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Titolo: Il nuovo Einstein

 
 
 
Ho scoperto, in rete, che abbiamo tra un novello Einstein, un certo Domenico Annunziata, che propone una sua 'teoria' della gravitazione basata su un 'fluido gravitinico' che permea di sé l'universo e ne determina le caratteristiche gravitazionali. In particolare egli ritiene che il PE e la RG siano spazzatura, essendo la sua teoria in grado di spiegare tutti i fenomeni gravitazionali osservati, e in particolare l'anomalia nella precessione del perielio di Mercurio. Per dettagli 'matematici' vedere qui: 
https://www.facebook.com/groups/opensource1/permalink/2825500767575022/
 
La conclusione dell'articolo è la seguente: 
"A questo punto interviene la mia teoria in base alla quale il campo gravitazionale è dato da   
 
 
 
 
 
g= H[1 - exp(-kM/d²)] GM/d²[1- kM/2d² +1/6(km)²/d⁴ + …..]  la cui intensità è insensibilmente più piccola di quella newtoniana. H = 6,67∙10^6 m/s² è il massimo valore che può assumere un campo gravitazionale; k = 10^(-17) m²/kg è il coefficiente di assorbimento di gravitini da parte della materia; G = Hk. Arrestando lo sviluppo al primo termine si ottiene l’espressione del campo newtoniano; arrestandolo al secondo termine, e usando sempre l’espressione dell’accelerazione relativa, si ottiene, dopo opportuni calcoli, il valore osservato della precessione del perielio di Mercurio. Si può fare a meno della RG!"
Domande:
da dove salta fuori l'espressione per g?
'il coefficiente di assorbimento di gravitini da parte della materia' da dove viene? E' aggiustato ad hoc per far tornare i conti?
 
Mi piacerebbe avere un commento da parte di chi la RG la conosce davvero.
Grazie

Vittorio Grandi ha scritto:
 > ...
 > Mi piacerebbe avere un commento da parte di chi la RG la conosce
 > davvero.
Forse ti deluderò, ma ti rispondo che chi la RG (o qualunque altro
capitolo della fisica in cui si cimentano personaggi del genere) la
conosce davvero ha imparato da tempo che l'unica politica possibile
con loro è ignorarli.
 
Discutere con loro è controproducente, amche perché la sola cosa che
vogliono è che gli venga data importanza. Ma non riuscirai mai a
convincerli che sbagliano.
 
Devi anche sapere che non è una razza di recente sviluppo: sono sempre
esistiti.
Quando internet non esisteva, qualcuno era capace di stampare un libro
a proprie spese e poi mandarne copie ai professori secondo lui più
qualificati per riconoscere il valore delle loro scoperte.
Naturalmente con internet è tutto più facile: inondano tutti i siti a
cui hanno libero accesso con scritti insensati, si lamentano che la
"scienza ufficiale" non li considera, sono prontissimi a diffamare a
insultare chiunque pretenda di contraddirli...
 
Insomma, è facilissimo riconoscerli e mi pare tu ci sia arrivato da
solo.
Fatto questo, passa ad altro. Non ci sono altre soluzioni valide e non
vale la pena di perdere tempo neppure a farsi spiegare dove e come
sbagliano.
-- 
Elio Fabri

 Ho scoperto, in rete, che abbiamo tra un novello Einstein...
 
Ci sono due Einstein: l'icona pop e Einstein.
L'icona pop e' cibo per i presuntuosi.
Einstein invece ha risolto dei problemi che appatentemente non
 avevano soluzione. Uno scienziato serio, un uomo umile e modesto
 ma anche tenace e caparbio. Non nel confronto con gli altri
 scienziati ma nel confronto con la natura stessa e i segreti del
 suo funzionamento.
Tornare a Newton riporterebbe inevitabilmente a galla gli stessi
 problemi che Einstein si e' impegnato a spiegare e sistemare
 all'interno di una teoria priva, per quanto possibile, di
 contraddizioni.
La scienza non torna indietro, va avanti.
Matematicamente potrei calcolare l'orbita di Mercurio partendo
 dalle misure del mio cesso.
Ma la fisica prevede ben altri presupposti.
E la scienza evolve escludendo i suoi errori e scartando le teorie
 inutili.
Il tuo interlocutore puo' pubblicare quello che vuole. A me
 piacerebbe scrivere favole per bambini. Ma pretendere di avere
 ragione dal punto di vista scientifico e' tanto inutile quanto
 sciocco.
La persona che ti ha risposto prima di me somiglia molto
 all'Einstein vero.
Solo che non e' vissuto in quel periodo di abbondanza di scoperte
 sperimentali dovute anche alle rivoluzioni industriali.
Elio e' molto modesto e ha anche il pregio di non leggermi :)
 
 
ciao
Massimo 
 
いいいいいいいい
la password e' pippo
 
 
----Android NewsGroup Reader----
http://usenet.sinaapp.com/
 


Grazie Profesor Fabri, credo che seguirò il suo consiglio, anche se mi piacerebbe poter sbugiardare questi negazionisti con argomenti inoppugnabili, pur riconoscendo che le loro teorie sono, per definizione, non falsificabili. Pensavo ad argomento del tipo:
1) quale modello prevede l'esistenza dei gravitini?
 
2) quale interazione quantomeccanica hanno con la materia ordinaria, tale da giustificare il valore del 'coefficiente di assorbimento di gravitini da parte della materia' k, cha pare fatto apposta per aggiustare le cose?
 
3) quale ipotesi giustificano uno spazio a metrica euclidea (l'unico all'interno del quale valgono le sue 'formule') mentre sperimentalmente lo spazio  sembra avere invece le caratteristiche di una varietà Riemanniana?
 
4) Che ne è della dimensione temporale in tutto questo? Come si giustificano i risultati di certi esperimenti (es.: L'esperimento di Hafele-Keating)
 
Ripeto, ho cognizioni di RG molto limitate, eppure il merito di queste domande mi sembrerebbe assai perspicuo.

 
 
Dopo aver maturato un pochino di esperienza su questi personaggi, non posso che condividere il parere di Elio Fabri di ignorarli. Benchè spesso mi "prudano le mani", mi sono imposto di non intervenire più su fisf, dove imperversano (lamentandosi di non poter imperversare anche qui), e finora ci sono riuscito.
 
 
 
 
 
 
 
 
Inizialmente però mi sono fatto imbrogliare come un salame. Alcuni li riconosci al volo anche da novizio, hanno toni inconfondibili. Ma in altri casi sono stato tratto in inganno. E' il caso dell'utente Fortunati, che in apparenza (così mi pareva) si pone con delle domande e dei dubbi,  a volte le mie domande e i miei dubbi. Ma poi salta fuori la verità: le domande non sono vere domande, ma trappole attraverso cui smascherare la menzogna della fisica ufficiale. E fin qui potrei sorvolare: in fondo ho letto argomenti interessanti partiti dal nucleo di una sua domanda. Interessanti per me naturalmente, che condivido con lui l'impreparazione di base (con dei distinguo che adesso però qui non sono essenziali). Ma dal punto di vista di chi si è speso per provare a chiarire questi "dubbi" non ci può essere che frustrazione: appunto perchè non sono vere domande ma occasioni di sfoggiare nuove teorie, perchè non c' è modo di nemmeno di condividere un vocabolario di base (vedi il caso clamoroso di forza centrifuga. In questo caso, devo dire, contribuisce una certa confusione diffusa anche nel mondo accademico), perchè infine la domanda nasconde delle lacune matematiche troppo profonde da poter aggirare in questo contesto.
E poi le cose degenerano, si passa ai "come il solito non hai capito un cazzo" e trattenere la penna nel rispondere diventa difficile.
 
 
 
 
Spesso mi sono domandato se queste persone aggressive che vedo proliferare sul web siano nati appunto sul web oppure semplicemente abbiano trovato un palcoscenico che prima mancava. Sono lieto che il professor Fabri abbia fatto cenno alla questione affermando "Devi anche sapere che non è una razza di recente sviluppo: sono sempre esistiti". Ha certamente ragione. Ho però l'impressione che con internet, grazie a cui tutto è più facile ("naturalmente con internet è tutto più facile"), sia consistentemente aumentato il loro numero e la loro aggressività. 
 
Se la cosa rimanesse confinata alle contestazioni alla teoria della relatività, vabbè poco male: capisco la frustrazione dei fisici, ma ci faranno il callo. Purtroppo però la cosa dilaga in tutti gli ambiti, con faciloneria e sciatteria disarmanti.
 

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Non sono un esperto di RG, comunque, recentemente mi sono interessato a teorie alternative della gravità ed ho avuto modo di conoscere anche la teoria di Annunziata. Si tratta di nient'altro che una riedizione del vecchio modello di Le Sage di gravità corpuscolare (già screditato ai tempi di Newton). L'espressione per g è, a mio parere, semplicemente sbagliata. La "dimostrazione" si basa su considerazioni euristiche del tutto arbitrarie. Poincaré, nella sua rivisitazione di Le Sage ottiene per g nient'altro che la legge dell'inverso del quadrato, con la differenza che la massa gravitazionale del corpo centrale (che genera il campo) è corretta da un fattore che dipende dal raggio dell'astro, dalla sua densità e dal coefficiente di assorbimento (in sostanza una frazione della massa è "nascosta"). Io mi son preso la briga di rifare tutti i calcoli e (manco a dirlo) ha ragione Poincaré. A quel punto tutto il castello crolla. Anche tutta questa questione del perielio di Mercurio è basata su un marchiano errore di fondo, ma il discorso sarebbe lungo e mi fermo qui.
Pier Franco Nali


Personaggi come questi mi scrivono in media una volta al mese. O hanno trovato qualche errore in una teoria fondamentale (99 volte su 100 e la relatività, speciale o generale che sia), o hanno trovato la teoria ultima dell'universo. In realtà è la loro conoscenza e comprensione della fisica di base ad essere molto bassa (per usare un eufemismo). Le prime volte cercavo di spiegare a questi  tizi le loro incomprensioni, ma si tratta di un compito impossibile, perché non riuscirai mai a convincerli dei loro errori. Annunziata poi è un caso particolare. Capisce molto bene la fisica Newtoniana ma per niente quella relativistica. Quando dice che esiste una precessione dei pianeti nella fisica Newtoniana nel sistema di riferimento non-inerziale del sole ha ragione. Come ho dimostrato in un mio articolo di ricerca precedentemente discusso in questo gruppo Google, ispirato proprio da una discussione avuta con Annunziata e pubblicato su un giornale Q1, l'effetto è dovuto al fatto che se si approssima il sole a riferimento inerziale, come si è soliti fare quando si tratta il problema di Keplero nel riferimento del sole, si sottostima la velocità del pianeta rotante e perciò, nello stesso periodo di rotazione, che è assoluto nella teoria Newtoniana, il pianeta compie un percorso maggiore (l'orbita avanza) se si tiene conto della presenza della forza inerziale dovuta alla reazione di Mercurio sul sole. Il problema è che questo valore è in buon accordo con le osservazioni, casualmente, solo per Mercurio, mentre è in forte disaccordo con i dati relativi alla Terra e a Venere. Si può effettivamente calcolare la precessione del perielio dei pianeti con la stessa precisione della relatività generale in una sorta di approssimazione post-newtoniana per cui la teoria di Newton è corretta dalla dilatazione temporale relativistica. In questo caso la precessione Newtoniana è completamente cancellata da quella dovuta alla dilatazione temporale relativistica che è l'effetto predominante, non solo per la precessione del perielio di mercurio ma anche per le altre due prove classiche (ossia previste da Einstein) della relatività generale, ossia la deflessione gravitazionale della luce e il redshift gravitazionale. 
 
Saluti,
Prof. C. Corda

 .....
 
Mi inserisco qui al solo scopo di fornire alcuni utili elementi di riferimento a quanti siano 
sufficientemente esperti sia di meccanica classica che di relatività generale.
 
Per quanto riguarda la teoria dei due corpi in meccanica classica ho messo in rete un mio pdf:
 
http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Meccanica/campo_centrale.pdf
 
 
Il moto di un pianeta viene abitualmente trattato in un sistema inerziale baricentrico oppure 
in un sistema  di riferimento solare siderale: secondo la teoria newtoniana dei due corpi in 
tali riferimenti la linea absidale non ruota, ossia non si ha precessione.
 
E' ben noto che per confrontare tale teoria con le osservazioni astronomiche di Mercurio occorra
tenere conto della precessione degli equinozi e del trascinamento gravitazionale dovuto agli altri
pianeti del sistema solare (per i pignoli anche del momento di quadripolo del Sole). 
Dai calcoli astronomici l'effetto complessivo risulta essere di ben 5557"/secolo, mentre dalle 
osservazioni la precessione risulta essere in realtà di 5600"/secolo. I mitici 43"/secolo di 
differenza hanno costituito per vari decenni una delle poche prove a favore della RG. 
Ho posto qui una mia trattazione maniacalmente completa e rigorosa della questione secondo la  RG:
 
http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Relativita/RG_preview_a.pdf
 
 
In tale preview di RG ho lasciato anche alcune sezioni introduttive, nelle quali si mostra che per
campi gravitazionali deboli e basse velocità la RG si può approssimare con l'equazione del moto 
classica di Poisson in un campo gravitazionale newtoniano e che allo stesso livello di precisione 
si ottiene una semplice formula per il red-shift gravitazionale (dilatazione del tempo).
Pertanto usare la meccanica classica newtoniana (in modo corretto) associata (in modo opportuno) 
alla dilatazione gravitazionale del tempo costituisce di fatto  una (grossolana) trattazione 
relativistica del problema della precessione del perielio di Mercurio, idonea a calcolare un 
valore della precessione di un ordine di grandezza non troppo discosto dai canonici 43"/secolo.
 
-- 
    Elio Proietti
    Valgioie (TO)

Io invece volevo ricordare alcune regole unanimemente riconosciute dalla Comunità Scientifica:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Il contenuto di un articolo di ricerca pubblicato su un giornale Q1 a revisione paritaria ad alto fattore d'impatto  può essere smentito soltanto da un altro articolo di ricerca pubblicato su un giornale a revisione paritaria altrettanto prestigioso. Quindi, secondo le regole della comunità scientifica il pdf linkato da Proietti, che non è stato ne soggetto al processo di revisione paritaria, ne pubblicato su un giornale internazionale, ha valore scientifico pressoché nullo rispetto al mio articolo di ricerca. Aggiungo che non ho la minima intenzione di leggere tale pdf, visto che mesi fa ne lessi un primo draft e ci trovai parecchi errori elementari. Invito invece Proietti a scrivere seriamente un articolo di ricerca, magari aiutato da Fabri, che mi pare essere un mentore dello stesso Proietti, che smentisca il mio articolo di ricerca e a farselo pubblicare in un giornale internazionale. anzi, sarebbe meglio che gli articoli fossero 2, in quanto ho discusso i risultati del mio articolo di ricerca in varie Conferenze Internazionali, compresa la famosa  Frontiers of Fundamental Physics, alla presenza dei Premi Nobel Claude Cohen-Tannoudji e Douglas Osheroff. Il mio conseguente articolo di Proceedings, anche esso a revisione paritaria,  e stato accettato per la pubblicazione ed uscirà su uno speciale volume dell'editore Springer nel 2023.
 
