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Titolo: Funz. d'onda in buca di potenziale

Data una buca di potenziale U(x) infinitamente profonda e di ampiezza a si
riescono a calcolare le autofunzioni dell'energia f_n(x) ed i corrispondenti
autovalori E_n (spettro discreto) per una particella di massa m che si muove
sull'asse x (moto unidimensionale) :
f_n(x) = sqrt(2/a) sin((pi n)/a x) ,   E_n = (pi^2 h^2)/(2ma^2) n^2,
n = 1, 2, 3, ...
Però la funzione d'onda f(x) della particella ha l'espressione
f(x) = somma(in n)(a_n f_n(x)),
come si calcolano gli a_n e quindi la probabilità |a_n|^2 di ottenere un
certo valore dell'energia ?
Come mai che la funzione d'onda, se non sbaglio, non dipende dal tempo ?
O forse dipende dal tempo tramite gli a_n ?
Grazie, ciao, DJ

 O forse dipende dal tempo tramite gli a_n ?
In rappresentazione di Schroedinger le autofunzioni di base f_n(x) non
cambiano nel tempo, e la dipendenza temporale della funzione d'onda si ha tramite la
dipendenza dal tempo degli a_n.
L'argomento dell'evoluzione temporale e' trattato in modo chiaro sul Sakurai.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani

 e' la c.c. di f_m(x), e abbiamo usato il fatto che le f_n(x) sono un set
ortonormale.
Scusa ma se si hanno solo le f_n(x) e gli E_n e non si ha la f(x) come si
dovrebbe fare a calcolare l'integrale ? Dai calcoli sulla buca di potenziale
infinitamente profonda si ricavano solo le autofunzioni e gli autovalori,
mentre nell'integrale che proponi compare la f(x) la cui espressione non si
conosce ma si vorrebbe ricavare. Comunque può essere sono io che non
riesco a seguire il tuo ragionamento. Mi potresti ricavare almeno un
coefficiente a_n dello sviluppo in serie di f(x) mediante in metodo che
proponi ?
Ciao, DJ

 proponi ?
Ad ogni stato che la particella nella buca infinita puo' assumere e' associata
una funzione d'onda (a meno di un fattore moltiplicativo costante) e viceversa,
quindi per ricavare la f(x) bisogna sapere in anticipo in quale stato si trova la
particella, non si puo' calcolare f(x) con un procedimento matematico a priori
utilizzando solo le informazioni contenute nell'hamiltoniana.
Lo sviluppo f(x) = somma(in n)(a_n f_n(x)) vale perche' le f_n(x)
costituiscono un sistema ortonormale completo su L^2[0, a] (sono le funzioni
che corrispondono ad es. ai modi normali di una corda elastica di lunghezza a
avente gli estremi fissi) quindi ogni funzione d'onda f(x) in L^2[0, a] puo'
essere sviluppata in serie di Fourier nella base f_n(x), ma per calcolare i
coefficienti di Fourier a_n bisogna conoscere preventivamente la f(x).
L'utilita' dello sviluppo in termini di autofunzioni dell'hamiltoniana si vede
tra l'altro nello studio dell'evoluzione temporale del sistema, conoscendo
lo stato del sistema al tempo iniziale f(x,t=0) = somma(in n)(a_n(0) f_n(x))
ove i coefficienti a_n(0) non dipendono dal tempo, e' immediato ottenere
la funzione d'onda ad un qualsiasi istante successivo t>0,
f(x,t) = somma(in n)(a_n(t) f_n(x)), ove i coefficenti a_n(t) sono dati
dall'equazione a_n(t) = a_n(0)*exp[-iE_n t / h] (h=htagliato), questo risultato
si ottiene immediatamente applicando l'equazione di Schroedinger dipendente
dal tempo all'equazione f(x,t) = somma(in n)(a_n(t) f_n(x)) con la data
condizione iniziale.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani

 e' la c.c. di f_m(x), e abbiamo usato il fatto che le f_n(x) sono un set
ortonormale.
Scusa ma se si hanno solo le f_n(x) e gli E_n e non si ha la f(x) come si
dovrebbe fare a calcolare l'integrale ? Dai calcoli sulla buca di potenziale
infinitamente profonda si ricavano solo le autofunzioni e gli autovalori,
mentre nell'integrale che proponi compare la f(x) la cui espressione non si
conosce ma si vorrebbe ricavare. Comunque può essere che sono io che non
riesco a seguire il tuo ragionamento. Mi potresti ricavare almeno un
coefficiente a_n dello sviluppo in serie di f(x) mediante in metodo che
proponi ?
Ciao, DJ

"Dottor Jekyll"  ha scritto...
| Data una buca di potenziale U(x) infinitamente profonda e di ampiezza a si
| riescono a calcolare le autofunzioni dell'energia f_n(x) ed i corrispondenti
| autovalori E_n (spettro discreto) per una particella di massa m che si muove
| sull'asse x (moto unidimensionale) :
| f_n(x) = sqrt(2/a) sin((pi n)/a x) ,   E_n = (pi^2 h^2)/(2ma^2) n^2,
| n = 1, 2, 3, ...
Permettimi una precisazione anche se puo' sembrare speciosa: non e' la buca ad
essere infinitamente profonda ma le pareti o, se vuoi, la barriera di
potenziale, ad essere infinitamente alte, ovvero
U(x)=0 per 0<x<a, U(x)=+oo altrove.
Se non fosse cosi' le energie E_n sarebbero tutte infinitamente negative
poiche' E = p^2/(2m) + V. Se non sbaglio, nell'espressione per E_n cosi'
come l'hai scritta devi mettere "accatagliato" (\hbar) al posto di h.
| Però la funzione d'onda f(x) della particella ha l'espressione
| f(x) = somma(in n)(a_n f_n(x)),
Le f_n che citi sono soluzioni normalizzate dell'equazione di
Schroedinger agli autovalori, *indipendente* dal tempo:
H \psi = E \psi
L'espressione generale per f che risolve l'equazione di Schroedinger
*dipendente* dal tempo la ottieni moltiplicando il fattore a_n f_n(x)
per una fase che dipende dal tempo:
f(x,t)=\sum_n a_n f_n(x) \exp(-i E_n t/ \hbar)
| come si calcolano gli a_n e quindi la probabilità |a_n|^2 di ottenere un
| certo valore dell'energia ?
a_n(t)=<f_n|f>/<f|f>=(\int_0^a f_n^*(x) f(x,t) dx) / (\int_0^a ||f(x,t)||^2 dx)
gli a_n che trovi cosi' in realta' dipendono dal tempo, ma attraverso una
fase che e' irrilevante quando calcoli ||a_n||^2
| Come mai che la funzione d'onda, se non sbaglio, non dipende dal tempo ?
| O forse dipende dal tempo tramite gli a_n ?
Volendo si puo' "infilare" la dipendenza dal tempo negli a_n, ma se scrivi
a_n e non a_n(t), e' naturale pensare che gli a_n non dipendano dal tempo.
--
Giovanni Corbelli