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Titolo: Di Bianco e Greene

 segue.
non sarà il caso di vedere che cosa ha scritto Greene?
Il libro ce l'ho da 18 anni; non che io l'abbia comprato (cosa che mi
sarei ben guardato dal fare) ma l'ho avuto in regalo.
E visto che l'avevo l'ho anche letto, e debbo averlo già commentato
anche su questo NG.
Non so se qualcuno ricorda il mio giudizio su quel libro, che come
ricorderete ha venduto qualche milione di copie, almeno a quanto si
leggeva in giro.
Beato l'autore :-)
A me il libro non era piaciuto affatto. Telegraficamente, dicevo che
avevo capito solo le cose che sapevo già; in particolare niente sulle
stringhe. E sulle cose che sapevo ci avevo trovato non pochi difetti
(per essere mooolto gentili.)
 
Ora però ho scoperto un'altra cosa: che tutte le critiche che ho fatto
a DB in realtà dovevo dirottarle a Greene, cui DB si è largamente
ispirato.
La favola dei Redentori c'è in Greene, anche se meno colorita e con
nomi diversi.
Il modo di presentare il PE è *esattamente lo stesso*.
 
Ma c'è di più.
Anche Greene parla (come DB nel capitolo "Curvatura dello spaziotempo)
di curvatura dello spazio e poi di curvatura del tempo, che è un
assoluto non senso.
Entrambi usano il famoso esempio della giostra, che nella sostanza è
dovuto a Einstein ed ebbe realmente una parte importante nel portarlo
a concepire la curvatura dello spazio-tempo.
Purtroppo in quell'esempio le cose non stanno come E. credeva, ma ciò
che è più strano è che (tra persone veramente competenti) se ne
discute ancora.
Cosa che Greene e (ovviamente) DB ignorano.
 
Greene ha però un'attenuante: in una nota precisa (per gli esperti)
che in realtà mettersi nel rif. della giostra non provoca una
curvatura dello spaziotempo.
Spiego: questa è una proprietà *intrinseca*, che c'è o non c'è in modo
indipendente dal rif. (vulgo, dal punto di vista, dall'osservatore).
Nel caso della giostra, *non c'è* a causa della giostra. C'è casomai
a causa della Terra, del Sole, ecc. Niente a che fare con la giostra
rotante.
Cambiare rif. significa cambiare la distinzione nello spazio-tempo tra
spazio e tempo, e il primo potrebbe risultarne curvo. (Parlare di
curvatura del tempo è in ogni caso un non senso: il tempo, essendo
unidimensionale, non ha *mai* curvatura.)
Ripeto però che quale sia la corretta descrizione di un rif. rotante
non è ancora stato chiarito. Autori diversi hanno opinioni diverse, e
continuano ad apparire articoli su riviste serie (non le buffonate
divulgative di Greene e di DB).
 
Dobbiamo dunque assolvere DB?
Niente affatto. Se costui non è in grado di distinguere chi scrive
cose giuste da chi scrive strafalcioni, resta doppiamente
responsabile: perché è ignorante ma inquina internet coi suoi
sproloqui, e poi perché contribuisce a diffondere informazioni errate,
anche se non ne ha la paternità.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

 nemmeno a questa saprei assegnare un significato fisico qualsivoglia)
Ottima domanda, che in un certo senso ho provocato scrivendo quelle
parole :-)
 
Sarebbe troppo facile rimandare anche te ai pertinenti capitoli di
Q16. Troppo facile e anche ingiusto.
Si tratta in realtà di concetti basilari di geometria diferenziale,
che a parte il nome pomposo sarebbero perfettamente alla portata di
uno studente di scuola sec. superiore.
E' uno dei vari argomenti di matematica che se toccasse a me
riscrivere le IN amerei inserire.
 
In poche parole, occorre la distinzione fra curvatura *intrinseca* o
(interna) ed *estrinseca* (o esterna).
 
