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Titolo: X Valter Moretti

Ciao Valter, non sono riuscito a trrovare la risposta alla seguente domanda:
"qual è il campo di Killing di una varietà nei seguenti casi: 1) la metrica
è di Robertson Walker; la metrica è quella di Godel, la metrica è quella
degli universi di Bianchi ?"
Grazie in anticipo.
Rob_jack


Scusa ma sono molto impeganto su vari campi e non ho proprio tempo
per rispondere, forse Elio ha tempo.
Ciao, Valter

 per rispondere, forse Elio ha tempo.
Sono stato via qualche giorno, e ora sto smaltendo gli arretrati...
C'e' un problema: delle tre metriche proposte la sola che conosco e' RW.
Quella di Goedel l'ho sentita nominare, ma non ne ho mai visto
l'espressione; quelle di Bianchi non sapevo neppure che esistessero.
Percio' se Rob_jack mi scrive queste metriche, risparmiandomi ricerche
bibliografiche, vedro' cosa posso fare; cosi' impariamo entrambi
qualcosa ;-)
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Ciao, ti scrivo quella di Godel, perché quella di Bianchi per adesso non la
trovo. Quella di Godel l'ho presa da Adler, "Introduction to General
Relativity", pag. 439. Allora il ds^2 è dato da:
ds^2=[dx^0+exp(a*x^2]^2 - (dx^1)^2 - (1/2)*exp(2*a*x^1)*(dx^2)^2 - (dx^3)^2
(1)
Qui (x^0, x^1, x^2, x^3) sono le usuali coordinate di un punto-evento dello
spazio-tempo, mentre "a" è una grandezza con le dimensioni dell'inverso di
una lunghezza.
Da come ho potuto capire, la (1) è una soluzione delle equazioni di E. con
un tensore impulso-energia di un fluido rotante. Poi, il sistema di
coordinate non è sincrono, quindi non è possibile definire un tempo
universale (sincronizzazione degli orologi), a differenza di ciò che succede
con RW. La rotazione definisce una direzione privilegiata, violando
l'isotropia dello spazio fisico e quindi il principio cosmologico. Ho letto
da qualche parte che Godel "regalò" tale soluzione ad Enstein in occasione
del suo 70simo compleanno. La scelta della rotazione e del sistema di
coordinate non sincrono non è casuale, perché secondo Godel nell'universo
non esistono oggetti non ruotanti, nel senso che la rotazione fa parte di un
set di gradi di libertà e ci si aspetta che l'universo stesso ruoti. La
mancanza di non sincronicità invece, nasce dal fatto che Godel non credeva
nella realtà del tempo e quindi in un tempo *universale*.
Adler calcola poi le connessioni.
Le componenti non nulle del tensore metrico, sono:
g_00=1, g_11=-1, g_22=(1/2)*exp(2*a*x^1), g_33=-1
g_02=g_20=exp(a*x^1)
Questo tensore è non diagonale, quindi il corrispondente sistema di
coordinate è curvilineo. In più non è sincrono (come già detto), perchè in
quest'ultimo caso le componenti g_0k devono annullarsi (k=1,2,3).
Leggendo velocemente, ho visto che Adler lega la grandezza "a" con la
costante cosmologica e alla fine re-intepreta il risultato di Godel
collegandolo al principio di Mach, anche se tralascia il calcolo del campo
di Killing e quindi delle simmetrie del sistema (la ragione del post era
proprio questa).
Grazie in anticipo
Rob_jack


Questa metrica è soluzione delle equazioni di Einstein *con* costante
cosmologica (lambda):
R_mu,nu + (lambda - (1/2)*g_mu,nu*R) = -(8*Pi*G/c^4)*T_mu,nu         (2)
nell'universo di Godel la materia è fenomenologicamente descritta attraverso
un fluido perfetto con equazione di stato p=0 (materia incoerente o
disgregata). Quindi:
T_mu,mu = rho*^c^2*u_mu*u_nu           (3)
nella (3) u_mu è la 4-velocità del generico elemento di fluido. Siccome il
sistema di coordinate è in co-moving, si ha: u^mu = (1,0,0,0) e abbassando
gli indici, si ottiene:
T_mu,nu = rho*^c^2*g_mu,0*g_nu,0
Adler dice che (1) è soluzione di (2) solo se:
lambda = -(a^2/2) ;    a^2/(rho*c^2) = 8*Pi*G/c^4                  (4)
Per adesso mi sono fermato qui. Per quanto riguarda i vettori di Killing,
penso che possano essere calcolati a vista, cioè guardando le simmetrie del
sistema o in modalità "brute force" vale a dire integrando l'equazione
differenziale di Killing.
Ciao, Rob_jack

