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Titolo: Ordinamento normale e polinomi di Wick

Salve, Ho una domanda un po' tecnica. Ho capito come agisce l'ordinamento
normale ( tipo N(\psi-barra\A-slash\psi) nella QED) nell'ambito delle usuali
teorie di campo, quello che non mi è chiaro però è la connessione con i
polinomi di Wick nelle teorie scalari tipo \lambda\phi^4. Cioè: perchè
l'ordinamento dell'interazione nella teoria costruttiva è fatto prendendo i
polinomi di Wick? Io credevo che ci fosse una relazione col fatto di
prendere la misura (formale) di probabilità gaussiana... ma non ho ben
chiaro il motivo di fondo e la relazione con l'ordinamento N(.) usuale (per
intenderci quello che ordina gli operatori di creazione e distruzione).
Forse la domanda è formulata in modo non molto chiaro. Però se c'è qualcuno
che mi può spiegare, gli sarei grato.
saluti, Adriano

 polinomi di Wick? 
Ciao,
Considera un operatore di campo (libero) phi. Che cosa e'?
E' una distribuzione a valori operatoriali, cioe' mangia funzioni
reali infinitamente differenziabili a decrescenza rapida e sputa
fuori un operatore simmetrico (essenzialmente autoaggiunto)
ed ha alcune proprieta' di continuita' in una certa topologia 
debole... Orbene che cosa sarebbe phi^4(x)? Dovrebbe essere ancora una 
distribuzione delle stesso tipo: N.B. non mangia 4 funzioni
e sputa fuori un operatore, mangia sempre una sola funzione.
Formalmente e' il prodotto di 4 distribuzioni phi(x) "nello stesso 
punto" (evento) che infine agiscono sulla funzione di prova. Conme 
forse saprai gia' per le distribuzioni usuali (a valori numerici), il 
prodotto di distribuzioni NON e' definibile in modo da non dare 
contraddizioni per un prodotto di due generiche distribuzioni.
Esistono vari approcci per definire
un prodotto di distribuzioni rsetringendo i tipi di distribuzioni
al fine di definire una distribuzione ben fatta.
L'approccio piu' recente, che vale anche per lo spaziotempo curvo
e' basato sull'analisi microlocale di Hormander. In ogni caso
l'idea piu' ovvia e` quella di (1) regolarizzare le distribuzioni,
(2) sottrarre al prodotto di distribuzioni regolarizzato la parte 
divergente (3) togliere la regolarizzazione mentre si applica alla 
funzione di prova.
(Questo genere di procedure non e' esente da ambiguita' che vengono
fissate imponendo certi requisiti di covarianza della teoria...).
Il prodotto normale e' una di questa procedure che decompone
tutti i prodotti di distribuzioni a prodotti di due distribuzioni
alla volta e regolarizza a quel livello, poi rimette tutto insieme
(questa e' l'essenza del teorema di Wick per prodotti normali).
In pratica per definire phi^2(x) si prende la distribuzione 
phi(x)phi(y) che e' ben definita, gli si sottrae la parte
che divergerebbe se x=y, e questa e' la funzione a due punti
dello stato di vuoto di Minkowski <0|phi(x)phi(y)|0>
La differenza risulta essere non piu' una distribuzione, ma una
funzione (a valori operatoriali) allora si puo' definire
(int= integrale)
int :phi^2(x): f(x) :=
int dx int dy  (phi(x)phi(y) - <0|phi(x)phi(y)|0>) delta(x-y) f(x)
Puoi controllare che quanto ti ho scritto sopra e' equivalente
alla definizione che conosci tu dei mettere tutti gli operatori
di creazione a sinistra...
Per prodotti di piu' campi la procedura di Wick permette
di ridursi a regolarizzare vari fattori di due campi di sopra.
Questa e' l'essenza.
Ci si puo' chiedere se esistano altte possibili definizioni
di phi^n(x). La risposta e' negativa se si accetta che
tale operatore goda di certe proprieta' di covarianza e localita'
e purche' si lavori nello spaziotempo piatto.
Il problema e' che questo tipo di rinormalizzazione, come saprai
bene non e' sufficiente per calcolare le ampiezze con la serie
perturbativa e ci vuole la vera "rinormalizzazione".
Ma, almeno per la rinormalizzazione ultravioletta
l'essenza e' la stessa. In quel caso il problema e' di
definire cosa si intende per prodotto temporalmente ordinato di
prodotti normali. La definizione che si dice sui manuali
in realta' e' incompleta: il prodotto temporale e' definito
ambiguamente quando gli argomenti dei fattori coincidono e queste
ambiguita' sono proprio i controtermini (finiti) della 
rinormalizzazione....
Nei casi fortunati i controtermini hanno la stessa struttura
della lagrangiana completa (con masse e cariche differenti dal valore
arbitrario) per cui tenere conto di tali controtermini
significa solo cambiare i valori a tali costanti. Se accade questo
si dice che la teoria e' rinormalizzabile...
A commento finale vorrei precisare che tutta la procedura funziona
male nello spaziotempo curvo perche' non e' covariante e locale
in modo generale a causa della scelta di riferirsi ad uno stato
di riferimento (il vuoto di Minkowski). E' possibile ricostruire
tutta la procedura in modo che rispetti requisiti di covarianza e
localita', purtroppo pero' la procedura cosi' definita NON si riduce
a quella Minkowskiana nello spaziotempo piatto (anche se erroneamente
Robert Wald e Stefan Hollands dicono il contrario nel loro ultimo 
lavoro...)
Ciao, Valter
PS. Ho discusso con Gallavotti su parte della mia attivita' di ricerca
la settimena scorsa...Fai sempre la tesi con lui?
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 la settimena scorsa...Fai sempre la tesi con lui?
Si, la settimana scorsa mi ha detto che veniva su a Trento ed infatti gli ho
risposto che lo sapevo: me l'avevi accenato. Non pensavo che discutessi con
lui, per curiosità di cosa avete discusso? non mi sembra che lui si occupi
delle tue stesse cose, e poi mi ha detto che veniva su per "cose
burocratiche". Si la tesi l'ho
mezza cominciata proprio Lunedì, l'argomento non è proprio ufficiale, però
si tratta di argomenti di meccanica classica: teorema KAM ed applicazioni,
punti omoclini, splitting delle varietà stabili ed instabili, approccio via
gruppo di rinormalizzazione alle serie
perturbative, ecc... adesso sto facendo i conti perturbativi dello
spin-orbita terra-luna. Anzi se hai un po' di tempo ti vorrei fare una
domandina.. magari in privato.
Salutoni, Adriano e mi raccomando un bacione a B

