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Titolo: Sistemi a controreazione

Salve a tutto il NG sono uno studente di ingegneria informatica che deve 
sostenere l'esame di controlli automatici, è la prima volta che posto ma 
Lurko spesso il NG, la mia domanda è questa: 
 
Quali sono le condizioni per cui e' possibile stabilizzare asintoticamente 
con una controreazione dallo stato e dall'uscita il sistema ad anello 
chiuso partendo dalla conoscenza delle caratteristiche (stabilita', 
autovalori, raggiungibilita' ed osservabilita') del sistema ad anello 
aperto? 
 
O meglio:  
 
1) per stabilizzare asintoticamente un sistema ad anello chiuso con una 
controreazione dallo stato e' necessario (e sufficiente?) che il sistema 
ad anello aperto sia completamente raggiungibile; 
oppure puo' essere in parte raggiungibile ed in parte no a patto che gli 
autovalori associati alla parte non raggiungibile siano a parte reale 
negativa? 
 
  2) e per la controreazione dall'uscita? Inoltre per la controreazione 
dall'uscita si guarda solo l'osservabilita' o anche la raggiungibilita'?  
 
Ringraziandovi ancora per l'aiuto che potete darmi cordiali saluti 
-- 
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 negativa?
mettiamoci nel caso di sistemi a tempo discreto... quindi parliamo di
autovalori con modulo < 1 piuttosto che di autovalori a parte reale
negativa.... ok? poco cambia.
un sistema
x(k+1) = Fx(k) + Gu(k) dim F = nxn
è completamente raggiungibile se partendo dalla cond. iniz.
x(0)=0 è possibile portarlo con ingresso u(k) opportuno ad una condizione
finale x(k) preassegnata, questo per ogni x(k) appartenente a Rn.
in questo caso lo spazio raggiungibile ha dimensione pari a n
se il sistema non è completamente raggiungibile, cioè se la dim dello spazio
ragg. è inferiore a n, è conveniente mettere il sistema nella cosiddetta
forma di Kalman (o forma standard di raggiungibilità). con un opportuno
cambio di base, metto in evidenza le componenti raggiungibili dello stato da
quelle nn raggiungibili
|Xr(k+1) | |F11 F12| |Xr(k) | | G1 |
| | = | | | | + | | u(k) (1)
|Xnr(k+1)| | 0 F22| |Xnr(k)| | 0 |
le componenti il vettore di stato X dopo il cambio di base sono una parte
nello spazio raggiungibile Xr e la rimanente appartiene allo spazio non
raggiungibile Xnr.
possiamo esprimere la (1) cosi'
Xr(k+1) = F11 Xr(k) + [F12 | G1] |Xnr(k)|
                                  |u(k) |
Xnr(k+1) = F22 Xnr(k)
ho scomposto il sistema in 2 sottosistemi di cui uno totalmente
raggiungibile ed uno totalmente non raggiungibile.
se le osservi ti accorgi subito 2 cose importanti:
1) il sottostema non raggiungibile è in evoluzione libera...il che significa
che non gli importa un tubo dell'ingresso che tu vai ad applicare al sistema
complessivo (tramite u(k) ).
già questo dovrebbe aprirti gli occhi... qualsiasi "roba" metti all'ingresso
u(k) (compreso un segnale di feedback), la componente Xnr del tuo sistema se
ne infischia....
2)le componenti dello stato del sottosistema non raggiungibile rappresentano
invece un ingresso per il tuo sistema raggiungibile.
Se parto con un sistema non completamente raggiungibile (F,G) e gli applico
un segnale di feedback all'ingresso u(k) = Kx(k) + v(k)
l'effetto della retroazione dallo stato si traduce nell'avere queste nuove
matrici per il sistema complessivo.
(tralascio i passaggi altrimenti divento pazzo con questo editor!!! li trovi
ovviamente su ogni libro di teoria dei sistemi)
(F,G) -> diventa (F+GK, G) con K matrice di feedback
non lo dimostro ma basta svolgere i prodotti delle matrici e raggruppare e
si vede che la forma di Kalman è invariante rispetto al feedback con la
matrice K... in altre parole se applico la matrice K ad un sistema in forma
di Kalman il sistema complessivo retroazionato è ancora forma di Kalman.
|Xr(k+1) | |F11+G1K1 F12+G1K2| |Xr(k) | | G1 |
| | = | | | | + | | u(k) (1)
|Xnr(k+1)| | 0 F22 | |Xnr(k)| | 0 |
                   |F11+G1K1 F12+G1K2|
la "nuova" F vale | |
                   | 0 F22 |
la matrice di feedback K l'ho partizionata nella nuova base come
K = [K1 | K2]
