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Titolo: Laplace e proprieta' della derivata in s

Buongiorno,
Ho ancora problemi a capire alcuni tipi di gradini unitari e vorrei
ancora un aiuto per chiarirmi dei dubbi.
Noi conosciamo il classico gradino unitario  t u(t) .. e su questo
nessun problema.
Prendiamo in considerazione un altro gradino, cioe'   t*u(t-1)
graficamente so' quello che succede ma calcolarne la trasformata di
laplace mi crea ancora qualche problema.
Vi spiego, mi hanno detto alcuni amici che la trasformata di tale
segnale dovrebbe essere
e^-s( 1/s+1/s^2) ma non mi spiego benissimo il perche'. In teoria si
dovrebbe utilizzare in un caso come questo la proprieta' di
derivazione per cui a me viene un'altra cosa, non so a voi.
Potreste darmi una mano?.
Un'altra cosa.
il segnale   (t+3)u(t+1)  esattametne che cos'e'?... non mi e' chiaro
in quanto sembra un gradino ma non e' come un gradino normale.
Inoltre per calcolare la trasformata di Laplace di questo segnale come
procedo? si utilizza anche in questo caso la regola di derivazione ?
secondo me ci va' qualcosa in piu'. Potreste darmi un consiglio e
farmi vedere come fareste la trasformata?.
Vi ringrazio,
Ciao.

 procedo? si utilizza anche in questo caso la regola di derivazione ?
Se ti riferisci al metodo della derivata grafica, non è necessario. La 
trasformata di un simile segnale è banalissima e va fatta con le trasformate 
notevoli:
L{x(t)} = (e^s)/(s^2) + 2*(e^s)/s = (e^s)*(1/(s^2) + 2/s)


Sicuramente hai ragione, e scusami se chiedo cose banali magari, ma
per me e' probabilente piu' complesso rispetto che a te.
Ho capito l'intero discorso che mi hai fatto tranne il fatto di come
fai a trasformare il segnale in una forma piu' conveniente.
Ovvero come fai a passare da
t * u(t-1) = (t-1)*u(t-1) + u(t-1)
oppure
(t+3)u(t+1)  =  (t+1) * u(t+1) + 2*u(t+1)
usi un qualche sistema particolare ? ... a me non viene in mente
subito.
Magari per te e' banale pero' ti pregherei di spiegarmelo
Grazie

 subito.
A occhio. Lui parte dalla considerazione che tu sappia trasfomare
(t-a)*u(t-a)
dato che invece tu hai
(t+b)*u(t-a)
il percorso più semplice è giocare sul termine -b scrivendo 
(t+b)=(t-a+a+b)=(t-a)+(a+b) 
applicando l'esistenza dello zero e l'associatività, proprio volendole 
andare a nominare, in genere sono proprietà che si usano e basta.
Quindi (t+b)*u(t-a) diventa (t-a+a+b)*u(t-a) e distribuendo il prodotto 
hai (t-a)*u(t-a) + (a+b)*u(t-a).
Nel caso in questione b=0 e a=1 quindi (a+b)=1 e non compare 
esplicitamente.

 Magari per te e' banale pero' ti pregherei di spiegarmelo
In linea di principio è semplice. Ti evidenzio tutti i passaggi:
t * u(t-1) = t * u(t-1) - u(t-1) + u(t-1)
convieni certamente sul fatto che -u(t-1) + u(t-1) è uguale a zero, quindi 
capisci che posso aggiungerlo a piacimento con lo scopo di ottenere 
(t-1)*u(t-1), fin qui è chiaro? Sto solo giocando con le formule senza 
cambiarne il risultato, questo in matematica si fa molto spesso e deriva 
dalla necessità di arrivare a un risultato usando certe operazioni 
conosciute, come limiti, derivate, integrali e trasformate notevoli. Adesso 
metto u(t-1) in evidenza
u(t-1) * (t-1) + u(t-1) = (t-1) * u(t-1) + u(t-1)
visto come giocando con le formule ho ottenuto tutte funzioni di cui conosco 
la trasformata di Laplace? Se non avessi fatto così, avrei dovuto fare la 
trasformata di laplace con l'integrale della definizione poichè t * u(t-1) 
non è un caso notevole mentre (t-1) * u(t-1) invece si. Comunque se hai 
dubbi puoi verificare facendo la trasformata di u(t-1) con l'integrale della 
definizione di trasformata di Laplace. In pratica è un integrale che va da 1 
a infinito di t * exp(-st), cioè
L{t*u(t-1)} = [1/s^2 - exp(-st)*(st + 1)/s^2](t = inf) - [1/s^2 - 
exp(-st)*(st + 1)/s^2](t=1)
= 1/s^2 - 1/s^2 + exp(-st)*(s + 1)/s^2 = exp(-st)*(1/s^2 + 1/s)
Come puoi vedere il risultato è identico. Spesso nella materia metodi 
matematici si ama abusare dell'integrale per risolvere anche le trasformate 
più cretine (forse perchè i docenti di matematica appena vedono un integrale 
orgasmano) però la maggior parte delle volte puoi semplificarti la vita con 
qualche piccolo passaggio in più e le trasformate notevoli.