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Titolo: radianti, steradianti

Sono un po' perplesso su alcune notazioni che ritrovo in un libro ed in
alcune dispense.
Leggo che l'intensita' specifica, I = dE / cosQ dA dw dt dv ove cosQ e'
angolo tra la normale e la direzione di osservazione, dA elemento di
superficie, dw elemento di angolo solido, dt tempo e dv frequenza.
Le dimensioni in cgs sono
erg s^-1 cm^-2 rad^-2 Hz^-1
il che mi tornerebbe se un rad viene da cosQ e un rad da dw.
Ma su delle dispense leggo invece unita' in
erg s^-1 cm^-2 str^-1 Hz^-1
dove mi torna che dw sia misurato in steradianti, e cosQ adimensionale.
Tuttavia non riesco a connettere le due cose. Capisco che rad e str sono
strettamente parlando adimensionali, vuol dire che posso usarli a piacere ?
Ricordo anche che gli steradianti sono chiamati radianti quadrati, nel qual
caso le due unita' di misura sopra avrebbero senso, ma provo un non so che
di confusione che sarei grato qualcuno volesse chiarire.
Grazie
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 non so che di confusione che sarei grato qualcuno volesse chiarire.
Se riusciro' a chiarire qualcosa non lo so, perche' la questione e'
*obbiettivamente* confusa. Prova a consultare in proposito il sito del
BIPM, e vedrai...
Eccoti un esempio:
"In practice, with certain quantities, preference is given to the use
of certain special unit names, or combinations of unit names, to
facilitate the distinction between different quantities having the
same dimension. When using this freedom, one may recall the process by
which the quantity is defined. For example, the quantity torque may be
thought of as the cross product of force and distance, suggesting the
unit newton metre, or it may be thought of as energy per angle,
suggesting the unit joule per radian. The SI unit of frequency is
given as the hertz, implying the unit cycles per second; the SI unit
of angular velocity is given as the radian per second; and the SI unit
of activity is designated the becquerel, implying the unit counts per
second. Although it would be formally correct to write all three of
these units as the reciprocal second, the use of the different names
emphasises the different nature of the quantities concerned. Using the
unit radian per second for angular velocity, and hertz for frequency,
also emphasizes that the numerical value of the angular velocity in
radian per second is 2 pi times the numerical value of the
corresponding frequency in hertz."
Se non ci hai capito non ti preoccupare: nemmeno io :)
Ecco invece come avevo affrontato la questione, quasi 20 anni fa, nei
miei appunti per il corso di Fisica Generale I.
Non posso purtroppo riportare tutto il capitolo, ma mi limito alla
parte essenziale, speranso che riesca comprensibile.
Il problema degli angoli
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      L'esatto status degli angoli come grandezze fisiche ha sempre
costituito un problema. Da un lato, sembra naturale considerarli
numeri puri, in quanto rapporti di due lunghezze; dall'altro, come si
spiega che esistano diverse unita' di misura (radiante, grado, secondo
...)? Inoltre esistono gli "angoli solidi", che hanno unita' di misura
proprie (steradiante, grado quadrato ...).
      In realta' nell'ultima convenzione internazionale che ha
ridefinito il SI la posizione degli angoli e' rimasta
"impregiudicata": possono essere intesi a scelta come _numeri puri_,
ma anche come _grandezze fondamentali, ovviamente con propria unita'.
Purtroppo pero' se si va a guardare la pratica, la si trova alquanto
contraddittoria. Vediamo percio' come si dovrebbe procedere con
coerenza nei due casi.
A. Angoli come grandezze derivate
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      Si definisce l'angolo come rapporto fra la lunghezza dell'arco e
il raggio.
Allora:
1) Gli angoli sono numeri puri, e non ha senso introdurre unita'
(neppure il radiante).
2) A maggior ragione non e' lecito usare gradi, ecc.
3) Gli argomenti delle funzioni trigonometriche sono direttamente gli
angoli.
4) Vi sono grandezze non omogenee, e di significato fisico molto
diverso, che hanno le stesse dimensioni: l'esempio piu' tipico sono
energia e momento di una forza, che non e' certo corretto sommare
insieme!
B. Angoli come grandezze fondamentali
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      L'angolo viene definito dalla geometria, al modo classico (come
parte di piano) o attraverso le rotazioni. Allora:
1) Ha senso introdurre tutte le unita' di misura che si vuole.
2) Si aggiunge una nuova dimensione alpha.
3) Occorre percio' una nuova "costante universale" - chiamiamola rho -
di dimensione [alpha], corrispondente al radiante: rho = 1 rad.
4) La costante rho dovra' comparire in molte formule in cui non e'
abituale introdurla.
Esempi:
- la relazione fra arco, raggio e angolo (fig 1):
s = r theta / rho
- la velocita' angolare:
w = rho v / r    [w] = [alpha][t]^{-1}
- il momento di una forza:
M = r F / rho    [M] = [l][F][alpha]^{-1} = [E][alpha]^{-1} !+ [E].
5) Gli argomenti delle funzioni trigonometriche debbono essere sempre
numeri puri: es. sin(theta/rho).
6) Gli angoli solidi hanno dimensione [alpha]^2 e le unita' sono i
quadrati di quelle usate per gli angoli (ster = rad^2).
7) Nelle formule che contengono angoli solidi, figurera' di solito rho^2.
      Purtroppo la pratica e' tutt'altro che coerente con l'una o con
l'altra delle due posizioni:
- si dice che gli angoli sono numeri puri
- si usano varie unita'
- non si usa mai la costante rho.
Non resta percio' che affidarsi, come _extrema ratio_, al "sano
intuito fisico"!
 
