Ha x termék árának növekedése estén y termék kereslete nő, akkor
x és y helyettesítő termékei egymásnak. x és y független termékek. x és y kiegészítő termékei egymásnak.
A B C
Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Tehát "x" ≥ "y" akkor és csak akkor, ha "y" ≤ "x". Legyen a rendezés a következő: "x" < "y" pontosan akkor, ha |"x"| < |"y"| vagy |"x"| = |"y"| és "x" < "y." Így "x" < "y", ha ezek közül valamelyik teljesül:

Ekvivalensen, legyen δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α :
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
úgy, hogy"x" = "y" akkor és csak akkor, ha δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha "X", "Y" határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂("X" × "Y") = (∂"X" × "Y") ∪ ("X" × ∂"Y"). ha "y" pozitív,
és ha "y" negatív,

Ha "x" egész, és "y" pozitív, akkor

Rögzített "y"-ra "x" mod "y" grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Ha "X" és "Y" szemimartingálok, akkor
ahol ["X", "Y"] a kvadratikus kovariáció folyamat. Eszerint ha "x" és "y" két osztály, akkor ezek rendezett párja az (x,y)=(x × {0}) ∪ (y × {1}) osztály. Ha "f,g" : "X" → "Y" folytonos leképezések és "Y" Hausdorff, akkor formula_3 zárt "X"-ben. Ha nagyobb mint egy akkor Y sztochasztikusan nagyobb mint X és ha kisebb akkor Y sztochasztikusan kisebb mint X. Ennélfogva, ha "x" osztja "y"-t, akkor "N"("x") is osztója "N"("y")-nak. Ha "X" és "Y" folytonos valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_125 és "f"("y") az "Y" sűrűségfüggvénye. Ha "X" folytonos, viszont "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_123, és "f("x, y") az "X" és "Y" közös tömegfüggvénye. Például ha a valós számok valamely "P"("x","y") tulajdonságáról ismert, hogy szimmetrikus "x"-re és "y"-ra, tehát "P"("x","y") ekvivalens "P"("y","x")-szel, akkor annak bebizonyításakor, hogy "P"("x","y") minden "x" és "y" értékre igaz, feltehető „az általánosság elvesztése nélkül” hogy "x" ≤ "y". A sztochasztikus integrálás asszociativitásából következik, hogy "H" egy "X"-integrálható, és integrálja "H" · "X" = "Y" akkor és csakis akkor, ha "Y" = 0 és "K" · "Y" = ("KH") · "X". "V" egy "x-y" vágás, ha "x" ∈ "S" és "y" ∈ "T". Ha formula_10, akkor X és Y sztochasztikusan egyenlő. Ekkor teljesül "x" < "y", ha "x"("z") = − vagy "y"("z") = + . Ha például "x" és "y"-ra sem az "x" ≤ "y", sem az "y" ≤ "x" nem áll fenn, akkor a két elem össze nem hasonlítható. A valós számok halmazán a szokásos euklideszi metrikában, ha "x" és "y" valós számok, akkor távolságuk így adható meg: "d"("x", "y") = |"x" - "y"|. Az "(X, ||.||)" normált tér egyenletesen konvex, ha minden ε pozitív számhoz van δ pozitív szám, hogy ha "||x||"="||y||"=1, és "||(x+y)/2||>"1"-δ", akkor "||x-y||"<ε. Hogyha definiáljuk, hogy

akkor

Ha "X" és "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre tekinthető "y" függvényének "Y" lehetséges kimeneteleinek halmazán:

ahol formula_17 az "X" lehetséges kimeneteleinek halmaza. Ha "y" rajta van "x" pályáján, azaz
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha "y" rajta van "x", és "z" rajta van "y" pályáján, akkor "z" rajta van "x" pályáján. M("x", "y") homogén is, azaz ha"r" > 0, akkor ("rx", "ry") = "r" M("x", "y"). Ha ugyanis x vagy y nulla, akkor és csak akkor sgn(x) vagy sgn(y) is nulla, s így "sgn"(xy) = "sgn"(0) = 0 = "sgn"(x)"sgn"(y). Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Tehát "x" ≥ "y" akkor és csak akkor, ha "y" ≤ "x". Legyen a rendezés a következő: "x" < "y" pontosan akkor, ha |"x"| < |"y"| vagy |"x"| = |"y"| és "x" < "y." Így "x" < "y", ha ezek közül valamelyik teljesül:

Ekvivalensen, legyen δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α :
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
úgy, hogy"x" = "y" akkor és csak akkor, ha δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha "X", "Y" határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂("X" × "Y") = (∂"X" × "Y") ∪ ("X" × ∂"Y"). ha "y" pozitív,
és ha "y" negatív,

Ha "x" egész, és "y" pozitív, akkor

Rögzített "y"-ra "x" mod "y" grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Ha "X" és "Y" szemimartingálok, akkor
ahol ["X", "Y"] a kvadratikus kovariáció folyamat. Eszerint ha "x" és "y" két osztály, akkor ezek rendezett párja az (x,y)=(x × {0}) ∪ (y × {1}) osztály. Ha "f,g" : "X" → "Y" folytonos leképezések és "Y" Hausdorff, akkor formula_3 zárt "X"-ben. Ha nagyobb mint egy akkor Y sztochasztikusan nagyobb mint X és ha kisebb akkor Y sztochasztikusan kisebb mint X. Ennélfogva, ha "x" osztja "y"-t, akkor "N"("x") is osztója "N"("y")-nak. Ha "X" és "Y" folytonos valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_125 és "f"("y") az "Y" sűrűségfüggvénye. Ha "X" folytonos, viszont "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_123, és "f("x, y") az "X" és "Y" közös tömegfüggvénye. Például ha a valós számok valamely "P"("x","y") tulajdonságáról ismert, hogy szimmetrikus "x"-re és "y"-ra, tehát "P"("x","y") ekvivalens "P"("y","x")-szel, akkor annak bebizonyításakor, hogy "P"("x","y") minden "x" és "y" értékre igaz, feltehető „az általánosság elvesztése nélkül” hogy "x" ≤ "y". A sztochasztikus integrálás asszociativitásából következik, hogy "H" egy "X"-integrálható, és integrálja "H" · "X" = "Y" akkor és csakis akkor, ha "Y" = 0 és "K" · "Y" = ("KH") · "X". "V" egy "x-y" vágás, ha "x" ∈ "S" és "y" ∈ "T". Ha formula_10, akkor X és Y sztochasztikusan egyenlő. Ekkor teljesül "x" < "y", ha "x"("z") = − vagy "y"("z") = + . Ha például "x" és "y"-ra sem az "x" ≤ "y", sem az "y" ≤ "x" nem áll fenn, akkor a két elem össze nem hasonlítható. A valós számok halmazán a szokásos euklideszi metrikában, ha "x" és "y" valós számok, akkor távolságuk így adható meg: "d"("x", "y") = |"x" - "y"|. Az "(X, ||.||)" normált tér egyenletesen konvex, ha minden ε pozitív számhoz van δ pozitív szám, hogy ha "||x||"="||y||"=1, és "||(x+y)/2||>"1"-δ", akkor "||x-y||"<ε. Hogyha definiáljuk, hogy

akkor

Ha "X" és "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre tekinthető "y" függvényének "Y" lehetséges kimeneteleinek halmazán:

ahol formula_17 az "X" lehetséges kimeneteleinek halmaza. Ha "y" rajta van "x" pályáján, azaz
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha "y" rajta van "x", és "z" rajta van "y" pályáján, akkor "z" rajta van "x" pályáján. M("x", "y") homogén is, azaz ha"r" > 0, akkor ("rx", "ry") = "r" M("x", "y"). Ha ugyanis x vagy y nulla, akkor és csak akkor sgn(x) vagy sgn(y) is nulla, s így "sgn"(xy) = "sgn"(0) = 0 = "sgn"(x)"sgn"(y). Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Tehát "x" ≥ "y" akkor és csak akkor, ha "y" ≤ "x". Legyen a rendezés a következő: "x" < "y" pontosan akkor, ha |"x"| < |"y"| vagy |"x"| = |"y"| és "x" < "y." Így "x" < "y", ha ezek közül valamelyik teljesül:

Ekvivalensen, legyen δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α :
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
úgy, hogy"x" = "y" akkor és csak akkor, ha δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha "X", "Y" határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂("X" × "Y") = (∂"X" × "Y") ∪ ("X" × ∂"Y"). ha "y" pozitív,
és ha "y" negatív,

Ha "x" egész, és "y" pozitív, akkor

Rögzített "y"-ra "x" mod "y" grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Ha "X" és "Y" szemimartingálok, akkor
ahol ["X", "Y"] a kvadratikus kovariáció folyamat. Eszerint ha "x" és "y" két osztály, akkor ezek rendezett párja az (x,y)=(x × {0}) ∪ (y × {1}) osztály. Ha "f,g" : "X" → "Y" folytonos leképezések és "Y" Hausdorff, akkor formula_3 zárt "X"-ben. Ha nagyobb mint egy akkor Y sztochasztikusan nagyobb mint X és ha kisebb akkor Y sztochasztikusan kisebb mint X. Ennélfogva, ha "x" osztja "y"-t, akkor "N"("x") is osztója "N"("y")-nak. Ha "X" és "Y" folytonos valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_125 és "f"("y") az "Y" sűrűségfüggvénye. Ha "X" folytonos, viszont "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_123, és "f("x, y") az "X" és "Y" közös tömegfüggvénye. Például ha a valós számok valamely "P"("x","y") tulajdonságáról ismert, hogy szimmetrikus "x"-re és "y"-ra, tehát "P"("x","y") ekvivalens "P"("y","x")-szel, akkor annak bebizonyításakor, hogy "P"("x","y") minden "x" és "y" értékre igaz, feltehető „az általánosság elvesztése nélkül” hogy "x" ≤ "y". A sztochasztikus integrálás asszociativitásából következik, hogy "H" egy "X"-integrálható, és integrálja "H" · "X" = "Y" akkor és csakis akkor, ha "Y" = 0 és "K" · "Y" = ("KH") · "X". "V" egy "x-y" vágás, ha "x" ∈ "S" és "y" ∈ "T". Ha formula_10, akkor X és Y sztochasztikusan egyenlő. Ekkor teljesül "x" < "y", ha "x"("z") = − vagy "y"("z") = + . Ha például "x" és "y"-ra sem az "x" ≤ "y", sem az "y" ≤ "x" nem áll fenn, akkor a két elem össze nem hasonlítható. A valós számok halmazán a szokásos euklideszi metrikában, ha "x" és "y" valós számok, akkor távolságuk így adható meg: "d"("x", "y") = |"x" - "y"|. Az "(X, ||.||)" normált tér egyenletesen konvex, ha minden ε pozitív számhoz van δ pozitív szám, hogy ha "||x||"="||y||"=1, és "||(x+y)/2||>"1"-δ", akkor "||x-y||"<ε. Hogyha definiáljuk, hogy

akkor

Ha "X" és "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre tekinthető "y" függvényének "Y" lehetséges kimeneteleinek halmazán:

ahol formula_17 az "X" lehetséges kimeneteleinek halmaza. Ha "y" rajta van "x" pályáján, azaz
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha "y" rajta van "x", és "z" rajta van "y" pályáján, akkor "z" rajta van "x" pályáján. M("x", "y") homogén is, azaz ha"r" > 0, akkor ("rx", "ry") = "r" M("x", "y"). Ha ugyanis x vagy y nulla, akkor és csak akkor sgn(x) vagy sgn(y) is nulla, s így "sgn"(xy) = "sgn"(0) = 0 = "sgn"(x)"sgn"(y).