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Titolo: Piastra anisotropa

Buongiorno a tutti,
 
stavo "studiando" il problema di una piastra circolare di raggio "a" 
libera al bordo costituita di materiale anisotropo (anisotropia cubica, 
quindi con 3 coeffiecienti non nulli del tensore di elasticità cij). 
L'interesse è relativo alle vibrazioni nel piano e in particolare per i 
modi puramente radiali. La soluzione del problema nel caso di materiale 
isotropo si trova facilmente. Per il caso anisotropo, non sono ancora 
riuscito a trovare la trattazione. Il che mi fa sorgere il sospetto che 
il problema sia di gran lunga più complicato, sospetto corroborato da 
alcuni lavori che ho trovato in cui sembra si adotti un approccio 
approssimato.
Tuttavia mi piacerebbe capire dove si annida l'inghippo per questa 
situazione.
 
Facendo simulazioni, si osserva che il primo modo puramente radiale 
(quello che mi interessa) presenta tuttavia una simmetria nell'ampiezza 
di spostamento della componente radiale (U) e che fissato il raggio, se 
uno guarda U(r,q) in funzione dell'angolo(q) vede una funzione 
sinusoidale di periodo pi/2. Questa osservazione mi ha spinto a pensare 
che forse qualcosa di può scrivere per il modo radiale U
Ho provato a fare la derivazione delle equazioni fin dove sono riuscito, 
ma a un certo punto le mie conoscenze scarseggiano. Riporto sotto i 
passaggi, se qualcuno vuole dare suggerimenti.
 
Ipotesi preliminare:
  - situazione di stress piano.
  - coordinate polari: r, q
Vettore spostamento: X(r,q) = U(r,q)*e_r + V(r,q)*e_q
Notazione:
  - T: tensore stress
  - rho: densità
  - X,y : derivata parziale di X rispetto a y.
Equazione di equilibrio dinamico in ipotesi di stress piano
 
(1/r)(r*T_rr),r + (1/r)T_rq,q - T_qq/r = rho*U,tt [1a]
(1/r)(r*T_rq),r + (1/r)T_qq,q + T_rq/r = rho*V,tt [1b]
 
Espressione del tensore di stress T per materiale con anisotropia cubica 
(c11,c12,c44 - es. silicio)
 
T_rr = c11*U,r + c12*((1/r)*V,q + U/r) [2a]
T_qq = c12*U,r + c11*((1/r)*V,q + U/r) [2b]
T_rr = c44*(V,r + (1/r)*U,q - V/r)	   [2c]
 
Derivazione dell'equazione delle vibrazioni puramente radiali, pongo V = 
0. [Da qui in poi potrebbe essere tutto sbagliato. Essendo interessato 
solo alle vibrazioni di tipo radiale, mi viene da supporre che non c'è 
spostamento tangenzial (lungo q)]
 
(c11/r)*U,r + c11*U,rr + (c44/r^2)*U,qq - (c11/r^2)*U = rho*U,tt  [3a]
 
((c12+c44)/r)*U,qr + ((c11+c44)/r^2)*U,q = 0					  [3b]
 
Separazione variabili: U(r,q) = R(r)*Q(q)*e^(iwt)
 
Per la [3a] ottengo:
 
(c11/c44)*r^2*(R''/R)+(c11/c44)*r(R'/R) + (rho*w^2*r^2/c44 - c11/c44) = 
- Q''/Q [4]
 
Credo che a questo punto i membri di dx e sx della [4a] vengono posti 
uguali a una costante di separazione k^2, da cui
 
Q''+k^2Q = 0 [5]
 
Da qui cominciano i miei problemi. La [5] ha soluzioni del tipo Q = A 
cos(kq) + Bsin(kq). Qui, non ho mai capito perché/come si sceglie una o 
l'altra delle funzioni trigonometriche.
Nel caso di piastea isotropa si osserva che Q(q+2k\pi) = Q(q) da cui si 
deduce che k è un intero k = n. Non so se questa stessa ipotesi è qui 
giustificata, perché ad esempio dalle simulazioni mi verrebe da dire che 
per il primo modo radiale devo avere una periodicità di pi/2.
 
