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Titolo: problema due corpi

ciao,
mi chiedo, nell'ambito del problema dei due corpi (puntiformi), se
questi hanno masse m1 ed m2 e sono posti inizialmente a distanza Ro e
con velocità iniziali nulle, in quanto tempo giungeranno a
'collidere' ?
qualcuno saprebbe indicarmi come ragionare sulla questione?
grazie!


Hai dimenticato di specificare l'interazione tra i due corpi. Immagino
che tu indendessi che si attraggono
gravitazionalmente secondo la legge di gravitazione universale di
Newton. Ti descrivo come lo farei.
Intanto ti conviene metterti nel sistema del CM.
L'energia si conserva, quindi  imponi che l'energia iniziale E_in
(nota in termni di Ro)
sia eguale, ad ogni tempo t, alla somma dell'energia cinetica K, che
e' una funzione della velocita' relativa v(t)
e delle masse (tramite la massa ridotta), e del potenziale
gravitazionale V che e' funzione della distanza e delle masse:
E_in=K(v(t))+V(r(t)).
Questa ti da' un'equazione che risolvi rispetto alla velocita' v(t) in
termi di r(t), ottenendo cosi' un'equazione differenziale
del tipo (vado a spanne e senza carta e penna, quindi verfica!)
v(t)=sqrt{A r^2(t)+B}/r(t)
con A e B costanti che dipendono da Ro, m1, m2.
Il tempo T che impiegano a collidere allora e' dato dal seguente
integrale in dr
T=int_{0,Ro} dr r/sqrt{A r^2+B}.
Ciao.

 'collidere' ?
Suppongo che tu voglia trattare un problema di gravitazione...
La terza legge di Keplero si esprime con l'equazione matematica:
G * M = omega^2 * R^3, ove
G e' la costante gravitazionale, M = m1 + m2,
omega = 2 * Pi / T, T e' il periodo del moto,
R^3 il semiasse maggiore dell'orbita ellittica.
Il caso del problema e' quello limite di uno stato legato in
cui la traiettoria del moto si puo approssimare con una ellisse
di eccentricita' tendente a 1- e parametro tendente a 0+,
avente asse maggiore pari a Ro, e possiamo
ancora applicare la terza legge di Keplero,
il tempo di collisione risulta quindi meta' del periodo T:
t_collisione = T /2 = Pi * Sqrt(R^3 / G / M) =
Pi * Sqrt(Ro^3 / 8 / G / M).
Un modo equivalente di risolvere il problema e' applicare
la conservazione dell'energia meccanica,
innanzitutto si riduce il problema a due corpi ad un
problema a un corpo, introducendo la massa ridotta
mu = m1 * m2 / (m1 + m2),
l'energia meccanica e' la somma della energia cinetica
1/2 * mu * v^2, e dell'energia potenziale -G * m1 * m2 / r,
e ha valore costante uguale al valore iniziale -G * m1 * m2 / Ro,
quindi si ottiene:
-G * m1 * m2 / Ro = -G * m1 * m2 / r + 1/2 * mu * v^2,
isolando v si ottiene poi:
v = -dr/dt = Sqrt(2 * G * (1/r - 1/Ro) * M)  =>
t_collisione =
Integrale[(2 * G * (1/r - 1/Ro) * M)^-(1/2) dr, da 0 a Ro]
e si ottiene con un po' di pazienza lo stesso risultato di cui sopra.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Giorgio Bibbiani
In effetti il calcolo dell'integrale conferma il risultato ottenuto
con la terza legge di keplero, e permette di conoscere t in funzione
di r ( r compreso tra 0 ed Ro):
t(r) =   Integrale [(2 * G * (1/r - 1/Ro) * M)^-(1/2) dr, da 0 a
Ro]        =        ( 2 G M )^-(1/2)  Integrale [(1/r - 1/Ro)^-(1/2)
dr, da 0 a Ro]    
     =  (Ro / ( 2GM) )^1/2   Integrale [ - ( ( 1- r/Ro ) / (r/
Ro) )^1/2  dr, da = a Ro ]
Scegliamo di porre   z = r /Ro    =>    dr = Ro dz,  otteniamo:
Integrale [ - ( ( 1- r/Ro ) / (r/Ro) )^1/2  dr, da = a Ro ]   Integrale [  -Ro ((1-z)/z )^1/2  dz, da 1 a  z=r/Ro) ]
Ponendo poi   z = (cos s)^2      =>     dz= -2  sen s  cos s   avremo:
Integrale [  -Ro ((1-z)/z )^1/2  dz, da 1 a  z=r/Ro) ]  =   Ro
Integrale [ (cos s )^2  ds, da 0 a t = arcos (sqrt (r/Ro) ) ]
Essendo        s + sen s  cos s        una primitiva di      ( cos
s )^2
alla fine si ottiene:
t(r) = sqrt ( Ro^3/ 2GM ) (arcos (sqrt (r/Ro) ) + sqrt (r/Ro) sqrt (1-
r/Ro)
quando r = 0  (cioè i due corpi giungono a collidere)
t(r) = ( pigreco/2 ) sqrt ( Ro^3/ (2GM) )
Grazie per le risposte che mi avete fornito!
ciao