Technical Report TR-SRS-2-95 Automated Reasoning Project Research School of Information Sciences and Engineering and Centre for Information Science Research Australian National University April , 26 , 1995 A UNIFORM DISPLAY SYSTEM FOR INTUITIONISTIC AND DUAL INTUITIONISTIC LOGIC Rajeev Gor?e Abstract We give a way to \ display '' propositional intuitionistic and dual-intuitionistic logic in one uniform setting . We show how the usual \ singletons on the right '' restriction of Gentzen 's LJ , and the dual \ singletons on the left '' restriction can be mimicked in Display Logic . The resulting Display System ffiJDJ captures a hybrid logic that permits reasoning with partial and paraconsistent knowledge since it contains two negations : and ? with the following properties : A _ : A is not a theorem ; A ^ ? A is not a contradiction ; A ^ : A is a contradiction ; and A _ ? A is a theorem . We then show how to obtain a Display system for Classical Logic by the addition of structural rules only . Draft : April 26 , 1995 1 1 Introduction Intuitionistic logic IL has a well-known Kripke semantics in terms of a reflexive , transitive reachability relation R over \ knowledge or information states '' where positive knowledge accumulates as we travel along R . It also has an algebraic characterisation in terms of Heyting algebras and is often suggested as a good candidate for reasoning with partial or incomplete knowledge since A _ : A is not a theorem for arbitrary A. On the other hand , the formula -LRB- A ^ : A -RRB- ! B is a theorem of IL , thus allowing us to conclude anything from a contradiction . Gentzen 's original systems , LK for classical logic , and LJ for intuitionistic logic , possess the property that LJ can be obtained from LK by the purely structural restriction \ only singletons on the right of turnstile '' . Various authors -LSB- Cze77 , Goo81 , Urb94 -RSB- have investigated \ dual intuitionistic logics '' based on LK with the restriction \ only singletons on the left of turnstile '' , since this is a natural \ dual '' to the condition in LJ . Goodman -LSB- Goo81 -RSB- not only shows a connection with Brouwerian or closure algebras , but also gives a semantics in terms of a reflexive , transitive reachability relation R over \ knowledge or information states '' where negative knowledge accumulates as we travel along R . The resulting logics are paraconsistent since A ^ ? A is not a contradiction , thus allowing reasoning with inconsistent information . These logics are therefore of fundamental interest in the field of Artificial Intelligence where nonmonotonicity , partiality and even paraconsistency have been identified as desirable properties of human reasoning . But we know of no attempt to mix these -LRB- non-modal -RRB- logics in one Gentzen system to obtain a logic which allows both partial and paraconsistent reasoning . Each of Czermak , Goodman and Urbas ignore this aspect since they start with LK using the comma exactly as done by Gentzen . We present some preliminary results of our attempt to do so using the Display Logic of Belnap -LSB- Bel82 -RSB- . The Display Logic of Belnap -LSB- Bel82 -RSB- is a powerful Gentzen formulation designed specifically to accommodate many different logics in a single framework . Belnap 's original formulation of intuitionistic logic uses a very clever variation of the G?odelMcKinsey - Tarski embedding of intuitionistic logic into modal logic S4 ; see -LSB- Gor95 -RSB- . Restall -LSB- Res94 -RSB- shows that residuation is of importance when trying to display nonclassical logics . Using residuation , we present a Display System that is designed to simultaneously contain both intuitionistic and dual-intuitionistic logic . We give purely syntactic proofs that the system contains intuitionistic logic and then show that it naturally contains intuitionistic negation : , as well as another negation ? , with the following properties : A _ : A is not a theorem ; A ^ ? A is not a contradiction ; A ^ : A is a contradiction ; and A _ ? A is a theorem . We then show how to obtain a Display system for Classical Logic by the addition of structural rules only . 2 Preliminaries We use the usual connectives ^ , _ , ! and : of intuitionistic logic along with two extra connectives ? and ? . We include two propositional constants > and ? and define intuitionistic negation : A as A ! ? . The connective ? is a natural dual to intuitionistic implication and is sometimes known as \ pseudo-difference '' while ? is a natural \ negation '' that arises from ? and > by defining ? A as T ? A. Draft : April 26 , 1995 2 All primitive propositions including > and ? are formulae , and if A and B are formulae , then so are A ^ B , A_B , A ! B , A?B , : A and ? A , with : A and ? A defined as above . A formula that does not involve ? is an intuitionistic formula , and a formula that does not involve ! is a dual-intuitionistic formula . 3 The Display System Our Display system contains two binary structural connectives ffi and ffl instead of the Gentzen comma and a unary structural connective I. Any formula is a structure , the constant I is a structure , and if X and Y are structures then so are X ffi Y and X ffl Y . If X and Y are structures then X ` Y is a sequent with X the antecedent and Y the succedent . Sequent rules are then built from sequents as usual with the premisse -LRB- s -RRB- above the line and the conclusion below the line . 3.1 Display Rules , Polarities , Antecedent and Succedent Parts We begin with a set of invertible rules known as the Display Equivalence or flipflop rules as given below right . A new aspect taken from the Gaggle Theory of Dunn -LSB- Dun91 -RSB- is an accompanying tonicity vector for each structural connective depending on whether it appears in the antecedent -LRB- superscript a -RRB- or the succedent -LRB- superscript s -RRB- . The display equivalences determine this vector and vice-versa . A + indicates that the associated connective is isotonic in that position , and a ? indicates that the associated connective is antitonic in that position . The terms rp and drp stand for \ residuated pair '' and \ dual-residuated pair '' but is only of theoretical importance . Display Equivalence or flip-flop Rules Z ffl Y ` X Z ` X ffl Y Z ` Y ffl X Z ffl X ` Y ffls -LRB- + ; + -RRB- ffla -LRB- + ; ? -RRB- drp -LRB- ffls ; ffla -RRB- X ` Y ffi Z Y ffi X ` Z X ffi Y ` Z Y ` X ffi Z ffia -LRB- + ; + -RRB- ffis -LRB- ? ; + -RRB- rp -LRB- ffia ; ffis -RRB- These rules allow us to \ display '' each of the components X , Y or Z as we choose . They also allow us to dis-assemble and re-assemble any structure built from these structural connectives so that any particular part of the structure can be displayed as either the whole of the antecedent , or as the whole of the succedent . The exact position where a particular occurrence of a substructure finally rests depends upon how many times it flips from one side to the other in its journey . We formalise this as follows . Given a -LRB- binary -RRB- structural connective f with tonicity f -LRB- ? 