Ha egy fogyasztó x és y jószágra vonatkozó költségvetési egyenesének egyenlete y = 100 − 4x, akkor ebből tudhatjuk, hogy
a fogyasztó elkölthető jövedelme 100. a maximálisan vásárolható x jószág mennyisége 100 * 4 = 400. Mindegyik fenti válasz helyes. az x jószág ára négyszerese az y jószág árának.
A B C D
Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Tehát "x" ≥ "y" akkor és csak akkor, ha "y" ≤ "x". Legyen a rendezés a következő: "x" < "y" pontosan akkor, ha |"x"| < |"y"| vagy |"x"| = |"y"| és "x" < "y." Tegyük fel, hogy adott egy kör egyenlete k: (x - x')+(y - y') = r formában, valamint adott egy P(x; y) pont. Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha "X", "Y" határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂("X" × "Y") = (∂"X" × "Y") ∪ ("X" × ∂"Y"). Így "x" < "y", ha ezek közül valamelyik teljesül:

Ekvivalensen, legyen δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α :
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
úgy, hogy"x" = "y" akkor és csak akkor, ha δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). ha "y" pozitív,
és ha "y" negatív,

Ha "x" egész, és "y" pozitív, akkor

Rögzített "y"-ra "x" mod "y" grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. A sztochasztikus integrálás asszociativitásából következik, hogy "H" egy "X"-integrálható, és integrálja "H" · "X" = "Y" akkor és csakis akkor, ha "Y" = 0 és "K" · "Y" = ("KH") · "X". Ha nagyobb mint egy akkor Y sztochasztikusan nagyobb mint X és ha kisebb akkor Y sztochasztikusan kisebb mint X. Ha "X" és "Y" szemimartingálok, akkor
ahol ["X", "Y"] a kvadratikus kovariáció folyamat. Példán illusztrálva: Ha X nagyságú szükségletből a fogyasztó kevesebbet, csak Y nagysághoz tud hozzájutni, akkor hajlandó az Y nagysághoz tartozó fogyasztási egységeket magasabbra értékelni, mintha a teljes X nagyságú szükségletét ki tudná elégíteni. Eszerint ha "x" és "y" két osztály, akkor ezek rendezett párja az (x,y)=(x × {0}) ∪ (y × {1}) osztály. Például ha a valós számok valamely "P"("x","y") tulajdonságáról ismert, hogy szimmetrikus "x"-re és "y"-ra, tehát "P"("x","y") ekvivalens "P"("y","x")-szel, akkor annak bebizonyításakor, hogy "P"("x","y") minden "x" és "y" értékre igaz, feltehető „az általánosság elvesztése nélkül” hogy "x" ≤ "y". Ha "X" és "Y" folytonos valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_125 és "f"("y") az "Y" sűrűségfüggvénye. "V" egy "x-y" vágás, ha "x" ∈ "S" és "y" ∈ "T". Ha a diszkrét "X" és "Y" valószínűségi változókra minden "x" és "y" esetén teljesül, hogy formula_32, akkor függetlenek. Hogyha definiáljuk, hogy

akkor

Ha "X" és "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre tekinthető "y" függvényének "Y" lehetséges kimeneteleinek halmazán:

ahol formula_17 az "X" lehetséges kimeneteleinek halmaza. Hasonlóan, ha folytonos "X" és "Y" valószínűségi változókra minden "x" és "y" esetén teljesül, hogy formula_33, akkor függetlenek. Ha "y" rajta van "x" pályáján, azaz
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha "y" rajta van "x", és "z" rajta van "y" pályáján, akkor "z" rajta van "x" pályáján. Ha "X" folytonos, viszont "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_123, és "f("x, y") az "X" és "Y" közös tömegfüggvénye. Ha "f,g" : "X" → "Y" folytonos leképezések és "Y" Hausdorff, akkor formula_3 zárt "X"-ben. Az "(X, ||.||)" normált tér egyenletesen konvex, ha minden ε pozitív számhoz van δ pozitív szám, hogy ha "||x||"="||y||"=1, és "||(x+y)/2||>"1"-δ", akkor "||x-y||"<ε. Ennélfogva, ha "x" osztja "y"-t, akkor "N"("x") is osztója "N"("y")-nak. Ha formula_10, akkor X és Y sztochasztikusan egyenlő. Hasonlóképpen, ha "Y" log-normális eloszlású, akkor "X"=log("Y") normális eloszlású. Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Tehát "x" ≥ "y" akkor és csak akkor, ha "y" ≤ "x". Legyen a rendezés a következő: "x" < "y" pontosan akkor, ha |"x"| < |"y"| vagy |"x"| = |"y"| és "x" < "y." Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha "X", "Y" határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂("X" × "Y") = (∂"X" × "Y") ∪ ("X" × ∂"Y"). Így "x" < "y", ha ezek közül valamelyik teljesül:

