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Titolo: Spin e rotazione

Ruotando una particella di spin semintero di 360 gradi ne inverte la
fase. Ma ruotare l'osservatore di 360 gradi causa l'inversione di fase
della particella? Mi sembra non sia possibile, in quanto due
osservatori, ruotato e non ruotato *non* potrebbero concordare sulla
fase. Qualcuno sa chiarirmi questo dubbio, in termini di operatori e
funzioni d'onda? Sono abituato al fatto che ruotare un sistema di un
certo angolo rispetto ad un asse è "equivalente" a ruotare
l'osservatore di un angolo opposto.

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Ciao, tieni conto che gli stati in MQ non sono i vettori dello spazio
di Hilbert, ma i raggi. Cioè due vettori che differiesono per una fase
individuano lo stesso stato. Di conseguenza tu, quella fase  che dici
non la puoi misurare in alcun modo facendo misure sullo stato.
Se però il sistema potesse assumere stati dati da vettori  di spin
intero che stati di spin semi intero succederebbe un disastro: per il
principio di sovrapposizione degli stati, ogni combinazione lineare di
vettori che rappresentano stati rappresenta a sua volta  uno stato. Ma
se prendi due vettori, uno a spin intero e l'altro a spin semi intero
e ne fai una comb lineare, quando ruoti il sistema (attivamente o
passivamente) di 360 gradi, ti appare una fase relativa tra i due
vettori, perché per lo ststo a spin intero non succede niente, mentra
l'altro cambia segno. Questa fase la osserveresti perché cambierebbe
lo stato. Conclusione: deve esistere una legge fisica che vieta le
combinazioni lineari tra vettori che rappresentano stati a spin semi
intero e vettori che rappresentano stati a spin intero. Questa legge
fisica si chiama regola di superselezione dello spin: ogni sistema
fisico può essere rappresentato solo da vettori di stato a spin semi
intero oppure solo da vettrori di stato a spin intero.
Ciao, Valter

 non la puoi misurare in alcun modo facendo misure sullo stato.
Vorrei conoscere il tuo punto di vista sull'esperimento fatto con
l'interferometro per neutroni, non ricordo se da Zeilinger o da
Overhauser, comunque da quel gruppo austriaco.
Lo conosci?
Si fa passare un fascio di neutroni in un interferometro, che divide
il fascio in due e poi li ricombina.
Con un campo magnetico si puo' far ruotare lo stato di spin dei
neutroni di uno dei due fasci dell'angolo che si vuole, e si vede che
se la rotazione e' di 360 gradi l'interferenza diventa distruttiva.
 
-- 
Elio Fabri

 se la rotazione e' di 360 gradi l'interferenza diventa distruttiva.
Ciao, molto interessante. Non conoscevo l'esperimento, per� mi pare
che
la questione qui sia diversa, perch� la rotazione del sistema (singolo
neutrone)
non � globale: non ruoto il sistema neutrone, ma  agisco solo su una
parte (spazialmente) dello stato.
Non capisco bene come formalizzare la cosa. Bisogna introdurre degli
operatori di rotazione che agiscono solo in certe regioni spaziali
(dove � presente
il campo magnetico).
Lo stato � fatto da due funzioni d'onda con spin, ma con supporto
spaziale disgiunto
e io agisco con un operatore di rotazione (che poi sar� un evolutore
temporale)
solo in una regione nella quale ha supporto solo una dei due addendi,
e producendo
una fase relativa.
A parte il problema matematico di descrivere la cosa (ma ci sono
analoghi problemi a voler
descrivere bene gli esperimenti EPR), non mi pare in contraddizione
con la regola di
superselezione. E tu invece cosa pensi?
Ciao, Valter

 della particella?
Yes, esattamente....
pero' non e' che ruota l' osservatore.... forse sarebbe meglio dire
-) ruota il sist di rif oppure
-) fai si che l' osservatore ruoti intorno :))
devi fare 2 giri intorno ad un elettrone per rivederlo tale e quale.

 Ciao, Valter
Avevo sentito parlare dell'esperimento in questione (per esempio su
http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/quant.mech/lectures/lecture_6/node4.html
),
ma non credo ci siano problemi a riguardo: essendo il sistema
costituito da due fermioni, non ci sono problemi di fase relativa:
ruotando il sistema di riferimento, la fase dei neutroni cambierebbe
"allo stesso modo" per entrambi; d'altra parte mi sembra lecito
ruotare i neutroni anche "uno per volta". Vorrei invece che Valter, o
qualcun altro, mi suggerisse come trattare, rispettando la
superselezione, un sistema costituito da una particella a spin
semintero e da una a spin intero. Alternativamente, potrebbe bastarmi
anche un riferimento bibliografico.
Salute a tutti!
Gilbsmith


Non c'è molto da dire, se prendi un sistema costruito da due
sottosistemi,  lo spazio di Hilbert è il prodotto tensoriale dei due
spazi di Hilbert.
Se un sottosistema ha spin intero e l'altro spin semiintero, la
procedura di "Flash Gordon", ti dice che sul prodotto tensoriale lo
spin può essere solo semi intero e quindi non c'è violazione della
regola di superselezione. Ci sarebbe se lo spazio di Hilbert fosse la
somma diretta dei due spazi di Hilbert, ma invece è il prodotto
tensoriale...
Ciao, Valter

 cosa pensi?
No certo, la superselezione non c'entra niente.
 
