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Titolo: Sbarra che cade e si blocca ad un estremo

Correlato al problema della catena. 
 
 
 
Una sbarra omogenea di lunghezza L e massa m cade, traslando, sotto l'azione della gravita', rimanendo orizzontale. All'improvviso, ad un istante t_0, un suo estremo, A, viene bloccato da un qualche dispositivo nella posizione che hs in quell'istante, ma consentendo pero' alla sbarra di ruotare rispetto a quel punto sul piano verticale (sto cercando di modellizzare un anello della catena che improvvisamente viene bloccato ad un estremo da un altro anello fisso).  
 
Quindi la reazione vincolare e' una forza che sale impulsivamente da zero al valore opportuno. Si assume di trascurare il tempo di salita. 
 
Determinare il moto dell'altro estremo della sbarra, B, in particolare la sua accelerazione immediatamente dopo t_0.
 
--
Wakinian Tanka

 Una sbarra omogenea di lunghezza L e massa m cade, 
...
  (sto cercando di modellizzare un anello della catena che 
improvvisamente viene bloccato ad un estremo da un altro anello fisso).
 
Secondo me stai complicando inutilmente il modello di cui hai bisogno. 
La cosa più semplice da fare e' immaginare una catena come quella di una 
bicicletta: ogni anello può solo ruotare rispetto al precedente. Niente 
urti, elastici o anelastici. in pratica un pendolo n-plo con l' ultima 
massa molto maggiore delle altre. Non ho molto tempo per provare ma se 
lo avessi, lavorerei su questo modello. Con uno smorzamento  delle 
rotazioni.
 
Giorgio

 
 
In base ad alcune letture sull'argomento, sono dell'idea che l'energia si conservi fino a quando la lunghezza della porzione di catena che sta cadendo diventa dell'ordine della lunghezza di un anello. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 Niente urti, elastici o anelastici.
Sicuramente è la cosa più semplice.
E potresti cominciare guardando il secondo link dato da Maurizio.
Fanno proprio quel conto, senza manubrio.
Certo che l'energia si conserva, ecc.
 
Nella mia bicicletta ho due catene.
Una è quella che dici tu, l'altra è quella che uso per legarla ai
pali.
E questa seconda è una catena (bella robusta) coi classici anelli ecc.
 
Il problema è: quando guardi quel filmato youtube, che catena vedi?
Credi che la "catena di bicicletta" sia un modello adeguato?
Io penso di no.
 
 
-- 
Elio Fabri

Giorgio Pastore ha scritto:
 > La cosa più semplice da fare e' immaginare una catena come quella di
 > una bicicletta: ogni anello può² solo ruotare rispetto al
 > precedente.
 > Niente urti, elastici o anelastici.


 bloccato ad un estremo da un altro anello fisso).
 
Ora che questo problema mi ci ha fatto pensare esiste qualche 
generalizzazione della formulazione Lagrangiana o Hamiltoniana 
a vincoli anolonomi o almeno unilateri come qui? Non ce la 
faccio a scrivere le equazioni del moto............

 diventa dell'ordine della lunghezza di un anello. 
 
... e che l'energia cinetica di ogni anello che cade e poi si ferma venga trasferita alla porzione di catena che sta cadendo. 
Poi, nel finale, le velocita' le forze aumentano tanto che le dissipazioni e l'energia potenziale elastica non sono piu' trascurabili.  
 
--
Wakinian Tanka


CARLO
 
 
 
Immaginiamo che non si tratti di una sbarra, ma di un anello lungo e stretto, e che esso si muova - in direzione perpendicolare alla sua lunghezza - di moto rettilineo uniforme. Dobbiamo dimostrare che, nel momento in cui l’estremità A si arresta e si impernia in un vincolo immobile, l’estremità B passerà dalla velocità v ad una velocità più elevata. E sarà questo incremento di velocità il responsabile della “vittoria” del manubrio …incatenato sul manubrio libero!
 
 
 
 
Intuitivamente si capisce che, se fino all’arresto dell’estremo A, la quantità di moto dell’anello era p=mv, l’arresto di A dovrà comportare necessariamente un aumento di velocità di B, visto che m e p devono restare costanti; in altre parole, la velocità perduta da A deve essere acquistata da B, se vogliamo che la velocità media sia ancora v e che il prodotto mv ci dia la stessa quantità di moto p. Ciò significa allora che, se A è passato da v a zero (cioè, da v a v-v), B dovrà passare da v a 2v (cioè da v a v+v). La -v in A deve diventare +v in B.
 
