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Titolo: rapporto segnale-rumore

Toglietemi questo dubbio,per favore....
    se pongo in ingresso ad un filtro un segnale (esponenziale complesso) di
ampiezza Ao e di frequenza nota e un rumore "colorato" di cui so la densitą
spettrale, suponendo di voler calcolare il rapporto segnale-rumore in uscita
al filtro, ha senso calcolarlo in funzione della frequenza, cioč calcolando
il rapporto tra le densitą spettrali del segnale e del rumore per ogni
frequenza?
    Grazie,
    a.


Ciao,
direi che il rapporto segnale rumore sia definito come rapporto di potenze.
Se lavori in DF, per avere la potenza di un segnale devi considerarne lo
spettro in TUTTA la sua banda. Per cui, all' uscita del filtro avrai la tua
sinusoide, attenuata o meno dal filtro, ed una potenza di rumore data
dall'integrale della densità spettrale su una certa banda.
In sintesi, direi che c'è sempre una BANDA di cui tenere conto, nel calcolo
dell' S/N, che è poi la banda del ricevitore, il quale si becca un certo
rumore, insieme al segnale utile, che è proprio l'integrale bla bla bla...
Dunque almeno per il calcolo dell' S/N, non ha molto senso prendere le
densità spettrali. Altrimenti, d'altra parte, come faresti con la sinusoide?
Quella è una delta, va integrata per forza!
M
--
email: 
manchee...@tiscali.it

     a.
Ipotizzando che il filtro sia lineare tempo-invariante con funzione di
trasferimento H(f), il modo da seguire per ottenere il S/N (rapporto
segnale-rumore) in uscita secondo il mio modesto parere è usare il
principio di sovrapposizione degli effetti (cosa fattibile se il
filtro è lineare tempo-invariante):                      (notazione
*=prodotto, non convoluzione!)
1)Per il segnale usi il teorema della risposta in frequenza: un esp.
(nel tempo)in ingresso sarà ancora un esponenziale (nel tempo) in
uscita con ampiezza Ao*H(fo) e fase quella dell'esponenziale in
ingresso + fase di H(f) quando f=fo. La frequenza dell'esp. in uscita
resta la stessa dell'esp. in ingresso. Noto il segnale in uscita ti
puoi calcolare la sua potenza senza dover passare dalla sua densità
spettrale di potenza. (E' quasi come chiedersi quanto è la potenza di
un coseno, visto che esso è la somma algebrica di due esp. complessi:
e per calcolare la potenza di un coseno non serve passare alla sua
densità spettrale di potenza).
2)Detta Sni la densità spettrale di potenza del rumore in ingresso e
Sno la densità spettrale di potenza del rumore in uscita al filtro
hai:
 Sno= Sni*|H(f)|^2   e la potenza del rumore in uscita (Pno) sarà
l'integrale tra -inf e +inf della Sno.
A questo punto fai Potenza segnale/Pno. Comunque confermo che non ha
senso chiedersi il rapporto segnale rumore se non si introduce la
banda in cui lo si vuol calcolare (la presenza del filtro fissa
infatti la banda di interesse). Spero di essermi spiegato.
N.B. Piccola puntualizzazione: la potenza di una delta d(f-f0) (che è
la trasformata di e^(j2p*fo*t) è infinita, quindi nel tuo caso avrai
due possibili casi: Se la delta d(f-fo) (che è la trasformata
dell'espon in ingresso) si trova in banda  avrai un S/N pari a
infinito, se invece è completamente fuori banda avrai un S/N =0.
Più interessante il caso con in ingresso un segnale con spettro non
impulsivo ma esteso su una certa banda.
Ciao, lo zio di Brescia.

 Ciao, lo zio di Brescia.
Ciao!
M
--
email: 
manchee...@tiscali.it

 Ciao!
Ciao. Lo zio di Brescia.

 Ciao. Lo zio di Brescia.
Ariciao!!
--
email: 
manchee...@tiscali.it

Allora, vediamo di chiarire cosa intendevo:
1)anche per me la potenza di A*sen(wt) è A^2/4 proprio perchè è un
segnale di potenza e come tale ha energia infinita ma potenza finita
(infatti A^2/4 è un valore finito!)
2)Dato un generico segnale nel tempo x(t), detto X(f) il suo spettro
posso calcolare la densità spettrale di potenza come |X(f)|^2 e
calcolare la sua potenza come l'integrale da -inf a +inf della sua
densità spettrale di potenza |X(f)|^2.
3)Nel caso di un'esponenziale complesso la sua X(f) è una delta. Se
per calcolare la densità spettrale applichi la definizione  e fai
|X(f)|^2 ti trovi a fare il prodotto di una delta con se stessa e ti
ricordo che il prodotto tra distribuzioni non è definito. Ergo, io non
passerei dalla densità spettrale di potenza di un'esponenziale per
calcolarne la potenza proprio perchè la sua densità spettrale non è
definita al senso delle distribuzioni. E come fai a fare l'integrale
di qualcosa che non esiste? Cioè, secondo me se lo spettro è una delta
non è vero che la densità spettrale è una delta con ampiezza pari al
quadrato dell'ampiezza della delta.
Il tuo riferimento all'elettrotecnica mi sta bene, ma se rileggi il
mio post ho scritto addirittura in maiuscolo che un seno è un segnale
a potenza finita ma il problema non era il seno bensì l'esponenziale
complesso. La densità spettrale definita come |X(f)|^2 non vale per
qualsiasi segnale, insomma.
Che ne pensi?
Ciao.

