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Titolo: Domanda su elettrodinamica relativistica

Buongiorno,
ho un quesito da porre e perdonate la mia immensa ignoranza.
 
In un sistema di riferimento "O" lungo l'asse X ho una distribuzione 
uniforme di cariche q. L'osservatore solidale con "O" misura nel suo 
sistema un campo elettrico generato dalle carche q.
Un osservatore in moto lungo l'asse X con velocità v e come se vedesse 
le cariche muoversi con velocità -v e quindi oltre al campo elettrico 
dovrebbe misurare anche un campo magnetico generato dalle cariche in 
moto con velocità -v.
Quindi per l'osservatore solidale con "O" esiste solo un campo elettrico 
e per l'osservatore in moto un campo elettrico e un campo magnetico.
Se metto un ago magnetico solidale con "O" l'ago dovrebbe quindi 
allinearsi al campo magnetico per l'osservatore in moto e restare fermo 
per l'osservatore solidale con "O".
Qualcosa non torna.
Dove sbaglio?
Grazie

 ho un quesito da porre e perdonate la mia immensa ignoranza.
Lascia perdere l'ignoranza. Tutti siamo ignoranti, chi più chi meno e
a seconda dell'argmento.
Il quesito che poni è tutt'altro che stupido e la risposta non credo
sia così largamente nota da qualificare "ignorante" chi non la
conosce.
Per es. io sono partito pensando di saperti rispondere, ma poi ho
scoperto che - almeno fino a questo momento - la risposta non la so.
Mi è venuto il dubbio che possa entrarci lo "hidden momentum", ma è
solo una vaga congettura...
 
Quindi, chi pensa di saper dire qualcosa si faccia avanti :-)
 
 
-- 
Elio Fabri

 per l'osservatore solidale con "O". 
... 
 
 
 
Immagino che nel riferimento in moto il campo magnetico dell'ago magnetizzato (che lo sia già da prima o venga magnetizzato dalla distribuzione di cariche in moto non cambia il risultato) non è più un campo statico e si trasforma (vedi tensore di Lorentz) generando un campo elettromagnetico differente dal caso del riferimento in cui le cariche e l'ago sono fermi. La risultante forza di Lorentz sull'ago è uguale ed opposta alla forza magnetica che tende ad allineare l'ago al campo dovuto alla sola distribuzione di cariche. 
 
--
Wakinian Tanka

 allineare l'ago al campo dovuto alla sola distribuzione di cariche.
Forse non ho capito niente.
Ma che c'entra il campo prodotto dall'ago?
Per calcolare le forze cui l'ago è soggetto serve il campo esterno,
non il *suo* campo.
 
La mia difficoltà è tutt'altra, ma per spiegarla ci vuole un post
molto più lungo :-(
 
 
-- 
Elio Fabri


Grazie prof.
Ho provato a porre il quesito a mio figlio che mi ha risposto cosi:
 
Ciao papà,
 
bella domanda! Ovviamente l’ago non si può muovere, sarebbe assurdo :)
 
La risposta migliore che mi sono potuto dare fino a qui  è: “un campo 
magnetico non è altro che un campo elettrico visto in un altro sistema 
di riferimento”
 
L’ago non si muove per nessuno dei due osservatori perchè:
 
1) Il tuo osservatore in “O” misura solo un campo elettrico
2) L’osservatore in movimento misura un campo magnetico ma anche un 
campo elettrico diverso da quello misurato in O a causa del movimento 
relativo, e gli effetti si annullano
 
Il numero di elettroni in un conduttore e le interazioni tra di essi 
sono così forti che anche a basse velocità gli effetti della relatività 
speciale si fanno sentire, e le contrazioni nelle cariche
provocano un effetto visibile dall’osservatore in movimento e che cambia 
il campo elettrico che esso percepisce.
 
Le equazioni per calcolare il campo elettrico e magnetico nei due 
sistemi (usando le trasformazioni di Lorentz) sono spiegate qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_electromagnetism_and_special_relativity
 
 
(non ho provato a fare i calcoli ancora)
 
Studiando un po’ l’argomento sono capitato su questo bellissimo video 
che spiega come un campo magnetico non è altro che un campo elettrico 
visto in un altro sistema di riferimento:
https://www.youtube.com/watch?v=1TKSfAkWWN0
 
L’esempio nel video è un po’ diverso, corrente in un conduttore e un 
osservatore carico positivamente (il gatto nel video) che si muove con 
le cariche, ma il succo credo sia lo stesso.
 
