Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Curvatura

Nelle trattazioni più o meno divulgative che ho letto di Relatività Generale
si parla del concetto di curvatura dello spazio-tempo (o di una
iper-superfice in generale).
Mi pare di aver capito che si distingue tra curvatura positiva o negativa a
seconda che se due punti che seguono geodetiche parallele si avvicinano o si
allontanano tra loro.
Quello che non mi torna e perché non si parla della direzione in cui si
muovono: se su una sfera due punti che seguono geodetiche parallele si
avvicinano muovendosi in una direzione, allora si allontaneranno se tornano
indietro sui loro "passi", o no? Sbaglio qualcosa?
Saluti

 indietro sui loro "passi", o no? Sbaglio qualcosa?
Facciamo un esempio.
Su una sfera 2-dimensionale nello spazio Euclideo 3-dim. consideriamo un punto
P su una geodetica G1 (un arco di meridiano) e una seconda geodetica G2 passante
per un punto Q vicino a P e parallela alla prima in Q , se ci spostiamo lungo le due
geodetiche nella stessa direzione di una stessa lunghezza ds arriveremo nei punti
P' e Q' vicini a P e Q, e otteniamo che la distanza tra P' e Q' e' minore di quella
tra P e Q.
La ragione per cui i punti P' e Q' non possono "tornare indietro sui propri passi"
e' che G1 e G2 non sono parallele nei punti corrispondenti P' e Q', cioe' la geodetica
passante per Q' e parallela a G1 in Q' sara' una terza geodetica G3 diversa da G2.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani

 indietro sui loro "passi", o no? Sbaglio qualcosa?
Si' :) Non hai capito bene che cosa vuol dire "geodetiche parallele".
Su una superficie prendi due punti molto vicini, A e B, e uniscili con
una geodetica g.
Fai partire da A un'altra geodetica g', che in A forma con g un angolo
retto.
Fai partire da B una geodetica g", che anch'essa forma con g un angolo
retto.
Allora diremo che g' e g" sono parallele (in A).
Fatto questo, g' e g" si avvicinano o si allontanano da entrambe le
parti: pensa a due meridiani, avendo preso A e B sull'equatore.
Nota che fissato A, puoi cambiare B e con questo cambiare le due
geodetiche; ma l'allontanamento o avvicinamento sara' invariato, ossia
e' una proprieta' della superficie nel punto A.
Questo per una superficie. Se invece siamo in piu' dimensioni, le cose
si complicano, perche' a seconda di come prendi B puoi avere curvature
diverse, anche di segno diverso.
E' per questo che da tre dimensioni in su per descrivere la curvatura ci
vuole un tensore (di Riemann)
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica

Ringrazio GB ed EF per le risposte.
Penso di aver intuito perché i punti non possono "tornare indietro", perché
cambierebbero le geodetiche parallele
Ma mi sorge un altra domanda: le geodetiche cambiano anche mentre i punti
vanno "in avanti"?
Cerco di formalizzare questa molto imprecisa domanda:
Siano A e B due punti vicini su una sfera e siano GA e GB due geodetiche
passanti rispettivamente per A e B parallele (in A, ottenute come spiegato
da Fabri prendendole a 90° rispetto alla geodetica che unisce A e B).
Immaginaniamo due punti che si spostano lungo GA e GB della stessa distanza
ds partendo da A e B e arrivando nei punti A' e B' .
Ora si possono "ricalcolare" con lo stesso procedimento di prima le
geodetiche GA' e GB' passanti per A' e B' e parallele (in A').
La mia domanda è: GA coincide con GA'  (e naturalmente GB coincide con GB')
?
Saluti

Massimo S. wrote:

