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Titolo: Meccanica razionale: chiedo urgenti lumi su argomenti di dinamica

Salve
Desidererei alcuni (urgenti, causa esame prossimo venturo...)
chiarimenti su alcuni argomenti di meccanica razionale che mi sono un
po' oscuri (il corso e' per ingegneria).
Consideriamo la dinamica di un punto materiale.
Sui miei appunti ho riportato che, affinche' il problema dinamico possa
essere completamente risolto, occorre scrivere l'equazione cardinale
della dinamica del punto materiale:
m a = F + Phi    (i)
(m = massa, a = accelerazione,
F = risultante delle forze attive,
Phi = risultante delle reazioni)
[ovviamente, a, F e Phi sono dei *vettori* ed m e' uno scalare]
Occorre *inoltre* avere informazioni sul comportamento *geometrico* e
*meccanico* dei vincoli.
(Praticamente, la sola equazione (i) non e' sufficiente...)
Pero', poco dopo, sui miei appunti ho scritto che le condizioni di sopra
sono *equivalenti* a quanto segue:
equazione (i)
*e* vincoli indipendenti e lisci
Questa cosa non la capii quando il prof. la disse, e la scrissi "sotto
dettatura" sugli appunti, contando di ritornarci dopo aver approfondito
il programma del corso...ma ancora la cosa non mi e' assolutamente
chiara.
Qualcuno di voi puo' aiutarmi??
Perche' sussiste tale equivalenza?? Perche' il problema della dinamica
del punto materiale e' risolubile scrivendo la (i) e usando
l'informazione di "vincoli indipendenti e lisci"??
Ancora piu' avanti nei miei appunti sulla dinamica dei sistemi
materiali, ho scritto che:
"Le equazioni cardinali della dinamica sono sufficienti a risolvere il
problema dinamico, SE E SOLO SE i vincoli sono indipendenti e lisci."
Questo non l'ho proprio capito (tuttora!)...
Qualcuno potrebbe fornirmi dei lumi su cio'?
Grazie *tantissimo* a chiunque mi dia una mano!
PS:
Spero di aver fatto bene a postare questo messaggio su it.scienza.fisica
e non su it.scienza.matematica ...
Ciao
Gio'

Ciao a tutti e a casuia (spero che l'email sia giusta)!
On 17 Jan 2000, Kasuya wrote:
]Consideriamo la dinamica di un punto materiale.
consideriamola.
]Sui miei appunti ho riportato che, affinche' il problema dinamico possa
]essere completamente risolto, occorre scrivere l'equazione cardinale
]della dinamica del punto materiale:
]m a = F + Phi    (i)
](m = massa, a = accelerazione,
]F = risultante delle forze attive,
]Phi = risultante delle reazioni)
][ovviamente, a, F e Phi sono dei *vettori* ed m e' uno scalare]
e a questo punto non sei in grado di dire niente: hai un'equazione in TRE
incognite (q due palle, F e Phi). Ora:
1) q due palle: e' l'incognita per eccellenza: e' (o dovrebbe
essere) che segui l'esame appunto per imparare a calcolarla (e quindi,
integrando, q palla e q).
Dobbiamo quindi trovare un modo per conoscere le forze:
2) F: questa e' la risultante delle forze attive, cioe' di quelle che
qualche sperimentale ha misurato con delle molle: lui ti dice i valori e
tu li sommi (negli esercizi la vece dello sperimentale la fa l'autore del
testo).
3) Phi: questa e' un BORDELLO. Cioe' (colle tue parole):
]Occorre *inoltre* avere informazioni sul comportamento *geometrico* e
]*meccanico* dei vincoli.
](Praticamente, la sola equazione (i) non e' sufficiente...)
