TH?SE

pr?sent?e

L'UNIVERSIT

DE

NICE

SOPHIA

ANTIPOLIS

COLE

DOCTORALE

DES

SCIENCES

POUR

L'ING

NIEUR

par

Lucian

Finta

pour

obtenir

le

titre

de

DOCTEUR

EN

SCIENCES

sp?cialit

INFORMATIQUE

Sujet

de

la

th?se

Ordonnancement

dans

les

syst?mes

multiprocesseurs

soutenue

le

janvier

devant

le

jury

compos

de

MM

Philippe

CHRETIENNE

Pr?sident

Jacques

CARLIER

Examinateur

Rapporteur

Denis

TRYSTRAM

Examinateur

Rapporteur

Zhen

LIU

Examinateur

Directeur

Jean-Claude

BERMOND

Examinateur

Philippe

MUSSI

Examinateur

Jacek

B?AZEWICZ

Examinateur

St?phanie

mes

parents

Remerciements

Tout

d'abord

je

veux

adresser

un

tr?s

grand

MERCI

Zhen

LIU

mon

directeur

de

th?se

pour

son

soutien

constant

et

ses

encouragements

pendant

l'encadrement

de

cette

th?se

Il

a

toujours

t

tr?s

disponible

faisant

preuve

plus

d'une

fois

de

beaucoup

de

gentillesse

en

plus

de

sa

grande

comp?tence

scientioque

Pendant

notre

travail

en

commun

il

a

su

me

transmettre

la

rigueur

n?cessaire

dans

tout

travail

de

recherche

Je

lui

resterai

toujours

redevable

pour

les

connaissances

que

j'

ai

acquises

pendant

ma

th?se

sous

sa

direction

Je

voudrais

galement

exprimer

ma

reconnaissance

Fran?ois

BACCELLI

le

chef

de

l'

quipe

MISTRAL

pour

la

conoance

constante

qu'il

m

a

t?moign?e

depuis

mes

tous

premiers

pas

au

sein

de

l'

quipe

en

tant

que

stagiaire

Un

grand

merci

Philippe

CHRETIENNE

pour

avoir

accept

de

pr?sider

le

jury

de

ma

th?se

mais

aussi

pour

son

travail

en

tant

que

coordinateur

du

groupe

PRS

Ordonnancement

J'exprime

ma

profonde

gratitude

Jacques

CARLIER

et

Denis

TRYSTRAM

pour

m

avoir

fait

l'honneur

de

bien

vouloir

r?diger

un

rapport

sur

ma

th?se

et

pour

l'int

r?t

sinc?re

qu'ils

ont

port

mon

travail

Je

tiens

galement

remercier

Jean-Claude

BERMOND

Jacek

B?AZEWICZ

et

Philippe

MUSSI

pour

avoir

bien

voulu

participer

ce

jury

de

th?se

malgr

leurs

responsabilit?s

multiples

A

tous

les

membres

du

projet

MISTRAL

j'

adresse

un

grand

merci

pour

l'ambiance

tr?s

dynamique

et

chaleureuse

qui

r?gne

dans

l'

quipe

Toujours

pr?ts

m

aider

et

me

conseiller

aussi

bien

sur

le

plan

scientioque

que

sur

le

plan

personnel

ils

ont

t

pour

moi

de

vrais

amis

Enon

trop

nombreux

pour

tre

cit?s

ici

que

tous

ceux

qui

ont

contribu

de

pr?s

ou

de

loin

cette

th?se

en

soient

remerci?s

Table

des

mati?res

Liste

des

ogures

xi

Introduction

Motivation

Probl?mes

d'ordonnancement

et

pr?sentation

des

r?sultats

issus

de

la

litt?rature

Cas

d?terministe

Multiprocesseur

sans

contrainte

de

ressources

de

communication

Multiprocesseur

avec

contraintes

de

ressources

de

communication

Une

seule

machine

et

d?lais

de

pr?c?dence

Cas

stochastique

Contributions

de

cette

th?se

et

organisation

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

Pr?sentation

du

mod?le

S?mantique

donn?es

ind?pendantes

Ordonnancement

sur

un

nombre

ox

de

processeurs

Le

cas

de

deux

processeurs

Le

cas

de

m

processeurs

Ordonnancement

sur

un

nombre

arbitraire

de

processeurs

Le

cas

d'un

nombre

illimit

de

processeurs

vii

viii

Table

des

mati?res

Le

cas

d'un

nombre

limit

de

processeurs

S?mantique

donn?es

communes

Ordonnancement

sur

un

nombre

ox

de

processeurs

Le

cas

de

deux

processeurs

Le

cas

de

m

processeurs

Ordonnancement

sur

un

nombre

arbitraire

de

processeurs

Le

cas

d'un

nombre

illimit

de

processeurs

Le

cas

d'un

nombre

limit

de

processeurs

Autres

m?canismes

de

communication

Dioeusion

Communication

avec

blocage

Ordonnancement

sur

un

nombre

illimit

de

processeurs

avec

blocage

Ordonnancement

sur

un

nombre

limit

de

processeurs

avec

blocage

T?ches

avec

pr

allocation

T?ches

pr

allou?es

Transformation

vers

le

probl?me

une

seule

machine

Une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

temporis?es

Le

cas

sans

pr?emption

T?ches

unitaires

et

d?lais

entiers

NP-diOEcult

T?ches

enti?res

et

d?lais

unitaires

algorithme

optimal

Le

cas

avec

pr?emption

Dominance

T?ches

unitaires

et

d?lais

entiers

NP-diOEcult

T?ches

enti?res

et

d?lais

unitaires

algorithme

optimal

Conclusions

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

Reconnaissance

et

d?composition

des

graphes

s?rie

parall?le

Classiocation

et

propri?t?s

des

graphes

s?rie

parall?le

Algorithme

de

reconnaissance

et

arbre

de

d?composition

Ordonnancement

optimal

des

graphes

s?rie

parall?le

sur

deux

processeurs

Pr?liminaires

Ordonnancement

d'une

composition

parall?le

Table

des

mati?res

ix

Ordonnancement

d'une

composition

s?rie

L'algorithme

r?cursif

Conclusions

Ordonnancement

stochastique

algorithme

optimal

pour

deux

processeurs

Pr?sentation

du

mod?le

Minimisation

stochastique

Conclusions

Conclusions

et

perspectives

Bibliographie

A

Task

Graph

Scheduling

in

Single-Bus

Parallel

Systems

B

Single

Machine

Scheduling

Subject

to

Precedence

Delays

C

Scheduling

UET-UCT

Series-Parallel

Graphs

on

Two

Processors

D

Makespan

Minimization

of

Task

Graphs

with

Random

Task

Running

x

Table

des

mati?res

Liste

des

ogures

Le

graphe

de

t?ches

V

et

ses

ordonnancements

Le

graphe

de

t?ches

C

et

ses

ordonnancements

Graphe

de

t?ches

instance

de

bus

j

prec

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

correspondant

une

instance

du

probl?me

ONE-IN-THREE

Construction

d'une

instance

du

probl?me

P

bus

j

binary

tree

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

correspondant

une

instance

de

Le

graphe

de

t?ches

V

et

ses

ordonnancements

Le

graphe

de

t?ches

C

et

ses

ordonnancements

Graphe

de

t?ches

instance

de

bus

j

prec

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

correspondant

une

instance

du

probl?me

NOT-ALL-EQUAL

Construction

d'une

instance

du

probl?me

bus

j

chains

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

fix

j

Cmax

correspondant

une

instance

de

Un

graphe

de

t?ches

et

le

graphe

de

services

correspondant

Construction

de

partir

de

G

et

des

r?gions

interdites

Graphe

de

t?ches

instance

de

-LRB-

-RRB-

correspondant

une

instance

de

Les

r?gions

actives

et

interdites

pour

la

machine

dans

l'instance

-LRB-

-RRB-

La

d?composition

d'un

ordonnancement

LOS

Exemple

de

construction

d'un

ordonnancement

sans

pr?emption

Un

contre-exemple

pour

LOS

sur

deux

machines

xi

xii

Liste

des

ogures

-LRB-

a

-RRB-

Exemple

de

graphe

et

-LRB-

b

-RRB-

son

arbre

de

d?composition

Arbres

obtenus

par

l'algorithme

de

Valdes-Tarjan-Lawler

-LRB-

a

-RRB-

arbre

binaire

de

d?composition

-LRB-

b

-RRB-

arbre

canonique

de

d?composition

Illustration

d'

tirement

droite

des

ordonnancements

-LRB-

a

-RRB-

et

-LRB-

c

-RRB-

Ordonnancements

adapt?s

pour

les

sous-graphes

du

graphe

dans

la

ogure

Un

exemple

de

forescence

Un

exemple

d'anti-forescence

uniforme

Un

exemple

de

graphe

for?t

coup?e

Un

exemple

de

graphe

fork-join

Chapitre

Introduction

Motivation

L'ordonnancement

des

programmes

parall?les

dans

les

syst?mes

multiprocesseur

est

un

des

d?os

actuels

dans

le

monde

informatique

Les

architectures

multiprocesseur

ne

cessent

de

se

d?velopper

ainsi

que

la

vitesse

de

calcul

des

processeurs

En

eoeet

la

technologie

micro

lectronique

permet

de

r?aliser

des

dispositifs

de

plus

en

plus

rapides

On

parle

aujourd

hui

de

puissance

de

calcul

th?orique

de

l'ordre

du

TeraAEops

Malgr

ce

progr?s

notable

du

c?t

architectural

les

puissances

de

calcul

th?oriques

ne

sont

pratiquement

jamais

atteintes

car

la

gestion

des

ressources

et

des

contraintes

de

fonctionnement

des

machines

multiprocesseur

reste

une

t?che

tr?s

complexe

En

voici

quelques

exemples

la

gestion

de

la

synchronisation

des

ex?cutions

parall?les

des

processus

-LRB-

pour

les

machines

MIMD

-RRB-

les

acc?s

concurrents

aux

donn?es

-LRB-

pour

les

machines

m?moire

partag?e

-RRB-

l'allocation

des

processus

aux

processeurs

et

l'ordonnancement

de

l'ex

cution

sur

chaque

processeur

ou

les

probl?mes

de

routage

et

d'ordonnancement

des

communications

dans

les

r?seaux

connectant

les

processeurs

Un

programme

parall?le

est

repr?sent

par

un

graphe

de

t?ches

sans

cycle

o

les

n

n?uds

repr?sentent

les

t?ches

de

calcul

-LRB-

s?quentiel

-RRB-

et

les

arcs

repr?sentent

les

relations

de

pr?c?dence

entre

les

t?ches

i.e.

la

t?che

a

pr?c?de

la

t?che

b

si

b

utilise

des

r?sultats

produits

par

a.

Si

deux

t?ches

en

pr?c?dence

sont

ex?cut?es

sur

deux

processeurs

dioe?rents

alors

une

communication

a

lieu

entre

ces

deux

processeurs

Une

t?che

ne

peut

commencer

son

ex?cution

que

lorsque

tous

ses

pr?d?cesseurs

ont

oni

leur

ex?cution

et

si

les

communications

-LRB-

quand

il

y

en

a

-RRB-

ont

t

achev?es

Le

but

de

l'ordonnancement

est

de

terminer

au

plus

t?t

la

totalit

des

t?ches

du

graphe

Le

programme

parall?le

est

ex?cut

sur

une

machine

m

processeurs

reli?s

entre

eux

par

un

r?seau

d'interconnexion

La

dur?e

d'ex

cution

d'une

t?che

peut

d?pendre

de

la

t?che

m?me

-LRB-

i.e.

par

le

nombre

d'instructions

qui

composent

la

t?che

-RRB-

du

processeur

o

la

t?che

est

plac?e

-LRB-

i.e.

par

la

vitesse

de

calcul

-RRB-

et

ventuellement

des

donn?es

en

entr?e

Chapitre

Introduction

De

m?me

le

d?lai

de

communication

entre

deux

t?ches

peut

d?pendre

non

seulement

de

la

t?che

mettrice

-LRB-

par

la

longueur

du

message

-RRB-

et

des

processeurs

o

les

t?ches

s

ex?cutent

-LRB-

par

la

distance

entre

les

processeurs

-RRB-

mais

aussi

de

l'

tat

d'encombrement

du

r?seau

de

communication

Plus

clairement

la

dur?e

d'une

communication

entre

deux

t?ches

ox?es

qui

s

ex?cutent

sur

deux

processeurs

ox?s

peut

tre

fonction

de

la

pr?sence

d'autres

communications

dans

le

r?seau

d'interconnexion

au

m?me

moment

Ce

dernier

aspect

du

probl?me

i.e.

l'encombrement

du

r?seau

de

communication

a

t

peu

pris

en

compte

dans

la

litt?rature

C'est

ce

qui

a

motiv

l'

tude

des

probl?mes

pr?sent?s

dans

cette

th?se

dont

nous

pr?sentons

le

cadre

et

les

principaux

r?sultats

dans

les

sections

suivantes

Probl?mes

d'ordonnancement

et

pr?sentation

des

r?sultats

issus

de

la

litt?rature

Cas

d?terministe

Multiprocesseur

sans

contrainte

de

ressources

de

communication

La

plupart

des

tudes

dans

la

litt?rature

ont

t

faites

pour

le

cas

o

les

dur?es

des

t?ches

et

des

communications

sont

connues

l'avance

Le

probl?me

classique

d'ordonnancement

d?terministe

avec

des

d?lais

de

communication

est

d?crit

par

la

suite

Soit

un

programme

parall?le

d?crit

par

un

graphe

G

-LRB-

V

E

-RRB-

o

les

n?uds

repr?sentent

les

t?ches

et

les

arcs

les

d?pendances

entre

les

t?ches

Nous

associons

chaque

t?che

un

temps

d'ex

cution

et

chaque

arc

un

d?lai

de

communication

Une

t?che

peut

commencer

son

ex?cution

seulement

apr?s

avoir

re?u

toutes

les

donn?es

de

ses

pr?d?cesseurs

Si

deux

t?ches

en

pr?c?dence

sont

ex?cut?es

sur

deux

processeurs

dioe?rents

un

d?lai

de

communication

non

nul

est

n?cessaire

entre

la

date

de

on

d'ex

cution

de

la

t?che

pr?d?cesseur

et

la

date

laquelle

les

donn?es

sont

disponibles

sur

le

processeur

o

la

t?che

successeur

s

ex?cute

Cependant

si

les

deux

t?ches

en

pr?c?dence

sont

ex?cut?es

sur

le

m?me

processeur

alors

le

d?lai

de

communication

est

suppos

nul

L'ensemble

des

t?ches

doit

s

ex?cuter

sur

les

processeurs

d'un

syst?me

multiprocesseur

compos

de

m

processeurs

et

d'un

r?seau

d'interconnexion

Le

but

est

d'allouer

les

t?ches

sur

les

processeurs

et

d'ordonnancer

leur

ex?cution

sur

chaque

processeur

tout

en

respectant

les

pr?c?dences

et

les

d?lais

de

communication

pour

obtenir

l'ordonnancement

le

plus

court

Dans

la

plupart

des

tudes

le

cas

o

les

t?ches

ont

une

dur?e

unitaire

-LRB-

UET

-RRB-

et

o

les

communications

sont

aussi

de

dur?e

unitaire

-LRB-

UCT

-RRB-

est

pris

en

compte

car

autrement

le

probl?me

est

NP-diOEcile

Dans

ce

cas

pr?cis

il

est

suppos

implicitement

que

toutes

les

communications

peuvent

passer

simultan?ment

par

le

r?seau

d'interconnexion

sans

que

les

d?lais

de

communication

soient

modio?s

-LRB-

autrement

dit

le

r?seau

d'interconnexion

a

une

bande

passante

illimit?e

-RRB-

Nombre

de

processeurs

arbitraire

Le

nombre

de

processeurs

est

arbitraire

si

il

fait

partie

de

l'entr

e

du

probl?me

Rayward-Smith

-LSB-

-RSB-

a

t

le

premier

s

int?resser

aux

probl?mes

de

ce

type

notamment

dans

le

cas

UET-UCT

Il

a

prouv

que

minimiser

la

longueur

de

l'ordonnancement

est

un

probl?me

NP-diOEcile

au

sens

fort

pour

des

graphes

arbitraires

et

un

nombre

de

processeurs

donn

en

entr?e

Plus

tard

Veltman

-LSB-

-RSB-

a

prouv

que

m?me

pour

les

arbres

le

probl?me

reste

NP-diOEcile

Picouleau

-LSB-

-RSB-

et

Hoogeveen

et

al.

-LSB-

-RSB-

ont

analys

la

complexit

-LRB-

polynomiale

ou

NP-complet

-RRB-

des

probl?mes

de

d?cision

li?s

l'existence

Probl?mes

d'ordonnancement

et

pr?sentation

des

r?sultats

issus

de

la

litt?rature

d'un

ordonnancement

plus

court

qu'un

seuil

Dioe?rentes

heuristiques

ont

t

propos?es

dans

-LSB-

-RSB-

et

une

analyse

g?n?rale

des

heuristiques

gloutonnes

a

t

faite

par

Liu

-LSB-

-RSB-

Pour

les

graphes

d'intervalles

Picouleau

-LSB-

-RSB-

a

prouv

qu'un

algorithme

de

liste

est

optimal

Nombre

de

processeurs

illimit

Dans

le

cas

o

le

nombre

de

processeurs

est

illimit

plusieurs

tudes

ont

t

faites

Chr?tienne

-LSB-

-RSB-

a

pr?sent

un

algorithme

optimal

pour

les

arbres

quand

les

d?lais

de

communication

sont

plus

courts

que

les

dur?es

des

t?ches

Picouleau

-LSB-

-RSB-

a

tendu

cet

algorithme

pour

la

sous-classe

de

la

classe

des

graphes

s?rie

parall?le

Son

algorithme

pour

les

graphes

d'intervalles

-LSB-

-RSB-

s

applique

aussi

dans

le

cas

d'un

nombre

de

processeurs

illimit

Picouleau

-LSB-

-RSB-

et

Hoogeveen

et

al.

-LSB-

-RSB-

ont

prouv

que

pour

des

graphes

g?n?raux

avec

UET-UCT

le

probl?me

li

l'existence

d'un

ordonnancement

plus

court

qu'un

seuil

est

NP-diOEcile

Il

y

a

aussi

des

tudes

pour

le

cas

o

la

duplication

des

t?ches

est

permise

voir

Papadimitriou

et

Yannakakis

-LSB-

-RSB-

ainsi

que

Colin

et

Chr?tienne

-LSB-

-RSB-

Nombre

de

processeurs

ox

Pour

le

cas

o

le

nombre

de

processeurs

est

ox

a

priori

la

complexit

du

probl?me

pour

des

graphes

arbitraires

UET-UCT

reste

une

question

ouverte

Cependant

pour

les

graphes

d'intervalles

l'algorithme

de

Picouleau

d?j

cit

-LSB-

-RSB-

donne

une

solution

optimale

Pour

les

arbres

un

algorithme

optimal

utilisant

la

programmation

dynamique

-LRB-

en

O

-LRB-

-LRB-

m

-RRB-

-RRB-

-RRB-

a

t

pr?sent

dans

-LSB-

-RSB-

Il

existe

aussi

un

algorithme

d'approximation

qui

calcule

-LRB-

en

O

-LRB-

n

-RRB-

-RRB-

un

ordonnancement

d'au

plus

m

unit?s

plus

long

que

l'optimum

-LSB-

-RSB-

Un

probl?me

tr?s

tudi

est

le

probl?me

deux

processeurs

avec

UET-UCT

j

prec

ci

j

pj

j

Cmax

Pour

ce

probl?me

on

ne

conna?t

pas

la

complexit

Si

les

t?ches

sont

pr

allou?es

alors

le

probl?me

est

NP-diOEcile

-LRB-

voir

le

chapitre

-RRB-

Pour

les

graphes

d'intervalles

l'algorithme

propos

par

Picouleau

-LSB-

-RSB-

est

toujours

valable

Si

le

graphe

est

de

type

arbre

les

deux

r?sultats

cit?s

pr?c?demment

pour

m

ox

m

i.e.

-LSB-

-RSB-

et

-LSB-

-RSB-

donnent

une

solution

optimale

sur

deux

processeurs

Deux

autres

algorithmes

optimaux

pour

les

arbres

ont

t

propos?s

dans

-LSB-

-RSB-

et

-LSB-

-RSB-

Malgr

l'existence

de

ces

quatre

algorithmes

pour

les

arbres

dans

la

litt?rature

il

n

y

a

pas

d'algorithme

pour

une

classe

plus

g?n?rale

de

graphes

Dans

le

chapitre

nous

pr?sentons

un

algorithme

optimal

en

O

-LRB-

-RRB-

pour

une

sous-classe

de

graphes

s?rie

parall?le

i.e.

les

graphes

Multiprocesseur

avec

contraintes

de

ressources

de

communication

Un

probl?me

moins

acad?mique

i.e.

plus

pr?s

de

ce

qui

se

passe

dans

les

machines

r?elles

est

le

probl?me

avec

des

contraintes

sur

les

ressources

de

communication

Nous

tudions

un

probl?me

extr?me

o

toutes

les

communications

dans

le

syst?me

multiprocesseur

ont

lieu

sur

un

bus

unique

Nous

prouvons

que

minimiser

la

longueur

totale

de

l'ordonnancement

est

un

probl?me

NP-diOEcile

m?me

pour

des

cas

tr?s

simples

comme

deux

processeurs

avec

graphes

g?n?raux

ou

un

nombre

illimit

de

processeurs

avec

graphes

de

type

arbre

binaire

Ces

r?sultats

doivent

tre

compar?s

avec

ceux

pour

les

probl?mes

correspondants

sans

contrainte

de

bus

unique

i.e.

la

complexit

du

probl?me

deux

processeurs

reste

toujours

une

question

ouverte

et

le

probl?me

avec

un

nombre

illimit

de

processeurs

est

polynomial

En

cons?quence

le

probl?me

avec

contraintes

sur

les

ressources

de

communication

est

NP-diOEcile

Nos

r?sultats

s

tendent

au

cas

des

communications

avec

dioeusion

et

peuvent

tre

appliqu?s

aux

syst?mes

multiprocesseur

m?moire

partag?e

Nous

consid?rons

plusieurs

variantes

du

probl?me

Les

t?ches

peuvent

tre

pr

allou?es

sur

Chapitre

Introduction

un

processeur

sp?cioque

ou

non

Les

communications

entre

les

t?ches

peuvent

avoir

une

s

mantique

de

donn?es

ind?pendantes

ou

de

donn?es

communes

Nous

distinguons

ces

deux

cas

selon

le

type

de

d?pendance

par

les

donn?es

que

nous

consid?rons

pour

toute

paire

de

t?ches

en

relation

de

pr?c?dence

Pour

la

s?mantique

de

donn?es

ind?pendantes

les

ensembles

de

donn?es

transf?rer

d'une

t?che

vers

ses

successeurs

imm?diats

sont

suppos?s

disjoints

Dans

le

cas

de

la

s?mantique

donn?es

communes

les

ensembles

de

donn?es

transf?rer

d'une

t?che

vers

ses

successeurs

imm?diats

sont

suppos?s

identiques

et

seulement

dans

ce

cas

pr?cis

nous

pouvons

ventuellement

employer

le

m?canisme

de

communication

avec

dioeusion

-LRB-

si

la

machine

l'admet

-RRB-

Les

probl?mes

avec

des

contraintes

sur

les

ressources

de

communication

ont

t

tr?s

peu

tudi?s

dans

la

litt?rature

Sih

et

Lee

-LSB-

-RSB-

ont

propos

une

heuristique

pour

le

cas

o

les

contraintes

de

ce

type

sont

prises

en

compte

Un

probl?me

avoisinant

est

le

probl?me

de

minimisation

du

nombre

total

des

communications

dans

un

syst?me

Prastein

-LSB-

-RSB-

et

Afrati

et

al.

-LSB-

-RSB-

ont

tudi

ce

probl?me

en

analysant

les

types

de

d?pendances

par

les

donn?es

entre

les

t?ches

La

d?pendance

par

les

donn?es

entre

les

t?ches

a

t

analys

d'un

mani?re

plus

compl?te

dans

-LSB-

-RSB-

Le

probl?me

d'ordonnancement

avec

des

t?ches

pr

allou?es

a

t

aussi

consid?r

par

Goyal

-LSB-

-RSB-

par

Veltman

et

al.

-LSB-

-RSB-

et

par

Rayward-Smith

et

al.

-LSB-

-RSB-

pour

le

cas

sans

d?lai

de

communications

Dans

le

cas

o

les

t?ches

sont

pr

allou?es

sur

les

processeurs

et

o

l'ordre

d'ex

cution

de

ces

t?ches

sur

chaque

processeur

est

ox

i.e.

s

il

y

a

par

exemple

un

ordre

total

entre

les

t?ches

de

chaque

processeur

alors

seules

les

d?cisions

pour

l'ordonnancement

des

communications

sur

le

bus

sont

prendre

Dans

le

chapitre

nous

avons

associ

ce

probl?me

un

probl?me

d'ordonnancement

pour

une

seule

machine

-LRB-

i.e.

le

bus

-RRB-

ooerant

des

services

-LRB-

i.e.

les

communications

-RRB-

Entre

les

services

il

y

a

des

relations

de

pr?c?dence

temporis?es

Donc

nous

avons

tudi

le

probl?me

d'ordonnancement

pour

une

seule

machine

pr?sent

ci-dessous

Une

seule

machine

et

d?lais

de

pr?c?dence

Soientt

n

t?ches

ex?cuter

sur

une

seule

machine

L'ex

cution

des

t?ches

doit

respecter

les

relations

de

pr?c?dence

entre

les

t?ches

relations

qui

sont

repr?sent?es

par

un

graphe

orient

sans

cycle

G

-LRB-

V

E

-RRB-

L'ensemble

des

n?uds

repr?sente

les

t?ches

et

l'ensemble

des

arcs

correspond

aux

relations

de

pr?c?dence

Le

graphe

est

un

graphe

valu

Le

poids

pi

d'une

t?che

i

V

repr?sente

son

temps

d'ex

cution

et

le

poids

lij

d'un

arc

-LRB-

i

j

-RRB-

E

le

d?lai

de

pr?c?dence

Pour

toute

paire

de

t?ches

i

j

V

si

-LRB-

i

j

-RRB-

E

alors

la

t?che

j

peut

commencer

son

ex?cution

seulement

lij

unit?s

de

temps

apr?s

la

on

de

l'ex

cution

de

la

t?che

i

i.e.

Ci

lij

oe

-LRB-

j

-RRB-

o

Ci

est

la

date

de

on

d'ex

cution

de

la

t?che

i

et

oe

-LRB-

j

-RRB-

est

la

date

de

d?but

d'ex

cution

de

la

t?che

j.

Par

la

suite

nous

supposons

que

les

temps

d'ex

cution

et

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

des

entiers

positifs

Le

but

est

de

trouver

un

ordonnancement

faisable

-LRB-

satisfaisant

les

d?lais

de

pr?c?dence

-RRB-

de

longueur

minimale

Cmax

i.e.

Cmax

Ci

Nous

analysons

deux

cas

avec

ou

sans

pr?emption

En

utilisant

les

notations

introduites

par

Graham

Lawler

Lenstra

et

Rinnooy

Kan

-LSB-

-RSB-

pour

les

probl?mes

d'ordonnancement

notre

probl?me

sans

-LRB-

resp

avec

-RRB-

pr?emption

peut

tre

d?crit

par

j

prec

-LRB-

lij

-RRB-

pj

j

Cmax

-LRB-

resp

j

pmtn

prec

-LRB-

lij

-RRB-

pj

j

Cmax

-RRB-

o

lij

d?signe

le

d?lai

de

pr?c?dence

La

notion

de

d?lai

de

pr?c?dence

peut

tre

employ?e

pour

mod?liser

la

date

de

disponibilit

Probl?mes

d'ordonnancement

et

pr?sentation

des

r?sultats

issus

de

la

litt?rature

d'une

t?che

Eoeectivement

si

nous

rajoutons

une

t?che

octive

initiale

et

si

pour

chaque

t?che

ayant

une

date

de

disponibilit

dioe?rente

de

z?ro

nous

rajoutons

un

arc

depuis

la

t?che

octive

vers

cette

t?che

le

d?lai

de

pr?c?dence

de

cet

arc

peut

tre

consid?r

comme

une

date

de

disponibilit

De

m?me

un

d?lai

de

pr?c?dence

peut

tre

utilis

pour

mod?liser

un

d?lai

de

livraison

Alors

nous

rajoutons

une

t?che

octive

onale

et

des

arcs

depuis

toutes

les

t?ches

ayant

un

d?lai

de

livraison

non

nul

Le

d?lai

de

pr?c?dence

associ

un

tel

arc

va

correspondre

un

d?lai

de

livraison

Toutefois

les

d?lais

de

pr?c?dence

et

les

d?lais

de

communication

ne

repr?sentent

pas

la

m?me

chose

Les

d?lais

de

communication

-LRB-

voir

par

exemple

-LSB-

-RSB-

-RRB-

d?pendent

de

l'allocation

des

t?ches

sur

les

processeurs

i.e.

ils

sont

n?gligeables

-LRB-

voir

nuls

-RRB-

quand

les

deux

t?ches

sont

aoeect?es

sur

le

m?me

processeur

Cependant

les

d?lais

de

pr?c?dence

restent

inchang?s

m?me

quand

les

deux

t?ches

sont

sur

le

m?me

processeur

Le

probl?me

d'ordonnancement

d'une

seule

machine

a

t

beaucoup

tudi

dans

la

litt?rature

Baker

-LSB-

-RSB-

aOErmait

que

c'est

une

brique

de

base

dans

le

d?veloppement

et

la

compr?hension

des

syst?mes

complexes

L'

tat

de

l'art

a

t

fait

successivement

par

Dileepan

et

Sen

-LSB-

-RSB-

par

Gupta

et

Kyparisis

-LSB-

-RSB-

et

par

Lawler

Lenstra

Rinnooy

Kan

et

Shmoys

-LSB-

-RSB-

Le

probl?me

que

nous

analysons

dans

cette

th?se

est

une

extension

du

mod?le

avec

dates

de

disponibilit

et

d?lais

de

livraison

Ce

mod?le

est

utile

pour

les

syst?mes

de

production

et

pour

l'informatique

Par

exemple

une

des

premi?res

tudes

avec

des

d?lais

de

pr?c?dence

a

t

eoeectu?e

par

Dauz?re

Peres

et

Lasserre

-LSB-

-RSB-

o

la

solution

du

probl?me

une

seule

machine

tait

employ?e

pour

r?soudre

le

probl?me

d'atelier

de

production

Ils

ont

propos

une

version

modio?e

de

la

proc?dure

de

Adams

et

al.

-LSB-

-RSB-

-LRB-

shifting

bottleneck

procedure

-RRB-

pour

obtenir

un

meilleur

ordonnancement

pour

la

machine

la

plus

lente

du

syst?me

Cette

nouvelle

proc?dure

prend

en

compte

les

d?lais

de

pr?c?dence

associ?s

aux

relations

de

pr?c?dence

induites

par

l'ordonnancement

de

la

machine

goulot

d'

tranglement

Le

probl?me

de

minimisation

de

la

longueur

de

l'ordonnancement

sans

pr?emption

avec

des

dates

de

disponibilit

et

de

dates

d'

ch?ance

a

t

prouv

NP-diOEcile

par

Garey

et

Johnson

-LSB-

-RSB-

-LRB-

c'est

le

cas

o

les

d?lais

de

pr?c?dence

entre

les

t?ches

sont

tous

nuls

l'exception

de

ceux

associ?s

la

t?che

initiale

ou

onale

-RRB-

Carlier

-LSB-

-RSB-

a

propos

un

algorithme

eOEcace

pour

ce

probl?me

Pour

les

cas

o

toutes

les

dur?es

de

t?ches

sont

gales

Simons

-LSB-

-RSB-

et

Garey

Johnson

Simons

et

Tarjan

-LSB-

-RSB-

ont

propos

des

algorithmes

optimaux

polynomiaux

Cependant

si

la

pr?emption

est

permise

le

probl?me

de

minimisation

de

la

longueur

de

l'ordonnancement

peut

tre

r?solu

par

un

algorithme

polynomial

simple

dans

le

cas

o

on

consid?re

des

dates

de

disponibilit

et

des

d?lais

de

livraison

pour

les

t?ches

Eoeectivement

comme

Garey

et

al.

l'ont

remarqu

dans

-LSB-

-RSB-

la

pr?sence

des

contraintes

de

pr?c?dence

-LRB-

sans

aucun

d?lai

associ

-RRB-

n'est

pas

importante

dans

ce

cas

nous

pouvons

modioer

les

dates

de

disponibilit

et

les

d?lais

de

livraison

de

telle

mani?re

qu'ils

soient

concordants

avec

les

relations

de

pr?c?dence

et

apr?s

nous

pouvons

appliquer

l'algorithme

de

Horn

-LSB-

-RSB-

-LRB-

Largest

Delivery

Time

policy

-RRB-

Puisque

le

probl?me

avec

dates

de

disponibilit

et

d?lais

de

livraison

est

NP-diOEcile

le

probl?me

avec

d?lais

de

pr?c?dence

entiers

est

NP-diOEcile

aussi

Balas

Lenstra

et

Vazacopoulos

-LSB-

-RSB-

-LRB-

qui

ont

t

les

premiers

employer

la

notion

de

d?lai

de

pr?c?dence

-RRB-

ont

prouv

que

si

les

dates

de

disponibilit

et

les

d?lais

de

livraison

sont

tous

gaux

alors

le

probl?me

de

minimisation

de

la

longueur

de

l'ordonnancement

avec

d?lais

de

pr?c?dence

entiers

est

NP-diOEcile

m?me

si

la

pr?emption

est

permise

Chapitre

Introduction

Nous

prouvons

que

m?me

si

les

t?ches

sont

toutes

de

dur?e

unitaire

minimiser

la

longueur

de

l'ordonnancement

avec

d?lais

de

pr?c?dence

entiers

est

un

probl?me

NP-diOEcile

au

sens

fort

Cependant

si

la

dur?e

des

d?lais

de

pr?c?dence

vaut

un

le

probl?me

devient

polynomial

et

nous

donnons

un

algorithme

de

complexit

O

-LRB-

-RRB-

Cet

algorithme

est

valable

m?me

si

les

t?ches

ont

des

dur?es

enti?res

que

la

pr?emption

soit

permise

ou

non

Cas

stochastique

Comme

d?crit

pr?c?demment

la

plupart

des

probl?mes

trait?s

dans

la

litt?rature

sont

des

probl?mes

d'ordonnancement

d?terministe

o

les

dur?es

d'ex

cution

des

t?ches

sont

des

constantes

connues

l'avance

Cependant

dans

la

pratique

les

dur?es

d'ex

cution

des

t?ches

sont

diOEcilement

pr?visibles

l'avance

Par

exemple

quand

une

t?che

contient

des

boucles

le

nombre

d'it

rations

peut

d?pendre

des

donn?es

Si

ce

n'est

pas

le

cas

i.e.

la

t?che

a

un

nombre

ox

d'ex

cutions

pour

chaque

instruction

-LRB-

ind?pendamment

des

donn?es

-RRB-

les

conAEits

d'acc

s

la

m?moire

partag?e

peuvent

faire

varier

le

nombre

des

cycles

m?moire

de

chaque

instruction

-LRB-

et

donc

la

dur?e

-RRB-

Nous

nous

pla?ons

dans

le

cas

o

les

dur?es

d'ex

cution

des

t?ches

sont

des

variables

al?atoires

Plus

pr?cis?ment

nous

consid?rons

que

les

dur?es

des

t?ches

sont

des

variables

al?atoires

ind?pendantes

identiquement

distribu?es

-LRB-

i.i.d.