Ciao, si nel caso della sfera e`vero (considerando geodetiche che
puntano nella stessa semisfera determinata dalla geodetica rispetto
alla quale si definisce l'ortogonalita`) ma e` una situazione molto
particolare a causa della forte simmetria dello spazio.
In generale e` falso. Non solo ma la costruzione e` in generale
anche mal definita. Se infatti A e B sono tanto vicini che c`e`
*una sola geodetica* che li connette, cio` e` in generale falso per
A' e B', per cui ci sarebbe una ambiguita` nella definizione.
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 La mia domanda è: GA coincide con GA'  (e naturalmente GB coincide con GB')
La risposta e' no, possiamo vederlo facilmente ricordandoci che sulla sfera
la separazione tra due geodetiche vicine e inizialmente parallele diminuisce
mano a mano che ci si sposta lungo le geodetiche, ad es. se i punti A e B
giacciono sull'equatore e sono separati da una distanza d0, le due geodetiche
parallele passanti per A e B sono i meridiani per A e B, con un po' di calcoli
trigonometrici si trova che la separazione tra le due geodetiche in A' e B' vale
d' = d0 * cos(t), ove t e' la latitudine di A' e B' (piccola per ipotesi), ora se
GA e GB fossero parallele in A' e B', potremmo invertire il ragionamento
fatto (far tornare i punti sui propri passi...) e otterremmo che la distanza tra
A e B varrebbe d'' = d0 * cos(t)^2 che e' assurdo, quindi le geodetiche
passanti per A' e B' e parallele in A' e B' sono diverse da GA e GB.
Detto qualitativamente, se due geodetiche sulla sfera inizialmente parallele
rimanessero sempre tali per piccoli spostamenti ds, allora rimarrebbero tali
anche per spostamenti finiti e non si incontrerebbero mai , mentre noi sappiamo
che tutti i meridiani si incontrano nei poli.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani

 La risposta e' no, possiamo vederlo facilmente 
Ciao, hai ragione!
In un precedente post ho scritto che sulla sfera e` vero e che in 
generale non lo e`... invece non e` vero nemmeno sulla sfera! Mi ero 
basato sull'intuizione visiva senza fare i calcoli, ma quello che dici 
tu e` sacrosanto in particolare e` lampante che :
 > se due geodetiche sulla sfera inizialmente
 > parallele rimanessero sempre tali per piccoli spostamenti ds, allora
 > rimarrebbero tali anche per spostamenti finiti e non si
 > incontrerebbero mai , mentre noi sappiamo
 > che tutti i meridiani si incontrano nei poli.
Ciao, Valter


 La risposta e' no  CUT
Grazie della risposta.
C'è qualcosa che continua a non tornarmi...
Un oggetto non soggetto a nessuna interazione, libero nello spazio (curvo o
meno che sia) si muove lungo una geodetica.
Giusto?
Si muove sempre lungo la stessa geodetica, no?
Torniamo al caso dei due punti A e B, per estensione con il caso di un punto
direi che si muovono lungo due geodetiche fisse GA e GB.
Pensiamo che A e B sono due oggetti posti alla stessa quota nello spazio in
prossimità della Terra e in caduta libera verso di essa; i due punti nel
loro moto si avvicineranno anche tra di loro.
Qual'è l'interpretazione di questo avvicinamento secondo la RG? Si
avvicinano perché lo spazio è curvo, perché seguono due geodetiche
parallele?
Però non avevamo appurato che le geodetiche parallele "cambiano" durante il
movimento dei punti A e B?
Riassumendo: nel caso di un solo punto, questo segue sempre la stessa
geodetica, nel caso di due.... boh!!!
Insomma credo che avrai intuito che ho una gran confusione in testa su come
vanno le cose secondo la RG, non riesco a farmene una visione chiara,
l'analogia con la superficie sferica non mi basta, mi puoi aiutare?
Ciao

 particolare a causa della forte simmetria dello spazio.
Ho l'impressione che hai interpretato male quello che chiede Massimo
(oppure l'ho interpretato male io?).


 
La tua impressione e` giusta: avevo proprio sbagliato.
Ho mandato un messaggio per chiarirlo ma e` sparito
insieme ad alcuni altri che ho spedito tempo fa.
Ciao, Valter

 l'analogia con la superficie sferica non mi basta, mi puoi aiutare?
Mi rendo conto che l'aiuto che ti ho dato e' piuttosto scarso...
Purtroppo le analogie servono solo fino ad un certo punto, dopo di che
diventa necessario formalizzare le cose, se vuoi approfondire potresti
cominciare a leggere un testo "vero" di RG, sul genere di quelli consigliati
nel recente thread "Relativita' generale", magari a partire da uno dei piu'
semplici.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani

 insieme ad alcuni altri che ho spedito tempo fa.
Ahhhh! Così non ci capisco più niente!
Non solo per la complessità intrinseca dell'argomento ma per i post
fantasma:
Vedo post che quotano pezzi di altri post che però non si vedono!
Per esempio non mi è arrivato nessun post di Moretti in questo thread a
parte quest'ultimo.
Sarà colpa del mio news server (wind) ?
Ciao

