K
UR

IK
ULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH

KSSM

KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAY
SI

A

,!7IJ8D0-aiceei!
ISBN 978-983-00-8244-8

RM10.00

FT081001

M
A
T
E
M

A
T
IK

Tin
g

k
a

ta
n   1

1

Matematik Tg1_Final.indd   1 4/11/16   4:23 PM
RUKUN NEGARA
BAHAWASANYA NEGARA KITA MALAYSIA

mendukung cita-cita hendak:

Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan seluruh
masyarakatnya;

Memelihara satu cara hidup demokrasi;

Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;

Menjamin satu cara yang liberal terhadap tradisi-tradisi
kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;

Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan sains
dan teknologi moden;

MAKA KAMI, rakyat Malaysia,
berikrar akan menumpukan

seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tersebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:

KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN
KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA

KELUHURAN PERLEMBAGAAN
KEDAULATAN UNDANG-UNDANG
KESOPANAN DAN KESUSILAAN

(Sumber Jabatan Penerangan Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

0a Ikrar.indd   1 10/17/16   5:03 PM
KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH

MATEMATIK
TINGKATAN 1

Penulis
Ooi Soo Huat

Yong Kuan Yeoh
Ng Seng How

Editor
Loh Siew Sian

Pereka Bentuk
Farhanna Kasman

Lim Ah Hong

Ilustrator
Zaidi Sabran

Lim Soon Long

PELANGI

Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

2016

00 Title pg.indd   1 10/17/16   5:04 PM
ii

NO. SIRI BUKU: 0057
KPM2016 ISBN 978-983-00-8244-8
Cetakan Pertama 2016

© KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Hak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan dalam
buku ini tidak dibenarkan diterbitkan semula,
disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan
lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang
bentuk atau cara, baik dengan cara elektronik,
mekanik, penggambaran semula mahupun
dengan cara perakaman tanpa kebenaran terlebih
dahulu daripada Ketua Pengarah Pelajaran
Malaysia, Kementerian Pendidikan Malaysia.
Perundingan tertakluk kepada perkiraan royalti
atau honorarium.

Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan
Malaysia oleh:
PENERBITAN PELANGI SDN. BHD.
66, Jalan Pingai, Taman Pelangi,
80400 Johor Bahru, Johor Darul Takzim.
Tel: 07-3316288  Faks: 07-3329201
E-mel: pelangi@pelangibooks.com

Reka letak dan atur huruf:
PENERBITAN PELANGI SDN. BHD.

Muka taip teks: Times Roman
Saiz taip teks: 12 poin

Dicetak oleh:
The Commercial Press Sdn. Bhd.
Lot 8, Jalan P10/10,
Kawasan Perusahaan Bangi,
Bandar Baru Bangi,
43650 Bangi, Selangor Darul Ehsan.

PENGHARGAAN

Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. ingin
merakamkan setinggi-tinggi penghargaan
kepada pihak yang berikut:

•	 Jawatankuasa	Penambahbaikan	Pruf
Muka Surat, Bahagian Buku Teks,
Kementerian Pendidikan Malaysia

•	 Jawatankuasa	 Penyemakan	 Pembetulan
Pruf Muka Surat, Bahagian Buku Teks,
Kementerian Pendidikan Malaysia

•	 Jawatankuasa	Penyemakan	Naskhah
Sedia Kamera, Bahagian Buku Teks,
Kementerian Pendidikan Malaysia

•	 Pegawai-pegawai	Bahagian	Buku	Teks
dan Bahagian Pembangunan Kurikulum,
Kementerian Pendidikan Malaysia

•	 Pengerusi	serta	ahli	panel	penilaian	dan
peningkatan mutu

•	 Bahagian	Editorial	dan	Bahagian	Produksi,
terutamanya ilustrator dan pereka bentuk

•	 Arkib	Negara	Malaysia

•	 Cycling	Malaysia	Magazine

•	 GeoGebra

•	 Pertubuhan	Berita	Nasional	Malaysia
(BERNAMA)

•	 SIM	Optometry	Centre

•	 Sport	Singapore

•	 Tourism	Malaysia

•	 Semua	pihak	yang	terlibat	secara	langsung
atau tidak langsung dalam menjayakan
penerbitan buku ini

0b Penghargaan.indd   2 10/19/16   5:03 PM
iii

Pendahuluan v
Simbol dan Rumus vii

1Bab Nombor Nisbah 1

1.1 Integer  2
 1.2 Operasi Asas Aritmetik yang

Melibatkan Integer 7
 1.3 Pecahan Positif dan

Pecahan Negatif 14
 1.4 Perpuluhan Positif dan

Perpuluhan Negatif 19
 1.5 Nombor Nisbah  23

2Bab Faktor dan Gandaan 30

2.1 Faktor, Faktor Perdana dan
Faktor Sepunya Terbesar
(FSTB) 32

2.2 Gandaan, Gandaan Sepunya dan
  Gandaan Sepunya Terkecil

(GSTK) 38

3Bab Kuasa Dua, Punca Kuasa
Dua, Kuasa Tiga dan
Punca Kuasa Tiga 46

3.1 Kuasa Dua dan
Punca Kuasa Dua 48

3.2 Kuasa Tiga dan
Punca Kuasa Tiga 58

4Bab Nisbah, Kadar dan
Kadaran 74

4.1 Nisbah 76
 4.2 Kadar 81
 4.3 Kadaran 84
 4.4 Nisbah, Kadar dan Kadaran 87
 4.5 Perkaitan antara Nisbah, Kadar

dan Kadaran dengan Peratusan,
Pecahan dan Perpuluhan 93

5Bab Ungkapan Algebra 104

5.1 Pemboleh Ubah dan
Ungkapan Algebra 106

5.2 Ungkapan Algebra yang
Melibatkan Operasi
Asas Aritmetik 113

6Bab Persamaan Linear 122

6.1 Persamaan Linear dalam
Satu Pemboleh Ubah 124

6.2 Persamaan Linear dalam
Dua Pemboleh Ubah 132

6.3 Persamaan Linear Serentak
dalam Dua Pemboleh Ubah 137

0c Kandungan BT Math Tg1.indd   3 10/19/16   2:40 PM
iv

7Bab Ketaksamaan Linear 148

7.1 Ketaksamaan 150
 7.2 Ketaksamaan Linear dalam

Satu Pemboleh Ubah 158

8Bab Garis dan Sudut 168

8.1 Garis dan Sudut 170
 8.2 Sudut yang berkaitan dengan

Garis Bersilang 185
 8.3 Sudut yang berkaitan

dengan Garis Selari dan
Garis Rentas Lintang 188

9Bab Poligon Asas 200

9.1 Poligon 202
 9.2 Sifat Segi Tiga dan

Sudut Pedalaman serta
Sudut Peluaran Segi Tiga     205

9.3 Sifat Sisi Empat dan
Sudut Pedalaman serta
Sudut Peluaran Sisi Empat 212

10Bab Perimeter dan Luas 224

10.1 Perimeter 226
 10.2 Luas Segi Tiga,

Segi Empat Selari,
Lelayang dan Trapezium 231

10.3 Perkaitan antara Perimeter
dan Luas 238

11Bab Pengenalan Set 246

11.1 Set 248
 11.2 Gambar Rajah Venn, Set

Semesta, Pelengkap bagi
suatu Set dan Subset 254

12Bab Pengendalian Data 264

12.1 Proses Pengumpulan,
Pengorganisasian dan
Perwakilan Data, serta
Pentafsiran Perwakilan Data 266

13Bab Teorem Pythagoras 292

13.1 Teorem Pythagoras 294
 13.2 Akas Teorem Pythagoras    300

Jawapan 307
Glosari  325
Senarai Rujukan 327
Indeks  328

0c Kandungan BT Math Tg1.indd   4 10/17/16   5:05 PM
v

PENDAHULUAN
Buku Teks Matematik Tingkatan 1 ini disediakan berdasarkan Dokumen Standard
Kurikulum Pentaksiran (DSKP) iaitu menyepadukan enam tunjang kerangka KSSM,
mengintegrasikan pengetahuan, kemahiran dan nilai, serta menerapkan Kemahiran
Abad ke-21 dan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT) secara eksplisit supaya
dapat mewujudkan insan yang seimbang dan harmonis sebagaimana tuntutan Falsafah
Pendidikan Kebangsaan.
 Buku ini mengandungi 13 bab yang disusun secara sistematik dan menarik agar
dapat memupuk minat murid dalam matematik. Setiap bab dimulakan dengan halaman
rangsangan melalui foto yang menarik disertai soalan yang merangsang perbincangan dan
pemahaman dalam kalangan murid sesuai dengan konteks situasi harian.

Ciri-ciri istimewa buku teks ini ialah:

Kenapa Belajar Bab Ini? Memberi soalan terbuka untuk interaksi guru dan murid.

Menerangkan sejarah perkembangan matematik serta
sumbangan tokoh matematik.

Aktiviti Penerokaan
BerpasanganKendiri Berkumpulan

Belajar di Luar Bilik Darjah

Pelbagai jenis aktiviti disediakan untuk melibatkan
murid secara individu, berpasangan atau berkumpulan
yang boleh dilaksanakan di dalam atau di luar
bilik darjah.

Aktiviti Penerokaan
Kelas

Berbalik

Menggalakkan murid menerokai sendiri isi kandungan
sebelum pembelajaran bermula serta melibatkan diri
secara aktif dalam perbincangan semasa pembelajaran.

Latih Diri 1.1a
Menguji pemahaman murid terhadap konsep yang
telah dipelajari.

Mahir Diri 1.1 Merangkumi soalan yang menguji pelbagai
kemahiran murid.

Memberi kepelbagaian soalan latihan yang terdiri
daripada Uji Diri Anda, Masteri Kendiri dan Cabar
Diri Anda yang berunsurkan KBAR dan KBAT serta
berunsurkan pentaksiran TIMSS dan PISA.

Merupakan soalan KBAT untuk membantu
perkembangan kemahiran berfikir aras tinggi.

Memberikan pengetahuan am dan aplikasi matematik
yang menarik.

0d Pendahuluan BT Math Tg1.indd   5 10/17/16   5:05 PM
vi

Setiap bab diakhiri dengan rumusan yang berbentuk peta pemikiran atau peta konsep.
Secara keseluruhannya, kami berharap buku teks ini dapat digunakan sepenuhnya oleh
semua murid dan juga para pendidik.

Aplikasi
Membolehkan murid mengaplikasikan konsep matematik
dalam konteks kehidupan sebenar.

Cuba Ini Menguji pemahaman dan penguasaan murid.

Mengemukakan soalan yang menguji minda murid.

Memberikan tip dan input tambahan yang penting
serta bermanfaat.

Mengemukakan soalan yang merangsang minda murid
untuk berfikir secara kritis dan kreatif.

Mengemukakan soalan untuk perbincangan antara murid
dengan berkongsi idea.

Membina kemahiran berkomunikasi secara matematik.

Menjana pemikiran murid untuk menghasilkan idea yang
kreatif dan berupaya mencipta sesuatu.

Membantu murid untuk mengingat kembali perkara yang
telah dipelajari.

CelikCelik Memaparkan cara penggunaan kalkulator saintifik
dalam pengiraan.

Pintar Teknologi Mendedahkan murid terhadap penggunaan alat teknologi
dalam pembelajaran matematik.

Memperkenal kerjaya yang melibatkan konsep matematik
yang telah dipelajari.

Membolehkan murid menjalankan tugasan dan
membentangkan hasil semasa pembelajaran.

Memberi aktiviti tambahan untuk mempertingkat
pemahaman murid dengan lebih berkesan.

Membolehkan murid mengimbas QR Code dengan
menggunakan peranti mudah alih pintar untuk
menonton video, menjalankan aktiviti dan mendapat
maklumat tambahan.
(Laman sesawang dalam domain awam yang dicadangkan
dalam buku ini mungkin berubah dari semasa ke semasa.)

0d Pendahuluan BT Math Tg1.indd   6 10/17/16   5:05 PM
vii

SIMBOL DAN RUMUS

 punca kuasa dua
3 punca kuasa tiga
a : b  nisbah a kepada b
=  sama dengan
≈ hampir sama dengan
≠  tidak sama dengan
. lebih besar daripada
>  lebih besar daripada atau sama dengan
,  kurang daripada
<  kurang daripada atau sama dengan

∆  segi tiga
∠ sudut
{ }, f  set kosong
j set semesta
 ialah unsur bagi
 bukan unsur bagi
 subset bagi
 bukan subset bagi
n(A)  bilangan unsur set A
A9  pelengkap bagi set A

SIMBOL

Muat turun aplikasi percuma daripada Google Play atau layanan lain
ke peranti mudah alih pintar anda. Imbas QR Code dengan aplikasi
itu atau layari laman sesawang yang tertera di sebelah kiri untuk muat
turun fail audio Jaringan Kata, GeoGebra, hamparan elektronik dan
soalan tambahan Mahir Diri. Kemudian simpan fail yang dimuat turun
dalam folder sendiri untuk kegunaan luar talian.

Nota: Murid boleh muat turun perisian GeoGebra yang percuma
untuk membuka fail yang berkenaan.
http://www.geogebra.org/

RUMUS

Luas segi tiga = 1
2

× panjang tapak × tinggi

Luas segi empat selari = panjang tapak × tinggi

Luas lelayang = 1
2

× hasil darab panjang dua pepenjuru

Luas trapezium = 1
2

× hasil tambah dua sisi selari × tinggi

https://goo.gl/
bnn2mP

0d Pendahuluan BT Math Tg1.indd   7 10/17/16   5:05 PM
BAB 1

B
A
B

1

2

Nombor Nisbah

1
BAB

•	 Integer
•	 Operasi	Asas	Aritmetik	yang	Melibatkan	Integer
•	 Pecahan	Positif	dan	Pecahan	Negatif
•	 Perpuluhan	Positif	dan	Perpuluhan	Negatif
•	 Nombor	Nisbah

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Sidang Puncak Perubahan Iklim Dunia 2015
di Paris telah membincangkan isu pemanasan
global. Pemanasan global telah menyebabkan
kenaikan purata suhu global, seterusnya akan
menyebabkan pencairan glasier di kutub utara
dan kutub selatan.
 Pada masa kini, purata suhu di kutub utara
dan kutub selatan adalah di bawah 0°C.

Nombor memainkan
peranan penting dalam
bidang perniagaan dan
perdagangan, perbankan,
kejuruteraan dan sebagainya.
Bincangkan kepentingan nombor
dalam bidang tersebut.

01 Intro pg Mate Tg1.indd   2 10/17/16   5:02 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

3

Seawal 200 S.M., orang Cina menggunakan
batang kayu untuk mewakili nombor
positif dan nombor negatif. Mereka
menggunakan batang merah untuk
mewakili nombor positif dan batang
hitam untuk mewakili nombor negatif.
Nombor negatif tidak muncul di Eropah
hingga kurun ke-15.

Untuk maklumat lanjut:

http://goo.gl/X7Kr81

Jaringan Kata

251

4069

-703

Bagaimanakah suhu di bawah 0°C
diwakili dengan suatu nombor?
 Bayangkan pada suatu hari, jika
suhu di kutub utara dan kutub selatan
meningkat sehingga 0°C, ramalkan
kesannya kepada Bumi.

•	 Hukum	Identiti		 •	 Identity Law
•	 Hukum	Kalis	Agihan		 •	 Distributive Law
•	 Hukum	Kalis	Sekutuan		 •	 Associative Law
•	 Hukum	Kalis	Tukar	Tertib		 •	 Commutative Law
•	 integer	 •	 integer
•	 nombor	nisbah		 •	 rational number
•	 pecahan		 •	 fraction
•	 perpuluhan		 •	 decimal
•	 sifar		 •	 zero

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

Nombor Nisbah

1

01 Intro pg Mate Tg1.indd   3 10/17/16   5:02 PM
BAB 1

B
A
B

1

2

1.1 Integer

Apakah nombor positif dan nombor negatif?
Dalam kehidupan harian, kita sering kali bertemu dengan
situasi yang melibatkan dua perubahan yang bertentangan
seperti arah pergerakan ke kanan atau ke kiri, menaik atau
menurun, nilai yang lebih atau kurang daripada sifar dan nilai
yang bertambah atau berkurang.

Situasi tersebut boleh diwakili dengan nombor positif
dan nombor negatif. Misalnya,

Tingkat 2

Tingkat 1

Tingkat bawah

Tingkat 1
bawah tanah

•	 Lif	naik	dua	tingkat	ditulis
sebagai	+2	atau	2.

•	 Lif	turun	satu	tingkat	ditulis
sebagai	–1.

•	 Suhu	di	gurun	ialah	45°C	dan
ditulis	sebagai	+45	atau	45.

•	 Suhu	glasier	ialah	10°C
di	bawah	0°C	dan	ditulis
sebagai	–10.

Nombor yang ditulis dengan tanda ‘+’ atau tanpa tanda,
misalnya, +2, + 45 atau 2, 45 dikenali sebagai nombor positif.
 Nombor yang ditulis dengan tanda ‘–’, misalnya, –1, –10
dikenali sebagai nombor negatif.

Contoh 1

Kereta A bergerak 40 m ke kanan manakala
kereta B bergerak 50 m ke kiri. Wakilkan pergerakan
kereta A dan kereta B dengan nombor positif atau
nombor negatif.

B
A

Andaikan pergerakan ke kanan diwakili dengan
nombor positif dan pergerakan ke kiri diwakili
dengan nombor negatif.
 Maka, kereta A bergerak 40 m ke kanan diwakili
dengan 40 atau + 40; kereta B bergerak 50 m ke kiri
diwakili dengan –50.

PEMBELAJARAN

Mengenal	nombor
positif	dan	nombor
negatif	berdasarkan
situasi	sebenar.

–1	disebut
sebagai
‘negatif	satu’.

Bolehkah	pergerakan
ke	kiri	diwakili	dengan
nombor	positif	manakala
pergerakan	ke	kanan
diwakili	dengan	nombor
negatif?	Terangkan.

01 Text book Mate Tg1.indd   2 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

3

1.1a

1. Bagi setiap situasi yang berikut, wakilkan dua perubahan yang bertentangan dengan
menggunakan nombor positif dan nombor negatif.
(a)

1 000 m

250 m

(b)

Keuntungan RM2 000
Keuntungan RM2 000

Kerugian RM500
Kerugian RM500

Apakah integer?

Berkumpulan1
Tujuan : Mengenal dan memerihalkan integer.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

Kami	ialah
integer	negatif.

Kami	juga	integer.

Kami	ialah
integer	positif.

Kami	ialah
integer	positif.

Kami	bukan	integer.
Kami	bukan	integer.

1. Kaji gambar rajah di atas dengan teliti.

2. Bincang dengan rakan anda dan terangkan bagaimana anda memerihalkan
maksud integer.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa integer ialah kumpulan nombor
yang merupakan nombor bulat positif dan nombor bulat negatif termasuk sifar.

PEMBELAJARAN

Mengenal	dan
memerihalkan	integer.

01 Text book Mate Tg1.indd   3 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

4

Contoh 2
Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah integer atau bukan.

15,  23,  –3. 4,  –76,  0,  1
2

,  6,  0.88,  –  4
5

,  301,  –239

Integer: 15, 23, –76, 0, 6, 301, –239 Bukan integer: –3. 4, 1

2
, 0.88, –  4

5

1.1b

1. Dalam jadual yang berikut, tandakan ‘3’ bagi nombor yang merupakan integer dan
tandakan ‘7’ bagi nombor yang bukan integer.

3
4 –24 35 6.7 –29 900 – 4.34 72 –

1
2 0

2. Salin rajah di sebelah. Pilih integer daripada nombor-nombor
di bawah dan tulis dalam rajah itu.

0.25,  1
3

,  48,  –12,  –2.8,

–  2
7

,  0,  59,  458,  – 6

Integer

Bagaimanakah anda mewakilkan integer pada
garis nombor?

Kelas

Berbalik
2

Tujuan : Meneroka perwakilan integer pada garis nombor.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran

bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii.

1. Buka fail Integer garis nombor.ggb dengan GeoGebra.

2. Seret ‘titik merah’ pada garis nombor untuk mentakrifkan integer pada garis
nombor.

3. Perhatikan kedudukan nombor yang ditakrifkan pada garis nombor berbanding
dengan kedudukan sifar.

PEMBELAJARAN

Mewakilkan integer
pada garis nombor dan
membuat perkaitan
antara nilai integer
dengan kedudukan
integer tersebut
berbanding integer lain
pada garis nombor.

01 Text book Mate Tg1.indd   4 10/20/16   9:42 AM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

5

4. Jawab soalan berikut berdasarkan
maklumat yang diperoleh daripada
paparan.
(a) Perihalkan nilai bagi integer 10

berbanding dengan sifar.
(b) Bagaimanakah nombor negatif

seperti –1, –2 dan –3 ditentukan
 kedudukannya pada garis nombor?
(c) Bagaimanakah anda mewakilkan

1, 2, 3, –1, –2 dan –3 pada garis
nombor?

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa integer
positif ialah integer yang lebih besar daripada sifar manakala
integer negatif ialah integer yang kurang daripada sifar.
Jika arah ke kanan dianggap sebagai positif dan arah ke kiri
dianggap sebagai negatif, maka kita dapat simpulkan bahawa
(i) bagi integer positif, semakin besar nombor itu lebih

daripada 0, maka semakin jauh kedudukannya ke sebelah
kanan pada garis nombor dan semakin besar nilainya.

(ii) bagi integer negatif, semakin besar nombor itu kurang daripada 0, maka semakin
jauh kedudukannya ke sebelah kiri pada garis nombor dan semakin kecil nilainya.

–3 –2 –1 0 1 2 3

–1 bermaksud kurang 1 daripada 0 1 bermaksud lebih 1 daripada 0

–2 bermaksud kurang 2 daripada 0 2 bermaksud lebih 2 daripada 0

–3 bermaksud kurang 3 daripada 0 3 bermaksud lebih 3 daripada 0

Contoh 3
Lengkapkan garis nombor dengan nombor berikut.

–30,  6,  – 6,  –36

–12

–36 –30 –6 6–12

6	ialah	integer	positif.
Maka,	6	berada	di
sebelah	paling	kanan.

–36,	–30,	–12	dan	–6	ialah	integer	negatif.
Maka,	 –36	 adalah	 paling	 kecil	 nilainya
dan	berada	di	sebelah	paling	kiri.

Pada	suatu	garis	nombor,
nombor	di	sebelah	arah
positif	adalah	sentiasa
lebih	besar	daripada
nombor	di	sebelah
arah	negatif.

ahukahT A nda
Suhu	terendah	yang
direkodkan	kira-kira
–93°C	di	Antartika
pada	Ogos,	2010.

01 Text book Mate Tg1.indd   5 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

6

1.1c
1. Bagi setiap yang berikut, tentukan dan tandakan kedudukan integer yang diberi itu

pada suatu garis nombor.
(a) –5, 5, 1 dan –3 (b) 0, –8, 2 dan –10

2. Lengkapkan setiap garis nombor yang berikut.
(a)

–4 4–12

(b)
–48 –32 –24

Bagaimanakah anda membanding dan menyusun
integer mengikut tertib?

Berdasarkan kedudukan integer yang diberi pada suatu garis
nombor, maka kita boleh membanding nilai integer itu dan
seterusnya menyusun integer itu mengikut tertib menaik
atau tertib menurun.

Contoh 4
(a) Banding dan susun –3, 4, 2, –5, 6, 0, –1 mengikut

tertib menaik.
(b) Banding dan susun – 4, 3, 2, 5, –2, –1, –5 mengikut

tertib menurun.

(a)

–5 –3 –1 0 2 4 6–4 –2 1 3 5

Tertib menaik:  –5, –3, –1, 0, 2, 4, 6
(b)

–5 –4 –2 –1 2 3 5–3 10 4 6

Tertib menurun: 5, 3, 2, –1, –2, – 4, –5

1.1d
1. Banding dan susun – 4, 3, 1, – 6, 5, 0, –2 mengikut tertib menaik.
2. Banding dan susun –5, –3, 3, 4, – 4, 2, –1 mengikut tertib menurun.

1.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 1.1.

1. (a) Jika +20 mewakili 20 m di atas aras laut, maka –20 m mewakili .

(b) Jika +90 mewakili pergerakan 90 m ke arah utara, maka –90 mewakili .

PEMBELAJARAN

Membanding	dan
menyusun	integer
mengikut	tertib.

TIP    BESTARI
Nilai	nombor	positif
adalah	sentiasa	lebih
besar	daripada	nilai
nombor	negatif.

01 Text book Mate Tg1.indd   6 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

7

(c)  Jika +800 mewakili RM800 dikredit ke dalam suatu akaun simpanan, maka
RM800 didebit ke dalam akaun diwakili oleh .

(d) Jika +1 000 mewakili keuntungan sebanyak RM1 000, maka kerugian sebanyak
RM1 000 diwakili oleh .

2. Nyatakan nombor-nombor berikut dengan tanda ‘+’ atau ‘–’.
(a) Kurang 80 daripada sifar (b) Lebih 76 daripada sifar

3. Senaraikan semua integer
(a) daripada –8 hingga 4. (b) daripada –12 hingga –2.

4. Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah integer atau bukan.
–14,   3.9,   12,   –26,   85,   0,   –2

5. Banding dan susun suhu berikut mengikut tertib dengan bermula daripada suhu yang
paling sejuk.

–3°C,   2°C,   – 4°C,   1°C,   4°C

1.2 Operasi Asas Aritmetik yang Melibatkan Integer
 Bagaimanakah anda menambah dan menolak integer?

Kelas

Berbalik
3

Tujuan : Meneroka penambahan dan penolakan integer
  pada garis nombor.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran

bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii.

1. Buka fail Tambah tolak integer.ggb dengan GeoGebra. Paparan seperti di
bawah dipaparkan.

2. Seret penggelongsor
yang berwarna merah
dan seret ‘titik biru’
pada paparan.

3. Perhatikan pergerakan
titik-titik lain dalam
paparan berhubung
dengan penambahan
dan penolakan integer.

4. Bentang dan bincangkan dapatan anda dengan rakan semasa pembelajaran.
5. Perihalkan satu generalisasi tentang penambahan dan penolakan integer.

PEMBELAJARAN

Menambah	dan	menolak
integer	menggunakan
garis	nombor	atau
kaedah	lain	yang	sesuai.
Seterusnya	membuat
generalisasi	tentang
penambahan	dan
penolakan	integer.

01 Text book Mate Tg1.indd   7 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

8

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, dapatan pada suatu garis nombor adalah
(a) penambahan

(i) integer positif diwakili pergerakan
ke sebelah kanan

(ii) integer negatif diwakili pergerakan
ke sebelah kiri

(b) penolakan
(i) integer positif diwakili pergerakan

ke sebelah kiri
(ii) integer negatif diwakili pergerakan

ke sebelah kanan

–2 –1 0 1 2

Penambahan integer positif

Penambahan integer negatif

–2 –1 0 1 2

Penolakan integer positif

Penolakan integer negatif

Contoh 5
Selesaikan
(a) 8 + (+3)
(c)  2 – (+ 4)

(b) 5 + (–2)
(d) –1 – (– 4)

(a)  8 + (+3)
  = 8 + 3
 = 11 8 9

Bergerak 3 unit ke kanan

10 11

(b)  5 + (–2)
 = 5 – 2
 = 3   3 4 5

Bergerak 2 unit ke kiri

(c)  2 – (+ 4)
 = 2 – 4
  = –2 –2 –1 0 1 2

Bergerak 4 unit ke kiri

(d)  –1 – (– 4)
 = –1 + 4
 = 3 –1 0 1 2 3

Bergerak 4 unit ke kanan Penolakan	integer
negatif	diwakili
pergerakan	ke	kanan.

1.2a

1. Selesaikan setiap yang berikut.
(a) 6 + (+2)  (b)   – 4 + (–3)  (c)   3 – (+2)  (d)   –2 – (– 4)
(e) –8 + (–2)   (f)   6 – (+3)  (g)   9 + (+4)  (h)   –5 – (–3)

Imbas	QR Code	atau
layari	https://youtu.
be/M-6nCGsPido
untuk	contoh	lain
bagi	penambahan	dan
penolakan	integer.

Penambahan	integer
positif	diwakili
pergerakan	ke	kanan.

Penambahan	integer
negatif	diwakili
pergerakan	ke	kiri.

Kaedah cip berwarna
Cip	kuning,	 + ,	mewakili
integer	positif	dan	cip
merah,	 – ,	mewakili
integer	negatif.
Bagi	Contoh	5(b):

Mewakili
sifar

+ –

+ –

+

+

+

1
2

3

Maka,	5	+	(–2)	=	3

Kaedah Alternatif

Penolakan	integer
positif	diwakili
pergerakan	ke	kiri.

01 Text book Mate Tg1.indd   8 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

9

Bagaimanakah anda mendarab dan membahagi integer?

Kelas

Berbalik
4

Tujuan : Meneroka pendaraban dan pembahagian integer.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran

bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii.

1. Buka fail Jadual pendaraban integer.pdf dan cetak fail itu seperti yang ditunjukkan
dalam rajah.

2. Lengkapkan bahagian berwarna ungu
untuk pendaraban integer positif yang
telah dipelajari.

3. Lengkapkan bahagian jadual lain
 mengikut pola nombor yang ditunjukkan.
4. Bentangkan dapatan anda tentang pola

pendaraban integer yang ditunjukkan.
5. Bincang dengan rakan anda tentang pola

pembahagian integer.
6. Perihalkan satu generalisasi tentang

pendaraban dan pembahagian integer.

× –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
–5 0
–4 0
–3 0
–2 0 –8
–1 0 –4 –5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 –1 0 1 2 3 4 5
2 –4 –2 0 2 4 6 8 10
3 0 15
4 0
5 0

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa

Operasi Tanda hasil
darab

(+) × (+) +
(+) × (–) –
(–) × (+) –
(–) × (–) +

Operasi Tanda hasil
bahagi

(+) ÷ (+) +
(+) ÷ (–) –
(–) ÷ (+) –
(–) ÷ (–) +

Secara am, peraturan pendaraban dan pembahagian
integer dapat dirumuskan seperti berikut.

Hasil darab atau hasil bahagi dua integer dengan tanda
sama ialah suatu integer positif.

Hasil darab atau hasil bahagi dua integer dengan tanda
berlainan ialah suatu integer negatif.

PEMBELAJARAN

Mendarab	dan	membahagi
integer	menggunakan
pelbagai	kaedah.
Seterusnya	membuat
generalisasi	tentang
pendaraban	dan
pembahagian	integer.

TIP    BESTARI

Selain	daripada
penambahan	dan
penolakan	integer,
cip	berwarna	juga
boleh	digunakan
untuk	melakukan
pendaraban	dan
pembahagian	integer.
Layari	laman	sesawang
yang	berikut	untuk
maklumat	selanjutnya.

www.goo.gl/7j6CTd

01 Text book Mate Tg1.indd   9 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

10

Contoh 6
Nilaikan setiap yang berikut.
(a) –5 × (– 4) (b) –6 × 4 (c) 6 ÷ (–2) (d) –12 ÷ (–2)

(a) –5 × (– 4) (b) –6 × 4 (c) 6 ÷ (–2) (d) –12 ÷ (–2)
 = +(5 × 4)  = –(6 × 4)  = –(6 ÷ 2)  = +(12 ÷ 2)
 = 20  = –24  = –3  = 6

1.2b

1. Selesaikan setiap yang berikut.
(a) –6 × (–3) (b) –7 × 2 (c) 4 × (–8) (d) 8 × (–6)
(e) –12 ÷ 3 (f) –18 ÷ (–6) (g) 15 ÷ (–5) (h) –20 ÷ 4

Bagaimanakah anda membuat pengiraan yang
melibatkan gabungan operasi bagi integer?

Apabila melakukan penghitungan yang melibatkan gabungan
operasi ke atas integer, ikut tertib operasi yang berikut.

Tanda kurung ( ) × atau ÷ + atau –

Dari kiri ke kanan Dari kiri ke kanan

Contoh 7
Selesaikan setiap yang berikut.
(a) –8 × (–2 + 3) (b) 7 + 2(–3)

(c) 4 – 12 ÷ (–2) + (–1) (d) –12 + (–16)
–22 – (–24)

(a) –8 × (–2 + 3) (b) 7 + 2(–3)
 = –8 × (1)  = 7 + 2 × (–3)
 = –8  =  7 + (– 6)
   =  7 – 6
    =  1

(c) 4 – 12 ÷ (–2) + (–1)
 = 4 – (– 6) – 1
 = 4 + 6 – 1
 = 9

PEMBELAJARAN

Membuat	pengiraan
yang	melibatkan
gabungan	operasi	asas
aritmetik	bagi	integer
mengikut	tertib	operasi.

TIP    BESTARI
Tanda	kurung
juga	digunakan
sebagai	tatatanda
untuk	pendaraban.

CelikCelik

Bagi Contoh 7(a),

tekan (–)  8  ×  (

(–)  2  +  3  )  =

Bagi Contoh 7(d),

tekan (  (–)  1  2  +

(–)  1  6  )  ÷  (

(–)  2  2  –  (–)  2  4

)  =

(d) –12 + (–16)
–22 – (–24)

= –12 – 16
–22 + 24

= –28
2

= –14

01 Text book Mate Tg1.indd   10 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

11

1.2c

1. Nilaikan setiap yang berikut.
(a) –9 × (– 4 + 6)  (b) 8 + (– 4) × 8 (c) 4 – 15 ÷ (–3) + (–8)

(d) –14 + (–22)
–23 – (–35)

(e) –12 – 15 × (–3) – (– 6)  (f) –6 + (–8) × (–5)
–27 – (–38)

Bagaimanakah anda menghuraikan hukum
operasi aritmetik?

Kelas

Berbalik
5

Tujuan : Meneroka hukum operasi aritmetik.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran

bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii.

1. Buka fail Hukum aritmetik.pdf dan cetak bahan itu
seperti yang ditunjukkan dalam rajah.

2. Lengkapkan jadual yang diberikan.

3. Bandingkan hasil dapatan anda dan bincang dengan
rakan kumpulan lain.

4. Buat satu kesimpulan tentang operasi aritmetik tersebut.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa
(i) bagi semua nilai a dan b,

a + b = b + a
a × b = b × a

Penambahan dan pendaraban
dikatakan mematuhi Hukum
Kalis Tukar Tertib.

(ii) bagi semua nilai a, b dan c,
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)

Penambahan dan pendaraban
dikatakan mematuhi Hukum
Kalis Sekutuan.

(iii) bagi semua nilai a, b dan c,
a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b – c) = a × b – a × c

Penambahan dan penolakan
dikatakan mematuhi Hukum
Kalis Agihan.

(iv) bagi semua nilai a,
a + 0 = a
a × 0 = 0
a × 1 = a

a + (– a) = 0
a × 1

a  = 1

Pernyataan-pernyataan ini disebut
sebagai Hukum Identiti.

PEMBELAJARAN

Menghuraikan	hukum
operasi	aritmetik	iaitu
Hukum	Identiti,	Hukum
Kalis	Tukar	Tertib,	Hukum
Kalis	Sekutuan	dan
Hukum	Kalis	Agihan.

01 Text book Mate Tg1.indd   11 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

12

Bagaimanakah anda menghitung dengan efisien?
Hukum yang dipelajari itu boleh digunakan untuk membuat
penghitungan yang lebih efisien.

Contoh 8
Selesaikan setiap yang berikut dengan pengiraan efisien.
(a) 29 + 38 + 2  (b) 2 × 24 × 5 (c) 7 × 3 040

(a) 29 + 38 + 2
 = 29 + (38 + 2) Hukum	Kalis	Sekutuan
 = 29 + 40
 = 69

(b) 2 × 24 × 5
 = 24 × 2 × 5 Hukum	Kalis	Tukar	Tertib

= 24 × (2 × 5) Hukum	Kalis	Sekutuan
 = 24 × 10
 = 240

(c) 7 × 3 040
 = 7 × (3 000 + 40)
 = 7 × 3 000 + 7 × 40 Hukum	Kalis	Agihan
 = 21 000 + 280
 = 21 280

1.2d

1. Dengan menggunakan hukum yang telah dipelajari, selesaikan setiap yang berikut
dengan pengiraan efisien.
(a) 356 + 61 + 9 (b) 20 × 567 × 5   (c) 89 × 5 080
(d) 6 × 200 + 6 × 25 + 6 × 5 (e) 26 × 3 – 24 × 3 (f) 899 × 5

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Tunggakan kad kredit Luqman ialah RM230 pada suatu
ketika. Dia menggunakan kad kreditnya untuk membuat
bayaran bagi tiga buah buku yang berharga RM120 setiap
satu. Seminggu kemudian, akaun kad kreditnya dikenakan
faedah sebanyak RM3 dan Luqman membuat bayaran balik
sejumlah RM400. Terangkan sama ada Luqman menjelaskan
hutangnya atau tidak.

Jumlah tunggakan = –230
Jumlah perbelanjaan = 3 × (–120)
 = –360
Bayaran faedah = –3
Bayaran balik = + 400

PEMBELAJARAN

Membuat	pengiraan
yang	efisien	dengan
menggunakan	hukum
operasi	asas	aritmetik.

–2

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan	integer.

Tunggakan	=	230
Jumlah	perbelanjaan
=	3(120)
=	360
Bayaran	faedah	=	3
Bayaran	balik	=	400
Tunggakan
=	230	+	360	+	3	–	400
=	RM193

Tunggakan	bermaksud
baki	hutang	dan	ditulis
dengan	tanda	‘–’.

01 Text book Mate Tg1.indd   12 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

13

Baki akaun kad kredit = –230 + (–360) + (–3) + 400
 = –230 – 360 – 3 + 400
 = –193
Luqman belum menjelaskan hutangnya kerana akaun kad kreditnya masih ada tunggakan
sejumlah RM193.

1.2e

1. Sebuah kedai mendapat keuntungan RM16 800 pada tahun pertama dan mengalami
kerugian RM6 500 setiap tahun bagi dua tahun berturut-turut. Pada tahun keempat,
kerugian yang dialami oleh kedai itu adalah dua kali kerugian yang dialami pada tahun
kedua. Berapakah keuntungan atau kerugian kedai itu dalam tempoh empat tahun?

2. Suhu di Kuching dari pukul 7:00 p.m. hari pertama hingga 5:00 a.m. hari kedua
telah menurun sebanyak 4°C. Suhunya kemudian meningkat sebanyak 8°C pada
pukul 11:00 a.m. dan terus meningkat sebanyak 2°C tiga jam kemudian. Jika suhu di
Kuching pada pukul 11:00 a.m. ialah 30°C, hitung suhunya pada
(a) pukul 7:00 p.m. hari pertama
(b) pukul 2:00 p.m. hari kedua

1.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 1.2.

1. Dengan menggunakan nombor berikut, tulis lima pengiraan yang memberikan hasil –14.
 –12,  6,  2,  –3,  –2,  8,  11,  5,  15

2. Bagi setiap yang berikut, isikan tanda operasi ‘+’, ‘–’, ‘×’ atau ‘÷’ yang sesuai pada
petak kosong.
(a) –8  (–6) = –3 × (–6  10) (b) 5 + (–9)  3 = –5  (–7)

3. Lengkapkan pola nombor yang berikut.
(a) –9, –7, , –3, , 1,  (b) –2, 4, , 16, –32, ,

4. Suhu di sebuah bandar pada suatu ketika ialah 12°C. Suhunya menurun sehingga
–6°C. Suhu kemudian meningkat sebanyak 3°C dan akhirnya menurun sebanyak
8°C. Tentukan
(a) perubahan suhu di bandar itu, (b) suhu akhir di bandar itu.

5. Seorang penyelam berada 50 m di bawah aras laut. Penyelam itu berenang naik 2 m
setiap 5 saat. Terangkan sama ada penyelam itu dapat mencapai aras laut selepas
2 minit atau tidak.

6. Akaun semasa Encik Hafidz ada wang baki RM1 238. Dia telah menandatangani dua
keping cek yang masing-masing bernilai RM890 dan RM1 730.
(a) Tentukan sama ada cek bernilai RM890 atau cek bernilai RM1 730 menjadi cek

tendang apabila dikreditkan.
(b) Berapakah ringgit yang perlu ditampung oleh Encik Hafidz ke dalam akaun

supaya dua keping cek yang ditandatangani tidak menjadi cek tendang apabila
cek itu dikreditkan?

01 Text book Mate Tg1.indd   13 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

14

1.3 Pecahan Positif dan Pecahan Negatif

Bagaimanakah anda mewakilkan pecahan
positif dan pecahan negatif pada garis
nombor?

Kelas

Berbalik
6

Tujuan : Meneroka perwakilan pecahan positif dan pecahan negatif pada garis
nombor.

Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang
dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Pecahan garis nombor.ggb dengan GeoGebra.

2. Seret penggelongsor ‘Pengangka’
dan ‘Penyebut’ untuk menyatakan
suatu pecahan.

3. Klik pada butang ‘Tukar Tanda’
untuk penukaran antara positif
dengan negatif.

4. Perhatikan kedudukan pecahan
yang dinyatakan pada garis
nombor.

5. Bincangkan kaedah menentukan
kedudukan suatu pecahan pada
garis nombor.

Perwakilan pecahan pada garis nombor adalah sama seperti integer. Pecahan positif ialah
pecahan yang lebih besar daripada sifar manakala pecahan negatif ialah pecahan yang
kurang daripada sifar.

–2 –1 0 1 2–11
2 – 1

2
1
2 11

2

bermaksud1
2– daripada 0kurang 1

2

bermaksud lebih daripada 01
21 1

21

bermaksud1
2 lebih daripada 01

2

bermaksud kurang daripada 01
2–1 1

21

PEMBELAJARAN

Mewakilkan	pecahan
positif	dan	pecahan
negatif	pada
garis	nombor.

01 Text book Mate Tg1.indd   14 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

15

Contoh 9
Wakilkan pecahan yang berikut pada garis nombor.
1
2

,  1
4

,  – 3
4

,  –  1
2

–1 0 1– 3
4 – 1

2
1
4

1
2

1.3a

1.   Wakilkan pecahan yang berikut pada garis nombor.

(a)  1
10

, – 3
5

, 1
2

, – 1
5

(b) – 1
3

, 1
6

, 1
2

, –1 2
3

Bagaimanakah anda membanding dan menyusun pecahan positif dan
pecahan negatif mengikut tertib?

Dua atau lebih pecahan boleh dibanding nilainya dengan
menyamakan penyebut dahulu. Kemudian pecahan itu boleh
disusun mengikut tertib menaik atau tertib menurun.

Contoh 10
Banding dan susun pecahan berikut mengikut tertib menaik.

1
8

, –  3
4

, –1 1
4

, 1
2

, –1 5
8

, –  3
8

1
8

,  –  3
4

,  –1 1
4

,  1
2

,  –1 5
8

,  –  3
8

1
8

,  –  6
8

,  –1 2
8

,  4
8

,  –1 5
8

,  –  3
8

–1–2 0 16
8––12

8–15
8

–11
4

3
8– 1

8
4
8

1
2

3
4–

Maka, pecahan disusun mengikut tertib menaik ialah

–1 5
8

, –1 1
4

, –  3
4

, –  3
8

, 1
8

, 1
2

TIP    BESTARI
•	 Pecahan	positif
berada	di	sebelah
kanan	sifar.

•	 Pecahan	negatif
berada	di	sebelah
kiri	sifar.

PEMBELAJARAN

Membanding	dan
menyusun	pecahan
positif	dan	pecahan
negatif	mengikut	tertib.

01 Text book Mate Tg1.indd   15 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

16

1.3b

1. Banding dan susun pecahan yang berikut mengikut tertib menaik.

(a) –  5
6

, –  1
4

, 3
8

, –  5
12

, 7
24

(b)  1
3

, –  5
6

, 5
8

, –  2
3

, –  13
18

, –  15
24

2. Banding dan susun pecahan yang berikut mengikut tertib menurun.

(a) 3
5

, –  7
20

, –  5
12

, –  1
8

, 5
6

(b)  –  1
2

, 2
9

, –  5
9

, –  7
12

, –  7
18

, 11
18

Bagaimanakah anda membuat pengiraan
yang melibatkan gabungan operasi bagi
pecahan positif dan pecahan negatif?

Contoh 11
Selesaikan

(a) 1 2
3

× 1 2
5

– 5
6 2  (b) 5

8
 + 1 1

3
 ÷ 1–  5

6 2

(a) 1 2
3

× 1 2
5

– 5
6 2

= 5
3

× 112 – 25
30 2

= 5
3

× 1–  13
302

= –  13
18

(b) 5
8

+ 1 1
3

÷ 1–  5
6 2  Pembahagian

dilakukan	dahulu.

= 5
8

+ 4
3

× 1–  6
5 2

2

1

= 5
8

+ 1–  8
5 2

= 25
40

– 64
40

= – 39
40

1.3c

1.   Nilaikan setiap yang berikut.

(a) 1 1
6

× 1 3
4

+ 1
5 2  (b) –  5

6
 + 1 2

3
  ÷ 1–  3

7 2   (c) –2 1
2

÷ 1–3 1
3 2 + 1–  1

6 2

(d) –6 × 13 2
7

– 4 1
2 2  (e) –  1

3
 + 2 5

6
  – 3

8
 × 1 2

3
 (f) –  1

4
 + 1–  4

5 2 × 2 1
6

– 5
16

PEMBELAJARAN

Membuat	pengiraan
yang	melibatkan
gabungan	operasi	asas
aritmetik	bagi	pecahan
positif	dan	pecahan
negatif	mengikut
tertib	operasi.

Pengiraan	dalam
tanda	kurung
dilakukan	dahulu.

1

6

Tukarkan	÷
kepada	×	dan
salingan	bagi

–	 5
6
	ialah	–	 6

5
.

Ikutilah	tertib	operasi
(	 	 )

×	atau	÷

+	atau	–

01 Text book Mate Tg1.indd   16 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

17

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Satu kuiz matematik mengandungi 20 soalan. 2 markah
diberi bagi setiap jawapan yang betul dan –  1

2
 markah diberi

bagi setiap jawapan yang salah. Mei Ling menyertai kuiz
itu dan menjawab semua soalan. Jumlah markahnya bagi
jawapan yang salah ialah –4. Berapakah jumlah markah yang
diperoleh Mei Ling dalam kuiz tersebut?

Melaksanakan strategi

Bilangan jawapan yang salah = – 4 ÷ 1–  1
2 2

= 8
Jumlah markah = (20 – 8) × 2 + (– 4)
 = 12 × 2 – 4
 = 24 – 4
 = 20

Membuat refleksi
Jumlah markah bagi jawapan yang betul  = 12 × 2
 = 24

Jumlah markah bagi jawapan yang salah = 8 × 1–  1
2 2

= –4
Jumlah markah yang diperoleh = 24 + (–4)
 = 20

Memahami masalah
•	 2	markah	diberi	bagi	setiap	jawapan	yang	betul.
•	 –  1

2
 markah diberi bagi setiap jawapan yang salah.

•	 Jumlah	markah	bagi	jawapan	yang	salah	=	–	4
•	 Cari	jumlah	markah	yang	diperoleh.

Merancang strategi
•	 +2	mewakili	markah	bagi	jawapan	yang	betul.
•	 –  1

2
 mewakili markah bagi jawapan yang salah.

•	 Cari	bilangan	jawapan	yang	salah	dengan	operasi	bahagi.
•	 Cari	jumlah	markah	dengan	operasi	darab	dan	tambah.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan
pecahan	positif	dan
pecahan	negatif.

–	 1
2
	diberi	kepada

setiap	jawapan
yang	salah.	Apakah
yang	dimaksudkan

dengan	–	 1
2
?

4

1

TIP    BESTARI
Langkah-langkah
penyelesaian	masalah:

Memahami	masalah
↓

Merancang	strategi
↓

Melaksanakan
strategi

↓

Membuat	refleksi

01 Text book Mate Tg1.indd   17 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

18

1.3d

1. Seorang pembuat kek biasanya menggunakan 3 3
4

cawan gula untuk membuat sebiji

kek span. Dia mengurangkan amaun gula sebanyak 1 1
2

cawan untuk kek span yang

kurang manis. Seorang pelanggan telah menempah 3 biji kek span dan 5 biji kek
span yang kurang manis. Berapa cawan gula yang diperlukan untuk menyediakan
tempahan kek daripada pelanggan itu?

2. Adam mempunyai RM40. Susan memberikan 1
3

daripada wangnya kepada Adam.
Selepas Adam memberikan 1

8
 daripada jumlah wangnya kepada Gopal, dia masih

ada RM350. Cari jumlah asal wang Susan.

1.3
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 1.3.

1. Dengan menggunakan tiga pecahan berlainan dan dua operasi berlainan (+, –, ×, ÷),
tulis tiga pengiraan yang memberikan hasil –  1

2
.

2. Bagi setiap pola nombor yang berikut, lengkapkan dengan pecahan yang sesuai.

(a) –  1
3

, 1
6

,  , 1 1
6

(b) –  5
8

, 5
24

, –  5
72

,

3. Bagi setiap yang berikut, lengkapkan dengan pecahan yang sesuai.

(a) –  1
3

– 5
6

= 1
2

× 1  2

(b) – 2
3

+ 5
8

= 1
3

÷ 1  2

4. Aras air di dalam sebuah tangki ialah 2 2
5

m pada pukul 4:00 p.m. Aras air menurun

sebanyak 1
6

m setiap jam bagi 5 jam yang berikutnya. Apabila menjelang 12:00

tengah malam, aras air naik sebanyak 1 2
3

m. Hitung aras air pada tengah malam.

5. Bekas A mengandungi 60 ml air. 3
8

daripada air di dalam bekas B dituangkan ke

dalam bekas A. 5
12

daripada air di dalam bekas A kemudian dituangkan ke dalam
bekas C yang kosong. Jika bekas C mengandungi 45 ml air sekarang, cari isi padu
air di dalam bekas B.

01 Text book Mate Tg1.indd   18 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

19

1.4 Perpuluhan Positif dan Perpuluhan Negatif

Bagaimanakah anda mewakilkan perpuluhan positif dan perpuluhan
negatif pada garis nombor?

Kelas

Berbalik
7

Tujuan : Meneroka perwakilan perpuluhan positif dan
perpuluhan negatif pada garis nombor.

Arahan: • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang
dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Perpuluhan garis nombor.ggb dengan GeoGebra.

2. Seret penggelongsor ‘Persepuluh’ dan ‘Perseratus’ untuk menyatakan suatu
perpuluhan.

3. Klik pada butang ‘Tukar Tanda’ untuk penukaran antara positif dengan negatif.

4. Perhatikan kedudukan perpuluhan yang dinyatakan pada garis nombor.

5. Bincangkan kedudukan suatu perpuluhan pada garis nombor.

Perwakilan perpuluhan pada garis nombor adalah sama seperti integer dan pecahan.
Perpuluhan positif ialah perpuluhan yang lebih besar daripada sifar manakala perpuluhan
negatif ialah perpuluhan yang kurang daripada sifar.

–0.5 –0.4 –0.3 –0.2 –0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

–0.5 bermaksud kurang 0.5 daripada 0

–0.3 bermaksud kurang 0.3 daripada 0

0.5 bermaksud lebih 0.5 daripada 0

0.3 bermaksud lebih 0.3 daripada 0

PEMBELAJARAN

Mewakilkan	perpuluhan
positif	dan	perpuluhan
negatif	pada	garis	nombor.

01 Text book Mate Tg1.indd   19 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

20

Contoh 12
Wakilkan perpuluhan yang berikut pada garis nombor.
     0.7, –0. 5, –0. 8, 0. 2, –1. 3

–2.0 –1.0–1.3 –0.8 –0.5 0.2 0.70 1.0

1.4a

1. Bagi setiap yang berikut, wakilkan perpuluhan yang berikut pada garis nombor.
(a) 0. 6, –0.7, 0. 2, –0. 3 (b) 0.7, –0. 4, 0. 3, –1.3

2. Rajah di bawah menunjukkan garis lurus berukuran 10 cm yang mewakili suatu garis
nombor. Salin rajah itu dan wakilkan perpuluhan yang berikut pada garis nombor
tersebut.
(a) –1. 46,  –1. 84, –1. 20, –1. 62

–2 –1

(b) –0. 25, –0. 08, –0. 39, –0.17

–0.5 0

Bagaimanakah anda membanding dan menyusun perpuluhan positif
dan perpuluhan negatif mengikut tertib?

Dua atau lebih perpuluhan boleh dibanding nilainya dan
disusun mengikut tertib menaik atau tertib menurun.

Contoh 13
Banding dan susun perpuluhan yang berikut mengikut
tertib menurun.
–1. 6,  0. 5,  – 0. 3,  1. 4,  – 0.7

–2.0 –1.6 –1.0 –0.7 –0.3 0 0.5 1.0 2.01.4

Perpuluhan disusun mengikut tertib menurun ialah 1. 4, 0. 5, –0. 3, –0.7, –1. 6

1.4b

1. Banding dan susun setiap yang berikut mengikut tertib menaik.
(a) –1. 23,  –1. 48,  0. 34,  –0. 034,  1. 034
(b) –1. 456,  –1. 546,  1. 456,  –1. 654,  1. 564

2. Banding dan susun setiap yang berikut mengikut tertib menurun.
(a) –2. 005,  –2. 505,  –2. 052,  2. 522,  2. 452
(b) 0. 065,  –0. 647,  –0. 639,  –0. 068,  0. 621

PEMBELAJARAN

Membanding	dan
menyusun	perpuluhan
positif	dan	perpuluhan
negatif	mengikut	tertib.

01 Text book Mate Tg1.indd   20 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

21

Bagaimanakah anda membuat pengiraan
yang melibatkan gabungan operasi bagi
perpuluhan positif dan perpuluhan negatif?

Contoh 14
Nilaikan setiap yang berikut.
(a) 3. 5 – (– 6. 5) × 0. 2
(b) (7. 23 + 2.77) ÷ (–0. 8)
(c) –3.7 + (4. 25 + 2. 85) × 0. 3

(a) 3. 5 – (– 6. 5) × 0.2  = 3. 5 – (–1. 3) Pendaraban
dilakukan	dahulu.

= 3. 5 + 1. 3
  = 4. 8

(b) (7. 23 + 2.77)  ÷ (– 0. 8) = 10. 0 ÷ (– 0. 8)
Pengiraan	dalam
tanda	kurung
dilakukan	dahulu.  = –12. 5

(c) –3.7 + (4.25 + 2.85)  × 0. 3 = –3.7 + (7.1 × 0.3)
  = –3.7 + 2.13
  = –1. 57

1.4c

1. Nilaikan setiap yang berikut.
(a) 4.7 – 7.8 × 0.3 (b) (8.36 + 3.89) ÷ (–0.28)
(c) –3.48 + (7.36 + 1.24) × 0.6 (d) 0.36 – (–8.67) ÷ (– 0.3) + 0.82

(e) –2.65 – 1. 44
–1.2

+ 3.22 (f) 2.34 + 3.1 × (–0.1) + 0.2

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Harga saham bagi sebuah syarikat ialah RM2.05 pada suatu
ketika. Harganya melonjak sebanyak RM0.32 kemudian
menyusut sebanyak RM0.28 setiap jam selama tiga jam.
Hitung harga akhir saham itu.

PEMBELAJARAN

Membuat	pengiraan	yang
melibatkan	gabungan
operasi	asas	aritmetik
bagi	perpuluhan	positif
dan	perpuluhan	negatif
mengikut	tertib	operasi.

Ikutilah	tertib	operasi
(	 	 )

×	atau	÷

+	atau	–

Pengiraan	dalam	tanda
kurung	dilakukan	dahulu
diikuti	dengan	pendaraban.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan
perpuluhan	positif	dan
perpuluhan	negatif.

01 Text book Mate Tg1.indd   21 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

22

Memahami masalah
•	 Harga	saham	ialah	RM2.05.
•	 Harga	melonjak	sebanyak	RM0.32.
•	 Harga	menyusut	sebanyak	RM0.28	setiap	jam

selama tiga jam.
•	 Hitung	harga	akhir	saham.

Merancang strategi
•	 Lonjakan	harga	ditulis	sebagai	+	0.32.
•	 Penyusutan	harga	ditulis	sebagai	–	0.28.
•	 Guna	operasi	darab	dan	tambah.

Melaksanakan strategi
Harga akhir saham = 2.05 + 0.32 + 3 × (–0.28)
 = 2.37 + (– 0.84)
 = 2.37 – 0.84
 = 1.53
Harga akhir saham itu ialah RM1.53.

Membuat refleksi
RM2.05 + RM0.32 – 3 × RM0.28
= RM2.37 – RM0.84
= RM1.53

1.4d

1. Aisah membeli sehelai baju yang berharga RM19.90 dan dua helai seluar panjang
yang sama harganya. Apabila dia membayar RM55 kepada juruwang, dia diberitahu
bayarannya tidak mencukupi. Aisah kemudian membayar lagi RM10 dan menerima
wang baki RM5. 40. Hitung harga bagi sehelai seluar yang dibelinya.

2. Suhu purata di Kuala Lumpur ialah 30.5°C pada satu hari tertentu. Suhu purata naik
1.8°C setiap hari bagi dua hari berturut-turut dan kemudian menurun 1.3°C setiap
hari bagi tiga hari berturut-turut. Hitung suhu purata di Kuala Lumpur dalam tempoh
lima hari itu.

1.4
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 1.4.

1. Dengan menggunakan tiga perpuluhan berlainan dan dua operasi berlainan (+, –, ×, ÷),
tulis tiga pengiraan yang memberikan hasil –2.5.

Terangkan	kepentingan
pengetahuan	nombor
negatif	dalam
bidang	kewangan.

01 Text book Mate Tg1.indd   22 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

23

2. Bagi setiap pola nombor yang berikut, lengkapkan dengan perpuluhan yang sesuai.
(a) –1.2, – 0.9,  , – 0.3,  (b) –2.1, , –8. 4, 16.8,

3. Bagi setiap yang berikut, lengkapkan dengan perpuluhan yang sesuai.
(a) 3.2 × (–2.1) + 5.8 = 0.5 × 1   2  (b) –5.12 – (–2. 4) ÷ (– 0.5) = 1.6 × 1   2

4. Ramesh membeli 63 biji oren dengan harga RM34.65. Oren itu dibungkus dalam
bungkusan kecil yang mengandungi 3 biji sebungkus. Hitung harga setiap bungkus
oren yang dijual oleh Ramesh jika dia
(a) mengalami kerugian RM19.95
(b) memperoleh keuntungan RM51. 45
selepas jualan semua oren itu.

5. Seekor ikan berada 1.34 m di bawah aras laut manakala seekor burung berada
4.32 m di atas aras laut. Seekor penyu pula berada di bawah aras laut sejauh dua kali
jarak menegak di antara ikan dengan burung. Hitung jarak menegak di antara burung
dengan penyu.

1.5 Nombor Nisbah

Apakah nombor nisbah?

Berkumpulan8

Tujuan : Mengenal dan memerihalkan nombor nisbah.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

1. Anda diberi beberapa keping kad nombor seperti yang berikut.

0.3

–1.25

1 1
3

5

–8

–2 2
5

2. Bincangkan bagaimana anda menulis nombor itu dalam bentuk p
q

dengan
keadaan p dan q ialah integer.

3. Apakah kesimpulan anda?

Nombor yang boleh ditulis dalam bentuk pecahan, iaitu p
q

,

dengan keadaan p dan q ialah integer, q	≠	0,	disebut	sebagai
nombor nisbah.

PEMBELAJARAN

Mengenal	dan
memerihalkan
nombor	nisbah.

Terangkan	mengapa
suatu	nombor	nisbah	 p

q

adalah	tertakluk	kepada
syarat	q ≠	0.

01 Text book Mate Tg1.indd   23 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

24

Contoh 15

Tentukan sama ada 1 4
5

,  3
4

, –9 dan 3.5 ialah nombor nisbah atau bukan.

1 4

5
 = 9

5
 ,    3

4
 ,    –9 = –9

1
 ,    3.5 = 3 5

10

= 3 1
2

= 7
2

Maka, 1 4
5

,  3
4

,  –9 dan 3.5 ialah nombor nisbah.

1.5a

1. Tentukan sama ada nombor berikut ialah nombor nisbah atau bukan. Terangkan
jawapan anda.

–2
4

,   8
7

,   –1.2
1.5

,   7.65 ,   2 2
5

,   – 4.2

Bagaimanakah anda membuat pengiraan yang melibatkan gabungan
operasi bagi nombor nisbah?

Contoh 16
Selesaikan setiap yang berikut.

(a) – 0. 4 + 1 1
2

× 1–  1
8 2  (b) 318 × 1–  7

122 + 1.54 ÷ 0.3

(a) – 0. 4  + 1 1
2

× 1– 1
8 2

= –  4
10

+ 3
2

× 1– 1
8 2

= – 4
10

+ 1– 3
162

= – 32
80

– 15
80

= – 47
80

(b) 318 × 1–  7
122 + 1.5 4 ÷ 0.3

= 318
1

× 1–  7
122 + 3

2 4 ÷ 3
10

= 1– 21
2

+ 3
2 2 ÷ 3

10

= –  18
2

÷ 3
10

= –  9
1

× 10
  31

= –30

3

2

3

Semua	nombor
boleh	ditulis	dalam
bentuk	 p

q 	.

Adakah	3.141592654…	ialah
nombor	nisbah?	Terangkan.

PEMBELAJARAN

Membuat	pengiraan
yang	melibatkan
gabungan	operasi	asas
aritmetik	bagi	nombor
nisbah	mengikut
tertib	operasi.

Ikutilah	tertib	operasi
(	 	 )

×	atau	÷

+	atau	–

Tukarkan	perpuluhan
kepada	pecahan	dahulu.

01 Text book Mate Tg1.indd   24 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

25

1.5b

1. Nilaikan setiap yang berikut.

(a) –0.6 + 3
4

× 1–1 3
5 2  (b) 1–  17

20
 + 0.82 ÷ 1 1

2
 – 1.32

(c) 1.125 + 1 2
3

– 2 5
6

× 1–  8
272  (d) –3.25 ÷ 13

15
 – 1–2 1

6 2 × 0.25

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Wang simpanan Noriah ialah RM120. Dia menderma 3
8

daripada wang simpanannya kepada mangsa banjir. Kemudian
dia membeli sepasang kasut sekolah yang berharga RM25.60.
Hitung baki wang yang Noriah masih ada.

Wang yang diderma = 3

8
 × RM120.00

= RM45.00

Baki wang yang masih ada = RM120.00 – RM45.00 – RM25.60
 = RM49. 40

1.5c

1. Sebuah syarikat akan memberi sumbangan kepada badan kebajikan setiap tahun
sebagai dasar sumbangan syarikat kepada masyarakat. Jika syarikat memperoleh
keuntungan pada tahun itu, 2

9
 daripada keuntungan akan digunakan sebagai wang

derma. Jika syarikat itu mengalami kerugian, syarikat itu juga akan menderma
0.05 daripada kerugiannya. Jika syarikat itu memperoleh keuntungan RM43.2 juta
pada satu tahun tertentu dan mengalami kerugian RM2.5 juta dan RM6.5 juta
bagi dua tahun berikutnya, hitung jumlah wang derma syarikat itu yang diperuntukkan
kepada badan kebajikan bagi tiga tahun itu.

2. Segulung reben digunakan untuk mengikat 12 hadiah yang akan diberikan kepada
guru pada Hari Guru. Setiap hadiah memerlukan reben sepanjang 1.85 m. Selepas
hadiah-hadiah itu diikat, didapati 2

3
 daripada reben telah digunakan. Baki reben itu

telah dipotong kepada 12 bahagian yang sama panjang. Hitung panjang setiap reben
yang telah dipotong itu.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan
nombor	nisbah.

Akauntan	menggunakan
pengetahuan	nombor
nisbah	untuk	membuat
pengiraan	dengan	cekap.

01 Text book Mate Tg1.indd   25 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

26

1.5
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi  Mahir Diri 1.5.

1. Nilaikan setiap yang berikut.

(a) 2.5 + (–8) ÷ 6
5

× 3.5 (b) 1 1
4

+ 3.2 × 22 – 15. 4 – 2
3

÷ 0.042
2. Bagi setiap pola nombor yang berikut, lengkapkan dengan nombor nisbah yang

sesuai.
(a) –2. 4, –  7

2
, –4.6,  ,   (b) –  1

2
, –0.25, , –  1

16
, –0.03125

3. Bagi setiap yang berikut, lengkapkan dengan nombor nisbah yang sesuai.

(a) 6.8 ÷ 2
5

– 4.62 =  × 0.01  (b) 3.76 + 3
4

× (–4.5) =  × 0.5

4. Ishak, Jia Kang dan Suresh bersama-sama mendaki gunung. Pada suatu ketika,
Ishak berada pada aras 1. 45 m lebih tinggi daripada Jia Kang manakala Suresh
berada pada aras 2 1

3
 m lebih rendah daripada Jia Kang. Ishak, Jia Kang dan Suresh

masing-masing telah menaiki 1.25 m, 0.5 m dan 3 3
4

m. Cari kedudukan Jia Kang
dan Suresh berhubung dengan kedudukan Ishak sekarang.

Integer

•	Integer positif
 1, 2, 3, 4, …
•	Sifar, 0
•	Integer negatif
 …, – 4, –3, –2, –1

•	Pecahan positif
 Contoh: 1

2
, 7

4
, 1 1

5
•	Pecahan negatif
 Contoh: –  13

, –  92
, – 4 12

•	Perpuluhan positif
 Contoh: 0.5, 4.3, 3.24
•	Perpuluhan negatif
 Contoh: – 0.1, –5.5, –7.65

Pecahan Perpuluhan

NOMBOR NISBAH

BAB 1
26

01 Text book Mate Tg1.indd   26 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

27

Sangat
baik

Berusaha
lagi

mengenal nombor positif dan nombor negatif berdasarkan situasi sebenar.

mengenal dan memerihalkan integer dan nombor nisbah.

mewakilkan integer, pecahan positif, pecahan negatif, perpuluhan positif dan
perpuluhan negatif pada garis nombor.

membanding dan menyusun integer, pecahan positif, pecahan negatif, perpuluhan
positif dan perpuluhan negatif mengikut tertib.

menambah dan menolak integer menggunakan garis nombor atau kaedah lain
yang sesuai. Seterusnya membuat generalisasi tentang penambahan dan
penolakan integer.

mendarab dan membahagi integer menggunakan pelbagai kaedah. Seterusnya
membuat generalisasi tentang pendaraban dan pembahagian integer.

membuat pengiraan yang melibatkan gabungan operasi asas aritmetik bagi integer,
pecahan positif, pecahan negatif, perpuluhan positif, perpuluhan negatif dan
nombor nisbah mengikut tertib operasi.

menghuraikan hukum operasi aritmetik iaitu Hukum Identiti, Hukum Kalis Tukar
Tertib, Hukum Kalis Sekutuan dan Hukum Kalis Agihan.

membuat pengiraan yang efisien dengan menggunakan hukum operasi
asas aritmetik.

menyelesaikan masalah yang melibatkan integer, pecahan positif, pecahan negatif,
perpuluhan positif, perpuluhan negatif dan nombor nisbah.

1. Antara yang berikut, pilih langkah pengiraan yang betul bagi

5(–3 + 10) × 2. 4 ÷ 3
4

A 5(–7) × 3.2 C  35 × 2. 4 ×  3
4

B 35 × 2. 4 × 4
3

D –35 × 3.2

2. Tentukan nombor yang mempunyai nilai lebih besar tanpa membuat sebarang
pengiraan.

(a) – 1
2

,  1
100

(b) – 4.3,  – 4.5 (c) 2 2
5

,  2.5

01 Text book Mate Tg1.indd   27 10/17/16   6:06 PM
BAB 1

B
A
B

1

28

3. Pasukan Gol masuk Gol kena Perbezaan gol
Harimau 20 17 3
Helang 16 18

Jadual di atas menunjukkan bilangan gol masuk dan gol kena bagi dua pasukan bola
sepak. Cari perbezaan gol untuk Pasukan Helang.

4. Suatu harta karun yang tersembunyi pada tahun 56 sebelum Masihi dijumpai pada
tahun 292 selepas Masihi. Berapakah lama harta karun itu tersembunyi?

5. Dalam suatu kerja amal, Ali memberikan beras, gula dan biskut kepada 80 orang
mangsa kebakaran. Jika setiap mangsa mendapat 2 kg beras, 1

2
 kg gula dan 0. 4 kg

biskut dan barangan bantuan itu diangkut sama rata oleh tiga buah van, terangkan
bagaimana anda mencari jisim barangan bantuan yang diangkut oleh sebuah van.
Berikan jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan.

6. Isikan petak-petak di bawah dengan ‘+’ atau ‘–’ supaya hasil yang diperoleh
mempunyai nilai yang paling besar.

(a) 1
2

– 5  4.3 (b) – 4.2  1
2

– 4

7. Suhu pada aras laut bagi suatu tempat ialah 8 °C. Suhu akan menurun 3 °C bagi
setiap km kenaikan dari aras laut. Hitung suhu tempat itu pada ketinggian 5 km dari
aras laut.

8. Sheila berada di titik O pada suatu ketika. Dia bergerak 1.85 m ke kiri dan kemudian
bergerak sebanyak 4 langkah ke kanan dengan 0.65 m setiap langkah. Hitung
kedudukan terkini Sheila dari titik O.

9. Jasmin bergerak 9. 5 m ke arah timur, kemudian 10.7 m ke arah barat dan seterusnya
6. 8 m ke arah timur. Perihalkan pergerakan Jasmin supaya dia boleh balik ke
kedudukan asalnya.

10. Sebuah lif berada pada aras H pada suatu ketika. Lif itu naik dua tingkat setinggi
9.8 m. Lif itu kemudian menurun 5 tingkat. Hitung jarak lif itu dari aras H sekarang.

11. Dalam rajah di sebelah, dua nombor dalam bulatan
yang sebaris didarabkan untuk memberikan hasil dalam
petak di tengahnya. Lengkapkan tempat kosong dengan
nombor nisbah yang sesuai.

–30

24

4

–60

01 Text book Mate Tg1.indd   28 10/17/16   6:06 PM
Nombor Nisbah

B
A
B

1

29

Nombor negatif digunakan dalam bidang pembuatan
kanta cermin mata untuk memperbaiki masalah rabun
mata. Dapatkan maklumat daripada sumber yang
sahih seperti menjalankan temu ramah dengan seorang
juruoptik, merujuk kepada bahan bacaan atau lain-lain
sumber yang bersesuaian. Tulis satu laporan untuk
menerangkan bagaimana nombor negatif digunakan
untuk membuat kanta cermin mata.

Tahukah anda senarai nombor positif dan nombor negatif boleh dijana dengan
menggunakan hamparan elektronik? Ikut langkah-langkah yang berikut untuk menjana
suatu senarai nombor yang tertentu.

1. Buka program hamparan elektronik yang sesuai.

2. Taip masuk nombor –6 di sel A1, seperti yang ditunjukkan.

3. Pilih sel A2 dan taip masuk =A1-2.

4. Pilih sel A2 dan seret penjuru kanan bawah sel itu ke bawah.
 Perihalkan apa yang diperhatikan.

5. Pilih sel B1 dan taip masuk =A1+8.

6. Pilih sel B1 dan seret penjuru kanan bawah sel itu ke kanan.
 Perihalkan apa yang diperhatikan.

7. Tukar nombor di sel A1 kepada nombor lain.
 Perihalkan apa yang diperhatikan.

8. Terangkan bagaimana anda boleh menjana senarai nombor yang lain.

01 Text book Mate Tg1.indd   29 10/17/16   6:06 PM
B
A
B

2

BAB 2
30

Faktor dan
Gandaan2

BAB

•  Faktor,  Faktor  Perdana  dan  Faktor  Sepunya
Terbesar (FSTB)

•  Gandaan,  Gandaan  Sepunya  dan  Gandaan
Sepunya Terkecil (GSTK)

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Bagaimanakah pengetahuan tentang
faktor sepunya terbesar dapat membantu
seorang jurubina menentukan saiz
terbesar jubin-jubin berbentuk segi empat
sama yang digunakan untuk menutupi
seluruh lantai?

Faktor dan gandaan
digunakan dalam situasi
harian yang melibatkan
bilangan yang digandakan atau
bilangan yang diperoleh dalam
susunan baris atau kumpulan.
Bincangkan situasi harian yang
melibatkan faktor dan gandaan.

BAB 2
30

02 Text book Mate Tg1.indd   30 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

31
Faktor dan Gandaan

Eratosthenes (276 S.M. – 194 S.M.)
ialah seorang ahli matematik Yunani
yang memperkenal Kaedah Saringan
Eratosthenes yang digunakan untuk
menyaring semua nombor perdana
dalam satu julat nombor tertentu.

Untuk maklumat lanjut:

https://goo.gl/WiMswX

Eratosthenes

• faktor   • factor
• faktor perdana   • prime factor
• faktor sepunya   • common factor
• faktor sepunya   • highest common factor/
 terbesar  greatest common divisor
• gandaan   • multiple
• gandaan sepunya   • common multiple
• gandaan sepunya   • lowest common multiple
 terkecil
• pemfaktoran perdana   • prime factorisation

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

Bagaimanakah pengetahuan
tentang gandaan sepunya terkecil
dapat membantu seorang ahli muzik
memahami rentak muzik dengan
lebih baik?

Jaringan Kata

31
Faktor dan Gandaan

02 Text book Mate Tg1.indd   31 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

BAB 2
32

2.1 Faktor, Faktor Perdana dan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB)

Apakah faktor?

1
Kendiri

Tujuan : Mengenal pasti faktor suatu nombor.

1. Salin dan lengkapkan petak-petak yang berikut.

12 ÷ 1 =

12 ÷ 4 =

12 ÷ 2 =

12 ÷ 6 =

12 ÷ 3 =

12 ÷ 12 =

Maka, 12 boleh dibahagi tepat dengan

2. Terangkan kesimpulan yang boleh dibuat.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa suatu nombor boleh dibahagi tepat
dengan sebilangan nombor tertentu.
Misalnya, 12 boleh dibahagi tepat dengan 1, 2, 3, 4, 6 dan 12.
Jadi, nombor 1, 2, 3, 4, 6 dan 12 disebut sebagai faktor bagi 12.
 Faktor bagi suatu nombor ialah nombor bulat yang boleh membahagi nombor itu
dengan tepat.

Contoh 1
Tentukan sama ada
(a) 12 ialah faktor bagi 36 atau bukan. (b) 9 ialah faktor bagi 30 atau bukan.

(a) 36 ÷ 12 = 3 (b) 30 tidak boleh dibahagi tepat dengan 9.
 Maka, 12 ialah faktor bagi 36.  Maka, 9 bukan faktor bagi 30.

Contoh 2

Senaraikan semua faktor bagi 18.

18 = 1 × 18 Maka, 1 dan 18 ialah faktor bagi 18.
18 = 2 × 9 Maka, 2 dan 9 ialah faktor bagi 18.
18 = 3 × 6 Maka, 3 dan 6 ialah faktor bagi 18.
Jadi, faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.

PEMBELAJARAN

Menentu dan
menyenaraikan
faktor bagi nombor
bulat, dan seterusnya
membuat generalisasi
tentang faktor.

TIP    BESTARI

1 ialah faktor bagi
semua nombor.

02 Text book Mate Tg1.indd   32 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

33
Faktor dan Gandaan

2.1a

1. Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah faktor bagi nombor dalam tanda
kurung atau bukan.
(a) 12 (40) (b) 5 (50) (c) 8 (24) (d) 6 (90)
(e) 3 (45) (f) 14 (56) (g) 15 (60) (h) 18 (98)

2. Senaraikan semua faktor bagi setiap nombor yang berikut.
(a)  15 (b) 32 (c) 40 (d) 48
(e) 51 (f) 87 (g) 98 (h) 124

Apakah faktor perdana?

Antara berikut, yang manakah ialah nombor perdana?
2, 9, 23, 41, 57, 69

Faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.  Antara faktor itu, 2
dan 3 ialah nombor perdana. Maka, 2 dan 3 disebut sebagai
faktor perdana bagi 18.

Suatu nombor boleh diungkapkan dalam bentuk
pemfaktoran perdana dengan keadaan nombor itu ditulis
sebagai hasil darab faktor perdananya.
Misalnya, 18 = 2 × 3 × 3

Pemfaktoran perdana suatu nombor boleh dilakukan
dengan pembahagian berulang dengan nombor perdana
atau menggunakan kaedah pokok faktor.

Contoh 3
Tentukan sama ada nombor yang berikut ialah faktor perdana
bagi 84 atau bukan.
(a) 2 (b) 3 (c) 5

(a) 84 ÷ 2 = 42
 2 ialah nombor perdana. Maka, 2 ialah faktor perdana bagi 84.

