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Titolo: Elettroni liberi in un cristallo. dubbio sulle bande

Salve a tutti,
Sto avendo una seria discussione a riguardo di un problema di stato
solido per quanto riguarda il "nearly free electron model". Caso più
ideale possibile.
Elettroni assolutamente liberi e non interagenti.
Il mio oppositore, che però ha una posizione più in alto di me,
sostiene che i livelli per un cristallo con passo "a" e con passo "2a"
abbiano le stesse bande energetiche.
Secondo me è assolutamente falso. Vi illustro in dettaglio la mia
opinione.
Elettroni liberi hanno incontestabilmente le energie descritte da E(k)
=h_bar^2/2m *k^2 con k momento cristallino dell'elettrone.
Per un cristallo di passo "a" se mi riduco alla prima zona di
brillouin ho k appartenente a [-pi/a,pi/a] e poi ho tutte le
periodicità G_n= 2pi*n/a.
In un cristallo di passo "2a" ho  k appartenente a [-pi/2a;pi/2a] e
G_n = pi*n/a.
E_n (k) = h_bar^2/2m * (k+G_n)^2
A prima vista non posso fare a meno di notare che i livelli non
sembrano affatto uguali. Sono uguali SOLO per k nell'intervallo di
validità più stretto e SOLO quando gli n del "2a" sono pari (ed allora
equivalgono ad un livello del cristallo "a" con n'=n/2
Costui insiste a spiegare che sono equivalenti "tramite una
spiegazione maniera grafica".
Disegna il primo paio di livelli tra [-pi/a;pi/a], li "piega"
all'interno della zona [-pi/2a;pi/2a] e fa vedere che ad occhio sono
gli stessi. Anche se è palesemente falso perchè anzitutto non si
capisce che senso abbia la cosa (cosa succede fuori da questa zona?) e
perchè secondo me ragionando 3 secondi si capisce che il senso di far
così è quello di star trascurando i livelli con n dispari in un caso!
Erro in qualche passaggio??

 abbiano le stesse bande energetiche.
Non e' che ci sia un'incomprensione terminologica? E' chiaro che se fai 
un grafico nei due casi - passo a e passo 2a - trovi due figure diverse. 
Pero' le differenze tra le due figure non si traducono, ovviamente, in 
differenti proprieta' fisiche ed in questo senso sono "la stessa struttura".

 differenti proprieta' fisiche ed in questo senso sono "la stessa struttura".
Ti espongo il problema nel suo complesso.
Il professore in questione ha dato un tema d'esame con 3 esercizi, di
cui uno contenente questa domanda. Neanche uno studente è riuscito a
rispondere a questa domanda perchè non si capiva cosa intendesse!
Quindi di confusione terminologica ce n'è a bizzeffe!
Chiaramente il fatto che un esercizio su 3 fosse valutato come "non
fatto" ha portato i voti a non poter essere superiori alla
sufficienza. Questo sta generando parecchio malumore!
Il testo preciso è:
"Sia dato un gas di elettroni liberi, non interagenti, in un cristallo
monodimensionale di periodicità a.
Si determini la struttura a bande del sistema e la si confronti con
quella di un cristallo di periodicità 2a. Si mosti che le due
strutture a bande sono equivalenti e si commenti l'osservazione"
Ora, che il codominio di E(k) sia lo stesso nessuno lo mette in
discussione. Per qualunque cristallo il codominio di E(k) è tutto R!
Che le bande abbiano le stesse propietà a parte una riscalatura è ben
evidente e non penso sia quella la domanda.
Essendo k limitato in un dominio diverso è anche difficile stimare
cosa si intende per E(k) sono uguali.
Sta di fatto che mi dicono che a lezione l'anno scorso lui avesse
"dimostrato" questa equivalenza.
(Io non ho seguito il corso, ho dato l'esame senza aver frequentato. )
http://tinyurl.com/by8loy
   (file pdf, 500kB)
Mi hanno mostrato gli appunti che hanno copiato dalla lavagna e la
dimostrazione è composta unicamente dal disegno in alto al pdf di cui
sopra.
Prende le bande del cristallo con passo "a" e le ripiega all'interno.
Così....Chissà perchè.
Da questo dice "graficamente si vede che sono uguali".
Secondo me se proprio vogliamo fare una comparazione grafica quella
corretta che si può fare è quella della figura sotto. Estendiamo il
dominio sfruttando la periodicità per coprire lo stesso intervallo di
k e notiamo che ci sono delle bande uguali. Ma anche delle bande in
più!!
E dopo tutto questo torniamo all'inizio del topic dove sostenevo che
le bande sono uguali solo per n pari e con n'=n/2, almeno all'interno
di un certo intervallo del dominio.

