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Titolo: ... il BookMaker ...

fiuto dei bookmakers.
Scusate la lunghezza del post, ma ho cercato di esprimere il mio 
ragionamento in un formalismo matematico, così per poterci discutere
sopra senza incomprensioni dovute alla lingua... 
...
Buona lettura.
Riccardo.
 
	....................
	<<< Terminologia >>>
        °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°	
Sia J il numero di esiti per un evento.
Sia p(i) la probabilità reale dell'esito i-esimo.
Sia P il vettore delle probabilità P=(p(1),..,p(J))
Sia s(i) la stima di p(i) derivata da una analisi statistica
Sia S il vettore delle stime statistiche S=(s(1),..,s(J))
Sia g(i) le puntate complessive sull'esito i-esimo.
Sia G il vettore delle puntate G=(g(1),..,g(J))
Sia V il volume delle giocate sull'evento.
Sia q(i) la quota dell'esito i-esimo. 
Sia Q il vettore delle quote Q=(q(1),..,q(J))
Sia p_book la percentuale trattenuta dal book per l'evento.
Sia d(i) la percentuale trattenuta sull'esito i-esimo.
Sia D il vettore delle percentuali trattenute D=(d(1),..,d(J))
Sia p'(i) la stima derivata dal book.
Sia P' il vettore delle probabilità del book P'=(p'(1),..,p'(J))
Sia r(i) la differenza tra p'(i) e p(i).
Sia R il relativo vettore differenza.
Valgono le seguenti relazioni:
  1) p_book = sum ( d(i) )
  2) q(i) = 1 / ( p'(i) + d(i) )
Inoltre possiamo supporre che d(i) sia legato alla stima della
probabilità da parte del bookmaker dalla relazione :
  3) d(i) = p_book * p'(i)
poichè in questo modo, nell'esito ritenuto più probabile ( e
quindi con volume di gioco maggiore, data la costruzione della
stima della probabilità...) , si ha una trattenuta maggiore...
Riscrivendo la 2) si ottiene:
 
  2.bis)  q(i) = 1 / [ p'(i) * (1 + p_book) ]
  4) p'(i) = p(i) + r(i)  
  5) V = sum ( g(i) ) = G^ x 1'
Sia e(j) = 0 se l'esito non è il j-esimo, con j=1..J
Sia e(j) = 1 se l'esito  è il j-esimo, on j=1..J
Sia E il vettore dell'esito E=(e(1),..,e(J)) 
Suppongo che il vettore E sia tale che esiste un unico
j' con e(j')=1.
Sia I la matrice identità, di ordine J.
Sia I1 la matrice formata da tutti elementi = 1.
Sia b(i) il guadagno del book nel caso sia e(i)=1
Sia B il vettore dei guadagni del bookmaker.
 
Vale:
 
  3) B = Q x I x G  - ( I1 - I ) x G =
       = ( I - I1 + Q x I) x G 
 
         ovvero per J=3
      /
      | g1*q1 - g2 - g3 = b1
      |  
     <  g2*q2 - g1 - g3 = b2
      |
      | g3*q3 - g1 - g2 = b3  
      \
 
  dove il simbolo 'x' è il prodotto tra matrici.
	....................
	<<< L'alibratore >>>
        °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°	
L'alibratore si assicura che la sua speranza di vincita
 
 A)  S_book = B^ x P >0
 (dove il simbolo '^' indica il vettore trasposto)  
Ai fini di dimostrare che è conveniente per l'alibratore
fare in modo che la differenza tra la sua probabilità e 
quella reale ( vettore R ) sia la più piccola possibile 
indicheremo con la condizione A) come :
  A1.1)  B^ x P = K*V 
  A1.2)  K*V > 0 
e studieremo l'andamento di K*V in base ad R.
  [ ( I - I1 + Q x I ) x G ]^ x P = K*V
  G^ x ( I - I1 + Q x I ) x P = K*V
  G^ x ( I - I1) x P + G^ x ( Q x I ) x P = K*V
 
  G^ x [ ( I - I1 ) x P + ( Q x I ) x P ] = K*V
Osservo che 
 
     (I-I1) x P = I x P - I1 x P = - (1' - I x P) 
 ( con 1' vettore formato da tutti 1.)
 
