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Titolo: Prodotto tensoriale di spazi Hilbert

Ciao a tutti,
c'é qualcuno che potrebbe spiegarmi che la definizione matematica di
questo concetto. Ho provato a cercare in rete, ma le spiegazioni
proposte mi sembrano confuse. Insomma dati H1 e H2 (Hilbert, di
dimensione n e m rispettivamente) "H1 tensor H2" viene definito in
termini di "v tensor w" dove v e m appartengono rispettivamente a H1 e
H2. Ma "v tensor w" come vengono definiti in termini delle strutture
H1 e H2 originarie? Insomma, "v tensor w" e' o non e' la coppia
ordinata (v,w) appartenente a H1xH2.
Aiuto!!
Grazie.
Luca


wrote:

Ciao, rispondo solo a te, proprio perché tra poco, nel prossimo
semestre, dovrò tenere lezione su questo genere di cose (mi scuso con
tutti gli altr thread, specie con Bruno Cocciaro, lasciati aperti
anche su free.it.scienza.fisica, ma non no più tempo).
Allora, la definizione di prodotto tensoriale di due spazi vettoriali
la puoi dare come segue, è un pò contorta, cerca di seguire fino in
fondo. Ti faccio la versione semplificata tenendo conto che i due
spazi sono di Hilbert per cui sono isomorfi ai loro duali per il
teroema di Riesz altrimenti, con meno struttura, bisogna faticare un
pò di più
(vedi le mie dispense su 
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
:
Multi-Linear Algebra and Tensor Calculus in Mathematical Physics with
Applications to Special Relativity)
Per prima cosa bisogna introdurre i funzionali multilineari. Considera
ora H1 e H2 e l'insieme dei funzionali BI-lineari da H1x H2 in C
Quindi si tratta di tutte le funzioni definite sul prodotto cartesiano
di H1 e H2 a valori in C che siano lineari, separatamente, in ciascuno
dei due argomenti. Indichiamo con L(H1,H2) questo insieme di
funzionali bilineari. Per definizione F in L(H1,H2) soddisfa
F: H1 xH2 -> C,
F(af+bg,h) = aF(f,h) + bF(g,h),
F(h,af+bg,) = aF(h,f) + bF(h,g)
Lo spazio L(H1,H2) e' a sua volta uno spazio vettoriale su C se
definisci le combinazioni lineari di funzionali F e G in L(H1,H2) nel
modo ovvio
(aF+bG) (f,h) := aF(f,h) + bG(f,h).
 L(H1,H2) ha elementi privilegiati, i prodotti tensoriali, costruiti
come segue usando elementi di f in H1 e g in H2
f tensor g :   (k,h) |->  <f|k> <g|h>
< | > è il prodotto scalare. Puoi verificare che f tensor g è davvero
un elemento di L(H1,H2), dalle proprietà di linearità a destra del
prodotto scalare.
Quindi f tensor g è individuato dalla coppia ordinata (f,g), ma NON è
la semplice coppia ordinata (f,g), è qualcosa di più complicato: un
funzionale bilineare su H1 x H2. Andiamo avanti
Il sottospazio *generato* da tutti gli elementi f tensor g in
L(H1,H2), al variare di f in H1 e g in H2, si chiama *spazio prodotto
tensoriale ALGEBRICO* di H1 e H2, che indicherò con
H1 atensor H2
ed i suoi elementi sono detti *tensori*.
Nota bene che gli elementi di H1 atensor H2 non sono  semplici
elementi del tipo f tensor g ma COMBINAZIONI LINEARI di tali
elementi.
Questo è fondamentale in meccanica quantistica, perché implementa il
principio di sovrapposizione degli stati
(per questo motivo si usa il prodotto tensoriale...).
 H1 atensor H2 NON è ancora uno spazio di Hilbert, e per fare la
meccanica quantistica lo deve essere, allora bisogna ancora raffinare
la definizione, passando al prodotto tensoriale HILBERTIANO di H1 e
H2, che è quello, immagino, che interessi a te. E' abbastanza
semplice.
Su H1 atensor H2 si mette un prodotto scalare indotto da quelli di H2
e H2 e definito in due passi come segue.
1) Per prodotti tensoriali semplici f tensor g e  h tensor k, se <|>_1
e <|>_2 sono i prodotti scalari in H1 e H2 rispett:
<  f tensor g | h tensor k > := <f|h>_1 <g|k>_2     (prod scalar)
2) Si estende per sesqui-linearità la definizione data sopra a
combinazioni lineari finite di prodotti tensoriali semplici. Es
< a f tensor g + b h tensor k | p tensor q > : = a*<  f tensor g | p
tensor q >  + b*< h tensor k   | p tensor q >
dove * è il complesso coiniugato...La stessa cosa si fa con
l'argomento di destra senza coniugazione complessa...
Si dimostra (non è banalissimo, ci vuole un teorema di universalità)
che c'è un unica forma sesquilineare su  H1 atensor H2 che soddisfa le
richieste, e questa forma sesquilineare è definita positiva, per cui è
un prodotto scalare hermitiano
<   |  >  su H1 atensor H2, l'unico, che soddisfa la rischiesta (prod
scalar).
A questo punto il gioco è fatto: si prende il completamento di H1
atensor H2 rispetto alla norma associata a <   |  >  e questo spazio
di Hilbert è, per definizione, il prodotto tensoriale hilbertiano di
H1 e H2 e si indica con H1 tensor H2.
In definitiva H1 tensor H2 è composto di combinazioni lineari *in
generale infinite* di prodotti tensoriali elementari f tensor g. La
nozione di convergenza da usare è quella definita dal prodotto scalare
<   |  >. E' abbastanza intuitivo che se {u_i} e {v_j} sono basi
hilbertiane (sistemi ortonormali completi) di H1 e H2 rispettivamente,
tutti gli elementi u_i tensor v_j, al variare di i e j in tutti i modi
possibili, formano una base hilbertiana di H1 tensor H2.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 anche su free.it.scienza.fisica, ma non no piů tempo).
Grazie comunque per il pensiero.
Ci saranno certo occasioni in futuro per riprendere gli argomenti in
sospeso.
Spero di aver riportato correttamente la tua posizione nel mio ultimo
intervento su fisf.
Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)

