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Titolo: Simmetrie di una metrica

Non credo di aver ben compreso il concetto di invarianza o simmetria di una
metrica.
Riesco a barcamenarmi nel caso semplice di piano euclideo con metrica (ds)^2
= (dx)^2 + (dy)^2 e la sua invarianza per traslazioni.
Ragiono così: se in un punto (x1,y1) vale la metrica di cui sopra, si avrà
la stessa metrica (ovvero la metrica è invariante) in un punto traslato
(x2,y2) = (x1+k1,y2+k2) perché dx2 = d(x1 + k1) = dx1 e similmente per y.
Però non riesco a "vedere" la cosa per la simmetria sferica della metrica di
una superficie sferica di raggio unitario
    (ds)^2 = (d theta)^2 + {sin[theta (d phi)^2]}^2    con theta che varia
da 0 a pi-greco   e phi che varia da 0 a 2pi-greco.
Intanto non sono neanche sicuro di aver scritto bene la metrica, cioè se (d
phi)^2 fa parte dell'argomento del seno quadro come ho scritto o se invece
(d phi)^2 è "fuori" a moltiplicare il seno quadro.
Poi riesco ad applicare il mio ragionamento solo per phi, cioè se da phi1 mi
sposto a phi2=phi1 + k la metrica non varia perché d phi2 = d(phi1 + k) = d
phi1
ma non per theta.
Probabilmente ragiono in modo sbagliato, qualcuno vuole spiegarmi come è in
realtà la questione ?
Saluti.

Massimo S. ha scritto:
 > Non credo di aver ben compreso il concetto di invarianza o simmetria
 > di una metrica.
Anche tu, a che punto di studi sei?
Mi pare che non sei nuovo del NG, e forse lo hai gia' detto, ma non me
lo ricordo.
 > Riesco a barcamenarmi nel caso semplice di piano euclideo con metrica
 > (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 e la sua invarianza per traslazioni.
 > Ragiono così: se in un punto (x1,y1) vale la metrica di cui sopra, si
 > avrà la stessa metrica (ovvero la metrica è invariante) in un punto
 > traslato (x2,y2) = (x1+k1,y2+k2) perché dx2 = d(x1 + k1) = dx1 e
 > similmente per y.
 > Però non riesco a "vedere" la cosa per la simmetria sferica della
 > metrica di una superficie sferica di raggio unitario
 >
 > (ds)^2 = (d theta)^2 + {sin[theta (d phi)^2]}^2 con theta che varia
 > da 0 a pi-greco e phi che varia da 0 a 2pi-greco.
 >
 > Intanto non sono neanche sicuro di aver scritto bene la metrica, cioè
 > se (d phi)^2 fa parte dell'argomento del seno quadro come ho scritto o
 > se invece (d phi)^2 è "fuori" a moltiplicare il seno quadro.
E' questo che mi ha sconcertato...
Non sai che una metrica e' una forma quadratica nei differenziali delle
coordinate? E' giusta la seconda...
 > Poi riesco ad applicare il mio ragionamento solo per phi, cioè se da
 > phi1 mi sposto a phi2=phi1 + k la metrica non varia perché d phi2  > d(phi1 + k) = d phi1 ma non per theta.
 >
 > Probabilmente ragiono in modo sbagliato, qualcuno vuole spiegarmi come
 > è in realtà la questione ?
Il punto e' che devi prima stabilire qual e' la mappa (trasf. da un
punto a un punto) rispetto alla quale dovrebbe valere l'invarianza.
Nel nostro caso si tratta di una qualsiasi rotazione: dovresti quindi
trovare le formnule ditrasformazione per theta,phi sotto una generica
rotazione...
Si fa, naturalmente (angoli di Eulero, se ci siete battete un colpo
;-) ) ma e' tutt'altro che semplice. Ci vuole la trig. sferica, ecc.
Molto piu' semplice ragionare cosi': considera la sfera immersa in
R^3, con le usuali coord. cartesiane.
La metrica che hai scritto e' quella indotta sulla sfera dalla metrica
euclidea dx^2 + dy^2 + dz^2, mentre l'eq. della sfera e' x^2 + y^2 +
z^2 = 1.
Ora pensa a una rotazione di R^3, che si fa con una trasf. lineare
ortogonale: questa lascia ovviamente invariante la distanza dal
centro, e quindi manda i punti della sfera in punti della sfera; e'
quindi anche una mappa della sfera in se'.
Inoltre la metrica di R^3 e' invariante per rotazioni, quindi...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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