 corretta che si può fare è quella della figura sotto.
Be', intanto il primo schizzo non e' molto accurato quantitativamente. 
Il valore della prima banda a k=pi/2a deve essere lo stesso nei due 
casi, invece nel primo e' tracciato ad 1 quadretto e mezzo dal fondo 
banda, nel secondo a 3. E' un dettaglio, ma puo' confondere le idee.
Comunque il primo grafico e' quel che si chiama "rappresentazione in 
zona ridotta". Le bande ripiegate in realta' sono dette cosi' per 
facilita' di costruzione. La banda piu' bassa che va da pi/2a a pi/a e 
viene ripiegata tra pi/2a e 0 (diventando cosi' la seconda banda) in 
realta' e' il pezzo della stessa banda che va da -pi/a a -pi/2a traslato 
di un vettore di reticolo reciproco, nella fattispecie il piu' corto: 
G=pi/a. Viceversa quello che, ripiegato, va da -pi/2a a 0 e' quello che 
andrebbe da pi/2a a pi/a ma traslato di G'=-G=-pi/a. E siccome le 
traslazioni di vettori di reticolo reciproco sono ininfluenti per la 
fisica, data la periodicita', le due rappresentazioni sono equivalenti. 
E' chiaro comunque che bisogna fare un po' di attenzione perche' la 
descrizione e' diversa.
Per quel che riguarda il grafico sotto, detto "rappresentazione in zona 
estesa", non e' altro che quella in zona ridotta ma moltiplicata 
periodicamente per due volte (in realta' infinite). Ed anche qui, data 
la periodicita' del sistema, le rappresentazioni sono equivalenti.
Non so se sono stato esauriente. Se no, intervieni ancora.

 Non so se sono stato esauriente. Se no, intervieni ancora.
Mi e' chiara la rappresentazione in zona ridotta ed in zona estesa. Il
punto è che secondo me sono state usate impropriamente. Per un
cristallo di passo "a" la prima zona di Brillouin va da -pi/a a pi/a.
Quindi non vedo come posso ripiegare quello che "sborda". Mi è chiaro
che se stessi rappresentando ad esempio tra -2pi/a e 2pi/a potrei
ripiegare all'interno di [-pi/a,pi/a] tutto quello che esce
A questo punto ho usato la rappresentazione estesa per il cristallo
con la prima zona di Brilluoin più stretta.

 Quindi non vedo come posso ripiegare quello che "sborda".
Mi sembra di avertelo detto: tramite traslazioni di reticolo reciproco 
che, per definizione, non cambiano la fisica. Quello che "sborda" sono 
le bande nella seconda, terza, ..., ennesima zona di Brillouin.

 le bande nella seconda, terza, ..., ennesima zona di Brillouin.
Continuo a non vedere la differenza da quello che dico io.
Per un cristallo di passo "a" i vettori G_n che mi riportano in un
punto fisicamente identico sono del tipo 2*n*pi/a mentre per un
cristallo di passo "2a" sono n*pi/a. Quindi per il mio cristallo largo
"a" ripiegare le bande all'interno dell'intervallo [-pi/2a,pi/2a]
significa fare una traslazione di n*pi/a, che non lascia la fisica
invariata!
O sbaglio?


Le altre bande non derivano dalla procedura di ripiegamento, c'erano già,
ottenerle per ripiegamento, sfruttando la simmetria che preserva
l'hamiltoniana del sistema, è un comodo artificio. Tanto che quando deformi
con continuità un cristallo finito, lasciando fissi i bordi e continuando ad
usare la convenzione di Born von-Karman, allontanandoti dalla configurazione
simmetrica quello che si verifica localmente, in spazio di Fourier è che lo
spettro rimane discreto come nel caso prima, e resta possibile definire dei
punti k (in virtù di un teorema di Liouville) anche se il teorema di Bloch
non si applica più e la procedura di ripiegamento delle bande non ha nessun
significato esatto. Rimuovendo la condizione periodica di Born von Karman lo
spettro diventa complesso (esiste cioè una probabilità non nulla che un
elettrone evada dal reticolo cristallino) ed in luogo di punti k si hanno
dispersioni in impulso. Introducendo le interazioni quello che si verifica è
che le particelle possono formare strutture aggregate che possono decadere,
anche per queste strutture è possibile definire un'immagine in spazio di
Fourier caratterizzata da una dispersione di impulso e da una parte
immaginaria dell'energia. In termini matematici questo sembra impossibile se
si rimane legati al pregiudizio, valido in virtù delle condizioni periodiche
al bordo, secondo cui l'hamiltoniana in stato solido è un operatore
hermitiano a spettro discreto. Infatti se vengono a mancare le condizioni
periodiche lo spettro può essere continuo, l'hamiltoniana non è più
hermitiana, e non vale più il teorema secondo cui gli autovalori
dell'hamiltoniana sono reali. La stessa rappresentazione in spazi di Hilbert
non è la più indicata in questi casi ed infatti gran parte dei risultati si
esprimono meglio, per quanto non nel migliore dei modi, in seconda
quantizzazione che è uno strumento insostituibile alla teoria dello stato
solido avanzata che troverai, se prosegui su questa strada, in libri come il
Davidov, il Fetter Walecka, e nelle note di Keldysh. Anche se si spera che
nel frattempo qualcuno riesca a scrivere un buon libro di stato solido
basato sulla teoria topologica dei campi, mi sembra un orizzonte lontano da
uno a vent'anni.
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