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Titolo: quesito su PRINCIPI DELLA M.Q. di DIRAC

quesito su PRINCIPI DELLA M.Q. di DIRAC
Buongiorno a tutti,
ho iniziato a leggere questo libro (ed. boringhieri) e mi sono inchiodato 
a pagina 46, dove dice che l'espressione [9.12] deve essere identicamente 
nulla perché "...è solo di grado n-1 nella (Xi)...".
La cosa mi è incomprensibile in quanto a pag 44 ha dato come ipotesi che 
la [9.8] fosse la più semplice equazione algebrica a cui soddisfa 
l'operatore lineare reale (Xi).
Anzi, addirittura il fatto di essere di grado n-1 è usato a pag 44 per 
dimostrare la non identicamente nullità di Xr(3)|P> nella [9.10] dove
Xr(3) è appunto di grado n-1.
Ho pensato che in questo gruppo frequentato da docenti e da studenti 
della materia, qualcuno ha sicuramente già letto questo libro.
C'è chi mi può aiutare a capire?
Ciao


I libri non sono tutti della stessa casa editrice o della stessa
edizione, quindi dovresti riferire il capitolo (numero e titolo) ed il
paragrafo (numero e titolo), piuttosto che la pagina. Tra l'altro io
ho l'edizione in lingua inglese e l'espressione [9.12] non esiste
nemmeno in tutto il libro, perche' vengono numerate progressivamente
per ogni capitolo ( (1), (2), ...(8) del primo capitolo, (1), (2), ...
(51) del secondo capitolo, ecc.).
Ciao.
 
--
cometa_luminosa

 Xr(3) è appunto di grado n-1.
 
La (9.12) e' un'espressione algebrica costruita in modo da "essere
identicamente nulla", ossia e' un'eguaglianza valida qualunque sia
l'operatore Xi, deve insomma essere un'identita' e non un'equazione.
 
Per maggiore chiarezza, considera l'esempio proposto dal libro:
- l'operatore sigma soddisfa l'equazione di 2-grado (9.14)=(9.8): cio'
  significa che applicando l'operatore (sigma^2-1) a _qualsiasi ket_
  si ottiene il ket nullo;
- invece la relazione di 1-grado  1=(1+sigma)/2 + (1-sigma)/2  (vel 9.12)
  e' un'identita' valida per _qualsiasi operatore_.
 
-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)

cometa_luminosa
 
Grazie della risposta.
 
Vediamo: nell'oxford university press del 1967 in inglese si tratta
della pag 34, paragrafo 9, formula (21)
 
a pagina 34, capitolo 2, paragrafo 9 dove dice che l'espressione (21)
"... Since, however, the expression is only of degree n-1 in (Xi), it
must vanish identically..." cioè che l'espressione [21] deve essere
identicamente nulla perche' e' solo di grado n-1 nella (Xi)...".
La cosa mi e' incomprensibile in quanto due pagine prima ha dato come
ipotesi che la (17) fosse la piu' semplice equazione algebrica a cui
soddisfa l'operatore lineare reale (Xi).
Anzi, addirittura il fatto di essere di grado n-1 è usato  per 
dimostrare la non identicamente nullita'  di Xr(3)|P> nella [19] dove
Xr(3) e' appunto di grado n-1.
E ora invece dice che la )21( è identicamente nulla proprio perche' di
grado n-1. Non riesco a capire.
 
 

 della materia, qualcuno ha sicuramente già letto questo libro.
 
L'ho letto tanti anni fa e adesso non l'ho sottomano,
ma per fortuna internet ci viene in aiuto...;-)
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 grado n-1. Non riesco a capire.
Bisogna dire che qui Dirac usa, come fa spesso, argomenti di una
matematica avanzata, senza dirlo e trattandola a modo suo.
Il che va benissimo, ma in qualche caso puo' mancare di chiarezza, e
questo mi pare appunto un esempio.
 
Infatti quando dice "vanish identically", che cosa intende esattamente?
Ci sono qui due usi del polinomio:
 
1) Quello dell'algebra astratta, dove un polinomio e' una scrittura
composta di coefficienti e di potenze di una "indeterminata" (che non
e' un numero!)
In questo uso il polinomio identicamente nullo e' quello che ha nulli
tutti i coefficienti.
Se all'indeterminata sostituisci un numero (di un qualche campo
numerico, per es. nel nostro caso i reali), ottieni quella che si
chiama una "funzione polinomiale", che avra' in generale degli zeri.
Quello che Giorgio Bibbiani chiama "teorema fondamentale dell'algebra"
(che in realta' dice un'altra cosa) afferma che se un polinomio di
grado n-1 ha n zeri distinti (cioe' se la funzione polinomiale si
annulla per n valori distinti della variabile) allora il polinomio e'
identicamente nullo.
 
2) Quello di una particolare "algebra di operatori", nel nostro caso
generata dalla "variabile dinamica" xi e dalle sue potenze fino al
grado n-1.
Dire questo signifca dire che tutte le potenze di xi con esponente >n si ottengono come combinazioni lineari delle potenze piu' basse.
E' quello che esprime la formula (17).
 
Se si confondono i due significato si rischia di non capire, come
capita a te :)
Ovviamente nel secondo caso esiste una funzione, la phi(xi), che da'
risultato nullo applicandola su ogni ket, e quindi coincide con
l'operatore nullo.
Si puo' ben dire che phi si annulla identicamente, come operatore
sullo spazio dei ket.
 
Ma quando Dirac scrive la frase incriminata, pensa all'algebra
astratta dei polinomi e al teorema che ho citato: ha costruito un
polinomio di grado n-1 che ha n zeri, e quindi e' il polinomio nullo.
ne segue che e' anche nullo come operatore, che e' cio' di cui ha
bisogno.
 
 
-- 
Elio Fabri