A Promise Class at Least as Hard as the Polynomial Hierarchy Jorg Rothe ? Fakultat fur Mathematik und Informatik Friedrich-Schiller-Universitat Jena Germany January 14 , 1994 ? Research supported in part by a grant from the DAAD and by NSF grant CCR-8957604 . Current address : Department of Computer Science , University of Rochester , Rochester , NY 14627 , USA . Abstract In this paper , an open problem raised by Toda and Ogiwara -LSB- TO92 -RSB- is reformulated in the context of promise problems to make precise its very nature | thereby answering it partially | which , by intuition , is due to the promise in the definition of SPP -LSB- FFK91 , OH90 -RSB- . In particular , it is shown that the polynomial hierarchy is contained in a promise class that naturally corresponds to the class BP ? SPP -LRB- even though for this class itself , unfortunately , the original problem remains unsolved -RRB- . Furthermore , some properties of several related classes defined via operators are studied . 1 Introduction This paper studies an issue that arises from recent investigations of complexity-theoretic counting classes . Toda and Ogiwara have shown that for a large family of counting classes K such as PP , C =P , and ? P , KPH ? BP ? K . As a consequence , each of these counting classes is at least as hard as the polynomial hierarchy -LRB- PH -RRB- -LSB- TO92 -RSB- . Fenner , Fortnow , and Kurtz define a broader family of counting classes , the \ gap-definable '' classes -LSB- FFK91 -RSB- , so the question naturally arises whether Toda and Ogiwara 's result remains true for that family of classes . However , Toda and Ogiwara conjectured that this seems unlikely to be the case , for the following intuitive reason . Consider SPP -LSB- FFK91 , OH90 -RSB- , the \ smallest reasonable gap-definable class '' -LSB- FFK91 -RSB- . Since there is a promise1 in the definition of SPP , one can not expect that Toda and Ogiwara 's method also works when applied to SPP . Toda and Ogiwara conclude that it seems unlikely that SPPPH , or PH , is contained in BP ? SPP -LSB- TO92 -RSB- -LRB- for notation , see Section 2 -RRB- . If some problem appears hard to solve in the context in which it naturally came into existence , one often tries to reformulate it in another context to tackle it under new conditions and , if this happens to succeed , to return to deal , in light of these new insights , with the 1The witnessing GapP function \ promises '' never to take on values other than or 1 . SPP is the \ gapanalog '' of UP -LSB- Val76 -RSB- , so the same applies to the definition of UP , where the promise is with respect to the witnessing # P function . original issue . For example , after each attempt to solve the famous P ? = NP problem -LRB- one way or the other -RRB- had failed , Baker , Gill , and Solovay settled it relative to an oracle -LRB- surprisingly , in both ways -RRB- -LSB- BGS75 -RSB- , thereby creating an extremely fruitful branch of complexity theory . As another example , though it is still unknown whether or not the satisfiability problem , SAT , is Turing-reducible to some set in ? P -LRB- which , due to the \ self-lowness '' of ? P -LSB- PZ83 -RSB- , is equivalent to saying that SAT 2 ? P , or NP ? ? P , respectively -RRB- , Valiant and Vazirani raised and settled the reduction question in the context of randomized reductions by showing that each NP set is polynomial-time randomized many-one reducible to a set in ? P -LSB- VV86 -RSB- ,2 and in a certain contrast to their result , Tor?an constructed an oracle relative to which the containment NP ? ? P does not hold -LSB- Tor88 -RSB- . To end this list of examples , Hemaspaandra and Rothe -LSB- HR94 -RSB- introduce the \ promise unambiguous polynomial hierarchy '' -LRB- UPH -RRB- to prove , in terms of UPH , some consequences of the existence of sparse Turing-complete and Turing-hard sets in UP | even though the promise-like definition of UP itself seems to block obtaining consequences for the unambiguous polynomial hierarchy of Niedermeier and Rossmanith -LSB- NR93 -RSB- that are as strong as they are known to hold for NP and PH. In Section 3 , the issue raised in the beginning is put into the context of promise problems -LSB- EY80 -RSB- -LRB- for further references , see -LSB- CHV93 -RSB- -RRB- . It turns out that SPPPH is included