tornano indietro sui loro "passi", o no? Sbaglio qualcosa?
Si`, a patto di percorrere ovviamente le antiche e gia` tracciate
geodetiche dell'andata.
Mi spiego: se ritorni indietro da Milano non devi minga tracciare
nuovamente "l'equatore per Milano" e poi le due nuove geodetiche
parallele tra loro neh!? :-)
-- 
Ci sentiamo, |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||  ==>   E-mail: 
remi...@tiscali.it
-------------|     ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */

 l'analogia con la superficie sferica non mi basta, mi puoi aiutare?
Non c'e' da meravigliarsi se haiun po' di confusione: oltre tutto, non
possimao fare figure, ne' e' il caso di scrivere formule che
probabilmente non capiresti...
Ma credo che per l'esempio che hai fatto ci si potrebbe capire
eliminando una dimensione dello spazio, riducendolo a un piano, e
mettendo l'asse del tempo nella terza dimensione.
Ora cerca di disegnare le geodetiche in questione: che si avvicinano non
c'e' dubbio. La difficolta' sta nel vedere che sono geodetiche.
Domanda: perche' non e' una geodetica una retta parallela all'asse t?


 Domanda: perche' non e' una geodetica una retta parallela all'asse t?
Direi che se lo spazio fosse piatto le geodetiche sarebbero rette,
rimarrebbero a distanza costante e quindi una retta parallela all'asse t
potrebbe essere geodetica.
Se lo spazio è curvo..... boh.... le geodetiche si avvicineranno (non c'è
dubbio dici, vorrei che fosse così anche per me).... saranno curve anche
loro (non rette), quindi la retta parallela all'asse t non può essere
geodetica.... forse????
Devo pensare curvo solo lo spazio 2d o tutto lo spazio tempo 3d?
Lo spazio 2D che forma ha? Una superficie sferica?
Saluti.

 Devo pensare curvo solo lo spazio 2d o tutto lo spazio tempo 3d?
Questo e' il punto: anche se le sezioni spaziali sono piatte, lo
spazio-tempo puo' essere (e sara') curvo.
Immagina un punto A dello spazio, e due tempi t1 t2. Vogliamo trovare la
geodetica che passa per (A,t1) e per (A,t2), e dimostrare che non e'
parallela all'asse t.
Che cosa rappresenta fisicamente una tale geodetica? Il moto di un corpo
che parte da A al''istante t1 e ripassa per A all'istante t2, in
presenza (supponiamo) della Terra, il cui centro sta nell'origine delle
coordinate.
E' chiaro che stiamo parlando della seguente esperienza: lanciare da A
un sasso verticalmente, e guardarlo ripassare per A dopo un tempo t2-t1.
Puoi facilmente calcolare che velocita' occorre a questo scopo: v =
g(t2-t1)/2.
Ma se occorre una vel. iniziale, vuol dire che la curva (geodetica) non
parte parallela all'asse t: punta verso l'esterno, poi si piega e torna
verso l'interno: una parabola (almeno per piccoli spostamenti).
Ma se questa e' la geodetica, e non il segmento di retta, cio' mostra
che lo spazio-tempo e' curvo.
(Beh, a rigore non basta, ma non complichiamo troppo il discorso...)
Infatti la metrica nelle nostre ipotesi sarebbe
(1 - 2GM/r) dt^2 - dr^2 - ... (c=1).
Verifica: supponiamo GM/r << 1. Allora la lunghezza della geodetica
(tempo proprio) sara' l'integrale di
[(1 - 2GM/r) dt^2 - dr^2]^(1/2) =~ [1 - GM/r - (1/2)(dr/dt)^2] dt.
Integrando fra i tempi t1 e t2, la costante 1 da' contributo fisso; il
resto non e' altro (a meno di un fattore costante e del segno) che
l'azione di Hamilton-Jacobi per il moto in un campo di potenziale -GM/r.
Percio' il principio della geodetica si riconduce al principio
variazionale di H-J.
-- 
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
-------------------

 spazio-tempo puo' essere (e sara') curvo.
AH!
A questo non ci avevo proprio pensato, spazio-tempo curvo ma sezioni
spaziali piatte!
Ma bisogna mettersi in un particolare riferimento per avere le sezioni
spaziali piatte?
O esistono spazi-tempo curvi ma con sezioni spaziali piatte per ogni
possibile riferimento?
Ho difficoltà a figurarmi questo spazio-tempo.
L'unica "cosa" che è mi è venuta in mente (considerando uno spazio-tempo
bidimensionale, una dim. per lo spazio e una per il tempo) è una
spazio-tempo che costituisce la superficie di un cilindro.
Indubbiamente questo spazio-tempo è curvo ma se metto l'asse del tempo
perpendicolare all'asse del cilindro avrò che le sezioni spaziali sono rette
quindi piatte.
E' calzante e/o significativo questo esempio?
C'è ne sono di migliori, magari con più dimesioni?
Saluti