 
 
 
 
 
2) Esiste una consuetudine immemorabile nella Comunità Scientifica Internazionale, che viene pressoché considerata un autentico principio giuridico, secondo qui i giudizi di merito scientifico di chi sta più in alto nella piramide scientifica internazionale di un certo ramo di ricerca sono insindacabili da chi sta più in basso. Ora, siccome lo scrivente ha pubblicato oltre 160 articoli di ricerca nel ramo di ricerca di relatività generale e gravitazione, mentre mi risulta che Proietti non ne abbia pubblicato (come detto prima, i suoi pdf non soggetti a revisione paritaria secondo le regole della comunità scientifica non contano nulla),  lascio decidere ai lettori chi tra me è Proietti sta più in alto nella suddetta piramide scientifica. Badino i lettori che, una volta stabilito chi sta più in alto, costui potrebbe anche dire che la relatività generale implica che gli asini volano, e l'altro, secondo la suddetta regola non potrebbe opporglisi. 
 
Ora passiamo a ciò che dice Proietti nello specifico. 
 
 
Quanto Proietti dice che "Il moto di un pianeta viene abitualmente trattato in un sistema inerziale baricentrico oppure  in un sistema di riferimento solare siderale: secondo la teoria newtoniana dei due corpi in  tali riferimenti la linea absidale non ruota, ossia non si ha precessione" ha  sostanzialmente ragione , solo che lui continua a non capire un paio di cose, sebbene abbia provato a spiegargliele più volte. 
 
 
i) Nel sistema sistema inerziale baricentrico si studia il moto di rotazione ellittico del pianeta attorno al centro di massa, non attorno al sole. Nel mio articolo io studio  il moto di rotazione ellittico del pianeta attorno al sole, non attorno al centro di massa. In altre parole, Proietti confonde "patate" con "pomodori". 
 
 
 
 
 
ii) Studiando il moto del pianeta attorno al sole nel sistema di riferimento solare siderale (ossia in cui il sole è considerato fisso rispetto alle stelle fisse) l'orbita del pianeta (in senso Newtoniano) non è esatta ma approssimata,  in quanto il sole non è veramente fermo rispetto alle stelle fisse ma subisce la forza inerziale di Mercurio dovuta alla terza legge di Newton. Quindi, usando il sistema di riferimento solare siderale l'accelerazione centripeta del pianeta è sottostimata ed il pianeta sembra muoversi più lentamente di quanto si muove in realtà. Invece il tempo siderale è lo stesso per entrambi i sistemi di riferimento, quello approssimato e quello esatto, quindi, se l'orbita non avanza nel sistema approssimato deve necessariamente avanzare in quello esatto. La chiave della precessione Newtoniana è tutta in queste considerazioni.
 
 
 
 
 
 
 
 
Infine sono contento che Proietti ora dica che  usare la meccanica classica newtoniana (in modo corretto) associata (in modo opportuno alla dilatazione gravitazionale del tempo sia corretto. In passato su questo stesso gruppo Google aveva detto che era sbagliato. Ora dice che la trattazione non è sbagliata ma grossolana. Sorvolando sul fatto che sarebbe meglio che un giudizio simile lo desse uno che ha pubblicato qualcosa in relatività generale e gravitazione, volevo informare Proietti che i fisici D. Hansen, J. Hartong, N. A. Obers, hanno pubblicato un articolo di ricerca nel 2019 nel più importante giornale della American Physical Society, ossia Physical Review Letters,  in cui hanno dimostrato che verbalmente, "i tre test classici della relatività generale, vale a dire la precessione del perielio, la deflessione della luce e il redshift gravitazionale, sono superati perfettamente da un'estensione della gravità newtoniana che include effetti di dilatazione del tempo gravitazionale". Lo stesso risultato è stato premiato con una menzione onorevole alla Gravity Research Foundation Essay Competition del 2019, che, ricordo è la massima competizione annuale mondiale nei campi di relatività e gravitazione, vedere: 
https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218271819440103
 
 
 
Quindi invito Proietti a scrivere due email di lamentela, la prima indirizzata all'Editor in Chief della American Physical Society, enfatizzando che il loro giornale più prestigioso pubblica cose grossolane, e la seconda al Presidente della Gravity Research Foundation, enfatizzando che la massima competizione annuale mondiale nei campi di relatività e gravitazione premia risultati grossolani.
Saluti a tutti,
Prof. C. Corda


 2) Esiste una consuetudine immemorabile nella Comunità Scientifica Internazionale, che viene pressoché considerata un autentico principio giuridico, secondo qui i giudizi di merito scientifico di chi sta più in alto nella piramide scientifica internazionale di un certo ramo di ricerca sono insindacabili da chi sta più in basso. ....
 
Questa poi collide con il principio di base della scienza occidentale da 
almeno 400 anni, secondo cui non esiste il "principio di autorità" 
(l'ipse dixit).
Anche un Nobel deve sottostare alla regola per cui se non si hanno 
argomenti validi, anche la più sfavillante serie di successi scientifici 
non trasforma una ca...ta in oro.
 
Ti assicuro che funziona così. Mi è capitato di dover stroncare, come 
revisore,  un paio di articoli di persone in odore di Nobel, senza che 
nessuno (rivista e diretti interessati) si stracciassero le vesti per 
"lesa maestà" o invocassero un inesistente principio giuridico. Se gli 
argomenti razionali sono deboli, restano deboli indipendentemente dal 
numero di pubblicazioni o dalle metriche bibliografiche.
 
Questo, per quel che riguarda le regole del gioco in ambito strettamente 
scientifico.
 
Poi, ricordo che qui non stiamo né nel comitato editoriale di una 
rivista scientifica, né nell' aula seminari di un dipartimento di fisica 
ma in un NG frequentato da numerosi non-addetti-ai-lavori. Quindi le 
regole si riducono a quelle del manifesto e del comportamento civile 
nelle discussioni. Pertanto, purché fatto con argomenti e in modo 
civile, chiunque qui può mettere in dubbio anche le affermazioni di un 
Nobel, anche in assenza di un pedigree scientifico appropriato. La 
valutazione delle affermazioni è sempre lasciata a chi legge e nessuno 
rilascia "bollini di validità".
 
Sul merito della discussione non entro in quanto dovrei ripetere cose 
già scritte in passato.
 
Giorgio
 

 già scritte in passato. 
 
 
 
 
Cose già scritte in passato e sbagliate, per esempio scrivesti che il vettore di Laplace-Runge-Lenz si conserva sia nei sistemi inerziali che in quelli inerziali. In realtà in quelli non inerziali NON si conserva, ed esistono vari articoli in letteratura in cui è dimostrato. Se non li trovi te li segnalo io più avanti. Questo è in contrasto non solo con tue affermazioni precedenti, ma anche con quelle qui scritte da Proietti.
 
Cari saluti,
Prof.C. Corda


Scusate se mi inserisco nella vostra conversazione per chiedervi un chiarimento. 
 
 
Non mi è assolutamente chiaro il significato di "sistema di riferimento solare siderale". Io non sono riuscito a trovare questa definizione da nessuna parte. 
 
 
 
 
Se si intende quello "in cui il sole è considerato fisso rispetto alle stelle fisse" questo non è altro che un sistema inerziale, coincidente con il sistema baricentrico al netto di una traslazione dell'origine. Ma allora, che senso ha studiare il moto del pianeta in un sistema approssimato, introducendo un doppio errore (sull'accelerazione del sole e del pianeta); a quel punto tanto varrebbe rimanere nel sistema baricentrico, che fornisce il risultato esatto: né l'orbita del pianeta né quella del sole (entrambe intorno al comune centro di massa) precedono.
 
 
Se invece si intende, come d'uso, un sistema di coordinate sferiche eliocentriche (centrate nel centro del sole, non ruotanti), si ottiene anche qui un risultato esatto: l'orbita del pianeta intorno al sole non precede. 
 
 
A meno di ragioni recondite che mi sfuggono non vedo sinceramente la necessità di introdurre un sistema di riferimento ibrido, e per di più approssimato. Vi sarei grato se poteste darmi una risposta.
 
Saluti,
Pier Franco Nali

Pier Franco Nali ha scritto:
 > Non mi è assolutamente chiaro il significato di "sistema di
 > riferimento solare siderale". Io non sono riuscito a trovare questa
 > definizione da nessuna parte.
Non hai torto: anche a me risulta nuovo.
Casomai invece di "solare" direi "eliocentrico".
"Siderale" ritengo significhi "con orientamento invariabile rispetto
alle stelle fisse".
 
 > Se si intende quello "in cui il sole è considerato fisso rispetto alle
 > stelle fisse" questo non è altro che un sistema inerziale, coincidente
 > con il sistema baricentrico al netto di una traslazione dell'origine.
No, non direi che s'intenda quello.
Intanto occorre una precisazione. Il termine "stelle fisse" è
ovviamente un residuo arcaico, visto che sono circa 300 anni (Halley)
che si sa che le stelle si muovono l'una rispetto all'altra.
 
Prima che si capisse questo, assumendo che le distanze tra Sole e
stelle fossero enormemente maggiori di quelle tra Sole e pianeti
(Bessel 1838: prima misura di una distanza stellare, 61 Cygni) si
usavano le "stelle fisse" come riferimenti di direzione.
Oggi le cose sono cambiate radicalmente, e il riferimento di direzione
è costituito da quasar, più distanti per qualche ordine di grandezza.
Ma il termine è rimasto, con sottinteso il nuovo significato.
 
Come ho già detto, in un rif. eliocentrico il Sole è fisso, non fisso
"rispetto alle steLle", ma solo nello stesso senso in cui si può usare
un rif. in cui la stazione è ferma o uno in cui è fermo il treno.
Quindi un rif. eliocentrico *non è inerziale*.
E' vero che differisce da un rif. baricentrico solo per una
traslazione, ma è una traslazione dipendente dal tempo.
Un rif. baricentrico è a tutti gli effetti un rif. inerziale, mentre
un rif. eliocentrico è *accelerato* (per colpa dei pianeti) quindi non
inerziale.
 
 > Ma allora, che senso ha studiare il moto del pianeta in un sistema
 > approssimato, introducendo un doppio errore (sull'accelerazione del
 > sole e del pianeta); a quel punto tanto varrebbe rimanere nel sistema
 > baricentrico, che fornisce il risultato esatto: né l'orbita del
 > pianeta né quella del sole (entrambe intorno al comune centro di
 > massa) precedono.
Sull'assenza di precessione sono d'accordo, ma si tratta di uno
pseudoproblema che è stato lungamente discusso giusto un anno fa su
questo NG e trovo ozioso tornarci sopra (ma non è colpa tua).
 
Però qui si rischia da fare unA grande confusione, perché ci si muove
in due diversi ambiti di problema.
Un conto è se vogliamo studiare il sistema solare come veramente è,
ossia un insieme di molti corpi che interagiscono tutti l'uno con
l'altro. In questo caso non ci sono leggi di Keplero che valgano,
niente orbite ellittiche se non come grossolana approssimazione, ecc.
Un altro è se si studia un sistema di due soli corpi, che è utile per
fissare i primi principi e risultati, definire la terminologia ecc.
 
Se siamo nel secondo ambito (e questo è per quanto riguarda il thread)
i fatti sono che il rif. baricentrico è inerziale, quello eliocentrico
no.
Ma la difficoltà si risolve subito aggiungendo una forza inerziale -ma
per il pianeta, essendo a l'accel. del Sole nel rif. baricentrico.
In realtà nella storia della meccanica celeste il procedimento
comunemente adottato almeno fino a metà '800 era diverso, ed è quello
che trovi descritto nelle mie lezioni (ovviamente copiate da Gauss,
Laplace e non so più quanti altri :-) ).
Ti rimando a
http://www.sagredo.eu/lezioni/astronomia/p3c1rf.pdf
, pag M1-1.
Non si parla affatto di cambiare riferimento, ma si fanno solo dei
passaggi matematici. Lascio a te di verificare che il risultato è lo
stesso che cambiare rif. passando a quello eliocentrico.
Aiutino: r1 è la posizione del pianeta nel rif. baricentrico, r quella
nel rif. geocentrico.
La (M1.2) si ottiene con entrambi i metodi.
 
 > Se invece si intende, come d'uso, un sistema di coordinate sferiche
 > eliocentriche (centrate nel centro del sole, non ruotanti), si
 > ottiene anche qui un risultato esatto: l'orbita del pianeta intorno
 > al sole non precede.
Sono d'accordo.
Solo una precisazione importante.
E' purtroppo quasi unanime la confusione tra *sistema di riferimento*
(rif.) e sistema di coordinate (SC).
Quali coordinate si usano è irrilevante: puoi usarle sferiche o
cartesiane, o anche altre; a seconda di quello che devi fare, del
preciso problema, magari dei gusti. La sostanza fisica non cambia.
 
Ma qui è in discussione il sistema di riferimento, che è concetto
fisico: che cosa prendi come fermo (il centro di massa o il Sole). Il
primo rif. è inerziale, il secondo no, e questo non ha niente a che
vedere con le coordinate che preferisci.
L'idea dei rif. non inerziali non so esattamente quando sia nata, ma
non direi prima di metà dell'800.
Tra l'altro i meccanici celesti sono assai conservatori, e oserei
affermare che almeno fino a metà del secolo scorso quest'idea
(profondamente fisica) non trovava spazio nei testi di meccanica
celeste, mentre era materia comune d'insegnamento nei corsi di Fisica
del primo anno universitario.
 
 > A meno di ragioni recondite che mi sfuggono non vedo sinceramente la
 > necessità di introdurre un sistema di riferimento ibrido, e per di
 > più approssimato. Vi sarei grato se poteste darmi una risposta.
Non capisco perché chiami ibrido il rif. eliocentrico.
Sull'approssimato non sono d'accordo: se introduci le forze inerziali,
le equazioni sono in sostanza le stesse.
A parte il residuo storico, un rif. eliocentrico può essere più comodo
nei calcoli numerici e più facilmente collegabile con le osservazioni,
dato che il centro di massa del sistema solare nessuno lo vede, anche
perché sta più o meno dentro il Sole :)
-- 
Elio Fabri

 un sistema di riferimento ibrido, e per di più approssimato. Vi sarei grato se poteste darmi una risposta.
 
 
Hai perfettamente ragione a criticare la terminologia "sistema di riferimento solare siderale",
che ho usato laconicamente nel mio post pensando che se ne comprendesse il significato.
 