 schemetto fissa le idee su quello che sapevo.
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

 operatori composti risproduce gli effetti di quanto si fa nel minkowsiano?
Si, il metodo e' costruito in modo tale che, applicando la "rotazione 
di Wick"  riproduca i valori medi dei campi minkowskiani rispetto al 
vuoto di Minkowski. La teoria a cui tu stai facendo riferimento si 
basa dalla formulazione euclidea della teoria dei campi di 
Osterwalder-Schader che attraverso la rotazione di Wick e' equivalente 
agli assiomi di Wightman nel Minkowski. Il punto centrale e' il 
seguente: in teoria Minkowskiana le varie funzioni di correlazione 
(con il T prodotto, ma per operatori non composti) definite 
rigorosamente nello spazio di Hilbert rispetto al vuoto di Minkowski 
si possono anche ottenere *formalmente* attraverso l'integrale di 
Feynman.
Quest'ultimo pero' non esiste dal punto di vista matematico, cioe' non 
e' una misura su qualche spazio, per cui, a livello di misure la 
teoria rigorosa non esiste. Se pero' uno pensa di lavorare nel "tempo 
immaginario" cioe' nel formalismo euclideo, l'integrale di Feynman 
diventa (almeno rispetto alla misura indotta dalla teoria libera, 
cioe' il propagatore euclideo= funzione di Schwinger a due punti) una 
vera teoria della misura che lavora in uno spazio di distribuzioni e 
la misura e' di tipo gaussiano. Facendo i calcoli nel formalismo 
euclideo e continuando alla fine i risultati ottenuti nel tempo 
euclideo fino a valori immaginari di esso (tempo Lorentziano)
si riporoducono i risultati Minkowskiani soliti.
La faccenda si generalizza a funzioni di correlazione tra operatori
composti in cui bisogna regolarizzare nell'euclideo o nel lorentziano 
attraverso la definizione di prodotto normale. Tale definizione
e' data nei due ambienti (Minkowskiano e Euclideo) in modo che
i risultati delle funzioni di correlazione siano uno il prolungamento
analitico dell'altro.
Ciao, Valter


 Ciao, Valter
grazie del tempo che "perdi" per queste cose.. ciao, Adriano