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Titolo: frequenza del fotone

Un saluto a tutto il NG!
Tre domande collegater fra loro (dalla mia ignoranza in elettromagnetismo)
1) Come mai lo spettro della luce solare è continuo? Nel dominio del tempo
questo non dovrebbe equivalere ad un fenomeno aperiodico? Però la luce è un
fenomeno periodico (l'onda e.m. intendo)?
2) quando si dice "i fotoni della luce solare" ci si riferisce ad un fotone
ad una sola frequenza che ha come spettro lo spettro continuo della luce
oppure ad uno scieme di fotoni a frequenza diversa??
3) Infine: come si può dire che un fotone non è necessariamente
monocromatico?? Che nesso c'è tra la frequanza del fotone e quella dell'onde
del suo spettro??
Grazie a chi vorrà aiutarmi!

 del suo spettro??
Alla 3) penso di averti già risposto: per es.: un' onda e.m. composta da tre
frequenze avrà 3 gruppi di fotoni, uno per ogni freq.., e saranno
distribuiti
in numero in base alla potenza relativa della rispettiva frequenza.

 in numero in base alla potenza relativa della rispettiva frequenza.
Ma il caso che dici sopra (tre freq.) si riferisce a tre fotoni
monocromatici?? Cosa intendi per gruppo di fotoni??
Chiariamoci: se un fotone ha una freq. che è la freq. della generica
armonica che compone lo spettro, sarebbe necessario, per uno spettro
continuo un numero infinito di fotoni: e non è così, ovviamente. Quindi se i
fotoni devono essere finiti, ecco che è necessario che il loro spettro (lo
spettro di ogni singolo fotone) sia continuo.
Ed ecco che ritornaimo alle domande di sopra.
Grazie per la pazienza.
nessuno

come mai le onde si chiamano onde? E come mai il fotone ha una
frequanza?
Secondo me, le tue perplessita' nascono da una certa confusione di
termini. In particolare, una mescolanza tra concetti matematici e
concetti fisici. Io, personalmente, uso il termine "fotone" soltanto
per il  caso monocromatico: il fotone dev'essere stato creato a
t=-infinito e deve vivere fino t=+infinito. Solo in questo caso la
relazione k=omega/c vale esattamente e quindi si puo' parlare di
impulso, dunque di particella fotone.
 
Si possono anche avere onde quasi-monocromatiche (i pacchetti d'onda,
cosiddetti), per i quali la relazione k=omega/c vale solo in media; e
onde qualsiasi, per le quali la relazione non ha proprio senso.
Tu, giustamente, ti chiedi come mai parlando di fenomeni periodici,
talvolta si fa uso degli spettri continui. La mia opinione e' che, a
rigore, dal punto di vista fisico non esistono fenomeni esattamente
periodici, dato che tutto ha un'inizio e una fine, e dunque non
esistono gli spettri continui. Ma se il fenomeno dura abbastanza, lo
spettro continuo e' un'ottima approssimazione della realta' e
semplifica il calcoli (fare integrali e' piu' facile che fare
sommatorie).
Michele
-- 
Signature under construction. 

 impulso, dunque di particella fotone.
E qui non mi ritrovo più :-(
Se il fotone è monocromatico, devono essere emessi una infinità di fotoni
(uno per ogni freq. dello spettro). Io cominciavo a convinecermi che in
realtà i fotoni avessero ognuno uno spettro continuo perchè in realtà ognuno
fosse prorpio un fenomeno aperiodico. Ossia un pacchetto d'onda (forse uso
improrpiamente questa locuzione): insomma qualcosa di non periodico e di più
o meno circoscritto nel tempo. Certo mi restava ancora da capire cosa fosse
la frequenza che figura nella relazione di Planck :-)) ed in che modo si
potesse considerare non periodico il fenomeno da un punto di vista classico
(*onde* elettromagnetiche). C'entra forse il fatto che ogni fenomeno non è
infinito nel tempo e quindi non periodico (se non "localmente)?
Fatemi capire...che mo' esco pazzo.

 Ed ecco che ritornaimo alle domande di sopra.
Se и per questo allora considera un segnale periodico di una singola
frequenza: il suo spettro и una delta: ok, ma affinchи cosм sia sono
necessari *infiniti* fotoni nel tempo (cioи un'onda da tempo -inf a
tempo +inf). Il che mi sembra altrettanto assurdo. Se quindi limitiamo
questa onda in certo intervallo di tempo abbiamo perт che quest'operazione
equivale a una convoluzione in frequenza con la trasformata del rettangolo
temporale a cui abbiamo limitato l'onda. Ed ecco che la delta si allarga,
trasformandosi in uno spettro continuo... Ti ho dato uno spunto per pensare
alla questione matematica della faccenda, sappi perт che qui entra in gioco
anche
la meccanica quantistica: c'и un principio di indeterminazione tra energia
(e quindi
frequenza dei fotoni) e tempo: piщ stringi l'intervallo temporale del tuo
segnale e.m.
piщ si allarga lo spettro, cioи l'incertezza riguardante la determinazione
della frequenza
dei fotoni che costituiscono il segnale stesso. Ma qui magari lascio la
parola agli
esperti del settore :) ...

 matematica della faccenda,
Oh....mo' copmincio a ritrovarmi!
Forse la risposta ai miei problemi era prorpio nel fatto che.....
Aspetta un attimo: non farmelo ripetere, che è lungo. Mi faresti una
gentilezza grandissima.? Leggeresti quello che ho scritto in risposta al
post di Elio Fabri nel thread "livelli energetici"?
E' esattamente quello che volevo scriverti qui!
Grazie

 la sua A(w) è una delta.*
Io direi, alla luce di quello che mi hai spiegato (grazie :-) che il fotone
ha sì una sua frequenza ben precisa, ma che non è un fenomenop periodico per
via della sua finitezza temporale. In virtù di ciò ecco che è necessario
conmbinare le infinite frequenze di uno spettro continuo (non delta di
Dirac) per ottenere che a monte ed a valle del fotone, la somma delle
"armoniche", delle vere onde monocromatiche infinite nel tempo (quelle dello
spettro) sia nulla. Così avremo "delimitato" il fotone, con la sua bella
forma d'onda sinusoidale (è corretto dire "sinusoidale" per questo fenomeno
ondulatorio finito nel tempo?), la sua frequenza, ecc.
Ho capito qualcosa??

 la frequenza che figura nella relazione di Planck :-)) 
Nel caso quasi-monocromatico (pacchetto), k va sostituito con un valore 
medio (dato che ora hai molti k, uno per ogni componente, no?) e anche 
la velocita', invece che c, va sostituita con la velocita' di gruppo, 
come si dice.
Per come uso io i termini, il fotone propriamento detto e' localizzato 
in frequenza, mentre il pacchetto e' localizzato in posizione. Questa 
ambivalenza e' un riflesso del principio di indeterminazione: se  vuoi 
una posizione precisa, hai una frequenza non definita (pacchetto); se 
hai una frequenza definita, hai una posizione non definita (fotone).
Insomma: devi parlare di "fotone" nei casi in cui fai analisi nel 
dominio delle frequenze e devi parlare di "pacchetto" se sei nel dominio 
spaziale. Spero che quest'ultima osservazione ti abbia chiarito il problema.
Michele

 periodico per via della sua finitezza temporale.
Affermazione magnificamente contraddittoria :-))
A questo punto il nocciolo del problema e': un fotone ha una frequenza
(e quindi un'energia) definita?
Vedo che propendete per il si', mentre invece la mia risposta e' un
nettissino *no*.
L'energia per un fotone (come per qualsiasi altro oggetto,
particella...) e' un'osservabile quantistica, e a seconda dello stato
del sistema puo' avere un valore definito oppure no. Di fatto, nel
mondo reale, la regola e' no.
Per es. un atomo viene portato a un livello eccitato mediante un
brevissimo impulso laser, poi viene lasciato in pace.
Esso emette un fotone e torna allo stato di partenza.
E' ovvio (questo lo dite tutti) che il fotone ha un'estensione finita
nello spazio e nel tempo: quindi *non puo' avere* un'energia definita.
Analizzato con un spettrosopio di sufficiente potere risolutivo, esso
si "separera'" nelle diverse comnponenti monocromatiche.
Il che e' un pessimo modo di esprimersi, perche' il fotone non si
"divide in frammenti"; ma se lo spettroscopio possiede una batteria di
rivelatori in corrispondenza delle diverse l. d'onda, esiste una prob.
finita che il fotone venga visto da uno o da un altro rivelatore.
Questo *e' un comportamento del singolo fotone*: se ripeto
l'eseprimento piu' volte, con un fotone per volta, essi andranno uno
qua e uno la'.
Ma non potete sostenere che atomi identici, trattati allo stesso modo,
emettano fotoni di diversa energia...
Del resto nello stesso esperimento, se invece di uno spettroscopio
usate semplicemente dei rivelatori posti attorno all'atomo, troverete
che a volte il fotone va in un poso e volte va in un altro.
Quindi neppure la sua direzione di emissione (quindi l'impulso) e' ben
definita.
Ma c'e' di piu': ormai da decenni si sono fatti esperimenti, detti di
"quantum beats", consistenti in questo.
Si crea per un atomo una situazione in cui esso ha due livelli
eccitati, vicini ma non coincidenti.
Con un opportuno impulso laser si porta l'atomo in uno stato che e'
sovrapposizione di questi due: quindi in uno stato non stazionario,
con energia non definita.
Da quello stato l'atomo ritorna al fondamentale, emettendo il solito
fotone. Come e' fatto questo fotone? (*Un* fotone, badate!)
Per vederlo, si mette un rivelatore e si studia il tempo di ricezione
del fotone dal rivelatore.
Si trova un "battimento", nel senso che la prob. di ricevere il fotone
invece di decadere gradatamente nel tempo, come andrebbe nei casi
semplici, oscilla con una frequenza legata alla differenza di energia
dei due livelli.
In questo caso dunque il fotone emesso e' in uno stato che e'
sovrapposizione di due con energie diverse; non e' stazionario, e
in termini classici verrebbe descritto con due onde monocromatiche
sovrapposte.
Pero' il fotone e' uno solo...
 
 
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 Ho capito qualcosa??
Riassumendo le cose dette nei vari post:
Per affermare con esattezza "un fotone ha una frequenza f" bisogna conoscere
il suo andamento temporale su un tempo infinito, e cioè verificare che
l' onda e.m. ad esso associata abbia una frequenza f da -inf a +inf. (nota
quindi che la frequenza f del fotone, quella di E=hf, è la medesima f
dell'onda
associata). Questo fatto lo vedi o con le proprietà della trasformata
(limitando
un segnale periodico nel tempo equivale a convolvere nelle frequenze e
questo
dà uno spettro non discreto) o con il principio di indeterminazione tra
frequenza e
tempo (se voglio sapere con esattezza la frequenza, devo conoscere
l'andamento del fotone su un tempo infinito; viceversa se voglio localizzare
il fotone
in un intervallo temporale tendente a zero, lo spettro si allarga
all'infinito).
Resta il fatto comunque che per affermare sperimentalmente
che una certa onda e.m. ha frequenza f, basta un'osservazione su un tempo
finito,
cioè su un numero finito di periodi. Questa f sarà anche la f che si associa
ai fotoni
dell'onda, e da questa si dice "i fotoni hanno energia E= h*f ". Chiaramente
con
tutte le limitazioni matematiche e fisiche spiegate sopra.
Comunque sia uno spettro ottico continuo (di un segnale quindi non
periodico)
non è generato solamente da questi "troncamenti matematici" di segnali
periodici.
Un esempio pratico: se fai propagare un impulso laser molto breve e intenso
all'interno di
particolari mezzi trasmissivi, tramite degli effetti di ottica non lineare
lo spettro
(continuo) in ingresso viene allargato, generando nuove frequenze (e quindi
nuovi fotoni aventi quelle frequenze).
Spero di esserti stato utile.