(b) 84 ÷ 3 = 28
 3 ialah nombor perdana. Maka, 3 ialah faktor perdana bagi 84.

(c) 84 ÷ 5 = 16 baki 4
 5 ialah nombor perdana tetapi 84 tidak boleh dibahagi tepat dengan 5.
 Maka, 5 bukan faktor perdana bagi 84.

PEMBELAJARAN

Menentu dan
menyenaraikan
faktor perdana bagi
suatu nombor bulat,
dan seterusnya
mengungkapkan
nombor tersebut
dalam bentuk
pemfaktoran perdana.

Imbas QR Code atau
layari https://youtu.
be/3Ex2x0S1A7o
tentang penggunaan
kaedah Eratosthenes
untuk menyaringkan
nombor perdana.

02 Text book Mate Tg1.indd   33 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

BAB 2
34

Contoh 4
Senaraikan semua faktor perdana bagi 72.

Faktor bagi 72 ialah 1, 2 , 3 , 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

1. Senaraikan semua
faktor bagi 72.

2. Kenal pasti nombor
perdana daripada
senarai faktor itu.

Nombor perdana

Maka, faktor perdana bagi 72 ialah 2 dan 3.

Contoh 5
Ungkapkan 60 dalam bentuk pemfaktoran perdana.

Kaedah pembahagian berulang

1.  Lakukan pembahagian
berulang dengan nombor
perdana terkecil.

2.  Pembahagian diteruskan
sehingga hasil bahaginya
menjadi 1.

2
2
3
5

60
30
15
 5
 1

Maka, 60 = 2 × 2 × 3 × 5

Kaedah pokok faktor
60

4 15

2 2 3 5

60

2 30

2 3 10

2 3 2 5

atau

Maka, 60 = 2 × 2 × 3 × 5

2.1b

1. Tentukan sama ada
(a) 3, 5 dan 7 ialah faktor perdana bagi 30 atau bukan.
(b) 3, 5 dan 9 ialah faktor perdana bagi 54 atau bukan.

2. Senaraikan semua faktor perdana bagi setiap nombor yang berikut.
(a) 36 (b) 48 (c) 58 (d) 99

3. Ungkapkan setiap nombor yang berikut dalam bentuk pemfaktoran perdana.
(a) 42 (b) 96 (c) 120 (d) 135

Imbas QR Code atau
layari https://youtu.be/
hy9hj6bA2cM tentang
pemfaktoran perdana
suatu nombor.

60

Tulis 60 sebagai hasil darab
dua faktor secara berturutan
sehingga semua faktor di aras
bawah ialah faktor perdana.

02 Text book Mate Tg1.indd   34 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

35
Faktor dan Gandaan

Apakah faktor sepunya?

Berpasangan2
Tujuan : Menerang dan menentukan faktor sepunya.
Arahan : Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.

1. Senaraikan semua faktor bagi 18 dan 24.
2. Adakah nombor yang disenaraikan merupakan faktor bagi 18 dan juga 24?
3. Bincang dengan rakan anda dan terangkan ciri-ciri nombor itu berhubung

dengan 18 dan 24.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa 1, 2, 3 dan 6 merupakan faktor
bagi 18 dan juga 24.  Ini bermaksud 18 dan 24 boleh dibahagi tepat dengan 1, 2, 3 dan
juga 6. Jadi, 1, 2, 3 dan 6 disebut sebagai faktor sepunya bagi 18 dan 24.

Contoh 6
Tentukan sama ada
(a) 6 ialah faktor sepunya bagi 24 dan 36
(b) 4 ialah faktor sepunya bagi 30, 40 dan 60
(c) 8 ialah faktor sepunya bagi 16, 32, 48 dan 72

(a) 24 ÷ 6 = 4
 36 ÷ 6 = 6
 Maka, 6 ialah faktor sepunya bagi 24

dan 36.

(b) 30 ÷ 4 = 7 baki 2
 40 ÷ 4 = 10
 60 ÷ 4 = 15
 Maka, 4 bukan faktor sepunya bagi 30,

40 dan 60.
(c) 16 ÷ 8 = 2
 32 ÷ 8 = 4
 48 ÷ 8 = 6
 72 ÷ 8 = 9
 Maka, 8 ialah faktor sepunya bagi 16, 32, 48 dan 72.

Contoh 7
Senaraikan semua faktor sepunya bagi 20, 44, 56 dan 64.

Faktor bagi 20 :  1 , 2 , 4 , 5, 10, 20
Faktor bagi 44 :  1 , 2 , 4 , 11, 22, 44
Faktor bagi 56 :  1 , 2 , 4 , 7, 8, 14, 28, 56
Faktor bagi 64 :  1 , 2 , 4 , 8, 16, 32, 64

Maka, faktor sepunya bagi 20, 44, 56 dan 64 ialah 1, 2 dan 4.

24 dan 36 boleh dibahagi
tepat dengan 6.

30 tidak boleh
dibahagi tepat
dengan 4.

16, 32, 48 dan 72 boleh
dibahagi tepat dengan 8.

TIP    BESTARI

1 ialah faktor sepunya
bagi semua nombor.

PEMBELAJARAN

Menerang dan
menentukan faktor
sepunya bagi
nombor bulat.

02 Text book Mate Tg1.indd   35 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

BAB 2
36

2.1c

1. Tentukan sama ada nombor yang berikut ialah faktor sepunya bagi senarai nombor
dalam tanda kurung.
(a) 6 (12, 24, 42) (b)  8 (8, 32, 72) (c) 3 (12, 18, 20)
(d) 12 (48, 96, 120, 144) (e) 7 (28, 35, 91, 105) (f) 9 (18, 36, 108, 119)

2. Senaraikan semua faktor sepunya bagi setiap yang berikut.
(a) 12, 30 (b) 24, 48 (c) 35, 105
(d) 12, 84, 98 (e) 35, 90, 150 (f) 12, 72, 96
(g) 42, 102, 144, 200 (h) 84, 132, 300, 360 (i) 110, 210, 360, 540

Apakah faktor sepunya terbesar (FSTB)?
Kita telah mempelajari bahawa faktor sepunya bagi 20,
44, 56 dan 64 ialah 1, 2 dan 4. Antara faktor sepunya itu,
4 adalah terbesar. Jadi, nombor 4 disebut sebagai faktor
sepunya terbesar (FSTB) bagi 20, 44, 56 dan 64.

FSTB boleh ditentukan dengan kaedah
•  menyenarai faktor sepunya    •  pembahagian berulang    •  pemfaktoran perdana

Contoh 8
Tentukan faktor sepunya terbesar bagi
(a) 18 dan 24 (b) 36, 60 dan 72 (c) 48, 64 dan 80

(a) Kaedah menyenarai faktor sepunya
 Faktor bagi 18 :  1 , 2 , 3 , 6 ,  9, 18
 Faktor bagi 24 :  1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8, 12, 24
 Maka, faktor sepunya bagi 18 dan 24 ialah 1, 2, 3 dan 6.
 Jadi, FSTB bagi 18 dan 24 ialah 6.

(b) Kaedah pembahagian berulang

2 36 , 60 , 72
2 18 , 30 , 36
3  9 , 15 , 18

3 ,  5 ,  6

Bahagikan nombor yang diberi dengan
faktor sepunya secara berturutan.
Kemudian tentukan FSTB dengan
mendarab semua pembahagi.

Maka, FSTB bagi 36, 60 dan 72 ialah 2 × 2 × 3 = 12
(c) Kaedah pemfaktoran perdana
 48 =  2  ×  2  ×  2  ×  2  × 3
 64 =  2  ×  2  ×  2  ×  2  × 2 × 2
 80 =  2  ×  2  ×  2  ×  2  × 5
 Maka, FSTB bagi 48, 64 dan 80 ialah 2 × 2 × 2 × 2 = 16

PEMBELAJARAN

Menentukan FSTB
bagi dua dan tiga
nombor bulat.

Cari pemfaktoran perdana bagi setiap nombor
yang diberi. Kemudian tentukan FSTB dengan
mendarab semua faktor perdana sepunya.

02 Text book Mate Tg1.indd   36 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

37
Faktor dan Gandaan

2.1d

1. Dengan menggunakan kaedah yang sesuai, cari faktor sepunya terbesar bagi setiap
senarai nombor yang berikut.
(a) 24, 48 (b) 18, 54 (c) 36, 96 (d) 30, 72
(e) 36, 90, 108 (f) 42, 54, 84 (g)  140, 256, 348 (h) 27, 45, 60

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Pasukan Pengakap di sebuah sekolah mengadakan satu
aktiviti kerja amal. Sebanyak 252 helai baju, 180 helai
seluar, 108 pasang stoking telah diderma oleh ahli-ahli untuk diberikan kepada rumah
anak yatim. Semua barang itu dibahagikan sama rata dalam setiap bungkusan. Berapakah
bilangan bungkusan yang paling banyak dapat disediakan?

Memahami masalah
252 helai baju,
180 helai seluar dan
108 pasang stoking
dibahagikan sama rata
dalam bungkusan.
Cari bilangan
bungkusan yang paling
banyak disediakan.

Merancang
strategi
Cari FSTB
bagi 252,
180 dan
108.

Membuat
refleksi
252 ÷ 36 = 7
180 ÷ 36 = 5
108 ÷ 36 = 3

Melaksanakan strategi
252 = 2 ×  2 ×  3 ×  3 ×  7
180 = 2 ×  2 ×  3 ×  3 ×  5
108 = 2 ×  2 ×  3 ×  3 ×  3
FSTB bagi 252, 180 dan
108 ialah 2 × 2 × 3 × 3 = 36.
Bilangan bungkusan yang
paling banyak disediakan
ialah 36.

2.1e

1. Pasukan Kadet Polis di sebuah sekolah telah menderma 60 kampit beras, 78 botol
minyak masak dan 90 botol air mineral kepada mangsa banjir di sebuah daerah.
Semua barang itu dibahagikan sama rata dalam setiap kotak untuk diberikan kepada
mangsa banjir. Berapakah bilangan kotak yang paling banyak dapat disediakan?

2. Dalam suatu jamuan Hari Raya, Mak Minah telah membuat 45 biji kuih koci, 75
biji kuih tako dan 90 biji karipap. Dia ingin menghidangkan kuih-muih itu di dalam
sebilangan pinggan. Berapakah bilangan maksimum pinggan yang perlu supaya
semua kuih itu diagihkan sama rata di dalam semua pinggan itu?

2.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 2.1.

1. Cari nombor terbesar yang merupakan faktor bagi 45 dan 75.
2. Tulis 1 968 dan 4 968 sebagai pemfaktoran perdana. Seterusnya, cari faktor sepunya

terbesar bagi 1 968 dan 4 968.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan FSTB.

02 Text book Mate Tg1.indd   37 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

BAB 2
38

3. Faktor sepunya terbesar bagi n dan 36 ialah 4. Jika nilai n kurang daripada 36,
apakah nilai yang mungkin bagi n?

4. Panjang tiga utas tali masing-masing ialah 192 cm, 242 cm dan 328 cm. Aishah
ingin memotong tali itu supaya setiap tali dipotong kepada bilangan bahagian yang
sama dengan tiada tali yang tinggal. Berapakah bilangan potongan terbanyak yang
diperoleh bagi setiap utas tali?

5. Anita ingin memotong sehelai kertas yang berukuran 260 cm panjang dan 20 cm
lebar kepada sebilangan kepingan segi empat sama. Apakah ukuran kepingan segi
empat sama itu supaya tiada kertas yang tinggal?

2.2 Gandaan, Gandaan Sepunya dan Gandaan Sepunya
Terkecil (GSTK)

Apakah gandaan sepunya?

Perhatikan 9 × 1 = 9
 9 × 2 = 18
 9 × 3 = 27
Nombor 9 didarab dengan 1, 2, 3, … untuk menghasilkan 9, 18, 27, …
9, 18, 27, … disebut sebagai gandaan bagi 9.

Berpasangan3
Tujuan : Menerang dan menentukan gandaan sepunya.
Arahan : Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.

1.  Senaraikan lima gandaan pertama bagi 6 dan 8.
2.  Adakah terdapat nombor yang disenaraikan merupakan gandaan bagi 6 dan

juga gandaan bagi 8?
3.  Bincang dengan rakan anda dan terangkan ciri-ciri nombor itu berhubung

dengan 6 dan 8.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa 24
merupakan gandaan bagi 6 dan 8. Ini bermaksud 24 boleh
dibahagi tepat dengan 6 dan 8. Jadi, nombor 24 disebut
sebagai gandaan sepunya bagi 6 dan 8.

Contoh 9
Tentukan sama ada
(a) 32 ialah gandaan sepunya bagi 2 dan 8 atau bukan.
(b) 60 ialah gandaan sepunya bagi 5, 15 dan 24 atau bukan.
(c) 72 ialah gandaan sepunya bagi 8, 9, 18 dan 24 atau bukan.

PEMBELAJARAN

Menerang dan
menentukan
gandaan sepunya
bagi nombor bulat.

Berapakah bilangan
gandaan sepunya
bagi 6 dan 8 yang
boleh ditulis? Bincang
dengan rakan anda.

02 Text book Mate Tg1.indd   38 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

39
Faktor dan Gandaan

(a) 32 ÷ 2 = 16

32 boleh dibahagi tepat dengan 2 dan 8. 32 ÷ 8 = 4
 Maka, 32 ialah gandaan sepunya bagi 2 dan 8.

(b) 60 ÷ 5 = 12
 60 ÷ 15 = 4
 60 ÷ 24 = 2 baki 12 60 tidak boleh dibahagi tepat dengan 24.

Maka, 60 bukan gandaan sepunya bagi 5, 15 dan 24.

(c) 72 ÷ 8 = 9
 72 ÷ 9 = 8 72 boleh dibahagi tepat

dengan 8, 9, 18 dan 24. 72 ÷ 18 = 4
 72 ÷ 24 = 3
 Maka, 72 ialah gandaan sepunya bagi 8, 9, 18 dan 24.

Berkumpulan4
Tujuan : Meneroka hubungan gandaan sepunya pertama dengan gandaan sepunya

yang berikutnya.
Arahan : • Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.
  • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Gandaan sepunya.xls dengan hamparan elektronik. Paparan
menunjukkan senarai gandaan bagi 3 (merah) dan senarai gandaan bagi 5 (biru).

2. Perhatikan senarai gandaan yang dipaparkan, tulis gandaan sepunya pertama
bagi 3 dan 5.

3. Tulis tiga gandaan sepunya yang berikut.
4. Jelaskan apa hubungan gandaan sepunya pertama itu dengan tiga gandaan

sepunya yang berikut.
5. Ulang Langkah 2 hingga 4 dengan menukar nombor di sel A1 dan A2

masing-masing kepada nombor yang berikut.
(a) 6 dan 8 (b) 4 dan 10

6. Bincang dengan rakan dan buat satu kesimpulan tentang gandaan sepunya.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa gandaan sepunya pertama bagi 3
dan 5 ialah 15 dan gandaan sepunya bagi 3 dan 5 yang lain ialah gandaan bagi 15.

02 Text book Mate Tg1.indd   39 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

BAB 2
40

Contoh 10
Senaraikan lima gandaan sepunya pertama bagi 2, 3 dan 4.

Gandaan 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12 , 14, …
Gandaan 3 : 3, 6, 9, 12 , 15, …
Gandaan 4 : 4, 8, 12 , 16, …
Gandaan sepunya pertama bagi 2, 3 dan 4 ialah 12.
Maka, lima gandaan sepunya pertama bagi 2, 3 dan 4 ialah 12, 24, 36, 48 dan 60.

2.2a

1. Tentukan sama ada nombor berikut ialah gandaan sepunya atau bukan bagi senarai
nombor dalam tanda kurung.
(a) 72  (9, 12) (b) 168  (2, 9) (c) 360  (4, 6, 24)
(d) 2 250  (2, 5, 9) (e) 9 720 (4, 5, 10, 20) (f) 16 416  (6, 9, 12, 24, 36)

2. Senaraikan lima gandaan sepunya bagi setiap senarai nombor yang berikut.
(Gunakan hamparan elektronik untuk membantu anda)
(a) 2, 5 (b) 3, 5 (c) 18, 22   (d) 3, 5, 8
(e) 2, 3, 6, 8 (f) 4, 8, 12, 15 (g) 6, 15, 20, 24 (h) 4, 9, 12, 15, 18

Apakah gandaan sepunya terkecil (GSTK)?
Kita telah mempelajari bahawa gandaan sepunya bagi 6 dan
8 ialah 24, 48, 72, 96, … . Antara gandaan sepunya itu,
gandaan sepunya pertama, 24, bernilai paling kecil. Nombor
24 disebut sebagai gandaan sepunya terkecil (GSTK) bagi
6 dan 8.

GSTK boleh ditentukan dengan kaedah
•  menyenarai gandaan sepunya
•  pembahagian berulang
•  pemfaktoran perdana

Contoh 11
Tentukan gandaan sepunya terkecil bagi
(a) 2 dan 3 (b) 3, 6 dan 9 (c) 3, 8 dan 12

(a) Kaedah menyenarai gandaan sepunya
 Gandaan 2 : 2, 4, 6 , 8, 10, …
 Gandaan 3 : 3, 6 , 9, 12, …
 Gandaan sepunya terkecil ialah 6.

Tentukan gandaan sepunya
pertama bagi 2, 3 dan 4.
Kemudian tentukan gandaan bagi
gandaan sepunya pertama itu.

PEMBELAJARAN

Menentukan GSTK
bagi dua dan tiga
nombor bulat.

Jelaskan bagaimana
anda menyelesaikan
1
6
 +  1

8
 dengan

menggunakan GSTK.

Pilih gandaan sepunya
yang terkecil.

02 Text book Mate Tg1.indd   40 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

41
Faktor dan Gandaan

(b) Kaedah pembahagian berulang

3 3 , 6 , 9
2 1 , 2 , 3
3 1 , 1 , 3

1 , 1 , 1

Maka, GSTK bagi 3, 6 dan 9 ialah 3 × 2 × 3 = 18.

(c) Kaedah pemfaktoran perdana
  3 =       3
  8 = 2 × 2 × 2
 12 =   2 × 2 × 3

2 × 2 × 2 × 3
 Maka, GSTK bagi 3, 8 dan 12 ialah 2 × 2 × 2 × 3 = 24.

3, 8, 12

12, 24, 36, …

Maka, GSTK bagi 3, 8 dan 12 ialah 24.

Kaedah Alternatif

1.  Kenal pasti nombor yang terbesar.

2.  Senaraikan gandaan nombor yang terbesar itu.
3.  Tentukan gandaan yang terkecil yang boleh dibahagi

tepat dengan semua nombor yang lain.
24 boleh dibahagi tepat
dengan 3 dan 8.

2.2b

1. Dengan menggunakan kaedah yang sesuai, cari gandaan sepunya terkecil bagi setiap
senarai nombor yang berikut.
(a)  16, 18 (b) 10, 15 (c) 6, 8 (d) 18, 60
(e) 6, 15, 18 (f) 8, 14, 32 (g)  9, 12, 21 (h) 4, 15, 60

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Minuman kopi dijual dalam 6 tin sekotak dan minuman teh
dijual dalam 9 tin sekotak. Ainun ingin membeli bilangan tin minuman yang sama bagi
kedua-dua jenis minuman itu untuk jamuan hari jadi adiknya. Berapakah bilangan kotak
yang paling kurang bagi setiap jenis tin minuman yang perlu dibeli oleh Ainun?

1.  Bahagikan nombor-nombor itu, secara berturutan,
dengan pembahagi yang boleh membahagi
sekurang-kurangnya satu nombor.

2.  Nombor yang tidak boleh dibahagi dengan
pembahagi yang dipilih diturunkan untuk
pembahagian seterusnya.

3.  Pembahagian diteruskan sehingga semua hasil
bahagi ialah 1.

Cari pemfaktoran perdana bagi
setiap nombor yang diberi.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan GSTK.

02 Text book Mate Tg1.indd   41 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

BAB 2
42

Memahami
masalah
Bilangan tin
minuman kopi
= 6 tin sekotak
Bilangan tin
minuman teh
= 9 tin sekotak
Cari bilangan
kotak yang
paling kurang
bagi setiap
jenis tin
minuman yang
perlu dibeli
oleh Ainun.

Merancang
strategi
Cari GSTK
bagi 6 dan
9 untuk
menentukan
bilangan tin
minuman
yang sama.
Gunakan
pembahagian
untuk mencari
bilangan
kotak tin
minuman
kopi dan teh.

Membuat
refleksi
Bilangan tin
minuman
kopi
= 3 × 6
= 18
Bilangan tin
minuman
teh
= 2 × 9
= 18

Melaksanakan strategi
Gandaan 6: 6, 12, 18 , 24, 30, …
Gandaan 9: 9, 18 , 27, 36, 45, …
Maka, GSTK bagi 6 dan 9 = 18
Bilangan kotak tin minuman
kopi
= 18 ÷ 6
= 3
Bilangan kotak tin minuman teh
= 18 ÷ 9
= 2
Jadi, bilangan kotak yang
paling kurang dibeli oleh Ainun
ialah 3 kotak tin minuman kopi
dan 2 kotak tin minuman teh.

2.2c

1. Satu lampu neon mengelip setiap 9 saat manakala satu lagi lampu neon mengelip
setiap 12 saat. Jika dua lampu neon itu mengelip serentak ketika suis dihidupkan,
selepas berapa saat dua lampu neon itu akan mengelip serentak sekali lagi?

2. Vijaya hendak menyediakan cenderamata dalam bungkusan yang terdiri daripada
seutas rantai kunci dan sekeping magnet peti sejuk untuk kawan-kawannya. Rantai
kunci dijual 10 utas sepeket manakala magnet peti sejuk dijual 6 keping sepeket.
Berapakah bilangan rantai kunci minimum yang perlu dibeli oleh Vijaya supaya
bilangan magnet peti sejuk yang dibelinya boleh dibungkus secukupnya dengan
semua rantai kunci itu?

2.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 2.2.

1. Cari nombor terkecil yang boleh dibahagi tepat dengan 8 dan 20.
2. Gandaan sepunya terkecil bagi n dan 6 ialah 72. Cari nilai n.
3. Sharif suka bersenam. Dia mendaki bukit setiap 12 hari dan berenang setiap 8 hari.

Jika hari ini dia mendaki bukit dan juga berenang, berapa hari kemudian dia mendaki
bukit dan berenang pada hari yang sama sekali lagi?

4. Nurul, Hui Ling dan Gopal masing-masing diberi tiga utas reben yang sama panjang.
Mereka masing-masing memotong reben itu kepada keratan yang sama panjang.
Panjang setiap keratan reben yang dipotong oleh Nurul, Hui Ling dan Gopal
masing-masing ialah 15 cm, 25 cm dan 30 cm. Semua reben didapati habis dipotong
dan tiada yang tinggal. Berapakah panjang reben terpendek yang diberi kepada
mereka?

02 Text book Mate Tg1.indd   42 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

43
Faktor dan Gandaan

Gandaan

Gandaan bagi 6:
6, 12, 18, 24, 30, …
Gandaan bagi 8:
8, 16, 24, 32, 40, …

Faktor

Faktor bagi 12:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor bagi 18:
1, 2, 3, 6, 9, 18

Gandaan sepunya

Gandaan sepunya bagi 6 dan 8:
24, 48, 72, 96, 120, …

Faktor sepunya

Faktor sepunya bagi 12 dan 18:
1, 2, 3, 6

Gandaan sepunya terkecil

Gandaan sepunya terkecil
bagi 6 dan 8:

24

Faktor sepunya terbesar

Faktor sepunya terbesar
bagi 12 dan 18:

6

Sangat
baik

Berusaha
lagi

menentu dan menyenaraikan faktor bagi nombor bulat, dan seterusnya membuat
generalisasi tentang faktor.

menentu dan menyenaraikan faktor perdana bagi suatu nombor bulat dan seterusnya
mengungkapkan nombor tersebut dalam bentuk pemfaktoran perdana.

menerang dan menentukan faktor sepunya bagi nombor bulat.

menentukan FSTB bagi dua dan tiga nombor bulat.

menyelesaikan masalah yang melibatkan FSTB.

menerang dan menentukan gandaan sepunya bagi nombor bulat.

menentukan GSTK bagi dua dan tiga nombor bulat.

menyelesaikan masalah yang melibatkan GSTK.

B
A
B

2

02 Text book Mate Tg1.indd   43 10/19/16   2:53 PM
B
A
B

2

BAB 2
44

1. Cari GSTK bagi 2, 3, 4, 5 dan 6.

2. Cari FSTB bagi 36, 42, 56, 72 dan 96.

3. Satu nombor boleh dibahagi tepat dengan 12 dan 30. Apakah nilai terkecil bagi
nombor itu?

4. FSTB bagi m dan 54 ialah 6. Cari nilai terbesar bagi m dengan keadaan nilai m
kurang daripada 54.

5. GSTK bagi 36, 56 dan n ialah 1 512. Apakah nilai yang terkecil bagi n?

6. Terangkan dengan memberi contoh, dalam keadaan apa GSTK bagi dua nombor
adalah sama dengan hasil darab dua nombor itu.

7. GSTK bagi dua nombor ialah 60 dan FSTB bagi dua nombor itu ialah 6. Cari dua
nombor yang mungkin itu.

8. Sebuah jam dipasang supaya berbunyi setiap 15 minit manakala sebuah jam yang
lain dipasang supaya berbunyi setiap 25 minit. Jika kedua-dua jam itu berbunyi
serentak pada pukul 4:00 p.m., cari waktu apabila kedua-dua jam itu berbunyi
serentak sekali lagi.

9. Sebuah bilik berukuran 7.5 m × 9.6 m. Jika Encik Zaki ingin memasang jubin
berbentuk segi empat sama pada lantai bilik itu, apakah saiz terbesar, dalam cm, jubin
yang boleh digunakan supaya jubin-jubin dapat menutupi keseluruhan lantai itu?

10. Sebuah kafeteria menghidangkan kuih kacang setiap 4 hari dan burger setiap 6
hari. Jika kuih kacang dan burger dihidangkan pada hari Isnin, pada hari apakah
kedua-dua jenis makanan akan dihidangkan sekali lagi di kafeteria itu?

11. Ai Lin hendak menyediakan buku skrap sejarah dengan menggunakan 24 keping
gambar foto dan 42 keping keratan akhbar. Dia ingin menggunakan semua gambar
foto atau keratan akhbar dengan keadaan setiap muka surat mengandungi bilangan
gambar foto dan bilangan keratan akhbar yang sama.
(a) Berapakah muka surat yang paling banyak boleh dibuat dalam buku skrap itu?
(b) Berapa kepingkah gambar foto dan keratan akhbar yang terdapat pada setiap

muka surat buku skrap itu?

02 Text book Mate Tg1.indd   44 10/17/16   5:07 PM
B
A
B

2

45
Faktor dan Gandaan

Sebuah kedai kek telah menerima tempahan 7 biji kek
yang sama. Pelanggannya meminta pengusaha kedai
kek itu memotong dan membahagikan kek itu ke
dalam 12 buah kotak kecil yang sama dengan setiap
kotak mengandungi dua potong kek. Pengusaha itu
telah mencari bantuan melalui media sosial. Tulis
satu laporan untuk menerangkan bagaimana anda
menggunakan pengetahuan faktor dan gandaan untuk
membantu pengusaha itu menyelesaikan masalahnya.

A  Rajah di sebelah menunjukkan tiga buah segi empat
sama bersebelahan yang berukuran sama. Dengan
mempertimbangkan gandaan sepunya bagi 3 dan 4,
terangkan bagaimana anda boleh memotong tiga buah
segi empat sama itu kepada empat bahagian yang
serba sama.

Buka fail Eksplorasi Bab 2.ggb daripada folder yang dimuat turun pada
muka surat vii untuk membantu anda jika perlu.

B  Perisian GeoGebra boleh membantu anda menentukan GSTK, FSTB, pemfaktoran
perdana, senarai faktor dan sebagainya.

1. Buka paparan perisian GeoGebra.
2. Pilih menu View → CAS. Paparan berikut ditunjukkan.
3. Taip masuk dan tekan Enter setiap arahan berikut ke dalam sel 1 hingga 7 di

ruangan CAS.
(i) PrimeFactors[60]
(ii) DivisorsList[60]
(iii) GCD[12,56]
(iv) LCM[12,56]
(v) A:={8,12,18,20}
(vi) GCD[A]
(vii) LCM[A]

4. Terangkan pemerhatian anda.
5. Cuba nombor-nombor lain.

02 Text book Mate Tg1.indd   45 10/17/16   5:07 PM
BAB 3
46

B
A
B

3

Kenapa Belajar Bab Ini?

Kuasa Dua, Punca
Kuasa Dua, Kuasa Tiga
dan Punca Kuasa Tiga3

BAB

•  Kuasa Dua dan Punca Kuasa Dua
•  Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

Apakah yang akan anda pelajari?

Skuad silat negara berjaya merangkul tiga
pingat emas dalam temasya Sukan SEA 2015.
Pesilat negara telah berjaya menunjukkan aksi
hebat untuk menumpaskan pesilat dari
negara-negara lain. Dalam acara pertandingan
pencak silat, pesilat negara berentap dalam
gelanggang berbentuk segi empat sama seluas
100 m2. Bagaimanakah anda menentukan
panjang sisi gelanggang tersebut?

Sebagai asas
pengetahuan dalam
bidang yang memerlukan
konsep luas segi empat sama
dan isi padu kubus. Bincangkan
apa bidang yang melibatkan
kedua-dua konsep tersebut.

BAB 3
46

03 Text book Mate Tg1.indd   46 10/18/16   5:37 PM
47
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

Pada tahun 1637, simbol kuasa dua dan
kuasa tiga telah digunakan oleh seorang
ahli matematik berbangsa Perancis, René
Descartes dalam bukunya, Geometrie.
Simbol punca kuasa dua dan punca kuasa
tiga pula diperkenalkan oleh seorang ahli
matematik berbangsa Jerman, Christoff
Rudolff pada tahun 1525 dalam bukunya
Die Coss.

Untuk maklumat lanjut:

http://goo.gl/fBrPNI http://goo.gl/9flVlm

Christoff Rudolff

René Descartes

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

•  anggaran  •  estimation
•  kuasa dua  •  square
•  kuasa dua sempurna   •  perfect square
•  kuasa tiga   •  cube
•  kuasa tiga sempurna   •  perfect cube
•  punca kuasa dua  •  square root
•  punca kuasa tiga   •  cube rootAhli-ahli sains menggunakan

idea isi padu untuk menerangkan
struktur binaan sesetengah hablur
berbentuk kubus. Apakah hubungan
antara panjang tepi hablur garam
dengan isi padunya?

47

Jaringan Kata

47
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

03 Text book Mate Tg1.indd   47 10/18/16   5:37 PM
BAB 3
48

B
A
B

3

3.1 Kuasa Dua dan Punca Kuasa Dua

Apakah kuasa dua dan kuasa dua sempurna?

Kira-kira 2  500 tahun dahulu, sekumpulan ahli cendekiawan
mencipta pola nombor berbentuk segi empat sama dengan
menyusun batu-batu kecil dalam bilangan baris dan lajur yang
sama. Adakah anda dapat menentukan pola segi empat sama
yang berikutnya?

Kelas

Berbalik
1

Tujuan : Meneroka pembentukan kuasa dua.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang

dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.
  • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail kuasa dua.ggb dengan GeoGebra. Paparan
menunjukkan segi empat sama bersisi 1 unit.

2. Seret penggelongsor biru pada paparan untuk
mengubah panjang sisi segi empat sama dan tentukan
luas setiap segi empat sama yang sepadan.

3. Salin dan lengkapkan jadual di bawah bagi luas segi empat sama itu.

Panjang sisi segi
empat sama (unit)

Luas segi empat sama dalam bentuk
pendaraban berulang (unit2) Luas (unit2)

1 1 × 1

4. Apakah hubungan antara luas segi empat sama dengan panjang sisi segi
empat sama?

PEMBELAJARAN

Menerangkan maksud
kuasa dua dan kuasa
dua sempurna.

Luas 1 petak segi empat
sama berukuran 1 unit
ialah 1 × 1 = 1 unit2.

03 Text book Mate Tg1.indd   48 10/18/16   5:37 PM
49
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa
segi empat sama dengan
panjang sisi (unit) 1, 2, 3, 4,  …
mempunyai luas (unit2) 1, 4, 9, 16,  …
Misalnya, segi empat sama dengan panjang sisi 4 unit,
  luas = 4 × 4
 = 16 unit2

Kita menyatakan kuasa dua bagi 4 ialah 16.
Kuasa dua bagi 4 ditulis sebagai 4 2.
Maka, kita menulis 42 = 16.

Berkumpulan2
Tujuan : Menerangkan maksud kuasa dua sempurna.
Arahan : • Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.
  • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail grid.pdf dan cetak fail itu pada sekeping kertas.
2. Gunting grid itu kepada kepingan kertas yang bersaiz 1 unit × 1 unit.
3. Susun kepingan kertas itu bermula dengan sekeping, dua keping, tiga keping

dan seterusnya supaya membentuk sebuah segi empat sama (jika boleh).
4. Salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Bilangan kertas bersaiz
1 unit × 1 unit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Adakah susunan dapat
membentuk sebuah segi empat
sama? (Tandakan 3 atau 7)

3 7 7

5. Tulis nombor yang mewakili bilangan kertas bersaiz 1 unit × 1 unit yang dapat
disusun membentuk sebuah segi empat sama.

6. Apakah hubungan antara nombor-nombor ini yang mewakili bilangan kepingan
kertas dengan pembentukan segi empat sama?

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa
hanya sesetengah bilangan kepingan kertas bersaiz
1 unit × 1 unit yang dapat disusun membentuk sebuah
segi empat sama.
 Bilangan kepingan kertas yang dapat membentuk
segi empat sama dalam aktiviti ini ialah 1, 4, 9, 16, …
 Nombor 1, 4, 9, 16, … dikenali sebagai kuasa
dua sempurna.

Cuba Ini  Nyatakan kuasa dua sempurna yang berikutnya.

ahukahT A nda
Kuasa dua dalam bahasa
Inggeris ialah square.
Square dalam bahasa
Inggeris pula bermakna
segi empat sama.

42 disebut sebagai
‘empat kuasa dua’ atau
‘kuasa dua bagi empat’.

Buka fail sifir darab.xls
daripada folder yang
dimuat turun pada muka
surat vii dan cetak fail itu.
Bulatkan semua kuasa dua
sempurna. Bincangkan
bagaimana sifir darab
boleh digunakan untuk
mengenal pasti kuasa dua
sempurna yang lain.

03 Text book Mate Tg1.indd   49 10/18/16   5:37 PM
BAB 3
50

B
A
B

3

Bagaimanakah anda menentukan sama ada
suatu nombor ialah kuasa dua sempurna?

Kita boleh menggunakan kaedah pemfaktoran perdana untuk
menentukan sama ada suatu nombor ialah kuasa dua sempurna
atau bukan.

Dalam kaedah ini, jika faktor perdana dapat dikumpulkan
dalam dua kumpulan yang sama, maka nombor itu ialah
kuasa dua sempurna.

1
Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah kuasa
dua sempurna atau bukan.
(a) 36 (b) 54

(a)

36

4    9

2  2  3  3

36 = 2 × 3  × 2 × 3
Faktor perdana boleh
dikumpulkan dalam dua
kumpulan yang sama.

Maka, 36 ialah kuasa dua sempurna.

(b)

54

6    9

2  3  3  3

54 = 2 × 3 × 3 × 3
Faktor perdana tidak boleh
dikumpulkan dalam dua
kumpulan yang sama.

Maka, 54 bukan kuasa dua sempurna.

3.1a

1. Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah kuasa dua sempurna
atau bukan.
(a) 45 (b) 100 (c) 214 (d) 324

PEMBELAJARAN

Menentukan sama ada
suatu nombor ialah kuasa
dua sempurna.

TIP    BESTARI
Kuasa dua sempurna
boleh ditulis sebagai
hasil darab dua faktor
yang sama.
Misalnya,
225 = 15 × 15 atau 152

225 ialah kuasa
dua sempurna.

Bincangkan mengapa
faktor perdana bagi suatu
kuasa dua sempurna
mestilah dikumpulkan
dalam dua kumpulan
yang sama.

03 Text book Mate Tg1.indd   50 10/18/16   5:37 PM
51
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

Apakah hubungan antara kuasa dua dengan punca kuasa dua?
Kelas

Berbalik
3

Tujuan : Menyatakan hubungan antara kuasa dua dan
punca kuasa dua.

Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang
dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail hubungan.ggb dengan
GeoGebra. Paparan menunjukkan
beberapa segi empat sama yang
mempunyai luas berlainan.

2. Seret segi empat sama ke skala yang
dipaparkan untuk menentukan
panjang sisi segi empat sama yang
sepadan.

3. Salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Luas (unit2) 1 4 9 16 25 36

Panjang sisi (unit)

4. Berdasarkan keputusan dalam jadual, bincang dengan rakan tentang hubungan
luas setiap segi empat sama dengan panjang sisinya.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa
segi empat sama dengan luas (unit2) 1,  4,  9, 16 , 25 , 36
mempunyai panjang sisi (unit) 1,  2,  3, 4 , 5 , 6
iaitu, luas setiap segi empat sama ialah kuasa dua panjang
sisi segi empat sama itu.
 Misalnya, bagi segi empat sama dengan luas 36 unit2,
panjang sisinya ialah 6 unit,
 luas (unit2) = 36
  = 6 × 6
  = 62
Kita menyatakan kuasa dua bagi 6 ialah 36.
Maka, punca kuasa dua bagi 36 ialah 6.
Dengan menggunakan simbol punca kuasa dua,  ,
kita menulis 36 = 6.
 Kuasa dua dan punca
kuasa dua ialah operasi
yang bersongsangan.

PEMBELAJARAN

Menyatakan hubungan
antara kuasa dua dan
punca kuasa dua.

TIP    BESTARI

Mencari punca kuasa dua
luas sebuah segi empat
sama adalah mencari
panjang sisi segi empat
sama itu.

36 dibaca
sebagai ‘punca
kuasa dua bagi
tiga puluh enam’.

kuasa dua
 6 36

punca kuasa dua

03 Text book Mate Tg1.indd   51 10/18/16   5:37 PM
BAB 3
52

B
A
B

3

2
Lengkapkan setiap yang berikut.
(a) 9 × 9 = 81 (b) 322 = 1 024
 Maka 81 =  ×   Maka 1 024  =
   =    =

(a) 81 = 9 × 9 (b) 1 024 = 322

= 9   = 32

3.1b

1. Salin dan lengkapkan setiap yang berikut.
(a) 5 × 5 = 25 (b) 8 × 8 = 64 (c) 242 = 576
 Maka,  Maka,  Maka,
 25 =  ×    64 =  ×   576  =
  =    =    =

Bagaimanakah anda menentukan kuasa dua suatu nombor?
Kita boleh menentukan kuasa dua suatu nombor dengan
mendarab nombor tersebut dengan nombor itu sendiri.

3
Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan
kalkulator.
(a) 62 (b) 1 3

4 2
2
 (c) (– 0.5)2

(a) 62 = 6 × 6
  = 36

(b) 1 3
4 2

2
 = 3

4
 × 3

4

= 9
16

(c) (– 0.5)2 = (– 0.5) × (– 0.5)
  = 0.25

4
Cari nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator.
(a) 432 (b) 1–  7

132
2
 (c) 2.962

(a) 432 = 1 849 Tekan 4  3  x2  =

(b) 1–  7
132

2
= 49

169
 Tekan (  (–)  7  a b

c  1  3  )  x2  =

(c) 2.962 = 8.7616 Tekan 2  ·  9  6  x2  =

Punca kuasa dua suatu
nombor boleh bernilai
positif dan negatif.

(–5) × (–5) = 25
Adakah benar 25 = –5?
Bincangkan pernyataan
di atas.

PEMBELAJARAN

Menentukan kuasa dua
suatu nombor tanpa dan
dengan menggunakan
alat teknologi.

Apakah nombor
kuasa dua terbesar
yang kurang
daripada 200?

03 Text book Mate Tg1.indd   52 10/18/16   5:37 PM
53
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

3.1c
1. Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 82 (b) 1–  5
6 2

2
 (c) 1. 42

2. Cari nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator.
(a) 292 (b) 1 9

11 2
2
 (c) (–15.3)2

Bagaimanakah anda menentukan punca kuasa dua suatu nombor?

5
Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan
kalkulator.
(a) 64 (b) 441

(a) 64 = 8 × 8
  = 8

(b)      441

9    49

3  3  7  7

441 = 3 × 3 × 7 × 7
  = 3 × 7  × 3 × 7
  = 21 × 21
 441 = 21 × 21
  = 21

6
Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 4
25  (b) 2 7

9  (c) 27
48  (d) 0.36

(a) 4
25  = 2

5  × 2
5

= 1 2
5 2

2

= 2
5

(b) 2 7
9

= 25
9

Tukarkan kepada
pecahan tak wajar
terlebih dahulu.

= 1 5
3 2

2

= 5
3

= 1 2
3

PEMBELAJARAN

Menentukan punca
kuasa dua suatu nombor
tanpa menggunakan
alat teknologi.

TIP    BESTARI

Pemfaktoran perdana
merupakan satu kaedah
yang lebih sistematik
untuk mencari punca
kuasa dua bagi satu
nombor yang lebih besar.

Kaedah Alternatif

(a) 4
25  =

4
25

=
22

52

= 2
5

Punca kuasa dua suatu
nombor adalah sama
dengan nombor itu.
Apakah nombor itu?

03 Text book Mate Tg1.indd   53 10/18/16   5:37 PM
BAB 3
54

B
A
B

3

(c) 27
48  = 27

48
 9

16
   Permudahkan pecahan

terlebih dahulu.

= 9
16

= 1 3
4 2

2

= 3
4

(d) 0.36 = 0.62   Ungkapkan sebagai
kuasa dua perpuluhan
yang lain.  = 0.6

3.1d
1. Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 81 (b) 49 (c) 121 (d) 900

(e) 49
81

(f ) 7 1
9

(g) 50
128

(h) 2.25

Bagaimanakah anda menentukan punca kuasa dua suatu nombor
positif dengan bantuan teknologi?

7
Hitung nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan
kalkulator dan berikan jawapan anda betul kepada dua tempat
perpuluhan.
(a) 89 (b) 154.7 (c) 6 2

7

(a) 89 = 9. 43 (2 t.p.) Tekan   8  9  =

(b) 154.7 = 12. 44 (2 t.p.) Tekan   1  5  4  ·  7  =

(c) 6 2
7

= 2.51 (2 t.p.) Tekan   6  a b
 c  2  a b

c  7  =

3.1e
1. Cari nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator.

Berikan jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan.

(a) 43 (b) 37.81 (c) 7
15  (d) 12 5

6

(d) 0.36 = 36
100

= 1 6
102

2

= 6
10

= 0.6

Kaedah Alternatif

PEMBELAJARAN

Menentukan punca kuasa
dua suatu nombor positif
dengan menggunakan
alat teknologi.

03 Text book Mate Tg1.indd   54 10/18/16   5:37 PM
55
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

Bagaimanakah anda menganggarkan kuasa dua
dan punca kuasa dua suatu nombor?

8
Anggarkan nilai bagi
(a) 27. 52 (b) 54

(a)  27. 5 adalah antara 20 dengan 30.
  27. 52 adalah antara 202 dengan 302.
 iaitu, 27. 52 adalah antara 400 dengan 900.
 Maka, 27. 52 ≈ 900

(b) 54 adalah antara kuasa dua sempurna 49 dengan 64.
  54 adalah antara 49 dengan 64,
 iaitu, 54 adalah antara 7 dengan 8.
 Maka, 54 ≈ 7

3.1f
1. Anggarkan nilai bagi setiap yang berikut.

(a) 612 (b) 22. 52 (c) 8.72 (d) (– 0.188)2
(e) 34  (f) 17. 6  (g) 128  (h) 0. 85

Apakah generalisasi yang dapat dibuat apabila
dua punca kuasa dua didarabkan?

Berpasangan4
Tujuan : Membuat generalisasi tentang pendaraban yang

melibatkan punca kuasa dua.
Arahan : • Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.
  • Buka folder yang dimuat turun pada muka

surat vii.

1. Buka fail pendaraban punca kuasa dua.pdf dan cetak
fail itu.

2. Lengkapkan petak kosong bagi Soalan 1 dan 2.

3. Apakah kesimpulan yang anda dapati daripada hasil
pendaraban yang diperoleh daripada Soalan 1 dan 2?

PEMBELAJARAN

Membuat generalisasi
tentang pendaraban
yang melibatkan
(i)  punca kuasa dua

nombor yang sama,
(ii)  punca kuasa dua

nombor yang berbeza.

Imbas QR Code atau
layari https://goo.gl/
bnn2mP dan buka
fail Contoh 8_pdf
tentang anggaran
menggunakan
garis nombor.

PEMBELAJARAN

Menganggar
(i)  kuasa dua

suatu nombor,
(ii)  punca kuasa dua

suatu nombor.

03 Text book Mate Tg1.indd   55 10/18/16   5:37 PM
BAB 3
56

B
A
B

3

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa
• hasil darab dua punca kuasa dua nombor yang sama menghasilkan nombor itu sendiri

iaitu a × a = a.
• hasil darab dua punca kuasa dua nombor yang berbeza ialah punca kuasa dua bagi hasil

darab dua nombor berkenaan iaitu a × b = ab .

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Maslina ingin melekatkan sekeping foto
pada sekeping kadbod. Kedua-dua foto
dan kadbod adalah berbentuk segi empat
sama. Panjang kadbod itu ialah 12 cm dan
luas foto ialah 90.25 cm2. Bagaimanakah
Maslina dapat melekatkan foto itu di
bahagian tengah kadbod?

Panjang foto = 90.25
 = 9.5 × 9.5
 = 9.5 cm

Panjang tepi kadbod yang tinggal selepas
dilekatkan foto = 12 – 9.5
 = 2.5 cm

Jarak foto dari tepi kadbod = 2.5 ÷ 2
 = 1.25 cm

Maka, foto harus dilekatkan sejauh 1.25 cm dari tepi kadbod
supaya kedudukannya berada di bahagian tengah kadbod.

3.1g
1. Ai Ling mempunyai sehelai kain berbentuk segi empat sama. Luas kain adalah

antara 6 400 cm2 dengan 12 100 cm2. Dia ingin menggunakan kain itu untuk menjahit
sehelai alas meja berbentuk segi empat sama untuk menutupi muka meja berbentuk
segi empat sama dengan panjang sisi 92 cm.
(a) Berapakah panjang kain, dalam cm, yang dapat dijahit oleh Ai Ling?
 [Andaikan panjang kain itu merupakan suatu nombor bulat.]
(b) Ai Ling bercadang menghiasi sepanjang tepi alas meja itu dengan renda putih

yang berukuran 4.5 m supaya alas meja itu kelihatan cantik. Adakah panjang
renda putih itu mencukupi? Berikan alasan anda.

PEMBELAJARAN

Mengemuka dan
menyelesaikan masalah
yang melibatkan kuasa
dua dan punca kuasa dua.

Diberi luas kadbod yang
berbentuk segi empat
sama ialah 156.25 cm2
manakala luas foto yang
berbentuk segi empat
sama adalah kurang
daripada 156.25 cm2 tetapi
lebih daripada 90.25  cm2.
Bincangkan panjang foto
yang mungkin digunakan
jika ukuran panjang
itu merupakan suatu
nombor bulat.

Berapakah luas kadbod
yang tidak ditutupi
dengan foto?

Imbas QR Code atau
layari https://youtu.
be/_Yz4ApLJodw
tentang aplikasi
kuasa dua dan
punca kuasa dua.

03 Text book Mate Tg1.indd   56 10/18/16   5:37 PM
57
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

3.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 3.1.

1. Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah kuasa dua sempurna atau
bukan. Gunakan kaedah pemfaktoran perdana untuk menyokong jawapan anda.
(a) 216 (b) 1 000 (c) 1 024

2. Pemfaktoran perdana bagi 100 ialah 2 × 2 × 5 × 5. Terangkan bagaimana anda mencari
punca kuasa dua bagi 100 dengan menggunakan kaedah pemfaktoran perdana.

3. Salin dan lengkapkan setiap yang berikut berdasarkan hubungan kuasa dua dan
punca kuasa dua.

bersamaan dengan 62

36

102

100

142

196

192

361

222

484
as as as as

bersamaan dengan 36 100 196 361 484as as as as

4. Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) (– 6)2 (b) 1 2
7 2

2
 (c) 1– 4 1

3 2
2
 (d) (–8.1)2

(e) 361 (f) 9
49

(g) 214
25

(h) 1.21

5. Hitung nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator. Berikan
jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan bagi (e) hingga (h).

(a) 1272 (b) (–34.6)2 (c) 0.0972 (d) 1–2 5
8 2

2

(e) 76 (f) 108. 4 (g) 11
28

(h) 2 3
5

6. Luas tapak sebuah piramid yang berbentuk segi empat sama ialah 52 900 m2. Cari
panjang sisi tapak piramid itu.

7. Anggarkan nilai bagi setiap yang berikut.
(a) 2972 (b) 51.92 (c) (– 0.038)2  (d) (–8.12)2
(e) 14 (f ) 220 (g) 8. 3 (h) 0. 5

8. Seramai 100 orang ahli kebudayaan telah menyertai Perarakan Citrawarna Malaysia.
Mereka membuat formasi pelbagai bentuk sepanjang perarakan itu.
(a) Apabila kumpulan ahli kebudayaan membuat formasi yang berbentuk segi empat

sama, nyatakan bilangan ahli yang ada pada setiap baris segi empat sama itu.
(b) Pada suatu ketika, kumpulan ahli itu membentuk dua segi empat sama serentak.

Tentukan bilangan ahli pada setiap baris bagi setiap segi empat sama itu.

03 Text book Mate Tg1.indd   57 10/18/16   5:37 PM
BAB 3
58

B
A
B

3

3.2 Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

Apakah kuasa tiga dan kuasa tiga sempurna?

Berpasangan5
Tujuan : Meneroka pembentukan kuasa tiga.
Arahan : Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.

1. Gambar rajah di bawah menunjukkan tiga buah kubus yang terdiri daripada
kubus unit. Perhatikan ketiga-tiga kubus yang ditunjukkan.

2. Salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Panjang tepi
kubus (unit)

Isi padu kubus dalam bentuk
pendaraban berulang (unit3)

Bilangan kubus unit
(unit3)

1 1 × 1 × 1

3. Bincang dengan rakan anda dan tulis hubungan antara bilangan kubus unit
dengan panjang tepi kubus.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa
kubus dengan panjang tepi (unit) 1,  2,  3,   …
mempunyai bilangan kubus unit (unit3) 1,  8,  27,  …

Misalnya, bagi kubus dengan panjang tepi 2 unit,
bilangan kubus unit = 2 × 2 × 2
 = 8 unit3

Kita menyatakan kuasa tiga bagi 2 ialah 8.
Kuasa tiga bagi 2 ditulis sebagai 23.
Maka, kita menulis 23 = 8.

PEMBELAJARAN

Menerangkan maksud
kuasa tiga dan kuasa
tiga sempurna.

TIP    BESTARI

Bilangan kubus unit
pada sebuah kubus ialah
isi padu kubus itu.

ahukahT A nda
Kuasa tiga dalam bahasa
Inggeris ialah cube. Cube
dalam bahasa Inggeris
bermakna kubus.

23 disebut sebagai
‘dua kuasa tiga’ atau
‘kuasa tiga bagi dua’.

03 Text book Mate Tg1.indd   58 10/18/16   5:37 PM
59
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

Berkumpulan6
Tujuan : Menerangkan maksud kuasa tiga sempurna.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

1. Susun blok unit bermula dengan 1 blok
unit, kemudian 2 blok unit, 3 blok unit
dan seterusnya supaya membina sebuah
kubus (jika boleh).

2. Salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Bilangan blok unit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Adakah susunan dapat
membina sebuah kubus?
(Tandakan 3 atau 7)

3 7 7

3. Tulis nombor yang mewakili bilangan blok unit yang dapat disusun untuk
membina sebuah kubus.

4. Apakah hubungan antara nombor-nombor ini yang mewakili bilangan blok
unit dengan pembinaan kubus?

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa hanya
sesetengah bilangan blok unit dapat disusun untuk membina
kubus.
Misalnya,

1 blok unit 8 blok unit 27 blok unit

Bilangan blok unit yang dapat membina kubus ialah 1, 8
dan 27.

Nombor 1, 8 dan 27 dikenali sebagai kuasa tiga sempurna.

Cuba Ini  Nyatakan kuasa tiga sempurna yang berikutnya.

ahukahT A nda
Isi padu hablur garam
ialah suatu kuasa
tiga sempurna.

Zaiton berkata
“23 = 2 × 3 = 6.”
Bagaimanakah anda
menjelaskan kepada
Zaiton bahawa
pernyataannya
tidak benar?

03 Text book Mate Tg1.indd   59 10/18/16   5:37 PM
BAB 3
60

B
A
B

3

Bagaimanakah anda menentukan sama ada
suatu nombor adalah kuasa tiga sempurna?

Kita juga boleh menggunakan kaedah pemfaktoran perdana
untuk menentukan sama ada suatu nombor ialah kuasa tiga
sempurna atau bukan. Dalam kaedah ini, jika faktor perdana
dapat dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang sama, maka
nombor itu ialah kuasa tiga sempurna.

9
Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah kuasa
tiga sempurna atau bukan.
(a) 64 (b) 240

(a)

64
8 8

4 2 4 2

2 2 2 2 2 2

64 = 2 × 2  × 2 × 2  × 2 × 2

Maka, 64 ialah kuasa tiga sempurna.

(b)

240
12 20

3 4 4 5

3 52 22 2

240 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5

Maka, 240 bukan kuasa tiga sempurna.

3.2a
1. Dengan menggunakan kaedah pemfaktoran perdana, tentukan sama ada setiap

nombor yang berikut ialah kuasa tiga sempurna atau bukan.
(a) 27 (b) 45 (c) 215 (d) 343

TIP    BESTARI

Kuasa tiga sempurna boleh
ditulis sebagai hasil darab tiga
faktor yang sama.
Misalnya, 64 = 4 × 4 × 4
64 ialah kuasa tiga sempurna.

Faktor perdana boleh
dikumpulkan dalam tiga
kumpulan yang sama. Nombor ini merupakan

kuasa dua sempurna
dan juga kuasa tiga
sempurna. Apakah
nombor ini?

Faktor perdana tidak boleh
dikumpulkan dalam tiga
kumpulan yang sama.

Bincangkan mengapa
faktor perdana bagi suatu
kuasa tiga sempurna
mestilah dikumpulkan
dalam tiga kumpulan
yang sama.

PEMBELAJARAN

Menentukan sama ada
suatu nombor adalah
kuasa tiga sempurna.

03 Text book Mate Tg1.indd   60 10/20/16   9:11 AM
61
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

Apakah hubungan antara kuasa tiga dan punca
kuasa tiga?

Berkumpulan7
Tujuan : Menyatakan hubungan antara kuasa tiga dan punca kuasa tiga.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

1. Perhatikan kubus A hingga E dalam gambar rajah di bawah.

A B C D E

2. Lengkapkan jadual yang berikut bagi panjang tepi setiap kubus itu.

Kubus A B C D E

Isi padu (unit3) 1 8 27 64 125

Panjang tepi (unit)

3. Berdasarkan keputusan dalam jadual, bincang dengan rakan tentang hubungan
isi padu setiap kubus dengan panjang tepinya.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 7, didapati bahawa
kubus dengan isi padu (unit3) 1,  8,  27,  64,  125
mempunyai panjang tepi (unit) 1,  2,   3,  4,   5
iaitu, isi padu setiap kubus ialah kuasa tiga panjang
tepi kubus itu.

Misalnya, bagi kubus dengan isi padu 8 unit3,
panjang tepinya ialah 2 unit,
  isi padu (unit3) = 8
 = 2 × 2 × 2
 = 23
Kita menyatakan kuasa tiga bagi 2 ialah 8.
Maka, punca kuasa tiga bagi 8 ialah 2.

Dengan menggunakan simbol punca kuasa tiga, 3,
kita menulis 38 = 2.

TIP    BESTARI

Mencari punca kuasa
tiga bagi isi padu sebuah
kubus adalah mencari
panjang tepi kubus itu.

38 dibaca sebagai
‘punca kuasa tiga
bagi lapan’.

PEMBELAJARAN

Menyatakan hubungan
antara kuasa tiga dan
punca kuasa tiga.

03 Text book Mate Tg1.indd   61 10/18/16   5:38 PM
BAB 3
62

B
A
B

3

Kuasa tiga dan punca kuasa tiga ialah operasi yang bersongsangan.

kuasa tiga

2 8
punca kuasa tiga

10
Lengkapkan setiap yang berikut.
(a) 4 × 4 × 4 = 64

Maka 364 = 3  ×  ×

=

(b) (– 0.5) × (– 0.5) × (– 0.5) = – 0.125

Maka 3– 0.125 = 3  ×  ×

=

(c) 1 1
6 23

= 1
216

Maka  3 1
216

= 3

=

(a) 364 = 34 × 4 × 4
  = 4

(b) 3– 0.125 = 3(– 0.5) × (– 0.5) × (– 0.5)
  = – 0.5

(c) 3 1
216

= 3 1 1
6 2

3

= 1
6

3.2b
1. Salin dan lengkapkan setiap yang berikut.

(a) 8 × 8 × 8 = 512 (b) 0.3 × 0.3 × 0.3 = 0.027
 Maka, 3512 = 3  ×  ×    Maka, 30.027 = 3  ×  ×

=    =

(c) 1–  1
2 2

3
 = – 1

8

Maka, 3 –  1
8

= 3

=

Punca kuasa tiga suatu
nombor adalah sama
dengan nombor itu.
Apakah nombor itu?

03 Text book Mate Tg1.indd   62 10/18/16   5:38 PM
63
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

Bagaimanakah anda menentukan kuasa tiga
suatu nombor?

11
Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan
kalkulator.

(a)  43 (b)  0.23 (c)  1–  3
5 2

3

(a)  43 = 4 × 4 × 4
  = 64

(b) 0.23  = 0.2 × 0.2 × 0.2
  = 0.008

(c) 1–  3
5 2

3
  = 1–  3

5 2 × 1–  3
5 2 × 1–  3

5 2

= – 27
125

12
Cari nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator.
(a)  183 (b)  1– 4 1

2 2
3
 (c) (– 6.3)3

(a)  183 = 5 832 Tekan 1  8  x3  =

(b)  1– 4 1
2 2

3
 = –91 1

8
 Tekan (  (–)  4  a b

c  1  a b
 c  2  )  x3  =

(c) (– 6.3)3 = –250.047 Tekan (  (–)  6  ·  3  )  x3  =

3.2c
1. Tentukan nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 63 (b) (–7)3 (c) 1–  2
9 2

3
 (d)  (– 0.3)3 (e) 12 3

5 2
3

2. Cari nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator.

(a)  263 (b) (–5.1)3 (c) 1 3
102

3
 (d) 1–1 7

11 2
3
 (e) 14 4

5 2
3

PEMBELAJARAN

Menentukan kuasa tiga
suatu nombor tanpa dan
dengan menggunakan
alat teknologi.

TIP    BESTARI

Kuasa tiga suatu nombor
positif sentiasa bernilai
positif manakala kuasa
tiga suatu nombor
negatif sentiasa
bernilai negatif.

03 Text book Mate Tg1.indd   63 10/18/16   5:38 PM
BAB 3
64

B
A
B

3

Bagaimanakah anda menentukan punca kuasa tiga suatu nombor?

13
Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan
kalkulator.
(a) 364 (b) 3216

(a) 364 = 343

= 4

(b)

216

12 18

3 4 3 6

3 2 2 3 3 2

14
Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 3
8

125
 (b) 3 –  81

192
 (c) 3 3 3

8

(a) 3
8

125

= 3
2
5

× 2
5

× 2
5

= 3 1 2
5 2

3

= 2
5

(b) 3 –  81
192

= 3 –  81
192

27

64

Permudahkan
pecahan dahulu.

= 3 –  27
64

= 3 1–  3
4 2

3

= –  3
4

(c) 3 3 3
8

= 3 27
8

Tukarkan kepada pecahan
tak wajar dahulu.

= 3 1 3
2 2

3

= 3
2

= 1 1
2

PEMBELAJARAN

Menentukan punca
kuasa tiga suatu nombor
tanpa menggunakan
alat teknologi.

?  ×  ?  ×  ?   = 64
  4 × 4 × 4  = 64
  43  = 64

TIP    BESTARI

Pemfaktoran perdana
merupakan satu kaedah
yang lebih sistematik
untuk mencari punca
kuasa tiga bagi satu
nombor yang lebih besar.

216 = 3 × 2 × 2 × 3 × 3 × 2
  = (3 × 2) × (3 × 2) × (3 × 2)
  = 6 × 6 × 6
 3216 = 36 × 6 × 6
  = 6

(a) 3 8
125  =

38
3125

=
323

353

= 2
5

Kaedah Alternatif

TIP    BESTARI

Punca kuasa tiga suatu
nombor positif sentiasa
bernilai positif manakala
punca kuasa tiga suatu
nombor negatif sentiasa
bernilai negatif.

03 Text book Mate Tg1.indd   64 10/18/16   5:38 PM
65
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

15
Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan
kalkulator.
(a) 30.027  (b) 3– 0.008

(a) 30.027  (b) 3– 0.008
 = 30.33   = 3(– 0.2)3
 = 0.3   = – 0.2

3.2d
1. Diberi 9 261 = 33 × 73, cari 39 261  tanpa menggunakan kalkulator.

2. Cari 32 744  dengan menggunakan kaedah pemfaktoran perdana.

3. Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.
(a) 327  (b)  3–125 (c)  3343 (d) 3–1 000

4. Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 3 8
125

(b) 3 –  1
27

(c) 3
24
81

(d)  3 161
64

(e) 30.001 (f) 3– 0.064 (g) 3– 0.216 (h) 30.000343

Bagaimanakah anda menentukan punca kuasa tiga suatu nombor
dengan menggunakan teknologi?

16
Hitung nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan
kalkulator dan berikan jawapan anda betul kepada dua tempat
perpuluhan.

(a) 324 (b) 3–104.8 (c) 3 –1 2
9

(a) 324 = 2.88 (2 t.p.) Tekan  3  2  4  =

(b) 3–104.8 = – 4.71 (2 t.p.) Tekan  3  (–)  1  0  4  ·  8  =

(c) 3 –1 2
9

= –1.07 (2 t.p.) Tekan  3  (–)  1  a b
 c  2  a b

c  9  =

(b) 3– 0.008

= 3 –  8
1 000

= 3 1–  2
102

3

= –  2
10

= − 0.2

Kaedah Alternatif

Ungkapkan
sebagai
kuasa tiga
perpuluhan
yang lain.

PEMBELAJARAN

Menentukan punca
kuasa tiga suatu nombor
dengan menggunakan
alat teknologi.

03 Text book Mate Tg1.indd   65 10/18/16   5:38 PM
BAB 3
66

B
A
B

3

3.2e
1. Cari nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator. Berikan jawapan

anda betul kepada dua tempat perpuluhan.

(a) 315  (b) 3–74  (c) 3164.2 (d) 3 7
9   (e) 3 –1 2

5

Bagaimanakah anda menganggar kuasa tiga
dan punca kuasa tiga suatu nombor?

17
Anggarkan nilai bagi
(a) 4.23  (b) 3180

(a)  4.2 adalah antara 4 dengan 5.
  4.23 adalah antara 43 dengan 53,
 iaitu, 4.23 adalah antara 64 dengan 125.
 Maka, 4.23 ≈ 64

(b) 180 adalah antara kuasa tiga sempurna 125 dengan 216.
  3180 adalah antara 3125 dengan 3216,
 iaitu, 3180 adalah antara 5 dengan 6.
 Maka, 3180 ≈ 6

3.2f
1. Anggarkan nilai bagi setiap yang berikut.

(a)  2.13 (b) (–9.6)3 (c) 19.73 (d) (– 43. 2)3

2. Anggarkan nilai bagi setiap yang berikut.
(a) 37 (b) 369 (c) 3–118 (d) 3–26. 8

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Seorang pengukir memahat sebuah blok kayu yang
berbentuk kubus dengan panjang tepinya 6 cm dan
mengeluarkan sebuah kubus kecil daripadanya. Jika isi
padu blok kayu yang tinggal ialah 189 cm3, cari panjang
tepi kubus kecil yang dikeluarkan itu.

PEMBELAJARAN

Menganggar
(i)  kuasa tiga

suatu nombor,
(ii)  punca kuasa tiga

suatu nombor.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
kuasa tiga dan
punca kuasa tiga.

Imbas QR Code atau
layari https://goo.gl/
bnn2mP dan buka
fail Contoh 17_pdf
tentang anggaran
menggunakan
garis nombor.

03 Text book Mate Tg1.indd   66 10/18/16   5:38 PM
67
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

Merancang strategi
• Isi padu blok kayu = Kuasa tiga bagi panjang tepinya
• Isi padu kubus kecil

= Isi padu blok kayu – Isi padu blok kayu yang tinggal
• Panjang tepi kubus kecil

= Punca kuasa tiga bagi isi padu kubus kecil

Melaksanakan strategi
Isi padu blok kayu = 63

= 216 cm3

Isi padu kubus kecil
= Isi padu blok kayu – Isi padu blok kayu yang tinggal
= 216 – 189
= 27 cm3

Panjang tepi kubus kecil = 327
 = 3 cm

Membuat refleksi
Isi padu kubus kecil = 33

= 27 cm3

Isi padu blok kayu = 27 + 189
 =  216 cm3

Maka, panjang tepi blok kayu = 3216
 = 6 cm

Memahami masalah
• Panjang tepi blok kayu = 6 cm
• Isi padu blok kayu yang tinggal selepas kubus kecil

dikeluarkan = 189 cm3

• Cari panjang tepi kubus kecil.

3.2g
1. Malik ingin membuat sebuah rangka kubus daripada dawai yang panjangnya

150 cm. Jika isi padu kubus itu ialah 2 197 cm3, adakah panjang dawai itu mencukupi?
Berikan alasan anda.

6 cm

Amira membentuk
sebuah kuboid yang
berukuran 5 cm, 2 cm
dan 5 cm daripada
plastisin. Berapakah
kuboid serupa yang
diperlukan untuk
membentuk sebuah
kubus yang besar?

Kreatif Inovatif&
Bahan:
Kad manila
Tugasan:
Reka bentuk sebuah
kotak tertutup untuk
mengisi lapan biji
bola ping pong
dengan menggunakan
bahan minimum.

Refleksi:
Apakah bentuk
kotak yang paling
menjimatkan bahan?

03 Text book Mate Tg1.indd   67 10/18/16   5:38 PM
BAB 3
68

B
A
B

3

Bagaimanakah anda menjalankan pengiraan yang melibatkan
pelbagai operasi ke atas kuasa dua, punca kuasa dua, kuasa tiga
dan punca kuasa tiga?

18
Cari nilai bagi setiap yang berikut.

(a) 0.52 + 31 000 (b) (–3)3 – 64

(c) 25 + (– 0.2)2 ÷ 30.008 (d) 3 –3 3
8

× (36 – 23)2

(a) 0.52 + 31 000
 = 0.25 + 10
 = 10.25

(b) (–3)3 – 64
 = –27 – 8
 = –35

(c) 25 + (– 0.2)2 ÷ 30.008
 = 5 + 0.04 ÷ 0.2
 = 5 + 0.2
 = 5.2

(d) 3 –3 3
8

× (36 – 23)2

= 3 –  27
8

× (6 – 8)2

= –  3
2

× (–2)2

= –  3
2

× 4

= – 6

3.2h
1. Hitung nilai bagi setiap yang berikut.

(a) 49 + 32 (b) 327 – 1. 52 (c) 3– 64 × 0.23

(d) (–2)2 ÷ 100 (e) 2 1
4

– 3 15 5
8

(f) 3
1

125
 × 0.32

(g) 12
27  ÷ 1– 2

3 2
3
  (h) (–5)2 + 2 7

9
 – 23 (i) (16 – 6)2 × 3 –  54

128

PEMBELAJARAN

Menjalankan pengiraan
yang melibatkan
penambahan,
penolakan, pendaraban,
pembahagian dan
gabungan operasi
tersebut ke atas kuasa
dua, punca kuasa dua,
kuasa tiga dan punca
kuasa tiga.

TIP    BESTARI

Cari nilai bagi kuasa
dua, punca kuasa dua,
kuasa tiga atau punca
kuasa tiga.

Selesaikan operasi di
dalam tanda kurung.

Selesaikan operasi ×
dan ÷ dari kiri ke kanan.

Selesaikan operasi +
dan – dari kiri ke kanan.

Selesaikan
operasi ÷
dahulu.

2

1

03 Text book Mate Tg1.indd   68 10/18/16   5:38 PM
69
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

3.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 3.2.

1. Tentukan sama ada setiap nombor yang berikut ialah kuasa tiga sempurna atau
bukan. Terangkan bagaimana anda menyokong jawapan dengan menggunakan
kaedah pemfaktoran perdana.
(a) 128 (b) 343 (c) 1 000

2. Pemfaktoran perdana bagi 3 375 ialah 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
 Terangkan bagaimana anda mencari punca kuasa tiga bagi 3 375 dengan menggunakan

kaedah pemfaktoran perdana.

3. Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) (−5)3 (b) 1 4
5 2

3
 (c) 1–1 1

6 2
3
  (d) (–3.2)3

(e) 3125  (f) 3–512  (g) 3729  (h) 3–27 000

(i) 3 8
125

(j) 3 –  64
343

(k) 3– 0.512  (l) 31.331

4. Hitung nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator. Berikan
jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan bagi (e) hingga (h).
(a) 2023 (b) (−17.6)3 (c) 0.0413 (d) 1–2 3

7 2
3

(e) 334.8  (f) 3215.7 (g) 3– 0.94 (h) 3 –  7
11

5. Anggarkan nilai bagi setiap yang berikut.
(a) 2.93 (b) (–10.12)3  (c) 14.873 (d) (– 0.88)3

(e) 365  (f) 3344  (g) 3–728.9 (h) 3 8 1
8

6. Gambar foto di sebelah menunjukkan sebuah kotak
hiasan yang berbentuk kubus. Setiap luas permukaan
kotak itu ialah 2 500 mm2.
(a) Cari panjang tepi, dalam mm, kotak hiasan itu.
(b) Tulis isi padu kotak hiasan itu dalam tatatanda

kuasa tiga.

7. Cari nilai bagi setiap yang berikut.
(a) 38 + (– 0.3)2 (b) 42 × 3–125

(c) 36 ÷ 12 1
2 2

2
  (d) 32 – 327 ÷ (–1)3

(e) 52 × 3–216 ÷ 4
9

(f) 3 –  1
343

× 123 – 2 7
9

2

03 Text book Mate Tg1.indd   69 10/18/16   5:38 PM
BAB 3
70

B
A
B

3

a × a
Kuasa dua

Punca kuasa dua
a × a

a × a × a
Kuasa tiga

Punca kuasa tiga
3a × a × a

Sangat
baik

Berusaha
lagi

menerangkan maksud kuasa dua, kuasa dua sempurna, kuasa tiga dan kuasa
tiga sempurna.
menentukan sama ada suatu nombor adalah
– kuasa dua sempurna
– kuasa tiga sempurna.
menyatakan hubungan antara kuasa dua, punca kuasa dua, kuasa tiga dan punca
kuasa tiga.
menentukan kuasa dua dan kuasa tiga suatu nombor tanpa dan dengan
menggunakan alat teknologi.
menentukan punca kuasa dua dan punca kuasa tiga suatu nombor tanpa
menggunakan alat teknologi.
menentukan punca kuasa dua suatu nombor positif dan punca kuasa tiga suatu
nombor dengan menggunakan alat teknologi.
menganggar kuasa dua, punca kuasa dua, kuasa tiga dan punca kuasa tiga
suatu nombor.
membuat generalisasi tentang pendaraban yang melibatkan
– punca kuasa dua nombor yang sama.
– punca kuasa dua nombor yang berbeza.
mengemuka dan menyelesaikan masalah yang melibatkan kuasa dua, punca kuasa
dua, kuasa tiga dan punca kuasa tiga.
menjalankan pengiraan yang melibatkan penambahan, penolakan, pendaraban,
pembahagian dan gabungan operasi tersebut ke atas kuasa dua, punca kuasa dua,
kuasa tiga dan punca kuasa tiga.

B
A
B

3

03 Text book Mate Tg1.indd   70 10/18/16   5:38 PM
71
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

1. Tandakan (3) pada nombor yang merupakan kuasa dua sempurna.
 27 (  ) 32 (  )  18 (  )  4 (  )
 81 (  )  8 (  ) 125 (  ) 49 (  )

2. Salin dan lengkapkan langkah-langkah operasi di bawah dengan mengisikan
petak-petak kosong dengan nombor yang sesuai.

111
25

– (– 0.1)3 =
25

– (– 0.1)3

= 5  – (  )

=

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi empat sama yang dilukis
oleh Siti. Dia menyatakan panjang sisi segi empat sama itu ialah
8  unit. Tunjukkan bagaimana anda mengesahkan jawapan Siti.

4. Aplikasi

Suatu kawasan mendarat untuk helikopter adalah berbentuk segi empat sama dan
mempunyai luas 400 m2. Gunakan kaedah pemfaktoran perdana untuk mencari
panjang sisi kawasan mendarat itu.

5. 512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
(a) Berdasarkan ayat matematik di atas, Fong Yee menyatakan bahawa 512 ialah

kuasa tiga sempurna. Terangkan bagaimana anda menyokong jawapan Fong Yee.
(b) Fong Yee juga menyatakan bahawa 512 bukan kuasa dua sempurna. Jelaskan

sebab Fong Yee berkata sedemikan.

6. Mohan telah menggunakan setin cat untuk mengecat seluruh kawasan latar pentas
yang berbentuk segi empat sama. Setin cat dapat meliputi 38 m2 seluruh kawasan
latar pentas. Anggarkan panjang sisi latar pentas itu.

7. Sebuah kubus besar dengan panjang tepi 30 cm dipotong kepada 27 buah kubus kecil
yang sama saiz. Cari
(a) panjang tepi setiap kubus kecil itu,
(b) luas muka atas setiap kubus kecil itu.

03 Text book Mate Tg1.indd   71 10/18/16   5:38 PM
BAB 3
72

B
A
B

3

8. Amirul menyusun duit syiling 20 sen kepada segi empat sama seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di bawah.

(a) Hitung jumlah nilai, dalam RM, bagi segi empat sama yang
(i) keempat,
(ii) ke-10.

(b) Jika Amirul mempunyai duit syiling 20 sen yang bernilai sejumlah RM60,
 tentukan susunan duit syiling 20 sen untuk membentuk segi empat sama terbesar.

9. Aplikasi

Stella ingin menyerikan patio rumahnya
dengan memasang kepingan batu pemijak yang
berbentuk segi empat sama. Setiap kepingan
batu pemijak mempunyai luas 1 m2. Dia
membuat lakaran pelan pemasangan seperti
yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah.
(a) Berapakah jumlah kepingan batu pemijak

yang digunakan dalam pembinaannya?
(b) Jika Stella bercadang menggunakan bilangan kepingan batu pemijak yang sama

seperti (a) tetapi mengubah pelan pemasangan kepada bentuk segi empat sama,
adakah ini dapat dilakukan oleh Stella? Terangkan jawapan anda.

10. Aplikasi

Hypatia ialah seorang ahli Matematik Mesir yang
dilahirkan pada tahun 370 Masihi. Dalam satu kajian,
Hypatia mengemukakan masalah berikut:

• Nombor ini ialah hasil tambah dua
nombor kuasa dua.

• Kuasa dua nombor ini juga merupakan
hasil tambah dua nombor kuasa dua.

Satu daripada nombor yang memuaskan kekangan yang ditetapkan oleh Hypatia
ialah 5. Cari tiga nombor yang lain.

8 m

14 m

Nombor kuasa dua:
1, 4, 9, 16, ...

5 = 1 + 4
52 = 9 + 16

03 Text book Mate Tg1.indd   72 10/18/16   5:38 PM
73
Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

B
A
B

3

Gambar foto di sebelah menunjukkan sebuah
gelanggang tinju yang berbentuk segi empat sama.
Selain daripada acara tinju, terdapat juga acara sukan
lain yang dijalankan di atas permukaan lantai yang
berbentuk segi empat sama.

Lakukan kajian anda sama ada melalui Internet,
buku rujukan atau mengunjungi perpustakaan,
cari sukan lain yang menjalankan aktiviti di atas
permukaan lantai yang berbentuk segi empat sama.
Cari panjang sisi dan luas segi empat sama ini.
Hubung kaitkan peraturan dalam sukan ini untuk
menerangkan tujuan permukaan lantai berbentuk segi
empat sama.

