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Titolo: Spettro di un segnale digitale

Ciao a tutti,
forse la risposta si trova su un qualsiasi libro di DSP ma ora ne
sono sprovvisto e sui miei appunti non se ne parla.
Generalmente per trasmettere un segnale digitale, per esempio su cavo,
associo ad ogni bit una forma d'onda. Per esempio s0(t) e s1(t).
Trasmetto questa forma d'onda per un periodo pari a Ts=1/fs e così
posso trasmettere fs bit al secondo.
Supponiamo che s0(t)=-s1(t) come spesso accade. Supponiamo S(f) lo
spettro (modulo quadro della trasformata) di s0(t) e s1(t).
Normalmente si dice che il segnale trasmesso, formato dalla sequenza
di tanti s0(t) e s1(t) a seconda dei bit da trasmettere, ha uno spettro
pari ad S(f).
Non capisco questa affermazione. S(f) è lo spettro di un solo simbolo,
ma la sequenza di più simboli non è detto che abbia lo stesso spettro
di potenza.
Tant'è che se metto insieme due simboli, del tipo s0(t)+s0(t-Ts),
ottengo una trasformata pari a S0(f)+S0(f)*e^(-j*2*PI*f*Ts).
Ora, lo spettro di potenza di tale segnale è:
|S0(f)+S0(f)*e^(-j*2*PI*f*Ts)|^2 che può essere completamente diverso
da |S0(f)|^2, giusto?

 da |S0(f)|^2, giusto?
Visto che sto preparando l'esame mi sento obbligato a munirmi di ventose e
tentare una risposta.
Considera la tua onda PAM come un segnale aleatorio: ora lo spettro di
densità di potenza è pari alla trasformata di fourier della funzione di
autocorrelazione. La f.d.a, funzione di tau, è nulla per 
tau > Ts se assumi i singoli bit incorrelati ed è quindi uguale alla f.d.a.
di un singolo simbolo. 
Quindi si può dire che lo spettro di potenza dell'onda PAM è uguale a quello
della forma d'onda.

 della forma d'onda.
Non mi convince molto la cosa. Tra l'altro non spieghi perché la
f.d.a del segnale trasmesso è uguale all'f.d.a. di un unico simbolo.
Lo deduci dal fatto che l'f.d.a. del segnale trasmesso è semplicemente
nullo per tau>Ts come l'f.d.a. della forma d'onda del singolo bit.
E comunque, dalla tua dimostrazione, sembra che la cosa valga solo per
una sequenza di bit incorrelati. Cosa succede se voglio trasmettere una
sequenza di bit con un certo grado di correlazione? Cosa diventa lo
spettro del segnale trasmesso? Diverso dallo spettro del singolo bit?
Immagina la trasmissione di un fax, dove il bit 0 è bianco e il bit 1
è nero. Normalmente i fogli sono tutti bianchi quindi il grado di
correlazione dei bit non è nullo.
E' forse una banalità ma non capisco proprio come stanno le cose.
Probabilmente bisognerebbe ragionare per via analitica. Il segnale
digitale
trasmesso è del tipo:
    st(t) = SUM[ sn(t-nTs) ]
cioé la sommatoria di tante funzioni sn(t) opportunamente traslate.
sn(t)
sarà s0(t) se il bit n-esimo è 0, altrimenti sarà s1(t).
La trasformata di Fourier di questo segnale esiste solo al limite,
considerando cioé il segnale di potenza. E credo si possa calcolare
come:
    lim_{T->inf} 1/T integrale_{-T/2}^{T/2} (s(t)*exp^(-j*2*PI*f*t) dt)
Se considero T=(2N+1)*Ts otterrei:
    lim_{N->inf} 1/(2N+1)Ts integrale_{-NTs/2}^{NTs/2} ("come sopra")
e quindi:
    lim_{N->inf} 1/(2N+1)Ts SUM_{n=-N}^{N}
integrale_{(n-1)TS/2}^{(n+1)Ts/2} ("come sopra")
Ora, nell'intervallo [(n-1)Ts/2, (n+1)Ts/2] il segnale s(t) è pari a
sn(t)
traslato di nTs, quindi:
    lim_{N->inf} 1/(2N+1)Ts SUM_{n=-N}^{N} Sn(f)*e^{-j*2*PI*f*n*Ts}
dove Sn(f) è la trasformata di Fourier del simbolo s0(t) o s1(t) a
seconda del bit n-esimo.
Poiché Sn(f) dipende dal processo stocastico dei bit, credo sia
necessario
passare all'aspettazione della quantità di cui sopra e scambiando
lim con E[] e SUM con E[] dovrei ottenere:
    lim_{N->inf} 1/(2N+1)Ts SUM_{n=-N}^{N} E[Sn(f)]*e^{-j*2*PI*f*n*Ts}
A questo punto, però: E[Sn(f)]=p0*S0(f)+p1*S1(f) dove p0 è la
probabilità
del bit 0 e p1 è la probabilità del bit 1. Se p0=p1=1/2 e S1(f)=-S0(f)
ottento E[Sn(f)]=0 che è impossibile!!!!
Beh, basta con le mie elucubrazioni mentali.

