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Titolo: Chi mi spiega il perchè?!?

Grazie innanzitutto a coloro i quali leggeranno questa mail.
Il mio problema è il seguente: durante il corso di Teoria dei Sistemi viene
data la definizione di filtro passa basso, passa banda e passa alto, inoltre
viene trattata la stabilità interna (Lyapunov) di tali sistemi e non mi
sembra che vengano fatte eccezioni per nessun tipo di filtro. Quello che in
sostanza voglio dire è che a Sistemi la stabilità veniva valutata in termini
di poli a parte reale negativa di una matrice di trasferimento senza tener
conto del fatto che questa corrispondesse ad una risposta armonica di tipo
passa basso, passa banda o passa alto.
Durante il corso di teoria dei Segnali invece la stabilità è trattata dal
punto di vista BIBO ed essa richiede la sommabilità della risposta impulsiva
di un sistema se la analizziamo nel dominio del tempo.
In frequenza (per sist. continui) la stabilità equivale alla continuità
della risposta armonica ma anche al suo andamento infinitesimo all'infinito
cioè:
STABILITA' BIBO <=>   H(w) continua ed infinitesima all'infinito
Dunque io vi chiedo come è possibile che esistano filtri passa alto stabili
secondo Lyapunov e causali dal momento che la stabilità interna e condizione
sufficiente per la BIBO?
Questo dubbio atroce mi affligge ormai da giorni e non so darvi una
risposta.
Se qualcuno potesse aiutarmi, gli sarei molto riconoscente.
grazie in anticipo
Fixxxer
--
... despite of my rage i'm stilll just a rat in a cage...
Reply at 
quik...@libero.it

Hai perfettamente ragione, in realtà il filtro passa-alto è solo una
approssimazione perchè tutti i sistemi fisici sono strettamente causali (o
presentano un ritardo). Questo non significa che i filtri passa alto non si
possano realizzare, infatti quello che devi considerare sempre è
l'intervallo di frequenze attorno a cui lavori. Facciamo un esempio: supponi
che nell'applicazione a cui tu stai lavorando i segnali sono tutti ad una
frquenza non superiore ai 10KHz e che tu debba realizzare un filtro
passa-alto con una certa frequenza di taglio. Ottieni le stesse prestazioni
con un filtro passa-banda (che è causale) che ha una frequenza di taglio
superiore diciamo a 100 KHz. A questo punto, visto che il comportamento è lo
stesso nell'analisi del sistema puoi considerare il tuo filtro come
passa-alto (semplificando i calcoli).
E' un pò come l'approssimazione di rumore bianco, non esiste nessun rumore
che abbia una densità spettrale di potenza costante su tutte le frequenze,
ma molti rumori (es. rumore termico) hanno delle caratteristiche simili
nell'intervallo di frequenze tipiche dell'applicazione.
Spero di aver risposto alla tua domanda.
                                    Ciao, Marco

 wrote in message
8haj6q$43r$1...@nslave1.tin.it...
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 wrote in message
BrQZ4.63597$VM3.5...@news.infostrada.it...
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Ovviamente, non potro' ke essere sommario, ma a prima vista ho 
l'impressione ke non sia necessario ke la H(f) tenda a zero per f grande...
l'unica cosa ke mi fa venire in mente il fatto ke la risp imp sia integrabile
(perke' dici sommabile?...solitamente io lo dico per risposte tempo-discrete) 
e ke il valore della H(f) nell'origine sia finito ma niente altro. Da dove 
vengono quelle implicazioni ke proponi? Posta una dimostrazione sommaria,
sono molto interessato...
Inoltre nell'esempio ke proponi la risposta all'impulso e' sommabile e quindi il 
sistema e' stabile alla BIBO. Quindi ho paura ke il discorso vacilli nei 
legami tempo-frequenza di cui sopra.
Fammi sapere 
Francesco

STABILITA' BIBO <=>   H(w) continua ed infinitesima all'infinito
che è scorretta. ;-)
Ciao !
Roberto

