogni elemento è
esponenzialmente connesso all'identità oppure
ad un punto all'infinito (limite debole di mappe
al finito). A questo punto come esiste un teorema
che dice che una trasformazione conforme porta i
punti all'infinito in punti al finito così forse ne esisterà
uno che dice che dei punti all'infinito saranno riportabili
al finito da un'esponenziale ed il teorema di Moskowitz e Sackstaeder
sarebbe dimostrato e sarebbe una semplice estensione non standard del famoso
teorema che ogni gruppo compatto reale è esponenziale. Che ne dite? So che
il
teorema una volta che è dimostrato non richiede altro, ma
a me sembrava intuitivo e quindi vi chiedo se questa intuizione
era sbagliata oppure se permette di semplificare la dimostrazione.
A me che sono
un archeoloco mi sembra abbastanza da farmi immaginare che sia possibile
costruirci sopra la teoria delle trasformazioni conformi generalizzate, ad
esempio come si risolve un problema
di elettrostatica con contorno assegnato nello spazio?
Senza avere qualche gruppo di invarianza dell'armonicità
come quello delle trasformazioni conformi non si può ridurre
questo problema ad una classe di problemi equivalenti come
si fa nel piano.
 
Nello spazio come si chiama un tale gruppo è un gruppo
di Lie? In tal caso come è fatta la sua algebra? Somiglia
a quella di Virasoro? Il teorema di Moskowitz e Sackstaeder
vale in dimensione infinita? Io penso di si perchè non
dovrebbe?
Qualcuno sa aiutarmi a districarmi dalla confusione?
Gli sarei grato: è da dodici anni che mi torna in mente
questa serie di domande ma non mi riesce di trovare delle
risposte. Ora questa di Moskowitz e Sackstaeder è un
frammento, mi manca il completamento delle mie intuizioni
anche se mi sembra che debba esistere in positivo o in negativo.


 Conclusione: quello che avevo asserito e' falso.
Allora il mio intuito matematico forse non sbagliava,
anche se, come ho detto, non ho mai provato a pensarci
seriamente.
Mi piacerebbe una volta o l'altra arrivare in fondo alla questione
una volta per tutte.


 in qualche senso non standard qualunque gruppo
Non riesco ad immaginare come (come spazio topologico puoi
sempre farlo, per esempio usando la procedura di Alexandrov, ma
come la mettiamo per le operazioni di gruppo?)

Cercherei di farlo  se avessi tempo e se avessi capito: non ho capito 
quasi niente di quello che hai scritto!


 volta per tutte.
Perche', che cosa manca?
Avrai notato una differenza tra SL(2,R) e SL(2,C): nel primo caso
manca un pezzo del gruppo ancora di dimensione 3. In altre parole, la
chiusura della parte esponenziale non ti da' l'intero gruppo.
Invece per SL(2,C) la parte esclusa ha codimensione 2, quindi neppure
separa l'intero gruppo.



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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

Avevo inviato una rettifica alla mail del 7 giorno 8 mattina
ma non è arrivata.
* Elio Fabri ha scritto.
§ Le trasf. conformi esistono in qualunque numero di dimensioni,
§ ma a naso direi che non conservano l'armonicita'.
Quello che ho notato è che pure se è vero che il concetto di funzione
olomorfa può essere generalizzato alle funzioni complesse in più variabili
f(z1,...,zn), grazie alle regole di commutazione per i numeri complessi,
tuttavia non è poi vero che le funzioni di tre variabili complesse
implichino l'armonicità di una qualche funzione reale da R^3 in R.
 
