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Titolo: Dubbi su problema delle olimpiadi di fisica

Alle olimpiadi di fisica era presente un problema (il primo) che proprio non
riesco a risolvere.
diceva piu' o meno:
La sonda SOHO si trova sempre sulla linea che congiunge la terra ed il sole,
dati la distanza dalla terra al sole _d_ ed il rapporto fra le masse della
terra e del sole _alfa_ (davano i valori numerici) determinare a che
distanza dalla terra si trova SOHO.
nota: (1+beta)^x per beta molto piccolo e' uguale a (1+x*beta)
allora, ho pensato che per essere sempre fra la terra ed il sole dovra'
avere un periodo uguale a quello della terra e quindi una velocita' angolare
_omega_ uguale. di conseguenza la sonda dovra' essere sottoposta ad
un'accelerazione centripeta pari a
ac=omega^2*r
e quindi mi sembra logico che deve esserci un punto tra la terra ed il sole
dove la somma dei vettori campo dei due corpi sia uguale ad _ac_.
considerando _r_ la distanza della sonda dal sole ed un sistema di
coordinate col sole nell'origine e la terra distante _d_ nella direzione
positiva ho che (_ms_=massa del sole) :
Es= -G*ms/r^2
Et= +G*ms*alfa/(d-r)^2
ac= -omega^2*r
ponendo ac=E ho che (moltiplicando per -1 da ambo le parti)
omega^2*r=G*ms/r^2 - G*ms*alfa/(d-r)^2
e facendo il minimo comune multiplo ho che:
(d-r)^2 * r^3 * omega^2 = G*ms*(d-r)^2 - G*ms*alfa*r^2
raccogliendo:
(d-r)^2 * r^3 * omega^2 = G*ms*( (d-r)^2 - alfa*r^2)
ora posso ricavare la massa del sole dal'accelerazione centripeta e dall
legge di gravitazione universale:
omega^2*d=G*ms/d^2  ===>  ms=omega^2*d^3/G
NOTA: ora posso sostituire ad ms e semplificare un po' di cose, ma provando
a casa (dove conoscevo la massa del sole dal libro) viene un risultato un
po' diverso di massa, ed un risultato diversissimo di distanza dal sole:
risulterebbe addirittura  maggiore di quella della terra!!!!! cmq
sostituendo si ha
(d-r)^2 * r^3 * omega^2 = omega^2*d^3*( (d-r)^2 - alfa*r^2)
ed essendo un'equazione dove devo trovare r in R, gia' dal primo termine
posso vedere che ho un r^5, o un r^4 se uso il suggerimento. Essendo che
credo che l'unico modo di risolverla sia per approssimazione, non mi sembra
che sia una cosa fattibile fare un'analisi di funzione ed approssimare gli
zeri in 25 minuti (essendo che c'erano 4 problemi in 1:40).
Risolta al computer l'eq mi da il valore corretto (cioe', dove la sonda si
trova effettivamente), ma penso che a risolvere un problema del genere con
la sola calcolatrice ci metterei un pomeriggio.
Ora, convinto di aver sbagliato alla grande ho fatto la cazzata di cercare
il punto dove il campo e' nullo (una cavolata unica, non bisogna neanche
usare la formula che danno loro), quindi ho buttato un casino di tempo per
poi risolverlo sbagliato.
Essendo che sono sicurissimo che ci sia stato un metodo molto migliore per
risolverlo (ma non lo vedo proprio) qualcuno di voi luminari (o se c'e' un
qualche organizzatore che scrive nel newsgroup) mi potrebbe dare una dritta,
possibilmente non usando roba troppo complessa (a livello di quinta liceo,
diciamo)
grazie

 diciamo)
Uhm... La fisica e' OK, ma l'italiano non e' il tuo forte, vero? :)
Non sono uno degli organizzatori, ma ce n'e' uno nello studio accanto al
mio. Pero' non l'ho consultato, e a dire il vero non ho neppure capito
come andrebbe usato il suggerimento.
Comunque, ripartiamo dalla tua equazione, che divisa per omega^2 e con
semplici passaggi diventa
(d-r)^2 * (d^3 - r^3) = alfa*d^3*r^2.
Posso ancora estrarre un d-r dalla differenza dei cubi:
(d-r)^3 * (d^2 + d*r + r^2) = alfa*d^3*r^2.
Ora per alfa = 0 questa avrebbe tre radici coincidenti r=d, per cui e'
ovvioche se afa e' piccolo le radici saranno vicine a d. Conviene quindi
porre r = d-x, con x <<d, e si arriva a
x^3 = alfa * d^3 * (d^2 - 2d*x + x^2)/(3d^2 + 3d*x + x^2).    (1)
E' allora evidente che come prima approssimazione possiamo trascurare
tutte le x a secondo membro, ottenendo come unica radice reale
x = (alfa/3)^(1/3) * d.
Volendo una migliore approssimazione, potresti sostituire questo valore
di x a secondo membro della (1), e ricavare di nuovo x, ecc.
Nota 1. A rigore, hai trascurato che anche il Sole si muove; ma credo
che ilproblema desse per scontata questa approssimazione, che produce un
errore molto piu' piccolo.
Nota 2. Ci sono altri due punti dove una sonda puo' stare in equilibrio:
uno al di la' della Terra, e uno al di la' del Sole. Trovali...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 uno al di la' della Terra, e uno al di la' del Sole. Trovali...
beh, direi sempre approssimando che quello al di la' del sole e' all'opposto
della terra, considerando la sua attrazione trascurabile rispetto a quella
del sole, mentre l'altro e' la solita storia, con la stessa equazione, solo
che i versi delle accelerazioni dei due campi sono concordi, e la distanza
dal sole sara' d+r, mentre quella dalla terra r.
ciao

 dal sole sara' d+r, mentre quella dalla terra r.
Mi pare di si'. Dico mi pare, perche' non sono sicurissimo di aver
capito. 
Allora una difficolta' addizionale: in realta' il Sole non sta fermo,
perche' sente l'attrazione della Terra. Se non volessimo trascurare
questo effetto, come dovremmo fare?
Non e' un capriccio: visto che abbiamo dovuto fare un'approssimazione,
occorre ricordarsi che anche trascurare il moto del Sole introduce
un'approssimazione, magari peggiore.


 un'approssimazione, magari peggiore.
ciao