Per evitare equivoci consulta il mio file campo_centrale.pdf  nel quale è trattata in modo 
rigoroso (e senza licenze poetiche di linguaggio) la teoria meccanica dei moti centrali.
Nella sezione finale 11. tale teoria meccanica è applicata al classico problema dei due corpi 
(uno di massa m "chiamato pianeta" ed uno di massa M "chiamato Sole") che si attirino secondo 
la legge gravitazionale di Newton. L'intera trattazione è svolta in un sistema di riferimento
Gxy _inerziale_ con origine nel baricentro G del sistema dei due corpi.
 
Nell'ultima sezione 12. lo stesso problema è ridiscusso in un sistema di riferimento Sx'y' 
_non inerziale_ (ma non rotante rispetto a Gxy) con uso della forza d'inerzia di trascinamento.
Ovviamente i risultati (assenza di precessione e periodo T del moto non cambiano).
 
Questo primo pdf è un articolo di pura meccanica classica e non di astronomia, pertanto 
l'uso dell'attributo "siderale" è un'improprietà di linguaggio che mi sono concessa per
brevità nel post che critichi (ma non nel pdf). 
Nel post per "sistema di riferimento solare siderale" intendevo denotare brevemente il 
"sistema di riferimento non inerziale Sx'y' avente centro nel corpo di massa M detto Sole,
ma non rotante rispetto al sistema di riferimento inerziale Gxy anzidetto, ossia avente gli  
assi (x',y') costantemente paralleli agli assi (x,y) del sistema inerziale Gxy.
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Ringrazio il Prof. Fabri (che non ha perso il suo smalto da che lo conobbi a metà anni '70 quando frequentavo l'ateneo pisano) ed Elio Proietti per le puntuali precisazioni. In effetti mi rendo conto che, equivocando, avevo pensato fosse stato introdotto una sorta di rif. "intermedio", nel quale il sole è considerato immobile rispetto alle stelle fisse ("fisse" nel senso moderno). L'ambiguità viene rimossa se al termine "sistema di riferimento solare siderale" si attribuisce il significato di rif. eliocentrico non rotante (rispetto al rif. inerziale). Non dunque "sole immobile", ma "orientazione fissa nello spazio", di qui il "siderale". 
 
Saluti
Pier Franco Nali

 Valgioie (TO)
 
 
 
Contrariamente a quanto dice Proietti, nella sezione 12 del suo PDF il problema della presenza o assenza della precessione non solo non è risolto, ma non è minimamente accennato. Sfido Proietti a dimostrare con le formule quanto secondo lui è ovvio, ossia che assenza di precessione e periodo T del moto non cambiano....  

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Sul fatto che nel sistema baricentrico, che fornisce il risultato esatto secondo cui né l'orbita del pianeta né quella del sole (entrambe intorno al comune centro di massa) precedono siamo tutti d'accordo. La situazione cambia nel sistema eliocentrico. Contrariamente a quanto dici, il primo ad aver trovato il risultato esatto nel sistema eliocentrico è il sottoscritto, e l'orbita precede. Ti  invito infatti ad andare a controllare e vedrai che in tutta la letteratura precedente (libri di testo, articoli di ricerca, articoli di review, pdf riassuntivi e non referati di Proietti, eccetera) il sistema eliocentrico è sempre approssimato a sistema inerziale in cui l'orbita del pianeta è analizzata come orbita di una massa test in un campo centrale. In altre parole, il sistema di riferimento ibrido, e per di più approssimato che citi tu, è quello che più viene utilizzato nella letteratura. Il motivo per cui viene utilizzato questo sistema è il seguente. Il problema a due corpi è trattato nel sistema del centro di massa introducendo la massa ridotta è facendolo così diventare il problema di una massa test, appunto la massa ridotta, attorno ad un campo centrale generato dalla massa totale. A questo punto i testi ti rimandano al problema di Keplero, cioè appunto una particella di massa trascurabile rispetto alla sorgente (il sole) soggetta un campo centrale. Il punto è che, da questo punto in poi, la massa ridotta è usualmente sostituta dalla massa del pianeta, la massa totale dalla massa del sole ed il centro di massa viene fatto coincidere col centro del sole.  Si è soliti infatti dire che, poiché la massa del pianeta è trascurabile rispetto a quella del sole, le approssimazioni fatte non creano problemi. Questa approssimazione è effettivamente eccellente per quasi tutti i problemi astronomici del sistema solare, ma in questo caso ti fa perdere la precessione. E' infatti la debole perturbazione che agisce sul pianeta, dovuta alla forza apparente e derivante dalla piccola non inerzialità del sistema eliocentrico, a generare la precessione. Se tu dovessi trovare uno ed un solo esempio nella letteratura precedente al mio articolo di ricerca in cui il sistema eliocentrico è effettivamente considerato un sistema non-inerziale e la back reaction del pianeta dovuta alla terza legge di Newton è tenuta in considerazione, ti prego di segnalarmelo, ma non credo che esista. C'è solo qualche articolo in cui effettivamente gli autori si lamentano di questo mancato uso dei sistemi non-inerziali in astronomia. Ad esempio è molto interessante l'articolo D. Condurache and V. Martinusi, Bul. Inst. Polit. Iasi, LI(LV), l-2, Sect Mathematics, Theoretical Mechanics, Physics, pp. 43-55 (2005). In esso gli autori dimostrano l'esistenza di una rotazione degli assi dell'ellisse planetaria nei sistemi non inerziali, ma non pensano di applicare questa cosa, che implica la presenza di una precessione dell'orbita,  al sistema non-inerziale eliocentrico.
 
Cari saluti,
Prof. C. Corda

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Nel testo su cui ho studiato in tempi ormai lontani, il Goldstein (Ed. Zanichelli del 1971), il problema di Keplero è trattato nella sua generalità. Solo alla fine si fa l'approssimazione di sostituire alla massa ridotta la massa del pianeta, ma solo per far vedere che la 3.a legge di Keplero, nella forma in cui la costante di proporzionalità tra periodo e semiasse^3/2 è considerata uguale per tutti i pianeti, è approssimata. Però la soluzione che si ottiene, ellisse che non precede, è la stessa sia che si faccia questa approssimazione sia che non la si faccia. 
 
 
 
Partendo dalla soluzione del problema ridotto di una massa di prova \mu in campo centrale, espressa in termini del raggio vettore sole-pianeta r, le soluzioni effettive per le orbite del pianeta (massa m_1) e del sole (massa m_2), in termini dei raggi vettori r_1 ed r_2 (con origine nel c.d.m.), si ottengono riscalando il vettore r=r_1-r_2 proporzionalmente a \mu/m_1 e -\mu/m_2 rispettivamente. Ereditano quindi, tali soluzioni, dal problema ridotto, la proprietà che sono ellissi chiuse. Fin qui, dato che stiamo ragionando nel sistema del c.d.m., mi sembra che concordiamo tutti.
 
 
 
 
 
Il problema nel sistema eliocentrico non ruotante è matematicamente equivalente al problema ridotto. Non faccio qui considerazioni fisiche, ma pure sostituzioni matematiche. Infatti, in questo sistema, coincidendo il centro delle coordinate con il centro del sole, per i raggi vettori ora vale: r'_1=r_1-r_2=r ed r'_2=r_2-r_2=0, sicché, fatte le debite sostituzioni nelle equazioni del moto, si ritorna al problema ridotto (\mu*a'_1=F(r'_1), dove a'_1 è l'accelerazione del pianeta nel sistema eliocentrico e r'_1 il suo raggio vettore). Si ottiene ancora un'ellisse chiusa per il pianeta (ovviamente diversa da quella che si vede dal c.d.m.), con il sole in un fuoco. Ovviamente questa ellisse è trascinata dal movimento del sole visto dal c.d.m. (il fuoco segue l'orbita del sole intorno al c.d.m.) ma rimane fissa rispetto al sistema non ruotante centrato nel sole.
 
Un caro saluto,
Pier Franco Nali

 Pier Franco Nali
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eh no, occhio a non usare la parola equivalenza in modo eccessivo ed inappropriato. Il fatto che puoi matematicamente scrivere il problema in termini del sistema ridotto sia nel sistema del centro di massa sia nel sistema eliocentrico NON implica che i due sistemi siano fisicamente equivalenti.  E' la stessa cosa che Proietti scrive nel suo pdf non referato, dove si è sforzato di riportare cose stranote che si trovano facilmente anche su wikipedia o roba simile, salvo concludere pomposamente che " esiste una sola dinamica newtoniana". Questa è una clamorosa castroneria. Il principio di relatività galileiano ci dice che "tutte le leggi della dinamica devono essere le stesse per tutti i riferimenti inerziali". Ora Proietti ci viene a dire dopo 400 anni che il principio di relatività galileiano è incompleto ed andrebbe esteso secondo il corretto principio di relatività proiettiano per cui  "tutte le leggi della dinamica devono essere le stesse per tutti i riferimenti inerziali e non inerziali". Non scherziamo. Ciò che tu chiami equivalenza matematica sarebbe anche un'equivalenza fisica se arrivassimo ai  due sistemi ridotti tramite delle trasformazioni galileiane partendo dalle equazioni nel moto nei due sistemi,  e se i due sistemi ridotti fossero anch'essi collegati da una trasformazione galileiana. Questo NON è chiaramente ciò che avviene. Ne deriva che quella che tu chiami equivalenza matematica è in realtà una rappresentazione matematica che ti permette di semplificare i calcoli ed i ragionamenti quando vuoi risolvere il problema. Non è che il sistema di riferimento eliocentrico quando passi al sistema ridotto ti diventa improvvisamente inerziale. Infatti, sei sicuro che l'ellisse nel sistema ridotto (\mu*a'_1=F(r'_1), dove a'_1 è l'accelerazione del pianeta nel sistema eliocentrico e r'_1 il suo raggio vettore) sia chiusa? Guarda che questa non è più un'ellisse in un campo centrale, ma l'ellisse in un campo centrale perturbato da un'altra piccola forza centrale (la forza inerziale). Esistono vari lavori in letteratura  dove si dimostra che in questi casi di campo centrale perturbato da  piccola forza centrale il vettore di Laplace-Runge-Lenz non si conserva e che dunque si ha una precessione dell'orbita. Solo che sinora nessuno ha pensato di applicare questa osservazione al sistema eliocentrico non inerziale. Io, proprio in questo periodo (e qui devo ringraziare Pastore che ha sollevato con me l'argomento, anche se lo ha fatto per tentare di dimostrare che mi sbagliavo),  sto dando un'interpretazione della questione proprio in questo senso e, avendo trovato risultati consistenti alla mia analisi precedente,  sto scrivendo un nuovo lavoro sull'argomento per un altro giornale internazionale. Sinora ho invece risolto il caso in maniera perturbativa, e cioè tratto prima il  sistema di riferimento eliocentrico come se fosse un riferimento inerziale ad ellisse chiusa, e poi ottengo la precessione trattando la debole forza inerziale come una perturbazione. Dopo la pubblicazione del mio articolo sono stato attaccato da gente come Fabri, Proietti (che, non smetterò mai di sottolineare, non hanno mai fatto ricerca originale su queste cose, e dunque dovrebbero essere maggiormente prudenti e rispettosi, spero che lo saranno in futuro)  ed altri perché secondo loro sarei andato contro quello che c'è scritto nei libri di testo e che Fabri avrebbe insegnato per anni a lezione. Non è assolutamente così, non ho MAI scritto nell'articolo pubblicato ne detto su questo gruppo Google che quello che c'è scritto nei libri di testo e che Fabri avrebbe insegnato per anni a lezione è sbagliato, per il semplice motivo che non lo è. Ho semplicemente detto che ho risolto un problema fisico che nessuno aveva risolto prima in un riferimento non-inerziale dove la fisica è diversa rispetto ai riferimenti inerziali comunemente usati in letteratura. Questo lo devo ad una discussione avuta con Annunziata su Facebook anni orsono. Infatti ho ringraziato pubblicamente Annunziata, sia nell'articolo pubblicato, sia in un paio di interviste che mi hanno fatto dei giornali, enfatizzando però che diversamente quanto sostenuto da Annunziata, l'esistenza di una precessione nella fisica Newtoniana non rendeva questa più precisa della relatività generale, ma, anzi, era in buona approssimazione solo coi dati di Mercurio.
 
Cari saluti,
Prof.C. Corda

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Ho parlato di equivalenza "matematica" nel senso che il sistema ridotto è un artificio matematico che consente di passare, dal problema a un corpo in campo centrale (che evidentemente qui ha solo la funzione di problema ausiliario), alla soluzione esatta del problema fisico effettivo a due corpi. Tuttavia, le soluzioni che si ottengono per il sistema ridotto (artificiale) e per il sistema eliocentrico non rotante (reale) sono formalmente identiche. Nell'analisi del problema eliocentrico potremmo addirittura dimenticarci del problema ridotto e procedere autonomamente, accorgendoci solo alla fine che sono equivalenti e quindi abbiamo già le soluzioni in tasca. In un certo senso, il problema eliocentrico è più semplice che nel rif. del centro di massa perché non dobbiamo fare nemmeno il rescaling per ottenere le orbite esatte. Mi spiego meglio, aiutandomi anche con formule per cercare di esprimermi in modo chiaro.
 
Parto da una generica trasformazione (non galileiana dato che il sistema eliocentrico non è inerziale) delle coordinate, da un sistema di origine O (che possiamo supporre inerziale ma per il momento ciò non è vincolante) ad un secondo sistema di origine O' (supponiamo, non-inerziale):
r'=O'O+r oppure, l'inversa, 
r=OO'+r'	
(non posso disegnare i simboli dei vettori ma è sottinteso)
Per la velocità ottengo:
v=v'+v_t
 
 
dove v_t è la velocità di trascinamento. Qui, poiché suppongo il sistema accentato non rotante (cioè con orientazione fissa degli assi rispetto al sistema non accentato che assumiamo fisso) nella velocità di trascinamento non ho le derivate dei versori del sistema mobile, che si trasformano con le equazioni di Poisson, per cui non ho la velocità angolare ed è tutto molto più semplice.
Idem per l'accelerazione, per cui posso scrivere:
a=a'+a_t
dove a_t è l'accelerazione di trascinamento (con le stesse avvertenze di prima per la velocità, quindi niente componenti rotatorie, ecc.).
 
 
Se il sole S è fermo rispetto al sistema accentato (cioè v'_S=0) ottengo, per la velocità del sole osservato dal sistema non accentato, v_S=v_t, coincidente con la velocità di trascinamento. Idem per l'accelerazione, per cui ottengo a_S=a_t, sempre rispetto al sistema non accentato.
Per il pianeta P abbiamo:
r_P=OO'+r'_P
v_P=v_t+v'_P=v_S+v'_P
a_P=a_S+a'_P
Se il sistema con origine O è inerziale le 
eq.ni
 del moto in questo sistema assumono la forma:
m_P*a_P=F
m_S*a_S=-F
(convenzionalmente ho scelto il vettore F diretto dal pianeta verso il sole). Dall'ultima equazione, a_S=-F/m_S, da cui:
m_P(a_S+a'_P)=F ---> m_P*a'_P=F-m_P*a_S=F(1+m_P/m_S), 
(inoltre sappiamo che F(r)=F'(r'), poiché r_P-r_S=r'_P-r'_S)
e infine:
\mu*a'_P=F'
dove \mu è la massa ridotta m_p*m_S/(m_p+m_S). 
 
