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Titolo: covariante e cotrovariante

in fisica sento spesso parlare di covariante e controvariante riferiti ad
equazioni ed altro.
C'è qualcuno che mi può spiegare cosa significa?

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La parte matematica di base richiede le nozioni di spazio vettoriale,
spazio duale, trasformazione lineare, base, matrici associate ad una
trasformazione lineare, forme bilineari non degeneri. Compresa la parte
lineare la parte differenziale richiede un piccolo sforzo iniziale ma
risulta piu' semplice ed intuitiva.
In uno spazio vettoriale assegnata una trasformazione dello spazio
vettoriale
in se esiste una trasformazione dello spazio duale in se che lascia
invariato
il valore del generico funzionale sul generico vettore.
Co-variante significa varia come i co-vettori, contro-variante significa
varia come i vettori quando si richieda l'invarianza dei valori dei
funzionali lineari dopo la trasformazione simultanea.
In simboli: cov: V* -> V*
controv: V -> V
per ogni f in V* e per ogni v un V risulta cov(f)[controv(v)]=f(v).
Per inciso si osserva che se in V si può assegnare una base finita {A} in
modo che in V* risulti definita una base duale {A*} secondo la regola
di Kronecker che identifica con a*^i l'elemento di V* per il quale
risulta a*^i{aj}=delta_ij allora risulta che cov{A*}=controv{A}.
E si dimostra che in queste basi le matrici associate alla
trasformazione cov ed alla trasformazione controv sono
una inversa della trasposta dell'altra.
Se sullo spazio vettoriale V è data una forma bilineare non degenere
che supponiamo simmetrica, [G(v,w)=0 per ogni v se e solo se w=0]
allora esiste un'applicazione Ic da V in V che indichiamo con il
nome di innalzamento covariante per la quale si verifica l'identita'
G(Ic(a_i),a_j)= delta_ij. Si pone a^i=Ic(a_j).
E si dimostra che
Sum_j G(a^i,a^j})*G(a_j,a_l)=delta_il Di conseguenza
risulta che a^i= Sum j G(a^i),a^j)a_j e che l'applicazione
inversa dell'innalzamento covariante, che indichiamo con
il nome di abbassamento controariante e che scriviamo Ac
e' data da Sum_j G(a_i,a_j)a^j = Ac(a^i) e verifica l'identita'
a_i=Ac(a^i). L'origine di queste denominazioni riposa sulla
circostanza che vale per definizione l'identita'
G(a^i,a_j)=a*^i(a_j). Che fa corrispondere al valore del prodotto
bilineare di un vettore dello spazio vettoriale con un qualsiasi
vettore il valore di un particolare covettore su un particolare
vettore.
La parte differenziale richiede nozioni un poco piu' complesse
per essere espressa in quanto riguarda non piu' trasformazioni
lineari semplici bensi' parametrizzazioni di trasformazioni
lineari. Prerequisito sono la nozione di varieta', di spazio
tangente, la nozione di spazio cotangente, di trasformazione
differenziabile, di jacobiano, di trasformazione inversa ed
i teoremi relativi all'inversione delle trasformazioni di
coordinate.
In geometria differenziale, se è stato assegnato un sistema di
coordinate su una varietà, dotata di struttura metrica descritta
da una forma bilineare non degenere che ha per argomento i vettori
dello spazio tangente e se si considera una trasformazione delle
coordinate sulla varieta' che associa alle coordinate k(p) di in
un punto p le nuove coordinate y'=y'(p)=y'(y)=y'(y(p)), essendo y=k(p)
le coodinate di p prima del cambiamento.
Dove ho indicato con k le funzioni dalla varieta' in R^n e con
lieve abuso di notazione ho indicato le funzioni che applicano
il punto p nelle sue coordinate y in y' con lo stesso nome della
variabile e delle funzioni di trasformazione. Anche se appare
un poco difficile da leggere questo consente di alleggerire
la notazione. In particolare risulta che p(y'(y))=p(y).
Allora le matrici jacobiane dy'/dy prendono il nome di matrici
di trasformazione covariante e definiscono delle trasformazioni
lineari della base dy, nello spazio co-tangente ad f(p), data
dalle forme dy^i che si annullano sui vettori v_j=dp(y)/dy_j
se j diverso da i e che valgono uno se j=i, in simboli:
dy^i(v_j)=dy^i(dp(y)/dy_j)
Risulta dunque che
dy'^i(v'_j)= [ dy'_i/dy_l ] dy^l(v'_j)= [ dy'_i/dy_l ] dy^l(dp(y')/dy'_j) =
= [ dy'_i/dy_l ] dy^l(dp(y)/dy_k dy_k/dy'_j)=[ dy'_i/dy_l ] dy^l(v_k
dy_k/dy^'_j)=
=[ dy'_i/dy_l ] delta_lk dy_k/dy^'_j = delta ij. Per definizione di matrice
inversa.
Torniamo ora alla forma bilineare non degenere che abbiamo considerato
sulla varieta', se risulta che G(v'_i,w'_j)= G(v_i,v_j) allora la
trasformazione
di coordinate e' un'isometria e possiamo semplificare le notazione alla
maniera che trovi esposta nel volume di relativita' generale di Einstein.
L'elemento di lunghezza e' g_ij dy^i dy^j , A^i_j = dy'_i/dy^j,
A_l^j = dy_j/dy'_l
A^i_j A_l^j = g^ij g_lj = delta_ij.
L'innalzamento covariante si ottiene contraendo con g^ij l'abbassamento
controvariante moltiplicando per g_ij, la prima trasformazione A che
abbiamo scritto prende il nome di trasformazione covariante, la seconda
di trasformazione controvariante o trasposta, la denominazione diventa
piu' intuitiva se pensiamo che se il cambiamento di coordinate e'
lineare allora la trasformazione covariante e' quella che trasforma
come le coordinate, mentre quella controvariante e' la trasformazione
trasposta dell'inversa che trasforma in modo "contrario" nel senso
che da' a questa parola la richiesta di invarianza.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

