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Titolo: Meccanica analitica ( 01 ) : energia cinetica

Enigma del giorno: energia cinetica.
Com'e' noto l'energia cinetica per un sistema
di punti materiali consta, in coordinate
lagrangiane, di tre addendi:
T_2  quadratico nelle velocita' generalizzate
T_1  lineare  nelle velocita' generalizzate
T_0  che non le contiene affatto
E' facile mostrare che la matrice dei coefficienti
della forma T_2 e' non degenere (vedi, es. Gantmacher,
Lezioni di Meccanica Analitica).
Trovo, invece, un po' stiracchiato il ragionamento
con il quale si dimostra che la forma T_2 e' definita
positiva: si dice che 'congelando' i vincoli, i termini
T_1 e T_0 spariscono e rimane la sola T_2 che per
ovvie ragioni fisiche deve assumere valori positivi
o nulli (essendo non singolare la matrice dei coefficienti,
nullo se e solo se sono nulle le velocita' generalizzate).
Non mi sembra 'elegante' sto' congelamento dei vincoli:
si perviene ad un risultato che appare un po' 'allegramente'
generalizzato alla situazione che si presenta dopo il disgelo.
C'e' modo formalmente rigoroso di acquisire la tesi partendo
dalla sola definizione di energia cinetica e dalle relazioni
che legano coordinate nello spazio fisico con quelle nello
spazio delle configurazioni ?
Sodales atque omnes legentes ex animo saluto.
Carmen Arvale

 T_0  che non le contiene affatto
Debbo essere proprio ignorante (o rimbambito?) perche' questo non mi
e' noto affatto: per me c'e' solo T_2.
 
-- 
Elio Fabri

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A giudicare dal resto del post di ettore, presumo che stesse parlando del 
caso in cui i vincoli dipendono dal tempo.
Una particella vincolata a muoversi su una retta orizzontale ha un solo 
grado di libertà (ascissa), ma se l'ordinata di questa retta varia essa 
stessa nel tempo, la particella avrà energia cinetica anche se la sua 
ascissa resta costante...
-- 
Armando di Matteo <a r m y ONE NINE EIGHT SEVEN AT e m a i l DOT i t>
Vuolsi così colà dove si puote / ciò che si vuole; più non dimandare.
[  T  H  I  S     S  P  A  C  E     I  S     F  O  R     R  E  N  T  ]

Numerosi testi trattano T_1 e T_0.
Ad esempio: Gantmacher, Lezioni di meccanica analitica, pag 46.

 Ad esempio: Gantmacher, Lezioni di meccanica analitica, pag 46.
OK. Per cominciare, ti ringrazio per avermi fatto imparare due termini
che non conoscevo: "scleronomo:" e "reonomo".
Ammetto: ai vincoli dip. dal tempo non ci avevo proprio pensato...
Forse perche' e' piu' roba da ingegneri che da fisici :-))
Comunque, per farmi perdonare, ora propongo una dimostrazione tutta
mia :-)
Abbiamo dunque T = T_2 + T_1 + T_0.
T_2 e' quadratica nelle q' (scrivo ' per indicare il "punto": derivata
rispetto a t)
T_1 e' lineare.
T_0 non dipende dalla q'.
Osservo anche che le q' possono assumere valori reali arbitrari.
Inoltre per definizione e' sempre T >= 0.
Per una data scelta delle q', non tutte nulle, due casi sono possibili
per T_1 + T_0:
a) T_1 + T_0 < 0
b) T_1 + T_0 >= 0.
Nel caso a) sara' T_2 > 0 e siamo a posto.
Nel caso b), moltiplichiamo le q' per un parametro reale k non nullo.
Data la dipendenza lineare di T_1 dalle q', esistono valori di k per
i quali con le nuove q' sara' T_1 + T_0 < 0, e quindi T_2 > 0.
Ma essendo T_2 quadratica nelle q', il suo segno non dipende da k,
c.v.d.
 
-- 
Elio Fabri

 Elio Fabri
Ma come fai ad escludere che T_1 non sia nulla? O quanto meno che non
si annulli nella direzione di un eventuale autovettore negativo?
Per esempio nel caso di una barra che ruota intorno ad un asse
ortogonale e che sia parametrizzata dalla distanza da detto asse
l'energia cinetica si scrive:
m/2 ( (q')^2 + (q f ')^2)

 spazio delle configurazioni ?
 Tornando al punto in questione il congelamento dei vincoli equivale a
dire che per ogni istante T esiste un sistema dinamico scleronomo che
ha la stessa matrice di massa del sistema dinamico olonomo.
L'esistenza di questo sistema si deduce formalmente dalla
considerazione della definizione della matrice di massa a_i,j
confrontandola con quella che risulta assumendo come
parametrizzazione  le funzioni:
 r1(q1,  ..., qm, T)
...
r_n(q1, ... , qm, T)
che quindi verificano le equazioni vincolari:
f1(r1, ... r_n, T)
---
f_(n-m)(r1, ... , r_n, T)
indipendenti dal tempo, che si hanno ponendo nelle equazioni vincolari
olonome in luogo della variabile t la costante T. Poich� la matrice di
massa ovvero la forma bilineare esplicitata in coordinate q � scritta
tanto per il sistema olonomo quanto per il sistema scleronomo in
termini delle derivate parziali rispetto alle coordinate generalizzate
calcolate al tempo T, e non dipende dalle derivate parziali rispetto
al tempo, deve essere uguale.
 Ora la matrice di massa del sistema olonomo deve essere definita
positiva, in caso contrario nel sistema scleronomo ottenuto avremmo un
vettore non nullo degli spostamenti spaziali, corrispondente al
vettore di velocit� associato alle coordinate generalizzate in
direzione di un autovalore negativo, a cui si pu� associare un vettore
non nullo che ha  norma euclidea nulla.
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 spazio delle configurazioni ?
Premesso che come ho illustrato in precedenza in risposta allo stesso
thread ritengo che l'argomento di Gantmacher pu� essere reso rigoroso
si pu� semplificare l'argomento di E. Fabri in questo modo: supponiamo
che T2, che � non degenere  non sia positiva, poich� � non degenere
deve avere una autovalore negativo. Rispetto ad omotetie nel campo di
velocit� T2 � quadratica, T1 � lineare e T0 � invariante, di
conseguenza l'esistenza di una autovalore negativo finirebbe per
rendere definitivamente negativa l'energia cinetica per valori
sufficientemente grandi del modulo delle velocit�, purch� si consideri
una velocit� in direzione di un autovettore negativo.
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