 
 
 
Quest'ultima equazione, da cui si ricava l'accelerazione del pianeta nel sistema accentato (che è quello eliocentrico per l'assunzione fatta prima che S avesse velocità nulla rispetto ad esso), ci accorgiamo che è formalmente identica all'equazione del problema ridotto. Come sappiamo, nel caso di F che va come l'inverso del quadrato questo problema non prevede la precessione dell'orbita (l'altro caso senza precessione è quello dell'oscillatore armonico). Evidentemente, se il sistema accentato fosse rotante (o la forza centrale avesse altro andamento) le considerazioni di cui sopra cambierebbero. 
 
Un caro saluto
Pier Franco Nali

 Pier Franco Nali
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Non è esattamente così. Il problema non prevede la precessione dell'orbita solo se il potenziale che va come l'inverso del quadrato associato ad F è quello Newtoniano o Coulombiano, ossia quando abbiamo a che fare con un campo centrale non perturbato in cui tratti il pianeta rotante come una massa test. Chiediti però cosa succede se al potenziale Newtoniano aggiungi un potenziale di perturbazione ancora centrale.  Ci sono vari articoli in letteratura che trattano il problema, il più interessante è forse O. I. Chashchina, Z. K. Silagadze, Phys.Rev.D77:107502,2008. Ce n'è una copia su  arXiv, vedi 
https://arxiv.org/pdf/0802.2431.pdf
. Guarda l'equazione 9 e vedrai che esiste una precessione se perturbi il campo centrale Newtoniano con un piccolo potenziale V(r) ancora centrale. Nel caso del riferimento eliocentrico il campo centrale eliocentrico è perturbato dal potenziale dovuto alla forza inerziale agente sul pianeta. Si ha dunque V(r)=Gm/r, dove m è la massa del pianeta, G la costante di gravitazione ed r la distanza tra il pianeta ed il sole. La forza totale agente sul pianeta va ancora  come l'inverso del quadrato ma. secondo la formula 9 dell'articolo citato, si ha precessione. E' il modo di trovare la precessione che sto provando a portare avanti nel nuovo articolo di ricerca. 
 
Buona giornata,
Ch.

 ....Esistono vari lavori in letteratura  dove si dimostra che in questi casi di campo centrale perturbato da  piccola forza centrale il vettore di Laplace-Runge-Lenz non si conserva e che dunque si ha una precessione dell'orbita. ....
 
 
Mi piacerebbe avere i riferimenti bibliografici a questi lavori. Ma non 
credo che dicano che il vettore LRL non si conserva nel sistema non 
inerziale.
 
Non ho dubbi che se si perturba con un campo aggiuntivo che non va col 
quadrato della distanza  il problema gravitazionale dei due corpi nasca 
una precessione. Ma nel caso Newtoniano, le equazioni del moto nel 
sistema inerziale o nel sistema non-inerziale centrato su uno dei due 
corpi (ma non rotante) sono le stesse (in forma), l'energia potenziale è 
identica, e l'unica differenza per il moto di ciascun corpo, sta 
nell'utilizzo di un raggio vettore riferito a punti diversi (centro di 
massa nel sistema inerziale, uno dei due corpi in quello non inerziale) 
nonché della massa ridotta in quello non-inerziale nel solo termine m*a. 
La forza resta la stessa ( modulo GmM/r^2, con r distanza tra i due corpi).
 
Immagino che i lavori cui fai riferimento corrispondano a potenziali 
perturbati rispetto a quello newtoniano. Se invece siamo nel caso 
newtoniano non c'è modo  di sfuggire alla non precessione delle orbite 
ellittiche.
 
La conservazione del vettore di LRL nel sistema non inerziale è una cosa 
che dovrebbe essere ovvia appena si guardano le equazioni. Il mio 
consiglio è che ci dormi sopra e poi riguardi con calma le equazioni 
esatte prima di reiterare errori concettuali.
 
Giorgio

Giorgio Pastore ha scritto:
 > Immagino che i lavori cui fai riferimento corrispondano a potenziali
 > perturbati rispetto a quello newtoniano. Se invece siamo nel caso
 > newtoniano non c'è modo  di sfuggire alla non precessione delle orbite
 > ellittiche.
 >
 > La conservazione del vettore di LRL nel sistema non inerziale è una
 > cosa che dovrebbe essere ovvia appena si guardano le equazioni. Il mio
 > consiglio è che ci dormi sopra e poi riguardi con calma le equazioni
 > esatte prima di reiterare errori concettuali.
State pestando l'acqua nel mortaio.
La questione della precessione del perielio in presenza di forze non
1/r^2 è ovviamente stranota, e si trova perfino nei miei appunti
(copiati) di astronomia:
http://www.sagredo.eu/lezioni/astronomia/p3c4rf.pdf
 
pagine 6,7 e poi p3c5rf.pdf.
Lì il calcolo è sviluppato limitatamente a un potenziale perturbatore
di quadrupolo, quindi forza che va come 1/r^4; ma si generalizza
facilmente a qualunque V(r).
(Non mi è mai venuto in mente di pubblicarlo, perché lo ritenevo di
conoscenza comune.)
La citata formula (9) mostra immediatamente che se V(r) va come 1/r
l'integrale si annulla. Magari qualcuno ci pubblicherà un lavoro.
-- 
Elio Fabri


Vedi Pastore, stavolta è stato il tuo amico Fabri a correggere, anche se implicitamente, il tuo errore, peraltro molto elementare. Ovviamente la forza non resta la stessa nei due riferimenti. In quello non-inerziale la forza non è, come dici tu, modulo GmM/r^2, con r distanza tra i due corpi, ma va aggiunta la forza inerziale modulo Gmm/r^2, con r distanza tra i due corpi. E'  quest'ultima che genera la perturbazione. Fabri stavolta ha capito il mio ragionamento, anche perché si trova anche nei suoi appunti, ma si salva in corner dicendo che  se V(r) va come 1/r  l'integrale si annulla. Chiaramente se non si annullasse dovrebbe darmi ragione su tutta la questione, quindi che non si annulli non gli conviene. In realtà, Fabri ha sbagliato il calcolo. Facendo le sostituzioni si ottiene da calcolare un integrale del coseno, che dunque si annullerebbe calcolato tra zero e 2 pi greco. Ma Fabri non ha tenuto conto dei cambi di segno delle coordinate y, quando il raggio vettore dell'orbita è parallelo all'asse maggiore, ed x quando è perpendicolare allo stesso asse. Tenuto conto di questo fatto il risultato che si ottiene è non nullo e proporzionale a m/M, consistente col mio risultato precedente, ma con un diverso coefficiente, che tiene anche conto della presenza dell'eccentricità, laddove i miei calcoli precedenti erano in approssimazione di orbite circolari o comunque semicircolari. D'altronde, se ci appelliamo a quello che sembra dirci la fisica al di la dei calcoli matematici, non possiamo attenderci un risultato nullo. Anzitutto perché, come enfatizzato dallo stesso Fabri, potenziali che vanno con potenze negative minori di 1/r danno un risultato non nullo, quindi non vedo perché un potenziale che va come 1/r dovrebbe dare un risultato nullo. Ma poi, cosa più importante, il contributo all'integrale in ogni quadrante dell'ellisse deve essere sempre positivo. Questo perché il significato fisico dell'integrale, ossia della precessione, è il seguente. La presenza del potenziale attrattivo centrale perturbativo fa in modo che la velocità angolare del vettore distanza relativa (il raggio vettore tra sole e pianeta) sia maggiore rispetto al caso in cui questo addizionale potenziale perturbativo non c'è. Dunque, poiché invece il tempo Newtoniano è assoluto, la maggiore velocità implica un maggiore spazio percorso. Questo vale in tutti i quattro quadranti. In altre parole, non può esserci un quadrante in cui l'orbita del pianeta avanza ed un quadrante in cui l'orbita del pianeta indietreggia.  Non ci sono dunque delle compensazioni come quelle a cui forse pensava Fabri. E questo mi porta ad un'ulteriore riflessione. Se Fabri avesse ragione ed il risultato dell'integrale fosse zero ci troveremo di fronte ad una cosa davvero bizzarra. La mancanza dell'avanzamento totale dell'orbita non sarebbe dovuta, come vorrebbero Fabri, Pastore ed altri, ad una mancanza di avanzamento omogenea dell'orbita stessa, ma al fatto che avremmo effetti di avanzamento ed  indietreggiamento che si compensano durante un solo periodo di rivoluzione. In altre parole, ci sarebbe un avanzamento dell'orbita tra zero e pi greco mezzi, un suo indietreggiamento tra pi greco mezzi e tre mezzi di pi greco ed un nuovo avanzamento tra tre mezzi di pi greco e due pi greco. Allo stesso modo, ne il vettore di Lenz ne quello di Hamilton si conserverebbero, ma oscillerebbero attorno ad un valore medio. Questo mi pare troppo anche per uno come me che non apprezza minimamente l'eccesso di conservatorismo che si trova nella ricerca fisica attuale.
Comunque su una cosa concordo con Fabri, è il caso che qualcuno pubblichi un articolo su questa roba, ed il sottoscritto lo sta preparando.
 
Saluti a tutti,
Ch.

 Comunque su una cosa concordo con Fabri, è il caso che qualcuno pubblichi un articolo su questa roba, ed il sottoscritto lo sta preparando.
 
 
Io ti suggerirei di non reiterare prima di aver ricontrollato tutto e 
vagliato senza preconcetti le critiche. Magari potrebbe essere più utile 
se scrivi una replica al commento sul tuo lavoro (D’Abramo, G. (2022). 
Comment on “The secret of planets’ perihelion between Newton and 
Einstein” by C. Corda [2021 PDU 32 100834]. Physics of the Dark 
Universe, 101076 ) uscito sulla stessa "rivista ad alto impatto" su cui 
hai pubblicato il tuo articolo. O quel giornale pubblica "cose grossolane"?
 
Giorgio

Giorgio Pastore ha scritto:
 > ...
In realtà non farò commenti su quello che scrivi, tranne questo.
Stai solo perdendo tempo.
 
Né ne farò su ciòi che ho scritto io. Mi limito a far notare che io
mi sono basato sull'articolo di Chashchina e Silagadze, articolo al
quale il link (che copio qui appresso) non l'ho dato io.
 
https://arxiv.org/pdf/0802.2431.pdf
 
 
Consiglio la lettura dell'articolo, che contiene una deduzione
dell'entità della precessione per il caso di un potenziale centrale
qualsiasi, in appross. perturbativa.
La formula decisiva è la (9), ma consiglierei di ricostruire i
passaggi che portano lì e mi paiono semplici.
Io l'ho applicata con V(r) = -k/r e il risultato è zero, per
qualunque k.
Non esistono arzigogoli che possano smentire quel risultato, che
comunque, ripeto, non è mio.
Io mi sono semplicemente limitato a capirlo.
 
-- 
Elio Fabri


Ma certo, l'integrale è nullo come Ipse Dixit, e non teniamo conto di un arzigogolo, che in questo caso sarebbe il ben noto fatto derivante dalla teoria degli integrali di linea, che quando si calcola un integrale facendo un cambiamento di variabile come nell'equazione (8) che precede la (9) vadano opportunamente inseriti dei moduli. Però siccome Ipse Dixit, e la teoria degli integrali di linea deve essere sbagliata (sic!) calcoliamo l'integrale fregandocene dell'inserimento di eventuali moduli. Dunque, calcolando l'integrale tra 0 e pi greco mezzi abbiamo m/eM, tra pi greco mezzi e pi greco abbiamo -m/eM, tra pi greco e tre mezzi di pi greco abbiamo ancora -m/eM ed infine tra tre mezzi di pi greco e due pi greco abbiamo di nuovo m/eM,. Quindi Ipse ha ragione è l'integrale (fregandocene dei moduli in barba alla teoria degli integrali curvilinei) fa effettivamente zero. Vediamo dunque cosa succede fisicamente. Nonostante il potenziale perturbativo aumenti SEMPRE la velocità della particella attorno al sole abbiamo che l'orbita avanza tra  0 e pi greco mezzi , indietreggia tra pi greco mezzi e tre mezzi di pi greco e torna ad avanzare tra tre mezzi di pi greco e due pi greco. Straordinario. Ho l'intenzione di contattare qualche pezzo  grosso, magari qualche Premio Nobel per portare questa questa cosa al comitato di Stoccolma, con la seguente motivazione: Ipse ha dimostrato che la teoria degli integrali curvilinei è sbagliata trovando conseguentemente un nuovo spettacolare risultato nella gravitazione di Newton.  Essa è in grado contemporaneamente sia di aumentare la velocità di rotazione di un pianeta sia di farne indietreggiare la traiettoria (doppio sic!). Inutile continuare a discutere, Ipse Dixit!
Applausi ad Ipse e saluti a tutti,
Prof. C. Corda

Ho deciso di fare un esercizio di somma pazienza (e mi pesa, perché la
pazienza non è la preminente fra le mie virtù).
Farò finta di aver letto un post il cui autore è uno studente del
secondo anno di fisica, e nemmeno tanto sveglio (ricordate la famosa
battuta di Berlusconi sugli elettori italiani?).
 
Facciamola corta: il tema è come si debbano interpretare alcune
formule in un articolo di Chashchina e Silagadze, apparso nel 2008 su
Phys.Rev D.
Si tratta delle formule (8) e (9), che ora cercherò di spiegare passo
passo, scusandomi coi molti che non avrebbero alcun bisogno di tante
spiegazioni.
Partiamo dalla (6), dove viene data l'espressione della precessione
del perielio dovuta a una forza centrale di en. pot. V(r), trattata
come una perturbazione.
 
w = [p/(alfa*e^2)]*(r*phi' - alfa/L)*(dV/dr)*k.
 
Legenda: w e k sono vettori
w è la vel. angolare del perielio, k il versore normale al piano
dell'orbita.
p è il parametro dell'ellisse, r e phi le coordinate polari (origine
di phi nel perielio imperturbato)
L è il modulo del momento angolare.
p si può esprimere (formula (7))
 
p = L^2/(mu*alfa)
 
dove mu è la massa ridotta del sistema dei due corpi.
phi' sta per dphi/dt, con la legge oraria data dal moto orbitale
imperturbato.
 
Osservo che phi è intesa funzione del tempo, anche se non se ne può
dare, com'è noto, un'espressione analitica chiusa.
Vale però
 
L = mu*r^2*phi'  (*)
 
e questo permetterà di eliminare phi'.
E' anche importante la relazione tra r e phi (geom. analitica delle
coniche)
 
r = p/(1 + e*cos(phi)  (**)
 
che nell'articolo è scritta dopo, senza numero.
 