Papan catur ialah sejenis papan permainan berbentuk segi
empat sama yang digunakan dalam permainan catur. Papan itu
mempunyai 32 petak segi empat sama yang masing-masing
berwarna putih dan hitam.

Anda mempunyai sekeping papan berbentuk segi empat
tepat yang berukuran 44 cm × 52 cm. Anda bercadang
menggunakannya untuk membuat sebuah papan catur supaya

• setiap petak segi empat sama di atas papan mempunyai
panjang sisi yang merupakan nombor bulat.

• setiap buah catur diletakkan di dalam petak segi empat sama
yang luasnya tidak kurang daripada 9 cm2.

Tentukan semua ukuran yang mungkin bagi papan catur yang
anda bina itu.

44 cm

52 cm

03 Text book Mate Tg1.indd   73 10/18/16   5:38 PM
BAB 4
74

B
A
B

4

Nisbah, Kadar
dan Kadaran4

BAB

•	 Nisbah
•	 Kadar
•	 Kadaran
•	 Nisbah,	Kadar	dan	Kadaran
•	 Perkaitan	antara	Nisbah,	Kadar	dan	Kadaran
dengan	Peratusan,	Pecahan	dan	Perpuluhan

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Hippocampus kuda merupakan sejenis kuda
laut yang hidup di muara sungai. Kuda laut ini
diancam kepupusan dan haruslah dipelihara
dan dihargai. Untuk menganggarkan saiz
populasi kuda laut di suatu habitat, ahli biologi
marin menandakan kuda laut dalam sampel
pertama dengan tag berkod dan melepaskannya
semula ke sungai.

Nisbah, kadar dan
kadaran terlibat dalam
bidang yang memerlukan
konsep perbandingan.
Seorang ahli astronomi
mengukur jarak di dalam Sistem
Suria dengan membandingkan
setiap jarak dengan jarak dari Bumi
ke Matahari. Seorang jururawat
mengukur denyutan nadi seorang
pesakit dengan menggunakan konsep
kadar. Bincangkan bidang lain yang
melibatkan konsep perbandingan.

BAB 4
74

04 Text book Mate Tg1.indd   74 10/18/16   3:19 PM
75
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

Vitruvian Man yang dilukis oleh
Leonardo da Vinci sekitar tahun 1490
menggambarkan tubuh manusia terterap
di dalam sebuah bulatan dan segi empat
sama. Dalam lukisan ini, tubuh manusia
telah dikatakan mengikuti beberapa
nisbah dan kadaran tertentu yang
dicadangkan oleh seorang arkitek Rom
bernama Vitruvius.

Untuk maklumat lanjut:

https://goo.gl/VNOYjx

Selepas suatu tempoh masa, sampel
kedua kuda laut diperoleh. Kali ini, ahli
biologi marin merekodkan bilangan
kuda laut yang bertanda. Bagaimanakah
saiz populasi kuda laut di dalam sungai
dapat dianggarkan dengan kaedah ini?

Jaringan Kata

Vitruvian	Man

•	 kadar	 •	 rate
•	 kadaran	 •	 proportion
•	 nisbah	 •	 ratio
•	 nisbah	setara	 •	 equivalent ratio
•	 peratusan	 •	 percentage

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

75
Nisbah, Kadar dan Kadaran

04 Text book Mate Tg1.indd   75 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
76

B
A
B

4

4.1 Nisbah

Nisbah digunakan untuk membandingkan dua kuantiti yang
sama jenis dan diukur dalam unit yang sama. Misalnya,
5 000 g kepada 9 kg boleh diwakilkan dengan nisbah sebagai
 5 000 g : 9 kg = 5 kg : 9 kg
  =   5 :  9
Nisbah a kepada b ditulis sebagai a : b.

Bagaimanakah anda mewakilkan hubungan
antara tiga kuantiti?

Gambar di atas menunjukkan tiga keping foto yang berlainan saiz. Bagaimanakah anda
mewakilkan hubungan saiz antara tiga keping gambar foto itu dengan nisbah?

Contoh 1
Wakilkan nisbah 0.02 m kepada 3 cm kepada 4.6 cm dalam bentuk a : b : c.

0.02 m : 3 cm : 4.6 cm =  2 cm : 3 cm : 4.6 cm
 =  2 : 3 : 4.6
 =  20 : 30 : 46
 =  10 : 15 : 23

4.1a

1. Wakilkan hubungan antara tiga kuantiti berikut dalam bentuk a : b : c.
(a) 2 minggu kepada 16 hari kepada 1 minggu
(b) 0.1 kg kepada 50 g kepada 0.25 kg
(c) 4 minit kepada 120 saat kepada 1.6 jam
(d) 3 1

5
 m kepada 480 cm kepada 6 400 mm

2. Tahir membayar RM5.60 untuk sepinggan nasi beriani, RM1.20 untuk segelas teh
dan 30 sen untuk sekeping kuih. Wakilkan hubungan harga bagi nasi beriani, teh dan
kuih dalam bentuk a : b : c.

Perhatikan	nisbah	tidak
mempunyai	unit.

PEMBELAJARAN

Mewakilkan
hubungan	antara
tiga	kuantiti	dalam
bentuk	a	:	b	:	c.

04 Text book Mate Tg1.indd   76 10/18/16   3:19 PM
77
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

Apakah nisbah setara?

Perhatikan pecahan setara yang mewakili bahagian berlorek
dalam rajah di bawah.

1
2

2
4

6
12

÷  2  ×  3

1
2  = 2

4  = 6
12

÷  2  ×  3

Pecahan ini boleh diungkapkan sebagai nisbah seperti berikut.
  ÷  2  ×  3

1  : 2  = 2  : 4  = 6  : 12

÷  2  ×  3

1 : 2, 2 : 4 dan 6 : 12 dikenali sebagai nisbah setara.
Nisbah setara dicari dengan mendarab atau membahagi setiap
bahagian dalam nisbah dengan nombor bulat yang sama.

Contoh 2
Antara berikut, manakah nisbah yang setara dengan 27 : 45?

9 : 15    5 : 3   54 : 90   1
2

: 5
6

27 : 45 = 27 × 2  : 45 × 2  27 : 45 = 27 ÷ 9  : 45 ÷ 9
 = 54 : 90  = 3 : 5

27 : 45 = 27 ÷ 3  : 45 ÷ 3  27 : 45 = 27 × 1
54  : 45 × 1

54
 = 9 : 15
   = 1

2
 : 5

6
Maka, nisbah yang setara dengan 27 : 45 ialah

9 : 15, 54 : 90 dan  1
2

: 5
6

.

PEMBELAJARAN

Mengenal	pasti	dan
menentukan	nisbah
setara	dalam	konteks
berangka,	geometri	atau
situasi	harian.

TIP    BESTARI

Nisbah	setara	boleh
dicari	dengan	menulis
nisbah	itu	sebagai
pecahan	setara.

Adakah	23	:	46	dan	 1
6
	:	 1

3

setara	dengan	1	:	2?

TIP    BESTARI
Nisbah	3	:	5	≠	5	:	3.

Luas	bahagian
berlorek	sentiasa
sama	besar.

Kaedah Alternatif

1
2
	:	 5

6
	=	 1

2
		×	54		:	 5

6
		×	54

=	27	:	45

04 Text book Mate Tg1.indd   77 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
78

B
A
B

4

Contoh 3
Puan Habibah mencampurkan 4 cawan cuka dengan 8 cawan air untuk memperoleh
cecair pembersih semula jadi bagi tingkap kaca rumahnya. Kenal pasti dan tentukan dua
nisbah setara yang mungkin bagi cecair pembersih ini.

4 : 8 = 4 × 2  : 8 × 2  4 : 8 = 4 ÷ 2  : 8 ÷ 2
 = 8 : 16  = 2 : 4
Dua nisbah setara yang mungkin bagi 4 : 8 ialah 8 : 16 dan 2 : 4.

4.1b
1. Antara berikut, manakah nisbah yang setara dengan 18 : 24 : 45?

3 : 4 : 9    36 : 48 : 90   0.6 : 0.8 : 1.5   2
5  : 8

15 : 1

2. Kenal pasti dan tentukan nisbah setara bagi bahagian berlorek dalam setiap rajah
yang berikut.
(a)  (b)

3. Di sebuah tapak pembinaan, seorang pekerja menyediakan konkrit untuk asas
sokongan bangunan. Dia membancuh 10 bahagian simen dengan 20 bahagian pasir
dan 30 bahagian batu kelikir. Kenal pasti dan tentukan dua nisbah setara yang
mungkin untuk bancuhan ini.

Bagaimanakah anda mengungkapkan nisbah dalam bentuk termudah?
Untuk mengungkapkan nisbah dalam bentuk termudah,
kita membahagikan kuantiti itu dengan faktor sepunya
terbesar (FSTB) atau mendarabkan kuantiti itu dengan
gandaan sepunya terkecil (GSTK).

Contoh 4
Ungkapkan setiap nisbah yang berikut dalam bentuk termudah.
(a) 800 g : 1.8 kg (b) 32 : 24 : 20
(c) 3

5
 : 7

10
 (d) 0.04 : 0.12 : 0.56

(a) 800 g : 1. 8 kg =  800 g : 1 800 g

Tukarkan	kepada
unit	yang	sama.

= 800
200

: 1 800
200

Bahagikan	kedua-dua
bahagian	dengan	200.

=  4 : 9

PEMBELAJARAN

Mengungkapkan	nisbah
dua	dan	tiga	kuantiti
dalam	bentuk	termudah.

TIP    BESTARI
Suatu	nisbah	a	:	b
dikatakan	dalam	bentuk
termudah	jika	a	dan	b
tidak	mempunyai	faktor
sepunya	kecuali	1.

04 Text book Mate Tg1.indd   78 10/18/16   3:19 PM
79
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

(b) 32 : 24 : 20 = 32
4

: 24
4

: 20
4

Bahagikan	ketiga-tiga	bahagian	dengan
4,	iaitu	FSTB	bagi	32,	24	dan	20.

= 8 : 6 : 5

(c) 3
5

: 7
10

= 3
5

× 10  : 7
10

× 10   Darabkan	kedua-dua	bahagian	dengan	10,
iaitu	GSTK	bagi	5	dan	10.

= 6 : 7

(d) 0.04 : 0.12 : 0.56 = 0.04 × 100  : 0.12 × 100  : 0.56 × 100  Darabkan	ketiga-tiga
bahagian	dengan	100.

= 4 : 12 : 56

= 4
4

: 12
4

: 56
4

Bahagikan	ketiga-tiga	bahagian	dengan
4,	iaitu	FSTB	bagi	4,	12	dan	56.

= 1 : 3 : 14

4.1c
1. Ungkapkan setiap nisbah yang berikut dalam bentuk termudah.

(a) 240 g : 1. 6 kg (b) 30 : 42 : 48

(c) 2
5

: 8
9

(d) 0.09 : 0.12 : 0.24

4.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi  Mahir Diri 4.1.

1. Rajah di bawah menunjukkan tiga buah segi empat sama, A, B dan C.

2 cm

A B C

3 cm
4 cm

(a) Wakilkan setiap yang berikut dalam bentuk a : b : c.
(i) Panjang sisi segi empat sama A kepada panjang sisi segi empat sama B

kepada panjang sisi segi empat sama C.
(ii) Perimeter segi empat sama A kepada perimeter segi empat sama B kepada

perimeter segi empat sama C.
(iii) Luas segi empat sama A kepada luas segi empat sama B kepada luas segi

empat sama C.
(b) Tulis nisbah setara berdasarkan jawapan anda di (a).
(c) Apakah hubungan antara nombor dalam nisbah luas dengan nombor dalam

nisbah panjang sisi?

04 Text book Mate Tg1.indd   79 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
80

B
A
B

4

2. Di sebuah bengkel kereta, seorang mekanik menggunakan bicu dengan daya
120 paun untuk mengangkat sebuah kereta berjisim 1 350 kg. Nyatakan nisbah jisim
kereta kepada daya yang diperlukan untuk mengangkat kereta. Ungkapkan nisbah itu
dalam bentuk termudah. (1 paun = 0.45 kg)

3. Jadual di bawah menunjukkan bilangan murid lelaki dan murid perempuan dalam
tiga buah kelas tingkatan 1.

Murid Kelas 1 Amanah Kelas 1 Bestari Kelas 1 Cekap
Lelaki 12 9 9
Perempuan 16 20 12

(a) Kelas apakah yang mempunyai nisbah bilangan murid perempuan kepada
bilangan murid lelaki yang sama?

(b) Tulis nisbah bilangan murid perempuan kelas 1 Amanah kepada kelas 1 Bestari
kepada kelas 1 Cekap dalam bentuk a : b : c.

(c) Semasa waktu pelajaran Pendidikan Jasmani dan Pendidikan Kesihatan, kelas
1 Amanah dan kelas 1 Bestari digabungkan bersama. Cari nisbah bilangan murid
perempuan kepada bilangan murid lelaki bagi gabungan kelas itu. Ungkapkan
jawapan dalam bentuk termudah.

4. Kenal pasti dan tentukan nisbah setara yang mungkin bagi setiap yang berikut.

setara dengan 1 : 5 4 : 9 : 2 37 : 74 6 : 1 0.3 : 1.2 : 0.5as as as as

5. Kenal pasti dan tentukan nisbah setara bagi bahagian berlorek dalam setiap rajah
yang berikut.
(a)

(b)

6. Seorang pekebun menyediakan medium semaian dengan 3 bahagian tanah loam,
2 bahagian tanah organik dan 1 bahagian pasir sungai. Kenal pasti dan tentukan dua
nisbah setara yang mungkin untuk medium semaian ini.

04 Text book Mate Tg1.indd   80 10/18/16   3:19 PM
81
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

4.2 Kadar

Apakah hubungan antara nisbah dan kadar?

1
Kendiri

Tujuan : Menentukan hubungan antara nisbah dan kadar.
Arahan : Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail nisbah dan kadar.pdf dan cetak fail itu.

2. Nyatakan nisbah dua kuantiti bagi ukuran yang terlibat dalam setiap situasi
yang diberi.

3. Nyatakan kuantiti yang terlibat dan juga unit ukuran bagi kuantiti itu.

Situasi
Nisbah dalam

bentuk a
b

Kuantiti yang
terlibat Unit ukuran

Sebuah kereta bergerak sejauh
285 km dalam tempoh 3 jam

285 km
3 jam Jarak dan masa km dan jam

Sebatang pokok tumbuh 24 cm
dalam tempoh 4 bulan.

Jisim bayi bertambah 1.3 kg
dalam tempoh 60 hari.

Denyutan nadi Karim ialah 75
kali seminit.

Daya yang bertindak ke atas
luas permukaan seluas 1 meter
persegi ialah 2 Newton.

Dalam Aktiviti Penerokaan 1, kita membandingkan
dua kuantiti yang berbeza unit. Misalnya, dalam nisbah
285 km
3 jam

, kita membandingkan jarak yang dilalui dalam

km dengan masa yang diambil dalam jam. Nisbah
285 km
3 jam

dikenali sebagai kadar. Kadar menunjukkan

dua kuantiti yang berbeza unit berhubung antara satu
sama lain.

PEMBELAJARAN

Menentukan	hubungan
antara	nisbah	dan	kadar.

TIP    BESTARI
Kadar	ialah	kes	khas
nisbah	yang	melibatkan
dua	kuantiti	yang
berbeza	unit.

Adakah	1.5	kg
3	kg

atau	1.5	kg
3	g

merupakan	kadar?	Bincangkan.

04 Text book Mate Tg1.indd   81 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
82

B
A
B

4

Contoh 5
Nyatakan kadar dan dua kuantiti (termasuk unit) bagi ukuran yang terlibat dalam setiap
situasi berikut.
(a) Fatin membeli 2 kg mangga dengan harga RM10.
(b) Sebuah kereta menggunakan 1 liter petrol untuk perjalanan sejauh 12 km.

(a) Kadar = RM10

2 kg
 Dua kuantiti yang terlibat ialah

jisim (kg) dan jumlah wang (RM).

(b) Kadar = 12 km
1 liter

Dua kuantiti yang terlibat ialah
jarak (km) dan isi padu (liter).

Menukar unit ukuran kadar
Dua buah gerai menjual tomato ceri yang
dihasilkan dari Tanah Tinggi Cameron.
Gerai manakah yang menjual tomato ceri
dengan harga yang lebih rendah?
Untuk membuat perbandingan kadar harga,
penukaran unit perlu dilakukan dahulu.

Gerai A Gerai B

Kadar harga tomato ceri di gerai B = RM8
500 g

= 8 × 2
500 × 2

= 16
1 000

1	000	g	=	1	kg

= RM16 per kg
Maka, harga tomato ceri di gerai A lebih rendah berbanding harga tomato ceri di gerai B.

Contoh 6
(a) Rajan menunggang basikal dengan laju 5 m/s. Tukarkan 5 m/s kepada km/j.
(b) Ketumpatan sejenis logam ialah 2 700 kg per m3.

Nyatakan ketumpatan logam ini dalam g per cm3.

(a) 5 m/s
 = 5 m

1 s

= 5 m ÷ 1 s

= 5
1 000

km ÷ 1
60 × 60  j

= 5
1 000  × 60 × 60

1
 = 18 km/j

(b) Ketumpatan

= 2 700 kg
1 m3

= 2 700 × 1 000
100 × 100 × 100

= 2.7 g/cm3
 = 2.7 g per cm3

Cuba	tukar	RM15	per	kg
kepada	RM	per	500	g	dan
bandingkan	kadar	harga.

1	kg	=	1	000	g

1	m3
=	1	m	×	1	m	×	1	m
=	100	cm	×	100	cm	×	100	cm

TIP    BESTARI
m/s	bermaksud	meter
per	saat.

04 Text book Mate Tg1.indd   82 10/18/16   3:19 PM
83
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

4.2a
1. Nyatakan kadar dan dua kuantiti (termasuk unit) yang terlibat dalam setiap situasi

yang berikut.
(a) Tambang kereta api untuk dua orang penumpang dewasa dari Johor Bahru ke

Kuala Lumpur ialah RM154.
(b) 20 liter air mengalir keluar dari sebuah tangki air setiap kali dipam.
(c) Yuran tuisyen Haruiri ialah RM240 untuk 4 mata pelajaran.
(d) Baja yang digunakan di sebuah kebun seluas 10 hektar ialah RM500.
(e) Gandar sebuah enjin berputar 600 putaran dalam 3 saat.

2. Jadual di sebelah menunjukkan kelajuan dua objek, A
dan B. Tukarkan unit ukuran untuk menentukan objek
yang bergerak dengan lebih laju.

3. Jisim per unit luas sejenis kepingan logam ialah 3 kg per m2. Nyatakan kadar itu
dalam g per 100 cm2.

4. Sebuah ladang kelapa sawit menggunakan baja pada kadar 350 kg per hektar.
Nyatakan kadar penggunaan baja itu dalam g per m2. [1 hektar = 10 000 m2]

4.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi  Mahir Diri 4.2.

1. Seketul aluminium yang berisi padu 5 cm3 mempunyai jisim 13. 5 g. Cari ketumpatan
aluminium itu dalam g per cm3.

2. Orang utan Jisim semasa lahir (kg) Jisim selepas 60 hari (kg)
Borneo 0. 3 6. 3

Sumatera 0.7 7.7

(a) Berdasarkan maklumat dalam jadual di atas, jelaskan
(i) nisbah jisim semasa lahir kepada jisim selepas 60 hari bagi kedua-dua

spesies orang utan,
(ii) kadar pertumbuhan kedua-dua spesies orang utan itu dalam kg per 60 hari.

(b) Nyatakan dua kuantiti yang terlibat dalam kadar yang diperoleh dalam (a)(ii).

3. Halim ingin membeli susu kotak. Susu kotak itu dijual dalam tiga jenis bungkusan
yang berlainan seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.
(a) Tulis kadar harga bagi setiap susu kotak itu.
(b) Tentukan harga per liter bagi susu kotak

500 ml.
(c) Susu kotak yang manakah ditawarkan

dengan harga yang paling menjimatkan?
Justifikasikan jawapan anda.

Susu

1 l1 l

RM7.50RM4.00RM2.25

Susu

250 ml250 ml

Susu

500 ml500 ml

Objek Laju
A 25 m per saat
B 8 km per jam

04 Text book Mate Tg1.indd   83 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
84

B
A
B

4

4.3 Kadaran

Apakah hubungan antara nisbah dan kadaran?

Berpasangan2
Tujuan : Menentukan hubungan antara nisbah dan kadaran.
Arahan : Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.

1. Pilih satu halaman daripada buku novel untuk disalin. Masa yang ditetapkan
untuk menyalin ialah 5 minit.

2. Rakan anda bertindak sebagai penjaga masa untuk memberitahu masa mula
dan masa tamat menyalin.

3. Salin pada kadar yang selesa untuk meminimumkan kesilapan ejaan.
4. Berhenti menyalin apabila tempoh masa tamat. Buat tanda di mana anda

berhenti menyalin.
5. Hitung bilangan perkataan yang disalin dalam masa 5 minit.
6. Anda dan rakan anda saling tukar peranan dan ulang Langkah 1 hingga 5.

Gunakan halaman yang sama semasa menyalin.
7. Salin dan catatkan dapatan anda di dalam jadual seperti yang berikut.

Nama murid

Bilangan perkataan

Masa (minit) 5 5

8. Berdasarkan keputusan dalam jadual, jawab soalan yang berikut.
(a) Apakah kadar menyalin dalam masa 5 minit bagi anda dan rakan anda?
(b) Tukarkan kadar menyalin dalam masa 5 minit kepada bilangan perkataan

per minit.
(c) Jika anda berdua terus menyalin pada kadar yang sama, berapakah

perkataan yang dapat disalin bagi setiap orang dalam masa 1 jam?

Dalam Aktiviti Penerokaan 2, anda telah menggunakan
kadaran untuk mencari bilangan perkataan yang disalin
dalam masa 1 jam.
Misalnya,

× 12

45 perkataan
5 minit  = 540 perkataan

60 minit

× 12
 Kadaran ialah suatu hubungan yang menyatakan kesamaan antara dua nisbah atau
dua kadar. Kadaran boleh diungkapkan dalam bentuk pecahan.

PEMBELAJARAN

Menentukan
hubungan	antara
nisbah	dan	kadaran.

Berdasarkan	Aktiviti
Penerokaan	2,	bincangkan
persamaan	dan	perbezaan
antara	nisbah,	kadar	dan
kadaran.	Berikan	contoh
bagi	setiap	satunya.

04 Text book Mate Tg1.indd   84 10/18/16   3:19 PM
85
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

Contoh 7
Tulis satu kadaran bagi setiap situasi yang berikut.
(a) Jika 10 biji kacang mempunyai jisim 17 g,

maka 30 biji kacang mempunyai jisim 51 g.
(b) Jelajah lumba basikal Le Tour De Langkawi

bermula di Kedah dan berakhir di Melaka
meliputi jarak sejauh 1 180 km. Jarak ini ialah
23.6 cm pada sebuah peta dengan keadaan
1 cm mewakili 50 km.

(a) 17 g

10 biji
 = 51 g

30 biji
 (b) 50 km

1 cm  = 1 180 km
23.6 cm

4.3a
1. Tulis satu kadaran bagi setiap situasi yang berikut.

(a) Jika 3 biji bola berharga RM5, maka 12 biji bola itu berharga RM20.
(b) Tinggi 4 blok kayu yang disusun menegak ialah 24 cm. Apabila Raju menyusun

13 blok kayu menegak, tinggi susunan blok ialah 78 cm.
(c) Terdapat 13 orang murid lelaki dan 15 orang murid perempuan dalam setiap

kelas di Tadika Ria. Jika terdapat 65 orang murid lelaki di Tadika Ria, maka
terdapat 75 orang murid perempuan.

Bagaimanakah anda menentukan nilai yang
tidak diketahui dalam suatu kadaran?

Contoh 8
Kos tenaga elektrik ialah 43.6 sen bagi 2 kilowatt-jam (kWj).
Berapakah kos untuk penggunaan elektrik sebanyak 30 kWj?

Kaedah unitari
Kos tenaga elektrik bagi 2 kWj
= 43.6 sen

Kos tenaga elektrik bagi 1 kWj

= 43.6 sen
2

= 21.8 sen

Kos tenaga elektrik bagi 30 kWj
= 30 × 21.8
= 654 sen

Kaedah kadaran
Katakan kos tenaga elektrik bagi 30 kWj
ialah x sen.
Maka,

× 15

43.6 sen
2 kWj

= x sen
30 kWj

× 15

x = 43.6 × 15
  = 654

PEMBELAJARAN

Menentukan	nilai	yang
tidak	diketahui	dalam
suatu	kadaran.

04 Text book Mate Tg1.indd   85 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
86

B
A
B

4

Kaedah pendaraban silang
Katakan kos tenaga elektrik bagi 30 kWj ialah x sen.

Maka, 43.6
2

=  x
30

2 × x =  43.6 × 30
 x =  43.6 × 30

2

=  654
Maka, kos penggunaan tenaga elektrik bagi 30 kWj ialah RM6. 54.

4.3b
1. Terdapat 200 orang pemain dalam 8 pasukan ragbi yang menyertai suatu karnival

sukan. Tentukan bilangan pemain dalam 2 pasukan jika setiap pasukan mempunyai
bilangan pemain yang sama.

2. Dalam Ujian SEGAK semasa waktu Pendidikan Jasmani, Amir boleh melakukan
senaman tekan tubi sebanyak 60 kali dalam masa 3 minit. Berapa kali tekan tubi yang
boleh dilakukan oleh Amir dalam masa 5 minit? (Andaikan Amir boleh melakukan
senaman tekan tubi pada kadar yang sama.)

3. Seorang peladang menanam tiga pokok cili per 0. 5 m2. Berapakah pokok cili yang
boleh ditanam oleh peladang itu dalam suatu kawasan seluas 85 m2?

4.3
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 4.3.

1. Tulis satu kadaran bagi setiap situasi yang berikut. Wakilkan maklumat yang hendak
dicari dengan menggunakan pemboleh ubah yang sesuai.
(a) Puan Jamilah menggunakan 175 ml minyak zaitun dan 50 ml cuka untuk

membuat bahan perapan. Berapakah isi padu cuka yang diperlukan jika Puan
Jamilah menggunakan 300 ml minyak zaitun untuk membuat bahan tersebut?

(b) Seorang ahli meteorologi menggunakan tolok hujan
untuk menyukat jumlah air hujan di sebuah bandar.
Dia mendapati jumlah hujan yang turun di bandar itu
ialah 7. 8 mm dalam masa 3 jam. Jika hujan turun pada
kadar yang sama, berapa lama hujan akan turun untuk
mencapai 11.7 mm?

2. Gear merupakan mesin ringkas yang terdiri daripada roda bergigi. Apabila gear yang
bersaiz besar berputar 4 kali, gear yang bersaiz kecil berputar 18 kali. Berapa kali
gear yang bersaiz besar akan berputar jika gear yang bersaiz kecil berputar 54 kali?

3. Seorang tukang kebun mengambil masa setengah jam untuk memotong rumput dan
membuang rumpai di halaman sebuah rumah yang berukuran 20 m × 15 m. Tukang
kebun itu diberi upah RM30 per jam. Berapakah upah yang diterimanya jika dia
membersihkan halaman sebuah rumah yang berukuran 40 m × 30 m?

TIP    BESTARI

Jika	 a
b
	=	 c

d
	,	maka

a	×	d	=	b	×	c.

04 Text book Mate Tg1.indd   86 10/18/16   3:19 PM
87
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

4.4 Nisbah, Kadar dan Kadaran

Bagaimanakah anda menentukan nisbah tiga
kuantiti apabila dua atau lebih nisbah dua
kuantiti diberi?

Contoh 9
Jika p : q = 7 : 3 dan q : r = 3 : 5, cari nisbah p : q : r.

p : q = 7 :  3 q : r =  3  : 5

sama
Maka, p : q : r = 7 : 3 : 5.

Contoh 10
Di sudut bacaan Kelas 1 Jujur, nisbah bilangan buku cerita kepada bilangan buku rujukan
ialah 2 : 5. Nisbah bilangan buku rujukan kepada bilangan majalah ialah 3 : 2. Cari
nisbah bilangan buku cerita kepada bilangan buku rujukan kepada bilangan majalah.

Katakan x = bilangan buku cerita
 y = bilangan buku rujukan
 z = bilangan majalah

x : y = 2 : 5 y : z = 3 : 2
 = 2 × 3  : 5 × 3   = 3 × 5  : 2 × 5

= 6 : 15  = 15 : 10

sama

Maka, x : y : z = 6 : 15 : 10, iaitu nisbah bilangan buku cerita
kepada bilangan buku rujukan kepada bilangan majalah ialah
6 : 15 : 10.

4.4a

1. Jika p : q = 2 : 9 dan q : r = 9 : 7, cari nisbah p : q : r.

2. Sejumlah wang derma dibahagikan kepada tiga buah rumah amal P, Q dan R. Nisbah
wang derma yang diterima oleh rumah amal P kepada rumah amal Q ialah 2 : 3.
Nisbah wang derma yang diterima oleh rumah amal Q kepada rumah amal R ialah
4 : 1. Cari nisbah wang derma yang diterima oleh rumah amal P kepada rumah amal
Q kepada rumah amal R.

PEMBELAJARAN

Menentukan	nisbah
tiga	kuantiti	apabila
dua	atau	lebih	nisbah
dua	kuantiti	diberi.

Tukarkan	nilai	y	dalam
kedua-dua	nisbah
kepada	satu	nombor
yang	sama	dengan
menentukan	GSTK
bagi	5	dan	3.

04 Text book Mate Tg1.indd   87 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
88

B
A
B

4

Bagaimanakah anda menentukan nisbah atau
nilai yang berkaitan?

Contoh 11
Ibu Nurin mencuba resipi membuat roti dengan mencampurkan
tepung dan air. Nisbah tepung kepada air ialah 5 : 3. Sekiranya
Ibu Nurin ada 480 g tepung, berapakah jisim air, dalam g,
yang diperlukannya?

Kaedah unitari
 Tepung : Air
 5 : 3
 480 g :

5 bahagian tepung = 480 g

1 bahagian tepung = 480
5

= 96 g

Jisim air yang diperlukan = 3 × 96 g
 = 288 g

Kaedah pendaraban silang
Katakan m = jisim air yang diperlukan
  Tepung : Air
  5 : 3
  480 g : m  g

Maka, m
3

=  480
5

5 × m =  3 × 480

m =  3 × 480
5

=  288

Contoh 12
Dalam suatu projek membina bangsal basikal murid di sebuah sekolah, nisbah wang yang
didermakan oleh pengusaha kantin sekolah, Syarikat Buku Jaya dan PIBG ialah 2 : 6 : 5.
Jika PIBG menderma RM900, berapakah wang yang diderma oleh pengusaha kantin
sekolah dan Syarikat Buku Jaya?

Kaedah unitari
 Pengusaha kantin sekolah : Syarikat Buku Jaya : PIBG
 2 : 6 : 5
  :  : RM900

5 bahagian = RM900
 1 bahagian = 900

5
  = RM180
Pengusaha kantin sekolah
menderma 2 bahagian.
Wang yang diderma = 2 × RM180
 = RM360

Syarikat Buku Jaya
menderma 6 bahagian.
Wang yang diderma = 6 × RM180
 = RM1 080

Cuba Ini  Gunakan kaedah pendaraban silang untuk menyelesaikan Contoh 12.

PEMBELAJARAN

Menentukan	nisbah
atau	nilai	yang	berkaitan
apabila	diberi
(i)	 nisbah	dua	kuantiti

dan	nilai	satu	kuantiti.
(ii)	 nisbah	tiga	kuantiti

dan	nilai	satu	kuantiti.

04 Text book Mate Tg1.indd   88 10/18/16   3:19 PM
89
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

Contoh 13

P Q R

2 cm

S

Seutas dawai dengan panjang 12 cm dibahagikan kepada tiga bahagian. Diberi bahawa
PQ : QR = 3 : 2 dan RS = 2 cm. Tentukan PQ : QR : RS.

PR = 12 – 2
 = 10 cm

Jumlah nisbah PQ dan QR = 3 + 2
 = 5
5 bahagian  = 10 cm
1 bahagian = 10

5
 = 2 cm

PQ = 3 × 2 cm
 = 6 cm
QR = 2 × 2 cm
 = 4 cm

Maka, PQ : QR : RS = 6 : 4 : 2
 = 3 : 2 : 1

4.4b
1. Nisbah harga sehelai baju kebaya kepada harga sehelai baju kurung ialah 7 : 4. Jika

harga baju kebaya itu ialah RM84, cari harga baju kurung.
2. Nisbah jisim Encik Arif kepada jisim anaknya ialah 3 : 2. Jika jisim anaknya ialah

42 kg, cari jisim Encik Arif.
3. Zanariah, Rusita dan Hanifah berkongsi membayar kos hadiah hari jadi ibu mereka

mengikut nisbah 5 : 3 : 2. Hanifah membayar RM50 untuk hadiah itu. Hitung jumlah
wang yang dibayar oleh Zanariah dan Rusita.

4. Kadir, Chandran dan Ping Wei menyertai suatu kuiz Sains. Bilangan soalan yang
dijawab oleh mereka mengikut nisbah 4 : 6 : 3. Chandran telah menjawab 30 soalan.
Hitung jumlah soalan yang dijawab oleh Kadir dan Ping Wei.

5. 42 orang murid Kelas 1 Dedikasi telah mendaftar sebagai ahli Kelab Komputer,
Kelab Robotik dan Kelab Taekwondo. Setiap murid dibenarkan mendaftar hanya
satu kelab. Didapati bilangan murid yang mendaftar sebagai ahli Kelab Robotik ialah
satu per tiga daripada bilangan murid yang mendaftar sebagai ahli Kelab Komputer
dan bilangan murid yang mendaftar sebagai ahli Kelab Taekwondo ialah 14 orang.
Tentukan nisbah bilangan ahli Kelab Komputer kepada bilangan ahli Kelab Robotik
kepada bilangan ahli Kelab Taekwondo.

04 Text book Mate Tg1.indd   89 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
90

B
A
B

4

Bagaimanakah anda menentukan nilai
yang berkaitan dengan suatu kadar?

Contoh 14

Encik Tan melakukan ujian larian pada mesin treadmill. Dia berlari pada kadar yang
sama dan keputusan ujian menunjukkan jantungnya berdenyut 420 kali dalam masa
4 minit. Cari bilangan denyutan jantung jika dia melakukan ujian tersebut selama 12 minit.

Kadar denyutan jantung = 420 kali

4 minit
Katakan bilangan denyutan jantung ialah x kali dalam masa 12 minit.
Kaedah kadaran

420 kali
4 minit

= x kali
12 minit

× 3

420 kali
4 minit  = x kali

12 minit

× 3
 x = 1 260

Kaedah pendaraban silang

420
4

= x
12

4 × x = 420 × 12

x = 420 × 12
4

x = 1 260

Bilangan denyutan jantung Encik Tan ialah 1 260 kali dalam masa 12 minit.

Cuba Ini  Gunakan kaedah unitari untuk menyelesaikan Contoh 14.

ahukahT A nda
Dalam	situasi	sebenar,	kadar	denyutan	jantung	per	minit	adalah	tidak	tetap.	Ini	adalah	kerana	kadar
denyutan	jantung	berubah	mengikut	keadaan	seseorang	pada	masa	yang	berlainan.

4.4c
1. Seseorang yang melakukan senaman berjalan dapat membakar 2.9 kalori tenaga per

minit. Berapakah kalori tenaga yang akan dibakar jika dia berjalan 20 minit?
2. Enam kotak jus limau dijual pada harga RM12.25. Tentukan harga bagi 24 kotak jus

limau yang sama.
3. Anis menggunakan 8 cawan tepung untuk membuat 60 keping biskut susu mentega

pada hari Isnin. Pada hari Selasa, Anis ingin membuat 15 keping biskut. Jika kadar
penggunaan tepung tidak berubah, berapa cawan tepung yang perlu digunakannya?

4. Andaikan kadar pertukaran mata wang asing ialah USD1 bersamaan dengan RM3.90.
Pada kadar ini, Ahmad memberi RM200 kepada pengurup mata wang asing. Pengurup
kemudiannya mengembalikan RM5 bersama mata wang USD. Berapakah USD yang
diterima oleh Ahmad?

PEMBELAJARAN

Menentukan	nilai	yang	berkaitan
dengan	suatu	kadar.

04 Text book Mate Tg1.indd   90 10/18/16   3:19 PM
91
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Contoh 15
Seorang pekebun sayur menggunakan kaedah tangkap, tanda,
lepas dan tangkap semula untuk menganggarkan populasi
siput di dalam kebun sayurnya. Dia menangkap 24 ekor
siput dan menandakan cangkerang setiap siput itu. Pekebun
sayur kemudian melepaskan siput ke dalam kebun sayurnya
semula. Selepas dua minggu, dia menangkap secara rawak
30 ekor siput dan mendapati 5 ekor mempunyai cangkerang
yang bertanda. Dia menggunakan kadaran berikut untuk
menganggarkan populasi siput di dalam kebun sayurnya.

Bilangan siput yang bertanda
Bilangan siput yang ditangkap semula

= Bilangan siput yang ditangkap dan ditanda
Populasi siput di dalam kebun sayur

Anggarkan populasi siput di dalam kebun sayur.

Katakan populasi siput di dalam kebun sayur = x

Bilangan siput yang bertanda
Bilangan siput yang ditangkap semula = Bilangan siput yang ditangkap dan ditanda

Populasi siput di dalam kebun sayur

5
30

= 24
x

1

6

5
30

= 24
x

× 24

1
6

= 24
x

× 24

x = 6 × 24
  = 144

Pekebun sayur itu menganggarkan terdapat 144 ekor siput di dalam kebun sayurnya.

ahukahT A nda
Dengan	mengetahui	populasi	haiwan	perosak	di	suatu	habitat	tertentu,	ahli	sains	boleh
menganggarkan	penggunaan	racun	perosak	yang	paling	optimum	supaya	keseimbangan
alam	dapat	dikekalkan	tanpa	mengganggu	kemandirian	spesies	organisma	yang	lain.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan
nisbah,	kadar	dan
kadaran,	termasuk
membuat	anggaran.

Bagaimanakah	anda
mencari	nilai	x	dengan
tidak	menukar	 5

30
	dalam

bentuk	termudah?

04 Text book Mate Tg1.indd   91 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
92

B
A
B

4

4.4d
1. Jadual di bawah menunjukkan keputusan kajian yang dijalankan untuk menganggarkan

populasi sejenis ikan air tawar yang hidup di sebuah tasik.

Tangkapan
Bilangan ikan yang ditangkap

Bertanda Tidak bertanda
Pertama 60
Kedua (Selepas seminggu) 5 20

Anggarkan populasi ikan air tawar yang hidup di tasik itu.
2. Satu pasukan bola sepak bermain 28 perlawanan dan memenangi 4 perlawanan

daripada setiap 7 perlawanan yang ditandingi. Tiada perlawanan yang berakhir
dengan keputusan seri.
(a) Berapa kalikah pasukan bola sepak ini mengalami kekalahan?
(b) Hitung nisbah menang-kalah pasukan bola sepak ini.
(c) Jika trend ini berlanjutan, anggarkan bilangan kekalahan yang akan dialami

pasukan bola sepak ini setelah mereka menang 20 perlawanan.

4.4
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 4.4.

1. Pasukan pengakap mengadakan kem tahunan. Setiap 12 orang di bawah penyeliaan
seorang guru pengiring. Jika 90 orang pengakap menyertai kem tahunan itu, berapakah
bilangan minimum guru pengiring yang terlibat?

2. Akmal, Bakri dan Cadin berkongsi membiayai kos perubatan ibu mereka sejumlah
RM4 200. Cadin membayar RM2 100 manakala kos pembiayaan Akmal ialah tiga per
empat daripada kos pembiayaan Bakri. Cari nisbah pembiayaan Akmal kepada Bakri
kepada Cadin.

3. Jadual di sebelah menunjukkan harga bagi
empat jenis ikan. Siti ingin membeli dua
jenis ikan berjisim 1 kg bagi setiap jenis
dengan jumlah harga kurang daripada RM20.
Apakah kombinasi dua jenis ikan yang boleh
dibeli oleh Siti? Tunjukkan pengiraan anda.

Jenis ikan Harga
Bawal RM1.50 per 100 g
Cencaru RM3.20 per 500 g
Selar RM2.70 per 300 g
Kembung RM5.40 per 400 g

4. Graf di sebelah menunjukkan kadar pertumbuhan
bakteria A dan bakteria B dalam satu kultur.
(a) Bakteria manakah menunjukkan kadar

pertumbuhan yang lebih tinggi dalam
1 minit yang pertama? Nyatakan kadar
pertumbuhannya.

(b) Dalam masa 4 minit, berapakah beza bilangan
sel antara bakteria A dengan bakteria B?

(c) Anggarkan masa apabila kedua-dua jenis
bakteria itu mempunyai bilangan yang sama. 1 2 3 40

5

10 Bakteria B

Bakteria A

Masa (minit)

Bi
la

ng
an

se
l (

×
10

ju
ta

)

04 Text book Mate Tg1.indd   92 10/18/16   3:19 PM
93
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

5. Satu beg baja berjisim 30 kg dilabel 15-20-10. Susunan nombor ini bermakna
kandungan baja ini terdiri daripada 15% nitrogen, 20% fosforus dan 10% kalium
mengikut jisim. Baki 55% ialah mikronutrien dan pengisi yang lain.
(a) Cari nisbah nitrogen kepada fosforus kepada kalium.
(b) Hitung jisim, dalam kg, bagi kandungan nitrogen, fosforus dan kalium di dalam

beg itu.

4.5 Perkaitan antara Nisbah, Kadar dan Kadaran dengan
Peratusan, Pecahan dan Perpuluhan

Apakah hubungan antara peratusan dan nisbah?

Peratusan	ialah	pecahan	dengan	penyebut	100.

3
Kendiri

Tujuan : Menentukan hubungan antara peratusan dengan nisbah.

1. Salin dan lengkapkan jadual yang berikut.

A B C

Rajah

Nisbah bilangan segi
empat sama yang

berlorek kepada bilangan
segi empat sama yang

tidak berlorek

Peratusan segi empat
sama yang berlorek

Peratusan segi empat
sama yang tidak

berlorek

A

B

C

2. Berdasarkan keputusan dalam jadual di atas, bincangkan hubungan antara
peratusan dan nisbah.

PEMBELAJARAN

Menentukan	hubungan
antara	peratusan
dan	nisbah.

04 Text book Mate Tg1.indd   93 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
94

B
A
B

4

Daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa peratusan
ialah nisbah yang menghuraikan bahagian daripada 100.

Misalnya, 20% = 20
100

Rajah	 di	 sebelah	 menunjukkan	 10	 biji	 guli.
Apakah	 yang	 diwakili	 oleh	 nisbah	 3	 :	 7	 dalam
rajah	itu?
Apakah	peratusan	guli	hitam	dalam	rajah?

Contoh 16

Di dalam sebuah kelas, nisbah bilangan murid perempuan kepada bilangan murid lelaki
ialah 3 : 2. Cari peratusan murid perempuan di dalam kelas itu.

Nisbah bilangan murid perempuan kepada jumlah murid = 3 : 5
 = 3

5

3
5

= 3 × 20
5 × 20

Tukar	kepada
pecahan	dengan
penyebut	100.

= 60
100

Maka, peratusan murid perempuan di dalam kelas itu
ialah 60%.

Contoh 17

Zakaria ialah seorang murid yang berjimat cermat. Dia menyimpan 30% daripada wang
saku yang diterimanya setiap hari. Cari nisbah wang simpanan harian kepada jumlah
wang saku harian yang diterimanya.

Peratusan wang simpanan harian = 30%
 = 30

100
Nisbah wang simpanan harian kepada jumlah wang saku harian = 30 : 100
 = 3 : 10

‘Peratusan’
bermakna
‘per	100’.

ahukahT A nda
Nisbah	yang
membandingkan
bilangan	bahagian
daripada	100	bahagian
boleh	diungkapkan
dalam	bentuk
pecahan,	perpuluhan
dan	peratusan.

Peratusan	murid	perempuan

=	 3
5
	×	100%

=	60%

Kaedah Alternatif

04 Text book Mate Tg1.indd   94 10/18/16   3:19 PM
95
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

4.5a

1. Di dalam sebuah kelas, nisbah bilangan murid yang bercermin mata kepada bilangan
murid yang tidak bercermin mata ialah 1 : 3. Cari peratusan murid yang tidak
bercermin mata di dalam kelas itu.

2. Diketahui bahawa 35% daripada sebuah cakera keras komputer telah diisi dengan
data. Cari nisbah kapasiti yang telah diisi dengan data kepada kapasiti yang belum
diisi dengan data.

Bagaimanakah anda menentukan peratusan suatu kuantiti dengan
konsep kadaran?

Kadaran	ialah	suatu	hubungan	yang	menyatakan	kesamaan	antara
dua	nisbah.

Contoh 18

Tentukan peratusan setiap kuantiti yang berikut dengan mengaplikasikan konsep kadaran.
(a) Sebuah kotak mempunyai 8 utas reben. Dua daripadanya berwarna biru. Apakah

peratusan reben biru di dalam kotak itu?
(b) Puan Jorana mempunyai RM300. Dia membelanjakan RM15 untuk tambang

pengangkutan. Apakah peratusan wang yang dibelanjakannya?

(a) Katakan peratusan reben biru di dalam kotak ialah x.

x
100

=  Bilangan reben biru
Jumlah reben

Tulis	satu	kadaran.

x
100

= 2
8

8 × x =  2 × 100

x =  2 × 100
8

=  25

Maka, 25% daripada reben di dalam kotak itu berwarna biru.

PEMBELAJARAN

Menentukan	peratusan
suatu	kuantiti	dengan
mengaplikasikan
konsep	kadaran.

04 Text book Mate Tg1.indd   95 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
96

B
A
B

4

(b) Katakan peratusan wang yang dibelanjakan ialah y.

Wang yang dibelanjakan
Jumlah wang

= y
100

÷ 3

15
300

= y
100

÷ 3

y = 5

Puan Jorana membelanjakan 5% daripada jumlah wangnya.

Contoh 19
Dalam satu karnival jualan, Encik Rosli memilih sehelai kemeja dari satu rak yang
mempamerkan tanda harga ‘Potongan 45%’. Harga asal kemeja itu ialah RM85.
Apabila Encik Rosli mengimbas kod harga kemeja itu, pengimbas menunjukkan harga
RM57. 80. Dengan mengaplikasikan konsep kadaran, tentukan sama ada peratusan
diskaun ini sepadan dengan peratusan potongan yang dipamerkan? Berikan penjelasan
bagi jawapan anda.

Katakan p ialah peratusan diskaun daripada harga asal.

Maka, p
100

=  Harga jualan
Harga asal

p
100

=  57. 80
85. 00

85p =  5 780

p =  5 780
85

=  68

Harga jualan ialah 68% daripada harga asal.

Peratusan diskaun yang diperoleh = 100% – 68%
 = 32%

Peratusan diskaun yang diperoleh Encik Rosli kurang daripada peratusan potongan yang
dipamerkan pada tanda harga.

04 Text book Mate Tg1.indd   96 10/18/16   3:19 PM
97
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

4.5b
1. Tentukan peratusan kuantiti berikut dengan mengaplikasikan konsep kadaran.

(a) 14 daripada 56 orang murid menyiapkan kerja rumah mereka dalam masa
1 jam. Apakah peratusan murid yang menyiapkan kerja rumah mereka dalam
masa 1 jam?

(b) Sebuah kelas mempunyai 45 orang murid. 18 orang daripadanya ialah murid
perempuan. Apakah peratusan murid perempuan di dalam kelas itu?

(c) Burung kolibri lebah ialah burung yang paling kecil di dunia. Jisimnya boleh
sekecil 2 g. Burung unta ialah burung yang terbesar di dunia dan jisimnya boleh
mencapai sehingga 150 kg. Apakah peratusan jisim burung kolibri lebah ialah
jisim burung unta?

2. Sebuah gedung kasut mengadakan promosi jualan sempena cuti sekolah. Sepasang
kasut yang harga asalnya RM45 dijual dengan diskaun 25%. Dengan mengaplikasikan
konsep kadaran, tentukan jumlah wang yang dapat dijimatkan oleh seorang pengguna
apabila dia membeli kasut ini ketika promosi jualan.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Jadual yang berikut menunjukkan kadar sewa bulanan dan
wang pendahuluan penyewaan bilik pangsapuri di Taman
Bukit Damai.

Jenis pangsapuri Dua bilik Tiga bilik

Kadar sewa
(RM per bulan) 450 550

Wang pendahuluan 1 bulan sewa 2 bulan sewa

(a) Ben dan Farid masing-masing menyewa pangsapuri dua bilik dan pangsapuri tiga
bilik. Cari nisbah jumlah bayaran awal Ben kepada jumlah bayaran awal Farid.

(b) Gaji bulanan Ben dan Farid masing-masing ialah RM3 750 dan RM5 000. Dengan
mengaplikasikan konsep kadaran, tentukan peratusan perbelanjaan sewa daripada
gaji bulanan bagi setiap orang.

(a) Jumlah bayaran awal Ben = 450 + 450
  = RM900
 Jumlah bayaran awal Farid = 550 + (2 × 550)
  = RM1 650
 Nisbah jumlah bayaran awal Ben kepada Farid = 900 : 1 650
  = 6 : 11

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan
perkaitan	antara	nisbah,
kadar	dan	kadaran
dengan	peratusan,
pecahan	dan	perpuluhan.

04 Text book Mate Tg1.indd   97 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
98

B
A
B

4

(b) Katakan x ialah peratusan perbelanjaan sewa Ben daripada
gaji bulanan.

x
100

= 450
3 750

x = 450
3 750

× 100

= 12

Ben membelanjakan 12% daripada gaji bulanannya untuk
bayaran sewa.

Katakan y ialah peratusan perbelanjaan sewa Farid daripada gaji bulanan.

y
100

= 550
5 000

y = 550
5 000

× 100

= 11

Farid membelanjakan 11% daripada gaji bulanannya untuk bayaran sewa.

4.5c

1. Terdapat 40 orang penumpang di dalam sebuah bas. Di perhentian bas yang
berikutnya, 8 orang penumpang turun dan 18 orang penumpang menaiki bas itu.
(a) Tentukan peratusan penumpang yang turun bas berbanding dengan jumlah

penumpang asal dengan mengaplikasikan konsep kadaran.
(b) Apakah nisbah penumpang yang menaiki bas di perhentian bas berbanding

dengan jumlah baharu penumpang di dalam bas?

4.5
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi  Mahir Diri 4.5.

1. Di dalam sebuah bakul, nisbah bilangan epal merah kepada bilangan epal hijau ialah
3 : 5.
(a) Tulis pecahan epal merah daripada jumlah epal. Seterusnya, ungkapkan pecahan

ini dalam perpuluhan.
(b) Apakah peratusan epal merah di dalam bakul itu?

Ahli	kimia
menggunakan	kadaran
untuk	menghitung
dengan	tepat	kuantiti
setiap	jenis	pewarna
yang	diperlukan	untuk
menghasilkan	warna
cat	yang	dikehendaki.

04 Text book Mate Tg1.indd   98 10/18/16   3:19 PM
99
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

2.

P

P�

Q� R�Q R

Asal Selepas dibesarkan

Karim menggunakan mesin fotostat untuk membesarkan rajah PQR sebanyak 150%.
(a) Tulis nisbah bagi panjang P9Q9 kepada panjang PQ.
(b) Adakah nisbah bagi panjang P9R9 kepada panjang PR sama dengan nisbah bagi

panjang P9Q9 kepada panjang PQ?
(c) Gunakan pengetahuan anda tentang nisbah dan peratusan untuk menerangkan

makna ‘membesarkan rajah PQR sebanyak 150%’.

3. Sebuah buku dengan harga RM25 dijual dengan diskaun 30% di sebuah kedai buku.
Jika buku yang sama dijual dalam talian dengan harga RM20, pembeli diberi diskaun
15%. Dengan mengaplikasikan konsep kadaran, tentukan pilihan yang lebih baik
untuk membeli buku itu. Justifikasikan pilihan anda.

Nisbah Kadar Kadaran

Membandingkan dua atau
tiga kuantiti dalam unit
yang sama.

Membandingkan dua
kuantiti yang diukur dalam
unit yang berlainan.

Hubungan yang
menyatakan kesamaan dua
nisbah atau dua kadar.

Ditulis dalam bentuk
a : b atau a : b : c.

Boleh diungkapkan dalam
bentuk pecahan dengan
melibatkan unit yang
berlainan.
Contoh:
Laju diukur dalam km/j.

Boleh diungkapkan dalam
bentuk pecahan.
Contoh:
a1
a2

=
b1

b2
Maka, a berkadaran b.

Boleh diungkapkan dalam
bentuk peratusan, pecahan
dan perpuluhan.

Tidak boleh diungkapkan
dalam peratusan.

Boleh diselesaikan dengan
kaedah unitari, kaedah
kadaran atau kaedah
pendaraban silang.

99
Nisbah, Kadar dan Kadaran

04 Text book Mate Tg1.indd   99 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
100

B
A
B

4

Sangat
baik

Berusaha
lagi

mewakilkan hubungan antara tiga kuantiti dalam bentuk a : b : c.

mengenal pasti dan menentukan nisbah setara dalam konteks berangka, geometri
atau situasi harian.

mengungkapkan nisbah dua dan tiga kuantiti dalam bentuk termudah.

menentukan hubungan antara nisbah dan kadar, hubungan antara nisbah
dan kadaran.

menentukan nilai yang tidak diketahui dalam suatu kadaran.

menentukan nisbah tiga kuantiti apabila dua atau lebih nisbah dua kuantiti diberi.

menentukan nisbah atau nilai yang berkaitan apabila diberi
(i) nisbah dua kuantiti dan nilai satu kuantiti.
(ii) nisbah tiga kuantiti dan nilai satu kuantiti.

menentukan nilai yang berkaitan dengan suatu kadar.

menyelesaikan masalah yang melibatkan nisbah, kadar dan kadaran, termasuk
membuat anggaran.

menentukan hubungan antara peratusan dan nisbah.

menentukan peratusan suatu kuantiti dengan mengaplikasikan konsep kadaran.

menyelesaikan masalah yang melibatkan perkaitan antara nisbah, kadar dan kadaran
dengan peratusan, pecahan dan perpuluhan.

1. Salin dan padankan pasangan nisbah setara yang berikut.

6 : 9 • • 1 : 15

6 : 90 • • 2 : 3

9 : 60 • • 3 : 20

04 Text book Mate Tg1.indd   100 10/18/16   3:19 PM
101
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

2.

Akuarium A Akuarium B

Akuarium A mengandungi 16 ekor ikan emas dan akuarium B mengandungi 20 ekor
ikan emas.
(a) Nyatakan nisbah bilangan ikan emas di dalam akuarium A kepada bilangan ikan

emas di dalam akuarium B.
(b) Sebilangan ikan perlu ditambahkan ke dalam setiap akuarium supaya nisbah

di (a) kekal. Cari bilangan minimum ikan yang perlu ditambah ke dalam setiap
akuarium itu.

3. Maklumat di bawah menunjukkan nisbah skor yang diperoleh Kumpulan P dan
Kumpulan Q dalam suatu pertandingan kuiz.

Nisbah skor Kumpulan P Nisbah skor Kumpulan Q
 Chong : Rahim : Hassan
 5 : 4 : 7

Nurin : Bala : Shanthy
 3 : 2 : 1

Jumlah skor yang diperoleh Kumpulan P ialah 144 manakala jumlah skor yang
diperoleh Kumpulan Q ialah 168.
(a) Cari skor yang diperoleh Rahim.
(b) Nyatakan nisbah skor yang diperoleh Hassan kepada skor yang diperoleh Bala.
(c) Siapakah yang memperoleh skor yang tertinggi? Berapakah skor tersebut?

4.

1.8 l
400 ml 950 ml

RM6.40 RM14.25 RM21.60

Anis pergi ke kedai runcit untuk membeli jus oren kegemarannya. Dia mendapati
jus oren itu dijual dalam isi padu dan harga yang berlainan. Jus oren yang manakah
ditawarkan dengan harga yang paling menjimatkan?

5. Puan Kavitha mempunyai sebuah kolah dengan panjang 120 cm, lebar 60 cm dan
tinggi 50 cm. Air dimasukkan ke dalam kolah dengan kadar 2.4 liter per minit. Jika
Puan Kavitha mula mengisi kolahnya pada jam 0630, pada jam berapakah kolah itu
akan dipenuhi dengan air? (1 l = 1 000 cm3)

04 Text book Mate Tg1.indd   101 10/18/16   3:19 PM
BAB 4
102

B
A
B

4

6. Atong menggunakan kadaran berikut untuk menganggarkan tinggi
sebatang pokok.

Tinggi pokok
Panjang bayang-bayang pokok = Tinggi murid

Panjang bayang-bayang murid

Tinggi Atong ialah 1.55 m dan dia mendapati bayang-bayangnya
ialah 0.93 m pada suatu petang. Anggarkan tinggi pokok itu jika
panjang bayang-bayang pokok itu ialah 6 m.

7. Jadual di bawah menunjukkan harga petrol RON 95 pada dua hari yang berlainan.

Tarikh 29 Februari 2016 6 Mac 2016
Harga petrol RON 95 RM1.75 per liter RM1.60 per liter

(a) Jika Lai Huat membelanjakan RM15 setiap kali mengisi petrol RON 95 untuk
motosikalnya, berapakah beza isi padu, dalam liter, petrol yang diisi pada 29
Februari 2016 berbanding dengan 6 Mac 2016?

(b) Lai Huat bercadang pindah ke rumah baharu pada 8 Mac 2016.
Sewa bulanan (RM) Jarak pergi dan balik (km)

Rumah semasa 300 24
Rumah baharu 340 18

Lai Huat mengisi petrol RON 95 untuk motosikalnya bagi perjalanan dari rumah
ke tempat kerjanya. Jika kadar penggunaan petrol motosikalnya ialah 20 km per
liter, patutkah Lai Huat pindah ke rumah baharu tersebut? Berikan alasan anda
dengan pengiraan. (Andaikan Lai Huat bekerja purata 20 hari sebulan.)

8. Jadual di bawah menunjukkan kadar bayaran letak kereta.

Kadar bayaran Isnin – Jumaat
(8:00 a.m. – 5:00 p.m.)

2 jam pertama atau sebahagiannya RM1.60
Setiap 1 jam yang berikutnya atau sebahagiannya RM1.00
Selepas 5:00 p.m. hingga 10:00 p.m. (sekali masuk) RM2.00
Kehilangan tiket RM20.00

(a) Puan Zaiton meletakkan keretanya dari jam 1030 hingga 1400 pada hari Rabu.
Berapakah yang perlu dibayar oleh Puan Zaiton?

(b) Pada hari Khamis, Encik Ong meletakkan kereta pada jam 0800. Semasa Encik
Ong mengambil keretanya pada jam 2000, dia mendapati tiketnya tertinggal
di pejabat di tingkat 16. Adakah Encik Ong patut naik semula ke pejabat
untuk mengambil tiket letak kereta atau membayar denda dengan melaporkan
kehilangan tiket? Berikan justifikasi anda.

04 Text book Mate Tg1.indd   102 10/18/16   3:19 PM
103
Nisbah, Kadar dan Kadaran

B
A
B

4

Bubur pulut hitam ialah sejenis hidangan manisan yang popular di Malaysia. Perhatikan
resipi untuk bubur pulut hitam di bawah. Jika resipi asal ini adalah untuk hidangan 6
orang, hitung kuantiti yang diperlukan bagi setiap bahan untuk hidangan semua murid
di dalam kelas anda atau semua ahli keluarga anda di rumah. Gunakan pengetahuan
anda tentang nisbah dan kadar untuk menyediakan resipi ini. Dengan bantuan guru
atau ahli keluarga, cuba resipi ini di sekolah atau di rumah.

Bahan-bahan:
• 200 g pulut hitam (direndam

semalaman di dalam air)
• 125 g gula melaka
• 270 ml santan kelapa (tambahkan

lebih banyak jika anda suka rasa
santan yang lebih)
• 6 cawan air
• 3 helai daun pandan yang

dipotong dua dan disimpul.

Cara:
1. Cuci pulut hitam dengan bersih.
2. Masukkan pulut hitam ke dalam

periuk yang mempunyai 5 cawan air
dan daun pandan.

3. Rebus dengan menggunakan api
yang kecil sehingga pulut masak dan
lembut. Kacau pulut dari semasa ke
semasa.

4. Sementara itu, tambahkan gula
melaka dan satu cawan air ke dalam
periuk yang lain. Panaskan periuk
dan kacau campuran itu sehingga
sirap hitam yang pekat kelihatan.

5. Tambahkan campuran gula melaka
bersama santan kelapa ke dalam
pulut yang dimasak. Kacau sehingga
campuran sebati.

6. Padamkan api. Hidangkan secara
panas atau sejuk.

Leonardo da Vinci (termasyhur dengan lukisan Mona Lisa),
Michelangelo (pelukis, arkitek dan pemuisi Zaman Pembaharuan
Itali) dan beberapa orang pelukis yang lain mengkaji hubungan
nisbah pada tubuh manusia. Satu daripada nisbah yang digunakan

oleh mereka ialah tinggi kepala
tinggi keseluruhan tubuh

= 2
5

.

Cari gambar atau foto manusia dalam majalah atau surat khabar. Ukur tubuh mereka

untuk menentukan nisbah tersebut. Adakah nisbah itu sentiasa 2
5

?

04 Text book Mate Tg1.indd   103 10/18/16   3:19 PM
BAB 5
104

B
A
B

5

Sempena cuti sekolah, satu promosi pakej
percutian tiga hari dua malam ke Pulau
Pangkor ditawarkan. Bagaimanakah anda
dapat menentukan jumlah kos untuk
bilangan orang dewasa dan bilangan
kanak-kanak yang berlainan?

Ungkapan
Algebra5

BAB

•  Pemboleh Ubah dan Ungkapan Algebra
•  Ungkapan  Algebra  yang  Melibatkan  Operasi
Asas Aritmetik

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?
Dalam bidang
algebra, anda akan
mempelajari cara
mewakili suatu nilai yang
tidak diketahui dengan suatu
huruf. Dengan demikian,
masalah kehidupan harian dapat
diterjemahkan dalam model
matematik yang lebih mudah
dengan menulis hubungan antara
kuantiti-kuantiti yang terlibat dalam
bahasa algebra. Bincangkan masalah
harian yang melibatkan nilai yang
tidak diketahui.

BAB 5
104
BAB 5
104

05 Text book Mate Tg1.indd   104 10/17/16   5:22 PM
105
Ungkapan Algebra

B
A
B

5
Perkataan algebra diterbitkan daripada
perkataan arab “al-jabr” daripada sebuah
buku berjudul “al-jabr wa’l Muqabalah”
yang ditulis oleh seorang ahli matematik
berbangsa Arab, Muhammad Ibn Musa
Al-Khwarizmi. Beliau juga digelar sebagai
Bapa Algebra atas sumbangan beliau
dalam bidang algebra.

Untuk maklumat lanjut:

http://goo.gl/qAuzp9

Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa
Al-Khwarizmi

JOM BERCUTI DIPULAU PANGKOR!
3 hari 2 malam* RM380 seorang dewasa

*Termasuk kos tambang, makanan dan penginapan.

* RM280 seorang kanak-kanak(12 tahun dan ke bawah)

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

•  huruf   •  letter
•  pekali  •  coefficient
•  pemboleh ubah   •  variable
•  sebutan  •  term
•  sebutan algebra  •  algebraic term
•  sebutan serupa  •  like terms
•  sebutan tidak serupa   •  unlike terms
•  ungkapan algebra   •  algebraic expression

Jaringan Kata

105
Ungkapan Algebra

105
Ungkapan Algebra

05 Text book Mate Tg1.indd   105 10/17/16   5:22 PM
BAB 5
106

B
A
B

5

5.1 Pemboleh Ubah dan Ungkapan Algebra

Bagaimanakah anda menggunakan huruf
untuk mewakili pemboleh ubah?

Setiap bulan saya
menderma sebanyak
RM50 kepada
Yayasan Kebajikan
Negara (YKN).

Setiap bulan saya
menderma sejumlah
wang yang sama
kepada YKN.

Wang derma
saya kepada YKN
pada setiap bulan
bergantung kepada
keuntungan yang
diperoleh di kedai.

Encik Lim Encik Azlan Puan Kavitha
Berdasarkan situasi di atas, kita dapat mengetahui jumlah
wang yang diderma oleh Encik Lim pada setiap bulan. Walau
bagaimanapun, kita tidak mengetahui jumlah wang yang
diderma oleh Encik Azlan dan Puan Kavitha. Jumlah wang
derma Encik Azlan dan Puan Kavitha merupakan kuantiti
yang tidak diketahui nilainya. Kuantiti itu dikenali sebagai
pemboleh ubah.
 Kita boleh menggunakan huruf untuk mewakili suatu
pemboleh ubah. Misalnya:
 Setiap bulan, Encik Azlan menderma RMx dan Puan
Kavitha menderma RMy kepada Yayasan Kebajikan Negara.
 Antara pemboleh ubah x dengan y, yang manakah
mempunyai nilai yang tetap atau nilai yang berubah?

Contoh 1
Wakilkan setiap pemboleh ubah berikut dengan huruf yang sesuai. Seterusnya, tentukan
sama ada pemboleh ubah itu mempunyai nilai yang tetap atau nilai yang berubah. Berikan
justifikasi anda.
(a) Kadar faedah setahun untuk simpanan tetap yang ditawarkan oleh sebuah bank.
(b) Masa perjalanan Faizal dari rumah ke sekolah pada setiap hari.

(a) k mewakili kadar faedah setahun untuk simpanan tetap.
 k mempunyai nilai yang tetap kerana kadar faedah untuk simpanan tetap tidak

berubah dalam tempoh satu tahun.

PEMBELAJARAN

Menggunakan huruf
untuk mewakilkan
kuantiti yang tidak
diketahui nilai.
Seterusnya menyatakan
sama ada pemboleh
ubah itu mempunyai
nilai yang tetap
atau nilai yang
berubah dengan
memberi justifikasi.

TIP    BESTARI

•  Suatu pemboleh ubah
mempunyai nilai yang
tetap jika kuantiti yang
diwakili sentiasa tetap
pada sebarang masa.

•  Suatu pemboleh ubah
mempunyai nilai yang
berubah jika kuantiti
yang diwakili berubah
mengikut masa.

05 Text book Mate Tg1.indd   106 10/17/16   5:22 PM
107
Ungkapan Algebra

B
A
B

5

(b) t mewakili masa perjalanan Faizal dari rumah ke sekolah
pada setiap hari.

t mempunyai nilai yang berubah kerana masa perjalanan
Faizal berubah pada setiap hari.

5.1a

1. Wakilkan setiap pemboleh ubah berikut dengan huruf
yang sesuai. Seterusnya, tentukan sama ada pemboleh
ubah itu mempunyai nilai yang tetap atau nilai yang
berubah. Berikan justifikasi anda.
(a) Jisim badan setiap murid di dalam kelas anda.
(b) Markah yang diperoleh Zaini dalam satu ujian Matematik.
(c) Jarak di antara rumah Arman dengan sekolahnya.
(d) Suhu di puncak Gunung Kinabalu dalam sehari.

Bagaimanakah anda menerbitkan ungkapan
algebra daripada suatu situasi?

Perhatikan pelbagai situasi di bawah dengan keadaan
bilangan blok kayu di dalam setiap beg tidak diketahui.

Situasi Jumlah blok kayu

Suatu beg mengandungi
x blok kayu.

x

3 blok kayu dimasukkan
ke dalam beg itu.

x + 3

4 blok kayu dikeluarkan
daripada beg itu.

x – 4

Bilangan blok kayu di dalam
beg itu dibahagikan sama rata
kepada 2 orang murid. x

2

Harga pasaran bagi
1 gram emas pada setiap
hari ialah RMy. Adakah
y merupakan suatu
pemboleh ubah yang
mempunyai nilai yang
tetap atau nilai yang
berubah? Bincangkan
perkara ini.

PEMBELAJARAN

Menerbitkan ungkapan
algebra berdasarkan
ungkapan aritmetik yang
mewakili suatu situasi.

x

x

x

x

05 Text book Mate Tg1.indd   107 10/17/16   5:22 PM
BAB 5
108

B
A
B

5

Dua beg masing-masing
mengandungi x blok kayu.

2 × x = 2x

Dua beg masing-masing
mengandungi x blok kayu
manakala satu beg lain
mengandungi y blok kayu dan
ditambah dengan 2 blok kayu.

2x + y + 2

Dua beg masing-masing
mengandungi x blok kayu
dengan jisim setiap blok
kayu ialah p gram.

Jumlah jisim blok
kayu dalam dua beg
= 2 × x × p
= 2xp

Jumlah blok kayu atau jisim blok kayu yang ditulis dengan nombor dan pemboleh ubah,
misalnya,    x,   x + 3,   x – 4,   x

2
,   2x,  2x + y + 2,   2xp

disebut sebagai ungkapan algebra.

Contoh 2
Yusri membeli 5 biji epal dengan harga x sen sebiji dan 8 biji oren dengan harga y sen
sebiji. Tulis satu ungkapan algebra bagi jumlah wang yang dibayarnya.

Jumlah harga epal = 5 × x Jumlah harga oren = 8 × y
 = 5x  = 8y
Jumlah bayaran = 5x + 8y

5.1b
1. Tulis satu ungkapan algebra bagi setiap situasi berikut.

(a) Tolak 7 daripada suatu nombor, x.
(b) Hasil tambah y dan z dibahagi dengan 9.
(c) Jumlah orang bagi x buah khemah jika setiap khemah dapat memuatkan 4 orang.
(d) Puan Neo membeli m kg ikan kerisi yang berharga RMp sekilogram dan n kg

ikan cencaru yang berharga RMq sekilogram. Berapakah jumlah bayarannya?
(e) Umur Nazmi ialah h tahun dan umur Jagjit ialah k tahun manakala umur Izhar

adalah dua kali umur Jagjit. Berapakah beza umur antara Nazmi dengan Izhar?

Bagaimanakah anda menentukan
nilai ungkapan?

Nilai suatu ungkapan dapat ditentukan dengan
menggantikan pemboleh ubah dengan nilai
yang diberi.

x x

yx x

x x

PEMBELAJARAN

Menentukan nilai ungkapan algebra
apabila nilai pemboleh ubah diberi
dan membuat perkaitan dengan
situasi yang sesuai.

05 Text book Mate Tg1.indd   108 10/17/16   5:22 PM
109
Ungkapan Algebra

B
A
B

5

Contoh 3
Diberi x = 3 dan y = 2, cari nilai bagi 8x – 5y + 7.

8x – 5y + 7 = 8(3) – 5(2) + 7
 = 24 – 10 + 7
 = 21

Contoh 4

Dalam sebuah kelas, 1
3

daripada murid lelaki ialah ahli
Kadet Remaja Sekolah manakala 9 orang murid perempuan
bukan ahli Kadet Remaja Sekolah.
(a) Tulis satu ungkapan bagi jumlah ahli Kadet Remaja

Sekolah di dalam kelas itu.
(b) Jika kelas itu terdiri daripada 12 orang murid lelaki dan

16 orang murid perempuan, hitung jumlah ahli Kadet
Remaja Sekolah di dalam kelas itu.

(a) Katakan bilangan murid lelaki  = x
 dan bilangan murid perempuan  = y
 Maka, jumlah ahli Kadet Remaja Sekolah = 1

3
x + y – 9

(b) Apabila x = 12 dan y = 16,
 jumlah ahli Kadet Remaja Sekolah = 1

3
 (12) + 16 – 9

= 4 + 16 – 9
  = 11

5.1c

1. Diberi p = 5, q = 2 dan r = – 4, cari nilai bagi setiap ungkapan yang berikut.
(a)  2p + q (b)  3q – 4r + 8 (c) 5(p – r) (d) r

2
 + 7q – 3

2. Encik Adnan dan Encik Tan menderma beras kepada mangsa banjir. Encik Adnan
menderma 8 kampit beras yang setiap satu berjisim x kg. Encik Tan menderma 4
kampit beras yang setiap satu berjisim y kg.
(a) Tulis satu ungkapan bagi jumlah jisim beras yang didermakan oleh mereka.
(b) Jika x = 5 dan y = 10, hitung jumlah jisim beras yang didermakan oleh mereka.

3. Jane dan Kamalesh masing-masing membeli m dan n keping kad Hari Raya dengan
harga RMp sekeping untuk diberikan kepada rakan muslim mereka.
(a) Tulis satu ungkapan bagi beza wang yang dibayar oleh mereka.
(b) Jika m = 8, n = 6 dan p = 1.5, hitung beza bayaran antara mereka.

CelikCelik

Kalkulator saintifik boleh
digunakan untuk
menentukan nilai  suatu
ungkapan. Misalnya,
dalam  Contoh 3:
1. Tekan
 8  ALPHA  X  –  5
 ALPHA  Y  +  7  CALC

Skrin yang dipaparkan
  X?

2. Masukkan nilai x
yang diberi.

Tekan 3  =

Skrin yang dipaparkan
  Y?

3. Masukkan nilai y
yang diberi.

Tekan 2  =

Skrin yang dipaparkan

8X – 5Y + 7

21

05 Text book Mate Tg1.indd   109 10/17/16   5:22 PM
BAB 5
110

B
A
B

5

Apakah sebutan dan pekali dalam suatu ungkapan?

Dalam suatu ungkapan, misalnya, 2x + 3xy,
2x ialah hasil darab nombor 2 dengan pemboleh ubah x.
3xy ialah hasil darab nombor 3 dengan pemboleh ubah x dan y.

2 x

Nombor Pemboleh ubah

3 xy

Nombor Pemboleh ubah

2x dan 3xy dinamakan sebagai sebutan algebra.

Contoh 5
Kenal pasti sebutan algebra daripada ungkapan algebra berikut.
(a) x + 5x (b) x

8
 – 7y

(c) pq – 2q + 13 (d) m2 – 2m + n – 6

(a) x  + 5x
 Sebutan algebra ialah x dan 5x.

(b) x
8

– 7y

Sebutan algebra ialah x
8

dan 7y.

(c) pq  – 2q  + 13
 Sebutan algebra ialah pq, 2q dan 13.

(d) m2  – 2m  + n  – 6
 Sebutan algebra ialah m2, 2m, n dan 6.

Suatu sebutan algebra boleh ditulis sebagai hasil darab
pemboleh ubah dan faktornya. Misalnya,

3x ialah faktor lain bagi pemboleh ubah y.
Maka, 3x ialah pekali bagi pemboleh ubah y.

3y ialah faktor lain bagi pemboleh ubah x.
Maka, 3y ialah pekali bagi pemboleh ubah x.

3xy =  3x × y

=  3y × x

=  3 × xy

Pemboleh ubah

Apakah pekali bagi pemboleh ubah xy?

PEMBELAJARAN

Mengenal pasti sebutan
dalam suatu ungkapan
algebra. Seterusnya
menyatakan pekali
yang mungkin bagi
sebutan algebra.

Adakah x ialah sebutan
algebra? Terangkan.

ahukahT A nda
Sebutan algebra yang
terdiri daripada satu
pemboleh ubah dengan
kuasanya 1 disebut
sebagai sebutan
algebra linear.

TIP    BESTARI

Dalam ungkapan
algebra, nombor juga
merupakan satu sebutan.

Nyatakan bilangan
sebutan dalam
setiap ungkapan itu.

Adakah sebutan xy
juga merupakan suatu
ungkapan algebra?
Berikan sebab anda.

05 Text book Mate Tg1.indd   110 10/17/16   5:22 PM
111
Ungkapan Algebra

B
A
B

5

Contoh 6
Dalam sebutan –3k2mn, nyatakan pekali bagi
(a) k2mn (b) – mn (c) 3k2

(a) –3k2mn = –3  × k2mn (b) –3k2mn = 3k2  × (–mn)
 Pekali bagi k2mn ialah –3.  Pekali bagi –mn ialah 3k2.

(c) –3k2mn = –mn  × 3k2

Pekali bagi 3k2 ialah –mn.

5.1d

1. Kenal pasti semua sebutan bagi setiap ungkapan algebra yang berikut.
(a) 6k + 2k (b) x2 – 9xy

(c)   ab
3

+ 2a – 5b (d) 4pq – 7x
2

+ 8p2q – 1

2. Dalam sebutan –8xy2, nyatakan pekali bagi
(a) xy2 (b) 8x (c) y2 (d) –x

Apakah sebutan serupa dan sebutan tidak serupa?

