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Titolo: [TECNICO] FUNZIONI di TRASFERIMENTO

Ciao a tutti!
Nicola, con cui sono in corrispondenza da un po', mi ha chiesto, a seguito
del post precedente "E se non contasse un fischio?" un chiarimento sulle
funzioni di trasferimento. Ho pensato di postarlo in parte perché penso
che possa chiarire dei dubbi anche a qualcun altro e in parte anche per il
fatto che su un argomento del genere qualche "occhio in più" da parte di
Rovetta, Franco, Gulp, T.M. e persone di preparazione sicuramente più
solida della mia non guasta proprio.
Ciao!
Piercarlo
PS - Il testo è un po' lungo; consiglio di leggerlo "off-line".
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Ciao Nicola!
Eccomi qui a scrivere due appunti sulle funzioni di trasferimento degli
amplificatori.
Le funzioni di trasferimento si occupano appunto di "trasferire" il
segnale presente all'ingresso di un dispositivo o di una rete elettrica
alla sua uscita. Gli effetti della funzione nel corso del processo possono
essere tanto desiderati (amplificazione) quanto indesiderati
(distorsione). Qui cercheremo di capire da dove hanno origine gli
indesiderati e quali rimedi si possono applicare per ridurne l'impatto.
Quando un segnale elettrico attraversa un componente qualsiasi, anche una
semplice resistenza, subisce SEMPRE una trasformazione; nel caso della
resistenza essa semplicemente disperde una parte dell'energia del segnale
in calore ma per il resto non agisce sulla forma e sulla composizione del
segnale stesso: lo "mangia" senza trasformarlo e al più, con il concorso
di altre resistenze con cui può formare una rete di attenuazione,
diminuisce l'ampiezza del segnale prelevabile all'uscita della rete stessa
ma questo, in linea di massma, è tutto. La resistenza è un componente
altamente lineare sotto tutti i punti di vista. La sua funzione di
trasferimento non è altro che la legge di Ohm, la cui forma matematica è
un rapporto determinato da una costante - il valore della resistenza, che
è una proprietà fisica ragionevolmente stabile.
Essendo la funzione di trasferimento di una resistenza un rapporto
definito da una costante essa non ha derivate, e dove non ci sono derivate
non ci sono neppure distorsioni. In effetti ridurre le distorsioni (di
qualsiasi genere) di un circuito significa privare la sua funzione di
trasferimento del maggior numero di derivate possibili e di minimizzare
l'ampiezza di quelle che comunque sopravvivono: i due aspetti viaggiano
insieme ma con un'importante differenza: tutti i sistemi che possono
ridurre l'ampiezza delle derivate di una funzione (ovvero la
controreazione, che dal punto di vista matematico si comporta come un
semplice coefficiente che moltiplica l'intera equazione che descrive la
funzione di trasferimento) nulla possono nei confronti dell'ordine delle
derivate: in altri termini, se una funzione di trasferimento è descritta
da un'equazione (un polinomio) che ammette "n" derivate, quelle "n"
derivate potranno essere ridotte in ampiezza dalla retroazione ma non
eliminate, il che è coerente con l'affermazione fatta sopra che la
retroazione si comporta come un banale coefficiente: il polinomio che
descrive la funzione di trasferimento rimane in ogni caso immutato e
indipendente dall'entità della retroazione. Se si vuole mutare anche
l'aspetto "qualitativo" oltre che "quantitativo" della distorsione bisogna
agire sulla FORMA della funzione di trasferimento (cioè sulle componenti
del polinomio che la descrive) e per far questo la controreazione non
serve a nulla: bisogna proprio procedere con altri mezzi.
Dal punto di vista matematico l'operazione è semplicissima: basta sommare
ai termini che danno origine a derivate prime diverse da una costante
(questa ci vuole, se no non si amplifica nulla...) dei termini identici ma
di segno opposto. Il fine dell'operazione è ridurre il polinomio che
descrive la funzione ad una equazione solo e soltanto di primo grado. Dal
punto di vista pratico... eh, come i soldi non crescono sugli alberi,
anche qui bisogna darsi da fare: le funzioni di trasferimento si
linearizzano in tutti i modi tranne che da sole!
L'equazione che descrive una funzione può dare origine tanto a non
linearità in ampiezza quanto a non linearità in frequenza, soprattutto in
presenza di elementi reattivi. Per comodità di discorso ci occuperemo solo
delle non linearità di ampiezza lasciando le non linearità in frequenza
per un altro mal di testa (!).
Tra i componenti non reattivi - almeno in linea di principio - rispetto
all'ampiezza del segnale sono lineari solo i resistori e, in misura molto
