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Titolo: Fenomeno oscillatorio nonlineare - insorgenza di subarmoniche

Ciao a tutti
Perdonate la domanda, che potrà sembrare stupida ai più. Supponendo di 
avere un modello di fenomeno oscillatorio nonlineare del tipo:
m{x due punti}+ b{x punto}+ kx + k'x^2=F cos omega t (1)
trovo la soluzione che deve essere, secondo il metodo perturbativo, del 
tipo:
x'=x (soluz. dell'eq. lineare) + un certo xi
sostituisco la x' nell'equazione (1) ottenendo un termine del tipo
k'(x^2+2x xi + xi^2).
Quali sono i passaggi matematici che mi mostrano l'insorgenza di una 
subarmonica del tipo cos(omega t /2)?
Grazie in anticipo a quanti vorranno aiutarmi.

 Grazie in anticipo a quanti vorranno aiutarmi.
Nel termine x(t) che si inserisce nella soluzione x' da te indicata
sicuramente compare la cosinusoide con argomento omega t.
Siccome in x' c'è il termine x^2, applicando le formule
trigonometriche di bisezione-duplicazione nascono i termini in cos(
omega t/2). Mi sono spiegato?

loz...@hotmail.com
 ha scritto:

Quello che hai scritto è fondamentalmente sbagliato...domani, quando 
avrò più tempo, scriverò il perché...ho trovato una soluzione

*Vercingetorige* wrote:
::: Siccome in x' c'è il termine x^2, applicando le formule
::: trigonometriche di bisezione-duplicazione nascono i termini in cos(
::: omega t/2). Mi sono spiegato?
:: Quello che hai scritto è fondamentalmente sbagliato...domani, quando
:: avrò più tempo, scriverò il perché...ho trovato una soluzione
Stiamo ancora aspettando che tu ci dica perché è sbagliato...

 
Perdonate il ritardo...
Dall'Eq di cui sopra, si sceglie di non trascurare il termine 2 x xi.
In questa maniera andando a risolvere col metodo perturbativo l'Eq 
differenziale ci si trova un termine del tipo:
m{xi due punti}=...qualcosa che va come 2Fcos(omega t + phi)
[stessa pulsazione del segnale in ingresso]
Si suppone che una perturbazione esogena, anche indefinitamente piccola,
del tipo cos{omega mezzi}t entri nel sistema come ingresso. Questa 
perturbazione viene chiamata nella teoria dei sistemi dinamici “seme”. 
Il seme di pulsazione omega/2, oltre a generare una propria prima 
armonica che corrisponde alla pulsazione naturale del sistema, innesca 
un meccanismo di generazione della pulsazione omega/2, la cui 
persistenza dipende dal termine 2x xi, che opera nel sistema come una 
retroazione positiva. Sotto opportune condizioni, l’ingresso esogeno
perturbativo può anche estinguersi, ma la pulsazione subarmonica omega/2 
persiste per effetto della retroazione positiva del sistema, anche una 
volta cessata l’eccitazione.
Ciao a tutti e scusate nuovamente il ritardo, ma sono pieno di cose da 
fare fino al collo.

Vercingetorige ha scritto:

Mi spiace per lei ma il discorso è invece corretto. Non sto a
sindacare il sistema fisico da cui è nata l'equazione differenziale
per esempio sul fatto che fosse retroazionato o meno, visto che questo
non l'aveva postato. Mi riferisco semplicemente all'equazione che ha
postato e la spiegazione della comparsa del termine che chiedeva è
spiegabile molto semplicemente come ho risposto nel post precedente.
Il tipo di metodo per arrivare alla soluzione (ossia il metodo per
risolvere l'equazione differenziale) non può essere vincolante per la
forma della soluzione, ovviamente. Saluti.
http://xoomer.virgilio.it/formazione_professionale

 
Grazie per la cortese risposta.
Innanzitutto il sistema considerato è uno di quelli risonanti dei più 
semplici, cioè un piezoelettrico eccitato da un generatore di funzioni 
(quindi non retroazionato, come d'altronde si legge da ciò che ho 
scritto...se legge con attenzione ho solo scritto che il considerare la 
nonlinearità porta ad avere a che fare "matematicamente" con una 
retroazione positiva).
Mi può mostrare cortesemente come quello che afferma (cioè che da un 
sistema lineare e permanente con in ingresso un segnale di pulsazione 
omega possa uscire fuori un segnale in uscita con pulsazione omega 
mezzi)? Il punto è che, come ho spiegato prima, i sistemi lineari, per i 
quali possiamo aggiungere nonlinearità a iosa, facendoli diventare 
quindi NL, rispondono solo con multipli e combinazioni delle frequenze 
che vengono date loro in ingresso. Quindi, teoricamente, non dovrebbe 
insorgere alcuna subarmonica se non, come ho già scritto, nel caso in 
cui ci sia un seme esogeno, che puoi può essere adeguatamente amplificato.