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Titolo: Gradiente e Divergenza in coordinate cilindriche

In cordinate cartesiane (x,y,z):
F funzione scalare
gradF=(dF/dx,dF/dy,dF/dz), dove d è il simbolo di derivata parziale.
V=(Vx,Vy,Vz) vettore
divV=dVx/dx+dVy/dy+dVz/dz
In coordinate cilindriche (r,f,z):
gradF=(dF/dr, 1/r dF/df, dF/dz)
divV=d''/dr'' F + 1/r d/dr F + 1/r^2 d''/f'' F + d''/dz'' F
dove d''/d'' è il simbolo di derivata parziale seconda.
Per quale motivo gli operatori di gradiente e divergenza in coordinate
cilindriche sono definiti in quel modo? C'è qualche spiegazione logica?
Mi pare di aver capito che sono definiti in modo che i vettori siano unitari
cioè abbiano modulo uguale ad 1 ma non ho capito bene... Qualcuno me lo può
spiegare. Grazie.

On Sat, 8 Jul 2000 10:21:29 +0200, "pippo" <pi...@DONTWARRY.com>
wrote:
Ovviamente una spiegazione logica esiste... ;-)
Queste espressioni derivano da formule generali che esprimono gli
operatori in questione in un sistema di coordinate curvilinee. E' una
cosa un pò linga e complessa per riportartela qui, c'é di mezzo una
dimostrazione tostarella. Comunque io ho trovato la spiegazione in un
libro di Campi Elettromagnetici, forse puoi cercare qualcosa in un
buon libro di analisi.

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Tell Icarus he's not the only one fallin' from the Sky
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 spiegare. Grazie.
Ci sono tre vie per dimostrare che l' espressione del gradiente di una
funzione scalare e la divergenza di una funzione vettoriale son quelle
che dici in coordinate cilindriche. Puoi utilizzare la regola di
derivazione in catena che hai studiato in Analisi II ( o meglio la
regola di derivazione di una funzione composta da R^n ad R^m),
oppure la regola dei fattori di scala ( che è pallosa e si trova su dei
vecchi testi), oppure il metodo fisicamente più chiaro, ti rifai alle
definizioni _assolute_, cioè indipendenti dla riferimento, del
gradiente e della divergenza.
Ti indico tale via: si può dimostrare che, assunte delle
ipotesi di regolarità su F: R->R^3, il gradiente di F è definibile
come l' operatore tale che int(A,B) [ grad F ] = F(B)- F(A)
cioè l' integrale di linea di grad F lungo un qualsiasi arco di curva
(generalmente regolare) da A a B è pari alla differenza fra F(B)
ed F(A). Per cui mettiti in coordinate cilindriche, e scrivi
grad F ° dl = dF ( dove il ° è il prodotto scalare): stai scrivendo
quanto detto prima, ma per una curva gamma di lunghezza
infinitesima. Siano (grad F)r, (grad F)f e (grad F)z le componenti
del vettore grad F lungo i versori locali r, f, z : poichè il tratto
elementare di curva, in coordinate cilindriche, ha componenti
dr, r*df, dz, lungo tali versori, ottieni che:
(grad F)r * dr + (grad F)f  * r*df + (grad F)z * dz =
dF/dr * dr+ dF/df * df + dF/dz * dz ( questo è il differenziale della
funzione F(r,f,z) )
Poichè gli incrementi dr, r*df, dz son arbitrari E indipendenti, ottieni
(grad F)r = dF/dr ;
(grad F)f  * r = dF/df  => (grad F)f = 1/r *dF/df  ;
(grad F)z = dF/dz ;
Se ci pensi un attimo ti accorgi che queste tre espressioni si potevano
ottenere pure con considerazioni dimensionali, ma è un caso, se cerchi
l' espressione del Laplaciano in coordinate sferiche  le sole
considerazioni dimensionali (che valgono sempre) NON bastano.
Per la divergenza ti puoi divertire a scoprire da solo il ragionamento,
solo che in tal caso la definizione _assoluta_ (cioè indipendente dal
riferimento) di divregenza è data dal teorema della divergenza, cioè
data V: R^3 -> R^3, la divergenza di V si definisce come
l' operatore tale che int( B ) [ div(V) ] = flux (dB) (V) per ogni
dominio B generalmente regolare, cioè l' integrale triplo su B di
div(V) è pari al flusso attraverso la frontiera dB di B del campo V.
Ciao, Giovanni