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Titolo: Aiuto esercizio: particella su circonferenza

Ho una particella di massa m vincolata a muoversi su una circonferenza di 
raggio R, e non soggeta ad altre forze. Si chiede di calcolare i valori 
dell'energia e le corrispondenti autofunzioni.
Dopo aver calcolato l'hamiltoniana classica
H=p^2/2mR^2
con p il momento coniugato dell'angolo x, ho scritto l'operatore 
hamiltoniano (regola di quantizzazione):
H=P^2/2mR^2
A questo punto vado a vedere se questo operatore è hermitiano. Per fare 
questo sfrutto la relazione:
<f|H|g>=<g|H|f>*
Facendo le integrazioni per parti, trovo che per avere l'operatore H 
hermitiano devo soddisfare la seguente condizione:
[f*(x) dg(x)/dx - g(x) df*(x)/dx][2 Pgreco,0] =0
(cioè calcolato tra 2 pgreco e zero)
Arrivato a questo punto buio totale: non so come procedere.
Qualcuno può darmi qualche idea??
Parallelamente avevo risolto, senza pormi il problema dell'autoaggiuntezza, 
l'equazione agli autovalori:
d^2 psi(x)/dx^2 + 2mR^2 E/h^2 psi(x)=0
che da
psi(x)=A exp(i k x) + B exp(-ikx)
Pensavo di poter sfruttare questa soluzione, ma non ci sono riuscito.
In partcolare avevo considerato le seguenti condizioni
psi(2 Pgreco)=psi(0)
psi'(2Pgreco)=psi'(0)
Lo sudio di queste condizioni mi porta ad avere:
En=n^2 h^2/2mR^2
con n appartenente a Z
e
B=A exp(2 i k Pgreco)
Però non sono convito.
Grazie per l'eventuale aiuto.
TV

 Grazie per l'eventuale aiuto.
Vedi sopra...
 
-- 
Elio Fabri

 Autoaggiunto e hermitiano non sono mica sinonimi...
Nel mio esame di metodi (sono andato a controllare) sono riportato come 
sinomini. Def: un operatore simmetrico è denominato hermitiano o 
autoaggiunto se A+=A.
Anche sul mio libro di mq sembra che sia così.
 Ciao
TV

dell'energia e le corrispondenti autofunzioni.
Mai pare che l'esercizio stia in realtà cercando di far
determinare  sotto quali condizioni al bordo l'hamiltoniano
ha estensioni autoaggiunte.
Il problema del cerchio è non banale, perché le condizioni
periodiche non sono le uniche buone e ci sono infinite
altre possibilità di "quasi periodicità".
Ciao, Valter
PS. Una domanda su cui cascano in tanti, anche, purtroppo, docenti
è la seguente: lo spazio di Hilbert della particella nel segmento
[0,1]
con condizioni al bordo di  "buca  a pareti infinite" (cioè di
annullamento)
è lo stesso spazio di Hilbert della particella su [0, 1] con
condizioni 
periodiche oppure no?

 altre possibilità di "quasi periodicità".
Bisognerebbe vedere il testo esatto dell'esercizio.
Io dubito che sia cosi' sofisticato.
Sospetto invece che voglia suggerire che la f. d'onda "deve" essere
periodica.
Non ricordo di aver mai visto in un testo di mq l'esempio concreto
delle infinite estensioni autoaggiunte: anche sul Caldirola non l'ho
trovato. Tu che lo conosci molto meglio di me, che mi dici?
 
-- 
Elio Fabri

trovato. Tu che lo conosci molto meglio di me, che mi dici?
No non c'è su quello. Ricordo qualcosa su un libro di Path
Integral , Schulman mi pare (ricordi vaghi di 15 anni fa)...
Più di questo non ricordo. Probabilmente sul Reed & Simon
qualcosa c'è.
Ciao, Valter

 periodiche oppure no?
E' passato un po' di tempo dall'esame di metodi. Comunque la mia risposta è 
no: non sono la stessa cosa perchè, credo, che le condizioni di periodicità 
mi danno funzioni diverse dalle funzioni  di L2 sul segmento.
Ciao
TV

 H=p^2/2mR^2
non basta che usi la sostituzione di p con il suo corrispondete
quantistico, cioè l'operatore momento angolare?

 trovato. Tu che lo conosci molto meglio di me, che mi dici?
Ho guardato il Caldirola, ma non ho trovato niente. Neanche su altri testi
di mq.
Grazie
TV



 trovato. Tu che lo conosci molto meglio di me, che mi dici?
Ho guardato il Caldirola, ma non ho trovato niente. Neanche su altri testi
di mq.
Grazie
TV

Ciao, ho letto... al contrario di quello che pensava Elio :-)
l'esercizio lo avevo interpretato correttamente, si tratta
delle varie estensioni autoaggiunte che ha l'hamiltoniano
sul cerchio, in funzione delle possibili condizioni
di quasi periodicità che ne assicurano almeno la simmetria.
(bisognerebbe ancora studiare gli indici di difetto per verificare
che gli operatori siono essenzialmente autoaggiunti).
Ora non ho tempo per dire di più.
   Ciao, Valter
PS1. Le definizione di Hermitiano per me è diversa da quella che dai
        tu. Autoaggiunto ed hermitiano non sono sinonimi.
        Non hai scritto la definizione di aggiunto, mi pare....
PS2. Salutami Lizzi!