osserva il nuovo sistema. la "nuova" F è ancora triangolare a blocchi e la
retroazione ha lasciato invariata la F22.
gli autoavalori della "nuova" F sono l'unione degli autovalori di F11+G1K1 e
di quelli di F22.
ci arrivi da solo a capire che con un feedback si può tentare di modificare
solo gli autovalori del sottosistema raggiungibile (inoltre K2 non conta un
tubo nella allocazione degli autovalori del sistema reazionato).
Si puo' dimostrare che posso allocare gli autovalori del sottostema
raggiungibile dove voglio.
come?... non me lo ricordo!.... ma nn dovrebbe essere cosi' difficile... ho
spulciato su un libro e mi pare che basti fare il feedback mettendo il
sistema in forma canonica di controllo.... la dim. è veramente semplice
in definitiva
un sistema e' stabilizzabile se esiste una matrice di feedback K capace di
rendere il sistema asintoticamente stabile.
condizione necessaria per poter stabilizzare un sistema e che la matrice F22
sia già asintoticamente stabile.
Tale condizione è necessaria e sufficente.
abbiamo dimostrato essere necessaria (nessun feedback al mondo puo' spostare
gli autovalori di F22)... la sufficenza è piuttosto semplice da intuire ....
se faccio un feedback con la matrice K = [K1 | K2],
posso allocare gli autovalori del mio sottosistema completamente
raggiungibile (F11,G1) dove voglio agendo su K1(come ti dicevo, sul libro
troverai la dismostrazione)
mentre non mi posso modificare quelli del sottostistema non raggiungibile di
F22.
a questo punto... quando hai dimostrato che puoi piazzare gli autovalori
della parte raggiungibile dove vuoi ( in particolare li puoi tutti scegliere
as. stabili cioè <1 in modulo)
e sufficiente che F22 abbia autovalori asintoticamente stabili e d il gioco
è fatto....
Per quanto riguarda il feedback dall'uscita... beh... aspetto un tuo di
feedback...visto che non so se leggerai queste mie righe... che spero di
aver scritto in maniera comprensibile...
le cose si complicano un po' facendo il feedback dall'uscita piuttosto che
dallo stato perche non è detto che le mie componenti di stato si
"riflettano" tutte sull'uscita....
dovrei rispolverare gli appunti in maniera un po' + seria ... fammi sapere.
spero di non aver fatto troppi errori di ortografia tra k, g, F...etc etc...
ne dubito pero'.
Ciao
Jack
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 negativa?
mettiamoci nel caso di sistemi a tempo discreto... quindi parliamo di
autovalori con modulo < 1 piuttosto che di autovalori a parte reale
negativa.... ok? poco cambia.
un sistema
x(k+1) = Fx(k) + Gu(k) dim F = nxn
è completamente raggiungibile se partendo dalla cond. iniz.
x(0)=0 è possibile portarlo con ingresso u(k) opportuno ad una condizione
finale x(k) preassegnata, questo per ogni x(k) appartenente a Rn.
in questo caso lo spazio raggiungibile ha dimensione pari a n
se il sistema non è completamente raggiungibile, cioè se la dim dello spazio
ragg. è inferiore a n, è conveniente mettere il sistema nella cosiddetta
forma di Kalman (o forma standard di raggiungibilità). con un opportuno
cambio di base, metto in evidenza le componenti raggiungibili dello stato da
quelle nn raggiungibili
Xr(k+1) F11 F12 Xr(k) G1
         = . + u(k) (1)
Xnr(k+1) 0 F22 Xnr(k) 0
le componenti il vettore di stato X dopo il cambio di base sono una parte
nello spazio raggiungibile Xr e la rimanente appartiene allo spazio non
raggiungibile Xnr.
possiamo esprimere la (1) cosi'
Xr(k+1) = F11 Xr(k) + [F12 | G1] [Xnr(k)]
                                  [u(k) ]
Xnr(k+1) = F22 Xnr(k)
ho scomposto il sistema in 2 sottosistemi di cui uno totalmente
raggiungibile ed uno totalmente non raggiungibile.
se le osservi ti accorgi subito 2 cose importanti:
1) il sottosistema non raggiungibile è in evoluzione libera...il che
significa che non gli importa un tubo dell'ingresso u(k) che tu vai ad
applicare al sistema complessivo.
già questo dovrebbe aprirti gli occhi... qualsiasi "roba" metti all'ingresso
u(k) (compreso un segnale di feedback), la componente Xnr del tuo sistema se
ne infischia....
2)le componenti dello stato del sottosistema non raggiungibile rappresentano
