Ha egyensúly van az árupiacon, akkor a megtakarítási S(Y) függvény
az egyensúlyi jövedelem szintjénél metszi a vízszintes tengelyt. az I beruházási függvényt az egyensúlyi jövedelem szintjénél metszi. Egyik állítás sem igaz.
A B C
Az X pontból húzzunk egy egy (zöld) egyenest, mely az y-tengelyt Y pontban metszi. Ez megfelel annak, hogy az formula_11 függvény grafikonja nem metszi az x tengelyt. A víz esetében a görbe jóval magasabban metszi az "y" tengelyt, tehát ha még nem fogyasztottunk sem vízből, sem gyémántból, akkor a víz egy egysége számunkra sokkal értékesebb. Két lineáris függvény képe metszi egymást, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van. A piros görbe már metszi az x tengelyt. Fontos pontok azok, ahol a kör metszi a vízszintes tengelyt, mivel ezek felelnek meg a főfeszültségeknek. Ha "f" és "g" két invertálható függvény, akkor formula_67 is invertálható és

Ezért a pozitív valós számok halmazán értelmezett "y" formula_70 log "y" függvény az "a" alapú exponenciális függvény inverze. időintervallumok), melyek között akkor van él, ha a két intervallum metszi egymást. Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Ha ez nem metszi a görbét, akkor az összeg formula_55. Egy "f" : "A" → R függvény egyenletesen folytonos, ha minden "x" és "y" sorozatpárra, hogyha 

akkor

Az intuicionista matematikában minden függvény egyenletesen folytonos. Ha az egyensúly 2 vagy -2, az egyensúly megsérült és forgatásokra van szükség. Itt "m" határozza meg "f"("x") meredekségét, "c" pedig azt, hogy "f"("x") hol metszi az "y" tengelyt (leggyakrabban ezt vertikális tengelyként ábrázoljuk). A test akkor van egyensúlyi helyzetben, ha a szabad erők mechanikai munkája zéró. Az "f" függvényt "X" és "Y" topológiai terek között homeomorfizmusnak hívjuk, ha


Ha létezik ilyen függvény, "X" és "Y" között, akkor e két teret homeomorfnak mondjuk. Ha "s" egy nempozitív egész szám, akkor a polilogaritmus racionális függvény. Emiatt (-y)∉Φ, hasonlóan ha (-y)∈Φ akkor az előzőek szerint y = (-(-y))∉Φ. Ha "y" rajta van "x" pályáján, azaz
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha "y" rajta van "x", és "z" rajta van "y" pályáján, akkor "z" rajta van "x" pályáján. Ha a talaj nem vízszintes, akkor előfordulhat, hogy a test a kiindulási szint alá kerül, azaz az Y koordinátája negatívvá válik. Ha ez a tartományban van, akkor a függvény minden pontban ezt az értéket veszi fel. Ha "f", mint "x" függvénye a valós "h" számhoz tart a végtelenben, formálisan

akkor az y = h egyenes "f" vízszintes aszimptotája. Az élőlényekben akkor keletkezik fájdalom, ha megbomlik az egyensúly: például éhségérzet. Bár az egyik legismertebb játék, a fogolydilemma csak egyetlen egyensúlyi ponttal rendelkezik, a legtöbb játéknak több Nash-egyensúlyi pontja is van, így az egyensúly általában nem egyértelmű. Szélsőséges eseteket tekintve: ha a keresleti függvény vízszintes (tökéletesen rugalmas) vagy a kínálati függvény függőleges (tökéletesen rugalmatlan), akkor az árnövekedés 0, vagyis az eladók egyetlen forintot sem tudnak az adóból áthárítani. Tehát "x" ≥ "y" akkor és csak akkor, ha "y" ≤ "x". Az "f" függvényt "X" és "Y" topológiai terek között homeomorfizmusnak hívjuk, ha


Ha létezik ilyen függvény, "X" és "Y" között, akkor e két teret homeomorfnak mondjuk. Két lineáris függvény képe metszi egymást, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van. A piacgazdaság elmélete szerint az árat az egyensúlyi szakasz határozza meg, ahol a kínálat függvény keresztezi a keresleti függvényt. Ha például definiáljuk a:
Ha formula_3 függvényt a következőképpen definiáljuk:

akkor

formula_3 függvény a sűrűségfüggvény. Ha ugyanazt a monoton függvényt alkalmazzuk mindkét oldalra, akkor az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha a függvény monoton nő, és megfordul, ha monoton csökken. Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Ha "f" és "g" két invertálható függvény, akkor formula_67 is invertálható és

Ezért a pozitív valós számok halmazán értelmezett "y" formula_70 log "y" függvény az "a" alapú exponenciális függvény inverze. Ha ez nem metszi a görbét, akkor az összeg formula_55. Amennyiben egy függvény inverze maga is függvény, akkor a függvényt invertálhatónak mondjuk, inverz relációját pedig az eredeti függvény inverz függvényének. Irracionális függvény

