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Titolo: mecc.raz.:perche' a volte le eq.card. non servono ad un picchio?

prendiamo l'esempio di un sistema composto da:
4 aste omogenee di peso p (l'una) e lunghezza l
incernierate a formare un rombo
appeso per una cerniera
e tirato a terra dalla cerniera opposta tramite una molla
ora si fa ruotare il tutto con velocita' angolare w costante attorno
all'asse verticale che passa per le due cerniere vincolate
bisogna trovare la posizione di equilibrio in termini dell'angolo a
formato da un'asta con l'asse di rotazione.
 
          | * (questa e' la punta della freccia
          |    del vettore velocita' angolare w)
       A  O
         /:\
        / :a\
       /  :->\                y  z  i momenti sono positivi se tendono a
      /   :   \               | +)  far ruotare in senso antiorario
  B  O    :    O  C            --x
      \   :   /
       \  :  /
        \ : /
         \:/
       D  O
          /
          \ molla
          /
          O
         /|\
per semplificare le cose supponiamo che la molla (di costante k) si
trovi a riposo quando a=0.
Non voglio usare il principio dei lavori virtuali! Voglio vedere se ci
si puo' arrangiare con le due equazioni cardinali della statica per
capire quanto (poco) sia conveniente usarle.
mettiamoci in un riferimento rotante di modo che il sistema stia sempre
nel piano xy e sia soggetto al peso, alla forza della molla, e alle
forze assifughe.
la prima equazione cardinale impone che sia
 Rx = 0  
 Ry = 0
solo le forze assifughe agiscono in direzione x e per simmetria e' ovvio
che abbiano risultante nullo indipendentemente da w, quindi la prima
componente non ci da' alcuna informazione sull'angolo a.
lungo y agiscono sia il peso che la molla alle quali si oppone solo la
reazione vincolare in A cioe':
 
 Ry = V[A] - 4p - 2lk(1 - cos a)
quindi la seconda componente ci puo' essere utile solo per determinare
la reazione V[A] una volta nota la posizione di equilibrio ma non per
trovare l'angolo a di equilibrio!
Non ci resta che sperare nella seconda equazione cardinale la cui unica
componente interessante e' quella ortogonale al piano xy
come polo conviene prenderne uno che annulli il momento di V[A] cioe' A
allora le cose devono suonare cosi':
 M[A] = M[A,pesi] + M[A,molla] + M[A,assifugo] = 0
ora:
il momento della molla e' evidentemente nullo per ogni angolo a visto
che tale forza ha braccio nullo rispetto al polo A
il momento dei pesi e' nullo per la medesima ragione, come si poteva
intuire per la simmetria del sistema, sempre indipendentemente da a
resta il momento delle forze d'inerzia assifughe, ma anche questo
momento e' sempre nullo per simmetria!
E allora anche della seconda equazione cardinale non me ne faccio nulla.
Come e' possibile!
probabilmente i miei ragionamente fanno acqua da tutte le parti, ma se
cosi' non fosse, qual'e' la ragione profonda di questa impotenza delle
equazioni cardinali?
 
-- 
Antonella Gentile       OO   
Nicolo' Zen            O  O  (o)(o)
gen...@unive.it
        O       oo 
nz...@maya.dei.unipd.it
  O ooo  <>  ooo 

 
Non hai sfruttato in nessun momento il fatto che le aste sono
incernierate tra di loro e non saldate. Per usare questa informazione
con le equazioni cardinali devi necessariamente spezzare il sistema, 
ossia devi togliere una o piu' aste. Cosi' facendo
introduci delle nuove forze incognite, le reazioni che le aste che
hai tolto esercitano su quelle che rimangono, e qui fai intervenire 
il fatto che le aste sono incernierate: non esercitano
momenti d'incastro l'una sull'altra. 
Trovi degli esempi di rombi articolati in 
http://www.mate.polimi.it/didattica/meccanica_razionale/statica_dei_sistemi_articolati.ps
(e' un file postscript, serve ghostview o una stampante postscript).
 
 Lorenzo Valdettaro
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| Lorenzo Valdettaro             |                                  |
| Dipartimento di Matematica     |                                  |
| Politecnico di Milano          |                                  |
| Piazza Leonardo da Vinci, 32   |   email : 
va...@mate.polimi.it
   |
| 20133 Milano (Italy)           |                                  |
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Molto semplice ;-) Le eq. cardinali sono sempre vere, per qualsiasi
sistema, ma sono sufficienti a determinare il moto o l'equilibrio *solo
per un corpo rigido*. 
In questo caso percio' dovreste applicarle alle singole sbarre, non
all'intero rombo.
-- 
 Elio Fabri                     
 Dip. di Fisica - Univ. di Pisa 
 Sez. Astronomia e Astrofisica

 
dove trovo ghostview????
che cos' e' una stampante postscript????