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Titolo: entanglement a una particella

Ho letto qui 
http://physics.weber.edu/schroeder/quantum/MultipleDimensions.pdf
 
http://physics.weber.edu/schroeder/quantum/MultipleParticles.pdf
 
qualcosa sull'entanglement che non avevo mai letto prima.
Provo a riassumere.
 
 
Se abbiano un particella in un spazio bidimensionale {x,y} la funzione d'onda ψ(x,y) in base alla situazione fisica che si ha, può essere o meno fattorizzabile. Se ψ(x,y)=ψ_x(x)ψ_y(y) una misura per x non modifica le probabilità per le misure su y: le due dimensioni sono indipendenti.
 
Se invece la ψ(x,y) non può essere fattorizzata, del tipo exp(-x^2 y^2/k), allora una misura su x fa cambiare anche la densità di probabilità per y.
 
 
L'autore dice che x e y sono entangled, allo stesso modo di 'due' particelle' con la sostituzione x -> x1 (coordinata della particella 1) e y -> x2 (coordinata della particella 2) in cui se la ψ(x1,x2) è non fattorizzabile allora le due particelle sono entangled e una misura su di una fa cambiare le probabilità di misura sull'altra, invece se è fattorizzabile una misura su di una non modifica le probabilità sull'altra.
 
Domande:
- E' corretto parlare di entanglement anche per una particella?
 
- Che per una particella una misura di x influisca anche su y, mi sembra naturale, ma questo entanglement su singola particella può essere possibile anche per il momento?
Ossia se una funzione d'onda non è fattorizzabile rispetto a px e py, una misura su px influisce necessariamente anche su py?

 una misura su px influisce necessariamente anche su py?
 
Per il momento succede la stessa cosa che
per la posizione, puoi ripetere analogamente
i ragionamenti nel documento citato sostituendo,
nello schema degli impulsi, i momenti alle
coordinate di posizione, quindi sì.
 
Ciao
 
-- 
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

 
Potresti darmi una indicazione dove Schrodinger parla di "entanglement delle variabili"?
Grazie per la risposta.
Maurizio

 una misura su px influisce necessariamente anche su py?
 
So da tempo che t'interessi di questioni di fondamenti della fisica,
con una certa serietà, lo riconosco.
Però credo anche di sapere che la tua specifica preparazione su certi
argomenti (es. m.q.) sia un po' - come dire? - dilettantistica.
 
Ora si dà il caso che questo che poni sia un argomento che per essere
discusso con profitto richiede basi matematiche solide.
Non se ne può parlare "alla buona", con discorsi "più o meno"
corretti (qualche volta sì qualche volta no).
 
Nel caso che poni, il concetto matematico essenziale è quello del
/prodotto tensoriale/ di due spazi vettoriali.
Visto in questo modo, il problema non esiste.
Mi spiego meglio.
 
Hai fatto l'esempio di una particella in 2D.
E hai usato le osservabili x, px, y, py.
Se tu avessi una particella in 1D, avresti solo x, px e tutte le
funzioni di queste (l'algebra delle osservabili è generata da x, px).
Per quanto riguarda gli stati, avresti uno spazio di Hilbert (lo
chiamo V1) sul quale sono definite queste osservabili come operatori
autoaggiunti, le funzioni d'onda nel modo solito, ecc.
In V1 potrai scegliaere una base, per es. gli autovettori dell'osc.
armonico.
(Nota: non occorre che il sistema fisico in esame *sia* un osc.
armonico: le autof. della hamiltoniana dell'osc. armonico formano
comunque una base in V1, e le puoi usare anche per descrivere una
particella libera.)
 
Ora mettiamoci accanto una seconda particella 1D, e facciamo un
piccolo cambiamento di notazione: per la prima userò x1, p1; per la
seconda x2, p2.
Ci sarà poi lo spazio vettoriale V2, con una base, ecc.
 
Se vuoi considerare il sistema fisico formato dalla due particelle,
avrai le osservabili x1, x2, p1, p2, e molte altre: per es. x1^2 +
x2^2, poi p1^2 + p2^2, x1 p2 - x2 p1...
Domando: quale sarà lo spazio degli stati?
In che relazione sarà con V1 e V2?
Risposta: è il /prodotto tensoriale/ di V1 e V2; viene indicato con
V1*V2 (ho usato *, ma il simbolo corretto è un cerchietto che contiene
un x, più o meno un "divieto di fermata".
 
Come si definisce questo prodotto tensoriale?
Prendi una base in V1 (per es. quella dell'osc. armonico: |1,n1>) e
una base in V2 (per es. |2,n2>).
Allora V1*V2 è lo spazio vett. che ha come base il prodotto cartesiano
delle due basi, ossia l'insieme delle coppie (|1,n1>,|2,n2>) che posso
abbreviare in |n1,n2>.
In altre parole, il generico vettore di V1*V2 è
 
|s> = sum_{n1.n2} c(n1,n2) |n1,n2>  (1)
 
dove i c(n1,n2) sono n. complessi arbitrari, sotto la sola condizione
 
sum_{n1.n2} |c(n1,n2)|^2 < inf.
 
*Se accade* che
 
c(n1,n2) = c1(n1) c2(n2),  (2)
 
l'espressione (1) si fattorizza:
 
|s> = (sum_n1 c1(n1) |n1>)(sum_n2 c2(n2) |n2>).
 
(Nota: qui la matematica non è troppo pulita...)
 
E' importante la clausola "se accade", perché è ovvio che per il
generico elemento di V1*V2 questo non accade.
Col gergo ora di moda, si dirà che se non vale la (2), |s> è un vettore
/intrecciato/ (entangled).
 
Tutte queste proprietà *non dipendono* dalle basi che scegliamo in V1,
V2; in particolare (ma bisogna dimostrarlo) se |s> è intrecciato con
una scelta delle basi, lo è con qualsiasi scelta.
 
Ora torniamo alla fisica: che V1*V2 venga interpretato come spazio di
Hilbert per una particelle in 2D, o invece per *due* particelle in
1D, non fa nessuna differenza per quello che ho detto.
Inoltre che non ha senso dire che "la f. d'onda è fattorizz. rispetto
a px e py": l'intreccio, ossia la non fattorizzabilità, non dipende
dalle basi, quindi non dipende dalle osservabili che consideri.
 
Con questo avrei risposto alle tue domande.
Ma voglio ancora fare un commento.
Tu hai messo l'accento sul fatto che "una misura ... influisce ...".
Io ho fatto solo un discorso matematico.
Che relazione c'è?
Bisognerebbe chiarire come si enunciano i postulati sulla misura nel
caso di prodotti tensoriali.
Voglio dire: se ho un sistema di due particelle, lo spazio di Hilbert
del sistema è il prodotto tensoriale dei due sp. di Hilbert di
ciascuna.
Ci sono alcune domande:
1) Come si esprime, nel prodotto tensoriale, un'osservabile A che
"appartiene" a una singola particella"?
2) Se ho un certo stato |s> del sistema, ed eseguo una misura di A,
qual è lo stato risultante dopo la misura?
 
Però non è un discorso che posso fare a quest'ora :-)
Dimmi tu se ha senso che io continui, se debbo spiegare meglio
qualcosa, oppure...
 
 
-- 
Elio Fabri

 Potresti darmi una indicazione dove Schrodinger parla di "entanglement delle variabili"?
 
E' Schroeder...;-)
Cito da p. 3 del primo link che avevi indicato:
 
"When a wavefunction depends on two variables but is not separable,
we often say that the two variables are entangled".
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