 Ciao.
Boh, mi sembra molto, molto strano. Cioè, cos'avrebbe di speciale 'sto exp
immaginario, da sfan**larmi tutta la teoria, così carina e funzionale?
Mi informo e ti faccio sapere un po' meglio,
M

 [...RATASNIPPETE...]
Bello bastardo, eh? Vabbé, tanto la tua risposta c'è nell'altro
reply...allora, ho fatto un giro sul mio libro di comunicazioni (Carlson,
Communication systems, McGraw-Hill) ed ho trovato, credo, la chiave del
busillis. Devo dire che non avevi tutti i torti, parlando della delta che
non si può fare al quadrato. Non ho trovato esplicitamente alcun divieto, ma
in generale ho visto che se si vuol essere rigorosi, non si possono mettere
le cose come facevo io. Ti propongo il riassunto delle puntate precedenti:
1) Abbiamo un exp complesso (argomento imm. puro) all' ingresso di un
filtro, insieme con un rumore con una certa densità spettrale di potenza,
N(f). Ci si chiede di calcolare il rapporto S/N in uscita al filtro.
Prontamente rispondiamo che dipende:
   a . Dalla banda di integrazione
   b.  Dalla frequenza di centro banda
Visto che la funzione densità spettrale di POTENZA di un segnale
A*exp(j*w*t) è (A**2/2) *delta(f-f0), si possono avere i seguenti casi:
   1. frequenza di centro banda = f0 (direi l'unico caso d'interesse) -> S/N
dipende dalla larghezza della banda d'integrazione, ma non è MAI, come
invece tu affermavi, infinito. S/N è infatti un rapporto tra potenze e
nessuno dei due segnali ha potenza infinita (o zero per il rumore). Questo
era il punto che non mi era chiaro del tuo discorso, l'avere un S/N
infinito, e continuo a pensare che ti sia sbagliato.
   2. banda di integrazione che non comprende il punto f0 -> In questo caso
S/N è ZERO
2) Il discorso su spettro di un segnale e sua densità di potenza ha però
tirato in ballo un po' di concetti, che ho trattato intuitivamente in
maniera corretta, ma formalmente grossolana. Vediamo se riesco a rimediare:
consideriamo, tra i segnali DETERMINISTICI (l'estensione ai processi la
tralasciamo per il momento, non è il punto critico), tre categorie:
 - Energia finita
 - Potenza finita, periodici
 - Potenza finita, non periodici
Non sto a ripetere le def. di energia e potenza, tanto le conosciamo
entranVe. In realtà quello che dicevo io, cioè che puoi ottenere una densità
di "qualcosa" semplicemente facendo il modulo quadro della trasformata del
segnale, è valido solo per segnali ad ENERGIA FINITA. Te lo assicura il
teorema di Rayleigh, e se ci pensiamo è ragionevole, perché se rimaniamo
nell' ambito delle funzioni "normali", ci vuole l'integrabilità al quadrato,
ossia l'energia finita, per fare la FT e dunque tutto il discorso che segue.
Dunque sono stato precipitoso e scorretto nell' affermare "fai la delta al
quadrato". Ma andiamo avanti.
Per i segnali a potenza finita, periodici, le strade (i simbolismi, in
realtà) si "biforcano". Da una parte abbiamo le SERIE di Fourier ed il
teorema di Parseval. La potenza è data dalla somma dei moduli quadri dei
coefficienti della Serie DEL SEGNALE. Dall' altra parte, però, vogliamo
poter parlare anche per questi segnali, di TRASFORMATA, ma visto che con le
funzioni normali la cosa non gira, introduciamo le simpatiche DISTRIBUZIONI.
Con questo nuovo simpatico gadget, ecco che abbiamo che la trasformata di un
segnale periodico diventa la somma di tante delta. Si, ma la potenza? Io,
alla buona e senza ricordarmi tutti i meandri teorici, prendevo ancora quei
coefficienti e ne facevo il quadrato, giusto per non saper né leggere né
scrivere. Ottenevo il numero giusto, ma la giustificazione è sbagliata.
Infatti, una volta che ci siamo buttati nel fantastico mondo delle
distribuzioni, non si parla più di spettro di potenza come quadrato della
trasformata, probabilmente perché come dicevi tu il prodotto non è
definito...a proposito, non ne so niente di distribuzioni, mi consigli
qualche lettura?
Si ma la potenza sembra lì, a portata di mano....come si fa? Te ne invento
un' altra: la funzione di AUTOCORRELAZIONE! La def. la salto a pie' pari,
tanto la conosciamo entranVe. Beh, se fai la trasformata
dell'autocorrelazione, te lo assicura il teorema di Wiener-Kinchine, ottieni
la tua densità spettrale di potenza. Qual'è il vantaggio? Semplice, che il
segnale di partenza può non avere trasformata di Fourier. Il che accade con
segnali a potenza finita, ma non periodici. Quelli non quadrato integrabili,
insomma. Bellissimo, ma ora ci siamo complicati un po' la vita, no? Niente
paura, perché il risultato che chiude il cerchio non è poi così lontano.
Prendiamo un segnale periodico e calcoliamone, da una parte, la FT,
dall'altra l'autocorrelazione. Poi trasformiamo con Fourier
l'autocorrelazione....cosa otteniamo?
Una serie di delta, i cui coefficienti sono i moduli quadri dei coeff. della
FT del segnale, o della sua serie, se vogliamo!
Ecco che il cerchio si chiude, che la potenza è sempre finita, e che posso
prendere come suo rappresentante, in termini di densità, la serie dei coeff.
al quadrato.
P.S. quando ho visto che il discorso FT al quadrato non reggeva per i
segnali "a potenza", ho passato almeno 5 min di sconforto e contrizione,
perché mi chiedevo: ma allora come cakkio è che misuro, ogni giorno, spettri
di potenza di segnali col mio fido analizzatore di spettro? Posso pensare
che egli, nella sua infinita saggezza, faccia l'autocorrelazione del segnale
che gli fornisco, per poi trasformarlo? Evidentemente no! Lui fa
l'equivalente circuitale di una trasformata di Fourier....AAAAAGH! Ma
allora? Ho trovato la seguente giustificazione, che mi ha permesso un sonno
tranquillo: checché ne dicano i nostri simpatici testi, OGNI segnale che vai
a misurare HA ENERGIA FINITA. Non foss'altro che per il fatto che lo misuri
in una finestra temporale. Da qui, rivalutare la trasformata di Fourier,
questa volta fattibilissima, e tararne il risultato per convertire l'energia
in potenza su un 50 Ohm, il passo è breve. Meno male.
M
--
email: 
manchee...@tiscali.it