Facciamo l'esempio più facile: prendi un foglio di carta e arrotolalo.
In origine era piano (piatto) non curvo, ora è curvo.
Però la curvatura che vedi è estrinseca, esiste solo perché il foglio
sta in uno spazio 3D.
La puoi definire in vari modi, per es. osservando che le normali in
punti diversi del foglio arrotolato nomn sono parallele, mentre per il
foglio piatto lo erano.
 
La stessa cosa puoi fare per una curva nel piano: le normali in punti
diversi formano un angolo, e andando a precisare le cose puoi usare
proprio questo angolo per definire il raggio di curvatura.
Al tempo stesso, puoi "raddrizzare" qualunque curva del piano senza
alterarne la lunghezza: se prendi due punti A e B della curva
originaria e gli stessi due punti dopo che l'hai raddrizzata, la
lunghezza *misurata lungo la curva* rimane la stessa.
 
Lo stesso è vero per il cilindro alias foglio arrotolato: puoi
definire una distanza tra due punti del cilindro (suff. vicini, per
non avere problemi) e puoi srotolare il cilindro senza alterare questa
distanza.
Si dice che il cilindro è una superficie "sviluppabile".
 
Ma qui nasce una differenza tra curva e superfici.
Mentre tutte le curve sono sviluppabili, ossia deformabili in una
retta senza alterare la lunghezza (in modo *isometrico*, si dice)
questo invece non si può fare per tutte le superfici.
E' la ragione per cui occorre una certa abilità per sbucciare un
frutto (arancia o mela che sia).
E' anche la ragione per cui non esistono carte geografiche della Terra
che non comportino una deformazione, un'alterazione delle distanze.
La sfera è il più semplice esempio di superficie *non sviluppabile*
nel piano.
 
Ci si può accorgere di questo mediante misure fatte solo sulla
superficie? (La geometria delle formiche, per così dire...)
Si può, in vari modi.
 
Forse il più intuitivo consiste nello scegliere un punto O, una
distanza r, e considerare tutti i punti che hanno da O la distanza r
*sulla superficie*
Nel piano questi stanno su una circonf. di centro O e raggio r, che è
lunga 2pi*r.
 
Sulla sfera, O potrebbe essere il polo nord: i punti a distanza r
formeranno un parallelo.
Quanto è lungo il parallelo di "raggio" r?
Risposta: 2pi*R*sin(r/R), se R è il raggio della sfera.
Questo dimostra che la sfera non è sviluppabile sul piano, e permette
anche di definire la curvatura intrinseca.
 
Allo stesso modo, salendo di astrazione, si può concepire una
"ipersuperficie" in uno spazio euclideo 4D che non si può sviluppare
in 3D.
Solo che qui le cose si complicano perché una sola curvatura non basta
a definirne le proprietà geometriche: ci vuole il tensore di Riemann,
che in questo caso ha 6 componenti.
 
Gà ti vedo scrivere un racconto di fantascienza su questa idea :-D
 
 
-- 
Elio Fabri

 magari variabile punto a punto ... 
 
 
Rispondo io anche se non conosco la geom. differenziale.
 
Quella che hai indicato è la curvatura estrinseca, cioè quella vista immergendo l'ente geometrico in uno spazio di dimensione superiore. 
 
 
Elio si riferisce alla curvatura intrinseca. Magari qualcun altro ti dà una definizione matematica, io dico solo che la curvatura intrinseca la devi poter determinare con delle misure fatte direttamente sull'ente geometrico. 
 
Su una linea puoi misurare solo la lunghezza, e da questa non puoi distinguere tipi diversi di linee: sono tutte uguali.

 idea :-D
 
si la cosa mi intrippa assai.
A proposito di questa roba mi ricordo una domanda sulla 
chiralità a dimensionalità superiore.
O forse era sul fatto di avere più di due chiralità e che 
requisiti occorrevano, nel caso, per possederla.
 
La risposta l'ho salvata, ma non me la ricordo. 
Evidentemente non l'avevo capita bene :\
 
Ogni tanto metto da parte qualche perla, ma su quel libro 
sono praticamente arenato da 10 anni ormai, e non soltanto 
per questi problemi di comprensione geometrica, 
semplicemente l'ho lasciato espandere troppo e scritto 
troppi pezzi slegati per riuscire a ricucirli organicamente.
E' un libro non più sviluppabile in 1D :\


 Soviet_Mario ha scritto:
 
avrei un'ulteriore domanda.
 