poichè 
 
    sum( p(i) ) = 1 => p(i) = 1 - sum( p(j),j<>i )
Quindi:
 
  G^ x [ (I x P - 1') + ( Q x I) x P ] = K*V
  G^ x [ I x P + ( Q x I ) x P - 1' ] = K*V
  G^ x [ ( I + Q x I ) x P - 1' ] = K*V
  G^ x  ( I + Q x I ) x P - G^ x 1' = K*V
Osservo che 
 
    G^ x 1' = sum ( g(i) ) = V
quindi:
  G^ x  ( I + Q x I ) x P = (K+1)*V
Ponendo H il vettore così formato:
  h(i) = g(i) / V 
posso riscrivere in questo modo:
A1.2)  H^ x ( I + Q x I ) x P = K + 1 
che è la forma normalizzata sul volume di gioco della 
formula A1.1. 
Riscrivendo la A1.2) nei suoi termini :
A1.3)  sum( h(i)*p(i)*(1+q(i)) ) = K+1
L'i-esimo termine può essere riscritto come:
  h(i) * p(i) + h(i) * p(i) * q(i)     
 
ricordando la 2.bis) si trova:
  h(i) * p(i) +  [ h(i) / (1 + p_book) ] * p(i) / p'(i)
ed utilizzando la 4) si trova:
  p(i) / p'(i) = p(i) / [ p(i) + r(i) ] =
 
               = 1 - r(i)
Ponendo f(i) = h(i) / (1 + p_book) si trova:
   h(i) * p(i) + f(i) - f(i)*r(i)
Quindi la A1.3) diventa:
 
 
A1.4)  K = [ sum ( h(i)*p(i)+f(i)) - 1 ] - [ sum ( f(i) * r(i) ) ]
 
Quindi K (percentuale di guadagno sul volume di gioco) è formato
da due termini, il primo indipendente dalla valutazione della probabilità
da parte del bookmaker. Il secondo termine è influenzato da tale differenza.
  .....................
   <<< Analisi su R >>>
   °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
 
Il vettore R ha la proprietà :
6)  sum ( r(i) ) = 0
Osservo che f(i) è proporzionale alla percentuale
delle giocate h(i).
Studiamo la funzione :
 F_R  = sum( f(i) * r(i) )
Suppongo, per semplicità, p1 > p2 > p3 ...
e h1 > h2 > h3 >....
Caso J=2.
 F_R = f(1)*r(1) + f(2)*r(2) =
     = f(1)*r(1) + f(2)*(-r(1)) =
     = r(1)*( f(1) - f(2) ).
Essendo f(1) > f(2) per Hp, F_R ha il
minimo quando r(1) è negativo, ovvero quando il bookmaker
sottostima l'esito più probabile (conseguentemente 
sovrastima l'evento meno probabile).
Lo stesso ragionamento si può estendere ai casi con J > 2.
  .....................
   <<< Conclusioni  >>>
   °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
 
  Il bookmaker tende a sottostimare gli eventi più
  probabili, e sovrastima gli eventi meno probabili.
  L'entità di queste differenze, sono variabili nel
  tempo, poichè seguono l'andamento del volume di
  giocate.
  Inizialmente l'evento più probabile, può essere 
  leggermente sovrastimato, così da indirizzare il
  volume di gioco in quella direzione, per poi diminuire
  con l'aumentare di g.
  Alla chiusura delle scommesse, il bookmaker, si sarà
  costruito la sua assicurazione di vincita.
  Ovviamente le quote terranno conto, anche del cosidetto
  effetto "cuore", anche se poi questo verrà limitato dal
  volume di gioco ( se il bacino degli utenti è abbastanza
  vasto da contenere anche chi cuore non ha...).
A presto, Riccardo.
Grazie per ogni commento, e correzione che apporterete.

