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Titolo: Vasi comunicanti

Salve
Dati due serbatoi comunicanti tramite un tubo posto sul fondo di ciacuno, 
uno � pieno di acqua e l'altro � vuoto.
Se apro il rubinetto di intercettazione l'acqua comincia a fluire dall'uno 
all'altro fino a quando i due livelli non sono uguali.
Mi domando in quanto tempo questo accade in assenza di attriti.
Io ho impostato l' eq differenziale tipica del tempo di svuotamento con la 
differenza che la velocit� di efflusso invece di esser RADQ(2gh) � 
RADQ(2g(H-y) e come estremi di integrazone H;H/2 invece che da Zero ad H.
Pu� andare bene come approccio?
Grazie
Enrico 
 

 che da Zero ad H. Puï¿½ andare bene come approccio?
 
Non so cosa sia y (immagino che H sia l'altezza iniziale dell'acqua
nel serbatoio inizialmente pieno), quando l'altezza nel primo serbatoio
e' h allora quella nel secondo e' H - h, quindi la corrispondente
velocita' di uscita e', applicando la conservazione dell'energia
meccanica:
 
v = sqrt[2g(2h - H)]
 
e vale l'equazione del moto (k sia il rapporto tra l'area
della sezione trasversa del tubo e quella del serbatoio):
 
dh/dt = - k v = -k sqrt[2g(2h - H)]
 
e separando le variabili e integrando nel tempo (Deltat
sia la durata del processo):
 
-int_{H}^{H/2} 1 / {k sqrt[2g(2h - H)]} dh = Deltat
 
che ha soluzione Deltat = sqrt[H / (2g)] / k, questo valore
costituira' un limite inferiore alla durata di tempo del processo
reale, che dipendera' oltre che dalla geometria del sistema
anche dalla viscosita' dell'acqua.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 
 
Questa non ho capito come la trovi; inoltre, se consideri l'energia cinetica dell'acqua nel tubo, allora perche' sezione e lunghezza del tubo non compaiono in questa equazione?
Ciao.
 
--
cometa_luminosa

 tubo non compaiono in questa equazione? Ciao.
 
Quando una massa dm di acqua passa dal primo serbatoio (ove
era alla quota h) al secondo (ove arriva alla quota H - h), allora
l'energia potenziale gravitazionale del sistema e' diminuita di
dm g (2h - H), alla fine questa energia si trovera' sotto forma di
energia interna "termica" del sistema, e *suppongo* che nel passaggio
intermedio si fosse trasformata integralmente in energia cinetica
dell'acqua nel tubo:
 
1/2 dm v^2 = dm g (2h -H),
 
da cui l'equazione precedente, che come scrivevo costituisce un
limite superiore al valore della velocita' dell'acqua nel tubo.
 
Ragionando in modo diverso, quando un volume dV di acqua
attraversa il tubo, la pressione alla base del primo cilindro
esercita su di esso un lavoro (rho = densita' dell'acqua):
rho g h dV,
quella alla base del secondo un lavoro:
-rho g (H - h) dV,
il lavoro totale e' uguale all'energia cinetica acquistata dal
volume dV di acqua.
rho g dV (2h - H) = 1/2 rho dV v^2,
da cui ancora l'equazione precedente.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 
 

 
Ti dico come avevo fatto io perche' mi sembra mi venga in modo differente e non so perche'.
(N.B. Scrivero' piu' cose perche' esplicitero' anche quelle che non avevi scritto per snellire il tuo post).
 
Indico con:
"A" l'area (costante) della sezione trasversale dei serbatoi, 
"a" l'area (costante) della sezione trasversale del tubo, 
"rho" la densita' dell'acqua e per il resto uso gli stessi simboli che hai usato tu, in particolare: k = a/A. 
Assumo il liquido incomprimibile e quindi l'equazione di continuita':
 
-A*dh/dt = a*v    
 
 v = -(1/k)* dh/dt     (1)
 
L'altezza finale h_f dell'acqua nei serbatoi vale, considerando che parte dell'acqua uscita va anche a riempire il tubo:
 
h_f = 1/2 (H+k*L); se si trascura la lunghezza del tubo, h_f = 1/2 H.
 
 
inoltre faccio ancora l'ipotesi di poter trascurare l'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi, rispetto all'energia cinetica dell'acqua complessivamente uscita dal primo.
___________________________________________________________________
 
Valuto la validit� dell'ipotesi che ho appena scritto sopra:
 
L'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi vale:
 
1/2 rho*A*h*(dh/dt)^2 + 1/2 rho*A*(H-h-k*L)*(dh/dt)^2 = 1/2 rho*A*(H-k*L)*(dh/dt)^2.
 
L'energia cinetica di tutta l'acqua uscita dal primo serbatoio vale, usando anche la (1): 
 
1/2 rho*A*(H-h_f)*v^2  =  1/4 rho*A*(H-k*L)*(dh/dt)^2 / k^2.
 