1 ; ? 2 -RRB- , and a structure f -LRB- X ; Y -RRB- with outermost connective f , the substructure X has polarity ? 1 and the substructure Y has polarity ? 2 . Thus , every substructure of a structure has a polarity comprised of a string of signs drawn from f + ; ? g although the whole structure f -LRB- X ; Y -RRB- lacks a polarity as yet . In a given structure , a particular occurrence X of a substructure appears negatively if the number of ? signs in the polarity of X is non-zero and odd . Conversely , a particular occurrence X of a substructure appears positively if the number of ? signs in the polarity of X is zero or even . Again , the polarity of the whole structure is not determined by this definition . Draft : April 26 , 1995 3 Given a sequent V ` W we say that V is the antecedent -LRB- with polarity ? -RRB- and W is the succedent -LRB- with polarity + -RRB- . In a sequent V ` W , a particular occurrence of X is an antecedent-part if it occurs positively in the antecedent V or if it occurs negatively in the succedent W . Conversely , a particular occurrence of X is a succedent-part if it occurs positively in the succedent W or if it occurs negatively in the antecedent V -LSB- Bel82 -RSB- . We say that two sequents s and s0 are structurally equivalent if we can pass from one to the other using only the flip-flop rules shown above -LRB- and hence pass back again since the flip-flop rules are invertible -RRB- . The name Display Logic comes from the following theorem . Theorem 1 -LRB- Belnap -RRB- For every sequent s and every antecedent -LRB- succedent -RRB- part X of s , there is a sequent s0 which is not only structurally equivalent to s , but which has X alone as its antecedent -LRB- succedent -RRB- . X is said to be \ displayed '' in s0 . 3.2 More Structural Rules Next we add structural rules as given below that give extra special properties to ffi and ffl such as commutativity -LRB- C ` -RRB- and associativity -LRB- A ` -RRB- . The rules involving I make it \ falsum-like '' in an antecedent position , and \ verum-like '' in a succedent position . Note the duality between the rules involving ffi and the rules involving ffl . Structural Rules -LRB- M l ` -RRB- X ` Z Y ffi X ` Z -LRB- A ` -RRB- W ffi -LRB- X ffi Y -RRB- ` Z -LRB- W ffi X -RRB- ffi Y ` Z -LRB- C ` -RRB- X ffi X ` Z X ` Z -LRB- I + ? r ` -RRB- X ` Z X ffi I ` Z -LRB- ExI ` -RRB- X ` I X ` Z -LRB- ` ExI -RRB- I ` X Z ` X -LRB- ` Mr -RRB- Z ` X Z ` X ffl Y -LRB- ` A -RRB- Z ` Y ffl -LRB- X ffl W -RRB- Z ` -LRB- Y ffl X -RRB- ffl W -LRB- ` C -RRB- Z ` X ffl X Z ` X -LRB- ` I + ? l -RRB- Z ` X Z ` I ffl X The following rules are then derivable because commutativity of ffi on the left of turnstile , and commutativity of ffl on the right of turnstile , are built into the flipflop rules . Draft : April 26 , 1995 4 Derived Structural Rules -LRB- Mr ` -RRB- X ` Z X ffi Y ` Z -LRB- P ` -RRB- X ffi Y ` Z Y ffi X ` Z -LRB- I + ? l ` -RRB- X ` Z I ffi X ` Z -LRB- ` M l -RRB- Z ` X Z ` Y ffl X -LRB- ` P -RRB- Z ` Y ffl X Z ` X ffl Y -LRB- ` I + ? r -RRB- Z ` X Z ` X ffl I 3.3 Logical Rules Then we add the following logical rules , one to introduce each logical connective on the right and left of turnstile . Logical Rules -LRB- cut -RRB- X ` A A ` Y X ` Y -LRB- Id -RRB- p ` p -LRB- ` > -RRB- I ` > -LRB- > ` -RRB- I ` X > ` X -LRB- ` ? -RRB- X ` I X ` ? -LRB- ? ` -RRB- ? ` I -LRB- ` ^ -RRB- X ` A X ` B X ` A ^ B -LRB- ^ i ` -RRB- Ai ` X i = 1 ; 2 A1 ^ A2 ` X -LRB- ` _ i -RRB- X ` Ai i = 1 ; 2 X ` A1 _ A2 -LRB- _ ` -RRB- A ` X B ` X A _ B ` X -LRB- ` ! -RRB- X ffi A ` B X ` A ! B -LRB- ! ` -RRB- X ` A B ` Y A ! B ` X ffi Y -LRB- ` ? -RRB- X ` A B ` Y X ffl Y ` A ? B -LRB- ? ` -RRB- A ` B ffl X A?B ` X Note that the rules for -LRB- ? ` -RRB- and -LRB- ` ? -RRB- are natural \ duals '' of the rules for -LRB- ! ` -RRB- and -LRB- ` ! -RRB- according to the \ reflection about turnstile '' reading of \ duality '' . Notice also that the introduction rules for ^ and _ are structure free . The structure ffi is involved only with the introduction rules for ! and the structure ffl is involved only with the introduction rules for ? . However , the following rules are Draft : April 26 , 1995 5 now derivable as shown at right : -LRB- ^ ` -RRB- A ffi B ` X A ^ B ` X A ffi B ` X -LRB- dp -RRB- B ` A ffi X -LRB- ^ 2 ` -RRB- A ^ B ` A ffi X -LRB- dp -RRB- -LRB- A ^ B -RRB- ffi A ` X -LRB- dp -RRB- A ` -LRB- A ^ B -RRB- ffi X -LRB- ^ 1 ` -RRB- A ^ B ` -LRB- A ^ B -RRB- ffi X -LRB- dp -RRB- -LRB- A ^ B -RRB- ffi -LRB- A ^ B -RRB- ` X -LRB- C ` -RRB- A ^ B ` X -LRB- ` _ -RRB- X ` A ffl B X ` A _ B X ` A ffl B A ffl X ` B A ffl X ` A _ B X ` A ffl -LRB- A _ B -RRB- -LRB- A _ B -RRB- ffl X ` A -LRB- A _ B -RRB- ffl X ` A _ B X ` -LRB- A _ B -RRB- ffl -LRB- A _ B -RRB- X ` A _ B This shows that the structure-free rules for ^ and _ do not force these connectives to be Boolean as hypothesised by Belnap -LSB- Bel82 , page x -RSB- . It seems that the structure-free rules force the corresponding connective to be the \ meet '' or \ join '' of the underlying algebraic structures as determined by the display equivalences we initially postulate . These in turn are determined by the Gaggle Theory of Dunn -LSB- Dun91 -RSB- . 3.4 Two Negations We can define two negations : : A as A ! ? , and ? A as > ? A , obtaining derived introduction rules for each : -LRB- : ` -RRB- X ` A : A ` X ffi I X ` A ? ` I -LRB- ! ` -RRB- A ! ? ` X ffi I -LRB- rewrite -RRB- : A ` X ffi I -LRB- ` :-RRB- X ffi A ` I X ` : A X ffi A ` I X ffi A ` ? X ` A ! ? -LRB- rewrite -RRB- X ` : A -LRB- ? ` -RRB- I ` A ffl X ? A ` X I ` A ffl X > ` A ffl X > ? A ` X rewrite ? A ` X -LRB- ` ? -RRB- A ` Y I ffl Y ` ? A I ` > A ` Y I ffl Y ` > ? A rewrite I ffl Y ` ? A Draft : April 26 , 1995 6 3.5 Some Derivable Sequents The following proofs show that A _ ? A is a theorem of the underlying logic and that A ^ : A is a contradiction : I ` > A ` A I ffl A ` > ? A I ffl A ` ? A I ` Affl ? A I ` A _ ? A A ` A ? ` I A ! ? ` A ffi I : A ` A ffi I : A ffi A ` I A ffi : A ` I A ^ : A ` I A few attempts will also show that both I ` A : A and A ^ ? A ` I are not provable . 