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Titolo: Dimostrare la regola del parallelogramma

Come mai nei libri di fisica di ogni livello non compare mai la
dimostrazione della regola del parallelogramma?
La dimostrazione del teorema di Pitagora compare per esempio negli
Elementi di Euclide e si studia a scuola. La dimostrazione della
regola del parallelogramma compare nei lavori di Daniel Bernoulli, poi
ripresa da Poisson. Ernst Mach ne da conto nel suo noto libro sulla
meccanica ma a scuola non si studia e neppure all'Università.
Probabilmente la manualistica tedesca è stata messa da parte dopo la
seconda guerra mondiale sia dai russi che dagli americani. Forse non
tutti gli scienziati tedeschi scappati negli USA conoscevano l'opera
di Bernoulli o di Mach o di altri che ne parlavano.
Sta di fatto che questa regola ormai viene tramandata come un vero e
proprio dogma senza alcuna giustificazione né di carattere fisico, né
di caratteri matematico.
Saluti a tutti
A.

 La dimostrazione della regola del parallelogramma compare nei
 > lavori di Daniel Bernoulli [...] Ernst Mach ne da conto nel suo
 > noto libro sulla meccanica
Pero' Mach dice anche che la dimostrazione di Bernoulli e' insufficiente 
  e fondamentalmente inutile, perche' il principio del parallelogramma 
e' essenzialmente un dato sperimentale.

 A.
Ma non ho capito di cosa parli.Regola del parallelogramma per che
genere di grandezze? Per i vettori geometrici (segmenti orientati),
allora è ovvia ed è un teorema o una definizione di geometria a
seconda di cosa assumi come assiomi. Per le forze fisiche? cioè se io
applico due forze ad un punto materiale questo e *fisicamente*
equivalente ad applicare la somma delle due secondo la regola del
parallelogramma? Questo è un fatto sperimentale che può essere falso e
dipende dalla validità del principio di sovrapposizione: è fisica non
geometria. Prendi un "punto materiale reale" che sopporta una tensione
massima, se gli applichi due forze abbastanza forti si rompe, mentre
non si rompe se gliene applichi solo una delle due separatamente.  In
questo caso banale la legge del parallelogramma non vale. Il fatto è
che i punti materiali non esistono e sono idealizzazioni...
Non ho mai letto la dimostrazione di Bernoulli  e lo farò appena
tornerò ad avere in mano il libro di Mach che ho parzialmente letto
ormai un bel po' di anni fa dietro consiglio del mio prof di meccanica
analitica, Ma non credo che la dim sia corretta, ma che contenga
qualche circolo vizioso se è pretesa valere per le forze in generale.
Probabilmente per questo no è riportata nei testi di fisica.
Ciao,
studentedifisica84

Enrico SMARGIASSI ha scritto:

ciao Enrico,
vedo che Arcobaleno cambia nick e imperversa in tutti i NG scientifici, 
rivendicando le sue scoperte da topo di biblioteca che non capisce 
quello che legge.
La dimostrazione della regola del parallelogramma di Bernoulli *per 
l'equilibrio statico*, che Arcobaleno ha trovato qui,
http://books.google.com/books?id=giDVE3q_TsUC&pg=PA8&lpg=PA8#v=onepage
parte da tre postulati:
1) def. di "forza equivalente" o "risultante";
2) per dare la risultante, forze collineari si sommano vettorialmente;
3) la risultante di due forze di pari modulo biseca l'angolo formato da 
esse.
Bernoulli ricava, da queste, la regola del parallelogramma, nella 
convinzione che 2) e 3) siano *veri* ed "evidenti di per se", piu' o 
meno quello che pensava Euclide del suo V postulato, dimostrandosi cosi' 
un vero scienziato del '700. La sua dimostrazione e' tortuosissima 
(anche se ineccepibile), per cui l'unico motivo che puo' renderla 
necessaria e' proprio la convinzione che la regola del parallelogramma 
non sia postulabile di per se, ma debba essere ricavata da postulati 
"piu' evidenti".
Arcobaleno dichiara di pensarla esattamente allo stesso modo (ma con 300 
anni di ritardo), e crede di aver (ri)scoperto una perla ignorata o 
volutamente dimenticata, acclamando per questo un riconoscimento dei 
suoi meriti.
-- 
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

