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Titolo: [TECNICA] Un modello per lo studio della dinamica dei pneumatici - parte I

Da qualche tempo ho iniziato a documentarmi sulla modellistica
matematica per lo studio della dinamica dei veicoli, disciplina in parte
basata sulla dinamica dei pneumatici che - ricordiamolo sempre - sono
gli unici elementi di contatto fra l'automobile e la strada e rivestono
quindi massima importanza. Vorrei illustare quanto ho appreso in queste
letture, cercando al contempo di dare un taglio non troppo
ingegneristico al discorso e di limitare l'uso della matematica al
minimo indispensabile per rendere leggibile e piacevole l'argomento
anche a chi non l'ama.
Propongo qui uno dei modelli qualitativi usati per lo studio del
comportamento del pneumatico e dei suoi parametri essenziali, diviso in
varie parti per non essere troppo prolisso. Spero sia spunto di
discussione.
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*  Questo articolo dev'essere visualizzato con font equispaziato  *
*  (es. Courier) per la corretta geometria dei disegni ASCII!     *
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Introduzione
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La dinamica dei veicoli è disciplina complessa, in cui teoria ed
esperienza si fondono per cercare d'interpretare i risultati. È un campo
in cui tutti possono compiere - con attenzione e prudenza - esperimenti
e prove per saggiare le potenzialità della materia, però è difficile
inquadrare e capire i risultati senza ricorrere ad un modello matematico
almeno qualitativo. Vedremo di seguito un modello facile ma, pur nella
sua disarmante semplicità, abbastanza rigoroso: il modello "a spazzola".
Caratteristiche del pneumatico
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Le principali caratteristiche sono deformabilità e peso. Grazie ad esse
il pneumatico riesce a copiare le asperità della strada e mantenere
buono il contatto con il fondo stradale. Il polimero gommoso che lo
ricopre assicura la necessaria aderenza, concetto chiave di cui
parleremo a lungo nel prosieguo.
L'ottima deformabilità e resistenza allo stress meccanico sono ottenute
con tecniche costruttive composite per la carcassa e polimeriche per la
mescola, bilanciando a seconda della destinazione d'uso le esigenze di
comfort e di prestazioni. La carcassa è di solito composta da fibre
intrecciate, molto flessibili ma poco estensibili, immersa nella matrice
gommosa di mescola elastometrica che garantisce le necessarie
deformabilità e aderenza. L'intera struttura viene irrigidita e tesa
gonfiandola con aria compressa.
La pressione di gonfiaggio è importantissima e dev'essere mantenuta in
opportuni intervalli stabiliti dal costruttore per garantire le migliori
prestazioni e la minima usura. In queste circostanze il pneumatico può
trasmettere considerevole forza al cerchio su cui è montato, grazie alle
strisce di contatto fra gomma e metallo.
Il comportamento dinamico del veicolo è in buona parte correlato a
queste caratteristiche, perché le forze che gli consentono di muoversi,
arrestarsi e curvare nascono nell'area di contatto fra pneumatico e
strada, chiamata "impronta a terra", le cui dimensioni sono paragonabili
al palmo di una mano (nel caso delle automobili). Per i nostri fini
assume importanza il comportamento del pneumatico nell'area
dell'impronta a terra, mentre non ci interessa quello strutturale che
riveste invece massima importanza per i costruttori dei pneumatici.
Lo studio di queste caratteristiche avviene in laboratorio grazie a
macchine che permettono l'analisi dinamica appoggiando la ruota su
tappeti scorrevoli o grandi tamburi rotanti ed imprimendole forze di
varia intensità e direzione. Sistemi computerizzati tengono traccia del
comportamento e lo trasformano in valori numerici che possono essere in
seguito analizzati. Queste prove riproducono buona parte, ma non tutto,
della situazione reale su strada; il passo successivo è la
monitorizzazione sul campo grazie all'uso di apparecchiature montate
sull'automobile.
Sistema di riferimento
----------------------
La prima pietra di ogni modello matematico è la scelta del sistema di
riferimento su cui basare le misure. Nel nostro caso è adeguato un
sistema cartesiano tridimensionale con origine O nel punto individuato
dall'intersezione di tre piani: quello stradale, quello longitudinale
medio del cerchione, quello normale alla strada e passante per l'asse di
rotazione della ruota. L'asse x è individuato dall'intersezione del
piano stradale con quello longitudinale medio del cerchione e diretto
nel senso di avanzamento, l'asse z è ortogonale al piano stradale e
diretto verso l'alto, l'asse y è ortogonale al piano individuato dagli
altri due (coincide con la proiezione dell'asse di rotazione sul piano
stradale) diretto in modo da considerare positive le rotazioni
antiorarie; è insomma la classica terna cartesiana. Osserviamo che
questo sistema non dipende dall'angolazione tra piano stradale e piano
longitudinale della ruota, cioè non è legato all'angolo di campanatura
(camber).
Di seguito indicheremo con il simbolo <A> un generico vettore A
(purtroppo il codice ASCII non permette l'impiego di frecce soprascritte
o di grassetto), e con A il suo modulo quando non vi sia ambiguità.
Consiglio a chi voglia seguire il discorso con precisione di prendere
carta e matita e disegnare il sistema di riferimento e la ruota
simbolica, perché purtroppo il set ASCII non consente di raffigurare in
poco spazio e con esattezza le figure tonde.
Nelle prove dinamiche s'impone alla ruota moto traslatorio con velocità
<V> costante e si assume la strada piana ed orizzontale. Il cerchio
ruota con velocità angolare Omega. Osserviamo subito che il pneumatico
*non* è assimilabile ad un corpo rigido, per ovvi motivi, e non possiamo
quindi utilizzare le formule note dalla Meccanica Razionale per lo
studio di siffatti corpi.
Forze in gioco
--------------
Le forze che agiscono sulla ruota, trasmesse dalla strada, hanno
risultante <R> che in generale non passa per O. Per comodità è tuttavia
spesso utile considerare l'equivalente vettore <F> passante per O e
ottenuto applicando a <R> un'opportuna coppia di trasporto <M> (ausilio
classico in Meccanica Razionale).
Il sistema di riferimento è stato scelto con oculatezza, possiamo quindi
scomporre <F> in componenti a cui è associabile un interessante senso
fisico: osserviamo che il piano xy è quello stradale e che le componenti
Fx, Fy e Mz (attenzione: Mz, non Fz) rappresentano la forza
longitudinale, quella laterale ed il momento di deriva (anche chiamato
di autoallineamento, per motivi che vedremo poi), cioè le forze
TANGENZIALI; le componenti Mx, My, Fz rappresentano invece il momento di
ribaltamento, di resistenza al rotolamento e la forza verticale, cioè
forze NORMALI alla strada. L'angolo Alfa tra l'asse x ed il vettore
velocità <V> è l'angolo di deriva, positivo per comodità in senso
antiorario.
Comportamento cinematico
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Per formulare il nostro modello è necessario definire alcuni enti e
alcune quantità.
Nell'ipotesi (molto plausibile) in cui Vz = 0 le componenti non nulle
della velocità <V> dell'asse sono
  Vx =  V cos Alfa
  Vy = -V sin Alfa
La velocità di rotazione Omega dipende da <V>, dalla coppia T applicata
alla ruota (detta motrice se > 0, frenante se < 0), dall'angolo Alfa di
deriva, dalla forza verticale Fz, dal tipo di pneumatico (carcassa,
mescola), dalla sua pressione di gonfiaggio e da altri parametri. Nelle
prove di laboratorio vengono di solito considerati variabili solo T e
Alfa.
Si può calcolare la distanza da O dell'asse elicoidale (asse di Mozzi),
data da R = Vx / Omega, che in certe condizioni coincide con l'asse
d'istantanea rotazione.
Rotolamento puro
----------------
Si parla di rotolamento puro quando l'angolo di deriva è 0 e la coppia
applicata alla ruota è nulla, cioè Alfa = 0 e T = 0. In tal caso la
velocità angolare di rotazione è costante e viene indicata con Omega0,
l'asse elicoidale coincide con quello d'istantanea rotazione.