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Ti aggiungo due parole alla risposta completa e rigorosa
che ho visto che ti ha dato il forte Gianmarco.
Riguardano vettori e tensori quando si cambia il sistema
di coordinate: covariante se si trasforma come i vettori
della nuova base, contravariante [o controv.] se invece
si traforma come le componenti di un vettore.
Le rispettive matrici di trasformazione sono l'una
l'inversa dell'altra, quindi in pratica e` una sola.
Si usa mettere in alto gli indici se contravarianti,
in basso se covarianti.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
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Tradotta in simboli la proposta di rez prende questa forma:
e_i sono i simboli per indicare una base di vettori.
y^i sono i simboli per indicare le coordinate del vettore y in questa base.
adesso adotto il suggerimento (corretto) di rez di indicare i vettori
controvarianti
con gli indici in alto, (in accordo diremo controvariante l'innalzamento e
covariante
l'abbassamento).
Allora dire covariante significa dire che trasforma come i vettori della
nuova base.
Cioe' se i nuovi vettori di base in funzione dei vecchi vettori di base
prendono la
forma a'_i=A_i^ja_j diremo che A_i^j e' la matrice della trasformazione
covariante.
Nello schema di rez i vettori sono sempre gli stessi e quello che cambiano
sono
rispettivamente le basi e le componenti dei vettori rispetto ai vettori di
base.
Dunque se y'^i = A^i_j y^j diremo che A^i_j e' la matrice della
trasformazione
controvariante. Risulta verificato che A^i_j A_i^l = g_j^l =
deltakronecker(j,l).
Nota che A^i_j ed A_i^j non sono affatto la stessa matrice. E che se ne
interpreti
le componenti nell'ordine tipografico come indice di riga ed indice di
colonna
sono una trasposta dell'inversa dell'altra. Vale comunque un trucco che
evita
di doversele calcolare per esteso. Se A_i^j lascia invariato l'elemento di
lunghezza
si puo' scrivere A_i^j = g_{il} A^l_m g^{ml} dove g_il g^lm =
deltakronecker(i,m).
Dunque nella nota che avevo scritto c'e' da scambiare gli indici che ho
scritto
in alto con gli indici che ho scritto in basso, tanto nella prima quanto
nella
seconda parte della nota. (Che suona tanto come "peccato che qui e qui in
italiano si dica nello stesso modo" della canzone di Guccini). Ed inoltre
nelle
diciture innalzamento covariante ed abbassamento controvariante, occorre,
coerentemente scambiare le parole innalzamento ed abbassamento.
(Che invece ricorda il facimm' ammuina, scusa la confusione)
Altra svista:
allora risulta che cov{A*}=controv{A}.
manca una stellina a secondo membro:
cov{A*}=[controv{A}]*
Infine un'osservazione che non ho esplicitato nella seconda parte della nota
e' la notazione di Einstein per la quale si somma sugli indici ripetuti
quindi
v^i * a_i = v sta per sum_i v^i a_i.
Cio' fatto va tutto
a posto e coerente con la notazione di Rez che e' anche la notazione di
Einstein,
cioe' a dire che data una forma bilineare non degenere su uno spazio
vettoriale
ed assegnata una base {a} in questo spazio, allora i vettori della base dei
co-vettori duali {a*} definiti in accordo con la regola di Kronecker,
trasformano
come le coordinate di un vettore rispetto alla base Ac {a}, e la matrice
associata
coincide con lo jacobiano del cambianto di coordinate nel caso differenziale
..
Ricordiamo che la definizione di coordinate in un ambiente vettoriale dove
sia definita
una forma bilineare G( v,w ) dipende dalla scelta di una base a_i definiamo
coordinata
i-ma di v il numero G(v,a_i). Queste coordinate risultano uguali alle
componenti del
vettore espresso nella base controvariante a^i. Tutto questo si verifica
perche'
a*_i(v)=a*_i(v_j a^j)=v_i
Rez, se non ci fosse bisognerebbe inventarlo :-).
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Rez, se non ci fosse bisognerebbe inventarlo :-).
Ah si`? E rez allora ti mette una pulce nell'orecchio:-))
La ben nota e sempre citata (l'avevi appunto richiamata
anche tu piu` su, ma non l'ho quotato) convenzione di
Einstein per la "sommazione sottintesa degli indici di
valenza opposta che figurano in un'espressione monomia",
ebbene tale convenzione di Einstein _non_ e` di Einstein,
ma di.. Chi!?  Ora non mi viene in mente:)


