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Titolo: Quell'unico stato ordinato...

MA ... con tanto tempo e tante scimmie.. IN LINEA DI PRINCIPIO...
Sicuro? Io mi faccio spesso questo esempio "entropico": la
bottiglietta di profumo aperta in una stanza. Dopo un po' tutte le
mocecoole del profumo sono mischiate con quelle dei gas dell'aria.
trilioni di trilioni di stati, praticamente incommensurabili e
indistinguibili l'uno dall'altro: tutti meno uno. Quello in cui le
molecole del profumo sono tutte rientrate nella bottiglietta.
La statistica lo considera uno dei tanti casi (anche tu quando
rispondi al mio "50.000 teste"), eppure avverto che queel caso
ordinato è speciale: sembrerebbe o sarebbe un inversione temporale?
E' possibile che succeda almeno una volta nell'universo?
E.

E.
Se non hai già affrontato un corso come puo' essere struttura della
materia o altri corsi in cui si spiegano le diverse statistiche
partendo da semplici esempi di palline forse te ne puoi rendere meno
conto....
...a davvero quel caso non è particolare rispetto ad altri se non per
avere pochi compagni a lui simili. Cioè il caso "un miliardo di
particelle di profumo fuori e una dentro la bottigliettta " si puo'
reallizare in un sacco di modi... quello "un miliardo e una particella
dentro la bottiglia " in molti meno modi... ma questi molti meno modi
non sono speciali.. se poi usi la meccanica classica e pensi di poter
distinguere le particelle e pensi al caso in cui ogni particella di
profumo è numerata e tu aspetti che tutte ste particelle siano nella
bottiglietta e pure in ordine crescente, questo si puo' realizzare in
un solo modo che non è speciale rispetto a tutti gli altri se non per
essere l'unico della sua specie. Davvero oramai non so piu' cosa dirti
dopo tutti gli esempi che ti ho/abbiamo fatto per farti distinguere
tra impossibile e possibile...
Poi una sola bottiglietta da osservare è troppo poco per un caso così
straordinariaente improbabile... se provi con 10^(1 Googolplex)
bottigliette in altrettante stanze e aspetti 15 miliardi di anni forse
hai qualche possiblità in piu'...auguri !!! 
ciao 
Wentu

Ti scandalizzerai pensando che in meccanica analitica c'è un teoremino
alquanto sconvolgente, questo teorema, dovuto a Poioncaré, ti dice che non
solo il caso in cui le particelle sono tutte nella bottiglia è probabile ma
che esiste un tempo t in cui questa situazione si verifica con certezza
assoluta. Basta semplicemente aspettare un po'....troppo. :-).


 Ciao, non e' proprio cosi'.
 Il teorema del ritorno di Poincare' e' piuttosto tecnico e nella 
 versione piu' forte,  dice che 
 "dato un sistema fisico il cui flusso di fase
 conserva il volume dello spazio delle fasi, se il sistema evolve
 in un volume finito dello spazio delle fasi, allora "quasi" ogni stato
 ritorna infinite volte."
 In soldoni devi avere un sistema fisico "hamiltoniano classico" 
 (anche se cio'  non e' del tutto necessario), per esempio un gas 
 ideale (puoi anche prendere un gas di sfere rigide che si possono 
 urtare) in un volume spaziale finito, e devi supporre per esempio che 
 il sistema sia mantenuto isolato per avere energia costante (e cio' 
 assicura la finitezza del volume dello spazio delle fasi accessibile al 
 sistema).
 Allora "quasi ogni stato" del sistema, viene raggiunto e raggiunto
 successivamente del sistema infinite volte nella sua evoluzione.
 Quel "quasi" e' una nozione tecnica della "teoria della misura"
 che ha piu' o meno il significato intuitivo che uno puo' 
 immaginare. A causa di quel "quasi" (ammesse le altre condizioni 
 valide)  non e' detto che lo stato di tutte le particelle nella 
 bottiglia "ritorni" pero' c'e'sicuramente uno stato arbitrariamente 
 vicino a questo (magari con qualche particella fuori dalla bottiglia) 
 che "ritorna".
 Ciao, Valter Moretti

