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Titolo: Che ne pensate?

Sono impegnato in una lettura accurata del Cap. 9, parte IV del
"Treatise" di Maxwell (prima ed. 1873).
Avrei bisogno di pareri su un'equazione che non mi torna.
Si tratta dell'eq. che M. chiama "della forza meccanica".
Intendo che si tratti della forza agente (per un. di volume) su un
corpo in presenza di campo elettrico e magnetico.
La scrive così
 
F = jtot x B - rho*grad Psi - m*grad Omega. (*)
 
In realtà ho trascritto, perché lui usa quaternioni e lettere
gotiche...
Spiego a parole i cambiamenti che ho fatto:
1) Al posto di jtot, M. usa un simbolo "C gotica", che chiama "total
current" e in un'altra equazione è uguagliato a j + @D/@t. Anche
nell'eq. dell'induzione scrive rot H = jtot, e qui OK.
2) Psi sarebbe il potenziale scalare. Dico sarebbe perché M. non usa
questo termine, e non c'è mai un'eq. che lo leghi a E (v. dopo).
3) Quella che ho chiamta m, M. la chiama "magnetic volume-density" e la
uguaglia a div M.
4) Omega è il "potenziale magnetico", che è legato al campo H da
H = - grad Omega (quando H deriva da un potenziale).
 
Ora spiego che cosa non mi torna.
Premetto che in precedenza questa equazione (o meglio, una che viene
richiamata e ha lo stesso simbolo (C) viene ricavata per un caso
diverso: un conduttore in campo magnetico. Ed è scritta in modo molto
più semplice: F = jxB
 
Lasciamo stare il termine magnetico. Mi disturbano due cose:
a) Perché ora entra in ballo la corrente di spostamento?
Significherebbe che ci sarà una forza, dovata al campo magnetico,
anche su un dielettrico in campo elettrico variabile nel tempo.
(E anche sul vuoto...)
Potrei accettare un @P/@t, perché questa è una corrente, dovuta al
moto delle cariche di polarizzazione. Ma perché D?
 
b) Perché la parte elettrica non è scritta semplicemente rho E ?
Qui c'è un problema: che nel secondo volume, dove tratta magnetismo ed
elettromagnetismo, del campo elettrico non c'è traccia.
Mi direte: e allora il potenziale scalare da dove esce?
Ottima domanda: purtroppo la risposta è complicata (colpa di M., non
mia).
 
M. non usa il campo elettrico, ma si preoccupa di calcolare la "forza
elettromotrice" su un circuito.
Lo fa in un modo che vi suonerà familiare, salvo per il fatto che usa
sistermaticamente il potenziale vettore.
Dimostra che la f.e.m. è la derivata rispetto al tempo della
circuitazione di A (ossia del flusso di B).
 
La esprime come derivata della circuitazione di un campo vettoriale,
che indica con "E gotico" e scrive vxB - @A/@t - grad Psi.
Per i primi due termini niente da dire; sul terzo, che sarebbe inutile
in quanto ha circuitazione nulla, scrive:
"The terms involving the new quantity Psi are introduced for the sake
of giving generality to the expressions"
delle componenti di "E gotico".
Afferma poi che Psi rappresenta il potenziale elettrico, e che questo
lo troveremo ("we shall find"). Ma io non ho trovato dove questo
sarebbe mostrato.
Mettendo tutto insieme, M. afferma che la "forza elettromotrice" (usa
questo termine anche per "E gotico" è
vxB - @A/@t -grad Psi.
Oggi noi riconosciamo l'espressione E + vxB, e va bene.
 
Ma allora perché nella (*) non c'è un termine -rho*@A/@t ?
 
Riassumendo, c'è un termine di troppo e uno che manca.
Verrebbe da pensare che si compensino, ma non ho trovato come.
E quindi chiedo aiuto...
 
Anche se, a ripensarci, forse chiedo una cosa impossibile :-(
 
 
-- 
Elio Fabri

 Verrebbe da pensare che si compensino, ma non ho trovato come.
 
 
Mi scuso se, almeno per ora, discuto solo genericamente la questione.
Indichero' con <X> i caratteri X-gotici (quaternioni).  
 
Sul Treatise la raccolta di equazioni del n.619 appare piuttosto raffazzonata.
Non mi disturba la forma quaternionica (facilmente convertibile in notazioni
vettoriali moderne), ma il fatto che manchino alcuni riferimenti ai punti del
Treatise ove le singole formule sono presentate e discusse, tanto piu' che nel
n.619 le formule non sono elencate in ordine (crono)logico.
 
