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Titolo: dubbio sulla derivazione legge di Poiseuille

In un capillare con profilo parabolico dlela velocità lineare, ho che 
l'attrito
A = tau*2*pi_greac*r*l = eta*2*pi_grega*r*l*dv/dr
con tau = sforzo di taglio per unità di superficie, eta viscosità, r raggio 
di un cilindro di lunghezza l coassiale al tubo capillare considerato, di 
raggio R.
A deve eguagliare in modulo la forza data dalla ddp (p = pressione) agli 
estremi del cilindro:
F = deltap*pi_greca*r^2.
Separando le variabili r e v ed integrando, mi calcolo la funzione v(r).
Sulla base di v(r) si calcola poi, strato per strato il flusso e quindi la 
portata
Q = deltap/Res
Domanda: l'assunto di questo discorso è che il cilindro di fluido descritto 
sia non acceleri, poichè F ed A si bilanciano. Ma come si fa a considerare 
un cilindro di volume finito se anche in esso si ha una differente velocità 
muovendosi verso l'asse centrale del tubo??
A la vedo come la forza di attrito esercitata SUL cilindro dal liquido 
circostante. Ma entro a ci sono altri strati concentrici che sorrono l'uno 
sull'altro....
Grazie.

 muovendosi verso l'asse centrale del tubo??
Dunque, secondo me si può fare cosi':
considerato il cilindro (pieno) di raggio r, asse parallelo all'asse
x, esso si suddivida in N strati cilindrici di raggio r_i , spessore
delta(r) costante (per semplicita') e lunghezza L (scrivo L invece di
l per maggiore chiarezza grafica) ognuno dei quali ha quindi :
sezione = delta(S_i) = 2(pi)(r_i)*delta(r)*L
volume = delta(V_i) = delta(S_i)*L
velocità = v_i =dx_i/dt.
densita' = rho = costante in tutto il volume di fluido
Ho scelto di suddividere il cilindro in N strati di spessore delta(r)
finito, invece che suddividerlo in infiniti strati di spessore
infinitesimo dr, solo per semplicità (vedi dopo).
Calcolo la quantità di moto totale P_r del cilindro iniziale di raggio
r:
P = Sum [m_i*v_i]; ometto di scrivere che la sommatoria Sum va da i 1 ad i = N.

 differente velocità muovendosi verso l'asse centrale del tubo??
Non so se ho capito il tuo dubbio.
Lo scorrimento degli strati un sull'altro all'interno del clinidro
produce una forza di attrito _interna_, anzi due, che come forze
interne di annullano a vicenda.
Basta quindi considerare le forze esterne.
Se invece il dubbio nasce dal fatto che v non e' costante dentro il
cilindro, e' il solito problema degli infinitesimi, ma si puo' anche
trattare in modo rigoroso senza infinitesimi.
 
-- 
Elio Fabri

 trattare in modo rigoroso senza infinitesimi.
Il mio dubbio è il seguente: Un cilindro nel quale varia radialmente la 
velocità, non si muove nel tempo solidalmente in tutti i suoi "strati": 
quelli più interni si muovono più velocemente degli esterni. Il che 
significa che nel tempo il cilindro si "allungherà": i vari strati 
percorreranno cioè tragitti diversi nel medesimo tempo e si avrà uno 
sfasamento telescopico con il "cilindro" assiale che ha percorso il cammino 
più lingo e quelli più esterni cammini sempre minori. Detto questo, come si 
fa a trattare il cilindro come se fosse un corpo solido in moto uniforme? 
Infatti si sostiene che la differenza di pressione tra le due basi del 
cilindro è bilanciata dalla forza di tagli che agisce sulla superficie 
laterale del cilindro.
Grazie 

 wrote:
[...]
Non ho capito perchè il messaggio che ho postato non sia arrivato per
intero.
Riprovo:


Sum [m_i*v_i] = Sum [rho*delta(V_i)*v_i] 
= Sum [rho*delta(S_i)*L *v_i] 
= rho*L*Sum [delta(S_i)*v_i] 
= rho*L*Sum [delta(S_i)*(dx_i/dt)] 
= rho*L*Sum [d(V_i)/dt] ;
dove d(V_i) è l'elemento di volume ottenuto considerando solo una
lunghezza infinitesima dx_i invece che L, del volume delta(V_i).
Ma d(V_i)/dt per definizione è la portata delta(Q_i) dovuta al solo
volume delta(V_i), quindi
rho*L*Sum [d(V_i)/dt] = rho*L*Sum [delta(Q_i)] 
= rho*L*Q_r dove Q_r è la portata complessiva dovuta al cilindro di
raggio r.
In definitiva:
P_r = rho*L*Q_r.
Nell'ipotesi che la portata Q_r non vari nel tempo, l'ultima equazione
indica che anche la quantità di moto P_r non varia nel tempo; per la
prima equazione cardinale della dinamica allora: dP_r/dt = F_r, la
forza totale F_r che agisce sul cilindro di raggio r deve essere
nulla, da cui l'assunto F = A di cui parlavi nella tua domanda.

 tagli che agisce sulla superficie laterale del cilindro.
Non e' affatto necessario trattarlo come corpo solido, e tantomeno in
modo uniforme.
La prima legge cardinale della dinamica vale per *qualsiasi* sistema
meccanico, e per *qualsiasi* moto.
Sebbene il cilindro non sia in moto rigido, pero' la velocita' di ogni
sua singola parte e' costante nel tempo, quindi e' costante la q. di
moto totale.
Ne segue che la risultante delle forze esterne dev'essere nulla.
Per il calcolo della forza di pressione, niente impedisce di prendere
l'istante in cui le basi del cilindro sono piane. Che importa se poi si
deformeranno?
 
-- 
Elio Fabri

 deformeranno?
Me lo sentivo che era cosě: ma non riuscivo a passare dall'intuito a delle 
ragioni convincenti.
Grazie