Deadbeat control by measurement feedback : a two-sided approach Report 93-20 J.W. van der Woude Technische Universiteit Delft Delft University of Technology Faculteit der Technische Wiskunde en Informatica Faculty of Technical Mathematics and Informatics ISSN 0922-5641 Copyright c 1993 by the Faculty of Technical Mathematics and Informatics , Delft , The Netherlands . No part of this Journal may be reproduced in any form , by print , photoprint , microfilm , or any other means without permission from the Faculty of Technical Mathematics and Informatics , Delft University of Technology , The Netherlands . Copies of these reports may be obtained from the bureau of the Faculty of Technical Mathematics and Informatics , Julianalaan 132 , 2628 BL Delft , phone +3115784568 . A selection of these reports is available in PostScript form at the Faculty 's anonymous ftp-site . They are located in the directory / pub/publications/tech-reports at ftp.twi.tudelft.nl Deadbeat control by measurement feedback : a two-sided approach J.W. van der Woude Abstract In this paper we consider a linear discrete-time system . We are concerned with the existence and design of a measurement feedback compensator such that in the closed loop system any initial state is forced to zero within a prescribed number of time steps . We follow the so-called two-sided approach and we first derive conditions for the existence of a compensator that achieves the required closed loop behavior . With these conditions we give an expression for the minimal number of time steps in which any initial state can be forced to zero by means of a measurement feedback compensator . Finally we present a method of computing such a compensator having a reduced order . 1 Introduction In the present paper we study a discrete-time system ? that has a control input and a measurement output . We assume that the system ? is controlled by means of a linear discrete-time measurement feedback compensator ? c resulting in a closed loop system ? cl . The problem that we treat in this paper is concerned with the existence and design of compensators ? c such that in the closed loop system ? cl any initial state is forced to the zero state within a prescribed number of steps , say within ? steps . If a compensator achieves this above closed loop behavior we say that it solves the problem of ? - step deadbeat control by measurement feedback . We abbreviate this problem as the DCM ? and we derive neccessary and sufficient conditions for its solvability . Given that the DCM ? is solvable , we give an expression for the minimal ? for which the problem is solvable and we indicate how it then can be solved by means of a reduced order compensator . In the present paper we follow the ` two-sided ' approach as put forward in -LSB- 1 -RSB- . This means that we study the direct construction of compensators that solve the DCM ? . The latter is in contrast with many of the existing methods for the construction of compensators solving the problem . See for instance -LSB- 2 -RSB- , -LSB- 3 -RSB- and -LSB- 4 -RSB- . The methods in these references are implicitly or explicitly based on the so-called ` separation principle ' . Using this principle the -LRB- ` difficult ' -RRB- problem of deadbeat control by measurement feedback is split into two -LRB- ` more easy ' -RRB- problems . The first problem is the problem of deadbeat control . Basically this problem amounts to the computation , if possible , of an open loop deadbeat control signal -LRB- a control signal that forces a given initial state to zero within a finite number of steps -RRB- . Often this control signal is obtained through state feedback . The second problem is concerned with the design of an observer such that the error between the actual deadbeat control signal and its estimate goes to zero in a finite number of steps -LRB- see -LSB- 7 -RSB- -RRB- . Then using the output of the observer as the true deadbeat control signal a measurement feedback compensator is obtained that is shown to solve the problem of deadbeat control by measurement feedback . The two problems mentioned above are both said to be ` one-sided ' problems whereas the direct compensator design approach in this paper is called ` two-sided ' -LRB- cf. -LSB- 1 -RSB- -RRB- . As a result