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Titolo: [Ex] Teoria Sistemi / Contr.Automatici

Ciao a tutti, so che non è proprio uso pubblicare esercizi ma è un caso 
particolare in quanto in preparazione per l'esame mi sono (ci siamo) 
imbattuti in un esercizio di Teoria dei Sistemi - ma per argomento 
potrebbe benissimo rientrare anche in Controlli Automatici - sul sito 
del professore, ma di cui non c'è soluzione pubblicata nè il professore 
stesso ora la ricorda (lasciamo perdere!..)
Sarei grato a chiunque per aiuto nello svolgimento, o link o allegato di 
esercizi analoghi che potrebbero aiutarci nella risoluzione:
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Variabili di Stato
matrice 2x2 di stato A = (0.1  1 ; 0  0.2)
matrice 2x2 di ingresso B = (1  0 ; 1  -1)
matrice 2x1 di uscita C = (1  1)
ingresso matrice 1x2  u(t)=(1 ; 1)
stato iniziale matrice 1x2  x(0) = (1 ; 1)
- Sapresti dire se esiste un andamento asintotico della risposta nello 
stato e, in caso positivo, calcolarla, sempre operando nel dominio del 
tempo (tempo discreto)?
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più nel dettaglio è il primo esercizio dell'ultima pagina, link:
http://www.mat.uniroma3.it/users/dalex/programmamodulotsspec.pdf
Grazie ancora!

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Nessuno sa aiutarci?
Avevamo pensato che quello che chiede il problema è verificare se
la risposta converge a qualcosa oppure no. E in questo caso il sistema 
dovrebbe risultare stabile..quindi è possibile
che alla fine il problema si risolva nel determinare la stabilità o meno 
del sistema e nel caso affermativo calcolare y(t) (altrimenti non mi 
spiegherei il perchè dà lo stato iniziale x(0))..
Che ne dite?

 tempo (tempo discreto)?
Il sistema e'
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
Gli autovalori di A sono in 0.1 e 0.2, quindi il sistema è stabile.
Puoi quindi trovare la condizione di equilibrio associata a quell'ingresso,
risolvendo:
x=Ax+Bu   poichè x(k+1)=x(k)
x=(I-A)^(-1)Bu=[1.1; 0]
Lo stato tende asintoticamente a quel valore, indipendentemente dallo stato
iniziale (asintotica stabilità).
Carlo.

Carlone ha scritto:

Ti ringrazio.
Potresti gentilmente spiegarmi perchè impostando la condizione di 
equilibrio x(k+1)=x(k)...dato che continuavo a insistere diversamente?
La matrice C è quindi superflua per quanto richiesto?

 La matrice C è quindi superflua per quanto richiesto?
Se il sistema è lineare tempo invariante, se la matrice della dinamica (A)
ha autovalori in modulo strettamente minori di 1, è allora asintoticamente
stabile.
Ciò significa che il movimento libero dello stato si annulla per k che
tende a infinito. Il movimento asintotico coincide con quello forzato ed è
quindi indipendente dallo stato iniziale.
Se il sistema è
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
imponendo l'ingresso costante u(k)=u* (di solito si indica u con una
barretta sopra), un movimento costante dello stato è chiamato equilibrio,
indichiamolo con x*.
Ne segue che
x*=x(k)=x(k+1)  cioè è lo stato ha un movimento costante.
Sostituendo:
x*=Ax*+Bu*
(I-A)x*=Bu*
x*=(I-A)^(-1)Bu*
Se lo stato ha un movimento costante, allora è costante anche y (è costante
anche u, e comunque è un sistema strettamente proprio).
In questo caso non è altro che la somma dei due stati.
y=Cx*=1.1
Ma il problema chiedeva la risposta asintotica dello stato, quindi l'uscita
(e la matrice C) è irrilevante..
Ciao,
Carlo.

Carlone ha scritto:
[cut]
Grazie di nuovo, esauriente e utilissimo
ciao

Ciao di nuovo,
avrei perņ bisogno di calcolare anche:
1) il limite per t-> inf della risposta (forzata) dello stato xf(t).
2) la traiettoria (?)
(per semplicitą la matrice A posso scriverla come [0.1  0; 0  0.2])
per il punto 1 ho applicato la formula:
lim t->inf xf(t)= (Sommatoria per t da 1 a inf di A^(t-1) ) * B*u(t) che 
mi viene effettivamente uguale al risultato precedente, ossia [1.11; 0] 
quindi dimostrato il risultato, č corretto?
Per quanto riguarda il punto 2, cioč la traiettoria credo per t=1, t=2, 
ecc....come potrei fare?
Grazie di nuovo