La definizione di essenzialmente autoaggiunto che hai dato
non è quella standard. Mentre per hermitiano esistono varie
versioni, per essenzialmetne autoaggiunto non ci sono più versioni.
Essenz. autoaggiunto significa che è simmetrico e che esiste
UNA sola estensione autoaggiunta,
equivalwntwmente
è simmetrico e l'aggiunto è autoaggiunto,
equivalentementente,
è simmetrico e la chiusura è autoaggiunta.
Ciao, Valter

mi danno funzioni diverse dalle funzioni  di L2 sul segmento.
SBAGLIATO! :-)
Ciao, Valter

mi danno funzioni diverse dalle funzioni  di L2 sul segmento.
SBAGLIATO! :-)  
Ciao, Valter

Ciao, senti ho avuto tempo per leggere la soluzione dell'esercizio che
proponevi.
E' un pò stringata, ma si capisce (almeno io capisco). Cosa non ti
torna?
Ciao, Valter

 di quasi periodicità che ne assicurano almeno la simmetria.
Gia'... E ora ti faccio una domanda.
In tutta onesta', ti pare un problema che si puo' decentemente proporre
a uno studente al 3^ anno?
Questo anche trascurando i molti dubbi che ti sto per dire, ossia
assumendo che siano solo colpa mia ;-)
Dunque: ci sto pensando da qualche giorno, e piu' ci penso e peggio mi
sento :-(
I problemi mi si aggrovigliano, e ho paura che per esporli finirei per
scrivere "stile Tetis", ossia saltando di palo in frasca, mescolando
questioni diverse di cui non so vedere la relazione e la distinzione...
Per cui provo a buttar li', in ordine caotico, una serie di domande.
1. Chi l'ha detto che la hamiltoniana debba essere quella scritta,
ossia la derivata seconda cambiata di segno, senza altri termini?
2. Qual e' l'esatta definizione del momento coniugato P alla
posizione?
Va data come generatore delle rotazioni?
3. In questo caso il gruppo delle rotazioni U(1) non e' sempl.
connesso, quindi ammette rappresentazioni proiettive non banali.
E' la stessa cosa delle infinite estensioni autoaggiunte, oppure?
4. Non mi piace parlare di condizioni al contorno in 0 e in 2pi.
Questi sono punti (anzi *un* punto) dello spazio delle configurazioni;
punto che non andrebbe privilegiato.
5. Stando alla soluzione del problema, lo spettro di H non e'
definito: c'e' una costante arbitraria.
Questo non mi convince: a senso fisico io vorrei per H uno spettro ben
determinato, una volta precisato il sistema.
6. Tanto meno mi piace la nota su Aharonov-Bohm: se c'e' un campo
magnetico concatenato, quindi un pot. vettore non nullo, stiamo
parlando di un problema diverso, e H non ha piu' quella forma.
O invece resta quella, perche' classicamente sulla particella non
agiscono forze?
7. Le diverse estensioni autoaggiunte di P corrispondono a rappres.
inequiv. dell'algebra delle osservabili?
E' corretto parlare in questo caso di una "regola di superselezione"?
8. Domanda di dettaglio: ammesso che sia vero che le estensioni a.a. di
H sono parametrizzate da due parametri (alfa e beta) perche' poi nella
soluzione beta viene ignorato?
9. Che relazione c'e' tra le estensioni a.a. di P e quelle di H, se H
e' definito come P^2/(2m)?
Per finire, domanda di altro genere: l'unico libro che ho qui dove si
trova qualcosa in materia e' quello di Morandi: "The Role of Topology
in Classical and Quantum Physics" che pero' e' alquanto astruso e
inoltre lascia l'argomento in sospeso.
Lo conosci? Che ne pensi?
Dove si trova una trattazione ben fatta?
 
-- 
Elio Fabri

a uno studente al 3^ anno?
No, secondo me č abbastanza "folle". Io ho senpre sostenuto
che prima bisogna capire la fisica con le mani e i piedi,
poi le finezze matematiche...Eppure Fedele Lizzi mi č sempre
sembrato una persona concreta.
Riguardo alle domande, ci devo pensare, perché, come ho detto
in un altro post, ho visto alcune di queste cose piů o meno
15 anni fa, quando conoscevo molta meno matematica...
Ci penso con calma e ne riparliamo.
Ciao, Valter