-RRB-

avec

une

distribution

exponentielle

commune

Nous

cherchons

une

politique

optimale

pr?emptive

qui

minimise

stochastiquement

la

longueur

de

l'ordonnancement

Pour

le

cas

des

graphes

de

type

arborescence

Chandy

et

Reynolds

-LSB-

-RSB-

ont

prouv

que

la

politique

HL

-LRB-

Highest

Level

orst

-RRB-

minimise

l'esp

rance

de

la

longueur

de

l'ordonnancement

pour

deux

processeurs

identiques

Dans

ce

cas

le

niveau

d'une

t?che

est

simplement

la

distance

de

la

t?che

jusqu

la

racine

Dans

le

m?me

article

ils

ont

donn

un

contre-exemple

pour

le

cas

de

trois

processeurs

Bruno

-LSB-

-RSB-

a

prouv

aussi

le

m?me

r?sultat

pour

la

politique

HL

et

deux

processeurs

Pinedo

et

Weiss

-LSB-

-RSB-

ont

tendu

ce

r?sultat

pour

le

cas

o

l'esp

rance

du

temps

d'ex

cution

des

t?ches

sur

des

niveaux

dioe?rents

peut

avoir

des

valeurs

dioe?rentes

Par

la

suite

Frostig

-LSB-

-RSB-

a

g?n?ralis

le

r?sultat

de

Pinedo

et

Weiss

en

incluant

les

distributions

taux

de

vraisemblance

croissant

-LRB-

increasing

likelihood

ratio

-RRB-

pour

les

dur?es

des

t?ches

Quand

le

nombre

de

processeurs

identiques

est

arbitrairement

ox

et

les

dur?es

des

t?ches

ont

une

distribution

exponentielle

commune

Papadimitriou

et

Tsitsiklis

-LSB-

-RSB-

ont

prouv

que

la

politique

HL

est

asymptotiquement

optimale

si

le

nombre

de

t?ches

tend

vers

l'inoni

Cooeman

et

Liu

-LSB-

-RSB-

ont

analys

l'ordonnancement

stochastique

des

anti-forescences

avec

les

temps

d'ex

cution

pour

les

t?ches

distribu?es

exponentiellement

Pour

le

cas

des

anti-forescences

uniformes

o

tous

les

sous-arbres

sont

ordonn?s

par

une

relation

d'inclusion

ils

ont

prouv

que

la

politique

d'ordonnancement

base

de

priorit?s

g?n?r?es

par

la

relation

d'inclusion

appel?e

LT

-LRB-

Largest

Tree

-RRB-

dans

leur

article

minimise

stochastiquement

la

longueur

de

l'ordonnancement

pour

deux

processeurs

Dans

le

cas

de

graphes

plus

restrictifs

les

anti-arborescences

r-uniformes

ils

ont

prouv

l'optimalit

de

la

politique

LT

pour

un

nombre

quelconque

de

processeurs

Liu

et

Sanlaville

-LSB-

-RSB-

ont

montr

que

la

politique

MS

-LRB-

Most

Successors

-RRB-

est

optimale

pour

les

graphes

d'intervalle

avec

une

distribution

exponentielle

commune

du

temps

d'ex

cution

des

t?ches

pour

tout

nombre

ox

de

processeurs

Nous

analysons

l'ordonnancement

des

graphes

de

type

for?t

coup?e

qui

sont

obtenus

en

con

Contributions

de

cette

th?se

et

organisation

nectant

des

arborescences

avec

des

anti-arborescences

Nous

prouvons

que

la

politique

HLMS

-LRB-

Highest

Level

Most

Successors

-RRB-

minimise

stochastiquement

la

longueur

de

l'ordonnancement

sur

deux

processeurs

Notre

r?sultat

g?n?ralise

les

r?sultats

connus

pour

l'ordonnancement

stochastique

des

arborescences

sur

deux

processeurs

Contributions

de

cette

th?se

et

organisation

Dans

le

chapitre

nous

traitons

le

probl?me

avec

contrainte

de

ressources

de

communication

i.e.

syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

o

un

seul

message

peut

se

trouver

sur

le

bus

tout

instant

Nous

prouvons

qu'il

est

NP-diOEcile

de

minimiser

la

longueur

de

l'ordonnancement

dans

deux

cas

pour

deux

processeurs

avec

graphes

g?n?raux

et

pour

un

nombre

non

born

de

processeurs

avec

graphes

de

type

arbre

binaire

Ensuite

dans

le

chapitre

nous

analysons

le

probl?me

d'une

seule

machine

avec

pr?c

dences

temporis?es

Dans

ce

cas

nous

prouvons

qu'il

est

NP-diOEcile

de

minimiser

la

dur?e

de

l'ordonnancement

si

les

t?ches

sont

unitaires

et

si

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

entiers

Toutefois

nous

proposons

un

algorithme

optimal

pour

l'ordonnancement

d'une

machine

si

les

t?ches

sont

enti?res

et

si

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

unitaires

Ces

r?sultats

sont

aussi

valables

dans

le

cas

o

la

pr?emption

est

permise

Dans

le

chapitre

nous

traitons

le

probl?me

classique

deux

processeurs

avec

des

graphes

UET-UCT

et

nous

donnons

un

algorithme

optimal

en

O

-LRB-

-RRB-

pour

les

graphes

de

type

s?rieparall?le

Finalement

dans

le

chapitre

nous

prouvons

l'optimalit

d'une

politique

d'ordonnancement

de

liste

sur

deux

processeurs

identiques

avec

des

graphes

de

type

for?t

coup?e

pour

le

cas

o

les

temps

d'ex

cution

des

t?ches

sont

stochastiques

En

annexe

nous

joignons

les

articles

correspondants

qui

apportent

pour

certaines

preuves

plus

de

d?tails

Chapitre

Introduction

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

Pr?sentation

du

mod?le

Nous

consid?rons

un

syst?me

multiprocesseur

compos

de

m

processeurs

connect?s

un

bus

de

communication

unique

Toutes

les

communications

entre

les

processeurs

doivent

avoir

lieu

sur

le

bus

A

tout

moment

seulement

un

processeur

peut

envoyer

un

message

par

le

bus

Deux

m?canismes

de

communication

sont

consid?r?s

Le

premier

est

le

m?canisme

point

point

o

seulement

un

processeur

peut

recevoir

un

message

Le

deuxi?me

est

le

m?canisme

dioeusion

o

plusieurs

processeurs

peuvent

recevoir

un

message

condition

qu'ils

soient

les

destinataires

du

message

Quand

un

processeur

envoie

ou

re?oit

un

message

il

peut

arr?ter

les

calculs

sur

la

t?che

courante

jusqu

la

on

de

la

communication

On

dit

que

ce

m?canisme

de

communication

est

avec

blocage

Dans

ce

qui

suit

nous

consid?rons

le

cas

sans

blocage

Nous

prendrons

en

compte

les

communications

avec

blocage

que

dans

le

chapitre

Le

programme

parall?le

est

repr?sent

par

un

graphe

orient

sans

cycle

G

-LRB-

V

E

-RRB-

appel

graphe

de

t?ches

o

les

n?uds

de

V

repr?sentent

les

t?ches

du

programme

et

les

arcs

de

E

repr?sentent

les

d?pendances

par

les

donn?es

entre

les

t?ches

Si

nous

avons

-LRB-

i

j

-RRB-

E

alors

la

t?che

j

doit

attendre

les

r?sultats

de

la

t?che

i

avant

de

commencer

son

ex?cution

Les

dur?es

d'ex

cution

des

t?ches

sont

suppos?es

constantes

et

connues

l'avance

Dans

la

plupart

des

tudes

de

cette

th?se

les

t?ches

sont

consid?r?es

UET

Le

transfert

de

donn?es

entre

deux

t?ches

sur

un

m?me

processeur

est

suppos

de

dur?e

nulle

Toutefois

si

les

deux

t?ches

ne

se

trouvent

pas

sur

le

m?me

processeur

le

transfert

a

lieu

par

passage

de

message

L'ensemble

de

donn?es

passer

d'une

t?che

une

autre

t?che

peut

tre

sp?cio

par

un

attribut

associ

chaque

arc

dans

le

graphe

En

g?n?ral

si

deux

successeurs

imm?diats

u

v

d'une

t?che

i

sont

aoeect?s

sur

un

m?me

processeur

et

si

la

t?che

u

s

ex?cute

avant

v

alors

seulement

les

donn?es

n?cessaires

v

dont

u

n

a

pas

besoin

seront

transf?r?es

par

une

communication

de

i

vers

v

-LRB-

pour

plus

de

d?tails

voir

-LSB-

-RSB-

-RRB-

Pour

simplioer

la

pr?sentation

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

nous

consid?rons

deux

cas

extr?mes

de

s?mantiques

de

communication

donn?es

ind?pendantes

et

donn?es

communes

Pour

la

s?mantique

donn?es

ind?pendantes

les

ensembles

de

donn?es

transf?rer

d'une

t?che

vers

ses

successeurs

imm?diats

sont

suppos?s

disjoints

Cependant

dans

le

cas

de

la

s?mantique

donn?es

communes

les

ensembles

de

donn?es

transf?rer

d'une

t?che

vers

ses

successeurs

imm?diats

sont

suppos?s

identiques

Seulement

dans

ce

dernier

cas

nous

pouvons

employer

le

m?canisme

de

communication

avec

dioeusion

Dans

les

deux

cas

nous

pouvons

sp?cioer

les

communications

entre

les

t?ches

simplement

par

la

quantit

de

donn?es

transf?rer

ou

encore

plus

simple

en

sp?cioant

la

dur?e

du

transfert

de

ces

donn?es

par

une

communication

Nous

consid?rons

par

la

suite

que

les

dur?es

des

communications

sont

sp?cio?es

sur

le

graphe

sous

forme

de

poids

sur

les

arcs

et

pour

simplioer

encore

plus

nous

supposons

que

toutes

ces

dur?es

sont

unitaires

i.e.

UCT

Il

faut

noter

que

dans

la

litt?rature

la

plupart

des

tudes

d'ordonnancement

avec

d?lais

de

communication

-LRB-

voir

par

exemple

-LSB-

-RSB-

-RRB-

sont

eoeectu?es

pour

la

s?mantique

donn?es

ind?pendantes

Un

ordonnancement

pour

un

programme

parall?le

ex?cut

dans

un

syst?me

multiprocesseur

d?onit

le

processeur

o

chaque

t?che

est

ex?cut?e

et

la

date

de

d?but

d'ex

cution

Il

d?onit

aussi

les

instants

de

temps

auxquels

les

messages

sont

envoy?s

travers

le

bus

Un

ordonnancement

est

faisable

si

tout

instant

seulement

une

t?che

est

ex?cut?e

sur

un

processeur

et

seulement

une

communication

lieu

sur

le

bus

et

si

toute

t?che

commence

s

ex?cuter

sur

un

processeur

seulement

apr?s

avoir

re?u

toutes

les

donn?es

de

ses

pr?d?cesseurs

Nous

consid?rons

que

la

duplication

des

t?ches

n'est

pas

permise

i.e.

toute

t?che

s

ex?cute

seulement

sur

un

processeur

Chaque

t?che

peut

avoir

un

ensemble

de

processeurs

o

elle

peut

s

ex?cuter

Nous

analysons

deux

cas

extr?mes

Dans

le

premier

cas

chaque

t?che

peut

s

ex?cuter

seulement

sur

un

processeur

d?onit

l'avance

Ce

cas

est

appel

t?ches

avec

pr

allocation

Dans

ce

cas

seules

les

d?cisions

pour

l'ordonnancement

des

t?ches

sur

chaque

processeur

et

les

d?cisions

pour

l'ordonnancement

des

communications

sur

le

bus

sont

prendre

Dans

le

deuxi?me

cas

toute

t?che

peut

tre

ex?cut?e

sur

n'importe

quel

processeur

du

syst?me

multiprocesseur

Ce

cas

est

appel

t?ches

sans

pr

allocation

Dans

ce

cas

les

d?cisions

prendre

sont

celles

pour

allouer

et

ordonnancer

les

t?ches

sur

les

processeurs

et

pour

ordonnancer

les

communications

sur

le

bus

Pour

un

ordonnancement

oe

soit

Ci

-LRB-

oe

-RRB-

la

date

de

on

d'ex

cution

de

la

t?che

i

dans

oe

Notre

but

dans

cette

tude

est

de

minimiser

la

longueur

de

l'ordonnancement

i.e.

la

date

de

on

d'ex

cution

de

la

derni?re

t?che

Cmax

-LRB-

oe

-RRB-

Ci

-LRB-

oe

-RRB-

Nous

donnons

la

d?onition

formelle

du

probl?me

d'ordonnancement

ci-dessous

Soit

un

syst?me

multiprocesseur

contenant

m

processeurs

identiques

Soit

G

-LRB-

V

E

-RRB-

le

graphe

de

t?ches

o

pi

i

V

est

le

temps

d'ex

cution

de

la

t?che

i

et

c

-LRB-

i

j

-RRB-

-LRB-

i

j

-RRB-

E

est

le

d?lai

de

communication

entre

les

t?ches

i

et

j

condition

qu'elles

soient

ex?cut?es

sur

deux

processeurs

dioe?rents

Chaque

t?che

peut

tre

ex?cut?e

sur

un

des

processeurs

du

sous

ensemble

Ai

mg

Un

ordonnancement

est

une

paire

de

fonctions

-LRB-

ss

oe

-RRB-

o

ss

-LRB-

i

-RRB-

sp?cioe

le

processeur

o

la

t?che

i

V

est

ex?cut?e

oe

-LRB-

i

-RRB-

est

la

date

de

d?but

de

l'ex

cution

de

la

t?che

i

V

et

oe

-LRB-

i

j

-RRB-

est

la

date

de

d?but

de

la

communication

-LRB-

i

j

-RRB-

E

sur

le

bus

condition

que

ss

-LRB-

i

-RRB-

ss

-LRB-

j

-RRB-

L'aoeectation

sur

un

processeur

d'une

t?che

est

contrainte

par

ss

-LRB-

i

-RRB-

Ai

i

V

Nous

consid?rons

d'abord

le

cas

o

Ai

mg

pour

tout

i

V

qui

est

appel

le

cas

de

t?ches

sans

pr

allocation

Le

cas

de

t?ches

avec

pr

allocation

qui

correspond

au

cas

o

Ai

est

de

cardinal

pour

tout

i

V

est

trait

dans

le

chapitre

Pr?sentation

du

mod?le

L'ordonnancement

doit

satisfaire

les

contraintes

de

pr?c?dence

oe

-LRB-

i

j

-RRB-

oe

-LRB-

i

-RRB-

pi

-LRB-

i

j

-RRB-

E

ss

-LRB-

i

-RRB-

ss

-LRB-

j

-RRB-

-LRB-

-RRB-

et

oe

-LRB-

j

-RRB-

-LRB-

oe

-LRB-

i

-RRB-

pi

-RRB-

-LRB-

i

-RRB-

ss

-LRB-

j

-RRB-

-LRB-

oe

-LRB-

i

j

-RRB-

c

-LRB-

i

j

-RRB-

-RRB-

-LRB-

i

-RRB-

ss

-LRB-

j

-RRB-

-LRB-

i

j

-RRB-

E

-LRB-

-RRB-

o

est

la

fonction

indicatrice

Toutefois

tout

moment

au

plus

une

t?che

est

ex?cut?e

sur

un

processeur

j

V

si

ss

-LRB-

i

-RRB-

ss

-LRB-

j

-RRB-

alors

oe

-LRB-

j

-RRB-

oe

-LRB-

i

-RRB-

pi

ou

oe

-LRB-

i

-RRB-

oe

-LRB-

j

-RRB-

pj

-LRB-

-RRB-

et

au

plus

une

communication

lieu

sur

le

bus

-LRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

E

si

ss

-LRB-

-RRB-

ss

-LRB-

-RRB-

et

ss

-LRB-

-RRB-

ss

-LRB-

-RRB-

alors

oe

-LRB-

-RRB-

oe

-LRB-

-RRB-

c

-LRB-

-RRB-

ou

oe

-LRB-

-RRB-

oe

-LRB-

-RRB-

c

-LRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

Quand

nous

consid?rons

la

s?mantique

donn?es

communes

nous

avons

c

-LRB-

i

j

-RRB-

c

-LRB-

i

-RRB-

pour

tout

-LRB-

i

j

-RRB-

E

et

oe

-LRB-

i

j

-RRB-

oe

-LRB-

i

-RRB-

-LRB-

i

-RRB-

ss

-LRB-

j

-RRB-

ss

-LRB-

j

-RRB-

ss

-LRB-

-RRB-

-LRB-

i

j

-RRB-

-LRB-

i

-RRB-

E

-LRB-

-RRB-

Si

la

communication

avec

dioeusion

est

permise

oe

-LRB-

i

j

-RRB-

oe

-LRB-

i

-RRB-

-LRB-

i

-RRB-

ss

-LRB-

j

-RRB-

ss

-LRB-

i

-RRB-

ss

-LRB-

-RRB-

-LRB-

i

j

-RRB-

-LRB-

i

-RRB-

E

-LRB-

-RRB-

Par

la

suite

nous

consid?rons

le

cas

UET-UCT

i.e.

pi

pour

i

V

et

c

-LRB-

i

j

-RRB-

pour

-LRB-

i

j

-RRB-

E.

Nous

obtenons

des

r?sultats

n?gatifs

pour

le

probl?me

d'ordonnancement

i.e.

nous

prouvons

que

minimiser

la

longueur

de

l'ordonnancement

est

un

probl?me

NP-diOEcile

au

sens

fort

Pour

cela

nous

consid?rons

le

probl?me

de

d?cision

associ

suivant

tant

donn

un

graphe

orient

sans

cycle

G

-LRB-

V

E

-RRB-

avec

UET-UCT

et

s?mantique

donn?es

ind?pendantes

-LRB-

resp

communes

-RRB-

m

processeurs

avec

un

bus

unique

et

une

limite

de

temps

T

existe-t-il

un

ordonnancement

faisable

-LRB-

ss

oe

-RRB-

satisfaisant

les

contraintes

-LRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

-LRB-

resp

-LRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

-RRB-

tel

que

Cmax

-LRB-

oe

-RRB-

T

Si

les

communications

avec

dioeusion

sont

permises

la

contrainte

-LRB-

-RRB-

est

remplac?e

par

-LRB-

-RRB-

dans

la

d?onition

ci-dessus

En

concordance

avec

la

notation

introduite

par

Graham

Lawler

Lenstra

and

Rinnooy

Kan

-LSB-

-RSB-

et

tendue

pour

le

cas

avec

d?lais

de

communication

par

Veltman

Lageweg

and

Lenstra

-LSB-

-RSB-

notre

probl?me

peut

tre

d?sign

par

P

bus

j

prec

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

o

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

signioe

que

toute

communication

est

de

dur?e

un

et

que

la

s?mantique

est

de

type

donn?es

ind?pendantes

Si

le

nombre

de

processeurs

est

illimit

disons

m

jV

j

le

probl?me

est

P

bus

j

prec

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

Si

le

nombre

de

processeurs

est

ox

le

probl?me

est

Pm

bus

j

prec

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

Dans

le

cas

o

on

consid?re

la

s?mantique

donn?es

communes

le

probl?me

devient

P

bus

j

prec

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

pour

un

nombre

arbitraire

de

processeurs

P

bus

j

prec

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

pour

un

nombre

illimit

de

processeurs

et

Pm

bus

j

prec

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

pour

un

nombre

ox

de

processeurs

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

h

fs

a

-LRB-

c

-RRB-

gp

h

a

-LRB-

a

-RRB-

h

fs

a

-LRB-

b

-RRB-

g

h

fs

a

-LRB-

d

-RRB-

gp

h

f

-LRB-

f

-RRB-

g

a

h

a

f

g

b

c

d

e

-LRB-

h

-RRB-

h

a

-LRB-

g

-RRB-

h

fs

a

-LRB-

e

-RRB-

g

a

f

d

b

ceg

h

Le

graphe

V

Figure

Le

graphe

de

t?ches

V

et

ses

ordonnancements

Nous

prouvons

que

ces

probl?mes

de

d?cision

sont

NP-complets

au

sens

fort

et

donc

les

probl?mes

d'optimisation

correspondants

sont

NP-diOEciles

au

sens

fort

Remarquons

que

le

probl?me

avec

contraintes

de

ressources

-LRB-

o

les

t?ches

partagent

des

ressources

voir

-LSB-

-RSB-

-RRB-

est

dioe?rent

de

celui

tudi

dans

ce

chapitre

car

ici

nous

avons

des

contraintes

de

ressources

de

communication

S?mantique

donn?es

ind?pendantes

Ordonnancement

sur

un

nombre

ox

de

processeurs

Dans

ce

chapitre

on

consid?re

le

probl?me

comportant

un

nombre

ox

de

processeurs

connect?s

un

bus

unique

Dans

un

premier

temps

on

d?montre

que

ce

probl?me

est

NP-diOEcile

m?me

pour

deux

processeurs

La

cons?quence

est

que

le

probl?me

est

NP-diOEcile

aussi

pour

tout

nombre

ox

de

processeurs

Le

cas

de

deux

processeurs

Nous

consid?rons

le

probl?me

UET-UCT

pour

un

syst?me

de

deux

processeurs

avec

un

seul

bus

i.e.

bus

j

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

Nous

montrons

que

trouver

un

ordonnancement

de

dur?e

minimale

est

un

probl?me

NP-diOEcile

Pour

prouver

la

NP-diOEcult

du

probl?me

on

utilise

deux

lemmes

techniques

Lem

me

Consid?rons

le

graphe

V

de

la

ogure

Dans

tout

ordonnancement

de

longueur

de

ce

graphe

les

t?ches

a

et

h

sont

ex?cut?es

sur

le

m?me

processeur

-LRB-

disons

-RRB-

dans

les

slots

et

Sur

l'autre

processeur

-LRB-

-RRB-

sont

ex?cut?es

les

t?ches

et

dans

les

slots

et

En

plus

sur

ce

m?me

processeur

dans

les

slots

on

a

soit

b

c

soit

d

e.

Le

bus

est

occup

dans

les

slots

Preuve

Nous

consid?rons

seulement

le

cas

o

est

ex?cut

sur

-LRB-

l'autre

cas

tant

sym?trique

-RRB-

Dans

tout

ordonnancement

faisable

de

longueur

le

processeur

doit

tre

toujours

occup

tant

oisif

seulement

dans

les

slots

et

vu

que

a

pr?d?cesseurs

S?mantique

donn?es

ind?pendantes

Si

nous

regardons

maintenant

partir

de

la

on

dans

le

slot

doit

clairement

tre

ex?cut?e

soit

h

soit

Alors

sur

dans

le

slot

on

a

soit

soit

h.

Supposons

que

h

-LRB-

-RRB-

est

sur

dans

le

slot

Aucun

pr?d?cesseur

de

h

-LRB-

-RRB-

ne

peut

tre

ex?cut

sur

dans

les

slots

donc

les

t?ches

-LRB-

f

g

-RRB-

sont

le

seul

choix

pour

ces

slots

-LRB-

voir

ogure

-LRB-

a

-RRB-

-LRB-

b

-RRB-

-RRB-

Pour

le

premier

slot

seules

les

t?ches

a

et

sont

disponibles

donc

elles

doivent

tre

ex

cut?es

dans

ce

slot

pour

viter

l'oisivet

De

plus

doit

tre

ex?cut?e

sur

le

m?me

processeur

que

pour

viter

que

ce

processeur

soit

oisif

dans

le

slot

Nous

analysons

quatre

cas

possibles

parmi

lesquels

seulement

un

est

faisable

Cas

les

t?ches

h

sont

sur

et

a

sur

-LRB-

voir

ogure

-LRB-

a

-RRB-

-RRB-

Les

t?ches

b

c

d

e

f

g

doivent

tre

ex?cut?es

dans

les

slots

libres

i.e.

sur

dans

les

slots

et

sur

dans

les

slots

Il

est

clair

qu'exactement

une

t?che

parmi

b

d

f

est

sur

-LRB-

dans

le

slot

-RRB-

pendant

que

les

autres

deux

sont

sur

sinon

un

des

processeurs

est

oisif

pour

au

moins

un

slot

Donc

les

trois

t?ches

c

e

g

s

ex?cuteront

dans

les

slots

sur

et

dans

le

slot

sur

-LRB-

car

la

t?che

ex?cut?e

dans

le

slot

sur

doit

tre

un

pr?d?cesseur

imm?diat

de

h

-RRB-

Puisqu'il

y

a

trois

chemins

disjoints

de

a

vers

h

et

que

les

t?ches

a

et

h

sont

ex?cut?es

sur

des

processeurs

dioe?rents

il

doit

y

avoir

au

moins

communications

pendant

les

slots

De

la

m?me

mani?re

comme

entre

les

t?ches

et

il

y

a

trois

chemins

disjoints

et

comme

ces

chemins

n'ont

pas

d'arcs

en

commun

avec

les

trois

chemins

cit?s

pr?c?demment

on

va

avoir

au

moins

trois

communications

de

plus

pendant

les

slots

Le

cas

est

infaisable

car

il

ne

peut

pas

y

avoir

communications

dans

cinq

slots

i.e.

pendant

les

slots

Cas

les

t?ches

h

sont

sur

et

a

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

b

-RRB-

-RRB-

Ce

cas

est

infaisable

aussi

compte

tenu

des

arguments

ci-dessous

Cas

les

t?ches

sont

sur

dans

les

slots

-LRB-

ogure

-LRB-

c

-RRB-

-RRB-

Les

t?ches

b

c

d

e

doivent

tre

ex?cut?es

dans

les

slots

libres

i.e.

les

slots

sur

Comme

c

e

sont

des

successeurs

de

elles

doivent

tre

ex?cut?es

dans

les

slots

Le

cas

est

infaisable

car

il

y

a

trois

communications

faire

passer

sur

le

bus

pendant

les

slots

i.e.

c

h

et

e

h.

Cas

la

t?che

est

sur

dans

le

slot

et

sur

dans

le

slot

-LRB-

ogure

-LRB-

d

-RRB-

-RRB-

Comme

dans

le

slot

sur

il

ne

peut

pas

y

avoir

ni

b

ni

d

il

doit

y

avoir

soit

c

soit

e

sinon

un

des

processeurs

est

oisif

Supposons

que

cette

t?che

est

c

-LRB-

l'autre

cas

tant

sym?trique

-RRB-

Alors

sur

nous

avons

b

d

e

dans

les

slots

Ce

cas

est

infaisable

car

les

communications

e

et

b

c

doivent

avoir

lieu

de

mani?re

concomitante

dans

le

slot

Cas

les

t?ches

sont

sur

dans

les

slots

-LRB-

ogure

-LRB-

e

-RRB-

-RRB-

Il

est

ais

d'observer

qu'un

successeur

imm?diat

de

a

doit

tre

ex?cut

sur

dans

le

slot

i.e.

une

t?che

parmi

b

d.

Soit

b

cette

t?che

Alors

les

t?ches

d

e

sont

ex?cut?es

sur

dans

les

slots

Ceci

est

un

ordonnancement

infaisable

car

les

deux

t?ches

c

e

sont

des

successeurs

de

Cas

les

t?ches

sont

sur

et

a

h

sur

-LRB-

voir

ogure

-LRB-

f

-RRB-

-RRB-

Clairement

les

t?ches

doivent

tre

ex?cut?es

sur

-LRB-

car

elles

sont

entre

et

-RRB-

Seulement

une

t?che

parmi

b

c

d

e

f

g

est

sur

dans

un

slot

parmi

Nous

analysons

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

kh

-LRB-

a

-RRB-

kh

a

b

c

df

e

g

-LRB-

d

-RRB-

kh

a

-LRB-

c

-RRB-

kh

a

-LRB-

b

-RRB-

a

f

d

b

ceg

h

k

Le

graphe

C

Figure

Le

graphe

de

t?ches

C

et

ses

ordonnancements

de

plus

pr?s

le

sous

graphe

d?oni

par

c

e

Il

est

clair

que

soit

c

soit

e

doit

tre

ex?cut?e

sur

dans

le

slot

donc

soit

e

soit

c

est

sur

Supposons

que

c

est

sur

et

e

sur

-LRB-

l'autre

cas

tant

sym?trique

-RRB-

Alors

la

contrainte

de

capacit

du

bus

rend

le

cas

infaisable

les

communications

e

e

g

b

c

et

c

h

doivent

tre

eoeectu?es

pendant

les

slots

Cas

les

t?ches

sont

sur

et

a

h

sur

-LRB-

voir

ogure

-LRB-

g

-RRB-

-RRB-

Les

t?ches

b

c

d

e

f

g

doivent

tre

ex?cut?es

dans

les

slots

libres

i.e.

les

slots

sur

et

les

slots

sur

Par

des

arguments

similaires

au

cas

nous

constatons

que

la

t?che

sur

dans

le

slot

est

parmi

b

d

f

et

celle

dans

le

slot

est

parmi

c

e

g.

Les

deux

t?ches

sur

doivent

tre

en

relation

de

pr?c?dence

sinon

il

y

a

trop

de

communications

dans

les

slots

et

donc

l'ordonnancement

de

longueur

devient

infaisable

En

plus

ces

deux

t?ches

ne

peuvent

pas

tre

f

g

car

sinon

les

t?ches

c

et

e

seront

sur

dans

les

slots

et

il

y

aurait

communications

pendant

les

slots

i.e.

g

h

c

e

Dans

la

ogure

-LRB-

d

-RRB-

nous

montrons

un

exemple

d'ordonnancement

faisable

La

conclusion

est

facile

tout

ordonnancement

est

faisable

si

et

seulement

si

soit

b

c

soit

d

e

sont

sur

le

processeur

dans

les

slots

Toutefois

le

bus

est

occup

pendant

les

slots

Lem

me

Consid?rons

le

graphe

C

de

la

ogure

Dans

tout

ordonnancement

de

longueur

de

ce

graphe

les

t?ches

a

h

et

k

sont

ex?cut?es

sur

le

m?me

processeur

-LRB-

disons

-RRB-

dans

les

slots

et

Sur

l'autre

processeur

-LRB-

-RRB-

sont

ex?cut?es

les

t?ches

et

dans

les

slots

et

En

plus

sur

ce

m?me

processeur

dans

les

slots

on

a

soit

b

c

soit

d

e

soit

f

g.

Le

bus

est

occup

dans

les

slots

Preuve

La

preuve

est

similaire

celle

du

lem

me

pr?c?dent

Nous

consid?rons

nouveau

seulement

le

cas

o

est

ex?cut?e

par

D'apr

s

le

nombre

de

pr?d?cesseurs

de

-LRB-

-RRB-

tout

ordonnancement

faisable

de

longueur

ex?cute

la

t?che

-LRB-

-RRB-

sur

dans

le

slot

-LRB-

-RRB-

Le

processeur

est

oisif

seulement

pendant

les

deux

derniers

slots

n'est

jamais

oisif

Si

nous

regardons

maintenant

de

la

on

vers

le

d?but

de

l'ordonnancement

nous

constatons

que

seulement

un

pr?d?cesseur

imm?diat

de

peut

tre

ex?cut

dans

le

slot

sur

pr?d?cesseur

qui

est

k.

Comme

le

processeur

n'est

jamais

oisif

il

doit

ex?cuter

les

t?ches

dans

les

slots

De

la

m?me

mani?re

la

t?che

h

doit

tre

sur

dans

le

slot

et

sur

dans

le

slot

voir

ogure

-LRB-

a

-RRB-

S?mantique

donn?es

ind?pendantes

Comme

il

n

y

a

que

a

et

sans

pr?d?cesseur

deux

cas

sont

analyser

Cas

les

t?ches

sont

sur

et

a

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

b

-RRB-

-RRB-

Puisqu'il

y

a

trois

chemins

disjoints

de

a

vers

h

et

que

les

t?ches

a

et

h

sont

sur

des

processeurs

dioe?rents

il

va

y

avoir

au

moins

trois

communications

dans

les

slots

Entre

les

t?ches

et

il

y

a

quatre

chemins

disjoints

-LRB-

et

ces

chemins

n'ont

pas

d'arcs

en

commun

avec

les

trois

chemins

ci-dessus

-RRB-

Donc

il

y

a

quatre

communications

de

plus

pendant

les

slots

Il

est

vident

que

le

cas

est

infaisable

car

il

ne

peut

pas

y

avoir

communications

dans

les

slots

Cas

les

t?ches

sont

sur

et

a

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

c

-RRB-

-RRB-

Clairement

les

t?ches

b

c

d

e

f

g

doivent

tre

ex?cut?es

sur

pendant

les

slots

et

sur

dans

le

slots

La

t?che

dans

le

slot

sur

est

parmi

b

d

f

-LRB-

successeurs

imm?diats

de

a

-RRB-

et

celle

ex?cut?e

dans

le

slot

est

parmi

c

e

g

-LRB-

pr?d?cesseurs

imm?diats

de

h

-RRB-

Cependant

ces

deux

t?ches

sur

doivent

tre

en

relation

de

pr?c?dence

sinon

il

y

a

trop

de

communications

dans

les

slots

et

l'ordonnancement

devient

infaisable

Dans

la

ogure

-LRB-

d

-RRB-

nous

montrons

un

exemple

d'ordonnancement

faisable

Nous

pouvons

alors

conclure

que

le

cas

est

faisable

si

et

seulement

si

soit

b

c

soit

d

e

soit

f

g

sont

sur

le

processeur

dans

les

slots

De

plus

le

bus

est

occup

pendant

les

slots

Apr?s

ces

deux

lemmes

techniques

on

peut

revenir

notre

probl?me

Lem

me

Le

probl?me

ONE-IN-THREE

se

transforme

polynomialement

en

bus

j

prec

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

Preuve

Rappelons

l'

nonc

du

probl?me

ONE-IN-THREE

-LRB-

voir

-LSB-

-RSB-

-RRB-

Donn?es

U

ung

un

ensemble

de

variables

logiques

C

Cmg

un

ensemble

de

clauses

de

litt?raux

ui

ou

ui

chacune

Question

existe-t-il

une

combinaison

de

valeurs

de

v?rit

pour

U

t.q.

dans

chaque

clause

il

y

ait

exactement

un

litt?ral

vrai

Le

graphe

de

t?ches

que

nous

construisons

pour

une

instance

donn?e

du

probl?me

ONE-IN

THREE

est

obtenu

en

concat?nant

n

graphes

V

-LRB-

voir

ogure

-LRB-

b

-RRB-

-RRB-

avec

m

graphes

C

-LRB-

voir

ogure

-LRB-

c

-RRB-

-RRB-

La

forme

globale

du

graphe

est

illustr?e

la

ogure

-LRB-

a

-RRB-

Dans

la

ogure

-LRB-

d

-RRB-

nous

pr?sentons

le

graphe

de

t?ches

correspondant

une

instance

de

ONE-IN-THREE

ayant

les

clauses

u

v

w

et

u

v

y.

Donc

partir

d'une

instance

de

nous

construisons

une

instance

du

probl?me

d'ordonnancement

de

la

mani?re

suivante

l'ensemble

de

t?ches

du

G

-LRB-

V

E

-RRB-

est

V

-LSB-

fai

bi

ci

di

ei

fi

gi

hi

pi

qi

si

ti

i

n

mg

-LSB-

fki

ri

n

i

n

mg

les

relations

de

pr?c?dence

sont

ffl

ffl

ai

bi

ci

hi

ai

di

ei

hi

ai

fi

gi

hi

ti

ci

si

ti

ei

si

ti

gi

ti

pi

qi

si

ti

pour

i

n

m

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

tn

m

sn

m

an

m

fn

m

dn

m

bn

m

cn

m

en

m

gn

m

qn

m

pn

m

rn

m

tn

m

kn

m

sn

m

hn

m

-LRB-

a

-RRB-

si

fi

di

gi

ei

ci

pi

qi

ai

si

ti

fi

di

bi

ci

ei

gi

hi

qi

ai

si

ti

fi

di

bi

pi

hi

-LRB-

b

-RRB-

qi

ri

ai

si

ti

fi

di

bi

ci

ei

gi

qi

pi

ri

ti

hi

ki

ki

hi

-LRB-

c

-RRB-

ai

bi

-LRB-

d

-RRB-

Figure

Graphe

de

t?ches

instance

de

bus

j

prec

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

correspondant

une

instance

du

probl?me

ONE-IN-THREE

S?mantique

donn?es

ind?pendantes

ffl

hi

ti

qi

si

pour

i

n

ffl

hi

ki

ti

qi

ri

si

gi

si

pour

n

i

n

m

ffl

Consid?rons

la

clause

Cj

j

m.

Supposons

l'occurrence

non

compl?ment?e

de

la

variable

ui

dans

Cj

et

que

ui

est

le

premier

-LRB-

resp

le

second

ou

le

troisi?me

-RRB-

litt?ral

dans

Ci

Alors

il

y

a

un

arc

bi

bn

j

-LRB-

resp

bi

dn

j

ou

bi

fn

j

-RRB-

Si

l'occurrence

du

ui

dans

Cj

est

compl?ment?e

l'arc

part

de

la

t?che

di

i.e.

di

bn

j

-LRB-

resp

di

dn

j

ou

di

fn

j

-RRB-

La

limite

de

temps

pour

l'ordonnancement

de

G

est

m

Pour

l'exemple

de

la

ogure

-LRB-

d

-RRB-

la

limite

de

temps

est

Nous

observons

que

la

t?che

tn

m

est

le

successeur

commun

de

toutes

les

t?ches

donc

la

date

au

plus

t?t

o

nous

pouvons

ex?cuter

cette

t?che

est

le

slot

T

Toutefois

le

processeur

ex?cutant

cette

t?che

ne

peut

jamais

tre

oisif

tandis

que

l'autre

processeur

est

oisif

seulement

pendant

les

deux

derniers

slots

Nous

prouvons

maintenant

qu

partir

d'une

solution

de

ONE-IN-THREE

nous

pouvons

construire

un

ordonnancement

faisable

Nous

concat?nons

n

solutions

d'un

graphe

V

avec

m

solutions

d'un

graphe

C

-LRB-

voir

le

lem

me

et

le

lem

me

-RRB-

si

la

valeur

de

v?rit

de

la

variable

ui

est

vrai

-LRB-

resp

faux

-RRB-

alors

nous

ex?cutons

les

t?ches

bi

ci

-LRB-

resp

di

ei

-RRB-

sur

le

processeur

i

n.

Pour

la

clause

Cj

j

m

nous

ex?cutons

sur

soit

bn

j

cn

j

soit

dn

j

en

j

soit

fn

j

gn

j

selon

que

le

premier

ou

le

deuxi?me

ou

le

troisi?me

litt?ral

est

vrai

Comme

il

y

a

exactement

un

seul

litt?ral

vrai

dans

chaque

clause

aucun

arc

reliant

un

graphe

V

avec

un

graphe

C

ne

correspond

une

communication

-LRB-

les

deux

t?ches

source

et

destination

d'un

tel

arc

sont

sur

le

m?me

processeur

-RRB-

Donc

la

simple

concat?nation

des

ordonnancements

individuels

des

graphes

V

et

C

nous

donne

un

ordonnancement

faisable

Dans

tout

ordonnancement

faisable

tn

m

ne

peut

pas

s

ex?cuter

avant

le

slot

T

Compte

tenu

du

nombre

de

pr?d?cesseurs

de

tn

m

cette

t?che

doit

s

ex?cuter

au

plus

slots

avant

la

t?che

tn

m.

Nous

consid?rons

le

sous

graphe

form

par

les

t?ches

entre

tn

m

et

tn

m.

