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Titolo: Funzione d'onda dell'elettrone.

Qualcuno può fornirmi la funzione che descrive la distribuzione di
probabilità di trovare l'elettrone in un certo punto nello spazio
all'istante t?
Immagino dovrebbe essere una certa p(r) (cioè con simmetria sferica) tale
che l'integrale esteso al volume infinito fornisca 1.
Grazie, ciao.

Allora: innanzitutto se l'elettrone e' libero allora la sua funzione
d'onda e' un'onda piana in 3-d il cui integrale esteso a tutto R^3 non
converge nemmeno con le bombe..., in questo caso anche la dicitura
"all'istante t" perde senso.
Se l'elettrone e' soggetto ad un potenziale allora e' un'altra storia...
se poi questo potenziale e' coulombiano allora ritroviamo grossomodo la
strada per i famosi orbitali, i cui integrali estesi a tutto lo spazio
convergono eccome!
Ciao


 che l'integrale esteso al volume infinito fornisca 1.
Non e' detto.
-- 
To reply, replace "smartassi" with "smargiassi" in my e-mail
address
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

Caro Xself
La tua domanda e` difficile,..,perche` non e` molto chiara.
La funzione d`onda che vuoi riguarda un elettrone in un certo potenziale
o libero?
Inoltre anche considerando ad esempio un elettrone in un potenziale
coloumbiano (ad esempio per quanto riguarda un atomo) vi possono essere
molteplici funzioni d`onda possibili a seconda dell`energia del momento
angolare ecc..
E` comunque sacrosanto che l`integrale sullo spazio del modulo quadrato di
tale funzione d`onda sia 1 (secondo l`interpretazione di Schroedinger).
Sappimi dire piu` precisamente in che condizioni e` l`elettrone.
Ciao!   
The Volk  
On Wed, 28 Feb 2001, Xself wrote:


 
|~~~~~~| 
|(O>   |\  Fabio Cavaliere (Homebrew apprentice & GLUG member)
|//\   | | e-mail > 
fa...@urania.fisica.unige.it
|V_/_  | | e-mail2 > 
cava...@server3.fisica.unige.it
|######|-  GLUG on the Web : 
http://genova.linux.it
 
+------+

 convergono eccome!
Vedo che studi a Pisa...
Non so a che punto sei degli studi, ma guarda che le tue idee sulla mq
non sono tanto giuste.
Non e' affatto vero che "se l'elettrone e' libero allora la sua funzione
d'onda e' un'onda piana in 3-d".
Primo: una funzione d'onda cosiffatta non esiste nello spazio di Hilbert
(proprio perche' non e' L^2) e tanto meno esiste nella realta' fisica.
Secondo: e' verissimo che moltissimi conti si fanno con le onde piane,
ma per due buone ragioni:
a) Che in parecchi casi si ottiene cosi' un conto assai piu' semplice,
che e' un'ottima approssimazione di quello che dovresti fare con f.
d'onda piu' realistiche.
b) Che ogni funzione L^2 ammette una trasf. di Fourier, il che e' quanto
dire che si puo' vedere come sovrapposizione di onde piane. Quindi puoi
sempre (il problema e' lineare) studiare il comportamento di un'onda
piana, e poi costruire la sovrapposizione che ti serve.
Terzo: in ogni caso le onde piane sono solo particolarissime f. d'onda,
corrispondenti a particolarissimi stati della particella: gli autostati
dell'impulso (detto sempre con le cautele del caso, visto che l'impulso
ha uno spettro continuo, quindi a rigore non ha ne' autovalori ne'
autofunzioni; ma li ha alla Dirac).
Ma tu sai (dovresti sapere) che neppure le autofunzioni dell'energia,
per una particella libera, sono necessariamente autofunzioni
dell'impulso. Inoltre ci sono gli stati non stazionari, le cui f. d'onda
possono essere qualsiasi (purche' L^2).
Per esempio, nessuno ti vieta di prendere come f. d'onda una bella
gaussiana: solo che evolvera' nel tempo, finendo sempre per allargarsi
(lo sapresti dimostrare?)
Come rappresenteresti la f. d'onda di un elettrone nel fascetto di un
oscilloscopio? Con un'onda piana? Oppure?
Per finire: nel caso del potenziale coulombiano, non dimenticare che
l'energia ha anche uno spettro continuo. Quindi non tutte le
"autofunzioni" dell'energia sono normalizzabili. Lo sono solo quelle con
autovalore negativo.
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

 
Ciao, questo il prof.Passatore sicuramente non te l'ha detto, per lo meno
in questi termini ;-).
Se parli di *autostati* dell'Hamiltoniano allora potrei essere d'accordo
con te (con le debite precisazioni tra stati veri cioe' normalizzabili
e quelli impropri), ma se parli di funzioni d'onda arbitrarie, in un cristallo
un elettrone puo' avere anche una funzione d'onda a simmetria sferica.
Ciao, Valter
PS. Fine del mio tempo libero, risparisco.