of the two-sided approach we can easily derive straightforward geometric conditions by which it can be checked for any ? whether or not the DCM ? is solvable . The outline of the paper is as follows . In section 2 we give the problem formulation and we derive a fundamental result on solving the DCM ? by means of static measurement feedback . In section 3 we present geometric conditions for the solvability of the DCM ? in the general case . Section 4 deals with the actual compensator design and contains a method to compute a reduced order compensator solving the DCM ? . In section 5 we illustrate the results of this paper by means of an example . In section 6 we present some concluding remarks . We argue there that like our method , also the known design techniques in general will not yield a minimal order compensator solving the DCM ? . In our opinion the problem of such minimal order compensator design is very difficult and still remains unsolved . The appendix contains technical proofs of some results of section 4 . 2 Deadbeat control problem formulation We consider a finite-dimensional linear time-invariant discrete-time system ? described by x -LRB- k + 1 -RRB- = Ax -LRB- k -RRB- + Bu -LRB- k -RRB- ; y -LRB- k -RRB- = Cx -LRB- k -RRB- ; with state x -LRB- k -RRB- 2 Rn , control u -LRB- k -RRB- 2 Rm and measurement y -LRB- k -RRB- 2 Rp . The matrices A , B and C are real matrices of appropriate dimensions . We assume that ? is controlled by means of a measurement feedback compensator ? c given by w -LRB- k + 1 -RRB- = Kw -LRB- k -RRB- + Ly -LRB- k -RRB- ; u -LRB- k -RRB- = Mw -LRB- k -RRB- + Ny -LRB- k -RRB- ; where w -LRB- k -RRB- 2 Rq denotes the state of ? c and K ; L ; M and N are real matrices of appropriate dimensions . The non-negative integer q is called the order of ? c . The interconnection of the system ? and the compensator ? c results in a closed loop system ? cl that is described by xcl -LRB- k + 1 -RRB- = Aclxcl -LRB- k -RRB- ; where we have denoted xcl -LRB- k -RRB- = x -LRB- k -RRB- w -LRB- k -RRB- ! ; Acl = A + BNC LC BM K ! : Given any initial state xcl -LRB- 0 -RRB- of ? cl it is clear that xcl -LRB- k -RRB- = Akclxcl -LRB- 0 -RRB- for all k > = 0 . To formulate the problem that we study in this paper we now pose the following question . Question 2.1 Given the system ? and a positive integer ? , does there exist a measurement feedback compensator ? c such that in the resulting closed loop system ? cl any initial state xcl -LRB- 0 -RRB- is forced to zero within ? time steps ? We say that the problem of ? - step deadbeat control by measurement feedback -LRB- abbreviated as the DCM ? -RRB- is solvable precisely then when question 2.1 can be answered affirmatively . The next remark trivially follows from the foregoing . Remark 2.2 The DCM ? is solvable if and only if there is a measurement feedback compensator ? c such that in the closed loop system ? cl there holds A?cl = -LRB- Acl is nilpotent of degree at most ? -RRB- . Remark 2.3 If ? = 1 then the DCM ? is solvable if and only if there exist matrices K , L , M and N of suitable dimensions such that Acl = A + BNC LC BM K ! = : The latter implies that K = and that L and M are to be such that BM = and LC = 0 . Clearly , L = and M = satisfy these requirements . Note also that for the solvability of the DCM1 the dimensions of K , L and M do not play a role as long as BM = and LC = 0 . In fact , if possible we may even take q = in which case the matrices K , L and M do not appear . This observation is used in the next proposition . Proposition 2.4 Let the system ? be given . The following statements are equivalent . -LRB- 1 -RRB- The DCM1 is solvable . -LRB- 2 -RRB- There exists a matrix N such that A + BNC = . -LRB- 3 -RRB- Ker C ? ker A and im A ? im B. Proof From remark 2.3 it is immediate that -LRB- 1 -RRB- , -LRB- 2 -RRB- . Also -LRB- 2 -RRB- , -LRB- 3 -RRB- is immediate , see -LSB- 5 -RSB- . The equivalence of statements -LRB- 2 -RRB- and -LRB- 3 -RRB- in the above proposition also is a corollary of the following theorem with ? = 1 . For ease of notation we denote for anything that is zero as a subspace , a vector , a number , a matrix , etc. . Theorem 2.5 Let the system ? be given and let ? be a positive integer . There exists a matrix N such that -LRB- A + BNC -RRB- ? = if and only if there exist ? ? 