  A)  S_book = B^ x P >0
Questa e' la speranza di vincita.
L'allibratore pero' puo' essere sicuro di vincere qualora risulti, usando il
tuo formalismo:
sum(g(i)) - q(j) * g(j) > 0 per ogni j.
Cioe' vince a prescindere da cosa esce.
Per ottenerlo basta che ponga
q(j) < sum(g(i)) / g(j).
Naturalmente il book non sa a priori le g(j), altrimenti lui guadagnerebbe
sempre. Pero' puo' cambiare le quote, e cercare fin dove possibile di far
"rientrare" le g(j) entro i valori desiderati.
Altrettanto naturalmente il book non puo' cambiare le quote delle scommesse
gia' accettate, quindi potrebbe operare cosi':
1) ipotizza una serie di quote da pubblicare (ad esempio stimando le prob.
che lui ritiene oggettive), Q0. Si aspetta che il pubblico punti T0.
2) il pubblico gioca, e gioca invece G0.
3) qualora risulti q0(j) < sum(g0(i)) / g0(j) per almeno un j, cambia le
quote, altrimenti no.
4) il cambio viene fatto in modo da avere, alla fine delle giocate (al
sabato) una distribuzione tale che il book sia sicuro di vincere. Poiche' le
puntate gia' accettate non possono essere cambiate, la relazione e' (per il
primo cambio):
sum(g0(i)) + sum(g1(i)) - q0(j)g0(j) - q1(j)q1(j) > 0.
Cioe', pagate le scommesse ormai accettate a quota q0, le prossime che
arrivano (g1, che non si conosce ma si puo' valutare su base statistica,
ossia vedendo quanti giocano al martedi' rispetto al lunedi' e ipotizzando
che la distribuzione non cambi molto) bisogna pagarle di meno.
la nuova quota e' dunque (all'interno delle sum() elimino gli indici che
tanto si capisce lo stesso):
q1(j) < (sum(g0) + sum(g1) - g0(j)q0(j)) / g1(j)
Questo va fatto contemporaneamente per i (supponiamo) tre eventi possibili,
e per tutti i "j" per cui risultava verificata la relazione del punto 3. Non
sempre si puo' risolvere il sistema risultante, ma supponendo (come avviene
in realta', credo) che g1 > g0, g2 > g1, ecc. (ossia al lunedi' giocano in
pochi, al martedi' di piu', ecc.) spesso il sistema e' solvibile. Se
qualcuno si vuole fare i calcoli di stabilita' e altre cose simili e'
benvenuto, naturalmente :)
Comunque, mutate le quote, il book si riporta in una condizione di guadagno
sicuro, avendo ipotizzato che con le nuove quote la distribuzione delle
giocate ricalchi quella precedente, e supponendo che la gente continui a
giocare e sopratutto giochi piu' del giorno prima (per permettere, nella
formula, a sum(g1) / g1(j) di "addolcire" l'effetto di sum(g0)/g1(j)
e -go(j)q0(j) / g1(j). In particolare se g1>> g0 allora l'unica cosa che
conta e' sum(g1) / g1 e il book ha margine di manovra per operare. Qualora
la gente smettesse di giocare (g1 = 0) il book rimarebbe "fregato", mentre
se g1 >> g0 la spesa che deve sostenere per le quote (che erano
evidentemente sbagliate) q0 sono minime).
5) se e' domenica mattina mi fermo, senno' torno al punto 2 (conoscendo
pero' tutte le giocate precedenti. In pratica devo ipotizzare sempre la
successiva).
In questo modo, se sono vere tutte le ipotesi fatte (le giocate all'istante
t+1 >> di quelle all'istante t, la distribuzione delle giocate invece varia
poco da istante a istante (ipotesi non detta, ma che serve)), il book puo'
arrivare alla domenica che e' sicuro di vincere.
E in tutto questo processo non c'e' nessuna valutazione di probabilita' da
parte del book, a parte forse quella per fare le quote Q0.
Naturalmente, essendo tardi, potrei aver scritto una discreta quantita' di
scempiaggini.
--
Marco Fabiani
in...@fabisoft.it
www.fabisoft.it

Ciao Marco, ciao a tutti.
Hai ragione, però la probabilità c'entra...
..............................
Riprendendo il discorso:
  S_Book = B^ x P        
Indica la speranza, a volte anche detta "guadagno medio sperato".
La condizione base, di ogni bookmaker che non stia tentando il suicidio, è:
 
  B0)  S_Book > 0   [condizione sempre presente]
La condizione, che suggerisci tu, la possiamo scrivere come
  B1)   B>0
ovvero che per ogni possibile risultato il bookmaker ci guadagna qualche cosa.
 Ovviamente, si può vedere che:
  B>0 => S_Book>0  ,per ogni P vettore di probabilità.
mentre non è detto il viceversa.
Quindi,  B1) => B0)
Se l'obiettivo del bookmaker, è quello di vincere comunque allora si può
accontentare della condizione B1).
Se l'obiettivo del bookmaker, è quello di sperare di vincere il massimo
possibile (come sia logico pensare) allora, può introdurre una ulteriore
condizione:
  B2)   max ( S_Book )
Le due condizioni possono coesistere, o meno, ovvero la condizione B1 può
esserci o no, mentre la B0) è sempre presente.
 
