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Titolo: Simmetria rispetto al gruppo di Poincarè

Salve ragazzi! 
Mi sto buttando nella teoria dei campi.. e mi sorge gia' qualche domanda!
Se una lagrangiana e' simmetrica rispetto al gruppo di Poincarè, vi
saranno 10 correnti di Nether collegate a 10 cariche di Nether che si
conservano, dato che il gruppo di Poincerè e' un gruppo a 10 parametri.
E fin qui ok
Una trasformazione di Poincarè comprende due termini: una trasformazione
di Lorenz e una translazione; i 10 parametri si suddividono in 6 per la
trasformazione di L e 4 per la translazione.
Ok ancora tutto ok
Le 4 cariche di Nether provenienti dai 4 parametri della parte
translazionale sono le 3 componenti dell'impulso e l'energia che appunto
si conseravano.
OK!
Riguardo alla trasformazione di L. invece possiamo pensarla come composta
da una rotazione + un boost di Lorenz. Cosi' dei 6 parametri ne avremo tre
per la rotazione che portano alla conservazione delle componenti del
momento angolare totale e 3 per i boost.
Ora le domande sono: 
1) prima di tutto, ci sono errori in quanto detto fino ora?
2) se non ve ne sono, a che quali quantita' conservate portano le tre
cariche di Nether relative ai boost? 
Grazie
Mic

 
Sono delle cariche la cui conservazione corrisponde al "teorema del 
centro di massa". Prendi per esempio il campo scalare. La legge di 
conservazione delle tre cariche associate al boost in una direzione 
generica dice che
d/dt [t integ d^3x T^{0i} - integ d^3x T^{00} x^i ] =0   (1)
dove T^{mu nu} e' il tensore energia impulso ottenuto dall'invarianza
temporale e traslazionale, i=1,2,3 e integ signigica simbolo di integrale.
Se definiamo, ricalcando le definizioni classiche
M = integ d^3x T^{00} la massa totale (che e' costante per un sistema 
isolato proprio per il teorema di N.) del sistema nel riferimento 
considerato e
X^i = integ d^3x T^{00} x^i /M
le coordinate spaziali del centro di massa nel riferimento considerato,
la (1) integrata a partire dal tempo t= 0 dice che, tenendo conto che
P^i = integ d^3x T^{0i} e' l'impulso nel riferimento considerato che e' 
costante per un sistema isolato:
La velocita' del centro di massa e' costante e vale
d MX^i(t) /dt = P^i
Questo e' la generalizzazione relativistica del "teorema del centro di 
massa".
Ciao, Valter
PS. Lo so, sono assente da tanto dal NG, ma sono molto impegnato...
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 momento angolare totale e 3 per i boost.
Questa modo di spartire le "cariche" conservate tra rotazione e boost a
tutta prima mi convinceva poco, poiché le quantità conservate nel caso
dell'invarianza di una lagrangiana rispetto alle trasformazioni di Lorentz
sono le componenti del tensore di momento angolare, che è un tensore
antisimmetrico del secondo ordine (e quindi ha proprio sei componenti
indipendenti).
Tuttavia cercando in rete ho trovato il seguente link in cui John Baez
(che è, per così dire, l'alter ego di Elio Fabri su sci.physics.reserach
:) ) & co. rispondono proprio la domanda che hai posto, in modo non troppo
tecnico e illustrandone i numerosi interessanti risvolti: 
http://math.ucr.edu/home/baez/boosts.html
Bella domanda, complimenti.
Saluti,
Aleph
-- 
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 Mic
La piu' generale rappresentazione del momento angolare e' :
x^i P^j - x^j P^i + S^ij = J^ij
che commuta con i generatori infinitesimi delle rotazioni: M^ij 
c'e' una grandezza simile:
t P^i - E R^i + S^0i = J^0i  che commuta con i generatori infinitesime 
dei boost: M^0i 
Da questo a dire che questa e' la piu' generale rappresentazione ne
corre. 
-- 
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 a 10 parametri.
Dato che hai gia' avuto tutte le risposte, aggiungo un commento un po'
a margine.
Riguarda il chiamare "cariche" e "correnti" quelle relative al gruppo
di Poincare'.
Francamente mi fa un po' schifo chiamare carica il momento angolare...
Non so se e' un termine tuo o viene da un libro o da un docente, ma in
ogni caso non mi piace.
Il gruppo di P. concerne trasformazioni dei campi che connettono punti
diversi dello spazio tempo. Io riserverei invece "cariche" e
"correnti" ai gruppi d'invarianza per trasformazioni "interne", ossia
fra gradi di liberta' diversi dalle coordinate.
In altre parole, alle trasf. di gauge.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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