 di un singolo simbolo.
Ci ho ragionato un po' su e pur essendo un ragionamento un po'
qualitativo,
soprattutto sul fatto che l'autocorrelazione del segnale digitale è
uguale
all'autocorrelazione della singola forma d'onda per la sequenza di bit
è scorrelata, mi convince.
Preferirei però una dimostrazione un po' più rigoroso e matematica.
Nessuno salta fuori dal cappello?

 Beh, basta con le mie elucubrazioni mentali.
Visto che sta roba mi sta uscendo fuori dalle orbite(ho l'esame il 2
settembre) te lo spiego:
Stiamo parlando dell'analisi spettrale di un messaggio binario.
Prendiamo inanzitutto un messaggio binario i cui simboli a_k siano
bilanciati (per esempio 1 e -1), indipendenti statisticamente ed
equiprobabili.(altrimenti il discorso si complica
sprattutto in notazione)
La media del messagio è l'aspettazione dei simboli trasmessi e per il fatto
che sono bilanciati ed equiprobabili si ha:
m_a=media del messaggio "a" formato dai simboli a_k =E[a_k]=1/2 * 1 + 1/2 *
(-1) = 0.
La correlazione(o autocorrelazione del messaggio) visto che il messaggio si
suppone stazionario(indipendente cioè dal tempo di osservazione) è:
r_a(nT)= E[a_(k+n) * a_k]=(per l'indipendenza dei
simboli)=E[a_(k+n)]*E[a_n]= 0 per n diverso da zero.
e
r_a(0 T)=E[(a_n)^2]=M_a=potenza statistica del messaggio=varianza del
messaggio sigmaquadro poichè la media è nulla
Ora si trova la densità spettrale di potenza come trasformata di fourier
della autocorrelazione:
Ra(f)= T * M_a
con f  appartenente ad R quindi costante.
Se i simboli non avessero media nulla ( m_a diversa da zero) si avrebbe la
correlazione:
r_a(0 T)=E[(a_n)^2]=M_a
ed
r_a(nT)= (m_a)^2
quindi la si può scomporre in due parti (sottraendo e sommando (m_a)^2  ),
ottenendo:
r_a = r_a(c) + r_a(d)
con
r_a(c)(0T)= M_a - (m_a)^2=sigmaquadro
r_a(c)(nT)=0   per n diverso da zero
r_a(d)(nT)=(m_a)^2
per cui la densità spettrale di potenza in questo caso diventa :
R_a(f)=T*sigmaquadro + T * [(m_a)^2] * [sommatoria con k da meno inf a più
inf di  delta(f-k(1/T)]
con T periodo di cifra della trasmissione.
Visivamente parlando hai una trasformata con una parte costante e degli
impulsi delta nei multipli della frequenza di cifra con area T * [(m_a)^2]
Spero di esserti stato d'aiuto.
Ciao
Stefano

 quindi la si può scomporre in due parti (sottraendo e sommando


 di potenza e si dice che questa è lo spettro del segnale trasmesso.
Noi abbiamo supposto che l'impulso associato allo zero s0(t)=-1*g(t) sia
uguale a -s1(t)=1*g(t) per i ragionamenti di cui sopra,
visto come mi hai indicato il segnale modulato e per questo il modulatore è
equivalente ad un filtro interpolatore con quella risposta impulsiva g(t).
Lo spettro del segnale trasmesso è rappresentato dalla densità spettrale
Rm_s(f)   (considerando l'analisi spettrale media in un periodo).