Tuttavia il problema iniziale lo avevo riformulato, nella mail perduta,
(sperando che Valter o tu se aveste già sentito
parlare dell'argomento avreste potuto indirizzarmi)
in questo modo:
data una funzione f:R^n --> R armonica trovare una estensione
F:R^n+k --> R^n+k in modo che per tutte le funzioni soggiacenti
ad una qualche condizione di Cauchy Riemann in n+k sia
ancora verificata la condizione di armonicità delle componenti.
§ Non ho fatto nessun conto, ma se cosi' fosse, l'elettrostatica
§ in tre dimensioni sarebbe semplice, mentre non lo e'.
Il tema è che questa complessità è risolta da un nucleo integrale semplice e
noto in dimensione qualsiasi, e dunque quando siano note le distribuzioni di
carica è
risolta in qualunque dimensione, ma l'elettrostatica in dimensione due gode
di una proprietà di simmetria ed
invarianza che mi piacerebbe generalizzare a dimensioni
maggiori oppure spiegarmi il motivo della, eventuale, impossibilità di
questa estensione.
D'altre parte i corpi numerici che contengono R non sono tanti come noto ed
ha senso parlare di funzioni iperolomorfe su H (quaternioni) ed O (ottetti
di Cailey) e trovare condizioni di Cauchy Riemann imponendo la condizione di
analiticità, però H ha dimensione 4 come spazio vettoriale su R e le
funzioni iperolomorfe non fanno al caso nostro. Nondimeno è possibile, ed è
stato fatto, parlare di una condizione di olomorfia in dimensione 2+1
proprio utilizzando i quaternioni (ridotti) della forma z+xi+yj, il vincolo
differenziale tuttavia non è quello della armonicità (infatti la condizione
contiene un laplaciano ma contiene pure un termine 1/z d/dz) E' possibile
che sia
più naturale l'elettrodinamica che non l'elettro-statica in dimensione
tre.
Quello che mi chiedo è se non sia possibile trovare condizioni
di Cauchy Riemman che fanno al caso nostro anche in dimensione
tre e più in generale in condizione dispari ragionando su n-ple
non numeriche e funzioni in n variabili.
L'elettrostatica sortisce in modo naturale dalla richiesta che
la soluzione non dipenda dal tempo. Ad ogni modo questo vincolo
non è un vincolo invariante rispetto alle trasformazioni che
coinvolgono il tempo. In parole semplici l'elettrostatica
non ammette una formulazione covariante. Quello che mi lascia
basito di tutto questo è che quando uno studia l'elettrodinamica
si abitua a pensare che le equazioni di Maxwell siano ben comprese e che la
condizione di dualità sia una fortunata coincidenza che ammetterà qualche
forma di generalizzazione in dimensione qualsiasi.
Poi se uno medita con più attenzione sospetta che ci sia molto di
più e che questo potrebbe essere accessibile per via quasi esclusivamente
speculativa. E che in qualche modo le soluzioni elettrodinamiche siano
soluzioni statiche globali in un universo in dimensione quattro.
Mi sembra che la chiave per apprezzare e non sopravvalutare i
discorsi di chi parla di universo olografico sia in questo genere
di considerazioni. I limiti di validità di queste considerazioni
si riducono infatti a quelli tradizionali della gnoseologia
matematica senza particolari misticismi.
§ Avrai notato una differenza tra SL(2,R) e SL(2,C): nel primo
§ caso manca un pezzo del gruppo ancora di dimensione 3. In
§ altre parole la chiusura della parte esponenziale non ti da'
§ l'intero gruppo. Invece per SL(2,C) la parte esclusa ha
§ codimensione 2, quindi neppure separa l'intero gruppo.
Non capisco come intendi la dimensione, stai parlando di dimensione dello
spazio tangente come spazio vettoriale su C o su R? Se parli di dimensione
in C allora hai già dimostrato che nella mappa esponenziale dell'algebra di
SL(2,C) manca una componente di dimensione 3 (e 6 come spazio vettoriale su
R, il gruppo tuttavia ha dimensione reale 6 quindi manca una varietà di
codimensione reale 0 manca mezzo gruppo per l'esattezza, infatti se
moltiplichiamo la mappa esponenziale per -I otteniamo elementi che non
appartengono alla mappa esponenziale e che con questa hanno in comune
solamente l'elemento -I riunendo queste due componenti: namely la mappa
esponenziale e -I exp si riottiene tutto il gruppo).
SL(2,R) è contenuto nella rappresenzazione generale di SL(2,C),
ed una volta studiato SL(2,C) segue che SL(2,R) è una sezione
non connessa di SL(2,C). La parte connessa all'identità si
ottiene specializzando ad R la rappresentazione:
(+/-I)*[cosh(r)+(senh(r)/r)*(aS1+bS2+cS3)]
del generico elemento di SL(2,C). Basta scegliere c immaginario ed r reale o
immaginario, facendo qualche conto si scopre che la condizione che cosh(r) e
senh(r)/r siano reali equivale a chiedere che r sia reale o immaginario.
Si può provare che questa rappresentazione è completa, mentre non è
certamente univoca (anzi sono ammessi infiniti altri valori scegliendo una
diversa fase comune f per a,b,c in modo tale che tuttavia cosh(fr) e
senh(fr)/r siano reali, tuttavia questa mancanza di univocità è qualcosa a
cui siamo abituati quando usiamo R per rivestire una circonferenza).
SL(2,R) ha dimensione reale tre e non è connesso. La mappa esponenziale
della sua algebra tuttavia è suriettiva sulla componente connessa
all'identità.
I Sospetto: non sarà che ogni gruppo connesso o non connesso, ma con algebra
reale può essere visto come sottogruppo di un gruppo connesso ad algebra
complessa (che ricordiamo può sempre essere decomplessificata distinguendo A
da iA)?
Osservazione: i gruppi isometrici di metrica definita positiva hanno due
componenti connesse, i gruppi isometrici di metrica mista (pseudo metrica)
hanno quattro componenti connesse. Entrambi questi gruppi hanno un
sottogruppo, specificatamente
il sottogruppo speciale (quello a determinante positivo,
questo gruppo non è un sottogruppo normale) che risulta:
connesso e compatto per le metriche definite (ed immerso in un gruppo
complesso connesso e compatto)
a due falde per le metriche miste (ed immerso in un gruppo complesso
connesso ma non compatto)
II Sospetto: non è che esiste in generale un nesso fra la non esponenzialità
di un gruppo complesso connesso non compatto ed il grado di connessione di
un suo sottogruppo reale? (un sottogruppo reale di un gruppo di lie ad
algebra complessa è un sottogruppo la cui algebra si riduce alla parte reale
dell'algebra complessa).