R0 = V / Omega0
Rotolamento generico
--------------------
Stesse condizioni di quello puro, ma l'angolo di deriva non è nullo. La
velocità di rotazione OmegaAlfa risulta < Omega0, il cerchio non ha piú
moto piano e l'asse d'istantanea rotazione è sostituito da quello
elicoidale.
Ralfa = (V cos Alfa) / OmegaAlfa
Scorrimento
-----------
Nel caso generale, quando Alfa e T non sono nulli, si ha scorrimento del
pneumatico e possono essere definiti alcuni enti, che qui tralasciamo,
per descrivere il fenomeno ricorrendo all'asse elicoidale. Utile è però
la velocità di scorrimento <Vs> rispetto alla strada della traccia S0
sul piano stradale lasciata dall'asse elicoidale.
Vsx =  V cos Alfa - Omega * Ralfa = (OmegaAlfa - Omega) * Ralfa
Vsy = -V sin Alfa = -Vx tg Alfa = -OmegaAlfa * Ralfa * tg Alfa
Velocità di rotolamento
-----------------------
Rappresenta la componente di <V> che non comporta scorrimento del
pneumatico rispetto alla strada, ma solo rotolamento. È una grandezza
vettoriale definita come <Vr> = (Omega * Ralfa, 0, 0).
Vale l'importante relazione vettoriale:
<V> = <Vr> + <Vs>
Osserviamo che, come da ipotesi iniziale, la componente z è sempre nulla
perché abbiamo ipotizzato velocità verticale nulla. Di seguito possiamo
quindi supporre questi vettori a due sole componenti, per semplicità.
Scorrimento pratico
-------------------
V, Alfa, Omega permettono di esprimere il moto del cerchio in modo
completo. Però nel modello che stiamo per illustrare è utile considerare
due entità ausiliarie adimensionali chiamate scorrimento pratico e
teorico. Quello pratico è dato da

 = <V> / Vx = (1-Omega/OmegaAlfa, -tg Alfa)
Scorrimento teorico
-------------------
<sigma> = <Vs> / Vr = (OmegaAlfa/Omega - 1, -OmegaAlfa/Omega * tg Alfa)
Questi due vettori 
 e <sigma> hanno sempre la stessa direzione e lo
stesso verso, ma differiscono in modulo.
Modello a spazzola
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È un modello qualitativo semplificato (ma non semplicistico!) che
permette d'intuire, e in parte spiegare, il comportamento dinamico del
pneumatico. Si chiama "a spazzola" perché ipotizza l'andamento del
battistrada nell'area d'impronta a terra supponendolo simile alle setole
di una spazzola, indipendenti le une dalle altre. Per maggior semplicità
supponiamo nullo l'angolo di camber.
Immaginiamo un cerchio matematico (quindi privo di spessore) di raggio
Re uguale a quello della ruota *indeformata*, deformabile elasticamente
in senso solo radiale (quindi giace sempre su un piano). Esso è in grado
di copiare la strada come il pneumatico reale, deformandosi sia per la
forza verticale applicata sia per la presenza di asperità sul piano
stradale. Lungo la circonferenza immaginiamo vi sia applicato un sottile
strato deformabile in senso longitudinale (le famose setole della
spazzola) che rappresenta in prima approssimazione il battistrada.
Per intuirlo pensiamo a un disco deformabile in senso radiale ma rigido
in tutte le altre direzioni, la cui circonferenza sia ricoperta da una
peluria di piccole setole radiali di lunghezza trascurabile ma
deformabili in senso solo longitudinale come se fossero dotate di
flessibilità elastica flessionale. Le punte delle setole toccano la
strada e vi aderiscono se le condizioni lo permettono.
Sia AB il segmento di contatto fra il cerchio deformato e la strada
(l'impronta a terra vista in sezione). In altre parole il disco inizia a
toccare la strada in A, si deforma sotto il peso e vi si appoggia in
A-B, cessa di toccarla in B.