in a class of promise problems corresponding in a natural way to BP ? SPP -LRB- Corollary 3.7 of Theorem 3.6 -RRB- , and that the proof of this is implicit in the literature -LSB- Gup91 , Tar91 -RSB- . To make it explicit and precise , Selman 's definiton of reducibilities between promise classes -LSB- Sel88 -RSB- is suitably extended , and a \ promise operator , '' SP , is defined , which corresponds to the SP operator . Proposition 2.4 -LRB- at the end of Section 2 -RRB- lists some known \ switches `` 3 between SP and several other operators . In particular , its second and third part reflect , in terms of the 2In fact , they prove more than that : the set to which all of NP is reduced , is the \ promise problem '' -LRB- 1SAT , SAT -RRB- , the \ master '' of the class \ promise UP , '' UP , which is introduced and studied in -LSB- CHV93 -RSB- . 3In recent years , much attention has been paid to switching operators , for this | besides being interesting in its own | yields new insights into the structure and power of hierarchies built upon operators such as PH -LRB- -LSB- Tod89 , Tod91 , RR91 -RSB- , see -LSB- Sch91 -RSB- for a survey of these results -RRB- . respective operators , the \ lowness '' -LRB- see -LSB- Sch87 -RSB- -RRB- of SPP for gap-definable classes such as PP , C =P , and ? P. Thus , for the operators listed , there is an evident similarity between SP and BP , as it is known that O?BP?K ? BP?O?K , O 2 f9 ; 8 ; C ; C = ; ? g -LSB- Tod91 , RR91 , Sch91 -RSB- . If operators corresponding to classes that are unlikely to be gap-definable , such as 9 , 8 , and BP , are combined with SP , much less is known . Corollary 3.8 of Theorem 3.6 partially answers this question for SP and BP combined with each other . In Section 4 , some properties of classes of the form 9 ? SP ? K and 8 ? SP ? K are studied .4 -LRB- Note that coNP ? 8 ? SPP ? C =P follows easily from Toda 's observation that 8 ? C =P = C =P -LSB- Tod91 -RSB- . -RRB- In particular , it is shown -LRB- Theorem 4.3 -RRB- that they both are closed under polynomial-time disjunctive and conjunctive truth table reductions -LRB- see -LSB- LLS75 -RSB- -RRB- , which provides in addition an alternative proof of Fenner , Fortnow , and Li 's result that these classes are gap-definable . Furthermore , an elegant proof of Gundermann , Nasser , and Wechsung 's insight that C =P is closed under polynomial-time positive truth table reductions -LSB- GNW90 -RSB- is given -LRB- Theorem 4.2 -RRB- , via different techniques than theirs . 2 Preliminaries and Definitions In general , the standard notations of Hopcroft and Ullman -LSB- HU79 -RSB- are adopted . We consider sets of strings over the alphabet ? : = f0 ; 1g . For each string u 2 ?? , juj denotes the length of u , i.e. , u 2 ? juj , and u -LSB- i -RSB- denotes the ith bit of u. For a set L ? ?? , kLk denotes the cardinality of L and L : = ?? ? L its complement . Let OL denote the characteristic function of L , i.e. , OL -LRB- x -RRB- = 1 if x 2 L and OL -LRB- x -RRB- = otherwise . To encode a pair of strings , we use a polynomial-time computable pairing function , h ? ; ? i : ????? ?! ?? , that has polynomialtime computable inverses ; this notion is extended to encode every n tuple of strings , in a standard way . Throughout this paper , when we speak of an arbitrary class K of sets we require K to be closed under padding -LRB- that is , if A 2 K then also fhx ; yi : x 2 A ^ y 2 ?? g is in K -RRB- and to contain at least the class P of sets decidable in polynomial time . For some 4To be as general as possible , all results are stated in terms of operators applied to \ almost arbitrary '' classes K. polynomial-time reducibility < = pr , K is said to be closed under < = pr if for all sets A and B , A < = pr B and B 2 K imply A 2 K. ZZ is the set of integers and IPol denotes the set of positive polynomials . For a predicate Q over strings , let Prm -LSB- wjQ -LRB- w -RRB- -RSB- : = kfw : Q -LRB- w -RRB- gk ? 2 ? m denote the probability that Q -LRB- w -RRB- is true , where w 2 ? m is randomly chosen under uniform distribution . Definition 2.1 Let K be any class of sets and f be a function from ?? into ZZ . 