"Quantum Mechanics", ..., ..., ...)
Certo che sakurai e dirac come testi introduttivi sono 1 po una
mattonata!
specialmente il vechio pam che e addirittura incomprensibile, con la
sua notazione anni 20...
....cmq e insuperabile nei suoi pezzi in prosa...ricordo ancora quando
spiega bčččne le differenze e analogie tra il metodo pertubativo
dipendente e indipendente dal tempo...un pezzo cosi sottile che nn
melo ricordo mai...ma lui si che aveva capito come andavano le cose!!!



Certamente, hai ragione (e infatti nei calcoli con pseudopotenziali spesso
si usano proprio armoniche sferiche come funzioni base). Comunque mi
riferivo implicitamente agli autostati dell'Hamiltoniana. 


Innanzitutto vi ringrazio per le risposte e mi scusa per la domanda
imprecisa.
Vorrei considerare una situazione in cui, nell'accezione classica, si
consideri un elettrone fermo in un certo punto e isolato (in altre parole un
solo elettrone in tutto l'universo).
Nell'accezione probabilistica immagino quindi che dovrei considerare
l'interazione con un potenziale elettrico tale che si abbia un massimo nel
punto in cui vorrei tenere fermo l'elettrone.
A partire da ciň vorrei trovare la distribuzione di probabilitŕ, che
dovrebbe essere una p(r) centrata nel punto di massimo del potenziale (cioč
nel punto in cui vorrei che fosse l'elettrone).
Una volta trovato p(r) (tale che l'integrale sul volume infinito sia 1)
moltiplicando tale funz per la carica dell'elettrone troverei una
distribuzione media (nel tempo) di carica corrispondente alla presenza
"probabilistica" dell'elettrone nella posizione considerata.
Infine col teorema di Gauss vorrei trovare il campo che deriva da tale
distribuzione di carica media.
Immagino che a grande distanza dal punto considerato il campo trovato debba
essere simile a E=k*e/r^2, ma sicuramente le grosse differenze si avrebbero
per r molto piccoli.
Il problema che non avevo considerato č che la scelta del tipo di potenziale
č determinante. Quale dovrei scegliere?
C'č qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento?
Grazie a tutti, ciao.

 dell'impulso.
Vedi per esempio la particella "nella scatola"...in ogni caso anche per una
particella "libera" possono esserci delle condizioni al bordo che modificano
sensibilmente lo spettro dell'hamiltoniana e le relative (pseudo)
autofunzioni...
Aggiungerei anche (tanto per complicare le cose) che stiamo prendendo in
esame un elettrone non relativistico, perché se teniamo conto anche degli
effetti conseguenti alla seconda quantizzazione allora proprio l'elettrone
non esiste :) tanto è vero che si chiama "quasi-particella"...
A presto,
--
Martin Sileno

Xself ha scritto:

Se intendi la f. d'onda tout-court di uno stato qualsiasi, posso solo
risponderti che puo' essere una qualsiasi funzioni delle tre coordinate
spaziali quadrato-sommabile.
La sua evoluzione temporale dipende dall'hamiltoniana dell'elettrone.
Se invece vuoi saper la funzione d'onda degli stati *stazionari*
dell'elettrone, anche qui devi conoscere l'hamiltoniana (e risolvere
l'equazione di Schrodinger).
Comunque qualunque stato dell'elettrone (ma potrebbe essere un qualsiasi
sistema quantistico) puo' essere espresso come combinazione lineare di stati
stazionari.
Queste sono piu' o meno banalita'.
Temo pero' di non aver ben capito cio'che vuoi sapere.
Ciao.
Antonio

