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Titolo: Problema sul pendolo balistico

Salve a tutti.
C'è qualcuno che gentilmente mi può aiutare a risolvere il seguente problema
?
"Un proiettile di massa m e velocità v attraversa un pendolo di massa M ed
emerge con velocità v/2.
Se la massa del pendolo è appesa all'estremo di un filo di lunghezza l,
qual'è il minimo valore di v per cui il pendolo possa compiere un giro
completo "?
Grazie a quelli che mi potranno aiutare!!
Ciao.
Pierfausto

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Solo qualche suggerimento. Pensa che l'urto e' molto veloce, la massa
del pendolo M e' >> m e quindi il pendolo rimane praticamente fermo
durante l'urto. Nella direzione del proiettile si conservera' la
quantita' di moto TOTALE del sistema proiettile piu' pendolo, perche'
non ci sono forze esterne che agiscono in quella direzione se l'urto e'
molto rapido (l'unica forza sarebbe  la componente della tensione del
filo lungo il moto del proiettile,ma se l'urto e' rapido e m<<M il
pendolo non si sposta sensibilemnte dalla posizione di equilibrio
durante l'urto e il filo rimane verticale, per cui non c'e' una tale
componente...).
La conservazione detta ti permette di ricavare la velocita' iniziale 
del pendolo immediatamente dopo l'urto in funzione della velocita'
iniziale del proiettile... A quel punto hai un pendolo
che parte con una velocita' iniziale nota e devi risolvere
il problema di quale sia tale velocita' minima affinche' il pendolo
faccia il giro. Questo dovresti saperlo fare da solo no?
Ciao, Valter Moretti


Se non erro, il risultato è:  v >= 4 * M * sqrt( g * l ) / m
Il proiettile passa da v a v/2, quindi cede al pendolo la quantità di moto
mv/2.
Uguagliando la quantità di moto persa dal proiettile con quella acquistata
dal pendolo:
mv/2 = VM
si deduce che il pendolo acquisisce una velocità pari a:
V = m*v / (2*M)
che corrisponde ad un'energia cinetica (del solo pendolo visto che il
proiettile se ne è già andato):
Ec = 1/2 * M * V*V = m*m*v*v / ( 8*M )
Per fare un giro completo l'energia cinetica dev'essere maggiore
dell'energia potenziale che il pendolo ha quando si trova "sottosopra"
(ruotato di 180° rispetto alla posizione di riposo) e quindi sollevato di 2
volte "l":
Epot = 2 * M * g * l
Uguagliando e risolvendo in v si ottiene:
Epot <= Ecin    =>   v >= 4 * M * sqrt( g * l ) / m
PS: Se per puro caso sei uno studente che deve risolvere il problema come
compito, cerca almeno di capire bene tutti i passaggi e verificarne la
correttezza fisica ed algebrica.  :-))
Saluti
PS2: Perchè non calcolare, già che ci siamo, la minima velocità del
proiettile necessaria a vaporizzare completamente un pendolo di ghiaccio a
zero gradi?

faccia il giro. Questo dovresti saperlo fare da solo no?
Se ti riferisci a eqz dinamiche del moto, mi pare più elegante osservare
semplicemente che il pendolo deve avere l'energia cinetica appena sufficiente a
raggiungere il punto morto superiore, al quale è associata l'energia potenziale
che sappiamo...
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Marco Coletti
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completo "?
Io ragionerei in questo modo:
Calcolerei per prima l'energia persa dal proiettile (3/4 dell'energia
cinetica iniziale), poi la uguaglierei all'energia potenziale occorente per
spostare la massa M del pendolo di due lunghezze l in verticale. Solo che a
questo punto il pendolo si fermerebbe in alto ricadendo poi rovinosamente in
verticale.
A questo punto dovremmo calcolare la velocità minima che gli serve perchè la
sua forza centrifuga uguagli l'attrazione gravitazionale. Dobbiamo cioè
uguagliare a 9,8m/s v^2/l.
La somma delle due velocità dovrebbe essere la risposta.
Ciao, Mauro.