 Rm_s(f)=((|G(f)|^2)/Ts ) * R_a(f)
Rm_s(f) è la densità spettrale di potenza del processo stocastico s(t)?
In altre parole la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di s(t)?
E come si arriva a questa formula? Evidentemente con questa analisi
spettrale
media di cui ignoro completamente i fondamenti. Se vuoi/puoi puoi
aggiungere
qualche dettaglio in più su come si arriva a questa formula? O magari mi
dici
qualche riferimento?
E cos'è R_a(f)? Immagino l'autocorrelazione del segnale tempo-continuo
a(t) che vale 1 per i periodi corrispondenti al bit 1 e -1 per i periodi
corrispondenti ai bit 0, giusto? E come si calcola conoscendo la
caratteristiche
statistiche della sequenza dei bit?
Forse nel caso di bit incorrelati R_a(f) è un impulso di Dirac unitario
centrato
in f=0 e quindi diventa:
    Rm_s(f)=((|G(f)|^2/Ts)
che effettivamente mi indica che la forma della densità spettrale di
potenza
del segnale modulato coincide proprio con la densità spettrale di
potenza
del segnale g(t) relativo al singolo bit.
E' curioso il fatto che se la sequenza di bit non è incorrelata la
densità
spettrale di potenza cambia, e può cambiare anche notevolmente.
Ma la formula che mi hai scritto vale solo per una PAM a due bit?
Cosa succede se invece considerassi una codifica diversa, tipo una
64-QAM dove ci sono 64 simboli g_k(t) legati a sequenze di 6 bit?
In quel caso è la somma di tutti i 64 simboli g_k(t) ad essere uguale
a zero. Otterrei una formula analoga alla precedente?
Scusa per tutte queste domande, dimmi quando non ce la fai più a
rispondermi.
Comunque la tua dimostrazione mi ha convinto molto, l'unico problema è
che
proprio non conoscevo i processi stocastici ciclostazionari e ancora non
capisco
perché il mio processo s(t) non è semplicemente stazionario.
Grazie delle risposte.

 perché il mio processo s(t) non è semplicemente stazionario.
Il processo s(t) non è stazionario perchè all'uscita del filtro
interpolatore se sostituisci alla variabile tempo t della autocorrelazione
che ne esce, un qualcosa
del tipo t+t1 con t1 arbitrario in generale trovi che la autocorrelazione
non assume più lo stesso valore al variare di t. In pratica cambia cambiando
il "punto" di
osservazione.
Ciao
Stefano

 Si arriva semplicemente considerando la versione
mi sono accorto di aver lasciato un "buco", chiedo scusa.
Intendevo che si arriva considerando la versione delle varie funzioni
integrate su un periodo divise per il periodo stesso , come ho detto nel
brano successivo.
Ciao

Grazie mille per la risposta, ma ho trovato quest'altra dimostrazione.
Il segnale digitale s(t) può essere visto come l'uscita di un filtro
con risposta all'impulso x(t), forma d'onda del simbolo, alimentato
da un segnale impulsivo intervallati di Ts. L'impulso è positivo nel
caso di bit 1, negativo nel caso di bit 0. Diciamo questo segnale b(t).
La densità spettrale di potenza di s(t) è quindi il prodotto della
densità spettrale di potenza di x(t) e la densità spettrale di potenza
del segnale d'ingresso b(t). Se i bit sono completamente casuali,
questa densità spettrale di potenza è costante per tutte le frequenze,
da cui la PSD d'uscita è uguale alla PSD di x(t), cioé del singolo
simbolo.
Mica male ;)

 simbolo.
Perdonami, ma sei sicuro di aver letto bene quello che ho scritto? Te lo
chiedo perchè al risultato di cui parli
arrivi anche con quello che ti ho detto se il modulatore ha risposta
impulsiva opportuna.

 impulsiva opportuna.
Non ho detto che con il tuo ragionamento non si arrivi alla soluzione ma
solo
che questa dimostrazione mi sembra più immediata ma altrettanto
rigorosa.
Non trovi?

 Non trovi?
Trovo che è la stessa cosa. Si sta parlando sempre di analisi spettrale
media comunque e non di
densità spettrale ordinaria che porterebbe ad una densità all'uscita del
filtro interpolatore dipendente da 2 variabili.
Ad ogni modo cosa intendi per "completamente casuali"? Ed inoltre come fai a
dire che la PSD in uscita dal filtro è la stessa
dei simboli senza considerare quella che io preferisco chiamare per esteso
il modulo della trasformata di fourier al quadrato della risposta impulsiva?