Saiz sebenar

2

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Fungsi dan Persamaan
Kuadratik dalam
Satu Pemboleh Ubah

BAB

1
► Fungsi dan Persamaan Kuadratik

Fungsi dan persamaan kuadratik banyak digunakan dalam bidang
sains, perniagaan, sukan dan sebagainya. Dalam arena sukan,
fungsi kuadratik menjadi penting dalam acara-acara sukan  seperti
lontar peluru, lempar cakera, merejam lembing dan sebagainya.
Dalam seni bina pula, kita sering melihat binaan melengkung
berbentuk parabola yang sebenarnya amat berkait rapat dengan
penguasaan konsep kuadratik.

Pulau Warisan terletak di Kuala Terengganu. Pulau ini menjadi
daya tarikan baharu bagi para pelancong kerana merupakan

sebuah pulau buatan manusia yang dihubungkan dengan jambatan.
Jambatan ini mirip seperti jambatan di Putrajaya.

Tahukah anda bahawa bentuk binaan jambatan ini mempunyai
ciri-ciri matematik yang istimewa?

Maslahat Bab

Anda akan mempelajari
Saiz sebenar

3

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

• fungsi kuadratik  • quadratic function
• paksi simetri • axis of symmetry
• pemboleh ubah  • variable
• punca  • root
• titik maksimum  • maximum point
• titik minimum  • minimum point

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA

Imbasan Silam

Al-Khawarizmi
(780 M - 850 M)

Al-Khawarizmi terkenal dengan gelaran Bapa Algebra.
Beliau merupakan pengasas kepada beberapa cabang
dan konsep matematik. Hasil kerjanya dalam algebra
begitu cemerlang dan beliau bukan sahaja mempunyai
inisiatif terhadap subjek dalam pembentukan sistematik
tetapi juga bertanggungjawab membangunkan
penyelesaian analitikal dalam perkembangan garis
lurus serta persamaan kuadratik.

http://yakin-pelajar.com/Khwarizmi/1.pdf

1
Saiz sebenar

2

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik

Apakah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah?
Pernahkah anda melakar gerakan sebiji
bola yang ditendang oleh seorang
pemain seperti yang ditunjukkan
dalam gambar rajah di sebelah?
Bentuk gerakan ini dikenali sebagai
bentuk parabola.
Tahukah anda, bentuk parabola ini mempunyai persamaan
tersendiri seperti persamaan garis lurus?

Rangsangan Minda 1
Tujuan: Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu

pemboleh ubah.
Langkah:
1. Berdasarkan jadual dalam langkah 3, masukkan semua ungkapan satu demi satu dalam

perisian geometri dinamik seperti di bawah.

2

(Tambah Ransangan Minda 1, Jadi Ransangan Minda 1 akan jadi Ransangan Minda 2 dan
sebagainya)

Ransangan Minda 1

Tujuan : Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
ubah

Langkah :

1. Masukan ungkapan satu demi satu dalam perisian seperti di bawah

2. Teliti graf yang perolehi
3. Lengkapkan jadual di bawah

Bil Ungkapan Ciri-ciri
Bentuk graf Koordinat titik paling rendah

atau paling tinggi jika ada
(a) 2 4 1x x+ +

(b) 1
2 3 2x x+ −

(c) 22 2 5x x− − +

(d) 5 4x +

Imbas QR code untuk
menjalankan aktiviti ini

2. Teliti graf yang diperoleh.
3. Lengkapkan jadual di bawah.

Ungkapan
Ciri-ciri

Bentuk graf Koordinat titik paling rendah
atau paling tinggi (jika ada)

(a) x2 + 4x + 1
(b) x–2 – 1
(c) –2x2 – 2x + 5
(d) 5x + 4
(e) 3x2 – 2
(f) –2x2 + 4x
(g) x3  + 1

Perbincangan:
Graf suatu ungkapan kuadratik ialah  atau  dan mempunyai satu titik paling tinggi atau
satu titik paling rendah. Ungkapan yang manakah merupakan ungkapan kuadratik? Berikan
justifikasi anda.

Standard
Pembelajaran

Mengenal pasti dan
menerangkan ciri-ciri
ungkapan kuadratik dalam
satu pemboleh ubah.

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.
org/graphing
Saiz sebenar

3

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Hasil daripada Rangsangan Minda 1, didapati bahawa;

Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah ialah ungkapan yang kuasa tertinggi
pemboleh ubahnya ialah dua.

Secara generalisasi,

Contoh: TIP

Selain x, huruf lain juga
boleh digunakan sebagai
pemboleh ubah.

1Contoh

Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut merupakan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
ubah atau bukan. Jika bukan, berikan justifikasi anda.

(a) 2x2 + 5   (b) x3 – 6

(c) 3x2 + 2y + 1   (d) 1
2

m2

(e) 2x2 – 3
x2

(f) 4x2 – x
1
2

Penyelesaian:

(a) 2x2 + 5 ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
(b) x3 – 6 bukan ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi pemboleh ubah ialah tiga.
(c) 3x2 + 2y + 1 bukan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah kerana terdapat dua pemboleh

ubah iaitu x dan y.

(d) 1
2

m2 ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.

(e) 2x2 – 3
x2

bukan ungkapan kuadratik kerana terdapat kuasa yang bukan nombor bulat.

(f) 4x2 – x
1
2 bukan ungkapan kuadratik kerana terdapat kuasa yang bukan nombor bulat.

Mengapakah nilai a ≠ 0 bagi
suatu ungkapan kuadratik?
Bincangkan.

ZON INTERAKTIF
Dengan keadaan;
a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0
x ialah pemboleh ubah.

x2 + 2x – 1, –y2 + 3y, 13 m2 – m + 4 dan 2n2 + 5
merupakan antara contoh ungkapan kuadratik.

Bentuk am suatu ungkapan kuadratik ialah, ax2 + bx + c.

TIP

Nilai pemalar b dan c
boleh sifar.

MEMORI SAYA

3
x2  = 3x –2

x
1
2 = √x
Saiz sebenar

4

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Rangsangan Minda 2
Tujuan:   Menyatakan nilai a, b dan c dalam suatu ungkapan kuadratik.

Langkah:
1. Teliti (a) dalam jadual di bawah.
2. Tentukan nilai a, b dan c bagi ungkapan kuadratik yang seterusnya.

Ungkapan kuadratik Perbandingan

(a) 2x2 – 3x + 1
2x2 – 3x + 1
ax2 + bx + c

a =     b =     c =

(b) 2x2 – 4
   x2 +  x +

ax2 + bx + c

a =     b =     c =

(c) 1
2

x2 + 5x – 32
a =      b =      c =

(d) –x2 + x
a =      b =      c =

(e) –x2 – 3x – 9
a =      b =      c =

(f) 1
2

x2

a =      b =      c =

Perbincangan:
Bagaimanakah anda menentukan nilai-nilai a, b dan c?

Hasil daripada Rangsangan Minda 2, didapati bahawa;

Semua ungkapan kuadratik boleh ditulis dalam bentuk ax2 + bx + c dengan keadaan a ≠ 0.

Dalam ungkapan kuadratik,

2 –3 1

a ialah pekali x2,
b ialah pekali x,
c ialah pemalar.

Mengapakah a dan b disebut
pekali dan c disebut pemalar?

ZON INTERAKTIF
Saiz sebenar

5

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

1. Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut merupakan ungkapan kuadratik dalam satu
pemboleh ubah atau bukan. Jika bukan, berikan justifikasi anda.

(a) x2 – 5 (b) 2x2 + x–2  (c) 3y2 – 3x + 1

(d) – 12m2 (e) x3 – x (f) x
1
2 + 2x – 1

(g) 1
x2 + 4x – 1 (h) p2 – 12 p + 3 (i) n(n – 2)

2. Tentukan nilai a, b dan c bagi setiap ungkapan kuadratik yang berikut.
 (a) 2x2 – 5x + 1 (b) x2 – 2x  (c) 2y2 + 1

(d) – 1
2

p2 + 4p (e) 1 – x – 2x2  (f) 4x2

(g) h2 + 32 h – 4 (h) 1
3 k2 – 2 (i) 2r (r – 3)

Praktis Kendiri 1.1a

Apakah perbezaan antara
ungkapan kuadratik dengan

fungsi kuadratik?

ZON INTERAKTIF

Bincangkan dan berikan
contoh jenis hubungan
banyak kepada satu.

Apakah kaitan antara fungsi kuadratik dengan hubungan
 banyak kepada satu? Standard

Pembelajaran
Mengenal fungsi
kuadratik sebagai
hubungan banyak kepada
satu, dan seterusnya
memerihalkan ciri-ciri
fungsi kuadratik.

Jenis-jenis hubungan
• Hubungan satu

kepada satu
• Hubungan satu

kepada banyak
• Hubungan banyak

kepada satu
• Hubungan banyak

kepada banyak

MEMORI SAYA

Ungkapan kuadratik ditulis dalam
bentuk ax2 + bx + c,

manakala fungsi kuadratik ditulis
dalam bentuk f (x) = ax2 + bx + c.
Saiz sebenar

6

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Hasil daripada Rangsangan Minda 3, didapati bahawa;

Semua fungsi kuadratik mempunyai imej
yang sama daripada dua objek yang berbeza.

Sebagai kesimpulannya,

Jenis hubungan suatu fungsi kuadratik ialah
hubungan banyak kepada satu.

O 2           4

4

2

–2

–2

x

f (x)

O 2           4

6

4

2

–2
x

f (x)

O 2           4

4

2

f (x)

x

Imbas QR Code untuk melihat
ujian garis mencancang.
http://yakin-pelajar.com/bab1/
mencancang.pdf

Tujuan:   Mengenal fungsi kuadratik sebagai hubungan banyak kepada satu.

Alat:   Pembaris, pensel.

Langkah:

1. Berdasarkan graf fungsi f (x) di bawah, lukis satu garis yang selari dengan paksi-x pada
graf (b) dan (c) seperti contoh (a).

2. Tandakan titik persilangan antara graf fungsi f (x) dengan garis lurus.

3. Nyatakan bilangan titik persilangan dan koordinat titik persilangan.

4. Ulang langkah 1 hingga 3 dengan meletak pembaris pada nilai f (x) yang berbeza. Pastikan
garis lurus yang dilukis sentiasa selari dengan paksi-x.

(a) f (x) = x2 – 3x (b) f (x) = –x2 + 4x + 1 (c) f (x) = x2 – 3x + 2

Bilangan titik persilangan Bilangan titik persilangan Bilangan titik persilangan
= 2  =  =
Koordinat titik persilangan  Koordinat titik persilangan Koordinat titik persilangan
= (4, 4), (–1, 4)  = (  ), (  )  = (  ), (  )

Perbincangan:
1. Apakah kaitan antara koordinat-x dengan koordinat-y pada
 kedua-dua titik persilangan setiap fungsi?
2. Apakah jenis hubungan suatu fungsi kuadratik?

Bagi fungsi kuadratik, y = f (x).

ZON INFORMASI

Bagi titik pada satah Cartes,
koordinat-x ialah objek dan
koordinat-y ialah imej.

MEMORI SAYA

4
–1 4

x y

Rangsangan Minda 3
Saiz sebenar

7

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Rangsangan Minda 4
Tujuan: Mengenal pasti dan memerihalkan hubungan antara nilai a dengan bentuk graf suatu
 fungsi kuadratik.
Langkah:
1. Gerakkan slider perlahan-perlahan ke kiri dan ke kanan. Perhatikan bentuk graf.

2. Lakarkan sekurang-kurangnya dua graf bagi nilai a positif dan dua graf bagi nilai a negatif.

Perbincangan:
Apakah kaitan antara nilai a dengan bentuk graf?

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.org/
graphinglt5az2zwm

6

Apakah bentuk graf fungsi kuadratik?

Ransangan Minda 4

Tujuan : Mengenal pasti dan memerihal hubungan antara

nilai a dengan bentuk graf suatu fungsi kuadratik

Langkah :

1. Gerakkan slider perlahan-lahan dari kiri ke kanan dan perhatikan bentuk graf.

2. Lakarkan sekurang-kurangnya dua graf bagi nilai a

positif dan nilai a negatif.

Perbincangan :

Apakah kaitan antara nilai a dengan bentuk graf?

Hasil daripada Ransangan Minda 4, didapati bagi graf 2( )f x ax bx c= + + ,

(a) hanya terdapat dua bentuk graf,
(b) nilai a menentukan bentuk graf.

Bagi a > 0                           Bagi a < 0

Imbas QR code untuk
menjalankan aktiviti ini

Hasil daripada Rangsangan Minda 4, didapati bahawa;

Bagi graf f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
(a) hanya terdapat dua bentuk graf,
(b) nilai a menentukan bentuk graf.

a < 0 a > 0

TIP

Bentuk graf melengkung
bagi fungsi kuadratik
digelar sebagai parabola.

Apakah titik maksimum atau titik minimum bagi suatu fungsi kuadratik?
Setiap lakaran graf fungsi kuadratik akan mempunyai nilai koordinat-y yang tertinggi atau
terendah berdasarkan bentuk lakaran.

Bagi lakaran graf fungsi kuadratik dengan keadaan a < 0, y1 ialah
nilai tertinggi bagi koordinat-y dan x1 ialah nilai yang sepadan bagi y1.
Titik (x1, y1) dikenali sebagai titik maksimum.

Bagi lakaran graf fungsi kuadratik dengan keadaan a > 0, y2 ialah
nilai terendah bagi koordinat-y dan x2 ialah nilai yang sepadan bagi y2.
Titik (x2, y2) dikenali sebagai titik minimum.

Rajah 1

f (x)

O
x

y1

x1

(x1, y1)

Rajah 2

f (x)

O
x

y2

x2

(x2, y2)

Apakah bentuk graf fungsi kuadratik?
Saiz sebenar

8

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Hasil daripada Rangsangan Minda 5, didapati bahawa;

Bagi fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c,
titik maksimum diperoleh apabila a < 0,
titik minimum diperoleh apabila a > 0.

Apakah paksi simetri suatu graf fungsi kuadratik?
Paksi simetri suatu graf fungsi kuadratik ialah garis lurus yang selari
dengan paksi-y dan membahagikan graf tersebut kepada dua bahagian
yang sama saiz dan bentuk.
Paksi simetri akan melalui titik maksimum atau titik minimum graf
fungsi seperti dalam rajah di bawah.

Titik maksimum

Titik minimum

Paksi simetri
Celik Minda

Persamaan paksi simetri
graf fungsi kuadratik,
 bx = – — .
 2a

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.org/
graphing

Rangsangan Minda 5
Tujuan: Meneroka titik maksimum atau titik minimum bagi suatu fungsi kuadratik.

Langkah:
1. Taip fungsi kuadratik menggunakan perisian geometri dinamik.
2. Lengkapkan jadual di bawah seperti dalam (a).
3. Ulang langkah 1 dan 2 dengan pelbagai fungsi kuadratik.

Fungsi Kuadratik Nilai a Bentuk
Graf

Titik maksimum /
titik minimum dan koordinat

(a) f (x) = – 12 x2 – 4x + 2 a = – 1
2

Titik  Maksimum
Koordinat = (– 4, 10)

(b) f (x) = x2 – 4x + 3 Titik
Koordinat =

(c) f (x) = –2x2 – 4x + 1
Titik
Koordinat =

Perbincangan:
Apakah kaitan antara nilai a dengan titik maksimum atau titik minimum?

Titik maksimum dan titik
minimum juga dikenali
sebagai titik pegun atau
titik pusingan.

ZON INFORMASI

Paksi simetri ialah garis
lurus yang membahagikan
suatu bentuk geometri
atau objek kepada dua
bahagian yang sama saiz
dan bentuk.

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

9

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Rangsangan Minda 6
Tujuan: Melukis dan mengenal pasti paksi simetri graf

fungsi kuadratik.
Langkah:
1. Dengan menggunakan pembaris, lukis paksi simetri bagi

setiap graf fungsi kuadratik di bawah.

2. Seterusnya tulis persamaan paksi simetri berkenaan seperti dalam (a).
 (a) f (x) = x2 – 2x (b) f (x) = 2x2 + 4x – 3 (c) f (x) = –2x2 + 4x + 2

Persamaan paksi simetri Persamaan paksi simetri Persamaan paksi simetri
    x = 1

Perbincangan:
1. Apakah hubungan antara paksi simetri graf fungsi kuadratik dengan paksi-y?

2. Apakah hubungan antara paksi simetri graf fungsi kuadratik dengan kedudukan titik
maksimum atau titik minimum?

Hasil daripada Rangsangan Minda 6, didapati bahawa;

Paksi simetri bagi suatu graf fungsi kuadratik adalah selari dengan paksi-y dan melalui
titik maksimum atau titik minimum.

Secara generalisasi,

Titik minimum
(h,k)

Titik maksimum
(m, n)

Paksi simetri
x = h

Paksi simetri
x = m

Setiap fungsi kuadratik mempunyai satu paksi simetri dan paksi simetri akan melalui titik
maksimum atau titik minimum bagi fungsi kuadratik tersebut.

O
–1
–2
–3
–4
–5

–3  –2        –1

f (x)

x
1

O 1   2

1

–1

f (x)

x

O

4
3
2
1

1 2

f (x)

x

Persamaan garis lurus
yang selari dengan
paksi-y ialah x = h

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

10

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

1. Tentukan bentuk graf fungsi kuadratik yang berikut sama ada  atau .
 (a) f (x) = x2 – 4x + 1      (b) g (x) = –x2 + 2x – 4

2. Bagi setiap graf fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c di bawah, nyatakan julat bagi nilai a dan
nyatakan sama ada graf tersebut mempunyai titik maksimum atau titik minimum.

(a) (b)

3. Tentukan titik maksimum atau titik minimum dan nyatakan persamaan paksi simetri bagi setiap
graf fungsi kuadratik di bawah.

(a) (b)

(c) (d)

Praktis Kendiri 1.1b

x

f (x)

x

f (x)

O O

2 4 6 8O

5

–5

–10

–15

x

f (x)

(0, 3)

x
O

(4, 3)••

f (x)

O 2 4 6

10

5

–5

x

f (x)

(–4, 0)
x

O• •

f (x)

2

4

–2

–4
Saiz sebenar

11

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Rangsangan Minda 7
Tujuan: Mengenal pasti kesan perubahan nilai a terhadap graf
 fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c.

Langkah:
1. Gerakkan slider ke kiri dan ke kanan.

2. Perhatikan bentuk graf apabila nilai a berubah.

Perbincangan:
Apakah kesan perubahan nilai a terhadap graf fungsi kuadratik?

Apakah kesan perubahan nilai a, b dan c terhadap
graf fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c?

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.org/
graphing/nhxfjgy3

Hasil daripada Rangsangan Minda 7, didapati bahawa;

Nilai a menentukan bentuk graf.

Secara generalisasi,

Bagi graf fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c,
semakin kecil nilai a, semakin lebar lengkok graf fungsi kuadratik dan sebaliknya.

f (x) = a1x2g (x) = a2x2

f (x) = – a1x2

g (x) = – a2x2

a1 < a2 a1 < a2
9

Ransangan Minda 7

(Tambahkan gambar ini selepas langkah 1)

Standard
Pembelajaran

Menyiasat dan membuat
generalisasi tentang kesan
perubahan nilai a, b dan c
terhadap graf fungsi kuadratik,
f (x) = ax2 + bx + c.

ZON INTERAKTIF

Bincangkan kesan terhadap
lengkok graf fungsi
kuadratik apabila a < 0.
Saiz sebenar

12

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Rangsangan Minda 8
Tujuan: Mengenal pasti kesan perubahan nilai b terhadap graf fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c.

Langkah:
1. Gerakkan slider ke kiri dan ke kanan.

2. Perhatikan kedudukan paksi simetri apabila nilai b berubah.

Perbincangan:
Apakah kesan perubahan nilai b terhadap graf fungsi kuadratik?

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.org/
graphing/vpzgvwba

Hasil daripada Rangsangan Minda 8, didapati bahawa;

Nilai b menentukan kedudukan paksi simetri.

Secara generalisasi,

10

Ransangan Minda 8

Imbas QR code untuk

Menjalankan aktiviti

(Tambahkan gambar ini selepas langkah 1)

Pls change the QR code for this Ransangan Minda  8
and the URL is
https://www.geogebra.org/graphing/vpzgvwba

bagi graf fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c
 jika a > 0; b > 0,  maka paksi simetri berada di sebelah kiri paksi-y.
 b < 0,  maka paksi simetri berada di sebelah kanan paksi-y.
 b = 0,  maka paksi simetri ialah paksi-y.

jika a < 0; b > 0, maka paksi simetri berada di sebelah kanan paksi-y.
 b < 0, maka paksi simetri berada di sebelah kiri paksi-y.
 b = 0, maka paksi simetri ialah paksi-y.

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

x

b > 0 b < 0 b = 0

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

x

b > 0 b < 0 b = 0

O
OO

O O
O
Saiz sebenar

13

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Rangsangan Minda 9
Tujuan: Mengenal pasti kesan perubahan nilai c terhadap graf kuadratik f (x) = ax2 + bx + c.

Langkah:
1. Gerakkan slider ke kiri dan ke kanan.

2. Perhatikan kedudukan pintasan-y apabila nilai c berubah.

Perbincangan:
Apakah kesan nilai c ke atas graf fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c?

2Contoh

Fungsi kuadratik f (x) = x2 – 3x + c melalui titik A seperti di bawah. Hitung nilai c bagi setiap kes
yang berikut.
(a)  A(0, 4) (b)  A(–1, 3)

Penyelesaian:
(a) Titik A(0, 4) berada di paksi-y, maka nilai c = 4.
(b) f (x) = x2 – 3x + c
 Gantikan nilai x = –1 dan f (x) = 3 ke dalam fungsi kuadratik,
 3 = (–1)2 – 3(–1) + c
 c = –1

Hasil daripada Rangsangan Minda 9, didapati bahawa;

Nilai c menentukan kedudukan pintasan-y.

Secara generalisasi,

Bagi graf fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c,
nilai c menentukan kedudukan pintasan-y bagi suatu graf fungsi kuadratik.

f (x)

x
c

f (x)

c
x

a < 0  a > 0

TIP

c ialah pintasan-y bagi
graf fungsi kuadratik
f (x) = ax2 + bx + c.

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.org/
graphing/rv7njx84

11

Ransangan Minda 9

(Tambahkan gambar ini selepas langkah 1)

Ransangan Minda 10

(Tambahkan gambar ini selepas langkah 1)

Pintasan-y ialah titik
sesuatu graf memotong
paksi-y.

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

14

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

O

3Contoh

1. Fungsi kuadratik di bawah melalui titik seperti yang dinyatakan. Hitung nilai c bagi setiap kes
yang berikut.

(a) f (x) = x2 + 7x + c, melalui titik (0, 5).

(b) f (x) = 2x2 – 4x + c, melalui titik (2, –3).

(c) f (x) = –2x2 + x + c, pintasan-y = 4.

2. Rajah di sebelah menunjukkan dua graf fungsi kuadratik
y = f (x) dan y = g(x) yang dilukis pada paksi yang sama.
Nyatakan julat nilai p. Berikan justifikasi anda.

3. Rajah di sebelah menunjukkan graf fungsi kuadratik
 f (x) = kx2 + 6x + h. Titik A (3,14) ialah titik maksimum graf

fungsi kuadratik ini.
 (a) Diberi k ialah integer dengan keadaan –2 < k < 2.

Nyatakan nilai k.

(b) Dengan menggunakan nilai k daripada (a), hitung nilai h.

(c) Nyatakan persamaan fungsi kuadratik yang dibentuk
apabila graf dipantulkan pada paksi-x. Berikan jawapan
anda dalam bentuk f (x) = ax2 + bx + c.

Praktis Kendiri 1.1c

Rajah di sebelah menunjukkan dua graf fungsi kuadratik y = f (x)
dan y = g (x) yang dilukis pada paksi yang sama. Nyatakan julat
nilai p. Berikan justifikasi anda.

Penyelesaian:

0 < p < 3.

Oleh sebab bukaan bagi graf g (x) adalah lebih lebar, maka p < 3. Bagi graf bentuk , p > 0.

Oleh itu, 0 < p < 3.

f (x) = 3x2 – 4g(x) = px2 – 4

x

y

f (x) = –px2 + 3
g (x) = – 4x2 + 3

x

y

A (3,14)

f (x)

h

xO

O
Saiz sebenar

15

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

4Contoh

Encik Ganesan merancang untuk membuat dua jenis kad untuk digunakan dalam aktiviti Kelab
Matematik. Ukuran bagi kad-kad tersebut adalah seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.

x cm (2x + 1) cm

x cm
x cm

(a) Bentuk satu ungkapan kuadratik bagi jumlah luas kedua-dua kad ini, L cm2, dalam sebutan x.
(b) Diberi jumlah luas kedua-dua kad ialah 114 cm2, bentuk satu persamaan kuadratik dalam

sebutan x.

Penyelesaian:

(a) L = x2 + x(2x + 1) (b) 3x2 + x = 114
  = x2 + 2x2 + x  3x2 + x – 114 = 0
  = 3x2 + x

Praktis Kendiri 1.1d

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebidang tanah dengan
panjang (x + 20) m dan lebar (x + 5) m.

(a) Bentuk satu fungsi bagi luas, L m2, tanah tersebut.
 (b) Jika luas tanah ialah 250 m2, tulis satu persamaan

kuadratik dalam sebutan x. Berikan jawapan anda
dalam bentuk ax2 + bx + c = 0.

2.  Aiman berumur 4 tahun lebih tua daripada adiknya. Hasil darab umur Aiman dengan umur
adiknya adalah sama dengan umur bapanya. Diberi umur bapanya ialah 48 tahun dan umur adik
Aiman ialah p tahun. Tulis satu persamaan kuadratik dalam sebutan p.

Bagaimanakah anda dapat membentuk persamaan kuadratik
 berdasarkan suatu situasi?

Fungsi kuadratik ditulis dalam bentuk f (x) = ax2 + bx + c manakala
suatu persamaan kuadratik ditulis dalam bentuk am, ax2 + bx + c = 0.

Cuba teka umur saya.
Apabila saya darabkan umur saya dengan

umur saya sendiri, kemudian ditolak dengan
21 kali umur saya, hasilnya ialah 72.

Standard
Pembelajaran

Membentuk fungsi
kuadratik berdasarkan
suatu situasi dan seterusnya
menghubungkaitkannya
dengan  persamaan kuadratik.

(x
 +

5
) m

(x + 20) m
Saiz sebenar

16

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Rangsangan Minda10
Tujuan: Menentukan nilai pemboleh ubah yang memuaskan suatu persamaan kuadratik.

Langkah:
1. Bahagikan kelas kepada dua kumpulan, A dan B.
2. Kumpulan A akan melengkapkan jadual di bawah dengan pengiraan tanpa perisian

geometri dinamik.
3. Kumpulan B akan menjalankan aktiviti dengan menggunakan perisian geometri dinamik.

Masukkan setiap fungsi kuadratik dalam perisian. Bagi setiap graf, tentukan nilai ungkapan
kuadratik bagi setiap nilai x yang diberikan.

4. Lengkapkan jadual di bawah. Seterusnya, kenal pasti nilai-nilai x yang memuaskan
persamaan kuadratik yang diberikan.

Apakah yang anda faham tentang maksud punca suatu
 persamaan kuadratik?
Punca bagi persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 ialah nilai pemboleh
ubah, x, yang memuaskan persamaan tersebut.
Tahukah anda bagaimanakah kita boleh menentukan punca suatu
persamaan kuadratik?

Standard
Pembelajaran

Menerangkan maksud punca
suatu persamaan kuadratik.

ZON INTERAKTIF

Apakah yang dimaksudkan
dengan ''memuaskan sesuatu
persamaan''? Bincangkan.

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.org/
graphing

11

Ransangan Minda 9

(Tambahkan gambar ini selepas langkah 1)

Ransangan Minda 10

(Tambahkan gambar ini selepas langkah 1)

x2 – 3x + 2 = 0

Nilai x Nilai x2 – 3x + 2
0 02 – 3(0) + 2 = 2
1 0
2 0
3 2
4 6

Nilai x ialah 1, 2

x2 – 5x + 4 = 0
Nilai x Nilai x2 – 5x + 4

0
1
2
3
4

Nilai x ialah

x2 – 2x + 1 = 0
Nilai x Nilai x2 – 2x + 1

–2
–1
0
1
2

Nilai x ialah

x2 – 4x + 5 = 2
Nilai x Nilai x2 – 4x + 5

0
1
2
3
4

Nilai x ialah

x2 + 2x – 2 = 1
Nilai x Nilai x2 + 2x – 2

–3
–2
–1
0
1

Nilai x ialah

x2 + x – 2 = 0
Nilai x Nilai x2 + x – 2

–2
–1
0
1
2

Nilai x ialah
Saiz sebenar

17

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Rangsangan Minda 11

Tujuan: Meneroka kedudukan punca suatu persamaan kuadratik pada graf fungsi kuadratik.

Langkah:
1. Gerakkan slider untuk melihat perubahan koordinat-x dan koordinat-y pada graf.
2. Punca persamaan kuadratik x2 – x – 6 = 0 boleh ditentukan apabila y = 0. Gerakkan slider

ke kiri dan ke kanan. Perhatikan koordinat A.

3. Tentukan kedudukan titik A apabila y ialah 0.
4. Tandakan titik berkenaan pada rajah di atas.

Perbincangan:
Apakah yang anda perhatikan tentang kedudukan punca suatu persamaan kuadratik pada graf
fungsi kuadratik?

Apakah kaitan antara punca suatu persamaan kuadratik dengan kedudukan
punca-punca berkenaan?

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.org/
graphing/bykrknjx

Hasil daripada Rangsangan Minda 10, didapati bahawa;

(a) Terdapat satu atau dua nilai pemboleh ubah yang memuaskan suatu persamaan kuadratik.

(b) Nilai-nilai pemboleh ubah yang memuaskan suatu persamaan kuadratik dikenali sebagai
punca bagi persamaan kuadratik tersebut.

Perbincangan:
Bagaimanakah anda dapat menentukan nilai pemboleh ubah yang memuaskan suatu persamaan
kuadratik?
Saiz sebenar

18

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Bagi setiap graf fungsi kuadratik di bawah, tandakan dan nyatakan punca bagi persamaan kuadratik
yang diberikan.

(a)  2x2 + 5x – 12 = 0 (b)  –x2 + 3x + 4 = 0

5Contoh

O–1 1 2 3 4

6

4

2

–2

x

f (x)

O–4 –3 –2 –1 1 2

5

–5

–10

–15

f (x)

x

Penyelesaian:

(a)  2x2 + 5x – 12 = 0 (b)  –x2 + 3x + 4 = 0

O–4 –3 –2 –1 1 2

5

–5

–10

–15

f (x)

x

Hasil daripada Rangsangan Minda 11, didapati bahawa;

Punca bagi suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 merupakan titik persilangan antara
graf fungsi kuadratik f (x) = ax2 + bx + c berkenaan dengan paksi-x dan juga dikenali
sebagai pintasan-x.

a > 0                                                            a < 0

x
puncapunca ×× x

puncapunca
××

Punca ialah –4 dan 1.5 Punca ialah  –1 dan 4

f (x) f (x)

O–1 1 2 3 4

6

4

2

–2

x

f (x)

x = 4 x = –1

x = 1.5 x = –4

oo
Saiz sebenar

19

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Tentukan sama ada setiap nilai berikut merupakan punca bagi persamaan kuadratik yang diberikan
atau bukan.

(a)  2x2 – 7x + 3 = 0; x = 1, x = 3 (b)  3x2 – 7x + 5 = 3; x = 1, x = 13

Penyelesaian:

(a)  2x2 – 7x + 3 = 0
 Apabila x = 1,
 Kiri:  Kanan:
 2x2 – 7x + 3 = 2(1)2 – 7(1) + 3 0
  = 2 – 7 + 3
  = –2
 Maka, x = 1 bukan punca bagi persamaan 2x2 – 7x + 3 = 0.

Apabila x = 3,
 Kiri:  Kanan:
 2x2 – 7x + 3 = 2(3)2 – 7(3) + 3 0
  = 18 – 21 + 3
  = 0
 Maka, x = 3 ialah punca bagi persamaan 2x2 – 7x + 3 = 0.

(b)  3x2 – 7x + 5 = 3
 Apabila x = 1,
 Kiri:  Kanan:
 3x2 – 7x + 5 = 3(1)2 – 7(1) + 5 3
  = 3 – 7 + 5
  = 1
 Maka, x = 1 bukan punca bagi persamaan 3x2 – 7x + 5 = 3.

 Apabila x = 13,

Kiri: Kanan:
 3x2 – 7x + 5 = 3(13)2 – 7(13) + 5 3

= 1
3

– 73 + 5

= 3

Maka, x = 13 ialah punca bagi persamaan 3x2 – 7x + 5 = 3.

6Contoh

Semak Jawapan

1. Tekan 2 , Alpha ,

X , x2 , – , 7 ,

Alpha , X , + , 3

2. Tekan CALC

Paparan x?

0.

3. Tekan 1  =
 Paparan 2x2 – 7x + 3

–2.

4. Tekan CALC
 Paparan x?

1.

5. Tekan 3  =
 Paparan 2x2 – 7x + 3

0.

tidak sama

tidak sama

sama

sama

Punca suatu persamaan
kuadratik ialah nilai
x yang memuaskan
persamaan tersebut.

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

20

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

1. Bagi setiap graf fungsi kuadratik di bawah, nyatakan punca-punca bagi persamaan kuadratik
yang diberikan.

(a)  3x2 – 5x – 2 = 0 (b)  –x2 + x + 20 = 0

2. Bagi setiap yang berikut, tentukan sama ada setiap nilai berikut merupakan punca bagi
persamaan kuadratik yang diberikan atau bukan.

(a) x2 – 5x + 6 = 0; x = 3, x = 2 (b) 2x2 – x – 1 = 0; x = 1, x = 12
 (c) 3x2 – 5x – 2 = 0; x = – 13, x = –2 (d) 3x2 + 4x + 2 = 6; x = 2, x = 23

3. Bagi setiap yang berikut, tentukan sama ada setiap nilai berikut merupakan punca bagi
persamaan kuadratik yang diberikan.

(a) (x – 1)(x + 4) = 0; x = – 4, x = 2, x = 1

(b) 2(x – 3)(x – 5) = 0; x = –3, x = 3, x = 5

(c) 3(2 + x)(x – 4) = 0; x = –2, x = 2, x = 4

4. Bagi graf fungsi kuadratik di sebelah, tentukan sama ada
nilai x yang diberikan merupakan punca bagi persamaan
kuadratik f (x) = 0.

(a) x = 1
 (b) x = –3
 (c) x = 15
 (d) x = 5

Praktis Kendiri 1.1e

(1, 16)

f (x)

15

x
5

20

10

–10

–4 –2 2 4 6O x

f (x)

O  –0.5 0.5 1 1.5 2

6

4

2

–2

–4

f (x)

x

O–3
Saiz sebenar

21

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Bagaimanakah anda menentukan punca suatu
persamaan kuadratik dengan kaedah pemfaktoran?

Kaedah pemfaktoran ialah salah satu cara untuk menentukan
punca bagi sesuatu persamaan.

Setiap persamaan kuadratik perlu ditulis dalam bentuk ax2 + bx + c = 0
sebelum melakukan pemfaktoran.

Tentukan punca persamaan kuadratik berikut dengan
kaedah pemfaktoran.
(a) x2 – 5x + 6 = 0

(b) x2 + 72x = 2

(c) x
2  =

5x – 24
x – 4

(d) (y + 2) (y + 1) = 2 (y + 11)

Penyelesaian:

(a) x2 – 5x + 6 = 0
 (x – 3)(x – 2) = 0
 x = 3 atau  x = 2

(b) x2 +  72 x = 2

2x2 + 7x = 4
 2x2 + 7x – 4 = 0
 (2x – 1) (x + 4) = 0
 x = 12 atau x = – 4

(c) x
2  =

5x – 24
x – 4

x (x – 4) = 2 (5x – 24)
 x2 – 4x = 10x – 48
 x2 – 14x + 48 = 0
 (x – 8) (x – 6) = 0
 x = 8 atau x = 6

(d) (y + 2) (y + 1) = 2 (y + 11)
 y2 + 3y + 2 = 2y + 22
 y2 + y – 20 = 0
 (y + 5) (y – 4) = 0
 y = –5 atau y = 4

7Contoh

Semak Jawapan
Langkah-langkah untuk
menyelesaikan x2 – 5x + 6 = 0.
1. Tekan kekunci  mode  3

kali sehingga mendapat
paparan seperti berikut.

EQN     MAT     VCT
   1         2          3

2. Tekan  1  untuk memilih
  EQN  , iaitu persamaan.

3. Pada paparan
   unknowns?   2   3
 tekan

4. Pada paparan
   Degree?   2   3
 tekan  2 , iaitu kuasa dua.

5. Pada paparan a?
Masukkan nilai 1,
kemudian tekan  =

6. Pada paparan b?
Masukkan nilai –5,
kemudian tekan  =

7. Pada paparan c?
Masukkan nilai 6,
kemudian tekan  =

8. x1 = 3 akan dipaparkan,
tekan  =

9. x2 = 2 akan dipaparkan.

Standard
Pembelajaran

Menentukan punca suatu
persamaan kuadratik dengan
kaedah pemfaktoran.

ZON INFORMASI

Persamaan kuadratik
juga boleh diselesaikan
dengan menggunakan
•  Kaedah penyempurnaan

kuasa dua.
•  Kaedah rumus
        –b ± √b2 – 4ac x = ——————
              2a

2x2 + 5x – 3
= (2x – 1)(x + 3)

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

22

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Rangsangan Minda12
Tujuan: Menentukan punca suatu persamaan kuadratik pada graf fungsi kuadratik dengan
menggunakan perisian geometri dinamik.

Langkah:
1. Masuk persamaan kuadratik satu demi satu dalam perisian geometri dinamik.

13

Ransangan Minda 12

Please change the QR code and the link

https://www.geogebra.org/graphing

(Tambahkan gambar ini selepas langkah 1)

Please change Praktis Kendiri

Praktis Kendiri 1.1.1a tukar kepada Praktis Kendiri 1.1a

Praktis Kendiri 1.1.2a tukar kepada Praktis Kendiri 1.1b

Praktis Kendiri 1.1.3a tukar kepada Praktis Kendiri 1.1c

Praktis Kendiri 1.1.4a tukar kepada Praktis Kendiri 1.1d

Praktis Kendiri 1.1.5a tukar kepada Praktis Kendiri 1.1e

Praktis Kendiri 1.1.6a tukar kepada Praktis Kendiri 1.1f

Praktis Kendiri 1.1.7a tukar kepada Praktis Kendiri 1.1g

Praktis Kendiri 1.1.8a tukar kepada Praktis Kendiri 1.1h

2. Tentukan punca persamaan kuadratik dan lengkapkan jadual berikut.

Lembaran Aktiviti:

Persamaan Kuadratik Punca
(a) x2 – 9x + 18 = 0 x = 3, x = 6
(b) 4x2 + 4x – 3 = 0
(c)  –x2 + 9x – 20 = 0
(d)  –4x2 – 11x + 3 = 0

Perbincangan:
Bagaimanakah anda dapat menentukan punca bagi suatu persamaan kuadratik melalui
kaedah graf?

Hasil daripada Rangsangan Minda 12, didapati bahawa;

Punca bagi suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 dapat diperoleh dengan kaedah
graf dengan membaca nilai-nilai x yang merupakan titik persilangan antara graf fungsi
kuadratik f (x) = ax2 + bx + c dengan paksi-x.

f (x)

x
puncapunca ×× x

puncapunca
××

TIP
Punca suatu
persamaan kuadratik
ax2 + bx + c = 0
ialah nilai x yang
memuaskan persamaan
kuadratik.

f (x)

Bagaimanakah anda menentukan punca persamaan kuadratik dengan kaedah graf?

OO

a < 0 a > 0

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.org/
graphing
Saiz sebenar

23

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Praktis Kendiri 1.1f

1. Tentukan punca bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut dengan kaedah pemfaktoran.

(a) x2 – 3x – 10 = 0 (b) x2 – 10x + 16 = 0 (c) 3x2 – 5x + 2 = 0

(d) 2x2 + 8x – 24 = 0 (e) 2x2 + 3x – 9 = 0 (f) 4x2 – 3x – 10 = 0

(g) –3x2 – x + 14 = 0 (h) x2 – 5x = 0  (i) x2 – 4 = 0

2. Tulis setiap persamaan kuadratik yang berikut dalam bentuk am. Seterusnya selesaikan
persamaan kuadratik tersebut.

(a) m(m + 2) = 3 (b) 3p(11 – 2p) = 15  (c) 1
2 y2 = 12 – y

(d) a + 5a = 6  (e) 8
k = 2 + k (f) 2h + 6h = 7

(g) (h – 2)(h – 1) = 12 (h) (2x – 1)2  = 3x – 2  (i) (r + 1)(r + 9) = 16r

Kes 1

Graf fungsi kuadratik bersilang pada paksi-x.

8Contoh

Lakar setiap graf fungsi kuadratik yang berikut.

(a) f (x) = x2 – 4x + 3
(b) f (x) = x2 – 6x + 9
(c) f (x) = –x2 + 2x + 15
(d) f (x) = –2x2  + 18

Bagaimanakah anda melakar graf fungsi kuadratik?

Ciri-ciri graf yang perlu ditunjukkan semasa melakar graf
fungsi  kuadratik adalah seperti yang berikut.
 1 Bentuk graf yang betul.
 2 Pintasan-y.
 3 Pintasan-x atau satu titik yang dilalui oleh graf tersebut.

Standard
Pembelajaran

Melakar graf fungsi kuadratik.

f (x) = x2 – 4x + 3
a = 1, b = – 4, c = 3

MEMORI SAYA

Pemalar c bagi suatu
fungsi kuadratik
merupakan pintasan-y
graf fungsi kuadratik
tersebut.

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

24

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

f (x)

O 1              3

3

x

f (x)

O 3

9

x

f (x)

O 5

15

x
–3

Penyelesaian:

(a) f (x) = x2 – 4x + 3

Nilai a = 1 > 0, bentuk

Nilai c = 3, pintasan-y = 3

Apabila f (x) = 0, x2 – 4x + 3 = 0

(x – 3)(x – 1) = 0

x = 1 atau x = 3

(b) f (x) = x2 – 6x + 9

Nilai a = 1 > 0, bentuk

Nilai c = 9, pintasan-y = 9

Apabila f (x) = 0, x2 – 6x + 9 = 0

(x – 3)(x – 3) = 0

x = 3

(c) f (x) = –x2 + 2x + 15

Nilai a = –1 < 0, bentuk

Nilai c = 15, pintasan-y = 15

Apabila f (x) = 0, –x2 + 2x + 15 = 0

x2 – 2x – 15 = 0

(x – 5)(x + 3) = 0
  x = –3 atau x = 5

(d) f (x) = –2x2 + 18

Nilai a = –2 < 0, bentuk

Nilai b = 0, paksi simetri ialah paksi-y

Nilai c = 18, pintasan-y = 18

Apabila f (x) = 0, –2x2 + 18 = 0

x2 – 9 = 0

(x + 3) (x – 3) = 0
  x = –3, x = 3

f (x)

O 3

18

x
–3
Saiz sebenar

25

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

f (x)

O 2

5

x
1

(2, 5)

f (x)

O
1

–3
– 4

x

(1, – 4)

Kes 2

Graf fungsi kuadratik tidak bersilang dengan paksi-x.

9Contoh

Lakar setiap graf fungsi kuadratik yang berikut.

(a) f (x) = x2 + 1

(b) f (x) = –x2 – 3

Penyelesaian:

(a) f (x) = x2 + 1

Nilai a = 1 > 0, bentuk

Nilai b = 0, paksi simetri ialah paksi-y
 Nilai c = 1, pintasan-y ialah 1
  maka titik minimum ialah (0, 1)
 Apabila x = 2, f (2) = 22 + 1
                 = 5

(b)  f (x) = –x2 – 3

Nilai a = –1 < 0, bentuk

Nilai b = 0, paksi simetri ialah paksi-y
 Nilai c = –3, pintasan-y ialah –3
  maka titik maksimum ialah (0, –3)
 Apabila x = 1, f (1) = –(1)2 – 3
                 = – 4

Praktis Kendiri 1.1g

1. Lakar setiap graf fungsi kuadratik yang berikut.
 (a) f (x) = 2x2 + 2x – 24
 (b) f (x) = x2 – 8x + 16
 (c) f (x) = –2x2 + 2x + 40
 (d) f (x) = –2x2 + 8

2. Lakar setiap graf fungsi kuadratik yang berikut.
 (a) f (x) = x2 + 5
 (b) f (x) = 2x2 + 1
 (c) f (x) = –x2 + 2

(a) f (x) = x2 + 1
 a = 1, b = 0, c = 1
(b) f (x) = –x2 – 3
 a = –1, b = 0, c = –3

MEMORI SAYA

Jika nilai pekali, b = 0
bagi suatu fungsi
kuadratik, maka paksi-y
ialah paksi simetri graf
fungsi kuadratik tersebut.

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

26

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
 melibatkan persamaan kuadratik?

10Contoh

Joseph ingin membuat rangka sebuah kotak berbentuk kuboid dengan menggunakan rod kayu. Harga
rod kayu ialah RM5 per meter. Tapak kuboid tersebut berbentuk segi empat sama. Tinggi kuboid ialah
30 cm lebih daripada panjang tapak. Jumlah luas permukaan kotak ini ialah 4 800 cm2. Bajet Joseph
untuk membina rangka sebuah kotak ialah RM15. Tentukan sama ada Joseph mempunyai bajet
yang mencukupi atau tidak.

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah yang
melibatkan persamaan kuadratik.

Panjang tapak = x cm
Tinggi kuboid = (x + 30) cm
Jumlah luas permukaan = 4800 cm2

Bajet = RM15 sebuah kotak

Memahami masalah Merancang strategi

• Tentukan ungkapan luas permukaan kuboid.
• Bentuk persamaan kuadratik.
• Selesaikan persamaan kuadratik berkenaan.
• Tentukan ukuran kotak dan bajet.

Kesimpulan

Joseph tidak mempunyai bajet yang mencukupi untuk membina rangka kotak ini.

Melaksanakan strategi

Jumlah luas permukaan = 2(x)(x) + 4(x)(x + 30)
 = 2x2 + 4x2 + 120x
 = 6x2 + 120x

6x2 + 120x = 4 800
 6x2 + 120x – 4 800 = 0
 x2 + 20x – 800 = 0
 (x + 40)(x – 20) = 0
 x = –40 atau x = 20
x = –40 tidak diterima, maka x = 20 cm

Ukuran kotak ialah 20 cm × 20 cm × 50 cm
Panjang sisi kotak = 8 × 20 cm + 4 × 50 cm
 = 160 cm + 200 cm
 = 360 cm
 = 3.6 m

Bajet = RM5 × 3.6
 = RM18

Penyelesaian:

Semak Jawapan

Apabila x = 20
Luas = 6(20)2 + 120(20)
     = 2 400 + 2 400
     = 4 800

(x
 +

3
0)

c
m

x cm

ZON INFORMASI

Ukuran panjang tidak boleh
bernilai negatif.
Saiz sebenar

27

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

1. Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut merupakan ungkapan kuadratik dalam satu
pemboleh ubah atau bukan.

(a) p2 – 4p + 1  (b) 1
2

y2 – 4y + 9   (c) 1
3

– 2b + a2

(d) –m + 1  (e) b2 + 2   (f) a2 + 2a + 1

3

2. Nyatakan persamaan paksi simetri bagi setiap graf fungsi kuadratik di bawah.
 (a)   (b)

3. Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut.
 (a) 4x2 – 1 = 0 (b) x2 – 81 = 0  (c) y2 – 4y = 0
 (d) x2 + 3x + 2 = 0  (e) 2x2 – x – 10 = 0   (f) (x – 2)2 = 16
 (g) m2 + 3m – 4 = 0  (h) 2p2 – 13p + 20 = 0   (i) (k – 4)(k – 1) = 18

(j) h –1
3  = 1

h + 1 (k) 2(x – 2)2 = 5x – 7

4. Diberi salah satu punca bagi persamaan kuadratik x2 + px – 18 = 0 ialah 2. Hitung
nilai p.

5. Tunjukkan bahawa persamaan kuadratik (m – 6)2 = 12 – 2m boleh ditulis sebagai
m2 – 10m + 24 = 0. Seterusnya selesaikan persamaan (m – 6)2 = 12 – 2m.

f (x)

O
x

(7, 4)(–1, 4)

f (x)

O–2
x

6

Praktis Kendiri 1.1h

1. Sebuah padang yang berbentuk segi empat tepat perlu
dipagar dengan dawai pagar. Panjang padang ini ialah
(5x + 20) m dan lebarnya ialah x m.

(a) Ungkapkan luas padang ini, L m2, dalam sebutan x.
 (b) Diberi luas padang ialah 5 100 m2, hitung kos

memagar padang ini jika kos dawai pagar tersebut
ialah RM20 per meter.

2. Encik Kamarul memandu keretanya dengan laju purata (20t – 20) km j–1 selama (t – 3) jam
di lebuh raya. Jarak yang dilalui oleh Encik Kamarul ialah 225 km. Had laju bagi lebuh raya
berkenaan ialah 110 km j–1. Adakah Encik Kamarul mematuhi peraturan had laju lebuh raya?

(5x + 20) m

x m
Saiz sebenar

28

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

6. Tentukan koordinat titik minimum bagi fungsi kuadratik f (x) = x2 – 6x + 5.

7. Diberi x = 4 ialah paksi simetri bagi fungsi kuadratik f  (x) = 7 + 8x – x2. Tentukan koordinat titik
maksimum bagi fungsi kuadratik ini.

8. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada
graf fungsi kuadratik f (x) = –x2 + 6x – 5. Garis lurus
AB adalah selari dengan paksi-x. Tentukan

(a) koordinat titik A,
 (b) persamaan paksi simetri,
 (c) koordinat titik B,
 (d) koordinat titik maksimum P.

9. Rajah di sebelah menunjukkan graf bagi fungsi kuadratik
f (x) = ax2 + 8x + c. Hitung nilai bagi setiap yang berikut.

(a) c,
 (b) m,
 (c) a,
 (d) n.

10. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf bagi
fungsi kuadratik f (x) = a(x – h)(x – k) dengan keadaan h < k. Titik
P ialah titik minimum bagi graf fungsi kuadratik tersebut.

(a) Hitung nilai
  (i) h,                  (ii) k, (iii) a.
 (b) Tentukan persamaan paksi simetri.
 (c) Nyatakan koordinat titik P.

11. Panjang bagi suatu segi empat tepat ialah (x + 1) cm dan lebarnya ialah 5 cm kurang
daripada panjangnya.

(a) Ungkapkan luas segi empat, L cm2, dalam sebutan x.
 (b) Diberi luas segi empat tepat ialah 24 cm2, hitungkan panjang dan lebar segi empat tersebut.

12. Rajah 1 menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki dengan panjang tapak 4y cm dan tinggi
(y + 5) cm. Rajah 2 menunjukkan sebuah segi empat sama dengan panjang sisi y cm.

Diberi luas segi tiga melebihi luas segi empat sama sebanyak 39 cm2. Hitung beza perimeter
bagi kedua-dua rajah itu.

y cm
(y + 5) cm

4y cm

Rajah 1    Rajah 2

f (x)

x

(m, n)
–1–3

6

f (x)

x

P
51

15

f (x)

O

A

x

B

P

O

O
Saiz sebenar

29

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

P R O J E K

Gunakan kreativiti anda untuk membina bentuk-bentuk yang berbeza berdasarkan contoh
yang telah disediakan seperti di bawah. Paparkan hasil kerja anda di Sudut Matematik.
Bahan:
1. Kertas graf/kertas putih.
2. Jangka sudut, jangka lukis.
3. Pen berwarna.

13. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah taman bunga
yang berbentuk segi empat tepat ABCD. Diberi E dan F
ialah dua titik pada CD dan AD masing-masing dengan

CE = DF = x m. Panjang AF = 12 m dan DE = 15 m.
 (a) Bentuk satu ungkapan bagi luas segi empat

tepat ini, L m2, dalam sebutan x.
 (b) Diberi luas segi empat tepat ialah 460 m2.

Hitung nilai x.
 (c) Aiman ingin membina satu laluan kecil yang

lurus dari titik E ke titik F dengan jubin yang
berharga RM50 per meter. Aiman mempunyai
bajet sebanyak RM1 000, tentukan sama ada
Aiman mempunyai bajet yang mencukupi untuk
membina laluan tersebut.

14. Persatuan Sejarah SMK Seri Jaya telah melukis dua buah mural yang berbentuk segi empat
tepat bersempena dengan Hari Kemerdekaan Malaysia.

(a) Ungkapkan beza luas antara kedua-dua buah mural, L m2, dalam sebutan x.
 (b) Diberi beza luas antara dua buah mural tersebut ialah 10 m2, hitung nilai x.
 (c) Hitung perimeter bagi mural yang lebih kecil.

15 m

12 m x m

x m

A D

B C

F

E

(2x – 1) m

(x – 1) m

(3x + 1) m

(x – 3) m
Saiz sebenar

30

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

PETA KONSEP

Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

(a)  Kuasa tertinggi ialah 2
(b) Melibatkan satu
 pemboleh ubah

Bentuk am ax2 + bx + c
a, b dan c

ialah pemalar, a ≠ 0

paksi simetri
b = 0

paksi simetri
b > 0

x

Bentuk am
f (x) = ax2 + bx + c

Bentuk graf, a < 0Bentuk graf, a > 0

pintasan-y

c

f (x)

x

paksi simetri
b < 0

f (x)

paksi simetri
b = 0

paksi simetri
b < 0

x

paksi simetri
b > 0 f (x)

x

Punca bagi suatu persamaan
kuadratik ialah nilai pemboleh

ubah yang memuaskan
persamaan tersebut

Bentuk am
ax2 + bx + c = 0

Punca bagi suatu persamaan
kuadratik boleh ditentukan melalui
               (a) pemfaktoran
               (b) kaedah graf

f (x)

x

x

x

punca

a > 0

x

a < 0

x
puncapuncapunca punca

x

pintasan-y

c

f (x) f (x)

f (x)f (x)

f (x)

f (x)

Ungkapan Kuadratik

Persamaan Kuadratik

Fungsi Kuadratik

O O
O

O

O
O

O

O O

O
Saiz sebenar

31

1
B

A
B

Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Bentuk graf fungsi kuadratik ialah salah satu bentuk graf yang paling biasa dijumpai dalam
kehidupan seharian kita. Perhatikan gambar-gambar yang berikut.

Gunakan kreativiti anda untuk melukis satu binaan berbentuk kuadratik.

6.

1.

4.

3.

5.

Melintang
2. Bentuk graf fungsi kuadratik.
3. Titik tertinggi bagi suatu graf fungsi

kuadratik.
4. Titik terendah bagi suatu graf fungsi

kuadratik.
5. Fungsi yang mempunyai kuasa

tertingginya ialah dua.

Menegak
1. Paksi mencancang yang melalui titik

maksimum atau titik minimum suatu
graf fungsi kuadratik.

2. Kaedah untuk menentukan punca
suatu persamaan kuadratik.

6. Nilai pemboleh ubah yang memuaskan
suatu persamaan kuadratik.

 Eksplorasi Matematik

2.
Saiz sebenar

32

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Asas Nombor

BAB

2
►   Asas Nombor

Malaysia menjadi tumpuan utama bagi pelbagai perkembangan
teknologi yang mampu mengubah gaya hidup rakyat pada

abad ke-21. Perkembangan dalam teknologi membolehkan rakyat
Malaysia menikmati kadar muat turun yang pantas, teknologi
hologram dalam bidang pendidikan, perubatan, perindustrian,
pembuatan kereta swapandu dan sebagainya. Masyarakat yang
berkemahiran dalam teknologi maklumat dan telekomunikasi
perlu mahir dengan asas nombor yang menjadi tunjang kepada
segala teknologi.

Tahukah anda kaitan antara asas nombor dengan teknologi?

Asas nombor ialah kunci untuk segala pengiraan dalam kehidupan
harian. Antara bidang yang boleh diceburi ialah Sains Komputer
dan bidang-bidang lain yang menggunakan teknologi maklumat
sebagai asas penyelidikan dan pembangunan (Research and
Development) seperti bioteknologi, teknologi reka bentuk, reka
bentuk aeroangkasa, farmasi dan sebagainya.

32

Anda akan mempelajari

Maslahat Bab
Saiz sebenar

33

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

33

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA
• asas nombor  • number base
• binari • binary
• indeks • index
• nilai tempat • place value
• nilai digit • digit value
• sistem nombor • number system

Imbasan Silam

Brahmagupta
(598 M-668 M)

Brahmagupta seorang ahli astronomi yang berasal
dari negeri Rajasthan di barat laut India. Beliau telah
memperkenalkan digit 0 kepada sistem nombor
yang menjadi asas kepada segala asas nombor yang
digunakan pada masa dahulu dan kini.

http://yakin-pelajar.com/Brahma/2.pdf
Saiz sebenar

34

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

2.1 Asas Nombor

Bagaimanakah anda mewakilkan dan menjelaskan nombor
 dalam pelbagai asas dari segi angka, nilai tempat, nilai digit
 dan nilai nombor berdasarkan proses pengumpulan?
Asas nombor ialah sistem nombor yang merangkumi digit 0 hingga 9.
Sistem nombor terdiri daripada pelbagai asas nombor. Asas sepuluh
atau decimal merupakan asas yang digunakan secara meluas dalam
kehidupan seharian.

Jadual menunjukkan digit yang digunakan dalam asas dua hingga asas sepuluh.

Asas nombor seperti
asas 2, asas 8, asas 10
dan asas 16 antara asas
nombor yang digunakan
dalam sains komputer.

Tahukah anda
asas nombor apakah

yang digunakan dalam
sains komputer?

Standard
Pembelajaran

Mewakilkan dan menjelaskan
nombor dalam pelbagai
asas dari segi angka,
nilai tempat, nilai digit dan
nilai nombor berdasarkan
proses pengumpulan.

ZON INFORMASI

Digit bermaksud
simbol yang digunakan
atau digabungkan
untuk membentuk
nombor dalam sistem
penomboran. 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
ialah sepuluh digit
dalam sistem nombor.
Contohnya 2145
mempunyai 4 digit.

Asas nombor Digit

Asas 2 0, 1

Asas 3 0, 1, 2

Asas 4 0, 1, 2, 3

Asas 5 0, 1, 2, 3, 4

Asas 6 0, 1, 2, 3, 4, 5

Asas 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Asas 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Asas 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Asas 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Saiz sebenar

35

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

TIP

Setiap asas mempunyai
digit 0 hingga digit yang
kurang daripada
asasnya. Contohnya,
asas dua hanya
mempunyai digit 0 dan 1.

Asas nombor

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nombor

10012

12013

2134

3425

45106

4637

4728

3859

289310

102

213

234

415

356

647

178

789

6910

Berikan dua contoh nombor yang mewakili nombor asas dua hingga nombor asas sepuluh.

Penyelesaian:

1Contoh

ZON INFORMASI

325
dibaca sebagai

"Tiga dua asas lima"

nombor
asas

Apakah nilai tempat yang terlibat dalam nombor asas dua
hingga nombor asas sepuluh?
Setiap asas mempunyai nilai tempat mengikut asas masing-masing.
Nilai tempat suatu asas ialah pendaraban berulang asas tersebut.
Katakan a ialah asas, maka nilai tempat asas tersebut bermula dengan
a0, a1, a2, ... an  seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.

Asas nombor

Asas 2

Asas 3

Asas 4

Asas 5

Asas 6

Asas 7

Asas 8

Asas 9

Asas 10

Nilai tempat

a7

128

2187

16384

78125

279936

823543

2097152

4782969

10000000

an

2n

3n

4n

5n

6n

7n

8n

9n

10n

a1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

a2

4

9

16

25

36

49

64

81

100

a6

64

729

4096

15625

46656

117649

262144

531441

1000000

a5

32

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

100000

a4

16

81

256

625

1296

2401

4096

6561

10000

a3

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

MEMORI SAYA

a - asas
n - kuasa
a4 = a × a × a × a

an
Saiz sebenar

36

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Nyatakan nilai tempat bagi setiap digit dalam nombor di bawah.
(a) 62318 (b) 1111012

Penyelesaian:

(a)

(b)

2Contoh

Bagaimanakah anda menyatakan nilai digit bagi suatu
nombor dalam pelbagai asas?
Nilai digit dalam suatu nombor ialah pendaraban digit dengan nilai
tempat yang mewakili digit tersebut.

Kaedah pendaraban digit dengan
nilai tempat Kaedah penggunaan blok sebagai nilai digit

2
33

0
32

1
31

2
30

54

Nombor
Nilai tempat

Nilai digit

20123

2 × 33 = 54

20123

2
82

3
81

1
80

6
83

Nombor asas 8
Nilai tempat

1
25

1
24

1
23

1
22

0
21

1
20

Nombor asas 2
Nilai tempat

Konrad Zuse (1910-1995)
merupakan pencipta dan
perintis komputer moden
dari Jerman. Beliau
pengasas kepada komputer
yang boleh diprogramkan.
Zuse telah merancang
bahasa pengaturcaraan di
peringkat tinggi yang dikenali
sebagai Plankalkuel.

Imbasan Silam

4432544325

4 × 53 = 500

4
53

4
52

3
51

2
50

500

Nombor
Nilai tempat

Nilai digit

1 × 21 = 2

10102 1
23

0
22

1
21

0
20

2

Nombor
Nilai tempat

Nilai digit

10102

1
23

0
22

1
21

0
20

Nombor
Nilai tempat

2
33

0
32

1
31

2
30

Nombor
Nilai tempat

4
53

4
52

3
51

2
50

Nombor
Nilai tempat
Saiz sebenar

37

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Nyatakan nilai digit yang bergaris bagi setiap nombor berikut.
(a) 50379 (b) 35016

Penyelesaian:
(a) 50379   (b) 35016

5 × 93 = 3645 5 × 62 = 180

3Contoh

Kaedah pendaraban digit dengan
nilai tempat Kaedah penggunaan blok sebagai nilai digit

2 × 82 = 128

2718 2
82

7
81

1
80

128

Nombor
Nilai tempat

Nilai digit

2718

Bagaimanakah anda menyatakan nilai nombor bagi suatu nombor dalam
pelbagai asas?

Nilai nombor dalam pelbagai asas boleh ditentukan dengan menghitung
hasil tambah nilai digit nombor tersebut.

(a) Menentukan nilai nombor bagi nombor dalam asas dua.

Proses Pengumpulan

Indikator
Asas dua hanya
mempunyai digit 0 dan 1
dalam nombornya.

(1 × 24) + (1 × 23) + (0 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20)
= 16 + 8 + 0 + 0 + 1
= 2510

Nombor

Nilai tempat

Nilai nombor

1

24

1

23

0

22

0

21

1

20

2
82

7
81

1
80

Nombor
Nilai tempat

5
93

0
92

3
91

7
90

Nombor
Nilai tempat

3
63

5
62

0
61

1
60

Nombor
Nilai tempat
Saiz sebenar

38

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Penambahan nilai digit menggunakan blok

Nombor 1 1 0 0 1

Nilai tempat 24  23  22 21  20

Nilai digit

Nilai nombor 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 2510

(b) Menentukan nilai nombor bagi nombor dalam asas tiga.
Proses pengumpulan

Nombor 1 2 0 2 1

Nilai tempat 34 33 32 31 30

Nilai nombor
(1 × 34) + (2 × 33) + (0 × 32) + (2 × 31) + (1 × 30)
= 81 + 54 + 0 + 6 + 1
= 14210

Penambahan nilai digit menggunakan blok

Nombor 1 2 0 2 1

Nilai tempat 34  33 32 31  30

Nilai digit

Nilai nombor 81 + 54 + 0 + 6 + 1 = 14210

(c) Menentukan nilai nombor bagi nombor dalam asas empat.
Proses pengumpulan

Nombor 3 0 2 1

Nilai tempat 43 42 41 40

Nilai nombor
(3 × 43) + (0 × 42) + (2 × 41) + (1 × 40)
= 192 + 0 + 8 + 1
= 20110

ZON INFORMASI

Penulisan tanda
asas untuk nombor
asas 10 bersifat
pilihan, iaitu boleh
ditulis dan sebaliknya.

ZON INTERAKTIF

Adakah nilai 2438
sama dengan 2435?
Bincangkan.
Saiz sebenar

39

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Semak Jawapan

1.  Tekan kekunci MODE
2 kali sehingga mendapat
paparan SD

1
REG

2
BASE

3
.

2.  Tekan 3  untuk memilih

BASE .

3. Tekan OCT .
4.  Tekan 1506 kemudian

tekan = .

5.  Tekan DEC , jawapan
838  dipaparkan.

ZON INTERAKTIF

Apakah akan berlaku
jika nombor lebih
daripada asas sepuluh
digunakan? Bincangkan.

Celik Minda

Nyatakan dua nombor
berlainan asas yang
mempunyai nilai
yang sama.

Penambahan nilai digit menggunakan blok

Nombor 3 0 2 1

Nilai tempat 43  42  41 40

Nilai digit

Nilai nombor 192 + 0 + 8 + 1 = 20110

4Contoh

Tentukan nilai nombor bagi yang berikut.
(a) 3405                      (b)   3417                           (c)   15068

Penyelesaian:

(a) 3405

Nombor 3 4 0

Nilai tempat 52 51 50

Nilai nombor
(3 × 52) + (4 × 51) + (0 × 50)
= 75 + 20 + 0
= 9510

(b) 3417

Nombor 3 4 1

Nilai tempat 72 71 70

Nilai nombor
(3 × 72) + (4 × 71) + (1 × 70)
= 147 + 28 + 1
= 17610

(c) 15068

Nombor 1 5 0 6
Nilai tempat 83 82 81 80

Nilai nombor
(1 × 83) + (5 × 82) + (0 × 81) + (6 × 80)
= 512 + 320 + 0 + 6
= 83810

Celik Minda

Tukar tahun lahir anda
kepada asas nombor
yang anda pilih.
Saiz sebenar

40

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Praktis Kendiri 2.1a

1. Tuliskan tiga nombor yang mewakili asas dua hingga asas sembilan.

2. Bulatkan tiga nombor yang bukan mewakili nombor dalam asas enam.

245 332 461 212 371 829 345 123

234 673 336 281
3.

Berdasarkan empat nombor ini, kenal pasti dan senaraikan semua nombor bersesuaian dengan
asas berikut.

(a) Asas lima (b)  Asas tujuh (c)  Asas lapan (d)  Asas sembilan

4. Tentukan nilai tempat yang bergaris bagi setiap nombor berikut.

(a) 11100102 (b) 2145 (c) 60017 (d) 511406 (e) 12003

(f) 6839 (g) 23314 (h) 73218 (i) 52416 (j) 32215

5. Tentukan nilai digit yang bergaris bagi setiap nombor berikut.

(a) 11102 (b) 3245 (c) 8739 (d) 2356 (e) 21003

(f) 166237 (g) 11012 (h) 17768 (i) 2314 (j) 1111012

6. Tentukan nilai nombor berikut dalam asas sepuluh.

(a) 236 (b) 4258 (c) 1101012 (d) 3389 (e) 3647

(f) 334 (g) 1235 (h) 12178 (i) 5156 (j) 11213

7. Tentukan nilai p dan nilai q.
 (a) 11012 = (1 × 2p) + (1 × q) + (1 × 20) (b) 3758 = (3 × 8p) + (q × 81) + (5 × 80)
 (c) 13214 = (1 × pq) + (3 × 42) + (2 × 41) + (1 × 40)

8. Hitung hasil tambah nilai digit 8 dan nilai digit 3 dalam nombor 18239.

9. Susun nombor berikut mengikut urutan menaik.
 (a) 1102, 11012, 1112, 11102 (b) 11234, 1324, 2314, 1124 (c) 3245, 1245, 2415, 2315

10. Susun nombor berikut mengikut urutan menurun.
 (a) 1111012, 12134, 819 (b) 1234, 738, 3135 (c) 2536, 1617, 2223

11. Hitung beza nilai digit 5 antara nombor 15768 dengan 1257.
Saiz sebenar

41

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Bagaimanakah anda menukar nombor daripada satu asas kepada asas yang
lain menggunakan pelbagai kaedah?

Suatu nombor boleh ditukar kepada asas lain dengan menggunakan
pelbagai kaedah, iaitu kaedah penggunaan nilai tempat dan kaedah
pembahagian. Proses ini melibatkan penukaran
(a) nombor dalam asas sepuluh kepada asas lain,
(b) nombor daripada sesuatu asas kepada asas sepuluh dan seterusnya kepada asas lain,
(c) nombor dalam asas dua terus kepada asas lapan,
(d) nombor dalam asas lapan terus kepada asas dua.

Bagaimanakah anda menukar nombor dalam asas sepuluh kepada asas lain?
Nombor asas sepuluh boleh ditukar kepada asas lain dengan membahagikan nombornya menggunakan
nilai tempat atau nilai asas yang dikehendaki. Nombor 5810 boleh ditukar kepada asas dua dengan
(a) membahagikan 58 dengan menggunakan nilai tempat asas dua.
(b) membahagikan 58 dengan dua.

5Contoh

Sungai Rajang ialah sungai terpanjang di Malaysia iaitu 563 kilometer.
Tukar 56310 kepada,
(a) asas lima  (b) asas lapan

Penyelesaian:
(a) Asas lima
 Pembahagian dengan menggunakan nilai tempat

Nilai tempat 625 125 25 5 1

Langkah
Nilai 625

lebih besar
daripada 563

Asas 5 0 4 2 2 3
Jawapan 42235

Kaedah Alternatif

Pembahagian dengan menggunakan nilai asas.

56310 = 42235

Standard
Pembelajaran

Menukar nombor daripada
satu asas kepada asas
yang lain menggunakan
pelbagai kaedah.

angka dibaca
dari bawah
ke atas.

5 563
5 112
5 22
5 4

0

– 3
– 2
– 2
– 4

125) 563
– 500

63

25) 63
– 50

13

5) 13
– 10

3

1) 3
– 3

0

4 2 2 3

563 dibahagikan dengan nilai tempat
125. Baki dipindahkan ke nilai tempat
sebelum untuk pembahagian seterusnya
sehingga mendapat baki sifar.

Pembahagian diteruskan sehingga digit sifar.

Baki
Saiz sebenar

42

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Bagaimanakah anda menukar nombor dalam suatu asas tertentu kepada asas sepuluh dan
seterusnya kepada asas lain?
Sesuatu nombor dalam asas p boleh ditukarkan kepada asas sepuluh dan seterusnya kepada asas q.
Dalam proses penukaran nombor dalam asas dua kepada asas sembilan, nombor dalam asas dua akan
ditukarkan kepada asas sepuluh dan seterusnya kepada asas sembilan.

Asas qAsas 10Asas p

6Contoh

(b) Asas lapan
 Pembahagian dengan menggunakan nilai tempat.

Kaedah Alternatif

Pembahagian dengan menggunakan nilai asas.

Langkah 1

8  563
8    70  – 3
8      8  – 6
8    1  – 0
     0  – 1

angka dibaca dari
bawah ke atas.

56310 = 10638

Tukar 2536 kepada asas sembilan.
Penyelesaian:

Tukar nombor dalam asas enam kepada asas sepuluh.

Langkah 2

Tukar nombor dalam asas sepuluh
kepada asas sembilan

2536 = 10510 = 1269

62

2
(2 × 62) + (5 × 61) + (3 × 60)
= 10510

Nilai tempat
Nombor asas 6

Nilai nombor
dalam asas 10

61

5
60

3

×

9  105
9    11 – 6
9      1 – 2
     0 – 1

Nilai tempat

Langkah

Asas 8

Jawapan:

4096

0

512 64 18

Nilai
4096

lebih besar
daripada

563

512) 563
 512

51

1) 3
3
0

8) 51
48
3

Nilai
64

lebih besar
daripada

51

10638
563 dibahagikan dengan nilai tempat
512. Baki dipindahkan ke nilai tempat
sebelum untuk pembahagian seterusnya
sehingga mendapat baki sifar.

1 0 6 3

1 6 3
Saiz sebenar

43

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Tukar 3345 kepada asas dua.
Penyelesaian:

Tukar nombor dalam asas lima kepada asas sepuluh.
Nilai tempat 52 51 50

Nombor asas 5 3 3 4
Nilai nombor
dalam asas 10

(3 x 52) + (3 x 51) + (4 x50)
= 9410

Bagaimanakah anda menukar nombor dalam asas dua kepada asas lapan?
Nombor dalam asas dua boleh ditukar terus kepada asas lapan. Setiap digit dalam asas lapan adalah
setara dengan tiga digit dalam asas dua.

Asingkan setiap
tiga digit dalam
nombor asas dua
bermula dari
kanan ke kiri.

Gabungkan
nombor dalam
asas lapan.

Tentukan hasil
tambah nilai digit
bagi gabungan tiga
digit asas dua.

8Contoh

Tukar nombor asas dua kepada nombor asas lapan.
(a) 1101112 (b) 11011012
   Penyelesaian:

(a) 1101112

Nombor
asas 2 1 1 0 1 1 1

Nilai
tempat 22 21 20 22 21 20

Nilai digit 4 2 0 4 2 1

Asas 8
4 + 2 + 0
=

4 + 2 + 1
=

678

1101112 = 678

7Contoh

Langkah 1

ZON INFORMASI

Asas 2 Asas 8
000
001
010
011
100
101
110
111

0
1
2
3
4
5
6
7

110
6

111
7

1101112 = 678

Merujuk kepada jadual
dalam zon informasi anda
dapat menukar nombor
dalam asas dua kepada asas
lapan dengan mudah.

Langkah 2

Tukar nombor dalam asas
sepuluh kepada asas dua.

3345 = 9410 = 10111102

2   94
2   47 – 0
2   23 – 1
2   11 – 1
2     5 – 1
2     2 – 1
2     1 – 0
     0 – 1

6 7

Kaedah Alternatif
Saiz sebenar

44

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

(b) 11011012

Nombor
asas 2 1 1 0 1 1 0 1

Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 22 21 20

Nilai digit 0 0 1 4 0 1 4 0 1

Asas 8
0 + 0 + 1
=

4 + 0 + 1
=

4 + 0 + 1
=

1558

11011012 = 1558

Bagaimanakah anda menukar nombor dalam asas lapan kepada asas dua?
Nombor dalam asas lapan boleh ditukarkan terus kepada asas dua. Setiap digit dalam asas lapan
digantikan dengan tiga digit yang setara dalam asas dua.

Asingkan setiap
digit dalam nombor
asas lapan.

Tukarkan setiap
digit tersebut
kepada nombor
asas dua.

Gabungkan
kesemua nilai
digit dalam
asas dua.

9Contoh

Tukar nombor asas lapan kepada nombor asas dua.
(a) 5178  (b) 7258

Penyelesaian:
(a) 5178

Asas 8
5 1 7

4 + 1 1 4 + 2 + 1

Nilai tempat 22 21 20 22        21 20 22        21 20

Asas 2
1 0 1 0 0 1 1 1 1

1010011112
                                               5178 = 1010011112
(b) 7258

Asas 8
7 2 5

4 + 2 + 1 2 4 + 1
Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 22    21 20

Asas 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1
1110101012

7258 = 1110101012

ZON INFORMASI

Asas 2 Asas 10 Asas 16

00002 0 0
 00012 1 1
 00102 2 2
 00112 3 3
 01002 4 4
 01012 5 5
 01102 6 6
 01112 7 7
 10002 8 8
 10012 9 9
 10102 10 A
 10112 11 B
 11002 12 C
 11012 13 D
 11102 14 E
 11112 15 F

1
1

101
5

101
5

11011012 = 1558

5 51

Kaedah Alternatif
Saiz sebenar

45

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

1. Tukar 49410 kepada nombor dalam asas berikut.
 (a) Asas dua (b) Asas empat (c) Asas lima (d) Asas lapan (e) Asas sembilan

2. Tukar setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas yang diberikan dalam kurungan.
 (a) 438 (asas 3)   (b) 1123 (asas 5)   (c) 5267 (asas 2)
 (d) 12134 (asas 6)   (e) 11345 (asas 8)   (f) 3219 (asas 4)

3. Tukar nilai digit 5 dalam nombor 1546 kepada nombor dalam asas 3.

4. Tukar setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas lapan.
 (a) 1111012     (b) 11102   (c) 111101112
 (d) 1010102   (e) 1110002   (f) 1110101012

5. Tukar setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas dua.
 (a) 438     (b) 1128   (c) 578
 (d) 12178   (e) 6358   (f) 2438

Praktis Kendiri 2.1b

Bagaimanakah anda membuat pengiraan yang melibatkan operasi tambah dan
tolak bagi nombor dalam pelbagai asas?

Operasi tambah dan operasi tolak dalam asas nombor boleh dijalankan
dengan dua kaedah berikut.
(a)  Bentuk lazim iaitu cara menulis nombor secara menegak dalam

operasi tambah dan operasi tolak.
(b) Penukaran nombor dalam suatu asas kepada asas sepuluh.

Operasi tambah bagi nombor dalam pelbagai asas

Bentuk Lazim

Penukaran Asas

Standard
Pembelajaran

Membuat pengiraan yang
melibatkan operasi tambah
dan tolak bagi nombor
dalam pelbagai asas.

Tambah digit yang
diberikan bermula
dari kanan ke kiri.

Tukar nombor
kepada asas sepuluh
dan lakukan operasi
tambah.

Tukarkan semula
jawapan dalam asas
sepuluh kepada asas
yang dikehendaki.

Hasil tambah Proses ini akan
berulang sehingga
semua digit dalam
nombor selesai
ditambah.

digit dalam asas
sepuluh ditukar
kepada asas yang
diberikan untuk ditulis
di ruang jawapan.
Saiz sebenar

46

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

(b) 6738 + 1758

6 7 38 6738 → 4 4 310
 + 1 7 58 1758 → + 1 2 510
 1  0 7 08  5 6 810

6738 + 1758 = 10708

(c) 18379 + 7659

1 8 3 79  18379 → 1 4 1 110
 +   7 6 59     7659 → +    6 2 610
 2 7 1 39  2 0 3 710

18379 + 7659 = 27139

7 + 5 = 1210 =139

1 + 3 + 6 = 1010 = 119

1 + 8 + 7 = 1610 = 179

TIP

Melakukan operasi
tambah seperti biasa dan
tukar nilai asas sepuluh
kepada asas sembilan.

1  1  1

1 + 1 = 210 = 29

18379 + 7659 = 27139

Tulis 1 di ruang jawapan, 1 di sebelah
kiri di bawa ke nilai tempat seterusnya.

Tulis 3 di ruang jawapan, 1 dibawa
ke nilai tempat seterusnya.

Hitung nilai bagi setiap yang berikut.
(a) 1102 + 1112 (b) 6738 + 1758 (c) 18379 + 7659
   Penyelesaian:
 Bentuk Lazim Penukaran Asas

(a) 1102 + 1112

1 1 02 1102 → 610
 + 1 1 12 1112 → + 710
 1 1 0 12  1310

1102 + 1112 = 11012

10 Contoh

0 + 1 = 110= 12

1 + 1 = 210 = 102

1 + 1 + 1 = 310 = 112

1102 + 1112 = 11012

TIP

Melakukan operasi tambah
seperti biasa dan tukar nilai
asas sepuluh kepada asas dua.

1

3 + 5 = 810 = 108

1 + 7 + 7 = 1510 = 178

1 + 6 + 1 = 810 = 108

6738 + 1758 = 10708

TIP

Melakukan operasi tambah
seperti biasa dan tukar nilai
asas sepuluh kepada asas lapan.

Tulis 0 di ruang jawapan, 1 dibawa
ke nilai tempat seterusnya.

1  1

Tulis 7 di ruang jawapan,
1 dibawa ke nilai tempat
seterusnya.

Tulis 0 di ruang jawapan,
1 dibawa ke nilai
tempat seterusnya.

2  13
2    6 – 1
2    3 – 0
2    1 – 1
       0 – 1

8  568
8    71 – 0
8      8 – 7
8      1 – 0
        0 – 1

9  2037
9    226  – 3
9      25  – 1
9        2  – 7
          0  – 2

Tulis 7 di ruang jawapan, 1 dibawa
ke nilai tempat seterusnya.
Saiz sebenar

47

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

6 | 744
6 | 124 – 0
6 |   20 – 4
6 |     3 – 2
         0 – 3

Penyelesaian:
 Bentuk Lazim Penukaran Asas
(a) 40056 – 3256

4 0 0 56  40056 → 8 6 910
 –   3 2 56  3256    → –  1 2 510
 3 2 4 06  7 4 410

40056 – 3256 = 32406

Operasi tolak bagi nombor dalam pelbagai asas.

Bentuk Lazim

Penukaran Asas

Hitung nilai bagi setiap yang berikut.
(a) 40056 – 3256
(b) 62417 – 6137
(c) 3728 – 778
(d) 18279 – 659

11 Contoh

3  6  6

5 – 5 = 06
6 – 2 = 46

5 – 3 = 26

Pemindahan nombor mengikut asas
enam. Gunakan enam untuk membuat
operasi tolak. Tolak seperti biasa.

5

40056 – 3256 = 32406

Tolak digit yang
diberikan bermula
dari kanan ke kiri.

Tukar nombor kepada
asas sepuluh dan lakukan
operasi tolak.

Tukarkan semula
jawapan dalam asas
sepuluh kepada asas
dalam soalan.

Digit hasil tolak ditulis di
ruang jawapan. Hasil tolak
sentiasa tidak melebihi asas
yang diberikan dan nilainya
bersamaan asas sepuluh.

Proses ini akan
berulang sehingga
semua digit
dalam nombor
selesai ditolak.
Saiz sebenar

48

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

(d) 18279 – 659

1 8 2 79  18279 → 1 4 0 210
 –     6 59   659      → –        5 910
 1 7 5 29  1 3 4 310

18279 – 659 = 17529

7 + 2 – 6 = 37

(b) 62417 – 6137

6 2 4 17  62417 → 2 1 8 510
 –   6 1 37  6137    → –     3 0 410

5 3 2 57  1 8 8 110

62417 – 6137 = 53257

Pemindahan nombor mengikut asas
tujuh. Gunakan tujuh untuk membuat
operasi tolak. Tolak seperti biasa.

5  7  3  7

7 + 1 – 3 = 57
3 – 1 = 27

(c) 3728 – 778

3 7 28 3728 → 2 5 010
 –     7 78 778    → –      6 310
   2 7 38  1 8 710

3728 – 778 = 2738

2  6  8

8 + 2 – 7 = 38
8 + 6 – 7 = 78

Pemindahan nombor mengikut asas
lapan. Gunakan lapan untuk membuat
operasi tolak. Tolak seperti biasa.

8

7  9

7 – 5  = 29
9 + 2 – 6 = 59

Pemindahan nombor mengikut asas
sembilan. Gunakan sembilan untuk
membuat operasi tolak. Tolak seperti
biasa.

62417 – 6137 = 53257

3728 – 778 = 2738

18279 – 659 = 17529

Praktis Kendiri 2.1c

1. Hitung nilai bagi setiap operasi tambah yang berikut.
 (a) 112 + 102 (b) 110112 + 111102 (c) 2103 + 1213 (d) 11123 + 1013
 (e) 134 + 104 (f) 13304 + 11204 (g) 4235 + 1305 (h) 32445 + 2035
 (i) 3516 + 1226 (j) 1236 + 506 (k) 1667 + 2537 (l) 6337 + 1507
 (m) 17138 + 1058 (n) 4538 + 2628 (o) 1839 + 179 (p) 57039 + 7509

2. Hitung nilai bagi setiap operasi tolak yang berikut.
 (a) 11112 – 102 (b) 10112 – 1012 (c) 22103 – 2113 (d) 10123 – 1213
 (e) 1314 – 1214 (f) 10304 – 1224 (g) 4235 – 1005 (h) 32045 – 20135
 (i) 35316 – 1146 (j) 12536 – 1506 (k) 60267 – 2437 (l) 65037 – 1607
 (m) 17538 – 10058 (n) 44038 – 2028 (o) 18539 – 12079 (p) 87039 – 72509

7  1881
7    268  – 5
7      38  – 2
7        5  – 3
          0  – 5

8  187
8    23 – 3
8      2 – 7
        0 – 2

9  1343
9    149  – 2
9      16  – 5
9        1  – 7
          0  – 1
Saiz sebenar

49

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

12 Contoh

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan asas nombor?

Cara ke sekolah Peratus (%)
Bas 25

Kereta 40
Jalan kaki 17
Basikal 10

Motosikal 8

Jadual di atas menunjukkan kajian tentang cara 200 orang murid hadir ke sekolah.
(a)  Tentukan bilangan murid yang hadir ke sekolah dengan menaiki bas dan menaiki kereta dalam

asas empat.
(b)  Hitung jumlah murid yang hadir ke sekolah dengan menaiki bas dan menaiki kereta dalam

asas empat.
(c)  Hitung beza antara bilangan murid yang hadir ke sekolah dengan berjalan kaki dan menunggang

motosikal dalam asas tujuh.

Jumlah murid = 200

Peratus yang diberikan
perlu ditukar dengan
bilangan murid.

Memahami masalah

Kesimpulan

Merancang strategi

(a) Tukar bilangan murid yang hadir ke sekolah dengan
menaiki bas dan kereta kepada nombor dalam asas empat.

(b) Tambah jawapan dalam (a).
(c) Tolak bilangan murid yang berjalan kaki dengan yang

menunggang motosikal. Tukar jawapan kepada nombor
asas tujuh.

(a) Bas = 3024

Kereta = 11004

(b) 11004 + 3024 = 20024

(c) Beza antara yang
berjalan kaki dengan
menunggang motosikal
= 247

Melaksanakan strategi

= 247

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah yang
melibatkan asas nombor.

Kenderaan Peratus
 Bas 25%
 Kereta 40%
 Jalan Kaki 17%
 Basikal 10%
 Motosikal 8%

(a) Bas = 3024

4   50
 4   12 – 2
 4     3 – 0
        0 – 3

(c) 34 – 16 = 1810

7   18
 7     2 – 4
        0 – 2

(b) 1 1 0 04

+   3 0 24

2 0 0 24

11004 + 3024 = 20024

Semak Jawapan

80 + 50 = 13010

4  130
4    32 – 2
4      8 – 0
4      2 – 0
        0 – 2 = 20024

25
100 × 200

= 5010

40
100 × 200

= 8010

17
100 × 200 = 3410

8
100 × 200 = 1610

25
100

Kereta = 11004

4   80
4   20 – 0
4     5 – 0
4     1 – 1
       0 – 1
Saiz sebenar

50

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

1. Seutas tali dipotong kepada empat bahagian yang sama panjang. Tentukan nilai x.

2. Markah Alex Wong dalam mata pelajaran Sejarah, Matematik dan Bahasa Melayu ialah
829, 2345 dan 110012 masing-masing.

(a) Berapakah jumlah markah yang diperoleh Alex Wong dalam asas sepuluh?
 (b) Apakah beza markah antara mata pelajaran Bahasa Melayu dengan Matematik? Berikan

jawapan anda dalam asas lima.

0 405 x7 3304

Praktis Kendiri 2.1d

3. Sebuah kedai jam memberikan diskaun bagi beberapa jenama jam
tangan wanita bersempena dengan Hari Ibu. Setelah potongan diskaun
Puan Santhi membeli jam tangan jenama M yang berharga RM1345
dan Puan Amirah membeli jam tangan jenama N yang berharga
RM507. Siapakah yang mendapat diskaun yang lebih tinggi?

4. Ashri Satem seorang pemaju taman perumahan ingin membina sebuah
taman permainan berbentuk segi empat tepat. Taman permainan
tersebut dibahagikan kepada dua bahagian iaitu yang berwarna ialah
kawasan permainan kanak-kanak dan yang tidak berwarna ialah
kawasan senaman orang dewasa. Jika perimeter taman permainan itu
adalah 33004 m, hitung luas kawasan permainan kanak-kanak.

1. Lengkapkan urutan nombor asas yang diberikan mengikut tertib menaik.

(a) 2345,  ,  , .

(b) 1012,  ,  , .

(c) 307,  ,  , .

2. Nyatakan nilai digit 2 dalam nombor 32404.

3. (a) Tukar 1110011102 kepada asas lapan.
 (b) Tukar 3678 kepada asas dua.

4. Tukar nombor 2879 kepada asas nombor yang berikut.
 (a) asas dua (b) asas lima

(c) asas tujuh (d) asas lapan

5. Hitung nilai yang berikut.
 (a) 1112 + 11102  (b) 1407 + 3027 (c) 2759 – 2189

Jenama M        Jenama N

RM80              RM70

x m

80 m
Saiz sebenar

51

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

P R O J E K

Tahukah anda selain nombor dalam asas dua hingga asas sepuluh, terdapat pelbagai asas
nombor lain seperti nombor asas enam belas, asas tiga puluh dua dan asas enam puluh
empat? Dengan melayari Internet, terangkan penggunaan asas-asas ini dalam bidang
sains dan teknologi maklumat dengan memberikan contoh yang sesuai.

6. Tentukan sama ada pernyataan berikut benar atau palsu.
 (a) 1234 > 238 (b) 729 < 3415 (c) 4526 > 3348

7. Hitung nilai 1102 + 2789 + 1324 dalam asas sepuluh.

8. Hitung nilai 2314 – 1102 dalam asas sepuluh.

9. Diberi 11223 + y7 = 1189, hitung nilai y.

10. Isi tempat kosong dengan nombor urutan menaik mengikut asas yang diberikan.

(a) 638, 1101002,
8,  2, 678.

(b) 12410, 1489,  8, 2417,
5.

11. Jumlah pelawat yang mengunjungi Zoo Negara pada
bulan Januari adalah sebanyak 202025. Berapakah
purata bilangan pelawat yang mengunjungi Zoo Negara
pada bulan Januari, jika Zoo Negara dibuka setiap hari.
Berikan jawapan dalam asas lima.

12. Azizan membeli sebuah beg yang mengandungi 100 biji bola kecil untuk

anaknya. 1
5

daripada bola tersebut berwarna hijau, 1
4

berwarna kuning, 1
10

berwarna merah jambu dan yang bakinya berwarna biru. Berapakah bilangan

bola berwarna biru dalam asas lapan?

13. Kishendran membeli sehelai kemeja batik dengan potongan diskaun 25%.
Harga asal kemeja tersebut ialah RM2204. Berapakah harga kemeja tersebut
selepas potongan diskaun dalam asas tujuh?
Saiz sebenar

52

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

PETA KONSEP

Asas Nombor

Tukar asas sepuluh kepada asas lain
dan sebaliknya.

Tukar asas dua kepada asas lapan dan sebaliknya.

2536 = 10510 = 1269

Bentuk Lazim

Penukaran Asas

Bentuk Lazim

Penukaran Asas

Nilai tempat 62 61 60

Nombor asas 6 2 5 3
Nilai nombor
dalam asas 10

(2 × 62) + (5 × 61) + (3 × 60)
= 10510

Nombor asas 2 1 1 0 1 1 1
Nilai tempat 22 21 20 22 21 20

Nilai digit 4 2 0 4 2 1

Asas 8
4 + 2 + 0
=

4 + 2 + 1
=

678
                                             1101112 = 678

9 105
9   11
9     1
     0

– 6
– 2
– 1

5178 = 1010011112

6 | 744
6 | 124 – 0
6 |   20 – 4
6 |     3 – 2
         0 – 3

1102 →      610
1112 →  +  710
                1310

1102 + 1112 = 11012

2  13
2    6  –1
2    3  –0
2    1  –1
      0  –1

1 1 02
+     1 1 12
    1 1 0 12

0 + 1 = 110 = 12
1 + 1 = 210 = 102

1 + 1 + 1= 310 = 112

1

6 – 2 = 46

6 2 4 17
 −    6 1 37
    5 3 2 57

7 + 1 – 3 = 573 – 1 = 27
7 + 2 – 6 = 37

5 7 3 7

7   1881
7     268  –5
7       38  –2
7         5  –3
           0  –5

62417 →    218510
   6137 → −  30410
                   188110

62417 − 6137 = 53257

Penukaran asas
Pengiraan

melibatkan operasi
tambah dan tolak

6 7

Asas 8
5 1 7

4 + 1 1 4 + 2 + 1

Nilai tempat 22 21 20 22        21 20 22        21 20

Asas 2
1 0 1 0 0 1 1 1 1

1010011112
Saiz sebenar

53

2
B

A
B

Bab 2  Asas Nombor

Melintang
1. Tukar nilai 658 dalam asas dua.
3. Tukar nilai 4310 dalam asas empat.
5. Tukar 6337 dalam asas sepuluh.
6. Hitung hasil tambah 1324 + 1102

dalam asas sepuluh.
7. Hitung hasil tambah 22203 + 2113

dalam asas sepuluh.

