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Titolo: Velocità della luce e dilatazione spaziale

Come si sa la luce nel vuoto ha una velocità di quasi
300.000 km/s. La dilatazione spaziale però come influisce
sulla luce? Mi spiego meglio.
Ipotizzando due galassia distanti un certo valore in Mpc, 
e ipotizzando che il valore di v che ricaviamo dalla legge
di Hubble sia un valore di chessò, 320.000 km/s. Ora, visto
che questo oggetto fugge da noi ad una velocità maggore di c,
per simmetria delle leggi di relatività generale anche la nostra
galassia si allontana da quella presa in esame a 320.000 km/s.
Un ipotetico fotone che partisse da questa galassia quindi
non potrebbe mai raggiungerci. E quindi è impossibile che noi
possiamo osservare nello spazio oggetti che hanno velocità di espansione
maggiore di c, perchè la loro luce non arriverebbe mai a noi, visto che
ci allontaniamo dalla sorgente di emissione ad una velocità maggiore di
c.
Questo implica che il nostro orizzonte degli eventi
è finito e rimarrà finito, visto che l'universo è in espansione,
ma anzi, più il tempo passa e più il nostro orizzonte degli eventi
(ipotizzando un universo aperto) si ridurrà di raggio, perchè
tutte le varie galassie si allontaneranno da noi a velocità
v sempre maggiori, man mano che la loro distanza d aumenta.
Se fin qui il mio ragionamento è giusto, mi chiedo, visto
che la velocità della luce c è riferita solo per fenomeni "locali"
la dilatazione spaziale influirà in un certo modo sulla velocità
di espansione di un certo corpo che abbia v anche solo di 120.000 km/s.
Quindi un ipotetico fotone che partisse da una galassia che si allontana
a 120.000 km/s non impiegherà un tempo maggiore per arrivare da noi
del tempo misurato se non ci fosse la dilatazione spaziale. 
In definitiva su distanze cosmologiche non si può più dire che la
velocità della luce
è assoluta per tutti gli osservatori, ma dipende dal fattore di
dilatazione
spaziale. O per dire meglio, la velocità di c è sempre la stessa, ma
viene
"rallentata" dall'effetto di dilatazione spaziale.
Cavolo, spero di essermi spiegato correttamente.
Vorrei quindi sapere se tutto questo è giusto si o no ^^
Grazie comunque e ad ogni modo :)
Ciao!
-- 
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 galassia si allontana da quella presa in esame a 320.000 km/s.
Ma la teoria della relatività non "consente" alla materia di viaggiare alla
velocità della luce pena l'annichilamento della stessa materia.
            Saluti


 non potrebbe mai raggiungerci
La luce, nel vuoto, si propaga sempre alla stessa velocità c (299792458 m/s)
per qualsiasi osservatore: mi spiego se una galassia si allontana da noi a
200 mila km/s noi comunque vediamo la sua luce giungerci a velocità c (e non
a 100 mila km/s come forse pensi) e la stessa velocità c sarebbe misurata da
un osservatore solidale con tale galassia.
Forse ti sembrerà strano ma è così.

 Forse ti sembrerà strano ma è così.
Vero, in effetti qualcosa cambia, non la velocità del fotone, ma la
sua frequenza per effetto Doppler, mano a mano che la velocità
(apparente) di recessione aumenta, diminuisce la frequenza dei fotoni
che ci arrivano, fino ad azzerarsi alla velocità di recessione pari a
c.(piccola questione, cosa succede alla frequenza del fotone se si
supera c come velocità di recessione?)

 supera c come velocità di recessione?)
Il redshift cosmologico non è dovuto, come a volte si sostiene,
all'effetto Doppler ordinario, ma all'espansione dello spazio, tantochè le
formule che lo definiscono nei due casi sono completamente differenti. 
Nel caso del redshift cosmologico z è collegato al fattore di scala
dell'espansione, mentre nel caso del redshift da effetto Doppler z è
collegato alla velocità di recessione della sorgente. 
Ciao, Raskolnikof
-- 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

...

Io in parte concordo... vediamo.
Per la legge relativistica di composizione delle velocita', la c nel 
"vuoto" rimarrebbe sempre la stessa, questo e' giusto, quindi poco importa
a che velocita' fugga rispetto a noi la galassia da cui parte il fotone.
Tuttavia (anche se adesso non ne ricordo i nomi, ma erano astrofisici o
cosmologi di chiara fama), il fatto che la _materia_ non possa superare
la velocita' della luce, non impedisce che il tasso di crescita dello 
spazio intergalattico su grande scala cosmica possa oltrepassarla... 
... quindi tutto sommato potrebbe anche avere qualche senso
il discorso fatto (nel primo post) che le galassie piu' lontane
possano a poco a poco sfuggire per sempre dal ns. orizzonte degli eventi
(questo pero' non implica che il suo "raggio" si riduca progressivamente,
dato che tutto si espande comunque). Nei modelli di Fridmann, che 
presentano tutti e 3 curvatura R(t) convessa, la crescita di R col tempo
decelera in ogni caso, quindi la pendenza corrispondente alla velocita'
limite c non verra' mai raggiunta... Pero' in altri modelli, tutt'altro
che passati di moda, come quelli di Eddington-Lemaitre acceleranti il
problema che dR/dt possa superare ad un certo punto c si pone e non 
si puo' escludere a priori.
Vi prego infine di non accettare con troppa facilita' come _assioma
universale_ il discorso della costanza di c. Questa (posta come uno
dei principi-base della R.S.) ha ampie prove sperimentali, e' verissimo.
Pero' non sappiamo nulla se cio' puo' essere estrapolato anche a
distanze grandissime nell'universo, ad epoche remotissime quando la
densita' della materia-energia poteva essere elevatissima. Come 
facciamo ad avere una sola prova sperimentale di quanto valeva c
10 miliardi di anni fa? (se qualcuno ha una risposta concreta, si
faccia avanti...). Quello che in genere si fa e' di estrapolare
le nostre conoscenze locali, a livello di sistema solare, all'intero
universo fino al lontano passato (e futuro). In realta' non possiamo
neppure essere certi che le varie "costanti della fisica" restino
per sempre costanti. Anche se precise misure sperimentali attualmente
non trovano neppure una variazione di una parte su 10^11 in un secolo
(o giu' di li', per G o c), questo non puo' escludere che misure piu'
spinte in futuro rivelino delle piccolissime "anomalie".
Liberi di pensare che restino costanti: allo stato attuale di
conoscenze non si puo' dimostrare infatti l'opposto. Pero' da parte
mia, che mi attengo strettamente al Principio di Mach, lasciatemi
per favore sollevare qualche piccolo dubbio. 
Per esempio, seguendo Sciama (1952) e Dicke (1961) noi potremmo
ipotizzare che il rapporto fra le "costanti" c^2 / G sia proporzionale
alla sommatoria dei potenziali scalari m(i)/r(i) (masse/distanze)
visti da una particella di prova. Se e' vero che l'universo si
espande, nei primi tempi il denominatore doveva tendere a zero,
dunque anche c^2/G. Allora o G tendeva a zero oppure c a infinito
per t tendente a zero, o entrambe le cose. Si avrebbe la tentazione
di assumere solo G variabile nel tempo, senonche' una formula
dovuta allo stesso Einstein dice che (in modulo):
c =  c(o) * SQR ((1 - 2 G m /r c^2)/(1 + 2 G m /r c^2))
 
che per distanze r >> G m /c^2  si puo' approssimare a:
c = c(o) * (1 - 2 G m / r c^2)
cioe' in vicinanza di un buco nero decresce fino ad annullarsi sul suo
orizzonte degli eventi (raggio di Schwarzschild). Stranamente, vicino
alla "singolarita' iniziale" prevista dalla teoria del BigBang invece
dovremmo avere, come prima accennato, c tendente a infinito (se non
costante assoluta), ma e' anche vero che il Big Bang non si puo'
trattare allo stesso modo di un buco nero (semmai e' bianco).
Non ho alcuna pretesa di saper trovare risposte certe a questi enigmi, ma
intanto volevo solo evidenziarvi il fatto che la costanza di c nel 
vuoto potrebbe non avere affatto carattere di validita' assoluta e
universale, sempiterna. Peraltro la RS varrebbe solo per casi
approssimabili a inerziali, quindi solo locali e per tratti 
relativamente piccoli ed entro i limiti sperimentali. Su scala cosmica 
i moti rettilinei uniformi non possono assolutamente essere una realta'.
Dovremmo piu' prudentemente affermare che la velocita' della luce c
e' costante entro il sistema solare ed entro gli attuali limiti sperimentali,
nel cosiddetto vuoto (e analogamente per "costante" G).
Ciao
attilio

 limite c non verra' mai raggiunta...
...
Tralasciando il fatto che R(t) è definito adimensionale, e quindi la sua
derivata rispetto al tempo non è confrontabile direttamente con una
velocità, in tutti i modelli di Friedmann R'(t) (tasso di espansione)
tende ad infinito al tendere di t a zero con la seguente legge di potenza:
R'(t) circa 1/t^[1/3] [mentre H(t) circa 1/t].


 c.
Niente può viaggiare oltre la velocità della luce. Nessuna galassia si
allontana dalla nostra ad oltre 300.000 km/s. E' la dilatazione temporale
che salva questa legge.
Saluti.

Premetto che quello che ho scritto qui di seguito l'ho scritto prima di
aver letto
il post di attilo, ma comunque si ricollega al discorso iniziale.
Raskolnikof come hai detto te giustamente ho fatto tutt'uno tra la
Relatività
Ristretta e quella Generale, e ho creato un po' di confusione.
Che io sappia comunque la RR si usa per i sistemi in moto uniformemente
accelerato tra di loro, mentre la RG per quelli, come hai specificato
te, non-inerziali,
ovvero in moto accelerato l'uno rispetto all'altro (e infatti è usata a
livello cosmologico).
Questo avviene anche localmente e infatti è causa dell'effetto doppler.
Ricordo però che la RG non prescinde un universo in espansione, ma è
stata successivamente
implementata a livello cosmologico in un universo in espansione.
Einstein stesso immaginava
un universo statico, e difatti ipotizzò la costante cosmologica.
Poi, come te hai ancora giustamente affermato il redshift cosmologico
non è causato
dall'effetto doppler ma dalla dilatazione spaziale, e quest'ultimo
viene spesso spiegato tramite l'effetto Doppler perchè il principio è lo
stesso.
Se infatti noi vogliamo misurare il tempo che ci impiega un ipotetico
fotone partendo da
una certa galassia distante r ad arrivare a noi, il tempo impiegato non
sarà assolutamente
la distanza r per la velocità della luce perchè la dilatazione spaziale
tende a "rallentare" la velocità, anche se la velocità di c rimane
invariata!
E' un esempio stupidino, però è come se voi doveste andare da dove vi
trovate ora ad un punto
distante 100m mentre sotto i vostri piedi continua a "crearsi" dello
spazio...la vostra velocità sarà
sempre la stessa, ma impigherete più tempo ad arrivare a quel punto
perchè quando arriverete vi accorgerete
che non avrete percorso non 100m ma 120m. E quindi t non è più uguale a
v*s. L'universo non si espande nello spazio, ma tramite la dilatazione
spaziale l'universo di espande. Ricordatei l'esempio del palloncino
asdasd ^^
E infatti per calcolare la distanza ad un istante t tra due galassie che
oggi siano distanti R si può ricorrere a questa formula:
r(t)=R*(t/t0)^(2/3) 
dove t è l'epoca della quale vogliamo conoscere la distanza, t0 è il
tempo presente, e R la separazione attuale.
Se poniamo l'età dell'universo a 15 miliardi di anni e R a 12 milardi di
anni luce, troviamo t che corrisponderà a 15-12=3
e quindi:
r=12*(3/15)^(2/3)=4,1 milardi di anni luce
Cioè un "l'immagine" di una galassia che dista oggi da noi 12 miliardi
di anni luce è partita da quella galassia quando distava
da noi solamente 4,1 miliardi di anni luce! Se nella velocità della luce
non influisse la dilatazione spaziale allora quel fotone avrebbe
giustamente impiegato 4,1 miliardi di anni luce e non 12 miliardi di
anni luce. Spero che i miei calcoli siano giusti.
Già da questo risultato si potrebbe fare qualche riflessione abbastanza
profonda su un particolare, ma preferisco ritornare al discorso del mio
primo post e non divagare ulteriormente.
Quindi considerato tutto questo, la luce delle galassie con velocità di
recessione maggiori di c non potrebbe mai arrivare a noi, giusto? Quindi
il nostro orizzonte degli eventi sarebbe limitato nello spazio, e anzi,
ipotizzando un universo aperto più l'universo si
espanderà e man mano più galassie ora visibili si allontaneranno da noi
con velocità d'espansione maggiore di c.
Vero si o no questo?
Scusate per la prolissità ma non vorrei lasciare niente per scontato.