La velocità angolare w è per definizione pari a theta', essendo theta
la direzione del perielio (funzione del tempo causa la precessione).
Quindi l'angolo di cui ruota il perielio in un periodo è (formula (8))
 
Dtheta = int[w(t),t,0,T]
 
da leggersi "integrale della funzione w(t) sulla variabile t da 0 a T".
(T è il periodo del moto imperturbato).
 
Ovviamente questo è un normale integrale definito di una funzione di
variabile reale, sull'intervallo [0,T] della reatta reale.
Mi direte che bisogno c'è di dirlo?
Purtroppo per il nostro studente è necessario...
 
Ma la formula (8) contiene un'altra espressione, che si ottiene con un
cambiamento di variabile (integrazione per sostituzione) da t a phi.
La regola è nota: se phi è funzione data (crescente) di t, si ha
 
int[w(t),0,T,t] = int[u(phi)/(dphi/dt), phi, phi(0), phi(T)].
 
L'unico punto delicato è che vi figura dphi/dt che in sé sarebbe
funzione di t, mentre nella regola di sostituzione va data come
funzione di phi. Ma la cosa è semplice: per la (*)
 
dphi/dt = L/(m*r^2)
 
dove L e m sono costanti e r è data come funzione di phi nella (**).
Faccio notare che la sostituzione cambia la variabile indipendente, ma
l'integrale rimane ancora un integrale di funzione di var. reale, ora
sull'intervallo [phi(0),phi(T)].
Gli autori mi pare non lo dicano, ma l'origine dei tempi è scelta in
modo che sia phi(0)=0 e di conseguenza phi(T)=2pi.
 
Comunque non c'è nessun integrale di linea, e non occorre nessun modulo
(questo se l'è inventato lo studente e comunque è falso: in un
integrale di linea non ci vogliono moduli.
Sospetto che abbia fatto confusione con gli integrali di
superficie...)
 
Il resto per arrivare alla (9) sono solo passaggi algebrici che forse
anche lo studente sa fare da solo, quindi non ci perdo tempo.
Anche la verifica che se si prende V(r) = -k/r il risultato viene 0 è
immedaita ea questo punto dovrà accettarlo anche il nostro studente;
sebbene ciò contraddica una sua credenza, chissà come motivata, che
anche con un potenziale di quel tipo debba esserci precessione.
 
Se poi non si fosse ancora convinto, la mia pazienza è comunque
esaurita.
-- 
Elio Fabri

... non teniamo conto di un arzigogolo, che in questo caso sarebbe il ben noto fatto derivante dalla teoria degli integrali di linea, che quando si calcola un integrale facendo un cambiamento di variabile come nell'equazione (8) che precede la (9) vadano opportunamente inseriti dei moduli. 
....
 
Effettivamente sembra proprio inutile discutere con te. L' unico ipse 
dixit che vedo è il tuo. Attendo la pubblicazione di un tuo commento su 
Physical Review D in cui spieghi agli autori di quel lavoro e agli 
editor della rivista che ci voleva un modulo (valore assoluto??) e che 
l'articolo è sbagliato. Forse te lo pubblicano.
 
Giorgio
 

Ho visto che nel mio post precedente ci sono alcuni errori e
omissioni, che ora indicherò.
Ci sono anche dei refusi, ma credo che chi legge possa correggerli da
sé.
 
All'inizio, nella descrizione dei simboli, manca
alfa = G*M*m.
Nella (**) c'è una parentesi che non si chiude.
Nel periodo che inizia "L'unico punto delicato" per due volte si trova
"m" dove invece andava "mu".
Immediatamente prima ho scritto
 
int[w(t),0,T,t] = int[u(phi)/(dphi/dt), phi, phi(0), phi(T)].
 
ma ho dimenticato di spiegare che la funzione u è definita da
 
u(phi(t)) = w(t).
-- 
Elio Fabri


Cari amici, non vorrei sembrarvi ripetitivo, ma mi chiedo se è concepibile che il calcolo "esatto" dell'orbita, nel sistema eliocentrico, possa dare un risultato differente dal calcolo perturbativo dell'orbita kepleriana, con un piccolo potenziale di disturbo che ha lo stesso andamento 1/r del potenziale imperturbato. Evidentemente non è possibile oppure c'è un serio problema da qualche parte. 
 
 
 
 
Riguardo il metodo perturbativo si è citata la formula (9) e ne è nata una discussione interessante ma che ritengo non dirimente. Ho cercato anch'io di capire come la (9) si ricava e come la si può utilizzare. E' vero che l'integrale è un integrale di linea, calcolato lungo il percorso dell'orbita imperturbata. Ma è anche vero, essendo l'integrando una quantità scalare, che si tratta di un integrale di linea di prima specie, che per una funzione reale di una variabile reale (in questo caso la variabile r parametrizzata come r=r(phi)) si calcola esattamente allo stesso modo di un normale integrale definito.
 
 
 
 
 
Ma anche lasciando da parte la formula (9), che è un altro modo di ottenere risultati noti, il calcolo della precessione dell'ellisse si può portare avanti con metodi ben più collaudati della formula (9), per es. come fa Landau (pag. 58 della 3.a ed. del 1961 di Mecanique classique) studiando le piccole perturbazioni dell'orbita kepleriana oppure usando i normali metodi della teoria canonica delle perturbazioni e le coordinate azione-angolo per calcolare la precessione del vettore LRL (come fa ad es. Goldstein a pag. 510 di Classical Mechanics 2.a ed. del 1980). Entrambi i metodi, immagino supercontrollati/supercollaudati, non consentono di riprodurre precessione con potenziali perturbativi che vanno come 1/r, anche se in generale lo prevedono per altri potenziali centrali.
 
Con l'occasione vi auguro un sereno Natale
 
Pier Franco Nali

 Elio Fabri
 
Ciao,
Bruno Cocciaro

 In sostanza, a me pare che Chashchina e Silagazde ottengano la (5) senza andarci "coi piedi di piombo" e questo li induca in errore.
....
 
Se rileggi con attenzione vedrai che non ci sono problemi. V è il 
potenziale di perturbazione rispetto al caso 1/r. è chiaro che, 
essendoci in generale precessione, u non è più costante del moto.
Ma nel caso 1/r puro, V(r)=0 e Dvec{u}/Dt=0 in modo ovvio.
 
Giorgio

 Giorgio
 
Bruno Cocciaro


Mi inserisco per ricordare che il potenziale "perturbativo" di cui si sta parlando, V=-(alpha)m/M r^-1, è quello che descrive l'effetto della correzione non-inerziale al potenziale newtoniano puro, -(alpha) r^-1, sul moto "imperturbato" del pianeta di massa m (cioè quello che si calcolerebbe se il sole fosse effettivamente fisso). E' chiaro che allora, nel procedimento per ottenere la citata formula (5) di Chashchina Silagazde per vec{u}' dobbiamo prendere il potenziale U=-(alpha) r^-1 + V e inserirlo nella seconda legge del moto di Newton per il pianeta (passaggio, questo, dichiarato ma non esplicitato da Chashchina Silagazde) nella forma vec{v}'=-1/m dU/dr vec{e_r}, che è facile vedere che equivale a: vec{v}'=-1/\mu d(-(alpha) r^-1)/dr vec{e_r}, con \mu la massa ridotta al posto di m e V che sparisce. Fatta questa sostituzione si vede facilmente che in questo caso vec{u}' si conserva.
 
Se invece V è un generico potenziale che perturba il potenziale newtoniano, allora vec{u}' può non conservarsi. (tralascio il caso di contemporanea presenza di più potenziali che vanno come 1/r che si riconduce al caso unipotenziale generalizzando il vettore di Hamilton).
 
La citata (5) di Chashchina Silagazde non può quindi essere applicata al potenziale V=-(alpha)m/M r^-1, perché già lo include nel procedimento con cui la si è ottenuta.

 La citata (5) di Chashchina Silagazde non può quindi essere applicata al potenziale V=-(alpha)m/M r^-1, perché già lo include nel procedimento con cui la si è ottenuta.
 
 
Mi hai preceduto. Aggiungo che se si generalizza la formula per ul 
vettore di Hamilton \vec u
 
\vec u = \vec v + F_r r^2/L \vec e_phi
 
dove \vec v è il vettore velocità, F_r la componente radiale del vettore 
forza, L il modulo del momento angolare (m r^2 \dot \phi) ed e_phi il 
versore nella direzione della tangente alle curve coordinate r=cost, si 
dimostra facilmente che la derivata temporale del vettore u, per un 
campo centrale, si annulla se e solo se F_r è proporzionale a 1/r^2. 
Pertanto, qualsiasi "perturbazione" alla forza proporzionale a 1/r^2 non 
cambia la costanza di \vec u e quindi la non-precessione del moto.
 
Aggiungo anche che le formule di Chashchina Silagazde sono controllabili 
senza particolari problemi e coincidenti con quelle di altri articoli 
sull'argomento.
 
Giorgio

 Giorgio
 
 
Non tieni conto della non trascurabile questione che la dimostrazione di cui parli in letteratura è sempre fatta in sistemi inerziali. Qui siamo in un sistema non inerziale e quindi non abbiamo un campo centrale come dici tu, ma un campo centrale perturbato.

 Bruno Cocciaro
 
Caro Cocciaro,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Premesso che chi ti ha chiesto di intervenire nel tentativo di portare acqua al suo mulino mi ricorda uno di quegli studentelli delle scuole medie che, minacciati da un compagno più alto e più grosso, prima si richiudono in bagno e poi vanno a lamentarsi dal preside, va detto che le tue osservazioni sono molto interessanti perché, differentemente dagli altri, non insisti con la questione "sui libri di testo c'è scritto che non c'è precessione e dunque non può esserci precessione" ma ti poni delle domande e per di più sono quelle giuste. Ora ti dico come vedo io la questione, che porta ad un risultato simile al mio articolo di ricerca in cui l'analisi è fatta in modo diverso. Anzitutto, anche come appare implicitamente dalle tue considerazioni, NON esiste un calcolo in letteratura sulla presenza o assenza della precessione nel riferimento non inerziale del sole. Quindi quello che sostengo qui NON va contro quanto scritto sui libri di testo. Ma ora torniamo all'articolo di Chashchina-Silagazde. Controlla il passaggio dall'equazione che si trova tra la (6) e la (7) e l'equazione (8). Si passa da un vettore al suo modulo. Chiaramente quando si deve calcolare l'integrale di un modulo a secondo membro della (8) nella funzione integranda ci va messo ancora un modulo, ossia va calcolato l'integrale di un modulo. Sospetto che gli autori dell'articolo se ne siano scordati o lo abbiano trascurato perché comunque nell'articolo non sono interessati a calcoli numerici. La morale della favola è che, tenendo a mente che abbiamo da fare l'integrale di un modulo, quando prendiamo V(r) = Gm/r l'integrale da calcolare tra zero e 2 pi greco nella (9) non fa zero come pensava chi ti ha chiesto di intervenire, ma fa 4m/Me, perché il calcolo finale dell'integrale non va fatto sul coseno, ma sul suo modulo. E' ben noto, sin dalle superiori, che, se l'integrale tra 0 e 2 pi greco del coseno è zero quello del suo modulo è 4. Ma non era neppure necessario fare il calcolo per capire che quell'integrale non può essere nullo. Sempre alle superiori si impara che l'integrale è una somma di infiniti termini. Chiaramente, l'integrale di un modulo, ossia di una quantità sempre positiva, può essere nullo se e solo se è identicamente nullo il modulo (e non è ovviamente questo il caso) altrimenti sarà positivo. In più chi ti ha chiesto di intervenire continua a non capire le conseguenze fisiche demenziali che si avrebbero se quell'integrale, come dice lui, fosse nullo. Avremmo trovato che la gravità Newtoniana fa avanzare l'orbita del pianeta lungo metà della stessa orbita e la fa indietreggiare sulla rimanente metà (sic!). Ora, ho tentato di inserire questa spiegazione in una replica precedente, ma i Moderatori me lo hanno impedito perché prendevo pesantemente in giro chi ti ha chiesto di intervenire in replica al fatto che lui in una replica ancora precedente mi aveva implicitamente dato del coglione (e questo i Moderatori lo avevano lasciato passare). Ma, tornando alle questioni scientifiche, I Moderatori nella loro email hanno aggiunto quanto segue:
 
 
"la replica contiene un errore non da poco. La quantità integrata che tu sostieni essere un modulo non lo è. È la componente della velocità angolare sull'asse di rotazione (di direzione costante). Peraltro, siccome si tratta della variazione dell'angolo rispetto al caso 1/r^2, la questione della non precessione è a monte, nella costanza del vettore di LRL."
 
Questa è in realtà una clamorosa castroneria, sospetto ispirata dal sig. Proietti, che è uno dei Moderatori, che va chiarita punto per punto.
 