Menegak
1. Hitung beza 4617 – 1415 dalam

asas sepuluh.
2. Tukar nilai 1100111102 dalam

asas lapan.
3. Hitung hasil tambah 101012 + 1112

dalam asas sepuluh.
4. Tukar nilai 40010 dalam asas lima.

1.

2. 3. 4.

7.

 Eksplorasi Matematik

Setiap nombor asas sepuluh boleh ditulis dalam asas nombor yang lain. Anda perlu
menyediakan satu carta nombor pelbagai asas seperti jadual di bawah.
Apakah perkaitan antara asas nombor yang diberikan?

Asas 10
Asas 2
Asas 4
Asas 8
Asas 16
Asas 32

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ... 50

5.

6.

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
http://yakin-pelajar.com/
Bab2/53.pdf
Saiz sebenar

54

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Anda akan mempelajari

Maslahat Bab

BAB

3
►	 Pernyataan
►	 Hujah

Parlimen	ialah	badan	perundangan	bagi	kerajaan	Persekutuan.
Semua	rang	undang-undang	perlulah	dibahaskan	dan	diluluskan

oleh	Dewan	Rakyat	dan	Dewan	Negara	sebelum	mendapat	perkenan
Yang	di-Pertuan	Agong.

Tahukah	 anda	 mengapakah	 setiap	 rang	 undang-undang	 perlu
dibahaskan	di	Parlimen?

Selain	perbahasan,	penaakulan	logik	juga	sering	diaplikasikan
dalam	bidang	 elektronik	 terutamanya	 dalam	kitaran	 elektronik.
Penaakulan	 logik	 turut	 memainkan	 peranan	 penting	 dalam
pengaturcaraan	 komputer	 dan	 reka	 bentuk	 perkakasan
komputer.	Dalam	kehidupan	harian	kita,	penaakulan	logik	penting
diaplikasikan	dalam	proses	menyelesaikan	masalah	kerana	dapat
mengasah	kemahiran	berfikir	secara	kritis	dan	analitis	dalam	diri
seseorang	itu.

Penaakulan Logik

54
Saiz sebenar

55

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

55

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA
•	 akas	 • converse
•	 deduktif	 • deductive
•	 hujah	 • argument
•	 implikasi	 • implication
•	 induktif	 • inductive
•	 kontrapositif	 • contrapositive
•	 penafian	 • negation
•	 pengkuantiti	 •	 quantifier
•	 pernyataan		 • statement
•	 pernyataan	majmuk	 • compound statement
•	 songsangan	 • inverse

Imbasan Silam

Aristotle
(384	SM	-	322	SM)

Menurut	 Aristotle,	 logik	 bukan	 sebahagian
daripada	falsafah	tetapi	sejenis	instrumen	yang
digunakan	 oleh	 ahli	 falsafah	 dan	 ahli	 sains.
Beliau	 menggunakan	 logik	 sebagai	 teknik
perbahasan	dan	ilmu	linguistik.

http://yakin-pelajar.com/Aristotle/3.pdf
Saiz sebenar

56

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

3.1 Pernyataan

Apakah maksud pernyataan dan bagaimanakah anda
 menentukan nilai kebenaran bagi suatu pernyataan?

Kebanyakan	hasil	matematik	sering	melibatkan	pernyataan.

Pernyataan	 ialah	 suatu	 ayat	 yang	 dapat	 ditentukan	 nilai	 kebenarannya,
iaitu	sama	ada	benar	atau	palsu,	tetapi	bukan	kedua-duanya.

Ayat	tanya,	ayat	seruan	dan	ayat	perintah	bukan	pernyataan.	Ayat-ayat	ini	tidak	dapat	ditentukan
kebenarannya.
	 Kedua-dua	 jawapan	 yang	 diberikan	 dalam	 dialog	 di	 atas	 ialah	 pernyataan.	 Pernyataan
“sebuah	kuboid	mempunyai	8	bucu”	ialah	pernyataan	benar	manakala	pernyataan	“sebuah	kuboid
mempunyai	 12	 bucu”	 ialah	 pernyataan	 palsu.	 Pernyataan	 boleh	 dibahagikan	 kepada	 pernyataan
benar	dan	pernyataan	palsu.

1Contoh

Tentukan	sama	ada	ayat-ayat	di	bawah	ialah	pernyataan	atau	bukan	pernyataan.
Berikan	justifikasi	anda.
(a)	 Tolong	hantar	buku	kerja.
(b)	 	Menara	Kuala	Lumpur	ialah	menara	yang	paling	tinggi	di	Malaysia.
(c)	 Bagaimanakah	anda	datang	ke	sekolah?
(d)	 x	+	3	=	5.
(e)	 –	6	<	–8.

Penyelesaian:
(a)	 Bukan	pernyataan	kerana	ayat	itu	tidak	dapat	ditentukan

nilai	kebenarannya.
(b)	 Pernyataan	kerana	ayat	itu	benar.
(c)	 Bukan	pernyataan	kerana	ayat	itu	tidak	dapat	ditentukan

nilai	kebenarannya.
(d)	 Bukan	pernyataan	kerana	ayat	itu	tidak	dapat	ditentukan

nilai	kebenarannya.
(e)	 Pernyataan	kerana	ayat	itu	palsu.

Sebuah kuboid
mempunyai

8 bucu.

Sebuah kuboid
mempunyai

12 bucu.

Menara Kuala Lumpur
terletak di kemuncak
Bukit nanas. Menara
Kuala Lumpur dengan
ketinggian 421 meter
ialah menara komunikasi
yang ke-7 paling tinggi di
dunia dan paling tinggi di
Asia Tenggara.

MalaysiakuMalaysiaku

Standard
Pembelajaran

Menerangkan maksud
pernyataan dan seterusnya
menentukan nilai
kebenaran bagi
suatu pernyataan.

Murid-murid,
berapakah bucu bagi

sebuah kuboid?
Saiz sebenar

57

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	1,	didapati	bahawa;

Bukan	semua	pernyataan	matematik	benar.	Nilai	kebenaran	bagi	semua
pernyataan	matematik	boleh	ditentukan.

2Contoh

Tentukan	sama	ada	pernyataan	berikut	benar	atau	palsu.	Sekiranya	palsu,	buktikan.
(a)	 (x	+	y)2	=	x2	+	2xy	–	y2,	x	≠	0,	y	≠	0
(b)	 (x	+	5)2	<	0,	x ∈ R
(c)	 2	+	6(4)	>	4	+	6(2)
(d)	 2	∈ {Faktor	bagi	8}
(e)	 {2,	5,	7}	∪ {Nombor	Perdana}	=	{2,	5,	7}

Penyelesaian:
(a)	 Palsu		 Andaikan	x	=	2	dan	y	=	3,
	 	 (x	+	y)2	=	(2	+	3)2
	 	 											 	=	25
	 					x2	+	2xy	–	y2	=	22	+	2(2)(3)	–	32
	 	 	 						=	7
									Maka	(x	+	y)2	≠	x2	+	2xy	–	y2

(b)	 Palsu	 (2	+	5)2	=	49	>	0
(c)	 Benar
(d)	 Benar
(e)	 Palsu

{2,	5,	7}	∪ {2,	3,	5,	7,	11,	13,	...}	=	{Nombor	perdana}

Tujuan:	Menentukan	nilai	kebenaran	bagi	pernyataan	yang	diberikan.
Langkah:
 1.	Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
 2.	 	Nyatakan	 sama	 ada	 ayat	 matematik	 yang	 diberikan	 dalam	 Lembaran	 Aktiviti	 ialah

pernyataan	benar	atau	pernyataan	palsu	dengan	Round Robin.
	 3.	Bincang	dan	buat	kesimpulan	daripada	dapatan	aktiviti.
Lembaran Aktiviti:

Ayat matematik Nilai kebenaran

(a) 28	+	12	=	40

(b) 32	+	42	=	72

(c) (2	+	3)(2	−	3)	=	22	−	32

(d) 729		=	81
3
2

(e) (x −	y)2	=	x2	−	2xy	+	y2

(f) {a,	b}	mempunyai	4	subset.

(g) 5	ialah	faktor	bagi	400.

(h) Gandaan	sepunya	terkecil	bagi	nombor	4	dan	18	ialah	36.

Perbincangan:
Adakah	semua	pernyataan	matematik	benar?	Bincangkan	sebab	anda.

Rangsangan Minda 1

x ∈ R bermaksud x
unsur kepada nombor
nyata.
●	Nombor	nyata	boleh

ditakrifkan sebagai
sebarang nombor
nisbah atau nombor
bukan nisbah.

ZON INFORMASI
Saiz sebenar

58

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

1.	 Tentukan	sama	ada	ayat-ayat	di	bawah	pernyataan	atau
bukan	pernyataan.	Berikan	justifikasi	anda.

(a)	 Marilah	kita	pergi	bermain	di	padang.
	 (b)	 Malaysia	terletak	di	benua	Asia.
	 (c)	 Adakah	3	+	2	=	8?
	 (d)	 x	+	3	>	x	–	8
	 (e)	 3x	+	5	=	–7

2.	 Bina	satu	pernyataan	yang	benar	dengan	menggunakan
angka	dan	simbol	yang	diberikan.

(a)	 23,	+,	9,	40,	>
	 (b)	 {3,	6,	9},	{3},	,

(c)	 56,
1
4,	×,

10
3 ,	=

(d)	 x2	+	3,	≤,	(x +	3)2

(e)	 ,	9,	27,	12,	=,	+

3. Tentukan	sama	ada	pernyataan	di	bawah	benar	atau	palsu.
	 (a)	 Semua	segi	empat	mempunyai	sudut	tepat.
	 (b)	 Sebilangan	rombus	mempunyai	empat	sisi	yang	sama.
	 (c)	 Semua	segi	tiga	mempunyai	sisi	yang	sama	panjang.
	 (d)	 Sebilangan	poligon	mempunyai	lima	sisi.
	 (e)	 Semua	bulatan	boleh	dibahagikan	kepada	lapan	sektor	yang	sama	saiz.

Praktis Kendiri 3.1a

3Contoh

Tentukan	sama	ada	pernyataan	matematik	di	bawah	benar	atau	palsu.	Sekiranya	palsu,	buktikan.
(a)	 Semua	poligon	mempunyai	pepenjuru.
(b)	 Sebilangan	nombor	kuasa	dua	sempurna	ialah	nombor	bulat.
(c)	 Semua	nombor	genap	mempunyai	faktor	perdana.
(d)	 Sebilangan	garis	lurus	memintas	paksi-y.

Penyelesaian:

(a)	 Palsu.	Segi	tiga	tidak	mempunyai	pepenjuru.
(b)	 Palsu.	Semua	nombor	kuasa	dua	sempurna	ialah	nombor	bulat.
(c)	 Benar
(d)	 Benar
Saiz sebenar

59

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

4Contoh

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	2,	didapati	bahawa;

Nilai	kebenaran	bertukar	daripada	benar	kepada	palsu	atau	sebaliknya	melalui	proses	penafian.

Tujuan:		Menentukan	nilai	kebenaran	suatu	pernyataan	selepas	penafian.
Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.	 Tentukan	kebenaran	pernyataan	di	bawah.

(a)	 Semua	nombor	genap	boleh	dibahagi	tepat	dengan	2.
	 (b)	 Semua	faktor	6	ialah	faktor	8.
	 (c)	 64	ialah	nombor	kuasa	tiga	sempurna.
	 (d)	 50%	daripada	600	ialah	30.
	 (e)	 {a, b, c}	ialah	subset	kepada	{a, b}	∩	{b, c}.

3.	 	Bentuk	 penafian	 bagi	 pernyataan-pernyataan	 dalam	 langkah	 2	 dengan	 menggunakan
perkataan	“bukan”	atau	“tidak”.

4.	 Tentukan	nilai	kebenaran	penafian	pernyataan	dalam	langkah	3.

Perbincangan:
Apakah	 yang	 boleh	 anda	 nyatakan	 tentang	 nilai	 kebenaran	 pernyataan-pernyataan	 dalam
langkah	2	sebelum	dan	selepas	penafian?

Rangsangan Minda 2

Bagaimanakah anda menafikan suatu pernyataan?

Bentuk	 satu	 penafian	 (~p)	 bagi	 setiap	 pernyataan	 (p)	 berikut	 dengan	 menggunakan	 perkataan
“tidak”	atau	“bukan”.
(a)	 12	ialah	gandaan	5.
(b)	 41	ialah	nombor	perdana.
(c)	 Semua	gandaan	5	ialah	gandaan	10.
(d)	 0.4	m	bersamaan	dengan	400	mm.

Penyelesaian:
(a)	 12	bukan	gandaan	5.	 	 (b)	 41	bukan	nombor	perdana.
(c)	 Bukan	semua	gandaan	5	ialah	gandaan	10.	 (d)	 0.4	m	tidak	bersamaan	dengan	400	mm.

Standard
Pembelajaran

Menafikan	suatu	pernyataan.Kita menggunakan perkataan “tidak” atau
“bukan”	untuk	menafikan	suatu	pernyataan.
Penafian	pernyataan	p ditulis sebagai ~p

Indikator
'~p' disebut sebagai
'tilda p'
Saiz sebenar

60

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Bagaimanakah anda menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majmuk?

Pernyataan	majmuk	ialah	gabungan	dua	atau	lebih	pernyataan
dengan	menggunakan	perkataan	“dan”	atau	“atau”.

Gabungkan	pernyataan	p	dan	q	berikut	dengan	perkataan
(i)	 dan,	 (ii)	 atau.
	 (a)	 p :	Pentagon	mempunyai	dua	pepenjuru.
	 	 q :	Heptagon	mempunyai	empat	pepenjuru.

(b)	 p :	Piramid	mempunyai	lima	satah.
	 	 q :	Piramid	mempunyai	lima	bucu.

(c)	 p :	–	4	ialah	integer.
	 	 q :	2	ialah	integer.

Penyelesaian:
(a)	 	(i)	 Pentagon	mempunyai	dua	pepenjuru	dan	heptagon	mempunyai	empat	pepenjuru.
	 (ii)	 Pentagon	mempunyai	dua	pepenjuru	atau	heptagon	mempunyai	empat	pepenjuru.
(b)	 	(i)	 Piramid	mempunyai	lima	satah	dan	lima	bucu.
	 (ii)	 Piramid	mempunyai	lima	satah	atau	lima	bucu.
(c)	 	(i)	 –	4	dan	2	ialah	integer.
	 (ii)	 –	4	atau	2	ialah	integer.

Tentukan	dua	pernyataan	p	dan	q	daripada	ayat	majmuk	di	bawah.
(a)	 5	+	3	>	5	dan	5	–	3	<	5.
(b)	 9	dan	91	ialah	nombor	perdana.
(c)	 22	=	4	atau	23	=	8.
(d)	 –9	<	10	atau	9	<	10.

5Contoh

6Contoh

Bentuk	 satu	 penafian	 (~p)	 bagi	 setiap	 pernyataan	 (p)	 berikut	 dengan	 menggunakan	 perkataan
“tidak”	atau	“bukan”.	Kemudian,	tentukan	nilai	kebenaran	penafian	tersebut.
1.	 819	ialah	gandaan	9.
2.	 Lelayang	mempunyai	dua	paksi	simetri.
3.	 Kon	mempunyai	satu	muka	melengkung.
4.	 Dua	garis	selari	mempunyai	kecerunan	yang	sama.
5.	 Semua	persamaan	kuadratik	mempunyai	dua	punca	yang	sama.

Praktis Kendiri 3.1b

Standard
Pembelajaran

Menentukan nilai kebenaran
suatu pernyataan majmuk.
Saiz sebenar

61

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Perkataan	“dan”	dalam	pernyataan	matematik	membawa	maksud	kedua-dua.
Manakala	perkataan	“atau”	membawa	maksud	salah	satu
atau	kedua-dua.

Berdasarkan	gambar	rajah	di	sebelah,	tiga	pernyataan	p, q,
dan	r	dibentuk.
p	:	Rashid	sedang	berlari.

q	:	Kok	Keong	sedang	berlari.

r	:	Melinda	sedang	berlari.

Anda	boleh	gabungkan	dua	pernyataan	dengan
menggunakan	perkataan	“dan”	atau	“atau”.
p	dan	q :	Rashid	dan	Kok	Keong	sedang	berlari.

p	dan	r	:	Rashid	dan	Melinda	sedang	berlari.

q	atau	r	:	Kok	Keong	atau	Melinda	sedang	berlari.

Daripada	 tiga	 pernyataan	 majmuk	 di	 atas,	 kita	 dapati	 bahawa	 pernyataan	 “p	 dan	 q”	 benar
kerana	 kedua-dua	 Rashid	 dan	 Kok	Keong	 sedang	 berlari	 tetapi	 “p	 dan r”	 adalah	 palsu	 kerana
bukan	kedua-dua	Rashid	dan	Melinda	sedang	berlari.	Akan	tetapi,	pernyataan	majmuk	“q	atau	r”
benar	kerana	sebahagian	daripada	pernyataan	itu	benar.

Maka,	 nilai	 kebenaran	 pernyataan	 majmuk	 boleh	 disimpulkan	 seperti	 yang	 ditunjukkan	 dalam
jadual	kebenaran	berikut.

p q p dan q p atau q

Benar Benar Benar Benar

Benar Palsu Palsu Benar

Palsu Benar Palsu Benar

Palsu Palsu Palsu Palsu

Penyelesaian:

(a)	 p	:	5	+	3	>	5.	 (b)	 p	:	9	ialah	nombor	perdana.
	 q	:	5	–	3	<	5.	 	 q	:	91	ialah	nombor	perdana.

(c)	 p	:	22	=	4.	 (d)	 p	:	–9	<	10.
	 q	:	23	=	8.	 	 q	:	9	<	10.
Saiz sebenar

62

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

7Contoh

Tentukan	nilai	kebenaran	pernyataan	majmuk	yang	berikut.
(a)	 2	dan	–5	lebih	besar	daripada	4.
(b)	 x	+	3	<	x –	5	dan	99	ialah	nombor	ganjil.
(c)	 81	ialah	nombor	kuasa	dua	sempurna	dan	6	ialah	faktor	bagi	18.
(d)	 y	=	3x	selari	dengan	y	–	3x	=	5	dan	pintasan-y	bagi	garis	lurus	y	–	3x	=	5	ialah	3.
(e)	 2	+	3	=	23	atau	2	×	3	=	23.
(f)	 5	×	5	×	5	=	53	atau	√125	=	5.
(g)	 Hasil	tambah	sudut	pedalaman	segi	tiga	atau	segi	empat	ialah	360°.
(h)	 4	–	(–7)	=	11	atau	4	+	7	=11.

Penyelesaian:

Pernyataan Kebenaran

(a) p
q

p	dan	q

2	lebih	besar	daripada	4.
–5	lebih	besar	daripada	4.
2	dan	–5	lebih	besar	daripada	4.

Palsu
Palsu
Palsu

(b) p
q

p	dan	q

x	+	3	<	x	–	5.
99	ialah	nombor	ganjil.
x	+	3	<	x	–	5	dan	99	ialah	nombor	ganjil.

Palsu
Benar
Palsu

(c) p
q

p	dan	q

81	ialah	nombor	kuasa	dua	sempurna.
6	ialah	faktor	bagi	18.
81	ialah	nombor	kuasa	dua	sempurna	dan	6	ialah	faktor	bagi	18.

Benar
Benar
Benar

(d) p
q

p	dan	q

y	=	3x	selari	dengan	y	–	3x	=	5.
Pintasan-y	bagi	garis	lurus	y	–	3x	=	5	ialah	3.
y	=	3x	selari	dengan	y	–	3x	=	5	dan	pintasan-y	bagi	garis	lurus
y	–	3x	=	5	ialah	3.

Benar
Palsu
Palsu

(e) p
q

p	atau	q

2	+	3	=	23.
2	×	3	=	23.
2	+	3	=	23	atau	2	×	3	=	23.

Palsu
Palsu
Palsu

(f) p
q

p	atau	q

5	×	5	×	5	=	53.
√125	=	5.
5	×	5	×	5	=	53	atau	√125	=	5.

Benar
Palsu
Benar

(g) p
q

p	atau	q

Hasil	tambah	sudut	pedalaman	segi	tiga	ialah	360°
Hasil	tambah	sudut	pedalaman	segi	empat	ialah	360°
Hasil	tambah	sudut	pedalaman	segi	tiga	atau	segi	empat	ialah	360°

Palsu
Benar
Benar

(h) p
q

p	atau	q

4	–	(–7)	=	11.
4	+	7	=11.
4	–	(–7)	=	11	atau	4	+	7	=	11.

Benar
Benar
Benar

x

y

O

y =	3x
y –	3x =	5
Saiz sebenar

63

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

1.	 Gabungkan	 pernyataan	p	 dan	q	 berikut	 dengan	menggunakan	 perkataan	 yang	 diberi	 dalam
kurungan	untuk	membentuk	pernyataan	majmuk.

(a)	 p	:	2	ialah	faktor	perdana	bagi	6.					(atau)
	 	 q	:	3	ialah	faktor	perdana	bagi	6.
	 (b)	 p	:	Kon	mempunyai	satu	bucu.					(dan)
	 	 q	:	Kon	mempunyai	satu	satah.
	 (c)	 p	:	Rombus	ialah	segi	empat	selari.					(dan)
	 	 q	:	Trapezium	ialah	segi	empat	selari.

2.	 Tentukan	nilai	kebenaran	pernyataan	majmuk	yang	berikut.
	 (a)	 49	ialah	gandaan	7	dan	nombor	kuasa	dua	sempurna.
	 (b)	 3	jam	=	120	minit	dan	4	minit	=	240	saat.
	 (c)	 Pekali	bagi	9x	ialah	9	dan	90	=	0.
	 (d)	 3	[ {1,	2,	5}	dan	{8,	9}	⊂ {6,	7,	8}.
	 (e)	 29	boleh	diungkap	sebagai	perpuluhan	berulang	atau	kurang	daripada	1.

(f)	 4
5	atau

5
4	ialah	pecahan	wajar.

(g)	 6	atau	8	ialah	nombor	ganjil.
	 (h)	 √64	=	2	atau	23	=	8.

Praktis Kendiri 3.1c

Bagaimanakah anda membina pernyataan dalam
 bentuk implikasi?

Cikgu, bolehkah saya
bermain bola di padang?

Jika kamu dapat
menyiapkan semua soalan,
maka kamu boleh bermain

di padang.

Implikasi "Jika p, maka q"
Pernyataan	“jika	p,	maka	q”	dikenali	sebagai	implikasi	dengan	keadaan
•	 p	dikenali	sebagai	antejadian.
•	 q	dikenali	sebagai	akibat.

Standard
Pembelajaran

Membina pernyataan dalam
bentuk implikasi
(i) jika p, maka q
(ii) p jika dan hanya jika q
Saiz sebenar

64

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Bentuk	implikasi	“jika	p,	maka	q”	dengan	antejadian	dan	akibat	berikut.
(a)	 Antejadian	:	k boleh	dibahagi	tepat	dengan	5.	 (b)	 Antejadian	:	Set	K	subset	kepada	set	L.
	 Akibat	 :	k	ialah	gandaan	5.	 	 Akibat	 :	n(K) ø n(L).

Penyelesaian:
(a)	 Jika	k	boleh	dibahagi	tepat	dengan	5,	maka	k	ialah	gandaan	5.
(b)	 Jika	set	K	subset	kepada	set	L,	maka	n(K)	ø	n(L).

Tentukan	antejadian	dan	akibat	daripada	implikasi	“jika	p,	maka	q”	berikut.
(a)	 Jika	x	ialah	faktor	bagi	16,	maka	x	ialah	faktor	bagi	64.
(b)	 Jika	x	–	y	>	0,	maka	x	>	y.

Penyelesaian:
(a)	 Antejadian	:	x ialah	faktor	bagi	16.	 (b)	 Antejadian	:	x	–	y	>	0.
	 Akibat	 :	x	ialah	faktor	bagi	64.	 	 Akibat	 :	x	>	y.

Implikasi " p jika dan hanya jika q"
Selain	implikasi	“jika	p,	maka	q”,	implikasi	“p	jika	dan	hanya	jika	q”	juga	kerap	digunakan	dalam
penaakulan	logik.

Implikasi	“p	jika	dan	hanya	jika	q”	terdiri	daripada	dua	implikasi	yang	berikut:
•		jika p,	maka	q                      •		jika	q,	maka	p

Bentuk	implikasi	“p	jika	dan	hanya	jika	q”	bagi	implikasi	yang	berikut.
(a)	 Jika	k	ialah	nombor	perdana,	maka	k	mempunyai	dua	faktor	sahaja.
	 Jika	k	mempunyai	dua	faktor	sahaja,	maka	k	ialah	nombor	perdana.
(b)	 Jika	y	=	axn	+	b	ialah	persamaan	linear,	maka	n	=	1.
	 Jika	n	=	1,	maka	y	=	axn	+	b	ialah	persamaan	linear.

Penyelesaian:
(a)	 k	ialah	nombor	perdana	jika	dan	hanya	jika	k	mempunyai	dua	faktor	sahaja.
(b)	 y	=	axn	+	b	ialah	persamaan	linear	jika	dan	hanya	jika n	=	1.

11Contoh

Tulis	dua	implikasi	berdasarkan	implikasi	“p	jika	dan	hanya	jika	q”	yang	berikut.
(a)	 √	r  =	15	jika	dan	hanya	jika	r	=	225.	 (b)	 x	<	6	jika	dan	hanya	jika	x	+	10	<	16.

Penyelesaian:
(a)	 Implikasi	1:	Jika	√	r  =	15,	maka r	=	225.	 (b)	 Implikasi	1:		Jika	x	< 6,	maka	x	+	10	<	16.
	 Implikasi	2:	Jika	r =	225,	maka	√	r 	=	15.	 	 Implikasi	2:		Jika	x	+	10	<	16,	maka	x	<	6.

9Contoh

10Contoh

8Contoh

K

L
Saiz sebenar

65

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

1.	 Bentuk	implikasi	“jika	p,	maka	q”	dengan	antejadian	dan	akibat	berikut.
	 (a)	 Antejadian	:	x	=	3
	 	 Akibat	 :	x4	=	81

(b)	 Antejadian	:	ax3	+	bx2	+	cx	+	d	=	0	ialah	persamaan	kubik.
	 	 Akibat	 :	a	≠	0

(c)	 Antejadian	:	n	–	5	>	2n
	 	 Akibat	 :	n	<	–5

m	 (d)	 Antejadian	:	—	>	1
	 	 	 	 n
	 	 Akibat	 :	m2	>	n2

2.	 Tentukan	antejadian	dan	akibat	daripada	implikasi	“jika	p,	maka	q”	berikut.
	 (a)	 Jika	x	ialah	nombor	genap,	maka	x2	ialah	nombor	genap.

(b)	 Jika	set	K =	φ,	maka	n(K)	=	0.

(c)	 Jika	x	ialah	nombor	bulat,	maka	2x	ialah	nombor	genap.

(d)	 Jika	garis	lurus	AB	ialah	tangen	kepada	bulatan	P,	maka	garis	lurus	AB	hanya	menyentuh
bulatan	P	pada	satu	titik	sahaja.

3.	 Bentuk	implikasi	“p	jika	dan	hanya	jika q”	bagi	implikasi	yang	berikut.
	 (a)	 Jika	k	ialah	nombor	kuasa	dua	sempurna,	maka	√	k 	ialah	nombor	bulat.
	 	 Jika	√	k 	ialah	nombor	bulat,	maka	k	ialah	nombor	kuasa	dua	sempurna.

(b)	 Jika	P >	Q	=	P,	maka	P ,	Q.
	 	 Jika	P , Q,	maka	P >	Q	=	P.

(c)	 Jika	pq	=	1,	maka	p	=	q–1	dan	q	=	p–1.
	 	 Jika	p	=	q–1	dan	q	=	p–1,	maka	pq	=	1.

(d)	 Jika	k2	=	4,	maka	(k	+	2)(k	–	2)	=	0.
	 	 Jika	(k	+	2)(k	–	2)	=	0,	maka	k2	=	4.

4.	 Tulis	dua	implikasi	berdasarkan	implikasi	“p	jika	dan	hanya	jika	q”	yang	berikut.
	 (a)	 PQR ialah	poligon	sekata	jika	dan	hanya	jika	PQ = QR = PR.
	 (b)	 m

n 	ialah	pecahan	tidak	wajar	jika	dan	hanya	jika	m	>	n.

(c)	 9	ialah	pintasan-y	bagi	garis	lurus	y	= mx	+	c	jika	dan	hanya	jika	c	=	9.
	 (d)	 f (x)	= ax2	+	bx + c	mempunyai	titik	maksimum	jika	dan	hanya	jika	a	<	0.

Praktis Kendiri 3.1d
Saiz sebenar

66

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Bagaimanakah anda membina dan membandingkan nilai
 kebenaran akas,  songsangan dan kontrapositif bagi
 suatu implikasi?
Sebelum	membandingkan	nilai	kebenaran	akas,	songsangan	dan
kontrapositif	suatu	implikasi,	perhatikan	perbezaan	antara	empat
jenis	pernyataan	tadi	dengan	contoh	berikut.

Pernyataan	 :	Jika	Ali	seorang	pengawas,	maka	Ali	seorang	yang	berdisiplin.
Akas	 :	Jika	Ali	seorang	yang	berdisiplin,	maka	Ali	seorang	pengawas.
Songsangan	 :	Jika	Ali	bukan	seorang	pengawas,	maka	Ali	seorang	yang	tidak	berdisiplin.
Kontrapositif	 :	Jika	Ali	seorang	yang	tidak	berdisiplin,	maka	Ali	bukan	seorang	pengawas.

Secara	generalisasi,
	 Pernyataan	 :	Jika	p,	maka	q.
	 Akas	 :	Jika	q,	maka	p.
	 Songsangan	 :	Jika	~p,	maka	~q.
	 Kontrapositif	 :	Jika	~q,	maka	~	p.

Tulis	akas,	songsangan	dan	kontrapositif	bagi	implikasi	yang	diberikan	berikut.
(a)	 Jika	x	ialah	nombor	positif,	maka	x	lebih	besar	daripada	0.

(b)	 Jika	p2	–	q2	>	0,	maka	(p	+	q)(p	–	q)	>	0.

(c)	 Jika	x	=	5,	maka	x	+	1	=	6.

Penyelesaian:

(a)	 Pernyataan	 :	Jika	x	ialah	nombor	positif,	maka	x	lebih	besar	daripada	0.
	 Akas	 :	Jika	x	lebih	besar	daripada	0,	maka	x	ialah	nombor	positif.
	 Songsangan	 :	Jika	x	bukan	nombor	positif,	maka	x	tidak	lebih	besar	daripada	0.
	 Kontrapositif	 :	Jika	x	tidak	lebih	besar	daripada	0,	maka	x	bukan	nombor	positif.

(b)	 Pernyataan	 :	Jika	p2	–	q2	>	0,	maka	(p	+	q)(p	–	q)	>	0.
	 Akas	 :	Jika	(p	+	q)(p	–	q)	>	0,	maka	p2	–	q2	>	0.
	 Songsangan	 :	Jika	p2	–	q2	≤	0,	maka	(p	+	q)(p	–	q)	≤	0.
	 Kontrapositif	 :	Jika	(p	+	q)(p	–	q)	≤	0,	maka	p2	–	q2	≤	0.
(c)	 Pernyataan	 :	Jika x	=	5,	maka x +	1	=	6.
	 Akas	 :	Jika	x	+	1	=	6,	maka	x	=	5.
	 Songsangan	 :	Jika	x	≠ 5,	maka	x	+	1	≠	6.
	 Kontrapositif	 :	Jika	x	+	1	≠	6,	maka	x	≠	5.
Selepas	mengenal	 pasti	 akas,	 songsangan	 dan	 kontrapositif	 suatu	 implikasi,	 anda	 akan	menilai
kebenaran	pernyataan	yang	disebut	tadi.

12Contoh

Standard
Pembelajaran

Membina dan
membandingkan nilai
kebenaran akas, songsangan
dan kontrapositif bagi
suatu implikasi.

TIP

~p	merupakan	pelengkap
bagi	p.	Maka,	pelengkap
bagi	p2	–	q2	.	0	ialah
p2	–	q2	ø	0.
Saiz sebenar

67

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Tujuan:	 	Membandingkan	 nilai	 kebenaran	 akas,	 songsangan	 dan	 kontrapositif	 bagi	 suatu
implikasi	berikut.

Langkah:
1.	 Tentukan	nilai	 kebenaran	bagi	 pernyataan	p	 dan	q	 bagi	 setiap	 implikasi	 yang	 terdapat

dalam	Lembaran	Aktiviti.
2.	 Tulis	 akas,	 songsangan	 dan	 kontrapositif	 bagi	 implikasi	 “jika	 p,	maka	 q”.	Kemudian,

tentukan	nilai	kebenaran	bagi	pernyataan-pernyataan	itu.

Lembaran Aktiviti

Rangsangan Minda 3

Pernyataan       Nilai
   kebenaran
(a)	 																				p:	 12	ialah	nombor	genap.	 Benar
	 																			q:	 12	boleh	dibahagi	tepat	dengan	2.	 Benar
	 				Pernyataan:	 Jika	12	ialah	nombor	genap,	maka	12	boleh	dibahagi		 Benar
	 	 tepat	dengan	2.
	 													Akas:
	 		Songsangan:
	 Kontrapositif:
(b)	 																				p:	 50	ialah	gandaan	10.
	 																			q:	 50	ialah	gandaan	20.
	 			Pernyataan:
	 													Akas:	 Jika	50	ialah	gandaan	20,	maka	50	ialah	gandaan	10.
	 		Songsangan:
	 Kontrapositif:
(c)	 																			p:	 Pentagon	PQRST mempunyai	hasil	tambah	sudut	pedalaman	360°.
	 																			q:	 Pentagon	PQRST	ialah	sisi	empat.
	 			Pernyataan:
	 													Akas:
	 		Songsangan:	 Jika pentagon PQRST	tidak	mempunyai	hasil	tambah	sudut
	 	 pedalaman	360°,	maka	pentagon	PQRST	bukan	sisi	empat.
	 Kontrapositif:
(d)	 																			p:	 x2	<	0.
	 																			q:	 x2	+	3	>	0.
	 			Pernyataan:
	 													Akas:
	 		Songsangan:
	 Kontrapositif:	 Jika	x2	+	3	<	0,	maka	x2		0.

Benar

Benar

Benar
Saiz sebenar

68

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	3,	didapati	bahawa;

1.	 Nilai	kebenaran	kontrapositif	sama	dengan	nilai	kebenaran	implikasi	“jika	p,	maka	q”,

2.	 Akas	dan	songsangan	adalah	kontrapositif	kepada	satu	sama	lain,

3.	 Akas	dan	songsangan	juga	mempunyai	nilai	kebenaran	yang	sama.

Maka,	anda	boleh	menyenaraikan	nilai	kebenaran	bagi	implikasi	“jika	p,	maka	q”,	akas,	songsangan
dan	kontrapositif	yang	sepadannya	dengan	jadual	berikut:

p q
Pernyataan Akas Songsangan Kontrapositif

Jika p, maka q. Jika q, maka p. Jika ~p, maka ~q. Jika ~q, maka ~p.
Benar Benar Benar Benar Benar Benar
Benar Palsu Palsu Benar Benar Palsu
Palsu Benar Benar Palsu Palsu Benar
Palsu Palsu Benar Benar Benar Benar

Secara	kesimpulannya,

Nilai	kebenaran	implikasi	“jika	p,	maka	q”	adalah	sentiasa	benar	kecuali	apabila	p	benar	dan	q
palsu	berlaku	pada	masa	yang	serentak.	Jika	sesuatu	antejadian	palsu,	maka	implikasi	“jika	p,
maka	q”	sentiasa	benar	tanpa	bergantung	pada	nilai	kebenaran	akibatnya.

13Contoh

Tentukan	nilai	kebenaran	implikasi,	akas,	songsangan	dan	kontrapositif	bagi	implikasi
																																										“Jika	2	 3	=	6,	maka	8	–	2		3	=	18.”

Penyelesaian:

Pernyataan Antejadian Akibat Nilai kebenaran

Implikasi: Jika	2		3	=	6,	maka	8	–	2		3	=	18. Benar Palsu Palsu

Akas: Jika	8	–	2		3	=	18,	maka	2		3	=	6. Palsu Benar Benar

Songsangan: Jika	2		3	≠	6,	maka	8	–	2		3	≠	18. Palsu Benar Benar

Kontrapositif Jika	8	–	2		3	≠ 18,	maka	2		3	≠	6. Benar Palsu Palsu

Perbincangan:

1.	 Bandingkan	nilai	kebenaran	kontrapositif	dengan	nilai	kebenaran	implikasi	“jika	p,	maka	q”.
2.		 Apakah	hubungan	antara	akas	dengan	songsangan	bagi	implikasi	“jika	p,	maka	q”?
3.	 Apakah	 perbezaan	 nilai	 kebenaran	 antara	 akas	 dan	 songsangan	 bagi	 implikasi	 “jika	 p,
	 maka	q”?
Saiz sebenar

69

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

1.	 Tulis	akas,	songsangan	dan	kontrapositif	bagi	setiap	implikasi	yang	berikut.
	 (a)	 Jika	x	+	3	>	2,	maka	x	>	–1.

(b)	 Jika	(k	–	3)(k	+	4)	=	0	mempunyai	dua	punca	berbeza,	maka	hasil	tambah	punca	bagi
	 (k	–	3)(k	+	4)	=	0	ialah	–1.

(c)	 Jika	ABCD	ialah	sebuah	segi	empat	selari,	maka	AB	selari	dengan	CD.

2.	 Tentukan	nilai	kebenaran	implikasi,	akas,	songsangan	dan	kontrapositif	bagi	setiap

pernyataan	berikut.
	 (a)	 Jika	2	ialah	faktor	bagi	10,	maka	10	boleh	dibahagi	tepat	dengan	2.

(b)	 Jika	4	ialah	punca	bagi	x2	–	16	=	0,	maka	4	bukan	punca	bagi	(x	+	4)(x	–	4)	=	0.

(c)	 	Jika	segi	empat	tepat	mempunyai	empat	paksi	simetri,	maka	segi	empat	tepat	mempunyai
empat	sisi.

(d)	 Jika	55	+	55	=	4		5,	maka	666	+	666	=	6		6.

Bagaimanakah anda menentukan contoh penyangkal
 untuk menafikan kebenaran pernyataan tertentu?

Bagi	 setiap	 pernyataan	 palsu,	 sekurang-kurangnya	 satu	 contoh
panyangkal	 boleh	 diberi	 untuk	 menafikan	 kebenaran	 pernyataan
tersebut.	Sebagai	contoh,	pernyataan	“Semua	poligon	mempunyai	dua	atau	lebih	pepenjuru.”	adalah
palsu	kerana	segi	tiga	tidak	mempunyai	pepenjuru.	Segi	tiga	di	sini	merupakan	contoh	penyangkal
untuk	menyokong	nilai	palsu	tersebut.

14Contoh

Tentukan	nilai	kebenaran	pernyataan	matematik	di	bawah.	Sekiranya	palsu,	berikan	satu	contoh
penyangkal	untuk	menyokong	jawapan	anda.
(a)	 Semua	poligon	mempunyai	hasil	tambah	sudut	pedalaman	180°.

(b)	 Sebilangan	nombor	perdana	ialah	nombor	genap.

(c)	 4	dan	8	ialah	faktor	bagi	20.

(d)	 6	atau	36	ialah	gandaan	9.

Penyelesaian:

(a)	 Palsu	kerana	pentagon	mempunyai	hasil	sudut	sudut	pedalaman	540°.

(b)	 Benar.

(c)	 Palsu	kerana	8	bukan	faktor	bagi	20.

(d)	 Benar.

Praktis Kendiri 3.1e

Standard
Pembelajaran

Menentukan contoh
penyangkal untuk
menafikan	kebenaran
pernyataan tertentu.
Saiz sebenar

70

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

15Contoh

Tulis	 pernyataan	 matematik	 yang	 dikehendaki	 dalam	 kurungan	 bagi	 setiap	 yang	 berikut.
Kemudian,	 tentukan	nilai	kebenaran	bagi	pernyataan	yang	ditulis.	Sekiranya	palsu,	berikan	satu
contoh	penyangkal	untuk	menyokong	jawapan	anda.
(a)	 6	∈	{3,	6,	9}.	(Penafian)

(b)	 Semua	gandaan	10	ialah	gandaan	2.	(Penafian)

(c)	 Jika	x	>	5,	maka	x	>	3.			(Akas)

(d)	 Jika	x	punca	kepada	x3	–	1	=	0,	maka	x	=	1.	(Songsangan)

(e)	 Jika	k2	>	0,	maka	k	>	0.	(Kontrapositif)

Penyelesaian:

(a)	 Penafian:	6	∉{3,	6,	9}.	Palsu	kerana	6	ialah	unsur	bagi	{3,	6,	9}.

(b)	 	Penafian:	 	Bukan	semua	gandaan	10	 ialah	gandaan	2.	Palsu	kerana	semua	gandaan	10	boleh
dibahagi	tepat	dengan	2.

(c)	 Akas:	Jika	x	>	3,	maka	x >	5.	Palsu	kerana	4	>	3	tetapi	4	<	5.

(d)	 Songsangan:	Jika	x	bukan	punca	kepada	x3	–	1	=	0,	maka	x	≠	1.	Benar.

(e)	 Kontrapositif:	Jika	k	ø	0,	maka	k2	<	0.	Palsu	kerana	–	2	<	0	tetapi	(–2)2	=	4	.	0.

Praktis Kendiri 3.1f

1.	 Tentukan	nilai	kebenaran	bagi	pernyataan	matematik	di	bawah.	Sekiranya	palsu,	berikan	satu
contoh	penyangkal	untuk	menyokong	jawapan	anda.

(a)	 Semua	segi	empat	tepat	ialah	segi	empat	sama.

(b)	 Sebilangan	nombor	kuasa	dua	sempurna	boleh	dibahagi	tepat	dengan	5.

(c)	 5	atau	9	mempunyai	dua	faktor.

(d)	 36	ialah	gandaan	4	dan	gandaan	14.

2. Tulis	 pernyataan	 matematik	 yang	 dikehendaki	 dalam	 kurungan	 bagi	 setiap	 yang	 berikut.
Kemudian,	 tentukan	 nilai	 kebenaran	 bagi	 pernyataan	 yang	 ditulis.	 Sekiranya	 palsu,	 berikan
satu	contoh	penyangkal	untuk	menyokong	jawapan	anda.

(a)	 1008	–	778	=	18	(Penafian)

(b)	 Kuboid	mempunyai	empat	keratan	rentas	seragam.	(Penafian)

(c)	 	Jika	y	=	2x	selari	dengan	y	=	2x	–	1,	maka y	=	2x	dan	y	=	2x	–	1	mempunyai	kecerunan	yang
sama.	(Akas)

(d)	 Jika	segi	tiga ABC	bersudut	tepat	di	C,	maka	c2	=	a2	+	b2.	(Songsangan)

(e)	 Jika	w	<	7,	maka	w	<	5.	(Kontrapositif)
Saiz sebenar

71

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

3.2 Hujah

Apakah maksud hujah? Apakah bezanya hujah deduktif
 dan hujah induktif?

Tujuan:		Membezakan	pernyataan	khusus	dan	pernyataan	umum.
Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.	 Bezakan	 pernyataan-pernyataan	 di	 bawah	 sama	 ada	 pernyataan	 khusus	 atau	 pernyataan

umum.	Bulatkan	jawapan	anda.

Pernyataan Jenis pernyataan
(a) Luas	segi	tiga	ABC	ialah	8	cm2. Khusus Umum
(b) Semua	prisma	mempunyai	keratan	rentas	seragam. Khusus Umum
(c) Semua	gandaan	2	berakhir	dengan	digit	genap. Khusus Umum
(d) 15	boleh	dibahagi	tepat	dengan	3. Khusus Umum
(e) 93	=	729 Khusus Umum
(f) Isi	padu	kubus	=	x3,	dengan	x	ialah	sisi	kubus. Khusus Umum
(g) Tinggi	bagi	silinder	P	ialah	80	cm. Khusus Umum
(h) Semua	nombor	asas	5	terdiri	daripada	digit	yang	kurang	daripada	5. Khusus Umum
(i) (x	–	2)(x	+	3)	=	0	mempunyai	dua	punca. Khusus Umum

(j) Isi	padu	sfera	ialah	4
3
πj3,	dengan	keadaan	j	ialah	jejari	sfera. Khusus Umum

Perbincangan:
Berikan	justifikasi	anda.

Muthu, Puan Sharipah
tidak akan puji saya.

Jika Suhaimi menyiapkan semua
kerja rumah matematik, maka

Puan Sharipah akan puji kamu.

Standard
Pembelajaran

Menerangkan maksud
hujah, dan membezakan
hujah deduktif dan
hujah induktif.

Daripada	 perbualan	 di	 atas,	 apakah	 kesimpulan	 yang	 boleh	 anda	 buat?	Adakah	 Suhaimi	 telah
menyiapkan	kerja	rumah	matematiknya?

Proses	membuat	kesimpulan	berdasarkan	pernyataan	dikenali	sebagai	penghujahan.	Hujah	boleh
terdiri	 daripada	beberapa	premis	dan	 satu	kesimpulan.	Premis	merupakan	 satu	pernyataan	yang
memberikan	informasi	sebelum	satu	kesimpulan	dibuat	dan	kesimpulan	merupakan	suatu	kesudahan
pendapat	atau	keputusan.	Suatu	hujah	ringkas	biasanya	terdiri	daripada	sekurang-kurangnya	dua
premis	dan	satu	kesimpulan.

Rangsangan Minda 4
Saiz sebenar

72

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	4,	didapati	bahawa;

Pernyataan	khusus	ialah	pernyataan	yang	khas	merujuk	suatu	kes	tertentu,
manakala	pernyataan	umum	ialah	pernyataan	yang	menerangkan	sesuatu
konsep	secara	menyeluruh.

Tujuan:		Menjustifikasikan	hujah	deduktif	dan	hujah	induktif.
Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.	 Perhatikan	hujah	dalam	Lembaran	Aktiviti	A.
3.	 Lengkapkan	 Lembaran	Aktiviti	 B	 dengan	menulis	 premis	 1	 dan	 kesimpulan	 bagi	 setiap

hujah	daripada	Lembaran	Aktiviti	A.	Seterusnya,	tentukan	jenis	pernyataan	bagi	premis	dan
kesimpulan	tersebut	dan	bulatkan	perkataan	khusus	atau	umum	di	bawah.

Lembaran Aktiviti A

Hujah

(a) Luas	sebuah	bulatan	ialah	πj2.
Bulatan	A	mempunyai	jejari	7	cm.
	Kesimpulannya,	luas	bulatan	A	ialah
154	cm2.

(b) 	Semua	gandaan	6	ialah	gandaan	2
dan	gandaan	3.
72	ialah	gandaan	6.
	Maka,	72	ialah	gandaan	2	dan	gandaan	3.

(c) 10	=	1
20	=	1
30	=	1
40	=	1
		⁝

Kesimpulannya	n0	=	1,	dengan
keadaan	n	=	1,	2,	3,	4,	…

(d) 2(1)3	–	4	=	–2
2(2)3	–	4	=	12
2(3)3	–	4	=	50
2(4)3	–	4	=	124

⁝
Maka,	pola	nombor	–2,	12,	50,	124,	…
boleh	dirumus	sebagai	2n3	–	4,
dengan	keadaan	n =	1,	2,	3,	4,	…

(e) 	Semua	murid	4	Celik	mendapat	A
dalam	ujian	Matematik.
Camelia	murid	4	Celik.
	Kesimpulannya,	Camelia	mendapat	A
dalam	ujian	Matematik.

(f) Harimau	ialah	karnivor.
Singa	ialah	karnivor.
Buaya	ialah	karnivor.
Penguin	ialah	karnivor.
Maka,	semua	haiwan	ialah	karnivor.

Rangsangan Minda 5

Terdapat	dua	jenis	hujah,	iaitu	hujah
deduktif	dan	hujah	induktif.	Cuba
menjustifikasikan	hujah	induktif	dan
hujah	deduktif	melalui	Rangsangan
Minda	5	yang	seterusnya.
Saiz sebenar

73

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Lembaran Aktiviti B

Premis 1 Kesimpulan Jenis hujah

(a) Luas	sebuah	bulatan	ialah
πj2.

Umum 	/	Khusus

Kesimpulannya,	luas	bulatan
A	ialah	154	cm2.

Umum	/	 Khusus
Hujah	Deduktif

(b)
Umum	/	Khusus Umum	/	Khusus

Hujah	Deduktif

(c)
Umum	/	Khusus Umum	/	Khusus

Hujah	Induktif

(d)
Umum	/	Khusus Umum	/	Khusus

Hujah	Induktif

(e)
Umum	/	Khusus Umum	/	Khusus

Hujah	Deduktif

(f)
Umum	/	Khusus Umum	/	Khusus

Hujah	Induktif

Perbincangan:
Berdasarkan	jenis	hujah	yang	telah	diberikan,	berikan	justifikasi	bagi	hujah	deduktif	dan
hujah	induktif.

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	5,	didapati	bahawa;

•	 Hujah	deduktif	ialah	proses	kesimpulan	khusus	dibina	berdasarkan	premis	umum.
•	 Hujah	induktif	ialah	proses	kesimpulan	umum	dibina	berdasarkan	premis	khusus.

16Contoh

Tentukan	sama	ada	hujah	berikut	ialah	hujah	deduktif	atau	hujah	induktif.
(a)	 	Semua	 sudut	 tirus	 kurang	 daripada	 90°.	 Sudut	 PQR	 ialah	 sudut	 tirus.	 Maka,	 sudut	 PQR

kurang	daripada	90°.
(b)	 	Semua	 wakil	 pertandingan	 sudoku	 ialah	 ahli	 Persatuan	 Matematik.	 Jamal	 ialah	 wakil

pertandingan	sudoku.	Maka,	Jamal	ialah	ahli	Persatuan	Matematik.
(c)	 	Hasil	tambah	sudut	peluaran	segi	tiga	ialah	360°.	Hasil	tambah	sudut	peluaran	segi	empat	ialah	360°.

Hasil	tambah	sudut	peluaran	pentagon	ialah	360°.	Maka,	hasil	tambah	sudut	peluaran	setiap	poligon
ialah	360°.

(d)	 	Hasil	 tambah	digit	18	boleh	dibahagi	 tepat	dengan	9.	Hasil	 tambah	digit	27	boleh	dibahagi
tepat	 dengan	 9.	 Hasil	 tambah	 digit	 36	 boleh	 dibahagi	 tepat	 dengan	 9.	Maka,	 hasil	 tambah
digit	gandaan	9	boleh	dibahagi	tepat	dengan	9.
Saiz sebenar

74

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Penyelesaian:

(a) Premis 1: Semua	sudut	tirus	kurang
daripada	90°.	(Umum) (b) Premis 1:

Semua	wakil
pertandingan	sudoku
ialah	ahli	Persatuan
Matematik.	(Umum)

Kesimpulan: Maka,	sudut	PQR	kurang
daripada	90°.	(Khusus) Kesimpulan:

Maka,	Jamal	ialah	ahli
Persatuan	Matematik.
(Khusus)

Hujah	deduktif																																																											Hujah	deduktif

(c) Premis 1:
Hasil	tambah	sudut
peluaran	segi	tiga	ialah
360°.	(Khusus)

(d) Premis 1:
Hasil	tambah	digit	18
boleh	dibahagi	tepat
dengan	9.	(Khusus)

Kesimpulan:

Maka,	hasil	tambah
sudut	peluaran	setiap
poligon	ialah	360°.
(Umum)

Kesimpulan:

Maka,	hasil	tambah
digit	gandaan	9	boleh
dibahagi	tepat	dengan	9.
(Umum)

Hujah	induktif																																																											Hujah	induktif

Praktis Kendiri 3.2a
Tentukan	sama	ada	hujah	berikut	ialah	hujah	deduktif	atau	hujah	induktif.
1.	 Semua	faktor	bagi	6	ialah	faktor	bagi	12.	1,	2,	3	dan	6	ialah	faktor	bagi	6.	Maka,	1,	2,	3	dan	6

ialah	faktor	bagi	12.
2.	 52	×	53	=	55,	53	×	54	=	57,	54	×	55	=	59.	Maka,	5m	×	5n	=	5m	+	n.
3.	 2(1)	=	2,	2(2)	=	4,	2(3)	=	6,	…	.	Maka	pola	nombor	2,	4,	6,	…	boleh	ditulis	sebagai	2n;

n	=	1,	2,	3,	…	.
4.	 Semua	poligon	sekata	mempunyai	sisi	yang	sama	panjang.	ABCDEFG ialah	poligon	sekata.

Maka,	ABCDEFG	mempunyai	sisi	yang	sama	panjang.
5.	 Semua	gandaan	10	berakhir	dengan	digit	0.	Nombor	50	ialah	gandaan	10.	Maka,	nombor

50	berakhir	dengan	digit	0.
6.	 (1)2	+	2	=	3,	(2)2	+	2	=	6,	(3)2	+	2	=	11…	.	Maka,	pola	nombor	3,	6	,	11,	…	boleh	ditulis	sebagai

n2	+	2;	n	=	1,	2,	3,	…	.
7.	 (1	+	1)2	=	4,	(1	+	2)2	=	9,	(1	+	3)2	=	16,	…	.	Maka,	pola	nombor	4,	9,	16,	…	boleh	ditulis	sebagai

(1	+	n)2;	n	=	1,	2,	3,	…	.
8.	 Semua	gandaan	9	ialah	gandaan	3.	Nombor	72	ialah	gandaan	9.	Maka,	nombor	72	ialah	gandaan	3.
9.	 Semua	nombor	nisbah	boleh	ditulis	dalam	bentuk	pecahan.	1.5	ialah	nombor	nisbah.	Maka	1.5

boleh	ditulis	dalam	bentuk	pecahan.
10.	 Sudut	 penggenap	 bagi	 60˚	 ialah	 120˚.	 Sudut	 penggenap	 bagi	 45˚	 ialah	 135˚.	 Maka	 sudut

penggenap	bagi	θ	ialah	180˚	–	θ.
Saiz sebenar

75

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Rangsangan Minda 6

Suatu	hujah	deduktif	dikatakan	munasabah	jika	semua	premis	dan	kesimpulannya	adalah	benar.

Premis 1:	Semua	pelakon	pandai	menari.
	 	 Premis 2:	Jasmine	ialah	pelakon.
	 	 Kesimpulan:	Jasmine	pandai	menari.

Hujah	di	atas	merupakan	satu	hujah	yang	sah.	Walaupun	kita	 tahu	bahawa	Premis	1	adalah
palsu	(bukan	semua	pelakon	pandai	menari)	tetapi	hujah	ini	masih	sah	kerana	hujah	ini	memenuhi
Bentuk	I	seperti	dalam	jadual	di	atas.	Tetapi	hujah	di	atas	adalah	tidak	munasabah	kerana	Premis	1
adalah	palsu.

Bagaimanakah anda menentukan dan menjustifikasikan
 kesahan suatu hujah deduktif dan seterusnya menentukan
 sama ada hujah yang sah itu munasabah?

Hujah	deduktif	yang	sah	boleh	dikategorikan	kepada	tiga	bentuk	berikut.

Bentuk I Bentuk II Bentuk III

Premis 1	 	Semua	A	ialah	B	 Jika	p,	maka	q	 Jika	p,	maka	q

Premis 2	 C	ialah	A	 p	adalah	benar	 Bukan	q	adalah	benar

Kesimpulan	 C	ialah	B	 q	adalah	benar	 Bukan	p	adalah	benar

Standard
Pembelajaran

Menentukan dan
menjustifikasikan
kesahan suatu hujah
deduktif dan seterusnya
menentukan sama
ada hujah yang
sah itu munasabah.

Tujuan:			Menentukan	dan	menjustifikasikan	kesahan	suatu	hujah.
Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2. Perhatikan	hujah	di	bawah.
   Premis 1: Semua	pelakon	pandai	menari.
   Premis 2:	Jasmine	pandai	menari.
   Kesimpulan:	Jasmine	ialah	pelakon.
Perbincangan:
1.		 Mengapakah	hujah	di	atas	tidak	sah?
2.	 Adakah	semua	premis	dalam	suatu	hujah	benar	menjamin	kesahan	suatu	hujah?

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	6,	didapati	bahawa;

Hujah	di	atas	tidak	sah	kerana	tidak	mematuhi	ketiga-tiga	bentuk	deduktif	yang	sah.	Maka,
premis	yang	benar	tidak	menjamin	kesahan	suatu	hujah.

Secara	generalisasi,
	 Kesahan	suatu	hujah	ditentukan	berdasarkan	bentuk	hujah	tersebut,	bukan	berdasarkan	kebenaran
premis	atau	kesimpulan.
Saiz sebenar

76

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

17Contoh

Adakah	hujah	di	bawah	sah	dan	munasabah?	Sekiranya	tidak,	berikan	justifikasi	anda.
(a)	 Premis	1:	Semua	gandaan	16	ialah	nombor	genap.
	 Premis	2:	64	ialah	gandaan	16.
	 Kesimpulan:	64	ialah	nombor	genap.

(b)	 Premis	1:	Semua	bola	keranjang	berbentuk	sfera.
	 Premis	2:	Bumi	berbentuk	sfera.
	 Kesimpulan:	Bumi	ialah	bola	keranjang.

(c)	 Premis	1:	Jika	w	<	9,	maka	w	<	19.
	 Premis	2:	4	<	9.
	 Kesimpulan:	4	<	19.

(d)	 Premis	1:	Jika	a ≠	0,	maka	axn	+	bx +	c	ialah	ungkapan	kuadratik.
	 Premis	2:	a	≠	0.
	 Kesimpulan:	axn	+	bx +	c	ialah	ungkapan	kuadratik.

(e)	 Premis	1:	Jika	k	boleh	dibahagi	tepat	dengan	8,	maka	k	boleh	dibahagi	tepat	dengan	4.
	 Premis	2:	12	tidak	boleh	dibahagi	tepat	dengan	8.
	 Kesimpulan:	12	tidak	boleh	dibahagi	tepat	dengan	4.

(f)	 Premis	1:	Jika	k	ialah	nombor	genap,	maka	k	+	1	ialah	nombor	ganjil.
	 Premis	2:	8	+	1	ialah	nombor	ganjil.
	 Kesimpulan:	8	ialah	nombor	genap.

Penyelesaian:

(a)	 Sah	dan	munasabah.

(b)	 Tidak	sah	kerana	 tidak	mematuhi	bentuk	hujah	deduktif	yang	sah.	Tidak	munasabah	kerana
kesimpulan	adalah	palsu.

(c)	 Sah	dan	munasabah.

(d)	 Sah	tetapi	tidak	munasabah	kerana	premis	1	dan	kesimpulan	tidak	benar.

(e)	 Tidak	sah	kerana	 tidak	mematuhi	bentuk	hujah	deduktif	yang	sah.	Tidak	munasabah	kerana
kesimpulannya	palsu.

(f)	 Tidak	sah	tetapi	munasabah	kerana	tidak	mematuhi	bentuk	hujah	deduktif	yang	sah.

Adakah semua
hujah yang sah pasti

munasabah?
Saiz sebenar

77

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Adakah	hujah	di	bawah	sah	dan	munasabah?	Sekiranya	tidak,	berikan	justifikasi	anda.
1. Premis	1:	Semua	gandaan	5	ialah	gandaan	10.
	 Premis	2:	35	ialah	gandaan	5.
	 Kesimpulan:	35	ialah	gandaan	10.

2.	 Premis	1:	Semua	segi	empat	sama	bersudut	tepat.
	 Premis	2:	PQRS	ialah	segi	empat	sama.
	 Kesimpulan:	PQRS	bersudut	tepat.

3.	 Premis	1:	Jika	 x 	<	3,	maka	x <	9.
	 Premis	2:	 4 	<	3.
	 Kesimpulan:	4	<	9.

4.	 Premis	1:	Jika	k	–	5	<	9,	maka	k	>	9.
	 Premis	2:	10	–	5	<	9.
	 Kesimpulan:	10	>	9.

5.	 Premis	1:	Jika x	ialah	faktor	bagi	6,	maka	6	boleh	dibahagi	tepat	dengan	x.
	 Premis	2:		6	boleh	dibahagi	tepat	dengan	3.
	 Kesimpulan:	3	ialah	faktor	bagi	6.

6.	 Premis	1:	Jika	l1	selari	dengan	l2,	maka	kecerunan	l1	=	kecerunan	l2.
	 Premis	2:	Kecerunan	l1	≠	kecerunan	l2.
	 Kesimpulan:	l1	tidak	selari	dengan	l2.

7.	 Premis	1:	Semua	rombus	mempunyai	pepenjuru	yang	berserenjang.
	 Premis	2:	PQRS	mempunyai	pepenjuru	yang	berserenjang.
	 Kesimpulan:	PQRS	ialah	rombus.

8.	 Premis	1:	Jika	x	nombor	genap,	maka	3x	nombor	genap.
	 Premis	2:	3x	bukan	nombor	genap.
	 Kesimpulan:	x	bukan	nombor	genap.

9.	 Premis	1:	Jika	k	>	5,	maka	k2	>	25.
	 Premis	2:	k	ø	5.
	 Kesimpulan:	k2	ø	25.

10.	 Premis	1:	Semua	kubus	ialah	kuboid.
	 Premis	2:	Objek	P	ialah	kubus.
	 Kesimpulan:	Objek	P	ialah	kuboid.

Praktis Kendiri 3.2b

5 10 15 20 25 30 35
Saiz sebenar

78

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Bagaimanakah anda membentuk hujah deduktif yang sah
 bagi suatu situasi?

18Contoh

19Contoh

Bentuk	suatu	hujah	deduktif	yang	sah	bagi	setiap	situasi	yang	berikut.
(a)	 Semua	mamalia	menyusui	anaknya.	Kucing	ialah	mamalia.	Kucing	menyusui	anaknya.
(b)	 Jika	x	lebih	besar	daripada	0,	maka	x	bernilai	positif.	6	lebih	besar	daripada	0.	6	bernilai	positif.
(c)	 Jika	x	ialah	nombor	ganjil,	maka	x	+	1	boleh	dibahagi	tepat	dengan	2.	18	+	1	tidak	boleh	dibahagi

tepat	dengan	2.	18	bukan	nombor	ganjil.

Penyelesaian:

(a)	 Premis	1	 :	Semua	mamalia	menyusui	anaknya.
	 Premis	2	 :	Kucing	ialah	mamalia.
	 Kesimpulan	 :	Kucing	menyusui	anaknya.

(b)	 Premis	1	 :	Jika	x	lebih	besar	daripada	0,	maka	x	bernilai	positif.
	 Premis	2	 :	6	lebih	besar	daripada	0.
	 Kesimpulan	 :	6	bernilai	positif.

(c)	 Premis	1	 :	Jika	x	ialah	nombor	ganjil,	maka	x	+	1	boleh	dibahagi	tepat	dengan	2.
	 Premis	2	 :	18	+	1	tidak	boleh	dibahagi	tepat	dengan	2.
	 Kesimpulan	 :	18	bukan	nombor	ganjil.

Tulis	 kesimpulan	bagi	 setiap	hujah	deduktif	 berikut	 untuk	membentuk	hujah	deduktif	 yang	 sah
dan	munasabah.

(a)	 Premis	1	 :	Semua	nombor	bulat	ialah	nombor	nyata.
	 Premis	2	 :	38	ialah	nombor	bulat.
	 Kesimpulan	 :

(b)	 Premis	1	 :	Jika	ax2	+	bx + c	=	0	mempunyai	punca	nyata,	maka	b2	–	4ac	≥	0.
	 Premis	2	 :	2x2	+	px	–	2	=	0	mempunyai	punca	nyata.
	 Kesimpulan	 :

(c)	 Premis	1	 :	Jika	garis	lurus	y = mx + c	selari	dengan	paksi-x,	maka	m	=	0.
	 Premis	2	 : m	≠	0.
	 Kesimpulan	 :

Penyelesaian:

(a)	 Premis	1	 :	Semua	nombor	bulat	ialah	nombor	nyata.
	 Premis	2	 :	38	ialah	nombor	bulat.
	 Kesimpulan	 :	38	ialah	nombor	nyata.

Standard
Pembelajaran

Membentuk hujah deduktif
yang sah bagi suatu situasi.
Saiz sebenar

79

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

(b)	 Premis	1	 :	Jika	ax2	+	bx + c	=	0	mempunyai	punca	nyata,	maka
	 	 		b2	–	4ac	≥	0.
	 Premis	2	 :	2x2	+	px	–	2	=	0	mempunyai	punca	nyata.
	 Kesimpulan	 :		p2	–	4(2)(–2)	≥	0.

(c)	 Premis	1	 :	Jika	garis	lurus	y	=	mx + c	selari	dengan	paksi-x,	maka	m	=	0.
	 Premis	2	 :	m	≠	0.
	 Kesimpulan	 :		Garis	lurus	y	=	mx + c	tidak	selari	dengan	paksi-x.

20Contoh

Tulis	premis	bagi	setiap	hujah	deduktif	berikut	untuk	membentuk	hujah	deduktif	yang	sah
dan	munasabah.
(a)	 Premis	1	 :
	 Premis	2	 :	37	ialah	nombor	perdana.
	 Kesimpulan	 :	37	hanya	mempunyai	dua	faktor.

(b)	 Premis	1	 :	Jika	jualan	tahunan	Syarikat	ANC	melebihi	tiga	juta,	maka	pekerjanya
	 	 		mendapat	bonus	tiga	bulan	gaji.
		 Premis	2	 :
	 Kesimpulan	 :	Jualan	tahunan	Syarikat	ANC	tidak	melebihi	tiga	juta.

(c)	 Premis	1	 :	Jika	x = k,	maka	k	ialah	punca	bagi	persamaan	3x2	–	5	=	12
	 Premis	2	 :
	 Kesimpulan	 : x	≠	9.

Penyelesaian:

(a)	 Premis	1	 :		Semua	nombor	perdana	hanya	mempunyai	dua	faktor.
	 Premis	2	 :		37	ialah	nombor	perdana.
	 Kesimpulan	 :		37	hanya	mempunyai	dua	faktor.
(b)	 Premis	1	 :		Jika	jualan	tahunan	Syarikat	ANC	melebihi	tiga	juta,	maka	pekerjanya	mendapat
	 	 		 bonus	tiga	bulan	gaji.
	 Premis	2	 :		Pekerja	Syarikat	ANC	tidak	mendapat	bonus	tiga	bulan	gaji.
	 Kesimpulan	 :		Jualan	tahunan	Syarikat	ANC	tidak	melebihi	tiga	juta.
(c)	 Premis	1	 :		Jika x = k,	maka	k	punca	bagi	persamaan	3x2	–	5	=	12.
	 Premis	2	 :		9	bukan	punca	bagi	persamaan	3x2	–	5	=	12.
	 Kesimpulan	 :		x	≠	9.

1.	 Tulis	kesimpulan	bagi	setiap	hujah	deduktif	berikut	untuk	membentuk	hujah	deduktif	yang	sah
dan	munasabah.
(a)	 Premis	1	 :	Semua	murid	4	Amanah	menggunakan	buku	teks	digital.
	 Premis	2	 :	Preevena	seorang	murid	4	Amanah.
	 Kesimpulan	 :

Praktis Kendiri 3.2c

Bagi	2x2	+	px	–	2	=	0
a	=	2,	b	=	p	dan	c	=	–2

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

80

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

(c)	 Premis	1	 :	Jika	segi	empat	PQRS	ialah	poligon	sekata,	maka
	 	 		segi	empat	PQRS	ialah	segi	empat	sama.
	 Premis	2	 :	Segi	empat	PQRS	bukan	segi	empat	sama.
	 Kesimpulan	 :

(d)	 Premis	1	 :	Semua	segi	tiga	sama	kaki	mempunyai	satu	paksi	simetri.
	 Premis	2	 :	∆	ABC	ialah	segi	tiga	sama	kaki.
	 Kesimpulan	 :

(e)	 Premis	1	 :	Jika	3m	=	2n,	maka	m	:	n	=	2	:	3.
	 Premis	2	 :	3m	=	2n.
	 Kesimpulan	 :

(f)	 Premis	1	 :	Jika	m	+	3 ≤	2m	–	9,	maka	m	≥	12.
	 Premis	2	 :	m  12.

Kesimpulan	 :

2.	 Tulis	premis	bagi	setiap	hujah	deduktif	berikut	untuk	membentuk	hujah	deduktif	yang	sah.

(a)	 Premis	1	 :	Semua	garis	lurus	yang	mempunyai	kecerunan	sifar	selari	dengan	paksi-x.
	 Premis	2	 :
	 Kesimpulan	 :	Garis	lurus	AB selari	dengan	paksi-x.

(b)	 Premis	1	 :
	 Premis	2	 :	891	ialah	gandaan	9.
	 Kesimpulan	 :	891	boleh	dibahagi	tepat	dengan	3.

(c)	 Premis	1	 :	Jika	poligon	P	ialah	nonagon,	maka	poligon	P	mempunyai	sembilan	bucu.
	 Premis	2	 :
	 Kesimpulan	 :	Poligon	P	mempunyai	sembilan	bucu.

(d)	 Premis	1	 :
	 Premis	2	 :	x	>	6.
	 Kesimpulan	 :	x	>	4.

(e)	 Premis	1	 :	Jika	hari	ini	hujan,	maka	suhu	bilik	adalah	kurang	daripada	19°C.
	 Premis	2	 :
	 Kesimpulan	 :	Hari	ini	tidak	hujan.

(f)	 Premis	1	 :
	 Premis	2	 : x	≠	8.
	 Kesimpulan	 :	3x	–	8	≠	16.

(b)	 Premis	1	 :	Jika	Kai	Meng	menjadi	johan	dalam	pertandingan
	 	 catur	peringkat	negeri,	maka	dia	mendapat	hadiah
	 	 tunai	RM200.

Premis	2	 :	Kai	 Meng	 menjadi	 johan	 dalam	 pertandingan
	 	 catur	peringkat	negeri.

Kesimpulan	 :
Saiz sebenar

81

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Bagaimanakah anda menentukan dan menjustifikasikan
 kekuatan suatu hujah induktif dan seterusnya menentukan
 sama ada hujah yang kuat itu meyakinkan?
Hujah	deduktif	menekankan	kesahan	hujah	manakala	hujah
induktif	lebih	menekankan	kekuatan	hujah.	Kekuatan	hujah	induktif
ditentukan	daripada	tahap	kemungkinan	kesimpulan	itu	benar
dengan	andaian	bahawa	semua	premis	adalah	benar.	Sesuatu	hujah
itu	meyakinkan	atau	tidak	perlu	dibincangkan	berdasarkan	kebenaran
premis	dan	kesimpulannya.

Tentukan	sama	ada	hujah	yang	diberi	kuat	atau	lemah.	Seterusnya,	tentukan	sama	ada	hujah	yang
kuat	itu	meyakinkan	atau	tidak	meyakinkan	dan	berikan	justifikasi	anda.
(a)	 Premis	1	 :	Kerusi	di	ruang	tamu	adalah	merah.
		 Premis	2	 :	Kerusi	di	ruang	makan	adalah	merah.
		 Premis	3	 :	Kerusi	di	bilik	bacaan	adalah	merah.
		 Premis	4	 :	Kerusi	di	bilik	tidur	adalah	merah.
		 Kesimpulan	 :	Semua	kerusi	di	rumah	adalah	merah.

(b)	 Premis	1	 :	27	ialah	gandaan	3.
		 Premis	2	 :	81	ialah	gandaan	3.
		 Kesimpulan	 :	Semua	gandaan	9	ialah	gandaan	3.

(c)	 Premis	1	 :	Ikan	kembung	bernafas	dengan	insang.
	 Premis	2	 :	Ikan	yu	bernafas	dengan	insang.
	 Kesimpulan	 :	Semua	ikan	bernafas	dengan	insang.

(d)	 Premis	1	 :	11	×	5	=	55
	 Premis	2	 :	12	×	5	=	60
	 Kesimpulan	 :	Semua	gandaan	5	berakhir	dengan	digit	0	atau	5.

(e)	 Premis	1	 :	1		ialah		nombor	perdana.
	 Premis	2	 :	2		ialah		nombor	perdana.
	 Premis	3	 :	3		ialah		nombor	perdana.
	 Premis	4	 :	5		ialah		nombor	perdana.
	 Kesimpulan	 :	Semua	nombor	perdana	boleh	dibahagi	tepat	dengan	1	dan	dirinya	sendiri	sahaja.

Penyelesaian:

(a)	 Hujah	ini	lemah	dan	tidak	meyakinkan	kerana	premis	adalah	benar	tetapi	kesimpulan
mungkin	palsu.

(b)	 Hujah	ini	kuat	dan	meyakinkan	kerana	semua	premis	dan	kesimpulan	benar.
(c)	 Hujah	ini	lemah	dan	tidak	meyakinkan		kerana	premis	adalah	benar	tetapi	kesimpulan	adalah	palsu.
(d)		Hujah	ini	kuat	dan	meyakinkan	kerana	kesemua	premis	dan	kesimpulan	adalah	benar.
(e)		Hujah	ini	kuat	tetapi	tidak	meyakinkan	kerana	premis	1	adalah	palsu.

21Contoh

Standard
Pembelajaran

Menentukan dan
menjustifikasikan	kekuatan
suatu hujah induktif dan
seterusnya menentukan
sama ada hujah yang
kuat itu meyakinkan.
Saiz sebenar

82

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Tentukan	sama	ada	hujah	yang	diberikan	kuat	atau	lemah	serta	meyakinkan	atau	tidak	meyakinkan.
Berikan	justifikasi	anda.
1.	 Premis	1	 :	Meja	diperbuat	daripada	kayu.
	 Premis	2	 :	Kerusi	diperbuat	daripada	kayu.
	 Premis	3	 :	Almari	diperbuat	daripada	kayu.
	 Kesimpulan	:	Semua	perabot	diperbuat	daripada	kayu.

2.	 Premis	1	 :	(k5)2	=	k10

Premis	2	 :	(k8)2	=	k16

Kesimpulan	:	(km)n	=	kmn

3.	 Premis	1	 :	23	boleh	dibahagi	tepat	dengan	4.
	 Premis	2	 :	25	boleh		dibahagi	tepat	dengan	4.
	 Kesimpulan	:	2n	boleh	dibahagi	tepat	dengan	4.

4.	 Premis	1	 :	2		5	=	10
	 Premis	2	 :	4		5	=	20
	 Premis	3	 :	6		5	=	30
	 Kesimpulan	:	Hasil	darab	gandaan	2	dan	5	berakhir	dengan	digit	0.

5.	 Premis	1	 :	24	ialah	gandaan	6.
	 Premis	2	 :	36	ialah	gandaan	6.
	 Premis	3	 :	40	ialah	gandaan	6.
	 Kesimpulan	:	Semua	gandaan	6	ialah	nombor	genap.

6.	 Premis	1	 :	Tikus	mempunyai	4	kaki.
	 Premis	2	 :	Kucing	mempunyai	4	kaki.
	 Premis	3	 :	Kuda	mempunyai	4	kaki.
	 Kesimpulan	:	Semua	haiwan	mempunyai	4	kaki.

Praktis Kendiri 3.2d

Daripada	 contoh	 21,	 didapati	 bahawa	 bilangan	 premis	 tidak	 menjamin	 hujah	 yang	 kuat	 kerana
kekuatan	suatu	hujah	bergantung	pada	nilai	kebenaran	kesimpulan.	Hujah	yang	lemah	adalah	tidak
meyakinkan,	manakala	hujah	yang	kuat	hanya	akan	meyakinkan	sekiranya	semua	premisnya	benar.

Hujah Induktif

Kuat   Lemah

Meyakinkan                    Tidak Meyakinkan               Tidak Meyakinkan

Kesimpulan benar

Semua
premis benar

Ada premis
yang palsu

Kesimpulan palsu
Saiz sebenar

83

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Bagaimanakah anda membentuk hujah induktif yang kuat
 bagi suatu situasi?
Hujah	induktif	yang	kuat	dan	meyakinkan	bergantung	pada	premis	dan
kesimpulan	yang	benar.	Premis	yang	diberikan	merupakan	bukti	 atau
sokongan	 kepada	 kesimpulan	 yang	 akan	 dibuat.	 Penaakulan	 induktif
boleh	dijalankan	mengikut	langkah-langkah	berikut.

Bentuk	satu	kesimpulan	induktif	yang	kuat	bagi	setiap	pola	nombor	yang	berikut.

(a)	 Pola	1
1
,	1
2
,	1

3
,	1

4
,	...

11	=	1
–1

1
2	=	2

–1

1
3	=	3

–1

1
4		=	4

–1

⁝

(c)	 Pola	1,	3,	5,	7,	…
	 1	=	2(0)	+	1
	 3	=	2(1)	+	1
	 5	=	2(2)	+	1
	 7	=	2(3)	+	1
	 						⁝

Penyelesaian:
(a)	 n–1;	n	=	1,	2,	3,	4,	…

(c)	 2n	+	1;	n =	0,	1,	2,	3,	…	 (d)	 3n2	–	3;	n =	1,	2,	3,	4,	…

22Contoh

(b)	 (0.5)n;	n	=	1,	2,	3,	4,	...

Praktis Kendiri 3.2e

Bentuk	satu	kesimpulan	induktif	yang	kuat	bagi	setiap	pola	nombor	yang	berikut.

1. Pola	1
3
,	1

6
,	1
9
,	 1
12
,	...

1
3
	=	(3	×	1)–1

1
6
	=	(3	×	2)–1

1
9
	=	(3	×	3)–1

1
12
	=	(3	×	4)–1

⁝

Teliti beberapa contoh atau
situasi yang khusus.

Perhatikan ciri
yang sepunya.

Buat satu
kesimpulan umum.

(b)	 Pola	0.5,	0.25,	0.125,	0.0625,	…
	 						0.5	=	0.51
	 				0.25	=	(0.5)2
	 		0.125	=	(0.5)3
	 0.0625	=	(0.5)4
	 																⁝

(d)	 Pola	0,	9,	24,	45,	…
	 		0	=	3(1)2	–	3
	 		9	=	3(2)2	–	3
	 24	=	3(3)2	–	3
	 45	=	3(4)2	–	3
	 								⁝

2.	 Pola	0.2,	0.4,	0.6,	0.8,	…

0.2	=	15

0.4	=	25
																				0.6	=	35
																				0.8	=	45
	 	 	⁝

3.	 Pola	0,	3,	18,	57,	…
	 		0	=	2(0)
	 		3	=	2(1)	+	1
	 18	=	2(8)	+	2
	 57	=	2(27)	+	3
	 								⁝

4.	 Pola	19,	16,	4,	–	44,	…
	 						19	=	20	–	40
	 						16	=	20	–	41
	 								4	=	20	–	42
	 			–	44	=	20	–	43

⁝

Standard
Pembelajaran

Membentuk hujah induktif
yang kuat bagi suatu situasi
Saiz sebenar

84

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

23Contoh

•	 Membina	kesimpulan	secara	deduktif.
•	 Menghitung	bilangan	sel	baharu	pada
hari	ke-8.

• t	=	8.
•	 Hitung	P(8)

Memahami masalah

Kesimpulan

Merancang strategi

Gantikan	t dengan	8	ke	dalam	P(t)	=	2t.

P(8)	=	256
256	sel	baharu	akan	terhasil	pada
hari	ke-8.

Melaksanakan strategi

P(8)	 =	28

=	256

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
 melibatkan penaakulan logik?

Rajah	di	sebelah	menunjukkan	pertumbuhan	sejenis	sel	bermula
dengan	sel	A.	Pada	hari	pertama,	dua	sel	baharu	dihasilkan.	Setiap
sel	 akan	menghasilkan	 dua	 sel	 yang	 lain	 pada	 hari	 seterusnya.
Diberi	bilangan	pertumbuhan	sel	ialah	P(t)	=	2t,	dengan	keadaan
t	ialah	bilangan	hari.
(a)	 Berapakah	bilangan	sel	baharu	akan	terhasil	pada	hari	ke-8?
(b)	 Pada	hari	keberapakah	bilangan	sel	baharu	ialah	2	048?

Penyelesaian:

(a)

(b)

•	 Hitung	hari	keberapakah	bilangan	baharu
ialah	2	048.

•	 Hitung	t,	dengan	P(t)	=	2	048

Memahami masalah

Kesimpulan

Merancang strategi

Selesaikan	2t	=	2	048.

t	=	11
Pada	hari	ke-11	bilangan	sel	baharu	ialah	2	048.

Melaksanakan strategi

2t	=	2	048
2t	=	211

Sel A

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
penaakulan logik.

Semak Jawapan

2,	4,	8,	16,	32,	64,	128,
256
Saiz sebenar

85

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

24Contoh

Jadual	di	bawah	menunjukkan	jumlah	kereta	mainan	yang	telah	dihasilkan	oleh	Kilang	TOY	pada
suatu	pagi.

Masa Jumlah kereta mainan

8:00	pagi	 270

9:00	pagi	 520

10:00	pagi	 770

11:00	pagi	 1	020

(a)	 Bina	satu	rumus	yang	umum	bagi	bilangan	kereta	mainan	yang	telah	dihasilkan	oleh	Kilang
TOY	berdasarkan	jadual	di	atas.

(b)	 Kilang	TOY	beroperasi	dari	pukul	7	pagi	hingga	pukul	10	malam	5	hari	dalam	seminggu.
(i)		 Berapakah	kereta	mainan	dapat	dihasilkan	oleh	Kilang	TOY	pada	satu	hari?
(ii)		 Kilang	TOY	menerima	satu	pesanan	sebanyak	25	000	kereta	mainan.	Pesanan	ini	perlu

disiapkan	dalam	masa	seminggu.	Adakah	Kilang	TOY	dapat	menyerahkan	kereta	mainan
yang	 dipesan	 ini	 pada	 masa	 yang	 ditetapkan?	 Sekiranya	 tidak,	 cadangkan	 satu	 cara
penyelesaian	supaya	Kilang	TOY	dapat	menyiapkan	pesanan	ini.

Penyelesaian:

(a)

•	 Membina	kesimpulan	secara
induktif.

•	 Membina	rumus	umum	bagi
bilangan	kereta	mainan.

Memahami masalah Merancang strategi

Memperhatikan	pola	nombor	yang	dibentuk	oleh
kereta	mainan	yang	dihasilkan.

Melaksanakan strategi

270		=		250	+	20
			520		=	 2	(250)	+	20
			770		=	 3	(250)	+	20
1	020		=	 4	(250)	+	20
	 	 ⁝
Maka,	bilangan	kereta	mainan	yang	dihasilkan
boleh	dirumuskan	dengan
250	n +	20;	n =	1,	2,	3,	4,	…	.

Kesimpulan

Rumus	yang	umum	bagi	bilangan
kereta	mainan	yang	telah	dihasilkan
oleh	Kilang	TOY	ialah	250n	+	20;
n =	1,	2,	3,	4,	...	.
Saiz sebenar

86

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Melaksanakan strategi

Melaksanakan strategi

250	(15)	+	20	=	3	770

3	770		5	=	18	850	(25	000)

•	 Waktu	 beroperasi	 Kilang	 TOY	 ialah	 15
jam	sehari

•	 n	=	15

•	 Kilang	TOY	perlu	menghasilkan
sekurang-kurangnya	25	000	kereta
mainan	dalam	masa	5	hari

•	 Kilang	TOY	menghasilkan	3	770
kereta	mainan	dalam	masa	sehari

Memahami masalah

Memahami masalah

Merancang strategi

Merancang strategi

Dengan	rumus	umum	yang	dibina	di
soalan	(a),	gantikan	n	dengan	15.

•	 Darabkan	3	770	dengan	5.
•	 	Bandingkan	hasil	darab	dengan	25	000

dan	membuat	kesimpulan.

(b)	 (i)

(b)	 (ii)

Kesimpulan

Kesimpulan

Kilang	TOY	menghasilkan	3	770	kereta
mainan	dalam	satu	hari.

Kilang	TOY	tidak	dapat	menyerahkan
kereta	mainan	yang	dipesan.
Cadangan:	Kilang	TOY	memanjangkan
waktu	operasi	kepada	20	jam	sehari	supaya
dapat	menghasilkan	250	(20)	+	20	=	5	020
kereta	mainan.

Semak Jawapan

5	020		5	=	25	100
(.	25	000)
Saiz sebenar

87

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

1. Kadar	bayaran	letak	kereta	dalam	Hotel	Cahaya	dihitung	mengikut	kadar	berikut.

Masa Bayaran

1	jam	pertama	atau	sebahagian	daripadanya RM6.00

Setiap	jam	berikutnya	hingga	jam	ke-6 RM5.00

Setiap	jam	yang	seterusnya RM3.00

Zamuddin	meletakkan	 keretanya	 dari	 jam	 0750	 untuk	menghadiri	 kursus	 di	Hotel	 Cahaya.
Selepas	kursusnya,	Zamuddin	mengambil	keretanya	pada	 jam	1725.	Hitung	 secara	deduktif
jumlah	bayaran	yang	Zamuddin	perlu	bayar	sebelum	keluar	dari	tempat	letak	kereta.

2. Jumlah	penduduk	di	Taman	Gembira	mengikut	formula	g(t)	=	250	(t2	+	t	+	100),	dengan	keadaan
t	ialah	bilangan	tahun.

Diberi	jumlah	penduduk	di	Taman	Gembira	pada	1	Januari	2012	ialah	25	000	orang.
	 (a)	 Buat	 kesimpulan	 secara	 deduktif	 mengenai	 jumlah	 penduduk	 Taman	 Gembira	 pada

31	Disember	2016.
	 (b)	 Pada	tahun	keberapakah	penduduk	Taman	Gembira	akan	mencapai	77	500	orang?

3. Bilangan	kelahiran	bayi	di	sebuah	negara	pada	tahun	2014	ialah	536	100.	Bilangan	kelahiran
bayi	 dari	 tahun	 2015	 hingga	 tahun	 2017	 di	 negara	 tersebut	 membentuk	 satu	 pola	 seperti
yang	berikut.

Tahun Kelahiran bayi

2014 536	100

2015 521	100

2016 506	100

2017 491	100

(a)	 Bina	rumus	berdasarkan	pola	bilangan	kelahiran	bayi.

(b)	 Sekiranya	bilangan	kelahiran	bayi	dalam	negara	tersebut	mengikut	pola	seperti	di	atas	bagi
5	tahun	yang	seterusnya,	anggarkan	bilangan	bayi	yang	dilahirkan	pada	tahun	2021.

3	770		5	=	18	850	(25	000)

Praktis Kendiri 3.2f
Saiz sebenar

88

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

sin	60°	=

kos	30°	=

sin	40°	=

kos	50°	=

sin	20°	=

kos	70°	=

1.	 Tentukan	sama	ada	ayat-ayat	di	bawah	pernyataan	atau	bukan.	Berikan	justifikasi	anda.
	 (a)	 Kuboid	mempunyai	enam	permukaan.
	 (b)	 Selesaikan	persamaan	x3	=	3x2	+	3x	–	1.
	 (c)	 Setiap	silinder	mempunyai	dua	permukaan	melengkung.
	 (d)	 Jangan	lupa	bawa	buku	kerja	esok.
	 (e)	 3x +	5	=	6.
	 (f)	 (a	+	b)(a	–	b)	=	a2	–	b2.
	 (g)	 Amboi,	cantiknya	bunga	ini!
	 (h)	 Ahli	PDRM	ialah	pegawai	kerajaan.
	 (i)	 3	+	5	>	8.

2.	 	Tentukan	sama	ada	pernyataan	di	bawah	benar	atau	palsu.	Sekiranya	palsu,	berikan	satu
contoh	penyangkal.

(a)	 (x	–	y)2	=	x2	–	2xy +	y2.
	 (b)	 Semua	integer	bernilai	positif.
	 (c)	 Nombor	pecahan	adalah	lebih	kecil	daripada	satu.
	 (d)	 Semua	pepenjuru	adalah	pembahagi	dua	sama	serenjang.

4. Rajah	berikut	merupakan	tiga	segi	tiga	bersudut	tegak.
	 (a)	 Lengkapkan	jadual	berikut.

(b)	 Perhatikan	 hubungan	 antara	 sudut	 dengan	 nisbah	 fungsi	 sinus	 dan	 kosinus	 bagi	 setiap
pasangan	sudut	di	atas.	Bina	satu	kesimpulan	secara	induktif	bagi	hubungan	antara	fungsi
sin	θ	dengan	fungsi	kos	(90°	–	θ).

(c)	 Diberi	 sin	 80°	 =	 0.9848,	 berdasarkan	 kesimpulan	 induktif	 daripada	 soalan	 (b)	 di	 atas,
nyatakan	nilai	kos	10°.

50°

40°

p

q

r

60°

30°

z

y

x

20°

70°

c b

a
Saiz sebenar

89

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

3.	 Tentukan	sama	ada	pernyataan	majmuk	berikut	adalah	benar	atau	palsu.
	 (a)	 26	=	64	dan	2		6	=	26.
	 (b)	 9–1	=	1

9
	dan	9	ialah	faktor	bagi	72.

(c)	 {2,5}	⊂	{2,3,6}	∪	{5,7}	atau	n(φ)	=	0.
	 (d)	 90		80%	=	70	atau	8		8		8	=	324.

4.	 	Tulis	satu	pernyataan	yang	benar	dengan	menggunakan	pengkuantiti	“semua”	atau	“sebilangan”
bagi	objek	dan	ciri-ciri	yang	berikut:

Objek Ciri-ciri

(a) Heksagon Mempunyai	enam	bucu.

(b) Bulatan Mempunyai	jejari	18	cm.

(c) Segi	tiga Mempunyai	tiga	paksi	simetri.

5.	 (a)	 Tentukan	antejadian	dan	akibat	daripada	pernyataan-pernyataan	berikut:
	 	 	(i)	 Jika	p	<	q,	maka	q – p >	0.
	 	 (ii)	 Jika	perimeter	segi	empat	tepat	A	ialah	2(x +	y),	maka	luas	segi	empat	tepat	A	ialah	xy.
	 (b)	 Bina	satu	implikasi	yang	sesuai	berdasarkan	setiap	pasangan	implikasi	berikut:
	 	 	(i)	 Jika	x	ialah	gandaan	10,	maka	x	ialah	gandaan	5.
	 	 	 Jika	x	ialah	gandaan	5,	maka	x	ialah	gandaan	10.
	 	 (ii)	 Jika	6	ialah	faktor	bagi	12,	maka	6	ialah	faktor	bagi	24.
	 	 	 Jika	6	ialah	faktor	bagi	24,	maka	6	ialah	faktor	bagi	12.
	 (c)	 Bina	dua	implikasi	yang	sesuai	bagi	setiap	implikasi	berikut:
	 	 	(i)	 20%	daripada	30	ialah	6	jika	dan	hanya	jika	0.2		30	=	6.
	 	 (ii)	  M	boleh	dibahagi	tepat	dengan	20	jika	dan	hanya	jika	M	boleh	dibahagi	tepat	dengan

2	dan	10.