OK, ci ho pensato un pò ma non ho molto tempo.
Intanto bisogna capire che il problema tratta delle
possibili estensioni essenzialmente autoiaggiunte
e non delle possibili estensioni autoaggiunte.
Nel secondo caso si partirebbe da un operatore H
simmetrico su un dominio D(H) denso assegnato
una volta per tutte e si studierebbero gli
indici di difetto d_+,d_-  dell'aggiunto,
scoprendo che sono uguali ma diversi da zero.
Questo significherebbe che l'operatore non è
essenzialmente autoaggiunto, ammettendo più di una
estensione autoaggiunta.
Partirebbe allora  una macchinetta per classificare
le estensioni autoaggiunte dell'operatore iniziale.
Al variare di un certo numero di parametri
(esattamente d_+ parametri) uno troverebbe delle
estensioni di D(H), su cui H esteso è autoaggiunto.
NON è questo il caso dell'esercizio, che è molto
più sfumato perché non è fissato un dominio iniziale D(H).
L'esercizio parte da un operatore H differenziale e
cerca domini in cui l'operatore è *essenzialmente* autoaggiunto.
Per fare questo trova una classe di domini densi
(bisognerebbe provarlo) su cui è sicuramente hermitiano,
cioé soddisfa:
(Hu,v)= (u,Hv)
Essendo i domini densi, l'operatore è simmetrico su
ciascuno di essi. Poi, dovrebbe provare che su ognuno
di quei domini densi l'operatore è essenzialmente autoaggiunto.
Ci sono condizioni solo sufficienti abbastanza semplici da verificare
che evitano di passare dall'armamentario degli indici di difetto:
Teorema. Sia K spazio di Hilbert e
 H : D(H) -> K dove D(H) < K
un operatore simmetrico (quindi D(H) è denso).
Se lo spazio lineare D(H) contiene un sottoinsieme
S denso  invariante rispetto a H e tale che, se v è in S
              sum_k  t^k || H^k v || / k! < oo
per qualche t>0, allora H è essenzialmente autoaggiunto
su D(H).
Se si cambia il dominio ,ma il nuovo dominio include lo stesso
insieme S, l'unica estesnsione autoaggiunta di H ottenuta a
partire dal nuovo dominio coincide con l'unica estensione
autoaggiunta ottenuta a partire dal vecchio dominio.
(fine teorema)
Per esempio se si definisce H = d^2/dx^2
(x coordinata sul cerchio tra 0 e 2 pi)
con dominio dato dalle funzioni C^2
le solite condizioni periodiche, si vede
che l'insieme degli esponenziali che definiscono
la serie di Fourier  costituiscono un insieme S
del tipo suddetto.
La menata è cercare l'insieme S per
tutti gli altri casi descritti nella soluzione del problema.
Nel caso in cui non c'e' la matricie di Pauli, allora
le condizioni periodiche sono solo cambiate
per una fase... in questo caso si vede facilmente
che  l'insieme S è ancora dato dagli esponenziali
di fourier corretti con quella fase...Negli altri casi, non
ho tempo di pensarci.
Veniamo alle domande di Elio.
1. Chi l'ha detto che la hamiltoniana debba essere quella scritta,
ossia la derivata seconda cambiata di segno, senza altri termini?
R. Nessuno, infatti la questione è molto discutibile ed è uno dei
problemi di base per passare dalla MC alla MQ. In certi casi
ci sono delle "evidenze" che bisogna procedere in acluni modi.
In altri casi, come questo, secondo me non ce ne sono molte.
Questo  problema è di matematica non di fisica secondo me.
2. Qual e' l'esatta definizione del momento coniugato P alla
posizione? Va data come generatore delle rotazioni?
R. Non c'è. Sono stati scritti fiumi di articoli. L'unica cosa certa
è che ha senso parlare di variabilki canonicamente coniugate
SOLO quando insieme costituiscono una coppia di generatori
di una rappresenzatione unitaria del gruppo di Weyl Heisenberg.
Il teorema di von Neumann dicve allora che lo spazio di Hilbert
e gli operatori, sotto una trasformazione unitaria diventano
quelli standard sulla retta. Gli operatori unitari preservano lo
spettro, per cui, sul cerchio, E' IMPOSSIBILE avere variabili coniugate
di cui una è la derivata e l'altra la posizione sul cerchio.
3. In questo caso il gruppo delle rotazioni U(1) non e' sempl.
connesso, quindi ammette rappresentazioni proiettive non banali.
E' la stessa cosa delle infinite estensioni autoaggiunte, oppure?
Credo di si, basta fare il calcolo: vedere cosa generano, come
gruppo unitario, le estensioni autoaggiunte dell'operatore posizione
ingenuo (-i d/dx). Bisogna sviluppare le funzioni di L^2([0,2pi]) sulle
basi associate e vedere cosa succede facendo agire il gruppo
unitario. Almeno nel caso di assenza della matrice di Pauli, mi aspetto
che nascano delle fasi che definiscono la rappresentazione proiettiva.
Però non ho tempo nemmeno di cominciare il conto. Se lo fai tu
dimmi che succede.
4. Non mi piace parlare di condizioni al contorno in 0 e in 2pi.
Questi sono punti (anzi *un* punto) dello spazio delle configurazioni;
punto che non andrebbe privilegiato.
Si è fastidioso: perché preferire 0 rispetto a pi/2?
Forse, almeno nel caso di assenza della matricie di Pauli,
mi pare che, se uno si ricorda che gli stati non sono i vettori,
ma i raggi, dal punto di vista fisico, non ho fissato un punto
preciso sul quale rompere la periodicità: cambiando le fasi
degli stati sposto il punto di rottura, almeno mi pare, ma non ho
fatto il calcolo, è solo una sensazione.
5. Stando alla soluzione del problema, lo spettro di H non e'
definito: c'e' una costante arbitraria.
Questo non mi convince: a senso fisico io vorrei per H uno spettro ben
Non saprei cosa risponderti. Forse potrei dire: il sistema fisico è
dato dalle osservabili che sono operatori autoaggiunti, quindi
per fissare il sisitema devi anche fissare l'estensione autoaggiunta
di H ingenuo, e allora fissi la costante.
Però io non voglio difendere nè l'esercizio né il sottostante punto
di vista che mi semabra fisicamente abbastanza artificiale, anche se
matematicamente interessante
6. Tanto meno mi piace la nota su Aharonov-Bohm: se c'e' un campo
magnetico concatenato, quindi un pot. vettore non nullo, stiamo
parlando di un problema diverso, e H non ha piu' quella forma.
O invece resta quella, perche' classicamente sulla particella non
agiscono forze?
Dovrei pensarci seriamente e non ho tempo.
7. Le diverse estensioni autoaggiunte di P corrispondono a rappres.
inequiv. dell'algebra delle osservabili?
E' corretto parlare in questo caso di una "regola di superselezione"?
Mi pare che gli spettri siano differenti, per cui non ci sono
trasformazioni
unitarie che fanno passare da un'estensione autoaggiunta di P ad
un'altra. (NON mi è chiaro, perché non ho tempo per pensarci il
legame tra le diverse estensioni di P e quelle di H). Per cui si,
non c'è (unitaria) equivalenza. Ma quali sono le osservabili?
Parlare di regole di superselezione? Forse si, mi aspetterei di trovare
una carica che descrive la regola di superselezione, la fase che rompe
la
periodicità?
8. Domanda di dettaglio: ammesso che sia vero che le estensioni a.a. di
H sono parametrizzate da due parametri (alfa e beta) perche' poi nella
soluzione beta viene ignorato?
Non ne ho idea, bisognerebbe chiederlo agli autori.
9. Che relazione c'e' tra le estensioni a.a. di P e quelle di H, se H
e' definito come P^2/(2m)?
non lo so e non ho tempo di pensarci.
Per finire, domanda di altro genere: l'unico libro che ho qui dove si
trova qualcosa in materia e' quello di Morandi: "The Role of Topology
in Classical and Quantum Physics" che pero' e' alquanto astruso e
inoltre lascia l'argomento in sospeso.
Lo conosci? Che ne pensi?
Dove si trova una trattazione ben fatta?
No non lo conosco, l'unico rapporto con Morandi (quello di Bologna
intendo)
è che ho un dottorando che è stato suo laureando.
Alle ultime due domande non saprei cosa rispondere. Ho visto qualcosa
di simile, tanti anni fa su un libro di path integrals scritto con
l'accetta.
Mi senbrava ci fosse qualcosa sul Reed e Simon, ma non ne sono più
certo...
Ora devo smettere perché le dispense mi chiamano.
Ciao, Valter
Scusa gli errori ma non ho tempo nemmeno di rileggere quello che
ho scritto.