1 linear subspaces V1 , V2 , : : : , V ?? 1 in Rn such that Vk ? Vk +1 , AVk +1 ? Vk + imB and A -LRB- Vk +1 \ kerC -RRB- ? Vk for all k = ; 1 ; : : : ; ?? 1 where V0 = and V ? = Rn . Proof -LRB- only if -RRB- . Define Vk = ker -LRB- A+BNC -RRB- k for k = 1 ; : : : ; ?? 1 . It is clear that ? V1 ? V2 ? : : : ? V ?? 1 ? Rn . Furthermore , with V0 = and V ? = Rn it follows that -LRB- A + BNC -RRB- Vk +1 ? Vk for k = ; 1 ; : : : ; ?? 1 . From this it is immediate that AVk +1 ? Vk + imB and A -LRB- Vk +1 \ kerC -RRB- ? Vk for all k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 . -LRB- if -RRB- . Observe that V1 ? V2 . There exist matrices P1 , P2 , Q1 and Q2 of suitable dimensions such that V1 \ ker C = im P1 , V1 = im -LSB- P1 ; Q1 -RSB- , V2 \ ker C = im -LSB- P1 ; P2 -RSB- , V2 = im -LSB- P1 ; Q1 ; P2 ; Q2 -RSB- and -LSB- P1 ; Q1 ; P2 ; Q2 -RSB- has full column rank . Note that it may happen that some of the matrices P1 , P2 , Q1 or Q2 do not appear , i.e. consist of no columns at all . Next observe that V2 ? V3 . It follows that in addition to the matrices P1 , P2 , Q1 and Q2 there exist matrices P3 and Q3 of suitable dimensions such that such that V3 \ ker C = im -LSB- P1 ; P2 ; P3 -RSB- , V3 = im -LSB- P1 ; Q1 ; P2 ; Q2 ; P3 ; Q3 -RSB- and -LSB- P1 ; Q1 ; P2 ; Q2 ; P3 ; Q3 -RSB- has full column rank . Because ? V1 ? V2 ? : : : ? V ?? 1 ? Rn repeated application of the previous argument implies the existence of matrices P1 ; P2 ; : : : ; P ? and Q1 ; Q2 ; : : : ; Q ? such that Vk = im -LSB- P1 ; Q1 ; P2 ; Q2 ; : : : ; Pk ; Qk -RSB- and Vk \ ker C = im -LSB- P1 ; P2 ; : : : ; Pk -RSB- for all k = 1 ; 2 ; : : : ; ? , while -LSB- P1 ; Q1 ; P2 ; Q2 ; : : : ; Pk ; Qk -RSB- has full column rank . Hence , Rn = im -LSB- P1 ; Q1 ; P2 ; Q2 ; : : : ; P ? ; Q ? -RSB- and ker C = im -LSB- P1 ; P2 ; : : : ; P ? -RSB- from which it follows that the matrix -LSB- CQ1 ; CQ2 ; : : : ; CQ ? -RSB- has full column rank . Again we note that some of the matrices P1 ; P2 ; : : : ; P ? or Q1 ; Q2 ; : : : ; Q ? may not appear . Since AVk +1 ? Vk + imB and A -LRB- Vk +1 \ kerC -RRB- ? Vk for k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 , it follows that A im Qk +1 ? Vk + imB and A im Pk +1 ? Vk for k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 . Therefore , there exist matrices U1 ; U2 ; : : : ; U ? of suitable dimensions such that im -LRB- AQk +1 + BUk +1 -RRB- ? Vk for all k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 . Let N be a matrix determined by N -LSB- CQ1 ; CQ2 ; : : : ; CQ ? -RSB- = -LSB- U1 ; U2 ; : : : ; U ? -RSB- . Such a matrix exists because the matrix -LSB- CQ1 ; CQ2 ; : : : ; CQ ? -RSB- has full column rank -LRB- cf. -LSB- 5 -RSB- -RRB- . Now observe that -LRB- A+BNC -RRB- im -LSB- Pk +1 ; Qk +1 -RSB- ? Vk for k = ; 1 ; : : : ; ?? 1 . Since Vk ? Vk +1 for k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 , it follows that -LRB- A + BNC -RRB- Vk +1 ? Vk for all k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 . Finally , with V0 = and V ? = Rn it follows that -LRB- A + BNC -RRB- ? = 0 . 3 Geometric solvability conditions In this section we derive geometric necessary and sufficient conditions for the solvability of the DCM ? . To state the conditions we introduce two chains of linear subspaces . T0 = ; Tk +1 = A ? 1 -LRB- Tk + imB -RRB- = fx 2 RnjAx 2 -LRB- Tk + imB -RRB- g ; k > = : S0 = Rn ; Sk +1 = A -LRB- Sk \ kerC -RRB- = fx 2 Rnjx 2 A -LRB- Sk \ kerC -RRB- g ; k > = : Note that the two chains are each others dual in the usual system theoretic sense . In the sequel we denote for k > = 1 : Rk = ? B ; AB ; : : : ; Ak ? 1B ? ; Ok = BBBB @ C CA ... CAk ? 1 1 CCCCA : With this notation we have the following . Propostion 3.1 -LRB- 1 -RRB- Tk ? 1 ? Tk and Tk = A?k im Rk = fx 2 RnjAkx 2 im Rkg , k > = 1 . -LRB- 2 -RRB- Sk ? 1 ? Sk and Sk = Ak ker Ok = fx 2 Rnjx 2 Akker Okg , k > = 1 . Proof Because of the duality of statements -LRB- 1 -RRB- and -LRB- 2 -RRB- it suffices to only prove -LRB- 2 -RRB- . We do this by means of induction with respect to k. For k = 1 statement -LRB- 2 -RRB- trivially holds because S0 = Rn implying that S0 ? S1 and S1 = A -LRB- S0 \ ker C -RRB- = A ker C = A ker O1 . Next we assume that statement -LRB- 2 -RRB- holds for some k0 > = 1 . From the definition of the subspaces Sk , k > = 0 , it then follows that Sk0 +1 = A -LRB- Sk0 \ ker C -RRB- ? A -LRB- Sk0 ? 