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Titolo: z=max{x,y} descrizione statistica

Ho già posto il problema sul ng di matematica ma ho ricevuto poche 
risposte, provo qui dove c'è maggiore senso fisico e forse maggiore 
preparazione matematica su problemi che coinvolgono le probabilità.
 
Il problema è generale ovvero date due particelle con tempo di vita x e 
y e densità di probabilità f_x(x) e f_y(y) e definita z il tempo di vita 
della particella superstite si ha:
 
z=max{x,y}
 
Se x e y sono indipendenti si ha:
 
f_xy(x,y) =f_x(x)*f_y(y)
 
f_z(z) = F_x(z)*f_x(z) + F_y(z)*f_y(z)
 
Se inoltre x e y sono equidistribuite:
 
f_z(z) = 2*F(z)*f(z)
 
F è la distribuzione della variabile ovvero l'integrale di f.
 
A me sembra intuitivo che la media di z indicata con z^ abbia questa 
proprietà:
 
z^ >= max{x^,y^}
 
questo con qualsiasi distribuzione di x e y e credo sia ancora valida se 
x e y non sono indipendenti.
 
Ho proposto un controesempio ipotetico: trovare una densità f tale che:
int[z*2*F(z)*f(z) dz] = z^ sia _minore_ di x^ = int[x*f(x) dz]
 
con f gaussiana il controesempio è falso, esiste una f che rende il 
controesempio vero?
 
Altri esempi pratici:
 
Consideriamo una generica provincia, all'interno di ogni provincia 
abbiamo degli individui con una certa descrizione statistica riguardo 
l'aspettativa di vita. Il più longevo a livello provinciale avrà 
descrizione statistica f_z, z nella realtà provinciale è sicuramente un 
ultracentenario e ci si aspetta che z^ comprovi questo dato empirico.
 
Generalizzando:
z=max{x_1,x_2,...,x_n}
z^>=max{x_1^,x_2^,...,x_n^}
 
-- 
Sandro kensan 
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 & 
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 x e y non sono indipendenti.
 
Ragionando un attimo nel caso di x e y indipendenti ed equidistribuite 
con f densità e F distribuzione, se f è simmetrica intorno alla sua media:
 
f_x(x^-x) = f_x(x^+x) per qualsiasi x
 
allora la distribuzione F che è l'integrale di f ha il valore 1/2 in 
corrispondenza di x^. 2*F() avrà il valore unitario in x^.
 
Se anche F non fosse continua si può probabilmente generalizzare il 
concetto.
 
il superstite che ha densità:
f_z(z) = 2*F_x(z)*f_x(z)
 
avrà media z^
 
z^ = int[z*2*F_x(z)*f_x(z) dz] calcolato tra -inf e +inf
 
ora f_x() ha media x^ che è il punto di simmetria della funzione, tale 
f_x(z) vien moltiplicata per un numero minore di 1 per z<x^
 
(infatti 2*F_x(z) è minore di uno per z<x^)
 
e viene moltiplicata per un numero maggiore di 1 per z>x^
 
(infatti 2*F_x(z) è maggiore di 1 per z>x^)
 
quindi f_z(z) = 2*F_x(z)*f_x(z) avrà sicuramente media spostata a destra 
rispetto al punto di simmetria di f_x() che è x^.
 
Cioè z^>=x^ per qualsiasi f simmetrica intorno a x^
 
La mia non è una dimostrazione formale ma credo si possa formalizzare.
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 x e y non sono indipendenti.
 
I(n effetti la dimostrazione è semplice e grazie a Zampino di 
it.scienza.matematica ho risolto il problema, infatti:
 
 
E[Z]-E[X] = per la linearità dell'aspettazione = E[Z-X] = E[max{X,Y}-X] 
= int[(max(x,y)-x) * f(x,y) dx dy] tra -inf e +inf
 
ma max(x,y)-x>0 per qualunque x,y analogamente per E[Z]-E[Y] per cui
 
E[Z]>=max{E[X],E[Y]}
 
dove il segno uguale non vale quasi mai, vale solo se per x>y f(x,y)=0 
oppure se per x<y f(x,y)=0
 
Grazie :)


 oppure se per x<y f(x,y)=0
 
Che poi vuol dire che P[x>y]=0 oppure P[x<y]=0 ovvero che la particella 
x non vivrà un secondo di più della particella y oppure il vice versa.
 
Interessante notare che E[Z]=E[X]=E[Y]} se e solo se le due particelle x 
e y sono siamesi ovvero muore una e quindi muore l'altra.
 
Se le due particelle sono "uguali" (cioè hanno la stessa vita media) e 
non sono siamesi allora:
E[Z]>E[X]=E[Y]
 
Cioè il sopravvissuto ha una vita media superiore a quella delle particelle.
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