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Titolo: domanda bizzarra : chiralità in uno spazio quadridimensionale (o più)

Assumendo di potere descrivere, almeno in senso 
geometrico-matematico, uno spazio di 4, 5 o piï¿œ dimensioni 
rigorosamente spaziali (ed equivalenti, non come quelle 
strane cose delle "dimensioni arrotolate"),
potrebbe esistere una chiralitï¿œ quadridimensionale ?
E oltre ?
Inoltre : cosï¿œ come nel nostro spazio 3D esiste solo una 
copia di oggetti speculari (enantiomeri), esisterebbe una 
specchiatura in enne dimensioni ? E producendo quanti 
distinti oggetti speculari ?
Mi scuso se la domanda ï¿œ formulata in modo tanto vago, ma 
non posso dire di capire realmente nemmeno la chiralitï¿œ 
"normale", quella delle due mani e delle loro immagini, 
quindi a maggior ragione mi ï¿œ oscuro come potrebbe 
presentarsi il fenomeno in piï¿œ dimensioni.
ciao
CCCP
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)
 

 Mi scuso se la domanda ï¿œ formulata in modo tanto vago,
Non lo ï¿œ, ï¿œ suff. precisa.
Purtroppo la risposta richiede un po' di matematica...
 
Bisogna partire definendo le /isometrie/, ossia quelle trasformazioni
che in uno spazio euclideo a qulunque n. di dimensioni lasciano
invariate distanze (e qundi angoli).
 
Il modo piï¿œ semplice ï¿œ di usare coordinate cartesiane ortogonali
isometriche: allora un'isometria ï¿œ una matrice nxn con la proprietï¿œ
M M^t = I  (1)
 
(M^t significa la trasposta). Evito la dimostrazione, che ï¿œ immediata
ma richiede formule con un po' di indici...
 
Se prendiamo il determinante della (1), ricordando che il det. di un
prodotto di matrici ï¿œ il prodotto dei determinanti, e che det(M^t) det(M), troviamo subito che
 
(det(M))^2 = 1
 
e quindi esistono *due* possibilitï¿œ: det(M) = 1 oppure det(M) = -1.
Ne segue che il gruppo delle isometrie ha *due* componenti connesse,
formate apunto dalle matrici con det. dei due segni.
 
"Componenti connesse" significa che puoi passare da quaunque matrice
con det. = 1 a un'altra con una variazione continua, e lo stesso per
quelle a det. -1.
Mentre non puoi passare con continitï¿œ da una matrice con det. 1 a una
con det. -1.
 
Risultato: se hai due figure A, B tra loro /isometriche/, sono
possibili due casi:
1) l'isometria che trasforma A in B ha det. 1
2) ha det. -1.
Nel primo caso, passi da A a B con continuitï¿œ (con una rotazione).
Nel secondo caso questo non ï¿œ possibile: ï¿œ il caso di due figure
"chirali".
 
Come vedi il risultato sulla chiralitï¿œ ï¿œ generale: vale per qulasiasi
n. di dimensioni.
(In realtï¿œ nella mia dimostr. c'ï¿œ un buco: chissï¿œ se lo vedi? :-) )
 
Tra le isometrie a det. -1 un caso particolare sono le /riflessioni
speculari/. Scegliendo bene le coordinate, su puï¿œ sempre ridurre una
rifl. spec. a una trasf. che cambia segno a una coordinata e lascia
invariate tutte le altre: c'ï¿œ dunque un /(iper)piano/ di simmetria.
 
Ma non tutte le isometrie a det. -1 sono riflessioni: questo lo vedi
giï¿œ in 3 dimensioni, se pensi alla trasf. che inverte *tutte* le
coordinate (simmetria rispetto a un centro).
Questa non ha un piano di simmetria, ma si puï¿œ ottenere eseguendo in
successione una riflessione rispetto a un piano e poi una rotazione di
180ï¿œ intorno alla retta perpend. a quel piano.
Lo stesso succede in ogni numero dispari di dimensioni, mentre in
numero pari ï¿œ vero che ogni isometria a det. -1 ï¿œ riflessione rispetto
a un qualche iperpiano (ma non te lo dimostro).
 
 
-- 
Elio Fabri

 rispetto a un qualche iperpiano (ma non te lo dimostro).
Non lo posso dimostrare *perchï¿œ non ï¿œ vero*.
Il risultato generale ï¿œ questo.
 
A: Det. = 1.
Allora per n pari esiste un sistema di coordinate (x1 ...xn) in cui
l'isometria ï¿œ il prodotto di una rotazione di un certo angolo a1 degli
assi (x1,x2), una di angolo a2 degli assi (x3,x4) ...
Per n dispari "avanza" una coordinata, che viene lasciata invariante.
 