 Che ne pensi?
Direi di si. :-)
-- 

Ripensando con maggior attenzione al problema sono giunto a questa
conclusione:
Il dubbio di forma che, dato uno spettro a delta, impedisce di
calcolarne la densità spettrale di potenza perchè non è definito il
prodotto tra distribuzioni e che ci ha impedito di poter avvallare la
possibilità di dire : "Faccio l'integrale della delta in frequenza per
calcolare la potenza dell'esponenziale nel tempo" secondo me può
essere risolto così:
1) L'esponenziale è di tipo complesso non reale: A*e^(j*2p*fo*t) che
posso anche esplicitare in quest'altra forma: A*e^j*2p*t/To , con
To=1/fo il periodo. Questo perchè l'eponenziale complesso è PERIODICO
di periodo To, a differenza dell'esponenziale reale che NON è
periodico.
2)Per un segnale periodico x(t) la potenza è definita come:  
1/To*(Integrale tra -To/2 e + To/2 di |x(t)|^2 in dt (senza bisogno di
passare al dominio della frequenza che crea il problema del prodotto
tra delta, e senza scomodare la densità spettrale di potenza, ma
usando solo l'espressione nel tempo del segnale).
3) se considero il mio segnale in uscita a un filtro con risposta
all'impulso
 h(t) e risposta in frequenza H(f) (perchè ricordo che il problema era
calcolare S/N in USCITA al filtro), ottengo:
        x(t)= A*H(fo)*e^[j*2p*fot + phi] 
        con phi=(fase di H(f)quando f=f0)  in nome al teorema della
risposta in frequenza citato in un post in precedenza.
4)Calcolo la potenza come sopra indicato usando come x(t) il segnale
che esce dal filtro:
             x(t)=A*H(fo)*e^(j*2p*fo*t + phi)=A*H(fo)*e^(j*2p*t/To +
phi)
5)|x(t)|^2 = |A*H(fo)|^2 perchè il modulo dell'esponenziale è 1!!!!
6)Potenza: 1/To* Integr tra -To/2 e +To/2 di |x(t)|^2 fa proprio
|A*H(fo)|^2
che fa tornare anche il tuo discorso sul caso della cosinusoide vista
come combinazione di esponenziali complessi.
Quindi, riassumendo, l'arcano stava nel notare che l'esponenziale
complesso è una funzione periodica e quindi come tale è un segnale di
potenza finita ma di energia infinita. Speriamo di averci imbroccato
stavolta.