E' stata menzionata la proprietà di sviluppabilità nel piano 
di una curva o superficie.
 
Esiste una proprietà inversa : il potere avvolgente di una 
superficie attorno a entità di dimensionale superiore di uno 
(solidi) ?
 
Se esiste, è in relazione biunivoca con la sviluppabilità ?
 
purtroppo non so formulare bene la domanda...
 
 
P.S. mi sono anche ricreduto sulla sviluppabilità nel piano 
senza deformazioni della turbina Savonius elicoidale, 
nonostante avesse una generatrice immaginaria su un segmento 
(e che somiglia alla scala a chiocciola ma con gradini obliqui).
No, in effetti non penso sia sviluppabile nel piano proprio 
perché la larga piattabanda di ferro che viene ritorta si 
screpola (si stira) e assottiglia ai bordi periferici e 
tende a gonfiarsi al centro sull'asse neutro.
Quindi nella piegatura si espande in periferia e si comprime 
sull'asse e non può avere la stessa grana di quadrettoni 
immaginari della griglia.


 No, in effetti non penso sia sviluppabile nel piano ...
 
confermo, ne ho costruite diverse in vetroresina;
per fare lo stampo sono partito da elementi di polistirolo (spessore 2 cm) tagliati in modo opportuno e li ho incollati ruotandoli gradualmente 
(a questo punto appare proprio come una scala a chiocciola col bordo 
del gradino che disegna una semicirconferenza) poi ho eliminato 
i denti con una raspa, per finire ho messo gesso e l'ho scartavetrato
 
non occorre fare così tutta l'elica, ne basta un pezzetto, unendo
varie copie si ricava uno stampo completo di uno dei due lati 
dell'elica, ma non ne vale la pena, gran fatica per un miglioramento 
modestissimo rispetto alla versione solita, fra l'altro è un oggetto
scomodissimo: *scappa da tutte le parti* :-)

 sviluppabile. E' un esempio, magari non è affatto così!
Infatti non è così.
Forse posso mostrarti subito qualche esempio.
Più avanti il teorema generale.
 
Spero tu conosca le varie quadriche (ellissoidi, iperboloidi...).
Tra queste ci sono *due tipi* di rigate:
- l'iperboloide detto "a una falda"
- il paraboloide iperbolico.
Tutte le altre quadriche non degeneri *non sono rigate*.
(Invece le q. degeneri sono tutte rigate:
- i coni
- i cilindri (caso limite di coni col vertice che va a infinito)
- le q. spezzate in due piani, incidenti o paralleli.
E sono tutte banalmente sviluppabili.)
 
L'iperboloide a una falda, anche noto come "iperboloide iperbolico",
ma non importa il nome, a me ricorda sempre una cosa dei tempi lontani
in cui ero bambino.
Quando la pasta secca si vendeva sfusa, non confezionata come oggi.
Nelle vetrine dei negozi si potevano vedere della "costruzioni" fatte
di spaghetti.
Si prendeva un mazzo di spaghetti, li si legavano al centro, li si
mettevano verticali su un piano orizzontale, e poi con abile mossa si
lasciava "aprire" il mazzo. Trovi le figure su wiki, sotto "mazzo di
spaghetti".
 
Il paraboloide iperbolico come rigata lo vedi bene in
https://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid#Hyperbolic_paraboloid
 
 
Dimostrare che entrambe *non sono sviluppabili* richiede il teorema
generale. La frase magica è: sono entrambe superfici *a punti
iperbolici*. Vedi dopo.
 
L'idea (credo di Eulero) per definire la curvatura in un punto P è di
guardare le *sezioni normali*.
Definiamo.
Pensa alla normale in P alla superficie (la normale è definita se e
solo se è definito il piano tangente in P, ed è la retta n
perpendicolare a questo). Conviene assegnare a n un orientamento, che
servirà poi per definire il segno della curvatura.
Pensa al fascio di piani passanti per P: ciascun piano interseca la
suerficie secondo una curva e n è normale a questa curva.
Di tutte queste curve interessano solo degli intorni di P (la
curvatura è un concetto *differenziale*: in termini imprecisi,
riguarda spostamenti infinitesimi da P; più precisamente si definisce
come limite).
 