–2m dan 3
7

m

pq
3

dan 6.9pq

6ab dan 7ba

5k2 dan – k2

Rajah (a)

Pasangan sebutan dalam Rajah (a) mempunyai pemboleh
ubah yang sama dengan kuasa yang sama. Pasangan sebutan
itu dikenali sebagai sebutan serupa.

2v dan 2w

5xy dan –yz

9x2 dan 8x

3m2n dan 1
4

mn2

Rajah (b)

Pasangan sebutan dalam Rajah (b) tidak mempunyai
pemboleh ubah yang sama dengan kuasa yang sama. Pasangan
sebutan itu dikenali sebagai sebutan tidak serupa.

Contoh 7
Kenal pasti sama ada pasangan sebutan yang berikut ialah sebutan serupa atau sebutan
tidak serupa.
(a) 4xy, xy

2
 (b) 12pq, 12pr  (c) 3abc, 0. 5bca  (d) –7h, 6h2

PEMBELAJARAN

Mengenal pasti sebutan
serupa dan sebutan
tidak serupa.

Bincangkan sama ada
xy
2

dan  5x
y

ialah sebutan

serupa atau sebutan
tidak serupa.

05 Text book Mate Tg1.indd   111 10/17/16   5:22 PM
BAB 5
112

B
A
B

5

(a) Sebutan serupa Pemboleh ubah xy yang sama.

(b) Sebutan tidak serupa Pemboleh ubah pq dan pr adalah berbeza.

(c) Sebutan serupa Pemboleh ubah abc sama dengan bca.

(d) Sebutan tidak serupa Kuasa bagi pemboleh ubah h adalah tidak sama.

5.1e
1. Kenal pasti sama ada pasangan sebutan yang berikut ialah sebutan serupa atau

sebutan tidak serupa.
(a) 5k, – 0.1k (b) 4y, y2 (c) 4srt, 11rts (d) 3ab

2
, –8bc

5.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk muat
turun fail soalan tambahan bagi Mahir Diri 5.1.

1. Encik Gan melaburkan sejumlah wang ke dalam Amanah Saham. Dividen yang
diberikan mengikut suatu kadar pada setiap tahun. Wakilkan setiap pemboleh ubah
dalam situasi tersebut dengan huruf yang sesuai. Seterusnya, terangkan sama ada
setiap pemboleh ubah itu mempunyai nilai yang tetap atau nilai yang berubah.

2. Sebiji tembikai yang berjisim 5 kg dan dua biji durian
yang sama jisim diletakkan di atas sebuah penimbang.
Jika bacaan yang ditunjukkan pada penimbang itu ialah
m kg, tulis satu ungkapan bagi jisim sebiji durian itu.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah taman berbentuk
segi empat tepat. Kawasan berlorek yang berbentuk segi
empat sama ditanami pokok bunga. Kawasan selebihnya
ditutupi batu bata. Tulis satu ungkapan bagi luas kawasan
batu bata.

x m

y m

15 m

4. (a) Diberi x = 5 dan y = –2, cari nilai bagi xy + x
2

– 6y.

(b) Diberi a = 7, b = 3 dan c = – 4, cari nilai bagi 3(b – a) – 5ac + 14.
5. Azlan ada n keping syiling yang terdiri daripada x keping syiling 10 sen, 3x keping

syiling 20 sen dan selebihnya 50 sen di dalam tabung duit.
(a) Nyatakan ungkapan bagi bilangan syiling 50 sen yang ada di dalam tabung duit.
(b) Cari jumlah wang di dalam tabung duit jika x = 6 dan bilangan syiling 50 sen

adalah dua kali bilangan syiling 20 sen.
6. Seutas reben sepanjang p cm dipotong kepada tiga bahagian. Panjang bahagian

pertama dan bahagian kedua masing-masing ialah x cm dan 2x cm.
(a) Tulis satu ungkapan bagi panjang bahagian ketiga.
(b) Jika x = 10 dan panjang bahagian kedua adalah empat kali panjang bahagian

ketiga, hitung nilai p.

05 Text book Mate Tg1.indd   112 10/17/16   5:22 PM
113
Ungkapan Algebra

B
A
B

5

7. Salin dan lengkapkan jadual di bawah dengan menyatakan pekali yang mungkin bagi
sebutan algebra yang berikut.

Sebutan algebra Pekali Pemboleh ubah

–10abc

5.2 Ungkapan Algebra yang Melibatkan Operasi Asas Aritmetik

Bagaimanakah anda menambah dan menolak
dua atau lebih ungkapan algebra?

Apabila menambah dan menolak dua atau lebih ungkapan
algebra, kumpulkan sebutan serupa dahulu. Kemudian
tambah atau tolak sebutan serupa itu.

Contoh 8
Permudahkan setiap yang berikut.
(a) (3x + 5y) + (8x – y – 9)
(b) (12mn – 4p) + (6 + 7p) – (10mn + p – 2)

(a) (3x + 5y) + (8x – y – 9)
 = 3x + 5y + 8x – y – 9
 = 3x + 8x  + 5y – y – 9  Kumpulkan sebutan serupa.

= 11x + 4y – 9  Permudahkan sebutan serupa.

(b) (12mn – 4p) + (6 + 7p) – (10mn + p – 2)
 = 12mn – 4p + 6 + 7p – 10mn – p + 2
 = 12mn – 10mn  – 4p + 7p – p  + 6 + 2
 = 2mn + 2p + 8

5.2a
1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) (3x – 2y) + (5x + 9y)
(b) (6ab + 2bc + 10) – (ab + 3bc – 2)
(c) (4xy + 5k) – (–3k + 7) + (13xy – k)
(d) (7p – 8q + 6pq) + (q – 2p + pq) – (10pq – p – 4q)
(e) 2

3
fg – (9mn – 1

2
fg) + (3mn – 1

6
fg)

PEMBELAJARAN

Menambah dan
menolak dua atau lebih
ungkapan algebra.

TIP    BESTARI

• Apabila tanda ‘+‘ di
depan tanda kurung
digugurkan, tanda
bagi setiap sebutan
dalam tanda kurung
tidak berubah.

• Apabila tanda ‘–‘ di
depan tanda kurung
digugurkan, tanda bagi
setiap sebutan dalam
tanda kurung berubah
daripada: ‘+ kepada –’;
‘– kepada +’.

–(a + b) = –a – b
–(a – b) = –a + b
–(–a + b) = +a – b
–(–a – b) = +a + b

Apabila menyusun sebutan serupa,
tanda operasi di depan sebutan itu
mesti dipindahkan bersama.

05 Text book Mate Tg1.indd   113 10/17/16   5:22 PM
BAB 5
114

B
A
B

5

Apakah hasil bagi pendaraban berulang
ungkapan algebra?

Berkumpulan1
Tujuan : Membuat generalisasi tentang pendaraban berulang ungkapan algebra.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

1. Cari luas bagi segi empat sama yang berikut dalam bentuk pendaraban berulang.

2 cm

2 cm

a

a

b

b

Luas =  cm ×  cm

=
2

cm2

Luas =  ×

=

Luas =  ×

=

2. Cari isi padu bagi kubus yang berikut dalam bentuk pendaraban berulang.

2 cm

2 cm
2 cm

a

a
a

b

b
b

Isi padu

=  cm ×  cm ×  cm

=
3

cm3

Isi padu

=  ×  ×

=

Isi padu

=  ×  ×

=

3. Berdasarkan hasil di atas, apakah generalisasi yang boleh dibuat tentang
(a) a × a × a × a?
(b) a × a × a × a × ... × a, dengan keadaan pendaraban berulang a sebanyak n kali?
(c) (i) (a + b) × (a + b)?

(ii) (a + b) × (a + b) × (a + b)?
(iii) (a + b) × (a + b) × (a + b) × (a + b)?
(iv) (a + b) × (a + b) × (a + b) × (a + b) × ... × (a + b), dengan keadaan

pendaraban berulang (a + b) sebanyak n kali?

PEMBELAJARAN

Membuat generalisasi
tentang pendaraban
berulang ungkapan algebra.

05 Text book Mate Tg1.indd   114 10/17/16   5:22 PM
115
Ungkapan Algebra

B
A
B

5

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa
 a × a = a2   a × a × a = a3   a × a × a × ... × a = an Kuasa n

Pendaraban
berulang a
sebanyak 2 kali

Pendaraban
berulang a
sebanyak 3 kali

Pendaraban
berulang a
sebanyak n kali

Seterusnya, ini boleh digeneralisasi kepada pendaraban berulang bagi ungkapan algebra.
(a + b) × (a + b) = (a + b)2

(a + b) × (a + b) × (a + b) = (a + b)3

(a + b) × (a + b) × (a + b) × (a + b) = (a + b)4

Secara umum,
(a + b) × (a + b) × (a + b) × ... × (a + b) = (a + b) n  Kuasa n

Pendaraban berulang ungkapan
algebra (a + b) sebanyak n kali

Contoh 9
Permudahkan setiap yang berikut.
(a) m × m × m × m (b) (x + 7) × (x + 7)
(c) (p – 3q) × (p – 3q) × (p – 3q)

(a) m × m × m × m = m4 (b) (x + 7) × (x + 7) = (x + 7)2

Pendaraban berulang 4 kali  Pendaraban berulang 2 kali

(c) (p – 3q) × (p – 3q) × (p – 3q) = (p – 3q)3

  Pendaraban berulang 3 kali

Contoh 10
Tulis setiap yang berikut dalam bentuk pendaraban berulang.
(a) (x + 4y)2  (b) (9p – q)3

(a) (x + 4y)2 = (x + 4y)(x + 4y) (b) (9p – q)3 = (9p – q)(9p – q)(9p – q)

5.2b

1. Permudahkan setiap yang berikut.
(a) pq × pq × pq (b) (6a – 1) × (6a – 1)
(c) (8x + 3y) × (8x + 3y) × (8x + 3y)

2. Tulis setiap yang berikut dalam bentuk pendaraban berulang.
(a) (2 + 7x)2  (b) (h – 4k)3  (c) (5p + q)4

05 Text book Mate Tg1.indd   115 10/17/16   5:22 PM
BAB 5
116

B
A
B

5

Bagaimanakah anda mendarab dan membahagi ungkapan algebra?

Untuk mencari hasil darab ungkapan algebra yang
mengandungi satu sebutan, kumpul semula pemboleh
ubah yang sama, kemudian darab nombor dengan
nombor dan pemboleh ubah dengan pemboleh ubah.

Contoh 11

Permudahkan 3ab2 × 4a3b.

3ab2 × 4a3b  = 3 × a × b × b × 4 × a × a × a × b  Tulis sebagai hasil darab faktor.

= 3 × 4  × a × a × a × a  × b × b × b  Kumpulkan nombor dan
pemboleh ubah yang sama.

= 12a4b3

Hasil bahagi ungkapan algebra yang mengandungi satu sebutan diperoleh dengan
memansuhkan faktor-faktor sepunya.

Contoh 12

Permudahkan 20m4n2 ÷ 5m2n3.

20m4n2 ÷ 5m2n3 = 20m4n2

5m2n3   Tulis dalam bentuk pecahan.

= 20 × m × m × m × m × n × n
5 × m × m × n × n × n

Permudahkan.

= 4m2

n

Contoh 13

Permudahkan 21xy × 6x ÷ 14y3z.

21xy × 6x ÷ 14y3z = 21 × x × y × 6 × x

14 × y × y × y × z

= 9x2

y2z

PEMBELAJARAN

Mendarab dan membahagi
ungkapan algebra yang
mengandungi satu sebutan.

Dengan menggunakan
sebuah kubus yang
bersisi x cm, bincangkan
bagaimana anda
menunjukkan hasil
pembahagian bagi x3 ÷ x
dan x3 ÷ x2.

4

1

3 3

2 1

05 Text book Mate Tg1.indd   116 10/17/16   5:22 PM
117
Ungkapan Algebra

B
A
B

5

5.2c

1. Cari hasil darab bagi setiap yang berikut.
(a) 3x × 5x3  (b) – 4mn × 7m2 (c) 2

3
p4q × 6pr

2. Cari hasil bahagi bagi setiap yang berikut.
(a) 8x6y4 ÷ 2xy3  (b) 4ab3 ÷ 6a2b (c) 12p5r ÷ (–10pq)

3. Permudahkan setiap yang berikut.
(a) 2mn × 5m2 ÷ 3n3 (b) 6xy ÷ 20px2 × (–5p6y)

5.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 5.2.

1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) (x + pq) – (3y – pq
2

– 4) + ( 1
3

x – 5y + 7)

(b) 6ab – 9mn
3

– 2(4mn – 3ab)

2. Dalam rajah di sebelah, seutas tali
dipotong kepada tiga bahagian.
Tulis ungkapan bagi panjang tali
itu dalam sebutan d dan y.

2d cm

(d + 2y) cm

(3y – 2d) cm

3. Umur ibu Azhar adalah empat kali umur Azhar pada tahun lepas. Jika umur Azhar
ialah n tahun sekarang, nyatakan umur ibu Azhar dalam tujuh tahun lagi dalam
sebutan n.

4. Diberi (ax + b)(ax + b)(ax + b) = (9x – 2)n, dengan keadaan a, b dan n ialah integer.
Tentukan nilai bagi a, b dan n.

5. Aina membina sebuah model kubus daripada kad manila. Jika isi padu kubus yang
dibina itu ialah (2 + 3p)3 cm3, cari jumlah luas permukaan kubus itu dalam sebutan p.

6. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) 18xy × 10y3z
15xz2  (b) – 8pq

12p2q
 × (–3p2q3)

7. Salin dan isikan petak kosong dengan sebutan algebra yang betul.

(a)  × 3pqr = 15p2qr3  (b)  ÷ 2xy2z = 7x2yz

8. Luas segi empat tepat di sebelah ialah 12a3b2 cm2.
Ungkapkan panjang segi empat tepat tersebut dalam
sebutan ab.

3ab

05 Text book Mate Tg1.indd   117 10/17/16   5:22 PM
BAB 5
118

B
A
B

5

Penambahan dan penolakan
Contoh: • 5a + 6a = 11a • 12bc – 3bc = 9bc

Nilai tetap
Nilai pemboleh ubah tetap pada sebarang masa.

Nilai berubah
Nilai pemboleh ubah berubah mengikut masa.

Sebutan serupa
Mempunyai pemboleh ubah dan kuasa yang sama.
Contoh: 2x dan –3x

Sebutan tidak serupa
Mempunyai pemboleh ubah atau kuasa yang
tidak sama.
Contoh: • 2x dan 6y • 2x dan –7x2

Pemboleh
ubah

Sebutan
algebraUNGKAPAN

ALGEBRA

Pendaraban dan pembahagian
Contoh: • 5mn × 2n
 = 5 × 2 × m × n × n
 = 10mn2

• 36pq
4p

= 36 × p × q
4 × p

= 9q

Sangat
baik

Berusaha
lagi

menggunakan huruf untuk mewakilkan kuantiti yang tidak diketahui nilai.
Seterusnya menyatakan sama ada pemboleh ubah itu mempunyai nilai yang tetap
atau nilai yang berubah dengan memberi justifikasi.
menerbitkan ungkapan algebra bagi suatu situasi.
menentukan nilai ungkapan algebra.
mengenal pasti sebutan dalam suatu ungkapan dan seterusnya menyatakan pekali
yang mungkin.
mengenal pasti sebutan serupa dan sebutan tidak serupa.
menambah dan menolak dua atau lebih ungkapan algebra.
membuat generalisasi tentang pendaraban berulang ungkapan algebra.
mendarab dan membahagi ungkapan algebra yang mengandungi satu sebutan.

9

1

B
A
B

5

05 Text book Mate Tg1.indd   118 10/20/16   9:14 AM
119
Ungkapan Algebra

B
A
B

5

1. Diberi (3x2 + 7y – 1) – (x2 + 2y – 5) + (6x2 – y) = ax2 + by + c, dengan keadaan a, b
dan c ialah integer. Tentukan nilai a, b dan c.

2. Pavathy membeli x m kain batik dengan harga RM12 semeter dan y m kain langsir
dengan harga RM7 semeter. Jika dia membayar RM120 kepada juruwang, ungkapkan
bakinya dalam sebutan x dan y.

3. Jika p3 + 2q = –5 dan 4px = 6, cari nilai bagi p3 – (4px – 2q).

4. Kumar membeli empat biji nanas dengan harga RMx sebiji. Dia membayar RM20
dan menerima baki 80 sen. Berapakah harga sebiji nanas itu?

5. Dalam suatu ujian Matematik, Su Lin memperoleh dua kali markah yang diperoleh
Daud dan jumlah markah mereka ialah 3k. Jika Hafiz memperoleh 10 markah lebih
daripada Su Lin, nyatakan markah Hafiz dalam sebutan k.

6. Ibu Zuriana memberi sejumlah wang kepada Zuriana untuk membeli sate dan otak-
otak. Zuriana membeli m cucuk sate dengan harga RMx bagi 5 cucuk dan menerima
baki 80 sen. Kemudian dia membeli 2m keping otak-otak dengan harga RMy sekeping
dan menerima baki 60 sen.
(a) Tulis ungkapan algebra bagi jumlah bayaran sate dan otak-otak.
(b) Jika m = 10, x = 4 dan y = 1.2, cari jumlah wang yang diterima oleh Zuriana

daripada ibunya.

7. Suatu nombor ditambah kepada 7, hasilnya ialah x. Jika nombor itu dibahagi dengan
2, hasilnya ialah y. Terangkan bagaimana anda menentukan nilai bagi x + y jika nilai
nombor itu diketahui.

8. Aplikasi

Sebuah kedai alat elektrik membeli 120 biji lampu filamen dengan kos RMp sebiji
dan 180 biji lampu LED dengan kos RMq sebiji. Kedai itu kemudian menjual lampu
secara promosi dengan 2 biji lampu filamen dan 3 biji lampu LED dengan harga
RM(3h + 4k). Jika kedai itu dapat menjual semua lampu, ungkapkan keuntungan
yang diperoleh dalam sebutan p, q, h dan k.

05 Text book Mate Tg1.indd   119 10/17/16   5:22 PM
BAB 5
120

B
A
B

5

9. Aplikasi

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kebun
milik Norhaimi. Kawasan berlorek yang
berbentuk segi empat tepat belum dibaja.
Kawasan selebihnya ditanami sayur-sayuran.
Norhaimi ingin memagari kawasan tanaman
sayur-sayuran. Ungkapkan panjang dawai
yang diperlukannya dalam sebutan x dan y.

(xy + 7) m

(2xy – 1) m

(xy – x) m
(4x + 3) m

10. Aplikasi

Suhu dalam unit darjah Celsius (°C) boleh ditukarkan kepada darjah Fahrenheit (°F)
dengan menggunakan ungkapan 9

5
 T + 32, dengan keadaan T ialah suhu dalam unit

darjah Celsius. Apabila sejenis cecair dipanaskan daripada 18°C kepada 33°C,
berapakah perubahan suhu cecair itu dalam unit darjah Fahrenheit?

Imbas QR Code atau layari laman sesawang untuk
mendapatkan maklumat mengenai kegunaan
ungkapan algebra dalam kehidupan harian.
 Seterusnya, tulis satu laporan tentang
kepentingan dan aplikasi ungkapan algebra dalam
kehidupan harian. Bentangkan laporan anda di
dalam kelas.

https://goo.gl/
ev3Gzs

A  Perisian GeoGebra boleh digunakan untuk mempermudah ungkapan algebra yang
melibatkan operasi asas aritmetik.

1. Pilih menu View → CAS.

2. Gunakan arahan Simplify dan taip masuk
ungkapan yang melibatkan operasi asas
aritmetik dan tekan Enter di ruangan CAS.
Misalnya,
(i) Simplify [(3x2 – 5xy + 7) – (4x2 + 2xy – 8)]
(ii) Simplify [8x3y2(–3x2y)]

3. Lanjutkan penerokaan anda untuk ungkapan yang melibatkan operasi asas aritmetik
yang lain.

05 Text book Mate Tg1.indd   120 10/17/16   5:22 PM
121
Ungkapan Algebra

B
A
B

5

B  Dengan mengikut arahan dan kekunci yang diberi, jalankan aktiviti yang berikut.

m = bulan lahir anda
Misalnya,
Januari = 1
Februari = 2
Mac = 3
dan seterusnya.

Perhatikan baki hasil bahagi.

n = tahun ini
y = tahun lahir anda

Fikir sebarang nilai integer
positif yang kurang daripada
10 bagi pemboleh ubah x.

Nilai ungkapan algebra
didarab dengan 50.

Ditambah dengan
(n – 1) dan ditolak
dengan (y – 50).

Ditambah dengan n
dan ditolak dengan
(y – 50).

Cari nilai 2x.

Cari nilai 2x + m.

Jawapan dibahagi dengan 100.

Cari nilai 2x + m + 1.

m ialah
nombor ganjil.

Hari jadi anda
belum sampai

pada tahun ini.

m ialah
  nombor genap.

Hari jadi anda
 sudah lepas pada
  tahun ini.

Kekunci

Kekunci

Apakah yang diwakili oleh baki pada jawapan akhir? Nyatakan ulasan anda.

05 Text book Mate Tg1.indd   121 10/20/16   9:13 AM
B
A
B

6

BAB 6
122

Pembelajaran abad ke-21 merupakan satu
daripada pelaksanaan dalam Pelan
Pembangunan Pendidikan Malaysia (PPPM)
2013 – 2025. Di dalam bilik darjah abad
ke-21, murid disusun secara berkumpulan
supaya memudahkan sesi perbincangan dan
menjalankan pelbagai aktiviti.
 Misalnya, sebuah kelas yang terdiri
daripada 30 orang murid hendak disusun secara
berkumpulan demi mencapai matlamat ini.

Persamaan
Linear6

BAB

•	 Persamaan	Linear	dalam	Satu	Pemboleh	Ubah
•	 Persamaan	Linear	dalam	Dua	Pemboleh	Ubah
•	 Persamaan	Linear	Serentak	dalam	Dua

Pemboleh	Ubah

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?Pelbagai masalah
yang melibatkan
situasi kehidupan harian
dapat diselesaikan dengan
menterjemahkan maklumat
kepada ayat matematik dalam
bentuk persamaan linear. Bincang
dengan guru anda tentang situasi
atau bidang lain yang melibatkan
penyelesaian persamaan linear.

BAB 6
122

06 Text book Mate Tg1.indd   122 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

123
Persamaan Linear

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

Diophantus of Alexandria merupakan
seorang ahli matematik Yunani yang
banyak menyumbang dalam penyelesaian
persamaan algebra. Beliau dikenali
sebagai Bapa Algebra.

Untuk maklumat lanjut:

http://goo.gl/9AoB9

Diophantus of Alexandria

Diberi bilangan murid lelaki di
dalam kelas itu ialah 6 orang
lebih daripada bilangan murid
perempuan. Bagaimanakah anda
menentukan bilangan kumpulan
yang dapat dibentuk supaya setiap
kumpulan mempunyai 2 orang
murid perempuan?

• cuba jaya  • trial and improvement
• kesamaan • equality
• nilai berangka  • numerical value
• pematahbalikan • working backwards /
  backtracking
• pemboleh ubah • variable
• penggantian  • substitution
• penghapusan  • elimination
• penyelesaian  • solution
• persamaan linear  • linear equation
• persamaan linear  • simultaneous linear
 serentak  equations
• punca persamaan  • root of an equation

Jaringan Kata

123
Persamaan Linear

06 Text book Mate Tg1.indd   123 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
124

6.1 Persamaan Linear dalam Satu Pemboleh Ubah

Apakah persamaan linear dalam satu pemboleh ubah?

Rajah (a) Rajah (b)

Perhatikan nilai wang dalam Rajah (a) adalah sama dengan
nilai wang dalam Rajah (b). Situasi ini boleh ditulis sebagai:

Nilai wang dalam Rajah (a) = Nilai wang dalam Rajah (b)

Simbol ‘=’ digunakan untuk menunjukkan hubungan
antara dua kuantiti yang mempunyai nilai yang sama.
Ayat matematik yang melibatkan kesamaan dikenali
sebagai persamaan.

Misalnya,  x + 2 = 5 dan y – 7 = 11

1
Kendiri

Tujuan : Mengenal ungkapan dan persamaan algebra.

1. Perhatikan ayat matematik yang ditulis pada kad dalam rajah di bawah.

7h + 2

x + 5 = 8

y
2

– 10 = 1

k2 + 1 = 6

6p + 4q = 9

x – 2y

3
 = 7

3n + 1 = 6n

5a3 – 4

3h – 1 = 5k

x + 2x

2. Kelaskan ayat matematik itu kepada ungkapan dan persamaan. Salin dan
lengkapkan peta bulatan di bawah.

Ungkapan Persamaan

3. Bandingkan jawapan anda dengan rakan anda.

PEMBELAJARAN

Mengenal pasti
persamaan linear dalam
satu pemboleh ubah dan
menghuraikan ciri-ciri
persamaan tersebut.

ahukahT A nda
Simbol ‘≠’ digunakan
dalam hubungan yang
terdiri daripada nilai
yang berlainan.
Misalnya, 2 ≠ 5

06 Text book Mate Tg1.indd   124 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

125
Persamaan Linear

Perhatikan persamaan berikut yang diperoleh daripada hasil
Aktiviti Penerokaan 1.

x + 5 = 8

y
2

– 10 = 1

6p + 4q = 9

x – 2y
3

= 7

3n + 1 = 6n

3h – 1 = 5k

Persamaan ini dikenali sebagai persamaan linear kerana
kuasa pemboleh ubah ialah satu.

Antara persamaan linear itu, didapati bahawa persamaan
berikut mempunyai hanya satu pemboleh ubah dan kuasa
pemboleh ubah itu ialah satu.

x + 5 = 8

y
2  – 10 = 1

3n + 1 = 6n

Persamaan ini dikenali sebagai persamaan linear
dalam satu pemboleh ubah.

Kuasa bagi x ialah 1

x + 5 = 8

Satu pemboleh ubah Kesamaan

Contoh 1
Terangkan sama ada persamaan yang berikut ialah persamaan
linear dalam satu pemboleh ubah atau bukan.
(a) 3x + 2 = 5  (b) p – 4q = 6
(c) 2(k – 7) = k

3
 (d) y2 + 3y = 1

(a) Ya, kerana persamaan ini mempunyai satu pemboleh

ubah x dan kuasa bagi x ialah 1.
(b) Bukan, kerana persamaan ini mempunyai dua pemboleh ubah, p dan q.
(c) Ya, kerana persamaan ini mempunyai satu pemboleh ubah k dan kuasa bagi k ialah 1.
(d) Bukan, kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah y ialah 2.

6.1a

1. Terangkan sama ada persamaan yang berikut ialah persamaan linear dalam satu
pemboleh ubah atau bukan.
(a) m + 5 = 12   (b) 3(p – 2) = –7  (c) 9x + 8y = 10  (d) k2 – 5k = 4

Bincangkan mengapa
k2 + 1 = 6 bukan
persamaan linear.

ahukahT A nda
Ungkapan seperti

xy, 1
x

dan x
y

bukan

ungkapan linear.

TIP    BESTARI
Ciri-ciri persamaan
linear dalam satu
pemboleh ubah:
• Hanya mempunyai

satu pemboleh ubah
• Kuasa pemboleh

ubah ialah satu

Bincangkan sama
ada persamaan yang
berikut merupakan
persamaan linear
dalam satu pemboleh
ubah atau bukan.
(a) x = 0

(b) 1
x  + 2 = 6

(c) x( x – 1) = 9

06 Text book Mate Tg1.indd   125 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
126

Bagaimanakah anda membentuk persamaan
linear berdasarkan situasi yang diberi dan
sebaliknya?

Contoh 2
Bentukkan persamaan linear dalam satu pemboleh ubah bagi
setiap yang berikut.
(a) Satu nombor ditolak dengan 8, bakinya ialah 2.
(b) Peck Chin membeli lima batang pen dengan harga

y sen sebatang dan sebuah buku tulisan berharga RM3.
Jumlah wang yang dibayarnya ialah RM7.

(a) Katakan nombor itu ialah x.
 x – 8 = 2

(b) Harga lima batang pen = 5 × y
  = 5y

5y + 300 = 700

RM3 = 300 sen RM7 = 700 sen

Contoh 3

Tulis pernyataan atau situasi bagi setiap persamaan yang berikut.
(a) 2x + 5 = 19 dengan keadaan x ialah suatu nombor.
(b) y – 2 = 8 dengan keadaan y ialah umur Rajes sekarang.

(a) Dua kali suatu nombor ditambah dengan 5, hasilnya ialah 19.
(b) Rajes berumur 8 tahun pada 2 tahun yang lepas.

6.1b

1. Bentukkan persamaan linear dalam satu pemboleh ubah bagi setiap yang berikut.
(a) Hasil bahagi suatu nombor dengan 6 ialah 12.
(b) Harga sekilogram ayam ialah RMy. Rozita membeli 5 kg ayam dengan jumlah

bayaran RM40.
(c) Perimeter sebuah segi empat tepat dengan panjang 2x cm dan lebar 5 m ialah 14 m.

2. Tulis pernyataan atau situasi bagi setiap persamaan yang berikut.
(a) p – 1 = 6 dengan keadaan p ialah suatu nombor.
(b) x + 10 = 78 dengan keadaan x ialah markah ujian Edri.
(c) 4m = 50 dengan keadaan m ialah jisim sebungkus beras, dalam kg.

TIP    BESTARI

• Setiap sebutan dalam
persamaan  linear
mesti mempunyai unit
yang sama.

• Unit tidak perlu ditulis
apabila membentuk
persamaan linear.

PEMBELAJARAN

Membentuk persamaan
linear dalam satu
pemboleh ubah
berdasarkan suatu
pernyataan atau situasi,
dan sebaliknya.

06 Text book Mate Tg1.indd   126 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

127
Persamaan Linear

Bagaimanakah anda menyelesaikan persamaan
linear dalam satu pemboleh ubah?

Dua buah bongkah yang masing-masing berjisim 6 kg dan
x kg diletakkan pada penimbang seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di sebelah.
 Bacaan yang ditunjukkan oleh penimbang adalah
sama dengan jumlah jisim kedua-dua bongkah itu. Maka
persamaan linear yang dibentuk ialah x + 6 = 10.
 Jika kita menggantikan bongkah x kg dengan suatu
bongkah berjisim 4 kg, bacaan pada penimbang adalah
sama dengan 10 kg. Hal ini menunjukkan 4 ialah suatu nilai
berangka yang memuaskan persamaan x + 6 = 10. Nilai
berangka ini dikenali sebagai penyelesaian bagi persamaan
x + 6 = 10.
 Penyelesaian persamaan linear ialah nilai berangka
yang memuaskan persamaan itu.

Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah boleh
diselesaikan dengan menggunakan tiga kaedah yang berikut.
(a) Kaedah cuba jaya
(b) Aplikasi konsep kesamaan
(c) Kaedah pematahbalikan

Contoh 4
Selesaikan persamaan linear 2x + 1 = 7 dengan menggunakan
(a) kaedah cuba jaya (b) aplikasi konsep kesamaan (c)  kaedah pematahbalikan

(a) Kaedah cuba jaya
 2x + 1 = 7

Nilai x Sebelah kiri
= 2x + 1 Semakan  Refleksi

1 2(1) + 1 = 3 3 ≠ 7, nilai 3 lebih kecil
daripada 7.

Gantikan x dengan nilai yang
lebih besar daripada 1.

2 2(2) + 1 = 5 5 ≠ 7, nilai 5 berhampiran
dengan 7.

Gantikan x dengan nilai yang
lebih besar daripada 2.

3 2(3) + 1 = 7 Sebelah kiri = 7 x = 3 ialah penyelesaian.

Maka, x = 3

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan
persamaan linear dalam
satu pemboleh ubah.

10 kg

6 kg

x kg

ahukahT A nda
Penyelesaian persamaan
linear juga dikenali
sebagai punca bagi
persamaan itu.

Persamaan linear dalam satu
pemboleh ubah mempunyai
hanya satu penyelesaian.

06 Text book Mate Tg1.indd   127 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
128

(b) Aplikasi konsep kesamaan

2x + 1 = 7 x x

2x + 1 – 1  = 7 – 1 x x

2x = 6 x x

2x
2

= 6
2

x x

Maka, x = 3 x

(c) Kaedah pematahbalikan
 2x + 1 = 7
 Katakan nilai awal = x dan nilai akhir = 7.
 Senaraikan operasi matematik bermula daripada nilai x

untuk menjadi 7.

x  × 2   + 1   = 7

Dengan menggunakan kaedah pematahbalikan, kita
perlu mempertimbangkan operasi yang berbalik supaya
7 dapat menjadi nilai x.

x  ÷ 2   – 1   = 7

Maka nilai x dapat ditentukan dengan menulis

7 – 1 = 6  6 ÷ 2 = 3

Maka, x = 3

TIP    BESTARI

Dalam suatu persamaan
linear, nilai di sebelah kiri
sentiasa sama dengan
nilai di sebelah kanan.
Maka operasi matematik
yang dilakukan pada
kedua-dua belah
persamaan linear mesti
sama supaya mematuhi
konsep kesamaan.

TIP    BESTARI

Kaedah pematahbalikan
adalah menggunakan
strategi bekerja ke
belakang dan biasanya
digunakan untuk
menyelesaikan masalah
yang telah diketahui
nilai akhirnya tetapi nilai
awalnya tidak diketahui.

Adakah kaedah
pematahbalikan sesuai
digunakan untuk
menyelesaikan semua
persamaan linear?
Bincangkan perkara ini.

Dalam kaedah pematahbalikan,
urutan operasi matematik
adalah sangat penting.

06 Text book Mate Tg1.indd   128 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

129
Persamaan Linear

Contoh 5
Selesaikan persamaan yang berikut.

(a)  2x + 13
5

= 7 (b) 5(x – 4) = x + 16

(a)  2x + 13

5
 = 7

2x + 13
5

× 5  = 7 × 5  Darabkan kedua-dua
belah dengan 5.

2x + 13 = 35

2x + 13 – 13  = 35 – 13  Tolak 13 pada kedua-dua
belah persamaan.

2x = 22

2x
2

= 22
2

Bahagikan kedua-dua
belah dengan 2.

x = 11

(b)  5(x – 4) = x + 16
  5x – 20 = x + 16 Kembangkan persamaan.

5x – 20 + 20  = x + 16 + 20   Tambahkan kedua-dua
belah dengan 20.

5x = x + 36
  5x – x  = x + 36 – x   Tolak x pada kedua-dua

belah persamaan.
  4x = 36

4x
4

= 36
4

Bahagikan kedua-dua
belah dengan 4.

x = 9

6.1c

1. Selesaikan persamaan linear yang berikut.

(a) x – 10 = 3 (b) 4x – 1 = 7 (c) x
6

+ 3 = 5

(d)  x + 8
2

= 9 (e) 3(x + 2) = 5x (f) 2
3

x – 4 = x + 1

TIP    BESTARI

Semak jawapan anda
dengan menggantikan
nilai pemboleh ubah
yang diperoleh ke dalam
persamaan dan uji sama
ada nilai di sebelah kiri
sama dengan nilai di
sebelah kanan.

Adakah anda dapat
menyelesaikan
persamaan
3(2x + 3) = 6x + 9?
Terangkan.

Layari http://goo.
gl/nB5Sq untuk
permainan tentang
penyelesaian
persamaan linear
dalam satu
pemboleh ubah.

06 Text book Mate Tg1.indd   129 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
130

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Selepas 10 tahun, umur Jalil akan menjadi tiga kali umurnya
sekarang. Berapakah umur Jalil?

Memahami masalah
Selepas 10 tahun, umur Jalil adalah tiga kali
umurnya sekarang.

Merancang strategi
Katakan umur Jalil sekarang = x tahun
Selepas 10 tahun, umur Jalil = 3 × x
 = 3x
Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah yang
dibentuk ialah x + 10 = 3x.

Melaksanakan strategi
 x + 10 = 3x
 x + 10 – x  = 3x – x
 10 = 2x

10
2

= 2x
2

5 = x
Umur Jalil ialah 5 tahun.

Membuat ref leksi
Apabila x = 5, 5 + 10 = 3(5)
 = 15

6.1d

1. Dalam suatu ujian matematik, Azmah memperoleh 17 markah lebih daripada Yazid
manakala markah Suzana adalah dua kali markah Yazid. Sekiranya jumlah markah
ketiga-tiga orang murid itu ialah 161, berapakah markah Azmah?

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi empat tepat.
Jika perimeter segi empat tepat itu ialah 66 cm, berapakah
luas segi empat tepat itu?

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
persamaan linear dalam
satu pemboleh ubah.

(2x + 1) cm

(x + 5) cm

Hasil tambah tiga nombor
ganjil yang berturutan
ialah 63. Apakah
nombor-nombor ini?

TIP    BESTARI

Langkah-langkah untuk
menyelesaikan masalah
yang melibatkan
persamaan linear dalam
satu pemboleh ubah.

Kenal pasti pemboleh
ubah dalam masalah
dan wakilkan
pemboleh ubah itu
dengan satu huruf.

Bentukkan satu
persamaan linear
berdasarkan maklumat
yang diberi.

Selesaikan persamaan
itu untuk mencari nilai
pemboleh ubah itu.

06 Text book Mate Tg1.indd   130 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

131
Persamaan Linear

6.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 6.1.

1. Tulis persamaan linear dalam satu pemboleh ubah bagi setiap situasi yang diberi.
(a) Beza antara x dengan 8 ialah 15 dengan keadaan x lebih besar daripada 8.
(b) Harga sebuah buku latihan adalah tiga kali harga sebatang pen. Yahya membeli

2 buah buku latihan dan 8 batang pen dengan jumlah bayaran RM42.
(c) Umur Harjit ialah p tahun. Dia dilahirkan pada ketika ibunya berumur 34 tahun.

Umur ibunya sekarang adalah tiga kali umurnya.

2. Selesaikan persamaan yang berikut dengan kaedah cuba jaya.
(a) x –  6 = 10 (b) 2x + 3 = 11 (c) 14 – 3x = 8

3. Selesaikan persamaan yang berikut dengan menggunakan aplikasi konsep kesamaan.

(a) 5x + 1 = 3x (b) 2y – 4 = 5y + 8 (c) 2
3

x – 9 = 7

4. Selesaikan persamaan yang berikut dengan kaedah pematahbalikan.

(a) 3x + 2 = 12 (b) 2(x + 4) = 22 (c) 7y – 6
9

= 4

5. Seramai 35 orang murid menyertai satu aktiviti gotong-royong untuk membersihkan
halaman sekolah. Bilangan murid perempuan yang menyertai aktiviti itu adalah
5 orang kurang daripada bilangan murid lelaki. Berapa orang murid lelaki yang
menyertai aktiviti itu?

6. Masa yang digunakan oleh Nadia untuk menjawab kuiz geografi adalah 30 minit
lebih daripada masanya menjawab kuiz sejarah. Masa yang digunakannya untuk
menjawab kuiz sejarah adalah separuh daripada masanya menjawab kuiz geografi.
Berapakah jumlah masa Nadia menjawab kedua-dua kuiz itu?

7.

x m

2x m
10.6 m

16 m

Meja kecil

Meja besar

y m

y m

Rajah di atas menunjukkan pelan bagi susunan meja di dalam sebuah bilik. Jarak di
antara meja dengan meja ialah 1.5 m dan jarak di antara meja dengan dinding ialah
2 m. Tentukan luas permukaan bagi sebuah meja kecil dan sebuah meja besar.

06 Text book Mate Tg1.indd   131 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
132

6.2 Persamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah

Apakah persamaan linear dalam dua pemboleh ubah?

Perhatikan persamaan linear berikut yang diperoleh daripada
hasil Aktiviti Penerokaan 1.

6p + 4q = 9

x – 2y
3

= 7

3h – 1 = 5k

Persamaan linear ini mempunyai dua pemboleh ubah dengan
kuasa setiap pemboleh ubah ialah 1.
Persamaan ini dikenali sebagai persamaan linear dalam dua pemboleh ubah.

Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah ialah persamaan linear yang
mempunyai dua pemboleh ubah dan kuasa setiap pemboleh ubah ialah satu.

Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah boleh ditulis dalam bentuk umum
ax + by = c dengan keadaan a dan b bukan sifar.

Antara persamaan linear dalam dua pemboleh ubah berikut, yang manakah ditulis
dalam bentuk am?

6p + 4q = 9

x – 2y
3

= 7

3h – 1 = 5k

Contoh 6
Terangkan sama ada persamaan yang berikut ialah persamaan
linear dalam dua pemboleh ubah atau bukan.
(a) 3p – q = 6  (b) 7x2 + 5y = 9

(c) 2(k + 8) = 5k (d) y
6

+ 4 = –2x

(a) Ya, kerana persamaan ini mempunyai dua pemboleh ubah, p dan q, dengan kuasa

pemboleh ubah itu ialah 1.
(b) Bukan, kerana kuasa pemboleh ubah x ialah 2.
(c) Bukan, kerana persamaan ini mempunyai satu pemboleh ubah sahaja.
(d) Ya, kerana persamaan ini mempunyai dua pemboleh ubah, x dan y, dengan kuasa

pemboleh ubah itu ialah 1.

6.2a

1. Terangkan sama ada persamaan yang berikut ialah persamaan linear dalam dua
pemboleh ubah atau bukan.
(a) h – 7k = 6 (b) 3m + 5 = 9m – 1 (c) 2x

3
 – 8 = 4y (d) p (p + 3) = 2q

PEMBELAJARAN

Mengenal pasti
persamaan linear dalam
dua pemboleh ubah dan
menghuraikan ciri-ciri
persamaan tersebut.

Bincangkan mengapa

xy + 2y = 3 dan 1
x  + 1

y  = 5

bukan persamaan
linear dalam dua
pemboleh ubah.

06 Text book Mate Tg1.indd   132 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

133
Persamaan Linear

Bagaimanakah anda membentuk persamaan
linear dalam dua pemboleh ubah?

Contoh 7
Bentukkan persamaan linear dalam dua pemboleh ubah bagi
setiap yang berikut.
(a) Beza antara dua nombor ialah 18.
(b) Simpanan wang saku Ahmad ialah RMx dan simpanan

wang saku Norita ialah RMy. Jumlah simpanan wang
mereka ialah RM600.

(c) Sebuah bas dan sebuah van masing-masing dapat membawa m dan n orang
penumpang. Jumlah penumpang yang dibawa oleh dua buah bas dan lima buah van
ialah 100 orang.

(a) Katakan dua nombor itu masing-masing ialah p dan q.
 p – q = 18
(b) Jumlah simpanan = 600 (c) Jumlah penumpang = 100
  x + y = 600   2m + 5n = 100

Contoh 8
Tulis situasi bagi setiap persamaan linear dalam dua pemboleh ubah yang berikut.
(a) p – q = 6 dengan keadaan p dan q masing-masing mewakili bilangan murid lelaki dan

murid perempuan yang menyertai suatu ekspedisi yang diadakan pada cuti sekolah
yang lalu.

(b) 4x + 5y = 35 dengan keadaan x dan y masing-masing mewakili harga, dalam RM,
sepinggan nasi lemak dan sepinggan mi goreng.

(a) Bilangan murid lelaki adalah 6 orang lebih daripada bilangan murid perempuan

dalam suatu ekspedisi yang diadakan pada cuti sekolah yang lalu.
(b) Jumlah harga bagi 4 pinggan nasi lemak dan 5 pinggan mi goreng ialah RM35.

6.2b

1. Bentukkan persamaan linear dalam dua pemboleh ubah bagi setiap yang berikut.
(a) Dalam suatu acara lompat jauh, jumlah mata yang diperoleh rumah sukan Satria

dan rumah sukan Perdana ialah 258.
(b) Beza antara sudut terbesar dengan sudut terkecil dalam sebuah segi tiga ialah 15°.
(c) Jumlah harga tiket bagi suatu taman tema air untuk lapan orang dewasa dan lima

orang kanak-kanak ialah RM265.
(d) Jumlah markah bagi suatu kertas ujian yang terdiri daripada Bahagian A dan

Bahagian B ialah 40. Setiap jawapan yang betul dalam Bahagian A dan Bahagian
B masing-masing diberi 1 markah dan 2 markah.

PEMBELAJARAN

Membentuk persamaan
linear dalam dua
pemboleh ubah
berdasarkan suatu
pernyataan atau situasi,
dan sebaliknya.

06 Text book Mate Tg1.indd   133 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
134

2. Tulis situasi bagi setiap persamaan linear yang berikut.
(a) x + y = 465 dengan keadaan x dan y masing-masing mewakili bilangan tin

aluminium dan bilangan botol kaca yang dikutip dalam kempen kitar semula.
(b) p – q = 3 dengan keadaan p dan q masing-masing mewakili panjang dan lebar,

dalam cm, sebuah segi empat tepat.

Bagaimanakah anda menentukan penyelesaian
yang mungkin bagi persamaan linear dalam
dua pemboleh ubah?

Sebuah novel dan
6 buah buku cerita.

2 buah novel
dan 5 buah
buku cerita.

Dalam minggu ini, saya
telah habis membaca
sejumlah 7 buah novel dan
buku cerita untuk program
NILAM.  Bolehkah kamu
meneka bilangan novel dan
bilangan buku cerita yang
telah saya baca?

Persamaan yang boleh dibentuk berdasarkan situasi di atas, iaitu
x + y = 7 mempunyai beberapa pasangan nilai berlainan bagi
x dan y. Semua pasangan nilai x dan y tersebut merupakan
penyelesaian yang mungkin bagi persamaan itu.
 Suatu persamaan linear dalam dua pemboleh ubah
mempunyai banyak pasangan penyelesaian yang mungkin.

Contoh 9
Tulis tiga pasangan penyelesaian yang mungkin bagi
2x + y = 6.

2x + y = 6
Apabila x = 0,
 2(0) + y = 6
 y = 6

Apabila x = 1,
 2(1) + y = 6
 y = 6 – 2
 y = 4

Apabila x = 2,
 2(2) + y = 6
 y = 6 – 4
 y = 2

Maka, tiga pasangan penyelesaian yang mungkin ialah
x = 0, y = 6; x = 1, y = 4 dan x = 2, y = 2.

PEMBELAJARAN

Menentu dan menjelaskan
penyelesaian yang
mungkin bagi persamaan
linear dalam dua
pemboleh ubah.

CelikCelik

Kalkulator	saintifik	boleh
digunakan	untuk
menentukan	nilai
penyelesaian	bagi
persamaan	linear	dalam
dua	pemboleh	ubah.

1.	 Tulis	persamaan	dalam
bentuk	y	=	6	–	2x.

Tekan

ALPHA 	 Y 	 ALPHA 	 =

6 	 – 	 2 	 ALPHA 	 X

CALC

Skrin	yang	dipaparkan

X?

2.	 Masukkan	nilai	x	yang
dikehendaki.

Misalnya	0.

Tekan	 0 	 =

Skrin	yang	dipaparkan

6	–	2X
6

Maka,	y	=	6.

3.	 Tekan	 CALC 	dan
	 masukkan	nilai	x	yang

lain	untuk	pasangan
penyelesaian	yang	lain.

TIP    BESTARI
Setiap pasangan penyelesaian boleh ditulis dalam bentuk
pasangan tertib (x, y).
Misalnya, (0, 6), (1, 4) dan (2, 2).

06 Text book Mate Tg1.indd   134 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

135
Persamaan Linear

Contoh 10
Osman telah membeli lima helai jersi Pasukan Harimau
dan jersi Pasukan Kancil. Berapakah bilangan jersi yang
mungkin dibelinya bagi setiap pasukan?

Katakan bilangan jersi Pasukan Harimau  = x
 dan bilangan jersi Pasukan Kancil = y
Maka, x + y = 5

Bilangan jersi
Pasukan Harimau

Bilangan jersi
Pasukan Kancil

x = 1 y = 4
x = 2 y = 3
x = 3 y = 2
x = 4 y = 1

Selain pasangan penyelesaian yang disenaraikan, adakah pasangan penyelesaian yang lain untuk
bilangan jersi yang dibeli oleh Osman? Bincangkan.

6.2c

1. Tulis tiga pasangan penyelesaian yang mungkin bagi persamaan yang berikut.
(a) x – y = 7 (b) y = 1 – 2x (c) 3x – y

2
 = 6

2. Pada hari sukan, Sani telah memenangi 4 butir pingat yang terdiri daripada pingat
emas dan pingat gangsa. Berapakah bilangan pingat emas dan pingat gangsa yang
mungkin dimenanginya?

Bagaimanakah anda mewakilkan persamaan
linear dalam dua pemboleh ubah secara graf?

Kelas

Berbalik
2

Tujuan : Mewakilkan persamaan linear dalam dua
pemboleh ubah secara graf.

Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang
dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

TIP    BESTARI

Langkah-langkah untuk
menentukan penyelesaian
yang mungkin bagi
persamaan linear dalam
dua pemboleh ubah:

Pilih suatu nilai
bagi satu daripada

pemboleh ubah.

Gantikan nilai itu ke
dalam persamaan linear.

Selesaikan persamaan
itu untuk mencari nilai

pemboleh ubah
yang  satu lagi.

PEMBELAJARAN

Mewakilkan persamaan
linear dalam dua
pemboleh ubah
secara graf.

06 Text book Mate Tg1.indd   135 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
136

1. Buka fail persamaan linear secara graf.pdf dan cetakkan fail itu.

2. Lengkapkan jadual bagi setiap persamaan yang diberikan.
(a) x – y = –2   (b) x – 2y = 8

x 0 1 2 3 4 5

y 2

(x, y) (0, 2)

x 0 2 4 6 8 10

y

(x, y)

(c) x + y = – 5 (d) 2x + y = 2
x

y 0 –1 –2 –3 – 4 –5

(x, y)

x

y 10 8 6 4 2 0

(x, y)

3. Berdasarkan pasangan tertib yang diperoleh daripada jadual di atas, plot
semua titik pada kertas grid yang dicetak.

4. Lukis satu graf dengan menyambungkan semua titik itu.

5. Kaji bentuk graf anda. Apakah pemerhatian anda?

6. Bandingkan bentuk graf yang diperoleh daripada persamaan linear yang diberi.

7. Bincangkan hasil dapatan anda.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa graf
garis lurus diperoleh apabila semua pasangan tertib bagi
persamaan linear dalam dua pemboleh ubah diplot dan
titik-titik disambungkan.

Semua titik yang terletak pada garis lurus itu merupakan
penyelesaian bagi persamaan linear tersebut.

6.2d

1. Antara rajah berikut, yang manakah mewakili persamaan linear dalam dua pemboleh
ubah secara graf?

y

x0

y

x0

y

x0

Rajah (a) Rajah (b) Rajah (c)

1
0 1 2 3 4 5

x

2
3
4
5
6
7 x – y = –2

y

06 Text book Mate Tg1.indd   136 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

137
Persamaan Linear

6.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 6.2.

1. Bentukkan persamaan linear dalam dua pemboleh ubah bagi setiap yang berikut.
(a) Jumlah harga bagi x helai tudung yang berharga RM30 sehelai adalah RM8 lebih

daripada jumlah harga bagi y helai selendang yang berharga RM20 sehelai.
(b) Jumlah umur seorang ayah dan dua orang anak kembarnya ialah 130.
(c) Bilangan guru perempuan adalah dua kali bilangan guru lelaki di sebuah sekolah.

2. Tulis dua pasangan penyelesaian yang mungkin bagi setiap persamaan yang berikut.
(a) x + y = 7 (b) y – 2 = 5x

3. Lukis graf untuk mewakili setiap persamaan linear yang berikut berdasarkan nilai x
yang diberikan.
(a) x – y = 2; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (b) 2x + y = 4; x = –2, –1, 0, 1, 2
(c) y – x

2
 = 3; x = – 6, – 4, –2, 0, 2

4. Sehelai baju berharga RM20 dan sehelai seluar berharga RM10. Cari bilangan
baju dan seluar yang mungkin dibeli oleh Sheimah dengan jumlah bayaran RM80.
Berapakah bilangan maksimum baju yang boleh dibeli oleh Sheimah?

5. Pei San menyimpan syiling 10 sen dan 20 sen di dalam tabung duitnya. Jumlah
simpanannya ialah RM5. Lukis satu graf untuk mewakili situasi tersebut.

6.3 Persamaan Linear Serentak dalam Dua Pemboleh Ubah

Bagaimanakah anda membentuk persamaan
linear serentak dan mewakilkannya secara graf?

Faizah menternak sejumlah 7 ekor ayam dan itik di
sebuah reban. Kos menternak seekor ayam ialah RM2
seminggu manakala kos menternak seekor itik ialah RM1
seminggu. Jumlah kos ternakan bagi ayam dan itik ialah
RM12 seminggu. Berapa ekor ayam dan itik yang diternak
oleh Faizah?

Berdasarkan situasi di atas, katakan x ekor ayam dan
y ekor itik diternak,
maka  x + y = 7   Jumlah ternakan ialah 7 ekor.

dan 2x + y = 12  Jumlah kos ternakan bagi ayam
dan itik ialah RM12 seminggu.

Kedua-dua persamaan yang dibentuk itu ialah persamaan linear dalam dua pemboleh
ubah.

Untuk menentukan bilangan ayam dan bilangan itik, kita perlu mencari nilai x dan
nilai y yang memuaskan kedua-dua persamaan linear itu.

PEMBELAJARAN

Membentuk persamaan
linear serentak
berdasarkan situasi
harian. Seterusnya
mewakilkan persamaan
linear serentak dalam
dua pemboleh
ubah secara graf
dan menjelaskan
maksud persamaan
linear serentak.

06 Text book Mate Tg1.indd   137 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
138

Kelas

Berbalik
3a

Tujuan : Meneroka persamaan linear serentak.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang

dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.
   • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail kes bersilang.ggb dengan perisian GeoGebra.
2. Klik pada kedua-dua petak

untuk memaparkan graf garis
lurus bagi persamaan x + y = 7
dan 2x + y = 12.

3. Perhatikan dua garis lurus yang
dipaparkan dan nyatakan titik
persilangan (x, y) antara dua
garis lurus itu.

4. Tentukan sama ada titik persilangan (x, y) itu ialah pasangan penyelesaian
bagi kedua-dua persamaan linear itu.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3a, didapati bahawa titik persilangan antara dua garis
lurus itu ialah pasangan penyelesaian sepunya bagi kedua-dua persamaan linear.
 Persamaan linear x + y = 7 dan 2x + y = 12 merupakan persamaan linear serentak
dalam dua pemboleh ubah kerana kedua-dua persamaan linear itu mempunyai dua
pemboleh ubah yang sama.
 Penyelesaian persamaan linear serentak yang mempunyai satu titik persilangan
dikenali sebagai penyelesaian unik.

Kelas

Berbalik
3b

Tujuan : Meneroka persamaan linear serentak.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang

dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.
   • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail kes selari.ggb dengan perisian GeoGebra.

2. Klik pada kedua-dua petak untuk
memaparkan graf garis lurus
bagi persamaan 2x – 3y = – 6 dan
4x – 6y = 18.

3. Perhatikan dua garis lurus yang
dipaparkan.

06 Text book Mate Tg1.indd   138 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

139
Persamaan Linear

4. Buka fail kes bertindih.ggb dengan
perisian GeoGebra.

5. Klik pada kedua-dua petak secara
bergilir untuk memaparkan graf
garis lurus bagi persamaan x + y = 4
dan 5x + 5y = 20.

6. Perhatikan dua garis lurus yang dipaparkan.

7. Salin dan catatkan semua hasil anda dalam jadual yang berikut.

Persamaan linear
yang dipaparkan

Keadaan kedua-dua
garis lurus Titik persilangan

2x – 3y = – 6
4x – 6y = 18

x + y = 4
5x + 5y = 20

8. Bincang dengan rakan anda tentang hasil dapatan anda.

Aktiviti Penerokaan 3a dan 3b menunjukkan bahawa terdapatnya tiga kes yang melibatkan
penyelesaian persamaan linear serentak seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.

Keadaan kedua-dua garis lurus Jenis penyelesaian

Bersilang Penyelesaian unik

Selari Tiada penyelesaian

Bertindih Penyelesaian tak terhingga

6.3a

1. Bentukkan persamaan linear serentak bagi setiap situasi harian yang diberi. Seterusnya,
wakilkan persamaan linear serentak dalam dua pemboleh ubah secara graf.
(a) Puan Siti ingin menghadiahi muridnya dengan 6 buah kamus bahasa Melayu dan

kamus bahasa Inggeris. Harga sebuah kamus bahasa Melayu dan sebuah kamus
bahasa Inggeris masing-masing ialah RM20 dan RM40. Puan Siti membeli x
buah kamus bahasa Melayu dan y buah kamus bahasa Inggeris dengan jumlah
bayaran RM160.

(b) Seramai 12 orang murid yang terdiri daripada murid lelaki dan murid perempuan
 dibahagikan sama rata kepada dua kumpulan. Bilangan murid lelaki di dalam

setiap kumpulan adalah 2 orang lebih daripada bilangan murid perempuan.

06 Text book Mate Tg1.indd   139 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
140

Bagaimanakah anda menyelesaikan persamaan
linear serentak dalam dua pemboleh ubah?

Persamaan linear serentak dalam dua pemboleh ubah dapat
diselesaikan dengan
(i) kaedah graf
(ii) kaedah penggantian
(iii) kaedah penghapusan

Contoh 11
Selesaikan persamaan linear serentak berikut dengan menggunakan kaedah graf.

x + y = 6 dan 2x + y = 8

Daripada graf yang dilukis,
titik persilangan ialah (2, 4).
Maka, penyelesaian ialah x = 2
dan y = 4.

Contoh 12
Selesaikan persamaan linear serentak berikut dengan
kaedah penggantian.

x – 3y = 7 dan 5x + 2y = 1

x – 3y = 7 ............... 1
 5x +  2y = 1 ............... 2
Daripada 1, x = 7 + 3y  ..... 3
Gantikan 3 ke dalam 2.
 5(7 + 3y) + 2y = 1
 35 + 15y + 2y = 1
 35 + 17y = 1
 17y = 1 – 35
 17y = –34

y = –34
17

y = –2
Gantikan y = –2 ke dalam 3.
x = 7 + 3(–2)
 = 1
Maka, x = 1 dan y = –2.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan
persamaan linear
serentak dalam dua
pemboleh ubah
menggunakan
pelbagai kaedah.

2

2 4 6
x0

4

6

8
2x + y = 8

x + y = 6

y

TIP    BESTARI

Langkah-langkah
untuk menyelesaikan
persamaan linear
serentak dalam dua
pemboleh ubah dengan
kaedah penggantian:

Ungkapkan satu
daripada pemboleh
ubah dalam sebutan
pemboleh ubah yang
satu lagi.

Gantikan ungkapan itu
ke dalam persamaan
yang satu lagi.

Selesaikan persamaan
linear dalam satu
pemboleh ubah.

Gantikan nilai yang
diperoleh ke dalam
persamaan yang
diungkapkan untuk
mencari nilai pemboleh
ubah yang satu lagi.

Ungkapkan x
dalam sebutan y.

06 Text book Mate Tg1.indd   140 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

141
Persamaan Linear

Contoh 13
Selesaikan persamaan linear serentak berikut dengan
kaedah penghapusan.
(a) x + 2y = 9 dan 3x – 2y = 15
(b) 2x + 5y = 14 dan 3x + 4y = 7

(a)  x + 2y = 9 .…… 1 Kenal pasti pemboleh ubah

dengan pekali yang sama.  3x – 2y = 15 …… 2

 1 + 2 : 4x + 0 = 24  Hapuskan pemboleh ubah

y dengan menambah 1
dan 2.  4x = 24

x = 6
 Gantikan x = 6 ke dalam 1.
  6 + 2y = 9
  2y = 9 – 6
  2y = 3

y = 3
2

Maka, x = 6 dan y = 3
2

.

(b)  2x + 5y = 14 …… 1
  3x + 4y = 7  …… 2
 1 × 3 : 6x + 15y = 42 …… 3

• Darabkan 1 dan 2 untuk
menyamakan pekali x.

• GSTK bagi 2 dan 3 ialah 6. 2 × 2 : 6x + 8y = 14 …… 4

 3 – 4 : 0 + 7y = 28 Hapuskan pemboleh ubah

x dengan menolak 4
daripada 3.

7y = 28
  y = 4
 Gantikan y = 4 ke dalam 1.
  2x + 5(4) = 14
  2x + 20 = 14
  2x = 14 – 20
  2x = –  6
  x = –3
 Maka, x = –3 dan y = 4.

6.3b

1. Selesaikan persamaan linear serentak yang berikut.
(a) y = 3x + 1  (b) x + y = 5
 x + 2y = 16   2x – y = 22
(c) 4x + 3y = 8 (d) 8x + 3y = – 4
 x – 3y = 2  5x + 2y = 6

TIP    BESTARI

Langkah-langkah
untuk menyelesaikan
persamaan linear
serentak dalam dua
pemboleh ubah dengan
kaedah penghapusan:

Darabkan satu atau
kedua-dua persamaan
dengan suatu nombor
untuk menjadikan
pekali bagi satu
daripada pemboleh
ubah adalah sama.

Tambah atau tolak dua
persamaan itu untuk
menghapuskan salah
satu pemboleh ubah.

Selesaikan persamaan
linear dalam satu
pemboleh ubah.

Gantikan nilai yang
diperoleh ke dalam
persamaan asal untuk
mencari nilai pemboleh
ubah yang satu lagi.

Imbas QR Code atau
layari https://youtu.
be/d4G6FGESBTE
tentang penyelesaian
Contoh 13(b) dengan
menggunakan
kalkulator saintif ik.

06 Text book Mate Tg1.indd   141 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

BAB 6
142

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Berdasarkan perbualan dua orang di atas, berapakah harga tiket bagi seorang dewasa dan
seorang kanak-kanak?

Memahami masalah
• Jumlah harga tiket bagi 2 orang dewasa dan 3 orang kanak-kanak ialah RM97.
• Jumlah harga tiket bagi 4 orang dewasa dan seorang kanak-kanak ialah RM139.
Merancang strategi
Katakan harga tiket seorang dewasa = RMx
dan harga tiket seorang kanak-kanak = RMy
Bentukkan dua persamaan linear serentak dan selesaikannya.

Melaksanakan strategi
 2x + 3y = 97  …… 1
 4x + y = 139 …… 2
1 × 2 : 4x + 6y = 194 …… 3
 4x + y = 139 …… 2
3 – 2 : 0 + 5y = 55
 5y = 55
 y = 11
Gantikan y = 11 ke dalam persamaan 1.
 2x + 3(11) = 97
 2x + 33 = 97
 2x = 64
 x = 32
Maka, harga tiket seorang dewasa ialah RM32 dan harga tiket seorang kanak-kanak
ialah RM11.

Membuat ref leksi
Jumlah harga tiket bagi 2 orang dewasa dan 3 orang kanak-kanak = 2(32) + 3(11)
 = RM97
Jumlah harga tiket bagi 4 orang dewasa dan 1 orang kanak-kanak = 4(32) + 11
 = RM139

Semalam saya membawa
isteri dan tiga orang anak
yang berumur di bawah
12 tahun ke Zoo Negara
dengan jumlah bayaran
tiket RM97.

Pada minggu lepas, saya membawa
isteri dan seorang anak yang berumur
5 tahun bersama dua orang kawan
saya ke Zoo Negara. Jumlah bayaran
tiket ialah RM139.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
persamaan linear
serentak dalam dua
pemboleh ubah.

06 Text book Mate Tg1.indd   142 10/18/16   3:21 PM
B
A
B

6

143
Persamaan Linear

6.3c

1. Pada Hari Keusahawanan di sebuah sekolah, 800 naskhah kupon telah dijual.
Harga senaskhah kupon masing-masing ialah RM30 dan RM50. Jumlah wang
yang diperoleh ialah RM30 000. Berapa naskhah kupon RM30 dan RM50 yang
masing-masing telah dijual?

2. Panjang sebuah kolam renang yang berbentuk segi empat tepat ialah p m dan lebarnya
ialah q m. Diberi bahawa panjang kolam renang itu adalah dua kali lebarnya. Jika
perimeter kolam renang itu ialah 150 m, cari nilai p dan nilai q.

6.3
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 6.3.

1. Bentukkan persamaan linear serentak berdasarkan pernyataan di bawah.
Beza antara dua nombor ialah 5. Apabila nombor yang lebih besar

didarab dengan 2, hasil tambah kedua-dua nombor itu ialah 7.
 Seterusnya, wakilkan persamaan linear serentak dalam dua pemboleh ubah secara

graf dan nyatakan jenis penyelesaiannya.

2. Selesaikan persamaan linear serentak yang berikut.
(a) x + 4y = 14 (b) 3m – 2n = 19
 3x + 2y = 12  5m + 7n = 11

(c)   1
3

p + q = 4 (d) f
2

+ g
5

= 3

p – q
4

= 2  2g – f = 10

3. Seutas dawai dengan panjangnya 100 cm dipotong kepada tiga bahagian. Panjang
bahagian dawai pertama dan kedua adalah sama. Panjang bahagian dawai ketiga
melebihi jumlah panjang dua bahagian dawai itu 4 cm. Hitung panjang setiap
bahagian dawai itu.

4. Lai Yee dan Khadijah mempunyai 60 keping setem. Selepas Lai Yee memberikan
5 keping setem kepada Khadijah, bilangan setem Lai Yee adalah dua kali
bilangan setem Khadijah. Berapakah keping setem yang dimiliki oleh setiap orang
pada awalnya?

5. Selepas enam tahun, umur ayah Devaki adalah tiga kali umur Devaki. Jika pada dua
tahun yang lalu, umur ayah Devaki adalah tujuh kali umur Devaki, berapakah umur
mereka pada masa sekarang?

6. Sarah mempunyai wang yang lebih daripada Hui Chin. Jika Sarah memberi RM10
kepada Hui Chin, mereka akan mempunyai jumlah wang yang sama. Sekiranya Hui
Chin memberi RM5 kepada Sarah, wang Sarah akan menjadi empat kali wang Hui
Chin. Berapakah wang yang ada pada setiap orang?

06 Text book Mate Tg1.indd   143 10/18/16   3:22 PM
BAB 6
144

Persamaan
linear dalam satu
pemboleh ubah

ax + b = c

Persamaan
linear dalam dua
pemboleh ubah

ax + by = c

Mempunyai
satu

pemboleh
ubah sahaja.

Mempunyai
dua

pemboleh
ubah.

Terdiri
daripada
ungkapan
linear dan
nombor.

Kuasa
pemboleh

ubah
ialah 1.

Mempunyai
pasangan

penyelesaian
yang

mungkin.

Hanya
mempunyai

penyelesaian
unik.

Sangat
baik

Berusaha
lagi

mengenal pasti persamaan linear dalam satu pemboleh ubah dan menghuraikan
ciri-ciri persamaan tersebut.

membentuk persamaan linear dalam satu pemboleh ubah berdasarkan suatu
pernyataan atau situasi, dan sebaliknya.

menyelesaikan persamaan linear dalam satu pemboleh ubah.

menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan linear dalam satu
pemboleh ubah.

mengenal pasti persamaan linear dalam dua pemboleh ubah dan menghuraikan
ciri-ciri persamaan tersebut.

membentuk persamaan linear dalam dua pemboleh ubah berdasarkan suatu
pernyataan atau situasi, dan sebaliknya.

menentu dan menjelaskan penyelesaian yang mungkin bagi persamaan linear
dalam dua pemboleh ubah.

mewakilkan persamaan linear dalam dua pemboleh ubah secara graf.

membentuk persamaan linear serentak berdasarkan situasi harian. Seterusnya
mewakilkan persamaan linear serentak dalam dua pemboleh ubah secara graf dan
menjelaskan maksud persamaan linear serentak.

menyelesaikan persamaan linear serentak dalam dua pemboleh ubah menggunakan
pelbagai kaedah.

menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan linear serentak dalam dua
pemboleh ubah.

B
A
B

6

06 Text book Mate Tg1.indd   144 10/19/16   2:39 PM
B
A
B

6

145
Persamaan Linear

1. Meena mempunyai sebungkus gula-gula. Dia membahagikan separuh daripada
gula-gula itu kepada adiknya. Selepas Meena makan 3 biji gula-gula, bungkusan
itu masih ada 5 biji gula-gula. Berapakah biji gula-gula di dalam bungkusan itu
pada awalnya?

2. Dalam acara merentas desa di sebuah sekolah, murid yang menghabiskan larian
dalam tempoh masa satu jam akan mendapat 2 mata untuk rumah sukannya. Seramai
280 orang murid telah berjaya memperoleh mata. Bilangan murid lelaki yang berjaya
memperoleh mata adalah 60 orang lebih daripada bilangan murid perempuan.
Berapakah mata yang diperoleh  murid perempuan dalam acara merentas desa ini?

3. Jumlah wang simpanan Ella dan Zahida ialah RM2 000. Ella dan Zahida masing-
masing menderma 1

4
 dan 1

5
 daripada wang simpanan mereka kepada sebuah

rumah kebajikan orang tua. Jumlah wang yang diderma oleh mereka ialah RM440.
Berapakah baki wang simpanan Ella dan Zahida sekarang?

4. Seorang peniaga dalam talian menjual dua jenis baju, baju kurung dan baju kebaya.
Keuntungan yang diperoleh daripada sehelai baju kurung adalah RM10 kurang
daripada keuntungan bagi sehelai baju kebaya. Dia mendapat keuntungan sebanyak
RM275 daripada jualan 5 helai baju kurung dan 8 helai baju kebaya pada minggu
pertama. Pada minggu kedua, dia menjual 9 helai baju kurung dan 7 helai baju
kebaya. Berapakah keuntungannya pada minggu kedua?

5. Perimeter sebuah segi empat tepat ialah 56 cm. Apabila panjangnya dikurangkan
2 cm dan lebarnya ditambah 4 cm, sebuah segi empat sama terbentuk. Berapakah
luas segi empat tepat itu?

6. Resit yang tidak lengkap di sebelah menunjukkan
perbelanjaan Liza dan Kei Ling di Restoran Sedap.
Harga secawan kopi adalah RM1 lebih daripada harga
sebiji karipap. Berapakah harga bagi secawan kopi dan
sebiji karipap?

7. Encik Rizal dan isterinya membawa anak-anak yang berumur 12 tahun ke bawah
untuk menyertai satu pakej percutian ke Pulau Redang. Mereka membelanjakan
sejumlah RM1 150 untuk pakej ini. Bayaran untuk seorang dewasa dan seorang
kanak-kanak masing-masing ialah RM350 dan RM150. Berapakah orang anak yang
dibawa oleh Encik Rizal dalam percutian ini?

Restoran Sedap

2 cawan kopi RM

4 biji karipap RM

Jumlah RM6.80

06 Text book Mate Tg1.indd   145 10/18/16   3:22 PM
B
A
B

6

BAB 6
146

8. Asnita : Umur saya adalah x tahun lebih daripada umur anda.
Reslynna : Saya berumur 13 tahun pada x tahun lepas.
Asnita : Umur saya menjadi 31 tahun pada x tahun kemudian.

Berdasarkan perbualan mereka, berapakah umur bagi Asnita dan Reslynna?

9.  Graf garis lurus di sebelah mewakili populasi
pokok yang ditanam di daerah P dan Q
mulai tahun 2010. Persamaan linear yang
diwakili oleh graf garis lurus bagi daerah P
dan Q masing-masing ialah n – 3x = 16 dan
 n – 5x = 10 dengan keadaan n ialah populasi
pokok yang ditanam dan x ialah bilangan
tahun selepas 2010. Pada tahun apakah
kedua-dua daerah mempunyai populasi
pokok yang sama? Nyatakan populasi pokok
pada tahun itu.

10. Cikgu Latif merekod masa larian 100 m bagi tiga orang murid, Amir, Ben dan Ravi.
Masa larian Ben dan Ravi adalah sama. Purata masa larian bagi ketiga-tiga orang
murid ialah 13.3 s. Namun Cikgu Latif mendapati bahawa masa larian Amir tersalah
catat daripada 13.5 s kepada 15.3 s. Hitung purata masa larian yang sebenar bagi
ketiga-tiga orang murid itu.

11. Seorang pemborong membekalkan dua jenis buah-buahan, nanas dan tembikai,
kepada gerai A dan B. Jisim buah-buahan yang dibekalkan adalah seperti yang
ditunjukkan dalam jadual di bawah.

Gerai
Jisim (kg)

Nanas Tembikai

A 15 40

B 25 60

Jumlah bayaran yang diterima oleh pemborong daripada gerai A dan B masing-masing
ialah RM90 dan RM140. Tentukan harga setiap jenis buah-buahan per kilogram.

12. Aplikasi

Sebuah syarikat menghasilkan dua jenis pemacu pena, P dan Q. Pada tahun 2015,
keuntungan yang diperoleh daripada dua jenis pemacu pena itu ialah RM350 000.
Pada tahun 2016, keuntungan bagi pemacu pena jenis P meningkat sebanyak 25%
manakala keuntungan bagi pemacu pena jenis Q merosot sebanyak 10%. Jika jumlah
keuntungan syarikat itu pada tahun 2016 ialah RM395 500, cari keuntungan yang
diperoleh daripada setiap jenis pemacu pena pada tahun 2016.

0

Daerah Q

Daerah P

Populasi
pokok (n)

Bilangan
tahun (x)

06 Text book Mate Tg1.indd   146 10/18/16   3:22 PM
B
A
B

6

147
Persamaan Linear

Persamaan linear sentiasa digunakan dalam penyelesaian pelbagai masalah harian.
Selain itu, persamaan linear juga digunakan dalam bidang lain seperti pengurusan,
kewangan, komputer, sains, kejuruteraan, pembinaan dan kesihatan.
 Buat satu kajian dan tulis satu laporan tentang kepentingan persamaan linear
dalam bidang tersebut.

Imbas QR Code atau layari http://goo.gl/nDPH2m untuk meneroka penggunaan
persamaan linear dalam pelbagai bidang.

Persamaan linear boleh digunakan
untuk mengkaji dan menyelesaikan
masalah lalu lintas.

Rajah di sebelah menunjukkan
suatu lalu lintas yang terdiri
daripada empat simpang, P, Q, R
dan S, dengan keadaan setiap jalan
ialah sehala. Q

P S

R

A

B

C

D

Kadar pengaliran kenderaan pada waktu siang adalah seperti yang diberikan dalam
jadual di bawah.

Lalu lintas Kadar purata bagi pengaliran kenderaan
(Bilangan kenderaan sejam)

Kenderaan dari A 110
Kenderaan dari B 75
Kenderaan yang bergerak di PQ 35
Kenderaan yang bergerak di QS 80
Kenderaan yang bergerak di RS 20

Dengan menggunakan konsep kesamaan, bentukkan beberapa persamaan linear
daripada maklumat yang diberi. Seterusnya, tentukan kadar purata bagi pengaliran
kenderaan yang keluar ke C dan D.

06 Text book Mate Tg1.indd   147 10/18/16   3:22 PM
BAB 7
148

B
A
B

7

Kenapa Belajar Bab Ini?

Ketaksamaan
Linear7

BAB

•	Ketaksamaan
•	Ketaksamaan	Linear	dalam	Satu	Pemboleh	Ubah

Apakah yang akan anda pelajari?

Body Mass Index (BMI) atau Indeks Jisim Badan
digunakan untuk menentukan berat badan
yang unggul. Tinjauan Pertubuhan Kesihatan
Sedunia Tahun 2011 mendapati 44.2% daripada
rakyat Malaysia mempunyai BMI melebihi 25.
 Berdasarkan jadual yang diberikan, apakah
klasifikasi berat badan mereka? Apakah pula
klasifikasi berat badan anda?

Sebagai asas
pengetahuan
dalam bidang yang
memerlukan konsep
had. Seorang arkitek perlu
mempertimbangkan had tinggi
struktur yang dibina, seorang
jurutera perlu menentukan had
laju dan had berat kenderaan
yang direka, seorang perancang
kewangan menggunakan idea had
untuk mengira keuntungan optimum
sebuah syarikat berdasarkan kos
operasinya. Bincangkan bidang lain
yang melibatkan konsep had.

BAB 7
148

07 Text book Mate Tg1.indd   148 10/17/16   5:27 PM
149
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

Simbol ‘.’ dan ‘,’ diperkenalkan oleh
seorang juruukur berbangsa Inggeris,
Thomas Harriot dalam bukunya yang
diterbit pada tahun 1631. Asal usul
simbol ketaksamaan ini dipercayai
berasal daripada simbol kesamaan ‘=’.

