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Titolo: Energia dei segnali aleatori!?

Non riesco a chiarire le definizioni di energia e potenza nel passaggio da
segnali deterministici ad aleatori.
Per i segnali deterministici definiamo:
ENERGIA: L'integrale tra -inf e +inf del modulo quadro del segnale, in dt
POTENZA: La media temporale del modulo quadro del segnale, in dt
Passando a quelli aleatori definiamo:
POTENZA: La media temporale della media statistica del modulo quadro del
segnale, in dt
Sostanzialmente si intende mediare statisticamente le funzioni membro del
segnale (considerato in modulo quadro) per poi mediarlo temporalmente.
ENERGIA: ?! non vi trovo accenni! non è sufficiente considerare l'integrale
della media statistica del modulo quadro del segnale, in dt ? (in analogia
alla procedura seguita per la potenza)
Come si definisce dunque l'energia associata ad un processo aleatorio le cui
funzioni membro siano dei segnali di energia (transitori) ?

 ha scritto nel messaggio
news:gCxkb.50536$e6.18...@twister2.libero.it...


 definire uno spettro unico per tutto il processo.
Questo punto non è molto chiaro.
Si ok ma un eventuale definizione di spettro di potenza potrebbe essere data
nonostante resti aleatoria, cioè legata alla funzione membro considerata?
Dunque la definizione di potenza per un processo aleatorio viene data nel
dominio della frequenza e POI si ritorna nel dominio del tempo?
Perchè l'integrale della media statistica del modulo quadro del segnale, in
dt ? (in analogia
alla procedura seguita per la potenza) non ha valenza?
Grazie.

Ti prego di non tenere conto della mia precedente risposta, rileggendo la
tua spiegazione ho foclizzato il problema e te lo espongo con la massima
chiarezza possibile.
Allora, prtiamo dal fatto che UN SEGNALE ALEATORIO E' STAZIONARIO SE E SOLO
SE E' DI POTENZA, infatti se si considera la "potenza aleatoria" come
l'integrale esteso all'infinito della media statistica del modulo quadro del
segnale, e si osserva che la funzione integranda è semplicemente
l'autocorrelazione statistica che per l'ipotesi di segnale stazionario
risulta indipendente dal tempo, si giunge alla conclusione che l'energia del
segnale aleatorio stazionario in esame è infinita, ovvero abbiamo a che fare
con un segnale di potenza! Giusto?
Ora, come tu hai scritto, UN SEGNALE ERGODICO E' NECESSARIAMENTE
STAZIONARIO, (come lo dimostro?, mi occorre la dimostrazione!).
Se riesco a dimostrare questa precedente affermazione automaticamente taglio
fuori dall'ergodicità tutti i segnali aleatori di potenza e quindi pervengo
alle tue stesse conclusioni! Ma a confondere ancora di più le idee concorre
il seguente TEOREMA ERGODICO presente sul mio testo: "Condizione sufficiente
affinchè un segnale SSL, avente valore quadratico medio finito, sia ergodico
per la media è che i suoi campioni siano asintoticamente incorrelari", dopo
alcune righe si legge :"Si osservi inoltre che il Teorema ergodico vale
anche se il segnale non è SSL, nel senso che anche per s.a. non stazionari
l'asintotica incorrelazione è condizione suffiiente per l'ergodicità della
componenete continua." (non è in contraddizione con quello che abbiamo
precedentemente detto?)
Testo usato: Lezioni di Teoria dei Sgnali, Ernesto Conte.
Grazie della disponibilità, Salvatore.