[...CUTTO e APPROVO...]
Direi che mo ci siamo...ma dico, hai letto il mio splendido riassuntino?
Guarda che merita, neh! ;-)))
M
--
email: 
manchee...@tiscali.it

 qualche lettura?
Allora, io le ho studiate a suo tempo sul libro "Analisi 3" del solito
Gianni Gilardi, autore che chi ha fatto ingegneria conosce (purtroppo)
molto bene. Però, ai fini dell'aplicazione ai segnali lo studio su
questo libro è piuttosto complesso, nel senso che per applicarle ai
segnali basta sapere molto meno di quanto detto dal Gilardi: d'altro
canto, però, la descrizione è completa sotto tutti i punti di vista.
Va bè, la discussione è servita a rinfrescarsi la memoria su certe
nozioni e a te per ritirare fuori qualche libro magari un pò
impolverato!
Curiosità, ti occupi di segnali tutti i giorni (mi pare di aver capito
che usi l'analizzatore di spettro per lavoro) o no?
Ciao. Lo zio.

 wrote in message
news:3357eab4.03110...@posting.google.com...

Ciao,
faccio il progettista a microonde, per cui diciamo che l'analizzatore di
spettro lo uso...
Grazie per l'indicazione del libro...devo confessarti che non conosco il
Gilardi e mi sa che dove sono ora (Germania) non riuscirò a
beccarlo...comunque magari riesco a procurarmelo tramite amici...in Patria!!
Alla prossima chiarita!
M
P.S. mi piacciono queste discussioni e le trovo molto utili.
--
email: 
manchee...@tiscali.it

 testo essendo solo un caso particolarissimo.
E perchè non farebbe testo, scusa? io ho il mio bel segnale
deterministico di cui so calcolare la trasformata di Fourier, la
densità spettrale di potenza e quant'altro senza bisogno di tirare in
ballo realizzazioni temporali e clausole
sull'ergodicità/stazionarietà, visto che non è un processo. Il mondo
dei segnali deterministici è l'altra faccia di quello dei processi
stocastici, e non lo ritengo proprio un caso particolarissimo, a
livello teorico. E' ovvio che nella pratica si avrà a che fare con
processi e quasi mai, scendendo molto nel particolare, con segnali
deterministici (es. anche il valore di una resistenza teoricamente non
è un valore determinabile deterministicamente, ma è a tutti gli
effetti un processo stocastico, per via del rumore termico ec..) ma
questo è un altro paio di maniche.
Ciao. Lo zio.

 Trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione.
Se il processo non e' stazionario possiamo tranquillamente impelagarci
con delle noiosissime funzioni e relative F-trasformate non piu'
monodimensionali.
Ma non volevo far notare questo: ripeto |X(f)|^2 e' solo uno stimatore
che sotto talune ipotesi di regolarita' converge EVENTUALMENTE IN
MEDIA alla pdf del processo. Non puoi applicarla "universalmente".

 wrote in message
news:7363f056.03111...@posting.google.com...

Ciao,
questo discorso che fai mi sembra interessante...forse perché io fatico a
capirne le sottigliezze. Tu dici, mi pare giustamente e ragionevolmente, che
dato un PROCESSO (e mi sa che nel mondo reale, solo di processi si possa
parlare), la FT in modulo quadro di una sua *generica* realizzazione, non
può costituire quella che viene definita densità spettrale di potenza del
processo...per ovvi motivi, diremmo.
D'altra parte, se consideriamo il processo ergodico e bla bla bla...su
questo modo di calcolare la potenza risulta abbastanza comodo...
Mi capita, d'altra parte, di progettare delle cose e che in questo si
facciano considerazioni di potenza del segnale, e così via. Per esempio, in
un ricevitore, oppure in un trasmettitore. Non mi occupo di modulazioni
"strane", però quel che faccio è, sempre, prendere per gli spettri del
segnale, quelli di una certa realizzazione, oppure ricavati matematicamente
dalle proprietà della modulazione...e considerarli come LO SPETTRO del
segnale. Niente simatore, lo spettro è lui. Ovviamente, ai fini di progetto.
Io non sono uno "specialista" delle telecomunicazioni, perciò mi chiedevo:
esiste un qualche caso di progetto, di una sorgente, di un ricevitore o di
un canale, in cui questa differenza tra "lo stimatore" e la "reale" densità
di potenza del processo, giocano un ruolo importante?
M
--
email: 
manchee...@tiscali.it

 di potenza del processo, giocano un ruolo importante?
Dipenderà dal fatto che sono ancor meno "specialista" di te, ma non ho
capito
la tua domanda... :-)