Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: Catene di Markov

Salve, mi hanno posto un quesito sulle catene di Markov che mi lascia
perplesso. Forse vi sono ng piu' adatti, ma la domanda mi e' stata
posta in un contesto Fisico, e la pongo quindi qui.
Passo al problema:
Data la variabile stocastica Xi, con 1<=i<=n, che si comporta come una
catena di Markov con matrice stocastica P, definisco la variabile Yi,
dove Y1=Xn, Y2=Xn-1,...,Yn=X1.
Sara' anche questo una catena di Markov?
La risposta e' si' (o almeno cosi' sembra).
Ma come si puo' dimostrare il fatto che la matrice P* che ne deriva
sia anch'essa una matrice stocastica (e che sia quindi normalizzata ad
uno per righe)?
Non dovrebbe essere necessario richiedere che la matrice P sia
normalizzata per colonne, oltre che per righe?
Questo avrebbe conseguenze molto interessanti sulle condizioni
necessarie all'inversione temporale...
--
-Thanatos-
HatTrick: bobon123 - Djiins, 1° classificato VI.8
A breve in V.???

Thanatos ha scritto:
 > Data la variabile stocastica Xi, con 1<=i<=n, che si comporta come una
 > catena di Markov con matrice stocastica P, definisco la variabile Yi,
 > dove Y1=Xn, Y2=Xn-1,...,Yn=X1.
 >
 > Sara' anche questo una catena di Markov?
 > La risposta e' si' (o almeno cosi' sembra).
Io non ho capito...
A quanto pare conosciamo definizioni diverse di catena di Markov.
Che cos'e' "la variabile stocastica Xi"? E' una o sono n?
Oppure Xi sono i possibili valori di un'unica variabile?
Ma se e' cosi', che cosa c'e' di profondo nel riordinare i valori?
Ma se invece Xi sono le variabili associate alle successive prove,
perche' ti fermi a n?
Appunto: non ho capito...
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 cosi' sembra).
no poiche' la matrice stocastica dovrebbe essere double stochastic
matrix e questo bisognerebbe imporlo a mano.
credo sia possibile costruire un controesempio pero' non mi viene in
mente adesso... il fatto e' che data una catena di markov tc
P(X_n=i_n|X_{n-1}=i_{n-1}|...|X_0=i_0)=P(X_n=i_n|X_{n-1}=i_{n-1})
allora non e' vero che
P(X_0=i_0|tutta la storia)=P(X_0=i_0|X_1=i_1)
in ogni caso il punto e' quello che hai detto tu, solo che secondo
me e' un po' debole...

 necessarie all'inversione temporale...
Ciao
forse ho capito male il problema, ma se cambi nome agli stati della catena
di markov cosa dovrebbe cambiare?
è come cambiare l'indice di una sommatoria...
La nuova catena di markov avrà una matrice stocastica in cui l'ultima
colonna diventa la prima colonna e la prima diventa l'ultima (chiaramente
si girano anche tutte quelle in mezzo), e le righe subiscono la stessa
sorte, per cui ovviamente la somma degli elementi di ogni riga non cambia.
Non vedo il motivo di richiedere che la matrice sia bistocastica.
Ciao
 Paolo

perche' ti fermi a n?
Beh, ad un certo punto mi dovevo pur fermare :-)
Il punto e' che il nuovo set di variabili Yi corrisponde
effettivamente allo stesso evento stocastico, invertito temporalmente.
Che sia sempre valida la proprieta' di Markov per le variabili Yi
(cioe' che la probabilita' P( Yi = wi) dipenda solo da Y(i-1) ) non mi
sembra immediato, ne' logicamente ne' analiticamente, anche se so che
e' vero.
O meglio, in realta' scrivendo questo messaggio in parte mi sono anche
chiarificato le idee e inizio a vedere la luce, probabilmente
domattina mi sara' chiaro tutto.


me e' un po' debole...
Si', credo anche io, la mia era solo una considerazione "a naso", devo
lavorarci un po'...


 Paolo
