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Titolo: Buchi neri e materia

Oggi leggevo su Repubblica un articolo divulgativo su un buco nero, e
mi è venuto un dubbio.
Il dubbio che mi è venuto riguarda la natura puntiforme di ciò che c'è
al suo interno, dubbio probabilmente insolubile perchè nessuno può
vedere cosa c'è oltre l'orizzonte degli eventi.
Se il diametro dell'orizzonte cresce all'aumentare della massa forse
significa che questa non è situata in un punto solo, ma che i protoni
o i quark o strinhe o chissa cosa seppure accalcati fino
all'incomprensibile prendono sempre più spazio e che quindi non
possono essere fisicamente in un singolo punto.
Quindi la natura puntiforme del buco nero alla fine è solo una
convenzione, simile a quella che si assume quando si considera la
gravità tra la terra e il sole considerando per i calcoli il centro
dei corpi come se la massa fosse in un unico punto.
O no?
Scusatemi se ho scritto sciocchezze,
saluti
  Stefano

 dei corpi come se la massa fosse in un unico punto.
Quella dell'esempio che fai non e' una convenzione, ma una proriet'a
del campo gravitazionale: esso e' _identico_ a quello che produrrebbe
una massa puntiforme.
Non c'e' nessuna analogia coi buchi neri, se non questa: che anche nel
caso di un buco nero a simmetria sferica, la deformazione dello
spazio-tempo *all'esterno* dell'orizzonte e' _identica_ a quella che
produrrebbe qualsiasi altra massa a simmetria sferica (teorema di
Birkhoff).
Il che vuol dire che se per assurdo il Sole diventasse improvvisamente
un buco nero, il moto dei pianeti non ne sarebbe influenzato in alcun
modo.
 
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 dei corpi come se la massa fosse in un unico punto.
Non provo a risponderti sui buchi neri (non sarei in grado di farlo in 
modo competente), ma dico qualcosa sulla frase che ho quotato.
Assunta per vera la legge di gravitazione universale, il campo 
gravitazionale al di fuori di una sfera dotata di massa e` di fatto 
identico a quello che si avrebbe se tutta la massa della sfera fosse 
concentrata nel suo centro.
Trattare una distribuzione sferica di massa come una uguale massa 
puntiforme concentrata nel suo centro non e` quindi ne` convenzione ne` 
un'approssimazione: sono le caratteristiche del campo che ci permettono 
di farlo. L'approssimazione e` semmai nel considerare la Terra o il Sole 
(per rimanere nel tuo esempio) come sfere e nel supporre la loro 
densita` costante.
Ciao,
p.

 Scusatemi se ho scritto sciocchezze,
No non credo tu abbia scritto sciocchezze.
Il core degenere all'interno dell'orizzonte ha una sua dimensione, alcuni 
KM, forse anche meno, il problema e' che non lo sappiamo. In ogni caso che 
sia la degnerazione dei neutroni, o altro, il core derivante non e' solo un 
punto.
-- 
Ciao
Tomalak 

 supporre la loro densita` costante.
Sarebbe perfetto, tranne per un punto che non e' proprio un dettaglio.
Non occorre che la densita' sia costante: basta che sia a simmetria
sferica.
Per fortuna, visto che tanto per il Sole come per la Terra costante
non e' di certo...


 derivante non e' solo un punto.
Scusa, ma su che basi dici questo?
Una volta passato l'orizzonte, nessuna struttura puo' essere in
equilibrio: deve inesorabilmente collassare nella singolarita'.
Quindi non si puo' parlare di "raggio del core", o roba del genere...


 non e' di certo...
Che ingenuo: nel tentare di rovinare la condizione ideale ho aggiunto 
mentalmente delle zone (non a simmetria sferica) con densita` diversa 
dal resto, ed ho tratto l'affrettata conclusione.
Ora mi chiedo se puo` esistere un corpo senza simmetria sferica il cui 
campo gravitazionale pero` la presenti (grazie ad un'opportuna 
distribuzione di massa). A prima vista non mi pare una domanda banale.
Grazie per la correzione.
p.


Scusa ho un dubbio al quale forse mi puoi rispondere; da quello che so il
buco nero si forma perche' una stella di massa sufficiente, possiede una
forza gravitazionale tale da farla implodere su se stessa. Ora se il
meccanismo di formazione e' descritto correttamente, consideriamo la stella
prima e dopo l'implosione: la massa e' la stessa (anzi dovrebbe forse essere
minore, visto che nel processo di implosione libera energia, se non sbaglio)
, l'unica differenza e' che ora e' concentrata tutta in punto (diciamo cosi'
per semplificare); quindi se la massa e' la stessa anche il campo
gravitazionale che genera dovrebbe essere lo stesso: perche allora si dice
che il campo gravitazionale e' cosi' intenso da non per mettere neanche alla
luce di uscire, mentre prima la stella di uguale massa era visibile?
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 distribuzione di massa). A prima vista non mi pare una domanda banale.
Tanto poco e' banale, almeno per me, che non so la risposta...
Potrei dirti che sicuramente tutti i momenti di multipolo della
distr. di massa debono essere nulli, tranne il monopolo.
Ma poi non vedo come dimostrare che quindi la distr. di massa deve
essere a simmetria sferica.
Il che e' quanto dire che non so se esista un teorema di completezza
dello sviluppo in multipoli.
E' un mio vuoto di memoria, o davvero il teorema non esiste?


 di uscire, mentre prima la stella di uguale massa era visibile?
La risposta piu' facile e' che quella descrizione che citi (e che
purtroppo e' molto frequente) e' sballata: non ha senso descrivere un
buco nero in termini di campo gravitazionale, e tanto meno ha senso
parlare in quei termini di propagazione della luce.
Dicendo questo non contraddico la mia asserzione: ipianeti girano a
distanza cosi grande che la gravitazione newtoniana e' un'ottima
approssimazione. Dato che il teorema di Birkhoff mi garantisce che lo
spazio-tempo e lo stesso per il Sole e per un buco nero, anche il
limite newtoniano e' lo stesso.
Ma se ci si avvicina all'orizzonte cambia tutto, nel senso che non si
puo' piu' parlare di campo gravitazionale e di moto dettato dalle leggi
di Newton. Ci vuole la RG, punto e basta.
La differenza tra una stella ordinaria e un buco nero e' tutta qui:
una stella ordinaria e' cosi' grande che gia' al bordo della stella la
gravitazione newtoniana va benissimo.
(In realta' anche all'interno, anzi meglio, visto che il rapporto M/R,
da cui dipende sa l'approssimazione newtoniana e' buona, diventa
sempre piu' piccolo quanto piu' si va dentro.)
Gia' per una stella di neutroni la gravit. newtoniana funziona male,
sebbene il suo raggio si amaggireo (ma non di molto, al piu' un ordine
di grandezza) del suo raggio di Schwarzschild.
Comunque non e' presente un orizzonte.
Invece nel buco nero l'orizzonte c'e', ed e' tutta li' la differenza.