Coesistono, quando il bookmaker, non si vuole assumere nessun rischio e vuole 
le spalle sempre coperte, rinunciando alla possibilità di trovare un massimo
assoluto per la condizione B2.
Il bookmaker utilizza solamente la B2) quando possiede un gran numero di eventi,
e la probabilità che gli esiti di tutti glieventi siano del tipo più sfavorevole
è quasi nulla...ovvero: 
 
  prob [ sum( B^ x E(t) ,  su ogni evento t ) < 0 ] = circa 0
Bene, consideriamo il caso di bookmaker "accorti".
Nella costruzione del suo book, devono essere verificate:
  B0)  S_Book > 0 
  B1)  B > 0
  B2)  max( S_Book )
Il massimo di S_Book, come ho cercato di dimostare nel post di ieri, si ottiene
quando:
 
   max ( S_Book )   equivale   min ( sum (f(i)*r(i)) )
 
con f(i) = g(i) / ( V * (1+p_book) ).
e risulta dalla ricerca di R tale che:
  B2.bis)  R  t.c.  min ( sum (g(i)*r(i)) )
Assumendo l'ipotesi g(1)>g(2)>..., il minimo si ha prendendo r(1)<r(2)<...
rispettando la condizione sum(r(i))=0. 
In altre parole, il bookmaker sottostima la probabilità dell'esito più giocato,
e conseguentemente sovrastima l'esito meno probabile.
L'entità di queste differenze devono essere, quindi, limitate compatibilmente
alla condizione B1).
	......................
	<<< Condizione B>0 >>>
        °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Per semplicità di notazione, poniamo:
   Q'=QxI 
ovvero la matrice è diagonale, e i suoi elementi non nulli sono le quote degli
esiti dell'evento in considerazione.
   I'=I-I1
ovvero una matrice con diagonale nulla, e tutti gli altri elementi = 1
Errata Corrige : La proprietà 3), del mio post precedente, ha il segno 
                 invertito:
 
                    B = -QxIxG + (I1-I)xG     <-- Versione corretta
Riscrivendo la B1) :
   B = (I1-I - QxI) x G > 0 
       (I'-Q')xG        > 0
       I'xG             > Q'xG  
Il vettore I'xG ha ogni elemento i-esimo = sum(g(j),j<>i)
Ricordandoci che V = sum (g(i)), si trova che
   I'xG = V - G
e quindi B1) diventa:
   B1.1)  Q'xG < V - G
Che è un sistema formato da J diseguaglianze:
   q(i)*g(i) < V - g(i)
   q(i) < ( V - g(i) ) / g(i)
Sostituendo 
   q(i) = 1/(p'(i)*(1+p_book))      e
   V = g(i) / h(i)
si ottiene:
   1/(p'(i)*(1+p_book)) < (1/h(i) - 1)
   B1.2)  h(i)/(1-h(i)) < p'(i)*(1+p_book)   per ogni i=1..J.
Ovvero noto il volume di giocate su i vari esiti, il bookmaker deve assicurarsi
che le sue quote ( e quindi le sue stime di probabilità ) verifichino la
condizione B1.2)
 
	............................
	<<< Evoluzione nel tempo >>>
        °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Ipotesi semplificativa ( che verrà rilasciata in una prossima versione ) :
 
  La condizione B1) così come l'ho posta, per ora non include il cambiamento
  delle quote nel computo di B. Suppongo pertanto che l'effetto delle puntate
  nelle quote alte che diventano minori sia limitato, sia perchè le quote
  cambiano di una piccola percentuale, sia perchè il volume maggiore delle
  puntate si ha quando ormai le quote si sono stabilizzate...
 