 ma di.. Chi!?  Ora non mi viene in mente:)
Sai che non lo so?!? 
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 ma di.. Chi!?  Ora non mi viene in mente:)
Non ricordo se Brioschi, Bianchi, Dini, Cremona, Klein, 
Betti, Battaglini usavano sempre scrivere esplicitamente la somma,
in particolare i manoscritti di Bianchi e di Dini mi 
sembra di ricordare che fossero scritti usando le somme, con piu' 
sicurezza su Dini che su Bianchi, Brioschi che usava "covarianza" ed 
invarianza  in tempi non sospetti per le trasformazioni algebriche 
mi pare usasse sempre le sommatorie, lo stesso mi pare di
ricordare del libro di Riemann pubblicato da Boringhieri,
poi rimangono da esaminare Gauss e Christoffel, se anche
loro risultassero usare le sommatorie a quel punto direi
che gli inventori piu' probabili sono due: la coppia romagnolo 
veneta formata da Ricci Curbastro e Levi Civita. Un insospettabile
che potrebbe aver fatto risparmio di sommatorie potrebbe pero'
essere Eulero, e poi non trascurei di controllare Legendre,
Lagrange, e lo stesso Viete.
Quindi le fonti di Viete: matematici di Bisanzio, ed i post
alessandrini orientali da Al kwaritzmi. Poi non so se 
i libri attribuiti a Diofanto con l'uso misto di parole
e simboli abbiano mai affrontato la problematica dell'esprimere
in forma abbreviata una somma, in rima forse. 


Sai che non lo so?!? 
Neanch'io.. be', quando mi torna in mente te lo posto:-)
Ps. Vedo un secondo tuo reply, se non e` uguale poi lo
guardo. [veramente ha 25 righe in piu`]



 


Betti, Battaglini usavano sempre scrivere esplicitamente la somma,
-cut-
Escludo senz'altro tutti quelli che nomini qui e dopo,
tranne: Brioschi, Betti e Battaglini.. ma prima o poi lo
trovo:-)
C'hai sempre lo sfizio delle curiosita` storiche, eh!? :-))


>Ciao, | Attenzione! campo "Reply-To:" alterato |
E toglila via la firma santa pazienza:-(((
Sembri un principiante Autluk-dipendente! ;-)))


On Thu, 12 Aug 2004 02:59:57 GMT, rez wrote:
<ERRATA>
- Perche' sia vero l'assserto, basta precisare che B^i_k
e` il reciproco di B_i^k nella matrice ||B_i^k||.
<CORRIGE>
- Perche' sia vero l'assserto, basta precisare che B^i_k
e` il reciproco di A_i^k nella matrice ||A_i^k||.