 certo...
C'e' qualcosa sul R&S ma anche sul volume di MQ  di Thirring. Poi ci 
sono anche singoli lavori o appendici di articoli in cui si discutono 
aspetti collegati. Avevo studiato un po'  la questione qualche anno fa. 
Adesso le idee sono un po'  appannate ma dovrei avere ancora da qualche 
parte un file con un po'  di bibliografia.
Giorgio

 quantistico, cioè l'operatore momento angolare?
Non lo so! Inoltre non sono ancora arrivato al momento angolare. Comunque
per come è collocato l'esercizio nelle dispense (esercizi introdutivi) penso
che si debba risolvere in modo più matematico che fisico.
Ciao
TV

 ha scritto nel messaggio 
news:1139165694.8...@f14g2000cwb.googlegroups.com...

Ciao Valter.
Be' i punti "strani" sono diversi. Per prima cosa, molto probabilmente non 
avrei mai pensato di introdurre la matrice vettore e di scrivere 
l'espressione (1.7.5) di pagina 12. Inoltre la (1.7.7) veramente non l'ho 
capita.
Mi rendo conto che è difficile aiutarmi. però volevo chiederti una cosa. Ma 
non si può risolvere in altro modo?
In un precedente messaggio avevo scritto come pensavo di risolverlo 
(ragionando da studente del III anno:-). Mi sembra che la mia descrizione 
non è stata chiara.
Proverò a riscriverla in modo più comprensibile.
Il problema che devo risolvere è quello di capire se l'operatore H (definito 
dalla (1.7.1)) è autoaggiunto o no. Giusto?
Per prima cosa mi scrivo l'hamiltoniana (classica) della particella e 
ottengo:
H=p^2/(2mr^2)
dove p è il momento coniugato all'angolo x, r è il raggio del cerchio, m è 
la massa della particella.
In base alle regole di quantizzazione, posso scrivere l'operatore 
hamiltoniano. Per fare questo sostituisco a p l'operatore P e ottengo:
1) H=P^2/(2mr^2)
A questo punto devo capire se l'operatore H definito dalla 1) è 
autoaggiunto. Giusto?
Ora, invece di studiare l'oparatore H, non posso semplicemente studiare 
l'operatore P? se dimostro che P è autoaggiunto dovrebbe essere poi facile 
dimostrare che anche H, definito dalla 1), è autoaggiunto. Infatti,
se P è autoaggiunto (P^+ =P), allora:
(P^2)^+ = (P P )^+ = P^+ P^+ =P P = P^2
Quindi H sarebbe autoaggiunto.
Usando la not. di Dirac, posso dire che l'operatore è autoaggiunto se:
2) <psi|P^+|fi> = <fi|P|psi>*    per ogni |psi> ed |fi>
e cioè devo studiare la seguente espressione:
3) <psi|P|fi> = <fi|P|psi>*    per ogni |psi> ed |fi>
A questo punto mi serve una rappresentazione. Posso prendere la seguente: 
{|x>} con x l'angolo che il vettore posizione della particella forma con 
l'asse? Se si può fare allora dalla 3) ho: (h = h tagliato)
<psi|P|fi> = Integrale[0, 2Pi] [<psi|x> <x|P|fi> dx]
                = Integrale[0, 2Pi] [psi*(x) (h/i) d/dx fi(x) dx]
                = h/i (psi*(x) fi(x) ) [0,2Pi] + <fi|P|psi>* .
Quindi se voglio che valga la 3) si deve avere
(psi*(x) fi(x) ) [0,2Pi]=0.
A questo punto mi fermo.  Prima di proseguire è meglio controllare se nel 
ragionamento fin quì fatto non ci sono errori o cretinate
Grazie
TV

 In ogni caso più che altro sono problemi di lessico.
Lizzi ( Esposito faceva le esercitazioni del corso di IFT tenuto da Marmo) 
ha fatto solo  il corso di IFT, e per quello che ne so non ha mai fatto  il 
corso di metodi. Il mio prof di metodi è stato Cosenza.
Ciao
TV 


 E comprensibile per un povero studente ?
Ciao
TV

 sistemi con condizioni periodiche al contorno.
Ecco, questo m'interessa.
Avrei proprio bisogno di vedere esempi di situazioni _fisiche_ dove
questo tipo di problemi trovano applicazione...
Dato pero' che quello che hai scritto mi riesce alquanto oscuro
(understatement :) ) potresti dare qualche maggiore spiegazione?
 