Ekvivalensen, legyen δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α :
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
úgy, hogy"x" = "y" akkor és csak akkor, ha δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Tegyük fel, hogy adott egy kör egyenlete k: (x - x')+(y - y') = r formában, valamint adott egy P(x; y) pont. A sztochasztikus integrálás asszociativitásából következik, hogy "H" egy "X"-integrálható, és integrálja "H" · "X" = "Y" akkor és csakis akkor, ha "Y" = 0 és "K" · "Y" = ("KH") · "X". ha "y" pozitív,
és ha "y" negatív,

Ha "x" egész, és "y" pozitív, akkor

Rögzített "y"-ra "x" mod "y" grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Ha "X" és "Y" szemimartingálok, akkor
ahol ["X", "Y"] a kvadratikus kovariáció folyamat. Például ha a valós számok valamely "P"("x","y") tulajdonságáról ismert, hogy szimmetrikus "x"-re és "y"-ra, tehát "P"("x","y") ekvivalens "P"("y","x")-szel, akkor annak bebizonyításakor, hogy "P"("x","y") minden "x" és "y" értékre igaz, feltehető „az általánosság elvesztése nélkül” hogy "x" ≤ "y". Ha nagyobb mint egy akkor Y sztochasztikusan nagyobb mint X és ha kisebb akkor Y sztochasztikusan kisebb mint X. Eszerint ha "x" és "y" két osztály, akkor ezek rendezett párja az (x,y)=(x × {0}) ∪ (y × {1}) osztály. "V" egy "x-y" vágás, ha "x" ∈ "S" és "y" ∈ "T". Mivel "y" + Δ"y" = "f"("x"+ Δ"x") = "m" ("x" + Δ"x") + "c" = "m" "x" + "c" + "m" Δ"x" = "y" + "m"Δ"x", ebből következik, hogy Δ"y" = "m" Δ"x". Ha a diszkrét "X" és "Y" valószínűségi változókra minden "x" és "y" esetén teljesül, hogy formula_32, akkor függetlenek. Ha "y" rajta van "x" pályáján, azaz
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha "y" rajta van "x", és "z" rajta van "y" pályáján, akkor "z" rajta van "x" pályáján. Az "(X, ||.||)" normált tér egyenletesen konvex, ha minden ε pozitív számhoz van δ pozitív szám, hogy ha "||x||"="||y||"=1, és "||(x+y)/2||>"1"-δ", akkor "||x-y||"<ε. Hasonlóan, ha folytonos "X" és "Y" valószínűségi változókra minden "x" és "y" esetén teljesül, hogy formula_33, akkor függetlenek. Ha "f,g" : "X" → "Y" folytonos leképezések és "Y" Hausdorff, akkor formula_3 zárt "X"-ben. Hogyha definiáljuk, hogy

akkor

Ha "X" és "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre tekinthető "y" függvényének "Y" lehetséges kimeneteleinek halmazán:

ahol formula_17 az "X" lehetséges kimeneteleinek halmaza. Ha "X" folytonos, viszont "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_123, és "f("x, y") az "X" és "Y" közös tömegfüggvénye. Ennélfogva, ha "x" osztja "y"-t, akkor "N"("x") is osztója "N"("y")-nak. Ha "X" és "Y" folytonos valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_125 és "f"("y") az "Y" sűrűségfüggvénye. A valós számok halmazán a szokásos euklideszi metrikában, ha "x" és "y" valós számok, akkor távolságuk így adható meg: "d"("x", "y") = |"x" - "y"|. Ha például "x" és "y"-ra sem az "x" ≤ "y", sem az "y" ≤ "x" nem áll fenn, akkor a két elem össze nem hasonlítható. Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Tehát "x" ≥ "y" akkor és csak akkor, ha "y" ≤ "x". Tegyük fel, hogy adott egy kör egyenlete k: (x - x')+(y - y') = r formában, valamint adott egy P(x; y) pont. Így "x" < "y", ha ezek közül valamelyik teljesül:

Ekvivalensen, legyen δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α :
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
úgy, hogy"x" = "y" akkor és csak akkor, ha δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Legyen a rendezés a következő: "x" < "y" pontosan akkor, ha |"x"| < |"y"| vagy |"x"| = |"y"| és "x" < "y." Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha "X", "Y" határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂("X" × "Y") = (∂"X" × "Y") ∪ ("X" × ∂"Y"). ha "y" pozitív,
és ha "y" negatív,

Ha "x" egész, és "y" pozitív, akkor

Rögzített "y"-ra "x" mod "y" grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. A sztochasztikus integrálás asszociativitásából következik, hogy "H" egy "X"-integrálható, és integrálja "H" · "X" = "Y" akkor és csakis akkor, ha "Y" = 0 és "K" · "Y" = ("KH") · "X". Ha nagyobb mint egy akkor Y sztochasztikusan nagyobb mint X és ha kisebb akkor Y sztochasztikusan kisebb mint X. Ha "X" és "Y" szemimartingálok, akkor
ahol ["X", "Y"] a kvadratikus kovariáció folyamat. Eszerint ha "x" és "y" két osztály, akkor ezek rendezett párja az (x,y)=(x × {0}) ∪ (y × {1}) osztály. Például ha a valós számok valamely "P"("x","y") tulajdonságáról ismert, hogy szimmetrikus "x"-re és "y"-ra, tehát "P"("x","y") ekvivalens "P"("y","x")-szel, akkor annak bebizonyításakor, hogy "P"("x","y") minden "x" és "y" értékre igaz, feltehető „az általánosság elvesztése nélkül” hogy "x" ≤ "y". Ha "X" és "Y" folytonos valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_125 és "f"("y") az "Y" sűrűségfüggvénye. "V" egy "x-y" vágás, ha "x" ∈ "S" és "y" ∈ "T". Hogyha definiáljuk, hogy

akkor

Ha "X" és "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre tekinthető "y" függvényének "Y" lehetséges kimeneteleinek halmazán:

ahol formula_17 az "X" lehetséges kimeneteleinek halmaza. Ha a diszkrét "X" és "Y" valószínűségi változókra minden "x" és "y" esetén teljesül, hogy formula_32, akkor függetlenek. Hasonlóan, ha folytonos "X" és "Y" valószínűségi változókra minden "x" és "y" esetén teljesül, hogy formula_33, akkor függetlenek. Ha "y" rajta van "x" pályáján, azaz
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha "y" rajta van "x", és "z" rajta van "y" pályáján, akkor "z" rajta van "x" pályáján. Ha "f,g" : "X" → "Y" folytonos leképezések és "Y" Hausdorff, akkor formula_3 zárt "X"-ben. Ha "X" folytonos, viszont "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_123, és "f("x, y") az "X" és "Y" közös tömegfüggvénye. Az "(X, ||.||)" normált tér egyenletesen konvex, ha minden ε pozitív számhoz van δ pozitív szám, hogy ha "||x||"="||y||"=1, és "||(x+y)/2||>"1"-δ", akkor "||x-y||"<ε. Ennélfogva, ha "x" osztja "y"-t, akkor "N"("x") is osztója "N"("y")-nak. Ha formula_10, akkor X és Y sztochasztikusan egyenlő. Hasonlóképpen, ha "Y" log-normális eloszlású, akkor "X"=log("Y") normális eloszlású. Hiszen ha az "x" és "y" a befogó, az átfogó (feltehetjük, hogy "x" > "y"), akkor az "x" − "y" és 2"xy" befogókkal rendelkező derékszögű háromszög átfogója éppen "p". Ekkor az "x" és "y" számokra "x" < "y" akkor és csak aklkor teljesül, ha:

Az "x" és "y" számokra "x" ≤ "y" akkor és csak akkor, ha "x" < "y" ∨ "x" = "y", és "x" > "y" akkor és csak akkor, ha "y" < "x". Tehát "x" ≥ "y" akkor és csak akkor, ha "y" ≤ "x". Legyen a rendezés a következő: "x" < "y" pontosan akkor, ha |"x"| < |"y"| vagy |"x"| = |"y"| és "x" < "y." Így "x" < "y", ha ezek közül valamelyik teljesül:

Ekvivalensen, legyen δ("x","y") = min({ dom("x"), dom("y")} ∪ { α :
α < dom("x") ∧ α < dom("y") ∧ "x"(α) ≠ "y"(α) }),
úgy, hogy"x" = "y" akkor és csak akkor, ha δ("x","y") = dom("x") = dom("y"). Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha "X", "Y" határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂("X" × "Y") = (∂"X" × "Y") ∪ ("X" × ∂"Y"). Tegyük fel, hogy adott egy kör egyenlete k: (x - x')+(y - y') = r formában, valamint adott egy P(x; y) pont. ha "y" pozitív,
és ha "y" negatív,

