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Titolo: relatività e geometria iperbolica

Salve a tutti
Leggendo un articolo ho trovato un riferimento al fatto che nella teoria 
della relatività ristretta si possano usare le relazioni iperboliche 
come il seno iperbolico, la tangente iperbolica e così via...Però nei 
miei testi io non ho mai trovato traccia di questa cosa. Qualcuno 
saprebbe dirmi quando e dove si usano relazioni di trigonometria 
iperbolica nella relatività ristretta?
Grazie

Esempio elementare. Ogni trasformazione di Lorentz
speciale può essere scritta come
t' = (cosh H) t + (sinh H) x
x'= (sinh H)  x + (cosh H) t
y'=y
z'=z
dove H = (v/c)/sqrt(1-v^2/c^2)
e v è la velocità relativa tra i due riferimenti inerziali
Ciao, Valter

Max ha scritto:

Leggendo il titolo pensavo a qualcosa di piu' sofisticato...
Geometria iperbolica e' una cosa, funzioni iperboliche un'altra.
La geometria iperbolica e' una geometria non euclidea, e puo' trovare
applicazione in RG, non in RR.
Sulle f. iperboliche un esempio te l'ha dato Valter.
Un altro e' questo, che non dettaglio: in RR il moto sotto l'azione
di una forza costante e' detto "moto iperbolico" perche' le sue eq.
parametriche in funzione del tempo proprio si esprimono appunto con
funzioni iperboliche.
O anche perche' il grafico (x,t) che in meccanica newtoniana sarebbe
una parabola, diventa un'iperbole.
 
-- 
Elio Fabri

   
Ok questo lo sapevo...o meglio lo sapevo e l'avevo dimenticato:-) ma ora
ho ripreso in mano i libri e ho studiato un po' meglio:-)
L'articolo a cui faccio riferimento è questo:
http://arxiv.org/abs/physics/0504110
"On the Abuse and Use of Relativistic Mass". L'autore fa alcune
affermazioni che non mi sono chiare...mi sembra che confonda geometria
iperbolica (una eventuale geometria non euclidea diversa da quella di
minkowski???) con funzioni iperboliche...forse però sono io che non ho
capito bene. Riporto qui alcuni passaggi che non mi sono chiari. Faccio
riferimento alla versione post script del documento per le pagine.
A pagina due dice:
Non-relativistic mass view, Geometric Formulation (G): Central to the
geometric formulation (G) is that the isotropy of space and uniformity
of space and time, along with the notion of causuality[8][9][10], is
sufﬁcient to lead to a four-dimensional spacetime endowed with a
Lorentzian signature metric. The principle of relativity yields a
consistent kinematics incorporating the eﬀects of time dilation, length
contraction, addition of velocities, etc. "The Lorentz transformation is
seen as a direct consequence of the hyperbolic geometry." The extension
to dynamics is immediate by postulating the primitive concepts of mass
and momentum. In order to have a Lorentz covariant 4-momentum, the mass
is found to be a Lorentz invariant. The validity of this approach will
be assumed in what follows.
Non capisco la frase virgolettata, cioè che le trasformazioni di Lorentz
sono una diretta conseguenza della geometria iperbolica. Cioè mi è
chiaro quando parla di formulazione geometrica in generale, ma non
capisco il metterci dentro la geometria iperbolica, forse vuole
semplicemente dire ad esempio che nello spazio quadridimensionale di
minkowski le curve principali sono delle iperboli?
A pagina tre infatti dice:
A close examination of Landau and Samanthpar’s derivation finds that the
hyperbolic geometry of spacetime is the basis for their result and not
the relativistic mass formula. By considering conservation of momentum
in a simple two-particle process, the authors implicitly invoke the
geometry of spacetime by redefining, without explanation, the velocities
as hyperbolic tangents (i.e. u1c = tanha, etc.). Then by relying on
hyperbolic trigonometric relations, hyperbolic spacetime has been
introduced, automatically yielding the relation they desire[6]. Thus
this derivation does not provide a basis for Jammer’s claim since the
Lorentz transformation arises from the geometry and not from the
relativistic mass formula.
Insomma tutto l'articolo mi è chiaro se non fosse per questo suo
riferimento alla geometria iperbolica. E' lui che usa impropriamente
queste parole "geometria iperbolica" volendo invece intendere
semplicemente l'uso di funzioni iperboliche o sono io che non capisco?
Grazie a chi mi aiuta!

Ciao, credo di capire da dove ha origine la confusione:
L'autore pasticcia molto: parla di "geometria iperbolica",
ma forse intende "geometria (semi)riemanniana con tensore
metrico di segnatura iperbolico normale":
 -,+,+,+ (oppure a seconda dei gusti +,-,-,-)
cioé, come dice lo stesso autore: segnatura Lorentziana.
"The Lorentz transformation is
seen as a direct consequence of the hyperbolic geometry."
Credo voglia dire semplicemente che il gruppo di Lorentz
entra nella teoria come  gruppo di trasformazioni lineari
che preservano la metrica (lorentziana)...
Però non è molto chiaro.  La geometria iperbolica in senso
proprio non c'entra molto, perché la geometria iperbolica
è una delle due possibili geometrie non euclidee tridimensionali
massimalmente simmetriche con metrica a segnatura positiva
+++.
In quel caso entrano in gioco le funzioni iperboliche in vari posti
(per esempio nella formula che esprime l'area del cerchio ecc...)
però con la relatività speciale c'entrano abbastanza poco.
L'unica cosa che mi viene in mente è la metrica minkowskiana
espressa nelle coordinate statiche dell'osservatore accelerato
(cuneo di Rindler) usando il parametro del boost come tempo.
La parte spaziale della metrica è effettivamente la metrica
della geometria iperbolica. Ma  non vedo cos c'entri con il
discorso generale.
Ciao, Valter

 minkowski le curve principali sono delle iperboli?
Adesso ho capito l'equivoco...
Sfortunatamente in matematica i termini "ellittico" e "iperbolico"
vengono usati in un senso generale da cui discendono varie
applicazioni che finiscono per avere poco a che fare.
Se non si sta attenti si possono produrre confusioni...
L'autore che citi, in base alla frase che citi, chiama geometria
iperbolica quella con metrica non definita positiva.
La cosa ha un senso, perche' se prendi l'insieme dei punti che hanno
una data distanza da un punto fissato, nel caso della metrica positiva
ottieni una sottovarieta' limitata (una conica tipo ellisse, una
quadrica tipo ellissoide); nel caso di metrica non definita ottieni una
sottovarieta' non limitata (un'iperbole, un iperboloide).
Pero' non mi pare una terminologia felice.
 
-- 
Elio Fabri