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Titolo: Sulla definizione di derivata

Salve a tutti,
ho bisogno di una mano
nella seguente dimostrazione.
Sono a grata a chi riporterà i passaggi. :-)
Partendo dalla definizione di derivata
f'(x0) := Lim [ ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 ), x -> x0]
dimostrare che vale la definizione alternativa:
f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2) ) / h, h -> 0]
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http://arianna.libero.it/usenet/

La definizione
 f'(x0) := Lim [ ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 ), x -> x0]
č, come puoi facilmente vedere ponendo h= x-x0 ,
equivalente a scrivere:
 f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h) - f(x0) ) / h, h -> 0]
ovvero anche se sostituisci h con h/2
 f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0) ) / (h/2), h -> 0]
da questo punto per farti tornare la tua definizione sottrai e somma al
numeratore
f(x0-h/2), da cui
f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2)+f(x0-h/2)-  f(x0) ) / (h/2), h
-> 0]
se distribuisci il denominatore ottieni
f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2)]/(h/2)+[f(x0-h/2)-  f(x0) )] /
(h/2), h -> 0]
da cui poiché il secondo addendo ha come limite
Lim[f(x0-h/2)-  f(x0) )] / (h/2), h -> 0]= -f'(x0)
questo significa che
Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2)]/(h/2)=2f'(x0)
ma allora
Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2)]/h= f'(x0)
c.v.d
(tutti i passaggi sono equivalenze logiche e quindi vale il se e solo
se)

 f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2) ) / h, h -> 0]
Chiamiamo L1 il primo limite e L2 il secondo
L1= Lim [ ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 ), x -> x0]= Lim [ ( f(x0+h) -
f(x0) ) / h, h -> 0]  (con h=x-x0)
L2= Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2) ) / h, h -> 0].
Vuoi dimostrare che se L1 e' ben definito ( cioe' esiste finito) allora
esiste finito L2 ed e' uguale ad L1.
Per definizione di limite puoi scrivere per ogni h
f(x0+h)=f(x0)+L1*h+O(h) con O(h) che e' una funzione infinitesima in h
cioe'
O(h)/h->0 per h->0.
Dunque f(x0+h/2)=f(x0)+L1*h/2+O(h/2) e f(x0-h/2)=f(x0)-L1*h/2+O(-h/2)
da cui
(f(x0+h/2) - f(x0-h/2))/h=L1+(O(h/2)-O(-h/2))/h
e quindi nel limite h->0 per la proprieta' dei limiti e di O(h) di
essere infinitesimo, cioe'
Lim[(O(h/2)-O(-h/2))/h,h->0]=
Lim[(O(h/2)/h,h->0]-Lim[O(-h/2))/h,h->0]=0,
si ottiene
Lim[(f(x0+h/2) - f(x0-h/2))/h,h->0]=L1.
Saluti.

 f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2) ) / h, h -> 0]
SONIA.... :)
poi quando vedrai che e' cosi' ti morderai sul gomito (proprio li' dove
non arrivi ..:)..)
Che cosa ti turba in questa ambivalenza, da non fartela scorgere? .....
ricorda che devi spremere le meningi,   sappi che e' una cosa umana la
matematica, cosi' come la vede il tuo prof. la devi vedere anche tu!
Che significa lim per x che tende a x0, sui reali? significa che |x-x0|
tende a...?
Che significa lim per h che tende a 0, sui reali? significa che
{(x0+h/2) - (x0-h/2)} il quale e' anche {x0 + h/2 - x0 + h/2} tende a
quanto?

 ha scritto nel messaggio 
news:1158050881.6...@b28g2000cwb.googlegroups.com...

Sei sicuro di questo? Nel primo limite x->x0 e hai che f(x) si avvicina a 
x0. A questo valore (f(x) che tende a x0) sottrai "esattamente" f(x0). Metti 
che in x0 la funzione non sia definita ma lo sia, rispetto al secondo 
limite, in x0 +/-h/2... e sei irrimediabilmente fottuto. Secondo me la 
seconda vale una volta stabilita che esiste finito il limite della prima. 
Come da definizione di derivata.