 nello spazio e nel tempo: quindi *non puo' avere* un'energia definita.
Ed и qui che ti perdo. Voui dire che per il principio di indeterminazione la
freq. e quindi l'energ. del fotone и indetermionata perchи il fotone и
circoscritto nel tempo e nello spazio???
Provo a riassumere conclusioni e domande.
1) l'o.e. da un punto di vista classico и un onda :-) e non и periodica per
sua natura.
2) probabilmente non и la "finitezza" temporale la causa della aperiodicitа,
ma il fatto che essa и intrinsecamnete complessa ed aperiodica. Cioи anche
se esistesse da sempre e per sempre, sarebbe comunque aperiodica.
3) infatti, un fenomeno per essere periodico deve avere due requisiti.
essere temporalemnte infinito e ripetersi in maniera regoilare ogni periodo
di tempo T.
4) le o.e. non sono periodiche perchи mancano di entrambi i requisiti: non
sono nи infinite, nи sono il semplice ripetersi di un fenomeno ripetitivo in
maniera regolare.
5) ecco quindi che lo spettro и continuo
6) il fotone non so prorpio cosa sia. me lo immagino come un pezzo di onda
finito nello spazio e nel tempo.
7) apprendo oggi che in virtщ della 6), nesun fotone ha una freq. ed una
energia precise
8) rimane il fatto che il fotone come pezzo di onda и di certo aperiodico
(almeno poichи finito nel tempo...ma ripeto, anche poichи itrinsecamente
aperiodico): e forse a queso contribuisce anche il fatto che esso non abbia
freq. definita (la butto qui)
9) di conseguenza anche il fotone ha uno spettro continuo
Domande (solo due)
1) si puт dire quindi che di un preciso fotone non posso conoscere
esattamente la freq.e l'energia se ne conosco le "coordinate"spaziali e
temporali in maniera precisa?
2) se abbiamo appurato finalmente che queste benedette onde non sono
periodiche (e credo, ripeto, non solo poichи finite, ma prorpio perchи
intrinsecamente aperiodiche), come mai sui libriqueste onde vengono mostrate
come questa oscillazione regolare e precisa di campi elettrici e magnetici
perpendicolari, ecc ecc? Forse queste sempolificazioni didattiche vogliono
mostrare l'armonica ideale monocromatica???
Grazie

