Newsgroup: it.discussioni.ingegneria
Titolo: instabilità travi su suolo elastico

 ne deriva.
Anche se potro' sembrarti antipatico devo pero' dirti che questo non e'
il newsgroup piu' adatto per un problema universitario.
Per questo tipo di domande c'e' il piu' indicato
it.istruzione.universita.ingegneria.
Comunque voglio provare lo stesso a risponderti.
Dalla tua domanda non si capisce bene che cosa vuoi fare.
Devi cercare gli autovalori e quindi le corrispondenti autofunzioni ?
Devi determinare la deformata e, per derivazione, le sollecitazioni
interne dovute alla presenza di una generica azione assiale (seppure
molto elevata) ?
Purtroppo sono passati parecchi anni da quando ho affrontato questi
problemi e non ricordo piu' se li avessi risolto in forma rigorosa o
utilizzando metodi numerici (che sono anche i miei preferiti).
Comunque affrontando il problema per via numerica ci sono due strade
principali da seguire:
1) Il metodo degli elementi finiti.
E' molto semplice. Dividi la trave in tanti elementi e ti costruisci le
matrici di rigidezza elastica e geometrica (questa e' affetta dal
moltiplicatore dei carichi che in questo caso e' l'azione assiale).
Ovviamente resta incognito il valore dell'azione assiale, se devi
cercare il carico critico. Lo determinerai ricercando gli autovalori del
sistema di equazioni.
Il piu' piccolo autovalore e' il carico critico della trave.
La corrispondente deformata e' ovviamente determinata in forma discreta
grazie alla conoscenza degli spostamenti dei nodi.
Eventuali spostamenti dei punti interni li potrai determinare grazie
alle consuete funzioni di forma adottate per costruire le matrici di
rigidezza.
Una cosa che ricordo bene di questo metodo per il particolare caso in
questione e' che la matrice di rigidezza elastica deve venire costruita
con funzioni molto somiglianti a quelle della deformata reale per
evitare di dover utilizzare un numero troppo elevato di elementi
(immagino che vorrai farli a mano questi calcoli e quindi e' meglio non
esagerare).
2) il classico metodo di Rayleigh-Ritz.
Scrivi l'energia potenziale totale del sistema e invece di operare col
calcolo variazionale non devi far altro che sostituire la funzione
incognita con una funzione approssimante (potrebbe essere un polinomio,
una funzione sinusoidale, una sommatoria di funzioni. Spesso si adottano
sviluppi di funzioni ortogonali in modo da poter ricavare la soluzione
con la precisione voluta, sempre che si sia capaci di trovare queste
funzioni) che ovviamente dipende da un numero finito di parametri.
Se devi cercare solo la deformata allora e' giocoforza derivare il
funzionale (anzi ho detto una cazzata perche' adesso e' una semplice
funzione quindi avrei dovuto dire derivare la funzione) rispetto ai
parametri introdotti (bisogna egugliare a zero) ottenendo cosi' un
numero di equazioni pari al numero di parametri (ovviamente perche'
l'energia potenziale totale e' stazionaria in corrispondenza della
configurazione deformata).
Per la ricerca del carico critico basta ancora cercare il piu' piccolo
degli autovalori del sistema.
In entrambi i casi puo' essere piu' pratico ricorrere al rapporto di
Rayleigh per cercare l'autovalore (perche' se l'autovettore e' stimato
con un errore e allora l'autovalore lo sara' con errore e^2).
Ti riporto la soluzione del libro di Corradi Dell'Acqua relativa ad una
trave doppiamente incernierata alle estremita' e poggiante su un letto
di molle e sottoposta all'azione assiale P.
E.P.T. del sistema e' l'integrale, tra 0 ed L, di:
(E*J*v''^2-P*v'^2+k*v^2)/2
dove
E modulo di Young
J momento di inerzia
v deformata (ho indicato con v' e v'' le derivate)
k costante del terreno
ho indicato con ^2 l'elevamento al quadrato.
Funzione approssimante:
sommatoria da 1 a N delle funzioni
An * sin( n*pigreco*x / L ) dove An e' il generico parametro.
Il bello di questa soluzione e' che introducendo la funzione
approssimante i termini rettangolari An * Am risultano nulli.
La condizione di stazionarieta' si traduce nelle N equazioni
indipendenti:
( E*J* n^4 * pigreco^4 / L^4 - P * n^2 * pigreco^2 / L^2 + k ) * An = 0
E' chiaro che An puo' essere  diverso da zero se P assume il valore:
Pn = E*J*n^2*pigreco^2/L^2 e l'autofunzione corrispondente e'
semplicemente il termine An * sin( n*pigreco*x / L ) con An qualunque.
E' chiaro che per problemi diversi non e' detto che si riesca a
diagonalizzare il sistema perche' in generale i termini An*Am saranno
diversi da zero e bisognera' ricondursi ai metodi matriciali.
Comunque maggiori dettagli li puoi trovare sul libro:
"Meccanica delle strutture" di Leone Corradi dell'Acqua, edito da
McGraw-Hill - Volume 3.
Consiglio pero' anche la lettura del volume 2 perche' spiega i metodi di
Rayleigh-Ritz e quello degli elementi finiti e ne approfondisce gli
aspetti legati alla convergenza.
Il 3 volume e' dedicato alla capacita' portante delle strutture e oltre
al calcolo di instabilita' ci sono utili indicazioni per il calcolo
plastico a rottura (magari lo vedrai in qualche altro corso).
Ti devo pero' consigliare anche il volume 1 perche' li' ci trovi le
spiegazioni della notazione usata nei tre volumi.
-- 
Ciao da Francesco B.