 come la mettiamo per le operazioni di gruppo?)
Io stesso Archeoloco ho scritto:
* Nel caso di SL(2,C), ad esempio, osserviamo che la
* mappa esponenziale copre un sottoinsieme di SL(2,C)
* il modo più naturale di costruire l'estensione non
* standard passa per le superfici di Riemann della funzione
* ln. Se infatti risolviamo l'equazione cosh(z)=-1 troviamo
* che |z| non è limitato superiormente. mentre senh(z) è
* sempre uguale. (senh(z) è una funzione periodica con lo
* stesso periodo di cosh(z)). Dunque il punto -I è
* raggiungibile in senso debole.
In una rettifica che avevo inviato giorno 8 mattina e che non è
arrivata sul ng avevo ripensato la questione e mi ero accorto del fatto che
la mappa esponenziale dell'algebra di Pauli, esplicitata nella mail di Elio
contiene propriamente l'elemento -I mentre non può contenere, come già Elio
aveva dimostrato, alcun elemento in cui a -I risulti sommata una
qualsivoglia combinazione di matrici di Pauli, dunque l'idea
che la mappa esponenziale sia densa nel gruppo non è valida
in generale.
Avevo concluso con l'icastica affermazione che
SL(2,C) ha un dark side zone e che -I è l'orizzonte degli
eventi per la mappa esponenziale.
Pensavo, senza averlo scritto, tuttavia, che l'argomento
della rappresentazione non standard potesse essere salvato identificando gli
elementi (-I+aS1+bS2+cS3)|f| con elementi infinitesimi della mappa
esponenziale nell'intorno di ogni r0 tale che cosh(r0)=-1 senh(r0)=0. Al
seguente modo:
cosh(r0+r/alfa)I+(senh(r0+r/alfa)/(r0+r/alfa))[(a+a'/alfa)S1+(b+b'/alfa)S2+(c+c'/alfa)S3]
(dove 1/alfa è l'infinitesimo campione dell'estensione non standard di R)
viene identificato con
(-I)*[cosh(r)+(senh(r)/r)*(b'*S1+c'*S2+d'*S3)].
abbiamo il vincolo a^2+b^2+c^2=r0^2 come il vincolo a'^2+b'^2+c'^2=r^2 per
ottenere ogni elemento possibile.
Dunque questa intuizione della mappa infinitesima della dark
side zone nella zona accessibile è sostenibile in effetti e quello che spero
è di riuscire a collegarla con quest'altra osservazione:
data un'algebra reale T possiamo costruire il gruppo lessicografico delle
potenze naturali della sua mappa esponenziale. Il fatto che questo gruppo si
riduca ad
un gruppo di algebra T quando l'algebra sia
intesa come algebra tangente di un gruppo implica per il
teorema di Wustner che dati exp(t1)exp(t2)exp(t3)...exp(tn) esistono a,b in
modo che exp(t1)exp(t2)exp(t3)...exp(tn)=exp(a)exp(b)
Altra osservazione che è poi una domanda: sempre spippolando con le algebre
e con le rappresentazioni esponenziali risulta che l'esponenziale di un
gruppo con algebra complessa può essere posto in corrispondenza biunivoca
con un gruppo ad algebra reale. Infatti in ogni algebra complessa possiamo
considerare linearmente indipendenti gli elementi A e iA.
Se uno prova a definire un'algebra usando anzichè un campo un'algebra di
divisione non commutativa (come le chiamano oggi) ovvero un corpo non
commutativo incontra serie difficoltà: infatti l'algebra ha una
moltiplicazione distributiva quindi aA*bB=abA*B e nel caso di algebra di
Lie: aA*bB=-bB*aA=-baB*A=baA*B, dunque deve risultare abA*B=baA*B, ovvero
(ab-ba)A*B=0. Quindi, per dirlo poeticamente:
un'algebra di lie reale può essere sempre complessificata e viceversa un
algebra di lie complessa può essere decomplessificata, mentre un'algebra di
lie reale non può essere quaternionizzata perchè il corpo dei
quaternioni contiene tre unità non commutative. Quello che mi chiedo è se
tuttavia esistono ed hanno qualche utilità delle algebre di commutazione
quaternioniche. Credo di si, ma non capisco bene come interpretare il
vincolo.
Queste algebre sarebbero infatti vincolate, come detto,
dalla regola aA*bB=(ab+ba)/2 A*B ovvero (ab-ba)A*B=0
oppure si rinuncia ad usare algebre?
