Newsgroup: it.cultura.religioni
Titolo: Godel: la matematica, la filosofia, la mistica.

Titolo
Godel: la matematica, la filosofia, la mistica.
A seguito della trattazione dell'argomento nei tre newsgroups
it.scienza.matematica,
it.cultura.filosofia,
it.cultura.ateismo,
mi sono domandato se non fosse il caso di mettere a disposizione i dati
in mio possesso ...
La risposta evidentemente è: si, (visto che state leggendo questa mia).
Ma veniamo alla questione:
E' stato citato un riferimento reperibile all'indirizzo:
http://www.setlonnert.com/resources/texts/godel.html
come si può ricostruire dal post seguente:
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Subject:
             L'esistenza di dio: la prova di Godel
        Date:
             Thu, 22 Feb 2001 13:56:51 GMT
       From:
 
robert...@inferentia.it
 (Roberto Corda)
 Organization:
             ItaliaOnline
 Newsgroups:
             it.cultura.ateismo
 Followup-To:
             it.cultura.ateismo
[Caro Sandro come vedi ti leggo sempre :-)]
Come richiesto ho fatto una
ricerca sulla *prova* di Godel sulla esistenza di dio, io ne ho letto
diffusamente sul Vangelo secondo la scienza di Oddifreddi, di cui
consiglio
la lettura, qui riporto i risultati di una ricerchina fatta.
http://lgxserver.uniba.it/lei/rassegna/000108.htm
[godel]
a una "prova
logica" dell'esistenza di Dio (che in parte riprende e sviluppa la prova
ontologica di Anselmo d'Aosta), la dimostrazione che in un mondo finito,
qualcosa (o Qualcuno) che possiede necessariamente tutte le qualità
positive è necessariamente esistente ed è unico: ed essere Dio è una
qualità positiva. Inutile dire che questa immagine di Dio come necessità
logica non ha nulla a che spartire con nessuna delle costruzioni
religiose
storiche.
http://www.setlonnert.com/resources/texts/godel.html
la prova
scritta in modo tecnico
I piu' importanti :-)))))
http://www.everything2.com/index.pl?node_id=49267&lastnode_id=0
http://www.everything2.com/index.pl?node_id=51122&lastnode_id=0
Ulteriori letture
http://www.vialattea.net/odifreddi/godel.htm
http://www.lastampa.it/Rubriche/Ultima/rubriche/lst/tts/1588.htm
http://www.rae.org/godel.html
http://www.tesionline.it/illustri/Giorello/giorello.pdf
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Ora la prima cosa da dire è che la paginetta visualizzabile
a 
http://www.setlonnert.com/resources/texts/godel.html
,
riporta diciture contrassegnate
-con Ax (Axiom = Assioma)
-con Th (Theorem = Teorema)
-con Def (Definition = Definizione)
 _non sono un teorema o una serie di teoremi!_
Apprestandomi infatti a porgere un'esposizione comprensibile non solo ai
matematici, mi scuserete la pedanteria nel sottolineare che
un'affermazione o più affermazioni non dimostrate, non sono un teorema o
una serie di teoremi!
Già, sia noto che la serie di enunciati contrassegnati qua e là con Th
non assommano a una teoresi semplicemente perchè ci dobbiamo fidare
sulla parola o sulla fama dell'autore _chiunque esso sia!_...
Del resto spesso i matematici mettono per scritto delle intuizioni che
si riservano di dimostrare ... magari senza riuscire per il resto della
loro vita!
Ma ritorniamo a Godel ...
Possibile che la sua indiscussa fama discenda da un teorema
indimostrato?
No, per esempio con il motore di ricerca MathSearch, si può trovare
all'indiririzzo
www.math.hawaii.edu
 238:959
una rassegna completa che riporto qualora interessi
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inizio rassegna
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Cantor's Uncountability Theorem
                                          Richard's Paradox
        The Halting Problem
                                     Tarski's Self-Reference Lemma
     Cantor's Power-set Theorem
                                  Tarski's Undefinability of Truth
Theorem
       Russell's Contradiction
                                   Godel's First Incompleteness Theorem
         The Liar Paradox
                                 Godel's Second Incompleteness Theorem
  Diagonalization arguments are clever but simple. Particular instances
though have
  profound consequences. We'll start with Cantor's uncountability
theorem and end with
  Godel's incompleteness theorems on truth and provability.
  In the following, a   sequence   is an infinite sequence of 0's and
1's. Such a sequence
  is a function   f : N -> {0,1}   where   N = {0,1,2,3, ...}.
      Thus 10101010... is the function   f   with   f(0) = 1,   f(1) =
0,   f(2) = 1, ... .
  A sequence f is the   characteristic function   of the set   {i : f(i)
= 1}.
      Thus 101010101... is the characteristic function of the set
{0,2,4,6, ...}.
  If X has characteristic function f(i), its complement has
characteristic function 1 - f(i).
  Cantor's Uncountability Theorem.
  There are uncountably many infinite
  sequences of 0's and 1's.
  Proof. Suppose not.
  Let   f0, f1, f2, ...   be a list of all sequences.
  Let   f   be the complement of the diagonal sequence   fi(i).
  Thus   f(i) = 1-fi(i).
  For each i,   f   differs from   fi   at i.
  Thus f is not in   {f0, f1, f2, ...}.
  This contradicts the assumption that the list contained all sequences.
