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Titolo: Problema geometria solida

OT. Ciao, chiedo scusa se è inappropriato pubblicare qui questa domanda, ma per esperienza ho trovato più risposte qui che in ore di ricerca in rete...ovviamente i moderatori cancellino o spostino come ritengono più opportuno. 
Vorrei risolvere un problema che mi si è insinuato nella testa che però non riesco a risolvere. Farlo in maniera empirica e (a grandi linee) abbastanza preciso non è troppo difficile, ma per quanto abbia frequentato il liceo scientifico (ormai 35 anni fa) non ne vengo a capo. Ecco il punto. Ho una caraffa in vetro, alta 167mm di cui posso misurare la base minore (68mm) e quella superiore (86mm). La domanda è questa. Supponiamo che verso 100ml di acqua, essa raggiungerà una certa altezza. Quale altezza raggiungerà l’aggiunta di altri 100ml di acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del volume...

Pigreco r^2 è l'area del cerchio. Se la moltiplichi per h ottieni
 il volume.
100ml sono 100 cm^3, quindi puoi fare i calcoli semplicemente in
 centimetri.
 
 
-- 
Vieni a trovarci su Youtube: 
https://goo.gl/522kv4
 

Il problema è che il volume aumenta quadraticamente rispetto al
 raggio (e quindi rispetto al diametro).


acqua? E altri 100? Insomma, esisterà una formula che mi permetta, dati gli elementi noti, di sapere a quanti mm otterrò il raddoppio del volume...
 
Il referente per i problemi matematici si chiama Socratis.
Ogni tanto passa di qui per renderci partecipi dei suoi calcoli, prova
a chiedere a lui.
 
 
-- 
 
Byebye from Verona, Italy
 
Bernardo Rossi

 
 
 
I miei ricordi scolastici risalgono alle guerre puniche, però se hai un 
problema che riguarda un tronco di cono potresti chiederei a un gelataio.
 
:-)
 
Ok, ho detto una cazzata...

 Ok, ho detto una cazzata...
io pure :-D
 

  centimetri.
 
Si parla di un tronco di cono, quindi R' ed R". Raddoppiare l'altezza non vale.


 otterrò il raddoppio del volume...
 
Fai la differanza tra i volumi dei diversi tronchi di cono.
https://www.math.it/formulario/solidi_rotazione.htm
 

 
ma questo problema rientra nella T.n.p. ? perchè altrimenti non risponde
 

 
https://www.math.it/formulario/solidi_rotazione.htm
 
Purtroppo non ho capito.
Diciamo cosi: ho tre elementi certi di questo solido: base minore, base maggiore ed altezza. 
Dentro la caraffa inserisco una quantità di acqua X, che raggiunge una certa altezza Y. Fino a quale altezza Z devo aggiungere l'acqua ottenere 2X?


Che significa?!?!? oO
 

 
 
secondo me ,partendo dalla formula del volume del tronco di cono
http://www.ripmat.it/mate/g/gk/gkdc.html
 
ed usando un foglio di calcolo (excel o simili) puoi ottenere quello che 
chiedi
calcolando il volume V ,in funzione dell'altezza h
 

fabian...@gmail.com
 ha scritto:

che il demente del ng,nonché giullare e troll del ng, usa solo la 
matematica T.n.p.
di sua invenzione
 

 calcolando il volume V ,in funzione dell'altezza h
Si certo, però non riesco ad estrapolare la mia incognita "Altezza"...
V=⅓πh(R²+Rr+r²)
V è nota
R ed r sono note. Ma utilizzando questi due dati ottengo il volume totale, che non è quello che cerco. Secondo me manca un elemento da aggiungere, ma lascio la parola a chi ha (ancora) più dimestichezza di me con la geometria solida...

Dopo dura riflessione, 
fabian...@gmail.com
 ha scritto :

Provo a ragionare (da fabbro, quindi a livello molto elementare:-)
 
Hai detto che conoscendo Raggio maggiore, raggio minore  e h altezza si 
trova il volume, facciamo che sia 1000 cc.
 
Ora a te serve calcolare a che h arriverà il liquido se ne versi solo 
500 cc.
 
I dati disponibili sono:
500 cc
raggio minore.
 
Dobbiamo scoprire i due dati mancanti, Raggio maggiore e h Altezza.
 
Se troviamo questo potremo usare la stessa formula per trovare 1/4 o 
tutti gli altri volumi.
 
