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Titolo: Meccanica dei Continui

Salve a tutti,
ho una domanda a cui spero possiate rispondere o magari indirizzarmi
sulla risposta. Studiando Scienza delle Costruzioni, precisamente la
parte sull'analisi della deformazione mi sono imbattutto in queste
affermazioni: "La continuità della funzione deformazione x(X) e delle
sue derivate parziali prime, oltre alla condizione che il gradiente
della deformazione sia ovunque maggiore di zero, assicurano la
conservazione dell'orientamento locale sotto la deformazione (riferito
ad una terna di assi con origine in X, nella configurazione dei
piazzamenti referenziali)"
Davvero? Non vedo la relazione tra le due cose... Cioè, la intuisco ma
non riesco a tradurla in segni...
Grazie mille, Oreste
P.S. Questo quesito è stato postato anche in un newsgroup di fisica,
senza però ottenere risposta. Lo dico perchè mi è parso di capire gli
utenti esperti del web considerano maleducato postare in più di un
newsgroup lo stesso post. Tuttavia la mia è una necessità e se poteste
aiutarmi mi fareste davvero un bel regalo! Oreste Patrone

 piazzamenti referenziali)"
Mi sembra una frase davvero sibillina...
Cmq Scienza l'ho fatta bene, e mi ricordo benissimo che la continuitą della
funzione deformazione assicura poche e ben determinate cose, ossia:
1. Che il materiale non si compenetri, cioč che accada che a due punti della
configurazione indeformata corrisponda uno stesso punto in quella deformata.
La continuita insieme a quella della derivata prima impedisce appunto
questo.
2. Non vi siano lacerazioni del materiale.
Di certo il tuo libro non primeggia quanto a chiarezza.
Ciao, Riccardo

 senza però ottenere risposta.
è un newsgroup moderato, devi avere pazienza. in it.scienza.fisica se non
sbaglio posta spesso un certo walter moretti, fisico teorico che si occupa
appunto di meccanica dei continui e analisi tensoriale...se hai fortuna ti
chiarirà ogni cosa.
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Inviato via 
http://usenet.libero.it

Vi ringrazio per le risposte. McEmorroids in verità non si tratta di
un libro, ma della dispensa del mio professore. La questione
dell'orientamento locale non viene dimostrata, differentemente dalle
altre due conseguenze importanti della regolarità della deformazione
cui tu ti riferisci che sono risultati noti dall'analisi matematica.
Il problema è proprio questo! Io non riesco a trovare niente tra i
miei vecchi appunti di analisi che mi aiuti a risolvere il problema.
Gigi sono al corrente di Walter Moretti, pensa che ho pure scaricato
la sua dispensa sulla Meccanica dei Continui. Io non intedevo
lamentarmi della lentezza del newsgroup di fisica, solo giustificare
la presenza in due diversi newsgroup dello stesso post. Comunque
grazie della dritta!
Aspetto vostre nuove sull'argomento e intanto v'invito a trascorrere
bene quello che resta delle festività, Oreste

 deformato... comunque anche per me è una cosa per lo più intuitiva.
ma per gradiente di deformazione intendi la componente simmetrica del
gradiente di spostamento? Insomma il nostro tensore di deformazione con le
gamma e le epsilon? E cosa intendi per tensore di deformazione positivo
visto che si parla di una matrice 3x3?
Riccardo

 visto che si parla di una matrice 3x3?
scusa l'intromissione, non capisco niente di scienza a parte le cose che
sento in biblioteca, ma l'estensione del > 0 alle matrici non e' la
definitezza positiva?
~~
artemis.alpeia

"artemis.alpeia" <it.i...@alpeia.artemis> ha scritto nel messaggio
news:lmZO9.36177$R45.1...@news2.tin.it...