 che salva questa legge.
Da quest'ultima risposta si evince quindi che in ogni caso, date due
galassie qualsiasi, la somma della loro
velocita' di allontanamento non puo' mai essere maggiore di c anche se
ciascuna di esse "viaggia" in realta'
a meno di c ?
Ciao.
Riccardo

 agli oggetti la velocità della luce
Sbagliata la prima delle due affermazioni: oggetti e galassie si
muovono eccome.
Questo lo avevo scritto qualche mese fa:
Dalle misure di parallasse del satellite Hypparcos sappiamo che il
Sistema Solare si muove ad una velocita' di circa 19 km/s rispetto
alle stelle vicine, puntando nella direzione di Ercole. Ma tutto il
gruppo delle stelle vicine si sta muovendo orbitando intorno alla
Galassia, ad una velocita' di 228,5 km/s. La Galassia, insieme al
Gruppo Locale, si sposta rispetto alle galassie piu' distanti, e la
direzione e' quella dell'ammasso di galassie della Vergine con una
velocita' di circa 400 km/s (l'ammasso di galassie della Vergine
pero' mostra di allontanarsi da noi ad una velocita' di circa 1000 km/s).
Questo moto, rispetto alla radiazione di fondo, corrisponde ad una
velocita' di circa 600 km/s in direzione dell'Idra, a 45 gradi
rispetto alla direzione dell'ammasso di galassie della Vergine.
Se si assume che il movimento verso la Vergine sia dovuto per 250
km/s all'attrazione gravitazionale che il Gruppo Locale subisce
dall'ammasso della Vergine, si trova che il moto netto rispetto alla
radiazione di fondo, tolti i 250 km/s nella direzione della Vergine,
corrisponde ad una velocita' di circa 450 km/s in direzione
dell'Idra. Questo moto potrebbe essere legato al moto del
superammasso di galassie dell'Idra-Centauro, a 40 gradi dall'Idra,
con una velocita' di circa 600 km/s.
Ciao
Mario Leigheb

 recessione maggiori di c non potrebbe mai arrivare a noi, giusto? Quindi
Sbagliato.
Se ti accontenti di una metafora (e' troppo chiamarla dimostrazione)
per un modello cosmologico ultrasemplificato, ti rimando a questa
dell'elastico, che e' stata descritta da R.H.
Price e E. Grover sull' American Journal of Physics, per illustrare
il paradosso di distanze che aumentano come se gli oggetti
viaggiassero piu' veloci della luce.
I due autori prendono quindi un nastro di lattice elastico, e ai due
estremi disegnano due galassie A e B supponendo che siano distanti
un miliardo di anni luce. Assumiamo anche che l'espansione
dell'Universo stia allontanando tra loro le due galassie alla
velocita' della luce: allora un raggio di luce che parte da B verso
A non dovrebbe mai raggiunere A a causa dell'allontanamento; invece
si puo' far vedere che il raggio raggiunge lo stesso A se disegnamo
tante tacche sul nastro in questo modo:
A e B distano un miliardo di anni luce, il nastro e' lungo 20 cm,
per cui ogni 200 milioni di anni il nastro si allunga di 4 cm.
Cominciamo allora l'espansione del nastro in questi passi ognuno da
200 milioni di anni:
1) il nastro e' lungo 20 cm, siamo all'istante zero, il raggio di
luce parte e disegnamo una tacca a 4 cm da B in direzione di A;
2) tiriamo il nastro in modo che diventi lungo 24 cm e sono passati
i primi 200 milioni di anni;
3) il raggio di luce prosegue e disegnamo una tacca a 4 cm dalla
prima tacca sempre in direzione di A;
4) tiriamo il nastro in modo che diventi lungo 28 cm e sono passati
400 milioni di anni;
5) il raggio di luce prosegue e disegnamo una tacca a 4 cm dalla
seconda tacca sempre in direzione di A;
6) tiriamo il nastro in modo che diventi lungo 32 cm e sono passati
800 milioni di anni;
Andando avanti, si vede che il raggio di luce raggiunge A dopo poco
meno di 8 passi, e dato che 8 passi sono 32 cm corrispondenti a 1.6
miliardi di anni, e siamo abbastanza vicini alla risposta esatta che
sarebbe 1.718 miliardi di anni.
Abbiamo illustrato che anche quando una galassia si allontana da
un'altra alla velocita' della luce, la luce, che continua a
viaggiare anche lei alla velocita' della luce, la raggiunge lo stesso.
Ref:  R.H. Price, E. Grover, Am. J. Phys. 69, n. 2, feb 2001
Ciao
Mario Leigheb