Supposons

que

les

t?ches

tn

m

et

tn

m

sont

ex?cut?es

dans

les

slots

ff

et

respectivement

Alors

cause

du

d?lai

de

communication

au

plus

une

t?che

peut

tre

process?e

dans

le

slot

ff

et

au

plus

une

dans

le

slot

Alors

au

plus

-LRB-

ff

-RRB-

t?ches

peuvent

tre

ex?cut?es

entre

ff

et

Comme

le

nombre

de

t?ches

qui

sont

la

fois

des

successeurs

de

tn

m

et

des

pr?d?cesseurs

de

tn

m

est

ff

doit

tre

au

moins

Donc

dans

tout

ordonnancement

faisable

la

t?che

tn

m

est

ex?cut?e

exactement

slots

avant

la

t?che

tn

m.

En

it?rant

vers

le

d?but

de

la

m?me

mani?re

nous

concluons

que

les

t?ches

tn

j

doivent

tre

ex?cut?es

dans

les

slots

dans

tout

ordonnancement

faisable

j

m.

Similairement

nous

prouvons

que

la

t?che

tn

est

ex?cut?e

exactement

slots

avant

la

t?che

tn

En

it?rant

nouveau

vers

le

d?but

nous

obtenons

que

les

t?ches

ti

doivent

tre

ex?cut?es

dans

les

slots

dans

tout

ordonnancement

faisable

i

n

Il

est

ais

de

voir

maintenant

en

utilisant

le

r?sultat

du

lem

me

que

les

pr?d?cesseurs

de

doivent

tre

ex?cut?s

comme

dans

le

lem

me

i.e.

les

t?ches

et

soit

soit

sont

sur

le

m?me

processeur

-LRB-

-RRB-

toutes

les

autres

t?ches

sont

sur

Si

nous

regardons

maintenant

partir

du

slot

nous

pouvons

reconna?tre

facilement

le

m?me

probl?me

d'ordonnancement

pour

les

pr?d?cesseurs

de

i.e.

les

t?ches

et

avec

les

t?ches

d?j

ex?cut?es

sur

dans

les

slots

En

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

r?p?tant

ces

arguments

nous

constatons

que

dans

tout

ordonnancement

faisable

soit

bi

ci

soit

di

ei

se

trouve

sur

i

n.

De

m?me

en

utilisant

le

lem

me

nous

concluons

que

dans

toute

solution

faisable

nous

devons

ex?cuter

sur

soit

bn

j

cn

j

soit

dn

j

en

j

soit

fn

j

gn

j

j

m.

Il

est

ais

maintenant

de

trouver

les

valeurs

de

v?rit

pour

les

variables

on

donne

la

valeur

vrai

-LRB-

resp

faux

-RRB-

la

variable

ui

si

les

t?ches

bi

ci

-LRB-

resp

di

ei

-RRB-

sont

ex?cut?es

sur

i

n.

Par

les

lemmes

et

nous

savons

que

le

bus

est

compl?tement

occup

avec

les

communications

correspondant

aux

sous-graphes

V

et

C.

On

conclut

qu'aucun

des

arcs

correspondant

l'occurrence

d'une

variable

dans

une

clause

n'est

une

communication

Donc

les

deux

t?ches

source

et

destination

de

tout

arc

d?crit

ci-dessus

sont

sur

le

m?me

processeur

Th?or?me

Le

probl?me

bus

j

prec

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-complet

au

sens

fort

La

complexit

du

m?me

probl?me

d'ordonnancement

sans

la

contrainte

de

bus

reste

toujours

un

probl?me

ouvert

Ceci

nous

permet

d'aOErmer

que

le

probl?me

avec

contraintes

sur

les

ressources

de

communication

est

plus

diOEcile

que

le

probl?me

classique

UET-UCT

L'algorithme

propos

par

Guinand

et

Trystram

-LSB-

-RSB-

pour

les

arbres

UET-UCT

et

deux

processeurs

est

toujours

valide

si

on

prend

en

compte

la

contrainte

de

bus

unique

Cependant

pour

la

classe

de

graphes

s?rie

parall?le

la

solution

polynomiale

propos?e

dans

le

chapitre

n'est

plus

valable

dans

le

cas

d'un

seul

bus

Le

cas

de

m

processeurs

Corollaire

Le

probl?me

Pm

bus

j

prec

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-diOEcile

au

sens

fort

S?mantique

donn?es

ind?pendantes

Ordonnancement

sur

un

nombre

arbitraire

de

processeurs

Le

cas

d'un

nombre

illimit

de

processeurs

Nous

consid?rons

le

probl?me

UET-UCT

pour

un

syst?me

avec

un

nombre

illimit

de

processeurs

et

un

seul

bus

pour

des

graphes

de

type

arborescence

binaire

i.e.

P

bus

j

binary

tree

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

Nous

montrons

que

le

probl?me

consistant

trouver

un

ordonnancement

de

dur?e

minimale

est

NP-diOEcile

au

sens

fort

par

une

transformation

partir

de

Rappelons

l'

nonc

du

probl?me

-LRB-

voir

-LSB-

-RSB-

-RRB-

Donn?es

U

ung

un

ensemble

de

variables

logiques

C

Cmg

un

ensemble

de

clauses

de

litt?raux

ui

ou

ui

chacune

Question

existe-t-il

une

combinaison

de

valeurs

de

v?rit

pour

U

satisfaisant

l'ensemble

des

clauses

Lem

me

Le

probl?me

se

transforme

polynomialement

en

P

bus

j

binary

tree

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

Preuve

A

partir

d'une

instance

de

nous

construisons

une

instance

du

probl?me

d'ordonnancement

de

la

mani?re

suivante

T

n

A

chaque

variable

ui

i

n

on

associe

une

t?che

xui

une

cha?ne

variable

-LRB-

V-cha

ne

-RRB-

ui

de

i

t?ches

et

deux

cha?nes

litt?ral

-LRB-

L-cha

nes

-RRB-

de

n

i

t?ches

chacune

une

de

ces

deux

cha?nes

correspond

au

litt?ral

ui

et

l'autre

au

litt?ral

ui

La

t?che

x

est

pr?c?d?e

par

la

premi?re

t?che

de

la

V-cha

ne

Chaque

cha?ne

litt?ral

est

pr?c?d?e

par

la

cha?ne

variable

i.e.

il

y

a

un

arc

de

la

derni?re

t?che

de

la

V-cha

ne

ui

la

premi?re

t?che

de

la

L-cha

ne

ui

-LRB-

resp

ui

-RRB-

A

chaque

clause

Cj

j

m

on

associe

cha?nes

clause

-LRB-

C-cha

ne

-RRB-

de

t?ches

chacune

il

y

a

une

correspondance

entre

ces

cha?nes

et

les

litt?raux

constituant

cj

Si

la

variable

ui

se

trouve

dans

la

clause

cj

la

cha?ne

clause

correspondante

est

not?e

cj

ui

La

premi?re

t?che

de

la

C-cha

ne

est

pr?c?d?e

par

la

n

i

-LRB-

m

j

-RRB-

me

t?che

de

la

L-cha

ne

ui

-LRB-

resp

ui

-RRB-

si

la

variable

ui

se

trouve

non-compl

ment?e

-LRB-

resp

compl?ment?e

-RRB-

dans

la

clause

cj

Finalement

on

introduit

un

chemin

critique

-LRB-

T-cha

ne

-RRB-

contenant

T

t?ches

A

ce

chemin

sont

connect?es

quatre

cha?nes

de

n

et

t?che

-LRB-

s

-RRB-

respectivement

qui

sont

les

successeurs

de

la

re

T

me

T

me

et

T

me

t?ches

de

la

T-cha

ne

Nous

obtenons

donc

une

collection

de

n

arbres

binaires

Les

arbres

qui

ne

sont

pas

connexes

avec

la

T-cha

ne

seront

appel?s

par

la

suite

V-arbres

Il

est

clair

que

dans

tout

ordonnancement

faisable

les

t?ches

de

la

T-cha

ne

s

ex?cutent

sur

un

m?me

processeur

et

les

communications

avec

les

autres

quatre

cha?nes

vont

occuper

le

bus

dans

les

slots

T

T

et

T

Un

exemple

de

construction

du

graphe

obtenu

partir

d'une

instance

de

est

donn

en

ogure

Les

clauses

sont

u

v

w

et

u

v

w

et

T

Si

nous

avons

une

solution

pour

alors

nous

construisons

un

ordonnancement

faisable

de

la

mani?re

suivante

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

u

u

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

u

v

v

w

w

w

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

w

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

xu

xv

xw

u

v

w

Figure

Construction

d'une

instance

du

probl?me

P

bus

j

binary

tree

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

correspondant

une

instance

de

Nous

ex?cutons

chaque

V-cha

ne

sans

interruption

sur

le

m?me

processeur

Des

V-cha

nes

dioe?rentes

sont

ex?cut?es

sur

des

processeurs

dioe?rents

Si

la

variable

ui

est

vraie

-LRB-

resp

fausse

-RRB-

la

L-cha

ne

ui

-LRB-

resp

ui

-RRB-

est

ex?cut?e

juste

apr?s

la

V-cha

ne

sur

le

m?me

processeur

et

sans

d?lai

La

L-cha

ne

ui

-LRB-

resp

ui

-RRB-

est

ex?cut?e

sur

un

autre

processeur

apr?s

une

communication

Les

t?ches

x

sont

ex?cut?es

dans

le

dernier

slot

sur

le

m?me

processeur

que

leurs

pr?d?cesseurs

Chaque

C-cha

ne

est

ex?cut?e

sur

un

processeur

dioe?rent

i.e.

l'arc

qui

connecte

une

C

cha?ne

une

L-cha

ne

correspond

une

communication

Il

y

a

un

groupe

de

communications

pour

chaque

clause

Un

groupe

occupe

le

bus

pendant

trois

unit?s

de

temps

La

premi?re

des

communications

d'un

groupe

est

faisable

car

au

moins

un

litt?ral

est

vrai

dans

chaque

clause

donc

la

L-cha

ne

correspondante

est

ex?cut?e

imm?diatement

apr?s

la

V-cha

ne

sur

le

m?me

processeur

Les

autres

deux

communications

sont

faisables

car

elles

sont

sur

des

chemins

de

longueur

T

Montrons

qu'une

solution

faisable

pour

le

probl?me

d'ordonnancement

am?ne

une

r?ponse

oui

pour

D'abord

on

d?montre

que

par

des

transformations

successives

nous

pouvons

modioer

l'ordonnancement

initial

pour

obtenir

un

ordonnancement

du

m?me

type

que

celui

d?crit

ant?rieurement

Puis

ensuite

nous

trouvons

ais?ment

les

valeurs

de

v?rit

des

variables

en

identioant

la

premi?re

communication

eoeectu?e

parmi

les

trois

de

chaque

groupe

-LRB-

pour

plus

de

d?tails

voir

l'annexe

A

-RRB-

S?mantique

donn?es

communes

h

a

-LRB-

a

-RRB-

a

f

d

b

ceg

h

h

a

-LRB-

e

-RRB-

h

a

b

c

e

-LRB-

f

-RRB-

h

a

-LRB-

d

-RRB-

h

a

-LRB-

c

-RRB-

b

d

e

g

cf

f

b

c

e

gd

h

a

-LRB-

b

-RRB-

f

g

e

cd

b

d

g

Le

graphe

V

Figure

Le

graphe

de

t?ches

V

et

ses

ordonnancements

Th?or?me

Le

probl?me

P

bus

j

binary

tree

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP

complet

au

sens

fort

Le

probl?me

sans

la

contrainte

de

bus

-LRB-

UET-UCT

arbres

-RRB-

admet

une

solution

polynomiale

-LRB-

voir

Chr?tienne

-LSB-

-RSB-

-RRB-

Le

r?sultat

du

th?or?me

pr?c?dent

nous

permet

de

conclure

que

le

probl?me

avec

la

contrainte

de

bus

est

plus

diOEcile

que

le

probl?me

UET

UCT

Le

cas

d'un

nombre

limit

de

processeurs

Corollaire

Le

probl?me

P

bus

j

binary

tree

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP

complet

au

sens

fort

Preuve

Le

probl?me

avec

un

nombre

illimit

de

processeurs

-LRB-

voir

Th?or?me

-RRB-

est

un

cas

particulier

du

probl?me

avec

un

nombre

limit

de

processeurs

i.e.

pour

le

deuxi?me

probl?me

on

se

restreint

aux

instances

telles

que

le

nombre

de

machines

est

au

moins

gal

au

nombre

de

t?ches

S?mantique

donn?es

communes

Ordonnancement

sur

un

nombre

ox

de

processeurs

Le

cas

de

deux

processeurs

Nous

consid?rons

dans

ce

chapitre

le

m?me

probl?me

d'ordonnancement

que

dans

le

cas

de

la

s?mantique

donn?es

ind?pendantes

Nous

montrons

que

le

probl?me

consistant

trouver

un

ordonnancement

de

dur?e

minimale

est

NP-diOEcile

aussi

dans

ce

cas

Pour

cela

nous

utilisons

deux

lemmes

techniques

Lem

me

Consid?rons

le

graphe

V

de

la

ogure

avec

la

s?mantique

donn?es

communes

Dans

tout

ordonnancement

de

longueur

de

ce

graphe

les

t?ches

b

et

c

sont

ex?cut?es

sur

le

m?me

processeur

et

les

t?ches

d

et

e

sont

ex?cut?es

sur

l'autre

processeur

Le

bus

est

occup

dans

les

slots

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

Preuve

Nous

consid?rons

seulement

le

cas

o

est

ex?cut?e

sur

-LRB-

l'autre

cas

tant

sym?trique

-RRB-

Dans

tout

ordonnancement

faisable

de

longueur

le

processeur

doit

tre

toujours

occup

tant

oisif

seulement

dans

les

slots

et

vu

que

a

pr?d?cesseurs

Si

nous

regardons

maintenant

partir

de

la

on

dans

le

slot

sur

doit

clairement

tre

ex?cut?e

la

t?che

-LRB-

car

elle

a

pr?d?cesseurs

-RRB-

Alors

la

t?che

h

doit

tre

ex?cut?e

sur

dans

le

slot

Comme

aucun

pr?d?cesseur

de

h

n'est

ex?cutable

sur

dans

les

slots

les

t?ches

deviennent

le

seul

choix

Dans

le

premier

slot

seulement

les

t?ches

et

a

sont

disponibles

donc

chacune

est

ex?cut?e

sur

un

des

processeurs

dans

ce

slot

pour

viter

l'oisivet

De

plus

doit

tre

ex?cut?e

sur

le

m?me

processeur

que

pour

que

ce

m?me

processeur

ne

soit

pas

oisif

dans

le

slot

Nous

avons

donc

deux

cas

analyser

Cas

les

t?ches

h

sont

sur

et

a

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

a

-RRB-

-RRB-

Les

t?ches

b

c

d

e

f

g

doivent

tre

ex?cut?es

dans

les

slots

libres

i.e.

dans

les

slots

sur

et

dans

les

slots

sur

Il

est

ais

d'observer

qu'exactement

une

t?che

parmi

b

d

f

est

sur

-LRB-

dans

le

slot

-RRB-

tandis

que

les

autres

deux

sont

sur

autrement

un

des

processeurs

est

oisif

pour

au

moins

un

slot

Donc

les

trois

t?ches

c

e

g

s

ex?cuteront

dans

les

slots

sur

et

le

slot

sur

-LRB-

car

la

t?che

ex?cut?e

dans

le

slot

sur

doit

tre

un

pr?d?cesseur

imm?diat

de

h

-RRB-

Nous

concentrons

notre

attention

sur

les

t?ches

f

g.

Ces

deux

t?ches

sont

soit

ensemble

sur

le

m?me

processeur

soit

s?par?es

i.e.

f

sur

et

g

sur

Ainsi

on

a

trois

sous-cas

analyser

Cas

a

les

t?ches

f

g

sont

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

b

-RRB-

-RRB-

Clairement

les

t?ches

c

e

se

trouvent

sur

dans

les

slots

Dans

ce

cas

il

y

a

trois

communications

eoeectuer

pendant

les

slots

i.e.

c

e

et

g

h.

Donc

l'ordonnancement

est

infaisable

Cas

b

les

t?ches

f

g

sont

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

c

-RRB-

-RRB-

Supposons

que

c

est

la

t?che

parmi

c

e

qui

se

trouve

sur

-LRB-

l'autre

cas

tant

similaire

-RRB-

Alors

les

t?ches

b

d

e

sont

sur

Ceci

repr?sente

cinq

communications

-LRB-

b

c

e

c

f

et

e

h

-RRB-

eoeectuer

dans

les

slots

Donc

ce

cas

est

infaisable

aussi

compte

tenu

de

la

contrainte

sur

le

bus

Cas

c

la

t?che

f

est

sur

et

g

est

sur

Supposons

que

la

t?che

sur

dans

le

slot

est

d.

Il

est

clair

que

e

doit

s

ex?cuter

sur

aussi

Alors

b

c

et

d

e

ne

sont

jamais

sur

le

m?me

processeur

dans

ce

sous

cas

Dans

la

ogure

-LRB-

d

-RRB-

nous

pr?sentons

un

exemple

d'ordonnancement

faisable

pour

le

sous

cas

Cas

les

t?ches

sont

sur

et

a

h

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

e

-RRB-

-RRB-

Ce

cas

est

similaire

au

cas

de

la

preuve

du

lem

me

Toutefois

comme

dans

le

cas

de

la

s?mantique

donn?es

ind?pendantes

il

y

avait

deux

communications

de

vers

deux

t?ches

parmi

c

e

g

sur

ici

une

de

ces

communications

n'est

plus

eoeectu?e

et

elle

est

remplac?e

par

la

communication

f

Dans

la

ogure

-LRB-

f

-RRB-

nous

pr?sentons

un

exemple

d'ordonnancement

faisable

pour

le

cas

Nous

pouvons

donc

conclure

qu'un

ordonnancement

est

faisable

si

et

seulement

si

les

t?ches

b

et

c

sont

ex?cut?es

ensemble

sur

un

processeur

et

les

t?ches

d

et

e

sont

sur

l'autre

processeur

S?mantique

donn?es

communes

-LRB-

b

-RRB-

h

a

-LRB-

d

-RRB-

h

a

-LRB-

f

-RRB-

h

a

b

c

d

e

f

g

h

a

-LRB-

c

-RRB-

-LRB-

e

-RRB-

a

h

-LRB-

a

-RRB-

h

a

a

-LRB-

h

-RRB-

hf

d

g

e

cb

a

-LRB-

g

-RRB-

h

a

f

d

b

ceg

h

Le

graphe

C

Figure

Le

graphe

de

t?ches

C

et

ses

ordonnancements

De

plus

le

bus

est

occup

dans

les

slots

Lem

me

Consid?rons

le

graphe

C

de

la

ogure

avec

la

s?mantique

donn?es

communes

Dans

tout

ordonnancement

de

longueur

de

ce

graphe

deux

t?ches

parmi

b

d

f

sont

ex?cut?es

sur

le

m?me

processeur

dans

les

slots

et

la

troisi?me

est

sur

l'autre

processeur

dans

le

slot

Le

bus

est

occup

dans

les

slots

Preuve

Nous

consid?rons

que

est

ex?cut?e

sur

-LRB-

l'autre

cas

est

sym?trique

-RRB-

Comme

a

pr?d?cesseurs

dans

tout

ordonnancement

faisable

de

longueur

les

deux

processeurs

sont

non

oisifs

l'exception

de

qui

est

oisif

seulement

dans

les

deux

derniers

slots

Il

est

ais

d'observer

que

dans

le

slot

sur

s

ex?cute

soit

h

soit

Alors

sur

dans

le

slot

se

trouve

soit

soit

h.

Comme

il

n

y

a

que

deux

t?ches

initiales

dans

le

graphe

dans

le

premier

slot

les

deux

t?ches

et

a

doivent

tre

ex?cut?es

Il

est

clair

que

seulement

peut

tre

ex?cut?e

dans

le

slot

sur

le

m?me

processeur

o

a

t

ex?cut?e

Nous

avons

donc

quatre

cas

analyser

Cas

les

t?ches

h

sont

sur

et

a

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

a

-RRB-

-RRB-

Puisque

les

t?ches

se

trouvent

entre

et

nous

consid?rons

trois

sous

cas

pour

montrer

que

cette

conoguration

ne

fait

pas

partie

d'une

solution

faisable

Cas

a

les

t?ches

sont

sur

dans

les

slots

-LRB-

ogure

-LRB-

b

-RRB-

-RRB-

Comme

sur

dans

les

slots

il

ne

peut

y

avoir

aucune

des

t?ches

b

d

f

alors

il

doit

y

avoir

deux

t?ches

parmi

c

e

g

sur

ce

processeur

-LRB-

et

la

troisi?me

doit

tre

sur

-RRB-

Il

y

a

deux

communications

de

la

part

de

deux

t?ches

sur

parmi

b

d

f

vers

leurs

successeurs

sur

dans

les

slots

Toutefois

il

y

a

une

communication

de

vers

la

troisi?me

t?che

parmi

c

e

g

-LRB-

celle

sur

-RRB-

Dans

le

slot

il

y

a

une

communication

de

vers

Alors

le

cas

a

est

infaisable

car

il

ne

peut

pas

y

avoir

communications

dans

le

slots

Cas

b

la

t?che

est

sur

dans

le

slot

et

est

sur

dans

le

slot

-LRB-

ogure

-LRB-

c

-RRB-

-RRB-

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

Soit

les

trois

t?ches

b

d

f

soit

seulement

deux

de

ces

t?ches

et

une

parmi

c

e

g

sont

ex

cut?es

sur

Dans

la

premi?re

situation

il

y

a

trois

communications

de

t?ches

b

d

f

vers

c

e

g

dans

les

slots

Mais

dans

le

slot

il

doit

y

avoir

aussi

la

communication

de

vers

Donc

cette

conoguration

n'est

jamais

possible

Dans

la

seconde

situation

soient

b

d

e

les

t?ches

sur

et

f

c

g

les

t?ches

sur

-LRB-

les

autre

possibilit?s

peuvent

tre

analys?es

de

la

m?me

mani?re

-RRB-

Les

communications

sont

a

f

b

c

e

et

f

Cette

situation

est

nouveau

infaisable

car

cinq

communications

doivent

passer

sur

le

bus

pendant

quatre

slots

Donc

le

cas

b

est

infaisable

Cas

c

les

t?ches

sont

sur

dans

les

slots

-LRB-

ogure

-LRB-

d

-RRB-

-RRB-

Dans

le

slot

il

y

a

une

communication

de

vers

Aucune

t?che

parmi

c

e

g

ne

peut

tre

sur

dans

les

slots

Supposons

que

b

d

sont

sur

Comme

il

y

a

au

moins

cinq

communications

dans

les

slots

i.e.

a

f

b

c

d

e

et

f

le

cas

est

infaisable

Cas

les

t?ches

sont

sur

et

a

h

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

e

-RRB-

-RRB-

Clairement

et

sont

sur

autrement

le

d?lai

de

communication

sur

le

chemin

est

d'au

moins

slots

Seulement

une

t?che

parmi

b

c

d

e

f

g

est

sur

dans

un

des

slots

Alors

il

y

a

au

moins

un

successeur

de

et

deux

pr?d?cesseurs

de

qui

se

trouvent

sur

donc

il

y

a

au

moins

trois

communications

-LRB-

une

de

et

deux

vers

-RRB-

eoeectuer

dans

les

slots

Supposons

maintenant

que

la

t?che

b

-LRB-

resp

c

-RRB-

est

sur

-LRB-

les

autres

cas

sont

sym?triques

-RRB-

Alors

la

communication

b

c

doit

avoir

lieu

dans

un

des

slots

car

la

t?che

c

est

ex?cuter

dans

le

slot

au

plus

tard

-LRB-

resp

b

est

ex?cuter

dans

les

slot

au

plus

t?t

-RRB-

Le

cas

est

donc

infaisable

vu

la

contrainte

sur

le

bus

Cas

h

sont

sur

et

a

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

f

-RRB-

-RRB-

Il

est

ais

de

voir

que

seulement

une

t?che

parmi

b

d

f

peut

tre

ex?cut?e

sur

dans

le

slot

et

seulement

une

t?che

parmi

c

e

g

peut

tre

ex?cut?e

sur

dans

le

slot

Alors

nous

concluons

imm?diatement

que

les

t?ches

b

d

f

doivent

tre

ex?cut?es

sur

dans

le

slot

et

sur

dans

les

slots

Un

exemple

d'ordonnancement

faisable

est

donn

dans

la

ogure

-LRB-

f

-RRB-

Cas

sont

sur

et

a

h

sur

-LRB-

ogure

-LRB-

g

-RRB-

-RRB-

De

la

m?me

mani?re

que

dans

le

cas

les

t?ches

b

d

f

doivent

tre

ex?cut?es

dans

les

slots

et

i.e.

sur

dans

les

slots

et

sur

dans

le

slot

L'ordonnancement

est

faisable

dans

le

cas

si

et

seulement

si

les

deux

t?ches

sur

parmi

b

c

d

e

f

g

sont

en

relation

de

pr?c?dence

-LRB-

un

exemple

d'ordonnancement

est

donn

dans

la

ogure

-LRB-

g

-RRB-

-RRB-

Alors

un

ordonnancement

est

faisable

si

et

seulement

si

deux

t?ches

parmi

b

d

f

sont

sur

le

m?me

processeur

-LRB-

dans

les

slots

-RRB-

et

la

troisi?me

est

sur

l'autre

processeur

-LRB-

dans

le

slot

-RRB-

De

plus

le

bus

est

occup

pendant

les

slots

Lem

me

Le

probl?me

NOT-ALL-EQUAL

se

transforme

polynomialement

en

bus

j

prec

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

Preuve

La

preuve

de

ce

lem

me

est

similaire

la

preuve

du

lem

me

Rappelons

l'

nonc

du

probl?me

NOT-ALL-EQUAL

-LRB-

voir

-LSB-

-RSB-

-RRB-

S?mantique

donn?es

communes

Donn?es

U

ung

un

ensemble

de

variables

logiques

C

Cmg

un

ensemble

de

clauses

de

litt?raux

ui

ou

ui

chacune

Question

existe-t-il

une

combinaison

de

valeurs

de

v?rit

pour

U

t.q.

dans

chaque

clause

il

y

ait

au

moins

un

litt?ral

vrai

et

un

litt?ral

faux

Le

graphe

de

t?ches

que

nous

construisons

pour

une

instance

donn?e

du

probl?me

NOT

ALL-EQUAL

est

obtenu

en

concat?nant

n

graphes

V

-LRB-

voir

ogure

-LRB-

b

-RRB-

-RRB-

avec

m

graphes

C

-LRB-

voir

ogure

-LRB-

c

-RRB-

-RRB-

La

forme

globale

du

graphe

est

illustr?e

la

ogure

-LRB-

a

-RRB-

Dans

la

ogure

-LRB-

d

-RRB-

nous

pr?sentons

le

graphe

de

t?ches

correspondant

une

instance

de

NOT-ALL-EQUAL

ayant

les

clauses

u

v

w

et

u

v

y.

Dans

tout

ordonnancement

faisable

du

graphe

C

deux

t?ches

parmi

b

d

f

sont

sur

un

processeur

et

la

troisi?me

sur

un

autre

processeur

Ceci

est

le

motif

du

choix

de

NOT-ALL

EQUAL

comme

probl?me

source

pour

notre

preuve

Comme

nous

le

montrerons

plus

tard

dans

tout

ordonnancement

faisable

les

arcs

entrants

-LRB-

venant

des

graphes

V

-RRB-

aux

t?ches

b

d

f

des

graphes

C

ne

correspondent

pas

une

communication

Donc

nous

allons

d?onir

les

valeurs

de

v?rit

de

telle

mani?re

qu'une

clause

contienne

deux

litt?raux

vrais

si

deux

des

t?ches

parmi

b

d

f

se

trouvent

sur

et

un

seul

litt?ral

vrai

si

seulement

une

de

ces

t?ches

est

sur

La

d?onition

formelle

du

graphe

est

donn?e

ensuite

Le

graphe

G

-LRB-

V

E

-RRB-

contient

-LRB-

n

m

-RRB-

t?ches

Elle

sont

V

-LSB-

fai

bi

ci

di

ei

fi

gi

hi

pi

qi

si

ti

i

n

mg

Les

relations

de

pr?c?dence

sont

ffl

ffl

pour

i

n

m

ai

bi

ci

hi

ai

di

ei

hi

ai

fi

gi

hi

ti

ci

ti

ei

ti

gi

fi

si

hi

ti

ti

pi

qi

si

ti

ffl

ci

si

ei

si

pour

i

n

ffl

bi

si

di

si

pour

n

i

n

m

ffl

Consid?rons

la

clause

Cj

j

m.

Si

l'occurrence

de

la

variable

ui

dans

Cj

est

non

compl?ment?e

et

si

ui

est

le

premier

-LRB-

resp

le

second

ou

le

troisi?me

-RRB-

litt?ral

dans

Cj

alors

il

y

a

un

arc

bi

bn

j

-LRB-

resp

bi

dn

j

ou

bi

fn

j

-RRB-

Sinon

si

l'occurrence

de

la

variable

ui

dans

Cj

est

compl?ment?e

et

si

ui

est

le

premier

-LRB-

resp

le

second

ou

le

troisi?me

-RRB-

litt?ral

dans

Cj

alors

l'arc

part

de

la

t?che

di

-LRB-

i.e.

di

bn

j

-LRB-

resp

di

dn

j

ou

di

fn

j

-RRB-

-RRB-

La

limite

de

temps

pour

l'ordonnancement

de

G

est

-LRB-

n

m

-RRB-

Pour

l'exemple

de

la

ogure

-LRB-

d

-RRB-

la

limite

de

temps

est

A

partir

d'une

solution

pour

l'instance

de

NOT-ALL-EQUAL

nous

construisons

un

ordonnancement

faisable

comme

suit

Nous

concat?nons

n

ordonnancements

d'un

graphe

V

-LRB-

les

cas

ou

de

la

preuve

du

lem

me

-RRB-

avec

m

ordonnancements

d'un

graphe

C

-LRB-

les

cas

et

de

la

preuve

du

lem

me

-RRB-

Pour

tout

i

n

les

t?ches

bi

ci

sont

ex?cut?es

sur

-LRB-

resp

-RRB-

si

la

variable

ui

est

vraie

-LRB-

resp

fausse

-RRB-

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

si

fi

di

-LRB-

d

-RRB-

tn

m

sn

m

an

m

en

m

qn

m

pn

m

-LRB-

a

-RRB-

hn

m

tn

m

sn

m

gi

ei

ci

pi

qi

ai

si

ti

fi

di

bi

ci

ei

gi

hi

qi

ai

si

ti

fi

di

bi

pi

hi

qi

ai

si

ti

fi

di

bi

ci

ei

gi

qi

pi

hi

ti

hi

ai

bi

-LRB-

c

-RRB-

-LRB-

b

-RRB-

dn

m

bn

m

gn

m

cn

m

fn

m

Figure

Graphe

de

t?ches

instance

de

bus

j

prec

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

correspondant

une

instance

du

probl?me

NOT-ALL-EQUAL

S?mantique

donn?es

communes

Consid?rons

maintenant

la

clause

Cj

j

m.

S'il

y

a

deux

litt?raux

vrais

dans

Cj

alors

nous

ex?cutons

les

t?ches

bn

j

et

dn

j

-LRB-

resp

bn

j

et

fn

j

ou

dn

j

et

fn

j

-RRB-

sur

seulement

si

les

deux

premiers

litt?raux

-LRB-

resp

le

premier

et

le

troisi?me

ou

le

second

et

le

troisi?me

-RRB-

dans

Cj

sont

vrais

Si

toutefois

il

n

y

a

qu'un

seul

litt?ral

vrai

dans

Cj

nous

ex?cutons

alors

la

t?che

bn

j

-LRB-

resp

dn

j

ou

fn

j

-RRB-

sur

selon

que

le

litt?ral

vrai

est

le

premier

-LRB-

resp

le

second

ou

le

troisi?me

-RRB-

Nous

pouvons

maintenant

constater

ais?ment

que

les

t?ches

se

trouvant

aux

deux

extr?mit?s

de

tout

arc

reliant

un

graphe

V

un

graphe

C

sont

ex?cut?es

ensemble

sur

le

m?me

processeur

Alors

ces

arcs

ne

correspondent

pas

des

communications

donc

la

simple

concat?nation

des

ordonnancements

des

graphes

V

et

C

nous

donne

un

ordonnancement

faisable

Nous

prouvons

maintenant

que

pour

tout

ordonnancement

faisable

il

existe

une

solution

pour

l'instance

du

probl?me

NOT-ALL-EQUAL

correspondant

Comme

dans

la

preuve

du

lem

me

nous

pouvons

facilement

prouver

que

les

t?ches

ti

doivent

tre

ex?cut?es

dans

les

slots

i

m

n

et

que

les

ordonnancements

partiels

pour

les

sous

graphes

V

et

C

ont

les

propri?t?s

nonc?es

dans

les

lemmes

et

Pour

tout

i

i

n

nous

attribuons

la

valeur

vrai

la

variable

ui

si

la

t?che

bi

est

ex?cut?e

sur

et

faux

sinon

Comme

dans

tout

ordonnancement

faisable

il

n

y

a

pas

de

communication

associ?e

aux

arcs

qui

relient

les

graphes

V

aux

graphes

C

ces

valeurs

de

v?rit

garantissent

que

dans

chaque

clause

Cj

j

m

il

y

a

au

moins

un

litt?ral

vrai

-LRB-

resp

faux

-RRB-

correspondant

une

de

t?ches

bi

et

di

i

n

celle

qui

a

t

ex?cut?e

sur

-LRB-

resp

-RRB-

et

qui

poss?de

un

arc

vers

le

j

me

graphe

C.

Nous

obtenons

ainsi

une

solution

pour

l'instance

de

NOT-ALL-EQUAL

Notons

qu'en

changeant

toutes

les

valeurs

de

v?rit

de

toutes

les

variables

avec

la

valeur

contraire

nous

obtenons

une

autre

solution

pour

le

probl?me

NOT-ALL-EQUAL

Th?or?me

Le

probl?me

bus

j

prec

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-complet

au

sens

fort

Le

cas

de

m

processeurs

Corollaire

Le

probl?me

Pm

bus

j

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-diOEcile

Comme

dans

le

cas

de

la

s?mantique

donn?es

ind?pendantes

l'algorithme

propos

par

Guinand

et

Trystram

-LSB-

-RSB-

pour

les

arbres

UET-UCT

et

deux

processeurs

reste

valide

aussi

pour

la

s?mantique

donn?es

communes

si

on

prend

en

compte

la

contrainte

de

bus

unique

Toutefois

pour

la

classe

de

graphes

s?rie

parall?le

la

solution

polynomiale

propos?e

dans

le

chapitre

n'est

pas

facilement

adaptable

pour

un

seul

bus

-LRB-

et

s?mantique

donn?es

communes

-RRB-

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

Ordonnancement

sur

un

nombre

arbitraire

de

processeurs

Le

cas

d'un

nombre

illimit

de

processeurs

Le

r?sultat

pour

le

cas

de

donn?es

ind?pendantes

reste

valable

dans

le

cas

de

donn?es

communes

car

les

graphes

construits

dans

la

preuve

du

th?or?me

sont

binaires

et

donc

il

n

y

a

jamais

deux

successeurs

d'une

t?che

sur

un

m?me

processeur

-LRB-

apr?s

communication

-RRB-

Th?or?me

Le

probl?me

P

bus

j

binary

tree

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP

complet

au

sens

fort

Le

cas

d'un

nombre

limit

de

processeurs

Corollaire

Le

probl?me

P

bus

j

binary

tree

c

-LRB-

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP

complet

au

sens

fort

Autres

m?canismes

de

communication

Dioeusion

Dans

ce

cas

tous

les

r?sultats

du

chapitre

sur

le

probl?me

du

bus

restent

valables

Eoeectivement

dans

le

cas

d'un

nombre

illimit

de

processeurs

le

graphe

est

un

arbre

binaire

et

nous

avons

au

plus

une

communication

d'une

t?che

vers

ses

successeurs

Dans

le

cas

de

deux

processeurs

il

n

y

a

pas

de

dioe?rence

entre

le

cas

o

nous

permettons

la

dioeusion

et

le

cas

o

la

dioeusion

n'est

pas

permise

Communication

avec

blocage

Pour

les

deux

s?mantiques

les

r?sultats

de

NP-diOEcult

restent

valables

quand

le

nombre

de

processeurs

est

illimit

ou

est

donn

dans

l'entr

e

du

probl?me

Ordonnancement

sur

un

nombre

illimit

de

processeurs

avec

blocage

Si

nous

consid?rons

que

recevoir

une

communication

bloque

le

processeur

r?cepteur

Corollaire

Le

probl?me

P

bus

j

binary

out?tree

c

-LRB-

i

:d

or

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-complet

au

sens

fort

quand

la

r?ception

d'une

communication

bloque

le

processeur

r?cepteur

ou

bloque

le

processeur

metteur

Corollaire

Le

probl?me

P

bus

j

binary

in?tree

c

-LRB-

i

:d

or

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-complet

au

sens

fort

quand

l'

mission

d'une

communication

bloque

le

processeur

metteur

T?ches

avec

pr

allocation

Ordonnancement

sur

un

nombre

limit

de

processeurs

avec

blocage

Si

nous

consid?rons

que

recevoir

une

communication

bloque

le

processeur

r?cepteur

Corollaire

Le

probl?me

P?bus

j

binary

out?tree

c

-LRB-

i

:d

or

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-complet

au

sens

fort

quand

la

r?ception

d'une

communication

bloque

le

processeur

r?cepteur

ou

bloque

le

processeur

metteur

Corollaire

Le

probl?me

P

bus

j

binary

in?tree

c

-LRB-

i

:d

or

c

:d

:-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-complet

au

sens

fort

quand

l'

mission

d'une

communication

bloque

le

processeur

metteur

T?ches

avec

pr

allocation

T?ches

pr

allou?es

Nous

consid?rons

dans

ce

chapitre

le

cas

o

chaque

t?che

est

ex?cut?e

uniquement

sur

un

processeur

pr

d?oni

Ainsi

des

d?cisions

sont

n?cessaires

seulement

pour

ordonner

les

communications

sur

le

bus

et

pour

ordonner

l'ex

cution

des

t?ches

sur

chaque

processeur

Nous

prouvons

que

le

probl?me

est

NP-diOEcile

m?me

pour

deux

processeurs

avec

un

graphe

de

t?ches

contenant

seulement

des

cha?nes

i.e.

j

chains

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

fix

j

Cmax

Rappelons

l'

nonc

du

probl?me

-LRB-

voir

-LSB-

-RSB-

-RRB-

Donn?es

Soient

A

un

ensemble

oni

une

borne

B

IN

et

une

taille

s

-LRB-

ai

-RRB-

IN

pour

tout

l?ment

ai

A

telle

que

B

s

-LRB-

a

-RRB-

B

et

que

P

s

-LRB-

a

-RRB-

qB

Question

existe-t-il

une

partition

de

A

en

q

sous-ensembles

disjoints

Sq

de

telle

mani?re

que

pour

tout

i

q

nous

obtenons

P

s

-LRB-

a

-RRB-

B

Remarque

Le

probl?me

est

NP-complet

au

sens

fort

Donc

nous

pouvons

borner

B

par

un

polyn?me

en

fonction

de

la

taille

de

l'entr

e

du

probl?me

-LRB-

en

fait

le

sousprobl?me

ayant

B

born

par

un

polyn?me

en

q

est

NP-complet

voir

Garey

et

Johnson

-LSB-

pp.