-- 
Fabbrogiovanni
 
I'm a neanderthal man
You're a neanderthal girl
Let's make neanderthal love
In this neanderthal world

Il 20/04/20 19:02, 
fabian...@gmail.com
 ha scritto:

Se non ho fatto male i conti risulta questo:
 
- suppongo che le basi siano circolari;
- l'inclinazione dal basso verso l'alto è data da (R-r)/h= tgF;
- pi=pigreco
- il volume all'altezza h è uguale a: V(h)= 
h/3*pi*(3r^2+3rh(tgF)+h^2(tgF)^2)
 
 
Gianluca

 
comunque se
V=1/3π(R²+Rr+r²)h
allora
h=V/(R²+Rr+r²)1/3π
 
il problema è sia h che R (relativo ad h) sono incognite...
 
 

 Gianluca
grazie Gianluca 

 quella superiore (86mm).
 
si' ma la misura a cosa si riferisce, al diametro o al raggio?
 
 
 
 
-- 
Keep Calm and Stay Home
 
 
-- 
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 E altri 100? 
 
trabocca.


 equazione possiamo avere solo una incognita, con due non c'è trippa...
 
Fare i conti a mano richiederebbe una vita ma Bill Gates ci ha fornito 
Excel.
Io non sono abbastanza bravo con questo programma ma credo che basta 
conoscerlo un pochino e ci possiamo arrivare.
 
Provo ad esporre la mia teoria, gli esperti informatici sono pregati di 
fermarsi qui e non proseguire a leggere:-)
 
Una delle due incognite (il R maggiore) la troviamo facilmente.
Conoscendo quella in basso e quella in alto dividiamo l'altezza in 
parti quasi infinite, diciamo passo 1 mm (e abbiamo trovato la terza 
incognita)
 
Così facendo avremo r minore, R maggiore e Altezza (1 mm).
E con Excel calcoliamo il volune di questo sottile tronco di cono.
 
Poi replichiamo la formula con h=2 mm, con h=3 mm, e via di seguito 
fino ad arrivare in cima.
 
Prima abbiamo fatto finta che la caraffa piena contenga 1000 cc.
Ora che abbiamo 167 risultati basta chiedere ad Excel di evidenziarci 
solo quelli che sono più simili a 100, 200, 300, ecc. ecc.
 
Basterà osservare la formula che ha dato questi circa 100, 200, 300, 
ecc. ecc. e passiamo ad incidere le tacche sulla caraffa.


 si' ma la misura a cosa si riferisce, al diametro o al raggio?
Mea culpa errore mio trattasi di diametro e non di raggio, ma, in realtà non cambia il concetto, a noi serve una relazione tra questi parametri, una formula in poche parole che ci offra il risultato richiesto... 
Tanti anni fa il mio prof avrebbe detto: "Oggi compito in classe! Problema: dato un tronco di cono di cui conosciamo..."


Disegna la sezione della caraffa, che sarà un rettangolo con due
 triangoli ai lati, e calcola la larghezza (che è il diametro) in
 base al seno dell'angolo alla base.


 trabocca.
In maniera empirometrica o spannometrica che dir si voglia, arriviamo un pò tutti con un certo grado di approssimazione alla soluzione. Tanto più non è questione di vita o di morte: ho preso un cilindro graduato da 100ml, e ad ogni altezza ho segnato una tacca. E considerando che la differenza tra le due basi non è enorme (non ha certo la forma di un vaso da fiori) si può immaginarlo quasi come un cilindro.
Resta però lo smacco di non aver saputo trovare una formula matematica da applicare semplicemente!  


Più semplicemente, il diametro varia linearmente, quindi 
diametro all'alt. h = d+(Dmax-d)*h/htot


 ecc. ecc. e passiamo ad incidere le tacche sulla caraffa.
 
L'approssimazione al mm è tipica di come me e te lavora (a livello di ragionamento, eh!) con grandezze piccole e approssimazioni piccole, che nei tuoi lavori col ferro o i miei giochini col ferro funzionano bene, ma siamo lontani da una formula che leghi quei valori del tronco di cono e ci restituisca un altro valore.


Secondo i miei calcoli, il volume di un liquido che raggiunge il
 livello h è:
 
h * pigreco * (d/2 + (D-d)*h/(4*ht))^2
 
dove d è il diametro minore, D è il diametro maggiore e ht è
 l'altezza totale.


 
d= diametro minore
D=diametro maggiore
H=altezza totale caraffa
 
πh[d/2 +(Dd)h/4H]²
 
in questa formula "h" è presente sia fuori che dentro le parentesi graffe, inoltre una equazione senza un "=" non offre risultati

> inoltre una equazione senza un "=" non offre risultati
 
Uh???...


Quella formula, poi, dove l'hai trovata? Non è la mia, è diversa.


 restituisca un altro valore.
 
Qui passo, come premesso dall'inizio la faccenda è di livello troppo 
alto per le mie capacità.
 
-- 


100ml sono 2,65cm
200ml sono 5,09cm
300ml sono 7,38cm
400ml sono 9,53cm
Capacità totale (16,7cm): 777ml


Mi pare che ho semplicemente sostituito Ht con H e ho messo le parentesi quadre al posto di quelle tonde. Per il resto mi sembra la tua formula. Quando poi parlo di mancanza del segno = intendo una formula che mi dica:
h=(X*Y)/Z etc etc. Ai valori X Y e Z sostituisco i valori noti ed ottengo il mio bel risultato, cioè il valore di h

 otterrÃ² il raddoppio del volume...
 
Ho provato a fare il calcolo; concettualmente è banale ma
richiede un po' di "muscoletti" matematici e se sei
curioso e lo vuoi, posto le foto di tutti i calcoli con le
verifiche della formula. Diciamo che una mezz'oretta mi ci
è voluta perché sono parecchio arrugginito ma a intuito mi
torna (analisi dimensionale e test dei due casi limite).
 
Detti:
 
R1: raggio della base di appoggio inferiore
R2: raggio del bordo superiore
H: l'altezza della caraffa
S: l'altezza generica del pelo di liquido misurata dalla 
base (per capirci: S varia tra 0 e H)
 
mi viene:
 
V = (pi/3H)*[(R2-R1)^2*S^3+3*(R2-R1)*R1*H*S^2+
+3*H^2*R1^2*S]
 
Ora, per la tua domanda ovvero sapere a quale incremento
dell'altezza del pelo libero dell'acqua corrisponde un
raddoppio di volume, trovare la formula la vedo duretta.
Occorre ricavare S dal malloppone qui sopra e farlo in
forma algebrica è un po' lungo, presumo si otterrà una
formula anche poco maneggevole anche se è una normale 
equazione di III grado che si riduce immediatamente a una 
di II.
 
Se è una curiosità mi fermo qui, e puoi provare per 
tentativi o fare un grafico tramite la formula. Ma se dici 
che da questo problema dipende la tua vita qualche 
volenteroso potrebbe pure far risolvere l'equazione a 
Matlab, insomma, grazie ai potenti mezzi del NG 
sicuramente verremo fuori anche da questo problemino :D
 
 
-- 
Ieri ho fatto la spesa ed è stato come la prima
volta che ho fatto sesso. E' stato meraviglioso,
è durato poco e ho speso 50 euro.
 

Ho scritto:
*il volume* di un liquido che raggiunge il livello h è:
 
h * pigreco * (d/2 + (D-d)*h/(4*ht))^2 
 
La russa formula è diversa! Controlla bene... :)


Ops, mi è sfuggito un quadrato, quella corretta è:
 
 
V = (pi/3H^2)*[(R2-R1)^2*S^3+3*(R2-R1)*R1*H*S^2+
+3*H^2*R1^2*S]


Archaeopteryx ha scritto:

Senza sminuire le menti locali, visto che non me lo posso
certo permettere :-), immagino che su it.scienza.matematica
se la caverebbero abbastanza facilmente.
 
Bye, G.

Archaeo, la mia è molto più semplice! L'hai vista? Calcolo il
 volume in base al diametro medio tra quello al livello del
 liquido e quello alla base. Uhmm... Adesso che ci penso, però,
 non è lineare! Ci sarà un 15% di errore?
 
V=h*d^2
d=1   v=1
d=2   v=4
d=3   v=9


 di II.
 
Altra rettifica, mi sa che l'equazione resta di III grado, 
la formula esiste ma anche se la si fa calcolare da 
qualche software di matematica è assolutamente fuori 
questione utilizzarla. Si può fare per via grafica, ad 
esempio.


Ecco i calcoli:
https://i.postimg.cc/k54ww4xt/20200421-003952.jpg
 
Forse basta fare la media quadratica Sqr(d(h)*d) anziché (d(h)+d)/2


... oppure per approssimazioni successive.


 se la caverebbero abbastanza facilmente.
 
 
Non ho dubbi, è un problema che almeno quando studiavo io 
era da medie inferiori, quindi per un'utenza di livello 
così alto come c'è lì, è meno che banale; delle due il 
pericolo è che forse nemmeno lo degna di uno sguardo :D


Un programmino in C che approssima fino a ottenere la precisione
 desiderata :)


 Archaeo, la mia Ã¨ molto piÃ¹ semplice!
 
Non è vero che è più semplice, hai fatto uno sviluppo in 
serie di potenze troncato al primo termine, è la mia a 
essere semplice :PPPPPP


 precisione desiderata :)
 
Certo, ricordo che la formula di Newton fu uno dei miei
primi esercizi di programmazione, ero quasi un marmocchio
:(((((


 
 
Io lo farei cosi'.
 
Il volume del tronco di cono e' uguale al volume del cono che ottengo se 
faccio "crescere il solido" fino a farlo arrivare alla punta (quindi il 
cono da cui deriva per troncamento) meno il volume della parte mancante, 
che e' un cono piu' piccolo.
 
Chiamo
 
pi il pi greco
R il raggio grande del recipiente
r il raggio piccolo del recipiente
h l'altezza del recipiente
r' il raggio della superficie superiore dell'acqua
h' l'altezza dell'acqua
(nel fare i conti estendero' la definizione di r' e h' a volumi che 
superano il volume del recipiente)
 
h_c l'altezza del cono "originale"
 
V_grande il volume del cono originale
 
V_piccolo il volume del cono che e' la differenza fra il cono originale 
e il volume *attualmente occupato dall'acqua*.
 
 
Aggiungere 100 ml di acqua nel recipiente e' come togliere 100 ml di 
aria al cono piccolo; la formula del volume del cono e' piu' semplice di 
quella del tronco di cono quindi sara' piu' semplice invertirla. Quindi 
ci conviene considerare il cono piccolo piuttosto che il tronco di cono.
 
Mi procuro come primo passo l'altezza del cono grande, che mi serve per 
trovare l'altezza del cono piccolo in funzione dell'altezza dell'acqua. 
La trovo considerando che posso trovare il raggio della superficie 
superiore del tronco di cono in funzione dell'altezza, e che questo e' 
uguale a zero quando l'altezza e' uguale a quella del cono (sono 
arrivato alla punta).
 
Il raggio in funzione dell'altezza lo ottengo considerando che deve 
essere una funzione lineare dell'altezza uguale a R per h' = 0 e uguale 
a r per h' = h.
 
Quindi
 
r' = R*(1-h'/h) + r*h'/h
 
trovo h' tale che r' = 0, e ottengo l'altezza del cono "originale":
 
h_c = h * R / (R-r)
 
Il volume del cono originale e'
 
V_grande = 1/3 * pi * R * h_c
 
e adesso ho il volume del cono piccolo (parte vuota del recipiente piu' 
pezzo che manca per completare il cono) in funzione del volume dell'acqua
 
V_piccolo = V_grande - V_acqua
 
Ora calcolo il volume del cono piccolo in funzione dell'altezza dell'acqua
 
V_piccolo = 1/3 * pi * r' * (h_c - h')
 
Noto che posso esprimere r' in funzione di h_c - h', l'altezza del cono 
piccolo; mi conviene arrivarci "direttamente": e' di nuovo una funzione 
lineare di h_c - h', uguale a zero quando h' = h_c e uguale ad R quando 
h' = 0. Quindi
 
r' = R * (h_c - h') / h_c
 
e
 
V_piccolo = 1/3 * pi * R * (h_c - h')^2 / h_c
 
da cui
 
h_c - h' = sqrt(V_piccolo * h_c /(1/3 * pi* R))
 
dove con sqrt ho indicato la radice quadrata e infine
 
h' = h_c  - sqrt(V_piccolo * h_c /(1/3 * pi* R))
 
Sostituisci la formula di h_c che abbiamo trovato e l'espressione di 
V_piccolo in funzione dei dati del problema (dimensioni del tronco di 
cono e quantita' d'acqua) ed hai il valore di h', l'altezza dell'acqua.
 
 
 
 

 
 
Mi sono accorto adesso della soluzione di LAB piu' in alto nel thread, 
ma non ho controllato se e' la stessa mia.

 mia.
 
Ma in compenso anche io ho fatto come te, solo che come
sempre non vedo le semplificazioni che si possono fare
parto sparato con le formule; difatti la mia è
un'equazione di terzo grado, ovvero inutile volendo
tentare la soluzione in forma chiusa :D


Devo mettermi un pò sotto con carta e penna e fare anche un minimo di disegno per capire bene i vari passaggi. L’unico dubbio che mi viene è proprio l’approccio fatto: mi pare di capire che consideriamo il tronco di cono poggiato su R, mentre nella realtà se costruissimo il “cono originale” da cui deriva esso sarebbe poggiato sulla punta. Ma probabilmente ai fini della soluzione è ininfluente. 
Grazie a tutti per il contributo, come spesso accade un problema che a prima sembra banale nella sua descrizione matematica non lo è più. Io proverei anche a porre il quesito sul gruppo di matematica e vedrei che dicono, tanto nel migliore dei casi mi fanno una pernacchia, nel peggiore mi ignorano :D

> 
 
Ieri sera ho fatto le cose un po' di fretta e non del tutto 
correttamente (non sono un matematico).
 
Nella formula che ho postato ho sottinteso che l'altezza h fosse 
variabile, ma mi rendo conto che questo causa ambiguità.
 
Ho riscritto in bella copia i calcoli, che trovi al seguente link:
https://i.postimg.cc/8cn7nbV5/IMG-0943.jpg
 
 
Ho chiamato x l'altezza variabile da 0 ad h ed usato la formula che dà 
direttamente il volume del tronco di cono (nota che la formula è 
simmetrica in B e b, cioè, scambiando B con b il risultato non cambia 
per cui posso tranquillamente pensare che la base inferiore sia in basso).
 
La formula fornisce V in funzione dell'altezza di riempimento x.
Se vuoi trovare l'altezza x - partendo da un livello dato di riempimento 
(es. 50 mm) - che incrementa di 100 mmc il volume, dovrai scrivere 
l'equazione: V(x)-V(50)=100 e risolvere l'equazione di secondo grado in x.
 
 
Gianluca

 cui deriva esso sarebbe poggiato sulla punta.
 
Ecco la mia soluzione, in sostanza come era pressoché
obbligatorio, ho prolungato il tronco di cono e fatto la
differenza. Mi spiace per la grafia pessima, una volta
scrivevo bene ma la disabitudine... :(
 
https://postimg.cc/gallery/W2yNSkx
 
 
L'idea è quella di trovare anzitutto l'altezza del cono di
"completamento", che con i simboli che ho già detto e che
comunque sono riportati, vale R1*H/(R2-R1). Il secondo
ingrediente è il raggio del cono in funzione dell'altezza
S del pelo libero dalla base inferiore. Anche stavolta con
una proporzione si trova R(s)=R1+((R2-R1)*S)/H. Il resto è
ovvio, volume dei coni e sottrazione. C'è anche il test
che ho fatto con i due ovvii casi limite. Dimensionalmente
torna perché a numeratore c'è un'espressione omogenea di V
grado e al denominatore una di II, quindi ne restano i 3
da cui ogni bravo volume deve dipendere.



Grazie, ora è molto più chiaro grazie alla foto dei calcoli fatti. Si tratta ora di fare dei confronti tra il calcolo teorico e prove empiriche per capire se c'è corrispondenza.
Grazie, SE ci fossi arrivato avrei impiegato un anno! :D

 richiesto... 
 
Devi aspettare la risposta di Martello, lui lo sa. 
 
un paio di anni fa avevo posto un problema simile (era un fosso da
riempire di ghiaia), che partiva largo e profondo e finiva stretto e
basso, in pratica c'e' da fare un calcolo di analisi matematica, non e'
solo geometria.
 
dato il volume aggiuntivo, come cambia l'altezza? nel frattempo che
versi, pero', cambia anche la sezione del calice, quindi come hai
detto anche tu, hai due incogite con una variabile sola. Non basta una
equazione sola.
 
 
 
 
 
 
 
 
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On 21.04.20 01:02, JTS wrote:

Ho dimenticato qualche quadrato :-) ma credo il metodo per avere 
un'espressione facile da invertire funzioni, poi lo correggo.
 

  L’unico dubbio che mi viene è proprio l’approccio fatto: mi pare di capire che consideriamo il tronco di cono poggiato su R, mentre nella realtà se costruissimo il “cono originale” da cui deriva esso sarebbe poggiato sulla punta. Ma probabilmente ai fini della soluzione è ininfluente.
 
Non me ne ero accorto :-)
 
In questo caso fingerei che la parte mancante del cono sia gia' piena e 
esprimerei il volume in funzione dell'altezza totale, doverbbe venire 
nuovamente un'equazione facile da invertire. Poi posto anche questa.

