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Titolo: problema di probabilità non difficile: aiuto!

ho un problema che non è molto complesso ma un pò...
sia X il numero di lanci di un dato affinchè appaia per la prima volta
'5'.
sia Y il numero di lanci di un dato affinchè appaia per la prima volta
'3'.
Come faccio a calcolare:
P(X<Y)=?
P(x>Y)=?
P(X=Y)=?
Grazie in anticipo, Mario

 sia Y il numero di lanci di un dato affinchč appaia per la prima volta
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sia Y il numero di lanci di un dato affinchè appaia per la prima volta
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Scusa, avendo ricevuto la replica per posta, ti ho risposto by mail tanto
che c'ero.
Non sto a riscrivere qui il tutto.
Massimo

 P(X>Y)+P(X<Y)+P(X=Y)=1
Non sono affatto daccordo.
La normalizazione delle probabilità (CERTEZZA=1) vale per dire che per ogni
lancio deve per forza venire fuori uno dei sei numeri, quindi 1/6 * 6 =1
banalmente.
Ma tu non stai analizzando un singolo lancio, per definizione.
Io ho fatto i calcoli usando il teorema di Bayes e l'ipotesi di indipendenza
statistica degli eventi ed inoltre il fatto che il sistema è "memoryless"
cioè non tiene affatto conto della storia degli eventi.
Non è manco Markoviano (storia dell'ultimo evento trascorso).
Supponi per esempio di voler calcolare la Prob. che il numero di lanci per
ottenere il "5" sia minore del numero di lanci per ottenere il "3".
Allora chiama n in primo nr di lanci ed m il secondo nr di lanci.
Cominci dal primo lancio e quando guardi il secondo dici: "che prob ho che
ora salti fuori un "5"?   "
La risposta (Bayes) è indipendente da quello che è venuto fuori nel primo
lancio, in quanto i due eventi sono statisticamente indipendenti...non fare
come certa povera gente che quando gioca al superenalotto punta sui numeri
che non escono da tanto tempo!!! Sei un ingegnere, non un mago che lavora in
TV a 2540 lire al minuto+ iva.
La prob che al secondo lancio venga fuori un 5 è uguale alla prob che il 5
salti fuori per la PRIMA VOLTA dopo un milione di lanci...ed è sempre uguale
ad 1/6.
Se iteri Bayes fino ad n ed m vedi la prob, resta fissata ad 1/6.
P (A | B ) = P (A,B) / P(B)
ma poiche i due eventi sono indipendenti, la prob congiunta A,B è uguale al
prodotto delle prob. e quindi semplificando rimane P(A) che vale 1/6.
Ormai ho preso a cuore il problema...fammi sapere il risultato fornito in
aula.
Ciao,
Massimo

 Grazie in anticipo, Mario
Ma parli di due dadi *diversi*, i cui risultati sono indipendenti, oppure
dello stesso dado? C'è una grossa differenza. Comunque il secondo caso è
facile, per cui passo al primo che è invece un pò più tosto. Ovviamente la
simmetria del problema ti assicura che P(X<Y)=P1= P(X>Y)=P2= a.
Inoltre, considerato il solito spazio degli eventi S , che in questo caso è
costutito da tutte le possibili serie di lanci dei due dadi, è chiaro che
esso è in corrispondenza biunivoca con N^2: difatti la variabile aleatoria X
( risp. Y) è intera e a diversi risultati della prima ( risp. della seconda)
prova associa valori diversi. Cioè un evento elementare è per esempio
fatto da 13 lanci del primo dado (al 13° esce 5) e 7 lanci del secondo
dado ( al 7° esce 3): in quest' evento è X=13, Y=7, ergo è identificato e
distinto da tutti gli altri tramite la coppia ordinata (13,7). Per cui,
come era ovvio, risulta P(X<Y)+P(X>Y)+P(X=Y)=1. Ora, dato che
l' insieme {X=Y} è certamente non vuoto (per esempio, un evento di
quest' insieme è quello costituito da 6 lanci per il primo dado e 6 lanci
per il secondo ), si tratta di calcolare P(X=Y)=b, dopodichè a=(1-b)/2.
A tal fine osserviamo che i lanci sono indipendenti, ergo
P(X=1, Y=1)=P(X=1)*P(Y=1)=1/6*1/6=p*p=p^2. Ovviamente
P(X=2,Y=2)=5/6*5/6*1/6*1/6=q^2*p^2. In generale è facile dimostrare
che P(X=n,Y=n)=q^2*(n-1)*p^2 , per ogni n app. ad N.
Ti lascio lo sfizio di concludere, e ti segnalo uno dei risultati, così puoi
controllare: P(X=Y)=~0.12587;
Ciao,
Giovanni Rana

