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Titolo: Quesito di Ippica

Ciao a tutti,
visto che il NG dei matematici è interdetto ai non iscritti per casi di 
net-abuse approfitto della rinomata ospitalità dei fisici per cercare di
chiarire un dubbio che mi distrae già da qualche giorno.
Dal titolo del Post me lo dico da solo : "Ma datti all'ippica!?!"
Va' bene... provvedo immediatamente! 
^______^
Esiste un concorso che si chiama Corsa Tris e consiste nell'indovinare
l'ordine d'arrivo dei primi tre cavalli in una data gara.
I dati del problema sono: 
1) le quote dei cavalli vincenti (inverso della probabilità che il cavallo
X vinca... meno un cosiddetto "aggio" per il bookmaker: solo per il
disturbo!... ma supponiamo che coloro che fanno le quote siano matematici
onestissimi e perciò la somma delle probabilità deve essere uguale ad
uno!) cioè per ogni cavallo (N cavalli) una quota (Q = 1/P)
e 2) le quote dei "piazzati" (cioè la probabilità che il cavallo X si
classifichi al secondo o al terzo posto); va' da sè che questa probabilità
in realtà è un intervallo di probabilità perchè si considerano due eventi
diversi (cavallo X-secondo oppure cavallo X-terzo). [è qui il mio
problema!]
Tralasciando le imprecisioni "tecniche" (non sono esperto di ippica)...
..c'è qualcuno in grado di spiegarmi (anche matematicamente) come si
calcolano le quote della corsa Tris? O come si potrebbe fare? 
La cosa che mi perplime è il non sapere la probabilità esatta che il
cavallo X arrivi secondo e quella che arrivi terzo. Come posso arrivare a
queste due dalle informazioni che ho? (quote vincenti e piazzati)?
N.B.: le quote dei piazzati - per fare un esempio numerico - non sono
disponibili in rete (o perlomeno, io non le ho trovate!) però la cosa
importante è che sia un intervallo (un esempio che ricordo da un monitor
di un'agenzia ippica per un cavallo favorito è: cavallo 5-vincente 3.83,
cavallo-5 piazzato 1.05-2.30).
Come gestire tutte queste informazioni (che sono date per tutti i cavalli)?
D'istinto a me verrebbe da moltiplicare le quote: ad esempio con una Tris
17-18-7 mi verrebbe naturale moltiplicare la quota del 17 vincente per la
"quota media" del 18 piazzato, a sua volta per la "quota media" del 7
piazzato.
Ma facendo così sbaglio!? Un qualunque esempio può dimostrarlo (cliccare
su Google "quote Tris" oppure a pagina 391 di Mediavideo!).
Secondo me DEVE essere più complicato!
Esiste un metodo "scientifico" di complicatissima "analisi statistica dei
dati" usato anche dai bookmakers che dice "date queste quote per i cavalli
la quota Tris è..." ???
Oppure indirizzatemi su una conversazione già fatta a suo tempo da qualche
parte su questo tema, o datemi dei link... per favore! Finora non ho
trovato nulla!
Scusate se sono stato confuso nell'esposizione...
Grazie in anticipo   ^____^
A tutti
-- 
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è sbagliato, le quote sono in funzione delle puntate.
Se un cavallo ha molte puntate come vincente, il suo totalizzatore
diminuisce.
Il totalizzazzatore non è statico, ma dinamico e viene aggiornato
istantaneamente dopo ogni giocata.
Il gioco è sempre vincente per il bookmaker, che deve mettere  una quota
fissa in percentuale del totale giocato come monte premi.
Saluti ippici
Luigi


mmh, rileggendo forse mi sono spiegato da cane.:-)
Volevo dire che nella TRIS non esiste una probabilità precalcolata, cioè non
sai mai quanto vincerai in anticipo come per le puntate normali sui cavalli.
Quindi il calcolo delle probabilità è legato soltanto alla conoscenza dei
cavalli, dei loro tempi, dei fantini, ed è soltanto una questione di
expertize.
Quello che fa la TRIS è qualcosa di simile al totocalcio, viene diviso il
montepremi, detratto dalle tasse e dalla percentuale del gestore, tra le
vincite.
Un calcolo semplice ti porta a vedere che se anche punti su TUTTE le
combinazioni possibili, risulti vincente soltanto se il montepremi, e quindi
la tua giocata più tutte le altre (meno le detrazioni) supera quello che hai
puntato.
Diverso è il fatto se tu voglia fare una giocata considerando la quota a cui
normalmente una agenzia ippica da quel cavallo.  Quello diventa un calcolo
probabilistico molto semplice, con la probabilità totale data dal prodotto
delle probabilità singole di ogni cavallo. Ma esistono infiniti programmi in
rete che già lo fanno.
 E ricorda, la colonna con maggiore probabilità dà normalmente la minore
vincita...
Fai come me, in 40 anni ho vinto ben 208.000.000 di lire, perchè non ho mai
giocato ( 52 settimane x 40 anni x 100.000 Lire medie) :-)))
Saluti vincenti
Luigi

 queste due dalle informazioni che ho? (quote vincenti e piazzati)?
Mi pare che qui tu poni due problemi distinti (naturalmente, come dicevi nel
tuo intervento, siamo nell'ipotesi di gioco equo (cosa che, come noto, non
e' nella realta') cioe' ipotizziamo che la quota per un evento di
probabilita' P sia 1/P cioe' avendo puntato Q riscuoteremo Q/P).
Primo problema:
avendo a disposizione, per ogni cavallo, le quote di vincente, piazzato,
eventualmente le quote delle possibili accoppiate ... (e ipotizzando che
tali quote siano effettivamente eque, cioe' che gli scommettitori
distribuiscano le giocate in maniera "corretta", cosi' che il totalizzatore,
che, come noto, calcola le quote basandosi sulle puntate ricevute su ogni
singola giocata, tiri fuori quote eque, cioe' ad esempio, un cavallo che
venga dato vincente con quota 2 abbia effettivamente il 50% di probabilita'
di vincere, un piazzato con quota 4/3 abbia effettivamente il 75% di
probabilita' di arrivare fra i primi tre ...) come facciamo ad evincere la
probabilita Pij, cioe' la probabilita' per il cavallo i di piazzarsi alla
posizione j ?
Io dubito che tale quesito sia in generale solubile anche volendo
restringere il calcolo alle sole j interessanti (cioe' j=1, j=2 e j=3).
Ritengo la cosa pressoche' certa se si considera che, come ricordavi, le
quote di piazzato non vengono date con esattezza in quanto e' impossibile
calcolarle prima dell'evento (l'unica cosa che si puo' calcolare prima
dell'evento e' il range entro il quale sara' certamente la quota di piazzato
per ciascun cavallo). Ad ogni modo io credo che anche nella ipotesi che un
ente superiore ci suggerisse le "corrette" probabilita' di ogni cavallo di
piazzarsi fra i primi tre, il quesito sarebbe comunque insolubile, cioe' non
si riuscirebbe ugualmente a calcolare le Pij.
Ma cio' che vorrei discutere piu' approfonditamente e' il secondo problema.
Secondo problema:
posto che siano note tutte le Pij (cioe' ammesso che il primo problema abbia
soluzione e che essa sia a noi nota) come si potrebbe calcolare la
probabilita' (e, conseguentemente, la relativa quota) di una qualsiasi tris?
Cioe', date le Pij, come si fa a calcolare la probabilita' P(l,m,n) che
all'arrivo si piazzi primo il cavallo l, secondo m e terzo n?
Risolvere questo problema potrebbe avere un interesse "pratico" in quanto
potrebbe accadere che per alcune giocate (ad esempio per la Tris) i
giocatori mediamente "sbaglino", cioe' che il numero di giocate coinvolgenti
alcuni cavalli sia esageratamente alto rispetto alle loro reali possibilita'
di vincita (il che renderebbe ovviamente conveniente giocare gli altri
cavalli e lo studio statistico potrebbe mostrare se e quando questa
convenienza supera la media "non convenienza" che sempre si ha nei giochi
reali). Ad esempio potrebbe risultare che le giocate riguardanti tre
outsiders (cioe' una scommessa nella quale si ipotizza che i primi tre siano
tutti cavalli non favoriti) siano esageratamente basse, cioe' che la gente
giochi troppo spesso o tre o due o almeno un favorito. La cosa potrebbe far
si' che le (poche) volte che si piazzano tre outsiders la quota risulti
esageratamente alta al punto da compensare le perdite avute nelle molte
volte che, nelle passate corse tris, avevamo giocato tutte le possibili
combinazioni di tre cavalli outsiders.
La "non convenienza" di cui parlavo sopra e' in genere molto alta (per
l'ippica a occhio direi che sia almeno del 50%), e le giocate degli
scommettitori sono da supporre mediamente abbastanza "corrette", cosi' che
il supposto interesse "pratico" di cui parlavo sopra e' pressoche'
impossibile che si riveli reale, ad ogni modo, poiche' risolvere un problema
costa molto meno di puntare un cavallo, potrebbe valere la pena di provare a
risolverlo.
Il punto e' che anche questo secondo problema a me pare senza soluzione.
Immaginiamo il seguente problema semplificato:
corrono tre cavalli solamente, i numeri 1, 2 e 3.
Siano:
P11=90/100, P12=9/100, P13=1/100,
P21=9/100, P22=90/100, P23=1/100,
P31=1/100, P32=1/100, P33=98/100.
Ricordo che Pij=probabilita' per il cavallo i di piazzarsi alla posizione j.
Si puo' notare che, fissate le Pij, risultano indefinite le P(l,m,n). A tale
scopo basta individuare due set di possibili soluzioni diverse fra loro:
Primo set di soluzioni:
P(1,2,3)=(90/100)*1
P(1,3,2)=(90/100)*0
P(2,1,3)=(9/100)*(8/9)
P(2,3,1)=(9/100)*(1/9)
P(3,1,2)=(1/100)*1
P(3,2,1)=(1/100)*0
Secondo set di soluzioni:
P(1,2,3)=(90/100)*(179/180)
P(1,3,2)=(90/100)*(1/180)
P(2,1,3)=(9/100)*(17/18)
P(2,3,1)=(9/100)*(1/18)
P(3,1,2)=(1/100)*(1/2)
P(3,2,1)=(1/100)*(1/2).
In generale, se non ho sbagliato i calcoli, risultano soluzioni tutte le
P(1,2,3)=(90/100)*alfa(gamma)
P(1,3,2)=(90/100)*(1-alfa(gamma))
P(2,1,3)=(9/100)*(gamma)
P(2,3,1)=(9/100)*(1-gamma)
P(3,1,2)=(1/100)*eta(gamma)
P(3,2,1)=(1/100)*(1-eta(gamma))
con
alfa(gamma)=(98-9*gamma)/90
eta(gamma)=9-9*gamma
dove gamma puo' assumere un qualsiasi valore tale da rendere positivi sia
alfa che eta.
Quindi la conoscenza di tutte le Pij non ci permette di calcolare le
probabilita' (e rispettive quote) delle diverse Tris.
Qualora i cavalli in gara fossero piu' di tre mi pare che le cose non
possono che complicarsi ulteriormente, quindi direi che sia decisamente
improbabile che il problema possa risultare determinato per un numero di
cavalli maggiore di tre essendo indeterminato per tre cavalli.
Il problema nasce dal fatto che le Pij non ci dicono nulla (o meglio, ci
dicono qualcosa, ma quello che ci dicono non basta per determinarle tutte
con esattezza) sulle probabilita' condizionate P(is|jp):probabilita' che il
cavallo i si piazzi in seconda posizione posto che il cavallo j si sia
piazzato in prima.
Nei calcoli di cui ho riportato sopra i risultati avevo posto:
P(2s|1p)=alfa
P(3s|1p)=1-alfa
P(1s|2p)=gamma
P(3s|2p)=1-gamma
P(1s|3p)=eta
P(2s|3p)=1-eta.
Impossibile chiudere questo post senza un ricordo per *** l' Eletto *** che
ha recentemente riscritto la storia del trotto mondiale.
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