Untuk maklumat lanjut:

http://goo.gl/JooUWU

Imbas QR Code untuk menonton video
tentang amalan cara hidup yang sihat.

http://goo.gl/fPfbq6

Jaringan Kata

Thomas	Harriot

Klasifikasi Berat
Badan BMI

Kurang berat badan

Normal

Berlebihan berat
badan

Obesiti BMI � 30.0

BMI � 18.5

25.0 � BMI � 30.0

18.5 � BMI � 25.0

•	ketaksamaan	 •	inequality
•		ketaksamaan	linear	 •	linear inequality
	 dalam	satu	 	 in one variable
	 pemboleh	ubah
•		ketaksamaan	linear	 •	simultaneous linear
	 serentak		 	 inequalities
•		sifat	akas	 •	converse property
•		sifat	transitif	 •	transitive property
•	 songsangan	terhadap		 •	additive inverse
	 penambahan
•		songsangan	terhadap		 •	multiplicative inverse
	 pendaraban

149
Ketaksamaan Linear

07 Text book Mate Tg1.indd   149 10/17/16   5:27 PM
BAB 7
150

B
A
B

7

7.1 Ketaksamaan

Apakah ketaksamaan?

Dalam kehidupan harian, kita sering membuat perbandingan
antara dua kuantiti yang tidak sama nilai. Kita membandingkan
kuantiti itu dari segi bilangan, harga, suhu, saiz, tinggi, jisim
dan sebagainya.

RM1400 RM1600

A B

80 g

50 g
x g

Telefon pintar jenama manakah mempunyai
harga yang lebih rendah?

Jisim manakah lebih besar?

Secara perbandingan, kita mendapati bahawa
•	 harga	telefon pintar jenama A adalah kurang daripada

jenama B.
•	 jisim	(x + 50) g adalah lebih besar daripada 80 g.

Hubungan antara dua kuantiti yang tidak sama nilai
seperti ini dikenali sebagai ketaksamaan.

Membanding nilai nombor
Dalam bab 1, kita telah mempelajari bagaimana membandingkan nilai suatu integer
dengan integer lain berdasarkan kedudukan integer pada garis nombor. Dalam bab ini,
kita akan menulis perbandingan ini dengan menggunakan simbol matematik.
Misalnya:

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

Perhatikan kedudukan pasangan nombor
–2 dan 3 pada garis nombor.
–2 terletak di sebelah kiri 3,
maka –2 kurang daripada 3.
Simbol ‘,’ digunakan untuk mewakili
‘kurang daripada’.
Jadi, ‘–2 kurang daripada 3’ ditulis
sebagai ‘–2 , 3’.

Perhatikan kedudukan pasangan nombor
–7 dan –2 pada garis nombor.
–2 terletak di sebelah kanan –7,
maka –2 lebih besar daripada –7.
Simbol ‘.’ digunakan untuk mewakili
‘lebih besar daripada’.
Jadi, ‘–2 lebih besar daripada –7’ ditulis
sebagai ‘–2 . –7’.

–2 , 3 dan –2 . –7 dinamakan ketaksamaan.

PEMBELAJARAN

Membanding	nilai
nombor,	memerihal
ketaksamaan	dan
seterusnya	menerbitkan
ketaksamaan	algebra.

Bincangkan	hubungan
antara	dua	kuantiti
dalam	situasi	kehidupan
harian	yang	melibatkan
penggunaan	‘lebih	daripada’
atau	‘kurang	daripada’.

07 Text book Mate Tg1.indd   150 10/17/16   5:27 PM
151
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

Contoh 1
Isikan tempat kosong dengan simbol ‘.’ atau ‘,’ supaya menjadi pernyataan benar.
Seterusnya, tulis ketaksamaan bagi setiap pernyataan dengan menggunakan ‘lebih besar
daripada’ atau ‘kurang daripada’.

(a) – 5
6

4 (b) 42  9

(a) – 5

6
 ,  4 (b) 42 .  9

– 5
6

kurang daripada 4.  42 lebih besar daripada 9.

7.1a
1. Isikan tempat kosong dengan simbol ‘.’ atau ‘,’ supaya menjadi pernyataan benar.

Seterusnya, tulis ketaksamaan bagi setiap pernyataan dengan menggunakan ‘lebih
besar daripada’ atau ‘kurang daripada’.

(a) – 6  0 (b) 1
7

1
4

(c) 0. 42  0. 072

(d) 4.5  4.5 (e) 10 cm  50 mm (f) 1 200 g  1. 6 kg

Memerihal ketaksamaan dan menerbitkan ketaksamaan algebra
Perhatikan garis nombor di bawah.

4 x

Garis nombor ini membandingkan 4 dengan suatu nombor lain yang tidak diketahui, x.
Kita boleh memerihalkan hubungan antara 4 dengan x dalam ketaksamaan sebagai
‘x lebih besar daripada 4’ dan ditulis sebagai ‘x . 4’.

Contoh 2
Dalam garis nombor di bawah, perihalkan hubungan antara x dengan 8 dalam ketaksamaan
dengan menggunakan ‘kurang daripada’.

8x

Seterusnya, terbitkan ketaksamaan algebra bagi hubungan itu.

x kurang daripada 8.
x , 8

TIP    BESTARI

Simbol Maksud

.
lebih	besar
daripada

, kurang
daripada

07 Text book Mate Tg1.indd   151 10/17/16   5:27 PM
BAB 7
152

B
A
B

7

7.1b

1. Dalam garis nombor di sebelah, perihalkan hubungan antara
y dengan 12 dalam ketaksamaan dengan menggunakan ‘lebih
besar daripada’. Seterusnya, terbitkan ketaksamaan algebra
bagi hubungan itu.

12y

2. Dalam garis nombor di sebelah, perihalkan hubungan antara
3 dengan b dalam ketaksamaan dengan menggunakan ‘kurang
daripada’. Seterusnya, terbitkan ketaksamaan algebra bagi
hubungan itu.

3 b

Mengenal hubungan

(a) lebih besar daripada atau sama dengan
(b) kurang daripada atau sama dengan

Papan tanda lalu lintas dalam rajah di sebelah boleh
dijumpai di sepanjang lebuh raya. Papan tanda ini memberi
peringatan kepada pemandu bahawa laju kenderaan di lebuh
raya itu seharusnya tidak melebihi 110 km/j.

Jika v mewakili laju, dalam km/j, maka v = 110 dan
v , 110. Kedua-dua kesamaan dan ketaksamaan tersebut
boleh digabungkan menggunakan simbol ‘<’ dan ditulis
sebagai v < 110.

Kita boleh menggunakan garis nombor untuk
mewakilkan hubungan ketaksamaan v < 110 seperti yang
ditunjukkan dalam rajah di bawah.

80 90 100

v � 110

110 120 130

Bagaimanakah kita menggunakan garis nombor untuk
mewakilkan laju kenderaan yang tidak mematuhi papan
tanda lalu lintas di lebuh raya? Apakah risiko yang
akan dihadapi oleh pengguna lebuh raya yang tidak
bertanggungjawab ini?

km/j

110

TIP    BESTARI

Nilai-nilai	yang	mungkin
bagi	pemboleh	ubah	v
boleh	terdiri	daripada
integer,	perpuluhan
atau	pecahan.

Sebutkan	nilai-nilai
yang	mungkin	bagi
v	<	110.

Pandu	cermat
jiwa selamat.

07 Text book Mate Tg1.indd   152 10/17/16   5:27 PM
153
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

Laju kenderaan yang tidak mematuhi papan tanda lalu
lintas adalah lebih daripada 110 km/j dan boleh diwakilkan
pada garis nombor seperti dalam rajah di bawah.

80 90 100

v � 110

110 120 130

Contoh 3
Fatimah memperoleh upah kerja lebih masa apabila dia
bekerja sekurang-kurangnya 9 jam sehari.
(a) Jika t ialah bilangan jam bekerja sehari, perihalkan

ketaksamaan berdasarkan situasi di atas dengan
menggunakan ‘lebih besar daripada atau sama dengan’
atau ‘kurang daripada atau sama dengan’.

(b) Wakilkan ketaksamaan itu dengan garis nombor dan
seterusnya terbitkan ketaksamaan algebra bagi
hubungan itu.

(a) t lebih besar daripada atau sama dengan 9.

(b)

6 7 8

t � 9

9 10 11

Ketaksamaan algebra ialah t > 9.

Fatimah	tidak	memperoleh	upah	kerja	lebih	masa.
(a)	 Perihalkan	ketaksamaan	bagi	situasi	di	atas	dengan	menggunakan	‘lebih	besar	daripada’	atau

‘kurang	daripada’.
(b)	 Wakilkan	ketaksamaan	itu	dengan	garis	nombor	dan	seterusnya	terbitkan	ketaksamaan

algebra	bagi	hubungan	itu.

7.1c
1. Perihalkan ketaksamaan bagi setiap situasi yang berikut dengan menggunakan ‘lebih

besar daripada atau sama dengan’ atau ‘kurang daripada atau sama dengan’.
(a) Papan tanda menunjukkan muatan lori, m, yang dibenarkan

melalui suatu jambatan.
(b) Kelayakan umur, t, mengundi ialah 21 tahun.

Wakilkan ketaksamaan itu dengan garis nombor dan seterusnya
terbitkan ketaksamaan algebra bagi hubungan itu.

Sebutkan	nilai-nilai
yang	mungkin
bagi	v	.	110.

TIP    BESTARI

Simbol Maksud

>
lebih	besar
daripada	atau
sama	dengan

<
kurang
daripada	atau
sama	dengan

Imbas	QR Code	atau
layari	https://youtu.
be/rL19fCk5TNI
tentang	perwakilan
ketaksamaan	linear
pada	garis	nombor.

8T

07 Text book Mate Tg1.indd   153 10/17/16   5:27 PM
BAB 7
154

B
A
B

7

Apakah sifat-sifat ketaksamaan?

Berpasangan1
Tujuan : Meneroka sifat akas dan sifat transitif

ketaksamaan.

Arahan : • Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.
  • Buka folder yang dimuat turun pada

muka surat vii.

1. Buka fail sifat akas dan transitif.pdf dan cetak
fail itu.

2. Lengkapkan ayat untuk (a) bagi setiap kuiz.

3. Isikan tempat kosong (b) dengan menggunakan
simbol ketaksamaan ‘.’ atau ‘,’.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa
•	 jika	a kurang daripada b, maka b lebih besar daripada a.
 Sifat akas bagi ketaksamaan: Jika a , b, maka b . a.
•	 jika	a kurang daripada b dan b kurang daripada c, maka a kurang daripada c.
 Sifat transitif bagi ketaksamaan: Jika a , b , c, maka a , c.

Contoh 4
(a) Tulis sifat akas bagi ketaksamaan
 (i) 10 , 24, (ii) – 4 . –13.
(b) Tulis sifat transitif bagi ketaksamaan –5 , –1 , 9.

(a) (i) 24 . 10 (ii) –13 , – 4
(b) –5 , 9

7.1d
1. Tulis sifat akas bagi setiap ketaksamaan yang berikut.

(a) 5 , 14 (b) 8 . –8 (c) –23 . –32
(d) 6.7 . 1. 5 (e) 1

13
 . 1

14
 (f) –2 . –11. 8

2. Tulis sifat transitif bagi setiap ketaksamaan yang berikut.
(a) –2 , 5 , 10 (b) –15 , –8 , 0 (c) – 4. 56 , –1. 52 , 2. 01
(d) –17 2

9
 , 11 1

5
 , 20 1

3
 (e) 1

20
 , 1

14
 , 1

7
 (f) –8 , – 4. 3 , 1

9

PEMBELAJARAN

Membuat	generalisasi
tentang	ketaksamaan
yang	berkaitan	dengan
(i)	 sifat	akas	dan

transitif,	songsangan
terhadap	penambahan
dan	pendaraban,

(ii)	operasi	asas	aritmetik.

07 Text book Mate Tg1.indd   154 10/17/16   5:27 PM
155
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

Tujuan : Membuat generalisasi tentang ketaksamaan yang berkaitan dengan
operasi asas aritmetik.

Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

-20 -10 0 10 20

Tolak	5.

1. Gunakan tali untuk mewakilkan satu garis nombor yang menunjukkan integer
daripada –20 hingga 20.

2. Dua orang murid masing-masing memilih satu nombor genap positif yang
berbeza dan kurang daripada 20.

3. Mereka kemudiannya berdiri pada kedudukan nombor yang dipilih di atas
garis nombor itu.

4. Seorang murid lain menulis ketaksamaan yang membandingkan kedua-dua
nombor ini. Perhatikan arah simbol ketaksamaan dan tentukan siapa yang
mempunyai nombor yang lebih besar.

5. Murid keempat akan memberi arahan operasi asas aritmetik (+, –, ×, ÷) ke atas
nombor yang dipilih oleh kedua-dua murid itu.

Contoh arahan: tambah 3, tolak – 4, darab –1, bahagi 2
6. Kedua-dua orang murid itu menggerakkan kedudukan untuk menunjukkan

hasil selepas melaksanakan setiap operasi asas aritmetik itu. Panjangkan garis
nombor pada tali itu jika perlu.

7. Tentukan siapa yang mempunyai nombor yang lebih besar selepas melaksanakan
setiap operasi asas itu. Tulis ketaksamaan yang membandingkan dua nombor
baharu itu.

8. Ulang Langkah 3 hingga 7 dengan nombor asal yang dipilih tetapi menggunakan
operasi asas yang berlainan.

9. Ramalkan operasi yang boleh mengekalkan arah simbol ketaksamaan dan
operasi yang boleh menyongsangkan arah simbol ketaksamaan.

10. Buat generalisasi tentang ketaksamaan yang berkaitan dengan operasi tersebut.
11. Ulang langkah yang sama dengan memilih dua nombor genap bernilai negatif

yang berbeza.

07 Text book Mate Tg1.indd   155 10/17/16   5:27 PM
BAB 7
156

B
A
B

7

Hasil daripada aktiviti tersebut, kita dapat merumuskan bahawa:

•	 Apabila	 kedua-dua	 belah	 ketaksamaan	 ditambah	 atau
ditolak dengan satu nombor positif atau nombor negatif,
simbol ketaksamaan tidak akan berubah.

Jika a , b,
maka a + c , b + c.

Jika a , b,
maka a – c , b – c.

Jika a , b,
maka a + (– c) , b + (– c).

Jika a , b,
maka a – (– c) , b – (– c).

•	 (i)	 Apabila	 kedua-dua	 belah	 ketaksamaan	 didarab
atau dibahagi dengan satu nombor positif, simbol
ketaksamaan tidak akan berubah.

Jika a , b,
maka a × c , b × c.

Jika a , b,

maka a
c  , b

c
.

(ii) Apabila kedua-dua belah ketaksamaan didarab
atau dibahagi dengan satu nombor negatif, simbol
ketaksamaan disongsangkan.

Jika a , b,
maka a × (– c) . b × (– c).

Jika a , b,

maka a
– c  . b

– c
.

•	 Apabila	kedua-dua	belah	ketaksamaan	didarab	dengan	–1,
simbol ketaksamaan disongsangkan.

Jika a , b,
maka – a . –b.

Ini dikenali sebagai songsangan terhadap penambahan.

TIP    BESTARI

Jika	 2	 ,	 6
maka	 2	+	3	 ,	 6	+	3
	 5	 ,	 9

Jika	 2	 ,	 6
maka	 2	–	3	 ,	 6	–	3
	 –1	 ,	 3

Jika	 2	 ,	 6
maka	2	+	(–3)	 ,	 6	+	(–3)
	 –1	 ,	 3

Jika	 2	 ,	 6
maka	2	–	(–3)	 ,	 6	–	(–3)
	 5	 ,	 9

TIP    BESTARI

Jika	 2	 ,	 6
maka	 2	×	3	 ,	 6	×	3
	 6	 ,	 18

Jika	 2	 ,	 6

maka	 2
2
	 ,	 6

2
	 1	 ,	 3

TIP    BESTARI

Jika	 2	 ,	 6
maka	2	×	(–3)	 .	 6	×	(–3)
	 –	6	 .	 –18

Jika	 2	 ,	 6

maka	 2
–2

.	 6
–2

–1	 .	 –3

TIP    BESTARI

Jika	 2	 ,	 6
maka	2	×	(–1)	 .	 6	×	(–1)
	 –2	 .	 –	6

07 Text book Mate Tg1.indd   156 10/17/16   5:27 PM
157
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

•	 Apabila	operasi	 salingan	dilakukan	ke	atas	nombor	di	kedua-dua	belah	ketaksamaan,
simbol ketaksamaan disongsangkan.

Jika a , b,

maka 1
a  . 1

b
.

Ini dikenali sebagai songsangan terhadap pendaraban.

7.1e
Lengkapkan setiap petak kosong dengan simbol ‘,’ atau ‘.’.

1. (a) (i) –8  16 (ii) –8 + 2  16 + 2 (iii) –8 – 2  16 – 2

(b) (i) 8  –16 (ii) 8 + 5  –16 + 5 (iii) 8 – 5  –16 – 5

(c) (i) –8  –16 (ii) –8 + 1  –16 + 1 (iii) –8 – 1  –16 – 1

2. (a) (i) 8  16 (ii) 8 × 2  16 × 2 (iii) 8 ÷ 2  16 ÷ 2

(b) Jika 8 , 16 dan c . 0, maka 8c  16c dan 8
c

16
c

.

(c) Jika 16 . 8 dan c . 0, maka 16c  8c dan 16
c

8
c

.

3. (a) (i) 6  12 (ii) 6 × (–3)  12 × (–3) (iii) 6 ÷ (–3)  12 ÷ (–3)

(iv) – 6  –12 (v) 1
6

1
12

(b) Jika 6 , 12 dan d , 0, maka 6d  12d dan 6
d

12
d

.

(c) Jika 12 . 6 dan d , 0, maka 12d  6d dan 12
d

6
d

.

7.1

Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi  Mahir Diri 7.1.

1. Isikan tempat kosong dengan simbol ‘.’ atau ‘,’ supaya setiap pernyataan berikut
menjadi benar.
(a)	 (−5)2 	 (−6)2  (b) 0.1  30.008   (c) 6 + x  8 + x

(d) m + 3  m	 (e)	 10	−	k 	 8	−	k (f) 2x + 5  2x	−	5

2.
x y

(a) Berdasarkan garis nombor di atas, perihalkan hubungan antara x dengan y dalam
ketaksamaan dengan menggunakan ‘lebih besar daripada’.

(b) Seterusnya, terbitkan ketaksamaan algebra bagi hubungan itu.

TIP    BESTARI

Jika	 2	 ,	 6

maka	 1
2
	 .

1
6

07 Text book Mate Tg1.indd   157 10/17/16   5:27 PM
BAB 7
158

B
A
B

7

3. Simpanan minimum sebanyak RM100 diperlukan untuk membuka akaun bank.
(a) Perihalkan ketaksamaan bagi simpanan minimum yang diperlukan untuk

membuka akaun bank dengan menggunakan ‘lebih besar daripada atau sama
dengan’ atau ‘kurang daripada atau sama dengan’.

(b) Jika a ialah simpanan minimum yang diperlukan untuk membuka akaun bank,
wakilkan ketaksamaan itu dengan garis nombor dan seterusnya terbitkan
ketaksamaan algebra bagi hubungan itu.

4. Wakilkan ketaksamaan yang berikut pada garis nombor.
(a) x . 3 (b) x , 15 (c) x >	−19	 (d)	 −5	> x
(e) y < 8.3 (f) p >	−5.7	 (g)	 x ,	−	 3

5
 (h) 7.8 . q

5. Isikan tempat kosong dengan simbol ‘.’ atau ‘,’ supaya setiap pernyataan berikut
menjadi benar.
(a) Jika x , y, maka y  x. (b) Jika p , q dan q , 0, maka p  0.

(c)	 Jika	−2 . x dan x . y,	maka	−2	  y. (d) Jika x . y, maka x
10

y
10

.

(e) Jika x . y,	maka	(−5)x 	 (−5)y. (f) Jika u .	0,	maka	(−3)u  0.

7.2 Ketaksamaan Linear dalam Satu Pemboleh Ubah
 Bagaimanakah anda membentuk ketaksamaan

linear berdasarkan situasi harian dan sebaliknya?

Contoh 5
Bina satu ketaksamaan linear berdasarkan setiap situasi
yang berikut.
(a) Pak Samad ialah seorang pembuat gasing uri di Kelantan.

Masa, t hari, yang diambil oleh Pak Samad untuk membuat
gasing uri kurang daripada 42 hari.

(b) Dalam suatu pertandingan memancing, peserta dapat
memenangi hadiah jika panjang, l cm, ikan yang ditangkap
sekurang-kurangnya 32 cm.

(c) Puan Chen membuat sebiji kek yang berjisim tidak lebih
daripada 2 kg. Jisim kek, x kg, yang diterima oleh setiap
jiran jika Puan Chen memotong kek itu kepada 10 keping
secara sama rata untuk jirannya.

(d) Encik Mohan ialah seorang ahli peniaga. Dia ingin
menderma 3% daripada keuntungan yang diperoleh kepada
pertubuhan amal tempatan setiap bulan. Keuntungan, p,
dalam RM, yang perlu diperoleh Encik Mohan setiap
bulan jika dermanya melebihi RM240 sebulan.

(a) t , 42 (b) l > 32 (c) x < 2

10
 (d) 3

100
 p . 240

PEMBELAJARAN

Membentuk	ketaksamaan
linear	berdasarkan	suatu
situasi	kehidupan	harian,
dan	sebaliknya.

TIP    BESTARI

Simbol >

•	Sekurang-kurangnya
•	Tidak	kurang	daripada
•	Minimum

Simbol <

•	Selebih-lebihnya
•	Tidak	lebih	daripada
•	Maksimum

07 Text book Mate Tg1.indd   158 10/17/16   5:27 PM
159
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

Contoh 6
Tulis satu situasi berdasarkan setiap ketaksamaan linear yang diberi.
(a) h > 110 dengan keadaan h ialah tinggi penumpang, dalam cm, yang dibenarkan

menaiki roller coaster.
(b) T ,	 −5	 dengan	 keadaan	 T ialah suhu, dalam °C, pada ruang pembeku di dalam

sebuah peti sejuk.
(c) m . 4 600 dengan keadaan m ialah gaji bulanan, dalam RM, bagi Encik Siva.

(a) Tinggi penumpang yang dibenarkan menaiki roller coaster mestilah sekurang-

kurangnya 110 cm.
(b) Suhu	pada	ruang	pembeku	di	dalam	peti	sejuk	kurang	daripada	−5°C.
(c) Gaji bulanan bagi Encik Siva lebih daripada RM4 600.

7.2a
1. Bina satu ketaksamaan linear berdasarkan setiap situasi yang berikut.

(a) Harga, RMx, bagi sebuah rumah berkembar dua tingkat ialah RM450 000 dan
ke atas.

(b) Markah lulus bagi suatu ujian Matematik ialah 50. Hajar mendapat y markah dan
dia gagal dalam ujian itu.

(c) Jumlah peserta, k, bagi 5 pasukan bahas jika bilangan peserta dalam satu pasukan
tidak melebihi 6 orang dalam satu pertandingan berbahas.

(d) Puan Kalsom mempunyai sekeping kad mata
ganjaran yang memberi satu mata ganjaran
untuk setiap RM5 yang dibelanjakan. Puan
Kalsom membelanjakan RMq dan layak untuk
menebus hadiah eksklusif.

2. Tulis satu situasi berdasarkan setiap ketaksamaan linear yang diberi.
(a) n < 4 dengan keadaan n ialah bilangan penumpang dalam sebuah teksi.
(b) A . 1 000 dengan keadaan A ialah luas bagi sebuah pangsapuri dalam m2.
(c) 4y > 60, dengan keadaan y ialah perbelanjaan, dalam RM, bagi seorang pelanggan

yang mengunjungi restoran.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah
yang melibatkan ketaksamaan linear?

Ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah ialah
hubungan tak sama antara satu pemboleh ubah yang
kuasanya satu, dengan suatu nombor.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan
ketaksamaan	linear	dalam
satu	pemboleh	ubah.

07 Text book Mate Tg1.indd   159 10/17/16   5:27 PM
BAB 7
160

B
A
B

7

Misalnya, ketaksamaan algebra seperti
   3x , 7 (Kuasa bagi pemboleh ubah x ialah 1)
dan y	−	4	. 5 + 2y (Kuasa bagi pemboleh ubah y ialah 1)
dikenali sebagai ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah.

Menyelesaikan ketaksamaan linear dalam x adalah mencari nilai-nilai x yang
memuaskan ketaksamaan itu. Pengolahan untuk menyelesaikan ketaksamaan linear
adalah serupa dengan pengolahan untuk menyelesaikan persamaan linear. Namun,
kita perlu mempertimbangkan arah simbol ketaksamaan semasa menyelesaikan
ketaksamaan linear.

Contoh 7
Selesaikan setiap ketaksamaan yang berikut.
(a) x	−	2	< 6 (b) 7x > 28
(c) – x

3
 , 9 (d) 7 – 4x . 15

(a)  x	−	2	< 6
  x – 2 + 2  < 6 + 2
  x < 8

(b)  7x > 28

7x
7  > 28

7   Bahagikan	kedua-dua	belah
ketaksamaan	dengan	7.

x > 4

(c)  – x
3

, 9

– x
3

× (–3) . 9 × (–3)
  x . –27

(d)  7 – 4x . 15
  7 – 4x – 7   . 15 – 7
  – 4x . 8

– 4x
– 4  , 8

– 4

x , –2

TIP    BESTARI

Untuk	menyelesaikan
ketaksamaan	linear	yang
melibatkan	pendaraban
atau	pembahagian,	kita
perlu	mendarab	atau
membahagi	kedua-dua
belah	ketaksamaan
dengan	satu	nombor
yang	sesuai	supaya
pekali	pemboleh	ubah
itu	menjadi	1.

Apakah	penyelesaian
yang	mungkin	bagi
setiap	ketaksamaan
yang	berikut	jika	x
ialah	integer?
(a)	 x	>	3
(b)	 x	<	–5

Tambah	2	kepada
kedua-dua	belah
ketaksamaan.

Darabkan	kedua-dua	belah
ketaksamaan	dengan	–3
dan	songsangkan	simbol
ketaksamaan.

TIP    BESTARI
Ketaksamaan	linear
dalam	satu	pemboleh
ubah	mempunyai
lebih	daripada
satu	penyelesaian
yang	mungkin.

Tolak	7	daripada	kedua-dua
belah	ketaksamaan.

Bahagikan	kedua-dua	belah
ketaksamaan	dengan	–4
dan	songsangkan	simbol
ketaksamaan.

07 Text book Mate Tg1.indd   160 10/17/16   5:27 PM
161
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

Dalam suatu kempen membaca, sebuah gerai mengadakan
promosi jualan buku dengan harga RM12.50 setiap buku.
Ghani membelanja tidak lebih daripada RM80 untuk membeli
buku di gerai tersebut. Hitung bilangan maksimum buku
yang dapat dibeli oleh Ghani.

Merancang strategi
•	 Tulis ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah untuk mewakili situasi tersebut.
•	 Selesaikan ketaksamaan itu dan tafsirkan penyelesaiannya.

Membuat refleksi
Apabila n = 6, 12.5n = 12.5 × 6 Apabila n = 7, 12.5n = 12.5 × 7
 = 75 (, 80)  = 87.5 (. 80)
Maka, bilangan maksimum buku yang dapat dibeli ialah 6 buah adalah betul.

Memahami masalah
•	 Harga sebuah buku ialah RM12.50.
•	 Ghani membelanja tidak lebih daripada RM80 untuk membeli buku.
•	 Hitung bilangan maksimum buku yang dibeli.

4 5 6

n � 6.4

7 8 9

Oleh	kerana	n	ialah	bilangan
buku,	maka	n	mesti	merupakan
nombor	bulat.

Melaksanakan strategi
Katakan n ialah bilangan buku,
maka jumlah perbelanjaan ialah 12.5n.
Jadi, 12.5n < 80
 12.5n

12.5
 < 80

12.5
 n < 6.4
Oleh itu, bilangan maksimum buku yang dapat dibeli oleh Ghani ialah 6 buah.

7.2b

1. Selesaikan setiap ketaksamaan yang berikut.
(a) x + 3 >	10	 (b)	 −2x ,	18	 (c)	 −7	. x

3
	 (d)	 16	−	5x <	−	4

2. Fatimah bekerja sambilan sebagai penjual tin minuman. Dia dibayar 10 sen bagi
setiap tin minuman yang dijual. Fatimah ingin memperoleh upah sekurang-kurangnya

RM20 sejam. Hitung bilangan tin minuman yang harus dijual oleh Fatimah dalam
sejam supaya sasarannya tercapai.

Imbas	QR Code	atau
layari	https://youtu.
be/jfLBkYPel1s
tentang	penyelesaian
ketaksamaan	linear
pada	garis	nombor.

07 Text book Mate Tg1.indd   161 10/17/16   5:27 PM
BAB 7
162

B
A
B

7

3. Sadiah mempunyai RM120 dalam tabung simpanannya dan dia menyimpan RM40
setiap bulan. Berapakah bilangan minimum bulan yang diperlukan oleh Sadiah
untuk menyimpan wangnya supaya melebihi RM500? (Berikan jawapan anda dalam
nombor bulat.)

4. Sebuah syarikat kereta sewa menawarkan dua pakej penyewaan kereta.

Pakej A Bayaran asas bagi sewa ialah RM40 dan bayaran tambahan RM8 bagi
setiap jam sewaan.

Pakej B Tiada bayaran asas bagi sewa tetapi RM15 bagi setiap jam sewaan.
 Berapakah tempoh maksimum, dalam jam, sewaan kereta supaya pakej B adalah

lebih murah? (Berikan jawapan anda dalam nombor bulat.)

Bagaimanakah anda menyelesaikan ketaksamaan linear serentak?
Mengikut Laporan Kesihatan Sedunia, pengambilan gula
harian ialah antara 25 g dan 37.5 g.
 Jika m gram mewakili kuantiti pengambilan gula harian,
maka kita boleh menulis

m . 25 dan m , 37.5
 Dua ketaksamaan itu ialah ketaksamaan linear serentak
dalam satu pemboleh ubah. Maka, kuantiti gula, dalam g,
yang diambil oleh seseorang boleh jadi sebarang nilai antara
25 dan 37.5, seperti 27, 32 dan 34.8.
 Nilai-nilai ini ialah nilai sepunya bagi ketaksamaan linear
serentak itu. Penyelesaian ketaksamaan linear serentak dalam
satu pemboleh ubah ialah nilai sepunya bagi ketaksamaan
linear serentak itu.

Contoh 8
Selesaikan ketaksamaan linear serentak yang berikut.
(a) 2x + 5 , 11 dan 3x	−	10	, 5 (b) 8x + 5 > 5x	−	13	dan	3x	−	4	. 9x + 20

(a) 2x + 5 , 11 3x	−	10	, 5
  2x , 11	−	5	 3x , 5 + 10
  2x , 6 3x , 15
  x , 3 x , 5

x � 3

3Bahagian
sepunya

5

x � 5

Oleh kerana x perlu memuaskan x , 3 dan x , 5, kita mencari bahagian sepunya
bagi kedua-dua penyelesaian. Penyelesaian ialah x , 3.

PEMBELAJARAN
Menyelesaikan
ketaksamaan	linear
serentak	dalam	satu
pemboleh	ubah.

Permudahkan
setiap	ketaksamaan
linear	dalam
bentuk	paling
ringkas.

Tentukan	nilai-nilai	sepunya	bagi
kedua-dua	ketaksamaan	itu	dengan
menggunakan	garis	nombor.

07 Text book Mate Tg1.indd   162 10/17/16   5:27 PM
163
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

(b) 8x + 5 > 5x – 13 3x	−	4	. 9x + 20
  8x > 5x	−	18	 3x . 9x + 24
  3x > –18 – 6x . 24
  x > – 6 x , – 4

Bahagian
sepunya

–4–6

x � –4
x � –6

Penyelesaian ialah	−	6	< x ,	−	4.

7.2c

1. Selesaikan ketaksamaan linear serentak yang berikut.
(a) x + 2 . 4 dan 4x . 20 (b) x	−	3	<	− 6 dan 3x	−	4	< 5
(c) 2x + 3 . 0 dan 9x	−	2	< 16 (d) 5x	−	3	, 2 dan 4x + 6 > x + 3
(e) 5x	−	7	, 13 dan 7x + 4 , 16 (f) 6x + 5 . 3x + 14 dan 13x	−	4	> 9x

7.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 7.2.

1. Pengurus sebuah gedung pakaian mempunyai beberapa sasaran bagi pekerja
penjualannya. Bina satu ketaksamaan linear berdasarkan setiap situasi berikut.
(a) Jumlah jualan minimum sebulan dalam RM, x, ialah 18 000.
(b) Pada hujung bulan, jumlah masa, t, yang digunakan untuk mengira inventori

gedung selebih-lebihnya 8 jam.
(c) Jumlah jualan harian, h, haruslah lebih daripada RM700.

2. Tulis satu situasi berdasarkan setiap ketaksamaan linear yang diberi.
(a) x < 30 dengan keadaan x ialah kelajuan kenderaan, dalam km/j, apabila bergerak

menghampiri kawasan sekolah.
(b) m . 1 100 dengan keadaan m ialah jisim sebuah kereta dalam kg.
(c) y , 900 dengan keadaan y ialah gaji ibu bapa, dalam RM, bagi murid yang layak

untuk memohon biasiswa.

3. Jika Encik Tan mempunyai baki harian sekurang-kurangnya RM1 200 dalam akaun
semasa, bank tidak akan mengenakan bayaran perkhidmatan terhadap akaunnya.
(a) Wakilkan situasi itu dengan garis nombor.
(b) Jika x mewakili baki harian Encik Tan, tulis satu ketaksamaan yang mewakili

nilai-nilai yang mungkin bagi x apabila dia tidak dikenakan bayaran perkhidmatan.

4. Kandungan garam bagi satu peket mi segera tidak lebih daripada 800 mg. Adalah
disyorkan bahawa pengambilan maksimum harian bagi kandungan garam dalam
makanan ialah 2 300 mg. Cari bilangan peket maksimum mi segera yang boleh
dimakan supaya pengambilan garam kurang daripada 2 300 mg.

Aktuari	menggunakan
ketaksamaan	untuk
menentukan	jumlah
wang	yang	harus
dikenakan	ke	atas
pelanggan	bagi	suatu
polisi	insurans.	Mereka
juga	menggunakan
ketaksamaan	untuk
meramalkan	jumlah
wang	yang	harus
dibayar	apabila
pelanggan	membuat
tuntutan	insurans.

07 Text book Mate Tg1.indd   163 10/17/16   5:27 PM
BAB 7
164

B
A
B

7

5. Ghanesh menerima satu kupon restoran makanan.
(a) Ghanesh membeli satu set makanan dengan harga

RM10.50. Jika m ialah harga untuk set makanan
yang kedua, bina satu ketaksamaan linear untuk
mewakili nilai m yang membolehkan Ghanesh
menggunakan kupon itu.

(b) Wakilkan ketaksamaan itu dengan garis nombor.

6. Muatan maksimum sebuah lif ialah 960 kg. Andaikan jisim setiap budak lelaki ialah
45 kg, cari bilangan maksimum budak lelaki yang mungkin boleh menaiki lif itu
pada setiap masa.

7. Jisim bagi Puan Chong ialah 72 kg. Selepas menyertai program badan sihat, jisim
badannya telah berkurang dengan kadar 3 kg sebulan. Cari bilangan minimum bulan
yang harus disertai oleh Puan Chong supaya jisim badannya kurang daripada 52 kg.

(Berikan jawapan anda dalam nombor bulat.)

8. Selesaikan ketaksamaan linear serentak yang berikut.
(a) 10 – 3x . 8 – 2x dan 14 – 2x , 9 – 8x
(b) x

2
 – 1 , 3 dan 3x

5
 – 2 < x

(c) x
9

, 2
3

dan 5 – 2x
7

> 1

Ketaksamaan
yang melibatkan

penambahan

Ketaksamaan
yang melibatkan

penolakan

Ketaksamaan
yang melibatkan

pendaraban

Ketaksamaan
yang melibatkan

pembahagian

Jika a , b,
maka
a + c , b + c.

Jika a , b,
maka
a – c , b – c.

•	 Jika	a , b,
 maka  a × c , b × c.
•	 Jika	a , b,
 maka
 a × (–c) . b × (–c).

•	 Jika	a , b,
 maka a

c  , b
c

.

•	 Jika	a , b,
 maka a

– c . b
– c .

KETAKSAMAAN LINEAR

BAB 7
164

07 Text book Mate Tg1.indd   164 10/17/16   5:27 PM
165
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

Sangat
baik

Berusaha
lagi

membanding nilai nombor, memerihal ketaksamaan dan seterusnya menerbitkan
ketaksamaan algebra.
membuat generalisasi tentang ketaksamaan yang berkaitan dengan sifat akas
dan transitif, songsangan terhadap penambahan dan pendaraban, dan operasi
asas aritmetik.
membentuk ketaksamaan linear berdasarkan suatu situasi kehidupan harian,
dan sebaliknya.
menyelesaikan masalah yang melibatkan ketaksamaan linear dalam satu
pemboleh ubah.
menyelesaikan ketaksamaan linear serentak dalam satu pemboleh ubah.

1. Diberi bahawa p , q. Bandingkan nilai bagi pasangan nombor berikut dengan
menggunakan simbol ‘,’ atau ‘.’.

(a) p + 5  q + 5 (b) 1
3

p  1
3

q (c) –p  –q

2. Umur Stella ialah x tahun manakala umur anaknya ialah 18 tahun. Bina satu
ketaksamaan untuk menunjukkan hubungan antara umur mereka
(a) pada masa sekarang, (b) 3 tahun kemudian, (c) 5 tahun yang lepas.

3. Zain membeli x keping kad Hari Raya dengan harga RM1.20 sekeping. Dia membayar
RM20 dan menerima baki yang melebihi RM5. Bina satu ketaksamaan berdasarkan
maklumat yang diberi.

4. Encik Koh mempunyai tiga keping wang kertas RM50, dua keping wang kertas
RM10 dan n keping wang kertas RM1 di dalam dompetnya.
(a) Ungkapkan, dalam sebutan n, jumlah nilai wang kertas yang ada di dalam

dompet Encik Koh.
(b) Jika jumlah nilai wang kertas adalah kurang daripada RM178, cari nilai-nilai n

yang mungkin dengan keadaan n . 0.

5. Selesaikan ketaksamaan yang berikut.
(a) 3x + 7 , 19 (b) 15x	−	6	, 8x + 8

07 Text book Mate Tg1.indd   165 10/17/16   5:27 PM
BAB 7
166

B
A
B

7

6. Yoke Ling mempunyai empat biji bebola logam. Jisim bagi setiap bebola logam
adalah sama. Rajah (a) dan Rajah (b) masing-masing menunjukkan keadaan neraca
apabila Yoke Ling menimbang sebiji bebola logam dan empat biji bebola logam.

10 g 5 g
20 g 20 g
10 g 5 g

Rajah	(a) Rajah	(b)

Kawan-kawan Yoke Ling mengatakan jisim sebiji bebola logam mungkin 12 g, 13 g,
14 g atau 15 g. Antara jisim itu, yang manakah mungkin merupakan jisim sebiji
bebola logam?

7. Kompleks Belia dan Sukan di sebuah daerah menawarkan kemudahan gelanggang
badminton. Yuran tahunan keahlian bagi kompleks itu ialah RM50. Kadar sewaan
sejam bagi gelanggang badminton untuk ahli dan bukan ahli adalah seperti yang
ditunjukkan dalam jadual di bawah. Bagi seseorang yang menjadi ahli baharu,

berapakah jumlah minimum jam untuk sewaan
gelanggang dalam setahun supaya jumlah kos yang
dibayar sebagai ahli lebih berjimat berbanding
dengan bukan ahli?

8. Jisim sfera logam ialah 15  g sebiji dan jisim sebuah kotak ialah 200  g. Chan
meletakkan n biji sfera logam ke dalam kotak itu. Jika jumlah jisim bagi kotak dan
sfera logam itu lebih daripada 290 g,
(a) bentukkan satu ketaksamaan linear berdasarkan situasi tersebut.
(b) cari nilai terkecil bagi n.

9. Umang ditawarkan kerja sebagai ejen jualan telefon bimbit oleh dua buah syarikat.
 Syarikat Satria menawarkan upah dengan kadar tetap RM50 sehari dan tambahan

komisen sebanyak 3% daripada hasil jualannya.
 Syarikat Perdana menawarkan upah dengan kadar tetap RM35 sehari dan tambahan

komisen sebanyak 5% daripada hasil jualannya.
 Hitung hasil jualan minimum, kepada RM yang terdekat, yang perlu diperoleh

Umang supaya Syarikat Perdana merupakan pilihan yang lebih baik.

10. Selesaikan ketaksamaan linear serentak yang berikut.
(a)	 4	−	3x >	−5	dan	3x + 1 >	−	11	 (b)	 3x

2
	−	1	.	3	dan	3	−	x < 7

(c) 2x – 5
3

< 3 dan 5 – x
2

< 1 (d) x – 4
3

>	2	−	x dan 3x – 1
4

, 2

Kadar sewaan sejam
Bukan ahli RM15

Ahli RM12

07 Text book Mate Tg1.indd   166 10/17/16   5:27 PM
167
Ketaksamaan Linear

B
A
B

7

Jerebu ialah satu fenomena yang berlaku apabila partikel kecil di udara wujud dalam
kuantiti yang banyak. Ini boleh menyekat pancaran cahaya matahari ke bumi dan
keadaan ini akan mengurangkan jarak pandangan mata.

Tulis satu laporan berbentuk esei tentang fenomena
jerebu yang merangkumi perkara-perkara berikut.
•	 Punca berlakunya jerebu.
•	 Kesan	akibat	jerebu.
•	 Bagaimanakah Indeks Pencemaran Udara (IPU) digunakan

sebagai panduan untuk mengetahui kualiti udara?
•	 Tahap jerebu yang pernah berlaku di kawasan anda dan

langkah-langkah pencegahan berikutan insiden tersebut.

Di sebuah taman hiburan, pendapatan tetap dijana daripada iklan penaja manakala
perbelanjaan tetap ditanggung untuk kos penyelenggaraan mesin. Selain itu,
pendapatan berubah ialah bilangan pelawat yang mengunjungi taman hiburan
manakala perbelanjaan berubah ialah upah pekerja. Seorang pengurus operasi perlu
menganggarkan perbelanjaan operasi dan pendapatan taman hiburan untuk memastikan
taman hiburan memperoleh keuntungan.
 Jadual di bawah menunjukkan perbelanjaan dan pendapatan harian yang
dianggarkan oleh pengurus operasi di sebuah taman hiburan yang menawarkan 12
tunggangan. Salin dan lengkapkan maklumat dalam jadual di bawah.

Perbelanjaan harian
Jumlah kos operasi yang berubah bagi setiap pelawat RM30
Jumlah kos tetap (RM10 000 + RM2 500 setiap tunggangan)

Pendapatan harian
Tiket masuk bagi setiap pelawat RM76
Makanan bagi setiap pelawat RM50
Cenderamata bagi setiap pelawat RM30
Tempat letak kereta bagi setiap pelawat RM5
Jumlah pendapatan yang berubah bagi setiap pelawat
Pendapatan tetap dari penaja RM8 000

Bina dan selesaikan ketaksamaan untuk menentukan bilangan minimum pelawat
yang perlu mengunjungi taman hiburan itu pada setiap hari supaya taman hiburan itu
dapat memperoleh keuntungan. Tafsirkan penyelesaian anda.

Imbas QR Code atau
layari http://apims.
doe.gov.my/v2/ untuk
membantu	anda
menyediakan	laporan.

07 Text book Mate Tg1.indd   167 10/17/16   5:27 PM
BAB 8
168

B
A
B

8

Garis dan Sudut
8
BAB

•	 Garis	dan	Sudut
•	 Sudut	yang	berkaitan	dengan	Garis	Bersilang
•	 Sudut	yang	berkaitan	dengan	Garis	Selari	dan

Garis	Rentas	Lintang

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Garis dan sudut digunakan dalam pelbagai
bidang. Dalam bidang kejuruteraan, garis dan
sudut memberikan struktur binaan visual
keindahan dan kestabilan. Dalam bidang
kesenian, garis dan sudut menghasilkan corak
yang menakjubkan. Bagaimanakah garis dan
sudut digunakan dalam bidang fotografi?

Garis dan sudut
merupakan pengetahuan
asas dalam bidang geometri
dan pembinaan. Bincangkan
objek di sekeliling anda yang
melibatkan pengetahuan garis
dan sudut.

BAB 8
168

08 Text book Mate Tg1.indd   168 10/17/16   5:29 PM
169
Garis dan Sudut

B
A
B

8

Euclid of Alexandria
(325 S.M. – 265 S.M.)
ialah ahli matematik
yang banyak
menyumbang dalam
bidang geometri.
Beliau telah menulis
satu set buku yang
berjudul ‘The Element’.
Dalam buku itu, Euclid
mentakrifkan titik dan
garis sebagai asas dalam
pembinaan geometri.

Jaringan Kata

Euclid of Alexandria

Untuk maklumat
lanjut:

http://goo.gl/mhn3oT

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

•	garis	bersilang	 •	intersecting lines
•	garis	rentas	lintang	 •	transversal
•	garis	selari	 •	parallel lines
•	garis	serenjang	 •	perpendicular line
•	kekongruenan	 •	congruency
•	pembahagi	dua	sama		 •	perpendicular bisector
serenjang

•	pembahagi	dua	sama		 •	angle bisector
sudut

•	sudut	bersebelahan	 •	adjacent angles
•	sudut	bertentang	 •	vertically opposite
bucu	 	 angles

•	sudut	dongak	 •	angle of elevation
•	sudut	konjugat	 •	conjugate angles
•	sudut	pedalaman	 •	interior angles
•	sudut	pelengkap	 •	complementary angles
•	sudut	penggenap	 •	supplementary angles
•	sudut	refleks	 •	reflex angle
•	sudut	selang-seli	 •	alternate angles
•	sudut	sepadan	 •	corresponding angles
•	sudut	tunduk	 •	angle of depression
•	tembereng	garis	 •	line segment

169
Garis dan Sudut

08 Text book Mate Tg1.indd   169 10/17/16   5:29 PM
BAB 8
170

B
A
B

8

8.1 Garis dan Sudut

Garis dan sudut wujud di persekitaran kita. Misalnya,
daun kelapa yang menyerupai garis-garis pada suatu
sudut menunjukkan keindahan seni alam semula jadi.

Apakah kekongruenan tembereng garis dan
kekongruenan sudut?

Kelas

Berbalik
1

Tujuan : Menentukan kekongruenan tembereng garis
dan kekongruenan sudut.

Arahan: • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang
dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Tembereng sudut kongruen.ggb dengan GeoGebra.

2. Seret titik-titik dalam kedua-dua penerokaan di atas.

3. Bincang dengan rakan anda apa yang diperhatikan.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa
(i) dalam Penerokaan 1, dua tembereng garis yang dipaparkan sentiasa sama panjang.

Tembereng garis yang sama panjang disebut sebagai tembereng garis kongruen.
(ii) dalam Penerokaan 2, saiz dua sudut yang dipaparkan sentiasa sama. Sudut yang

mempunyai saiz yang sama disebut sebagai sudut kongruen.

Tembereng garis ditanda dengan menggunakan huruf abjad besar pada dua titik hujung
tembereng garis itu. Misalnya,

P
Q

6 cm

Maka, PQ = 6 cm.

PEMBELAJARAN
Menentu	dan
menerangkan
kekongruenan
tembereng	garis	dan
kekongruenan	sudut.

08 Text book Mate Tg1.indd   170 10/17/16   5:29 PM
171
Garis dan Sudut

B
A
B

8

Sudut ditanda dengan menggunakan simbol ‘∠’ dan huruf abjad besar pada dua hujung
lengan dan bucu sudut. Misalnya,

Q R

P

40°

Maka, ∠PQR = 40° atau ∠RQP = 40°

atau P

QR = 40° atau R

QP = 40°

atau ∠Q = 40°

8.1a

1. Jelaskan sama ada tembereng garis PQ dan RS dalam setiap rajah yang berikut
adalah kongruen atau tidak.
(a)  (b)  (c)

Q
P

R

S

3 cm

3 cm

P

R

S

Q
3.2 cm

3.3 cm

P

Q
S

R

4.2 cm

4.2 cm

2. Jelaskan sama ada ∠PQR dan ∠ABC dalam setiap rajah yang berikut adalah kongruen
atau tidak.
(a)  (b)  (c)

32°
32°

Q

P
R B

A C

138°

136°

P
R

Q
B

C

A

256°
256°Q

P

R A

B

C

Bagaimanakah anda menganggar dan mengukur
saiz tembereng garis dan sudut?

Saiz tembereng garis boleh dianggar dengan membandingkan
saiznya dengan objek lain yang diketahui saiznya. Misalnya,
jika diketahui panjang sebiji getah pemadam ialah 4 cm,
maka saiz anggaran garis AB di bawah ialah kira-kira 10 cm.

A B

4 cm 4 cm 2 cm

PEMADAM PEMADAM PEMADAM

Saiz tembereng garis boleh diukur dengan tepat dengan menggunakan sebatang pembaris.

Saiz	 tembereng	 garis
PQ	ialah	tepat	6	cm. 0 1 2 3 4 5 6cm

P Q

PEMBELAJARAN

Menganggar	dan
mengukur	saiz
tembereng	garis	dan
sudut	serta	menerangkan
cara	anggaran	diperoleh.

08 Text book Mate Tg1.indd   171 10/17/16   5:29 PM
BAB 8
172

B
A
B

8

Saiz sudut boleh dianggar dengan mempertimbangkan sudut tegak dahulu. Saiz sudut
yang kelihatan lebih daripada sudut tegak ialah sudut yang lebih besar daripada 90°. Saiz
sudut yang kelihatan kurang daripada sudut tegak ialah sudut yang kurang daripada 90°.
Misalnya,

Sudut tegak = 90° Sudut kurang daripada 90° Sudut lebih besar daripada 90°
P

RQ

∠PQR kelihatan kurang sedikit daripada sudut tegak.
Maka, saiz anggaran ∠PQR ialah kira-kira 80°.

Seperti yang telah dipelajari, saiz
sudut boleh diukur dengan tepat dengan
menggunakan protraktor.

Saiz	∠ABC	ialah
tepat	135°.

0

10
20

30
40

50
60

70 80 90 100 110 120
130

140
150

160
170

18018
0

17
0

16
0

15
0

14
0

130
120 110 100 80 70 60

50

40
30

20
10

0

A

B C

8.1b

1. Anggarkan saiz setiap tembereng garis yang berikut. Terangkan bagaimana anda
membuat anggaran itu.
(a)

A

B

(b) Q

P

2. Ukur saiz setiap tembereng garis yang berikut.
(a)

A
B

(b)

P
Q

3. Anggarkan saiz setiap sudut yang berikut. Terangkan bagaimana anda membuat
anggaran itu.
(a)  (b)  (c)

4. Dengan menggunakan protraktor, ukur dengan tepat setiap sudut yang berikut.
(a)  (b)  (c)

08 Text book Mate Tg1.indd   172 10/17/16   5:29 PM
173
Garis dan Sudut

B
A
B

8

Apakah sifat sudut pada garis lurus, sudut refleks
dan sudut putaran lengkap?

Terangkan	maksud	sudut	tirus	dan	sudut	cakah.

Kelas

Berbalik
2

Tujuan : Menerangkan sifat sudut pada garis lurus, sudut refleks dan sudut putaran
lengkap.

Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang
dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Sudut garis lurus.ggb dengan GeoGebra.

2. Pilih ‘Penerokaan 1’. Seret titik merah dan perhatikan perubahan sudut yang
dipaparkan.
(i) Seret titik merah supaya sudut berada pada garis lurus. Berapakah sudut

yang dipaparkan?
(ii) Seret titik merah supaya sudut mengalami satu putaran lengkap. Berapakah

sudut yang dipaparkan?

3. Seret titik-titik hitam untuk mengubah kedudukan sudut bagi penerokaan yang
selanjutnya.

4. Bincang dengan rakan anda, banding dan terangkan maksud sudut pada garis
lurus, sudut refleks dan sudut putaran lengkap.

5. Pilih ‘Penerokaan 2’.

6. Terangkan bagaimana anda menentukan jumlah sudut yang dipaparkan.

7. Seret titik-titik hitam dan klik pada butang yang dipaparkan untuk penerokaan
yang selanjutnya.

8. Pilih ‘Penerokaan 3’ dan ulang Langkah 6 dan 7.

9. Bincang dengan rakan anda dan nyatakan semua kesimpulan yang dibuat
berhubung dengan penerokaan anda.

PEMBELAJARAN

Mengenal,	membanding
beza	dan	menerangkan
sifat	sudut	pada	garis
lurus,	sudut	refleks,	dan
sudut	putaran	lengkap.

08 Text book Mate Tg1.indd   173 10/17/16   5:29 PM
BAB 8
174

B
A
B

8

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa
(i) sudut pada garis lurus ialah 180°. Maka, hasil tambah sudut-sudut pada garis lurus

ialah 180°.
(ii) sudut refleks ialah sudut dengan saiz lebih daripada 180° dan kurang daripada 360°.
(iii) sudut putaran lengkap ialah 360°. Maka, hasil tambah sudut-sudut pada satu titik

ialah 360°.

8.1c

1. Bagi setiap sudut yang berikut, nyatakan sama ada sudut tersebut ialah sudut pada
garis lurus, sudut refleks atau sudut putaran lengkap.
(a)  (b)  (c)

2. Salin setiap rajah yang berikut. Kenal pasti dan tandakan (i) sudut pada garis
lurus, (ii) sudut refleks dan (iii) sudut putaran lengkap. Terangkan bagaimana anda
memperoleh jawapan anda.
(a)

45°
135°

88°

(b)

78°

78°
30°

72°

Apakah sifat sudut pelengkap, sudut penggenap
dan sudut konjugat?

Kelas

Berbalik
3

Tujuan : Memerihalkan sifat sudut pelengkap, sudut penggenap dan sudut konjugat.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang

dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.
  • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Sudut pelengkap.ggb dengan GeoGebra.

PEMBELAJARAN

Memerihalkan	sifat
sudut	pelengkap,
sudut	penggenap	dan
sudut	konjugat.

08 Text book Mate Tg1.indd   174 10/17/16   5:29 PM
175
Garis dan Sudut

B
A
B

8

2. Pilih ‘Penerokaan 1’. Tentukan hasil tambah dua sudut yang dipaparkan.
Apakah yang diperhatikan?

3. Seret titik-titik hitam dan ulang Langkah 2. Bincang dengan rakan anda dan
nyatakan satu kesimpulan.

4. Ulang Langkah 2 dan 3 untuk ‘Penerokaan 2’ dan ‘Penerokaan 3’.
5. Nyatakan kesimpulan yang boleh dibuat.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa
(i) dalam Penerokaan 1, hasil tambah dua sudut itu ialah sentiasa 90°.
 Dua sudut itu disebut sebagai sudut pelengkap antara satu sama lain.
(ii) dalam Penerokaan 2, hasil tambah dua sudut itu ialah sentiasa 180°.
 Dua sudut itu disebut sebagai sudut penggenap antara satu sama lain.
(iii) dalam Penerokaan 3, hasil tambah dua sudut itu ialah sentiasa 360°.
 Dua sudut itu disebut sebagai sudut konjugat antara satu sama lain.

8.1d

1. Jelaskan sama ada setiap pernyataan berikut BENAR atau PALSU.
(a) 60° ialah sudut pelengkap bagi 30°.
(b) 125° ialah sudut penggenap bagi 45°.
(c) 300° dan 60° ialah sudut konjugat.
(d) 142° dan 38° ialah sudut penggenap.
(e) Jika A ialah sudut konjugat bagi B, maka A = 360° – B.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Contoh 1

Dalam rajah di sebelah, p dan 54° ialah
sudut pelengkap. Diberi p dan q ialah
sudut penggenap dan sudut konjugat
bagi r ialah 260°. Hitung nilai p, q, r
dan s.

p

q
r

s 54°

p + 54° = 90°  Sudut	pelengkap

Maka, p = 90° – 54°
  = 36°
 p + q = 180°  Sudut	penggenap

36° + q = 180°
Maka, q = 180° – 36°
  = 144°

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan	sudut
pelengkap,	sudut
penggenap	dan
sudut	konjugat.

r + 260° = 360°  Sudut	konjugat

Maka, r = 360° – 260°
             = 100°

s + 100° + 144° + 36° + 54° = 360°
 s + 334° = 360°
 s = 360° – 334°
  = 26°

Sudut	putaran
lengkap

08 Text book Mate Tg1.indd   175 10/17/16   5:29 PM
BAB 8
176

B
A
B

8

8.1e

1. Dalam rajah di sebelah, a dan 46° ialah sudut pelengkap.
Diberi a dan b ialah sudut penggenap dan sudut konjugat
bagi c ialah 283°. Hitung nilai a, b, c dan d.

2. Diberi p dan q ialah sudut penggenap dengan keadaan p . q. Jika beza antara p
dengan q ialah 52°, hitung nilai p dan q.

Bagaimanakah anda membuat pembinaan
geometri?

Lukisan logo, pelan rumah atau pelan
sesuatu rekaan teknikal merupakan
lukisan yang memerlukan ukuran
yang jitu. Lukisan itu boleh dilukis
dengan bantuan jangka lukis dan
alat tepi lurus sahaja, sebarang alat
geometri seperti sesiku, pembaris
atau dengan menggunakan perisian geometri.
 Kaedah menggunakan alat geometri atau perisian
geometri untuk melukis lukisan dengan ukuran jitu
disebut sebagai pembinaan geometri.

(i) Tembereng garis
Satu bahagian daripada suatu garis lurus dengan panjang
tertentu disebut sebagai tembereng garis.

Contoh 2
Bina tembereng garis AB dengan panjang 8 cm dengan
menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja.

A B

3
1

1 Lukis garis dan
tandakan titik A.

2 Ukur jarak 8 cm pada
jangka lukis.

3 Dari titik A, dengan jarak 8 cm
 pada jangka lukis, tandakan

titik B pada garis lurus.

b

d
a c

46°

PEMBELAJARAN
Membina
(i)	 tembereng	garis,
(ii)	 pembahagi	dua	sama

serenjang	suatu
tembereng	garis,

(iii)	garis	serenjang	kepada
suatu	garis	lurus,

(iv)	garis	selari
dan	menerangkan	rasional
langkah-langkah	pembinaan.

TIP    BESTARI
Gunakan	pensel	yang
tajam	semasa	membuat
pembinaan	dan	semua
garis	pembinaan	tidak
perlu	dipadamkan.

Mengapakah	pembinaan
tembereng	garis	dengan
hanya	menggunakan
pembaris	adalah	kurang
tepat?	Bincangkan.

08 Text book Mate Tg1.indd   176 10/17/16   5:29 PM
177
Garis dan Sudut

B
A
B

8

Imbas QR Code atau	layari https://youtu.be/sRe4msKv9Aw untuk	menyaksikan
video	tentang	pembinaan	tembereng	garis.	Kemudian	terangkan	rasional
langkah-langkah	pembinaan.

(ii) Pembahagi dua sama serenjang
Jika suatu garis AB adalah berserenjang dengan
tembereng garis CD dan membahagi CD kepada dua
bahagian yang sama panjang, garis AB disebut sebagai
pembahagi dua sama serenjang CD.

A

D

C

B

Contoh 3

Bina pembahagi dua sama serenjang bagi tembereng garis PQ dengan menggunakan
jangka lukis dan pembaris sahaja.

P Q

P

3 2

3 2

4

Q

1 Buka jangka
lukis supaya
bukaannya lebih
daripada separuh
panjang PQ.

2 Bina dua lengkok
dari P, satu atas
PQ dan satu
bawah PQ.

3 Tanpa mengubah
bukaan jangka
lukis, bina dua
lengkok dari Q,
satu atas PQ dan
satu bawah PQ.

4 Lukis garis yang
menyambungkan
titik persilangan
lengkok yang
dibina dalam
Langkah 2 dan 3.

Imbas QR Code atau	layari https://youtu.be/hn91MV2_NS4 untuk	menyaksikan
video	tentang	pembinaan	pembahagi	dua	sama	serenjang.	Kemudian	terangkan
rasional	langkah-langkah	pembinaan.

08 Text book Mate Tg1.indd   177 10/17/16   5:29 PM
BAB 8
178

B
A
B

8

Dalam	pembinaan	pembahagi	dua	sama	serenjang,
(a)	 jika	bukaan	jangka	lukis	kurang	daripada	separuh	jarak	PQ,	apakah

yang	akan	berlaku?	Bincangkan.
(b)	 adakah	 pembahagi	 dua	 sama	 serenjang	 PQ,	 iaitu	 RS,	 merupakan

paksi	simetri	segi	tiga	PQR?	Bincang	dan	jelaskan.

Q
P

S

R

(iii) Garis serenjang kepada suatu garis lurus

Contoh 4
Dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja, bina
garis serenjang kepada PQ dan melalui titik M.

P
Q

M

P
R

S
Q

M

1
1

3

2

1 Dengan bukaan jangka lukis
yang sama dari M, bina dua
lengkok pada PQ dari M.
Label dua titik itu sebagai R
dan S.

2 Dengan bukaan jangka lukis
yang sama dari R dan S,
bina lengkok masing-masing
dari R dan S supaya dua
lengkok itu bersilang.

3 Lukis garis yang
menyambungkan M
dengan titik persilangan
dua lengkok itu.

Imbas QR Code atau	layari https://youtu.be/b_b2x4S0Ri8 untuk	menyaksikan	video
tentang	pembinaan	garis	serenjang	kepada	suatu	garis	yang	melalui	suatu	titik.
Kemudian	terangkan	rasional	langkah-langkah	pembinaan.

Jika	suatu	garis	adalah
berserenjang	dengan
garis	PQ,	maka	garis
itu	disebut	sebagai
garis serenjang
kepada	garis	PQ.

Merujuk	pembinaan
garis	serenjang	dalam
Contoh	4,	apakah
perkaitan	antara	kaedah
pembinaan	ini	dengan
pembinaan	pembahagi
dua	sama	serenjang?

08 Text book Mate Tg1.indd   178 10/17/16   5:29 PM
179
Garis dan Sudut

B
A
B

8

Contoh 5

Dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja, bina garis serenjang kepada PQ
dan melalui titik N.

P

Q
N

P R
S Q

N

2

1

3

2

1

1 Dengan bukaan jangka
lukis yang sama, bina dua
lengkok pada PQ dari N.
Label dua titik itu sebagai
R dan S.

2 Besarkan bukaan jangka
lukis melebihi NR atau
NS, dengan bukaan yang
sama dari R dan S, bina dua
lengkok masing-masing di
atas dan di bawah PQ supaya
dua lengkok itu bersilang.

3 Lukis garis yang
menyambungkan N dengan
dua titik persilangan yang
dibina dalam Langkah 2.

Imbas QR Code atau	layari https://youtu.
 be/sxRYKTAaC7o untuk	menyaksikan
	 video	tentang	pembinaan	garis	serenjang

kepada	 suatu	 garis	 yang	 melalui	 suatu
titik	pada	garis	 itu.	Kemudian	terangkan
rasional	langkah-langkah	pembinaan.

Imbas QR Code atau	layari https://youtu.
be/3eCIP83XzEc untuk	menyaksikan	video
tentang	pembinaan	garis	serenjang	kepada
suatu	garis	lurus	dengan	sesiku.	Seterusnya,	bina
garis	serenjang	dalam		Contoh	4	dan	5	dengan
menggunakan	sesiku	dan	pembaris	sahaja.

Merujuk	pembinaan
garis	serenjang	dalam
Contoh	5,	apakah
perkaitan	antara	kaedah
pembinaan	ini	dengan
pembinaan	pembahagi
dua	sama	serenjang?
Bincang	dan	jelaskan.

08 Text book Mate Tg1.indd   179 10/17/16   5:29 PM
BAB 8
180

B
A
B

8

(iv) Garis selari

Contoh 6
Dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja, bina
garis yang selari dengan PQ dan melalui titik R.

P

R

Q

R

P Q

1
4

2

3

1 Dengan bukaan
jangka lukis yang
sama dengan jarak
PR, bina satu
lengkok melalui R
dari P.

2 Kekalkan bukaan
jangka lukis, bina
satu lengkok
dari Q.

3 Dengan bukaan
 jangka lukis yang

sama dengan
jarak PQ, bina
satu lengkok dari
R yang bersilang
dengan lengkok
yang dibina dalam
Langkah 2.

4 Lukis garis yang
menyambungkan
R dengan titik
persilangan yang
dibina dalam
Langkah 3.

Imbas QR Code atau	layari https://youtu.
be/1WqWsy5BL1A untuk

menyaksikan	video	tentang
pembinaan	garis	selari.
Kemudian	terangkan	rasional
langkah-langkah	pembinaan.

Imbas QR Code atau	 layari https://youtu.be/
aHJSPgBe2aw untuk	menyaksikan	video	tentang

pembinaan	garis	selari	dengan	sesiku.
	 Seterusnya,	bina	garis	selari	dalam

Contoh	6	dengan	menggunakan
sesiku	dan	pembaris	sahaja.

Garis-garis	yang	tidak
akan	bertemu	walaupun
dipanjangkan	disebut
sebagai	garis selari.

Jelaskan	bagaimana
kaedah	pembinaan	garis
selari	dikaitkan	dengan
pembinaan	segi	empat
selari	PQSR.

R S

QP

08 Text book Mate Tg1.indd   180 10/17/16   5:29 PM
181
Garis dan Sudut

B
A
B

8

8.1f

1. Bina setiap tembereng garis yang berikut.
(a) AB = 6 cm (b) PQ = 5. 4 cm (c) RS = 7. 3 cm

2. Salin dan bina pembahagi dua sama serenjang bagi setiap tembereng garis yang
berikut.
(a)

P Q
 (b)

A
B

3. Bagi setiap yang berikut, salin dan bina garis serenjang kepada tembereng garis PQ
dan melalui titik M.
(a)

P Q

M

(b)

P

QM

4. Bagi setiap yang berikut, salin dan bina garis selari dengan garis PQ dan melalui
titik M.
(a)

P Q

M

(b)

P

Q

M

Bagaimanakah anda membina sudut dan
pembahagi dua sama sudut?

(i) Pembinaan sudut 60°
Selain menggunakan protraktor untuk membina
sudut, sudut 60° boleh dibina dengan menggunakan
hanya jangka lukis dan pembaris berdasarkan konsep
sudut dalam suatu segi tiga sama sisi. Pembinaan
tiga tembereng garis yang sama panjang membentuk
segi tiga dengan sudut pedalaman 60°.

Contoh 7

Dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja, bina garis PQ supaya
∠PQR = 60°.

Q
R

PEMBELAJARAN

Membina	sudut	dan
pembahagi	dua	sama	sudut
serta	menerangkan	rasional
langkah-langkah	pembinaan.

08 Text book Mate Tg1.indd   181 10/17/16   5:29 PM
BAB 8
182

B
A
B

8

2

3
1

P

Q

60° RS

1 Bina satu lengkok panjang
dari Q yang bersilang
dengan QR. Tandakan
titik persilangan itu
sebagai S.

2 Kekalkan bukaan jangka lukis
dan bina satu lengkok

dari S yang bersilang dengan
lengkok yang dibina dalam
Langkah 1. Tandakan titik
persilangan itu sebagai P.

3 Lukis garis yang
menyambungkan titik P
dengan Q.

Maka, ∠PQR = 60°.

Imbas QR Code atau	layari https://youtu.be/CfGP60NB3q0 untuk
menyaksikan	video	tentang	pembinaan	sudut	60°.	Kemudian	terangkan
rasional	langkah-langkah	pembinaan.

(ii) Pembahagi dua sama sudut

Jika suatu garis membahagikan suatu sudut kepada dua
sudut yang sama saiz, garis itu disebut sebagai pembahagi
dua sama sudut.
Misalnya, garis OS ialah pembahagi dua sama ∠POR. 20°

20° 40°

O R

P

S

Contoh 8

Dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris
sahaja, bina pembahagi dua sama sudut bagi
∠PQR.

60°

Q R

P

08 Text book Mate Tg1.indd   182 10/17/16   5:30 PM
183
Garis dan Sudut

B
A
B

8

60°
Q R

P

S
M

N

2 3

1

1 Bina satu lengkok panjang
dari Q yang bersilang
dengan kedua-dua lengan
QP dan QR. Tandakan
dua titik persilangan itu
sebagai M dan N.

2 Dengan bukaan jangka lukis
yang sama, bina satu lengkok
masing-masing dari M dan
N supaya dua lengkok itu
bersilang. Tandakan titik
persilangan itu sebagai S.

3 Lukis garis yang
menyambungkan
titik Q dengan titik S.
QS ialah pembahagi
dua sama ∠PQR.

Didapati bahawa ∠PQS = ∠SQR = 30°, kita sebenarnya telah membina sudut 30°.
Bermula dengan sudut 60° dan pengetahuan tentang pembahagi dua sama sudut, kita
boleh membina sudut lain dengan tepat dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris
sahaja. Misalnya,

60°
60°

60°
30° 15°

15°

30°
60°

120° 90° 15°

(a)	 Apakah	rasional	dalam	pembinaan	120°,	90°	dan	15°	yang	ditunjukkan	di	atas?
(b)	 Bincang	dan	nyatakan	sudut-sudut	lain	yang	boleh	dibina	dengan	menggunakan	jangka	lukis

dan	pembaris	sahaja.

8.1g

1. Bagi setiap sudut yang berikut, jelaskan dengan ringkas bagaimana anda boleh
membina sudut itu dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja.
Seterusnya, bina sudut tersebut.
(a) 90° (b) 45° (c) 75° (d) 105°

Imbas	QR Code atau	layari https://youtu.
be/-amDl2NB1MY untuk	menyaksikan
video	tentang	pembinaan	pembahagi
dua	sama	sudut.	Kemudian	terangkan
rasional	langkah-langkah	pembinaan.

08 Text book Mate Tg1.indd   183 10/17/16   5:30 PM
BAB 8
184

B
A
B

8

8.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 8.1.

1. Tentukan sama ada setiap pernyataan yang berikut BENAR atau PALSU.
(a) Sudut refleks adalah lebih besar daripada sudut pada garis lurus.
(b) Hasil tambah bagi satu sudut cakah dan satu sudut tirus akan memperoleh satu

sudut refleks.
(c) Dua sudut bersebelahan pada garis lurus ialah sudut penggenap.
(d) Hasil tambah dua sudut konjugat ialah sudut putaran lengkap.
(e) Jika m dan n ialah sudut konjugat, maka m atau n ialah sudut refleks tetapi bukan

kedua-duanya.

2. Diberi p dan q ialah sudut kongruen dan juga sudut pelengkap. Nyatakan nilai p dan q.

3. Diberi PQ = 7 cm. Jika PQ dan RS ialah tembereng garis kongruen, nyatakan panjang
tembereng garis RS.

4. Jika p dan q ialah sudut penggenap dan beza antara p dengan q ialah 30°, cari nilai p
dan q dengan keadaan p . q.

5. Jika p dan q ialah sudut konjugat dan saiz sudut q adalah empat kali saiz sudut p, cari
nilai p dan q.

6. (a) Dengan menggunakan pembaris dan jangka lukis sahaja,
(i) salin tembereng garis PQ yang diberi dan bina sebuah segi tiga PQR bermula

dengan garis PQ dengan keadaan QR = 6 cm dan ∠RPQ = 60°,
(ii) seterusnya, bina garis serenjang kepada PR dan melalui titik Q.

(b) Berdasarkan pembinaan anda di (a), ukur jarak tegak dari Q ke garis PR itu.

P Q

7. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga
ABC. Dengan menggunakan pembaris dan jangka
lukis sahaja,
(a) salin tembereng garis AB yang diberi dan bina

segi tiga ABC mengikut ukuran yang diberi
bermula dengan garis lurus AB.

30°

7 cm

C

BA

A B

(b) seterusnya, bina pembahagi dua sama serenjang bagi garis AC. Pembahagi dua
sama serenjang itu menyilang garis AC pada titik P dan menyilang garis BC
pada titik Q. Ukur ∠PQC.

08 Text book Mate Tg1.indd   184 10/17/16   5:30 PM
185
Garis dan Sudut

B
A
B

8

8.2 Sudut yang berkaitan dengan Garis Bersilang

Apakah sudut bertentang bucu dan sudut
bersebelahan pada garis bersilang?

Kelas

Berbalik
4

Tujuan : Meneroka sudut pada garis bersilang.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran

bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Sudut garis bersilang.ggb dengan GeoGebra.

2. Pilih ‘Penerokaan 1’. Paparan menunjukkan dua garis yang bersilang.

3. Klik pada ‘Papar sudut bertentang bucu’ dan ‘Papar sudut bersebelahan’.

4. Bincang dengan rakan anda dan terangkan maksud sudut bertentang bucu dan
sudut bersebelahan pada garis bersilang. Seterusnya, nyatakan sepasang sudut
bertentang bucu dan sepasang sudut bersebelahan yang lain.

5. Pilih ‘Penerokaan 2’. Seret titik-titik hitam dan perhatikan sudut-sudut yang
dipaparkan.

6. Bincang dengan rakan anda dan terangkan sifat-sifat sudut bertentang bucu
dan sudut bersebelahan pada garis bersilang.

7. Pilih ‘Penerokaan 3’. Paparan menunjukkan dua garis yang berserenjang
antara satu sama lain. Apakah kesimpulan yang boleh dibuat tentang
sudut-sudut pada garis bersilang itu?

8. Bincang dengan rakan anda dan buat satu kesimpulan keseluruhan tentang
sudut-sudut pada garis bersilang.

PEMBELAJARAN

Mengenal	pasti,
menerangkan	dan
melukis	sudut
bertentang	bucu	dan
sudut	bersebelahan	pada
garis	bersilang,	termasuk
garis	serenjang.

08 Text book Mate Tg1.indd   185 10/17/16   5:30 PM
BAB 8
186

B
A
B

8

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa
(i) sudut bertentang bucu pada garis bersilang adalah sama.
(ii) hasil tambah sudut bersebelahan pada garis bersilang ialah 180°.

∠a = ∠c
∠b = ∠d

∠a + ∠d = 180°
∠d + ∠c = 180°

∠c + ∠b = 180°
∠b + ∠a = 180°

(iii) jika dua garis bersilang adalah berserenjang antara satu sama lain, maka semua sudut
pada garis bersilang itu ialah 90°.

Contoh 9
Rajah di sebelah menunjukkan dua garis bersilang. Kenal pasti
dan nyatakan
(a) sudut bertentang bucu.
(b) sudut bersebelahan pada garis bersilang.

r
q

p

(a) sudut p dan r ialah sudut bertentang bucu.
(b) sudut p dan q, q dan r ialah sudut bersebelahan pada garis bersilang.

8.2a

1. Bagi setiap rajah yang berikut, kenal pasti dan nyatakan
(i) sudut bertentang bucu.
(ii) sudut bersebelahan pada garis bersilang.
(a) p

r
q

(b)
c

b
a

(c)
r

st

2. Salin setiap rajah yang berikut, tandakan dan labelkan
(i) sudut y jika sudut x dan y ialah sudut bertentang bucu.
(ii) sudut z jika sudut x dan z ialah sudut bersebelahan pada garis bersilang.
(a)

x
 (b)

x

(c)

x

Bagaimanakah anda menentukan nilai sudut pada garis bersilang?

Contoh 10
Dalam rajah di sebelah, PSQ,
RSTU dan PTV ialah garis lurus.
Cari nilai x dan y.

P

Q

R

y

x

U
V

T
S 62°

135°

d

b
ca

PEMBELAJARAN

Menentukan	nilai	sudut
yang	berkaitan	dengan
garis	bersilang	apabila
nilai	sudut	lain	diberi.

08 Text book Mate Tg1.indd   186 10/17/16   5:30 PM
187
Garis dan Sudut

B
A
B

8

x + 135° = 180°  Sudut	bersebelahan	pada	garis	bersilang

x = 180° – 135°
  = 45°
y = 62°  Sudut	bertentang	bucu

8.2b

1. Dalam rajah yang berikut, PQ, RS dan TU ialah garis lurus. Cari nilai x dan y.
(a)

140°

80°

S T

Q

U

R

P

y
x

(b)

24°
32° y

Q

U
S

T

xR

P

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Contoh 11
Dalam rajah di sebelah,
POR dan TOQ ialah garis
lurus. Cari nilai x dan y.

x 60°

T

y
y

S

R

Q

P
U

72°O

∠POT = 72°
 x + 60° = 72°  ∠POT	dan	∠QOR

ialah	sudut
bertentang	bucu.

x = 72° – 60°
  = 12°

∠TOR + 72° = 180°
 ∠TOR = 180° – 72°
  = 108°
 y + y = 108°
 2y = 108°
 y = 54°

8.2c

1. Dalam rajah di bawah, POR dan
QOT ialah garis lurus. Cari nilai
x dan y.

18°
38°

84°

yx

T

O

Q
R

SP
U

2. Dalam rajah di bawah, QOS dan ROU
ialah garis lurus. OT ialah pembahagi
dua sama ∠UOS. ∠POQ dan ∠QOR

ialah sudut pelengkap. Cari nilai x dan y.
U

O
x y

T

S

R

Q

P
40°

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan	sudut
yang	berkaitan	dengan
garis	bersilang.