B. Det. = -1.
Per n pari come sopra, ma con la coord. x[n-1] lasciata invariante e
xn che cambia di segno.
Per n dispari la coordinata che avanza viene cambiata di segno.
 
Scusate la papera :-(
 
 
-- 
Elio Fabri

 a un qualche iperpiano (ma non te lo dimostro).
 
mmm, ti chiederï¿œ ancora qualcosa circa questa differenza tra 
le dimensioni pari e dispari ... appena riesco a 
metabolizzare qualcosa di questo post. O se non riesco, 
tenterï¿œ una qualche domanda da aggiustare un po' alla volta 
in funzione delle risposte.
Tieni conto che purtroppo ho appena una cognizione meno che 
rudimentale dei gruppi (di simmetria), anche se l'argomento 
mi sarebbe interessato (non l'ho mai seguito in nessun corso 
e non ce l'ho su nessun libro).
cmq grazie
mi salvo il post
ciï¿œ


 coordinate (simmetria rispetto a un centro).
 
Si potrebe generalizzare e parlare allora di un *sottospazio* di 
simmetria, o di un nucleo di simmetria...?


ahimï¿œ, non ho capito la rettifica ... ma pace !


 applicando a ogni terna l'operazione matriciale ?
 
Scalata no, perchï¿œ le distanze prima e dopo la cura devono restare uguali...
 

> Lo stesso succede in ogni numero dispari di dimensioni,
 
mi aggancio qui perchï¿œ non ï¿œ collocabile precisamente nel 
flusso.
 
Vado un pezzettino alla volta.
 
Per specchiare un guanto o una falce (3D) occorre un oggetto 
2D, uno specchio piano.
 
Anche per specchiare un oggetto in 4D e 5D occorre sempre un 
piano ? Ma un piano in 2 o piï¿œ dimensioni ?
 
Ammetto adesso, senza averne la minima cognizione, che per 
specchiare un oggetto chirale quadridimensionale occorra uno 
specchio 3D (un solido non un piano). Che forma avrebbe se ï¿œ 
vero ?
 
Ammettiamo invece che si tratti di un vero piano in 
qualsiasi caso : che equazione analitica avrebbe un piano in 
N dimensioni ?
ri-grazie
Soviet


 nessun libro).
Io ho scritto diverse cose sull'argomento, a diversi livelli, dal
divulgativo alla Fisica Teorica.
Ma non so quale ti puï¿œ servire...
 
 
-- 
Elio Fabri
 
F

 simmetria, o di un nucleo di simmetria...?
Generalizzare che cosa? Non capisco...
 
 
-- 
Elio Fabri
F

 equazione analitica avrebbe un piano in N dimensioni ?
 
Un iperpiano in un qualsiasi spazio euclideo a N dimensioni ha come 
equazione una semplicissima equazione lineare.
 
Retta nel piano: ax+by+c=0
Piano nello spazio 3D: ax+by+cz+d=0
ecc... (ovviamente con i coefficienti non tutti nulli)

 Ma non so quale ti puï¿œ servire...
 
sicuramente potrebbe. Non so se ho ancora la costanza ... 
diciamo che, sinchï¿œ posso, tenderei a cercare di scroccare 
un po' di spiegazioni ad hoc preconfezionate. Temo che 
aspettare di rendermi anche solo parzialmente autonomo nel 
cercare di estrarmi queste informazioni, mi richiederebbe un 
tempo tale che non ho molte speranze di trovarlo. Da giovane 
ero piï¿œ testardo, ma piï¿œ passa, piï¿œ mi rendo conto che il 
tempo non devo piï¿œ usarlo in guerre di trincea molto lunghe. 
Cmq mi farï¿œ risentire prima o poi su questo argomento ... se 
ï¿œ ancora valida la tua mail di quando mi avevi passato una 
routine di calcolo di sistemi matriciali (che coincidenza 
!), magari ti scriverï¿œ anche in privato. Dipende se 
metabolizzo il tutto o rimane nebuloso.
 
Ciao e grazie, per il pregresso, e eventualmente per il futuro
CCCP


Dopo dura riflessione, Elio Fabri ha scritto :

Vorrebbe generalizzare il concetto di riflessione rispetto ad un 
"piano" ovvero di riflessione rispetto ad una varietï¿œ lineare 
invariante di codimensione 1 al concetto di inversione con varietï¿œ 
lineare invariante di codimensione ...
 
 
2k+1.
 