3.6 Subsystems The given rules form a Display Logic -LRB- call it ffi JDJ for J with Dual J -RRB- since the Display Theorem continues to hold . Let ffi J be the subsystem obtained from ffi JDJ by deleting all rules that involve ffl . Dually , let ffi DJ be the subsystem obtained from ffi JDJ by deleting all rules that involve ffi . We next prove that ffi J captures Intuitionistic Logic IL . 3.7 From Intuitionistic Logic to ffi J Let IC be a Hilbert system for intuitionistic logic as given in Belnap -LSB- Bel82 -RSB- . Theorem 2 If A -LRB- is an intuitionistic formula and -RRB- is a theorem of IC then I ` A in ffi J. Proof : By induction on the complexity of the proof of A in the Hilbert system IC . For the base cases of axioms , we show that the theorem holds for the ten axioms of IC as given by Belnap -LSB- Bel82 -RSB- . The only rule of inference in IC is modus ponens , which is also shown to be a derivable rule in ffi IC . Hence any proof in IC can be mimicked in ffi IC . See Appendix A on page 13 . 3.8 From ffi J to Intuitionistic Logic To complete our claim that ffi J captures Intuitionistic Logic , we need to prove that if A is -LRB- an intuitionistic -RRB- formula and I ` A is provable in ffi J then A is a theorem of IC . Define the following translation o from sequents built from formulae and structures into sequents over the language of intuitionistic logic . o -LRB- X ` Y -RRB- = o1 -LRB- X -RRB- ` o2 -LRB- Y -RRB- o1 -LRB- I -RRB- = > o2 -LRB- I -RRB- = ? o1 -LRB- X ffi Y -RRB- = o1 -LRB- X -RRB- ^ o1 -LRB- Y -RRB- o2 -LRB- X ffi Y -RRB- = o1 -LRB- X -RRB- ! o2 -LRB- Y -RRB- Theorem 3 If X ` Y is provable in ffi J then o1 -LRB- X -RRB- ! o2 -LRB- Y -RRB- is a theorem of IC . Draft : April 26 , 1995 7 Proof : By induction on the length of the ffi J proof of X ` Y . Base case : Clearly p ` p , X ` > and ? ` X are provable in ffi J . Their respective o-translations are p ! p , o1 -LRB- X -RRB- ! > and ? ! o2 -LRB- X -RRB- and each of these is trivially a theorem of IC . Induction hypothesis : Suppose the theorem holds for all ffi J proofs of length k. Induction step : Consider a proof of length k + 1 in ffi J . The subproof consisting of all the steps except the last one falls under the induction hypothesis . So we just have to prove that each rule of ffi J has the property that : if the o-translations of the premisses of the rule are all provable in J , then so is the o-translation of the conclusion of the rule . Below we give the proof for the rule -LRB- ` ! -RRB- only . Rule Translations of premisses Translation of conclusion Proof i.e. I. H. i.e. goal -LRB- ` ! -RRB- -LRB- o1 -LRB- X -RRB- ^ A -RRB- ! B -LRB- o -RRB- X ffi A ` B o1 -LRB- X -RRB- ! -LRB- A ! B -RRB- -LRB- o -RRB- X ` A ! B 3.9 Completeness of ffi J We wish to prove that if o -LRB- X ` Y -RRB- is a theorem of IC then X ` Y is provable in ffi J. Lemma 1 The sequent I ` A is provable in ffi J iff the formula A is a theorem of intuitionistic logic IC . In particular , putting A = o -LRB- X ` Y -RRB- = o1 -LRB- X -RRB- ! o2 -LRB- Y -RRB- gives us that I ` o1 -LRB- X -RRB- ! o2 -LRB- Y -RRB- is provable in ffi J iff the formula o -LRB- X ` Y -RRB- is a theorem of intuitionistic logic IC . Lemma 2 If I ` o1 -LRB- X -RRB- ! o2 -LRB- Y -RRB- is provable in ffi J then o1 -LRB- X -RRB- ` o2 -LRB- Y -RRB- is also provable in ffi J. Proof : I ` o1 -LRB- X -RRB- ! o2 -LRB- Y -RRB- o1 -LRB- X -RRB- ` o1 -LRB- X -RRB- o2 -LRB- Y -RRB- ` o2 -LRB- Y -RRB- o1 -LRB- X -RRB- ! o2 -LRB- Y -RRB- ` o1 -LRB- X -RRB- ffi o2 -LRB- Y -RRB- I ` o1 -LRB- X -RRB- ffi o2 -LRB- Y -RRB- I ffi o1 -LRB- X -RRB- ` o2 -LRB- Y -RRB- o1 -LRB- X -RRB- ` o2 -LRB- Y -RRB- q.e.d. Lemma 3 For any structure Z both Z ` o1 -LRB- Z -RRB- and o2 -LRB- Z -RRB- ` Z are provable in ffi J. Proof : By simultaneous induction on the structure of Z . The lemma holds for all formulae A since o1 -LRB- A -RRB- = o2 -LRB- A -RRB- = A. Similarly , it holds for I since o1 -LRB- I -RRB- = > and o2 -LRB- I -RRB- = ? and both I ` > and ? ` I are provable by definition . Draft : April 26 , 1995 8 Suppose the lemma holds for all structures of degree k and suppose Z is of degree k + 1 . We consider each case in turn depending on the outermost connective of Z. I. H. X ` o1 -LRB- X -RRB- I. H. Y ` o1 -LRB- Y -RRB- X ffi Y ` o1 -LRB- X -RRB- ^ o1 -LRB- Y -RRB- X ffi Y ` o1 -LRB- X ffi Y -RRB- I. H. X ` o1 -LRB- X -RRB- I. H. o2 -LRB- Y -RRB- ` Y o1 -LRB- X -RRB- ! o2 -LRB- Y -RRB- ` X ffi Y o2 -LRB- X ffi Y -RRB- ` X ffi Y q.e.d. Theorem 4 If o -LRB- X ` Y -RRB- is a theorem of intuitionistic logic J then any sequent bX ` bY with o -LRB- X ` Y -RRB- = o -LRB- bX ` bY -RRB- is provable in ffi J . In particular , the sequent X ` Y is provable in ffi J. Proof : First note that if o -LRB- X ` Y -RRB- = o -LRB- bX ` bY -RRB- then o1 -LRB- X -RRB- = o1 -LRB- bX -RRB- and o2 -LRB- Y -RRB- = o2 -LRB- bY -RRB- thus giving us one line proofs of o1 -LRB- bX -RRB- ` o1 -LRB- X -RRB- and o2 -LRB- Y -RRB- ` o2 -LRB- bY -RRB- in ffi J. Second , the fact that o -LRB- X ` Y -RRB- is a theorem of intuitionistic logic IC , together with Lemmas 1 and 2 gives us that o1 -LRB- X -RRB- ` o2 -LRB- Y -RRB- is provable in ffi J . Now we can construct a proof of bX ` bY as follows : Lemma 3 bX ` o1 -LRB- bX -RRB- o1 -LRB- bX -RRB- ` o1 -LRB- X -RRB- o1 -LRB- X -RRB- ` o2 -LRB- Y -RRB- o2 -LRB- Y -RRB- ` o2 -LRB- bY -RRB- -LRB- cut -RRB- o1 -LRB- X -RRB- ` o2 -LRB- bY -RRB- Lemma 3 o2 -LRB- bY -RRB- ` bY -LRB- cut -RRB- o1 -LRB- X -RRB- ` bY -LRB- cut -RRB- o1 -LRB- bX -RRB- ` bY -LRB- cut -RRB- bX ` bY q.e.d. 4 Cut-elimination In order to prove cut-elimination we need to ensure that our systems satisfy conditions C1 to C8 as given originally by Belnap -LSB- Bel82 , Bel90 -RSB- . All conditions except C8 can be done by eye , so we give the proofs for C8 -LRB- the elimination of matching principle constituents -RRB- below . The idea is that the application of cut in the left hand proof can be replaced by a cut of smaller degree in the right hand proof . X ffi A ` B X ` A ! B B ` Z Y ` A A ! B ` Y ffi Z X ` Y ffi Z Y ` A X ffi A ` B A ` X ffi B Y ` X ffi B Y ffi X ` B B ` Z Y ffi X ` Z X ` Y ffi Z Draft : April 26 , 1995 9 X ` A X ` B X ` A ^ B A ` Z A ^ B ` Z X ` Z X ` A A ` Z X ` Z X ` A X ` A _ B A ` Y B ` Y A _ B ` Y X ` Y X ` A A ` Y X ` Y Theorem 5 If there is a proof of X ` Y in ffi JDJ -LRB- respectively ffi J and ffi DJ -RRB- then there is a cut-free proof of X ` Y in ffi JDJ -LRB- respectively ffi J and ffi DJ -RRB- . 