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Titolo: riempimento delle bande dei solidi cristallini: bande vuote e bande piene o semipiene?

Ciao a tutti.
Vi vorrei sottoporre un mio dubbio a riguardo del meccanismo di
riempimento delle bande dei solidi cristallini.
la funzione d'onda (fdo) di un elettrone in approx di particella
indipendente da tutti gli altri elettroni soddisfa il Teorema di Bloch
per cui data la periodicità del potenziale del cristallo la fdo è
psi (r) = exp(ikr) * u(r) 
dove u è peridica come il reticolo
Applicando  l'hamiltoniano H=p^2/2m + V(r) a k fissato a questa psi_k
si ha che la u_k soddisfa una equazione del tipo 
[ h^2/2m * (nabla/i +k)^2 + V - E_k]*u_k = 0 
con un insime di autovalori discreti che si chiamano E_kn
Cioè a ogni k corrispondono infiniti livelli discreti di energia per
il nostro elettrone nel cristallo a potenziale periodico.
Si può qualitativamente affermare che variando di poco k non varia
molto nemmeno E_kn e così si dice che E_kn è un funzione continua di k
cioè E_n (k) che è l'energia della n-esima banda del solido.
^ E
|_                      _  E_2(k)
|  _                  _
|     _            _
|        _  _  _
|
|            _
|       _        _
|    _              _
|  _                  _
| _                     _ E_1(k)
---------------------> k
Ora per il riempimeno delle bande dovrebbe funzionare così:
i possbili vettori k ammessi sono N tanti quanti i punti del reticolo
diretto. (viene dalle condizioni al contorno)
Se n_e è  il numero di elettroni in ogni cella primitiva del reticolo
diretto ci sono n_e elettroni a riempire i livelli discreti che si
hanno per un k fissato.
Avendo una molteplicità di spin uguale a 2 in ogni livello discreto a 
k fisso ci vanno 2 elettroni.
o elettroni già collocati     x nuovo elettrone
caso pari 
-x--- n=3
-o-o- n=2
-o-o- n=1
caso dispari
-o-x- n=3
-o-o- n=2
-o-o- n=1
Se ci sono elettroni per cella primitiva in numero dispari  si dice
che non c'è gap se sono in numero pari c'è gap.
Ovvero aggiungendo un elettrone questo nel caso dispari occupa un
livello di energia che è lo stesso dell'elettrone a energia più alta
precedentemente disponibile, nel caso pari invece deve prendere un
livello più alto, la cui distanza è detta gap.
Fin qui direi che è tutto abbastanza chiaro ma ditemi se ne ho sparate
di grosse ... 
Ora viene la domanda.
Avere bande semipiene è importante per classificare un cristallo come
metallo e allora: in che modo si possono ottenere situazioni in cui
alcune bande sono semipiene?
Un modo che mi viene in mente è quello di cui sopra in cui mi ritrovo
con elettroni per cella in numero dispari e cioè sono sicuro di avere
una intera banda con 1 sono elettrone, cioè mezza pienza (nel
disegnino di prima era la n=3)
Ma mi chiedo ci possono essere bande che condividono un intervallo di
energia anche a  valori di k differenti?
Come avviene il riempimento in questo caso?
Ci sono altri modi di avere una o più bande parzialmente riempite?
Grazie a tutti ... 



 Ci sono altri modi di avere una o piu' bande parzialmente riempite?
Altri oltre all'avere numero dispari di elettroni per cella o bande
sovrapposte?
Non credo, ma attendo che qualche esperto confermi ;-)
Approfitto per una confessione e una richiesta.
A me farebbe piacere saperne di piu' su queste cose, nel senso di poter
trovare facilmente la risposta a domande come la struttura delle bande
di questo o quel solido, i valori numerici delle grandezze importanti
(come ad es. il band gap, le masse efficaci, o non so cosa).
Nessun libro riporta tutti questi dati, e si capisce: sceglie solo
alcuni esempi significativi per il discorso che svolge.
Ma come si fa? Esistono degli Handbook coi dati? O magari si trovano in
rete?
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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 Ci sono altri modi di avere una o piů bande parzialmente riempite?
A parte n. dispari di el. per cella e overlap di bande diverse non mi
risulta (in un cristallo perfetto). Naturalmente il mondo reale  e' piu'
complicato e i cristalli possono contere varie  imperfezioni che possono
modificare le semplici "stechiometrie" tra n. di celle e n. di elettroni
di cui sopra.
Giorgio

