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Titolo: Problema meccanica - forze generalizzate in sistema due aste

Greenwood Donald T. - Classical Dynamics - capitolo 1, sez. 1-4, example 1-4
 
"Three particles [tutte e 3 della stessa massa m] are connected by two rigid rods having a joint between them to form the system shown in Fig. 1-8. 
 
 
[il sistema e' in un piano, il punto P1 si trova a sinistra di P2 e P3 a destra di P2. le quote dei punti P1, P2, P3 sono indicate rispettivamente con x1, x2, x3, l'ascissa della distanza tra P1 e P2 e' indicata con L, cosi' come l'ascissa della distanza tra P2 e P3 e' indicata ancora con L; per come e' fatto il disegno, tanto per dare un'idea anche se non necessario, potrebbe essere: x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 e L = 4].
 
 
 
A vertical force F and a moment M are applied as shown [F e' applicata in un punto dell'asta che congiunge P1 a P2, a distanza orizzontale pari a 3L/4 dal punto centrale P2; il momento di forza e' indicato come una freccia curva attorno al punto P3, che tende a far ruotare in senso antiorario l'asta che congiunge P2 a P3].
 
The configuration of the system is given by the orinary coordinates (x1,x2,x3) or by the generalized coordinates (q1,q2,q3) where:
 
x1 = q1 +q2 + (1/2)q3
 
x2 = q1 - q3
 
x3 = q1 - q2 + (1/2)q3
 
Find the generalized forces Q1, Q2, Q3. Assume small motions."
 
 
 
Ho scritto "a distanza orizzontale [tra due punti]..." per intendere "l'ascissa, in valore assoluto, del vettore differenza di posizione tra i due punti", spero che si capisca.
 
 
 
A parte il come lo risolve, che mi e' chiaro solo in parte, il mio problema e' come ha scelto le coordinate; ad un certo punto scrive: "Notice that an increase in q1 represent a pure translation (e questo mi puo' star bene perche' q1 e' la quota del centro di massa del sistema), while q2 is associated with a rotation about the center, and q3 denotes a deformation or bending of the system."
 
1) Che intende con "centro"?
2) Perche' q2 e' associato ad una rotazione rispetto al centro e q3 ad una deformazione?
 
Se non avesse indicato le coordinate da usare io avrei fatto cosi'. 
 
 
E' un sistema di N = 3 punti, con 3 vincoli: i due vincoli di rigidita' delle aste che fissano la distanza tra P1 e P2 e la distanza tra P2 e P3 ed il vincolo geometrico che fissa ad un valore uguale L la "distanza orizzontale tra P1 e P2 e tra P2 e P3". Quindi i gradi di liberta' sono 2N - 3 = 3. Io avrei preso quindi come coordinate generalizzate:
 
a) le coordinate (x,y) di P2
b) l'angolo t formato dalle due aste
 
perche' posso far variare a piacimento x e y in (-oo,+oo) e t in (0,2pi) pur mantenendo i vincoli. E' corretto?
 
 
Ma intuisco che usare un angolo forse implicherebbe che la risoluzione del problema sarebbe complicata, dato come sono messe F ed M, mentre usare le quote x1, x2, x3 o le coordinate q1, q2, q3 rende tutto piu' semplice.
 
Ma come fa a utilizzare solo le quote dei punti e non anche lo spostamento orizzontale?
E, soprattutto, come fa a dire che q2 e q3 rappresentano quello che ha detto?
 
Grazie.
 
--
cometa_luminosa

 orizzontale?
 
L'impostazione avrebbe senso se stessi cercando di individuare le
piccole oscillazioni di un sistema lineare di tre masse collegate da
asticelle flessibili: in tal caso sarebbe possibile trascurare rotazione
e traslazione e quindi approssimare come costanti le posizioni
orizzontali delle particelle. Ma in questo caso non saprei che dire, il
testo mi sembra contradditorio.
 
M.
 
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 example 1-4
 
Qui si puo' vedere l'immagine del sistema:
 
http://www.filedropper.com/immagine
 
 
il testo completo del problema si trova su Google Books:
 
https://books.google.it/books?id=x7rj83I98yMC&lpg=PP1&hl=it&pg=PA26#v=onepage&q&f=false
 
 
Io non ho capito quali siano i vincoli del sistema, quindi non
so neanche stabilire quali siano le coordinate generalizzate...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 

 deformazione?
 
Non lo avevo scritto, anche se e' facilmente deducibile dalle tre equazioni sopra, le coordinate canoniche q sono:
 
q1 = (1/3)(x1 + x2 + x3)
 
q2 = (1/2)(x1 - x3)
 
q3 = (1/3)(x1 - 2x2 + x3)
 
Inoltre (ma si capiva): con P1, P2, P3 ho indicato le posizioni dei 3 punti massa.
 
--
BlueRay

 so neanche stabilire quali siano le coordinate generalizzate...
 
