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Titolo: Campi conservativi al liceo

Vorrei dimostrare al liceo che dato un campo vettoriale come quello uniforme
o quello centrale - per cui si è dimostrato che il lavoro tra A e B è uguale
alla differenza di una appropriata energia potenziale - l'energia meccanica
totale si conserva... come posso fare per dimostrarlo senza usare le 
derivate?


che strano, io avrei detto senza usare gli integrali.
Ma secondo me lo stai prendendo  per la coda.... per mio modo di
vedere farei cosi'.
Alla base c'e' la forza, ed il suo punto di applicazione : una massa.
Quindi l'Accelerazione che identifica la forza.
Lavoro ed impulso. (spazio e tempo).
Il lavoro: perche' sia possibile "muovere" un corpo devo <<spendere>>
energia. Io faccio lavoro sul corpo che acquista l'energia che ho
speso.
Vedi che l'energia in certe condizioni fluisce integralmente dal
soggetto del lavoro all'oggetto dello stesso lavoro.
Facciamo un lavoro su di un corpo per portarlo da A a B.
Terzo principio "azione-reazione".... Quanto costa in termini di
lavoro andare da A a B?
Quanto lavoro costa portare un corpo da A a B nello spazio estremo?
Il lavoro che faccio per portare il corpo m da A a B nel campo
gravitazionale e' "dettato" sostanzialmente dal campo gravitazionale
stesso.
Il lavoro che spendo sul corpo, viene acquistato dal corpo che si
trova nel campo gravitazionale. Il corpo potra' rendere in futuro
l'energia acquistata: E' energia Potenziale.
Non conta il percorso...per andare da A a B... In quali casi?
[dici di averlo gia' dimostrato quindi lo prendo per un fatto]
Nei casi in cui effettivamente non conta... il lavoro che faccio per
immagazzinare un TOT di energia nel corpo e' UNICO ed ha dipendenza
solo dal lavoro stesso.
Quando il corpo "spende" l'energia accumulata non fa altro che ...
muoversi.
Trasforma
l'energia in
movimento...
Se con la forza accelero un corpo e gli cedo energia:
F = ma = m dv/dt -->
 in un tempo Dt -->  Sposto Dx  >>  Energia  DL = F Dx = m dv/dt dx
[in un tempo dt e' m dv dx]
Con l'energia accelero spendola.
 in un tempo Dt -->  Sposto Dx --> Energia  DL = m dv v
Ecco fatto.
Ogni volta che faccio lavoro sul corpo esso immagazzina energia stto
forma di En.Potenziale
Quando la spende la mostra come velocita'.
Il bilancio rimane all'equilibrio.
Non posso produrre velocita' se non ho adeguata energia a farlo.

LordBeotian ha scritto:

Beh, le derivate prob. non servono, ma qualche argomento differenziale
"camuffato" ci vuole.
Del resto questo e' inevitabile fin dal principio quando fai
meccanica...
Sia T = mv^2/2 l'energia cinetica.
Calcoliamone la variazione tra due tempi vicini:
dT = T(t2) - T(t1) = (m/2)*(v2^2 - v1^2) (m/2)*(v2 - v1)*(v2 + v1) = (circa)
(m/2)*dv*2v = mv*dv = mv*a*dt = F*v*dt = F*ds = -dU.
Ma tutto questo lo sapevi di certo. Quindi?
 
-- 
Elio Fabri

LordBeotian ha scritto:

Si può considerare il moto di un corpo di massa m (lasciato cadere al
tempo t1 dalla quota h1 con velocità iniziale nulla, che giunge alla quota
h2 (h1 > h2) al tempo t2 con velocità v) all'interno di un campo
gravitazionale uniforme con accelerazione di gravità pari a g.
Scrivendo l'energia meccanica complessiva per le due quote, h1 e h2, si
ottiene:
E1(t1) = m*g*h1 + 0 (velocità iniziale nulla)
E2(t2) = m*g*h2 + (1/2)*m*v^2 (v = velocità istantanea nel momento in cui
il corpo raggiunge la quota h2).
Sottraendo la prima dalla seconda:
E2 - E1 = m*g*(h2-h1) + (1/2)*m*v^2 (*).
Ora, applicando al caso in studio l'equazione oraria del moto e
l'equazione per la velocità relative al moto naturalmente accelerato (g è
costante), ne discende che:
h1 - h2 = (1/2)*g*(t2 - t1)^2
v = g*(t2 - t1)
le quali sostituite nel secondo membro della relazione (*) danno come
risultato zero, che è quello che si voleva dimostrare.
Saluti,
Aleph
 
 
-- 
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"LordBeotian" ha scritto:

Il teorema di conservazione dell'energia meccanica e' una
necessaria conseguenza della definizione di campo
conservativo e del teorema dell'energia cinetica, che enuncio cosi':
"Il lavoro eseguito da tutte le forze che hanno agito su un punto
materiale e' uguale alla variazione della sua energia cinetica".
Scomponendo le forze e gli spostamenti lungo i tre assi cartesiani,
si vede immediatamente che e' sufficiente dimostrare il
teorema dell'energia cinetica nel caso unidimensionale, cioe'
basta dimostrare che:
Integrale[F ds] = 1/2 * M * (v_f^2 - v_i^2),
ove l'integrale e' calcolato lungo il moto reale,
M e' la massa del p.m. e v_f e v_i sono la velocita'
finale e quella iniziale.
Per il 2° principio della dinamica si ha F = M * a = M * dv/dt,
inoltre ds = v * dt, da cui:
Integrale[F ds] = Integrale[M * dv/dt * v dt] =
Integrale[M * v dv] = Integrale[M * 1/2 dv^2] =
1/2 * M * (v_f^2 - v_i^2)
CVD
Quindi nella dimostrazione bisogna utilizzare sia derivate
che integrali.
Nel caso che i tuoi studenti si ricordino le equazioni che
caratterizzano un moto uniformemente accelerato :-),
un'alternativa euristica potrebbe essere quella di scomporre
l'integrale come una somma infinita di termini infinitesimi del
tipo F * ds, per ciascuno dei quali la forza F agente lungo il
cammino infinitesimo ds si possa considerare costante, e
dimostrare il teorema dell'energia cinetica lungo ciascun
cammino infinitesimo:
il moto lungo ciascun cammino infinitesimo e'
uniformemente accelerato, e se s(t) e' la posizione iniziale,
s(t + dt) = s(t) + ds quella finale, v(t) la velocita' iniziale,
v(t + dt) quella finale, si ha:
v(t + dt) = v(t) + a * dt => a = [v(t + dt) - v(t)] / dt,
s(t + dt) = s(t) + v(t) * dt + 1/2 * a * dt^2 =>
ds = s(t + dt) - s(t) =  v(t) * dt + 1/2 * a * dt^2,
F * ds = M * a * ds = M * a * [v(t) * dt + 1/2 * a * dt^2] =
M * [v(t + dt) - v(t)] / dt * {v(t) * dt + 1/2 * [v(t + dt) - v(t)] * dt} =
M * [v(t + dt) - v(t)] * {v(t) + 1/2 * [v(t + dt) - v(t)]}=
1/2 * M * [v(t + dt)^2 - v(t)^2]
CVD
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani