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Titolo: volo di piccione

Ecco qui un problemino interesante ma per me non facilissimo.
 
Due treni a distanza D si muovono l'uno verso l'altro con velocità v°.
Un piccione situato sulla locomotiva del primo treno parte e si dirige verso
l'altro treno con velocità v1>v°, non appena tocca la locomotiva del secondo
treno torna indietro con la stessa velocità (-v1) e così via fino a quando i
due treni non si scontrano.
 
Si chiede qual'è il n° dei viaggi del piccione e la distanza percorsa prima
dello scontro
 
grazie a tutti
 
Enrico B.
 
 
 

Nell'approssimazione di piccione puntiforme :)
 
- I due treni si scontrano dopo un tempo t=D/v°
- Nel frattempo, il piccione ha percorso una distanza v1*t=v1*D/v°
- ed ha fatto infiniti viaggi
 
Se il piccione non è puntiforme, t=(D-Lp)/v° dove Lp è la lunghezza del 
piccione. Inoltre il numero di viaggi diventa finito, proporzionale al 
logaritmo del rapporto Lp/D.


 Ecco qui un problemino interesante ma per me non facilissimo.
 
Il numero di viaggi non l'ho mai visto chiedere, anche perché credo che 
tenda a infinito.
 
La distanza percorsa, invece, è semplice perché basta calcolare il tempo che 
impiegheranno i treni a scontrarsi e moltiplicarla per la velocità del 
piccione.
 
Ciao,
 
-- 
  Daniele "Vihai" Orlandi
  Bieco Illuminista #184213


Il n di viaggi è infinito.
La distanza v1*(D/2*v).
 
Ciao

Il tempo di volo e' il tempo che i due treni impiegano ad incontrarsi.
La velocita di volo e' v1 .
 
Nella versione originale il n dei viaggi non era chiesto e non e' 
necessario per sapere la distanza.
 
Giulia


È un problemino arcinoto, se cerchi con google troverai sicuramente la
soluzione.
 
 
-- 
In God we trust. All others must bring data
W. E. Deming

Il 19/12/2011 18:15, Enrico B ha scritto:

Scusa, eh: ma questo problema, oltre ad essere gia' passato parecchie 
volte sulla Settimana Enigmistica, ha piu' a che fare con la Matematica 
che con la Fisica.
 
Per renderlo fisico bisogna fare almeno un'ipotesi aggiuntiva, di quelle 
che semplificano i problemi in modo che i fisici siano in grado di 
trattarlo: per cui:
 
  - supponiamo che il piccione sia una sfera.
  - di diametro d.
 
In tal caso, il piccione viene immobilizzato fra i due treni quando la 
loro distanza si sia ridotta a d. Interpretando che v° sia la velocita' 
*relativa* di un treno rispetto all'altro, questo avviene dopo un tempo 
(D-d)/v°. Durante questo tempo il piccione ha *sempre* viaggiato, in un 
verso o nell'altro, alla velocita' v1, per cui ha percorso uno spazio 
v1*(D-d)/v°.
 
Per quanto riguarda il numero di inversioni di marcia del piccione, un 
matematico ti risponderebbe tranquillamente "infinito". Ma in Fisica 
bisogna tener conto anche del fatto che a un certo punto, durante 
l'avvicinamento, la distanza fra i due treni si sara' ridotta a d+l, 
dove l e' la lunghezza di Planck. A queso punto il piccione non sara' 
assolutamente piu' in grado di capire *quale* dei due treni sta 
toccando, per cui le inversioni di marcia necessariamente cesseranno 
dopo un numero finito, che nel margine di questo post non ho spazio 
sufficiente per calcolare.
 
A monte di questo, comunque, bisogna tener conto che l'informazione 
trasmessa dal sensore del piccione che tocca uno dei due treni non puo' 
propagarsi lungo l'intero corpo del piccione con velocita' superiore a 
c, per cui l'inversione di marcia di *tutto* il piccione richiede al 
minimo un tempo d/c. L'ipotesi che sia istantanea e' non-fisica.
 
 
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 dello scontro.
 
