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Titolo: Unicità del limite

Scusate la domanda banale ma sul testo di analisi non è riportata la 
dimostrazione di tale teorema e vorrei essere sicuro di portare 
all'esame una dimostrazione corretta. Qualcuno potrebbe brevemente 
postarla?
Grazie
-- 
V@lerio
Ingegneria Informatica @ La Sapienza, Roma
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 all'esame una dimostrazione corretta.
www.matematicamente.it/analisi/teor_unic_limi.html
B.

 postarla?
Il teorema di univocità del limite sostiene che il limite di una
successione, quando esiste, è unico.
Dimostrazione
--------------
Per assurdo supponiamo che ce ne siano 2 e che Xn converge a l1 e a l2, con
l1 diverso da l2.
Supponiamo l1 < l2 allora
-----*-----*---------*-----*--------------->
   l1-E     l1+E        l2-E    l2+E
Se la successione converge a l1, deve stare definitivamente tra l1-E (E =
epsilon) e l1+E.
Ma se l1-E <= Xn <= l1+E e l2-E <= Xn <= l2+E sono disgiunti, non è
possibile che Xn stia definitivamente in tutte e due, a parte il caso che i
due coincidano.

 postarla?
E' che definitivamente la successione č contenuta in un intervallo piccolo a
piacere intorno al limite, se vi fossero due limiti, dividendo per due la
loro differenza si troverebbero due intervalli disgiunti in cui
"contemporaneamente" si troverebbero i valori della successione, ergo i
limiti nn possono essere due.
ciao Gringo

 Grazie
Ti hanno più o meno risposto in diversi, ma non hanno messo le giuste
ipotesi.
Come ben saprai una funzione è una legge/applicazione che mette in
corrispondenza (non necessariamente biunivoca) oggetti (elementi) da uno
spazio di partenza (dominio) ad un insieme di arrivo.
se parliamo di successioni lo spazio di partenza è l'insieme N dei numeri
naturali.
Chi ti ha risposto non ha pero' fatto alcuna ipotesi sullo spazio di
arrivo..forse hanno sottinteso che il codominio sia l'insieme R dei numeri
reali dotato di metrica euclidea, o un qualunqe spazio metrico...ma queste
sono cose che vanno specificate, altrimenti saresti portato a pensare che il
limite sia unico SEMPRE! Invece non è così.
Infatti se non si fanno ipotesi restrittive sul codominio non si può dire
che il limite sia unico, anzi, se l'insieme di arrivo è uno spazio
topologico che non soddisfa la proprietà di Haussdorf (che dice: "presi due
punti distinti "a" e "b" esistono sempre due intorni *disgiunti* A e B tali
che "a appartiene ad A" e "b appartiene a B") posso avere tanti, o anche
infiniti limiti.
Le dimostrazioni che ti hanno fornito (compresa quella di
www.matematicamente.it/analisi/teor_unic_limi.html
) fanno infatti un uso di
questa ipotesi.
Se poi identifichi lo spazio di arrivo con lo spazio R euclideo, allora la
proprietà di Haussdorff è automaticamente verificata, pechè R è separabile
(Tutti gli spazi che verificano la proprietà di Haussdorff si dicono
"separabili"), ma ricorda che il teorema di unicità del limite vale anche
sotto ipotesi molto più generali (basta appunto richiedere la separabilità
dello spazio di arrivo).
E ricorda che si sono insiemi (come spazi dotati di topologia banale, o
topologia della semicontinuità superiore) che non verificano l'unicità del
limite.
Non so se ci hai capito qualcosa, se hai dubbi chiedi pure..magari sul tuo
testo queste cose non ci sono (da momento che non ci sono neanche le
dimostrazioni più banali).
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.libero.it


Guarda che qui stiamo ad it.istruzione.università.ingegneria e sebbene tu
abbia ragione, non fai altro che confodergli le idee, perchè ad ingegneria
gli spazi topologici, e quindi insiemi compatti, insomma la misura di
lebesgue non si fa' almeno ad analisi 1, e nemmeno dopo, salvo un rapido
cenno a metodi matematici, quindi le ipotesi che abbiamo omesso lui le
conosceva bene.
La successione è cioè definita sugli interi a valori nell' insieme dei
numeri reali.
Ciao Gringo

 lebesgue non si fa' almeno ad analisi 1
beh non è del tutto vero: io ho l'orale di analisi 1/1 venerdì e la
topologia la sto studiando proprio ora... a meno che non intendiamo cose
diverse: io parlo di spazi metrici ed euclidei, famiglie di intorni,
topologia in R(n), intervalli, insiemi compatti, teor. di
Bolzano-Weierstrass eccetera.
p.s. faccio ingegneria medica a Tor Vergata

 ha scritto nel messaggio
news:MhJG9.19345$fa.6...@news1.tin.it...

