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Titolo: Ingranaggi & Co. Lezione n 2

Ingranaggi & Co. Corso breve per bricoleurs.
LEZIONE  n° 2.
(Ovvero dove si spiega come  utilizzare una testa di cavallo,
e si impara che a volte gli ingranaggi sono utili  per poter essere
insigniti di un titolo nobiliare).
Nella prima lezione abbiamo visto le definizioni e le semplici relazioni che
legano i varii termini delle dentature. Le misurazione dei valori vengono
fatte ordinariamente con gli usuali strumenti (calibri a corsoio,
micrometri, comparatori, ecc.) ma voglio fare un cenno ad uno strumento
particolare che si utilizza per la misura dello spessore del dente in
corrispondenza del diametro primitivo (cioè quello che conta). Ne parlo
perchè è il sistema più semplice per ricavare la misura (metodo di Weber), e
perchè tale strumento si trova facilmente sulle bancarelle dei cosiddetti
"polacchi".
Credo peraltro sia l' attrezzo che loro vendono di meno !
Lo strumento è composto da due calibri a corsoio con nonio, uniti
a 90 gradi tra loro.
La misura si fa così :
con il primo calibro si predispone una linguetta metallica (detta
modulatore) ad una misura pari all' addendum del dente in misura.
Mettendo a contatto della sommità del dente la linguetta modulatrice
del primo calibro, le punte del secondo si posizioneranno automaticamente
sulla circonferenza primitiva della ruota, e quindi si potrà eseguire
una misura di larghezza del dente con il secondo calibro.
Da notare che le punte del secondo calibro comunque non misurano
un arco di cerchio, pari allo spessore circonferenziale del dente,
ma la corda dell' arco stesso. La misura perciò dovrebbe essere
corretta con opportune formule trigonometriche, ma usualmente
la differenza è così piccola da risultare spesso inferiore agli errori di
misura.
Ho citato questo metodo perchè è il più semplice possibile, l' unico alla
nostra portata di dilettanti.
Ma parliamo ora del rapporto di riduzione.
Quando si osservano due ruote dentate che si impegnano l' un l' altra,
la prima cosa che viene in mente è il rapporto di riduzione,
che può essere definito come
                   n2
                  ___
                   n1
dove n1 è il numero di giri della ruota conduttrice e  n2 è il numero
di giri della ruota condotta.
Il rapporto di riduzione è inversamente proporzionale al rapporto
tra il numero di denti delle rispettive ruote.
Cioè la ruota con più denti girerà più piano.
Bella scoperta, dirà qualcuno ! In ogni caso io la formuletta ve la passo
                   n2            Z1
                  ___    =    ___
                   n1            Z2
Questo se le ruote sono due solamente.
In molte applicazioni meccaniche le riduzioni di velocità prevedono
4 ruote (o più), poste in una configurazione chiamata "quaterna":
 albero motore
         >-------[] ruota1
                       []
         ruota  2  []------[] ruota3
                       []          []
                                    []
                                    []------------>
                       ruota 4  []      albero condotto
                                    []
ricordando che n è il numero di giri e Z il numero di denti,
si può ricavare (credetemi sulla parola) la seguente formula
                     n4            Z1 * Z3
                    ___   =   ________
                     n1            Z2 * Z4
Una tipica applicazione di questa configurazione è la derivazione del moto
dall' albero motore del mandrino del tornio alla vite conduttrice per l'
esecuzione delle filettature. Le ruote dentate necessarie devono essere
scelte in modo che esista uno specifico rapporto tra i giri del mandrino sul
quale è montato il pezzo da filettare e quelli della vite madre che trascina
il carrello portante l' utensile di taglio. Le ruote occorrenti secondo la
formuletta di cui sopra vanno scelte nel  corredo delle ruote di serie
facenti parte della dotazione della macchina, e montate sul supporto
apposito previsto, cioè la "testa di cavallo" del tornio stesso, chiamata
in questo modo perchè ricorda vagamente la silouette della testa di un
equino.
Dal che si capisce che i meccanici, ad onta del loro mestiere, dimostrano
a volte una gran fantasia, peraltro superata immediatamente da un' altra
fazione degli stessi, che chiama lo stesso marchingegno del tornio "lira".
Di norma comunque il costruttore della macchina agevola l' operatore
in quanto fa lui stesso questi calcoletti, e li riporta su di una targhetta
nella quale, per ogni passo di filetto, indica la quaterna di ruote da
adottare.
Con quello che costano le macchine utensili, mi pare il minimo
che possa fare!
Se gli assi di rotazione di due ruote dentate sono distanti, o se è
necessario invertire il senso di rotazione del moto, si inserisce tra le due