-RSB-

-RRB-

Remarque

Sans

perte

de

g?n?ralit

nous

pouvons

supposer

B

-LRB-

sinon

le

probl?me

de

partition

est

trivial

-RRB-

Lem

me

Le

probl?me

se

transforme

polynomialement

en

bus

j

chains

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

fix

j

Cmax

Preuve

La

preuve

est

similaire

celle

du

th?or?me

dans

-LSB-

-RSB-

A

partir

d'une

instance

de

nous

construisons

une

instance

du

probl?me

d'ordonnancement

de

la

mani?re

suivante

Le

graphe

contient

cha?nes

Pour

chaque

l?ment

ai

du

probl?me

de

partition

i

il

y

a

une

cha?ne

-LRB-

appel?e

P-cha

ne

-RRB-

de

-LRB-

ai

-RRB-

t?ches

les

premi?res

s

-LRB-

ai

-RRB-

t?ches

doivent

tre

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

B

slots

B

slots

B

t?ches

B

slots

B

slots

B

t?ches

B

t?ches

B

slots

B

t?ches

B

t?ches

-LRB-

-RRB-

t?ches

-LRB-

-RRB-

t?ches

-LRB-

-RRB-

t?ches

Figure

Construction

d'une

instance

du

probl?me

j

chains

c

-LRB-

i

:d

:-RRB-

pj

fix

j

Cmax

correspondant

une

instance

de

ex?cut?es

sur

le

processeur

et

les

derni?res

s

-LRB-

ai

-RRB-

t?ches

de

la

cha?ne

doivent

tre

ex?cut?es

sur

le

processeur

Il

y

a

une

cha?ne

additionnelle

-LRB-

appel?e

T-cha

ne

-RRB-

de

-LRB-

B

-RRB-

t?ches

le

premier

groupe

de

B

t?ches

doit

tre

ex?cut

sur

les

-LRB-

q

-RRB-

groupes

suivants

de

B

t?ches

doivent

tre

ex?cut?s

de

fa?on

altern?e

sur

et

et

le

dernier

groupe

de

B

t?ches

doit

tre

ex?cut

sur

Dans

la

ogure

nous

montrons

un

exemple

de

construction

gauche

la

T-cha

ne

et

droite

les

P-cha

nes

Les

t?ches

sont

repr?sent?es

par

des

cercles

pleins

-LRB-

les

t?ches

sur

la

colonne

de

gauche

-LRB-

resp

droite

-RRB-

de

la

T-cha

ne

sont

ex?cuter

sur

-LRB-

resp

-RRB-

-RRB-

Les

cercles

vides

repr?sentent

les

slots

disponibles

pour

ex?cuter

les

P-cha

nes

sur

les

deux

processeurs

La

limite

de

temps

pour

l'ordonnancement

de

G

est

T

-LRB-

B

-RRB-

Le

nombre

total

de

t?ches

dans

G

est

-LRB-

B

-RRB-

Tout

ordonnancement

faisable

de

G

est

n?cessairement

non

oisif

Nous

remarquons

que

les

t?ches

de

la

T-cha

ne

sont

critiques

Donc

l'ex

cution

de

chaque

t?che

de

cette

cha?ne

doit

commencer

imm?diatement

apr?s

la

on

de

l'ex

cution

de

son

pr?d?cesseur

-LRB-

une

unit

de

temps

plus

tard

si

le

pr?d?cesseur

est

ex?cut

sur

un

processeur

dioe?rent

-RRB-

pour

obtenir

un

ordonnancement

faisable

de

longueur

T

Les

premi?res

s

-LRB-

ai

-RRB-

t?ches

des

P-cha

nes

correspondant

aux

l?ments

ai

peuvent

tre

ex?cut?es

sur

dans

les

intervalles

T?ches

avec

pr

allocation

-LSB-

-LRB-

B

-RRB-

-LRB-

-RRB-

-LRB-

B

-RRB-

-RSB-

et

les

derni?res

s

-LRB-

ai

-RRB-

t?ches

de

ces

m?mes

cha?nes

peuvent

tre

ex?cut?es

sur

dans

les

intervalles

-LSB-

-LRB-

-RRB-

-LRB-

B

-RRB-

-LRB-

j

-RRB-

-LRB-

B

-RRB-

-RSB-

j

q

Si

nous

avons

une

solution

pour

l'instance

de

il

est

ais

d'observer

qu'un

ordonnancement

faisable

est

d'ex

cuter

les

trois

cha?nes

correspondantes

un

sous-ensemble

Sj

dans

l'intervalle

-LSB-

-LRB-

B

-RRB-

-LRB-

-RRB-

-LRB-

B

-RRB-

-RSB-

sur

et

dans

l'intervalle

-LSB-

-LRB-

-RRB-

-LRB-

B

-RRB-

-LRB-

j

-RRB-

-LRB-

B

-RRB-

-RSB-

sur

Comme

nous

avons

suppos

que

B

dans

le

probl?me

-LRB-

cf.

la

remarque

-RRB-

nous

avons

s

-LRB-

ai

-RRB-

i

Donc

sur

le

bus

il

y

a

assez

de

slots

disponibles

pour

faire

passer

les

communications

entre

les

t?ches

des

P-cha

nes

Nous

montrons

maintenant

qu'une

solution

faisable

pour

le

probl?me

d'ordonnancement

am?ne

une

solution

pour

Clairement

tout

ordonnancement

faisable

est

non

oisif

Ainsi

doit

ex?cuter

exactement

B

t?ches

des

P-cha

nes

dans

l'intervalle

-LSB-

-LRB-

B

-RRB-

-RSB-

Comme

ces

t?ches

ont

des

pr?d?cesseurs

ex?cuter

sur

il

est

clair

que

doit

onir

d'ex

cuter

la

premi?re

moiti

de

ces

P-cha

nes

pour

que

la

deuxi?me

moiti

soit

ex?cutable

sur

Cependant

vu

que

B

s

-LRB-

ai

-RRB-

B

pour

tout

i

alors

exactement

P-cha

nes

onissent

leur

ex?cution

dans

l'intervalle

-LSB-

-LRB-

B

-RRB-

-RSB-

En

r?p?tant

cet

argument

nous

pouvons

alors

conclure

que

dans

chaque

intervalle

-LSB-

-LRB-

B

-RRB-

-LRB-

j

-RRB-

-LRB-

B

-RRB-

-RSB-

j

q

il

y

a

exactement

P-cha

nes

-LRB-

ayant

un

nombre

total

de

t?ches

-RRB-

qui

sont

ex?cut?es

d'abord

sur

et

puis

termin?es

sur

Nous

obtenons

alors

une

solution

pour

l'instance

correspondante

de

Notons

que

la

construction

est

polynomiale

en

B

et

q

et

donc

polynomiale

dans

la

longueur

de

l'entr

e

du

probl?me

-LRB-

conform?ment

la

remarque

-RRB-

Remarque

La

contrainte

de

bus

unique

n'est

pas

n?cessaire

dans

la

preuve

du

lem

me

pr?c?dent

donc

l'ordonnancement

sur

deux

processeurs

des

cha?nes

UET-UCT

avec

pr

allocation

est

NP-diOEcile

Des

r?sultats

similaires

ont

t

obtenus

par

Goyal

-LSB-

-RSB-

et

Veltman

et

al.

-LSB-

-RSB-

pour

le

cas

sans

d?lais

de

communication

Transformation

vers

le

probl?me

une

seule

machine

Vu

que

dans

la

section

ci-dessus

des

d?cisions

sont

prendre

seulement

pour

ordonner

les

communications

sur

le

bus

et

pour

ordonner

l'ex

cution

des

t?ches

sur

chaque

processeur

nous

avons

essay

de

simplioer

encore

plus

le

probl?me

en

supposant

que

l'ordre

d'ex

cution

des

t?ches

est

ox

a

priori

pour

chaque

processeur

Ainsi

les

seules

d?cisions

prendre

sont

celles

concernant

l'ordre

de

passage

des

communications

sur

le

bus

Nous

pouvons

alors

consid?rer

chaque

arc

correspondant

une

communication

comme

un

service

fournit

par

le

bus

Bien

videmment

ces

services

sont

en

relation

de

pr?c?dence

i.e.

la

communication

correspondant

un

arc

entrant

dans

une

t?che

ne

peut

pas

avoir

lieu

apr?s

celle

correspondant

un

arc

sortant

de

cette

m?me

t?che

De

plus

nous

avons

une

distance

minimale

garder

entre

deux

communications

en

pr?c?dence

i.e.

le

temps

d'ex

cution

de

la

t?che

Nous

appellerons

la

distance

d?lai

de

pr?c?dence

ou

relation

de

pr?c?dence

temporis?e

La

ogure

montre

la

transformation

d'un

probl?me

bus

unique

et

t?ches

pr

allou?es

Chapitre

Syst?me

multiprocesseur

un

seul

bus

NP-diOEcult

Le

graphe

de

t?ches

a

b

c

d

Le

graphe

de

services

sc

sd

sb

sa

Figure

Un

graphe

de

t?ches

et

le

graphe

de

services

correspondant

ordonn?es

vers

le

probl?me

une

seule

machine

-LRB-

i.e.

le

bus

-RRB-

qui

fournit

des

services

avec

d?lais

de

pr?c?dence

Le

graphe

de

gauche

est

UET-UCT

et

les

t?ches

-LRB-

resp

ou

-RRB-

sont

pr

allou?es

sur

le

processeur

-LRB-

resp

ou

-RRB-

Les

communications

a

b

c

d

sont

eoeectuer

sur

le

bus

unique

Dans

le

graphe

de

droite

nous

avons

repr?sent

les

services

par

des

cercles

vides

et

les

relations

de

pr?c?dence

avec

leur

temporisation

correspondante

Avant

d'eoeectuer

la

communication

a

il

faut

ex?cuter

les

t?ches

Donc

nous

avons

une

date

de

disponibilit

-LRB-

release

time

-RRB-

pour

le

service

sa

qui

est

gale

-LRB-

repr?sent?e

sur

le

graphe

par

un

arc

vers

le

service

sa

-RRB-

Comme

la

communication

c

ne

peut

pas

avoir

lieu

avant

b

nous

avons

un

arc

de

pr?c?dence

de

sb

vers

sc

avec

un

d?lai

de

pr?c?dence

gal

-LRB-

les

dur?es

des

t?ches

-RRB-

Supposons

un

ordonnancement

pour

le

graphe

de

droite

-LRB-

le

graphe

des

services

-RRB-

o

le

service

sd

est

le

dernier

servi

La

on

de

l'ordonnancement

pour

le

probl?me

de

bus

n'est

pas

la

on

de

la

communication

d

mais

deux

unit?s

de

temps

plus

tard

-LRB-

le

temps

d'ex

cuter

les

t?ches

et

-RRB-

Ceci

est

repr?sent

par

l'arc

sortant

du

service

sd

de

dur?e

Nous

appellerons

cet

arc

par

la

suite

d?lai

de

livraison

-LRB-

delivery

time

-RRB-

Dans

le

chapitre

suivant

nous

analysons

plus

en

d?tails

le

probl?me

une

seule

machine

avec

pr?c?dences

temporis?es

Chapitre

Une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

temporis?es

Le

cas

sans

pr?emption

T?ches

unitaires

et

d?lais

entiers

NP-diOEcult

Dans

ce

chapitre

nous

consid?rons

le

probl?me

de

d?cision

suivant

-LRB-

-RRB-

Ordonnancement

d'une

machine

avec

t?ches

unitaires

et

d?lais

de

pr?c?dence

entiers

Donn?es

Un

graphe

G

-LRB-

V

E

-RRB-

avec

des

t?ches

unitaires

et

d?lais

de

pr?c?dence

entiers

lij

IN

def

g

et

une

limite

de

temps

T

IN

Question

existe-t-il

un

ordonnancement

oe

V

T

tel

que

oe

-LRB-

i

-RRB-

lij

oe

-LRB-

j

-RRB-

pour

tout

-LRB-

i

j

-RRB-

E

En

utilisant

la

notation

introduite

par

Graham

Lawler

Lenstra

et

Rinnooy

Kan

-LSB-

-RSB-

ce

probl?me

peut

tre

d?crit

comme

suit

j

prec

-LRB-

lij

-RRB-

pj

j

Cmax

Nous

montrons

que

le

probl?me

-LRB-

-RRB-

est

NP-diOEcile

Pour

prouver

que

ce

probl?me

est

NP-diOEcile

nous

consid?rons

un

deuxi?me

probl?me

o

la

machine

n'est

pas

disponible

dans

certains

intervalles

de

temps

-LRB-

-RRB-

Ordonnancement

d'une

machine

avec

t?ches

unitaires

d?lais

de

pr?c?dence

entiers

et

r?gions

interdites

Donn?es

Un

graphe

G

-LRB-

V

E

-RRB-

avec

des

t?ches

unitaires

et

d?lais

de

pr?c?dence

entiers

lij

IN

une

limite

de

temps

T

IN

T

j

et

les

entiers

positifs

br

er

T

Question

existe-t-il

un

ordonnancement

oe

V

T

tel

que

-LRB-

i

-RRB-

pour

tout

-LRB-

i

j

-RRB-

E

on

ait

oe

-LRB-

i

-RRB-

lij

oe

-LRB-

j

-RRB-

et

-LRB-

ii

-RRB-

pour

tout

i

V

et

tout

s

rg

on

ait

oe

-LRB-

i

-RRB-

-LSB-

bs

es

-RRB-

Lem

me

-LRB-

-RRB-

se

transforme

polynomialement

en

-LRB-

-RRB-

Chapitre

Une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

temporis?es

Preuve

Soit

V

ffi

-LSB-

s

r

fbs

bs

es

es

Soit

V

ihg

-LRB-

resp

V

jkg

-RRB-

l'ensemble

des

nombres

impairs

-LRB-

resp

pairs

-RRB-

dans

V

ffi

t.q.

V

ffi

V

-LSB-

V

et

que

ih

jk

Nous

construisons

deux

cha?nes

-LRB-

-RRB-

et

-LRB-

-RRB-

telles

que

vihg

f

-LRB-

vis

vis

-RRB-

j

s

h

vjk

g

f

-LRB-

vjs

vjs

-RRB-

j

s

k

Les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

d?onis

comme

suit

lvis

vis

is

is

s

h

lvjs

vjs

js

js

s

k

Pour

chaque

instance

de

-LRB-

-RRB-

avec

un

graphe

de

t?ches

G

et

une

limite

de

temps

T

nous

construisons

une

instance

de

-LRB-

-RRB-

comme

suit

Le

graphe

de

t?ches

de

-LRB-

-RRB-

est

d?oni

comme

l'union

de

G

et

connect?s

par

une

t?che

initiale

et

une

t?che

onale

t.q.

ffl

le

d?lai

de

pr?c?dence

entre

et

toute

t?che

de

G

sans

pr?d?cesseurs

est

ffl

le

d?lai

de

pr?c?dence

entre

toute

t?che

de

G

sans

successeurs

et

est

ffl

le

d?lai

de

pr?c?dence

entre

et

-LRB-

resp

-RRB-

est

-LRB-

resp

-RRB-

ffl

le

d?lai

de

pr?c?dence

entre

vih

-LRB-

resp

vjk

-RRB-

et

est

T

ih

-LRB-

resp

T

jk

-RRB-

La

limite

de

temps

pour

-LRB-

-RRB-

est

T

Par

exemple

consid?rons

les

r?gions

interdites

dans

la

ogure

Il

y

en

a

deux

-LRB-

on

a

et

-RRB-

et

la

limite

de

temps

est

T

pour

-LRB-

-RRB-

L'ensemble

V

ffi

contient

les

nombres

On

a

V

et

V

Donc

et

La

cha?ne

-LRB-

resp

-RRB-

est

tout

simplement

-LRB-

resp

-RRB-

o

le

symbole

repr?sente

un

arc

La

limite

de

temps

pour

l'instance

du

probl?me

-LRB-

-RRB-

est

-LRB-

pour

l'ordonnancement

de

-RRB-

Il

est

ais

de

voir

qu'il

y

a

une

solution

pour

-LRB-

-RRB-

si

et

seulement

si

il

y

a

une

solution

pour

-LRB-

-RRB-

Par

construction

les

cha?nes

et

sont

des

chemins

critiques

dans

donc

la

t?che

vis

s

h

-LRB-

resp

vjs

s

k

-RRB-

doit

tre

ex?cut?e

dans

le

slot

is

-LRB-

resp

js

-RRB-

Nous

transformons

le

probl?me

classique

en

-LRB-

-RRB-

par

une

transformation

polynomiale

La

d?onition

de

est

donn?e

dans

le

chapitre

-LRB-

dans

la

preuve

du

th?or?me

-RRB-

Lem

me

se

transforme

polynomialement

en

-LRB-

-RRB-

Preuve

Pour

une

instance

de

nous

construisons

l'instance

de

-LRB-

-RRB-

suivante

de

telle

mani?re

qu'il

existe

une

fonction

oe

si

et

seulement

si

a

une

solution

Le

cas

sans

pr?emption

active

interdite

G

Figure

Construction

de

partir

de

G

et

des

r?gions

interdites

La

structure

de

notre

graphe

de

t?ches

G

-LRB-

V

E

-RRB-

est

similaire

celle

utilis?e

par

Ullman

-LSB-

-RSB-

pour

prouver

qu'est

NP-diOEcile

le

probl?me

de

minimisation

du

temps

total

d'ex

cution

d'un

graphe

de

t?ches

UET

sur

des

machines

identiques

avec

contraintes

de

pr?c?dence

Cependant

comme

nous

n'avons

qu'une

machine

la

correspondance

entre

les

solutions

de

ces

probl?mes

est

beaucoup

plus

diOEcile

prouver

La

d?onition

du

graphe

de

t?ches

G

est

la

suivante

Pour

chaque

variable

xi

X

i

m

on

a

deux

chemins

xi

xi

xi

m

et

xi

xi

xi

m

dans

G.

Les

arcs

-LRB-

xi

j

xi

j

-RRB-

et

-LRB-

xi

j

xi

j

-RRB-

ont

des

d?lais

de

pr?c?dence

lxi

j

xij

l?xi

j

xij

j

pour

i

m

j

m.

Pour

chaque

chemin

il

y

a

un

n?ud

de

plus

yi

ou

yi

sans

aucun

arc

sortant

connect

au

chemin

par

un

arc

-LRB-

xi

i

yi

-RRB-

ou

-LRB-

xi

i

yi

-RRB-

avec

le

d?lai

de

pr?c?dence

lxi

i

yi

l?xi

i

yi

m

pour

i

m.

Pour

chaque

clause

Cr

C

r

k

on

a

dans

G

sept

t?ches

cr

s

s

Il

y

a

un

arc

partant

de

xi

m

-LRB-

ou

xi

m

-RRB-

vers

chaque

t?che

cr

s

laquelle

la

variable

-LRB-

resp

la

variable

complement?e

-RRB-

contribue

Un

exemple

de

construction

d'une

instance

pour

-LRB-

-RRB-

est

illustr

dans

la

ogure

o

les

clauses

sont

et

et

donc

k

m

Tous

les

arcs

au

m?me

niveau

ont

la

m?me

longueur

Une

partie

des

t?ches

certains

noms

de

taches

et

les

arcs

connect?s

aux

taches

j

ont

t

omis

pour

simplioer

le

dessin

j

La

d?onition

formelle

du

graphe

est

la

suivante

ffl

L'ensemble

de

t?ches

V

contient

xij

et

xij

pour

i

m

j

m

yi

et

yi

pour

i

m

cr

s

pour

r

k

et

s

ffl

L'ensemble

d'arcs

E

et

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

Chapitre

Une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

temporis?es

Figure

Graphe

de

t?ches

instance

de

-LRB-

-RRB-

correspondant

une

instance

de

-LRB-

xi

j

xij

-RRB-

et

-LRB-

xi

j

xij

-RRB-

avec

les

d?lais

de

pr?c?dence

lxi

j

xij

l?xi

j

xij

j

pour

i

m

j

m

-LRB-

xi

i

yi

-RRB-

et

-LRB-

xi

i

yi

-RRB-

avec

les

d?lais

de

pr?c?dence

lxi

i

yi

l?xi

i

yi

m

pour

i

m.

Les

arcs

qui

connectent

xim

-LRB-

resp

xim

-RRB-

cr

s

i

m

r

k

s

sont

d?onis

ci-dessous

Supposons

que

Cr

soit

constitu?e

des

litt?raux

o

chaque

z

peut

tre

de

fa?on

ind?pendante

soit

x

soit

x

dans

un

ordre

ox

i.e.

Cr

m

r

k.

Soit

la

repr?sentation

binaire

de

s

s

Alors

pour

p

si

ap

nous

avons

un

arc

-LRB-

zupm

cr

s

-RRB-

sinon

-LRB-

si

ap

-RRB-

nous

avons

un

arc

-LRB-

zupm

cr

s

-RRB-

l

o

z

remplace

x

ou

x

z

doit

remplacer

x

ou

x

respectivement

Nous

soulignons

que

dans

toute

clause

il

y

a

au

moins

un

litt?ral

vrai

donc

le

cas

n'arrive

jamais

Les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

lzupm

cr

s

l?zupm

cr

s

k

La

limite

de

temps

est

T

m

k

On

remarque

que

jV

j

-LRB-

m

-RRB-

m

k.

Donc

T

-LRB-

m

-RRB-

j

Il

y

a

m

r?gions

interdites

pour

la

fonction

oe

Pour

i

m

la

i

me

r?gion

interdite

Fi

-LSB-

bi

ei

-RRB-

est

de

longueur

i.

Les

trois

derni?res

r?gions

Fi

-LSB-

bi

ei

-RRB-

m

i

m

Le

cas

sans

pr?emption

sont

de

longueur

k

m

m

respectivement

Le

d?but

et

la

on

de

ces

r?gions

sont

bi

-LRB-

-RRB-

i

i

-LRB-

i

-RRB-

ei

-LRB-

-RRB-

i

i

-LRB-

i

-RRB-

i

m

bm

m

em

m

k

bm

m

k

em

m

k

bm

m

em

m

Donc

nous

avons

m

r?gions

actives

pour

la

machine

la

premi?re

de

longueur

les

m

suivantes

de

longueur

la

m

me

de

longueur

m

la

m

me

de

longueur

m

la

m

me

de

longueur

k

et

la

m

me

de

longueur

Comme

T

jV

j

Pm

i

-LRB-

ei

bi

-RRB-

on

en

d?duit

que

dans

tout

ordonnancement

faisable

la

machine

ne

peut

pas

tre

oisive

Dans

la

ogure

nous

illustrons

les

p?riodes

actives

et

interdites

pour

la

machine

correspondant

au

graphe

de

la

Figure

La

limite

de

temps

est

T

active

Temps

interdite

Figure

Les

r?gions

actives

et

interdites

pour

la

machine

dans

l'instance

-LRB-

-RRB-

Nous

pr?tendons

qu'il

y

a

une

solution

pour

l'instance

de

si

et

seulement

si

il

existe

un

ordonnancement

faisable

pour

l'instance

de

-LRB-

-RRB-

ci-dessus

L'

id?e

intuitive

de

la

preuve

est

que

xi

-LRB-

ou

xi

-RRB-

est

vrai

si

et

seulement

si

l'ex

cution

de

-LRB-

ou

-RRB-

commence

dans

l'intervalle

de

temps

-LSB-

m

-RSB-

L'instance

de

-LRB-

-RRB-

est

construite

de

telle

fa?on

qu'il

y

a

une

solution

pour

l'instance

de

si

et

seulement

si

il

y

a

un

ordonnancement

faisable

sans

p?riodes

d'oisivet

pour

l'instance

de

-LRB-

-RRB-

Pour

avoir

une

solution

sans

p?riodes

d'oisivet

nous

devons

ex?cuter

dans

les

premi?res

m

r?gions

actives

les

t?ches

x

et

y

et

dans

la

m

me

r?gion

active

les

k

t?ches

clause

correspondant

la

valeur

de

v?rit

des

litt?raux

et

dans

la

derni?re

r?gion

active

le

restant

des

t?ches

clause

Pour

avoir

une

correspondance

une

une

entre

les

solutions

des

instances

de

-LRB-

-RRB-

et

de

nous

devons

ex?cuter

dans

la

m

me

r?gion

active

k

t?ches

clause

correspondant

k

clauses

dioe?rentes

Ces

k

t?ches?clause

sont

disponibles

pour

tre

ex?cut?es

dans

la

m

me

r?gion

active

seulement

si

nous

ex?cutons

dans

les

premiers

m

slots

soit

la

t?che

soit

selon

que

la

valeur

de

v?rit

associ?e

au

litt?ral

xi

est

ou

respectivement

Les

d?lais

pour

les

pr?c?dences

doivent

tre

choisis

de

telle

mani?re

qu'une

fois

ex?cut?es

toutes

les

t?ches

xi

et

xi

nous

ne

pouvons

plus

changer

l'ordre

d'ex

cution

pour

leurs

successeurs

i.e.

xi

j

et

xi

j

pour

tout

j

ox

j

m

sans

introduire

au

moins

une

p?riode

d'oisivet

Ces

propri?t?s

sont

nonc?es

et

prouv?es

dans

les

quatre

assertions

suivantes

Par

la

suite

nous

notons

par

-LRB-

resp

-RRB-

la

premi?re

t?che

ex?cut?e

parmi

les

t?ches

xij

et

xij

-LRB-

resp

yi

et

yi

-RRB-

et

par

-LRB-

resp

-RRB-

la

seconde

Dans

le

but

de

simplioer

la

preuve

-LRB-

et

les

notations

de

la

preuve

-RRB-

nous

consid?rons

une

r?gion

interdite

de

plus

-LSB-

-RRB-

de

longueur

z?ro

avec

Nous

avons

donc

au

total

m

r?gions

interdites

-LRB-

en

comptant

aussi

celle

de

longueur

z?ro

-RRB-

Fm

Nous

consid?rons

alors

m

r?gions

actives

Am

avec

les

r?gions

actives

de

la

date

z?ro

jusqu

la

date

et

de

la

date

la

date

Chapitre

Une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

temporis?es

Pour

chaque

t?che

v

V

nous

d?onissons

L

-LRB-

v

-RRB-

la

longueur

du

plus

long

chemin

vers

la

t?che

v

comme

suit

L

-LRB-

v

-RRB-

-LRB-

-LRB-

v

-RRB-

fL

-LRB-

u

-RRB-

luv

P

-LRB-

v

-RRB-

P

-LRB-

v

-RRB-

o

P

-LRB-

v

-RRB-

repr?sente

l'ensemble

des

pr?d?cesseurs

imm?diats

de

v

dans

le

graphe

de

t?ches

Une

t?che

est

disponible

une

date

t

si

tous

ses

pr?d?cesseurs

ont

t

ex?cut?s

et

les

d?lais

de

pr?c?dence

entre

les

pr?d?cesseurs

et

la

t?che

sont

coul?s

la

date

t.

Assertion

Les

t?ches

xij

et

xij

successeurs

des

premi?res

m

t?ches

ex?cut?es

doivent

tre

ex?cut?es

d?s

qu'elles

deviennent

disponibles

pour

avoir

un

ordonnancement

non-oisif

Assertion

Pour

avoir

un

ordonnancement

sans

p?riode

oisive

les

t?ches

doivent

tre

ex

cut?es

dans

la

r?gion

active

comme

suit

o

img

est

une

permutation

de

mg

et

dans

la

r?gion

active

Aj

j

m

les

t?ches

doivent

tre

ex?cut?es

dans

l'ordre

et

dans

la

r?gion

active

Am

les

t?ches

doivent

tre

ex?cut?es

dans

l'ordre

et

dans

la

r?gion

active

Am

les

t?ches

doivent

tre

ex?cut?es

dans

l'ordre

Assertion

Pour

avoir

un

ordonnancement

non-oisif

dans

les

deux

derni?res

r?gions

actives

doivent

tre

ex?cut?es

seulement

les

t?ches

de

type

cr

s

r

k

s

Assertion

Pour

avoir

un

ordonnancement

non-oisif

les

t?ches

de

type

cr

s

r

k

s

disponibles

pour

tre

ex?cut?es

dans

la

r?gion

active

Am

ont

leurs

pr?d?cesseurs

ex?cut?s

dans

la

r?gion

active

Am

Les

preuves

de

ces

assertions

sont

donn?es

dans

l'annexe

B.

Notons

d'abord

que

pour

chaque

paire

cr

s

et

cr

t

s

t

il

y

a

au

moins

un

j

tel

que

soit

xjm

pr?c?de

cr

s

et

xjm

pr?c?de

cr

t

soit

xjm

pr?c?de

cr

s

et

xjm

pr?c?de

cr

t.

Alors

pour

tout

r

r

k

exactement

une

t?che

parmi

les

sept

t?ches

cr

s

s

peut

tre

ex?cut?e

dans

la

r?gion

active

Am

Donc

nous

avons

une

fonction

oe

non-oisive

si

et

seulement

si

les

premi?res

m

t?ches

ex

cut?es

correspondent

une

combinaison

satisfaisante

Th?or?me

Les

deux

probl?mes

-LRB-

-RRB-

et

-LRB-

-RRB-

sont

NP-complets

Le

cas

sans

pr?emption

Preuve

Le

th?or?me

est

une

cons?quence

du

lem

me

et

du

lem

me

Nous

pouvons

observer

que

l'assertion

du

th?or?me

pr?c?dent

reste

vraie

m?me

si

le

probl?me

-LRB-

-RRB-

est

modio

en

bornant

la

limite

de

temps

T

j.

Dans

la

preuve

du

lem

me

la

limite

de

temps

de

l'instance

de

-LRB-

-RRB-

peut

tre

born?e

par

j

et

dans

la

preuve

du

lem

me

la

limite

de

temps

T

de

l'instance

de

-LRB-

-RRB-

est

T

T

o

T

est

la

limite

de

temps

de

l'instance

correspondante

de

-LRB-

-RRB-

Corollaire

Le

probl?me

j

prec

-LRB-

lij

-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-diOEcile

Corollaire

Le

probl?me

j

prec

-LRB-

lij

-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-diOEcile

T?ches

enti?res

et

d?lais

unitaires

algorithme

optimal

Dans

ce

chapitre

nous

consid?rons

le

probl?me

d'ordonnancement

avec

d?lais

unitaires

et

ex?cutions

sans

pr?emption

c'est

dire

toute

t?che

ayant

commenc

s

ex?cuter

ne

lib?re

la

machine

qu

la

on

de

l'ex

cution

Cependant

la

dur?e

d'ex

cution

de

chaque

t?che

peut

tre

un

nombre

naturel

quelconque

On

d?montre

que

ce

probl?me

i.e.

j

prec

-LRB-

lij

-RRB-

pj

IN

j

Cmax

est

polynomial

et

nous

pr?sentons

un

algorithme

optimal

O

-LRB-

-RRB-

pour

ce

probl?me

A

la

on

du

chapitre

nous

tendrons

ce

r?sultat

pour

le

cas

o

certains

arcs

sont

de

longueur

z?ro

et

aussi

pour

le

cas

o

les

dates

de

disponibilit

et

des

d?lais

de

livraison

sont

de

dur?e

z?ro

ou

un

L'ordonnancement

optimal

d?nomm

LOS

-LRB-

Lexicographic

Order

Schedule

-RRB-

pour

la

suite

est

un

ordonnancement

de

liste

propos

par

Cooeman

et

Graham

-LSB-

-RSB-

pour

minimiser

le

temps

d'ex

cutions

d'un

graphe

arbitraire

avec

des

t?ches

unitaires

sur

deux

processeurs

LOS

utilise

une

liste

de

t?ches

ordonn?es

par

l'ordre

lexicographique

qui

se

d?onit

comme

suit

Supposons

qu'il

y

ait

f

t?ches

onales

On

donne

les

tiquettes

f

ces

t?ches

dans

un

ordre

arbitraire

Supposons

maintenant

que

k

f

t?ches

ont

d?j

re?u

les

tiquettes

k.

Consid?rons

les

t?ches

ayant

tous

les

successeurs

tiquet?s

On

donne

l'

tiquette

k

la

t?che

qui

poss?de

la

suite

d?croissante

des

tiquettes

de

ses

successeurs

imm?diats

lexicographiquement

minimale

LOS

est

l'ordonnancement

de

liste

qui

ex?cute

les

t?ches

disponibles

dans

l'ordre

d?croissant

des

tiquettes

Th?or?me

Soit

G

-LRB-

V

E

-RRB-

un

graphe

de

t?ches

arbitraire

Si

les

d?lais

de

pr?c?dence

ont

longueur

un

alors

LOS

minimise

le

temps

d'ex

cution

de

G

dans

la

classe

de

politiques

sans

pr?emption

Preuve

Si

la

machine

n'est

jamais

oisive

sous

LOS

alors

LOS

est

trivialement

optimal

Supposons

pour

la

suite

que

la

machine

est

oisive

sous

LOS

Soit

M

la

dur?e

de

l'ordonnancement

de

G

sous

LOS

Soit

-LRB-

v

-RRB-

l'

tiquette

d'une

t?che

v

G.

Soit

V

M

la

fonction

d'ordonnancement

de

LOS

Notons

par

P

-LRB-

v

-RRB-

l'ensemble

de

tous

les

pr?d?cesseurs

de

v

dans

G.

Consid?rons

d'abord

le

cas

o

les

t?ches

ont

une

dur?e

unitaire

Pour

simplioer

la

notation

on

consid?re

par

convention

que

chaque

fois

que

la

machine

est

oisive

avant

la

date

M

elle

ex?cute

une

t?che

octive

tiquet?e

par

avec

-LRB-

-RRB-

Notons

qu

moins

d'avoir

oni

toutes

les

t?ches

la

machine

n'est

jamais

oisive

pendant

deux

ou

plusieurs

unit?s

de

temps

la

suite

Chapitre

Une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

temporis?es

car

les

d?lais

de

pr?c?dence

ont

longueur

unitaire

Soit

M

V

-LSB-

la

fonction

inverse

de

i.e.

