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Titolo: FFT

Buongiorno a tutto il gruppo.
Sono uno studente all'ultimo anno dello scientifico.
Ho tra le mani un software che effettua la trasformata di Fourier discreta 
con l'algoritmo citato in oggetto: non ho capito come funzioni.
I parametri che stabilisco, sono:
- frequenza di campionamento, fc
- decimation ratio (che non oso choedere cosa sia)
- FFT size (samples)
Il software da questi parametri restituisce:
- frequenza spettrale massima = 1/2fc
- risoluzione spettrale = fc/FFT size
Allora, accendo il microfono e ci parlo, producendo il segnale S(t). Il 
sistema campiona il suono della mia voce prelevando fc valori di S(t) al 
secondo. Questo l'ho capito. Come ho capito che per il teroema di Shannon lo 
spettro potr� restituire al massimo quella frequenza che � pari alla met� 
della frequenza di campionamento. Ora, sia tau = 1/fc, ossia il tempo che 
intercorre tra il prelievo di due campioni successivi, e FFT size il numero 
N di campioni che ho deciso di prelevare (in totale), va da s� che la durata 
del segnale che verr� sottoposto alla FFT sar� N*tau per volta (N campioni 
alla volta). Mi pare di aver capito, inoltre, che la porzione campionata di 
S(t), di durata T, venga selezionata da una finestra (che supponiamo 
rettangolare perch� la vita � gi� abbastanza complicata) e venga considerata 
come pari al singolo ciclo, di periodo T per l'appunto, di un infinito 
segnale fittizio che � richiesto per eseguire una FFT. Infine, la FFT 
dovrebbe resituire i coefficienti della trasformata di Fourier di S(t), in 
termini di ampiezza/fase, ad esempio, per ciascuna armonica (pi�, 
naturalmente, il valor medio di S(t) alla frequenza zero)
Le mie innumerevoli perplessit�, sono:
1) Se parlo al microfono, ho capito bene che la mia voce viene campionato fc 
volte al secondo, ma che la FFT viene eseguita su un numero di campioni N, 
pari a Fc*T, alla volta o, ci� che � lo stesso, su campioni provenienti da 
segmenti consecutivi di S(t) di durata T?
2) La benedetta finestra rettangolare che ampiezza ha? Mi verrebbe da dire 
prorpio T, ossia che il software prenda una porzione (campionata) di S(t) di 
durata T e la periodicizzi all'infinito.
3) Mi aspetterei che S(t) fosse un segnale armonico di periodo Y, prendendo 
T = n*Y (con n intero), dovrei avere uno spettro costituito da una singola 
riga (la frequnza del suono armonico). Se per� prendo un T differente, ecco 
che potrei far insorgere discontinuit� (con periodo T) nel segnale fittizio 
infinito e, cos�, introdurre altre armoniche nello spettro. E' corretto?
4) Perch�, per�, spesso, anzich� righe trovo dei picchi "a tenda", della 
bande laterali alla frequenza nella quale mi aspetterei una riga? E come 
l'ampiezza di queste tende dipende dai parametri che imposto prima 
dell'analisi?
Spero che vorrete essere clementi con me, non foss'altro perch� non dormo da 
72 ore per capire questo dannato software (che non ha un manuale, tra 
l'altro).
Grazie anticipate alle anime buone.
Giordano Bruno (non � un nickname, mi chimao cos�, ma non mettetemi al 
rogo...heheheh...oddio... questo dovrebbe essere il posto pi� sicuro in tal 
senso!)
 

 manuale, tra l'altro).
Ma no, la notte (quando si dorme) porta consiglio :-))
Ma come e' possibile che non ci sia un manuale? Neppure in internet?
Non hai nessun link o indirizzo e-mail al quale rivolgerti?
 
-- 
Elio Fabri

 Troverai proprio le tue "tende" :)
Ok, per� mi sembra ovvio che le tende non indichino uno spettro continuo, ma 
derivino dall'unione di un numero discreto di frequenze adiacenti, visto che 
parliamo di coefficienti di Fourier! E' corretto?
UN'ultima cosa: FFT size cosa � esattamente? Ci ero arrivato, ma l'ho 
dmenticato!
Grazie, mi stai aiutando molto. Sei iscritto a Fisica, se non sono 
indiscreto? Dove?
Giordano 