∠QOR	dan	∠TOR
ialah	sudut
bersebelahan	pada
garis	bersilang.

08 Text book Mate Tg1.indd   187 10/17/16   5:30 PM
BAB 8
188

B
A
B

8

8.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 8.2.

1. Dalam rajah di sebelah, POS dan UOR ialah garis
lurus. OQ ialah pembahagi dua sama ∠POR. ∠POU
dan ∠UOT ialah sudut pelengkap. Cari nilai x dan y. 56°

O
y

x

TU

P

Q
R

S

2. Dalam rajah di sebelah, POS, QOT dan UOR ialah
garis lurus. Cari nilai y.

5y
P S

T

RQ

U

5y

2y
O

3. Dalam rajah di sebelah, POS, QOT dan ROU ialah
garis lurus. Cari nilai x.

40°

U
T

S
R

Q

P
4x

x O

8.3 Sudut yang berkaitan dengan Garis Selari dan Garis
Rentas Lintang

Apakah garis selari dan garis rentas lintang?

Garis-garis selari boleh ditandakan
dengan anak panah ‘ ’ seperti yang
ditunjukkan dalam gambar foto.

Garis lurus yang bersilang dengan dua atau lebih garis lurus
disebut sebagai garis rentas lintang. Misalnya, garis lurus AB
yang ditunjukkan dalam gambar foto ialah garis rentas lintang.

8.3a

1. Salin objek yang ditunjukkan. Lukis dan tandakan garis selari pada salinan objek itu.
(a)  (b)  (c)

PEMBELAJARAN

Mengenal,	menerangkan
dan	melukis	garis	selari
dan	garis	rentas	lintang.

08 Text book Mate Tg1.indd   188 10/17/16   5:30 PM
189
Garis dan Sudut

B
A
B

8

2. Salin setiap rajah yang berikut dan label garis yang merupakan garis rentas lintang
sebagai AB. Kemudian lukis satu garis rentas lintang yang lain dan label garis itu
sebagai PQ.
(a)  (b)  (c)

3. Bagi setiap rajah yang berikut, tentukan sama ada garis yang dilabel PQ ialah garis
rentas lintang atau bukan. Berikan justifikasi anda.
(a) P

Q

(b)
P

Q

(c) P

Q

Apakah sudut sepadan, sudut selang-seli dan
sudut pedalaman?

Kelas

Berbalik
5

Tujuan : Meneroka sudut-sudut berkaitan garis selari.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang

dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.
  • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Sudut garis selari.ggb dengan GeoGebra.
2. Dengan menyeret titik-titik pada paparan, kenal

pasti garis selari dan garis rentas lintang.
3. Pilih ‘Papar sudut sepadan 1’ dan ‘Papar sudut

sepadan 2’ untuk meneroka sifat-sifat sudut sepadan.
4. Klik pada ‘Papar saiz sudut’ dan seret titik-titik pada

paparan jika perlu.

5. Nyatakan sepasang sudut sepadan yang lain.
6. Bincang dengan rakan anda untuk menerangkan sifat-sifat sudut sepadan.
7. Pilih ‘Papar sudut selang-seli’ dan ‘Papar sudut pedalaman’ dan teruskan

penerokaan untuk sudut selang-seli dan sudut pedalaman.
8.  Nyatakan sepasang sudut selang-seli dan sepasang sudut pedalaman yang lain.
9. Bincang dengan rakan anda dan terangkan sifat-sifat sudut selang-seli dan

sudut pedalaman.
10. Nyatakan kesimpulan yang boleh dibuat tentang penerokaan anda.

PEMBELAJARAN

Mengenal,	menerangkan
dan	melukis	sudut
sepadan,	sudut
selang-seli	dan
sudut	pedalaman.

08 Text book Mate Tg1.indd   189 10/17/16   5:30 PM
BAB 8
190

B
A
B

8

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati apabila satu garis rentas lintang bersilang
dengan dua atau lebih garis selari,
(i) sudut sepadan

adalah sama.
(ii) sudut selang-seli

adalah sama.
(iii) hasil tambah sudut

pedalaman ialah 180°.

a

b
c

b

c
d

Maka, ∠a = ∠b  Maka, ∠b = ∠c  Maka, ∠c + ∠d = 180°

8.3b

1. Salin setiap rajah yang berikut. Terangkan dan nyatakan sama ada dua sudut yang
dilabel dengan a dan b ialah sudut sepadan, sudut selang-seli atau sudut pedalaman.
Kemudian tandakan dengan c dan d pasangan sudut lain yang sama jenis.
(a)

a
b

(b)

a
b

(c)

ab

(d) a

b

2. Salin setiap rajah yang berikut dan tandakan
(i) sudut p jika a dan p ialah sudut sepadan.
(ii) sudut q jika b dan q ialah sudut selang-seli.
(iii) sudut r jika c dan r ialah sudut pedalaman.
(a)

a
bc

(b) a

b
c

Bagaimanakah anda menentukan sama ada
dua garis lurus adalah selari?

Contoh 12
Dalam setiap rajah yang berikut, tentukan sama ada garis
lurus PQ dan RS adalah selari atau tidak.
(a)

48°

48°

P
Q

T

U

R
S

(b)

42°
128°

T Q

S

UR

P

PEMBELAJARAN

Menentukan	sama	ada
dua	garis	lurus	adalah
selari	berdasarkan
sifat-sifat	sudut	yang
berkaitan	dengan	garis
rentas	lintang.

08 Text book Mate Tg1.indd   190 10/17/16   5:30 PM
191
Garis dan Sudut

B
A
B

8

(a) PQ dan RS adalah selari.  Sudut	sepadannya,	48°	adalah	sama.

(b) 42° + 128° = 170°
  ≠ 180°  Hasil	tambah	sudut	pedalaman	sepatutnya

180°	jika	PQ	dan	RS	selari.
 Maka, PQ dan RS tidak selari.

8.3c

1. Bagi setiap rajah yang berikut, tentukan sama ada garis PQ dan garis RS adalah selari
atau tidak.
(a)

P
Q

R
S

132° 132°

(b)
85°P

Q

S

R 85°

(c) P

R Q

S

120° 124°

124°

Bagaimanakah anda menentukan nilai sudut yang berkaitan dengan
garis selari dan garis rentas lintang?

Contoh 13
Dalam rajah di sebelah, PQ,
RS dan TU ialah garis selari.
Cari nilai a, b dan c.

a
c

b
T

R

P
Q

S

U

D

C
A

B

118°

60°

a = 60°

Sudut	selang-seli

b = 118°

Sudut	sepadan

b + c = 180° Sudut	pedalaman
 118° + c = 180°
 c = 180° – 118°
  = 62°

8.3d

1. Dalam rajah di bawah, EF dan GH
ialah garis lurus. Cari nilai a, b, c
dan d.

2. Dalam rajah di bawah, cari nilai a
dan b.

a b
c

76° 110°
d

E G

BA

HF

DC

25°

ba

42°

A B

C D

E

PEMBELAJARAN

Menentukan	nilai	sudut
yang	berkaitan	dengan
garis	selari	dan	garis
rentas	lintang	apabila
nilai	sudut	lain	diberi.

08 Text book Mate Tg1.indd   191 10/17/16   5:30 PM
BAB 8
192

B
A
B

8

Apakah sudut dongak dan sudut tunduk?

Konsep sudut adalah sangat penting
dalam bidang ukur tanah. Juruukur
tanah menggunakan sudut untuk
menentukan jarak. Antara sudut
yang diukur ialah sudut dongak dan
sudut tunduk.

Kelas

Berbalik
6

Tujuan : Mengenal sudut dongak dan sudut tunduk.

Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang
dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Sudut dongak sudut tunduk.ggb dengan GeoGebra.

2. Pilih ‘Sudut dongak’. Paparan menunjukkan
titik A dan titik B pada aras yang tidak sama.

3. Klik butang pada paparan untuk penerokaan
sudut dongak.

4. Perhatikan animasi pada paparan dan jelaskan
secara amnya maksud sudut dongak.

5. Seret titik A atau titik B ke kedudukan lain dan klik butang pada paparan
untuk penerokaan selanjutnya tentang sudut dongak.

6. Pilih ‘Sudut tunduk’ dan ulang Langkah 3 hingga 5 untuk penerokaan sudut
tunduk.

7. Bincang dengan rakan anda tentang sudut dongak dan sudut tunduk.
(a) Bagaimanakah kedudukan A dan B dikaitkan dengan sudut dongak dan

sudut tunduk?
(b) Jika A berada di aras yang lebih tinggi daripada B atau sebaliknya,

terangkan sudut dongak atau sudut tunduk antara A dengan B.

8. Bincang dengan rakan anda dan nyatakan kesimpulan yang boleh dibuat
tentang sudut dongak dan sudut tunduk.

PEMBELAJARAN

Mengenal	dan
mewakilkan	sudut
dongak	dan	sudut
tunduk	dalam	situasi
kehidupan	sebenar.

08 Text book Mate Tg1.indd   192 10/17/16   5:30 PM
193
Garis dan Sudut

B
A
B

8

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa:
(i) Apabila seseorang melihat objek

pada aras yang lebih tinggi, sudut
antara arah penglihatannya dengan
garis mengufuk disebut sebagai
sudut dongak.

(ii) Apabila seseorang melihat objek
pada aras yang lebih rendah, sudut
antara arah penglihatannya dengan
garis mengufuk disebut sebagai
sudut tunduk.

a
Garis mengufuk b

Garis mengufuk

Sudut a ialah sudut dongak burung itu
dari penglihatan Jefri.

Sudut b ialah sudut tunduk kucing itu
dari penglihatan Kim.

Apabila	 kita	 menggambarkan	 sudut	 dongak	 dan	 sudut	 tunduk
antara	dua	objek	yang	berada	pada	aras	tidak	sama,
(a)	 adakah	sudut	dongak	sentiasa	sama	dengan	sudut	tunduk?
(b)	 apakah	hubungan	antara	sudut	dongak	dengan	sudut	tunduk?

Contoh 14

Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan Devi
dan Umi di dua buah bangunan pada tanah
mengufuk. Lukis dan labelkan
(a) sudut a yang mewakili sudut dongak Umi

dari Devi.
(b) sudut b yang mewakili sudut tunduk Devi

dari Umi.

Umi

Devi

(a)

a

Umi

Devi

(b)

b
Umi

Devi

“Sudut	dongak	dan	sudut
tunduk	adalah	sentiasa
sudut	tirus.”
Adakah	pernyataan	ini
benar?	Bincangkan.

08 Text book Mate Tg1.indd   193 10/17/16   5:30 PM
BAB 8
194

B
A
B

8

8.3e

1. Jasni berdiri di atas sebuah bukit dan memerhatikan
 sebuah kapal terbang dan seketul batu. Wakilkan

situasi ini dengan melukis dan melabelkan
(a) sudut a yang mewakili sudut dongak kapal

terbang itu dari Jasni.
(b) sudut b yang mewakili sudut tunduk batu itu

dari Jasni.

Kapal terbang

Batu

Jasni

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Contoh 15

Dalam rajah di sebelah, POT, QOU,
PQR dan VOR ialah garis lurus.
(a) Cari nilai x.
(b) Andaikan PV sebagai garis

mengufuk dan ∠PVO ialah
sudut tunduk O dari V, cari
sudut dongak P dari O.

x
Q U

TSR

110° 75°

62°
V

O

P

(a) ∠QOS = ∠PQO  Sudut	selang-seli
  = 110°
 ∠QOR = ∠PVR  Sudut	sepadan
  = 62°
 Maka, x = 110° – 62°
  = 48°

(b) ∠QOV + 62° = 180°  Hasil	tambah	sudut	pedalaman
  ∠QOV = 180° – 62°
   = 118°
  ∠POQ = 118° – 75°
   = 43°
 Maka, sudut dongak P dari O ialah 43°.

8.3f

1. Dalam rajah di sebelah, PQR dan QTU ialah
garis lurus.
(a) Cari nilai x dan y.
(b) Andaikan WV ialah garis mengufuk, cari

sudut dongak V dari T.

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan	sudut
yang	berkaitan	dengan
garis	selari	dan	garis
rentas	lintang.

Jurufoto	dan
jurukamera
menggunakan
pengetahuan	garis
dan	sudut	untuk
membantunya
mengambil	foto
atau	rakaman	video
dengan	cekap.

x

R W
V

U

S
P

Q
y

T
88°

25°

08 Text book Mate Tg1.indd   194 10/17/16   5:30 PM
195
Garis dan Sudut

B
A
B

8

8.3
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 8.3.

1. Dalam rajah di sebelah, PQR dan UTS ialah garis
lurus. Cari nilai x dan y. x y

42°135°

S
U

P Q R

T

2. Dalam rajah di sebelah, PQRS ialah garis lurus.
Cari nilai x dan y.

110°

y
U T

P Q R S

x 52°

74°

3. Dalam rajah di sebelah, QRST ialah garis lurus.
Cari nilai x dan y.

25°

125°

U
T

S

R

QP

x

y

4. Rajah di sebelah menunjukkan satu rangka kayu
berbentuk heksagon PQRSTU yang terletak di
atas lantai mengufuk.
(a) Nyatakan sudut dongak Q dari O.
(b) Nyatakan sudut tunduk T dari O.

5. Dalam rajah di sebelah, VUTS dan PQR ialah
garis lurus.
(a) Cari nilai x dan y.
(b) Cari saiz sudut refleks QWU.
(c) Andaikan VUTS ialah garis mengufuk, cari

sudut tunduk R dari T.

V SU T
y

W

Q RP
70°

62°
40°

x

6. Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan
Kamal, Cindy, Adila dan David di dua buah
pangsapuri. Sudut dongak Cindy dari David
ialah 15°, sudut dongak Adila dari Cindy ialah
18° dan sudut tunduk Adila dari Kamal ialah
40°. Cari nilai x dan y. y

x

Kamal

Cindy
Adila

David

08 Text book Mate Tg1.indd   195 10/17/16   5:30 PM
BAB 8
196

B
A
B

8

GARIS DAN SUDUT

Tembereng
garis

Pembahagi
dua sama
serenjang

Garis
serenjang Garis selari Pembinaan

60°

Pembahagi
dua sama

sudut

Sudut pada
garis lurus

Sudut
refleks

Sudut
putaran
lengkap

Sudut
pelengkap

Sudut
penggenap

Sudut
konjugat

180° 360°
a

b a b a
b

Sudut yang berkaitan
dengan garis bersilang

d

b
ca

•	 Sudut	bertentang	bucu
 ∠a = ∠c dan ∠b = ∠d
•	 Sudut	bersebelahan

pada garis bersilang
 ∠a + ∠d = 180°
 ∠d + ∠c = 180°
 ∠c + ∠b = 180°
 ∠b + ∠a = 180°

Sudut yang berkaitan
dengan garis selari dan
garis rentas lintang

p

rq
s

Garis rentas
lintang

•	 Sudut	sepadan
 ∠p = ∠s
•	 Sudut	selang-seli
 ∠r = ∠s
•	 Sudut	pedalaman
 ∠q + ∠s = 180°

•	 Sudut	dongak

Sudut
dongak

•	 Sudut	tunduk

Sudut
tunduk

BAB 8
196

B
A
B

8

08 Text book Mate Tg1.indd   196 10/20/16   9:16 AM
197
Garis dan Sudut

B
A
B

8

Sangat
baik

Berusaha
lagi

menentu dan menerang kekongruenan tembereng garis dan kekongruenan sudut.

menganggar dan mengukur saiz tembereng garis dan sudut.

mengenal, membanding beza dan menerang sifat sudut pada garis, sudut refleks
dan sudut putaran lengkap.

memerihalkan sifat dan menyelesaikan masalah melibatkan  sudut pelengkap, sudut
penggenap dan sudut konjugat.

membina tembereng garis, pembahagi dua sama serenjang suatu tembereng garis,
garis serenjang kepada suatu garis lurus dan garis selari serta menerangkan rasional
langkah-langkah pembinaan.

membina sudut dan pembahagi dua sama sudut serta menerangkan rasional
langkah-langkah pembinaan.

mengenal pasti, menerangkan dan melukis sudut bertentang bucu dan sudut
bersebelahan pada garis bersilang, termasuk garis serenjang.

menentukan nilai sudut dan menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut yang
berkaitan dengan garis bersilang.

mengenal, menerangkan dan melukis garis selari, garis rentas lintang, sudut
sepadan, sudut selang-seli dan sudut pedalaman.

menentukan sama ada dua garis lurus adalah selari.

menentukan nilai sudut dan menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut yang
berkaitan dengan garis selari dan garis rentas lintang.

mengenal dan mewakilkan sudut dongak dan sudut tunduk dalam situasi
kehidupan sebenar.

1. Dalam rajah di sebelah, x dan 25° ialah sudut pelengkap.
Cari nilai x dan y. 25°

60°
92° y

x

08 Text book Mate Tg1.indd   197 10/17/16   5:30 PM
BAB 8
198

B
A
B

8

2. Rajah di sebelah menunjukkan garis lurus POR.
Cari nilai x dan y.

20°

100°

S

R

Q

P
T

96°
y
xO

3. Dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja, bina satu tembereng
garis AB dengan panjang 8 cm. Kemudian bina titik C supaya ∠ABC = 60° dan
BC = 5 cm. Seterusnya bina garis serenjang dari C ke AB.

4. TSR ialah garis lurus seperti ditunjukkan dalam
rajah di sebelah. Cari nilai x dan y. x

U

y

T
P

Q

S R
135°

86°

5. Jika x dan y ialah sudut penggenap dan x : y = 2 : 3, cari nilai x dan y.

6. (a) Dalam rajah di sebelah, cari nilai x dan y.
(b) Seterusnya, dengan menggunakan jangka lukis

dan pembaris sahaja, bina trapezium PQRS
dengan keadaan PQ = 4 cm dan PS = 6 cm.

yx

P

S R

T
Q

105° 120°

7. PS dan QT ialah garis lurus seperti ditunjukkan
dalam rajah di sebelah. Cari nilai x dan y. 20°

3y
2x

U T

S
P

Q
R

x
y

8. Dalam rajah di sebelah, UTS dan PQR ialah garis
lurus. Cari nilai x, y dan z. y

132°

108°
P Q R

T S

V

U

x

z

9. Rajah di sebelah menunjukkan dua garis lurus, WOS
dan ROV. Cari nilai x dan y. y

U

142°
128° O

RQ

P
W

x

S T

V

08 Text book Mate Tg1.indd   198 10/17/16   5:30 PM
199
Garis dan Sudut

B
A
B

8

10. Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan tiga orang
kawan. Hui Li berada di dalam belon udara panas,
Kamala berada di atas tanah mengufuk dan Rizal
berada di atas sebuah bukit. Sudut tunduk Kamala dari
Hui Li ialah 78°. Berdasarkan maklumat yang diberi
dalam rajah, cari
(a) sudut tunduk Rizal dari Hui Li.
(b) sudut dongak Rizal dari Kamala.

32°

88° Rizal

Kamala

Hui Li

Hafeeza telah ditugaskan untuk mengambil gambar semasa majlis perkahwinan
kakaknya. Terangkan bagaimana pengetahuan garis seperti garis selari dan garis
serenjang serta pengetahuan sudut seperti sudut dongak dan sudut tunduk dapat
membantu Hafeeza untuk menyelesaikan masalah seperti penempatan kamera,
pemilihan lensa, isu perspektif gambar, isu komposisi subjek dalam gambar dan
sebagainya. Tulis satu laporan dan bentangkan hasil kajian anda semasa pembelajaran.

Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii. Buka fail Sudut 120 darjah.ggb
dengan GeoGebra. Paparan menunjukkan pembinaan sudut 120° dengan hanya
menggunakan    dalam GeoGebra. Terangkan rasional dalam pembinaan ini.

Dengan hanya menggunakan
dalam GeoGebra, dan bermula dengan suatu tembereng
garis AB yang diberi, bina setiap yang berikut:
(a) Pembahagi dua sama serenjang bagi AB.
(b) Garis yang berserenjang dengan AB dan melalui

suatu titik yang diberi.
(c) Sudut 30°, dengan keadaan AB sebagai satu daripada

lengan sudut.

Bentangkan hasil kerja anda dalam kelas semasa pembelajaran dengan menerangkan
rasional pembinaan yang telah dilakukan.

08 Text book Mate Tg1.indd   199 10/17/16   5:30 PM
BAB 9
200

B
A
B

9

Poligon Asas
9
BAB

•	 Poligon

•	 Sifat	Segi	Tiga	dan	Sudut	Pedalaman	serta

Sudut	Peluaran	Segi	Tiga

•	 Sifat	Sisi	Empat	dan	Sudut	Pedalaman	serta

Sudut	Peluaran	Sisi	Empat

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Masjid Putra ialah satu daripada mercu
tanda yang utama di Putrajaya yang
dikunjungi oleh pelawat kerana reka bentuk
yang cantik dan mengagumkan. Keunikan
seni bina yang dipamerkan ini terdiri
daripada gabungan pelbagai poligon.

Sebagai asas pengetahuan
untuk penggunaan poligon
dalam bidang pembinaan.
Bincangkan bidang lain yang
melibatkan penggunaan poligon.

BAB 9
200

09 Text book Mate Tg1.indd   200 10/17/16   5:32 PM
201
Poligon Asas

B
A
B

9

Carl Friedrich Gauss
(1777 – 1855) ialah
seorang ahli matematik
Jerman yang banyak
menyumbang dalam
bidang matematik.
Antara penemuan yang
penting, beliau telah
memperkenal cara untuk
membina poligon sekata
17 sisi dengan hanya
menggunakan jangka
lukis dan alat tepi lurus.

Jaringan Kata

Carl Friedrich Gauss

Untuk maklumat lanjut:

https://goo.gl/Tvk2d3

Bagaimanakah poligon digunakan
dalam bidang kesenian bangunan?
Apakah bentuk poligon
yang digunakan?  Buka folder yang dimuat turun pada muka

surat vii untuk audio Jaringan Kata.

•  bucu  •  vertex
•  konjektur  •  conjecture
•  lelayang   •  kite
•  pepenjuru  •  diagonal
•  rombus   •  rhombus
•  segi empat sama   •  square
•  segi empat selari   •  parallelogram
•  segi empat tepat   •  rectangle
•  segi tiga   •  triangle
•  sisi   •  side
•  sisi empat   •  quadrilateral
•  sudut cakah  •  obtuse angle
•  sudut pedalaman  •  interior angle
•  sudut peluaran   •  exterior angle
•  sudut tegak   •  right angle
•  sudut tirus  •  acute angle
•  trapezium   •  trapezium

201
Poligon Asas

09 Text book Mate Tg1.indd   201 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
202

B
A
B

9

9.1 Poligon

Saya arkitek
yang bijak.

Kenapa sarang
lebah berbentuk

heksagon?

Apakah hubungan antara bilangan sisi, bucu
dan pepenjuru poligon?

Kelas

Berbalik
1

Tujuan : Meneroka bilangan sisi, bucu dan pepenjuru poligon.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang

dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.
  • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Poligon pepenjuru.ggb dengan perisian GeoGebra.

2. Seret penggelongsor ‘Bilangan Sisi’
untuk mengubah bilangan sisi
poligon yang dipaparkan.

3. Klik pada petak untuk memaparkan
pepenjuru poligon.

4. Catatkan bilangan sisi, bilangan
bucu dan bilangan pepenjuru yang
ditunjukkan.

5.  Buka fail hamparan elektronik Poligon jadual pepenjuru.xls dan masukkan
semua nilai dalam Langkah 4 ke dalam sel yang disediakan.

Poligon ialah suatu
bentuk tertutup pada
suatu satah dengan
sisinya terdiri daripada
tiga atau lebih garis lurus.

PEMBELAJARAN

Menyatakan hubung kait
antara bilangan sisi, bucu
dan pepenjuru poligon.

09 Text book Mate Tg1.indd   202 10/17/16   5:32 PM
203
Poligon Asas

B
A
B

9

6. Berdasarkan jadual dalam hamparan elektronik, jelaskan hubungan antara
bilangan sisi dengan bilangan bucu bagi suatu poligon.

7. Bincang dengan rakan anda tentang hubungan antara bilangan sisi dengan
bilangan pepenjuru bagi suatu poligon.

8. Lengkapkan jadual dalam hamparan elektronik bagi poligon dengan 9 sisi
dan 10 sisi.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1,  didapati bahawa bagi suatu poligon
•  bilangan bucu = bilangan sisi
•  bilangan pepenjuru boleh ditentukan dengan mengikut langkah-langkah berikut.

Kenal pasti
bilangan sisi
poligon itu.

Bilangan sisi
ditolak dengan
3. Katakan
hasilnya ialah m.

Nilai m didarab
dengan 2. Jadi
kita mendapat 2m.

Nilai 2m ditambah
dengan semua integer
yang kurang daripada
m sehingga 1.

1
Cari bilangan bucu dan bilangan pepenjuru bagi sebuah
poligon dengan 10 sisi.

Bilangan bucu  = Bilangan sisi
  = 10
10 – 3 = 7

Maka, bilangan pepenjuru  = 2(7) + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
  = 35

9.1a
1.  Cari bilangan bucu dan bilangan pepenjuru bagi sebuah poligon dengan

(a)  6 sisi,  (b)  9 sisi,  (c)  12 sisi,  (d)  20 sisi.

TIP    BESTARI

Bilangan pepenjuru
bagi poligon yang
mempunyai n sisi juga
boleh dihitung dengan
menggunakan rumus
yang berikut.
Bilangan pepenjuru

= n(n – 3)
2

https://youtu.be/
nLkbSNEu1cg

09 Text book Mate Tg1.indd   203 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
204

B
A
B

9

Bagaimanakah anda melukis, melabel dan
menamakan poligon?

Poligon dinamakan mengikut bilangan sisinya.

Nama
poligon

Segi tiga Sisi empat Pentagon Heksagon
Bilangan

sisi 3 4 5 6

Nama
poligon

Heptagon Oktagon Nonagon Dekagon
Bilangan

sisi 7 8 9 10

Suatu poligon boleh dilukis dengan mengikut langkah-langkah berikut.

Kenal pasti
bilangan sisi
poligon itu.

Tandakan
bilangan titik
yang sama dengan
bilangan sisi.

Sambungkan semua
titik itu supaya
menjadi satu
bentuk tertutup.

Labelkan
bucu-bucu
dan namakan
poligon itu.

2
Lukis sebuah poligon dengan enam sisi. Kemudian labelkan
dan namakan poligon itu.

A
B

C
D

E

F

Maka, poligon itu ialah heksagon ABCDEF.

PEMBELAJARAN

Melukis poligon, melabel
bucu poligon dan
menamakan poligon
tersebut berdasarkan
bucu yang telah dilabel.

TIP    BESTARI

Bucu-bucu sebuah poligon
selalunya dilabelkan
mengikut susunan abjad
dan poligon itu dinamakan
sama ada mengikut arah
jam atau lawan arah jam
bucu-bucunya.

Pastikan tiada tiga atau
lebih titik ditandakan
sebaris semasa melukis
suatu poligon.

09 Text book Mate Tg1.indd   204 10/17/16   5:32 PM
205
Poligon Asas

B
A
B

9

9.1b
1.  Lukis  setiap  poligon  berikut  dengan  sisi  yang  diberikan,  kemudian  labelkan  dan

namakan poligon itu.
(a)  5 sisi  (b)  8 sisi  (c)  10 sisi

9.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 9.1.

1. Bagi setiap yang berikut, nyatakan pernyataan itu BENAR atau PALSU.
(a)  Poligon dengan 11 sisi mempunyai 11 bucu.
(b)  Poligon dengan 12 sisi mempunyai 54 pepenjuru.

2.  Lukis  sebuah  poligon  dengan  8  sisi. Kemudian  labelkan  dan  namakan  poligon  itu.
Akhirnya, berdasarkan hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1,  lukis semua pepenjuru
poligon itu secara sistematik.

9.2 Sifat Segi Tiga dan Sudut Pedalaman serta Sudut Peluaran
Segi Tiga

Apakah sifat segi tiga?

Kelas

Berbalik
2

Tujuan : Meneroka sifat geometri segi tiga.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran

bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Segi tiga sifat sudut.ggb dengan perisian GeoGebra.

PEMBELAJARAN

Mengenal dan
menyenaraikan sifat
geometri bagi pelbagai
jenis segi tiga. Seterusnya
mengelaskan segi tiga
berdasarkan sifat geometri.

09 Text book Mate Tg1.indd   205 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
206

B
A
B

9

2. Klik pada Segi tiga 1. Seret titik A, B dan C untuk mengubah segi tiga yang
dipaparkan. Nyatakan sifat segi tiga bersudut tegak itu.

3. Klik pada Segi tiga 2. Seret titik D, E dan F untuk mengubah segi tiga yang
dipaparkan. Perhatikan perubahan jenis segi tiga apabila titik F berada di
rantau merah atau rantau putih. Nyatakan sifat segi tiga bersudut tirus dan
segi tiga bersudut cakah.

4. Buka fail Segi tiga sifat sisi.ggb dengan perisian GeoGebra.

5. Klik pada Segi tiga 1. Seret titik A dan B untuk mengubah segi tiga yang
dipaparkan. Perhatikan perubahan panjang sisi dan sudut pedalaman segi tiga.

6. Ulang penerokaan dalam Langkah 5 untuk Segi tiga 2 dan Segi tiga 3.

7. Nyatakan sifat bagi segi tiga sama sisi, segi tiga sama kaki dan segi tiga tak
sama kaki.

8. Bincang dengan rakan anda tentang sifat pelbagai jenis segi tiga.

9. Buka fail Segi tiga paksi simetri.pdf dan cetak fail itu. Gunting segi tiga
daripada cetakan itu.

10. Dengan cara melipat segi tiga itu, atau dengan cara lain, terangkan bagaimana
anda mencari bilangan paksi simetri bagi setiap jenis segi tiga itu.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa segi tiga boleh dikelaskan
berdasarkan sifat geometri segi tiga yang mengikut sudut pedalaman atau panjang sisi.

09 Text book Mate Tg1.indd   206 10/17/16   5:32 PM
207
Poligon Asas

B
A
B

9

Segi tiga dalam Jadual (a) dikelaskan mengikut sifat sisi.
Jadual (a)

Jenis segi
tiga

Segi tiga sama sisi Segi tiga sama kaki Segi tiga tak sama kaki

Bilangan
paksi simetri 3 1 Tiada

Sifat
geometri

•  Semua sisi adalah
sama panjang.

•  Semua sudut
pedalaman ialah 60°.

•  Dua daripada sisinya
sama panjang.

•  Dua sudut tapak
adalah sama.

•  Semua sisinya tidak
sama panjang.

•  Semua sudut pedalaman
adalah tidak sama.

Segi tiga dalam Jadual (b) dikelaskan mengikut sifat sudut.
Jadual (b)

Jenis segi
tiga

Segi tiga bersudut tirus Segi tiga bersudut cakah Segi tiga bersudut tegak

Sifat
geometri

•  Semua sudut dalam
segi tiga ialah
sudut tirus.

•  Satu daripada sudut
dalam segi tiga ialah
sudut cakah.

•  Satu daripada sudut
dalam segi tiga ialah
sudut tegak (90°).

Bincang dan terangkan sama ada setiap pernyataan yang berikut adalah BENAR atau PALSU.
(a)  Segi tiga sama sisi juga ialah segi tiga sama kaki.
(b)  Segi tiga sama kaki mungkin juga segi tiga bersudut cakah.
(c)  Segi tiga bersudut tegak mungkin juga segi tiga sama kaki.
(d)  Segi tiga bersudut tegak mungkin mempunyai paksi simetri.

9.2a
1.  Nyatakan jenis setiap segi tiga yang berikut.

(a)    (b)    (c)    (d)

09 Text book Mate Tg1.indd   207 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
208

B
A
B

9

Bagaimanakah anda menentukan sudut
pedalaman dan sudut peluaran segi tiga?

Kelas

Berbalik
3

Tujuan : Meneroka sudut pedalaman dan sudut
peluaran segi tiga.

Arahan: • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran
bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii.

1. Salin dan lengkapkan jadual di bawah bagi
konjektur tentang hasil tambah sudut yang
ditunjukkan dalam rajah. Kemudian teruskan
penerokaan untuk mengesahkannya.

b
c

a d
Hasil tambah sudut Konjektur

a + b + c

c + d

a + b

(Nota: Membuat suatu konjektur bermaksud membuat suatu terkaan
berdasarkan pemerhatian.)

2. Buka fail Segi tiga sudut pedalaman dan peluaran.ggb dengan GeoGebra.

3. Seret penggelongsor ‘Sudut pedalaman’
ke sebelah kanan. Terangkan apa yang
diperhatikan.

4. Klik pada ‘Susun balik’ atau seret
penggelongsor itu ke kedudukan asal.

5. Seret titik A, B atau C untuk mengubah
bentuk segi tiga itu dan ulang Langkah 3.

6. Bincang dengan rakan anda tentang
dapatan anda.

7. Ulang Langkah 3 hingga 6 untuk penggelongsor ‘Sudut peluaran’.

8. Dengan mempertimbangkan sudut pada satu garis lurus, jelaskan hubungan
antara sudut pedalaman (sudut berwarna biru) dengan sudut peluaran
bersebelahan (sudut berwarna kuning) dalam sebuah segi tiga. Terangkan
semua kesimpulan yang diperoleh.

PEMBELAJARAN

Membuat dan mengesahkan
konjektur tentang
(i)  hasil tambah

sudut pedalaman,
(ii)  hasil tambah sudut

pedalaman dan sudut
peluaran bersebelahan,

(iii) hubungan antara sudut
peluaran dan hasil
tambah sudut pedalaman
yang bertentangan

suatu segi tiga.

09 Text book Mate Tg1.indd   208 10/17/16   5:32 PM
209
Poligon Asas

B
A
B

9

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa bagi suatu segi tiga,
(i)  hasil tambah sudut-sudut pedalaman ialah 180°.
(ii)  hasil tambah sudut pedalaman dan sudut peluaran bersebelahan ialah 180°.
(iii) sudut peluaran adalah sama dengan hasil tambah dua sudut pedalaman bertentangan.

b
c

a
d a + b + c = 180°

c + d = 180°
 d = a + b

3
Cari nilai x bagi setiap rajah yang berikut.
(a)

x

92°

37°

(b)  79° 28°

x

(a)  92° + 37° + x  = 180°
    129° + x  = 180°
  x  = 180° – 129°
      = 51°

(b)  x = 79° + 28°
    = 107°

9.2b
1. Cari nilai p dalam setiap segi tiga yang berikut.

(a)    (b)    (c)    (d)

p
100°

45°

p

43°

p

126°

p
p

96°

2. Cari nilai x dalam setiap rajah yang berikut.
(a)    (b)    (c)    (d)

x

66°

x 144°

38°

44°

x

152°

x
x

Sudut pada satu garis
lurus ialah 180°.

Hasil tambah
sudut pedalaman
ialah 180°. Sudut peluaran

sama dengan hasil
tambah dua sudut
pedalaman bertentangan.

09 Text book Mate Tg1.indd   209 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
210

B
A
B

9

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

4
Dalam rajah di sebelah, PQRS
ialah  garis  lurus.  Hitung  nilai
x dan y.

84°

46°y

x
P Q R S

T

∠RST + 84° + 46° = 180°  Hasil tambah sudut

pedalaman ∆RST.

∠RST = 180° – 84° – 46°
   = 50°
	 ∠TQS = 50°  Sudut tapak segi tiga sama kaki.

x + 50° = 180°  Hasil tambah sudut
pedalaman dan sudut
peluaran bersebelahan. x = 180° – 50°

= 130°

∠QTS + 50° + 50° = 180°  Hasil tambah sudut
pedalaman ∆QST.

∠QTS = 180° – 50° – 50°
   = 80°
 y + 46o = 80o

y = 80° – 46°
   = 34°

9.2c
1.  Dalam rajah di sebelah, PSR ialah garis lurus.

Hitung nilai x dan y.

y

x
S

RQ

P

68°
24°

2. Dalam rajah di sebelah, PQR ialah garis lurus.
Hitung nilai x dan y.

y

x

R

Q

P

118°

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
segi tiga.

ahukahT A nda
Simbol ∆ digunakan
untuk mewakili segi tiga.

09 Text book Mate Tg1.indd   210 10/17/16   5:32 PM
211
Poligon Asas

B
A
B

9

9.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi  Mahir Diri 9.2.

1.  Bagi setiap segi tiga yang berikut, nyatakan bilangan paksi simetri.
(a)    (b)    (c)

76°

28°

(d)
45°

2.  Kenal pasti jenis setiap segi tiga yang berikut.
(a)    (b)    (c)    (d)

35°

55°

60°

40° 70°

32°
134°

3.  Dalam rajah di sebelah, PQR, SQT dan
TRU  ialah  garis  lurus.  Hitung  nilai  x
dan y. 68°

62°

P

S

Q

T

R

U

yx

4.  Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah
garis lurus. Hitung nilai x dan y.

36°

DCB

F E

A

y x

5.  Dalam rajah di sebelah, BCDE dan
ACF ialah garis lurus. Hitung nilai
x dan y.

98°
20°

D

C

B
F

E

A

y

x

09 Text book Mate Tg1.indd   211 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
212

B
A
B

9

9.3  Sifat Sisi Empat dan Sudut Pedalaman serta Sudut Peluaran
Sisi Empat

Apakah sifat sisi empat?

Kelas

Berbalik
4

Tujuan : Meneroka sifat geometri sisi empat.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran

bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Sisi empat sifat geometri.ggb dengan GeoGebra.

2. Klik pada sisi empat jenis pertama. Seret bucu sisi empat untuk mengubah
dimensi sisi empat itu. Jelaskan sifat sisi empat itu.

3. Ulang penerokaan dalam Langkah 2 untuk semua jenis sisi empat yang lain.

4. Bincang dengan rakan anda tentang sifat geometri bagi pelbagai jenis sisi
empat.

5. Buka fail Sisi empat paksi simetri.pdf dan cetak fail itu. Gunting sisi empat
daripada cetakan itu.

6. Dengan cara melipat sisi empat itu, atau dengan cara lain, terangkan bagaimana
anda mencari bilangan paksi simetri bagi setiap jenis sisi empat itu.

PEMBELAJARAN

Menghuraikan sifat
geometri bagi pelbagai
jenis sisi empat.
Seterusnya mengelaskan
sisi empat berdasarkan
sifat geometri.

09 Text book Mate Tg1.indd   212 10/17/16   5:32 PM
213
Poligon Asas

B
A
B

9

Jadual yang berikut menunjukkan jenis sisi empat dan sifat geometrinya.

Jenis
sisi empat

Bilangan
paksi simetri Sifat geometri

Segi empat tepat 2 •  Pasangan sisi yang bertentangan adalah sama panjang
dan selari.

•  Semua sudut pedalaman ialah 90°.
•  Pepenjuru  adalah  sama  panjang  dan  membahagi  dua
sama antara satu sama lain.

Segi empat sama 4 •  Semua sisi adalah sama panjang.
•  Pasangan sisi yang bertentangan adalah selari.
•  Semua sudut pedalaman ialah 90°.
•  Pepenjuru  adalah  sama  panjang  dan  membahagi  dua
sama serenjang antara satu sama lain.

Segi empat selari Tiada •  Pasangan sisi yang bertentangan adalah sama panjang
dan selari.

•  Sudut bertentangan adalah sama.
•  Pepenjuru membahagi dua sama antara satu sama lain.

Rombus 2 •  Semua sisi adalah sama panjang.
•  Pasangan sisi yang bertentangan adalah selari.
•  Sudut bertentangan adalah sama.
•  Pepenjuru membahagi dua sama serenjang antara satu
sama lain.

Trapezium Tiada •  Hanya satu pasangan sisi bertentangan yang selari.

Lelayang 1 •  Dua pasang sisi bersebelahan adalah sama panjang.
•  Mempunyai sepasang sudut bertentangan yang sama.
•  Satu daripada pepenjuru membahagi dua sama
serenjang bagi pepenjuru yang lain.

•  Satu  daripada  pepenjuru membahagi  dua  sama  sudut
pada bucunya.

9.3a
1.  Terangkan  sifat  sepunya  bagi  rombus  dan  segi

empat sama.
2.  Terangkan  sifat  geometri  suatu  segi  empat  tepat

berbanding dengan segi empat selari.

Bincang dan terangkan sama
ada setiap pernyataan berikut
adalah BENAR atau PALSU.
(a)  Segi empat sama juga

ialah rombus.
(b)  Trapezium mungkin

mempunyai paksi simetri.

09 Text book Mate Tg1.indd   213 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
214

B
A
B

9

Bagaimanakah anda menentukan sudut
pedalaman dan sudut peluaran sisi empat?

Kelas

Berbalik
5

Tujuan : Meneroka sudut pedalaman dan sudut peluaran
sisi empat.

Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran
bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii.

1. Salin dan lengkapkan jadual yang berikut bagi konjektur tentang sisi empat
dan segi empat selari. Kemudian teruskan penerokaan untuk mengesahkannya.
(a)

b

a
d

c e

(b)

s
r

q
p

Hasil tambah sudut Konjektur

a + b + c + d

c + e

Sudut Konjektur

p dan r

q dan s

2. Buka fail Sisi empat sudut pedalaman.ggb dengan GeoGebra.

3. Pilih ‘Sisi empat’ untuk memaparkan sisi empat dengan sudut pedalaman dan
sudut peluaran.

4. Seret penggelongsor ‘Sudut pedalaman’ ke sebelah kanan. Jelaskan apa yang
diperhatikan.

5. Klik pada ‘Susun balik’ atau seret penggelongsor itu ke kedudukan asal.
6. Seret titik A, B, C atau D untuk mengubah bentuk sisi empat itu dan ulang

Langkah 4.
7. Bincang dengan rakan anda tentang dapatan anda.

PEMBELAJARAN

Membuat dan mengesahkan
konjektur tentang
(i)  hasil tambah sudut

pedalaman suatu
sisi empat,

(ii)  hasil tambah sudut
pedalaman dan sudut
peluaran bersebelahan
suatu sisi empat, dan

(iii)  hubungan  antara  sudut
yang bertentangan

dalam segi empat selari.

09 Text book Mate Tg1.indd   214 10/17/16   5:32 PM
215
Poligon Asas

B
A
B

9

8. Dengan mempertimbangkan sudut pada satu garis lurus, jelaskan hubungan
antara sudut pedalaman (sudut berwarna biru) dengan sudut peluaran
bersebelahan (sudut berwarna kuning) dalam sebuah sisi empat.

9. Pilih ‘Segi empat selari’ untuk memaparkan sudut pedalaman segi empat selari.
10. Seret penggelongsor ‘Sudut bertentangan’ ke sebelah kanan. Jelaskan apa yang

diperhatikan.
11. Klik pada ‘Susun balik’ atau seret penggelongsor itu ke kedudukan asal.
12. Seret titik P, Q atau S untuk mengubah bentuk segi empat selari itu dan ulang

Langkah 10.
13. Terangkan semua kesimpulan yang diperoleh.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa
(a)  hasil tambah sudut-sudut pedalaman suatu sisi empat ialah 360°.
(b)  hasil tambah sudut pedalaman dan sudut peluaran bersebelahan suatu sisi empat ialah

180°.
(c)  sudut bertentangan dalam segi empat selari (atau rombus) adalah sama.

b

a
d

c e

s

r

q
p

a + b + c + d = 360°
 c + e = 180°

p = r
q = s

5
Dalam setiap rajah yang berikut, PST ialah garis lurus. Hitung nilai x dan y.
(a)

145°

52°
100°

y

x

Q

R

P
ST

(b)

42°
R

T
S

x
y

P

Q

(a)  x + 100°  = 180°  Hasil tambah sudut pedalaman dan sudut

peluaran bersebelahan  ialah 180°.
  x  = 180° – 100°
        = 80°
  y + 80° + 52° + 145° = 360° Hasil tambah sudut pedalaman

sisi empat ialah 360°.  y + 277°  = 360°
  y  = 360° – 277°
               = 83°

(b)    x  = 42°  Sudut bertentangan dalam segi
empat selari adalah sama. y + 42°  = 180°

y  = 180° – 42°
         = 138°

Imbas QR Code atau layari
https://youtu.be/GnmM3_
wDu4o untuk video tentang
hasil tambah sudut

pedalaman sisi empat.

09 Text book Mate Tg1.indd   215 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
216

B
A
B

9

9.3b
1.

115° 118°

68° x

S R

TQP

2.

84° 96°

y

x
E

D

F

A
B

C

Dalam rajah di atas, PQT ialah garis
lurus. Hitung nilai x.

Dalam  rajah  di  atas,  ABC dan DEF
ialah garis lurus. Hitung nilai x dan y.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah
yang melibatkan sisi empat?

6

y x
72°

T S

RQ

P U

V

Dalam rajah di atas, PQRU ialah sebuah segi empat sama
dan QRSV ialah sebuah segi empat selari. PVR ialah garis
lurus. Cari nilai x dan y.

∠PQR = 90° dan PQ = QR

Maka, ∠QRV = 90
2
°

x = 45°  x = ∠QRV

∠QVS + 72°  = 180°
x

S

RQ

V

72°	 ∠QVS  = 180° – 72°
    = 108°

Jadi, ∠QVR + x  = 108°
 ∠QVR  = 108° – 45°
    = 63°

Maka, y = 180° – 63°
  = 117°

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
sisi empat.

Arkitek menggunakan
pengetahuan poligon
untuk membantunya
dalam rekaan
sebuah bangunan.

09 Text book Mate Tg1.indd   216 10/17/16   5:32 PM
217
Poligon Asas

B
A
B

9

9.3c

1.

62°

y

x

PV

T

S R

Q

U

Dalam  rajah  di  atas,  PQRU ialah
sebuah  segi  empat  tepat  dan  RSTU
ialah sebuah rombus. SUV ialah garis
lurus. Hitung nilai x dan y.

2. R

U

V

S

Q

PT

y

x
42°

Dalam  rajah  di  atas,  PQVU ialah
sebuah segi empat tepat, QRSV ialah
sebuah  segi  empat  selari  dan  STUV
ialah sebuah trapezium. Hitung nilai
x dan y.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan
gabungan segi tiga dan sisi empat?

7

36°
112°

y

x

U

SR

T

QP

Dalam  rajah di  atas, QRTU  ialah  sebuah  segi  empat  selari  dan PQRS  ialah garis  lurus.
Cari nilai x dan y.

∠QRT = 112°  ∠QRT dan 112° ialah sudut sepadan.

x + 112° + 36° = 180°  Hasil tambah sudut pedalaman ∆QRT.

x  = 180° – 112° – 36°
    = 32°

∠TRS + 112°  = 180°  Hasil tambah sudut pedalaman
dan sudut peluaran bersebelahan.

∠TRS  = 180° – 112°
    = 68°

y + 68° + 68°  = 180°  Hasil tambah sudut pedalaman ∆RST.

y  = 180° – 68° – 68°
    = 44°

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
gabungan segi tiga dan
sisi empat.

112°

U

SR

T

QP

09 Text book Mate Tg1.indd   217 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
218

B
A
B

9

9.3d
1.  Dalam rajah di sebelah, PQRU ialah sebuah

segi empat selari. PTS, QRS dan RTU ialah
garis lurus. Cari nilai x dan y.

24°

48°y
x

P U

T

SRQ

2. Dalam rajah di sebelah, PQST ialah sebuah
segi empat selari. PSR ialah garis lurus. Cari
nilai x dan y.

108� 78°

36°
y

x

P

T

S

R Q

9.3
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi  Mahir Diri 9.3.

1.  Nyatakan  persamaan  dan  perbezaan  sifat  geometri  antara  segi  empat  selari  dengan
rombus.

2.  Dengan menggunakan  tatatanda matematik  yang  sesuai,  salin  dan  tandakan  semua
sifat geometri bagi sisi empat yang berikut.
(a)    (b)

3.  Dalam  rajah  di  sebelah,  PQRS ialah sebuah
segi empat tepat. Cari nilai x dan y.

80°
26°

yx
P

S R

Q

4.  Dalam  rajah  di  sebelah,  PQRT ialah sebuah
rombus. STUQ dan PUR ialah garis lurus. Cari
nilai x dan y.

24°

32°

x

y
U P

S

R

Q

T

09 Text book Mate Tg1.indd   218 10/17/16   5:32 PM
219
Poligon Asas

B
A
B

9

Poligon

Segi tiga

3 sisi

Sisi empat

4 sisi

Pentagon

5 sisi

Heksagon

6 sisi

Heptagon

7 sisi

Oktagon

8 sisi

Segi tiga

Segi tiga
sama sisi

60°

60° 60°

Segi tiga
sama kaki

Segi tiga tak
sama kaki

Segi tiga
bersudut tirus

Segi tiga
bersudut
cakah

Segi tiga
bersudut

tegak

Sisi empat

Segi empat
sama

Segi empat
tepat

Segi empat
selari

Rombus

Trapezium

a
b c

a + b + c = 180°

p
q

s

r
 p + q + r + s = 360°

219
Poligon Asas

B
A
B

9

09 Text book Mate Tg1.indd   219 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
220

B
A
B

9

1. Tandakan 3  pada pernyataan yang BENAR dan 7  pada pernyataan yang PALSU.

(a) Segi  tiga  bersudut  tegak  mempunyai  satu  paksi  simetri  jika  satu
daripada sudut pedalamannya ialah 45°.

(b) Jika paksi simetri sebuah segi  tiga sama sisi PQR melalui bucu P,
maka paksi simetri itu ialah pembahagi dua sama sudut P.

(c) Pepenjuru  segi  empat  tepat  ialah  pembahagi  dua  sama  serenjang
bagi pepenjuru yang satu lagi.

(d) Segi empat sama dan rombus ialah sisi empat dengan pepenjurunya
bersilang pada sudut tegak.

Sangat
baik

Berusaha
lagi

menyatakan hubung kait antara bilangan sisi, bucu dan pepenjuru poligon.

melukis poligon, melabel bucu poligon dan menamakan poligon tersebut
berdasarkan bucu yang telah dilabel.

mengenal dan menyenaraikan sifat geometri bagi pelbagai jenis segi tiga. Seterusnya
mengelaskan segi tiga berdasarkan sifat geometri.

membuat dan mengesahkan konjektur tentang
(i) hasil tambah sudut pedalaman,
(ii) hasil tambah sudut pedalaman dan sudut peluaran bersebelahan,
(iii) hubungan antara sudut peluaran dan hasil tambah sudut pedalaman

yang bertentangan
suatu segi tiga.

menyelesaikan masalah yang melibatkan segi tiga.

menghuraikan sifat geometri bagi pelbagai jenis sisi empat. Seterusnya
mengelaskan sisi empat berdasarkan sifat geometri.

membuat dan mengesahkan konjektur tentang
(i) hasil tambah sudut pedalaman suatu sisi empat,
(ii) hasil tambah sudut pedalaman dan sudut peluaran bersebelahan suatu sisi

empat, dan
(iii) hubungan antara sudut yang bertentangan dalam segi empat selari.

menyelesaikan masalah yang melibatkan sisi empat.

menyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan segi tiga dan sisi empat.

09 Text book Mate Tg1.indd   220 10/17/16   5:32 PM
221
Poligon Asas

B
A
B

9

2.  Tentukan jenis
(a)  sisi empat yang mempunyai dua paksi simetri.
(b)  segi tiga yang tidak mempunyai paksi simetri.
(c)  sisi empat dengan semua sisinya adalah sama panjang.
(d)  sisi empat dengan semua sudut pedalamannya 90°.

3. Cari nilai x bagi setiap rajah yang berikut.
(a)        (b)

45°

130°

x

72° 3x

(c)        (d)

24°55°

2x
   2x

4.  Rajah di sebelah menunjukkan sebuah rombus.
Cari nilai x dan y. x

74°
y

5.  Sebuah  segi  empat  selari  ditunjukkan  seperti
dalam rajah di sebelah. Cari nilai x dan y.

4x

8x

2y

6.  Empat sudut dalam sebuah sisi empat adalah dalam nisbah 3 : 4 : 5 : 6.  Terangkan
bagaimana anda menghitung sudut yang terbesar dalam sisi empat itu.

7.  Dalam rajah di sebelah, PQR ialah garis lurus.
Cari nilai x. x

70°

130°

x

P

S
T

RQ

09 Text book Mate Tg1.indd   221 10/17/16   5:32 PM
BAB 9
222

B
A
B

9

8. PRS ialah garis lurus seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di sebelah. Cari nilai x dan y.

44°

x

yP

S

T

RQ

9. PQR, STU dan VTQW  ialah garis  lurus. Cari
nilai x dan y.

76°

122°

28°
x

y

P

S UT

V

W

RQ

10. PRST ialah sebuah trapezium. PQR dan PTU
ialah garis lurus. Cari nilai x dan y.

56°

118°

y

x
S

U V

RP Q

T

11. ACEG  ialah  sebuah  segi  empat  selari. BKD,
HJF dan CKJG ialah garis lurus. Cari nilai x
dan y.

48° 85° 100°

y

x

A

H

G

J

F
E

D

CB

K

Anda dikehendaki membuat satu kajian mengenai penggunaan poligon dalam bangunan
sekolah anda. Tulis satu  laporan menerangkan bagaimana poligon yang wujud dalam
bangunan sekolah memberikan keindahan pada bangunan itu.

09 Text book Mate Tg1.indd   222 10/17/16   5:32 PM
223
Poligon Asas

B
A
B

9

A   Rajah  di  sebelah  menunjukkan  sehelai  kertas
saiz  A4.  Tanpa  menggunakan  sebarang  alat
geometri  dan  hanya  dengan  cara melipat  kertas
A4  itu,  terangkan  rasional  cara  lipatan  anda
untuk membentuk segi tiga sama sisi ABC.
(Pedoman:  Garis-garis lipatan telah dilukis
pada rajah sebagai panduan.)

A B

C

B

y

Dalam rajah di atas, empat buah segi tiga sama kaki telah dilukis terterap di dalam
sebuah segi tiga bersudut tegak. Terangkan bagaimana anda mencari nilai y.

Seterusnya buka fail Segi tiga sama kaki terterap.ggb daripada folder yang
dimuat turun pada muka surat vii dengan GeoGebra.

Seret penggelongsor ‘Bilangan segi tiga sama kaki’, titik A dan titik B untuk
mengubah maklumat paparan. Dengan bantuan maklumat ini, terangkan hubungan
antara nilai y dengan bilangan segi tiga sama kaki yang boleh dilukis.

09 Text book Mate Tg1.indd   223 10/17/16   5:32 PM
BAB 10
224

B
A
B

10

Perimeter
dan Luas10

BAB

•  Perimeter
•  Luas Segi Tiga, Segi Empat Selari, Lelayang
dan Trapezium

•  Perkaitan antara Perimeter dan Luas

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Kedah terkenal dengan nama Jelapang
Padi Malaysia kerana hampir keseluruhan
permukaan tanah rata bahagian barat
negeri ini ialah kawasan sawah padi. Selain
merupakan negeri pengeluar beras yang utama
di Malaysia, pemandangan sawah padi yang
luas terbentang juga menjadi satu daripada
tempat pelancongan yang istimewa di Kedah.

Perimeter dan luas
merupakan pengetahuan
asas yang amat penting
dalam bidang geometri dan
digunakan secara meluas dalam
bidang pertanian, landskap dan
rekaan grafik. Bincangkan bidang
lain yang menggunakan perimeter
dan luas.

BAB 10
224

10 Text book Mate Tg1.indd   224 10/17/16   5:34 PM
225
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

Perimeter berasal daripada perkataan
Yunani dengan ‘peri’ bermaksud keliling
dan ‘meter’ bermaksud hitung. Catatan
tentang luas ditemui di sebuah dokumen
matematik, Rhind Papyrus, yang berasal
kira-kira 1650 S.M. di Mesir. Dalam
dokumen ini, didapati ada kesilapan
pada rumus luas sisi empat. Walau
bagaimanapun, rumus yang digunakan
masih sahih bagi kes khas untuk luas
bentuk geometri tertentu.

Untuk maklumat lanjut:

https:/goo.gl/9QTPb0

Jaringan Kata

Rhind Papyrus

•  konjektur  •  conjecture
•  lebar  •  width
•  lelayang  •  kite
•  luas  •  area
•  panjang  •  length
•  perimeter  •  perimeter
•  rumus  •  formula
•  segi empat sama  •  square
•  segi empat selari  •  parallelogram
•  segi empat tepat  •  rectangle
•  segi tiga  •  triangle
•  tinggi  •  height
•  trapezium  •  trapezium
•  unit persegi  •  square unit

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

Tahukah anda jumlah keluasan sawah
padi di Kedah? Berapakah perimeter
setiap sawah padi itu?

225
Perimeter dan Luas

10 Text book Mate Tg1.indd   225 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
226

B
A
B

10

10.1 Perimeter

Bagaimanakah anda menentukan perimeter?
Perimeter ialah jumlah ukuran panjang sisi yang mengelilingi
suatu kawasan tertutup. Misalnya, kita boleh menentukan
perimeter kolam renang yang pelbagai bentuk dengan mencari
jumlah panjang sisi kolam renang itu.

Gambar foto (a) Gambar foto (b)

Contoh 1
Tentukan perimeter bagi setiap bentuk yang berikut.
(a)

3 cm

9 cm

4 cmR

TQ
UP

VW

S  (b)
5 cm

6 cm 4 cm

9 cm

3 cm
F E

G D

CBA

(a) Perimeter = PQ + QR + RS + ST + TU + UV + VW + WP VW = PQ + RS + TU

= 4 + 4 + 4
  = 12 cm  = 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + 9 + 12 + 9

= 48 cm

(b) Perimeter = AB + BC + CD + DE + EF + FA CD  = AF – GE
  = 9 – 3
  = 6 cm  = 6 + 4 + 6 + 5 + 6 + 9

= 36 cm

Contoh 2
Ukur perimeter bagi objek dalam rajah di bawah.

PEMBELAJARAN

Menentukan perimeter
pelbagai bentuk apabila
panjang sisi diberi atau
perlu diukur.

Bagaimanakah anda
mengukur panjang
lengkung pada kolam
renang dalam Gambar
foto (b)?

10 Text book Mate Tg1.indd   226 10/17/16   5:34 PM
227
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

6 cm

6.3 cm

1 cm 1 cm

3 cm 3 cm

Perimeter = 1 + 3 + 6 + 3 + 1 + 6.3
 = 20.3 cm

10.1a

1. Tentukan perimeter bagi setiap bentuk yang berikut.
(a) 6 cm

5 cm
20 cm

(b)
11 cm 10 cm

14 cm6 cm

(c)

Bagaimanakah anda menganggar perimeter
dengan tepat?

Kita boleh menggunakan kertas grid segi empat sama atau
kertas graf untuk menganggar perimeter suatu bentuk.

Berpasangan1
Tujuan : Menganggar perimeter pelbagai bentuk.
Arahan : Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.

1. Surih bentuk objek di atas sehelai kertas
grid segi empat sama bersisi 1 cm.

2. Anggarkan perimeter bagi setiap bentuk
berpandukan kertas grid.

3. Ukur perimeter bagi setiap bentuk
menggunakan pembaris atau benang.

4. Catatkan anggaran dan ukuran anda.
5. Bandingkan nilai yang dianggar dengan

nilai yang diukur untuk mengetahui
ketepatan anggaran anda.

Ukur panjang garis lengkung
dengan menggunakan benang.

PEMBELAJARAN
Menganggar
perimeter pelbagai
bentuk, seterusnya
menilai ketepatan
anggaran secara
membandingkannya
dengan nilai
yang diukur.

Guru: Membina Ilmu
Menyempurnakan Akhlak

Guru: Membina Ilmu
Menyempurnakan Akhlak

10 Text book Mate Tg1.indd   227 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
228

B
A
B

10

Ketepatan anggaran perimeter dapat diperoleh dengan
membandingkan nilai anggaran dengan nilai ukuran
perimeter yang sebenar. Semakin kecil beza nilai antara
anggaran perimeter dengan ukuran perimeter, semakin jitu
nilai anggaran itu.

ahukahT A nda
Peratusan ralat

=  Beza antara nilai anggaran dengan nilai sebenar
Nilai sebenar

× 100%

Semakin kecil peratusan ralat, semakin jitu nilai anggaran itu.

10.1b

1. Anggarkan perimeter bagi setiap bentuk yang berikut. Seterusnya, ukur perimeter
bentuk tersebut dengan pembaris atau benang dan nilaikan ketepatan anggaran.
(a)  (b)

1 cm

1 cm

2 cm

2 cm

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Rajah di sebelah menunjukkan
kawasan letak kereta di hadapan
sebuah kompleks beli-belah. Pihak
kompleks beli-belah itu hendak
memagari seluruh kawasan letak
kereta kecuali laluan masuk
dan pintu utama. Sekiranya kos
memagar ialah RM80 semeter,
berapakah kos yang ditanggung
oleh pihak kompleks beli-belah?

35 m

45 m

10 m

32 m

8 m
8 m

Pintu
utama

Kawasan letak kereta

Laluan
masuk

Kompleks
beli-belah

12 m

30 m

D

E F

GHJK

L

A

M

B

C

PEMBELAJARAN
Menyelesaikan masalah
yang melibatkan perimeter.

Selain menggunakan
kertas grid atau kertas
graf, bincangkan
kaedah lain yang boleh
digunakan untuk
menganggar perimeter
suatu bentuk.

10 Text book Mate Tg1.indd   228 10/17/16   5:34 PM
229
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

Jumlah panjang kawasan letak kereta yang perlu dipagari
= (AB + BC + CD + DE + EF + FG + GK + KL) – HJ
= (45 + 25 + 35 + 35 + 12 + 30 + 100 + 32) – 10
= 314 – 10
= 304 m
Jumlah kos untuk memagari kawasan letak kereta
= 304 × RM80 Jumlah panjang pagar × RM80

= RM24 320

Perimeter kawasan letak kereta yang tertutup
= 2 × [(LM + AB + CD + EF) + (DE + FG)]
= 2 × [(8 + 45 + 35 + 12) + (35 + 30)]
= 2 × (100 + 65)
= 2 × 165
= 330 m
Jumlah panjang kawasan letak kereta yang perlu dipagari
= 330 – HJ – LM – MA
= 330 – 10 – 8 – 8
= 304 m

Kaedah Alternatif

10.1c

1. Rajah di sebelah menunjukkan pelan sebuah kolam
renang. Berapakah perimeter kolam renang itu?

20 m

13 m5 m

2. Rajah di sebelah menunjukkan pelan rumah Encik
Yahya. Encik Yahya hendak memasang lampu
LED yang berwarna-warni mengelilingi rumahnya
sebagai hiasan untuk menyambut Hari Raya. Hitung
kos pemasangan sekiranya harga pemasangan lampu
LED ialah RM20 per meter.

8 m

10 m

25 m

3. Dalam rajah di sebelah, ABC ialah sebuah segi tiga
sama sisi, BCFG ialah sebuah segi empat sama dan
CDEF ialah sebuah segi empat tepat. Perimeter
seluruh rajah itu ialah 65 cm, cari panjang GE.

A

C D

EFG

B

7 cm

BC = DE + FG – (AM + LK)
  = (35 + 30) – (8 + 32)
  = 25 m

GK = LM + AB + CD + EF
  = 8 + 45 + 35 + 12
  =  100 m

KG = LM + AB + CD + EF
CB + AM + LK = DE + FG

C

B

M

D

E F

GK

L

A

HJ

10 Text book Mate Tg1.indd   229 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
230

B
A
B

10

10.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 10.1.

1. Perimeter sebuah bilik makmal yang berbentuk segi empat tepat ialah 64 m. Jika
panjang bilik makmal itu ialah 23 m, cari lebar bilik makmal itu.

2. 2 cm

8 cm

Rajah di atas menunjukkan gabungan dua buah segi empat sama. Hitung perimeter
bagi seluruh rajah itu.

3. 6 cm

5 cm A
y cm

x cm

3 cm

2 cm
B

y cm

x cm

Rajah di atas menunjukkan dua bentuk, A dan B. Buktikan bahawa kedua-dua bentuk
itu mempunyai perimeter yang sama.

4. 180 m

80 m 100 m

50 m60 m

52 m

V

W U

TQ R S

P

Rajah di atas menunjukkan sebidang tanah milik Encik Rhuben yang berbentuk segi
empat tepat PQTV. Kawasan tanah yang berbentuk segi tiga PQR dan segi empat
tepat STUW diberikan kepada adiknya. Encik Rhuben berhasrat untuk memagari
kawasan tanahnya. Berapakah kos memagar yang diperlukan jika kos memagar ialah
RM50 semeter?

5. Seutas dawai dengan panjangnya 54 cm dibengkokkan
untuk membentuk sebuah bentuk seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di sebelah. Berapakah panjang sisi AB? 12 cm9 cm

A B

10 Text book Mate Tg1.indd   230 10/17/16   5:34 PM
231
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

10.2 Luas Segi Tiga, Segi Empat Selari, Lelayang dan Trapezium

Bagaimanakah anda menganggar luas pelbagai bentuk?

Pelbagai kaedah boleh digunakan untuk menganggar luas
bentuk yang tidak sekata.

(i) Dengan menggunakan grid bersisi 1 unit

✓ ✓ ✓

✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓

✓

✓

✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓✗ ✗

✗

✗

✗
✗ ✗

✗

✗ ✗

Bilangan meliputi 1 unit2 penuh (3 ) = 44
Bilangan meliputi setengah atau lebih setengah ( 7 ) = 10
Maka, luas bentuk itu lebih kurang 44 + 10 = 54 unit2.

(ii) Dengan melukis garis-garis berjarak 1 unit

1 2 3 4 5 6
7

8

9

Garis-garis berjarak 1 unit. Maka kita menganggap satu
garis sebagai satu segi empat tepat dengan lebar 1 unit.

Garisan 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Panjang (unit) 4. 4 6. 6 7.2 7.8 8.0 8.0 6. 4 5. 4 2.6

Luas (unit2)
= Panjang × 1 unit 4. 4 6. 6 7.2 7.8 8.0 8.0 6. 4 5. 4 2.6

Jumlah luas = 4. 4 + 6.6 + 7.2 + 7.8 + 8.0 + 8.0 + 6. 4 + 5. 4 + 2.6
 = 56. 4 unit2

Maka, luas bentuk itu lebih kurang 56. 4 unit2.

10.2a

1. Pungut beberapa helai daun dari kawasan sekolah anda. Lakarkan bentuk daun
itu pada kertas. Kemudian anggarkan luas daun itu dalam cm2 dengan kaedah
yang sesuai.

PEMBELAJARAN

Menganggar luas
pelbagai bentuk
dengan menggunakan
pelbagai kaedah.

10 Text book Mate Tg1.indd   231 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
232

B
A
B

10

Bagaimanakah anda menerbitkan rumus luas
pelbagai bentuk?

Berkumpulan2

Tujuan : Menerbitkan rumus luas segi tiga.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

1. Merujuk kepada Rajah (a) di sebelah,
(a) adakah luas ∆ ABD sama dengan luas ∆ BCD?
(b) nyatakan luas segi empat tepat ABCD dalam

sebutan a dan b.
(c) seterusnya, nyatakan luas ∆ ABD dalam sebutan

a dan b.

D

A B

Ca

b

Rajah (a)

2. Merujuk kepada Rajah (b) di sebelah,
(a) nyatakan luas ∆ BFE dalam sebutan b dan c

berdasarkan segi empat tepat BFEC.
(b) nyatakan luas ∆ AFE dalam sebutan b dan d

berdasarkan segi empat tepat AFED.

(c) luas ∆ ABE =  +

= 1
2

b 1  2

=

D

b

d c

a
E C

A F B

Rajah (b)

3. Merujuk kepada Rajah (c) di sebelah,
(a) berapakah panjang DE dalam sebutan a dan c?
(b) nyatakan luas ∆ AFE dalam sebutan a, b dan c

berdasarkan segi empat tepat AFED.
(c) nyatakan luas ∆ BFE dalam sebutan b dan c

berdasarkan segi empat tepat BFEC.

D

A B F

Ca

b

c

E

Rajah (c)
(d) seterusnya, luas ∆ ABE = Luas ∆ AFE – Luas ∆ BFE

= 1
2

b 1  2 –

= 1
2

ba +  –

Hukum kalis agihan

Hukum kalis agihan

PEMBELAJARAN

Menerbitkan rumus luas
segi tiga, segi empat
selari, lelayang dan
trapezium berdasarkan
luas segi empat tepat.

10 Text book Mate Tg1.indd   232 10/17/16   5:34 PM
233
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

4. Bincang dengan rakan anda tentang dapatan anda.
(a) Bandingkan hasil luas yang didapati dalam Langkah 1, 2 dan 3. Apakah

yang boleh anda rumuskan?
(b) Apakah rumus am untuk menghitung luas suatu segi tiga?

5. Nyatakan kesimpulan yang boleh dibuat.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa

a

b

a a

luas suatu segi tiga dengan panjang tapak a dan tinggi b diberi oleh

luas segi tiga = 1
2

ab

Secara amnya, luas segi tiga = 1
2

× panjang tapak × tinggi

Berkumpulan3

Tujuan : Menerbitkan rumus luas segi empat selari.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

D C

b

aA B

D

A

b

a B

F Cc E

Rajah (a) Rajah (b)

1. Rajah (a) menunjukkan sebuah segi empat tepat ABCD dengan tapak a dan
tinggi b. Merujuk kepada Rajah (a), nyatakan luas ABCD dalam sebutan a
dan b.

2. Rajah (b) menunjukkan sebuah segi empat selari ABEF dengan tapak a dan
tinggi b. Merujuk kepada Rajah (b),
(a) nyatakan panjang CE dalam sebutan a dan c berpandukan kepada ciri-ciri

segi empat selari.
(b) nyatakan panjang DF dalam sebutan a dan c.
(c) terangkan dapatan anda.

Tapak dan tinggi
adalah sentiasa
bersudut tegak.

10 Text book Mate Tg1.indd   233 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
234

B
A
B

10

3. (a) Apakah yang boleh dirumuskan tentang luas segi tiga BCE dan ADF?
(b) Adakah luas ABCD sama dengan luas ABEF?
(c) Seterusnya, nyatakan luas segi empat selari ABEF dalam sebutan a dan b.

4. Bincang dengan rakan anda dan nyatakan kesimpulan yang boleh dibuat.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa luas sebuah segi empat selari
dengan panjang tapak a dan tinggi b diberi oleh

b

a

luas segi empat selari = ab

Secara amnya, luas segi empat selari = panjang tapak × tinggi

Berkumpulan4

Tujuan : Menerbitkan rumus luas lelayang.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah lelayang
terterap dalam sebuah segi empat tepat dengan
ukuran a dan b. Merujuk kepada rajah di sebelah,
bincang dengan rakan anda untuk melengkapkan
jadual berikut.

Luas
∆EHT

= 1
2

× luas segi empat tepat ECHT

Luas
∆ETG

= 1
2

× luas segi empat tepat

Luas
∆EHG

=  × luas segi empat tepat

Luas
∆FHG

=  ×

Luas
lelayang
EHFG

=  ×

D E

T

C

A F
a

b

B

HG

2. Bincang dengan rakan anda dan nyatakan kesimpulan yang boleh dibuat.

10 Text book Mate Tg1.indd   234 10/17/16   5:34 PM
235
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 4, didapati bahawa luas
suatu lelayang dengan panjang pepenjuru a dan b diberi oleh

a

b

luas lelayang = 1
2

ab

Secara amnya,

luas lelayang = 1
2

× hasil darab panjang dua pepenjuru

Berkumpulan5

Tujuan : Menerbitkan rumus luas trapezium.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

B Ca

b

t

A D

B Ca

b

t

A D

DCB

D BCA

A

Rajah (a) Rajah (b)

1. Lukis dua trapezium yang sama pada sekeping kad manila dan gunting
kedua-dua trapezium itu. Kemudian, catatkan ukuran trapezium seperti yang
ditunjukkan dalam Rajah (a).

2. Pusing salah satu trapezium kepada orientasi yang sesuai supaya trapezium
itu boleh dicantum dengan trapezium yang satu lagi, seperti yang ditunjukkan
dalam Rajah (b).

3. (a) Apakah bentuk yang dihasil apabila dua trapezium itu dicantum?
(b) Apakah panjang tapak bentuk cantuman itu?
(c) Nyatakan luas bentuk cantuman itu dalam sebutan a, b dan t.
(d) Seterusnya, nyatakan luas satu trapezium itu.

4. Bincang dengan rakan anda dan nyatakan kesimpulan yang boleh dibuat.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 5, didapati bahawa luas suatu trapezium dengan
panjang sisi selari a dan b dan tinggi t diberi oleh

t

a

b

luas trapezium = 1
2

(a + b)t

Secara amnya,

luas trapezium = 1
2

× (hasil tambah dua sisi selari) × tinggi

Rumus luas segi empat
selari dan rumus luas
lelayang boleh digunakan
untuk mencari luas sebuah
rombus. Bincangkan.

10 Text book Mate Tg1.indd   235 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
236

B
A
B

10

Buka fail Luas traprezium.ggb daripada folder yang dimuat turun pada muka surat vii dengan
menggunakan GeoGebra.
Seret  penggelongsor  ‘Dissect’  dan  titik-titik  A,  B,  C  dan  D  untuk  melakukan  penerokaan.  Bincang
dengan rakan anda dan terangkan bagaimana anda menerbitkan rumus luas trapezium berdasarkan
penerokaan fail GeoGebra itu. Bentangkan dapatan anda semasa pembelajaran.

10.2b

1. Tulis satu ungkapan untuk mewakili luas setiap bentuk berikut.
(a)

n

m

(b)
t

k

(c) p

q

r

(d) s

t

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah
yang melibatkan pelbagai bentuk?

Contoh 3

Hitung luas bagi setiap bentuk yang berikut.
(a)  (b)  (c)  (d)

4 cm

5 cm

3 cm

6.2 cm

3 cm

5.4 cm

2 cm

3 cm

2 cm

(a) Luas = 1
2

× panjang tapak × tinggi (b) Luas = panjang tapak × tinggi
  = 6.2 × 3
  = 18.6 cm2   = 1

2
 × 5 × 4

= 10 cm2

(c) Luas = 1
2

× hasil tambah dua sisi selari × tinggi

= 1
2

× (2 + 5. 4) × 3

= 1
2

× 7. 4 × 3

= 11.1 cm2

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah yang
melibatkan luas segi tiga,
segi empat selari, lelayang,
trapezium dan gabungan
bentuk-bentuk tersebut.

Pemaju perumahan
menggunakan pengetahuan
perimeter dan luas untuk
membuat perancangan
suatu projek perumahan.

10 Text book Mate Tg1.indd   236 10/17/16   5:34 PM
237
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

(d) Luas = 1
2

× hasil darab panjang dua pepenjuru

= 1
2

× (3 + 2) × (2 + 2)  1
2
 × pepenjuru panjang × pepenjuru pendek

= 1
2

× 5 × 4

= 10 cm2

Rajah di sebelah menunjukkan sebidang tanah PRTV yang
berbentuk segi empat tepat. Kawasan segi tiga PQW dan
kawasan trapezium UTSX masing-masing digunakan untuk
menanam pokok pisang dan pokok rambutan. Kawasan
selebihnya yang berlorek digunakan untuk menanam pokok
betik. Hitung luas kawasan tanaman pokok betik.

12 mP RQ

S

TV

W

U

4 m

4 m

5 m

5 m5 m
3 mX

Luas PRTV
= panjang × lebar
= (12 + 4) × (5 + 5)
= 16 × 10
= 160 m2

Luas PQW
= 1

2
 × panjang tapak × tinggi

= 1
2

× 4 × 5

= 10 m2

Luas UTSX

= 1
2

× 1 hasil tambah
dua sisi selari 2 × tinggi

= 1
2

× (3 + 4) × 5

= 1
2

× 7 × 5

= 17.5 m2

Maka, luas kawasan berlorek = 160 – 10 – 17.5 Luas PRTV – Luas PQW – Luas UTSX
 = 132.5 m2

10.2c

1. Hitung luas setiap bentuk yang berikut.
(a)  (b)  (c)  (d)

6 cm

5 cm

3.5 cm

7 cm

2.4 cm

4 cm

6 cm

5 cm
3 cm

2. Sebuah tapak pameran PQRS yang berbentuk segi empat
sama dibahagi kepada tiga kawasan A, B dan C dengan
keadaan A berbentuk trapezium dan B berbentuk segi
empat tepat. Cari luas kawasan berlorek C.