 
 
 
Ciò premesso, se ci riportiamo al caso del manubrio e della catena, questo incremento di velocità dell’estremità libera (lato-manubrio) di ogni anello si verificherà in sequenze successive per ciascuno degli anelli che costituiscono la metà (circa) della catena più prossima al manubrio a mano a mano che il manubrio stesso scende e che la catena si distende in verticale; incrementi di velocità che si sommeranno (in un effetto frusta) e che trascineranno il manubrio in una accelerazione superiore a g e via via crescente fino al contatto col suolo.


p non puo' certo rimanere costante: dp/dt = F. 
La reazione vincolare F determina una variazione della quantita' di moto dell'anello, p. 
Al massimo puoi invocare la conservazione *dell'energia*. 
 
--
Wakinian Tanka

Il 18/08/19 14:07, Wakinian Tanka ha scritto:

non so leggere le tue equazioni coi puntini o con la umlauth 
o quel che è ....
ma tu hai imposto solo la conservazione dell'energia 
cinetica (lineare, rotativa) ?
E come mai niente relativo alla quantità di moto <=> mom. 
angolare o un mix di entrambi (qui forse sbaglio ma 
inizialmente c'è solo quantità di moto, alla fine c'è sia un 
momento angolare ma anche della quantità di moto perché la 
rotazione non è attorno al centro di massa quindi è una 
rototraslazione)
 
oh .... non me ne capisco molto eh, magari ho scritto 
minchiate :) :)
 
 
-- 
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)

Il 18/08/19 18:39, Wakinian Tanka ha scritto:

la quantità di moto da sola no ... ma una somma di essa e di 
mom. angolare no ? Perché no ? (tra l'altro se non ricordo 
male queste quantità tendono a conservarsi più della stessa 
energia, persino in urti anelastici dissipativi).
 
Mi pareva che una quantità di moto iniziale dovesse 
tramutarsi in una "mistura" di quantità di moto finale 
(inferiore) e di mom.angolare
Non intuisco che possa non conservarsi nulla in tal senso



CARLO
 
 
Per semplificare, ho ipotizzato nella premessa che l'anello proceda a velocità costante prima dell'arresto di A. E anche a velocità costante, con l'arresto di A la velocità di B deve raddoppiare affinché p=mv rimanga costante. E' evidente che se l'anello fosse in accelerazione, l'effetto frusta sarebbe ancora più importante.

 
https://i.postimg.cc/GmNXs6dK/IMG-20190818-135506.jpg
 
A quanto vedo ti basi sulla conservazione dell'energia e sbagli.
Non puoi escludere che la forza impulsiva faccia lavoro.
Invece il momento angolare rispetto a quell'estremo si conserva di
certo: usa quello.
Così trovi la vel. angolare subito dopo l'urto.
Poi prosegui usando la seconda legge cardinale: la sola forza avente
momento non nullo rispetto a quell'estremo è la gravità.
 
C'è la difficoltà che non è chiaro se l'estremo della sbarra che è stato
fermato rimarrà fermo. Non si può dire senza specificare com'è fatto il
vincolo.
Decidi tu :-)
 
Questo senza nessun impegno sulla validità del tuo tentativo per il
problema della catena.
 
 
-- 
Elio Fabri

 Non puoi escludere che la forza impulsiva faccia lavoro.
Così è detto male, anzo possiamo anche dire che semplicemente
sbagliato.
Però che non puoi conservare l'energia è vero: l'urto è anelastico.
A quest'ora non mi sento di spiegare meglio. ne riparliamo domani.
 
 
-- 
Elio Fabri

 
Sfortunatamente, o Fortunatamente :-) le grandezze fisiche e le leggi della fisica non sono composti chimici. 
;-) 
(Era solo per ironizzare sul concetto di "mistura" di due grandezze fisiche differenti :-) ). 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka


E' un pendolo, con un moto iniziale non compatibile con il vincolo. Ad 
intuizione le parti del moto non compatibili con il vincolo "spariscono" 
(in vibrazioni), il resto si muove con le condizioni iniziali "compatibili".
 
La parte "compatibile" la calcoli imponendo un moto di rotazione attorno 
al perno tale che il momento angolare sia lo stesso, e stessa posizione 
iniziale.


 
 
 
 
Ripensandoci mi sa che hai ragione, ma ancora non riesco a formalizzare questo fatto che sia anelastico; certo, uno dice "se fosse elastico, la sbarra rimbalzerebbe sul vincolo, nel punto A" (oppure continuerebbe a vibrare se l'estremo A fosse confinato in una piccola zona dal vincolo), ma quanta energia cinetica viene persa? Sicuramente dipende anche dalla lunghezza della sbarra. Dovro' fare i conti utilizzando la conservazione del momento angolare (che un certo Fabri suggerisce di chiamare con il suo nome originario  "momento della quantita' di moto" se no uno potrebbe credere che non si conservi in quanto prima la sbarra non ruota rispetto a se stessa e poi si :-) )  
 
Oggi pomeriggio faccio il conto e ti dico. 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka 

Faccio seguito al post di ieri sera, che lasciava in sospeso una
questione.
In un primo tempo avevo parlato di "lavoro della forza impulsive", poi
mi sono corretto ma ho osservato che comunque l'urt è (parzialmente)
anelastico.
Vediamo di chiarire.
 