5 Regaining Classical Logic A useful property of ffi J is the ability to regain classical logic purely with the addition of structural rules only . Consider the following purely structural rules : Extra Structural Rules for Classical Logic -LRB- ffil4 -RRB- ? X ` Y ffi Z Y ffi ? Z ` X -LRB- ffil3 -RRB- X ffi Y ` ? Z Z ` X ffi ? Y -LRB- ? I ` -RRB- ? I ` X I ` X -LRB- ` ? I -RRB- X ` ? I X ` I The following structural rules are now derivable , note that the derivations are invertible : -LRB- CP -RRB- X ` ? Z ffi Y X ` ? Y ffi Z -LRB- ` I + ? -RRB- X ` Y X ` ? Y ffi I -LRB- ` I ?? -RRB- X ` ? Y X ` Y ffi I -LRB- ` C ? -RRB- X ` ? Y ffi Y X ` Y -LRB- ? l -RRB- ? X ` Y ? Y ` X -LRB- ? r -RRB- X ` ? Y Y ` ? X -LRB- ? ? l -RRB- X ` Y ? ? X ` Y -LRB- ? ? r -RRB- X ` Y X ` ? ? Y Draft : April 26 , 1995 10 The following rules then become derivable : A ` A -LRB- I + ? -RRB- A ` ? A ffi I -LRB- dp -RRB- ? A ffi A ` I ? A ffi A ` ? ? A ` A ! ? ? A ` : A A ` A ? ` I A ! ? ` A ffi I A ! ? ` ? A : A ` ? A Furthermore , the rule shown below on the left hand side is now derivable as shown on the right hand side . -LRB- ` _ -RRB- X ` ? A ffi B X ` A _ B X ` ? A ffi B -LRB- dp -RRB- X ffi ? A ` B -LRB- ` _ 2 -RRB- X ffi ? A ` A _ B -LRB- dp -RRB- X ` ? A ffi -LRB- A _ B -RRB- -LRB- CP -RRB- X ` ? -LRB- A _ B -RRB- ffi A -LRB- dp -RRB- X ffi ? -LRB- A _ B -RRB- ` A -LRB- ` _ 1 -RRB- X ffi ? -LRB- A _ B -RRB- ` A _ B -LRB- dp -RRB- X ` ? -LRB- A _ B -RRB- ffi -LRB- A _ B -RRB- -LRB- C ? -RRB- X ` A _ B And from these we can extract proofs of : : A ! A and : A _ A : ? A ` : A ? ` I : A ! ? ` ? A ffi I : : A ` ? A ffi I -LRB- I + ? -RRB- : : A ` A -LRB- I + ? l ` -RRB- I ffi : : A ` A I ` : : A ! A ? A ` : A I ffi ? A ` : A I ` ? A ffi : A I ` A _ : A Indeed we can derive the following introduction rules for : : ? A ` X ? A ` ? X ffi I ? X ` ? A ffi I ? X ` A ? ` I A ! ? ` ? X ffi I A ! ? ` X : A ` X X ` ? A X ` A ffi I X ffi A ` I X ffi A ` ? X ` A ! ? X ` : A Draft : April 26 , 1995 11 The translation from structures to formulae must now cater for the additional structure connective ? as follows : o1 -LRB- ? X -RRB- = o2 -LRB- X -RRB- ! ? o2 -LRB- ? X -RRB- = o1 -LRB- X -RRB- ! ? or simply as : o1 -LRB- ? X -RRB- = : o2 -LRB- X -RRB- o2 -LRB- ? X -RRB- = : o1 -LRB- X -RRB- 6 Conclusions and Further Work Clearly this is a preliminary report of work in progress . But how can this be related to Artificial Intelligence since we still have n't answered the question whether Tweety can fly ? Because it is becoming increasingly clear that nonmonotonicity is a highly non-trivial notion , and that the initial -LRB- simple -RRB- approaches to nonmonotonicity , partiality and paraconsistency are not enough . Indeed they have been referred to as the \ shallow '' -LSB- Van91 -RSB- approaches ! So maybe our rigorous approach based on the known partial and paraconsistent nature of intuitionistic and dual-intuitionistic logic will offer a viable alternative . Further work includes : - show that ffi DJ captures dual intuitionistic logic ; - explain the semantics of A?B and ? A ; - show that ffi J , ffi DJ and ffi JDJ provide decision procedures . Draft : April 26 , 1995 12 References -LSB- Bel82 -RSB- Nuel D. Belnap Jnr . Display logic . Journal of Philosophical Logic , 11:375 -LCB- 417 , 1982 . -LSB- Bel90 -RSB- Nuel D. Belnap Jnr . Linear logic displayed . Notre Dame Journal of Formal Logic , 31:15 -LCB- 25 , 1990 . -LSB- Cze77 -RSB- Johannes Czermak . A remark on Gentzen 's calculus of sequents . Notre Dame Journal of Formal Logic , 18 -LRB- 3 -RRB- :471 -LCB- 474 , 1977 . -LSB- Dun91 -RSB- J. Michael Dunn . Gaggle theory . Technical Report IULG-91-3 , Indiana University Logic Group , May , 1991 . -LSB- Goo81 -RSB- Nicolas D. Goodman . The logic of contradiction . ZML , 27:119 -LCB- 126 , 1981 . -LSB- Gor95 -RSB- Rajeev Gor?e . Intuitionistic logic redisplayed . Technical Report TR-1-95 , Automated Reasoning Project , Australian National University , Australia , January , 1995 . -LSB- Res94 -RSB- Greg Restall . Displaying and deciding substructural logics I : logics with contraposition . Technical Report TR-11-94 , Automated Reasoning Project , Australian National University , Australia , 1994 . -LSB- Urb94 -RSB- Igor Urbas . Dual intuitionistic logic . Technical Report Report 40 , Zentrum Philosophie Und Wissenschaftstheorie , Universit?at Konstanz , August , 1994 . -LSB- Van91 -RSB- Johan Van Benthem . Reflections on epistemic logic . Logique et Analyse , 133-134 :5 -LCB- 14 , 1991 . Draft : April 26 , 1995 13 7 Appendix A : Proofs of three of the IC axioms in ffiJ A ` A -LRB- ` _ -RRB- A ` B _ A -LRB- I + -RRB- I ffi A ` B _ A -LRB- ` ! -RRB- I ` A ! -LRB- B _ A -RRB- Axiom 7 A ` A ? ` B -LRB- ! ` -RRB- A ! ? ` A ffi B -LRB- : ` -RRB- : A ` A ffi B -LRB- dp -RRB- A ffi : A ` B -LRB- ` ! -RRB- A ` : A ! B -LRB- I + -RRB- I ffi A ` : A ! B -LRB- ` ! -RRB- I ` A ! -LRB- : A ! B -RRB- Axiom 10 I ` A I ` A ! B A ` A B ` B -LRB- ! ` -RRB- A ! B ` A ffi B -LRB- cut -RRB- I ` A ffi B -LRB- dp -RRB- I ffi A ` B -LRB- I + ? l ` -RRB- A ` B -LRB- cut -RRB- I ` B Modus Ponens : if I ` A and I ` A ! B then I ` B. End of proofs . Draft : April 26 , 1995 i Contents 1 Introduction 1 2 Preliminaries 1 3 The Display System 2 3.1 Display Rules , Polarities , Antecedent and Succedent Parts : : : : : : 2 3.2 More Structural Rules : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3.3 Logical Rules : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3.4 Two Negations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 3.5 Some Derivable Sequents : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3.6 Subsystems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3.7 From Intuitionistic Logic to ffi J : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3.8 From ffi J to Intuitionistic Logic : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3.9 Completeness of ffi J : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4 Cut-elimination 8 5 Regaining Classical Logic 9 6 Conclusions and Further Work 11 Bibliography 12 7 Appendix A : Proofs of three of the IC axioms in ffi J 13

O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O B I O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