1 . f 2 NUM ? K :-LRB- -RRB- -LRB- 9A 2 K -RRB- -LRB- 9p 2 IPol -RRB- -LRB- 8x 2 ?? -RRB- -LSB- f -LRB- x -RRB- = kfy : jyj = p -LRB- jxj -RRB- ^ hx ; yi 2 Agk -RSB- : 2 . f 2 GAP ? K :-LRB- -RRB- -LRB- 9A 2 K -RRB- -LRB- 9p 2 IPol -RRB- -LRB- 8x 2 ?? -RRB- < = f -LRB- x -RRB- = 1 2 -LRB- kfy : jyj = p -LRB- jxj -RRB- ^ hx ; yi 2 Agk ? kfy : jyj = p -LRB- jxj -RRB- ^ hx ; yi 62 Agk -RRB- > = :5 Clearly , NUM ? P = # P -LSB- Val79 -RSB- and GAP ? P = GapP -LSB- FFK91 -RSB- . Proposition 2.2 -LSB- FFK91 -RSB- Let K be any class of sets that is closed under join .6 Then , 1 . NUM ? K ? GAP ? K and , more precisely ,7 GAP ? K = ff ? g : f 2 NUM ? K ^ g 2 FPg = ff ? g : f 2 NUM ? K ^ g 2 NUM ? co ? Kg = ff ? g : f 2 FP ^ g 2 NUM ? co ? Kg : 5The factor 12 is required to keep f from having only even values which would be rather an unnatural property . 6That is , if A ; B 2 K then also the set A ? B : = fx0 : x 2 Ag -LSB- fx1 : x 2 Bg is in K . This -LRB- relatively weak -RRB- closure is the only property K is required to satisfy for proving Proposition 2.2 , as is done in full detail in -LSB- Rot93a -RSB- . Note that Proposition 2.2 is a straightforward generalization of the respective properties of # P and GapP -LSB- FFK91 -RSB- -LRB- see also -LSB- KST93 , Propositions 4.3 , 4.23 , 4.24 -RSB- -RRB- . 7FP denotes the class of functions that are deterministically computable in polynomial-time . 2 . f 2 GAP ? K if and only if ? f 2 GAP ? co ? K. Thus , GAP ? K is closed under subtraction if K = co ? K. 3 . For a function f from ?? into ZZ and q 2 IPol , let g -LRB- x -RRB- : = X y : jyj = q -LRB- jxj -RRB- f -LRB- hx ; yi -RRB- and h -LRB- x -RRB- : = q -LRB- jxj -RRB- Y i = 1 f -LRB- hx ; 1ii -RRB- : Then , -LRB- a -RRB- If f 2 NUM ? K , then g ; h 2 NUM ? K. Thus , NUM ? K is closed under addition and multiplication . -LRB- b -RRB- If f 2 GAP ? K , then g 2 GAP ? K. Thus , GAP ? K is closed under addition . -LRB- c -RRB- If f 2 GAP ? K and K = co ? K , then h 2 GAP ? K. Thus , GAP ? K is closed under multiplication . 4 . If f 2 GAP ? K , k 2 FP , where k -LRB- x -RRB- is bounded by a polynomial in jxj , and K = co ? K , then also the function g is in GAP ? K , where g -LRB- x -RRB- : = f -LRB- x -RRB- k -LRB- x -RRB- ! : Definition 2.3 Let K be any class of sets and L be a set . 1 . L 2 9 ? K :-LRB- -RRB- -LRB- 9f 2 NUM ? K -RRB- -LSB- L = fx : f -LRB- x -RRB- > g -RSB- . 2 . co ? K : = fL : L 2 Kg . 3 . 8 ? K : = co ? 9 ? co ? K : 4 . ? p0 ? K : = K , ? p0 ? K : = K , ? pk ? K : = 9 ? ? pk ? 1 ? K , ? pk ? K : = 8 ? ? pk ? 1 ? K , k > = 1 , and PH ? K : = S k > = 0 ? pk ? K. 5 . L 2 C ? K :-LRB- -RRB- -LRB- 9f 2 GAP ? K -RRB- -LSB- L = fx : f -LRB- x -RRB- > g -RSB- . 6 . L 2 C = ? K :-LRB- -RRB- -LRB- 9f 2 GAP ? K -RRB- -LSB- L = fx : f -LRB- x -RRB- = g -RSB- . 7 . L 2 ? ? K :-LRB- -RRB- -LRB- 9f 2 GAP ? K -RRB- -LSB- L = fx : f -LRB- x -RRB- ? 0 -LRB- mod 2 -RRB- g -RSB- . 8 . L 2 SP ? K :-LRB- -RRB- -LRB- 9f 2 GAP ? K -RRB- -LRB- 8x 2 ?? -RRB- 2 64f -LRB- x -RRB- = 8 > < > : 1 if x 2 L otherwise 3 75 : 9 . L 2 BP ? K :-LRB- -RRB- -LRB- 9A 2 K -RRB- -LRB- 9p 2 IPol -RRB- -LRB- 8x 2 ?? -RRB- < = Prp -LRB- jxj -RRB- -LSB- yjx 2 L -LRB- -RRB- hx ; yi 2 A -RSB- > = 3 4 > = : Clearly , for K = P , the classes NP , coNP , ? pk , ? pk , k > = 0 , PH -LSB- MS72 , Sto77 -RSB- , PP , C =P -LSB- Sim75 , Wag86 -RSB- , ? P -LSB- PZ83 , GP86 -RSB- , SPP -LRB- -LSB- FFK91 -RSB- , independently defined in -LSB- OH90 -RSB- , where it was called XP -RRB- , and BPP -LSB- Gil77 -RSB- , respectively , are obtained . Proposition 2.4 -LSB- FFK91 -RSB- 1 . co ? SP ? K = SP ? co ? K : 2 . O ? SP ? K = O ? K -LRB- ? SP ? O ? K -RRB- for O 2 fC ; C = g. 8 3 . SP ? SP ? K = SP ? K and ? ? SP ? K = ? ? K = SP ? ? ? K : 3 Promise Classes and Operators The concept of promise problems was introduced by Even and Yacobi -LSB- EY80 -RSB- in the theory of public-key cryptosystems . A promise problem is a formulation of a partial decision problem and has the structure input x promise Q -LRB- x -RRB- property R -LRB- x -RRB- where Q and R are -LRB- recursive -RRB- predicates . That is , on input x , an algorithm solving a promise problem -LRB- Q ; R -RRB- has to correctly decide property R -LRB- x -RRB- if the promise Q -LRB- x -RRB- is met ; otherwise , it can give an arbitrary answer . More formally , a set L is said to be a solution to -LRB- Q ; R -RRB- if -LRB- 8x 2 ?? -RRB- -LSB- x 2 Q =-RRB- -LRB- x 2 R -LRB- -RRB- x 2 L -RRB- -RSB- : 8As K is required