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Titolo: integrali derivate numeri complessi

quando sono "nati" storicamente gli integrali, e per quali
esigenze pratiche (sul testo di fisica non ho trovato notizie al riguardo)
e quando le derivate, i numeri complessi invece sono legati all'
elettromagnetismo e sfasamenti tensione-corrente?

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Come quasi tutto ciò che ha a che fare con il pensiero umano e
scientifico, non esistono inventori unici e date di nascita certe, ma
ogni risultato è sempre la conseguenza di mille altri risultati
parziali precedenti. Tanto più quando si parla di "cose" di così
grande portata come derivate e integrali. Proverò ad essere il più
conciso possibile (ma non crederci molto).
L'analisi infinitesimale nasce storicamente per la decomposizione
delle figure geometriche al fine di calcolare aree e volumi. Nel 1906
Heiberg scoprì una lettera di Archimede ad Eratostene in cui si parla
di un metodo meccanico euristico di decomposizione per il calcolo di
aree e volumi. Certamente tali metodi dovevano essere noti anche a
matematici successivi, ma di questi eventuali sviluppi ignoriamo
praticamente tutto. Pertanto le origini dell'analisi infinitesimale
moderna si pongono nel 17° secolo, quando B.Cavalieri (1635) pubblica
un testo di geometria in cui si parla di solidi decomposti ed altro,
sviluppando alcuni concetti già espressi da Keplero. Viene spesso
ricordato anche E.Torricelli (il famoso allievo di Galileo) che nel
1641 parla di derivazione e integrazione (vedi il famoso teorema di
Torricelli-Barrow che dice che l'operazione di derivazione è l'inversa
di quella di integrazione). Nel 1659 P.Mengoli (allievo di Cavalieri)
introduce il concetto di limite e grazie ad esso dà, per la prima
volta, una definizione rigorosa di integrale definito, definizione che
verrà poi ripresa nei primi dell''800 da Cauchy. Sempre intorno alla
metà del 17° secolo nasce il calcolo differenziale nel tentativo di
risolvere due problemi: la velocità istantanea e la tangente ad una
curva in un punto. Su tali problematiche si impegnarono soprattutto
Torricelli, Fermat, Cartesio, Barrow (il maestro di Newton) e Pascal.
In particolare Fermat, riprendendo un antico concetto medievale datato
1382, si accorse che la velocità di variazione di un fenomeno era
praticamente nulla in prossimità di un massimo o di un minimo. Nel
1684 Leibniz espone un metodo per trovare i massimi e i minimi e per
tracciare le tangenti, concludendo quindi la questione. L'"invenzione"
delle derivate, dei differenziali e degli integrali così come noi li
conosciamo (anche graficamente) si deve quindi a Leibniz. Bisogna dire
però che nel 1687 anche Newton arrivò, in maniera indipendente, al
concetto di derivata, partendo da una concezione più legata alla
meccanica che non alla geometria.
E' importante sottolineare che la nascità dell'analisi infinitesimale
portò ad una vera e propria crisi della matematica tradizionale,
perché sia Leibniz, sia Newton, applicarono il principio che una
quantità infinitesima, sommata a una quantità finita, si può
trascurare, senza però fornirne una giustificazione rigorosa. Ci si
accorse così che si arrivava a risultati esatti trascurando quantità
non propriamente nulle, ma si continuò su questa strada senza
preoccuparsi dell'apparente contraddittorietà dei princìpi,
conquistati dai successi ottenuti e irrangiungibili per altre vie.
Per quanto riguarda i numeri immaginari, non nacquero per esigenze
pratiche, ma puramente matematiche. Se ne cominciò ad avere coscienza
nel '500. Nel 1545, anno che secondo alcuni segna l'inizio della
matematica moderna, Gerolamo Cardano pubblicò il suo Ars Magna, in cui
vengono descritti i metodi per le soluzioni delle equazioni di terzo e
quarto grado (non scoperti da Cardano). Nota importante: ai tempi di
Cardano erano noti i numeri irrazionali, ma non del tutto accettati i
numeri negativi, che infatti venivano detti "numeri ficti"! Oggi si sa
che esistono equazioni di 2° grado con radici complesse, ma a quei
tempi queste equazioni venivano scartate perché insolubili. Di una
categoria di equazioni di 3° grado, invece, si conosceva l'esistenza
di radici reali, ma bisognava passare attraverso la manipolazione di
radici di numeri negativi, e questo portò ad uno studio delle radici
complesse. Per molto tempo la cosa cadde nel dimenticatoio, quando a
ridestarla chi ci penso? Sempre lui, Leibniz, che parlava dei numeri
immaginari come posti a metà tra l'esistenza e la non esistenza
paragonandoli allo Spirito Santo. Tra l'altro in quel periodo Leibniz,
che era anche un fine teologo, stava studiando un sistema di
numerazione binaria fatta di "1" e "0" (ricorda qualcosa?) da proporre
ai Gesuiti al fine convertire al cristianesimo l'imperatore della
Cina, che era un appassionato di matematica.
Il legame che tu ricordi con l'elettromagnetismo è dovuto
semplicemente al fatto che esiste una forma trigonometrica dei numeri
complessi (e viceversa) e poiché i fenomeni e.m. sono spesso
rappresentati da grandezze periodiche, risulta più facile trattarli
sotto forma complessa, così si eliminano tutti quei seni e coseni, ma
la validità dei numeri complessi è molto più generale ed interviene
ovunque ci siano fenomeni di tipo periodico.
Chiedo scusa per la lunghezza del post, ma non sono riuscito ad essere
più stringato. Sono disponibile ad ulteriori discussioni anche in
forma privata.
Saluti
Antonio