-- 
Elio Fabri

 No certo, la superselezione non c'entra niente.
anche secondo me.
Ciao, Valter

 una fase relativa.
Chiedo scusa,  ma le funzioni d'onda dei neutroni del fascio non vanno
sovrapposte in maniera coerente. O mi sbaglio?
I due neutroni di cui si parla nell'esperimento, mentre attraversano
l'apparato, sono in uno stato facente parte del prodotto cartesiano dei due
stati di singolo neutrone.
Ne consegue che l'operatore di rotazione, se lo vuoi applicare al singolo
neutrone, non ha problemi di limitazione spaziale.
Michele
-- 
Signature under construction


Ciao, io l'ho capita diversamente: c'è un unico neutrone la cui
traiettoria intercetta uno specchio semiriflettente, per cui può
attraversarlo oppure essere riflesso. Questo significa che la funzione
d'onda (il pacchetto) si spezza in due e segue due strade diverse, una
strada attraversa il campo magnetico e in questo caso lo spin ruota,
l'altra strada non attraversa il campo magnetico. Infine i due
pacchetti, della stessa singola particella vengono ricongiunti.
Pertanto lo spazio di Hilbert è sempre L^2(R^2) tensore C^2.
L'operatore di rotazione non si può usare perché agisce in tutto lo
spazio di Hilbert. Bisogna invece inventarsi un oggetto diverso (a
livello di dinamica non c'è problema, l'hamiltoniano è locale e
produce la rotazione dinamicamente). Se si volesse definire una
rappresentazione unitaria del gruppo delle rotazioni che agisce solo
per funzioni d'onda supportate nella regione del campo e che si riduce
all'identità fuori da tale regione mi pare che ci sarebbero dei
problemi...Ora non ho tempo di pensarci, inoltre mi pare che si tratti
di una questione di lana caprina dato che, non considerando rotazioni
globali, non c'è legame con la regola di superselezione...
Ciao, Valter

 di superselezione...
Ma la questione non era la superselezione: era se sia o no possibile
osservare il cambiamento di segno prodotto da una roatione di 2pi.
Chiaramente il V che ho definito sopra cambiera' segno alla parte del
pacchetto che percorre un ramo dell'interferometro, e lascera invariato
l'altra parte. quindi avra' effetti sull'interferenza.
 
-- 
Elio Fabri


si hai ragione, ma ho scritto di corsa ed ho confuso i problemi,
volevo dire che secondo me non è proprio vero che in questo modo si
piò osservare una rotazione di 2 pi del sistema, perché secondo me
questa NON è una rotazione di 2pi del sistema, è una cosa più
complicata, si agisce solo su una parte (spazialmente localizzata) del
sistema. Come esempio è un pò tirato.
Ciao, Valter

 regione fissata.
Secondo me sarebbe una cosa sensazionale se esistesse, e non so se
paragonabile alla "re-disposizione" spaziale di uno spin.
Sono 2 cose che sebbene hanno in comune un punto del discorso... mi
spiego
Osservare un corpo di spin semintero significa interagire con esso
attraverso onde em.... qualsiasi ne possa essere il mezzo di stima-
sperimentazione ricadiamo sempre' li'.
Ruotare attraverso una intrusione magnetica + o - equivale.... ma non
esattamente poiche' qui vi sarebbe una intromissione em di troppo
rispetto alla precedente.
Sarebbe simile sse lo stesso strumento magnetico artefice della
redisposizione spaziale andasse contestualmente a valutarne la
disposizione.