6.	 	Tulis	 pernyataan	 yang	 diminta	 dalam	kurungan	 bagi	 setiap	 yang	 berikut	 dan	 tentukan	 nilai
kebenaran	bagi	pernyataan	yang	ditulis.	Sekiranya	palsu,	berikan	justifikasi	anda.

(a)	 Jika	α	dan	β	adalah	dua	sudut	pelengkap,	maka	α	+	β	=	90°.	(Akas)
	 (b)	 Jika	w	>	20,	maka	w >	30.	(Kontrapositif)
	 (c)	 Jika	p	>	0,	maka p2	>	0.	(Songsangan)
	 (d)	 Poligon	mempunyai	hasil	tambah	sudut	peluaran	360°.	(Penafian)

7.	 Lengkapkan	hujah	berikut	untuk	membentuk	hujah	deduktif	yang	sah	dan	munasabah.
	 (a)	 Premis	1	 :	Semua	faktor	bagi	4	ialah	faktor	bagi	8.
	 	 Premis	2	 :	2	ialah	faktor	bagi	4.
	 	 Kesimpulan	 :
	 (b)	 Premis	1	 :	Jika	x	=	5,	maka	2x	+	8	=	18.
	 	 Premis	2	 :
	 	 Kesimpulan	 :	2x	+	8	=	18.
	 (c)	 Premis	1	 :
	 	 Premis	2	 :	sin2	α	+	kos2	β	≠	1.
	 	 Kesimpulan	 :	α	≠	β.
Saiz sebenar

90

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

(d)	 Premis	1	 :	Jika	p	boleh	dibahagi	tepat	dengan	18,	maka	p	ialah	gandaan	bagi	18.
	 	 Premis	2	 :	54	boleh	dibahagi	tepat	dengan	18.
	 	 Kesimpulan	 :
	 (e)	 Premis	1	 :	Jika	–4m	<	0,	maka	m	>	0.
	 	 Premis	2	 :
	 	 Kesimpulan	 :	–4m 	0.
	 (f)	 Premis	1	 :	Semua	fungsi	kuadratik	mempunyai	titik	pusingan.
	 	 Premis	2	 :
	 	 Kesimpulan	 :	Fungsi	g(x)	mempunyai	titik	pusingan.

8.	 (a)	 	Diberi	luas	permukaan	sebuah	kon	=	πj(j + s).	Bina	satu	kesimpulan	secara	deduktif	bagi
luas	permukaan	lima	kon	yang	sama	dengan	keadaan	j	=	7	cm	dan	s	=	13	cm.

(b)	 	Diberi	persamaan	garis	lurus	ialah	y	=	mx	+	c.	Bina	satu	kesimpulan	secara	deduktif	bagi
persamaan	garis	lurus	PQ	dengan	keadaan	m	=	3	dan	c	=	5.

9.	 Bina	satu	kesimpulan	secara	induktif	kepada	pola	nombor	berikut.
(a) –4,	–1,	4,	11,	…

–4	=	12	–	5
				–1	=	22	–	5
					4	=	32	–	5
				11	=	42	–	5
										⁝

(b) 4,	5,	7,	11,	…
		4	=	20	+	3
		5	=	21	+	3
		7	=	22	+	3
11	=	23	+	3
								⁝

(c) 5,	12,	21,	32,	…
		5	=	4(1)	+	1
12	=	4(2)	+	4
21	=	4(3)	+	9
32	=	4(4)	+	16
							 ⁝

(d) 3,	8,	17,	30,	…
		3	=	3(1)	+	2(0)2
		8	=	3(2)	+	2(1)2
17	=	3(3)	+	2(2)2
30	=	3(4)	+	2(3)2
								⁝

10.	 Tentukan	sama	ada	hujah	berikut	ialah	hujah	induktif	atau	hujah	deduktif.
	 (a)

Semua	murid	4	Bahagia	membuat
persembahan	pada	hari	guru.	Jayanthi

murid	4	Bahagia.	Maka,	Jayanthi	membuat
persembahan	pada	hari	guru.

(b)

Hasil	tambah	1	dan	3	ialah	nombor	genap.
Hasil	tambah	3	dan	5	ialah	nombor	genap.
Hasil	tambah	5	dan	7	ialah	nombor	genap.
Hasil	tambah	7	dan	9	ialah	nombor	genap.
Kesimpulannya,	hasil	tambah	dua	nombor	ganjil	ialah	nombor	genap.
Saiz sebenar

91

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

P R O J E K

11.	 	Rajah	di	bawah	menunjukkan	susunan	silinder	yang	sama	saiz	dalam	petak	mengikut	nombor
pola	3,	5,	7,	9,	…

Petak	1 Petak	3 Petak	4Petak	2

(a)	 Bina	satu	kesimpulan	secara	induktif	bagi	pola	bilangan	silinder	di	atas.
	 (b)	 	Sekiranya	 jejari	 dan	 tinggi	 bagi	 setiap	 silinder	 ialah	 14	 cm	 dan	 10	 cm	masing-masing,

hitung	jumlah	isi	padu	silinder	pada	petak	8.

12.	 	Rajah	 di	 sebelah	 menunujukkan	 empat	 semi	 bulatan	 yang	 pertama	 disusun	 mengikut	 pola
tertentu.	Jejari	semi	bulatan	yang	terbesar	ialah	32	cm.

(a)	 	Hitung	dan	senaraikan	perimeter-perimeter	bagi	empat
semi	bulatan	ini,	dalam	sebutan	π.

(b)	 	Berdasarkan	dapatan	daripada	(a),	tunjukkan	pola
perimeter	bagi	empat	semi	bulatan	ini	ialah
26	–	n	(π	+	2);	n	=	1,	2,	3,	4.

(c)	 	Hitung	perimeter,	 dalam	cm,	bagi	 semi	bulatan	yang
ke-8.

Peningkatan	 paras	 laut	 ialah	 satu	 isu	 yang	 kritikal	 bagi	 seluruh	 dunia	 sekarang.
Peningkatan	paras	laut	berkait	rapat	dengan	perubahan	suhu	di	permukaan	bumi.	Diberi
keseimbangan	paras	laut	dengan	suhu	dihubungkan	dengan	rumus	iaitu

L	=	T(0.54T 2	+	0.39T	+	7.7)

L	ialah	perubahan	paras	laut	dan	T	ialah	perubahan	suhu.

Buat	satu	folio	mengenai	peningkatan	paras	 laut	dan	perubahan	suhu	bagi	 lima	tahun
terkini.	Folio	anda	perlu	mengandungi
1.	 Muka	hadapan
2.	 Isi	kandungan
	 (a)	 Pengenalan	kepada	isu	peningkatan	paras	laut.
	 (b)	 Kesimpulan	 secara	 deduktif	mengenai	 perubahan	 paras	 laut	 bagi	 lima	 tahun

terkini.
	 (c)	 Faktor-faktor	yang	mengakibatkan	peningkatan	paras	laut.
	 (d)	 Kesan	aktiviti	manusia	terhadap	peningkatan	paras	laut.
	 (e)	 Langkah-langkah	untuk	mengatasi	peningkatan	paras	laut.
3.	 Kesimpulan.
Saiz sebenar

92

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

PETA KONSEP

Penaakulan Logik

Hujah	Induktif
Kuat	dan	Meyakinkan

Pernyataan	Majmuk
"atau"	atau	"dan"

Contoh:
p: 12 ialah gandaan 5.
q: 12 ialah gandaan 6.
•  12 ialah gandaan 5 atau
 gandaan 6.
•  12 ialah gandaan 5 dan
 gandaan 6.

Akas:	"Jika	q,	maka	p"
Songsangan:	"Jika	~p,	maka	~q"
Kontrapositif:	"Jika	~q,	maka	~p"
Contoh:
Jika	12	ialah	gandaan	3,	maka	12	ialah	gandaan	6.
Akas:	Jika	12	ialah	gandaan	6,	maka	12	ialah
											gandaan	3.
Songsangan:	Jika	12	bukan	gandaan	3,	maka	12
																							bukan	gandaan	6.
Kontrapositif:	Jika	12	bukan	gandaan	6,	maka	12
																									bukan	gandaan	3.

Implikasi
"Jika	p,	maka	q"

"p	jika	dan	hanya	jika	q"

Contoh:
p: 12 ialah gandaan 3.
q: 12 ialah gandaan 6.
•  Jika 12 ialah gandaan 3,
 maka 12 ialah gandaan 6.
•  12 ialah gandaan 3 jika dan
 hanya jika 12 ialah

gandaan 6.

Kesimpulan	umum	dibina
berdasarkan	kes-kes	khusus.

Contoh:
Premis	1:	2(1)	–	1	=	1
Premis	2:	2(2)	–	1	=	3
Premis	3:	2(3)	–	1	=	5
Premis	4:	2(4)	–	1	=	7
Kesimpulan:
2n	–	1;	n	=	1,	2,	3,	4,	…

Penafian
"Tidak"	atau	"Bukan"

Contoh:
12 ialah gandaan 5.
Penafian: 12 bukan gandaan 5.

Hujah	Deduktif
Sah	dan	Munasabah

Contoh:
Premis 1: Semua gandaan 6 ialah
                 gandaan 3.
Premis 2: 18 ialah gandaan 6.
Kesimpulan: 18 ialah gandaan 3.

Premis	1:	Semua	A	ialah	B.
Premis	2:	C	ialah	A.
Kesimpulan:	C	ialah	B.

Kesimpulan	khusus	dibina
berdasarkan	premis	umum

Contoh:
Premis 1:  Jika x ialah gandaan 6,

maka x ialah gandaan 3.
Premis 2: 18 ialah gandaan 6.
Kesimpulan: 18 ialah gandaan 3.

Premis	1:	Jika	p,	maka	q.
Premis	2:	p	benar.
Kesimpulan:	q	benar.

Contoh:
Premis	1:		Jika	x	ialah	gandaan	6,

maka	x	ialah	gandaan	3.
Premis	2:	17	bukan	gandaan	3.
Kesimpulan:	17	bukan	gandaan	6.

Premis	1:	Jika	p,	maka	q.
Premis	2:	Bukan	q	adalah	benar.
Kesimpulan:	Bukan	p	adalah	benar.

Hujah
Pernyataan

Benar	atau	Palsu
Saiz sebenar

93

3
B

A
B

Bab 3  Penaakulan Logik

Menegak
1.	 Ayat	yang	dapat	ditentukan	nilai

kebenaran	dikenali	sebagai	 .
2.	 Bina	satu	pernyataan	majmuk	yang

benar	bagi	pernyataan	berikut:
	 91	ialah	gandaan	9	 	81	ialah

gandaan	9.
3.	 Songsangan	bagi	 	“jika	p,	maka	q”

ialah	“jika	~p,	maka	~q.”

Melintang
1.	 	pernyataan	p	ditulis	sebagai	~p.
4.	 Premis	1:	Semua	gandaan	6	ialah
																							gandaan	2	dan	gandaan	3.
	 Premis	2:	18	ialah	gandaan	6.
	 Kesimpulan:	18	ialah	gandaan	2	dan
																												gandaan	3.
	 Hujah	 	di	 atas	 ialah	yang	 sah	dan

munasabah.
5. Hujah	 yang	 ringkas	 terdiri	 daripada	 dua

atau	lebih		 	dalam	satu	kesimpulan.
6.	 Hujah	 	 merupakan	 kesimpulan

umum	 dibuat	 berdasarkan	 kes-kes	 yang
khusus.

7.	 	dan	songsangan	mempunyai	nilai
kebenaran	yang	sama.

 Eksplorasi Matematik

Rajah	di	sebelah	menunjukkan	sebuah	segi	tiga	sama	sisi	dengan
panjang	 sisi	 48	 cm.	 Titik	 tengah	 setiap	 sisi	 disambung	 untuk
membentuk	satu	segi	tiga	sama	yang	lain.	Proses	ini	berulang	tak
terhingga.

Hitung	 jumlah	 perimeter	 semua	 segi	 tiga	 sama	 sisi	 yang	 tak
terhingga	ini.	 48	cm

48	cm 48	cm

1. 2.

4.

3.

5.

6.

7.

2.
Saiz sebenar

94

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Anda akan mempelajari

Maslahat Bab

BAB

4
►	 Persilangan	Set
►	 Kesatuan	Set
►	 Gabungan	Operasi	Set

Sektor	pertanian	adalah	antara	sektor	yang	menyumbang	kepada
pendapatan	negara	Malaysia.	Penggunaan	teknologi	tinggi	dan

moden	dalam	bidang	pertanian	mampu	membantu	meningkatkan
hasil	pertanian	malah	akan	menarik	minat	generasi	baharu	untuk
menceburi	bidang	ini	pada	masa	akan	datang.

Tahukah	 anda	 apakah	 sektor-sektor	 ekonomi	 lain	 yang	menjadi
penyumbang	utama	kepada	pendapatan	negara?

Operasi	set	digunakan	untuk	mewakili,	mengumpul	dan	mengkaji
data	yang	serupa	dalam	kehidupan	harian.	Ilmu	ini		menjadi	asas
kepada	bidang		yang	memerlukan	analisis	seperti	pengaturcaraan,
statistik,	ekonomi,	pasaran	saham	dan	sebagainya.

Operasi Set

94
Saiz sebenar

95

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

95

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA
•	 kesatuan	 • union
•	 persilangan	 • intersection
•	 pelengkap	 • complement
•	 set	 • set
•	 set	kosong	 • empty set
•	 subset	 • subset
•	 tatatanda	set	 • set notation
•	 unsur	 • element

Imbasan Silam

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
 (1845-1918)

Georg	Cantor	ialah	seorang	ahli	matematik	Jerman
yang	mencipta	teori	set.	Beliau	juga	memperkenalkan
nombor	ordinal,	nombor	kardinal	dan	aritmetik	set
tak	terhingga.

http://yakin-pelajar.com/Cantor/4.pdf
Saiz sebenar

96

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

4.1 Persilangan Set

Bagaimanakah anda menentukan dan menghuraikan
persilangan set dengan menggunakan pelbagai perwakilan?

Persilangan	set	wujud	apabila	terdapat	lebih	daripada	satu	set.	Persilangan
set	P	dan	set	Q	ditulis	menggunakan	simbol	ù.	P ù	Q	ialah	set	yang
mengandungi	unsur-unsur	sepunya	bagi	kedua-dua	set	P	dan	set	Q.

Tujuan:			Menentukan	dan	menghuraikan	persilangan	set	menggunakan	pelbagai	perwakilan.

Jadual	di	bawah	menunjukkan	sekumpulan	murid	yang	suka	makan	buah-buahan	tempatan.

Nabil	suka	makan	durian.	 Afiq	suka	makan	durian	dan	rambutan.
Hani	suka	makan	durian.	 Amirul	suka	makan	rambutan.
Navin	suka	makan	rambutan.	 Meena	suka	makan	durian.
Yan	Kit	suka	makan	durian.	 Benjamin	suka	makan	rambutan	dan	durian.
Raj	suka	makan	durian	dan	rambutan.	 Jenny	suka	makan	durian.
Mei	Yee	suka	makan	durian.	 Khairi	suka	makan	rambutan.

Langkah:
1.	 Berdasarkan	jadual	di	atas,	tulis	nama	murid	menggunakan	tatatanda	set.
	 A	={murid	yang	suka	makan	durian}
	 A	=	{Nabil,	Hani,	Yan	Kit,	Raj,	Mei	Yee,	Afiq,	Meena,	Benjamin,	Jenny}
	 B	={murid	yang	suka	makan	rambutan}
	 B	=	{ 	,	 	,	 	,	 	,	 	,	 }

A ù	B	=	{murid	yang	suka	makan	kedua-dua	buah	durian	dan	rambutan}

A ù	B	=	{ 	,	 	,	 }

Rangsangan Minda 1

Gerhana	matahari	berlaku	apabila	bulan
berada	di	antara	matahari	dengan	bumi
pada	satu	garis	lurus.	Persilangan	antara
bulan	dengan	matahari	dapat	dilihat
apabila	bahagian	bulan	dan	matahari
berada	pada	kedudukan	yang	sama.

Standard
Pembelajaran

Menentukan dan
menghuraikan persilangan
set menggunakan
pelbagai perwakilan.
Saiz sebenar

97

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

2.	 Lengkapkan	 jadual	 di	 bawah	 dengan	 nama	 murid	 yang	 suka	 makan	 durian	 sahaja,
rambutan	sahaja	dan	kedua-dua	buah	durian	dan	rambutan.

3.	 Lengkapkan	gambar	rajah	Venn	dengan	maklumat	di	atas.

A                                                          B

Perbincangan:

Bagaimanakah	anda	dapat	menentukan	persilangan	set	berdasarkan	aktiviti	di	atas?

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	1,	didapati	bahawa;

Persilangan	set	A	dan	set	B	mempunyai	unsur-unsur	sepunya	iaitu	Raj,	Afiq	dan	Benjamin
yang	suka	makan	durian	dan	rambutan.

Nama murid yang suka
makan buah durian sahaja

Nama murid yang suka
makan buah

rambutan sahaja

Nama murid yang suka
makan kedua-dua

buah durian dan rambutan

•	 Nabil
	 •	 Hani
	 •	 Yan	Kit
	 •	 Mei	Yee
	 •	 Meena
	 •	 Jenny

•	 Navin

•

•

•	 Raj
	 •	 Afiq
	 •	 Benjamin

•	Raj
•	Afiq

•	Benjamin

Murid	yang	suka
makan	buah
durian	sahaja.

Murid	yang	suka	makan	kedua-dua
buah	durian	dan	rambutan.

Murid	yang	suka
makan	buah

rambutan	sahaja.

•
•
•
•
•
•

•
•
•
Saiz sebenar

98

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

1Contoh

Diberi	set	semesta,	ξ	=	{x	:	x	ialah	integer,	1	≤	x	≤	10},	set	P	=	{x	:	x	ialah	nombor	ganjil},
set	Q	=	{x	:	x	ialah	nombor	perdana},	dan	set	R	=	{x	:	x		ialah	gandaan	3}.
(a)		Senaraikan	semua	unsur	bagi	persilangan	set	yang	berikut.
	 (i)	P ù	Q	 (ii)	P ù	R (iii)	Q ù	R (iv)	P ù	Q ù	R

(b)	 Nyatakan	bilangan	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 (i)	n(P ù	Q)	 (ii)	n(P ù	R)  (iii)	n(Q ù	R)  (iv)	n(P ù	Q ù	R)

Penyelesaian:

(a)	 		(i)	P ù	Q		 	(ii)	P ù	R
   P	=	{1,	3,	5,	7,	9}	 	 P	=	{1,	3,	5,	7,	9}
   Q	=	{2,	3,	5,	7}	 	 R	=	{3,	6,	9}
   P ù	Q	=	{3,	5,	7}	 	 P ù	R	=	{3,	9}

(iii)		Q ù	R		 (iv)	P ù	Q ù	R
   Q	=	{2,	3,	5,	7}	 	 P	=	{1,	3,	5,	7,	9}
		 	R	=	{3,	6,	9}	 	 Q	=	{2,	3,	5,	7}
		 	Q ù	R	=	{3}	 	 R	=	{3,	6,	9}

P ù	Q ù	R	=	{3}

(b)	 		(i)		P ù	Q	=	{3,	5,	7}	 	(ii)	P ù	R	=	{3,	9}
   n(P ù	Q)	=	3	 	 n(P ù	R)	=	2

(iii)		Q ù	R	=	{3}	 (iv)	P ù	Q ù	R	=	{3}
   n(Q ù	R)	=	1	 	 n(P ù	Q ù	R)	=	1

Bagaimanakah anda menentukan persilangan antara dua atau lebih set dengan
gambar rajah Venn?
Persilangan	antara	dua	atau	lebih	set	boleh	diwakilkan	oleh	kawasan	berlorek	seperti	dalam	gambar
rajah	Venn	di	bawah.

P Q

P ù	Q

P
Q

P ù	Q	=	Q
(P ù	Q)	,	P

R

P Q

P ù	R

P Q

R

P ù	Q	ù	R

B , A
Set B ialah subset

kepada set A apabila
semua unsur set B

terdapat dalam set A.

MEMORI SAYA

Simbol	⊆	juga	boleh
digunakan	sebagai	subset.

ZON INFORMASI
Saiz sebenar

99

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	J,	set	K	dan	set	L	dengan	keadaan
set	semesta,	ξ		=	{1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9}.

Senaraikan	semua	unsur	bagi	persilangan	set	yang	berikut.
(a)	J ù	K	 (b)	 J ù	L (c)	 K ù	L (d)	 J ù	K ù	L

Penyelesaian:
(a)	J ù	K =	{3,	5}
(b)	 J ù	L =	{5,	7,	9}
(c)	 K ù	L =	{5}
(d)	 J ù	K ù	L =	{5}

2Contoh

3Contoh

•7
•9

•1
•6
•4

•5	 •3	 •2
•8

L
J K

Set kosong ialah set
yang tidak mengandungi
sebarang unsur dan boleh
diwakili oleh simbol φ
atau {	}.

MEMORI SAYA

Diberi	set	A	=	{nombor	dalam	dadu},	set	B	=	{nombor	genap	dalam	dadu}	dan	set	C	=	{7,	8,	9}.
(a)	 Senaraikan	semua	unsur	bagi	persilangan	set	yang	berikut.
	 (i)	A ù	B	 (ii)	B ù	C (iii)	A ù	C

(b)		Lukis	gambar	rajah	Venn	yang	mewakili	set	A,	set	B,	set	C	dan	lorekkan	kawasan	yang	mewakili
persilangan	set	yang	berikut.

(i)	A ù	B	 (ii)	B ù	C

Penyelesaian:
(a)	 A	=	{1,	2,	3,	4,	5,	6}	 (i)	 A ù	B =	{2,	4,	6}
 B	=	{2,	4,	6}	 (ii)		B ù	C =	{	}
	 C	=	{7,	8,	9}	 (iii)	A ù	C =	φ

(b)	 (i)	 (ii)

Semua	unsur	set	B	terdapat	dalam	set	A.	 	 Set	B	dan	set	C	tidak	mempunyai	unsur	sepunya.
	 A ù	B =	B

B

A

•2
•4
•6

C •1

•5•3

•7
•8
•9

B

A

•2
•4
•6

C •1

•5•3

•7
•8
•9

1.	 Diberi	 ξ	 =	 {x	 :	 x	 ialah	 integer,	 1	≤	 x	≤	 10},	 set	 M	 =	 {x	 :	 x	 ialah	 nombor	 ganjil}	 dan
set	N	=	{x	:	x	ialah	gandaan	3}.	Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.

(a)	 set	M	 (b)	 set	N	 (c)	 M ù	N

Praktis Kendiri 4.1a
Saiz sebenar

100

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Bagaimanakah anda menentukan pelengkap bagi persilangan set?
Pelengkap	 bagi	 persilangan	 set	 ditulis	 menggunakan	 tanda	 “	 '	 ”.
(A ù	B)'	dibaca	sebagai	“pelengkap	bagi	persilangan	set	A	dan	set	B”.
Pelengkap	bagi	persilangan	set	A	dan	set	B	bermaksud	semua	unsur
yang	bukan	dalam	persilangan	set	A	dan	set	B.

4Contoh

Standard
Pembelajaran

Menentukan pelengkap
bagi persilangan set.

Diberi	set	semesta,	ξ	=	{x	:	x	ialah	integer,	1	≤	x	≤	8},	set	A	=	{1,	2,	3,	4,	5,	6},	set	B	=	{2,	4,	6},
dan	set	C	=	{1,	2,	3,	4},	senaraikan	semua	unsur	dan	nyatakan	bilangan	unsur	bagi	set	yang	berikut.
(a)	 (A ù	B)′	 (b)	 (A ù	C)′ (c)	 (A ù	B ù	C)′

Penyelesaian:
ξ	=	{1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8}
(a)		A ù	B	=	{2,	4,	6}	 (b)	 A ù	C	=	{1,	2,	3,	4}	 (c)	 A ù	B ù	C	=	{	2,	4}
	 (A ù	B)′	=	{1,	3,	5,	7,	8}	 	 (A ù	C)′	=	{5,	6,	7,	8}	 	 (A ù	B ù	C)′	={1,	3,	5,	6,	7,	8}
 n(A ù	B)′	=	5	 	 n(A ù	C)′	=	4	 	 n(A ù	B ù	C)′	=	6

Bagaimanakah anda menentukan pelengkap bagi persilangan antara dua atau lebih
set dengan gambar rajah Venn?
Pelengkap	bagi	persilangan	antara	dua	atau	 lebih	set	boleh	diwakili	oleh	rantau	berlorek	seperti
dalam	gambar	rajah	Venn	di	bawah.

(P ù	Q)′ (P ù	Q)′ (P ù	R)′ (P ù	Q	ù	R)′

P
Q

ξ
P Q

ξ	 P Q

R

ξ	 P Q

R

ξ

J
LK

•3•9 •1
•8

•4
•6

•2

•5

•7

2.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	J,	set	K	dan	set	L	dengan	keadaan
set	semesta,	ξ	=	{1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9}.	Senaraikan	semua	unsur	bagi
persilangan	set	yang	berikut.
(a)	 J ù	K	 (b)	 J ù	L	 (c)	 K ù	L	 (d)	 J ù	K ù	L

3.	 Diberi	set	semesta,	ξ	=	{x	:	x	ialah	integer,	1	≤	x	≤	20},	set	P	=	{x	:	x	ialah	nombor	perdana},
set	Q	=	{x	:	x	ialah	gandaan	5}	dan	set	R	=	{x	:	x	ialah	faktor	bagi	10},

(a)	 Lukis	gambar	rajah	Venn	mewakilkan	semua	set	yang	diberikan.
	 (b)	 Berdasarkan	gambar	rajah	di	(a)	lorekkan	kawasan	mewakili	set	P	ù	Q ù	R.

4.	 Diberi,	set	A	=	{x	:	x	ialah	huruf	dalam	perkataan	“GIGIH”},	set	B	=	{x	:	x	ialah	huruf	dalam
perkataan	“DEDIKASI”},	dan	set	C	=	{x	:	x	ialah	huruf	dalam	perkataan	“JUJUR”},	nyatakan
bilangan	unsur	dengan	menyenaraikan	semua	unsur	bagi	persilangan	set	yang	berikut.

(a)	 n(A ù	B)	 (b)	 n(A ù	C)	 (c)	 n(B ù	C)	 (d)	 n(A ù	B ù	C)
Saiz sebenar

101

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

5Contoh

Diberi	aktiviti	kokurikulum	yang	disertai	oleh	tiga	orang	murid	seperti	dalam	set	P,	set	Q	dan	set	R
dengan	keadaan	set	semesta,	ξ	=	{Pengakap,	Matematik,	Hoki,	Bola	Sepak,	Sejarah,	Badminton,
Kadet	Polis}.
P =	{Pengakap,	Matematik,	Hoki}
Q	=	{Kadet	Polis,	Sejarah,	Badminton}
R	=	{Pengakap,	Sejarah,	Bola	Sepak}

(a)	 Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
(i)	(P ù	R)'	 (ii)	 (R ù	Q)' (iii)	(P ù	Q ù	R)'

(b)	 Lukis	gambar	rajah	Venn	yang	mewakili	set	P,	set	Q	dan	set	R	dan	lorekkan	kawasan	yang
mewakili	pelengkap	bagi	persilangan	set	yang	berikut.
(i)	(P ù	R)'	 (ii)	 (R ù	Q)' (iii)	(P ù	Q ù	R)'

Penyelesaian:
ξ	=	{Pengakap,	Matematik,	Hoki,	Bola	Sepak,	Sejarah,	Badminton,	Kadet	Polis}.

(a)	 (i)					P ù	R	=	 {Pengakap}
	 	 (P ù	R)′	=	 {Matematik,	Hoki,
	 	 	 Bola	Sepak,	Sejarah,
	 	 	 Badminton,	Kadet	Polis}

(b)	 (i)

P Q

R•Matematik

•Bola
			Sepak

•Sejarah

•Kadet	Polis

•Badminton

•Pengakap

•Hoki

(a)	 (ii)					R ù	Q	=	{Sejarah}
	 	 	(R ù	Q)'	=	{Pengakap,	Matematik,
	 	 	 Hoki,	Bola	Sepak,
	 	 	 Badminton,	Kadet	Polis}

(b)	 (ii)

P Q

R•Matematik

•Bola
			Sepak

•Sejarah

•Kadet	Polis

•Badminton

•Pengakap

•Hoki

(a)	 (iii)					P ù	Q ù	R	=	{	}
	 	 	 (P ù	Q ù	R)′	=	{Pengakap,	Matematik,
	 	 	 	 Hoki,	Bola	Sepak,
	 	 	 	 Sejarah,	Badminton,
	 	 	 	 Kadet	Polis}

(b)	 (iii)

P Q

R•Matematik

•Bola
			Sepak

•Sejarah

•Kadet	Polis

•Badminton

•Pengakap

•Hoki
Saiz sebenar

102

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

1.	 Diberi	set	semesta,	ξ	=	{2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10},	set	P	=	{3,	5,	7,	9}, set Q	=	{2,	3,	5,	7}	dan	set
R	=	{2,	4,	6,	8,	10},	senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.

(a)	 (P ù	Q)' 	 (b)	 (Q ù	R)' 	 (c)	 (P ù	Q ù	R)'

2.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	G,	set	H,	set	I	dan	set	semesta,	ξ.
Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.

(a)	 (G ù	H)'
	 (b)	 (G ù	I)'
	 (c)	 (H ù	I)'
	 (d)	 (G ù	H ù	I)'

3.	 Lorekkan	kawasan	yang	mewakili	pelengkap	bagi	persilangan	set	yang	diberikan.
	 (a)	 	 (b)	 	 (c)

(P ù	Q)'          (P ù	R)'             (P ù Q ù	R)'

4.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set L,	set	M, set	N  dan	set	semesta,	ξ	=	{a,	b,	c,	d,	e,	f,	g}.

•c	•a
•b

•d
•g

M N

•e	 •f

L

Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 (a)	 (M ù	L)'
	 (b)	 (N ù	L)'
	 (c)	 (M ù	N)'
	 (d)	 (L ù	M ù	N)'

Praktis Kendiri 4.1b

ξ
P Q

R

ξ G
H

I
•15 •10 •13

•11

•16
•17•18

•12 •14

ξ
P Q

R

ξ
P Q

R
Saiz sebenar

103

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Kesimpulan

(a)	85	orang	murid	memilih	kelas	intensif.
(b)	55	orang	murid	tidak	menyertai	sebarang	kelas	intensif.

6Contoh

Langkah:
1.	 Isikan	n(B ù	S)	=	50.
2.	 Isikan	bilangan	murid	yang	hanya

mengambil	mata	pelajaran	Bahasa	Melayu.
	 65	−	50	=	15
3.	 Isikan	bilangan	murid	yang	hanya

mengambil	mata	pelajaran	Sejarah.
	 70	−	50	=	20
4.	 Murid	yang	menyertai	kelas	intensif
	 15	+	50	+	20	=	85
5.	 Murid	yang	tidak	menyertai	kelas	intensif
	 140	−	85	=	55

Melaksanakan strategi

Jumlah	murid	=	140	 Kelas	Bahasa	Melayu	=	65
Kelas	Sejarah	=	70	 Kelas	Bahasa	Melayu	dan	Kelas	Sejarah	=	50
Hitung
(a)	 jumlah	murid	yang	dapat	menyertai	kelas	intensif.
(b)	 jumlah	murid	yang	tidak	menyertai	sebarang	kelas	intensif.

Memahami masalah

Merancang strategi

ξ		 =		{jumlah	murid}
B		=		{murid	memilih	kelas	Bahasa	Melayu}
S		=		{murid	memilih	kelas	Sejarah}
Lukis	gambar	rajah	Venn	mewakili	semua	maklumat	yang	diberikan.

ξ

55

5015 20

B S

65	–	50	=	15 70	–	50	=	20

140	–	85	=	5515	+	50	+	20	=	85

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
persilangan set.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
melibatkan persilangan set?

Sebanyak	140	orang	murid	tingkatan	lima	diberi	peluang	untuk	menyertai
kelas	intensif	untuk	mata	pelajaran	Sejarah	dan	Bahasa	Melayu.
Sebanyak	65	orang	murid	memilih	kelas	Bahasa	Melayu,	70	orang	murid	memilih	kelas	Sejarah
manakala	50	orang	murid	memilih	kelas	Bahasa	Melayu	dan	Sejarah.	Hitung
(a)	 jumlah	murid	yang	dapat	menyertai	kelas	intensif.
(b)	 jumlah	murid	yang	tidak	menyertai	sebarang	kelas.
Saiz sebenar

104

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Sebanyak	200	orang	pelajar	universiti	disoal	selidik	tentang	penggunaan	alat	teknologi.	Hasil	kajian
menunjukkan	155	orang	pelajar	memiliki	telefon	bimbit,	90	orang	pelajar	memiliki	komputer	riba,
37	 orang	 pelajar	memiliki	 tablet,	 4	 orang	 pelajar	memiliki	 kedua-dua	 komputer	 riba	 dan	 tablet
sahaja,	 50	 orang	 pelajar	memiliki	 kedua-dua	 telefon	 bimbit	 dan	 komputer	 riba	 sahaja,	 5	 orang
pelajar	memiliki	 telefon	 bimbit	 dan	 tablet	 sahaja	 dan	 83	 orang	 pelajar	memiliki	 telefon	 bimbit
sahaja.	Hitung
(a)	 jumlah	pelajar	yang	memiliki	ketiga-tiga	alat	teknologi	tersebut.
(b)	 jumlah	pelajar	yang	tidak	memiliki	ketiga-tiga	alat	teknologi	tersebut.

7Contoh

Kesimpulan

(a)	17	orang	pelajar	memiliki	ketiga-tiga	alat	teknologi.
(b)	11	orang	pelajar	tidak	memiliki	ketiga-tiga	alat	teknologi	tersebut.

Langkah:
1.	 Lukis	gambar	rajah	Venn	seperti
	 di	sebelah	dengan	maklumat	yang	diberikan
2.	 Hitung	nilai,	x	=	155	−	83	−	50	−	5
	 																					x	 =	17
3.	 Hitung	nilai,	y	=	90	−	50	−	4	−	17
	 																					y	 =	19
4.	 Hitung	nilai,	p =	37	–	5	–	17	–	4
	 																					p	 =	11
5.	 Hitung	nilai,	q =	200	–	83	–	50	–	5	–	4	–	x – y – p
	 																					q	 =	200	–	83	–	50	–	5	–	4	–	17 – 19 – 11
	 																					q =	11

Melaksanakan strategi

Jumlah	pelajar	=	200	 telefon	bimbit	=	155	 komputer	riba	=	90	 tablet	=	37
telefon	bimbit	dan	komputer	riba	sahaja	=	50	 komputer	riba	dan	tablet	sahaja	=	4
telefon	bimbit	sahaja	=	83	 	 	 telefon	bimbit	dan	tablet	sahaja	=	5

Hitung,
(a)	 jumlah	pelajar	yang	memiliki	ketiga-tiga	alat	teknologi	tersebut.
(b)	 jumlah	pelajar	yang	tidak	memiliki	ketiga-tiga	alat	teknologi	tersebut.

Memahami masalah

Merancang strategi

ξ	=	{200	orang	pelajar}
B	=	{pelajar	yang	memiliki	telefon	bimbit}
K	=	{pelajar	yang	memiliki	komputer	riba}
T	=	{pelajar	yang	memiliki	tablet}
Lukis	gambar	rajah	Venn	yang	mewakili	semua	maklumat	yang	diberikan.

ξ
B K

T q

50
x

y	83

p

5 4
Saiz sebenar

105

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

1.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	A	=	{ahli	Kelab	Seni}	dan
	 set	B	=	{ahli	Kelab	Sains}.	Jika	n(A)	=	15	dan	n(B)	=	22,	hitung
	 (a)	 nilai	x.
	 (b)	 jumlah	ahli	bagi	Kelab	Seni	dan	Kelab	Sains.

2.	 Sebanyak	150	orang	murid	mengambil	ujian	diagnostik	bagi	kedua-dua	mata	pelajaran	Sains
dan	Matematik.	Keputusan	menunjukkan	 sebanyak	 40%	 daripada	 jumlah	murid	 lulus	mata
pelajaran	Sains	dan	30%	daripada	jumlah	murid	lulus	kedua-dua	mata	pelajaran	tersebut.	Jika
8%	daripada	jumlah	murid	gagal	dalam	kedua-dua	ujian	tersebut,	hitung

(a)	 bilangan	murid	yang	lulus	mata	pelajaran	Matematik.
	 (b)	 bilangan	murid	yang	hanya	lulus	mata	pelajaran	Sains.
	 (c)	 bilangan	murid	yang	hanya	lulus	mata	pelajaran	Matematk.

3.	 Sebuah	kedai	kain	mengadakan	jualan	murah	bagi	menghabiskan	stok	kain	batik	yang	berwarna

merah,	 hijau	 dan	 biru.	 Hasil	 jualan	menunjukkan	 sebanyak	 210	 orang	membeli	 kain	 batik
tersebut.	Jika	sebanyak	70	orang	membeli	kain	batik	berwarna	hijau	sahaja,	13	orang	membeli
kedua-dua	kain	berwarna	hijau	dan	biru,	50	orang	membeli	kain	batik	berwarna	biru	sahaja	dan
15	orang	membeli	kedua-dua	kain	batik	berwarna	hijau	dan	merah,	tidak	ada	yang	membeli
ketiga-tiga	jenis	kain	batik	tersebut	dan	tidak	ada	yang	membeli	kain	berwarna	merah	dan	biru,
berapakah	bilangan	orang	yang	membeli	kain	batik	berwarna	merah	sahaja?

4.	 Diberi	ξ	=	{murid	Tingkatan	4},	set	K	=	{murid	yang

suka	bermain	piano}	dan	set L =	{murid	yang	suka	bermain
biola}.	Jika	n(ξ)	=	35,	n(K)	=	15,	n(L)	=	9	dan	n(K ù	L)	=	5,
hitung	bilangan	murid	yang	tidak	suka	bermain	kedua-dua
alat	muzik	tersebut.

5.	 Sebuah	Kelab	Badminton	mengadakan	pertandingan	badminton	antara	ahli	kelab.	Sebanyak	38
orang	ahli	terlibat	dalam	acara	ini.	20	orang	ahli	bermain	dalam	acara	beregu	dan	26	orang	ahli
bermain	dalam	acara	perseorangan.	Hitung	bilangan	ahli	yang	terlibat	dalam	kedua-dua	acara
tersebut.

Praktis Kendiri 4.1c

7	8 x

A B
Saiz sebenar

106

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

4.2 Kesatuan Set

Bagaimanakah anda menentukan dan menghuraikan
kesatuan set dengan menggunakan pelbagai perwakilan?

Kesatuan	set	P	dan	set	Q	ditulis	menggunakan	simbol	ø.	P ø Q
mewakili	semua	unsur	dalam	set	P	atau	set	Q	atau	kedua-dua	set	P
dan	set	Q.

Rangsangan Minda 2

Tujuan:		Menentukan	dan	menghuraikan	kesatuan	set	dengan	menggunakan	pelbagai	perwakilan.

Sekumpulan	murid	membuat	 pilihan	 antara	 tiga	 aktiviti	masa	 lapang	 yang	 digemari,	 iaitu
membaca,	melayari	Internet	dan	bersukan.

Amirah	suka	membaca.	 Sofie	suka	melayari	Internet.
Kiran	suka	melayari	Internet.	 Habibah	suka	membaca.
Adeline	suka	melayari	Internet.	 Ranjit	suka	bersukan.
Karim	suka	bersukan	dan	melayari	Internet.	 Kamal	suka	membaca	dan	bersukan.
Mei	Yee	suka	membaca.	 Farhan	suka	bersukan.

Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.  Setiap	kumpulan	dibekali	kertas	sebak,	sticky note, kad	lampu	isyarat	dan

pen	penanda berwarna.
3.  Setiap	kumpulan	akan	membaca	situasi	yang	diberikan	di	atas	dan	melengkapkan

tugasan	yang	diberikan.
4.  Setiap	kumpulan	akan	membentangkan	hasil	kerja	mereka	dengan	menggunakan

kaedah	Galeri	Jelajah	Minda	(Gallery Walk).
Tugasan:
(a)		Sediakan	satu	jadual	seperti	berikut.

Nama murid yang
suka membaca

Nama murid yang
suka melayari Internet

Nama murid yang
suka bersukan

•	Amirah
•	Mei	Yee
•	Habibah
•	Kamal

Standard
Pembelajaran

Menentukan dan
menghuraikan kesatuan
set dengan menggunakan
dengan pelbagai perwakilan.

Negara Malaysia terdiri daripada
pelbagai kaum. Namun rakyat

Malaysia pelbagai kaum
disatukan sebagai warganegara

Malaysia.
Saiz sebenar

107

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

(b)		Tulis	nama-nama	murid	yang	mewakili	setiap	set	yang	diberikan	menggunakan	tatatanda	set.
 A	=	{murid	yang	suka	membaca}
	 A	=	{Amirah,	Mei	Yee,	Habibah,	Kamal}

B	=	{murid	yang	suka	melayari	Internet}
	 B	=	{ 	,	 	,	 	,	 }

C	=	{murid	yang	suka	bersukan}
	 C	=	{ 	,	 	,	 	,	 }

A ø B =	{semua	murid	yang	suka	membaca	atau	melayari	Internet}
 A ø B =	{Amirah,	Mei	Yee,	Habibah,	Kamal,	Kiran,	Adeline,	Karim,	Sofie}

B ø C =	{semua	murid	yang	suka	melayari	Internet	atau	bersukan}
 B ø C =	{ 	,	 	,	 	,	 	,	 ,	 	,	 }

A ø C =	{semua	murid	yang	suka	membaca	atau	bersukan}
 A ø C =	{ 	,	 	,	 	,	 	,	 ,	 	,	 }

A ø B ø C	=	{semua	murid	yang	suka	membaca,	melayari	Internet	atau	bersukan}
	 A ø B ø C	=	{ 	,	 	,	 	,	 	,	 ,	 	,	 	,	 	,	 	,	 }

(c)	 Lukis	kesatuan	set	yang	berikut	dengan	menggunakan	gambar	rajah	Venn.
	 (i)		 set	A ø B
	 (ii)		 set	B ø C
	 (iii)		 set	A ø B	ø C

Perbincangan:
Bagaimanakah	anda	dapat	menentukan	kesatuan	set	berdasarkan	aktiviti	di	atas?

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	2,	didapati	bahawa;

A ø B ø C	terdiri	daripada	semua	murid	dalam	set	A,	set	B	atau	set	C	iaitu	Amirah,
Mei	Yee,	Habibah,	Kamal,	Karim,	Kiran,	Adeline,	Sofie,	Ranjit	dan	Farhan.

Bagaimanakah anda menentukan kesatuan antara dua atau lebih set dengan gambar
rajah Venn?
Kesatuan	antara	dua	atau	lebih	set	boleh	diwakili	oleh	rantau	berlorek	seperti	dalam	gambar	rajah
Venn	di	bawah.

P Q

P ø	Q

P
Q

P ø	Q

P Q

R
Q ø	R

P Q

R
P ø	Q	ø	R
Saiz sebenar

108

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

8Contoh

Diberi	set	P	=	{faktor	bagi	24},	set	Q	=	{gandaan	3	yang	kurang	daripada	20}	dan
set	R =	{gandaan	4	yang	kurang	daripada	20}.
(a)	 Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 (i)	P	ø Q		 (ii)	P	ø R (iii)	Q ø R (iv)	P	ø Q ø R

(b)	 Lukis	gambar	rajah	Venn	yang	mewakili	set	P,	set	Q,	set	R	dan	lorekkan	kawasan	yang	mewakili
kesatuan	set	yang	berikut.

(i)		P	ø Q	 (ii)	P		ø Q ø R

Penyelesaian:

(a)	 		(i)		P	=	{1,	2,	3,	4,	6,	8,	12,	24}
	 	 Q	=	{3,	6,	9,	12,	15,	18}
	 	 P	ø Q	=	{1,	2,	3,	4,	6,	8,	9,	12,	15,	18,	24}

(ii)	P	=	{1,	2,	3,	4,	6,	8,	12,	24}
	 	 	R	=	{4,	8,	12,	16}
	 	 P	ø R	=	{1,	2,	3,	4,	6,	8,	12,	16,	24}

(iii)	Q	=	{3,	6,	9,	12,	15,	18}
	 	 	R	=	{4,	8,	12,	16}
	 	 Q ø R	=	{3,	4,	6,	8,	9,	12,	15,	16,	18}

(iv)	P	=	{1,	2,	3,	4,	6,	8,	12,	24}
	 	 Q	=	{3,	6,	9,	12,	15,	18}
	 	 	R	=	{4,	8,	12,	16}
	 	 P	ø Q ø R	=	{1,	2,	3,	4,	6,	8,	9,	12,	15,	16,	18,	24}

(b)	 (i)		 (ii)	P

•16 R

Q
•3
•6

•9
•15
•18

•1
•2
•24 •12

•4
•8

P

•16 R

Q
•3
•6

•9
•15
•18

•1
•2
•24 •12

•4
•8
Saiz sebenar

109

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

1.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	A,	set	B	dan	set	C dengan	keadaan	set	semesta,	ξ	=	A ø B ø C

Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 (a)	 A ø B	 (b)	 A ø C	 (c)	 B ø C	 (d)	 A ø B ø C

2.	 Diberi	ξ	=	{x	:	x	ialah	integer,	50	≤	x	≤	60},	set	P	=	{x	:	x	ialah	gandaan	3},
set	Q	=	{x	:	x	ialah	nombor	ganjil}	dan	set	R	=	{x	:	x	ialah	nombor	perdana}.

(a)	 Lukis	gambar	rajah	Venn	mewakili	set	semesta	ξ	,	set P,	set	Q	dan	set	R.
	 (b)	 Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 	 (i)		P ø Q	 (ii)		P ø R	 (iii)		Q ø R	 (iv)		P ø Q ø R

3.	 Lorekkan	kawasan	yang	mewakili	bagi	set	yang	diberikan.

	 (a)	 	 (b)	 	 (c)

R ø T              R ø S             R ø S ø T

4.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	J,	set	K	dan	set	L	dengan
keadaan	set	semesta,	ξ	=	J	ø	K	ø	L.

Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 (a)	 J ø K
	 (b)	 J ø L
	 (c)	 J ø K ø L

Praktis Kendiri 4.2a

J

•4
•9 L

K
•5 •7

•8
•1
•2

•6
•3

ξ
R

T

S

ξ
R

T

S

ξ
R

T

S

•k

B

•n •s
•l
•f
•g•p

•d

•b

A C
Saiz sebenar

110

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Standard
Pembelajaran

Menentukan pelengkap
bagi kesatuan set.

9Contoh

Diberi	set	semesta,	ξ	=	{x	:	x	ialah	integer,	50	≤	x	≤	60},	set	G	=	{x	:	x	ialah	nombor	perdana},
set	H	=	{x	:	x	ialah	gandaan	4}	dan	set	R	=	{x	:	x	ialah	gandaan	5},	senaraikan	semua	unsur	dan
nyatakan	bilangan	unsur	bagi	set	yang	berikut.
(a)	(G	ø	H )′	 	 (b)	(G ø I )′	 	 (c)	(H	ø	I )′	 	 (d)	(G	ø	H	ø	I )′

Penyelesaian:

ξ	 =	{50,	51,	52,	53,	54,	55,	56,	57,	58,	59,	60}
G	=	{53,	59}
H	=	{52,	56,	60}
I	 =	{50,	55,	60}

(a)	G	ø	H 	=	{52,	53,	56,	59,	60}	 (b)	 G ø I 	=	{50,	53,	55,	59,	60}
	 (G	ø	H )′	=	{50,	51,	54,	55,	57,	58}	 	 (G ø I )′	=	{51,	52,	54,	56,	57,	58}
	 n(G	ø	H )′	=	6	 	 n(G	ø	I )′	=	6

(c)	H	ø	I 	=	{50,	52,	55,	56,	60}	 (d)	 G	ø	H	ø	I 	=	{50,	52,	53,	55,	56,	59,	60}
	 (H	ø	I )′	=	{51,	53,	54,	57,	58,	59}	 	 (G	ø	H	ø	I )′	=	{51,	54,	57,	58}
	 n(H	ø	I )′	=	6	 	 n(G	ø	H	ø	I )′	=	4

Bagaimanakah anda menentukan pelengkap bagi kesatuan antara dua atau lebih set
dengan gambar rajah Venn?

Pelengkap	bagi	kesatuan	antara	dua	atau	lebih	set	boleh	diwakili	oleh	rantau	berlorek	seperti	dalam
gambar	rajah	Venn	di	bawah.

P Q
ξ

(P ø	Q)′

P
Q

ξ

(P ø	Q)′

ξ

R
P Q

(P ø	R)′

ξ

R
P Q

(P ø	Q	ø	R)′

Bagaimanakah anda menentukan pelengkap bagi kesatuan set?

Pelengkap	bagi	 kesatuan	 set	 ditulis	 dengan	menggunakan	 (A ø B)',
dibaca	sebagai	“pelengkap	bagi	kesatuan	set	A	atau	set	B”.	Pelengkap
bagi	kesatuan	 set	A	 atau	 set	B	 bermaksud	 semua	unsur	yang	bukan
dalam	set	A	atau	set	B.
Saiz sebenar

111

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Tiga	buah	agensi	pelancongan	swasta	iaitu	A,	B	dan	C	 telah	dipilih	untuk	mengadakan	pameran
pelancongan	2020	di	negeri		Sarawak.	Oleh	itu,	beberapa	bahagian	yang	dipilih	di	negeri	Sarawak
untuk	mengadakan	pameran	tersebut	adalah	seperti	yang	berikut.
ξ	=	{Kapit,	Miri,	Bintulu,	Sibu,	Limbang,	Mukah,	Kuching,	Betong}
A	=	{Miri,	Sibu,	Kuching,	Betong}
B	=	{Miri,	Sibu,	Kapit,	Limbang}
C	=	{Miri,	Betong,	Kapit,	Mukah}

(a)	 Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
(i)	(A ø B)′	 (ii)	 (B ø C)′ (iii)	(A ø B ø C)′

(b)	 Lukis	gambar	rajah	Venn	bagi	set	yang	berikut	dan	lorekkan	kawasan	yang	mewakili	pelengkap
bagi	kesatuan	set	yang	diberikan.
(i)	(A ø B)′	 (ii)	 (B ø C)′ (iii)	(A ø B ø C)′

Penyelesaian:

(a)	 (i)	 				A ø B	=	{Kapit,	Miri,	Sibu,	Limbang,
	 	 	 Kuching,	Betong}
	 	 (A ø B)′	=	{Mukah,	Bintulu}

(b)	 (i)

(a)	 (ii)	 				B ø C	=	{Kapit,	Miri,	Sibu,	Limbang,
	 	 	 Betong,	Mukah}
	 	 (B ø C)′	=	{Kuching,	Bintulu}

(b)	 (ii)

(a)	 (iii)					A ø B ø C	=	{Kapit,	Miri,	Sibu,
	 	 	 Limbang,	Mukah,
	 	 	 Betong,	Kuching}
	 	 (A ø B ø C)′	=	{Bintulu}

(b)	 (iii)

10Contoh

A B

C

ξ

•Kuching

•Miri

•Betong

•Sibu

•Bintulu
•Mukah

•Limbang

•Kapit

A B

C

ξ

•Kuching

•Miri

•Betong

•Sibu

•Bintulu
•Mukah

•Limbang

•Kapit

A B

C

ξ

•Kuching

•Miri

•Betong

•Sibu

•Bintulu
•Mukah

•Limbang

•Kapit
Saiz sebenar

112

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Praktis Kendiri 4.2b

1.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	semesta	ξ,	set	A	dan	set	B.

Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 (a)	 A'	 (b)	 B'	 (c)	 (A ø B)′

2.	 Diberi	ξ	=	{x	:	x	ialah	integer,	10	≤	x	≤	30},	set	G	=	{x	:	x	ialah	nombor	perdana},
set	H	=	{x	:	x	ialah	hasil	tambah	dua	digit	adalah	ganjil}	dan	set	I	=	{x	:	x	ialah	gandaan	6}.

(a)	 Lukis	gambar	rajah	Venn	yang	mewakili	set	semesta	ξ	,	set G,	set	H	dan	set	I.
	 (b)	 Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 	 (i)		(G ø H )	'	 (ii)		(	H ø I )′	 (iii)		(	G ø H ø I )'

3.	 Lorekkan	kawasan	yang	mewakili	bagi	set	yang	diberikan.
	 (a)	 	 	 (b)

(A ø B)′                                   (A ø 	B ø C )′

4.	 Lorekkan	kawasan	yang	mewakili	bagi	set	yang	diberikan.

	 (a)	 	 (b)	 	 (c)

(	M ø N )′           (	Q ø R )′                (	J ø K ø L )′

ξ
M N

P Q

R

ξ

A  B

•1
•2

•6

•3

•4

ξ

•7 •8

•5

J
K

L
ξ

A B C
ξ

A B C
ξ
Saiz sebenar

113

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Kesimpulan

24	orang	murid	terlibat	dalam	aktiviti	program	tersebut,	n(	A ø B )	=	24

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
 melibatkan kesatuan set?

Sebanyak	26	orang	murid	 telah	menyertai	program	pengakap	di	 tepi
sungai.	Aktiviti	yang	dilakukan	dalam	program	tersebut	ialah	berkayak	 dan	 memancing	 ikan.	 18
orang	murid	berkayak	dan	15	orang	murid	memancing	ikan	manakala	9	orang	murid	terlibat	dengan
kedua-dua	aktiviti	berkayak	dan	memancing	 ikan.	Berapakah	 jumlah	murid	yang	 terlibat	dalam
aktiviti	program	tersebut?

11Contoh

Melaksanakan strategi

Jumlah	murid	=	26
Berkayak	=	18
Memancing	ikan	=	15
Berkayak	dan	memancing	ikan	=	9
Hitung	jumlah	murid	yang	terlibat	dalam	aktiviti	program	ini.

Memahami masalah

Merancang strategi

ξ	=	{jumlah	murid}
A	=	{murid	yang	berkayak}
B	=	{murid	yang	memancing	ikan}
Lukis	sebuah	gambar	rajah	Venn	untuk	mewakili	semua	maklumat	yang	diberikan.	Hitung
(a)		jumlah	murid	yang	berkayak	sahaja
(b)		jumlah	murid	yang	memancing	sahaja
(c)		jumlah	murid	yang	tidak	terlibat	dalam	aktiviti	program	ini
(d)		jumlah	murid	yang	terlibat	dalam	aktiviti	program	ini,	n(	A	ø B )

ξ

A B
9

18	–	9	=	9 15	–	9	=	6

(a)	 Berkayak	sahaja
 =	18	–	9
 =	9
(b)	 Memancing	ikan	sahaja
 =	15	–	9
 =	6
(c)	 Jumlah	murid	yang	tidak	terlibat	dalam	aktiviti
  =	26	–	9	–	9	–	6
		 =	2
(d)	 	Jumlah	murid	yang	terlibat	dalam	aktiviti,	n(A ø B)
	 26	–	2	=	24 9	+	9	+	6	=	24Semak Jawapan

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
kesatuan set.

9
Saiz sebenar

114

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Kesimpulan

34	orang	yang	tidak	memilih	sebarang	bahan	tersebut.
n(	A ø B ø C )'	=	34

Sebanyak	100	orang	dewasa	 terlibat	dalam	kajian	mengenai	bahan	bacaan	yang	menjadi	pilihan
utama	mereka.	40	orang	memilih	surat	khabar,	25	orang	memilih	majalah,	18	orang	memilih	buku
cerita,	8	orang	memilih	kedua-dua	surat	khabar	dan	majalah,	7	orang	memilih	kedua-dua	majalah
dan	buku	cerita,	5	orang	memilih	kedua-dua	surat	khabar	dan	buku	cerita	dan	3	orang	memilih
ketiga-tiga	bahan	bacaan	tersebut.	Berapakah	bilangan	yang	tidak	memilih	sebarang	bahan	bacaan?

12Contoh

Melaksanakan strategi

Jumlah	orang	dewasa	=	100	 	 Surat	khabar	=	40	 	 Majalah	=	25	 	 Buku	cerita	=	18
Surat	khabar	dan	majalah	=	8		 	 Surat	khabar,	majalah	dan	buku	cerita	=	3
Majalah	dan	buku	cerita	=	7
Surat	khabar	dan	buku	cerita	=	5
Hitung	bilangan	yang	tidak	memilih	mana-mana	bahan	tersebut.

Memahami masalah

Merancang strategi

ξ	={Jumlah	orang	dewasa}
P	=	{surat	khabar}	 Q	=	{majalah}	 R	=	{buku	cerita}
Lukis	sebuah	gambar	rajah	Venn	mewakili	semua	maklumat	yang	diberikan.	Hitung
(a)	 jumlah	orang	pilih	surat	khabar	sahaja.
(b)	 jumlah	orang	pilih	majalah	sahaja.
(c)	 jumlah	orang	pilih	buku	cerita	sahaja.
(d)	 jumlah	orang	yang	tidak	memilih	sebarang	bahan	tersebut.	n(	A ø B ø C )'

(a)	 Surat	khabar	sahaja
	 =	40	–	5	–	3	–	2
	 =	30

(b)	 Majalah	sahaja
	 =	25	–	5	–	3	–	4
	 =13

(c)	 Buku	cerita	sahaja
	 =	18	–	3	–	4	–	2
	 =	9

(d)	 	Jumlah	orang	yang	tidak	memilih	sebarang	bahan	tersebut.
n(	A ø B ø C )'	=	100	–	5	–	3	–	4	–	2	–	30	–	13	–	9

=	34

ξ
P Q

R

5
3

4

8	–	3	=	5

7	–	3	=	4

2
Saiz sebenar

115

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Praktis Kendiri 4.2c

1.	 Gambar	 rajah	 Venn	 menunjukkan	 unsur-unsur	 dalam	 set	 J,	 set	 K	 dan	 set	 L.	 Diberi
ξ	=	J ø K ø L	dan	n(ξ)	=	25,	hitung	nilai	x.

2.	 Diberi	set	B	=	{murid	yang	berasal	dari	Sabah}	dan	set	T	=	{murid	yang	berasal	dari	Sarawak}.
Jika	sebuah	kelas	terdiri	daripada	40	orang	murid	dan	n(B ø T)	=	32	,	hitung	bilangan	murid
yang	tidak	berasal	dari	Sabah	dan	Sarawak.

3.	 Sebuah	sekolah	telah	mengadakan	sambutan	Bulan	Kemerdekaan	dengan	menganjurkan	aktiviti
drama,	nyanyian	lagu	patriotik,	dan	kuiz	Sejarah.	Sebanyak	40	orang	murid	telah	menyertai
aktiviti	tersebut.	Diberi	12	daripada	jumlah	murid	menyertai	drama,

1
4	daripada	jumlah	murid

menyertai	 nyanyian	 lagu	 patriotik,	 6	 orang	 murid	 menyertai	 drama	 dan	 kuiz	 Sejarah	 dan
seorang	murid	menyertai	ketiga-tiga	aktiviti	 tersebut.	Sekiranya	 tidak	ada	penyertaan	murid
dalam	 aktiviti	 drama	 dan	 lagu	 patriotik	 sahaja	 dan	 juga	 tidak	 ada	 penyertaan	murid	 dalam
aktiviti	lagu	patriotik	dan	kuiz	Sejarah	sahaja,	berapakah	bilangan	murid	yang	menyertai	kuiz
Sejarah	sahaja?

4.	 Sebuah	kedai	buku	membuat	kajian	terhadap	200	orang	pelanggan	berkaitan	dengan	pembelian
buku	fiksyen	atau	buku	bukan	fiksyen.	Kajian	menunjukkan	114	orang	membeli	buku	bukan
fiksyen,	52	orang	membeli	buku	fiksyen	dan	27	orang	membeli	kedua-dua	buku	fiksyen	dan
bukan	fiksyen.	Hitung,

(a)		bilangan	pelanggan	yang	membeli	buku	fiksyen	sahaja.
	 (b)		bilangan	pelanggan	yang	membeli	buku	bukan	fiksyen	sahaja.
	 (c)		bilangan	pelanggan	yang	tidak	membeli		sebarang	buku	tersebut.

5.	 Murid	Tingkatan	 4	 yang	 terlibat	 dalam	 Program	Kitar	 Semula	 	 telah	mengumpulkan	 surat
khabar	 lama,	 botol	 plastik	 dan	 tin.	 72	 orang	murid	mengumpulkan	 botol	 plastik,	 36	 orang
murid	mengumpulkan	 surat	 khabar	 lama,	 25	 orang	murid
mengumpulkan	 tin,	 20	 orang	 murid	 mengumpulkan	 surat
khabar	lama	dan	botol	plastik,	8	orang	murid	mengumpulkan
surat	khabar	lama	dan	tin,	18	orang	murid	mengumpulkan
botol	 plastik	 dan	 tin	 dan	 7	 orang	 murid	 mengumpulkan
ketiga-tiga	 bahan	 tersebut.	 Hitung	 jumlah	 murid	 yang
terlibat	dalam	program	ini.

J          L

2 x +	2 x	+	57 3

K
Saiz sebenar

116

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

4.3 Gabungan Operasi Set

Bagaimanakah anda menentukan dan menghuraikan
gabungan  operasi set menggunakan pelbagai perwakilan?

Gabungan	operasi	 set	melibatkan	kedua-dua	persilangan	 set	 (ù)	 dan
kesatuan	 set	 (ø)	 pada	masa	 yang	 sama.	Gabungan	 operasi	 set	 perlu
diselesaikan	 dari	 kiri	 ke	 kanan,	 namun	 jika	 terdapat	 operasi	 dalam
kurungan,	operasi	dalam	kurungan	mesti	diselesaikan	dahulu.

13Contoh

Jadual	menunjukkan	hobi	sekumpulan	murid.

Arif	menyanyi	 Iris	melukis,	menyanyi	dan	menari
Zarif	melukis	 Alan	menyanyi	dan	menari
Lily	menari	 	 May	menari	dan	melukis
Emy	menari	dan	menyanyi	 Jay	menyanyi	dan	melukis
Getha	melukis	 Nani	menari

P	=	{murid	yang	menyanyi},	Q	=	{murid	yang	menari}	dan	R	=	{murid	yang	melukis}.

Berdasarkan	jadual	di	atas,
(a)	 senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 (i)	(P ø Q)	ù	R		 (ii)	Q ø (P ù	R)

(b)	 Lukis	gambar	rajah	Venn	serta	lorekkan	kawasan	yang	mewakili	setiap	set	yang	berikut.
	 (i)	(P ø Q)	ù	R		 (ii)	Q ø (P ù	R)

Penyelesaian:
P	=	{Arif,	Emy,	Iris,	Alan,	Jay}
Q	=	{Lily,	Emy,	Iris,	Alan,	May,	Nani}
R	=	{Zarif,	Getha,	Iris,	May,	Jay}

(a)	 (i)		 									(P ø Q)	=	{Arif,	Emy,	Iris,	Alan,	Jay,	Lily,	May,	Nani}
	 	 	 								R	=	{Zarif,	Getha,	Iris,	May,	Jay}
	 	 (P ø Q)	ù	R = {May,	Iris,	Jay}

(ii)																					Q	=	{Emy,	Iris,	Alan,	Lily,	May,	Nani}
	 	 								(P	ù	R)	=	{Iris,	Jay}
	 	 Q ø (P	ù	R) = {Lily,	Emy,	Iris,	Alan,	May,	Nani,	Jay}

Standard
Pembelajaran

Menentukan dan
menghuraikan gabungan
operasi set menggunakan
pelbagai perwakilan.
Saiz sebenar

117

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

1.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	M,	set	N	dan	set	P
dengan	keadaan	set	semesta,	ξ	=	M ø N ø P.	Lorekkan
set	(M	ø P)	ù	N.

2.	 Diberi	set	semesta,	ξ	=	{x	:	x	ialah	integer,	1	≤	x	≤	15},	set	S	=	{x	:	x	ialah	nombor	ganjil},
set	 R	 =	 {x	 :	 x	 ialah	 nombor	 perdana}	 dan	 set	 T	 =	 {1,	 4,	 7,	 10,	 13}.	 Senaraikan	 semua
unsur	bagi	set	(S ø T)	ù	R.

3.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	P,	 set	Q	dan	set	R
dengan	keadaan	set	semesta,	ξ	=	P ø Q ø R.	Senaraikan
semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.

(a)	 P ù	(Q ø R)
	 (b)	 Q ù	(P ø R)
	 (c)	 (Q ù	R) ø P

Praktis Kendiri 4.3a

M
N

P

P Q      R

•3
•1

•9

•6
•7
•2

•8
•4
•5
•10

(b)	 (i)	 Lorekkan	kawasan	bagi	set	(P ø Q).
	 	 Lorekkan	kawasan	bagi	set	R.
	 	 Set	(P ø Q)	ù	R	ialah	kawasan	yang	sama	meliputi	kedua-dua	set	(P ø Q)	dan	set	R.

(P ø Q) R (P ø Q)	ù	R

•Emy
•Alan

•Lily
•Nani

•Iris

•Arif

•May•Jay

•Getha
•Zarif

QP

R

•Emy
•Alan

•Lily
•Nani

•Iris

•Arif

•May•Jay

•Getha
•Zarif

QP

R

•Emy
•Alan

•Lily
•Nani

•Iris

•Arif

•May•Jay

•Getha
•Zarif

QP

R

(ii)	 Lorekkan	kawasan	bagi	set	Q.
	 	 Lorekkan	kawasan	bagi	set	(P ù	R).
	 	 Set	Q ø (P	ù	R)	ialah	semua	kawasan	yang	meliputi	kedua-dua	set	Q	dan	set	(P ù	R).

Q (P ù	R) Q ø (P ù	R)

•Emy
•Alan

•Lily
•Nani

•Iris

•Arif

•May•Jay

•Getha
•Zarif

QP

R

•Emy
•Alan

•Lily
•Nani

•Iris

•Arif

•May•Jay

•Getha
•Zarif

QP

R

•Emy
•Alan

•Lily
•Nani

•Iris

•Arif

•May•Jay

•Getha
•Zarif

QP

R
Saiz sebenar

118

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

Standard
Pembelajaran

Menentukan pelengkap
bagi gabungan
operasi set.

Bagaimanakah anda menentukan pelengkap bagi gabungan operasi set?

Pelengkap	 bagi	 gabungan	 operasi	 set	 melibatkan	 pelengkap	 bagi
salah	satu	persilangan	set	(	ù	)	atau	kesatuan	set	( ø )	atau	kedua-dua
persilangannya.	Pelengkap	bagi	gabungan	operasi	set	perlu	diselesaikan
dari	kiri	ke	kanan,	namun	jika	terdapat	operasi	dalam	kurungan,	operasi
dalam	kurungan	mesti	diselesaikan	dahulu.

14Contoh

Diberi	ξ	=	{x	:	x	ialah	integer,	30	≤	x	≤	40},	set	A	=	{x	:	x	ialah	gandaan	3}	dan	set	B	=	{x	:	x	ialah
hasil	tambah	dua	digit	adalah	nombor	ganjil}	dan	C	=	{30,	32,	35,	39,	40}.

(a)	Senaraikan	semua	unsur	bagi	setiap	set	yang	berikut.
	 (i)	(A ø B)'	ù	C	 (ii)	 A'ù	(B ø C) (iii)	(A ù	C)' ø (B ù	C)

(b)	Lukis	gambar	rajah	Venn	dan	lorekkan	kawasan	yang	mewakili	setiap	set	yang	berikut.
 (i)	(A ø B)'	ù	C	 	 (ii)	A'ù	(B ø C)  (iii)	(A ù	C)' ø (B ù	C)

Penyelesaian:
ξ	 =	{30,	31,	32,	33,	34,	35,	36,	37,	38,	39,	40}
A	=	{30,	33,	36,	39}
B	=	{30,	32,	34,	36,	38}
C	=	{30,	32,	35,	39,	40}

(a)	 (i)	 								(A ø B)'	=	{31,	35,	37,	40}
	 	 																			C	=	{30	,	32,	35,39	40}
	 	 (A ø B)'	ù	C	= {35,	40}

(ii)	 																		A'	=	{31,	32,	34,	35,	37,	38,	40}
	 	 								(B ø C)	=	{30,	32,	34,	35,	36,	38,	39,	40}
	 	 	A'ù	(B ø C)	=	{32,	34,	35,	38,	40}

(iii)																				(A ù	C)'	=	{31,	32,	33,	34,	35,	36,	37,	38,	40}
	 	 																			(B ù	C)	=	{30,	32}
	 						(A ù	C)' ø (B ù	C)	 =	{30,	31,	32,	33,	34,	35,	36,	37,	38,	40}

Bagi suatu set A dalam
set semesta, pelengkap
bagi set A ditulis
sebagai A', bermaksud
semua unsur yang
bukan dalam set A.

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

119

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

(b)	 (i)	 Lorekkan	kawasan	bagi	set	(A ø B)'
	 	 Lorekkan	kawasan	bagi	set	C
	 	 Set	(A ø B)'	ù	C	ialah	kawasan	yang	sama	meliputi	kedua-dua	set	(A ø B)'	dan	set	C

(A ø B)' C (A ø B)'	ù	C

A B

C

•33
•34
•38

•30

•36

•35
•40

ξ

•31

•37

•32•39

A B

C

•33
•34
•38

•30

•36

•35
•40

ξ

•31

•37

•32•39

A B

C

•33
•34
•38

•30

•36

•35
•40

ξ

•31

•37

•32•39

(ii)	 Lorekkan	kawasan	bagi	set	A'
	 	 Lorekkan	kawasan	bagi	set	(B ø C )
	 	 Set	A'	ù	(B ø C )	ialah	kawasan	yang	sama	meliputi	kedua-dua	set	A'	dan	set	(B ø C )

A' (B ø C ) A'	ù	(B ø C )

A B

C

•33
•34
•38

•30

•36

•35
•40

ξ

•31

•37

•32•39

A B

C

•33
•34
•38

•30

•36

•35
•40

ξ

•31

•37

•32•39

A B

C

•33
•34
•38

•30

•36

•35
•40

ξ

•31

•37

•32•39

(iii)	Lorekkan	kawasan	bagi	set	(A ù	C )'
	 	 Lorekkan	kawasan	bagi	set	(B ù	C )
	 	 	Set	(A ù	C )' ø (B ù	C )	ialah	semua	kawasan	yang	meliputi	kedua-dua	set	(A ù	C )'	dan

set	(B ù	C )

(A ù	C )' (B ù	C ) (A ù	C)' ø (B ù	C )

•30
•39

A B

C

•33
•34
•38

•30

•36

•35
•40

ξ

•31

•37

•32•39

A B

C

•33
•34
•38

•30

•36

•35
•40

ξ

•31

•37

•32•39

ξ

C

A B

•33
•34
•38

•30

•36

•35
•40

•31

•37

•32•39
Saiz sebenar

120

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

1.	 Diberi 	ξ	=	{x 	 : 	x 	 ialah	 integer, 	10	≤	x 	≤	20},	 set 	L 	=	{x 	 : 	x 	 ialah	gandaan	2},
set	M	=	{13,	16,	19}	dan	set	N	=	{x	:	x	ialah	gandaan	5},	senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang
berikut.

(a)	 L'	ù	(	M ø N)
	 (b)	 (M ø N )'	ù	L

2.	 Gambar	 rajah	Venn	menunjukkan	bilangan	unsur	dalam	set	P,	 set	Q	 dan	 set	R yang	belum
lengkap.	Diberi	bahawa	n(	P ù Q )	=	n(	P ø Q )'	dan	n(ξ)	=	50.	Tentukan	n(P).

3.	 Lorekkan	kawasan	yang	mewakili	(J ù	K)'	ù	(K ø L).

(a)	 	 	 	 	 	 						(b)

4.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	semesta.
	 ξ	=	A ø B ø C	dan	n(B')	=	n(B ù	C)
	 Tentukan,
	 (a)	 nilai	y
	 (b)	 n(A ø B ø C)

Praktis Kendiri 4.3b

A

12
C

B

y –	2 42

5 9
y –	1

LJ K
ξ

L

J
K

ξ

ξ

10
R

4
5 5

P                 Q
Saiz sebenar

121

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

15Contoh

Kesimpulan

50	peserta	yang	menyertai	satu	pertandingan	sahaja.

(a)	 Bola	sepak	sahaja
 =	35	–	4
 =	31

(c)	 Pingpong	sahaja
 =	24	–	6	–	2	–	2
 =	14

(d)	 	Jumlah	peserta	yang	hanya	menyertai	satu
pertandingan	sahaja

=	31	+	14	+	5
	 =	50

Melaksanakan strategi

Jumlah	peserta	=	?
Bola	sepak	=	35												Pingpong		=	24																Badminton	=	13
Bola	sepak	dan	pingpong	sahaja	=	4	 	 Badminton	dan	bola	sepak	sahaja	=	0
Pingpong	dan	badminton	sahaja	=	8	 	 Bola	sepak,	pingpong	dan	badminton	=	2
Hitung	jumlah	peserta	yang	menyertai	satu	pertandingan	sahaja.

Memahami masalah

Merancang strategi
ξ	=	{jumlah	peserta}
A	=	{peserta	bola	sepak}	 B	=	{peserta	pingpong	}		 C =	{peserta	badminton}
Lukis	gambar	rajah	Venn	mewakili	semua	maklumat	yang	diberikan.
Hitung
(a)	 jumlah	peserta	bola	sepak	sahaja
(b)	 jumlah	peserta	yang	badminton	sahaja
(c)	 jumlah	peserta	yang	pingpong	sahaja
(d)	 jumlah	peserta	yang	hanya	menyertai	satu	pertandingan	sahaja.

A B

C

2

2

4	–	2	=	2

6

8	–	2	=	6

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
gabungan operasi set.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
melibatkan gabungan operasi set?

Persatuan	Penduduk	Taman	Bahagia	menganjurkan	beberapa	pertandingan
sukan	 supaya	 penduduk	 menyedari	 akan	 kepentingan	 kesihatan	 diri.
Sebanyak	35	orang	menyertai	pertandingan	bola	sepak,	24	orang	menyertai	pertandingan	pingpong,	13
orang	menyertai	pertandingan	badminton.	Manakala	4	orang	menyertai	pertandingan	bola	sepak	dan
pingpong,	8	orang	menyertai	pertandingan	pingpong	dan	badminton	dan	2	orang	menyertai	ketiga-tiga
pertandingan	tersebut.	Tiada	peserta	menyertai	pertandingan	badminton	dan	bola	sepak	sahaja.	Hitung
jumlah	peserta	yang	hanya	menyertai	satu	pertandingan	sahaja.

(b)	 Badminton	sahaja
 =	13	–	6	–	2
 =	5
Saiz sebenar

122

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

1.	 Sebuah	 pasar	 raya	 mengadakan	 kempen	 “Hari	 Tanpa	 Beg
Plastik”.	Pembeli	yang	hadir	perlu	membeli	beg	plastik	atau	beg
guna	semula	untuk	membungkus	barangan	yang	dibeli.	Sebanyak
90	orang	pembeli	yang	hadir,	51	orang	membeli	beg	plastik,	48
orang	membeli	 beg	 guna	 semula,	 9	 orang	membeli	 kedua-dua
beg	plastik	dan	beg	guna	semula.	Hitung	bilangan	pembeli	yang
tidak	menggunakan	beg	plastik.

2.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	bilangan	unsur	dalam	set	X,	set	V	dan	set	W.	Diberi
ξ	=	X ø V ø W	dan	n(ξ)	=	56.	Tentukan	nilai	k.

X   V

W

2
5

3k14

13

5k –	1

3.	 Sebanyak	 100	 orang	 kanak-kanak	 diminta	 memilih	 makanan
yang	 disediakan	 iaitu	 burger,	 salad	 dan	 nasi	 lemak.	 Sebanyak
50	 orang	 memilih	 burger,	 60	 orang	 memilih	 nasi	 lemak,
5	orang	memilih	burger	dan	salad,	3	orang	memilih	nasi	lemak
dan	salad,	22	orang	memilih	burger	dan	nasi	lemak.	Jika	hanya
seorang	 yang	 memilih	 ketiga-tiga	 makanan	 tersebut,	 hitung
jumlah	kanak-kanak	yang	hanya	memilih	salad	sahaja.

4.	 Berdasarkan	kajian	terhadap	100	orang	dewasa,	sebanyak	68	orang	memiliki	kereta	nasional,
manakala	52	orang	memiliki	kereta	import.	Jika	27	orang	memiliki	kedua-dua	kereta	import
dan	kereta	nasional,	hitung	bilangan	yang

(a)	 hanya	memiliki	kereta	nasional.
	 (b)	 hanya	memiliki	kereta	import.
	 (c)	 tidak	memiliki	kereta.

Praktis Kendiri 4.3c
Saiz sebenar

123

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

1.	 Diberi	set	semesta,	ξ	=	{2,	3,	5,	6},	set	P	=	{3,	5},	set	Q	=	{2,	3,	5}	dan	set	R	=	{3,	6}.
Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.

(a)	 P ù	Q	 (b)	 P ù	R	 (c)	 P ù	Q ù	R	 (d)	 (P ù	Q ù	R)'

2.	 Diberi	set	M	=	{b,	a,	i,	k},	set	N	=	{b,	u,	d,	i}	dan	set	P	=	{b,	e,	r,	a,	n,	i}.	Senaraikan	semua
unsur	bagi	set	yang	berikut.

(a)	 M ø N	 (b)	 M ø P	 (c)	 M ø N ø P

3.	 Lorekkan	kawasan	yang	mewakili	set	yang	diberikan,	dengan	keadaan	set	semesta,	ξ	=	P ø Q ø R

(a)	 P ù Q	 	 	 (b)	 P ø R

4.  Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	semesta	ξ,	set	S	dan	set	T.

Senaraikan	semua	unsur	bagi	set	yang	berikut.
	 (a)	 T ' 		 (b)	 S ø T	 (c)	 S '  ù	T	 (d)	 (S ù	T)'

5.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	unsur-unsur	set	A,	set	B	dan	set	C.	Jika	set	semesta,
	 ξ	=	A ø B ø C,	senaraikan	unsur	A' .

•a
•b

A        C

•c
•g •e •f

•i

•h

•d

P Q R P Q R

S	 																																							T

ξ

•5
•6
•8

•1

•2
•4
•9

•3

•7

B
Saiz sebenar

124

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

A C
B

A                                   B
ξ

6.	 Diberi	 ξ	 =	 {x	 :	 x	 ialah	 integer,	 10	 ≤	 x	 ≤	 30},	 set	 P	 =	 {x	 :	 x	 ialah	 nombor	 perdana},
set	Q	=	{x	:	x	ialah	nombor	gandaan	5},	set	R =	{x	:	x	ialah	faktor	bagi	24},	senaraikan	semua
unsur	bagi	set	yang	berikut.

(a)	 Q'		 (b)	 P ø R'	 (c)	 (	P ø R )′	ù	Q

7.	 Lorekkan	kawasan	yang	mewakili	set	yang	diberikan,	dengan	keadaan	set	semesta,	ξ	=	A ø B ø C.

(a)	 A ù (	B ø C )	 	 	 (b)	 C ø (	A ù	B )′

8.	 Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	semesta	ξ,	set	P,	set	Q	dan	R.	Diberi	n(Q)	=	n(P ø R)',
tentukan	n(ξ).

ξ

P Q

R

2

1

4k3

5k

2k

9.	 Gambar	 rajah	Venn	menunjukkan	set	 semesta	ξ	=	{murid
Tingkatan	4},	set	A =	{ahli	Kelab	Muzik}	dan	set	B	=	{ahli
Kelab	Robotik}.	Diberi	n(ξ)	=	58,	n(A)	=	20,	n(B)	=	16	dan
n(A ù	B)	 =	 9,	 tentukan	 bilangan	murid	 yang	 bukan	 ahli
kedua-dua	kelab	tersebut.

10.	 Sebanyak	55	orang	murid	diminta	memilih	dua	aktiviti	semasa	cuti	sekolah.	28	orang	murid
memilih	aktiviti	sukan,	manakala	21	orang	murid	memilih	aktiviti	khidmat	masyarakat.	Jika	12
orang	murid	tidak	memilih	sebarang	aktiviti	tersebut,	berapakah	bilangan	murid	yang	memilih
kedua-dua	aktiviti	tersebut?

A C
B
Saiz sebenar

125

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

P R O J E K

11.	 Amalan	berjimat	cermat	dalam	kalangan	remaja	dipengaruhi	oleh	faktor	keluarga,	masyarakat
dan	media	massa.	Sebanyak	80	orang	remaja	 telah	disoal	selidik.	Didapati	30	orang	remaja
dipengaruhi	oleh	keluarga,	15	orang	remaja	dipengaruhi	oleh	keluarga	dan	masyarakat,	9	orang
remaja	 dipengaruhi	 oleh	 masyarakat	 dan	 media	 massa,	 7	 orang	 remaja	 hanya	 dipengaruhi
oleh	keluarga	dan	3	orang	remaja	dipengaruhi	oleh	ketiga-tiga	faktor	tersebut.	Diberi	nisbah
bilangan	yang	hanya	dipengaruhi	oleh	masyarakat	dan	yang	hanya	dipengaruhi	media	massa
ialah	3:1.	Hitung	bilangan	yang	dipengaruhi	oleh

(a)		hanya	kedua-dua	faktor	keluarga	dan	media	massa,
	 (b)		hanya	media	massa,
	 (c)		masyarakat.

12.	 Persatuan	Sejarah	telah	memperkenalkan	permainan	tradisional
kepada	40	orang	ahlinya.	Sebanyak	17	orang	bermain	ceper,	25
orang	bermain	batu	 seremban,	 18	orang	bermain	 congkak,	 8
orang	bermain	ceper	dan	batu	seremban,	12	orang	bermain	batu
seremban	dan	congkak,	dan	3	orang	bermain	ceper,	congkak
dan	batu	seremban.

Jika	bilangan	ahli	yang	hanya	bermain	batu	seremban	ialah	dua	kali	bilangan	ahli	yang	hanya
bermain	congkak,	hitung	bilangan	ahli

(a)		yang	bermain	batu	seremban	sahaja,
	 (b)		yang	bermain	kedua-dua	permainan	ceper	dan	congkak,
	 (c)		yang	bermain	ceper	sahaja,
	 (d)		yang	tidak	melibatkan	diri	dalam	permainan	tradisional.

13.	Kajian	 terhadap	 80	 orang	 murid	 tentang	 penggunaan	 jenis	 pengangkutan	 ketika	 balik	 ke
kampung	 menunjukkan	 sebanyak	 25	 orang	 murid	 menaiki	 kereta	 api	 dan	 48	 orang	 murid
menaiki	 kereta	 api	 atau	 kereta.	 Jika	 7	 orang	murid	menaiki	 kereta	 api	 dan	 kereta,	 5	 orang
murid	menaiki	bas	dan	kereta	api	serta	2	orang	murid	menggunakan	ketiga-tiga	pengangkutan
tersebut,	berapakah	bilangan	murid	yang	menaiki	bas	atau	kereta	api	sahaja?

Bincangkan	tiga	bidang	kerjaya	yang	akan	menjadi	pilihan	anda	pada	masa	hadapan.

1.	 Senaraikan	tiga	bidang	kerjaya	tersebut.

2.	 Berikan	contoh	pekerjaan	dalam	bidang	kerjaya	tersebut.

3.	 Apakah	mata	pelajaran	yang	penting	dalam	bidang	kerjaya	tersebut?
	 Terangkan	jawapan	anda	dengan	bantuan	gambar	rajah	Venn.
Saiz sebenar

126

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

PETA KONSEP

Operasi Set

Persilangan	Set Gabungan	Operasi	Set Kesatuan	Set

Persilangan	set	P	dan	set	Q
ditulis	menggunakan	simbol	ù.
P ù	Q	bermaksud	kedua-dua	set
P dan	set	Q	mempunyai	unsur
yang	sepunya.

P Q

Gabungan	operasi	set	melibatkan
kedua-dua	 persilangan	 set	 (ù)
dan	kesatuan	set	(ø)	pada	masa
yang	sama.

P Q

R

Pelengkap	bagi	persilangan
set	P	dan	set	Q	bermaksud
semua	unsur	yang	bukan	dalam
persilangan	set	P	dan	set	Q.

Pelengkap	 bagi	 gabungan
operasi	set	melibatkan	pelengkap
bagi	 salah	 satu	 persilangan	 set
(ù)	 atau	 kesatuan	 set	 (ø)	 atau
kedua-dua	 persilangan	 set	 (ù)
dan	kesatuan	set	(ø)	pada	masa
yang	sama.

Pelengkap	 bagi	 kesatuan	 set	P
atau	 set	 Q bermaksud	 semua
unsur	 yang	 bukan	 dalam	 set	P
atau	set	Q.

P ø Q	 mewakili	 semua	 unsur
dalam	 set	P,	 set	Q	 atau	 kedua-
dua	set	P	atau	set	Q.

P Q

ξ
P Q

(A ø	B)'	ù	C

(P ø Q)'

ξ
P Q

(P ù	Q)'

P ù	Q P ø Q(P ø Q)	ù	R

A B

C

ξ
Saiz sebenar

127

1
4

B
A

B

Bab 4  Operasi Set

 Eksplorasi Matematik

1.	P	mewakili	kawasan	I,	II,	V,	VI
 2.	Q'
 3.	R
 4.	P ù	Q
 5.	Q ù	R
 6.	P ù	Q ù	R
 7.	 (P ù	Q ù	R)'
 8.	P ù	(Q ø R)
 9.	Q ù	(P ø R)
10.	P ø (Q ù	R)

Gambar	rajah	Venn	menunjukkan	set	semesta	ξ,	set	P,	set	Q	dan	R	dengan	kawasan-kawasan
berlabel.	Jawab	semua	soalan	yang	diberikan	dengan	menyatakan	kawasan	yang	mewakilinya.

11.	 P ø (Q ù	R)'
12.	Q ø (P ù	R)'
13.	P ø Q ø R
14.	 (P ø Q ø R)'
15.	P' ù	(Q ø R)
16.	Q' ù	(P ù	R)'
17.	R' ø (P ù	Q)'
18.	 (P ù	Q)	ø (Q ù	R)
19.	 (P ù	Q)' 	ø (Q ù	R)
20.	 (P ù	Q)' 	ø (Q ø R)'

ξ
P Q

R

II
V

III	I

VII

IVVI

VIII

Piramid Makanan

Berdasarkan	piramid	makanan	yang	diberikan,	lukis	dua	gambar	rajah	Venn	yang	menunjukkan
makanan	seimbang	untuk	sarapan,	makan	tengah	hari	dan	makan	malam.

Langkah
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.

2.	 Pilih	 makanan	 yang	 perlu	 untuk	 sarapan,	 makan
tengah	hari	dan	makan	malam.

3.	 Lukis	 gambar	 rajah	Venn	mengikut	makanan	 yang
dipilih	daripada	piramid	makanan.	Diberi

K	=	{sarapan},
	 L	=	{makan	tengah	hari}	dan
	 M	=	{makan	malam}.

4.	 Bentangkan	hasil	kerja	kumpulan	anda	dengan
menggunakan	kaedah	Three stray, one stay.

5.	 Berikan	pandangan	anda	tentang	kesesuaian	pilihan	makanan	kumpulan	lain	dalam	kelas
untuk	sarapan,	makan	tengah	hari	dan	makan	malam.
Saiz sebenar

128

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Anda akan mempelajari

Maslahat Bab

Rangkaian
dalam Teori Graf

BAB

5
►	 Rangkaian

Sistem	 pengangkutan	 di	 Malaysia	 yang	 terdiri	 daripada
pengangkutan	 darat,	 air	 dan	 udara	 sedang	 membangun

seiring	 dengan	 kemajuan	 negara.	 Sistem	 pengangkutan	 darat,
terutamanya	pengangkutan	awam	membangun	dengan	pesatnya
mengikut	pertambahan	bilangan	pengguna	terutamanya	di	bandar-
bandar	besar.	Perkhidmatan	rel	bandaran	seperti	Light Rail Transit
(LRT),		Mass Rapid Transit	(MRT),	monorel	dan	tren	komuter	di
kawasan	 bandar	merupakan	 antara	 sistem	pengangkutan	 awam
yang	kian	mendapat	sambutan	baik	daripada	pengguna.

Tahukah	 anda	 sistem	 pengangkutan	 juga	 merupakan	 sejenis
rangkaian?

Rangkaian	digunakan	untuk	mengaitkan	objek-objek	dalam	bidang
yang	 sama	 berdasarkan	 kehendak	 bidang	 tersebut.	 Rangkaian
digunakan	secara	meluas	dalam	bidang	pengangkutan,	komputer,
sosial,	 perniagaan,	 perubatan,	 sains,	 neurosains,	 sains	 sosial,
penyiasatan,	permainan	dan	sebagainya.

128
Saiz sebenar

129

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

129

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA
•	 berpemberat	 • weighted
•	 bucu	 • vertex
•	 darjah	 • degree
•	 diskret	 • discrete
•	 gelung	 • loop
•	 graf	 • graph
•	mudah	 • simple
•	 pokok	 • tree
•	 rangkaian	 • network
•	 subgraf	 • subgraph
•	 tepi	 • edge
•	 terarah	 • directed

Imbasan Silam

Leonhard Euler
(1707-1783)

Leonhard	Euler	ialah	salah	seorang	ahli	matematik
abad	ke-18	yang	dilahirkan	di	Basel,	Switzerland.
Pada	 tahun	 1735,	 Euler	 menyelesaikan	 masalah
matematik	dan	logik	yang	tidak	jelas,	yang	dikenali
sebagai	Masalah	Tujuh	Jambatan	Königsberg	dan
menghasilkan	 struktur	 matematik	 yang	 dipanggil
graf,	 sebuah	 gambar	 yang	 terdiri	 daripada	 titik-
titik	 (bucu)	 yang	 disambungkan	 oleh	 garis	 atau
lengkung		(tepi).

http://yakin-pelajar.com/Euler/5.pdf
Saiz sebenar

130

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

5.1 Rangkaian

Apakah kaitan antara rangkaian dengan graf?
Semasa	 di	 Tahun	 5,	 anda	 telah	 diperkenalkan	 dengan	 sistem

rangkaian	berkaitan	dengan	komputer	 dan	dunia	 Internet	melalui
mata	pelajaran	Teknologi	Maklumat	dan	Komunikasi.

Hubung	kait	antara	sekumpulan	komputer	dengan	peranti	berkaitan,	iaitu	rangkaian	komputer
membolehkan	 pencarian,	 penggunaan	 dan	 perkongsian	maklumat	 dilakukan	 dengan	mudahnya.
Tahukah	anda	apakah	kaitan	antara	rangkaian	dengan	graf?

Graf	digunakan	untuk	mewakilkan	data	yang	terdiri	daripada
objek	 diskret	 dan	menggambarkan	 kaitan	 antara	 objek	 tersebut
secara	 grafik	 yang	 mudah	 difahami.	 Dalam	 bidang	 matematik
khususnya	 teori	 graf,	 graf	 ditafsirkan	 sebagai	 suatu	 siri	 bintik
sama	 ada	 berkait	 atau	 tidak	 antara	 satu	 sama	 lain	 melalui
garis.	Bintik	 dikenali	 sebagai	bucu	 dan	 garis	 yang	mengaitkan
dua	bucu	ialah	tepi.

Graf	 juga	 sering	 digunakan	 untuk	 mewakilkan	 suatu	 rangkaian.	 Rangkaian	 merupakan
sebahagian	daripada	graf	dengan	keadaan	bucu	dan	tepi	mempunyai	sifat	tersendiri.	Struktur	data
rangkaian	mempunyai	hubungan	banyak	kepada	banyak.	Contoh	graf	yang	melibatkan	rangkaian
adalah	seperti	yang	berikut.

Rangkaian pengangkutan darat
Bucu
Kawasan,	 pekan,	 bandar	 atau	 sesuatu	 bangunan
yang	dikaitkan
Tepi
Jalan	raya,	lebuh	raya	atau	landasan	kereta	api

Tepi

Bucu

Rangkaian sosial
Bucu
Individu,	 kumpulan	 atau
organisasi
Tepi
Jenis	hubungan	seperti
kawan,	rakan	sekerja	atau
keluarga

Standard
Pembelajaran

Mengenal dan
menerangkan rangkaian
sebagai graf.

