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Titolo: Matrici che commutano e conservazioni varie...

Ciao a tutti!
Chiacchierando sono venuto a sapere che le matrici che commutano 
tra loro in fisica sono legate alla conservazione di qualcosa (energia o 
altro).
Qualcuno mi può dire qualcosa di più esteso? La cosa mi intrippa 
assai...
Ciao!
Piercarlo
-- 
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 altro).
Esatto: in generale, se un operatore (una matrice quadrata e' 
semplicemente un operatore su di uno specifico spazio vettoriale a 
dimensione finita) commuta con l'hamiltoniana del sistema, e quell' 
operatore rappresenta un'osservabile del sistema, allora 
quell'osservabile e' una costante del moto.
L'Hamiltoniana commuta con se stessa, dunque l'energia si conserva 
(stiamo parlando di sistemi isolati). La quantita' di moto lungo l'asse 
x e' px = -i hbar d/dx e percio' commuta con H solo se H non dipende 
dalla coordinata x, ovvero, in termini classici, se non v'e` componente 
x della forza: e questo classicamente torna! Il momento angolare L 
attorno ad un asse si conserva se e solo se H non dipende dall'angolo di 
rotazione attorno a quell'asse, e si puo' vedere che in questo caso che 
H e L commutano e che - parlando in termini classici - non c'e` un 
momento torcente attorno all'asse.
Nota una cosa importante: la commutativita' negli ultimi due casi (in 
realta' anche nel primo, ma e' una cosa leggermente diversa) dipende dal 
fatto che l'Hamiltoniana e' invariante per una certa trasformazione. 
P.es. nel caso della qdm la conservazione di px e' legata al fatto che H 
non cambia se sposti il sistema lungo l'asse x. Si tratta di un fatto 
del tutto generale: la conservazione di una quantita' e sempre legata ad 
un'invarianza del sistema per una opportuna trasformazione. Il teorema 
naturalmente e' valido anche in meccanica classica, ed in effetti venne 
per la prima volta dimostrato in quell'ambito (Emmy Noether).
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia

 Piercarlo
Ciao,
il discorso è un pochettino complicato ma ci provo ugualmente.
In Meccanica Quantistica le osservabili fisiche (posizione, energia ecc.)
vengono ricate come valore di aspettazione di un operatore (operatore
posizione, operatore energia ecc.).
Si usa solitamente questo tipo di notazione (notazione di Dirac) per
esprimere il concetto soprastante:
<X> = <psi|X|psi>
<X> = valore di aspettazione dell'ossservabile posizione
<psi|X|psi> = Integrale di (psi)*X(psi) su tutto lo spazio
dove
psi è la funzione d'onda del sistema, 
psi* è la sua complessa coniugata 
X è l'operatore relativo alla posizione
Gli operatori hanno una corrispondenza biunivoca con i tensori. I tensori
di rango II sono appunto delle matrici, ed infatti tu hai parlato proprio
di matrici nel tuo post.
Facciamo conto di disporre di un operatore A indipendente dal tempo. Tale
operatore darà come risultato di integrazione  il valore di aspettazione
<A>. Tale valore di aspettazione può dipendere o non dipendere dal tempo
(anche se l'operatore non dipende dal tempo non è detto che l'osservabile
che produce come valore di aspettazione non dipenda dal tempo).
<A> = <psi|A|psi>
d<A>/dt = d(<psi|A|psi>)/dt=
=<d(psi)/dt|A|psi>+<psi|d(A)/dt|psi>+<psi|A|(d(psi)/dt)>
Il termine <psi|d(A)/dt|(psi)>=0 
perchè avevamo detto all'inizio che l'operatore A non dipende dal tempo
l'equazione di schrodinger è:
ih'[d(psi)/dt]=H(psi)
dove:
h'= h tagliato = h/2pi
H=operatore relativo all'osservabile energia (si chiama operatore
Hamiltoniano)
i=vediti un pò i numeri complessi
dall'equazione di Schrodinger ho la seguente espressione: 
[d(psi)/dt]=H(psi)/(ih')
che vado a sostituire in d<A>/dt ottenendo:
d<A>/dt=[<psi|(A)(H)|psi>]/(ih')-[<psi|(H)(A)|psi>]/(ih')
moltiplica denominatore e numeratore per i ed ottieni:
d<A>/dt=(i/h')[<psi|(H)(A)-(A)(H)|psi>]
(H)(A)-(A)(H)=[H,A]<--commutatore di H e A
d<A>/dt=(i/h')[<psi|[H,A]|psi>]
Se [H,A]=0 si dice che i due operatori commutano.
Se guardi bene l'espressione scritta sopra ti potrai accorgere che se i due
operatori commutano  d<A>/dt=0
In caso di commutazione quindi, il valore di aspettazione dell'osservabile
è indipendente dal tempo.
Un osservabile fisica che ha l'operatore che commuta con l'energia del
sistema (l'operatore H) fornisce un valore di aspettazione che è
indipendente dal tempo, e quando ciò accade si dice che <A> è una costante
del moto e quindi si conserva nel tempo.
Ciao

