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Titolo: Particelle, distribuzioni e cambi di variabili

Ciao,
consideriamo un fascio particelle relativistiche tutte uguali e definiamo le
grandezze:
E = energia
p = impulso
M = massa di riposo
Fissiamo c=1 (unità naturali) e ricordiamo la relazione:
E(p) = sqrt(p^2 + M^2) (1)
Supponiamo che queste particelle, in un ampio intervallo di energia,
presentino una distribuzione di energia ben nota:
g(E)= (dN/dE)
dove g(E) è regolare, continua, differenziabile e tutto quello che vi pare.
Se ora voglio passare dallo spettro in energia allo spettro in impulso
f(p)= (dN/dp)
questo sarà dato da:
f(p)= |dE/dp|*(dN/dE)
dove E si ottiene dalla (1) e
dE/dp = -p/sqrt(p^2+M^2)
che è il jacobiano della trasformazione (in pratica è beta).
Fino qui tutto bene. Ma adesso supponiamo che il nostro fascio contenga due
specie diverse di particelle di masse ben note M1 e M2. Le loro
distribuzioni in energia g1 e g2 non sono note, ma quello che è noto à la
distribuzione del rapporto r(E). Questa è data analiticamente dal rapporto
delle due distribuzioni g1 e g2:
r(E)= g1(E)/g2(E)
ma, come ho detto, g1 e g2 sono ingnote. Quello che mi chiedo è se partendo
dalla sola conoscenza di r(E) posso ottenere l'equivalente distribuzione in
impulso
h(p)= f1(p)/g1(p)
Attenzione, ora la relazione (1) è differente per le due specie in quanto le
due particelle hanno masse diverse.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 due particelle hanno masse diverse.
A me pare di sì, poiché dovrebbe valere la relazione seguente:
h(p) = r(E(p))*(p1/p2)*sqrt[(p2^2+M^2)/(p1^2+M^2)]
ma ricontrolla perché sono andato un po' di fretta.
Colgo l'occasione per fare cenno all'interlocuzione che abbiamo avuto nel
thread sugli errori di misura. 
Avevo scritto un ultimo post, discretamente lungo, per fissare alcuni
punti fermi e ringraziarti per avermi aperto un mondo, quello degli
standard internazionali sul trattamento dei dati sperimentali che ignoravo
:), ma è andato perduto (scrivo direttamente da newsland e non salvando
mai i post quando me li perdo per problemi tecnici poi li devo riscrivere
daccapo). 
Nello specifico su alcuni punti conservo ancora le mie opinioni iniziali
(in fondo la scelta di uno standard non dimostra, di per sé, la bontà del
procedimento, come saprai la certificazione di qualità certifica il
processo non il prodotto), ma gli standard sono "forti" di per sè e vanno
rispettati (se no non sarebbero standard).
L'unico punto su cui credo tu sia stato ingeneroso è la critica al testo
di Severi e ai testi consimili di intere schiere di fisici sperimentali,
scritti molto prima che si affermassero gli standard internazionali:
voglio dire che non gli si può fare una colpa del fatto che non hanno
saputo prevedere il futuro.
Ho trovato anche qualche link interessante che analizza come, con
lentezza, l'aproccio standardizzato che hai illustrato si sta diffondendo
(ancora oggi) nelle Università, con particolare riguardo all'area romana.
Se tinteressa te li posto.
Saluti,
Aleph 
 
-- 
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 h(p)= f1(p)/g1(p)
qui ovviamente intendevo
h(p)=f1(p)/f2(p)
Ma f1 e f2 non mi interessano. Quello che cerco è un modo di ottenere h(p)
dalla sola conoscenza di r(E) (e delle due masse). Non mi sembra troppo
scontato provare che questa possibilità esiste (però, se esiste, penso di
avere trovato la soluzione).
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Due cose:
1. Non ho capito il segno meno in dE/dp.
2. per h(p) intendevi f1(p)/f2(p)?
In quest'ultimo caso:
f1(p) = dN1/dp = dN1/dE*(dE/dp)1 = g1(E)*v1
f2(p) = g2(E)*v2
f1(p)/f2(p) = r(E)*v1/v2
p = m*v/Rad(1-v^2) --> v^2 = p^2/(m^2+p^2)
p = m1*v1/Rad(1-v1^2) = m2*v2/Rad(1-v2^2) -->
--> (vari passaggi) --> v1^2/v2^2 = k^2/[1+(k^2-1)*v2^2]
v1/v2 = k/Rad[1+(k^2-1)*v2^2]
con k = m2/m1
sostituisco v2^2 = p^2/(m2^2+p^2) nel secondo membro:
v1/v2 = k/Rad[1+(k^2-1)*p^2/(m2^2+p^2)]
Percio'
h(p) = r(E)*k/Rad[1+(k^2-1)*p^2/(m2^2+p^2)].
Non so se sono stato utile oppure se intendevi tutt'altra cosa.
Ciao.