ruote una terza, detta "ruota oziosa".
Quest' ultima può avere un numero di denti qualsiasi, perchè la sua
grandezza non influisce sul rapporto di trasmissione.
Compito per casa :
Chi di voi saprebbe dimostrare perchè una ruota oziosa non influisce
sul rapporto di trasmissione di un treno di ingranaggi ?
Dopotutto, potrebbe essere più divertente provarci che guardare uno
di quei terribili spettacoli di quiz alla televisione !
Divagazione N° 1.
Non ho mai capito perchè la ruota folle di cui sopra, interposta tra due
ruote dentate, debba chiamarsi "oziosa", dal momento che il suo lavoro lo fa
più che bene. La più curiosa ruota oziosa che conosca io è quella che era
inserita nel motore della vecchia Mini Minor (quella vecchia, non più in
produzione). Il geniale progettista di quell' auto (che era un certo
 Alec Issigonis), quando inserì il motore originalmente scelto nel vano
 motore della Mini, si accorse che il senso di rotazione era sbagliato
per l' applicazione. Si trovò quindi un' auto con una marcia avanti e 4
indietro ! Per non invertire il senso di rotazione dell' albero motore,
inserì una ruota oziosa nella trasmissione, rimettendo le cose a posto. Non
sarà stato certamente solo per questo motivo, ma anche per tutti i meriti
del successo dell' industria automobilistica inglese di quel tempo che
mister Issigonis (che come lascia intuire il cognome  era di origine greca),
venne insignito da Sua Maestà Elisabetta II con il titolo nobiliare di
baronetto, e diventò in tal modo "Sir" Alec Issigonis.
Come dire che anche le ruote dentate hanno una loro nobiltà.
"Cinghiale", che conosce ogni cosa di auto e motori, credo possa
confermare il tutto.
Continuando il discorso sui rapporti di trasmissione, bisogna dire
che la ruota più piccola di una serie non può avere un numero di denti
inferiore ad un certo numero. E' intuitivo che i denti di una ruota
non possono essere solamente 3 o 4, e comunque nemmeno 5 o 6,
in quanto nel loro moto darebbero luogo ad una interferenza con i denti
della ruota coniugata più grande. In pratica, per avere un  buon
ingranamento delle due ruote, nelle quali i denti ingranino senza
strisciare, e comunque ci siano almeno 2 denti in presa che è il minimo
per avere un buon movimento, il minimo numero di denti possibile
và da 12 a 17, a seconda del rapporto di trasmissione tra le due.
Cioè se le due ruote hanno lo stesso diametro (rapporto 1 :1),
basta che abbiano entrambe 12 denti.
Per un rapporto di trasmissione di 1 : 8 e superiori, i denti
della più piccola devono essere almeno 17.
Questo è valido nel caso di denti creati con evolvente avente
"angolo di pressione" di 20°, cioè quelli normalizzati in Europa.
Nei paesi anglosassoni si usa l' evolvente con angolo di pressione di 14°
e 30', per la qual ragione il numero minimo di denti aumenta
(da 22 a 31 secondo il rapporto di trasmissione da 1:1 a 1:8).
Un artificio per far bene ingranare ruote con un numero di denti
più basso del dovuto è quello di spostare i cerchi di troncatura
caratteristici della ruota (ricordate il primo messaggio ?), nel senso
che si aumentano i cerchi della ruota più piccola e si diminuiscono
quelli della ruota più grande.
Le dentature così realizzate si dicono "corrette".
Ma avevo promesso di non parlare di dentature speciali, e mi fermo qui.
Andiamo avanti.
La ruota dentata con il minor numero possibile di denti facente parte
di una serie di ruote di pari modulo si chiama "rocchetto", o
con un brutto francesismo, "pignone".
Ed ora una bella domanda per i più attenti : la ruota più grande possibile,
quanti denti potrà avrere, e quindi di che diametro sarà ?
Mi rispondo da solo:
chiaramente il diametro potrà essere grande, grandissimo, quasi infinito,
anzi infinito ! Ed infatti, se il diametro è infinito, il cerchio di
troncatura esterno della ruota assumerà la forma di una retta.
E la nostra ruota dentata l' avremo fatta diventare una "dentiera",
cioè una riga dentata nella quale i denti, che saranno di numero infinito,
avranno conservato il passo (e quindi il modulo) originario, e perciò
potrà essere impegnata da qualsiasi ruota di pari modulo.
In tal modo, se ne abbiamo bisogno, potremo trasformare facilmente
un moto rotatorio in un movimento rettilineo.
Le curve del profilo del singolo dente, che erano un' evolvente di cerchio,
nella dentiera si saranno  raddrizzate ed avranno assunto la forma
di rette costituenti i fianchi inclinati di un trapezio.
Interessante, vero ?
Se non ci credete, andate a guardare la dentiera che avete  sul portone
scorrevole di casa con l' apertura motorizzata.
Alla prossima come si verifica la resistenza meccanica dei denti ,
e la tecnologia di costruzione degli ingranaggi.
Cordialità.
                   Paul

