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Titolo: Help: cinematica della flessione

Ciao,
vi chiedo aiuto per un problema curioso, sorto durante la lettura del
bel libro "Perchè gli edifici stanno in piedi" di Mario Salvadori.
Consideriamo una trave incastrata-libera di sezione rettangolare:
l'incastro sia realizzato "ficcando" la trave in un intaglio praticato
in un muro (ergo il vincolo è assolutamente non ideale). Sia x l'asse
della trave orientato da sinistra a destra, y quello verticale orientato
verso il basso  e z "entrante nella lavagna". Il carico, lungo y, è
applicato nell'estremità libera. Si tratta dunque di flessione retta, e
posso limitarmi allo studio nel piano xy: la proiezione della trave in
tale piano è un rettangolo. Indico con ABCD i quattro vertici del
rettangolo, partendo da sinistra in alto ed andando in senso antiorario:
dunque il lato incastrato è AB.
Galileo Galilei, in "Le Due Nuove Scienze", dice che la trave "ruota"
attorno a B (ovviamente qui e dopo si intende attorno ad un asse
parallelo a z e passante per quel punto). Qui "ruota" va inteso in senso
molto lato, forse come moto delle varie sezioni, visto che la trave non
ha moti rigidi. Dato che il discorso è tutto molto approssimato, e
riportato da Salvadori in un testo divulgativo, non scientifico,
immagino si possano trascurare  le deformazioni dovute al taglio:
dunque le sezioni ruoteranno non attorno a B ma attorno a C, punto
sull'asse AB di ordinata EI/M + AB/2.
Per cui giustamente Salvadori dice che Galileo sbaglia: poi però
spiega che aveva ragione Leonardo, il quale pensava che la trave
ruotasse attorno ad un asse passante per i punti medi di AB e CD
(cioè per l'asse neutro). Questo lo si sente dire spesso nei corsi
di SdC: "le sezioni ruotano attorno ai loro punti medi in modo che
l'angolo con l'asse neutro resti di 90°". Questa nozione che mi è
sempre sembrata ovvia, ora mi pare sballata! Difatti lo
spostamento di ogni sezione si può certo vedere come una
traslazione più una rotazione attorno al suo punto medio, ma anche
attorno a qualsiasi altro punto del piano: ad esempio attorno a B
come dice Galileo. L'unico punto "speciale" in questo senso è C
poichè in tal caso la traslazione è 0. Per cui quel modo di dire
sarebbe errato o banale. Dove accidenti sto sbagliando ???
Ciao,
Andrea


Fabrox

sarebbe errato o banale. Dove accidenti sto sbagliando ???
ipotizziamo di esaminare una sezione longitudinale della trave
i
n
c
a   ____________________________
s   |   A                                              D
t    |
r    |____________________________
o      B                                              C
AB e' l'estremo incastrato
CD e' l'estremo libero
AA' sia pari alla larghezza della trave (nel piano ortogonale al
vostro monitor)
Se la trave venisse sollecitata da carichi verticali di lieve entita'
rispetto alla resistenza fisico-meccanica del solido, per piccoli
spostamenti, il punto C si abbasserebbe verticalmente di un certo
Delta y, nessuna traslazione orizzontale Delta z = 0 
(o delta x per chi predilige che x sia l'asse longitudinale) e l'asse
neutro rimarrebbe pressoche' orizzontale.
Per grandi spostamenti invece Delta z acquista un valore importante.
L'ipotesi di Navier delle sezioni piane vale solo in alcuni casi, e
spesso "si fa finta" che sia valida per motivi di comodo...
se il materiale fosse eterogeneo, CA ad esempio, basterebbe una
semplice azione implicita (termica) ad esempio, per abbattere la
validita' di tale ipotesi.
Nel caso che la trave fosse fessurata, tanto per fare un altro
esempio, le sezioni non solo perderebbero la complanarita', ma
verrebbero interrotte in alcune zone...
Proprio per evitare di complicarsi la vita, la trave viene spessissimo
analizzata come un'asta...
Un modello piu' attinente alla realta' e' costituito dal traliccio di
Ritter-Mersh.
Modelli ancor migliori sfruttano la teoria degli elementi finiti, con
proprieta' "regolabili" a seconda della precisione e dell'onere di
calcolo richiesto.
Fabrox