-LRB-

t

-RRB-

donne

la

t?che

qui

s

ex?cute

sur

la

machine

dans

l'intervalle

-LSB-

t

t

-RRB-

sous

LOS

Soit

la

date

la

plus

r?cente

apr?s

laquelle

la

machine

n'est

plus

oisive

sous

LOS

durant

l'intervalle

-LSB-

M

-RRB-

i.e.

est

la

derni?re

date

d'oisivet

min

n

s

j

s

M

fs

s

M

-LRB-

t

-RRB-

o

Notons

par

l'ensemble

de

t?ches

ex?cut?es

dans

l'intervalle

-LSB-

M

-RRB-

M

-LSB-

t

f

-LRB-

t

-RRB-

g

Soit

la

t?che

octive

ex?cut?e

la

date

La

t?che

ex?cut?e

la

date

est

un

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

dans

-LRB-

autrement

comme

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

unitaires

au

moins

une

t?che

dans

n

tant

pas

un

successeur

de

-LRB-

-RRB-

devrait

tre

ex?cut?e

la

date

-RRB-

Soit

la

date

au

plus

t?t

partir

de

laquelle

la

machine

ex?cute

de

mani?re

continue

des

pr?d?cesseurs

de

toutes

les

t?ches

dans

min

n

t

j

t

f

-LRB-

t

-RRB-

-LRB-

t

-RRB-

-LRB-

-RRB-

g

P

-LRB-

v

-RRB-

o

Soit

l'ensemble

de

t?ches

ex?cut?es

dans

l'intervalle

-LSB-

-RRB-

-LSB-

t

f

-LRB-

t

-RRB-

g

Soit

la

t?che

-LRB-

peut

tre

octive

-RRB-

ex?cut?e

la

date

Remarquons

que

par

d?onition

la

t?che

n'est

pas

un

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

de

tandis

que

les

t?ches

de

sont

des

pr?d?cesseurs

de

toutes

les

t?ches

dans

Alors

selon

la

d?onition

de

la

proc?dure

d'

tiquetage

a

une

tiquette

plus

petite

que

toutes

les

taches

de

-LRB-

-RRB-

-LRB-

v

-RRB-

Donc

la

t?che

ex?cut?e

la

date

est

un

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

de

-LRB-

autrement

d'apr

s

la

d?onition

de

LOS

au

moins

une

t?che

dans

qui

n'est

pas

un

successeur

de

-LRB-

-RRB-

devrait

tre

ex?cut?e

la

date

car

nouveau

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

unitaires

-RRB-

Soit

la

date

au

plus

t?t

partir

de

laquelle

la

machine

ex?cute

de

mani?re

continue

des

pr?d?cesseurs

de

toutes

les

t?ches

dans

min

n

t

j

t

f

-LRB-

t

-RRB-

-LRB-

t

-RRB-

-LRB-

-RRB-

g

P

-LRB-

v

-RRB-

o

Soit

l'ensemble

de

t?ches

ex?cut?es

dans

l'intervalle

-LSB-

-RRB-

-LSB-

t

f

-LRB-

t

-RRB-

g

Soit

la

t?che

-LRB-

peut

tre

octive

-RRB-

ex?cut?e

la

date

Vu

que

la

t?che

a

une

tiquette

plus

petite

que

les

t?ches

dans

que

la

t?che

n'est

pas

un

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

dans

et

que

chaque

t?che

de

est

un

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

dans

et

de

toutes

les

t?ches

dans

par

transitivit

la

t?che

a

une

tiquette

plus

petite

que

les

t?ches

dans

-LRB-

-RRB-

-LRB-

v

-RRB-

Alors

la

t?che

ex?cut?e

la

date

est

un

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

dans

donc

on

peut

d?onir

la

date

au

plus

t?t

partir

de

laquelle

la

machine

ex?cute

de

mani?re

continue

des

pr?d?cesseurs

de

toutes

les

t?ches

de

Le

cas

sans

pr?emption

On

continue

cette

proc?dure

jusqu'au

d?but

de

l'ordonnancement

et

nous

obtenons

les

dates

sm

sm

M

telles

que

pour

tout

i

m

chaque

t?che

de

Vi

est

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

de

Vi

o

Vi

si

-LSB-

t

si

f

-LRB-

t

-RRB-

g

Soit

ui

la

t?che

-LRB-

peut

tre

octive

-RRB-

ex?cut?e

la

date

si

i

m

Une

telle

construction

est

illustr?e

par

la

ogure

Vm

Vm

um

um

Figure

La

d?composition

d'un

ordonnancement

LOS

Comme

les

t?ches

de

Vi

et

de

Vi

sont

en

relation

de

pr?c?dence

i

m

il

est

clair

que

tout

ordonnancement

faisable

pour

le

graphe

de

t?ches

G

a

une

longueur

d'au

moins

m

Pmi

jVij

o

jVij

est

le

cardinal

de

Vi

Mais

M

m

Pmi

jVij

et

donc

LOS

est

un

ordonnancement

optimal

Consid?rons

maintenant

le

cas

g?n?ral

o

les

dur?es

d'ex

cution

des

t?ches

sont

des

nombres

naturels

arbitraires

Nous

d?onissons

les

ensembles

de

t?ches

d'une

mani?re

similaire

c'est

dire

est

l'ensemble

de

t?ches

ex?cut?es

apr?s

la

derni?re

p?riode

d'oisivet

de

la

machine

et

les

t?ches

de

Vi

i

m

sont

ex?cut?es

de

mani?re

contig?e

et

chaque

t?che

de

Vi

est

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

de

Vi

Comme

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

unitaires

il

ne

peut

pas

y

avoir

plus

qu'une

t?che

-LRB-

peut

tre

octive

-RRB-

not?e

ui

entre

les

t?ches

de

Vi

et

celles

de

Vi

dans

l'ordonnancement

LOS

Soit

U

l'ensemble

de

t?ches

non

octives

ex?cut?es

entre

les

ensembles

Vi

i

m

U

def

V

m

-LSB-

i

Vi

m

-LSB-

i

fuig

Alors

la

dur?e

de

l'ordonnancement

est

gale

au

temps

total

d'ex

cution

de

G

plus

le

nombre

de

p?riodes

d'oisivet

M

m

X

i

-LRB-

-RRB-

m

X

i

X

pv

W

m

jU

j

-LRB-

-RRB-

o

W

P

pv

est

la

dur?e

totale

de

toutes

les

t?ches

de

G

et

est

la

fonction

indicatrice

Consid?rons

un

ordonnancement

arbitraire

ss

pour

G

de

longueur

M

Dans

la

suite

nous

d?montrons

que

la

longueur

M

de

ss

n'est

jamais

plus

petite

que

la

longueur

M

obtenue

par

LOS

L'id

e

de

base

est

que

tout

ordonnancement

doit

onir

toutes

les

t?ches

de

Vi

avant

d'ex

cuter

les

t?ches

de

Vi

Soit

-LRB-

resp

-RRB-

la

date

laquelle

la

premi?re

-LRB-

resp

derni?re

-RRB-

t?che

de

Vi

d?marre

l'ex

cution

dans

l'ordonnancement

ss

i

m.

Comme

toute

t?che

dans

Vi

i

m

est

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

de

Vi

on

obtient

que

Soit

V

i

l'ensemble

de

t?ches

d?marrant

l'ex

cution

dans

ss

pendant

l'intervalle

de

temps

-LSB-

-RSB-

i

m.

Clairement

Vi

V

i

i

m.

Soit

U

i

l'ensemble

de

t?ches

-LRB-

non

octives

-RRB-

d?marrant

l'ex

cution

dans

ss

pendant

l'intervalle

de

temps

-LRB-

-RRB-

i

m.

Soit

U

l'ensemble

de

t?ches

non

octives

ex?cut?es

Chapitre

Une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

temporis?es

entre

Vi

et

Vi

i

m.

Il

est

ais

de

constater

que

U

def

m

-LSB-

i

U

i

V

m

-LSB-

i

V

i

V

m

-LSB-

i

Vi

U

-LRB-

-RRB-

Alors

M

m

X

i

i

g

-LRB-

X

i

pu

-RRB-

i

g

A

m

X

i

X

i

pv

W

m

m

X

i

i

g

W

m

jU

j

-LRB-

-RRB-

o

la

premi?re

in?galit

vient

du

fait

que

l'ordonnancement

ss

peut

avoir

des

p?riodes

oisives

L'in

galit

-LRB-

-RRB-

et

les

relations

-LRB-

-RRB-

et

-LRB-

-RRB-

nous

permettent

de

conclure

que

M

W

m

jU

j

W

m

jU

j

M

Donc

LOS

a

une

longueur

minimale

Dans

le

cas

de

t?ches

unitaires

LOS

est

optimale

m?me

quand

les

d?lais

de

pr?c?dence

peuvent

tre

z?ro

entre

les

t?ches

d'une

sous-cha

ne

du

graphe

i.e.

lij

condition

que

jS

-LRB-

i

-RRB-

j

jP

-LRB-

j

-RRB-

j

o

S

-LRB-

i

-RRB-

repr?sente

l'ensemble

de

successeurs

imm?diats

de

i.

Dans

ce

cas

les

t?ches

i

et

j

ont

la

m?me

tiquette

donn?e

par

l'ordre

lexicographique

Plus

clairement

nous

d?onissons

MLOS

-LRB-

Modioed

Lexicographic

Order

Schedule

-RRB-

bas

sur

l'

tiquetage

modio

suivant

Soit

f

le

nombre

de

t?ches

onales

On

donne

les

tiquettes

f

ces

t?ches

de

fa?on

arbitraire

Supposons

maintenant

que

k

f

t?ches

ont

d?j

re?u

les

tiquettes

k.

Consid?rons

toutes

les

t?ches

ayant

tous

leurs

successeurs

tiquet?s

Si

la

t?che

ayant

la

suite

d?croissante

des

tiquettes

de

ses

successeurs

imm?diats

lexicographiquement

minimale

a

un

unique

successeur

et

le

d?lai

de

pr?c?dence

entre

la

t?che

et

le

successeur

est

z?ro

alors

on

aoeecte

cette

t?che

la

m?me

tiquette

que

celle

de

son

successeur

Autrement

la

t?che

re?oit

l'

tiquette

k

Th?or?me

Soit

G

-LRB-

V

E

-RRB-

un

graphe

de

t?ches

arbitraire

avec

des

t?ches

unitaires

Supposons

que

pour

tout

-LRB-

u

v

-RRB-

E

luv

et

que

jS

-LRB-

u

-RRB-

j

jP

-LRB-

v

-RRB-

j

d?s

que

luv

Alors

MLOS

minimise

le

temps

d'ex

cution

de

G

dans

la

classe

des

ordonnancements

sans

pr?emption

Preuve

La

preuve

est

similaire

la

premi?re

partie

de

la

preuve

du

th?or?me

-LRB-

le

cas

de

t?ches

unitaires

-RRB-

Nous

pouvons

d?onir

les

instants

sm

sm

M

de

telle

mani?re

que

pour

tout

i

m

chaque

t?che

de

Vi

est

le

pr?d?cesseur

de

toutes

les

t?ches

de

Vi

o

Vi

si

-LSB-

t

si

f

-LRB-

t

-RRB-

g

Si

luv

et

v

Vi

pour

un

i

m

alors

conform?ment

l'

hypoth?se

jS

-LRB-

u

-RRB-

j

jP

-LRB-

v

-RRB-

j

donc

u

Vi

Il

est

clair

que

pour

tout

-LRB-

u

v

-RRB-

E

si

u

Vi

et

v

Vi

alors

luv

Cependant

Le

cas

avec

pr?emption

les

arguments

de

la

preuve

du

th?or?me

restent

valides

dans

ce

cas

aussi

Remarque

Il

est

ais

d'observer

que

les

arguments

pour

prouver

que

MLOS

est

optimal

dans

la

preuve

ci-dessus

s

tendent

au

cas

o

les

dur?es

des

taches

u

et

v

sont

des

nombres

naturels

arbitraires

chaque

fois

que

luv

Remarque

Comme

nous

avons

d?j

mentionn

pr?c?demment

les

d?lais

de

pr?c?dence

peuvent

tre

utilis?s

pour

mod?liser

des

dates

de

disponibilit

et

des

d?lais

de

livraison

Donc

le

r?sultat

pr?c?dent

et

la

solution

polynomiale

restent

valables

aussi

dans

les

cas

o

les

dates

de

disponibilit

et

les

d?lais

de

livraison

sont

un

De

plus

la

solution

polynomiale

peut

tre

tendue

au

cas

o

les

dates

de

disponibilit

et

les

d?lais

de

livraison

peuvent

tre

z?ro

ou

un

Dans

ce

cas

pr?cis

l'ordre

lexicographique

pour

l'

tiquetage

commence

par

les

les

t?ches

onales

qui

ont

le

d?lai

de

livraison

gal

z?ro

Le

fait

qu'un

ordonnancement

LOS

est

optimal

peut

tre

prouv

en

ajoutant

une

t?che

octive

comme

successeur

de

toutes

les

t?ches

onales

ayant

un

d?lai

de

livraison

unitaire

Le

restant

de

la

preuve

est

analogue

celle

du

th?or?me

Pour

LOS

et

MLOS

l'

tiquetage

dans

l'ordre

lexicographique

n?cessite

O

-LRB-

jEj

-RRB-

op?rations

et

l'ordonnancement

n?cessite

O

-LRB-

n

log

n

-RRB-

op?rations

Comme

jEj

LOS

a

une

complexit

temps

O

-LRB-

-RRB-

Le

cas

avec

pr?emption

Dominance

Dans

cette

section

nous

consid?rons

le

cas

avec

pr?emption

j

pmtn

prec

-LRB-

lij

-RRB-

pj

j

Cmax

Dans

le

lem

me

suivant

nous

prouvons

que

les

solutions

avec

pr?emption

ne

sont

pas

dominantes

quand

les

t?ches

sont

unitaires

Lem

me

Soit

G

-LRB-

V

E

-RRB-

un

graphe

arbitraire

de

t?ches

unitaires

et

d?lais

de

pr?c?dence

entiers

Pour

tout

ordonnancement

pr?emptif

S

de

G

il

existe

un

ordonnancement

sans

pr?emption

pour

G

obtenu

par

une

transformation

polynomiale

partir

de

S

tel

que

la

longueur

de

plus

petite

ou

gale

celle

de

S.

Preuve

Soit

M

la

longueur

de

l'ordonnancement

S

de

G.

Supposons

sans

perte

de

g?n?ralit

que

dans

S

les

t?ches

de

V

ng

onissent

leur

ex?cution

dans

l'ordre

n.

Soient

les

t?ches

ex?cut?es

pendant

l'intervalle

-LSB-

-RRB-

par

S.

Soit

r

-LRB-

-RRB-

i

le

temps

pendant

lequel

ces

t?ches

se

sont

ex?cut?es

dans

-LSB-

-RRB-

Nous

construisons

l'ordonnancement

comme

suit

Dans

l'intervalle

-LSB-

-RRB-

ex?cute

exclusivement

la

t?che

A

partir

de

l'instant

ex?cute

les

m?mes

t?ches

que

S

l'exception

de

la

t?che

A

chaque

fois

que

S

ex?cute

la

t?che

ex?cutera

la

t?che

d'abord

apr?s

la

t?che

etc.

et

onalement

la

t?che

de

telle

mani?re

que

pendant

le

restant

du

temps

d'ex

cution

r

-LRB-

-RRB-

de

la

t?che

la

t?che

occupe

la

machine

pour

un

temps

total

de

r

-LRB-

-RRB-

i

On

va

voir

par

la

suite

qu'un

tel

ordonnancement

est

faisable

Alors

il

est

ais

d'observer

que

toutes

les

t?ches

-LRB-

en

particulier

la

t?che

-RRB-

onissent

leur

ex?cution

plus

t?t

-LRB-

i.e.

pas

plus

tard

-RRB-

dans

que

dans

S.

Consid?rons

maintenant

l'ordonnancement

Soient

les

t?ches

ex

cut?es

pendant

l'intervalle

-LSB-

-RRB-

par

Soit

r

-LRB-

-RRB-

i

le

temps

pendant

lequel

ces

Chapitre

Une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

temporis?es

t?ches

se

sont

ex?cut?es

dans

-LSB-

-RRB-

Nous

construisons

l'ordonnancement

de

la

m?me

fa?on

que

Dans

l'intervalle

-LSB-

-RRB-

ex?cute

exclusivement

la

t?che

Pendant

les

intervalles

-LSB-

-RRB-

et

-LSB-

M

-RRB-

ex?cute

les

m?mes

t?ches

que

l'exception

de

la

t?che

A

chaque

fois

que

ex?cute

la

t?che

ex?cutera

la

t?che

d'abord

apr?s

la

t?che

etc.

et

onalement

la

t?che

de

telle

mani?re

que

pendant

le

restant

du

temps

d'ex

cution

r

-LRB-

-RRB-

de

la

t?che

la

t?che

occupe

la

machine

pour

un

temps

total

de

r

-LRB-

-RRB-

i

La

faisabilit

de

l'ordonnancement

sera

prouv

plus

tard

Dans

ces

conditions

il

est

ais

d'observer

que

toutes

les

t?ches

-LRB-

en

particulier

la

t?che

-RRB-

onissent

leur

ex?cution

plus

t?t

dans

que

dans

Plus

g?n?ralement

pour

m

M

nous

d?onissons

un

ordonnancement

Sm

bas

sur

l'ordonnancement

Sm

Soientt

kmlm

les

t?ches

ex?cut?es

pendant

l'intervalle

-LSB-

m

m

-RRB-

par

Sm

Soit

r

-LRB-

kmi

-RRB-

i

lm

le

temps

durant

lequel

ces

t?ches

se

sont

ex?cut?es

dans

-LSB-

m

m

-RRB-

Nous

construisons

l'ordonnancement

Sm

comme

suit

Dans

l'intervalle

-LSB-

m

m

-RRB-

Sm

ex?cute

exclusivement

la

t?che

Pendant

les

intervalles

-LSB-

m

-RRB-

et

-LSB-

m

M

-RRB-

Sm

ex?cute

les

m?mes

t?ches

que

Sm

l'exception

de

la

t?che

A

chaque

fois

que

Sm

ex?cute

la

t?che

Sm

ex?cutera

la

t?che

d'abord

apr?s

la

t?che

etc.

et

onalement

la

t?che

kmlm

de

telle

mani?re

que

pendant

le

restant

du

temps

d'ex

cution

r

-LRB-

-RRB-

de

la

t?che

la

t?che

kmi

occupe

la

machine

pour

un

temps

total

de

r

-LRB-

kmi

-RRB-

i

lm

Nous

allons

constater

ais?ment

que

toutes

les

t?ches

-LRB-

en

particulier

la

t?che

-RRB-

onissent

leur

ex?cution

plus

t?t

dans

Sm

que

dans

Sm

Avant

de

prouver

la

faisabilit

des

ordonnancements

interm?diaires

nous

donnons

un

exemple

d'une

telle

construction

Consid?rons

un

graphe

de

quatre

t?ches

et

l'ordonnancement

correspondant

S

dans

la

ogure

Les

t?ches

onissent

leur

ex?cution

dans

l'ordre

en

S.

Temps

S

Figure

Exemple

de

construction

d'un

ordonnancement

sans

pr?emption

ffl

Dans

l'ordonnancement

pr?emptif

S

sont

ex?cut?es

trois

t?ches

dans

le

premier

intervalle

-LSB-

-RRB-

i.e.

les

t?ches

Les

-LRB-

fractions

du

-RRB-

temps

d'ex

cution

pour

ces

t?ches

dans

cet

intervalle

sont

r

-LRB-

-RRB-

r

-LRB-

-RRB-

r

-LRB-

-RRB-

est

identique

S

l'exception

des

t?ches

La

t?che

est

achev?e

la

on

de

l'intervalle

-LSB-

-RRB-

et

les

fractions

r

-LRB-

-RRB-

r

-LRB-

-RRB-

des

t?ches

sont

ex?cut?es

pendant

les

intervalles

d'ex

cution

de

la

t?che

apr?s

la

date

dans

S

qui

sont

les

parties

gris?es

de

l'ex

cution

des

t?ches

dans

ffl

Dans

les

t?ches

qui

s

ex?cutent

pendant

l'intervalle

-LSB-

-RRB-

sont

Les

fractions

du

temps

d'ex

cution

pour

ces

t?ches

dans

cet

intervalle

sont

r

-LRB-

-RRB-

et

r

-LRB-

-RRB-

est

identique

que

l'exception

des

t?ches

La

t?che

est

achev?e

Le

cas

avec

pr?emption

la

on

de

l'intervalle

-LSB-

-RRB-

et

la

fraction

r

-LRB-

-RRB-

de

la

t?che

est

ex?cut?e

pendant

les

intervalles

d'ex

cution

de

la

t?che

apr?s

la

date

dans

-LRB-

les

r?gions

gris?es

dans

-RRB-

ffl

Finalement

pour

construire

nous

avons

les

t?ches

qui

sont

ex?cut?es

en

pendant

le

troisi?me

intervalle

qui

sont

avec

les

fractions

r

-LRB-

-RRB-

r

-LRB-

-RRB-

La

t?che

est

achev?e

la

on

du

troisi?me

slot

dans

et

videment

la

t?che

est

achev?e

dans

le

slot

quatre

ffl

est

identique

car

dans

l'ordonnancement

initial

il

n

y

avait

pas

de

p?riode

oisive

-LRB-

donc

nous

avons

omis

de

la

ogure

-RRB-

Nous

prouvons

maintenant

que

Sm

est

faisable

par

r?currence

sur

m.

Comme

nous

avons

d?j

mentionn

pr?c?demment

est

trivialement

faisable

-LRB-

car

toutes

les

t?ches

sans

pr?d?cesseur

sont

disponibles

la

date

-RRB-

Supposons

que

Sm

est

un

ordonnancement

faisable

Pour

prouver

la

faisabilit

de

Sm

il

suOEt

d'analyser

la

t?che

qui

est

la

seule

t?che

qui

peut

commencer

son

ex?cution

dans

Sm

strictement

avant

que

dans

Sm

Notons

que

les

faits

suivants

sont

vrais

ffl

tous

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

entiers

ffl

dans

les

ordonnancements

Sm

et

Sm

tous

les

pr?d?cesseurs

de

la

t?che

onissent

l'ex

cution

des

instants

entiers

plus

petits

que

m

ffl

l'ordonnancement

Sm

est

faisable

ffl

la

t?che

est

ex?cut?e

pendant

l'intervalle

-LSB-

m

m

-RRB-

Clairement

dans

Sm

et

Sm

tous

les

d?lais

de

pr?c?dence

entre

la

t?che

et

ses

pr?d?cesseurs

ont

expir

la

date

m

Il

est

vrai

que

si

un

pr?d?cesseur

de

appel

v

onit

la

date

t

m

dans

l'ordonnancement

faisable

Sm

alors

on

a

lv

s

t

o

s

m

est

la

date

de

d?but

d'ex

cution

de

dans

Sm

Mais

comme

lv

et

t

sont

des

entiers

nous

avons

forc?ment

lv

m

t.

Donc

la

t?che

est

ex?cutable

la

date

m

dans

l'ordonnancement

Sm

Consid?rons

maintenant

le

dernier

ordonnancement

SM

dans

le

quel

toutes

les

t?ches

onissent

plus

t?t

que

dans

S.

Comme

SM

est

un

ordonnancement

sans

pr?emption

nous

pouvons

substituer

SM

et

la

preuve

est

alors

achev?e

Dans

le

lem

me

ci

dessus

les

d?lais

de

pr?c?dence

peuvent

tre

nuls

aussi

Ceci

implique

pour

le

cas

de

temps

d'ex

cution

entiers

que

les

ordonnancements

avec

pr?emptions

n'ayant

lieu

qu'aux

instants

entiers

sont

dominants

Corollaire

Soit

G

-LRB-

V

E

-RRB-

un

graphe

arbitraire

de

t?ches

enti?res

avec

des

d?lais

de

pr?c?dence

entiers

Pour

tout

ordonnancement

pr?emptif

S

de

G

il

existe

un

ordonnancement

de

G

obtenu

par

une

transformation

polynomiale

partir

de

S

tel

que

a

des

pr?emptions

seulement

des

instants

entiers

et

que

les

dur?es

de

et

de

S

sont

gales

T?ches

unitaires

et

d?lais

entiers

NP-diOEcult

Comme

une

cons?quence

du

lem

me

et

des

corollaires

et

nous

obtenons

Chapitre

Une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

temporis?es

Corollaire

Le

probl?me

j

pmtn

prec

-LRB-

lij

-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-diOEcile

Corollaire

Le

probl?me

j

pmtn

prec

-LRB-

lij

-RRB-

pj

j

Cmax

est

NP-diOEcile

T?ches

enti?res

et

d?lais

unitaires

algorithme

optimal

Une

cons?quence

du

lem

me

est

que

dans

le

cas

avec

pr?emption

nous

devons

seulement

couper

les

t?ches

en

morceaux

unitaires

Soit

PLOS

-LRB-

Preemptive

Lexicographic

Order

Schedule

-RRB-

la

politique

qui

divise

si

n?cessaire

les

t?ches

en

morceaux

unitaires

Autrement

dit

chaque

instant

entier

PLOS

ex?cute

pour

une

unit

de

temps

une

t?che

disponible

selon

l'

tiquetage

de

l'ordre

lexicographique

des

t?ches

Par

le

lem

me

et

le

th?or?me

on

obtient

Th?or?me

Soit

G

-LRB-

V

E

-RRB-

un

graphe

arbitraire

de

t?ches

Si

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

unitaires

alors

PLOS

minimise

le

temps

d'ex

cution

de

G

dans

la

classe

des

politiques

d'ordonnancement

avec

pr?emption

Preuve

Soit

le

graphe

de

t?ches

obtenu

par

le

remplacement

de

chaque

t?che

i

de

G

par

une

cha?ne

de

pi

t?ches

UET

Les

d?lais

de

pr?c?dence

sur

ces

cha?nes

sont

z?ro

Alors

en

appliquant

le

lem

me

et

le

th?or?me

on

obtient

que

MLOS

minimise

le

temps

d'ex

cution

de

dans

la

classe

des

politiques

d'ordonnancement

avec

pr?emption

L'assertion

du

th?or?me

est

imm?diate

par

le

fait

que

MLOS

pour

est

identique

PLOS

pour

G

et

que

les

ordonnancements

optimaux

avec

pr?emption

de

G

et

de

ont

la

m?me

dur?e

Conclusions

Nous

avons

tudi

dans

les

deux

sections

ci-dessus

le

probl?me

d'ordonnancement

avec

d?lais

de

pr?c?dence

Les

cas

avec

pr?emption

et

sans

pr?emption

ont

t

tudi?s

Nous

avons

prouv

que

dans

le

cas

o

les

t?ches

sont

de

dur?e

unitaire

et

les

pr?c?dences

sont

de

dur?e

enti?re

le

probl?me

est

NP-diOEcile

Pour

le

cas

o

les

t?ches

sont

de

dur?e

enti?re

et

les

pr?c?dences

sont

de

dur?e

unitaire

nous

avons

pr?sent

un

algorithme

optimal

en

O

-LRB-

-RRB-

temps

La

politique

LOS

n'est

plus

optimale

pour

deux

machines

Un

contre-exemple

est

donn

en

ogure

o

toutes

les

t?ches

et

tous

les

arcs

sont

unitaires

Le

diagramme

de

Gantt

de

la

ogure

montre

qu'une

solution

optimale

n'est

pas

oisive

et

donc

elle

est

plus

courte

que

la

solution

LOS

LOS

Optimal

Figure

Un

contre-exemple

pour

LOS

sur

deux

machines

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

Reconnaissance

et

d?composition

des

graphes

s?rie

parall?le

Classiocation

et

propri?t?s

des

graphes

s?rie

parall?le

Certains

probl?mes

d'ordonnancement

sont

polynomiaux

-LSB-

-RSB-

pour

la

classe

de

graphes

s?rie

parall?le

tandis

que

les

m?mes

probl?mes

sont

NP-complets

quand

le

graphe

est

g?n?ral

Nous

d?onissons

la

classe

et

les

sous-classes

des

graphes

s?rie

parall?le

l'aide

d'une

notation

quatre

champs

G

-LRB-

V

E

I

T

-RRB-

pour

un

graphe

G

o

V

E

I

T

sont

respectivement

les

ensembles

des

n?uds

des

arcs

des

n?uds

initiaux

-LRB-

sans

pr?d?cesseur

-RRB-

et

des

n?uds

terminaux

-LRB-

sans

successeur

-RRB-

D?onition

La

classe

de

graphes

s?rie

parall?le

est

d?onie

comme

suit

ffl

Un

simple

noeud

est

un

graphe

s?rie

parall?le

ffl

Si

-LRB-

-RRB-

et

-LRB-

-RRB-

sont

des

graphes

s?rie

parall?le

alors

les

graphes

construits

par

la

composition

s?rie

G

S

-LRB-

-LSB-

-LSB-

-LSB-

-LRB-

-RRB-

-RRB-

parall?le

G

P

-LRB-

-LSB-

-LSB-

-LSB-

-LSB-

-RRB-

sont

s?rie

parall?le

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

Dans

la

d?onition

pr?c?dente

si

nous

appliquons

la

composition

s?rie

seulement

si

ou

alors

nous

obtenons

la

classe

G

de

graphes

s?rie

parall?le

-LRB-

-RRB-

Il

est

clair

que

la

classe

des

graphes

contient

les

arbres

et

les

arbres

oppos?s

Un

exemple

de

graphe

est

pr?sent

dans

la

ogure

-LRB-

a

-RRB-

Une

autre

sous-classe

de

graphes

s?rie

parall?le

qui

a

suscit

beaucoup

d'int

r?t

dans

la

litt?rature

est

la

classe

s?rie

parall?le

-LRB-

-RRB-

D?onition

La

classe

de

graphes

est

d?onie

comme

suit

ffl

Un

simple

noeud

est

un

graphe

ffl

Si

Gi

-LRB-

Vi

Ei

Ii

Ti

-RRB-

sont

des

graphes

i

g

le

graphe

G

g

-LSB-

i

Vi

g

-LSB-

i

Ei

-LSB-

g

-LSB-

i

Ii

-LSB-

g

-LSB-

i

Ti

Ig

Tg

A

est

aussi

Clairement

dans

la

d?onition

ci-dessus

tout

graphe

a

un

seul

n?ud

initial

et

un

seul

n?ud

terminal

Donc

la

classe

de

graphes

est

une

sous-classe

des

graphes

Les

faits

suivants

nous

seront

utiles

par

la

suite

Lem

me

Si

G

-LRB-

V

E

-RRB-

G

alors

jEj

j

Preuve

Nous

prouvons

l'in

galit

suivante

par

r?currence

sur

le

nombre

de

n?uds

dans

le

graphe

jEj

j

jIj

jT

j

ce

qui

implique

l'assertion

du

lem

me

Si

jV

j

alors

le

r?sultat

est

vrai

Supposons

qu'il

y

ait

un

n

tel

que

l'in

galit

soit

vraie

pour

tous

les

graphes

avec

jV

j

n.

Soit

G

-LRB-

V

E

-RRB-

G

un

graphe

avec

jV

j

n.

Supposons

que

G

est

obtenu

par

une

composition

s?rie

ou

parall?le

des

deux

graphes

-LRB-

-RRB-

et

-LRB-

-RRB-

Clairement

n

et

n.

Alors

par

les

hypoth?ses

de

r?currence

nous

avons

jEij

jIij

jTij

i

ffl

Si

la

composition

est

parall?le

alors

I

-LSB-

et

T

-LSB-

donc

jEj

X

i

jIij

jTij

j

jIj

jT

j

ffl

Si

la

composition

est

s?rie

alors

E

-LSB-

-LSB-

-LRB-

-RRB-

I

et

T

donc

jEj

max

-LRB-

-RRB-

X

i

jIij

jTij

j

jIj

jT

j

o

la

premi?re

galit

est

due

au

fait

que

ou

et

l'in

galit

vient

du

fait

que

pour

n'importe

quels

nombres

positifs

x

et

y

on

a

max

-LRB-

x

y

-RRB-

x

y.

Alors

par

r?currence

le

r?sultat

est

valable

pour

tous

les

graphes

Reconnaissance

et

d?composition

des

graphes

s?rie

parall?le

Algorithme

de

reconnaissance

et

arbre

de

d?composition

La

d?composition

d'un

graphe

s?rie

parall?le

G

peut

tre

repr?sent?e

par

un

arbre

binaire

T

que

l'on

va

appeler

arbre

de

d?composition

Chaque

feuille

de

T

repr?sente

un

n?ud

dans

G

chaque

n?ud

int?rieur

est

tiquet

S

ou

P

et

repr?sente

la

composition

s?rie

ou

la

composition

parall?le

des

deux

sous-graphes

s?rie

parall?le

qui

leur

tour

sont

repr?sent?s

par

des

sous-arbres

et

leurs

racines

sont

les

ols

de

ce

n?ud

Par

convention

nous

supposons

que

dans

la

composition

s?rie

le

ols

gauche

pr?c?de

celui

de

droite

Alors

l'arbre

de

d?composition

est

ordonn

Clairement

l'arbre

de

d?composition

n'est

pas

unique

car

il

est

possible

d'avoir

plusieurs

compositions

successives

de

m?me

type

Pour

le

bon

fonctionnement

de

notre

algorithme

d'ordonnancement

nous

exigeons

que

la

d?composition

s?rie

de

G

en

et

soit

telle

que

soit

minimal

c'est

dire

qu'il

n'existe

pas

d'autre

d?composition

s?rie

de

G

en

et

telle

que

soit

un

sous-graphe

propre

de

Un

tel

arbre

de

d?composition

pour

le

graphe

dans

la

ogure

-LRB-

a

-RRB-

est

illustr

dans

la

ogure

-LRB-

b

-RRB-

-LRB-

a

-RRB-

-LRB-

b

-RRB-

S

P

S

P

S

S

P

Figure

-LRB-

a

-RRB-

Exemple

de

graphe

et

-LRB-

b

-RRB-

son

arbre

de

d?composition

Valdes

Tarjan

et

Lawler

ont

pr?sent

dans

-LSB-

-RSB-

un

algorithme

de

complexit

temps

lin?aire

-LRB-

dans

le

nombre

de

n?uds

et

d'arcs

-RRB-

pour

reconna?tre

la

classe

des

graphes

s?rie

parall?le

g?n?raux

et

pour

construire

un

arbre

binaire

de

d?composition

et

un

arbre

canonique

de

d

composition

o

les

compositions

successives

de

m?me

type

sont

repr?sent?es

par

une

seule

op?ration

-LRB-

voir

ogure

-RRB-

Bien

que

leur

algorithme

fournisse

un

arbre

de

d?composition

binaire

nous

ne

pouvons

pas

l'utiliser

car

le

choix

entre

les

compositions

s?rie

successives

est

fait

arbitrairement

Nous

pouvons

toutefois

utiliser

leur

arbre

canonique

pour

construire

notre

arbre

binaire

minimal

de

d?composition

L'algorithme

de

Valdes-Tarjan-Lawler

-LSB-

-RSB-

reconna?t

aussi

si

le

graphe

est

de

type

s?rieparall?le

S'il

ne

l'est

pas

clairement

le

graphe

n'est

pas

Si

oui

alors

nous

obtenons

un

arbre

de

d?composition

canonique

Pour

d?terminer

si

le

graphe

est

il

suOEt

de

v?rioer

les

ols

des

n?uds

S

-LRB-

op?rations

s?rie

-RRB-

Eoeectivement

pour

que

le

graphe

soit

son

arbre

de

d?composition

canonique

doit

tre

tel

que

jamais

deux

ols

voisins

d'une

m?me

op?ration

S

ne

soient

des

n?uds

P.

Autrement

dit

les

ols

P

d'un

S

sont

toujours

s?par?s

par

des

feuilles

Une

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

P

S

P

S

-LRB-

a

-RRB-

S

S

P

P

S

P

S

P

-LRB-

b

-RRB-

Figure

Arbres

obtenus

par

l'algorithme

de

Valdes-Tarjan-Lawler

-LRB-

a

-RRB-

arbre

binaire

de

d?composition

-LRB-

b

-RRB-

arbre

canonique

de

d?composition

telle

v?riocation

est

de

complexit

temps

lin?aire

en

nombre

de

n?uds

de

l'arbre

et

donc

est

lin?aire

dans

le

nombre

de

n?uds

du

graphe

La

construction

d'un

arbre

binaire

minimal

partir

de

l'arbre

canonique

de

d?composition

peut

tre

r?alis?e

ais?ment

en

temps

lin?aire

-LRB-

en

nombre

de

n?uds

du

graphe

-RRB-

Ainsi

l'algorithme

de

Valdes-Tarjan-Lawler

peut

tre

utilis

pour

reconna?tre

les

graphes

et

pour

construire

un

arbre

binaire

minimal

de

d?composition

De

plus

cet

algorithme

est

lin?aire

en

nombre

de

n?uds

du

graphe

par

le

lem

me

Nous

pr?sentons

ici

un

autre

algorithme

pour

la

reconnaissance

directe

des

graphes

et

la

construction

de

l'arbre

minimal

de

d?composition

Notre

algorithme

a

une

complexit

temps

inf?rieure

celui

pr?sent

dans

-LSB-

-RSB-

-LRB-

qui

a

t

con?u

aussi

pour

reconna?tre

les

graphes

-RRB-

M?me

si

notre

algorithme

est

quadratique

en

nombre

de

n?uds

du

graphe

il

est

simple

et

peut

tre

plus

rapide

pour

des

petits

graphes

Toutefois

il

a

la

m?me

complexit

que

l'algorithme

d'ordonnancement

pour

ce

type

de

graphes

que

nous

pr?sentons

dans

la

section

suivante

Pour

chaque

n?ud

v

V

nous

d?onissons

les

ensembles

suivants

A

-LRB-

v

-RRB-

est

l'ensemble

de

tous

les

pr?d?cesseurs

de

v

D

-LRB-

v

-RRB-

est

l'ensemble

de

tous

les

successeurs

de

v

avec

v

inclus

et

S

-LRB-

v

-RRB-

est

l'ensemble

des

successeurs

imm?diats

de

v.

Soient

a

-LRB-

v

-RRB-

jA

-LRB-

v

-RRB-

j

a

-LRB-

a

-LRB-

v

-RRB-

v

V

-RRB-

et

d

-LRB-

v

-RRB-

jD

-LRB-

v

-RRB-

j

d

-LRB-

d

-LRB-

v

-RRB-

v

V

-RRB-

Notre

algorithme

va

utiliser

les

faits

suivants

pour

reconna?tre

et

construire

l'arbre

de

d

composition

de

G

-LRB-

V

E

-RRB-

ffl

Si

jIj

alors

l'unique

n?ud

de

I

est

en

s?rie

avec

le

reste

du

graphe

ffl

Si

jIj

et

G

n'est

pas

connexe

alors

il

est

compos

en

parall?le

ffl

Si

jIj

et

G

est

connexe

alors

soit

il

est

compos

en

s?rie

soit

il

n'est

pas

un

graphe

Si

jIj

alors

G

est

un

graphe

obtenu

par

une

composition

s?rie

de

et

seulement

si

a

un

seul

n?ud

initial

Soit

y

un

tel

n?ud

Alors

il

doit

n?cessairement

satisfaire

l'

galit

Reconnaissance

et

d?composition

des

graphes

s?rie

parall?le

A

-LRB-

y

-RRB-

-LSB-

D

-LRB-

y

-RRB-

V

Comme

les

ensembles

A

-LRB-

y

-RRB-

et

D

-LRB-

y

-RRB-

sont

disjoints

nous

obtenons

a

-LRB-

y

-RRB-

d

-LRB-

y

-RRB-

jV

j

Si

un

tel

n?ud

n'existe

pas

alors

clairement

G

n'est

pas

dans

la

classe

des

graphes

Si

jIj

et

G

est

connexe

il

peut

y

avoir

plusieurs

n?uds

y

qui

v?rioent

a

-LRB-

y

-RRB-

d

-LRB-

y

-RRB-

jV

j.

