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Titolo: Quanti gradi di libertà in uno scattering elastico?

Mi ponevo oggi, in modo un poco vago questo problema:
 
quanti gradi di libertï¿œ in uno scattering elastico fra n punti 
materiali (solo energia cinetica traslazionale) in dimensione spaziale 
d?
 
se, in ambito classico, si aggiunge l'energia cinetica rotazionale cosa 
cambia?
 
se l'energia rotazionale ï¿œ aggiunta in ambito quantistico?
 
Per il primo quesito ho ragionato cosï¿œ: abbiamo n vincoli quadratici 
dalle equazioni di conservazione della massa, e 1+d vincoli lineari 
dalla conservazione del quadrimpulso totale. In uno spazio di 
dimensione d+1 abbiamo n(d+1) gradi di libertï¿œ. Quindi n(d+1) - (n+d+1) 
= (n-1)d-1
 
Per quanto riguarda la risoluzione di questi vincoli osservo che nel 
caso galileiano basta introdurre 2n vettori ausiliari: n per la 
variazione di impulso ed n per la semisomma delle velocitï¿œ. La 
conservazione dell'energia ï¿œ una forma quadratica bilineare fra questi 
vettori ausiliari. Le nd variabili associate ai primi n vettori sono 
soggette a d equazioni lineari (una per ogni componente di impulso), i 
restanti n ad una sola equazione lineare quando sia stata fissata una 
soluzione delle suddette d equazioni lineari. In schema einsteniano il 
ragionamento cambia un poco, converrï¿œ scegliere 2n (1,d) vettori 
ausiliari, per cui abbiamo ancora d+1 equazioni lineari da risolvere 
preliminarmente sulle differenze d'impulso ed energia e poi n equazioni 
bilineari che diventano lineari sulle semisomme.
 
Per il secondo problema in ambito galileiano ho nd variabili per il 
momento angolare intrinseco, nd variabili per i gradi di libertï¿œ 
traslazionali, nd parametri di impatto. Le equazioni di conservazione 
sono d per la quantitï¿œ di moto, d per l'energia, d per il momento della 
quantitï¿œ di moto totale. Quindi i gradi di libertï¿œ mi risultano:
 
3(n-1)d-1
 
A questo punto mi aspetto delle obiezioni in merito al concetto di 
gradi di libertï¿œ in uno scattering deterministico, (i gradi di libertï¿œ 
non dovrebbero essere semplicemente i 3nd parametri iniziali e tutto il 
resto determinato dalle interazioni?) ma assumete un punto di vista 
laplaciano, sulla questione, non sapete nulla della dinamica 
microscopica di questi stati ed avete una conoscenza approssimativa 
delle condizioni iniziali, per cui saprete solo quello che vi dicono i 
grandi principi di conservazione sulla questione che assumerete veri 
sospendenso la vocazione apodittica in favore di quella assertiva.
 
Relativisticamente ho qualche perplessitï¿œ. Il centro di massa non ha 
molto senso, sebbene abbiano senso ancora l'energia-impulso totale ed 
il momento angolare totale, ma devo ripassare alcune cose sugli 
invarianti di Casimir per impostare l'argomento, qualcuno che ha 
l'argomento piï¿œ fresco di me potrebbe intervenire su questo punto?
 
Sulla questione della quantizzazione ho talmente tanti dubbi dal non 
esser certo che la domanda abbia un senso. Secondo voi ce l'ha? Quello 
che per grandi linee penso ï¿œ che la quantizzazione e la condizione di 
elasticitï¿œ in ambito quantistico vadano assunte nel senso che abbiamo 
dei vincoli in piï¿œ dovuti al fatto che lo spin di una particella non ï¿œ 
modificabile a meno di modificare la natura stessa della particella che 
rigudagnerebbe il suo stato iniziale o ne acquisirebbe un altro solo a 
prezzo della generazione di nuove eccitazioni di campo che non erano 
fra quelle iniziali. Perï¿œ mi chiedo come si descrivono le sfumature 
intermedie fra questo stato profondo degli scattering elementari e 
quello macroscopico che riguarda gli aggregati, e qui navigo nel buio. 
Idee?
 

scusa tetis non ho capito perch� dici nd per i gradi rotazionali

 scusa tetis non ho capito perchï¿œ dici nd per i gradi rotazionali
 
Perchï¿œ ero giï¿œ proiettato al caso quantistico e mi andava bene di 
capire meglio anche solo il caso 3d. Ma quanti sono in effetti? n(d,2)? 
Penso tu abbia ragione. Infatti nel piano che ha dimensione basta 
precisare il modulo. Invece in 4 dimensione ci sono 6 piani di 
rotazione infinitesima ed altrettanti generatori delle rotazioni, in 
una dimensione per contro rotazioni non ce ne sono affatto.
 

 capire meglio anche solo il caso 3d.
 
in senso stretto i gradi di liberta' (in uno spazio fisico naturale 3d) indicano quanti sono i numeri che servono ad identificare il sistema.
Qualora fosse un corpo rigido (1 corpo) ne avremmo 3+3
 
Per t corpi abbiamo 6t... meno i vincoli (che possono essere ad ex. relazioni di distanze fissate oppure di mobilitï¿½ reciproche [vedi vibrazioni molecolari]): quindi 6t-v (oppure in uno spazio kDim  kt-v).
E questo ï¿½ pacifico
 
 
 
Ora In un urto i gradi di libertï¿½ io li vedo dal punto di vista di giocatore di biliardo :)) i vincoli ce li abbiamo dalle quantitï¿½ conservate..(vedi anche variabili mandelstahm per meccanica relativistica). Il numero potrebbe essere quello da utilizzare per riuscire a disporre le biglie sul biliardo (non necessariamente un biliardo piano bi-dimensionale) 
 
 
 
 
se quantizzi allora hai altre relazioni vincolari: quelle sulle variabili coniugate che non possono variare a piacere... perï¿½ nascono altre variabili di momento angolare [Spin], ed il momento angolare stesso... per risolvere la cose farebbe comodo leggerlo come armoniche sferiche (ovviamente pro-singola particella) e non come vettore momento-rotazionale in uno spazio 3d che semplicemente ha la possibilitï¿½ di essere orientato come un qualsiasi vettore e dunque 3 numeri servono ad identificarlo.Dunque mixando le particelle avresti solo una difficoltï¿½ dovuta al concetto stesso di "urto" che in MQ non ha molto senso.... infatti si utilizza la matrice S
 
bah non capisco dove mi porti questo ragionamento ma suppongo che sia fuori dalla mia portata