  Corollary.
  There are uncountably many subsets of N. There are uncountably
  many reals.
  Proof. The set of subsets of N is isomorphic to the set of 0-1
sequences via the
  bijection between subsets and characteristic functions.
  There are uncountably many reals since the map which sends a 0-1
sequence
  10101010...   to the decimal   .1010101...   is 1-1.
  The diagonal   fi(i)   is constructed from the list   fj(i)   by
substituting i for j. Thus f
  can be constructed from the given list using just complementation and
substitution.
  In general, diagonalization shows that a set of objects (sequences,
programs, provable
  theorems, true facts) either can't be listed, computed or defined in a
nice way or else a
  simple-to-construct diagonal or self-referential object is not one of
the set's objects.
  Roughly either the objects can't be listed or they aren't closed under
the substitution
  and complementation operations used to construct a diagonal.
  Let's replace "sequences" by "sequences I can comprehend".   Then
either I can't
  comprehend the list of all such sequences, or I can't comprehend the
diagonal.   I
  figure that if I could comprehend the whole list in any way, I should
also be able to
  comprehend the diagonal.   Hence I must accept the first alternative:
I can't
  comprehend the list of comprehensible sequences.   The same applies to
"sequences
  which God can comprehend".   Thus omniscience has some limits.
  Now replace "sequences" with "computable sequences".
  Definition. A sequence f(i) is computable if there is a program which
given input
  i computes f(i).
  Are the computable sequences countable?   Sure, a program is a finite
sequence of
  symbols, say, ASCII symbols.   There are only countably many finite
sequences of
  symbols and so there are only countably many programs and hence only
countably
  many computable sequences.   But on the other hand --
  Theorem.
  The set of computable sequences cannot be listed in a computable way.
  Proof. Suppose   f0, f1, f2, ... , is a computable list of all
computable sequences.
  By this we mean that there is a program   P   which given inputs j and
i
  computes   fj(i).
  Let   f be the complement of the diagonal:   f(i) = 1-fi(i).
  As before,   f is not in the list   f0, f1, f2, ... .
  But we can compute f as follows:
      Read input i.
      Apply P to the two inputs i and i.
      Output 1 if P outputs 0 and output 0 if not.
  Again we have a contradiction.
  Pick your favorite programming language (if its COBOL, take a break
and come back
  after your nap). Each program is a string of symbols.
  Definition. A 0-1 sequence program is a string of symbols which
      (1) is grammatically correct for the chosen programming language,
      (2) has a single input variable i with domain N,
      (3) has output statements only of the form "return 0" or "return
1",
      (4) for every input i, produces an output ("halts") in a finite
number of steps.
  Any program which computes a sequence of 0's and 1's can easily be
rewritten so as
  to satisfy (1)-(4).
  Corollary.
  The set of 0-1 sequence programs cannot be listed in a computable way.
  Proof. Suppose   P0, P1, P2, ...   is a computable list of such
programs.
  Let   f0, f1, f2, ...   be the list of sequences they compute. This
list contains all
  computable sequences and it can be computed as follows:
      Read inputs j and i.
      Get program Pj from the given list.
      Run program Pj on input i.
      Output whatever Pj outputs.
  This contradicts the theorem above.
  We can computably list all strings.
  We can also computably check conditions (1), (2), and (3) of the
definition above.
  Hence it is condition (4) which can't be checked in a computable way.
  Thus --
  Lemma. There is no program which each input   p,  determines if   p
is a
  program which halts on all of its inputs.
  What about the simpler problem of checking that a program halts a
particular input?
_________________________________________________________
  Halting Problem Theorem. There is no program   R(p,i)   which for each
  program   p   and each input i, can determine "yes" or "no" if   p
halts on i.
  Proof. Suppose there is such a program   R(p,i).
  Let h be the program which on input p computes
    R(p,0), R(p,1), R(p,2), ...   until it finds an i such that
R(p,i)   is "no".
  On finding such an i, it outputs i and halts.
  If there is no such i, it searches forever and doesn't halt.
  Now for any program p, we can decide whether or not p halts on all of
its inputs:
      p doesn't halt on all its inputs iff
      h does halt on input p iff
      R(h,p) is "yes".
  Contradiction: by the lemma above, this is undecidable.
______________________________________________
  To see why halting problems are hard, consider the program which
  on input n,   looks for the first pair of twin primes greater than n.
  Thus on input 8,   we get 11,13.
  Does this program halt on all inputs?
  The extra-strength version of Cantor's theorem says that a set cannot
count its own
  subsets.
  Theorem (Cantor). The set P(X) of all subsets of a set X has a larger
  cardinality (number of elements) than the original set X.
  Proof. Suppose they have the same number of elements.
  Let   f : X -> P(X)   be a bijection between X and P(X).
      (1) Let   D = {x in X: x is not in f(x)}.
  Since D is a subset of X and f is onto,
      (2)   D = f(d)   for some d.
  Thus   d is in f(d)   iff (by 2)   d is in D   iff (by 1)   d is not
in f(d).
  This is a contradiction.
  The set theoretic analog of listing a sequence of things, is grouping
or "comprehending"
  a collection of things into a set.   Sets are sort of unordered lists.
  Russell's Contradiction.
 To formalize Cantor's set theory, Frege proposed the
  "comprehension" schema:
      For every condition p(x) on x,
      there is a set   {x: p(x)}   of elements which satisfy the
condition.
