Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Teoria dei gruppi: rappresentazioni?

Ciao gente!
Ho un problema molto probabilmente elementare riguardante la teoria
dei gruppi.
A lezione mi hanno dato la seguente definizione di rappresentazione: 
"...rappresentazione di un gruppo G su uno spazio vettoriale V è una
MAPPA che associa ad ogni elemento di un gruppo un operatore lineare
invertibile in V, ossia un elemento dell'insieme degli automorfismi di
V..."
Ora, la definizione mi sembrava pulita, il problema è che mi areno
nella maggior parte dei casi più elementari, in più, anche a lezione
mi sembra ci siano un po' di abusi di linguaggio.
Parliamo ad esempio di Rotazioni in R^3. 
Ora, una rappresentazione delle rotazioni  in R^3 sono le matrici o i
vettori?
Nel senso, mi sembrava di aver capito che la rappresentazione di un
gruppo rende concreta la sua "attività" quindi mi veniva logico
pensare alle matrici stesse come una rappresentazione, però, essendo
la rotazione un concetto assolutamente generale, mi verrebbe da dire
che è la mia scelta di parlare di "rotazioni di vettori" a fissare
automaticamente la scelta di tutti gli operatori possibili...spostando
così la mia attenzioni sui vettori più che sulle matrici.
Come leggete sono abbastanza in alto mare...quindi avrei davvero
bisogno di qualche ESEMPIO. Be patient...

 così la mia attenzioni sui vettori più che sulle matrici.
Puoi sempre vedere un' applicazione da R^3 a R^3 come un opportuno 
sottoinsieme di R^3xR^3 (coppie di vettori). In questo senso, puoi 
centrare l' attenzione sui vettori. Ma fissare l' atenzione sulle 
matrici e' sicuramente piu' comodo...
esempio in 2D:
rappresentazione del generico elemento del gruppo delle rotazioni 
(proprie, nel piano)):
La matrice S(phi), di elementi
| cos phi      sin phi |
|-sin phi      cos phi |
che, applicata ad un vettore 2D da'  le componenti del vettore 2D 
ottenuto ruotando il primo di un angolo phi (in senso antiorario).
In questo senso, la matrice S(phi) "rappresenta" l'elemento del gruppo 
delle rotazioni "rotazione antioraria di angolo phi".
Giorgio

Il fatto č spesso sento parlare dei vettori come
rappresentazioni...anche se forse l'idea piů corretta č quella di
inglobare nell'idea di rappresentazione sia "chi agisce chč chi
subisce".
Un esempio un po' piů fisico, essendo la fisica la mia materia. Se le
rappresentazioni sono solo gli operatori perchč le particelle vengono
definite come rappresentazione irriducibile del gruppo di Poincarč?

 così la mia attenzioni sui vettori più che sulle matrici.
Il gruppo di cui stiamo parlando (usualmente indicato dai fisici con
SO(3)) e' il gruppo delle matrici 3x3 ortogonali a determinante 1.
Se ne vuoi definire una rappresentazione, devi prima di tutto
scegliere lo spazio V.
Se prendi V=R^3, la rappr. piu' ovvia e' quella "identica", in cui
ogni matrice viene rappresentata da se stessa.
Caso non molto interessante, come vedi :)
Puoi anche decidere di mandare qualunque matrice nella matrice
identita': questa e' una rappresentazione banale, che esiste per
qualsiasi gruppo su qualsiasi spazio, ma non e' necessariamente una
cosa tanto stupida, anche se ora non posso mostrarti perche'.
Nota anche che essendo una rappr. un omomorfismo, essa avra' in genere
un _nucleo_ (gli elementi del gruppo mappati nell'identita').
Per il teorema dell'omomorfismo tra gruppi, il nucleo e' un s.g.
invariante (o normale) di G.
Nel caso di SO(3) le cose sono semplici, perche' i soli s.g.
invarianti che ha sono l'intero G e {I}.
Nel primo caso tutto G va nell'identita', nel secondo solo l'elemento
neutro di G va nell'identita', ossia la mappa e' iniettiva.
Vuoi un altro esempio? Eccone uno semplice ma non banale.
Prendi il grupoo delle permutazioni di tre oggetti (gruppo simmetrico
S_3).
Prendi V di dimensione 3, e sia (e_1,e_2,e_3) una sua base.
Definisci l'automorfismo che mappa una permutazione, mediante la
stessa permutazione dei vettori base, estendendolo per linearita' a
tutti gli elementi di V.
Ti propongo un esercizio: sapresti trovare un sottospazio invariante
di questa rappresentazione?
Intendo un sottospazio di V che venga applicato in se stesso da tutti
i 6 automorfismi che costituiscono la rappr. di S_3?
(R.: ce ne sono due...)
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------


Veramente la dizione corretta e'  che certi vettori (nel caso delle 
particelle, vettori nello spazio di Hilbert appropriato) costituiscono 
la "base" per una rappresentazione.
Un modo per dire che un vettore w appartiene alla base di una 
rappresentazione D(R) dell' elemento R di un gruppo di trasformazioni e' 
  che le componenti di w appartengono alle righe della rappresentazione 
D(R) o che si trasformano in accordo alla rappresentazione D(R).
Al di la'  delle definizioni, il vero punto e' che il concetto di 
rappresentazione e'  quello di tradurre l' azione di un elemento del 
gruppo di trasformazioni (fisiche o matematiche) in un operatore lineare 
in modo che le proprieta' di gruppo delle trasformazioni siano 
riprodotte dalle proprieta' del corrispondente gruppo di operatori.
Giorgio

 (R.: ce ne sono due...)
e_1+e_2+e_3 e 0?
fb
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 (R.: ce ne sono due...)
{e_1+e_2+e_3} e {0}?


 {e_1+e_2+e_3} e {0}?
OK per il primo, ma quanto a {0}...
Allora perche' non mi hai detto l'intero V?
Era ovvio che intendevo sottospazi _propri_.
Percio' ne manca uno.


 fb
Dovresti aggiungere i coefficienti.
Ovvero scrivere xi e_i = 0 Questi sono
i due sottospazi invarianti. Gli spazi
invarianti sono sempre invarianti insieme
con il loro ortogonale quando la rappresentazione
costruita conserva la norma. In questo caso
particolare però c'è un modo di notare l'altro
spazio invariante che non passa per la norma ed
è osservare che posto v=e_1+e_2+e_3 e w nello
spazio il prodotto vettoriale di v con w ha una
forma particolarmente simmetrica:
(w^i e_i ) v =
(w^1 - w^2) e_1 x e_2 +
(w^2 - w^3) e_2 x e_3 +
(w^3 - w^1) e_3 x e_1
 
dove la somma dei tre coefficienti vale zero.
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 Percio' ne manca uno.
Ah, ma allora siamo pretenziosi :-)
Dunque, un invariante unidimensionale:<e_1+e_2+e_3> e uno
bidimensionale <e_1-e_2,e_2-e_3>
ciao