E' vero, ma non credo che si riferisca a quello, per un semplice motivo: non
č affatto detto che il tensore delle deformazioni sia definito positivo!
Esempio:
Stato di deformazione corrispondente ad una compressione idrostatica, quindi
tutti gli epsilon negativi e gamma nulli.
Per te, artemis, significa una matrice diagonale con tutti i termini
negativi.
E' chiaro che questa matrice NON č definita positiva.
PS una matrice per essere definita positiva deve avere tutti i suoi minori
principali positivi, o detto in altro modo, la sua forma quadratica
associata deve essere positiva.
Attendo con fiducia chiarimenti.. ;-)
Riccardo

 visto che si parla di una matrice 3x3?
se è per questo avrei problemi anche se si parlasse di un vettore, no?
nel caso di un vettore andrei a guardare il segno di ogni singola
componente, e direi che è positivo se lo sono tutte e tre.
per un'applicazione associata ad una matrice 3x3 il criterio è allora quello
di cercare il segno dei suoi autovalori: si può applicare il metodo di
Hurvitz (che permette di calcolare il segno senza conoscere gli autovalori)
o, se possibile, diagonalizzarla.
un tensore associato ad una materice 3x3 non è nient'altro che un operatore
1-lineare reale, è positivo se lo sono tutti i suoi autovalori. non ho
problemi di ordinamento poiche se il tensore è simmetrico i suoi autovalori
sono tutti reali. un altro possibile criterio potrebbe però essere il segno
del determinante.
PS per oreste: puoi trovare materiale in
http://degiorgi.science.unitn.it/%7Efismat/dispense.html
dispense di Valter Moretti di analisi tensoriale, meccanica dei contiunui
classica e relativistica, io non l'ho ancora guardato, ma potrebbe fare al
caso tuo.


 del determinante.
Sono argomenti affascinanti, lo ammetto, ma ancora non ci siamo. In
meccanica del continuo è possibilissimo trovare un tensore delle
deformazioni con autovalori tutti negativi (vedi esempio che ho fatto nel
thread). Quindi le dispense di Oreste DEVONO parlare d'altro, altrimenti c'è
stato un refuso tipografico o una clamorosa svista del prof.
Ciao, Riccardo

Sono contento che vi siate appassionati in tanti al mio quesito. Così
aumentano le possibilità che riesca a venirne fuori!
Riguardando la dispensa, mi sono accorto di aver commesso alcuni
errori. Infatti, secondo il professore (ma non credo che sia soltanto
la sua opinione) è la condizione det F>0 (laddove F è il gradiente
della deformazione, valutato in X0) a garantire la conservazione
dell'orientamento locale sotto la deformazione. Scusate la svista, vi
prego!
Ciao, Oreste


Ciao,
Andrea

 materiale, non il tensore di deformazione infinitesima).
D'accordissimo, io mio confondevo perchè pensavo sempre alla funzione
spostamento, non quella in coordinate assolute, cioè la funzione (per usare
la tua terminologia) f(P)-P. In questo caso non è più detto che sia det
J(f(P)-P)> 0 no?

 ha scritto nel messaggio
news:853b4be4.02122...@posting.google.com...