Dopo qualche maneggio la parte sx di [4] si può scrivere come:
 
R''+(1/r)*R'+[kp^2-b^2/r^2]*R = 0 [6]
 
dove
 
kp^2 = rho*w^2/c11  [7a]
b^2 = 1+k^2*c44/c11 [7b]
 
mi verrebbe da dire che a questo punto la [6] è un'equazione di Bessel 
ed essendo b^2 non intero l'integrale generale è
 
R = A1*J(kp*r;b)+A2*J(kp*r; -b) [8]
 
dove J(x;b) è la f. Bessel di prima specie di ordine b. Nel caso 
isotropo le funzioni di Bessel sono di ordine intero J(x;n) e Y(x;n) 
dove Y(x;n) viene scartata essendo divergente nell'origine.
Arrivato qui, mi domando se c'è qualcosa di giusto e tra le altre cose, 
che me ne faccio poi della [3b] che credo si possa forse anche integrare 
facilmente.
 
Grazie a chi avrà voglia di perdere un po' di tempo.
Marco
 
 
 
 
-- 
Questa email è stata esaminata alla ricerca di virus da AVG.
http://www.avg.com
 

 ...
Ho l'impressione che ti aspetti un po' troppo dal NG.
Non si può escludere che ci sia qualcuno familiare con la teoria
dell'elasticità, anche se a quanto posso valutare èdifficile.
 
Certo non è il mio caso: possiedo il volume del Landau
sull'argomento, ma anche se a suo tempo l'ho letto almeno in parte,
non posso dire di conoscerlo a fondo.
Mi sembra inoltre che non tratti problemi come il tuo (ma posso
sbagliare).
Quindi dovrei ristudiare i capitoli sui solidi anisotropi,
ripercorrere le tue equazioni, e poi fare appello alle mie conoscenze
generali di fisica matematica per cercarne la soluzione.
Sinceramente non me la sento.
 
Anche perché le formule scritte come hai fatto non sono il massimo
della leggibilità: già seguirle è un discreto rompicapo :)
 
Poi magari sei fortunato e trovi qualcuno che ha la questione sulla
punta delle dita ... "never say never" :-)
 
 
-- 
Elio Fabri


 
Io resto in ascolto.
Grazie per l'interessamento


 tensore di elasticità cij).
 
Non provo nemmeno a rispondere, so quanto la sai più lunga di 
me ed è un problema di (a spanne) due ordini di grandezza oltre 
le mie conoscenze.
 
Ora sono qui sperduto tra i monti della Laga (è vero, lo 
giuro!) e non ho accesso ai miei pdf........ Ma ricordo che ci 
sono due testi di Piero Villaggio (per chi non lo sapesse, il 
fratello del comico) uno dei quali è dedicato a metodi 
approssimati di problemi complessi e strani; suppongo li avesse 
scelti a posta in quanto degni di lui.........
 
So o immagino che li conosci a memoria ma nel classico caso su 
un miliardo che non sia così forse c'è qualche metodo per un 
problema assimilabile che potresti riciclare..................


Ti ringrazio della segnalazione: non conosco i testi che dici e nemmeno 
dell'opera (e parentela) del prof. Villaggio. Per curiosità vedrò se ci 
sono nella biblioteca della mia università.
 
Comunque nel frattempo ho fatto qualche "progresso"...nel scoprire 
alcuni errori nella mia derivazione. Non sto a riportare i dettagli, ma 
il più clamoroso è stato non trasformare il tensore di elasticità c_ijkl 
quando sono passato da coordinate rettangolari a cilindriche.
Fatto questo si scopre l'aumento della complessità delle equazioni, ma 
quanto meno si chiarisce dove nasce la periodicità di pi/2 che citavo 
nel mio post precedente.Tutti (o quasi) gli elementi c_ijkl sono 
moltiplicati per cos(4q) o sin(4q).
 
Ciao
