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Titolo: sui processi casuali

Ciao,
se conosco la densità spettrale di energia Sx(f) di un processo casuale 
di cui non si sa altro se non che è gaussiano, la funtione x(t) è 
univocamente definita ? chiaramente conterrà una variabile aleatoria, ma 
vorrei sapere partendo da Sx(f) posso arrivare a scrivere x(t).
Io so arrivare a definire l'autocorrelazione come antitrasformata di 
Fourier della densità spettrale di energia, calcolare la potenza... ma 
come scriverne la funzione x(t) e calcolarne valor medio e varianza non 
ci arrivo.
Grazie,
Marco / iw2nzm

 ha
scritto:

ciao,
fatico un po' a seguirti quando dici di voler "scrivere" x(t) e quando
chiedi se x(t) è "univocamente" definita.
credo Tu sottointenda che sei interessato alla decrizione statisca completa
del processo gaussiano di cui conosci solo la densità spettrale.
bene la definizione di descrizione statistica completa risparmiamela... la
trovi su tutti i libri..
come saprai è solo la descrizione statistica del processo che puoi avere.
Non puoi avere l'andamento temporale della var. aleatoria x(t) .
In altri termini non puoi avere tutti gli andamenti delle singole
realizzazioni del tuo processo (che sono segnali determinati), puoi solo
descrive tali andamenti (a priori) in termini statistici.
il processo è gaussiano, quindi x(t) ha una densità di probabilità gaussiana
che è completamente specificata tramite la media temporale mx = E[x(t)] e la
varianza
sigmax = E[(x(t) - mx)^2]
se non sbaglio dovrebbe essere per sigmax:
E[(x(t) - mx)^2] = E[x(t)^2] - 2mx E[x(t)] + mx^2 = E[x(t)^2] - mx^2 = Mx -
mx^2
dove Mx è la potenza statistica di x(t)
ora se hai la densità spettrale (di potenza... perchè la chiami di energia?)
ti puoi ricavare la correlazione (antitrasformando) e quindi la potenza
statistica - ma non puoi trovare la media ( e quindi la varianza).
dalla sola correlazione (momento del 2° ordine) non puoi ricavare la media
(momento del 1° ordine).
solo nel caso la media sia nulla (dato che dovresti sapere a priori), la
potenza coincide con la varianza e quindi puoi scrivere la tua densità di
probabilità gaussiana per x(t) in quanto possiedi entrambi i parametri che
la caratterizzano (mx -nulla per ipotesi- e sigmax).
quando hai in mano la densità di probabilità di x(t) hai tutta la conoscenza
"possibile" sulla tua variabile aleatoria.
questo è tutto quello che puoi fare per "specificare" la tua x(t).
spero di avere capito quale era il tuo dubbio.
Jack
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 Jack
ottimo. allora vediamo di arrivare fino in fondo.
la domanda era in un esame, e dava la densità spettrale di potenza di un 
processo gaussiano (non diceva che era a media nulla, quindi non potevo 
assumerlo) e non era nemmeno bianco.
questo passava in un filtro con risposta all'impulso "strana" per i miei 
gusti, qualcosa tipo sqrt(1-cos(wt)) ma anche all'uscita non sono 
riuscito a far tornare il processo in qualche caso particolare o conosciuto.
Il punto successivo chiedeva di scrivere del codice MATLAB per 
visualizzare l'andamento di una realizzazione di x(t). indicando con 
x(t) il processo all'uscita del filtro.
questo era il mio dubbio! se non è possibile (come supponevo) scrivere 
direttamente la funzione x(t), funzione aleatoria ovviamente, partendo 
dalla sola informazione della densità spettrale di potenza i casi sono due:
1. mi sono perso qualcosa nei passaggi e si poteva dedurre che tipo di 
processo stavamo considerando
2. non ho capito la richiesta
delle due la 1. è piú probabile :(
grazie dell'aiuto! giovedí ho l'orale e volevo vederci chiaro in sta 
storia!!! :D
Marco / iw2nzm

 ha
scritto:

 
visto che c'è Matlab di mezzo... potersti procedere cosi' ....
trascuriamo la media che non sappiamo che fine ha fatto... le ns
considerazioni saranno valide a meno di una costante... la media appunto.
realizza un generatore di rumore bianco (prendilo a media nulla...non
saprei che dirti a riguardo) ovvero un generatore di numeri casuali
gaussiani incorrelati: densità spettrale costante, correlazione pari
all'impulso di dirac centrato nell'origine.
filtra i tuoi numeri con uno shaping filter...ovvero un filtro che dato
in ingresso il tuo rumore bianco incorrelato ti da in uscita un processo
con la densità spettrale pari alla A(f) data dall'esercizio.
come fare è presto detto:
se u(t) è il tuo ingresso di rumore bianco incorrelato e y(t) la tua
uscita filtrata dallo shaping filter allora vale Y(f) = |G(f)|^2 U(f)
sarà sufficiente che il tuo shaping filter abbia risposta in frequenza
pari a G(f) che ricaverai imponendo |G(f)|^2 = A(f).
nota che per ipotesi U(f) è costante (prendila pari ad 1).
in matlab ci sono diversi modi per filtrare un segnale... o esprimi la
funz. di trasf. del filtro tramite coefficenti e poi invochi per es. il
comando filter() oppure da G(f) ricavi g(t) ed esegui la convoluzione
nel dominio del tempo.
ecco... ora puoi generare tutte le realizzazioni che vuoi del tuo processo
che andrai a filtrare successivamente con il filtro
con risposta impulsiva "strana"(come lo chiami tu ...tanto per capirci).
hai la risposta impulsiva del filtro "strano" come dato dell'esercizio....
fai la
convoluzione con il segnale y(t) che hai appena "generato" e ti trovi tutte
le realizzazioni che vuoi dell'uscita x(t).
sicuro che la media del tuo processo di partenza non potesse essere dedotta
implicitamente dal testo dell'esercizio?
spero di aver capito... del resto questo è un orario critico per
me....meglio dormire :-)
in bocca al lupo per Giovedi'.


 Jack
Marco / iw2nzm
ps... ora che ci penso... vuoi vedere che come un cretino non ho 
realizzato che la media è data proprio dall'impulso nell'origine? 
(autocorrelazione costante ?)

 (autocorrelazione costante ?)
puoi scoporre il tuo processo in ingresso come la somma di un rumore
gaussiano a media nulla e di una continua (riga a frequenza zero).
il metodo dello shaping filter è superfluo nel caso della densità spettrale
del tuo processo da filtrare. riamane invece valido quello che ti ho detto
per ottenere le realizzazioni in uscita dal filtro con risposta impulsiva
sqrt(1 - cos(w(t-t0)) .
Ciao