E' chiaro infatti, ragionando sulla rappresentazione diagonale reale 
delle isometrie, che le isometrie inverse (determinante -1), 
presentando gli autovalori non reali in coppie complesse coniugate, 
devono avere un numero dispari di autovalori reali -1. Sicchï¿œ eventuali 
varietï¿œ invarianti, cioï¿œ con autovalore reale 1, devono avere 
codimensione dispari pari esattamente alla somma del numero di 
autovalori -1 e del numero di coppie di autovalori complessi coniugati.
 

Tetis scriveva il 11/01/2014 :

Quindi in definitiva il concetto di inversione rispetto ad una varietï¿œ 
di codimensione dispari dovrebbe essere possibile definirlo escludendo 
dall'isometria autovalori complessi e fissando solo la varietï¿œ 
invariante, allora lungo tutte le direzioni ortogonali a questa si 
agisce con una riflessione rispetto all'origine, l'isometria cercata si 
ottiene estendendo per linearitï¿œ, mi sembra che funzioni.
 


mi piacerebbe riuscire a capire almeno un decimo della tua 
risposta ... ma non accadrï¿œ :-)


 non accadrï¿œ :-)
 
Provo a spiegarlo in parole piï¿œ semplici. Ogni isometria in 
qualsivoglia dimensione si caratterizza per degli assi ortogonali che 
l'isometria applica in se' (senza minimamente alterarli o invertendone 
il verso, tertium non datur) e per dei piani sempre ortogonali due a 
due che vengono mandati in sï¿œ medesimi secondo una rotazione, quindi 
senza che alcuna direzione in quel piano sia conservata.
 
Per esempio nel piano una riflessione rispetto ad una retta lascia 
invariata quella retta (verso incluso) e la sua retta ortogonale (che 
cambia verso). Quando il numero di assi il cui verso cambia ï¿œ pari, 
questa isometria si ottiene per mezzo di un cammino continuo di 
rotazioni dallo stato iniziale a quello finale. Quando il numero di 
assi che cambiano verso ï¿œ dispari l'isometria si ottiene componendo una 
rotazione come quella di prima ed una riflessione che lascia invariante 
tutto tranne una direzione che viene invertita.
 
Quello che stiamo dicendo ï¿œ che possiamo chiamare inversione rispetto 
ad una varietï¿œ lineare una isometria che lascia fisso un intero sistema 
ortogonale di assi coordinati (non uno qualunque, ma uno preciso) e 
cambia il vero di un numero dispari di essi, e stiamo dicendo che tutti 
i restanti assi rimangono invariati e si comportano come "centro" 
dell'inversione.
 
In tre dimensioni ci sono due sole possilitï¿œ per cui questo accada:
 
1) a cambiare verso ï¿œ un  solo asse mentre il piano ortogonale rimane 
fisso ed ï¿œ il piano di riflessione.
 
2) a cambiare verso sono tre assi (e l'unico punto fisso ï¿œ il centro).
 
In quattro dimensioni per esempio ci sono ancora due possibilitï¿œ per 
cui questo accada: un asse cambia verso, ed una varietï¿œ 3d ortogonale 
mantiene il verso. Oppure 3 assi cambiano verso ed una retta ortogonale 
a questi tre ï¿œ invariata.
 
Ai fini del tuo discorso il succo ï¿œ che ogni isometria in qualsivoglia 
dimensione si puï¿œ ottenere o per mezzo di un cammino continuo di 
rotazioni, oppure per mezzo di un cammino continuo di rotazioni a cui 
alla fine si aggiunge un cambiamento di verso per un asse. Non ci sono 
altre possibilitï¿œ.
 
Dimostrazione: la ometto per pigrizia di reciprocitï¿œ.
 

 Dimostrazione: la ometto per pigrizia di reciprocità.
 
faccio la mia misera figura ammettendo di non aver nemmeno 
capito la frecciatina finale :_(
 
Cmq dovrò farti sicuramente qualche altra domanda, se avrai 
la pazienza di rispondere anche a questa


 frecciatina finale :_(
 
Il riferimento era alla tua resa incondizionata che mi trattiene dal 
produrmi in spiegazioni non richieste. Gli argomenti di cui stiamo 
parlando richiedono uno sforzo, uno sforzo di astrazione e di studio 
che ognuno che ci ha pensato ha dovuto fare, pretendere questo sforzo 
con qualcosa che rischierebbe di apparire un vano sfoggio di 
incomprensibile sapienza costerebbe una fatica, da parte mia, che non 
varrebbe la ricompensa di un impegno che non vuoi/puoi/sai impiegare. 
Allora, per il momento me ne astengo.
