Newsgroup: it.istruzione.universita.ingegneria
Titolo: Sistemi lineari.. urgente NEW

La proprietà caratteristica dei sistemi lineari è che se l' ingresso è una
combinazione lineare di segnali...
    x( ) = a_1 x_1( ) + a_2 x_2( ) + ...
allora l'uscita è data, per il principio di sovrapposizione da:
    y( ) = a_1 y_1( ) + a_2 y_2 ( ) + ....
dove y_k( ) è l' uscita corrispondente a x_k( )
Per i segnali a tempo dicreto possiamo esprimere la generica successione
x(n) come
        x(n) = sum{ k = - inf to inf} {x(k)d(n-k)}
avendo indicato con d(k) l' impulso discreto....
Il libro mi dice ora che la risposta del sistema all' ingresso x(n) sarà
data
per la linearità ( giustamente) da
       (* )      y(n) = sum{ k = - inf to inf} {x(k)w(n,k)}
avendo indicato con w(n,k) la risposta impulsiva in tempo-istante
di applicazione del sistema...
cioè la risposta del sistema al' impulso applicato all' istante k...
        d(n-k) -->  w(n,k)
E quì non sono più d'accordo!!!
Infatti fissato un qualunque "n"  \in Z (numeri interi relativi), il
corrispondente valore x(n) potrò scriverlo come
             x(n) = sum{ k = - inf to inf} {x(k)d(n-k)}
e cioè come una serie bilatera avente come termine generale
un impulso centrato in "n"...
Quello che non riesco a capire.. e il perchè il libro mi dica che
w(n,k) nella (*) si riferisc alla risposta all' istante "n"  ad un impulso
applicato nell' istante k...
Non dovrebbe indicare w(n,k) la risposta all' istante "n" ad un impulso
applicato nello steso istante "n" ?
Grazie mille josh

 applicato nello steso istante "n" ?
No. Riprendiamo l' espressione di x(n) e di y(n) e scriviamo tutti i singoli
passaggi evidenziando la proprietà di linearità.
x(n) = sum{ k = - inf to inf} {x(k)d(n-k)}
Chiamo L l' operatore lineare che caratterizza il sistema di cui x(n) è
ingresso. Risulta:
y(n) = L(x(n)) =
= L(sum{ k = - inf to inf} {x(k)d(n-k)}) =
= sum{ k = - inf to inf} {L(x(k)d(n-k))} =
= sum{ k = - inf to inf} {x(k) L(d(n-k))}=
= sum{ k = - inf to inf} {x(k)w(n,k))}
che è l' espressione (*). Dall' ultimo passaggio si nota che w(n,k) =
L(d(n-k)), cioè w(n,k) è la risposta a d(n-k), che per definizione di delta
è un impulso applicato nell' istante "k", non nell' istante "n".
--
Blind Guardian a.k.a. capitano
E-mail: master.of.puppets @ 
inwind.it
 - ICQ # 64155719
"I portieri sono dei minorati" (Serse Cosmi)
"L' importante non è vincere, ma uscire sani dal campo" (io)

 orali?
La risposta è molto semplice. La DFS è più gettonata dell' ultima canzone di
Michael Jackson, mentre tutti gli altri argomenti sono equiprobabili. BTW,
hai risolto il mio quesito di probabilità o lo devo postare sul NG?


Esercizio : Qual è la probabilità che, lanciando quattro dadi, il numero
6 esca almeno tre volte?
Soluzione :
Si tratta evidentemente di prove ripetute ed indipendenti...
Cosicchè in una lo spazio campione U saraà costituito
dal prodotto cartesiano dei singoli spazi campioni U_0.... sia vrà cioè :
                                U = (U_0)^4
Allo stesso modo la s-algebra F sarà costituita dalla s-algebra prodotto
delle singole s-algebre F_0... si avrà cioè
                    F = (F_0) * (F_0) * (F_0) * (F_0)
Considerato l' evento A \in F_0 = {esce la faccia 6} = Successo
avente probabilità ( se il dado non risulta truccato ) p[A] = 1/6
L' evento cercato sarà il complementare ad 1 della probabilità che in
quattro lanci ( o nel lancio dei quattro dadi ) non si verifichi nemeno un
successo o se ne verifichi soltanto uno...
La probabilità P cercata sarà allora data da :
P = 1 - Bin(4, 0)(p^0)(1-p)^4 - Bin(4, 1) p(1-p)^3 =
   = 1     -     (5/6)^4     -     4/6(5/6)^3      =     0,136
Spero solo di non aver sbagliato i calcoli... ma concettualmente
dovrebbe essere giusto...
Ti trovi con me?

