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Titolo: Crescita esponenziale

Salve e auguri a tutti.
Ho scritto qualche riga sulla crescita esponenziale(che trovate dopo i  
trattini), e mi
interessava avere qualche commento, cosi' da vedere se ho fatto qualche  
errore in quello
che ho scritto. Una volta revisionate io pensavo di mandarle a Beppe  
Grillo, visto che il
suo e' il blog piu' letto in Italia, e percio' se me le pubblica, almeno  
la parte mia
all'ignoranza nelle materie matematiche che affligge l'Italia l'ho fatta  
:-)
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La scuola dovrebbe dare a tutti un bagaglio di conoscenze comuni, utili per
prendere le decisioni riguardano tutti.  Una delle nozioni che si dovrebbe  
dare
per conosciuta, ma cosi' non e', e' il concetto di crescita esponenziale.
Molti pensano che crescita esponenziale sia sinonimo di crescita veloce.   
Non
e' cosi': quella puo' essere anche una crescita lineare con coefficiente
moltiplicativo molto alto. O che significhi una crescita che accelera
sempre: ma quella puo' essere una crescita quadratica.
Per far comprendere a chi mi legge una crescita di questo tipo, facciamo un
piccolo esperimento, che richiede l'utilizzo di un foglio di calcolo come
Excel di Microsoft o Calc di OpenOffice. [Nota: in fondo ho riportato  
alcuni
dati, utili per chi non avesse un foglio di calcolo].
Sulla colonna A scriviamo i numeri da 1 a 100.  Su B1 scriviamo 1 e su B2
scriviamo la formula =B1*1,06, che poi replichiamo fino a B100. La crescita
percentuale (ad esempio del 6% annuo) e' un esempio di crescita  
esponenziale.
Partiti da 1, in soli 100 anni  si arriva a  piu' di 320 ! Ma non solo  
questo
e' da osservare.  Nei primi 20 anni, l'incremento e' solo di 2 unita', ma  
negli
ultimi 20 e' di circa 220 unita' !
Ancora piu' interessante e' fare un grafico delle due colonne.  Si vedra'  
cosi'
bene che talune crescite lineari sono inizilmente piu' veloci di talune
crescite esponenziali, per periodi di tempo anche lunghi, ma poi la  
crescita
esponenziale esplode !
A questo punto sarebbe il caso di sperimentare liberamente col foglio di
calcolo, cambiando ad esempio il tasso di crescita dal 6% ad altri valori.  
Con
una crescita dell'1% ad esempio i tempi si dilatano notevolmente, e solo  
dopo
circa 650 anni c'e' il sorpasso rispetto alla crescita lineare. Il grafico
comunque a gomito c'e' sempre (anche se il gomito e' piu' largo e  
posizionato
molto piu' avanti nel tempo).
Questo e' qualcosa su cui si deve meditare ogni volta che ci si trova di  
fronte
a situazioni in cui una qualche grandezza cresce esponenzialmente. Per  
molto o
moltissimo tempo non ci sono problemi, ma poi, in tempi relativamente  
brevi,
c'e' una crescita velocissima, che puo' essere molto difficile gestire.
Ancora piu' interessante e' lo studio del consumo di risorse in presenza di
crescita esponenziale del consumo.  Mettete in C1 il numero 500 (a  
simboleggiare 500
unita' inizialidi risorse), in C2 la formula =C1-B2 (che rappresenta la  
quantita' di risorse
rimanenti), che replicherete fino alla riga 59. In qulla riga si puo'