Comme

G

est

sans

cycle

nous

pouvons

d?terminer

une

num?rotation

topologique

des

n?uds

t.q.

u

A

-LRB-

v

-RRB-

implique

que

u

v.

Alors

nous

garantissons

que

la

d?composition

s?rie

est

minimale

en

choisissant

y

comme

tant

le

plus

petit

n?ud

qui

v?rioe

l'

galit

ci-dessus

Cette

m?thode

de

d?composition

en

s?rie

donne

une

priorit

parmi

les

d?compositions

en

s?rie

successives

-LRB-

de

haut

en

bas

dans

le

graphe

initial

-RRB-

qui

est

tr?s

importante

pour

notre

algorithme

d'ordonnancement

Notre

algorithme

d?nomm

Decomp

est

d?crit

par

la

suite

de

mani?re

r?cursive

Avant

le

premier

appel

de

l'algorithme

les

op?rations

suivantes

sont

eoeectu?es

sur

le

graphe

G

-LRB-

V

E

-RRB-

o

les

variables

S

-LRB-

v

-RRB-

sont

des

variables

globales

dans

l'algorithme

r?cursif

tandis

que

les

autres

sont

locales

ffl

Nous

r

tiquetons

les

n?uds

selon

l'ordre

partiel

du

graphe

ffl

Nous

d?terminons

l'ensemble

I

des

n?uds

initiaux

ffl

Pour

chaque

v

V

nous

calculons

a

-LRB-

v

-RRB-

d

-LRB-

v

-RRB-

et

S

-LRB-

v

-RRB-

Dans

l'algorithme

Decomp

nous

notons

R

-LRB-

T

-RRB-

la

racine

de

l'arbre

Quand

-LRB-

V

-RRB-

est

un

sous-graphe

de

G

-LRB-

V

E

-RRB-

nous

supposons

que

est

la

restriction

de

E

aux

n?uds

de

V

De

la

m?me

mani?re

a

-LRB-

V

-RRB-

et

d

-LRB-

V

-RRB-

d?signent

les

restrictions

des

vecteurs

a

et

d

aux

n?uds

de

V

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

Proc?dure

Decomp

-LRB-

G

I

a

d

-RRB-

-LCB-

retourne

l'arbre

T

-LRB-

G

-RRB-

-RCB-

d?but

Si

jV

j

-LRB-

V

fxg

-RRB-

alors

T

-LRB-

G

-RRB-

x

sinon

Si

jIj

-LRB-

I

fxg

-RRB-

alors

V

fxg

S

-LRB-

x

-RRB-

Pour

chaque

v

faire

a

-LRB-

v

-RRB-

a

-LRB-

v

-RRB-

R

-LRB-

T

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

S

ols-gauche

x

ols-droite

Decomp

-LRB-

a

-LRB-

-RRB-

d

-LRB-

-RRB-

-RRB-

sinon

Trouve

les

composantes

connexes

de

G

Si

G

n'est

pas

connexe

alors

V

I

I

R

-LRB-

T

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

P

ols-gauche

Decomp

-LRB-

a

-LRB-

-RRB-

d

-LRB-

-RRB-

-RRB-

ols-droite

Decomp

-LRB-

a

-LRB-

-RRB-

d

-LRB-

-RRB-

-RRB-

sinon

-LCB-

i.e.

G

est

connexe

-RCB-

Trouve

le

plus

petit

n?ud

v?rioant

a

-LRB-

y

-RRB-

d

-LRB-

y

-RRB-

jV

j

Si

un

tel

y

existe

alors

fv

V

jv

yg

fv

V

jv

yg

I

fyg

Pour

chaque

v

faire

d

-LRB-

v

-RRB-

d

-LRB-

v

-RRB-

d

-LRB-

y

-RRB-

Pour

chaque

v

faire

a

-LRB-

v

-RRB-

a

-LRB-

v

-RRB-

a

-LRB-

y

-RRB-

R

-LRB-

T

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

S

ols-gauche

Decomp

-LRB-

a

-LRB-

-RRB-

d

-LRB-

-RRB-

-RRB-

ols-droite

Decomp

-LRB-

a

-LRB-

-RRB-

d

-LRB-

-RRB-

-RRB-

sinon

retourne

G

G

on

Lem

me

Pour

un

graphe

donn

G

-LRB-

V

E

-RRB-

la

proc?dure

Decomp

reconna?t

si

le

graphe

est

et

si

oui

elle

construit

son

arbre

de

d?composition

dans

O

-LRB-

-RRB-

temps

o

n

jV

j.

Preuve

La

proc?dure

Decomp

est

appel?e

r?cursivement

O

-LRB-

n

-RRB-

fois

A

chaque

appel

O

-LRB-

n

-RRB-

temps

est

suOEsant

pour

les

calculs

m?me

pour

trouver

les

composantes

connexes

car

par

le

lem

me

jEj

j

ce

qui

fait

que

jEj

O

-LRB-

n

-RRB-

La

complexit

de

l'algorithme

est

donc

O

-LRB-

-RRB-

Comme

l'

tape

de

calculs

pr?liminaires

peut

tre

r?alis?e

en

O

-LRB-

-RRB-

unit?s

de

temps

la

complexit

de

tout

l'algorithme

de

reconnaissance

et

d?composition

est

de

O

-LRB-

-RRB-

Ordonnancement

optimal

des

graphes

s?rie

parall?le

sur

deux

processeurs

Pr?liminaires

Nous

d?onissons

un

ordonnancement

comme

tant

la

fonction

oe

V

IN

i.e.

oe

-LRB-

u

-RRB-

-LRB-

tu

pu

-RRB-

o

tu

est

le

slot

et

pu

le

processeur

sur

lequel

la

t?che

u

est

ex?cut?e

Un

ordonnancement

est

faisable

si

Ordonnancement

optimal

des

graphes

s?rie

parall?le

sur

deux

processeurs

ffl

pour

tout

u

v

V

u

v

implique

-LRB-

tu

pu

-RRB-

-LRB-

tv

pv

-RRB-

ffl

et

si

-LRB-

u

v

-RRB-

E

alors

on

a

tu

-LRB-

pu

pv

-RRB-

tv

La

fonction

inverse

oe

-LRB-

t

p

-RRB-

nous

donne

la

t?che

ex?cut?e

sur

le

processeur

p

dans

le

slot

t.

Par

la

suite

nous

dirons

que

l'ordonnancement

oe

a

un

slot

oisif

la

date

t

si

un

des

processeurs

est

oisif

pendant

cette

unit

de

temps

Dans

ce

cas

nous

consid?rons

que

si

le

processeur

est

oisif

alors

il

ex?cute

une

t?che

octive

tiquet?e

Les

processeurs

sont

not?s

et

Par

M

nous

d?signons

la

longueur

de

l'ordonnancement

qui

est

le

dernier

slot

o

une

t?che

est

ex?cut?e

sur

l'un

des

processeurs

M

maxf

t

j

oe

-LRB-

t

-RRB-

ou

oe

-LRB-

t

-RRB-

g

Un

slot

oisif

dans

le

slot

-LRB-

resp

M

-RRB-

de

oe

est

appel

slot

oisif

gauche

-LRB-

resp

slot

oisif

droite

-RRB-

Les

slots

oisifs

gauche

et

droite

sont

appel?s

plus

g?n?ralement

slots

oisifs

extr?mes

les

autre

slots

oisifs

dans

l'ordonnancement

sont

appel?s

slots

oisifs

internes

L'id

e

de

cet

algorithme

est

de

combiner

r?cursivement

les

ordonnancements

des

sousgraphes

dans

lesquels

G

est

d?compos

selon

l'arbre

de

d?composition

Dans

le

cas

d'une

composition

s?rie

-LRB-

G

S

-RRB-

il

est

clair

que

toutes

les

t?ches

de

pr?c?dent

toutes

les

t?ches

de

et

alors

l'ordonnancement

de

G

sera

la

concat?nation

des

ordonnancements

de

et

Pour

une

composition

parall?le

-LRB-

G

P

-RRB-

il

n

y

a

pas

de

relation

de

pr?c?dence

entre

les

t?ches

de

et

les

t?ches

de

L'id

e

est

d'

imbriquer

les

ordonnancements

de

et

En

g?n?ral

nous

utilisons

l'ordonnancement

d'un

des

graphes

et

nous

remplissons

ses

slots

oisifs

avec

les

t?ches

du

second

graphe

ex?cut?es

s?quentiellement

Par

la

suite

nous

allons

consid?rer

un

sous-graphe

dans

l'arbre

de

d?composition

d'un

graphe

Plus

pr?cis?ment

nous

construirons

des

ordonnancements

du

sous-graphe

tout

en

tenant

compte

de

la

composition

suivante

laquelle

le

sous-graphe

va

participer

i.e.

son

p?re

dans

l'arbre

de

d?composition

Pour

tout

G

G

la

paire

-LRB-

G

O

-RRB-

o

O

fS

S

Pg

d?signe

le

type

de

la

composition

suivante

-LRB-

S

ou

P

-RRB-

laquelle

le

graphe

G

participe

Le

signe

exprime

que

G

est

le

ols

droit

-LRB-

-RRB-

ou

le

ols

gauche

-LRB-

-RRB-

dans

une

composition

s?rie

Dans

une

composition

parall?le

l'

change

des

ols

n

a

aucun

eoeet

Par

d?onition

dans

toute

composition

s?rie

-LRB-

G

S

-RRB-

nous

avons

soit

soit

et

donc

soit

a

un

slot

oisif

droite

-LRB-

si

-RRB-

soit

a

un

slot

oisif

gauche

-LRB-

si

-RRB-

Ces

slots

oisifs

sont

le

point

cl

de

notre

algorithme

d'ordonnancement

D?onition

On

dit

qu'un

ordonnancement

oe

de

G

est

adapt

-LRB-

par

rapport

-RRB-

-LRB-

G

O

-RRB-

si

tout

ce

qui

suit

est

vrai

-LRB-

i

-RRB-

Dans

chaque

slot

au

moins

un

processeur

est

non

oisif

oe

-LRB-

t

-RRB-

oe

-LRB-

t

-RRB-

t

M

-LRB-

ii

-RRB-

Dans

toute

paire

de

slots

cons?cutifs

est

non

oisif

dans

le

premier

slot

si

est

oisif

dans

le

second

et

vice

et

versa

i.e.

oe

-LRB-

t

i

-RRB-

oe

-LRB-

t

-LRB-

i

mod

-RRB-

-RRB-

i

-LRB-

iii

-RRB-

Si

O

P

alors

oe

est

un

ordonnancement

optimal

de

G

avec

un

maximum

de

slots

oisifs

extr?mes

Toutefois

si

oe

n

a

qu'un

seul

slot

oisif

extr?me

et

au

moins

un

slot

oisif

interne

alors

il

n'existe

pas

d'ordonnancement

optimal

avec

un

slot

oisif

extr?me

plac

l'autre

bout

et

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

si

oe

n

a

aucun

slot

oisif

extr?me

et

au

moins

un

slot

oisif

interne

alors

il

n'existe

pas

d'ordonnancement

de

longueur

M

ayant

deux

slots

oisifs

extr?mes

-LRB-

iv

-RRB-

Si

O

S

-LRB-

resp

S

-RRB-

alors

oe

est

l'ordonnancement

le

plus

court

ayant

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

et

si

possible

galement

un

slot

oisif

gauche

-LRB-

resp

droite

-RRB-

i.e.

oe

est

soit

optimal

soit

il

a

la

longueur

de

l'ordonnancement

optimal

plus

un

-LRB-

ce

dernier

cas

arrive

uniquement

s

il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

optimal

avec

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

-RRB-

Notons

que

le

deuxi?me

sous-cas

de

la

condition

-LRB-

iii

-RRB-

implique

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

optimal

-LRB-

de

longueur

M

-RRB-

avec

un

slot

oisif

extr?me

Notons

aussi

que

le

plus

court

ordonnancement

dans

-LRB-

iv

-RRB-

peut

tre

un

ordonnancement

non

optimal

car

nous

avons

impos

un

slot

oisif

extr?me

Dans

notre

algorithme

d'ordonnancement

nous

calculerons

des

ordonnancements

adapt?s

et

combinerons

ces

ordonnancements

selon

les

op?rations

de

composition

Pour

cela

nous

utiliserons

tr?s

souvent

deux

op?rations

sym?triques

tirement

droite

et

tirement

gauche

Consid?rons

un

ordonnancement

oe

de

longueur

M

satisfaisant

les

propri?t?s

-LRB-

i

-RRB-

et

-LRB-

ii

-RRB-

de

la

d?onition

Chacune

de

ces

op?rations

augmente

la

longueur

de

M

M

l

pourvu

que

M

l

jV

j

en

tirant

oe

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

et

tout

en

pr?servant

les

propri?t?s

-LRB-

i

-RRB-

et

-LRB-

ii

-RRB-

Lem

me

Chaque

ordonnancement

oe

d'un

graphe

G

-LRB-

V

E

-RRB-

de

longueur

M

jV

j

satisfaisant

les

propri?t?s

-LRB-

i

-RRB-

et

-LRB-

ii

-RRB-

de

la

d?onition

peut

tre

transform

en

un

ordonnancement

de

longueur

M

l

o

M

l

jV

j

tout

en

pr?servant

ces

propri?t?s

Ces

op?rations

d'

tirement

peuvent

tre

faites

en

O

-LRB-

jV

j

-RRB-

temps

Preuve

Nous

prouvons

le

lem

me

pour

l'op

ration

d'

tirement

droite

l'

tirement

gauche

tant

sym?trique

Consid?rons

d'abord

le

cas

l

Comme

M

jV

j

il

existe

au

moins

un

slot

o

les

deux

processeurs

sont

non

oisifs

Soit

t

le

dernier

slot

o

les

deux

processeurs

sont

non

oisifs

Par

les

propri?t?s

-LRB-

i

-RRB-

et

-LRB-

ii

-RRB-

de

la

d?onition

un

processeur

est

toujours

oisif

et

l'autre

toujours

non

oisif

apr?s

le

slot

t.

Supposons

sans

perte

de

g?n?ralit

que

le

processeur

n'est

jamais

oisif

apr?s

la

date

t

-LRB-

jusqu

la

on

de

l'ordonnancement

-RRB-

Soient

u

v

les

t?ches

ex?cut?es

par

et

dans

le

slot

t.

L'ordonnancement

tir

est

identique

oe

jusqu'au

slot

t

Si

est

oisif

dans

le

slot

t

-LRB-

voir

la

ogure

-LRB-

a

-RRB-

-RRB-

alors

les

t?ches

u

v

sont

ex?cut?es

sur

dans

les

slots

t

et

t

respectivement

Toutes

les

autres

t?ches

ex?cut?es

sur

pendant

les

slots

t

t

M

sont

d?plac?es

sur

et

sont

ex?cut?es

pendant

les

slots

t

t

M

-LRB-

ogure

-LRB-

b

-RRB-

-RRB-

Sinon

si

est

non

oisif

dans

le

slot

t

-LRB-

ogure

-LRB-

c

-RRB-

-RRB-

nous

ex?cutons

u

v

sur

dans

les

slots

t

et

t

respectivement

Toutes

les

autres

t?ches

sur

sont

d?cal?es

droite

d'un

slot

-LRB-

ogure

-LRB-

d

-RRB-

-RRB-

L'ordonnancement

r?sultant

est

clairement

faisable

et

satisfait

les

propri?t?s

-LRB-

i

-RRB-

et

-LRB-

ii

-RRB-

de

la

d?onition

La

complexit

temps

de

cette

op?ration

est

O

-LRB-

n

-RRB-

Supposons

maintenant

l

Comme

M

l

jV

j

il

y

a

au

moins

l

slots

o

les

deux

processeurs

sont

non

oisifs

Soient

tl

les

slots

les

plus

droite

o

tous

les

deux

processeurs

sont

non

oisifs

Alors

nous

commen?ons

r?arranger

comme

pr?c?demment

en

partant

de

tout

en

nous

d?pla?ant

vers

la

droite

Les

t?ches

ex?cut?es

apr?s

ti

et

avant

ti

sont

d?cal?es

droite

de

i

slots

i

l

o

ti

est

d?oni

par

convention

comme

Ordonnancement

optimal

des

graphes

s?rie

parall?le

sur

deux

processeurs

-LRB-

a

-RRB-

-LRB-

b

-RRB-

-LRB-

c

-RRB-

-LRB-

d

-RRB-

Time-slot

u

v

v

Time-slot

u

Time-slot

Time-slot

Figure

Illustration

d'

tirement

droite

des

ordonnancements

-LRB-

a

-RRB-

et

-LRB-

c

-RRB-

tant

M

A

nouveau

la

complexit

de

l'op

ration

est

O

-LRB-

n

-RRB-

Dans

les

deux

sous-chapitres

suivants

nous

d?terminerons

des

ordonnancements

adapt?s

du

graphe

G

tant

donn?s

les

ordonnancements

adapt?s

et

des

graphes

et

dans

lesquels

G

est

d?compos

selon

l'arbre

de

d?composition

T

En

utilisant

la

d?onition

il

est

clair

que

pour

trouver

l'ordonnancement

adapt

d'une

composition

nous

devons

prendre

en

compte

l'op

ration

de

composition

suivante

laquelle

G

participe

Ordonnancement

d'une

composition

parall?le

Consid?rons

d'abord

le

cas

G

o

-LRB-

-RRB-

et

-LRB-

-RRB-

Soit

-LRB-

resp

-RRB-

un

ordonnancement

adapt

de

-LRB-

resp

-RRB-

par

rapport

-LRB-

P

-RRB-

-LRB-

resp

-LRB-

P

-RRB-

-RRB-

de

longueur

-LRB-

resp

-RRB-

Soit

M

l

j

m

o

dxe

repr?sente

le

plus

petit

entier

plus

grand

ou

gal

x.

Comme

et

participent

une

composition

parall?le

nous

pouvons

interchanger

leurs

indices

sans

perte

de

g?n?ralit

Donc

nous

supposons

que

Notons

que

dans

ce

cas

M

-LRB-

sinon

on

a

M

et

alors

ce

qui

est

en

contradiction

avec

la

d?onition

de

M

-RRB-

L'algorithme

SchPar

ci-dessous

construit

un

ordonnancement

adapt

oe

pour

le

graphe

G

par

rapport

-LRB-

G

O

-RRB-

o

O

fS

S

Pg

Notons

que

les

arguments

d'entr

e

et

nous

permettent

de

calculer

les

ensembles

de

n?uds

et

sans

avoir

conna?tre

les

graphes

et

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

proc?dure

SchPar

-LRB-

O

-RRB-

-LCB-

retourne

un

ordonnancement

adapt

oe

-RCB-

d?but

Si

O

S

-LRB-

resp

S

-RRB-

Si

alors

Si

alors

ex?cute

et

s?quentiellement

sur

sinon

-LCB-

i.e.

-RCB-

Ex?cute

s?quentiellement

sur

dans

les

slots

M

et

sur

dans

les

slots

M

sinon

-LCB-

i.e.

-RCB-

Si

n

a

pas

de

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

alors

tirement

droite

-LRB-

resp

tirement

gauche

-RRB-

de

jusqu

Si

M

alors

Si

est

pair

alors

tirement

gauche

-LRB-

resp

tirement

droite

-RRB-

de

jusqu

la

longueur

M

M

sinon

-LCB-

i.e.

est

impair

-RCB-

Si

M

alors

tirement

gauche

-LRB-

resp

tirement

droite

-RRB-

de

jusqu

la

longueur

M

M

Remplir

en

partant

de

la

on

-LRB-

resp

du

d?but

-RRB-

les

slots

oisifs

de

avec

les

t?ches

de

partir

du

-LRB-

-RRB-

eme

-LRB-

resp

-RRB-

slot

sinon

-LCB-

i.e.

O

P

-RCB-

Si

alors

Ex?cute

s?quentiellement

sur

et

sur

sinon

-LCB-

i.e.

-RCB-

Si

M

alors

tirement

gauche

de

jusqu

la

longueur

M

M

Si

est

impair

ou

M

alors

Remplir

du

d?but

vers

la

on

les

slots

oisifs

de

avec

les

t?ches

de

partir

du

slot

sinon

-LCB-

i.e.

est

pair

et

M

-RCB-

Remplir

du

d?but

vers

la

on

les

slots

oisifs

de

avec

les

t?ches

de

partir

du

slot

on

Lem

me

A

partir

des

ordonnancements

adapt?s

des

graphes

G

par

rapport

-LRB-

P

-RRB-

et

-LRB-

P

-RRB-

l'algorithme

SchPar

calcule

un

ordonnancement

oe

de

G

adapt

par

rapport

-LRB-

G

O

-RRB-

O

fS

S

Pg

en

O

-LRB-

jV

j

-RRB-

temps

La

longueur

M

de

oe

est

ffl

Si

O

P

alors

M

max

-LRB-

M

-RRB-

ffl

Si

O

S

-LRB-

resp

S

-RRB-

alors

M

max

-LRB-

n

a

pas

de

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

-RRB-

ss

Preuve

Notons

d'abord

que

mis

part

les

cas

triviaux

l'ordonnancement

oe

construit

par

l'algorithme

SchPar

est

fond

sur

Toutefois

comme

la

composition

est

P

l'ordonnancement

est

un

ordonnancement

optimal

pour

le

graphe

Comme

tout

ordonnancement

faisable

Ordonnancement

optimal

des

graphes

s?rie

parall?le

sur

deux

processeurs

de

G

est

de

longueur

au

moins

max

-LRB-

M

-RRB-

nous

partons

de

l'ordonnancement

interm?diaire

qui

est

identique

soit

-LRB-

si

M

-RRB-

soit

tir

la

longueur

M

-LRB-

si

M

-RRB-

Nous

rappelons

que

dans

ce

dernier

cas

nous

avons

M

et

donc

le

lem

me

peut

tre

appliqu

Quand

M

le

nombre

de

slots

oisifs

dans

est

-LRB-

si

est

impair

si

est

pair

Quand

M

le

nombre

de

slots

oisifs

est

au

moins

Comme

l'ordonnancement

satisfait

les

propri?t?s

-LRB-

i

-RRB-

et

-LRB-

ii

-RRB-

de

la

d?onition

alors

toutes

les

t?ches

de

peuvent

tre

ex?cut?es

s?quentiellement

dans

ces

slots

oisifs

Il

est

clair

donc

que

est

un

ordonnancement

optimal

de

G.

Cependant

comme

nous

sommes

la

recherche

d'un

ordonnancement

adapt

de

-LRB-

G

O

-RRB-

nous

devons

remplir

les

slots

oisifs

de

fa?on

particuli?re

et

tirer

un

peu

plus

cet

ordonnancement

si

n?cessaire

Consid?rons

d'abord

le

cas

O

P.

L'algorithme

SchPar

fournit

clairement

un

ordonnancement

optimal

de

longueur

M

max

-LRB-

M

-RRB-

avec

le

maximum

de

slots

oisifs

extr?mes

Nous

prouvons

que

l'algorithme

SchPar

fournit

un

ordonnancement

adapt

de

-LRB-

G

P

-RRB-

Eoeectivement

si

est

pair

et

M

-LRB-

ce

qui

inclut

le

cas

-RRB-

tout

ordonnancement

optimal

ne

contient

pas

de

slots

oisifs

Donc

l'ordonnancement

oe

de

G

est

optimal

et

adapt

par

rapport

-LRB-

G

P

-RRB-

Si

M

et

est

impair

i.e.

alors

il

existe

exactement

un

slot

oisif

dans

tout

ordonnancement

de

longueur

M

Consid?rons

l'ordonnancement

de

longueur

M

identique

ou

obtenu

par

tirement

gauche

de

Il

y

a

deux

possibilit?s

-LRB-

i

-RRB-

poss?de

au

moins

un

slot

oisif

extr?me

-LRB-

ii

-RRB-

n

a

pas

de

slot

oisif

extr?me

Dans

le

cas

-LRB-

i

-RRB-

l'ordonnancement

oe

pr?serve

soit

le

slot

oisif

gauche

soit

celui

de

droite

de

Dans

le

cas

-LRB-

ii

-RRB-

il

n

y

a

pas

eu

d'

tirement

sur

pour

obtenir

-LRB-

autrement

des

slots

oisifs

extr?mes

auraient

t

cr?es

-RRB-

Comme

est

un

ordonnancement

adapt

de

-LRB-

ce

qui

implique

qu'il

n'existe

pas

d'ordonnancement

faisable

de

de

longueur

M

ayant

deux

slots

oisifs

extr?mes

-RRB-

oe

construit

par

l'algorithme

est

optimal

et

adapt

et

a

un

slot

oisif

interne

Si

M

on

peut

observer

que

le

nombre

total

de

slots

oisifs

de

est

au

moins

donc

il

y

a

au

moins

un

slot

oisif

interne

dans

L'ordonnancement

oe

de

G

construit

par

l'algorithme

n'utilise

pas

les

slots

oisifs

extr?mes

de

-LRB-

s

il

y

en

a

-RRB-

Donc

le

fait

que

soit

adapt

par

rapport

-LRB-

P

-RRB-

garantit

que

oe

est

adapt

par

rapport

-LRB-

G

P

-RRB-

Plus

pr?cis?ment

si

l'ordonnancement

optimal

adapt

poss?de

deux

slots

oisifs

extr?mes

il

est

clair

que

l'ordonnancement

oe

de

G

est

de

longueur

et

a

deux

slots

oisifs

extr?mes

et

alors

il

est

adapt

Si

n

a

qu'un

slot

oisif

extr?me

comme

il

est

adapt

on

conclut

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

optimal

ayant

un

slot

oisif

extr?me

du

c?te

oppos

ni

pour

ni

pour

G.

Dans

ce

cas

oe

construit

par

l'algorithme

est

optimal

et

adapt

avec

un

slot

oisif

extr?me

et

au

moins

un

slot

oisif

interne

Si

optimal

adapt

n

a

pas

de

slot

oisif

extr?me

on

peut

voir

ais?ment

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

faisable

pour

et

pour

G

de

longueur

contenant

un

slot

oisif

extr?me

et

non

plus

de

longueur

avec

deux

slots

oisifs

extr?mes

Notons

quand

m?me

que

dans

ce

cas

oe

a

au

moins

deux

slots

oisifs

internes

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

Consid?rons

maintenant

le

cas

O

S

-LRB-

resp

S

-RRB-

Pour

que

oe

soit

adapt

il

doit

avoir

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

Quand

il

est

ais

de

voir

que

l'ordonnancement

oe

construit

v?rioe

les

propri?t?s

d?sir?es

Supposons

par

la

suite

que

Si

M

alors

a

au

moins

slots

oisifs

donc

au

moins

un

slot

oisif

interne

Comme

est

optimal

pour

il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

pour

de

longueur

strictement

inf?rieure

Nous

consid?rons

les

cas

suivants

ffl

Si

a

deux

slots

oisifs

extr?mes

alors

l'ordonnancement

oe

construit

par

l'algorithme

est

de

longueur

et

contient

deux

slots

oisifs

extr?mes

et

donc

il

est

optimal

pour

G

et

adapt

par

rapport

-LRB-

G

S

-RRB-

-LRB-

resp

-LRB-

G

S

-RRB-

-RRB-

ffl

Si

n

a

qu'un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

mais

pas

de

l'autre

c?t

alors

comme

est

adapt

par

rapport

-LRB-

P

-RRB-

il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

faisable

de

longueur

pour

G

ayant

un

slot

oisif

gauche

-LRB-

resp

droite

-RRB-

et

pas

de

slot

oisif

l'extr

mit

oppos?e

-LRB-

il

n

y

en

a

pas

non

plus

avec

deux

slots

oisifs

extr?mes

-RRB-

Donc

l'algorithme

construit

un

ordonnancement

optimal

de

longueur

pour

G

avec

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

et

au

moins

un

slot

oisif

interne

et

qui

est

adapt

par

rapport

-LRB-

G

S

-RRB-

-LRB-

resp

-LRB-

G

S

-RRB-

-RRB-

ffl

Si

a

un

slot

oisif

gauche

-LRB-

resp

droite

-RRB-

mais

pas

du

c?te

oppos

-LRB-

n?cessaire

-RRB-

comme

est

adapt

par

rapport

-LRB-

P

-RRB-

il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

faisable

de

longueur

pour

G

ayant

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

Dans

ce

cas

l'algorithme

construit

un

ordonnancement

adapt

oe

de

longueur

contenant

deux

slots

oisifs

extr?mes

ffl

Si

ne

contient

pas

de

slots

oisifs

alors

avec

des

arguments

similaires

ceux

du

cas

pr?c?dent

on

d?duit

que

l'algorithme

construit

un

ordonnancement

adapt

de

longueur

avec

un

seul

slot

oisif

extr?me

-LRB-

celui

n?cessaire

-RRB-

et

au

moins

un

slot

oisif

interne

Si

M

alors

contient

au

plus

slots

oisifs

et

donc

l'ordonnancement

de

G

de

longueur

M

-LRB-

s

il

existe

-RRB-

ne

contient

pas

plus

d'un

slot

oisif

Si

est

impair

alors

a

exactement

slots

oisifs

Consid?rons

les

trois

cas

suivants

ffl

Si

a

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

i.e.

soit

il

a

deux

slots

oisifs

extr?mes

ou

alors

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

et

pas

de

slot

oisif

gauche

-LRB-

resp

droite

-RRB-

alors

l'algorithme

construit

un

ordonnancement

optimal

et

adapt

de

G

avec

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

ffl

Si

a

un

slot

oisif

gauche

-LRB-

resp

droite

-RRB-

et

pas

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

comme

est

adapt

alors

il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

de

G

de

longueur

M

ayant

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

L'ordonnancement

oe

construit

par

l'algorithme

est

de

longueur

et

contient

deux

slots

oisifs

extr?mes

et

donc

il

est

adapt

par

rapport

-LRB-

G

S

-RRB-

-LRB-

resp

-LRB-

G

S

-RRB-

-RRB-

ffl

Si

n

a

aucun

slot

oisif

extr?me

comme

il

est

adapt

alors

il

est

clair

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

de

longueur

pour

G

avec

deux

slots

oisifs

extr?mes

L'algorithme

construit

un

ordonnancement

de

longueur

contenant

le

slot

oisif

extr?me

n?cessaire

Si

toutefois

est

pair

i.e.

alors

tout

ordonnancement

de

G

de

longueur

M

est

non

oisif

Donc

tout

ordonnancement

adapt

de

G

par

rapport

-LRB-

G

S

-RRB-

-LRB-

resp

-LRB-

G

S

-RRB-

-RRB-

Ordonnancement

optimal

des

graphes

s?rie

parall?le

sur

deux

processeurs

a

une

longueur

d'au

moins

M

Si

contient

au

moins

un

slot

oisif

extr?me

l'algorithme

construit

un

ordonnancement

adapt

oe

ayant

deux

slots

oisifs

extr?mes

Si

n

a

pas

de

slot

oisif

extr?me

comme

il

contient

des

slots

oisifs

internes

et

comme

il

est

adapt

par

rapport

-LRB-

P

-RRB-

il

n'existe

pas

d'ordonnancement

de

longueur

M

avec

deux

slots

oisifs

extr?mes

ni

pour

ni

pour

G.

L'algorithme

construit

un

ordonnancement

adapt

oe

de

longueur

M

ayant

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

et

pas

de

slot

oisif

l'autre

extr?mit

Si

M

nous

consid?rons

d'abord

le

cas

o

est

impair

Alors

tout

ordonnancement

de

longueur

M

contient

exactement

un

slot

oisif

Notre

algorithme

construit

un

ordonnancement

optimal

et

adapt

oe

de

longueur

M

ayant

un

slot

oisif

droite

-LRB-

resp

gauche

-RRB-

et

pas

de

slot

oisif

l'autre

extr?mit

Si

est

pair

i.e.

alors

tout

ordonnancement

de

G

de

longueur

M

ne

contient

pas

de

slots

oisifs

L'algorithme

construit

un

ordonnancement

adapt

oe

de

longueur

M

ayant

deux

slots

oisifs

extr?mes

Finalement

consid?rons

la

complexit

en

temps

de

la

proc?dure

SchPar

Elle

d?pend

de

la

complexit

des

proc?dures

d'

tirement

et

de

remplissage

ex?cut?es

Chacune

de

ces

op?rations

peut

tre

eoeectu?e

en

O

-LRB-

n

-RRB-

op?rations

simplement

en

traversant

les

ordonnancements

impliqu?s

Donc

l'algorithme

SchPar

a

une

complexit

en

temps

lin?aire

Ordonnancement

d'une

composition

s?rie

Consid?rons

maintenant

le

cas

G

o

-LRB-

-RRB-

et

-LRB-

-RRB-

nouveau

soit

-LRB-

resp

-RRB-

l'ordonnancement

adapt

de

-LRB-

resp

-RRB-

par

rapport

-LRB-

S

-RRB-

-LRB-

resp

-LRB-

S

-RRB-

-RRB-

de

longueur

-LRB-

resp

-RRB-

Soit

M

l

m

Par

hypoth?se

et

sont

adapt?s

donc

a

un

slot

oisif

droite

et

un

gauche

Nous

supposons

que

le

slot

oisif

droite

de

et

celui

gauche

de

sont

sur

le

m?me

processeur

-LRB-

sinon

on

peut

renum?roter

les

processeurs

pour

l'un

des

ordonnancements

et

on

obtient

la

propri?t

d?sir?e

-RRB-

L'algorithme

SchSer

ci-dessous

construit

un

ordonnancement

adapt

oe

de

G

par

rapport

-LRB-

G

O

-RRB-

Notons

que

notre

arbre

de

d?composition

garantit

que

la

composition

s?rie

est

minimale

Donc

nous

devons

analyser

seulement

les

cas

O

fP

S

g.

proc?dure

SchSer

-LRB-

O

-RRB-

-LCB-

retourne

un

ordonnancement

adapt

oe

-RCB-

d?but

oe

est

la

concat?nation

de

avec

Si

O

S

et

ne

poss?de

pas

un

slot

oisif

gauche

alors

tirement

gauche

de

oe

on

Lem

me

partir

des

ordonnancements

et

de

G

adapt?s

-LRB-

S

-RRB-

et

-LRB-

S

-RRB-

l'algorithme

SchSer

calcule

un

ordonnancement

oe

de

G

adapt

-LRB-

G

O

-RRB-

O

fS

Pg

en

O

-LRB-

n

-RRB-

temps

o

n

jV

j.

La

longueur

M

de

oe

est

ffl

Si

O

P

alors

M

ffl

Si

O

S

alors

M

-LRB-

n

a

pas

de

slot

oisif

gauche

-RRB-

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

Preuve

Dans

la

composition

s?rie

-LRB-

G

S

-RRB-

toutes

les

t?ches

de

sont

des

pr?d?cesseurs

de

toutes

les

t?ches

de

Donc

tout

ordonnancement

du

graphe

G

contient

au

moins

deux

slots

oisifs

internes

Comme

et

sont

adapt?s

a

un

slot

oisif

droite

et

un

gauche

Il

faut

remarquer

qu'au

moins

un

des

ordonnancements

ou

est

optimal

car

soit

ou

contient

un

seul

n?ud

Nous

montrerons

que

la

concat?nation

de

avec

est

un

ordonnancement

optimal

de

G.

Consid?rons

d'abord

le

cas

O

P.

Nous

montrons

en

premier

que

la

concat?nation

de

avec

nous

donne

un

ordonnancement

optimal

Si

les

deux

ordonnancements

sont

optimaux

alors

la

concat?nation

est

optimale

Si

seulement

un

de

ces

ordonnancements

et

est

optimal

nous

consid?rons

le

cas

o

est

sous-optimal

Le

cas

o

est

sous-optimal

peut

tre

trait

d'une

mani?re

analogue

Comme

est

un

ordonnancement

adapt

-LRB-

S

-RRB-

il

est

clair

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

optimal

pour

avec

un

slot

oisif

droite

Donc

tous

les

ordonnancements

optimaux

de

de

longueur

doivent

onir

avec

les

deux

processeurs

occup?s

dans

le

dernier

slot

-LRB-

il

est

clair

que

a

plusieurs

t?ches

onales

-RRB-

Comme

partir

des

t?ches

onales

de

il

y

a

des

communications

vers

la

t?che

initiale

de

en

concat?nant

tout

ordonnancement

optimal

de

avec

un

ordonnancement

optimal

de

-LRB-

i.e.

-RRB-

nous

allons

avoir

un

slot

oisif

la

date

et

donc

la

longueur

de

l'ordonnancement

optimal

de

G

est

Vu

que

la

concat?nation

des

ordonnancements

adapt?s

et

a

la

m?me

longueur

cette

concat?nation

est

optimale

pour

G.

Nous

prouvons

par

la

suite

que

la

simple

concat?nation

nous

donne

un

ordonnancement

adapt

Si

et

ont

chacun

deux

slots

oisifs

extr?mes

alors

oe

a

aussi

deux

slots

oisifs

extr?mes

et

donc

c'est

un

ordonnancement

adapt

de

G.