automated reasoning
intuitionistic logic

hybrid logics
logical and mathematical models for ai
paraconsistent logics


UNIT?E DE RECHERCHE INRIA-SOPHIAANTIPOLIS Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique 2004 route des Lucioles B.P. 93 06902 Sophia-Antipolis France Rapports de Recherche Nffi1879 Programme 1 Architectures parall?eles , Bases de donn?ees , R?eseaux et Syst?emes distribu?es BATCH ROUTING QUEUEING NETWORKS WITH JUMP-OVER BLOCKING Richard J. BOUCHERIE Mars1993 Files d'attente avec routage par \ batch '' et blocage \ jump-over '' Richard J. Boucherie INRIA Centre Sophia Antipolis , B.P. 93 , 06902 Sophia Antipolis Cedex , France R?esum?e Cet article consid?ere la distribution ? a l' ? equilibre d'un r?eseau de files d'attente avec blocage dans lequel plusieurs clients peuvent changer de station ? a chaque transition . Quand , pendant une transition , un client d'un groupe ne peut pas entrer dans une station , tous les clients de ce groupe choisissent une nouvelle destination . Cet article montre que la distribution ? a l' ? equilibre de ce r?eseau a une forme produit . Batch routing queueing networks with jump-over blocking ? Richard J. Boucheriey INRIA Centre Sophia Antipolis , B.P. 93 , 06902 Sophia Antipolis Cedex , France Abstract This paper shows that the equilibrium distribution of a queueing network with batch routing is of product-form if a batch which can not enter the destination stations , for example as a consequence of capacity constraints , jumps over these stations and selects a new set of destination stations according to the routing probabilities , that is if also customers in the batch who arrive at a non-saturated station jump over that station . 1 Introduction Jackson observed in -LSB- 3 -RSB- that the equilibrium distribution of a Jackson network in which the service-speed at a saturated station is set to infinity if a customer arrives at that station still possesses the product-form equilibrium distribution found for Jackson networks without capacity constraints . However , a rigorous proof of this phenomenon is not given in -LSB- 3 -RSB- . In -LSB- 6 -RSB- this notion of blocking is again discussed . In this reference the service-rate is not set to infinity , but a customer arriving at a saturated station jumps over the station and selects a new station according to the state-independent routing probabilities . In this case the mathematical problem related to infinite service speeds is avoided , and the product-form result is proven under the assumption that the state-independent routing probabilities are reversible . For Jackson-type queueing networks , in -LSB- 2 -RSB- the term jump-over blocking is introduced . In this reference a rigorous proof is given for the product-form equilibrium result under this blocking protocol for arbitrary routing probabilities -LRB- non-reversible routing -RRB- . ? Supported by the European Grant BRA-QMIPS of CEC DG XIII . yERCIM fellow at INRIA from September 1st , 1992 to May 31st , 1993 . ERCIM stands for European Research Consortium for Informatics and Mathematics and comprises 9 institutes : CWI -LRB- The Netherlands -RRB- , CNR -LRB- Italy -RRB- , FORTH -LRB- Greece -RRB- , GMD -LRB- Germany -RRB- , INRIA -LRB- France -RRB- , INESC -LRB- Portugal -RRB- , RAL -LRB- UK -RRB- , SICS -LRB- Sweden -RRB- , SINTEF DELAB -LRB- Norway -RRB- . This paper generalizes these results to batch routing queueing networks . It will be shown that the equilibrium distribution of a batch routing queueing network with capacity constraints at the stations is of product-form if a batch of which at least one customer can not enter the destination station selects new destination stations according to the batch routing probabilities , that is also the customers arriving at non-saturated stations jump over the station . Of course , this blocking protocol , referred to as the complete jump-over blocking protocol , may be very unrealistic in practical applications . However , the more realistic jump-over blocking protocol , in which only the customers who can not enter a station jump over the station to choose a new destination station is shown not to preserve the product-form equilibrium distribution -LRB- cf. Remark 3.7 -RRB- . As a consequence , a closed form expression for the equilibrium distribution for a general queueing network under this partial jump-over blocking protocol should not be expected . 2 Model Consider a continuous-time queueing network consisting of N queues or stations , labelled 1 ; 2 ; : : : ; N , in which a single type of customers routes among the stations . Assume that the queueing network can be represented by a stable , regular , continuoustime Markov chain with state space S ? INN0 . A state ? n = -LRB- n1 ; : : : ; nN -RRB- is a vector with components ni , i = 1 ; : : : ; N , where ni denotes the number of customers at station i , i = 1 ; : : : ; N . The transition rate from state ? n to state ? n0 is denoted by q -LRB- ? n ; ? n0 -RRB- . Such a transition may occur due to a group ? g = -LRB- g1 ; : : : ; gN -RRB- leaving the stations , that is due to gi customers leaving station i , i = 1 ; : : : ; N , a group ? g0 = -LRB- g01 ; : : : ; g0N -RRB- entering the stations , while the customers ? m = -LRB- m1 ; : : : ; mN -RRB- remain at the stations . The transition rate for this particular transition is denoted by q -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- . Observe that a transition ? n ! ? n0 may occur due to different groups ? g ; ? g0 entering and leaving the stations . In particular , the relation between the two sets of transition rates defined above is given by q -LRB- ? n ; ? n0 -RRB- = X f?g ; ? g0 ; ? m : ? m + ? g = ? n ; ? m + ? g0 = ? n0g q -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- : Furthermore , note that the transition rates defined above can be used to model both open and closed queueing networks -LRB- cf. -LSB- 1 -RSB- -RRB- . In the sequel , the restriction of the Markov chain to a set V ae S will be investigated . It will be assumed that the Markov chain is irreducible at V , and that there exists a unique equilibrium distribution ss = -LRB- ss -LRB- ? n -RRB- ; ? n 2 V -RRB- at V . Then this equilibrium distribution can be obtained as the unique solution to the global balance equations , that is ss satisfies for all ? n 2 V ss -LRB- ? n -RRB- X ? n0 < > ? n q -LRB- ? n ; ? n0 -RRB- = X ? n0 < > ? n ss -LRB- ? n0 -RRB- q -LRB- ? n0 ; ? n -RRB- : -LRB- 2:1 -RRB- Note that the assumption that the Markov chain is irreducible is made only for simplicity . Without this assumption , a solution m = -LRB- m -LRB- ? n -RRB- ; ? n 2 V -RRB- to -LRB- 2.1 -RRB- is an invariant measure , which need not be unique or normalisable . In -LSB- 1 -RSB- it is shown that a sufficient condition for ss to be the unique product-form equilibrium distribution is that ss satisfies the group-local-balance equations , that is ss satisfies for all ? m and ? n = ? m + ? g 2 V ss -LRB- ? m + ? g -RRB- X ? g0 < > ? g q -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- = X ? g0 < > ? g ss -LRB- ? m + ? g0 -RRB- q -LRB- ? g0 ; ? g ; ? m -RRB- : -LRB- 2:2 -RRB- Moreover , it is shown that group-local-balance is particularly suitable to analyse blocking phenomena in product-form queueing networks with batch movements . Assume that the transition rates decompose in a service-part and a routingpart , that is assume that for all ? g ; ? g0 ; ? m q -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- = -LRB- ? m -RRB- OE -LRB- ? m + ? g -RRB- p -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- : -LRB- 2:3 -RRB- Here -LRB- ? m -RRB- OE -LRB- ? n -RRB- is the state-dependent service-rate for service of a group ? g in state ? n = ? m + ? g , chosen in accordance with the recent literature on product-form queueing networks -LRB- cf. -LSB- 1 -RSB- , -LSB- 4 -RSB- , -LSB- 5 -RSB- , -LSB- 7 -RSB- -RRB- , and shown to be the most general form available for the service-rates for which product-form results can be derived . Upon departure from the stations a group ? g routes to ? g0 according to the state-dependent routing probabilities p -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- . These routing probabilities will be studied in detail in Section 3 . The following result can immediately be concluded from -LSB- 1 -RSB- , and will be the basis for the analysis of jump-over blocking . Lemma 2.1 -LRB- Decomposition -RRB- Assume that a positive solution p = -LRB- p -LRB- ? n -RRB- , ? n 2 V -RRB- exists to p -LRB- ? m + ? g -RRB- X ? g0 < > ? g : ? m + ? g02V p -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- = X ? g0 < > ? g : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g ; ? m -RRB- : -LRB- 2:4 -RRB- Then the Markov chain with transition rates -LRB- 2.3 -RRB- has a unique equilibrium distribution given by ss -LRB- ? n -RRB- = BOE -LRB- ? n -RRB- p -LRB- ? n -RRB- ; ? n 2 V ; -LRB- 2:5 -RRB- where B is a normalising constant , defined as B = `` X ? n2V OE -LRB- ? n -RRB- p -LRB- ? n -RRB- # ? 1 : Lemma 2.1 allows the routing and service parts of the Markov chain to be analysed separately . Since blocking effects are , by nature , routing effects , in the sequel the routing part will be studied only . 3 The complete jump-over blocking protocol This section considers the complete jump-over blocking protocol for batch routing queueing networks . In principle , under the jump-over blocking protocol customers who can not enter a station jump over that station to route to another station as if they have received service . Since customers in a batch are in general not independent , for this protocol to preserve the product-form equilibrium distribution it must be assumed that the whole batch ? g jumps over the stations , that is , if the g0i customers arriving at station i can not all enter station i , then all customers ? g0 jump over the stations , also at stations j < > i. Of course , this protocol need not be very realistic in a practical environment -LRB- also , cf. Remark 3.6 -RRB- . Assume that the batch routing probabilities are state-independent , except for blocking phenomena , that is assume that customers who leave the stations and who are not blocked route among the stations according to the stochastic routing matrix P with ? g ; ? g0-th entry p -LRB- ? g ; ? g0 -RRB- . If not all customers of ? g0 can be accepted , then the whole batch ? g0 selects new destination stations according to P . For all ? m define the matrix P -LRB- ? m -RRB- from P as P -LRB- ? m -RRB- ? g ; ? g0 = p -LRB- ? g ; ? g0 -RRB- 1 -LRB- ? m + ? g 62 V -RRB- : P -LRB- ? m -RRB- represents the routing probability of groups ? g who can not enter the stations when ? m remain , that is the group ? g selects a new station according to P -LRB- ? m -RRB- . Obviously , P -LRB- ? m -RRB- should not contain positive entries for ? g such that ? m + ? g 2 V since in this case the group ? g was accepted at the stations . Note that P -LRB- ? m -RRB- has rows containing only 0 's for all ? g such that ? m + ? g 2 V , and row sums 1 if ? m + ? g 62 V . Then the routing probability of ? g to ? g0 when ? m customers remain at the stations under the complete jump-over blocking protocol is given by , for ? m ; ? g ; ? g0 such that ? m + ? g 2 V , and ? m + ? g0 2 V p -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- = P?g ; ? g0 + -LRB- PP -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g0 + -LRB- PP -LRB- ? m -RRB- 2 -RRB- ? g ; ? g0 + ? ? ? = 1X n = 0 -LRB- PP n -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g0 ; -LRB- 3.1 -RRB- where P -LRB- ? m -RRB- = I , the identity matrix , and P n -LRB- ? m -RRB- = P -LRB- ? m -RRB- n. Assume that an up to normalisation unique positive solution y exists to the state-independent routing version of -LRB- 2.4 -RRB- , that is assume that y satisfies for all ? g : y -LRB- ? g -RRB- X ? g0 p -LRB- ? g ; ? g0 -RRB- = X ? g0 y -LRB- ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g -RRB- ; -LRB- 3:2 -RRB- and assume that a function p exists such that for all ? m , and ? g ; ? g0 such that ? m + ? g ; ? m + ? g0 2 S p -LRB- ? m + ? g -RRB- p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- = y -LRB- ? g -RRB- y -LRB- ? g0 -RRB- : -LRB- 3:3 -RRB- Observe that p is the solution to -LRB- 2.4 -RRB- for the system in which all stations have infinite capacity , i.e. for the system in which blocking does not occur . From Lemma 2.1 , with V = S , we now immediately obtain that the Markov chain at S has a product-form invariant measure m = -LRB- m -LRB- ? n -RRB- ; ? n 2 S -RRB- given by m -LRB- ? n -RRB- = OE -LRB- ? n -RRB- p -LRB- ? n -RRB- ; ? n 2 S : The following theorem shows that p is also a solution to the state-dependent traffic equations at V under the complete jump-over blocking protocol . As a consequence the equilibrium distribution at V is the normalised version of the