 bastava lo spin e la soluzione è quella che hai scritto tu.
Scusami per l'immenso ritardo.
E' che avevo una certa confusa idea, e speravo di riuscire a
chiarirmela...
Ma visto che per ora non ci riesco, tento di propinartela cosi' com'e'
:)
Riguarda appunto la questione di come definire una rotazione che
interessi solo una regione dello spazio.
Il problema mi ha fatto venire in mente un giochetto che ho mostrato
piu' volte ai miei studenti quando parlavo della non semplice
connessione di SO(3), e che penso abbia qualche relazione col problema
attuale.
Non so se lo conosci, se sia largamente noto, e se sia banale la
spiegazione che a me non e' mai riuscita chiara.
Difficile spiegarlo senza figure e senza usare le mani e quaklche
ausilio materiale, ma proviamo...
Nella figura qui sotto, A e B sono due oggetti qualsiasi: diciamo due
monete per fissare le idee. Sono viste di profilo.
Alla faccia inferiore di A e' incollata uan striscia S di carta (per
chi vuol provare, e' bene che sia lunga almeno 40 cm se e' larga 1
cm).
La striscia e' anche incollata alla faccia superiore di B
     ========= A
        | |
        | |
        | |
        | |
        | | S
        | |
        | |
        | |
        | |
     ========= B
Si posa B sul tavolo, e si ruota A attorno all'asse verticale, per un
giro completo. Ovviamente S si torce. Niente di strano...
Si fa fare ad A un altro giro, nello stesso verso. S si torce di
piu'...
Ed ecco il gioco di prestigio: sollevando B dal tavolo, tenendo A e B
nelle due mani, e muovendole in modo che A e B compiano solo
spostamenti traslatori e non rotatori (del resto non sarebbe
possibile) si riesce a riportare l'intero sistema nelle condizioni
iniziali: A sopra B e S senza torsione.
Non mi chiedete in dettaglio come si fa: io lo so fare, m'e' sempre
riuscito a lezione :-)) ma spiegarlo a parole...
La cosa che non ho mai capito e' questa: sono sicuro che il fatto che
si possa fare dopo due giri di A, ma non dopo un solo giro, deve essere
connesso al gruppo fondamentale di SO(3), che e' Z_2.
E di conseguenza al fatto che una funzione d'onda di spin 1/2 torna
invariata (segno incluso) solo dopo una rotazione di *due* giri.
Tu conosci la spiegazione? Magari e' arcinota presso qualche
sottoinsieme di matematici? :-))
La relazione col problema attuale credo sia chiara: non e' difficile
scrivere una trasformazione che fa ruotare A ma non B, e che fa
ruotare con continuita' di un angolo variabile i diversi piani
orizzontali.
Ma dopo un giro di A non si ottiene certo l'identita'...
Forse dopo *due* giri si arriva a qualcosa che si puo' portare
all'identita' con traslazioni (anche queste variabili da punto a
punto)?
Metto le mani avanti: l'ultima frase non si sa bene che cosa
significhi, ma se lo sapessi avrei la soluzione :-)
 
-- 
Elio Fabri

 wrote:
....
1> La relazione col problema attuale credo sia chiara: non e'
difficile
2> scrivere una trasformazione che fa ruotare A ma non B, e che fa
3> ruotare con continuita' di un angolo variabile i diversi piani
4> orizzontali.
5> Ma dopo un giro di A non si ottiene certo l'identita'...
6> Forse dopo *due* giri si arriva a qualcosa che si puo' portare
7> all'identita' con traslazioni (anche queste variabili da punto a
8> punto)?
9> Metto le mani avanti: l'ultima frase non si sa bene che cosa
1> significhi, ma se lo sapessi avrei la soluzione :-)
Ciao, quello che hai scritto è veramente molto interessante e non ne
sapevo niente.
Ci devo riflettere sopra (e fare l'esperimento).
Ciao, Valter

 Ci devo riflettere sopra (e fare l'esperimento).
Avevo continuato a chiedermi da dove avevo preso l'idea.
Pensa e ripensa, si e' accesa una lampadina: Martin Gardner!
E infatti: nel terzo volume delle "Mathematical Diversione from
Scientific American" c'e' un capitolo intitolato "Group Theory and
Braids" dove si trova una variante del giochetto. Ti cito due frasi:
"M.H.A. Newman, in an article published in a Londom mathematical
journal in 1942, says that P.A.M. Dirac [...] has for many years used
the solitaire form of this game as a model 'to illustrate the fact
that the fundamental group of the group of rotations in 3-space has a
single generator of period 2'."
"In a brief letter from Dirac that I received too late to mention in
the column on braids, he said that he had first thought of the string
problem about 1929, and had used it many times since to illustrate
that two rotations of a body about an axis con be continuously
deformed, through a set of motions each of which ends with the
original position, into no motion at all. 'It is a consequence' he
wrote 'of this property of rotations that a spinning body can have
half a quantum of angular momentum, but cannot have any other fraction
of a quantum'."
Questa cosa io l'avevo letta intorno al 1962, l'avevo adattata, e poi
avevo del tutto dimenticato l'origine, fino a oggi...
L'articolo cui si fa cenno e'
M.H.A. Newman: "On a String Problem of Dirac"; J. London Math. Soc. 17
(1942) part 3, 173.
 
-- 
Elio Fabri