Tegyük fel, hogy egy vállalat jelenlegi termelése a termelési függvény azon szakaszán található, ahol a munka határterméke kisebb, mint az átlagterméke. Ilyen feltétel mellett az is elmondható, hogy
a termelési függvény még gyorsulva növekszik. a határtermék biztosan növekszik, ha növeljük a termelést. Mindegyik fenti feltétel egyidejűleg teljesül. az átlagtermék függvény ennél a termelésnél már biztosan csökken.
A B C D
Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. A technológia tehát úgy hat a vállalat termelési döntésére, hogy korlátot állít az elé: a termelési függvény korlátját. A parciális termelési függvény legmagasabb profitot biztosító pontja az lesz, ahol a függvény "éppen érint" egy egyenlőprofit-egyenest. A kétváltozós termelési függvény szintvonalait egyenlőtermék-görbéknek hívjuk. A hatványkitevős, Cobb-Douglas (C-D) termelési függvény modellezése. Ezt a korlátot oldották fel a CES (állandó helyettesítési rugalmasságú) termelési függvény kidolgozói. A CES függvény öt becsült paraméterével sokoldalúbban írja le a fejlődést, mint a három paraméteres Cobb-Douglas termelési függvény. A termelési függvény minden egyes tényezőkombinációhoz azt a maximális kibocsátást rendeli, ami ezen tényezőmennyiségek mellett "még éppen megvalósítható". A termelési függvény legyen egyszerűen a két tényezőmennyiség szorzata:

formula_4

Az összköltség pedig ilyen alakú:

formula_5

Fejezzük ki "x"-et a termelési függvényből, majd helyettesítsük a költségfüggvénybe. Belátható, hogy a következő, olykor egyszerűbb képlet az előzővel azonos eredményt ad:

formula_3

A fogyasztáselméletben többnyire a hasznossági függvény, míg a termeléselméletben a termelési függvény helyettesítési rugalmasságát vizsgálják. Tegyük fel, hogy formula_44 két holomorf függvény, melyek folytonosak formula_45-n, valamint tegyük fel, hogy minden formula_46 pontra fennáll: formula_47. formula_25<br>
formula_1

Utóbbi függvény értékét kell minimalizálnunk, az "y"-nal egyenlő termelési függvény által állított korlátnak (és az inputmennyiségek nemnegativitásának) a figyelembevételével. Ekkor a termelési halmazt felülről burkoló görbe egy függvény, amelynek változói az inputmennyiségek, értéke pedig a kibocsátással egyenlő. A CES függvénynél a helyettesítési rugalmasság értékét a konkrét termelési függvény eredményeként határozzák meg. Amikor a vállalat meghozza termelési döntését, a termelési halmazból választ egy input–output kombinációt. A minta elemeinek nevei Martin szóhasználatát követi, amit sokan átvettek:
Tegyük fel, hogy van egy rajzoló függvény. A költségminimalizálás során két egyenlet áll rendelkezésünkre: a termelési függvény (ne feledjük, hogy "y" most paraméter, nem pedig változó), valamint az összköltségfüggvény. Az érintés feltétele, hogy a függvény és az egyenes meredeksége egyenlő legyen; a parciális termelési függvény meredeksége a határtermék (MP), így az optimumban:

formula_24

Mindkét oldalt "P"-vel szorozva az előbbiekkel azonos egyenletet kapunk. Általában öt esetet szoktunk elkülöníteni:

A mikroökonómiában általában egy jószág keresleti és kínálati függvényének rugalmasságát (de olykor például a hasznossági függvény vagy a termelési függvény rugalmasságát is) vizsgáljuk. Tegyük fel, hogy "f" Morse-függvény egy ("n" + 1) dimenziós sokaságon, és hogy "c" kritikus érték, aminek ősképe egy elemű. Nála a jelenbeli fogyasztás elhalasztása azt a várakozást jelenti, ami lehetővé teszi, hogy a termelési tényezőket fogyasztási cikkek termelése helyett termelési eszközök előállítására fordítsák, ezáltal a várakozás önálló termelési tényezővé válik az ő nézetrendszerében. Miután minden pénzjövedelemmel megfelelő nagyságú áruérték áll szemben, a jövedelem egy részének a megtakarítása Wicksellnél azt jelenti, hogy általa termelési tényezők szabadulnak fel a fogyasztási javak termeléséből, a termelési eszközök termelése számára. Tegyük fel indirekt, hogy a Hoffman-feltétel nem szükséges. A termelési logisztika gondoskodik arról, hogy a termelési folyamatban az anyagáramlás zökkenőmentesen valósuljon meg. Tegyük fel, hogy egy legkisebb megoldásból tudunk még kisebb megoldást csinálni! Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. Tegyük fel indirekt, hogy a Hoffman-feltétel nem szükséges. A technológia tehát úgy hat a vállalat termelési döntésére, hogy korlátot állít az elé: a termelési függvény korlátját. Tegyük fel hogy Q egy ilyen sajátosság. Tegyük fel, hogy kaptunk valahonnan egy ilyen háromszöget! Ennek nagysága a munka határterméke. Tegyük fel, hogy létezik ilyen halmazsorozat. A termelési függvény valamelyik tényező szerinti parciális deriváltja a "határtermék", amelynek jele MP ("i" az "i"-edik tényezőre utal). Az érintés feltétele, hogy a függvény és az egyenes meredeksége egyenlő legyen; a parciális termelési függvény meredeksége a határtermék (MP), így az optimumban:

formula_24

Mindkét oldalt "P"-vel szorozva az előbbiekkel azonos egyenletet kapunk. Tegyük fel, hogy formula_44 két holomorf függvény, melyek folytonosak formula_45-n, valamint tegyük fel, hogy minden formula_46 pontra fennáll: formula_47. Tegyük fel, hogy egy legkisebb megoldásból tudunk még kisebb megoldást csinálni! Tegyük fel, hogy egy adat jelet mint vektort ábrázoljuk. Tegyük fel, hogy egy ilyen hotelben az összes szoba megtelt, olyan sok vendég van. Tegyük fel, hogy:

Cauchy-szorzatuk "c", ahol:

Ha "a" vagy "b" abszolút konvergens, akkor

A valós vagy komplex értékű "f" függvény formula_40 integrálja abszolút konvergens, ha formula_41 Azt is mondjuk, hogy "f" abszolút integrálható. A minta elemeinek nevei Martin szóhasználatát követi, amit sokan átvettek:
Tegyük fel, hogy van egy rajzoló függvény. Ekkor az "f" függvény iterált integráljainak sorozata definiált a "[0,1]"-en, és

Tegyük fel, hogy "−∞i</sub>i</sub>≠x", ha "i≠j". A parciális termelési függvény legmagasabb profitot biztosító pontja az lesz, ahol a függvény "éppen érint" egy egyenlőprofit-egyenest. Az x pont helyi minimum, ha van egy δ > 0, hogy minden "x" pontra, amire :formula_2 teljesül

Szavakkal: akkor helyi minimum, ha van egy környezete, ahol a függvény értéke nem vesz fel kisebb értéket, mint az adott pontban. Tegyük fel, hogy "f" Morse-függvény egy ("n" + 1) dimenziós sokaságon, és hogy "c" kritikus érték, aminek ősképe egy elemű. Továbbá tegyük fel, hogy

ahol "r" "Q" rangja. Ha egy űrhajóban növeljük például a sebességet, egyben a pályamagasságot is növeljük és fordítva. Most tegyük fel, hogy az állítás igaz minden "N"-nél kisebb egész számra. Hányadoskritérium: Tegyük fel, hogy formula_1, ha n elég nagy. Tegyük fel, hogy "a"-ra igaz az állítás. Tegyük fel például, hogy az \a nem létezik. Tegyük fel indirekt, hogy a Hoffman-feltétel nem szükséges. Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. A fenti feltétel teljesül minden olyan nanocsőre, melynél az formula_1 indexekre igaz az, hogy

formula_14, ahol formula_15

Mivel a karosszék-nanocsövek indexei formula_7 alakban adhatók meg, melyre a fenti feltétel bármilyen formula_17 esetén teljesül, ezért a karosszék-nanocsövek mindig vezetők. A fogyasztó haszonmaximalizálási feladata a következő feltételes szélsőérték-feladat lesz:

formula_59

Elsőként tegyük fel, hogy egy, az utolsónál szigorúbb feltétel is teljesül: formula_60, vagyis úgynevezett "belső megoldással" állunk szemben. Patt abban az esetben áll elő, ha egyidejűleg teljesül mindkét alábbi feltétel:

Példák pattállásokra: :garázdaság) törvényi feltétel teljesül. A filmben csak az egyik feltétel teljesül. Tegyük fel indirekt, hogy ez nem igaz, azaz létezik olyan formula_5 formula_10 csúcsú egyszerű gráf, hogy teljesül rá az Ore-feltétel, de a Pósa-féle nem: formula_37, amire formula_38. Tegyük fel, hogy valahányszor minden formula_20 állítás, mindannyiszor az formula_16 állítás is teljesül, és tegyük fel, hogy létezik olyan formula_22, hogy az formula_23 állítás nem teljesül. Azt mondjuk, hogy a formula_1 reláció ekvivalenciareláció, ha az alábbi három feltétel teljesül: Ebből következően a logaritmus függvény argumentuma 1 mértékegységű szám: formula_17, így teljesül az a feltétel, hogy logaritmust csak dimenziómentes mérőszámból szabad számítani. A fenti feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy szám praktikus legyen. Az is feltétel, hogy egy hivatalnok csak egy jelöltet támogathat. Ha előfordulhat, hogy a feltétel hosszú ideig nem teljesül, akkor a balking minta az ajánlott. Tehát a fenti feltétel ekvivalens az formula_9 egyenlőséggel. Amennyiben mindkét feltétel teljesül, a program használható. Pósa-tétel formula_34 Ore-tétel