Questa mattina avevo un appuntamento col mio tutor di fisica.
Si è fatto trovare un laureando che non conoscevo e quindi ho dovuto
incrociare le dita.
Cmq avevo studiato ieri sera le cose che mi hai scritto e questo mi ha reso
più facile seguirlo nelle sue spiegazioni.
Ha detto quanto segue (fammi sapere se ho capito bene).
Premessa matematica:
Ha confermato le cose che ho scritto qui su Fourier e cioè
1) lo spettro delle frequenze di un'onda è  il modo in cui la energia
dell'onda si distribuisce tra le varie frequanze armoniche che
"costituiscono" l'onda. Dovrebbe trattarsi di una funzione della densità
dell'energia in funzione della freqenza.
2) l'analisi nel dominio delle freq. si ottiene integrando l'onda A(t)
"lungo" t, con Fourier. Quindi mi serve una funzione del tempo che mi dica
come l'energia (è giusto dire ampiezza?) varia nel tempo.
3) se ho un'onda descritta da A(t) periodica, avrò uno spettro non continuo
(anche se
formato da una infinità numerabile di componenti di frequenza). Se A(t) è
monocromatica, avrò una delta di Dirac.
4) quando lo spettro è continuo, ho che A(t) non è periodica, ma aperiodica.
5) un fenomeno aperiodico tramite la trasformata di Fourier mi dà uno
spettro continuo. Il fenomeno aperiodico viene considerato come un evento
periodico a periodo infinito e freq. zero.
Mi ha aggiunto che: l'ordinata dello spettro è la densità di potenza
(potenza/freq.) per gli spettri continui e la potenza per gli spettri non
continui
Mi ha anche aggiunto che non è importantissimo che una A(t) sia infinita nel
tempo, nel senso che possimao sempre considerarla tale anche se non lo è
Anche un diapason reale non emette un suono periodico: l'intensità delle
oscillazioni varia da zero (inizio della vibrazione) a zero (fine della
vibrazione). Quindi dobbiamo ricorrere ad un diapason ideale che oscilla con
freq. precisa e con ampiezza costante. Ed ipotizzare che stia suonando da
sempre e per sempre.
Visione classica delle o.e.
L'onda e.m. non è un fenomeno periodico. Non è un diapason che suona, ma un
vetro che si infrange. E non è neppure come una corda pizzicata, ma
piuttosto come un rumore.
A(t) èuna funzione tutt'altro che periodica. Se prendiamo un pezzo di onda
lungo 1 secondo (glielo ho suggerito io :-)) non otteniamo qualcosa di
periodico neppure a quella scala.
Le onde che vediamo sui libri, quelle tutte belle e regolari, sono in realtà
le armoniche ideali dello spettro. Sono sinusoidali e va ipotizzato che
esistano da sempre e per sempre. Sono onde ideali, come il suono di un
diapason ideale. Nessun oscillatore reale le emette neppure per tempi brevi.
Ecco perchè integrando A(t) di un'onda reale abbaimo uno spettro continuo.
Inoltre i fenomeni ondulatori sono in natura quasi tutti aperiodici, nessuno
perfettamente sinusoidale e quasi tutti aperiodici. Tutti finiti nel tempo.
Per pensare alle armoniche è necessario, ripeto, immaginare un'onda
sinusoidale ad estensione temporale infinita. Questo richiede fourier per
dare uno spettro discreto.
Il sole è una miriade di oscillatori irregolari che emette onde variabili
nel tempo e nello spazio in maniera aperiodica. La sovrapposizione di tutte
genera il campo "netto" che ha le medesime caratteristiche di irregolarità e
non periodicità.
Visione Quantistica.
Mi ha detto, in riferimentoa questa, che devo aspettare di studiare M.Q. e
che ogni tentativo di considerare il fotone come un pezzo di onda è
destinato a fallire.
Cmq, gli ho strappato qualche parola.
Il fotone reale non è mai monocromatico. Quello monocromatico è ideale. Ha
estensione temporale infinita e frequenza precisa. E può essere considerato
alla stregua dell'onda sinusoidale ideale (visione classica), il componente
elementare dello spettro (armonica). Per Heisenberg se penso ad un fotone
crcoscritto nel tempo ecco che ho una frequenza ed una energia
indeterminate, anche fortemente. Se si considera (ma è sbagliato e
riduttivo) il fotone circoscritto nel tempo come ad un pacchetto di onde,
anche questo si presenterà cmq non periodico, oltre che limitato
temporalmente. Di qui il suo spettro continuo. Se penso al fotone come ad un
suono non puro, ecco che avrà lo spettro discreto, se penso al fotone
monocromatico, ecco che avrà lo spettro con una sola riga alta quanto la
potenza dell'onda o, se uso la densità di potenza in luogo della potena, una
delta di Dirac. Ma cmq questa è una visione classica in cui considero un
pezzetto di onda e lo chiamo fotone. Ma il fotone è un'altra cosa: non è un
pezzo di onda e la sua frequenza non è il numero di cicli a secondo
(concetto che si riferisce alle onde). Il fotone è iù una particella che
un'onda. LA sua energia è conosciuta solo se rinuncio a conoscere la sua
estensione temporale.
Mi ha fatto infine questo esempio: immaginiamo un oscilatore perfetto ed
ideale, che emetta un fotone. Se consideriamo il pezzo d'onda, dobbiamo cmq
vederlo come aperiodico, per le variazioni di ampiezza nel tempo. Ma
possiamo immaginare che anche l'ampiezza sia costante dall'inizio alla fine.
Sembrerebbe prorpio un'armonica, un'onda sinusoidale. Un'armonica.
Pensiamola ora come fotone. Se pensiamo al fotone come pezzo di onda ci
troviamo davanti a questo paradosso: è sinusoidale, è monocromatico, ha una
frequenza precisa. Sembrerebbe avere uno spettro monobanda. Ma per
Heisenberg, essendo circoscritto nel tempo e enllo spazio, non può avere
nessuna energia (e quindi freq.) precisa. Quindi non è sinusoidale, non è
periiodico. Insomma è allo stesso tempo periodico e non periodico. E questo
paradosso solo perchè il fotone nopn è un pezzo d'onda.
Mi dici se ho capito almeno qualcosina di più rispetto a quello che sapevo
ieri??? Per favore!!

 Pero' il fotone e' uno solo...
Risposta molto illuminante, e certamente inoppugnabile. Ma e' talmente
piu' facile  pensare alle particelli elementari in termini di
autostati dell'impulso, dello spin, della carica etc,  che quasi si
finisce per identificarle con gli autostati stessi, perdendosi il
meglio.  In realta'  bisognerebbe dire che un particella elementare
e' un autostato della massa (m) e del *modulo* dello spin (s),
giusto?
Ma certe cose riesco a vederle meglio di altre. Ad esempio, se riesco
a vedere una particella in un stato S (momento angolare nullo;
stesssa probabilita' di trovarla in qualsiasi punto di una superficie
sferica) mi riesce piu' difficile pensare ad un particella che e'
sovrapposizione di due impulsi diversi k1 e k2 (misurando, trovo
l'uno o l'altro dei due risultati, e nessun altro, con frequenze
fissate dai quadrati di certi coefficienti, etc), e chiamarla ancora
"fotone", o "elettrone".
Cavolo: ma allora il Sole emette un solo, quasi-sferico, enorme
fotone!


 nopn è un pezzo d'onda.
No, questo non mi convince.
Intanto, potresti fare lo stesso discorso senza nominare i fotoni.
anzi neppure le onde.
Prendi il tuo oscillatore ideale, inteso come oscillatore radio, con
la sua brava antenna, campo e.m., ecc.
Supponiamo che la frequanza sia 100 MHz.
Lo ricevi con la tua radio, e se guardi il segnale con l'oscilloscopio
vedi una bella sinusoide.
Ora fai il seguente giochetto (oggi perfettamente possibile):
inserisci un circuito che "taglia" il tuo segnale, lasciandolo passare
solo per un microsecondo, ossia per 100 cicli.
Tu lo guardi, e vedi la stessa sinusoide di prima.
Lo mandi a un analizzatore di spettro, e quello ti dice che il segnale
ha una larghezza di banda di circa 1 MHz, ossia ha uno spettro
continuo, attorno ai 100 MHz iniziali.
Paradosso?
Se c'e', non ha niente a che vedere coi fotoni...
Pensaci un po' su...
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Fro

 fotone!
Eh no, non esageriamo :-))
Il picco d'intensita' nella radiazione solare e' piu' o meno nel
giallo-verde, che in termini di fotoni fa 2 eV.
La potenza emessa e' 4x10^33 erg/s, pari a oltre 2x10^45 eV/s.
Come vedi, ogni secondo escono dal Sole oltre 10^45 fotoni!
Qui stiamo girando attorno a un altro problema: come mettere d'accordo
la descrizione classica di un'onda e.m. e quella in termini di
fotoni...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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F