 
1) Chiunque può controllare che nella citata equazione (8) NON ci sono notazioni vettoriali, perciò è chiaro che si calcola l'integrale di uno scalare. Viceversa, la componente della velocità angolare sull'asse di rotazione (di direzione costante), in quanto componente di un vettore, è ancora un vettore. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Non si tratta neppure di uno scalare legato alla velocità angolare del pianeta, ma semmai alla sua variazione dovuta alla presenza del potenziale perturbativo aggiuntivo. Credo, caro Cocciaro che la definizione che usi tu, di velocità di precessione, sia quella corretta. Allora diciamo che lo scalare di cui si calcola l'integrale nella citata equazione (8) è il prodotto scalare tra il vettore velocità di precessione ed il versore k presente nell'equazione che si trova tra la (6) e la (7) e che ha direzione z che è la direzione dell'asse di rotazione. Ora è facile vedere che questo prodotto scalare è sempre positivo, ossia coincide proprio con il modulo del vettore velocità di precessione. Infatti il  vettore velocità di precessione  è "attivato" dal potenziale V(r) = Gm/r. Questo è un potenziale centrale attrattivo che dunque genera una variazione della velocità angolare del pianeta, ossia una velocità di precessione, che è sempre positiva. In altre parole, la velocità di precessione non ha solo la direzione costante, come sostengono i Moderatori, ma anche il verso costante, che è quello positivo dell'asse di rotazione. In questo caso lo scalare di cui si calcola l'integrale nella citata equazione (8), che è il prodotto scalare tra il vettore velocità di precessione ed il versore k presente nell'equazione che si trova tra la (6) e la (7) entrambi aventi direzione z (che è la direzione dell'asse di rotazione) positiva, sarà sempre positivo. Quindi, contrariamente a quanto detto dai Moderatori non si ha costanza del vettore di LRL.  L'unica possibilità che la media temporale data dall'equazione (8) sia nulla è che in parti dell'orbita il potenziale centrale attrattivo generi una variazione della velocità angolare del pianeta positiva ed in altre parti generi una variazione della velocità angolare del pianeta negativa. Questa è, ovviamente, una situazione demenziale, che potrebbe eventualmente essere generata da un potenziale centrale perturbativo che è attrattivo in alcune parti dell'orbita e repulsivo in altre. Non è ovviamente questo il caso. Io la questione in termini più elementari di questi non riesco a spiegarla, poi se qualcuno vuole continuare a dirmi che sbaglio perché, contro quanto spiegato dall'analisi matematica elementare, sostiene che l'integrale di una quantità che è sempre positiva in una variabile positiva (il tempo) può essere nullo, beh, la notte continuerò a dormire sicuro di non essermi sbagliato. 
Buone feste a tutti,
Christian Corda

 2) Non si tratta neppure di uno scalare legato alla velocità angolare del pianeta, ma semmai alla sua variazione dovuta alla presenza del potenziale perturbativo aggiuntivo. Credo, caro Cocciaro che la definizione che usi tu, di velocità di precessione, sia quella corretta. Allora diciamo che lo scalare di cui si calcola l'integrale nella citata equazione (8) è il prodotto scalare tra il vettore velocità di precessione ed il versore k presente nell'equazione che si trova tra la (6) e la (7) e che ha direzione z che è la direzione dell'asse di rotazione. Ora è facile vedere che questo prodotto scalare è sempre positivo
 
no, è facile vedere che il prodotto scalare è positivo solo per cos(phi)>0 (o solo per cos(phi)<0 qualora fosse L<0)
facendo uso delle
\dot phi=L/(mu r^2)
L^2/(mu*alpha)*(1/r)=1+e*cos(phi) (e=eccentricità),
detto \vec omega=omega \vec k, dall'equazione compresa fra (6) e (7) abbiamo che
omega>0 <=>
L/(mu r) - alpha/L>0 <=>
 
[L^2/(mu*alpha*r)]-1>0 (notare che, diversamente da omega, L>0 sempre o L<0 sempre, in questo secondo caso si invertirà il verso della disequazione non cambiando la sostanza) <=>
e*cos(phi)>0
 
 
 
 
Infine, comincio a pensare che l'arcano si risolva cercando di capire per quale motivo la \vec omega che compare fra (6) e (7) non si possa chiamare velocità angolare (istantanea) di precessione (mentre ci si possa chiamare la sua media temporale su un periodo) e che, per capirlo, bisognerebbe "coi piedi di piombo" cercare di capire *cosa* si sta calcolando. Però prima di spiegarmi meglio vorrei rifletterci ancora un po', e dovrei poi trovare il modo di spiegarmi in maniera comprensibile.
 
Bruno Cocciaro.

Il 27/12/22 10:05, Christian Corda ha scritto:

Ci deve essere un evidente problema di comunicazione/interpretazione dei 
termini.
 
Non so cosa sarebbe un campo che non è centrale ma centrale perturbato. 
Indendi una peturbazione non-centrale? Non c'è, causa III principio. La 
forza tra corpo 1 e 2 è lungo la retta che passante per entrambi. Quindi 
anche la forza di 2 su 1 e quindi l'accelerazione di 1 che dà luogo alla 
forza apparente. Se invece stai pensando a forze non-1/r^2, neanche, se 
stiamo parlando della solita interazione newtoniana descritta nel 
sistema non-inerziale. Se pensi che non sia cosi scrivi un'equazione 
esatta che contenga termni non-centrali o non 1/r^2.
 
Ma visto che nel tuo messaggio resti sulle parole, passo alle formule 
così ci sarà poco da aver dubbi. Il post sarà un po' lunghetto ma forse 
può essere utile ad altri.
 
Cominciamo dalla questione sistemi inerziali/non-inerziali. Darò per 
scontato che la scrittura delle equazioni del moto per il problema dei 
due corpi utilizzando come variabili le coordinate del centro di massa e 
quelle del moto relativo siano patrimonio comune. Richiamo solo che, 
dati due corpi di massa m1 e m2 la cui posizione è data da due vettori 
posizione \vec r1 e \vec r2 (in un sistema inerziale), le eq. del moto 
nello stesso sistema inerziale possono essere riscritte senza 
approssimazioni, mediante semplici combinazioni lineari delle equazioni 
per \vec r1 e \vec r2, come
 
\vec R"=0
 
mu \vec r" = F_r \vec e_r    [1]
 
dove R è la posizione del centro di massa (che quindi si muove di moto 
rettilineo uniforme)
" indica la derivata seconda rispetto al tempo,
mu è la massa ridotta (1/mu = 1/m1 + 1/m2 )
F_r è la componente radiale della forza nel sistema inerziale (positiva 
o negativa a seconda che la forza sia repulsiva o attrattiva)
\vec e_r è il versore nella direzione radiale (se \vec r è stato 
definito come \vec r2 - \vec r1, \vec r punta da 1 a 2 e \vec e_r è il 
versore corrispondente (\vec e_r = (\vec r)/|\vec r| = \vec r / r).
 
Punto importante da notare: l'eq. [1], ottenuta "algebricamente" 
lavorando sulle due equazioni del moto per \vec r1 e \vec r2 nel sistema 
inerziale, descrive cinematicamente il "moto relativo" del corpo 2 
rispetto al corpo 1.
 
Ancora più notevole, la descrizione del moto relativo non è solo 
cinematica ma anche dinamica in quanto la stessa equazione [1], senza 
introdurre nessuna approssimazione, è la stessa che si ottiene come 
equazione del moto del corpo 2 nel sistema di riferimento non-inerziale 
solidale col corpo 1 (e non ruotante rispetto ad un sistema inerziale). 
Basta introdurre la cosiddetta forza apparente ovvero l'effetto 
dell'accelerazione del corpo 1 dovuta alla forza che 2 esercita su esso.
 
Ancora un po' di cose da tener presente. Mentre la "massa inersiale" in 
[1[ è la massa ridotta, F_r per un problema newtoniano di masse 
puntiformi o sfere in interazione gravitazionale è sempre
 
F_r = -G*m1*m2/r^2  = - alpha /r^2 [2]
 
col segno negativo, per il carattere attrattivo.
 
Riepilogo fin qui:
------------------
 
A livello dell'equazione del moto [1], l'interazione tra corpo 2  e 1 
nel sistema non-inerziale solidale col corpo 1 (e non ruotante) resta 
una forza centrale (diretta da 2 a 1) esattamente uguale a quella del 
sistema inerziale. Tutto l'effetto della forza apparente viene assorbito 
nella presenza dell massa ridotta.
 
Cosa succede al vettore di Laplace-Runge-Lenz ?
 
Per un sistema descritto dalle equazioni [1] e [2]
 
\vec A = \vec v x \vec L - alpha \vec e_r ,   [3]
 
dove (questo è importante)
 
\vec v = \vec r' = d (vec r)/dt
\vec L = mu \vec r x \vec v.
 
Tenendo presente che la derivata  temporale dei versore radiale è nella 
direzione tangenziale:
 
d(\vec e_r)/dt = phi' \vec e_phi
 
e l'espressione di \vec v nella base delle direzioni radiale e tangenziale è
 
\vec v = r' \vec e_r + r phi' \vec e_phi,
 
nonché la conservazione del momento angolare per interazioni centrali, è 
immediato verificare che
 
d(\vec A)/dt = (mu \vec v')x ( \vec r x \vec v ) - alpha d(\vec e_r)/dt
              = (- alpha /r^2 \vec e_r ) x ( \vec r x \vec v ) - alpha 
phi' \vec e_phi
 
che, con un po' di algebra vettoriale e le espressioni per componenti di 
\vec v risulta identicamente nulla.
 
Riepilogo fin qui:
------------------
 
Il vettore LRL definito in [3] risulta conservato nel sistema di rif 
non-inerziale solidale col corpo 1. Tutte le usuali conseguenze 
continuano a valere, in particolare, \vec A ha la direzione del semiasse 
maggiore dell'ellisse e quindi la sua costanza implica la 
non-precessione del perielio nel sistema non inerziale di cui sopra. Il 
calcolo è non-perturbativo ed esatto, per il problema dei due corpi.
 
E' anche importante notare che, per la dimostrazione, è essenziale poter 
sostituire a (mu \vec v') l'espressione della forza ( - alpha /r^2 \vec 
e_r ). Un utilizzo inconsistente (
p.es
. perché basato su calcoli 
approssimati) dell'equazione del moto darebbe una non-cancellazione  tra 
i diversi termini e quindi una non-conservazione (spuria) di \vec A.
 
Non-conservazioni genuine sono invece originate da interazioni centrali 
diverse da 1/r^2
 
Stesso discorso vale per il vettore di Hamilton \vec u = \vec v - alfa/L 
\vec e_phi. Per dimostrarne la costanza con equazioni del moto [1] e [2] 
occorre tener presente le formule sopra utilizzate (e di nuovo il fatto 
che l'accelerazione è propozionale alla forza via massa ridotta) e il 
fatto che d(\vec e_phi)/dt = -phi' \vec e_r. Con pochi passaggi si 
ottiene la conservazione del vettore di Hamilton per interazione [2] ne 
sistema di rif. non-inerziale.
 
Eventuali obiezioni a quanto sopra dovrebbero indicare quale dei 
precedenti passaggi contiene errori e quale sarebbe la versione 
formalmente corretta. Stiamo parlando del calcolo esatto senza 
espansioni per piccoli rapporti m2/m1.
 
Giorgio

Giorgio Pastore ha scritto:
 > Mi hai preceduto.
 > ...
Avevo scritto una risposta a Bruno Cocciaro, anzi credevo di averla
già inviata, ma pare di no, tanto più che non trovo il msg del
robomoderatore...
Nel frattempo sono apparsi questi due post di Pier Franco Nali e di
Giorgio Pastore, che mi obbligano a riscrivere completamente la mia
risposta.
 
Infatti questi ultimi due post mi hanno un po' confuso e preferisco
affrontare il problena a modo mio. Esiste pure una questione di
notazioni, che cambiano da un post all'altro...
Dato che io questi argomenti li ho insegnati per molti anni, a partire
credo dal 1968, e ci sono in rete appunti delle mie lezioni,
preferisco fare riferimento lì.
Userò notazioni TeX con abbreviazioni (macro) che uso da quando TeX
esiste. Forse disorienterò un po' chi conoce solo LaTeX, che in certi
punti differisce sensibilmente da plain TeX e a me piace poco, per cui
lo uso solo quando sono obbligato (per es. dalle regole di una
rivista).
 
Inoltre voglio ripetere e sottolineare che il problema di cui ora
state discutendo, posto da Bruno Cocciaro, ossia se il vettore di Lenz
(io sono abituato a chiamarlo così) o quello di Hamilton (che non uso)
siano o no integrali primi in presenza della perturbazione -k/r del
potenziale è un prolema *esclusivamente matematico*. Introdurre
considerazioni fisiche può solo creare confusione; in particolare
questo vale pe l'adozione di un rif. non inerziale.
Quindi io lavorerò esclusivamente nel rif. del centro di massa e
farò solo trasformazioni e considerazioni matematiche. La risposta a
mio parere va data così.
 
Per comodità di chi legge riparto da zero.
Abbiamo un sistema isolato formato da due corpi puntiformi (o estesi
ma a simmetria sferiche, che agli effetti gravitazionali è lo stesso),
di masse M e m.
Posso parlare, per sola comodità di presentazione, di Sole e Terra, ma
questo non va preso alla lettera, anche perché nel vero sistema solare
il Sole e la Terra non formano certo un sistema isolato.
Indico quindi con S e T i due punti, con G il loro centro di massa.
S G e T restano sempre allineati, con G fra S e T.
Definisco
 
\br_1 = GS   \br_2 = GT   \br = ST.
 
Spiegazione: \br è un'abbreviazione per {\bf r}.
(Mi pare che LateX usi una sintassi diversa: \mathbf{r}. Uno dei
tanti casi in cui LaTeX appesantisce la notazione.)
Preferisco usare il grassetto piuttosto che la freccia sopra (\vec r)
perché graficamente i simboli vengono sovraccaricati se poi si deve
aggiungere uno e due punti sopra per indicare le derivate rispetto al
tempo, oppure apici...
Userò abbreviazioni analoghe per altri casi: \bv, \bp, \bL ,,,
 
Per definizione di centro di massa M\br_1 + m\br_2 = 0.
Inoltre
 
\br_1 = -{m \over M+m} \br
\br_2 = {M \over M+m} \br.
 
(La notazione plain TeX {<A> \over <B>} con <A>, <B> due espressioni TeX
corrette, equivale alla forma LaTeX \frac{<A>}{<B>}.)
 
Le eq. del moto sono:
 
M \ddbr_1 = {GMm \over r^3} \br
m \ddbr_2 = -{GMm \over r^3} \br
 
(spiegazione: \ddbr_1 significa \ddot\br_1 ecc.)
 
Cancello M dalla prima eq. e m dalla seconda e sottraggo la prima
dalla seconda:
 
\ddbr = -{G(M+m) \over r^3} \br
 
che posso anche scrivere
 
\mu \ddbr = -{GMm \over r^3} \br
 
di cui si può dare la nota interpretazoine fisica (corpo di massa \mu =
Mm/(M+m) soggetto da parte di un punto fisso alla forza scritta a secondo
membro); interpr. che però qui non interessa.
 
Nel seguito introdurrò un'altra abbreviazione: \g per \gamma con in più
la definizione \g = GMm
 
Interessa cercare gli integrali primi, che in prima battuta sono i
seguenti:
 
E = \half \mu |\dbr|^2 - {\g \over r}  (1)
 
\bJ = \mu \br \times \dbr  (2)
 
\bL = \dbr \times \bJ - {\g \over \r} \br. (3)
 
Sono due vettori e uno scalare quindi in tutto 7 funzioni reali di \br
e \dbr: troppi per essere funzionalmente indipendenti. Infatti in un
problema con 3 gradi di libertà gli integrali primi (non contenenti il
tempo in forma esplicita) funz. indip. sono al più 5.
Dobbiamo quindi aspettarci 2 identità, e infatti:
 
\bJ \cdot \bL = 0
L^2 = \g^2 + {2 \over mu} E J^2.
 
La prima di queste dice che \bL sta nel piano dell'orbita; la seconda
ne fissa il modulo, una volta noti E e J.
L'interpretazione fisica di E e \bJ è nota. E è l'energia totale
(cinetica più potenziale) dei due corpi nel rif. del centro di massa;
\bJ è il momento angolare totale rispetto al polo G.
Quella di L è molto meno ovvia, e la enuncio senza dimostrazione:
 
L = \g e,  (4)
 
ossia L (modulo) determina l'eccentricità dell'orbita (che è una
conica).
 
Si vede anche che il vettore \bL punta verso il perielio.
 
Ricordo che quando E<0 la conica è un'ellisse, di semiasse maggiore
 
a = {\g \over 2 |E|}. (5)
 
Dato che l'orbita è piana, possiamo lavorare in quel piano, il che
riduce il problema a 2 sole dimensioni.
 