minore e con numerose limitazioni (che ormai conosci benissimo), i
trasformatori elettrici di qualunque genere. Tutti gli altri componenti
sono tutti non lineari e quindi hanno tutti in un modo o nell'altro
funzioni di trasferimento da linearizzare. Lasciando perdere i diodi,
andiamo a vedere come si comportano i dispositivi attivi impiegati negli
amplificatori. Ma prima di cominciare occorre mandare a mente un piccolo
importante particolare: in un circuito fatto come si deve i dispositivi
attivi sono sempre PIU' DI UNO e questo rende di per sè molto aleatori e
poco consistenti i giudizi basati "sul componente": cio che conta è sempre
l'INSIEME e le interazioni che in questo insieme i singoli componenti
esercitano tra di loro; ogni discorso che prescinda da questo fatto lascia
semplicemente il tempo che trova.
In tutti i dispositivi attivi (proprio in tutti), la funzione di
trasferimento del dispositivo è sempre la risultante del comportamento di
due variabili coesistenti, una "dominante" (quella di tensione, assunta
quasi sempre come variabile di controllo) e una "parassita" costituita
dalla corrente di ingresso del dispositivo (che grande o piccola esiste
per ogni dispositivo attivo). A rigore il discorso andrebbe sempre
applicato a tutti i dispositivi attivi; in pratica lo si applica solo nei
confronti dei bipolari, i soli ad avere correnti di ingresso importanti.
In ogni caso quale che sia il dispositivo attivo scelto per equipaggiare
un circuito, di esso si cerca sempre di rendere dominante la
caratteristica di controllo in tensione, in quanto più stabile,
prevedibile e generalmente descritta da funzioni abbastanza semplici. In
effetti, dove questo obiettivo è veramente raggiunto in tutte le
condizioni di lavoro di un amplificatore, questo in genere suona quasi
sempre "tranquillo" con distorsioni di composizione semplice e costante
per tutti i segnali e a tutte le ampiezze, fatto che tende a ridurre il
"contributo informativo" dell'amplificatore sul segnale che esso amplifica
rendendolo pertanto più trasparente (con una distorsione totale che deve
essere sempre e in ogni caso ragionevolmente bassa, e a questo punto la
controreazione può aiutare: essa è e rimane "trasparente" quanto il
circuito in cui è implementata; se un circuito cambia "personalità"
variando la controreazione è il primo grosso e inequivocabile segno che ci
sono dei problemi non risolti).
Al raggiungimento di un tale obiettivo si oppongono due fattori: la
pluralità dei dispositivi attivi e la saturazione dei circuiti. Da
quest'ultimo punto di vista, se non ci fossero altri fattori a rovinare il
"piatto", i dispositivi migliori in assoluto sono proprio i bipolari il
cui "clipping duro" è in realtà dovuto proprio all'assenza di clipping in
area prossime alla saturazione in cui gli altri dispositivi (pentodi e
tetrodi ma anche i mosfet non scherzano) sono ormai nelle pesti già da un
po' (negli amplificatori a pentodi il clipping comincia in effetti già a
metà potenza e questo, soprattutto nei controfase, è una caratteristica
tutt'altro che positiva).
Purtroppo quello che i bipolari guadagnano come "campo libero" dalla
saturazione lo perdono nella compressione delle caratteristiche di
trasferimento che avviene con l'aumento delle correnti di lavoro (il
guadagno di corrente di un bipolare di potenza "medio" semplicemente
precipita non appena la tensione Vce cala al di sotto della decina di
Volt, a cui, in amplificatori medi, corrispondono correnti di uscita già
di alcuni Ampere) il che, oltre a fargli iniziare a clippare già a media
potenza, gli fornisce una caratteristica di trasferimento praticamente a
"gomito" a cui si aggiungono in genere anche i "gomiti" dei transistori
pilota.
Entrambi i fattori (pluralità dei dispositivi e saturazione degli stadi)
contribuiscono a rendere la funzione di trasferimento complessiva
dell'amplificatore una curva dotata di numerosi "punti di svolta" i quali
non sono nemmeno a curvatura costante (non tutti i dispositivi "curvano"
nello stesso punto ragion per cui i loro contributi di "sterzata" si
sommano in punti diversi della curva). Il caso più semplice si ha con
circuiti equipaggiati di soli triodi e a patto che questi non lavorino mai
a tensione di griglia positiva (fatto assai limitante per l'efficienza di
un finale); in questo caso tutte le curve di trasferimento sono delle
esponenziali abbastanza omogene la cui somma finale è semplicemente
un'altra esponenziale. I migliori risultati si otterrebbero con due
amplificatori IDENTICI a triodi  - in push-pull ed equipaggiati di