Sistem Rangkaian Sejuk
(Cold Chain System)
ialah sejenis sistem
dalam dunia perubatan.
Sistem ini berfungsi untuk
mengangkut, mengedar
dan menyimpan vaksin
serta darah dalam julat
suhu yang tetap bermula
dari tempat asal ke
tempat penggunaan.

ZON INFORMASI
Saiz sebenar

131

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Tatatanda	graf	merupakan	set	pasangan	tertib	iaitu	G =	(V,	E)	dengan
keadaan;
•	 V	ialah	set	bintik	atau	bucu.
	 V	=	{v1,	v2,	v3,	...	vn}

•	 E	ialah	set	tepi	atau	garis	yang	menghubungkan	sepasang	bucu.
	 E	=	{e1,	e2,	e3,	...	en}
	 E	=	{(a1,	b1),	(a2,	b2),	...	(an,	bn)}; a	dan	b	ialah	pasangan	bucu.

Darjah, d	 ialah	 bilangan	 tepi	 yang	 mengaitkan	 dua	 bucu.	 Bilangan
darjah	suatu	graf	ialah	dua	kali	bilangan	tepi,	iaitu;

Σd(v)	=	2E;	v	∈	V

1Contoh

Set	bucu

Bilangan	bucu

Bilangan	tepi

Set	pasangan	bucu

2Contoh

Darjah	bucu	1	ialah	dua	iaitu
tepi	yang	mengaitkan

bucu	1	dengan	bucu	2	dan
bucu	1	dengan	bucu	5

Bilangan	darjah:	 d(1)	=	2
	 d(2)	=	3
	 d(3)	=	2
	 d(4)	=	3
	 d(5)	=	3
	 d(6)	=	1
	 Jumlah	=	14

3

1 2
6

5 4

31 2

6 5

4

7

ZON INFORMASI

G = Graf	(graph)
v = Bucu	(vertices)	atau
	 	 bintik.
e = Tepi	(edge)	atau	garis
	 	 atau	lengkung.

d = Darjah	(degree)
∑ = Jumlah

MEMORI SAYA

∈ ialah	unsur

ZON INFORMASI

Tepi untuk pasangan bucu
(1, 2) adalah sama dengan
pasangan bucu (2, 1).

Apakah yang anda faham tentang graf mudah?

Graf	mudah	ialah	graf	yang	tidak	mengandungi	gelung	atau	berbilang	tepi.	Bilangan	darjah	ialah
dua	kali	bilangan	tepi.

Berdasarkan	graf	mudah	di	sebelah,	tentukan
(a)	 V	dan	n(V)
(b)	 E	dan	n(E)
(c)	 bilangan	darjah.

Penyelesaian:

(a)	 V	=	{1,	2,	3,	4,	5,	6}
	 n(V)	=	6

(b)	 E	=	{(1,	2),	(1,	5),	(2,	3),	(2,	4),	(3,	4),	(4,	5),	(5,	6)}
	 n(E)	=	7

(c)	 Bilangan	darjah
	 Σd(v)	 =	2(E)
	 	 =	2(7)
	 	 =	14

Nyatakan	bilangan	bucu,	tepi	dan	darjah	bagi	graf	mudah	berikut:
(a)	 (b)

D

E

C

F

B

G

A
Saiz sebenar

132

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Penyelesaian:

(a)	 Bucu	=	7	 (b)	 Bucu	=	7
	 Tepi	=	7	 	 Tepi	=	9
	 Darjah	=	2	×	Tepi	 	 Darjah	=	2	×	Tepi
	 	 =	2	×	7	 	 	 =	2	×	9
	 	 =	14		 	 	 =	18

Apakah maksud berbilang tepi dan gelung pada graf?

•	 Melibatkan	dua	bucu.
•	 Kaitan	antara	dua	bucu	tersebut	dinyatakan
	 melalui	lebih	daripada	satu	tepi.
•	 Bilangan	darjah	ialah	dua	kali	bilangan	tepi.

•	 Melibatkan	satu	bucu.
•	 Tepi	berbentuk	lengkung	atau	bulatan	yang	berbalik	kepada	bucu	asal.
•	 Bilangan	darjah	setiap	gelung	ialah	dua.

Katakan,	graf	di	sebelah	ditulis	dalam	bentuk	set	pasangan	tertib,
G(V, E),	maka,
V	=	{A, B, C, D}
E	=	{(A, B),	(A, B),	(B, C),	(B, C),	(C, D),	(B, D),	(A, D),	(D, D)}
E	=	{e1,	e2,	e3,	e4,	e5,	e6,	e7,	e8}

Rajah	di	sebelah	menunjukkan	suatu	graf	yang	mempunyai
gelung	dan	berbilang	tepi.	Nyatakan
(a)	 V	dan	n(V)
(b)	 E	dan	n(E)
(c)	 bilangan	darjah.

Penyelesaian:
(a)	 V	=	{P, Q, R, S, T, U}
	 n(V)	=	6
(b)	 E	=	{(P, Q),	(P, U ),	(P, U ),	(Q, R),	(Q, U ),	(R, S ),	(R, T ),	(S, S ),	(S, T ),	(T, U )}
	 n(E)	=	10

Berbilang	tepi

3Contoh

P Q R

T
S

Tepi

Gelung

Bucu

A
B

C

D

e1

e2

e7 e5

e4

e3

e8

e6

P Q R

S
TU

}Berbilang	tepi

Tepi	AB	yang	pertama
Tepi	AB	yang	kedua

Gelung}
Gelung

Berbilang	tepi	antara
bucu	P	dengan	bucu	T

V =	Set	bucu	(Vertex)
E =	Set	tepi	(Edge)

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

133

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

(c)	 Bilangan	darjah	=	20
	 Bucu	P
	 Bucu	Q
	 Bucu	R
	 Bucu	S
	 Bucu	T
	 Bucu	U

Lukis	satu	graf	mudah	mengikut	maklumat	yang	diberikan.
(a)	 V	=	{1,	2,	3,	4,	5}	 (b)	 V	=	{P, Q, R, S, T, U}
	 E	=	{(1,	2),	(1,	4),	(1,	5),	(2,	3),	(2,	4),	(3,	4)}	 	 E	=	{(P, U),	(P, T),	(Q, T),	(Q, S),	(R, S),	(R, U)}

Penyelesaian:
(a)	 (b)

Lukis	satu	graf	berbilang	tepi	dan	mempunyai	gelung	mengikut	maklumat	yang	diberikan.
(a)	 V	=	{P, Q, R, S}
	 E	=	{(P, P),	(P, Q),	(P, S),	(Q, S),	(Q, S),	(Q, R),	(S, R),	(R, R)}
(b)	 V	=	{1,	2,	3,	4,	5,	6,	7}
	 E	=	{(1,	6),	(1,	6),	(2,	7),	(2,	7),	(5,	7),	(5,	7),	(3,	4),	(3,	4),	(1,	7),	(6,	7),	(3,	7),	(4,	7)}

Penyelesaian:
(a)			 (b)

Tentukan	sama	ada	suatu	graf	boleh	dilukis	bagi	bilangan	darjah	yang	diberikan.
(a)	 3,	2,	2,	1,	3	 (b)	 2,	1,	1,	3,	3,	2

Penyelesaian:
(a)		Jumlah	darjah	=	3	+	2	+	2	+	1	+	3	 (b)	 Jumlah	darjah	 =	2	+	1	+	1	+	3	+	3	+	2
	 	 =	11	 	 	 =	12
	 Graf	tidak	boleh	dilukis	kerana		 	 Graf	boleh	dilukis	kerana	jumlah	darjah
	 jumlah	darjah	adalah	ganjil.	 	 adalah	genap.

TIP

•	 Pasangan	bucu	gelung
berbentuk	(a, a).

•	 Pasangan	bucu	berbilang
tepi	berbentuk	(a, b)	dan
(a, b).

4Contoh

5Contoh

Jumlah	bilangan	darjah	ialah	20









U

P Q R

ST

1 2

3
5 4

P

S

Q

R
1

2
3

7

4
5

6

TIP
Bilangan darjah
setiap gelung ialah
dua, iaitu pusingan
mengikut arah
jam dan pusingan
mengikut lawan
arah jam.

6Contoh

=	3
=	3
=	3
=	4
=	3
=	4
Saiz sebenar

134

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

1.	 Diberi	tiga	graf	mudah.
	 (a)	 	 (b)	 	 (c)

Praktis Kendiri 5.1a

P

Q R

W V U

S

T

2.	 Diberi	dua	graf	berbilang	tepi	dan	graf	yang	mempunyai	gelung.
	 (a)	 	 (b)

Bagi	setiap	graf,	tentukan
	 (i)	 V	dan	n(V)	 (ii)	E	dan	n(E)	 (iii)	 bilangan	darjah

3.	 Lukis	satu	graf	mudah	mengikut	maklumat	yang	diberikan.
	 (a)	 V	=	{1,	2,	3,	4,	5,	6}
	 	 E	=	{(1,	6),	(2,	6),	(3,	6),	(3,	4),	(3,	5),	(4,	5),	(5,	6)}

(b)	 V	=	{P, Q, R, S, T, U}
	 	 E	=	{(P, U),	(P, T),	(Q, U),	(Q, T),	(Q, R),	(R, S),	(R, T),	(S, T)}

4.	 Lukis	satu	graf	berbilang	tepi	dan	mempunyai	gelung	mengikut	maklumat	yang	diberikan.
	 (a)	 V	=	{P, Q, R, S}
	 	 E	=	{(P, S),	(P, S),	(Q, R),	(Q, R),	(P, P),	(S, S),	(Q, Q),	(R, R),	(P, Q),	(R, S)}

(b)	 V	=	{1,	2,	3,	4,	5}
	 	 E	=	{(1,	5),	(1,	5),	(3,	5),	(3,	5),	(1,	1),	(3,	3),	(2,	1),	(2,	3),	(2,	5),	(4,	1),	(4,	3),	(4,	5)}

5.	 Lukis	graf	mudah	bagi	bilangan	darjah	yang	diberikan.
	 (a)	 2,	3,	2,	3,	4	 (b)	 1,	2,	3,	3,	3,	2

6.	 Lukis	graf	yang	mempunyai	gelung	dan	berbilang	tepi	bagi	bilangan	darjah	yang	diberikan.
	 (a)	 3,	3,	4	 (b)	 2,	2,	4,	6,	6

1 2 3

45

e1

e2 e3

e4
e5

e6

e7

Bagi	setiap	graf,	tentukan
	 (i)	 V	dan	n(V)	 (ii)	E	dan	n(E)	 (iii)	 bilangan	darjah

A

E

B

D

C O

P Q

U

R

ST

A B C

F E
D
Saiz sebenar

135

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Apakah beza antara graf terarah dengan graf tak terarah?

Graf terarah	ialah	graf	dengan	keadaan	tepi	yang	mengaitkan	dua	bucu
ditanda	dengan	arah	kaitan.	Graf	terarah	biasanya	digunakan	untuk
mewakilkan	aliran	suatu	proses,	peta	jalan	raya,	peta	penerbangan,	litar
elektrik,	rangkaian	komputer,	carta	organisasi	dan	sebagainya.

Rajah	1	menunjukkan	suatu	graf	mudah	dan	terarah.
Mengikut	arah	anak	panah	yang	ditandakan,	didapati	bahawa,

(a)	 bagi	tepi	AB,	bucu	A	ialah	bucu	awal	dan	bucu	B	ialah	bucu	akhir.

(b)	 bagi	tepi	BC,	bucu	C	ialah	bucu	awal	dan	bucu	B	ialah	bucu	akhir.

(c)	 semua	bucu	dikaitkan	dengan	satu	arah	sahaja.

Rajah	2	menunjukkan	graf	terarah	yang	mempunyai	gelung	dan	berbilang	tepi.	Mengikut	arah	anak
panah	yang	ditandakan,	didapati	bahawa,

(a)	 e4	=	(P,	R);	P	ialah	bucu	awal	dan	R	ialah	bucu	akhir.

(b)	 e5	=	(R,	P);	R	ialah	bucu	awal	dan	P	ialah	bucu	akhir.

(c)	 e2	=	(Q,	Q);	Q	ialah	bucu	awal	dan	bucu	akhir	kerana	e2	merupakan	sebuah	gelung.

Rajah	1

A

>

>

>

C

B

Rajah	2

P

R

Q
e1

e4
e5

e3

e2>

>> >

Graf tak terarah	ialah	graf	mudah	atau	graf	yang	mempunyai	gelung	dan	berbilang	tepi	yang
dilukis	tanpa	penandaan	arah	pada	tepi	yang	mengkaitkan	dua	bucu.

Standard
Pembelajaran

Membanding beza
●	 Graf	terarah	dengan

graf tak terarah.
●	 Graf	berpemberat

dengan graf tak
berpemberat.

ZON INTERAKTIF

Sistem peredaran darah
dalam badan manusia
juga dikategorikan
sebagai graf terarah.
Mengapa?

ZON INTERAKTIF

Bagi rangkaian
tenaga elektrik, stesen
jana kuasa, stesen
transformer, pencawang
serta pengguna ialah
bucu dan kabel serta
wayar berperanan
sebagai tepi. Adakah
rangkaian tenaga elektrik
merupakan graf terarah
atau graf tak terarah?
Bincangkan.
Saiz sebenar

136

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

din (A)	bermaksud
bilangan	darjah	bagi	tepi
yang	masuk	ke	bucu	A.
dout (A)	bermaksud
bilangan	darjah	bagi	tepi
yang	keluar	dari	bucu	A.

Beza antara graf terarah dengan graf tak terarah.

Jenis Graf Graf Set V dan Set E Darjah

Graf	mudah

Graf	tak	terarah

CB

DA

V	=	{A, B, C, D}
E	=	{(A, B), (A, C),
							(B, C), (C, D)}

d(A)	=	2,	d(B)	=	2,
d(C)	=	3,	d(D)	=	1
Σd(V)	=	8

>

CB

DA

> >

>

Graf	terarah V	=	{A, B, C, D}
E	=	{(B, A), (C, A),
							(B, C), (D, C)}

din (A)	=	2	dan
dout (A)	=	0
Maka,	 d(A)	=	2	+	0
	 d(A)	=	2

din (B)	=	0,	dout (B)	=	2

din (C)	=	2,	dout (C)	=	1

din (D)	=	0,	dout (D)	=	1

Σd(V)	=	8

Graf	yang
mempunyai
gelung	dan
berbilang

tepi

P

S

R

T

Q

Graf	tak	terarah V	=	{P, Q, R, S, T}
E	=	{(P, T), (P, Q),	(Q, R),
							(Q, R),	(Q, S),	(S, T),
							(T, T)}

d(P)	=	2,	d(Q)	=	4
d(R)	=	2,	d(S)	=	2
d(T)	=	4
Σd(V)	=	14

P

S

R

T

Q >
>

>

>

>
>

Graf	terarah V	=	{P, Q, R, S, T}
E	=	{(P, Q), (Q, R),	(R, Q),
       (S, Q),	(T, S),	(T, T),
							(T, P)}

din (P)	=	1,	dout (P)	=	1
din (Q)	=	3,	dout (Q)	=	1
din (R)	=	1,	dout (R)	=	1
din (S)	=	1,	dout (S)	=	1
din (T)	=	1,	dout (T)	=	3

Σd(V)	=	14

Penulisan	kedudukan	pasangan
bucu	adalah	bebas.	Kedua-dua
pasangan	bucu	(A, B)	atau

(B, A)	boleh	mewakili	tepi	AB.

Penulisan	kedudukan	pasangan
bucu	adalah	mengikut	arah
pada	tepi.	(B, A)	dan	(A, B)
ialah	set	pasangan	bucu	yang
mewakili	tepi	yang	berlainan.

}}
Gelung	=	1 Gelung	=	1

(T, P)	=	1
(T, S)	=	1
Saiz sebenar

137

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Lukis	graf	terarah	mengikut	maklumat	yang	diberikan.
(a)	 V	=	{P, Q, R, S, T, U}
	 E	=	{(P, Q),	(P, R),
		 							(R, Q),	(S, R),
	 							(S, Q),	(S, T)}

Penyelesaian:

(a)	 Pasangan bucu Arah
	 (P, Q)	 P	ke	Q
	 (P, R)	 P	ke	R
	 (R, Q)	 R	ke	Q
	 (S, R)	 S	ke	R
	 (S, Q)	 S	ke	Q
	 (S, T)	 S	ke	T

(b)	 Jumlah	bucu	=	4	 	 RS	–	berbilang	tepi,		 	 Lengkapkan	graf	mengikut
	 	 	 	 Gelung	pada	bucu	Q.	 	 bilangan	tepi	yang	masuk
	 	 	 	 	 	 dan	keluar	pada	setiap	bucu.

Apakah beza antara graf berpemberat dengan graf tak berpemberat?

Graf	terarah	dan	graf	tak	terarah.

Diberi	nilai	atau	pemberat.

Tepi	mewakili:
•	 jarak	di	antara	dua	bandar.
•	 masa	yang	diambil	untuk	suatu	gerakan.
•	 nilai	arus	suatu	litar	elektrik.
•	 kos	dan	sebagainya.

Jenis
graf

Graf berpemberat Graf tak berpemberat

Graf	terarah	dan	graf	tak	terarah.

Tiada	nilai	atau	pemberat	yang	dinyatakan.

Tepi	mengaitkan	maklumat:
•	 hierarki	jawatan	dalam	carta	organisasi.
•	 peta	alir.
•	 peta	pokok.
•	 peta	buih.

7Contoh

(b)	 		Mempunyai	satu	gelung	pada	bucu
Q	dan	RS	ialah	berbilang	tepi	dengan
keadaan

din (P)	=	1,	dout (P)	=	1
	 din (Q)	=	3,	dout (Q)	=	2
	 din (R)	=	0,	dout (R)	=	3
	 din (S)	=	3,	dout (S)	=	1

RS

QP

>> >

>

RS

QP

>

>RS

QP

}

}
Dua	tepi	dari	bucu	P

Tiga	tepi	dari	bucu	S

Satu	tepi	dari	bucu	R

Bucu	T	hanya	berkaitan	dengan	bucu	S

>> >
>

S
Q

RP

>

TU

>

Contoh

Tepi

ZON INFORMASI

Bagi contoh 7(a) bucu
U wujud dalam set V
tetapi tidak dalam set
E. Hal ini bermakna
bucu U tidak berkaitan
dengan bucu-bucu lain
dan dikenali sebagai
bucu terpencil.
Saiz sebenar

138

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Rajah	di	sebelah	menunjukkan	pilihan	laluan	sehala	Izarul	untuk
menjalankan	 latihan	 larian.	 Bucu	 v1	 ialah	 tempat	 permulaan
dan	 bucu	 v5	 ialah	 tempat	 terakhir	 sebelum	 dia	 balik	 ke	 rumah.
Tentukan,
(a)	 jarak	laluan	sehala	yang	terpendek,	dari	v1	ke	v5.
(b)	 jarak	laluan	sehala	yang	terpanjang,	dari	v1	ke	v5.
(c)	 bucu-bucu	yang	perlu	dilalui	jika	jarak	larian	sehala	adalah	di
	 antara	1.4	km	hingga	2.1	km.

Penyelesaian:
(a)	 Laluan	sehala	terpendek		 (b)	 Laluan	sehala	terpanjang	 (c)	 v1,	v3,	v4,	v5
	 =	v1		v2		v5	 	 =	v1		v2		v3		v4		v5	 	 dan
	 =	(600	+	500)	m	 	 =	(600	+	900	+	500	+	500)	m	 	 v1,	v2,	v4,	v5
	 =	1	100	m	 	 =	2	500	m
	 =	1.1	km		 	 =	2.5	km

8Contoh

1.	 Nyatakan	dua	perbezaan	antara	graf	terarah	dengan	graf	tak	terarah.
2.	 Apakah	maksud	pemberat	pada	graf	berpemberat?
3.	 Lukis	graf	terarah	mengikut	maklumat	yang	diberikan.
	 (a)	 V	=	{P, Q, R, S, T, U, V}
	 	 E	=	{(P, Q),	(Q, R),	(Q, S),	(S, P),	(S, R),	(S, T),	(U, T)}
	 (b)	 	(i)			Mempunyai	satu	gelung	pada	bucu	Q	dan
	 	 							satu	gelung	pada	bucu	S.
	 	 (ii)		QS	ialah	berbilang	tepi.

4.	 (a)	 Berdasarkan	maklumat	dalam	Jadual	1	dan	Jadual	2,	lengkapkan	graf	berpemberat	dan	tak
	 terarah	yang	diberikan.

Jadual	1	 Jadual	2	 Graf	tidak	lengkap

(b)	 Encik	 Benny	 dan	 Encik	Muruges	memandu	 kereta	masing-masing	 dari	 Kuala	 Pilah	 ke
Rompin	dengan	keadaan:

(i)	 Encik	Benny	memandu	mengikut	jarak	terpendek.
	 	 (ii)	 Encik	Muruges	memandu	melalui	Juasseh	dan	Bahau.
		 	 	Hitung	beza	jarak,	dalam	km,	perjalanan	dari	Kuala	Pilah	ke	Rompin	oleh	Encik	Benny	dan

Encik	Muruges.

Praktis Kendiri 5.1b

Pasangan bucu

(J,	B)

(KP,	R)

(B,	R)

(B,	BK)

(BK,	J)

(KP,	J)

Pemberat (km)

11.6

40

20.7

11.4

6.6

9.3

Bucu

KP

B

R

BK

J

Nama tempat

Kuala	Pilah

Bahau

Rompin

Batu	Kikir

Juasseh

dout (P)
	dout (Q)
dout (R)
dout (S)

(iii)			din (P)
										din (Q)
          din (R)
          din (S)

=	0,
=	4,
=	0,
=	4,

=	2
=	2
=	2
=	2

v1

v2

v5

v4

v3

Mula

Tamat

500	m

500	m
900

m

800	m

60
0	m

500
m

500	m

KP
BJ
Saiz sebenar

139

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Bagaimanakah anda mengenal dan melukis subgraf dan pokok?

Apakah yang anda faham tentang subgraf?
Subgraf	merupakan	sebahagian	atau	keseluruhan	suatu	graf	yang
dilukis	semula	tanpa	mengubah	kedudukan	asal	bucu	dan	tepi.
Suatu	graf	H	dikatakan	subgraf	kepada	graf	G	jika,
(a)	 bucu-bucu	graf	H	ialah	subset	kepada	bucu-bucu	graf	G,	iaitu	V(H)	⊂ V(G).
(b)	 tepi-tepi	graf	H	ialah	subset	kepada	tepi-tepi	graf	G,	iaitu	E(H)	⊂ E(G).
(c)	 pasangan	bucu	setiap	tepi	graf	H	adalah	sama	dengan	tepi	graf	G.

Secara	ringkasnya,
•	 suatu	bucu	dalam	graf	G	ialah	subgraf	bagi	graf	G.
•	 suatu	tepi	dalam	graf	G	bersama	bucu-bucu	yang	dikaitkan	ialah
	 subgraf	bagi	graf	G.
•	 setiap	graf	ialah	subgraf	kepada	dirinya.

Tentukan	sama	ada	Rajah	1,	Rajah	2,	Rajah	3	dan	Rajah	4	ialah	subgraf	bagi	graf	G.

Graf	G	 Rajah	1	 Rajah	2	 Rajah	3	 Rajah	4

Penyelesaian:

Rajah	1	–	Ya	kerana	pasangan	bucu	untuk	tepi	e5	adalah	sama.
	 {e5}	⊂	{e1,	e2,	e3,	e4,	e5}	dan	{P, S}	⊂	{P,	Q,	R,	S}
Rajah	2	–	Tidak	kerana	kedudukan	gelung	e2	bukan	pada	bucu	Q.
Rajah	3	–	Tidak	kerana	tepi	yang	mengaitkan	bucu	P	dan	bucu	S	adalah	bukan	e3.
Rajah	4	–	Tidak	kerana	tepi	gelung	dan	tepi	yang	mengaitkan	bucu	Q	dan	bucu R	adalah	salah.

Apakah yang anda faham tentang pokok?
Pokok	 suatu	 graf	 ialah	 subgraf	 bagi	 graf	 tersebut	 dengan	 ciri-ciri
berikut:
(a)	 Graf	mudah	iaitu	tanpa	gelung	atau	berbilang	tepi.
(b)	 Semua	bucu	mesti	berkait	dan	setiap	pasangan	bucu	dikaitkan	oleh
	 satu	tepi	sahaja.
(c)	 Bilangan	tepi	=	bilangan	bucu	–	1
	 Bilangan	bucu	=	n
	 Bilangan	tepi	=	n	–	1

9Contoh

P e1
e2

e4

e3e5

RS

Q P e1
e3

e4

e2e5

RS

QP e2

e3

S

QP

e5

S

P e1
e2

e5

S

Q

Standard
Pembelajaran

Mengenal dan melukis
subgraf dan pokok.

ZON INFORMASI

Simbol ⊆ juga boleh
digunakan untuk subset.

ZON INFORMASI

Sebutan pokok
diperkenalkan oleh Arthur
Cayley, seorang ahli
Matematik Inggeris pada
tahun 1857.

ZON INFORMASI

Carta salasilah keluarga
ialah contoh pokok.
Saiz sebenar

140

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Rajah	1	merupakan	suatu	pokok	kerana,
•	 semua	bucu	berkait.
•	 setiap	pasangan	bucu	dikaitkan	oleh	satu	tepi	sahaja.
•	 tidak	ada	gelung	atau	berbilang	tepi.
•	 Bucu	=	5,	Tepi	=	4.

Rajah	2	bukan	suatu	pokok	kerana,
•	 bucu	B	dan	bucu	E	boleh	dikaitkan	dengan	dua	cara.
	 	(i)	 B  E
	 (ii)	 B  C  D  E
•	 Bucu	=	5,	Tepi	=	5.

Kenal	pasti	sama	ada	pokok	atau	bukan	pokok	untuk	rajah	di	bawah.	Berikan	justifikasi	anda.
(a)	 (b)	 (c)	 (d)

Penyelesaian:

(a)	 Bukan	pokok.	Bucu	=	6,	tepi	=	7.	Setiap	pasangan	bucu	boleh	dikaitkan	dengan	pelbagai	cara.
(b)	 Pokok.	Bucu	=	6,	tepi	=	5.	Setiap	pasangan	bucu	hanya	dikaitkan	oleh	satu	tepi.
(c)	 Pokok.	Bucu	=	6,	tepi	=	5.	Setiap	pasangan	bucu	hanya	dikaitkan	oleh	satu	tepi.
(d)	 Bukan	pokok.	Bucu	=	6,	tepi	=	4.	Bucu	R	dan	bucu	T	tidak	dikaitkan	dengan	bucu	lain.

11Contoh

Lukis	satu	pokok	dengan	maklumat	yang	diberi.
(a)	 Bucu	=	6	 (b)	 Bucu	=	8	 (c)	 Tepi	=	4	 (d)	 Tepi	=	9

Penyelesaian:

(a)	 Bucu	=	6	 (b)	 Bucu	=	8	 (c)	 Tepi	=	4	 (d)	 Tepi	=	9
	 Tepi	=	5	 	 Tepi	=	7	 	 Bucu	=	5	 	 Bucu	=	10

10Contoh

Rajah	2

Rajah	1

A

C

B

D

E

R

S

P Q

U T

R

S

P Q

U T

R

S

P Q

U T

R

S

P Q

U T

A

C

B

D

E
Saiz sebenar

141

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Lukis	dua	pokok	berdasarkan	graf	yang	diberikan	di	bawah.
(a)	 		 (b)

Penyelesaian:

(a)		Bucu	=	5	 	 (b)	 Bucu	=	6
	 Tepi	=	7	(terlebih	3)	 	 Tepi	=	8	(terlebih	3)
	 (i)	 (ii)	 	 (i)	 (ii)

Rajah	di	bawah	menunjukkan	suatu	graf	 tak	 terarah	dan	berpemberat.	Lukis	satu	pokok	dengan
jumlah	nilai	pemberat	yang	minimum.

Penyelesaian:

Langkah 1

Bucu	=	5,	tepi	=	7
•	 3	tepi	perlu	dibuang.
•	 keluarkan	tepi	dengan	pemberat	nilai	tertinggi
	 (PQ, QR, PT)

Graf	di	atas	bukan	pokok	kerana,
•	 bucu	P	tidak	dikaitkan	dengan	bucu	lain.
•	 tiga	tepi,	RS, ST	dan	RT mengaitkan	tiga	bucu	sahaja.

12Contoh

Langkah	2

•	 	Antara	pemberat	bernilai	19
dengan	25,	pemberat	bernilai	19
perlu	dikekalkan	kerana	nilainya
lebih	rendah.

•	 	Antara	pemberat	12,	14	dengan
17,	pemberat	bernilai	17	perlu
dikeluarkan.

RQ

TP S

10

19 14

12

Graf	yang	terhasil	ialah	pokok.
Jumlah	pemberat	minimum	pokok
=	10	+	12	+	14	+	19
=	55

13Contoh

RQ

TP S

10

20

19 14

25 12 17

RQ

TP S

10

14

12 17

Langkah 2

ZON INFORMASI

Pokok digunakan untuk
menentukan laluan
terpendek dengan syarat
semua bucu dilalui
hanya sekali.
Saiz sebenar

142

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

1.	 Tentukan	sama	ada	rajah-rajah	yang	diberikan	ialah	subgraf	bagi	graf	G.

2.	 Lukis	lima	subgraf	bagi	graf-graf	yang	diberikan.
	 (a)	 		 (b)	 		 (c)

3.	 Kenal	pasti	pokok	dan	bukan	pokok	daripada	rajah-rajah	di	bawah.
	 (a)	 (b)	 (c)	 (d)

4.	 Lukis	satu	pokok	dengan	maklumat	yang	diberikan.
	 (a)	 Bucu	=	7	 (b)	 Bucu	=	9		 (c)	 Tepi	=	5		 (d)	 Tepi	=	9

5.	 Lukis	dua	pokok	berdasarkan	graf	yang	diberikan.
	 (a)	 (b)

6.	 Rajah	 di	 sebelah	 menunjukkan	 suatu	 graf	 tak	 terarah	 dan
berpemberat.

(a)	 Lukis	 satu	 pokok	 dengan	 jumlah	 nilai	 pemberat	 yang
minimum.

(b)	 Berapakah	jumlah	pemberat	minimum?

Praktis Kendiri 5.1c

R

Q

T

P

S

38

18

30

32

42

20 36
24

34

U

P

RQ

e1

e2

e3

P
R

Q

e1 e2

e3	e4P S

Q R

e3

e2

e1
e5

e4

Graf	G Rajah	1 Rajah	2 Rajah	3 Rajah	4 Rajah	5

Rajah	6 Rajah	7 Rajah	8 Rajah	9 Rajah	10 Rajah	11

e4

e3	e1

e2

R

P

Q

e3

e2	e1

R

P

Q

e2
P

R R

P

Q

e2

R

P

Q

e4

Q

P

e3

e1

R

P

e4

e1

e2

R

Q

P e4

e3	e1

e2

R

P

Q

e4

e3	e1

e2

R

P

Q

e4

e1

e2

R

P

Q
Saiz sebenar

143

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Bagaimanakah anda mewakilkan maklumat dalam bentuk rangkaian?

Rangkaian	merupakan	satu	bentuk	graf	yang	unik	dan	boleh	digunakan	untuk
mewakilkan	maklumat	yang	bertindih	atau	bersilang.	Rangkaian	digunakan
secara	 meluas	 dan	 merangkumi	 hampir	 setiap	 bidang	 dalam	 kehidupan
seharian.	 Rangkaian	 yang	 dilukis	 atau	 dipaparkan	 dalam	 bentuk	 grafik
membolehkan	perkaitan	suatu	maklumat	atau	struktur	data	mudah	difahami.

Rangkaian	boleh	dilukis	sebagai:
•  graf	terarah	dan	berpemberat	atau	graf	terarah	dan	tak	berpemberat
•		 graf	tak	terarah	dan	berpemberat	atau	graf	tak	terarah	dan	tak	berpemberat

Rangkaian Pengangkutan

Rangkaian	 pengangkutan	 boleh	 digambarkan
dengan	menggunakan	graf	berpemberat	dan	graf	tak
berpemberat.	Pemberat	boleh	mewakili	jarak,	masa
perjalanan	 atau	 kos	 perjalanan.	 Sistem	 navigasi
terkenal	 dalam	 rangkaian	 pengangkutan	 dengan
pemberat	ialah	Sistem	Kedudukan	Global	atau	lebih
dikenali	sebagai	GPS	(Global Position System).
Rajah	 di	 sebelah	 menunjukkan	 rangkaian	 transit
kereta	api		yang	terdapat	di	Kuala	Lumpur	Sentral
(KL	Sentral).	Graf	tak	terarah	ini	merupakan	satu
contoh	 rangkaian	 pengangkutan	 dengan	 keadaan
bucu	 mewakili	 nama	 stesen	 yang	 dikaitkan	 dan
tepi	mewakili	jenis	keretapi.

14Contoh

Standard
Pembelajaran

Mewakilkan
maklumat dalam
bentuk rangkaian.

Encik	Voon	bersama	keluarganya	bercadang
untuk	melawat	tempat	bersejarah	di	Melaka.
Peta	 di	 sebelah	 menunjukkan	 tiga	 pilihan
laluan	beserta	jarak	dan	anggaran	masa	yang
akan	 diambil	 dari	 Tangkak	 ke	 bangunan
A	Famosa,	Melaka.

Katakan,	P	ialah	laluan	berjarak	46.3	km,
Q	ialah	laluan	berjarak	50.2	km	dan	R	ialah
laluan	berjarak	53.3	km.	Pada	pandangan	anda,	mengapakah	laluan	P	mengambil	jangka	masa	yang
lebih	panjang	berbanding	laluan	lain	walaupun	jarak	laluan	pilihan	P	adalah	yang	terpendek?

Penyelesaian:

Laluan	P	mengambil	jangka	masa	yang	panjang	mungkin	kerana	laluan	tersebut	melalui	kawasan	bandar
yang	sesak	dan	bilangan	pengguna	jalan	raya	yang	lebih	banyak	berbanding	dengan	laluan	lain.
Saiz sebenar

144

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Jadual	 di	 bawah	menunjukkan	 data	 enam	orang	murid	 dan	 dua	 jenis	 permainan	 yang	 diminati.
Tukar	maklumat	yang	diberi	dalam	bentuk	rangkaian.

Penyelesaian:

Katakan	bucu	ialah	jenis	permainan	dan	tepi	mewakili	nama	murid.

Rangkaian Sosial
Celik Minda

Nyatakan contoh
rangkaian sosial yang
anda tahu.

Bola	tampar

Sepak	takraw

Bola	jaring

Bola	sepak

Badminton

Catur

Ed
m
un
d

Mar
ia

Rajan Azwan

Jenny

Aina

15Contoh

TIP

Pilih maklumat yang tidak
bersilang sebagai tepi.

Celik Minda

Apakah maksud LTE dan
4G	yang	sering	digunakan
dalam rangkaian Internet
tanpa wayar?

Nama murid Permainan

Edmund	 Badminton,	Catur

Azwan	 Bola	sepak,	Sepak	takraw

Rajan	 Catur,	Bola	sepak

Aina	 Catur,	Bola	jaring

Maria	 Badminton,	Bola	jaring

Jenny	 Bola	jaring,	Bola	tampar

Rangkaian	 sosial	 merupakan	 salah	 satu	 rangkaian	 yang	 semakin
popular	 terutamanya	 dalam	 kalangan	 remaja	 dan	 orang	 dewasa
yang	bekerja.	Rangkaian	sosial	digunakan	untuk	peluang	pekerjaan,
peluang	 perniagaan,	 bersosial,	 kekeluargaan,	 pendidikan,	 media
sosial,	hubungan	dengan	masyarakat	di	seluruh	dunia	dan	sebagainya.
	 Walaupun	rangkaian	sosial	menjadi	suatu	platform	utama	untuk
pelbagai	aktiviti	dan	membawa	kebaikan,	anda	sebagai	seorang	murid
harus	 berhati-hati	 dan	 bersederhana	 dalam	 penggunaan	 rangkaian
sosial	agar	tidak	leka,	terperdaya	atau	tertipu.

Adakah rantaian
makanan merupakan
suatu rangkaian?
Bincangkan.

ZON INTERAKTIF

Bincangkan kesan
negatif penggunaan
rangkaian sosial.

ZON INTERAKTIF

Penyelesaian suatu kes
jenayah juga berkaitan
dengan graf. Semua bukti
yang diperoleh dikaitkan
antara satu dengan yang
lain. Bincangkan maklumat
yang boleh diwakilkan oleh
bucu dan tepi.

ZON INTERAKTIF
Saiz sebenar

145

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Nama tempat Bucu Pengesan bucu Jarak (km)

Praktis Kendiri 5.1d

Kuala	Sepetang
Matang

Kamunting
Simpang
Taiping
Changkat

KS
M
K
S
T

CJ

Jadual	1

Jadual	2

Rajah	1

(KS,	M)
(K,	M)

(K,	T)
(S,	T)

(S,	KS)

8
8.4

5.2
5.9
3.5
11

4.9
15
10(CJ,	T)

(CJ,	KS)
(CJ,	S)

(S,	M) CJ

T

KM

KS
S

1.	 Jadual	1	dan	Jadual	2	di	atas	menunjukkan	nama	dan	jarak	enam	tempat	di	negeri	Perak.	Rajah
1	menunjukkan	graf	tak	berarah	yang	tidak	lengkap	mengaitkan	enam	tempat	tersebut.

(a)	 Lengkapkan	Rajah	1	dengan	melukis	satu	graf	tak	terarah	dan	berpemberat.
	 (b)	 Lukis	 satu	 pokok	 berpemberat	 minimum	 dengan	 keadaan	 setiap	 tempat	 hanya	 dilalui

sekali	sahaja.
	 (c)	 Berapakah	jarak	minimum	pokok	yang	anda	lukis?

2.	 Jadual	di	bawah	menunjukkan	empat	jenis	makanan	kegemaran	beberapa	orang	murid.

Makanan Nama murid

Nasi	ayam	 Mervin,	Raj,	Helen,	Wong,	Ain

Nasi	lemak	 Mervin,	Nurul,	Atiqah,	Ain,	Puspa

Nasi	goreng	 Helen,	Julia,	Nurul,	Faruk,	Puspa

Mi	goreng	 Faruk,	Atiqah,	Raj,	Wong,	Julia

(a) Lukis	satu	graf	berbilang	tepi	berdasarkan	jadual	di	atas.
	 (b)	 	Antara	 jenis	 makanan	 dengan	 nama	 murid,	 kumpulan	 manakah	 yang	 anda	 pilih	 untuk

mewakili	bucu?	Berikan	justifikasi	anda.
	 (c)	 	Apakah	kaitan	antara	jumlah	darjah	bagi	graf	yang	anda	lukis	dengan	jumlah	keseluruhan

pilihan	makanan?
	 (d)	 	Antara	grafik	berbentuk	jadual	dengan	graf,	yang	manakah	jelas	menunjukkan	perkaitan

antara	jenis	makanan	dengan	murid?

3. (a)	 Lukis	carta	organisasi	kelas	mengikut	kreativiti	anda.
	 (b)	 Nyatakan	jenis	graf	yang	anda	gunakan.	Adakah	carta	organisasi	suatu	rangkaian?	Berikan

justifikasi	anda.
Saiz sebenar

146

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan rangkaian?

Jadual	di	bawah	menunjukkan	pilihan	pengangkutan	awam,	anggaran	masa
perjalanan	dan	anggaran	kos	dari	Johor	Bahru	ke	Kota	Bharu.

Berdasarkan	 jadual	 di	 atas,	 tentukan	 jenis	 pengangkutan	 yang	 harus	 dipilih	 dalam	 situasi	 yang
diberikan	di	bawah.	Berikan	justifikasi	anda.
(a)	 Perjalanan	yang	melibatkan	seorang	dewasa	tanpa	kekangan	masa.
(b)	 Perjalanan	yang	melibatkan	seorang	dewasa	dengan	kekangan	masa.
(c)	 Perjalanan	yang	melibatkan	dua	orang	dewasa	dan	dua	orang	kanak-kanak.

Penyelesaian:

16Contoh

Jenis
pengangkutan

Bas

Masa
perjalanan

(sistem 24 jam)

Kereta	api

Anggaran
tempoh

perjalanan

Anggaran perbelanjaan

Harga tiket seorang / kos bahan api

Jam	2000 9	jam RM64	-	RM75

Jam
(1833	-	1147) 17	jam

Kemudahan	tempat	tidur
Kanak-kanak:	RM32	-	RM38
Dewasa:	RM49	-	RM55

Tanpa	kemudahan	tempat	tidur
Kanak-kanak:	RM26
Dewasa:	RM43

RM120	(untuk	sebuah	kereta)-Kereta 9	jam

(a)	 Kereta	api	dengan	kemudahan	tempat	tidur	ialah	pilihan	terbaik	kerana	kos	perjalanan	hanya
beza	RM5	berbanding	dengan	kereta	api	tanpa	kemudahan	tempat	tidur.	Pilihan	ini	juga	lebih
murah	daripada	perbelanjaan	dengan	memandu	kereta.

(b)	 Bas	merupakan	 pilihan	 terbaik	 kerana	 lebih	 jimat	 dan	 penumpang	 boleh	 berehat	 sepanjang
perjalanan.	Perjalanan	jauh	bagi	seorang	individu	menggunakan	kereta	bukan	satu	pilihan	bijak
dari	aspek	keselamatan.

(c)	 Kereta	ialah	pilihan	yang	paling	menjimatkan.

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan
masalah yang
melibatkan rangkaian.

Jenis pengangkutan

Bas

Kereta	api	(Kemudahan	tempat	tidur)

Harga tiket seorang (RM)

64 75

Kanak-kanak	=	32
Dewasa	=	49

Kanak-kanak
Dewasa

Kereta	api	(Tanpa	kemudahan	tempat	tidur) -

Minimum Maksimum

Kanak-kanak	=	26
Dewasa	=	44

=	38
=	55
Saiz sebenar

147

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

17Contoh

U

Peta	di	atas	menunjukkan	laluan	penerbangan	domestik	oleh	sebuah	syarikat	penerbangan	swasta
di	Malaysia.
(a)	 	Encik	Joshua	bekerja	di	Kuala	Lumpur.	Beliau	ingin	melawat	keluarganya	di	Kota	Kinabalu.

Nyatakan	laluan	penerbangan	terbaik	yang	boleh	dipilih	oleh	Encik	Joshua.
(b)	 Apakah	kelebihan	dan	kekurangan	bagi	pilihan	penerbangan	pada	jawapan	(a)?

Penyelesaian:
(a)		Penerbangan	terus	dari	Kuala	Lumpur	ke	Kota	Kinabalu	atau	dari	Kuala	Lumpur	ke	Labuan

dan	seterusnya	ke	Kota	Kinabalu.
(b)		Penerbangan	 terus	 dari	Kuala	Lumpur	 ke	Kota	Kinabalu	 boleh	menjimatkan	masa	 dan	 kos

perjalanan.	Penerbangan	dari	Kuala	Lumpur	ke	Kota	Kinabalu	melalui	Labuan	akan	mengambil
masa	perjalanan	yang	lebih	panjang	dan	kemungkinan	kos	perjalanan	juga	lebih	tinggi.

Praktis Kendiri 5.1e
1.	 Encik	Maswi	bekerja	di	Kulai.	Beliau	ingin	melawat	keluarganya	di	Miri	pada	suatu	hujung

minggu	tertentu.	Pada	hari	Jumaat,	waktu	bekerja	Encik	Maswi	akan	tamat	pada	pukul	12:30
tengah	 hari.	 Jadual	 di	 bawah	menunjukkan	 pilihan	 laluan	 penerbangan	 domestik	 pada	 hari
Jumaat	dan	hari	Sabtu	minggu	tersebut	oleh	sebuah	syarikat	penerbangan	swasta	di	Malaysia.

Laluan
Jumaat Sabtu

Masa Harga tiket Masa Harga tiket
Johor	Bahru

-	Miri Tiada	penerbangan Jam	(1705	–	1900) RM239.30

Johor	Bahru
-	Kuching

Jam	(1630	–	1755) RM144.30 Jam	(0605	–	0730) RM174.30
Jam	(2000	–	2125) RM124.30 Jam	(1205	–	1330) RM154.30

Kuching
-	Miri

Jam	(2010	–	2115) RM149.00 Jam	(0835	–	0940) RM84.00
Jam	(2155	–	2300) RM149.00 Jam	(1145	–	1250) RM64.00

(a)	 Tentukan	penerbangan	yang	paling	murah	dari	Johor	Bahru	ke	Miri.
	 (b)	 	Tentukan	 pilihan	 penerbangan	 terbaik	 yang	 harus	 dipilih	 oleh	Encik	Maswi	 jika	 beliau

perlu	balik	ke	Semenanjung	Malaysia	pada	hari	Ahad.	Berikan	justifikasi	anda.
Saiz sebenar

148

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

1.	 Diberi	tiga	graf	seperti	di	bawah.
	 (a)	 (b)	 (c)

Untuk	setiap	graf,	tentukan
	 (i)	 set	V	 (ii)	 set	E	 (iii)	 bilangan	darjah

2.	 Lukis	graf	tak	terarah	berdasarkan	maklumat	yang	diberikan.
	 (a)	 V	=	{P, Q, R, S, T, U}
	 	 E	=	{(P, Q),	(Q, R),	(R, S),	(S, T)}

(b)	 V	=	{P, Q, R, S, T}
	 	 E	=	{(P, Q),	(P, Q),	(Q, R),	(Q, T),	(R, S),	(S, S),	(S, T)}

3. (a)	Lukis	 satu	 graf	 tak	 terarah	 dan	 berpemberat
mewakili	 jalan	 persekutuan	 yang
menghubungkan	beberapa	buah	bandar	seperti
dalam	 jadual	 di	 sebelah.	 Anda	 digalakkan
menggunakan	peta	kawasan	untuk	menentukan
kedudukan	bandar-bandar	yang	diberikan.

(b)	Adakah	 graf	 yang	 anda	 lukis	 merupakan
pokok?	Berikan	justifikasi	anda.

4.	 Rajah	di	sebelah	menunjukkan	graf	terarah	dari
rumah	Lani	di	A,	ke	sekolah	di	E.	Diberi	tepi	BE
ialah	jalan	perbandaran	dan	tepi	AB, AC, CD	serta
DE	 ialah	 jalan	 dalam	 kawasan	 perumahan.
Cadangkan	 laluan	 terbaik	 yang	 boleh	 dipilih
oleh	 Lani	 untuk	 ke	 sekolah	 dengan	 basikal.
Berikan	justifikasi	anda.

QP

RU

ST Q

R
P

T

S

U

Q R

P
TS

Nama bandar Jarak (km)
9.3
30.2
4.9
21.1
21.9
34.6

Temerloh	–	Mentakab
Temerloh	–	Bandar	Bera
Bandar	Bera	–	Teriang
Mentakab	–	Lanchang
Lanchang	–	Karak

Mentakab	–	Kuala	Krau

D

A

C

E B
Sekolah

350	m

650	m

400	m

800	m

1.1	km
Saiz sebenar

149

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

5.	 Graf	terarah	dan	berpemberat	di	sebelah	menunjukkan
bayaran	 tiket	 dan	 masa	 perjalanan	 bagi	 pilihan
penerbangan	oleh	suatu	syarikat	penerbangan	swasta.
Diberi	bucu	S	ialah	destinasi	yang	ditujui	dari	bucu	P.
Bucu	Q	dan	bucu	R	ialah	lapangan	terbang	transit.	Masa
transit	di	setiap	lapang	terbang	ialah	45	minit.

(a)	 Nyatakan,
	 	 (i)	 laluan	yang	paling	murah.
	 	 (ii)	 laluan	yang	mengambil	masa	perjalanan	yang	paling	singkat.
	 (b)	 Jika	anda	perlu	ke	destinasi	dengan	kos	yang	optimum,	nyatakan	laluan	yang	anda	pilih.

Berikan	justifikasi	anda.

6.	 Bina	empat	persamaan	linear	berdasarkan	graf	terarah	di	bawah.
Diberi	x5	=	15.	Tentukan	nilai	x1,	x2,	x3	dan	x4.

A B

D

10

E

10

x5

x2 x3

11

x1 x4
C

7.	 Graf	 tak	 terarah	 di	 bawah	menunjukkan	 kedudukan	 enam	buah	 rumah	 di	 sebuah	 kampung.
Seorang	 jurujual	 perlu	 ke	 semua	 rumah	 tersebut	 bermula	 dari	 rumah	 A	 dan	 berakhir	 di
rumah	F.

D

A C

E

B

750	m

F

650	m 850	m

600	m

800	m

780
	m

900	m

50
0
m

850	m

45
0
m

(a)	 Lukis	suatu	graf	terarah	mewakili	jarak	terpendek	dari	A	ke	F	dengan	syarat	semua	laluan
hanya	dilalui	sekali	sahaja.

(b)	 Hitung	jarak	terpendek	dalam	km,	berdasarkan	graf	yang	anda	lukis.

TIP

Guna,	Σdin = Σdout bagi
setiap bucu.

RM130	(1.5jam
)

P

R

Q
S

RM
45

	(0
.8j
am
)

RM200																		(3jam)

RM115	(1.4jam)

RM
65	(1.1jam

)

RM
50	(1jam

)
Saiz sebenar

150

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

8.	 Graf	 di	 sebelah	 menunjukkan	 kaitan	 antara
unsur-unsur	yang	terdapat	dalam	set	X,	set	Y	dan
set Z,	dengan	keadaan	set	semesta,	ξ	=	X		Y 	Z.

(a)	 Wakilkan	 graf	 di	 sebelah	 dalam	 bentuk
gambar	rajah	Venn.

(b)	 Tentukan,
	 	 	 (i)	 (X	∩ Y)'
	 	 	(ii)	 (X	∩	Z)'	∩	Y'
	 	 	(iii)	 (Y	∩	Z)	∩	(X	∩	Y)

9.	 Encik	Ganesan	berjawatan	sebagai	pengurus	sebuah	agensi
insurans.	 Beliau	 berjaya	 menyediakan	 dua	 orang	 ejen
insurans	 yang	 aktif	 di	 bawah	 pimpinannya	 untuk	 menjual
suatu	 skim	 insurans	 terkini,	 yang	bernilai	RM100	 sebulan.
Selain	menjual	polisi	insurans,	ejen-ejen	tersebut	juga	perlu
memperkenalkan	minimum	dua	ejen	baharu,	setiap	seorang
untuk	tujuan	kenaikan	pangkat.	Pada	rajah	pokok	di	sebelah
bucu	 P	 mewakili	 pengurus,	 E1	 sebagai	 ejen	 peringkat
pertama,	E2	sebagai	ejen	peringkat	kedua	dan	seterusnya.

(a)	 Jika	 terdapat	 30	 orang	 ejen	 pada	 bulan	 Januari,
lengkapkan	pokok	yang	diberikan.

(b)	 Jadual	 di	 sebelah	 menunjukkan	 peratus	 komisen	 asas
yang	 diterima	 oleh	 seorang	 ejen	 dan	 pengurus	 apabila
satu	polisi	insurans	berjaya	dijual.

(i)	Hitung	jumlah	komisen	asas	yang	diterima	oleh	Encik	Ganesan	pada	bulan	Januari,
jika	minimum	polisi	yang	dijual	oleh	seorang	ejen	pada	bulan	Januari	ialah	18	polisi.

(ii)	Berapakah	minimum	polisi	 yang	 perlu	 dijual	 oleh	 seorang	 ejen	 agar	 komisen	 asas
yang	diterima	adalah	sekurang-kurangnya	RM1	000?

10.	Rajah	 di	 sebelah	 menunjukkan	 pertumbuhan	 sejenis	 sel.	 Diberi
bahawa	 pada	 hari	 pertama	 terdapat	 empat	 sel.	 Pada	 hari	 kedua
setiap	sel	membina	tiga	sel	baharu.	Proses	pembinaan	sel	baharu
ini	berulang	dengan	kadar	yang	sama.

(a)	 	Pada	hari	keberapakah	jumlah	sel	melebihi	50	untuk
kali	pertama?

(b)		Hitung	jumlah	sel	pada	hari	kelima.
	 (c)	 	Diberi	jangka	hayat	sel	ialah	5	hari.	Hitung	jumlah	sel	pada

hari	kelapan.

Y
X

Z

A

M

F

TH

N

E

G

J

L
P

D

B

C

R

KI

Ejen
Pengurus

25%
2%

P

E1 E1

E2
Saiz sebenar

151

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

P R O J E K

Rajah	1

Rajah	2

1.	 Permainan	pagar	sesat	atau	dikenali	sebagai	Maze	merupakan	satu	contoh	rangkaian.
Rajah	1	menunjukkan	contoh	Maze	sementara	Rajah	2	ialah	rangkaian	yang	sepadan.

2.	 Bahagikan	kelas	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
3.	 Dapatkan	contoh	permainan	Maze	pelbagai	aras.
4.	 Labelkan	bucu-bucu	dengan	tatatanda	yang	sesuai	seperti	pada	Rajah	1.
5.	 Lukiskan	rangkaian		yang	sepadan.
6.	 Pamerkan	hasil	projek	anda	di	Sudut	Matematik.
Saiz sebenar

152

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

Rangkaian dalam Teori Graf

Graf

Darjah

PETA KONSEP

Mempunyai gelung dan berbilang tepiMudah

Graf tak terarah Graf terarah

Pokok (Graf mudah)

Graf berpemberat
jarak kos

ma
sa

nama

ke
ge
m
ar
an

Graf tak berpemberat

P R

Q

R

Q

P R

Q

R

Q

P

P

Q

Q

P R

Q

P R

Q

P

P R

Subgraf

R

Q

R
Saiz sebenar

153

Bab 5  Rangkaian dalam Teori Graf

5
B

A
B

 Eksplorasi Matematik

subgraf

graf	terarah

graf	berpemberat

tepi

darjah

pokok

graf	mudah

gelung

Dapatkan	 maklumat	 dan	 sediakan	 satu	 persembahan	 multimedia	 berkaitan	 salah	 satu
rangkaian	di	bawah.

Sertakan	gambar,	video	atau	bahan	menarik	agar	persembahan	anda	lebih	kreatif
dan	informatif.

Sosial

Perubatan Perbankan

Sains	KomputerBahasa

Lengkapkan	pernyataan	yang	diberi	dengan	jawapan	yang	disediakan.

1.	 	 	ialah	garis	yang	mengaitkan	dua	bucu.

2.	 	 	ialah	bilangan	tepi	yang	mengaitkan	dua	bucu.

3.	 Graf	tanpa	 	dan	tanpa	berbilang	tepi	dikenali	sebagai	 .

4.	 Tepi	 	ditanda	dengan	arah.

5.	 Tepi	 	ditanda	dengan	suatu	nilai	atau	maklumat.

6.	 	 	ialah	sebahagian	atau	keseluruhan	graf	yang	dilukis	semula.

7.	 Setiap	pasangan	bucu	pada	suatu	 	hanya	dikaitkan	dengan	satu	tepi.
Saiz sebenar

154

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Anda akan mempelajari

Maslahat Bab

BAB

6
►	 Ketaksamaan	Linear	dalam	Dua	Pemboleh	Ubah
►	 Sistem	Ketaksamaan	Linear	dalam	Dua	Pemboleh	Ubah

Perniagaan	dan	keusahawanan	merupakan	nadi	utama	ekonomi
negara	untuk	menyediakan	peluang	pekerjaan	dan	meningkatkan

taraf	hidup	rakyat.	Seorang	peniaga	atau	usahawan	perlu	mahir	dalam
komunikasi,	kepimpinan,	perakaunan,	pemasaran	dan	yang	paling
penting	ialah	perancangan.	Perancangan	yang	teliti	membolehkan
seorang	peniaga	atau	usahawan	mendapat	pulangan	yang	tinggi	iaitu
keuntungan	yang	maksimum	dengan	kos	yang	minimum.

Tahukah	 anda	 bagaimanakah	 seorang	 usahawan	 merancang
untuk	mendapat	keuntungan	yang	tinggi	dengan	meminimumkan
perbelanjaan?

Pengetahuan	dalam	ketaksamaan	linear	merupakan	asas	kepada
bidang	 pengaturcaraan	 linear.	 Pengetahuan	 ini	 sangat	 penting
dalam	bidang	perniagaan,	dunia	korporat	dan	bidang-bidang	lain
yang	memerlukan	hasil	 optimum,	 iaitu	 keuntungan	maksimum
dengan	kos	yang	minimum.

Ketaksamaan Linear
dalam Dua
Pemboleh Ubah

154
Saiz sebenar

155

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

155

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA
•	 ketaksamaan	linear	 • linear inequality
•	 linear	 • linear
•	 pemboleh	ubah	 • variable
•	 rantau	 • region
•	 sistem	ketaksamaan	 • linear inequality
	 linear	  system

Imbasan Silam

Thomas Harriot
(1560-1621)

Thomas	 Harriot	 ialah	 seorang	 ahli	 astronomi
Inggeris,	ahli	matematik	dan	penterjemah.	Beliau
memberikan	 sumbangan	 dalam	 kemajuan	 bidang
saintifik.	Thomas	Harriot	merupakan	orang	pertama
yang	 memperkenalkan	 simbol	 ketaksamaan	 lebih
besar,	>	dan	lebih	kecil,	<.

http://yakin-pelajar.com/Harriot/6.pdf
Saiz sebenar

156

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

6.1 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh ubah

Bagaimanakah suatu situasi boleh diwakilkan dalam bentuk ketaksamaan linear?

Ketaksamaan	 digunakan	 untuk	 menerangkan	 hubungan	 antara	 dua
kuantiti	yang	tidak	sama.

Rajah	1	menunjukkan	tanda	amaran
ketinggian	yang	biasa	dilihat	di	jalan
raya	atau	lebuh	raya.	Tanda	amaran	ini
diletakkan	pada	terowong.	Berapakah
ketinggian	maksimum	kenderaan	yang
boleh	melalui	terowong	tersebut?

Rajah	2	menunjukkan	berat	maksimum	sebuah	lori	3	tan	dengan
muatan	dan	tanpa	muatan.	Apakah	hubungan	antara	berat	lori	tanpa
muatan,	berat	lori	dengan	muatan	serta	berat	muatan?

Bagi	situasi	pada	Rajah	1,	katakan	ketinggian	keseluruhan	suatu
kenderaan	diwakilkan	dengan	pemboleh	ubah	h,	maka	h	<	4.75	m.
Dalam	situasi	ini	hanya	satu	kuantiti	yang	terlibat,	iaitu	ketinggian
dalam	meter.

Situasi	 pada	Rajah	 2	melibatkan	 kuantiti	 berat	 dalam	kg	 tetapi	 pada
dua	keadaan	yang	berbeza.	Katakan,

y	=	berat	dengan	muatan	(BDM)
x	=	berat	tanpa	muatan	(BTM)

nilai	muatan	=	BDM	–	BTM
	 =	(7	500	–	3	410)	kg
	 =	4	090	kg

Maka,	situasi	pada	Rajah	2	boleh	dinyatakan	sebagai

y	≤	x	+	4	090

iaitu,	 x	 dan	 y	 ialah	 dua	 pemboleh	 ubah	 yang	mewakili	 dua	 kuantiti
dengan	unit	yang	sama.

Taufik	ingin	membeli	beberapa	buah	buku	rujukan	dan	buku	latihan
semasa	 pameran	 buku	 diadakan.	 Taufik	 mendapati	 harga	 sebuah
buku	rujukan	ialah	RM14	dan	harga	sebuah	buku	latihan	ialah	RM9.
Amaun	maksimum	yang	boleh	dibelanjakan	oleh	Taufik	ialah	RM100.
Wakilkan	situasi	di	atas	dalam	bentuk	ketaksamaan	linear	yang	sesuai.

1Contoh

Rajah	2

Rajah	1

Standard
Pembelajaran

Mewakili situasi dalam bentuk
ketaksamaan linear.

MEMORI SAYA

> lebih besar daripada
< kurang daripada
≥ lebih besar daripada
 atau sama dengan
≤ kurang daripada atau
 sama dengan

Kuasa tertinggi suatu
pemboleh ubah dalam
persamaan linear ialah 1.

Persamaan linear dalam
dua pemboleh ubah:
ax	+	by	=	c

ZON INFORMASI

Pemboleh ubah
merupakan suatu faktor
seperti unsur, ciri atau
angka yang tidak tetap
dan perlu diambil kira
dalam suatu perhitungan.

MEMORI SAYA

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

157

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Penyelesaian:

Katakan,	x	=	buku	rujukan	dan	y	=	buku	latihan.
maka,		 	 	 	 14x		+		9y 	≤		100

Ketaksamaan	linear	14x	+	9y	≤	100	juga	boleh	ditulis	sebagai;

14x	≤	100	–	9y	atau	9y	≤	100	–	14x

Puan	 Hidayah	 ingin	 membeli	 beberapa	 keping	 poster	 matematik	 untuk	 digantung	 di	 Bilik
Matematik.	Diberi	 harga	 sekeping	 poster	 kecil	 ialah	RM12.50	 dan	 harga	 sekeping	 poster	 besar
ialah	 RM18.50.	Wakilkan	 pembelian	 kedua-dua	 jenis	 poster	 dalam	 bentuk	 ketaksamaan	 linear
yang	sesuai	jika	peruntukan	daripada	pihak	sekolah	ialah	RM150.00.

Penyelesaian:

Katakan,
k	=	poster	kecil	dan	b	=	poster	besar.
maka,	 12.50k	+	18.50b	≤	150

25
2 k	+	37

2 b	≤	150

Darabkan	kedua-dua	bahagian	ketaksamaan	dengan	2
untuk	menghapuskan	penyebut	pecahan:

	 					2	×	25

2 k	+ 2	×	37
2 b	≤ 2	×	150

25k	+	37b	≤	300

1.	 Wakilkan	 situasi	 yang	 diberikan	 dalam	 bentuk	 ketaksamaan	 linear	 dengan	 menggunakan
pemboleh	ubah	yang	sesuai.

(a)	 Puan	Linda	Lim	ingin	menyediakan	hidangan	ikan	dan	udang	bersempena	dengan		sambutan
Tahun	Baharu	Cina.	Diberi	harga	sekilo	ikan	tenggiri	 ialah	RM25	dan	harga	sekilo	udang
ialah	RM45.	Puan	Linda	Lim	ingin	membelanjakan	RM250	untuk	pembelian	ikan	dan	udang.

(b)	 Pak	Halim	ingin	menternak	ayam	dan	itik	secara	kecil-kecilan	untuk	menjanakan	pendapatan
sampingan	bagi	menguruskan	perbelanjaan	keluarganya	yang	semakin	meningkat.	Seekor
anak	ayam	berharga	RM2	dan	harga	seekor	anak	itik	ialah	RM1.50.	Pak	Halim	mempunyai
modal	sebanyak	RM500	untuk	pembelian	anak	ayam	dan	anak	itik.

(c)	 Puan	Letchumy	ingin	menyumbangkan	RM50	untuk	pembelian	dua	jenis	kuih	bersempena
dengan	Hari	Kantin	di	sekolah	anaknya.	Harga	kos	sebiji	karipap	ialah	30	sen	dan	sebiji
kuih	kasturi	ialah	40	sen.

(d)	 Puan	Yati	menjual	nasi	lemak.	Harga	jualan	sebungkus	nasi	lemak	telur	ialah	RM1.50	dan
sebungkus	nasi	lemak	ayam	ialah	RM3.50.	Jumlah	jualan	harian	nasi	lemak	perlu	melebihi
RM120	untuk	mendapatkan	keuntungan	minimum.

Praktis Kendiri 6.1a

2Contoh

} }}
Jumlah	harga	buku	rujukan
dan	buku	latihan	kurang
atau	sama	dengan	RM100

Harga	sebuah	buku
rujukan	ialah	RM14

Harga	sebuah	buku
latihan	ialah	RM9
Saiz sebenar

158

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

y

Rantau
Atas

Rantau
Bawah

y	=	–	mx	+	c

y

Rantau	Atas

Rantau	Bawah

xRantau
Kiri

Rantau
Kanan

Rajah	3	menunjukkan	jenis	rantau	yang	terhasil	pada	satah	Cartes	apabila	suatu	garis	lurus	dilukis.

y

x

x

y

xo

o

Rantau
Atas

Rantau
Bawah

y	=	mx	+	c

Rajah	3

Standard
Pembelajaran

Membuat dan
menentusahkan konjektur
tentang titik dalam rantau
dan penyelesaian bagi
suatu ketaksamaan linear.0 	1	 2	 3

x	≥	1

x

Rajah	1

y

xO

2

1

–1

1	 2	 3	 4

Rajah	2

Bagaimanakah anda menentusahkan konjektur titik dalam suatu rantau yang
memenuhi suatu ketaksamaan linear?

Semasa	di	tingkatan	1,	anda	telah	mempelajari	cara	untuk	mewakilkan
suatu	ketaksamaan	dalam	satu	pemboleh	ubah	dengan	menggunakan
garis	nombor	seperti	pada	Rajah	1.	Tahukah	anda,	suatu	ketaksamaan
juga	 boleh	 diwakilkan	 pada	 satah	 Cartes	 dengan	 melorek	 rantau
yang	 memuaskan	 ketaksamaan	 tersebut	 seperti	 pada	 Rajah	 2?
Semua	 koordinat-x	 pada	 rantau	 berlorek	 tersebut	 akan	 memenuhi
ketaksamaan	x	≥	1.

TIP

Tanda
Ketaksamaan

Jenis
Garis

>	,	< Garis
sempang

≥ , ≤
Garis
padu

o

o

MEMORI SAYA
Persamaan am garis lurus:
y = mx + c
m = kecerunan
c = pintasan-y

Celik Minda

Kecerunan garis lurus	y	=	h
ialah sifar. Mengapa?

ZON INTERAKTIF

Mengapakah	kecerunan
garis	lurus	x	=	k  adalah
tidak	tertakrif?
Bincangkan.

x	=	k

y	=	h
Saiz sebenar

159

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Tujuan:	Menentusahkan	konjektur	tentang	titik	dalam	suatu
	 rantau	yang	memuaskan	ketaksamaan	linear.
Bahan:	Lembaran	aktiviti,	kertas	graf
Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2. Setiap	kumpulan	diberi	satu	kertas	graf	dan	lembaran	aktiviti.
3.	 Murid	diminta	melukis	garis	lurus	yang	mewakili	persamaan	linear	yang	diberikan

untuk	–5	≤	x	≤ 5	pada	kertas	graf	dan	memplot	titik	yang	terdapat	dalam	jadual	lembaran
aktiviti	(Contoh	1).

Contoh	1

4.	 Aktiviti	 Stay and Stray	 boleh	 dijalankan	 agar	 semua	 murid	 berpeluang	 menerangkan
hasil	dapatan.

Perbincangan:
Apakah	kaitan	antara	kedudukan	titik	pada	garis	lurus,	rantau	atas	atau	rantau	bawah	dengan
persamaan	linear	atau	ketaksamaan	linear	yang	diberikan?

Rangsangan Minda 1

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	1,	didapati	bahawa;

•		Semua	titik	yang	berada	pada	garis	lurus	memuaskan	persamaan	y	=	mx	+	c.
•		Semua	titik	yang	berada	di	rantau	atas	memuaskan	ketaksamaan	y	>	mx	+	c.
•		Semua	titik	yang	berada	di	rantau	bawah	memuaskan	ketaksamaan	y	<	mx	+	c.

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
http://yakin-pelajar.
com/6/Lembaran.pdf

Lukis	garis	lurus	y	=	–	2x	+	6	untuk	–1	≤	x	≤	5.	Plotkan	titik	(1,	–2),	(4,	–2),	(0,	1),	(1,	4),	(4,	3)
dan	 (2,	 6).	Tentukan	 sama	 ada	 titik-titik	 yang	 diplot	memenuhi	y	 =	 –2x	 +	 6,	y >	–2x	 +	 6	 atau
y	<	–2x	+	6.

3Contoh

√

Titik Koordinat- y Nilai
x + 2

Kedudukan titik (Dari graf) Titik memuaskan

Pada garis
lurus

Rantau
Atas

Rantau
Bawah y = x + 2 y > x + 2 y < x + 2

(–5,	4) 4 –5	+	2	=3 √ (4	>	3)

(1,	3) 3 1	+	2	=3 √ (3	=	3)

(0,	–2) –2 0	+	2	=2 (–2	<	2)

(4,	7)
(–3,	0)
(3,	5)
Saiz sebenar

160

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Penyelesaian:
y =	–2x +	6
 x	 –1	 5
 y	 8	 –	4

•	 titik-titik	(1,	4)	dan	(4,	–2)	memuaskan	persamaan
	 y	=	–2x	+	6.
•	 titik-titik	(2,	6)	dan	(4,	3)	memuaskan	ketaksamaan
	 y	>	–2x	+	6.
•	 titik-titik	(0,	1)	dan	(1,	–2)	memuaskan	ketaksamaan
	 y	<	–2x	+	6.

Diberi	persamaan	linear	y	=	–3x	+	6.	Tanpa	melukis	graf	garis	lurus,	tentukan	sama	ada	titik-titik
yang	diberikan	memuaskan	y	=	–3x	+	6,	y	>	–3x	+	6	atau	y	<	–3x	+	6.
(a)	 (2,	5)	 (b)	 (1,	2)	 (c)	 (–1,	9)	 (d)	 (0,	8)

Penyelesaian:
(a)	 (2,	5)

(c)	 (–1,	9)

Apabila	x	=	5,
y	=	–2(5)	+	6
y	=	–	4Apabila	x	=	–1,

y	=	–2(–1)	+	6
y	=	8

y

O

8

6

4

2

–2

–4

x

(4,	–2)(1,	–2)

(0,	1)

1	 2	 3	 4	 5

(4,	3)
(1,	4)

(2,	6)

4Contoh

(b)	 (1,	2)

(d)	 (0,	8)

y –3x	+	6

5 –3(2)	+	6
=	0

5	>	0
maka,

titik	(2,	5)	memuaskan
y	>	–3x	+	6

y –3x	+	6

9 –3(–1)	+	6
=	9

9 = 9
maka,

titik	(–1,	9)		memuaskan
y	=	–3x	+	6

y –3x	+	6

2 –3(1)	+	6
=	3

2 < 3
maka,

titik	(1,	2)		memuaskan
y	<	–3x	+	6

y –3x	+	6

8 –3(0)	+	6
=	6

8 > 6
maka,

titik	(0,	8)		memuaskan
y	>	–3x	+	6

y	>	–2x	+	6

y	=	–2x	+	6

y	<	–2x	+	6

–1
Saiz sebenar

161

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

1.	 Lukis	garis	lurus	y	=	23x	–	2	untuk	0	≤	x	≤	3.	Plot	titik-titik	(3,	1),	(2,	–2),	(1.5,	–1),	(3,	–2)
dan	(1,	–1).	Tentukan	sama	ada	titik-titik	yang	diplot	memuaskan	y	=	23x	–	2,	y	>	23x	–	2	atau
y	<	23x	–	2.

2.	 Lukis	garis	lurus	y	=	–	12x	+	2	untuk	–	4	≤	x	≤	6.	Plot	titik-titik	(–3,	5),	(–3,	1),	(1,	–2),

(2,	1)	dan	(4,	5).	Tentukan	sama	ada	titik-titik	yang	diplot	memuaskan	y	=	–	1
2

x	+	2,
y	>	–	12x	+	2	atau	y	<	–	12x	+	2.

3.	 Diberi	persamaan	linear	y	=	4x	–	5.	Tanpa	melukis	graf	garis	lurus,	tentukan	sama	ada	titik-titik
yang	diberikan	memuaskan	y	=	4x	–	5,	y	>	4x	–	5	atau	y	<	4x	–	5.

(a)	 (2,	4)	 					(b)	(3,	7)															(c)	(0,	–6)	 						(d)	(–2,	0)	 					(e)	(4,	5)

Praktis Kendiri 6.1b

Bagaimanakah anda menentukan dan melorek rantau yang memuaskan satu
ketaksamaan linear?

Anda	 telah	mengetahui	bahawa	 jika	satu	garis	 lurus	yang	mewakili
persamaan	linear	y = mx + c	dilukis	pada	satah	Cartes,	semua	titik
yang	ada	pada	satah	Cartes	 tersebut	boleh	dikategorikan	dalam	tiga
kumpulan,	iaitu:

Bagi	garis	 lurus	y = h	 dan x = k	 yang	dilukis	pada	 satah	Cartes	dengan	keadaan	h	 dan	k	 ialah
pemalar,	 semua	 titik-titik	 yang	 ada	 pada	 satah	 Cartes	 tersebut	 juga	 boleh	 dikategorikan
seperti	berikut:

•	 Titik-titik	 yang	 terletak	 pada	 garis	 lurus	 memuaskan
persamaan	y = mx + c.

•	 Titik-titik	yang	terletak	di	rantau	atas	garis	lurus	memuaskan
ketaksamaan	y > mx + c.

•	 Titik-titik	yang	terletak	di	rantau	bawah	garis	lurus	memuaskan
ketaksamaan	y < mx + c.

•	 Titik-titik	 yang	 terletak	 pada	 garis	 lurus
memuaskan	persamaan	y = h.

•	 Titik-titik	yang	terletak	di	rantau	atas	garis
lurus	memuaskan	ketaksamaan	y > h.

•	 Titik-titik	 yang	 terletak	 di	 rantau	 bawah
garis	lurus	memuaskan	ketaksamaan	y < h.

Rajah	1

y

O
x

y	<	mx + c

y	>	mx + c

Rajah	2

y	=	h

y

O
x

y	>	h

y	<	h

4.	 Diberi	persamaan	linear	y	=	–3x	+	4.	Tanpa	melukis	graf	garis	lurus,	tentukan	sama	ada	titik-titik
yang	diberikan	memuaskan	y	=	–3x	+	4,	y	>	–3x	+	4	atau	y	<	–3x	+	4.

(a)	 (–2,	3)	 					(b)	(1,	1)															(c)	(–1,	8)	 						(d)	(0,	1)	 					(e)	(–	0.5,	7)

Standard
Pembelajaran

Menentukan dan melorek
rantau yang memuaskan
satu ketaksamaan linear.

MEMORI SAYA

h

y	>	h

y

y	<	h

h
Saiz sebenar

162

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Apakah kaitan antara titik pada satah Cartes dengan ketaksamaan y > mx + c,
y < mx + c, y ≥ mx + c dan y ≤ mx + c?

Rajah	3

•	 Titik-titik	 yang	 terletak	 pada	 garis	 lurus
memuaskan	persamaan	x = k.

•	 Titik-titik	 yang	 terletak	 di	 rantau	 kanan
garis	lurus	memuaskan	ketaksamaan	x > k.

•	 Titik-titik	yang	terletak	di	rantau	kiri	garis
lurus	memuaskan	ketaksamaan	x < k.

Rantau	termasuk	titik-titik	yang
terletak	pada	garis	lurus	y = mx + c

Rantau	tidak	termasuk	titik-titik	yang
terletak	pada	garis	lurus	y = mx + c

k

x	=	ky

O x
x	<	k x	>	k

•	 Titik-titik	berada	di	rantau	atas	atau	rantau	bawah	suatu	garis	lurus	y = mx + c.
•	 Garis	lurus	dilukis	dengan	menggunakan	garis	sempang.>		<

Rajah	4

y

O

4

2

–2

–	4

x

y	=	2
3
	x	+	2

Lorekkan	rantau	yang	mewakili	ketaksamaan	yang	diberikan.
	 	(a)	 y	>					x	+	2	 (b)	 y	≤ x	–	1	 (c)	 y	<	1

5Contoh

•	 Titik-titik	yang	ada	pada	garis	lurus	y = mx + c	termasuk	dalam	kawasan
rantau	atas	atau	rantau	bawah.

•	 Garis	lurus	dilukis	dengan	menggunakan	garis	padu.
≥ ≤

Rajah	5

y

O
x

y	=	mx	+	c

y	≤	mx	+	c

y	≥	mx	+	c

y

O

4

2

–2

–	4

x

y	=	x	–	1

y

O

4

2

–2

–	4

x

y	=	1

MEMORI SAYA

k

x	>	k

x

x	<	k

,

,

2
3

y

O
x

y	=	mx	+	c

y	<	mx	+	c

y	>	mx	+	c

–	4	 –2	 2	 4 –	4	 –2	 2	 4–	4	 –2	 2	 4
Saiz sebenar

163

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

(d)	 y	≥	–2x	–	2	 (e)	 x	>	–3	 (f)	 y	>	–2

Penyelesaian:
	 	(a)	 y	>					x	+	2	 (b)	 y	≤ x	–	1	 (c)	 y	<	1

(d)	 y	≥	–2x	–	2	 (e)	 x	>	–3	 (f)	 y	>	–2

Lukis	graf	dan	lorek	rantau	yang	mewakili	ketaksamaan	berikut.
(a)	 y	≤	2x	+	3	 (b)	 y	>	x	+	5			 (c)	 y	≤	2x
(d)	 x – y	>	4	 (e)	 y	≥	0	 (f)	 x	<		4

Penyelesaian:
(a)	 y	=	2x	+	3	 (b)	 y	=	x	+	5

–	4	 –2	 2	 4

y

O x

y	=	–2x	–	2

–	4	 –2	 2	 4

y

O

4

2

–2

–	4

x

y	=	–2

–	4	 –2	 2	 4

y

O

4

2

–2

–	4

x

–	4	 –2	 2	 4

y

O

4

2

–2

–	4

x

y	=	x	–	1

–	4	 –2	 2	 4

y

O

4

2

–2

–	4

x

y	=	1

–	4	 –2	 2	 4

y

4

2

–2

–	4

x

y	=	–2x	–	2

–	4	 –2	 2	 4

y

O x

y	=	–2

–	4	 –2	 2	 4

y

O

4

2

–2

–	4

x

x	=	–3

TIP

Tukarkan ketaksamaan
linear yang diberi
kepada bentuk
persamaan linear untuk
melukis graf garis lurus.

6Contoh

x
y

–2
–1

2
7

x
y

0
5

–5
0

y

O

8

6

4

2

–	2

x

y	≤	2x	+	3

–	4	 –2	 2	 4

y

O

6

4

2

–	2

x
–6	 –	4	 –2	 2

y	>	x	+	5

y	=	x	+	5

4

2

–2

–	4

y

O x

2
3

O

y	=	2x	+	3

4

2

–2

–	4

x	=	–3

y	=	23 x	+	2

–	4	 –2	 2	 4

4

2

–2

–	4
Saiz sebenar

164

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

1.	 Lorek	rantau	yang	mewakili	ketaksamaan	yang	diberikan.
	 	 	 	 		 (a)	 y	<	–2	 (b)	 y	<					x	+	3	 (c)	 x	≤	2

(d)	 y	>	x	+ 2	 (e)	 y	≥	–				x	–	2	 (f)	 y	≥	x

2.	 Lukis	graf	dan	lorek	rantau	yang	mewakili	ketaksamaan	berikut.
	 	 	 	 	 		 (a)	 x	≤	0	 (b)	 y	>					x		 (c)	 x + y	≥	–3	 (d)	 2y	<	x	+	4

	 (e)	 y	≤	–x	+	2	 (f)	 2y + x	≥	2	 (g)	 x – y	≥	2		 (h)	 x	–	y	<	–3

Praktis Kendiri 6.1c

(c)	 y	=	2x		 (d)	 x – y	=	4

x	–	y	>	4
	 	 	 (×	–1):	 –x	+	y	<	–	4
	 	 	 	 y	<	x –	4
	 	 	 y	=	x –	4

(e)	 y	=	0	(paksi-x)	 (f)	 x	=	4

x
y

–2
–	4

2
4

–	4	 –2	 2	 4

y

O

4

2

–2

–	4

x

y	=	2x

y	≤	2x

Tukarkan	 pekali	 y
kepada	nilai	positif
untuk	memudahkan
pemilihan	rantau.

x
y

0
–	4

4
0 –	4	 –2	 2	 4

y

O

2

–2

–	4

x

y	<	x –	4

y	=	x	–	4

y

O

4

2

–	2

x
x	<	4

x	=	4

–	4	 –2	 2	 4

y

O

y	≥	0

(y	=	0)x

y

O x

y =	–2
–2

y

O x

x =	2

2

y

O
x

3

y =					x	+	3

–3	 2	 4

y

O x

y =	x

3–3

3

–3

y

O x
–2

2

y =	x	+	2

y

O x

–2 y =	–					x	–	2

1
3

1
2

1
2

1
3

1
2

–	4	 –2
Saiz sebenar

165

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Apakah maksud sistem ketaksamaan linear?

Sebuah	agensi	pelancongan	perlu	membawa	150	orang	pelancong
dan	 bagasi	 dengan	 jumlah	 jisim	 2	 000	 kg.	Agensi	 tersebut	 akan
menyediakan	 bas	 dan	 van	 untuk	 membawa	 pelancong-pelancong
tersebut.	 Sebuah	 bas	 boleh	memuatkan	 32	 orang	 penumpang	 dan
bagasi	 350	 kg	 dan	 sebuah	 van	 boleh	 memuatkan	 lapan	 orang
penumpang	 dan	 bagasi	 100	 kg.	 Bilangan	 maksimum	 bas	 yang
disediakan	 ialah	 empat	 buah.	 Berapakah	 bilangan	 bas	 dan	 van
maksimum	perlu	digunakan	dengan	kos	yang	minimum?

Masalah	seperti	di	atas	boleh	diselesaikan	dengan	membina	beberapa	ketaksamaan	linear	yang
berkaitan	 dan	 menentukan	 rantau	 yang	 memuaskan	 kesemua	 ketaksamaan	 linear	 yang	 dibina.
Gabungan	dua	atau	lebih	ketaksamaan	linear	dikenali	sebagai	sistem ketaksamaan linear.

Bagaimanakah anda menentukan ketaksamaan yang sesuai untuk suatu
situasi tertentu?

Contoh situasi Ketaksamaan linear

y	lebih	besar	daripada	x	 y	>	x

y	kurang	daripada	x	 y	<	x

y	tidak	kurang	daripada	x	 y	≥	x

y	tidak	lebih	daripada	x	 y	≤	x

y	sekurang-kurangnya	k	kali	x	 y	≥	kx

y	selebih-lebihnya	k	kali	x	 y	≤	kx

Maksimum	y	ialah	k	 y	≤	k

Minimum	y	ialah	k	 y	≥	k

Hasil	tambah	x	dan	y	lebih	besar	daripada	k	 x	+	y	>	k

Beza	y	dan	x	kurang	daripada	k	 y	–	x	<	k

y	melebihi	x	sekurang-kurangnya	k	 y	–	x	≥	k

6.2 Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

Standard
Pembelajaran

Mewakilkan situasi dalam
bentuk sistem ketaksamaan
linear.
Saiz sebenar

166

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

SMK	Seri	Permata	akan	menganjurkan	Kem	Kepimpinan	semasa	cuti	pertengahan	tahun.	Sebanyak
y	orang	murid	Tingkatan	4	dan	x	orang	murid	Tingkatan	5	akan	mengambil	bahagian	dalam	kem
tersebut.	Pemilihan	peserta	kem	mengikut	syarat-syarat	yang	berikut:
(a)	 Jumlah	peserta	kem	selebih-lebihnya	40	orang.
(b)	 Bilangan	murid	tingkatan	5	tidak	kurang	daripada	bilangan	murid	Tingkatan	4.
(c)	 Sekurang-kurangnya	15	orang	murid	Tingkatan	4	akan	menyertai	kem	tersebut.
Tulis	semua	ketaksamaan	linear	yang	memenuhi	syarat-syarat	di	atas.

Penyelesaian:
(a) x	+	y	≤	40	 (b)	 x	≥	y	 (c)	 y	≥	15

Sebuah	kedai	peralatan	komputer	menjual	dakwat	pengganti	jenama	x	dan	jenama	y	untuk	pencetak.
Pengusaha	kedai	perlu	membuat	tempahan	dakwat	yang	berharga	RM14	dan	RM18	masing-masing
daripada	pemborong.	Syarat-syarat	tempahan	adalah	seperti	berikut:
(a)	 Jumlah	dakwat	yang	ditempah	tidak	melebihi	25	unit.
(b)	 Bilangan	dakwat	jenama	y	sekurang-kurangnya	dua	kali	jenama	x.
(c)	 Bilangan	dakwat	jenama	y	tidak	melebihi	8	unit.
(d)	 Jumlah	pembelian	tidak	melebihi	RM400.
Tulis	semua	ketaksamaan	linear	yang	memenuhi	syarat-syarat	di	atas.

Penyelesaian:
(a) x	+	y	≤	25	 (b)	 y	≥	2x	 (c)	 y	≤	8	 (d) 14x	+	18y	≤	400

7Contoh

8Contoh

1.	 Encik	 Wong	 membeli	 dua	 jenis	 kemeja	 daripada	 pemborong	 untuk	 dijual	 di	 kedainya.
Kemeja	 jenama	 x berharga	 RM8	 sehelai	 dan	 kemeja	 jenama	 y	 berharga	 RM12	 sehelai.
Syarat-syarat	pembelian	kemeja	adalah	seperti	yang	berikut:

(a)	 Jumlah	kemeja	yang	dibeli	tidak	melebihi	50	helai.
	 (b)	 Kemeja	jenama	x	sekurang-kurangnya	dua	kali	kemeja	jenama	y.
	 (c)	 Jumlah	pembelian	tidak	melebihi	RM850.
	 Tulis	semua	ketaksamaan	linear	yang	memenuhi	syarat-syarat	di	atas.

2.	 Sebuah	 kilang	 menghasilkan	 dua	 jenis	 kasut	 sukan.	 Kasut	 sukan	 jenis	 x	 adalah	 untuk
kanak-kanak	dan	kasut	sukan	 jenis	y	adalah	untuk	orang	dewasa.	Syarat-syarat	pengeluaran
kedua-dua	jenis	kasut	sukan	dalam	tempoh	seminggu	seperti	yang	berikut:

(a)	 Pengeluaran	maksimum	kasut	ialah	500	pasang.
	 (b)	 Kasut	sukan	kanak-kanak	selebih-lebihnya	tiga	kali	kasut	sukan	orang	dewasa.
	 (c)	 Pengeluaran	minimum	kasut	sukan	dewasa	ialah	200	pasang.
	 Tulis	semua	ketaksamaan	linear	yang	memenuhi	syarat-syarat	di	atas.

Praktis Kendiri 6.2a

Indikator
x ≥ 0 dan y ≥ 0
kerana x dan y
mewakili bilangan.
Saiz sebenar

167

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Bagaimanakah anda menentukan konjektur tentang titik dalam rantau yang
memuaskan suatu sistem ketaksamaan linear?

Titik	 yang	 memuaskan	 kesemua	 ketaksamaan	 linear	 dalam
sistem	ketaksamaan	linear	boleh	ditentukan	dengan	mengenal	pasti
rantau	yang	sesuai.

Rajah	 di	 atas	menunjukkan	 rantau	 yang	mewakili	 suatu	 sistem	ketaksamaan	 linear.	Hanya	 satu
rantau	daripada	rantau	A,	B, C	dan	D	akan	memuaskan	kedua-dua	ketaksamaan	linear	x	+	y	≤	8	dan
y	≥	3.	Anda	boleh	menentukan	rantau	tersebut	dengan	menggantikan	sekurang-kurangnya	satu	titik
daripada	rantau	ke	dalam	ketaksamaan	linear	yang	diberikan.

Rantau Titik Ketaksamaan
Benar/Palsu

Ketaksamaan
Benar/Palsu   x + y ≤ 8  y ≥ 3

(2, 1) 2 + 1 ≤ 8 Benar 1 ≥ 3 Palsu

(4, 2) 4 + 2 ≤ 8 Benar 2 ≥ 3 Palsu

(2, 5) 2 + 5 ≤ 8 Benar 5 ≥ 3 Benar

(3, 4) 3 + 4 ≤ 8 Benar 4 ≥ 3 Benar

(2, 7) 2 + 7 ≤ 8 Palsu 7 ≥ 3 Benar

(7, 4) 7 + 4 ≤ 8 Palsu 4 ≥ 3 Benar

(7, 2) 7 + 2 ≤ 8 Palsu 2 ≥ 3 Palsu

(8, 1) 8 + 1 ≤ 8 Palsu 1 ≥ 3 Palsu

3. Encik	 Musa	 mempunyai	 sebidang	 tanah	 untuk	 menanam	 sayur-sayuran.	 Beliau	 ingin
menanam	 dua	 jenis	 cili,	 iaitu	 cili	 hijau	 dan	 cili	 padi.	 Syarat-syarat	 penanaman	 dua	 jenis
cili	adalah	seperti	yang	berikut:

(a)	 Jumlah	pokok	cili	yang	boleh	ditanam	ialah	250	pokok.
	 (b)	 Bilangan	pokok	cili	hijau	sekurang-kurangnya	tiga	kali	bilangan	pokok	cili	padi.
	 (c)	 Minimum	pokok	cili	hijau	ialah	100	pokok.
	 Tulis	semua	ketaksamaan	linear	yang	memenuhi	syarat-syarat	di	atas.

A

B

C

D

Standard
Pembelajaran

Membuat dan
menentusahkan konjektur
tentang titik dalam rantau
dan penyelesaian bagi suatu
sistem ketaksamaan linear.

y

O x

x + y	=	8

2	 4	 6	 8

y	=	3

8

6

4

2
A

CB

D
Saiz sebenar

168

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Daripada	 jadual	 didapati	 bahawa,	 hanya	 titik-titik	 daripada	 rantau	 B	 memuaskan	 kedua-dua
ketaksamaan	 yang	 diuji.	Maka	 rantau	B	 ialah	 rantau	 yang	memuaskan	 ketaksamaan	 x	 +	 y	≤	 8
dan	y	≥	3.

Berdasarkan	rajah	di	sebelah,	tentukan	rantau	yang	memuaskan
	 			ketaksamaan	y	≤					x	+	2	dan	x	+	y	≥	7.

Penyelesaian:

Rantau Titik y  ≤     x + 2 Benar/
x + y ≥ 7

Benar/
    Palsu  Palsu

A (4, 2) 2 ≤    (4) + 2 Benar 4 + 2 ≥ 7 Palsu

B (1, 5) 5 ≤     (1) + 2 Palsu 1 + 5 ≥ 7 Palsu

C (4, 7) 7 ≤     (4) + 2 Palsu 4 + 7 ≥ 7 Benar

D (8, 6) 6 ≤     (8) + 2 Benar 8 + 6 ≥ 7 Benar

Rantau	D	memuaskan	kedua-dua	ketaksamaan	y	≤					x	+	2	dan	x	+	y	≥	7.

9Contoh

1.	 Berdasarkan	rajah	di	sebelah,	tentukan	rantau	yang	memuaskan
	 sistem	ketaksamaan	berikut.
	 (a)	 y	≥	2x	dan	y	≤	6.
	 (b)	 y	≥	2x	dan	y	≥	6.
	 (c)	 y	≤	2x	dan	y	≤	6.
	 (d)	 y	≤	2x	dan	y	≥	6.

2.	 Berdasarkan	rajah	di	sebelah,	tentukan	rantau	yang	memuaskan
	 sistem	ketaksamaan	berikut.
	 (a)	 y	≤	6,	y	≤	x	dan		x	+	y	≥	6.
	 (b)	 y	≤	6,	y	≥	x	dan		x	+	y	≥	6.
	 (c)	 y	≤	6,	y	≤	x	dan		x	+	y	≤	6.
	 (d)	 y	≥	6,	y	≥	x	dan		x	+	y	≥	6.