1 \ ker C -RRB- = Sk0 . Here we have used the first part of the induction hypothesis , namely that Sk0 ? Sk0 ? 1 . Using the second part of the induction hypothesis we obtain the following . Sk0 +1 = A -LRB- Sk0 \ ker C -RRB- = A -LRB- Ak0ker Ok0 \ ker C -RRB- = Afx 2 Rnj9y 2 Rn : x = Ak0y ; Ok0y = ; Cx = g = Afx 2 Rnj9y 2 Rn : x = Ak0y ; Ok0y = ; CAk0y = g = Afx 2 Rnj9y 2 Rn : x = Ak0y ; Ok0 +1 y = g = fz 2 Rnj9y 2 Rn : z = Ak0 +1 y ; Ok0 +1 y = g = Ak0 +1 ker Ok0 +1 : So it follows that also the second part of the induction hypothesis is true for k0 + 1 and the proof is completed . The next proposition contains necesary conditions for the solvability of the DCM ? in case only static measurement feedback is allowed . Propostion 3.2 Let the system ? be given and let ? be a positive integer . If there is a matrix N such that -LRB- A + BNC -RRB- ? = then S ?? k ? Tk for all k = ; 1 ; : : : ; ? . Proof To establish a proof of the propostion we show that S ?? k ? im -LRB- A + BNC -RRB- ?? k ? ker -LRB- A + BNC -RRB- k ? Tk for all k = ; 1 ; : : : ; ? . First , it follows that ker -LRB- A + BNC -RRB- k ? Tk for all k > = 1 . Indeed , if x 2 ker -LRB- A + BNC -RRB- k then -LRB- A + BNC -RRB- kx = implying that Akx + Ak ? 1Bu0 + Ak ? 2Bu1 + : : : + Buk ? 1 = for some u0 , u1 , : : : , uk ? 1 2 Rm . Hence , Akx 2 im Rk implying that x 2 Tk . If k = then it follows that ker -LRB- A + BNC -RRB- 0 = ker I = = T0 . Therefore , ker -LRB- A+BNC -RRB- k ? Tk for all k > = 0 . By dual reasoning it follows that S ?? k ? im -LRB- A+BNC -RRB- ?? k for all ?? k > = 0 . Finally , since -LRB- A+BNC -RRB- ? = it is immediately clear that im -LRB- A+BNC -RRB- ?? k ? ker -LRB- A + BNC -RRB- k for all k = ; 1 ; : : : ; ? . This completes the proof . Next we extend the state space to Rn + q and we denote Ae = A ! ; Be = B I ! ; Ce = C I ! : Here I denotes the q ? q identity matrix and Ae has dimensions -LRB- n + q -RRB- ? -LRB- n + q -RRB- . Also for the matrices Ae , Be and Ce we define two chains of linear subspaces . T e0 = ; T ek +1 = fxe 2 Rn + q jAexe 2 -LRB- T ek + imBe -RRB- g ; k > = : Se0 = Rn + q ; Sek +1 = fxe 2 Rn + q jxe 2 Ae -LRB- Sek \ kerCe -RRB- g ; k > = : If K is a linear subspace in Rn and L is a linear subspace in Rq then we denote K ? L = f a b ! j a 2 K ; b 2 Lg : With this notation we have the following proposition . Propostion 3.3 -LRB- 1 -RRB- T ek = Tk ? Rq , k > = 1 . -LRB- 2 -RRB- Sek = Sk ? , k > = 1 . Proof The statements -LRB- 1 -RRB- and -LRB- 2 -RRB- are dual to each other . Therefore , it suffices to only prove statement -LRB- 2 -RRB- . We do this by means of induction with respect to k. For k = 1 we have Se1 = Ae ker Ce = Ae -LRB- ker C ? 0 -RRB- = -LRB- A ker C -RRB- ? = S1 ? 0 . Next assume that Sek0 = Sk0 ? for some k0 > = 1 . Then Sek0 +1 = Ae -LRB- Sek0 \ ker Ce -RRB- = Ae -LRB- -LRB- Sk0 ? 0 -RRB- \ -LRB- ker C ? 0 -RRB- -RRB- = Ae -LRB- -LRB- Sk0 \ ker C -RRB- ? 0 -RRB- = -LRB- A -LRB- Sk0 \ ker C -RRB- -RRB- ? = Sk0 +1 ? 0 . This completes the proof . We are now in position to state the following important result : geometric necessary and sufficient conditons for the solvability of DCM ? -LRB- see also -LSB- 4 -RSB- and references therein -RRB- . To do this , let ? be given and let ? be a positive integer . Theorem 3.4 The DCM ? for system ? is solvable if and only if S ?? k ? Tk for all k = ; 1 ; : : : ; ? . Proof -LRB- only if -RRB- . Note that Acl = Ae + BeNeCe with Ne = N M L K ! . By proposition 3.2 it follows that Se ?? k ? T ek for all k = ; 1 ; : : : ; ? . By proposition 3.3 the latter inclusions imply that S ?? k ? Tk for all k = 1 ; : : : ; ?? 1 . Since S0 = T ? = Rn and S ? = T0 = it is also immediate that S0 ? T ? and S ? ? T0 . -LRB- if -RRB- . If ? = 1 then S1 ? T0 and S0 ? T1 -LRB- or A ker C ? and Rn ? A ? 1 im B -RRB- . From proposition 2.4 it then follows that DCM1 is solvable . If ? > 1 then for k = ; 1 ; : : : ; ? define the linear subspaces Vek = f s ! + t t ! js 2 S ?? k ; t 2 Tkg : Because Sk ? Sk ? 1 , Tk ? 1 ? Tk and S ?? k ? Tk for k = ; 1 ; : : : ; ? where S0 = Rn , T0 = 0 , it follows that = Ve0 ? Ve1 ? Ve2 ? : : : ? Ve ?? 