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Titolo: problema sul potenziale di un conduttore scarico

Un saluto a tutti,
stavo cercando di risolvere questo esercizio di fisica, ma non sono riuscito
a trovare il modo.
L'esercizio è il seguente:
Due conduttori sferici carichi sono collegati tramite un lungo filo
conduttore, e una carica di 20 microC viene posta sulla combinazione. (a) Se
una sfera ha un raggio di 4.00 cm e l'altra di 6.00 cm, qual è il campo
elettrico in prossimità della superficie di ciascuna sfera? (b) Qual è il
potenziale elettrico di ciascuna sfera?
Io per calcolare il campo elettrico in prossimità delle due sfere volevo
utillizare la formula E=kQ/(r^2), ma Q devo mettere 20 microC per ogni
sfera?
Per il potenziale invece come devo procedere?
I risultati sono (a) 45.0 MV/m  e  30.0 MV/m  (b) 1.80 MV
Ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi

 wrote in message
news:OyW%c.222935$OR2.10...@news3.tin.it...
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Rispondo un po' di fretta e spero di azzeccare:
Credo che occorra aggiungere l'ipotesi che le due sfere siano poste a
distanza molto grande tra loro (grande rispetto ai due diametri) che non
viene data nell'enunciato. Cosi' il campo intorno alle sfere si puo'
considerare circa uniforme in modulo (e questo consente di rispondere alla
domanda a), la carica si distribuira' tra le due sfere in parti
proporzionali alle loro capacita' (quindi ai loro raggi), il potenziale si
calcolera' come la somma del potenziale che assumerebbe una sfera con quella
carica piu' il potenziale che l'altra sfera produce nel centro dell'altra
(domanda b).
Prova con questa ipotesi semplificativa e facci sapere.
Saluti
Mino Saccone

In generale questo tipo di problemi in cui si ha un conduttore, la carica su
di esso e va determinato il potenziale, viene detto problema di von Neumann.
La soluzione esatta (il potenziale deve risolvere l'equazione di Poisson con
le condizioni al contorno sul conduttore, superficie equipotenziale) č
possibile solo in rari casi (in cui le simmetrie semplificano notevolmente
tutta la trattazione matematica). Questo č uno dei casi in cui la soluzione
esatta č evidentemente piuttosto complessa. Tuttavia supponendo le due sfere
molto distanti, in prossimitŕ di ciascuna di esse il potenziale si puň
scrivere come:
phi(r) = kQ'/r
dove con Q' intendo la carica distribuita sulla sfera in questone.
Poichč le sfere devono essere allo stesso potenziale ed in piů la carica
complessiva č costante si giunge al sistema:
kQ'/a = kQ''/b
Q'+Q'' = Q
cioč:  Q' = Qa/(a+b) e Q'' = Qb/(a+b)

Ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi
fatto...
Ciao, Goffredo

 E2=V/R2=1.8 10^6 / (6 10^-2)=30 10^6 (V/m)=30 MV/m
Spiacente, ma la soluzione e' sbagliata.
Senza entrare nei dettagli, lo possiamo dimostrare come segue.
In tutto il calcolo, non entra la distanza tra le due sfere.
In particolare, il potenziale e le cariche non dipendono da quella
distanza; quindi se le cose stessero come dici, una volta raggiunto
l'equilibrio potremmo anche tagliare il filo, visto che non ci
passera' nessuna carica, anche se cambiamo la distanza.
L'energia del sistema si calcola come Q1*V1 + Q2*V2 = Q*V, anch'essa
indipendente dalla distanza.
Ma le due sfere ovviamente si respingono, il che significa che
l'energia deve decrescere quando le si allontana!
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Grazie a tutti voi per la vostra disponibilità

Cerco di dare una mia interpretazione all'obiezione legittima riportata. La
soluzione sarebbe esatta se la distanza fosse stata supposta inizialmente
sufficientemente grande da trascurare l'azione del campo di ciascuna sfera
sull'altra... ovviamente si giunge a risultati poco significativi se una
volta ottenuto il potenziale con questa ipotesi si prova a cambiare la
distanza. E come se per un corpo che cade in attrito viscoso, una volta
trovata la velocitą di regime per tempi grandi, si obiettasse che č costante
e non diminuisce col tempo.

 del campo di ciascuna sfera sull'altra...
In effetti nell'enunciato c'era scritto che il filo e' "molto lungo".
A parte che bisognava dire "molto lungo rispetto ai raggi delle
sfere", occorreva nella soluzione spiegare perche' i passaggi sono
corretti grazie a questa ipotesi.
Aggiungo una cosa, riguardo a questo problema effettivamente classico:
che io resto con un dubbio, che dovro' risolvere un giorno o l'altro :-)
Il dubbio e': e' proprio sicuro che l'effetto del filo sia
trascurabile?
Il fatto che sia sottile, per definizione di filo, non mi
tranquillizza: resta il fatto che sulla superficie del filo il
potenziale dev'essere uguale a quello delle sfere, mentre se il filo
non c'e' il potenziale sulla congiungente i centri non e' affatto
costante.
Dunque il filo perturba il campo nello spazio interposto, e
bisognerebbe dimostrare che lo perturba solo in una regione
estremamente sottile, intorno al filo medesimo.
Non dico che non sia vero, ma non conosco la dimostrazione...
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