Ho capito il concetto: niente Newton da un certo punto in poi, ma solo RG.
Vorrei chiederti se puoi consigliarmi qualche libro per avvicinarmi al mondo
dell'astrofisica.


 Tanto poco e' banale, almeno per me, che non so la risposta...
Ho provato ad abbozzare una dimostrazione, dimmi se e' ragionevole.
Notazioni:
R e' il vettore posizione, r e' il suo modulo.
K e' il vettore reciproco, k e' il suo modulo.
V e' il potenziale gravitazionale
rho e' la distribuzione di massa
Ipotesi: Il potenziale gravitazionale generato da un corpo massivo avente
distribuzione di massa rho(R) e' a simmetria sferica: V(R)=V(r).
Tesi: La distribuzione di massa e' a simmetria sferica.
Dimostrazione:
La relazione tra potenziale e distribuzione di massa e':
V(R) = -G \int rho(R')/|R-R'| dR'   (1)
La (1) si puo' vedere come convoluzione (*) tra distribuzione di massa e
1/r:
V(R) = -G rho(R) * 1/r
che nello spazio di Fourier diventa
V(K) = -4 pi G rho(K)/k^2
Poiche' per ipotesi V(K) = V(k), risolvendo per rho(K) otteniamo
-4 pi G rho(K) = k^2 V(k)
da cui si vede che rho(K)=rho(k). Nello spazio reale, rho(k) corrisponde a
una rho(r).
c.v.d.
Ha senso?
Bye
Hyper

 Tesi: La distribuzione di massa e' a simmetria sferica.
Mi pare che tu abbia caratterizzato in modo incompleto il problema dal
punto di vista matematico; infatti, dato un corpo di forma assegnata, la
simmetria sferica del potenziale dovrebbe valere, in generale, solo per
distanze r > r* (dove r* rappresenta un'opportuna distanza, ad esempio la
distanza massima tra il c.m. e un qualsiasi punto appartenente al corpo
stesso) e non in tutto lo spazio. E' sufficiente questo a far decadere il
tuo schema di dimostrazione; senza considerare che, almeno per i miei
gusti, passi da vettori a moduli nello sviluppo di Fourier con eccessiva
"disinvoltura".  
Un esempio concreto che illustra la situazione sopra richiamata è lo
strato sferico omogeneo, che genera un potenziale sfericamente simmetrico
per r > r* (raggio dello strato) e costante per r < r*.    
Per quanto riguarda la questione posta da Torn non riesco a trovare alcun
controesempio alla supposizione: potenziale sfericamente simmetrico =>
distribuzione di massa sfericamente simmetrica (il viceversa è invece del
tutto ovvio), ma dimostrarlo rigorosamente non mi pare facile.
Dal punto di vista matematico si tratta, fissata per ipotesi la forma
sfericamente simmetrica del potenziale, di risolvere un'equazione
integrale con la densità di massa come incognita e con opportune
condizioni al contorno. 
Non mi sembra un problema banale, anche perché, come noto, le equazioni
integrali, in generale, sono estremamente difficili da risolvere. 
Saluti,
Aleph
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 avvicinarmi al mondo dell'astrofisica.
E' veramente l'astrofisica che intendi, o la RG con le implicazioni
astrofisiche?
Perche' l'astrofisica e' ormai un campo sterminato, e in gran parte la
RG non c'entra: pensa ad es. all'evoluzione stellare (esclusi gli
stadi finali tipo stelle di neutroni) ai sistemi planetari, alla
formazione delle galassie, alla materia interstellare...
Se hai in mente invece RG e astrofisica, assunto che non vorrai
un libro divulgativo, ma qualcosa da studiare, anche se non
pesantemente specialistico, ti potrei consigliare ad es. "Gravitazione
e spaziotempo" di Ruffini e Ohanian.
Ho citato il titolo in italiano perche' ne esiste la trad. italiana
(mi pare Zanichelli) anche se l'originale ritengo sia USA.
E' un libro di RG che dedica molto spazio agli aspetti osservativi,
per es. su buchi neri, onde gravitazionali...


 integrali, in generale, sono estremamente difficili da risolvere.
Vero.
Bye
Hyper


Grazie.


 ipotesi sbagliata, che potenziale a simmetria sferica <=> V=V(r)
A questo punto non credo: a rigore, mi pare che sia effettivamente
corretto considerare anche il potenziale dello strato sferico in tutto lo
spazio come una funzione V = V(r). 
E di conseguenza anche la tua dimostrazione dovrebbe essere OK (e credo
che anche Elio Fabri concorderà).
Bravo!


 E di conseguenza anche la tua dimostrazione dovrebbe essere OK
Anche secondo me, ma non si puo' fare piu' semplice? Basta prendere
l'equazione di Poisson (trascuro le costanti)
laplaciano di V = distribuzione di massa
e si vede subito che se V e' a simmetria sferica - ovvero se dipende
solo dal modulo di r - anche il primo membro dipende solo dal modulo di
r, pertanto anche il secondo dipende solo da quello e pertanto la
distribuzione di massa e' a simmetria sferica.
O mi sfugge qualcosa?

 E' un mio vuoto di memoria, o davvero il teorema non esiste?
Mi sembra che tutta la questione si risolva semplicemente, ricordando 
che lo sviluppo in multipoli discende dalla espansione in armoniche 
sferiche (funzioni complete sull' angolo solido)  di una funzione 
(arbitraria) scritta in coordinate sferiche.
La domanda di torn riguardava la possibilita' di avere un campo 
gravitazionale a simmetria sferica in presenza di una sorgente che non 
abbia tale simmetria.
La risposta (nel campo della gravitazione newtoniana) e':  dipende dalle 
condizioni al contorno.
Se le condizioni al contorno sono a simmetria sferica (per esempio 
quelle di "spazio vuoto" == il potenziale si annulla all' infinito) lo 
sviluppo in armoniche sferiche dell' equazione di Laplace ( ed il fatto 
che le armoniche sferiche sono una base ortonormale completa) implica 
che se ho una distribuzione limitata spazialmente i cui momenti di 
multipolo superiore al monopolo sono diversi da zero il potenziale 
dovra' contenere i termini con le armoniche sferiche corrispondenti.
Percio' la risposta e' negativa:  se il corpo non ha simmetria sferica 
il potenziale non potra' averla.
Che poi non sorprende se ci ricordiamo che uno dei modi piu' semplici 
per ottenere informazioni sulla distribuzione di masse nei pianeti e' di 
analizzare le anisotropie del campo gravitazionale. Ovviamente, questa 
possibilita' discende dall' analisi teorica.