 - OK?
Possibile, se spieghi come definisci reciproca e come
definisci inversa, ed infine che numero metti dentro 
il posto riga i colonna j della matrice dato un tensore
Z^i_j. Esistono, ripeto, due modi utili di fare questo
entrambi adeguati e coerenti:
I) l'elemento di riga i colonna j di Z^_ è Z^i_j
   mentre di Z_^ è Z_j^i. Detto a parole nella matrice
   metti gli elementi in modo che la corrispondenza 
   fra gli indici tensoriali e gli indici matriciali
   avvenga in ordine tipografico. Il primo indice del
   tensore è di riga, il secondo indice del tensore è
   di colonna.
II) l'elemento di riga i e colonna j di Z è Z^i_j
   e non è ammesso l'ordine inverso degli indici
   covarianti controvarianti. In altre parole puoi
   legittimamente sovrascrivere gli indici, in tal
   caso il tensore Z^i_k ed il tensore Z_k^i sono
   il medesimo tensore. Ed allora si verifica che
   gli indici di riga sono sempre covarianti e gli
   indici di colonna sono sempre controvarianti. 
   O viceversa, a tua scelta, una volta per tutte.
Nella convenzione I) le matrici associate con il
tensore di trasformazione covariante e con il 
tensore di trasformazione controvariante sono 
una inversa della trasposta dell'altra. Con la 
convenzione II) le matrici associate con il tensore 
di trasformazione controvariante e con il tensore 
di trasformazione covariante sono una inversa 
dell'altra. 
 
Puoi fare una schedatura dei libri secondo le 
convenzioni usate. Personalmente trovo che la
convenzione più comoda e flessibile sia la I,
mentre la convenzione II ha una utilità in ambiti
specifici come in scienza delle costruzioni ad
esempio, ed anche in relatività, però credo che
nessun matematico userebbe mai la II convenzione
dovendo parlare di relatività. La cosa più scomoda
della II convenzione è che non permette l'innalzamento
degli indici senza cambiare il nome del tensore 
rappresentato. Ed alla fine occorre scrivere cose
come:
V^i_j = g^il g_jl Z^i_l
per dire che V è la trasformazione controvariante
associata con la trasformazione covariante. 
La prima convenzione invece dice questo così:
Z^i_j = g^il Z_l^k g_kj 
inoltre è naturale indicare con Z^i_j
le trasformazioni controvarianti. 
Un caso di utilità della seconda convenzione invece è
questo:
y^i e_i è un covettore. y^i V_i^l Z_l^k e_k
è ora lo stesso covettore.  
Le saturazioni risultano più naturali e simili
alle notazioni di Dirac (che non a caso era un
laureato in ingegneria), mentre la prima convenzione 
esprime la stessa trasformazione come:
Z^i_l y^l Z_i^j e_j
Tuttavia quello che è possibile per la seconda
convenzione è possibile anche per la prima. Infatti:
e' sufficiente porre V_l^i = Z^i_l. A questo scopo
io personalmente preferisco utilizzare un trucchetto:
conservo la lettera, ma specifico se il tensore deve
agire a destra o a sinistra con una freccina sopra
la lettera. Dove per agire a destra intendo che è 
contratto il secondo indice in ordine tipografico 
ed è contratto con un indice libero di tipo vettoriale
mentre per agire a sinistra che è contratto il primo
indice in ordine tipografico ed è contratto con un indice 
libero di tipo vettoriale in modo da non lasciare alla propria
sinistra indici liberi non saturati. 
 