1 ? Ve ? = R2n . Now take q = n and let the matrices Ae , Be and Ce be as defined before . Observe that Vek \ ker Ce = -LRB- S ?? k \ ker C -RRB- ? from which it follows that Ae -LRB- Vek \ ker Ce -RRB- = -LRB- A -LRB- S ?? k \ ker C -RRB- -RRB- ? ? S ?? k +1 ? ? Vek ? 1 for k = ; 1 ; : : : ; ? . Further , note that AeVek = -LRB- ATk -RRB- ? ? -LRB- Tk ? 1 + im B -RRB- ? ? Vek ? 1 + im Be for k = ; 1 ; : : : ; ? . By theorem 2.5 there exists a matrix Ne such that -LRB- Ae + BeNeCe -RRB- ? = 0 . The matrix Ne can be partitioned such that Ae + BeNeCe = A + BNC BM LC K ! from which by remark 2.2 it follows that the DCM ? is solvable . Remark 3.5 We note that the subspace Tk consists of the states that can be steered to zero within k steps . In proposition 3.2 we showed that for any x 2 Tk there are u0 , u1 , : : : , uk ? 1 such that Akx + Ak ? 1Bu0 + Ak ? 2Bu1 + : : : + Buk ? 1 = 0 . For an interpretation of Sk we assume for the moment that no control is appplied . This can be done without loss of generality . Then the subspace Sk consists of the -LRB- final -RRB- states that can not be distinguished from the zero state by the k previous measurements -LRB- see -LSB- 6 -RSB- -RRB- . Indeed , for any x 2 Sk there exists an initial state x0 such that x = Akx0 and CAix0 = for all i = ; 1 ; : : : ; k ? 1 . Finally , as when using the separation principle , think of a compensator as a combination of a state observer and a state feedback . Then roughly speaking we have the following neccessary condition for the solvability of the DCM ? : If a state x at time i can not be determined completely from the controls and the measurements from time to time i then neccessary for the DCM ? to be solvable is that x can be steered to zero within ? ? i steps . 4 Reduced order compensators In the previous section we were concerned with the solvability of the DCM ? . In this section we assume that the DCM ? is solvable and we develop a method to compute a reduced -LRB- and hopefully minimal -RRB- order compensator that actually solves the problem . Hence , we assume that the DCM ? is solvable for some ? > = 1 and without loss of generality we assume that ? is as small as possible . This means that we assume that ? = min o > = 1 fSo?i ? Ti ; for all i = ; 1 ; : : : ; og : -LRB- 1 -RRB- Solvability of the DCM ? implies that T ? = Rn and S ? = 0 . Therefore , we can define = min k > = 1 fTk = Rng ; = min l > = 1 fSl = g : -LRB- 2 -RRB- It follows that ? < = + ? 1 . Indeed , note that = T0 ae T1 ae : : : ae T ? 1 ae T = Rn and = S ae S ? 1 ae : : : ae S1 ae S0 = Rn where all the inclusions are strict . Further , note that with o = + ? 1 there holds that T +1 = T +2 = : : : = To = Rn and S +1 = S +2 = : : : = So = 0 . It all means that So?i ? Ti for all i = ; 1 ; : : : ; o implying that ? < = o = + ? 1 . It turns out that we have to distinguish between the following two cases : -LRB- 1 -RRB- ? < + ? 1 , -LRB- 2 -RRB- ? = + ? 1 . -LRB- 1 -RRB- ? < + ? 1 . In this case it follows that S ? 1 ? T ? 1 . Indeed , from ? < + ? 1 -LRB- or ?? + 1 < = ? 1 -RRB- it folllows that S ? 1 ? T ?? +1 ? T ? 1 . Now , take q = dim T ? 1 ? dim S ? 1 and let Q : T ? 1 ! Rq be a surjective mapping such that ker Q = S ? 1 . For instance , if x 2 T ? 1 is uniquely decomposed as x = a + b with a 2 S ? 1 and b 62 S ? 1 then Q can be taken such that Qx = b . Now consider Rn + q and define the next subspaces Vei = f x Qx ! jx 2 Tig ; i = ; 1 ; : : : ; ? ? ; Vei = f x Qx ! + y ! jx 2 Ti ; y 2 S ?? ig ; i = ? ? + 1 ; : : : ; ? 1 ; Vei = f x Qx ! + y ! jx 2 T ? 1 ; y 2 S ?? ig ; i = ff ; + 1 ; : : : ; ? : -LRB- 3 -RRB- In the appendix we show that = Ve0 ? Ve1 ? Ve2 ? : : : ? Ve ?? 1 ? Ve ? = Rn + q and AeVek +1 ? Vek + im Be , Ae -LRB- Vek +1 \ ker Ce -RRB- ? Vek for all k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 . Then by theorem 2.5 there is a matrix Ne such that -LRB- Ae + BeNeCe -RRB- ? = 0 . As we have seen in section 2 the latter means that the DCM ? is solvable by means of a compensator of order q = dim T ? 1 ? dim S ? 1 . -LRB- 2 -RRB- ? = + ? 1 . In this case it follows from the fact that ? is minimal that S ? 1 6 ? T ? 1 . Indeed , suppose that S ? 1 ? T ? 1 and let o = + ? 2 < ? . Then o ? i > = for i = ; 1 ; : : : ; ? 2 and o ? i < = ? 2 for i = ff ; + 1 ; : : : ; o . Hence , So?i = ? Ti for i = ; 1 ; : : : ; ? 