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Titolo: GR e quintessenza

Un chiarimento
Quando scrivo equazione di Einstein ho
 tensore_einstein = -8 pi G Tensore_energia_impulso
Se calcolo la divergenza del Tensore_energia_impulso vedo che si annulla, e
stessa cosa accade al tensore_einstein. Quindi posso aggiungere un termine
costante (lambda) e il carattere della mia equazione non e' cambiato, visto
che la divergenza di lambda non mi da alcun contributo. (Detto brutalmente,
poi lo so che uno dovrebbe dire tutte le belle condizioni etc ...)
Ora non mi ricordo (sono un po' arruginito e non ho nessun testo sotto mano)
se quando parliamo della divergenza indichiamo divergenza sia rispetto a
coordinate spaziali + temporali o solo divergenza delle coordinate spaziali.
Ma se non erro si indica la tetradivergenza, vero?
Leggendo sui modelli di quintessenza, si introduce invece una 'lambda' che
in realta' non e' piu' costante, ma varia con il tempo. In questo caso come
posso metterla impunemente nell'equazione di einstein?
1) in effetti faccio la divergenza solo sulle coordinate spaziali e quindi
variazione temporale e' permessa
2) se invece uso la tetradivergenza metto in maniera tale che derivata
rispetto a coordinate spaziali si cancelli con derivata rispetto al tempo
3) altro ... ?
Probabilmente se chiarisco cosa si intende per fare la divergenza (solo
spaziale o anche temporale) faccio gia' un primo passo ... grazie comunque a
chi si interessera'
Mario
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 come posso metterla impunemente nell'equazione di einstein?
non conosco i modelli recenti, ma ricordo che tutti gli studi con
lambda variabile fino agli anni novanta inclusi (quelli che ho letto,
si capisce,  che non sono pochi ma certo non sono tutti)
seguivano due strade:
1) o trattavano lambda come un campo scalare (ottenendo equazioni
analoghe a quelle di Brans e Dicke, solo che ora la variabile era
lambda e non G; e ci sono anche modelli più generali che
fanno variare insieme sia G che lambda). Le equazioni venivano
dedotte da un principio d'azione (si generalizzava la lagrangiana
di Hilbert-Palatini arricchendola del nuovo campo scalare).
2) oppure scrivevano le nuove equazioni di campo semplicemente così:
tensore di Einstein =  8 pi G (x) Tensore energia impulso  +
+ lambda(x) Tensore metrico                      ( 1 )
dove (x) indica dipendenza dalle coordinate [su scala cosmologica
e con metrica di RW ovviamente si ha semplicemente G(t) e
lambda(t) con t tempo cosmico).  Cioè inserivano" impunemente"
come hai detto tu la (le ) variabile (variabili) nelle equazioni di
Einstein, conservando perfettamente inalterata la _forma_ di
queste ultime.
Gli autori che facevano così si scusavano dicendo
in sostanza: " non riusciamo a dedurre le ( 1 ) da un
principio variazionale (come invece sarebbe desiderabile
per tutte le teorie di campo rispettabili) però le equazioni ( 1 )
hanno il vantaggio di essere semplici nella struttura
come quelle di Einstein e secondo noi vale la pena di studiarle
perchè potrebbero essere il caso particolare di una teoria più
soddisfacente (leggi: con lagrangiana) ".
Effettivamente le ( 1 ) sono semplici da trattare.
Fermo restando che la divergenza del tensore di Einstein
continua a essere identicamente nulla, e scrivendo:
T^ik = tensore energia-impulso;
g^ik = tensore metrico;
L = lambda
/ k = derivata covariante rispetto alla coordinata x^k
hai subito dalla (1 ) (tralascio l' 8 pi)
G / k T^ik + G T^ ik / k + L / k g^ik       ( 2 )
(ovviamente G / k  e L / k  sono derivate parziali ordinarie
