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Titolo: Analisi

Una domandina facile facile di Analisi : come si risolve l' equazione 
z^n+1=0   se z è Complesso e n è Naturale ?
Ho un vuoto di memoria :-((
Grazie
Claudio 
ICQ :   30230972


Ora non vorrei dire cazzate...
Se porti 1 al secondo membro viene: z^n=-1
Fai la radice n-sima di -1 e il gioco è fatto.
Se ho cannato scusatemi, ma è risaputo che gli integrali tripli sono il
miglior solvente per la materia grigia (qualora ce ne sia...)
Byez

ICQ :   30230972
beh, dunque se  z^n = -1, avremo che:  z = (-1)^(1/n) (ossia la radice
n-esima di -1)
(-1) = (cos (3pi / 2) + i sin (3pi/2))         (rappresentazione
trigonometrica del n°complesso)
Le n radici dell'equazione hanno la forma:
z = cos ((270° + 2k*pi) / n)  +  i sin ((270° + 2k *pi) / n)
con k intero che assume tutti i valori da 0 a (n-1)
La regola per l'estrazione di radice di un numero complesso va sotto il nome
di formula di de Moivre e la trovi su qualunque testo di analisi o di
algebra.
spero di essere stato utile
ciao

z^n+1=0   se z è Complesso e n è Naturale ?
Sapendo che
z=r*exp(i*(v+2*k*pi))    con r=|z|, v=arg(z), k=intero, pi=pi greco
posso esprimere -1 come 1*exp(i*(pi+2*k*pi))
allora prendendo l'equazione
z^n=-1    =>    z=(-1)^(1/n)    =>
=>    z=(1*exp(i*(pi+2*k*pi)))^(1/n)=exp(i*(pi/n+2*k*pi/n))  con k=0..(n-1)
ci sono quindi n radici della tua equazione e si possono rappresentare sui
vertici di un poligono regolare (sul piano complesso) di n lati inscritto in
una circonferenza di raggio 1. Le soluzioni esplicite sono:
z=cos(pi/n+2*k*pi/n)+i*sin(pi/n+2*k*pi/n)  con k=0..(n-1)
Nel caso per es. di n=2 le soluzioni sono z=i e z=-i
Simone


270°+2k*pi=?
attenzione a non mischiare i gradi con i radianti!
Simone

Non hai sbagliato, infatti la soluzione per n=6 è data da z=(-1)^(1/6)
ma la forma esplicita l' ho trovata tramite Mathcad7 ed è data da :
......................
z1=0.866+0.5i
z2=i
z3=-0.866+0.5i
z4=-i
z5=0.866-0.5i
.....................
Come faccio a ricavare queste soluzioni ?
Grazie
Claudio.
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 z^n+1=0   se z è Complesso e n è Naturale ?
z=e^((2k+1)pi/3)
-- 
     (ZZZ)       Filippo Salotti, Bagni di Lucca, Lucca, Italy.
    //   \\  _                 E-mail : 
fil...@humnet.unipi.it
   /Y\    ZD<_o===============================================o
 .oZZZZZo.     | Studente Ingegneria Informatica Automatica  |
<OXXXXXXXO>    | Dip. Sistemi Elettrici Universita' di Pisa. |


piů precisamente le soluzioni per n=6 sono
z1= sqrt(3)/2 + i/2
z2= i
z3= -sqrt(3)/2 + i/2
z4= -sqrt(3)/2 - i/2
z5= -i
z6= sqrt(3)/2 - i/2
e la formula risolutiva č
z=cos(pi/n+2*k*pi/n)+i*sin(pi/n+2*k*pi/n)  con k=0..(n-1)
--------------------------------------------------------
In generale per la soluzione di z^n+1=0:
sapendo che
z=r*exp(i*(v+2*k*pi))    con r=|z|, v=arg(z), k=intero, pi=pi greco
posso esprimere -1 come 1*exp(i*(pi+2*k*pi))
allora prendendo l'equazione di partenza



più precisamente le soluzioni per n=6 sono
z1= sqrt(3)/2 + i/2
z2= i
z3= -sqrt(3)/2 + i/2
z4= -sqrt(3)/2 - i/2
z5= -i
z6= sqrt(3)/2 - i/2
e la formula risolutiva è
z=cos(pi/n+2*k*pi/n)+i*sin(pi/n+2*k*pi/n)  con k=0..(n-1)
--------------------------------------------------------
In generale per la soluzione di z^n+1=0 guarda il messaggio che ho già
postato
Simone


non si capisce come la potenza ennesima di un numero reale positivo
(e^((2k+1)pi/3) possa dare come risultato un numero negativo (-1)        :-(
Simone

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Oops! Manca j...
z=e^(j(2k+1)pi/3)
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