Anche se non capisci tutto l’inglese, le animazioni potranno aiutarti a 
capire
 
Ricorda che le trasformazioni di Lorentz sono proprio state inventate 
per spiegare in maniera consistente i fenomeni elettromagnetici in 
diversi sistemi di riferimento, quindi e da problemi come questo che si 
è arrivati alla teoria della relatività
 
Spero che la risposta ti sia d’aiuto
 
Max
 
 
 

 elettrico dovrebbe misurare anche un campo magnetico generato dalle cariche in moto con velocità -v.
 
http://www.openfisica.com/fisica_ipertesto/openfisica5/relat.php
 
 
E' il tuo esprimento mentale al "contrario" , l' ago magnetizzato con cui misuri il campo mgnetico presenta delle correnti  date 
dall movimento degli elettroni nel metallo ,sarebbe un " il pezzo di filo su cui scorre una corrente " , mentre la tua fila di 
cariche sono gli elettroni sparati dal cannonne elettronico.
 
 
 
Giulia
 

 Dove sbaglio?
 
Non contano gli osservatori. Conta l'ago magnetico e il suo stato di moto rispetto alle cariche.
Sopra dici "Se metto un ago magnetico solidale con "O"", bene, quindi direi che l'ago magnetico sia fermo rispetto alle cariche (che sono fisse in O).
 
In questo caso l'ago *non* si allinea, cioe' non si dispone perpendicolarmente all'asse X. Ovviamente su questa conclusione concordano tutti gli "osservatori":
1) quello solidale con O dice banalmente che non essendoci alcun campo magnetico l'ago non si allinea;
 
 
 
2) quello in moto rispetto a O parrebbe che debba dire che l'ago (è un ago magnetico in moto!) dovrebbe allinearsi a causa del campo magnetico. In realta' non e' cosi' perche' un momento magnetico vec{m}, in moto rispetto a vec{n} (con vec{m} e vec{n} perpendicolari fra loro), da' luogo a un dipolo elettrico vec{p} tale che vec{n}, vec{m} e vec{p} siano tutti perpendicolari tra loro. L'ago non si allinea perche' il momento di forza dovuto all'interazione fra vec{m} e il campo magnetico e' opposto al momento di forza dovuto all'interazione fra vec{p} e il campo elettrico.
 
A me non piace risolvere i problemi facendo uso di enti convenzionali, a ogni modo, alla maniera che non mi piace, si potrebbe ragionare come segue.
 
Sostituiamo l'ago magnetico con una spira. La spira sia quadrata. Nel riferimento O, data la terna cartesiana x,y,z, abbiamo detto che le cariche sono fisse sull'asse x. I 4 punti estremi del quadrato sul quale è posta la spira siano
(-a/2,-b,a/2), (a/2,-b,a/2), (-a/2,-b,-a/2), (a/2,-b,-a/2).
 
La spira sia percorsa da corrente I. La presenza di corrente e' fondamentale per far si' che, in diversa configurazione, cioe' qualora la spira non fosse ferma in O, si abbia un risultato diverso (cioè la spira si allinei lungo la direzione del campo magnetico).
 
 
 
Ipotizziamo che, "fotografando" le cariche presenti all'interno della spira in un dato istante (in sincronizzazione standard), si abbiano n cariche negative equidistanziate ferme lungo ciascuno dei quattro lati della spira, e n cariche positive, sempre equidistanziate, in moto a velocita' di intensita' v lungo ciascuno dei quattro lati della spira. In totale 4*n cariche negative ferme e 4*n cariche positive in moto. Siano Q>0 e -Q le le cariche presenti nella spira.
Sara'
I=Q*a/(n*v)
e
vec{m}=(0,I*a^2,0)
 
cioe' sul segmento (-a/2,-b,a/2)-(a/2,-b,a/2) le cariche positive si muovono nel verso positivo delle x mentre sul segmento (-a/2,-b,-a/2) (a/2,-b,-a/2) le cariche positive si muovono nel verso negativo delle x.
 
 
 
Chiamiamo "densita' lineare di carica propria", L_0, la densità lineare di carica nel riferimento in cui le cariche sono ferme. La L_0 e' una grandezza particolarmente utile perche' e' non convenzionale, diversamente da cio' che si chiama densita' lineare di carica, lambda, che invece dipende dalla sincronizzazione scelta (la standard, nel nostro caso), oltre a dipendere, ovviamente, dal riferimento al quale la lambda si riferisce.
Per quanto riguarda le cariche negative, essendo ferme in O, abbiamo banalmente, in O, su tutti e quattro il lati della spira:
L_0- =lambda- = -nQ/a.
 