Il nostro obiettivo è di capire che cosa succede nel problema
perturbato, ossia quando all'energia potenziale V = -\g/r si aggiunge
un altro termine (diciamo "piccolo"). Studieremo solo il caso di una
forza centrale, quindi il termine aggiuntivo a V sarà ancora funzione
soltanto di r.
 
Più precisamente, vogliamo capire che cosa succede se la perturbazione
ha la forma
 
V_1 = -k/r
 
ossia la stessa del potenziale imperturbato, ma con una diversa costante.
Quindi l'energia potenziale complessiva è
 
V + V_1 = -{\g + k \over r}.
 
Ed ecco il problema: dato che l'en.pot. è cambiata solo per una
costante, la soluzione trovata resta valida, nel senso che il moto
avverrà comunque su un'ellisse, quindi con orientamento fisso nel
piano. Quindi niente precessione del perielio, e sembrerebbe che gli
integrali primi trovati, in particolare \bL, restino integrali primi.
 
Invece c'è chi dice (Chashchina e Silagadze) che \bL non è più costante
e la precessione del perielio c'è: si annulla solo a intervalli di un
periodo.
In altre parole, che il perielio è affetto da un moto senza componente
secolare, ma con solo una componente periodica di periodo pari al
perido del moto imperturbato.
Poi c'è chi dice che Ch-S hanno sbagliato una formula e la precessione
ha anche la componente secolare.
Poi ci sono pareri opposti, secondo cui non c'è alcun errore e la
precessione secolare non c'è...
Il lettore si starà chiedendo come la vedo io, qualcuno pronto a darmi
addosso, altri a compiacersi della mia conferma ... ma io come la
vedo?
 
Risposta (senza spoiler ... ma che palle queste mode che imperversano
ovunque :-( ).
La precessione secolare non c'è, ma \bL non è costante del moto.
Le due affermazioni sembrano contraddittorie, ma abbiate pazienza un
momento.
 
Cominciamo a osservare le formule (1), (2), (3), che definiscono gli
integrali primi. Si vede subito che (1) e (3) contengono \g, mentre
(2) non lo contiene.
 
Ho osservato sopra che la perturbazione -k/r equivale a un cambiamento
di \g in
 
\g' = \g + k.
 
Se si fa questo cambiamento ridefinendo
 
E' = \half \mu |\dbr|^2 - {\g' \over r}  (1')
 
\bL' = \dbr \times \bJ - {\g' \over \r} \br. (3')
 
non c'è alcun dubbio che nel sistema perturbato E' e \bL' sono
costanti del moto (su \bJ non c'è niente da dire).
Quanto al moto effettivo, dipende.
In un problema di meccanica il moto, data le legge di forza è
determinato una volta assegnate le condizioni iniziali, che nel nostro
caso sono \br(0), \dbr(0).
Date queste, qualunque funzione di \br, \dbr ha un valore iniziale
assegnato, che rimarrà costante se e solo se la detta funzione *in quel
problema dinamico* è un integrale primo.
 
Il fatto è che il problema imperturbato e quello perturbato sono due
problemi dinamici distinti e anche se li facciamo partire con uguali
condizioni iniziali i moti conseguenti saranno diversi.
Essendo sempre problemi kepleriani, avremo sempre treittorie
ellittiche, ma con diversa geometria dell'ellisse: asse maggiore,
eccentricità, e poi periodo e legge oraria.
 
Di più: non c'è alcuna ragione perché una data funzione debba essere
integrale primo in entrambi i problemi: Ciò che abbiamo visto ci
assicura che così sarà per \bJ, ma non per E e \bL.
Sappiamo invece che E, \bL come dati dalle (1), (3) sono integrali
primi del moto imperturbato, non lo sono per quello perturbato.
Viceversa E', \bL', dati dalle (1'), (3') sono integrali primi del
moto perturbato ma non di quello imperturbato.
Tutta la discussione nasce dal non aver capito questo.
 
Concentriamoci su \bL dato dalla (3). I calcoli di Ch-S si riferiscono
a questo ed è quindi giusto che non sia costante del moto.
Di più: essendo
 
\bL = \bL' + {k \over \r} \br
 
ed essendo \bL' costante, la variazione nel tempo di \bL sarà quella di
{k \over \r} \br.
In un calcolo perturbativo al primo ordine questa espressione viene
cacolata sul moto imperturbato, in cui il vettore \br è periodico col
periodo imperturbato P (inutile scrivere l'espressione).
Quindi la conclusione: \bL non è costante del moto, ma il suo valore
si ripete a ogni periodo. Non c'è alcuna perturbazione secolare.
(Notate che esattamente lo stesso discorso si poteva fare per
l'energia, quindi per il semiasse maggiore.)
 
Ci si può chiedere che cosa significa che \bL varia, ossia che il
perielio si muove? Il perielio si vedrà quando la Terra ci passa, ma
a tempi diversi che senso ha parlare del perielio?
 
Risposta. Sappiamo che \L definisce il perielio, in direzione e anche in
distanza dal Sole. La distanza al perielio (di solito indicata con q
vale q=a(1-e).
Se si misurano, in un istante qualsiasi, \br e \dbr, potremo calcolare
E con la (1), \bL con la (3); poi la (5) ci darà a e la (4) ci darà e.
Con ciò conosciamo il perielio dell'ellisse che la Terra percorrerebbe
nel moto imperturbato, partendo da quei dati \br e \dbr.
Se è presente la perturbazione, e se usiamo le formule del moto
imperturbato, a ogni istante calcoleriemo un perielio, ma il calcolo a
un tempo diverso ci darà un perielio diverso a meno che il secondo
istante non differisca dal primo per un multiplo del periodo
imperturbato.
 
Forse le cose da chiarire e precisare non sarebbero finite, ma mi
sembra di aver scritto un bel po'. Di sicuro è qualche ora che ci
lavoro...
 
PS. Aggiungo una curiosità fuori tema, che credo interesserà almeno
Bruno.
Silagadze è anche coautore di un articolo apparso da poco in
Eur.J.Phys., intitolato:
"Do moving clocks slow down?"
(arXiv:2209.12654v1)
L'ho scorso di volata e forse non sono d'accordo su tutto, ma è la
prima volta che vedo un articolo dove sono dette le stesse cose che
vado ripetendo da anni.
Certamente gli autori non hanno mai visto Q16 né letto niente di mio,
visto che non ho mai pubblicato altro che in italiano.
(c'è un mio articolo su Eur.J.Phys, ma è del 1994 e su altro
argomento, anche se sempre RG a livello elementare).
Comunque mi ha fatto piacere che qualcuno, magari nella lontana
Siberia, cominci a riscoprire certe idee :)
-- 
Elio Fabri

 Mi inserisco per ricordare che il potenziale "perturbativo" di cui si sta parlando, V=-(alpha)m/M r^-1, è quello che descrive l'effetto della correzione non-inerziale al potenziale newtoniano puro, -(alpha) r^-1, sul moto "imperturbato" del pianeta di massa m (cioè quello che si calcolerebbe se il sole fosse effettivamente fisso).
 
Ma io sto ponendo un problema diverso. *Non* ci sono due corpi. Ce ne è uno solo, di massa m, o mu, non ha importanza.
Il corpo è immerso in un potenziale
V_0(r)=-k/r
viene fuori l'orbita ellittica il vettore LRL ecc.
Ora diciamo che il potenziale diventa
V_1(r)=-k/r-h/r^n con h/r^n<<k/r per ogni r
 
 
e, mediante i canonici metodi perturbativi, andiamo a calcolare la velocità di precessione del perielio. La funzione omega(t) (quella che, nell'articolo di Chashchina Silagadze, compare fra la (6) e la (7)), mediata sul periodo T dell'orbita imperturbata dà la velocità di precessione richiesta.
Nel caso n=1, dovrebbe non esserci alcuna precessione del perielio, infatti la omega(t) mediata su un periodo è nulla.
 
Io pensavo (ora mi stanno sorgendo forti dubbi) che nel caso n=1 si dovesse avere omega(t)=0 per ogni t, invece il metodo perturbativo dà una omega(t) positiva su due quadranti, negativa sugli altri due, che diventa 0 solo in media ma non istantaneamente.
 
 
E la domanda che mi ponevo era sostanzialmente "cosa cavolo sarebbe la precessione che si avrebbe su un solo quadrante se il potenziale perturbativo non modifica il carattere 1/r del potenziale che quindi continua a dare luogo a un'orbita che non precede (non precede mai perché il vettore LRL è costante sempre non va un po' in qua, un po' in là, per rimanere fermo soltanto in media)"?
 
Immagino che la risposta esista da qualche parte e una mezza idea me la starei facendo.
Provo a esporla anche se non so quanto potrei essere chiaro.
 
 
 
Ipotizziamo che il corpo in moto immerso nella V_0(r) stia descrivendo il suo moto ellittico e, nel momento in cui si trova al perielio vec{r_0} alla velocità vec{v_0}, avendo quindi una quantità di moto vec{L}=m vec{r_0}*vec{v_0} e una energia E=(m/2) v_0^2-mk/r_0, si "accenda" la V_1(r) (cioè la costante h, precedentemente nulla, assuma il suo valore h). In questo momento cambia istantaneamente la E che diventa E_1=(m/2) v_0^2-m(k+h)/r_0. Cambia anche istantaneamente il vettore LRL che passa da
vec{A_0}=m vec{v_0}*vec{L}-m k vec{r_0}
a
vec{A_1}=m vec{v_0}*vec{L}-m (k+h) vec{r_0}
 
 
il corpo seguirà un nuovo moto ellittico (puramente ellittico, senza precessione del perielio), con un nuovo vettore LRL, vec{A_1}, che, se vec{r_0} è il perielio, avrà la stessa direzione di vec{A_0}.
 
 
Ipotizziamo ora che, mentre segue la nuova orbita ellittica, quando il corpo si trova nel punto vec{r_1} perpendicolare a vec{r_0}, alla velocità vec{v_1}, si "spenga" la V_1(r) e si torni nuovamente alla V_0(r). Il corpo modificherà nuovamente il proprio moto che diventerà un nuovo moto ellittico (senza precessione) con un nuovo vettore LRL che sarà
vec{A_2}=m vec{v_1}*vec{L}-m k vec{r_1}.
vec{A_2} avrà direzione diversa da vec{A_0} (se vec{r_1} fosse l'afelio allora vec{A_2} avrebbe la stessa direzione di vec{A_0}). 
 
 
La mia impressione è che, se, invece che fra 0 e T, l'integrale che compare nella (8) del lavoro di Chashchina Silagazde, fosse fra t_0 e t_1 (t_0=istante in cui il corpo è al perielio vec{r_0}, t_1=istante in cui il corpo è in vec{r_1}) allora il risultato sia esattamente l'angolo fra vec{A_2} e vec{A_0}. 
 
 
 
Certo, andrebbe provato coi calcoli quanto dico sopra. Ma magari qualcuno saprà la risposta alla domanda che ponevo sopra ("cosa cavolo sarebbe la precessione che si avrebbe su un solo quadrante [...]"?) e potrà eventualmente confermare, o confutare, la correttezza di quanto dico sopra. Sempre che ce l'abbia fatta ad essere comprensibile.
 
Bruno Cocciaro.

...Controlla il passaggio dall'equazione che si trova tra la (6) e la (7) e l'equazione (8). Si passa da un vettore al suo modulo. Chiaramente quando si deve calcolare l'integrale di un modulo a secondo membro della (8) nella funzione integranda ci va messo ancora un modulo, ossia va calcolato l'integrale di un modulo. Sospetto che gli autori dell'articolo se ne siano scordati o lo abbiano trascurato perché comunque nell'articolo non sono interessati a calcoli numerici. ....
 
Forse intervenire anche su singole questioni può aiutare a focalizzare 
meglio il discorso.
 
Equazione 6 di C&S:
 
\vec omega = \vec u x \vec u' / u^2
 
da cui ricavano un'espressione che dal punto di vista vettoriale 
scrivono (loro danno un'espressione esplicita del coefficiente di \vec k 
che io chiamo K; da notare che K può avere segno positivo o negativo).
 
 
\vec omega = K \vec k
 
con \vec k versore lungo l'asse z (quello ortogonale al piano dell' orbita).
 
Che K non possa essere il modulo di un vettore è ovvio dal fatto che:
i) possiamo sempre scegliere il senso di rotazione in modo arbitrario;
ii) il segno, per ottenere l'angolo complessivo di rotazione a partire 
dalla velocità angolare, conta. Altrimenti il valor medio sul periodo 
2*pi/w dell' angolo di un sistema con velocità angolare
\vec omega = A*cos(w*t) \vec k
(basti pensare 
p.es
. alle oscillazioni di un pendolo di torsione) 
sarebbe una quantità positiva invece che zero.
 
Giorgio
 
PS sulla questione sollevata da Bruno, e su cui è intervenuto anche 
Fabri, ho un punto di vista lievemente diverso ma ci tornerò sopra 
separatamente per evitare di mescolare questioni completamente diverse.
 

 Bruno Cocciaro.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Allora, fissiamo L>0 di default. Dall'equazione (9) si vede che il segno del prodotto scalare è quello del prodotto tra cos(phi) e dV(r)/dr. Qualcuno dirà: "ma dV(r)/dr è l'opposto della forza che, essendo F=-Gmm/r^2 è sempre negativa, quindi dV(r)/dr è sempre positivo. Pertanto torniamo al segno di cos(phi)". In realtà questo ragionamento è errato. Il segno negativo della forza in F=-Gmm/r^2 è il segno che convenzionalmente assegniamo alla forza per indicare che è attrattiva. Ma quando andiamo a verificarne il segno su un piano cartesiano con un verso positivo di rotazione dobbiamo fare attenzione. Il verso (e dunque il segno) della forza è quello del versore normale alla traiettoria. Siccome dV(r)/dr è l'opposto della forza, il suo verso, e dunque il suo segno, sarà quello del versore opposto al versore normale, ossia del versore radiale. Ora, il versore radiale tra pi greco mezzi è pi greco ha verso, e dunque segno,  opposto rispetto al versore radiale tra tre mezzi di pi greco è due pi greco, così come il versore radiale tra pi greco e tre mezzi di pi greco ha verso, e dunque segno,  opposto rispetto al versore radiale tra zero e pi greco. In altre parole, il cambiamento di segno del versore radiale nei vari quadranti compensa il cambiamento di segno dovuto al cos(phi). Se tieni conto di questo fatto vedrai che il prodotto scalare è sempre positivo, come ci dice l'intuizione fisica. In tal modo infatti la variazione della velocità angolare del pianeta, ossia la velocità di precessione, ossia l'omega istantaneo,  è sempre positiva com'è logico che sia perché un potenziale perturbativo centrale attrattivo può solo fare aumentare la variazione della velocità angolare del pianeta. Altrimenti ci troviamo nella situazione demenziale che hai notato anche tu, ossia che se la media temporale data dall'equazione (8) fosse nulla, allora in parti dell'orbita il potenziale centrale attrattivo genererebbe una variazione della velocità angolare del pianeta positiva, ed in altre parti genererebbe una variazione della velocità angolare del pianeta negativa.
Questo per me risolve l'arcano, e credo non sia necessario aggiungere altro. 
 
