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Titolo: Velocità e riflessione delle onde em

Ho un dubbio che non riesco a chiarire riguardo il seguente problema, anche
perchè sono momentaneamente impossibilitato a controllare i miei testi di
fisica.
"Supponiamo che un onda elettromagnetica si propaghi lungo la direzione
positiva x con frequenza angolare z: se uno specchio perfettamente
riflettente si sta muovendo nella stessa direzione e verso con velocità v.
Si osserva che la frequenza angolare dell'onda riflessa è diversa da z.
Derivare una formula che fornisca il nuovo valore in funzione di z e v."
Non riesco a capire dove intervenire. Avete qualche idea?

...

Ciao, considera il quadrivettore associato all'onda (la cui componente
temporale e' la pulsazione e le tre spaziali il vettore d'onda).
Cambia riferimento e mettiti in quiete con lo specchio con una trasf
di
Lorentz lungo z direzione del vettore d'onda. In tale sistema,dove lo
specchio e' fermo, la frequenza di incidenza e quella di riflessione 
sono le stesse, pero' la frequenza NON e' quella inziale, a causa
della
tras di Lorentz. Infine antitraforma il quadrivettore dell'onda
riflessa
nel riferimento in cui lo specchio e' visto muoversi
La componente temporale e' la frequenza (pulsazione richiesta).
In definitiva prendi il quadrivettore iniziale e gli applichi una tras
di Lorenz L, l'inversione di parita' spaziale P (riflessione dell'onda
nel rif di quiete dello specchio) e l'inversa di L, L^{-1}, infine
leggi
la componente temporale del quadrivettore ottenuto: questa e' la
pulsazione
dell'onda riflessa vista nel riferimento in cui lo specchio si muove.
Dato che L e P non commutano (miracoli del gruppo di Lorentz, per i 
super formali: se commutassero il gruppo sarebbe SO(4)), 
la trasf complessiva non e' semplicemente P (e la parte temporale 
del quadrivettore NON e'rimasta immutata), ma c'e qualcos'altro 
(e' un fattore numerico che dipende dalla velocita' dello specchio
e che diventa 1 per velocita' nulla). Ti lascio i conti abbastanza
banali.
 Ciao, Valter

Valter Moretti ha scritto:
 > Ciao, considera il quadrivettore associato all'onda (la cui
 > componente temporale e' la pulsazione e le tre spaziali il vettore
 > d'onda).
 > ...
C'e' un aspetto interessante di quesot problema: e' che se invece di
usare le formule relativistiche dell'etffetto Doppler si usano quelle
classiche, il risultato viene lo stesso:
f' = f*(c-v)/(c+v).
Naturalmente la domada e': come mai?
Risposta: perche' in realta' non c'e' nessun bisogno di cambiare
sistema di riferimento per risolvere il problema, e quindi quale sia
la legge di trasformazione della frequenza passando da un rif. a un
altro non ha importanza.
Come si fa?
Lasciamo che "The Tarro" ci si rompa un pochino la testa :)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Time-out. Io sono un liceale e purtroppo non capisco cosa mi stai spiegando.
C'č una spiegazione piů semplice?
Ho creduto di capire che nella frequenza f=2pigreco/T devo sostituire il
tempo relativistico di Lorentz "gammaT".
Oppure no?

 f' = f*(c-v)/(c+v).
Non vorrei svelare il procedimento di calcolo, ma sottoporre solo una mia
osservazione per stabilire se può ritenersi corretta.
Stavo riflettendo sul fatto che lo specchio in moto non è una sorgente in
moto di onde.
Quindi ragionando solo sulle onde dal punto di vista classico io
interpreterei il fenomeno così:
la sorgente è in quiete (sì, la sorgente di onde em che si propagano con
velocità c).
Usando la formula del doppler classico per la freq. misurata da
un'osservatore sullo specchio si ha:
f1=f  (c-v) / c
e questa freq. sarà per il rif. solidale allo specchio anche la freq. f1
dell'onda riflessa (che è il ragionamento di Walter Moretti).
Quindi per l'onda riflessa abbiamo una sorgente in movimento con freq. f1.
Di nuovo, ma questa volta misurando la freq. dell'onda riflessa nel rif. di
quiete si ha utilizzando sempre la formula del doppler classico:
f'=f1 c/(c+v)
da cui la formula di sopra.
Pare che tutto fili o no??
Ciao Claudio