Per sistemi lineari e stazionari la stabilità secondo Lyapunov (tutti i poli
a parte reale negativa) coincide con la stabilità BIBO (assoluta sommabilità
della risposta impulsiva). Tale stabilità non implica una H(w) tendente a
zero all'infinito.
E' vero però, che i sistemi reali hanno una H(w) che tende a zero
all'infinito. Ciò accade perchè essi sono causali (o fisicamente
realizzabili): infatti il filtro passa-alto, inteso a banda passante estesa
all'infinito, è un sistema ideale non fisicamente realizzabile.
Ciao

Non pensavo che il tuo fosse un problema teorico. Vediamo se riesco a
convincerti.
La stabilità BIBO di un sistema implica, secondo la definizione, che se
metto in ingresso un segnale "limitato", ottengo in uscita un segnale
"limitato".
La prima domanda è: Cosa significa "limitato"? Per limitato si indende che,
una volta scelta una norma (e la relativa norma indotta sulla matrice di
trasferimento, supponiamo, per comodità di scegliere la norma-2), tale norma
abbia un valore limitato (nel senso di Analisi I).
A questo punto, dato un qualsiasi sistema lineare vale la relazione:
    y(s) = G(s) * u(s)   (1)
Con G(s) matrice di trasferimento, u(s) e y(s) trasformate di Laplace
rispettivamente dell'ingresso e dell'uscita.
La definizione di stabilità BIBO è riferita ai segnali nel dominio del
tempo, ed in particolare, utilizzando la norma-2 è legata all'energia dei
segnali, ma utilizzando il teorema di Parseval, la relazione può essere
trasferita nel dominio della frequenza, quindi
norm2(y(t))<inf  <=>  norm2(y(j*w))<inf
Ora, utilizzando la relazione (1) e supponendo che il tutto sia
trasformabile secondo Fourier, essendo y(j*w)=G(j*w)*u(j*w) si ha che
norm2(y(j*w)) = norm2(G(j*w)*u(j*w))
ma dalle proprietà delle norme si ha che
norm2(y(j*w)) <= norm2(G(j*w)) * norm2(u(j*w))
Per ipotesi sappiamo che norm2(u(j*w))<inf, quindi norm2(y(j*w)) < inf  se e
solo se norm2(G(j*w))<inf.
Resta da capire quando norm2(G(j*w))<inf. Per fare questo scriviamo la
definizione di norm2(G(j*w))
norm2(G(j*w))=sqrt(1/(2*pi)*integral(trace(G(j*w)*transpose(G(j*w))),w=-inf.
.inf)))
Quindi è necessario che la matrice di trasferimento sia ad energia finita (o
a quadrato sommabile). Abbiamo cambiato di nuovo la domanda, ora è quando
una matrice di trasferimento è a quadrato sommabile?
Per rispondere a questa domanda pensa di lavorare con un segnale
monodimensionale (quelli di teoria dei segnali, per capirci).
Un segnale è ad energia finita se:
1) Non diverge
2) Non tende ad un valore di regime diverso da zero (es. un gradino non è ad
energia finita, ma anche 1+exp(-t), non lo è)
3) Non oscilla (es. un segnale sinusoidale, non è ad energia finita)
Proviamo a tradurre queste specifiche in termini frequenziali:
1) Non ha poli a parte reale positiva
2) La differenza poli-zeri è maggiore di 1
3) Non ha poli sull'asse immaginario
Che "tradotti" nel linguaggio della Teoria dei Sistemi diventano:
1) Stabile secondo Lyapunov
2) Strettamente proprio
3) Non ha poli sull'asse immaginario (anche l'origine è sull'asse
immaginario)
Quindi l'esempio da te portato come H(s), non è valido perchè viola
l'ipotesi 2, non è strettamente proprio.
Spero di averti convinto.
                Ciao, Marco.