 
E infatti, mi piacerebbe lei mi spiegasse meglio questo aspetto. 
I so (librescamente, non altro)  che per parlare correttamente di
campo em  ci vuole la Seconda Quantizzazione, gli operati (a) e (a+)
e tutto il resto e che, per dirla alla grossa, il campo em e'
un'assemblea di fotoni indipendenti, che vengono dinamicamente creati
e distrutti nelle varie interazioni.
I fotoni di cui si parla nella Seconda Quantizzazione sono, come tutte
le particelle, autostati dell'impulso, no? E per assegnare il campo
em basta assegnare la sua composizione in termini di fotoni, cioe' il
numero  n(k) di fotoni che hanno impulso k (trascuriamo le
polarizzazioni, etc)
Tutto quello che succede nell'interazione tra luce e materia e' che la
composizione degli n(k) e' differente tra il "prima" e il "dopo". E'
giusto fin qua?
E qui viene ora il mio dubbio:  io posso comprendere che se un atomo
emette due fotoni in direzione opposta +k e -k, questo significa che
n(k) e n(-k) sono aumentanti di una unita'. Lo comprendo perche', in
fondo, non mi sembra granche' ... quantistico. Ma cosa devo dire se
l'atomo emette "un fotone" che e' in una sovrapposizione di due stati
quantici +k e -k? Cosa posso dire dei numeri n(k) del campo, in
questo caso? Forse che questi n(k) si "sovrappongono" anch'essi?
Sono sicuro che lei ha capito che e' a causa di questo mio
(vergognoso) dubbio (cioe', il non aver compreso realmente la seconda
quant.) che non mi riesce di parlare di fotoni non monocromatici.


 Pensaci un po' su...
Grazie, mi hai aiutato moltissimo.
Lo so che non puoi consacrare tutta la tua vita al NG, ma sapessi quanto è
piacevole ed utile vedere che qualcuno ti capisce meglio di te stesso e ti
dice in tre parole quello che altri libri e professori ti spiegano (senza
farti capire niente) in 20 ore di studio
Grazie

 caso? Forse che questi n(k) si "sovrappongono" anch'essi?
Alla luce di quanto detto sopra, lo stato che dici si scriverebbe:
|1,k>+|1,-k>
che e' un autostato del numero di fotoni, con autovalore 1, sebbene
l'impulso di quell'unico fotone non sia determinato.
Invece questo non e' autostato di n(k) o di n(-k): e' una
sovrapposizione di due autovettori con autovalori 0 e 1.
E' chiaro che allargando la sovrapposizione puoi fare stati _con un
solo fotone_ ma con una funzione d'onda che e' un "pacchetto" di forma
arbitraria.


 e' un assioma).
secondo te l'assioma di separabilita' e' un comodo accidente o e' 
veramente un assioma necessario? Cioe': ha un significato(quale?) fisico 
al quale non possiamo rinunciare per qualche motivo se vogliamo 
costruire una teoria quantistica?
Sicuramente per finiti gradi di liberta'(restringiamoci a questo caso) 
ci permette di dimostrare teorema il di Von Neumann sulle 
rappresentazioni delle relazioni di commutazione, e questo ci fa 
piacere, ma...c'e' sotto qualcosa d'altro?
E in teoria dei campi? Perche' vogliamo per forza avere ancora la 
separabilita'?
Non nascondo che non lavoro da un bel po' di tempo su queste cose di 
Meccanica Quantistica e dunque forse pongo male le domande.
ciao
slacky
-- 
Linux User #312588 ( 
http://counter.li.org
 )
Powered by /dev/brain on /mnt/myself(...and Slackware 9.1 :-) )

 sovrapposizione di due autovettori con autovalori 0 e 1.
Ora comincio a capire. Mi sono riletto le parti relative ai numeri
n(k) e ho capito meglio. Non sono numeri! Non sono il risultato di
qualche tipo di conteggio, come sarebbe nel caso di uno sviluppo
classico in modi normali. Gli n(k) sono variabili a carattere
quantistico, proprio come x o p, con i loro bravi valori medi, le
loro fluttuazioni e le ampiezze associate \Phi(n1,n2,n3 ...) (la
funzione d'onda). Nel caso in oggetto, n(k) non vale niente su quello
stato.
Ho capito meglio ora?
Dato che ormai ci sono, tiro fuori anche quest'altro "scheletro
dall'armadio" , a proposito dei fotoni, anche se farlo in pubblico mi
costa  :-). Magari pero' la risposta puo' essere utile a qualcun
altro. 
Se posso avere impulsi non definiti, significa che il fotone non ha
neanche una velocita' definita, ma soltanto una velocita' media.
Giusto? Supponendo di essere nel vuoto, quant'e' questa velocita'
media? Dev'essere sempre "c", a causa dei postulati della
Relativita', oppure no?