 P31=1/100, P32=1/100, P33=98/100.
mah, non vorrei sbagliarmi, ma il totalizzatore non funziona a probabilità,
ma a quantità di denaro.
PRendiamo il tuo esempio:
(gioco equo senza tasse e aggio)
A punta su P11 1000
B punt a su P12 1000
C punta su P13  1000
Montepremi 3000
quote per ogni arrivato 3:1, quindi chi vince vince quello che gli altri
hanno perso.
secondo esempio:
A punta su P11 1000
B punta su P12 1000
C punt su  P13  98.000 (un pazzo che vuol fare il colpo, ma che non ha
tenuto conto che dopo la sua puntata il totalizzatore si aggiorna!)
montepremi 100.000
prima della corsa ed in tempo reale il totalizzatore aggiornerà le quote che
"indipendentemente" dalla forza del cavallo diventeranno:
A = 1:99
B=  1:102
C=  1: 1,02
chi vince prende 102.000 (chiaramente con diversio rischio).
Quindi la probabilità serve solo per cercare una combinazione più probabile,
ma non equa, mentre il totalizzatore funziona solo a quantità di denaro
puntato.
Chiunque giochi sulla probabilità composita fa il gioco del banco, che è
tarato proprio per questi eventi.
Giusto invece il ragionamento fatto sulle probabilità composite, ma come
dicevo, le vincite più probabili sono anche le più basse.
Saluti totalizzati
Luigi

 alfa che eta.
Ops, qua volevo dire che, essendo sia gamma che alfa e eta delle
probabilita', devono tutte e tre essere comprese fra 0 1. Facendo i conti
viene che gamma deve essere compreso fra 8/9 e 1.
Risulta quindi:
P(2s|1p)=alfa
sara' sempre compreso fra 89/90 e 1;
P(3s|1p)=1-alfa
sara' sempre compreso fra 0 e 1/90;
P(1s|2p)=gamma
sara' sempre compreso fra 8/9 e 1;
P(3s|2p)=1-gamma
sara' sempre compreso fra 0 e 1/9;
P(1s|3p)=eta
sara' sempre compreso fra 0 e 1;
P(2s|3p)=1-eta
sara' sempre compreso fra 0 e 1.
Si vede che, con le Pij scelte che mostravano un chiaro favorito (il numero
1) seguito da un chiaro favorito per il secondo posto (il numero 2), le
probabilita' condizionate, pur non risultando determinate, oscillano
comunque entro valori che mostrano come siano comunque alte le probabilita'
di piazzameto al secondo posto del numero 2 quando vince il numero 1 e di
piazzamento al secondo posto del numero 1 quando vince il 2.
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 Luigi
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