>come era ovvio, risulta P(X<Y)+P(X>Y)+P(X=Y)=1
Secondo me cerchi (cercate) di applicare la normalizzazione di certezza a
quelli che sono eventi diversi.
La normalizzazione si fa su un singolo evento,per dire che lanciando un dado
deve comunque venire fuori un qualche numero (il dado non resta in bilico
sullo spigolo...)
Ora, vediamo il primo lancio, e analizziamo dapprima P(X<Y) cioè la prob che
il 5 venga fuori prima di 3.
Poichè sono al primo lancio, suppongo (il che non toglie alcuna generalità
al problema visto che il dottore non mi ha imposto il numero di lanci da
fare) che salti SUBITO fuori il 5 e NON salti fuori (SULL'ALTRO DADO) il
tre.
Tale probabilità vale: P( esce 5 su un dado) * P( NON esce 3 sull'altro
dado)= 1/6 * 5/6=5/36.
Per simmetria, P(esce 3 su un dado)   *P(NON esce 5 sull'altro dado) =
ancora  5/36
Resta il caso X=Y ovvero
 P (esce 3 su un dado)* P(esce 5 sull'altro dado) = 1/6 * 1/6 = 1/36
La somma delle tre vale (5+5+1)/36, che è ben lontano dall'essere =1.
Attendo risposte,
Massimo

 che P(X=n,Y=n)=q^2*(n-1)*p^2 , per ogni n app. ad N.
Qui ho scordato delle parentesi, ergo si potrebbe fraintendere: l'
espressione esatta è P(X=n,Y=n)=q^[2*(n-1)]*p^2 ,
cioè l' esponente di q è 2*(n-1). Era ovvio dagli esempi fatti, ma ho voluto
comunque precisarlo.
Ciao,
Giovanni Rana


Ciao,
Giovanni Rana

Ti prego dimmi la soluzione finale!!!!
Ho perso un pò di tempo dietro ma... non ci riesco!
GRAZIE in ANTICIPO!
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 GRAZIE in ANTICIPO!
Prego: lo faccio anche perchè il risultato numerico che ti ho dato era
sbagliato ( da buono studente di ingegneria, non so fare le divisioni :-))
....Essendo {X=Y} l'unione degli eventi elementari disgiunti {X=n,Y=n}
con n app. ad N, si ha che:
P(X=Y)= Sum(n=1,+inf) [P(X=n,Y=n)]=Sum(n=1,+inf)[q^[2*(n-1)]*p^2 ]=
p^2*Sum(m=0,+inf)[q^(2m)]=p^2*(1/(1-q^2)=(1-q)^2/(1-q^2)=
(1-q)/(1+q)=p/(1+q)=(1/6)/(1+5/6)= 0.09_ ( _ indica che la matrice 09 si
ripete, cioè è il numero periodico 0.0909090909.....).
Per cui a=(1-b)/2=P(X<Y)=P(X>Y)=0.45_ (cioè 0.4545454545....). Tutto ok?
Fammi sapere come ti è andata,
Ciao,
G. Rana


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 Mario.
Grazie per i complimenti: per quanto riguarda la serie, si tratta della
serie geometrica ( di ragione q^2 ), che forse avrai già incontrato, se stai
studiando Statistica o Teoria dei Segnali, dato che per questi esami Analisi
I è propedeutica ( almeno qui da me ).
Ciao,
Giovanni Rana
P.S.: ho postato il problema, *dopo* avertelo risolto, su it.hobby.enigmi, e
là hanno fatto pure una verifica con un algoritmo di generazione di numeri
casuali, oltre che tramite ragionamento ( lo stesso mio :-). E' risultato
tutto okkey.

Grazie ancora!
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