 O mi sfugge qualcosa?
No e' giusto... e' invece falso, in generale che
sorgenti a simmetria sferica => campo a simmetria sferica.
Perche' cio' sia vero bisogna anche fissare opportune condizioni
al contorno. Ricordo che l'equazione di Poisson ammette una soluzione
unica solo se sono anche assegnate condizioni al contorno di un certo tipo.
Una carica a simmetria sferica infilata tra due piastre coduttrici piane
infinite e parallele tenute a potenziale nullo rispetto all'infinito
(questa e' la condizione al contorno) non fornisce un campo a simmetria
sferica.
Le condizioni al contorno non devono essere nemmeno richiedere tutte
la simmetria sferica per produrre un campo a simmetria sferica,
se la sorgente e' a simmetria sferica.
Per esempio, dalla seconda identita' di Green segue facilmente che, per una
carica sferica isolata di raggio finito con densita' superficiale di carica
uniforme su di essa, imponendo che il potenziale u=u(X) tenda a zero all'infinito
soddisfacendo per esempio (assumo l'origine delle coordinate X=(x,y,z) nel centro
della sfera)
|u(X) Grad u(X)| < C |X|^n uniformemente in X
per qualche C >0 e  n<2 fissati, si ha che c'e' un'unica soluzione, che e'
ovviamente qualla di Coulomb che _e' a simmetria sferica_.
Notare che c'e' anche una condizione al contorno di Neumann, quella a simmetria
sferica, sulla superficie della carica.
Tuttavia il requisito |u(X) Grad u(X)| < C |X|^n NON richiede esplicitamente
che il campo sia a simmetria sferica. Per esempio u(X) = f(angoli) |X|, dove
f e' una funzione due volte differenziabile con continuita' delle coordinate
angolari soddisfa la condizione al contorno, ma non e' a simmetria
sferica se f non e' costante.
Pero' non soddisferebbe l'equazione di Poisson (e nemmeno la condizione di Neumann
sul bordo interno).
   Ciao, Valter
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Valter Moretti
University of Trento
Faculty of Science
Department of Mathematics
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

A dire il vero, io avevo interpretato il problema in tutt'altro
modo...
Supponiamo di avere una distribuzione di massa, tutta contenuta in una
sfera di raggio R.
Se il potenziale per r>R dipende solo da r, si puo' dire che la
distribuzione di massa e' a simmetria sferica?
Penso di avere anche la risposta, ma per ora non la dico ;-)



  Ho capito... Mi pare allora che la risposta sia notevole:
  nelle ipotesi di campo a simmetria sferica fuori dalla sfera, non e'
  detto che  la densita' contenuta nella sfera abbia a simmetria sferica.
  Controesempio. (Se non ho sbagliato, non ci ho pensato molto...)
  Prendo una funzione g liscia dello spazio L^2([0,R]) *con misura  r^2 dr*
  che sia ortogonale alla funzione r. Quindi considero la densita'
  di carica, dove q(r) e' una funzione liscia ad integrale non nullo
  e supporto confinato in [0,R)
   f(r,theta,phi) = q(r) + Y_11(theta,phi) g(r)
  dove Y_lm e la solita armonica sferica.
  Il potenziale generato da questa sorgente, decomposto in multipoli ha i momenti
  di carica Q_{lm} dati da
  Q_lm = integrale Y*_lm Y_11 g(r) r^l d^3x + integrale Y*_lm q(r) r^l d^3x
  Il primo integrale e' sempre nullo nelle ipotesi fatte: l'integrale sulla
  superficie sferica non e' nullo solo per (l,m) = (1,1), ma in tal caso
  l'integrale rimanente in r svanisce per le ipotesi su g. Il secondo
  integrale fornisce semplicemente la carica totale (a parte un fattore)
  nel caso (l,m)= (0,0) ed e' zero i  tutti gli altri casi a causa dell'ortogonalita'
  tra Y_00 (che e' una costante) e tutte le altre Y_lm sulla sfera.
  In definitiva c'e solo il momento (l,m)=(0,0) e quindi il campo e' a simmetria
  sferica.
  D'altra parte, per costruzione la sorgente NON ha simmetria sferica
  essendo Y_11 non isotropa.
Ciao, Valter

Io stesso ho scritto:
 >Mi sono reso conto che io pensavo a cariche e voi a masse.
 >Mi pare che un controesempio simile a quello che ho scritto io
 >(se non ho commesso errori) si possa fare anche in quel caso tenendo
 >conto che la massa e' a segno fissato e cio' implica che il momenti
 >di dipolo che ho usato io siano nulli. Basta passare ai quadrupoli...
 >Riciao, Valter
  Avendoci pensato 5 minuti a pranzo, mi pare che la cosa sia
  piu' difficile di quanto credessi lavorando con la massa
  invece che con la carica... bisogna mettersi a mano a fare i conti
  per soddisfare il vincolo della densita' positiva e, al solito,
  non ho tempo di pensarci.  Forse e' impossibile con una combinazione
  lineare finita ... o forse Elio ha in mente quanche altra cosa piu'
  semplice.
   Ciao, Valter

Mannaggia, invece di lavorare mi ci sono rimesso a pensare !!!
Mi pare che invece tutto funzioni anche per la massa con qualche
accorgimento.
bisogna scegliere la densita':
  f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)
con g reale ortogonale alla funzione r nella misura r^2dr in [0,R]
avendo l'accortezza di prendere g liscia e con supporto
in, diciamo (R/3,R/2). Ovviamente cambiara' segno in tale
intervallo...
(prima ho usato Y_11, ma mi sono dimenticato
che e' complessa!! La cosa funziona ugualmente  usando invece
l'armonica sferica Y_10 con l=1 e m=0 che e' reale ed anisotropa).
Quindi q  puo' essere presa liscia ovunque non negativa,
nulla fuori da [0,R) e, su [R/3,R/2],  strettamente maggiore
del valore massimo di |Y_10(theta,phi) g(r)| che esiste
perche' tale funzione e' continua a supporto compatto.
Con queste scelte f e' ovunque non negativa.
  Ri-ri-ciao, Valter

 sorgenti a simmetria sferica => campo a simmetria sferica.
Trovo le osservazioni che hai fatto molto interessanti e precise, ma
considera che, anche se tacitamente, davamo tutti per scontato che non vi
fossero condizioni al contorno particolari per il problema in studio, a
parte quella canonica dell'annullamento del potenziale gravitazionale
all'infinito. 


 distribuzione di massa e' a simmetria sferica.
Si, e infatti e' la stessa cosa (il Laplaciano nello spazio di Fourier
e' -k^2). La differenza e' che secondo me in Fourier si vede ancora meglio,
essendo la relazione di natura algebrica piuttosto che differenziale.
A questo punto, visto che non abbiamo parlato di multipoli, servirebbe un
commento da Elio, per capire se quello che definiva "teorema di completezza
dello sviluppo in multipoli" si puo' ridurre a queste considerazioni, oppure
se serve qualche passo in piu'.
Bye
Hyper