Con un piccione puntiforme il numero di viaggi e' infinito e,
assumendo che con V° si intenda la velocita' relativa dei due treni,
la distanza complessiva percorsa dal piccione e' D*(V1/V°).
 
Perche' il numero di viaggi e' infinito e' evidente: ogni volta che il
piccione si allontana da un treno, arriva all'altro prima che i treni
si incontrino, per definizione; ma questo avviene sempre,
indipendentemente dalla distanza tra i treni, quindi si allontana da
ogni treno e raggiunge l'altro, indefinitamente.
 
Con un piccione reale la velocita' V1 non potrebbe essere costante, ma
anche se lo fosse, il numero di viaggi sarebbe finito e dipendente
dalle sue dimensioni.
 
--
BlueRay
 
 
 

 prima dello scontro
 
Nel seguito modellizziamo il piccione come un punto materiale,
ovverosia trascuriamo le sue dimensioni rispetto a D (altrimenti
si fa lo stesso ragionamento soltanto sottraendo a D la
"lunghezza" del piccione).
 
-Soluzione "veloce"-
Il piccione compira' infiniti viaggi tra le due locomotive perche'
dopo aver compiuto l'n-esimo viaggio e trovandosi a contatto
con una delle due locomotive, allora raggiungera' l'altra
locomotiva prima che le due locomotive si incontrino
dato che per ipotesi v1 > v°, quindi compira' anche l'(n+1)-esimo
viaggio e cosi' via all'infinito, la distanza totale d percorsa dal
piccione sara', posta Deltat = D / (2v°) la durata di tempo
trascorsa tra l'istante iniziale e quello in cui le locomotive
si urtano:
d = Delta t * v1 = D / (2v°) * v1.
 
-Soluzione "lenta"-
d e' la sommatoria delle infinite distanze parziali tra due inversioni
della velocita', nel viaggio n-esimo (n > 0), quando le locomotive
distano D_n (posto D_1 = D), dato che la velocita' relativa del
piccione rispetto alla locomotiva che va a urtare e' v1 + v°, il
piccione viaggia per una durata di tempo:
(1)  Deltat_n = D_n / (v1 + v°),
e percorre una distanza:
(2)  d_n = Deltat_n * v1 = D_n * v1 / (v1 + v°),
e la distanza tra le locomotive diventa allora:
(3)  D_(n+1) = D_n - Deltat_n * 2 v° =
D_n * k,
(avendo posto k = (v1 - v°) / (v1 + v°)),
da (2) e (3) si ricava:
(4)  d_(n+1) = d_n * k,
e, dato che d_1 = D * v1 / (v1 + v°), si ha infine:
d = Sum_{n=1}^{+oo} (d_n) =
d_1 * Sum_{n=0}^{+oo} (k^n) =
d_1 / (1 - k) = D / (2v°) * v1.
 
Ad es., nel caso che il piccione viaggi a velocita' doppia
rispetto a una locomotiva, v1 = 2v°, allora la distanza
totale percorsa dal piccione risulterebbe pari a D.
Il fatto che il piccione compia infiniti viaggi e' conseguenza
dell'averlo considerato come un corpo rigido in grado di
invertire istantaneamente il valore della sua velocita', cio'
ovviamente non e' verosimile e nella realta' il numero di
viaggi del piccione risulterebbe finito (sempre che il poveretto
non terminasse tragicamente il percorso nel primo urto
con una locomotiva...;-).
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 
 

Enrico B ha scritto:

Mi ricordo che a suo tempo anche io mi ci sono rotto inutilmente la testa
su questo problema senza riuscire a cavare il ragno dal buco.... mi
ricordo, solo perchè ho letto la soluzione numerica che il numero di
viaggi è oo mentre la distanza è un numero finito.
Per quanto riguarda il procedimento rimango anche io in curiosa attesa.
 