                   n1            Z2
Chiamando Zo  il numero di denti e no il numero di giri/min della ruota
oziosa (ma "o" potrebbe anche stare per operosa, visto che non ti sembra
giusto considerarla oziosa) si ha:
no/n1=z1/Zo o anche Zo*no=Z1*n1		[1]
allo stesso tempo:
n2/no=Zo/Z2 cioè n2=Zo*no/Z2			[2]
Sostituendo la formula [1] nella [2]:
n2=Z1*n1/Z2
In cui il numero di giri e di denti della ruota oziosa non influiscono
assolutamente sul risultato.
Domanda: se una ruota intermedia non influisce sul numero di giri,
perchè nelle "quaterne" invece sì?
Ciao,
Pierluigi

 sul rapporto di trasmissione di un treno di ingranaggi ?
Non credo di essere in grado di dimostrartelo matematicamente però, essendo
la ruota "oziosa" sia condotta che conduttrice allo stesso tempo, è
ininfluente il numero di giri della ruota stessa rispetto a quella delle
altre ruote, e quindi anche il diametro. Credo che sia un pò come x la
catena (o x la cinghia) : non importa quanto sia lunga, l'importante è che
ingrani entrambe le ruote. Quindi la ruota: non importa quanti denti abbia,
purchè ingrani entrambe le ruote, con l'unica differenza che, rispetto alla
cinghia, la ruota "ozisa" inverte il senso di rotazione. Credo che la stessa
cosa sia trasportare a distanza il moto tramite due ruote uguali sullo
stesso albero: non importa quanto sia lungo l'albero o che diametro abbiano
le ruote, l'importante è che le ruote siano di UGUALE diametro (primitivo,
chiaramente).
Quindi sarà anche vero che si possono inserire infinite ruote "oziose" nella
"quaterna" senza che il rapporto di trasmissione subisca alterazioni ?
E sarà di conseguenza anche vero che il rapporto di trasmissione varia solo
se due ruote presenti sullo stesso albero hanno diametri diversi ?
Aspetta aspetta, questa è bella: la velocità lneare di due ruote impegnate
tra loro è sempre uguale, varia però la velocità angolare se le ruote hanno
diametri diversi (giusto ??)
--
Ciao
!max!
* Scarta gli operatori logici per rispondere *

 sul rapporto di trasmissione di un treno di ingranaggi ?
Non credo di essere in grado di dimostrartelo matematicamente però, essendo


 perchè nelle "quaterne" invece sì?
Stessa spiegazione che hai già dato per la ruota oziosa.
La formula della quaterna è
       n4            Z1 * Z3
      __      =  ________
       n1            Z2 * Z4
che in chiaro dice :
Il rapporto di trasmissione di una quaterna è dato dal rapporto
tra il prodotto del numero dei dei denti delle ruote conduttrici
ed il prodotto del numero dei denti delle ruote condotte.
Ma noi sappiamo che per le prime due ruote della quaterna
    n1          Z2                         n2 * Z2
    __   =    __  e cioè    n1 =    _______
    n2          Z1                              Z1
e analogamente, per le ultime due ruote
    n4           Z3                          n3 * Z3
    __    =    __    e cioè   n4  =   _______
    n3           Z4                                Z4
Quindi se si divide n4 per n1, si ottiene
    n4        n3 * Z3          1 * Z1
   __   =  ________ *  _________
    n1            Z4             n2 * Z2
Perciò, sapendo che  n3 = n2  (perchè le due ruote intermedie
della quaterna fanno lo stesso numero di giri in quanto
montate sullo stesso asse), elidendo nella formula  n3 ed n2
che sono di pari valore, si avrà
    n4        Z3 * Z1
   __   = ________
    n1         Z4 * Z2
che per l' appunto è la formula della quaterna.
Complimenti e cordialità.
                Paul

hanno diametri diversi (giusto ??)
Giusto : l' ingranamento è sempre a identica velocità periferica, ma
a velocità angolare inversamente proporzionale al numero dei denti.
Cordialità.
                  Paul

