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Titolo: La metrica di Landau

Ho scritto una nota sull'oggetto, dove dimostro che in un preciso
senso se uno spazio-tempo ammette la metrica di Langevin, allora non
c'è nessuno spazio per il quale valga la metrica di Landau.
 
Trovate il pdf in
http://www.sagredo.eu/temp/sp-Landau.pdf
 
Commenti, inclusa la segnalazione di eventuali errori, sono graditi.
Lo stesso argomento del resto è già discusso, nelle mie "Lezioni di
Astrofisica relativistica e cosmologia":
 
Di passaggio, per vedere che uno spazio avente la metrica di Landau
(intendo una varietà riemanniana di dimensione 2, presa in sé, senza
nessuna considerazione su sua interpretazione fisica) è curvo,
basta osservare che una circonf. r=R ha raggio R e lunghezza
 
2pi*R/sqrt[1 - (w*R/c)^2].
 
Questo però non ha niente a che vedere con la domanda se uno
spazio-tempo con la metrica di Langevin sia piatto o curvo.
Un tale spazio-tempo è piatto, e trovo incredibile che se ne debba
discutere.
 
-- 
Elio Fabri

 
http://www.sagredo.eu/temp/sp-Landau.pdf
 
 
nel file citi [1 (Landau 2 Teoria dei campi)] § 90, problema
ma, almeno qua,
https://archive.org/details/landau.-lifshitz-teoria-dei-campi-fisica-teorica-2-mir-1985/page/333/mode/2up
 
è § 89, problema.
Non so se hai sbagliato a battere o se può dipendere dalle edizioni.
 
Bruno Cocciro

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Il calcolo nel pdf linkato è corretto. Peccato però che tale calcolo non dica niente di nuovo. Usando la terminologia dell'autore del post e del pdf linkato, che nello spazio-tempo (finito) quadridimensionale definito dalla metrica di Langevin non esista nessuno spazio tridimensionale (finito) avente la metrica di Landau è cosa nota da decenni. Ciò che sembra non essere noto all'autore del post e del pdf linkato è che esistono infinite porzioni infinitesime dello spazio-tempo quadridimensionale definito dalla metrica di Langevin che ammettono infiniti spazi infinitesimali aventi la metrica di Landau. Che non si possano sommare questi infiniti spazi infinitesimali con un integrale per ottenere un unico spazio tridimensionale (finito) avente la metrica di Landau è proibito dal teorema di Frobenius della topologia differenziale che dice che tale sommatoria si può fare se è solo se il vettore vorticità è identicamente nullo. Ma il punto è che la trasformazione di Langevin introduce un vettore vorticità non nullo. E' questo dunque il significato fisico della metrica di Landau, dare una distanza, che risulta essere non-euclidea, ai citati spazi infinitesimali. Questa distanza si calcola nel seguente modo: si inserisce la condizione di geodetiche nulle ds=0 nella metrica quadridimensionale di Langevin è si risolve la corrispondente equazione per cdt. La distanza propria per un blip radar di andata e ritorno emesso da un osservatore di Langevin sarà allora la semi-differenza tra le due soluzioni, positiva e negativa, di cdt. Questo valore risulterà essere proprio l'elemento infinitesimo della metrica spaziale di Landau. Quindi, nonostante l'autore del post e del pdf linkato continui a sostenere (in questo ed in altri post) che lo spazio-tempo di Langevin è piatto, è alquanto evidente invece che lo spazio-tempo di Langevin è curvo. Questo si può vedere da un altro punto di vista facendo la seguente considerazione.  La metrica di Langevin  ha il coefficiente g_00 leggermente minore di 1. Ora, siccome la trasformazione di Langevin conserva sia la coordinata temporale che quella radiale, ne segue che, essendo il tempo proprio di Langevin "de-sincronizzato" dalla sua coordinata temporale per via della famosa relazione che lega il tempo proprio di uno spazio-tempo alla coordinata temporale della metrica tramite il coefficiente g_00, anche un osservatore lorentziano che misura il tempo proprio lorentziano è de-sincronizzato rispetto agli osservatori rotanti di Langevin che misurano il tempo proprio di Langevin. Ossia,  il tempo proprio lorentziano è uguale alla coordinata temporale lorentziana (il g_00  nella metrica di Lorentz è uguale ad 1) che è uguale alla coordinata temporale di Langevin, che è DIVERSA dal tempo proprio di Langevin. Quindi il tempo proprio di Lorentz è DIVERSO dal tempo proprio di Langevin. Questo spiega come mai il famoso "piccolo esercizio di relatività (ristretta!)",  proposto dall'autore del post e del pdf linkato in un altro post, è tutt'altro che un esercizio di relatività ristretta, ma ha invece bisogno di un trattamento di relatività generale con relativo calcolo di integrali lungo la traiettoria della luce per essere risolto completamente,  in quanto l'osservatore nel laboratorio misura il tempo proprio di Lorentz mentre gli osservatori rotanti misurano invece il tempo proprio di Langevin. Quanto alla questione più volte erroneamente ripetuta dall'autore del post e del pdf linkato, che "l'assenza di curvatura non viene alterata qualunque siano le coordinate usate", questo non vale relativamente alla trasformazione di Langevin, che, portando a risultati diversi (relativamente a tempi e distanze propri) in sistemi di riferimento diversi, di fatto rompe la covarianza generale. Come questo possa accadere non è del tutto chiaro, ma i risultati sperimentali ottenuti col rotore di Mossbauer confermano questa cosa. La mia idea personale, completamente da verificare (qui potrei dire una castroneria perché NON sono un matematico esperto di geometria differenziale, ma un fisico teorico), è che la trasformazione di Langevin inserisca degli elementi di torsione, nel senso che, non solo per gli osservatori di Langevin il rapporto tra circonferenza e raggio è maggiore di 2 pi-greco, ma questo rapporto dipende dalla coordinata radiale. Come si sa, in presenza di elementi di torsione la connessione di Levi-Civita viene meno e quindi non potrebbe essere in grado di "gestire contemporaneamente" lo spazio-tempo di Langevin e quello di Lorentz, che risultano quindi due spazi-tempi diversi. Ma questa è solo un'ipotesi, eventualmente da approfondire e non necessariamente corretta.
Buona Pasqua a tutti,
Prof. C. Corda.