P

S
A

B

16 m

8 m
4 m

6 m

10 m

Q

C

R

10 Text book Mate Tg1.indd   237 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
238

B
A
B

10

10.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 10.2.

1. Dengan menggunakan perisian komputer yang sesuai atau pensel, lukis sebarang
bentuk yang tidak sekata. Seterusnya, anggarkan luas bentuk itu, dalam cm2, dengan
kaedah yang sesuai.

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah tapak permainan
yang terdiri daripada gabungan tiga bentuk. TSVU
ialah sebuah segi empat sama, SRQV ialah sebuah
trapezium dan PQVU ialah sebuah segi empat selari.
Hitung jumlah luas tapak permainan itu.

P Q

VU

RST

40 m

45 m

20 m

3. Dalam rajah di sebelah, PRST dan PQWV ialah segi
empat tepat. Q, V dan U masing-masing ialah titik
tengah bagi sisi PR, PU dan PT. Cari luas kawasan
yang berlorek.

P
V
U

R

ST

W

Q

14 cm

10 cm

4. Dalam rajah di sebelah, VSR ialah garis lurus dan
PSUV ialah sebuah lelayang. Hitung luas seluruh rajah.

U T

V S R

QP

3 cm
3.5 cm

7 cm

7 cm

10.3 Perkaitan antara Perimeter dan Luas

Apakah perkaitan antara perimeter dan luas?

Kassim mempunyai sebidang tanah yang kosong. Dia
hendak memagari satu kawasan dalam tanah itu untuk
menanam sayur-sayuran. Dia mempunyai pagar sepanjang
20  m. Bagaimanakah dia memagari tanah itu untuk
mendapat satu kawasan dengan luas yang terbesar?

Nyatakan konjektur anda tentang setiap yang berikut.
•	 Bagaimanakah	luas	segi	empat	tepat	berubah	apabila	perimeternya	ditetapkan?
•	 Bagaimanakah	perimeter	segi	empat	tepat	berubah	apabila	luasnya	ditetapkan?

Seterusnya, laksanakan aktiviti berikut untuk mengesahkan konjektur anda.

PEMBELAJARAN

Membuat dan
mengesahkan konjektur
tentang perkaitan antara
perimeter dan luas.

BAB 10
238

10 Text book Mate Tg1.indd   238 10/17/16   5:34 PM
239
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

Kelas

Berbalik
6

Tujuan : Meneroka perkaitan antara perimeter dan luas bagi segi empat tepat.
Arahan : Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang dalam

kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.

A  1. Salin dan lengkapkan Jadual (a) dengan menyatakan pasangan nilai panjang
dan lebar yang mungkin bagi suatu segi empat tepat yang mempunyai
perimeter 36 cm.

Jadual (a)

Panjang (cm) 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Lebar (cm) 1.0 2.0

Luas (cm2) 17.0 32.0

Beza panjang
dan lebar (cm) 16.0 14.0

2. Bina satu jadual yang sama bagi segi empat tepat yang mempunyai setiap
nilai perimeter tetap berikut, bermula dengan panjang bersamaan dengan

1 Perimeter
2

– 12 cm sehingga 1 cm.

(a) 40 cm (b) 48 cm (c) 56 cm

Buka fail Segi empat tepat perimeter tetap.ggb atau fail Perimeter dan luas.xls daripada folder
yang dimuat turun pada muka surat vii untuk membantu anda.

3. Kaji pola bagi nilai yang diperoleh yang ditunjukkan dalam Jadual (a).
(a) Bagaimanakah luas segi empat tepat berubah berhubung dengan suatu

nilai perimeter yang tetap?
(b) Bilakah luas segi empat tepat akan mencapai nilai maksimum?

B  4. Salin dan lengkapkan Jadual (b) dengan menyatakan pasangan nilai panjang
dan lebar yang mungkin bagi suatu segi empat tepat yang mempunyai luas
49 cm2.

Jadual (b)

Panjang (cm) 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Lebar (cm) 3.500 3.769

Perimeter (cm) 35.000 33.538

Beza panjang
dan lebar (cm) 10.500 9.231

5. Bina satu jadual yang sama bagi segi empat tepat yang mempunyai setiap
nilai luas tetap berikut, bermula dengan panjang bersamaan dengan
anggaran integer 2 × Luas sehingga 1 cm.
(a) 81 cm2 (b) 144 cm2  (c) 225 cm2

Buka fail Segi empat tepat luas tetap.ggb atau fail Perimeter dan luas.xls daripada folder yang
dimuat turun pada muka surat vii untuk membantu anda.

10 Text book Mate Tg1.indd   239 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
240

B
A
B

10

6. Kaji pola bagi nilai yang diperoleh yang ditunjukkan dalam Jadual (b).
(a) Bagaimanakah perimeter segi empat tepat berubah berhubung dengan

suatu nilai luas yang tetap?
(b) Bilakah perimeter segi empat tepat akan mencapai nilai minimum?

7. Bincang dengan rakan anda tentang dapatan anda dan nyatakan semua
kesimpulan yang boleh dibuat.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 6, didapati bahawa bagi segi empat tepat dengan;
(a) perimeter yang sama, (b) luas yang sama,

•	 semakin	besar	beza	antara	panjang
dengan lebar segi empat tepat itu,
semakin kecil luasnya.

•	 luas	 adalah	 terbesar	 apabila	 segi
empat tepat itu menjadi bentuk segi
empat sama.

•	 semakin	 besar	 beza	 antara	 panjang
dengan lebar segi empat tepat itu,
semakin besar perimeternya.

•	 perimeter	adalah	terkecil	apabila	segi
empat tepat itu menjadi bentuk segi
empat sama.

Buka  fail  Segi tiga perimeter tetap.ggb  dan  fail  Segi tiga luas tetap.
ggb daripada folder yang dimuat turun pada muka surat vii dengan
menggunakan GeoGebra.
Lakukan  penerokaan  ke  atas  perkaitan  antara  perimeter  dan  luas
untuk  segi  tiga  seperti  yang  telah  dilakukan  untuk  segi  empat
tepat dalam Aktiviti Penerokaan 6.
Bincang dengan rakan anda dan terangkan hasil dapatan anda.
(a)  Bagaimanakah  luas  sebuah  segi  tiga  berubah  apabila

perimeternya ditetapkan?
(b)  Bagaimanakah  perimeter  sebuah  segi  tiga  berubah  apabila

luasnya ditetapkan?
(c)  Adakah  segi  tiga  menunjukkan  corak  perubahan  yang  sama

seperti corak perubahan segi empat tepat?
Bentangkan hasil dapatan anda dalam kelas semasa pembelajaran.

10.3a

1. Segi empat tepat P, Q, R, S dan T yang berikut mempunyai perimeter yang sama.
Susun luas bagi segi empat tepat itu mengikut tertib menaik. Terangkan jawapan anda.

P

Q

R

S

T

2. Segi empat tepat P, Q, R, S dan T yang berikut mempunyai luas yang sama. Susun
perimeter bagi segi empat tepat itu mengikut tertib menurun. Terangkan jawapan anda.

P

Q

R

S

T

10 Text book Mate Tg1.indd   240 10/17/16   5:34 PM
241
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Contoh 4
Diberi luas sebuah kebun berbentuk segi empat sama ialah
500 m2, cari perimeter kebun itu.

Katakan panjang sisi kebun = x m
Maka,  x2 = 500  Luas segi empat sama ialah 500 m2.
Jadi,  x = 500
  = 22.36 2 tempat perpuluhan

Maka, perimeter kebun = 22.36 × 4
 = 89. 44 m
Contoh 5

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga PQS yang
berada di dalam sebuah segi empat tepat PQRT. Perimeter
segi empat tepat itu ialah 42 cm dan panjang segi empat tepat
itu adalah dua kali lebarnya. Cari luas segi tiga PQS.

Katakan panjang segi empat tepat = y cm dan lebar segi empat tepat = x cm
 Perimeter = 42 cm
Maka,  2x + 2y = 42 …… 1
         y = 2x …… 2 Panjang adalah dua kali lebarnya.

Gantikan 2 ke dalam 1, 2x + 2(2x) = 42
 6x = 42
 x = 42

6

= 7
 y = 2(7)
  = 14
Maka, luas segi tiga PQS = 1

2
 × 14 × 7

= 49 cm2

10.3b
1. Diberi perimeter tapak sebuah dewan yang berbentuk segi empat sama ialah 82 m,

cari luas tapak dewan itu.
2. Panjang sebuah segi empat tepat adalah 5 cm lebih daripada lebarnya. Jika perimeter

segi empat tepat itu ialah 40 cm, cari luas segi empat tepat itu.
3. Dalam rajah di sebelah, PQTU ialah sebuah segi empat

selari dengan perimeter 24 cm dan luas 28 cm2. Diberi
UTS dan PQR ialah garis lurus. Cari luas seluruh rajah.

U T 3 cm

5 cm

S

RQP

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
perimeter dan luas segi
tiga, segi empat tepat,
segi empat sama, segi
empat selari, lelayang,
trapezium dan gabungan
bentuk-bentuk tersebut.

T S R

P Q

Perimeter segi empat
tepat PQRT
= 2(7) + 2(14)
= 14 + 28
= 42 cm

10 Text book Mate Tg1.indd   241 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
242

B
A
B

10

10.3

Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi  Mahir Diri 10.3.

1. Lebar sekeping kadbod yang berbentuk segi empat tepat ialah 24 cm dan luasnya ialah
960 cm2. Cari perimeter kadbod itu.

2. Perimeter sebuah segi empat tepat ialah 48 cm. Terangkan bagaimana anda melukis
segi empat tepat itu supaya luasnya adalah terbesar mungkin. Berapakah luas yang
terbesar itu?

3. Rajah di sebelah menunjukkan sekeping jubin
yang berbentuk segi empat tepat PQRS. TUVW
ialah sebuah lelayang yang terterap di dalam
segi empat tepat itu. Diberi perimeter PQRS
ialah 120 cm, cari luas TUVW.

V

T

S

P Q

R

UW
12 cm

28 cm

4. Sebidang tanah berbentuk segi empat tepat dibahagikan
kepada tiga bahagian, P, Q dan R, untuk ditanami tiga jenis
sayur-sayuran yang berlainan. Perimeter tanah itu ialah 170 m
dan panjang tanah itu adalah 15 m lebih daripada lebarnya.
Cari luas bahagian yang terbesar bagi tanaman sayuran.

Q

P R

PERIMETER

Segi tiga

c b

a

P = a + b + c

Segi empat selari

b

a

a

b

P = 2a + 2b

Lelayang
a a

bb

P = 2a + 2b

Trapezium
a

b

c d

P = a + b + c + d

LUAS

Segi tiga

b

a

L = 1
2

ab

Segi empat selari

a

b

L = ab

Lelayang

b
a

L = 1
2

ab

Trapezium

t

a

b

L = 1
2

(a + b)t

B
A
B

10

BAB 10
242

10 Text book Mate Tg1.indd   242 10/17/16   5:34 PM
243
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

Sangat
baik

Berusaha
lagi

menentukan perimeter pelbagai bentuk apabila panjang sisi diberi atau perlu diukur.

menganggar perimeter pelbagai bentuk seterusnya menilai ketepatan anggaran.
menyelesaikan masalah yang melibatkan perimeter.
menganggar luas pelbagai bentuk dengan menggunakan pelbagai kaedah.
menerbitkan rumus luas segi tiga, segi empat selari, lelayang dan trapezium
berdasarkan luas segi empat tepat.
menyelesaikan masalah yang melibatkan luas pelbagai bentuk dan gabungan
bentuk-bentuk tersebut.
membuat dan mengesahkan konjektur tentang perkaitan antara perimeter dan luas.
menyelesaikan masalah yang melibatkan perimeter dan luas pelbagai bentuk dan
gabungan bentuk-bentuk tersebut.

1. Dalam rajah di sebelah, perimeter rantau berlorek
ialah 25 cm. Cari perimeter rantau tidak berlorek.

S

TV

P Q

U

R 6 cm

8 cm

5 cm8 cm

5 cm

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi empat
sama PQST, sebuah segi tiga QRS dan sebuah
trapezium PTUV. Cari perimeter seluruh rajah.

P Q

T S

R
V

U
2 cm

4 cm

5 cm

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga
SRT dan sebuah trapezium RQPT. Perimeter bagi
segi tiga SRT ialah 24 cm. Cari luas seluruh rajah.

P

QS R

T

11 cm10 cm

6 cm 6 cm

10 Text book Mate Tg1.indd   243 10/17/16   5:34 PM
BAB 10
244

B
A
B

10

4. Berdasarkan maklumat yang diberi dalam rajah di sebelah,
(a) cari luas segi tiga itu.
(b) cari nilai t.

8 cmt

10 cm

6 cm

5. Dalam rajah di sebelah, PQRW ialah sebuah segi empat
sama, RST ialah sebuah segi tiga dan TWVU ialah sebuah
trapezium. Cari luas seluruh rajah.

P

8 cm
3 cm

5 cm12 cm
13 cm

Q

W

S

RT

U V

6. Dalam rajah di sebelah, QRU ialah sebuah segi tiga
sama sisi, PQUV dan RSTU ialah dua buah segi empat
sama. Diberi luas PQUV ialah 36 cm2, cari perimeter
seluruh rajah.

V

U

T

SP

RQ

7. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah rombus PQTU
dan sebuah trapezium QRST. PQR dan UTS ialah garis
lurus. Diberi luas seluruh rajah ialah 46 cm2.
(a) Cari tinggi rombus PQTU.
(b) Seterusnya, cari perimeter seluruh rajah itu.

U T S

RQP 5 cm 8 cm

5 cm

8. Dalam rajah di sebelah, PQRS ialah sebuah segi empat
selari dengan luas 100 cm2. Cari luas segi tiga TQR.

S R

P QT

9. Anda diberi seutas benang dengan panjang 30 cm. Terangkan bagaimana anda
membentuk sebuah segi empat tepat dengan luas yang terbesar.

10. Rajah di sebelah menunjukkan sebidang tanah berbentuk
segi empat tepat dengan panjang 40 m dan lebar 20 m.
Anda dikehendaki memagari satu kawasan dalam
tanah ini dengan luas 450 m2. Terangkan bagaimana
anda memagari kawasan itu supaya anda menggunakan
panjang pagar yang paling kurang. Berapakah panjang
pagar yang diperlukan?

40 m

20 m

10 Text book Mate Tg1.indd   244 10/17/16   5:34 PM
245
Perimeter dan Luas

B
A
B

10

Sekolah anda akan mengadakan satu pameran sempena program Hari Wawasan. Pasukan
Kadet Polis akan mengambil bahagian dalam pameran itu. Anda telah ditugaskan untuk
merancang tapak pameran itu.

Reben merah
mengelilingi
tapak pameran

Tapak pameran
Pasukan Kadet Polis

Ruang masuk dan keluar
1 m

Dinding

Reben merah
mengelilingi
tapak pameran

Pasukan Kadet Polis telah diberi satu ruang di tepi dinding sebagai tapak pameran.
Tapak pameran itu perlu dikelilingi dengan reben merah dengan satu ruang 1 m untuk
masuk dan keluar tapak pameran, seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas.
 Anda dibekalkan seutas reben merah dengan panjang 20 m. Terangkan bagaimana
anda mengelilingi tapak pameran dengan reben merah itu supaya luas tapak pameran
itu adalah terbesar mungkin. Tulis satu laporan untuk dibentangkan kepada Guru
Penasihat Pasukan Kadet Polis anda.

Buka fail Tugasan.ggb daripada folder yang dimuat turun pada muka surat vii dengan
menggunakan GeoGebra untuk membantu anda.

1. Buka fail Misteri luas.ggb daripada folder yang dimuat turun pada muka surat vii
dengan menggunakan GeoGebra.

2. Seret penggelongsor ke hujung kanan.
3. Perhatikan pergerakan bentuk-bentuk pada paparan.
4. Terangkan mengapa terdapat beza luas 1 unit2 apabila bentuk-bentuk itu disusun

semula walaupun semua bentuk itu masing-masing mengekalkan luas yang sama.
5. Seret penggelongsor itu ke kiri dan ke kanan beberapa kali atau klik pada ‘Tunjuk

misteri’ untuk membantu anda.
6. Bentangkan hasil penerokaan anda dalam kelas semasa pembelajaran.

10 Text book Mate Tg1.indd   245 10/17/16   5:35 PM
BAB 11
246

B
A
B

11

Pengenalan Set

11

•	Set
•	Gambar	Rajah	Venn,	Set	Semesta,	Pelengkap
bagi	suatu	Set	dan	Subset

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Kementerian Kesejahteraan Bandar,
Perumahan dan Kerajaan Tempatan
Malaysia (KPKT) sentiasa berusaha
untuk memastikan kualiti hidup rakyat
dipertingkatkan dengan adanya alam
sekitar yang bersih dan sihat.

BAB

Mempelajari
cara-cara mewakilkan
suatu himpunan benda
dengan ciri-ciri tertentu dan
seterusnya memudahkan kita
memahami hubungan antara
mereka. Bincangkan contoh
kehidupan harian yang melibatkan
pengelasan himpunan benda
berdasarkan ciri-ciri tertentu.

BAB 11
246

11 Text book Mate Tg1.indd   246 10/17/16   5:36 PM
247
Pengenalan Set

B
A
B

11

Georg Cantor (1845 – 1918) merupakan
seorang ahli matematik berbangsa
Jerman yang pertama memperkenal
teori set. Beliau mengemukakan karya
yang berpengaruh tentang teori set pada
tahun 1874. Teori set mula berkembang
dan dikenal pasti sebagai satu cabang
matematik pada akhir abad ke-19.

Untuk maklumat lanjut:

https://goo.gl/S4GWib

Jaringan Kata

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

•	gambar	rajah	Venn	 •	Venn diagram
•	pelengkap	bagi	suatu	set	 •	complement of a set
•	perihalan	 •	description
•	set	 •	set
•	set	kosong	 •	empty set
•	set	sama	 •	equal sets
•	set	semesta	 •	universal set
•	subset		 •	subset
•	tatatanda	pembina	set	 •	set builder notation
•	tatatanda	set	 •	set notation
•	unsur	 •	element

Seiring dengan matlamat ini, KPKT
sentiasa menggalakkan supaya rakyat
mengamalkan Program 3R (Reduce,
Reuse, Recycle) iaitu mengurang,
mengguna semula dan mengitar semula
barang. Bagaimanakah pengelasan sisa
pepejal ini dilakukan dengan berkesan?

Georg	Cantor

247
Pengenalan Set

11 Text book Mate Tg1.indd   247 10/17/16   5:36 PM
BAB 11
248

B
A
B

11

11.1 Set

Apakah set?

Dalam kehidupan harian, kita boleh mengelaskan bahan
kitar semula kepada beberapa kategori, iaitu kertas, plastik,
kaca, aluminium, bahan fabrik dan lain-lain. Bagaimanakah
kategori bahan ini diwakili secara matematik?

Berkumpulan1
Tujuan : Mengisih dan mengklasifikasikan benda.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.

1. Perhatikan setiap objek yang diberikan di bawah.

2. Kelaskan objek tersebut kepada kumpulan yang tertentu.

3. Apakah ciri-ciri sepunya yang ada pada kumpulan yang dikelaskan?

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, objek yang mempunyai ciri-ciri sepunya yang
tertentu akan dikelaskan dalam kumpulan yang sama. Setiap kumpulan objek itu dinamai
sebagai set.

11.1a

1. Kelaskan objek dalam senarai di bawah kepada pengangkutan darat, laut dan udara.

Kereta Roket Sampan
Lori Kapal terbang Bot
Kapal Van Feri
Helikopter Bas Belon udara panas

PEMBELAJARAN

Menerangkan	maksud	set.

11 Text book Mate Tg1.indd   248 10/17/16   5:36 PM
249
Pengenalan Set

B
A
B

11

Bagaimanakah anda menghuraikan suatu set?

Set boleh ditulis dengan menggunakan perihalan, penyenaraian
dan tatatanda pembina set.

Misalnya, kita boleh menulis warna dalam Jalur Gemilang
dalam set A seperti berikut.

Set A

Perihalan Penyenaraian Tatatanda pembina set

A ialah set yang
terdiri daripada
warna dalam
Jalur Gemilang.

•	 Set	A boleh diwakili dengan
menggunakan tatatanda set, { }.

•	 A = { merah, putih, biru, kuning}

Setiap	unsur	dalam	set
dipisahkan	dengan	koma.

•	 Setiap	objek	dalam	set	itu
dinamai unsur.

•	 Set	A juga boleh diwakili
dengan menggunakan
tatatanda pembina set.

•	 A = {x	: x ialah warna
dalam Jalur Gemilang}

Contoh 1
Huraikan setiap yang berikut dalam set dengan menggunakan perihalan, penyenaraian
dan tatatanda pembina set.
(a) Huruf dalam perkataan ‘MALAYSIA’
(b) Nombor ganjil yang kurang daripada 20

(a) Katakan set yang diwakili ialah P.

Perihalan: P ialah set yang terdiri daripada huruf dalam perkataan ‘MALAYSIA’.

Penyenaraian: P = {M, A, L, Y, S, I}  Unsur	yang	sama
tidak	perlu	diulang.

Tatatanda pembina set: P = {x : x ialah huruf dalam perkataan ‘MALAYSIA’}

(b) Katakan set yang diwakili ialah Q.
Perihalan: Q ialah set nombor ganjil yang kurang daripada 20.
Penyenaraian: Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Tatatanda pembina set: Q = {x : x ialah nombor ganjil dan x , 20}

PEMBELAJARAN

Menghuraikan	suatu	set
dengan	menggunakan:
(i)	 perihalan,
(ii)	 penyenaraian,	dan
(iii)	tatatanda

pembina	set.

11 Text book Mate Tg1.indd   249 10/17/16   5:36 PM
BAB 11
250

B
A
B

11

Set kosong

Tiada	bulan	yang
mempunyai

32	hari!

Namakan	bulan	yang
mempunyai	32	hari.

Jika M mewakili set bulan yang mempunyai 32 hari, maka
set M tidak mengandungi sebarang unsur dan dinamai set
kosong. Set kosong boleh diwakili oleh simbol f atau { }.

Maka, M = f atau M = { }.

11.1b

1. Huraikan setiap yang berikut dalam set dengan menggunakan
(i) perihalan, (ii) penyenaraian dan (iii) tatatanda pembina set.
(a) Warna pelangi (b) Gandaan bagi 3 yang kurang daripada 25

2. Tentukan sama ada setiap yang berikut BENAR atau PALSU.
(a) Jika P = {segi tiga yang mempunyai pepenjuru}, maka P = f.
(b) Jika Q = {nombor perdana yang juga nombor genap}, maka Q = { }.
(c) Jika R = {nombor ganjil yang boleh dibahagi tepat dengan 2}, maka R = f.
(d) Jika S = {x : x ialah integer negatif dan x3 , 0}, maka S = { }.

Apakah unsur dalam suatu set?
Unsur-unsur dalam suatu set ditakrifkan mengikut ciri-ciri
yang tertentu. Setiap unsur mesti memenuhi syarat set yang
ditakrifkan itu.

Misalnya, set A = {buah-buahan tempatan di Malaysia}.

Durian ialah buah-buahan tempatan, maka durian ialah
unsur bagi set A. Simbol  digunakan untuk mewakili
unsur bagi set itu.
 Jadi, durian  A.

Epal bukan buah-buahan tempatan, maka epal bukan
unsur bagi set A. Simbol  digunakan untuk mewakili
bukan unsur bagi set itu.
 Jadi, epal  A.

Berapa	bulan	yang
mempunyai	28	hari?

ahukahT A nda
•	 Set	kosong	juga
disebut	sebagai
set	nol.

•	 Simbol	f	disebut
sebagai	phi.

PEMBELAJARAN

Mengenal	pasti	sama	ada
suatu	objek	adalah	unsur
kepada	suatu	set	dan
mewakilkan	hubungan
tersebut	dengan	simbol.

ahukahT A nda
Simbol		disebut
sebagai	epsilon.

11 Text book Mate Tg1.indd   250 10/17/16   5:36 PM
251
Pengenalan Set

B
A
B

11

Contoh 2
Diberi P = {x : x ialah nombor perdana dan 0 < x < 20}. Lengkapkan setiap yang berikut
dengan menggunakan simbol  atau .

(a) 5   P (b) 8  P

(c) 19  P (d) 1  P

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} Senaraikan	semua	unsur	P.

(a) 5    P (b) 8   P

(c) 19   P (d) 1   P

11.1c

1. Diberi A = {negeri-negeri di Malaysia}. Lengkapkan setiap yang berikut dengan
menggunakan simbol  atau .

(a) Johor  A	 (b) Langkawi  A

(c) Putrajaya  A (d) Selangor  A

2. Diberi bahawa  P = {x : x ialah nombor ganjil dan 0 , x , 50} dan
  Q = {x : x ialah gandaan sepunya bagi 4 dan 6, x , 100}.
 Lengkapkan setiap yang berikut dengan menggunakan simbol  atau .

(a) 8   P	 (b) 17  P (c) 63  P

(d) 84  Q (e) 60  Q (f) 46  Q

Bagaimanakah anda menentukan bilangan
unsur dalam suatu set?

Bilangan unsur dalam set P boleh diwakilkan dengan
tatatanda n(P).

Misalnya, P = {a, b, c, d, e, f}, bilangan unsur
dalam set P ialah 6. Maka, n(P) = 6.

PEMBELAJARAN

Menentukan	bilangan
unsur	bagi	suatu	set	dan
mewakilkan	bilangan
unsur	dengan	simbol.

11 Text book Mate Tg1.indd   251 10/17/16   5:36 PM
BAB 11
252

B
A
B

11

Contoh 3
Diberi P = {huruf dalam perkataan ‘WAWASAN’} dan
Q = {x : x ialah nombor dua digit yang hasil tambah digitnya
sama dengan 7}. Cari
(a) n(P) (b) n(Q)

(a) P = {W, A, S, N} Bilangan	unsur	ialah	4.
 Maka, n(P) = 4

(b) Q = {16, 25, 34, 43, 52, 61, 70} Bilangan	unsur	ialah	7.
 Maka, n(Q) = 7

11.1d

1. Tentukan bilangan unsur dalam setiap set yang berikut.
(a)	 A = {kon, silinder, sfera, piramid, kubus}
(b) B = {huruf konsonan dalam perkataan ‘KEMAHIRAN’}
(c) C = {warna lampu isyarat}
(d) D = {gandaan 11 yang kurang daripada 100}

2. P = {integer antara –5 dengan 2} dan Q = {x : x , 15 dan x ialah nombor genap}.
Cari (a)  n(P) (b) n(Q)

Apakah kesamaan set?
Set bagi abjad dalam perkataan yang disusun oleh tiga orang
murid adalah seperti berikut.
Set A = {H, A, R, U, M}, set B = {M, U, R, A, H} dan
set C = {R, U, M, A, H}
 Setiap unsur dalam set A, B dan C adalah sama. Maka
set A, set B dan set C ialah set sama dan boleh ditulis sebagai
A = B = C.
 Maka A = B, A = C atau B = C.
 Secara umum, jika setiap unsur dalam dua atau lebih
set adalah sama, maka semua set itu adalah sama.

Contoh 4
Terangkan sama ada setiap pasangan set yang berikut ialah
set sama atau bukan.
(a) P = {huruf vokal dalam perkataan ‘SEKOLAH’} dan

Q = {huruf vokal dalam perkataan ‘KEJOHANAN’}
(b) F = {kuasa dua sempurna yang kurang daripada 50} dan

G = {4, 9, 16, 25, 36, 49}

Bolehkah	anda
menentukan	bilangan
unsur	dalam
set	A =	{x	:	x	ialah
pecahan	dan	1	,	x	,	2}?
Bincangkan	perkara	ini.

TIP    BESTARI

Senaraikan	semua	unsur
dalam	suatu	set	supaya
bilangan	unsur	dalam
set	itu	dapat	ditentukan.

PEMBELAJARAN

Membanding	beza	dan
menerangkan	sama	ada
dua	atau	lebih	set	adalah
sama,	dan	seterusnya
membuat	generalisasi
tentang	kesamaan	set.

TIP    BESTARI
Tertib	susunan	unsur
dalam	suatu	set
tidak	penting.

Bincangkan:
•	 Jika	A	=	B,	adakah
	 n(A)	=	n(B)?
•	 Jika	n(A)	=	n(B),
adakah	A	=	B?

11 Text book Mate Tg1.indd   252 10/17/16   5:36 PM
253
Pengenalan Set

B
A
B

11

(a) P = {E, O, A} dan Q = {E, O, A} Unsur	‘A’	yang	sama

tidak	perlu	diulang.
 Setiap unsur dalam set P adalah sama
 dengan setiap unsur dalam set Q.
 Maka, P = Q

(b) F = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}
 G = {4, 9, 16, 25, 36, 49}
 1  F tetapi 1  G.
 Maka, F	≠	G

11.1e

1. Tentukan sama ada setiap pasangan set yang berikut ialah set sama atau bukan.
(a) G = {huruf dalam perkataan ‘RAJIN’} dan H = {huruf dalam perkataan ‘JIRAN’}
(b) M = {1, 2, 3, 4, 5} dan N = {nombor bulat yang kurang daripada 6}
(c) P = {x : x ialah gandaan 2 dan 25 < x < 45} dan

Q = {x : x ialah nombor yang mengandungi digit 2 dan 25 < x < 45}
(d) A = {Bahasa Kebangsaan Malaysia} dan B = {Bahasa Melayu}

11.1

Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii  untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 11.1.

1. Huraikan setiap set yang berikut dengan menggunakan perihalan.
(a) X = {a, e, i, o, u}  (b) Y = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}

2. Tulis setiap set yang berikut dengan menggunakan penyenaraian.
(a) P ialah set planet dalam Sistem Suria.
(b) Q = {faktor perdana bagi 30}

3. Tulis setiap set yang berikut dengan menggunakan tatatanda pembina set.
(a) G = {Mac, Mei}  (b) H = {7, 14, 21, 28, ..., 98}

4. Tentukan sama ada 4 ialah unsur bagi setiap set yang berikut.
(a) P = {1, 2, 3, 4, 5} (b) Q = {x : x ialah gandaan bagi 8}
(c) R = {nombor perdana} (d) S = {x : x ialah faktor bagi 52}

5. Set A, B dan C ditakrifkan seperti yang berikut.
A = {nama bulan yang bermula dengan huruf J}
B = {negeri-negeri di Malaysia}
C = {x : x ialah nombor dua digit yang hasil tambah digitnya ialah 5}
Cari n(A), n(B) dan n(C).

6. Diberi P = {7, 3, 13, x, 11, 5} dan Q = {nombor perdana yang kurang daripada 15}.
Jika P = Q, cari nilai x.

TIP    BESTARI
Simbol	≠	bererti	tidak
sama	dengan.

Diberi	M	=	f	dan
N	=	{	x	:	x	ialah	integer
dan	1	,	x	,	2}.
Adakah	M	=	N?

11 Text book Mate Tg1.indd   253 10/17/16   5:36 PM
BAB 11
254

B
A
B

11

11.2 Gambar Rajah Venn, Set Semesta, Pelengkap bagi suatu
Set dan Subset

Apakah set semesta dan pelengkap bagi suatu set?
Satu set yang terdiri daripada semua unsur dalam perbincangan
disebut sebagai set semesta.
 Misalnya, set di bawah menunjukkan murid-murid yang
menyertai satu pasukan kuiz matematik.
 {Amir, Hazura, Laila, Sandra, Zamri, Dali, Pei San, Yana}
 Dalam perkara ini, 8 orang murid itu adalah semua murid dalam perbincangan.
Maka, set itu boleh ditakrifkan sebagai set semesta dan ditulis dengan simbol j.
 Maka set semesta, j = {Amir, Hazura, Laila, Sandra, Zamri, Dali, Pei San, Yana}
 Antara murid itu, Amir, Hazura, Laila, Sandra dan Zamri ialah ahli Persatuan
Matematik. Jika set A mewakili ahli Persatuan Matematik dalam pasukan kuiz, maka
A = {Amir, Hazura, Laila, Sandra, Zamri}
 Murid yang lain dalam pasukan itu; Dali, Pei San dan Yana bukan ahli Persatuan
Matematik. Mereka ialah murid lain dalam set semesta dan dikenali sebagai pelengkap
bagi set A, ditulis sebagai A9.
	 A9 = {Dali, Pei San, Yana}

Contoh 5
Kenal pasti sama ada setiap set yang berikut ialah set semesta bagi {2, 3, 5, 7} atau
bukan.
(a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(b) {nombor ganjil yang kurang daripada 10}

(a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Mengandungi	semua	unsur.
 Set semesta

(b) {1, 3, 5, 7, 9}  Tidak	mengandungi	unsur	2.

Bukan set semesta

Contoh 6
Diberi j = {x : x ialah integer dan 1 < x < 10}, tentukan
pelengkap bagi setiap set yang berikut.
(a) P = {kuasa dua sempurna yang kurang daripada 10}
(b) Q = {faktor bagi 10}

PEMBELAJARAN

Mengenal	pasti	dan
menghuraikan	set
semesta	dan	pelengkap
bagi	suatu	set.

Apakah	pelengkap	bagi
set	kosong?

11 Text book Mate Tg1.indd   254 10/17/16   5:36 PM
255
Pengenalan Set

B
A
B

11

j = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(a) P = {1, 4, 9}
 Maka, P9 = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}

(b) Q = {1, 2, 5, 10}
 Maka, Q9 = {3, 4, 6, 7, 8, 9}

11.2a

1. Kenal pasti sama ada setiap set yang berikut merupakan set semesta bagi
{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} atau tidak.
(a) {nombor bulat}
(b) {nombor perdana}
(c) {x : x ialah integer positif dan x < 15}

2. Diberi j = {nombor bulat yang kurang daripada 10}, tentukan pelengkap bagi setiap
set yang berikut.
(a) P = {gandaan bagi 3}
(b) Q = {nombor perdana}

Bagaimanakah anda mewakilkan set semesta
dan pelengkap bagi suatu set dengan gambar
rajah Venn?

Selain perihalan dan tatatanda set, suatu set juga boleh
diwakili dengan gambar rajah geometri tertutup yang
dinamakan gambar rajah Venn. Misalnya,
j = {Amir, Hazura, Laila, Sandra, Zamri, Dali, Pei San, Yana}
A = {Amir, Hazura, Laila, Sandra, Zamri}
A9 = {Dali, Pei San, Yana}

Hubungan antara set di atas boleh diwakili dengan gambar
rajah Venn yang berikut.

ξ

Set A diwakili
dengan bulatan.

Semua unsur set A
ditulis dalam bulatan.

Set semesta, ξ diwakili
dengan segi empat tepat.

Setiap titik mewakili
satu unsur.

Unsur pelengkap bagi set A
berada di luar bulatan.

A

Pei San

Amir
Hazura
Laila
Sandra
Zamri

Yana

Dali

PEMBELAJARAN

Mewakilkan
(i)	 hubungan	suatu

set	dengan	set
semesta,	dan

(ii)	 pelengkap	bagi
suatu	set

dengan	gambar
rajah	Venn.

TIP    BESTARI

•	 Suatu	set	boleh	diwakili
dengan	 bulatan,	 bujur,
segi	 empat	 tepat	 dan
segi	tiga.

•	 Set	semesta	biasa
diwakili	dengan	segi
empat	tepat.

11 Text book Mate Tg1.indd   255 10/17/16   5:36 PM
BAB 11
256

B
A
B

11

Contoh 7

Diberi j = {x : 10 , x , 20, x ialah integer},
M = {11, 17} dan N = {nombor ganjil}.
Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili
(a) set j dan M, (b) N9.

j = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
M = {11, 17}
N = {11, 13, 15, 17, 19}
(a) ξ 12

13

15

11

14
16

17

19
18M

(b) ξ

16
14

11 15
13 17

19

18N
12

11.2b

1. Wakilkan hubungan antara set yang berikut dengan menggunakan gambar rajah Venn.
(a) j = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
 A = {3, 5, 9}
(b) j = {x : x ialah integer dan 10 , x , 20}
 B = {nombor perdana}

2. Wakilkan pelengkap bagi setiap set yang berikut dengan menggunakan gambar rajah
Venn. Lorekkan rantau yang mewakili pelengkap itu.
(a) j  = {gandaan bagi 3 yang kurang daripada 30}
 P = {nombor yang boleh dibahagi tepat dengan 6}
(b) j  = {huruf dalam perkataan ‘PENGELASAN’}
 Q = {konsonan dalam perkataan ‘PENGELASAN’}

Apakah subset?
Berkumpulan2

Tujuan : Mengenal pasti subset bagi suatu set.
Arahan : Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan
  empat orang.

1. Sediakan kad nombor yang berlabel 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 dan 20.
2. Gunakan dua utas tali untuk membentuk dua buah bulatan di atas meja yang

masing-masing mewakili set yang berikut.
A = {gandaan bagi 2}     B = {gandaan bagi 4}

Kawasan
berlorek
ialah	N’.

PEMBELAJARAN

Mengenal	pasti	dan
menghuraikan	subset
yang	mungkin	bagi
suatu	set.

ahukahT A nda
John	Venn	(1834	-	1923),
ahli	matematik
berbangsa	Inggeris,
telah	menggunakan
rajah	geometri	untuk
menggambarkan	hubungan	set.
Gambar	rajah	Venn	dinamakan
sempena	nama	beliau.

11 Text book Mate Tg1.indd   256 10/17/16   5:36 PM
257
Pengenalan Set

B
A
B

11

3. Letakkan kad nombor ke dalam bulatan yang betul.

4. Apakah yang anda perhatikan tentang kedudukan kedua-dua bulatan?

5. Apakah hubungan antara set A dengan set B?

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa setiap
unsur dalam set B ialah unsur bagi set A. Set B disebut
sebagai subset bagi set A dan ditulis sebagai B , A.

Contoh 8
Bagi setiap yang berikut, tentukan sama ada set A ialah
subset bagi set B atau bukan.
(a) A = {2, 4, 6} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(b) A = {nombor perdana yang kurang daripada 20} dan
 B = {nombor ganjil yang kurang daripada 20}
(c) A = {huruf dalam perkataan ‘SOPAN’} dan
 B = {huruf dalam perkataan ‘KESOPANAN’}

(a) A , B  Setiap	unsur	A	terdapat	dalam	B.

(b) A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
 B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} Unsur	2	tidak

terdapat	dalam	B. A  B

(c) A , B  Setiap	unsur	A	terdapat	dalam	B.

Pada hari pertama kejohanan olahraga, tiga acara olahraga
telah diadakan di sebuah sekolah ialah 100 m, 200 m dan
400 m. Seorang murid boleh mengambil bahagian dalam
satu, dua atau tiga acara itu.

Jika set A mewakili acara olahraga yang diadakan di
sekolah itu pada hari pertama kejohanan olahraga, maka
A = {100 m, 200 m, 400 m}.

Acara yang mungkin disertai oleh seorang murid ialah
{100 m}, {200 m}, {400 m}, {100 m, 200 m}, {100 m, 400 m},
{200 m, 400 m}, {100 m, 200 m, 400 m}. Murid itu juga
mungkin tidak mengambil bahagian dalam mana-mana acara
dan ini diwakili oleh set kosong, { }.

Maka, setiap set acara yang disenaraikan itu ialah subset
bagi set A.

Merujuk	kepada	Aktiviti
Penerokaan	2,	jika	set	C
mewakili	gandaan	bagi	8,
bincangkan	hubungan
antara	set	C	dengan	set	B
dan	hubungan	antara
set	C	dengan	set	A.

Apakah	hubungan	antara
P	dengan	Q		jika	P , Q
dan	Q , P?

TIP    BESTARI

“Bukan	subset	bagi”
boleh	ditulis	dengan
menggunakan	simbol	.
Misalnya,	P	bukan	subset
bagi	Q	boleh	ditulis
sebagai	P		Q.

TIP    BESTARI
•	 Set	kosong,	f
ialah	subset	bagi
sebarang	set.

•	 Set	itu	sendiri
ialah	subset	bagi
sebarang	set.

11 Text book Mate Tg1.indd   257 10/17/16   5:36 PM
BAB 11
258

B
A
B

11

Contoh 9
Senaraikan semua subset yang mungkin bagi setiap set yang
berikut.
(a) {3, 4} (b) {a, b, c}

(a) f, {3}, {4}, {3, 4}

(b) f, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}

11.2c

1. Lengkapkan setiap yang berikut dengan simbol , atau .
(a) A = {a, u} dan B = {a, e, i, o, u}
 A  B

(b) E = {gandaan bagi 4} dan F = {integer positif yang boleh dibahagi tepat dengan 2}
 E  F

(c) M = {nombor ganjil yang kurang daripada 50} dan
N = {gandaan bagi 5 yang kurang daripada 50}

N  M

(d) P = {sisi empat} dan Q = {segi empat tepat, rombus, pentagon}
 Q  P

2. Senaraikan semua subset yang mungkin bagi setiap set yang berikut.
(a) {p, q}
(b) {nombor perdana yang kurang daripada 10}

Bagaimanakah anda mewakilkan subset dengan
gambar rajah Venn?

Diberi A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
dan B = {4, 8, 12, 16, 20}.

Hubungan B	,	A boleh diwakili dengan gambar rajah Venn
seperti di bawah.

2

4
6 8

12
20

18

14
10

16

B
A

TIP    BESTARI

Jika	suatu	set
mengandungi	n	unsur,
maka	bilangan	subset
yang	mungkin	ialah	2n.
Misalnya,	bilangan	subset
bagi	{a,	b,	c}	=	23	=	8.
(Gunakan	kalkulator
saintifik	untuk
membantu	anda	dalam
penghitungan.)

Tekan		 2 	 ^ 	 3 	 =

PEMBELAJARAN

Mewakilkan	suatu
subset	dengan
gambar	rajah	Venn.

Jika	F , G	dan	H , G,
adakah	F	=	H?
Terangkan	jawapan	anda
dengan	bantuan	gambar
rajah	Venn.

11 Text book Mate Tg1.indd   258 10/17/16   5:36 PM
259
Pengenalan Set

B
A
B

11

Contoh 10
Wakilkan hubungan bagi setiap pasangan set yang diberi dengan gambar rajah Venn.
(a) A = {p, q, r, s, t} dan B = {p, r, s}
(b) P = {nombor bulat} dan Q = {nombor perdana}

(a)

p

q

tr s

B
A (b)

Q
P Bagi	set	yang	tak

terhingga,	unsurnya
tidak	perlu	ditulis.

11.2d

1. Wakilkan hubungan bagi setiap pasangan set yang diberi dengan gambar rajah Venn.
(a) A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70} dan B = {20, 40, 60}
(b) M = {huruf dalam perkataan ‘BIJAK’} dan

N = {huruf vokal dalam perkataan ‘BIJAK’}

Bagaimanakah anda mewakilkan perkaitan
antara set dengan gambar rajah Venn?

Hubungan antara set, subset, set semesta dan pelengkap
bagi suatu set boleh ditunjukkan dengan jelas dengan
gambar rajah Venn.

Contoh 11
Wakilkan hubungan antara set-set yang berikut dengan gambar rajah Venn.
j = {x : x < 10, x ialah integer positif}
A = {faktor bagi 10}
B = {nombor yang boleh dibahagi tepat dengan 5}

j = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 5, 10}
B = {5, 10}

ξ

5
1

2

4

6 7

3

8

9

10

A
B

PEMBELAJARAN

Mewakilkan	perkaitan
antara	set,	subset,	set
semesta	dan	pelengkap
bagi	suatu	set	dengan
gambar	rajah	Venn.

11 Text book Mate Tg1.indd   259 10/17/16   5:36 PM
BAB 11
260

B
A
B

11

11.2e

1. Wakilkan hubungan antara set-set yang berikut dengan gambar rajah Venn.
j = {a, b, c, d, e, f, g, h}
P = {a, b, c, d}
Q = {b}
R = {f, g}

11.2

Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 11.2.

1. Diberi j = {nombor bulat yang kurang daripada 10}, A = {faktor bagi 18} dan
B = {0, 4, 5, 7, 8}. Dengan bantuan gambar rajah Venn, tentukan sama ada A9 =  B.

2. Berdasarkan gambar rajah Venn di sebelah, nyatakan
hubungan antara
(a) P dengan Q,
(b) Q dengan R.

3. Diberi K = {kuasa dua sempurna yang kurang daripada 20}.
(a) Tulis semua subset yang mungkin bagi K.
(b) Jika L = {1, 2, 3, ..., 20}, lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakilkan

hubungan antara K dengan	L.

4. Dalam sebuah kelas, sebilangan murid perempuan bercermin mata manakala semua
murid lelaki tidak bercermin mata. Set j, P,	 Q dan R ialah set yang ditakrifkan
seperti berikut.
j = {murid di dalam kelas}
P = {murid perempuan}
Q = {murid lelaki}
R = {murid yang bercermin mata}
Wakilkan hubungan antara set j, P,	Q dan R dengan gambar rajah Venn.

5.
ξ

A
B

C

Berdasarkan gambar rajah Venn di atas, tulis hubungan antara set j, A, B, dan C.

ξ
Q
P R

11 Text book Mate Tg1.indd   260 10/17/16   5:36 PM
261
Pengenalan Set

B
A
B

11

SET

Set semesta, jSet kosong

ø atau { } Set pelengkap
ξ

P

•	Kawasan berlorek ialah P9.
•	Pelengkap bagi P	ialah P9.

Subset
ξ

R
Q

R , Q

Set sama

Contoh:
A = {M, A, S, A}
B = {S, A, M, A}

Set A = Set B

Sangat
baik

Berusaha
lagi

menerangkan maksud set.

menghuraikan suatu set dengan menggunakan perihalan, penyenaraian, dan
tatatanda pembina set.

mengenal pasti sama ada suatu objek adalah unsur kepada suatu set dan mewakilkan
hubungan tersebut dengan simbol.

menentukan bilangan unsur bagi suatu set dan mewakilkan bilangan unsur
dengan simbol.

membanding beza dan menerangkan sama ada dua atau lebih set adalah sama, dan
seterusnya membuat generalisasi tentang kesamaan set.

mengenal pasti dan menghuraikan set semesta dan pelengkap bagi suatu set.

mewakilkan hubungan suatu set dengan set semesta, dan pelengkap bagi suatu set
dengan gambar rajah Venn.

mengenal pasti dan menghuraikan subset yang mungkin bagi suatu set.

mewakilkan suatu subset dengan gambar rajah Venn.

mewakilkan perkaitan antara set, subset, set semesta dan pelengkap bagi suatu set
dengan gambar rajah Venn.

11 Text book Mate Tg1.indd   261 10/17/16   5:37 PM
BAB 11
262

B
A
B

11

1. Huraikan set P = {segi empat sama, segi empat tepat, trapezium, segi empat selari,
lelayang, rombus} secara perihalan.

2. A = {x : x bukan integer positif dan juga bukan integer negatif}.
Apakah unsur bagi A?

3. Terangkan sama ada setiap pasangan set berikut ialah set sama atau bukan.
(a) P = {nombor genap}; Q = {gandaan 2}
(b) A = {0}; B = f
(c) E = {faktor bagi 15}; F = {nombor yang boleh dibahagi tepat dengan 15}

4. Jika j = {x : 10 < x < 30, x ialah nombor genap} dan P = {gandaan bagi 4},
cari n(P9).

5. Diberi set semesta j, A , B dan C , A. Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk
mewakilkan set j, A, B dan C.

6. Berdasarkan gambar rajah Venn di sebelah,
(a) apakah hubungan antara Q dengan R?
(b) apakah yang diwakili oleh kawasan berlorek?

7. Set P = {integer positif} dan Q = {nombor perdana yang lebih besar daripada 2}.
(a)	 Set	manakah	merupakan	set	semesta?	Berikan	justifikasi	jawapan	anda.
(b) Jika Q	,	R	,	P, takrifkan set R secara perihalan.

8. Sebuah pusat latihan menawarkan tiga kursus kemahiran iaitu masakan, reka cipta dan
komputer. Jika set K mewakili kursus kemahiran yang ditawarkan oleh pusat latihan
itu dan setiap pilihan yang mungkin dibuat oleh seseorang pelajar sebagai subset
bagi K, tentukan bilangan cara yang mungkin untuk seseorang pelajar membuat
pilihannya.

9. Berikut ialah perbualan antara Yazid dengan Mei Li.
Yazid : Jika set semesta ialah {murid di Kelas 1 Bakti} dan
  set A = {pengawas perempuan}, apakah pelengkap bagi set A?
Mei Li : Pelengkap bagi set A ialah murid perempuan yang bukan pengawas.

Adakah pernyataan Mei Li adalah benar atau tidak benar?
Berikan justifikasi jawapan anda.

ξ
Q

R

11 Text book Mate Tg1.indd   262 10/17/16   5:37 PM
263
Pengenalan Set

B
A
B

11

Kempen mengasingkan sisa pepejal isi rumah merupakan satu langkah untuk
mengurangkan jumlah penjanaan dan penghantaran sisa pepejal ke tapak pelupusan.
Dengan amalan pengasingan sisa pepejal, kita dapat mengurangkan pencemaran dan
seterusnya memelihara sumber alam semula jadi.
 Pengasingan sisa pepejal isi rumah melibatkan pengasingan sisa pepejal mengikut
komposisi sisa pepejal seperti kertas, plastik dan lain-lain bahan kitar semula dan
sisa baki. Dengan menggunakan konsep set dan gambar rajah Venn, tulis satu laporan
tentang pengasingan sisa pepejal isi rumah.

Imbas QR Code atau	layari http://goo.gl/2rMjGC untuk	mendapatkan	maklumat
tentang	pengasingan	sisa	pepejal	isi	rumah.

Permainan
Cara menyediakan bahan
1. Sediakan sembilan keping kad dengan

setiap kad masing-masing dilukis dengan
bentuk seperti bulatan, segi tiga atau segi
empat tepat. Setiap bentuk mempunyai tiga
jenis corak, iaitu corak kosong, berwarna
dan berjalur seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di sebelah.

2. Dengan cara yang sama, sediakan sembilan keping kad yang serupa bagi tiga
warna yang berlainan, misalnya biru, hijau dan kuning. Maka, jumlah kad yang
diperoleh ialah 36 keping.

Cara bermain
1. Empat orang pemain untuk permainan ini.
2. Semua kad dicampur secara rawak dan dibahagi sama rata kepada setiap pemain.
3. Kad setiap pemain haruslah dilindungi dan tidak boleh dilihat oleh pemain lain.
4. Setiap pemain dikehendaki memilih sekeping kad secara rawak daripada pemain

di sebelah kanannya.
5. Pemain perlu mengumpul empat keping kad yang sama bentuk atau sama corak

atau sama warna sebagai satu set.
6. Pemain yang berjaya mengumpul set yang paling banyak ialah pemenang.

11 Text book Mate Tg1.indd   263 10/17/16   5:37 PM
BAB 12
264

B
A
B

12

Pengendalian
Data12

BAB

•	Proses	Pengumpulan,	Pengorganisasian
dan	Perwakilan	Data,	serta	Pentafsiran
Perwakilan	Data

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Malaysia ialah sebuah negara yang terdiri
daripada berbilang kaum yang hidup bersatu
padu dan harmoni. Menurut Anggaran
Penduduk Semasa 2014, jumlah penduduk di
Malaysia ialah 30.6 juta orang dengan bilangan
lelaki ialah 15.8 juta orang dan bilangan
perempuan ialah 14.8 juta orang.

Sebagai
asas pengetahuan
dalam bidang statistik.
Pengendalian data yang
melibatkan kemahiran untuk
mengumpul, mengorganisasi,
mewakil, menganalisis serta
mentafsir data dan seterusnya
mengkomunikasikan hasil data
adalah penting supaya kita dapat
memahami kegunaan data ini
di surat khabar, televisyen serta
pendidikan tinggi dan kerjaya yang
diceburi kelak. Bincang dengan
guru anda situasi harian lain yang
melibatkan pengendalian data.

BAB 12
264

12 Text book Mate Tg1.indd   264 10/17/16   5:38 PM
265
Pengendalian Data

B
A
B

12

John Graunt

• carta pai • pie chart
• carta palang • bar chart
• data kategori • categorical data
• data numerik • numerical data
• graf garis • line graph
• histogram • histogram
• jadual kekerapan • frequency table
• memaparkan data • displaying data
• menganalisis data • analysing data
• mengklasifikasikan data • classifying data
• mengorganisasikan data • organising data
• mengumpulkan data • collecting data
• mentafsir data • interpreting data
• mewakilkan data • representing data
• plot batang-dan-daun • stem-and-leaf plot
• plot titik • dot plot
• poligon kekerapan • frequency polygon
• soalan statistik • statistical question

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

Kumpulan etnik yang terbesar ialah
Bumiputera, iaitu merangkumi 68.1
peratus jumlah penduduk, Cina (23.8%),
India (7.15%) dan lain-lain (0.95%).
 Selain data di atas, apakah data lain
yang dapat diperoleh mengenai taburan
penduduk Malaysia? Bagaimanakah
data ini diperoleh?

cetakan pada kurun ke-18 oleh seorang
ahli statistik berbangsa Inggeris, John
Graunt. Dua orang ahli statistik berbangsa
Inggeris yang banyak menyumbang dalam
perkembangan awal bidang statistik ialah
Karl Pearson (1857 – 1936) dan Ronald
Fisher (1890 – 1962).

Untuk maklumat lanjut:

http://goo.gl/Nx43ay

Pada zaman dahulu, statistik
telah digunakan oleh
pemerintah untuk mengetahui
dan mendapat maklumat
tentang bilangan penduduk
di bawah pemerintahannya.
Namun, statistik hanya
direkodkan dalam bentuk

Jaringan Kata

265
Pengendalian Data

12 Text book Mate Tg1.indd   265 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
266

B
A
B

12

12.1 Proses Pengumpulan, Pengorganisasian dan Perwakilan
Data, serta Pentafsiran Perwakilan Data

Bagaimanakah anda menjana soalan statistik
dan mengumpul data yang relevan?

Untuk mengumpul data yang relevan, kita perlu menjana
soalan statistik. Apakah itu soalan statistik?

Soalan statistik ialah soalan yang boleh dijawab dengan
mengumpul data dan terdapat keragaman atau kebolehubahan
dalam data tersebut. Misalnya,

Soalan statistik Keterangan
“Berapakah tinggi murid
dalam Kelas 1 Amanah?”

Terdapat kebolehubahan dalam
tinggi murid, misalnya, 150 cm,
156 cm, 164 cm dan sebagainya.

“Apakah makanan
kegemaran murid Kelas
1 Amanah?”

Terdapat keragaman dalam jenis
makanan kegemaran, misalnya,
nasi lemak, mi goreng, laksa
dan sebagainya.

Adakah soalan yang berikut ialah soalan statistik? Terangkan.
	 •	 “Berapakah tinggi Rosmee?”
	 •	 “Adakah murid dalam Kelas 1 Amanah lebih suka makan
  nasi lemak daripada makan mi goreng?”

Selepas menjana soalan statistik, langkah yang berikutnya
ialah menentukan kaedah pengumpulan data. Data boleh
dikumpul dengan pelbagai kaedah.

KAEDAH PENGUMPULAN DATA

Temu bual Tinjauan Pemerhatian Eksperimen
Soal Selidik

1. Apakah program TV
    yang anda gemari?

Drama

Kartun
Sukan

Dokumentari
Lain-lain

Misalnya, cara murid
datang ke sekolah.

Misalnya, program
televisyen yang
digemari oleh
setiap murid.

Misalnya, bilangan
kereta yang melalui satu
persimpangan jalan raya
setiap jam.

Misalnya, suhu air
panas yang menyejuk
setiap lima minit.

PEMBELAJARAN

Menjana soalan statistik
dan mengumpul data
yang relevan.

Janakan soalan statistik
dan kumpulkan data
bagi setiap yang berikut
dalam kelas anda.
• Jenis permainan

kegemaran murid
• Cara murid ke sekolah

Maklumat tentang
tinggi murid dan
makanan kegemaran
diperoleh melalui
pengumpulan data.

12 Text book Mate Tg1.indd   266 10/17/16   5:38 PM
267
Pengendalian Data

B
A
B

12

Bincang dengan rakan anda tentang pemilihan kaedah yang sesuai untuk pengumpulan data.
Nyatakan kekuatan dan kelemahan setiap kaedah tersebut dengan memberikan contoh.

Bagaimanakah anda mengklasifikasikan data
dan membina jadual kekerapan?

Selepas data dikumpulkan, langkah yang seterusnya ialah
mengklasifikasikan data. Data boleh diklasifikasikan kepada
data kategori dan data numerik.

Kategori
•	 Mengukur	ciri-ciri
•	 Tidak	boleh diukur

secara berangka, tetapi
boleh dihuraikan.

Misalnya, jantina, warna
kereta, perisa gula-gula,
kumpulan darah

Numerik
•	 Mengukur	kuantiti
•	 Diukur menggunakan angka.
 Misalnya, bilangan buku

yang dibaca seminggu,
tinggi pemain badminton,
masa bersenam

DATA

Contoh 1
Klasifikasikan data berikut kepada data kategori atau data
numerik.
(a) Suhu badan setiap murid
(b) Bilangan pokok yang ditanam di setiap daerah
(c) Punca kemalangan di jalan raya

(a) Data numerik (b) Data numerik (c) Data kategori

Antara data numerik di atas, yang manakah ialah data diskret
atau data selanjar?

Selepas mengklasifikasikan data, langkah yang seterusnya
ialah mengorganisasikan data tak terkumpul dengan membina
jadual kekerapan.

Contoh 2
Data berikut menunjukkan bilangan anak dalam setiap keluarga bagi 20 buah keluarga.
Organisasikan data itu dengan membina jadual kekerapan.

2
2

0
4

1
1

1
0

2
2

1
1

3
0

0
2

4
2

3
3

PEMBELAJARAN

Mengklasifikasikan
data kepada data
kategori atau data
numerik dan membina
jadual kekerapan.

TIP    BESTARI

Data numerik
terdiri daripada
• data diskret yang

diukur dalam unit
keseluruhan.

Misalnya, bilangan ahli
dalam satu keluarga
ialah 6 orang.

• data selanjar yang
diukur mengikut skala
yang berterusan.

Misalnya, jisim badan
 murid-murid ialah 53 kg,
 56.2 kg dan 66.5 kg.

TIP    BESTARI

Data tak terkumpul
ialah data mentah yang
belum diproses.

12 Text book Mate Tg1.indd   267 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
268

B
A
B

12

Bilangan anak Gundalan Kekerapan

0  |||| 4
1  |||| 5
2  |||| | 6
3  ||| 3
4  || 2

Jumlah 20

12.1a

1. Klasifikasikan data berikut kepada data kategori atau data numerik.
(a) Bilangan setem yang dikumpul oleh setiap murid
(b) Masa penggunaan Internet
(c) Kebolehan bermain sepak takraw
(d) Warna kereta
(e) Panjang cacing tanah
(f) Bilangan pelancong ke Muzium Negara setiap bulan
(g) Bahasa bertutur di rumah
(h) Pendapatan tahunan

2. Data berikut menunjukkan saiz kemeja-T yang dipakai oleh murid Tingkatan 1
Cekal. Organisasikan data itu dengan membina jadual kekerapan.

XL L XL M M L M L M
M M M XL XL L XL L M
M L M L L S M M L

Bagaimanakah anda membina perwakilan data?

Data yang ditunjukkan dalam jadual juga dapat dipaparkan
dalam pelbagai bentuk grafik supaya mudah dibaca dan
difahami. Kesesuaian suatu perwakilan data bergantung
kepada jenis data yang dikumpulkan dan tujuan maklumat
yang diperlukan. Data boleh diwakili dengan carta palang,
carta pai, graf garis, plot titik dan plot batang-dan-daun.

(a) Carta palang
 Carta palang ialah perwakilan data yang menggunakan palang untuk mewakili data.
Carta palang sesuai digunakan untuk membuat perbandingan antara kategori.

PEMBELAJARAN

Membina perwakilan data
bagi data tak terkumpul
dan menjustifikasikan
kesesuaian suatu
perwakilan data.

12 Text book Mate Tg1.indd   268 10/17/16   5:38 PM
269
Pengendalian Data

B
A
B

12

Contoh 3
Jadual kekerapan berikut menunjukkan aktiviti masa lapang bagi murid Tingkatan 1
Bakti. Bina satu carta palang untuk mewakili data tersebut dan berikan justifikasi kepada
kesesuaian perwakilan data ini.

Aktiviti Kekerapan
Membaca 8
Menonton televisyen 9
Melayari Internet 7
Bersenam 6
Mendengar lagu 4

Langkah-langkah untuk membina carta palang:

Lukis paksi
mengufuk dan
paksi mencancang
pada kertas grid.

Pilih satu daripada paksi
untuk menandakan skala
yang sesuai dan labelkan
paksi itu dengan bilangan
murid. Labelkan paksi yang
lain itu dengan jenis aktiviti.

Lukis palang
supaya tingginya
sepadan dengan
kekerapan data.

Tulis tajuk
carta
palang itu.

Aktiviti Masa Lapang

0

2

4

6

8

10

Bi
la

ng
an

m
ur

id

M
em

ba
ca

Be
rs

en
am

M
en

on
to

n
te

le
vi

sy
en

M
el

ay
ar

i
In

te
rn

et

M
en

de
ng

ar
la

gu

Aktiviti

atau

0

Mendengar
lagu

Bersenam

Bilangan murid

Aktiviti Masa Lapang

Melayari
Internet

Menonton
televisyen

Membaca

2 4 6 8 10

A
kt

iv
iti

Carta palang ini sesuai digunakan untuk membandingkan
bilangan murid bagi aktiviti masa lapang yang berbeza.

Imbas QR Code atau layari https://goo.gl/bnn2mP
dan buka fail carta palang lain_pdf tentang

perwakilan data dengan jenis carta palang yang lain.

TIP    BESTARI
Palang dalam carta
palang boleh dilukis
secara mendatar
atau menegak.

TIP    BESTARI

Apabila mewakilkan data
dengan carta palang:
• lebar setiap palang

mesti seragam.
• ruang di antara dua

palang perlu seragam.

12 Text book Mate Tg1.indd   269 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
270

B
A
B

12

Contoh 4
Jadual berikut menunjukkan markah yang diperoleh sekumpulan murid dalam kuiz Sains
dan Matematik. Bina satu carta palang untuk mewakili dua set data tersebut.

Murid
Markah

Kuiz Sains Kuiz Matematik
Ai Fen 30 45

Haris 35 40

Nora 45 40

Raju 50 35

0

10

20

30

40

50

M
ar

ka
h

Murid

Kuiz
Sains

Kuiz
Matematik

Ai Fen Haris Nora Raju

Markah Kuiz Sains
dan Matematik

(b) Carta Pai
 Carta pai ialah perwakilan data dengan menggunakan sektor bagi sebuah bulatan
untuk memaparkan bahagian bagi setiap kategori dalam keseluruhan data itu.

Contoh 5
Jadual berikut menunjukkan bilangan kereta model Dinamik
yang dijual oleh sebuah syarikat menjual kereta. Bina satu
carta pai untuk mewakili data tersebut dan berikan justifikasi
kepada kesesuaian perwakilan data ini.

Warna kereta Merah Kuning Putih Biru
Bilangan kereta 9 12 10 5

Bincangkan sama ada
carta palang sesuai
digunakan untuk data
yang mempunyai satu
atau dua kategori yang
menjadi dominan dalam
hasil kajian.

TIP    BESTARI
Carta palang
berpasangan sesuai
digunakan untuk
membandingkan dua
set data. Misalnya,
prestasi murid dalam
dua ujian, harga hotel
pada hari biasa dan
musim cuti sekolah.

Bincangkan sama
ada carta pai sesuai
digunakan untuk
mewakilkan data yang
mempunyai bilangan
kategori yang banyak
atau pecahan setiap
kategori adalah
hampir sama.

12 Text book Mate Tg1.indd   270 10/17/16   5:38 PM
271
Pengendalian Data

B
A
B

12

Langkah-langkah untuk membina carta pai:

Cari sudut
sektor bagi
setiap kategori.

Lukis sebuah bulatan dan
bahagikan bulatan kepada sektor
berdasarkan sudut yang dihitung.

Labelkan
setiap sektor.

Tulis tajuk
carta pai itu.

Warna
kereta

Bilangan
kereta

Pecahan
bulatan Sudut sektor

Merah 9 9
36

9  × 360° = 90° 36

Kuning 12 12
36

12  × 360° = 120° 36

Putih 10 10
36

10  × 360° = 100° 36

Biru 5 5
36

5  × 360° = 50° 36
Jumlah 36 1 360°

Merah
Biru

Putih 120°
100°

50°

Kuning

Jualan Kereta Model Dinamik

Carta pai ini sesuai digunakan untuk membuat perbandingan antara setiap warna kereta
dengan jumlah kereta itu.

(c) Graf garis
 Graf garis ialah perwakilan data yang digunakan untuk memaparkan perubahan data
dalam suatu tempoh masa. Datanya diwakili oleh titik-titik yang disambungkan dengan
garis lurus.

Contoh 6
Jadual berikut menunjukkan suhu pesakit dalam suatu tempoh tertentu. Bina satu graf
garis untuk mewakili data tersebut dan berikan justifikasi kepada kesesuaian perwakilan
data ini.
Waktu (a.m.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Suhu (°C) 37.8 37.9 38.2 38. 4 38.2 37.9 37.9 37.6 37.6 37.5

Sudut sektor

=
Kekerapan data

Jumlah kekerapan
 × 360°

12 Text book Mate Tg1.indd   271 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
272

B
A
B

12

Langkah-langkah untuk membina graf garis:

Lukis paksi
mengufuk
dan paksi
mencancang
pada kertas grid.

Pilih skala yang seragam dan
sesuai untuk kedua-dua paksi.
Paksi mencancang mewakili
data. Paksi mengufuk
mewakili tempoh masa.

Plotkan
titik-titik dan
sambungkan
dengan
garis lurus.

Tulis tajuk
graf garis itu.

1

37.4

37.6

37.8

38.0

38.2

38.4

2 3 4 5 6
Waktu (a.m.)

Su
hu

(°
C

)

7 8 9 10
0

Suhu Seorang Pesakit

TIP    BESTARI

Pada graf garis, paksi
mengufuk biasanya
mewakili tempoh
masa manakala paksi
mencancang biasanya
mewakili nilai kekerapan.

Graf garis ini sesuai digunakan untuk memaparkan perubahan
suhu pesakit itu dalam tempoh masa 10 jam.

(d) Plot titik
 Plot titik menunjukkan taburan data di atas garis
nombor. Data mungkin berkelompok pada nilai tertentu
atau bertabur secara seragam di atas garis nombor. Plot titik
boleh membantu kita melihat corak data, membuat inferens
dan keputusan. Plot titik juga dapat mengesan pemerhatian
yang ganjil, iaitu nilai ekstrem dalam data. Jika terdapat nilai
ekstrem dalam data, kita perlu menyiasat lebih lanjut untuk
mengetahui punca pemerhatian yang ganjil itu.

Contoh 7
Masa rawatan pergigian (dalam minit) yang diberikan kepada 14 orang pesakit oleh
seorang doktor gigi adalah seperti yang ditunjukkan di bawah. Wakilkan data itu dengan
plot titik dan berikan justifikasi kepada kesesuaian perwakilan data ini.

23 24 21 24 25 24 25
24 22 17 21 23 22 23

Bincangkan sama
ada graf garis sesuai
digunakan untuk
• meramalkan trend data.
• menunjukkan keadaan

turun naik bagi data
sebelum dan data
selepas dengan jelas.

Jurulatih bola keranjang
menggunakan plot
titik untuk mengetahui
prestasi setiap pemain
di bawah penyeliaannya.

12 Text book Mate Tg1.indd   272 10/17/16   5:38 PM
273
Pengendalian Data

B
A
B

12

Langkah-langkah untuk membina plot titik:

Lukis satu garis nombor
mengufuk yang meliputi
julat bagi data yang diberi.

Plotkan setiap data satu demi
satu sebagai titik sepadan
dengan nilai pada garis nombor.

Tulis tajuk
plot titik itu.

17 18 19 20
Masa (minit)

21 22 23 24 25

Masa Rawatan Pergigian

Plot titik ini sesuai digunakan untuk memaparkan masa
rawatan pergigian yang taburannya adalah dari 17 minit
hingga 25 minit.

Bincangkan kesesuaian
plot titik dalam
perwakilan data untuk
• mengilustrasikan

kekerapan data.
• bilangan data

yang besar.
• data kategori atau

data numerik.

(e) Plot batang-dan-daun
 Plot batang-dan-daun ialah perwakilan data yang
mengasingkan nilai data kepada batang dan daun mengikut
nilai tempat. Daun biasanya ialah digit akhir nombor itu.
Batang ialah digit atau digit-digit yang lain di sebelah kiri
nombor itu. Plot batang-dan-daun mengekalkan nilai data
asal. Jadi, kita dapat melakukan pengiraan aritmetik ke atas
nilai itu bagi tujuan analisis data.

Contoh 8
Data di bawah menunjukkan markah ujian Matematik bagi 20
orang murid di sebuah kelas. Wakilkan data itu dengan plot
batang-dan-daun dan berikan justifikasi kepada kesesuaian
perwakilan data ini.

60 56 69 32 63 58 71 86 52 64
50 67 82 63 75 50 69 78 77 59

Langkah-langkah untuk membina plot batang-dan-daun:

Tulis setiap data
satu demi satu
dengan digit puluh
sebagai batang.

Susun semula
daun mengikut
tertib menaik.

Digit akhir
nombor
itu ditulis
pada daun.

Tulis kekunci dan
tajuk. Kekunci
menunjukkan unit
bagi batang dan daun.

Ahli matematik Amerika
Syarikat, John W. Tukey
(1915 – 2000)
memperkenal plot
batang-dan-daun pada
tahun 1960an. Sejak itu,
plot batang-dan-daun
telah menjadi perwakilan
data yang popular untuk
menganalisis data.

12 Text book Mate Tg1.indd   273 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
274

B
A
B

12

Markah Ujian Matematik

Batang Daun
3
4
5
6
7
8

2

0 0 2 6 8 9
0 3  3 4 7 9 9
1 5 7 8
2 6

Kekunci: 3 | 2 bermakna 32 markah.

Susun
semula digit
pada ‘daun’
dari nilai
terkecil ke
nilai terbesar.

Batang Daun
3
4
5
6
7
8

2

6 8 2 0 0 9
0 9 3 4 7 3 9
1 5 8 7
6 2

Digit sa

Ulang digit
yang sama
bagi data
yang sama.

Tulis digit
pada ‘batang’
dari nilai
terkecil ke
nilai terbesar.

Digit puluh

Plot batang-dan-daun ini sesuai digunakan untuk memaparkan
markah setiap murid di dalam kelas itu.

Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk buka fail
Carta Palang.xls bagi perwakilan data dalam Contoh 3. Seterusnya,
teruskan penerokaan anda dengan jenis perwakilan data yang lain.

Pintar Teknologi

12.1b

1. Dalam satu tinjauan, keputusan yang diperoleh bagi cara murid datang ke sekolah
ditunjukkan dalam jadual di bawah. Bina satu carta palang untuk mewakili data itu
dan	justifikasikan	kesesuaian	perwakilan	data	tersebut.
Pengangkutan Kereta Bas sekolah Bas awam Basikal Berjalan kaki

Kekerapan 8 10 7 2 5

2. Jadual berikut menunjukkan harga bagi empat jenis penginapan sekitar Bandaraya
Melaka Bersejarah semasa hari biasa dan musim cuti. Bina satu carta palang untuk
mewakili dua set data itu dan justifikasikan kesesuaian perwakilan data tersebut.

Jenis penginapan Hotel Inap desa Hotel bajet Asrama
Harga hari biasa (RM) 300 250 150 100
Harga musim cuti (RM) 350 300 200 100

3. Jadual di bawah menunjukkan lagu kegemaran bagi sekumpulan kanak-kanak.

Lagu
kegemaran

Rasa
Sayang

Ikan
Kekek

Bangau Oh
Bangau

Geylang
Si Paku
Geylang

Lompat
Si Katak
Lompat

Dayung
Sampan

Bilangan
kanak-kanak 30 40 20 15 10 5

Bina	satu	carta	pai	untuk	mewakili	data	itu	dan	justifikasikan	kesesuaian	perwakilan
data tersebut.

Bincangkan kesesuaian
plot batang-dan-daun
dalam perwakilan
data untuk
• bilangan data yang besar
• data kategori atau

data numerik

12 Text book Mate Tg1.indd   274 10/17/16   5:38 PM
275
Pengendalian Data

B
A
B

12

4. Jadual di bawah menunjukkan tinggi Kamil dalam tempoh enam tahun. Bina
satu	graf	garis	untuk	mewakili	data	itu	dan	justifikasikan	kesesuaian	perwakilan	data
tersebut.

Tahun 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Tinggi (cm) 145 150 153 160 164 167

5. Data berikut menunjukkan bilangan khidmat pesanan ringkas (SMS) yang dihantar
oleh sekumpulan murid pada satu hari tertentu. Wakilkan data itu dengan plot titik
dan	justifikasikan	kesesuaian	perwakilan	data	tersebut.

3 4 8 7 11
6 5 7 6 3
9 6 5 11 8

6. Dalam suatu tinjauan, umur bagi 24 orang pembaca bagi sebuah majalah dicatatkan
seperti	 berikut.	Wakilkan	 data	 itu	 dengan	 plot	 batang-dan-daun	 dan	 justifikasikan
kesesuaian perwakilan data tersebut.

44 53 33 65 51 30 42 34
57 36 51 32 39 44 25 31
58 47 31 22 58 38 60 47

Bagaimanakah anda menukar satu perwakilan
data kepada perwakilan lain?

Suatu perwakilan data boleh ditukar kepada perwakilan lain
yang sesuai untuk tujuan analisis yang lebih lanjut.

Contoh 9
Carta palang di sebelah menunjukkan
keuntungan Syarikat Usaha Tegas dari
tahun 2010 hingga 2015. Tukarkan
perwakilan carta palang itu kepada
perwakilan lain yang sesuai dan
berikan justifikasi kepada penukaran
perwakilan ini.

0

20

40

Ke
un

tu
ng

an
 (R

M
 ju

ta
)

Tahun
2010 2011 2012 2013 2014 2015

60

80

Keuntungan Syarikat Usaha Tegas

PEMBELAJARAN

Menukar satu perwakilan
data kepada perwakilan
lain yang sesuai serta
memberi justifikasi.

12 Text book Mate Tg1.indd   275 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
276

B
A
B

12

0
2010 2011 2012 2013 2014 2015

20

40

60

80

Ke
un

tu
ng

an
 (R

M
 ju

ta
)

Tahun

Keuntungan Syarikat Usaha Tegas

Perwakilan carta palang ditukar
kepada perwakilan graf garis kerana
graf garis sesuai digunakan untuk
memaparkan data yang dikumpulkan
dalam satu tempoh yang tertentu,
iaitu prestasi keuntungan bagi
Syarikat Usaha Tegas dalam tempoh
enam tahun.

Contoh 10

Plot batang-dan-daun di bawah menunjukkan hasil tinjauan tentang kadar denyutan nadi
per minit bagi pesakit yang dirawat di sebuah poliklinik komuniti. Tukarkan perwakilan
itu kepada perwakilan plot titik dan berikan justifikasi kepada penukaran perwakilan ini.

Kadar Denyutan Nadi Per Minit bagi Pesakit

Batang Daun
4
5
6
7
8
9

2
5
5  6  6  6  7  8  8  8  8  9  9  9
0  1  2  7
9
0

Kekunci: 4 | 2 bermakna 42 denyutan per minit.

40 50 60 70 80 90
Denyutan per minit

Kadar Denyutan Nadi Per Minit bagi Pesakit

Perwakilan plot batang-dan-daun ditukar kepada perwakilan plot titik kerana kedua-dua
perwakilan ini sesuai digunakan untuk memaparkan taburan data numerik dan juga dapat
mengekalkan nilai data asal.

12 Text book Mate Tg1.indd   276 10/17/16   5:38 PM
277
Pengendalian Data

B
A
B

12

12.1c

1. Carta palang di sebelah menunjukkan
rekod purata hujan bulanan bagi
Bandar Impian dari bulan Julai hingga
Disember pada tahun 2015. Tukarkan
perwakilan itu kepada perwakilan lain
yang sesuai dan berikan justifikasi
kepada penukaran tersebut.

0

Julai
Ogo

s

Septem
ber

Oktober

Novem
ber

Disem
ber

100

200

300

400

Pu
ra

ta
 h

uj
an

(m
m

)

Bulan

Purata Hujan Bulanan bagi Bandar Impian

2. Kempen derma darah anjuran Bulan Sabit Merah
Malaysia telah mendapat sambutan yang menggalakkan
daripada orang ramai. Carta pai di sebelah menunjukkan
kumpulan darah yang diderma oleh 25 orang dalam
tiga jam yang pertama. Tukarkan perwakilan ini kepada
perwakilan lain yang sesuai dan berikan justifikasi
kepada penukaran tersebut.