 O mi sfugge qualcosa?
Non direi, le tue considerazioni mi sembrano (sono) del tutto corrette.
L'altro ieri, per ricavare l'equazione differenziale corrispondente a
quella integrale che esprime il potenziale in funzione della densità di
massa, anche a me era venuta subito in mente l'equazione di Poisson. 
Solo che fino a ieri, prima del secondo post di Hypermars, consideravo la
sfericità del potenziale in una regione spaziale limitata ed esterna al
corpo.
Con tale ipotesi l'equazione di Poisson per il campo gravitazionale 
Nabla^2(V) = 4*pi*G*rho   
si riduce immediatamente a quella di Laplace  
Nabla^2(V) = 0 
che, ovviamente, non consente di dire nulla sulla forma incognita della
distribuzione di massa.   
Se invece, come a rigore è corretto che sia, si impone la simmetria
sferica del potenziale su tutto lo spazio l'equazione di Poisson basta da
sola a mostrare la tesi.
Propongo pertanto di battezzare il teorema sui potenziali sfericamente
simmetrici del campo gravitazionale (in realtà un teorema analogo vale 
per il campo elettrostatico e ad occhio direi anche per qualsiasi campo di
forze centrali) come "teorema di Hypermars-Smargiassi" :).


 Penso di avere anche la risposta, ma per ora non la dico ;-)
Beh, la risposta è senz'altro affermativa (a questo punto della
discussione la cosa mi pare lapalissiana).
 
Penso si possa far vedere semplicemente, partendo nuovamente
dall'equazione di Poisson e prolungando per r < = R (strato sferico dopo
strato sferico) la soluzione V = V(r) valida per r > R.
 
Fintanto che ci si trova lontani dal corpo (assumo di avere a che fare con
un corpo solido, ma lo stesso ragionamento vale anche per una
distribuzione di masse puntiformi), avremo rho(r) (densità di massa) = 0
e il potenziale V(r) risulta prolungabile con la sua forma sfericamente
simmetrica.
 
Quando invece, nel corso del prolungamento, lo strato sferico arriva a
toccare la superficie del corpo avremo due possibilità distinte:
1) la densità rho(r) è la stessa in tutto lo strato sferico e allora, in
base all'equazione di Poisson, il potenziale è ancora prolungabile in
forma sferica verso distanze via via inferiori;
2) la densità rho(r) non è la stessa in tutto lo strato e allora, in base
all'equazione di Poisson, il potenziale perde la sua simmetria sferica.
Se si riesce a prolungare la forma sfericamente simmetrica del potenziale
fino al c. m. del corpo rispettando sempre la condizione 1), allora anche
la densità di massa del corpo avrà necessariamente simmetria sferica; se
invece a un certo punto si verificasse la condizione 2) allora il
potenziale gravitazionale e la distribuzione di massa del corpo
perderebbero la loro simmetria sferica.


 distribuzione di massa e' a simmetria sferica?
Interpreti bene la domanda. Se ho capito bene le altre risposte 
(comunque interessanti) non tengono conto della condizione r>R, e 
dimostrano con relativa semplicita` che se il campo ha simm. sferica 
allora anche la distribuzione di massa ha simm. sferica, giusto? Non 
posso in effetti dire di aver seguito tutti i ragionamenti fatti (mi 
mancano varie nozioni).
Paride

 unica solo se sono anche assegnate condizioni al contorno di un certo tipo.
In complemento alla e-mail che ho indirizzato in risposta a Giorgio
la domanda che pongo e':  due distinti insiemi di cariche puntiformi
interni ad una sfera di raggio R possono dare luogo al medesimo
potenziale V(r) fuori della sfera? Se la risposta a questa domanda 
fosse no allora sarebbe vero che lo sviluppo in multipoli di un sistema
di cariche puntiformi individua univocamente l'entita' delle cariche e 
la loro posizione. 
Nel caso di cariche  distribuite in modo liscio e' difficile e laborioso
dimostrare che questo e' falso, ma a conti fatti il problema si 
riduce a considerare le distribuzioni di carica interne ad una sfera 
di raggio R: con simmetria data rispetto alle rotazioni: 
f_ln(r) Y_ln(theta, phi) e tali che la funzione f_ln(r) 
verifichi l'identita' Int_(0,R) f_l(r) r^(l+2) dr =0. Si possono 
costruire infiniti esempi di tali funzioni. Nel caso l=0 questa 
caratterizzazione si riduce al semplice esempio di distribuzione sferica
non nulla ma globalmente neutra che non contribuisce ad alcun termine di
multipolo. 
La differenza fra queste due situazione e' naturalmente il fatto che 
mentre per cariche concentrate la funzione e' armonica ovunque eccetto
dei punti singolari, nell'altro caso, quando consideriamo una 
distribuzione di cariche, la funzione non e' armonica in tutto un 
dominio aperto: quello occupato dalle cariche. In queste regioni
per dire non e' verificato il teorema del massimo. Nella teoria delle 
funzioni  complesse l'analogo della prima condizione si chiama 
meromorfismo. 
Nella teoria delle funzioni complesse la conoscenza dei punti singolari
e lo sviluppo di Laurent individuano la funzione. Quello che vorrei 
sapere e' se esiste una situazione analoga anche nel caso di quelle 
funzioni che sono armoniche ovunque eccetto dei punti singolari e 
sarei curioso di sapere se esistono, pure per questo caso, degli indici
integrali, per i termini di multipolo localizzati, analoghi agli 
integrali di Cauchy della teoria delle funzioni complesse. 
Voglio far notare che questo e' un problema differente da quello che 
ho posto inizialmente, e' piu' generale e, su un punto, e' profondamente
differente da quello . Mentre infatti una distribuzione di cariche 
concentrate da' luogo ad  un potenziale localmente a quadrato sommabile,
questo non si verifica per momenti di multipolo concentrati di ordine 
superiore. In questi casi infatti gli asintotici  dei potenziali 
conducono ad integrali del tipo 1/ r^(2l) che sono integrali divergenti.
Quello che si impara per questo caso e' che il singolo sviluppo di 
multipolo non da' ora nessuna garanzia di essere una descrizione
adeguata nemmeno per il potenziale esterno alla sfera dove sono 
concentrate le singolarita'. 
Dal punto di vista della teoria del potenziale invece un 
primo passo per rispondere alla domanda si riduce a rispondere 
a questa domanda: possono esistere due differenti funzioni armoniche di
classe due volte differenziabile definite su un dominio chiuso e 
connesso Om, le quali sono uguali sul dominio aperto Om' contenuto
in Om? Se la risposta e' no chiamerei questo teorema di estensione 
delle funzioni armoniche.  
Perche' se questo teorema esistesse sarei portato a pensare che
la congettura relativa alle cariche concentrate sia vera? Perche'
se lo sviluppo in multipoli individua il campo esternamente alla
sfera dove le cariche sono collocate e' anche vero che sarebbe
possibile estendere finche' possibile il potenziale in modo univoco.
Questo condurrebbe per successive approssimazioni ad un potenziale 
definito ovunque eccetto in alcuni punti singolari. Ma ora il 
laplaciano generalizzato individuerebbe univocamente le cariche ed i 
multipoli. 
Vero o falso?   
-- 
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 distribuzione di massa e' a simmetria sferica?
Oltre all'esempio di Valter, si potrebbe allora pensare a un condensatore
sferico posizionato attorno ad un punto arbitrario (eccetto che nel centro)
interno alla sfera. Il condensatore ha un potenziale costante (scegliamo
nullo) all'esterno, e se si hanno informazioni sul campo solo per r>R,
risulta inosservabile. Ma ugualmente rompe la simmetria sferica della
distribuzione di carica/massa.
Bye
Hyper