 Ciao, Raskolnikof
Si' capisco, grazie, hai ragione. Infatti come tu hai precedentemente
scritto (credo giustamente) non dobbiamo confondere il redshift da
tasso di espansione dello spazio con il redshift effetto Doppler da
recessione
reciproca effettiva delle galassie - anche se e' poco intuitiva la
sottile
differenza fra i due fenomeni - quindi mentre per il secondo caso vale
il
limite superiore della velocita' della luce, per il primo no. Quindi
d'accordo, nei modelli con singolarita' iniziale per t tendente a
zero,
R'(t) poteva tendere a infinito. Anche se mi e' un po' difficile
accettarlo
senza qlcuna riserva, devo ammettere questa possibilita' matematica,
dovuta alla distinzione di cui sopra.
Mi resta pero' un dubbio (scusa ma non sono esperto di Cosmologia):
perche'
dici che R(t) e' definito adimensionale? Intendi, forse, che e'
sottointeso
il suo rapporto con R_0(t_0) cioe' col "raggio" dell'universo
all'epoca
attuale? se non e' cosi', come fa ad essere adimensionale? Anche se
scegliessimo un insieme di unita' di misure in cui c = G = 1 , avremmo
R con le stesse dimensioni di M (massa), non adimensionale.
Ciao
attilio

 dici che R(t) e' definito adimensionale?
...
Il fattore di scala dell'espansione compare all'interno della metrica di
Friedmann-Robertson-Walker, quella più generale valida per universi
omogenei e isotropi, dove viene considerato, per definizione,
adimensionale.


 Vero si o no questo?
Il confronto critico da fare è tra il tasso di crescita dell'orizzonte di
particella e il tasso di espansione dell'Universo.
Nel modello di Einstein-de Sitter il primo va come t e il secondo come 
t^[2/3], per cui si intuisce subito che, pur di aspettare a sufficienza,
due qualsiasi punti dell'universo entreranno, prima o poi, ognuno
nell'orizzonte dell'altro.
Nel caso di modelli cosmologici piatti o aperti con costante cosmologica
positiva (che conducono tutti, dopo un certo periodo di tempo, a una fase
finale e illimitata di espansione esponenziale) accadrebbe invece che,
prima o dopo, ogni galassia sfuggirebbe dall'orizzonte di qualsiasi altra.


a'(t) circa 1/t^[1/2] e ancora H(t) circa 1/t.
Ma quindi le costanti 2/3 e 1/2 rispettivamente per l'epoca
dominata dalla materia e l'epoca dominata dalla radiazione
da dove derivano?