 Francesco
Ciao

 Ciao
Ciao

In questo fine settimana vista l'accesa disputa che ho generato con i miei
dubbi, mi sono messo a studiare un pò il problema e credo di essermi dato
finalmente la soluzione.
Ho deciso di postarla per vedere cosa ne pensavate e se il mio ragionamento
è valido, allora bando alle ciance come si suol dire e vediamo cosa ho detto
nei gioni scorsi:
Il problema iniziale era:
Stabilità BIBO <==> sommabilità h(t)
sommabilità <==> H(w) continua ed inf all'infinito ( Riemann-Lebesgue )
(tali relazioni sono documentate e dimostrate su un qualunque testo di
Analisi matematica e su un testo di T. dei Sistemi o dei T. dei Segnali )
Da cui poi traevo le seguenti implicazioni contrastanti:
Passa alto stabile isL => H(w) non inf all' inf.
Passa alto stabile isL => stabile BIBO => H(w) infinitesima all' inf.
In effetti il discorso da me fatto non trovava riscontro pratico nella realà
nel senso che i filtri passa alta non ESISTONO in assoluto ma in alcune
applicazioni dove i segnali sono concentrati ina banda fissata si può
pensare un filtro passa banda con det. caratteristiche come un HPF (come
diceva Giuseppe Lamberti).
Ciò mi ha fatto pensare che i filtri passa-alto per qualche strana ragione
non realizzabili, ma immediatamente ragionando ho concluso (apportando ache
un esempio) che siamo in grado di progettare un filtro HP causale ed anche
stabile quindi soddifacente la condizione di Paley-Winer.
In sostanza per non tirarvela troppo a lungo ho capito che il mio problema
era di tipo matematico, cioè c'era qualche cosa che avevo trascurato.
Per trovare una soluzione ho nnanzitutto ho preso l'esmpio fatto e poi ho
antitrasformato:
H(s)= (s+1)/(s+100)   <---->   h(t)=-99*e^(-100t)+e^(-100t) D(t)
Dove per D(t) intendo la delta di Dirac.
Conclusione ho notato che vi era una funzione generalizzata e di
conseguenza, libri alla mano, sono andato a rivedermi la teoria delle
distribuzioni, scoprendo che nell'ambito di tale contesto il teorema di
Riemann Lebesgue viene meno infatti la D(t) ha trasformata non inf. all' inf
ed è essa a causare l'andamento del tipo passa alto dell H(s).
Quindi nella risposta impulsiva dei filtri passa alto vi sempre sono delle
delta di Dirac, e poichè nessuno mai potrà realizzare una delta vera e
propia, in pratica nessuno mai potrà realizzare un passa alto effettivamente
ma solo delle approx.
Quindi la non realizzabilità degli HPF non è dovuta a ragioni di natura
teorica come la non causalità (come qualcuno suggeriva) ma solo a problemi
di natura pratica dovute all'imp. di realizzare una funzione generalizzata
(mentre siamo in grado di realizzare una funz. ordinaria nella maggior parte
dei casi, di qui l'andamento infinitesimo all'inf delle H(w)- teorema di
R-L ).
In conclusione le implicazioni da me considerate valgono se ci muoviamo
nell'ambito delle funzioni ordinarie, ma se ci poniamo in un contesto più
genrale come le distribuzioni bisogna stare attenti alle funz. generalizzate
che cost. una eccezione.
Scusatemi per avervi annoiato e grazie per aver perso del tempo.
Ciao.


                 Ciao, Marco.
Con il tuo discorso hai solo ripetuto considerazioni già fatte e cmq non mi
hai convinto.
Ma poi di che avresti dovuto convincermi se non del fatto che il mio sistema
è improprio( cosa che già sapevo) ?!?
Ciao e grazie.
P.S. Credo di aver trovato la soluzione, se ti interessa vedi le altre reply
sul NG.



Certo, ma io intendevo nel senso delle distribuzioni !
Altrimenti non avrebbe avuto senso porsi il problema ;-).
In effetti, come hai notato nel tuo ultimo messaggio, il teorema citato che
implica che H(w) sia infinitesima per w infinito non è più valido.
Sono quindi d'accordo con le tue conclusioni finali :-)))))
Roberto