Christian Corda ha scritto:
 > Il calcolo nel pdf linkato è corretto.
Questo mi rallegra. Sentivo il bisogno di una conferma autorevole :-)
 
 > Peccato però che tale calcolo non dica niente di nuovo. [...] è cosa
 > nota da decenni.
Non ho mai preteso di dire qualcosa di originale.
E del resto anche a me è noto da decenni. Credo di aver già scritto
che la dim. si trova nei miei appunti del corso che ho tenuto fino a
quando sono andato fuori ruolo (nel 2002) per almeno 10 anni.
 
 > Ciò che sembra non essere noto all'autore del post e del pdf linkato
 > è che esistono infinite porzioni infinitesime dello spazio-tempo
 > quadridimensionale definito dalla metrica di Langevin che ammettono
 > infiniti spazi infinitesimali aventi la metrica di Landau.
Che questo non sia noto all'autore del post e del pdf linkato non solo
è vero, ma oso aggiungere che gli riesce incomprensibile.
Se ci si mette a parlare di "infiniti spazi infinitesimali" siamo su
un terreno che il detto autore rifiuta, a meno che non lo si sappia
tradurre in un discorso matematico rigoroso.
Con gli infiniti e gli infinitesimi sparsi qua e là si può dimostrare
qualsiasi cosa.
Per es. io direi che per definizione una varietà riemanniana consiste
d'infinite porzioni infinitesime di spazio euclideo
 
 > Questa distanza si calcola nel seguente modo:
 > ...
Sappiamo, sappiamo. Del resto è scritto pari pari nel Landau.
 
 > Quindi, nonostante l'autore del post e del pdf linkato continui a
 > sostenere (in questo ed in altri post) che lo spazio-tempo di
 > Langevin è piatto, è alquanto evidente invece che lo spazio-tempo di
 > Langevin è curvo.
L'autore ecc. l'ha sostenuto e continua a sostenerlo.
Ma nell'ultimo post ha scritto qualcos'altro.
Ha chiesto indicazioni bibliogrfiche: un testo affidabile in cui sia
chiaramente scritto che la metrica di Langevin descrive uno spazio
curvo.
Nessuna risposta.
Ha anche ricordato che Iovane e Benedetto nel loro articolo dchiarano
l'esatto contrario: che è piatto.
Non solo: aggiungo che ci si legge anche che il tensore di Riemann è
nullo sia nella metrica di Minkowski sia in quella di Langevin.
Né potrebbe essere diversamente, visto come si trasforma un tensore
per cambiamento di coordinate.
Anche a questo, nessun commento.
 
 > Quindi il tempo proprio di Lorentz è DIVERSO dal tempo proprio di
 > Langevin.
Questo mi pare lo dica anche Landau, e sbaglia.
Il tempo proprio non è definito dalle coordinate.
Qualunque sia la metrica, in RR come in RG, il tempo prorpio è la
lunghezza di un arco di curva.
Dipende quindi da quale curva si sceglie. Non c'è *un* tempo proprio.
Visto che le curve parametrizzate da x^0 non sono le stesse nelle due
metriche, perché sono diverse le restanti coordinate che sono costanti
lungo quelle curve, è ovvio che il tempo proprio risulti diverso, e
non se ne può trarre alcuna conseguenza sulla curvatura dello
spazio-tempo.
 
 > Questo spiega come mai il famoso "piccolo esercizio di relatività
 > (ristretta!)", [...] è tutt'altro che un esercizio di relatività
 > ristretta, ma ha invece bisogno di un trattamento di relatività
 > generale con relativo calcolo di integrali lungo la traiettoria
 > della luce per essere risolto completamente ...
Siamo curiosi, sia io sia altri, di vedere questo "trattamento" e il
risultato che dà.
 
 > ... in quanto l'osservatore nel laboratorio misura il tempo proprio
 > di Lorentz mentre gli osservatori rotanti misurano invece il tempo
 > proprio di Langevin.
Parliamo proprio due lingue diverse, come avevo scritto scherzando in
un altro post.
Non c'è bisogno di cambiare metrica e tanto meno di RG per capire
questo.
L'osservatore nel lab. è fermo im quel rif. e misura un tempo proprio
dato dalla t.
L'osserv. fermo sulla piattaforma rotante si muove di moto circolare
uniforme rispetto allo stesso lab. e misura un tempo diverso.
Che cosa c'entra questo con la curvatura?
Non ho nessun bisogno di cambiare rif. per spiegare la differenza e mi
basta la RR.
 
 > Quanto alla questione più volte erroneamente ripetuta dall'autore
 > del post e del pdf linkato, che "l'assenza di curvatura non viene
 > alterata qualunque siano le coordinate usate",
Questa tesi, ben lungi dall'essere erronea, si può trovare in
qualsiasi testo serio di RG.
Non ho perso tempo a fare la ricerca precisa, ma sono pronto a
scommettere che la trovo per es. in "Gravitation".
 
 > Come questo possa accadere non è del tutto chiaro,
Evviva! Finalmente affiora qualche dubbio!
Il ricorso alla torsione mi pare fuori questione, ma apprezzo il
riconoscimento che la presunta "scoperta", che è già stata oggetto di
non so quante pubblicazioni, alla fin fine è tutt'altro che chiara nei
fondamenti.
 
Auguri!
-- 
Elio Fabri

Nel post precedente ho fatto un errore relativamente al calcolo della distanza infinitesima nella metrica di Langevin. Ho infatti scritto: 
 
 
 
"Questa distanza si calcola nel seguente modo: si inserisce la condizione di geodetiche nulle ds=0 nella metrica quadridimensionale di Langevin è si risolve la corrispondente equazione per cdt. La distanza propria per un blip radar di andata e ritorno emesso da un osservatore di Langevin sarà allora la semi-differenza tra le due soluzioni, positiva e negativa, di cdt. Questo valore risulterà essere proprio l'elemento infinitesimo della metrica spaziale di Landau."
 