to be closed under padding , the latter inclusion is trivial . Note that every set of the form -LRB- Q \ R -RRB- -LSB- X , where X ? Q , is a solution to -LRB- Q ; R -RRB- . In particular , R is the unique solution to -LRB- ?? ; R -RRB- ; thus , the promise problem -LRB- ?? ; R -RRB- is identified with set R. 9 Using the notion of solution to promise problems , Selman extended some of the usual reducibilities between classes of sets to define appropriate reducibilities between classes of promise problems -LSB- Sel88 -RSB- . According to his approach , the definition of the BP operator10 is below extended to apply also to promise problems . Definition 3.1 Let C be any class of promise problems . A promise problem -LRB- Q ; R -RRB- is in BP ? C if and only if there exist a promise problem -LRB- S ; T -RRB- 2 C and p 2 IPol such that , for every solution A to -LRB- S ; T -RRB- , there is a solution B to -LRB- Q ; R -RRB- such that for each x 2 ?? , Prp -LRB- jxj -RRB- -LSB- W jx 2 B -LRB- -RRB- hx ; W i 2 A -RSB- > = 3 4 : Definition 3.2 introduces the promise operator SP which yields a class of promise problems when applied to a class of decision problems . Clearly , if K = P , then SPP , the \ gap-analog '' of the promise class UP defined and studied in -LSB- CHV93 -RSB- -LRB- see also -LSB- HR94 -RSB- -RRB- , is obtained . Definition 3.2 Let K be any class of sets . A promise problem -LRB- Q ; R -RRB- is in SP ? K if and only if there is a function f 2 GAP ? K such that Q = fx : f -LRB- x -RRB- 2 f0 ; 1gg and R = fx : f -LRB- x -RRB- = 1g . Gupta observes that Toda and Ogiwara 's results -LSB- TO92 -RSB- , stated in Section 1 , can be obtained as corollaries from the following strong lemma -LSB- Gup91 -RSB- .11 As it is here stated in a slightly more general setting and as Gupta 's proof is somewhat informal , a precisely formalized proof is presented . This lemma will be central to the proof of Theorem 3.6 . 9For simplifying notation , a class A of decision problems is said to be contained in a class B of promise problems -LRB- A ? B -RRB- if for each set L 2 A the corresponding promise problem -LRB- ?? ; L -RRB- is in B. 10Note that it formalizes the notion of randomized bounded error polynomial-time many-one reducibility . 11An even stronger lemma is given by Tarui whose result , using a technique that is based on transforming Boolean circuits , even yields one-sided -LRB- rather than two-sided -RRB- error -LRB- -LSB- Tar91 , Theorem 4.1 -RSB- , see also -LSB- RV92 -RSB- -RRB- . As this paper only focuses on the BP operator , Gupta 's lemma suffices . Lemma 3.3 -LSB- Gup91 -RSB- Let K be any class of sets that is closed under join and complementation . Then , -LRB- 8e 2 IPol -RRB- -LRB- 8k > = 1 -RRB- -LRB- 8L 2 ? pk ? K -RRB- -LRB- 9F 2 GAP ? K -RRB- -LRB- 9r 2 IPol -RRB- -LRB- 8x 2 ?? -RRB- h Prr -LRB- jxj -RRB- -LSB- W j -LRB- x 2 L =-RRB- F -LRB- hx ; W i -RRB- = 1 -RRB- ^ -LRB- x 62 L =-RRB- F -LRB- hx ; W i -RRB- = 0 -RRB- -RSB- > = 1 ? 2 ? e -LRB- jxj -RRB- i : To keep the proof of Lemma 3.3 short , some useful notations adopted from -LSB- TO92 -RSB- are in order . Toda and Ogiwara prove an amplified version of Valiant and Vazirani 's key lemma -LRB- Lemma 3.5 below -RRB- -LSB- VV86 -RSB- . Following their paper , we shall view a string u 2 ? m as a vector from GF -LSB- 2 -RSB- m. Let u ? v denote the inner product of two vectors u ; v 2 GF -LSB- 2 -RSB- m. Definition 3.4 -LSB- TO92 -RSB- For integers l ; m > = 0 , let Mat -LSB- l ; m -RSB- be the set of all -LRB- l?m -RRB- matrices whose components are strings from ? m. Subsequently , W 2 Mat -LSB- l ; m -RSB- is viewed as a string from ? m2?l , where Wj ; k denotes the -LRB- j ; k -RRB- - component of matrix W : W = W1 ; 1W1 ; 2 ? ? ? W1 ; mW2 ; 1W2 ; 2 ? ? ? W2 ; m ? ? ? Wl ; 1Wl ; 2 ? ? ? Wl ; m : Lemma 3.5 -LRB- -LSB- VV86 -RSB- , amplification due to -LSB- TO92 -RSB- -RRB- -LRB- 8e 2 IPol -RRB- -LRB- 9q 2 IPol -RRB- -LRB- 8m > = 0 -RRB- -LRB- 8S0 ? ? m -RRB- h S0 < > ; =-RRB- Prq -LRB- m -RRB- ? m2 -LSB- W j -LRB- 9i 2 f0 ; ... ; q -LRB- m -RRB- ? mg -RRB- -LSB- kSi -LRB- W -RRB- k = 1 -RSB- -RSB- > = 1 ? 2 ? e -LRB- m -RRB- i ; where W 2 Mat -LSB- q -LRB- m -RRB- ; m -RSB- is uniformly chosen at random , and for j and k , 1 < = j < = q -LRB- m -RRB- and 1 < = k < = m , S -LRB- j ? 