Praktis Kendiri 6.2b

3
4

3
4

3
4

3
4
3
4
3
4
3
4

A

C

B

D

y

O x
	 2	 4	 6	 8

8

6

4

2

x + y	=	6

y	=	6

y	=	x

E

F

y

O x
	 2	 4	 6	 8

8

6

4

2
A

C

B
D

x + y	=	7
y	=	34x	+	2

A

C

B

D

y

x
	 2	 4	 6	 8

8

6

4

2

y	=	6

y	=	2x

O
Saiz sebenar

169

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Bagaimanakah anda menentukan dan melorek rantau yang memuaskan satu sistem
 ketaksamaan linear?

Rantau	yang	memuaskan	satu	sistem	ketaksamaan	linear	dapat
ditentukan	dengan	langkah-langkah	yang	berikut.

(a)	 Tanda	rantau	yang	terlibat	bagi	setiap	ketaksamaan	linear	dengan
penandaan	yang	berlainan	dan	mudah	dilihat.

(b)	 Kenal	pasti	rantau sepunya	yang	ditanda	dengan	kesemua
penandaan	yang	terlibat.

(c)	 Lorek	rantau	sepunya	sepenuhnya.	Pastikan	tanda	lorekan	tidak
terkeluar	daripada	rantau	sepunya.

Lorek	rantau	yang	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	yang	diberikan.
(a)	 y	≤	x	+	3	dan	x <	2	 (b)	 y	≥	–x,	y	<	3	dan y	≥	0

Penyelesaian:

(a)	 (i)	 Tandakan	rantau	yang	memuaskan	y	≤	x	+	3	dengan	huruf	A.

(ii)	 Tandakan	rantau	yang	memuaskan	x <	2	dengan	huruf	B.

(iii)	 Lorek	 rantau	 sepunya	 yang	 ditanda	 dengan	 kedua-dua	 huruf
A	dan	B.

(b)	 (i)	 A	mewakili	rantau	y	≥	–x.

B	mewakili	rantau	y <	3.

C	mewakili	rantau	y	≥	0

(ii)	 Lorek	rantau	sepunya	yang	ditanda	dengan	ketiga-tiga	huruf	A,

B	dan	C.

10Contoh

} y	≥ 0 mewakili	garis	lurus
y	= 0 iaitu	paksi-x.

–3	 2

y

O

3

x

y	=	x	+	3
x	=	2

–3	 2

y

O

3

x

y	=	–x
y	=	3

–2

–3	 2

y

O

3

x

y	=	x	+	3
x	=	2

B

B

A

B
A

B

B
A

B
A

B
A

A

–3	 2

y

O

3

x

y	=	–x
y	=	3

–2
A
B

C

B
B

A

B A B

CA
C

C C
A B

C

Standard
Pembelajaran

Menentukan dan
melorek rantau yang
memuaskan satu sistem
ketaksamaan linear.

MEMORI SAYA

y	<	mx + c

y

O x
y	>	mx + c

y	=	mx + c

y

O
x

y	<	mx + c

y	>	mx + c

y	=	mx + c
Saiz sebenar

170

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Lukis	dan	lorek	rantau	yang	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	2y	≥	x,	x	+	y	<	4	dan	x	≥	0.

Penyelesaian:

(a)	 Tukar	ketaksamaan	linear	kepada	bentuk	persamaan	linear	dan	lukis	garis	lurus	yang	mewakili
ketaksamaan	tersebut.

2y	=	x;	 x	+	y	=	4;	 x	=	0	(paksi-y)

(b)	 Lukis	graf	bagi	persamaan	yang	terlibat.

(c)	 Kenal	pasti	rantau	sepunya	dan	lorek	rantau	tersebut.

11Contoh

x
y

–	4
–2

4
2

x
y

0
4

4
0

–	4	 –2	 2	 4

y

O

4

2

–2

–	4

x

2y	=	x

(x	=	0)

x + y	=	4

Praktis Kendiri 6.2c

1.	 Kenal	pasti	rantau	yang	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	yang	diberikan.

(a)	 y	≤		12	x	+	1	dan	x	≥	0	 (b)	x + y	<	1,	y	≥	–1	dan	x	≥	0	 	(c)	4y +  x	≤	4,	x	>	–2,
						x	≤	0	dan	y	≥		0

–2

y

O

1
x

A

C

B

D
C

D

A B

1

y

O

1

x

y = –1

x + y = 1

–2	 4

y

O

1
xA

C

B

D

x = –2

4y + x =	4

2.	 Lorek	rantau	yang	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	yang	diberikan.
	 	 	 	 	 																		 (a)	 y	≥	2x	–	4,	x	≥	0	dan	y	≤	0	 	 (b)			y	≤	 				x	+	4,	x	<	3,	x	≥	0	dan	y	≥	0

3

y

O x

x	=	3

4

y	=					x	+	4

2

y

O x

y	=	2x	–	4

–	4

2
3

2
3

y =    x + 11
2 –1
Saiz sebenar

171

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

3.	 Lakar	dan	lorek	rantau	yang	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	yang	diberikan.
	 (a)	 y	<	–2x	+	6,	x	≥	0	dan	y	≥	0	 	 (b)			y	≥	–1

2 x	+	2,	y	≤	x	+	2	dan	x	<	4

	 (c)	 y	≤	–x	+	8,	y	≥	–2x	+	8	dan	x	<	4	 	 (d)			y –	x	≤ 6,	y	≥	x, y ≤	–	x	+	6	dan	y ≥ 0

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan
sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah?

12Contoh

Nyatakan	tiga	ketaksamaan	linear	yang	mentakrifkan	rantau	berlorek
dalam	setiap	rajah	berikut.
(a)	 (b)

Penyelesaian:
(a)	 Tiga	garis	lurus	yang	terlibat	ialah	x	+	y	=	8,	paksi-x	dan	paksi-y.
	 (i)	 Rantau	berlorek	terletak	di	bahagian	bawah	garis	lurus	x + y	=	8	dan	dilukis	dengan	garis

sempang,	maka	x	+	y	<	8.
	 (ii)	 Rantau	berlorek	terletak	di	bahagian	atas	paksi-x, maka	y	≥ 0.
	 (iii)	 Rantau	berlorek	terletak	di	bahagian	kanan	paksi-y,	maka	x	≥	0.
		 Tiga	ketaksamaan	linear	yang	memuaskan	rantau	berlorek	ialah	x	+	y	<	8,	y	≥	0	dan	x	≥	0.

(b)	 Tiga	garis	lurus	yang	terlibat	ialah	y	+	2x	=	–	4,	y	=	–2	dan	paksi-y.
	 (i)	 Rantau	berlorek	terletak		di	bahagian	atas	garis	lurus	y +	2x	=	–	4	dan	dilukis	dengan	garis

padu,		maka	y +	2x	≥	–	4.
	 (ii)	 Rantau	berlorek	 terletak	di	bahagian	bawah	garis	 lurus	y	=	–2	dan	dilukis	dengan	garis

sempang, maka	y	< –2.
	 (iii)	 Rantau	berlorek	terletak	di	bahagian	kiri	paksi-y,	maka	x	≤	0.
		 Tiga	ketaksamaan	linear	yang	memuaskan	rantau	berlorek	ialah	y	+	2x	≥	–	4,	y	<	–2	dan	x	≤	0.

TIP

Persamaan garis lurus
untuk
●  paksi-x  y = 0
●  paksi-y  x = 0

8

y

O

8

x

x + y = 8

–2

y

O

–4

x

y + 2x = –4

y	=	–2–2

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan sistem
ketaksamaan linear dalam
dua pemboleh ubah.

(c)	 y	≤	–	12	x	+	6,	y	≤	x,	x	<	6	dan	y	≥	0	 	 															(d)	y	<	–x,	y	≤	x	–	5	dan	y	>	–5

5

y

O x

y	=	x	–	5

–	5

y	=	–x

6

y

O x

x	=	6

y	=	–					x	+	6

y	=	x
6

1
2
Saiz sebenar

172

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

(a)	 (i)	 Persamaan
	 	 Garis	lurus	selari	dengan	paksi-x.
	 	 Maka,	y	=	5

(ii)	 Persamaan

Kecerunan,	m	=	5	–	05	–	0 		=	1

Pintasan-y,	c	=	0.
	 	 Maka,	y	=	x

(iii)	 Persamaan
	 	 Garis	lurus	ialah	paksi-y.
	 	 Maka,	x	=	0

Tiga	ketaksamaan	linear	yang
memuaskan	rantau	berlorek	ialah
y	≤	5,	y ≥	x	dan	x	≥	0

(b)	 (i)	 Persamaan

Kecerunan,	m	=	2	–	00	–	4 	=	–
1
2

Pintasan-y,	c	=	2.

Maka,	y	=	–	12	x	+ 2

(ii)	 Persamaan

Kecerunan,		m =	−
4	–	0
0	–	4 	=	1

Pintasan-y,	c	=	–	4.
	 	 Maka,	y	=	x	–	4

(iii)	 Persamaan
	 	 Garis	lurus	ialah	paksi-y.
	 	 Maka,	x	=	0

Tiga	ketaksamaan	linear	yang
memuaskan	rantau	berlorek	ialah

y	≤	–	1
2
	x	+ 2,	y ≥	x –	4	dan	x	≥	0

13Contoh

Tulis	tiga	ketaksamaan	linear	yang	memuaskan	rantau	berlorek	yang	diberikan.

(a) (b)

O 5

y

O
x

4

2

MEMORI SAYA

Kecerunan

m	=
y2	–	y1
x2	–	x1

Penyelesaian:
y

O

(5,5)5

x

y

O
x

4

2

3

2

1

3

2

1

3
2

1

3 2

1

y

(5,5)

x

–4

–4
Saiz sebenar

173

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Puan	 Carol	 perlu	 memilih	 selebih-lebihnya	 20	 orang	 murid	 untuk	 suatu	 pertandingan	 koir.
Bilangan	peserta	perempuan	sekurang-kurangnya	dua	kali	peserta	lelaki.
(a)	 Tulis	dua	ketaksamaan	linear	selain	x	≥	0	dan	y	≥ 0	yang	mewakili	syarat	pemilihan	peserta

pertandingan	koir.
(b)	 Lukis	dan	lorek	rantau	yang	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	di	atas.
(c)	 Daripada	graf,
	 	(i)	 	tentukan	bilangan	minimum	dan	maksimum	peserta	perempuan	apabila	bilangan	peserta

lelaki	ialah	lima	orang.
	 (ii)	 	tentukan	sama	ada	syarat	pemilihan	dipatuhi	jika	lapan	orang	murid	lelaki	ingin	menyertai

pertandingan	koir	tersebut.	Berikan	justifikasi	anda.

Penyelesaian:
(a)	 Katakan	x	=	peserta	perempuan	dan	y	=	peserta	lelaki

x	+	y	≤	20

x	≥	2y	atau	2y	≤	x

(b)	 x	+	y	=	20;	 2y	= x

y	(lelaki)

x
O

20

15

10

5

5	 10	 15	 20

2y = x

x + y =	20

(perempuan)}
5	orang	peserta	lelaki

Julat	peserta	perempuan
yang	sepadan	dengan	5
orang	peserta	lelaki

(c)	 (i)	 Peserta	lelaki,	y	=	5	orang
	 	 Peserta	perempuan,	x :	minimum	=	10	orang
	 	 																																			maksimum	=	15	orang
	 (ii)	 Tidak,	kerana	nilai	y	=	8	berada	di	luar	rantau	berlorek.

14Contoh

y	perlu	dijadikan	perkara	rumus	agar	rantau
ketaksamaan	ditanda	dengan	betul.

x
y

0
20

20
0

x
y

0
0

20
10

Indikator
Graf ketaksamaan
dilukis pada sukuan
pertama sahaja
kerana situasi
melibatkan pemboleh
ubah x dan y yang
mewakili bilangan.

ZON INFORMASI

Sistem ketaksamaan
linear merupakan asas
yang digunakan dalam
bidang perniagaan
untuk mendapatkan
keuntungan maksimum
dengan menggunakan kos
minimum yang melibatkan
sumber-sumber terhad
seperti tenaga manusia,
bahan mentah dan
kewangan.

Celik Minda

Bina ketaksamaan linear
yang sesuai bagi syarat
berikut.
  y selebih-lebihnya tiga

kali x.
  Hasil tambah x dan y

kurang daripada 100.
  x melebihi y sekurang-

kurangnya 20.
  Beza y dan x kurang

daripada 50.
Saiz sebenar

174

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Jumlah	maksimum	penumpang	kereta	api	di	sebuah	Taman	Tema	ialah	30	orang.	Sebagai	langkah
keselamatan,	bilangan	penumpang	dewasa	diwajibkan	sentiasa	melebihi	atau	sama	dengan	bilangan
penumpang	kanak-kanak.
(a)	 Tulis	dua	ketaksamaan	linear	selain	x	≥	0	dan	y	≥	0	yang	mewakili	situasi	yang	diberikan.
(b)	 Lukis	dan	lorek	rantau	yang	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	di	atas.
(c)	 Daripada	graf,	tentukan	bilangan	maksimum	kanak-kanak	yang	dibenarkan	menaiki	kereta	api.
(d)	 Jika	terdapat	sebanyak	18	orang	penumpang	kanak-kanak,	adakah	kesemua	penumpang	kanak-kanak
	 tersebut	boleh	menaiki	kereta	api	secara	serentak?	Berikan	justifikasi	anda.

Penyelesaian:

15Contoh

(a)	 Menentukan	dua	ketaksamaan	linear
mengikut	syarat	dalam	situasi.

(b)	 Melukis	dan	lorek	rantau
ketaksamaan	linear.

(c)	 Menentukan	nilai	berkaitan
daripada	graf.

Memahami masalah

Kesimpulan

Merancang strategi

(a)	 Katakan	x	=	penumpang	kanak-kanak
	 dan	y	=	penumpang	dewasa

(b)	 Graf	ketaksamaan	linear	dilukis	pada
sukuan	pertama.

(c)	 Nilai	ditentukan	daripada	rantau	sepunya.

Semua	 titik	 dalam	 rantau	 sepunya	 akan	 memuaskan	 sistem	 ketaksamaan	 linear	 yang	 dibina
berdasarkan	syarat-syarat	yang	diberikan	dalam	suatu	situasi.

Melaksanakan strategi

(a)	 x	+	y	≤	30
	 y	≥	x
(b)	 x	+	y	=	30;	 y	=	x

(c)	 Bilangan	maksimum	penumpang	kanak-kanak	ialah	15	orang.
(d)	 Tidak	kerana	bilangan	maksimum	penumpang	kanak-kanak	ialah	15	orang	sahaja.
	 atau
	 Tidak	kerana	nilai	x	=	18,	berada	di	luar	rantau	berlorek.

x
y

0
0

30
30

x
y

0
30

30
0

y	(dewasa)

x (kanak-kanak)
O

30

20

10

10	 20	 30

y =	x

x + y =	30

Bilangan
maksimum
kanak-kanak
Saiz sebenar

175

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

1.	 Nyatakan	tiga	ketaksamaan	linear	yang	mentakrifkan	rantau	berlorek	dalam	setiap	rajah	berikut.

(a)	 		(b)	 				(c)

2.	 Tulis	ketaksamaan	yang	memuaskan	rantau	berlorek	yang	diberikan.

(a)	 		(b)	 				(c)

3.	 Encik	Timothy	ingin	membeli	x	biji	donat	dan	y	biji	karipap	untuk	didermakan	kepada	pihak
sekolah	 bersempena	 dengan	 sambutan	 Hari	 Kantin.	 Jumlah	 kedua-dua	 jenis	 kuih	 tersebut
selebih-lebihnya	 150	 biji	 dan	 bilangan	 donat	 adalah	 sekurang-kurangnya	 dua	 kali	 ganda
bilangan	karipap.

(a)	 Tulis	 dua	 ketaksamaan	 linear	 selain	 x	 ≥	 0	 dan	 y	 ≥	 0	 yang	 mewakili	 syarat-syarat
	 pembelian	kuih	oleh	Encik	Timothy.

(b)	 Lukis	dan	lorek	rantau	yang	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	di	atas.
	 (c)	 Daripada	graf,	tentukan
	 	 	(i)	 bilangan	maksimum	karipap	yang	dibeli.
	 	 (ii)	 bilangan	minimum	dan	maksimum	donat	yang	boleh	dibeli	jika	Encik	Timothy	membeli

25	biji	karipap.

4.	 Puan	Kiran	Kaur	perlu	membeli	kain	langsir	untuk	rumah	baharunya.	Beliau	membeli	x	meter
kain	langsir	bercorak	bunga	dan	y	meter	kain	langsir	bercorak	abstrak.	Jumlah	panjang	kedua-
dua	jenis	langsir	ialah	tidak	melebihi	120	meter.	Panjang	kain	langsir	bercorak	abstrak	ialah
sekurang-kurangnya	satu	pertiga	daripada	panjang	kain	langsir	bercorak	bunga.

(a)	 Tulis	dua	ketaksamaan	linear	selain	x	≥	0	dan	y	≥	0	yang	mewakili	syarat-syarat	pembelian
kain	langsir	oleh	Puan	Kiran	Kaur.

(b)	 Lukis	dan	lorek	rantau	yang	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	di	atas.
	 (c)	 Daripada	graf,	tentukan	panjang	maksimum,	dalam	meter,	kain	bercorak	bunga	yang	dibeli.

(d)	 Puan	Kiran	Kaur	membeli	60	meter	kain	bercorak	abstrak	dan	80	meter	kain	bercorak	bunga.
Adakah	pembelian	di	atas	memuaskan	sistem	ketaksamaan	linear	yang	anda	bina?	Berikan
justifikasi	anda.

Praktis Kendiri 6.2d

–	4

y

O x

4

y	=	x	+	4

–2

y

O x

–4

y	=	–2x	–	4

2

y	=	2x	–	4

3

y

x

5

3y	=	5x
x	=	3

y	=	x

–	4

y

O
x

2
(–	4,	2)

–2

y

O x

4

3

3

y

O x
–1 	1

–2

O

1
Saiz sebenar

176

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

1.	 Tulis	ketaksamaan	linear	yang	sepadan	dengan	lakaran	rantau	yang	diberikan.
	 (a)	 (b)	 (c)	 (d)

(e)	 (f)	 (g)	 (h)

2.	 Lorek	rantau	sepunya	bagi	sistem	ketaksamaan	linear	yang	diberikan.
	 (a)	 2y	≤	3x,	x	<	4	dan	y	≥	0		 (b)	 y – x	≥	4,	y	<	4 dan	x	>	–	4	 (c)	 y	>	–x, y ≥ x –	4,
		 	 	 	 	 	 y	≤	2	dan	y	≥	0

y	≥	0

y	<	–1

2y	≥	x

y – x	>	8

x	≥	0

x	≤	2	–	y

2y	<	x

y	≥	10

y	≤	4	–	x

3y	+	x	>	4

y + x	≤	2

–y	≤	4	–	x

y	<	4

y	<	2x	–	5

–y	>	8	–	2x

x	≥	–5

y	>	–x	–3
1
2 y	–	x	≥	4

2y	>	x	+	5

y	≤	–	12	x

y

x

6

4

2

2	 4	 6

2y =	3x

y

x
O

6

4

2

–	4	 –2	 2

y

x
O

2

–2

–	4

–2	 2	 4

y =	x –	4

y =	–x

O

y – x =	4
Saiz sebenar

177

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

3.	 Tulis	tiga	ketaksamaan	linear	yang	memuaskan	rantau	berlorek	yang	diberikan.
	 (a)	  	 (b)

(c)	  	 (d)

4.	 Lukis	dan	lorek	rantau	sepunya	bagi	sistem	ketaksamaan	linear	yang	diberikan.
	 (a)	 y + x	≥ 10,		y	≥	x	dan	y	<	10

(b)	 y	≤	x +	6,	y ≥	23 x	+	4,	y	>	–x	dan	x	≤	0

5.	 Tulis	ketaksamaan	linear	yang	memuaskan	imej	rantau	berlorek	melalui	pantulan	pada	paksi-x.
	 (a)	 	 	 	 	 	 (b) y

x
O

4

2

4

(2,	4)

(4,	2)

2

y

x

(3,	3)

(3,	–2)

O

–2

3

y

x
O

6

4

2

–	4	 –2	 2	 4

y =	x
y = –2x

y =	4

y

x
O

6

4

2

–	4	 –2	 2	 4

2y = x +	4

y – x =	4

y

x
O

6

4

2

2	 4	 6	 8

y =	2x

y =					x

y =	–						x +	6

y

x
O

6

4

2

–	4	 –2	 2	 4

y =
3
2

x +	6

1
2

1
2
Saiz sebenar

178

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

6.	 Tulis	ketaksamaan	linear	yang	memuaskan	imej	rantau	berlorek	melalui	pantulan	pada	paksi-y.
	 (a)	 	 	 	 	 	 (b)

7.	 Puan	 Jasmin	merupakan	 seorang	 tukang	 jahit.	 Beliau	menjahit	 dua	 jenis	 baju	 kurung,	 baju
kurung	pesak	dan	baju	kurung	moden.	Katakan	Puan	Jasmin	menjahit	x	helai	baju	kurung	pesak
dan	y	helai	baju	kurung	moden	pada	suatu	bulan	tertentu.	Maklumat	di	bawah	berkaitan	dengan
jahitan	kedua-dua	jenis	baju	kurung	oleh	Puan	Jasmin	pada	bulan	tersebut.

(a)	 Jumlah	baju	kurung	yang	dijahit	selebih-lebihnya	40	helai.
	 (b)	 Bilangan	maksimum	baju	kurung	pesak	ialah	25	helai.
	 (c)	 Bilangan	minimum	baju	kurung	moden	ialah	10	helai.
	 Berdasarkan	maklumat	di	atas,
	 	 		(i)	tulis	tiga	ketaksamaan	linear	selain	x	≥	0	dan	y	≥	0	yang	mewakili	situasi	di	atas.
	 	 	(ii)	lukis	dan	lorek	rantau	sepunya	yang	memuaskan	ketaksamaan	linear	yang	dibina.
	 	 (iii)	daripada	graf,	tentukan	bilangan	minimum	dan	maksimum	baju	kurung	moden	yang

mungkin	dijahit	jika	bilangan	baju	kurung	pesak	ialah	10	helai.
	 	 (iv)	harga	 jahitan	 sehelai	 baju	 kurung	 pesak	 ialah	RM50	 dan	 baju	 kurung	moden	 ialah

RM75.	 Berdasarkan	 rantau	 sepunya,	 hitung	 pendapatan	 maksimum	 yang	 dapat
dijanakan	oleh	Puan	Jasmine	jika	beliau	berjaya	menjahit	15	helai	baju	kurung	pesak.

8.	 Encik	Aiman	menjual	 kain	 batik	 yang	dibeli	 daripada	 pembekal	x	 dan	 pembekal	y.	 Jumlah
kain	batik	yang	dibeli	selebih-lebihnya	1	000	meter.	Kain	batik	yang	dibekalkan	oleh	pembekal
y	adalah	sekurang-kurangnya	separuh	daripada	pembekal	x.

(a)	 Berdasarkan	maklumat	pembelian	di	atas,	tulis	dua	ketaksamaan	linear	yang	berkaitan	selain
x	≥	0	dan	y	≥	0.

(b)	 Lukis	dan	lorek	rantau	sepunya	yang	memuaskan	ketaksamaan	linear	yang	dibina.
	 (c)	 Daripada	graf,	tentukan	panjang	minimum	dan	maksimum	dalam	meter,	kain	batik	yang

dibekalkan	 oleh	 pembekal	 y	 jika	 Encik	Aiman	membeli	 500	meter	 kain	 batik	 daripada
pembekal	x.

(d)	 Pembekal	x	menghadapi	masalah	stok.	Encik	Aiman	terpaksa	membeli	sekurang-kurangnya

3
4	bahagian	daripada	pembekal	y.

(i)	Tulis	ketaksamaan	linear	yang	mewakili	situasi	di	atas.
	 	 (ii)	Lukis	garis	lurus	yang	mewakili	ketaksamaan	pada	d(i).

y

x
(5,	–1)

(5,	–5)

O

y

x

(–2,	4)

O–	6
Saiz sebenar

179

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

P R O J E K

O
x

2	 4	 6	 8	 10

y

–	8	 –	6	 –	4	 –2

Contoh 1

y	–
 x	≤

10
8

6

4

2

–2

–	4

–	6

TIP

Tulis ketaksamaan
linear dalam bentuk am.

1.	 Bahagikan	kelas	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.

2.	 Setiap	 kumpulan	 dikehendaki	 melukis	 satu	 oktagon	 pada	 satah	 Cartes	 dengan
menggunakan	kertas	grid	(Contoh	1)	dan	menulis	ketaksamaan	linear	yang	mewakili
kawasan	berlorek	dalam	kertas	berasingan.

3.	 Semua	bahan	yang	disediakan	dimasukkan	ke	dalam
	 sampul	dan	diedarkan	kepada	kumpulan	lain.

4.	 Setiap	kumpulan	dikehendaki	memadankan	ketaksamaan
	 linear	yang	betul	pada	sisi	poligon	(Contoh	1)	dalam
	 tempoh	masa	tertentu.

5.	 Ketua	 atau	 wakil	 kumpulan	 asal	 (penyedia)	 dikehendaki	 menyemak	 padanan
ketaksamaan	linear	dan	memberikan	markah.
Saiz sebenar

180

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

PETA KONSEP

Garis sempang	titik-titik	pada	garis	lurus	y	= mx	+	c	tidak	termasuk	dalam	rantau.
Garis padu	titik-titik	pada	garis	lurus	y	=	mx	+	c	termasuk	dalam	rantau.

y

O x

y	= mx + c

y	> mx + c

y	< mx + c

y

O x

y	= mx + c

y	≥ mx + c

y	 ≤ mx + c

Rantau sepunya			rantau	yang	memuaskan	semua	ketaksamaan	linear	yang	terlibat
dalam	satu	sistem	ketaksamaan	linear.

y	≥	0

y	≤ –x +	5

y	< 	2x3

x	≤	0

y	< 12 x

y	≥ –32 x –	6

y	≥	0

y	≥	12	x +	2
y	≤	x +	8
x <	–2

y = 2x

O
x

y	= –x +	5

5

5

y

O
x

–6

–4

y
y = 12	x

y	= –32	x –	6

y = x +	8

O
x

–4

8

y

–8

2

y

O x

y ≤	–		 			x –	31
2

–3
–6

y ≥	–		 		x –	31
2

x	=	–2

2

1

3

2

1

4

3
2

1

Sistem	Ketaksamaan	Linear	dalam	Dua	Pemboleh	Ubah
Saiz sebenar

181

Bab 6  Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

6
B

A
B

 Eksplorasi Matematik

1.	 Garis	 	 digunakan	 untuk	 melukis	 ketaksamaan	 linear	 berbentuk

y	>	mx	+	c	dan	y	<	mx	+	c.

2.	 Garis	 	digunakan	untuk	melukis	ketaksamaan

berbentuk	y	≥	mx	+	c	dan	y	≤	mx	+	c.

3.	 Rantau	yang	memuaskan	 satu	 	 ketaksamaan	 linear	 dikenali	 sebagai

rantau	 .

Gunakan	 huruf	 terakhir	 daripada	mana-mana	 empat	 jawapan	 anda	 untuk	meneka	 nama
sebuah	bandar	di	negeri	Johor.

1.	 Muat	turun	perisian	geometri	dinamik.

2.	 Taip	 ketaksamaan	 linear.	 Anda	 boleh	 klik	 pada	 papan	 kekunci	 yang	 terdapat	 pada
bahagian	bawah	paparan.

3.	 Tekan	enter	setiap	kali	anda	ingin	menambah	ketaksamaan	linear	lain	untuk	membentuk
rantau	sepunya.

4.	 Anda	 juga	 boleh	 melihat	 rantau	 sepunya	 bagi	 gabungan	 ketaksamaan	 linear	 dan
ketaksamaan	bukan	linear.
Saiz sebenar

182

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Anda akan mempelajari

Maslahat Bab

Graf Gerakan

BAB

7
►	 Graf	Jarak-Masa
►	 Graf	Laju-Masa

Mohamad	 Ridzuan	 Puzi,	 atlet	 paralimpik	 negara	 melakar
sejarah	dengan	mencipta	rekod	dunia	dalam	acara	100	m

lelaki	T36,	dan	rekod	Sukan	Asia	bagi	acara	lompat	jauh	dengan
meraih	tiga	pingat	emas	keseluruhan.	Catatan	terbaik	dalam	acara
reben	biru	itu,	iaitu	11.87	s	merupakan	satu	rekod	dunia	baharu.
Ridzuan	 juga	memecah	 rekod	 Sukan	Asia	 dalam	 acara	 lompat
jauh	 dengan	 catatan	 terbaiknya	 5.59	 m	 dan	 merangkul	 pingat
emas	dalam	acara	400	m.
Mohamad	 Ridzuan	 Puzi	 muncul	 sebagai	 atlet	 negara	 pertama
yang	dinobatkan	sebagai	Atlet	Para	 (Lelaki)	Terbaik	Asia	2018
dalam	 majlis	 khas	 yang	 	 diadakan	 di	 Emeriyah	Arab	 Bersatu
(UAE)	pada	5	Februari	2019.

Apakah	 teknik	 yang	 digunakan	 oleh	 pelari	 untuk	 memenangi
suatu	acara	larian?

Pengetahuan	dalam	gerakan	sangat	penting	dalam	bidang	automobil,
sains	sukan,	fizik,	kejuruteraan,	astronomi	dan	sebagainya.

182
Saiz sebenar

183

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

183

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA

•	 graf	jarak-masa	 • distance-time graph
•	 graf	laju-masa	 • speed-time graph
•	 jarak	 • distance
•	 laju	 • speed
•	 laju	seragam	 • uniform speed
•	 nyahpecutan	 • deceleration
•	 pecutan	 • acceleration

Imbasan Silam

Nicholas Oresme
(1323-1382)

Nicholas	 Oresme	 merupakan	 seorang	 ahli
matematik	 dan	 ilmuwan	 dari	 Perancis	 yang
penting	pada	abad	ke-14.	Beliau	menggunakan
sistem	koordinat	segi	empat	tepat	dan	dikatakan
orang	pertama	menghasilkan	graf	laju-masa.

http://yakin-pelajar.com/Oresme/7.pdf
Saiz sebenar

184

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Apakah yang anda faham tentang graf jarak-masa?
Adakah	anda	pernah	menaiki	pengangkutan	awam	ke	 suatu	destinasi?
Tiket	 perjalanan,	 terutamanya	 tiket	 kapal	 terbang	 akan	 mengandungi
paparan	waktu	perjalanan	bermula	dan	anggaran	waktu	anda	akan	sampai
di	destinasi	yang	ditujui.	Contohnya,	anggaran	tempoh	masa	penerbangan
domestik	dari	Lapangan	Terbang	Antarabangsa	Kuala	Lumpur	2	(KLIA	2)
ke	Miri	ialah	2	jam	20	minit.	Tahukah	anda	bagaimanakah	anggaran	masa
ini	dikira?

Masihkah	anda	ingat	perkaitan	antara	laju,	jarak	dan	masa	yang	dipelajari
di	Tingkatan	2?

Laju	ialah	suatu	kadar	yang	melibatkan	jarak	dan	masa.	Kaitan	antara	laju	dengan	masa		boleh
diwakilkan	dengan	melukis	graf	 jarak-masa.	Graf	 jarak-masa	membolehkan	gerakan	suatu	objek
digambarkan	dalam	bentuk	grafik	yang	mudah	difahami.

Pada	suatu	graf	jarak-masa:
•	 paksi	mencancang	mewakili	jarak	yang	dilalui.
•	 paksi	mengufuk	mewakili	tempoh	masa	yang	diambil.
•	 kecerunan	 graf	mewakili	kadar perubahan jarak terhadap

masa, iaitu laju.

Bagaimanakah anda melukis graf jarak-masa?
Graf	jarak-masa	boleh	dilukis	jika	maklumat	berkaitan	dengan	suatu	gerakan	seperti	yang
berikut	diperoleh.
(a)	 Jadual	jarak-masa.
(b)	 Persamaan	yang	mewakili	hubungan	antara	jarak	dengan	masa.

Melukis graf jarak-masa berdasarkan jadual jarak-masa.

Azreen	 bercita-cita	 untuk	 menjadi	 seorang	 pelumba	 basikal	 dan	 berhasrat	 mengharumkan
nama	 Malaysia	 di	 pentas	 dunia	 seperti	 Azizulhasni	 Awang,	 jaguh	 lumba	 basikal	 trek	 negara.
Dia	 bercadang	 untuk	menyertai	 pertandingan	 berbasikal	 peringkat	 daerah	Kerian.	Dia	 bertekad
untuk	menjalani	latihan	selama	2	jam	setiap	hari.	Jadual	di	bawah	menunjukkan	jarak	yang	dilalui
dan	masa	yang	diambil	oleh	Azreen	semasa	latihan.

Masa (minit)	 0	 30	 60	 90	 120

Jarak (km)	 0	 10	 20	 30	 40

Lukis	graf	jarak-masa	berdasarkan	jadual	di	atas.

7.1 Graf Jarak-Masa

1Contoh

Standard
Pembelajaran

Melukis graf jarak-masa.

Jarak

Masa
O

MalaysiakuMalaysiaku

Azizulhasni	 Awang	 juga
digelar	sebagai	The	Pocket
Rocketman. Mengapa?
Saiz sebenar

185

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Jarak	(km)

Masa
(minit)O

40

30

20

10

30	 60	 90	 120

2Contoh

TIP
Suatu graf garis
lurus boleh dilukis
dengan memplot
sekurang-kurangnya
dua titik yang berkaitan.

3Contoh

s	=	80t
apabila	t	=	0,
s	=	80(0)
s	=	0

s	=	80t
apabila	t	=	3,
s	=	80(3)
s	=	240

Langkah

Langkah

Jarak	(km)

Masa
(jam)O

240

160

80

1	 2	 3

Penyelesaian:

(a)	 Pilih	 skala	 yang	 sesuai	 bagi	mewakili	 jarak	 dan	masa
yang	diberikan.

(b)	 Plot	titik	yang	mewakili	pasangan	nilai	jarak	dan	masa
pada	kertas	grid	atau	kertas	graf.

(c)	 Sambungkan	titik-titik	yang	diplot	dengan	menggunakan
pembaris	 untuk	 memperoleh	 graf	 jarak-masa	 seperti
di	sebelah.

Melukis graf jarak-masa berdasarkan persamaan yang mewakili hubungan antara
jarak dengan masa.

Encik	 Selva	memandu	 keretanya	 selama	 3	 jam	 sejauh	 240	 km	 dari	Kuala	Lumpur	 ke	Kuantan
untuk	 melawat	 ibunya.	 Jarak,	 s	 km	 yang	 dilalui	 oleh	 Encik	 Selva	 dalam	 tempoh	 masa,	 t	 jam
diwakili	oleh	persamaan	s	=	80t.	Lukis	satu	graf	jarak-masa	yang	mewakili	perjalanan	Encik	Selva
dari	Kuala	Lumpur	ke	Kuantan.

Penyelesaian:

(a)	 Bina	satu	jadual	jarak-masa	seperti	di	bawah	dengan	menggunakan	persamaan s	=	80t.

Masa, t (jam)	 0	 1	 2	 3

Jarak, s (km)	 0	 80	 160	 240

(b)	 Lukis	 graf	 jarak-masa	 seperti	 di	 sebelah	 dengan
memplot	titik	berdasarkan	jadual	yang	dibina.

Jaswinder	Singh	mengambil	bahagian	dalam	acara	merentas	desa	sejauh	8	km	yang	dianjurkan	oleh
pihak	sekolah	semasa	Hari	Sukan	Negara.	Diberi	hubungan	antara	jarak	dengan	masa	larian	dari
garis	penamat	ialah	s	=	8	–	15	t,	dengan	keadaan	s	ialah	jarak	dalam	km	dan	t	ialah	masa	dalam	minit.
Lukis	graf	jarak-masa	yang	mewakili	larian	Jaswinder	Singh	untuk	tempoh	0	≤ t	≤	40.
Saiz sebenar

186

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Penyelesaian:

Diberi	s	=	8	–				t

masa, t (minit)	 0	 40

jarak, s (km)	 8	 0

Praktis Kendiri 7.1a

2	titik	yang	memenuhi
persamaan	adalah
mencukupi	untuk
melukis	garis	lurus.

s	=	8	–	1
5
	t

apabila	t	=	0,
s	=	8	–	1

5
	(0)

s	=	8

s	=	8	–	1
5
	t

apabila	t	=	40,
s	=	8	–	1

5
	(40)

s	=	0
Masa
(minit)O

8

6

4

2

10	 20	 30	 40

Jarak	(km)1
5

1.	 Jadual	di	bawah	menunjukkan	masa	yang	diambil	oleh	Haji	Ali	untuk	berjalan	dari	rumahnya
ke	masjid	untuk	menunaikan	solat.	Beliau	memerlukan	20	minit	untuk	berjalan	ke	masjid
yang	 terletak	 300	 meter	 dari	 rumahnya.	 Lukis	 satu	 graf	 jarak-masa	 berdasarkan	 jadual
yang	diberikan.

Masa (minit)	 0	 5	 10	 15	 20

Jarak (meter)	 0	 75	 150	 225	 300

2.	 Encik	 Nyambek	 memandu	 kereta	 ke	 tempat	 kerja	 yang	 terletak	 45	 km	 dari	 rumahnya	 di
Bekenu.	Jadual	di	bawah	menunjukkan	tempoh	masa	yang	diambil	oleh	Encik	Nyambek	untuk
sampai	 di	 pejabatnya	 di	 Miri	 dari	 Bekenu.	 Lukis	 satu	 graf	 jarak-masa	 berdasarkan	 jadual
yang	diberikan.

Masa (jam)	 0	 0.2	 0.4	 0.6	 0.8	 1.0

Jarak (km)	 0	 9	 18	 27	 36	 45

3.	 Pergerakan	 suatu	 zarah	bagi	 tempoh	masa	 tertentu	digambarkan	oleh	persamaan	 s	=	8t	+	5
dengan	 keadaan	 s	 ialah	 jarak	 dalam	 cm	 dan	 t	 ialah	 masa	 dalam	 saat.	 Lukis	 satu	 graf
jarak-masa	yang	mewakili	gerakan	zarah	tersebut	untuk	tempoh	5	saat.

4.	 Leong	berbasikal	ke	 rumah	Zainal	yang	 terletak	1.6	km	dari	 rumahnya.	Hubungan	gerakan
Leong	dari	rumah	Zainal	diberi	oleh	persamaan s	=	1.6	–	0.2t	dengan	keadaan	s	 ialah	jarak
dalam	km	dan	t	ialah	masa	dalam	minit.	Lukis	graf	jarak-masa	yang	mewakili	perjalanan	Leong
untuk	tempoh	0	≤ t	≤	8.
Saiz sebenar

187

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Bagaimanakah anda mentafsir graf jarak-masa?
Teliti	dua	bentuk	graf	jarak-masa	di	bawah.

Rajah	1 Rajah	2

TIP

Kecerunan positif dan
kecerunan negatif
pada graf jarak-masa
menunjukkan arah
gerakan.

Jarak	(meter)

Masa	(saat)
O	 t1	 t2	 T

S

s1
A        B

C

Jarak	(meter)

Masa	(saat)
O	 t1	 t2	 T

S P        Q

R

Rajah	1	menunjukkan	suatu
gerakan	dari	O	ke	C	sejauh	S
meter	dalam	tempoh	T saat.

OA		kecerunan	graf	positif

	kecerunan	OA	mewakili
kelajuan gerakan

	gerakan	dengan laju
seragam

	gerakan	sejauh	s1	meter
dalam	tempoh	t1	saat

AB		kecerunan sifar

	tidak	ada	perubahan
jarak	bermaksud	gerakan
terhenti	(pegun)

	pegun	untuk	tempoh
masa	(t2	–	t1)	saat

BC		kecerunan	positif

	gerakan	diteruskan
sehingga	C

OC gerakan	sejauh	S	meter
dalam	tempoh	T	saat

Rajah	2	menunjukkan	suatu
gerakan	dari	O	ke	R	melalui
P	dan	Q.

OP kecerunan	graf	positif

	gerakan	sejauh	S	meter
dalam	tempoh	t1	saat

PQ		kecerunan sifar

	tidak	ada	perubahan
jarak	(pegun)

	pegun	untuk	tempoh
masa	(t2	–	t1)	saat

QR		kecerunan	negatif

	kelajuan	negatif
menunjukkan	objek
bergerak	balik	ke	tempat
asal	atau	bergerak	pada
arah	bertentangan

OR		gerakan	sejauh	2S	meter
(pergi	dan	balik)	dalam
tempoh	T	saat

Celik Minda

Graf jarak-masa di
bawah menunjukkan
gerakan suatu objek.

Apakah jenis
persamaan yang akan
menghasilkan graf
jarak-masa seperti
di atas?
Bincangkan dan nyatakan
contoh gerakan.

Jarak (meter)

Masa
(saat)O

s

t

Standard
Pembelajaran

Mentafsir graf jarak-masa
dan menghuraikan gerakan
berdasarkan graf tersebut.

JarakLaju = ———
 Masa

Kecerunan
 Jarak mencancang= ————————–
 Jarak mengufuk

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

188

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Graf	jarak-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	sebuah	kereta
dan	 sebuah	 bas	 persiaran.	 Graf	 OA	 mewakili	 gerakan	 kereta
dari	Puchong	ke	Bandaraya	Melaka.	Graf	BC	 ialah	gerakan	bas
persiaran	dari	Bandaraya	Melaka	ke	Puchong.	Tentukan	beza	laju,
dalam	km	j–1	kedua-dua	kenderaan	tersebut.

Penyelesaian:

Laju	kereta	 =		beza	jarak	yang	dilalui		beza	masa	yang	sepadan

=
(150	–	0)	km
(2	–	0)	jam

=	75	km	per	jam
	 =	75	km	j–1

Maka	beza	laju	=	(75	–	50)	km	j–1
	 =	25	km	j–1

5Contoh

Graf	jarak-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	sebuah
kereta	untuk	tempoh	4.5	jam.
(a)		Tentukan

(i)	 tempoh	masa	kereta	berada	dalam	keadaan	pegun.
(ii)	 laju	kereta	sejam	yang	pertama	dalam	km	j–1.

(b)		Huraikan	gerakan	kereta	untuk	tempoh	90
minit	terakhir.

Penyelesaian:

(a)	 (i)	Tempoh	keadaan	pegun	=	tempoh	kereta	berhenti
	 	 	 			=	(3	–	2)	jam
	 	 	 			=	1	jam

(ii)	Laju	kereta	sejam	yang	pertama	 =	laju	kereta	2	jam	yang	pertama

=
(150	–	0)	km
(2	–	0)	jam

=	75	km	j–1
	 	 	 	 			(b)	 Laju	kereta	=

(270	–	150)	km
(4.5	–	3)	jam

=	80	km	j–1

Kereta	bergerak	sejauh	120	km	dengan	kelajuan	80	km	j–1	bagi	tempoh	90	minit	terakhir.

4Contoh

Laju	bas	persiaran		=		beza	jarak	yang	dilalui		beza	masa	yang	sepadan

=
(0	–	150)	km
(3	–	0)	jam

=	–50	km	per	jam

=	50	km	j–1

Tanda	negatif
bermakna	arah
gerakan	bas	persiaran
bertentangan	dengan
arah	gerakan	kereta.

Dari	graf,	jarak	yang
dilalui	untuk	sejam	yang
pertama	tidak	diketahui,
maka	laju	ditentukan
dengan	jarak	yang	dilalui
untuk	2	jam	pertama
(nilai	kecerunan	pada	satu
garis	lurus	adalah	sama).

Masa
(jam)

Jarak	(km)

O

150

100

50

1	 2	 3

Kereta

Bas
persiaran

AB

C

90	minit	terakhir

}

TIP

km	j–1	juga	boleh
ditulis	sebagai	km/j

Masa
(jam)O

270

150

1	 2	 3	 4	 5

Jarak	(km)
Saiz sebenar

189

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Sahana	berbasikal	ke	pejabat	pos	untuk	menghantar	kad	ucapan
Hari	 Raya	 Aidilfitri	 kepada	 kawan	 karibnya.	 Graf	 jarak-masa
di	 sebelah	menunjukkan	perjalanan	pergi	dan	balik	Sahana	dari
rumahnya	ke	pejabat	pos.
(a)	Tentukan

(i)	 jumlah	jarak	keseluruhan	perjalanan	Sahana	dalam	km.
(ii)	 nilai	 t,	 jika	 Sahana	 berbasikal	 dengan	 kelajuan	 8	 km	 j–1

ke	pejabat	pos.
(b)	 Huraikan	perjalanan	Sahana	dari	pejabat	pos	ke	rumahnya.

Penyelesaian:

(a)	(i)	Jumlah	jarak	=	2	km	+	2	km
	 	 			=	4	km

(b)

Sahana	berbasikal	sejauh	2	km	dalam	tempoh	20	minit	dengan
kelajuan	6	km	j–1.

Gerakan dengan kelajuan yang berbeza
Kelajuan	 suatu	 gerakan	 biasanya	 berubah-ubah	 sepanjang	 suatu	 perjalanan.	 Dalam	 situasi	 ini,
laju purata	digunakan.

Jumlah	jarak	yang	dilaluiLaju	purata	=	———————————
	 	Jumlah	masa	yang	diambil

Puan	Zabedah	ingin	melawat	kawannya	yang	tinggal	di
Muar.	Graf	jarak-masa	di	sebelah	menunjukkan	perjalanan
Puan	Zabedah	dengan	kereta	dari	Segamat	ke	Muar
melalui	Tangkak.
(a)	 Hitung	laju	purata	perjalanan	Puan	Zabedah	dari	Segamat

ke	Muar	dalam	km	j–1.
(b)	 Jika	kadar	perubahan	jarak	terhadap	masa	kereta	dari
	 Segamat	 ke	 Tangkak	 ialah	 50	 km	 j–1,	 hitung	 jarak	 di

antara	Tangkak	dengan	Muar	dalam	km.
(c)		Huraikan	gerakan	kereta	dari	Segamat	ke	Muar.

6Contoh

TIP

JarakLaju = ———
 Masa

JarakMasa = ———
 Laju

7Contoh

Masa
(jam)O

80

s

30

0.5	 1.0	 1.5

Jarak	(km)

Muar

Segamat

Tangkak

Jarak	(km)

Waktu
(sistem
24	jam)

O

2

0920	 t	 0950	 1010

Jarak(ii)	Masa	=	——–
	 	 	 Laju
	 	 	 2	km	 	 =	———–
	 	 	 8	km	j–1

=	0.25	jam
	 	 =	15	minit
	 Maka,	t		=	0920	+	0015
	 	 =	0935

(0	–	2)	km	 Kadar	perubahan	jarak	=	————————
	 	 	 (—————)	jam
	 	 =	–	6	km	j–1
	 	 =	6	km	j–1

1010	–	0950
601	minit	=	—	jam1

60
Saiz sebenar

190

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Praktis Kendiri 7.1b

1.	 Graf	jarak-masa	di	sebelah	menunjukkan	perjalanan
Encik	Rejab	dari	Kota	Kinabalu	ke	Keningau
bersama-sama	ahli	keluarganya	untuk	menyambut
Pesta	Kaamatan	dengan	menaiki	kereta.
(a)	 Hitung	laju	kereta	dalam	km	j–1	untuk	sejam

yang	terakhir.
(b)	 Huraikan	 gerakan	 kereta	 Encik	 Rejab	 untuk

tempoh	45	minit	 selepas	bergerak	sejauh	50	km
yang	pertama.

(c)			(i)	 Hitung	laju	purata,	dalam	km	j–1	bagi
													perjalanan	dari	Kota	Kinabalu	ke	Keningau.

(ii)	 Seterusnya,	huraikan	gerakan	kereta	bagi	keseluruhan	perjalanan.

2.	 Encik	Rashid	bersenam	setiap	hari	untuk	menjaga
kesihatan	dirinya.	Graf	jarak-masa	di	sebelah
menunjukkan	jarak	dan	masa	larian	Encik	Rashid
dari	rumahnya	ke	taman	permainan	dan	balik	ke
rumahnya	semula.
(a)	 Hitung	beza	laju	larian	Encik	Rashid	dari	rumah

ke	taman	permainan	dan	dari	taman	permainan
ke	rumahnya	dalam	km	j–1.

(b)	 Hitung	laju	purata	keseluruhan	larian	Encik
Rashid	dalam	km	j–1.

(c)	 Huraikan	gerakan	Encik	Rashid	untuk	tempoh
50	minit.

Penyelesaian:

(a)	 Laju	purata					Jumlah	jarak
Jumlah	masa

=	80	km
1.5	j

=	53	13	km	j
–1

(b)	 Jumlah	jarak	=	Laju	purata	×	jumlah	masa
	 	 =	50	km	j–1	×	1	j
	 	 =	50	km

Jarak	di	antara	Tangkak	dengan	Muar	=	(80	–	50)	km
	 	 =	30	km

Jarak	di	antara
Segamat

dengan	Tangkak.

TIP

JarakLaju = ———
 Masa

Jarak = Laju x Masa

Masa
(jam)O

100

75

50

25

0.5	 1.0	 1.5	 2.0	 2.5

Jarak	(km)

Masa
(minit)O

2.0

1.5

1.0

0.5

10	 20	 30	 40	 50

Jarak	(km)

(c)	 Kereta	bergerak	sejauh	80	km
dalam	tempoh	1.5	jam	dengan
laju	purata	53	13		km	j

–1.

=
Saiz sebenar

191

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

3.	 Graf	jarak-masa	di	sebelah	menunjukkan	perjalanan
Puan	Rozita	untuk	tempoh	214	jam	dengan	memandu
keretanya.	PQ	ialah	perjalanan	Puan	Rozita	dari	tempat
kerjanya	ke	sebuah	pasar	raya	dan	RS	ialah	perjalanan
balik	ke	rumahnya.
(a)	 Hitung	 nilai	 t	 jika	 laju	 kereta	 semasa	 perjalanan

dari	tempat	kerja	ke	pasar	raya	ialah	50	km	j–1.
(b)	Huraikan	gerakan	kereta	yang	mewakili
	 (i)		garis	lurus	QR
	 (ii)	garis	lurus	RS

4.	 Encik	Yusri	bekerja	di	sebuah	firma	guaman.	Setiap
hari	Encik	Yusri	akan	menghantar	anaknya	ke	sekolah
dalam	perjalanan	ke	tempat	kerja	dengan	menaiki	kereta.
OA	merupakan	perjalanan	dari	rumah	ke	sekolah	dan
AB	ialah	perjalanan	dari	sekolah	ke	tempat	kerja.

(a)	 Hitung	nilai	t,	jika	kadar	perubahan	jarak	terhadap	masa
kereta	dari	sekolah	ke	tempat	kerja	ialah	48	km	j–1.

(b)	 Huraikan	gerakan	kereta	bagi	keseluruhan	perjalanan
dari	rumah	ke	tempat	kerja.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan graf jarak-masa?

Graf	 jarak-masa	 yang	 tidak	 lengkap	 di	 sebelah	 menunjukkan
perjalanan	Encik	Tan	dari	Seremban	ke	Lumut.	Encik	Tan	berhenti
di	Rawang	untuk	makan	tengah	hari	dan	rehat	seketika	sebelum
meneruskan	perjalanannya	ke	Lumut.

(a)	 Jika	laju	purata	kereta	Encik	Tan	dari	Seremban	ke	Rawang
ialah	66	 23	km	 j

–1,	 hitung	 jarak	di	 antara	Seremban	dengan
Rawang	dalam	km.

(b)	 Diberi	 bahawa	 jarak	 di	 antara	 Seremban	 dengan	 Lumut
ialah	 300	 km	 dan	 Encik	 Tan	memandu	 dengan	 laju	 purata
80	km	j–1	untuk	sampai	di	Lumut	dari	Rawang.	Lengkapkan
graf	 jarak-masa	 yang	 diberikan	 bagi	 mewakili	 keseluruhan
perjalanan	Encik	Tan.

8Contoh

Jarak	(km)

Masa
(jam)O

R

1	 2	 3

Seremban

Rawang

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan graf
jarak-masa.

Jarak	(km)

Waktu
(sistem
24	jam)

O

30

20

10

1400	 t	 1530	 1615

P

Q R

S

Masa
(minit)O

40

32

24

16

8

10	 																				 t

Jarak	(km)

A

B
Saiz sebenar

192

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

(a)	 Menghitung	jarak	di	antara	Seremban
dengan	Rawang	dalam	km.

(b)	 Melengkapkan	graf	jarak-masa	dari
Rawang	ke	Lumut.

Memahami masalah

Kesimpulan

Merancang strategi

(a)	 Laju	=	JarakMasa
	 		 Jarak	=	Laju	×	Masa
(b)	 •	 Menentukan	jarak	di	antara	Rawang	dengan	Lumut.
	 	 		 •	 Masa	=	JarakLaju
		 •	 Melengkapkan	graf	jarak-masa.

(a)	 Jarak	di	antara	Seremban	dengan	Rawang	ialah	100	km.
(b)	 Jarak	di	antara	Rawang	dengan	Lumut	ialah	200	km	dan	masa	yang	diambil	ialah	2.5	jam.

(a)	 Jarak	=	Laju	×	Masa
	 	 =	66	23	km	j

–1	×	1.5	jam
	 	 =	100	km

(b)	 Jarak	di	antara	Rawang	dengan	Lumut
	 300	km	–	100	km	=	200	km
	 	 		 Masa	=	JarakLaju
	 	 		 	 =	 200	km80	km	j–1
	 	 =	2.5	jam

Melaksanakan strategi

Penyelesaian:

Masa
(jam)O

300

200

100

1	 2	 3	 4	 5

Jarak	(km)

Graf	 jarak-masa	 di	 sebelah	 menunjukkan	 perjalanan	 dua	 buah
kereta	 di	 antara	Kuala	Lipis	 dengan	Cameron	Highlands.	Graf
PBQ	 mewakili	 perjalanan	 Encik	 Manaf	 bersama	 keluarganya
dari	 Cameron	 Highlands	 ke	 Kuala	 Lipis	 untuk	 menghadiri
majlis	perkahwinan	sepupunya.	Graf	OABC	mewakili	perjalanan
keluarga	Encik	Raven	dari	Kuala	Lipis	ke	Cameron	Highlands
untuk	bercuti.
(a)	 Diberi	 kadar	 perubahan	 jarak	 terhadap	 masa	 bagi	OA	 dan

BC	adalah	sama.	Hitung	nilai	t.
(b)	 Laju	purata	perjalanan	Encik	Manaf	ialah	72	km	j–1.	Hitung

beza	masa	dalam	minit	kedua-dua	perjalanan	untuk	sampai
di	destinasi	masing-masing.

9Contoh

Jarak	(km)

Masa
(minit)O

135

65

52	 77	   t

Q

BA

CP
Saiz sebenar

193

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

1.	 Graf	 jarak-masa	 di	 sebelah	 menunjukkan	 masa
yang	diambil	oleh	dua	orang	peserta	terbaik	dalam
acara	100	m	semasa	kejohanan	olahraga	di	SMK
Sinar	Harapan.	Graf OE	mewakili	larian	Rizal	dan
graf	OABC	mewakili	larian	Jeffery.	AB	ialah	masa
yang	 diambil	 oleh	 Jeffrey	 sebelum	 meneruskan
lariannya	kerana	terjatuh.
(a)	 Hitung	kerugian	masa	dalam	saat,	yang	dialami

oleh	Jeffery	dalam	pertandingan.
(b)	 Adakah	Jeffrey	berpeluang	untuk	menjadi	johan

dalam	acara	100	m	jika	dia	tidak	jatuh	dan
mengekalkan	kelajuannya	sepanjang	 larian?
Berikan	justifikasi	anda.

Praktis Kendiri 7.1c

(a)	 Hitung	t	iaitu	masa	dalam	minit.

(b)	 Beza	 masa	 perjalanan	 kedua-dua
kereta	 untuk	 sampai	 di	 destinasi
masing-masing.

Memahami masalah

Kesimpulan

Merancang strategi

(a)	 Kecerunan	OA	=	Kecerunan	BC

(b)	 •	 Masa	yang	diambil	oleh	Encik	Raven	=	t.
	 •	 Menentukan	masa	yang	diambil	oleh

Encik	Manaf.
	 	 		 •	 Masa	=

(a)	 t	=	133
(b)	 Beza	masa	kedua-dua	perjalanan	untuk	sampai	di	destinasi	masing-masing	ialah	20.5	minit.

(a)	 	 (65−0)	km
(52−0)	minit	=

(135−65)	km
(t − 77)	minit

65
52	=

70
t − 77

t	–	77	=	70(52)65
	 	 t	=	56	+	77
	 	 t	=	133

Melaksanakan strategi

(b)	 •	 Jumlah	masa	perjalanan	Encik	Raven,
	 	 t	=	133	minit.
	 •	 Jumlah	masa	perjalanan	Encik	Manaf	dalam	minit.
	 	 	 		 	 masa	=	 135	km72	km	j–1
	 	 	 =	1.875	jam	×	60
	 	 	 =	112.5	minit
	 •	 Beza	masa	=	133	–	112.5
	 	 	 =	20.5	minit

Penyelesaian:

Masa
(saat)O

100

50

6	 9	 14	16

Jarak	(meter)

A
B

CE

Jarak
Laju
Saiz sebenar

194

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

2.	 Graf	 jarak-masa	 yang	 tidak	 lengkap	 di	 sebelah	mewakili
perjalanan	Encik	Jumali	sejauh	100	km.
(a)	 Diberi	kadar	perubahan	jarak	terhadap	masa	untuk	60	km

yang	pertama	ialah	72	km	j–1.	Tentukan	nilai	t1.
(b)	 Jika	kereta	Encik	Jumali	berada	dalam	keadaan	pegun

selama	20	minit,	hitung	nilai	t2.
(c)	 Perjalanan	 diteruskan	 dari	 B	 ke	 destinasi	 dengan	 laju

purata	 75	 km	 j–1.	 Lengkapkan	 graf	 jarak-masa	 untuk
keseluruhan	perjalanan	Encik	Jumali.

(d)	 Jika	perjalanan	dari	O	dimulakan	pada	pukul	9:30	pagi,
hitung	waktu	Encik	Jumali	sampai	di	destinasinya.

3.	 Encik	Jamal	ke	Padang	Besar	bersama	keluarganya.	Semasa
perjalanan	pulang	ke	Jitra,	mereka	singgah	di	Bukit	Kayu
Hitam	 untuk	 minum	 petang.	 Graf	 jarak-masa	 di	 sebelah
menunjukkan	perjalanan	pulang	dari	Padang	Besar	ke	Jitra.
(a)	 Hitung	tempoh	masa	kereta	Encik	Jamal	berada	dalam

keadaan	pegun.
(b)	 Diberi	laju	purata	perjalanan	dari	Padang	Besar	Bukit

ke	Kayu	Hitam	ialah	66	km	j–1.
	 	(i)	 Tentukan	nilai P.
	 (ii)	 Hitung	jarak	di	antara	Padang	Besar	dengan	Bukit

Kayu	Hitam.
(c)	 Jika	Encik	Jamal	memandu	dengan	laju	purata	64.8	km	j–1

semasa	perjalanan	pulang	ke	rumahnya	di	Jitra	dari	Bukit
Kayu	Hitam,	hitung	nilai	t.

(d)	 Hitung	laju	purata	keseluruhan	perjalanan	dalam	km	j–1.

4.	 Graf	jarak-masa	di	sebelah	menunjukkan	perjalanan
Encik	Moorthy	sejauh	60	km	dalam	masa	3t	minit	dengan
memandu	kereta.	Diberi	kadar	perubahan	jarak	terhadap
masa	sebelum	dan	selepas	tempoh	masa	rehat	adalah	sama.
(a)	 Hitung	nilai	t.
(b)	 Hitung	laju	purata	keseluruhan	perjalanan	Encik	Moorthy

dalam	km	j–1.
(c)	 Huraikan	gerakan	kereta	selepas	berada	dalam

keadaan	pegun.

Jarak	(km)

Masa
(minit)O

100

60

t1	 				t2

BA

Jarak	(km)

Masa
(minit)O

60

P

30								55	 t

Jarak	(km)

Masa
(minit)O

60

24

t				t +	10	 3t
Saiz sebenar

195

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Apakah yang anda faham tentang graf laju-masa?

Pernahkah	anda	melihat	gerakan	jarum	pada	meter	laju	(speedometer)
kereta	 semasa	 bapa	 atau	 ibu	 anda	 memandu	 kereta?	 Jarum	 yang
menunjukkan	nilai	kelajuan	akan	berubah	apabila	pedal	minyak	atau
pedal	brek	ditekan.	Teliti	rajah-rajah	meter	laju	di	bawah.

Rajah	1 Rajah	2 Rajah	3 Rajah	4

Jarum	 pada	Rajah	 1	menunjukkan	 nilai	 0,	 bermaksud	 kenderaan	 berada	 dalam	 keadaan	 pegun.
Pertambahan	nilai	pada	Rajah	2	dan	Rajah	3	bermaksud	kelajuan	kenderaan	semakin	bertambah.
Kelajuan	 pada	 Rajah	 4	 berkurangan	 berbanding	 Rajah	 3	 dalam	 tempoh	 masa	 tertentu.	 Kadar
perubahan	laju	suatu	gerakan	boleh	digambarkan	dengan	melukis	graf	laju-masa.

Pada	suatu	graf	laju-masa:
•	 Paksi	mencancang	mewakili	laju	suatu	gerakan.
•	 Paksi	mengufuk	mewakili	tempoh	masa	yang	diambil.
•	 Kecerunan	 graf	 mewakili	 kadar perubahan laju terhadap

masa, iaitu pecutan.

Bagaimanakah anda melukis graf laju-masa?
Graf	laju-masa	boleh	dilukis	jika	maklumat	berkaitan	suatu	gerakan	seperti	berikut	diperoleh.
(a)	 Jadual	laju-masa.
(b)	 Persamaan	yang		mewakili	hubungan	antara	laju	dengan	masa.

Bagaimanakah anda melukis graf laju-masa berdasarkan jadual laju-masa?

Jadual	di	bawah	menunjukkan	perubahan	laju	kereta	Encik	Azizul	untuk	tempoh	masa	5	saat.	Lukis
graf	laju-masa	berdasarkan	jadual	yang	diberi.

Masa (saat)	 0	 1	 2	 3	 4	 5

Laju (m s–1)	 0	 10	 20	 30	 40	 50

7.2 Graf Laju-Masa

10Contoh

Laju

Masa
O

Standard
Pembelajaran

Melukis graf laju-masa.
Saiz sebenar

196

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Penyelesaian:

(a)	 Pilih	skala	yang	sesuai	bagi	mewakili	laju	dan
masa	yang	diberi.

(b)	 Plot	titik	yang	mewakili	pasangan	nilai	laju	dan
masa	pada	kertas	grid	atau	kertas	graf.

(c)	 Sambungkan	titik-titik	yang	diplot	dengan
menggunakan	pembaris	untuk	memperoleh	graf
laju-masa	seperti	di	sebelah.

Kadar	 perubahan	 laju	 terhadap	 masa	 sebuah	 kapal	 terbang	 yang	 sedang	 mendarat	 diberi	 oleh
persamaan	v =	800	–	1	600t	dengan	keadaan	v	ialah	laju	dalam	km	j–1	dan	t	ialah	masa	dalam	jam.
Lukis	satu	graf	laju-masa	yang	mewakili	pendaratan	kapal	terbang	tersebut	untuk	tempoh	0	≤	t	≤	0.5.

Penyelesaian:

(a)	 Bina	satu	 jadual	 laju-masa	seperti	di	bawah	dengan
menggunakan	persamaan	v =	800	–	1	600t.

Masa, t (jam)	 0	 0.5

Laju, v (km j–1)	 800	 0

(b)	 Lukis	graf	laju-masa	dengan	memplotkan	titik
berdasarkan	jadual	yang	dibina.

1.	 Lukis	graf	laju-masa	berdasarkan	jadual	yang	diberikan.
(a)	   	 (b)

2.	 Lukis	 suatu	 graf	 laju-masa	 dengan	 membina	 jadual	 laju-masa	 bagi	 persamaan	 berikut.
Diberi	v	ialah	laju	dalam	m	s–1	dan	t	ialah	masa	dalam	saat.
(a)	 v	=	60	–	2t ;	0	≤ t	≤	30.	 (b)	 v	=	3t ;	0	≤ t	≤	5.

Praktis Kendiri 7.2a

Masa
(saat)O

50

40

30

20

10

1	 2	 3	 4	 5

Laju	(m	s–1)

TIP

Sekurang-kurangnya
dua titik mencukupi
untuk melukis graf
garis lurus.

11Contoh

v	=	800	–	1	600t
apabila t	=	0,
v	=	800	–	1600(0)
v	=	800

v	=	800	–	1	600t
apabila t	=	0.5,
v	=	800	–	1	600(0.5)
v	=	0

Masa (saat)
Laju (m s–1)

0
3

1
4

2
5

3
6

4
7

5
8

Masa (minit)
Laju (km min–1)

0
30

1
25

2
20

3
15

4
10

Laju	(km	j–1)

Masa
(jam)O

800

0.5

Langkah

Langkah
Saiz sebenar

197

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Tujuan:			Menentukan	kaitan	antara	luas	di	bawah	graf	laju-masa	dengan	jarak	yang	dilalui.

Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.	 Baca	dan	fahami	setiap	pernyataan	yang	diberikan.	Hitung	laju	purata	dalam	km	j–1.
3. Lakar	graf	laju-masa	berdasarkan	pernyataan	yang	diberikan.
4. Hitung	luas	di	bawah	graf	laju-masa	dan	jarak	gerakan	seperti	pada	contoh	(a).

Pernyataan Graf laju-masa Luas di bawah graf Jarak
(a)	 Encik	Faizal	memandu

sejauh	 200	 km	dalam
masa	4	jam.

200	km	 Laju	=	———–
	 	 	 4	jam
	 	 =	50	km	j–1

Laju	(km	j–1)

Masa
(jam)O	  	 4

50

Luas
=	4	j	×	50	km	j–1
=	200	km

Jarak
=	laju	×	masa
=	50	km	j–1	×	4	j
=	200	km

(b)	 Sebuah	bas	persiaran
bergerak	150	km
dalam	masa	2	jam.

(c)	 Puan	Malini	berkayuh
basikal		sejauh	8	km
dalam	masa	40	minit.

(d)	 Encik	Gomez	berlari
sejauh	4	km	dalam
masa	30	minit.

Perbincangan:
1. Apakah	kaitan	antara	luas	di	bawah	graf	dengan	jarak	yang	dilalui?
2. Bentang	hasil	dapatan	melalui	aktiviti	Galeri	Jelajah	Minda	(Gallery Walk).
3. Adakah	dapatan	kumpulan	anda	sama	dengan	kumpulan	lain?

Rangsangan Minda 1

Apakah kaitan antara luas di bawah graf laju-masa dengan jarak yang dilalui?
Rajah	di	bawah	menunjukkan	dua	graf.

Rajah	1 Rajah	2

Daripada	 kecerunan	 graf	 jarak-masa	 pada	 Rajah	 1,	 kita	 boleh
menentukan	laju	suatu	gerakan.	Maklumat	daripada	graf	jarak-masa	ini
boleh	digunakan	untuk	melukis	graf	laju-masa	seperti	pada		Rajah	2.
Tahukah	anda,	 jarak,	 s	 suatu	gerakan	boleh	ditentukan	daripada	graf
laju-masa?

JarakLaju = ———
 Masa

Jarak = Laju x Masa

MEMORI SAYA

Jarak

Masa
O	  	 t1

s
laju	(v)

Laju

Masa
O	  	 t1

v

Standard
Pembelajaran

Membuat perkaitan antara
luas di bawah graf
laju-masa dengan jarak
yang dilalui dan seterusnya
menentukan jarak.
Saiz sebenar

198

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Hitung	jarak	yang	dilalui	oleh	setiap	gerakan	berdasarkan	graf	laju-masa	berikut.
(a)	 	 (b)

Penyelesaian:

(a)	 	 (b)

Jarak	=	luas	trapezium	 Jarak	=	luas	trapezium
	 	 	 	 	 	 		 	 =					×	(			)	j	×	(5	+	10)	km	j–1	 =					×	(				)	j	×	(40	+	80)	km	j–1

	 	 =	6	km	 =	6	km

Graf	 laju-masa	 di	 sebelah	 menunjukkan	 kelajuan	 kereta
Puan	Liew	dalam	tempoh	36	minit.	Hitung,
(a)	 jumlah	jarak,	dalam	km,	yang	dilalui	oleh	Puan	Liew	dalam

tempoh	36	minit.
(b)	 laju	purata,	dalam	km	j–1,	kereta	Puan	Liew	dalam	tempoh

36	minit.

12Contoh

Laju	(km	j–1)

Masa
(jam) 	  	 —

10

5

4
5

Laju	(km	j–1)

Masa
(minit) 	 	 6

80

40

5
10

40

(6	÷	60)

80

13Contoh

O O

Laju	(km	j–1)

Masa
(minit)O

72

40

10						20									36

Indikator
Pastikan unit
yang digunakan
untuk masa pada
laju dan masa
adalah sama.

1
2

1
2

6
60

4
5

4
5

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	1,	didapati	bahawa;

Nilai	luas	di	bawah	graf	laju-masa	adalah	sama	dengan	jumlah	jarak	yang	dilalui
bagi	tempoh	masa	yang	sama.

Secara	generalisasi,

Graf	laju-masa:
	Luas	di	bawah	graf	=	Jarak	yang	dilalui
Saiz sebenar

199

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

1.	 Hitung	jarak,	dalam	km,	yang	dilalui	oleh	setiap	gerakan	berdasarkan	graf	laju-masa	yang	diberikan.
(a)	 	 (b)	 (c)

2.	 Graf	laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	kelajuan	motosikal
Encik	 Mustaffa	 untuk	 tempoh	 masa	 30	 minit	 semasa
menjemput	anaknya	dari	kelas	tambahan.	Hitung,
(a)	 jumlah	 jarak,	 dalam	 km,	 yang	 dilalui	 dalam	 tempoh

30	minit.
(b)	 laju	 purata,	 dalam	 km	 j–1,	 motosikal	 Encik	 Mustaffa

untuk	tempoh	30	minit.

3.	 Sarves	menyertai	pertandingan	larian	100	m	semasa	kejohanan
olahraga	di	sekolahnya.	Graf	laju-masa	di	sebelah		menunjukkan
kelajuan	larian	Sarves	sehingga	garisan	penamat.	Hitung,

(a)	 nilai t.
	 (b)	 laju	purata	larian	Sarves	dalam	km	j–1.

Praktis Kendiri 7.2b

60

Laju	(km	j–1)

Masa
(jam)	 2	 6	 8

20

10

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat) 	 5	 10	 20

16

8

Laju	(km	j–1)

Masa
(minit) 	 5	 10	 18

Penyelesaian:

(a)	 Jumlah	jarak
	 =	luas	di	bawah	graf
	 	 	 	 	 	 	 					 =	[12	×									j	×	72	km	j–1]	+	[				×									j	×	(40	+	72)	km	j–1]	+	[				×										j	×	(40	+	72)	km	j–1]
	 	 28	 224	 =		6	+	—	+	—–		km
	 	 3	 15
	 =	30.27	km

	 	 	(b)	 Laju	purata	=

Jumlah	jarak
Jumlah	masa

=		 30.27	km(36	÷	60)	j

	 	 =	50.45	km	j–1

O O O

60 minit = 1 jam

1 minit =         jam

MEMORI SAYA

(			)
(																	)

(			) (			)

Laju	(km	j–1)

Masa
(minit)O

40

20

8										18										30

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

12

8

t	–	6	 t

1
60

1
2

1
2

10
60

10
60

16
60
Saiz sebenar

200

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Bagaimanakah anda mentafsir graf laju-masa?
Teliti	graf	laju-masa	di	bawah.

Tafsiran	graf	laju-masa.

ZON INFORMASI

Jarak
• Ukuran jauh atau ruang

di antara dua titik.

Sesaran
• Jarak vektor dari suatu

titik tetap diukur dalam
arah tertentu.

QR		Tidak ada perubahan laju	terhadap	masa
(kecerunan	sifar).

	Objek	bergerak	dengan	laju seragam.

	Luas	segi	empat	 tepat	B,	 iaitu	luas	di	bawah	graf QR
mewakili	jarak	yang	dilalui	dalam	tempoh	(t2	–	t1)	saat.

RS	 	Kelajuan objek berkurang.

	Kecerunan	graf	bernilai	negatif,	maka	kadar	perubahan
laju	terhadap	masa	bernilai	negatif.

	Nyahpecutan	=
Perubahan	laju
Perubahan	masa

	Tidak	 ada	 perubahan	 arah,	 iaitu	 gerakan	 objek	 kekal
pada	arah	yang	sama.

	Luas	segi	tiga	C,	iaitu	luas	di	bawah	graf	RS	mewakili
jarak	yang	dilalui	dalam	tempoh	(t3	–	t2)	saat.

PQ	 	Kelajuan objek bertambah	dari	u	m	s–1	ke	v	m	s–1.

	Kecerunan	graf	bernilai	positif,	maka	kadar	perubahan
laju	terhadap	masa	bernilai	positif.

	Pecutan	=	 Perubahan	lajuPerubahan	masa
	 	Luas	trapezium	A,	iaitu	luas	di	bawah	graf	PQ	mewakili

jarak	yang	dilalui	dalam	tempoh	t1	saat.

Laju	(m	s–1)

Masa	(s)O	 t1	 t2	 t3

v

u

Q             R

CBA

Nyahpecutan

Pecutan
Laju	seragam

P

S

Standard
Pembelajaran

Mentafsir graf laju-masa
dan menghuraikan gerakan
berdasarkan graf tersebut.

Indikator
Arah  gerakan
suatu objek kekal
semasa pecutan
atau nyahpecutan.

Laju =

 Pecutan =

MEMORI SAYA

Jarak
Masa

Laju
Masa

ZON INFORMASI

Laju
• Kadar perubahan jarak

terhadap masa.
  • Laju =

Halaju
• Kadar perubahan sesaran

objek pada arah tertentu
terhadap masa.

• Halaju =

Jarak
Masa

Sesaran
Masa
Saiz sebenar

201

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Graf	laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	kereta	Puan
Salina	dalam	tempoh	15	saat.
(a)	 Hitung	kadar	perubahan	laju	terhadap	masa	dalam	m	s–2,

bagi	5	saat	yang	pertama.
(b)	 Huraikan	gerakan	kereta	bagi	tempoh	5	saat	yang	kedua.
(c)	 Hitungkan	jumlah	jarak,	dalam	meter,	yang	dilalui	dalam

tempoh	15	saat.

Penyelesaian:
	 	 					(a)	 Kadar	perubahan	laju	=

Perubahan	laju
Perubahan	masa

=

	 	 =	4	m	s–2

(c)	 Jumlah	jarak	=	luas	di	bawah	graf
	 	 	 		 	 =	[12	×	5	×	(20	+	40)]	+	[(10	–	5)	×	40]	+	[12	×	(15	–	10)	×	(40	+	60)	]
	 	 =	(150	+	200	+	250)	m
	 	 =	600	m

14Contoh

(b)	 Kereta	bergerak	dengan
laju	seragam	40	m	s–1	untuk
tempoh	5	saat.

Encik	Daniel	Wong	memandu	kereta	ke	kedai	serbaneka	untuk	membeli	surat	khabar.	Graf
laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	kereta	Encik	Daniel	Wong	dari	rumah	ke
persimpangan	jalan	sebelum	sampai	di	kedai	serbaneka	tersebut.
(a)	 Huraikan	gerakan	kereta	Encik	Daniel	Wong	untuk

tempoh	10	saat	yang	pertama.
(b)	Apakah	yang	berlaku	terhadap	gerakan	kereta	Encik

Daniel	Wong	dari	saat	ke-10	hingga	saat	ke-20?
(c)	 Hitung	kadar	perubahan	laju	terhadap	masa	dalam	m	s–2,

bagi	5	saat	terakhir.
(d)	Hitung	jarak,	dalam	meter	yang	dilalui	semasa

nyahpecutan	dan	huraikan	gerakan	kereta	pada
tempoh	tersebut.

Penyelesaian:
(a)	 Kadar	perubahan	laju	terhadap	masa	untuk	10	saat	yang	pertama
	 												=

Perubahan	laju
Perubahan	masa

=	(25	−	0)	m	s
–1

10	−	0	s
	 =	2.5	m	s–2
Kereta	mengalami	pecutan	dengan	kadar	2.5	m	s–2	dalam	tempoh	10	saat.

15Contoh

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

25

10	 20	 35

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

60

40

20

5	 10	 15

(40	−	20)	m	s–1
(5	−	0)	s
Saiz sebenar

202

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

(b)	 Kereta	Encik	Wong	bergerak	dengan	laju	seragam	25	m	s–1	dari	saat	ke-10	hingga	saat	ke-20.

(c)	 Kadar	perubahan	laju	 =
(0	−	25)	m	s–1
(35	−	20)	s

=	–	53	m	s

–2

(d)	 Jarak	yang	dilalui	semasa	nyahpecutan	 =	jarak	dalam	15	saat	terakhir
	 	 	 		 	 =	12×	(35	–	20)	×	25
	 	 	 				 	 =	[ 12	×	15	×	25]	m

	 	 =	187.5	m

Kereta	bergerak	sejauh	187.5	m	dalam	tempoh	15	saat	dengan	nyahpecutan	5
3
	m	s–2.

1.	 Graf	laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	sebuah
motosikal	untuk	tempoh	50	saat.	Huraikan	gerakan	motosikal

(a)	 untuk	20	saat	yang	pertama.
	 (b)	 semasa	laju	seragam.

2.	 Graf	 laju-masa	 di	 sebelah	menunjukkan	 gerakan	 suatu	 zarah
dalam	tempoh	18	saat.
(a)	 Hitung	pecutan	zarah,	dalam	m	s–2,	untuk	6	saat	terakhir.
(b)	 Hitung	jumlah	jarak,	dalam	meter,	yang	dilalui	oleh	zarah

tersebut	dalam	tempoh	18	saat.
	 (c)	 Huraikan	gerakan	zarah	semasa	laju	seragam.

3.	 Encik	Merisat	melawat	kawannya	yang	tinggal	di	kawasan
perumahan	yang	sama	dengan	menaiki	kereta.	Graf
laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	Encik	Merisat
ke	rumah	kawannya.
(a)	 Hitung	kadar	perubahan	laju	terhadap	masa	bagi	20

saat	yang	pertama.
(b)	 Hitung	jarak	dalam	meter,	yang	dilalui	semasa	laju	seragam.

(c)	 	Huraikan	perjalanan	Encik	Merisat	untuk	tempoh
2.5	minit.

Praktis Kendiri 7.2c

Kadar	 perubahan	 laju	 terhadap
masa	untuk	5	saat	terakhir	sama
dengan	15	saat	terakhir.

Masa
(saat)O

20

15

10

5

5	 12	 18

Laju	(m	s–1)

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

15

40	 120	 150

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

35

20

20	 		 50

Jawapan	boleh	ditulis
sebagai
•	pecutan	=	–	5

3
	m	s–2

atau
•	nyahpecutan	=	5

3
	m	s–2
Saiz sebenar

203

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

16Contoh

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan graf laju-masa?

Graf	laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan
sebuah	kereta	untuk	tempoh	14	saat.	Hitung,
(a)	 laju	purata	dalam	m	s–1	untuk	tempoh	6	saat

yang	pertama.
(b)	 nilai	 t,	 jika	 jarak	 yang	 dilalui	 oleh	 kereta

untuk	 tempoh	 4	 saat	 yang	 pertama	 ialah
separuh	 daripada	 jarak	 yang	 dilalui	 dengan
laju	seragam.

(c)	 nilai	v,	jika	pecutan	bagi	2	saat	terakhir	ialah
							3.5	m	s–2.

(a)	 Laju	purata	untuk	6	saat	pertama.

(b)	 Nilai	t,	iaitu	masa	gerakan
dengan	laju	seragam	berakhir.

(c)	 Nilai	v,	iaitu	laju	akhir	apabila
pecutan	bernilai	3.5	m	s–2.

Memahami masalah

Kesimpulan

Merancang strategi

(a)	 Laju	purata	=	Jumlah	jarakJumlah	masa
(b)	 Jarak	4	saat	pertama	=	12	(jarak	dengan	laju	seragam)
(c)	 Pecutan	=	 Perubahan	lajuPerubahan	masa

(a)	 Laju	purata	untuk	tempoh	6	saat	yang	pertama	ialah	253 	m	s
–1.

(b)	 t	=	10
(c)	 v	=	24

(a)	 Jumlah	jarak	untuk	6	saat	pertama
	 	 		 =	[12	×	4	×	(5	+	10)]	+	[(6	–	4)	×	10]
	 =	(30	+	20)	m
	 =	50	m

50	m	 Laju	purata	=	——
	 	 	 6	s
	 	 	 25	 	 =	—	m	s–1
	 	 	 3

Melaksanakan strategi
	 		(b)	 Luas	trapezium	=	 12 	luas	segi	empat	tepat	 			 	 			 1

2	× 4	× (5	+	10)	=	12	× (t	–	4)	×	10

	 30	=	5t	–	20
	 50	=	5t
	 t	=	10

(c)	 Pecutan	=	3.5	m	s–2
		 v	−	10

14	−	10		=	3.5
	  	 v	−	10

4 		=	3.5

	 v	–	10	=	14
	 v	=	24

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

v

10

5

4				6					t         14

Penyelesaian:

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan graf
laju-masa.
Saiz sebenar

204

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

17   Contoh

Graf	laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	sebuah
van		dalam	tempoh	t	saat.	Hitung
(a)	 kadar	perubahan	laju	terhadap	masa	dalam	m	s–1	untuk

3	saat	yang	pertama.
(b)	 jarak	yang	dilalui,	dalam	meter,	untuk	tempoh	10	saat

yang	pertama.
(c)	 nilai	t	jika	magnitud	kadar	perubahan	laju	terhadap	masa

selepas	saat	ke	sepuluh	adalah	sama	dengan	magnitud	kadar
perubahan	laju	pada	3	saat	yang	pertama.

Penyelesaian:
(a)	 Kadar	perubahan	laju	=	(30	–	12)	m	s

–1

(3	–	0)	s
	 	 	=	6	m	s–2

Graf	 laju-masa	 di	 sebelah	 menunjukkan	 gerakan	 dua	 buah
kenderaan.	Graf	OAB	mewakili	gerakan	kereta	Encik	Zabadi	dan
graf	CD mewakili	 gerakan	 teksi	 yang	 dipandu	 oleh	 Encik	 Low.
Diberi	beza	jarak	di	antara	kereta	dengan	teksi	bagi	tempoh	24	saat
ialah	160	m.	Hitung	nilai	v.

Penyelesaian:

•		Nilai	v,	iaitu	laju	akhir	teksi	untuk	tempoh	16	saat.

Memahami masalah

Kesimpulan

Merancang strategi

•		Jarak	kereta	–	jarak	teksi	=	160	m

Nilai	v	=	30

jarak	kereta	(OAB)	–	jarak	teksi	(CD)	=	160
	 		[ 12	×	(v	–	10)	×	(24	+	16)]	–	[					×	(24	–	8)	×	(v)]	=	160
	 		 [				×	(v	–	10)	×	40]	–	[				×	16	×	v]	=	160

	 20v	–	200	–	8v	=	160
	 12v	=	360
	 v	=	30

Melaksanakan strategi

18Contoh

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

v

v	–	10

8	 		 24
C

A

D

B

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

30

12

3	 		 10 t

Semak Jawapan
• Jarak yang dilalui
 oleh kereta

= 12 × (30 – 10) ×   (24 + 16)

= 400 m
• Jarak yang dilalui
 oleh teksi

= 12 × 16 × 30

= 240 m

Beza jarak
= 400 – 240
= 160 m

1
2

1
2

1
2

17
Saiz sebenar

205

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

(b)	 Jarak	yang	dilalui	=	[12	×	3	×	(12	+	30)]	+	[(10	–	3)	×	30]
	 	 =	(63	+	210)	m
	 	 =	273	m

(c)	 Pecutan	selepas	saat	ke-10	=	pecutan	pada	3	s	yang	pertama
	 	 			 –[(0 –	30) m	s–1

(t –	10) s ]	=	(30 –	12) m	s–1
(3 –	0) s

–	( –30
t –	10)	=	183

30
t –	10	=	6

30
6 	=	t	–	10

t		=	15

1.	 Graf	laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	kereta
Dion	Johan	untuk	tempoh	16	saat.	Hitung,
(a)	 jarak	dalam	meter,	yang	dilalui	semasa	kereta	bergerak

dengan	laju	seragam.
(b)	 nilai	v,	jika	laju	purata	kereta	untuk	12	saat	yang

pertama	ialah	14	m	s–1.

2.	 Graf	laju-masa	di	sebelah	mewakili	gerakan	motosikal
yang	dipandu	oleh	Abit	Lusang	untuk	tempoh	t	saat.
Hitung,
(a)	 nyahpecutan	gerakan	dalam	m	s–2.
(b)	 jarak	dalam	meter	semasa	kadar	perubahan	laju	terhadap

masa	adalah	bernilai	positif.
(c)	 nilai	t,	jika	jumlah	jarak	yang	dilalui	untuk	tempoh

t	saat	ialah	121.5	m.

3.	 Graf	laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	sebuah
kereta	untuk	tempoh	t	saat.	Hitung,

(a)	 jumlah	jarak,	dalam	meter,	yang	dilalui	semasa
kadar	perubahan	laju	terhadap	masa	kereta	tersebut
bernilai	positif.

(b)	 nilai	t	jika	magnitud	kadar	perubahan	laju	terhadap	masa
dari	saat	ke-8	hingga	saat	ke-10	adalah	sama
dengan	magnitud	kadar	perubahan	laju	terhadap	masa
selepas	saat	ke-10.

Praktis Kendiri 7.2d

ZON INFORMASI

Magnitud
• jarak yang dilalui pada

arah tertentu.

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

v

12

8					12				16

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

12

8

5

3	 7		 t

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

10

6

2

3	 8	10	 t

Kadar	 perubahan	 laju	 pada
arah	yang	sama.	(magnitud)

Patuhi had laju
untuk keselamatan

semua.
Saiz sebenar

206

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

1.	 Graf	jarak-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	sebuah	bas
ekspres	dalam	masa	14	minit.	Hitung,
(a)	 tempoh	masa	bas	tersebut	berada	dalam	keadaan	pegun.
(b)	 kadar	 perubahan	 jarak	 terhadap	 masa	 untuk	 4	 minit

yang	terakhir	dalam	km	j–1.
(c)	 laju	purata	bas	untuk	tempoh	14	minit	dalam	km	j–1.

2.	 Sebuah	 kereta	 dan	 sebuah	 bas	 persiaran	 bergerak	 sejauh
150	 km	 dalam	 masa	 3	 jam.	 Graf	 jarak-masa	 di	 sebelah
menunjukkan	 gerakan	 kedua-dua	 kereta	 dan	 bas	 persiaran
tersebut.	Hitung,
(a)	 kadar	 perubahan	 jarak	 terhadap	 masa	 kereta,	 dalam

km	j–1	untuk	42	minit	yang	pertama.
(b)	 nilai	t.
(c)	 kadar	 perubahan	 jarak	 terhadap	 masa	 kereta	 dalam

km	j–1	untuk	gerakan	80	km	terakhir.

3.	 Graf	laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	sebuah	kereta
dan	sebuah	motosikal.	Hitung,

(a)	 tempoh	masa	motosikal	bergerak	dengan	laju	seragam.
(b)	 nilai	 t,	 jika	 jarak	yang	dilalui	oleh	kereta	dan	motosikal

adalah	sama	untuk	tempoh	t	saat.

4.	 Graf	 laju-masa	 di	 sebelah	 menunjukkan	 gerakan	 bagi
suatu	zarah	dalam	tempoh	15	saat.	Hitung,
(a)	 kadar	perubahan	laju	terhadap	masa,	dalam	m	s–2,	untuk

tempoh	6	saat	terakhir.
(b)	 nilai	 v	 jika	 nisbah	 jarak	 yang	 dilalui	 untuk	 tempoh

5	saat	yang	pertama	kepada	6	saat	terakhir	ialah	5	:	3.
(c)	 laju	purata	zarah	untuk	tempoh	15	saat	dalam	km	j–1.

5.	 Graf	laju-masa	di	sebelah	menunjukkan	gerakan	dua	buah	kereta
untuk	 tempoh	 45	 minit.	 Puan	 Nisha	 sedang	 memandu	 dari
Bandar	P	ke	Bandar	Q	sementara	Puan	Farah	memandu	dari	arah
yang	bertentangan	dengan	Puan	Nisha.	Hitung,

(a)	 nilai	 v,	 jika	 kadar	 perubahan	 laju	 terhadap	masa	 kereta
Puan	Farah	untuk	tempoh	30	minit	yang	pertama	adalah
sama	dengan	pecutan	kereta	Puan	Nisha	untuk	tempoh	45
minit.

Jarak	(km)

Masa
(minit)O

10

6

4	 10		 14

Jarak	(km)

Masa
(jam)O

150

70

0.7	 t		 3
B

RA

QP kereta

Bas	persiaran

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

10

4

2	 10	 t

R

QP

kereta

motosikal

Laju	(m	s–1)

Masa
(minit)O

24
 18

v

30		 45

Bandar	Q

Bandar	P

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

8
 7
v

5	 9		 15
Saiz sebenar

207

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

(b)	 jarak	dari	Bandar	Q,	dalam	km,	apabila	kedua-dua	kereta	tersebut	berselisih.
(c)	 masa,	dalam	minit	yang	diambil	oleh	Puan	Nisha	untuk	sampai	di	Bandar	Q	jika	pecutan

keretanya	tidak	berubah.

6.	 Graf	 jarak-masa	di	 sebelah	menunjukkan	gerakan	dua	buah
kereta	sejauh	100	km.	Graf	OA	menunjukkan	gerakan	kereta
yang	dipandu	oleh	Encik	Lee	dengan	laju	purata	v	km	j–1	dan
graf	OB	ialah	gerakan	kereta	yang	dipandu	oleh	Encik	Dollah
dengan	laju	purata	(v	–	20)	km	j–1.	Hitung,

(a)	 nilai	v	jika	beza	masa	yang	diambil	oleh	Encik	Lee	dan
	 	 Encik	Dollah	untuk	sampai	di	destinasi	ialah	25	minit.
	 (b)	waktu,	dalam	sistem	24	jam	Encik	Lee	sampai
	 	 di	destinasinya.

7. (a)	 (i)	 Rajah	1	menunjukkan	graf	jarak-masa	kereta	A	untuk
	 	 	 tempoh	t	saat.	Diberi	laju	purata	kereta	A	ialah	25	m

s–1.	Hitung	nilai	t.
	 	 (ii)	Huraikan	gerakan	kereta	A	untuk	tempoh	t	saat.

(b)	 Rajah	 2	 menunjukkan	 graf	 laju-masa	 kereta	 B.	 Diberi
bahawa,	 laju	 seragam, v, kereta	B	 adalah	 sama	 dengan
laju	purata	kereta	A	dan	jarak	yang	dilalui	oleh	kedua-dua
buah	kereta	 adalah	 sama.	 Jika	 nilai	 t,	 dalam	 saat	 untuk
kedua-dua	graf	adalah	sama,	hitung	tempoh	masa,	dalam
minit,	kereta	B	bergerak	dengan	laju	seragam.