-- 
Elio Fabri

Come avevo preannunciato, sono andato a rivedere l'esame di metodi.
Non ricordavo, ma avevo studiato, come applicazione, l'operatore impulso P.
Riporto velocemente tale studio.
Si considera l'operatore Pf(x)= i f '(x) (con f '(x) la derivata di f(x)) 
definito sullo spazio L2(a,b) tale che f(x) e f '(x) apparttengono a tale 
spazio.
La prima cosa che si fa è vedere se tale operatore è simetrico. Tale  studio 
comporta una prima condizione che indico con A: le funzioni devono essere 
asolutamente continue. Tale condizione, però, non è sufficiente a produrre 
la simmetria. E' necessaria un'altra condizione che non risulterà univoca.
Fatto questo si trova l'aggiunto. Si verifica che tale aggiunto è 
derivativo, ma l'operatore P non è autoaggiunto.
Studiando gli indici di difetto si trova: n=1 e m=1. Dato che non sono 
uguali a zero, viene confermato che l'operatore P non è autoaggiunto. Però 
essendo uguali e diversi da zero, significa che esiste una estensione 
simmetrica autoaggiunta. Indicato con Ps tale estyensione, si verica che:
P contenuto Ps contenuto Ps^+ contenuto P^+
e cioè:
1) tutte le estensioni simmetriche sono contenute in P^+
2) tutte le estensioni simmetriche agiscono derivativamente
3) la condizione A deve essere contemplata in tutti i domini delle 
estensioni simmetriche.
Presa una generica estensione Ps si trova che la proprietà che devono 
soddisfare le funzioni è:
f(b)=f(a) exp[i teta]
Per ogni "teta" si ottiene una estensione simmetrica e si verifica che è 
autoaggiunta.
Tenendo conto di questo studio, l'esercizio lo risolvo in questo modo ( mi 
aggancio al messaggio precedente). Arrivato all'espressione
(psi*(x) fi(x) ) [0,2Pi]=0.
poichè è valida per ogni psi(x) e fi(x) sarà vera anche se prendo 
psi(x)=fi(x). Quindi avrò
(fi*(x) fi(x) ) [0,2Pi]=0
|fi(x)| [0,2Pi]=0
|fi(2pi)|=|fi(0)|
fi(2pi)=fi(0) exp[i teta]
In pratica nel mio raginamento ho considerato che P fosse già un'estensione 
simmetrica. Poi ho trovato la condizione per far si che sia anche 
autoaggiunto (che poi coincide con la condizione affinchè l'estensione sia 
simetrica)
A questo punto risolvo l'equazione agli autovalori:(h= h tagliato)
(d^2/dx^2) fi(x) + k^2 fi(x) = 0
con k^2 = 2mr^2 E/h
La soluzione è
fi(x) = A exp[i k x] + B exp[-i k x]
A questo punto pongo B=0 perchè non essendoci variazione di potenziale lungo 
il percorso della particella, non mi aspetto nessuna onda riflessa.
Quindi:
fi(x) = A exp[i k x]
A questa espressione impongo la condizione fi(2pi)=fi(0) exp[i teta]. Da 
tale condizione si ottiene:
En = h^2/2 m r^2 (n- teta/2pi)^2
e la funzione normalizzata è:
fi(x) [teta,n] =1/radiceq[2 pi]  exp[i(n- teta/2pi) x].
Supponendo di aver fatto bene i conti,  pongo due domande:
1) nello svolgimento dell'esercizio sulle dispense, appare beta che nel mio 
discorso non c'è. perchè?
2) sempre dalle dispense la funzione presenta un fattore in cui compare r. 
E' possibile che ci sia un errore?
Grazie
TV 

TV ha scritto:

visto che ieri ho fatto l'esame di mq e probabilmente non l'ho passato
perché c'erano dei conti mostruosi, ecc... mi sento di risolvere questo
esercizio. La nostra funzione d'onda ha un solo parametro, l'angolo phi,
ed ha una condizione di periodicità (siamo su una circonferenza) ovvero
psi[phi]=psi[phi+2pi]. Equazione agli autovalori:
H psi = E psi
cerchiamo la forma di H, H=P^2/2m e quindi di P=-ih\nabla^2, \nabla^2 è
due dimensioni, quindi possiamo dire \nabla^2 = (d/dx)^2+(d/dy)^2, ora
però stiamo lavorando in coordinate angolari e con un vincolo, quindi il
problema è unidimensionale. facendo un cambio di variabili x=R cos phi,
y = R sin phi otteniamo il nostro laplaciano:
\nabla^2 = 1/R^2 (d/dphi)^2
che può essere messo in relazione con momento angolare lungo z (che in
questo caso è l'unico) tramite la sua definizione: (L_z)^2 = -h^2
(d/dphi)^2. non ce n'è bisogno
la nostra eq agli autovalori in coordinate angolari diviene:
1/R^2 (d/dphi)^2 psi[phi] = -2mE/h psi[phi]
definiamo k := sqrt[2mER^2]/h e l'equazione sopra diventa:
psi''[phi] = -k^2 psi[phi]
ovvero:
psi[phi] = A Exp[ik phi],  (*)
con k:=+- k, non ho voglia di scrivere l'esponenziale con +k e quello
con -k, quindi ho ridefinito k che può essere +- il vecchio k
imponendo la condizione di periocità si trova che k\in Z, quindi al
variare di k in Z la (*) ci dà gli autostati (A va scelto in base alla
normalizzazione), per le energie:
E = k^2 h^2/2mR^2 con k che varia in Z, ma poiché è al quadrato
E = n^2 h^2/2mR^2 con n in N che se la guardi bene è uguale alla
quantizzazione dell'energia in una buca di potenziale infinita larga R.


 
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


A me non torna il modo in cui sono concatenati i ragionamenti,
ma forse ho letto superficialmente. Le soluzioni che trova lizzi
non sono soluzioni per l'equazione di Schroedinger in rappresentazione
di Dirac che scrive all'inizio. Nel senso che nel punto della circonferenza
di
angolo 0 sono discontinue. Quando ho svolto questo esercizio con i
miei studenti io ho trovato solo la simmetria exp(i sigma_y phi) che
corrisponde anche alla circostanza che gli autostati sono doppiamente
degeneri, in modo che se phi e' autofunzione anche phi' e' autofunzione.
Ovviamente si tratta di un punto di vista restrittivo.
Andrebbe discussa meglio la rappresentazione di Dirac e magari fare qualche
cenno a Jean Bellissard: non commutative geometry of aperiodic solids.
Il problema del perche' sorgano e cosa significano le cariche centrali
estendendo
le rappresentazione di un gruppo di Lie andrebbe posto in relazione con le
estensioni conformi da un lato e con la teoria dei reticoli di sottogruppi
dall'altro.
Ahronov Bohm andrebbe trattato in questo contesto generale ma occorre
passare
per la BRST e la teoria dei vincoli di Dirac. Io non ho nemmeno accennato a
questo
problema nelle mie esercitazioni. Ho sbagliato?


