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Titolo: AIUTOOO!!!! Calcolo delle probabilità

Un mio amico ed io stiamo avendo una discussione molto accesa a proposito
del gioco del lotto, in particolare sul calcolo delle probabilità che
interessa tale gioco. Per entrambi il problema è lampante, però la
divergenza di vedute è netta.
Ci siamo accordati su un problema semplificato.
Si abbia un sacchetto con i numeri da 1 a 90. Si estrae un numero per n
volte. Ad ogni estrazione il numero estratto viene annotato in una tabella
che tiene conto delle frequenze (e non dell'ordine) di ciascun numero.
Arrivati alla n-esima estrazione posso in qualche modo calcolare la
probabilità che, alla (n+1)-esima estrazione, si presenti un dato numero,
tenendo conto delle estrazioni precedenti?
Risposta 1:
La probabilità che esca un numero dato è 1/90. Gli eventi "estrazione" sono
eventi indipendenti quindi i risultati precedenti non influenzano
assolutamente l'(n+1)-esima estrazione.
Però...però...
Risposta 2:
All'infinito esce che le frequenze di tutti i numeri si avvicinano a 1/90.
Facciamo l'ipotesi che all'n-esima estrazione il numero m sia uscito un
numero di volte tale per cui la sua frequenza è sensibilmente minore di 1/90
(nel gioco del lotto sarebbe un numero ritardatario) ed è anche il numero
uscito meno volte di tutti. Allora è plausibile pensare che alla (n+1)-esima
estrazione il numero m abbia più probabilità di uscire degli altri per il
fatto che la frequenza di un numero deve tendere alla probabilità.
Non è che sia solo un problema di punto di vista?
Spero qualcuno abbia voglia di rispondermi.
Grazie a tutti.
Gabriele Zannoni

...
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Essendo gli eventi indipendenti la probabilita' e' sempre la stessa. Su
questo c'e' poco da aggiungere.
Viceversa puo avere senso fare un discorso di lungo periodo dicendo che: se
eseguissi 100 estrazioni consecutive e' molto alta la probabilita' che esca
un particolare numero.
Piu' precisamente questa probabilita' puo' essere colcolata con delle
formule di calcolo della probabilita' ed e' pari a:
 0,672847893849
Ciao
Paolo

...
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Non sono d'accordo sul punto due:
1. perche' se veramente vuoi parlare di equilibrio statistico non puoi
certamente far riferimento ad un numero cosi' basso di estrazioni (solo
150).
2. perche' il punto uno esclude il punto due
Ciao
Paolo
Ciao
Paolo

>puņ esistere)
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Mi definisci le parole aspettativa e probabilita' altrimenti non ci capiamo.
Ciao
Paolo


Cosa significa un discorso di lungo periodo????
Ti stai contraddicendo: come fai ad affermare che gli eventi sono
indipendenti e che la probabilità è sempre la stessa e allo stesso
tempo affermare che "è molto alta la probabilità che esca un
particolare numero"??
Su quali formule di calcolo ti basi?
Gabriele


Uno squilibrio statistico che non può esistere non esiste! Non puoi
chiudere la legge dei grandi numeri in 150 settimane! La legge vale
all'infinito. Se su 100000000000 di estrazioni avessi 150 settimane di
ritardo cosa diresti? Assolutamente nulla perchè su un numero così
elevato di estrazioni 150 ritardi sono una quantità irrisoria!!!
Secondo me.
Gabriele

 fatto che la frequenza di un numero deve tendere alla probabilità.
Sinceramente sono d'accordo sul fatto che sia solo un problema di punto di
vista...
Quello che e' sicuro e' che gli eventi sono indipendenti, per cui
l'estrazione di un numero ha probabilita' 1/90.
In merito alla seconda ipotesi (teorema di Poisson??? non mi ricordo) la
chiave di tutto dovrebbe essere nel "tendere all'infinito" del numero di
estrazioni, che automaticamente esclude la possibilita' di considerare un
caso (concreto) con n, n+1 estrazioni.
			ciao,
				filippo

Su quali formule di calcolo ti basi?
allora:
La probabilita' che esca il numero X alla prossima estrazione la chiamiamo
p1(X) ed e' pari a:
1/90
conseguentemente la probabilita' che non esca il numero X e' pari a 1-p1(X)
e la chiamiamo s1(X).
Quindi abbiamo:
p1(X)=1/90
s1(X)=89/90
Ora calcoliamo la probabilita' che il numero X esca o alla prima oppure alla
seconda estrazione e la chiamiamo p2(X). L'evento cercato non e' altro che
il non verificarsi dell'evento s1 per due estrazioni di seguito cioe':
p2(X)=1-s1(X)*s1(X)
Proseguendo il ragionamento possiamo affemare che la probabilita' che X
sortisca in una qualsiasi delle prossime cento estrazioni (gioco di lungo
periodo) e' pari a:
p100(X)=1-s1(X)^100=0,672847893849
Questo significa che se io avessi molti soldi potrei decidere di giocare
puntando sempre su di un numero con puntate via via maggiori sapendo quindi
a priori di avere buone possibilita' di vincere. Viceversa non significa che
dopo la 99a estrazione la probabilita' e' diversa da 1/90.
Spero di essere stato chiaro
Ciao
Paolo