 modo caotico, anche in direzione.
I numerosissimi emettitori solari, da un punto di vista classico, emettono
queste onde che si sommeranno tra loro dando un campo netto di valore A(t,x)
per ogni (x,t). Se prendo diversi pezzi di questo campo, ottengo più o meno
il medesimo spettro. Ipotizzo per ora che i pezzi d'onda "ritagliati" dal
campo e.m. solare siano prelevati alla stessa ora e cmq a parità di altre
condizioni in grado di influenzare la composizione dello spettro. Insomma
immagino che più o meno il campo sia simile in ogni punto attorno al sole
(come spettro). O ritaglio qua o ritaglio la, lo psettro è sempre simile.
Dal punto di vista quantistico, posso dire che i singoli fotoni hanno tutti
più o meno il medesimo spettro? O è come se fossi sceso ad una scala troppo
microscopica (è come se cioè avessi ritagliato pezzi troppo piccoli di campo
per poter avere un effetto statisticamnete simile in ognuno)?
Per me, se ho capito qulcosina, dovrebbe essere vero che i fotoni siano più
o meno tutti simili tra loro, ognuno con lo spettro caratteristico della
luce solare.(Ovviamnete non è  il fotone a "dividersi" nelle componenti
spettrali nell'attraversare uno spettroscopio, ma statisticamente i vari
fotoni "disegnerebbero" lo spettro, no?).
Però questa precedente osservazione mi fa venire un dubbio.
Infatti penso agli sterminati emettitori solari e mi viene spontabeop
pensare che i fotoni così emessi siano piuttosto diversi tra loro.
Anche da un punto di vista classico mi viene da pensare che i vari
emettitori emettano in modo diverso l'uno dall'altro.
Poi però mi viene da pensare che, in fisica classcia, tutte queste onde
diverse si sommino dando - ad una scala che non sia più
 quella atomica - un campo netto piuttosto simile da punto a punto attorno
al sole e da momento a momento. Una omogeneizzazione statistica, direi :-)
Ma se tutto quello che ho scritto è almeno quasi esatto, come facciamo con i
fotoni?
Questi sono emessi abbastanza diversi gli uni dagli altri, ma allo stesso
tempo ipotizzo che il generico fotone preso "in periferia", lontano
dall'atomo di emissione, diciamo pure in prossimità del mio occhio, sia
piuttosto omogeneo a quello che si becca l'occhio del mio vicino. Per
conciliare queste due cose devo forse ipotizzare che anche i fotoni
interagiscano tra loro come le onde che si sommano e diano vita a fotoni
"risultanti"??
Grazie

 diano vita a fotoni "risultanti"??
Ho provato a rispondermi. Riporto qui la mia autorisposta, così se è
corretta puoi più economicamnete rispondermi con un semplice: ok!
I fotoni non interagiscono come onde (qui mi sarei ingannato), ma come
particelle. Viaggiano indipendentemente l'uno dall'altro, così come
indipendentemente sono stati emessi. Se vogliamo considerare lo spettro di
ognuno, si possono avere delle importanti variazioni da fotone a fotone (che
dipendono dal range di energia ammesso per il fotone in questione). Se
macroscopicamente puoi spiegare la relativa omogeneità* del campo con il
fatto che onde molto diverse si sono sommate, per i fotoni bisogna dire,
sempre macroscpicamente, che è statisticamente più facile "incontrare" un
determinato tipo di fotone piuttosto che un'altro. Ma scendendo a scala
microscopica, o si parla di fotone o si parla di onde, lo spettro può essere
significativamnete diverso da fotone a fotone e da pezzo d'onda a pezzo
d'onda.
Mah....chissà!
Ciao e grazie
* quando dico campo macroscopicamente omogeneo, intendo dire che se prendo
uin pezzo "lungo" un secondo di campo e.m. nel punto x fuori dal mio balcone
o nel punto z fuori del balcone della signora accanto, ottengo più o meno il
medesimo spettro con picco nel giallo.

 Percio' in realta' e' piu' significativo l'integrale.
Scusa se mi intrometto :-)
Non capisco come mai tu ne faccia una questione di opportunità!
Insomma, mica si può scegliere se fare la serie o l'integrale. Nel senso
che se il segnale è aperiodico, come si fa a fare lo sviluppo in serie? Che
io sappia
lo sviluppo in serie è una somma di infiniti termini sinusoidali: come si fa
ad ottenerla da un segnale aperiodico? Non è una polemica, ci mancherebbe: è
una domanda!
Aspetto risposte.
Ciao,
LaC.

 una domanda!
beh, mi intrometto anche io: se hai una funzione non periodica su un 
intervallo finito(sia spazialmente che temporalmente,nel nostro caso, 
per ragioni fisiche), la estendi ad una funzione periodica e ti fai la 
serie...dove e' il problema? la serie di fourier converge alla funzione 
originaria molto bene...tranne che negli estremi dell'intervallo. Poi ti 
vai a considerare solo la restrizione della serie all'(interno) 
dell'intervallo originario. La restrizione a questo intervallo non 
definisce chiaramente una funzione periodica, ma la serie converge lo 
stesso, ovviamente.
Guarda sul libro di analisi due di Giusti.
ciao
slacky

 Meccanica Quantistica e dunque forse pongo male le domande.
No, la domanda mi pare chiara.
Ho guardato. Se hai accesso a quel libro la questione e' discussa al
par. 2-6.
Per quello che ho ricostruito da una scorsa frettolosa, direi che
l'argomento e': non c'e' bisogno di spazi non separabili.
Streater e Wightman discutono alcuni esempi che darebbero luogo a
spazi non separabili, e fanno vedere che in realta' gli stati fisici
sono solo un "tiny subspace", appunto separabile.
C'e' poi un discorso sul limite termodinamico in meccanica statistica,
troppo sommario per poterlo capire...
Altro contributo: il teorema di ricostruzione di GNS sotto opportune e
ragionevoli ipotesi per i valori medi sul vuoto porta ancora a uno
spazio separabile.
I neuroni hanno protestato un po', ma ora ringraziano :-)


 la serie di fourier converge alla funzione originaria molto bene...
volevo dire alla periodicizzata della funzione originaria...
ciao
slacky