Che la forza sia impulsiva non è importante, e possiamo discutere la
questione in un caso più semplice.
 
Ho un blocco poniamo cubico, che scivola senza attrito si un piano
orizzontale.
A un certo punto incontra un ostacolo fisso, che urta perpend. a una
faccia.
L'urto può avere varie modalità, a seconda dei materiali del blocco e
dell'ostacolo: da perfettamente elastico a completmente anelastico.
 
Nel caso generico il blocco rimbalza, ma con velocità inferiore a
quella iniziale.
Si è quindi perduta dell'energia cinetica, e le domande sono:
1) dove è andata a finire?
2) quale/i forza/e ha/nno fatto lavoro?
 
Provo ad analizzare alcuni casi.
A. Se l'ostacolo è deformabile e non elastico, mentre il blocco è
molto rigido, le risposte sono chiare:
 
1) L'energia è stata dissipata nella deformazione plastica
dell'ostacolo.
 
2) Sul blocco ha agito una forza frennte douta all'ostacolo, che ha
fatto lavoro negativo: ecco perché l'en. cinetica del blocco è
diminuita.
La reazione (blocco su ostacolo) ha invece fatto lavoro positivo,
senza che l'ostacolo acquistasse en. cinetica, perché...
... altro lavoro negativo è stato fatto dalle forze di attrito interno
dell'ostacolo.
L'effetto globale è stato che parte dell'en. cinetica iniziale è
scomparsa come energia meccanica macroscopica.
 
B. Ostacolo molto rigido, blocco deformabile elastico.
 
1) Non c'è dissipazione di energia. L'urto povoca una compressione del
blocco, con conseguente trasform. dell'en. cinetica iniziale in
energia elastica. Però la compressione è solo temporanea: il blocco si
espande di nuovo e così facendo acquista una vel. in verso opposto a
quella iniziale.
Tuttavia questa vel. è in genere minore in modulo.
Ciò perché la compressione ha dato luogo a una complessa vibrazione
del blocco, che implica un trasferimento dell'energia dal grado di
libertà di traslazione a gradi di libertà di vibrazione.
La traslazione si conserva, ma le vibrazioni sono destinate a smorzarsi
(l'elasticità non è perfetta).
Quindi anche in questo caso ci sarà una dissipazione di energia
meccanica, anche se parziale
 
2) La forza che l'ostacolo applica al blocco esiste, come si ede dal
fatto che la q. di moto del blocco s'inverte, e questo può solo essere
dovuto a una forza *esterna*.
Però detta forza *non fa lavoro*, perché il suo punto di applicazione
(faccia del blocco) è fermo finché dura il contatto, e d'altra parte
la forza in questione c'è solo finché c'è contatto.
Fanno poi lavoro le forze elastiche interne al blocco.
Questo lavoro è inizialmente negativo e spiega la diminuzine di en.
cinetica.
Poi il verso delle forze cusa un'espansione (quindi lavoro posiivo) e
il blocco rimbalza.
Nel corso della vibrazione che segue il gioco dele forze e del loro
lavoro è assai complesso e potrebbe esere analizzato ad es. studiando
i "modi normali" ma non mi pare il caso di approfondire in questa
direzione.
 
Con riferimento alla sbarra che cade non si può dire in che condizioni
siamo.
Faccio solo notare che se la sbarra è suff. elastica l'urto a un
estremo innesca anche onde trasversali, che si propagano lungo la
sbarra, si riflettono, ecc.
Ma se si dice che l'estremo urtato si ferma e resta fermo, certamente
dell'en. cinetica va perduta, in modo più complicato che nel cso del
blocco che trasla.
 
Si può fare il conto, ma ci dedicherò un altro post, se WT non mi
precede :-)
-- 
Elio Fabri


Non c'e' problema, avro' sicuramente scritto delle caz... e micidiali :-) 
 
Comunque e' interessante (per me) fare un confronto con la tua soluzione, quindi potresti scriverla lo stesso (magari leggi quello che ho scritto soltanto dopo averla fatta).  
 
Pag1;
https://i.postimg.cc/G26PWxf5/IMG-20190819-165937.jpg
 
 
Pag2:
https://i.postimg.cc/9fRr6Hjc/IMG-20190819-165901.jpg
 
 
Ciao. 
 
