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Titolo: la divergenza è trattata diversamente!

Quandi parlano del rotore alcuni libri precisano che il rotore nullo
nella regione considerata non implica necessariamente che l'integrale
di linea sia sempre nullo nella regione considerata, infatti ciò è
vero solo se nella regione che consideriamo i cammini chiusi possono
essere ristretti con continuità fino a diventare puntiformi.
Mi sembra un'osservazione giusta, basta pensare a una regione a forma
di toroide che circonda un filo percorso da corrente stazionaria. Il
rotore del campo magnetico è nullo ma la sua circuitazione, se
consideriamo percorsi che percorrono il toroide, è diversa da zero.
Tuttavia non mi sembra abbia senso fare questa precisazione se si
omette una precisazione analoga per la divergenza. Perché sebbene si
tratti di due casi ben diversi mi sembra che una simmetria esista (non
è certo l'unica), e forte. Mi spiego. Se in una certa regione trovo
che la divergenza è nulla ovunque significa che il flusso del campo
attraverso una arbitraria superficie chiusa è sempre nulla?
Assolutamente no! Non se la regione da me considerata contiene una
"bolla" (che svolge un ruolo analogo al "tunnel" che creava problemi
col rotore)  che contiene una sorgente o un pozzo di campo. Insomma se
nella regione che considero qualsiasi superficie chiusa può essere
ristretta con cointinuità fino a diventare puntiforme, allora
l'annullarsi della divergenza ovunque implica che il flusso attraverso
qualsiasi superficie chiusa è nullo. Se no no.
Parlare di regioni semplicemente connesse quando si parla del rotore e
non di questo tipo di regioni (senza "bolle") quando si parla della
divergenza non significa introdurre una differenza di trattamento
ingiustificata?

 ingiustificata?
Ma tu non stai parlando di topologie particolari dello spazio in quanto 
tale, nelle quali peraltro non varrebbe nemmeno più la legge di Coulomb!
Riflettici un po' e te ne renderai conto.
-- 
Il popolo ha scelto Barabba.

 Riflettici un po' e te ne renderai conto.
Non capisco (il concetto di "spazio in quanto tale" mi sa un po' di
metafisico... :-( )

 attraverso una arbitraria superficie chiusa è sempre nulla?
Stai commettendo un errore. Se tu avessi studiato la teoria
dell'integrazione delle forme differenziali (ai miei tempi si faceva
ad analisi 2) o dell'integrazione nel campo complesso, ti accorgeresti
subito di qual'e': nel caso dell'integrale di linea, i casi sono 2: o
consideri il punto nel quale e' posta la tua sorgente come parte della
regione bidimensionale sul cui bordo fai l'integrale, e allora
l'integrale e' non nullo, come sai gia', perche' la forma
differenziale e' chiusa ma non in una regione semplicemente connessa
(chiusa in una sempl. connessa => esatta), oppure escludi la sorgente
dalla tua regione ma allora l'integrale di linea lo fai *su tutto il
bordo* ovvero quello esterno che hai in mente te, PIU' quello interno
che ti sei dimenticato, e la somma dei 2 fa 0!
Con la divergenza e' lo stesso: se escludi il punto sorgente, tu hai
una superficie interna (quella piu' vicina alla sorgente) ed una
esterna (quella che consideri te) ma il flusso lo devi calcolare su
*entrambe* e la somma e' zero (l'uno e' l'opposto dell'altro.
Ciao.

 metafisico... :-( )
Niente metafisica. Nel senso che non è lo spazio (il tutto) a forma di 
toroide, ma una regione *dentro* lo spazio, che quindi lascia fuori delle 
"cose".


Apprezzo che mi abbiate risposto, ma dalle vostre risposte capisco
solo che non avete letto quanto ho scritto. Magari le mie osservazioni
sono sbagliate ma non sono stupide come appaiono dalle vostre
risposte, nelle quali mi spiegate cose banali ma non pertinenti. Ho
scritto: "Se in una certa regione trovo che la divergenza è nulla
ovunque significa che il flusso del campo attraverso una arbitraria
superficie chiusa [sott'inteso, contenuta nella regione] è sempre
nulla? Assolutamente no!". Ed è vero. Leggete bene quanto ho scritto
prima di valutare questa affermazione
Ora vi chiedo di notare che se in una certa regione il rotore è nullo
ovunque non significa necessariamente che la l'integrale di linea su
un cammino chiuso (contenuto nella regione) sia nullo. Ciò è garantito
solo se la regione da me considerata è priva di tunnel. Cioé, come si
dice, semplicemente connessa. Mi chiedo se, così come esiste un nome
per denotare le regioni prive di tunnell (semplicemente connesse)
esiste anche un nome per denotare le regioni prive di bolle. E mi
chiedo perché viene non viene data alle regioni prive di bolle in
relazione alla divergenza che stessa importanza che viene data alle
regioni prive di tunnel in relazione al rotore.