 possibilita' discende dall' analisi teorica.
E' essenzialmente corretto quel che dici, perche' le situazioni
che possono modificare la distribuzione di carica senza intaccare
il potenziale esterno alla sfera sono molto speciali.  Per comprendere
meglio quanto speciali esse siano consideriamo infatti la condizione 
dell'equazione integrale che abbiamo scritto ed osserviamo che riduce 
essenzialmente un coefficiente di Fourier ad essere una funzione degli 
infiniti altri che rimangono liberi, ma questo vincolo deve essere 
verificato indipendentemente per tutte le funzioni f_lm(r) quindi porta
ad "un grado di liberta' in meno" per ogni coppia di indici lm. 
Fino a prima di questo tour de force ero, anch'io, pressoche' convinto 
che qualunque potenziale armonico con le giuste condizioni di 
decrescenza ad infinito fosse univocamente caratterizzato 
dall'espansione in multipoli, e che la corrispondenza fra l'espansione 
in multipoli e la distribuzione di carica fosse biunivoca almeno nel 
caso di sistemi formati da un numero finito di cariche puntiformi.
Cio' mi conduceva spesso in contraddizioni di cui non comprendevo
l'origine. Ora continuo ad essere relativamente confidente che
la seconda affermazione potrebbe essere vera. 
Della prima vedo che invece e' garantita,
forse,  nel caso di distribuzioni lisce e nel caso che i
potenziali siano localmente a quadrato sommabile. Se ne ho guadagnato
una migliore comprensione dello sviluppo in multipoli lo devo anche
a tutti voi. Grazie. 



Questo non c' entra per niente. Non e' la integrabilita'  in R^3 o della 
parte radiale che interessa per la completezza delle armoniche sferiche.
Sul resto,  e in particolare sull'  esempio di Valter ci devo pensare. 
Cosi'  a naso c'e' qualcosa che non mi torna...
Giorgio

Cosi'  a naso c'e' qualcosa che non mi torna...
 In effetti la mia intuizione fisica fa a pugni con la matematica
e anche per me, che ho prodotto il controesempio... mi pare che
qualcosa di fisico non torni.
D'altra parte non e' affatto ovvio provare che simmetria sferica del
potenziale per r>R implichi simmetria sferica della sorgente tutta
contenuta
in r<R. Ho provato a dimostrarlo direttamente e non ci sono riuscito.
L'idea era che le soluzioni dell'equazione di laplace sono analitiche,
per cui, essendo le coordinate polari analitiche rispetto a quelle
cartesiane,
con una serie finita di cerchi in cui vale lo sviluppo di Taylor, si
puo'
raggiungere ogni punto per r<R fuori dalla sorgente e provare che non
c'e'
dipendenza dalle coordinate polari nemmeno in tali punti (sempre che
l'insieme non contenente la sorgente per r<R sia connesso e
aperto...).
Quindi fuori dalla sorgente c'e' ovunque simmetria sferica. Pero' non
si puo'
entrare, con lo stesso criterio dentro la sorgente: la densita' di
carica
non e' necessariamente analitica e vale l'equazione di Poisson non
queklla
di laplace. Anzi la sorgente non e' mai analitica se e' tutta
contenuta
in r<R (avendo spporto cmpatto, analitica => nulla). Quindi non c'e'
modo
di prolungare analiticamente la soluzione nella regione occupata dalla
sorgente. A questo punto mi e' vento in mente che la risposta fosse
negativa e non positiva ed ho cercato un controesempio.
La cosa sorprendente e che con la stessa procedura del mio
controesempio, uno
costruisce facilmente una distrbzione di cariche di volume liscia 
che produce campo nullo fuori di essa. (Non e' sorprendente se uno
ammette strati supreficiali di carica, basta pensare ad una regione
carica interna ad un conduttore infinitamente esteso nello spazio, ma
io sto dicendo che la cosa vale anche se non ci sono strati di
carica...)
Ciao, Valter

 carica...)
Che era poi quello che suggerivo col condensatore: una opportuna
distribuzione di carica/massa che ha campo nullo (potenziale costante) fuori
di essa.
Fisicamente, mentre non riesco bene a raffigurarmi il tuo controesempio, non
mi sembra cosi' controintuitivo pensare a un condensatore di massa. Sfera a
densita' di massa uniforme, cavita' sferica da qualche parte dentro di essa,
circondata da una shell sferica a densita' maggiore, con le opportune
condizioni sulle masse (deve risultare che la massa aggiunta dalla shell
pesante e' pari alla massa persa dalla cavita'). Dall'esterno, questa
cavita' mi pare sia inosservabile. Ma magari sto viaggiando troppo di
fantasia.
Bye
Hyper

 carica/massa.
Piu' o meno quello che avevo pensato io, e si riassume in due parole:
"schermo elettrostatico".
Prendo un conduttore sferico cavo, e nella cavita' ci metto una distr.
di cariche arbitraria. All'esterno il campo e' a simmetria sferica.
Obiezione: pero' la faccia interna del conduttore sferico parta
cariche di segno opposto a quelle che si trovano nella cabvita': conle
masse come si fa?
Risposta: si congelano tutte le cariche; poi si aggiunge, sempre sulla
faccia interna, una carica distribuita unuiformemente e abbastanza
grande da rendere tutte le cariche dello stesso segno.
Seconda obiezione: questa pero' non e' una distr. "liscia".
A questo mi ero risposto da fisico: una volta trovata una soluzione
fisicamente soddisfacente, la sistemazione matematica poi si trova.
Come diceva de Gaulle: "l'intendence suivra".
Comunque Valter ha affrontato il problema dall'altro lato, e ha
mostrato che la soluzione "liscia" esiste.