 spazio separabile.
sai, in fondo penso di non aver mai capito tanto bene il teorema GNS. In 
qualche modo continuo a confonderlo con un teorema di rappresentazione 
di C*algebre, dove non si arriva da nessuna parte a qualche cosa che 
assomigli lontanamente alla separabilita'. Puo' essere che il problema 
sara' che mi sfugge qualche assunzione di carattere fisico...
Dovrei cercarmi un po' di tempo per pensarci su seriamente. Lo si 
trovera'? Mah... per ora devo tornare alla mia curvatura... :-)
ciao e grazie
slacky

 oppure no?
Giustissimo, e la domanda non e' banale, e la risposta sconcertera'
molti, suppongo :)
La velocita' media non e' che la "velocita' di gruppo", che di regola
(anche nel vuoto) e' minore di c.
Preciso meglio: questo accade tutte le volte che sono presenti impulsi
non paralleli.
Per fare un esempio concreto: se un atomo d'idrogeno con un
transizione 2p-->1s emette un fotone, questo avra' energia molto ben
definita, ma impulso totalmente indeterminato (come vettore).
In questo caso la velocita' media e' nulla!
Incidentalmente, per uno stato di molti fotoni con fase ben definita
si puo' anche parlare di "velocita' di fase", e questa puo'
benissimo essere maggiore di c.
Non molto tempo fa c'e' stato un po' di rumore (secondo me del tutto
ingiustificato) per esperimenti che avrebbero appunto "superato" c.
In realta' avevano solo realizzato questa situazione, ben nota da
moltissimo tempo.


> modo caotico, anche in direzione.
Ciao da nessuno, il quale spera che tu non abbia preso troppo alla lettera
la faccenda dei sei mesi! .-) Scherzi a parte, spero tu vorrai presto dirmi
qualcosa rispetto al discorso lasciato in sospeso. Nel post a cui sto
rispondendo adesso ho riportato una risposta ricevuta dal mio tutor. Non
voglio una analisi approfondita, ma almeno che tu mi dica come e dove
sbaglio......
Grazie di cuore

 mi dica come e dove sbaglio......
C'e' solo il problema che essendo passato oltre un mese, il news
server non conserva il vecchio post, e io non mi ricordo niente.
Percio' dovresti ricominciare daccapo...


 Percio' dovresti ricominciare daccapo...
Ho riletto i vecchi post ed erano prorpio incomprensibili, lunghi e mal
posti. Provo a farne un bel riassunto.
Il nocciolo della questione che ti ponevo è se alla fin dei conti un fotone
solare ha uno spettro ampio quanto tutto lo spettro solare o se ne copre
solo una parte.
Cioè: il caratteristico spettro solare è lo stesso per ogni fotone emesso
dal sole? I fotoni emessi sono quindi tutti uguali?
La risposta a cui ero giunto è: no!
I singoli fotoni coprono una banda di ampiezza più piccola dell'intero
spettro solare. Così non si può dire che i fotoni emessi dal sole abbiano
tutti lo stesso spettro. La verità sarebbe che esistono fotoni con banda
(sempre continua e mai discreta*) ora centrata attorno al giallo ora attorno
al rosso ecc ecc. Ossia delle bande più o meno ristrette. Statisticamente
però ci arrivano fotoni dei deversi tipi e se facciamo passare il fascio
attraverso il prisma, avremo che ognuno andrà ora qui ora la.
Ogni singolo fotone può "scegliere",  passato il prisma, di finire su un
rilevatore di frequenza di quelle comprese nella sua banda. Il fotone
successivo avrà magari una banda diversa e così farà le sue "scelte"
nell'ambito dell'intervallo di frequenze che gli competono. Nel complesso
otterremo lo spettro solare completo (come somma degli spettri dei singoli
fotoni)
Il fatto di avere un profilo spettrale piuttosto che un altro dipenderebbe
dal fatto che statisticamente i fotoni nella regione del giallo sono "di
più"  di quelli nelle regioni del rosso o del violetto.
La seconda cosa che ti chiedevo è se per avere l'intero spettro solare fosse
necessario un numero di fotoni più o meno grande. Essendo cioè questo
spettro un risulato statistico, con soli 10 fotoni rischierei di avere uno
spettro "somma" non proprio uguale a quello solare. E così mi chiedevo
quanti
fotoni fossero necessari per avere un risulatato statisticamente
approssimato allo spettro solare. E, sul piano della fisica classica, ti
chiedevo quanto grande (nel tempo e/o nello spazio) dovesse essere il
"pezzo" di campo e.m. in modo che applicando la trasformata di F. alla
funzione A(x,t) ad esso relativo, si potesse ottenere lo spettro solare
completo. Penso
infatti che se prendessi un pezzo troppo piccolo, potrei avere, come per i
fotoni, un risulatto diverso e "parziale". Al limite, se il pezzo fosse
davvero piccolo
(quanto un fotone**), troverei lo spettro del fotone e non più quello solare
completo***
La terza domanda era: i fotoni viaggiando nello spazio interagiscono in
qualche modo fra loro? Si possono considerare come particelle indipendenti?
Certo è che non credo si possa parlare di interferenza o altro, che sono
concetti puramente ondulatori e che credo possano essere spiegati ben bene
in MQ con concetti e strumenti diversi da quelli dell'elettromagnetismo
classico
La quarta domanda era: quando un rilevatore "becca" il fotone oltre il
prisma, ne
individua in modo idelamente preciso sia la frequanza (e quindi l'energia)
che la posizione (nel tempo e nello spazio): perchè ciò non viola il
principio di indeterminazione?
Grazie
* è contiuo lo spettro per quanto mi hai spiegato sui fotoni reali che non
hanno una energia determinata, ma un intervallo di frequenze ognuna con una
certa probabilità, e ciò per Heisenberg. Anche senza ricorrere ai fotoni ed
all'indeterminazione (e cioè con un approccio "classcio") si può dire che
per Fourier
il fotone reale essendo limitato nel tempo e nello spazio**, non
può che avere uno spettro continuo. Non so se sia giusto dire che Fourier
sia l'"interpretazione" classica e l'indeterminazione quella quantistica del
medesimo fenomeno: cioè l'energia non preciamente determinata del fotone
reale. Cmq entrambi portano alla medesima conclusione.
** qui vedo il fotone come un pezzo di campo delimitato nello spazio e nel
tempo
*** non mi piace parlare di spettro completo e parziale, ma credo di aver
spiegato cosa intenda con questi termini infelici