Per trasportare un tensore dalla sinistra della lettera
alla sua destra basta girare la freccia e scambiare 
l'ordine tipografico dei due indici. In questo modo
basta guardare la freccina su e l'ordine degli indici
per capire se quella trasformazione è covariante o 
controvariante. 
Inoltre se le frecce agiscono in direzioni opposte
e sulla stessa lettera e gli indici di coda alle
frecce sono saturati si tratta dell'identità. 
Come dire: due pezzi di una sola medaglia o come
ingranaggi identici a contatto che ruotano in 
versi opposti ma spingono nella stessa direzione
(in questo caso entrambe ruotano la base covariante
e controvariante in direzioni contrarie in modo che
l'azione dei covettori sui vettori risulti conservata
ovvero se interpreti il cambio base come una trasformazione
attiva, ovvero lasci invariati i valori delle componenti 
di elementi di base con indice uguale, le due azioni 
risultano "parallele" se la interpreti in senso passivo,
ovvero lasci invariati i vettori ed i covettori sono le
componenti che controvariano). 
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la lettera. Dove per agire a destra intendo che è 
-cut-
Se puoi, aggiorna e fai sapere dopo questa mia
risposta, perche' mi sa che forse quest'astuzia
non e` indispensabile..
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 la lettera. Dove per agire a destra intendo che è 
-cut-
-Se puoi, aggiorna e fai sapere dopo questa mia
-risposta, perche' mi sa che forse quest'astuzia
-non e` indispensabile..
Ribadisco. Quando consideri trasformazioni in spazi 
metrici, ovvero dotati di prodotto invariante e ti
limiti alle isometrie, questa notazione, che non è
frutto di astuzia, è una buona cosa. Infatti l'uso
della medesima lettera per le reciproche discende
dalla circostanza che scambiando la varianza degli
indici si ottiene proprio la reciproca e che la
trasposizione equivale a spostare l'azione della
matrice dalla sinistra alla destra del vettore
e viceversa. 
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
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* * *
BASI
e_i  = A_i^k' e_k'
e_i' = A^k_i' e_k
VETTORI
v = v^i e_i = v^i' e_i'
COBASI
theta^i  = B^i_k' theta^k'
theta^i' = B_k^i' theta^k'
FORME
F = F_i theta^i = F_i' theta^i'
RISULTA
[== leggi: identicamente uguale]
1. Si dimostra che: B^i_k' == A^i_k'
2. Si dimostra che: B_i^k' == A_i^k'
3. A^i_k' sono n*n quantita` ordinate che a priori NOn
sono tensoriali.
4. A_i^k' idem come sopra.
5. Le quantita` della 3 NOn hanno a priori nulla a che
vedere con quelle della 4.
6. A posteriori si dimostra che A^i_k' e` il reciproco
di A_i^k' nella matrice || A_i^k' ||.
7. Dunque, visto il punto 6, le matrici: || A^i_k' ||
e || A_i^k' ||, sono l'una l'inversa dell'altra.
8. Volenti o DOlenti, se scrivo: A^i_j' A_k^j' indico il
prodotto righe x righe.
[Se ho dimenticato qcs, riprendila tu]