 
Dice che 3 masse sono collegate da due aste rigide che formano un "joint" tra di loro, "immagino" che tale "joint" sia uno snodo che permette la rotazione sul piano, anche se non lo dice :-)
Ciao.
 
--
BlueRay

 per q3=dx e q1=q2=0 (fig. (c)).
 
 
Va bene, intuitivamente mi potrebbe anche tornare, ma come si fa a scrivere le equazioni per le q in funzione delle x senza dover fare le cose "ad intuito visivo"?
 
--
BlueRay

 permette la rotazione sul piano, anche se non lo dice :-)
Indubbiamente è enunciato da cani.
Non dice che i tre punti si muovono in un piano.
Con questo avrebbero 6 gradi di libertà, che si riducono a 4 a causa
delle aste che li collegano.
 
Come mai usa solo 3 coordinate?
Perché (senza dirlo) sta facendo un'altra ipotesi: che uno dei punti
(per es. quello centrale) sia vincolato su una retta verticale.
 
Poi dice "Assume small motions".
Questo serve a salvare l'apparente incompatibilità geometrica: se tutti
e tre i punti si muovessero in verticale, le distanze non potrebbero
restare costanti.
Ma se gli spostamenti verticali sono infinitesimi del primo ordine, le
variazioni di distanza sono del secondo ordine.
Solo che a me non pare pulito introdurre aprossimazioni già nella
definizione delle coordinate. Si poteva dire molto meglio.
 
 
-- 
Elio Fabri

 permette la rotazione sul piano, anche se non lo dice :-) Ciao.
 
Le 2 quote indicate con lo stesso nome l
immagino siano uguali.
Sono uguali solo nella configurazione iniziale?
Allora le 3 coordinate x_1, x_2, x_3 non bastano
a caratterizzare la configurazione del sistema,
che puo' anche traslare nella direzione y ortogonale
all'asse x.
O c'e' un vincolo ulteriore per cui le 2 quote devono
rimanere uguali durante tutto il moto?
Allora essendo le aste rigide, a partire da una data
configurazione iniziale, le coordinate indipendenti
sono solo 2, ad es. quelle x e y di uno dei p.m..
 
Almeno cosi' pare a me...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 dover fare le cose "ad intuito visivo"?
 
Intendi dire come si fa a scegliere le q "giuste"? In effetti vista così
sembra un'intuizione mistica, in realtà se devi trattare ad es. le
piccole oscillazioni ci sono metodi ben precisi per ottenere le q che
corrispondono ai modi normali. Può darsi che lo stesso libro tratti
questi metodi successivamente.


 per q3=dx e q1=q2=0 (fig. (c)).
 
Comunque, grazie anche a questa tua risposta, "qualcosa" ho capito :-)
Faccio un riassunto. Con quella scelta delle coordinate generalizzate 
q1, q2, q3:
 
x1 = q1 +q2 + (1/2)q3
 
x2 = q1 - q3
 
x3 = q1 - q2 + (1/2)q3 
 
si ha quanto segue.
 
1) q2 e q3 si tengono fisse, varia solo q1, percio' dx1 = dx2 = dx3. Questa e' evidentemente una traslazione di tutto il sistema.
 
 
2) q1 e q3 fisse, varia solo q2, percio' dx2 = 0, dx1 = - dx3. In questo tipo di variazione di configurazione, che il testo chiama "rotazione", il punto massa centrale rimane fisso e gli altri due si muovono in senso opposto l'uno rispetto all'altro.
 
 
 
3) q1 e q2 fisse, varia solo q3, percio' dx1 = dx3; dx2 = -dx1; dx1 + dx2 + dx3 = 0 ovvero il centro di massa rimane fisso, il primo e l'ultimo punto si muovono nello stesso senso, il punto centrale in senso opposto. Questa variazione di configurazione viene chiamata dall'autore "deformation" or "bending".
 
--
BlueRay

Il giorno mercoledì 21 ottobre 2015 21:48:03 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
 
 <<Come mai usa solo 3 coordinate?
 Perché (senza dirlo) sta facendo un'altra ipotesi: che uno dei punti
 (per es. quello centrale) sia vincolato su una retta verticale.
 Poi dice "Assume small motions".
 Questo serve a salvare l'apparente incompatibilità geometrica: se tutti
 e tre i punti si muovessero in verticale, le distanze non potrebbero
 restare costanti.
 Ma se gli spostamenti verticali sono infinitesimi del primo ordine, le
 variazioni di distanza sono del secondo ordine.
 Solo che a me non pare pulito introdurre aprossimazioni già nella
 definizione delle coordinate. Si poteva dire molto meglio.>>
 
Ma il fatto che le componenti orizzontali di |(P2-P1)| e |(P3-P2)| le indichi entrambe con L, come lo interpreti?
 
--
BlueRay

 indichi entrambe con L, come lo interpreti?
A parte la strana notazione (non bastava |P1-P2| ?) rientra in quello
che ho detto: quelle componenti orizzontali differiscono da L solo al
secondo ordine nelle differenze delle x.
 
 
-- 
Elio Fabri