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Titolo: Problema di Meccanica Quantistica

Salve a Tutti vorrei sapere come dimostrare che la "funzione"
<q|U(t)|q'>  (dove |q> sono autofunzioni dell'operatore posizione ,e
U(t) e' l'operatore di evoluzione temporale) e' la funzione di Green
del'equazione di Schrodinger cioe'soddisfa l'equazione
ih(tagliato)(derivata temporale
parziale)G(q,q',t)-H(t)G(q,q',t)=ih(tagliato)delta(t)delta(q-q') con
G(q,q',t)=<q|U(t)|q'>  e condizione iniziale G(q,q',0)=delta(q-q')
non viene fatta nessuna ipotesi  su H(t) neanche quella di
stazionarieta' so solo che formalmente l'operatore U(t) risolve
l'equazione ih(tagliato)(derivata parziale temporale)U(t)=H(t)U(t) ,
basta questo?
Grazie per le risposte!

Ciao, credo che per `funzione di Green' si intenda sotto
quella del tipo `equazione del calore' e non del tipo
`equazione ellittica'. La funzione di Green nel tuo caso
deve soddisfare:
ih(tagliato)(derivata temporale parziale)G(q,q',t)-H(t)G(q,q',t)= 0 
per t>0
con condizione iniziale
G(q,q',0)=delta(q-q')
Ma questo e` ovvio dalle definizioni poste.
Ciao, Valter

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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

CiaoValter e' sempre un piacere avere un tuo contributo sul N.G. anche
se
saltuariamente purtroppo ,
sicuramente avro' affrontato problemi piu' difficili e forse sono stanco
ma non vedo l'ovvieta'  purtroppo forse e' un problema solo definitorio
che non riesco a fissare , sto facendo esercizi sugli stati coerenti ma
in
un ambito prettamente generale studiando oscillatori bosonici , sapendo
che il formalismo degli stati coerenti e' applicato proficuamente in
ambito ottico ho voluto approfondire l'argomento e mi sono scaricato
dalla
rete, al famoso sito 
xxx.lanl.gov
, un preprint del professor Man'ko
sull'introduzione all'ottica quantistica dove viene citata l'equazione
che
ho scritto con le delta a destra , il problema e che non vedo come poter
spostare H(t) a destra del bra <q| cioe'  porre
H(t)<q|U(t)|q'>=<q|H(t)U(q)|q'>  lo posso fare e perche'? Con questa
domanda denuncio una lacuna credo grossa ma non vorrei dover rileggere i
"Principi..." di Dirac per trovare la risposta  , riguardo a quel
delta(t)
a destra suppongo oltre a dare l'equazione omogenea per t>0 come hai
scritto Tu implichi che si e' supposto  H(0)=delta(t) o sbaglio?
ps:l'articolo che ho citato intoduce un metodo interessante sul calcolo
del propagatore con l'uso degli  integrali del molto mai visto(da me)
prima.

