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Titolo: Esercizio su Variabili Aleatorie

Salve a tutti,
ho un esercizio sul suddetto argomento che mi crea qualche difficoltà:
Date due V.A. X e Y indipendenti e con distribuzione uniforme
nell'internallo [0,1] si chiede di ricavare la funzione di distribuzione di
W=X-Y e di graficarla.
Ora per risolverlo ho fissato una variabile ausiliaria V=X ricavato le
espressioni di X e Y e calcolato lo iacobiano della trasformazione
X=V
Y=V-W
J=1
A questo punto seguendo il suggerimento dello Schaum (lo so che è di livello
troppo basso come testo ma per avere le formule sotto mano va bene =)
calcolo la f(W,V)=f(X,Y)*|J| (ovviamente sostituendo a X e Y la forma
ricavata prima).
Essendo la f(X,Y)= 2 nell'intervallo X,Y=[0,1] e zero altrove ricavo subito
che la f(W,V) vale 2 nell'intervallo V=[0,1] e V-W=[0,1] e zero altrove. Ora
per ricavare la f(W) integro in dV la f(W,V) tra gli estremi suggeriti dai
precedenti intervalli e ottengo
Con la nomenclatura Int(a,b)=Integrale(estremo inferiore, estremo superiore)
Int(0,W+1) 2 dV= 2W+2 per W=[-1,0]
Int(W,1) 2 dV=2-2W       per W[0,1]
zero altrove
Quindi il grafico dovrebbe risultare un triangolo con vertici (-1,0) (1,0)
(0,2)
che però non ha evidentemente area pari a 1 come richiesto per una funzione
di distribuzione, tant'è che il testo mi fornisce come soluzione solo la
parte positva del grafico ovvero il triangolo di vertici (0,0) (1,0) (0,2).
Non riesco a capire dove sia il problema con la mia risoluzione
Grazie per l'attenzione
Dan

 Essendo la f(X,Y)= 2
ma perche' mai? essendo indipendenti, la f (x,y) e' una rect
(x-0.5)*rect(y-0.5). Se valesse 2, non sarebbe normalizzata!
Y
  |
  |
  |
1|________
  |                |
  |                |
  |  f(x,y)=1  |
  |                |
  |________|_______
0                  1             X
~~
artemis.alpeia


Hai proprio ragione! sono un fesso! Il fatto è che l'esercizio era diviso in
più parti e mi son copiato male la f(X,Y)... vabbé xò almeno sono
simpatico...
A parte gli scherzi xò il problema resta: rifacendo i conti quello che ho
scritto prima dovrebbe andare ancora bene se sia ha l'accortezza di
correggere i vertici del triangolo per la f(W,V) in (-1,0) (1,0) (0,1)
quindi mi trovo ancora a non capire xché nella soluzione del testo a questo
punto passa alla forma finale data da f(W)=2-W
f(W)
|2
|  \
|    \
|      \
|        \
|_____\_1_________ W
e non resti invece
                |f(W)
                |1
              / | \
            /   |   \
          /     |     \
__-1/____|___\_1_______ W


Questa qui è la ddp di W = | X - Y |, con X ed Y
uniformi fra 0 ed 1.
O hai letto male il testo o si sono dimenticati il modulo :-)
Ciao.


no scusa, ricominciamo daccapo.
la densita' di probabilita' congiunta f(X,Y) e' una superficie di altezza 1
definita sul dominio D = [0,1]x[0,1], e qui mi pare che ci siamo.
Con la tua trasformazione
V = X
V - W = Y
trasformi il dominio D nel dominio D' normale rispetto all'asse V (mi pare
si definisca cosi') come da figura, in cui la densita' di probabilita'
rispetto alle nuove variabili e' f(W,V) = 1 in D':
W
  |
  |
1|     W=V  .-|
  |            .-'  |
  |         .-'     |
  |      .-'____|
  |   .-'    (a)   |
  |.-'_______|_________
0|                 1             V
  |            .-'
  |____ .-'
  | (b) .-'    W=V-1
  |   .-'
  |.-'  -1
Adesso per ricavare la densita' marginale rispetto alla W devi integrare via
la V
per W < 0 hai (linea b, vedi figura)
 n W+1
 |    dV = W+1
u 0
per W>=0 invece
 n 1
 |    dV = 1 - W
u W
riassumendo, la densita' della v.a. W = X - Y ha densita' di probabilita'
triangolare (come e' giusto che sia, ripeto, essendo due v.a. uniformi e
indipendenti)
                               |    f(W)
                             .-'-.
                          .-'  |   '-.
                       .-'     |      '-.
                    .-'        |         '-.
                 .-'           |            '-.
_______.-'_______|_______ '-.____
            -1                 0                 1     W
quella che hai scritto tu e' la densita' del minimo tra X e Y, o al piu' la
densita' del modulo |X - Y|.. ci deve essere qualche malinteso
~~
artemis.alpeia


Infatti credo proprio che si tratti della densità di W=|X-Y| come dite tu e
Yanez. Il testo è una stampa di pessima qualità quindi è probabile che il
modulo sia andato perduto... Altre spiegazioni alla soluzione altrimenti non
ne saprei proprio trovare.
Grazie per l'aiuto
Dan