Un'eventuale piccola velocità <Vs> del disco nell'impronta di contatto
A-B può essere interamente compensata dalla deformazione delle setole
senza provocare strisciamenti delle loro punte. Caratteristica
importante del modello è la completa indipendenza di ciascuna setola
dalle altre.
Vediamone una raffigurazione schematica, dove gli asterischi indicano il
profilo del disco deformato appoggiato sulla strada sulle punte delle
setole, indicate da barrette verticali o inclinate:
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              *                                    *
                        *   *   *   *   *
<-- avanzamento         |   |   \   |   |
                        |   \    \   \  |                   strada
------------------------------------------------------------------
                        A               B
Osserviamo che la flessione delle setole è nulla in A e in B, massima al
centro del segmento AB. In sostanza il modello assume legame solo locale
tra reazione e spostamento, come avviene in certi modelli di Winkler
impiegati nella descrizione di fondamenta elastiche in alcune branche
della Meccanica applicata).
Pressione verticale
-------------------
Sia 2a la lunghezza del segmento AB; il punto A nel nostro solito
sistema di riferimento avrà ascissa a, B avrà ascissa -a. In inglese il
punto A d'inizio dell'impronta a terra viene chiamato "leading edge", il
punto B di fine impronta "trailing edge".
Come detto, l'angolo di camber è supposto nullo; supponiamo per
semplicità nulle anche le perdite causate da attriti di rotolamento,
ovvero poniamo My = 0 (My è la componente y del momento di resistenza).
Quest'ipotesi implica simmetria della pressione normale p(x) esercitata
dal disco sulla strada rispetto all'asse z, almeno nell'intervallo
-a<=x<=a; l'ipotesi è verosimile. La pressione p(x) dipende chiaramente
dall'ascissa del punto considerato, infatti è indicata come funzione
della variabile x.
La rigidità della carcassa non è nulla, quindi il disco che la
rappresenta si flette e determina l'impronta a terra. Dunque p(x) è
nulla alle estremità A e B dell'impronta, e non ci interessa sapere
quale sia il suo andamento fuori dall'impronta (perché il contatto con
la strada avviene solo nell'impronta, e quanto accade al di fuori di
essa esula da questo modello). All'interno del segmento AB d'impronta la
p(x) varia con andamento complesso ma assimilabile, in prima
approssimazione, ad una funzione parabolica. Quindi:
p(x) =~ p0 * (1 - (x/a)^2)
dove p0 = p(0) è il valore massimo.
Naturalmente nella realtà l'impronta a terra non è monodimensionale ma
ha anche una larghezza. Il modello suppone costante tale larghezza (pari
a 2b) e dovendo essere la risultante di p(x) uguale al carico verticale
Fz si ottiene subito:
Fz / (2b) = 2/3 * p0 * 2a
da cui:
p0 = 3 / (8ab) * Fz
Aderenza
--------
Concetto importantissimo, altro non è che un modo famigliare per
definire il valor medio del coefficiente di attrito statico fra la ruota
e la strada, anche detto di primo distacco. Viene indicato con mi0.
Si parla di aderenza limite quando inizia strisciamento macroscopico tra
il pneumatico e la strada (cioè quando si comincia a "sgommare").
Il problema generale del contatto fra pneumatico e manto stradale è di
grande complessità analitica, nel gergo della Meccanica Razionale lo si
definisce "tribologico alle coppie superiori"; il coefficiente
d'aderenza dipende da innumerevoli parametri. Vedremo di seguito una sua
estrema semplificazione atta a descrivere qualitativamente i fenomeni in
gioco, almeno in prima approssimazione, correlandoli ai valori locali di
temperatura, pressione, velocità di strisciamento. La velocità di
strisciamento è forse il fattore piú evidente fra quelli citati, però
non dimentichiamo che temperatura e pressione sono importantissimi
nell'impiego agonistico dove le gomme sono sfruttate al meglio e spesso
progettate e costruite in funzione dei particolari angoli caratteristici
e forze applicate di una specifica vettura (basti pensare alla F1).