 autoaggiunta.
Torno a dire che queste non sono tutte le estensioni autoaggiunte
possibili. Puoi definire l'insieme fuzzy in moltissimi modi. Il mio
prof. spiegandoci la trasformata di Fourier per funzioni definite a
tratti ne aveva accennato. Ad esempio: puoi scomporre il tuo spazio
di Hilbert nella somma diretta di due spazi di Hilbert L^2(a,a') +
L^2(a',b).
Oppure tre, etc. e se su ognuno consideri le estensioni autoaggiunte
parametrizzate con theta_1, theta_2, ... trovi ancora un operatore
autoaggiunto quando consideri P = p1 + p2. Etc...
D'altra parte se consideri per dominio lo spazio di Hilbert delle
funzioni derivabili su supporto "circonferenza",
le estensioni autoaggiunte che hai scritto non sono piu' valide: nel
senso che la derivata non e' ben definita in zero. In quel caso la
sola estensione autoaggiunta che puoi definire imponendo la
validita' della rappresentazione moltiplicativa punto punto
e' quella che corrisponde ad assumere la rappresentazione di
Dirac dell'impulso ovvero p f = - i f'. Attenzione che la condizione
di assoluta continuita' su f non implica che la f sia derivabile,
implica che vale il teorema fondamentale del calcolo integrale
e quindi puoi applicare la regola di integrazione per parti. Ovvero
e' l'integrale di f che e' derivabile ed ha f come derivata. Questo
teorema, che permette di interpretare l'integrazione come operazione
inversa della derivazione, non e' infatti garantito per le funzioni di L^2.
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Aspettiamo che risponda Valter...
Mi dispiace deludervi, ma non credo che arriverà
tanto a breve: la questione è complessa e io non ho
tempo per pensarci. Sono troppo preso con le
questioni di insegnamento al momento...
Ciao, Valter

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Per sintetizzare la mia posizione in poche frasi a cui puoi rispondere
con giusto o sbagliato: l'operatore P che agisce
nello spazio delle combinazioni lineari finite, a coefficienti complessi,
delle funzioni exp( i n x) con x in R/[0,2pi] dove vige la topologia indotta
da
R, ed n e' nei naturali, al modo seguente: Pf = -i f ', e' essenzialmente
autoaggiunto.
Vero o falso?
Se per contro consideriamo operatori che agiscono
allo stesso modo, fatta eccezione per un insieme finito di punti (x0, x1,
xm),
sulle combinazioni lineari finite di quell'insieme di funzioni della forma:
exp(i (theta_k + n) (x-x_k)) chi_k(x) dove k varia da 0 ad m e chi_k
e' la funzione caratteristica per l'intervallo (x_k , x_{k+1}) (ponendo m+1
= 0),
allora ciascuno di questi operatori risulta essenzialmente autoaggiunto.
Per ogni combinazione lineare possiamo mostrare che P e' hermitiano.
Vero o falso?
Questo andrebbe ulteriormente esplicato dalla circostanza che gli indici di
difetto
per ognuno di questi operatori e' contato dalla dimensione dello spazio
delle
soluzioni per le due equazioni differenziali ordinarie: dim(ker(A^{+}-i I ))
che nel caso del dominio R/[0,2\pi] si riduce all'equazione f ' = +/- 1 che
non
ammette soluzione. Quindi in quel caso gli indici di difetto sono nulli.
Quello che a me sembra e' che se anche per gli altri operatori, che sono
essenzialmente identici a parte il dominio, se vale l'essenzialita'
dell'autoaggiunzione
allora risulta che sono lo stesso operatore del quale pero' abbiamo
piu' rappresentazioni inequivalenti. Questo non toglie che Ahronov Bohm
sia un tema di tutto rispetto come la teoria delle rappresentazioni
dei gruppi di Lie.
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Vero o falso?
Non ho capito bene. Ma ti puoi rispondere da solo. Ecco come.
Il punto è semplicemente questo: lo spazio delle
combinazioni lineari finite delle funzioni del tipo scritto sopra
genera
 finitamente i soliti esponenziali exp( i n x) ?
(eventualmente modificati su un insiemi di misura nulla arbitrari).
Più debolmente lo spazio delle comb lin finite suddette approssima
a piacimento nella norma L^2  i soliti esponenziali exp( i n x)?
Se la risposta è si a una delle due possibilità, allora l'operatore
è essenzialmente autoaggiunto (ammettendo che sia hermitiano come
confermi in fondo)
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
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 > confermi in fondo)
In pratica sul fatto che quella indicata sopra sia una trasformazione
unitaria dello spazio di Hilbert in se non mi sembra ci siano discussioni
di rilievo da fare: la trasformazione conserva la norma ed i prodotti
scalari
fra coppie di funzioni. Sulla circostanza che la derivata trasformi
al modo che ho scritto, ovvero che per funzioni derivabili si abbia
che effettivamente p con dominio le funzioni derivabili con derivata
in L^2 va in p+f(q) quando applico questa trasformazione unitaria,
ci puo' essere qualche difficolta': il punto da discutere e' che
effettivamente
applicando p+f(q) su una funzione derivabile con derivata L^2 si ottiene una
funzione di L^2: questo generalmente non si verifica se f e' in L^1,
controesempio e' la funzione 1/sqrt(x) il cui quadrato non e' integrale.
Quindi diciamo che abbiamo trovato un esempio di un fatto istruttivo
che e' anche abbastanza semplice da immaginare a priori: in generale
non e' vero che le trasformazioni unitarie conservano un operatore
simmetrico. Infatti puo' verificarsi che pure se il dominio di un operatore
hermitiano e' denso in L^2, tuttavia l'azione della trasformazione unitaria
considerata non sia interna ad L^2.
Rimane da comprendere cosa succede se considero
l'operatore definito in termini di derivata debole: devo imporre l'ulteriore
delimitazione che l'azione moltiplicativa di f su L^2 sia suriettiva in L^2?
In pratica mi sto chiedendo: e' falso che un operatore essenzialmente
autoaggiunto e' trasformato dall'azione di un operatore unitaria in un
operatore essenzialmente autoaggiunto? Ovvero: e' falso che generalmente
D(U^{+}AU) = D(U^{+}A^{+}U)? Nota bene che: se considero
una precisa estensione autoaggiunta, l'unica nel caso di un operatore
essenzialmente autoaggiunto, cA, non si discute che per quella vale:
U^{+}(c(A))^{+}U = U^{+} c(A) U = U^{+}(c(A^{+})U. La domanda e'
se "e' falso che la chiusura commuta con la trasformazione unitaria,
nel senso che: c(U^{+}AU) = U^{+} c(A) U?" Brattelli Robinson?
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nel senso che: c(U^{+}AU) = U^{+} c(A) U?" Brattelli Robinson?
ciao, non ho tempo di leggere tutto il resto, ma a questo posso
rispondere.
Sul Bratteli-Robinson non credo che trovi la risposta.
Allora intanto lavoriamo con operatori  densamente definiti e
chiudibili, cioé tali che la chiusura sia un operatore.
E' necessario e sufficiente che l'aggiunto sia a sua volta densamente
definito.
in tal caso vale (indico l'aggiunto con *) (dovrei averlo scritto sulle
mie dispense,
nel capitolo 5)
chiusura (A) = (A*)*
A questo punto, mi pare che sia facile dimostrare che, usando la
definizione
generale di aggiunto per operatori densamente definiti:
UA*U* = (UAU*)*                     (1)
e quindi il gioco è fatto, applicando due volte (1) hai che
chiusura (UAU*) = U chiusura (A) U*
(Notare che B è densamente definito se e solo se lo è
UBU* con U unitario.)
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
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 che se A e' chiudibile allora UAU* e' chiudibile?
Mi pare proprio di si: B (con dominio denso) è chiudibile
se e solo se D(B*) è denso.
Nel caso in esame:
 UA*U* = (UAU*)* per cui
D((UAU*)*) = UD(A*)
e, essendo U unitario, UD(A*) è denso se e solo se
lo è D(A*).
Ho capito male? Non ho più seguito nulla
del tuo discorso, riesco solo a congliere quialche pezzettino...
Ciao, Valter