 
Diversa e' la situazione per quanto riguarda le cariche positive. Si dovrebbe fare il conto tramite le trasformazioni di Lorentz, pero', gia' che ci siamo, facciamo uso della (aberrante sotto pressoche' tutti punti di vista) cosiddetta "contrazione delle lunghezze" per ottenere che, in O, su tutti e quattro il lati della spira si ha:
L_0+ = Sqrt(1-(v/c)^2)*lambda+ = Sqrt(1-(v/c)^2)*nQ/a.
 
 
L'equazione appena vista (cioe' la cosiddetta contrazione delle lunghezze) ci fa vedere come passare dalla grandezza non convenzionale L_0 alla grandezza convenzionale lambda:
lambda = L_0 * 1/(Sqrt(1-(v/c)^2))   (**),
dove
L_0 = densita' lineare di carica propria,
v = velocita' delle cariche nel riferimento in cui si osserva la densita' lineare di carica lambda.
 
Passiamo ora al riferimento O' in moto alla velocita'
vec{w}=(w,0,0)
rispetto a O.
Tralasciamo le cariche negative che, in O', avranno tutte velocita' vec{w'}=(-w,0,0) e non daranno effetti importanti.
Tralasciamo anche, relativamente alle cariche positive, i lati della spira paralleli all'asse z che, anche loro, non risulteranno importanti.
Contano soltanto le cariche positive che si muovono alla quota z=+a, le quali avranno, in O', una velocità
v'_a+ = (v-w)/(1-(v*w)/c^2)  (1)
e quelle che si muovono alla quota z=-a, le quali avranno, in O', una velocità
v'_a- = (-v-w)/(1+(v*w)/c^2)  (2).
 
 
Siccome su entrambi i tratti e' data la densita' lineare di carica propria, L_0+ = Sqrt(1-(v/c)^2)*nQ/a, sostituendo nella (**) lambda' a lambda e v'_a+ (dao dalla (1)) a v si ottiene la lambda'(z=a), cioe' la densita' lineare di carica che si "vede" in O' sul tratto che si muove alla quota z=a. Si ottiene
 
lambda'(z=a) = (nQ/a)*(1-(v*w)/c^2)/Sqrt[1-(w/c)^2]  (3).
 
Mettendo -v al posto di v nella (3) si ottiene la densita' lineare di carica che si "vede" in O' sul tratto che si muove alla quota z=-a
 
lambda'(z=-a) = (nQ/a)*(1+(v*w)/c^2)/Sqrt[1-(w/c)^2]  (4).
 
 
 
Le (3) e (4) stanno a dire che stanno a dire che facendo una "foto istantanea" (in sincronizzazione standard) della spira in O', si vedono alla quota z=+a meno cariche di quante se ne vedano alla quota z=-a. Cioè la spira appare non solo come un dipolo magnetico ma anche come un dipolo elettrico.
 
 
Beh, non ho fatto i conti finali, ma siccome il risultato che "vede" O deve coincidere con quello che "vede" O', i due momenti di forza, quello sul dipolo elettrico e quello sul dipolo magnetico, devono annullarsi.
 
 
Si potrebbe fare il conto per bene, con tutte le direzioni ecc per dare il legame fra vec{m} (il momento magnetico "proprio", quello che, nel nostro problema, si ha in O), vec{w} e vec{p} (il dipolo elettrico indotto in O'), ma immagino che da qualche parte ci sia. Forse sul Jackson.
 
Bruno Cocciaro

 molto più lungo :-(
So che non ci crederete, ma solo leggendo il post di Bruno mi sono
reso conto che avevo equivocato la situazione.
 
Quello che state discutendo è un problema classico: c'è un rif. O in
cui cariche e ago sono fermi, e lì l'ago non sente nessuna forza, per
cui è in equilibrio indifferente.
In un rif. O' in moto rispetto a O le cariche si muovono e producono
un campo magnetico. Quindi il magnete si dovrebbe disporre
perpendicolare alla retta delle cariche.
Ma ciò contraddice il risultato in O: come si spiega?
 
La spiegazione (complicata benché incompleta) l'ha data Bruno, ed è un
ben noto effetto relativistico: nel rif. O' l'ago magneitco (o la
spira) in moto oltre ad avere un momento magnetico acquista ure un
momento di dipolo elettrico.
Facendo i conti si vede che i momenti di forza dovuti al campo
magnetico sul momento magnetico e e al campo elettrico sul dipolo
elettrico si cancellano esattamente.
 
Questo lo sapevo benissimo, quindi perché ho scritto di avere un
problema?
Semplicemente perché aveto letto male.
Avevo inteso che in O fosse fermo l'ago ma le cariche fossero in moto.
 