 server non conserva il vecchio post
Cosě, a puro titolo di informazione, su google (sezione gruppi) si trova
tutto...
Ciao
Giacomo

 portano alla medesima conclusione.
Sostanzialmente si'.


 puo' determinare in modo "idealmente preciso" l'energia, ecc.
Questo non l'ho capito. Se il rivelatore ha una estensione finita vuoi dire
che non è puntiforme e cosi' la banda si stringe ma non si "puntualizza"?
Il tempo invece come influenza l'imprecisione??
Grazie
PS: hai visto che man mano che ti leggo e capisco (piccola) parte di quello
che dici, divento anche più breve e preciso nel replicare??

 "puntualizza"? Il tempo invece come influenza l'imprecisione??
Premessa: siamo alle solite!
Tu pretendi che ti si spieghi la m.q. "a parole" e "in poche parole".
Beh, *non si puo'*!
Nota che s'insiste sempre sui problemi posti dalla matematica, ma ce
ne sono altri, puramente fisici, che io ogni tanto sottolineo ma non
ho mai esemplificato, mi pare.
Ecco un caso in cui l'esempio si puo' fare.
Qui per capire occorre sapere come si fa una misura di l. d'onda,
ossia come funziona uno spettrografo.
Occorre sapere di ottica: collimazione, focalizzazione, potere
risolutivo...
Senza di che e' come aggirarsi per un oscuro labirinto...
Ti dico solo questo: con uno spettrografo, fotoni di diversa l. d'onda
(e quindi energia) vengono inviati in diverse osizioni, e quindi
arrivano a rivelatori distinti.
Quindi una misura di energia viene trasformata in una di posizione.
Il tempo c'entra perche' il dispositivo esamina il fotone solo per un
intervallo di tempo breve, la sua risoluzione in energia decresce in
proporzione.



Il punto e', mi sembra, che la periodicizzata non ha le stesse proprieta'.
Una funzione limitata su intervallo compatto ha come tu mi insegni una
trasformata smooth ed addirittura estendibile in modo olomorfo al semipiano
complesso a parte immaginaria positiva, una funzione periodica ha
una trasformata nello spazio delle distribuzioni con strappi di forma
delta nei multipli interi di 2pi / T. Una ha energia finita, la periodica
infinita. L'antitrasformata di una funzione analitica puo' avere divergenze
di tipo [1/ sqrt(t)] ^(1-eps) con eps positivo. Ed in generale ammettere
divergenze a quadrato sommabile. Quello io trovavo piu' controintuitivo
della trasformata di Fourier era il fatto di usare funzioni periodiche su un
intervallo infinito come base. Tuttavia correttamente l'integrale di
Fourier puo' essere approssimato da serie di Fourier di periodo
crescente. Qui c'era un'altro laccetto, ora che mi ricordo: quando pensavo
al teorema che la trasformata di una funzione a quadrato sommabile e causale
ha estensione olomorfa sul semipiano superiore, mi intrecciavo perche'
d'altra
parte l'antitrasformata di una serie di Fourier a quadrato sommabile e'
periodica.
Il laccetto si scioglie considerando che la serie di Fourier non e' un
integrale
di Fourier per una funzione a quadrato sommabile bensi' un'integrale di
Fourier per una distribuzione. Questo mi sembrava strano perche' pensavo che
una qualsiasi approssimazione porta la funzione da essere periodica ad
essere
limitata da una funzione evanescente all'infinito. Pero' si spiega dicendo
che
raffinando l'approssimazione delle delta il massimo valore di y tale che
f(y)=k
con k adeguatamente scelto minore del massimo della serie di Fourier, cresce
senza limite superiore, pure se e' finito per ogni approssimante. Ricucito
il
quadro che rivestiva la verita' l'effetto e' allettante perche' si puo'
descrivere
in modo coerente ogni segnale elettromagnetico di energia finita con una
funzione meromorfa dotata al piu' di singolarita' a parte immaginaria non
nulla
che convergono verso l'asse reale quando l'energia del sistema viene
distribuita su uno spazio maggiore.
 
 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

Ciao Gianmarco,
noto ora il tuo intervento(sono ancora slacky, ma a causa di alcuni 
fraintendimenti su altri newsgroup ho deciso di cambiare definitivamente 
nick).
Grazie per la riflessione.
Ci pensero' un po'.
Ciao
toyotoshy

 Una funzione limitata su intervallo compatto ha come tu mi insegni una
scusate tutti l'OT, ma...e' meglio chiarire certe cose:
guarda che io non insegno proprio a nessuno. Sono solo uno 
studentello(vabbe' di dottorato, ma uno studentello). Semmai sei tu che 
insegni a qualcuno, sei tu la persona da cui si puo' imparare molto: ti 
leggo sempre volentierissimamente sui newsgroup visto genericamente la 
profondita' delle tue riflessioni.
ciao e buona serata
-- 
Toyotoshy
Linux user #312588 ( 
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 Grazie a chi vorrà aiutarmi!
-- 
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