 "polacchi".
a parte la difficoltà di trovare le bancarelle dei "polacchi", (sembrano
spariti almeno qui in lombardia), e dei loro calibri, come si fa a
determinare il modulo di ingranaggi piccoli-piccolissimi?
in orologeria si arriva fino a moduli 0,20.
ciao. Sergio.

a velocità angolare inversamente proporzionale al numero dei denti.
Mi lancio:
Dato che entrambe le ruote devono avere lo stesso modulo per ingranare
bene, il numero dei denti è proporzionale al diametro primitivo.
Quindi la velocità angolare è inversamente proporzionale al diametro.
E gli ingranaggi si comportano come pulegge (senza slittamenti).
Sono pronto a scommettere che la stessa cosa vale per le trasmissioni a
catena /pignone e le cinghie dentate/pulegge dentate.
Ma non ho scoperto nulla:
"due ruote dentate sono assimilabili a due ruote di frizione che girano
a contatto tra loro in corrispondenza del diametro primitivo".
[dalla lezione1]
Ciao.
Pierluig

montate sullo stesso asse),
Ecco cosa mi sfuggiva!
Non avevo capito il tuo schema ASCII delle quaterne, e pensavo che gni
ruota ingranasse la seguente, insomma due ruote oziose in serie.
Grazie per il chiarimento.
Ciao.
Pierluigi

 Non virgolettarmi, per favore :-)
OK, sarà fatto.
Peraltro io uso "virgolettare" l' interlocutore per
evidenziarlo nel contesto del messaggio. Mi sembra una forma
di cortesia per colui con il quale sono in contatto. :-)
Cordialità.
                   Paul

 in orologeria si arriva fino a moduli 0,20.
Nel campo della meccanica ordinaria i moduli degli ingranaggi
partono da m = 1, e da questo valore in sù non ci sono
problemi particolari con le ordinarie attrezzature.
E' vero peraltro che misurando lo spessore dei denti a piccolo
modulo il calibro a doppio nonio diventa impreciso a causa
di inesattezze dovute sia allo strumento (divisioni irregolari,
logoramento, piani spostati, variazioni di temperatura, ecc.),
oppure all' operatore (chiusura forzata o lenta, lettura inesatta,
cattiva messa a punto, ecc.).
Sempre utilizzando il metodo di Weber, si utilizzano perciò
strumenti più precisi ed accurati basati sul principio del micrometro
a tamburo con scala centesimale e lettura diretta su quadrante
a levetta indicatrice mobile (come gli ordinarii micrometri a
leva sensibile, insomma), che permettono apprezzamenti al 1/2
centesimo di millimetro.
Per quanto riguarda le misurazioni degli ingranaggi per orologeria,
è un campo totalmente diverso da quello della meccanica ordinaria.
Tali ingranaggi seguono regole totalmente diverse, in quanto il
loro scopo è quello sì di assicurare un rapporto di riduzione di un
movimento, ma alla condizione di minimo attrito possibile, ed
a questo scopo sono stati ottimizzati.
La curva matematica generatrice dei fianchi dei denti non è più
un' evolvente per entrambe le ruote impegnate, ma una epicicloide
per le ruote condotte, ed una ipocicloide per i rocchetti conduttori.
Se si guarda con una lente di ingrandimento la forma dei denti di
un' orologio, ci si accorge facilmente della differenza.
Il dente della ruota condotta (quella grande) ha un profilo che
assomiglia a quello di una finestra che termina con un arco gotico.
Quello del rocchetto conduttore (piccolo) è simile ai petali di una
margherita, con addirittura lo spessore del dente che è più grande
verso l' estremità del dente che alla radice.
Esistono poi in orologeria  profili di dente che sono compromessi
tra i due sistemi generatori (evolvente e epi/ipocicloide), nonchè
forme specialissime (dentatura Mikron) che erano state promosse
cooperativamente dai costruttori svizzeri di fresatrici per dentature
di orologerie.
Per quanto ne sò, gli unici ingranaggi ad evolvente usati negli
orologi sono quelli relativi alla corona  ed al barilotto della molla
di carica.
Ma probabilmente in materia ne sai più di me.
Cordialità.
                   Paul

 ha scritto nel messaggio
news:01c145ab$4c098120$fa97...@m6.nopay.it...


Grazie a te e a Paul.
Sergio