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Titolo: Relativita' ristretta

Salve,
mi potreste spiegare la differenza tra queste due formule usate per
trovare la distanza tra due punti visti da due diversi osservatori in
moto uno relativamente all'altro con velocita' diverse ?
 
x1 = x * sqrt (1 - v^2/c^2)
 
x1 =( x - v * t) / sqrt (1 - v^2/c^2)
 
quando viene usata l'una, quando l'altra ?
 
Samuele

 quando viene usata l'una, quando l'altra ?
 
 
La seconda non viene usata per determinare distanze, e nella prima usi 
"x1" e "x" in maniera incoerente.
 
 
Partiamo dalla seconda: per essere piu' chiaro, te la riscrivo cosi'
 
(2)  x1(A) =( x(A) - v * t(A)) / sqrt (1 - v^2/c^2)
 
dove x(A), t(A), x1(A) (e t1(A), anche se non lo usi) sono le 
*coordinate* dello *stesso evento A* misurate nel riferimento S e nel 
riferimento S1, che si muove nella direzione dell'asse x a velocita' v 
rispetto ad S. Questa e' una delle trasformazioni di Lorentz, quella 
della coordinata x di un evento dato.
 
 
(Di solito, anziche' S1, x1, t1, si usa S', x', t': ma non voglio farti 
confusione cambiando i simboli.)
 
 
Dalla (2) puoi ricavare qualcosa *che assomiglia* alla tua prima: se 
D(A,B) e D1(A,B) sono le distanze misurate rispettivamente nel 
riferimento S e nel riferimento S1 fra due eventi distinti, A e B, che 
avvengono alle stesse coordinate y e z:
 
D1(A,B) = |x1(B) - x1(A)|
         = |x(B) - v * t(B) - [(x(A) - v * t(A)]| / sqrt (1 - v^2/c^2)
 
e, *se e solo se* t(A) = t(B), ossia A e B sono *simultanei* nel 
riferimento S (e quindi *non* sono simultanei in S1):
 
         = |x(B) - x(A)| / sqrt (1 - v^2/c^2)
         =  D(A,B) / sqrt (1 - v^2/c^2)
 
da cui, invertendo
 
      D(A,B) = D1(A,B) * sqrt (1 - v^2/c^2).
 
(Nota che rispetto alla prima formula che hai riportato, la grandezza 
senza indice, D, e la grandezza con indice 1, D1, sono invertite.)
 
 
Cosa significa questa formula? Supponi che un oggetto rigido (per 
esempio un regolo lungo l'asse x1) sia *a riposo* in S1. Questo 
significa che in S1 entrambe le sue due estremita' avranno sempre le 
stesse due coordinate x1a e x1b: e quindi, qualsiasi cosa avvenga ad una 
sua estremita', e qualsiasi cosa avvenga all'altra,  avverranno sempre 
alla distanza L_0 = |x1a - x1b|, che e' la *lunghezza propria* del regolo.
 
In S l'oggetto risulta in movimento: per misurare la sua lunghezza, un 
operatore in S deve fare in modo da registrare due coincidenze 
*simultanee*: per esempio, quella di un estremo dell'oggetto con lo zero 
di una rotella metrica (evento A) , e quella dell'altro estremo con la 
tacca "2,52 m" (evento B). Come lo possa fare e' un problema tecnico: 
puo' ad esempio disporre lungo la rotella metrica tante cineprese e 
confrontarne le riprese: l'importante e' che ogni cinepresa sia dotata 
di un orologio che registri l'ora dello scatto su ogni immagine, e che 
tutti gli orologi delle cineprese *siano sincronizzati*, per assicurarsi 
che t(A) = t(B).
 
Per quanto detto sopra, in S1 A e B *non* sono simultanee, ma comunque 
e' D1(A,B) = L_0. Quindi la lunghezza L misurata in S risulta minore di 
L_0, infatti
 
 
L = D(A,B) = D1(A,B) * sqrt (1 - v^2/c^2) = D(A,B)
            = L_0 * sqrt (1 - v^2/c^2)
 
e probabilmente e' questa la formula, che si trova un po' dappertutto, 
che hai riportato a memoria confondendo lunghezze con coordinate.
 
