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Titolo: interferenza, (de)coerenza ed entanglement

Mentre nell'altro thread finiamo di chiarirci le idee sulla questione delle
"sovrapposizioni decoerenti", apro un nuovo thread per cominciare a trattare
il caso che avevo lasciato in sospeso, quello in cui il sistema S non и
isolato.
Supponiamo dunque che il sistema S sia parte di un sistema isolato piщ
ampio, costituito da S e dal suo "ambiente", che indichiamo con E (da
"environment", cosм facciamo contenti gli anglofili).
Questo "ambiente" potrа contenere dei dispositivi per "preparare" S, oppure
altri dispositivi per effettuare delle "misure", o essere piщ semplicemente
un altro sistema fisico che interagisce col primo. (In quest'ultimo caso
parlare di "ambiente" puт essere poco indicato, e sarebbe preferibile dire
che abbiamo due sistemi S ed S'. D'altra parte anche in questo caso possiamo
dire che per S il sistema S' и, per cosм dire, il "resto dell'universo",
quindi continuerт a parlare di "ambiente" in senso generico.)
Indicheremo con SE il sistema isolato costituito dai sistemi S ed E. Un suo
generico stato puro puт essere rappresentato, al solito, da un elemento
dello spazio di Hilbert H[se] associato al sistema SE. Indicando con H[s] ed
H[e] gli spazi di Hilbert associati ai sistemi S ed E, si ha ovviamente
H[se] = H[s] x H[e].
Come и noto, se |s[j]> ed |e[k]> sono, rispettivamente, basi di H[s] ed H[e]
allora |s[j]>|e[k]> и una base di H[se].
Non possiamo escludere che il sistema SE possa trovarsi in uno stato
miscelato, sicchй il suo stato fisico in genere sarа rappresentato da un
operatore densitа rho[se] definito in H[se].
OPERATORE DENSITA' RIDOTTO
Se A[se] и un osservabile per il sistema SE, allora il suo valore
atteso и
     <A[se]> = Tr( rho[se] A[se] )
Consideriamo ora il caso particolare in cui A[se] и un operatore che agisce
solo sul sistema S, lasciando invariato E, sicchй esso и fattorizzabile nel
modo seguente:
     A[se] = A[s] x I[e]
(In alternativa, avremmo potuto dire di avere un operatore A[s] che agisce
sul solo sistema S, ed osservare che per rappresentarlo in H[se] ne dobbiamo
prendere il prodotto tensoriale con l'identitа di H[e].)
Introduciamo ora il cosiddetto operatore densitа "ridotto" rho[se/e], il
quale si ottiene da rho[se] calcolando una "traccia parziale" di rho[se],
rispetto al solo spazio H[e], cioи:
     rho[se/e] := Tr[e](rho[se]) :=  sum{k}( |e[k]> rho[se] <e[k]| )
Si dimostra facilmente che per ogni A[s] si ha:
     <A[s]> = Tr[s]( rho[se/e] A[s] )
ma allora questo operatore rho[se/e] ottenuto "tracciando via" gli elementi
di H[e] da rho[se] coincide con l'operatore densitа relativo al sistema S:
     rho[s] = rho[se/e]
ed ovviamente vale anche la relazione complementare in He:
     rho[e] = rho[se/s]
In questo modo sappiamo ricavare gli operatori densitа dei sistemi S ed E
quando sia noto l'operatore densitа del sistema SE. Non possiamo, perт,
fare il contrario, perchй quando calcoliamo la traccia di una matrice
perdiamo "informazioni" su quella matrice, e non sappiamo piщ ricostruirla.
E' vero che in questo caso di tracce ne abbiamo due, che sono, in un certo
senso, "indipendenti", tuttavia si dimostra facilmente che l'"informazione"
contenuta rho[s] ed in rho[e] non и sufficiente per ricostruire rho[se].
Questo и un altro dei grandi "misteri" della MQ: se conosciamo lo stato di
un sistema S e lo stato del suo "ambiente" E, non possiamo dire di conoscere
lo stato del sistema SE. Per comprendere meglio il senso fisico di questo
"mistero" dobbiamo analizzare la relazione esistente fra i tre operatori
rho[se], rho[s] e rho[e].
BIORTOGONALIZZAZIONE ED ENTANGLEMENT
Supponiamo, per semplicitа, che il sistema SE si trovi in uno
stato puro |se>.
Per il teorema di decomposizione biortogonale di Schmidt, и sempre possibile
trovare N vettori ortogonali |s[k]> di Hs ed N vettori ortogonali |e[k]> di
He, con
     N <= min(dimH[s],dimH[e])
tali che:
     |se> = sum{k=1,N} c[k] |s[k]>|e[k]>
Da questa espressione possiamo ricavare subito alcune implicazioni:
1) Tranne il caso particolare in cui N=1, in genere lo stato |se> *non* и
"fattorizzabile" nella forma |se> = |s>|e> e pertanto se anche SE si trova
in uno stato puro non и affatto detto che anche S ed E lo siano. Questa и la
espressione piщ nota del cosiddetto "entanglement".