In realtà la semi-differenza tra le due soluzioni, positiva e negativa, di cdt va anche moltiplicata per la radice quadrata del coefficiente  g_00 della metrica di Langevin. Quindi, riassuemendo:
 
 
 
Questa distanza si calcola nel seguente modo: si inserisce la condizione di geodetiche nulle ds=0 nella metrica quadridimensionale di Langevin è si risolve la corrispondente equazione per cdt. La distanza propria per un blip radar di andata e ritorno emesso da un osservatore di Langevin sarà allora la semi-differenza tra le due soluzioni, positiva e negativa, di cdt moltiplicata per la radice quadrata del coefficiente  g_00 della metrica di Langevin. Questo valore risulterà essere proprio l'elemento infinitesimo della metrica spaziale di Landau.
Saluti,
Prof. C. Corda


 
 
Effettivamente la formula per il tempo proprio riportata nel Landau: d\tau=\sqrt{g_00}dt’ ((84.1) p. 234 nell’edizione che ho io), non è corretta. O meglio, non in generale. Lo sarebbe per una metrica indipendente dal tempo con i g_0j=0 ma non è questo il caso. Se è stata usata quella formula i calcoli andrebbero rivisti con la formula generale.
 
Ma lasciando da parte le questioni matematiche, che dovrei riprendere con calma avendo tempo, faccio un ragionamento molto terra-terra e pongo una domanda ai più esperti.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se seguiamo l’analogia del campo gravitazionale, dovremmo concludere che sia la sorgente, fissa nel centro del rif. rotante, sia il rivelatore esterno fisso nel rif. non rotante (quindi entrambi a riposo nel rif. del laboratorio), sono allo stesso potenziale (possiamo anche ragionare su un’approssimazione newtoniana visto che si suppone v<<c e porre per entrambi il potenziale \Phi=0). Se anche ammettessimo che il punto in cui si trova la sorgente è al centro di uno spaziotempo di Langevin (essendo ivi r’=0), e che questo sia in qualche modo distinto dallo spaziotempo lorentziano del laboratorio (questione che non mi è chiara ma che per ora lascio da parte), tuttavia, in un intorno di quel punto lo spaziotempo è pur sempre, con buonissima approssimativamente, lorentziano. Abbiamo quindi due dispositivi in quiete nel rif. del laboratorio, entrambi di fatto a potenziale zero, che localmente vedono entrambi una metrica sostanzialmente lorentziana. Gli “orologi” dei dispositivi, poiché non se ne vanno in giro, sono anch’essi confinati in quelle stesse regioni, al limite infinitamente piccole, ma che possiamo supporre sostanzialmente lorentziane. Mi chiedo: se all’inizio gli orologi sono stati sincronizzati, visto che localmente il loro ambiente rimane pressoché identico e invariato, perché dovrei aspettarmi di trovarli fuori sincronismo in un arbitrario tempo futuro misurato nel rif. del laboratorio?
 
Cordialmente,
Pier Franco 

 Elio Fabri
 
Avrei preferito "in bocca al lupo", comunque grazie. :-)
Christian Corda

 Pier Franco
 
 
 
Nessuno dice che la sorgente, fissa nel centro del rif. rotante ed il rivelatore esterno fisso siano de-sincronizzati. La de-sincronizzazione è tra riferimento fisso e riferimento rotante. La de-sincronizzazione dovuta alla cinematica relativistica avviene nel riferimento rotante, o per dirla nei tuoi termini in presenza del "campo gravitazionale". Poi devi tornare al riferimento fisso e considerare la de-sincronizzazione tra i riferimenti.
Ciao,
Ch..

Christian Corda ha scritto:
 > Non mi ricordavo di quella frase nel lavoro citato e mi sembra
 > strano che io non abbia chiesto di modificarla.
Sta di fatto che c'è.
 
 > In effetti, anche uno dei Referee del mio lavoro Int. Jour. Mod. Phys.
 > D 28 (10), 1950131 (2019) chiese di inserire una frase simile. Io gli
 > risposi picche e l'Editor mi diede ragione.
Complimenti all'editor :-)
 
 > Ad ogni modo esistono due modi diversi per mostrare che lo
 > spazio-tempo di Lorentz (piatto) e quello di Langevin (curvo) sono
 > diversi. Li ho già citati, non mi ricordo se anche in questa, di
 > sicuro in altre conversazioni, e riguardano dei calcoli diretti
 > difficilmente confutabili. Per completezza li riporto anche qui:
Lasciamo perdere.
Io quei calcoli difficilmente confutabili non riesco a capirli.
Ma naturalmente il difetto è mio.
 
 > 1) Il tempo proprio di Lorentz Ã¨ diverso dal tempo proprio di Langevin.
 > ...
2) La distanza infinitesimale vista dagli osservatori di Langevin
 > ...
È inutile ripetere e ripetere sempre le stesse cose.
Non è che ripetendole diventano più vere se sono false, né che
diventano più comprensibili se non lo sono (per l'autore del presente
post, s'intende).
 
 > Questo chiude definitivamente la questione, perché ovviamente due >
 > spazi-tempi che hanno diversi tempi propri e diversa geometria
 > spaziale NON possono coincidere.
Non è chiuso un bel niente, Io resto della mia opinione e sotto
porterò un altro argomento.
 
 > Relativamente ai testi affidabili di RG, la mia conoscenza e
 > comprensione della RG, e della gravitazione in generale non si basa
 > nel prendere come se fosse un dogma tutto quello che c'è nei libri di
 > testo.
Perfettamente d'accordo, ma...
Se io trovo in un libro qualcosa che mi pare sbagliato, cerco di
capire dove e perché l'autore ha sbagliato.
Che è molto diverso da dire "io la vedo diversamente dunque lui ha
torto".
 