--
Wakinian Tanka

 che ho scritto soltanto dopo averla fatta).
Ho letto e non vale la pena che scriva la mia soluzione, che sarebbe
uguale.
Io non mi sono interessato del moto del pendolo, che era scontato.
Mi premeva solo dimostrare che si dissipa energia, e questo l'hai
visto.
In più io avrei osservato che l'energia dissipata è sempre 1/4 di
quella iniziale.
 
Domanda: in che modo si può modificare questa frazione?
Ci sono due strade sostanzialmente diverse: quali sono?
 
 
-- 
Elio Fabri

 2) quale/i forza/e ha/nno fatto lavoro?
 
CARLO
 
 
 
 
E' vero, nel caso della sbarra, l'urto dissipa sicuramente energia; ma se questo caso è stato evocato come "metafora" (approssimativa) del comportamento di ciascun anello della catena del caso dei due manubri, dovremo allora trascurare tale dissipazione, poiché essa non è presente in quel caso, e dovremo quindi considerare solo l'incremento di accelerazione dell'estremità B, che, trasferita analogicamente su ciascun anello della catena, sarà la causa del "colpo di frusta" (a cui ho fatto riferimento nel mio post precedente) e quindi della maggiore accelerazione del manubrio con catena rispetto al manubrio in caduta libera.

     
 
Per modificarla "in peggio" ovvero aumentare la frazione di energia persa, basta far urtare l'asta in un punto piu' vicino al cdm (se urta nel cdm perde completamente l'energia cinetica), oppure modificandone il momento d'inerzia (vedi sotto). 
 
 
Per modificarla "in meglio" e' piu' difficile. Intuisco (guardando i conti) che, da una parte, il momento d'inerzia rispetto al punto A di rotazione dovrebbe essere il minore possibile, dall'altra la massa deve essere il piu' possibile lontana da A, in modo da avere un elevato momento delle forze peso; questo per avere la massima accelerazione angolare. 
 
Sto provando a fare i conti usando una densita' di massa (per unita' di lunghezza) generica, funzione della distanza da A, ma non so se riusciro' a risolvere il problema variazionale che mi pare venga fuori. 
 
Molto ma molto intuitivamente mi verrebbe da dire che si ha la minor perdita di energia cinetica se la massa dell'asta e' concentrata nel centro geometrico.. 
 
Ma solo i conti potranno dirlo. 
 
Prossimamente(?) su questi schermi. 
 
--
Wakinian Tanka

Riflessione finale (più accurata).
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideriamo la sbarra in caduta libera citata nell’altro thread “Sbarra che cade e si blocca…”). Immaginiamo di bloccare l’estremo A imperniandolo rigidamente ad un vincolo solidale col …pianeta Terra: la sbarra eserciterà sul vincolo una forza che, per quanto alto sia il suo valore F, compirà un lavoro L = F*s che sarà di valore infinitesimale essendo “s” lo spostamento infinitesimale che F produrrà sul ...pianeta Terra (considerando trascurabile lo spostamento per deformazione - elastica e/o permanente - del vincolo). Questo significa, cioè, che l’energia cinetica (Ec) e la qdm=mv acquisite dalla sbarra fino al momento dell’arresto dell’estremità A resteranno pressoché invariate; pertanto tale arresto comporterà necessariamente un aumento dell’accelerazione dell’estremità B, visto che m e p devono restare costanti (o quasi); in altre parole, l'accelerazione perduta dal lato A deve essere acquistata dal lato B, se vogliamo che l’accelerazione media sia ancora <g>.
 
Ora, riportiamo questo ragionamento al caso del manubrio e della catena: 
 
https://i.postimg.cc/D0nm32NW/IMG-20190822-0003.jpg
 
 
 
 
 
 
 
Supponiamo che i segmenti a-b-c-d-e siano gli anelli della catena e che ciascuno di essi sia assimilabile alla sbarra in caduta libera di cui sopra. Quando, durante la caduta libera, l’anello <d> soggetto all’accelerazione media <g> si sarà portato nella posizione <e> e il suo estremo A sarà arrestato dal perno solidale col ...pianeta Terra, il suo estremo B assumerà una accelerazione superiore a <g> e la trasmetterà (mutatis mutandis) agli anelli successivi c-b-a e quindi al manubrio <M>. Cosicché, ripetendosi il medesimo processo per gli anelli successivi (c-b-a), gli incrementi di accelerazione si sommeranno (in un effetto frusta) e trascineranno il manubrio in una accelerazione via via crescente fino al contatto col suolo.
 
In altre parole, è l'energia cinetica della metà della catena quella che sarà trasmessa, anello dopo anello, al manubrio e che gli farà raggiungere il suolo prima dell'altro.

 
 
 
 
Naturalmente questo post (che e' stato approvato due volte in due thread diversi) appartiene al thread "I corpi cadono veramente tutti con la stessa accelerazione?".