2 , So ? +1 = S ? 1 ? T ? 1 and So?i = Rn ? Ti for i = ff ; + 1 ; : : : ; o . So , So?i ? Ti for i = ; 1 ; : : : ; o . This however contradicts the minimality of ? . So , S ? 1 6 ? T ? 1 . The above means that there are vectors x 2 S ? 1 such that x 62 T ? 1 . Hence , S ? 1 \ T ? 1 < > S ? 1 . Now take q = dim T ? 1 ? dim -LRB- S ? 1 \ T ? 1 -RRB- and let Q : T ? 1 ! Rq be a surjective mapping such that ker Q = S ? 1 \ T ? 1 . For instance , if x 2 T ? 1 is uniquely decomposed as x = a + b with a 2 S ? 1 \ T ? 1 and b 62 S ? 1 \ T ? 1 then Q can be taken such that Qx = b. Next , much in the spirit of the previous case we define Vei = f x Qx ! jx 2 Tig ; i = ; 1 ; : : : ; ? 1 ; Vei = f x Qx ! + y ! jx 2 T ? 1 ; y 2 S ?? ig ; i = ff ; + 1 ; : : : ; ? : -LRB- 4 -RRB- In the appendix we show that again = Ve0 ? Ve1 ? Ve2 ? : : : ? Ve ?? 1 ? Ve ? = Rn + q and AeVek +1 ? Vek + im Be , Ae -LRB- Vek +1 \ ker Ce -RRB- ? Vek for all k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 . As before , the latter means that the DCM ? is solvable , in this case by means of a compensator of order q = dim T ? 1 ? dim S ? 1 \ T ? 1 . Note that in both cases the compensator order equal dim T ? 1 ? dim S ? 1 \ T ? 1 . Indeed , if ? < + ? 1 then S ? 1 ? T ? 1 and dim S ? 1 = dim -LRB- S ? 1 \ T ? 1 -RRB- proving the claim . With ? , and as defined -LRB- 1 -RRB- and -LRB- 2 -RRB- and the DCM ? solvable the results of the present section can be summarized as follows . Theorem 4.1 There exists a compensator ? c solving the DCM ? of order dim -LRB- T ? 1 -RRB- ? dim -LRB- S ? 1 \ T ? 1 -RRB- . The chains fTiji > = g and fSiji > = g are each others dual in the usual system theoretic sense . Therefore , the order of the compensator may also be taken dim -LRB- S ? 1 + T ? 1 -RRB- ? dim S ? 1 , which by means of a well-known dimension equality equals dim T ? 1 ? dim -LRB- S ? 1 \ T ? 1 -RRB- . The latter means that the order in the above theorem is a so-called self-dual number . The order in theorem 4.1 is only an upperbound and may not be minimal as we shall see in the example in the next section . In the example we show that the order of a compensator may be decreased by deleting the non-controllable and/or non-observable part of a compensator when present . 5 Example In this section we illustrate the results of the section 3 and 4 . Therefore , we consider the next system ? with n = 3 -LRB- see also -LSB- 2 -RSB- -RRB- . A = B @ 1 2 ? 2 3 ? 2 ? 1 1 CA ; B = B @ 1 2 1 1 CA ; C = ? 1 1 ? 2 ! : It follows now that T0 = ; T1 = im B @ ? 1 2 1 1 CA ; Ti = R3 for i > = 2 and S0 = R3 ; S1 = im B @ 3 3 ? 1 1 CA ; Si = for i > = 2 : Clearly , S1 6 ? T1 , but S2 ? T1 and S1 ? T2 . So , DCM3 is solvable , but DCM2 is not . Therefore , ? = 3 . Further , = = 2 . To compute a reduced order compensator that achieves deadbeat control we have to consider the case that ? = + ? 1 . Now note that T ? 1 \ S ? 1 = T1 \ S1 = 0 . Therefore , let q = dim T ? 1 = dim T1 = 2 and take Q = 1 1 ! : Then dim QT1 = 2 and ker Q \ T1 = 0 . Define Vei = f x Qx ! jx 2 Tig ; i = ; 1 ; Vei = f x Qx ! + y ! jx 2 T1 ; y 2 S3?ig ; i = 2 ; 3 : Then Ve0 = ; Ve1 = im BBBBB @ ? 1 2 1 ? 1 1 1 CCCCCA ; Ve2 = im BBBBB @ ? 1 3 2 3 1 ? 1 ? 1 1 1 CCCCCA ; Ve3 = R5 : It now easily follows that AeVek +1 ? Vek + im Be and Ae -LRB- Vek +1 \ ker Ce -RRB- ? Vek for k = ; 1 ; 2 . Indeed , Ve1 \ ker Ce = 0 , Ve2 \ ker Ce = -LRB- S1 \ ker C -RRB- ? and Ve3 \ ker Ce = -LRB- S0 \ ker C -RRB- ? = ker C ? 0 . From this it follows that Ae -LRB- Vek +1 \ ker Ce -RRB- ? Vek for k = ; 1 ; 2 . In the same spirit it follows that AeVek +1 ? Vek + im Be for k = ; 1 ; 2 . Recall that Ae = BBBBB @ 1 2 ? 2 3 ? 2 ? 1 1 CCCCCA ; Be = BBBBB @ 1 2 1 1 1 1 CCCCCA ; Ce = BBB @ ? 1 1 ? 2 1 1 1 CCCA and observe that kerCe = kerC ? = im BBBBB @ 1 1 1 CCCCCA : Now consider the matrix W partitioned as W = -LRB- w1 ; w2 ; w3 ; w4 ; w5 -RRB- and given by W = BBBBB @ ? 1 3 2 3 1 1 ? 1 1 ? 1 1 1 1 CCCCCA : Then Ve1 = im -LRB- w1 ; w2 -RRB- , Ve2 = im -LRB- w1 ; w2 ; w3 -RRB- and Ve3 = im W . Next consider the matrix U partitioned as U = -LRB- u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 -RRB- and given by U = BBB @ ? 8 ? 3 3 ? 1 1 ? 