 Giordano
...in un certo senso.... ;-)
http://www.mce-fimem.it/ricerca/eduscientifica/fabri1.html
http://www.df.unipi.it/~fabri/
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/
Io invece sarei curioso di sapere come ti sei imbattuto nella 
trasformata di Fourier... in prima istanza pensavo fossi iscritto a un 
tecnico a indirizzo elettronico, ma poi ho visto che sei un liceale: io 
in quinta liceo scientifico non sapevo cosa fosse una trasformata di 
Fourier, e l'ho scoperto solo al secondo anno di ingegneria.... :-(
Ne aprofitto per fare una riflessione assolutamente personale, e a 
spanne :-) :
a parte la grande potenza come "strumento", la trasformata di Fourier 
(come altre trasformate del resto) trovo che sia molto affascinante dal 
punto di vista fisico perche' sembra suggerire che esistono "domini" 
diversi dal "comune" spazio-tempo in cui studiare le cose....
penso per esempio a un'onda monocromatica: studiarla nel tempo potrebbe 
far venire qualche dubbio "ontologico" dovuto alla sua estensione in t 
(-oo, +oo) ..o almeno a me venne ;-) ;nel dominio della trasformata 
invece e' semplicemente una bella "freccia" (che si chiama delta di 
dirac) alla frequenza giusta... (certo quella freccia ha "ampiezza 
infinita e apertura nulla", pero' a me urta meno un'ampiezza infinita 
piuttosto che un'estensione a t=-oo ... de gustibus ;-) )
Ciao, buon lavoro per il tuo studio
Andrea Barontini

 variare della larghezza delle strisce?
Se vuoi capire "visualmente" la trasformazione di Fourier delle 
immagini, di consiglio vivamente:
1) di leggere con attenzione questo articoletto, che ti mostra con 
chiarezza le trasformate di alcune immagini "semplici":
http://enteos2.area.trieste.it/russo/LabInfoMM2006-2007/ProgrammaEMaterialeDidattico/daStudiare/009-FourierInSpace.html
2) di giocherellare un po' (anzi, parecchio) con questa applet Java:
http://bigwww.epfl.ch/demo/fourierfilter/
 (Premere "Demo")
  - scegli un'immagine
  - premi "compute FFT"
  - seleziona un filtro (
p.es
. "low pass")
  - premi "compute I(nverse)FFT)" e guarda cosa hai lasciato passare
  - seleziona il filtro complementare (
p.es
. "high pass")
  - premi "compute I(nverse)FFT)" e guarda cosa avevi eliminato
Quando scegli un filtro, puoi modificarlo "tirandolo" con il mouse.
Buon divertimento :-)
-- 
TRu-TS
La vita e' un viaggio. E :-) NE VALE LA PENA
http://www.youtube.com/watch?v=vdCT8N-QQnU
(io sono quello con la barba bianca)

 studiare le cose....
A me quel che colpisce sempre, ï¿œ che sembra qualcosa di
molto "fondamentale" anche se non saprei dire in che
senso. Pare che ci si possa veramente fare di tutto e mi
piacerebbe sapere se la dualitï¿œ (sempre che cosï¿œ si possa
chiamare) dominio del tempo / dominio delle frequenze
abbia un carattere in un certo senso universale.
Mi pare di aver letto che con la FFT si possano meglio
riconoscere i caratteri negli OCR perchï¿œ nello spazio di
Fourier le differenze tra le varie forme dello stesso
carattere si attenuano. Se ï¿œ davvero cosï¿œ, rimango davvero
senza parole!
ciao!
Apx.

 indiscreto? Dove?
Diciamo che lo sono stato, molti anni fa.
Mi sono laureato a Roma, ma da 55 anni vivo a Pisa.
E adesso non ti far prendere da timore reverenziale: sono sempre io
anche se potrei essere tuo nonno :-) (e infatti ho giusto dei nipoti
attorno alla tua eta').
 
-- 
Elio Fabri

 attorno alla tua eta').
:-O
le ho dato del tu finora?! Io sono molto felice che addirittura un prof. 
universitario mi spieghi le cose e lei non immagina quanto!
Ma forse dovrei continuare a darti del tu, perch� vedo che cos� fan tutti!!
Insomma: devo darti del lei o devo darle del tu? :-)
Grazie comunque.
Ma ci stai sempre qui? Perch� a me piacerebbe imparare molto da te.
Giordano 

Mi pare di aver letto che con la FFT si possano meglioriconoscere i caratteri negli OCR perch� >nello spazio di Fourier
Ha molte applicazioni. Questo per� non ha a che vedere con
l'universalit�.