Riporto la mail che ho spedito alla prof per vedere di risolvere il
problema, forse ti può essere d'aiuto a chiarirmi le idee.
[cut]
    Ok, allora il dubbio riguarda la definizione del prodotto scalare
    nell'interpretazione dei segnali come vettori di uno spazio metrico
dotato
    di norma (Teoria dei Segnali, Conte pag.57).
    In pratica per segnali deterministici il prodotto scalare coincide con
    l'energia mutua e la potenza mutua a seconda della natura dei segnali in
    esame, e qui tutto ok.
    Per i segnali aleatori invece il prodotto scalare è definito come media
    temporale della mutua correlazione statistica, quindi si sta applicando
la
    definizione di "potenza aleatoria".
    Mi chiedevo perchè non si trovi anche una "energia aleatoria" del tipo
    integrale tra -inf e +inf della media mutua correlazione statistica!
    Ho trovato su internet una dimostrazione molto semplice che mi ha
permesso
    di dimostrare che UN SEGNALE STAZIONARIO E' NECESSARIAMENTE DI POTENZA,
    mentre ho letto semplicemente l'enunciato di un altro teorema che
afferma
    SOLO I SEGNALI STAZIONARI SONO ERGODICI.
    Pertanto alla luce di questi due teoremi è corretto dire che un segnale
    aleatorio di energia non essendo stazionario non potrà essere ergodico e
    pertanto l'eventuale funzione "energia aleatoria", definita come
integrale
    tra -inf e +inf della mutua correlazione statistica, non è garantito che
    converga, e pertanto non è utile definirla!
[cut]
Salvatore.

    SOLO I SEGNALI STAZIONARI SONO ERGODICI
Provo ad giustificare il teorema, ad intuito:
1) quando calcolo una media temporale, lavoro (eseguendo l'integrale)
da -inf a + inf su tutta la realizzazione scelta e quindi il risultato è
"univocamente" ottenuto, anche se in genere cambia da una realizzazione
all'altra
2) se il processo non è stazionario una qualunque media di insieme del
processo in genere dipende dall'istante scelto per estrarre la variabile cui
si fa riferimento (ad esempio, se la realizzaz. del processo è di energia
allora la varianza va necessariamente a zero per t -> inf, laddove la
realizz. sta andando a zero)
3) se il processo non è stazionario, dal punto 2 deduco che NON ESISTE in
genere una media di insieme univocamente definita
4) se definisco proc. ergodico come quello in cui ogni media di insieme
coincide con la corrisp. media temporale,
nel caso in cui sia non stazion. vale quanto detto al punto 3) e quindi non
ho una unica media di insieme da confrontare con le medie temporali ottenute
dalle realizzazioni; quindi non ha senso parlare di ergodicità
bye,
   Ing.Puccio

 Provo ad giustificare il teorema, ad intuito:
[cut]
...
[cut]
Hai perfettamente ragione e ti spiego subito il perchè.
Ti porto l'esempio dell'ergodicità della componente continua come è
presentata sul mio testo.
La media temporale effettuata su una generica funzione membro del segnale
aleatorio (per ora non aleatorio), se è soddisfatta una condizione sulla
covarianza (non te la riporto perchè è un po compicata da scrivere),
converge alla MEDIA TEMPORALE della media statistica del segnale in esame.
Pertanto in questo caso,come dicevi tu,  la media statistica NON è
univocamente definita ed è necessario mediarla nuovamente sulla variabile
temporale per liberarla dalla dipendenza dalla scelta dell'istante temporale
in cui si considera la V.A. estratta dal processo!
Se poi aggiungo l'ipotesi di SSL al processo, allora la media statistica è
univocamente determinata!
Ora un processo analogo viene seguito per la potenza e per
l'autocorrelazione, e tutto fila liscio, mentre se provo a farlo per la
potenza mi devo fermare un passo prima di imporre la SSL infatti (vedi
dimostrazione in testa al msg.) un processo SSL è intrinsecamente di
potenza.
Mi devo fermare alla coincidenza tra l'integrale tra -inf e+inf del modulo
quadro della generica funzione membro, in dt    con l'integrale tra -inf e
+inf della media statistica del modulo quadro di x(t), in dt! INFATTI a
questo punto ogni media d'insieme deve essere integrata sul tempo perchè
dipendente dall'istante in cui viene estratta la v.a. su cui opera! Sei
d'accordo con me?
In coclusione del nostro post posso dire di aver capito GRAZIE A TE che in
realtà una sorta di "energia aleatoria" è definibile, anche se
sostanzialmente nella pratica abbiamo quasi sempre a che fare con processi
di potenza, tuttavia il processo può essere o meno ergodico per l'energia a
seconda di come si definisce l'ergodicità!
Grazie dell'interessante approfondimento, scusami se non mi sono ancora
presentato, mi chiamo Salvatore studio Ing.delleTelecom. a Napoli, ti
ringrazio ancora dell'attenzione prestatami.