Se la superficie ìntorno a P è suff. "regolare" (non do maggiori
dettagli) tutte le sezioni normali hanno un centro di curvatura,
situato su n. La distanza di questo punto da P definisce il raggio di
curvatura (raggio del cerchio osculatore) e si definisce curvatura
della sezione normale l'inverso del raggio.
Si dà un segno alla curvatura: convenzionalmente è positiva se il
centro di curvatura sta dalla parte della normale positiva.
 
La principale scoperta di Eulero fu che c'è una dipendenza semplice
della curvatura di una sezione normale dal piano della sezione.
Non sto a scrivere la formula, ma dico solo che ruotando il piano
attorno a n la curvatura oscilla tra un minimo e un massimo (in casi
eccezionali rimane costante).
Il minimo e il massimo si hanno per due piani perpendicolari tra loro,
e si chiamano "curvature principali"; indichiamole con k1 e k2.
 
Dato che la curvatura ha un segno, sono possibili vari casi, che si
riassumono in tre:
- k1 e k2 hanno lo stesso segno: in questo caso P è detto *punto
ellittico*
- k1 e k2 hanno segni opposti: P è un "punto iperbolico"
- una (e una sola) delle curvature principali si annulla: "punto
parabolico".
Nota: non è vietato che si annullino entrambe, ma è un caso che si
presenta solo per superfici particolari e non dobbiamo occuparcene.
 
Perché questi nomi (ellittico, iperbolico, parabolico)?
Guardiamo come il piano tangente interseca la superficie.
Nel caso ellittico, la superficie sta tutta da una sola parte, quindi
l'intersezione di riduce al solo P.
Nel caso iperbolico P è un *punto di sella*: le due sezioni principali
stanno da parti opposte del piano tangente e per continuità ci sono
due altre sezioni dove la curvatura si annulla. Il piano tangente
interseca la superficie secondo una X.
 
Nel caso parabolico la superficie sta tutta da una parte, ma c'è una
sezione che ha curvatura nulla. La differenza rispetto al punto
ellittico è che questa sezione normale si scosta dal piano tangente
solo al terzo ordine, non al secondo come in una tangente somune.
Inoltre, se prendiamo un piano parallelo al piano tangente, succede
questo:
- nel caso ellittico, questo piano non intereseca la superficie se sta
da una parte, la interseca secondo un'ellisse (a meno di termini di
ordine superiore)
- nel caso iperbolico, da entrambe le parti il piano interseca la
superficie secondo un'iperbole
- nel caso parabolico l'intersezione "somiglia" a una parabola.
 
Non è possibile essere più precisi, e bisogna ricordare che tutto
questo vale *in un intorno* di P. A distanza la superficie può fare
qualunque cosa.
 
Esempi:
- In una sfera ed ellissoide tutti i punti sono ellittici.
- Nell'iperboloide a una falda e nel paraboloide iperbolico sono tutti
iperbolici.
- In coni e cilindri sono tutti parabolici (con l'eccezione del
vertice di un cono, che è un punto singolare, dove il piano tangente
non è definito).
 
Per superfici più complicate può accadere che ci siano punti dei
diversi tipi.
Per es. una comune bottiglia da vino ha punti parabolici nel corpo e
nel collo, punti ellittici dove il corpo comincia a restringersi,
iperbolici in prossimità del collo. Tra la regione ellittica e quella
iperbolica c'è una circonferenza di punti parabolici.
(Certo un po' di figure aiuterebbero molto, ma se cerchi in internet
troverai di tutto.)
 
Passiamo finalmente alla questione curvature intrinseche/estrinseche.
Tutte quelle di cui abbiamo parlato sono curvature *estrinseche*: la
superficie viene studiata in quanto *immersa nello spazio euclideo*.
Questo fu il punto di partenza, suggerito in modo naturale dagli
oggetti del mondo circostante.
 