Sia y(i) = h(i)/(1-h(i))
Supponiamo di essere nella seguente situazione, all'istante [t0]:
  Per ogni i=1..J è verificata la condizione
[@]    y(i) < (p(i)+r(i))*(1+p_book)
  e sia k(i)>0 tale che:
 
      y(i) + k(i) = (p(i)+r(i))*(1+p_book)
 
  Sia R=(r(1),..,r(J)) il vettore di differenza che rende S_book massimo.
  Suppongo g(1)>g(2)>g(3)...>g(J)
 
All'istante [t1] sono cambiati i termini h(i), 
  h(i)[t0] <> h(i)[t1]
in seguito a delle giocate.
*********  Caso 1) **********
  h(i)[t1] > h(i)[t0] 
(tra i due istanti di tempo c'è stato un afflusso di scommesse maggiore
 sull'esito i-esimo, a discapito di altri esiti...)
Risulta
 
   y(i)[t1] > y(i)[t0]   =>  k(i)[t1]< k(i)[t0]
Se la condizione [@] non è più soddisfatta risulta:
   k(i)[t1] < 0 
   y(i)[t1] > (p(i)+r(i))*(1+p_book)
 
 il bookmaker deve cambiare la quota relativa all'esito i-esimo, e per
far questo deve alterare r(i) in 
 
  r(i)[t1] = r(i)[t0] + Delta.
Il minimo cambiamento di r(i) affinchè risulti k(i)[t1]=0 è:
  y(i)[t1] + k(i)[t1] = p(i)*(1+p_book) + r(i)[t0]*(1+p_book)
  y(i)[t1]            = p(i)*(1+p_book) + (r(i)[t0]+Delta)*(1+p_book)
Sottraendo la seconda alla prima, si ottiene:
  k(i)[t1] = Delta * (1+p_book)
da cui: 
  Delta = k(i)[t1] / (1+p_book)
Essendo k(i)[t1] negativo, anche Delta<0 , 
  r(i)[t1] =  r(i)[t0] - (Abs(Delta) + margine)
 
Ovvero si diminuisce il valore della differenza delle stime.
Se la differenza era gia negativa ( sottostima ) il bookmaker
accentuerà maggiormente questa sottostima.
Se la differenza era positiva (sovrastima) questa verrà ridimensionata.
*********  Caso 2) **********
  h(i)[t1] < h(i)[t0]
(tra i due istanti di tempo c'è stato un afflusso di scommesse minore
 sull'esito i-esimo, a favore di altri esiti...)
Risulta
 
   y(i)[t1] < y(i)[t0]   =>  k(i)[t1] > k(i)[t0]
Se la condizione [@] era soddisfatta all'istante [t0] a maggior 
ragione lo sarà ora.
******** OSSERVAZIONE: ********
  Nel caso 1) viene diminuito il valore r(i), quindi essendo
 
  sum(r(i)) = 0
  gli altri valori di r(j), j<>i devono essere incrementati.
  Aumentando il valore di r(j) di una % di (Abs(Delta) + margine)=oo
  risulta ancora soddisfatta la [@], infatti
  y(i) < (p(i)+r(i))*(1+p_book) < (p(i)+r(i)+oo)*(1+p_book)
 
	...................
	<<< Conclusione >>>
        °°°°°°°°°°°°°°°°°°°
La stima P' delle probabilità degli esiti di un evento, sarà tanto
più deviata dalla probabilità reale degli eventi (vettore R) tanto
maggiore sarà lo squilibrio tra la percentuale delle giocate e la
probabilità reale degli eventi.
Se la popolazione dei giocatori, pensa con il "cuore" allora la 
probabilità stimata attraverso l'analisi del book, è tendenziosa; 
se invece gli scommettitori pensano obiettivamente, allora la 
stima diventa più attendibile....
Questo potrebbe giustificare perchè la vittoria della nazionale è
sempre pagata pochino...
Comunque, a parte gli eventi che coinvolgono il "cuore" della stragrande
maggioranza della popolazione, notando la somiglianza tra l'analisi 
statistica dei risultati (vedi "Mario Onega") e l'analisi derivata dal
book, è plausibile supporre che gli scommettitori riescono a mettere
da parte il "cuore", almeno quando si parla di soldi...
Spero di non aver sparato troppi sfrondoni...(controllerò!)