1 -RRB- m + k -LRB- W -RRB- : = fy 2 S0 : y ? Wj ; 1 = y ? Wj ; 2 = ? ? ? = y ? Wj ; k = g. 12 Proof of Lemma 3.3 . The proof is by induction on k. For k = 1 , let L be a set in ? p1 ? K. Then , there exist a set A 2 K and a polynomial p such that for each x 2 ?? , x 2 L if and only if there exists a string y , jyj = p -LRB- jxj -RRB- , such that hx ; yi 2 A. Fix x , jxj = n , and an arbitrary polynomial e. Let q be the polynomial which exists for e by Lemma 3.5 . For n > = 0 , define polynomials r and t by r -LRB- n -RRB- : = q -LRB- n -RRB- -LRB- p -LRB- n -RRB- -RRB- 2 and t -LRB- n -RRB- : = q -LRB- n -RRB- p -LRB- n -RRB- where , 12As a notational convenience , we write S0 -LRB- W -RRB- rather than S0 , even though S0 in fact does n't depend on W . without loss of generality , t -LRB- n -RRB- is even for each n. Let Sx0 : = fy : jyj = p -LRB- jxj -RRB- ^ hx ; yi 2 Ag . For a randomly chosen string W of length r -LRB- n -RRB- , define , according to Lemma 3.5 , subsets Sx1 -LRB- W -RRB- ; ... ; Sxt -LRB- n -RRB- -LRB- W -RRB- of Sx0 . Define Fi -LRB- hx ; W i -RRB- : = kSxi -LRB- W -RRB- k , < = i < = t -LRB- n -RRB- . By Proposition 2.2 , Fi 2 NUM ? K ? GAP ? K. Thus , F defined below is also in GAP ? K : F -LRB- hx ; W i -RRB- : = 1 + t -LRB- jxj -RRB- Y i = 0 -LRB- Fi -LRB- hx ; Wi -RRB- ? 1 -RRB- : Since x 2 L if and only if Sx0 < > ; , the proof of the induction base is completed by Lemma 3.3 . Assume the claim to be true for some fixed k > = 1 . For L 2 ? pk +1 ? K , there exist a set A 2 ? pk ? K and a polynomial p such that for each x 2 ?? , x 2 L if and only if there exists some string y , jyj = p -LRB- jxj -RRB- , such that hx ; yi 2 A. Let q be the polynomial which exists for any fixed polynomial e1 by Lemma 3.5 , and define polynomials r and t as above . For any fixed x , jxj = n , and any randomly chosen string W of length r -LRB- n -RRB- , define the sets Sxi -LRB- W -RRB- , < = i < = t -LRB- n -RRB- , as before . By Lemma 3.3 , Prr -LRB- n -RRB- -LSB- W j -LRB- 1 -RRB- -RSB- > = 1 ? 2 ? e1 -LRB- n -RRB- , where -LSB- -LRB- x 2 L =-RRB- -LRB- 9i 2 f0 ; ... ; t -LRB- n -RRB- g -RRB- -LSB- kSxi -LRB- W -RRB- k = 1 -RSB- -RRB- ^ -LRB- x 62 L =-RRB- -LRB- 8i 2 f0 ; ... ; t -LRB- n -RRB- g -RRB- -LSB- kSxi -LRB- W -RRB- k = 0 -RSB- -RRB- -RSB- : -LRB- 1 -RRB- Since Sxi -LRB- W -RRB- 2 ? pk ? co ? K = ? pk ? K for each < = i < = t -LRB- n -RRB- , the inductive hypothesis implies that for each i , < = i < = t -LRB- n -RRB- , -LRB- 8e2 2 IPol -RRB- -LRB- 9Fi 2 GAP ? K -RRB- -LRB- 9s 2 IPol -RRB- -LRB- 8y 2 ? p -LRB- n -RRB- -RRB- h Prs -LRB- n -RRB- -LSB- V j -LRB- 2 -RRB- -RSB- > = 1 ? 2 ? e2 -LRB- n -RRB- i ; where -LSB- -LRB- y 2 Sxi -LRB- W -RRB- =-RRB- Fi -LRB- hx ; y ; W ; V i -RRB- = 0 -RRB- ^ -LRB- y 62 Sxi -LRB- W -RRB- =-RRB- Fi -LRB- hx ; y ; W ; V i -RRB- = 1 -RRB- -RSB- -LRB- 2 -RRB- and V , jV j = s -LRB- n -RRB- , is uniformly chosen at random . For each i , < = i < = t -LRB- n -RRB- , define Hi -LRB- hx ; W ; V i -RRB- : = X y : jyj =p -LRB- jxj -RRB- -LRB- 1 ? Fi -LRB- hx ; y ; W ; V i -RRB- -RRB- ; and F -LRB- hx ; WV i -RRB- : = 1 + t -LRB- jxj -RRB- Y i = 0 -LRB- Hi -LRB- hx ; W ; V i -RRB- ? 1 -RRB- ; where jW j = r -LRB- jxj -RRB- and jV j = s -LRB- jxj -RRB- . Clearly , each Hi , and hence F , is in GAP ? K . Since -LSB- -LRB- 1 -RRB- ^ -LRB- 2 -RRB- -RSB- implies statement -LRB- 3 -RRB- : -LSB- -LRB- x 2 L =-RRB- F -LRB- hx ; WV i -RRB- = 1 -RRB- ^ -LRB- x 62 L =-RRB- F -LRB- hx ; WV i -RRB- = 0 -RRB- -RSB- -LRB- 3 -RRB- we have the following probability estimation Prr -LRB- n -RRB- + s -LRB- n -RRB- -LSB- WV j -LRB- 3 -RRB- -RSB- > = Prr -LRB- n -RRB- + s -LRB- n -RRB- -LSB- WV j -LRB- 1 -RRB- ^ -LRB- 2 -RRB- -RSB- = 1 ? Prr -LRB- n -RRB- + s -LRB- n -RRB- -LSB- WV j : -LRB- 1 -RRB- _ : -LRB- 2 -RRB- -RSB- > = 1 ? Prr -LRB- n -RRB- -LSB- Wj : -LRB- 1 -RRB- -RSB- ? Prr -LRB- n -RRB- + s -LRB- n -RRB- -LSB- WV j : -LRB- 2 -RRB- -RSB- > = 1 ? 2 ? e1 -LRB- n -RRB- ? max W2?r -LRB- n -RRB- Prs -LRB- n -RRB- -LSB- V j : -LRB- 3 -RRB- -RSB- > = 1 ? 2 ? e1 -LRB- n -RRB- ? 2 ? e2 -LRB- n -RRB- : Recall that e1 and e2 are arbitrary polynomials . Thus , given any polynomial e , e1 and e2 can be chosen such that for every n > = 0 , 2 ? e -LRB- n -RRB- > = 2 ? e1 -LRB- n -RRB- + 2 ? e2 -LRB- n -RRB- . 