P R O J E K

Jarak	(km)

Waktu
(sistem
24	jam)

O

100

0800		 t	–	25	min	 t

A B

Rajah	1

Jarak	(km)

Masa
(saat)O

1

t

Laju	(m	s–1)

Masa
(saat)O

v

t +	20
Rajah	2

1.	 Dapatkan	maklumat	tentang	pelbagai	nilai	had	laju	yang	terdapat	di	kawasan
tempat	tinggal	anda.

2.	 Catatkan	nilai	had	laju	mengikut	kawasan	tertentu.	Contohnya,	30	km	j–1	di
kawasan	sekolah.

3.	 Apakah	implikasi	jika	pemandu	kenderaan	tidak	mematuhi	had	laju
yang	ditetapkan?

4.	 Buat	satu	laporan	bergambar	dan	bentangkan	dapatan	anda	dengan
menggunakan	multimedia.
Saiz sebenar

208

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

PETA KONSEP

Graf Gerakan

Graf	Jarak-Masa Graf	Laju-Masa

Laju	purata	=
Jumlah	jarak
Jumlah	masa

•	 Jarak	gerakan	=	Luas	di	bawah	graf
	 	 	•	 Kecerunan	=	 Perubahan	lajuPerubahan	masa
	 Kadar	perubahan	laju	terhadap	masa
	 =	pecutan
•	 OP		kecerunan	positif
	 	 	 laju	bertambah
	 	 	pecutan
•	 PQ		kecerunan	sifar
	 	 	 tiada	perubahan	laju
	 	 	 laju	seragam
•	 QR		kecerunan	negatif
	 	 	 laju	berkurangan
	 	 	nyahpecutan

Laju

MasaO	 t1	 t2	 t3

V P        Q

R

•	 Kecerunan	=	Perubahan	jarakPerubahan	masa
	 Kadar	perubahan	jarak	terhadap	masa
	 =	laju
•	 OA		kecerunan	positif
	 	 	 (gerakan	menuju	destinasi)
•	 AB		kecerunan	sifar
	 	 	 (pegun)
•	 BC		kecerunan	negatif
	 	 	 (gerakan	menuju	ke	asal)
•	 Laju	 positif	 dan	 laju	 negatif	 menunjukkan
arah	yang	bertentangan	dalam	suatu	gerakan.

Jarak

Masa
O	 t1	 t2	 t3

s A        B

C

Laju	(m	s–1)

Masa	(saat)
O	 40	 100	 150

30 A   B

C

Jarak	(km)

Masa	(jam)
O	 1	 2	 3

50 A        B

C

(a)	 Laju	 objek	 1	 jam	 pertama	 atau	 1	 jam
terakhir

=	50	− 0
1	−	0 	=	50	km	j

–1

(b)	Objek	 berada	 dalam	 keadaan	 pegun

selama	1	jam	(AB)

(a)	Pecutan	40	saat	pertama
												=	30	−	040	−	0  	=	0.75	m	s

–2

(b)	Pecutan	50	saat	terakhir
													=	 0	− 30

150	−	100	=	– 0.6	m	s
–2

(c)	Laju	seragam	selama	1	minit	(AB)
Saiz sebenar

209

Bab 7  Graf Gerakan

7
B

A
B

Arahan
1.	 Isi	 petak	 yang	 disediakan	 untuk	 soalan	 refleksi	 dengan	 jawapan	 yang	 betul	 dengan

menggunakan	huruf	besar.
2.	 Pindahkan	huruf	mengikut	nombor	petak	ke	petak	'Ungkapan	Misteri'.
3.	 Apakah	perasaan	anda	dengan	ungkapan	misteri	tersebut?

(a)	 Perubahan	jarakPerubahan	masa	=

(b)	 Bagi	graf	jarak-masa,	kecerunan	sifar	bermaksud	keadaan

Perubahan	laju
(c)	 ——————–——		—————	=	Pecutan
	 Perubahan

(d)	 Bagi	graf	laju-masa,	kecerunan	negatif

bermaksud

(e)	 Laju	seragam	suatu	gerakan	berlaku	apabila	nilai

adalah	sifar	bagi	graf	laju-masa.

(f) 	 purata	=	Jumlah	jarakJumlah	masa

Ungkapan Misteri

2

3 4

5

6

7

4 7 5 7 7 2 7 6 3 7 1 7 5 4 7I

 Eksplorasi Matematik

1.	 Bahagikan	kelas	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.	 Setiap	 kumpulan	 dikehendaki	 mendapatkan	 maklumat	 berkaitan	 dengan	 kenderaan

berkelajuan	tinggi	yang	bergerak	di	atas	permukaan	bumi,	ruang	udara	dan	juga	angkasa
lepas	daripada	pelbagai	sumber.

3.	 Maklumat	yang	diperoleh	perlu	meliputi	sejarah	ciptaan,	kegunaan	dan	juga	kesan	sampingan.
4.	 Pamerkan	dapatan	kumpulan	anda	di	Sudut	Matematik	agar	murid-murid	lain	mendapat

manfaat	daripada	tugasan	anda.

1
Saiz sebenar

210

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Anda akan mempelajari

Maslahat Bab

Sukatan Serakan
Data Tak Terkumpul

BAB

8
►	 Serakan
►	 Sukatan	Serakan

Temasya	Sukan	SEA	ke-29	Kuala	Lumpur	secara	rasminya
berlangsung	dari	19	Ogos	hingga	30	Ogos	2017.	Sebanyak

lebih	kurang	4	646	orang	atlet	telah	mengambil	bahagian	dalam
404	 acara.	Dalam	 temasya	 sukan	 ini,	Malaysia	 telah	menjadi
juara	keseluruhan	dengan	145	buah	pingat	emas.

Tahukah	 anda	 bilangan	 pingat	 yang	 diperoleh	 atlet	Malaysia
mengikut	acara	yang	dipertandingkan?

Statistik	 membantu	 manusia	 untuk	 membuat	 kajian	 secara	 efektif,	 membina
kemahiran	 berfikir	 secara	 kritis	 dan	 analitis,	 serta	 memudahkan	 seseorang
membuat	keputusan	yang	tepat	dengan	berpandukan	data.	Sehubungan	dengan	itu,
penguasaan	ilmu	statistik	membolehkan	kita	untuk	melakukan	penambahbaikan
secara	berfokus	serta	membuat	ramalan	atau	andaian	secara	berasas.	Kemahiran
ini	sudah	tentu	amat	penting	dalam	dunia	kerjaya	dan	kehidupan	seharian.

210

LAOS
Saiz sebenar

211

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

211

LAOS

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA
•	 data	tak	terkumpul	 • ungrouped data
•	 julat	antara	kuartil	 • interquartile range
•	 julat	 • range
•	 pencilan	 • outlier
•	 plot	batang-dan-daun	 • stem and leaf plot
•	 plot	kotak	 • box plot
•	 plot	titik		 • dot plot
•	 sisihan	piawai	 • standard deviation
•	 sukatan	serakan		 • measure of dispersion
•	 varians	 • variance

Imbasan Silam

Sir Ronald Fisher Aylmer
(1890	-1962)

Sir	 Ronald	 Fisher	 Aylmer	 memberikan
sumbangan	 penting	 dalam	 bidang	 statistik,
termasuk	analisis	varians.	Beliau	juga	digelar
"seorang	 genius	 yang	 mencipta	 dasar	 bagi
ilmu	statistik	moden".

http://yakin-pelajar.com/Fisher/8.pdf
Saiz sebenar

212

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Tujuan:	Menerangkan	maksud	serakan.
Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2. Dengan	kaedah	temu	bual,	dapatkan	maklumat	berkenaan	saiz	kasut	yang	dipakai	oleh

kawan-kawan	di	sekolah	anda.	Dapatkan	sekurang-kurangnya	20	data.
3.	 Dengan	menggunakan	hamparan	elektronik,	bina	satu	jadual	bagi	maklumat

yang	diperoleh.

Saiz kasut	 5	 6	 7	 8	 9	 10
 Bilangan murid

4.	 Lengkapkan	jadual	kekerapan	dalam	hamparan	elektronik.

5.	 Dengan	menggunakan	 hamparan	 elektronik	 yang	 sama	 atau	 secara	manual,	 bina	 carta
berikut.

(a)	 plot	titik	(scatter plot)	 (b)		plot	batang-dan-daun
  (edit	hasil	paparan	anda	jika	perlu)
6. Cetak	dan	pamerkan	hasil	kumpulan	anda	di	Sudut	Matematik.

8.1 Serakan

Apakah maksud serakan?

Rangsangan Minda 1

Sukatan	serakan	merupakan	suatu	sukatan	yang	penting	dalam
statistik.	Sukatan	serakan	memberi	kita	gambaran	tentang	cara
nilai-nilai	dalam	satu	set	data	ditaburkan.
	 Serakan	adalah	kecil	jika	set	data	itu	mempunyai	julat	yang	kecil
dan	sebaliknya.
	 Sukatan	serakan	suatu	data	ialah	sukatan	kuantitatif	seperti	julat,	julat	antara	kuartil,
varians	dan	sisihan	piawai.

Standard
Pembelajaran

Menerangkan maksud serakan.

Bilangan murid

Saiz 5 7 96 8 10

Untuk mewakilkan data
secara beretika dan
mengelakkan kekeliruan
● Skala yang

digunakan dalam
perwakilan mesti
seragam dan
bermula daripada 0.

● Data yang dipaparkan
mesti tepat.

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

213

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	1,	didapati	bahawa

(a)	 Jadual	menunjukkan	jisim,	dalam	kg,	bagi	20	orang	murid.

52 60 62 47 55 48 70 67 71 66
48 50 64 51 66 79 62 65 78 72

Nyatakan	beza	jisim,	dalam	kg,	bagi	murid-murid	ini.
(b)	 Rajah	menunjukkan	plot	titik	bagi	panjang,	dalam	cm,	sampel	beberapa	jenis	serangga.

Panjang	(cm)
3 4 5 6 7

Nyatakan	beza	saiz,	dalam	cm,	bagi	sampel	serangga	terpanjang	dan	sampel	serangga	terpendek.

Penyelesaian:
(a)	 Jisim	terbesar	=	79	kg
	 Jisim	terkecil	=	47	kg
	 Beza	jisim	=	79	kg	–	47	kg
																								 =	32	kg

(b)	 Panjang	serangga	terpanjang	=	6.8	cm
	 Panjang	serangga	terpendek	=	3.1	cm
	 Beza	saiz	=	6.8	cm	–	3.1	cm
	 																=	3.7	cm

7. Melalui	 aktiviti	 Galeri	 Jelajah	 Minda	 (Gallery Walk),	 dapatkan	 maklumat	 daripada
kumpulan	lain	dan	lengkapkan	jadual	di	bawah.

Kumpulan	 1							2								3							4								5							6							7
	 				Saiz terbesar
	 				Saiz terkecil
	 					 Beza saiz
Perbincangan:
Berdasarkan	jadual	kekerapan	kumpulan	anda	pada	langkah	7,
(a)	 nyatakan	sama	ada	beza	saiz	kasut	setiap	kumpulan	sama	atau	tidak.
(b)	 bincangkan	faktor-faktor	yang	menyebabkan	perbezaan	dalam	saiz	kasut	ini.

1Contoh

Taburan	 data	 adalah	 berbeza.	 Bagi	melihat	 serakan	 bagi	 suatu	 taburan	 data,	 beza	 antara
nilai	cerapan	terbesar	dengan	nilai	cerapan	terkecil	diambil	kira.	Sekiranya	beza	antara	nilai
tersebut	adalah	besar,	maka	keadaan	itu	menunjukkan	bahawa	data	diserak	lebih	luas.	Begitu
jugalah	keadaan	yang	sebaliknya.

ZON INFORMASI

Cerapan merupakan
data atau dapatan yang
diperoleh daripada
sesuatu pemerhatian.
Saiz sebenar

214

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

1.	 Suatu	kajian	tentang	takat	didih,	dalam	○C	bagi	10	jenis	bahan	kimia	telah	dijalankan.	Hasil
kajian	dicatatkan	seperti	di	bawah.

112	 60	 75	 81	 150	 92	 108	 90	 45	 132

(a)	Tentukan	suhu	terendah	dan	suhu	tertinggi.
	 (b)	Tentukan	beza	antara	suhu	tertinggi	dengan	suhu	terendah.

2.	 Tempoh	masa	penggunaan	media	sosial,	dalam	minit,	bagi	12	orang	remaja	pada	suatu	hari
tertentu	dicatatkan	seperti	yang	berikut.

100	 	 120	 	 80	 	 60	 	 90	 	 30	 	 40	 	 100	 	 60	 	 90	 	 120	 	 60

Didapati	bahawa	masa	penggunaan	media	sosial	boleh	ditulis	dalam	bentuk	p	ø	masa	ø	q.
Nyatakan	nilai	p	dan	q.

3.	 Rajah	menunjukkan	plot	titik	bagi	kepanjangan,	dalam	cm,	beberapa	jenis	sampel	daun.

Apakah	beza	panjang	antara	sampel	daun	terpanjang	dengan	sampel	daun	terpendek?

Bagaimanakah anda membandingkan dan mentafsir
 serakan dua atau lebih set data berdasarkan plot
 batang-dan-daun dan plot titik?

Plot	batang-dan-daun	merupakan	satu	cara	untuk	menunjukkan	taburan
suatu	set	data.	Melalui	plot	batang-dan-daun,	kita	dapat	melihat	sama
ada	data	adalah	cenderung	kepada	satu	nilai	atau	nilai	manakah	paling
kerap	muncul	atau	data	manakah	yang	paling	kurang	muncul.

Apakah langkah-langkah untuk memplot batang-dan-daun?

Rajah	di	bawah	menunjukkan	markah	yang	diperoleh	 sekumpulan	36	orang	murid	dalam	suatu
ujian	Prinsip	Perakaunan.

27	 34	 37	 39	 42	 43	 46	 48	 52
	 29	 35	 37	 40	 42	 44	 47	 49	 52
	 31	 35	 38	 40	 42	 44	 47	 49	 53
	 32	 36	 38	 41	 42	 45	 47	 52	 54

Praktis Kendiri 8.1a

Membandingkan dan
mentafsir serakan dua atau
lebih set data berdasarkan
plot batang-dan-daun dan
plot titik dan seterusnya
membuat kesimpulan.

Standard
Pembelajaran

14
Panjang	(cm)

15 16 17
Saiz sebenar

215

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Jika	data	ini	tidak	disusun	dalam	bentuk	jadual,	maka	kita	tidak	dapat	melihat	serakannya	dengan
serta-merta.	Kita	 tetapkan	 nilai	 puluh	 sebagai	 batang	 dan	 nilai	 sa	 sebagai	 daun	 untuk	memplot
batang-dan-daun	bagi	data	yang	diberikan.

Batang                          Daun
	 2	 7	9
	 3	 1	2	4	5	5	6	7	7	8	8	9
	 4	 0	0	1	2	2	2	2	3	4	4	5	6	7	7	7	8	9	9
	 5	 2	2	2	3	4
																													kekunci	2	|	7	bermaksud	27

Daripada	jadual	batang-dan-daun	ini,	kita	perhatikan	bahawa	markah	paling	kerap	muncul	adalah
dalam	julat	40	hingga	49.

Apakah yang anda faham tentang plot titik?

Plot	titik	ialah	carta	statistik	yang	mengandungi	titik-titik	yang	diplot	dengan	menggunakan	skala
seragam.	Setiap	titik	mewakili	satu	cerapan.
Data	 berikut	 menunjukkan	 skor	 yang	 diperoleh	 oleh	 sekumpulan	 20	 orang	 murid	 dalam
kuiz	Biologi.

0	 6	 4	 7	 6
	 2	 0	 1	 7	 7
	 4	 5	 2	 3	 8
	 7	 8	 3	 5	 3

Rajah	di	bawah	menunjukkan	plot	titik	untuk	data	di	atas.	Setiap	titik	mewakili	satu	cerapan.

0 1 2 3 4 5 6 7 8
Skor

Dalam	plot	titik	di	atas,	cerapan	paling	tinggi	ialah	8,	cerapan	paling	rendah	ialah	0,	dan	paling
banyak	murid	memperoleh	skor	7.

ZON INFORMASI

Plot titik sesuai digunakan
jika bilangan cerapan
adalah tidak banyak.

ZON INFORMASI

Digit daun disusun
dari nilai terkecil ke
nilai terbesar.
Saiz sebenar

216

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	2,	didapati	bahawa;

Pencapaian	ujian	bulan	Mei	adalah	lebih	baik	kerana	ramai	murid	mendapat	markah	tinggi
			dalam	ujian	tersebut	berbanding	dengan	ujian	bulan	April.

Secara	generalisasi,

Apabila	dua	set	data	diplot	dengan	menggunakan	plot	batang-dan-daun,	kita	boleh,
membandingkan	corak	kedua-dua	plot	berkenaan.

Rangsangan Minda 2

Tujuan:	Membandingkan	dan	mentafsir	 serakan	dua	set	data	berdasarkan	plot	batang-
dan-daun.

Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2. Data	 berikut	 menunjukkan	 markah	 ujian	 Sejarah	 bagi	 kelas	 4	 Budi	 dalam	 ujian

bulanan	April	dan	Mei.

Markah ujian bulan April Markah ujian bulan Mei

32	 41	 44	 51	 58	 	 34	 46	 55	 63	 69
	 35	 42	 46	 53	 58	 	 38	 46	 55	 65	 71
	 35	 43	 48	 54	 58	 	 40	 49	 55	 66	 73
	 39	 43	 48	 54	 60	 	 40	 52	 59	 68	 75
	 41	 44	 49	 56	 61	 	 43	 53	 59	 68	 77

3. Lengkapkan	plot	batang-dan-daun	di	bawah.

Markah ujian bulan April Markah ujian bulan Mei

9	5	5	2	 3	 		4	8
	 4
	 5
	 6
	 7

Perbincangan:
Berdasarkan	 plot	 batang-dan-daun	 di	 atas,	 ujian	 manakah	 yang	 menunjukkan	 pencapaian
yang	lebih	baik?	Berikan	justifikasi	anda.

Bagaimanakah anda membandingkan dan mentafsir serakan dua set data berdasarkan
plot batang-dan-daun?
Saiz sebenar

217

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Satu	pertandingan	kuiz	Matematik	dan	kuiz	Sains	 telah	dijalankan	di	SMK	Bestari	 bersempena
dengan	 Minggu	 Sains	 dan	 Matematik.	 20	 orang	 murid	 telah	 mengambil	 bahagian	 dalam	 kuiz
tersebut.	Rajah	di	bawah	menunjukkan	dua	set	plot	titik	bagi	skor	yang	diperoleh	murid-murid	ini.

(a)	 Data	manakah	yang	menunjukkan	serakan	yang	lebih	besar?	Berikan	justifikasi	anda.
(b)	 Kuiz	yang	manakah	mempunyai	beza	cerapan	yang	lebih	tinggi?
(c)	 Antara	skor	kuiz	Sains	dan	skor	kuiz	Matematik,	pencapaian	yang	manakah	lebih	baik?

Penyelesaian:

(a)	 Serakan	skor	dalam	kuiz	Sains	adalah	lebih	besar,	kerana	beza	cerapan	data	adalah	lebih	besar.
(b)	 Kuiz	Sains	mempunyai	beza	cerapan	yang	lebih	tinggi,	iaitu	7.
(c)	 	Skor	 kuiz	Matematik	 lebih	baik	kerana	kebanyakan	 cerapan	 tertumpu	pada	bahagian	kanan

plot	titik.

2Contoh

Bagaimanakah anda membandingkan dan mentafsir dua set data berdasarkan
plot titik?

Melalui	plot	titik,	kita	boleh	membandingkan	dan	mentafsir	bentuk,	serakan	titik,	kekerapan	serta
cerapan	yang	tertumpu	di	kiri	atau	di	kanan	bagi	dua	set	data.

Skor	dalam	kuiz	Sains
8 9 10 11 12 13 14 15

Skor	dalam	kuiz	Matematik

9 10 11 12 13 14 15
Saiz sebenar

218

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

1.	 Data	di	bawah	menunjukkan	jisim,	dalam	kg,	bagi	dua	kumpulan	murid.

Kumpulan A     Kumpulan B
	 58	 47	 68	 63	 61	 72	 54	 76	 49	 64
	 60	 54	 70	 63	 45	 58	 76	 40	 64	 65
	 69	 54	 52	 41	 82	 58	 69	 48	 52	 42
	 70	 53	 70	 60	 52	 40	 70	 66	 57	 83
	 81	 67	 56	 50	 76	 	41	 70	 69	 56	 61
	 86	 66	 62	 73	 75	 	78	 52	 75	 63	 84
	 44	 46	 62	 72	 49	 	46	 82	 55	 59	 57
	 84	 76	 82	 68	 64	 	83	 42	 56	 60	 59

Lukis	 plot	 batang-dan-daun	 untuk	 mempamerkan	 taburan	 jisim	 bagi	 dua	 kumpulan	 murid
tersebut.	Berikan	komen	anda	berkenaan	taburan	jisim	dua	kumpulan	murid	ini.

2.	 Data	 di	 bawah	menunjukkan	markah	Geografi	 yang	 diperoleh	 sekumpulan	 25	 orang	murid
dalam	dua	ujian	bulanan.

Ujian bulan April    Ujian bulan Mei
	 35	 56	 42	 56	 48	 63	 42	 47	 52	 52
	 65	 51	 58	 42	 60	 48	 45	 51	 41	 50
	 46	 61	 46	 48	 62	 55	 48	 61	 42	 49
	 54	 50	 41	 50	 55	 39	 63	 54	 56	 54
	 50	 69	 57	 51	 50	 46	 50	 51	 57	 53

	 Lukis	dua	plot	titik	dengan	menggunakan	skala	yang	sama	untuk	melihat	perbezaan	taburan

markah	 bagi	 dua	 ujian	 berkenaan.	 Berikan	 komen	 anda	 berkenaan	 dengan	 pencapaian
kumpulan	murid	bagi	dua	ujian	ini.

3.		 Data	di	bawah	menunjukkan	 saiz	kasut	yang	dipakai	oleh	20	orang	murid	dalam	dua	kelas
yang	berbeza.

Kelas Mawar    Kelas Teratai

	 8.0	 8.0	 12.5	 7.5	 8.0	 8.5	 9.0	 9.5	 10.5	 9.0
	 6.5	 6.0	 8.0	 11.0	 8.5	 9.5	 11.0	 9.0	 9.5	 9.5
	 7.0	 7.5	 10.5	 8.0	 7.0	 10.5	 9.5	 8.5	 9.0	 9.0
	 8.0	 10.5	 7.5	 6.5	 6.5	 9.0	 9.0	 10.5	 9.5	 11.0

(a)	 Bina	dua	plot	titik	dengan	menggunakan	skala	yang	sama.
(b)	 	Bandingkan	kedua-dua	plot	titik	yang	diperoleh	daripada	(a).	Kelas	manakah	yang	mempunyai

beza	saiz	kasut	yang	lebih	besar?	Berikan	justifikasi	anda.

Praktis Kendiri 8.1b
Saiz sebenar

219

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Bagaimanakah anda menentukan julat, julat antara
kuartil, varians dan sisihan piawai sebagai sukatan
untuk menghuraikan serakan bagi data tak terkumpul?

Dalam	statistik,	julat	bagi	suatu	set	data	tak	terkumpul	ialah	beza	antara
nilai	cerapan	terbesar	dengan	nilai	cerapan	terkecil.	Sukatan	ini	memberi
kita	satu	gambaran	bagaimana	data	ditaburkan.	Sebagai	contoh,	dalam
ujian	Bahasa	Melayu,	suatu	kelas	yang	mempunyai	julat	markah	yang
lebih	besar		bermaksud	kebolehan	murid	dalam	kelas	berkenaan	adalah	sangat	berbeza.

Julat	=	nilai	cerapan	terbesar	–	nilai	cerapan	terkecil

Diberi	set	data	34,	23,	14,	26,	40,	25,	20,	tentukan	julat	bagi	set	data	ini.
Penyelesaian:

34, 23, 14 , 26, 40 , 25, 20

Cerapan
terkecil

Cerapan
terbesar

Julat	=	40	–	14
	 =	26

Bagaimanakah anda menentukan julat daripada jadual kekerapan?

Jadual	berikut	menunjukkan	skor	bagi	sekumpulan	murid	dalam	suatu	kuiz	Kimia.

Skor	 2	 3	 4	 5	 6	 7	 8

Bilangan murid	 3	 5	 6	 8	 12	 7	 3

Tentukan	julat	bagi	data	di	atas.

Penyelesaian:

Skor 2 3 5 74 6 8

Bilangan murid		 3	 5	 6	 8	 12	 7	 3

Cerapan	terkecil Cerapan	terbesar

Julat	=	8	–	2
	 =	6

3Contoh

4Contoh

8.2 Sukatan Serakan

Menentukan julat, julat antara
kuartil, varians dan sisihan
piawai sebagai sukatan untuk
menghuraikan serakan bagi
data tak terkumpul.

Standard
Pembelajaran
Saiz sebenar

220

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Bagaimanakah anda menentukan julat antara kuartil bagi suatu set data tak terkumpul?
Apabila	 nilai-nilai	 sesuatu	 data	 disusun	mengikut	 tertib	menaik,	 kuartil	 pertama,	Q1	 ialah	 nilai
data	yang	berada	pada	kedudukan	1

4
	yang	pertama	manakala	kuartil	ketiga,	Q3	ialah	nilai	data	yang

berada	pada	kedudukan	3
4
	daripada	keseluruhan	susunan	data	tersebut.

Gunakan	langkah-langkah	berikut	untuk	menentukan	Q1	dan	Q3	daripada	satu	set	data	tak	terkumpul.
1.	 Susun	data	mengikut	tertib	menaik.
2.	 Tentukan	median	data	tersebut.
3.	 	Bahagikan	set	data	kepada	dua	bahagian,	 iaitu	bahagian	data	sebelum	median	dan	bahagian

data	selepas	median.
4.	 Q1	ialah	data	yang	berada	di	kedudukan	tengah-tengah	bahagian	data	sebelum	median.
5.	 Q3	ialah	data	yang	berada	di	kedudukan	tengah-tengah	bahagian	data	selepas	median.
6.	 	Jika	bilangan	data	ganjil,	median,	Q1	dan	Q3	dapat	terus	dikenal	pasti	daripada	susunan	data.
7.	 	Jika	bilangan	data	genap,	nilai	median,	Q1	dan	Q3	dapat	diperoleh	dengan	mencari	nilai	purata

antara	dua	data	pada	kedudukan	tengah-tengah	bahagian	data	sebelum	atau	selepas	median.
8.	 Julat	antara	kuartil	=	Q3	–	Q1

5Contoh

Tentukan	julat	antara	kuartil	bagi	setiap	set	data	berikut:
(a)	 4,	4,	6,	8,	10,	13,	15,	16,	20,	22,	23
(b)	 11,	14,	14,	17,	19,	20,	20,	21,	22
(c)	 2.3,	2.5,	2.5,	2.6,	2.8,	2.9,	3.0,	3.2
Penyelesaian:
(a)	 4	 4	 6	 8	 10	 13	 15	 16	 20	 22	 23

Julat	antara	kuartil	=	20	–	6
	 	 =	14

(b)	 11	 14	 14	 17	 19	 20	 20	 21	 22

20	+	21	 14	+	14		 Julat	antara	kuartil	=	———	–	———
	 	 2	 2	 =	6.5

(c)	 2.3	 2.5	 2.5	 2.6	 2.8	 2.9	 3.0	 3.2

2.9	+	3.0	 2.5	+	2.5		 Julat	antara	kuartil	=	————	–	————
	 	 2	 2

=	0.45

}
2	cerapan 2	cerapan 2	cerapan 2	cerapan

} } }
median Q3Q1

Tentukan	kedudukan
median	terlebih	dahulu

median Q3Q1

} } } }
2	cerapan 2	cerapan2	cerapan 2	cerapan

} } } }
median Q3Q1

2	cerapan 2	cerapan 2	cerapan 2	cerapan

ZON INFORMASI
Kuartil pertama, Q1
juga dikenali sebagai
kuartil bawah manakala
kuartil ketiga, Q3 digelar
sebagai kuartil atas.

ZON INFORMASI

Kuartil kedua, Q2 juga
merupakan median.

Median ialah cerapan
yang berada di tengah
apabila data disusun
dalam tertib menaik
atau menurun.

MEMORI SAYA

ZON INTERAKTIF

Data juga boleh disusun
dalam tertib menurun.
Bagaimanakah kuartil
pertama dan kuartil ketiga
dapat diperoleh dalam kes
ini? Bincangkan.
Saiz sebenar

221

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

6Contoh

Tentukan	julat	antara	kuartil	bagi	jadual	kekerapan	berikut.
 Skor	 2	 3	 4	 5	 6	 7	 8
 Bilangan murid	 3	 5	 6	 8	 12	 7	 3

Penyelesaian:

C1	–	C3 C9	–	C14 C23	–	C34C4	–	C8 C15	–	C22 C35	–	C41 C42	–	C44

+ + + + + +

C11 C33

Skor	 2	 3	 4	 5	 6	 7	 8
 Bilangan murid	 3	 5	 6	 8	 12	 7	 3
 Kekerapan Longgokan	 3	 8	 14	 22	 34	 41	 44

Skor	cerapan	ke-11 Skor	cerapan	ke-33

Q1	=	cerapan	ke-(14	×	44)
			 		=	cerapan	ke-11

=	4

Q3	=	cerapan	ke-(34	×	44)
				 	=	cerapan	ke-33

=	6

Julat	antara	kuartil	=	6	–	4
	 	 	 					=	2
Apakah yang anda faham tentang varians dan sisihan piawai?
	 Varians	dan	sisihan	piawai	ialah	sukatan	serakan	yang	sering	digunakan	dalam	statistik.	Varians
ialah	purata	kuasa	dua	bagi	beza	data	dengan	min.
	 Sisihan	piawai	ialah	punca	kuasa	dua	varians	dan	mengukur	serakan	data	pada	min,	yang	diukur
dengan	unit	yang	sama	dengan	data.

Bagaimanakah anda dapat menentukan varians dan sisihan piawai bagi data tak terkumpul?
Varians	bagi	 suatu	 set	data	 tak	 terkumpul	boleh	diperoleh	dengan	menggunakan	 rumus	varians,

σ2	=	Σ(x	–	 )
2

N 		atau		 σ2	=	Σx2
N 	–	 2

Sisihan	piawai,	 σ	=	√Σ(x	–	 )2N 	atau	 σ	=	√Σx2
N 	–	 2

7Contoh

Tentukan	varians	bagi	set	data	2,	4,	5,	5,	6.

Penyelesaian:
	 	 2	+	4	+	5	+	5	+	6min,	 	=	———————
	 	 5
	 =	4.4

C11 C33

ZON INFORMASI
Kekerapan longgokan
bagi suatu data ditentukan
dengan menambahkan
kekerapannya dan
semua kekerapan data
sebelumnya.

= min data

=
Σx
N

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

222

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

(2	–	4.4)2	+	(4	–	4.4)2	+	(5	–	4.4)2	+	(5	–	4.4)2	+	(6	–	4.4)2varians,	σ2	=	———————————————————————–
	 	 5
	 =	1.84

Kaedah Alternatif

σ2	=	2
2	+	42	+	52	+	52	+	62

5 	–	4.42

=	1.84

8Contoh

Tentukan	sisihan	piawai	bagi	set	data	5,	7,	8,	8,	10,	13,	15,	16,	16,	20.

Penyelesaian:

5	+	7	+	8	+	8	+	10	+	13	+	15	+	16	+	16	+	20min,	 	=	——————————————————
	 	 10
	 =	11.8
	 	 52	+	72	+	82	+	82	+	102		+	132	+	152	+	162	+	162	+	202	varians,	σ2	=	—————————————————————–	–	11.82
	 	 10
	 =	21.56

Sisihan	piawai,	σ	=	 21 56.
	 	 =	4.643

9Contoh

Jadual	di	bawah	menunjukkan	bilangan	buku	yang	dibaca	oleh	sekumpulan	murid	dalam	satu	bulan
tertentu.	Hitung	varians	dan	sisihan	piawai	bagi	bilangan	buku	yang	dibaca.

Bilangan buku	 0	 1	 2	 3	 4

Bilangan murid	 3	 5	 8	 2	 2

Penyelesaian:

min,	 	=	3(0)	+	5(1)	+	8(2)	+	2(3)	+	2(4)3	+	5	+	8	+	2	+	2
	 =	1.75

varians,	σ2	=	3(0	–	1.75)

2	+	5(1	–	1.75)2	+	8(2	–	1.75)2		+	2(3	–	1.75)2	+	2(4	–	1.75)2
20

=	1.2875

Kaedah Alternatif 1

σ2	=	 3(0)
2	+	5(1)2	+	8(2)2	+	2(3)2	+	2(4)2

20 	–	1.752

=	1.2875

ZON INFORMASI

Jika data tak terkumpul
diberi dalam jadual
kekerapan maka
	 Σfx	=	——	dan
	 Σf
	 Σf(x – )2σ2	=	————–	atau
	 Σf
	 Σfx2σ2	=	——–	– 2

Σf

ZON INFORMASI

σ2 = varians
σ = sisihan piawai
Saiz sebenar

223

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Kaedah Alternatif 2

x fxf x2 f x2

1 55 1 5

3 62 9 18

0 03 0 0

2 168 4 32

4 8

∑fx	=	35

2

∑f	=	20

16 32

∑fx2	=	87

Min,	 	=	3520
	 					=	1.75

Varians,	σ2	=	8720	–	1.75
2

=	1.2875

Sisihan	piawai,	σ	=	 1 2875.

=	1.1347

Praktis Kendiri 8.2a
1.	 Tentukan	julat	dan	julat	antara	kuartil	bagi	setiap	set	data	berikut.
	 (a)	 3,	7,	5,	9,	4,	4,	8,	7,	6,	2,	5.
	 (b)	 13,	15,	19,	22,	17,	14,	15,	16,	18,	19,	11,	10,	20.
	 (c)	 2.3,	2.2,	3.1,	2.8,	2.7,	2.4,	2.5,	2.3.

2.	 Tentukan	julat	dan	julat	antara	kuartil	bagi	setiap	set	data	berikut.

(a)

Wang saku (RM)          4												5													6												7													8												9

Bilangan murid            5												10												7												6												3													1

(b)

Skor                           10									11									12									13									14									15

Bilangan murid										3									10									13										4												8											6

3.	 Bagi	setiap	set	data	berikut,	tentukan	varians	dan	sisihan	piawai.
	 (a)	 5,	7,	6,	9,	12,	10,	10,	13
	 (b)	 32,	40,	35,	39,	44,	48,	42

4.	 Jadual	 berikut	menunjukkan	bilangan	gol	 yang	diperoleh	 oleh	 20	 orang	pemain	 bola	 sepak
dalam	suatu	pertandingan.	Tentukan	varians	dan	sisihan	piawai	bagi	taburan	ini.

Bilangan Gol              	0											1											2											3											4

Bilangan pemain									3										5											6											5												1

Semak Jawapan
1. Tekan kekunci mode 2 kali
    Paparan

2. Tekan 1 untuk memilih SD
3. Masukkan data
    Tekan 0, diikuti M+ 3 kali
    Tekan 1, diikuti M+ 5 kali
    Tekan 2, diikuti M+ 8 kali
    Tekan 3, diikuti M+ 2 kali
    Tekan 4, diikuti M+ 2 kali
    Paparan

4. Tekan shift 2
    Paparan

5. Tekan 2, kemudian =
    Paparan    1.1347

6. Tekan butang x2 ,
    kemudian =
    Paparan

1.2875

n=
 20
Saiz sebenar

224

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Hitung	julat	dan	julat	antara	kuartil	bagi	set	data	10,	11,	11,	14,	18,	20,	21,	21,	25	dan	40.
Tentukan	sukatan	serakan	yang	lebih	sesuai	digunakan,	untuk	mengukur	taburan	set	data	di	atas.

Penyelesaian:

Julat	=	40	–	10
	 		=	30
Julat	antara	kuartil	=	21	–	11
	 																								=	10
Julat	antara	kuartil	ialah	sukatan	serakan	yang	lebih	sesuai	kerana	wujudnya	pencilan,	40.

Apakah kelebihan dan kekurangan pelbagai sukatan serakan?

Sukatan	 serakan	 mengukur	 taburan	 sesuatu	 set	 data.	 Julat	 ialah
sukatan	serakan	yang	paling	mudah	dihitung.	Namun,	julat	tidak	dapat
memberikan	satu	gambaran	yang	baik	tentang	cara	data	ditaburkan.
	 Bagi	 kes	 yang	 wujudnya	 pencilan	 atau	 nilai	 ekstrem,	 julat
antara	 kuartil	 adalah	 satu	 sukatan	 serakan	 yang	 lebih	 sesuai	 untuk
menunjukkan	taburan	data	berkenaan.
	 Sisihan	piawai	biasanya	digunakan	untuk	membanding	dua	set	data.	Secara	umumnya,	sisihan
piawai	yang	kecil	menunjukkan	data	adalah	 terserak	berhampiran	dengan	min	manakala	sisihan
piawai	yang	besar	menunjukkan	data	adalah	terserak	jauh	daripada	min.

Menerangkan kelebihan dan
kekurangan pelbagai sukatan
serakan untuk menghuraikan
data tak terkumpul.

Standard
Pembelajaran

10Contoh

Salah	 seorang	 murid	 akan	 dipilih	 untuk	 mewakili	 sekolah	 dalam	 satu	 pertandingan	 kuiz	 Fizik.
Tentukan	siapakah	yang	layak	dipilih	dan	berikan	justifikasi	anda.

Penyelesaian:
Aiman

Min	markah	=	40	+	70	+	90	+	85	+	645 	=	69.8

Sisihan	piawai,	σ =	 402	+	702	+	902	+	852	+	642
5 –	69.82

=	17.67

John

Min	markah	=	80	+	65	+	73	+	58	+	735 	=	69.8

Jadual	di	bawah	menunjukkan	pencapaian	dua	orang	murid	dalam	5	ujian	Fizik.

Ujian 1 Ujian 2 Ujian 3 Ujian 4 Ujian 5
Aiman 40 70 90 85 64
John 80 65 73 58 73

11Contoh
Saiz sebenar

225

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

3.	 Jadual	di	bawah	menunjukkan	gaji	bulanan	bagi	tujuh	orang	pekerja	Syarikat	Texan.

Pekerja											1										2										3										4											5										6									7
    Gaji(RM)					900						920						950					1	000				1	100			1	230			3	000

	 (a)			Hitung	julat,	julat	antara	kuartil	dan	sisihan	piawai	bagi	gaji	bulanan	pekerja	Syarikat	Texan.

(b)		Nyatakan	sukatan	serakan	yang	paling	sesuai	digunakan	untuk	memberikan	suatu	gambaran
yang	lebih	jelas	berkenaan	dengan	taburan	gaji	bulanan	pekerja	di	Syarikat	Texan.

1.	 Hitung	julat	dan	julat	antara	kuartil	bagi	set	data
2,	16,	16,	19,	20,	20,	24,	26,	27,	27,	29.	Tentukan
sukatan	serakan	yang	lebih	sesuai	digunakan	untuk
mengukur	taburan	set	data	di	atas.	Berikan	justifikasi	anda.

2.	 Encik	Rakesh	ingin	memilih	seorang	daripada	dua	orang	murid	untuk
mewakili	sekolah	dalam	suatu	pertandingan	kuiz	Perniagaan	peringkat
kebangsaan.	Encik	Rakesh	telah	memberikan	5	ujian	kepada	dua	orang
murid.	Yang	berikut	merupakan	keputusan	5	ujian	berkenaan.

Ujian 1 Ujian 2 Ujian 3 Ujian 4 Ujian 5
Murid A 32 61 75 82 90
Murid B 50 67 70 73 80

Tentukan	 sukatan	 serakan	 yang	 sesuai	 digunakan	 untuk	Encik	Rakesh	membuat	 pemilihan.
Terangkan	bagaimanakah	Encik	Rakesh	boleh	membuat	pemilihan	berdasarkan	sukatan	serakan
yang	dihitung.

Praktis Kendiri 8.2b

Semak Jawapan
1. Tekan kekunci mode 2 kali.

Paparan

2. Tekan 1 untuk memilih SD
3. Masukkan data

Tekan 80, diikuti M+
paparan n = 1
Tekan 65, diikuti M+
paparan n = 2
Tekan 73, diikuti M+
paparan n = 3
Tekan 58, diikuti M+
paparan n = 4
Tekan 73, diikuti M+
paparan n = 5

4. Tekan shift 2
    Paparan

5. Tekan 2
6. Tekan =

Paparan
    7.574

Sisihan	piawai,	σ =	 802	+	652	+	732	+	582	+	732
5 –	69.82

=	7.574

John	 akan	 dipilih	 untuk	 menyertai	 kuiz	 Fizik.	 Sisihan	 piawai
markah	bagi	 John	 adalah	 lebih	 rendah	kerana	 pencapaian	 John
adalah	lebih	konsisten.
Saiz sebenar

226

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Bagi	set	data	ini,	nilai-nilai	seperti	dalam	jadual	berikut	ditentukan	dahulu.

Nilai	minimum	 35
Kuartil	pertama	 45
Median	 57
Kuartil	ketiga	 68
Nilai	maksimum	 75

35 40 45 50 55 60 65 70 75
Q1 Q3

Nilai
maksimum

Nilai
minimum

Julat	antara	kuartil

m Markah

Maka	plot	kotak	untuk	data	di	atas	adalah	seperti	berikut.

Bagaimanakah anda membina dan mentafsir plot kotak bagi suatu set data
tak terkumpul?

Apakah itu plot kotak bagi set data tak terkumpul?

Plot	kotak	ialah	satu	cara	untuk	mempamerkan	taburan	bagi	suatu	set	data	berdasarkan	lima	nilai,
iaitu	 nilai	minimum,	 kuartil	 pertama,	median,	 kuartil	 ketiga	 dan	 nilai	maksimum	 bagi	 set	 data
berkenaan.	Plot	kotak	dapat	menunjukkan	sama	ada	suatu	set	data	adalah	simetri	pada	median.	Plot
kotak	selalunya	digunakan	untuk	membuat	analisis	dengan	bilangan	data	yang	banyak.

Antara	bentuk	plot	kotak	adalah	seperti	yang	berikut.

Q1	 m	 Q3 Q1	 m	 Q3Q1	 m	 Q3

Selain	plot	batang-dan-daun	dan	plot	titik,
plot	kotak	juga	merupakan	satu	kaedah	yang
berguna	untuk	menunjukkan	serakan	sesuatu
set	data.

Membina dan mentafsir
plot kotak bagi suatu set
data tak terkumpul.

Standard
Pembelajaran

ZON INFORMASI

Plot kotak juga boleh dibuat
secara mencancang.

Bagaimanakah anda membina plot kotak?
Plot	kotak	akan	dibina	di	atas	garis	nombor.
Pertimbangkan	data	di	bawah.

Data	di	bawah	menunjukkan	markah	yang	diperoleh	oleh	15	orang	dalam	suatu	ujian	Bahasa	Cina.

35	 40	 42	 45	 52	 52	 53	 57	 62	 62	 66	 68	 73	 73	 75

Bentuk	1 Bentuk	2 Bentuk	3
Saiz sebenar

227

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

12Contoh

Diberi	dua	plot	kotak.
(a)

(b)

10         20          30         40           50          60         70      80

0           5           10          15          20          25       30          35         40

Bagi	setiap	plot	kotak,	nyatakan
(i)	 median,	 (ii)	 kuartil	pertama,	 (iii)	 kuartil	ketiga,
(iv)	 julat	antara	kuartil,	 (v)	 nilai	minimum,	 (vi)	 nilai	maksimum,
(vii)	 julat.

Penyelesaian:

(a)	 (i)	 median	=	52
	 (ii)	 kuartil	pertama	=	35
	 (iii)	 kuartil	ketiga	=	64
	 (iv)	 julat	antara	kuartil	=	29
	 (v)	 nilai	minimum	=	18
	 (vi)	 nilai	maksimum	=	80
	 (vii)	 julat	=	62

1.	 Bagi	setiap	set	data	berikut,	bina	satu	plot	kotak.
	 (a)
	 	 	 40	 43	 40	 35	 44	 25
	 	 	 38	 46	 64	 48	 40	 31
	 	 	 35	 35	 43	 34	 30	 40

2.	 Bagi	plot	kotak	di	bawah,	nyatakan
	 (a)	 nilai	minimum																	(b)	nilai	maksimum	 	 (c)	kuartil	pertama
	 (d)	 kuartil	ketiga																			(e)	julat	antara	kuartil	 	 (f)	median

(b)	 (i)	 nilai	median	=	11
	 (ii)	 kuartil	pertama	=	5
	 (iii)	 kuartil	ketiga	=	21
	 (iv)	 julat	antara	kuartil	=	16
	 (v)	 nilai	minimum	=	0
	 (vi)	 nilai	maksimum	=	35
	 (vii)	 julat	=	35

Praktis Kendiri 8.2c

(b)
	 	 	 70	 52	 43	 62	 56	 66	 52
	 	 	 63	 51	 48	 43	 56	 52	 40
	 	 	 65	 50	 70	 55	 43	 57	 70

10            12           14            16            18            20           22
Saiz sebenar

228

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Apakah kesan perubahan sukatan serakan apabila setiap data ditukar dengan menambah atau
menolak suatu pemalar?

Menentukan kesan
perubahan data terhadap
serakan berdasarkan:
•  nilai sukatan serakan
•  perwakilan grafik

Standard
Pembelajaran

Rangsangan Minda 3

Tujuan:	Mengenal	 pasti	 kesan	 perubahan	 julat,	 julat	 antara	 kuartil
dan	sisihan	piawai	apabila	setiap	data	ditambah	atau	ditolak
dengan	suatu	pemalar.

Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2. Setiap	kumpulan	diberi	kad	A1,	A2	dan	A3.	(rujuk	QR Code)
3.	 Setiap	kumpulan	dikehendaki	melengkapkan	maklumat	dalam

kad	berkenaan.
Perbincangan:
Apakah	perubahan	pada	setiap	nilai	sukatan	serakan	apabila	setiap
cerapan	ditambah	atau	ditolak	dengan	suatu	pemalar?

Apakah kesan perubahan data terhadap serakan?

Perubahan	data	merangkumi	kes-kes	seperti	di	bawah.
(a)	 Setiap	data	ditambah	atau	ditolak	dengan	suatu	pemalar

secara	seragam
(b)	 Setiap	data	didarab	atau	dibahagikan	dengan	suatu	pemalar

secara	seragam.
(c)	 Kewujudan	nilai	pencilan	dalam	set	data
(d)	 Suatu	nilai	dikeluarkan	atau	dimasukkan	dalam	set	data

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	3,	didapati	bahawa;

Tidak	 ada	 perubahan	 nilai	 sukatan	 serakan	 apabila	 setiap	 cerapan
dalam	suatu	set	data	ditambah	atau	ditolak	dengan	suatu	pemalar.

Apakah kesan perubahan sukatan serakan apabila setiap nilai dalam suatu set data didarab
atau dibahagikan dengan suatu pemalar?

Pertimbangkan	kes	ini.
Pada	mulanya,	saya	mempunyai	set	data	5,	8,	3,	4,	1.
Jika	setiap	cerapan	data	ini	didarab	dengan	2,	maka	data
di	atas	akan	menjadi	10,	16,	6,	8,	2.	Apakah	yang	akan
berlaku	 kepada	 nilai	 serakan	 seperti	 julat,	 julat	 antara
kuartil,	varians	dan	sisihan	piawai	bagi	set	data	baharu?

Imbas QR code
untuk muat turun
kad A1, kad A2 dan
kad A3.
http://yakin-pelajar.
com/BTMatematik/
Bab8/RMinda3.pdf

Pertimbangkan	kes	ini.
Pada	mulanya,	saya	mempunyai	set	data	5,	8,	3,	4,	1.
Jika	setiap	cerapan	dalam	data	ini	ditambahkan	dengan	5,	maka	data	di	atas	akan
menjadi	10,	13,	8,	9,	6.	Apakah	yang	berlaku	kepada	nilai	serakan	seperti	julat,
julat	antara	kuartil,	varians	dan	sisihan	piawai	bagi	set	data	baharu?
Saiz sebenar

229

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Rangsangan Minda 4
Tujuan:	 Mengenal	pasti	kesan	perubahan	julat,	julat	antara	kuartil	dan

sisihan	 piawai	 apabila	 setiap	 cerapan	 dalam	 suatu	 set	 data
didarab	atau	dibahagikan	dengan	suatu	nombor.

Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2. Setiap	kumpulan	diberi	kad	B1,	B2	dan	B3.
3.	 Setiap	kumpulan	dikehendaki	melengkapkan	maklumat	dalam

kad	berkenaan.
Perbincangan:
Apakah	kesan	kepada	nilai	sukatan	serakan	apabila	setiap	cerapan	dalam
suatu	 set	 data	 didarab	 dengan	 3?	Apakah	 kesan	 kepada	 nilai	 sukatan
serakan	apabila	setiap	cerapan	dalam	suatu	set	data	dibahagikan	dengan	2?

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	4,	didapati	bahawa;

Apakah kesan ke atas sukatan serakan apabila sesuatu pencilan dimasukkan atau
dikeluarkan daripada suatu set data?
(a) Julat
	 Julat	akan	berubah	dengan	mendadak	apabila	suatu	pencilan	dikeluarkan	atau	dimasukkan	ke

dalam	set	data.

(b) Julat antara kuartil
	 Nilai	julat	antara	kuartil	kurang	dipengaruhi	apabila	suatu	pencilan	ditambah	atau	dikeluarkan

daripada	suatu	set	data.

(c) Varians dan sisihan piawai
	 Nilai	bagi	varians	dan	sisihan	piawai	akan	bertambah	dengan	banyak	apabila	pencilan	ditambah

ke	dalam	set	data.
	 Jika	beza	antara	nilai	cerapan	baharu	dengan	nilai	min	adalah	rendah,	maka	nilai	sisihan	piawai

baharu	akan	semakin	kecil	dan	sebaliknya.
	 Jika	beza	antara	nilai	cerapan	yang	dikeluarkan	dengan	nilai	min	adalah	rendah,	maka	nilai

sisihan	piawai	baharu	akan	semakin	besar	dan	sebaliknya.

(a)	 Apabila	setiap	cerapan	dalam	suatu	set	data	didarab	dengan	suatu	pemalar	k,	maka
	 (i)	 julat	baharu	 =	k	×	julat	asal
	 	(ii)	 julat	antara	kuartil	baharu	=	k	×julat	antara	kuartil	asal
	 (iii)	 sisihan	piawai	baharu	 =	k	×	sisihan	piawai	asal
	 (iv)	 varians	baharu	 =	k2	×	varians	asal
(b)	 Apabila	setiap	cerapan	dalam	suatu	set	data	dibahagi	dengan	suatu	pemalar	k,	maka
	 	 	 julat	asal	 (i)	 julat	baharu	=	————–
	 	 	 k					 	 		 				 	julat	antara	kuartil	asal			 	(ii)	 julat	antara	kuartil	baharu	=	————————–––
	 	 	 			k   sisihan	piawai	asal	 (iii)	 sisihan	piawai	baharu	=	————————–
	 	 	 k
   varians	asal		 (iv)	 varians	baharu	=	—————–
	 	 	 k2

Imbas QR code
untuk muat turun
kad B1, kad B2 dan
kad B3.
http://yakin-pelajar.
com/BTMatematik/
Bab8/RMinda4.pdf
Saiz sebenar

230

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Bagaimanakah anda menentukan kesan perubahan data terhadap serakan
berdasarkan perwakilan grafik?

(a)		Data	ditukar	secara	seragam	dengan	menambah	atau	menolak	suatu	pemalar.

Kesan	perubahan	data	dapat	dipaparkan	secara	grafik	dengan
menggunakan	plot	titik,	plot	batang-dan-daun	atau	plot	kotak.

8

Skor	dalam	kuiz	Sains
9 10 11 12 13 14 15 16 17

Apabila	setiap	cerapan	ditambah	2

8

Skor	dalam	kuiz	Sains
9 10 11 12 13 14 15

Dalam	rajah	di	atas,	apabila	setiap	cerapan	ditambah	dengan	2,	didapati	bahawa

(i)		seluruh	plot	titik	dianjak	ke	kanan	sebanyak	2	unit	dengan	serakan	tidak	berubah.

(ii)	Julat	skor	asal	=	15	–	8																					Julat	skor	baharu	=	17	–	10
																									 			=	7																																																										=	7

Julat	bagi	kedua-dua	set	data	ini	adalah	sama.

Secara	generalisasi,

Apabila	setiap	cerapan	dalam	suatu	set	data	ditambah	dengan	suatu
pemalar,	nilai	sukatan	serakan	tidak	berubah.

ZON INTERAKTIF

Bincangkan apa yang
akan berlaku kepada
nilai sukatan serakan
yang lain apabila setiap
cerapan dalam suatu
set data ditolak dengan
suatu pemalar.
Saiz sebenar

231

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

(b)	 Data	ditukar	secara	seragam	apabila	setiap	cerapan	didarab	atau	dibahagi	dengan	suatu	pemalar.

Dalam	rajah	di	atas,	apabila	setiap	cerapan	didarab	dengan	2,	didapati	bahawa;

(i)	serakan	seluruh	plot	titik	telah	berubah	menjadi	dua	kali	ganda	lebih	lebar.

(ii)	julat	skor	asal	=	5	–	1																					Julat	skor	baharu	=	10	–	2
																									 			=	4																																																								=	8

Julat	bagi	set	data	baharu	menjadi	dua	kali	ganda	julat	bagi	set	data	asal.
Apabila		setiap	cerapan	dalam	suatu	set	data	didarap	dengan	suatu	pemalar,	k,
                                                     Julat	baharu	=	k ×	julat	asal

Secara	generalisasi,

Apabila	setiap	cerapan	dalam	suatu	set	data	didarab	dengan	suatu
pemalar,	k,	nilai	sukatan	serakan	akan	berubah.

ZON INTERAKTIF

Bincangkan apa yang
akan berlaku kepada
nilai sukatan serakan
yang lain apabila setiap
cerapan dalam suatu set
data dibahagi  dengan
suatu pemalar.

1
Skor	dalam	kuiz	Matematik

2 3 4 5 6 7 8

1

Skor	dalam	kuiz	Matematik

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Apabila	setiap	cerapan	didarab	2
Saiz sebenar

232

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

(c)	Suatu	nilai	yang	dimasukkan	atau	dikeluarkan	merupakan	pencilan.

1

Skor	dalam	kuiz	Matematik

2 3 4 5 6 7 8 9

1

Skor	dalam	kuiz	Matematik

2 3 4 5 6 7 8 9

Dalam	rajah	di	atas,	apabila	suatu	pencilan	dimasukkan	dalam	set	data,	didapati	bahawa;

(i)	serakan	seluruh	plot	titik	telah	menjadi	lebih	lebar

(ii)	julat	skor	asal	=	5	–	1																					julat	skor	baharu	=	9	–	1
																													=	4																																																						 =	8

Julat	bagi	set	data	baharu	menjadi	lebih	besar	dibandingkan	dengan
julat	bagi	set	data	asal	apabila	suatu	pencilan	dimasukkan.

Secara	generalisasi,

Nilai	sukatan	serakan	bagi	set	data	baharu	akan	menjadi	lebih	besar
dibandingkan	dengan	nilai	sukatan	serakan	bagi	set	data	asal	apabila
suatu	pencilan	dimasukkan.

ZON INTERAKTIF

Bincangkan apa
yang akan berlaku
kepada nilai sukatan
serakan yang lain
apabila suatu pencilan
dikeluarkan daripada
set data.

ZON INTERAKTIF

Bincangkan apa
yang akan berlaku
kepada nilai julat
apabila suatu pencilan
dikeluarkan daripada
set data.

Pencilan	9	dimasukkan
Saiz sebenar

233

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Sisihan	piawai,	σ	=	 42	+	62	+	72	+	72	+	92	+	112	+	122	+	122
8

–	8.52

=	2.784

(a)	 Min	baharu	=	6	+	7	+	7	+	9	+	11	+	12	+	127	 	 												=	9.143

							Sisihan	piawai	baharu,	σ	=	 62	+	72	+	72	+	92	+	112	+	122	+	122

7
–	9.1432

=	2.356

Apabila	nilai	yang	jauh	daripada	min	dikeluarkan,	sisihan	piawai	baharu
menjadi	semakin	kecil.

(b)	 Min	baharu	=	4	+	6	+	7	+	7	+	7	+	9	+	11	+	12	+	129	 																			=	8.333

Sisihan	piawai	baharu,	σ	=	 42	+	62	+	72	+	72	+	72	+	92	+	112	+	122	+	122
9

–	8.3332

=	2.668

Apabila	 nilai	 yang	 dekat	 dengan	 nilai	 min	 ditambah,	 sisihan	 piawai
baharu	menjadi	semakin	kecil.

(c)	 Min	baharu	=	 4	+6	+	7	+7	+	9	+	11	+	12	+	12	+189	 																			=	9.556

Sisihan	piawai	baharu,	σ	=	 42	+	62	+	72	+	72	+	92	+	112	+	122	+	122	+	182
9

–	9.5562

=	3.974

Apabila	 nilai	 yang	 jauh	 daripada	 min	 ditambahkan,	 sisihan	 piawai
baharu	menjadi	semakin	besar.

13Contoh

Penyelesaian:

4	+	6	+	7	+	7	+	9	+	11	+	12	+	12
	 Min	=	—————————————–
	 		8					 =	8.5

Diberi	 set	 data	 4,	 6,	 7,	 7,	 9,	 11,	 12,	 12.	 Hitung	 sisihan	 piawai	 bagi	 set	 data	 ini.	 Seterusnya
hitung	sisihan	piawai	baharu	apabila
(a)	 4	dikeluarkan	 (b)	 7	ditambah	 (c)		18	ditambah
Saiz sebenar

234

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Jadual	di	bawah	menunjukkan	masa	yang	diambil	oleh	20	orang	pekerja	daripada	dua	buah	kilang
tertentu	untuk	menyiapkan	sesuatu	kerja.

Hitung	min	dan	sisihan	piawai	bagi	masa	menyiapkan	kerja	tersebut.	Seterusnya	tentukan	pekerja
kilang	manakah	yang	lebih	cekap	untuk	menyiapkan	kerja	berkenaan.	Berikan	justifikasi	anda.

14Contoh

1.	 Julat	antara	kuartil	dan	sisihan	piawai	bagi	suatu	set	data	ialah	6	dan	3.2	masing-masing.	Hitung
julat	antara	kuartil	dan	sisihan	piawai	yang	baharu	jika	setiap	cerapan	dalam	set	data	tersebut
ditambah	dengan	4.

2.	 Julat	antara	kuartil	dan	sisihan	piawai	bagi	suatu	set	data	ialah	3	dan	1.8	masing-masing.	Hitung	julat
antara	kuartil	dan	varians	yang	baharu	jika	setiap	cerapan	dalam	set	data	tersebut	didarab	dengan	3.

3.	 Diberi	suatu	set	data	4,	6,	7,	8,	10,	12,	16.	Hitung	sisihan	piawai	bagi	set	data	ini.	Terangkan
perubahan	pada	nilai	sisihan	piawai	jika	70	ditambah	dalam	set	data	tersebut.

4.	 (a)	 Tentukan	sisihan	piawai	bagi	set	data	berikut:	3,	4,	7,	9,	10.
	 (b)	 Gunakan	hasil	daripada	(a)	untuk	menentukan	sisihan	piawai	baharu	bagi	setiap	set	data	berikut.
	 	 (i)	 6,	8,	14,	18,	20	 (ii)	 1.5,	2,	3.5,	4.5,	5

5.	 Julat	dan	varians	suatu	set	data	ialah	25	dan	2.7	masing-masing.	Jika	setiap	cerapan	dalam	set	data
tersebut	ditambah	dengan	2,	kemudian	didarab	dengan	4,	tentukan	julat	dan	varians	yang	baharu.

6.	 Julat	 antara	kuartil	 dan	 sisihan	piawai	 suatu	 set	data	 ialah	2.7	dan	3.6	masing-masing.	 Jika
setiap	cerapan	dalam	set	data	tersebut	dibahagi	dengan	3,	kemudian	ditolak	dengan	2,	tentukan
julat	antara	kuartil	dan	sisihan	piawai	yang	baharu.

Bagaimanakah anda membandingkan dan mentafsir dua atau lebih set data tak
 terkumpul berdasarkan sukatan serakan yang sesuai?

Membandingkan dan
mentafsir dua atau lebih
set data tak terkumpul,
berdasarkan sukatan serakan
yang sesuai dan seterusnya
membuat kesimpulan.

Standard
Pembelajaran

Masa (jam) 5 6 7 8 9
Kilang A 3 2 9 2 4
Kilang B 1 5 7 5 2

Praktis Kendiri 8.2d

Sukatan	kecenderungan	memusat	mungkin
tidak	memberi	kita	maklumat	yang	mencukupi
untuk	membuat	perbandingan.	Kita	perlu
menentukan	sukatan	serakan	bagi	suatu	set
data	yang	dapat	memberikan	suatu	gambaran
berkaitan	dengan	ciri-ciri	data	tersebut.
Dengan	demikian,	kesimpulan	yang	dibuat
adalah	sah	dan	boleh	diterima.
Saiz sebenar

235

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Penyelesaian :
Kilang A

₋					(5	×	3)	+	(6	×	2)	+	(7	×	9)	+	(8	×	2)	+	(9	×	4)Min,	x	=	————————————————–—––
	 																							3	+	2	+	9	+	2	+	4				=	7.1

Sisihan	piawai,	σ	=	 (52	×	3)	+	(62	×	2)	+	(72	×	9)	+	(82	×	2)	+	(92	×	4)
			3	+	2	+	9	+	2	+	4

–	7.12

=	1.261

Kilang B

₋				(5	×	1)	+	(6	×	5)	+	(7	×	7)	+	(8	×	5)	+	(9	×	2)Min,	x	=	—————————————–—––––—––
	 																								1	+	5	+	7	+	5	+	2				=	7.1

Sisihan	piawai,	σ	=	 (52	×	1)	+	(62	×	5)	+	(72	×	7)	+	(82	×	5)	+	(92	×	2)
1	+	5	+	7	+	5	+	2

–	7.12

=	1.044
Pekerja	dari	Kilang	B	adalah	lebih	cekap	kerana	sisihan	piawai	baginya	lebih	kecil.

Praktis Kendiri 8.2e

1.	 Jadual	 di	 bawah	 menunjukkan	 catatan	 masa	 dalam	 saat,	 bagi	 acara	 larian	 100	 m	 dalam
5	percubaan	bagi	dua	orang	atlet	sekolah.

Atlet A 12.78 12.97 12.56 12.34 13

Atlet B 12.01 13.03 12.98 12.84 12.79

Dengan	menggunakan	sukatan	serakan	yang	sesuai,	tentukan	atlet	manakah	yang	mempunyai
pencapaian	yang	lebih	konsisten.

2.	 Jadual	di	bawah	menunjukkan	suatu	kajian	yang	dijalankan	berkaitan	dengan	kesan	dua	jenis
baja	ke	atas	jumlah	hasil	tomato,	dalam	kg,	bagi	10	batang	pokok	tomato	masing-masing.

Baja A Baja B

12,	18,	25,	30,	36,	36,	40,	42,	50,	54 25,	28,	30,	32,	32,	38,	40,	40,	42,	45

Dengan	menggunakan	sukatan	serakan	yang	sesuai,	tentukan	baja	manakah	yang	lebih	sesuai
digunakan	untuk	mendapatkan	hasil	yang	baik.
Saiz sebenar

236

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Menghitung	sisihan	piawai	bagi
gabungan	jisim	dua	kumpulan	murid.

Memahami masalah

Kesimpulan

Merancang strategi

Mengenal	pasti	Σx	dan	Σx2	bagi
kedua-dua	kumpulan	murid
kemudian	hitung	Σx	dan	Σx2
bagi	gabungan	dua	kumpulan
murid	tersebut.

Nilai	sisihan	piawai	baharu	ialah	2.462.

Melaksanakan strategi

Kumpulan A
	 Σx	=	—–
	 N
	 Σx52	=	—–
	 18
Σx =	936
	 Σx2 σ2	=	—–	–	 	2

N
	 Σx22.5	=	—–	–	522
	 18
Σx2 =	48	717

Jumlah	Σx	=	936	+	672	=	1	608

Jumlah	Σx2 =	48	717	+	37	653.6	=	86	370.6

1	608Min	=	——–	=	53.6
	 30
Sisihan	piawai,	σ	=	 86	370.6

30 –	53.62

=	 6.06

=	2.462

Kumpulan B
	 Σx	=	—–
	 N
	 Σx56	=	—–
	 12
Σx =	672
	 Σx2 σ2	=	—–	–	 	2

N
	 Σx21.8	=	—–	–	562
	 12
Σx2 =	37	653.6

Bagaimanakah anda boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sukatan serakan?

Jadual	di	bawah	menunjukkan	maklumat	bagi	jisim	dua
kumpulan	murid.

Kumpulan Bilangan murid Min Varians

A 18 52 2.5

B 12 56 1.8

Semua	murid	daripada	kumpulan	A	dan	B	akan	digabungkan.	Tentukan	sisihan	piawai	bagi	 jisim
kumpulan	murid	yang	digabungkan.

Penyelesaian:

15Contoh

Menyelesaikan masalah yang
melibatkan sukatan serakan.

Standard
Pembelajaran
Saiz sebenar

237

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Praktis Kendiri 8.2f

1.	 Jadual	menunjukkan	skor	yang	diperoleh	tujuh	orang	peserta	dalam	satu	pertandingan.	Nilai
skor	disusun	dalam	tertib	menaik.

Peserta A B C D E F G

Skor 10 h 12 14 17 k 23

(a)	 Diberi	 bahawa	 julat	 antara	 kuartil	 dan	 min	 skor	 yang	 diperoleh	 ialah	 7	 dan	 15
masing-masing.	Hitung	nilai	h	dan	k.

(b)	 Hitung	sisihan	piawai	bagi	skor	yang	diperoleh	bagi	peserta-peserta	ini.

2.	 Suatu	set	data	mengandungi	20	nombor.	Min	dan	sisihan	piawai	bagi	nombor-nombor	ini	ialah
9	dan	2	masing-masing.

(a)	 Hitung	nilai	∑x	dan	∑x2.

(b)	 Beberapa	nombor	daripada	set	data	ini	dikeluarkan.	Hasil	tambah	nombor-nombor
yang	dikeluarkan	ini	ialah	96	dengan	min	8.	Diberi	bahawa	hasil	tambah	kuasa	dua
nombor-nombor	yang	dikeluarkan	ialah	800.	Hitung	varians	bagi	set	data	yang	baharu.

1.	 Hitung	julat	dan	julat	antara	kuartil	bagi	setiap	set	data	berikut.
	 (a)	 8,	25,	16,	11,	24,	18,	22
	 (b)	 27,	33,	45,	18,	62,	50
	 (c)	 3.4,	2.8,	2.7,	4.3,	3.8,	3.2,	3.0,	2.9
	 (d)	 12,	19,	17,	18,	15,	12,	17,	20,	22,	30,	32,	16,	18

2.	 Hitung	julat	dan	julat	antara	kuartil	bagi	setiap	set	data	berikut.

(a) Diameter (cm) 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2

Bilangan limau 6 9 12 18 20 10 5

(b) Umur (tahun) 13 14 15 16 17 18

Bilangan peserta 12 18 21 20 21 8
Saiz sebenar

238

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

3.	 Hitung	varians	dan	sisihan	piawai	bagi	set	data	yang	berikut.
	 (a)	 7,	9,	11,	8,	3,	7
	 (b)	 50,	72,	63,	58,	55,	50,	70,	62,	66,	64
	 (c)	 3.2,	4.4,	3.9,	4.1,	5.2,	4.8,	5.2
	 (d)	 20,	27,	32,	47,	50,	38,	42,	40,	33,	37,	30

4.	 Suatu	set	data	mengandungi	tujuh	nombor.	Hasil	tambah	tujuh	nombor	ini	ialah	84	dan	hasil
tambah	kuasa	dua	bagi	nombor-nombor	ini	ialah	1	920.	Hitung	varians	dan	sisihan	piawai	bagi
set	data	ini.

5.	 Julat	dan	sisihan	piawai	suatu	set	nombor	x1,	x2,	x3,	...,	x10	ialah	10	dan	5.2	masing-masing.
	 Hitung
	 (a)	 julat	dan	sisihan	piawai	bagi	set	nombor
	 	 2x1,	2x2,	2x3,	...,	2x10,

(b)	 julat	dan	sisihan	piawai	bagi	set	nombor

x1	–	1
4

, x2	–	1
4

, x3	–	1
4

, ...,	x10	–	1
4

.

6.	 Jisim	suatu	kumpulan	yang	terdiri	daripada	lapan	orang	murid	mempunyai	min	45	kg	dan	varians
2.5	kg2.	Hitung

(a)	 hasil	tambah	jisim	bagi	lapan	orang	murid	ini.
	 (b)	 hasil	tambah	kuasa	dua	jisim	murid	ini.

7.	 Min	bagi	suatu	set	nombor	(m	–	4),	m,	(m	+	2),	2m,	(2m	+	3)	ialah	10.
	 (a)	 Hitung,
	 	 	(i)	 nilai	m
	 	 (ii)	 sisihan	piawai
	 (b)	 Setiap	 nombor	 dalam	 set	 tersebut	 didarab	 dengan	 3	 dan	 kemudian	 ditambah	 dengan	 2.

Hitung	varians	bagi	set	data	yang	baharu.

8.	 Jadual	di	bawah	menunjukkan	maklumat	bagi	nilai	n,	Σx	dan	Σx2	bagi	suatu	set	data.

n Σx Σx2

12 66 1452

(a)	 Hitung	varians.
	 (b)	 Satu	nombor	p	ditambah	kepada	set	data	ini	dan	didapati	min	bertambah
	 		 sebanyak	0.5.	Hitung,
	 	 	(i)	 nilai	p
	 	 (ii)	 sisihan	piawai	bagi	set	data	yang	baharu.
Saiz sebenar

239

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

9.	 Hitung	varians	bagi	set	data	(p	–	4),	(p	–	2),	(p	–	1),	p,	(p	+	4),	(p	+	9).

10.	 Jadual	menunjukkan	jisim	pemain	bagi	dua	pasukan	sepak	takraw.

Pasukan Jisim (kg)

A 48,	53,	65,	69,	70

B 45,	47,	68,	70,	75

(a)	 	Hitung	min,	julat,	varians	dan	sisihan	piawai	bagi	ukuran	jisim	pemain	kedua-dua	pasukan	di	atas.
	 (b)	 Adakah	julat	sesuai	digunakan	sebagai	suatu	sukatan	serakan	bagi	mewakili	data	di	atas?

Berikan	justifikasi	anda.
	 (c)	 Tentukan	 pasukan	 yang	mempunyai	 ukuran	 jisim	 yang	 diserakkan	 lebih	 jauh	 daripada	 nilai

min	jisim.

11.	 Hasil	 tambah	 bagi	 suatu	 set	 10	 nombor	 ialah	 180	 dan	 hasil	 tambah	 kuasa	 dua	 bagi	 set
nombor	ini	ialah	3	800.

(a)	 Hitung	min	dan	varians	bagi	nombor-nombor	ini.
	 (b)	 Nombor	19	ditambah	kepada	set	nombor-nombor	ini.	Hitung	min	dan	varians	yang	baharu.

12.	 Jadual	di	bawah	menunjukkan	masa	yang	diluangkan,	dalam	jam,	untuk	mengulang	kaji	dalam
seminggu	oleh	32	orang	murid.

Masa (jam) 1 2 3 4 5 6 7 10

Bilangan Murid 2 5 6 9 6 2 1 1

(a)	 Hitung	julat	,	julat	antara	kuartil,	varians	dan	sisihan	piawai	bagi	taburan	ini.
	 (b)	 Nyatakan	sukatan	serakan	yang	lebih	sesuai	digunakan	untuk	memberikan	suatu	gambaran	yang

lebih	jelas	berkenaan	masa	ulang	kaji	bagi	kumpulan	murid	ini.

P R O J E K

Imbas QR Code untuk
menjalankan aktiviti ini.
https://www.geogebra.
org/classic/h4frqvzj

1.	 Anda	 akan	 belajar	 cara	 melukis	 graf-graf	 yang	 berbeza	 dengan
menggunakan	perisian	geometrik	dinamik.

2.	 Imbas	QR Code	untuk	melakukan	projek	ini.
3.	 Cetak	dan	tampalkan	hasil	lukisan	anda	di	Sudut	Matematik.
Saiz sebenar

240

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

PETA KONSEP

Plot	Titik Plot	KotakPlot	Batang-dan-Daun

Julat
=	Nilai	cerapan
	 terbesar	–
			nilai	cerapan
	 terkecil

Varians
	 Σ(x – )2 σ2	=	————
	 N
	 Σx2σ2	=	—–	–	 	2

N
	 Σf(x – )2 σ2	=	————
	 Σf
	 Σfx2σ2	=	——	–	 	2

Σf

Sisihan piawai
	 Σ(x – )2 σ	=			————
	 N
	 Σx2σ	=			—–	–	 	2

N
	 Σf(x – )2 σ	=			————
	 Σf
	 Σfx2σ	=			——	–	 	2

Σf

Kuartil
pertama,	Q1

Kuartil
ketiga,	Q3

Kuartil

Julat	antara	kuartil
=	Q3	–	Q1

10	 20	 30	 40	50	 1	 2	 3	 4	 5

Kekunci
2	|	1	bermaksud	21

Perwakilan	Data

Batang Daun

2
3
4
5

0	1	3	4
1	2	2	2	3	4
0	2	3	5	7
1	3	4	6

Sukatan Serakan

Perwakilan	Data
Saiz sebenar

241

8
B

A
B

Bab 8  Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

 Eksplorasi Matematik

Bulatkan	jawapan	anda	di	dalam word search	yang	diberikan.

1.	 	ialah	cerapan	terbesar	–	cerapan	terkecil.

2.	 Data	yang	membahagikan	suatu	set	data	digelar	kuartil.	Kuartil	 	ialah	nilai
data	yang	berada	pada	kedudukan	 1

4
	yang	pertama	manakala	kuartil	 	 ialah

nilai	data	yang	berada	pada	kedudukan	3
4
	daripada	susunan	data	tersebut.

3.	 	ialah	suatu	sukatan	serakan	yang	merujuk	kepada	beza	antara	kuartil	ketiga
dengan	kuartil	pertama.

4.	 Julat,	julat	antara	kuartil	dan	sisihan	piawai	digelar	sukatan	 .
5.	 Plot	 	dapat	mempamerkan	taburan	suatu	set	data.
6.	 Data	dengan	sisihan	piawai	yang	kecil	dikatakan	lebih	 .
7.	 	ialah	sukatan	serakan	yang	mengukur	serakan	data-data	di	sekitar	nilai	min

set	data	itu.
	 Q	 Q	 D	 Y	 M	 D	 M	 K	 Z	 D	 Z	 R	 L	 Q	 Y	 J	 Y	 J	 L
	 Z	 G	 R	 R	 J	 Y	 L	 J	 R	 M	 R	 G	 Y	 K	 L	 W	 L	 I	 R
	 K	 U	 A	 R	 T	 I	 L	 K	 E	 T	 I	 G	 A	 K	 R	 Y	 T	 P	 Q
	 I	 J	 D	 N	 B	 M	 D	 M	 N	 L	 D	 L	 Y	 V	 L	 R	 D	 K	 G
	 A	 K	 N	 A	 K	 A	 R	 E	 S	 T	 Z	 X	 Z	 X	 A	 J	 O	 V	 N
	 W	 L	 U	 D	 D	 W	 V	 T	 D	 T	 L	 G	 M	 U	 J	 N	 Z	 Y	 T
	 A	 G	 L	 A	 X	 K	 Q	 L	 D	 Q	 D	 J	 K	 M	 S	 M	 J	 B	 Y
	 I	 R	 L	 M	 R	 L	 T	 Z	 L	 G	 J	 A	 N	 I	 B	 J	 J	 M	 T
	 P	 V	 L	 G	 B	 T	 D	 L	 N	 Q	 R	 X	 S	 B	 Y	 T	 Y	 D	W
	 N	 D	 J	 T	 N	 B	 I	 B	 V	 A	 J	 T	 K	 L	 G	 M	 T	 R	 T
	 A	 B	 M	 K	 L	 L	 M	 L	 T	 J	 E	 L	 N	 R	 L	 P	 G	 L	 L
	 H	 L	 Y	 N	 A	 L	 Z	 N	 P	 N	 U	 Z	 J	 T	 M	 V	 D	 Z	 B
	 I	 Y	 B	 M	 N	 T	 A	 B	 T	 E	 N	 L	 T	 Z	 Q	 L	 T	 Y	 P
	 S	 G	 M	 K	 R	 T	 O	 Q	 R	 T	 R	 R	 A	 D	 W	 R	 T	 B	 N
	 I	 B	 V	 R	 A	 V	 N	 K	 Y	 L	 L	 T	 J	 T	 D	 L	 L	 J	 G
	 S	 B	 M	 L	 R	 L	 B	 L	 T	 B	 J	 T	 A	 R	 J	 B	 K	 Z	 T
	 Z	 L	 U	 Y	 R	 M	 G	 T	 J	 O	 D	 N	 R	 M	 L	 Z	 D	 P	 B
	 R	 J	 V	 G	 R	 D	 N	 D	 R	 M	 I	 N	 R	 M	 A	 R	 W	 B	 D

1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.	 Setiap	 kumpulan	 dikehendaki	 mendapatkan	 maklumat	 berkaitan	 dengan	 bulan	 kelahiran

semua	rakan	di	dalam	kelas.
3.	 Berdasarkan	maklumat	yang	diperoleh,	bina	perwakilan	data	yang	sesuai.
4.	 Dengan	menggunakan	data	ini,	tentukan
	 (a)	 julat	 (b)	 kuartil	pertama	 (c)	 kuartil	ketiga
	 (d)	 julat	antara	kuartil	 (e)	 varians	 (f)	 sisihan	piawai
5.	 Jalankan	aktiviti	Galeri	Jelajah	Minda	(Gallery Walk)	untuk	melihat	hasil	kerja	kumpulan	lain.
Saiz sebenar

242

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Anda akan mempelajari

Maslahat Bab

BAB

9 Kebarangkalian
Peristiwa Bergabung

►	 Peristiwa	Bergabung
►	 	Peristiwa	Bersandar	dan	Peristiwa	Tak	Bersandar
►	 	Peristiwa	Saling	Eksklusif	dan	Peristiwa	Tidak	Saling	Eksklusif
►	 Aplikasi	Kebarangkalian	Peristiwa	Bergabung

Pasukan	 Bola	 Sepak	 Malaysia	 berjaya	 melayakkan	 diri	 ke
Sukan	Olimpik	 1972	 di	Munich.	 Pada	 tahun	 1974	 pasukan

Bola	 Sepak	Malaysia	memenangi	 pingat	 gangsa	 Sukan	Asia	 di
Tehran.	 Kejayaan	 pasukan	 Malaysia	 berterusan	 apabila	 layak
berturut-turut	ke	Piala	Asia	pada	tahun	1976	dan	1980.	Bagi	kali
pertama	Malaysia	telah	memenangi	Piala	Suzuki	pada	tahun	2010.

Tahukah	 anda	 bagaimanakah	 seseorang	 jurulatih	 menentukan
pemain	 pertahanan,	 pemain	 tengah	 dan	 penyerang	 dalam	 satu
pasukan?

Selain	 bidang	 sukan,	 ilmu	 kebarangkalian	 digunakan	 dalam
bidang	insurans	untuk	menentukan	premium.	Ilmu	kebarangkalian
juga	 diaplikasikan	 dalam	 bidang	 pengeluaran	 dan	 perniagaan,
terutamanya	dalam	pengurusan	risiko.

242
Saiz sebenar

243

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

243

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA
•	 gambar	rajah	pokok	 • tree diagram
•	 kebarangkalian	 • probability
•	 peristiwa	bersandar	 • dependent event
•	 peristiwa	saling		 • mutually exclusive
	 eksklusif	 	 event
•	 peristiwa	tak	bersandar	 • independent event
•	 peristiwa	tidak	saling	 • non mutually exclusive
	 eksklusif	 	 event
•	 ruang	sampel	 • sample space

Imbasan Silam

Blaise Pascal
(1623	-	1662)

Blaise	 Pascal	 ialah	 seorang	 ahli	 matematik
Perancis.	 Beliau	 juga	 merupakan	 seorang
ahli	 fizik,	 pencipta,	 penulis	 dan	 sebagainya.
Pascal	mencipta	teori	kebarangkalian	bersama
dengan	 Pierre	 de	 Fermat,	 seorang	 ahli
matematik	 Perancis.	 Teori	 kebarangkalian
juga	merupakan	 suatu	 asas	matematik	 yang
penting	dalam	bidang	statistik.

http://yakin-pelajar.com/Pascal/9.pdf
Saiz sebenar

244

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

9.1 Peristiwa bergabung

Apakah itu peristiwa bergabung?
Dalam	 kehidupan	 seharian	 kita	 perlu	 membuat	 banyak	 keputusan
berdasarkan	ketidakpastian.	Contohnya,	membuat	keputusan	pemilihan
masuk	kelas	sains	 tulen	atau	kelas	sastera	atau	memilih	produk	yang
akan	 dijual	 pada	 hari	 keusahawanan	 sekolah.	 Keputusan-keputusan
ini	 melibatkan	 risiko	 dan	 kita	 sepatutnya	 boleh	 menilai	 risiko	 ini
sebelum	membuat	keputusan.	Kebarangkalian	digunakan	untuk	menilai
ketidakpastian	yang	terlibat	dalam	proses	membuat	keputusan.
	 Peristiwa	bergabung	ialah	gabungan	dua	atau	lebih	peristiwa	dalam
satu	 kesudahan.	 Sebagai	 contoh,	 kesudahan	 yang	mungkin	 bagi	 dua
orang	murid	bermain	 “Gunting-Batu-Kertas”	 adalah	 (Gunting,	Batu),
(Gunting,	Kertas),	(Gunting,	Gunting),	(Batu,	Gunting),	(Batu,	Kertas),
(Batu,	 Batu),	 (Kertas,	Gunting),	 (Kertas,	 Batu)	 dan	 (Kertas,	Kertas).
Peristiwa	bergabung	boleh	terhasil	daripada	satu	atau	lebih	eksperimen.

Tujuan:	 	Menyenaraikan	kesudahan	dalam	peristiwa	bergabung.

Bahan:	 Syiling	(10	sen,	20	sen	dan	50	sen),	satu	kotak	kosong.

Langkah:
1.	 Murid	 duduk	 secara	 berpasangan.	 Setiap	 pasangan	 murid

disediakan	 satu	 kotak	 yang	 mengandungi	 tiga	 jenis	 syiling
yang	bernilai	10	sen,	20	sen	dan	50	sen.

2.	 Setiap	murid	 dalam	 pasangan	memilih	 sekeping	 syiling	 dari
kotak	secara	rawak.	Nilai	syiling	dicatat	dalam	jadual	di	bawah.

3.	 Kembalikan	syiling	ke	dalam	kotak.
4.	 Ulangi	langkah	2	dan	3	sebanyak	25	kali.

Rangsangan Minda 1

Kesudahan suatu peristiwa
bergabung boleh diwakilkan
dengan pasangan bertertib.

Standard
Pembelajaran

Memerihalkan peristiwa
bergabung dan
menyenaraikan peristiwa
bergabung yang mungkin.

2.1 Asas
Nombor

Ruang sampel ialah set
yang mengandungi semua
kesudahan yang mungkin
bagi sesuatu eksperimen.

MEMORI SAYA

TIP

Syiling
yang dipilih
oleh murid
pertama

Syiling
yang dipilih
oleh murid

kedua

(10,	20)(10,	20)
Saiz sebenar

245

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Tulis	ruang	sampel	bagi	peristiwa	bergabung	di	bawah.
(a)	 Lima	keping	kad	berlabel	dengan	huruf	“T,	E,	K,	U,	N”	dimasukkan	dalam	sebuah	kotak.	Dua

keping	kad	dikeluarkan	dari	kotak	secara	rawak	satu	demi	satu	tanpa	pemulangan.

(b)	 Dua	keping	syiling	dilambung	(A	dan	G	mewakili	angka	dan	gambar	masing-masing).

Penyelesaian:

(a)	 {(T,	E),	(T,	K),	(T,	U),	(T,	N),	(E,	T),	(E,	K),	(E,	U),	(E,	N),	(K,	T),	(K,	E),	(K,	U),	(K,	N),
(U,	T),	(U,	E),	(U,	K),	(U,	N),	(N,	T),	(N,	E),	(N,	K),	(N,	U)}

(b)	 {(A,	A),	(A,	G),	(G,	A),	(G,	G)}

1Contoh

Tulis	ruang	sampel	bagi	peristiwa	bergabung	di	bawah.
1.	 Dua	buah	buku	dipilih	secara	rawak	daripada	sebuah	rak	buku	yang	mengandungi	dua	buah

buku	sejarah	(S),	sebuah	buku	geografi	(G)	dan	sebuah	buku	matematik	(M).

2.	 Jantina	anak	bagi	keluarga	yang	mempunyai	dua	orang	anak.

3.	 Sebiji	dadu	adil	dan	sekeping	syiling	adil	dilambung	secara	serentak.

4.	 Azhar	(A)	dan	Kai	Ming	(K)	bermain	maksimum	lima	set	perlawanan	badminton.	Pemain	yang
berjaya	memenangi	tiga	set	ialah	pemenang.

Praktis Kendiri 9.1a

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	1,	didapati	bahawa;

Jumlah	bilangan	kesudahan	yang	mungkin	ialah	3	×	2	=	6.

Secara	generalisasi,
n(S)	=	n(A)	×	n(B)

n(S)	 ialah	 jumlah	 bilangan	 kesudahan	 yang	 mungkin,	 n(A)	 dan	 n(B)	 masing-masing	 mewakili
bilangan	kesudahan	peristiwa	A	dan	peristiwa	B.

5.	 Tulis	ruang	sampel	bagi	eksperimen	pemilihan	syiling	daripada	setiap	pasangan	murid	tersebut.
 S = {                                                                                }

Perbincangan:
Apakah	jumlah	bilangan	kesudahan	yang	mungkin	dalam	aktiviti	ini?
Saiz sebenar

246

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

9.2 Peristiwa bersandar dan peristiwa tak bersandar

Bagaimanakah anda membezakan peristiwa bersandar
dan peristiwa tak bersandar?

Peristiwa	bergabung	boleh	dikategorikan	kepada	peristiwa	bersandar
dan	peristiwa	tak	bersandar.

Dua	peristiwa	A	dan	B	ialah	peristiwa	tak	bersandar	jika
peristiwa	A	tidak	mempengaruhi	kejadian	peristiwa	B	dan	sebaliknya.

Tujuan:	Membezakan	peristiwa	bersandar	dan	peristiwa	tak	bersandar.

Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.

2.	 Lengkapkan	jadual	dalam	Lembaran	Aktiviti	di	bawah.

Lembaran Aktiviti:
Kotak	P	mengandungi	lima	keping	kad	berlabel	dengan	huruf	“R,	U,	A,	N,	G”.
(a)	Kes	I:	 Dua	keping	kad	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	P	satu	demi	satu	tanpa	pemulangan.

Tulis	kebarangkalian	mendapat	kad	berhuruf	konsonan	pada	kali	pertama	dan	kali
kedua	dalam	jadual	berikut.

(b)	Kes	II:	 Dua	keping	kad	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	P satu	demi	satu	dengan	pemulangan.
Kad	 pertama	 yang	 dipilih	 dicatatkan	 hurufnya	 dan	 dikembalikan	 ke	 kotak	 P
sebelum	kad	kedua	dipilih.	Tulis	kebarangkalian	mendapat	kad	berhuruf	konsonan
pada	kali	pertama	dan	kali	kedua	dalam	jadual	berikut.

Perbincangan:
Mengapakah	nilai	kebarangkalian	pada	kali	kedua	bagi	kes	I	dan	kes	II	berbeza?	Bincangkan.

Rangsangan Minda 2

Dengan	kata	lain,	peristiwa	A	dan	B	ialah	peristiwa	bersandar	sekiranya	peristiwa	A	mempengaruhi
kejadian	peristiwa	B.

Standard
Pembelajaran

Membezakan peristiwa
bersandar dan peristiwa
tak bersandar.

Kes

I

II

Kali Pertama Kali Kedua

Kebarangkalian untuk mendapatkan kad berhuruf konsonan
Saiz sebenar

247

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Kenal	pasti	sama	ada	peristiwa	bergabung	di	bawah	ialah	peristiwa	bersandar	atau	peristiwa	tak
bersandar	dan	berikan	justifikasi	anda.
(a)	 Mendapat	angka	sebanyak	dua	kali	apabila	sekeping	syiling	adil	dilambung

dua	kali.

(b)	 Mendapat	 angka	 dalam	 lambungan	 syiling	 adil	 dan	 nombor	 4	 dalam
lambungan	dadu	adil.

(c)	 Mendapat	 dua	 batang	 pen	 yang	 berwarna	 sama	 apabila	 dua	 batang	 pen
dikeluarkan	satu	demi	satu	dari	bekas	yang	mengandungi	tiga	batang	pen
merah	dan	dua	batang	pen	biru	tanpa	pemulangan.

(d)	 Mendapat	dua	keping	kad	yang	berhuruf	 sama	apabila	dua	keping	kad	dipilih	 secara	 rawak
daripada	kad	berlabel	dengan	huruf	''B,	A,	I,	K"	satu	demi	satu	dengan	pemulangan.

Penyelesaian:
(a)	 Peristiwa	tak	bersandar	kerana	kebarangkalian	mendapatkan	angka	dalam	lambungan	syiling

pertama	tidak	mempengaruhi	kebarangkalian	mendapat	angka	dalam	lambungan	syiling	kedua.

(b)	 Peristiwa	tak	bersandar	kerana	kebarangkalian	mendapat	angka	dalam	lambungan	syiling	adil
tidak	mempengaruhi	kebarangkalian	mendapat	nombor	4	dalam	lambungan	dadu	adil.

(c)	 Peristiwa	 bersandar	 kerana	 kebarangkalian	 mendapat	 pen	 merah	 yang	 pertama	 akan
mempengaruhi	kebarangkalian	mendapat	pen	merah	yang	kedua.

(d)	 Peristiwa	tak	bersandar	kerana	kebarangkalian	kad	pertama	yang	dipilih	tidak	mempengaruhi
kebarangkalian	kad	kedua	dipilih.

2Contoh

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	2,	didapati	bahawa;

Dalam	kes	I,	kad	berhuruf	konsonan	kali	pertama	yang	dipilih	tidak	dipulangkan	ke	dalam
kotak	P.	Kekurangan	kad	berhuruf	konsonan	yang	pertama	ini	mempengaruhi	kebarangkalian
untuk	memilih	kad	berhuruf	konsonan	yang	kedua.

Secara	generalisasi,
Peristiwa	bergabung	bagi	kes	I	ialah	peristiwa	bersandar.

Dalam	kes	II,	kad	berhuruf	konsonan	yang	dipilih	pada	kali	pertama	dipulangkan	ke	dalam
kotak	P	sebelum	kad	kedua	dipilih.	Pulangan	kad	pertama	ini	menyebabkan	kebarangkalian
memilih	 kad	 berhuruf	 konsonan	 yang	 kedua	 sama	 dengan	 kebarangkalian	 pemilihan	 kad
berhuruf	konsonan	yang	pertama.	Kebarangkalian	pemilihan	kad	berhuruf	konsonan	yang
kedua	tidak	dipengaruhi	oleh	pemilihan	kad	berhuruf	konsonan	yang	pertama.

Secara	generalisasi,
Peristiwa	bergabung	bagi	kes	II	ialah	peristiwa	tak	bersandar.
Saiz sebenar

248

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Tujuan:	 	Membuat	dan	menentusahkan	konjektur	tentang	rumus

kebarangkalian	peristiwa	bergabung.
Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.	 Lambungkan	 sebiji	 dadu	 adil	 dan	 sekeping	 syiling	 adil

secara	serentak.
3.	 Lengkapkan	 jadual	 di	 bawah	dengan	mencatatkan	 semua

kesudahan	yang	mungkin.

4.	 Daripada	jadual	di	atas,
	 (a)	 nyatakan	ruang	sampel	bagi	uji	kaji	di	atas.
	 (b)	 nyatakan	kebarangkalian,	dengan	menyenaraikan	semua	kesudahan	yang

mungkin	bagi	peristiwa	bergabung	di	bawah,
	 	 (i)	 mendapat	nombor	genap	dalam	lambungan	dadu	dan	angka	dalam

lambungan	syiling.