Però ho visto poi che la mia difficoltà si presenta anche nel caso
esposto in origine, a seconda di come viene precisata la meccanica del
problema.
Mi spiego meglio. Bruno ha fissato degli assi: x è la retta dove si
trovano le cariche (chiamiamola orizzontale) ma su y e z non dice
niente. Credo di poter assumere senza errori che anche y sia
orizzontale (a 90° in senso antiorario rispetto a x) e z verticale
diretto verso l'alto.
 
Poi Bruno ci dà le coord. dei vertici della spira, e da queste si vede
che la spira sta in un piano verticale perallelo all'asse x, a distanza
b da questo (i versi non hanno importanza per quello che debbo dire).
Ma c'è una cosa che si sarebbe dovuta indicare e invece Bruno omette:
com'è diretto l'asse attorno al quale è libera di ruotare la spira?
 
Nel rif O' la spira si muove con vel. -w e così pure le cariche
positive che stanno sull'asse x'. Il centro della spira ha coord.
(-wt',-b,0).
Il campo magnetico in quel punto è lo stesso a ogni t', ed è diretto
secondo z'. Ne segue che ci sarà una forza di Lorentz non nulla sui due
lati orizzontali, diretta secondo y' e in versi opposti sui due lati.
E' quindi implicito che la spira potrebbe ruotare se l'asse cui
è vincolata fosse parallelo a x.
(Tornando per un momento all'ago, questo sarà disposto a destra delle
cariche, orizzontale e libero di ruotare attorno a un asse parallelo a
x).
 
Con queste precisazioni seguno i calcoli che Bruno ha fatto circa il
dipolo eletrico e si vede che anche il campo elettrico (diretto
secondo y') farebbe ruotare la spira attorno allo stesso asse. I
calcoli che Bruno non ha fatto porteranno al risultato che i momenti
delle due forze, eletrica e magnetica si cancellano esattamente e
questo risolve il paradosso.
 
Ma ora cambiamo la disposizione geometrica.
Mettiamo l'ago *parallelo* a x, a z negativa, ossia sotto alle
cariche.
Lì il campo magnetico è diretto secondo y, e farebbe ruotare l'ago se
l'asse cui questo è vincolato fosse preso parallelo a z.
Pensando alla spira, essa starà sotto l'asse x, in un piano perp. a
quest'asse, e con asse di rotazione parallelo a z.
Il campo magnetico produrrà forza di Lorentz sui due lati paralleli a
z e produrrà una rotazione, come per l'ago.
 
C'è però una differenza importante rispetto al caso descritto prima:
qui tutti i lati della spira sono perp. a x, quindi non c'è nessuna
contrazione di Lorentz e nessuna differenza tra le densità di carica.
Quindi nessun momento di dipolo elettrico e nessuna coppia che
contrasti quella dovuta alla forza di Lorentz!
 
Ecco dove mi sono bloccato...
Chi mi aiuta?
 
 
-- 
Elio Fabri

 reso conto che avevo equivocato la situazione.
 
Ci credo e come, avevo equivocato anch'io come te.
E neanch'io, finora, ho capito cosa succede nella situazione
che avevamo inteso. Devo pensarci ancora.
 
Ciao
Paolo Russo

 elettrico si cancellano esattamente.
 
Per v<<c ne sono convinto anch'io, ma il farraginoso calcolo basato sulla
sostituzione dell'ago con una spira equivalente non mi soddisfa.
Ho cercato notizie su questo "ben noto effetto relativistico" sul Jackson (e su
testi di RR) ma senza successo. Hai qualche riferimento?
 
Comunque la compensazione tra il momento magnetico e quello elettrico deve essere 
indipendente dalla geometria. Lavoriamoci su, il thread non e' concluso...   :-( 
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

 momento di dipolo elettrico. 
... 
Abbi pazienza, ma quello che avevo scritto, benché vago, andava nella direzione di questo tipo di fenomenologia, no?  :-) 
In quanto all'aver malinteso il problema, all'inizio era successo anche a me. 
Sto ancora riflettendo sul problema che hai posto tu. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 Jackson (e su testi di RR) ma senza successo. Hai qualche riferimento?
Quanto ai riferimenti non posso dirti molto.
Ho cercato nei testi che ho in casa. In ordine alfabetico
Feynman (Lectures)
Landau (vol. 2)
Moller (Theory of Relativity)
Purcell (La fisica di Berkeley)
Rindler (Essential Relativity)
più uno di cui dico dopo.
 
Su questi niente di niente.
Ho lasciato per ultimo quello su cui ero sicuro, ma che è anche il più
vecchio.
Becker (teoria dell'elettricità vol. 2).
Posseggo l'ed. italiana 1950, fatta sulla 7-ma tedesca del 1949.
Per inciso pare sia una rarità bibliografica.
Alle pagine 400-407 se ne parla. Non posso riassumere.
Conosci il libro, o puoi comunque vederlo?
 