Caro Valter,
dopo averci pensato, devo dire che mi hai convinto. Evidentemente hai 
frequentato abbastanza gli ambienti dei matematici per riuscire a 
"portare alla dannazione" i fisici (per parafrasare S. Agostino).
In effetti, quello che il tuo esempio fa vedere e' che l' *intuizione 
fisica* vincola troppo i momenti di multipolo alla simmetria della 
distribuzione di  massa (o di carica). Ben al di la' del lecito 
(matematicamente parlando).  In essenza il tuo esempio permette di 
costruire una distribuzione di massa a simmetra dipolare che pero' non 
ha nessun momento di n-polo (rispetto al centro).
In un certo senso e' una generalizzazione (non banale) del fatto ben 
noto secondo cui la carica totale vista (monopolo) fuori da una sfera 
(mediante misure di campo) non dice nulla sulla distribuzione di carica 
dentro la sfera (purche' sferica) perche' posso aggiungere tutte le 
distribuzioni sferiche a carica totale nulla senza alterare il flusso 
del campo elettrico.
Quello che a questo punto mi chiedo e' se si usano ipotesi in piu' per 
ricavare informazioni univoche  sulle distribuzioni delle masse 
planetarie (in particolare quella terrestre) dalle espansioni 
multipolari del campo gravitazionale. Il tuo esempio direbbe che serve 
quacosa in piu'.
Giorgio

Ciao, in effetti a furia di frequentare certi ambienti  sono diventato
(anche)
un matematico. A parte gli scherzi, c'e' una grossa differenza tra la
massa
e la carica dovuta al vincolo di positivita'. Per esempio, con la
seconda
riesci a costruire una distribuzione non nulla che genera _al suo
esterno_
un campo nullo. Con la seconda e' impossibile, perche' da lontano devi
vedere il campo di monopolo e assenza di campo di monopolo significa
massa totale nulla, cioe' densita' di massa nulla. Per la carica non
vale
perche' carica totale nulla non implica densita' nulla (il segno non e'
fissato).
Ciao, Valter

 Hyper
Ciao, vedo solo ora il tuo messaggio (non riesco ad usare google per
leggere
e postare sul sul newgroup e sto facendo un po' di caos come rompere i
thread,
cosa che odio, mi scuso con tutti!! Usando google in inglese le cose
funzionano un po' meglio).
Tornando al tema, quello che dico puo' anche ottenersi con un
conduttore
come  dicevi tu, ma come ha anche sottolineato Elio, questa "soluzione"
ha alcuni problemi fisici e matematici. In particolare coinvolge
cariche superficiali e non puo' essere usata per la massa perche'
pretende due segni di carica. La versione con le armoniche sferiche non
usa distribuzioni superficiali e puo' essere usata per la massa con una
modifica che rende il
campo esterno non nullo ma comunque a smmetria sferica (anche se la
sorgente
non ha tale simmetria).
In ogni caso continuo a credere che la risposta negativa che abbiamo
trovato alla questione  in esame ("se il campo gravitazionale ha
simmetria sferica
immediatamente fuori dalla sua sorgente, allora la sorgente ha
simmetria sferica?") sia davvero sorprendente, non me lo aspettavo
proprio.
Ciao a tutti,
Valter
-------------------------
Valter Moretti
Department of Mathematics
University of Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html

 fissato).
Ma come hai mostrato tu stesso, non e' un problema. Una cavita' dentro un
corpo massivo, si comporta come un corpo a massa negativa. Nel senso che per
descrivere il campo di un corpo uniformemente denso con una cavita', basta
scrivere
rho = rho1-rho2
dove rho e' la densita' del corpo cavo, rho1 e' la densita' del corpo con la
cavita' riempita, e rho2 e' la densita' della sola cavita'.
Quindi, e ripeto come hai mostrato tu stesso, si puo' tranquillamente
maneggiare una distribuzione di *massa* che abbia segno alterno, con l'unica
accortezza di pensarla come correzione, positiva e negativa, rispetto alla
densita' di massa iniziale. Mantenendo cosi' il vincolo di positivita'. Il
"condensatore" che mi era venuto in mente, era massivo (non pensavo a un
conduttore e all'elettrostatica), e secondo me fisicamente realizzabile.
Bye
Hyper

 
Ciao, non ho capito se ti stai riferendo al caso di simmetria sferica del campo
o alla situazione di campo nullo. La simmetria sferica si puo' ottenere con la massa
data da una densita' liscia  non nulla come ho mostrato. Invece, se si pretende
di avere campo _nullo_ e non solo a simmetria radiale, fuori dalla massa si chiede
qualcosa di troppo. Almeno volendo avere densita' di massa regolari (senza strati),
anche se credo che questo si generalizzi anche al caso di presenza di strati.
Ripeto quello che dicevo, sono stato poco chiaro.
"Teorema
Non c'e' alcuna distribuzione di masse definita
da una densita' rho (non negativa!) liscia con
supporto  in una regione sferica di raggio R finito,
tale che fuori da R il campo gravitazionale phi
generato da essa sia nullo ovunque.
Dimostrazione
PER ASSURDO.
Supponiamo che esista una distribuzione di masse con
densita' rho (non negativa) in una regione sferica di
raggio R finito, tale che fuori da R il campo
gravitazionale phi generato da essa sia nullo ovunque.
Dimostro che rho = 0 per cui tale distribuzione non esiste.
Considero, nel caso generale,  l'integrale su una superficie
sferica di raggio r
integrale phi(theta, phi) 1/r  dS(theta,phi)
Prendendo il limite per r-> +oo l'integrale, dallo sviluppo
in multipoli, produce un risultato  proporzionale a
integrale rho dV
dove l'integrale e' esteso alla palla con raggio R.
Tutti gli altri termini svaniscono nel limite detto.
Nel caso in esame vale phi=0 ovunque per r>R per cui
deve essere:
integrale rho dV = 0
Dato che rho e' non negativa, questo significa che
rho = 0 ovunque.
QED"
Ciao, Valter
---------------------------------------------
Valter Moretti
Department of Mathematics
University of Trento
http://www.science.unitn.it/%7Emoretti/home.html

 o alla situazione di campo nullo.
E io non ho capito cosa non hai capito tu...accidenti!
Io sto solo tentando di portare un secondo controesempio, oltre al tuo, che 
mostra come la simmetria radiale per r>R non implica simmetria radiale della 
rho per r<R. Invece di aggiungere una distribuzione centrata e 
caratterizzata da una particolare dipendenza angolare, come nel tuo 
controesempio, introduco una distribuzione *a simmetria sferica*, che 
produce campo nullo all'esterno, ma *non centrata*.
Il teorema che hai mostrato mi era chiaro. Se l'integrale di rho non e' 
zero, vuol dire che c'e' una massa netta, e quindi un contributo 1/r.
Cerchero', quando ho tempo, di fare un post piu' rigoroso, anche se non 
riusciro' a eguagliarti per rigore.
Bye
Hyper 