 Ti trovi con me?
No. A dire la verità, la soluzione mediante probabilità complementare che
hai elaborato mi è stata proposta anche da Antonio G. ma figurati che a lui
esce addirittura il 40%! La soluzione a cui sono giunto io, invece, è la
seguente:
Chiamo D1, D2, D3, D4 i numeri risultanti dai lanci di ciascun dado.
Il numero 6 esce, ad esempio, se:
D1 = 6, D2 = 6, D3 = 6, D4 = un numero qualunque (tanto se già è uscito tre
volte, non mi frega del quarto dado), e questa probabilità è uguale a 1/6 *
1/6 * 1/6 * 1.
D' altra parte, se il dado D4 mi da 6, posso prendermi la libertà su un
altro dado, e quindi alla probabilità di prima posso sommare le seguenti
probabilità:
D1 = un numero qualunque, D2 = 6, D3 = 6, D4 = 6;
D1 = 6, D2 = un numero qualunque, D3 = 6, D4 = 6;
D1 = 6, D2 = 6, D3 = un numero qualunque, D4 = 6;
Sommando i quattro termini, ottengo 4 * (1/6 * 1/6 * 1/6 * 1) = 1/54 = 0.018
Lo 0.18% che ho trovato io mi sembra più sensato. Di + nin zo, tu però
magari inserisci anche il caso dei due successi e fammi sapere.


 Sommando i quattro termini, ottengo 4 * (1/6 * 1/6 * 1/6 * 1) = 1/54 =
0.018
Il tuo ragionamento è giusto solo in parte...
nel senso che è giusto l'evento che stai considerando... concepito
come unione degli eventi
 U = (D x {6} x {6} x {6}) unito
({6} x D x {6} x {6}) unito
({6} x {6} x D x {6}) unito
({6} x {6} x {6} x D)
Essendo D un numero qualunque da 1 a 6....
Ma bada bene quando calcoli la probabilità dell' evento U come
unione di eventi da te considerati...
non puoi sommare le probabilità... poichè stai considerando
l' unione di eventi non a due a due digiunti...
Ti faccio un esempio più semplice...
Considera l' esercizio...
calcolare la probabilità che nel lancio di due dadi... esca almeno un 6..
Potresti pensare di calcolare la probabilità dell' evento
P[ ( D x {6}) unito ( {6} x D ]
ma bada bene che così facendo i due insiemi non sarebbero disgiunti...
prova a tracciare per convincerti il diagramma cartesiano dei due insiemi...
e vedi che la loro inrtersezione è l' evento (6,6)...
Il modo giusto di procedere sarebbe allora il seguente..
indicato con 6' l' evento complementare all' evento 6...
dovresti considerare l' evento
(6' x 6 ) unito (6x 6') unito (6 * 6 )
ora sì che puoi somarle le probabilità....
Ritornando al problema inziale ora...
avresti potuto risolverlo considerando la somma delle probabilità
che si verifichino esattamente tre 6 + la probabilità che si verifichino
esattamente quattro 6.... su quattro prove ripetute ed indipendenti...
e considerare così la somma delle probabilita di bernoulli...
p(k) = Bin(n,k)p^k (1-p)^ (n-k)
con n=4 avresti cioè...
P = p(3) + p(4)
Credo che siano questi i due modi di risolvere il problema da te proposto..
Fammi sapere che ne pensi...
Ciao Blind...


 l' unione di eventi non a due a due digiunti...
Hai ragione. Me ne sono accorto stamattina quando ci ho ripensato. In questo
caso si deve applicare l' enunciato simile alla relazione di Grassmann (che
tra l' altro è anche la prima dimostrazione del programma di segnali) che
dice: P(A unito B) = P(A) + P(B) - P (A intersecato B). Inizialmente il mio
risultato era 24/1296, ma poi mi sono accorto che il caso dei quattro 6 lo
consideravo tre volte di troppo. Tolta questa intersezione tra gli insiemi,
il risultato diventa 21/1296, che è quello esatto che hanno trovato anche su
ISM. Per verificarlo, ho scritto su un foglio tutte le combinazioni
favorevoli per non sbagliarmi, quindi la soluzione è inconfutabile.
Ma guarda cosa tocca fare per gli amici che giocano a Dungeons & Dragons!
Ciao.
