Newsgroup: it.scienza.fisica
Titolo: un problema di Cauchy in spazi di Hilbert

Salve a tutti. Ecco il mio quesito:
sia x(t) \in H una curva C^1 dove H è uno spazio di Hilbert complesso
separabile. Considero il problema di Cauchy:
dx(t) / dt = iAx(t)
x(0)=x_0
dove A : H --> H  è un operatore lineare definito su tutto H, limitato, NON
autoaggiunto. Mi chiedo se la soluzione al problema di Cauchy sia unica
oppure no.
Grazie
Giaco

Ciao, si perche' puoi rifare partire i soliti teoremi
del caso finito dimensionale basati sulle mappe di contrazione
e sull'unicita' del punto fisso...
La soluzione e'
x(t) = exp{itA}x
dove l'esponenziale e' definito tramite la serie dell'esponenziale
usando la topologia uniforme degli operatori.
Ciao, Valter

-- 
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

 usando la topologia uniforme degli operatori.
Intanto grazie, risolto così mi piace.
Però io l'unicità l'ho vista dimostrata in questo modo:
se y(t) è un'altra soluzione, allora:
d/dt || z(t) ||^2 = 2 Re ( z(t) | iAz(t) ) = 0 per ogni t
con z(t) = x(t) - y(t)
e proprio non capisco perché è nullo per ogni t in assenza dell'ipotesi di A
autoaggiunto. Per questo avevo cominciato a sospettare che per A non
autoaggiunto l'unicità non sussistesse. Dove sbaglio?
Ciao,
Giaco

 Ciao,


 differenziali reali separando l'equazione in parte reale ed immaginaria.
Bene, allora non sono fuso del tutto. L'equivoco è nato da una dispensa un
po' imprecisa (eufemismo) che non metteva l'autoaggiuntezza /
autoaggiunzione tra le ipotesi e poi usava la dimostrazione che ho
raccontato.
Grazie ancora per la (solita!) chiarezza delle spiegazioni. A proposito, a
quando la comparsa di nuove morettiane dispense sul tuo sito, magari di
meccanica quantistica?
Ciao,
Giaco

 meccanica quantistica?
Ciao, in gennaio o febbraio terro' un corso intensivo di teoria 
spettrale e fondamenti di MQ per il dottorato in matematica
(e se qualche fisico vuole venire anche per i fisici). E' molto 
probabile che scrivero' delle dispense. Ma guarda che se le scrivo 
saranno di taglio pittosto matematico e ci sara' poca fisica
dentro: costruiro' la teoria generale usando quasi-misure
sul reticolo dei proiettori di uno spazio di Hilbert separabile
e poi mostrero' casi concreti mettendo l'accento su teoremi importanti 
della MQ elementare quali quello di Wigner, quello di Stone, quello di 
Von Neumann.
Ciao, Valter


 Ciao, Valter
Gulp! Le quasi-misure mi mancano...per il resto trovo che la distinzione tra
fisica e matematica ad un certo livello non abbia piu' molto senso. Quindi
daro' volentierissimo un occhio alla futura dispensa e, se reputero' di
poterci capire qualcosa senza perdere i capelli, osero' anche tentare di
studiarla!
Ciao,
Giaco

 raccontato.
Non e' vero che la dispensa ("metodi matematici per la fisica" di Abbati e
Cirelli) non mette
l'autoaggiuntezza come ipotesi.
Ciao Mauro.

 Von Neumann.
ciao, ...scusa la mia ignoranza :) ma questi concetti [non ti chiedo 
ovviamente di spiegarmi cosa vogliono dire, ciascuno] sono 
"speculazioni" matematiche, o hanno anche una diretta applicazione a 
problemi fisici?
tnx per l'info
ciao
dan

Ciao, non sono speculazioni, sono le fondazioni della MQ
esposte in modo matematicamente molto pulito e molto
conciso, in modo da separare i problemi fisici
da quelli matematici ed avere il numero minimo di assiomi
per la MQ ed usare il formalismo piu' appropriato.
La fisica e' sempre la stessa che si impara
nel corso di laurea in fisica (certo io non faro' tutte le applicazioni 
importantissime che si vedono a IFT). I teoremi che ho citato
sono teoremi ben noti in fisica prima che in matematica.
Per es quello di Wigner e' quello che ti dice che ogni
trasformazione (a priori nemmeno lineare) di vettori che preserva la 
norma e' necessariamente rappresentabile in termini di una 
trasformazione unitaria oppure antiunitaria.
Quello di Stone dice che i gruppi di trasformazione
unitari ad un parametro che rappresentano le simmetrie continue in 
fisica quantistica  sono tutti e soli del tipo a |-> exp(iaX) dove a e' 
reale e  X autoaggiunto. Il teorema di Von Neumann dice in soldoni
che se il sistema e' descritto da osservabili che hanno la stessa 
algebra  di X e P (piu' qualche altra ipotesi) allora lo spazio di 
Hilbert e' L^2 e X e P sono i soliti opertori differenziali
posizione e impulso
Ciao, Valter

-- 



Io ho un *libro* di metodi con quei due autori
che mi ha dato Cirelli o Abbati o Mania'
uno volta che sono venuto a Milano a Fare un seminario ma
non l'ho mai letto tutto. C'e', su quel testo,
una parte interessante sulle "triplette di Gelfand" che non si
trova sui libri di Metodi.
Ciao, Valter


Giaco ha scritto:
 > Gulp! Le quasi-misure mi mancano...per il resto trovo che la
 > distinzione tra fisica e matematica ad un certo livello non abbia piu'
 > molto senso.
Non so se capisco che cosa intendi, ma comunque non sono d'accordo :)
Io a tenere distinte fisica e matematica ci tengo assai, a qualunque
livello.
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

 livello.
Malgrado io sia molto piu' matematico di Elio, ho la stessa sua
opinione e nei miei corsi ho sempre cercato di distinguere le due
cose nettamente. Anche se ho sempre cercato di fare sputare fuori
alla matematica il massimo di informazioni fisiche possibili
una volta dati gli assiomi fisici tradotti in matematichese.
Nel mio lavoro di ricerca  accerto di continuo  una cosa: quando
l'idea fisica e' buona, la matematica viene fuori bene. Quando e' 
necessario introdurre troppe ipotesi matematiche per trattare
qualcosa allora c'e' sempre qualche grana di carattere fisico
sotto tutto.


 Ciao Mauro.
Ciao Mauro (ma chi si vede?!), comunque mi riferivo alle dispense del Cotta:
http://wwwteor.mi.infn.it/~cotta/spectral1.ps
pag. 27-28 teorema 8.1. Niente a che vedere con il mirabile tomo del
Cirelli!
Ciao,
Giaco

 livello.
D'accordo, sono due cose diverse :-)
Con quella frase volevo solo insinuare un dubbio a chiunque intendesse la
matematica come "strumento" da applicare alla fisica... secondo il mio
modestissimo parere non ci sarebbe fisica senza matematica - dopotutto la
fisica la facciamo partire da Galileo, non da Aristotele - e forse non ci
sarebbe matematica senza fisica - dopotutto la geometria euclidea č nata
grazie a certe "regolaritŕ spaziali" del mondo in cui viviamo...sono vago
apposta ;-)
Insomma: sono parenti talmente stretti che si sono evoluti influenzandosi a
vicenda e quasi "intrecciandosi". Devo ricoverarmi o c'e` un barlume di
ragionevolezza in cio` che dico?
Ciao,
Giaco

 fisica la facciamo partire da Galileo, non da Aristotele 
Pero` un Faraday ci sarebbe stato anche senza la matematica :-)