 che "ritorna".
Ciao, mi sembra che la tesi del teorema sia un po troppo ottimistica.
Infatti, se non ricordo male, la tesi non è:
"a parte un insieme a misura nulla di condizioni iniziali possibili,
tutti gli stati del sistema tornano ESATTAMENTE dopo un certo tempo
alla condizione iniziale (questo implicherebbe che tutti i sistemi che
obbediscono alle ipotesi del teorema sono periodici)" 
ma la seguente (potrei sbagliare, of course)
"a parte un insieme a misura nulla di condizioni iniziali possibili,
per ogni intorno arbitrariamente piccolo della condizione iniziale,
esiste un tempo t tale che il sistema sarà all'interno di tale intorno
della condizione iniziale (ovviamente si intende un intorno nello
spazio delle fasi").
Se il teorema fosse come dici tu, vorrebbe dire che tutti i sistemi che
soddisfano il terorema di Poincarè per quasi tutte le condizioni
iniziali sarebbero periodici in virtù del teorema di esistenza ed
unicità della soluzione del problema di cauchy che definisce il moto
del sistema, cosa che non è vera.
I sistemi periodici sono casi molto paricolari di questo teorema.
P.S. Ovviamente potrei aver travisato quello che hai scritto.
P.P.S. A questo punto mi viene spontaneo chiedermi quali sono le
caratteristiche del moto, di quell'insieme a misura nulla di condizioni
iniziali che potrebbero non obbedire alla tesi del teorema. 
Ciao Zeb
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Ciao, non ho detto che il ritorno e' periodico, 
ho detto che "quasi ogni stato ritorna infinite volte"
senza precisare il tempo che intercorre tra un ritorno e l'altro
(perche' il teorema non lo permette).
La tesi che hai scritto tu e' anche vera, e' la versione in un certo
senso piu' debole del teorema da cui segue l'altra usando la completezza
della misura di Lebesgue (non e' proprio banale). Purtroppo ora non ho
sotto mano la dimostrazione. Potrebbe darsi, dato che ho citato a
memeoria, che la tesi "forte" sia piu' semplicemente "Fissato un T
arbitrario, per  T>0 quasi ogni stato ritorna" che e' un po' piu'
debole. 
La versione che fornisci tu e' quella piu' elementare che trovi
sull'Arnold. Se ti interessa posso controllare l'enuciato forte
e postare la dim. Fammi sapere.
Ciao, Valter

e postare la dim. Fammi sapere.
Ti riferisci a: "Metodi Matematici della Meccanica Classica" ? Se è
quello lo possiedo, anche se lo trovo ostico (se definisci elementare
quello che si trova sull'Arnold, ho paura di sapere quello che ritieni
complicato ;-((   ).
Se ne hai voglia sarei ben lieto di leggerne l'enunciato e la
dimostrazione della versione forte del teorema, ma come ti ho detto, se
è un lavoraccio mi accontenterei di un riferimento.
Ciao Zeb 
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 Ciao, Valter Moretti
Ciao, Biagio
P.S. La fisica è già complicata di per sé, la pignoleria matematica la rende
impossibile.
La realtà si rappresenta con linguaggio matematico, ma non è matematica!

E? invece è proprio cosi', leggi bene la risposta prima di cacciare il
buon
nonchè criptico formalismo matematico, ho detto che le particelle
tornano
nella bottiglia non che la traiettoria dinamica ritorna nello stesso
punto.
Che le particelle tornino nella bottiglia è assolutamente sicuro essendo
la
bottiglia di volume finito e esistendo pertanto nello spazio delle fasi
un
intero intorno del punto di partenza cui corrisponde una situazione in
cui
le particelle sono tutte nella bottiglia.
 Ciao, ho gia' dato un'altra risposta correggendo il tiro.
 Ciao, Valter

 le particelle sono tutte nella bottiglia.
Scusa, solo queste due cose.
1) Sul cripticismo matematico posso essere d'accordo con te
(purtroppo, mea culpa!, non ho letto tutto il seguito di messaggi e non
sapevo che era partito tutto da un liceale [che ovviamente non e' tenuto
a conoscere i formalismi] e MI SCUSO CON LO STUDENTE).
2) Il fatto che il volume della bottiglia sia contenibile in un intorno
non mi pare che assicuri che le particelle tornino dentro la bottiglia.
Prendiamo una sola particella => Spazio delle fasi dato da un rettangolo
asse x= spazio asse y = impulso.
La bottiglia e' un segmento di lunghezza 1 che parte da 0 sull'asse
delle x. Quindi determinera' una banda verticale, dato che l'impulso e' 
arbitrario. Il punto e' nella bottiglia quando, nello spazio delle 
fasi, e' nella banda detta.
Ora tu mi stai dicendo che il *solo* teorema di Poincare' *assicura che 
prendendo un punto *a caso* nella banda e facendolo evolvere questo
ritorna necessariamente nella banda*. Puo' darsi che hai ragione, ma
allora me lo dimostri per piacere?
Ciao, Valter