 rete?
Premetto che, pur essendo dentro la fisica degli stati condensati, i
solidi cristallini non sono il mio  pane quotidiano. Percio' puo' darsi
che ci sia qualcosa di piu' aggiornato (indaghero').
Il problema e' di trovare una collezione ampia di strutture a bande. Per
una sterminata quantita' di sistemi ci sono bande in letteratura
recuperabili con ricerche specifiche.
Una  collezione e' invece nei  volumi della serie Landolt-Bornstein.
Qui, oltre a bande e informazioni varie si trovano anche determinazioni
delle superfici di fermi per i metalli ed altro ancora. Occorre cercare
nel volume sui metalli o su quelli di semiconduttori o isolanti ma si
trova quasi sempre una risposta. Occorre pero' fare attenzione perche'
spesso vengono riportati piu' calcoli di struttura a bande e alcuni  non
sono molto accurati. 
Per i soli metalli ci sono le tavole di Moruzzi, Janak e Williams
"Calculated electronic properties of metals. " basate su conti accurati.
In rete non so. Indaghero'.
Giorgio

siccome nel frattempo ho letto qualcosina in merito specifico meglio
la mia domanda a riguardo dei "k differenti"
ho letto che gli elettroni si piazzano fino al livello di fermi e
riempiono le bande fino a quel livello, se due bande hanno un
intervallo di energie in comune gli elettroni vanno tanto su una tanto
su un altra, eccitazioni termiche a parte.
Cosě entrambe sono bande di conduzione.
Quello che mi interessava approfondire č il passaggo di un elettrone
da uno stato della banda piů bassa a uno della banda piů alta diciamo
pure per eccitazione termica. 
Ho letto che se il passaggio č verticale, cioč allo stesso k, basta un
fotone, fotoconduzione, altrimenti se č necessario pure un certo
impulso deve intervenire un fonone che mette l'impulso necessario al
salto dell'elettrone.
Questi sono fenomeni importanti nei semiconduttori, ma io me li ero
immaginati nei metali e negli isolanti, col risultato che la risposta,
cioč il fonone necessario, stava molte pagine dopo nel mio libro ...
Penso che nei metalli le cose cambino poco, ma per gli isolanti si
potrebbe avere conduzione interamente fotoindotta? con un fascio da
10^18 fotoni al secondo per cm^2 dovremmo ottenere una corrente
apprezzabile come nei semiconduttori (che in norma hanno 10^18
portatori per cm^3)?

 In rete non so. Indaghero'.
Grazie delle notizie.


 portatori per cm^3)?
Non vedo problemi di principio. Solo un paio di osservazioni:
* Dato il valore del gap negli isolanti hai bisogno di luce
ultravioletta. Il flusso di energia di 10^18 fotoni UV/cm^2 non
e' trascurabile: direi intorno ad 1 W/cm^2. Per confronto,
l'irraggiamento solare ti da' circa 0.1 W/cm^2 al livello del
mare, e questo integrato su tutte le frequenze.
* Bisognerebbe tener conto della vita media degli elettroni
fotoeccitati. Non ho dati sottomano, ma ad occhio direi che in
linea di massima dovrebbe calare in maniera almeno inversamente
proporzionale al gap di energia, per cui in un isolante potrebbe
essere anche un ordine di grandezza piu' breve che in un
semiconduttore. 
-- 
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia