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Titolo: Piccolo corso di meccanica generale: Lez. N° 5 (prima parte)

Lezione N° 5 -  Il "carico di punta" (prima parte).
( Ovvero come anche gli scienziati non disdegnavano
       giocare con i legnetti ).
Prendete in mano  un bastoncino sottile. Appoggiatene la punta a terra
ed esercitate una certa forza nello spingerlo lungo l' asse
(una compressione, insomma).
Ad un certo punto il bastoncino si fletterà, e se continuate a spingere,
si romperà.
Tagliatene un pezzettino di lunghezza piccola piccola, e ripetete
l' operazione precedente, applicando la stessa forza.
Il bastoncino resisterà tranquillamente.
Se ne deduce che esisterà una lunghezza critica in rapporto al diametro
del bastoncino, al di sopra della quale il bastoncino "perde" la sua
capacità di resistere a compressione sotto l' azione di una certa forza.
Se il bastoncino, (o più in generale un corpo) fosse perfettamente
prismatico, perfettamente omogeneo, e la forza di compressione
agisse rigorosamente lungo l' asse geometrico, i due  casi sarebbero
uguali.
Queste condizioni in realtà non si verificano, e per conseguenza, quando
il rapporto tra la lunghezza del corpo e la minima dimensione della sezione
trasversale supera un certo limite, si manifesta un' inflessione laterale
che conduce a rottura.
Vale a dire che allo sforzo di compressione semplice si somma un momento
flettente che concorre alla deformazione, momento flettente del quale
però non si è in grado di calcolarne il valore. Perciò il carico che i
solidi caricati di punta possono sopportare in sicurezza è solamente
una parte di quello a compressione semplice, e si chiama "carico critico".
La faccenda, anche è intuitiva per tutti, non è per nulla semplice da
calcolare, e ci voleva un vero genio matematico come Eulero
 per venirne a capo.
Fatta questa premessa, dal momento che il discorso è un po' lungo
ho diviso questa lezione in 3 capitoli separati :
1) - La lunghezza libera d' inflessione
2) - La formula di Eulero ed il rapporto di snellezza.
3) - Le formule di Tetmajer e di Rankine, ed esempi di calcolo
Così forse il tutto sarà più chiaro.
1) - La lunghezza libera d' inflessione.
L' esempio del bastoncino di cui sopra premuto tra la mano aperta
ed il pavimento configura un solido che ha le estremità articolate ai
due estremi, cioè come se alle estremità ci fossero due cerniere.
Ma una estemità del bastoncino potrebbe anche essere piantata
solidamente in un foro del pavimento (cioè incastrata), mentre la
forza esercitata dalla mano potrebbe essere sostituita da un peso.
Oppure ci potrebbero essere due incastri alle estemità, ad esempio
il bastocino piantato a terra e tenuto dall' altra parte nel pugno chiuso
e non solamente appoggiato sul palmo.
Per farla breve, ci sono 4 condizioni tipiche di vincolo, alle quali
Eulero ha trovato che corrispondono 4 carichi critici, in quanto la
deformazione che assume il corpo sotto carico è come se modificasse
la lunghezza geometrica del corpo in funzione delle condizioni di vincolo.
Se non avete capito, fà niente, vi basti sapere che nella sua formula
di calcolo del carico critico bisogna tener conto della lunghezza libera
di inflessione, e non della lunghezza geometrica del corpo.
In ordine crescente di resistenza, i 4 casi possibili sono :
1° caso : solido incastrato ad un estremo e libero all' altro. La lunghezza
              libera d' inflessione vale 2 volte la lunghezza geometrica.
2° caso : solido articolato ai due estremi. La lunghezza libera d'
               inflessione è pari alla lunghezza geometrica.
3° caso : solido incastrato ad un estremo ed articolato all' altro.
               La lunghezza libera d' inflessione vale 2/3 (due terzi) della
               lunghezza geometrica.
4° caso : solido incastrato a tutti e due gli estremi. La lunghezza libera
              d' inflessione è pari alla metà della lunghezza geometrica.
Ordinariamente in meccanica si incontrano più frequentemente il primo
ed il secondo caso. Il terzo si incontra più raramente, ed ancor meno
il quarto.
Facciamo un esempio di strutture secondo i casi di cui sopra.
Il primo caso potrebbe essere quello di un palo  gravato da un carico
in testa, come ...un albero della cuccagna !
Il secondo potrebbe essere una biella di un motore a scoppio.
Il terzo una colonna portante del tetto in un capannone.
Il quarto....non mi viene in mente :-)
2) - La formula di Eulero.
Quel gran genio di Eulero, capito che il carico dipendeva tra le varie
cose dalla lunghezza libera d' inflessione, arrivò così a determinare
il minimo carico critico per il quale ha inizio l' inflessione laterale in
ognuno dei 4 casi.
Che per quanto  riguarda la sicurezza delle strutture è già
una condizione di potenziale pericolo.
Quindi il carico P che il solido può sopportare con tutta sicurezza
sarà una frazione del carico critico di Eulero.
La formula pratica di calcolo del carico P, derivata da quella di Eulero,
diventa quindi
                                           E  x  J min
      P  =      C  x  2,5    --------------------
                                     n  x  L (al quadrato)
nella quale :
"P" è per l' appunto il carico di punta ammissibile
"C" è un coefficiente che, secondo i casi di lunghezza di inflessione
libera già indicati, vale :
1 per il primo caso
4 per il secondo
8 per il terzo
16 per il quarto
"E", come al solito, è il coefficiente di elasticità del materiale.
"J min" è il minimo momento d' inerzia della sezione resistente
(ovviamente la precisazione "min" vale se la sezione è rettangolare
o di forma non simmetrica. Se la sezione è quadrata, o circolare,
il "Jmin" è pari al "J" tipico della sezione).
"n" è un coefficiente di sicurezza, che vale 5 per il ferro, 8 per la ghisa,
e 10 per il legno.
"L" è la lunghezza geometrica del corpo.
Sembrava che i problemi fossero così risolti !
Ma i tecnici, che come tutti i tecnici sono invidiosi degli scienziati,
scoprirono ben presto che la sua formula non valeva per tutti i casi
di carico di punta, ma era applicabile solamente per i corpi più snelli.
Saltando il procedimento di verifica che questi signori avevano
prodotto, indico direttamente i limiti di applicabilità della formula di cui
sopra per le più comuni tipologie di sezioni e di materiali, cioè quando
é possibile calcolare il carico di punta con la formula di Eulero :
- per la sezione quadrata e rettangolare:
        L inf
      -------          maggiore di 30     per il ferro
           b                    "        "  23     per  la ghisa
                                 "        "  29     per il legno
nella quale "L inf" è la lunghezza libera d' inflessione, e "b" è il lato
del quadrato o quello più corto del rettangolo.
- per la sezione circolare piena:
         L inf
       -------          maggiore di 26    per il ferro
          D                    "         "  20    per la ghisa
                                 "         "  25    per il legno
nella quale "D" è il diametro della sezione.
- per la sezione a corona circolare:
                  L inf
      ---------------------------        maggiore di   26   per il ferro
    Radice quadrata della somma            "         "    20  per la ghisa
    dei due diametri al quadrato              "         "    25  per il legn
Sempre i tecnici di cui sopra avevano anche stabilito quali erano i limiti
per i quali era possibile calcolare il carico a compressione semplice :
- per la sezione quadrata e rettangolare:
             L inf
            -------        minore di 21  per il ferro
               b                 "        " 10  per la ghisa
                                  "        " 13 per il legno
-per la sezione circolare piena:
              L inf
             -------        minore di 18  per il ferro
                D                "        "    8  per la ghisa
                                   "        "   11 per il legno
- per la la sezione a cornona circolare:
             L in
   ----------------------------      minore di 18 per il ferro
   Radice quadrata della somma       "        "    8 per la ghisa
   dei due diametri al quadrato          "        "   11 per il legno
Se avete avuto la pazienza di leggere le formule di cui sopra, vi sarete
accorti che quindi rimaneva un' area di incertezza tra il caso di
applicabilità della formula di Eulero (caso in cui il corpo è molto snello)
e quello di compressione semplice (nel quale il corpo è tozzo).
Ad esempio, per un corpo di ferro ed a sezione quadrata, nell' intervallo
che và dal valore 21 (al di sotto del quale si adotta la formula della
compressione semplice), al valore 30 (al di sopra del quale vale la formula
di Eulero), non si sapeva come eseguire il calcolo.
Come fare quindi ?
Il seguito alla seconda parte della lezione N° 5.
Cordialità.
                  Paul

 
     Avrei una domanda,ma la risposta potrebbe essere nella 2 parte
     aspettero'.ciaofelix
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                   Paul
Provo a suggerirti l' esempio per il punto 4.
Le colonne in HE di un grattacielo, da piano terra al penultimo piano le
possiamo considerare incastrate agli estremi?
Fabbrogiovanni.
ps: questa era proprio la lezione che stavo aspettando,  cominciamo ad
arrivare nel difficile, ma con la tua spiegazione conto di farcela.

 possiamo considerare incastrate agli estremi?
Non mi azzardo a dare una risposta in tal senso.
Le travi  di uno scheletro di un edificio metallico come un grattacielo
sono parte di un insieme  di travi reticolari di tipo iperstatico,
cioè con vincoli  a  nodi sovrabbondanti, che sono fuori dalla mia portata.
In ogni caso escludo che siano sollecitate a carico di punta.
Cordialità.
              Paul

 In ogni caso escludo che siano sollecitate a carico di punta. 
Anche se la struttura è iperstatica è possibile comunque calcolare le sollecitazioni ( sforzo assiale, 
taglio, momento flettente - lo scheletro di un edificio metallico generalmente si considera un telaio, 
non proprio un insieme di travi reticolari che però semplifica di molto il calcolo)
Ogni volta che c'è un sforzo di compressione c'è sempre la possibilità del carico di punta (dipende 
ovviamente dalla snellezza del pilastro ), e difatti tale verifica ( a dir la verità a svergolamento , 
sforzo assiale + momento flettente ) è richiesta dalle norme per ogni asta del telaio ( o sistema 
reticolare). Ogni asta ha un suo sforzo assiale ed una sua lunghezza libera d'inflessione ( generalmente 
si considerano entrambe le estremità incernierate ) e quindi si effettua la verifica a carico di punta 
per ogni singola asta.
Ciao
Rudi

 per ogni singola asta
Mille grazie per le precisazioni !
Cordialità.
           Paul