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Titolo: biliardino....

se ho due palle da biliardo una ferma e una in movimento...
sapendo esattamente angolo e velocità d'impatto come posso stabilire in che
direzione si muoveranno le due palle dopo??
: se considero l'urto da un punto di vista molto fisico le masse sono uguali
e quindi si formerà tra le due traiettorie un angolo di 90° ... però c'è
qualche formula che mi dia il moto di una palla non colpita centralmente???
grazie mille!
Francesco

 
Supponendo per semplicita', ma senza perdere in generalita', la sfera in
moto all'inizio si muove lungo l'asse x, imponendo la conservazione
della quantita' di moto e dell'energia abbiamo
Vo=V1*cos(phi1)+V2*cos(phi2)
0=V1*sin(phi1)+V2*sin(phi2)
Vo^2=V1^2+V2^2
dove
Vo e' il modulo della velocita' della sfera in moto prima dell'urto
V1 e' il modulo della velocita' dopo l'urto della sfera che era in moto
prima dell'urto
V1 e' il modulo della velocita' dopo l'urto della sfera che era ferma
prima dell'urto
phi1 e' l'angolo che V1 vettore forma con l'asse x
phi2 e' l'angolo che V2 vettore forma con l'asse x
Abbiamo 4 incognite (V1, V2, phi1, phi2) e tre equazioni, quindi le
soluzioni sono infinite, questo perche' in un urto non centrale la
configurazione finale dipende dalla forma delle forze interne, in questo
caso l'informazione che abbiamo e' il cosiddetto parametro d'urto
(perche' le due sfere interagiscono solo nel brevissimo istanet in cui
si toccano, questo perche' possiamo assumerle perfettamente rigide
essendo fatte di un materiale con una costante elatsica cosi' grande da
rendrele praticamente indeformabili dagli urti che si hanno normalmente
giocando a biliardo, se poi le usi come palle di cannone il discorso
cambia ^___^ )
Il parametro d'urto e' la distanza che c'e' tra il centro della sfera
ferma e la retta che individua la direzione della sfera in moto (tutto
riferito a prima dell'urto), e' un dato che si deve sapere a priori, lo
indichiamo con B.
Nel momento in cui si toccano, le due sfere interagiscono con una forza
che e' diretta lungo la congiungente i due centri, quindi la variazione
della quantita' di moto, per ognuna delle due sfere deve essere diretta
lungo questa retta (questo vale solo perche' abbiamo supposto le sfere
indeformabili, se le sfere sono deformabili allora il contatto non puo'
essere assunto istantaneo e quindi non vale questa affermazione sulla
direzione della variazione della quantita' di moto)
La variazione della quantita' di moto della sfera che all'inizio era in
moto e'
M*(V1*cos(phi1)-Vo, V1*sin(phi1))
Mentre la variazione per la sfera che all'inizio era ferma e'
M*(V2*cos(phi2), V2*sin(phi2))
quindi la direzione della velocita' della sfera che all'inizio era ferma
e' proprio la direzione congiungente i due centri al momento dell'urto
(questo e' vero solo perche' era ferma all'inizio)
La direzione puo' essere calcolata facilmente, dato che a noi interessa
solo l'inclinazione consideriamo la sfera in moto nell'origine, quindi
il suo centro ha coordinate (0,0), la coordinata Y2 della sfera
inizialmente ferma e' ovivamente B, per definizione di parametro d'urto,
mentre la coordinata X2 puo' essere calcolata col teorema di pitagora
perche' la distanza tra i due centri deve essere 2R (dove R e' il raggio
di una delle due sfere, che sono uguali) allora X2^2+B^2=4*R^2 =>
X2=SQRT(4*R^2-B^2) il che ci restituisce immediatamente che l'urto puo'
avvenire solo se B e' minore a 2r (ovvio, altrmenti non si toccano) il
coeffinciente angolare della retta passante per i due centri e'
coeff ang =B/SQRT(4*R^2-B^2)
questo e' uguale a tan(phi2) per definizione di phi2
cioe' tan(phi2)=B/SQRT(4*R^2-B^2)
Che ci da la quarta equazione per risolvere il sistema
Il resto e' solo algebra, penso che potrai procedere da solo (io
comunque appena ho un po' di volgia mi completo i calcoli)
-- 
Saluti
Valar
collegato telepaticamente con Allanon, Roland, Capo Rosso e F2
Maestro Jedi di Abulion Yorgen
ICQ 51287994
"Diciamoci la verita': a tutti piacciono i minorenni, per questo c'e'
una legge!" Daniele Luttazzi
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per i non udenti l'english ho detto: "per rispondere cancellate
(cancella)"

 Ciao Francesco, in generale la direzione ed il modulo delle velocità ti è
data dal fatto che in un urto, che supponiamo elastico (ovvero nel quale
l'energia meccanica è conservata), si conserva la quantità di moto totale
del sistema. Ciò significa che l'energia cinetica associata al sistema delle
due particelle prima dell'urto sarà pari a quella delle particelle dopo
l'urto. D'altra parte tali particelle avranno dopo l'urto una velocità tale
per cui, quella già in moto perde energia per cederla a quella
precedentemente in quiete, mentre quella in qiuete acquisisce un'energia
pari proprio a quella ceduta dalla particella che la urta. E' ovvio che,
susseguentemente all'urto, le due particelle procederanno con velocità che
saranno pesate ciascuna dalla propria massa e dalla massa totale delle due
particelle coinvolte nell'urto.
Ciao, Francesco

Francesco
L'angolo di 90° si forma sempre, anzi proprio nel caso in cui la palla
d'attacco colpisce la palla avversaria centralmente non puoi rilevarlo, in
quanto la palla d'attacco si ferma e l'avversaria prende tutta la quantità
di moto di quella d'attacco e si muove proseguendone la traiettoria.
Quando l'urto avviene lateralmente la palla d'attacco prosegue
tangenzialmente al punto d'impatto, mentre l'avversaria lungo la
congiungente i centri delle palle.
Per questo i 90°.
La velocità delle due palle la puoi ricavare scomponendo la velocità
iniziale della palla d'attacco lungo le direzioni delle due palle dopo
l'urto con la regola del parallelogramma.
Se poi vuoi sincerartene sul biliardo tieni a mente che la stecca deve
colpire la palla d'attacco mezzo dito sopra il centro della palla onde
assecondarne il rotolamento, altrimenti introduci effetti che confondono
l'osservabilità del fenomeno.
Ciao, Mauro.