2 Theorem 3.6 For each k > = 0 , SP ? ? pk ? K ? BP ? SP ? K. Corollary 3.7 SP ? PH ? K ? BP ? SP ? K . In particular , SPPPH ? BP ? SPP . Corollary 3.8 SP ? BP ? K ? BP ? SP ? K . In particular , SPPBPP ? BP ? SPP . Ideally , it would be desirable to obtain O ? BP ? K ? BP ? O ? K where O is either SP or SP . We leave this as an open problem . Proof of Theorem 3.6 . For k = 0 , the claim follows from the -LRB- trivial -RRB- observation that SP ? K ? SP ? K. Fix any k > 0 , and let L 2 SP ? ? pk ? K. Then , there exist a set A 2 ? pk ? K , an FP-function f , and a polynomial p such that for each x 2 ?? , kfy : jyj = p -LRB- jxj -RRB- ^ hx ; yi 2 Agk ? f -LRB- x -RRB- = 8 > < > : 1 if x 2 L otherwise . By Lemma 3.3 , there exist F 2 GAP ? K and r 2 IPol such that for each hx ; yi , jyj = p -LRB- jxj -RRB- , Prr -LRB- nx -RRB- -LSB- W j -LRB- hx ; yi 2 A =-RRB- F -LRB- hx ; y ; W i -RRB- = 1 -RRB- ^ -LRB- hx ; yi 62 A =-RRB- F -LRB- hx ; y ; W i -RRB- = 0 -RRB- -RSB- > = 3 4 ; where nx : = jhx ; yij for fixed x. For any x and W , jW j = r -LRB- nx -RRB- , define G -LRB- hx ; W i -RRB- : = ? f -LRB- x -RRB- + X y : jyj =p -LRB- jxj -RRB- F -LRB- hx ; y ; W i -RRB- which is a function in GAP ? K by Proposition 2.2 . Now define the promise problem -LRB- Q ; R -RRB- by Q : = fhx ; W i : jW j = r -LRB- nx -RRB- ^ G -LRB- hx ; W i -RRB- 2 f0 ; 1gg and R : = fhx ; W i : jW j = r -LRB- nx -RRB- ^ G -LRB- hx ; W i -RRB- = 1g . Clearly , -LRB- Q ; R -RRB- 2 SP ? K , and for each x 2 ?? , Prr -LRB- nx -RRB- -LSB- W jhx ; W i 2 Q -RSB- > = 34 . Let X be any solution to -LRB- Q ; R -RRB- . It follows that Prr -LRB- nx -RRB- -LSB- W jx 2 L -LRB- -RRB- hx ; W i 2 X -RSB- > = 34 , and hence , -LRB- ?? ; L -RRB- 2 BP ? SP ? K . This completes the proof . 2 4 Some closure properties of GAP-definable classes Definition 4.1 -LSB- LLS75 -RSB- 1 . Let k > 0 . A function f 2 FP is said to be a k-tt-condition if for every x 2 ?? , f -LRB- x -RRB- = h ; y1 ; ... ; yki , where is a k-ary Boolean function and yi 2 ?? , 1 < = i < = k. Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- : = fy1 ; ... ; ykg is the set of query strings associated with f -LRB- x -RRB- . For s ; t 2 ? k , we write s > = t if for every i , 1 < = i < = k , s -LSB- i -RSB- = 1 implies t -LSB- i -RSB- = 1 . 2 . A set A is polynomial-time truth table reducible to set B -LRB- A < = ptt B -RRB- :-LRB- -RRB- there is a k-tt-condition f -LRB- x -RRB- = h ; y1 ; ... ; yki for an arbitrary k > such that for every x 2 ?? , x 2 A -LRB- -RRB- -LRB- OB -LRB- y1 -RRB- ; ... ; OB -LRB- yk -RRB- -RRB- = 1 . 3 . A set A is polynomial-time disjunctively truth table reducible to set B -LRB- A < = pd B -RRB- :-LRB- -RRB- A < = ptt B via f 2 FP such that for every x 2 ?? , x 2 A -LRB- -RRB- Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- \ B < > ; . 4 . A set A is polynomial-time conjunctively truth table reducible to set B -LRB- A < = pc B -RRB- :-LRB- -RRB- A < = ptt B via f 2 FP such that for every x 2 ?? , x 2 A -LRB- -RRB- Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- ? B. 5 . A set A is polynomial-time positive truth table reducible to set B -LRB- A < = pptt B -RRB- :-LRB- -RRB- A < = ptt B via k-tt-condition f -LRB- x -RRB- = h ; y1 ; ... ; yki which satisfies that for each s ; t 2 ? k with s > = t , if -LRB- s -RRB- = 1 then -LRB- t -RRB- = 1.13 For the following result , the reader is referred to Gundermann , Nasser , and Wechsung 's excellent survey paper of counting classes -LSB- GNW90 -RSB- . Even though neither a proof nor the result itself is explicitely given therein , Gundermann , Nasser , and Wechsung have noticed that their method also works to prove that C =P is closed under the < = pptt-reduction . Via the GAP operator , their insight is slightly more generally stated and is proven in a different way . Theorem 4.2 Let K be any class of sets that is closed under join and complementation . Then , C = ? K is closed under the < = pptt-reduction . Proof . Let L < = pptt A via some positive k-tt-condition f -LRB- x -RRB- = h ; y1 ; ... ; yki for fixed input x. Let A 2 C = ? K be witnessed by the GAP ? K function g , that is , A = fy : g -LRB- y -RRB- = g. Without loss of generality , assume that for each y 2 ?? , g -LRB- y -RRB- > = 0.14 For any x 2 ?? and b 2 ? k , k = kAss -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- k , define h -LRB- hx ; bi -RRB- : = -LRB- 1 ? -LRB- b -RRB- -RRB- Y yi2Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- : b -LSB- i -RSB- = 0 g -LRB- yi -RRB- ; and H -LRB- x -RRB- : = X b : jbj = k h -LRB- hx ; bi -RRB- : By Proposition 2.2 , H is in GAP ? K. Assume x 2 L. Clearly , if the sequence b of answer bits is correct , that is , b -LSB- i -RSB- = OA -LRB- yi -RRB- for each i , 1 < = i < = k , then -LRB- b -RRB- = 1 , and hence , h -LRB- hx ; bi -RRB- = 0 . If b is incorrect , then one of the sets B0 : = fi : b -LSB- i -RSB- = ^ OA -LRB- yi -RRB- = 1g or B1 : = fi : b -LSB- i -RSB- = 1 ^ OA -LRB- yi -RRB- = g is nonempty . If B0 < > ; , then g -LRB- yi -RRB- = for some i 2 B0 ; thus , h -LRB- hx ; bi -RRB- = 0 , and we are done . So suppose B0 = ; and B1 < > ; and , for contradiction , assume that h -LRB- hx ; bi -RRB- < > 0 , thus -LRB- b -RRB- = 0 . Let b0 : = OA -LRB- y1 -RRB- ? ? ? OA -LRB- yk -RRB- be the correct sequence of answer bits . Since B0 = ; , 13Equivalently , if -LRB- t -RRB- = then -LRB- s -RRB- = 0 . We shall refer to this property of f as its \ positiveness . '' 14By taking g squared . we have b0 > = b. By positiveness of f and -LRB- b -RRB- = 0 , this implies -LRB- b0 -RRB- = which contradicts x 2 L. Thus , h -LRB- hx ; bi -RRB- = for every b 2 ? k . It follows that H -LRB- x -RRB- = 0 . Now assume x 62 L . If b0 2 ? k is correct , then -LRB- b0 -RRB- = 0 . Hence , for correct b0 , we have h -LRB- hx ; b0i -RRB- > since g -LRB- yi -RRB- > for every i for which b0 -LSB- i -RSB- = 0 . As h -LRB- hx ; bi -RRB- > = for each incorrect b 2 ? k , it follows that H -LRB- x -RRB- > 0 . Thus , H witnesses that L 2 C = ? K . This proves the theorem . 2 It would be interesting to know whether 8 ? SP ? K , which is contained in C =P , is also closed under the < = pptt-reduction .15 Although this issue , due to the promise in the definition of SPP , remains unsolved , Theorem 4.3 establishes that 8 ? SP ? K is at least closed under disjunctive and conjunctive truth table reductions . Theorem 4.3 Let K be any class of sets that is closed under join and complementation . Then , both 8 ? SP ? K and 9 ? SP ? K are closed under the < = pd-reduction . Corollary 4.4 Let K be any class of sets that is closed under join and complementation and contains P. Then , for both 8 ? SP ? K and 9 ? SP ? K , the following properties hold : 1 . closure under the < = pc - reduction , 2 . closure under union and intersection , and 3 . -LSB- FFL93 -RSB- they are \ gap-definable . `` 16 Proof of Corollary 4.4 . Part -LRB- 1 -RRB- and -LRB- 2 -RRB- follow immediately from Theorem 4.3 . Part -LRB- 3 -RRB- follows from -LRB- 2 -RRB- and another theorem of -LSB- FFL93 -RSB- which says that for any class C which is closed under union and intersection and contains f ; ; ?? g , C is gap-definable if and only if SPP ? C. 2 Proof of Theorem 4.3 . For the first statement , let L < = pd A via k-tt-condition f -LRB- x -RRB- = h ; y1 ; ... ; yki , that is , for each x 2 ?? , x 2 L if and only if Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- \ A < > ; . Without 15Of even more interest is of course the open problem of whether or not any of the classes considered is closed even under polynomial-time Turing reductions . It is conjectured that this does not hold . 16Fenner et al. prove that 9 ? C is \ gap-definable '' for all \ simply gap-definable '' -LRB- see -LSB- FFL93 -RSB- for the definition of these notions -RRB- classes C such as SPP , PP , C =P , and ? P. loss of generality , suppose k = kAss -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- k to be odd for each x 2 ?? . Let A 2 8 ? SP ? K. Then , there exist a set B 2 SP ? K and a polynomial p such that for every y 2 ?? , y 2 A if and only if for all z , jzj = p -LRB- jyj -RRB- , hy ; zi 2 B. Let B 2 SP ? K via g 2 GAP ? K , i.e. , g -LRB- hy ; zi -RRB- = 8 > < > : 1 if hy ; zi 2 B otherwise . By Proposition 2.2 , h defined below is in GAP ? K : h -LRB- hx ; wi -RRB- = 8 > < > : 1 + Qki = 1 -LRB- g -LRB- hyi ; zii -RRB- ? 