 > In più, voglio anche la consistenza sperimentale. In questo caso
 > una consistenza sperimentale precisissima viene dal rotore di
 > Mossbauer
Qui invece non sono d'accordo.
 
Una teoria è una struttura logica, in cui da certe premesse si
ricavano certe conclusioni.
Se la deduzione logica è errata, si può correggere.
Se qualche conclusione è in disaccordo con fatti sperimentali, si
aprono tre strade:
a) Può darsi che l'esperimento sia sbagliato. Succede...
b) Può darsi che ne sia errata l'interpretazione.
c) Può darsi che non ricorra né a) né b). Allora c'è poco da fare:
bisogna cambiare la teoria.
Non solo rifiutare quella conclusione.
 
 > Volete davvero mettervi contro i risultati sperimentali? Galileo si
 > rivolterebbe nella tomba....
Ho già spiegato.
Ad es. in un lavoro di Yarman et al (2015) è sostenuta la posizione
b), e senza tanti complimenti c'è scritto:
"Thus, the conclusion of [26], stating that the result k = 2/3
represents a new confirmation of GTR, is totally erroneous."
[26] Ch. Corda, Ann. Phys. 355, 360 (2015).
Non mi sono soffermato a studiare la questione, quindi non so se
condividerei la posizione di Yarman et al.
Ad ogni modo anche quello è un parere.
 
 > Benissimo, passiamo ad un linguaggio più rigoroso:
 > ...
 > Così, mentre gli osservatori statici di Lorentz ammettono un'unica
 > ipersuperficie spaziale finita che è ovunque ortogonale alle linee
 > di universo dello spazio-tempo di Lorentz per t=t_0, dove con t sto
 > indicando la coordinata temporale di Lorentz che è uguale alla
 > coordinata temporale di Langevin, gli osservatori di Langevin NON
 > ammettono tale ipersuperficie spaziale finita. Dunque, le
 > ipersuperfici spaziali t=t_0 sono ortogonali agli osservatori
 > statici di Lorentz, e non a quelli rotanti di Langevin.
Secondo me la questione è diversa ed è diverso quello che Landau
cerca.
Curiosamente mi sono accorto che mi ero posto il problema ben 27 anni
fa. Ho ripescato uno scritto (non pubblicato, perché io ho sempre
avuto il difetto di pubblicare cose che avessero un contenuto
innovativo senza essere errate) che ora mi avvicina a capire la vera
natura del problema.
Forse vale la pena che ne copi una frase, anche se è difficile
capirla senza il contesto.
 
****************************
Il principale risultato di questa sezione è che la possibilità di una
sincronizzazione globale dipende solo dalla scelta del campo u ossia
dalla /legge di moto/ degli orologi. In particolare, non dipende dal
tensore metrico definito sullo spazio-tempo: infatti basta prendere un
sistema di coordinate x^alpha tale che le ipersuperfici x^0=cost
siano di tipo spazio, e porre sigma=dx^0, per soddisfare tutti i
requisiti per la sincronizzazione. Si noti però che u non sarà in
generale parallelo a e_0: questo accade solo se i g_{0i} sono nulli.
***************************
 
 > L'esperimento di Mossbauer rotante è un esperimento semplificato di
 > quello proposto nell'altra conversazione. A è fisso nel centro e B
 > ruota. A è sorgente e B è ricevitore. In questo caso il risultato
 > sperimentale, nel riferimento fisso del laboratorio da: (l. d'onda
 > ricevuta)/(l. d'onda emessa)= {1+k[w*(R_B)/c]^2} con k= 2/3, vedere
 > A. L. Kholmetskii, T. Yarman, O.V. Missevitch and B. I. Rogozev,
 > Phys. Scr. 79, 065007 (2009) e il più recente T. Yarman, A. L.
 > Kholmetskii, M. Arik, B. Akkus, Y. Oktem, L. A. Susam, O. V.
 > Missevitch, Can. J. Phys. 94, 780 (2016), in perfetta consistenza
 > con la mia analisi e con quella di Iovane e Benedetto.
Molto interessante questo modo di citare le fonti.
Il lettore ne ricava l'impressione che gli sperimentatori concordino
con la spiegazione di Corda.
La realtà è invece che la loro opinione l'hanno detta nell'articolo
del 2015 che ho citato sopra e che Corda dimentica di citare.
In quello del 2016 Corda non è neppure citato, mentre si soffermano su
altre spiegazioni, che reputano insoddisfacenti.
La spiegazione mi sembra chiara e non sto neppure a scriverla.
 
 > Ecco un controesempio che dovrebbe essere illuminante: prendiamo la
 > metrica cosmologica FLRW con k=0.
 > ...
 > Questa ci da immediatamente la metrica di Lorentz. Ne dobbiamo
 > concludere che l'Universo non è in espansione??!!
Deus amentat quos perdere vult...
 
Ancora: tanto per non saper né leggere né scrivere, ho affidato a
maxima il calcolo del tensore di Riemann nella metrica di Langevin.
Ci vuol pochissimo:
 
load(ctensor):
csetup();
 
A questo punto maxima chiede un po' di cose, tra cui di dare il
tensore metrico. Si risponde, e poi
 
riemann(dis);
 
Risposta dopo una frazione di secondo:
 
"this spacetime is flat".
 
Provare per credere.
-- 
Elio Fabri

 Ch..
 
 
 
Dai calcoli di sopra (che poi sono semplici sostituzioni) in conclusione io trovo solo la de-sincronizzazione cinematica, che si ottiene già con la sola RR, quella tra i riferimenti non so cos’è ne come eventualmente calcolarla. A meno che non sia nell’ultimo passo quando torno al rif. non rotante ma li non trovo discrepanza.
 
Cordialmente,
Pier Franco

 come eventualmente calcolarla. A meno che non sia nell’ultimo passo quando torno al rif. non rotante ma li non trovo discrepanza.
 