Ha "x" egész, és "y" pozitív, akkor

Rögzített "y"-ra "x" mod "y" grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Eszerint ha "x" és "y" két osztály, akkor ezek rendezett párja az (x,y)=(x × {0}) ∪ (y × {1}) osztály. Ha "X" és "Y" folytonos valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_125 és "f"("y") az "Y" sűrűségfüggvénye. Például ha a valós számok valamely "P"("x","y") tulajdonságáról ismert, hogy szimmetrikus "x"-re és "y"-ra, tehát "P"("x","y") ekvivalens "P"("y","x")-szel, akkor annak bebizonyításakor, hogy "P"("x","y") minden "x" és "y" értékre igaz, feltehető „az általánosság elvesztése nélkül” hogy "x" ≤ "y". Ha "X" folytonos, viszont "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor a feltételes várható érték az "Y" = "y" eseményre

ahol formula_123, és "f("x, y") az "X" és "Y" közös tömegfüggvénye. Hogyha definiáljuk, hogy

akkor

Ha "X" és "Y" diszkrét valószínűségi változó, akkor "X" feltételes várható értéke az "Y" = "y" eseményre tekinthető "y" függvényének "Y" lehetséges kimeneteleinek halmazán:

ahol formula_17 az "X" lehetséges kimeneteleinek halmaza. A sztochasztikus integrálás asszociativitásából következik, hogy "H" egy "X"-integrálható, és integrálja "H" · "X" = "Y" akkor és csakis akkor, ha "Y" = 0 és "K" · "Y" = ("KH") · "X". Ha "X" és "Y" szemimartingálok, akkor
ahol ["X", "Y"] a kvadratikus kovariáció folyamat. "V" egy "x-y" vágás, ha "x" ∈ "S" és "y" ∈ "T". Legyenek az y és y "f(I)"-beli pontok olyanok, hogy y < y. Világos, hogy léteznek olyan "I" beli x és x pontok, hogy y=f(x) és y=f(x). Ha nagyobb mint egy akkor Y sztochasztikusan nagyobb mint X és ha kisebb akkor Y sztochasztikusan kisebb mint X. Ha például "x" és "y"-ra sem az "x" ≤ "y", sem az "y" ≤ "x" nem áll fenn, akkor a két elem össze nem hasonlítható. Az "(X, ||.||)" normált tér egyenletesen konvex, ha minden ε pozitív számhoz van δ pozitív szám, hogy ha "||x||"="||y||"=1, és "||(x+y)/2||>"1"-δ", akkor "||x-y||"<ε. Mivel "y" + Δ"y" = "f"("x"+ Δ"x") = "m" ("x" + Δ"x") + "c" = "m" "x" + "c" + "m" Δ"x" = "y" + "m"Δ"x", ebből következik, hogy Δ"y" = "m" Δ"x". Hiszen ha az "x" és "y" a befogó, az átfogó (feltehetjük, hogy "x" > "y"), akkor az "x" − "y" és 2"xy" befogókkal rendelkező derékszögű háromszög átfogója éppen "p". Szimbolikusan:
For "x" = 0:     C("x,y,z"−1) = C("x,y"−1",z") × "z / y"     C("x,y"−1",z") = C("x,y,z"−1) × "y / z"<br>
For "y" = 0:     C("x"−1",y,z") = C("x,y,z"−1) × "x / z"     C("x,y,z"−1) = C("x"−1",y,z") × "z / x"<br>
For "z" = 0:     C("x,y"−1",z") = C("x"−1",y,z") × "y / x"     C("x"−1",y,z") = C("x,y"−1",z") × "x / y"<br>
ahol C"(x,y,z)" az "x, y, z" kitevőkhöz tartozó együttható. Normált terekben értelmezhetők a konvexitás speciális esetei:

Az "(X, ||.||)" normált tér szigorúan konvex, ha minden "x,y"-re, amire "||x||"="||y||"=1, és "||(x+y)/2||"=1, teljesül, hogy "x"="y". Ha "f,g" : "X" → "Y" folytonos leképezések és "Y" Hausdorff, akkor formula_3 zárt "X"-ben. Ennélfogva, ha "x" osztja "y"-t, akkor "N"("x") is osztója "N"("y")-nak.