1 -RRB- if w = hz1 ; ... ; zki , where jzij = p -LRB- jyij -RRB- otherwise . Clearly , jwj = r -LRB- jxj -RRB- for a suitable polynomial r. Furthermore , since h -LRB- hx ; wi -RRB- 2 f0 ; 1g for every hx ; wi , jwj = r -LRB- jxj -RRB- , h witnesses that D 2 SP ? K , where D is defined by D : = fhx ; wi : jwj = r -LRB- jxj -RRB- ^ h -LRB- hx ; wi -RRB- = 1g . Assume x 2 L. Then , there is an i such that yi 2 Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- \ A. Thus , g -LRB- hyi ; zii -RRB- = 1 for each string zi 2 ? p -LRB- jyij -RRB- . Hence , for every w 2 ? r -LRB- jxj -RRB- , hx ; wi 2 D. Suppose x 62 L. Then , Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- \ A = ; . Thus , for every yi 2 Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- \ A , there exists at least one string zi 2 ? p -LRB- jyij -RRB- such that g -LRB- hyi ; zii -RRB- = 0 . Hence , there exists a string w 2 ? r -LRB- jxj -RRB- , w = hz1 ; ... ; zki , such that h -LRB- hx ; wi -RRB- = -LRB- recall that k is odd -RRB- , that is , hx ; wi 62 D. Thus , D witnesses that L 2 8 ? SP ? K . The \ delta '' functions below turn out to be useful in proving the second statement . Originally , they were used by Fenner et al. to show some of the closure properties of GapP -LSB- FFK91 -RSB- . For l ; B 2 ZZ , define ffi Bl -LRB- x -RRB- : = x l ! B ? x B ? l ! for all x 2 ZZ . By Proposition 2.2 , if K is closed under complementation , B 2 FP is bounded by a polynomial in jxj , and f 2 GAP ? K , then ffi Bl -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- 2 GAP ? K. Notice that ffi Bl -LRB- x -RRB- : = 8 > > > > < > > > > : if < = x < l , 1 if x = l , if l < x < = B. Let L < = pd A via k-tt-condition f -LRB- x -RRB- = h ; y1 ; ... ; yki , that is , for each x 2 ?? , x 2 L if and only if Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- \ A < > ; . Without loss of generality , assume that the length of each y 2 Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- is exactly q -LRB- jxj -RRB- , q 2 IPol . Let A 2 9 ? SP ? K. Then , there exist a set B 2 SP ? K and a polynomial p such that for every y 2 ?? , y 2 A if and only if there exists a string z , jzj = p -LRB- jyj -RRB- , such that hy ; zi 2 B. Let r -LRB- n -RRB- : = p -LRB- q -LRB- n -RRB- -RRB- for n > = 0 . Let B 2 SP ? K via g 2 GAP ? K , i.e. , g -LRB- hy ; zi -RRB- = 8 > < > : 1 if hy ; zi 2 B otherwise . For each hx ; zi , jzj = r -LRB- jxj -RRB- , let m -LRB- hx ; zi -RRB- : = P y2Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- g -LRB- hy ; zi -RRB- . Then , by Proposition 2.2 and the above observation about the ffi functions , h defined below is a GAP ? K function : h -LRB- hx ; zi -RRB- = 8 > < > : m -LRB- hx ; zi -RRB- ? ? Pkl = 1 -LRB- l ? 1 -RRB- ? ffi kl -LRB- m -LRB- hx ; zi -RRB- -RRB- ? if jzj = r -LRB- jxj -RRB- otherwise . Furthermore , since h -LRB- hx ; zi -RRB- = 1 if m -LRB- hx ; zi -RRB- > and h -LRB- hx ; zi -RRB- = otherwise , h witnesses that D : = fhx ; zi : jzj = r -LRB- jxj -RRB- ^ h -LRB- hx ; zi -RRB- = 1g is in SP ? K. Assume x 2 L. Then , there is a string y 2 Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- \ A. Thus , m -LRB- hx ; zi -RRB- > for some z , jzj = r -LRB- jxj -RRB- , and hence , hx ; zi 2 D. For x 62 L , Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- \ A = ; . That is , for every y 2 Ass -LRB- f -LRB- x -RRB- -RRB- and every z 2 ? r -LRB- jxj -RRB- , we have g -LRB- hy ; zi -RRB- = and thus m -LRB- hx ; zi -RRB- = 0 . It follows that hx ; zi 62 D for every z , jzj = r -LRB- jxj -RRB- . Thus , D witnesses that L 2 9 ? SP ? K. 2 Acknowledgments The author is very grateful to Jorg Vogel and Arfst Nickelson for helpful discussions , and to Jorg Vogel for carefully proofreading the technical reports some results of which are presented in this paper . He thanks Lane Hemaspaandra for improving the English style of the paper and for his kind guidance , useful advice , and wonderful collaboration during the author 's stay in Rochester . References -LSB- BGS75 -RSB- T. Baker , J. Gill , and R. Solovay , Relativizations of the P = ? NP question . SIAM Journal on Computing 4 , 1975 , 431 -LCB- 442 . -LSB- CHV93 -RSB- J. Cai , L. Hemachandra , and J. Vysko < = c , Promises and fault-tolerant database access . In K. Ambos-Spies , S. Homer , and U. Schoning , editors , Complexity Theory , pages 101 -LCB- 146 . Cambridge University Press , 1993 . -LSB- EY80 -RSB- S. Even and Y. Yacobi , Cryptocomplexity and NP-completeness . 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O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 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