trasformatori di uscita perfetti! - collegati a ponte. I costi te li
lascio immaginare...
In tutti gli altri circuiti (ovvero utilizzando qualsiasi altro
dispositivo di uscita) la curva di trasferimento dell'amplificatore tende
ad assumere una caratteristica ad "S" (in realtà la assume anche
l'amplificatore "ideale" citato prima; la curva superiore della "S" viene
fornita dal trasfomatore di uscita, sia che si tratti di un amplificatore
single ended sia che si tratti di ampli in controfase).
Gli effetti di una simile curva di trasferimento consistono, oltre che in
uno spettro di distorsione armonica più "sporco", anche nel suo non essere
costante con l'ampiezza del segnale. Inoltre, in presenza di più segnali
un segnale di piccola ampiezza "portato" da un segnale di ampiezza
maggiore a lavorare in punti diversi della curva di trasferimento aventi
una diverse curvatura, genera due distorsioni armoniche DIVERSE, come se
fosse stato amplificato, in momenti diversi, da due AMPLIFICATORI DIVERSI.
Finché il segnale si trova a lavorare in punti diversi della curva aventi
variazioni dello stesso segno (ovvero entrambi i punti della curva
"espandono" o "comprimono" il guadagno a parità di variazione del segnale)
gli effetti anche passare inosservati (almeno per la THD; per la IMD
invece sono occhi pesti); ma nel caso in cui il segnale si trovi ad essere
alternativamente amplificato in punti della funzione di trasferimento
aventi curvature di SEGNO DIVERSO, allora oltre agli occhi (e agli
orecchi!) pesti, c'è pure il rischio che cada qualche dente. La
caratteristica più grave di questa "distorsione della distorsione" è che
essa è completamente INSENSIBILE alla controreazione per cui se un
progettista poco scrupoloso si affida ad essa per mettere "a posto" un
circuito tirato alla "va la' che vai bene", su questo punto casca molto,
ma molto male!
L'unico modo di minimizzare il problema è studiare molto attentamente i
punti di lavoro dei singoli dispositivi attivi non sono in quanto tali ma
anche rispetto alla loro reciproca interazione; in ogni caso è meglio
avere una funzione di trasferimento avente una curvatura di segno unico
(cioè che si "espanda" o si "comprima" con l'aumento dell'ampiezza del
segnale ma non che faccia entrambe le cose). Tuttavia l'unico metodo
veramente efficace per "combattere" queste distorsioni è quella di opporre
ad una funzione di trasferimento una "controfunzione" la cui equazione sia
in grado di annullare tutti i termini superiori al primo ordine del
polinomio che descrive la prima funzione di trasferimento, in modo che
alla fine della fiera sopravvivano alla derivazione delle due equazione
solo una costante senza incognite, ovvero nient'altro che il nudo guadagno
del circuito. I sistemi finora usati (differenziali, controfasi, simmetrie
totalmente complementari ecc.) riescono con grande difficoltà a
minimizzare gli effetti della curva inferiore della "S" (quella che genera
le armoniche pari e le intermodulazioni di basso ordine) ma nulla possono
contro la curva superiore della "S" (quella dovuta, tra l'altro alla
saturazione e che tende a generare armoniche dispari, e di sempre più alto
ordine via via che ci si approssima al clipping del sistema).
Un altro sistema costoso ma possibile a patto di riuscire a disporre di
due amplificatori ASSOLUTAMENTE IDENTICI, è quello di usare uno dei due
ampli per ottenere un segnale-differenza costituito dalla distorsione
"nuda" da iniettare, con gli opportuni accorgimenti, in controfase
nell'igresso del secondo amplificatore assieme al segnale da riprodurre;
la funzione di trasferimento del secondo amplificatore distorcendo il
segnale di ingresso come il primo, genera in realtà un segnale in
controfase che annulla la distorsione artificialmente introdotta al suo
ingresso. A parte la difficoltà di calibrare il tutto (hai presente la
paranoia del parcheggiare "al millimetro"? E' ancora niente...) un tale
sistema non risolve ancora il problema; infatti, se è vero che la
distorsione introdotta in controfase sull'ingresso del secondo
amplificatore compensa la distorsione che quest'ultimo sarà indotto a
generare nell'amplificare il segnale musicale, è anche vero che la
distorsione generata dal secondo amplificatore a causa della "distorsione
di compensazione" (che per il secondo ampli è in realtà un segnale di
ingresso come gli altri) non viene compensata da nessuno... Buon ultimo, i
risultati sono in pratica talmente incerti che si fa prima a progettare un
nuovo "buon" amplificatore anziché stare a compensare e "correggere" un
ampli nato male.
Ciao!
Piercarlo