Grazie Valter dell'attenzione alla mia domanda. Mi leggo adesso la tua
risposta e se ho ancora domande posto qui di seguito.
La lunghezza della tua risposta mi consola. Nei libri di fisica che
avevo consultato io, il prodotto tensoriale viene introdotto
con estrema non chalance, come se fosse la cosa piu' naturale di
questo mondo.
Ciao.
Luca

 > ordinata (v,w) appartenente a H1xH2.
In dimensione finita L(H1,H2) è lo spazio vettoriale delle
forme bilineari ed ha una base isomorfa alle coppie degli
elementi di base di H1 x H2, ovvero è isomorfo ad H1 x H2
ed è dotato di un prodotto scalare e di una topologia indotta
da H1 x H2. La differenza di questo oggetto rispetto allo spazio
vettoriale prodotto cartesiano, che si indica anche con un simbolo
differente: H1 + H2 (andrebbero aggiunti dei circoletti intorno ai segni
di somma e prodotto per intendere che si sta pensando alle strutture
vettoriali, infatti in ambito insiemistico A x B denota proprio il prodotto
cartesiano) è considerevole, partiamo dalla somma:
mentre nel prodotto cartesiano le coppia si sommano semplicemente in questo
modo:
(vh1, vh2) + (wh1, wh2) = (vh1+wh1,vh2+wh2)
 i prodotti tensoriali vh1 x vh2 e wh1 x wh2 differiscono dal
prodotto tensoriale (vh1+wh1) x (vh2 + wh2). D'altra parte
già il conteggio dimensionale ti dice che le forme bilineari
formano uno spazio vettoriale che ha dimensione pari al prodotto
delle dimensioni degli spazi di partenza. Mentre il prodotto cartesiano
ha prodotto pari alla somma. Da un punto di vista pittorico, mentre le
coppie cartesiane si possono rappresentare giustapponendo uno di
seguito all'altro i vettori degli spazi di partenza, le coppie tensoriali si
possono
rappresentare mediante matrici con indice di riga negli indici di H1 ed
indice di
colonna negli indici di H2. Il motivo di confusione deriva da questa ingenua
osservazione:
(v, w+a u) = (v,w) + a (v,u) è multilineare
ed anche per il prodotto tensore:
v x (w+a u) = v x w + a v x u.
Tuttavia, mentre nel prodotto cartesiano (v,0) + (0,w) = (v,w)
nel prodotto tensoriale (v x 0) + (0 x w) = 0. Per questa ragione
mentre nel prodotto cartesiano l'elemento (e1, e2) può essere
espresso come (e1,0) +(0,e2) e quindi si riottiene la nota identità:
(vh1, vh2) + (wh1, wh2) = (vh1+wh1,vh2+wh2)
 nel prodotto tensoriale invece
(e1 x e2 ) è linearmente indipendente da (e1 x 0) e (0 x e2)
(che valgono identicamente zero) e quindi la dimensione non
si riduce più alla somma delle dimensioni iniziali, ma cresce
fino al prodotto delle dimensioni iniziali.
In dimensione infinita, c'è una difficoltà di ordine differente: questo
spazio vettoriale, costruito dalle coppie degli elementi di base
di H1 ed H2, per diventare di Hilbert, oltre che essere dotato
di un prodotto scalare, deve essere completato rispetto alla
topologia indotta dalla norma associata a questo prodotto scalare.
Ovvero occorre che tutte le sequenze di Cauchy siano convergenti
ad un elemento, per questo non basta l'estensione per linearità del
prodotto scalare sugli elementi di base, ma occorre addentrarsi in
sottigliezze di convergenza. La schematizzazione dettagliata dei vari
passi della procedura di definizione l'ha fornita Walter.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 L(H1,H2) ha elementi privilegiati, i prodotti tensoriali, costruiti
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

