Igaz-e a következő állítás? Három 1 N nagyságú, közös támadáspontú erő eredőjének nagysága bármekkora lehet 0 N és 3 N között.
Igaz, csak megfelelően kell megválasztani az erővektorok irányát. Igaz, amennyiben az erők egy egyenes mentén hatnak. Nem igaz, mert az eredő nem lehet kisebb, mint 1 N. Nem igaz, mert az eredő erő csak meghatározott értékeket vehet fel 0 N és 3 N között.
A B C D
Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, és bizonyítsuk n + 1-re. Minden "n"-re belátjuk, hogyha az állítás tetszőleges "n" lóból álló ménesre igaz, akkor az állítás igaz tetszőleges, "n"+1 lóból álló ménesre is. Ha n = 2 az állítás igaz. A szabály bármely "n" kitevőre érvényes, és így a következő "n" + 1-re is:

Ha a tétel igaz "n"-re, akkor "n" + 1-re is igaz. n = 1 esetén b=8, ami osztható nyolccal, az állítás igaz. Tegyük fel, hogy "n" pontra már tudjuk, hogy igaz az állítás és adott "n"+1 pont, formula_4. Tegyük fel, hogy "n" > 3 és a tétel igaz volt az "n" − 1 esetre. Az állítás megfordítása azonban nem igaz: egyes "n" összetett számokra is "n" osztója "P"("n")-nek. A fenti okoskodásban az az igen egyszerű hiba van, hogy az indukciós lépést (mármint azt, hogy "ha az állítás "n"-re igaz, akkor igaz "n"+1-re is") csak "n>2"-től kezdve, az állítást közvetlenül viszont csak "n=1" lóra láttuk be. Tekintsünk ismét "N" atomot, melyek mindegyike most három energiaszinten lehet, ezek jele 1, 2 és 3, energiájuk "E", "E" és "E", populációjuk pedig rendre "N", "N" és "N". Ha "n" = 1, az eredményt nyilvánvalóan igaz. Legyen 0<"b"<"n."

Ha "n" prímszám, akkor a fenti állítás minden "b"-re teljesül; ha "n" összetett, akkor ez legfeljebb a "b"-k egynegyedére igaz. Ez annak az állításnak a bizonyítását jelenti, hogy ha feltesszük, hogy az "n"-edik állítás igaz, akkor abból következik az "n+1"-edik állítás igazsága is. Tegyük fel, hogy n=k-ra az állítás igaz, vagyis 9-1 osztható 8-cal. Ha "n" = 0 a képlet igaz, mivel formula_4, és formula_5. "n" = 1 esetén:

"n" = 2-re:

"n" = 3-ra:

"n" = 4-re:

Általában, "n" > 1-re:

Mivel a számítás során csak "f"(1)-gyel kell osztani, azért az invertálhatóság egyetlen kritériuma az, hogy "f"(1) ≠ 0. (Itt is igaz, hogy "n' = n+1" épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, "n"-nel megszorozva.) Most tegyük fel, hogy az állítás igaz minden "N"-nél kisebb egész számra. Tehát a "tréfás" bizonyítás azt a lyukat használja ki, hogy az indukciós lépés "n=3"-tól igaz, a kezdőlépés pedig csak "n=1"-re. Megjegyezzük, hogy ha n<2, akkor σ(n)=n, vagyis "minden" természetes számra csak a fenti állításnál „kevesebbet mondó” n≤σ(n) egyenlőtlenség igaz. Bármely "n" fókuszszámra igaz, hogy az "n"-ellipszis zárt, konvex görbe. Hiszen az állítás két tetszőleges lóra, azaz "n=2"-re már nyilvánvalóan nem igaz. Az első néhány ilyen szám:

Ha "n" prím, akkor "μ"("n") = −1, fordítva viszont nem igaz. Így le lehet folytatni az euklideszi algoritmust, és kiderül, hogy "d=lnko(n-1,k)"-ra is igaz, hogy "a^d" kongruens "1 mod n". Ha egy "a" sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan "n" küszöbszám, hogyha n > "n" akkor "a" > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, és bizonyítsuk n + 1-re. Minden "n"-re belátjuk, hogyha az állítás tetszőleges "n" lóból álló ménesre igaz, akkor az állítás igaz tetszőleges, "n"+1 lóból álló ménesre is. Ha n = 2 az állítás igaz. A szabály bármely "n" kitevőre érvényes, és így a következő "n" + 1-re is:

Ha a tétel igaz "n"-re, akkor "n" + 1-re is igaz. n = 1 esetén b=8, ami osztható nyolccal, az állítás igaz. Tegyük fel, hogy "n" pontra már tudjuk, hogy igaz az állítás és adott "n"+1 pont, formula_4. Tegyük fel, hogy "n" > 3 és a tétel igaz volt az "n" − 1 esetre. Az állítás megfordítása azonban nem igaz: egyes "n" összetett számokra is "n" osztója "P"("n")-nek. Tekintsünk ismét "N" atomot, melyek mindegyike most három energiaszinten lehet, ezek jele 1, 2 és 3, energiájuk "E", "E" és "E", populációjuk pedig rendre "N", "N" és "N". Ha "n" = 1, az eredményt nyilvánvalóan igaz. Legyen 0<"b"<"n."

Ha "n" prímszám, akkor a fenti állítás minden "b"-re teljesül; ha "n" összetett, akkor ez legfeljebb a "b"-k egynegyedére igaz. Vagyis azt feltételezzük, hogy

Akkor "n" = "k" + 1 esetén:

Vagyis bebizonyítottuk azt, hogy amennyiben a képlet igaz "k" -ra, akkor igaz "n" = "k" + 1 -re is. A fenti okoskodásban az az igen egyszerű hiba van, hogy az indukciós lépést (mármint azt, hogy "ha az állítás "n"-re igaz, akkor igaz "n"+1-re is") csak "n>2"-től kezdve, az állítást közvetlenül viszont csak "n=1" lóra láttuk be. Ez annak az állításnak a bizonyítását jelenti, hogy ha feltesszük, hogy az "n"-edik állítás igaz, akkor abból következik az "n+1"-edik állítás igazsága is. Tegyük fel, hogy n=k-ra az állítás igaz, vagyis 9-1 osztható 8-cal. Ha "n" = 0 a képlet igaz, mivel formula_4, és formula_5. Általában, egy "n"-edrendű projektív sík "n"²+"n"+1 pontot és ugyanennyi egyenest tartalmaz; minden egyenes "n"+1 pontból áll, és minden ponton "n"+1 egyenes megy át. (Itt is igaz, hogy "n' = n+1" épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, "n"-nel megszorozva.) Most tegyük fel, hogy az állítás igaz minden "N"-nél kisebb egész számra. Ha egy "a" sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan "n" küszöbszám, hogyha n > "n" akkor "a" > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. Egyszerű tulajdonság, hogy σ(n)≥n+1, amennyiben n≥2. Bármely "n" fókuszszámra igaz, hogy az "n"-ellipszis zárt, konvex görbe. Hiszen az állítás két tetszőleges lóra, azaz "n=2"-re már nyilvánvalóan nem igaz. Ha ebben a csoportban valamely elemre igaz az, hogy "a" kongruens "1 mod n", és egy másik "k" kitevőre is kongruens "1 mod n", akkor "a"^(n-1-k)
kongruens "1 mod n" is teljesül. Az első néhány ilyen szám:

Ha "n" prím, akkor "μ"("n") = −1, fordítva viszont nem igaz. Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, és bizonyítsuk n + 1-re. Minden "n"-re belátjuk, hogyha az állítás tetszőleges "n" lóból álló ménesre igaz, akkor az állítás igaz tetszőleges, "n"+1 lóból álló ménesre is. A szabály bármely "n" kitevőre érvényes, és így a következő "n" + 1-re is:

Ha a tétel igaz "n"-re, akkor "n" + 1-re is igaz. Az állítás megfordítása azonban nem igaz: egyes "n" összetett számokra is "n" osztója "P"("n")-nek. Tegyük fel, hogy "n" > 3 és a tétel igaz volt az "n" − 1 esetre. Tegyük fel, hogy "n" pontra már tudjuk, hogy igaz az állítás és adott "n"+1 pont, formula_4. Ha n = 2 az állítás igaz. n = 1 esetén b=8, ami osztható nyolccal, az állítás igaz. Tekintsünk ismét "N" atomot, melyek mindegyike most három energiaszinten lehet, ezek jele 1, 2 és 3, energiájuk "E", "E" és "E", populációjuk pedig rendre "N", "N" és "N". Az első néhány ilyen szám:

Ha "n" prím, akkor "μ"("n") = −1, fordítva viszont nem igaz. Ha "n" = 1, az eredményt nyilvánvalóan igaz. (("b"+1) · "b" − 1 irreducibilis minden "n" természetes számra, tehát ha a Bunyakovszkij-sejtés igaz, akkor végtelen sok olyan "b" alap van, amire (fix "n" kitevőre) prímszámot ad)

A legkisebb "k" ≥ 1, amire ("n"+1) · "n" − 1 prím: (kezdve "n" = 2-vel)

A legkisebb "k" ≥ 1, amire ("n"+1) · "n" + 1 prím: (kezdve "n" = 2-vel, 0 ha nem létezik ilyen "k")

A legkisebb "k" ≥ 1, amire ("n"−1) · "n" − 1 prím: (kezdve "n" = 2-vel)

A legkisebb "k" ≥ 1, amire ("n"−1) · "n" + 1 prím: (kezdve "n" = 2-vel) Ezért (n+1)!+2, (n+1)!+3, ..., (n+1)!+n+1 n darab egymást követő összetett szám. Így le lehet folytatni az euklideszi algoritmust, és kiderül, hogy "d=lnko(n-1,k)"-ra is igaz, hogy "a^d" kongruens "1 mod n". A fenti okoskodásban az az igen egyszerű hiba van, hogy az indukciós lépést (mármint azt, hogy "ha az állítás "n"-re igaz, akkor igaz "n"+1-re is") csak "n>2"-től kezdve, az állítást közvetlenül viszont csak "n=1" lóra láttuk be. (Itt is igaz, hogy "n' = n+1" épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, "n"-nel megszorozva.) Jelölje P2(n,k) n azon partícióinak számát, amelyben minden elem legfeljebb k.
Ekkor a következő összefüggések teljesülnek:

• P2(1,k) = 1,P2(n,1) = 1

• P2(n,n) = 1+P2(n,n−1) 

• P2(n,k) = P2(n,n) ha n < k

• P2(n,k) = P2(n,k−1)+P2(n−k,k) ha k < n

• A megoldás: P(n) = P2(n,n)

PARTÍCIÓ(n)

Return P2(n,n)

P2(n,k)

If (k=1) Or (n=1) return 1

If k>=n return P2(n,n-1)+1

return P2(n, k-1)+P2(n-k, k) Ez annak az állításnak a bizonyítását jelenti, hogy ha feltesszük, hogy az "n"-edik állítás igaz, akkor abból következik az "n+1"-edik állítás igazsága is. Most tegyük fel, hogy az állítás igaz minden "N"-nél kisebb egész számra. Tegyük fel, hogy n=k-ra az állítás igaz, vagyis 9-1 osztható 8-cal. Például a leggyakrabban használt olajok "n"−6:"n"−3 zsírsav aránya: repceolaj 2:1, szójaolaj 7:1, olívaolaj 3–13:1, napraforgóolaj (nem tartalmaz "n"−3-at), lenmagolaj 1:3, gyapotmagolaj (alig tartalmaz "n"−3-at), földimogyoró-olaj (nem tartalmaz "n"−3-at) és kukoricaolaj 46:1. Adott n-re például (n+1)!+2 nyilván osztható 2-vel, (n+1)!+3 osztható hárommal, és így tovább egészen (n+1)!+n+1-ig, ami osztható n+1-gyel. 810 azok közé a számok közé tartozik, amelyekre igaz, hogy a két szomszédja, n-1 és n+1 ikerprímek. Az irányított esetben, létezik "n" csúcsú, Hamilton-kört tartalmazó irányított gráf "n"("n" + 1)/2 − 3 éllel, ami nem pánciklikus, viszont a legalább "n"("n" + 1)/2 − 1 élt tartalmazók pánciklikusak. Ha ebben a csoportban valamely elemre igaz az, hogy "a" kongruens "1 mod n", és egy másik "k" kitevőre is kongruens "1 mod n", akkor "a"^(n-1-k)
kongruens "1 mod n" is teljesül. Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, és bizonyítsuk n + 1-re. Tegyük fel, hogy "n" > 3 és a tétel igaz volt az "n" − 1 esetre. Minden "n"-re belátjuk, hogyha az állítás tetszőleges "n" lóból álló ménesre igaz, akkor az állítás igaz tetszőleges, "n"+1 lóból álló ménesre is. A Perrin-sorozat prím tagjai:
"P"(0) = 3; "P"(1) = 0; "P"(2) = 2; "P"("n") = "P"("n" ‒ 2) + "P"("n" ‒ 3). Tegyük fel, hogy "n" pontra már tudjuk, hogy igaz az állítás és adott "n"+1 pont, formula_4. Az állítás megfordítása azonban nem igaz: egyes "n" összetett számokra is "n" osztója "P"("n")-nek. A szabály bármely "n" kitevőre érvényes, és így a következő "n" + 1-re is:

Ha a tétel igaz "n"-re, akkor "n" + 1-re is igaz. Ha n = 2 az állítás igaz. N = N(3-u), és N = N(3-u). Tekintsünk ismét "N" atomot, melyek mindegyike most három energiaszinten lehet, ezek jele 1, 2 és 3, energiájuk "E", "E" és "E", populációjuk pedig rendre "N", "N" és "N". Ha "n" = 0 a képlet igaz, mivel formula_4, és formula_5. Legyen 0<"b"<"n."

Ha "n" prímszám, akkor a fenti állítás minden "b"-re teljesül; ha "n" összetett, akkor ez legfeljebb a "b"-k egynegyedére igaz. Például minden esetben, amikor "n" ≡ 2 (mod 3), a 4/"n" felírása automatikusan következik:
Itt mindhárom nevező, az "n", az ("n" − 2)/3 + 1 és az "n"(("n" − 2)/3 + 1) is "n"-nek a polinomja, továbbá mindhárom egész értéket vesz fel, ha "n" ≡ 2 (mod 3). "V" ≠ 0 vektortér, n ∈ N Ezért (n+1)!+2, (n+1)!+3, ..., (n+1)!+n+1 n darab egymást követő összetett szám. "n" = 1 esetén:

"n" = 2-re:

"n" = 3-ra:

"n" = 4-re:

Általában, "n" > 1-re:

Mivel a számítás során csak "f"(1)-gyel kell osztani, azért az invertálhatóság egyetlen kritériuma az, hogy "f"(1) ≠ 0. A fenti okoskodásban az az igen egyszerű hiba van, hogy az indukciós lépést (mármint azt, hogy "ha az állítás "n"-re igaz, akkor igaz "n"+1-re is") csak "n>2"-től kezdve, az állítást közvetlenül viszont csak "n=1" lóra láttuk be. Az n darab szám képeként tehát n(n-1)(n-2)...1=n!-képpen választhatjuk meg a rendezett értékeket. Ha egy "a" sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan "n" küszöbszám, hogyha n > "n" akkor "a" > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. n = 1 esetén b=8, ami osztható nyolccal, az állítás igaz. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0, ', +, formula_14) rendezett 5-öst, ahol "N" halmaz, 0 ∈ N, ' :Nformula_24 N függvény, +:N formula_25 N formula_24 N, és formula_14:N formula_25 N formula_24 N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái. Ugyanis maga n és 1 mindig két különböző osztója n-nek, ha n≥2, és így, ha A-val jelöljük az ezektől különböző osztók összegét (A≥0), akkor n>2-re σ(n)=1+A+n≥n+1. Azaz mindaddig, amíg "N" > 0, teljesül, hogy "N" > "N", és populációinverzió áll fenn. (("b"+1) · "b" − 1 irreducibilis minden "n" természetes számra, tehát ha a Bunyakovszkij-sejtés igaz, akkor végtelen sok olyan "b" alap van, amire (fix "n" kitevőre) prímszámot ad)

A legkisebb "k" ≥ 1, amire ("n"+1) · "n" − 1 prím: (kezdve "n" = 2-vel)

A legkisebb "k" ≥ 1, amire ("n"+1) · "n" + 1 prím: (kezdve "n" = 2-vel, 0 ha nem létezik ilyen "k")

A legkisebb "k" ≥ 1, amire ("n"−1) · "n" − 1 prím: (kezdve "n" = 2-vel)

A legkisebb "k" ≥ 1, amire ("n"−1) · "n" + 1 prím: (kezdve "n" = 2-vel) Például a leggyakrabban használt olajok "n"−6:"n"−3 zsírsav aránya: repceolaj 2:1, szójaolaj 7:1, olívaolaj 3–13:1, napraforgóolaj (nem tartalmaz "n"−3-at), lenmagolaj 1:3, gyapotmagolaj (alig tartalmaz "n"−3-at), földimogyoró-olaj (nem tartalmaz "n"−3-at) és kukoricaolaj 46:1.