 studentedifisica84
Ciao, ho letto un po' il link di Tommaso Russo. Si tratta di una
dimostrazione "more geometrico" in cui si prova la regola del
parallelogramma per le forze, più precisamente per forze equilibrate
(quindi siamo strettamente in statica) assumendo che le forze forze
collineari si sommano vettorialmente e che  la risultante di due forze
di pari modulo biseca l'angolo formato da esse. Poi si usano argomenti
di simmetria e continuità. Mi ricorda la dimostrazione di Archimede
del principio della leva (che però Mach sostiene essere sbagliata,
mentre Lucio Russo sostiene che sia giusta ma e che Mach sia in
errore). Ecco il mio parere generale su questa questione. La
dimostrazione è matematicamente interessante, ma è debole dal lato
fisico dato che _non_ considera la dinamica e che i due principi che
assume (oltre a quelli taciti di simmetria e continuità, tutt'altro
che ovvi) non è che siano molto più fisicamente evidenti della regola
del parallelogramma stesso.
Il problema più serio è il fatto che non considera il caso dinamico,
nel qual caso sono d'accordo con te,  ritenendo che la regola del
parallelogramma, anche detta principio di sovrapposizione delle forze,
si  tratti di un fatto sperimentale... strettamente basato su cosa noi
consideriamo come punto materiale e su cosa noi siamo autorizzati,
dagli esperimenti a considerare come tale.
Cerco di chiarire il mio punto di vista con un esempio ad hoc. Per
esempio potrebbe accadere la seguente cosa.  Consideriamo un certo
oggetto,  di dimensioni piccole rispetto alle scale che ci
interessano, come punto materiale eletricamente carico, dato che
abbiamo scoperto che si comporta seguendo F=ma quando è sottoposto
all'azione della forza elettrostatica F= qE se immerso in un campo
elettrico E noto. Supponiamo anche di avere verificato che, se
sottoposto ad una secondo tipo di  forza non elettrica, f (per esempio
quella di una molla se il punto è macroscopico) *fuori dal campo
elettrico* si comporti ancora come deve. Potrebbe accadere che quando
applichiamo *contemporaneamente* f e la forza del campo E il "punto
materiale" non si comporti come se fosse sottoposto alla
sovrapposizione di f e qE eseguita con la legge del parallelogramma.
Questo potrebbe essere dovuto al fatto che quando applichiamo f
deformiamo il "punto" che in realtà era la sovrapposizione di due
densità di carica uguali più la carica q, producendo un dipolo
elettrico, perché le due cariche si separano leggermente. Il dipolo
elettrico risente di una forza dovuta al *gradiente* del campo E. Per
cui "sovrapponendo" le due forze, si vede sperimentalmente che ne
appare una terza che non ha nulla a che vedere con la regola del
parallelogramma rispetto alle altre due. Mi aspetto che cose di questo
genere possano davvero accadere lavorando con molecole ionizzate.
Dobbiamo a questo punto concludere che non vale il principio di
sovrapposizione delle forze? Oppure che abbiamo sbagliato a
considerare come punto materiale l'oggetto iniziale? Certo tendiamo a
rispondere nel secondo modo. Ma forse sarebbe una risposta
superficiale, dato che a priori noi non sappiamo fino a quando (cioè
sotto quali condizioni sperimentali) un oggetto fisico  si comporti
davvero come un punto materiale (includendo nel punto materiale anche
il principio di sovrapposizione delle forze secondo la regola del
parallelogramma), questo genere di analisi, secondo il mio parere, è
possibile solo a livello sperimentalmente. Oppure uno, per dare dei
criteri a priori su cosa può essere considerato come un "vero" punto
materiale, dovrebbe fare una teoria dei "punti materiali" e delle
"forze" fisicamente molto più profonda di quella dello schema
newtoniano in cui questi appaiono come oggetti primi. Ma tale teoria
dovrebbe essere fatta su basi fisiche, cioè studiando la fisica della
_struttura della materia_. In realtà tale teoria esiste già ed è la
meccanica quantistica applicata alla struttura della materia e si vede
che la nozione di forza e di punto materiale diventa molto meno
importante a dispetto di altri enti (come i potenziali) e la forza
risulta essere un ente secondario (mi riferisco per esempio al
cosiddetto teorema di Ehrenfest)...
Ciao, Valter