Mi potete spiegare meglio il concetto di reatroazione come semplice
coefficiente? (reale, complesso?) E' un po' che ci penso ma non riesco a
capire cosa vuol dire.
Fabio

 wrote:

Ciao!
IHMO (non sono ferratissimo): Se tu vedi un amplificatore (o un circuito)
i cui ingressi e uscite sono legati da un polinomio (la funzione di
trasferimento se non ho capito male si può vedere anche in questi termini)
allora la retroazione (positiva e negativa) si può vedere come un
"coefficiente" (ma in realtà può essere benissimo un altro polinomio se
invece di un partitore resistivo metti a svolgere la controreazione
qualcosa di più succoso; al limite anche un altro circuito attivo, tanto
per fare un po' di festa!) che moltiplica o divide l'intero polinomio.
Reale o complesso fai tu: dipende da cosa usi per mettere in atto la
retroazione!
Ciao!
Piercarlo
PS - Ma gli esperti dove si sono cacciati??? Aiutooooo!!!!!

 PS - Ma gli esperti dove si sono cacciati??? Aiutooooo!!!!!
Avrei ragione di prendermela :-))
Fabio

 Fabio
Beh, non è il caso! :-) In realtà avevo postato il mio messaggio non
perché non fossi convinto di quello che avevo scritto ma piuttosto perché
ero (e sono) arciconvinto di sbagliare l'uso dei termini e dei concetti di
matematica. Mi spiace ma nonostante gli sforzi qui sono proprio un brocco.
E quindi ho postato anche per sollecitare le correzioni del caso. Tu sei
il primo ad aver fatto qualche osservazione e ti ringrazio. Ma gli altri
megaingegneri potevano pure dire qualcosina! Mi metto nelle loro fauci e
loro neppure un morso...:-).
Ciao!
Piercarlo
PS - Nel caso il "prendertela" portasse a qualche buona dritta per
chiarire le idee in merito, beh, allora prenditela con foga! :-)
Ciao!

 wrote in message
piercarloboletti...@mi1-158.dialup.tiscalinet.it...