Az y=f(x) explicit egyenlettel adott algebrai függvényt akkor nevezzük irracionálisnak, ha az formula_1 kifejezésben az argumentumot is érintő gyökvonás szerepel az (esetleg hiányzó) négy alapműveleten és az egész kitevős hatványozáson kívül. Tehát ha a cis függvény exponenciális függvény, akkor

ahol "i" = ‒1. Terjesszük ki az "x" függvényt is: legyen formula_22

Az "x" függvény akkor és csak akkor teljesíti a feltételeket, ha "x" megengedett áram a kiterjesztett kapacitásokra. Ha az egyensúly 2 vagy -2, az egyensúly megsérült és forgatásokra van szükség. Egy "f" : "A" → R függvény egyenletesen folytonos, ha minden "x" és "y" sorozatpárra, hogyha 

akkor

Az intuicionista matematikában minden függvény egyenletesen folytonos. A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az

függvényt. időintervallumok), melyek között akkor van él, ha a két intervallum metszi egymást. Invertálhatónak nevezzük az "f":"H" formula_45 "K" függvényt, ha van olyan formula_7:"K" formula_45 "H" függvény, amire
egyszerre teljesül. Tehát az "f" függvényt először "x"-re alkalmazzuk, majd az alkalmazás eredményét (ami maga is egy függvény) alkalmazzuk "y"-ra. Emiatt (-y)∉Φ, hasonlóan ha (-y)∈Φ akkor az előzőek szerint y = (-(-y))∉Φ. Az élőlényekben akkor keletkezik fájdalom, ha megbomlik az egyensúly: például éhségérzet. Ekkor az egyensúlyi ár és mennyiség a belföldi keresleti függvény és a belföldi kínálati függvény metszéspontjában (I) fog kialakulni. Ha ismert valamely értékre a függvény helyettesítési értéke, akkor ennek környezetében a Taylor-polinom közelíti a függvényt. Az együtthatók értéke akkor ideális, ha az összes "i" < "n"-re különböző indexet ad a függvény. Az X pontból húzzunk egy egy (zöld) egyenest, mely az y-tengelyt Y pontban metszi. Ha van egy megfigyelt X esemény, akkor ez a bizonytalanság annál kisebb, minél nagyobb az I(Y,X) kölcsönös információ. A ¬"A" állítás akkor igaz, amikor az "A" állítás nem igaz, és akkor nem igaz, amikor az "A" állítás igaz. Igazoljuk, hogy ha formula_12-re igaz az állítás, akkor formula_13-re is igaz. Igazoljuk, hogy ha formula_12-re igaz az állítás, akkor formula_40-re is igaz. Igazoljuk, hogy ha formula_12-re igaz az állítás, akkor formula_40-re is igaz. Ugyanis ha minden állítás és tagadás közül az egyik mindig igaz, a másik mindig téves, akkor például az állítás szükségszerűen igaz, és akkor az állításnak megfelelő esemény is szükségszerűen következik be. Állítás – Egy "H" formula_45 "K" függvény pontosan akkor invertálható, ha bijektív. A művelet eredménye abban az esetben igaz, amikor A állítás és B állítás is igaz, vagy amikor sem az A sem a B állítás nem igaz. Ha az erősebb állítás igaz, igaz a gyengébb is. Ha n = 2 az állítás igaz. Más szóval, egy állítás akkor igaz, ha az azon alapuló tettek kielégítő gyakorlati eredményhez vezetnek (valami akkor igaz, ha hasznos benne hinni). A fenti három állítás közül egyik sem igaz a konvex sokszögekre. Igazoljuk, hogy ha formula_12-re igaz az állítás, akkor formula_13-re is igaz, a már látott módon. Ha egy ilyen állítás igaz a "C" síkon, akkor a duális állítás teljesül a "C"* duális síkon. Mármost ha egy állítás tagad valamit, akkor pontosan abban az esetben hamis, ha igaz, amit tagad. Hasonlóan, ha belátjuk, hogy a halmazelmélet ZFC axiómarendszerének minden modelljében igaz egy állítás, akkor az az állítás bizonyítható ZFC-ből. Fordítva, ha a valóságban így van, akkor az egyik és csakis az egyik kijelentés lehet igaz. Ellentmondásos állapot akkor van, ha a rendszerben két objektum van, amelyek közül ha az egyik igaz, akkor a másik definíció szerint hamis. Ez az állítás vagy igaz lesz vagy sem. Ha "f" és "g" két invertálható függvény, akkor formula_67 is invertálható és

Ezért a pozitív valós számok halmazán értelmezett "y" formula_70 log "y" függvény az "a" alapú exponenciális függvény inverze. Tegyük fel, hogy teljesül a következő állítás: ha egy formula_2 rendszámra igaz, hogy minden formula_4 rendszámra formula_5 igaz, akkor formula_1 igaz. Egy szintetikus állítás akkor lehet értelmes, ha empirikus tartama van. Hasonló, bár gyengébb állítás igaz az analitikus függvényekre: Ha egy analitikus függvény zérushelyeinek a halmaza tartalmaz torlódási pontot, akkor a függvény a konstans nulla az értelmezési tartományának azon összefüggő halmazán, amely a torlódási pontot tartalmazza. Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Ha például "x" és "y"-ra sem az "x" ≤ "y", sem az "y" ≤ "x" nem áll fenn, akkor a két elem össze nem hasonlítható. Ez sohasem merült fel, még akkor sem, ha igaz.