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Titolo: Energia, hamiltoniana e operatore hamiltoniano

Salve a tutti
in meccanica classica risulta che in un sistema conservativo 
l'Hamiltoniana e' uguale all'energia totale del sistema sotto opportune 
condizioni che riguardano la dipendenza dal tempo della varieta' 
vincolare e della Lagrangiana del sistema... sto andando a memoria sulla 
natura delle condizioni necessarie, ma quello che voglio dire e' che in 
generale si puo' sempre scrivere l'Hamiltoniana, ma che questa 
rappresenti l'energia totale del sistema non e' in generale detto 
(dipende invece dalla scelta effettuata per le coordinate generalizzate).
In meccanica quantistica (a livello molto introduttivo) ho incontrato 
l'operatore Hamiltoniano, che mi e' stato presentato come formalmente 
uguale all'operatore ("funzione" dell'operatore posizione e 
dell'operatore impulso) associato all'osservabile energia totale.
Quello che mi chiedo dato "il parallelismo" con l'hamiltoniana e':
l'operatore Hamiltoniano e' sempre associato all'energia totale (magari 
in virtu' della presenza del laplaciano che modificandosi formalmente al 
cambiare delle coordinate potrebbe aiutare a far tornare tutto) o solo 
se e' espresso in coordinate generalizzate "non troppo brutte"?
Nel qual caso, quali sono le condizioni sulle coordinate generalizzate 
in cui e' espresso l'operatore perche' questo sia associato all'energia 
totale?
Grazie
Saluti
Andrea Barontini

 totale?
Debbo dire che la domanda non mi e' troppo chiara.
Mi chiederei in primo luogo: a prescindere da hamiltoniana, sia in m.c.
come in m.q., che cos'e' l'energia?
Il tuo discorso ha senso se dell'energia si puo' dare una definizione
indipendente.
Questo e' chiaro se esiste l'invarianza per traslazioni temporali:
allora chiamo energia la costante del moto associata a tale invarianza
(e questo prescinde dalla scelta delle coordinate: sara' solo
l'espressione dell'energia che cambiera' a seconda delle coordinate).
Ma se l'invarianza non c'e'?
Un esempio: un pendolo la cui lunghezza varia nel tempo.
In casi del genere bisogna scegliere, e di solito si sceglie "per
analogia".
Cosi' per il pendolo chiamero' energia la stessa funzione delle
coordinate q,p che nel caso di lunghezza fissa mi darebbe l'energia in
senso semplice.
Ma naturalmente questa non e' una costante del moto, e in termini
classici puoi ricondurre la sua variazione al lavoro fatto
dall'esterno per variare la lunghezza del filo.
Un altro esempio, che ha importanza anche in m.q. per le applicazioni
a sistemi atomici, e' quello di una carica legata elasticamente e
soggetta a un campo elettrico esterno oscillante.
Anche qui si procede allo stesso modo: si chiama energia quella solita
dell'osc. armonico in assenza di campo esterno, che quindi non si
conserva: uno stato stazionario in assenza di campo non lo e' piu' col
campo, che provoca transizioni fra quegli stati.
Come forse sai o forse no, questo e' l'approccio detto "semiclassico"
all'interazione fra atomi e radiazione. Semiclassico, perche' il campo
e.m. e' trattato classicamente: niente fotoni.
Ma questa era una divagazione.
In casi come questo, la hamiltoniana, classica o quantistica che sia,
e' sempre associata all'energia del sistema, e non vedo condizioni
sulle coordinate.
 
-- 
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.


La sparo, perseverando un attimo (lo so che e' malefico ;-P) nella mia 
linea di pensiero delle righe sopra: non e' che per caso nei casi che 
hai citato sopra le condizioni 1) e 2) sono rispettate implicitamente? 
(tirando a indovinare immagino che tu stia pensando a coordinate polari 
indipendenti dal tempo e a potenziali gravitazionali/coulombiani, quindi 
posizionali)
Tornando -per chiudere- al dubbio che mi ha portato ad aprire il thread: 
ammessi (e non concessi ;-P) i distinguo sulle coordinate generalizzate 
per l'hamiltoniana che ho cercato di spiegare in questo post, ci sono 
dei distinguo analoghi anche per le coordinate in cui e' espresso 
l'operatore hamiltoniano, oppure quest'ultimo e' piu' "resistente" ai 
cambi alle situazioni un po' "esotiche"? e in caso, perche'?
Ciao e grazie
Andrea Barontini
PS
L'insegnamento in cui sto incontrando la MQ e' quello per cui avevo 
chiesto consiglio su un libro da comprare qualche mese fa.. con te era 
rimasta in sospeso la questione "esame solo orale, forse un errore?"
Forse non ti interessa, ma ti confermo che in effetti e' cosi'; ma le 
lezioni sono state impostate in modo tale che lo studente motivato e' 
invogliato a casa a farsi una discreta quantita' di conti  per 
dettagliare le "dimostrazioni" impostate nei punti salienti a lezione, 
quindi seppur ufficiosamente l'insegnamento ti porta a "sporcarti le 
mani con i conti" se vuoi capire.... ovviamente nei limiti 
dell'impostazione didattica del corso di laurea, che prevede un corso di 
MQ approfondito anche negli aspetti tecnici il prossimo (terzo) anno (di 
12 crediti -> almeno 4 ore a settimana per tutto l'anno): per quanto 
riguarda gli aspetti "matematici" per ora sono stati introdotti i 
risultati del teorema spettrale, ovviamente in relazione ad autostati 
propri e impropri, autovalori degeneri, e alle formule per il calcolo 
della probabilita' di un'osservabile e della sua media di occorrenza.

 [...]
Premesso che non voglio sollecitare la risposta di nessuno, e tantomento 
quella di Elio che mi ha fatto la cortesia di rispondermi gia' al primo 
post del thread... mi chiedo: il mio secondo post (quello lungo in cui 
spiego la mia linea di pensiero e comincia con le righe qua sopra) e' 
arrivato ai vari news-server o e' rimasto incriccato da qualche parte? 
(io sul mio - 
nntp.aioe.org
 - lo vedo arrivato e anche su google-gruppi, 
ma ho il dubbio per gli altri)
Grazie degli eventuali feedback e saluti a tutti
Andrea Barontini