9 1 CCCA : Then Aew1 + Beu1 = 2 Ve0 , Aew2 + Beu2 = 2 Ve0 , Aew3 + Beu3 2 Ve1 , Aew4 + Beu4 2 Ve2 , Aew5 + Beu5 2 Ve2 . Finally , consider the matrix Y -LRB- = CeW -RRB- partitioned as Y = -LRB- y1 ; y2 ; y3 ; y4 ; y5 -RRB- and given by Y = BBB @ ? 2 1 ? 4 2 ? 6 ? 1 1 1 1 CCCA : Next determine Ne such that NeY = U . It follows that Ne = BBB @ :5 9 ? 1 :5 1:5 3 1 CCCA : Now decompose Ne as N M L K ! . Hence , N = :5 ? 1 :5 ! ; M = 9 ! ; L = 1:5 ! ; K = 3 ! : It can now be checked that -LRB- Ae + BeNeCe -RRB- 3 = 0 . So , we have a second order compensator solving the DCM3 . However , it is not a minimal order compensator solving the problem . Indeed , with ~ q = 0 , so that ~ K , ~ L and ~ M do not appear , and with ~ N = N we have a zero-th order compensator that solves the DCM3 since it may be verified that -LRB- A + B ~ NC -RRB- 3 = 0 . The zero-th order compensator can be obtained here from the above derived second order compensator ? c by restricting the latter to its controllable and observable part . 6 Concluding remarks In this paper we followed the so-called two-sided approach and derived conditions for the solvability of the ? - step deadbeat control problem by measurement feedback -LRB- abbreviated DCM ? -RRB- . The latter means that we have developed necessary and sufficient conditions for the existence of a compensator such that any initial state in the closed loop system is forced to zero within ? steps . The conditions are in geometric terms and can be easily verified . They also provide some insight in the nature of the deadbeat control problem of by measurement feedback . Taking the geometric conditions as a starting point we presented a method for the construction of a reduced order compensator solving the DCM ? . We stress here that our method not necessarily yields a minimal order compensator . However , we believe that this is also true for any other known compensator design method . For instance , the sophisticated method in -LSB- 4 -RSB- does not always produce a minimal order compensator . We will illustrate this fact by using results of the foregoing sections . In our framework the method of -LSB- 4 -RSB- amount to the following . Start with computing the indices , and ? as defined in -LRB- 1 -RRB- and -LRB- 2 -RRB- , assuming of course that the DCM ? is solvable . It is easy to see that < = ? and < = ? . Next determine a feedback matrix F such that -LRB- A+BF -RRB- = 0 . The existence of such a matrix F is well-known and follows for instance from theorem 2.5 with C = I . As a next step , design a minimal time observer ? o for u -LRB- k -RRB- = Fx -LRB- k -RRB- . It follows from the results in -LSB- 4 -RSB- that the error between u -LRB- k -RRB- = Fx -LRB- k -RRB- and its estimate goes to zero in ? ? time steps . There also an expression is given for the minimal order of such an observer together with an algorithm for its actual construction . Finally , the observer ? o and the feedback u -LRB- k -RRB- = Fx -LRB- k -RRB- are combined to give a compensator that is shown to solve the DCM ? . However , the combination of a minimal order observer ? o and the feedback matrix F does not necessarily yield a minimal order compensator solving the DCM ? . To see this , assume for instance that < ? and < = ? -LRB- as in the example in section 5 -RRB- . Then the matrix F can not be written as NC for some matrix N . Indeed , if the latter would be the case then by a proper application of theorem 2.5 it would follow that ? < = , contradicting the assumption on and ? . Hence , ker F 6 ? ker C in the case that < ? and consequently the method in -LSB- 4 -RSB- always results in an observer for u -LRB- k -RRB- = Fx -LRB- k -RRB- with some positive order . Also the resulting compensator solving the DCM ? will have a positive order . However , as we have seen in our example in section 5 it may be possible that a zero order compensator also solves the problem . This indicates that the method in -LSB- 4 -RSB- not always yield a minimal order compensator solving the DCM ? . The above confirms our opinion that the construction of a minimal order compensator solving the DCM ? is very difficult and is comparable with the minimal cover problems . References -LSB- 1 -RSB- J.M. Schumacher , Dynamic Feedback in Finite and Infinite Dimensional Linear Systems , Math . Centre Tracts , 143 , Amsterdam , 1981 . -LSB- 2 -RSB- B. Porter , A. Bradshaw , `` Design of deadbeat controllers and full-order observers for linear multivariable discrete-time plants '' , Int . J. Control , Vol . 