 
 
 
 
Come ti ho spiegato sopra c'è discrepanza eccome, ma il punto è che quella discrepanza non c'è solo li, ma in tutti i punti precedentemente percorsi dalla luce, e di questo effetto devi tenere conto su tutta la traiettoria. La de-sincronizzazione tra i riferimenti è questa. Chiamiamo tau_R il tempo proprio nel riferimento rotante e tau_L quello nel laboratorio, e, analogalmente  t_R e t_L  saranno i rispettivi tempi coordinati. Allora, nel riferimento rotante si ha d\tau_R=sqrt(g_00)d\t_R,  mentre nel riferimento fisso del laboratorio si ha d\tau_L=d\t_L. Ma la trasformazione di Langevin ci dice che è d\t_L=d\t_R, dunque d\tau_R=sqrt(g_00)d\t_L che implica d\tau_R=sqrt(g_00)d\tau_L, che è la de-sincronizzazione tra i due riferimenti di cui parlavo e che non ha niente a che vedere con la situazione cinematica della RR.
Ciao, Ch.

 Elio Fabri
 
 
 
Non so cosa sia maxima perché mi ritengo della vecchia scuola e preferisco fare i calcoli con carta e penna. In questo caso per mostrare che il tensore di Riemann non è nullo basta mettersi nella situazione di campo debole in cui è ω^2r^2<<c. Allora, usando l'equazione del tensore di marea che lega alcune componenti del tensore di Riemann al potenziale Newtoniano V, ossia:
R(i controvariante, 0j0 covarianti)=-(∂(∂V)/(∂x(i controvariante)∂x(j controvariante),
 
se l'indice 2 lo facciamo corrispondere alla coordinata r come nella notazione standard, poiché in questo caso il potenziale Newtoniano è V=-(1/2)ω^2r^2, il calcolo di una derivata seconda elementare in r ci da immediatamente:
R(2 controvariante, 020 covarianti)=ω^2, che è ovviamente diverso da zero.
Probabilmente maxima andrà resettata. E con questo chiudo perché dal mio punto di vista ritengo non ci sia altro da dire.
Cari saluti, Christian Corda

Come ti ho spiegato sopra c'è discrepanza eccome, ma il punto è che quella discrepanza non c'è solo li, ma in tutti i punti precedentemente percorsi dalla luce, e di questo effetto devi tenere conto su tutta la traiettoria. La de-sincronizzazione tra i riferimenti è questa. Chiamiamo tau_R il tempo proprio nel riferimento rotante e tau_L quello nel laboratorio, e, analogalmente t_R e t_L  saranno i rispettivi tempi coordinati. Allora, nel riferimento rotante si ha d\tau_R=sqrt(g_00)d\t_R,  mentre nel riferimento fisso del laboratorio si ha d\tau_L=d\t_L. Ma la trasformazione di Langevin ci dice che è d\t_L=d\t_R, dunque d\tau_R=sqrt(g_00)d\t_L che implica d\tau_R=sqrt(g_00)d\tau_L, che è la de-sincronizzazione tra i due riferimenti di cui parlavo e che non ha niente a che vedere con la situazione cinematica della RR. 
Ciao, Ch. 
 
 
 
 
 
 
Caro Christian, qui sono disorientato. Se vado a fare l’integrale sul percorso della luce ottengo zero sia nel rif. non rotante che in quello rotante, e non può essere diversamente perché come sappiamo l’intervallo di tempo proprio è un invariante. Ma se anche non mi fidassi di questa nozione appresa e facessi comunque il calcolo esplicito dell’elemento di linea del segnale luminoso nel rif. rotante troverei che questo è zero in ogni punto. Ancora una volta questo è dovuto al fatto che non si può usare sic et simpliciter la formula d\tau = \sqrt(g_00) dt perché questa vale solo nel caso in cui le x1, x2, x3 non dipendono dal tempo e questo non è quel caso e bisogna applicare la formula generale c*d\tau = \sqrt(g_ij dx^i dx^j), che in questo caso fa identicamente zero. Mi sembra sinceramente una conclusione inevitabile.
 
Ciao, 
Pier F.

 Non so cosa sia maxima perché mi ritengo della vecchia scuola e preferisco fare i calcoli con carta e penna. In questo caso per mostrare che il tensore di Riemann non è nullo basta mettersi nella situazione di campo debole in cui è ?^2r^2<<c. Allora, usando l'equazione del tensore di marea che lega alcune componenti del tensore di Riemann al potenziale Newtoniano V, ossia:R(i controvariante, 0j0 covarianti)=-(?(?V)/(?x(i controvariante)?x(j controvariante),se l'indice 2 lo facciamo corrispondere alla coordinata r come nella notazione standard, poiché in questo caso il potenziale Newtoniano è V=-(1/2)?^2r^2, il calcolo di una derivata seconda elementare in r ci da immediatamente:R(2 controvariante, 020 covarianti)=?^2, che è ovviamente diverso da zero.
 
Puoi (tu o altri) dirmi di qual tipo di varietà è la metrica,
 questa di Langevin?
Mi basterebbe: dimensione e se è riemanniana oppure no, ovvero se
 la connessione è quella di Riemann o altro. 
 
Se ha dimensione 2 (come penso) è definita come sotto varietà di
 uno spazio tridimensionale euclideo o pseudo euclideo? e a quante
 dimensioni? oppure da quello di Minkowski?
 
 
-- 
anth

 la connessione è quella di Riemann o altro. 
E' una metrica quadridimensionale Riemanniana con connessione di Levi-Civita

 Pier F.
 
 
 
Ma che dici??!!! Nessuno sta parlando del tempo proprio della luce. Integrale sulla traiettoria significa che la relazione di de-sincronizzazione che ho scritto sopra, che vale ad una precisa coordinata radiale r, lo devi calcolare su tutte le coordinate r percorse dalla luce!!!! Questo perché sqrt(g_00) è funzione SOLO di r!!!