In particolare non sono riuscito a reperire la formula (*) ne' prima ne' dopo
il n.619, laddove indubbiamente appare "sbagliata". 
Noto pero' che:
Parte I  n.101b  (Elettrostatica)  <E> = - \nabla Psi   
Parte IV n.599:  (Magnetismo)      <E> =  V<O><B> - d<A>/dt - \nabla Psi
Tiro ad indovinare: forse la (*) e' tratta dalla Parte III (Magnetismo) e si
riferisce ad una trattazione dei campi stazionari? Se cosi' fosse si avrebbe:
<C>=<R>    
d<A>/dt=0
e la formula (*) per le densita' volumetriche diverrebbe accettabile: 
<F> = V.<C><B> - rho*\nabla Psi - m*\nabla Omega 
 f  =    JxB   - rho*grad(Psi)  - m*grad(Omega)
Comunque giusta o sbagliata che sia tale formula non mi sembra indispensabile
per capire la teoria di Maxwell.
 
Piuttosto ho recentemente scoperto che anziche' perdersi sul Treatise (1873)
e' molto meglio esaminare il precedente (1865) lavoro di Maxwell:
"A dynamical theory of the electromagnetic field"
Qui le 6x3+2=20 variabili fondamentali usate da Maxwell sono bene elencate e 
le 20 equazioni (scalari) fondamentali della teoria originale di Maxwell sono
esposte in forma non dispersiva. 
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 originale di Maxwell sono esposte in forma non dispersiva.
Non lo conoscevo. Lo cercherò.
Avevo sempre e solo sentito parlare del "Treatise", che comunque è
successivo e quindi mi sarei aspettavo che fosse in qualche modo
conclusivo.
 
 
-- 
Elio Fabri

 E che di campo elettrico non si parla mai fuori dell'elettrostatica?
 
M. non parla di campo el. ... perche' al di fuori dell' e.s.  chiama 
"forza elettromotrice" quel che noi chiameremmo campo elettrico non 
conservativo. La sua f.e.m non e' quella a cui ci hanno abituato i libri 
di e.m del '900. Non e' un integrale di linea del campo.
 
Quando e' avvenuto questo spostamento di significato non so. ma direi 
che e' l' unico modo di far quadrare i discorsi di M.
 
Giorgio

 conclusivo.
 
Il "Treatise" e' un'opera enciclopedica, assai ricca di informazioni storiche
e sperimentali. Constato anch'io solo ora che la teoria elettromagnetica e' gia'
completamente (e molto piu' chiaramente) sviluppata nel lavoro del 1864-1865.
Mi sembra che l'unica aggiunta degna di nota sul "Treatise" riguardi la teoria
delle onde piane (n.790-791), ove Maxwell parla di una "electric disturbance"
oltre che di una gia' discussa "magnetic disturbance" ("disturbances" ortogonali
tra loro ed alla direzione di propagazione delle onde).
 
Mi risulta che l'attuale forma delle equazioni di Maxwell con i campi E,D,B,H
(e con un significato fisico ben diverso del campo D rispetto all'obsoleto 
"displacement" di Maxwell) sia stata sviluppata indipentemente prima da Hertz 
(in forma scalare) e poi da Heaviside (in forma vettoriale).
 
Nell'ottocento non si era ancora creata l'attuale eccessiva frattura tra fisici
"teorici" e "sperimentali". Non riesco pero' a trovare sul web i lavori teorici
di Hertz: qualcuno riesce a trovare un link?


 libri di e.m del '900. Non e' un integrale di linea del campo.
Prendo atto del "beneficio d'invenatario" :-)
Dato che l'ho letto di recente posso precisare e correggere quello che
scrivi.
 
La parte conclusiva della discussione si trova all'art. 598,
intitolato "General Equations of Electromotive Force".
Comincia:
 
"598.] We have seen that E, the electromotive force due to induction
acting on the secondary circuit, is equal to -dp/dt, where"
 
e scrive per p l'*integrale di linea* ddel potenziale vettore, di
componenti F,G,H.
Quindi fin qui la f.e.m. è un integrale sul circuito, coem s'intende
oggi.
Passa a calcolare E (la f.e.m. di cui sopra) derivando quell'integrale
rispetto a t (tendo conto che il cricuito può essere in moto) e
ottiene per E un nuovo integrale di linea, di un campo di componenti
P,Q,R.
L'espressione di questo campo è quella che sai:
 
E = v x B - @A/@t - grad Psi.
 
M. definisce E "the electromotive force at the moving element ds".
Nota come viene introdotto Psi (il pot. scalare):
 
"The terms involving the new quantity Psi are introduced for the sake
of giving generality to the expressions for P, Q, R. They disappear
from the integral when extended round the closed circuit. The quantity
Psi is therefore indeterminate as far as regards the problem now
before us, in which the total electromotive force round the circuit is
to be determined. We shall find, however, that when we know all the
circumstances of the problem, we can assign a definite value to Psi,
and that it represents, according to a certain definition, the
electric potential at the point x, y, z."
 