 l'espressione;
<cut>
Data la metrica di Gödel (vedi post precedente) in coordinate x^mu = (ct, x,
y, z), i vettori di Killing (normalizzati) dovrebbero essere:
(1,0,0,0);  (0,0,1,0); (0,0,0,1)          (1)
Per determinarli non c'è bisogno di risolvere l'equazione di Killing, perchè
per definizione stessa di campo di killing (generatore delle isometrie), se
ho una metrica che non dipende ad es. da x^0=ct, significa che il vettore
(1,0,0,0) è di Killing, in quanto ogni traslazione lungo x^0 lascia
invariata la metrica. Poi, la metrica di Godel dipende solo dalla coordinata
x^2, quindi resta giustificata la (1).
Per quanto riguarda l'interpretazione fisica, esiste un teorema secondo cui
il prodotto scalare di un vettore di Killing per il 4-impulso della
particella è una costante del moto.
(1,0,0,0) di Killing => la componente tempo del 4-impulso (cioè l'energia
della particella) è una costante del moto. Ciò non sorprende perché g_mu,nu
(e quindi il campo gravitazionale) non dipende dal tempo.
i rimanenti due vettori sono forse associati a qualche rotazione?
Ciao, Rob_jack

 differenziale di Killing.
Non so vedere vettori di Killing tranne i due banali, relativi alle
traslazioni in t e in z. 
Ricavarli dall'eq. diff. non mi sembra banale. Mi piacerebbe sapere se
c'e' qualche altra tecnica.
Ma perche' ti poni la questione?
Quanto a RW, credo che ci siano solo le isometrie delle sezioni
spaziali, che sono un gruppo di dim. 6 (risp. SO(4), E^3, o Lorentz, per
i tre casi di curvatura). Non ho calcolato esplicitamente i vettori di
Killing, ma ritengo che sapendo questo sia facile trovarli.
Puo' aiutare, in ogni caso, il fatto che sono un'algebra di Lie; quindi
trovati due va bene anche il loro commutatore.


 i rimanenti due vettori sono forse associati a qualche rotazione?
Io direi traslazioni: nota che i tre vettori commutano.
Tra parentesi, non basta la metrica per definire uno spazio-tempo.
Bisogna precisare l'atlante che ricopre la varieta'.
Qui sembrerebbe implicito che l'atlante consista di una sola carta, con
le 4 coordinate che assumono tutti i valori reali. In altre parole,
l'immagine della varieta' e' l'intero R^4. E' cosi'?
Anche questo e' necessario per decidere se si tratta di rotazioni o
traslazioni. Una rotazione la vorrei associata a un angolo, quindi a una
"periodicita'" nella corrispondente coordinata (detto da fisico:
speriamo che Valter non legga :-)) ).


 speriamo che Valter non legga :-)) ).
E qui sta il punto. Per dimostrare l'esistenza di una rotazione, Adler
confronta la metrica di Gödel con quella corrispondente ad uno spazio in
rotazione; precisamente, una terna 0xyz in rotazione uniforme attorno
all'asse z. L'intervallo spazio-temporale in coordinate cilindriche
(r,phi,z) è:
ds^2= (1-(w^*r^2)/c^2)c^*dt^2 - dr^2 - r^2*(dphi)^2-(dz)^2 -
2*w*r^2*(dt)*(dphi)
A questo punto, Adler re-interpreta le coordinate x^mu in cui è scritta la
metrica di Gödel, dicendo che x^1, x^2, x^3 non sono le coordinate
cartesiane, ma coordinate di tipo cilindrico. (Forse è per questo che i
rimanenti due vettori di Killing sono associati a rotazioni, piuttosto che a
traslazioni). Quindi dice che questa analogia suggerisce che l'universo di
Gödel in qualche modo *ruota*.
Per dimostrare l'esistenza di una rotazione, Adler segue una strada molto
tortuosa che non mi sembra il caso di riportare qui. La cosa che non si
capisce è rispetto a *cosa* l'universo di Gödel ruota. Cioè, posso
considerare un sistema e dire che questo ruota rispetto al resto
dell'universo. Ma quando prendo l'universo nel suo insieme, rispetto a cosa
osservo la rotazione? Adler se la cava invocando il principio di Mach, in un
modo non molto chiaro.
Per inciso, gli universi di Gödel mi sembra che siano connessi a una qualche
versione di "many-worlds" (
http://www.hep.upenn.edu/~max/everett.html
).
Ciao, Rob_jack

 osservo la rotazione? 
Il fatto e' che la rotazione non e' rigida, visto che la vel. ancgolare
dipende da x^1 (alias x).
Potrebbe darsi (non ho fatto conti, vado a naso) che asintoticamente,
per x^1 che va a + o - infinito, la metrica si possa ridurre
lorentziana. Allora avrebbe senso dire rispetto a che cosa ruota. 


 lorentziana. Allora avrebbe senso dire rispetto a che cosa ruota.
Solo per x^1->-oo, dato che le componenti del tensore metrico vanno come
exp(a*x^1). Ma x^1 è una coordinata radiale, quindi è definita positiva.
BTW, anche nel 1° caso i conti non tornano perchè g_mu,nu non si riduce alla
metrica lorentziana.
Ciao, Rob_jack