 C'è una spiegazione più semplice?
Certo, ed è quella che ti ha suggerito fra le righe Elio Fabri... anche se
oltre ad una spiegazione serve un calcolo per la frequenza dell'onda
riflessa.
Lasciando perdere i passaggi ai sistemi di rif. diversi puoi ragionare in un
modo molto semplice.
Se consideri che le onde em si propagano sempre con velocità c
indipendentemente dalla frequenza hai:
E(x,t)=E0 cos (-wt + kx) onda incidente e
E'(x,t)=E0 cos (-w't - k'x + fi) onda riflessa.
dove k=f 2 PI/c, w=2 PI f e analogamente:
k'=f' 2 PI/c, w'=2 PI f'
(le slz. sono funzioni di x-ct o x+ct dalle eq. di D'alambert. Il perchè c è
costante nel vuoto segue dalle eq. di Maxwell)
Lo specchio si sposta nella direzione x con legge oraria xs=A-vt
resta solo da imporre la continuità dei campi incidente e riflesso sullo
specchio E(xs,t)=E'(xs,t) per ogni t.
Da cui il conto che ora puoi continuare a fare in modo autonomo per trovare
il legame tra f ed f'
(ho evitato che ti rompessi la testa...!!)
Il perchè della continuità: perchè l'onda è totalmente riflessa e il campo
non può essere attenuato (E0=E0') ...
Se applichi le formule dell'effetto Doppler (relativ. o classiche) ottieni
il solito risultato ed il motivo te lo ha fornito Elio Fabri.
Ciao Claudio


 
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 
Si, mi pare corretto, la procedura relativistica e' essenzialmente
la stessa anche se cambiano un po' le formule ma non quella finale.
Ciao, Valter


Valter Moretti ha scritto:
 > Si, mi pare corretto, la procedura relativistica e' essenzialmente la
 > stessa anche se cambiano un po' le formule ma non quella finale.
Io avevo in mente qualcosa di diverso, e di molto piu' ... liceale.
Soprattutto, qualcosa che faccia capire perche' la relativita' non c'entra.
Claudio Falorni ha scritto:
 > Lasciando perdere i passaggi ai sistemi di rif. diversi puoi ragionare
 > in un modo molto semplice.
Ecco, questo e' il punto essenziale: che si puo' rispondere senza
passare da un rif. a un altro.
E' per questo motivo che la relativita' non c'entra, e la risosta
rimane la stessa anche se uno crede che esista l'etere e le velocita'
si trasformino alla Galileo.
Pero' io riformulerei il problema come uno di pura cinematica.
Abbiamo un fronte d'onda che parte dalla sorgente al tempo t=0.
A quell'istante lo specchio si trovi a distanza L, e si allontani con
velocita' v costante.
Dopo quanto tempo il fronte d'onda raggiunge lo specchio?
Dopo quanto tempo torna alla sorgente? Sia t1 questo tempo.
Consideriamo ora un secondo fronte d'onda, che parte dalla sorgente al
tempo t=T (periodo dell'onda).
Stesse domande di prima: sia t2 il tempo al quale il secondo fronte
d'onda torna alla sorgente, e poniamo T' = t2-t1
Allora la frequenza emessa e' f = 1/T, quella ricevuta per riflessione
e' f' = 1/T'.
Si lascia allo studioso il calcolo di t1, t2, T', f'.
Come vedete, espresso in questi termini il problema e' al livello di una
terza liceo scientifico.


 Pare che tutto fili o no??
Aggiungo solo qualche considerazione di carattere fisico.
E' facile vedere che il risultato finale dipende solo dalla velocita' 
che la teoria attribuisce alla luce riflessa dallo specchio mobile.
Secondo la teoria classica del Doppler tale velocita' e' c (nel sistema 
di laboratorio) e secondo la RR ovviamente anche.
Invece secondo le teorie emissive (le antagoniste storiche piu' serie 
della RR) la velocita' sarebbe c rispetto alla sorgente delle onde 
riflesse (a seconda degli autori identificabile con lo specchio oppure 
con l'immagine virtuale da esso fornita).
In definitiva il controllo della risposta deve essere sperimentale. 
L'effetto Doppler con lo specchio mobile venne accuratamente misurato con
un interferometro e risulto' in netto accordo con la formula classica. 
Questa fu una delle motivazioni che portarono all'abbandono delle teorie 
emissive.
-- 
 Elio Proietti        
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