Come hai osservato anche tu, M. privilegia i potenziali sui campi, In
particolare questo accade per A rispetto a B.
 
Infatti l'eq. div B = 0, che per noi oggi è *una* delle eq. di M.,
neppure figura nel riepilogo generale del cap. 9. La trovi di
passaggio come eq. (10) all'art. 403, dedotta dalla forma integrale.
 
Non so chi e quando abbia eliminato i potenziali come grandezze
fondamentali (in quanto non gauge invarianti, diremmo oggi).
Così è nata la tradizione di considerarli solo comodi mezi per
risolvere le equazioni (v. la forma molto più semplice che assumono
per es. i potenziali di Liénard-Wiechert in confronto ai campi).
Poi con la m.q. i potenziali sono stati rivalutati: dal punto di
vista formale perché entrano in prima persona nella lagrangiana e
hamiltoniana, ma anche dal punto di vista fisico, in quanto producono
effetti osservabili (Aharonov-Bohm).
 
 
-- 
Elio Fabri

 di Hertz: qualcuno riesce a trovare un link?
 
Ho finalmente trovato alcuni riferimenti riguardanti i lavori teorici di Hertz.
 
Nel 1884 Hertz pubblica sui Wiedemann's Annalen l'articolo:
"On the relations between Maxwell's fundamental equations of the opposite electomagnetics"
nel quale appaiono le equazioni di Maxwell per i campi E,D,B,H in coordinate cartesiane. 
 
Queste equazioni si ritrovano poi sui Wiedemann's Ann. nell'articolo del 1890:
"On the fundamental equations of electromagnetics for bodies at rest"
 
I testi originali in tedesco di questi articoli sembrano introvabili in rete, 
ma ho scoperto una raccolta di lavori di Hertz (tradotti in inglese e pubblicata
nel 1962 da Dover sotto il titolo "Electric waves")  scaricabile qui:
 
http://n3ox.net/files/hertz_Electric_waves.pdf
 
 
Particolarmente interessante e' il Cap.XIII contenente l'articolo del 1890.
A pag.200-201 si trovano le equazioni del campo elettromagnetico (E,B) nel 
vuoto, sotto forma di 8 equazioni scalari, traducibili nella forma moderna:
A*@B/@t = rot E                 A*@E/@t = rot B
div E = 0                       div B = 0
dove A (dice Hertz) e' una costante avente dimensioni reciproche di quelle di
una velocita'. Alcuni problemi di segno dovrebbero essere dovuti al fatto che
Hertz fa uso di terne cartesiane sinistrorse.
Assai modernamente Hertz propone addirittura di buttarsi alle spalle il faticoso
cammino costruttivo e di postulare tale set di equazioni.


 
http://n3ox.net/files/hertz_Electric_waves.pdf
 
Ho letto, grazie.
E a questo punto vorrei chiudere l'argomento, tanto più che FM e
compagnia (ma lui più degli altri) sono completamente fuori di testa.
Qualsiasi ragionamento è impossibile.
E io ho cose da fare che credo molto più serie e importanti.
 
 
-- 
Elio Fabri

 (ma lui piů degli altri) sono completamente fuori di testa.
 
:-) in effetti ... ora ci ha messo anche i cattocomunisti che portano acqua 
al pozzo di satana ... Per un po' ho pensato che fosse un fake, ma mi sa che 
e' vero.
 
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire) 
 

 ma ho scoperto una raccolta di lavori di Hertz (tradotti in inglese e pubblicata
 
 
La raccapricciante idea di dover leggere Hertz in inglese mi ha aguzzato l`ingegno ;-) credo di aver trovato l`originale (aspetto una conferma da chi ne sa certamente piu` di me).
 
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15266v/f92.item.zoom
 (Pag. 84)
 

 
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15266v/f92.item.zoom
 (Pag. 84)
 
Perbacco, sei riuscito a trovare i "Wiedemann's Annalen" del 1884!     :-)
Sto dando un'occhiata all'importante (ma poco noto) articolo del 1884 di Hertz,
a pag. 100-101 ho gia' intravisto le eleganti equazioni "di Maxwell".
H.R.Hertz e' celebre come scopritore sperimentale delle onde elettromagnetiche,
ma devo ammettere di avere finora ampiamente sottovalutato i suoi fondamentali 
contributi allo sviluppo della teoria nella forma che oggi conosciamo.
 
Grazie per il tuo contributo. 
Adesso chiudo anch'io la mia partecipazione a questo interessante thread storico.
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Non confondermi col Laureti, per piacere.