 ....cmq e insuperabile nei suoi pezzi in prosa...
[snip]
Ehh, si', questo e' certo ... ma credo che sia tutta l'impostazione del
libro: le formule sono poco di piu' di uno "schizzo" per accompagnare
l'intuizione (e forse anche il senso estetico) del lettore a raccogliere
le idee e i concetti della MQ ... 
Mi sbaglio ?! (chiedo agli esperti ;) )
Francamente (parere interamente personale) io lo considero "l'unico" libro
di MQ ... gli altri sono appendici. Con tutto il rispetto per gli altri...
   grazie per lattenzione
                      bye     mr

 A presto,
 Ciao, non capisco mica. Cosa significa che l'elettrone in seconda 
 quantizzazione non esiste? Certo che esiste: lo definisci negli stati 
 asintotici, nell'ipotesi di completezza asintotica, dei processi di 
 scattering (e non  ci sono porcherie se usi il formalismo LSZ). 
 Le quasi-particelle sono un'altra cosa che viene fuori quando esegui 
 una trasformazione di Bogoliubov di una hamiltoniana di
 seconda quantizzazione in maniera da ottenere una nuova hamiltoniana
 con una parte (ma non tutta) con spettro simile a quello particellare
 (in realta' descrive la quantizzazione di modi collettivi), ma senza 
 nessuna richiesta di covarianza degli autovalori sotto l'azione 
 unitaria delle trasformazioni di Poincare' o di irriducibilita' 
 della rappresentazione (che invece si impone sugli stati asintotici 
 delle teorie con particelle).
 Per esempio i "rotoni" della superfluidita'di Landau sono fononi 
 rimaneggiati tenendo conto dell'interazione e vengono fuori in quel 
 modo...
 Infine, non ho nemmeno capito cosa volevi dire dicendo
 che si possono usare le misure spettrali: anche se usi quelle 
 gli stati normalizzabili rimangono tali e quelli impropri rimangono 
 impropri...
 Ciao, valter

  impropri...
No...se studi il problema dal punto di vista della risoluzione spettrale
dell'hamiltoniana non hai il problema di dover ammettere l'esistenza di
autostati non L2 per spiegare lo spettro continuo. L'hamiltoniana ha un
dominio di definizione tipicamente (nel caso libero e per una vasta classe
di potenziali sufficientemente regolari) dato dalle funzioni infinitamente
derivabili a supporto compatto su cui è essenzialmente autoaggiunta e
l'estensione autoaggiunta è il "laplaciano" distribuzionale ecc...In questo
modo puoi definire dei proiettori spettrali sui sottoinsiemi dello spettro
(che ovviamente nel caso continuo non possono ridursi a un punto) e con essi
contruire delle "quasi-autofunzioni" che sono autovettori a meno un quantità
piccola a piacere (riducendo l'insieme su cui si proietta) e che sono stati
fisici del sistema.
A presto,
Martin Sileno

 Grazie a tutti, ciao.
Il resto e' tutto ok. L'unica cosa e' il tuo concetto di fermo. Se
intendi valor medio nullo della posizione allora la funzione che ti ho
dato va' benissimo e puoi farti tranquillamente tutti i tuoi conti!!

 decrescente esponenzialmente col raggio del tipo A*e^(-kr), 
Se fossi in una dimensione io suggerirei una gaussiana psi(x,t=0)
= A*exp(-x^2/a^2), che e' il pacchetto d'onda con minimo prodotto
Dx*Dp, quindi la migliore rappresentazione possibile di una
particella "localizzata e ferma". L'evoluzione temporale di
questo tipo di pacchetto e' ben nota e la trovi in molti testi,
p.es
 Merzbacher o Schiff. In 3-D ci sara' qualche leggera
differenza, ma i calcoli dovrebbero rimanere abbastanza semplici.


 proietta) e che sono stati fisici del sistema.
Quello che dici e' vero, pero' ...gli autostati impropri rimangono 
impropri e cio' non semplifica le cose nella pratica, anzi spesso 
le complica (Si quello che dici e' la nota proprieta'utile nella teoria:
"Se l e' nello spettro continuo dell'operatore autoaggiunto A, esiste
una successione di elementi normalizzati dello spazio di Hilbert nel 
dominio dell'operatore A per cui ||Af_n - l f_n|| -> 0 se n-> oo"
pero'ovviamente f_n non tende a niente nello spazio di Hilbert.) 
Pero' per esperienza personale, che quindi dipende dalla persona!, l'uso
diretto degli autostati impropri (come soluzioni deboli del problema
agli autovalori) e' la cosa piu' semplice da fare in molti casi pratici. 
...Ma comunque e' questione di gusti.
Ciao, Valter