 E' una metrica quadridimensionale Riemanniana con connessione di Levi-Civita
 
Scusa ma in qualche modo il tensore metrico (base e componenti)
 deve essere dato, perché altrimenti ogni discussione al suo
 riguardo non ha senso. Nel tuo primo post in questo thread hai
 detto che secondo te la metrica ha connessione non riemanniana,
 riporto per comodità le tue parole:
 
___________________________
La mia idea personale, completamente da verificare (qui potrei
 dire una castroneria perché NON sono un matematico esperto di
 geometria differenziale, ma un fisico teorico), è che la
 trasformazione di Langevin inserisca degli elementi di torsione,
 nel senso che, non solo per gli osservatori di Langevin il
 rapporto tra circonferenza e raggio è maggiore di 2 pi-greco, ma
 questo rapporto dipende dalla coordinata radiale. Come si sa, in
 presenza di elementi di torsione la connessione di Levi-Civita
 viene meno e quindi non potrebbe essere in grado di "gestire
 contemporaneamente" lo spazio-tempo di Langevin e quello di
 Lorentz, che risultano quindi due spazi-tempi diversi. Ma questa
 è solo un'ipotesi, eventualmente da approfondire e non
 necessariamente corretta.
___________________________
 
Ripeto con maggior chiarezza: sei sicuro che la trasformazione di
 Langevin (cui alludi qui su) non definisca una sottovarietà
 tridimensionale (1dimensione per il tempo, 2 per lo spazio),
 magari dello spaziotempo di Minkowski? Il disco di Einstein, che
 io sappia, non ha spessore. 
 
-- 
anth

 anth
 
 
La trasformazione di Langevin manda uno spaziotempo di 4 coordinate in uno spaziotempo ancora di 4 coordinate. Sulla sottovarietà dimensionale ci si può mettere a lavorare, per esempio relativamente al disco di Einstein, ponendo semplicemente z=costante.
 
Ciao, Ch.

 Scusa ma in qualche modo il tensore metrico (base e componenti) deve essere dato, 
 
Se la connessione č riemanniana bastano le coordinate. 
 
-- 
anth

 Ma che dici??!!! Nessuno sta parlando del tempo proprio della luce. Integrale sulla traiettoria significa che la relazione di de-sincronizzazione che ho scritto sopra, che vale ad una precisa coordinata radiale r, lo devi calcolare su tutte le coordinate r percorse dalla luce!!!! Questo perché sqrt(g_00) è funzione SOLO di r!!!
 
Scusami,  non voglio abusare della tua pazienza, sto cercando di capire e non è facile.
Ciao

 Ciao
 
Caro Pier Franco,
 
 
 
 
 
 
 
Non c'è bisogno di scusarsi, è tutto OK. Anzi, ti sono grato per l'attenzione. :-)  Come ti ho detto la questione è complicatissima ed è stata risolta solo dopo oltre 50 anni. Comunque, relativamente alla questione di mettere d\phi=0 nella metrica di Langevin ragiona in questo modo. Anche tu (o io) sei un osservatore di Langevin rispetto alla rotazione terrestre se consideriamo il piano rotante perpendicolare all'asse di rotazione e passante per il punto in cui ti trovi tu in questo momento. Mettere d\phi=0 nella metrica di Langevin in questa situazione significa semplicemente guardare in una direzione fissa. In altre parole, se in  questo momento, come me, stai guardano fisso lo schermo del computer o del cellulare, stai implicitamente mettendo d\phi=0 nella metrica di Langevin. Un ossercatore lorenziano vedrà variare phi per via della rotazione terrestre che fa ruotare sia te che il computer, tu vedi il computer fisso davanti a te perché stai ruotando con lui.
Ciao, Ch.

 Scusami,  non voglio abusare della tua pazienza, sto cercando di capire e non č facile.
 
Anch'io, perciň lo chiedo a te se puoi postare la trasformazione
 di Langevin di cui parlate (in rete non l'ho trovata, c'č sempre
 e solo l'equazione di Langevin, che perň non c'entra
 nulla).
 
Possibilmente senza usare simboli particolari o lettere greche che
 col cellulare vedo come punti interrogativi. 
 
Un'ultima domanda: lo spaziotempo lorentziano in cosa differisce
 da quello di Minkowski della relativitŕ ristretta?
Grazie in anticipo se avrai tempo per rispondere 
 
-- 
anth

anth ha scritto:
 > Anch'io, perciò lo chiedo a te se puoi postare la trasformazione
 > di Langevin di cui parlate (in rete non l'ho trovata, c'è sempre
 > e solo l'equazione di Langevin, che però non c'entra
 > nulla).
Rispondo io, così potrai verificare che fin qui Corda e io andiamo
d'accordo.
Intanto è meglio dire "metrica di Langevin".
Su rete, la trovi per es. in
http://www.sagredo.eu/afrel/afrel03.pdf
 
È la prima formula che compare.
Visto che tutto quel capitolo è didecato a sviscerare quella metrica,
non faresti male a leggerlo (su questo sicuramente Corda non è
d'accordo).
 
 > Un'ultima domanda: lo spaziotempo lorentziano in cosa differisce
 > da quello di Minkowski della relatività ristretta?
È la stessa cosa.
-- 
Elio Fabri

 Su rete, la trovi per es. in > 
http://www.sagredo.eu/afrel/afrel03.pdf
 
Il link fornito non funziona.
 
Forse meglio qui:
 
http://www.sagredo.eu/lezioni/afrel/afrel03.pdf
 
 
-- 
Franco
 
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 
 
 
Poiché ho visto il link indicato dal prof. Fabri non è accessibile, anticipo intanto velocemente questo: 
Le trasformazioni di Langevin sono:
 
t=t’
r=r’
phi=phi’+omega*t’
z=z’
 
 
 
dove l’apice indica le coordinate nel riferimento rotante. Inserendole nell’espressione dell’elemento di linea nella metrica di Minkowski in coordinate cilindriche si ottiene la metrica di Langevin. Poi una volta ripristinato il link al documento del prof. Fabri potrai trovare informazioni più complete.


