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Titolo: gruppo ortogonale nello spazio di Minkowski

Ammirati Colleghi
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Nel corso di algebra lineare del primo anno si dice che una matrice non 
singolare A e' ortogonale sse
   trasposta(A) = inversa(A)
e poi si dimostra che
A ortogonale <==>
le righe di A formano una base ortogonale <==>
le colonne di A formano un base ortogonale  <==>
l'applicazione di cui A e' matrice rappresentativa conserva il prodotto 
   scalare  <==>
l'applicazione di cui A e' matrice rappresentativa conserva la norma  <==>
l'applicazione di cui A e' matrice rappresentativa trasforma basi 
ortonormali in basi ortonormali
--- 2 ---
Ora, la condizione che definisce una matrice (quindi una trasformazione) 
di Minkowski e' solitamente
espressa nella forma
  trasposta(A) g A = g
ma puo' essere equivalentemente messa come
  g trasposta(A) g = inversa(A)
--- 3 ---
E' molto suggestiva l'analogia
I trasposta(A) I = inversa(A) <- in uno spazio euclideo
g trasposta(A) g = inversa(A) <- nello spazio di Minkowski
dove I e' la matrice identica.
--- 4 ---
Mi viene, quindi, da congetturare che se si ridefinisce il prodotto 
righe per colonne di due matrici conformabili
non come si fa solitamente ma come il prodotto scalare di una riga della 
prima per una colonna della seconda,
qualunque sia il prodotto scalare adoperato, la condizione
  trasposta(A) = inversa(A) conservi il suo significato
e tutte le equivalenze menzionate al punto 1 continuino a valere
(norma a parte, naturalmente), rieinterpretandone il significato
rispetto al nuovo prodotto scalare.
--- 5 ---
Invece, se si conserva l'ordinaria procedura per moltiplicare due 
matrici riga per colonna,
la condizione
P trasposta(A) P = inversa(A)
dove P e' la matrice rappresentativa del prodotto scalare (qualunque 
esso sia)
equivale alle condizioni del punto uno.
--- 6 ---
L'affermazione secondo cui il gruppo di Lorentz e' il gruppo ortogonale 
("generalizzato" nel senso dei precedenti punti 4 e 5)
dello spazio di Minkowski credo possa esprimere proprio le condizioni di 
cui ai punti 4 e 5.
--- 7 ---
Nella "teoria della RS: formulazione matematica", se non ho capito male, 
le distinzioni tra i gruppi di Lie
O(3) ed O(1,3) riflettono la posizione di cui al punto 5, ma non quella 
del punto 4. Sbaglio ?
Il tutto quadra ??
Buona lavoro !!
Imago Mortis

   trasposta(A) = inversa(A) conservi il suo significato
Questa sarebbe comunque vera se definissi la trasposta come l'aggiunta
rispetto al prodotto scalare.
Mi spiego. Tu hai un prodotto scalare ( | ), come sia fatto non
importa, basta che sia non degenere.
Ora definisci la trasposta A^t di una matrice A come l'unica matrice
A^t tale che
(A^t u| v) = (u| Av) per ogni scelta di vettori u,v
Le matrici "ortogonali" rispetto a quel prodotto scalare sono quelle
che soddisfano
A^t = A^{-1}
Non importa come sia fatto il prodotto scalare, basta che sia non
degenere (altrimenti non individui A^t).
Nel caso Minkowskiano il gruppo che viene fuori, usando il prodotto
scalare di Minkowski č proprio
O(1,3), se il prodotto scalare č quello euclideo su R^n, il gruppo č O
(n) ecc...
Era questo che dicevi?
Ciao, Valter

  Ammirati Colleghi
Dunque, dunque ...
--- Notazione ---
M^r_c  = elemento della matrice M situato sulla riga r e sulla colonna c
M^r    = riga r-esima della matrice M
M_c    = colonna c-esima della matrice M
--- Matrici conformabili ----
Con locuzione effettivamente un po' vetusta, intendevo per conformabili
le matrici A e B se A ha h colonne e B ha h righe, cosi' che abbia senso
la moltiplicazione AB .
--- Or dunque ... ---
Sia ( | ) un prodotto scalare (una forma bilineare, simmetrica, non 
degenere)
sullo spazio vettoriale R^n , rappresentato, in una certa base, dalla 
matrice
g cosi' che si abbia
   (x|y) = g_hk x^h y^k
Definisco "prodotto mio" delle matrici
  A (r righe, c colonne)
  B (c righe, s colonne)
come la matrice
   C  (r righe, s colonne) == A*B
[ che indichero' come A*B per non confonderla con quella AB
ottenuta da A e B mediante l'ordinaria procedura]
  il cui generico elemento e' dato da
  C^i_j = (A^i | B_j) = g_hk A^i_h B^h_j
Ovviamente per g = diag(1 1 ... 1) ritrovo il consueto prodotto scalare 
euclideo
e la consueta moltiplicazione riga per colonne.
--- Rovello ---
Lasciando immutata la definizione di matrice trasposta
   B^j_i = A^i_j
la condizione
   A*(A^t) = g
caratterizza gli endomorfismi isometrici del mio spazio con prodotto ( | ) ,
ovvero, se non erro nelle definzioni, che definisce il gruppo ortogonale ?
--- Commiato ---
Ringraziandovi per l'attenzione, mi congedo con i piu' cordiali saluti.
--- Firma ---
Imago Mortis