_____________________
  Russell discovered that this omnipotent schema runs afoul of the
diagonalization
  principal: you can't list (comprehend) things or you can't construct
the diagonal.
______________________
      Let   D = {x: x not in x}.
      Then   D in D   iff   D not in D,   a contradiction.
  Quine proposed banning self-referential conditions like "x not in x"
by requiring that the
  variables of the condition be stratifiable into layers with membership
"x in y" allowed
  only when x is in a lower layer than y.
  Zermelo proposed restricting the comprehension schema to subsets:
      For every condition p(x) on x and every set Y,
      there is a subset   {x in Y : p(x)}.
  Both proposals finesse Russel's contradiction but are there other
  inconsistencies in the closet?   Once burned, logicians wanted a proof
of
  consistency.   None was found.   Then Godel proved such consistency
proofs
  are impossible.   Zermelo's set theory has been universally accepted,
but its
  consistency will always be a matter of faith.   Quine's set theory
would be just an
  historical footnote except for a long-standing open problem:   Does
the
  consistency of Zermelo's axioms imply the consistency of Quine's?
  From sets which are members of themselves we now go to sentences which
refer to
  themselves.
  The Liar Paradox. "Truth" for English sentences is not definable in
English.
  Proof. Suppose it is. Then so is its complement "False".
  Let   s   be the sentence "This sentence is false" .
  Since the phrase "This sentence" refers to   s,   we have
    s   iff   "This sentence is false"   iff   "s is false"   iff
not   s.
  A contradiction.
  Richard's Paradox. Definability, the relation "the number n is defined
by the
  (English) sentence s" not definable in English.
  Proof. Suppose it is.   Let n be the least number not definable by a
sentence of
  less than 1000 symbols.   Exercise: find the contradiction.
  When translated into precise formal logic, these curiosities become
Godel's magnum
  opus.
  To make the transition,  note that the sentence   s   which says
      "This sentence is false"
  is characterized up to logical equivalence as being the solution to
the logical equation:
      s   iff   "s is false".
  Tarski's Self-Reference Lemma states that in adequate mathematical
theories, such
  equations always have solutions.
  A theory is adequate if it is strong enough to encode finite sequences
of numbers and
  define simple sequence operations such as concatenation. In an
adequate theory, we
  can encode the syntax of such things as terms, sentences, programs,
and proofs. In
  particular, for every formula p, there is an object < p > which
encodes this formula.
  Even very weak number theories are adequate. So is set theory since
numbers can be
  defined in set theory. For concreteness, let's pick number theory with
our favorite
  axioms:     +, x, 0, 1 have the associative, commutative,
distributive, identity and
  cancellation properties.         For any first-order formula p(x),
          if   p(0)   and   p(n) -> p(n+1)   for all n,   then   p(n)
holds for all n.
  Tarski's Self-Reference Lemma. For any formula p(x) in an adequate
theory,
  there is a sentence (formula without free variables)   s   such that
      s   iff   p( < s > )
  where   < s >   is the number which encodes   s.
  Proof. We omit the short but technical 5-line proof.
  Suppose   p(x)   says   "x has at most 1000 symbols".
  By Tarski's Self-Reference Lemma, there is a solution   s   to:
      s   iff   p( < s > ).
  Thus   s   says   "This sentence has at most 1000 symbols".
  Since sentences of number theory can be coded up as numbers (the ASCII
coding
  your computer uses does just fine), the set of true sentences can be
identified with the
  set TRUTH of numbers which encode true sentences.   Is this set
definable in number
  theory?
  Tarski's Undefinability of Truth Theorem. TRUTH, the set of numbers
which
  encode true sentences of number theory, is not definable in number
theory.
  Proof. By the definition of TRUTH, for any sentence   s,
      (1)   < s > is in TRUTH   iff   s is true.
  Let   s   be the sentence "This sentence is false".
  This sentence exists by Tarski's Self-Reference Lemma since it is the
solution
  of
      (2)   s   iff   < s > is not in TRUTH.
  Thus
      s   iff   < s > is not in TRUTH   iff   s is not true   iff   not
s.
  This is a contradiction.   We have used the law of the excluded middle
and the
  consistency of the set of true sentences.
  Since undefinable implies uncomputable, there will never be a program
which can
  decide, for each sentence of number theory, whether the sentence is
true or false.
  Let PROVABLE be the set of sentences of number theory which are
provable in our
  favorite axiom system.  Since all our axioms are true, PROVABLE is a
subset of
  TRUTH.   It would be nice if they were the same.   In this case our
set of axioms
  would be complete.   No such luck.
  Definition. A theory is axiomatizable if it has a computably generated
set of
  axioms.
  Any sentence can be an axiom as long as it is true.
  Godel's First Incompleteness Theorem. Any adequate axiomatizable
theory
  is incomplete.   In particular the sentence "This sentence is not
provable" is true
  but not provable in the theory.
  Proof. Given a computably generated set of axioms, let PROVABLE be the
set
  of numbers which encode sentences which are provable from the given
axioms.
  Thus for any sentence   s,
      (1)   < s > is in PROVABLE   iff   s is provable.
  Since the set of axioms is computably generable,
  so is the set of proofs which use these axioms and
  so is the set of provable theorems and hence
  so is PROVABLE, the set of encodings of provable theorems.