Tentukan	sama	ada	peristiwa-peristiwa	berikut	ialah	peristiwa	bersandar	atau	peristiwa	tak	bersandar.
1.	 Jarum	putaran	roda	bertuah	berhenti	pada	sektor	yang	sama	dua	kali	berturut-turut.
2.	 Pilihan	dua	orang	murid	lelaki	daripada	sekumpulan	murid	yang	terdiri	daripada	sepuluh	orang

murid	perempuan	dan	empat	belas	orang	murid	lelaki	secara	rawak.
3.	 Menjawab	 tiga	 soalan	 objektif	 yang	 mempunyai	 empat	 pilihan	 jawapan	 masing-masing

dengan	betul	sekiranya	jawapan	setiap	soalan	dipilih	secara	rawak.
4.	 Kotak	P	mengandungi	dua	keping	kad	berwarna	merah	dan	 tiga	keping	kad	yang	berwarna

hitam	manakala	kotak	Q	mengandungi	lima	keping	kad	berwarna	merah	dan	enam	keping	kad
berwarna	hijau.	Sekeping	kad	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	P	dan	kemudian	dimasukkan	ke
dalam	kotak	Q.	Selepas	itu,	sekeping		kad	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	Q.	Kedua-dua	kad
yang	dipilih	dari	kotak	P	dan	kotak	Q	berwarna	sama.

5.	 Vincent	 dan	 Bajat	 menduduki	 ujian	 Sejarah	 di	 sekolah.	 Vincent	 dan	 Bajat	 lulus	 dalam
ujian	Sejarah.

Bagaimanakah anda membuat dan menentusahkan konjektur tentang rumus
kebarangkalian peristiwa bergabung?

Praktis Kendiri 9.2a

Rangsangan Minda 3

Standard
Pembelajaran

Membuat dan
menentusahkan
konjektur tentang rumus
kebarangkalian
peristiwa bergabung.

Indikator

• Kebarangkalian peristiwa A,

P(A) =
n(A)
n(S)

• 0 < P(A) < 1

•  P(A) = 0 apabila peristiwa
A tidak akan berlaku

•  P(A) = 1 apabila peristiwa
A pasti berlaku.

Kesudahan
Dadu

1
2
3
4
5
6

Syiling
Angka (A) Gambar (G)
Saiz sebenar

249

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	3,	didapati	bahawa;

Kebarangkalian	persilangan	dua	peristiwa	A	dan	B	yang	tak	bersandar	adalah	sama	dengan
hasil	darab	kebarangkalian	A dan	kebarangkalian	B.

Secara	generalisasi,

Sebuah	kotak	F	mengandungi	tujuh	keping	kad	berlabel	dengan	huruf	“P,	A,	M,	E,	R,	A,	N”	dan
sebuah	kotak	G	mengandungi	lima	keping	kad	berlabel	dengan	nombor	“3,	5,	6,	8,	11”.	Sekeping
kad	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	F	dan	kotak	G	masing-masing.	Tentu	sahkan	konjektur	rumus
kebarangkalian	 untuk	 mendapat	 huruf	 P 	 dan	 nombor	 genap	 dengan	 menyenaraikan	 semua
kesudahan	yang	mungkin.

Penyelesaian:
(a)	 Hukum	pendaraban
	 P (mendapat	huruf	 P )	=		17
	 P (mendapat	nombor	genap)	=	25
	 P (mendapat	huruf	 P 	dan	nombor	genap)		=	17	×

2
5

=	 235
	 Menyenaraikan	semua	kesudahan	yang	mungkin
	 Kesudahan	yang	mungkin	=	{(P,	6),	(P,	8)}
	 n(S)	=	7	×	5
	 	 =	35
	 P (mendapat	huruf	 P 	dan	nombor	genap)	=

2
35

Maka	terbuktilah	bahawa	kedua-dua	kaedah	menghasilkan	jawapan	yang	sama.

3Contoh

9.2.2

Hukum	Pendaraban	Kebarangkalian	ialah	P(A	dan	B)	=	P(A	>	B)	=	P(A)	×	P(B).

(ii)	 	mendapat	nombor	perdana	dalam	lambungan	dadu	dan	gambar	dalam
lambungan	syiling.

(iii)	 	mendapat	nombor	yang	kurang	daripada	3	dalam	lambungan	dadu	dan
angka	dalam	lambungan	syiling.

(c)	 Hitung	hasil	darab	kebarangkalian
	 	 (i)				mendapat	nombor	genap	dalam	lambungan	dadu	dan	angka	dalam

lambungan	syiling.
	 	 (ii)	 	mendapat	nombor	perdana	dalam	lambungan	dadu	dan	gambar	dalam

lambungan	syiling.
	 	 (iii)	mendapat	nombor	yang	kurang	daripada	3	dalam	lambungan	dadu	dan	angka

dalam	lambungan	syiling.

Perbincangan:
Bandingkan	jawapan	anda	di	4(b)	dan	4(c).	Apakah	yang	anda	dapati?

Indikator

P(A ù	B ù	C)
=	P(A)	×	P(B)	×	P(C)
Saiz sebenar

250

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

1.	 Dua	biji	dadu	adil	dilambung.
	 (a)	 Lengkapkan	jadual	berikut	dengan	menulis	kesudahan	yang	mungkin.

(b)	 Nyatakan	n(S)	dalam	eksperimen	ini.
(c)	 Tentu	 sahkan	 konjektur	 rumus	 kebarangkalian	 mendapat	 nombor	 ganjil	 dalam	 dadu

pertama	dan	nombor	perdana	dalam	dadu	kedua	dengan	menyenaraikan	semua	kesudahan
yang	mungkin.

2. Kamal	memilih	dua	biji	guli	secara	rawak	dari	sebuah	kotak	yang	mengandungi	empat	biji	guli

merah,	 tiga	biji	guli	kuning	dan	sebiji	guli	hijau.	Guli	pertama	dipulangkan	ke	dalam	kotak
sebelum	guli	kedua	dipilih.	Tentu	sahkan	konjektur	rumus	kebarangkalian	bahawa	kedua-dua
biji	guli	berwarna	kuning	dipilih	dengan	menyenaraikan	semua	kesudahan	yang	mungkin.

3. Kotak	A	mengandungi	sekeping	kad	berwarna	merah	dan	dua	keping	kad	berwarna	kuning.

Kotak	B	mengandungi	 tiga	keping	kad	berwarna	merah	dan	sekeping	kad	berwarna	kuning.
Fauziah	memilih	sekeping	kad	dari	kotak	A	dan	kotak	B	masing-masing.	Tentu	sahkan	konjektur
rumus	kebarangkalian	Fauziah	mendapat	dua	keping	kad	kuning	dengan	menyenaraikan	semua
kesudahan	yang	mungkin.

Praktis Kendiri 9.2b

Dadu Pertama
1
2
3
4
5
6

Dadu Kedua
1 2

(1,	2)
3

(1,	3)
4

(1,	4)
5

(2,	5)

6

(2,	6)

Standard
Pembelajaran

Menentukan
kebarangkalian peristiwa
bergabung bagi peristiwa
bersandar dan peristiwa
tak bersandar.

Bagaimanakah anda menentukan kebarangkalian peristiwa bergabung bagi
peristiwa bersandar dan peristiwa tak bersandar?

4Contoh

Kotak	A	dan	kotak	B	masing-masing	mengandungi	kad	berlabel	dengan
nombor	“3,	5,	7,	9”	dan	kad	berlabel	dengan	huruf	“X,	Y,	Z”.	Sekeping
kad	dipilih	secara	rawak	masing-masing	dari	kotak	A	dan	kotak	B.

Kotak	A	 								Kotak	B
Hitung	kebarangkalian	mendapat	faktor	bagi	9	dan	huruf	 Z .

3 5 7 9 X Y Z

P
Saiz sebenar

251

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Penyelesaian:

P	(Faktor	bagi	9) =
2
4

P	(huruf	 “Z”)	=
1
3

P(Faktor	bagi	9	dan	huruf	“Z”)	=	24	×
1
3

=	16

Sebuah	beg	mengandungi	lapan	biji	guli	hijau	dan	sebiji	guli	merah.
Dua	 biji	 guli	 dipilih	 secara	 rawak	 dari	 beg	 tersebut	 satu	 demi	 satu
tanpa	pemulangan.	Warna	guli	dicatat.
(a)	 Wakilkan	situasi	di	atas	dengan	gambar	rajah	pokok.
(b)	 Hitung	kebarangkalian
	 	(i)	 mendapat	guli	kedua	berwarna	merah,
	 (ii)	 mendapat	kedua-dua	biji	guli	berwarna	hijau.

Penyelesaian:

(a)	 	 Guli pertama	 Guli kedua	 Kesudahan

H

M

H

M

H

(H,	H)

(H,	M)

(M,	H)

7
8

1
8

8
9

1
9 8

8

(b)	 	(i)	 P(guli	kedua	berwarna	merah)	=	89	×
1
8

=	19
	 (ii)	P(kedua-dua	biji	guli	berwarna	hijau)	=	89	×

7
8

=	79

5Contoh

Kaedah Alternatif

Faktor	bagi	9	dan	huruf	“Z” =	{(3,	Z),	(9,	Z)}
n(S)	=	4	×	3	=	12
P(Faktor	bagi	9	dan	huruf	“Z”)	=

2
12

=
1
6

Gambar rajah pokok
memaparkan semua
kesudahan yang
berkemungkinan bagi
sesuatu peristiwa.
Setiap cabang dalam
gambar rajah pokok
mewakili satu kesudahan
yang mungkin.

MEMORI SAYA
Saiz sebenar

252

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

1.	 Kotak	K	dan	kotak	L	masing-masing	mengandungi	empat	keping	kad	berlabel	dengan	huruf
“B,	A,	Y,	U”	dan	tiga	keping	kad	berlabel	dengan	nombor	“1,	2,	5”.		Sekeping	kad	dipilih	secara
rawak	dari	kotak	K	dan	kotak	L	masing-masing.

Kotak	K	 Kotak	L
	 Dengan	 menyenaraikan	 semua	 kesudahan	 yang	 mungkin,	 hitung	 kebarangkalian	 mendapat

huruf	vokal	dan	nombor	genap.

2.	 Sebiji	 dadu	 adil	 yang	 mempunyai	 empat	 muka	 dilabelkan	 dengan	 “1,	 2,	 3,	 4”.
Dadu	 itu	 dilambung	 dua	 kali	 dan	 nombor	 yang	 berada	 di	 muka	 bawah	 dicatat.
Dengan	 menyenaraikan	 semua	 kesudahan	 yang	 mungkin,	 hitung	 kebarangkalian
mendapat	kedua-dua	nombor	ganjil.

3.	 Berdasarkan	kajian,	kebarangkalian	hari	hujan	di	Gunung	X	pada	bulan	Mei	ialah	0.45.	Hitung
kebarangkalian	bahawa	Gunung	X akan	mengalami	dua	hari	hujan	berturut-turut	pada	bulan	Mei.

4.	 Kotak	T	mengandungi	lima	keping	kad	berlabel	dengan	huruf	“C,	E,	L,	I,	K”.	Dua	keping	kad
dikeluarkan	secara	rawak	dari	kotak	T	satu	demi	satu	tanpa	pemulangan.

C E L I K

Kotak	T
	 Hitung	kebarangkalian	mendapat	kad	pertama	berhuruf	konsonan	dan	kad	kedua

berhuruf	vokal.

5.	 Sebuah	kotak	mengandungi	dua	belas	biji	mentol.	Dalam	kotak
mentol	itu,	terdapat	dua	biji	mentol	yang	telah	terbakar.	Dua	biji
mentol	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	mentol.	Dengan	melakarkan
gambar	rajah	pokok,	hitung	kebarangkalian	mendapat	kedua-dua
biji	mentol	terbakar.

6.	 Jadual	di	bawah	menunjukkan	bilangan	ahli	Persatuan	Sains	dan	Matematik	di
SMK	Didik	Jaya.

Sesi

Pagi
Petang

Bilangan Ahli
Perempuan

146
82

Lelaki
124
96

Dua	orang	ahli	dipilih	secara	rawak
(a)	 daripada	ahli	lelaki,	hitung	kebarangkalian	kedua-dua	orang	ahli	dipilih	ialah	murid	sesi

pagi	(berikan	jawapan	anda	betul	kepada	empat	angka	bererti).
(b)	 daripada	sesi	petang,	hitung	kebarangkalian	kedua-dua	orang	murid	dipilih	ialah	perempuan

(berikan	jawapan	anda	betul	kepada	empat	angka	bererti).

B A Y U 1 2 5

Praktis Kendiri 9.2c
Saiz sebenar

253

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

9.3 Peristiwa saling eksklusif dan peristiwa tidak saling eksklusif

Tujuan:			Membezakan	peristiwa	saling	eksklusif	dan	peristiwa	tidak	saling	eksklusif.
Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.	 Lengkapkan	Lembaran	Aktiviti	di	bawah.
Lembaran Aktiviti:
Seorang	murid	dipilih	secara	rawak	dari	kelas	anda.	Yang	berikut	ialah	peristiwa	A	hingga	F.

Peristiwa	A:	Murid	yang	memakai	cermin	mata.
Peristiwa	B:	Ahli	Pandu	Puteri.
Peristiwa	C:	Murid	lelaki.
Peristiwa	D:	Murid	yang	mendapat	gred	A	dalam	ujian	Matematik.
Peristiwa	E:	Murid	yang	suka	subjek	Matematik.
Peristiwa	F:	Murid	yang	mendapat	gred	D	dalam	ujian	Matematik.

Tandakan		dalam	peristiwa	saling	eksklusif	atau	peristiwa	tidak	saling	eksklusif	bagi	setiap
peristiwa	gabungan	berikut.

Rangsangan Minda 4

Standard
Pembelajaran

Membezakan peristiwa
saling eksklusif dan
peristiwa tidak
saling eksklusif.

Peristiwa bergabung Peristiwa saling eksklusif Peristiwa tidak saling eksklusif
Peristiwa	A	dan	B
Peristiwa	B	dan	C
Peristiwa	B	dan	D
Peristiwa	D	dan	E
Peristiwa	E	dan	F
Peristiwa	D	dan	F

Bagaimanakah anda membezakan peristiwa saling
 eksklusif dan peristiwa tidak saling  eksklusif?
Bola	pingpong	yang	berlabel	dari	1	hingga	9	dimasukkan	ke	dalam	satu
bakul	kosong.	Seorang	murid	memilih	sebiji	bola	pingpong	dari	bakul
kosong	tersebut	secara	rawak.
Katakan	 T	ialah	peristiwa	mendapat	nombor	genap.
	 U	ialah	peristiwa	mendapat	nombor	kuasa	dua	sempurna.
	 V	ialah	peristiwa	mendapat	faktor	bagi	9.
Hubungan	antara	tiga	peristiwa	T, U	dan	V	boleh	digambarkan	dengan	gambar	rajah	Venn.
Daripada	 gambar	 rajah	Venn	 di	 sebelah,	 didapati
peristiwa	T	 dan	V	 tidak	boleh	berlaku	pada	masa
yang	 sama.	 Maka,	 peristiwa	 T	 dan	 V	 dikatakan
peristiwa	 saling	 eksklusif.	 Peristiwa	 T	 dan	 U
ialah	 peristiwa	 tidak	 saling	 eksklusif	 kerana	 bola
pingpong	yang	berlabel	4	ialah	kesudahan	sepunya
bagi	kedua-dua	peristiwa	T	dan	U.	Adakah	peristiwa
U	dan	V	peristiwa	saling	eksklusif?	Bincangkan.

•	1
•	9•	4 •	3

•	2

•	6
•	8

•	7•	5

T         Vξ
U
Saiz sebenar

254

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

6Contoh

Seorang	pekerja	dalam	sebuah	kilang	dipilih	secara	rawak.
Diberi
 A	=	Pekerja	bergaji	kurang	daripada	RM2	500.
 B	=	Pekerja	perlu	membayar	cukai	pendapatan.
 C	=	Pekerja	pergi	bekerja	dengan	menaiki	kereta.
Tentukan	sama	ada	pasangan	peristiwa	berikut	ialah	peristiwa
saling	eksklusif	atau	peristiwa	tidak	saling	eksklusif.
(a)	 A dan	B
(b)	 A	dan	C
(c)	 B	dan	C

Penyelesaian:
(a)	 Peristiwa	A	dan	B	tidak	boleh	berlaku	bersama,	maka	A	dan	B	ialah	peristiwa	saling	eksklusif.
(b)	 Peristiwa	A	dan	C	boleh	berlaku	bersama,	maka	A	dan	C	ialah	peristiwa	tidak	saling	eksklusif.
(c)	 Peristiwa	B	dan	C	boleh	berlaku	bersama,	maka	B	dan	C	ialah	peristiwa	tidak	saling	eksklusif.

1.	 Sebiji	dadu	adil	dilambung.	Senarai	peristiwa	berikut	diberikan.
	 	 P ialah	peristiwa	mendapat	nombor	yang	lebih	besar	daripada	4.
	 	 Q ialah	peristiwa	mendapat	nombor	genap.
	 	 R	ialah	peristiwa	mendapat	nombor	kuasa	dua	sempurna.
	 Tentukan	sama	ada	pasangan	peristiwa	berikut	ialah	peristiwa	saling	eksklusif	atau	peristiwa

tidak	saling	eksklusif.
	 (a)	 P	dan Q	 (b)	 P	dan	R	 (c)	 Q	dan	R

Praktis Kendiri 9.3a

Perbincangan:
Daripada	 jadual	 di	 sebelah,	 adakah	 semua	 peristiwa	 saling	 eksklusif	 telah	 dinyatakan?
Sekiranya	tidak,	nyatakan.

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	4,	didapati	bahawa;
Setiap	peristiwa	bergabung	di	atas	sama	ada	peristiwa	saling	eksklusif	atau	peristiwa	tidak
saling	 eksklusif	 bergantung	 pada	 ahli	 kumpulan	 dalam	kelas	masing-masing.	 Sekiranya
hanya	murid	lelaki	memakai	cermin	mata,	maka	peristiwa	A	dan	B	ialah	saling	eksklusif.
Tetapi	bagi	kelas	yang	mempunyai	murid	perempuan	yang	memakai	cermin	mata	maka
peristiwa	A	dan	B	merupakan	peristiwa	tidak	saling	eksklusif.

Secara	generalisasi,
Peristiwa	gabungan	A	dan	B	dikenali	sebagai	peristiwa	saling	eksklusif	sekiranya

tidak	ada	persilangan	antara	peristiwa	A	dengan	peristiwa	B,	A	>	B	=	φ.

Mulai tahun 2015,
individu yang
mempunyai pendapatan
penggajian tahunan
melebihi RM34,000
(selepas potongan
KWSP) perlu mendaftar
fail cukai pendapatan.

Lembaga Hasil Dalam Negeri,
Kemaskini: 16 Mac 2017

ZON INFORMASI
Saiz sebenar

255

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

2.	 Sebiji	telur	dipilih	secara	rawak	daripada	ladang	penternakan.
	 K	ialah	peristiwa	telur	yang	dipilih	retak.
	 L	ialah	peristiwa	telur	yang	dipilih	gred	A.
	 M	ialah	peristiwa	telur	yang	dipilih	gred	C.
	 Tentukan	sama	ada	pasangan	peristiwa	berikut	ialah	peristiwa

saling	eksklusif	atau	peristiwa	tidak	saling	eksklusif.
	 (a)	 K	dan L																		(b)			K	dan	M																		(c)			L	dan	M

3.	 Seorang	pelancong	dipilih	secara	rawak	di	Lapangan	Terbang
	 Antarabangsa	Kuala	Lumpur.
	 R	ialah	peristiwa	pelancong	dipilih	berasal	dari	Eropah.
	 S	ialah	peristiwa	pelancong	dipilih	berasal	dari	negara	ASEAN.
	 T	ialah	peristiwa	pelancong	dipilih	berasal	dari	negara	Komanwel.
	 Tentukan	sama	ada	pasangan	peristiwa	berikut	ialah	peristiwa

saling	eksklusif	atau	peristiwa	tidak	saling	eksklusif.
	 (a)	 R	dan	S																		(b)			R	dan	T																				(c)			S	dan	T

Bagaimanakah anda mengesahkan rumus kebarangkalian
peristiwa bergabung bagi peristiwa saling eksklusif dan
peristiwa tidak saling eksklusif?

Rangsangan Minda 5

Tujuan:		 Mengesahkan	rumus	kebarangkalian	peristiwa	bergabung	bagi	peristiwa	saling
eksklusif	dan	peristiwa	tidak	saling	eksklusif.

Langkah:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	beberapa	kumpulan	yang	sesuai.
2.	 Teliti	kes	berikut:

Fahmi	mengadakan	rumah	terbuka	bersempena	dengan	perayaan	Hari	Raya	Aidilfitri.
Sebanyak	80	orang	tetamu	mengunjungi	rumah	terbuka	tersebut.
2
5
	daripada	tetamu	yang	mengunjungi	rumah	terbuka	itu	ialah	rakan	sekerja	Fahmi.

Sebanyak	55	orang	tetamu	hadir	bersama	ahli	keluarga.	18	daripadanya	ialah	rakan	sekerja	Fahmi.
1
10
	daripada	tetamu	yang	mengunjungi	rumah	terbuka	itu	ialah	rakan	sekolah	anak	Fahmi.

Semua	rakan	sekolah	anak	Fahmi	tidak	datang	bersama	ahli	keluarga.
Seorang	tetamu	yang	mengunjungi	rumah	terbuka	Fahmi	dipilih	secara	rawak.
A	ialah	peristiwa	tetamu	yang	dipilih	datang	bersama	ahli	keluarga.
B	ialah	peristiwa	tetamu	yang	dipilih	ialah	rakan	sekerja	Fahmi.
C	ialah	peristiwa	tetamu	yang	dipilih	ialah	rakan	sekolah	anak	Fahmi.

Negara Asean:
Malaysia, Brunei,
Singapura, Kemboja,
Indonesia, Vietnam,
Myanmar, Filipina,
Thailand, Laos.
Negara Komanwel:
Negara-negara
yang pernah dijajah
oleh British.

ZON INFORMASI

Standard
Pembelajaran

Mengesahkan rumus
kebarangkalian peristiwa
bergabung bagi peristiwa
saling eksklusif dan peristiwa
tidak saling eksklusif.
Saiz sebenar

256

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Hasil	daripada	Rangsangan	Minda	5,	didapati	bahawa

1.	 	P(A	dan	B),	P(A	dan	C )	dan	P(B dan C )	dikenal	pasti	dahulu	supaya	kita	dapat	menentukan
sama	ada	peristiwa	bergabung	itu	saling	eksklusif	atau	tidak	saling	eksklusif.

2.	 (a)	 	Peristiwa	A	dan	B	merupakan	peristiwa	bergabung	tidak	saling	eksklusif	kerana
P(A >	B)	≠	0,	maka	P(A	atau	B)	=	P(A)	+	P(B)	–	P(A >	B).

(b)	 	Peristiwa	A	dan	C	serta	peristiwa	B	dan	C	merupakan	peristiwa	bergabung	saling
eksklusif	kerana	P(A >	C )	=	0	dan	P(B >	C )	=	0.	Maka,	P(A	atau	C )	=	P(A)	+	P(C )
dan	P(B	atau	C )	=	P(B)	+	P(C ).

3.	 Lengkapkan	gambar	rajah	Venn	di	bawah	untuk	menunjukkan	hubungan	antara	peristiwa
A,	B	dan	C.

A

4.	 Berdasarkan	gambar	rajah	Venn	yang	dilukis,	lengkapkan	jadual	di	bawah.

Kebarangkalian
(a) P(A)	=	 P(B)	=	 P(A	dan	B)	=	 P(A	atau	B)	=
(b) P(A)	=	 P(C)	=	 P(A	dan	C)	= P(A	atau	C)	=
(c) P(B)	=	 P(C)	=	 P(B	dan	C)	= P(B	atau	C)	=

Perbincangan:
1.	 	Mengapakah	P(A	dan	B),	P(A	dan	C )	dan	P(B	dan	C )	perlu	ditentukan	sebelum	menghitung

P(A	atau	B),	P(A	atau	C )	dan	P(B	atau	C )?
2.	 	Berdasarkan	jawapan	(a),	(b)	dan	(c)	dalam	jadual	di	atas,	bentuk	satu	persamaan	untuk

menghubungkan	keempat-empat	kebarangkalian	bagi	setiap	(a),	(b)	dan	(c)	di	atas.	Berikan
justifikasi	anda.

Peristiwa	A	dan	B	ialah	peristiwa
saling eksklusif

P(A	< B)	=	P(A)	+	P(B)

A B

Peristiwa	A	dan	B	ialah	peristiwa
tidak saling eksklusif

P(A	< B)	=	P(A)	+	P(B)	–	P(A	>	B)

A B

Secara	generalisasi,
   Rumus Penambahan Kebarangkalian	ialah
			P(A	< B)	=	P(A)	+	P(B)	atau	P(A	< B)	=	P(A)	+	P(B)	–	P(A	>	B) P(A dan B) = P(A>B)

P(A atau B) = P(A<B)

MEMORI SAYA

ξ
Saiz sebenar

257

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

8Contoh

Lapan	keping	kad	berlabel	dengan	nombor	“4,	5,	6,	7,	8,	9,	10,	11”	diletakkan	ke	dalam	sebuah
kotak.	Sekeping	kad	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	itu.
A	ialah	peristiwa	mendapat	satu	nombor	yang	lebih	besar	daripada	8.
B	ialah	peristiwa	mendapat	satu	nombor	perdana.
C	ialah	peristiwa	mendapat	satu	nombor	genap.
Tentu	sahkan	rumus	penambahan	kebarangkalian	bagi	setiap	peristiwa	bergabung	berikut	dengan
menyenaraikan	semua	kesudahan	yang	mungkin.
	 (a)	 P(A	atau	B)	 (b)	 P(A	atau	C)	 (c)	 P(B	atau	C)

7Contoh

Gambar	rajah	Venn	di	sebelah	menunjukkan	hubungan	antara	set	semesta,	ξ , A,	B	dan	C.

Satu	nombor	dipilih	secara	rawak	daripada	set	semesta,	ξ.
Tentu	sahkan	rumus	penambahan	kebarangkalian	bagi
setiap	peristiwa	bergabung	berikut:
(a)	 Mendapat	satu	nombor	genap	atau	nombor

gandaan	5.
(b)	 Mendapat	satu	nombor	genap	atau	nombor	perdana.

Penyelesaian:

(a)	 P(A <	B)	=	n(A	<	B)
n(S)

=	59

P(A) + P(B)	=	49	+
1
9

=	59
	 Maka,	terbukti	P(A <	B)	=	P(A)	+	P(B).

(b)	 P(A <	C)	=	n(A <	C)
n(S)

=	79
	 P(A) + P(C)	–	P(A	> C )	=	49	+

4
9
	–	1
9

=	79
 Maka,	terbukti	P(A < C)	=	P(A)	+	P(C)	–	P(A	> C).

•2•6

•4

•5

•7

•3

•8
•9

B

ξ

•1

A C

•2•6

•4

•5

•7

•3

•8
•9

B

ξ

•1

A C

•2•6

•4

•5

•7

•3

•8
•9

B

ξ

•1

A C
Saiz sebenar

258

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Penyelesaian:

(a)	 A > B	=	{11},

P(A)	+	P(B)	–	P(A	> B)	=	38	+
3
8
–	18

=	58

A	=	{9,	10,	11}, B	=	{5,	7,	11}
A	<	B	=	{5,	7,	9,	10,	11}

P(A	<	B)	=	58

Maka,	terbukti	P(A)	+	P(B)	–	P(A	> B)	=	P(A	<	B).

(b)	 A > C	=	{10},
	 P(A)	+	P(C)	–	P(A	> C)	=	38	+

4
8	–

1
8

=	68
																																																		=	34

A	=	{9,	10,	11},	C	=	{4,	6,	8,	10}
A	<	C	=	{4,	6,	8,	9,	10,	11}
P(A	<	C)	=	68
																		=	34

Maka,	terbukti	P(A)	+	P(C)	–	P(A	> C)	=	P(A	<	C).

(c)	 B > C	=	{	},
	 P(B)	+	P(C)	=	38	+

4
8

=	78

B	=	{5,	7,	11}, C	=	{4,	6,	8,	10}
B	<	C	=	{4,	5,	6,	7,	8,	10,	11}

P(B	<	C)	=	78

Maka,	terbukti P(B)	+	P(C)	=	P(B	<	C).

1.	 Dua	biji	dadu	adil	dilambung	secara	serentak.
	 Q	ialah	peristiwa	mendapat	jumlah	mata	daripada	dua	dadu	lebih	daripada	9.
	 R	ialah	peristiwa	mendapat	hasil	darab	mata	daripada	dua	dadu	ialah	gandaan	5.
	 S	ialah	peristiwa	mendapat	dua	mata	yang	sama	daripada	dua	dadu.
	 Tentu	sahkan	rumus	penambahan	kebarangkalian	bagi	setiap	peristiwa	bergabung	berikut

dengan	menyenaraikan	semua	kesudahan	yang	mungkin.
	 	 (a)		P(Q	atau	R)	 (b)	 P(Q	atau	S)	 (c)	 P(R atau	S)

2.	 Dua	keping	syiling	adil	dilambung	secara	serentak.
	 J	ialah	peristiwa	mendapat	dua	angka.
	 K	ialah	peristiwa	mendapat	dua	gambar.
	 L	ialah	peristiwa	mendapat	sekurang-kurangnya	satu	angka.
	 Tentu	 sahkan	 rumus	 penambahan	 kebarangkalian	 bagi	 setiap	 peristiwa	 bergabung	 berikut

dengan	menyenaraikan	semua	kesudahan	yang	mungkin.
	 	 (a)		P(J atau	K)	 (b)	 P(J atau	L)	 (c)	 P(K atau	L)

Praktis Kendiri 9.3b
Saiz sebenar

259

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

3.	 Tujuh	keping	kad	berlabel	dengan	huruf		“B,	A,	H,	A,	G,	I,	A”
dimasukkan	ke	dalam	sebuah	kotak.	Sekeping	kad	dipilih
secara	rawak.

L	ialah	peristiwa	mendapat	kad	berhuruf	vokal.
	 M	ialah	peristiwa	mendapat	kad	berhuruf	konsonan.
	 N	ialah	peristiwa	mendapat	kad	berhuruf	“B”.

(a)	 Lukis	satu	gambar	rajah	Venn	untuk	mewakili	hubungan
	 antara	peristiwa	L,	M dan	N di	atas.
(b)	 Tentu	sahkan	rumus	penambahan	kebarangkalian	bagi	setiap	peristiwa	bergabung	berikut

dengan	menyenaraikan	semua	kesudahan	yang	mungkin.
	 	 (i)		P(L	atau	M)	 (ii)	P(L	atau	N)	 (iii)	P(M	atau	N)

Bagaimanakah anda menentukan kebarangkalian peristiwa bergabung bagi
peristiwa saling eksklusif dan peristiwa tidak saling eksklusif?

9Contoh

Lima	keping	kad	yang	berlabel	dengan	huruf		“C,	I,	N,	T,	A”
dimasukkan	ke	dalam	sebuah	kotak.	Sekeping	kad	dipilih	secara	rawak.
Hitung	kebarangkalian	kad	itu	berlabel	huruf	konsonan	atau	“A”.

Penyelesaian:

Kad	yang	berlabel	huruf	konsonan	=	{C,	N,	T}
Kad	yang	berlabel	huruf	“A”	=	{A}
P(Kad	yang	berlabel	huruf	konsonan	atau	“A”)	=	35	+

1
5

=	45

10Contoh

Dalam	satu	jamuan,	kebarangkalian	Zalifah	dan	Maran	makan	cendol

masing-masing	ialah	57	dan
3
5.

(a)	 Wakilkan	kebarangkalian	Zalifah	dan	Maran	makan	cendol	dalam
jamuan	itu	dengan	gambar	rajah	Venn.

(b)	 Hitung	 kebarangkalian	 Zalifah	 atau	Maran	makan	 cendol	 dalam
jamuan	itu.

Penyelesaian:
(a)	 P(Kedua-dua	Zalifah	dan	Maran	makan	cendol	dalam	jamuan	itu)

=	57	×
3
5

=	37
	 P(Hanya	Zalifah	makan	cendol	dalam	jamuan	itu)	=	57	–

3
7

=	27

TIP

Bagi dua peristiwa saling
eksklusif,
P(A < B) = P(A) + P(B)

Standard
Pembelajaran

Menentukan
kebarangkalian peristiwa
bergabung bagi peristiwa
saling eksklusif dan
peristiwa tidak
saling eksklusif.

ZON INTERAKTIF

Adakah P(A < B < C)
= P(A) + P(B) + P(C) –
 P(A > B) – P(A > C) –
 P(B > C) + P(A > B > C)?
Bincangkan dengan gambar
rajah Venn.

Cendol ialah sejenis
pencuci mulut yang
amat popular di
Malaysia. Ramuannya
terdiri daripada isi
berwarna hijau yang
dibuat daripada
tepung beras dan air
pandan, ais, santan
dan gula melaka.

MalaysiakuMalaysiaku
Saiz sebenar

260

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

P(Hanya	Maran	makan	cendol	dalam	jamuan	itu)

=	35	–
3
7

=	 635

(b)	 P(Zalifah	atau	Maran	makan	cendol	dalam	jamuan	itu)
	 =	P(Z)	+	P(M)	–	P(Z ù	M)

=	57	+
3
5	–

3
7

=	3135

Kaedah Alternatif

P(Zalifah	atau	Maran	makan	cendol	dalam	jamuan	itu) =	27	+
3
7	+

6
35

=	3135

11Contoh

Kebarangkalian	 sebuah	 telefon	 pintar	 yang	 dihasilkan	 oleh	 Kilang	 Jaya	 mengalami	 masalah
paparan	 ialah

2
13.	 Dua	 buah	 telefon	 pintar	 dipilih	 secara	 rawak.	 Lakar	 satu	 gambar	 rajah	 pokok

untuk	menunjukkan	semua	kesudahan	yang	mungkin.	Seterusnya,	hitung	kebarangkalian	bahawa
sekurang-kurangnya	sebuah	telefon	pintar	yang	dipilih	mengalami	masalah	paparan.

Penyelesaian:		 Telefon Pintar 1 Telefon Pintar 2 Kesudahan

2—13

11—13

M

M'

2—13

11—13

M

M'

(M,	M)

(M,	M')

2—13

11—13

M

M'

(M',	M)

(M',	M')

M	=		Masalah	paparan
M'	=		Tiada	Masalah	Paparan

P(Sekurang-kurangnya	sebuah	telefon	pintar	mengalami	masalah	paparan)
=	P(M,	M)	+	P(M,	M')	+	P(M',	M)

=	( 213	×	 213)	+	( 213	×	1113)	+	(1113	×	 213)
=	 48169

ZON INTERAKTIF

Selain penyelesaian yang
diberikan, apakah kaedah
lain yang boleh digunakan
untuk menyelesaikan contoh
11? Bincangkan.

ξ

6—35

Z M

2
7

3
7

4—35
Saiz sebenar

261

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Praktis Kendiri 9.3c

1.	 Tujuh	keping	kad	yang	berlabel	dengan	huruf	 “G,	E,	M,	B,	 I,	R,	A”	dimasukkan	ke	dalam
sebuah	kotak.	Sekeping	kad	dipilih	secara	rawak	dari	kotak.

Dengan	 menyenaraikan	 semua	 kesudahan	 yang	 mungkin,	 hitung	 kebarangkalian	 kad	 yang
dipilih	berlabel	huruf	vokal	atau	“R”.

2.	 Dua	kotak	yang	berlabel	K	dan	L	masing-masing	mengandungi	empat	keping	kad	berlabel
dengan	huruf	“S,	E,	R,	I”	dan	tiga	keping	kad	berlabel	dengan	nombor	“4,	5,	6”.	Sekeping	kad
dipilih	secara	rawak	dari	kotak	K	dan	L	masing-masing.

Kotak	K	 Kotak	L
	 Dengan	 menyenaraikan	 semua	 kesudahan	 yang	 mungkin,	 hitung	 kebarangkalian	 mendapat

huruf	“S”	dari	kotak	K	atau	nombor	gandaan	3	dari	kotak	L.

3.	 Kebarangkalian	Jessie	dilantik	sebagai	pengerusi	Kelab	Kewangan	(J)	dan	ketua	rumah	sukan
(K)	masing-masing	ialah	3

8
	dan	2

9
.

(a)	 Lengkapkan	gambar	 rajah	Venn	di	 sebelah	untuk	mewakili
hubungan	 kebarangkalian	 Jessie	 dilantik	 sebagai	 pengerusi
Kelab	Kewangan	dan	ketua	rumah	sukan.

(b)	 Hitung	kebarangkalian	Jessie	tidak	dilantik	sebagai	pengerusi
Kelab	Kewangan	atau	ketua	rumah	sukan.

4.	 Persatuan	 Geografi	 SMK	 Cerdik	 mengadakan	 rombongan	 lawatan	 sambil	 belajar	 ke	 Kota
Kinabalu.	Kebarangkalian	Mandy	dan	Geetha	menyertai	rombongan	ini	masing-masing	ialah
4
7	dan

9
14	.	Lengkapkan	gambar	rajah	pokok	di	bawah.	Seterusnya,	hitung	kebarangkalian	hanya

seorang	daripada	Mandy	atau	Geetha	menyertai	rombongan	ini.

Mandy Geetha Kesudahan

M

M'

G

G'

G

G'

(	 , )

(	 , )

(	 , )

(	 , )

G E M I R AB

S E R I 4 5 6

4
7

9
14

J
ξ

K
Saiz sebenar

262

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Kesimpulan
Sebanyak	300	kali	untuk	memperoleh	sekurang-kurangnya
satu	nombor	kuasa	dua	sempurna.

9.4 Aplikasi kebarangkalian peristiwa bergabung

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
melibatkan kebarangkalian peristiwa bergabung?

Sebiji	 dadu	 adil	 dilambung	 dua	 kali	 berturut-turut.	 Jika	 uji	 kaji	 ini
dijalankan	sebanyak	540	kali,	berapa	kalikah	 sekurang-kurangnya	satu
nombor	kuasa	dua	sempurna	akan	diperoleh?
Penyelesaian:

12Contoh

•	 Peristiwa	bergabung	tak	bersandar.
•	 Nombor	kuasa	dua	sempurna	=	1,	4

•	 Sekurang-kurangnya	satu	nombor
	 	kuasa	dua	sempurna	=	(K,	K),	(K,	K')
atau	(K',	K)

Memahami masalah Merancang strategi

Melaksanakan strategi

K	=	Peristiwa	mendapat	nombor	kuasa	dua	sempurna
K'	=	Peristiwa	mendapat	nombor	bukan	kuasa	dua	sempurna

Lambungan Pertama	 Lambungan Kedua Kesudahan

•	 Lukis	gambar	rajah	pokok.

•	 P(nombor	kuasa	dua	sempurna)	=	26	=
1
3

•	 Hitung	P[(K,	K) ∪ (K,	K' ) ∪ (K',	K)]
•	 P[(K,	K) ∪ (K,	K' ) ∪ (K',	K)]	×	540	kali

(K,	K)

(K,	K')

(K',	K)

K

K'

K

K'

K

K'

P[(K,	K) ∪ (K,	K' ) ∪ (K',	K)]

=	(13	×	13)	+	(13	×	23)	+	(23	×	13)
=	59

n (sekurang-kurangnya	satu
nombor	kuasa	dua	sempurna)
=	59	×	540

=	300	kali

Standard
Pembelajaran

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
kebarangkalian
peristiwa bergabung.

Semak Jawapan

n	(sekurang-kurangnya
satu	nombor	kuasa	dua
sempurna)
=	(1	–	23	×	23)	×	540
=	300

(K',	K')

1
3

1
3

1
32

3

2
3

2
3
Saiz sebenar

263

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Kesimpulan

Kebarangkalian	mendapat	kedua-dua	guli	yang

berlainan	warna	ialah	349525.

Sebuah	kotak	mengandungi	tujuh	biji	guli	merah,	lima	biji	guli	kuning	dan	tiga	biji	guli	biru.	Dua	biji
guli	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	satu	demi	satu.	Sekiranya	guli	pertama	berwarna	biru,	maka	guli
biru	itu	akan	dipulangkan	ke	dalam	kotak	sebelum	guli	kedua	dipilih.	Sekiranya	guli	pertama	bukan
berwarna	biru,	maka	guli	itu	tidak	dipulangkan	ke	dalam	kotak	dan	guli	kedua	dipilih.
Hitung	kebarangkalian	mendapat	kedua-dua	guli	yang	berlainan	warna.

Penyelesaian:

13Contoh

•	 Peristiwa	bergabung	bersandar
•	 Jumlah	guli	=	15	biji
•	 Kedua-dua	guli	berlainan	warna
	 =	{(M,	K),	(M,	B),	(K,	M),	(K,	B),	(B,	M),	(B,	K)}

Memahami masalah Merancang strategi

Melaksanakan strategi

•	 Lukis	gambar	rajah	pokok
•	 Hitung	P[(M,	K) < (M,	B) < (K,	M) <
(K,	B)	< (B,	M) < (B,	K)]

Guli Pertama Guli Kedua Kesudahan
(M,	M)

(K,	K)

(B,	B)

(M,	K)

(K,	M	)

(B,	M)

(B,	K)

(M,	B)

(K,	B)

M

B

K

6—
14

7—
15

3—
15

5—
15

3—
14

5—
14

M

K

B

7—
14

3—
14

4—
14

M

K

B

7—
15

3—
15

5—
15

M

K

B

P(Guli	yang	berlainan	warna)
=	P(M,	K)	+	P(M,	B)	+	P(K,	M)	+

P(K,	B)	+	P(B,	M)	+	P(B,	K)

=	( 715	×	 514)	+	( 715	×	 314)	+	( 515	×	 714)	+
( 515	×	 314)	+	( 315	×	 715)	+	( 315	×	 515)

=	349525

Semak JawapanSemak Jawapan

Kaedah Pelengkap:
P(kedua-dua	guli	yang	berlainan	warna)
=	1	–	[P(M,	M)	+	P(K,	K)	+	P(B,	B)]

=	1	–	[( 715	×	 614)	+	( 515	×	 414)	+	( 315	×	 315)]
=	349525
Saiz sebenar

264

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

1.	 Kajian	tentang	jantina	anak	terhadap	16	000	keluarga	yang	mempunyai	dua	orang	anak	telah
dijalankan.	Anggarkan	bilangan	keluarga	yang	mempunyai	sekurang-kurangnya	seorang	anak
lelaki	dalam	kajian	tersebut.

2. Sebuah	 kotak	 mengandungi	 tiga	 batang	 pen	 kuning,	 lima	 batang	 pen	 merah	 dan	 sebatang
pen	hitam.	Dua	batang	pen	dipilih	 secara	 rawak	dari	 kotak.	Hitung	kebarangkalian	 bahawa
kedua-dua	batang	pen	yang	dipilih	berwarna	sama.

3.	 Jonathan	suka	menyaksikan	matahari	terbenam	di	tepi	pantai.	Jonathan	mempunyai	dua	pilihan
sama	ada	menginap	di	Pantai	Jati	atau	Pantai	Cengal	selama	dua	hari.

Kebarangkalian	hujan	di	Pantai	Jati	pada	setiap	petang	ialah	1925.

Kebarangkalian	 hujan	 turun	 di	 Pantai	 Cengal	 pula	 bergantung	 pada	 hari	 sebelumnya.	 Jika
hari	 sebelumnya	 tidak	hujan,	maka	kebarangkalian	hujan	pada	petang	 itu	 ialah	 5

7
.	 Jika	 hari

sebelumnya	hujan,	maka	kebarangkalian	hujan	pada	petang	itu	ialah	2
5
.

Jika	cuaca	cerah	di	kedua-dua	pantai	pada	hari	sebelum	Jonathan	bertolak,	pantai	yang	manakah
patut	dipilih	oleh	Jonathan	supaya	dia	dapat	menyaksikan	matahari	terbenam	di	tepi	pantai	pada
kedua-dua	petang?	Berikan	justifikasi	anda.

4.	 Setiap	pelanggan	Kedai	Naga	yang	berbelanja	melebihi	RM200	akan	diberi	peluang	memutar
roda	bertuah	yang	mempunyai	enam	sektor	yang	sama.	Dua	daripada	sektor	roda	bertuah	itu
berwarna	merah	dan	yang	lain	berwarna	kuning.

Kotak A

Kotak B

Bilangan baucar tunai

RM50

20

10

RM10

5

20

Jika	 jarum	 putaran	 roda	 bertuah	 berhenti	 di	 sektor	 berwarna	 merah,	 pelanggan	 tersebut
berpeluang	memilih	 baucar	 tunai	 dari	 kotak	A.	 Jika	 jarum	putaran	 roda	 bertuah	 berhenti	 di
sektor	 berwarna	 kuning,	 pelanggan	 tersebut	 berpeluang	memilih	 baucar	 tunai	 dari	 kotak	B.
Bilangan	 baucar	 tunai	 yang	 terdapat	 dalam	 kotak	A	 dan	 kotak	B	 ditunjukkan	 dalam	 jadual
di	atas.

Dianggarkan	sebanyak	450	pelanggan	Kedai	Naga	akan	berbelanja	melebihi	RM200.	Hitung
bilangan	baucar	tunai	bernilai	RM10	yang	perlu	disediakan	oleh	Kedai	Naga.

(Baucar	tunai	yang	telah	dipilih	akan	digantikan	dengan	baucar	yang	baharu	oleh	Kedai	Naga
supaya	bilangan	baucar	tunai	dalam	kedua-dua	kotak	A	dan	B	sentiasa	kekal).

Praktis Kendiri 9.4a
Saiz sebenar

265

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

1.	 Terdapat	 tiga	 batang	 pensel	 berwarna	 ungu	 dan	 dua	 batang	 pensel	 berwarna	 hijau	 dalam
sebuah	kotak.	Dua	batang	pensel	berwarna	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	satu	demi	satu	tanpa
pemulangan.	Tulis	ruang	sampel	bagi	pensel	warna	dipilih.

2.	 Satu	nombor	dipilih	secara	rawak	dari	set	S	=	{x:  x ialah	integer,	1	< x < 30}.	Hitung	kebarangkalian
	 (a)	 mendapat	nombor	gandaan	3	dan	nombor	gandaan	12.
	 (b)	 mendapat	nombor	faktor	bagi	20	atau	nombor	faktor	bagi	8.

3.  Dua	keping	kad	berlabel	dengan	nombor	“77,	91”	dimasukkan	dalam	kotak	M	dan	tiga	keping
kad	berlabel	dengan	huruf	“R,	I,	A”	dimasukkan	dalam	kotak	N.	Sekeping	kad	dipilih	secara
rawak	dari	kotak	M	dan	N	masing-masing.

(a)	 Lengkapkan	jadual	berikut	dengan	semua	kesudahan	yang	mungkin.

Kotak M

77

91

Kotak N

R

(77,	R)

I

(91,	I)

A

(b)	 Dengan	menyenaraikan	semua	kesudahan	yang	mungkin,	hitung	kebarangkalian	bahawa
	 	 	(i)	 kad	nombor	dengan	hasil	tambah	digit	melebihi	10	dan	kad	konsonan	dipilih.
	 	 (ii)	 kad	nombor	dengan	hasil	tambah	digit	melebihi	10	atau	kad	konsonan	dipilih.

4.	 Dua	orang	pengawas	dipilih	secara	rawak	daripada	lima	orang	pengawas	yang	terdiri	daripada
tiga	orang	pengawas	tingkatan	empat	dan	dua	orang	pengawas	tingkatan	lima.	Lukis	gambar	rajah
pokok	untuk	menunjukkan	semua	kesudahan	yang	mungkin.	Kemudian,	hitung	kebarangkalian
kedua-dua	orang	pengawas	yang	dipilih	adalah	daripada	tingkatan	yang	sama.

5.	 Kebarangkalian	Kam	Seng	lulus	dalam	mata	pelajaran	Fizik	dan	Kimia	masing-masing	ialah
0.58	dan	0.42.	Hitung	kebarangkalian	bahawa

(a)	 Kam	Seng	lulus	kedua-dua	mata	pelajaran,
	 (b)	 Kam	Seng	hanya	lulus	satu	mata	pelajaran.

6.	 Fatimah	menghantar	surat	permohonan	kerja	ke	 tiga	buah	syarikat.	Kebarangkalian	Fatimah

mendapat	penawaran	daripada	syarikat	X,	Y	dan	Z	masing-masing	ialah	 35,
4
9	dan

5
12.	Hitung

kebarangkalian	Fatimah		mendapat	penawaran	daripada
	 (a)	 mana-mana	dua	syarikat,

(b)	 sekurang-kurangnya	satu	syarikat.
Saiz sebenar

266

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

7.	 Diberi	peristiwa	A	dan	B	ialah	dua	peristiwa	yang	saling	eksklusif	dan	P(A)	=	13,
	 (a)	 nyatakan	nilai	maksimum	P(B).
	 (b)	 jika	P(A 	B)	=	7

9
,	kenal	pasti	P(B).

8.	 Kotak	 R	 mengandungi	 lima	 biji	 guli	 merah	 dan	 tujuh	 biji	 guli	 hijau	 manakala	 kotak	 T
mengandungi	empat	biji	guli	merah	dan	lapan	biji	guli	hijau.	Sebiji	guli	dipilih	secara	rawak	dari
kotak	R.	 Sekiranya	 guli	 itu	 berwarna	merah,	 guli	 itu	 akan	 dimasukkan	 ke	 dalam	 kotak	 T.
Sekiranya	guli	 itu	berwarna	hijau,	guli	 itu	akan	dikembalikan	ke	dalam	kotak	R.	Seterusnya
sebiji	guli	akan	dipilih	secara	rawak	dari	kotak	T.	Warna	guli	yang	dipilih	akan	dicatat.

(a)	 Hitung	kebarangkalian
	 	 	(i)	 kedua-dua	biji	guli	yang	dipilih	berwarna	merah,
	 	 (ii)	 kedua-dua	biji	guli	yang	dipilih	berlainan	warna.

(b)	 Kelas	4	Amanah	mempunyai	36	orang	murid.	Sekiranya	setiap	murid	daripada	4	Amanah
diberi	peluang	memilih	dua	biji	guli	dengan	keadaan	seperti	yang	dinyatakan	dan	murid
yang	berjaya	memilih	dua	biji	guli	yang	berwarna	hijau	akan	diberi	hadiah	bernilai	RM5,
anggarkan	kos	hadiah	yang	diperlukan.

9. Jacky	mempunyai	lapan	helai	baju	kemeja	dan	tiga	daripadanya	berwarna	biru.	40%	daripada
baju	kemeja	yang	dimiliki	oleh	Halim	berwarna	biru.	 1

5
	daripada	baju	kemeja	yang	dimiliki

oleh	 Kumar	 berwarna	 biru.	 Jacky,	 Halim	 dan	 Kumar	masing-masing	memilih	 sehelai	 baju
kemeja	untuk	menghadiri	 satu	mesyuarat	 secara	 rawak.	Hitung	kebarangkalian	bahawa	dua
orang	daripada	mereka	akan	memakai	baju	kemeja	berwarna	biru.

10.	Carta	bar	di	bawah	menunjukkan	bilangan	kelab	badminton	dan	kelab	bina	badan	dalam	negeri
Kedah,	Negeri	Sembilan,	Wilayah	Persekutuan	Labuan	dan	Wilayah	Persekutuan	Putrajaya.

20

15

10

5

0	 		Kedah	 Negeri	Sembilan	 W.P.	Labuan	 W.P.	Putrajaya

Petunjuk:

Badminton

Bina	Badan
14

11
5

6
2

3
22 Negeri

Bilangan

Sebuah	kelab	badminton	dan	sebuah	kelab	bina	badan	dipilih	secara	rawak	dari	empat	negeri
ini.	Hitung	kebarangkalian

(a)	 kedua-dua	kelab	yang	dipilih	adalah	dari	negeri	Kedah.
(b)	 sebuah	kelab	dipilih	dari	Wilayah	Persekutuan	dan	Negeri	Sembilan	masing-masing.
Saiz sebenar

267

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

P R O J E K

11.	 Kebarangkalian	Khaizan	terbabit	dalam	kemalangan	pada	setiap	pusingan	perlumbaan	motosikal
ialah	 0.4.	 Khaizan	 perlu	 meninggalkan	 perlumbaan	 motosikal	 sekiranya	 dia	 terlibat	 dalam
kemalangan.	 Kebarangkalian	 Khaizan	menang	 pada	 setiap	 pusingan	 perlumbaan	motosikal
ialah	 0.96	 dengan	 syarat	 dia	 tidak	 terlibat	 dalam	kemalangan.	Khaizan	 perlu	 berlumba	 tiga
pusingan	dalam	suatu	perlumbaan.

(a)	 Hitung	kebarangkalian,	betul	kepada	tiga	tempat	perpuluhan,	bahawa
	 	 	(i)	 Khaizan	menjadi	juara	dalam	perlumbaan	tersebut,
	 	 (ii)	 Khaizan	tidak	dapat	menghabiskan	perlumbaan	tersebut.

(b)	 Berdasarkan	 jawapan	 daripada	 (a),	 adakah	 wajar	 Khaizan	 menasihati	 adiknya	 untuk
menyertai	perlumbaan	motosikal?	Nyatakan	satu	nilai	murni	yang	telah	anda	pelajari	untuk
menyokong	jawapan	tersebut.

10	cm 10	cm10	cm

1.	 Bina	 tiga	poligon	sekata	seperti	di	atas.	Poligon-poligon	yang	dibina	mempunyai
sisi	berukuran	yang	sama.

2. Jalankan	aktiviti	seperti	dalam	kotak	di	bawah.

Satu	 damak	 dibaling	 ke	 arah	 setiap	 poligon	 sekata	 di	 atas.	 Eksperimen	 ini
dijalankan	sebanyak	dua	puluh	kali	dan	keputusan	mengena	 tempat	berwarna
kuning	dan	biru	dicatat	seperti	(K,	K,	K),	(K,	B,	K).

3.	 Daripada	 dapatan	 yang	 dicatat,	 apakah	 kesimpulan	 anda.	 Huraikan	 sebab-sebab
yang	menyokong	kesimpulan	anda.

4.	 Eksplorasi	lanjutan:	Sekiranya	anda	pemilik	gerai	permainan	pada	Hari	Keusahawanan
sekolah	anda,	apakah	bentuk	poligon	sekata	yang	akan	anda	pilih.	Nyatakan	sebab
anda	untuk	menyokong	pilihan	tersebut.
Saiz sebenar

268

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

PETA KONSEP

Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Peristiwa	Bersandar	dan
Peristiwa	Tak	Bersandar

Hukum	Penambahan
Kebarangkalian

Aplikasi	Kebarangkalian
Peristiwa	BergabungA	dan	B	Peristiwa

Tak	Bersandar
• Peristiwa	A	tidak
mempengaruhi
kejadian
peristiwa	B.

Contoh:
Sebiji	dadu	adil
dilambung	dua
kali.	Mendapat
dua	kali	“6”.

Hukum	Pendaraban	Kebarangkalian
P(A	ù	B)	=	P(A)	×	P(B)

Contoh:
Sebiji	dadu	adil	dilambung	dua	kali.
Mendapat	dua	kali	“6”.
P(dua	kali	“6”)	 =	16	×

1
6

=	 136

A	dan	B	Peristiwa
Bersandar
• Peristiwa	A
mempengaruhi
kejadian
peristiwa	B.

Contoh:
Memilih	dua	keping
kad	dari	kotak
mengandungi	kad
berlabel	“B,	A,	I,	K”
satu	demi	satu	tanpa
pemulangan.

A	dan	B	Peristiwa	Saling	Eksklusif
jika	A	ù	B	=	φ,
P(A	<	B)	=	P(A)	+	P(B).

Contoh:	X	=	{x	:	1	<	x	<	10,	x	∈ W}
Satu	nombor	dipilih	secara	rawak	dari
set	X.	Kebarangkalian	memilih	nombor
2	atau	nombor	ganjil.
P(Nombor	2	atau	nombor	ganjil)
=
1
10	+

5
10

=
3
5

A	dan	B	Peristiwa	Tidak	Saling
Eksklusif	jika	A	>	B	≠	φ,

P(A	<	B)	=	P(A)	+	P(B)	–	P(A	>	B)

Contoh:	X	=	{x	:	1	<	x	<	10,	x	∈ W}
Satu	nombor	dipilih	secara	rawak
dari	set	X.	Kebarangkalian	memilih
nombor	perdana	atau	nombor	ganjil.
P(Nombor	perdana	atau	nombor	ganjil)

=	 410	+
5
10	–

3
10

=	 35
Saiz sebenar

269

9
B

A
B

Bab 9  Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Melintang
1.	 Dua	peristiwa	A	dan	B	ialah	peristiwa

tak	 	jika	peristiwa	A	berlaku
tidak	mempengaruhi	peristiwa	B
berlaku	dan	sebaliknya.

2.	 Sebuah	 	dan	syiling	dilambung,
bilangan	kesudahan	ialah	12.

3.	 A	 dan B	 peristiwa	 saling
bermakna	 tiada	 persilangan	 antara
peristiwa	A	dan	B.

Menegak
4.	 Satu	 nombor	 dipilih	 daripada	 {x	 :	 x

ialah	integer	dan	0	<	x	<	50}.
	 K	 ialah	 peristiwa	 mendapat	 nombor

dan	 L	 ialah	 peristiwa
mendapat	nombor	ganjil.

P(K
ù

L)	=	P(K)	+	P(L)
5.	 P(A	dan	B)	=	P(A)	 	P(B).
6.	 Peristiwa	 	 ialah	 kesudahan

peristiwa	 daripada	 kesatuan	 atau
persilangan	dua	atau	lebih	peristiwa.

 Eksplorasi Matematik

Lambungan	botol	ialah	suatu	permainan	yang	melambung
suatu	botol	air	plastik	sama	ada	penuh	atau	sebahagian
penuh	dengan	air	ke	atas	supaya	botol	itu	terbalik	dan
kemudian	berdiri	tegak	semula.
Cuba	terokai	faktor-faktor	yang	mempengaruhi
kebarangkalian	menjayakan	lambungan	botol.

4.

3.

1.

2.

6.

5.
Saiz sebenar

270

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Anda akan mempelajari

Maslahat Bab

BAB

10
►	 Perancangan	dan	Pengurusan	Kewangan

Perancangan	 dan	 pengurusan	 kewangan	 perlu	 diamalkan
oleh	 setiap	 individu.	 Keputusan	 kewangan	 perlu	 dirancang

seperti	 permainan	 catur.	 Setiap	 keputusan	 kewangan	 yang
dibuat	 haruslah	 dipertimbangkan	 sebelum	 mengambil	 langkah
seterusnya.	 Pengurusan	 kewangan	 secara	 berhemah	 akan
membantu	seseorang	individu	bebas	daripada	bebanan	hutang.

Sejauh	manakah	 bajet	 bulanan	membantu	 seseorang	mencapai
matlamat	kewangan?

Pengurusan	kewangan	yang	efisien	diperlukan	dalam	kehidupan
seharian.	 Pengetahuan	 tentang	 pengurusan	 kewangan	 boleh
diaplikasikan	dalam	bidang	perakaunan,	bursa	saham,	perniagaan
dan	sebagainya.

Matematik Pengguna:
Pengurusan Kewangan

270
Saiz sebenar

271

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

271

JARINGAN KATAJARINGAN KATAJARINGAN KATA
•	 aliran	tunai	 •	 cash	flow
•	 aset	 • asset
•	 bebas	hutang	 •	 debt	freedom
•	 jangka	panjang	 •	 long	term
•	 jangka	pendek	 •	 short	term
•	matlamat	kewangan	 •	 financial	goal
•	 pendapatan	 •	 income
•	 pelaburan	 •	 investment
•	 perbelanjaan	 •	 expense

Imbasan Silam

Tan Sri Dr Zeti Akhtar Aziz
Menurut	 bekas	 gabenor	Bank	Negara	Malaysia,
Tan	Sri	Dr	Zeti	Akhtar	Aziz,	pendidikan	kewangan
amat	 penting	 bagi	 melahirkan	 masyarakat	 yang
cekap	dalam	pengurusan	kewangan	dan	kemahiran
ini	perlu	diterapkan	pada	usia	muda.	Bank	Negara
Malaysia	 telah	 memperkenalkan	 Buku	 Wang
sejak	tahun	1999	bagi	murid	sekolah.

http://yakin-pelajar.com/Zeti/10.pdf
Saiz sebenar

272

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Apakah yang dimaksudkan dengan proses pengurusan
kewangan?

Pengurusan	kewangan	merupakan	suatu	proses	yang	melibatkan
pengurusan	wang	daripada	sumber	pendapatan	terhadap	simpanan,
perbelanjaan,	perlindungan	dan	pelaburan.	Terdapat	lima	langkah
dalam	proses	pengurusan	kewangan.

Menetapkan matlamat kewangan
Menetapkan	matlamat	kewangan	merupakan	langkah
pertama	dalam	proses	pengurusan	kewangan.	Matlamat
kewangan	yang	ditentukan	mestilah	mengikut	keutamaan
dan	spesifik.	Contohnya,	seseorang	individu	yang	hendak
menyimpan	RM15000	dalam	bank	bagi	tempoh	masa	tiga
tahun	sebelum	berkahwin.

(a) Matlamat kewangan jangka pendek
Matlamat	kewangan	jangka	pendek	merupakan	suatu
matlamat	kewangan	yang	hendak	dicapai	kurang	daripada
setahun.	Matlamat	kewangan	jangka	pendek	tidak
melibatkan	jumlah	amaun	yang	besar.	Contohnya	pembelian
komputer	riba,	kerusi	sofa,	telefon	bimbit	dan	sebagainya.

(b) Matlamat kewangan jangka panjang
Matlamat	kewangan	jangka	panjang	merupakan	suatu
matlamat	kewangan	yang	mengambil	masa	lebih	daripada
lima	tahun.	Matlamat	kewangan	jangka	panjang	melibatkan
jumlah	amaun	yang	banyak.	Contohnya	seseorang	individu
perlu	mempunyai	simpanan	untuk	digunakan	pada	masa
persaraan,	pendidikan	anak	dan	sebagainya.

Proses
pengurusan
kewangan

Menetapkan matlamat kewangan

Mewujudkan pelan kewangan

Melaksanakan pelan kewangan

Mengkaji semula dan menyemak kemajuan

Menilai kedudukan kewangan

10.1 Perancangan dan Pengurusan Kewangan

Standard
Pembelajaran

Menghuraikan proses
pengurusan kewangan
yang berkesan.

TIP
Berdisiplin dan konsisten
untuk mengikuti
perancangan kewangan
yang ditetapkan akan
membantu seseorang
individu untuk
mencapai tujuan
matlamat kewangan.

ZON INFORMASI

Jumlah Perbelanjaan Harian
Sarapan RM5
Makan	tengah	hari
Fotostat
Tambang	bas
Lain-lain
Pengamalan	catatan
perbelanjaan	harian	seperti
di	atas	akan	memastikan	kita
berbelanja	secara	terkawal
berdasarkan	jumlah	wang	yang
diterima	daripada	ibu	bapa.
Saiz sebenar

273

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

1Contoh

Encik	Yusuf	 akan	menyambut	Hari	 Keluarga	 di	 Port	 Dickson	 dalam
tempoh	 6	 bulan.	 Sambutan	 ini	 akan	 menelan	 perbelanjaan	 sebanyak
RM1|500.	 Encik	 Yusuf	 perlu	 menyimpan	 RM250	 sebulan	 daripada
pendapatannya	 sebanyak	RM2|500	 sebulan	 untuk	mencapai	matlamat
kewangan	beliau.	Adakah	matlamat	kewangan	Encik	Yusuf	memenuhi
pendekatan	SMART?

Penyelesaian:

Specific	[Khusus]
Matlamat	Encik	Yusuf	adalah	untuk	menyambut	Hari	Keluarga	di	Port	Dickson.	Dalam	hal	 ini,
matlamat	 Encik	Yusuf	 bukan	 sekadar	 ingin	 pergi	 bercuti	 tetapi	 beliau	menetapkan	 lokasi	 yang
specific	(khusus).

Measurable	[Boleh	diukur]
Matlamat	khusus	Encik	Yusuf	boleh	dihitung	kerana	beliau	mengetahui	jumlah	wang	yang	akan
diperlukan	untuk	menyambut	Hari	Keluarga.	Dalam	hal	ini,	matlamat	Encik	Yusuf	bukan	sekadar
memerlukan	wang	tetapi	beliau	mengetahui	jumlah	wang	yang	diperlukan	untuk	menyambut	Hari
Keluarga	tersebut.

Tempoh	 masa	 untuk	 mencapai	 sesuatu	 matlamat	 kewangan	 bergantung	 pada	 jumlah	 peratusan
simpanan	 bulanan	 seseorang	 daripada	 pendapatan.	 Namun	 keadaan	 ini	 bergantung	 pada	 cara
seseorang	itu	merancang.
Dalam	merancang	kewangan,	perkara	paling	penting	yang	perlu	dibuat	ialah	menetapkan	matlamat
kewangan.	Semasa	menentukan	matlamat	kewangan,	seseorang	haruslah	memberikan	keutamaan
perbelanjaan	kepada	keperluan	daripada	kehendak.	Contohnya,	keperluan	asas	seperti	makanan,
tempat	tinggal	dan	pakaian	perlu	diutamakan.
Kehendak	 ialah	keinginan	untuk	menjalani	kehidupan	mewah.	Perbelanjaan	mengikut	kehendak
akan	menyebabkan	seseorang	berbelanja	lebih	daripada	pendapatan	yang	diperoleh.	Perancangan
kewangan	yang	cekap	akan	membantu	seseorang	individu	bebas	daripada	masalah	kewangan	serta
mewujudkan	simpanan	yang	mencukupi	bagi	menghadapi	waktu	kecemasan.

Matlamat kewangan SMART

Matlamat	kewangan	atau	financial	goals	yang	jelas	ialah	satu	aspek	paling	penting	dalam	perancangan
kewangan.	 Selain	 itu,	 matlamat	 kewangan	 yang	 berkonsep	 SMART	 akan	 membantu	 seseorang
individu	untuk	mengawal	perbelanjaan	supaya	dapat	mencapai	matlamat	kewangan	yang	dikehendaki.

Lima	kunci	komponen	utama	dalam	strategi	ini	ialah,

S M A R T
	 Specific Measurable Attainable Realistic Time-bound

[khusus]	 [boleh	diukur]	 [Boleh	dicapai]	 [Bersifat	realistik]	 [Tempoh	masa]
Saiz sebenar

274

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Attainable	[Boleh	dicapai]
Matlamat	kewangan	Encik	Yusuf	boleh	dicapai	dengan	menyimpan	RM250	sebulan	daripada	jumlah
pendapatan	bulanan	beliau	sebanyak	RM2	500.

Realistic	[Bersifat	realistik]
Matlamat	kewangan	Encik	Yusuf	yang	hendak	menyambut	Hari	Keluarga	di	Port	Dickson	dalam
masa	6	bulan	adalah	bersifat	realistik.	Beliau	akan	menyimpan	RM250	sebulan	untuk	mencapai
tujuan	tersebut.

Time-bound	[Tempoh	masa]
Matlamat	kewangan	Encik	Yusuf	mempunyai	tempoh	masa	iaitu	enam	bulan.

Oleh	itu,	Encik	Yusuf	mengamalkan	matlamat	kewangan	berpandukan	konsep	SMART.

Menilai kedudukan kewangan
Aset	dan	liabiliti	menjadi	kayu	pengukur	bagi	menilai	kedudukan
kewangan.	Contoh	aset	yang	boleh	dimiliki	oleh	seseorang	individu
ialah	wang	tunai,	simpanan,	pelaburan	hartanah,	simpanan	tetap,
amanah	saham	atau	saham	syarikat.
Liabiliti	merupakan	pinjaman	bank,	hutang	kad	kredit	dan	sebagainya.	Selain	itu,	anda	juga	patut
mengetahui	bayaran	yang	perlu	dibuat	seperti	sewa	rumah	dan	bil	utiliti	yang	belum	dijelaskan.
Menilai	 kedudukan	 kewangan	 membantu	 anda	 mengukur	 prestasi	 dalam	 usaha	 mencapai
matlamat	kewangan	jangka	pendek	dan	jangka	panjang.

Mewujudkan pelan kewangan
Pengurusan	 kehidupan	 berdasarkan	 pelan	 kewangan	membantu	 seseorang	memantau	 aliran
tunai.	 Terdapat	 dua	 komponen	 penting	 dalam	 pelan	 kewangan	 yang	 dibina,	 iaitu	 sumber
pendapatan	dan	perbelanjaan.
Pendapatan	 terdiri	 daripada	 pendapatan aktif	 dan	 pasif.	 Pendapatan	 aktif	 merupakan
pendapatan	 utama	 iaitu	 gaji,	 elaun,	 komisen	 dan	 sumber	 kewangan	 lain.	 Pendapatan	 pasif
terdiri	daripada	sewa	yang	diterima,	faedah	yang	diterima,	dividen	dan	lain-lain.	Kedua-dua
pendapatan	ini	merupakan	aliran	tunai	masuk.
Perbelanjaan	terdiri	daripada	perbelanjaan tetap	dan	perbelanjaan tidak tetap.	Perbelanjaan
tetap	 ialah	 perbelanjaan	 yang	mesti	 dibayar	 atau	 dibelanjakan	 seperti	 sewa	 rumah,	 bayaran
insurans,	ansuran	rumah,	ansuran	kereta,	dan	bayaran	kad	kredit.
Perbelanjaan	 tidak	 tetap	 akan	 berubah	 setiap	 bulan	mengikut	 corak	 perbelanjaan	 seseorang
individu.	 Contohnya	 adalah	 seperti	 perbelanjaan	 petrol,	 barangan	 dapur,	 pembayaran	 bil
elektrik,	bil	air	dan	sebagainya.	Kedua-dua	perbelanjaan	ini	merupakan	aliran	tunai	keluar.
Aliran	tunai	positif	akan	wujud	jika	jumlah	pendapatan	melebihi	jumlah	perbelanjaan.
Aliran	tunai	negatif	akan	wujud	jika	jumlah	pendapatan	kurang	daripada	jumlah	perbelanjaan.

TIP

Sebagai panduan
am, simpan wang
untuk keperluan asas
sekurang-kurangnya
enam bulan.
Saiz sebenar

275

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Langkah-langkah	yang	perlu	diambil	kira	sebelum	mewujudkan	pelan	kewangan.

Umur

Berkahwin
RM15	000

Memiliki
kereta
sendiri

RM80	000

Mempunyai
rumah
sendiri

RM150	000

Melancong
RM50	000

Persaraan
1	juta

Menentukan strategi pendapatan yang akan membantu mencapai matlamat kewangan.

06
Menetapkan
tempoh masa
untuk mencapai
setiap matlamat
tersebut.

05

Mengira simpanan bulanan yang diperlukan untuk mencapai matlamat jangka pendek dan panjang.

03
Membuat anggaran

awal untuk
mencapai setiap
matlamat.

02
Menentukan tujuan

yang hendak dicapai

bagi matlamat jangka

pendek dan jangka

panjang.

01

Menganalisis

tabiat
perbelanjaan.

04

Pengurusan	 kewangan	 yang	 cekap	membantu	 seseorang	menyusun	 strategi	 yang	 perlu	 diambil
terhadap	corak	perbelanjaan	supaya	dapat	mengumpul	simpanan	bulanan.

Matlamat Tahun
Mula

Tahun
Sasaran

Tempoh
(Tahun)

Jumlah
(RM)

Komitmen Simpanan
Sebulan (RM)

Berkahwin 2019 2022 3 15	000
Memiliki
Kereta 2023 2027 4 20	000

(wang	pendahuluan)

Contoh	matlamat	kewangan	seseorang	individu.

25 30 35 55 60
Saiz sebenar

276

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Encik	Derrick	menerima	 pendapatan	 aktif	 sebanyak	RM3	 000,	 dan	 pendapatan	 pasif	 sebanyak
RM1	000	dalam	sebulan.	Encik	Derrick	juga	mempunyai	perbelanjaan	tetap	sebanyak	RM1	350
dan	perbelanjaan	tidak	tetap	sebanyak	RM650	sebulan.

(a)	Hitung	aliran	tunai	bulanan	Encik	Derrick.	Jelaskan	jawapan	anda.
(b)	Jelaskan	aliran	tunai	Encik	Derrick	jika	pendapatan	pasif	Encik	Derrick	tidak	wujud	dan	jumlah

perbelanjaan	juga	meningkat	sebanyak	60%.

Penyelesaian:

(a)	Jumlah	pendapatan	–	Jumlah	perbelanjaan
	 =	RM3	000	+	RM1	000	–	RM1	350	–	RM650
	 =	RM2	000	(Aliran	tunai	positif)

Aliran	tunai	positif	sebanyak	RM2	000	adalah	baik	kerana	Encik	Derrick	mempunyai	lebihan
daripada	pendapatan	setelah	menolak	perbelanjaan.	Hal	ini	membolehkan	beliau	melabur	atau
menghadapi	situasi	kecemasan	jika	berlaku.

(b)	Jumlah	pendapatan	–	Jumlah	perbelanjaan

=	RM3	000	–	RM3	200
	 =	RM200	(Aliran	tunai	negatif)

Aliran	 tunai	 negatif	 akan	 membebankan	 Encik	 Derrick	 dan	 mungkin	 menyebabkan	 beliau
menggunakan	kemudahan	kad	kredit	bagi	mengatasi	masalah	kewangan.

Cik	Janani	bekerja	sebagai	seorang	guru	swasta.	Beliau	menerima	pendapatan	sebanyak	RM3	500.
Beliau	 juga	mengajarkan	 tuisyen	 dan	memperoleh	 pendapatan	 sebanyak	 RM1	 000.	 Cik	 Janani
juga	menyewakan	rumahnya	sebanyak	RM850	sebulan.	Cik	Janani	mempunyai	perbelanjaan	tetap
sebanyak	RM1	200	dan	perbelanjaan	tidak	tetap	sebanyak	RM600	sebulan.

Hitung	aliran	tunai	bulanan	Cik	Janani.	Jelaskan	jawapan	anda.

Penyelesaian:

RM3	500	+	RM1	000	+	RM850	–	RM1	200	–	RM600
=	RM3	550	(Aliran	tunai	positif)

Aliran	 tunai	 positif	 sebanyak	RM3	550	 adalah	baik	 kerana	Cik	 Janani	 boleh	menyimpan	wang
tersebut	di	bank	dan	menikmati	faedah.	Faedah	ini	merupakan	pendapatan	pasif	bagi	Cik	Janani.

2Contoh

3Contoh
Saiz sebenar

277

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Melaksanakan pelan kewangan

Pelaksanaan	pelan	kewangan	menukarkan	perancangan	kewangan	kepada	tindakan	yang
boleh	dilaksanakan.

Semasa	 melaksanakan	 pelan	 kewangan,	 seseorang	 individu	 harus	 mengikuti	 perancangan	 pada
peringkat	awal.	Seseorang	individu	haruslah	sedia	mengubah	dan	membuat	perbandingan	antara
perbelanjaan	bulanan	yang	dirancang	dengan	perbelanjaan	sebenar.	Hal	ini	memberikan	peluang
untuk	mengenal	 pasti	 sebarang	pembaziran	dan	 seterusnya	mengurangkan	perbelanjaan	 sebenar
agar	dapat	mencapai	perbelanjaan	bulanan	seperti	yang	dirancang.

Contohnya,	 perbelanjaan	 Encik	 Yasir	 yang	 dirancang	 dan	 perbelanjaan	 sebenar	 dalam
bulan	pertama.

Perbelanjaan Perbelanjaan bulanan
dirancang (RM)

Perbelanjaan
sebenar (RM)

Bil	elektrik 150 200
Makanan 600 850

Perbelanjaan	 Encik	 Yasir	 menunjukkan	 pertambahan	 ke	 atas	 bil
elektrik	dan	makanan	daripada	yang	dirancang	bagi	mencapai	matlamat
kewangan.	 Oleh	 itu,	 Encik	 Yasir	 perlu	 mengurangkan	 penggunaan
tenaga	elektrik	sebanyak	RM50.	Encik	Yasir	juga	perlu	mengurangkan
jumlah	perbelanjaan	untuk	makanan,	sebanyak	RM250.
Semasa	melaksanakan	 pelan	 kewangan,	 kita	 harus	mengutamakan
pembayaran	 perbelanjaan	 tetap.	 Contohnya	 ansuran	 rumah,
pembayaran	kad	keredit,	ansuran	kereta	dan	sebagainya.	Pembayaran
lewat	 ansuran	 tersebut	 akan	 menyebabkan	 pembayaran	 faedah
tambahan.	Contohnya,	caj	lewat	bayar	akan	dikenakan.
Selain	itu,	semasa	melaksanakan	pelan	kewangan,	seseorang	harus	memastikan	aliran	tunai	bulanan
harus	sentiasa	positif,	iaitu	pendapatan	melebihi	perbelanjaan.	Aliran	tunai	bulanan	negatif	(defisit)
menunjukkan	 perbelanjaan	melebihi	 pendapatan.	 Jika	 wujud	 aliran	 tunai	 bulanan	 negatif,	 anda
harus	mengambil	tindakan	yang	cepat	bagi	mengubah	corak	perbelanjaan.	Sekiranya	masalah	ini
tidak	diatasi,	maka	hal	ini	boleh	menyebabkan	seseorang	itu	gagal		mencapai	matlamat	kewangan
dalam	tempoh	masa	yang	ditetapkan.

ZON INFORMASI

Antara punca rakyat
Malaysia muflis adalah
kerana gagal menjelaskan
ansuran bayaran kenderaan,
pinjaman perumahan dan
hutang kad kredit.

Adakah	perbelanjaan	Encik
Yasir	menunjukkan	seperti	yang
dirancang?
Saiz sebenar

278

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

4Contoh

Puan	 Aminah	 ingin	 membeli	 kereta	 yang	 berharga	 RM50	 000	 dalam	 masa	 setahun.	 Beliau
bercadang	hendak	membayar	wang	pendahuluan	 sebanyak	RM7	500	daripada	 simpanan	beliau.
Sebelum	 ini,	Puan	Aminah	 tidak	mempunyai	 simpanan.	Puan	Aminah	 ingin	membuat	pinjaman
kenderaan	daripada	bank.
Bank	X	telah	menawarkan	beberapa	pilihan.	Setelah	meneliti	kedudukan	kewangan,	Puan	Aminah
telah	memilih	tempoh	tujuh	tahun	kerana	beliau	hanya	mampu	membayar	ansuran	bulanan	untuk
tempoh	itu.

Pelan kewangan keluarga Puan Aminah

(RM)
Gaji	suami	Aminah
Gaji	Aminah
(Gaji	bersih	setelah	ditolak	potongan	wajib)

3	500
3	000

Pendapatan	pasif 0
Jumlah	pendapatan	bulanan 6	500
Tolak	simpanan	tetap	bulanan
(10%	daripada	pendapatan	bulanan) 650

Tolak	simpanan	untuk	dana	kecemasan 100
Baki	pendapatan 5	750
Tolak perbelanjaan tetap bulanan
Pinjaman	rumah
Ansuran	kereta	suami
Premium	insurans

1	500
600
400

Jumlah	perbelanjaan	tetap	bulanan 2	500
Tolak jumlah perbelanjaan tidak tetap bulanan
Taska
Keperluan	anak-anak
Utiliti	rumah
Belanja	petrol
Bayaran	tol
Barangan	dapur
Pemberian	kepada	ibu	bapa

400
450
400
380
100

1	000
400

Jumlah	perbelanjaan	tidak	tetap	 3	130
Pendapatan	lebihan 120

Baki	pendapatan	–	Jumlah	perbelanjaan
tetap	bulanan	–	Jumlah	perbelanjaan
tidak	tetap	bulanan.

10	%	daripada	pendapatan	harus
disimpan	sebagai	simpanan	sebelum
berbelanja.
Saiz sebenar

279

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Pelan kewangan keluarga Puan Aminah dan aliran tunai sebenar

Pelan Kewangan
(RM)

Aliran Tunai
Sebenar (RM)

Gaji	suami	Aminah
Gaji	Aminah
(Gaji	bersih	setelah	ditolak	potongan	wajib)

3	500
3	000

3	500
3	000

Pendapatan	pasif 0 0
Jumlah	pendapatan	bulanan 6	500 6	500
Tolak	simpanan	tetap	bulanan
(10%	daripada	pendapatan	bulanan)
Tolak	simpanan	untuk	dana	kecemasan

650

100

650

100
Baki	pendapatan 5	750 5	750
Tolak perbelanjaan tetap bulanan
Pinjaman	rumah
Ansuran	kereta	suami
Premium	insurans

1	500
600
400

1	500
600
400

Jumlah	perbelanjaan	tetap	bulanan 2	500 2	500
Tolak jumlah perbelanjaan tidak tetap bulanan
Taska
Keperluan	anak-anak
Utiliti	rumah
Belanja	petrol
Bayaran	tol
Barangan	dapur
Pemberian	kepada	ibu	bapa

400
450
400
380
100

1	000
400

400
450
400
380
100
900
400

Jumlah	perbelanjaan	tidak	tetap	 3	130 3 030
Pendapatan	lebihan 120 220

(a)	 Berdasarkan	 perancangan	 kewangan	 keluarga	 Puan	 Aminah,
bolehkah	matlamat	kewangan	Puan	Aminah	dicapai?

(b)	 Adakah	Puan	Aminah	seseorang	yang	bijak	mengurus	kewangan?
Berikan	justifikasi	anda.

(c)	 Adakah	Puan	Aminah	menggunakan	pendekatan	SMART	untuk
mencapai	matlamat	kewangan	beliau?	Berikan	justifikasi	anda.

Apakah	tindakan	yang
sepatutnya	diambil	oleh	Puan
Aminah	jika	aliran	tunai
adalah	negatif?		Bincangkan.

ZON INTERAKTIF

Aliran	tunai
positif
merupakan
simpanan
tambahan.

Berdasarkan	 pelan	 kewangan	 Puan	 Aminah,	 perbelanjaan
barangan	dapur	dapat	dikurangkan	sebanyak	RM100	semasa
melaksanakan	 pelan	 kewangan.	 Sikap	 jimat	 cermat	 Puan
Aminah	membawa	penurunan	pada	perbelanjaan	dapur.
Saiz sebenar

280

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Penyelesaian:

(a)	 Puan	Aminah	boleh	mencapai	matlamat	kewangan	jangka	pendek,	iaitu	membeli	kereta	dengan
jumlah	wang	pendahuluan	sebanyak	RM7	500.

Simpanan	bulanan	RM650	×	12	(bulan)	=	RM7	800
	 Beliau	masih	mempunyai	lebihan	RM300	daripada	keperluannya	sebanyak	RM7500.	Beliau

juga	mempunyai	 lebihan	RM220	setiap	bulan	untuk	menghadapi	situasi	kecemasan	ataupun
perbelanjaan	di	luar	jangkaan.

(b)	 Beliau	seorang	yang	bijak	mengurus	kewangan,	kerana	beliau	berbelanja	untuk	keperluan	asas.
Beliau	juga	mempunyai	simpanan	bulanan,	dan	beliau	juga	mengutamakan	perlindungan,	iaitu
membeli	insurans	dan	tidak	mempunyai	hutang	seperti	hutang	kad	kredit.

(c)	 Puan	Aminah	menggunakan	pendekatan	SMART	untuk	mencapai	matlamat	kewangan	iaitu:
	 •	 Specific	–	Membeli	kereta	yang	berharga	RM50	000

•	 Measurable	–	Membayar	wang	pendahuluan	sebanyak	RM7500

•	 Attainable	–	Wang	pendahuluan	yang	boleh	dicapai	sebanyak	RM7500	(Dalam	masa	setahun)

•		Realistic	 –	 Simpanan	 bulanan	 sebanyak	 RM650	 daripada	 jumlah	 pendapatan	 RM6500
adalah	sebanyak	10%	sahaja.

•	 Time-bound	–	Dalam	tempoh	1	tahun.

Mengkaji semula dan menyemak kemajuan

Kelebihan	yang	diperoleh	melalui	mengkaji	semula	dan	menyemak		kemajuan	pelan	kewangan
dari	semasa	ke	semasa	adalah	untuk	memastikan	aliran	 tunai	sentiasa	positif.	Hal	 ini	secara
tidak	langsung,	membantu	mencapai	matlamat	kewangan	seperti	yang	dirancang.	Anda	juga
harus	bersedia	mengubah	matlamat	kewangan	jika	matlamat	itu	tidak	realistik	untuk	pendapatan
bulanan	anda.

5Contoh

Suami	Puan	Aminah	dinaikkan	pangkat	pada	hujung	bulan	Jun	2019	dengan	kenaikan	gaji	sebanyak
10%.	 Jumlah	 perbelanjaan	 lain	 mereka	 adalah	 tetap.	 Apakah	 kesan
kenaikan	 gaji	 suami	 Puan	Aminah	 kepada	 matlamat	 kewangan	 Puan
Aminah?	Contoh	4	dirujuk.

Penyelesaian:

Kenaikan	gaji	suami	Puan	Aminah	=	 10100	×	RM3	500

=	RM350

Gaji	baharu	suami	Puan	Aminah	 =	RM3	500	+	RM350
	 =	RM3	850
Saiz sebenar

281

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Apabila	gaji	suami	Puan	Aminah	meningkat	sebanyak
10%	maka	jumlah	wang	simpanan	bank	boleh
ditambah.	Hal	ini	membantu	pembelian	kereta	dalam
jangka	masa	yang	lebih	singkat	daripada	setahun
seperti	yang	dirancang,	memandangkan	perbelanjaan
lain	adalah	tetap.

Praktis Kendiri 10.1a
1.	 Apakah	yang	dimaksudkan	dengan	pengurusan	kewangan?
2.	 Jelaskan	proses	pengurusan	kewangan.
3.	 Apakah	kepentingan	menetapkan	matlamat	kewangan?
4.	 Bezakan	matlamat	kewangan	jangka	pendek	dengan	jangka	panjang.

Soalan	5	berdasarkan	pernyataan	di	bawah.
Antara	tiga	individu	berikut,	siapakah	yang	mematuhi	konsep	SMART?	Berikan	justisifikasi	anda.

Puan	Salmah	ingin	membeli	sebuah	komputer	riba	yang	bernilai

RM3000	sebagai	hadiah	bagi	hari	jadi	anaknya.	Oleh	itu	beliau	telah
bercadang	untuk	menyimpan	RM300	sebulan	bagi	sepuluh	bulan.

Cik	Tamarai	seorang	guru	yang	berpendapatan	RM3000	ingin
mendirikan	rumah	tangga	dalam	masa	dua	tahun.	Anggaran
perbelanjaan	perkahwinan	berjumlah	RM30000.	Oleh	itu,	beliau
ingin	menyimpan	sebanyak	RM1000	sebulan	bagi	jangka	masa
dua	tahun.	Selain	itu,	beliau	juga	ingin	membuat	pinjaman	untuk
perbelanjaan	perkahwinan.

Encik	Brian	Lee	ingin	membeli	sebuah	rumah	berharga	RM200	000
jika	beliau	mempunyai	jumlah	duit	yang	mencukupi.

TIP

Pelan	kewangan	perlu	dikaji	dari
semasa	ke	semasa.	Jika	anda
tidak	mengatur	strategi	kewangan
mengikut	keadaan	semasa,	maka
sukar	untuk	mencapai	matlamat
kewangan	seperti	yang	dirancang.
Saiz sebenar

282

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Bagaimanakah anda menilai kebolehlaksanaan pelan
kewangan jangka pendek dan jangka panjang?

Pelan	kewangan	yang	dibina	oleh	seseorang	individu	bertujuan	untuk
mencapai	matlamat	kewangan	jangka	pendek	dan	jangka	panjang.
Untuk	membina	pelan	kewangan,	seseorang	individu	harus	mengenal
pasti	sumber-sumber	pendapatan	yang	diperoleh	dan	perbelanjaannya.
Pelan	kewangan	yang	cekap	seharusnya	mendahulukan	simpanan
sebanyak	10%	daripada	jumlah	pendapatan	sebelum	melibatkan
perbelanjaan	tetap	dan	perbelanjaan	tidak	tetap.	Di	samping	itu,	pelan
kewangan	yang	dibina	harus	mengutamakan	pembayaran	perbelanjaan	tetap	seperti	ansuran
bulanan	kereta,	rumah	dan	baki	kad	kredit.
Jika	wujud	aliran	tunai	negatif,	seseorang	harus	membetulkan	pelan	kewangan	dengan	mengurangkan
perbelanjaan	tidak	tetap.	Pada	masa	yang	sama,	seseorang	boleh	menambah	sumber	pendapatan
mengikut	kemahiran	setiap	individu	agar	perbelanjaan	tetap	tidak	terjejas.
Maklumat	di	bawah	berkaitan	dengan	aras	pendapatan	dan	perbelanjaan	Encik	Yusuf	untuk	bulan
Disember	2019.	Encik	Yusuf	bekerja	sebagai	ejen	insurans	manakala	isterinya	seorang	suri	rumah.
Mereka	mempunyai	tiga	orang	anak	yang	masih	belajar.

Pelan kewangan Encik Yusuf

(RM)
Gaji	Encik	Yusuf
(Gaji	bersih	setelah	ditolak	potongan	wajib) 5	000

Pendapatan	pasif 0
Jumlah	pendapatan	bulanan 5	000
Tolak	simpanan	tetap	bulanan
(10%	daripada	pendapatan	bulanan) 0

Tolak	simpanan	untuk	dana	kecemasan 200
Baki	pendapatan 4	800
Tolak perbelanjaan tetap bulanan
Ansuran	Pinjaman	Perumahan
Premium	Insurans

1	000
500

Jumlah	perbelanjaan	tetap	bulanan 1	500
Tolak jumlah perbelanjaan tidak tetap bulanan
Makanan	dan	minuman
Pendidikan	anak-anak
Belanja	petrol
Bil	telefon
Bil	utiliti
Melancong

900
600
420
480
500
400

Jumlah	perbelanjaan	tidak	tetap	 3 300
Pendapatan	lebihan	/	Kurangan 0

Standard
Pembelajaran

Membina dan membentang
pelan kewangan peribadi
untuk mencapai matlamat
kewangan jangka pendek
dan jangka panjang,
dan seterusnya menilai
kebolehlaksanaan pelan
kewangan tersebut.
Saiz sebenar

283

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Penyelesaian:
Baki	pendapatan	–	Jumlah	perbelanjaan
=	RM4	800	–	RM4	800
=	RM0

Berdasarkan	pelan	kewangan,	Encik	Yusuf	tidak	mempunyai	simpanan	untuk	mencapai	matlamat
kewangan	 jangka	 pendek.	 Oleh	 itu,	 sukar	 bagi	 Encik	 Yusuf	 mencapai	 matlamatnya.	 Anda
dikehendaki	 membantu	 Encik	 Yusuf	 menyelesaikan	 masalah	 kewangan	 tanpa	 menggunakan
dana	kecemasan.

(a)	 Adakah	Encik	Yusuf	menguruskan	kewangan	dengan	cekap?

(b)	 Berapakah	simpanan	bulanan	yang	harus	disimpan	oleh	Encik	Yusuf	bagi	mencapai	matlamatnya?

(c)	 Bagaimanakah	pendapatan	tambahan	boleh	diperoleh	bagi	menambahkan	jumlah	pendapatannya?

(d)	 Anda	dikehendaki	mewujudkan	pelan	kewangan	baharu	berdasarkan	konsep	SMART.

Penyelesaian:

(a)	 Beliau	tidak	menguruskan	kewangan	dengan	cekap	kerana	wujud	perbelanjaan-perbelanjaan
yang	boleh	dikurangkan	 seperti	 perbelanjaan	 telefon,	makan	dan	minuman	 serta	 tidak	 ada
pelaburan	untuk	masa	depan.