Ciao, Oreste, la dimostrazione è molto semplice, però purtroppo è difficile
scriverla senza poter usare il corsivo, il grassetto, ecc. poichè vi
compaiono vettori, matrici, matrici trasposte, scalari a più indici, ecc. Nè
tantomeno posso sfruttare la notazione Tex, poichè non so se tu e gli altri
utenti del ng la  conoscete. Spero che qualcosa si capisca lo stesso.
Innanzi tutto, se f è di classe C1, allora è anche  differenziabile, per cui
F esiste in tutta la configurazione di riferimento. Ancora più importante,
se X1 ed X2 sono due punti nella configurazione indeformata e x1 e x2
sono due punti nella configurazione deformata, allora
1) (x1-x2) = F*(X1-X2)+ o(|X1-X2|)
 (* è il prodottto righe per colonne). Sia (X1-X2) "infinitesimo",
allora
2) (x1-x2) = F*(X1-X2)
tale dizione non rigorosa ha però il vantaggio della brevità. In ogni caso
tutta la dimostrazione si può facilmente rendere rigorosa mediante
passaggi al limite ed il teorema di permanenza del segno.
Consideriamo ora una terna di assi costituenti un sistema di riferimento
con origine in X, dunque gli assi debbono essere non complanari e
passanti per X. Restano automaticamente individuati tre vettori infinitesimi
linearmente indipendenti u = (X1-X), v = (X2-X), w = (X3-X) (d'ora
in poi con abuso di notazione indico con lo stesso simbolo sia il vettore
stesso che il vettore riga delle sue componenti nella base canonica {E_1,
E_2,E_3}). E' noto che l'orientamento della terna di assi è dato dal segno
del prodotto misto u^v*(w)T (  ^ è il prodotto vettoriale, (w)T è il
trasposto di w cioè il vettore *colonna* delle componenti di w e dunque
*, essendo il prodotto righe per colonne fra un vettore riga ed uno colonna,
è anche il prodotto scalare fra i due). Dunque, detti u', v', w' i
trasformati tramite f di u, v ,w, la terna trasformata e quella iniziale
avranno lo stesso orientamento se e solo se  u'^v'*(w')T e  u^v*(w)T hanno
lo stesso segno. Notiamo che ovviamente u^v*(w)T = u_i v_j w_k eps_ijk
dove eps_ijk = 1 se {i,j,k} è una permutazione pari di {1,2,3}, -1 se
dispari e 0 se non è una permutazione, è il tensore di Ricci o simbolo di
permutazione. Per 2) ho
u'^v'*(w')T = (u*(F)T)^(v*(F)T)*(F*(w)T) =
(u_i F_ji E_j)^(v_k F_mk E_m)*(F_rs w_s E_r) =
(u_i v_k F_ji F_mk eps_jmn E_n)*(F_rs w_s E_r) =
(indico con delta_nr il delta di Kronecker, cioè delta_nr = 1 se
n = r, 0 altrimenti)
u_i v_k w_s F_ji F_mk F_rs eps_jmn delta_nr  =
u_i v_k w_s F_ji F_mk F_rs eps_jmr =
u_i v_k w_s det(F) eps_iks
(ho usato il seguente risultato, di immediata dimostrazione, valido per
ogni tensore A 3x3: A_il A_jm A_kn eps_ijk = det(A) eps_lmn)
Dunque u'^v'*(w')T = [u^v*(w)T]det(F), ma poichè det(F) > 0
i segni dei due prodotti misti sono uguali, CVD
Ciao,
Andrea

 ha scritto nel messaggio
news:QhDP9.60729$TC5.1...@twister1.libero.it...

OOPS! Per errore, mentre correggevo il post ho cancellato una parte
fondamentale, senza la quale il resto è incomprensibile. Cos'è F?
F = grad(f) è il gradiente della funzione di deformazione x = f(X) (per
essere precisi è il gradiente di deformazione *materiale*, dato che è
funzione delle coordinate lagrangiane o materiali X).
Ciao,
Andrea


Forse qui manca qualcosa che volevi scrivere. Comunque tu non avevi detto
che " [..] la continuità dellafunzione deformazione assicura poche e ben
determinate cose, ossia: 1. Che il materiale non si compenetri,  cioè che
accada che a due punti della configurazione indeformata corrisponda uno
stesso punto in quella deformata. La continuita insieme a quella della
derivata prima impedisce appunto questo." ? Questo non è esatto, come
ho fatto vedere.

Se ho capito bene tu con J tu indichi la matrice jacobiana invece che il
determinante della matrice jacobiana o jacobiano, e con P la posizione
della particella P nella configurazione indeformata, cioè le sue coordinate
lagrangiane (quello che indico con X). Allora sì, se consideri det J(f(P)-P)
questo non è necessariamente positivo. Ciò che è necessario è che,
indicato con u(P) = f(P)-P, sia det I+J(u(P)) > 0 (che corrisponde alla
condizione da me citata).
Ciao,
Andrea

 condizione da me citata).
Giusto, infatti si può dimostrare che det J(u(P)) corrisponde alla
variazione percentuale di volume nella deformazione.
Ciao, Riccardo

 ha scritto nel messaggio
news:QhDP9.60729$TC5.1...@twister1.libero.it...

Oggi pomeriggio, facendo tutt'altro, mi è venuto in mente che tutta la parte
di dimsotrazione che usa una strana simbologia si può evitare semplicemente
usando il teorema di Binet: det(A*B) = det(A)*det(B).
Difatti dato che per 2) vale u' = F*u, v' = F*v, w' = F*w, allora detta M'
la matrice che ha per colonne i vettori delle componenti di u', v', w' e M
la matrice che ha per colonne i vettori delle componenti di u, v, w,
ottengo M' = F*M => det(M') = det(F)*det(M). Siccome è noto che
u^v*(w)T è pari al determinante di M, ottengo l'asserto.
Ciao,
Andrea


Andrea non so come ringraziarti, mi hai restituito il sonno! 
Grazie infinite, Oreste