  Since computable implies definable in adequate theories, PROVABLE is
  definable.
  Let s be the sentence "This sentence is unprovable".
  By Tarski, s exists since it is the solution of:
      (2)   s   iff   < s > is not in PROVABLE.
  Thus
      (3)   s   iff   < s > is not in PROVABLE   iff   s is not
provable.
  Now (excluded middle again) s is either true or false.
  If   s   is false, then by (3),   s   is provable.
  This is impossible since provable sentences are true.
  Thus   s   is true.
  Thus by (3),   s   is not provable.
  Hence   s   is true but unprovable.
  Note 1. An analysis of the proof shows that the axioms don't have to
be true. It
  suffices that (a) the system is consistent and (b) it can prove the
basic facts needed to
  do arithmetical computations, e.g., prove that 2+2=4. The latter is
needed to encode
  sequences of numbers and insure that computable sets are definable.
  Note 2. Godel discovered that the sentence "This sentence is
unprovable" was
  provably equivalent to the sentence   CON:
      "There is no   < s >   with both   < s >   and   < not s >   in
PROVABLE".
  CON is the formal statement that the system is consistent.
  Since   s   was not provable, and since   s   and   CON   are
equivalent,
  CON is not provable.   Thus --
  Godel's Second Incompleteness Theorem. In any consistent axiomatizable
  theory (axiomatizable means the axioms can be computably generated)
which
  can encode sequences of numbers (and thus the syntactic notions of
"formula",
  "sentence", "proof") the consistency of the system in not provable in
the system.
  The theories of real numbers, of complex numbers, and of Euclidean
geometry do
  have complete axiomatizations.   Hence these theories have no true but
unprovable
  sentences.   The reason they escape the conclusion of the first
incompleteness theorem
  is their inadequacy,   they can't encode and computably deal with
finite sequences.
  There is a weak theological parallel in the Problem of Evil:
          God doesn't exist since an ultimate ruler must be responsible
for
          all things but a perfectly just being wouldn't be responsible
for
          evil acts.
****************************************
  _Actually this doesn't prove divine nonexistence_:
****************************************
  just that certain notions of being
  "ultimately responsible" and being "perfectly just" are
inconsistent.   Being ultimately
  responsible is a form of strength like being able to encode sequences
of numbers.
  Being just is like the property of being self-consistent
(inconsistency is the sole
  mathematical evil).   As with diagonal arguments, you can't have both.
                   Godel biography     Another biography
                        References about Godel
                          Godel's other results
                     Implications of Godel's theorems
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fine rassegna
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Come si sarà notato ogni teorema, è teorema tanto quanto ne esiste la
dimostrazione,
altrimenti siamo nel campo delle congetture, delle illazioni.
Ma come si è arrivati, allora, storicamente alla formulazione del
cosidetto teorema
"Proof of God by Kurt Gödel"? (In cui Proof sta per "prova" ma da
dimostrare!)
Come fa notare Odifreddi all'indirizzo
http://www.vialattea.net/odifreddi/godel.htm
per esempio con la questione di Turing:
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inizio citazione Odifreddi
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       Nel 1936 Alan Turing ha trovato una versione informatica del
teorema di Gödel 4 che oggi è popolare quanto
     quella originale, in quanto mostra limitazioni non dei sistemi
matematici ma dei computer.
     Consideriamo un computer programmabile ed il suo problema della
fermata, che chiede se il computer si ferma o
     no quando lavora con un dato programma p ed un dato input i. Il
problema della fermata non può essere
     decidibile, cioè risolubile dal computer stesso mediante un
programma P . Altrimenti esisterebbe un altro
     programma P1 che lavora come segue, dato il programma p: si usa P
per decidere se il programma p si ferma
     sull'input p o no, e poi si fa fare a P1 il contrario. Quindi P1 si
ferma su p se e solo se p non si ferma su p, ed in
     particolare P1 si ferma su P1 se e solo se P1 non si ferma su P1,
contraddizione.
     Il teorema di Turing si può quindi formulare dicendo che un
computer programmabile è incompleto, nel senso
     che non può decidere tutti i problemi riguardo al proprio
funzionamento. Più in particolare, benché un computer
     programmabile possa simulare passo per passo qualunque programma su
qualunque input (localmente), non può
     decidere in generale se tali simulazioni porteranno o no ad un
risultato (globalmente).
     Una conseguenza immediata del teorema di Turing è che un sistema
matematico corretto e sufficientemente
     ricco è indecidibile, nel senso che non esiste nessun programma che
possa determinare se una formula è
     dimostrabile oppure no: un tale programma potrebbe infatti decidere
in particolare le istanze del problema della
     fermata.
     E questa è una forma del teorema di Gödel, perché l'indecidibilità
è più forte dell'incompletezza. Infatti, un sistema
     matematico consistente è completo e decidibile: per sapere se una
formula è dimostrabile, basta enumerare le
     dimostrazioni fino a che se ne trovi una o della formula in
questione (nel qual caso essa è dimostrabile), o della sua
     negazione (nel qual caso la formula non è dimostrabile, per la
consistenza); ed uno dei due casi deve succedere
     prima o poi, per la completezza.
     Più in generale, i teoremi di Gödel e Turing sono connessi
attraverso l'identificazione di sistemi matematici e
     programmi, basata su un fatto empirico: in questo secolo assiomi e
regole dei sistemi matematici usuali sono stati
     formulati in modo così preciso e dettagliato, che le derivazioni
possono ormai essere simulate mediante computer
     (sia per verificarle, come nei proof checkers, che per trovarle,
come nei theorem provers).
