Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Quiz

Mi hanno posto questa domanda. La trovo simpatica e quindi ve la giro.
Prendete un universo pieno di carica elettrica uniformemente
distribuita, rho(x,y,z)=rho0 se vi piace di piu'.
Trovare il modulo e direzione del campo E. Provate con il teo di gauss
oltre che con l'intuito.
Le soluzioni dovranno essere corredate da breve spiegazione, alle
migliori 1001 i nostri moderatori daranno in premio una crociera per 26
persone...(scherzavo, mi sono fatto prendere dall'entusiasmo).
Chi conoscesse gia' la soluzione e' pregato di non pubblicarla subito,
lasciamo un po' di suspance!

 oltre che con l'intuito.
  Variante: sia dato un campo elettrico E uniforme in
tutto lo spazio ma variabile nel tempo. Qual'e` la direzione del
campo magnetico indotto?
-- 
To reply, replace "smartassi@triste" with "smargiassi@trieste"
in my e-mail address
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it:6163/~esmargia

oltre che con l'intuito.
quiz decisamente interessante!!!!!
D'istinto avrei risposto che il campo deve essere nullo in ogni
punto dello spazio (la carica uniformemente distribuita non
cambia la isotropia dello spazio) e mi arrovellavo per capire
dove si sbaglia nell'applicare il teorema di Gauss in questo
problema. Poi ne ho parlato con un mio amico e siamo giunti
ad una conclusione che mi sembra proprio l'unica possibile:
La risposta dipende da COME la carica viene depositata
nello spazio; se si parte da un punto e si distribuisce densita'
costante su una sfera che diventa sempre piu' grande (con
il raggio della sfera R che tende all'infinito), allora in ogni istante
il campo sara' radiale di modulo direttamente proporzionale a
r (r=distanza dal centro della distribuzione di carica) per r<R e
proporzionale a 1/r^2 per r>R.
Se la carica viene depositata in altro modo (ad esempio
su un cubo di lato L sempre piu' grande), allora si rompe
la simmetria, le due soluzioni viste prima saranno valide
solo per r<<L (la prima) e per r>>L (la seconda). Nella
regione r circa uguale a L il campo dipendera' dalla geometria
del solido sul quale abbiamo deciso di depositare la carica
(il cubo, ad esempio).
Saluti.
Bruno Cocciaro.

 cambia la isotropia dello spazio)...

Trovare il modulo e direzione del campo E.
Non ho capito quale e' la seconda domanda (dove si sbaglia nell'applicare
il teorema di Gauss?).
Mi sembra comunque non sufficientemente chiara la mia risposta:
non si sbaglia nell'applicare il teorema di Gauss;
al limite tutte le distribuzioni sono uguali, e' chiaro. Ma il punto e' che
al limite non ci arrivi mai. In ogni istante avrai una data distribuzione
finita di carica e il campo, in ogni istante, dipendera' dalla distribuzione
di carica in quell'istante (a voler essere precisi, si dovrebbe considerare
anche il fatto che il campo si propaga a velocita' c ....., ma il problema
si complicherebbe inutilmente). Se poi mandi l'istante t all'infinito allora
la carica riempira' tutto lo spazio ma il campo continuera' a dipendere
dalla geometria del solido sul quale hai deciso di depositare la carica.
Se lo depositi su una sfera il campo sara' radiale con centro il centro
della sfera; ma dopo aver mandato t all'infinito tutti i punti dello spazio
dovrebbero essere equivalenti, o se vuoi, data una distibuzione
infinitamente estesa e uniforme di carica, noi non potremo mai
individuare il "centro" dove abbiamo iniziato a depositare la carica.
Questo significa che, a rigore, il problema da te presentato e'
"malposto", nel senso che ha piu' di una soluzione (infinite, in realta';
ad esempio E radiale di modulo proporzionale a r e centro un
qualsiasi punto dello spazio sono tutte soluzioni accettabili).
Ciao.
P.S. sono nuovo del gruppo; chi e' il demone?
e poi, giochiamo a carte scoperte? ci quale sarebbe
la tua risposta al quiz?
Bruno Cocciaro
email:nospamb....@leonet.it
      togliere "nospam" per avere il
corretto indirizzo.
-------------------------------------------------------------------------
Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
Li spingemmo oltre il bordo. E volarono.
---------------------------------------------     (G. Apollinaire)