Si

a

deux

slots

oisifs

extr?mes

et

seulement

un

-LRB-

qui

est

n?cessairement

gauche

-RRB-

comme

est

adapt

par

rapport

-LRB-

S

-RRB-

nous

pouvons

conclure

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

optimal

de

longueur

pour

G

ayant

un

slot

oisif

droite

-LRB-

sinon

il

existe

un

sous-ordonnancement

dans

oe

pour

de

longueur

ayant

deux

slots

oisifs

extr?mes

-RRB-

Si

poss?de

deux

slots

oisifs

extr?mes

et

seulement

un

-LRB-

qui

est

n?cessairement

droite

-RRB-

par

des

arguments

similaires

nous

concluons

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

optimal

pour

G

avec

un

slot

oisif

gauche

Si

les

deux

ordonnancements

ont

un

seul

slot

oisif

extr?me

comme

-LRB-

resp

-RRB-

est

adapt

-LRB-

S

-RRB-

-LRB-

resp

-LRB-

S

-RRB-

-RRB-

il

est

clair

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

optimal

pour

-LRB-

resp

-RRB-

avec

deux

slots

oisifs

extr?mes

donc

il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

pour

G

de

longueur

ayant

deux

slots

oisifs

extr?mes

-LRB-

sinon

il

existe

un

sous-ordonnancement

dans

oe

soit

pour

de

longueur

soit

pour

de

longueur

avec

deux

slots

oisifs

extr?mes

-RRB-

Nous

concluons

que

la

simple

concat?nation

des

ordonnancements

adapt?s

nous

donne

un

ordonnancement

adapt

-LRB-

G

P

-RRB-

Consid?rons

maintenant

le

cas

O

S

Dans

l'algorithme

nous

construisons

d'abord

oe

comme

pr?c?demment

de

longueur

M

Cet

ordonnancement

est

adapt

par

rapport

Ordonnancement

optimal

des

graphes

s?rie

parall?le

sur

deux

processeurs

-LRB-

G

S

-RRB-

seulement

si

a

un

slot

oisif

gauche

Si

n

a

pas

de

slot

oisif

gauche

nous

tirons

gauche

oe

pour

cr?er

le

slot

oisif

gauche

d?sir

Pour

prouver

que

l'ordonnancement

r?sultant

est

adapt

nous

consid?rons

deux

sous-cas

ffl

Si

oe

a

un

slot

oisif

droite

ce

cas

correspond

au

cas

ci-dessus

Nous

savons

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

optimal

avec

un

slot

oisif

gauche

du

cas

P.

Donc

tout

ordonnancement

ayant

un

slot

oisif

gauche

doit

tre

de

longueur

Alors

il

suOEt

d'

tirer

gauche

oe

et

l'ordonnancement

r?sultant

sera

adapt

-LRB-

i.e.

va

avoir

deux

slots

oisifs

extr?mes

-RRB-

de

longueur

M

ffl

Si

oe

n

a

pas

de

slot

oisif

droite

ce

cas

correspond

au

cas

ci-dessus

Nous

savons

qu'il

n

y

a

pas

d'ordonnancement

de

longueur

avec

deux

slots

oisifs

extr?mes

du

cas

P.

Vu

que

la

composition

suivante

est

S

l'ordonnancement

le

plus

court

avec

un

slot

oisif

gauche

est

de

longueur

M

Il

est

clair

que

le

slot

oisif

d?sir

peut

tre

cr

par

un

tirement

gauche

de

oe

La

complexit

de

la

proc?dure

SchSer

est

O

-LRB-

n

-RRB-

car

seulement

une

travers?e

des

ordonnancements

et

un

tirement

sont

n?cessaires

L'algorithme

r?cursif

A

partir

de

l'arbre

de

d?composition

T

-LRB-

G

-RRB-

du

graphe

G

de

type

s?rie

parall?le

nous

appliquons

r?cursivement

les

algorithmes

SchPar

et

SchSer

pour

obtenir

des

ordonnancements

adapt?s

des

sous-graphes

de

G

et

onalement

un

ordonnancement

optimal

de

G.

Cette

proc

dure

est

d?crite

dans

l'algorithme

suivant

Sched

L'ordonnancement

optimal

de

G

est

obtenu

en

utilisant

les

arguments

T

-LRB-

G

-RRB-

P

i.e.

Sched

-LRB-

T

-LRB-

G

-RRB-

P

-RRB-

Algorithme

Sched

-LRB-

T

O

-RRB-

-LCB-

retourne

l'ord

adapt

du

graphe

repr?sent

par

T

-RCB-

d?but

Si

R

-LRB-

T

-RRB-

V

alors

retourne

l'ordonnancement

optimal

d'une

t?che

sur

sinon

Si

R

-LRB-

T

-RRB-

S

alors

Sched

-LRB-

ols-gauche

S

-RRB-

Sched

-LRB-

ols-droite

S

-RRB-

oe

SchSer

-LRB-

O

-RRB-

sinon

-LCB-

i.e.

R

-LRB-

T

-RRB-

P

-RCB-

Sched

-LRB-

ols-gauche

P

-RRB-

Sched

-LRB-

ols-droite

P

-RRB-

oe

SchPar

-LRB-

O

-RRB-

on

Th?or?me

Pour

chaque

graphe

de

t?ches

G

de

type

avec

UET-UCT

contenant

n

t?ches

il

existe

un

algorithme

de

complexit

O

-LRB-

-RRB-

qui

trouve

l'ordonnancement

optimal

de

G

sur

deux

processeurs

Preuve

Il

est

ais

d'observer

et

simple

de

prouver

par

r?currence

sur

le

nombre

de

t?ches

d'un

graphe

que

l'algorithme

Sched

g?n?re

un

ordonnancement

adapt

Comme

un

ordon

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

nancement

adapt

d'un

graphe

par

rapport

la

composition

parall?le

P

est

un

ordonnancement

optimal

nous

concluons

que

Sched

-LRB-

T

-LRB-

G

-RRB-

P

-RRB-

retourne

un

ordonnancement

optimal

de

G.

tant

donn

que

la

complexit

temps

des

proc?dures

SchPar

et

SchSer

est

lin?aire

et

comme

il

n

y

a

qu'au

plus

n

compositions

dans

T

-LRB-

G

-RRB-

la

complexit

en

temps

de

l'algorithme

Sched

est

clairement

O

-LRB-

-RRB-

tant

donn

que

la

complexit

de

l'algorithme

Decomp

est

O

-LRB-

-RRB-

il

va

de

soi

que

la

complexit

de

tout

le

probl?me

reste

O

-LRB-

-RRB-

Nous

compl?tons

cette

partie

avec

une

illustration

de

l'algorithme

Dans

la

ogure

nous

pr?sentons

des

ordonnancements

adapt?s

interm?diaires

et

l'ordonnancement

optimal

onal

du

graphe

dans

la

ogure

-LRB-

a

-RRB-

-LRB-

a

-RRB-

-LRB-

b

-RRB-

-LRB-

c

-RRB-

-LRB-

e

-RRB-

-LRB-

f

-RRB-

-LRB-

d

-RRB-

-LRB-

g

-RRB-

Temps

Temps

Temps

Temps

Temps

Temps

Temps

Figure

Ordonnancements

adapt?s

pour

les

sous-graphes

du

graphe

dans

la

ogure

Conclusions

Nous

avons

pr?sent

un

algorithme

quadratique

pour

l'ordonnancement

optimal

des

graphes

avec

UET-UCT

sur

deux

processeurs

Ce

r?sultat

est

une

g?n?ralisation

des

r?sultats

ant?rieurs

pour

les

graphes

de

t?ches

de

type

arbre

Notons

que

notre

algorithme

est

valable

aussi

pour

les

graphes

qui

admettent

comme

r?duction

transitive

un

graphe

Dans

ce

cas

nous

devons

trouver

d'abord

la

r?duction

transitive

du

graphe

donn

et

apr?s

tester

s

il

est

et

onalement

appliquer

notre

algorithme

Si

nous

appliquons

l'algorithme

de

Valdes-Tarjan-Lawler

-LSB-

-RSB-

la

r?duction

transitive

est

eoeectu?e

avant

de

construire

l'arbre

de

d?composition

Ordonnancement

optimal

des

graphes

s?rie

parall?le

sur

deux

processeurs

Une

question

ouverte

reste

la

complexit

du

m?me

probl?me

pour

les

graphes

de

t?ches

g?n?raux

avec

UET-UCT

sur

deux

processeurs

Nous

conjecturons

que

ce

probl?me

est

polynomial

quand

le

graphe

appartient

la

classe

g?n?rale

des

graphes

s?rie

parall?le

-LRB-

sans

restriction

pour

la

composition

s?rie

-RRB-

Chapitre

Deux

processeurs

avec

graphes

s?rie

parall?le

UET-UCT

algorithme

optimal

Chapitre

Ordonnancement

stochastique

algorithme

optimal

pour

deux

processeurs

Pr?sentation

du

mod?le

Un

graphe

de

t?ches

G

-LRB-

V

E

-RRB-

est

un

graphe

orient

sans

cycle

o

V

jV

jg

est

l'ensemble

des

n?uds

repr?sentant

les

t?ches

E

ae

V

V

est

l'ensemble

d'arcs

repr?sentant

les

contraintes

de

pr?c?dence

-LRB-

i

j

-RRB-

E

si

et

seulement

si

la

t?che

i

doit

onir

son

ex?cution

avant

que

la

t?che

j

d?marre

Nous

notons

p

-LRB-

i

-RRB-

et

s

-LRB-

i

-RRB-

les

ensembles

des

pr?d?cesseurs

et

des

successeurs

imm?diats

de

i

V

respectivement

i.e.

p

-LRB-

i

-RRB-

fj

-LRB-

j

i

-RRB-

Eg

s

-LRB-

i

-RRB-

fj

-LRB-

i

j

-RRB-

Eg

Le

graphe

G

est

une

forescence

voir

la

ogure

-LRB-

resp

anti-forescence

voir

la

ogure

-RRB-

si

js

-LRB-

i

-RRB-

j

-LRB-

resp

jp

-LRB-

i

-RRB-

j

-RRB-

pour

tout

i

G.

Toute

forescence

-LRB-

resp

anti-forescence

-RRB-

contenant

un

seul

n?ud

sans

successeurs

-LRB-

resp

pr?d?cesseurs

-RRB-

est

appel?e

arborescence

-LRB-

resp

antiarborescence

-RRB-

Soit

S

-LRB-

i

-RRB-

l'ensemble

des

successeurs

-LRB-

pas

n?cessairement

imm?diats

-RRB-

de

i

V

i.e.

si

s

-LRB-

i

-RRB-

alors

S

-LRB-

i

-RRB-

sinon

S

-LRB-

i

-RRB-

s

-LRB-

i

-RRB-

-LSB-

-LSB-

-LRB-

i

-RRB-

S

-LRB-

j

-RRB-

A

L'ensemble

de

successeurs

S

-LRB-

i

-RRB-

et

le

n?ud

i

d?onissent

un

sous

graphe

de

G

not

Si

-LRB-

G

-RRB-

Tous

le

n?uds

i

V

n'ayant

pas

de

pr?d?cesseur

-LRB-

resp

successeur

-RRB-

sont

des

n?uds

initiaux

-LRB-

resp

onaux

-RRB-

Le

niveau

d'un

n?ud

onal

est

z?ro

par

convention

Le

niveau

d'un

n?ud

i

V

d?sign

par

L

-LRB-

i

-RRB-

est

la

longueur

du

plus

long

chemin

de

ce

n?ud

aux

n?uds

onaux

Le

niveau

d'un

graphe

G

d?sign

par

L

-LRB-

G

-RRB-

est

le

niveau

maximum

de

ses

n?uds

Soit

Nk

-LRB-

G

-RRB-

le

nombre

de

t?ches

de

G

sur

le

niveau

k

k

Clairement

Nk

-LRB-

G

-RRB-

pour

tout

k

L

-LRB-

G

-RRB-

Pour

tout

graphe

de

t?ches

G

-LRB-

V

E

-RRB-

et

pour

tout

niveau

l

soient

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-LRB-

V

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

E

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

-RRB-

et

Dl

-LRB-

G

-RRB-

-LRB-

V

-LRB-

Dl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

E

-LRB-

Dl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

-RRB-

les

deux

sous

graphes

de

G

contenant

Chapitre

Ordonnancement

stochastique

algorithme

optimal

pour

deux

processeurs

Figure

Un

exemple

de

forescence

Figure

Un

exemple

d'anti-forescence

uniforme

les

n?uds

du

haut

et

du

bas

s?par?s

par

le

niveau

l.

Plus

pr?cis?ment

V

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

fvjv

V

L

-LRB-

v

-RRB-

lg

V

-LRB-

Dl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

fvjv

V

L

-LRB-

v

-RRB-

lg

et

E

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

et

E

-LRB-

Dl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

sont

les

restrictions

de

E

sur

V

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

et

V

-LRB-

Dl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

Pour

simplioer

les

notations

nous

d?signerons

par

T

-LRB-

G

-RRB-

et

D

-LRB-

G

-RRB-

la

partie

du

haut

et

du

bas

d'un

graphe

s?par?e

par

le

niveau

l

quand

l

est

un

niveau

ox

pour

tous

les

graphes

Nous

pr?sentons

maintenant

les

notations

de

majoration

utilis?es

pour

comparer

des

graphes

Deux

graphes

F

et

G

sont

identiques

F

G

s

ils

ont

les

m?mes

ensembles

de

n?uds

et

d'arcs

Nous

dirons

que

F

est

plus

plat

que

G

not

F

OEf

G

si

i

X

k

i

Nk

-LRB-

F

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

G

-RRB-

Soient

deux

anti-arborescences

L'anti-arborescence

inclut

l'anti-arborescence

ou

est

incluse

dans

not

Oe

ou

OEe

si

est

isomorphe

un

sous

graphe

de

Formellement

inclut

s

il

existe

une

fonction

injective

f

de

vers

t.q.

v

v

s

-LRB-

u

-RRB-

implique

f

-LRB-

v

-RRB-

s

-LRB-

f

-LRB-

u

-RRB-

-RRB-

La

fonction

f

est

appelle

fonction

d'inclusion

Une

antiforescence

G

est

uniforme

si

tous

les

sous

arbres

fSv

-LRB-

G

-RRB-

v

Gg

peuvent

tre

ordonn?s

par

la

relation

d'inclusion

Par

exemple

l'anti-forescence

dans

la

ogure

est

une

anti-forescence

uniforme

Figure

Un

exemple

de

graphe

for?t

coup?e

Pr?sentation

du

mod?le

Nous

tendons

la

relation

d'inclusion

aux

anti-forescences

uniformes

Soient

-LRB-

-RRB-

et

-LRB-

-RRB-

deux

anti-forescences

uniformes

Supposons

que

les

n?uds

de

et

sont

num?rot?s

de

telle

fa?on

que

-LRB-

-RRB-

Oe

-LRB-

-RRB-

Oe

Oe

j

-LRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

Oe

-LRB-

-RRB-

Oe

Oe

j

-LRB-

-RRB-

L'anti-forescence

est

incluse

dans

not

OEe

si

et

seulement

si

et

i

Si

-LRB-

-RRB-

OEe

Si

-LRB-

-RRB-

Notons

que

si

G

est

une

anti-forescence

uniforme

alors

pour

tout

v

G

ayant

p

-LRB-

v

-RRB-

G

fvg

OEe

G

o

G

fvg

d?signe

le

graphe

obtenu

en

tant

v

de

G.

Nous

analyserons

par

la

suite

la

classe

des

graphes

G

appel?s

for?t

coup?e

qui

peuvent

tre

coup?s

dans

une

forescence

et

une

anti-forescence

uniforme

Plus

pr?cis?ment

les

graphes

dans

la

classe

G

satisfont

les

conditions

suivantes

D?onition

Pour

tout

graphe

G

-LRB-

V

E

-RRB-

G

il

existe

un

niveau

l

tel

que

Dl

-LRB-

G

-RRB-

est

une

forescence

Tl

-LRB-

G

-RRB-

est

une

anti-forescence

uniforme

o

les

n?uds

peuvent

tre

tiquet?s

de

telle

mani?re

que

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

Oe

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

Oe

Oe

SjV

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

j

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

et

que

les

sous

graphes

sont

en

relation

d'aplatissement

-LRB-

G

-RRB-

Of

-LRB-

G

-RRB-

Of

Of

SjV

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

j

-LRB-

G

-RRB-

le

niveau

l

sera

appel

niveau

de

coupe

Par

exemple

en

combinant

la

forescence

de

la

ogure

avec

l'anti-forescence

de

la

ogure

nous

obtenons

le

graphe

de

type

for?t

coup?e

de

la

ogure

Un

autre

exemple

de

graphes

de

type

for?t

coup?e

sont

les

graphes

fork-join

voir

la

ogure

Notons

d'abord

que

le

niveau

de

coupe

d'un

graphe

de

type

for?t

coup?e

n'est

pas

unique

Notons

aussi

que

cette

classe

de

graphes

poss?de

la

propri?t

de

fermeture

suivante

si

G

-LRB-

V

E

-RRB-

G

alors

G?fvg

G

pour

tout

v

V

tel

que

p

-LRB-

v

-RRB-

o

G?fvg

est

le

graphe

obtenu

en

tant

le

n?ud

v

et

ses

arcs

adjacents

Cette

propri?t

de

fermeture

-LRB-

par

suppression

-RRB-

va

tre

utilis?e

par

la

suite

dans

nos

r?sultats

Nous

tendons

la

notion

d'aplatissement

comme

suit

Soit

F

G

G

deux

graphes

de

type

for?t

coup?e

ayant

un

m?me

niveau

de

coupe

l

la

relations

d'aplatissement

tendu

not

F

OEf

G

dit

que

jV

-LRB-

Tl

-LRB-

F

-RRB-

-RRB-

j

jV

-LRB-

Tl

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

j

et

i

jV

-LRB-

Tl

-LRB-

F

-RRB-

-RRB-

j

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEf

Si

-LRB-

G

-RRB-

Chapitre

Ordonnancement

stochastique

algorithme

optimal

pour

deux

processeurs

Figure

Un

exemple

de

graphe

fork-join

D?onition

Deux

graphes

de

type

for?t

coup?e

F

G

G

de

m?me

niveau

de

coupe

l

sont

en

relation

F

OE

G

si

et

seulement

si

ils

satisfont

F

OEf

G

T

-LRB-

F

-RRB-

OEe

T

-LRB-

G

-RRB-

F

OEf

G

Notons

que

si

F

et

G

sont

deux

forescences

alors

F

OEf

G

implique

F

OE

G.

Si

F

et

G

sont

deux

anti-forescences

uniformes

alors

F

OEe

G

implique

F

OE

G.

Finalement

nous

d?onissons

la

notion

de

comparaison

stochastique

st.

La

variable

al?atoire

X

IR

est

stochastiquement

plus

petite

que

Y

IR

not

X

st

Y

si

pour

tout

x

IR

la

distribution

marginale

de

X

est

plus

petite

que

celle

de

Y

P

-LRB-

X

x

-RRB-

P

-LRB-

Y

x

-RRB-

Dans

la

preuve

de

notre

r?sultat

nous

utilisons

un

argument

de

couplage

bas

sur

le

tr?s

fameux

r?sultat

de

Strassen

-LSB-

-RSB-

pr?sent

ci-dessous

o

st

d?signe

l'

galit

en

distribution

Lem

me

-LRB-

Strassen

-RRB-

Deux

variables

al?atoires

X

Y

IR

satisfont

X

st

Y

si

et

seulement

si

il

existe

deux

variables

al?atoires

X

et

Y

d?onies

dans

un

espace

de

probabilit

commun

telles

que

X

st

X

Y

st

Y

et

X

Y

presque

s?rement

-LRB-

p.s.

-RRB-

Minimisation

stochastique

Nous

d?onissons

la

politique

HLMS

-LRB-

Highest

Level

Most

Successors

-RRB-

comme

suit

Les

t?ches

de

G

G

sont

tiquet?es

par

jV

j

de

telle

fa?on

que

pour

tout

i

jV

j

L

-LRB-

i

-RRB-

L

-LRB-

i

-RRB-

et

si

L

-LRB-

i

-RRB-

L

-LRB-

i

-RRB-

alors

jS

-LRB-

i

-RRB-

j

jS

-LRB-

i

-RRB-

j

A

tout

moment

nous

ex?cutons

les

t?ches

disponibles

-LRB-

les

t?ches

qui

n'ont

plus

de

pr?d?cesseurs

-RRB-

ayant

les

tiquettes

les

plus

petites

Autrement

dit

la

politique

HLMS

ex?cute

les

t?ches

au

plus

haut

niveau

parmi

les

t?ches

disponibles

Si

plusieurs

t?ches

de

m?me

niveau

sont

disponibles

alors

la

priorit

est

donn?e

la

t?che

ayant

le

plus

de

successeurs

Par

convention

le

processeur

ex?cute

la

t?che

avec

l'

tiquette

la

plus

petite

parmi

les

deux

taches

en

train

de

s

ex?cuter

Nous

consid?rions

par

la

suite

des

politiques

pr?emptives

o

l'ex

cution

des

t?ches

peut

tre

interrompue

et

reprise

sans

aucune

p?nalit

Minimisation

stochastique

Soit

la

classe

des

politiques

pr?emptives

n'utilisant

pas

d'information

sur

les

temps

d'ex

cution

des

t?ches

Pour

toute

politique

ss

soit

ss

-LRB-

G

-RRB-

la

longueur

de

l'ordonnancement

de

G

sous

cette

politique

Soit

la

politique

HLMS

Nous

prouvons

que

pour

deux

processeurs

une

politique

est

optimale

pour

la

classe

de

graphes

G

si

et

seulement

si

la

politique

est

HLMS

Th?or?me

Soit

un

syst?me

deux

processeurs

o

les

dur?es

d'ex

cution

des

t?ches

sont

i.i.d.

avec

une

distribution

exponentielle

commune

Alors

pour

tout

graphe

G

G

et

pour

toute

politique

ss

nous

avons

-LRB-

G

-RRB-

st

ss

-LRB-

G

-RRB-

-LRB-

-RRB-

De

plus

HLMS

est

la

seule

politique

qui

satisfait

la

relation

-LRB-

-RRB-

avec

galit

Pour

simplioer

les

preuves

de

ce

r?sultat

nous

imposons

quelques

restrictions

sur

la

classe

de

politiques

Nous

observons

du

fait

de

l'absence

de

m?moire

de

la

distribution

exponentielle

la

distribution

des

temps

r?siduels

d'ex

cution

des

t?ches

-LRB-

apr?s

pr?emption

-RRB-

reste

exponentielle

avec

le

m?me

param?tre

Si

nous

repr?sentons

l'

tat

du

syst?me

par

ce

qui

reste

du

graphe

et

la

distribution

des

temps

r?siduels

des

t?ches

alors

l'

tat

reste

inchang

entre

deux

instants

successifs

de

on

d'ex

cution

de

deux

taches

Nous

pouvons

donc

sans

perte

de

g?n?ralit

nous

restreindre

la

classe

des

politiques

o

les

pr?emptions

et

l'aoeectation

des

nouvelles

t?ches

sur

les

processeurs

ont

lieu

seulement

aux

instants

de

on

d'ex

cution

des

t?ches

Ces

instants

sont

nomm?s

instants

de

d?cision

Donc

nous

supposons

que

toutes

les

politiques

de

prennent

des

d?cisions

d'ordonnancement

seulement

ces

instants

Une

deuxi?me

cons?quence

du

manque

de

m?moire

de

la

distribution

exponentielle

est

que

toute

politique

oisive

n'est

jamais

optimale

-LRB-

une

politique

est

oisive

si

un

instant

o

il

existe

des

t?ches

disponibles

elle

permet

un

ou

plusieurs

processeurs

d'

tre

oisif

-LRB-

s

-RRB-

-RRB-

Alors

nous

supposons

sans

perte

de

g?n?ralit

que

contient

seulement

des

politiques

pr?emptives

non

oisives

Pour

prouver

le

th?or?me

nous

avons

besoin

des

lemmes

suivants

Lem

me

Soit

F

et

G

deux

sous

graphes

d'une

m?me

anti-forescence

uniforme

H

obtenus

en

enlevant

successivement

les

n?uds

initiaux

de

H

ou

des

sous

graphes

obtenus

pr?c?demment

Soit

F

-LRB-

resp

-RRB-

le

sous

graphe

obtenu

apr?s

avoir

enlev

le

second

n?ud

initial

le

plus

haut

de

F

-LRB-

resp

G

-RRB-

s

il

en

existe

un

Si

F

OEe

G

alors

F

OEe

Preuve

La

relation

d'inclusion

des

anti-forescence

uniformes

F

et

G

signioe

que

jV

-LRB-

F

-RRB-

j

jV

-LRB-

G

-RRB-

j

et

donne

aussi

la

relation

d'inclusion

des

anti-arborescences

uniformes

des

successeurs

-LRB-

nous

supposons

que

le

n?ud

a

le

maximum

de

successeurs

dans

F

et

dans

G

-RRB-

i

jV

-LRB-

F

-RRB-

j

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEe

Si

-LRB-

G

-RRB-

Nous

analysons

la

relation

d'inclusion

pour

les

anti-forescences

uniformes

apr?s

avoir

enlev

le

second

n?ud

initial

le

plus

haut

de

ces

deux

graphes

s

il

existe

Si

les

anti-forescences

F

et

G

sont

vides

la

relation

d'inclusion

est

vraie

trivialement

-LRB-

les

deux

anti-forescences

restantes

sont

vides

-RRB-

Il

est

ais

d'observer

que

si

F

est

vide

la

relation

d'inclusion

est

pr?serv?e

-LRB-

si

un

n?ud

est

eoeac

de

G

-RRB-

Si

F

et

G

ne

sont

pas

vides

alors

nous

analysons

trois

cas

cas

Dans

F

il

y

a

un

seul

n?ud

initial

-LRB-

celui

le

plus

haut

-RRB-

et

dans

G

le

n?ud

s

G

est

le

second

n?ud

initial

le

plus

haut

du

graphe

Alors

seulement

le

n?ud

s

G

est

enlev

Chapitre

Ordonnancement

stochastique

algorithme

optimal

pour

deux

processeurs

La

relation

d'inclusion

des

arbres

des

successeurs

du

n?ud

le

plus

haut

dans

F

respectivement

dans

G

nous

garantit

la

relation

d'inclusion

tendue

F

-LRB-

F

-RRB-

OEe

-LRB-

G

-RRB-

OEe

G

fsg

cas

Dans

G

il

y

a

un

seul

n?ud

initial

-LRB-

celui

le

plus

haut

-RRB-

et

r

F

est

le

second

n?ud

initial

le

plus

haut

de

F

Il

est

facile

de

voir

qu'en

enlevant

r

de

F

nous

avons

F

frg

OEe

F

OEe

G

et

que

la

relation

d'inclusion

tendue

est

pr?serv?e

cas

Les

deux

graphes

F

et

G

ont

au

moins

deux

n?uds

initiaux

Soit

r

-LRB-

resp

s

-RRB-

le

second

n?ud

initial

le

plus

haut

de

F

-LRB-

resp

G

-RRB-

Nous

avons

deux

sous

cas

cas

Si

r

s.

Alors

les

relations

s

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEe

Si

-LRB-

G

-RRB-

sont

les

m?mes

qu'avant

d'enlever

les

n?uds

r

et

s.

Il

est

ais

de

voir

que

les

relations

fr

jV

-LRB-

F

-RRB-

jg

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEe

Si

-LRB-

G

-RRB-

sont

toujours

vraies

-LRB-

nous

supposons

qu'il

n

y

a

pas

de

renum?rotation

des

n?uds

-RRB-

Comme

-LRB-

F

-RRB-

OEe

-LRB-

G

-RRB-

et

comme

Si

-LRB-

F

-RRB-

est

un

sous

arbre

de

-LRB-

F

-RRB-

pour

tout

i

r

nous

avons

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEe

Sf

-LRB-

i

-RRB-

-LRB-

G

-RRB-

o

f

est

la

fonction

inclusion

de

-LRB-

F

-RRB-

vers

-LRB-

G

-RRB-

Soit

f

-LRB-

i

-RRB-

hi

i

r

Il

est

ais

d'observer

que

hr

Comme

hi

-LRB-

G

-RRB-

i

r

et

comme

-LRB-

G

-RRB-

et

Ss

-LRB-

G

-RRB-

sont

des

arbres

disjoints

nous

obtenons

que

s

hr

et

donc

hi

i

s

i

r

Les

deux

derni?res

relations

impliquent

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEe

Si

-LRB-

G

-RRB-

s

i

r

Ainsi

la

relation

d'inclusion

tendue

est

pr?serv?e

apr?s

avoir

enlev

r

et

s.

cas

Si

r

s.

Alors

les

relations

r

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEe

Si

-LRB-

G

-RRB-

fs

jV

-LRB-

F

-RRB-

jg

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEe

Si

-LRB-

G

-RRB-

sont

pr?serv?es

Si

r

s

alors

nous

avons

aussi

fr

s

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEe

Si

-LRB-

F

-RRB-

OEe

Si

-LRB-

G

-RRB-

Ceci

nous

permet

de

conclure

que

la

relation

d'inclusion

tendue

est

pr?serv?e

en

enlevant

les

seconds

n?uds

initiaux

les

plus

hauts

de

F

et

G

s

ils

existent

Minimisation

stochastique

Lem

me

Soit

F

et

G

deux

sous

graphes

d'un

for?t

coup?e

H

G

obtenus

en

enlevant

successivement

des

n?uds

initiaux

de

H

ou

des

sous

graphes

obtenus

pr?c?demment

Si

T

-LRB-

F

-RRB-

OEe

T

-LRB-

G

-RRB-

alors

F

OEf

G

Preuve

Comme

H

G

est

un

graphe

de

type

for?t

coup?e

nous

avons

un

niveau

l

pour

lequel

T

-LRB-

H

-RRB-

-LRB-

V

-LRB-

T

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

E

-LRB-

T

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-RRB-

est

une

anti-forescence

uniforme

et

pour

i

jV

-LRB-

T

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

jg

-LRB-

T

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

Oe

-LRB-

T

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

Oe

Oe

SjV

-LRB-

T

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

j

-LRB-

T

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-LRB-

-RRB-

-LRB-

H

-RRB-

Of

-LRB-

H

-RRB-

Of

Of

SjV

-LRB-

T

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

j

-LRB-

H

-RRB-

-LRB-

-RRB-

Par

la

transitivit

des

relations

Oe

et

Of

la

relation

d'inclusion

-LRB-

-RRB-

et

la

relation

d'aplatissement

-LRB-

-RRB-

impliquent

pour

toute

paire

de

sous

graphes

F

G

de

H

que

si

T

-LRB-

F

-RRB-

OEe

T

-LRB-

G

-RRB-

alors

F

OEf

G.

Lem

me

Soient

F

-LRB-

V

-LRB-

F

-RRB-

E

-LRB-

F

-RRB-

-RRB-

et

G

-LRB-

V

-LRB-

G

-RRB-

E

-LRB-

G

-RRB-

-RRB-

deux

sous

graphes

de

H

G

obtenus

en

enlevant

successivement

des

n?uds

initiaux

de

H

ou

des

sous

graphes

obtenus

pr?c?demment

Si

F

OE

G

alors

-LRB-

F

-RRB-

st

-LRB-

G

-RRB-

-LRB-

-RRB-

Preuve

Nous

prouvons

ce

lem

me

en

combinant

les

id?es

des

preuves

du

th?or?me

de

-LSB-

-RSB-

et

du

lem

me

de

-LSB-

-RSB-

Nous

consid?rons

un

mod?le

o

les

processeurs

ex?cutent

continuellement

des

t?ches

et

les

ex?cutions

sont

coupl?es

Quand

une

t?che

est

aoeect?e

un

processeur

nous

lui

associons

un

temps

d'ex

cution

gal

au

restant

du

temps

d'ex

cution

de

la

t?che

s

ex?cutant

juste

avant

sur

ce

m?me

processeur

Donc

si

les

t?ches

u

F

et

v

G

sont

allou?es

sur

le

m?me

processeur

la

m?me

date

alors

elles

ont

les

m?me

temps

-LRB-

restants

-RRB-

d'ex

cution

-LRB-

bien

videment

ceci

se

passe

dans

deux

ordonnancements

coupl?s

-RRB-

Nous

prouverons

que

dans

un

tel

espace

de

probabilit?s

-LRB-

F

-RRB-

-LRB-

G

-RRB-

p

s

-LRB-

-RRB-

Soit

la

s?quence

-LRB-

croissante

-RRB-

de

ons

des

ex?cutions

des

t?ches

de

F

et

de

G

sur

les

deux

processeurs

sous

la

politique

HLMS

Soit

le

d?but

de

l'ordonnancement

Soient

Fn

-LRB-

V

-LRB-

Fn

-RRB-

E

-LRB-

Fn

-RRB-

-RRB-

et

Gn

-LRB-

V

-LRB-

Gn

-RRB-

E

-LRB-

Gn

-RRB-

-RRB-

les

graphes

restants

de

F

et

respectivement

de

G

la

date

cn

sous

la

politique

HLMS

dans

le

mod?le

coupl

Nous

montrons

par

r?currence

que

pour

tout

n

Fn

OE

Gn

-LRB-

-RRB-

ce

qui

implique

imm?diatement

-LRB-

-RRB-

Pour

n

il

est

trivial

que

F

OE

G

Supposons

que

la

relation

-LRB-

-RRB-

est

vraie

pour

un

n

Soient

-LRB-

resp

-RRB-

les

t?ches

de

Fn

-LRB-

resp

Gn

-RRB-

qui

sont

assign?es

aux

processeurs

-LRB-

resp

-RRB-

sous

la

politique

HLMS

Par

d?onition

max

-LRB-

-RRB-

Soient

L

-LRB-

-RRB-

L

-LRB-

-RRB-

L

-LRB-

-RRB-

L

-LRB-

-RRB-

Chapitre

Ordonnancement

stochastique

algorithme

optimal

pour

deux

processeurs

Si

Fn

est

vide

alors

-LRB-

-RRB-

est

vraie

trivialement

pour

n

Supposons

que

Fn

n'est

pas

vide

alors

cn

correspond

une

date

de

on

d'ex

cution

sur

un

des

processeurs

disons

le

processeur

h

h

max

-LRB-

-RRB-

Soit

la

t?che

uh

de

niveau

-LRB-

si

elle

existe

-RRB-

et

la

t?che

vh

de

niveau

-LRB-

si

elle

existe

-RRB-

Les

t?ches

uh

et/ou

vh

onissent

leur

ex?cution

la

date

cn

Si

-LRB-

resp

-RRB-

alors

il

n

y

a

qu'une

seule

t?che

disponible

dans

Fn

-LRB-

resp

Gn

-RRB-

L'instant

de

d?cision

cn

correspond

soit

une

on

d'ex

cution

au

processeur

i.e.

h

et

les

t?ches

et

ont

oni

leur

ex?cution

soit

une

on

d'ex

cution

au

processeur

i.e.

h

et

les

t?ches

et

-LRB-

si

elles

existent

-RRB-

sont

termin?es

Nous

consid?rons

les

deux

cas

cas

Si

h

Dans

ce

cas

les

deux

t?ches

de

F

et

de

G

sont

termin?es

Par

les

hypoth?ses

de

r?currence

nous

avons

L

-LRB-

Fn

-RRB-

L

-LRB-

Gn

-RRB-

Vu

que

les

t?ches

et

se

trouvent

au

niveau

le

plus

haut

dans

les

deux

graphes

nous

obtenons

que

L

-LRB-

Fn

-RRB-

i

L

-LRB-

Gn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

i

L

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

ce

qui

implique

Fn

OEf

Gn

Mais

comme

T

-LRB-

Fn

-RRB-

OEe

T

-LRB-

Gn

-RRB-

et

comme

les

t?ches

et

sont

au

plus

haut

niveau

dans

les

deux

graphes

nous

obtenons

T

-LRB-

Fn

-RRB-

T

-LRB-

Fn

-RRB-

OEe

T

-LRB-

Gn

-RRB-

T

-LRB-

Gn

-RRB-

Cependant

d'apr

s

le

lem

me

la

relation

d'inclusion

tendue

des

anti-forescences

uniformes

implique

la

relation

d'aplatissement

tendue

pour

les

sous

graphes

Fn

OEf

Gn

Alors

la

relation

-LRB-

-RRB-

est

vraie

pour

n

dans

le

cas

cas

h

-LRB-

on

d'ex

cution

pour

le

processeur

-RRB-

En

utilisant

le

lem

me

nous

pouvons

conclure

que

en

enlevant

les

seconds

n?uds

initiaux

les

plus

hauts

de

Fn

et

de

Gn

la

relation

d'inclusion

tendue

des

anti-forescences

uniformes

est

pr?serv?e

T

-LRB-

Fn

-RRB-

OEe

T

-LRB-

Gn

-RRB-

En

appliquant

ensuite

le

lem

me

nous

avons

la

relations

d'aplatissement

tendue

Fn

OEf

Gn

Donc

nous

avons

seulement

v?rioer

la

relation

ordinaire

d'aplatissement

pour

les

graphes

Fn

et

Gn

la

date

cn

Nous

consid?rons

trois

sous

cas

Minimisation

stochastique

cas

et

-LRB-

h

-RRB-

Comme

il

n

y

a

qu'une

seule

t?che

disponible

dans

G

la

date

cn

Alors

seulement

la

t?che

F

onit

son

ex?cution

au

moment

cn

donc

nous

avons

Fn

OEf

Fn

OEf

Gn

Gn

cas

et

-LRB-

h

-RRB-

Dans

ce

cas

seule

la

t?che

Gn

est

termin?e

Alors

-LRB-

Fn

-RRB-

est

identique

Fn

i.e.

tous

les

n?uds

de

Fn

sont

des

successeurs

de

la

t?che

-LRB-

l'exception

de

-RRB-

Ceci

implique

Fn

Fn

-LRB-

Fn

-RRB-

OEf

-LRB-

Gn

-RRB-

-LRB-

Gn

-RRB-

OEf

Gn

cas

-LRB-

h

-RRB-

Dans

ce

cas

les

deux

t?ches

Fn

et

Gn

onissent

Soient

L

-LRB-

-RRB-

et

L

-LRB-

-RRB-

les

niveaux

de

ces

deux

t?ches

Il

y

a

deux

sous

cas

prendre

en

compte

cas

Il

est

ais

d'observer

que

i

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

i

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

Alors

nous

avons

la

relation

d'aplatissement

Fn

OEf

Gn

pour

n

cas

Comme

dans

les

deux

graphes

il

y

a

une

t?che

qui

est

termin?e

nous

obtenons

i

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

Cependant

comme

les

t?ches

Fn

et

Gn

ne

sont

pas

termin?es

nous

avons

L

-LRB-

Fn

-RRB-

L

-LRB-

Fn

-RRB-

L

-LRB-

Gn

-RRB-

L

-LRB-

Gn

-RRB-

Il

y

a

deux

possibilit?s

soit

L

-LRB-

Fn

-RRB-

l

soit

L

-LRB-

Fn

-RRB-

l

o

l

est

le

niveau

de

coupe

du

graphe

H.

cas

a

L

-LRB-

Fn

-RRB-

l.