Ciao Corrado,
ho capito, hai ragione, ma credo che sia solo un problema di notazione
usata malissimo.
In notazione barocca bra-ket <q|F> e` la funzione d'onda F(q) valutata 
in q, piu' generalmente ed impropriamente si scrive spesso <q|F> per 
indicare la funzione d'onda punto e basta (non valutata in un 
particolare punto), un po' come quando qualcuno scrive (purtroppo) "la 
funzione f(x)".
In questa notazione ambigua
H(t)<q|U(t)|q'> dovrebbe significare l'azione di H(t) sulla funzione 
d'onda <q|F> dove |F> = U(t)|q'> nel senso che ora preciso.
L'equazione di Scroedinger e'
@/@t U(t) = -i H(t) U(t)
dove ho posto htagliato =1.
Inseriamo il tutto nel ''panino'' <q| |q'>
sbattendocene di un mucchio di problemi matematici
@/@t <q|U(t)|q'> = -i <q|H(t) U(t)|q'>
Ora inseriamo un identita' dove S e' il simbolo di integrale
I = S |q''><q''| dq''
@/@t <q|U(t)|q'> = -i S<q|H(t)|q''><q''|U(t)|q'>dq''
Se definiamo G(t|q,q'):= <q|U(t)|q'>, quanto sopra si scrive
@/@t G(t|q,q') -i ( H_t G(t|.,q'))(q)                   (*)
dove H_t e' l'operatore che agisce cone nucleo integrale
sulle funzioni f producendo ancora funzioni g
g(q) = (H_t f)(q) := S <q|H(t)|q''> f(q'') dq''
Quindi in ( H_t G(t|.,q'))(q), H_t agisce come nucleo integrale
sulla funzione che si ottiene fissando il secondo argomento di
G(t|q,q') e facendo variare il primo.
L'equazione corretta e' dunque la (*), ma
se uno prende un po' le cose sportivamante come probabilmente fa
il testo da cui hai preso queste cose, invece di ( H_t G(t|.,q'))(q)
uno scrive il ben piu' incomprensibile
H(t) G(t|q,q')                     :-<<<
Spero che ora questo punto  sia chiaro.
 > riguardo a quel
 > delta(t)
 > a destra suppongo oltre a dare l'equazione omogenea per t>0 come hai
 > scritto Tu implichi che si e' supposto  H(0)=delta(t) o sbaglio?
Non avrebbe senso perche' la prima funzione e' valutatta a t=0
mentre la seconda e` una funzione (generalizzata) valutata a t generico.
Ci penso un po` e ti dico se ci capisco qualcosa.
Ciao, Valter

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Ciao, ho capito, ma ci deve essere un errore di definizione nel tuo 
articolo. La funzione di Green che si comporta come vuoi tu
la devi definire come
G(t|q,q') := T(t)<q|U(t)|q'>
dove T `e la distribuzione theta data dalla moltiplicazione per la 
funzione che vale 0 per t<0 e 1 per t>1.
In questo caso, tenendo conto che la derivata di T e` la delta di 
Dirac delta(t), trovi subito con loa notazione impropria charita prima
(i@/@t - H_t) G(t|q,q') = i delta(t)<q|U(t)|q'> =
  i delta(t)<q|U(0)|q'>  = i delta(t)<q|q'> =
                         = i delta(t) delta(q-q')
Quindi manca una funzione theta, stiamo parlando della funzione di
Green (o propagatore) *ritardata*.
Ciao, Valter
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 funzione che vale 0 per t<0 e 1 per t>1.
  scusa ovviamente era 1 per t>0
  Ripensando un po` a quanto detto: forse sull'articolo c'`e scritto 
che la G si
  annulla per definizione per t<0?
  In tal caso sarebbe equivalente a quello che  ho scritto io...
  Riciao, Valter
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Se avessi il tempo di visionare l'articolo mi faresti una grande
cortesia comunque grazie! per la Tua costruttiva partecipazione , per
avermi fatto capire di non essermi del tutto rincoglionito :-)))
http://xxx.lanl.gov/ps/quant-ph/9509018.ps
Saluti Corrado