 
(Il fatto che L sia minore di L_0 viene spesso chiamato "contrazione 
delle lunghezze". E' un termine fuorviante, evitalo: i regoli *non* si 
contraggono per il fatto di essere misurati da un sistema di riferimento 
in moto rispetto a loro: semplicemente, le coincidenze che risultano 
simultanee in un riferimento non lo sono in un altro, per cui le misure 
danno risultati diversi.)
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

On 6/17/12 2:22 PM, samuele12000 wrote:
...
 
Hai avuto alcune risposte su f.i.s.f. Non so se ti hanno charito le 
idee. Mi resta il dubbio se fossero adeguate al tuo livello di 
conoscenze. Mi togli il dubbio su quale sia ? Non e' che si tratta di 
preparazione all' esame di maturita' ?
 
Giorgio


Solo la prima si riferisce alla distanza tra due punti osservata nel 
senso del movimento, e sarebbe meglio scriverla:
 
Delta_x1 = Delta_x * sqrt (1 - v^2/c^2), oppure
 
L1 = L * sqrt (1 - v^2/c^2)
 
La seconda si riferisce alla trasformazione della coordinata x passando 
da un sistema di riferimento a un altro che si muove, rispetto al primo, 
con velocità v nella direzione dell'asse x e con verso positivo.
 
 
-- 
Firma in allestimento

 quando viene usata l'una, quando l'altra ?
 
In soldoni:
la prima è relativa alle lunghezze e dovresti scriverla
l1 uguale l * sqrt (1 - v^2/c^2), supponendo che l sia la lunghezza
propria,
la seconda è relativa alle posizioni.
Vediamo meglio.
Diciamo che,
la seconda che hai scritto è una delle relazioni che esprimono le
trasformazioni di Lorentz, cioè il legame tra le coordinate (x,y,z,t)
in un
sistema di riferimento inerziale S e le coordinate (x1,y1,z1,t1) in
un
sistema di
riferimento inerziale S', con le note ipotesi standard: assi x,y,z e
x1,y1,z1 paralleli, S' in moto rispetto a S con velocità v
nella direzione dell'asse x e nel verso positivo, assi x e x1 sulla
stessa
retta, origini O e O1 coincidenti per t=t1=0.
Invece, la prima esprime il noto fenomeno della contrazione delle
lunghezze.
La puoi
dedurre o semplicemente dai postulati di Einstein o anche dalle
trasformazioni di Lorentz stesse:
per prima cosa, se invertiamo le trasformazioni di Lorentz, possiamo
scrivere
x uguale ( x1 + v * t1) / sqrt (1 - v^2/c^2)
poichè, dal punto di vista di S', S trasla con velocità -v ;
ora, se un regolo in S ha lunghezza propria
l uguale x_B - x_A,
cioè è fermo in S e i suoi estremi hanno posizioni x_A e x_B
indipendentemente dagli istanti tA e tB in cui sono misurate,
in base alle trasformazioni di Lorentz, la sua lunghezza in S',
misurando le
posizioni degli estremi x1_A e x_1B nello stesso istante t1_A=t1_B, è
legata
a quella in S in questo modo:
l uguale x_B - x_A uguale
( x1_B + v * t1_B) / sqrt (1 - v^2/c^2) - ( x1_A + v * t1_A) / sqrt (1
-
v^2/c^2)
uguale
( x1_B - x1_A) / sqrt (1 - v^2/c^2) + v*( t1_B - t1_A) / sqrt (1 - v^2/
c^2)
uguale
( x1_B - x1_A) / sqrt (1 - v^2/c^2) uguale
l1 / sqrt (1 - v^2/c^2)
da cui
l1 uguale l * sqrt (1 - v^2/c^2)
cioè la lunghezza in S' risulta contratta rispetto alla lunghezza
propria
perchè la radice quadrata è minore di 1.
 
Ciao.
--
Gino Di Ruberto, Napoli
IK8QQM
http://groups.google.com/group/infonapoli-newsletter?hl=it
 
"E' curioso a vedere che quasi tutti gli uomini che valgono molto
hanno le maniere semplici e che quasi sempre le maniere semplici sono
prese per indizio di poco valore."
(Giacomo Leopardi)