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fine citazione di Odifreddi
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Si noti che la rassegna in inglese vede il teorema <Halting Problem
Theorem>
che rappresenta nella semantica logico formale la questione dell'alt
nella macchina di Turing appena qui sopra.
Ovvero, nel caso della macchina di Turing, ossia negli elaboratori
elettronici, abbiamo la risposta al perché del successo della
teorizzazione di Godel relativa alla indecidibilità, e non solo con
dimostrazione matematica, ma anche con verifica dello stato fisico
(misure sulla complessità di calcolo al crescere degli algoritmi) !
Ma affrontiamo dal punto di vista filosofico come era nata la questione:
1)Einstein si stava domandando come passare dalla teoria della
relatività ristretta a quella generale.
2)Popper si stava domandando come misurare la scientificità di una
teoria (con la sua teoria di teorie) in <Logica della ricerca
scientifica>.
3) Turing si stava domandando se fosse possibile riconoscere delle
stringhe di ingresso a un computer senza necessariamente confrontarle,
ovvero fare una cross-correlazione (confronto al variare del tempo) con
le suddette stringhe già memorizzate...
Si poneva dunque il problema della ESTRAPOLAZIONE non solo locale.
La domanda era dunque( in generale):
E' possibile con un sottoinsieme contenunto in "O" descrivere "O" senza
una replica di "O" stesso?
Evidentemente questo era possibile per problemi singoli:
Ad esempio, se devo riconoscere una stringa che inizia con un 1, poi ha
12 milioni di 0, poi termina con 1,
mi converrà anzichè memorizzare circa 12 milioni di caratteri,
organizzare, per esempio, un algoritmo o programma che mi faccia un test
di confronto e un  conteggio dei caratteri ricevuti, anzichè una
comparazione  tramite una memoria a stack (o pila) che vada nello stato
finale (o di alt) solo a comparazione completa avvenuta.
Ma l'insieme totale delle ottimizzazioni, (non per casi particolari di
interesse), come si comporta se gli input tendono a divenire tutti
quelli presentabili?
Proviamo a rileggere il teorema dell'alt
Halting Problem Theorem. There is no program   R(p,i)   which for each
  program   p   and each input i, can determine "yes" or "no" if   p
halts on i.
Traducendo:
Non c'è un programma R originabile tramite il funzionale della
collezione di tutti i sottoprogrammi p (stringhe di comparazione per
esempio) e gli inputs i (stringhe di ingresso per esempio), che per
ciascun programma p e input i sia in grado di decidere se la macchina
sarà in grado di avere effettuato il suo compito di riconoscimento
(segnalato dalla fermata).
Detto in termini più umani:
Se colleziono, per esempio, tutti i programmi di ottimizzazione detti p
(cercati in corrispondenza agli inputs i), la collezione globale R [o in
generale una comunque fatta funzione di funzione (funzionale) R]
generata dal particolare all'universale, non è in grado di descrivere
"O" (!)
Perchè? (A parte la prova (già citata) che potrebbe usare la logica per
qualcosa "fuori del dominio della logica"!)
E' la questione che aveva affrontato già Russel, quando notava che
esistevano aporie, nel definire il sistema complessivo anziché le parti
di esso:
La cognizione infatti di deduttività è valida se si applica a un
sottoinsieme delle relazione di implicazione
(altrimenti non ci dice nulla di nuovo che non sia l'elenco di tutte le
implicazioni)
La cognizione di estrapolazione vale per il dominio all'interno
dell'esperienza verificabile
(ma non è verificabile il concetto di infinito)
Può, dunque, il concetto di semplificazione essere non solo locale, ma
generalizzabile?
(Si può con la mente umana descrivere Dio?)
Godel constata,  tramite il fatto che può affermare sia una cosa che il
suo inverso, che la logica è collassata!
Ovvero che per descrivere il sistema "O", ovvero di tutti i casi
possibili, necessitano tutti i casi possibili!
O ancora, che l'insieme degli algoritmi che necessiterebbero per
calcolare tutte le stringhe in input (anzichè confrontarle) occuperebbe
una quantità di memoria maggiore che il semplice confronto
(E quindi un sopra-insieme dell'insieme universo che per definizione è
il maggiore!)
O ancora, che la realtà nel suo complesso è superiore alla fantasia
comunque la si lasci espandere (la fantasia) !
Godel parla in linguaggio matematico di INDECIDIBILITA'.
Con la traduzione delle tesi di S.Anselmo, in realtà,
di IMPRONUNCIABILITA' COGNITIVA del Nome di Dio ...
di INDESCRIVIBILITA' di Dio ...
di INCAPACITA' dell'oggettività di descrivere Dio.
Disse Filippo a Gesù (Giovanni 14,8):
<Signore mostraci il Padre e ci basta.>
Gli rispose Gesù:
<Da tanto tempo sono con voi e tu non mi hai conosciuto, Filippo?
CHI HA VISTO ME HA VISTO IL PADRE>.
Scusate la digressione finale, la mistica è nel domininio della
SOSTANZIALITA' dello SPIRITO, e non della SURREALTA' della MATERIA ...
Possiede uno stato metodologico superiore alla pura cognizione ...