invariant measure at S. Theorem 3.1 -LRB- Complete jump-over blocking protocol -RRB- Consider the Markov chain with transition rates -LRB- 2.3 -RRB- under the complete jump-over blocking protocol , that is the routing probabilities have the form -LRB- 3.1 -RRB- . Then the routing function p -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- defined in -LRB- 3.1 -RRB- is properly normalized , and the unique equilibrium distribution at V is ss -LRB- ? n -RRB- = BOE -LRB- ? n -RRB- p -LRB- ? n -RRB- ; where p is given in -LRB- 3.3 -RRB- . Proof From Lemma 2.1 it is sufficient to prove that p satisfies the state-dependent traffic equations -LRB- 2.4 -RRB- for all ? m , i = 1 ; : : : ; k -LRB- ? m -RRB- , and ? g ; ? g0 such that ? m + ? g ; ? m + ? g0 2 Vi -LRB- ? m -RRB- , where Vi -LRB- ? m -RRB- , i = 1 ; : : : ; k -LRB- ? m -RRB- , are the local irreducible sets of the Markov chain at V with transition rates q -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- for fixed ? m -LRB- cf. -LSB- 1 -RSB- -RRB- . Choose arbitrary , but fixed ? m such that V -LRB- ? m -RRB- = -LSB- iVi -LRB- ? m -RRB- < > ; , that is choose ? m such that 9 ? g for which ? m + ? g 2 V . We will first show that for all ? g ; ? g0 it must be that lim n ! 1P n -LRB- ? m -RRB- ? g ; ? g0 = : -LRB- 3:4 -RRB- To this end , observe that the rows of P -LRB- ? m -RRB- for which ? m + ? g 2 V contain only 0 's . Furthermore , since -LRB- 3.2 -RRB- possesses an up to normalisation unique positive solution , and 9 ? g0 such that ? m + ? g0 2 V , it must be that for all ? g such that ? m + ? g 62 V there exists a k and a sequence ? g0 = ? g ; ? g1 ; ? g2 ; : : : ; ? gk ; ? gk +1 = ? g0 such that ? m + ? gi 62 V , i = ; : : : ; k , p -LRB- ? gi ; ? gi +1 -RRB- > 0 , i = ; : : : ; k . As a consequence , the transition matrix ~ P -LRB- ? m -RRB- of the Markov chain with state space f?gj ? m + ? g 62 V g -LSB- f?g : ~ P -LRB- ? m -RRB- ? g ; ? g0 = P -LRB- ? m -RRB- ? g ; ? g0 1 -LRB- ? m + ? g0 62 V -RRB- ; ~ P -LRB- ? m -RRB- ? g ; ? = X ? g0 : ? m + ? g02V P -LRB- ? m -RRB- ? g ; ? g0 ; ~ P -LRB- ? m -RRB- ? ; ? = 1 ; is the transition matrix of an absorbing Markov chain . Since for n > = 2 we have for ? m + ? g ; ? m + ? g0 62 V that P n -LRB- ? m -RRB- ? g ; ? g0 = ~ P n -LRB- ? m -RRB- ? g ; ? g0 ; P n -LRB- ? m -RRB- satisfies -LRB- 3.4 -RRB- . From -LRB- 3.4 -RRB- we obtain that the routing function p -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- is properly normalized . To this end , note that for all n > = 1 and for all ? g X ? g0 : ? m + ? g02V -LRB- PP n -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g0 = X ? g0 : ? m + ? g02V X ? g00 : ? m + ? g0062V -LRB- PP n ? 1 -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g00 P -LRB- ? m -RRB- ? g00 ; ? g0 = X ? g00 : ? m + ? g0062V -LRB- PP n ? 1 -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g00 2 41 ? X ? g0 : ? m + ? g062V P -LRB- ? m -RRB- ? g00 ; ? g0 3 5 = X ? g00 : ? m + ? g0062V -LRB- PP n ? 1 -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g00 ? X ? g0 : ? m + ? g062V -LRB- PP n -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g0 : This gives X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- = X ? g0 : ? m + ? g02V -LRB- P?g ; ? g0 + 1X n = 1 -LRB- PP n -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g0 -RRB- = 1 ? X ? g0 : ? m + ? g062V P?g ; ? g0 + 1X n = 1 8 < : X ? g00 : ? m + ? g0062V -LRB- PP n ? 1 -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g00 ? X ? g0 : ? m + ? g062V -LRB- PP n -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g0 9 = ; = 1 ? lim n ! 1 X ? g0 : ? m + ? g062V -LRB- PP n -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g0 = 1 : Insertion of this result in -LRB- 2.4 -RRB- gives that it is sufficient to prove that p satisfies for all ? m ; ? g such that ? m + ? g 2 V p -LRB- ? m + ? g -RRB- = X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- 1X n = 0 -LRB- PP n -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g0 ; ? g : -LRB- 3:5 -RRB- Evaluation of the right-hand side gives : X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- 1X n = 0 -LRB- PP n -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g0 ; ? g = X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- 2 4p -LRB- ? g0 ; ? g -RRB- + X ? g00 : ? m + ? g0062V 1X n = 1 p -LRB- ? g0 ; ? g00 -RRB- P n -LRB- ? m -RRB- ? g00 ; ? g 3 5 = X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g -RRB- + X ? g00 : ? m + ? g0062V X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g00 -RRB- 1X n = 1 P n -LRB- ? m -RRB- ? g00 ; ? g = X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g -RRB- + X ? g00 : ? m + ? g0062V 8 < : X ? g0 : ? m + ? g02S p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g00 -RRB- ? X ? g0 : ? m + ? g062V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g00 -RRB- 9 = ; 1X n = 1 P n -LRB- ? m -RRB- ? g00 ; ? g = X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g -RRB- + X ? g00 : ? m + ? g0062V 8 < :p -LRB- ? m + ? g00 -RRB- ? X ? g0 : ? m + ? g062V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g00 -RRB- 9 = ; 1X n = 1 P n -LRB- ? m -RRB- ? g00 ; ? g = X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g -RRB- + X ? g00 : ? m + ? g0062V p -LRB- ? m + ? g00 -RRB- P -LRB- ? m -RRB- ? g00 ; ? g + X ? g00 : ? m + ? g0062V p -LRB- ? m + ? g00 -RRB- 1X n = 2 P n -LRB- ? m -RRB- ? g00 ; ? g ? X ? g00 : ? m + ? g0062V X ? g0 : ? m + ? g062V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g00 -RRB- 1X n = 1 P n -LRB- ? m -RRB- ? g00 ; ? g = X ? g0 : ? m + ? g02S p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g -RRB- = p -LRB- ? m + ? g -RRB- ; which completes the proof . 2 Remark 3.2 -LRB- Proof -RRB- Observe that the last step of the proof can also be obtained as follows : From -LRB- 3.4 -RRB- we obtain that 1X n = 0 P n -LRB- ? m -RRB- -LRB- I ? P -LRB- ? m -RRB- -RRB- = I ? lim n ! 1P n -LRB- ? m -RRB- = I ; which proves that I ? P -LRB- ? m -RRB- is the inverse of P1n = 0 P n -LRB- ? m -RRB- . The state-dependent routing probabilities can now be written as p -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- = -LRB- P -LRB- I ? P -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? 1 -RRB- ? g ; ? g0 : -LRB- 3:6 -RRB- It is now sufficient to prove the following relation for all ? m + ? g 2 S p -LRB- ? m + ? g -RRB- = X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- -LRB- P -LRB- I ? P -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? 