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Titolo: Un problema di elettrostatica

Visto che il problema dei multipoli e' stato ampiamente sviscerato. ve
ne propongo un altro.
Consideriamo un insieme di cariche puntiformi, che si trovino in una
posizione di equilibrio (instabile, come si sa).
1) E' vero in generale che l'energia del sistema e' uguale a quella delle
stesse cariche portate tutte a distanze infinite tra loro?
2) In caso affermativo, esiste una generalizzazione per cariche non
puntiformi?
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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 stesse cariche portate tutte a distanze infinite tra loro?
Scusa Elio, l'energia della singola carica puntiforme e' indefinita
(infinita). Forse non capisco qualcosa!
Saluti
Mino Saccone

 puntiformi?
Uh...qui e' tosto. Cioe' dici sostituendo alla carica puntiforme, una
distribuzione di carica generica? non ne ho idea...
Bye
Hyper

 puntiformi?
NO... almeno non diretta, definendo l'energia potenziale come
l'integrale sulla configurazione di carica (supposta limitata)
di
(1/2) rho(r)phi(r)
dove rho e' la densita' di carica e phi il potenziale elettrostatico
generato dalle cariche stesse,
che corrisponderebbe al caso "continuizzato" della formula coulombiana
dell'energia potenziale.
Basta notare che in questo caso l'energia potenziale si prova
immediatamente essere l'integrale del quadrato del campo elettrico,
quindi sempre positiva. Nel caso di sopra puo' onvece evidentemente
essere negativa.
Il motivo e' l'autoenergia...
Mi fermo qui.
Ciao, Valter



 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

Ho cambiato idea, ma e' un po' questione, almeno inizialmente,
di cosa si intende con la frase "allontanare le cariche
del sistema infinitamente reciprocamente"...
la questione e' piu' subdola (ma dove li
prendi questi problemi Elio?).
Per fare una *vera* analogia tra il caso continuo e quello
particellare, nel caso di cariche date da punti materiali
con carica finita, c'e' da considerare che alla fine, una volta
portate tali cariche all'infinito, bisogna ancora "smontarle".
Facendo cio' nasce un contributo INFINITO positivo per ogni
carica e pertanto la vera energia del sistema e' sempre positiva
(infinita! in questo caso), come nel caso continuo.
A questo punto allora mi aspetto che l'energia potenziale
sia il lavoro cambiato di segno del campo per "smontare"
il sistema anche nel caso di carica continua: l'energia
potenziale coincide a parte il segno con il lavoro necessario
ad allontanare infinitamente le particelle (ora infinitesime)
di carica (cioe' diluendo la densita' in volumi limitati
[altrimenti non vale piu', in generale la storia di
enegia = integrale di E^2] ma sempre piu' grandi).
C'e' solo una richiesta che forse bisogna fare, ma non ho
tempo per fare i calcoli espliciti ne' per pensarci di piu'...
forse bisogna richiedere anche che la carica totale positiva
e quella totale negativa siano preservate nella procedura di
allontanamento delle particelle.
Voglio dire sara', nella configurazione iniziale,  rho=rho(x)
allora,  la carica totale  positiva e' l'integrale di rho
nell'insieme in cui rho e' positiva, la stessa cosa vale per
la carica totale negativa definita analogamente.
Questo perche' nel caso particellare NON si ammette la creazione
di coppie nel calcolo (ammessa dal pricipio di conservazione
della carica,...ma non da quello della massa nella situazione
considerata). Se ho tempo provo a dimostrare un "teorema"
per il caso contunuo.
   Ciao, Valter

    Ciao, Valter
Ho dimostrato il seguente teorema: se vale l'equazione di continuita'
della carica, se i campi sono elettrostatici
(in particolare irrotazionali e div E = rho)(ipotesi NON fisiche in
generale, le cariche in moto irraggiano, compare B ecc ecc!!!), allora,
se si considera un continuo di carica di volume finito,
la variazione dell'integrale di E^2 su tutto lo spazio tra due
configurazioni di carica e pari (a parte i segni), al lavoro
del campo elettrostatico su tutto il sistema per passare da una
configurazione all'altra. Il caso limite di configurazione che
tende all'infinito opportunamente produce il risultato voluto.
La prova e' straightforward usando le equazioni dell'elettrostatica, la
nozione di derivata materiale della
meccanica dei continui ed il seguente fatto:
se phi(t,x) e' il potenziale in x al tempo t dovuto a tutte le cariche
del sistema, allora
integrale rho @phi/@t (integrato su tutta la configurazione) = 0
Questa vale anche per cariche discrete ed ha un preciso significato: la
risultatnte delle forze elettrostatiche  e' nulla
se valutata per l'insieme totale di cariche.
Ora provate anche voi a fare la dimostrazione.
Ciao, Valter

Scusate mi accorgo ora che evidentemente ho equivocato il senso del
problema di Elio capendo e rispondendo a tutt'altra questione.
Ciao, Valter


Ora che ho capito cosa dicevi ecco i miei commenti.
La risposta a 1) e' positiva e dipende dal fatto che i potenziali sono
funzioni omogenee della differenza delle posizioni delle cariche.
Quindi
se si riscala il sistema moltiplicando per lambda tutte le coordinate
e quindi si calcola la derivata illambda dell'energia, questa diventa
propozionale alla somma dei gradienti del potenziale valutati su ogni
carica. Nelle ipotesi di equilibrio questi gradienti sono nulli per
cui l'enegia NON dipende da lambda. Quindi l'energia e' sempre la
stessa
dilatando arbitrariamente il sistema.
La risposta a 2) mi pare negativa se si considerano densita' di volume
di carica: la situazione di equilibrio si otterrebbe annullando E
all'interno della densita', ma da div E = rho, questo implicherebbe che
la densita' stessa e' nulla. Per cui non si puo' avere nemmeno
equilibrio
instabile con densita' di volume di carica. Con densita' superficiali
la cosa non e' cosi' ovvia  e merita una discussione piu' seria perche'
il campo elettrico e' discontinuo...
Ciao, Valter