vedere  che la risorsa e' finita !  Percio' se una risorsa dura 500 anni al
tasso di consumo attuale (consumo di 1 unita' all'anno), non dura nemmeno  
60 se
il tasso di consumo cresce del 6% annuo !
In particolare dovrebbe notare che, ad esempio, delle 500 unita' iniziali  
dopo
47 anni ce ne sono ancora 259, piu' della meta' ! Si sarebbe tentati di  
pensare
che , visto che ci sono voluti 47 anni per consumare circa la meta' delle
risorse, almeno per lo stesso periodo le risorse che restano potrebbero  
durare.
Invece no !
E se invece di 500 ci fosse 1000, a rappresentare la scoperta di nuovi
giacimenti nel tempo?  Non cambierebbe praticamente nulla, come si puo'
facilmente verificare ripetendo il calcolo: invece di esaurire le risorse  
in 59
anni, si esurirebbero in circa 71 anni. E se si volesse moltiplicare le  
risorse
di 10 volte, passando da 500 a 5000,  si risolverebbe qualcosa ?  Si, ma  
per
pochi anni ! 5000 unita' di risorse vengono consumate in meno di 100 anni  
! E
nuovamente notate che fino a pochi anni prima della catastrofe, tutto (agli
occhi inesperti) sembra che vada bene. Fino all' anno 86 dall' inizio, le
risorse consumate sono solo la meta' di quelle totali, ma in soli 11 anni  
si
consuma la meta' rimanente.
Con una crescita piu' bassa i problemi sono minori, ma anche con una  
crescita
dell'1% una risorsa che durerebbe 500 anni senza crescita del consumo  
durerebbe
180 anni.
A questo punto occorre notare che in realta' le cose non sono esattamente
cosi', visto che nel consumo di risorse, al crescere della rarita', cresce  
il
prezzo, cosa che abbassa il consumo, ma non per questo si puo' essere
ottimisti, visto che l'aumento dei prezzi delle risorse ha comunque effetti
negativi sulla crescita economica.
Comunque lo scopo di questo mio scritto non e' fare delle previsioni
economiche, su cui non mi sbilancio, ma semplicemente chiarire cosa si  
intende
in realta' per crescita esponenziale, visto che molto spesso mi sembra che  
sia
un argomento che la scuola dovrebbe aver insegnato, e che invece mi sembra
ignorato dal 99% della popolazione.
Per chi non avesse voglia di giocherellare con il foglio di calcolo,  
riporto
qui sotto alcuni dati relativi alla crescita del 6% annuo e del relativo
consumo di risorse.
A   B               C               D               E
1   1               500             1000            5000
10  1,689478959     487,8192051     987,8192051     4987,819205
20  3,025599502     464,2144088     964,2144088     4964,214409
30  5,418387899     421,9418138     921,9418138     4921,941814
40  9,703507488     346,2380344     846,2380344     4846,238034
50  17,37750403     210,6640954     710,6640954     4710,664095
60  31,12046307     -32,12818089    467,8718191     4467,871819
70  55,7320096                      33,06783035     4033,06783
80  99,80754102                                     3254,400109
90  178,7401049                                     1859,924813
100 320,0963052                                     -637,3680586
-- 
Using Opera's revolutionary e-mail client: 
http://www.opera.com/mail/

