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Titolo: aiutami a risolvere un INTEGRALE

Vorrei sapere qual è il procedimento da seguire per risolvere
il seguente integrale per via elementare (se è possibile):
integrale di  ( x^2 / (x^4+1) )  in  dx
!!!  A me interessa risolvere questo integrale per via elementare
( per intenderci: "alla ANALISI I" piuttosto che "alla CALCOLO
NUMERICO" )  !!!
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che daranno suggerimenti.
Ciao.

fffgggggrrrrttttt

Questa soluzione e' laboriosa ma corretta.
Le soluzioni del 1+x^4 sono (+i,-i,+sqr(i),-sqr(i))   (per sqr intendo
radice quadrata).
Devi fare una scomposizione in frazioni parziali come somma di termini del
tipo Ai/(x-xi)  dove in xi metti le 4 soluzioni.
Trovati i 4 coefficienti,hai finito perche vengono termini del tipo
a/(x+-b)  che porta a soluzioni di tipo logaritmo.
La soluzione trovata ha un aspetto complesso,ma se riunisci i coefficienti
complessi tra loro si semplificano e tutto diventa rigorosamente reale come
deve essere.
La soluzione e' un po' complicata da scrivere : sono due lg(...)  e due
arctg(...).
Se me la chiedi,ti invio una copia della soluzione passata allo scanner.
Ciao

 wrote in message
7m3s98$rd6$2...@hermes.iol.it...
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Soluzione:
Int( x^2 /(1+x^4))dx = - sqrt(2) /8 *
log|2*x^2+2*sqrt(2)+2|+sqrt(2)/4*arctg(sqrt(2)*x+1)+
sqrt(2)/8*log|2*x^2-2*sqrt(2)*x+2|+arctg(sqrt(2)*x-1);
Premessa:
[nella dimostrazione riterro'  noto che  int(arctg x ) = x * arctg x -
1/2 *log(1+x^2)];
Dimostrazione:
Int( x^2 /(1+x^4))dx = Int ( x^2
/((x^2+sqrt(2)*x+1)*(x^2-sqrt(2)*x+1)))*dx
Dividiamo la frazione nella somma di due frazioni:
(A*x+B)/(x^2+sqrt(2)*x+1)  +  (C*x + D)/(x^2-sqrt(2)*x+1)
svolgendo ed uguagliando i coefficienti di pari grado dei due membri,
cioe'
x^2 =
A*x^3-A*sqrt(2)*x^2+A*x+B*x^2-B*sqrt(2)*x+B+C*x^3+C*sqrt(2)*x^2+C*x+D*x^2+D*sqrt(2)*x+D
(#)
si giunge al sistema:
1)     A+C=0
2)     -A*sqrt(2) + B + C*sqrt(2) + D =1
3)     A-B*sqrt(2)+C+D*sqrt(2)=0
4)     B+D =0
risolvendo il sistema di ha:
A= -sqrt(2)/4 ;  B=0;  C= sqrt(2)/4 ; D=0 ;
sostituendo i valori nella  (#) si ha:
Int( x^2 /(1+x^4))dx = -sqrt(2)/4 *Int( x dx /(x^2+sqrt(2)*x+1))+
+ sqrt(2)/4 * Int( x dx /(x^2-sqrt(2)*x+1))
Risolviamo separatamente i due integrali del secondo membro:
Moltiplichiamo per 2 sia il numeratore che il denominatore della
frazione.Si ha quindi:
-sqrt(2)/4 *Int( 2*x dx /(( sqrt(2)*x)^2+2*sqrt(2)*x+2))=
= -sqrt(2)/4*Int ( 2*x*dx/((sqrt(2)*x+1)^2+1))
poniamo
sqrt(2)*x+1 =t;
x =  (t-1)/sqrt(2);   dx  = 1/sqrt(2) *dt;
e sostituendo si ha:
- sqrt(2)/4 * Int ((t-1)* dt/(t^2+1))  =
= - sqrt(2)/4 * Int (t dt / (t^2+1))  + sqrt(2)/4 * Int( dt /(t^2+1) =
Il primo di questi due integrali si risolve per parti assumendo 't'
come fattore finito,mentre l'altro e' uguale ad arctg t.
Si ha:
-sqrt(2)/4 * (t * arctg t - Int(arctg t dt)) + Sqrt(2)/4* arctg t
svolgendo e sostituendo a t il suo valore in x si ha:
-sqrt(2)/8 * log|2*x^2+2*sqrt(2)*x +2) + sqrt(2)/4 *
arctg(sqrt(2)*x+1)
Con procedimento analogo si calcola l'altro integrale e si giunge 
alla soluzione completa riportata sopra.
Se ho commesso qualche errore ti prego di farmelo sapere, cosi' pure
se conosci qualche procedimento piu' semplice.
Ciao
Cosimo

 7m3s98$rd6$2...@hermes.iol.it...
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