(b) 	Simpanan	bulanan	yang	diperlukan	untuk	mencapai	matlamat.

Simpanan	bulanan	=	RM6	000
12

=	RM500

(c)	 Encik	Yusuf	boleh	menambah	pendapatan	dengan	menjual	lebih	banyak	produk	insurans	dan

memperkenalkan	ejen-ejen	baharu.

(d)	 Konsep	SMART	dalam	pelan	kewangan	yang	baharu.

Specific	[Khusus]	-	Membeli	Komputer

Measurable	 [Boleh	 diukur]	 -	 Bernilai	 RM6 000	 memerlukan	 simpanan	 bulanan	 RM500	 untuk
mencapai	matlamat.

Attainable	[Boleh	dicapai]	-	Boleh	mencapai	simpanan	bulanan	sebanyak	RM500	daripada	jumlah
pendapatan	RM5	000.

Realistic	 [Bersifat	 realistik]	 -	 RM500	 daripada	 jumlah	 pendapatan	 sebanyak	 RM5 000	 hanya
merupakan	10%	daripada	pendapatan.

Time-bound	 [Tempoh	 masa]	 -	 Setahun	 adalah	 cukup	 untuk	 mengumpulkan	 RM6 000	 dengan
simpanan	bulanan	sebanyak	RM500.

Bolehkah	Encik	Yusuf
mencapai	matlamatnya?

Encik	Yusuf	ingin	membeli	komputer	yang	berjenama
Fast	bernilai	RM6|000	bagi	urusan	jualan	insurans,
dalam	masa	setahun.
Saiz sebenar

284

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Pelan	kewangan	baharu	Encik	Yusuf	setelah	mengambil	kira	beberapa	langkah	dari	segi	perbelanjaan
tidak	tetap.

Pelan kewangan baharu Encik Yusuf

(RM)
Gaji	Encik	Yusuf
(Gaji	bersih	setelah	ditolak	potongan	wajib) 5	000

Pendapatan	pasif 0
Jumlah	pendapatan	bulanan 5	000
Tolak	simpanan	tetap	bulanan
(10%	daripada	pendapatan	bulanan)

500

Tolak	simpanan	untuk	dana	kecemasan 200
Baki	pendapatan 4	300
Tolak perbelanjaan tetap bulanan
Ansuran	pinjaman	rumah
Premium	insurans

1	000
500

Jumlah	perbelanjaan	tetap	bulanan 1	500
Tolak jumlah perbelanjaan tidak tetap bulanan
Makanan	dan	minuman
Pendidikan	anak-anak
Belanja	petrol
Bil	telefon
Bil	utiliti
Melancong
Pelaburan
Pelaburan	Amanah	saham

900
600
300
300
350
200

150
Jumlah	pendapatan	tidak	tetap 2	800
Pendapatan	lebihan 0 0

Simpanan	Encik	Yusuf	RM500	sebulan	boleh	membantu	Encik	Yusuf	mengumpul	sebanyak	RM6|000
pada	hujung	tahun	2020	bagi	mencapai	matlamat	jangka	pendek.

Menilai Kebolehlaksanaan pelan kewangan Encik Yusuf

Setiap	perancangan	kewangan	harus	 dinilai	 dari	 semasa	ke	 semasa	disebabkan	beberapa	 faktor.
Antara	faktor	yang	perlu	diberi	tumpuan	oleh	Encik	Yusuf	adalah	seperti	kadar	inflasi	semasa	yang
boleh	menyebabkan	kos	taraf	hidup	meningkat.	Hal	ini	secara	tidak	langsung	boleh	meningkatkan	jumlah
perbelanjaan.	Jika	keadaan	ini	berlaku	Encik	Yusuf	patut	mengambil	langkah	menambahkan	pendapatan.
Namun	pelan	kewangan	Encik	Yusuf	boleh	mencapai	matlamat	kerana	beliau	telah	mengambil	langkah
berjaga-jaga	untuk	melabur	dalam	Amanah	Saham.	Jumlah	perbelanjaan	tambahan	boleh	diatasi
dengan	dividen	yang	diterima.

Perbelanjaan-perbelanjaan	ini	boleh	dikurangkan
jika	mengamalkan	sikap	jimat	cermat
Saiz sebenar

285

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Pelan Kewangan Jangka Panjang

Pelan	 kewangan	 jangka	 panjang	 penting	 seperti	 pelan	 kewangan	 jangka	 pendek.	 Tujuan	 pelan
kewangan	jangka	panjang	adalah	bagi	mencapai	matlamat	seperti	yang	dirancang	pada	peringkat
awal.	Pelan	kewangan	jangka	panjang	merupakan	pelan	kewangan	yang	melebihi	lima	tahun	seperti
pendidikan	untuk	anak,	persaraan	dan	pembelian	rumah.	Untuk	membina	pelan	kewangan	jangka
panjang,	aspek	utama	yang	perlu	diambil	kira	adalah	seperti	yang	berikut:

Semasa	membina	pelan	kewangan	 jangka	panjang,	adalah	 lebih	baik
jika	kita	mulakan	tabungan	lebih	awal	kerana	amalan	ini	selamat	dan
dapat	 membantu	 kita	 mencapai	 matlamat	 kewangan	 dengan	 cepat.
Contohnya	sebagai	persediaan	untuk	persaraan.
Pelan	kewangan	jangka	panjang	yang	dibina	berbeza	bagi	setiap	individu.
Pendapatan	seseorang	individu	ataupun	gabungan	pendapatan	suami	dan
isteri	membolehkan	seseorang	 individu	menyimpan	simpanan	bulanan
yang	mencukupi	dalam	tempoh	masa	yang	lebih	pendek.

6Contoh

Encik	Syed	 dan	 isterinya	 ingin	membeli	 sebuah	 rumah	dalam	masa	 enam	 tahun	 selepas	mereka
berkahwin.	Jumlah	pendapatan	mereka	berdua	ialah	RM8|000	dan	jumlah	perbelanjaan	tetap	dan
tidak	 tetap	adalah	RM6|500.	Mereka	bercadang	membeli	sebuah	rumah	dua	 tingkat	yang	berharga
RM720|000	dengan	wang	pendahuluan	sebanyak	RM72|000.

(a)		Berapakah	simpanan	bulanan	yang	harus	disimpan	oleh	Encik	Syed	dan	isterinya	bagi	mencapai
	 matlamat	tersebut?

(b)	 Adakah	Encik	Syed	bijaksana	dari	segi	pembelian	rumah	yang	berharga	RM720|000?	Berikan
	 justifikasi	anda.

Penyelesaian:
(a)	 Simpanan	tahunan	yang	diperlukan	oleh	Encik	Syed		=	RM72	000

6	tahun

=	RM12	000

Simpanan	bulanan	yang	diperlukan	oleh	Encik	Syed		=	RM12	000
12	bulan

=	RM1	000

Bagi	keluarga	Encik	Syed,	jumlah	simpanan	bulanan	sebanyak	RM1|000	sebulan	bagi	mencapai
matlamat	jangka	panjang	tidak	sukar	memandangkan	jumlah	pendapatan	sebanyak	RM8|000.

(b)	 	Tidak.	Walaupun	Encik	Syed	boleh	membayar	wang	pendahuluan	RM72|000	namun	ansuran
bulanan	rumah	yang	perlu	dibayar	membebankan	beliau	kerana	jumlah	perbelanjaan	adalah	tinggi.

●	kadar	inflasi ●	kadar	faedah ●	kesihatan	diri ZON INFORMASI

Kadar	inflasi	ialah	keadaan
ekonomi	yang	mengalami
kenaikan	dalam	tingkat
harga	umum	secara
berterusan	dan	tidak	terhad.

Bincangkan	aspek-aspek	lain
yang	perlu	diambil	kira	untuk
membina	pelan	kewangan
jangka	panjang.

ZON INTERAKTIF

6
Saiz sebenar

286

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Kajian Kes

Andaikan	diri	anda	ialah	perunding	kewangan.	Encik	Wong	selaku	ketua	keluarga	yang	mengamalkan
aras	pendapatan	dan	perbelanjaan	bulanan	seperti	yang	ditunjukkan	di	bawah	telah	datang	berjumpa
dengan	anda	untuk	membina	pelan	kewangan	bagi	membeli	rumah.

Pelan kewangan Encik Wong

(RM)
Gaji	Encik	Wong
(Gaji	bersih	setelah	ditolak	potongan	wajib) 6	500

Pendapatan	pasif	(sewa	bulanan) 500
Jumlah	pendapatan	bulanan 7	000
Tolak	simpanan	tetap	bulanan
(10%	daripada	pendapatan	bulanan)

650

Tolak	simpanan	untuk	dana	kecemasan 100
Baki	pendapatan 6	250 6	250
Tolak perbelanjaan tetap bulanan
Ansuran	pinjaman	rumah
Ansurans	kereta
Premium	insurans

1	500
800
600

Jumlah	perbelanjaan	tetap	bulanan 2	900
Tolak jumlah perbelanjaan tidak tetap bulanan
Perbelanjaan	dapur
Melancong
Utiliti	rumah
Bil	telefon
Belanja	petrol
Gimnasium

1	300
500
350
300
800
100

Jumlah	perbelanjaan	tidak	tetap	 3	350
Pendapatan	lebihan 0 0

Encik	Wong	bekerja	sebagai	seorang	pegawai	pemasaran	di
sebuah	 syarikat	 manakala	 isterinya	 seorang	 suri	 rumah
tangga	dan	mempunyai	dua	orang	anak	yang	berumur	satu
dan	dua	tahun.	Encik	Wong	ingin	menyimpan	wang	untuk
pendidikan	 anak-anak	 sebanyak	RM150 000	dalam	masa
15	tahun	dari	sekarang.	Anda	sebagai	perunding	kewangan
membantu	Encik	Wong	untuk	membina	 pelan	 kewangan
yang	boleh	mencapai	matlamat	kewangan	Encik	Wong.
Saiz sebenar

287

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Penyelesaian:

Simpanan	tahunan	 =	RM150	000
15	tahun

=	RM10	000

Simpanan	bulanan	 =	RM10	000
12	bulan

=	RM833.33

Tambahan	simpanan	yang	diperlukan	=	RM833.33	–	RM650
	 =	RM183.33

Cadangan:

Encik	Wong	perlu	menambah	jumlah	simpanan	sebanyak	RM183.33	bagi	setiap	bulan.

1.	 	 Beliau	 boleh	 mengurangkan	 perbelanjaan	 bagi	 tujuan	 melancong	 sebanyak	 25%	 demi
mencapai	matlamat	kewangan	untuk	menyimpan	wang	bagi	tujuan	pendidikan	anak-anak.

Jumlah	pengurangan	perbelanjaan	melancong		 =	 25100	×	RM500

=	RM125

Jumlah	perbelanjaan	bulanan	baharu	melancong		 =	RM500	−	RM125

=	RM375

2.	 	 Beliau	 juga	 boleh	 mengurangkan	 perbelanjaan	 ke	 atas	 petrol	 sebanyak	 RM100	 dengan
berkongsi	 kereta	 dengan	 rakan	 sekerja.	Dengan	mengamalkan	kedua-dua	 langkah	di	 atas
boleh	menambah	jumlah	simpanan	sebanyak

=	RM125	+	RM100
	 	 	 =	RM225

3.	 	 Encik	 Wong	 juga	 boleh	 menggunakan	 langkah-langkah	 lain	 dalam	 mengurangkan
perbelanjaan	 tidak	 tetap	bagi	mencapai	matlamat	 kewangan.	Selain	 itu	Encik	Wong	 juga
boleh	menambahkan	pendapatan	dengan	melakukan	kerja-kerja	sampingan	yang	lain	untuk
menjanakan	pendapatan	tambahan.	Encik	Wong	juga	boleh	melabur	dengan	menggunakan
jumlah	wang	yang	dikumpulkan	pada	setiap	 tahun	supaya	memperoleh	pendapatan	pasif,
iaitu	dividen	dan	faedah	sebagai	tambahan	kepada	jumlah	pendapatan.

Bagaimanakah	Encik	Wong	boleh
mencapai	matlamat	kewangan
jangka	panjang	tersebut?
Saiz sebenar

288

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Pelan	kewangan	yang	baharu	setelah	mengambil	kira	cadangan-cadangan	tersebut.

Pelan kewangan baharu Encik Wong

(RM)
Gaji	Encik	Wong
(Gaji	bersih	setelah	ditolak	potongan	wajib) 6	500

Pendapatan	pasif	sewa	bulanan 500
Jumlah	pendapatan	bulanan 7	000
Tolak	simpanan	tetap	bulanan
(10%	daripada	pendapatan	bulanan)

650

Tolak	simpanan	untuk	dana	kecemasan 100
Baki	pendapatan 6	250
Tolak perbelanjaan tetap bulanan
Pinjaman	rumah
Ansuran	kereta
Premium	insurans

1	500
800
600

Jumlah	perbelanjaan	tetap	bulanan 2	900
Tolak jumlah perbelanjaan tidak tetap bulanan
Perbelanjaan	dapur
Melancong
Utiliti	rumah
Bill	telefon
Belanja	Petrol
Gimnasium

1	300
375
350
300
700
100

Jumlah	perbelanjaan	tidak	tetap	 3	125
Pendapatan	lebihan 225

Jumlah	simpanan	bagi	1	bulan	 =	Simpanan	bulanan	+	Simpanan	tambahan
	 	 	 	 =	RM650	+	225
	 	 	 	 =	RM875
Jumlah	simpanan	bagi	15	tahun	 =	RM875	×	12	×	15	tahun
	 	 	 	 =	RM157	500
Pada	hakikat	sebenar,	jumlah	wang	yang	dikumpulkan	adalah	lebih	daripada	RM157	500	kerana
simpanan	tahunan	di	bank	menawarkan	faedah.

Kebolehlaksanan	pelan	kewangan	Encik	Wong	bergantung	pada	beberapa	faktor	berikut:

1
2
3
4
5

Kadar	inflasi	harus	tidak	melebihi	kenaikan	gaji.

Sewa	rumah	yang	diterima	adalah	tetap.

Encik	Wong	sihat	dan	boleh	meneruskan	pekerjaan.

Peningkatan	dalam	perbelanjaan	boleh	diatasi	dengan	peningkatan	gaji,
sewa	dan	pekerjaan	sambilan.
Tidak	ada	perkara	di	luar	jangkaan	berlaku	bagi	keluarga	Encik	Wong
yang	melibatkan	kos	yang	tinggi.

Simpanan
tambahan
Saiz sebenar

289

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

Praktis Kendiri 10.1b

1.	 Apakah	faktor-faktor	yang	boleh	mempengaruhi	pelan	kewangan	jangka	masa	panjang?
2.	 Maklumat	di	bawah	berkaitan	dengan	aras	perancangan	kewangan	Puan	Thong.

Pelan Kewangan (RM)
Gaji	bersih	Puan	Thong 6	000

Bajet Perbelanjaan
Pinjaman	rumah/apartmen,	termasuk	penyelenggaraan 500
Ansuran	kereta 700
Melancong 500
Sewa 1	500
Tambang 900
Bil-bil	utiliti 250
Bayaran	tol 100
Perbelanjaan	dapur 400
Pemberian	kepada	ibu	bapa	 600
Simpanan 100
Insurans 200
Jumlah	perbelanjaan	 5	750
Baki pendapatan Puan Thong 250

(a)	 Adakah	Puan	Thong	mengamalkan	perbelanjaan	secara	berhemat?
	 (b)	 Adakah	Puan	Thong	boleh	mencapai	matlamat	kewangan	jangka	panjang	jika	beliau	ingin

membeli	harta	tanah	yang	bernilai	RM500	000	dalam	jangka	masa	6	tahun	dengan	corak
perbelanjaan	sedemikian?

1.	 Mengapakah	semakin	banyak	golongan	muda	di	Malaysia	diisytiharkan	muflis?
2.	 Apakah	kesan	jika	aliran	tunai	masuk	kurang	daripada	aliran	tunai	keluar?
3.	 Apakah	tujuan	mewujudkan	pelan	kewangan?
4.	 Berikan	dua	kelebihan	mengkaji	semula	dan	menyemak	kemajuan	pelan	kewangan.
5.	 Huraikan	dua	faktor	yang	boleh	menyebabkan	pelan	kewangan	sukar	dilaksanakan.

6.	 Mengapakah	kita	harus	mengkaji	semula	dan	menyemak	kemajuan	pelan	kewangan?
7.	 "Lebih	awal	kita	mulakan	tabungan	lebih	selamat"	untuk	mencapai	matlamat	kewangan	kita.

Jelaskan.
Saiz sebenar

290

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

8.	 Encik	 Nabil	 bekerja	 sebagai	 seorang	 jurutera	 di	 sebuah	 kilang	 dengan	 gaji	 bersih	 bulanan
RM3|	800.	Beliau	juga	menjadi	ejen	jualan	produk	X	sebagai	kerja	sampingan.	Komisen	bulanan
yang	diperoleh	dianggarkan	sebanyak	RM450.	Hasil	sewa	rumah	kedua	ialah	RM600	sebulan.
Anggaran	perbelanjaan	bulanan	adalah	seperti	yang	berikut.

Perbelanjaan Bulanan RM

Bayaran	ansuran	pinjaman	rumah	(1) 800
Bayaran	ansuran	pinjaman	rumah	(2) 500
Perbelanjaan	makanan 900
Bayaran	utiliti 150
Belanja	tol	dan	petrol 200
Langganan	perkhidmatan	Internet 100
Makan	di	restoran	mewah 400
Perbelanjaan	insurans 350

Encik	Nabil	menetapkan	10%	daripada	gajinya	sebagai	simpanan	tetap	bulanan	untuk	mencapai

matlamat	kewangannya.
(a)	 Anda	dikehendaki	menyediakan	satu	pelan	kewangan	peribadi	bulanan	untuk	Encik	Nabil.
(b)	 Kemukakan	 komen	 tentang	 lebihan	 atau	 kurangan	 yang	 akan	 dialami	 oleh	Encik	Nabil

berdasarkan	pelan	kewangan	ini.

9.	 Apakah	kesan	jika	aliran	tunai	ialah
	 (a)	 aliran	tunai	positif
	 (b)	 aliran	tunai	negatif

P R O J E K

Bayangkan	 ilustrasi	di	atas	menunjukkan	matlamat	kewangan	setiap	ahli	keluarga	anda.
Cuba	bantu	mereka	dengan	membina	pelan	kewangan	jangka	pendek	dan	jangka	panjang
berpandukan	konsep	pendekatan	SMART.	Anda	juga	harus	mendapatkan	maklumat	tentang
pendapatan	serta	perbelanjaan	yang	wujud	dalam	keluarga	anda.	Pada	masa	kelak,	anda
juga	boleh	bertindak	sebagai	perunding	kewangan	untuk	keluarga	anda.
Saiz sebenar

291

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

PETA KONSEP

Perancangan dan Pengurusan Kewangan

Menetapkan	matlamat

Menilai	kedudukan
kewangan

Mewujudkan	pelan
kewangan

Melaksanakan	pelan
kewangan

Mengkaji	semula	dan
menyemak	kemajuan

Proses	Pengurusan	Kewangan

Lebihan/Kurangan

Pelan	Kewangan	Peribadi

Aliran	tunai
masuk

Aliran	tunai
keluar

Jangka
pendek

Jangka
panjang

Matlamat	kewangan

Menilai	kebolehlaksanaan
pelan	kewangan

Konsep	SMART

S		Specific

M		Measurable

A		Attainable

R		Realistic

T		Time-bound
Saiz sebenar

292

10
B

A
B

Bab 10  Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan

 Eksplorasi Matematik

Bayangkan	diri	anda	diundang	untuk	memberikan	ceramah	yang	bertajuk	'CELIK
PENGURUSAN	KEWANGAN'	kepada	golongan	remaja	di	sebuah	institusi	pendidikan.

Arahan:
1.	 Bahagikan	murid	kepada	kumpulan	yang	sesuai.

2.	 Ucapan	ceramah	anda	mesti	mengandungi	isi-isi	berikut:
	 (a)	 Kepentingan	pengurusan	kewangan
	 (b)	 Cara	mewujudkan	pelan	kewangan
	 (c)	 Matlamat	jangka	pendek	dan	jangka	panjang
	 (d)	 Contoh	bajet	peribadi	untuk	golongan	dewasa

3.	 Hasil	kerja	anda	boleh	dipersembahkan	dalam	bentuk	multimedia	di	bilik	komputer.	Teks
ucapan	anda	boleh	juga	dipamerkan	di	Sudut	Matematik	kelas	anda.

Lengkapkan	ruang	di	bawah	dengan	jawapan	yang	sesuai	mengikut	pernyataan	yang	diberikan.

Proses	pengurusan	kewangan	terdiri	daripada:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

Matlamat	kewangan	berasaskan	konsep
SMART.

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

Ciri-ciri	pelan	kewangan	peribadi
jangka	pendek.

(a)
(b)
(c)

Ciri-ciri	pelan	kewangan	peribadi
jangka	panjang.

(a)
(b)
(c)
(d)
Saiz sebenar

293

BAB 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik
 dalam Satu Pemboleh Ubah

Praktis Kendiri 1.1a

1. (a) Ya
 (b) Bukan kerana terdapat kuasa bukan nombor bulat
 (c) Bukan kerana terdapat dua pemboleh ubah x dan y
 (d) Ya
 (e) Bukan kerana kuasa tertinggi adalah kuasa tiga
 (f) Bukan kerana terdapat kuasa bukan nombor bulat
 (g) Bukan kerana terdapat kuasa bukan nombor bulat.
 (h) Ya
 (i) Ya
2. (a) a = 2, b = –5, c = 1
 (b) a = 1, b = –2, c = 0
 (c) a = 2, b = 0, c = 1
 (d) a = – 12, b = 4, c = 0

(e) a = –2, b = –1, c = 1
 (f) a = 4, b = 0, c = 0
 (g) a = 1, b = 32 c = –4
 (h) a = 13, b = 0, c = –2
 (i) a = 2,  b = –6 c = 0

Praktis Kendiri 1.1b

1. (a)             (b)

2. (a) a > 0, titik minimum
 (b) a < 0, titik maksimum
3. (a) Titik minimum (4, –15), x = 4
 (b) Titik maksimum (3, 13.5), x = 3
 (c) Titik maksimum (–2, 4), x = –2
 (d) Titik minimum (2, –2), x = 2

Praktis Kendiri 1.1c

1. (a) 5 (b) –3 (c) 4
2. 0 < p < 4
 Fungsi f(x) lebih besar bukaan, maka p < 4.
 Bagi graf berbentuk , a < 0, maka p > 0
3. (a) k = –1
 (b) h = 5
 (c) f (x) = x2 – 6x – 5

Praktis Kendiri 1.1d

1. (a) L = x2 + 25x + 100 (b) x2 + 25x – 150 = 0
2. p2 + 4p – 48 = 0

Praktis Kendiri 1.1e

1. (a) x = –0.35, x = 2
 (b) x = –4, x = 5
2. (a) x = 3 ialah punca, x = 2 ialah punca

(b) x = 1 ialah punca, x = 12 bukan punca

(c) x = – 13 ialah punca, x = –2 bukan punca

(d) x = 2 bukan punca, x = 23 ialah punca
3. (a) x = – 4 dan x = 1 ialah punca, x = 2 bukan punca
 (b) x = 3 dan x = 5 ialah punca, x = –3 bukan punca
 (c) x = –2 dan x = 4 ialah punca, x = 2 bukan punca
4. (a) x = 1 bukan punca (b) x = –3 ialah punca
 (c) x = 15 bukan punca (d) x = 5 ialah punca

Praktis Kendiri 1.1f

1. (a) x = 5, x = –2 (b) x = 2, x = 8
 (c) x = 2

3
, x = 1  (d) x = –6, x = 2

(e) x = –3, x = 32 (f) x = – 54, x = 2

(g) x = – 7
3

, x = 2 (h) x = 0, x = 5

(i) x = –2, x = 2
2. (a) m2 + 2m – 3 = 0; m = –3, m = 1
 (b) 2p2 – 11p + 5 = 0; p = 12 , p = 5
 (c) y2 + 2y – 24 = 0; y = 4, y = –6
 (d) a2 – 6a + 5 = 0; a = 5, a = 1
 (e) k2 + 2k – 8 = 0; k = 2, k = –4
 (f) 2h2 – 7h + 6 = 0; h = 2, h = 32
 (g) h2 – 3h – 10 = 0;  h = –2, h = 5
 (h) 4x2 – 7x + 3 = 0;  x = 34 , x = 1
 (i) r2 – 6r + 9 = 0; r = 3

Praktis Kendiri 1.1g

1. (a) f (x)

O–4
x

3

–24

2. (a)

(b) f (x)

O
x

4

16

(b)

(c) f (x)

O–4
x

5

40

(c)

(d) f (x)

O–2
x

2

8

f (x)

O
x

3

14

5

(3, 14)

–3

f (x)

O
x

2

9

(2, 9)

1

–2

f (x)

O

2

x2

–2 (2, –2)

–2

Jawapan
Saiz sebenar

294

Praktis Kendiri 1.1h

1. (a) L = 5x2 + 20x  (b) RM8 000
2. Ya

1. (a) Ya (b) Ya
 (c) Bukan (d) Bukan
 (e) Ya (f) Ya
2. (a) x = 2 (b)   x = 3

3. (a) x = – 12 , x = 12
 (b) x = –9, x = 9
 (c) y = 0, y = 4
 (d) x = –1, x = –2

(e) x = –2, x = 52
 (f) x = 6, x = –2
 (g) m = 1, m = –4

(h) p = 4, p = 52
 (i) k = 7, k = –2
 (j) h = 2, h = –2

(k) x = 5, x = 32
4. p = 7
5. m = 6, m = 4
6. (3, –4)
7. (4, 23)
8. (a) A (0, –5)
 (b) x = 3
 (c) B (6, –5)
 (d) (3, 4)
9. (a) c = 6 (b) m = –2
 (c) a = 2 (d) n = –2
10. (a) h = 1 (b) k = 5
 (c) a = 3 (d) x = 3
 (e) P(3, –12)
11. (a) L = x2 – 3x – 4
 (b) panjang = 8 cm, lebar = 3 cm
12. 20 cm
13. (a) L = x2 + 27x + 180  (b) x = 8
 (c) cukup
14. (a) L = x2 – 5x – 4 (b) x = 7
 (c) 38 m

BAB 2 Asas Nombor

Praktis Kendiri 2.1a

1. Terima jawapan murid yang betul.
2. 461, 371, 829

3. (a) 234
(b) 234, 336
(c) 234, 336, 673
(d) 234, 336, 673, 281

4. (a) 24 (b) 52 (c) 71

(d) 61 (e) 32 (f) 91

(g) 42 (h) 83 (i) 62

(j) 50

5. (a) 4 (b) 10 (c) 3
 (d) 72 (e) 54 (f) 2 058
 (g) 8 (h) 448 (i) 12
 (j) 4
6. (a) 15 (b) 277 (c) 53
 (d) 278 (e) 193 (f) 15
 (g) 38 (h) 655 (i) 191
 (j) 43
7. (a) p = 3, q = 22
 (b) p = 2, q = 7
 (c) p = 4, q = 3
8. 651
9. (a) 1102, 1112, 11012, 11102

(b) 1124, 1324, 2314, 11234
 (c) 1245, 2315, 2415, 3245
10. (a) 12134, 899, 1111012
 (b) 3135, 738, 1234
 (c) 2536, 1617, 2223
11. 315

Praktis Kendiri 2.1b

1. (a) 1111011102  (b) 132324 (c) 34345
 (d) 7568 (e) 6089
2. (a) 10223 (b) 245 (c) 1000010012
  (d) 2516 (e) 2518 (f) 100124
3. 10103
4. (a) 758 (b) 168 (c) 3678
 (d) 528 (e) 708 (f) 7258
5. (a) 1000112  (b) 10010102

(c) 1011112  (d) 10100011112

(e) 1100111012  (f) 101000112

Praktis Kendiri 2.1c

1. (a) 1012 (b) 1110012 (c) 11013
 (d) 12203 (e) 234 (f) 31104
 (g) 11035 (h) 40025 (i) 5136
 (j) 2136 (k) 4527 (l) 11137
 (m) 20208 (n) 7358 (o) 2119

(p) 65539
2. (a) 11012 (b) 1102 (c) 12223
 (d) 1213 (e) 104 (f) 3024
 (g) 3235 (h) 11415 (i) 34136
 (j) 11036 (k) 54537 (l) 63137
 (m) 7468 (n) 42018 (o) 6459

(p) 14439
Saiz sebenar

295

Praktis Kendiri 2.1d

1. x = 557
2. (a) 168  (b) 1345
3. Puan Amirah
4. 1600 m2

1. (a) 2405, 2415, 2425
 (b) 1102, 1112, 10002

(c) 317, 327, 337
2. 32
3. (a) 7168 (b) 111101112
4. (a) 111100012 (b) 14315
 (c) 4637 (d) 3618
5. (a) 101012 (b) 4427 (c) 569
6. (a) Benar (b) Benar (c) Palsu
7. 269
8. 39
9. y = 105
10. (a) 658, 1101102  (b) 1768, 10035
11. 1325
12. 558
13. 427

BAB 3 Penaakulan Logik

Praktis Kendiri 3.1a

1. (a) Bukan Pernyataan kerana ayat itu tidak dapat
ditentukan nilai kebenarannya.

(b) Pernyataan kerana ayat itu benar.
 (c) Bukan Pernyataan kerana ayat itu tidak dapat

ditentukan nilai kebenarannya.
 (d) Pernyataan kerana ia benar.
 (e) Bukan Pernyataan kerana ayat itu tidak dapat

ditentukan nilai kebenarannya.
2. (a) 40 > 23 + 9  (b) {3} ⊂ {3, 6, 9}

(c) 1
4 × 10

3
 = 5

6
  (d) x2 + 3 ≤ (x + 3)2

(e) 3√ 27 + 9 = 12
3. (a) Palsu  (b) Palsu (c) Palsu
 (d) Benar (e) Benar

Praktis Kendiri 3.1b

1. 819 bukan gandaan 9.   Palsu
2. Lelayang tidak mempunyai dua paksi simetri. Benar
3. Kon tidak mempunyai satu muka melengkung. Palsu
4. Dua garis selari tidak mempunyai kecerunan
 yang sama.    Palsu
5. Bukan semua persamaan kuadratik mempunyai
 2 punca yang sama.   Benar

Praktis Kendiri 3.1c

1. (a) 2 atau 3 ialah faktor perdana nombor 6.
 (b) Kon mempunyai satu bucu dan satu satah.
 (c) Rombus dan trapezium ialah sisi empat selari.
2. (a) Benar  (b) Palsu (c) Palsu (d) Palsu
 (e) Benar (f) Benar (g) Palsu (h) Benar

Praktis Kendiri 3.1d

1. (a) Jika x = 3, maka x4 = 81.
 (b) Jika ax3 + bx2 + cx + d = 0 ialah persamaan kubik,

maka a ≠ 0.
 (c) Jika n – 5 > 2n, maka n < –5.
 (d) Jika mn  > 1, maka m2 > n2.
2. (a) Antejadian: x ialah nombor genap.
  Akibat:  x2 ialah nombor genap.
 (b) Antejadian:  set K = φ.
  Akibat:  n(K) = 0.
 (c) Antejadian: x ialah nombor bulat.
  Akibat: 2x ialah nombor genap.
 (d) Antejadian: Garis lurus AB ialah tangen kepada

bulatan P.
  Akibat:  Garis lurus AB hanya menyentuh
     bulatan P pada satu titik sahaja.
3. (a) k ialah nombor kuasa dua sempurna jika dan

hanya jika √k ialah nombor bulat.
 (b) P ù Q = P jika dan hanya jika P , Q.
 (c) pq = 1 jika dan hanya jika p = q–1 dan q = p–1.
 (d) k2 = 4 jika dan hanya jika (k + 2)(k – 2) = 0.
4. (a) Jika PQR ialah poligon sekata, maka PQ = QR = PR.
  Jika PQ = QR = PR, maka PQR ialah poligon sekata.
 (b) Jika  mn  ialah pecahan tidak wajar, maka m > n.
   Jika m > n, maka mn  ialah pecahan tidak wajar.
 (c) Jika 9 ialah pintasan-y bagi garis lurus y = mx + c,

maka c = 9.
  Jika c = 9, maka 9 ialah pintasan-y bagi garis

lurus y = mx + c.
 (d) Jika f (x) = ax2 + bx + c mempunyai titik

maksimum, maka a < 0.
  Jika a < 0, maka f (x) = ax2 + bx + c mempunyai

titik maksimum.

Praktis Kendiri 3.1e

1. (a) Akas: Jika x > –1, maka x + 3 > 2.
  Songsangan: Jika x + 3 ≤ 2, maka x ≤ –1.
  Kontrapositif: Jika x ≤ –1, maka x + 3 ≤ 2.

(b) Akas: Jika hasil tambah punca bagi
(k – 3)(k + 4) = 0 ialah –1, maka (k – 3)
(k + 4) = 0 mempunyai dua punca berbeza.

Songsangan:  Jika (k – 3)(k + 4) = 0 tidak
mempunyai dua punca berbeza,
maka hasil tambah (k – 3)(k + 4) = 0
bukan −1.

Kontrapositif: Jika hasil tambah punca bagi
(k – 3)(k + 4) = 0 bukan −1, maka
(k – 3)(k + 4) = 0 tidak mempunyai
dua punca berbeza.
Saiz sebenar

296

(c) Akas:  Jika AB selari dengan CD, maka ABCD
ialah sebuah segi empat selari.

Songsangan:  Jika ABCD bukan sebuah segi empat
selari, maka AB tidak selari dengan CD.

Kontrapositif:  Jika AB tidak selari dengan CD, maka
ABCD bukan sebuah segi empat selari.

2. (a)

(b)

(c)

Implikasi: Jika segi empat tepat
mempunyai 4 paksi simetri, maka segi
empat tepat mempunyai 4 sisi.
Akas: Jika segi empat tepat mempunyai 4
sisi, maka segi empat tepat mempunyai 4
paksi simetri.
Songsangan: Jika segi empat tepat tidak
mempunyai 4 paksi simetri, maka segi
empat tepat tidak mempunyai 4 sisi.
Kontrapositif: Jika segi empat tepat
tidak mempunyai 4 sisi, maka segi
empat tepat tidak mempunyai 4 paksi
simetri.

Benar

Palsu

Palsu

Benar

(d)

Implikasi: Jika 55 + 55 = 4 × 5, maka
666 + 666 = 6 × 6
Akas: Jika 666 + 666 = 6 × 6,
maka 55 + 55 = 4 × 5.
Songsangan: Jika 55 + 55 ≠ 4 × 5, maka
666 + 666 ≠ 6 × 6.
Kontrapositif: Jika 666 + 666 ≠ 6 × 6,
maka 55 + 55 ≠ 4 × 5.

Benar

Benar

Benar

Benar

Praktis Kendiri 3.1f

1. (a) Palsu. Segi empat tepat tidak mempunyai empat
sisi yang sama panjang.

(b) Benar

Implikasi: Jika 2 ialah faktor bagi 10,
maka 10 boleh dibahagi tepat dengan 2.
Akas: Jika 10 boleh dibahagi tepat
dengan 2, maka 2 ialah faktor bagi 10.
Songsangan: Jika 2 bukan faktor bagi
10, maka 10 tidak boleh dibahagi tepat
dengan 2.
Kontrapositif: Jika 10 tidak boleh
dibahagi tepat dengan 2, maka 2 bukan
faktor bagi 10.

Benar

Benar

Benar

Benar

Implikasi: Jika 4 ialah punca x2 – 16 = 0,
maka 4 bukan punca bagi (x + 4)
(x – 4) = 0.
Akas: Jika 4 bukan punca bagi (x + 4)
(x – 4) = 0, maka 4 ialah punca bagi x2
– 16 =0.
Songsangan: Jika 4 bukan punca bagi
x2 – 16 = 0, maka 4 ialah punca bagi
(x + 4)(x – 4) = 0.
Kontrapositif: Jika 4 ialah punca bagi (x
+ 4)(x – 4) = 0, maka 4 bukan punca bagi
x2 – 16 = 0.

Palsu

Benar

Benar

Palsu

(c) Benar
 (d) Palsu. 36 tidak boleh dibahagi tepat dengan 14.
2. (a) 1008 – 778 ≠ 18. Palsu 1008 – 778 = 18.
 (b) Kuboid tidak mempunyai empat keratan rentas

seragam. Benar
 (c) Jika y = 2x dan y = 2x–1 mempunyai kecerunan

yang sama, maka y = 2x selari dengan y = 2x–1.
Benar

(d) Jika segi tiga ABC tidak bersudut tepat di C, maka
c2 ≠ a2 + b2. Benar

(e) Jika w ≥ 5, maka w ≥ 7. Palsu. Apabila w = 6,
6 > 5 tetapi 6 < 7.

Praktis Kendiri 3.2a

1. Hujah deduktif 6. Hujah induktif
2. Hujah induktif 7. Hujah induktif
3. Hujah induktif 8. Hujah deduktif
4. Hujah deduktif 9. Hujah deduktif
5. Hujah deduktif 10. Hujah induktif

Praktis Kendiri 3.2b

1. Sah dan tidak munasabah kerana premis 1 dan
kesimpulan tidak benar.

2. Sah dan munasabah
3. Sah dan munasabah
4. Sah tetapi tidak munasabah kerana premis 1 tidak benar.
5. Tidak sah tetapi munasabah kerana tidak mematuhi

bentuk deduktif yang sah.
6. Sah dan munasabah.
7. Tidak sah dan tidak munasabah kerana tidak mematuhi

bentuk deduktif yang sah. Lelayang juga mempunyai
pepenjuru berserenjang tetapi bukan rombus.

8. Sah dan munasabah.
9. Tidak sah dan munasabah kerana tidak mematuhi

bentuk deduktif yang sah.
10. Sah dan munasabah.

Praktis Kendiri 3.2c

1. (a) Preevena menggunakan buku teks digital.
 (b) Kai Meng mendapat hadiah tunai RM200.
 (c) Segi empat PQRS bukan poligon sekata.
 (d) ∆ABC mempunyai satu paksi simetri.
 (e) m : n = 2 : 3
 (f) m + 3 > 2m – 9
2. (a) Garis lurus AB mempunyai kecerunan sifar.
 (b) Semua gandaan 9 boleh dibahagi tepat dengan 3.
 (c) Poligon P ialah nonagon.
 (d) Jika x > 6, maka x > 4.
 (e) Suhu bilik tidak kurang daripada 19°C.
 (f) Jika 3x – 8 =16, maka x = 8.

Praktis Kendiri 3.2d

1. Hujah lemah dan tidak meyakinkan kerana
kesimpulan mungkin palsu.

2. Hujah kuat dan meyakinkan.
3. Hujah lemah dan tidak meyakinkan kerana kesimpulan

mungkin palsu.
Saiz sebenar

297

4. Hujah kuat dan meyakinkan.
5. Hujah kuat tetapi tidak meyakinkan kerana premis
 adalah palsu.
6. Hujah lemah dan tidak meyakinkan kerana kesimpulan

mungkin palsu.

Praktis Kendiri 3.2e

1. (3n)–1; n = 1, 2, 3, 4, …

2. n
5; n = 1, 2, 3, 4, ...

3. 2(n)3 + n; n = 0, 1, 2, 3, ...
4. 20 – 4n; n = 0, 1, 2, 3, ...

Praktis Kendiri 3.2f

1. RM43
2. (a) 32 500 orang (b) ke-14
3. (a) 536 100 – 15 000n (b) 431 100 bayi
4. (a) sin 60° =

y
z  sin 40° =

p
r  sin 20° =

a
c

kos 30° =
y
z  kos 50° =

p
r  kos 70° =

a
c

(b) sin θ = kos (90° – θ)
 (c) 0.9848

1. (a) Pernyataan sebab ayat itu benar.
 (b) Bukan pernyataan sebab ayat itu tidak dapat

ditentukan nilai kebenarannya.
 (c) Pernyataan sebab ayat itu palsu.
 (d) Bukan pernyataan sebab ayat itu tidak dapat

ditentukan nilai kebenarannya.
 (e) Bukan pernyataan sebab ayat itu tidak dapat

ditentukan nilai kebenarannya.
 (f) Pernyataan sebab ayat itu benar.
 (g) Bukan pernyataan sebab ayat itu tidak dapat

ditentukan nilai kebenarannya.
 (h) Pernyataan sebab ayat itu benar.
 (i) Pernyataan sebab ayat itu palsu.
2. (a) Benar
 (b) Palsu. –3 ialah integer yang bernilai negatif.

(c) Palsu. 3
2

ialah pecahan yang lebih besar daripada
satu.

(d) Palsu. Pepenjuru bagi lelayang bukan pembahagi
dua sama serenjang.

3. (a) Palsu (b) Benar      (c) Benar         (d) Palsu
4. (a) Semua heksagon mempunyai enam bucu.
 (b) Sebilangan bulatan mempunyai jejari 18 cm.
 (c) Sebilangan segi tiga mempunyai tiga paksi simetri
5. (a) (i) Antejadian: p < q
   Akibat: q – p > 0.
  (ii) Antejadian: Perimeter segi empat tepat A ialah

2(x+y).
   Akibat: Luas segi empat tepat A ialah xy.
 (b) (i) x ialah gandaan 10 jika dan hanya jika x ialah

gandaan 5.
  (ii) 6 ialah faktor bagi 12 jika dan hanya jika 6

ialah faktor bagi 24.
 (c) (i) Jika 20% daripada 30 ialah 6, maka 0.2 × 30 = 6.
   Jika 0.2 × 30 = 6, maka 20% daripada 30

ialah 6.
  (ii) Jika M boleh dibahagi tepat dengan 20, maka

M boleh dibahagi tepat dengan 2 dan 10.
   Jika M boleh dibahagi tepat dengan 2 dan 10,

maka M boleh dibahagi tepat dengan 20.
6. (a) Jika α + β = 90°, maka α dan β adalah dua sudut

pelengkap. Benar
 (b) Jika w ≤ 30, maka w ≤ 20. Palsu sebab 28 < 30

tetapi 28 > 20.
 (c) Jika p ≤ 0, maka p2 ≤ 0. Palsu sebab –2 < 0

tetapi  (–2)2  > 0.
 (d) Poligon tidak mempunyai jumlah sudut

peluaran 360°. Palsu sebab hasil tambah sudut
peluaran setiap poligon ialah 360°.

7. (a) 2 ialah faktor bagi 8.
 (b) x = 5
 (c) Jika α = β, maka sin2 α + kos2 β = 1.
 (d) 54 ialah gandaan bagi 18.
 (e) m ≤ 0
 (f) Fungsi g(x) ialah fungsi kuadratik.
8. (a) Luas permukaan bagi lima kon yang sama ialah

700 π cm2.
 (b) Persamaan garis lurus PQ ialah y = 3x + 5.
9. (a) n2 – 5 ; n = 1, 2, 3, 4, ...
 (b) 2n + 3 ; n = 0, 1, 2, 3, ...
 (c) 4n + n2 ; n = 1, 2, 3, 4, ...
 (d) 3n + 2(n – 1)2 ; n = 1, 2, 3, 4, ..
10. (a) Hujah deduktif
 (b) Hujah induktif
11. (a) Pola bilangan silinder ialah 2n +1;
  n = 1, 2, 3, 4, ...
 (b) 104 720 cm3

12. (a) 32(π+2), 16(π+2), 8(π+2), 4(π+2)

(b) 1
4

(π+2) cm

BAB 4 Operasi Set

Praktis Kendiri 4.1a

1. (a) M = {1, 3, 5, 7, 9} (b) N = {3, 6, 9}
 (c) M ù N = {3, 9}
2. (a) J ù K = {4, 6, 9}  (b) J ù L = {3, 9}
 (c) K ù L = {9}  (d) J ù K ù L = {9}
3.

ξ

•14 •16

•17 •19

•18

•15

•2

•5

P

Q

R •10
•1

•20

•4
•6
•8
•9
•12

•3
•7
•11
•13
Saiz sebenar

298

4. (a) A ù B = {I}, n(A ù B) = 1
 (b) A ù C = { }, n(A ù C) = 0
 (c) B ù C = { }, n(B ù C) = 0
 (d) A ù B ù C = { }, n(A ù B ù C) = 0

Praktis Kendiri 4.1b

1. (a) (P ù Q)'  = {2, 4, 6, 8, 9, 10}
 (b) (Q ù R)' = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
 (c) (P ù Q ù R)' = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
2. (a) (G ù H)' = {11, 12, 14, 16, 17, 18}
 (b) (G ù I)' = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
 (c) (H ù I)' = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
 (d) (G ù H ù I)' = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
3. (a) ξ P Q

R

(P ù Q)'

(b)  ξ

(P ù R)'

P Q

R

(c)

4. (a) (M ù L)   = {a, b, c, d, f, g}
 (b) (N ù L)'  = {a, b, c, d, g}
 (c) (M ù N)' = {a, b, d, f, g}
 (d) (L ù M ù N)' = {a, b, c, d, f, g}

Praktis Kendiri 4.1c

1. (a) 15                       (b) 30
2. (a) 123                     (b) 15                (c) 78
3. 62
4. 16
5. 8

Praktis Kendiri 4.2a

1. (a) A ø B = {b, d, k, n, p, s}
 (b) A ø C = {f, g, k, l, n, p, s}
 (c) B ø C = {b, d, f, g, l, n, s}
 (d) A ø B ø C = {b, d, f, g, k, l, n, p, s}
2. (a) P Q

•55

R

•51
•57

ξ

•58
•50

•56
•52

•54
•60

•53
•59

(b) (i) P ø Q = {51, 53, 54, 55, 57, 59, 60}
  (ii) P ø R = {51, 53, 54, 57, 59, 60}
  (iii) Q ø R = {51, 53, 55, 57, 59}
  (iv) P ø Q ø R = {51, 53, 54, 55, 57, 59, 60}
3. (a) ξ

R ø T

R

T

S
  (b) ξ

R ø S

R

T

S
 (c)

4. (a) J ø K = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}
 (b) J ø L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}
 (c) J ø K ø L  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

ξ

(P ù Q ù R)'

P Q

R

ξ

R ø S ø T

R

T

S

Praktis Kendiri 4.2b

1. (a) A' = {3, 4, 7, 8}
 (b) B' = {5, 6, 7, 8}
 (d) (A ø B)' = {7, 8}
2. (a)

G

H

I

•21
•25
•27

•23
•29

ξ

•15
•22

•20 •26

•11
•13
•17
•19

•12
•18
•30

•28

•10
•14
•16

•24

(b) (i) (G ø H)' = {15, 20, 22, 24, 26, 28}
  (ii) (H ø I)' = {11, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 26, 28}
  (iii) (G ø H ø I )' = {15, 20, 22, 26, 28}
3. (a)   (b)

4. (a) ξ M N

(M ø N)'

(b)   (c)

Praktis Kendiri 4.2c

1. x = 3
2.  8
3.  11
4. (a) 25 (b) 87 (c) 61
5. 94

Praktis Kendiri 4.3a

1. M

N

P

2. (S ø T) ù R = {3, 5, 7, 11, 13}
3. (a) P ù (Q ø R) = {3}
 (b) Q ù (P ø R) = {3, 8}
 (c) (Q ø R) P = {2, 3, 6, 7, 8}

Praktis Kendiri 4.3b

1. (a) L' ù (M ø N) = {13, 15, 19}
 (b) (M ø N)' ù L = {12, 14, 18}
2. 25
3. (a) LJ Kξ  (b) ξ

L
J K

A B C

(A ø B ø C)'

ξ
A B C

(A ø B)'

ξ

P Q
R

(Q ø R)'

ξ JK
L

(J ø K ø L)'

ξ
Saiz sebenar

299

4. (a) y = 11  (b) 51

Praktis Kendiri 4.3c

1. 39
2. k = 4
3. 12
4. (a) 41 (b) 25 (c) 7

1. (a) P ù Q = {3, 5}
 (b) P ù R = {3}
 (c) P ù Q ù R = {3}
 (d) (P ù Q ù R)' = {2, 5, 6}
2. (a) M ø N = {a, b, d, i, k, u}
 (b) M ø P = {a, b, e, i, k, n, r}
 (c) M ø N ø P = {a, b, d, e, i, k, n, r, u}
3. (a) P

Q R

P ù Q

(b) P
Q R

P ø R

4. (a) T' = {1, 3, 5, 6, 8}
 (b) S ø T = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
 (c) S' ù T = {2, 4, 9}
 (d) (S ø T)' = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}
5. A' = {d, e, f, h, i}
6. (a) Q' = {11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24,

26, 27, 28, 29}
 (b) P ø R' = {10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,

21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30}
 (c) (P ø R)' ù Q = {10, 15, 20, 25, 30}
7. (a)

A ù (B ø C)

A CB   (b)
A CB

C  ø (A ù B)'
8. 39
9. 31
10. 6
11. (a) 8         (b) 11      (c) 54
12. (a) 8         (b) 5            (c) 7          (d) 2
13. 50

BAB 5 Rangkaian dalam Teori Graf

Praktis Kendiri 5.1a

1. (a) (i) V = {1, 2, 3, 4, 5}
   n(V) = 5
  (ii) E = {(1, 2), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4),

(4, 5)}
   E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
   n(E) = 7
  (iii) 14
  (b) (i) V = {P, Q, R, S, T, U, V, W}
   n(V) = 8

(ii) E = {(Q, P), (Q, R), (Q, W), (R, V), (S, T), (S, U),
       (U, V), (V, W)}

n(E) = 8
  (iii) 16
  (c) (i) V = {A, B, C, D, E, F}
   n(V) = 6
  (ii) E = {(A, B), (A, F), (B, C), (B, E), (C, D), (C, E),

(D, E), (E, F)}
   n(E) = 8
  (iii) 16
2. (a) (i) V = {A, B, C, D, E}
   n(V) = 5
  (ii) E = {(A, B), (A, B), (A, E), (B, C), (B, D),

(B, E), (C, C), (C, D), (D, E), (D, E)}
   n(E) = 10
  (iii) 20
  (b) (i) V = {O, P, Q, R, S, T, U}
   n(V) = 7
  (ii) E = {(P, U), (P, U), (U, T), (U, T), (P, Q), (P, O),

(Q, R), (Q, R), (Q, O), (R, R), (R, S), (R, S),
      (R, O), (S, O), (S, T), (T, O), (U, O)}

n(E) = 17
  (iii) 34
3.  (a) (b)

4. (a) (b)

5. (a) (b)

6. (a) (b)

Praktis Kendiri 5.1b

1. (i) Tepi ditanda dengan arah.
  (ii) Penulisan pasangan bucu adalah mengikut arah
  pada tepi.
2. Suatu nilai atau maklumat yang mengaitkan bucu.

P

U T

Q

S

R
1 2

56

43

P Q

RS

2

1 5

4

3
Saiz sebenar

300

(b) Jenis makanan. Tidak bersilang.
 (c) Jumlah darjah = Bilangan murid × pilihan makanan.
 (d) graf
3. (b) Graf tak terarah. Carta organisasi ialah suatu rangkaian

kerana ia mempamerkan kaitan antara individu yang
terlibat berdasarkan kehendak carta tersebut.

Praktis Kendiri 5.1e

1. (a) Johor Bahru – Kuching (Sabtu, 06:05 pagi) dan
seterusnya Kuching – Miri (Sabtu, 11:45 pagi).

(b) Johor Bahru – Kuching (Jumaat, 20:00 malam)
dan seterusnya Kuching – Miri (Jumaat, 21:55
malam). Walaupun harga tiket penerbangan ini
RM35 lebih daripada penerbangan paling murah
pada hari Sabtu, Encik Maswi dapat meluangkan
masa yang lebih dengan keluarga.

1. (a) (i) V = {P, Q, R, S, T, U}
  (ii) E = {(P, Q), (P, S), (P, U), (Q, R), (Q, T), (R, S),

(R, U), (S, T), (T, U)}
  (iii) 18
  (b) (i) V = {P, Q, R, S, T, U}
  (ii) E = {(P, P), (P, Q), (P, R), (Q, R), (R, S),

(S, T), (S, T)}
  (iii) 14
  (c) (i) V = {P, Q, R, S, T}
  (ii) E = {(P, Q), (R, Q), (S, R), (P, S), (S, P),

(S, T), (T, T)}
  (iii) 14
2.  (a)

U

P

Q

RS

T

(b) P

Q

R

S

T

3. (a)

Karak

Kuala Krau

Lanchang

Teriang

Bandar Bera

Mentakap
Temerloh

21.9 km
21.1 km 9.3 km

30.2 km

4.9 km

34.6 km

(b)  Ya, kerana semua pasangan bucu dikaitkan
dengan satu tepi. Bucu = 7, Tepi = 6

4.  Laluan A  C  D  E kerana ia merupakan laluan
yang lebih selamat walaupun Lani terpaksa berkayuh
lebih 300 m berbanding laluan A  B  E.

5. (a) (i)   P  Q  R  S
  (ii) P  S
 (b) Laluan P  Q  S kerana boleh jimat RM35 dan

beza masa ialah sembilan minit sahaja berbanding
laluan P  S.

6. 11 = x1 + x2,  x4 = x3+ 11,  x2 + x3 = 20,
 x1 + 10 = x5, x5 + 10 = x4,  x1 = 5,
 x2 = 6,  x3 = 14,  x4 = 25.

3. (a)   (b)

P S T

Q R U V

P

Q S

R

4. (a)  (b) 1.6 km

KP

R

J

BK

B

11.4

20.7

11.6

6.6

40

9.3

Praktis Kendiri 5.1c

1. Subgraf – Rajah 1, Rajah 2, Rajah 3, Rajah 4, Rajah 8,
Rajah 11.

Bukan Subgraf – Rajah 5, Rajah 6, Rajah 7, Rajah 9,
Rajah 10.

3. (a) Bukan (b) Bukan
 (c) Pokok (d) Bukan
6. (a)

32
18

30T
S

RU

Q

P 20

24

(b) Jumlah pemberat
  = 24 + 20 + 32 + 18 + 30
  = 124

Praktis Kendiri 5.1d

1. (a)

CJ

T

K

5.2

10
4.9

15

8
11

3.5
5.9

8.4
M

KS
S

(b)

KS

M

CJ

T

K

8 3.5

4.9
10

5.2

S

(c) 31.6 km
2. (a) Nasi

Ayam

Mee
Goreng

Nasi
Lemak

Nasi
Goreng

Mervin

Ain

Faruk

Julia

R
aj

W
on

g

Atiqah
Helen N

ur
ul

Pu
sp

a
Saiz sebenar

301

7. (a)

A C

B

F

E

D

(b) 3.08 km
8. (a)

●E

●J
●L

●B

●C

●K ●I

●R ●N
●H

●A

●M ●F

●T

●P

●D

●G

Z

X

Y

(b) (i)  {C, R, K, I}
  (ii) {P, G, D, C, R, K, I}
  (iii){E}
9. (b) (i)  RM1 080 (ii) 40
10. (a) ketiga                   (b)  484                   (c)  13 068

BAB 6 Ketaksamaan Linear Dalam Dua
 Pemboleh Ubah

Praktis Kendiri 6.1a

1. (a) 25x + 45y ≤ 250 atau 5x + 9y ≤ 50
 (b) 2x + 1.5y ≤ 500 atau 4x + 3y ≤ 1 000
 (c) 0.3x + 0.4y ≤ 50 atau 3x + 4y ≤ 500
 (d) 1.5x + 3.5y ≥ 120 atau 3x + 7y ≥ 240

Praktis Kendiri 6.1b

1.

y = –x – 2 (1.5, –1)

y > –x – 2 (3, 1), (1, –1)

y < –x – 2   (2, –2), (3, –2)

2
3
2
3
2
3

y

O

1

–1

–2

x

(3, 1)

(3, –2)

(1, –1)

y = —x – 22
3

(2, –2)

(1.5, –1)

1 2 3

Rantau y > —x – 22
3

Rantau y < —x – 22
3

2.
y

O

6

4

2

–2

x

(4, 5)

(1, –2)

(–3, 1)
(2, 1)

–4 –2 2 4 6

(–3, 5)

y = – –x + 21
2

Rantau y > – –x + 21
2

Rantau y < – –x + 21
2

y = – –x + 2 (2, 1)

y > – –x + 2 (–3, 5),(4, 5)

y < – –x + 2 (–3, 1), (1, –2)

1
2
1
2
1
2

3.   y = 4x – 5 (3, 7)

y > 4x – 5 (2, 4), (–2, 0)

y < 4x – 5 (0, –6), (4, 5)

4.

Praktis Kendiri 6.1c

1. (a) y

O x

y = –2–2

y < –2

(b) y

O
x

3

y = —x + 31
3

–3 3

y < —x + 31
3

(c) y

O x

x = 2

2
x ≤ 2

(d)

(e)  (f)

2. (a) y

O x

x ≤ 0

(x = 0)  (b)

(c) y

O x

x + y ≥ –3

–3

–3

x + y = –3

(d)

(e) y

O x
2

2

y = –x + 2y ≤ –x + 2

(f)

y = –3x + 4 (1, 1)

y > –3x + 4 (–1, 8), (–0.5, 7)

y < –3x + 4 (–2, 3), (0, 1)

y

O x
–2

2

y = x + 2

y > x + 2

y

O x

y = x

3–3

3

–3

y ≥ x

y

O x
– 4 –2

–2 y = –   —x – 21
2

y ≥ –   —x – 21
2

y

O x
2

1

y = —x 1
2y > —x1

2

y

O x
– 4

2
2y = x + 4

2y < x + 4

y

O x
2

1
2y + x ≥ 2

2y + x = 2
Saiz sebenar

302

(g) y

O x

–2
2

–x + y = –2

–x + y ≤ –2

(h)

Praktis Kendiri 6.2a

1. (a) x + y ≤ 50  (b) x ≥ 2y atau 2y ≤ x
 (c) 8x + 12y ≤ 850
2. (a) x + y ≤ 500 (b) x ≤ 3y atau 3y ≥ x
 (c) y ≥ 200
3. x = cili hijau, y = cili padi
 (a) x + y ≤ 250 (b) x ≥ 3y atau 3y ≤ x
 (c) x ≥ 100

Praktis Kendiri 6.2b

1. (a) D  (b) A (c) C (d) B
2. (a) E  (b) C (c) A (d) D

Praktis Kendiri 6.2c

1. (a) C  (b) C (c) A
2. (a)

2

y

O x

y = 2x – 4

– 4

(x = 0)

(y = 0)

(b)

3

y

O x

x = 3

4
y = —x + 42

3

(y = 0)

(x = 0)

(c)  (d)

6

y

O x

x = 6
6

y = – —x + 61
2

y = x

(y = 0)

(x = 0)

5

y

O x

y = x – 5

– 5

y = –x

y = –5

(y = 0)

(x = 0)

3. (a)

3

y

O x

6
y = –2x + 6

(y = 0)

(x = 0)  (b)

4

y

O x

2

–2

x = 4
y = x + 2

y = – —x + 21
2

(c)

8

y

O x

8

y = –x + 8

x = 4

4
y = –2x + 8

(d)

y

6 O x
(y = 0)

6

y = –x + 6

–6

y = xy – x = 6

y

O x
–3

3 –x + y = 3

–x + y > 3

Praktis Kendiri 6.2d

1. (a) y < x + 4, y ≥ 0 dan x ≤ 0
 (b) y > 2x – 4, y > –2x – 4 dan y ≤ 0
 (c) 3y ≤ 5x, y > x dan x ≤ 3

2. (a) x > – 4, y ≤ – 12 x dan y ≥ 0

(b) y ≤ 2x + 4, y ≤ – 43 x+ 4, y ≥ 0

(c) y ≤ x – 1, y ≥ 23 x – 2, x ≥ 0, y ≤ 0

3. (a) x + y ≤ 150, 2y ≤ x
 (b) y (karipap)

x (donat)
O

150

100

50

50 100 150

2y = x

x + y = 150

(c)  (i) 50
  (ii) Minimum = 50; maksimum = 125
4. (a) x + y ≤ 120, y ≥ 13x
 (b) y (abstrak)

x (bunga)
O

120

80

40

40 80 120

1
3y = —x

x + y = 120

(c)  90 m

(d)  Tidak. Titik (80, 60) berada di luar rantau
berlorek

1. (a) 2y > x + 5, y – x > 8
 (b) x ≥ 0, x ≥ –5
 (c) y ≤ 4 – x, x ≤ 2 – y, y + x ≤ 2, y ≤ – 12x
 (d) y < 4, y < –1
 (e) y ≥ 0, y ≥ 10
 (f) y < 2x – 5, –y > 8 – 2x, 2y < x
 (g) y > –x – 3, 3y + x > 4

(h) 1
2

y – x ≥ 4, 2y ≥ x, –y ≤ 4 – x

2. (a) y

x
O

6

4

2

2 4 6

2y = 3x
 (b) y

x
O

6

4

2

– 4 –2 2

y – x = 4x = –4

y = 4
Saiz sebenar

303

(c)

3. (a) y ≥ –2x, y > x dan y < 4

(b) y < 2x, y ≥ 12 x dan y ≤ – 12 x + 6

(c) y – x ≤ 4, 2y > x + 4 dan y < 3

(d) y ≥ 3
2

x + 6, x > –4, y < 5
4. (a)

10

y

O x

y = 1010
y = x

(b)

y

O x
 –6

y = –x
y = x + 6

6 y = —x + 42
3

4

5. (a) y ≤ 2, x < 3, y ≥ – x, y ≥ 0

(b) y > –2x, y ≥ 2x– 8, y ≤ – 1
2

x

6. (a) y < –1, x ≥ –5, y ≥
4
5 x – 1

(b) x ≥ 2, y ≥ 0, y < –x+6
7. (i) x + y ≤ 40, y ≥ 10, x ≤ 25.
 (ii) y (moden)

x
(pesak)O

40

30

20

10

10 20 30 40

x = 25

y = 10

x + y = 40

y

x
O

2

–2

–4

–2 2 4

y = x – 4
y = –x

y = 2

(iii) minimum = 10,
  maksimum = 30
 (iv) RM2 625
8. (a) x + y ≤ 1 000, y ≥  1

2
 x

(b) y

x
O

1000

750

500

250

250 500 750 1 000

y = —x

x + y = 1 000

1
2

(c) minimum = 250 m, maksimum = 500 m
 (d) (i)  y ≥ 3x

BAB 7 Graf Gerakan

Praktis Kendiri 7.1a

1. Jarak (meter)

Masa
(minit)O

300

225

150

75

5 10 15 20

2.

Masa
(jam)O

45

36

27

18

9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Jarak (km)

3. 4.  Masa, t (minit)
Jarak, s (km)

0
1.6

8
0

O

50

40

30

20

10

1 2 3 4 5
Masa
(saat)

Jarak (cm)

Jarak (km)

Masa
(minit)O

1.6

1.2

0.8

0.4

2   4    6       8

Praktis Kendiri 7.1b

1. (a) 50
 (b) Kereta berada dalam keadaan pegun.
 (c) (i)  40
  (ii) Kereta bergerak sejauh 100 km dengan
   laju purata 40 km j–1 dalam tempoh 2.5 jam.
2. (a) 2
 (b) 4.8

Masa, t (saat)
Jarak, s (cm)

0
5

5
45
Saiz sebenar

304

(c)  Encik Rashid berlari sejauh 4 km dengan laju
purata 4.8 km j–1 dalam tempoh 50 minit.

3. (a) 1424
 (b) (i) Kereta berada dalam keadaan pegun untuk
   tempoh 66 minit.
  (ii) Kereta bergerak dengan laju purata 40 km j–1

sejauh 30 km dalam tempoh 45 minit.
4. (a) 40
 (b) Kereta bergerak dengan laju purata 54 km j–1

sejauh 36 km dalam tempoh 40 minit.

Praktis Kendiri 7.1c

1. (a) 3
 (b) Ya, Jeffrey akan menamatkan lariannya dalam
  12 saat.
2. (a) 50  (b) 70
 (c)   (d) 11:12 pagi

Jarak (km)

Masa
(minit)O

100

60

50      70              102

3. (a) 25 minit
 (b) (i)  27 (ii) 33 km
 (c) 80
 (d) 45
4. (a) 20
 (b) 60
 (c) Kereta bergerak dengan laju purata 72 km j–1

sejauh 36 km dalam tempoh 30 minit.

Praktis Kendiri 7.2a

1. (a) Laju (m s–1)

Masa
(saat)O

8

6

4

2

2 4 6

(b)

2. (a) Masa, t (saat)
Laju, v (m s–1)

0
60

30
0

(b)

Praktis Kendiri 7.2b
1. (a) 360   (b) 0.275 (c) 2.6

2. (a) 14
2
3  (b) 291

3
3. (a) 16 (b) 22.5

Laju (m s–1)

Masa
(saat)O

15

10

5

2  4   6

Masa, t (saat)
Laju, v (m s–1)

0
0

5
15

Laju (km min–1)

Masa
(minit)O

40

30

20

10

1 2 3 4

Laju (m s–1)

Masa
(saat)O

60

40

20

10     20      30

Praktis Kendiri 7.2c

1. (a) Motosikal mengalami nyahpecutan 0.75 m s–2
dalam tempoh 20 saat; atau

kelajuan motosikal berkurangan dari 35 m s–1
kepada 20 m s–1 dalam tempoh 20 saat; atau

motosikal bergerak sejauh 550 m dalam tempoh
20 saat.

(b) Motosikal bergerak dengan laju seragam 20 m s–1
selama 30 saat; atau

motosikal bergerak sejauh 600 m dengan laju
seragam.

2. (a) 5
6 m s–2 (b) 260 m

(c) Zarah bergerak dengan laju seragam 15 m s–1

untuk tempoh 7 saat.
3. (a) 3

8 m s–2 (b) 1 200 m
 (c) Encik Merisat memandu kereta sejauh 1.725 km
  dalam masa 2.5 minit dengan laju purata 41.4 km j–1

Praktis Kendiri 7.2d

1. (a) 96 (b) 18
2. (a) 1 (b) 25.5 (c) 14
3. (a) 28 (b) 15

1. (a) 6 minit (b) 60 (c) 42.86
2. (a) 100 (b) 1.6 (c) 57.14
3. (a) 8 saat  (b) 17
4. (a) – 7

6
 (b) 6 (c) 19.68

5. (a) 12 (b) 32.4 (c) 60
6. (a) 80 (b) Jam 0915
7. (a) (i)  80
  (ii)  Kereta A bergerak dengan laju purata 25 m s–1

sejauh 2 km dalam tempoh 80 saat.
 (b)  1

BAB 8 Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Praktis Kendiri 8.1a

1 (a) 45, 150  (b) 105
2. p = 30, q = 120
3. 2.3

Praktis Kendiri 8.1b

1. Kumpulan A  Kumpulan B

9 7 6 5 4 1 4 0 0 1 2 2 6 8 9
 8 6 4 4 3 2 2 0 5 2 2 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9
 9 8 8 7 6 4 3 3 2 2 1 0 0  6 0 1 3 4 4 5 6 9 9
 6 6 5 3 2 0 0 0  7 0 0 2 5 6 6 8
 6 4 2 2 1 8 2 3 3 4

Secara umum, jisim badan murid kumpulan A adalah
lebih besar berbanding dengan jisim badan murid
kumpulan B.
Saiz sebenar

305

2.

35 40 45 50 55 60 65 70

Markah

Serakan adalah kecil bagi  ujian bulan Mei.
3. (a)

6 7 8 9 10 11 12 13

Saiz kasut murid kelas Mawar

6 7 8 9 10 11 12 13

Saiz kasut murid kelas Teratai

(b) Saiz kasut murid dari kelas Mawar ditabur luas
berbanding dengan kelas Teratai.

Kelas Mawar mempunyai beza saiz kasut yang
lebih besar.

Beza saiz kasut kelas Mawar
  =12.5 – 6 = 6.5
  Beza saiz kasut kelas Teratai
  =11 – 8.5 = 2.5

Praktis Kendiri 8.2a

1. (a) 7, 3 (b)  12, 5.5 (c) 0.9, 0.45
2. (a)  5,2 (b)  5,3
3. (a) 7, 2.646 (b)  24.86, 4.986
4.  1.26, 1.122

Praktis Kendiri 8.2b

1. Julat = 27
 Julat antara kuartil = 11
 Julat antara kuartil lebih sesuai sebab terdapat nilai
 pencilan.
2. Sisihan piawai, murid B
3. (a)  2100, 310, 702.2.           (b)  Julat antara kuartil

35 40 45 50 55 60 65 70

Markah

Ujian Bulan April

Ujian Bulan Mei

Praktis Kendiri 8.2c

1. (a)

25 30 35 40 45 50 55 60 65

(b)

40   50   60   70

2.  (a)  11      (b)  21     (c)  13     (d)  18      (e)  5   (f) 16

Praktis Kendiri 8.2d

1. 6,3.2
2.  9, 29.16
3.  3.742, meningkat dengan banyak
4. (a) 2.728
 (b) (i) 5.456 (ii) 1.364
5. 100, 43.2
6. 0.9, 1.2

Praktis Kendiri 8.2e

1. σA = 0.2506, σB = 0.3706, atlet A lebih konsisten.
2. σA = 12.65, σB = 6.321, baja B.

Praktis Kendiri 8.2f

1. (a) h = 11, k = 18  (b) 4.276
2. (a) ∑x = 180, ∑x2 = 1700 (b) 2.25

1. (a) 17, 13  (b) 44, 23 (c) 1.6, 0.75 (d) 20, 5.5
2. (a) 1.2, 0.4 (b) 5, 3
3. (a) varians = 5.917,  sisihan piawai = 2.432
 (b) varians = 52.8,  sisihan piawai = 7.266
 (c) varians = 0.46,  sisihan piawai = 0.6782
 (d) varians = 70.18,  sisihan piawai = 8.377
4. varians = 130.3, sisihan piawai = 11.41
5. (a) julat = 20, sisihan piawai = 10.4
 (b) julat = 2.5, sisihan piawai = 1.3
6. (a) 360 (b) 16220
7. (a) (i) m = 7 (ii) 4.980
 (b) 223.2
8. (a) 90.75 (b) (i)  12  (ii)  9.315
9. 56

3

10. (a) Pasukan A Pasukan B
  min = 61 min = 61
  Julat = 22 Julat = 30
  varian = 78.8 varian = 155.6
  Sisihan piawai = 8.877 Sisihan piawai = 12.47
 (b) Tidak, kerana wujud pencilan
 (c) Pasukan B
Saiz sebenar

306

11. (a) min = 18, varians = 56
 (b) min = 18.09, varians = 51.02
12. (a) 9, 2, 3.210, 1.792        (b)  julat antara kuartil

BAB 9 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Praktis Kendiri 9.1a

1. {(S1, S2), (S1, G), (S1, M), (S2, S1), (S2, G), (S2, M),
(G, S1), (G, S2), (G, M), (M1, S1), (M, S2), (M, G)}.

2. {(L, L), (L, P), (P, L), (P, P)}
3. {(1, A), (2, A), (3, A), (4, A), (5, A), (6, A), (1, G),

(2, G), (3, G), (4, G), (5, G), (6, G)}
4. {AAA, KKK, AAKA, AKAA, KAAA, KKAK,

KAKK, AKKK, KAKAA, KAAKA, KKAAA,
AAKKA, AKAKA, AKKAA, AAKKK, AKAKK,
AKKAK, KAAKK, KAKAK, KKAAK}

Praktis Kendiri 9.2a

1. Peristiwa Tak Bersandar
2. Peristiwa Bersandar
3. Peristiwa Tak Bersandar
4. Peristiwa Bersandar
5. Peristiwa Tak Bersandar

Praktis Kendiri 9.2b

1. (a) Dadu Kedua

1

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

2

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

3

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

4

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

5

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 5)

6

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

Dadu
Pertama

1

2

3

4

5

6

(b) 36
 (c) {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2),

(5, 3), (5, 5)};
1
4

2. {(K1, K1), (K1, K2), (K1, K3), (K2, K1), (K2, K2),

(K2, K3), (K3, K1), (K3, K2), (K3, K3)};  9
64

3. {(K1, K), (K2, K)}; 16

Praktis Kendiri 9.2c

1. {(A, 2), (U, 2)}; 16
2. {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}; 14
3. 0.2025

4. {(C, E), (C, I), (L, E), (L, I), (K, E), (K, I)};  3
10

5. B = Mentol terbakar
 B' = Mentol tak terbakar

1—
11

10—
11

B

B'

2—
11

9—
11

B

B'  ;

2—
12

10—
12

B

B'
 1—66

6. (a) 0.3166
 (b) 0.2108

Praktis Kendiri 9.3a

1. (a) Peristiwa Tidak Saling Eksklusif
 (b) Peristiwa Saling Eksklusif
 (c) Peristiwa Tidak Saling Eksklusif
2. (a) Peristiwa Tidak Saling Eksklusif
 (b) Peristiwa Tidak Saling Eksklusif
 (c) Peristiwa Saling Eksklusif
3. (a) Peristiwa Saling Eksklusif
 (b) Peristiwa Tidak Saling Eksklusif
 (c) Peristiwa Tidak Saling Eksklusif

Praktis Kendiri 9.3b

1. (a) {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6),
(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3),

(5, 4)}; 7
18

(b) {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, 1),

(2, 2), (3, 3), (4, 4)};  5
18

(c) {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1),
(5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (1, 1), (2, 2), (3, 3),

(4, 4), (6, 6)}; 49
2. (a) {AA, GG}; 1

2
  (b) {AA, AG, GA}; 3

4
 (c) {GG, AG, GA, AA}; 1

3. (a)

L M

•A •A
•B

•H
N

•G•I •A

ξ

(b)  (i) {B, A, H, A, G, I, A}; 1

(ii) {A, A, A, I, B}; 5
7

(ii) {B, H, G}; 3
7
Saiz sebenar

307

Praktis Kendiri 9.3c

1. {E, I, A, R}, 47
2. {(S, 4), (S, 5), (S, 6), (E, 6), (R, 6), (I, 6)}, 1

2

3. J K

1—
12

5—
36

7—
24

35—
72

35
72

ξ

;

4.

9—
14

5—
14

G

G'
9—
14

5—
14

G

G' ;

4—
7

3—
7

M

M'
47—98

Praktis Kendiri 9.4a

1. 12 000

2. 13
36

3. Pantai Cengal kerana kebarangkalian tidak hujan bagi
 kedua-dua hari di Pantai Cengal lebih tinggi.
4. 230

1. {(U1,U2), (U1,U3), (U1,H1), (U1,H2), (U2,U1), (U2,U3),
 (U2,H2), (H1,U1), (H1,U2), (H1,U3), (U2,H1), (U3,U1),
 (U3,U2), (U3,H1), (U3,H2), (H1,H2), (H2,H1), (H2,U1),
 (H2,U2), (H2,U3)}

2. (a)  1
15

(b)  7
 30

3. (a) (91, R), (77, I), (77, A), (91, A)

(b) (i) {(77, R)}, 16

(ii) {(77, R), (77, A), (77, I), (91, R)},
2
3

4. 2
5

5. (a) 0.2436 (b) 0.5128

6. (a) 199
540 (b) 47

54
7. (a) 2

3 (b) 4
9

8. (a) (i)  25
156 (ii) 211

468
 (b) RM70

9.  43
200

10. (a)
 7
 33  (b)  5

33
11. (a) (i) 0.191 (ii) 0.784
 (b) Tidak wajar. Sayangi nyawa

BAB 10 Matematik Pengguna: Pengurusan
 Kewangan

Praktis Kendiri 10.1a

1. Pengurusan kewangan merupakan suatu proses
yang melibatkan pengurusan wang daripada sumber
pendapatan terhadap simpanan, perbelanjaan,
perlindungan dan pelaburan.

2. Proses pengurusan kewangan terdiri daripada
menetapkan matlamat, menilai kedudukan
kewangan, mewujudkan pelan kewangan,
melaksanakan pelan kewangan dan mengkaji semula
dan menyemak kemajuan.

3. Penetapan matlamat kewangan akan mempengaruhi
jumlah simpanan bulanan bagi mencapai matlamat.

4. Matlamat kewangan jangka pendek ialah kurang
daripada satu tahun dan tidak melibatkan jumlah
wang yang banyak untuk mencapai matlamat
tersebut manakala matlamat jangka panjang adalah
melebihi 5 tahun dan melibatkan jumlah wang yang
besar berbanding dengan matlamat kewangan jangka
pendek.

5. Puan Salmah mengamalkan konsep matlamat
kewangan SMART iaitu spesifik – perlu  menyimpan
sebanyak RM3000 untuk membeli komputer riba,
dengan simpanan bulanan sebanyak RM300 dan
bukan sukar untuk mencapai matlamat tersebut
dengan jumlah pendapatan yang diperoleh serta
bersifat realistik dengan simpanan sebanyak RM300
untuk 10 bulan (tempoh masa).

Praktis Kendiri 10.1b

1. • Inflasi
 • Dasar kerajaan
 • Kesihatan diri
2. (a)  Beliau tidak mengamalkan perbelanjaan secara

berhemat kerana jumlah simpanan bulanan
hanya RM250 berbanding pendapatan sebanyak
RM6 000 adalah kurang daripada 10%.

(b)  Beliau tidak boleh mencapai matlamat
pelaburan RM500 000 dengan simpanan
bulanan sebanyak RM250.

1. Tidak menyediakan perancangan kewangan,
perbelanjaan yang tidak berhemah, penggunaan kad
kredit tanpa kawalan, gagal menjelaskan hutang
berbentuk pinjaman dan ansuran kereta.

2. Aliran tunai negatif seseorang individu dalam
pelan kewangan akan menyebabkan individu muflis
dan tidak mempunyai simpanan untuk menghadapi
waktu kecemasan.
Saiz sebenar

308

3. Pelan kewangan diwujudkan dengan tujuan mengira
anggaran awal untuk mencapai setiap matlamat dan
simpanan bulanan yang diperlukan bagi mencapai
matlamat jangka pendek dan jangka panjang,
menganalisis tabiat perbelanjaan serta menetapkan
tempoh masa untuk mencapai matlamat tersebut.

4. Apabila kita mengkaji semula dan menyemak
kemajuan pelan kewangan yang memberi ruang
untuk kita memperbaiki dari segi sifat perbelanjaan
dan perlulah berusaha menambahkan pendapatan
tambahan untuk mencapai matlamat tersebut.

5. Inflasi, perubahan dasar percukaian oleh kerajaan,
dasar ekonomi dan sebagainya.

6. Boleh memperbetulkan cara perbelanjaan mengikut
matlamat kewangan, boleh mengambil langkah
seperti menambahkan pendapatan jika keadaaan
memerlukan berbuat demikian.

7. Kita harus mengamalkan amalan menabung bagi
memastikan matlamat kewangan dicapai dalam
tempoh yang dirancang.

8. (a) Pelan kewangan peribadi bulanan Encik Nabil
Butiran Bulanan

Aliran tunai masuk/
pendapatan RM

(a) Pendapatan aktif:
Gaji bersih
Komisen
Jumlah pendapatan aktif

3 800
450

4 250 4 250
(b) Pendapatan pasif:
Hasil sewa rumah
Jumlah pendapatan pasif
Jumlah pendapatan bulanan
Tolak simpanan tetap bulanan
Jumlah pendapatan selepas
tolak simpanan

600
600

4 850
380

4 850

4 470

Tolak aliran tunai keluar/
perbelanjaan
(a) Perbelanjaan tetap:
Bayaran ansuran pinjaman
rumah (1)
Bayaran ansuran pinjaman
rumah (2)
Perbelanjaan insurans
Jumlah perbelanjaan tetap

800

500
350

1 650 1 650
(b) Perbelanjaan tidak tetap:
Belanja makanan
Bayaran utiliti
Belanja tol dan petrol
Langganan perkhidmatan
Internet
Makan di restoran mewah
Jumlah perbelanjaan
tidak tetap
Lebihan/kurangan

900
150
200
100

400

2 820

1 750
1 070

(b) Terdapat lebihan bagi pelan kewangan peribadi
Encik Nabil iaitu wujud aliran tunai positif
apabila jumlah pendapatan melebihi jumlah
perbelanjaan. Hal ini menyebabkan kecairan
Encik Nabil bertambah baik.

9. (a) Aliran tunai positif – membolehkan simpanan
dilakukan dan mencapai matlamat kewangan
seperti yang dirancang.

(b) Aliran tunai negatif – menyebabkan seseorang
sukar mencapai matlamat kewangan dan mungkin
mendapatkan sumber pinjaman seperti kad kredit.
Saiz sebenar

309

Glosari
Asas nombor (Number bases)
Sistem penomboran suatu nombor.

Bankrap (Bankrupt)
Keadaan seseorang itu tidak berupaya
menyelesaikan hutang kerana perbelanjaannya
melebihi pendapatan. Sebagai akibatnya,
mahkamah mengisytiharkan seseorang
itu bankrap.

Bucu (Vertex)
Bintik yang mengaitkan satu garis.

Darjah (Degree)
Bilangan tepi yang mengaitkannya dengan
bucu lain.

Digit (Digit)
Simbol yang digunakan atau digabungkan
untuk membentuk nombor dalam sistem
penomboran. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ialah
10 digit dalam sistem perpuluhan. Contohnya,
nombor 124 651 mempunyai enam digit.

Diskret (Discrete)
Nilai yang boleh dibilang.

Fungsi kuadratik (Quadratic Functions)
Fungsi yang berbentuk f (x) = ax2 + bx + c,
dengan a, b, c ialah pemalar dan a ≠ 0. Kuasa
tertinggi pemboleh ubah ialah 2 dan hanya
mempunyai satu pemboleh ubah.

Gelung (Loops)
Tepi berbentuk lengkung atau bulatan yang
berbalik kepada bucu asal.

Graf (Graph)
Suatu siri bintik yang dikaitkan antara satu
sama lain melalui garis.

Graf jarak-masa (Distance-time graph)
Graf yang menunjukkan jarak perjalanan
per unit masa. Kecerunan graf menunjukkan
ukuran laju.

Graf laju-masa (Speed-time graph)
Graf yang menunjukkan hubungan antara

laju sesuatu objek dalam tempoh masa yang
tertentu. Kecerunan graf menunjukan ukuran
pecutan. Luas di bawah graf menunjukkan
jarak yang dilalui oleh objek berkenaan.

Graf mudah (Simple graph)
Graf tak terarah tanpa gelung atau berbilang tepi.

Graf pemberat (Weighted graph)
Tepi yang mengaitkan dua bucu suatu graf
dinyatakan dengan nilai pemberat seperti jarak,
kos, masa dan sebagainya.

Graf tak berpemberat (Unweighted graph)
Tepi yang mengaitkan dua bucu suatu graf
tidak dinyatakan dengan nilai pemberat.

Graf terarah (Directed graph)
Tepi yang mengaitkan dua bucu suatu graf
ditanda dengan arah kaitan.

Hujah (Argument)
Pendapat berserta alasan yang diberikan
sebagai menyokong atau menentang sesuatu
pendirian (pandangan dan sebagainya).

Hujah deduktif (Deductive argument)
Hujah deduktif ialah proses yang membuat
kesimpulan yang khusus daripada premis yang
umum.

Hujah induktif (Inductive argument)
Hujah induktif ialah proses yang membuat
generalisasi berdasarkan kes-kes yang khusus.

Inflasi (Inflation)
Tingkat harga barang meningkat

Jarak (Distance)
Ukuran jauh atau ruang di antara dua titik.

Kebarangkalian peristiwa tak bersandar
(Probability of independent event)
Dua peristiwa A dan B dikatakan saling tak
bersandar sekiranya kebarangkalian peristiwa A
tidak menjejaskan kebarangkalian peristiwa B.
Saiz sebenar

310

Kesatuan set (Union of sets)
Gabungan semua unsur bagi dua atau lebih set.
Simbolnya ialah

∩
.

Ketaksamaan linear (Linear inequalities)
Ketaksamaan yang melibatkan ungkapan
linear seperti y > mx+c, y < mx+c, y > mx+c,
y ø mx+c dengan m ≠ 0, x dan y ialah
pemboleh ubah.

Laju (Speed)
Kadar perubahan jarak.

Laju seragam (Average speed)
Jarak yang bertambah secara malar
terhadap masa.

Linear (Linear)
Perihal sesuatu yang berkaitan dengan atau
berbentuk garisan lurus.

Nilai tempat (Place value)
Nilai bagi kedudukan digit dalam sesuatu
nombor. Contohnya, nilai tempat 6 dalam
6934 ialah ribu dan nilai tempat 5 dalam
523 089 ialah ratus ribu.

Nyahpecutan (Deceleration)
Pecutan bernilai negatif.

Pemboleh ubah (Variable)
Kuantiti yang nilainya tidak tetap, yang diwakili
dengan simbol seperti x, y dan z, yang boleh
mengambil sebarang nilai daripada suatu set
nilai tertentu.

Peristiwa bergabung (Combined events)
Kesudahan peristiwa daripada kesatuan atau
persilangan dua atau lebih peristiwa.

Peristiwa saling eksklusif (Mutual exclusive
events)
Dua peristiwa A dan B tidak bersilang antara
satu sama lain maka peristiwa A dan B
dikatakan saling eksklusif.

Pernyataan (Statement)
Ayat yang boleh ditentukan nilai kebenaran.

Persamaan kuadratik (Quadratic equations)
Persamaan yang boleh ditulis dalam bentuk am,

ax² + bx + c = 0 dengan a, b dan c ialah pemalar
dan a ≠ 0. Persamaan ini perlu mempunyai satu
pemboleh ubah dan kuasa tertinggi pemboleh
ubah itu ialah 2.

Persilangan set (Intersection of sets)
Set unsur sepunya bagi dua atau lebih set yang
berbeza. Persilangan digambarkan dengan
simbol ∩.

Pokok (Tree)
Subgraf bagi suatu graf yang mempunyai kaitan
yang paling minimum di antara bucu-bucunya
tanpa gelung dan berbilang tepi.

Premis (Premises)
Sesuatu pernyataan dan sebagainya yang
diandaikan (dianggap) sebagai sesuatu yang
benar untuk tujuan membuat huraian yang
membawa kepada sesuatu kesimpulan kelak.

Rangkaian (Networking)
Suatu graf yang mempunyai sekurang-kurangnya
sepasang bintik.

Rantau (Region)
Kawasan yang memenuhi sistem
ketaksamaan linear.

Sesaran (Displacement)
Jarak vektor dari suatu titik tetap diukur dalam
arah tertentu.

Sisihan piawai (Standard deviation)
Sukatan statistik yang menyukat serakan bagi
suatu set data.

Sistem ketaksamaan linear (Linear inequalities
system)
Gabungan dua atau lebih ketaksamaan linear.

Songsangan (Inverse)
Songsangan bagi implikasi “Jika p, maka q”
ialah “Jika q, maka p.”

Subgraf (Subgraph)
Sebahagian atau keseluruhan suatu graf yang
dilukis semula tanpa mengubah kedudukan asal
bucu dan tepi.

Tepi (Edge)
Garis yang mengaitkan dua bucu.
Saiz sebenar

311

Senarai Rujukan
Bondy, J.A. and Murty, U.S.R. (1982) Graph Theory With Applications. New York. Elsevier
Science Publishing Co. Inc.

Christopher, C. (1991). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press.

Glosari Matematik  Pusat Rujukan Persuratan Melayu, Dewan Bahasa dan Pustaka digunakan dari
laman web http://prpmv1.dbp.gov.my

Izham Shafie. (2000). Pengantar Statistik. Penerbit Universiti Utara Malaysia.

James, N. (2008). A Level Mathematics for Edexcel Statistics S1. Oxford Universiti Press.

Lan, F. H. dan Yong, K. C. (2016). Revision Essential Additional Mathematics SPM. Sasbadi Sdn.
Bhd.

Mok, S.S. (2011). Logik dan Matematik Untuk Penyelesaian Masalah. Penerbitan Multimedia Sdn.
Bhd.

Murdoch, J. dan Barnes, J.A. (1973). Statistik: Masalah dan Penyelesaian. Unit Penerbitan
Akademik Universiti Teknologi Malaysia.

Nguyen-Huu-Bong. (1996). Logik dan Penggunaannya untuk Sains Komputer. Penerbit Universiti
Sains Malaysia.

Ooi, S.H., Moy, W.G., Wong, T.S. dan Jamilah Binti Osman. (2005). Additional Mathematics Form
4. Penerbit Nur Niaga Sdn. Bhd

Paul, Z. (1999). The Art and Craft of Problem Solving. John Wiley and Sons, Inc.

Ted, S. (2018). Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Pearson Education, Inc.

Terlochan, S. (1986). Buku Rujukan dan Kamus Matematik. Kuala Lumpur, Malaysia. Tropical
Press Sdn. Bhd.

Wan Fauzi Wan Mamat. (2010) Probability. Visual Print Sdn. Bhd.

Wong, T.S., Moy, W.G., Ooi, S.H., Khoo, C., dan Yong, K.Y. (2005). SPM Focus U Matematik
Tambahan. Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Yap, B. W. dan Nooreha Husain. (1998). Pengenalan Teori Kebarangkalian. IBS Buku Sdn. Bhd.
Saiz sebenar

312

Akas 66,67,68
Akibat 63
Aliran tunai 274
Antejadian 63
Asas Nombor 32
Aset 274
Attainable 274,283
Berbilang tepi 132
Bucu 130
Cerapan 219
Darjah 129
Data tak terkumpul 219
Deduktif 71
Fungsi kuadratik 5
Garis padu 158
Garis sempang 158
Gelung 132
Graf 130
Graf berpemberat 137
Graf jarak-masa 184
Graf laju-masa 195
Graf mudah 131
Graf tak berpemberat 137
Graf tak terarah 135
Graf terarah 135
Hujah 71
Implikasi 63
Induktif 72
Inflasi 285
Jadual kekerapan 221
Jangka panjang 272, 274, 275
Jangka pendek 272, 274, 275
Jarak 184
Julat 219
Julat antara kuartil 219
Kadar perubahan jarak
terhadap masa 184
Kadar perubahan laju terhadap
masa 195

Kesahan 74
Kehendak 273
Kekerapan longgokan 221
Keperluan 273
Kesatuan set 106
Kesimpulan 72
Ketaksamaan linear 156
Kontrapositif 66
Kuadratik 2
Laju 184
Laju seragam 187, 200
Liabiliti 274
Masa 184, 195
Matlamat kewangan 272, 273,
274, 275
Measurable 273, 283
Median 220
Muflis 285,289
Nilai digit 36
Nilai Ekstrem 224
Nilai kebenaran 56
Nilai tempat 35
Nyahpecutan 200
Paksi simetri 8
Pecutan 195, 200
Pegun 187
Pekali 4
Pengurusan kewangan 272,
273, 274,
Pelan kewangan 272, 273, 274
Pelengkap 100, 110
Pemalar 3
Pemboleh ubah 2, 156
Pemfaktoran 21
Penafian 59
Pencilan 224
Pendapatan aktif 274
Pendapatan pasif 274
Penyangkal 69

Perbelanjaan 272,273,274
Perbelanjaan tetap 274
Perbelanjaan tidak tetap 274
Peristiwa bergabung 244
Peristiwa bersandar 246
Peristiwa saling eksklusif 253
Peristiwa tak bersandar 246
Peristiwa tidak saling
eksklusif 253
Pernyataan 56, 57, 58, 59, 60
Pernyataan majmuk 60
Persamaan kuadratik 15
Persilangan set 96
Plot batang-dan-daun 214
Plot kotak 226
Plot titik 213
Pokok 139
Premis 71
Punca 16
Purata laju 189
Rangkaian 130
Rantau 158
Rantau sepunya 169
Realistic 274, 283
Ruang sampel 244
Serakan 212
Sisihan Piawai 221
Sistem ketaksamaan linear
165
Songsangan 66
Subgraf 139
SMART 273, 279,280
Specific 273,283
Tepi 130
Time bound 274,283
Titik maksimum 7
Titik minimum 7
Ungkapan 2
Varians 221

Indeks