 A me non torna il segno a secondo membro.
credo che dipenda dalla definizione di R_mu,nu perchè i commutatori cambiano
di segno...
marco

 --
Solo per x^1->-oo, dato che le componenti del tensore metrico vanno come


 metrica lorentziana.
Purtroppo le cose sono ben piu' complicate...
Primo: la tua x^2 *non e'* una coordinata spaziale, nel senso che le
linee coordinate con x^0, x^1, x^3 costanti sono di tipo tempo.
Allo stesso modo, le sezioni a x^0 costante *non sono spaziali* (guarda
che cos'e' il vettore normale). Percio' non puoi interpretarle come
"spazio", e tanto meno puoi affermare che le coordinate siano
cilindriche.
Secondo: dove sta scritto che x^2 debba essere trattata come una phi?
Potresti deciderlo (ma devi dirlo esplicitamente, non sta scritto nella
metrica) se fosse una coord. spaziale, ma purtroppo non lo e'.
Per la stessa ragione, non hai diritto di affermare che x^1 e' una
coordinata radiale, quindi positiva. Nota che non c'e' nessuna
singolarita' per x^1=0: la metrica non ha singolarita' per nessun valore
reale delle coordinate, ossia la carta puo' essere estesa all'intero
R^4.
Percio' tutta l'interpretazione di "spazio che ruota" ecc. mi pare
debolmente fondata, a meno che non ci siano altri argomenti che non
conosco.
Dicevo di un altro vettore di Killing: c'e' un'isometria cosi' definita:
x^1 |-> x^1 * exp(ac)  x^2 |-> x^2 - c con c reale qualsiasi.
Mi e' percio' venuto naturale cambiare la coordinata x^1 al modo
seguente: 
u = exp(-ax^1) (ovviamente u>0).
Allora, ponendo per brevita' t=x^0, v=x^2, z=x^3 la metrica diventa
ds^2 = dt^2 - du^2/u^2 + dv^2/(2u^2) + 2 dt dv / u - dz^2
La nuova isometria e' semplicemente u |-> ku, v |-> kv.
Ho anche calcolato le geodetiche. Non sto a scrivere la formula generale
(si puo' dare in funzioni elementari). Il calcolo e' facile, dato che
abbiamo tre vettori di Killing e in piu' la lagrangiana che e' anch'essa
costante del moto.
Volevo verificare che le linee coord. di t fossero geodetiche (non mi
era evidente). E' vero.
Pero' l'interpretazione fisica di tutto cio' non mi e' ancora chiara...



Il fatto di avere i tre vettori di Killing: (1,0,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)
significa che si conservano le corrispondenti  componenti della 4-velocità
di una particella libera. Quindi:
(dx^0/ds)=const,     (dx^2/ds)=const,         (dx^3/ds)=const
però devo sempre servirmi dell'equazione della geodetica e quindi dei gamma
symbols. Alla fine esce un sistema di equazioni diff e sinceramente non lo
vedo così semplice (amche se ancora lo devo vedere). O c'è un altro metodo
per tirar fuori le geodetiche, magari giocando sulle simmetrie?
Ciao, Rob_jack

Elio Fabri wrote:
Ringrazio Elio di avermi fatto da "supplente", in realta`
ben piu` autorevole del sottoscritto. Purtroppo non ho tempo
di mettermi a fare (o guardare) i vostri conti...
Ciao, ad entrambi, Valter
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 Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
 
mor...@science.unitn.it
 
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html

 Il fatto di avere i tre vettori di Killing: (1,0,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)
In realta' i vettori di Killing sono 4. Avevo scritto 3 perche' avevo
dimanticato la coordinata x^3. Il quarto corrisponde all'isometria che
ti ho descritto nel post precedente. Mi pare sia (0,u,-w,0) nelle
coordinate t,u,v,z.
Poi non dimenticare che su una geodetica L e' una costante del moto. Mi
spiego meglio, perche' forse tu hai visto una presentazione un po'
diversa della RG. Quando deduci le geodetiche da un principio
variazionale, hai a che fare con una "lagrangiana" (1/2) g_{\mu,\nu}
(dx^\mu / d\lambda)(dx^\nu / d\lambda). Questa e' costante sulle
geodetiche: per es. sulle geodetiche temporali vale 1/2, se \lambda e'
il tempo proprio.


 di mettermi a fare (o guardare) i vostri conti...
Peccato, perche' mi piacerebbe conoscere il tuo parere
sull'interpretazione delle coordinate.


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

 Ciao, Valter
Ho guardato un po` tutto quello che avete scritto,
avrei un mucchio di cose da dire, ma non ne ho il tempo.
Pero` vi consiglio *caldamente* di aprire l'Hawking-Ellis
"The large scale structure of the space-time" alle pagine 
168-170, e` tutto molto chiaro (almeno per me), compresa 
la figura... e non saprei essere piu` chiaro.
Ciao, Valter
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 Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica - Universita' di Trento
 
mor...@science.unitn.it
 
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html