Cari saluti,
Ch.


Naturalmente questo è vero solo quando la componente tangenziale dell'accelerazione è nulla (cioè in Afelio e Perielio).
 
--
Wakinian Tanka

 Bruno Cocciaro.
 
 
 
 
E proprio questa la situazione demenziale di cui parlavo prima, ossia omega(t) positiva su due quadranti, negativa sugli altri due. Un potenziale perturbativo centrale attrattivo dovrebbe dare sempre una omega(t) positiva.   L'arcano si risolve se tieni conto di quanto ho detto prima, ossia che il cambiamento di segno del versore radiale su due quadranti opposti con conseguente cambiamento di segno di dV(r)/dr che compensa il cambiamento di segno dovuto al cambiamento di segno del coseno. In altre parole, omega(t) non si annulla sulla media temporale ed abbiamo una precessione.
 
Cari saluti,
Ch.


Provo a rispondere alla questione sollevata da Bruno Cocciaro. Mi scuso in anticipo se le formule contengono differenze rispetto a Tex/Latex standard non avendo avuto tempo di ricontrollare.
 
 
 
 
 
 
Nel caso del potenziale V_1(r)=-k/r-h/r^n con h/r^n<<k/r per ogni r, posso certamente applicare i canonici metodi perturbativi, poiché notoriamente il problema, in generale, non è risolubile in forma esatta. Tuttavia, nel caso particolare n=1 posso ovviamente scrivere V_1(r)=-k'/r  dove k'=k+h, e ricondurmi immediatamente alla soluzione esatta (di quello che nei post precedenti ho chiamato "problema ridotto" e a mio umile parere costituisce la soluzione esatta nel sistema eliocentrico non rotante). Ciò ovviamente, a patto di ricordarsi che la nuova costante del moto (intendendo nuova rispetto al problema base con h=0) è il vettore di LRL (o, volendo, quello di Hamilton) non più in k ma in k': \vec{A_1}=\vec{v}\vdot\vec{L}-k'\vec{e_r}. Ed infatti, è facile verificare che \d\vec{A_1}/\dt=0 (e analogamente per \vec{u_1} volendo lavorare col vettore di Hamilton) e che, di conseguenza, \omega(t)=0 per ogni t.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se viceversa - anche solo per esercizio - volessi considerare, anche nel caso n=1, il secondo temine con h/r^n<<k/r come una piccola correzione perturbativa al potenziale base "imperturbato" V_0(r)=-k/r, è ovvio che lo potrei fare (non so con quale vantaggio) ma sarei consapevole che, in primo luogo, mi accontenterei di una soluzione approssimata sapendo che ce n'è una esatta. In secondo luogo, e più importante, se interpreto bene quanto spiegato dal Prof. Fabri, il vettore di LRL che è una costante del moto nel problema base non sarebbe più una costante del moto in questo altro problema "perturbato". E difatti avrei \d\vec{A_0}/\dt=/=0 (se non sbaglio i conti \d\vec{A_0}/\dt=-(1/\mu)(\d(-h/r)/\dr)\vec{e_r}\vdot\vec{L}). Questo è del tutto in linea con le attese, perché le perturbazioni modificano le costanti del moto del problema di partenza (come già aveva notato Laplace), per cui l'apparente non conservazione del vettore di LRL, come già detto da altri, è un "effetto spurio", attribuibile, sempre IMHO, all'approssimazione del metodo perturbativo laddove avrei potuto fare il calcolo esatto (senza ovviamente ottenere tale effetto). Tanto è vero che mi accorgerei che esiste comunque un vettore di LRL, che è il \vec{A_1} della soluzione esatta, che continua a rimanere costante anche nel problema "perturbato", segno che non siamo realmente in presenza di un sistema perturbato, ma siamo noi che per vie traverse e in modo forzato stiamo tentando di ottenere un risultato (comunque approssimato) che è già disponibile in forma esatta per via diretta, senza nessuna approssimazione.
 
 
Considerazioni del tutto analoghe si possono fare se si lavora con il vettore di Hamilton, ma mi sembra superfluo esporle. A me sembra chiaro che gli autori del parer Ch-S abbiano inteso applicare il loro metodo a un potenziale "realmente" perturbato, diverso da uno con lo stesso andamento newtoniano/coulombiano del potenziale base. Non l'anno detto, forse dandolo per scontato.
 
Cari saluti,
Pier Franco

 Pier Franco
 
 
Concordo completamente. D'altronde basta pensare al problema di un 
oscillatore armonico con forza -k*x. La soluzione perturbativa che 
utilizzi le soluzioni esatte di questo per ottenere quelle di -k'*x (k' 
/= k), ritrovando la conservazione dell' energia del problema con k' 
diventa il classico esempio di complicazione di affari semplici. Dopo 
non ci si può sorprendere se vengono fuori cose apparentemente "demenziali".
 
E se c'è un modo di complicarsi veramente la vita è con le perturbazioni 
dei sistemi hamiltoniani. Il mio punto di vista è che per attaccare la 
questione di fondo (precessione in un rif inerziale vs non-inerziale), è 
semplicemente insensato affrontarla come problema perturbativo. Se 
proprio lo si volesse fare occorrerebbe farlo con una certa attenzione.
E magari studiarsi prima la letteratura, dove molti pseudoproblemi sono 
stati già affrontati e discussi. Ma su questo tornerò in un post a parte.
 
Giorgio

Mi collego qui non perché abbia commenti da fare, ma solo perché al
momento è l'ultimo post di questo interminabile thread.
Ricordo comunque che il mio ultimo post non trattava (e l'ho scritto
*esplicitamente*) la questione del rif. non inerziale, bensì la
domanda posta da Bruno Cocciaro.
 
Alla fine del mio post avevo scritto
 > Forse le cose da chiarire e precisare non sarebbero finite
e infatti...
Avevo in mente di chiarire meglio che cosa vuol dire che E e \bL non
sono costanti del moto nel problema perturbato.
Forse non è inutile che scriva ancora qualcosa, limitandomi a \bL.
 
Colgo anche l'occasione per rimarcare che nel mio post, a partire
dalla formula (3'), mi è sfuggito un errore ripetuto: ho scritto \r
dove dovevo scrivere semplicemente r.
 
Riscrivo la formula non numerata che segue la (3'):
 
\bL = \bL' + {k \over r} \br
 
o anche
 
\bL = \bL' + k {\br \over r}. (*)
 
Ricordo che \bL è un vettore che ha (\g e) come modulo e ed è diretto
dal Sole verso il perielio (eq. (4)).
 
A secondo membro della (*) si vede che \bL è la somma vettoriale di un
termine costante (\bL') e di un termine di modulo k, diretto come \br.
L'ipotesi è che la perturbazione sia piccola, quindi k<<\g e.
 
Ne segue che la direzione di \bL oscilla attorno a quella di \bL'. con
ampiezza k/(\g e). Non si tratta quindi di precessione (che per
definizione è un moto secolare) ma di quella che in gergo astronomico
si chiama "librazione". Anche il modulo oscilla: da (\g e)+k quando
\br è al perielio, a (\g e)-k quando \br è all'afelio. Il che vuol
dire che l'eccentricità oscilla tra e + k/\g ed e - k/\g.
 
E con questo spero di non dover intervenire più.
-- 
Elio Fabri

Tanto è vero che mi accorgerei che esiste comunque un vettore di LRL, che è il \vec{A_1} della soluzione esatta, che >continua a rimanere costante anche nel problema "perturbato", segno che non siamo realmente in presenza di un >sistema perturbato, ma siamo noi che per vie traverse e in modo forzato stiamo tentando di ottenere un 
 > risultato(comunque approssimato) che è già disponibile in forma esatta per via diretta, senza nessuna >approssimazione. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Di nuovo, perché non dimostri rigorosamente quello di cui sostieni che ti accorgeresti? Ci sono lavori referati in letteratura che mostrano che nei sistemi non-inerziali si hanno rotazioni degli assi, quindi la tua affermazione che "esiste comunque un vettore di LRL, che è il \vec{A_1} della soluzione esatta, che  continua a rimanere costante" mi sembra quantomeno azzardata. Allo stesso modo, mi scriveresti rigorosamente nel sistema non inerziale quel  risultato che è già disponibile in forma esatta per via diretta, senza nessuna approssimazione?  Ancora, non ti sto chiedendo di scrivere di nuovo le equazioni del "problema ridotto" nel riferimento non inerziale che si trovano nei libri, ma di usarle per trovare i risultati di cui parli, che, viceversa, nei libri non si trovano. Ti suggerisco anche di fare attenzione nelle tue dimostrazioni al fatto che il periodo di rivoluzione siderale Newtoniano NON cambia al cambiare del sistema di riferimento. Conseguentemente, all'aumentare della velocità del pianeta cambia lo spazio percorso del pianeta stesso nei due riferimenti.
 
Grazie e saluti,
Ch.
 


Hai perfettamente ragione, grazie. Stavolta la castroneria l'ho scritta io perché facevo riferimento all'approssimazione di orbita circolare. In ogni caso la sostanza di quanto detto resta la stessa: il fatto che il verso di dV(r)/dr cambi per quadranti opposti neutralizza il cambiamento di segno dovuto al coseno rendendo il citato prodotto scalare sempre positivo.
 
Saluti,
Ch.

... Ci sono lavori referati in letteratura che mostrano che nei sistemi non-inerziali si hanno rotazioni degli assi, 
 
Io sto aspettando di avere i riferimenti bibiografici. Naturalmente, 
nell'ambito della dinamica newtoniana. E penso che sarà un po' difficile 
trovarli, visto che il teorema di Betrand è un fatto matematico che 
presuppone solo un potenziale centrale.
 
Giorgio


Caro Giorgio,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Premesso che ho una certa simpatia per te, perché, a differenza di altri sei sempre molto rispettoso e mai saccente, e persone di comune conoscenza mi han parlato molto bene di te, ti faccio rispettosamente notare che stai facendo un po' di confusione tra il concetto di campo centrale e forza centrale. Mi permetto di riprenderli, limitandomi ovviamente alla fisica Newtoniana, anche perché, a mio parere, il vero cuore della questione è proprio qui.  Il concetto di campo è diverso da quello di forza. Si tratta di un'entità fisica derivante da una sorgente (massa o carica) e dipendente solo dalla posizione. Per sondarne l'esistenza si introducono appunto le cosiddette "sonde" (massa test o carica test, ma limitiamoci alla massa, perché stiamo parlando del caso gravitazionale). Quando si parla di forza derivante da un campo centrale si trascura però la back reaction della massa test dovuta al terzo principio perché vogliamo che anche la forza agente sulla massa test dipenda esclusivamente dalla posizione. Se non trascurassimo la back reaction della massa test non potremmo più parlare di campo centrale perché la forza agente sulla particella, vista dal sistema di riferimento della sorgente, sarebbe si ancora centrale, ma non dipenderebbe solo dalla posizione, ma anche dalla massa della particella. Questo è esattamente ciò che accade nel sistema di riferimento non inerziale del Sole. La presenza della back reaction del pianeta genera una forza inerziale sul pianeta stesso nel sistema di riferimento non inerziale del Sole. Questa forza, e dunque anche la forza totale agente sul pianeta,  dipende dalla massa del pianeta, che non possiamo considerare più una massa test. Dunque, la forza totale agente sul pianeta non dipende più solo dalla posizione, ma anche dalla massa. Allora NON possiamo più parlare di campo centrale. Ora, puoi andare a controllare che tutte le cose a cui ti riferisci, la conservazione del vettore di Lenz, l'assenza della precessione e lo stesso  teorema di Betrand sono state rigorosamente dimostrate solo nell'approssimazione di campo centrale. Parlo di approssimazione perché, da quanto detto sopra, io penso che un campo centrale perfetto in fisica Newtoniana non possa esistere perché fa a botte col terzo principio. Si tratta comunque di un'approssimazione utilissima, che permette di risolvere un bel po' di situazioni e problemi. Se rimuoviamo questa approssimazione però la fisica cambia, e non possiamo evocare situazioni valide nell'approssimazione di campo centrale quando andiamo oltre questa approssimazione. 
 
 
Detto questo, ho il massimo rispetto di te e delle tue opinioni, però mi tengo le mie. Per quanto mi riguarda questa discussione è durata anche troppo, e questa è davvero la mia ultima replica a tutti. Ora vado a scrivere il famoso lavoro su come ottenere la precessione dalla non conservazione del vettore di Lenz, e vediamo cosa ne pensano gli Editors ed i Referees internazionali.
Ancora buone feste, sia a Giorgio, sia a chi legge quest'ultima nota, ed ai vostri cari,
Ch.

 
Assolutamente d'accordo ma, ripeto quanto sopra, non vedo il nesso con la precessione.
 
 
 
Ps: Caro Christian, spero che tu vorrai accettare questa mia ultima replica, anche se dal tuo ultimo post sembrerebbe essere fuori tempo massimo. Come certamente saprai sono un semplice appassionato della materia, molto lontano dalla ricerca attiva, per cui non avresti motivo di considerare queste mie osservazioni se non improntate ad uno spirito costruttivo. Del resto, siamo conterranei ...e faccio il tifo per te! 
 
I migliori auguri a tutti.
 
Pier Franco

Il Prof. Cordac ha detto : 
 
Ora vado a scrivere il famoso lavoro su come ottenere la precessione dalla non conservazione del vettore di Lenz, e vediamo cosa ne pensano gli Editors ed i Referees internazionali. 
 
 
 
Avrei una curiosità...anche con gli Editors e i Referees, c'è la possibilità che anche tra di loro non siano d'accordo come è capitato su questo newsgroup ? Il loro parere è più -vero- delle opinioni che sono state esternate su it.scienza.fisica da Prof. Universitari ed ex Prof. Universitari ?
Nello Coppola

Il 30/12/22 13:17, Nello Coppola ha scritto:

Anche nei referee reports a volte si manifestano divergenza di opinione 
tra referee.
 
Il sistema della peer review è notoriamente imperfetto, basandosi sul 
giudizio di esseri umani. Quindi il fatto che un lavoro superi il vaglio 
della peer review, non è mai certezza di completa inattaccabilità. In 
media (e sottolineo la connotazione statistica) la peer review 
intercetta la maggior parte dei punti di debolezza di un lavoro. 
Tuttavia, per diverse ragioni, possono passare articoli che contengono 
anche errori di base. C'è anche il fenomeno contrario: articoli 
contenenti nuovi risultati cassati per incomprensione da parte dei 
referee. Quello che dà una maggiore probabilità di correttezza è in 
realtà il come, quanto, e da chi vengano accolte le conclusioni 
dell'articolo negli anni successivi.
 
Il vero vaglio della comunità sta nella continua riproducibilità di un 
risultato e nel suo venir incorporato nel bagaglio di conoscenze comuni.
 
Giorgio