Se ti fidi la soluzione te l'ho data: E=0, gauss non vale.
Se hai altre obiezioni postale senza timore.

di senso, se e' radiale lo e' rispetto a un punto preciso e non qualsiasi.
La frase "E radiale con centro un punto qualsiasi" mi sembrava chiara
dal contesto in cui era inserita. Ad ogni modo provo a spiegare meglio:
dato un certo sistema di riferimento (con centro dove vuoi, ad esempio
il punto dove la lettera "Q" compare sullo schermo del mio calcolatore),
allora un campo E radiale, di centro l'origine, e modulo proporzionale ad r,
e' una soluzione del problema.
Anche un campo E radiale, di centro non l'origine, ma un altro punto, ad
esempio il punto dove la lettera "Q" compare sul tuo calcolatore, e modulo
proporzionale ad r e' un'altra soluzione del problema.
E' chiaro che le due soluzioni sono diverse cosi' come e' chiaro che
se ne possono trovare altre infinite tutte diverse fra loro.
Ciao.
P.S.: devo ricordare, per correttezza, che le soluzioni da me qui riportate
le devo principalmente al mio amico Antonio che, se riesce a risolvere
i suoi problemi di connessione, spero si unira' presto al newsgroup.
P.S.S.: non ho ancora capito chi e' il demone.
--


 provenisse da TS), cioe' quanto vale il B indotto se ho un E uniforme ma variabile.
... da me, ed effettivamente scrivo da TS.
  La mia soluzione ai quesiti (entrambi) e' simile a quella data
da Bruno & Antonio: le eq. di Maxwell sono eq. differenziali
alle derivate parziali, e come tali *non* determinano univocamente
le soluzioni se non si specificano le condizioni al contorno. Nella
quasi totalita' dei casi questa difficolta' viene evitata supponendo
che i campi si annullino all' infinito, cosa che nel caso del quiz
e' evidentemente impossbile. Landau scripsit (Fis. Teo. II - Teo. dei
Campi, nota a pie'; di pag. al par. 21) "...considerando un campo
magnetico come uniforme in tutto lo spazio, e' impossibile, in linea
di massima, determinare il campo elettrico generato dalla variazione
di H, perche' esso dipende in realta' da condizioni concrete
all'infinito.": il che si attaglia perfettamente alla mia versione
del quiz. Devo pero' ammettere che non mi e' molto chiaro come tradurre
questo ragionamento nel caso della forma integrale delle eq. di M.
 Si puo' comunque vedere la cosa scrivendo la soluzione delle
eq. di M. in presenza di sorgenti nella forma di Kirchhoff, vale
a dire: (integrale dei potenziali ritardati sul volume in
considerazione) + (un int. di superficie sul bordo di detto
volume). Questo secondo int. contiene
i campi ma non le sorgenti e contiene percio' le condizioni al
contorno. Se il bordo viene spinto all' infinito *e* si assume che i
campi si annullino all' infinito allora rimane il solo termine
dei pot. ritardati. Ma se il campo non si annulla all' infinito il
risultato dipende crucialmente dalle cond. al. cont.
  Alternativamente, si puo' considerare l'eq. d'onda per i
potenziali ed osservare che la soluzione e' data, come per tutte
le eq. diff. lineari, dalla somma di (1) una sol. particolare
dell'eq. inomogenea con (2) la soluzione generale dell' eq.
omogenea associata. La parte (2) non contiene le sorgenti del campo
e rappresenta percio' un' onda che viene "dall' esterno": in altre
parole, contiene le condizioni al contorno. Anche qui, se non puoi 
assumere i potenziali come nulli all' infinito la soluzione
dipendera' dalle cond. al cont. in maniera decisiva.
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