Ciao Raskolnikof,
allora ho letto ben bene tutta quella discussione, e senza riprendere 
tutta la questione che è sorta dopo, vorrei solo riprendere il tuo
sistema di equazioni che hai usato stimare la distanza del quasar.
Raskolnikof  ha scritto:
---------------------------------------
Il modello adottato dai cosmologi del SDSS assume i seguenti valori per
i parametri cosmologici: 
Ho = 65 km/s/Mpc
OmMat(to) = 0,35
Lambda (?) = 0,65 
OmTot (to) = 1 ,
dove to indica il tempo presente, OmMat il contributo della materia al
parametro di densità totale (OmTot) e, per differenza, Lambda
rappresenta
il contributo della costante cosmologica o della "quintessenza" (o di
chissà cos'altro). 
A titolo puramente esemplificativo si può pensare di considerare un
"modello giocattolo", soltanto per vedere come funzionano queste cose,
con
i seguenti parametri cosmologici:
OmMat(to) = OmTot(to) = 1  
Lambda = 0 .
In questo caso, normalizzando ad 1 il fattore di scala dell'espansione
al
presente (a(to) = 1), valgono le seguenti relazioni: 
a(t) = 1/(1 + z(t))     (1)
to = (2/3)/Ho           (2)
a(t) = (t/to)^[2/3]     (3) .
La prima relazione ci consente di conoscere il valore del fattore di
scala
dell'espansione al tempo t in cui venne emessa la radiazione e.m. che
osserviamo al tempo presente con redshift z.
La seconda indica l'età dell'Universo in funzione del valore della 
costante di Hubble al tempo presente.  
La terza ci dà la legge di crescita in funzione del tempo del fattore di
scala dell'espansione.
Dalla (2) si ricava immediatamente che l'età dell'Universo, in base al
modello adottato, è pari a : 
to = 10,25 Gy (Miliardi di anni).
[Un po' bassino, ma, come già detto, questo è un modello giocattolo!]
Dal valore z = 5,8 del quasar si ottiene il valore del fattore di scala
all'epoca dell'emissione della radiazione: 
a(te) = 1/(1 + 5,8) = 1/6,8  (4) 
e, in base, alla (3) il valore dell'età dell'Universo a quell'epoca:
te = 0,58 Gy                 (5).       
A questo punto si può dedurre facilmente il "tempo di volo" dei fotoni
dal quasar fino a noi (qui e ora) come differenza tra to e te:
tv = to - te = 10,25 - 0,58  Gy = 9,67 Gy .
Rimane da risolvere il calcolo della distanza del quasar, ai tempi te e
to. 
La (4) ci dice che dall'epoca dell'emissione ad oggi la distanza del
quasar da noi è cresciuta di 6,8 volte, ovvero:
Dqsr (to) = 6,8*Dqsr (te)               (6).
Il valore assoluto della distanza all'epoca dell'emissione si ottiene in
base a semplici considerazioni ed è espresso dall'integrale seguente:
Dqsr (te) = Int[te, to] c*(a(te)/a(t)*dt (7) ,
dove c è la velocità della luce. 
Svolgendo i calcoli si può vedere che anche nel caso del modello
giocattolo
la distanza attuale del quasar, Dqsr(to), è maggiore della distanza
ottenuta moltiplicando l'età dell'Universo per c.
----------------------------------------
Direi che mi è tutto chiaro, però vorrei solo chiederti alcune cose in
particolari
di alcune equazioni e fare alcune considerazioni:
1)Da quanto ho capito questo modello sarebbe il classico modello
Einstein-de Sitter vero?
2)In questo modello tu hai ipotizzato la densità della materia uguale a
quella totale. Ma non hai
specificato da nessuna parte (almeno da quanto ho potuto constatare) il
valore del rapporto tra densità
totale e densità critica. Ma forse la risposta è nel modello adottato,
cioè quello Einstein-de Sitter
che presuppone un rapporto uguale a 1. Giusto?
3)Non ho capito come hai fatto a ricavare te dalla (3).
4)Infine quando dici che la distanza del quasar è maggiore della
distanza dell'età dell'universo
moltiplicata per c, si può considerare che il quasar ora si trova oltre
il nostro orizzonte degli eventi,
e quindi che la luce che emetterebbe ora non potrebbe mai raggiungerci.
Giusto?
Ciao ciao ^^


 viaggiassero piu' veloci della luce.
Mi intrometto nella discussione dicendo che questo modello è molto simpatico
ed intuitivo... seguendo il post, stavo  arrivando alla stessa conclusione
pensando al famoso palloncino in espansione dove l'unico parametro che ha un
riferimento assoluto è la velocità della luce, mentre lo spaziotempo è in
espansione. (a mio avviso resta aperta la questione sulla velocità iniziale
di espansione che potrebbe essere molto maggiore di quella attuale e quindi
la datazione dell'universo basata sulla costante di Hubble potrebbe
sbagliarsi di parecchio)

 Giusto?
E' il caso di precisare che nel modello di Einstein - de Sitter il raggio
dell'orizzonte è in realtà 3cto e non cto. 
In ogni caso, nel modello di Einstein - de Sitter, ogni punto
dell'Universo al di fuori del nostro orizzonte presente sarà, prima o
dopo, compreso nel nostro orizzonte futuro. Detto in altri termini (spero
più chiari): 
nel modello di Einstein - de Sitter non esiste punto dell'Universo in
grado di rimanere fuori dal nostro orizzonte per sempre.