Chapitre

Ordonnancement

stochastique

algorithme

optimal

pour

deux

processeurs

Le

graphe

Fn

est

une

forescence

ayant

la

seconde

t?che

initiale

la

plus

haute

au

niveau

Alors

il

y

a

au

plus

une

t?che

sur

chaque

niveau

i

et

donc

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

L

-LRB-

Fn

-RRB-

i

L

-LRB-

Gn

-RRB-

i

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

cas

b

L

-LRB-

Fn

-RRB-

l.

En

utilisant

la

relation

tendue

d'aplatissement

Fn

OEf

Gn

nous

obtenons

X

k

i

Nk

-LRB-

Fn

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

-LRB-

Fn

-RRB-

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

-LRB-

Gn

-RRB-

-RRB-

X

k

i

Nk

-LRB-

Gn

-RRB-

ce

qui

implique

Fn

OEf

Gn

Donc

la

relation

-LRB-

-RRB-

est

vraie

pour

le

pas

n

dans

le

cas

Ainsi

par

r?currence

la

relation

-LRB-

-RRB-

est

vraie

pour

tout

n

Et

nous

avons

donc

-LRB-

F

-RRB-

-LRB-

G

-RRB-

p

s

dans

cet

espace

de

probabilit

En

appliquant

le

th?or?me

de

Strassen

nous

pouvons

alors

conclure

Lem

me

Soit

H

G

un

graphe

de

t?ches

Soient

ss

ae

deux

politiques

identiques

HLMS

l'exception

du

premier

instant

de

d?cision

Dans

ce

premier

instant

de

d?cision

la

politique

ss

assigne

les

t?ches

aux

processeurs

respectivement

tandis

que

ae

assigne

les

t?ches

v

aux

processeurs

respectivement

Si

-LRB-

H

-RRB-

OEf

Sv

-LRB-

H

-RRB-

alors

ae

-LRB-

H

-RRB-

st

ss

-LRB-

H

-RRB-

Preuve

Nous

couplons

les

temps

d'ex

cutions

sur

les

processeurs

et

de

telle

mani?re

que

sous

les

deux

politiques

ss

et

ae

les

temps

d'ex

cution

sur

le

processeur

n

partir

de

l'instant

sont

on

n

Dans

un

tel

mod?le

le

second

instant

de

d?cision

est

le

m?me

sous

les

deux

politiques

Nous

oxons

cette

date

min

-LRB-

-RRB-

Alors

pour

toute

fonction

croissante

f

IR

IR

E

-LSB-

f

-LRB-

ss

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-RSB-

-LSB-

f

-LRB-

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-RSB-

-LSB-

f

-LRB-

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-RSB-

-LRB-

-RRB-

E

-LSB-

f

-LRB-

ae

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-RSB-

-LSB-

f

-LRB-

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-RSB-

-LSB-

f

-LRB-

-LRB-

H

fvg

-RRB-

-RRB-

-RSB-

-LRB-

-RRB-

Par

le

lem

me

-LRB-

H

fvg

-RRB-

st

-LRB-

H

-RRB-

et

donc

E

-LSB-

f

-LRB-

-LRB-

H

fvg

-RRB-

-RRB-

-RSB-

E

-LSB-

f

-LRB-

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-RSB-

Alors

conform?ment

-LRB-

-RRB-

et

-LRB-

-RRB-

E

-LSB-

f

-LRB-

ae

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-RSB-

E

-LSB-

f

-LRB-

ss

-LRB-

H

-RRB-

-RRB-

-RSB-

Conclusions

Maintenant

en

d?conditionnant

par

rapport

nous

avons

ae

-LRB-

H

-RRB-

st

ss

-LRB-

H

-RRB-

Lem

me

Soit

H

G

un

graphe

de

t?ches

Soit

ss

une

politique

identique

HLMS

l'exception

du

premier

instant

de

d?cision

Alors

-LRB-

G

-RRB-

st

ss

-LRB-

G

-RRB-

Preuve

L'assertion

du

lem

me

est

une

cons?quence

du

lem

me

Eoeectivement

par

le

lem

me

pour

minimiser

stochastiquement

la

longueur

de

l'ordonnancement

nous

devons

ex?cuter

tout

instant

les

t?ches

disponibles

poss?dant

le

plus

grand

ensemble

de

successeurs

Preuve

du

th?or?me

Pour

prouver

ce

th?or?me

nous

construisons

une

s?quence

onie

de

politiques

fssngNn

jV

j

N

j.

Pour

chaque

n

N

la

politique

ssn

prend

exactement

les

m?mes

d?cisions

que

ss

aux

instants

cn

i.e.

les

m?mes

t?ches

sont

ex?cut?es

sur

les

processeurs

ces

instants

sous

les

politiques

ss

et

ssn

A

partir

de

la

date

cn

la

politique

ssn

suit

les

r?gles

HLMS

Par

d?onition

est

une

politique

HLMS

Nous

employons

la

r?currence

sur

n

reculons

pour

prouver

que

pour

tout

n

n

N

ssn

-LRB-

H

-RRB-

st

ss

-LRB-

H

-RRB-

-LRB-

-RRB-

Pour

tout

n

N

soit

Hn

le

graphe

de

t?ches

restant

de

H

la

date

cn

sous

ss

Il

est

clair

que

H

et

que

HN

contient

un

n?ud

unique

Le

lem

me

appliqu

au

graphe

HN

implique

que

ssN

-LRB-

H

-RRB-

cN

-LRB-

HN

-RRB-

st

cN

ss

-LRB-

HN

-RRB-

ss

-LRB-

H

-RRB-

Alors

la

relation

-LRB-

-RRB-

est

vraie

pour

n

N

Supposons

que

la

relation

-LRB-

-RRB-

est

vraie

pour

un

n

ox

n

N

Donc

ssn

-LRB-

H

-RRB-

cn

-LRB-

Hn

-RRB-

st

cn

ssn

-LRB-

Hn

-RRB-

ssn

-LRB-

H

-RRB-

o

nous

avons

utilis

le

lem

me

pour

avoir

l'in

galit

Alors

par

r?currence

la

relation

-LRB-

-RRB-

est

vraie

pour

tout

n

N

Pour

n

nous

obtenons

la

relation

-LRB-

-RRB-

Toutefois

il

n'est

pas

diOEcile

d'observer

que

HLMS

est

la

seule

politique

satisfaisant

la

relation

-LRB-

-RRB-

Eoeectivement

en

utilisant

la

preuve

du

lem

me

nous

pouvons

prouver

que

si

une

politique

ss

viole

la

r?gle

HLMS

alors

avec

une

probabilit

positive

-LRB-

H

-RRB-

ss

-LRB-

H

-RRB-

Conclusions

Dans

ce

chapitre

nous

avons

analys

un

probl?me

d'ordonnancement

stochastique

ayant

pour

but

la

minimisation

de

la

longueur

de

l'ordonnancement

pour

un

graphe

de

t?ches

Si

les

dur?es

d'ex

cution

des

t?ches

sont

des

variable

al?atoires

i.i.d.

ayant

une

distribution

exponentielle

commune

et

si

le

graphe

est

de

type

for?t

coup?e

nous

avons

prouv

que

la

politique

HLMS

minimise

stochastiquement

la

longueur

de

l'ordonnancement

sur

deux

processeurs

Chapitre

Ordonnancement

stochastique

algorithme

optimal

pour

deux

processeurs

Nous

soulignons

le

fait

que

la

politique

HLMS

n'est

plus

optimale

si

le

syst?me

contient

trois

processeurs

ou

plus

M?me

pour

le

cas

des

forescences

ou

des

anti-forescences

des

contreexemples

ont

d?j

t

cit?s

dans

la

litt?rature

voir

-LSB-

-RSB-

pour

les

forescences

et

-LSB-

-RSB-

pour

les

anti-forescences

Les

techniques

de

preuve

employ?es

sont

les

relations

de

majoration

-LRB-

pour

comparer

les

graphes

de

t?ches

-RRB-

et

les

arguments

de

couplage

-LRB-

pour

l'analyse

stochastique

-RRB-

Ces

techniques

semblent

tre

tr?s

adapt?es

pour

r?soudre

des

probl?mes

d'ordonnancement

comme

celui

consid?r

ici

Notre

r?sultat

peut

tre

g?n?ralis

pour

le

cas

de

deux

processeurs

uniformes

-LRB-

processeurs

ayant

des

vitesses

dioe?rentes

-RRB-

et

avec

un

prool

variable

-LRB-

cas

o

l'ensemble

des

processeurs

disponibles

varie

au

cours

du

temps

-RRB-

Cette

g?n?ralisation

peut

tre

faite

en

suivant

une

approche

similaire

celle

de

Liu

et

Sanlaville

dans

-LSB-

-RSB-

Dans

ce

chapitre

nous

avons

suppos

que

les

dur?es

d'ex

cution

des

t?ches

sont

des

variables

al?atoires

distribu?es

exponentiellement

Nous

conjecturons

que

l'optimalit

s

tend

au

cas

o

les

dur?es

des

t?ches

ont

une

distribution

taux

de

vraisemblance

croissant

-LRB-

increasing

likelihood

ratio

-RRB-

Chapitre

Conclusions

et

perspectives

Dans

cette

th?se

nous

avons

trait

plusieurs

probl?mes

d'ordonnancement

Pour

le

syst?me

multiprocesseur

avec

un

seul

bus

nous

avons

prouv

que

le

probl?me

est

NP-diOEcile

au

sens

fort

m?me

pour

des

cas

tr?s

simples

i.e.

pour

deux

processeurs

avec

graphes

g?n?raux

et

pour

un

nombre

illimit

de

processeurs

avec

graphes

de

type

arbre

binaire

Ces

r?sultats

sont

comparer

aux

r?sultats

de

la

litt?rature

pour

les

m?mes

probl?mes

sans

la

contrainte

de

bus

Ainsi

le

probl?me

deux

processeurs

avec

graphes

UET-UCT

reste

toujours

un

probl?me

ouvert

Dans

le

cas

d'un

nombre

illimit

de

processeurs

-LRB-

UET-UCT

arbres

-RRB-

le

probl?me

sans

contrainte

admet

une

solution

polynomiale

-LRB-

voir

Chr?tienne

-LSB-

-RSB-

-RRB-

Ceci

nous

permet

d'aOErmer

que

le

probl?me

avec

contraintes

sur

les

ressources

de

communication

est

plus

diOEcile

que

celui

sans

contrainte

Cela

se

conorme

quand

on

consid?re

les

solutions

polynomiales

du

probl?me

deux

processeurs

UET-UCT

l'algorithme

optimal

pour

les

arbres

propos

par

Guinand

et

Trystram

-LSB-

-RSB-

est

le

seul

algorithme

parmi

ceux

connus

dans

la

litt?rature

qui

donne

aussi

une

solution

optimale

pour

le

probl?me

avec

la

contrainte

de

bus

unique

Toutefois

pour

la

classe

de

graphes

s?rieparall?le

la

solution

polynomiale

que

nous

proposons

dans

le

chapitre

n'est

plus

valable

dans

le

cas

d'un

bus

unique

La

recherche

des

heuristiques

adapt?es

pour

ce

type

de

probl?mes

reste

un

th?me

d'

tude

ouvert

sur

lequel

nous

continuons

travailler

Dans

le

cas

d'une

seule

machine

avec

contraintes

de

pr?c?dence

nous

avons

prouv

la

NP

diOEcult

du

probl?me

quand

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

entiers

et

les

t?ches

sont

unitaires

Cependant

dans

le

cas

o

les

d?lais

de

pr?c?dence

sont

unitaires

nous

proposons

un

algorithme

-LRB-

polynomial

-RRB-

optimal

Ces

r?sultats

sont

valables

aussi

dans

le

cas

o

la

pr?emption

est

permise

Dans

le

cas

de

deux

processeurs

identiques

nous

donnons

deux

algorithmes

-LRB-

polynomiaux

-RRB-

optimaux

i.e.

un

pour

les

graphes

UET-UCT

de

type

s?rie

parall?le

et

l'autre

pour

les

graphes

de

type

for?t

coup?e

avec

les

dur?es

des

t?ches

exponentiellement

distribu?es

Pour

le

futur

il

y

a

plusieurs

directions

de

recherche

poursuivre

Pour

les

probl?mes

ouverts

de

la

litt?rature

i.e.

nombre

ox

de

machines

avec

ou

sans

d?lais

de

communication

nous

avons

d?j

commenc

tudier

le

cas

UET

trois

machines

et

aussi

le

cas

de

deux

machines

avec

UET-UCT

-LRB-

pour

les

graphes

g?n?raux

-RRB-

Cependant

les

deux

probl?mes

semblent

tre

tr?s

diOEciles

N?anmoins

nous

pensons

que

la

complexit

de

ces

deux

probl?mes

est

fondamentale

pour

la

recherche

des

heuristiques

eOEcaces

pour

les

probl?mes

r?els

Une

bonne

connaissance

de

ces

deux

probl?mes

peut

fournir

des

informations

sur

les

concepts

et

les

bonnes

propri?t?s

prendre

en

compte

dans

les

nouvelles

heuristiques

Chapitre

Conclusions

et

perspectives

Toutes

les

machines

r?elles

ont

clairement

des

contraintes

de

ressources

de

communication

Le

mod?le

bus

unique

et

le

mod?le

tudi

habituellement

dans

la

litt?rature

i.e.

celui

bande

passante

illimit

-LRB-

sans

encombrement

-RRB-

sont

deux

cas

extr?mes

Dans

l'avenir

il

est

n?cessaire

d'

tudier

d'autres

mod?les

se

situant

entre

ces

deux

extr?mes

pour

r?pondre

aux

besoins

des

machines

r?elles

Dans

beaucoup

de

cas

pratiques

le

temps

d'ex

cution

des

t?ches

et

la

dur?e

des

communications

ne

sont

pas

connus

l'avance

ce

qui

sort

du

cadre

d?terministe

Nous

pouvons

mod?liser

ces

temporisations

par

des

variables

al?atoires

et

nous

avons

alors

r?soudre

un

probl?me

d'ordonnancement

stochastique

La

comparaison

stochastique

des

graphes

est

une

voie

de

recherche

qui

nous

semble

tr?s

prometteuse

Cette

technique

permet

de

comparer

structurellement

les

graphes

et

leurs

sous-graphes

Dans

le

chapitre

nous

avons

employ

une

telle

technique

pour

prouver

qu'une

politique

de

liste

est

optimale

Malheureusement

les

hypoth?ses

de

distribution

exponentielle

pour

les

variables

al?atoires

ne

sont

pas

souvent

v?rio?es

dans

la

r?alit

ce

qui

fait

que

la

politique

de

liste

propos?e

n'est

plus

optimale

Comme

la

r?solution

exacte

du

probl?me

stochastique

semble

tre

diOEcile

nous

pouvons

employer

cette

politique

en

tant

qu

heuristique

Cependant

comme

le

probl?me

d'ordonnancement

pour

les

machines

r?elles

a

de

grandes

chances

d'

tre

NP-diOEcile

la

recherche

d'heuristiques

performantes

et

de

faible

complexit

avec

garantie

de

performance

-LRB-

si

possible

-RRB-

nous

semble

une

n?cessit

imp?rative

G?n?ralement

les

heuristiques

sont

base

de

priorit?s

statiques

ou

dynamiques

Une

impl?mentation

l'aide

de

priorit?s

statiques

est

souvent

pr?f?rable

celle

avec

priorit?s

dynamiques

-LRB-

plus

co?teuse

en

temps

de

calcul

et/ou

en

espace

m?moire

-RRB-

condition

que

cela

n'entra

ne

qu'une

baisse

minime

de

qualit

pour

la

solution

obtenue

Un

autre

aspect

important

est

li

l'

valuation

des

performances

des

heuristiques

Au

moins

deux

types

d'

tudes

sont

faire

l'analyse

du

plus

mauvais

cas

et

l'analyse

du

comportement

moyen

Malheureusement

pour

le

comportement

moyen

il

est

diOEcile

de

caract?riser

et

de

g?n?rer

un

ensemble

repr?sentatif

de

graphes

de

test

moyens

D'autres

techniques

comme

par

exemple

la

recherche

tabou

peuvent

devenir

un

outil

compl?mentaire

d'optimisation

Ainsi

en

partant

d'une

solution

fournie

par

une

heuristique

simple

nous

pourrions

am?liorer

cette

solution

par

une

recherche

it?rative

base

de

perturbations

Cependant

ce

type

de

technique

a

souvent

beaucoup

de

param?tres

diOEciles

accorder

ce

qui

demande

beaucoup

de

temps

de

calcul

et

de

comparaisons

pour

trouver

le

jeu

de

valeurs

de

ces

param?tres

le

mieux

adapt

Nous

travaillons

actuellement

dans

ce

sens

sur

la

recherche

tabou

Les

r?sultats

de

la

th?orie

de

l'ordonnancement

doivent

se

retrouver

dans

l'avenir

dans

des

logiciels

de

calcul

scientioque

syst?mes

d'exploitation

pour

des

machines

multiprocesseurs

compilateurs

etc

Ainsi

ces

connaissances

serviront

pour

l'optimisation

statique

du

code

ex?cutable

-LRB-

par

le

d?veloppement

des

compilateurs

performants

pour

les

machines

parall?les

-RRB-

mais

aussi

pour

la

gestion

de

ressources

de

calcul

et

de

communication

d'une

fa?on

dynamique

au

moment

m?me

de

l'ex

cution

des

programmes

parall?les

Un

autre

domaine

tr?s

important

est

celui

des

environnements

de

d?veloppement

pour

les

applications

parall?les

Jusqu

pr?sent

l'ordonnancement

tait

peu

pris

en

compte

dans

les

environnements

de

d?veloppement

mais

de

toute

vidence

cet

aspect

est

tr?s

important

pour

obtenir

des

programmes

performants

-LRB-

par

exemple

pour

le

calcul

scientioque

-RRB-

Il

est

n?cessaire

dans

l'avenir

de

donner

plus

d'informations

sur

l'ex

cution

des

programmes

au

d?veloppeur

-LRB-

par

des

animations

et

des

diagrammes

visuels

comme

par

exemple

xpvm

-RRB-

ce

qui

lui

permettra

de

mieux

ajuster

son

programme

sur

la

machine

cible

dans

le

but

d'obtenir

-LRB-

ou

au

moins

d'approcher

-RRB-

le

meilleur

temps

d'ex

cution

Bibliographie

-LSB-

-RSB-

J.

Adams

E.

Balas

D.

Zawack

The

Shifting

Bottleneck

Procedure

for

Job

Shop

Scheduling

Management

Science

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

F.

Afrati

C.

H.

Papadimitriou

G.

Papageorgiou

Scheduling

dags

to

minimize

time

and

communication

in

Proc

Conf

VLSI

Algorithms

and

Architectures

AWOC

Lecture

Notes

in

Computer

Science

pp.

Springer-Verlag

Berlin

-LSB-

-RSB-

K.

R.

Baker

Introduction

to

Sequencing

and

Scheduling

J.

Wiley

New

York

-LSB-

-RSB-

E.

Balas

J.K.

Lenstra

A.

Vazacopoulos

One

Machine

Scheduling

with

Delayed

Precedence

Constraints

CWI

Research

report

-LSB-

-RSB-

J.

B?azewicz

J.K.

Lenstra

A.

H.

G.

Rinnooy

Kan

Scheduling

subject

to

resource

constraints

classiocation

and

complexity

Discrete

Appl

Math.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

J.

Bruno

On

Scheduling

Tasks

with

Exponential

Service

Times

and

In-Tree

Precedence

Constraints

Acta

Informatica

-LRB-

-RRB-

pp

-LSB-

-RSB-

J.

Carlier

The

One-Machine

Scheduling

Problem

E.

J.

O.

R.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

J.

Y.

Colin

P.

Chretienne

CPM

Scheduling

with

Small

Communication

Delays

Oper

Res.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

E.

G.

Cooeman

Jr

and

R.

L.

Graham

Optimal

Scheduling

for

Two-Processor

Systems

Acta

Informatica

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

P.

Chretienne

A

Polynomial

Algorithm

to

Optimally

Schedule

Tasks

over

a

Virtual

Distributed

System

under

Tree-like

Precedence

Constraints

Euro

J.

Oper

Res.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

E.

G.

Cooeman

and

Z.

Liu

On

the

Optimal

Stochastic

Scheduling

of

Out-Forests

Rapport

de

Recherche

INRIA

No.

Operations

Research

-LRB-

-RRB-

pp

Bibliographie

-LSB-

-RSB-

P.

Chretienne

C.

Picouleau

Scheduling

with

Communication

Delays

A

Survey

in

Scheduling

Theory

and

Its

Applications

P.

Chretienne

et

al.

-LRB-

Eds

-RRB-

J.

Wiley

-LSB-

-RSB-

K.

M.

Chandy

and

P.

F.

Reynolds

Scheduling

Partially

Ordered

Tasks

with

Probabilistic

Execution

Times

Operating

System

Review

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

S.

Dauz?re

Peres

J.

B.

Lasserre

A

Modioed

Shifting

Bottleneck

Procedure

for

Job-Shop

Scheduling

Int

J.

Prod

Res.

-LRB-

-RRB-

pp

-LSB-

-RSB-

S.

Dauz?re

Peres

J.

B.

Lasserre

Integration

of

lotsizing

and

scheduling

decisions

in

a

job-shop

E.

J.

O.

R.

-LRB-

-RRB-

pp

-LSB-

-RSB-

P.

Dileepan

T.

Sen

Bicriterion

Static

Scheduling

Research

for

a

Single

Machine

Omega

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

D.

Dolev

and

M.

K.

Warmuth

Scheduling

Precedence

Graphs

of

Bounded

Height

J.

of

Algorithms

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

D.

Dolev

and

M.

K.

Warmuth

Scheduling

Flat

Graphs

SIAM

J.

on

Comput.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

D.

Dolev

and

M.

K.

Warmuth

Proole

Scheduling

of

Opposing

Forests

and

Level

Orders

SIAM

J.

Alg

Disc

Meth.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

L.

Finta

Z.

Liu

Scheduling

of

Parallel

Programs

in

Single-Bus

Multiprocessor

Systems

Rapport

de

Recherche

INRIA

No.

-LSB-

-RSB-

L.

Finta

Z.

Liu

Scheduling

UET-UCT

Series-Parallel

Graphs

on

Two

Processors

Rapport

de

Recherche

INRIA

No.

-LSB-

-RSB-

E.

Frostig

A

Stochastic

Scheduling

Problem

with

Intree

Precedence

Constraints

Operations

Research

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

D.

K.

Goyal

Scheduling

processor

bound

systems

Report

No

Comp

Sci

Dep.

Washington

State

Univ.

Pullman

WA

-LRB-

-RRB-

-LSB-

-RSB-

M.

R.

Garey

D.R.

Johnson

Computers

and

Intractability

A

Guide

to

the

Theory

of

NP-Completeness

W.

H.

Freeman

San

Francisco

-LSB-

-RSB-

M.

R.

Garey

D.

S.

Johnson

R.

E.

Tarjan

and

M.

Yanakakis

Scheduling

Opposite

Forests

SIAM

J.

Alg

Disc

Meth.

-LRB-

-RRB-

pp

-LSB-

-RSB-

M.

R.

Garey

D.R.

Johnson

B.

B.

Simons

R.

E.

Tarjan

Scheduling

Unit-Time

Tasks

with

Arbitrary

Release

Times

and

Deadlines

SIAM

J.

Comput.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

S.

K.

Gupta

J.

Kyparisis

Single

Machine

Scheduling

Research

Omega

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

R.

L.

Graham

E.

L.

Lawler

J.

K.

Lenstra

A.

H.

G.

Rinnooy

Kan

Optimization

and

Approximation

in

Deterministic

Scheduling

A

Survey

Ann

Disc

Math.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

F.

Guinand

D.

Trystram

Optimal

scheduling

of

UECT

trees

on

two

processors

Technical

Report

APACHE

IMAG

Grenoble

Bibliographie

-LSB-

-RSB-

J.

J.

Hwang

Deterministic

Scheduling

in

Systems

with

Interprocessor

Communication

Times

Ph.D.

Dissertation

Computer

and

Information

Sciences

Department

Univ.

of

Florida

-LSB-

-RSB-

J.

A.

Hoogeveen

J.

K.

Lenstra

B.

Veltman

Three

Four

Five

Six

or

the

Complexity

of

Scheduling

with

Communication

Delays

Oper

Res

Lett.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

W.

A.

Horn

Some

Simple

Scheduling

Algorithms

Naval

Res

Logist

Quart.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

J.

A.

Hoogeveen

S.

L.

van

de

Velde

B.

Veltman

Complexity

of

Scheduling

Multiprocessor

Tasks

with

Prespecioed

Processor

Allocations

Technical

Report

of

CWI

-LSB-

-RSB-

E.

L.

Lawler

Sequencing

Problems

with

Series

Parallel

Precedence

Constraints

In

Proc

Conference

on

Combinatorial

Optimization

Urbino

Italy

-LSB-

-RSB-

E.

Lawler

Scheduling

Trees

on

Multiprocessors

with

Unit

Communication

Delays

In

Proc

Workshop

on

Models

and

Algorithms

for

Planning

and

Scheduling

Problems

Villa

Vigoni

Lake

Como

Italy

June

-LSB-

-RSB-

C.

Y.

Lee

J.

J.

Hwang

Y.

C.

Chow

F.

D.

Anger

Multiprocessor

Scheduling

with

Interprocessor

Delays

Oper

Res

Letters

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

Z.

Liu

A

Note

on

Graham

's

Bound

Information

Processing

Letters

Vol

pp.

-LSB-

-RSB-

Z.

Liu

J.

Labetoulle

A

Heuristic

Method

for

Loading

and

Scheduling

Flexible

Manufacturing

Systems

Proc

of

the

Intern

Conf

Control

London

IEE

Conference

Publication

No.

-LSB-

-RSB-

E.

L.

Lawler

J.

K.

Lenstra

A.

H.

G.

Rinnooy

Kan

D.

B.

Shmoys

Sequencing

and

Scheduling

Algorithms

and

Complexity

CWI

Report

-LSB-

-RSB-

Z.

Liu

E.

Sanlaville

Stochastic

Scheduling

with

Variable

Proole

and

Precedence

Constraints

Rapport

de

Recherche

INRIA

No.

September

-LSB-

-RSB-

Z.

Liu

E.

Sanlaville

Proole

Scheduling

by

List

Algorithms

In

Scheduling

Theory

and

Its

Applications

P.

Chretienne

et

al.

-LRB-

Eds

-RRB-

J.

Wiley

-LSB-

-RSB-

C.

H.

Papadimitriou

M.

Yannakakis

Towards

an

Architecture-Independent

Analysis

of

Parallel

Algorithms

SIAM

J.

Comput.

pp.

-LSB-

-RSB-

M.

L.

Prastein

Precedence-constrained

scheduling

with

minimum

time

and

communication

Technical

Report

Coordinated

Science

Lab.

Dep

of

Computer

Science

Univ.

of

Illinois

at

Urbana-Champaign

IL

USA

-LSB-

-RSB-

C.

Picouleau

Etude

de

probl?mes

d'optimisation

dans

les

syst?mes

distribu?s

Th?se

de

doctorat

Universit

Pierre

et

Marie

Curie

France

-LSB-

-RSB-

C.

Picouleau

Two

New

NP-Complete

Scheduling

Problems

with

Communication

Delays

and

Unlimited

Number

of

Processors

to

appear

in

Discrete

Appl

Math

-LSB-

-RSB-

C.

H.

Papadimitriou

J.

N.

Tsitsiklis

On

Stochastic

Scheduling

with

In-Tree

Precedence

Constraints

SIAM

J.

Comput.

-LRB-

-RRB-

pp

Bibliographie

-LSB-

-RSB-

C.

H.

Papadimitriou

M.

Yannakakis

Scheduling

Interval-Ordered

Tasks

SIAM

J.

Comput.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

M.

Pinedo

G.

Weiss

Scheduling

Jobs

with

Exponentially

Distributed

Processing

Times

and

Intree

Precedence

Constraints

on

Two

Parallel

Machines

Operations

Research

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

V.

J.

Rayward-Smith

UET

Scheduling

with

Unit

Interprocessor

Communication

Delays

Discrete

Appl

Math.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

V.

J.

Rayward-Smith

F.

Warren

Burton

G.

J.

Janacek

Scheduling

Parallel

Programs

Assuming

Prelocation

in

Scheduling

Theory

and

Its

Applications

pp.

-LRB-

Eds

P.

Chretienne

et

al.

-RRB-

J.

Wiley

-LSB-

-RSB-

B.

B.

Simons

A

Fast

Algorithm

for

Single

Processor

Scheduling

Annual

Symposium

on

Foundations

of

Computer

Science

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

G.

C.

Sih

E.

A.

Lee

A

Compile-Time

Scheduling

Heuristic

for

InterconnectionConstrained

Heterogeneous

Processor

Architectures

IEEE

Trans

on

Parallel

and

Distributed

Systems

-LRB-

-RRB-

pp

-LSB-

-RSB-

R.

A.

Sahner

K.

S.

Trivedi

SPADE

A

Tool

for

Performance

and

Reliability

Evaluation

In

Proc

Modelling

Techniques

and

Tools

for

Performance

Analysis

Ed

N.

Abu

El

Ata

-LRB-

-RRB-

-LSB-

-RSB-

V.

Strassen

The

Existence

of

Probability

Measures

with

Given

Marginals

Ann

Math

Sta.

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

K.

Takamizawa

T.

Nishizeki

N.

Saito

Linear-Time

Computability

of

Combinatorial

Problems

on

Series-Parallel

Graphs

JACM

-LRB-

-RRB-

-LSB-

-RSB-

J.

D.

Ullman

NP-Complete

Scheduling

Problems

Journal

of

Computer

and

System

Sciences

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

M.

Veldhorst

A

linear

time

algorithm

to

schedule

trees

with

communication

delays

optimally

on

two

machines

Technical

Report

COSOR

Dep

of

Math

and

Comp

Sci.

Eindhoven

Univ.

of

Technology

-LSB-

-RSB-

B.

Veltman

Multiprocessor

Scheduling

with

Communication

Delays

Phd

Thesis

CWI

Amsterdam

-LRB-

-RRB-

-LSB-

-RSB-

B.

Veltman

B.

J.

Lageweg

J.

K.

Lenstra

Multiprocessor

Scheduling

with

Communication

Delays

Parallel

Computing

-LRB-

-RRB-

pp.

-LSB-

-RSB-

T.

Varvarigou

V.

P.

Roychowdhury

T.

Kailath

Scheduling

In

and

Out

Forests

in

the

Presence

of

Communication

Delays

In

Proc

Intern

Parallel

Processing

Symposium

-LRB-

IPPS

-RRB-

Newport

Beach

CA

April

pp.

-LSB-

-RSB-

J.

Valdes

R.

E.

Tarjan

E.

L.

Lawler

The

Recognition

of

Series

Parallel

Digraphs

SIAM

J.

of

Computing

-LRB-

-RRB-

-LSB-

-RSB-

H.

M.

Abdel-Wahab

T.

Kameda

Scheduling

to

Minimize

Maximum

Cumulative

Cost

Subject

to

Series-Parallel

Precedence

Constraints

Operations

Research

-LRB-

-RRB-

pp.

Annexe

A

Task

Graph

Scheduling

in

Single-Bus

Parallel

Systems

Annexe

B

Single

Machine

Scheduling

Subject

to

Precedence

Delays

Annexe

C

Scheduling

UET-UCT

Series-Parallel

Graphs

on

Two

Processors

Annexe

D

Makespan

Minimization

of

Task

Graphs

with

Random

Task

Running

Times

R?sum

Dans

cette

th?se

nous

consid?rons

plusieurs

probl?mes

d'ordonnancement

pour

les

calculs

parall?les

dans

un

syst?me

multiprocesseur

Un

programme

parall?le

est

repr?sent

par

un

graphe

o

les

sommets

repr?sentent

les

t?ches

et

les

arcs

les

pr?c?dences

et/ou

les

communications

entre

les

t?ches

Le

probl?me

consiste

aoeecter

les

t?ches

aux

processeurs

et

d'ordonnancer

leur

ex?cution

tout

en

respectant

les

contraintes

de

pr?c?dence

dans

le

but

de

minimiser

la

dur?e

d'ordonnancement

Un

premier

sous-probl

me

consid?r

est

le

probl?me

d'ordonnancement

avec

contrainte

de

ressources

i.e.

le

cas

o

le

syst?me

multiprocesseur

a

un

seul

bus

de

communication

et

tout

moment

il

y

a

au

plus

un

message

sur

le

bus

Dans

ce

cas

on

d?montre

que

le

probl?me

est

NP-diOEcile

au

sens

fort

Le

deuxi?me

sous-probl

me

trait

est

l'ordonnancement

d'une

seule

machine

sous

contraintes

de

pr?c?dence

avec

retard

Si

les

temps

d'ex

cution

de

t?ches

sont

unitaires

et

les

dur?es

de

retards

sont

enti?res

on

prouve

que

le

probl?me

est

NP-diOEcile

au

sens

fort

Cependant

si

les

temps

d'ex

cution

de

t?ches

sont

entiers

et

les

dur?es

de

retards

sont

unitaires

le

probl?me

est

polynomial

et

un

algorithme

de

complexit

O

-LRB-

-RRB-

est

propos

Les

cas

d'ex

cutions

pr?emptives

et

non-pr

emptives

sont

tous

les

deux

analys?s

En

suite

l'ordonnancement

de

graphes

de

t?ches

UET-UCT

sur

deux

processeurs

est

tudi

Un

algorithme

optimal

de

complexit

O

-LRB-

-RRB-

est

propos

pour

une

classe

de

graphes

s?rie

parall?les

En

on

l'ordonnancement

stochastique

d'un

graphe

de

t?ches

sur

deux

processeurs

identiques

est

le

quatri?me

sous-probl

me

consid?r

Une

politique

pr?emptive

optimale

est

obtenue

pour

la

minimisation

stochastique

de

la

longueur

de

l'ordonnancement

pourvu

que

le

graphe

de

pr?c?dence

appartient

la

classe

de

graphes

de

type

for?t

coup?e

Mots

cl?s

ordonnancement

contrainte

de

ressources

bus

d?lais

de

pr?c?dence

d?lais

de

communication

graphe

s?rie

parall?le

complexit

Abstract

In

this

thesis

we

consider

several

scheduling

problems

of

parallel

computations

in

multiprocessor

systems

Let

a

parallel

program

be

modeled

by

a

task

graph

where

vertices

represent

tasks

and

arcs

the

precedence

and/or

the

communications

between

tasks

The

problem

is

to

assign

tasks

to

processors

and

schedule

their

execution

according

to

the

precedence

relations

between

tasks

in

order

to

minimize

the

makespan

First

is

considered

the

scheduling

problem

with

resource

constraints

i.e.

the

multiprocessor

system

has

a

single

communication

bus

and

at

any

time

instant

there

is

only

one

communication

on

this

bus

We

show

that

the

minimization

of

the

makespan

of

parallel

programs

in

such

a

single-bus

multiprocessor

system

is

strongly

NP-hard

The

second

problem

analyzed

is

the

single-machine

scheduling

with

precedence

delays

In

the

case

of

unit

execution

times

and

integer

lengths

of

delays

the

problem

is

shown

to

be

NP-hard

in

the

strong

sense

If

however

execution

times

are

integer

and

precedence

delays

are

unit

length

then

problem

becomes

polynomial

and

an

O

-LRB-

-RRB-

optimal

algorithm

is

provided

Both

preemptive

and

non-preemptive

cases

are

analyzed

The

scheduling

of

UET-UCT

task

graphs

on

two

identical

processors

is

the

third

problem

analyzed

A

quadratic

algorithm

is

proposed

to

compute

an

optimal

schedule

for

a

class

of

series-parallel

graphs

Finally

the

stochastic

scheduling

of

a

set

of

tasks

on

two

parallel

and

identical

processors

is

the

fourth

problem

considered

The

running

times

of

the

tasks

are

independent

random

variables

with

a

common

exponential

distribution

A

simple

optimal

preemptive

policy

is

proven

to

stochastically

minimize

the

makespan

when

the

precedence

graph

belongs

to

a

class

of

forest-cut

graphs

communication delay
precedence delay
resource constraint
seriesparallel graph