Il rapporto tra la prima e la seconda vale:
 
2k^2. 
 
 
dunque questo rapporto si puo' rendere piccolo quanto si vuole, rendendo k piccolo quanto si vuole (sezione tubo molto piccola rispetto alla sezione dei serbatoi). 
____________________________________________________________________
 
Per evitare di dover considerare nel problema anche l'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi, (che lo complicherebbe eccessivamente) occorre allora prendere  k << 1.
 
L'energia totale a t = 0 vale:
 
E = (m*g)*H/2 = (rho*A*H*g)*H/2 = 1/2 rho*g*A*H^2 
 
 
(m*g)*H/2 perche' se la superficie libera dell'acqua in un serbatoio si trova ad una altezza H, tutta la massa d'acqua nel serbatoio si trova ad un'altezza media pari a H/2.
 
L'energia ad un istante t generico durante lo svuotamento del primo ed il riempimento del secondo vale:
 
E = 1/2 rho*g*A*h^2 + 1/2 rho*g*A*(H-h-k*L)^2 + 1/2 rho*A*(H-h)*v^2 = 
 
 = 1/2 rho*g*A*(2h^2 + H^2 + k^2*L^2 -2H*h - 2H*k*L + 2h*k*L) +
 
+1/2 rho*A(H-h)* (dh/dt)^2 / k^2
 
conservazione dell'energia:
 
1/2 rho*g*A*H^2  = 1/2 rho*g*A*(2h^2 + H^2 + k^2*L^2 -2H*h - 2H*k*L + 2h*k*L) +
 
+1/2 rho*A(H-h)* (dh/dt)^2 / k^2
 
-->
 
(H-h)* (dh/dt)^2 / (g*k^2) + 2h^2 + 2(k*L-H)*h + k^2*L^2 - 2k*L*H = 0    
 
A questo punto, per semplificare il problema, utilizzo una lunghezza L trascurabile del tubo:
 
(dh/dt)^2 = 2g*k^2 *(H*h-h^2) / (H-h) = 2g*k^2 * h
 
-->
 
dh/dt = - k*sqrt(2g) * sqrt(h)
 
Integro tra H e H/2:
 
sqrt(H/2) - sqrt(H) = - k*sqrt(2g) * Deltat
 
-->
 
Deltat = [(sqrt(2)-1)/k]*sqrt(H/g)
 
--
cometa_luminosa

 E = 1/2 rho*g*A*h^2 + 1/2 rho*g*A*(H-h-k*L)^2 + 1/2 rho*A*(H-h)*v^2
 
A secondo membro, il primo termine e' l'energia potenziale gravitazionale
dell'acqua nel primo serbatoio, il secondo e' l'energia potenziale
dell'acqua nel secondo serbatoio (supponendo che l'acqua nel tubo
sottile lungo L non dia un contributo), e il terzo *sarebbe* l'energia
cinetica dell'acqua uscita dal primo serbatoio fino al tempo t se
questa avesse avuto costantemente velocita' v, il che non e' possibile
visto che v e' funzione del tempo...
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 
Ecco!
Ti ringrazio perche' non riuscivo ad individuare l'errore.
Rifatto i conti e mi torna il risultato che avevi scritto.
 
L'energia cinetica dell'acqua uscita dal tubo per una variazione dh dell'altezza vale:
 
-� rho*A*dh*v^2.
 
Integrando tra H e h e usando v^2 = (dh/dt)^2/k^2, l'energia cinetica di tutta l'acqua uscita dal tubo tra l'altezza iniziale e quella generica h:
 
-� rho*(A/k^2)*Int[H;h] (dh/dt)^2*dh = -� rho*(A/k^2)*Int[0;t] (dh/dt)^3*dt.
 
Allora dalla conservazione dell'energia risulta:
 
0 = 2g*A*(h^2-H*h) - (A/k^2)Int[0;t] (dh/dt)^3*dt
 
Riarrangio, derivo rispetto a t e semplifico:
 
2g*k^2(2h-H) = (dh/dt)^2
 
Int[H;H/2]dh/sqrt(2h-H) = -k*sqrt(2g)*Deltat
 
--> Deltat = (1/k)sqrt(H/2g).
 
 
Solo adesso si puo' valutare la validita' dell'ipotesi di poter trascurare l'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi rispetto a quella uscita dal tubo:
 
L'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi, ponendo L = 0, vale:
 
� rho*A*h*(dh/dt)^2 + � rho*A*(H-h)*(dh/dt)^2 = � rho*A*H*(dh/dt)^2.
 
Il suo valore massimo, che si ha all'istante iniziale e': 
 
� rho*A*2g*K^2*H^2 = rho*A*g*k^2*H^2.
 
L'energia cinetica di tutta l'acqua uscita dal primo serbatoio vale: 
 
1/4 rho*A*g*H^2
 
Il rapporto tra la prima e la seconda vale:
 
4k^2
 
che e' trascurabile prendendo k sufficientemente piccolo.
 
Ciao.
 
N.B. Problema carino, molto istruttivo ed impegnativo nonostante le apparenze.
 
--
cometa_luminosa