Appunto: proprio perchè EI/M è il raggio di curvatura, il centro di
curvatura, per definizione di centro di curvatura, si trova, come ho detto,
a distanza EI/M+AB/2 dal punto A (suppongo di aver messo lì l'origine
del riferimento globale), dal lato delle y positive (cioè sulla semiretta
uscente da A che contiene B). Non ci siamo intesi perchè per errore ho
indicato il centro di curvatura col punto C, che era già uno dei vertici del
rettangolo: per cui d'ora in poi il c.c. lo indico con O.
[..]
Ciao,
Andrea

 Fabrox
Ti ringrazio per la spiegazione ma non questo non risponde al mio quesito,
oppure io non ho capito la tua risposta. Io non ho chiesto se
l'ipotesi di planeitŕ delle sezioni vale sempre: so bene che non č
cosě. Per di piů Galileo e Leonardo, per quanto geni, sono vissuti
prima dell'avvento della Fisica di Newton e dell'Analisi Matematica,
per cui penso non avessero manco idea di come il taglio modificava
la deformazione dell'asta, figurati se potevano sapere quando le
sezioni restavano piane e quando no. Stringi stringi, io ho chiesto
se,  assunte valide tutte le ipotesi che garantiscono la planeitŕ delle
sezioni a deformazione avvenuta, č giusto dire che:
A) "le sezioni rette ruotano attorno all'asse neutro"
Io ho sempre pensato di sě, finora. Adesso, dopo aver letto quel
libro (il quale pure dice di sě),  non capisco piů: O č l'unico punto
rispetto al quale lo spostamento di ogni sezione č una pura rotazione.
Naturalmente dev'esserci una falla nel mio ragionamento, perchč A)
č un concetto che  si sente troppo spesso per essere falso (per
quanto...in SdC ci sarebbe un illustrissimo precedente...). Tu sei
d'accordo con A) o no? Se sě, dov'č l'errore nel mio ragionamento?
Grazie per la tua attenzione ed il tuo aiuto,
Ciao,
Andrea

rettangolo: per cui d'ora in poi il c.c. lo indico con O.
Bene ! ora rileggero' il post iniziale ...
Fabrox

Grazie per la tua attenzione ed il tuo aiuto,
Se ho inteso bene, l'errore sta nell'applicare la teoria delle travi
ad elementi strutturali dotati di 3 dimensioni e non
monodimensionali...
Nel momento in cui si mette "ciccia" alla trave, questa diventa un
corpo tridimensionale soggetto a leggi ben piu' complicate rispetto al
caso monodimensionale.
Un approccio piu' veritiero e' offerto dagli elementi finiti, che
hanno la possibilita' di dimenticare l'esistenza di assi neutri
rettilinei, curvi, luoghi di punti continui e discontinui...
Non ne sei convinto ?
Immagina una trave a mensola, come nell'esempio che hai fatto...
Assegna un materiale (CA ?)
Caricala, calcola Momento, Taglio, Sigma, Epsilon, la deformata
elastica, posizione dell'asse neutro...
Poi chiediti : di quanto ho sbagliato rispetto alla realta' ?
Ci stiamo arrangiando a calcolare in modo tutto sommato agevole una
struttura che nonostante la banalita' apparente, non e' affatto
semplice.
Ciao !
Fabrox

 Fabrox
Ciao,
grazie mille per la chiarificante discussione e buona giornata,
Andrea

Andrea
Piacere reciproco !! :-) 
Alle prossime e buona giornata !
Fabrox

 Fabrox
Ok, alle prossime, buona giornata anche a te,
Ciao,
Andrea

x (dove ricordo che l'asse z č quello longitudinale).
Credo che stiamo dicendo la stessa cosa :
sul piano [zy] gli assi neutri di ogni striscia longitudinale di trave
si incurvano
sul piano [xy] l'asse neutro di ogni sezione rimane orizzontale.
Ciao !
Fabrox

 semplici elementi ROD, BEAM e PLATE, č una evidente applicazione


uomoragno.
Tutt'altro: grazie per il tuo contributo alla discussione !
Fabrox