 Se tinteressa te li posto.
(Regola generale:) se possono interessare posta pure.
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 avere trovato la soluzione).
Adesso ho capito esattamente cosa intendi e credo che, contrariamente a
quanto ti avevo scritto nell'altro post, la tua richiesta in generale non
sia soddisfabile.
In effetti poiché valgono le relazioni:
h(p) = f1(p)/f2(p) = r'[E1(p),E2(p)]*[E2(p)/E1(p)] = 
= [g1(E1)/g2(E2)]*[sqrt(p^2 + M2^2)/sqrt(p^2 + M1^2)]   (1)
e analogamente
r(E) = g1(E)/g2(E) = h'[p1(E),p2(E)]*[p2(E)/p1(E)] =
= [f1(p1)/f2(p2)]*[sqrt(E^2 - M2^2)/sqrt(E^2 - M1^2)]   (2)
al secondo membro di entrambe le espressioni ti troverai sempre delle
funzioni di due variabili [r'(E1, E2) = g1(E1)/g2(E2) e 
h'(p1, p2) = f1(p1)/f2(p2), con E1 =/= E2 e p1 =/= p2 rispettivamente], 
che sono ovviamente cosa diversa da r(E) e h(p) (funzioni di una sola
variabile).
Pertanto, in generale, per passare dalla conoscenza di r(E) a quella di 
h(p), sarà necessario conoscere, magari sulla base di considerazioni
teoriche o deducendoli dai dati noti, gli andamenti delle g1(E) e g2(E).
Dalla (1) si deducono tuttavia alcune interessanti espressioni
approssimate, valide in alcuni regioni limitate delle energie/impulsi e/o
delle masse delle particelle. 
Intanto, per M1 non troppo diversa da M2 una buona espressione
approssimata, che vale per tutti gli intervalli di energia/impulso è la
seguente: 
h(p) = f1(p)/f2(p) circa = r[E*]*[E2(p)/E1(p)] = 
= r[E*]*[sqrt(p^2 + M2^2)/sqrt(p^2 + M1^2)]
dove con E* si è indicato il valore di enrgia intermedio tra E1 ed E2;
mentre per p >> M1 > M2
vale, al primo ordine in M1/p l'espressione approssimata
h(p) = r(E(p)) .
I problemi si hanno tuttavia per masse molto diverse, M1 >> M2, nel regime
di basso impulso p << M2; in tal caso la (1) si riduce, al primo ordine in
p/M2, alla: 
h(p) = f1(p)/f2(p) = r'[E1(p),E2(p)]*[E2(p)/E1(p)] = 
= [g1(E1)/g2(E2)]*M2/M1 
con E1 molto =/= da E2.
In questo caso, come già detto sopra, non è possibile ricavare h(p) senza
conoscere i comportamete separati delle g(E).
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 un parametro M e non è specificato (né specificabile) quale usare.
Quando hai scritto che r(E) e' nota pensavo che questo ti bastasse,
invece intendevi trovare una funzione della sola variabile p; il
problema allora e' analogo a quello di determinare l'impulso totale p
di una coppia di particelle di masse m1 e m2 conoscendo solo l'energia
totale E, ed effettivamente non e' risolvibile.

 dove con E* si è indicato il valore di enrgia intermedio tra E1 ed E2;
Ecco, ho riflettuto su questo caso (masse simili) e una veloce simulazione
numerica (partendo da un r(E) arbitrario) mi conferma che esprimendo E* come
E1 (cioè usando M1) o come E2 (cioè usando M2) i risultati ottenuti (cioè
h_A(p) e h_B(p)) non sono poi troppo diversi. Queste due scelte
corrispondono ai due casi A e B che ho citato nell'altro post.
Le soluzioni per questi due casi definiscono una banda piuttosto stretta
(tanto più stretta quanto più M1 e M2 sono simili, ma anche avere un r(E)
"piatto" aiuta). Però al momento non so dire so se questo è sufficiente per
affermare che la "verità" h(p) sta sempre "nel mezzo", cioè mettendosi tra
E1 ed E2. Il buon senso mi suggerisce questo, ma non escluderei che sia
possibile trovare, per un dato r(E), particolari g1 e g2 la cui trasformata
h(p) sia "al di fuori" di questa banda. Qualcuno ha qualche idea?
Altra osservazione. Per l'espressione effettiva di E*, usare un valore
intermedio tra E1 ed E2 equivale ad usare l'espressione
E* =sqrt(p^2 + M^2)
dove M è un parametro intermedio tra M1 o M2.
La prima possibilità che mi viene in mente è la media aritmetica.
Un'altra possibilità è usare M come media *pesata* tra M1 o M2. In generale
i pesi potrebbero variare con p. Ma quali pesi attribuire? L'unica
informazione a disposizione è il valore assunto da r(E) stesso in un dato
intervallo: il rapporto mi dice quale delle due specie contribuisce
maggiormente. Ma questa è un'idea intuitiva che non riesco a giustificare...
Inoltre non è banale costruire pesi partendo da r(E) (occorrerebbe costruire
una trasformazione che mappa il dominio di r(E) (cioè l'intervallo [0,+inf])
nell'intervallo [0,1]).
Ultima osservazione. Un'altra strada potrebbe essere definire le relazioni
tra E1(p) ed E2(p) non come due differenti trasformazioni di variabili, ma
generalizzandole ad un unica trasformazione dipendente da due variabili
E(p,M) dove anche M è un parametro continuo della trasformazione che andrà
fissato in un secondo momento (andrebbe applicato il formalismo
bidimensionale). Però vediamo che ci sono considerazioni fisiche che portano
all'impossibilità di una soluzione esatta per h(p), quindi penso che nessuna
strada sia praticabile fino in fondo...


 strada sia praticabile fino in fondo...
Temo di no, anche perché è impossibile supplire con il formalismo alla
mancanza d'informazione.


 mancanza d'informazione.
Già, eppure intuitivamente avrei detto che r(E) e h(p) portano la stessa
informazione... ora sono abbastanza convinto che non è così.


 pesi.
...
Un metodo approssimato, ma ben definito e privo di ambiguità, di passare
da r(E) a h(p) è quello di supporre che g1(E) e g2(E) varino in maniera
lineare nella banda di energia [E1, E2].
Naturalmente tale metodo è tanto più valido quanto più è verificata
l'ipotesi iniziale, ovvero quanto più l'andamento di g1(E) e g2(E), per 
E1 < E < E2, è simile a un andamento lineare.
Ti posto i dettagli domani.
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