Ho scritto:
 > ...
 > Su rete, la trovi per es. in
 > 
http://www.sagredo.eu/afrel/afrel03.pdf
 
 > È la prima formula che compare.
Ormai è una regola :-( Il link è sbagliato.
 
http://www.sagredo.eu/lezioni/afrel/afrel03.pdf
 
 
Scusate.
-- 
Elio Fabri

 Non c'è bisogno di scusarsi, è tutto OK. Anzi, ti sono grato per l'attenzione. :-) Come ti ho detto la questione è complicatissima ed è stata risolta solo dopo oltre 50 anni. Comunque, relativamente alla questione di mettere d\phi=0 nella metrica di Langevin ragiona in questo modo. ………
 
 
 
 
Si, questo mi è chiaro. Il punto dolente è che se imposti d\phi=0 non puoi avere contemporaneamente d\phi’=0, e allora nel rif. rotante non puoi avere tutti i g_0j=0, e quindi, quando vai a fare l’integrale lungo il path dei fotoni, che nel rif. non rotante è rettilineo ma in quello rotante non potrà unicamente dipendere dal raggio, avrai contributi anche da questi g_0j e il risultato del calcolo sarà diverso.
Ciao,
PF

Mi sa che stai facendo un po' di confusione. Allora usiamo le tue notazioni in una risposta che hai dato sopra:
 
t=t’
r=r’
phi=phi’+omega*t’
z=z’ 
 
dove l’apice indica le coordinate nel riferimento rotante.
 
 
 
 
Se metti d\phi’=0,  lo stai mettendo nella metrica di Langevin. A questo punto poni anche d\r=0 e d\z=0 perchè ci stiamo riferendo agli intervalli di tempo infinitesimi relativi a due eventi nello stesso punto dello spazio. Ora, poichè tutti i g_0j=0, sono chiaramente nulli, non riesco a capire a che tipo di problema ti riferisci.  Avremmo semmai d\phi=omega*d\t nella metrica di Lorentz, ma questo non ci interessa perchè stiamo lavorando con la metrica di Langevin.
 
Ciao, Ch.


> Un'ultima domanda: lo spaziotempo lorentziano in cosa differisce > da quello di Minkowski della relatività ristretta?È la stessa cosa.-- Elio Fabri
 
 
Ok, grazie (quello di cambiare i nomi sembra diventato lo sport
 preferito!).
 
 
-- 
anth

 Se metti d\phi’=0, lo stai mettendo nella metrica di Langevin. A questo punto poni anche d\r=0 e d\z=0 perchè ci stiamo riferendo agli intervalli di tempo infinitesimi relativi a due eventi nello stesso punto dello spazio. Ora, poichè tutti i g_0j=0, sono chiaramente nulli, non riesco a capire a che tipo di problema ti riferisci. Avremmo semmai d\phi=omega*d\t nella metrica di Lorentz, ma questo non ci interessa perchè stiamo lavorando con la metrica di Langevin.
 
 
 
 
 
Ok, nel sistema rotante siamo d’accordo, ma non sono d’accordo che non ci interessa quello che succede nella metrica di Lorentz. Perché li come dici tu d\phi=\omega dt e la metrica viene a dipendere da tempo. D’altra parte te ne rendi conto perché l’osservatore rotante a \phi’ fisso vede il rivelatore gamma girargli attorno a velocità angolare omega. I risultati misurati dai due osservatori sono esattamente speculari. E se fai il calcolo anche per l’osservatore lorentziano vedi subito che il tempo proprio misurato dall’osservatore rotante e quello misurato dall’osservatore lorentziano lungo il path dei fotoni sono esattamente gli stessi. 
 
Ciao, PF
 

 piatti 
 
Certo,  quello di Langevin è così piatto che un semplice calcolo in campo debole di una particolare componente tensore di Riemann ha mostrato subito che questa non è nulla.....

 Ciao, PF
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E questo che vi rifiutate di capire, sebbene questo non capire sia giustificato perché è controintuitivo.  I risultati misurati dai due osservatori NON sono esattamente speculari. Come ho ripetuto più di una volta, l'osservatore rotante "vive" in uno spazio contratto rispetto all'osservatore fisso. Stiamo parlando del passaggio della luce. Se la luce percorre un tratto più breve nel riferimento rotante rispetto ad uno più lungo nel riferimento fisso, mi pare ovvio che i risultati saranno diversi. Conseguentemente, il tempo proprio misurato dall’osservatore rotante e quello misurato dall’osservatore lorentziano lungo il path dei fotoni NON sono esattamente gli stessi. Per farti capire questo riscrivo in passaggi ancora più elementari ciò che ho scritto prima. Chiamiamo tau_R il tempo proprio nel riferimento rotante e tau_L quello nel laboratorio, e, analogamente t_R e t_L saranno i rispettivi tempi coordinati. Allora, nel riferimento rotante, per un punto fisso avente coordinata radiale r si ha d\tau_R=sqrt(g_00)d\t_R, dove g_00 è funzione solo di r. Invece,  nel riferimento fisso del laboratorio, per un punto avente la stessa coordinata radiale r, che è comune nei due riferimenti,  si ha d\tau_L=d\t_L perchè g_00 è SEMPRE uguale ad 1. Ma la trasformazione di Langevin ci dice che è d\t_L=d\t_R, dunque d\tau_R=sqrt(g_00)d\t_L che implica d\tau_R=sqrt(g_00)d\tau_L. Quindi, il tempo proprio in un punto fisso del sistema rotante avente coordinata radiale r è desincronizzato da tutti i punti aventi la stessa coordinata radiale nel sistema fisso. In altre parole, il tempo proprio nel sistema rotante scorre diversamente rispetto al tempo proprio nel sistema fisso. Questo perché, come ho detto in precedenza, la distanza propria nel sistema rotante è contratta rispetto alla distanza propria nel sistema fisso e dunque l'osservatore rotante vede arrivare la luce un attimo prima rispetto a quello fisso. Questa desincronizzazione d\tau_R=sqrt(g_00)d\tau_L , che è funzione di r, la devi calcolare per tutti i punti r percorsi dalla traiettoria dei fotoni tramite un integrale lungo la traiettoria. Spero che ora sia tutto chiaro.
 