-- 
 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it
 
 

 percorsa prima dello scontro
 
v1 * t = v1 * (D / 2v)
Ebbene si', e` un problema trabocchetto con una soluzione
semplicissima. Se ben ricordo, un conoscente mi ha raccontato
che lo stesso problema (forse con dati numerici) venne posto
a un famoso matematico, mi pare Gauss ma non ci giuro, il
quale ci penso` su per parecchi secondi prima di fornire la
soluzione. La persona che gli aveva posto il problema si
stupi' che il famoso matematico non l'avesse risolto
all'istante, ma il matematico ribatte' che non gli pareva
d'averci messo poi molto a calcolare a mente la somma della
serie...
 
Ciao
Paolo Russo

 grazie a tutti
 
Prego.
 
-- 
Firma in allestimento


Questo problema e' noto col nome di "problema della mosca" di
von Neumann. Lo trovi descritto qui:
 
http://www.ultrasapiens.it/von-neumann-2
 

Nel caso in cui il ragionamento intuitivo sul numero di viaggi non ti
avesse convinto, questo e' il calcolo esplicito.
 
Indico con:
S(k) = distanza tra i due treni al viaggio k-esimo di andata del
piccione (di andata dal treno A al treno B);
S(k+1) = distanza nel viaggio k-esimo di ritorno = distanza in andata
al viaggio (k+1)-esimo.
 
Nel viaggio complessivo di andata e ritorno k-esimo, il piccione
percorre uno spazio pari a S(k) + S(k+1) a velocita' V1 mentre il
treno percorre (rispetto all'altro treno) uno spazio pari a S(k) - S(k
+1), nello stesso intervallo di tempo tk, percio' si ha:
 
S(k) - S(k+1) = V0*tk
S(k) + S(k+1) = V1*tk
 
eliminando tk risulta che:
 
S(k+1) = (V1-V0)/(V1+V0) * S(k) = a*S(k)
 
avendo indicato con "a" la costante (V1-V0)/(V1+V0).
 
0<a<1  in quanto 0<V0<V1.
 
Poiche' S(0) = D, si ha che:
 
S(k) = a^k * D
 
Posso quindi calcolare lo spazio totale percorso dal piccione come
somma di tutti gli n viaggi complessivi (di andata e ritorno) ed
imporre che tale somma sia pari a D * V1/V0 (calcolata nel post
precedente):
 
Somme[k=0;n] {S(k) + S(k+1)} = D * V1/V0
 
Somme[k=0;n] a^k*(1+a)*D = D*V1/V0 = D*(1+a)/(1-a)
 
Somme[k=0;n] a^k = 1/(1-a)
 
{1 - a^(n+1)} / (1-a) = 1/(1-a).
 
Ma l'ultima uguaglianza e' vera solo per N = oo.
 
--
cometa_luminosa = BlueRay

 
se i due treni si scontrano in un tempo D/2V°, il piccione percorre nello 
stesso tempo una distanza  V1 D/2V°.
il numero di viaggi è indefinito. Dipende dal rapporto V1/V°
 

Enrico B ha scritto:

suggerimento: lavora nel sistema di rif. inerziale in cui il primo treno 
e' in quiete.
 
bye
 
-- 
- La verdad amigo, es que en tu sangre, tienes mierda!
- Es posible, pero la mierda viva es mejor que la mierda muerta...
- Amigo... la mierda, siempre mierda es!!


La distanza percorsa L è immediata da calcolare, perché durante la
fase di avvicinamento dei treni (di durata T= D/v°) il piccione
viaggia sempre a velocità |v1| costante in modulo. Dunque, nel tempo
T, percorre una distanza totale di L=v1*T = D*v1/v°. Il numero di
viaggi direi che è infinito, no?

 serie...
 
Mi pare fosse von Neumann, il quale rispose dopo un calcolo a mente di
pochi secondi. Cos� gli dissero: "hai ragionato da fisico: i
matematici calcolano la somma di una serie per problemi come questo".
E lui: "ma anche io ho fatto cos�". Leggende :)

 a un famoso matematico, mi pare Gauss ma non ci giuro,
 
Infatti era Von Neumann (grazie lince).
 
Ciao
Paolo Russo

 e' in quiete.
 
Non ci vedo assolutamente nessun vantaggio.
 
-- 
Firma in allestimento