No guarda in l'analisi uno proprio non si fanno, e tieni presente che
nell'analisi funzionale la compattezza degli intervalli chiusi nel senso di
insieme dei reali compresi tra due estremi, è una conseguenza di un teorema,
il quale permette tra l'altro di dimostrare che una funzione continua, e qui
la continuita è definita in maniera diversa sebbene conservi validità
nell'ambito dell'analisi diciamo tradizionale, dicevo un funzione continua
su un compatto a come codomino un compatto e ciò è sufficente a dimostrarne
la presenza di massimo e minimo, in maniera automatica.
Mentre tu dimostri il classico teroema B-W. sui massimi e minimio assoluti
di una funzione continua in un insieme chiuso e limitato.
Per spazio topologico s'intende una collezione di aperti.
per il quale valgono alcune proprietà particolari etc etc.
E analisi 1 l'ho data anchio molti annii fa' ma.....l'ho data anchio e
questi concetti erano appena sfiiorati.
Gringo

 ha scritto nel messaggio
news:MhJG9.19345$fa.6...@news1.tin.it...

Scusami gli errori del post precedente, sono causati da velocità di
battitura, come spesso mi succede, ciao.
Gringo

senso di
Il dibattito è affascinante, ma mi spiegate cosa c'entra con quel
teorema sulla unicità del limite, che si dimostra banalmente con la
definizione di limite e la caratterizzazione degli intorni di Hausdroff? 
Oppure non vi fanno più studiare Hausdroff? 
-- 
"L'Italia è un interessante esempio di avanguardia teatrale" (Gore Vidal)
Per rispondermi, ricordati di togliere il nome del poeta.


Ma tu trovi sui libri di Analisi 1 alla facoltà di ingegneria Hausdorff?
Gringo

Ma tu trovi sui libri di Analisi 1 alla facoltà di ingegneria Hausdorff?
Pagani, Salsa "Analisi Matematica" volume 1, 1994, pagina 130.
Aggiungo che questa formulazione è essenziale per gli ingegneri
informatici: la teoria della computazione (in particolare, la semantica
formale dei linguaggi di programmazione) è costruita su queste strutture
matematiche, e non sugli spazi metrici.


 matematiche, e non sugli spazi metrici.
E io aggiungo che sui libri in cui ho studiato io non esiste alcun cenno
agli spazi di Hausdorff, tranne che su complementi di matematica ora metodi
matematici per l'ingegneria, in cui per forza di cose dovendo introdurre
l'integrale di lebesge doveva necessariamente passare per la definizione
degli spazi topologici e quindi la caratterizzazioni di quelli di Hausdorff,
io ho fatto informatica 1 e non mi ricordo fosse necessaria la conoscenza di
tali spazi, e la metrica di lebesgue passa attraverso il teorema della
rappresentazione di Riesz lungo  1 kilometro e piuttosto complesso.
E riperto non si fa nulla di tutto ciò in analisi 1 a parte giusto la
definizione e un paio di teoremi, e si mi enunci una sola pagina del tuo
libro di analisi be mi vien da  ridere io te ne elenco almeno 100 del libro
Walter Rudin, Analisi reale e complessa Mc GrawHill  etc etc che parlano
della misura secondo lebesgue e non secondo Jordan.
Gringo

 matematiche, e non sugli spazi metrici.
questa non la sapevo...interessante pero'. conosci per caso qualche testo da
consultare (non troppo approfondito pero') in cui trovare qualcosa? giusto
per curiosita' matematica, non mi intendo molto di programmazione.


consultare (non troppo approfondito pero') in cui trovare qualcosa?
L'unico che conosco è il Glynn Winskel "The formal semantics of programming
languages", tradotto anche in italiano, ma non lo definirei molto
intuitivo. Non è comunque nemmeno impossibile.