dato che G e L sono scalari;   T^ik/ k  è la tetradivergenza
che dicevi tu).
A questo punto puoi divertirti a considerare almeno due
possibilità:
( A ) se vuoi che L cambi, cioè se vuoi L / k =/= 0 ,
puoi avere  G costante a patto di abbandonare la conservazione
dell'energia-impulso della materia (intendendo come materia tutto
e solo ciò che è incluso in T^ik); infatti se G è costante, G / k
si annulla e la (2) impedisce l'annullarsi di T^ik / k ;
( B ) Alternativamente puoi mantenere le solite leggi di
conservazione  T ^ i k / k = 0  ma allora sei costretto a
concludere che  G / k =/= 0  cioè che G non è una
vera costante.
Poichè, a quanto pare, le osservazioni suggeriscono un
valore di L (che è dimensionalmente l'inverso del quadrato
di un tempo)  positivo e dell'ordine di 10^(-35) s^(-2) ,
valore che a sua volta è dell'ordine dell' inverso del quadrato
della costante di Hubble (la quale diminuisce col passare del
tempo) è ragionevole pensare che L diminuisca col tempo;
in questo caso è facile vedere dalla ( 2 ) (nel caso semplice
della metrica RW) che:
nel caso ( A ) , cioè G costante, c'è creazione di materia.
Ottieni infatti  da ( 2 )
T^0 k / k  = T^00 / 0 + T^00 G(0 k, k)     ( 3 )
dove G è la connessione affine (la chiamo G perchè la
mia tastiera non ha il gamma). Con F = funzione di scala,
e H costante di Hubble, la metrica RW ti dà
G(0 k, k) = (3 / F) d F / d t  = 3 H                  ( 4 )
Se ora consideri per semplicità un fluido perfetto senza
pressione hai T^00 = D = densità di massa
(la metrica ha i segni +, -, -, -) e  tutte le altre T^ik sono
nulle, quindi  d D / d t  +  3 D H  + d L / d t  = 0
o equivalentemente
d ( D F^3) / d t  =  - F^3 d L / d t              ( 5 )
e siccome D F^3 è la massa contenuta
nel volume comovente F^3 è chiaro che
con L positivo e decrescente nel tempo
si ha aumento di massa nel tempo.
Tutto questo per un fluido perfetto senza
pressione ma credo che anche in casi più
generali (non troppo esotici, almeno)
la conclusione sarebbe sostanzialmente
la stessa (dico " credo" perchè non conosco
studi a riguardo).
Nel caso ( B ), cioè T^ik / k = 0 (nessuna creazione
di materia) si trova  d G / d t > 0  (la "costante" di Cavendish
cresce col tempo) secondo la legge (è immediato verificarla!!)
d G / d t  =  ( - 1 / 8 pi D ) d L / d t               ( 6 )
Sulla forma della funzione decrescente L ( t ) puoi
sbizzarrirti a fare ipotesi.
Per esempio puoi scegliere L = H ^ 2  o L = 1 / t ^ 2
o L = 1 / F^2  (F = funzione di scala).
Se vuoi ti mando un po' di bibliografia.
saluti
Corrado

Grazie molte,
sei stato chiarissimo! Se poi mi mandi un po' di bibbliografia (magari anche
qualche review introduttiva - la trovo su spires?ads?-) mi faresti un
piacere, cosi' do un'occhiata e mi faccio un po' di idee su questi lavori..
Ciao!
M.


comunque a chi si interessera'
La divergenza di un campo di tensori non sempre e`
univoca, nel senso che per tensori di ordine p si
possono avere p divergenze distinte, ciascuna
costituita da un tensore di ordine p-1.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 (magari anche qualche review introduttiva - la trovo su spires?ads?-)
scusa l'ignoranza: cosa sono spires e ads ?
Ciao!
Corrado

 scusa l'ignoranza: cosa sono spires e ads ?
Grazie molte per l'esaustive bibliografia!
* ADS e' dove puoi cercare articoli di genere astrofisico
http://adswww.harvard.edu/
* spires e' invece piu' orientato verso high energy physics
http://www.slac.stanford.edu/spires/
* Se poi vuoi i preprint di -quasi- ogni campo puoi andare invece su
http://babbage.sissa.it/
 
Ciao e grazie ancora!


 Ciao e grazie ancora!
Anche a te,
Corrado