 da parte il "cuore", almeno quando si parla di soldi...
Se si tratta di scommetere su sport "esotici" quali basket, tennis, baseball
o altri molto probabilmente lo scommettitore punta "col cervello".
Se si tratta di puntare sulla nazionale, o sulla squadra del cuore, forse la
diecimila "di cuore" ci scappa.
Direi che la buona correlazione tra le quote e gli esiti (tabella "Onega")
indica che il book in questione lavora massimizzando la speranza di vincita.
Mo' me vado a dormi' :)
--
marco....@fabisoft.it
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<-CW-Calc: calcolatore gratuito per Covered Warrant, su 
www.fabisoft.it
<-Little6: programma gratuito per il Toto6, su 
www.fabisoft.it
<-Informazioni, consigli, tabelle, statistiche su 
www.fabisoft.it
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Giusto.
Ai fini, di una analisi nel tempo, i termini del problema cambiano leggermente:
 
  Ovvero il rispetto del vincolo B>0, impone al book, sempre più, un
  restringimento dell'intervallo in cui scegliere la nuova stima P'.
  Se il volume di gioco, varia in modo "continuo" (senza sbalzi troppo
  grandi) allora il margine di sicurezza per il rispetto B>0, viene
  mantenuto, mentre se all'improvviso la tendenza del gioco si sposta da
  un esito all'opposto, con una certa 'violenza' allora il bookmaker
  può rimanere fregato (almeno per quell'evento..)
  1) S_book = B(t)^ x P
  2) B(t) > 0
  A) Max( S_book )
  Se ad un certo istante B(t) ha un elemento < 0, non è detto che il bookmaker
  riesca ad ottenere Max (S_book) > 0.. (che ovviamente non implica che
  l'alibratore sicuramente perda, ma il gioco diventa per lui sfavorevole..)
  Il vincolo B(t)>0 può essere così riscritto:
  Sia M(t) = I'-Q'(t)
2.1)  B(t) = [ sum ( M(i) x G(i), i=0..t-1 ) ] + M(t)*G'(t)
  Dove G'(t) è la previsione delle giocate su i vari esiti.
 
  Oss: Ho utilizzato una sommatoria poichè le quote variano non continuamente,
       ma ad intervalli di tempo.
  Se il bookmaker, sbaglia la valutazione iniziale, per lui sarà tanto più
  difficile rientrare nel vincolo B>0, quanto più tempo ( e quindi più giocate),
  intercorrerà prima della correzione...
  Se il bookmaker è in gamba, potrebbe anche pilotare in un qualche modo G, 
  invogliando la popolazione a scommettere su di un esito piuttosto che su di
  un altro...
  Per questo secondo me, a volte capita che gli esiti più probabili,
  inizialmente sono pagati un pò di più....
  Comunque, per effettuare una analisi nel tempo, occorre modellizzare il
  comportamento della popolazione degli scommettitori, che sicuramente supera
  le mie capacità, e che viste le conclusioni a cui sono arrivato, credo siano
  fuori luogo...

 elaborazione di un sistema ottimale...
Imho ovviamente si, anche se probabilmente il fatto di usare le probabilita'
derivanti dalle quote (senza nessun aggiustamento) e poi valutare le quote
delle colonne risultanti con le quote dello stesso book non e' la migliore
strategia.
D'altronde p non la si conosce. P' e' una buona stima, se si trovasse una
stima migliore sarebbe meglio, senno' occorre accontentarsi.
--
marco....@fabisoft.it
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PS: forse questo msg arriva due volte.

 elaborazione di un sistema ottimale...
Imho ovviamente si, anche se probabilmente il fatto di usare le probabilita'
derivanti dalle quote (senza nessun aggiustamento) e poi valutare le quote
delle colonne risultanti con le quote dello stesso book non e' la migliore
strategia.
D'altronde p non la si conosce. P' e' una buona stima, se si trovasse una
stima migliore sarebbe meglio, senno' occorre accontentarsi.
--


 elaborazione di un sistema ottimale...
Imho ovviamente si, anche se probabilmente il fatto di usare le probabilita'
derivanti dalle quote (senza nessun aggiustamento) e poi valutare le quote
delle colonne risultanti con le quote dello stesso book non e' la migliore
strategia.
D'altronde p non la si conosce. P' e' una buona stima, se si trovasse una
stima migliore sarebbe meglio, senno' occorre accontentarsi.
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