Ciao ho sotto gli occhi la parte incriminata: la sezione 3. Non c'e' 
niente da dire: E' SBAGLIATA!
Immagino che gli errori concettuali presentati nella sezione 3
non abbiano conseguenze sul resto del lavoro...
In ogni caso l'interpretazione delle formule (l'azione di
H(t) sul propagatore e' quella che dicevo).
Per esempio l'espressione che trova per il propagatore libero
Eq. (51), cosi' come e' scritto e' la funzione di Green che soddisfa
l'equazione con 0 al secondo membro invece delle delta
e con condizione iniziale delta(x-x').
Tra l'altro se non spiega come interpretare il radice di 1/it
(che e' una funzione polidroma) non si capisce cosa si deve fare
per usare la formula trovata...
Cerca di capire la fisica di quell'aerticolo, mi pare che
la matematica sia scritta un po' con i piedi, ma non e' detto
che sia un articolo malvagio per tale motivo.
Ciao, Valter
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 G(t|q,q') e facendo variare il primo.
D'accordo, naturalmente. Aggiungerei solo una cosa, nello spirito di
Dirac. 
Lui fa distinzione fra gli oggetti astratti (bra, ket, operatori) e le
loro *rappresentazioni*. 
Una rappresentazione siottiene scegliendo una base nello spazio di
Hilbert, per es |q>, ossia l'insieme delle autofunzione dell'operatore
posizione (lasciamo da parte i problemi che derivano dal fatto che
quella non e' in realta' una base, che l'op. di posizione non ha
autovettori, ecc.)
Allora un ket |A> ha come rappr. la funzione d'onda <q|A>, un operatore
(per es. H, U(t)) ha come rappresentazione una "matrice" <q|H|q'>,
<q|U(t)|q'>.
Percio' io la (*) la scriverei
@/@t<q|U(t)|q'>  -i S<q|H|q">dq"<q"|U(t)|q'>.
Va anche notato che oggetti come <q|H|q'> in generale non sono funzioni,
ma distribuzioni: basta pensare all'energia cinetica, che dovendo
produrre una derivata seconda sara' una delta" (derivata seconda della
delta).
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 notazione di Dirac. 
Ciao, non mi riferivo alla notazione di Dirac in toto, che trovo
utilissima, mi riferivo alla situazione in cui uno comincia
a lavorare con funzioni d'onda psi(x) e poi passa alla notazione
di Dirac scrivendo |psi> o cose simili: gia' psi e' un vettore nello 
spazio di Hilbert |psi> che cosa e`? (Risposta un vettore nello spazio
"astratto"...). A me questo mi pare un po`  barocco e a volte
complica le cose invece di semplificarle.
La notazione di Dirac e' invece utilissima, secondo me, quando 
dentro il ket si infilano i numeretti che individuano il vettore, es.
|NJM> o cose simili...
Ciao, Valter

 |NJM> o cose simili...
Allora siamo perfettamente d'accordo.
Ho sempre pensato che molta gente usa la notazione di Dirac senza averla
capita...


 = i delta(t) delta(q-q')
Scusate la mia ignoranza: perchè nella prima uguaglianza non compare il
termine
S<qlH(t)lq'>G(tlq,q')(q) ? L'operatore H_t non ha nessuna influenza?
Voglio ringraziarvi per questo tipo di discussioni: sono molto stimolanti!!
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Inviato via 
http://usenet.libero.it

 S<qlH(t)lq'>G(tlq,q')(q) ? L'operatore H_t non ha nessuna influenza?
Non ho capito cosa dici, come discusso in un altro post
  H_t G(t|q,q')
in realta' significa per l'autore
S <q| H(t)|q''>G(t|q'',q') dq''
Ciao, Valter
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 S <q| H(t)|q''>G(t|q'',q') dq''
Credo di non aver capito l'uguaglianza
(i@/@t - H_t) G(t|q,q') = i delta(t)<q|U(t)|q'>
La derivata parziale rispetto al tempo della funzione di Green (scelta come
T(t)<q|U(t)|q'>)
non è uguale al secondo membro?
Grazie.
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Non capisco ancora... vuoi dire se e' vero che
i@/@t  G(t|q,q')= H_t G(t|q,q') ?
Si e' vero, infatti, l'identita' di sopra:
(i@/@t - H_t) G(t|q,q') = i delta(t)<q|U(t)|q'>
e' sbagliata se si e' definito G(t|q,q') = <q|U(t)|q'>
come ho detto in un precedente post.
Per fare quadrare le cose bisogna definire invece
G(t|q,q') = T(t)<q|U(t)q'>
dove T(t) e' la funzione theta che vale zero per
t<0 e 1 per t>0.
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