Ciao, Ch.

 E questo che vi rifiutate di capire, sebbene questo non capire sia giustificato perché è controintuitivo.  I risultati misurati dai due osservatori NON sono esattamente speculari. Come ho ripetuto più di una volta, l'osservatore rotante "vive" in uno spazio contratto rispetto all'osservatore fisso. Stiamo parlando del passaggio della luce. Se la luce percorre un tratto più breve nel riferimento rotante rispetto ad uno più lungo nel riferimento fisso, mi pare ovvio che i risultati saranno diversi. Conseguentemente, il tempo proprio misurato dall’osservatore rotante e quello misurato dall’osservatore lorentziano lungo il path dei fotoni NON sono esattamente gli stessi. Per farti capire questo riscrivo in passaggi ancora più elementari ciò che ho scritto prima. Chiamiamo tau_R il tempo proprio nel riferimento rotante e tau_L quello nel laboratorio, e, analogamente t_R e t_L saranno i rispettivi tempi coordinati. Allora, nel riferimento rotante, per un punto fisso avente coordinata radiale r si ha d\tau_R=sqrt(g_00)d\t_R, dove g_00 è funzione solo di r. Invece,  nel riferimento fisso del laboratorio, per un punto avente la stessa coordinata radiale r, che è comune nei due riferimenti ……
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si, è chiaro quello che hai scritto. E ti faccio subito un’obiezione. Quando parli di un punto fisso di coordinata radiale r è vero che la coordinata radiale è comune nei due riferimenti, ma occorrerebbe aggiungere che la coordinata angolare phi in generale non lo sarà. Quello che succede è che allo stesso punto della traiettoria i due osservatori attribuiranno una diversa coppia di coordinate, diciamo (r,phi) l’osservatore lorentziano, (r,phi’) l’osservatore rotante, per cui, pur passando per gli stessi punti, i due osservatori daranno diverse descrizioni della traiettoria. Di conseguenza, se l’osservatore lorentziano vede un path rettilineo, l’osservatore rotante vede una linea curva, dunque più lunga, sebbene le due curve passino per gli stessi punti. Per l’osservatore rotante questa maggiore lunghezza del path è compensata dalla contrazione della lunghezza nel sistema rotante mentre per l’osservatore lorentziano tutto rimane com’è e alla fine tutto quadra. Se fai l’integrale di linea del d\tau sul percorso curvo visto dall’osservatore rotante ottieni lo stesso risultato che se lo calcoli lungo la linea retta vista dall’osservatore lorentziano.
 
Ciao, PF


La tua obiezione non regge, perché, come puoi vedere dalla formula di de-sincronizzazione che riscrivo qui d\tau_R=sqrt(g_00)d\tau_L la differenza dei tempi propri dipende SOLO dalla coordinata radiale che è la stessa ne due riferimenti. Quindi anziché integrale lungo la traiettoria avrei dovuto più correttamente scrivere "integrale lungo la componente radiale della traiettoria", che corrisponde alla traiettoria solo nel riferimento di Lorentz. Questo per me chiude la questione, se vuoi approfondire leggi il mio lavoro pubblicato su Foundations of Physics e disponibile qui: 
https://arxiv.org/abs/2203.02282
. Vedrai che l'effetto di cui parlo è molto intrigante perché è analogo al redshift cosmologico. Di fatto col rotore di Mossbauer puoi produrre sia il redshift "gravitazionale" che quello " cosmologico" in laboratorio.
 
Ciao, Ch.


Va bene. Grazie per ora. Leggerò  volentieri il tuo articolo e semmai ti ricontatterò in privato.
Ciao, PF

 On Friday, 14 April 2023 at 22:35:04 UTC+2, anth wrote:> Avevo solo un po' di curiosità per la questione della curvatura, > basta la sola TLOI che m'ha postato Pier Franco (che ora > ringrazio) per convincersi che i due spazitempo sono entrambi > piatti Certo,  quello di Langevin è così piatto che un semplice calcolo in campo debole di una particolare componente tensore di Riemann ha mostrato subito che questa non è nulla.....
 
 
Sei amareggiato perché qui ricevi solo risposte negative, però con
 l'ironia non si va da nessuna parte. 
 
Prova a controllare se il tensore di curvatura non nullo, che
 trovi, è riferito al solo disco o allo spaziotempo tutto.
 
La curvatura è soltanto il disco che ce l'ha e ce la deve avere. 
 
-- 
anth

 anth
Comunque io ho fatto il calcolo a partire dalla metrica quadridimensionale di Langevin, non dalle sue ipersuperfici spaziali.
Ciao, Ch.

 Amareggiato? Scusa ma credo non ti sia chiara una cosa. Su questa roba io ho pubblicato parecchi articoli di ricerca e vinto anche un piccolo premio internazionale. Nonostante questo continuo a credere che la mia opinione in proposito non conti più di tanto, però sono onorato che sia la stessa opinione che  hanno o avevano Einstein, Landau, Editors internazionali ed i giudici dei Gravity Awards. Seppur con dovuto rispetto devo farti notare che invece, voi che siete dell'opinione opposta, non avete scritto un solo articolo di ricerca in RG messi insieme nelle vostre vite. Quindi, scusa ancora, dovrei essere amareggiato se fossi nella vostra situazione, ossia se non avessi mai pubblicato un solo articolo di ricerca in RG in vita mia, se non avessi vinto nessun premio internazionale in proposito e se la mia opinione fosse opposta rispetto a quella di Einstein, Landau, Editors internazionali ed i giudici dei Gravity Awards. 
 
Qualche giorno fa avevi scritto, qui, di non averla approfondita,
 la geometria differenziale, perché sei un fisico teorico e non un
 matematico. Qui nei NG errori e imprecisioni sono all'ordine del
 giorno, devo aver capito male io quel che dicevi tu. Considera il
 tutto  come se io non l'avessi mai detto.
 
-- 
anth