 Piercarlo
Ciao,
il discorso è un pochettino complicato ma ci provo ugualmente.
In Meccanica Quantistica le osservabili fisiche (posizione, energia ecc.) 
vengono ricate come valore di aspettazione di un operatore (operatore 
posizione, operatore energia ecc.).
Si usa solitamente questo tipo di notazione (notazione di Dirac) per 
esprimere il concetto soprastante:
<X> = <psi|X|psi>
<X> = valore di aspettazione dell'ossservabile posizione
<psi|X|psi> = Integrale di (psi)*X(psi) 
dove
psi è la funzione d'onda del sistema, 
psi* è la sua complessa coniugata 
X è l'operatore relativo alla posizione
Gli operatori hanno una corrispondenza biunivoca con i tensori. I tensori 
di rango II sono appunto delle matrici, ed infatti tu hai parlato proprio 
di matrici.


 Ciao
Ciao e grazie!
Piercarlo

 Ciao
Approfitto per chiedere un chiarimento. Ho letto in
vari libri che il momento angolare totale di un atomo 
J=L+S è una costante del moto mentre non lo sono i
momenti angolari orbitale e di spin L ed S. Ho anche
letto che questi vettori sarebbero animati di moto 
precessionale intorno a J. Ora, a me risulta che
in uno stato stazionario e' determinato il valore
di aspettazione Lz di L lungo una direzione z arbitraria
ma sono del tutto indeterminati i componenti Lx e Ly e
sono nulle le loro medie.
Di conseguenza la direzione della media di L coincide con
la direzione z. Come puo' allora il vettore Lz precedere 
intorno alla direzione z? 
Ringrazio chi mi vorra' rispondere e mi scuso per
la probabile banalita' della domanda.
Pino

 z. Come puo' allora il vettore Lz precedere intorno alla direzione z?
La prima cosa che dici non e' vera: sarebbe vera se L (vettore) fosse
una costante del moto.
Quindi quello che hai scritto potresti dirlo per J, non per L.
Ma in realta' come l'hai detto non va bene comunque...
Se J e' una costante del moto, gli stati stazionari sono autostati del
modulo di J, e sono degeneri (uguale autovalore di H) con grado di
degenrazione 2j+1.
Tra questi stati degeneri ne puoi prendere 2j+1 per formare una base
ortonormale, e poi prendere per es. gli autostati di Jz.
Nota bene: _puoi_, non _devi_.
Se fai cosi', allora su quegli stati J e Jz hanno valori determinati,
mentre le altre componenti di J no.
 
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 Nota bene: _puoi_, non _devi_.
Il che vuol dire che uno stato stazionario
puo' essere o non essere autostato di Jz, 
giusto? 
Ti ringrazio moltissimo per la risposta.
Pino

 Meno banale: la trasformata di Fourier.
Qui aprofitto per chiedere un altro lume. Visto che a quel che vedo la 
matematica tende a cambiare molto spesso "interfaccia utente", vorrei 
grosso modo un riferimento temporale per valutare l'attualità dei testi 
in modo da non andare a studiare su testi troppo obsoleti.
Grazie per tutto quello che segue. Lo archivio per il giorno che potrò 
veramente capirci qualcosa da solo! Non presto in ogni caso.


 autostato di Jz, giusto?
Appunto.


 Che relazione c'e' tra questa precessione e l'effetto Zeeman?
Classicamente J precede intorno al campo. 
Secondo te e' corretto affermare che questa
precessione e' l'analogo classico del fatto
che quantisticamente la media di J in presenza
di campo e' nulla?
Grazie ancora.
Pino

 di campo e' nulla?
Chi l'ha detto che la media e' nulla?
E' nulla la media delle componenti normali al campo, ma quella
parallela al campo e' costante del moto e puo' benissimo essere
diversa da zero.


 diversa da zero.
Certo. Quello che volevo esprimere e' questo:
le caratteristiche dei fenomeni osservabili
sono determinate dalle medie dei vettori, nel
nostro caso da Jz che corrisponde alla media 
sulla funzione d'onda di J.
Se mi porto in ambito classico, J e' animato
da una veloce precessione intorno alla direzione
z del campo e la componente efficace che determina
le caratteristiche dei fenomeni osservabili e' Jz.
Allora e' corretto dire che, in ambito classico, 
la precessione di J intorno a z e' l'equivalente
del fatto che in ambito quantistico J e' indeterminato?
Questa volta spero di non aver fatto errori. 
Pino