 suoi meriti.
Ma soprattutto, visto che ha gia' avuto, in un altro thread, molte
risposte del tipo di quella data qui da studentedifisica84, pensa che
ne sappiamo tutti meno di lui e che pretendiamo di conoscere, e di
dimostrare (banalmente, tra l'altro) qualcosa che in realta' ci
sarebbe stata insegnata come dogma e mai dimostrata da alcuno
(compresi tutti i libri di testo)...
Tenuto di conto che ha ricevuto, e non solo una volta, *ampie*
spiegazioni/dettagli/approfondimenti su quello che ha sempre chiesto,
ma che cio' non gli importi molto, visto che, tra capire le cose ed
aver ragione, sceglie  la seconda, io personalmente ho ritenuto che il
modo migliore per rispondergli fosse quello di metterlo nel killfile.
E' solo la mia personale opinione, ovviamente, non un dogma...
--
BluRay


Grazie Enrico, sei stato gentilissimo. Ora ho capito perché non se ne
parla nei libri.
Saluti


Ma no....ho solo chiesto una informazione agli stimati amici di questo
ng e mi hanno spiegato.
Grazie anche a te per la spiegazione
Saluti
P.S. la mia e mail è sempre la stessa, non cambio nessun nick..ora sto
usando questo....se non ti piace me lo dici e ne metto uno che ti può
piacere:)

 "piu' evidenti".
Certo, e' sostanzialmente quello che dice anche Mach nel par. I.3 della 
"Meccanica nel suo sviluppo...". Per questo ho voluto far notare che 
invocare quest'ultimo per sostenere la dimostrazione di Bernoulli, e l' 
ipotesi su manualistica ecc., e' quantomeno bizzarro.


Mi pare di aver capito leggendo qui sopra che la regola del
parallelogramma si ricavi dalla esperienza.
Ora a me sembra anche di aver capito che anche la geometria vettoriale
faccia uso di questa regola per la somma di due vettori.
La geometria vettoriale è una scienza sperimentale? Se non sbaglio
anche l'analisi vettoriale(e la stessa geometria differenziale) ne fa
larghissimo uso di questa regola. Anche questa è allora scienza
sperimentale?
A me sembra anche di aver capito che con Gauss lo spazio fisico(vedi
indagini di Riemann suo allievo) non interessa più il matematico.
Ovvero il matematico farà uso unicamente di assiomi, di sistemi
formali, di regole di inferenza senza fare alcun riferimento ad
esperimenti di alcun genere. In questo senso si muove anche Felix
Klein che con Lie elabora il Programma di Erlangen sui gruppi di
trasformazione.
Mi sembra di vedere nelle vostre risposte quello che io ho battezzato
come "quasiempirismo" concernente la matematica. Ovvero la matematica
intesa come scienza sostanzialmente empirica perché fa uso di concetti
idealizzati a partire da percezioni dal reale( figure geometriche,
numero della quantità di oggetti, divisione di parti intere in n parti
uguali ecc) compreso quindi percezioni più elaborate come può essere
un esperimento.
Grazie e saluti a tutti
p.s. mi scuso in anticipo se questo tipo di considerazioni possano
dare fastidio a qualcuno. Non ho nessuna intenzione di sminuire alcuna
scienza, né la matematica né la fisica. Si tratta solo di PUBBLICHE
riflessioni che pongo alla vostra cortese attenzione nella speranza
che qualcuno possa integrare quanto detto da me.

Arcobaleno, ti faccio presente che in altri threads tu mi hai citato
come esempio di imbecille, mi hai dato dell'asino insieme a Elio
Fabri, hai sostenuto che ho rubato il posto a qualcuno ecc ecc.
Ora che cosa vuoi che ti risponda?
Per quanto mi riguarda tu non esisti più su questi NG.
Valter Moretti

Valter Moretti ha scritto:

non ti posso biasimare.
bye
-- 
Con la Tunze puoi contare qualsiasi cosa : i+i=2i
sqrt(3-phi)=5/2*(phi)
Quindi la seconda è, 2,5 volte la prima.
1/5(phi) = 1/10 di 2^5 circa, naturalmente.
Sarebbe molto strano se tu capissi quello che dico!!