 
Niente, ora ho capito.  E sono d'accordo sul tuo controesempio.
Non ti preoccupare del rigore (io "devo" essere rigoroso visto che sono
professore di fisica MATEMATICA, altrimenti mi potrebbero accusare
di rubare lo stipendio :-))...
L'ambiguita' nasceva dal fatto che ti riferivi ad un mio post dove dicevo
due cose e non capivo a quale delle due ti riferivi. Ora ho capito.
Ciao, Valter

 sorgente.
E' un problema logico più che fisico.
Puoi costruire un'unica estensione finchè
consideri un numero finito di cariche concentrate
come sorgenti o eventualmente dipoli, etc... ma quando
consideri una distribuzione continua di
cariche non puoi estendere analiticamente
la funzione fino alle "singolarità". Manca
unicità pure se è garantita per ogni insieme
finito di singolarità concentrate. Puoi approssimare
qualsiasi distribuzione continua con una sequenza
di distribuzioni finite a cariche concentrate, ma
la distinguibilità fra distribuzioni vicine diventa
via via più sfumata. Quando consideri il limite transfinito
per ottenere la densità continua si verifica un fenomeno
analogo al "paradosso" degli infinitesimi.
Infinitesimo non vuol dire zero, con il
limite transfinito si guadagna la possibilità di
trovare soluzioni per equazioni agli autovalori che
evidentemente non ammettono alcuna soluzione a singolarità
concentrate. "G.L. mode on": E' un poco l'analogo della
possibilità di risolvere certe equazioni, per funzioni
speciali, ad esempio, nell'estensione algebrica massimale
del campo dei razionali, costituita dal campo complesso,
ad esempio, che non ammettono soluzioni per nessuna estensione
algebrica finita. "G.L. mode off": E' come la possibilità di
risolvere x^2 = 2 che si guadagna nel campo reale.
Dal punto di vista pratico questa possibilità
riflette la sempre crescente difficoltà, con il crescere
del numero di cariche per unità di volume, di discriminare
una distribuzione di cariche concentrate da una
distribuzione continua. L'analogo di ciò è il fatto che
aumentando i denominatori ammessi non c'è limite
che non sia quello della risoluzione materiale alla
possibilità di approssimare la diagonale di un quadrato
tramite multipli razionali del lato.
Così la traccia della differenza fra distribuzioni distinte
nel potenziale esterno esce dalla abilità di risoluzione
propria della matematica archimedea, non appena si ammette
la possibilità di distribuzioni continue, per entrare nel
dominio della teoria delle funzioni generalizzate e
dell'analisi non standard. Di questo si conserva
traccia ovviamente nello spazio di Fourier propriamente
detto in quanto la trasformata di Fourier richiede
in modo essenziale la conoscenza globale della
distribuzione. Questa circostanza del problema non
è una questione di lana caprina quando si considera
la dinamica ed il problema della genesi di un
campo.
Una soluzione al problema dell'invisibilità?
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


 


 r^2 f(r).
 
Una svista:
Int(0,R) r^2 f(r) dOm(r) = 0
dOm(r)=r^2 sen(theta) dr dtheta dphi



 


 proprio.
...
Torno solo oggi a leggere il newsgroup dopo 4 giorni e vedo che nel
frattempo siete andati molto avanti con la discussione. 
Non ho avuto quindi ancora il tempo di leggere con attenzione tutti i
messaggi, devo dire però che la conclusione che tu definisci
*sorprendente* a me sembra addirittura *increbidile* (infatti non ci credo
:)).
Ti chiedo quindi, se ti è possibile, di postare la forma esplicita della
densità di massa priva di simmetria sferica in grado di risolvere il
problema, ovvero di fornire un potenziale sfericamente simmetrico 
per r > R.
A me è venuto in mente un trucchetto banale (e anche piuttosto ignobile
devo dire) per ottenere un potenziale sfericamente simmetrico  a partire
da una distribuzione non sferica di massa ed è quello di considerare una
distribuzione sferica di massa continua (in una regione di spazio
limitata, semplicemente connessa se vuoi) in cui venga posto = 0 il valore
di rho in un insieme arbitrario di punti a misura nulla. 
Ma, come già detto, più che una "soluzione" mi sembra una "paraculata".


Aleph wrote:
 > 
vmor...@hotmail.com
 ha scritto:
 >> In ogni caso continuo a credere che la risposta negativa che abbiamo
 >> trovato alla questione  in esame ("se il campo gravitazionale ha
 >> simmetria sferica
 >> immediatamente fuori dalla sua sorgente, allora la sorgente ha
 >> simmetria sferica?") sia davvero sorprendente, non me lo aspettavo
 >> proprio.
1> Torno solo oggi a leggere il newsgroup dopo 4 giorni e vedo che nel
2> frattempo siete andati molto avanti con la discussione.
3> Non ho avuto quindi ancora il tempo di leggere con attenzione tutti i
4> messaggi, devo dire però che la conclusione che tu definisci
5> *sorprendente* a me sembra addirittura *increbidile* (infatti non ci credo
6> :)).
7> Ti chiedo quindi, se ti è possibile, di postare la forma esplicita della
8> densità di massa priva di simmetria sferica in grado di risolvere il
9> problema, ovvero di fornire un potenziale sfericamente simmetrico
1> per r > R.
Ti riposto la soluzione che ho trovato io. Non posso
vantarmi di essere il primo scopritore Tetis dice
che ha trovato essenzialmente la stessa quanche giorno prima di me
ma il post e' arrivato dopo.  Almeno la "scoperta" e' stata
indipendente, il Nobel ce lo darebbero equamente diviso .
A parte gli scherzi ecco qui:
La densita' di massa in coordinate polari e':
f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)
con g reale ortogonale alla funzione r nella misura r^2dr in [0,R]
avendo l'accortezza di prendere g liscia e con supporto
in, diciamo (R/3,R/2).  Y_{lm} e' la solita armonica sferica.
q  puo' essere presa liscia ovunque non negativa,
nulla fuori da [0,R) e, su [R/3,R/2],  strettamente maggiore
del valore massimo di |Y_10(theta,phi) g(r)| che esiste
perche' tale funzione e' continua a supporto compatto.
Con queste scelte f e' ovunque non negativa come si addice ad una
densita' di massa e, dall'espasione in multipoli della soluzione
all'equazione di Poisson (vedi per esempio il Jackson di Elettromagnetismo),
risulta subito che il campo generato per R>0 ha tutti i momenti nulli
eccetto che quello di monopolo, per cui il campo ha simmetria sferica.
Si dimostra, con argomenti di continuazione analitica delle soluzioni
dell'equazione di Laplace che la simmetria sferica sussiste fino al
bordo della regione in cui la densita' di massa e' non nulla.
Ciao, Valter
1> A me è venuto in mente un trucchetto banale (e anche piuttosto ignobile
2> devo dire) per ottenere un potenziale sfericamente simmetrico  a partire
3> da una distribuzione non sferica di massa ed è quello di considerare una
4> distribuzione sferica di massa continua (in una regione di spazio
5> limitata, semplicemente connessa se vuoi) in cui venga posto = 0 il valore
6> di rho in un insieme arbitrario di punti a misura nulla.
7> Ma, come già detto, più che una "soluzione" mi sembra una "paraculata".
Prima ho scritto un altro post (ora cancellato) scrivendo altre cose
su questo punto scambiando la densita' con il potenziale e scrivendo
una sciocchezza: non avevo capito bene quello che dicevi.
Fammi pensare, e' artificioso e sicurmente molto poco fisico,
ma... carino dal punto di vista matematico.
Fuori dalla sorgente non cambierebbe nulla esprimendo la soluzione con una
funzione di Green. Se l'insieme di misura nulla non ammette punti di
accumulazione dentro la sorgente la funzione risolverebbe
l'equazione di Poisson nei nei punti che rimangono sul supporto
della densita'...Si, come dici tu e' una vera "paraculata",
ma "ha del fascino" matematicamente parlando.
Ciao, Valter