 Ciao, Valter
Tutto quello che mi suonava contraddittorio, anche se ad una
attenta riflessione non e' risultato piu' tale, era che potessero valere
al tempo stesso i due fatti seguenti:
a) dati A1,..., Am aperti corrispondenti alla parte interna
degli insieme di una partizione per S^1 allora si ha che dalle
basi per L^2(Ai) si puo' costruire una base per la somma
diretta: L^2(A1)+...L^2(Am) che e' una base per L^2(S^1).
b) ogni trasformazione unitaria su uno spazio di Hilbert
H conserva la proprieta' di autoaggiunzione essenziale
di un operatore A in H.
In particolare pensavo, erroneamente, che la a) implicasse
l'esistenza di una trasformazione unitaria di H in se che
applicasse la base di L^2(S^1) nella base della somma
diretta e viceversa (tramite l'inversa). Pensavo poi che, in
virtu' di b, da questo sarebbe discesa una corrispondenza fra ogni
estensione autoaggiunta dell'operatore impulso autoaggiunto
che si ottiene combinando in p = p_1 + ... +p_m gli operatori
autoaggiunti p_i definiti in L^2(A_i) con la procedura solita
dell'esistenza della derivata in senso debole ed un operatore
autoaggiunto in L^2(S^1). Quello che mi suonava paradossale
era essenzialmente che mi sembrava che p = p_1 + ... + p_m
potesse essere visto come un operatore autoaggiunto di L^2(S^1)
linkato al solito operatore di Dirac mediante una trasformazione
unitaria.
In verita' si ha che di trasformazioni unitarie compatibili con
l'isometria I(theta_1,...,theta_n) definita dalla proiezione dei vettori
di base di L^2(S^1) sui vettori di base di L^2(A_1) + ... + L^2(A_m)
ne esistono infinite. Inoltre anche di isometrie definite per proiezione
se ne hanno |R^m quante sono le scelte dei parametri theta_i.
Una specifica trasformazione unitaria ottenuta per estensione
dell'isometria I(theta_1,...,theta_n) [nota che L^2(A_1)+...+L^2(A_m)
puo' esser visto come immerso densamente in L^2(S^1)] agisce
applicando p_1 + ... p_m in (p_1+...+p_m)+(theta_1+...+theta_m).
ed il classico operatore di Dirac in
p+
+ (theta_1+...+theta_m) +
+ Sum_k delta(x-x_k)[theta_(k+1)-theta_k]
A me sembra che questa sia la differenza essenziale fra
i due tipi di operatore. Per questo, onde evitare funzioni
generalizzate quando ho svolto l'esercizio delle trasformazioni
unitarie indotte dalla trasformazione p -> p + f avevo
imposto la continuita' della f e non semplicemente
l'assoluta continuita'.
Tuttavia ciascuno degli operatori: p_1+... + p_m+ (theta_1 +...+ theta_m)
ammette ancora |R^m estensioni autoaggiunte. Sono queste legate
con la scelta delle varie fasi come dice Lizzi e se si come?
Scusami per l'insistenza. Mi sento piuttosto imbranato ed
in un mar di confusione, anche perche' penso che questo
giochino abbia un significato profondo ma non riesco a
coglierne il senso.
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>l'ultima riga non l'avevi letta?
Ciao, scusa no, non l'avevo proprio letta. Scusa sono molto incasinato.
Forse non dovrei nemmeno cercare di rispondere a quello che riesco
a leggere nei momenti di pausa.
Ciao, Valter