1 -RRB- ? g0 ; ? g : Multiplication of this relation on the right-hand side by I ? P -LRB- ? m -RRB- gives that it is sufficient to prove that X ? g p -LRB- ? m + ? g -RRB- -LRB- I ? P -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g ? = X ? g X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- -LRB- P -LRB- I ? P -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? 1 -RRB- ? g0 ; ? g -LRB- I ? P -LRB- ? m -RRB- -RRB- ? g ; ? g ? : This relation is equivalent to p -LRB- ? m + ? g ? -RRB- ? X ? g : ? m + ? g62V p -LRB- ? m + ? g -RRB- P -LRB- ? m -RRB- ? g ; ? g ? = X ? g0 : ? m + ? g02V p -LRB- ? m + ? g0 -RRB- p -LRB- ? g0 ; ? g ? -RRB- ; which holds true as a consequence of -LRB- 3.2 -RRB- . 2 Remark 3.3 -LRB- Single changes , reference -LSB- 2 -RSB- -RRB- The result of Theorem 3.1 is a generalisation to batch routing queueing networks of the result obtained in -LSB- 2 -RSB- for Jacksontype queueing networks with single changes . The structure of the proof given above is very similar to the proof given in this reference . Note that the result of Theorem 3.1 is more general than the result obtained in -LSB- 2 -RSB- . This is obvious since batch routing is allowed , but also if single changes are allowed only , the result of Theorem 3.1 is more general , since the service-rate is more general , but more important , since the solution p -LRB- ? n -RRB- to the state-dependent traffic equations is more general . 2 Remark 3.4 -LRB- Product-form result , intuitive justification -RRB- Observe that the product-form result -LRB- 2.5 -RRB- under the complete jump-over protocol is the same as the result under the stop-protocol -LRB- cf. -LSB- 1 -RSB- -RRB- . This is not surprising since the jump-over protocol can intuitively be justified by setting the service-speed at saturated stations to infinity . If we just consider the ratio of the service-speed between saturated and non-saturated stations , then it is clear that increasing the service-speed to infinity at saturated stations is intuitively equivalent to decreasing the service-speed at nonsaturated stations to zero . Observe that the intuitive justification of the jump-over blocking protocol can serve as intuition only as increasing of the service-speed to infinity in general is not allowed -LRB- also cf. Remark 2.2 of -LSB- 2 -RSB- -RRB- . 2 Remark 3.5 -LRB- State space -RRB- Observe that there are no restrictions imposed on the state space V of the Markov chain . An obvious choice would be V = f?n 2 Sjni < = Bi ; i = 1 ; : : : ; Ng ; corresponding to capacity constraints at the stations . 2 Remark 3.6 -LRB- Departures from one station -RRB- If the batch routing probabilities have the form p -LRB- ? g ; ? g0 -RRB- = p -LRB- gei ; gej -RRB- ; that is in each transition customers can depart from only one station , then the complete jump-over protocol seems to be a reasonable protocol , since in this case it may be argued that the customers in the batch g must remain together . Note that in general we will not have this structure . In this case the complete jump-over protocol can be seen as an alternative for the stop-protocol . 2 Remark 3.7 -LRB- The partial jump-over blocking protocol -RRB- The more realistic jump-over blocking protocol in which only customers who can not enter a station jump over the station to select a new destination station does not preserve the productform for the equilibrium distribution . This can immediately be seen by observing a single station , or equivalently , a tandem line of N stations with capacity constraint at the last station , only . Since this partial jump-over behaviour will imply that only some customers in a batch select a new station , it will be assumed that customers in a batch route independently . Furthermore , it will be assumed that both the serviceprobability and the arrival probability are of Bernoulli type . For the tandem line with capacity constraint BN at station N we then have q -LRB- ? g ; ? g0 ; ? m -RRB- = 8 > < > : > = k if ? g = ; ? g0 = ke1 ; k = 1 ; 2 ; : : : ; ? ki if ? g = kei ; ? g0 = kei +1 ; k = 1 ; : : : ; ni ; i = 1 ; : : : ; N ? 2 ; N ; ? kN ? 1 if ? g = keN ? 1 ; ? g0 = min -LRB- keN ; -LRB- BN ? mN -RRB- eN -RRB- ; k = 1 ; : : : ; nN ? 1 ; were for simplicity it is assumed that a batch of customers can depart at only one station in each transition . The global balance equations now take the form 1X k = 1 ss -LRB- ? n -RRB- > = k + n1X k = 1 ss -LRB- ? n -RRB- ? k1 + NX i = 2 niX k = 1 ss -LRB- ? n -RRB- ? ki = BN?nN X k = 1 ss -LRB- ? n + keN -RRB- ? kN + n1X k = 1 ss -LRB- ? n ? ke1 -RRB- > = k + NX i = 2 niX k = 1 ss -LRB- ? n + kei ? 1 ? kei -RRB- ? ki ? 1 ; for ? n such that nN < BN , and if nN = BN , 1X k = 1 ss -LRB- ? n -RRB- > = k + n1X k = 1 ss -LRB- ? n -RRB- ? k1 + NX i = 2 niX k = 1 ss -LRB- ? n -RRB- ? ki = n1X k = 1 ss -LRB- ? n ? ke1 -RRB- > = k + N ? 1 X i = 2 niX k = 1 ss -LRB- ? n + kei ? 1 ? kei -RRB- ? ki ? 1 + BN X k = 1 X r > = k ss -LRB- ? n + reN ? 1 ? keN -RRB- ? rN ? 1 : Insertion of the product-form equilibrium distribution for ? n such that nN < BN immediately shows that local balance is preserved at stations 1 ; : : : ; N , and at the ` outside-station ' for nN < BN . However , if nN = BN the outside station does not satisfy local balance . In fact , the equilibrium distribution of this tandem line with partial jump-over blocking is ss -LRB- ? n -RRB- = C NY i = 1 > = ? i ! ni '' 1 + > = 1 ? > = 1 -LRB- nN = BN -RRB- # : Since local balance is not preserved under the partial jump-over blocking protocol , for capacity constraints at other stations than the last station closed form expressions based on product-form distributions such as given above for the equilibrium distribution will not be easy to find . In fact , if the first station in a tandem line is the station with capacity constraint , then I was unable to find an equilibrium distribution based on a product-form distribution . 2 References -LSB- 1 -RSB- Boucherie , R.J. and van Dijk , N.M. -LRB- 1991 -RRB- Product forms for queueing networks with state-dependent multiple job transitions . Advances in Applied Probability 23 , 152-187 . -LSB- 2 -RSB- Van Dijk , N.M. -LRB- 1988 -RRB- On Jackson 's product form with ` jump-over ' blocking . 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O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O B I B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B I O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O