 
La mia risposta è a questo punto una domanda (rivolta anche ad altri):
potresti farmi un elenco di "macchine del tempo" o "macchine del moto
perpetuo" subdole, cioè non evidenti di primo acchito ma che sono tali per
le conseguenze a cui portano? (magari anche con una breve descrizione del
perché sono tali). E' un punto su cui casco sempre. Grazie!
Poi un'altra richiesta più in tema: visto che sicuramente nel mio discorso
sulle FdT hai trovato delle "toppe" (non lo dici per gentilezza ma credo
che qui più che l'animo dello psicologo si impone invece quello del
dentista) mi piacerebbe che esponessi i dubbi, le critiche e le
stroncature che eventualemtne servono. Dopotutto, come dicono gli
americani, "c'è una sola cosa peggiore del non sapere: ed è il sapere cose
non vere". E io, in assenza di possibilità di far verifiche (dovuta alla
mancanza di tempo: purtroppo anche quando rispondo in NG vivo praticamente
di rendita su quello che ho studiato quasi vent'anni fa; non proprio
freschissimo...) corro proprio questo rischio.
Ciao!
Piercarlo
PS - Su, su, non tirarti indietro! Forse non sarai "megaingegnere" (forse)
ma qualcosina la sai senz'altro - mi risulta che l'AES sia qualche gradino
al di sopra del club calcistico medio... (!)

 PS - Ma gli esperti dove si sono cacciati??? Aiutooooo!!!!!
Non so se sono esperto, ma dovrei esserlo.
Due concetti (che mi sembrano noti, ma non ho capito precisamente
la domanda e rispondo come so):
1) descrizione di un sistema
2) retroazione
1) un sistema si puo' descrivere attraverso diverse notazioni.
Un sistema lineare dinamico (un sistema contenente memoria,
cioe' condensatori e induttori,  ma pur sempre lineare) ha
una RELAZIONE INGRESSO-USCITA data attraverso un'equazione
differenziale. Tale eq., funzione dei segnali nel tempo,
e' del tipo (u(t)=ingresso, y(t)=uscita)
a0 + a1 y(t) + a2 dy(t)/dt + .... + an d^n y(t)/dt^n =
     = b0 + b1 u(t) + b2 du(t)/dt + .... + bm d^m u(t)/dt^m
Questa descrizione e' utile per lo studio in transitorio.
Attraverso la trasformata di Laplace di questa equazione,
si puo' ottenere una FUNZIONE DI TRASFERIMENTO che e' un semplice
rapporto di polinomi nella variabile "frequenza complessa" s.
Questa descrizione e' utile per lo studio a regime, risposta
in frequenza, ecc.
Una eq. differenziale, semplice come questa, di ordine N si puo'
trasformare in un sistema di N equazioni differenziali di primo
ordine. In una eq. diff. del 1o ordine e' facile identificare una
variabile il cui valore costituisce la "memoria" del sistema
descritto. La descrizione attraverso tali variabili si dice
DESCRIZIONE CON LE VARIABILI DI STATO, ed e' particolarmente
utile quando il sistema e' non lineare.
2) Un sistema dinamico con funzione di trasferimento A(s) viene
retroazionato attraverso un altro sistema con f.d.t. B(s). Ossia
il segnale attraversa A, attraversa B, e viene sottratto all'ingresso.
Ottengo:
        +   E(s)  +------+
U(s) --->O------->| A(s) |--------> Y(s)
         ^ -      +------+    |
         |                    |
         |     +------+       |
         +-----| B(s) |-------+
               +------+
E(s) = U(s) - Y(s)
Y(s) = A(s) E(s) = A(s) [U(s) - B(s)Y(s)]
=> Y(s) = U(s) A(s)/[1 + A(s)B(s)]
Dove |A(s)| e' molto elevato, e dove A(s)B(s) e' molto maggiore
di 1, si puo' trascurare l'uno con poco errore, ottenendo la
seguente approssimazione:
Y(s) = U(s) / B(s)
Cioe': la f.d.t. di un sistema con blocco di retroazione che
abbia f.d.t. B(s) si puo' approssimare con 1/B(s).
Corollario: se voglio guadagno maggiore di 1, B(s) deve essere
frazionario (minore di 1).
--Stefano Rovetta
s...@dibe.unige.it