<La Luce della soggettività, non oggettivizzabile, della comtemplazione
mistica>.
Ad essa non si accede con la tassonomia, nè con le cardinalità, nè con
il desiderio di dominanza,
ma con il desiderio di verità ...
In tal modo non c'è bisogno di capire Dio ...
si sperimenta che cosa è la Luce dello Spirito.
Da Matteo (11,25):
Gesù disse: "Ti rendo Lode, o Padre, Signore del Cielo e della Terra,
perché hai tenuto nascoste queste cose ai dotti e ai sapienti e le hai
rivelate ai piccoli. Sì,  o Padre, perché così è piaciuto a Te..."
Saluti a tutti comunque la pensiate,
è, secondo me, nel vostro diritto di esistere.
Lino A.M.
P.S.
Non vergognatevi di ammettere Dio.
La scienza vi permetterà di esprimervi grazie al desiderio di
oggettività
La mistica vi permetterà di esprimervi grazie alla costatazione della
soggettività ...
Saranno come le due grandi di un'aquila che sosterranno il vostro
pensiero ...
Vedrete il Cielo standovi dentro e non solo guardandolo dalla Terra ...
-------------------------------------

 La risposta evidentemente č: si, (visto che state leggendo questa mia).
Interessante. No, non scherzo, veramente interessante.
Mi sono sempre chiesto una cosa: se Dio vuole che noi abbiamo *fede* in lui
ci puň aver dato i mezzi per dimostrare la sua esistenza?
Ciao,
Marco

 Con la traduzione delle tesi di S.Anselmo, in realtà,
(1)L'indecidibilita' con la dimostrazione di S.Anselmo non *nulla a che
fare*
Ciao R.
(1) faccio notare che, non sono sicuro di averlo gia detto :-), il
cosiddetto e *famoso* teorema di godel sull'incompletezza (in realta'
peraltro sono due) non c'entra niente con la sua dimostrazione
dell'esistenza di dio.

 ci può aver dato i mezzi per dimostrare la sua esistenza?
No (in modo categorico)
a) non si e' presentato, e non si e' definito
b) non ha dato segni della sua esistenza(*)
c) non si e' reso necessario alla conoscenza dell'universo(*)
Ciao R.
(*) se volete iniziare con a tirare i pomodori proseguirei il discorso
in luogo piu' adatto, che non cito altrimenti mi si accusa di fare
l'evangelizatore e mi tocca plonkare qualcun'altro.

 ha scritto nel messaggio
news:3A9B9C3A...@libero.it...

Salve.
 Nell'enunciato di tal ipotetico teorema ( in quanto incompleto nella forma)
ho ( abbiamo) rilevato due discrepanze che ne inficiano la lettura:
dove mette la parentesi quadra aperta che manca nella prima riga?
cosa vuol dire il simbolo rombo?
Sarebbe gradita una risposta esaustiva anche su di un altro punto: gli
argomenti teologici, sono , per convenzione comune, estranei alla
trattazione con tali sistemi: quale artificio logico e' stato realizzato a
monte della comunicazione ( e non fornito) per avallare tale formulazione,
che in mancanza di cio' risulta arbitraria?
 Grazie da Francesco e Raffaele

 che in mancanza di cio' risulta arbitraria?
Che vuol dire?
Ciao R.
"ma come parla questo? E' Bisio?"
Natalino Balasso

 Ciao R.
Salute a entrambi e scusate l'intromissione,
Maurizio

 Godel: ...può una fotografia divenire la realtà?...
Sottotitolo: Sulla quantità di informazione, sul <*Tutto*>, sulle aporie
della rappresentabilità.
Gestione dell'informazione? o totemicizzazione del reale per via
assiomatica?
--------------
La forma X1:
--------------
Agli attenti lettori dell'attuale discussione,
non sarà sfuggito che apparentemente c'è un _equivoco_ in merito all'oggetto
stesso della discussione.
Evidentemente la comunità scientifica internazionale quando si riferisce ai
teoremi di Godel,
si riferisce a
___________________________________________
Godel's First Incompleteness Theorem
Any adequate axiomatizable theory  is incomplete.
In particular the sentence "This sentence is not provable" is true but not
provable in the theory.
Godel's Second Incompleteness Theorem.
In any consistent axiomatizable theory
(axiomatizable means the axioms can be computably generated)
which can encode sequences of numbers
(and thus the syntactic notions of "formula", "sentence", "proof")
the consistency of the system in not provable in the system.
___________________________________________
chiamiamola <forma X1>
--------------------------------------------
si veda per esempio
Odifreddi:
---------------------------------------------
http://www.vialattea.net/odifreddi/godel.htm
METAMORFOSI DI UN TEOREMA
                                    Piergiorgio Odifreddi
                                        Settembre 1994
[cut]
*I due teoremi di Gödel* si possono quindi formulare più precisamente
dicendo
(ndr :quindi ne IL **teorema di Godel**)
"che un sistema matematico consistente e sufficientemente ricco
non puo' dimostrare la propria consistenza, e se esso è anche corretto
allora è incompleto".
      2.2 Informatica
Nel 1936 Alan Turing ha trovato una *versione informatica* del **teorema di
Gödel**
che oggi è popolare quanto quella originale,
in quanto mostra limitazioni non dei sistemi matematici ma dei computer.