22 , 1975 , pp 149-155 . -LSB- 3 -RSB- H. Akashi , H. Imai , M. Adachi , `` On time optimal control of linear dsicrete-time systems by geometric approach '' , Int . J. Control , Vol . 28 , 1978 , pp 853-867 . -LSB- 4 -RSB- H. Kimura , Y. Tanaka , `` Minimal-time minimal-order deadbeat regulator with internal stability '' , IEEE Trans . Automat . Contr. , Vol AC-26 , 1981 , pp 1276-1282 . -LSB- 5 -RSB- P. Lancaster , M. Tismenetski , The Theory of Matrices , Academic Press , New York , 1985 . -LSB- 6 -RSB- E.D. Sontag , Mathematical Control Theory : Deterministic Finite Dimensional Systems , Springer Verlag , New York , 1990 . -LSB- 7 -RSB- H. Kimura , `` Deadbeat function observers for discrete-time linear systems '' , SIAM J. Contr . Optimiz. , Vol 16 , 1978 , pp 880-894 . 7 Appendix In this appendix we present the proofs of some statements in section 4 . Therefore , let ff ; and ? be as defined in -LRB- 1 -RRB- and -LRB- 2 -RRB- . -LRB- 1 -RRB- ? < + ? 1 . Take Vei as defined in -LRB- 3 -RRB- . Because Ti ? Ti +1 and Si +1 ? Si for i = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 it follows directly that Vei ? Vei +1 for i = ; 1 ; : : : ; ? ? ? 1 , for i = ? ? + 1 ; : : : ; ? 2 and for i = ff ; : : : ; ? ? 1 . Further , since T ?? ? T ?? +1 it is clear that Ve ?? ? Ve ?? +1 , and because S ?? +1 ? S ?? it follows that Ve ? 1 ? Ve . Finally , from T0 = and S0 = Rn , QT ? 1 = Rq it follows that Ve0 = and Ve ? = Rn + q . So , it follows that = Ve0 ? Ve1 ? Ve2 ? : : : ? Ve ?? 1 ? Ve ? = Rn + q . Next , let Ae , Be and Ce be as defined in section 2 . Observe that Vei \ ker Ce ? -LRB- S ? 1 \ ker C -RRB- ? for i = ; 1 ; : : : ; ?? + 1 and Vei \ ker Ce ? -LRB- S ?? i \ ker C -RRB- ? for i = ?? + 2 ; : : : ; ? . Using these observations it can easily be proved that AeVek +1 ? Vek + im Be and Ae -LRB- Vek +1 \ ker Ce -RRB- ? Vek for k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 . Indeed , with the previous observations it follows for i = ; 1 ; : : : ; ? ? that Ae -LRB- Vei +1 \ ker Ce -RRB- ? -LRB- A -LRB- S ? 1 \ ker C -RRB- -RRB- ? ? ? ? Vei and AeVei +1 ? -LRB- ATi +1 -RRB- ? ? -LRB- Ti + imB -RRB- ? ? Vei + imBe . Here it is used that A -LRB- S ? 1 \ ker C -RRB- ? S = 0 . For i = ? ? + 1 ; : : : ; ? 2 it follows that Ae -LRB- Vei +1 \ ker Ce -RRB- ? -LRB- A -LRB- S ?? i ? 1 \ ker C -RRB- -RRB- ? ? S ?? i ? ? Vei and AeVei +1 ? -LRB- ATi +1 -RRB- ? ? -LRB- Ti + imB -RRB- ? ? Vei + imBe . Finally , for i = ? 1 ; ff ; : : : ; o ? 1 it follows that Ae -LRB- Vei +1 \ ker Ce -RRB- ? -LRB- A -LRB- S ?? i ? 1 \ ker C -RRB- -RRB- ? ? S ?? i ? ? Vei and AeVei +1 ? -LRB- AT ? 1 + S ?? i ? 1 -RRB- ? ? -LRB- ATi +1 -RRB- ? ? -LRB- ARn -RRB- ? ? -LRB- T ? 1 + imB -RRB- ? ? Ve ? 1 + imBe ? Vei + imBe . -LRB- 2 -RRB- ? = + ? 1 . Take Vei as defined in -LRB- 4 -RRB- . Then it is clear that Vei ? Vei +1 for i = ; 1 ; : : : ; ? 2 and for i = ff ; : : : ; ?? 1 . Also it is immediate that Ve ? 1 ? Ve and that Ve0 = and Ve ? = Rn + q since S0 = Rn , QT ? 1 = Rq . Hence , it follows that = Ve0 ? Ve1 ? Ve2 ? : : : ? Ve ?? 1 ? Ve ? = Rn + q . Observe that ker Q \ Ti ? S ? 1 for i = ; 1 ; : : : ; ? 1 and -LRB- ker Q \ T ? 1 -RRB- + S ? i ? S ?? i for i = ff ; + 1 ; : : : ; ? . With these observations it can easily be shown that AeVek +1 ? Vek + im Be and Ae -LRB- Vek +1 \ ker Ce -RRB- ? Vek for k = ; 1 ; : : : ; ? ? 1 . Therefore , note that for i = ; 1 ; : : : ; ? 2 there holds Ae -LRB- Vei +1 \ ker Ce -RRB- ? -LRB- A -LRB- ker Q \ Ti +1 \ ker C -RRB- -RRB- ? ? -LRB- A -LRB- S ? 1 \ ker C -RRB- -RRB- ? ? ? ? Vei and AeVei +1 ? -LRB- ATi +1 -RRB- ? ? -LRB- Ti + imB -RRB- ? ? Vei + imBe . For i = ? 1 ; ff ; : : : ; ? ? 1 it follows that Ae -LRB- Vei +1 \ ker Ce -RRB- ? -LRB- A -LRB- -LRB- -LRB- kerQ \ T ? 1 + S ?? i ? 1 -RRB- \ -RRB- ker C -RRB- -RRB- ? ? -LRB- A -LRB- S ?? i ? 1 \ ker C -RRB- -RRB- ? ? S ?? i ? ? Vei and AeVei +1 ? -LRB- A -LRB- T ? 1 + S ?? i ? 1 -RRB- ? ? -LRB- ATi +1 -RRB- ? ? -LRB- ARn -RRB- ? ? -LRB- T ? 1 + imB -RRB- ? ? Ve ? 1 + imBe ? Vei + imBe . Here it is used that S ?? +1 = S = 0 .

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