loro neppure un morso...:-).
...
secondo me hanno paura :) O meglio io ne avrei. Sono argomenti
terribilmente spinosi, su cui io non entrerei mai nei dettagli senza
averli ripassati prima come si deve su uno dei libri di riferimento.
Meno che mai adesso che sono anni che non li affronto piů come si
deve. I concetti di base ti rimangono e ti permettono di capire
perlomeno quando una cosa č palesemente sbagliata, ma entrare nei
dettagli č un'altra cosa...
Saluti,
P.S. Non ho letto con attenzione il tuo post ma di cose palesemente
sbagliate, al di la della terminologia inusuale, non mi sembra di
averne viste. Prendi perň la mia analisi con le pinze, la ruggine č
tanta...
--
	Denis Sbragion
	InfoTecna
	Tel, Fax: 
+39 039 2324054
	URL: 
http://infotecna.home.dhs.org

 terminologia inusuale
a me lo hanno spiegato cosi'...
--Stefano Rovetta
s...@dibe.unige.it

a me lo hanno spiegato cosi'...
?? 
Mi riferivo a Piercarlo. Errore nell'attribuire il post?
Saluti,


Grazie a tutti!
Stuzzica, stuzzica, alla fine qualcuno morde! :-))).
In ogni caso grazie a Stefano per il "minitrattato"; il suo chiarire la
FdT come rapporto di DUE polinomi (e non di uno solo, come erroneamente ho
scritto) rende più chiaro il tutto. Per il resto mi sono reso conto che
questo genere di problemi sono piuttosto al "limite" per un gruppo che si
chiama HOBBY.hi-fi e ne terrò conto in futuro. Giustamente, la gente
frequenta l'NG per distendersi non per farsi fumare il cervello... Per
quanto riguarda Fabio Cagnetti, se se la sente, mi piacerebbe continuare a
discutere con lui per e-mail. Prometto: non farò domande "fumanti" (!).
Ciao!
Piercarlo

Piercarlo
PS per Piercarlo: se il discorso va avanti da quella mi affermazione, puoi
ricordarti di conservare le email, o almeno dirmi come si evolve(farmi un
riassunto), al mio ritorno? Grazie!
Ciao!

Consideriamo un sistema lineare, tempoinvariante e causale, la cui risposta
all'impulso sia h(t). La risposta all'impulso è importante perché (per la
linearità e la tempo-invarianza: passaggi matematici...) ogni risposta ad
una sollecitazione in ingresso x(t) produce l'uscita y(t)=(h*x)(t) dove *
non è il normale "per" ma il prodotto di convoluzione.
I sistemi lineari tempo-invarianti espressi da equazioni differenziali a
coefficienti costanti producono risposte libere formate da "cisoidi" che
sono combinazioni di esponenziali complessi.
OGNI VOLTA che la risposta all'impulso è una combinazione di esponenziali
complessi, la sua trasformata di Laplace è un rapporto di polinomi nella
pulsazione complessa s=sigma+jomega (d'ora in poi sigma=p, e omega=q -->
s=p+jq).
Se il grado del numeratore fosse maggiore di quello del denominatore,
supponendo per comodità un'eccitazione sinusoidale (da cui per il th della
risposta in frequenza, l'uscita è anch'essa sinusoidale amplificata o
attenuata e sfasata ma alla stessa frequenza angolare q) quindi con s=jq,
l'uscita divergerebbe per q-->oo (infinito). Ciò non è fisicamente
realizzabile in quanto l'ampiezza del segnale andrebbe aumentando con
l'aumentare della frequenza e diverrebbe infinitamente grande con q->oo. In
un sistema fisicamente realizzabile la risposta al contrario tende a zero.
Ho cercato in queste righe di chiarire meglio il fatto che una f.d.t. reale
è rapporto di due polinomi di cui il num. ha grado non maggiore del
numeratore. Perforza quindi non può essere un polinomio. Non sono stato
molto rigoroso, ma per spiegare bene il concetto servirebbero nozioni di
teoria dei sistemi e la possibilità di poter inserire figure e formule.
Tieni conto del fatto comunque che tutte queste considerazioni discendono da
considerazioni energetiche.
Fabio.