-- 
Elio Fabri

 Il problema degli angoli...
Ero a cena poco tempo fa con un paio di metrologi, e mi dicevano che 
nella comunita` metrologica il radiante come unita` di misura sta 
perdendo terreno, sempre piu` si considera l'angolo come rapporto di due 
lunghezze.
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen.
(L. Wittgenstein)


Ho varie cose da dire ma prima di tutto il consiglio a tutti, in
particolare chi scrive dispense aggiornate al terzo millennio :-),
di utilizzare sempre il sistema internazionale (SI).
La quantità che chiami intensità specifica e che io preferisco molto
chiamare radianza spettrale in frequenza ha dimensioni espresse
correttamente da
J s^-1 m^-2 sr^-1 s
oppure
W m^-2 sr^-1 s
dove, in entrambi i casi, è possibile sostituire l'ultimo "s" con
"Hz^-1".
Non ho mai sentito parlare di radianti quadrati ma... non c'è limite
a quello che si può imparare ed, effettivamente, a pensarci potrebbe
anche avere un certo senso; a dire il vero il SI non li menziona neppure
tra le grandezze deprecabili - nel senso che anche loro non ne hanno
mai sentito parlare, immagino.
Sul fatto che cosQ non abbia nessuna dimensione - tanto meno rad - non
ci piove e non ci piove anche sul fatto che l'elemento di angolo solido,
dw, abbia le dimensioni... di un angolo solido - lo dice la parola stessa!
Daniele Fua
DipFisica, UniRomaUno

 due lunghezze.
Alla prossima cena chiedigli che cosa ne facciamo dei gradi ecc. :-)
Intanto informo Daniele che in astronomia si usa correntemente il
"secondo (d'arco) quadrato", spesso in locuzioni davvero barbare come
questa:
"la brillanza della galassia XYZ e' di nn mag per arcsec^2".
 
-- 
Elio Fabri

 "la brillanza della galassia XYZ e' di nn mag per arcsec^2".
Orrore, orrore!!!!
:-)
Daniele Fua
UniRomaUno

 bieco possibile e cercherei di applicarlo.
Va bene, comincio io :)
Un sistema di unita' e' caratterizzato da due passi:
a) la scelta delle grandezze usate come fondamentali
b) la scelta delle unita' per tali grandezze (e di conseguenza per le
grandezze derivate).
A mio modo di vedere la questione "dimensioni" riguarda il punto a) e
basta.
Voglio dire che ad es. il sistema CGS ha tre sole gr. fondamentali:
lunghezza, massa e tempo. E' secondario che si adottino il centimetro
il grammo e il secondo.
La dimensione fisica di una grandezza dice come si trasforma la sua
unita' quando si cambiano le unita' di quelle fondamentali.
Per es. se l'unita' di lunghezza passa dal cm al metro, l'unita' di
forza diventa 100 volte piu' grande, come quella di lunghezza.
Se si adottasse come unita' di tempo l'ora invece del secondo,
l'unita' di forza diverrebbe 3600^2 volte piu' piccola
Eccetera.
Potrei anche esprimere la cosa in termini di rappresentazioni dei
gruppi, ma evito l'esibizionismo :-)
Per questo motivo trovo contraddittorio dire che l'angolo e' un numero
puro, e poi adottare varie unita' di misura.
 
-- 
Elio Fabri

 puro, e poi adottare varie unita' di misura.
Anche su questo sono d'accordo ed è una questione che trovo quasi 
imbarazzante. La mia tendenza è di dire agli studenti che l'angolo è un 
entità la cui misura viene data come rapporto tra due lunghezze e, 
quindi, indipendente dalla scelta delle unità di misura della lunghezza 
ovvero di qualsiasi sistema di unità di misura adottato. In questo senso 
la misura dell'angolo può essere considerato un numero puro.
In qualche modo mi sembra di definire una "misura naturale" dell'angolo 
che, però, ho la vaga impressione che corrisponda con quello che 
menzionavi a proposito del "radiante come costante universale".
Gli altri modi di misurare gli angoli, nella mia indole talebana, non li
prenderei neppure in considerazione... :-)
...tranne quando devo fare il punto nave...
Daniele Fuà
UniRomaUno

 parte la questione...
Spero sia stata abbastanza operativa.
--
TRu-TS

 ....tranne quando devo fare il punto nave...
Mi piacerebbe vederti costruire un cerchio graduato diviso in radianti
:-))
Molti anni fa mi ero un po' interessato della costruzione degli
strumenti astronomici nel 17-mo e 18-mo secolo.
Se quegli strumenti non esistessero ancora, forse non crederemmo che
potessero realizzare simili meraviglie, con le macchine primitive di
cui disponevano.
E la divisione in gradi era assolutamente funzionale alla possibilita'
di quelle lavorazioni.
 
-- 
Elio Fabri

 di quelle lavorazioni.
Naturalmente sono d'accordo con quello che scrivi e anche io mi
meraviglio sempre di come i nostri antenati riuscivano a fare certi
strumenti senza torni e frese, e non sto parlando di quelle numeriche...
Invece mi hai stuzzicato sul costruire un cerchio graduato diviso in
radianti e mi diverte proseguire questo scambio un po' surreale...
:-)
E perché sarebbe tanto difficile costruirlo? Secondo me costruirlo
potrebbe essere addirittura più semplice che con altre unità di misura!
Concordo pienamente invece sulla impraticità di utilizzo più che altro
perché gli angoli (in particolare quelli spesso utilizzati) sarebbero
espressi da numeri di cui ti devi ricordare troppe cifre significative.
Daniele Fuà
UniRomaUno