 C'e' ne sono di migliori, magari con piu' dimesioni?
Si', la versione k=0 della geometria di Robertson-Walker... (scherzo:
pero' e' appunto il modello di universo che dicevo sopra).
L'esempio che ti ho proposto io, tridimensionale, andrebbe bene (e' una
versione semplificata, e con una dimensione spaziale in meno, della
geometria di Schwarzschild). Solo che non e' facile intuirla senza
allenamento...
L'idea sarebbe questa: parti da un normale spazio euclideo (3
dimensioni). 
Le sezioni spaziali (x,y) le lasci piatte (euclidee). Nella terza
dimensione introduci una deformazione, consistente nel fatto che la
distanza lungo z tra due piani paralleli al piano (x,y) non e' costante,
ma varia con r (distanza dall'asse z).
Naturalmente non te ne puoi fare un'immagine diretta, ma puoi pensare
che il comune spazio euclideo sia una carta geografica di quell'altro,
dove appunto quando ti sposti lungo z la scala della carta cambia a
seconda di r.
La cosa importante e' che le rette parallele all'asse z (nel senso di
avere x e y costanti) *non sono geodetiche*.
Per ora non aggiungo altro; pensaci un po' su...


 senso: qualunque curva puo' essere raddrizzata senza deformarla.
IHMO in uno spazio unidimensionale il concetto di curva non esiste affatto
:)
Saluti.
   NinjaCross

 IHMO in uno spazio unidimensionale il concetto di curva non esiste affatto
Sì, se intendi per curva una funzione continua da un intervallo chiuso di R
(di solito [0,1]) e lo spazio che ti interessa.
Immagina di partire da un punto di una retta e muoverti fino ad un altro (o
lo stesso) andando un po' avanti e indietro.
ciao
--
Danilo Giacomelli
_____________
Il sonno della ragione genera ragionieri
-------------------------

 lo stesso) andando un po' avanti e indietro.
D'accordo, ma dal momento che uno "spostamento" di questo tipo ha bisogno di
una dimensione aggiuntiva per essere descritto, automaticamente si deve
considerare un parametro in più nella nostra funzione, che quindi sarà del
tipo (per esempio) x=f(t), quindi con due dimensioni.
Saluti :)
    NinjaCross

 IHMO in uno spazio unidimensionale il concetto di curva non esiste affatto :)
Anche qui puo' essere questione di definizioni. 
Senza usare la terminologia matematica piu' rigorosa, ma dandone gli
aspetti essenziali, se hai uno spazio (topologico) S una curva in S e'
definita come una funzione continua che ai numeri reali di un certo
intervallo fa corrispondere punti di S.
In questo senso una curva puo' essere definita anche in uno spazio
unidimensionale.
Ma il punto non era questo: era piuttosto che una curva tracciata ad es.
sul piano *non ha curvatura intrinseca*. Infatti ogni curva e'
isometrica a un segmento di retta.
E' questo che intendevo dicendo che ogni curva puo' essere raddrizzata.
Invece non tutte le superfici possono essere spianate (isometricamente):
il cilindro si', la sfera no.


 tipo (per esempio) x=f(t), quindi con due dimensioni.
Non so come si potrebbe applicare il concetto di dimensione ad una funzione.
Il supporto di tale funzione è comunque unidimensionale.
ciao
--
Danilo Giacomelli
----------------------------------
Signùr arda 'n zó, se no arde 'n sö mé e Te ède le gambe
----------------------------------

 differenziale.
Ok, ora ci siamo capiti.
Come ho detto ad Elio Fabri in risposta al suo post, ho contestualizzato
male la tua affermazione, ragionando ad un diverso livello di astrazione.
Mi scuso per il malinteso.
Saluti.
  NinjaCross

 il cilindro si', la sfera no.
Ok, ora ho contestualizzato correttamente.
Sono d'accordo con ciň che affermi, e scusa se ti ho fatto perdere tempo ;)
Saluti.
  NinjaCross