2) Dalla condizione di normalizzazione di |se> si ottiene il seguente
vincolo:
     sum{k=1,N} |c[k]|^2 = 1
che assumerа un preciso significato fisico fra poco.
DIAGONALIZZAZIONE DEGLI OPERATORI DENSITA' RIDOTTI
Calcoliamo ora l'operatore densitа associato al sistema SE. Si ha:
     rho[se] = |se><se| =
     =sum{j=1,N ; k=1,N} ( c[j] c[k]* |s[j]><s[k]| x |e[j]><e[k]| )
In esso compaiono anche degli elementi non diagonali, sicchй in generale
quando si osservi il sistema SE si troveranno delle interferenze fra gli
stati |s[k]>|e[k]>. Tuttavia se calcoliamo gli operatori densitа ridotti
rho[s] e rho[e] le tracce parziali eliminano tutti gli elementi non
diagonali, e restano due operatori di H[s] ed H[e] diagonali -
rispettivamente - in |s[k]> ed |e[k]>:
     rho[s] = sum{k=1,N} |c[k]|^2 |s[k]><s[k]|
     rho[e] = sum{k=1,N} |c[k]|^2 |e[k]><e[k]|
Vediamo ora alcune implicazioni di queste relazioni:
1)
I vettori che ci consentono di "biortogonalizzare" lo stato |se> sono anche
quelli che ci consentono di porre rho[s] e rho[e] in forma diagonale. Dunque
se anche il sistema SE si trova in uno stato puro, i sottosistemi S ed E in
genere si trovano in uno stato miscelato (tranne, al solito, il caso
particolare in cui N=1).
Ne segue che il sistema S si comporta "come se" si trovasse in uno degli
stati |s[k]>, con una certa probabilitа per ogni stato, e
corrispondentemente il sistema E si comporta "come se" si trovasse in uno
degli stati |e[k]> eccetera. Se fossimo certi che il sistema S si trova in
un certo stato |s[k]>, potremmo affermare con certezza che il sistema E si
trova nello stato corrispondente |e[k]>. Non a caso la probabilitа che il
sistema S si trovi in |s[k]> и pari alla probabilitа che il sistema E si
trovi nel corrispondente stato |e[k]>, ed и:
     p[k] = |c[k]|^2
con
    sum{k=1,N} p[k] = 1
che si ricava dalla condizione di normalizzazione di |se> ed и coerente con
la nostra "interpretazione" di |c[k]|^2 come "probabilitа".
2)
La suddetta relazione fra p[k] e c[k] ci consente di comprendere meglio, da
un punto di vista fisico, la ragione per cui per conoscere lo stato del
sistema SE non и sufficiente conoscere lo stato dei sistemi S ed E. Infatti
se ci и nota la probabilitа che ha S di trovarsi nei vari stati |s[k]>, e
corrispondentemente la probabilitа che ha E di trovarsi nei vari
stati |e[k]>, questo non ci basta per ricostruire lo stato |se>, in quanto i
coefficienti c[k] della decomposizione biortogonale ci sono noti a meno di
un fattore di fase:
     c[k] = exp(i alpha[k]) sqrt(p[k])
che resta indeterminato.
D'altra parte giа sapevamo che le "sovrapposizioni decoerenti" non dipendono
dalle fasi relative dei vettori, sicchй era inevitabile che ci venissero a
mancare le informazioni per costruire una "sovrapposizione coerente", come и
quella che fornisce lo stato |se>.
SOVRAPPOSIZIONI COERENTI E DECOERENTI, INTERFERENZA ED ENTANGLEMENT
Quando avevamo considerato il sistema S come sistema isolato, avevamo visto
che dato un sistema di vettori |s[k]> (che per semplicitа possiamo supporre
ortogonali) lo stato di S poteva essere ottenuto come "sovrapposizione" di
tali vettori in due modi diversi:
1) come "sovrapposizione coerente", che produce uno stato puro e dа luogo a
interferenze fra gli stati |s[k]>:
     |psi> = sum{k} c[k] |s[k]>
2) come "sovrapposizione decoerente", la quale produce uno stato miscelato e
*non* dа luogo a interferenze fra gli stati |s[k]>:
     rho = sum{k} p[k] |s[k]><s[k]|
Fino a quando S viene trattato come sistema isolato non и chiaro quale sia
la relazione fra questi due tipi di sovrapposizione, ed appare anche un po'
"strano" che esistano due tipi di sovrapposizione. Se perт il sistema S
viene considerato in interazione con il suo ambiente E, ci rendiamo conto
che una "sovrapposizione decoerente" di stati di S и, in un certo senso, la
"proiezione" in H[s] di una "sovrapposizione coerente" di stati di SE.