 degli integrali di Laurent
Trovato. Sono finalmente in grado
di costruire degli invarianti integrali
che forniscono la traccia delle singolarita'
di multipolo di ordine qualsiasi. In verita' e' stato
un esercizio molto istruttivo, ma mi chiedo perche' non
se ne parli quasi mai in termini appunto di singolarita' concentrate.
Sui libri di teoria del potenziale che ho trovato si insiste molto sugli
integrali di Poisson e sullo sviluppo dell'integrale di Poisson in termini
di multipolo, ma non si dice nulla sul caso di multipoli concentrati ne'
di come si compongono. Parlano degli sforzi di Gauss e dei suoi successi
nella teoria delle funzioni armoniche sul piano, ed accennano appena
agli sforzi fatti dallo stesso sulle funzioni armoniche in tre dimensioni, e
sul
teorema di Cauchy Kovaleskaja appena un accenno.
Persino Landau che pure fa tanti begli esercizi sui momenti d'inerzia
lascia quasi completamente nell'oblio questo bell'argomento. Sono io
che ho guardato i libri sbagliati o e' un argomento poco chiaro?


 eccetto che quello di monopolo, per cui il campo ha simmetria sferica.
...
Ho guardato il libro di Jackson ma non riesco a trovare nulla che si possa 
applicare "sic et simpliciter" (sicuramente per miei limiti: purtroppo
sono piuttosto arrugginito su questi argomenti) al caso in oggetto. 
Intuisco che la chiave di tutto sono le proprietà di ortogonalità e
completezza delle armoniche sferiche, ma mi manca ancora qualcosa per
"chiudere il cerchio".    
Potresti provare a chiarirmi la questione (sempre che non sia troppo lungo
e impegnativo farlo)?


Aleph wrote:
 > Valter Moretti ha scritto:
 >
 >
 >> Aleph wrote:
 >
 >
 >
 > ...
 >
 >> 7> Ti chiedo quindi, se ti è possibile, di postare la forma esplicita della
 >> 8> densità di massa priva di simmetria sferica in grado di risolvere il
 >> 9> problema, ovvero di fornire un potenziale sfericamente simmetrico
 >> 1> per r > R.
 >
 >
 >
 > ...
 >
 >> A parte gli scherzi ecco qui:
 >
 >
 >
 >> La densita' di massa in coordinate polari e':
 >
 >
 >
 >> f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)
 >
 >
 > ...
 >
 > Sì, ma non hai ancora specificato la forma esplicita di q(r) e,
 > soprattutto, di g(r). Era questo quello che chiedevo.
 >
Ma ce ne sono una infinita'...
Basta fare i calcoli. Jackson Capitolo 4, paragrafo 4.1, formule 4.1 e 4.2.
Considera
h(r) =  Y_10(theta,phi) g(r)
dove g(r) e' tale che su [0,R]
int r3 g(r) dr = 0
allora, per tale relazione unitamente alla relazione di ortogonalita'
delle armoniche sferiche (la completezza non serve), dalla
formula 4.3 trovi
q_{lm} = 0
per ogni scelta di l e m ammissibili (l=0,1,2,... e m= -l,-l+1,...l-1,l).
Da cui, per la formula 4.1, il potenziale generato dalla densita' h e' nullo per r>R.
Se vuoi mi metto a cercare una formula esplicita di una funzione g liscia
che soddisfi
int  su [0, R] di r3 g(r) dr = 0
ma mi pare che non sia il caso, puoi capire da solo che ce ne sono infinite...
Posso sempre trovarne una che sia liscia e nulla fuori da (R/3,R/2)
Per quanto riguarda la funzione q, a questo punto, e' chiaro che comunque
la scegli, essendo solo funzione di r produce coefficienti q_{lm} nulli,
eccetto eventualmente quello con l=0. Prendiamola costante positiva con valore
c>0 su [R/3,R/2] che decresce in modo liscio fino a zero fuori da tale intervallo
ma comunque con supporto in (0,R). Il q_{00} prodotto da tale funzione
e' sicuramente strettamente positivo come e' immediato provare.
Possiamo scegliere c maggiore del
massimo del modulo di Y_10(theta,phi) g(r) che e' finito perche' questa funzione
e' continua con supporto in un compatto. Con questa scelta, per costruzione
q(r) e' sempre piu' grande di  |Y_10(theta,phi) g(r)|, per cui
f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)
e' positiva da qualche parte (almeno su (R/3,R/2)) e non negativa ovunque
e nulla per r>0.
A questo punto la formula dello sviluppo in multipoli 4.1 fa funzionare tutto...
Prenditela con il Jackson se ora non sei ancora convinto
Ciao, Valter

 Basta fare i calcoli. Jackson Capitolo 4, paragrafo 4.1, formule 4.1 e 4.2.
...
Più o meno nelle stesse ore in cui mi rispondevi sono andato a vedere
nuovamente lo Jackson (in particolare la relazione 3.70 che illustra lo
sviluppo in armoniche sferiche della quantità 1/|x -x'|) e ho svolto
esplicitamente i calcoli e adesso, anche per me, tutto torna. 
In un certo senso il risultato finale dà "parzialmente" ragione al mio
intuito fisico immediato, poiché l'espressione finale del potenziale
contiene in effetti come fattore l'armonica sferica Y10 che trasferisce
sul potenziale la simmetria assiale della distribuzione di carica. D'altra
parte la fattorizzazione completa dei termini relativamente alle
coordinate radiali e angolari consente di richiedere (e imporre) la
condizione aggiuntiva che l'integrale della g(r) sia nullo su [0, R]
vanificando, per così dire, il ruolo della Y10.
Una cosa che non mi soddisfa ancora pienamente è che pur avendo capito 
il risultato attraverso l'occhio della matematica non riesco ancora a 
visualizzarlo sul piano dell'intuito fisico, ma mi ci abituerò.
Il fatto che la distribuzione di carica del tuo esempio assuma valori
all'interno di una sfera, sebbene abbia simmetria assiale, mi suscita un
altro interrogativo (non mi maledire però :)): "E' possibile definire una
distribuzione di carica all'interno di un corpo di forma *NON* sferica (a
geometria semplicemente connessa tanto per cominciare) il cui potenziale
gravitazionale presenti simmetria sferica per r > R?


 e impegnativo farlo)?
Spero di non essere stato confuso ed incomprensibile come al solito.