 
Devo precisare (ho dimenticato di dirlo) che ovviamente, 
bisogna  prendere una porzione finita di spazio delle fasi (per esempio
rendendolo un toro identificandone bordi, o qualcosa del genere).
Riciao, Valter

 wrote:
[con riferimento a tutta la parte del thread
che riguarda la bottiglietta aperta]
Non sono ferrato sui vari enuciati di Poincare', ma
mi e' sorto un dubbio (spero di non parlare di fiaschi
quando stavate discutendo di fischi..:-)
il post di Ernesto puo'
essere riassunto cosi' (se ho capito bene): la teoria
ci dice che una volta aperta la bottiglia, c'e' una
sia pur piccola probabilita' che le varie molecole
ritornino, magari solo per un attimo tutte o quasi
dentro la bottiglia. Ma dato che in pratica cio' non
succede, allora posso considerare allo stesso modo il
caso dei lanci di una moneta, dove se ho "troppe"
teste, mi conviene puntare sulle croci.
Supponiamo di prendere la mia bottiglia, metterla
in una scatola ed aprirla con un congegno a tempo.
Dopo un certo periodo lo stato piu' probabile e'
quello in cui la densita' delle molecole e' uguale
dentro e fuori la bottiglia: infatti puo' essere
generato in tantissimi modi diversi (tutte le 
permutazioni delle particelle). Gli stati "tutte
dentro" e "tutte fuori" potro' farli in un modo
solo (per cui saranno i meno probabili) e cosi'
via. Ma secondo me stiamo trattando, sbagliando,
tutti questi stati come equiprobabili; ma...l'entropia?
Se fosse possibile che per un solo istante tutte
le particelle fossero dentro alla bottiglia, potrei
pensare di tapparla in quel momento: sono riuscito
a ridurre l'entropia? Il famoso demonietto di Maxwell
faceva la stessa cosa, ma doveva in qualche modo
fare lavoro usando una qualche energia, per cui il
secondo principio era salvo (ok sto riassumendo, ma
il concetto e' quello), per cui secondo me lo stato
"tutte dentro" quando prima erano fuori e' semplicemente
impossibile; a meno che non faccia qualcosa perche' cio'
avvenga, cioe' che in qualche modo io "trucchi" il gioco.
Invece il caso delle 50 teste consecutive 
lanciando una moneta non e' impossibile: ha la stessa
probabilita' della sequenza 49+1, 24+26, 25+25 ecc...
Quali sono le ipotesi del teorema del ritorno? Spero
che non siano applicabili alla bottiglia aperta,
altrimenti come si concilierebbe con il secondo principio
della termodinamica?
Ciao
-- 
Massimo M. - 
ine...@libero.it
"Sto cercando un grande guerriero"
"Sbagli: la guerra non fa grande nessuno"
(da "L'impero colpisce ancora")

 allora me lo dimostri per piacere?
Supponiamo che il sistema sia a temperatura T, il che trattandosi di una
particella, con un po', di fantasia si ha che la sua energia cinetica è
fissata (a KT) e pertanto il suo momento è perfettamente determinato. La
varietà di livello determinata dall'integrale dell'energia comporta che la
regione di interesse è un segmento di lunghezza pari alla larghezza del
rettangolo. Questa regione è una regione invariante dello spazio delle fasi
nonché compatta. Supponiamo che ad un certo istante t la particella si trovi
in posizione 1/2 (coordinata x) e consideriamo il segmento   S0
[1/2-.1,1/2+.1]
(con e arbitrario), per il teorema di Poincarè (o meglio per un suo
corollario) esiste un istante t1 >t tale che
tutte le traiettorie (ad eccezione di un insieme di misura nulla)
che si originano in punti di S0 tornano in S0. Pertanto esisterà un istante
in cui la coordinata x della particella sarà compresa tra [1/2-.1,1/2+.1],
ossia la particella si troverà nella bottiglia.
L'insieme di misura nulla non dà alcun problema in quanto la probabilità che
il sistema si trovi in un dato sottoinsieme dello spazio della fasi
all'istante iniziale è data dal rapporto della misura di tale insieme con la
misura della varietà di livello dell'energia, ed essendo  il primo di misura
nulla il sistema non si troverà mai in una tale (sgradevole) situazione.
 > Ciao, Valter
Ciao Biagio

Ciao,  dal punto di vista della meccanica statistica avresti ragione
(a parte il fatto che una sola particella e' difficile da
trattare in tal caso, e non avevo scelto a caso l'esempio).  Pero'
tu stai assumendo *oltre al teorema di Poincare'* anche altre ipotesi
della meccanica  statistica, cioe' la distribuzione uniforme di
probabilita' per un insieme microcanonico anche se poi tieni fissa
la temperatura che sarebbe come prendere un sistema canonico, ma data
la stranezza dal caso (una sola particella) non e' il caso di
sottilizzare.
Pero' mi concederai che il T.di Poincare' da solo non permette
di dedurre quanto dicevamo.
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
 Ciao Biagio