Esistono vari modelli per legare il valore di mi0 alla velocità di
scorrimento Vs, alcuni lineari, altri non lineari; a volte per
semplicità massima si assumono persino indipendenti oppure discontinui.
Nel nostro modello scegliamo quest'ultima strada e supponiamo abbiano
una semplice discontinuità formulata da una diseguaglianza fra mi0
(coeff. medio) e mi1 (coeff. limite):
mi0 = (1+chi) / mi1            con chi > 0
inoltre ipotizziamo che mi non dipenda dalla direzione di <Vs>.
A titolo di esempio il valore di mi0 su asfalto asciutto varia, per i
pneumatici automobilistici su manto stradale, fra 0.7 e 1; di solito è
0.8. Sul bagnato può scendere a 0.6, fino a 0.1 su neve. Su asfalto da
pista con gomme buone (ma non da gara) può arrivare a 1.2
Tensione e rigidità
-------------------
La massima semplicità del modello si ha quando si suppone lineare ed
isotropo il comportamento di ogni singola "setola". Questo implica
linearità del legame fra lo spostamento <e> della punta della setola e
la tensione tangenziale <t> che la strada esercita su di essa.
Se definiamo X = a-x per comodità (ovvero X è la distanza dal punto A)
si può scrivere:
t(X) = k * e(X)
In quest'equazione la costante k rappresenta la rigidità del pneumatico
e dipende dalle sue caratteristiche costruttive.
Deformazioni locali
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Abbiamo definito prima A come il punto in cui le setole iniziano a
toccare la strada; la setola in A è quindi perfettamente indeformata,
varia nel passare da A verso e B e ritorna indeformata in B (vedasi
disegno). La deformazione che avviene in A-B è causata dalla velocità
<Vs> relativa tra setola e strada. Rammentiamo che il comportamento di
ogni setola è supposto indipendente da quello delle altre.
Il tempo t durante il quale la setola si trova nell'impronta AB è chiara
funzione della velocità di rotazione:
t = X / Vr
Lo spostamento generico della setola è potenzialmente dato da:
<e(X)> = -<Vs> * t = -<Vs> * X / Vr = -<sigma> * X
Si parla di potenzialità perché potrebbero venire meno le condizioni di
aderenza locale e cambiare quindi la situazione.
In prossimità di B possono verificarsi strisciamenti perché può essere
oltrepassato il limite di aderenza. In questo caso si ha:
<e(X)> = -( <sigma> * mi(X) * p(X) ) / (sigma * k)
Osserviamo subito che nella zona aderente la funzione <e(X)> è lineare
in X, mentre in quella di slittamento ha dipendenza dalla pressione di
contatto.
======== fine prima parte ========
Prossimamente su questo schermo la seconda puntata, dove esamineremo il
comportamento del modello qui introdotto.
Ciao!
-- 
  Marco Sala (CAV)
  Moderatore del gruppo it.discussioni.auto.mod
  ICQ 18349872
  IDAMweb: 
http://adcserver1.biodip.unimi.it/idam
  Delta Evoluzione & Fiat 500, dal 28/10 anche cappellino McLaren

anche a chi non l'ama.
Per chi vuole vedere diagrammi o grafici, posso rimandare alla guida
al pilotaggio che ho scritto per GPLegends, ma che perfettamente si
adatta anche ai veicoli reali (buona parte delle nozioni le ho prese
da "L'assetto" di Facchinelli).
Lo potete trovare a:
http://www.crononauta.racesim.net/
oppure a:
http://www.vialattea-racing.it/features/GPL/GPL.htm
e poi andate nella sezione "Guida al pilotaggio". Cercate il capitolo
"Deriva della gomma", dove ci sono spiegati in modo grafico questi
concetti, con diagrammi ed esempi (che capisco essere difficili in un
testo ascii di un messaggio!!!)
-- 
Massimo Bacilieri AKA Crononauta
ulib...@libero.it
 ; ICQ UIN: 4005815
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