------------------------------------------------------
si veda per esempio
Guerrerio & Godel pag 62 Le Scienze Febbraio 2001:
-------------------------------------------------------
Scrive Guerrerio:
[Godel rimase comunque alquanto scettico circa il fatto che le proposte
avanzate da lui stesso e da Church fossero una controparte formale adeguata
della nozione di calcolabilità effettiva, almeno fino a quando non lesse
l'articolo del 1937 di Alan Turing, in cui questi, fornendo un'indagine
astratta delle operazioni compiute da un calcolatore umano, introduceva
quelle che sono oggi note come <<macchine di Turing>>. Negli anni seguenti
vari ricercatori sarebbero riusciti a dimostrare
_l'equivalenza delle *differenti formulazioni* date da Turing, *Godel*,
Church_,
(nonché di quelle avanzate da altri matematici, come Post e Markov),
avvalorando quindi la plausibilità della "Tesi di Church",
secondo cui si era realmente riusciti a identificare nelle funzioni
ricorsive il correllato rigoroso della nozione informale di calcolabilità.
Ma ciò che probabilmente colpì
Godel - tanto da fargli affermare che *Turing* aveva detto la *parola
definitiva* sull'argomento -
era l'analisi fenomenologica, a un tempo puntuale e limpida, che aveva
condotto il giovane inglese all'identificazione degli elementi
caratterizzanti una procedura meccanica deterministica. Inoltre come ebbe a
scrivere in seguito per la ripubblicazione delle sue lezioni di Princeton,
poiché <<grazie al lavoro di A.M.Turing, può ora essere data una definizione
precisa e indiscutibilmente adeguata del concetto di sistema formale,
l'esistenza di proposizioni aritmetiche indecidibili e la *non
dimostrabilità della coerenza di un sistema all'interno del sistema stesso*
possono ora essere dimostrate rigorosamente per ogni sistema formale
coerente che contenga un certo frammento di teoria finitaria dei numeri.>>]
----------------------------------------------------
si veda per esempio
ricerca MathSearch 
www.math.hawaii.edu
 238:959
che nella rassegna di Godel cita:
-----------------------------------------------------
Godel's First Incompleteness Theorem
Any adequate axiomatizable theory  is incomplete.
In particular the sentence "This sentence is not provable" is true but not
provable in the theory.
Godel's Second Incompleteness Theorem.
In any consistent axiomatizable theory
(axiomatizable means the axioms can be computably generated)
which can encode sequences of numbers
(and thus the syntactic notions of "formula", "sentence", "proof")
the consistency of the system in not provable in the system.
----------------------------------------------------------
La forma X2:
----------------------------------------------------------
Passiamo ora alla <forma X2> attribuita anch'essa, da una certa Signora Dana
Scott (vedi seguito all'address citato),
a Godel
è reperibile all'indirizzo:
http://www.setlonnert.com/resources/texts/godel.html
Proof of God by Kurt Gödel
Ax1 ...
Ax2 ...
Th1 ...
Df1 ...
Ax3 ...
Th2 ...
Df2 ...
Ax4 ...
Th3 ...
Df3 ...
Ax5 ...
Th4 ...
                        Explanation:
                        P(psi)
                                       P is "positive"
                        G(x)
                                       x have the property God
                        ess.
                                       essential
                        E
                                       existing
                        &bull; (bullet)
                                       Necessary
                        This "proof" on the existence of God, hasn't been
published. But Dana Scott who belonged to
                        the closest circle around Gödel, claimed this were
constructed by Gödel. In 1970 Dana Scott
                        sent this alledged proof to Stig Kanger. Stig Kanger
was a professor of theoretical philosophy
                        in Uppsala, but died in 1988. I was one of his
latest pupils. Stig distributed this proof at the
                        department in Uppsala and perhaps it also has been
distributed in the USA. Otherwise this
                        publication is might be the only one available,
printed or not!
------------------------------
Traduzione:
Questa "prova" sulla esistenza di Dio, *non è stata pubblicata*. Ma Dana
Scott che appartenne alla più intima cerchia attorno a Godel, asserì che
fosse costruita (realizzata) da Godel. Nel 1970 Dana Scott inviò questa
"prova" a Stig Kanger.
Stig Kanger era professore di filosofia teoretica ad Uppsala, ma morì nel
1988. Io ero uno dei suoi ultimi pupilli.
Sting distribuì questa "prova" al dipartimento di Uppsala e forse anche in
USA.
Diversamente questa pubblicazione potrebbe essere la sola disponibile, data
alle stampe o no!
----------------------------------
Si valuti ora quanto pubblicato su Le Scienze (Febbraio 2001) a pagina 98 da
Guerrerio:
----------------------------------
Nel corso degli ultimi anni della sua vita (Godel) si dedicò a un tentativo
di fornire una dimostrazione formale corretta della
"prova ontologica" di Anselmo di Aosta dell'esistenza di Dio.
Dall'esame degli *appunti* di Godel in proposito si ricava che il "teorema
dell'esistenza di Dio"( forma X2 tassonomia Tufano)
(nella forma esplicita Guerrerio: "necessariamente esiste un "oggetto" con
caratteristiche divine) viene "dimostrato" in un sistema modale che porta
però al cosidetto
*collasso delle modalità*
ossia in esso tutte le proposizioni vere diventano necessarie.
