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Titolo: Paradosso dei gemelli - rispondo ad Elio Fabri, a Pastori e agli altri

Un po' in ritardo, rispondo a Elio Fabri dicendo che la questione non è poi
cosi' trita, in quanto secondo me nel Paradosso dei Gemelli è contenuto
buona parte della Teoria della R (come nell'esperimento ideale delle
fenditure di Young è contenuta buona parte della MQ).
Abbiamo un gemello A che resta sulla terra, B che viaggia di moto uniforme
ad una certa velocità fino ad un certo punto. Per poter confrontare il suo
tempo con quello passato sulla terra, deve invertire la rotta e tornare
indietro fino ad A. L'intervallo di A sarà massimo (nella geometria dello
spazio-tempo di Minkowski), mentre l'intervallo di B sarà piu' piccolo e
quindi anche il suo tempo (proprio) sarà inferiore.
Rel. Ristretta:
Sia A il gemello che rimane sulla terra, B il gemello viaggiatore in moto
uniforme.
Secondo A, il tempo trascorso nel viaggio di andata è delta_t_andata=
distanza/velocità del viaggiatore (=delta_x/v).
Poiché il gemello viaggiatore torna indietro con lo stesso modulo della
velocità, anche delta_t_ritorno = d/v , quindi in totale per A delta_t
=2*d/v.
Secondo B, il tempo di andata (tempo proprio tau) è delta_tau_andata =
delta_t/gamma = delta_t*sqrt(1-v^2/c^2), quindi piu' piccolo di delta_t
poiché gamma > 1. Per il ritorno, idem. Quindi il tempo misurato da B è in
totale delta_tau = 2*delta_t/gamma.
Es. numerico: se B viaggia verso Alpha Centauri (d=4 anni luce) alla
velocità v = 0.8*c e ritorno, secondo A il tempo totale trascorso sarà di
2*d/v = 5 anni, mentre il tempo totale trascorso per B sarà di
2*delta_t/gamma = 6 anni. Dunque diverso.
Ho usato solo le trasformazioni di Lorentz (gamma).
Due osservazioni:
1) Si suppone che il gemello B, arrivato a destinazione, cambi di rotta di
180° bruscamente(istantaneamente). Il che vuol dire che li' il grafico
orario presenta un punto angoloso, in cui la derivata 1°, la velocità,
subisce un cambiamento istantaneo (una discontinuità). Quindi in quel punto
la velocità non è differenziabile e l'accelerazione tende a infinito.
Ora questo lo si puo' pensare, ma non corrisponde certo ad un caso reale.
2) Anche trascurando l'oss. 1, partendo dalla terra, il gemello B
sincronizza l'orologio con A. E fin qui tutto bene. Ora quando torna
indietro (per poter confrontare i due orologi), B corrisponde ad un altro,
diverso osservatore inerziale, che pero' non ha potuto sincronizzare l'
orologio con A.
Rel. Generale:
Si suppone che B viaggi verso la meta a velocità costante, decceleri
lentamente, si fermi, inverta la rotta e riacceleri verso la terra sempre
lentamente.
Per A vale sempre delta_t=2*d/v (trascurando il campo gravitazionale della
terra).
B, nelle fasi di deccelerazione/accelerazione non è piu' in un sistema di
riferimento inerziale, poiché sente una forza costante e uniforme: in questo
caso il tensore metrico g avrà solo la componente tempo-tempo. Per B il
tempo proprio **durante la deccelerazione** è dato da delta_tau =
sqrt(g00)*delta_x0, dove g00 è la componente covariante tempo-tempo del
tensore metrico e x0 è il "tempo universale" che vale c*delta_t*gamma
(delta_t, ricordiamo è il tempo misurato da A).
Supponendo la deccelerazione lieve, le forze inerziali saranno piccole, per
cui in prima approssimazione si puo' applicare il limite newtoniano per g00
= 1 + 2*U/c^2, dove U è il potenziale newtoniano statico classico, U<0.
Inserendo questo nell'espressione di delta_tau, sempre in prima
approssimazione (per il teorema del binomio) otteniamo delta_tau =
delta_x0*(1+U/c^2)/c
Ora U=0 per un campo uniforme (U=-dF/dx). Si ottiene quindi delta_tau =
delta_x0/c = delta_t*gamma. Per il tempo complessivo di andata si deve
aggiungere a questo il tempo di andata nel quale B era inerziale. Il tempo
totale è dato da due volte quest'ultimo.
Quindi in questo caso, il risultato ottenuto è uguale a quello che si
ottiene con la RR.
Osservazioni:
1)Ho supposto le accelerazioni piccole, quindi le forze piccole. Se pero' le
accelerazioni sono grandi e/o non costanti, per l'intervallo otteniamo ds =
(c - v^2/2c +U/c)*dt (come prima), e elevando al quadrato per ottenere la
componente del tensore metrico g00, abbiamo in g00 termini in v e in U di
ordine superiore. In tal caso l'espressione del tempo proprio dipende
criticamente da v e da U, per cui il tempo trascorso su B dipende
criticamente dal modo in cui inverte la rotta e dalle accelerazioni che esso
subisce.
2)La RG interviene qui, attraverso il principio di equivalenza, nell'
espressione di g00, supponendo equivalente un campo gravitazionale ad un
sistema accelerato.
Spero di essere stato chiaro.
Aspetto reazioni e risposte.
Ciao
Luca

A me non e' chiaro qual'e' la difficolta'. Una volta capito che la
quantita' rilevante e' il confronto del tempo proprio dei due gemelli,
questa e' una quantita' che si puo' calcolare senza problemi anche se il
moto non e' uniforme.
Prova a guardare il sito seguente per una spiegazione probabilmente
migliore di quella che riuscirei a cucinare io.
http://atschool.eduweb.co.uk/rmext04/92andwed/pf_quant.html
  (guarda il
link al "Twin paradox" nella pagina).
Giorgio Pastore