 
 Ciao, non ho capito bene cosa intendi. 
Comunque mi pare che le sole considerazioni energetiche non siano
sufficienti a risolvere il problema, perche' l'equazione dell' energia
non "conosce" come e' fatto il vincolo... Vabbe' non volevo dare la
soluzioni per ragioni didattiche ma ora dico come farei io.
L'unico modo convincente che conosco io per risolvere il problema della
velocita' iniziale minima da dare al pendolo (con filo) per "fargli fare
il giro" e' quello di assumere che il pendolo faccia il giro ed usare
insieme l'equazione della dinamica lungo la direzione radiale e la
conservazione dell'energia. 
Si ottiene allora *nel punto di massimo*:
MV^2/L = T + Mg      (1)
e questa e' la proiezione di F = Ma lungo la direzione radiale uscente
essendo: V il modulo della velocita' del pendolo in verticale nel
punto di massimo a corda tesa, M la massa, L la lunghezza della corda e
g l'accelerazione gravitazionale.
C'e' l'ovvio vincolo *unilatero* dovuto al filo che puo' solo tirare
ma non spingere, che gioca il ruolo *essenziale* nel risolvere il
problema: 
T maggiore o uguale a 0   (*)
[Notare che se il vincolo non fosse unilatero ma bilatero (per esempio
se al posto del pendolo avessimo un carrello vincolato completamente sui
binari, senza sganciarsi nemmeno a "testa in giu'" oppure un pendolo con
un asta rigida invece del filo) il problema avrebbe una soluzione
diversa perche' la condizione (*) non sussisterebbe, vedi sotto]
Dall'equazione dell'energia troviamo invece, ponendo a zero
l'energia potenziale gravitazionale nel punto di minimo del pendolo:
(1/2)Mv^2 = (1/2)MV^2 + 2LMg   (2)
v e' il modulo della velocita' iniziale (orizzontale) nel punto di
minimo.
(1) e (2) conducono subito a, eliminando V
v^2 = 5 Lg +  LT/M
da cui
v = sqr{5 Lg +  LT/M}
il vincolo (*) ci dice che il valore minimo possibile e' quello che si
ottiene per T=0 e si ha
v = sqr{5Lg}
Notare che, come deve essere, la velocita' nel punto piu' alto e' ora
diversa da zero e vale  V = sqr{Lg}.
Forse c'e' un metodo piu' rapido, ma questo e' per me quello piu'
convencente.
NB: Se il vincolo fosse bilatero, la soluzione sarebbe diversa. In tal
caso la soluzione si otterebbe ponendo V=0 nell' equazione dell'
energia (2). E questo e' possibile perche' anche con V=0, nel punto di
massimo avremmo una T negativa (con le nostre convenzioni!) che
sosterrebbe l'oggetto!
Dal punto di vista energetico pero' l'equazione (2) sarebbe sempre la
stessa. Per questo motivo non mi sembra possibile risolvere il problema
usando solo l'energia: ho appena trovato due problemi con soluzioni 
*diverse* e con equazioni energetiche *uguali*!
Ciao, Valter

 uscente
  ^^^^^^^^^
Ovviamente e' un errore, la direzione che uso  e' quella radiale, ma il
verso e' quello ENTRANTE, almeno se la tensione T e l'accelerazione g
sono positivi come ho  usato nella soluzione del problema.
Riciao, Valter

diversa perche' la condizione (*) non sussisterebbe, vedi sotto]
E' in questo caso (che io assumevo) che basta fare un bilancio energetico:
l'energia cinetica iniziale deve essere maggiore della energia potenziale
associata al punto morto superiore: Mg2l
Non ho notato (mea culpa) che nel testo del problema si parlava esplicitamente
di "filo".
Sarebbe interessante vedere che succede quando si toglie il requisito T>0;
ovvero il "pendolo" può fare "un giro completo" anche se il filo si allenta:
basta che la massa scavalchi il "perno" del pendolo.
In tal caso è chiaro a priori che condizione necessaria - ma non sufficiente -
affinchè la massa scavalchi il perno è che l'energia cinetica iniziale E_k0 sia
maggiore di Mgl; ciò si deduce anche dal fatto che se E_k0 < Mgl il pendolo non
arriva neppure all'angolo Pi/2 e quindi ritorna verso il basso, il tutto col
filo sempre in tensione.
Se si vuole provare a risolvere il problema in maniera per così dire
"euristica" la prima domanda a cui rispondere è: qual'è il punto (angolo) in
cui il filo si allenta?
Certamente tale angolo è maggiore di Pi/2.
Per la precisione, esso sarà l'angolo "a" per il quale la componente radiale
della forza peso eguaglia l'accelerazione centripeta moltiplicata per M.
In seguito la massa del pendolo seguirà una traiettoria parabolica.  Imponendo
che la traiettoria parabolica passi per il punto "perno" si ottiene la velocità
iniziale minima richiesta.
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