In effetti quello che ho detto e' esatto ma incompleto: oltre alla
dinamica (che tu, non so perche', chiami meccanica) bisogna anche
considerare la geometria (cioe' un punto di massa m vincolato a stare su
un cerchio si descrive agilmente con l'angolo colla verticale (geometria)
e ti da' un pendolo (dinamica), uno non vincolato si descrive con tre
coordinate (geometria) e ti da' un moto uniformemente accelerato
(dinamica)).
Le parole chiave per interrogare sulla geometria i tuoi appunti sono:
coordinate libere, coordinate lagrangiane, varieta', atti di moto,
configurazioni, vincolo, olonomo, anolonomo, frobenius,...
Se lo ritieni, vai a dare un occhiata. E adesso continuiamo:
Risolto il problema geometrico ci resta quello dinamico (questo e'
l'ordine in cui vanno affrontati). Allora: conosciamo F, ma non conosciamo
Phi. La domanda quindi e': cosa conosciamo sulle Phi?
Quando uno ti da' un vincolo dovrebbe anche darti per ogni istante t nel
tempo e per ogni punto (OP, v) nello spazio degli atti di moto la CLASSE
DELLE REAZIONI VINCOLARI ESPLICABILI.
Chiaramente uno non ti puo' dare un collezione infinita di vettorie poi tu
li metti uno per uno nell'equazione (1) e calcoli cosa succede: sarebbe
una follia!
Ovviamente posso esistere dei vnvoli cosi' bastardi da costringerti a fare
un lavoro simile, quindi noi vediamo di mettere in evidenza i vincoli che
esibiscono un comportamento SIMPATICO.
I vincoli possono agire solo sulle configurazioni (il cerchio
dell'esempio): questi li chiamo OLONOMI; oppure possono agire su tutto lo
spazio degli atti di moto: anolonomi.
Ovviamente ogni vincolo influisce sulle velcita' ammissibili, dirai tu.
Vero, infatti l'affermazione va intesa nel seguente senso: se fissato t la
calsse delle reazioni vincolari esplicabili e' la stessa per i punti
(OP,v) e (OP,w) (per ogni v e w), allora il vincolo e' OLONOMO. Altrimenti
anolonomo.
Ora, i vincoli anolonomi sono veramente bastardi (tranne quei due o tre
che cadono sotto il dominio del teorema di frobenius - vincoli
integranili) quini li lasciamo da parte e ci concentriamo su quelli
olonomi.
Un vincolo olonomo puo' essere descritto da una varieta' differenziabile
(cioe' da r<n parametri con det jac non nullo, o da s<n vincoli del tipo
f=0 tali che il loro jacobiano spanni uno spazio di dimensione s) oppure
no: i primi si chiamano BILATERI (i tuoi indipendenti) gli altri
unilateri.
Passiamo poi alla dinamica: un vincolo ci piace se non e' ruvido, cioe' se
non presenta attrito. Diciamo che un vincolo e' LISCIO se riesce a
esplicare TUTTE e SOLE le reazioni vincolari che fanno lavoro virtuale non
negativo per ogni spostamento virtuale.
Cosa e' uno spostamento virtuale? E' uno spostamento consentito dal
vincolo considerato come entita' geometrica (cioe' lo congelo nella forma
che ha a quell'istante t e vado a veder che movimenti mi consente di
fare). Prendi il cerchio di prima e dai al raggio la legge r=R(2+sint),
cioe' un cerchio che pulsa: allora gli spostamenti virtuali giacciono
sulla retta tangente al cerchio, mentre gli spostementi reali sono la
somma di uno virtuale e di R cos t x il versore del raggio. 
(Parentesi: liscio non vuol dire senza attrito: un vincolo anolonomo
liscio puo' essere quello che obbliga una ruota a girare senza scivolare:
chiaramente questo esprime dell'attrito, altrimenti la ruota scivolerebbe
senza girare, che e' quello che accade sul ghiaccio.)
Definisco quindi SIMPATICO un vincolo OLONOMO, BILATERALE e LISCIO. Di
piu': sostengo che un vincolo simpatico e cosi' simpatico che, solo a
nominarlo, mi permette di risolvere l'equazione del moto.
