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Titolo: cariche immagine e elettrodinamica classica

Ciao, se supponiamo di avere un conduttore ideale, che occupa metà
dello spazio ed è delimitato da un piano ideale riflettente che sta
per comodità nel piano (di equazione x=0, nel piano yz), e abbiamo un
dipolo oscillante nella "metà sinistra" dello spazio (x<0), possiamo
usare il metodo delle cariche immagine per calcolare la distribuzione
di carica indotta sulla superficie (ovviamente variabile nel tempo?)
Io ho provato supponendo che ci fosse una generica distribuzione di
carica variabile nel tempo, e facendo i calcoli con una "distribuzione
immagine" data applicando l'operatore R di riflessione e invertendo di
segno, come si fa in elettrostatica classica.
Cioè, sia v il vettore posizione di R^3
rho_immagine(v,t)=(-1)*rho_originale(Rv,t)
e, in modo coerente con l'equazione di conservazione della carica:
J_immagine(v,t)=(-1)*R(J_originale(Rv,t)
Sebbene facendo i calcoli e guardando la direzione del vettore campo
elettrico risultante sul piano si ottenga un vettore E ortogonale al
piano, ci sono dei problemi:
B_risultante=B_originale+B_immagine sta nel piano
procedo col sistema MKS
J_risultante=4*pi/(mu)*(rot(B_risultante)-1/c^2*DE_risultante/Dt)
Ora notiamo la prima cosa strana:
J_risultante è ortogonale al piano... mi sembra assurdo. Possiamo
vedere che è ortogonale al piano perché il rotore di B_risultante (che
sta nel piano) è per forza ortogonale al piano, e abbiamo visto che
E_risultante è anch'esso ortogonale al piano per tutto il tempo, e
quindi lo sarà anche la sua derivata parziale rispetto al tempo.
Amesso che riusciamo a spiegare questa prima stranezza, vediamo poi
che:
X è il prodotto vettore
J_risultante X B_risultante sta per forza nel piano, date le direzioni
precedenti, quindi la soluzione non va bene.
A questo punto si deve obiettare che sono partito impostando il
problema in modo sbagliato, avrei dovuto cercare la quadricorrente
immagine in modo da rendere ortogonale al piano non E da solo, ma la
risultante:
rho*E+JXB
sul piano.
Però mi chiedo se farlo sia possibile, con una semplice trasformazione
lineare M.
Questa trasformazione lineare che proprietà dovrebbe avere per
funzionare? Dipende in generale dalla distribuzione di quadricorrente
reale istantanea, o da tutta la sua storia?
E' un'intera causa persa questa di cercare di usare le cariche
immagine in elettrodinamica?
Oppure ho semplicemente sbagliato qualche calcolo sulle direzioni?
Ciao e grazie.

 segno, come si fa in elettrostatica classica.
 
In generale per distribuzioni di carica arbitrarie non puo' funzionare,
dato che altrimenti si otterrebbe sempre a ogni istante di tempo
un campo elettrico che sarebbe soluzione di un problema di
elettrostatica, quindi avente rotore nullo, mentre ovviamente una
distribuzione di carica variabile nel tempo in generale
produrra' un campo elettrico avente rotore non nullo.
Equivalentemente si puo' anche dire che in corrispondenza a una
variazione localizzata della distribuzione di carica il metodo delle
immagini fornisce una soluzione che si propaga istantaneamente
in tutto lo spazio, in contrasto quindi con l'esistenza di una velocita'
limite di propagazione delle interazioni.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 J_risultante=4*pi/(mu)*(rot(B_risultante)-1/c^2*DE_risultante/Dt)
Qui secondo me il casino non sta nei conti, ma nel concetto.
 
Se vuoi calcolare rho e j *sul piano*, non devi procedere usando i
"campi risultanti": dato che entrambi, campi prodotti dalla carica
ogetto e campi prodotti dalla carica immagine, sono sol. delle eq. di
Maxwell *nel vuoto*, per rho e j non potrai che ottenere zero.
 
Infatti anche nel caso elettrostatico non fai cosi'. Una volta
ottenuto il campo E con l'immagine, dici: in realta' questo campo c'e'
solo nel semispazio di sinistra; nel semispazio di destra E=0 perche'
ho un conduttore.
Per calcolare rho sul piano non fai che applicare il teor. di Gauss al
solito modo, col cilindretto che sta a cavallo del piano...
 
Lo stesso devi fare qui, tanto per rho come per j.
rho lo ricavi da E, mentre j (tangente al piano) lo ricavi da B (E non
contribuisce) calcolando la circuitazione di B su un cammino anche lui
"a cavallo" del piano.
 
 
-- 
Elio Fabri
 
... ho dalla mia, dal tempo in cui entrai in politica, risultati
che saranno scritti nei libri di storia.
 
S. Berlusconi, 17-1-2011
 
http://www.ilfoglio.it/soloqui/10407
 

Ho scritto:
...
Scusa, come non detto, rileggendo con attenzione mi sono
accorto che tu hai scritto una cosa diversa da quella che ho
inteso (avevo immaginato che a ogni istante di tempo t il campo
elettrico in tutto lo spazio avrebbe dovuto essere quello generato
dalla sovrapposizone delle distribuzioni di carica reale e immagine
al tempo t considerate come costanti nel tempo...).
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Ciao e grazie.
 

Ciao, sono stato io a fare il post, è stato fatto senza che mi
accorgessi che il browser aveva già il login automatico con l'account
di mio padre. Scusate per la non voluta falsa identità.
 
 
Capisco, in effetti non vedevo un modo di uscirne "vivi" da questo
problema (inteso utilizzando il metodo delle immagini), neanche per il
caso semplice di un dipolo oscillante.
 
Grazie e ciao!

 "a cavallo" del piano.
Oppure equivalentemente risolvendo il problema piano div(j) = d rho/dt, 
l'equivalenza è garantita dalle equazioni di Maxwell, tuttavia una 
corrente non nulla non può essere dovuta ad un campo ortogonale al 
piano, quindi residua un'incongruenza tanto più seria quanto meno sono 
trascurabili gli effetti di ritardo e la corrente risulta significativ. 
Almeno a questo livello il metodo delle immagini elettrostatico risulta 
approssimato.

Dopo dura riflessione, Tetis ha scritto :

anzitutto intendevo il metodo delle immagini elettrodinamico risulta 
approssimato. In realtà non mi ero reso perfettamente conto del fatto 
che nel limite ideale di conducibilità infinita il campo elettrico 
diventa asintoticamente ortogonale alla superficie. Quindi il metodo 
fornisce una soluzione esatta del problema di conduttore ideale.
 
 
Una differenza dall'elettrostatica è che in quel caso il metodo delle 
immagini fornisce la soluzione anche nel caso che il conduttore non sia 
ideale.
 
Domando: è vero che non funziona nel caso di superfici ideali 
differenti? A giudicare dalla mancanza di simmetria degli effetti di 
ritardo direi che in generale il metodo così applicato non fornisce la 
soluzione esatta se non per questo caso.