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Ciao, purtroppo come ho gia' scritto non ho molto tempo per rispondere
a nessuno dato che sto preparando le lezioni per il prossimo semestre.
Volevo solo segnalare che, in seguito alla tua domanda, ho aggiunto
una sezione alle dispense che ti ho citato nell'altro messaggio, dove
discuto in tutti i dettagli la cosa (cioe' il prodotto tensoriale
hilbertiano, nel caso generale di dimensione infinita e non
separabilita' in generale). Ora sto cercando di aggiungere un po' di
teoria degli spinori e forse di algebre di Clifford...Gli studenti mi
malediarnno ;-)
   Ciao, Valter

Grazie e tutti per le risposte!
Gia' che ci sono vi espongo anche un'altro dubbio riguardante
l'entanglement e i prodotti tensoriali.
Come discende dalle vostre definizioni il fatto che alcuni stati
possono essere fattorizzati ed altri
invece sono misti?  Se ne puo' gia' parlare a livelli cosi' astratti o
si devono porre delle condizioni
ulteriori di tipo fisico?
Infine, come mai si usa il prodotto tensoriale per modellare i sistemi
quantistici composti?
Perche' nella pratica si e' visto che "funziona cosi'" oppure ci sono
ragioni piu' profonde.
Confesso che mi lascia un po' perplesso che dai vettori di passi ad un
sistema composto
descritto da funzioni bilineari su vettori.
Spero di essere stato chiaro almeno nell'esprimere cio' che non mi e'
chiaro.
Ho chiesto queste cose a dei fisici che lavorano con queste cose e ho
avuto
la nettissima impressione che sapessero usare questi strumenti, ma non
avessero
chiarissimi i concetti sottostanti. Allora mi son detto che forse in
effetti sono
delicati e mi sono deciso di approfittare del vostro tempo e della
vostra cortesia!
Grazie ancora e quando avete tempo fatemi sapere.
Ciao.
Luca

 Luca
Ciao, Valter

 per a,b numeri e f,g, h vettori.
volevo evidentemente scrivere
f tensor (ag +bh) = a (f tensor g) + b ( f tensor h)
 per a,b numeri e f,g, h vettori.
Ciao, Valter

Grazie, a tutti e due per i limpidi chiarimenti.
Avevo un dubbio su come mai la base definita dai prodotti tensoriali
tra gli elementi delle basi dei degli spazi fattori potesse generare
un
insieme piu' ampio dell'insieme dei prodotti tensoriali tra singoli
elementi
degli spazi vettoriali fattori. Poi mi sono fatto le dimostrazioni
(banali)
e tutto e' tornato.
Una domanda bibliografica. Sto studiando per conto mio sui libri che
seguono.
(tenete conto che all'universita' ho sostenuto un esame di elettronica
quantistica
dedicato per buona parte ai fondamenti della m.q. per cui non parto da
zero.
Per la parte fisica ho il Messiah e il Cohen-Tannoudji. Mi sembrano
entrambi
testi molto dettagliati e completi. Per la parte di approfondimento
della matematica
ho il Simon e Reed di analisi funzionale e il Bachman-Narici
"Functional Analysis".
Ho anche ereditato da un amico "Introductory Real Analysis" di
Kolmogorov-Fomin
(anche se devo dire che ho fatto praticamente tutto il suo contenuto
durante gli
studi di ingegneria elettronici anni fa). Gli ultimi due di questi
libri non sono orientati
alla meccanica quantistica, ma dimostrano proprio tutto in dettaglio.
Del Simon e Reed
ho letto le prime pagine, ma ho visto che salta molte dimostrazioni.
La cosa positiva e' che e' un libro
orientato alle applicazioni di meccanica quantistica.
Che mi dite? Sono ben equipaggiato per il mio viaggio nel mondo dei
quanti??
Valter sulle tue pagine ho visto che menzioni "Mathematical and
Conceptual Foundations of
the 20th-Century Physics" di Emch. Di che cosa si tratta?
Ciao a tutti.
Luca


E' un libro ben fatto, forse ora un po' datato che parla un po' di
tutto, dalla relativita' alla teoria quantistica dei campi. E' scritto
in modo rigoroso.
 Ciao, Valter

 fino al prodotto delle dimensioni iniziali.


 > the 20th-Century Physics" di Emch. Di che cosa si tratta?
Provo a cercalo in biblioteca. Quali sono i punti forti di questo
testo?
Ciao e grazie.
LB

 LB
Ciao, Valter

Mi e' appena arrivato il Prugovecki: Quantum Mechanics in Hilbert
Space.
Ho dato un'occhiata sommaria e ti ringrazio calorosamente!! Se ti
avessi chiesto
prima avrei risparmiato un sacco di quattrini. Credo che con questo
tomo, insieme
a quello mitico di Cohen che fa la fisica "con le mani" e buon ultimo
il Bachman-Narici (Functional Analysis) di essere ben equipaggiato per
le mie escursioni
nel mondo delle teorie quantistiche!
Ciao.
Luca