Direi che l'approccio di Archaeopteryx e Gianluca sono un pò diversi. Da una parte un calcolo un pò più snello (Gianluca) grazie alle funzioni trigonometriche che però porta con se una ovvia approssimazione, dall'altro una funzione un pò più corposa che andrebbe fatta eseguire ad un software per evitare di stare a fare mezz'ora di calcoli ad ogni variazione. Ma è anche quella che non apporta approssimazioni nell'applicazione reale. 
Grazie!

 nell'applicazione reale. Grazie!
 
Ho proceduto come ho fatto perché non mi era chiaro lo 
scopo che avevi o ancora hai. Dato che in pratica con una 
misura si fa prima ho pensato che avessi colto il pretesto 
del problema per capire come si fa e rinfrescare un po' di 
matematica. Per lo stesso motivo ho evitato la 
trigonometria, che chiaramente rende anche la soluzione 
esatta più semplice; di fatto tutti i miei (R2-R1)/H sono 
null'altro che tg(fi).


 
 
affronti il problema in modo errato, devi calcolare il volume in funzione
del area maggiore e dell'area minore,ma riferita all'altezza
ch'è considerata in quel momento...non a quella ultima in alto
comunque con Excel se metti i parametri ottieni tutti i valori di volume per
ogni frazione di h che vuoi e se fai la differenza tra i valori ottieni la
variazione di volume per variazione di h
 

 
 
 
Ho rifatto la soluzione per il caso "punta all'ingiu'", cercando 
stavolta di stare attento con i fattori.
 
Elenco i simboli (ci sono delle differenze rispetto alla prima soluzione).
 
Chiamo
 
pi il pi greco
R il raggio grande del recipiente
r il raggio piccolo del recipiente
h l'altezza del recipiente
 
 
r' il raggio della superficie superiore dell'acqua
h' l'altezza dell'acqua
(nel fare i conti estendero' la definizione di h' a valori negativi)
V_acqua il volume dell'acqua
 
h_piccolo l'altezza del cono piccolo (la punta che manca al tronco di cono)
h'_piccolo l'altezza del cono piccolo dotata di segno
V_piccolo il volume del cono piccolo
 
h_totale l'altezza dell'acqua rispetto alla punta del cono
V_totale la somma del cono piccolo e del volume occupato dall'acqua
 
 
 
Come nella prima soluzione
 
r' = r + (h'/h) * (R-r)
 
Pongo r' = 0 per trovare l'altezza del cono piccolo, mi viene un valore 
negativo (devo scendere per andare verso la punta):
 
h'_piccolo = - h * r / (R-r)
 
da cui
 
h_piccolo = h * r / (R-r)
 
e
 
V_piccolo = pi/3 * h_piccolo * r^2
 
Il volume del cono formato dal cono piccolo piu' l'acqua e'
 
V_totale = V_piccolo + V_acqua
 
e lo conosco perche' V_acqua e' dato del problema e V_piccolo lo ho 
calcolato.
 
Esprimo V_totale in funzione dell'altezza h_totale
 
V_totale = pi/3 * h_totale * r'^2
 
e r' usando h_totale
 
r' = r * h_totale/h_piccolo
 
quindi ho V_totale in funzione di h_totale
 
V_totale = pi/3 * h_totale^3 * r^2 / h_piccolo^2
 
Da questa ottengo h_totale facendo la radice cubica
 
h_totale = cbrt (3/pi * V_totale * h_piccolo^2 / r^2)
 
e infine
 
h' = h_totale - h_piccolo

 
 
con cbrt indico la radice cubica (credo si capisse).

Direi che l'approccio di Archaeopteryx e Gianluca sono un pò diversi.
 
Soluzione esatta:
 
h=d*y2*((radicecubica(1 + 12*V*(y1-y2)/(d*y2^3*pigreco))) - 1)/(y1-y2)
 
dove d e' l'altezza della caraffa, y1 il diametro dell'imboccatura e
y2 il diametro della base d'appoggio, V il volume di liquido versato. 
 
Visto che non c'e' tanta differenza tra le basi, una soluzione senza
radici cubiche abbastanza ben approssimata per piccoli volumi e'
 
h =~ 4V/(pigreco y2^2) (1 - 4V/(pigreco y2^2)*(y1-y2)/(d*y2) )
 
con d = 16.7 cm, y1 = 8.6 cm, y2 = 6.8 cm
 
risulta circa -- esprimendo V in millilitri --
 
h (in cm) =~ 0.028 V - 0.000012 V^2 
 
Ciao