Azt kell tehát igazolnunk, hogy a Pósa-tétel egy gyengébb feltételből jut ugyanarra a következtetésre (hogy a gráfban van Hamilton-kör), azaz, hogy a Pósa-tételben szereplő feltétel mindig teljesül, ha az Ore-tételbeli feltétel teljesül. Ezekkel létrehozunk egy újabb specifikáció osztályt, aminek neve SendToCollection, ami akkor igaz, ha a fenti három feltétel teljesül. További feltétel, hogy a leghosszabb ilyen sorozatot kell meghatározni. Tegyük fel hogy Q egy ilyen sajátosság. Ha az erősebb feltétel is teljesül, miszerint , az optimális élszínezés lineáris időben megtalálható . Az azonban könnyen belátható, hogy a látszólagos ellenállásnak minimuma van annál az "ω" körfrekvenciánál, amelynél az
feltétel teljesül. Az azonban könnyen belátható, hogy "a látszólagos ellenállásnak maximuma van" annál az "ω" körfrekvenciánál, amelynél az
feltétel teljesül. Az egyetlen feltétel egy megfelelő zongora volt, illetve, hogy legyen hely, ahol játsszon. Az is feltétel, hogy nem cél a forgalomba hozatal. Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. A technológia tehát úgy hat a vállalat termelési döntésére, hogy korlátot állít az elé: a termelési függvény korlátját. A parciális termelési függvény legmagasabb profitot biztosító pontja az lesz, ahol a függvény "éppen érint" egy egyenlőprofit-egyenest. Tegyük fel, hogy formula_44 két holomorf függvény, melyek folytonosak formula_45-n, valamint tegyük fel, hogy minden formula_46 pontra fennáll: formula_47. A minta elemeinek nevei Martin szóhasználatát követi, amit sokan átvettek:
Tegyük fel, hogy van egy rajzoló függvény. Egy másik példa:

Továbbá:

ahol φ("n") az Euler-függvény,

ahol "J" a Jordan-függvény, és

ahol σ("n") az osztóösszeg-függvény. Egy függvény hívásánál nem számít hogy az egy egyszerű függvény, vagy egy metódus. Tegyük fel, hogy "f" Morse-függvény egy ("n" + 1) dimenziós sokaságon, és hogy "c" kritikus érték, aminek ősképe egy elemű. Az egyik ilyen ismert függvény az úgynevezett „speciális hipergeometrikus függvény”. Megjegyezzük, hogy:

ahol formula_20 az inkomplett gamma-függvény. Ilyen például az
függvény. Lambert-féle W függvény

A matematikában a Lambert-féle W függvény, más néven az omega függvény vagy a logaritmus-szorzat függvény, egy függvény, amely az inverze a függvénynek, ahol az exponenciális függvény és "W" egy komplex szám. Tegyük fel indirekt, hogy a Hoffman-feltétel nem szükséges. Vegyük észre, hogy a különbség enyhébb az exp függvény esetén, mely egy sokkal gyorsabban konvergáló hatványsor, mint a log függvény. Tegyük fel hogy Q egy ilyen sajátosság. Például, tegyük fel, hogy ki akarjuk számítani a munkát plusz a formula_11 integrálját az útvonal mentén:

Látható, hogy az integrandus kifejezhető a formula_13 függvény egzakt differenciáljával, és ezért az integrál kifejezhető a formula_13 függvény értékeivel az útvonal két végpontjában. Egy skálázott függvény Mellin-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredeti függvény. A read függvény (kiterjesztés) beolvas egy számot a standard bemenetről, függetlenül attól, hogy a függvény hol található. Olyat nem mondunk, hogy konvergens függvény, vagy a függvény konvergens egy pontban, de egy függvénysorozat lehet az, hiszen az is sorozat. Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az
formula_4
függvény. Más megfogalmazásban: az Euler-függvény értékkészletében bármely "m" számhoz található egy ritkán tóciens szám, mely éppen az a legnagyobb "n" szám, amire az Euler-függvény az "m" számnál kisebb értéket vesz fel. A CES függvény öt becsült paraméterével sokoldalúbban írja le a fejlődést, mint a három paraméteres Cobb-Douglas termelési függvény. vagyis, azt mondhatjuk, hogy két függvény szorzatának deriváltja az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának összegével egyenlő. Az egyértelműség bizonyításának lemásolásával igazolható, hogy minden α-ra legföljebb egy ilyen függvény létezik. Nem kell feltennünk, hogy a függvény (mint az előző példában is) analitikus legyen.