 Ma ci stai sempre qui? Perch� a me piacerebbe imparare molto da te.
Ci sto... Ho controllato e sono 12 anni che leggo e scrivo su questo e
altri NG.
Mi tengo in esercizio :-)
 
-- 
Elio Fabri


L'esperienza pi� comune di aliasing nella vita di tutti i giorni � 
probabilmente quella delle riprese televisive in cui compare qualcuno 
con un vestito a righe sottili: quando sono riprese da lontano le righe 
si confondono e compaiono delle altre righe, pi� ampie e orientate 
diversamente.
Posso vedere questo fenomeno inquadrando con la fotocamera del cellulare 
la griglia di areazione del mio monitor: a una certa distanza le righe 
sono cos� vicine tra loro che ce ne � pi� di una per ogni coppia di 
pixel del display LCD. A quel punto si vedono delle righe "fantasma", 
che non sono altro che l'alias della frequenza spaziale della griglia 
rispetto alla frequenza di campionamento, determinata dal numero di 
pixel del display.
Il display LCD, che ha una risoluzione pi� bassa rispetto al sensore, fa 
un sottocampionamento dell'immagine.
Nelle applicazioni audio � difficile osservare il fenomeno, perch� i 
filtri passabasso sono economici e facili da realizzare e sono sempre 
presenti prima del campionamento, quindi l'aliasing viene evitato.

 Rispondo domani
OK, aspettiamo


 (L/16 ?' ((L/12) ?' (L/16))) = L/24
Chiedo scusa: quei caratteri illeggibili erano normali segni "meno" (-)
-- 
TRu-TS

 anni.
Semel professor semper professor :), anche in pensione!
-- 
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, dar�ber mu� man schweigen.
(L. Wittgenstein)

 spaziale).
Io ho dei dubbi su tutta la questione; dovro' pensarci meglio.
Azzardo una motivazione dei miei dubbi, che potrebbe anche rivelarsi
sbagliata.
Tutti gli esempi che fai (effetto stroboscopico come moire') non sono
esempi in cui si esegua una trasf. di Fourier. Perche' dovrebbero
entrare in ballo gli alias, che sono effetto appunto del
sottocampionamento nella DFT?
Inoltre l'effetto stroboscopico ha certamente a che vedere con un
campionamento, perche' riguarda fotogrammi presi a istanti discreti, od
oggetti illuminati con luce lampeggiante (questo e' il caso che genera
il nome originario). Le frange moire' nascono invece dalla
sovrapposizione di *due* pattern periodici di frequenze diverse, e non
vedo qui dove entrino Shannon o Nyquist...
 
-- 
Elio Fabri

 vedo qui dove entrino Shannon o Nyquist...
Il campionamento entra in questo modo. Supponi di avere un pattern su un 
foglio di carta al quale sovrapponi un altro pattern disegnato su un 
foglio trasparente. Il foglio di sotto e` il segnale originario, il 
foglio trasparente messo sopra e` il campionatore, che moltiplica il 
segnale sottostante per una funzione periodica spazialmente che vale 1 
nella zona trasparente e 0 nella zona opaca.
Non e` un campionamento fatto con un treno di delta, ma con un treno di 
delta convoluto con una funzione rect bidimensionale. Comunque e` sempre 
un campionamento.
Se ci si allontana dai due fogli, la limitazione di risoluzione 
dell'occhio funziona da filtro passa basso ricostruttore e si vede una 
bassa frequenza spaziale non presente nel pattern originale (quello sul 
foglio di sotto)


 Filtered Inverse Transformed".
Grazie, studio il tuo link e ritorno!
Giordano 

 altri NG.
Allora ci sono speranze....
Giordano 

 sia tra le sinusoidi e tutto ci�!
L'argomento �: esponenziali complessi
e^iy= cos(y)+i*sin(y)
Un caso particolare � la Formula di Eulero
e^ip=1 ( p � il pigreco)

 e^ip=1 ( p � il pigreco)
Magari col segno giusto: e^(ip) = -1.
Problema: come giustificare la relazione di Eulero? Lo si puo' fare in
piu' modi. Provo a esporre quello che ti dovrebbe essere piu' accessibile.
Mi aspetto che anche nel campo complesso la funzione esponenziale abbia
le stesse proprieta' per la sua derivata. Quindi, posta
f(y) = e^(iy),
mi aspetto
f'(y) = i e^(iy) = i f(y).  (1)
E' facile vedere che se definisco
g(y) = cos(y) + i sin(y)
anche per g(y) vale
g'(y) = i g(y).
Basta questo per concludere f(y) = g(y)?
No, perche' se moltiplicassi per es. f(y) per una costante qualsiasi,
la (1) continuerebbe a valere.
Debbo dunque aggiungere una "condizione iniziale", per es. imporre
f(0) = g(0).
Puoi verificare che f(0) = e^0 = 1, e che anche g(0) = 1.
Questo basta per garantire che e' sempre f(y) = g(y) per ogni y.
(Sotto c'e' un teorema che non conosci, ma che forse puoi accettare
intuitivamente.)
Un'altra strada passerebbe per gli sviluppi in serie di potenze, ma
non credo ti siano familiari.
Un'altra osservazione: ora che conosci il piano di Gauss, abituati
anche a vedere i complessi come vettori nel piano. Per certe
applicazioni (spec. in elettromagnetismo e onde) questo e' molto
utile.
 
-- 
Elio Fabri