invece un ingresso per il tuo sistema raggiungibile. e questo mi fa
pensareche se il tuo sottostitema non raggiungibile e per sfiga anche
instabile... beh... non mi pare la cosa sia tanto "piacevole" se punti ad
ottenere un sistema stabile----
Se parto con un sistema non completamente raggiungibile (F,G) e gli applico
un segnale di feedback all'ingresso u(k) = Kx(k) + v(k)
l'effetto della retroazione dallo stato si traduce nell'avere queste nuove
matrici per il sistema complessivo.
(tralascio i passaggi altrimenti divento pazzo con questo editor!!! li trovi
ovviamente su ogni libro di teoria dei sistemi)
(F,G) -> diventa (F+GK, G) con K matrice di feedback
Non lo dimostro ma basta svolgere i prodotti delle matrici e raggruppare e
si vede che la forma di Kalman è invariante rispetto al feedback con la
matrice K... in altre parole se applico la matrice K ad un sistema in forma
di Kalman il sistema complessivo retroazionato è ancora forma di Kalman.
 Xr(k+1) F11+G1K1 F12+G1K2 Xr(k) G1
           = . + u(k)
 Xnr(k+1) 0 F22 Xnr(k) 0
                    F11+G1K1 F12+G1K2
la "nuova" F vale
                      0 F22
la matrice di feedback K l'ho partizionata nella nuova base come
K = [K1 | K2]
osserva il nuovo sistema. la "nuova" F è ancora triangolare a blocchi e la
retroazione ha lasciato invariata la F22.
gli autoavalori della "nuova" F sono l'unione degli autovalori di F11+G1K1 e
di quelli di F22.
ci arrivi da solo a capire che con un feedback si può tentare di modificare
solo gli autovalori del sottosistema raggiungibile (inoltre K2 non conta un
tubo nella allocazione degli autovalori del sistema reazionato).
Si puo' dimostrare che posso allocare gli autovalori del sottosistema
raggiungibile
dove voglio. come?... non me lo ricordo!.... ma nn dovrebbe essere cosi'
difficile...
ho spulciato su un libro e mi pare che basti fare il feedback mettendo il
sistema in forma canonica di controllo.... la dim. è veramente semplice
in definitiva
un sistema e' stabilizzabile se esiste una matrice di feedback K capace di
rendere il sistema asintoticamente stabile.
condizione necessaria per poter stabilizzare un sistema è che la matrice F22
sia già asintoticamente stabile.
Tale condizione è necessaria e sufficente.
abbiamo dimostrato essere necessaria (nessun feedback al mondo puo' spostare
gli autovalori di F22)... la sufficenza è piuttosto semplice da intuire ....
se faccio un feedback con la matrice K = [K1 | K2],
posso allocare gli autovalori del mio sottosistema completamente
raggiungibile (F11,G1) dove voglio agendo su K1 (come ti dicevo, sul libro
troverai la dismostrazione, se vuoi te l'ha scrivo. Ma è un supplizio
lavorare con matrici in modalità testo!)
mentre non posso modificare quelli del sottostistema non raggiungibile di
F22.
a questo punto... quando hai dimostrato che puoi piazzare gli autovalori
della parte raggiungibile dove vuoi (in particolare li puoi tutti scegliere
as. stabili cioè <1 in modulo)
è sufficiente che F22 abbia autovalori asintoticamente stabili ed il gioco è
fatto....
Per quanto riguarda il feedback dall'uscita... beh... aspetto un tuo di
"feedback" ...visto che non so se leggerai queste mie righe... che spero di
aver
scritto in maniera comprensibile...
le cose si complicano un po' facendo il feedback dall'uscita piuttosto che
dallo stato perche non è detto che le mie componenti di stato si
"riflettano" tutte sull'uscita....
dovrei rispolverare gli appunti in maniera un po' + seria ... fammi sapere.
Spero di non aver fatto troppi errori di ortografia tra k, g, F...etc etc...
per non parlare poi della grammatica.... (peggio di un analfabeta).


 dall'uscita si guarda solo l'osservabilita' o anche la raggiungibilita'?  
E' come sopra, con in piu' la necessita' che i moti non gia' 
asintoticamente stabili siano anche osservabili.
In sunto:
Condizione necessaria e sufficiente per la stabilizzabilita' (mediante 
retroazione delle uscite) di un sistema lineare stazionario e' che la 
parte instabile sia raggiungibile ed osservabile, ovvero che appartenga 
al secondo blocco della forma di Kalman.
-- 
--- debrando