Questa stessa esperienza ci mostra che esistono superfici deformabili,
e ci si chiede come e quanto.
Più esattamente, immaginiamo la superficie materializzata con un velo
sottilissimo, pieghevole come e quanto si vuole, ma del tutto
*inestensibile*.
 
Ossia possiamo deformarlo, ma la distanza tra due suoi punti,
*misurata lungo la superficie*, rimane la stessa.
E pure gli stessi rimangono gli angoli fra curve disegnate sul velo
(fra le loro tangenti) anche se le curve possono cambiare forma.
L'esempio più banale l'ho già fatto: il foglio di carta arrotolato, in
forma di cilindro ma anche di cono.
 
Si comincia a dare una definizione precisa: due superfici definite
nello spazio euclideo si dicono "applicabili" se esiste una
corrispondenza tra i loro punti che lascia invariate tutte le distanze
(e quindi anche tutti gli angoli).
Superfici applicabili si dicono anche "isometriche".
 
La domanda naturale è: se io ho definito separatamente due superfici,
come faccio a sapere se sono o non applicabili? (Dire "se esiste ..."
in matematica è una definizione detta "non costruttiva", perché non
ti dice come fare la verifica.)
Se non trovo la corrispondenza giusta, è perché non sono abbastanza
bravo, o perché non è proprio possibile?
Ci vuole un criterio...
 
Ed è quello che Gauss pubblica nel 1827, chiamandolo "theorema
egregium": se due superfici sono applicabili, la loro curvatura totale
in punti corrispondenti è la stessa.
In linguaggio più moderno: la curvatura totale (detta anche
"gaussiana") è invariante sotto isonetrie locali.
 
Non ho definito la curvatura totale... Ecco qui K = k1 k2, il prodotto
delle curvature principali.
 
In pratica: mentre deformo isometricametne una superficie, la sua
curvatura estrinseca può cambiare, In particolare possono cambiare le
curvature principali.
Ma non può mai cambiare il loro prodotto.
Quindi questo prodotto (la curvatura gaussiana) è una proprietà
*intrinseca* della superficie.
 
Esempio ovvio: un piano ha nulle tutte le curvature, quindi anche K=0.
Pertanto qualunque superficie che si possa raggiungere modificando
isometricamente un piano (sviluppabile) deve avere K=0.
Notare che affinché sia K=0, basta che si annulli *una* delle
curvature principali.
Quando arrotolo un foglio in forma di cilindro accade proprio questo:
una delle curvature principali resta nulla, mentre l'altra passa da 0
a un valore qualsiasi (costante su tutto il foglio, se ho fatto un
ciindro circolare).
Ma un cilindro può avere forma diversa, quindi una delle curvature può
anche non essere costante.
 
Abbiamo così la risposta alla domanda: perché non si può sviluppare
una (porzione di) sfera su un piano?
Non si può perché la curvatura gaussiana della sfera è positiva,
quella del piano è nulla.
 
Dalle definizioni date sopra di punti ellittici, iperbolici,
parabolici, si vede che:
- punto ellittico <--> curv. gaussiana positiva
- punto iperbolico <--> curv. gaussiana negativa
- punto parabolico <--> curv. gaussiana nulla.
Quindi le sole superfici sviluppabili sono quelle a punti parabolici.
 
Dagli esempi che ho dato sopra si vede che esistono rigate a punti
iperbolici (non a punti ellittici).
Quindi non tutte le rigate sono sviluppabili.
 
Arrivato a questo punto, dovrei raccontare qualcosa di ciò che è
successo dopo: dal "theorema egregium" sono passati quasi due secoli!
Ma questo post è già troppo lungo.
Eventualmente avrà un seguito...
 
 
-- 
Elio Fabri

 Soviet_Mario ha scritto:
CUT
niente, volevo solo dire che sto leggendo ma non è roba che 
riesca a digerire molto velocemente, spero di poter 
continuare tra un po' (tra l'altro incombono gli scrutini)


 Eventualmente avrà un seguito...
 
bene !