Ma *inconveniente* per altri versi *più grave*, come rilevano tutti i
commentatori non appare affatto meno problematico ammettere il gruppo di
assiomi utilizzati da Godel che ammettere direttamente quel teorema (forma
X2).
[cut]
-----------------------
Ci si può chiedere: esistono altri casi di formulazioni di Godel come la
"forma X2",
manifestamente considerate infondate?
(Da cui la forma X2 esiste in quanto teorema solo formalmente, ma non ha un
contesto a cui sia associabile e la giustifichi)
------------------------
Leggiamo ancora Le Scienze di Febbraio 2001 pagina 93:
----------------------
Da allora la sua attenzione fu catturata dal tentativo di individuare
*assiomi plausibili* dai quali poter determinare la "vera" cardinalità del
continuo. Così, pensando di essere giunto a una conclusione, nel 1969 inviò
a Tarski un manoscritto in cui proponeva quattro nuovi assiomi e delineava
una "dimostrazione". Ma c'è qualcosa di strano in quel testo. Contrariamente
al suo proverbiale costume, non è rifinito, porta l'annotazione <I versione>
e anche il titolo suona insolito:
"Alcune considerazioni che portano alla probabile conclusione che la vera
potenza del continuo sia alef( 2)"
In effeti la dimostrazione conteneva lacune, delle quali si sarebbe accorto
egli stesso, tanto da inviare a Tarski un'altra missiva in cui ammetteva che
il testo precedente <non era buono> e annuciava un'altra versione.
[cut]
Successive analisi condotte su quei lavori, che furono pubblicati solo
postumi, rivelano che dagli assiomi formulati da Godel *non si poteva
dimostrare quanto sperava*; che per due di essi restava aperto il problema
della coerenza relativa con gli assiomi della teoria degli insiemi; e
soprattutto, quale che fosse l'analisi fenomenologica che aveva indotto
Godel a formularli,
*<praticamente nessun logico - come scrive Dawson - ha trovato qualche
motivo per _credere nell'intrinseca verità_ di quegli assiomi>*
-----------------------
stop forma X2
-----------------------
Mi si potrà obbiettare:
Ma la forma X1 non parla dell'ipotesi dell'esistenza di Dio, come invece fa
esplicitamente la forma X2!
Rispondo:
Ne siamo sicuri?
Il concetto di tutte le stringhe possibili in input e di tutti i programmi
possibili con il funzionale R(p,i) non implica
il concetto di esaminare il <*Tutto*>?
Avete notato che si parla di collasso della logica sia nella mia analisi
(vedi post precedente) del teorema nella forma di Turing,
sia nella forma X2 (vedi pag 98 Le Scienze qui sopra) ?
Infine per il parallelo tra i sistemi formali e quelli naturali e la
possibililità di modellicizzazione del reale con l'artificiale:
Da <Linguaggi Formali e Compilatori> prof.Crespi Ed.ISEDI pag173:
------------------------
In questo capitolo esaminiamo a livello introduttivo alcuni problemi
inerenti alla formalizzazione del linguaggio naturale.
[cut]
Un primo compito della linguistica è quello di descrivere rigorosamente un
particolare linguaggio naturale, specificando la classe delle frasi formate
correttamente.
A tale fine è spontaneo esaminare la possibilità dei modelli precedentemente
esposti, sotto forma di grammatiche o di automi.
[cut]
*Chomsky ha dimostrato* che la *lingua naturale*, anche senza considerare
gli aspetti strutturali,
_non può_ essere definita come un linguaggio a stati finiti.
[segue dimostrazione]
-----------------------------
Risulta allora evidente che, anche spostandoci dalla descrizione linguistica
a quella delle virtù:
Un sistema formale non è in grado di "simulare" un sistema naturale di
concetto di qualità positiva, nè di generare una estrapolazione
razionalizzata
del concetto di <Bene Assoluto>
L'amico Godel, oltre che un lettore di S.Anselmo, che cercava di proporre in
versione matematica,
era anche appassionato di Leibnitz, che si interessava come è noto del
problema della Teodicea,
ovvero di cosa è bene e cosa è male ...
Cosa vogliamo fare ... partendo dal particolare, fissiamo ciò che è bene e
ciò che è male per assioma?
Riscriviamo le "tavole della legge" senza bisogno del GIUDIZIO DI DIO?
Non vi sembra che ci sia, come nel computer di Asimov, un problema di
"quantità di informazione"?
A mio modesto avviso, con "la forma X2", nel problema della descrivibilità
del <*Tutto*>,
non c'è solo un problema formale, c'è una questione sostanziale ...
La Sostanzialità dello Spirito, rispetto alla Surrealtà della Materia.
Godel ne era lontano, pretendendo di descrivere Dio,
tanto quanto ne è una fotografia rispetto alla realtà!
Nessuno, comunque, può vietare ad un altro di fare il fotografo ...
Lino A.M.
P.S. io preferisco l'originale, potendo scegliere ...
---------------------------------------------------------------------------
Voglio ringraziare tutti, nei vari NGs, per l'interessante scambio di idee.
Spero che i toni, a volte accesi,
non impediscano a chiunque la dignità di esprimere il proprio punto di
vista.
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 alla specializzazione in sé.
In pratica stai dicendo *visto che non ne so niente posso dire qualsiasi
vaccata senza che nessuno possa dirmi niente*
Ciao R.

 Ciao R.
Salute,
Maurizio