Matematicamente parlando la crescita esponenziale NON è la più
ripida. E anche volendo fare un parallelo con il mondo fisico non puoi
non citare la serie fattoriale y=x!
date le variabili x e y e n > 1 le crescite più "spinte" sono: (in
ordine crescente)
...
y=x^n
y=n^x (la serie esponenziale è solo un caso particolare con n=e,
numero di Nepero)
y=x!
y=x^x
Prendi Matlab poni n=e e disegna queste curve...si può dimostrare
tutto anche analiticamente se vuoi. Interessante è la dimostrazione
che x! cresce meno di x alla x vedi
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssimazione_di_Stirling
.
Ciao e auguri!
ombra ha scritto:


 
Quello che ombra vuole mettere in luce non è il concetto puramente 
matematico, ma l'utilità dello stesso nella vita quotidiana e
soprattutto quando ci si trova
di fronte alla necessità di fare previsioni e prendere decisioni che
abbiano
effetti di lunga durata a livello economico, sociale ed altro ancora.
Bravo ombra io insegno matematica e per ora mi ero posto il problema di
far
comprendere il significato delle percentuali e l'uso ed abuso che se ne
fa,
soprattutto con i prezzi, inflazione, ecc.
Spesso non sanno la differenza tra applicare uno sconto del 60% e uno
del 4o%
seguito da uno del 20 %: pensano che il prezzo finale sia lo stesso!!!
Oppure non sanno come togliere da un prezzo l'iva al 20% e magari dare
un iva al 4%.
Ciao   
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 ripida.....
Il mio scopo non e' quello di stabilire la crescita piu' ripida:
ad esempio in quello che ho scritto faccio notare infatti che in periodi  
brevi
una crescita lineare puo' essere piu' rapida di una crescita esponenziale !
Ne' tanto meno penso di dare una comprensione degli aspetti matematici  
completa !
Il mio scopo e' semplicemente quello di far capire un concetto che io  
reputo
importante, cercando di farlo in una maniera semplice e (spero) corretta.
Ovviamente cio' non toglie che ci siano altri concetti ugualmente  
importanti che
tutti dovrebbero conoscere ma che non si insegnano bene :-(
Ciao.

 sempre: ma quella puo' essere una crescita quadratica.
Ciao. Mi fermo qui... Per ora ti dico che queste pignolerie non hanno molto
senso, perché sono molti i termini che nel linguaggio comune hanno un
significato differente da quello relativo agli ambiti specifici da cui
provengono. Addirittura ciò avviene anche all'interno della stessa
disciplina, e la letteratura è ricchisssima esempi relativi a terminologia
impropria. L'importante è che quando si usano, si sappia quello che
significano nel contesto in questione (e che lo sappia anche
l'interlocutore). Uno di questi è appunto quello di crescita esponenziale,
che nel linguaggio comune significa appunto "crescita veloce", senza
particolare riferimento alla legge matematica che descrive questa legge.
Quindi lascia perdere tutto il pippone con OpenOffice e il Blog di Beppe
Grillo, perché "crescita esponenziale" nel linguaggio comune ha un
significato ben definito (seppure improprio) di cui puoi solo (anzi devi)
prendere atto.
BYe bYE ByE Bye bYe byE
XisY

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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


Ciao. Io non discuto l'uso improprio del termine in se stesso,  
semplicemente
ritengo che questo uso improprio rappresenti un sintomo di una non precisa
comprensione della questione, che a sua volta fa prendere delle decisioni
sbagliate.
Supponi ad esempio che il tuo consulente finanziario ti proponga di  
investire
in titoli di stato del paese X (es. Argentina) che danno un interesse del  
10%.
E ti giuri che sono sicuri quanto quelli di un paese che da un interesse  
del 3%.
Bhe, il fatto e' che con un tasso di interesse del 10% il debito va su  
molto in
fretta (con legge 1.1^n), decisamente piu' in fretta  di 1.03^n !
E quindi aumentano le probabilita' che il paese scelga di non onorare quei  
titoli di stato !
Quindi il tuo consulente finanziario ti sta raccontando una balla.
Tu puoi scegliere di investire in quei titoli, ma se scegli di farlo, devi  
essere coscente
del rischio. E in generale non dovresti investirci tutti i risparmi di una  
vita.
Puo' pure darsi che mi tia sbagliando, e che tutti sappiano benissimo che  
cosa si intende
col termine "crescita esponenziale" anche quando lo usano impropriamente,  
ma, se permetti,
fammi essere alquanto scettico su questo punto.
Saluti.


 cosa si intende col termine "crescita esponenziale" anche quando lo usano
impropriamente,
Nel linguaggio comune, come hai detto, si intende "crescita veloce": questo
tutti lo sanno, e tutti lo usano con questo significato.


 tutti lo sanno, e tutti lo usano con questo significato.
Preferirei che almeno qualche persona in piu' capisse il concetto un po'  
meglio.
Saluti.
-