 Io pero` parlavo di spazi affini, non metrici.
Nel caso di spazi affini basta porre 
L : V*xV -> R == L(v,w)=v(w). 
Poi A_i'^j = L(e_i',t^j) 
A_i^j'=L(e_i,t^j')
B^i'_j=L(e_j,t^i')
B^i_j'=L(e_j',t^i)
Che sono esattamente i due tensori di 
trasformazione A e B che hai scritto tu.
Gli spazi metrici possono essere strutturati 
allo stesso modo però entro V^2 anzichè entro
V* x V. Il ruolo di L è svolto da g. I vettori
duali t^i sono sostituiti dalle loro immagini
mediante isomorfismo metrico: e^i. La 
condizione pseudo-euclidea (ovvero che i 
cambiamenti di base conservino la metrica)
implica che il reciproco di A può essere 
ottenuto da A stesso per contrazione con il
tensore metrico g. Rinunciando alla condizione
di isometricità dei cambiamenti di base puoi
immergere la struttura affine in quella metrica
che abbiamo costruito sempre in virtù dell'isomorfismo
metrico e vale quanto fa da cappello a questa e-mail,
eccetto che per il rimprovero circa l'uso improprio 
della parola duale hai ragione tu.
Tensore duale si usa in altro contesto che è quello delle forme 
multilineari alternate per indicare il tensore ottenuto mediante 
l'operazione di aggiunzione. Mentre, qui distrattamente io utilizzavo 
la stessa parola per indicare lo scambio simmetrico fra indici 
covarianti e controvarianti. Nel caso dell'elettromagnetismo il 
duale del tensore elettromagnetico è distinto da quello che si 
ottiene scambiando covarianza e controvarianza per mezzo del 
tensore metrico.
Infatti con quest'ultima operazione (scambio di indici covarianti con
indici controvarianti) cambia il segno delle componenti di campo 
elettrico, nel primo caso (ovvero aggiunzione mediante il tensore 
totalmente antisimmetrico) si ottiene lo scambio fra le componenti 
del campo elettrico e quelle del campo magnetico. Anche l'origine 
della parola duale in questo contesto non nasce in ambito tensoriale, 
risale infatti alla cosiddetta simmetria di dualità magneto-elettrica 
dell'elettromagnetismo notata da Dirac.  
               Ciao Gianmarco Bramanti
P.S. a voler lavorar di finezza c'è da osservare che le
rappresentazioni miste del tensore identità possono 
essere usate solo come stadio intermedio per costruire,
mediante rappresentazioni omogenee definite a partire dalle
rappresentazioni miste i nuovi tensori Z,W Z^(-1) W^(-1) 
definiti a bella posta per estrarre le nuove rappresentazioni 
dei vettori dei covettori e delle componenti. Infatti a me 
personalmente non piace che nella versione conclusiva rimanga 
l'uso di apici per intendere altre basi di rappresentazione diverse 
da quelle assegnate in principio. Preferisco usare gli apici come 
annotazione mnemonica e sforzarmi di distinguere i quattro tensori 
prodotti a partire dalle rappresentazioni miste del tensore L. 
Se vuoi se ne riparla. 
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Se vuoi se ne riparla. 
Si` che prima o poi se ne puo` parlare, magari meglio su
ism visto che mi sa che la` e` molto piu` IT.. qui prima
o poi qualcuno s'annoia;-)
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 o poi qualcuno s'annoia;-)
Giacchè ci siamo possiamo fare anche un esempio di
|| H^i_k || + || H_l^m || che non è simmetrica. A meno che
tu non ti accanisca su spazi vettoriali e che tu non sia un
cultore delle forme duali L*: V x V* e non gli associ a piacere
le copie trasposte delle rapresentazioni di L chiamandole
con lo stesso nome. Perchè l'isomorfismo
metrico conduce a rappresentazioni ortogonali solo se
l'indice di inerzia di Sylvester è uguale alla dimensione,
mentre per la metrica di Minkowsky l'indice di Sylvester è
metà della dimensione. La metrica pseudo-euclidea a
meno che non complessifichi il tempo porta una ||H_k^i||
che non è la trasposta di ||H^i_k||.
                   Con invariata simpatia Gianmarco Bramanti.
P.s.: a proposito di simpatia la Divina Commedia l'hai usata
male dovresti andar più cauto nelle sfuriate con gente più
tranquilla e saggia di te chè il tempo è galante e non
si ricorda le buone parole quanto si ricorda invece
le ironiche sferzate. Lo so per esperienza (poca).
Senza moralismi s'intende. Libera fede in libero stato.
                                                              Gia. Br.
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male dovresti andar piů cauto nelle sfuriate con gente piů
Veramente come avevo detto avrei preferito chiudere il
thread. Devo invece dare due risposte: una geometrica
e una letteraria, eccole.
Ho perso una scommmessa con me stesso, perche' dicendoti
che non avrei replicato ero convinto che tu mi avresti
risposto di no alla numero 1, eccola:
"1. Puoi fare un esempio di spazio affine che non conserva
la metrica?",
e di si` alla numero 2, arieccola:
"2. Puoi fare un esempio di spazio euclideo (anche in senso
lato, cioe` pseudoeuclideo) che non conserva la metrica?".
Le domande miravano infatti ad evidenziare due
inesattezze che a mio giudizio avevi scritto.
Dante eccetera? Mah.. Honni soit qui mal y pense.
// in altre parole rileggitelo bene perche' hai preso una
bella cantonata neh! :-((	-- E siamo pure OT //