 Mi riferivo a Piercarlo. Errore nell'attribuire il post?
Errore mio o del mio programma, non tuo.
--Stefano Rovetta
s...@dibe.unige.it

 Fabio.
Non ti preoccupare per il rigore. Con la scadentissima preparazione
matematica che mi ritrovo è più che sufficiente (ho in casa un bel po' di
libri per mettermi a studiarmela quando avrò il tempo... sono sei anni
ormai che dico quando avrò il tempo! Ho anche il W. LePage sulle
trasformate di Laplace ma... non è cosa che si può leggere in tram!).
Piuttosto una curiosità: la tua considerazione sul fatto che un polinomio
porterebbe ad una risposta crescente con la frequenza mi ricorda molto da
vicino la famosa storia della catastrofe dell'ultravioletto in cui
all'inizio del secolo incappavano quando cercavano di spiegare la potenza
di emissione del corpo nero sulla base dei presupposti della fisica
classica. C'entra effettivamente qualcosa o è solo una somiglianza "di
passaggio"?
Ciao! E grazie lo stesso!
Piercarlo

 Piercarlo
No piano. Io non ho detto che un polinomio [...], piuttosto faccio notare
che se in un RAPPORTO DI POLINOMI (non sto urlando, ma solo evidenziando
:-) )il num ha grado maggiore del den, se la variabile f-->oo, la fdt ha
modulo (perlomeno) che tende ad infinito, tutto qui.
Il problema del corpo nero è diverso, nella sostanza e nella forma. La
formula di Rayleigh-Jeans, in profondo disaccordo con le evidenze
sperimentali, nasceva da considerazioni errate: usare la stat. di Boltzmann
considerando l'energia come un continuo, portava ad una energia media peri a
kT, quindi con T->oo, <E> -->oo; la formula di R-J in più non poteva andare
bene perché portava ad una densità di energia proporzionale a T.
L'ipotesi di Plank (quantizzazione dell'energia) invece risolse almeno
analiticamente, il problema: da un punto di vista formale (e qui rispondo
alla tua domanda), il trucco è stato quello di sostituire ad un integrale di
esponenziali (il risultato è ancora exp), una serie. Come vedi non è lo
stesso "problema" matematico.
Ciao, Fabio
P.S.: stasera sono andato alla Scala: Brahms, 2° concerto per pianoforte.
Stupendo a dir poco. All'uscita sono riuscito a vedere lo studio mobile del
la fininvest: mica male.......

 la fininvest: mica male.......
Grazie ancora! Devo dire che se non altro, dietro lo stimolo di questo
scambio di dritte, sto riprendendo in mano il mio vecchio caro
Hayt-Kemmerly "Engineering Circuit Analysis". Un bel libro veramente.
Peccato che finora non l'abbia ancora visto tradotto in italiano; rispetto
a tanti altri libri secondo me meno meritevoli (sono quasi tutti scritti
per chi già sa le cose e quindi...) questo veramente si distingue per la
sua comprensibilità (è a mio avviso uno dei pochi libri VERAMENTE per
studenti).
Quanto al problema del corpo nero più che una somiglianza "matematica"
cercavo a dire il vero una eventuale somiglianza "energetica". Ma va bene
lo stesso!
Ciao!
Piercarlo