Io sono per la risposta 1
Secondo me il ragionamento della risposta 2 non è esatto per questo motivo:
può sembrarvi paradossale ma un volta giunti all'n-esima estrazione non è
necessario che il numero ritardatario m esca più volte degli altri per far
sì che la frequenza riscontrata tenda alla probabilità (addirittura si può
avere una tendenza della frequenza alla probabilità anche se il numero
ritardatario m continuerà a uscire meno volte degli altri). Il paradosso
matematico si spiega con i tanto odiati i limiti (infatti se non sbaglio la
legge dei grandi numeri afferma che la frequenza, che ha n al denominatore,
deve tendere alla probabilità quando n va all'infinito...), però ti propongo
un esempio che trovo più immediato:
1000 lanci di monete: 700 testa, 300 croce
frequenza testa al 1000° lancio ft(1000)=0.7
frequenza croce al 1000° lancio fc(1000)=0.3
1001° lancio:
Mr risposta1:  50%testa 50%croce
(esatto ! ! !)
Mr risposta2:  più probabile croce
(sbagliato ! ! !)
Infatti se ad esempio tra il 1001° e il 2000° lancio uscisse testa 600 volte
(e croce 400) avremmo
ft(2000)=1300/2000=0.65 (da 0.7 si avvicina a 0.5 !)
fc(2000)=700/2000=0.35 (da 0.3 si avvicina a 0.5 !)
In questo esempio nel pieno rispetto della legge dei grandi numeri (in onore
della quale MrRisposta2 si sarebbe giocato la casa su croce) anche nei
successivi lanci testa è uscita più volte di croce!
Il vero inspiegabile paradosso è questo:
perchè pur non credendo affatto ai giochi in cui è assente il fattore umano
e pur sapendo che i 50 miliardi sono uno specchietto per le allodole, anche
io questa settimana per la prima volta ho giocato le mie belle 1600 lire al
Superenalotto?
Massimo Di Matteo


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La seconda ipotesi (maggiorre probabilità per un numero ritardatario) non è
palusibile, in quanto come dici tu su un elevato numero di estrazioni
(infinito) la frequenza con cui un numero qualsiasi esce si avvicina molto
ad 1/90.
Ma questo prende in considerazione molte estrazioni, in modo da mettersi al
riparo da eventuali anomalie.
Su una singola estrazione un numero ritardatario ha la stessa probabilità di
uscire di un qualsiasi altro numero, in quanto non obbedisce ad alcuna
legge, a meno che fare una ulteriore casistica:
Su un vasto campionamento di estrazioni (infinito) calcolare la probabilità
che un numero ha di uscire alla (n+1)esima estrazione dopo n estrazioni.
Dove ovviamente n è un numero finito e determinato.
Stimare una probabilità teorica in questo caso è davvero difficile, andrebbe
calcolata in modo pratico, riferendosi proprio ad un numero sufficentemente
elevato di estrazioni.
Potrebbe quindi porsi la stima delle probabilità che un numero con (ad
esempio) 150 estrazioni di ritardo ha di uscire alla 151esima estrazione.
Tale probabilità andrebbe calcolata così:
p=(n150)/(n151)
dove
n150=numero di volte in cui un numero qualsiasi ha avuto 150 estrazioni di
ritardo
n151=numero di volte in cui un numero qualsiasi è uscito alla 151esima
estrazione
Immagino comunque che tale probabilità calcolata su un numero infinito di
estrazioni sia prossima al valore di 1/90 (valore teorico infatti gli eventi
hanno stessa probabilità di uscire ad ogni estrazione e la stima teorica da
una estrazione all'altra da' 1/90 (eventi indipendenti), mentre è stimabile
la probabilità che un numero tardi per 150 estrazioni, ossia (89/90)exp150,
cioè 89/90 possibilità di non uscire ad una singola estrazione elevato al il
numero di estrazioni successive=18.7%).
Sempre a livello teorico la probabilità di uscire alla 151esima estrazione è
1/90*(89/90)exp150 ossia torniamo all'1/90 di prima.
Tutte queste sono ipotesi, nel caso smentitemi

 scritto nell'articolo
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Sconvolgente che qualcuno ancora pensi a questo problema...
Basta leggersi un qualunque librettino di calcolo delle probabilità...
Comunquer: come fanno le palline della n+1-sima estrazione a sapere cosa è
uscito delle n precedenti e quindi regolarsi su quale amichetta far uscire
?!
Mah...
Il limite all'infinito è un'astrazione tutta matematica che non va ridotta
per estrapolazioni sul singolo evento...
		sono allibito

 sono allibito
Beh a parte essere allibiti, in quanto la domanda o comunque il dubbio
potrebbe essere lecito, la probabilità di estrazione non può tendere
all'unità in quanto rimane e rimarrà sempre 1/90. Tuttalpiù si può dire,
parafrasando la legge debole dei grandi numeri, che all'aumentare del numero
di estrazioni aumenta la probabilità che il numero considerato esca.
Andrea.

Consiglio l'apertura di
it.discussioni.statistica...
se non esiste ancora...

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