Ha egy versenyző vállalat optimális termelése mellett a termékből származó árbevétel meghaladja a változó költséget, de kisebb, mint a teljes költség, akkor biztosan igaz, hogy az optimális termelési mennyiségnél
a határköltség függvény és az átlagos változóköltség függvény pozitív, míg az átlagköltség függvény negatív meredekségű. az átlagos fixköltség nagyobb, mint az üzemszüneti pont melletti átlagos fixköltség. a határköltség függvény, az átlagos változóköltség függvény és az átlagköltség függvény egyaránt pozitív meredekségű. a határköltség függvény pozitív, míg az átlagos változóköltség függvény és az átlagköltség függvény negatív meredekségű.
A B C D
A kétesélyes függvény optimális, ha ilyen implementációt kell létrehozni. Egy függvény pozitív része:
a negatív része pedig
Könnyen belátható, hogy ha formula_6 mérhető, akkor a pozitív és negatív része is az. A függvény akkor optimális, ha a függő változó által meghatározott csoportok közötti külső négyzetösszeg és a csoportokon belüli négyzetösszeg hányadosa maximális. Ha formula_8 valószínűségi változó, akkor az
függvény formula_8 eloszlásfüggvénye. Az indirekt hasznossági függvény a haszonmaximalizálási feladat értékfüggvénye, vagyis minden árvektor–jövedelem kombinációhoz az ezek mellett optimális jószágkombináció(k) hasznosságát rendeli:
formula_90

Az indirekt hasznossági függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

A Roy-azonosság az indirekt hasznossági függvény definíciójával ellentétes irányú kapcsolatot teremt az indirekt hasznossági függvény és a keresleti függvény között. Ha 

ahol "Z" egy standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Az összefüggés igaz függetlenül attól, hogy a függvény logaritmikus vagy exponenciális. Az egyenletrendszer tömörebb formában vektoregyenletként is írható: ha formula_14 az inputárak és formula_15 az optimális tényezőmennyiségek vektora, továbbá formula_16 a termelési függvény gradiense (a függvény parciális deriváltjaiból álló vektor), akkor profitmaximumban:

formula_17

"k" darab egyenletünk van és "k" darab ismeretlen ("x", "x", …, "x"). Abszolútérték-függvény

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív. Ha az Engel-görbe egy adott jövedelemszinten pozitív meredekségű, akkor normál, ha negatív meredekségű, akkor inferior a jószág. Ha ν egész, akkor az Anger-függvény "J", megegyezik a "J", Bessel-függvénnyel, és a Weber-függvény kifejezhető, mint a Struve-függvény véges lineáris kombinációja. A költségvetési korlát egy negatív meredekségű egyenes lesz, az úgynevezett közömbösségi görbék pedig a hasznossági függvény szintvonalai. Ez csak akkor működik, ha az integrál algebrai függvény, és nem egy komplikált függvény a változók tekintetében. A feladat egy egyszerű (de nem optimális) megoldása az, hogy az algoritmus végigpróbálgatja a megengedett halmaz elemeit, mindegyikhez kiszámítva a függvény értékeit. Ha formula_5 páros függvény, akkor formula_13, és

Ha formula_5 páratlan függvény, akkor formula_16, és Ha "f" és "g" két invertálható függvény, akkor formula_67 is invertálható és

Ezért a pozitív valós számok halmazán értelmezett "y" formula_70 log "y" függvény az "a" alapú exponenciális függvény inverze. A technológia tehát úgy hat a vállalat termelési döntésére, hogy korlátot állít az elé: a termelési függvény korlátját. Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos :formula_30 függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha formula_34 pozitív szemidefinit és formula_33. Ha az formula_10 valószínűségi változó értékei formula_11-ból valók, akkor a valószínűséggeneráló függvény egy formula_12 függvény, aminek definíciója
Ez formula_14, illetve formula_15 valószínűséggeneráló függvénye. Tehát ha a cis függvény exponenciális függvény, akkor

ahol "i" = ‒1. Ha formula_2, akkor a függvény definiálható, mint:

ahol az integráció formula_4 útvonala hurok a negatív tengely körül. Például ha az formula_6 függvény gyökét keressük:
Adott a cos("x") = "x" függvény, ahol "x" pozitív szám. Dedekind-féle pszi-függvény

A számelméletben a Dedekind-féle pszi-függvény egy pozitív egészeken értelmezett multiplikatív függvény. A parciális termelési függvény legmagasabb profitot biztosító pontja az lesz, ahol a függvény "éppen érint" egy egyenlőprofit-egyenest. Egy formula_20 függvény deriváltja az formula_5 pontban a következő határérték:

Ha a derivált mindenhol létezik, akkor a függvény "differenciálható". Ha egy "f" függvény felírható mint véges sok függvény összege, akkor a növekedési ütemet a leggyorsabban növekvő határozza meg. Üzembezárási pont

Az üzembezárási pont (üzemszüneti pont) a mikroökonómia fogalomtárában rövidtávon az az optimális ár-mennyiség kombináció, amely mellett egy vállalat közömbös a termelés folyatatása és „üzemének bezárása” (vagyis a termelés beszüntetése) között. A cég üzemszüneti pontjával kapcsolatos tétele szerint rövid távon akkor is érdemes termelni, ha veszteség van, feltéve, hogy ez kisebb, mint az állandó költség. az optimalizálási feladat, egy adott időszak rögzített költség- és árviszonyai mellett keres optimális termelési programot, rögzített erőforrás és kereslet korlátok mellett). Tehát az átlagköltség felírható az átlagos változó költség- és az átlagos fix költségfüggvény összegeként:

formula_4


Azok a javak, amelyeknek az ára kisebb az átlagos változó költségüknél, „annyira negatív profitot” eredményeznek, hogy a vállalatnak már rövid távon is érdemes leállítania a jószág kibocsátását (vagyis kilépnie az iparágból), mert ez még mindig kisebb költséggel jár a számára, mint az, ha továbbra is veszteségesen termelne. A reggeli kekszek sokkal nagyobbak, mint az átlagos kekszek, ugyanakkora vagy nagyobb, mint egy átlagos, gyorséttermi hamburger. Az árbevétel és az összes változó költség különbsége a fedezet. A sejtválaszt akkor tekintették mérvadónak, ha 2,5 normál szórásnyival nagyobb volt, mint az átlagos tüzelési gyakoriság. De ez csak akkor igaz, ha adott időtartam alatt nézzük az átlagos elektroneloszlást. A termeléselméletben feltételezzük, hogy hosszú távon a vállalatok minden általuk felhasznált termelési tényező mennyiségét meg tudják változtatni; ebből azonban következik, hogy hosszú távon nem létezik állandó költség (így természetesen átlagos fix költség sem), az átlagos változó költség pedig minden kibocsátási szinten egyenlő az átlagköltséggel. Optimális esetben az átlagos vízmélység 8 és 48 cm közötti, és szélvédett. Ha nagyobb mint egy akkor Y sztochasztikusan nagyobb mint X és ha kisebb akkor Y sztochasztikusan kisebb mint X. A pont Pareto optimális, ha nincs egy másik pont, ami jobb nála. Például a mikroökonómiai termeléselméletben egy vállalat akkor alkalmaz egy új munkavállalót, ha az utolsó munkaórájából származó bevétel (a határbevétel) magasabb, mint az erre jutó, a vállalat által viselt költség (a határköltség). Az üzemszüneti pont fontos a vállalat egyéni kínálatának meghatározásában is. Átlagos sűrűségük kisebb, méretük viszont jóval nagyobb, mint a belső bolygóké. Ha létezik a gráfban Euler-kör, akkor az egyben egy optimális kínaipostás-útvonal. Az OÉTI egy átlagos, aktív korú, közepes fizikai terhelés mellett dolgozó férfire adja meg az élelmiszerkosár optimális összetételét és kalóriaértékét, ami 2400 kcal. Az átlagos mélysége kilenc méter, vagyis nagyobb, mint a Balatoné. Ha egy permutációban a nagyobb elem előbbre kerül, mint egy kisebb, akkor az inverzió. Az átlagköltség definícióját – a változó költség (VC) és az állandó vagy fix költség (F) definícióját felhasználva – a következőképpen alakíthatjuk át:

formula_3

A jobb oldal első tagját "átlagos változó költségnek" nevezhetjük és AVC-vel jelöljük; a második neve "átlagos fix költség", jele AFC. Az a szőnyeg, amit ezeknél a csoportos formáknál használnak nagyobb mint az átlagos. A korrekciónak az az ára, hogy a torzítatlan becslésnek nagyobb az átlagos négyzetes hibája, mint a torzítottnak. A felhők albedója (még a viharfelhőké is) nagyobb, mint az átlagos földfelszíné. Egy „átlagos” kibocsátott jószágegység állandó költsége az átlagos fix költség, amit "fajlagos fix költségnek" is nevezhetünk. Ha az f kisebb, mint a sajátfrekvencia, akkor az eredő impedancia induktív lesz, ha nagyobb, akkor kapacitív lesz. A kétesélyes függvény optimális, ha ilyen implementációt kell létrehozni. A függvény akkor optimális, ha a függő változó által meghatározott csoportok közötti külső négyzetösszeg és a csoportokon belüli négyzetösszeg hányadosa maximális. Ha formula_8 valószínűségi változó, akkor az
függvény formula_8 eloszlásfüggvénye. Az indirekt hasznossági függvény a haszonmaximalizálási feladat értékfüggvénye, vagyis minden árvektor–jövedelem kombinációhoz az ezek mellett optimális jószágkombináció(k) hasznosságát rendeli:
formula_90

Az indirekt hasznossági függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

A Roy-azonosság az indirekt hasznossági függvény definíciójával ellentétes irányú kapcsolatot teremt az indirekt hasznossági függvény és a keresleti függvény között. Ha 

ahol "Z" egy standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Az összefüggés igaz függetlenül attól, hogy a függvény logaritmikus vagy exponenciális. Az egyenletrendszer tömörebb formában vektoregyenletként is írható: ha formula_14 az inputárak és formula_15 az optimális tényezőmennyiségek vektora, továbbá formula_16 a termelési függvény gradiense (a függvény parciális deriváltjaiból álló vektor), akkor profitmaximumban:

formula_17

"k" darab egyenletünk van és "k" darab ismeretlen ("x", "x", …, "x"). Ha ν egész, akkor az Anger-függvény "J", megegyezik a "J", Bessel-függvénnyel, és a Weber-függvény kifejezhető, mint a Struve-függvény véges lineáris kombinációja. Ez csak akkor működik, ha az integrál algebrai függvény, és nem egy komplikált függvény a változók tekintetében. A feladat egy egyszerű (de nem optimális) megoldása az, hogy az algoritmus végigpróbálgatja a megengedett halmaz elemeit, mindegyikhez kiszámítva a függvény értékeit. Ha formula_5 páros függvény, akkor formula_13, és

Ha formula_5 páratlan függvény, akkor formula_16, és Ha "f" és "g" két invertálható függvény, akkor formula_67 is invertálható és

Ezért a pozitív valós számok halmazán értelmezett "y" formula_70 log "y" függvény az "a" alapú exponenciális függvény inverze. A technológia tehát úgy hat a vállalat termelési döntésére, hogy korlátot állít az elé: a termelési függvény korlátját. Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos :formula_30 függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha formula_34 pozitív szemidefinit és formula_33. Ha az formula_10 valószínűségi változó értékei formula_11-ból valók, akkor a valószínűséggeneráló függvény egy formula_12 függvény, aminek definíciója
Ez formula_14, illetve formula_15 valószínűséggeneráló függvénye. Tehát ha a cis függvény exponenciális függvény, akkor

ahol "i" = ‒1. Például ha az formula_6 függvény gyökét keressük:
Adott a cos("x") = "x" függvény, ahol "x" pozitív szám. Dedekind-féle pszi-függvény

A számelméletben a Dedekind-féle pszi-függvény egy pozitív egészeken értelmezett multiplikatív függvény. Egy függvény pozitív része:
a negatív része pedig
Könnyen belátható, hogy ha formula_6 mérhető, akkor a pozitív és negatív része is az. A parciális termelési függvény legmagasabb profitot biztosító pontja az lesz, ahol a függvény "éppen érint" egy egyenlőprofit-egyenest. Egy formula_20 függvény deriváltja az formula_5 pontban a következő határérték:

Ha a derivált mindenhol létezik, akkor a függvény "differenciálható". Ha egy "f" függvény felírható mint véges sok függvény összege, akkor a növekedési ütemet a leggyorsabban növekvő határozza meg. Ha "A" = ["a","b"] zárt korlátos intervallum, akkor minden itt folytonos függvény integrálható, és mivel ha a függvény folytonos, akkor az abszolútértéke is, így minden itt folytonos függvény abszolút integrálható. Exponenciális függvény

Az exponenciális függvény az egyik legfontosabb függvény a matematikában. Egy skálázott függvény Mellin-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredeti függvény. Lambert-féle W függvény