Fregnacce? Vediamo!
Infatti il luogo degli spostamenti virtuali e' ben descritto (punto per
punto) dal piano tangente (cioe' la verieta' degli atti di moto e', per
vincoli indipendenti dal tempo, il fibrato tangente: TQ, TM, o come
preferisci). Ora il piano tangente (nome un po' truffaldino visto che su
una retta sara' una retta tangente e, in generale, su un vincolo simpatico
di dimensione n una varieta' lineare n dimensionale) e' appunto un piano,
cioe' se ci abita il vettore v ci abita anche il suo opposto -v: quindi se
con v devo fare lavoro non negativo e lo devo fare pure con -v, allora (il
lavoro e' una mappa lineare dal piano agli scalari) faccio lavoro nullo.
Dal momento che nella definizione di liscio c'e' un tutti e soli, allora
sono apposto: i vincoli di un sistema simpatico fanno lavoro virtuale
nullo.
Cosa te ne fai? Prendi carta e penna e provi a seguire i suggerimenti che
ti do (ti assicuro che funziona, perche' lo faccio su n foglio mentre
scrivo):
L'equazione 1 e' una verita'. Allora se fai un prodotto scalare con uno
spostamento virtuale resta una verita'. Fallo e succede una magia
(ricordati il tutti e soli e che gli spostamenti virtuali sono ARBITARI
vettori nel piano tangente, cioe' NON necessariamente infinitesimi).
Ora la varieta' dipende da r<n parametri: esplicita gli spostamenti
virtuali rispetto agli spostameni virtuali delle variabili lagrangiane
(regola della catena). Fatto? allora dovresti trovarti (ricorda che i
deltaq sono arbitrari) con r<n equazioni che non contengono alcun
riferimento ai vincoli. A questo punto fai un po' di ginnastica derivativa
e ti ritrovi (se le forze derivano da un potenziale) le equazioni di
lagrange: non per niente i parametri della varieta' si chiamano coordinate
lagrangiane.
Ora tu sai che le equazioni di lagrange assieme ai dati iniziali (prima
non li avevo tirati fuori, ma sono IMPORANTISSIMI) ti permettono di
risolvere il problema meccanico (infatti di solito coll'esperressione
sistema meccanico si intende un qualsiasi oggetto che possa essere
descritto da equazioni di lagrange).
]Pero', poco dopo, sui miei appunti ho scritto che le condizioni di sopra
]sono *equivalenti* a quanto segue:
]
]equazione (i)
]*e* vincoli indipendenti e lisci
]
]Questa cosa non la capii quando il prof. la disse, e la scrissi "sotto
]dettatura" sugli appunti, contando di ritornarci dopo aver approfondito
]il programma del corso...ma ancora la cosa non mi e' assolutamente
]chiara.
]Qualcuno di voi puo' aiutarmi??
]Perche' sussiste tale equivalenza?? Perche' il problema della dinamica
]del punto materiale e' risolubile scrivendo la (i) e usando
]l'informazione di "vincoli indipendenti e lisci"??
NON SONO EQUIVALENTI. Semplicemente SE il vincolo e' olonomo bilatero e
liscio ALLORA esiste un sistema sicuro per "nascondere" i vincoli, quello
che ti ho appena raccontato. Di sicuro il tuo prof. intendeva questo e
dava per scontato (succede spesso) che la conclusione vi fosse naturale.
Se mi sono dilungato (forse un po' troppo) e' perche' tu ti chiedi perche'
dare un vincolo indipendente e liscio e' sufficiente? Onestamente con un
dubbio del genere e' un po' difficile superare un orale.
Sui sistemi materiali non ti dico niente perche': avere 1 o n corpi non fa
(concettualmente) una grande differenza e si sta facendo tardi.
]Ciao
]Gio'
ciao
antonio
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