Libri più moderni non ne ho. Del Jackson hai già detto.
Potresti vedere Griffiths, anche se forse l'argomento è un po' tropo
sofisticato per il livello di que libro, a quanto leggo (nn l'ho mai
visto di prima mano).
 
Per finire: che cosa non ti convince nel ragionamento di BC?
Che sia alquanto farraginoso posso condividerlo, ma la sostanza mi pare
corretta.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
 
Bruno Cocciaro.

 Chi mi aiuta?
 
 
https://arxiv.org/pdf/1303.0732.pdf
 
 
https://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.16117
 

 
https://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.16117
 
 
Grazie Giorgio. Non so come fai a trovarli :)
Ho dato una veloce scorsa, ed ecco un mazzetto di commenti.
 
1. Naturalmente Griffiths. Avevo immaginato :)
2. Naturalmente la questione è nota da tempo (almeno 30 anni) :-(
Si conferma la vecchia battuta: "it's either old, or trivial, or wrong".
(Non ricordo di chi è.)
3. Sembra che avessi fiutato bene quando ho scritto che poteva
entrarci lo "hidden momentum". Peccato che su quel tema io abbia
sostanziose perplessità...
4. Insomma: da un lato non c'è niente che non sia stato già pensato.,
ma dall'altro ci sono ancora un sacco di problemi non risolti
nell'e.m. classico.
La cosa non vi dà da pensare?
5. (Problema personale.) Vale la pena che dedichi ancora il mio tempo
a questioni che comunque non ce la faccio ad appofondire e su cui
quindi non posso portare un vero contributo? Intendo pubblicabile...
 
 
-- 
Elio Fabri

 pare corretta.
 
Posso aggiungere qualcosa.
Su Becker (in risposta, almeno embrionale, anche alla richiesta di
Bruno).
Il calcolo di Bruno è incompleto, e bisognerebbe vedere se
continuandolo richiede qualche approssimazione. Io sospetto di sì (v.
appresso).
Quello di Becker non lo posso descrivere in poche parole.
Non c'è un calcolo generale, ma un modellino (atomo di H alla Bohr) in
cui fa vedere che l'atomo, che nel rif. del cdm ha un momento
magnetico mentre ha (in media nel tempo) dipolo elettrioc nullo, in
un rif. che si muove con velocità nel piano orbitale acquista un
momento elettrico
p = (v x m)/c.
Il calcolo è elementare, ma non ho ricostruito i passaggi per cui non
so con certezza se il risultato sia esatto o valga solo al primo
ordine in v/c.
Una cosa mette in sospetto: la formula a volte è scritta come sopra,
altre volte come
p = (v x m_0)/c
essendo m_0 il momento magnetico nel rif. del cdm.
Non dice mai la relazione tra m e m_0 (immagino ci sia un fattore
gamma).
 
Mi ero messo a ragionare per mio conto su come si potrebbe dare una
dim. generale.
L'ho solo abbozzata, ma direi che non ci sia una legge di trasf.
esatta tra m e p.
Mi spiego meglio.
 
Prendiamo una generica distrib. di cariche e correnti, con la
condizione Q=0.
Si sa che Q è rigorosamente costante ed è anche invariante, quindi Q=0
in ogni rif. inerziale.
In un rif. K_0 calcoliamo i potenziali a grande distanza.
Mi limito al caso quasi statico, in cui posso trascurare i ritardi.
Si può fare lo sviluppo in multipoli (potenze di a/r, essendo a una
tipica dimensione del sistema).
Il termine di dipolo elettrico va come (a/r)^2 nel pot. scalare e come
(a/r)^3 nel pot. vettore.
Il termine di dipolo magnetico c'è solo in A e va come (a/r)^2.
 
Si può fare lo stesso calcolo in un altro rif., che si muove con vel.
v rispetto a K_0.
Confrontando i termini dei vari multipoli si vede che passando dal
primo al secondo rif. questi si mescolano.
Per es. (ma non ho ancora fatto il calcolo per bene) il mom. magnetico
in K_0 non genera in K solo un mom. megnetico e un dipolo elettrico,
ma anche termini superiori.
La relazione è semplice solo al primo ordine in v/c.
 
Sempre salvo errori...
 
 
-- 
Elio Fabri

 (e su testi di RR) ma senza successo. Hai qualche riferimento?
Sul Jackson (3rd Ed.) e' (molto) nascosto nei problemi 11.28 e 11.29.
 
Davide C.