 solo che non avete letto quanto ho scritto.
Secondo me state semplicemente prendendo la questione da due punti di
vista diversi.
Tu osservi che non basta che nel dominio del tuo campo vettoriale esso
abbia divergenza nulla perche' il flusso si annulli su ogni superficie
chiusa appartenente a quel dominio, ed e' vero.
Gli altri ti obiettano che se il dominio ha un "buco", quando calcoli
il flusso per ottenere zero devi prendere una superficie chiusa che
non solo appartenga al dominio, ma che sia il contorno di una regione
interamente appartenente al dominio.
In questa forma la stessa condizione vale per la circuitazione di un
campo a rotore nullo.
Dal punto di vista della teoria generale dell'integrazione delle forme
differenziali, si tratta proprio della stessa cosa.
Comunque mi pare che tu abbia ragione nel notare che mentre nel caso
della circuitazione la condizione viene sempre esplicitata con
chiarezza, la condzione del tutto analoga per il flusso non lo e'.
-- 
Elio Fabri

 regioni prive di tunnel in relazione al rotore.
Forse ne viene data poca in elettrodinamica perche' di solito non
capita, infatti di solito si usa il teorema di Gauss.
In ogni caso, tu non hai realmente bisogno di sapere se la regione di
piano e' un semplicemente connesso o se la regione di spazio e' a
"connessione superficiale semplice" perche' ti basta ricordare il
teorema di Stokes.
1. Vuoi calcolare la circuitazione di un campo vettoriale A lungo una
linea chiusa, diciamo la circonferenza unitaria centrata in O; il
rotore del campo e' nullo in tutti i punti interni al disco che ha
come bordo la circonferenza, tranne che in O. L'integrale sara' nullo?
Come deve essere la regione di spazio/superficie (non mi ricordo...)?
Applico il teorema di Stokes: la circuitazione e' uguale al flusso del
campo su una qualunque superficie che ha tale linea come bordo:
Int_{bordo S} A.dl = Int_{S} rotA.dS
prendo il disco di cui sopra e scopro che l'integrale e' non nullo
perche' rotA.dS =/= 0 attorno al punto O.
Ma allora quando e' che l'integrale e' nullo? Semplice, basta prendere
una regione in cui rot A e' sempre 0 ovvero dove non vi sono sorgenti
(e' condizione solo sufficiente). Ma se prendo una regione di piano
che circonda O? Vale lo stesso, solo che la circuitazione la devi fare
appunto sul bordo di tale regione e il bordo e' fatto di due curve,
quella interna e quella esterna.
2. Vuoi calcolare il flusso di un campo vettoriale A su una superficie
chiusa, diciamo la superficie sferica unitaria centrata in O; la
divergenza del campo e' nulla in tutti i punti interni alla sfera che
ha come bordo la superficie sferica, tranne che in O. L'integrale
sara' nullo? Come deve essere la regione di spazio/superficie (non mi
ricordo...)?
Applico il teorema di Stokes: il flusso e' uguale alla divergenza del
campo sulla regione di spazio V interna alla superficie:
Int_{S} A.dS = Int_{V} divA dV
e scopro che l'integrale e' non nullo perche' divA dV =/= 0 attorno al
punto O.
Ma allora quando e' che l'integrale e' nullo? Semplice, basta prendere
una regione in cui div A e' sempre 0 ovvero dove non vi sono sorgenti
(condizione sufficiente). Ma se prendo una regione di spazio che
circonda O? Vale lo stesso, solo che il flusso lo devi fare appunto
sul bordo di tale regione e il bordo e' fatto di due superfici, quella
interna e quella esterna.
Come vedi non ho avuto bisogno di sapere se la regione e'
"semplicemente connessa" o "a connessione superficiale semplice" o
altro.
Ciao.