 similmente D2y.
Piu' che "instabilita' su suolo elastico" penso tu ti riferisca al solo
"equilibrio delle travi su suolo elastico alla Winkler" (la formula e' la
stessa...). Se effettivamente e' cosi' la soluzione "chiusa" del problema
non esiste se non per pochi e rari casi (dalla teoria ci sono le
approssimazioni per "travi lunghe e "travi corte", ma in genere non sono
sufficienti), quindi in genere si discretizza e la soluzione del problema
passa per un calcolo FDM o FEM.
Esistono gia' sw "preconfezionati" (anche free) che risolvono questo tipo di
problemi quindi ti consiglierei di provarne uno.
In ogni modo ti consiglierei il libro "Foundations" di Bowles (sperando di
aver sritto giusto), il quale, oltre a riportare abbastanza bene la teoria,
ha anche soluzioni numeriche per i casi piu' frequenti.
Ciao
--
Doc Hollywood
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Non penso mai al futuro, viene cosi' presto. (A.Einstein)
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 passa per un calcolo FDM o FEM.
Scusa Doc, forse dirò una boiata, ma la trave su suolo elastico alla Winkler
è la trave sul letto di molle continue? Perchè se è così la soluzione esiste
eccome, è un'estensione dell'equazione della linea elastica. C'ho dovuto
pure fare un progetto per l'esame di Tecnica delle Costruzioni
(probabilmente il più inutile dei 3 che ho fatto!!).
Se invece non è questa, puoi dirmi di che si sta parlando?
Saluti, Riccardo

 similmente D2y.
Se (come ho gią detto nell'altro post) si tratta di una trave appoggiata su
suolo elastico, la soluzione in forma chiusa esiste. Quell'equazione č una
banale equazione a coefficienti costanti, quindi la risolvi abbastanza
facilmente (dovresti averle fatte sicuramente in Analisi 2). L'integrale
generale se non sbaglio č (e^(-alfa*x))*( qualcosa) +
(e^(alfa*x))*(qualcos'altro) + (qualcos'altro funzione di beta e della
costante elastica del terreno).
L'integrale particolare lo ottieni ponendo le condizioni al contorno in base
alle sollecitazioni che la trave riceve dalla sovrastruttura. Se per caso le
sollecitazioni le ricevessi anche in punti intermedi della trave, allora
dovresti integrare separatamente i vari spezzoni di trave, e porre anche
delle condizioni al contorno per ristabilire la continuitą della trave agli
estremi di integrazione. Insomma il problema si complica parecchio.
Mi ricordo perņ che un'anima pia su it.discussioni.ingegneria.civile mi
consigliņ il programma freeware Framework, che risolve anche le travi con
molle continue. Fino ad ora mi ha dato risultati sensati, tranne per qualche
deformata che mi "insospettiva" un po'. La mia trave perņ con momento e
taglio applicati agli estremi l'aveva risolta egregiamente.
Saluti, Riccardo

 manco a pregarla in ginocchio.
Veramente mi sembra di vedere che la soluzione proposta da BB non contiene
neanche un termine complesso, tutti reali. Hai provato a imporre le tue
condizioni al contorno? E cosa viene fuori?
Ciao, Riccardo

 Se invece non č questa, puoi dirmi di che si sta parlando?
No, hai ragione!
Mi sono confuso io con la soluzione delle piastre sottili alla
Lagrange/Sophie-German (non su suolo elastico). Anche per queste l'equazione
che governa il fenomeno e' simile a quella della trave su suolo elastico,
solo in 2 dimensioni (col famoso "nabla"), il che ne rende impossibile la
soluzione se non per rarissimi casi.


 discorsi di instabilità, soltanto di equilibrio.
E mi scuso anch'io.
La formula risolvente era quella dell'equilibrio di una trave su suolo
elastico, l'ora era tarda...  :-))
Cmq per il tuo problema ti consiglio di cercare la soluzione
dell'instabilita' dei pali infissi nel terreno. Al momento non ho i testi
sottomano, ma mi ricodo che al corso di fondazioni il prof. Viggiani aveva
fatto quella dimostrazione per verificare che i pali infissi nel terreno
(soprattutto i micropali) non andavano in crisi per instabilita' ma solo per
portata.
Dagli appunti che ho sottomano (sono saltati svariati passaggi e spero di
aver copiato giusto all'epoca), se consideri un'asta verticale incernierata
alla base, libera all'altra estremita' e vincolata lungo il suo asse con le
molle (confinamento) hai una deformata del tipo v = v * sin (pi * m/i) * z
dove m e' il 
n.ro
 di semionde
L'equazione della linea elastica e':
EI * d4v + P * d2v + K*D*u = 0
dove d4v e' la derivata quarta di v rispetto a z quattro volte (e analogo
per d2v)
Il carico critico per un'asta lunga e' quindi:
Pc = Pe * (m^2 + B /(m^2))
dove Pe e' il carico critico euleriano
Derivando la formula dispetto a m (minimo carico in funzione della
deformata) ottieni:
Pc,min = 4 * E * J / (lambda ^ 2)
dove lambda e' quella del calcolo della trave su suolo elastico:
lambda =  (k / (4 * E * J))^(1/4)
Esempio: micropalo fi 10 cm in un terreno k=0.05 kg/cmq hai Pc,min = 17 t!
Ciao