A matematikában a Lambert-féle W függvény, más néven az omega függvény vagy a logaritmus-szorzat függvény, egy függvény, amely az inverze a függvénynek, ahol az exponenciális függvény és "W" egy komplex szám. A kétesélyes függvény optimális, ha ilyen implementációt kell létrehozni. Egy függvény pozitív része:
a negatív része pedig
Könnyen belátható, hogy ha formula_6 mérhető, akkor a pozitív és negatív része is az. A függvény akkor optimális, ha a függő változó által meghatározott csoportok közötti külső négyzetösszeg és a csoportokon belüli négyzetösszeg hányadosa maximális. Ha formula_8 valószínűségi változó, akkor az
függvény formula_8 eloszlásfüggvénye. Az indirekt hasznossági függvény a haszonmaximalizálási feladat értékfüggvénye, vagyis minden árvektor–jövedelem kombinációhoz az ezek mellett optimális jószágkombináció(k) hasznosságát rendeli:
formula_90

Az indirekt hasznossági függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

A Roy-azonosság az indirekt hasznossági függvény definíciójával ellentétes irányú kapcsolatot teremt az indirekt hasznossági függvény és a keresleti függvény között. Ha 

ahol "Z" egy standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Az összefüggés igaz függetlenül attól, hogy a függvény logaritmikus vagy exponenciális. Az egyenletrendszer tömörebb formában vektoregyenletként is írható: ha formula_14 az inputárak és formula_15 az optimális tényezőmennyiségek vektora, továbbá formula_16 a termelési függvény gradiense (a függvény parciális deriváltjaiból álló vektor), akkor profitmaximumban:

formula_17

"k" darab egyenletünk van és "k" darab ismeretlen ("x", "x", …, "x"). Abszolútérték-függvény

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív. Ha az Engel-görbe egy adott jövedelemszinten pozitív meredekségű, akkor normál, ha negatív meredekségű, akkor inferior a jószág. Ha ν egész, akkor az Anger-függvény "J", megegyezik a "J", Bessel-függvénnyel, és a Weber-függvény kifejezhető, mint a Struve-függvény véges lineáris kombinációja. A költségvetési korlát egy negatív meredekségű egyenes lesz, az úgynevezett közömbösségi görbék pedig a hasznossági függvény szintvonalai. Ez csak akkor működik, ha az integrál algebrai függvény, és nem egy komplikált függvény a változók tekintetében. A feladat egy egyszerű (de nem optimális) megoldása az, hogy az algoritmus végigpróbálgatja a megengedett halmaz elemeit, mindegyikhez kiszámítva a függvény értékeit. Ha formula_5 páros függvény, akkor formula_13, és

Ha formula_5 páratlan függvény, akkor formula_16, és Ha "f" és "g" két invertálható függvény, akkor formula_67 is invertálható és

Ezért a pozitív valós számok halmazán értelmezett "y" formula_70 log "y" függvény az "a" alapú exponenciális függvény inverze. A technológia tehát úgy hat a vállalat termelési döntésére, hogy korlátot állít az elé: a termelési függvény korlátját. Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos :formula_30 függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha formula_34 pozitív szemidefinit és formula_33. Ha az formula_10 valószínűségi változó értékei formula_11-ból valók, akkor a valószínűséggeneráló függvény egy formula_12 függvény, aminek definíciója
Ez formula_14, illetve formula_15 valószínűséggeneráló függvénye. Tehát ha a cis függvény exponenciális függvény, akkor

ahol "i" = ‒1. Ha formula_2, akkor a függvény definiálható, mint:

ahol az integráció formula_4 útvonala hurok a negatív tengely körül. Például ha az formula_6 függvény gyökét keressük:
Adott a cos("x") = "x" függvény, ahol "x" pozitív szám. Dedekind-féle pszi-függvény

A számelméletben a Dedekind-féle pszi-függvény egy pozitív egészeken értelmezett multiplikatív függvény. A parciális termelési függvény legmagasabb profitot biztosító pontja az lesz, ahol a függvény "éppen érint" egy egyenlőprofit-egyenest. Egy formula_20 függvény deriváltja az formula_5 pontban a következő határérték:

Ha a derivált mindenhol létezik, akkor a függvény "differenciálható". Ha egy "f" függvény felírható mint véges sok függvény összege, akkor a növekedési ütemet a leggyorsabban növekvő határozza meg.