Grazie di tutto. Penso di essere giunto ad una strategia per ottenere
un accordo interno fra
le diverse proposizioni. Quelle che fai tu, quelle che ha fatto il
prof. di metodi di TV, e quelle del mio prof. di analisi. La sintesi
procede per punti. Ti lascio una sola domanda per quando
troverai il tempo di leggere. E' in parentesi fra qualche riga.
REQUISITI MINIMI.
Lo spazio di Sobolev H^(1,p)(\Omega) definizione, unicità delle
derivate deboli. Il caso \Omega = (0,1) ogni elemento di
H^(1,p)(\Omega) coincide quasi ovunque con una funzione
assolutamente continua, la cui derivata coincide con la derivata
debole.
REQUISITI EVENTUALI MINIMI PER IL CASO n-dimensionale.
Lo spazio H_0^(1,p)(\omega) definizione, stime hölderiane
e risultato di compattezza. Esempio di una funzione di Sobolev
discontinua in un aperto di R^2. Norma negli spazi di Sobolev:
H^(1,p)(\omega)
è uno spazio di Banach, H^(1,2)(\omega) è uno spazio di Hilbert.
PER IL MOMENTO GUARDIAMO 1-D.
OPERATORE IMPULSO DI DIRAC: equivalenza del dominio H^1 al
dominio delle funzioni assolutamente continue.
Cominciamo con l'osservazione che esiste una proiezione dalle
funzioni di H^(1,p)(S^1) nelle funzioni assolutamente continue
che si ottiene derivando il loro integrale. Questa proiezione conserva
la derivata debole, quindi possiamo restringere effettivamente il
dominio alle funzioni assolutamente continue in S^1. Queste
funzioni in particolare sono continue e quindi gli indici di difetto si
annullano.
GENERALIZZAZIONI NON ESSENZIALMENTE AUTOAGGIUNTE
tramite deformazioni unitarie del dominio che introducono
discontinuita'.
Tuttavia possiamo trasformare il dominio tramite una trasformazione
unitaria: Chi_A1(x) exp(\theta_1 x) +...ChiAm(x) exp(\theta_m x)
in un insieme di funzioni che non risultano piu' assolutamente
continue ma solamente assolutamente continue a tratti. Su ogni
tratto di assoluta continuita' possiamo definire univocamente
un operatore unitario essenzialmente autoaggiunto a patto di
restringere ulteriormente il dominio iniziale con la condizione
che i punti di contatto fra domini distinti siano nodi delle funzioni.
Consideriamo l'operatore definito come derivata. Questa
derivata non e' definita ovunque, ma solamente entro i
tratti A_i ed eccetto un insieme trascurabile di punti dove
si ha oscillazione globalmente limitata. Quindi il risultato
dell'applicazione dell'operatore di derivazione sono funzioni
integrabili ovvero elementi di L^1. Risulta che l'operatore
cosi' definito in questo dominio di funzioni ammette una
estensione essenzialmente autoaggiunta su ogni dominio.
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(Queste estensioni sono definite su tutto lo spazio di Hilbert
o solamente su un sottospazio denso?).
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AZIONE ATTIVA E PASSIVA DELLE TRASFORMAZIONI SULL"OPERATORE
DI DIRAC. CLASSIFICAZIONE DEGLI IMPULSI GENERALIZZATI
TRAMITE L'AZIONE DI UNA CLASSE DI SOTTOGRUPPI
DEL GRUPPO UNITARIO.
Abbiamo gia' studiato l'azione passiva delle trasformazioni
semplicemente si tratta di conservare il dominio dell'impulso
scegliendo adeguatamente il dominio dell'operatore U*@U,
come U*D(@) [@ sta per operatore differenziale che
agisce sui punti di derivabilita'].
Quello che studiamo in questo caso e' pero' l'effetto delle
trasformazioni unitarie viste come trasformazioni attive del
dominio. Abbiamo visto che la condizione di simmetria
delimita fortemente il dominio di definizione
originale.
Da questa base si puo' pensare eventualmente ad ulteriori
estensioni della nozione di impulso. Esistono due circostanze
che possiamo immediatamente evidenziare. Gli operatori
definiti al modo detto non commutano generalmente con
le rotazioni, tuttavia esiste un gruppo molto generale, che
parametrizza queste estensioni. Di queste trasformazioni
fanno parte le rotazioni.
Infatti possiamo considerare
la classe delle trasformazioni di S^1 che conservano l'assoluta
continuita' (questo gruppo si distingue in due sottoclassi: le
trasformazioni che si riducono con continuita' all'identita' e
quelle che si riducono all'inversione). Inoltre se consideriamo
l'insieme delle funzioni Chi_Ai(x) f con f in L^2(S^1) otteniamo
m sottospazi di Hilbert la cui somma diretta e' un sottospazio di
Hilbert di L^2(S^1) naturalmente isomorfo con la somma diretta
degli spazi L^2(Ai). Le combinazioni lineari unitarie di queste
funzioni definiscono una trasformazione unitaria in questo sottospazio
di Hilbert.
Le estensioni autoaggiunte dell'operatore impulso
possono essere classificate secondo l'azione di questi
operatori essenzialmente autoaggiunti.
Puo' essere una tentazione, allora, quella di studiare gli
operatori autoaggiunti, che agiscono localmente e
derivativamente, ma ancora di piu' vedere di trovare,
se possibile, una struttura di reticolo in questa algebra
di operatori. Mi aspetto allora che sia possibile, come
di consueto, trovare la struttura agli insiemi di definizione
di questi operatori dalla scelta degli ideali massimali
dell'algebra. Dalla scelta di concentrarsi solo sulle proprieta'
locali si guadagna la possibilita' di studiare estensioni
astratte.
Un problema concreto che mi piacerebbe indirizzare,
come esempio applicativo di cio', e' quello
dello studio delle singolarita' nella evoluzione temporale
delle soluzioni di un'equazione di Schroedinger di
una particella su supporto S^1, quello
a cui penso in concreto e' una guida d'onda ideale
circolare senza dissipazioni. Possiamo immaginare
situazioni in cui e' importante introdurre singolarita'
puntuali dell'energia cinetica?
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 l'assoluta continuita'.
avrei dovuto scrivere: "e non semplicemente l'assoluta continuita'
del suo integrale". Il fatto che valga il teorema di Vitali: che una
funzione assolutamente continua e' derivabile eccetto un insieme
trascurabile e che l'integrale della sua derivata risulti nella funzione
medesima a meno di una costante, ha suggerito, storicamente, la
possibilita' di ampliare il dominio dell'operatore derivata. Nelle tue
dispense, ho visto tratti direttamente uno di questi ampliamenti, ovvero
richiedi
la condizione che il dominio della derivata sia nelle funzioni L^2(R,dx) ^
H^1(R,dx)
dove ^ indica intersezione. Questa condizione risulta in effetti equivalente
alla
condizione che esista la derivata in senso debole. Nel caso in piu'
dimensioni
e' quello il tipo di nozione che sostituisce l'assoluta continuita'.
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