Abbiamo anche visto che quando S si trova in uno stato puro le interferenze
ci sono, dunque se vogliamo che non compaiano le interferenze (almeno
rispetto ad alcune basi) bisogna che il sistema non si trovi in uno stato
puro, e ciт accade quando il sistema S и entangled con il suo ambiente.
Vediamo cosм che le due grandi "stranezze" della MQ, ovvero il fenomeno
delle interferenze e quello dell'entanglement hanno, in un certo senso, il
potere di "eliminarsi a vicenda", poichй quando un sistema diviene entangled
con il suo ambiente scompare l'interferenza fra alcuni suoi stati.
Diciamolo in un altro modo: siccome gli stati |s[k]>|e[k]> di SE
interferiscono fra di loro (ovvero il sistema SE si trova in una
sovrapposizione coerente di essi), allora il sistema S, a causa
dell'entanglement, non si trova in uno stato puro, e dunque esiste almeno
una base di stati di S rispetto alla quale non si ha piщ interferenza.
Ma se scompare l'interferenza significa che quegli stati si comportano in
modo "classico", sicchй siamo tentati dalla "suggestione" di porre la
seguente relazione fra tutti questi fenomeni:
     <interferenza degli stati di SE>  +  <entanglement di S con E>  =>
     =>  <comportamento "classico" di alcuni "osservabili" di S>
In termini di coerenza e decoerenza questa relazione puт essere riscritta
nel modo seguente:
     <coerenza degli stati di SE>  +  <entanglement di S con E>  =>
     =>  <*de*coerenza di alcuni stati di S>
RIFLESSIONI INTUITIVE SUGLI SVILUPPI SUCCESSIVI
L'entanglement и uno di quei fenomeni per i quali si potrebbe dire - usando
uno slogan un po' retorico di Fritjof Capra - che "il tutto и piщ della
somma delle parti". In altri termini, il sistema SE и un  "tutt'uno" che non
si lascia separare in sottosistemi senza perdere un po' della "informazione"
sul suo stato fisico.
Allo stesso tempo, perт, abbiamo visto che un ipotetico osservatore che
interagisca solo con il sistema S, cioи faccia riferimento ad "osservabili"
A[s], non puт fare nessun esperimento che gli consenta di osservare delle
"interferenze" fra gli stati |s[k]>. E se poi il nostro osservatore
interagisce con l'"ambiente" E andando a vedere quali sono stati gli effetti
su E della interazione con S, anche in questo caso farа uso di "osservabili"
di tipo A[e], e non sarа in grado di osservare delle interferenze fra gli
stati |e[k]>. Le interferenze potrebbero essere osservate solo per gli
stati |s[k]>|e[k]> di SE, sicchй per vedere le interferenze fra quegli stati
il nostro osservatore dovrebbe interagire con l'"universo" inteso come un
"tutt'uno".
Sebbene qui abbiamo un po' abbandonato il rigore scientifico per lasciarci
andare ad un linguaggio "letterario", questo approccio ci lascia
intravvedere la possibilitа di avanzare di qualche passo nel famoso problema
del "collasso".
Abbiamo perт i seguenti problemi che ancora ci sbarrano la strada:
1)
Diagonalizzando simultaneamente gli operatori rho[s] e rho[e] abbiamo
ottenuto una certa base che si comporta in modo "classico" (o quasi). Questo
fatto puт essere un indizio assai significativo di come si possa "ritrovare"
la meccanica classica senza ricorrere a quella ipotesi assurda e
inconsistente che и il "collasso" degli stati.
Tuttavia a noi non basta che si comporti in modo "classico" una sola base
(e, conseguentemente, gli operatori che in essa risultano diagonalizzabili).
Abbiamo bisogno, infatti, di ottenere questo comportamento per un ampio
insieme di "osservabili", per lo meno tutti quelli noti nell'ambito della
fisica classica.
2)
La diagonalizzazione degli operatori densitа operata nel modo che abbiamo
illustrato и stata compiuta da un punto di vista puramente "cinematico", nel
senso che ad ogni istante di tempo t possiamo effettuare tali operazioni di
decomposizione e diagonalizzazione.
Ma che ne и dell'aspetto "dinamico" del problema? Come evolvono nel tempo
questi operatori e questi vettori?
(In un certo senso и come se fino a qui avessimo preso nota, istante per
istante, della "traiettoria" di un oggetto classico: questo non ci fornisce
alcuna informazione sulla sua dinamica, nй sappiamo se la scelta di un certo
"sistema di coordinate" puт rivelarsi utile per trattare gli aspetti
dinamici del problema.)
Nelle prossimi post vorrei cercare di sviluppare in modo rigoroso questi
argomenti.
Nel frattempo mi prendo una pausa per vedere se qualcuno ha qualche commento
da fare o errori da segnalarmi.
Saluti.
D.

 commento da fare o errori da segnalarmi.
Eccoti il mio commento: mi rifiuto di prendere in considerazione un post
di oltre 300 righe.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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