Kumpulan Darah Penderma

B
20%

O
36%

AB
16%

A
28%

Bagaimanakah anda mentafsir perwakilan data?

Dengan mentafsir perwakilan data, kita dapat memperoleh
maklumat dan seterusnya membuat inferens dan ramalan.

Contoh 11

Graf garis di sebelah menunjukkan
jisim sampah, dalam ribu tan, yang
dibuang di sebuah bandar dari tahun
2010 hingga tahun 2015.
(a) Berapakah jisim sampah yang

dibuang pada tahun 2010?
(b) Apakah yang boleh anda

nyatakan tentang jisim sampah
yang dibuang pada tahun 2011
dan tahun 2014?

Pembuangan Sampah

0

1

2

3

2010Jis
im

sa
m

pa
h

(r
ib

u
ta

n)

Tahun
2011 2012 2013 2014 2015

(c) Cari min jisim sampah yang dibuang dalam tempoh enam tahun itu.
(d) Nyatakan satu inferens yang boleh dibuat berdasarkan graf garis itu.
(e) Berdasarkan trend graf garis, ramalkan jisim sampah yang dibuang pada tahun 2016.

PEMBELAJARAN

Mentafsir pelbagai
perwakilan data
termasuk membuat
inferens atau ramalan.

12 Text book Mate Tg1.indd   277 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
278

B
A
B

12

(a) 1 900 tan
(b) Jisim sampah yang dibuang adalah sama pada tahun 2011

dan 2014.
(c) Jumlah jisim sampah yang dibuang dalam tempoh 6 tahun
 = 1 900 + 2 100 + 2 900 + 2 600 + 2 100 + 1 600
 = 13 200 tan
 Min jisim sampah = 13 200

6

= 2 200 tan
(d) Jisim sampah yang dibuang semakin berkurangan setiap tahun selepas tahun 2012.
(e) 1 100 tan

Contoh 12
Di makmal kawalan kualiti, jangka hayat
(kepada jam yang hampir) bagi 24 biji sel
kering diuji. Data yang diperoleh diwakilkan
dengan plot titik seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di sebelah.
(a) Nyatakan jangka hayat maksimum dan

minimum bagi sel kering yang diuji.
8 10 12 14

Jangka hayat (jam)
16 18 20

Jangka Hayat Sel Kering

(b) Nyatakan satu inferens yang boleh dibuat berdasarkan data dalam plot titik itu.
(c) Makmal kawalan kualiti menetapkan supaya sel kering yang mempunyai jangka

hayat kurang daripada 10 jam dianggap cacat dan ditolak. Cari peratusan sel kering
yang ditolak.

(d) Diketahui 50% daripada sel kering mempunyai jangka hayat sekurang-kurangnya
x jam. Cari nilai x.

(a) Jangka hayat maksimum = 20 jam
 Jangka hayat minimum = 8 jam
(b) Kebanyakan sel kering mempunyai jangka hayat dari 13 jam hingga 20 jam.
(c) Bilangan sel kering yang jangka hayat kurang daripada 10 jam = 3 biji
 Peratusan sel kering yang ditolak = 3

24
 × 100%

= 12.5%

(d) 50% daripada bilangan sel kering = 50
100

× 24

= 12 biji
Daripada plot titik, didapati 12 biji
sel kering mempunyai jangka hayat
sekurang-kurangnya 17 jam.

Maka, x = 17

Fikir dan nyatakan
sebab-sebab yang
mungkin bagi
pembuangan sampah
yang semakin
berkurangan di
sebuah bandar.

12 biji sel
kering

8 10 12 14
Jangka hayat (jam)

16 18 20

Jangka Hayat Sel Kering

12 Text book Mate Tg1.indd   278 10/17/16   5:38 PM
279
Pengendalian Data

B
A
B

12

Histogram
Histogram ialah satu perwakilan data yang memaparkan data terkumpul. Data terkumpul
ialah data yang dikumpulkan dalam satu selang tertentu.

Contoh 13
Histogram di bawah menunjukkan tinggi bagi 50 orang
murid perempuan.

0

10

Ke
ke

ra
pa

n

Tinggi (cm)

20

Tinggi Murid Perempuan
14

0-
14

4

14
5-

14
9

15
0-

15
4

15
5-

15
9

16
0-

16
4

(a) Cari bilangan murid perempuan yang mempunyai tinggi
155 cm hingga 159 cm.

(b) Murid perempuan yang mempunyai tinggi 160 cm dan
ke atas layak untuk menyertai pasukan bola tampar.
Cari bilangan murid perempuan yang layak untuk
menyertai pasukan bola tampar itu.

(c) Dengan memerhatikan bentuk histogram itu, buat
inferens tentang taburan tinggi murid perempuan.

(a) 10 orang murid perempuan
(b) 3 orang murid perempuan
(c) Kebanyakan murid perempuan mempunyai tinggi

145 cm hingga 159 cm.

Poligon Kekerapan
Poligon kekerapan ialah graf yang menyambungkan titik tengah bahagian atas setiap
palang dalam histogram itu dengan garis lurus. Merujuk kepada Contoh 13, sebuah
poligon kekerapan boleh dilukis daripada histogram seperti yang ditunjukkan di bawah.

14
0-

14
4

13
5-

13
9

14
5-

14
9

15
0-

15
4

15
5-

15
9

16
0-

16
4

16
5-

16
90

10

Ke
ke

ra
pa

n 20

Tinggi Murid Perempuan

Tinggi (cm)

0

10

Ke
ke

ra
pa

n 20

Tinggi Murid Perempuan

14
0-

14
4

13
5-

13
9

14
5-

14
9

15
0-

15
4

15
5-

15
9

16
0-

16
4

16
5-

16
9

Tinggi (cm)

ahukahT A nda
• Lebar setiap palang

histogram mewakili
satu selang tertentu.
Misalnya, selang tinggi
140-144 merangkumi
julat tinggi 140 cm
hingga 144 cm.

• Tinggi palang mewakili
kekerapan data.

TIP    BESTARI
• Histogram tidak

memaparkan nilai
data sebenar

tetapi memaparkan
 nilai dalam satu

selang tertentu.
• Histogram dapat

memaparkan data
yang besar kerana
data diwakili dalam
selang kelas.

3 orang murid perempuan
yang tingginya 160 – 164 cm.

12 Text book Mate Tg1.indd   279 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
280

B
A
B

12

Contoh 14
Poligon kekerapan di bawah menunjukkan masa yang dicatatkan oleh sekumpulan peserta
dalam Larian Mesra di sebuah taman.
(a) Cari jumlah peserta dalam acara

Larian Mesra ini.
(b) Cari bilangan peserta yang

mencatatkan masa larian dalam
tempoh 16 minit hingga 20 minit.

(c) Dengan memerhatikan bentuk
poligon kekerapan itu, buat
inferens tentang taburan masa
yang dicatatkan oleh peserta.

0

10

Ke
ke

ra
pa

n

Masa (minit)

Masa Larian Mesra 1 km

20

30

6-
10

11
-1

5

16
-2

0

21
-2

5

26
-3

0

31
-3

5

36
-4

0

41
-4

5

(a) Jumlah peserta = 10 + 24 + 30 + 26 + 12 + 8
  = 110 orang

(b) 24 orang peserta  24 orang peserta mencatatkan masa larian 16 – 20 minit

(c) Kebanyakan peserta mencatatkan masa larian dari 16 minit hingga 30 minit.

12.1d

1. Seorang ahli botani mengkaji tinggi sebatang pokok di kawasan hutan hujan tropika.
Graf garis di bawah menunjukkan tinggi pokok itu dalam tempoh tujuh tahun.

0

5

10

15

20

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Ti
ng

gi
 (m

)

Tahun

Tinggi Pokok

(a) Berapakah tinggi pokok itu pada awal tempoh kajian?
(b) Berapakah pertambahan tinggi pokok itu dalam tempoh tujuh tahun?
(c) Pada tahun yang manakah tinggi pokok itu ialah 12 m?
(d) Nyatakan satu inferens yang boleh dibuat berdasarkan graf garis itu.
(e) Berdasarkan trend graf garis, ramalkan tinggi pokok itu pada tahun 2017.

12 Text book Mate Tg1.indd   280 10/17/16   5:38 PM
281
Pengendalian Data

B
A
B

12

2. Plot batang-dan-daun di bawah menunjukkan diameter gandar roda yang dihasilkan
oleh sebuah mesin.

Diameter Gandar Roda
Batang Daun

24
25
26
27
28

5  6  6  8
0  1  1  2  3  6
0  0  0  1  3  3  4  5  8  9
3  4  4  5  7  8  8
2  3  6

Kekunci: 24 | 5 bermakna 24.5 mm.

(a) Tentukan jumlah bilangan gandar roda yang dihasilkan.
(b) Cari diameter terbesar dan terkecil bagi gandar roda yang dihasilkan itu.
(c) Seorang mekanik mendapati dia perlu mengurangkan diameter gandar roda yang

melebihi 27.5 mm supaya gandar dapat dimasukkan ke dalam roda. Hitung
peratusan gandar roda yang perlu dikurangkan diameternya.

(d) Nyatakan satu inferens yang boleh dibuat tentang taburan diameter gandar roda
dalam plot batang-dan-daun itu.

3.

22
6-

23
0

23
1-

23
5

23
6-

24
0

24
1-

24
5

24
6-

25
0

25
1-

25
5

25
6-

26
0

Jisim Bungkusan Biskut

0

Jisim (g)

Bi
la

ng
an

b
un

gk
us

an

10

20

30

40

Seorang penyelia kawalan mutu ingin menentukan kelompok biskut yang dihasilkan
di bahagian pembungkusan memenuhi piawaian jisim yang ditetapkan. Histogram di
atas menunjukkan jisim bungkusan biskut bagi beberapa sampel yang diuji.
(a) Berapa bungkusan biskut yang diuji dalam sampel itu?
(b) Berapa bungkusan biskut yang mempunyai jisim 236 g hingga 240 g?
(c) Mengikut piawaian yang ditetapkan, jika 75% daripada sampel itu mempunyai

jisim 241 g hingga 260 g, maka kelompok biskut yang dihasilkan memenuhi
spesifikasi dan dibenarkan untuk pembungkusan dan seterusnya diedarkan
ke pasaran. Adakah kelompok pengeluaran biskut ini memenuhi piawai yang
ditetapkan? Tunjukkan pengiraan anda.

12 Text book Mate Tg1.indd   281 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
282

B
A
B

12

Apakah kepentingan mewakilkan data secara beretika?

Perwakilan data membantu kita menganalisis dan mentafsir
data dengan mudah. Kita perlu mewakilkan data secara
beretika untuk mengelakkan kekeliruan.

Untuk mewakilkan data secara beretika,
•	 skala	 yang	 digunakan	 dalam	 perwakilan	mesti	 seragam

dan bermula daripada 0.
•	 data	yang	dipaparkan	mesti	tepat.

Contoh 15
Carta palang di sebelah menunjukkan bilangan gol yang
dijaringkan oleh empat orang pemain bola sepak dalam
Liga Bola Sepak Daerah Permai.
(a) Adakah bilangan jaringan gol Adam ialah dua kali

bilangan jaringan gol Ravi? Terangkan.
(b) Pada pendapat anda, adakah carta palang ini dapat

mewakili bilangan gol pemain dengan jelas?

(a) Bilangan jaringan gol Adam = 14
 Bilangan jaringan gol Ravi = 10
 Maka, bilangan jaringan gol Adam bukan dua kali bilangan jaringan gol Ravi.
(b) Tidak, kerana maklumat yang dipaparkan mengelirukan. Skala pada paksi mencancang

harus bermula daripada sifar.

Contoh 16

Carta pai di sebelah menunjukkan gred yang diperoleh
sekumpulan murid dalam suatu ujian Matematik. Adakah
carta pai ini memaparkan data dengan tepat? Terangkan.

Jumlah peratusan = 22 + 36 + 28 + 10
 = 96

Tidak, kerana jumlah peratusan pada carta pai tidak sama
dengan 100.

A
22%

B
36%

C
28%

D
10%

Gred Murid dalam
Ujian Matematik

PEMBELAJARAN

Membincangkan
kepentingan mewakilkan
data secara beretika bagi
mengelakkan kekeliruan.

Bi
la

ng
an

g
ol

Pemain

A
da

m

D
au

d

Ra
vi

Za
in

Jaringan Gol Bola Sepak

6

8

10

12

14

12 Text book Mate Tg1.indd   282 10/17/16   5:38 PM
283
Pengendalian Data

B
A
B

12

12.1e
1.

0

4

8

12

16

Permainan Kegemaran
Bi

la
ng

an
 m

ur
id

H
ok

i

Ba
dm

in
to

n

Bo
la

ta
m

pa
r

Permainan

Bo
la

se
pa

k

2.

08
00

10
00

12
00

14
00

16
00

25
26

24

27
28

30
29

31
32

Su
hu

(°
C

)

Waktu

Suhu di Bandar Mahkota

Zurini menjalankan tinjauan ke atas 40
orang murid tentang sejenis permainan
kegemaran. Hasil tinjauan ditunjukkan

dalam carta palang di atas. Adakah
carta palang ini memaparkan data
dengan tepat? Terangkan.

Graf garis di atas menunjukkan
suhu di Bandar Mahkota dari jam
0800 hingga jam 1600. Adakah
graf garis ini memaparkan data
dengan jelas? Terangkan.

12.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi  Mahir Diri 12.1.

1.

0–2

2
4
6

–4
–6
–8

–10

05
00

07
00

09
00

11
00

13
00

Waktu

Su
hu

(°
C

)

15
00

17
00

19
00

Suhu di suatu Pusat Peranginan Ski

Graf garis di atas menunjukkan suhu yang dicatatkan pada satu hari tertentu di
sebuah pusat peranginan ski pada musim sejuk.
(a) Anggarkan suhu pada jam 1000.
(b) Ramalkan suhu pada jam 2100.
(c) Pada pukul berapakah suhunya ialah 0°C?

12 Text book Mate Tg1.indd   283 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
284

B
A
B

12

2.
Haiwan Citah Kuda

belang Singa Kuda Rusa Burung
unta

Kelajuan
(km/j) 110 65 80 75 70 95

Jadual kekerapan di atas menunjukkan kelajuan maksimum, dalam km/j, yang dapat
dicapai oleh beberapa jenis haiwan.
(a) Wakilkan data di atas dengan
 (i) carta palang,
 (ii) plot batang-dan-daun.
(b) Berdasarkan kedua-dua perwakilan data yang dibina di (a), perwakilan yang

mana lebih sesuai digunakan? Terangkan.

3. Cara Tempahan Bilik

Telefon
32%

Internet
48%

Kaunter
20%

0 10 20 30 40 50 60

Internet

Telefon

Kaunter

Cara Tempahan Bilik

Bilangan tempahan

C
ar

a
te

m
pa

ha
n

Sebuah hotel menerima 125 tempahan bilik melalui tiga cara pada suatu hari. Data
ini dipaparkan dengan menggunakan carta pai dan carta palang.
(a) Berapakah beza antara bilangan tempahan bilik yang dibuat melalui Internet

dengan bilangan tempahan bilik melalui kaunter? Perwakilan yang manakah
menunjukkan data ini dengan jelas? Terangkan.

(b) Hampir separuh daripada tempahan dibuat melalui Internet. Perwakilan yang
manakah menunjukkan data ini dengan jelas? Terangkan.

(c) Perwakilan yang manakah menunjukkan bilangan tempahan melalui Internet
dengan lebih jelas? Berikan justifikasi kepada jawapan anda.

(d) Adakah graf garis sesuai digunakan untuk memaparkan data ini? Terangkan.
(e) Apakah perwakilan lain yang sesuai untuk memaparkan data ini?

4. Data di bawah menunjukkan elaun harian (RM) yang diterima oleh sekumpulan
pekerja kilang.

20 25 21 24 22 23
22 22 23 30 25 22

(a) Wakilkan data di atas dengan plot titik.
(b) Huraikan secara ringkas

(i) taburan data bagi elaun harian kumpulan pekerja kilang itu,
(ii) nilai kebanyakan data itu tertumpu,
(iii) sama ada nilai ekstrem terdapat dalam data itu.

12 Text book Mate Tg1.indd   284 10/17/16   5:38 PM
285
Pengendalian Data

B
A
B

12

5. Dua histogram dalam Rajah (a) dan Rajah (b) masing-masing menunjukkan markah
ujian bagi mata pelajaran Sains dan Matematik murid tingkatan 1.
Markah Ujian Sains bagi Murid Tingkatan 1

10

0

Markah

20

30

40

50

Ke
ke

ra
pa

n

51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

Markah Ujian Matematik bagi Murid Tingkatan 1

10

0

Markah

20

30

40

50

Ke
ke

ra
pa

n

51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

Rajah (a) Rajah (b)

(a) Cari bilangan murid yang mendapat lebih daripada 80 markah bagi setiap ujian.
(b) Huraikan secara ringkas taburan markah bagi setiap ujian.
(c) Bandingkan dua taburan ini. Apakah inferens yang boleh dibuat?

6. Carta palang di bawah menunjukkan bilangan lampu yang dijual oleh lima buah
kedai dalam sebulan.

100

120

140

160

A B C D E

Jualan Lampu

Kedai

Bi
la

ng
an

la
m

pu

(a) Apakah yang boleh anda nyatakan tentang bilangan lampu yang dijual oleh
kedai A dan B?

(b) Kedai E mendakwa bahawa bilangan lampu yang dijualnya adalah dua kali
bilangan lampu yang dijual oleh kedai C. Adakah dakwaan ini sah? Terangkan
jawapan anda.

12 Text book Mate Tg1.indd   285 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
286

B
A
B

12

PENGENDALIAN DATA

PERWAKILAN DATA

Kategori Numerik

Data Kekerapan

Jadual kekerapan

Carta pai Graf garis Plot titik Plot batang-dan-daun

Permainan Kegemaran

Bola
baling
24%

Badminton
40%

Hoki
20%

Bola
sepak
16%

0

10

20122011 2013 2014

20

30

Tahun

Ke
un

tu
ng

an
 (R

M
 ju

ta
)

Keuntungan Syarikat Maju

52 53 54
Masa (minit)

55 56

Masa Latihan
Merentas Desa

Mata Jaringan
Bola Keranjang

Batang Daun
0
1
2
3

2
2 2 2 5 5 8
0 0 1 1 1 4 6 6 7 8
0 0

Kekunci: 1 | 5 bermakna
15 mata

Carta palang Histogram Poligon kekerapan

A

2
0

4
6
8

10

B C
Kedai

Bi
la

ng
an

k
am

er
a

D

Bilangan Kamera yang Dijual

10

0

6-
10

11
-1

5
16

-2
0

21
-2

5
26

-3
0

20

Bi
la

ng
an

m
ur

id

Jisim (kg)

Jisim Surat Khabar Lama
yang Dikumpul

10

0

6-
10

11
-1

5

0-
5

16
-2

0
21

-2
5

26
-3

0
31

-3
5

20

Bi
la

ng
an

m
ur

id

Jisim (kg)

Jisim Surat Khabar Lama
yang Dikumpul

B
A
B

12

BAB 12
286

12 Text book Mate Tg1.indd   286 10/17/16   5:38 PM
287
Pengendalian Data

B
A
B

12

Sangat
baik

Berusaha
lagi

menjana soalan statistik dan mengumpul data yang relevan.

mengklasifikasikan data kepada data kategori atau data numerik dan membina
jadual kekerapan.

membina perwakilan data bagi data tak terkumpul dan menjustifikasikan
kesesuaian suatu perwakilan data.

menukar satu perwakilan data kepada perwakilan lain yang sesuai serta
memberi justifikasi.

mentafsir pelbagai perwakilan data termasuk membuat inferens atau ramalan.

membincangkan kepentingan mewakilkan data secara beretika bagi
mengelakkan kekeliruan.

1. Graf garis di bawah menunjukkan harga rumah A dan rumah B pada awalnya dan
kadar kenaikan harga dalam tempoh 10 tahun.

0 2

100

200

300

400

500

4 6 8 10

H
ar

ga
 (R

M
 ri

bu
)

Tahun

Rumah A

Rumah B

Harga Rumah A dan B

(a) Rumah mana mempunyai kadar kenaikan harganya yang lebih tinggi?
(b) Pada tahun apa harga rumah A dan harga rumah B adalah sama?

12 Text book Mate Tg1.indd   287 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
288

B
A
B

12

2. Carta palang di sebelah menunjukkan empat
jenis rancangan televisyen yang digemari
oleh sekumpulan murid.
(a) Nyatakan jenis rancangan televisyen

yang paling digemari oleh kumpulan
murid itu.

(b) Wakilkan semua maklumat dalam carta
palang itu dengan menggunakan carta
pai.

Bi
la

ng
an

m
ur

id

Jenis rancangan

D
ok

um
en

ta
ri

D
ra

m
a

K
ar

tu
n

Su
ka

n

Rancangan Televisyen Kegemaran Murid

3. Dalam satu eksperimen, Johari mengukur
tinggi anak pokok setiap minggu selama
enam minggu. Dia mempersembah data yang
dikumpulkan dengan menggunakan graf
garis.
(a) Nyatakan minggu-minggu yang mana

anak pokok tumbuh dengan kadar yang
sama.

(b) Antara dua minggu yang manakah
pertambahan tinggi anak pokok paling
besar?

(c) Apakah kelebihan perwakilan data ini? 0

Pe
rt

am
a

Ke
du

a

Ke
tig

a

Ke
em

pa
t

Ke
lim

a

Ke
en

am

2

4

6

8

10
Ti

ng
gi

(c
m

)

Minggu

Tinggi Anak Pokok

4. Satu tinjauan dijalankan untuk menentukan
tempoh menunggu (kepada minit yang
terdekat) bagi sekumpulan penumpang di
sebuah perhentian bas. Data daripada tinjauan
diwakilkan dengan plot titik. Berdasarkan
plot titik itu, tentukan pernyataan yang
berikut BENAR atau PALSU.

0 5 10 15 20

Tempoh (minit)

Tempoh Menunggu di
Sebuah Perhentian Bas

(a) Bilangan penumpang yang terlibat dalam tinjauan ini ialah 20 orang.
(b) Tempoh menunggu yang paling singkat ialah 0 minit.
(c) Tempoh menunggu bagi 40% daripada penumpang adalah sekurang-kurangnya

15 minit.

12 Text book Mate Tg1.indd   288 10/17/16   5:38 PM
289
Pengendalian Data

B
A
B

12

5. Graf garis yang tidak lengkap di sebelah
menunjukkan bilangan komputer riba
yang dijual di sebuah kedai komputer dari
bulan Januari hingga bulan Mei. Bilangan
komputer riba yang dijual pada bulan Jun
tidak ditunjukkan.
(a) Jumlah komputer riba yang dijual dari

bulan Januari hingga Jun ialah 24 unit.
Salin dan lengkapkan graf garis itu untuk
bulan Jun.

(b) Tukarkan perwakilan graf garis kepada
perwakilan lain yang sesuai dan berikan
justifikasi kepada penukaran tersebut.

Bilangan Komputer Riba yang Dijual

Bulan

Bi
la

ng
an

k
om

pu
te

r r
ib

a

Ja
nu

ar
i0

1
2
3
4
5
6

Fe
br

ua
ri

M
ac

Ap
ril

M
ei

Ju
n

6. Carta palang di bawah menunjukkan keuntungan Syarikat Cekap dari tahun 2010
hingga tahun 2014.

–10
–8
–6
–4
–2

0
2
4
6
8

10

20
10

20
11

20
12

Tahun

Ke
un

tu
ng

an
 (R

M
 ju

ta
)

20
13

20
14

12
14

Keuntungan Syarikat Cekap

(a) Pada tahun apakah Syarikat Cekap memperoleh keuntungan maksimum?
Berapakah keuntungan itu?

(b) Pada tahun apakah Syarikat Cekap mula mengalami kerugian?
Berapakah kerugian pada tahun itu?

(c) Berapakah keuntungan atau kerugian bagi tahun 2014?
(d) (i) Diberi bahawa Syarikat Cekap memperoleh pertambahan keuntungan

sebanyak RM11 juta pada tahun 2015 berbanding dengan tahun 2014.
Berdasarkan maklumat ini, lengkapkan palang bagi tahun 2015 pada rajah
yang sama.

(ii) Seterusnya, hitung jumlah keuntungan atau kerugian Syarikat Cekap dalam
tempoh enam tahun itu.

12 Text book Mate Tg1.indd   289 10/17/16   5:38 PM
BAB 12
290

B
A
B

12

7. Masa yang diambil (dalam minit) untuk seorang tukang paip memperbaiki 30 batang
paip bocor adalah ditunjukkan dalam plot batang-dan-daun di bawah.

Masa yang Diambil untuk Memperbaiki Paip Bocor

Batang Daun
1
2
3
4
5

2  5  5  6  7  8
1  4  5  7  8
0  0  1  3  4  5  6  7  7  8  9
1  2  3  5  7  8
2  6

Kekunci: 1 | 2 bermakna 12 minit.

(a) Senaraikan semua data yang dipaparkan dalam plot batang-dan-daun di atas.
(b) Nyatakan masa yang paling singkat untuk memperbaiki paip bocor.
(c) Apakah inferens yang boleh dibuat tentang masa yang diambil untuk memperbaiki

paip bocor?

8.

2011
0

10

20

30

40

50

2012 2013 2014 2015

H
ar

ga
 (R

M
)

Tahun

Harga Tiket Taman Tema Desa Mutiara

2011
0

20

40

60

80

100

2012 2013 2014 2015

H
ar

ga
 (R

M
)

Tahun

Harga Tiket Taman Tema Desa Mutiara

Rajah (a) Rajah (b)

Graf garis dalam Rajah (a) dan Rajah (b) masing-masing memaparkan data yang
sama bagi harga tiket Taman Tema Desa Mutiara dari tahun 2011 hingga 2015.
(a) Graf garis manakah yang menunjukkan kenaikan harga yang lebih tinggi dalam

tempoh lima tahun itu?
(b) Graf garis yang mana akan digunakan oleh pengurus Taman Tema Desa Mutiara

untuk menunjukkan kenaikan harga tiket yang tidak ketara? Adakah perwakilan
data secara ini beretika? Terangkan.

1. xxx

12 Text book Mate Tg1.indd   290 10/17/16   5:38 PM
291
Pengendalian Data

B
A
B

12

Dalam tugasan ini, anda akan mengumpul, memapar, menganalisis dan mentafsir data
tentang saluran media yang digunakan untuk mempromosi suatu produk baharu dalam
kalangan remaja. Saluran media yang ditinjau adalah seperti surat khabar, televisyen,
radio, Internet, media sosial, majalah, katalog, risalah dan lain-lain.

Tulis satu laporan untuk mencadangkan saluran media yang dapat mempromosi
produk itu dengan meluas dalam kalangan remaja dan ramalkan saluran media yang akan
menjadi semakin popular pada masa yang akan datang. Untuk menyokong cadangan
anda, laporan anda seharusnya merangkumi borang soal selidik, jadual kekerapan,
perwakilan data yang sesuai dengan menggunakan perisian komputer, pentafsiran data
dan kesimpulan.

Baca rencana di bawah dan bincangkan soalan-soalan yang dikemukakan.

PUTRAJAYA: Pusat
Khidmat Aduan
Pengguna Nasional
(NCCC) mendedahkan
pada tahun 2012
mereka menerima
aduan tertinggi
dari kategori
telekomunikasi,
iaitu sebanyak 5 985
aduan. Kedua ialah
dari kategori produk
pengguna secara
umum dengan 5 764
aduan dan diikuti oleh
kategori utiliti dengan
5 568 aduan.

No
Kategori Aduan

Bilangan Aduan

1 Telekomunikasi

5 985

2 Produk Pengguna Secara Umum
5 764

3 Utiliti

5 568

4 Perbankan

5 555

5 Automobil

2 986

6 Pelancongan & Percutian
2 034

7 Kesihatan dan Kecergasan
1 839

8 Perumahan dan Hartanah
1 734

9 Pemeriksaan Kenderaan – Bengkel
1 695

10 Perkhidmatan Pengguna – Runcit
1 617

1. Namakan tiga kategori yang menerima aduan yang paling banyak.
2. Seorang ahli statistik mengulas bahawa “ada kemungkinan kategori produk

pengguna secara umum menerima aduan yang lebih tinggi daripada kategori
telekomunikasi”. Bincangkan mengapa ulasan ini mungkin benar.

Nota: Anda boleh berfikir bagaimana data (bilangan aduan) disusun?
3. Apakah yang anda dapati tentang pengorganisasian data yang dibuat?

Sumber:
Generasi Pengguna, Ogos 2013, terbitan usahasama

Kementerian Perdagangan Dalam Negeri, Koperasi dan

Kepenggunaan dan FOMCA

12 Text book Mate Tg1.indd   291 10/17/16   5:38 PM
BAB 13
292

B
A
B

13

Teorem
Pythagoras13

BAB

•	 Teorem	Pythagoras
•	 Akas	Teorem	Pythagoras

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Sudut tegak wujud dalam banyak objek di
sekeliling kita. Dalam pembinaan bangunan,
bagaimanakah seorang jurubina memastikan
penjuru dinding bangunan yang dibina
bersudut tegak?

Sebagai asas
pengetahuan untuk
menyelesaikan masalah yang
melibatkan segi tiga bersudut
tegak. Bincangkan bidang yang
melibatkan penyelesaian masalah
yang berhubung dengan segi tiga
bersudut tegak.

BAB 13
292

13 Text book Mate Tg1.indd   292 10/17/16   5:40 PM
293
Teorem Pythagoras

B
A
B

13

Pythagoras (569 S.M. – 475 S.M.) ialah
ahli matematik dan juga ahli falsafah
yang banyak memberi sumbangan
kepada perkembangan matematik hari
ini. Beliau merupakan orang pertama
yang membuktikan teorem Pythagoras.

Untuk maklumat lanjut:

http://goo.gl/r4JZ

Jaringan Kata

Pythagoras

Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii untuk audio Jaringan Kata.

•	akas	teorem		 •	converse of Pythagoras’
 Pythagoras  theorem
•	hipotenus		 •	hypotenuse
•	teorem	Pythagoras		 •	Pythagoras’ theorem

293
Teorem Pythagoras

13 Text book Mate Tg1.indd   293 10/17/16   5:40 PM
BAB 13
294

B
A
B

13

13.1 Teorem Pythagoras

Apakah hipotenus?

Kita sering kali diberitahu tentang saiz skrin monitor sebuah komputer sebagai 19 inci,
21 inci atau 24 inci dan sebagainya. Saiz ini diukur mengikut panjang pepenjuru monitor
itu. Apakah hubungan saiz ini dengan panjang dan lebar skrin monitor?

Berkumpulan1

Tujuan : Mengenal pasti hipotenus sebuah segi tiga bersudut tegak.
Arahan : • Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan empat orang.
  • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Hipotenus.ggb dengan GeoGebra.
Paparan menunjukkan sebuah segi tiga bersudut
tegak dengan panjang setiap sisi.

2. Kenal pasti dan rekod sisi yang terpanjang.

3. Seret titik A, B atau C untuk mengubah bentuk
segi tiga itu dan ulang penerokaan di Langkah 2.

4. Bincang dengan rakan anda tentang dapatan
anda.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa sisi yang terpanjang dalam sebuah
segi tiga bersudut tegak ialah sisi yang sentiasa bertentangan dengan sudut tegak.

Sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut tegak itu disebut sebagai hipotenus
segi tiga bersudut tegak.

95°
a

a
Bincang	dengan	rakan	anda	dan	terangkan	mengapa	sisi	yang	bertanda	a	bukan	hipotenus.

PEMBELAJARAN

Mengenal	pasti
dan	mendef inisikan
hipotenus	bagi	sebuah
segi	tiga	bersudut	tegak.

13 Text book Mate Tg1.indd   294 10/17/16   5:40 PM
295
Teorem Pythagoras

B
A
B

13

Contoh 1
Bagi setiap yang berikut, kenal pasti hipotenus.
(a) A

CB

(b) S

R

Q

P

(a) AC ialah hipotenus. Sisi	bertentangan	dengan	sudut	tegak.

(b) PR ialah hipotenus dalam segi tiga PSR.
 PQ ialah hipotenus dalam segi tiga PRQ.

13.1a
1. Bagi setiap yang berikut, kenal pasti hipotenus.

(a) B
C

A

(b) b

ca

(c)

Apakah hubungan antara sisi segi tiga bersudut tegak?
Kelas

Berbalik
2

Tujuan : Meneroka dan menerangkan teorem Pythagoras.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran

bermula dan berbincang dalam kumpulan
empat orang murid semasa pembelajaran.

• Buka folder yang dimuat turun pada muka
surat vii.

1. Buka fail Pythagoras.ggb dengan GeoGebra.
Paparan menunjukkan sebuah segi tiga bersudut
tegak ABC dengan segi empat sama pada setiap sisi
segi tiga itu.

2. Seret bentuk-bentuk yang berwarna dalam segi
empat sama pada sisi AB dan BC dan letakkan
bentuk-bentuk itu ke dalam segi empat sama
pada sisi AC. Adakah bentuk-bentuk itu mengisi
sepenuhnya segi empat sama pada sisi AC?

3. Seret penggelongsor ‘Mengalih semua’, atau klik
pada petak ‘Tunjuk garis panduan’ dan ‘Mengalih
satu demi satu’ untuk membantu anda.

R

S
Q

P

T

PEMBELAJARAN

Menentukan	hubungan
antara	sisi	segi	tiga
bersudut	tegak.
Seterusnya	menerangkan
teorem	Pythagoras
merujuk	kepada
hubungan	tersebut.

13 Text book Mate Tg1.indd   295 10/17/16   5:40 PM
BAB 13
296

B
A
B

13

4. Seret titik A, B dan C untuk mengubah bentuk segi tiga bersudut tegak itu dan
ulang penerokaan anda.

5. Bincang dengan rakan anda tentang dapatan anda.
6. Dengan mempertimbangkan luas segi empat sama itu, nyatakan satu hubungan

antara sisi AB, BC dan AC.

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa luas segi empat sama pada
hipotenus adalah sama dengan jumlah luas segi empat sama pada dua sisi yang lain.

P
R

A

B CQ

Luas R = Luas P + Luas Q
 AC 2 = AB2 + BC2

Hubungan ini disebut sebagai
teorem Pythagoras.

Contoh 2
Bagi setiap yang berikut, nyatakan hubungan antara panjang sisi segi tiga bersudut tegak
yang diberi.
(a)

Q

R

P

(b)

b

a
c

(a) PR2 = QR2 + PQ2 (b) c2 = a2 + b2

13.1b

1. Bagi setiap yang berikut, nyatakan hubungan antara panjang sisi segi tiga bersudut
tegak yang diberi.
(a)  (b) L

N

M

(c) r

qp

(d) x

y z

Bagaimanakah anda menentukan panjang
sisi yang tidak diketahui bagi suatu segi tiga
bersudut tegak?

Teorem Pythagoras boleh digunakan untuk menentukan
panjang sisi yang tidak diketahui dalam suatu segi tiga
bersudut tegak jika panjang dua sisi yang lain diberi.

B

A
C

PEMBELAJARAN

Menentukan	panjang	sisi
yang	tidak	diketahui	bagi
(i)	 sebuah	segi	tiga

bersudut	tegak.
(ii)	 gabungan

bentuk	geometri.

13 Text book Mate Tg1.indd   296 10/17/16   5:40 PM
297
Teorem Pythagoras

B
A
B

13

Contoh 3
Bagi setiap yang berikut, hitung nilai x.
(a) x cm

12 cm
16 cm

(b)
24 cm

26 cm

x cm

(a) x2 = 122 + 162  (b) 262 = x2 + 242

= 144 + 256  x2 = 262 – 242

= 400   = 676 – 576
 x = 400    = 100
  = 20  x = 100
     = 10

Contoh 4
Hitung panjang PQ dalam setiap rajah yang berikut.
(a)  (b) S R

Q

P

6 cm

8 cm

15 cm

(a) PR2 = 32 + 42  (b) QS2 = 62 + 82

= 9 + 16   = 36 + 64
  = 25   = 100
 PQ2 = PR2 + RQ2  PS 2 = QS2 + PQ2

= 25 + 122   PQ2 = PS 2 – QS2

= 169   = 152 – 100
 PQ = 169   = 125
  = 13 cm  PQ = 125
     = 11.18 cm (2 tempat perpuluhan)

13.1c

1. Bagi setiap yang berikut, hitung nilai x. Berikan jawapan anda betul kepada dua
tempat perpuluhan jika perlu.
(a)

6 cm

8 cm

x cm
 (b)  (c)

x cm
9 cm

14 cm

(d) 1.0 m

1.2 m
x m

CelikCelik

Panjang hipotenus
boleh dihitung dengan
menggunakan fungsi Pol.
Misalnya, Contoh 3(a),

tekan Pol(  1  2  ,

1  6  )  =

ahukahT A nda
Tiga	nombor	a,	b	dan	c
yang	memuaskan
c2	=	a2	+	b2	disebut
sebagai	trirangkap
Pythagoras.
Misalnya,	(3,	4,	5),
(5,	12,	13),	(7,	24,	25)
dan	sebagainya.

3 cm
12 cm

4 cm

R Q

P

S

25 cm7 cm

x cm

13 Text book Mate Tg1.indd   297 10/17/16   5:40 PM
BAB 13
298

B
A
B

13

2. Hitung panjang QS dalam setiap rajah yang berikut. Berikan jawapan anda betul
kepada dua tempat perpuluhan jika perlu.
(a) P

Q SR

13 cm

12
 cm15 cm

(b)  (c)

R

P 24 cm

30 cm

S

Q

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Adakah	tangga
ini	dapat
mencapai	tingkat
yang	terbakar?

Tolong!
Tolong!

Manakah
Pythagoras?	Kita
perlu	dia	tolong!

Seorang ahli bomba menaiki tangga untuk menyelamatkan
seorang kanak-kanak yang terperangkap di tingkat tiga yang
terbakar seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah.
Kedudukan tingkat itu dari tanah mengufuk ialah 6 m. Kaki
tangga dari dinding bangunan ialah 4.5 m. Berapakah panjang
tangga itu?

Memahami
masalah
•	 Jarak	tingkat

tiga dari tanah
mengufuk

= 6 m
•	 Jarak	kaki

tangga dari
bangunan
= 4.5 m

•	 Cari	panjang
tangga itu.

Melaksanakan
strategi

6 m

R

P Q4.5 m

PR2 = PQ2 + QR2
 = 4.52 + 62
 = 20.25 + 36
 = 56.25
 PR = 7.5 m

Maka, panjang
tangga ialah 7.5 m.

Membuat refleksi
 7.52 = 56.25
4.52 + 62 = 56.25

Merancang strategi
•	 Lukis	sebuah

segi tiga
bersudut tegak
PQR untuk
mewakili
maklumat

yang diberikan.
•	Gunakan
 teorem Pythagoras.

P

S

Q R

26 cm

24 cm

6 cm

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan
teorem	Pythagoras.

13 Text book Mate Tg1.indd   298 10/17/16   5:40 PM
299
Teorem Pythagoras

B
A
B

13

Contoh 5
Dalam rajah di sebelah, PVRQ dan RUTS ialah segi empat
sama. Hitung perimeter seluruh rajah itu.

VU 2 = VR2 + RU 2

= 122 + 162

= 400
 VU = 400
  = 20 cm

P V

U

16 cm

12 cm
Q

TS

R

13.1d

1. Dalam rajah di sebelah, PQSU ialah sebuah segi empat
tepat. Hitung perimeter rantau berlorek.

2. Sebuah kapal A berada 34 km ke utara sebuah kapal B. Sebuah kapal C berada 10 km
ke barat kapal A. Hitung jarak di antara kapal B dengan kapal C, betul kepada dua
tempat perpuluhan.

13.1
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 13.1.

1. Dalam rajah di sebelah, PQR ialah garis lurus. Hitung
panjang QR.

2. Dalam rajah di sebelah, PQR dan RST ialah garis lurus.
Hitung perimeter rantau berlorek.

3. Seutas tali dengan panjang 7.2 m telah diikat pada
puncak sebatang tiang bendera. Hujung tali itu diikat
pada tanah mengufuk 4.5 m dari kaki tiang bendera itu.
Hitung tinggi tiang bendera itu dan berikan jawapan
anda betul kepada dua tempat perpuluhan.

4. Sebuah kapal bermula dari titik O dan belayar ke arah barat daya sejauh 300 km
kemudian ke arah barat laut sejauh 450 km. Hitung jarak akhir kapal itu dari titik O
dan berikan jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan.

Perimeter seluruh rajah
= 20 + 16 + 16 + 16 + 12 + 12 + 12
= 104 cm

11 cm

17 cm
4 cm

12 cm

U S

R

QP

T

S

QP R

34 cm 20 cm

30 cm

R S

Q 13 cm

12 cm

3 cm 5 cm

P

T

7.2 m

4.5 m

13 Text book Mate Tg1.indd   299 10/17/16   5:40 PM
BAB 13
300

B
A
B

13

13.2 Akas Teorem Pythagoras

Bagaimanakah anda menentukan suatu segi
tiga adalah segi tiga bersudut tegak?

Kelas

Berbalik
3

Tujuan : Meneroka akas teorem Pythagoras.
Arahan : • Menerokai sendiri sebelum pembelajaran bermula dan berbincang

dalam kumpulan empat orang murid semasa pembelajaran.
  • Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii.

1. Buka fail Akas Pythagoras.ggb dengan GeoGebra. Paparan menunjukkan
sebuah segi tiga ABC dengan sudut pada bucu B dan bucu C.

2. Seret titik A ke kiri atau ke kanan dan perhatikan perubahan maklumat yang
berwarna merah. Salin dan catatkan pemerhatian dalam jadual yang berikut
untuk beberapa set nilai. Seret titik B atau C untuk mengubah segi tiga jika perlu.

Bandingan nilai
(merah)

Saiz sudut
(merah)

AB2  AC2 + BC2

AB2  AC2 + BC2

AB2 = AC2 + BC2

3. Ulang Langkah 2 untuk maklumat yang berwarna biru.
4. Bincang dengan rakan anda tentang dapatan anda.
5. Apakah kesimpulan yang boleh dibuat?

Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa

A

b

a

c

C B

A

BC a

c
b

A

C Ba

cb

Jika	 c2  a2 + b2, maka
sudut bertentangan dengan
sisi c ialah sudut tirus.

Jika	 c2  a2 + b2, maka
sudut bertentangan dengan
sisi c ialah sudut cakah.

Jika	 c2 = a2 + b2, maka
sudut bertentangan dengan
sisi c ialah sudut tegak.

Akas teorem Pythagoras menyatakan bahawa:
Jika	c2 = a2 + b2, maka sudut bertentangan dengan sisi c ialah sudut tegak.

PEMBELAJARAN

Menentukan	sama	ada
suatu	segi	tiga	adalah
segi	tiga	bersudut	tegak
dan	memberi	justifikasi
berdasarkan	akas
teorem	Pythagoras.

•	 Sudut	tirus	ialah
sudut	yang	kurang
daripada	90°.

•	 Sudut	cakah	ialah
sudut	yang	lebih
daripada	90°	tetapi
kurang	daripada	180°.

13 Text book Mate Tg1.indd   300 10/17/16   5:40 PM
301
Teorem Pythagoras

B
A
B

13

Contoh 6
Tentukan sama ada setiap segi tiga yang berikut ialah segi tiga bersudut tegak atau bukan.
(a) 24 cm

7 cm25 cm

D

F

E
 (b) 20 cm

S

U

T 18 cm

12 cm

(a) Sisi terpanjang = 25 cm
	 Jadi,	252 = 625
 242 + 72 = 576 + 49
  = 625
 Maka, DEF ialah segi tiga

bersudut tegak.

(b) Sisi terpanjang = 20 cm
	 Jadi,	202 = 400
 182 + 122 = 324 + 144
  = 468
 Maka, STU bukan segi tiga

bersudut tegak.

13.2a

1. Tentukan sama ada setiap segi tiga berikut ialah segi tiga bersudut tegak atau bukan.
(a) 15 cm

8 cm17 cm

(b)
34 cm18 cm

30 cm

(c) 32 cm

40 cm 24 cm

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah?

Contoh 7
Dalam rajah di sebelah,
hitung nilai x.

20 cm, 21 cm dan 29 cm memuaskan c2 = a2 + b2.
Maka, ∠PQS = 90°

∠SQR = 360° – 90° – 155°
  = 115°

x = 180° – 115° – 28°
   = 37°

PEMBELAJARAN

Menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan	akas
teorem	Pythagoras.

155°

28°
29 cm 20 cm

21 cm

x

S

Q

P
R

Kontraktor	perumahan	dan
jurubina	menggunakan
pengetahuan	teorem
Pythagoras	untuk
menyelesaikan	masalah
yang	melibatkan
sudut	tegak	dalam
pembinaan	bangunan.

13 Text book Mate Tg1.indd   301 10/17/16   5:40 PM
BAB 13
302

B
A
B

13

Contoh 8

Sheila diberi tiga batang straw untuk membentuk sebuah rangka yang berbentuk segi tiga
bersudut tegak. Panjang straw itu masing-masing ialah 15 cm, 20 cm dan 25 cm. Adakah
dia dapat membentuk rangka yang berbentuk segi tiga bersudut tegak?

152 + 202 = 225 + 400
  = 625
 252 = 625
 152 + 202 = 252
Maka, Sheila dapat membentuk rangka yang berbentuk segi tiga bersudut tegak.

13.2b

1. Sebuah tangga dengan panjang 2.5 m bersandar
pada	 dinding	 sebuah	 bangunan.	 Jarak	 di	 antara
kaki tangga dengan dinding itu ialah 1.5 m.
Terangkan bagaimana anda menentukan sama
ada dinding itu tegak atau tidak.

2 m

1.5 m

2.5 m

2. Dalam rajah di sebelah, cari ∠PQR.

65°
8 m10 m

6 m

45°

RP

S

Q

13.2
Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk
soalan tambahan bagi Mahir Diri 13.2.

1.	 Jelaskan	sama	ada	setiap	senarai	panjang	sisi	yang	berikut	membentuk	sebuah	segi
tiga bersudut tegak atau tidak.
(a) 9 cm, 40 cm, 41 cm (b) 27 m, 45 m, 35 m
(c) 2.5 cm, 6 cm, 6.5 cm (d) 13 m, 84 m, 85 m

2. Seorang tukang kayu ingin memasang sekeping kayu
berbentuk segi tiga berukuran 12 cm, 16 cm dan 20 cm
pada sesiku seperti yang ditunjukkan dalam rajah di
sebelah. Terangkan sama ada kepingan kayu itu boleh
dipasang dengan sempurna atau tidak pada sesiku itu.

3. Kanang melukis sebuah sisi empat dengan ukuran seperti
yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Apakah nama
sisi empat yang dilukisnya? Terangkan.

20 cm

15 cm

20 cm

15 cm 25
 cm

13 Text book Mate Tg1.indd   302 10/17/16   5:40 PM
303
Teorem Pythagoras

B
A
B

13

•	 c ialah hipotenus.
•	 c ialah sisi terpanjang

yang bertentangan
dengan sudut tegak.

•	 c2 = a2 + b2

a c

b

Jika	c2 = a2 + b2,
maka, ∠ACB = 90°

B

C Ab

ca

Teorem
Pythagoras

Sangat
baik

Berusaha
lagi

mengenal pasti dan mendefinisikan hipotenus bagi sebuah segi tiga bersudut tegak.

menentukan hubungan antara sisi segi tiga bersudut tegak. Seterusnya menerangkan
teorem Pythagoras merujuk kepada hubungan tersebut.

menentukan panjang sisi yang tidak diketahui bagi
(i) sebuah segi tiga bersudut tegak.
(ii) gabungan bentuk geometri.

menyelesaikan masalah yang melibatkan teorem Pythagoras.

menentukan sama ada suatu segi tiga adalah segi tiga bersudut tegak dan memberi
justifikasi berdasarkan akas teorem Pythagoras.

menyelesaikan masalah yang melibatkan akas teorem Pythagoras.

Buku Laman sesawang

GuruPerbincangan

13 Text book Mate Tg1.indd   303 10/17/16   5:40 PM
BAB 13
304

B
A
B

13

1. Dalam rajah di sebelah, hitung panjang
(a) PR (b) SR

2. Sebuah kereta menaiki cerun jalan dari P ke Q.
Apabila kereta itu sampai di Q, jarak mengufuk
dan jarak menegak yang dilalui masing-masing
ialah 150 m dan 2  m. Terangkan bagaimana anda
menghitung jarak sebenar yang dilalui oleh kereta
itu, betul kepada dua tempat perpuluhan.

3. Berdasarkan rajah di sebelah,
(a) hitung panjang QS.
(b) terangkan sama ada PQS ialah sebuah segi

tiga bersudut tegak atau bukan.

4. Dalam rajah di sebelah, PQST ialah sebuah
rombus dan TSR ialah garis lurus. Hitung luas
seluruh rajah.

5. Lebar sebatang sungai ialah 18 m. Imran menyeberangi
sungai itu dari titik P ke titik Q seperti yang ditunjukkan
dalam rajah di sebelah. Disebabkan arus sungai, Imran
akhirnya mendarat di titik R yang berjarak 6 m dari Q.
Terangkan bagaimana anda menghitung jarak sebenar yang
dilalui oleh Imran, betul kepada dua tempat perpuluhan.

6. Dalam rajah di sebelah, PQRS ialah sebuah
rombus. Panjang PR dan SQ masing-masing ialah
16 cm dan 30 cm. Terangkan bagaimana anda
menghitung panjang sisi SR.

7. Dalam rajah di sebelah, PQRS dan UVST ialah
segi empat sama. Diberi TQ = 30 cm, cari luas
UVST .

RS

P

Q
8 cm

26 cm
6 cm

150 m
2 mP

Q

8 cm
9 cm

17 cm
12 cm

P Q

R

S

P Q

T RS10 cm

8 cm

Q

P

R

P

S R

Q

P

VU

T S R

W

Q

18 cm

1. xxx

13 Text book Mate Tg1.indd   304 10/17/16   5:40 PM
305
Teorem Pythagoras

B
A
B

13

8. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah tangga PQ
disandarkan pada dinding. Panjang tangga ialah 2.5 m
dan jarak kaki tangga dari dinding ialah 0.7 m. Apabila
bahagian atas tangga itu tergelincir ke bawah sebanyak
h	 m,	 jarak	 kaki	 tangga	 dari	 dinding	 ialah	 1.5	 m.	 Cari
nilai h.

9.	 Jarak	di	antara	dua	batang	tiang	tegak,	PQ dan RS, yang
berada pada tanah mengufuk ialah 12 m. Seutas tali yang
panjangnya 15 m diikat pada puncak kedua-dua tiang itu.
Jika	 tinggi	 tiang	 RS ialah 20 m, terangkan bagaimana
anda mencari tinggi tiang PQ.

10. Ali ingin memotong sekeping papan berbentuk segi tiga
bersudut tegak. Sisi hipotenus papan itu dikehendaki
35 cm dan dua sisi yang lain dikehendaki dalam nisbah
3 : 4. Terangkan bagaimana anda mencari panjang dua
sisi yang lain dan seterusnya membantu Ali memotong
papan itu.

11. Satu gelung benang telah ditanda dengan 12 titik supaya
titik-titik bersebelahan adalah sama jarak antara satu sama
lain. Terangkan bagaimana anda membentuk sebuah segi
tiga bersudut tegak dengan gelung benang itu.

Pembinaan bangku
Seorang tukang kayu hendak membina sebuah
bangku berpandukan reka bentuk seperti yang
ditunjukkan dalam rajah di sebelah.
 Bangku yang hendak dibina itu terdiri
daripada tiga bahagian. Bahagian 1 ialah
rangka, bahagian 2 ialah papan untuk tempat
duduk manakala bahagian 3 ialah penyokong
bagi penjuru rangka. Satu hujung penyokong
itu dipasang pada 15 cm dari penjuru rangka dan satu hujung lain dipasang pada 10 cm
dari kaki bangku. Panjang papan untuk tempat duduk ialah 51 cm. Terangkan bagaimana
anda menggunakan teorem Pythagoras untuk membantu tukang kayu itu membina
bangku itu.

h m
P

Q

1.5 m
0.7 m

12 m

15 m

20 m
Q

P R

S

35 cm

15 cm

51 cm

45 cm

30 cm

10 cm
Penyokong

kayu

15 cm

Papan

Rangka

13 Text book Mate Tg1.indd   305 10/17/16   5:40 PM
BAB 13
306

B
A
B

13

A  Panjang tiga sisi segi tiga bersudut tegak (3, 4, 5) dan (8, 15, 17) disebut sebagai
trirangkap Pythagoras.

Anda boleh meneroka trirangkap Pythagoras melalui aktiviti yang berikut.

Buka folder yang dimuat turun pada muka surat vii untuk aktiviti ini.

1. Buka fail Trirangkap.ggb dengan GeoGebra.
2. Adakah segi tiga yang ditunjukkan

merupakan sebuah segi tiga bersudut
tegak?

3. Seret penggelongsor m dan penggelongsor
n dan perhatikan perubahan pada paparan.

4. Adakah panjang sisi yang ditunjukkan
merupakan satu set trirangkap?

5. Seret penggelongsor m dan n untuk
kombinasi yang lain.

6. Terangkan apa yang diperhatikan.
7. Bentangkan dapatan anda di dalam kelas.

B  Membina Pokok Pythagoras
Pokok Pythagoras ialah satu corak dibina berasaskan segi tiga bersudut tegak dan segi
empat sama yang berhubung dengan teorem Pythagoras. Pokok Pythagoras ini direka
cipta oleh seorang guru matematik dari Belanda pada tahun 1942.

Bina pokok Pythagoras anda bermula dengan sebuah segi tiga bersudut tegak
dengan segi empat sama dibina pada setiap sisi segi tiga. Kemudian segi tiga serupa
dibina pada sisi segi empat sama itu. Kemudian segi empat sama dibina pada sisi segi
tiga yang baharu dan seterusnya.

13 Text book Mate Tg1.indd   306 10/17/16   5:40 PM
307
Jawapan

Bab 1 Nombor Nisbah

1.1aLatih Diri

1. (a) +1 000 m, –250 m
 (b) +RM2 000, –RM500

1.1bLatih Diri

1. 7 3 3 7 3 3 7 3 7 3

2.

48
–12 – 6

0 458
59

Integer

1.1cLatih Diri

1. (a)

–5 –3 51
 (b)

–10 –8 20

2. (a)

–12 –8 –4 0 84

(b)

–56 –48 –40 –32 –16–24

1.1dLatih Diri

1. –6, –4, –2, 0, 1, 3, 5
2. 4, 3, 2, –1, –3, –4, –5

Mahir Diri  1.1

1. (a) 20 m di bawah aras laut
 (b) pergerakan 90 m ke

arah selatan
 (c) – 800
 (d) –1 000
2. (a) – 80 (b) +76
3. (a) –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2,

–1, 0, 1, 2, 3, 4
 (b) –12, –11, –10, –9, –8, –7,

–6, –5, –4, –3, –2
4. Integer: –14, 12, –26, 85, 0, –2
 Bukan integer: 3.9
5. –4 °C, –3 °C, 1 °C, 2 °C, 4 °C

1.2aLatih Diri

1. (a) 8 (b) –7
 (c) 1 (d) 2
 (e) –10 (f) 3
 (g) 13 (h) –2

1.2bLatih Diri

1. (a) 18 (b) –14
 (c) –32 (d) –48
 (e) –4 (f) 3
 (g) –3 (h) –5

1.2cLatih Diri

1. (a) –18 (b) –24
 (c) 1 (d) –3
 (e) 39 (f) 3 1

11
1.2dLatih Diri

1. (a) 426 (b) 56 700
 (c) 452 120 (d) 1 380
 (e) 6 (f) 4 495

1.2eLatih Diri

1. Kerugian RM9 200
2. (a) 26°C (b) 32°C

Mahir Diri  1.2

1. –12 + (–2);
 6 × (–2) – 2;

5 – 11 – 8;
 –2 × (–3) – 15 – 5;

8 × (–2) + 2;
 atau jawapan lain-lain

2. (a) ×  , –  (b) ÷  , –

3. (a) –5, –1, 3
 (b) –8, 64, –128
4. (a) –23°C
 (b) –11°C
5. Bawah aras laut = –50 m
 Kedudukan penyelam selepas

2 minit
 = –50 + 120

5  × 2
 = –2 m
 Penyelam belum mencapai aras

laut selepas 2 minit.
6. (a) Cek bernilai RM1 730
 (b) RM1 382

1.3aLatih Diri

1. (a)

0–1 13
5– 1

5– 1
10

1
2

(b)

0–1–2 1–12
3

1
3– 1

6
1
2

1.3bLatih Diri

1. (a) –  56  , –  5
12  , –  14  , 7

24  , 3
8

(b) –  56 , –  13
18 , –  23 , –  15

24 , 1
3 , 5

8

2. (a) 5
6 , 3

5 , –  18 , –  7
20 , –  5

12

(b) 11
18 , 2

9 , –  7
18 , –  12 , –  59 ,

–  7
12

1.3cLatih Diri

1. (a) 1 13
120  (b) – 413

18
 (c) 7

12  (d) 7 2
7

(e) 1 7
8  (f) –2 71

240

1.3dLatih Diri

1. 22 1
2  cawan

2. RM1 080

Mahir Diri  1.3

1. 1
5  – 4

5  + 1
10;

3
10  ÷ 2

5  × 1– 2
3 2;

3
2  ÷ 6

5  – 1 3
4 ;

atau jawapan lain-lain

2. (a) 2
3  (b) 5

216
3. (a) –2 1

3  (b) –8

4. 3 7
30 m

5. 128 ml

14a Jaw Mate Tg1.indd   307 10/18/16   3:23 PM
Jawapan
308

1.4aLatih Diri

1. (a)

–1 –0.7 –0.3 0.2 0.6 10

(b)

1–2 –1.3 –0.4 0 0.3 0.7

2. (a)

–2 –1.84 –1.62 –1.46 –1.20 –1

(b)

–0.5 –0.39 –0.25 –0.17 –0.08 0

1.4bLatih Diri

1. (a) –1.48, –1.23, –0.034, 0.34,
1.034

(b) –1.654, –1.546, –1.456,
1.456, 1.564

2. (a) 2.522, 2.452, –2.005,
–2.052, –2.505

(b) 0.621, 0.065, –0.068,
–0.639, –0.647

1.4cLatih Diri

1. (a) 2.36 (b) – 43.75
 (c) 1.68 (d) –27.72
 (e) 1.77 (f) 2.23

1.4dLatih Diri

1. RM19.85
2. 30.2°C

Mahir Diri  1.4

1. 1.2 + 1.5 – 5.2;
 0.4 – 2.1 + (–0.8);
 –0.2 × 4.5 ÷ 0.36;
 atau jawapan lain-lain
2. (a) –0.6, 0 (b) 4.2, –33.6
3. (a) –1.84 (b) – 6.2
4. (a) RM0.70 (b) RM4.10
5. 15.64 m

1.5aLatih Diri

1. –2
4 , 8

7 , –12
15 ,  153

20 , 12
5 , –21

5

Maka, –2
4 , 8

7 , –1.2
1.5 , 7.65, 2 2

5 ,

– 4.2 ialah nombor nisbah.

1.5bLatih Diri

1. (a) –1 4
5  (b) 1

16

(c) 3 409
648  (d) –3 5

24

1.5cLatih Diri

1. RM10.05 juta
2. 0.925 m

Mahir Diri  1.5

1. (a) –20 5
6

(b) 17 11
12

2. (a) –5.7, –6.8

(b) – 1
8

3. (a) 1 238

(b) 77
100

4. Jia Kang berada pada aras 2.2 m
lebih rendah daripada Ishak.

Suresh berada pada aras 117
60 m

lebih rendah daripada Ishak.

Marilah Praktis

1. B
2. (a) 1

100

(b) – 4.3
 (c) 2.5

3. –2

4. 348 tahun

5. Jisim barangan bantuan seorang
 = 2 + 1

2  + 0.4

= 29
10  kg

Jisim barangan dalam tiga van
 = 80 × 29

10
 = 232 kg

Jisim barangan dalam sebuah van
 = 232 ÷ 3
 = 77.33 kg
6. (a) –, +
 (b) +, –
7. –7°C
8. 0.75 m sebelah kanan O
9. Bergerak 5.6 m ke barat
10. 14.7 m di bawah aras H

11.

–30

24

4

–60

–10

3 6

3

8 1
2

atau jawapan lain-lain

Bab 2 Faktor dan Gandaan

2.1aLatih Diri

1. (a) Bukan (b) Ya
 (c) Ya (d) Ya
 (e) Ya (f) Ya
 (g) Ya (h) Bukan
2. (a) 1, 3, 5, 15
 (b) 1, 2, 4, 8, 16, 32
 (c) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
 (d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
 (e) 1, 3, 17, 51
 (f) 1, 3, 29, 87
 (g) 1, 2, 7, 14, 49, 98
 (h) 1, 2, 4, 31, 62, 124

2.1bLatih Diri
1. (a) 3 dan 5 ialah faktor perdana

bagi 30.
  7 bukan faktor perdana

bagi 30.
 (b) 3 ialah faktor perdana bagi 54.
  5 dan 9 bukan faktor perdana

bagi 54.
2. (a) 2, 3 (b) 2, 3
 (c) 2, 29 (d) 3, 11
3. (a) 42 = 2 × 3 × 7
 (b) 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
 (c) 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
 (d) 135 = 3 × 3 × 3 × 5

2.1cLatih Diri
1. (a) Ya (b) Ya
 (c) Bukan (d) Ya
 (e) Ya (f) Bukan
2. (a) 1, 2, 3, 6
 (b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
 (c) 1, 5, 7, 35
 (d) 1, 2
 (e) 1, 5
 (f) 1, 2, 3, 4, 6, 12
 (g) 1, 2
 (h) 1, 2, 3, 4, 6, 12
 (i) 1, 2, 5, 10

14a Jaw Mate Tg1.indd   308 10/18/16   3:23 PM
309
Jawapan

2.1dLatih Diri
1. (a) 24 (b) 18
 (c) 12 (d) 6
 (e) 18 (f) 6
 (g) 4 (h) 3

2.1eLatih Diri

1. 6 kotak
2. 15 pinggan

Mahir Diri  2.1

1. 15
2. 1 968 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 41
 4 968 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 23
 FSTB = 24
3. 4, 8, 16, 20, 28, 32
4. 2 bahagian
5. 20 cm

2.2aLatih Diri
1. (a) Ya (b) Bukan
 (c) Ya (d) Ya
 (e) Ya (f) Ya
2. (a) 10, 20, 30, 40, 50
 (b) 15, 30, 45, 60, 75
 (c) 198, 396, 594, 792, 990
 (d) 120, 240, 360, 480, 600
 (e) 24, 48, 72, 96, 120
 (f) 120, 240, 360, 480, 600
 (g) 120, 240, 360, 480, 600
 (h) 180, 360, 540, 720, 900

2.2bLatih Diri

1. (a) 144 (b) 30
 (c) 24 (d) 180
 (e) 90 (f) 224
 (g) 252 (h) 60

2.2cLatih Diri
1. 36 saat
2. 30 utas

Mahir Diri  2.2

1. 40
2. 72
3. 24 hari
4. 150 cm

Marilah Praktis
1. 60
2. 2
3. 60

4. 48
5. 27
6. Dua nombor itu tidak

mempunyai faktor sepunya
kecuali 1. Misalnya, 2 dan 3.

7. 6 dan 60
8. 5:15 p.m.
9. 30 cm × 30 cm
10. Hari Sabtu kedua
11. (a) 6 muka surat
 (b) 4 keping gambar foto dan
  7 keping keratan akhbar.

Bab 3 Kuasa Dua, Punca
Kuasa Dua, Kuasa
Tiga dan Punca
Kuasa Tiga

3.1aLatih Diri
1. (a) Bukan (b) Ya
 (c) Bukan (d) Ya

3.1bLatih Diri
1. (a) 5  × 5  = 5

(b) 8  × 8  = 8

(c) 24  2  = 24

3.1cLatih Diri
1. (a) 64 (b) 25

36 (c) 1.96
2. (a) 841 (b) 81

121
 (c) 234.09

3.1dLatih Diri
1. (a) 9 (b) 7
 (c) 11 (d) 30

(e) 7
9  (f) 2 2

3
 (g) 5

8  (h) 1.5

3.1eLatih Diri
1. (a) 6.56 (b) 6.15
 (c) 0.68 (d) 3.58

3.1fLatih Diri
1. (a) 3 600 (b) 400
 (c) 81 (d) 0.04
 (e) 6 (f) 4
 (g) 11 (h) 0.9

3.1gLatih Diri
1. (a) 92 cm hingga 110 cm
 (b) Mencukupi. Kerana panjang

maksimum renda putih yang
diperlukan ialah 4.4 m

Mahir Diri  3.1
1. (a) Bukan
 (b) Bukan
 (c) Ya
 1024: 2 × 2 × 2 × 2 × 2
   × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

2. 100 = 2 × 5  × 2 × 5
 100 = 10

3. 6  10  14  19  22

4. (a) 36 (b) 4
49

(c) 169
9  (d) 65.61

(e) 19 (f) 3
7

(g) 8
5  (h) 1.1

5. (a) 16 129 (b) 1 197.16
 (c) 0.009409 (d) 441

64
 (e) 8.72 (f) 10.41
 (g) 0.63 (h) 1.61
6. Panjang sisi tapak piramid
 = 52 900
 = 230 m
7. (a) 90 000 (b) 2 500
 (c) 0.0016 (d) 64
 (e) 4 (f ) 15
 (g) 3 (h) 0.7
8. (a) 10 (b) 6, 8

3.2aLatih Diri
1. (a) 27 = 3 × 3 × 3
  27 ialah kuasa tiga sempurna.
 (b) 45 = 3 × 3 × 5
  45 bukan kuasa

tiga sempurna.
 (c) 215 = 5 × 43
  215 bukan kuasa

tiga sempurna.
 (d) 343 = 7 × 7 × 7
  343 ialah kuasa

tiga sempurna.

14a Jaw Mate Tg1.indd   309 10/18/16   3:23 PM
Jawapan
310

3.2bLatih Diri
1. (a) 38  × 8  × 8
  = 8

(b) 30.3  × 0.3  × 0.3
  = 0.3

(c) 3 1– 1
2 2

3

= – 1
2

3.2cLatih Diri
1. (a) 216 (b) –343
 (c) – 8

729 (d) –0.027

(e) 2 197
125

2. (a) 17 576 (b) –132.651
 (c) 0.027 (d) – 5 832

1 331
 (e) 13 824

125

3.2dLatih Diri
1. 21
2. 14
3. (a) 3 (b) –5
 (c) 7 (d) –10

4. (a) 2
5  (b) – 1

3
 (c) 2

3  (d) 5
4

(e) 0.1 (f) – 0.4
 (g) – 0.6 (h) 0.07

3.2eLatih Diri
1. (a) 2.47 (b) – 4.20
 (c) 5.48 (d) 0.92
 (e) –1.12

3.2fLatih Diri
1. (a) 8
 (b) –1 000
 (c) 8 000
 (d) –64 000
2. (a) 2 (b) 4
 (c) –5 (d) –3

3.2gLatih Diri
1. Tidak mencukupi.
 Panjang dawai yang diperlukan

ialah 156 cm.

3.2hLatih Diri
1. (a) 16 (b) 0.75
 (c) –0.032 (d) 0.4
 (e) –1 (f) 0.018
 (g) – 9

4  (h) 18 2
3

(i) –3

Mahir Diri  3.2
1. (a) Bukan
 (b) Ya
  343 = 7 × 7 × 7
 (c) Ya
  1 000 = 2 × 5  × 2 × 5  × 2 × 5

2. 3 375 = 3 × 5  × 3 × 5  × 3 × 5
 33 375 = 15

3. (a) –125 (b) 64
125

(c) – 343
216  (d) –32.768

(e) 5 (f) – 8
 (g) 9 (h) –30
 (i) 2

5  (j) – 4
7

(k) – 0.8 (l) 1.1
4. (a) 8 242 408
 (b) –5 451.776
 (c) 0.000068921
 (d) – 4 913

343
 (e) 3.26 (f) 6.00
 (g) – 0.98 (h) – 0.86
5. (a) 27 (b) –1 000
 (c) 3 375 (d) –1
 (e) 4 (f) 7
 (g) –9 (h) 2
6. (a) 50 mm (b) 50 3
7. (a) 2.09 (b) – 80
 (c) 24

25 (d) 12

(e) –225 (f) – 19
21

Marilah Praktis
1. 4, 81, 49

2. 36
25  – (– 0.1)3

= 6
5

– ( – 0.001  )

= 1 201
1 000

3.
2

4

Luas segi empat sama
 = 2 × 1

2  × 4 × 2

= 8 unit2

Sisi segi empat sama = 8 unit

4. 400 = 2 × 2 × 5 × 2 × 2 × 5
 Panjang sisi = 2 × 2 × 5
  = 20 m

5. (a) 512 = 2 × 2 × 2  × 2 × 2 × 2

× 2 × 2 × 2
  Faktor perdana boleh

dikumpulkan dalam tiga
kumpulan sama.

(b) 512
  = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
  Faktor perdana tidak boleh

dikumpulkan dalam dua
kumpulan sama.

6. 6 m
7. (a) 10 cm
 (b) 100 cm2
8. (a) (i) RM3.20
  (ii) RM20.00
 (b) Bilangan duit syiling 20 sen

bernilai RM60
  = 60

0.2
  = 300
  300 adalah antara 289 dan

324,
  iaitu 300 adalah antara

289 dan 324 .
  300 adalah antara 17 dan 18.
  Jadi, ukuran bagi segi empat

terbesar yang dapat disusun
ialah 17 × 17.

9. (a) 112
 (b) Tidak boleh.
  112 bukan kuasa

dua sempurna.
10. 10, 13, 17

14a Jaw Mate Tg1.indd   310 10/18/16   3:23 PM
311
Jawapan

Bab 4 Nisbah, Kadar dan
Kadaran

4.1aLatih Diri
1. (a) 14 : 16 : 7
 (b) 2 : 1 : 5
 (c) 2 : 1 : 48
 (d) 2 : 3 : 4
2. 56 : 12 : 3

4.1bLatih Diri
1. 36 : 48 : 90,
 0.6 : 0.8 : 1.5,
 2

5  : 8
15 : 1

2. (a) 1 : 3 dan 2 : 6
 (b) 3 : 8, 6 : 16 dan 9 : 24
3. 2 : 4 : 6, 1 : 2 : 3
 atau jawapan lain-lain.

4.1cLatih Diri
1. (a) 3 : 20 (b) 5 : 7 : 8
 (c) 9 : 20 (d) 3 : 4 : 8

Mahir Diri  4.1
1. (a) (i) 2 : 3 : 4
  (ii) 8 : 12 : 16
  (iii) 4 : 9 : 16
 (b) 2 : 3 : 4 setara dengan

8 : 12 : 16.
 (c) Nombor dalam nisbah luas

ialah kuasa dua nombor
dalam nisbah panjang sisi.

2. 25 : 1
3. (a) 1 Amanah dan 1 Cekap
 (b) 16 : 20 : 12
 (c) 12 : 7
4.

2:10 12:27:6 1:2 12:2 3:12:5
as as as as

atau jawapan lain-lain.
5. (a) 5 : 9 setara dengan 15 : 27
 (b) 5 : 12 setara dengan 10 : 24

dan 15 : 36
6. 6 : 4 : 2, 18 : 12 : 6
 atau jawapan lain-lain.

4.2aLatih Diri

1. (a) Kadar = RM154
2 orang penumpang;

jumlah wang (RM) dan
  bilangan penumpang (orang).

(b) Kadar = 20 liter
1 kali  ;

isi padu (liter) dan
bilangan kali pam.

(c) Kadar = RM240
4 mata pelajaran  ;

jumlah wang (RM) dan
bilangan mata pelajaran.

(d) Kadar = RM500
10 hektar  ;

jumlah wang (RM) dan
luas (hektar).

(e) Kadar = 600 putaran
3 saat  ;

bilangan putaran dan
masa (saat).

2. Objek A
3. 30 g per 100 cm2
4. 35 g per m2

Mahir Diri  4.2
1. 2.7 g per cm3

2. (a) (i) 1 : 21; 1 : 11

(ii) 6 kg
60 hari  ; 7 kg

60 hari
 (b) Jisim dan masa

3. (a) RM2.25
250 ml

, RM4.00
500 ml

,

RM7.50
1000 ml

(b) RM8.00
 (c) Susu kotak 1 l. Harganya

paling rendah berbanding
dengan harga bagi susu
kotak 250 ml dan 500 ml
yang masing-masing
berharga RM9 per liter dan
RM8 per liter.

4.3aLatih Diri

1. (a) RM5
3 biji  = RM20

12 biji

(b) 24 cm
4  = 78 cm

13

(c) 13 orang murid lelaki
15 orang murid perempuan

= 65 orang murid lelaki
75 orang murid perempuan

4.3bLatih Diri
1. 50 pemain
2. 100 kali
3. 510 pokok cili

Mahir Diri  4.3

1. (a) 175 ml minyak zaitun
50 ml cuka

= 300 ml minyak zaitun
x ml cuka

(b) 7.8 mm
3 jam  = 11.7 mm

t jam

2. 12 kali
3. RM60

4.4aLatih Diri

1. 2 : 9 : 7
2. 8 : 12 : 3

4.4bLatih Diri

1. RM48
2. 63 kg
3. RM200
4. 35 soalan
5. 3 : 1 : 2

4.4cLatih Diri

1. 58 kalori
2. RM49.00
3. 2 cawan
4. USD50

4.4dLatih Diri

1. 300 ekor
2. (a) 12 kali (b) 4 : 3
 (c) 15 kali

Mahir Diri  4.4
1. 8 orang
2. 3 : 4 : 7
3. Ikan cencaru dan ikan selar; atau

ikan cencaru dan ikan kembung
 Ikan bawal: RM15/kg
 Ikan cencaru: RM6.40/kg
 Ikan selar: RM9.00/kg
 Ikan kembung: RM13.50/kg
4. (a) Bakteria A, 40 juta per minit
 (b) 20 juta
 (c) 3.3 minit
5. (a) 3 : 4 : 2
 (b) Nitrogen = 4.5 kg
  Fosforus = 6 kg
  Kalium = 3 kg

14a Jaw Mate Tg1.indd   311 10/18/16   3:23 PM
Jawapan
312

4.5aLatih Diri

1. 75%
2. 7 : 13

4.5bLatih Diri

1. (a) 25%
 (b) 40%
 (c) 7 500 000%
2. RM11.25

4.5cLatih Diri

1. (a) 20%
 (b) 18 : 50 atau 9 : 25

Mahir Diri  4.5

1. (a) 3
8  ; 0.375

(b) 37.5%
2. (a) 3 : 2
 (b) Sama
 (c) Panjang setiap sisi bagi

rajah P9Q9R9 ialah 1.5 kali
panjang sepadan bagi
rajah PQR.

3. Pemilihan yang lebih baik ialah
pembelian dalam talian.

Harga dalam talian lebih murah
 50 sen berbanding di kedai buku.

Marilah Praktis

1.

6 : 9

6 : 90

9 : 60

1 : 15

2 : 3

3 : 20

2. (a) 4 : 5
 (b) Bagi akuarium A, tambah 4
  Bagi akuarium B, tambah 5
3. (a) 36
 (b) 9 : 8
 (c) Nurin, 84
4. Jus oren 1.8 l
5. 0900
6. 10 m
7. (a) 0.804 liter
 (b) Rumah semasa:
  Jumlah perbelanjaan sewa

dan petrol
  = RM338.40

Rumah baharu:
  Jumlah perbelanjaan sewa

dan petrol
  = RM368.80
  Lai Huat tidak patut

pindah ke rumah baharu
kerana dia dapat berjimat
sebanyak RM30.40 dengan
menduduki rumah semasa.

8. (a) RM3.60
 (b) Encik Ong patut naik semula

ke pejabat untuk mengambil
tiket meletak kereta.

Kadar bayaran meletak
kereta ialah RM10.60
berbanding dengan kadar
bayaran denda kehilangan
tiket ialah RM20.

Bab 5 Ungkapan Algebra

5.1aLatih Diri
1. (a) k mewakili jisim badan

setiap murid di dalam kelas.
  k mempunyai nilai yang

berubah kerana jisim badan
setiap murid di dalam
kelas berbeza.

(b) x mewakili markah Zaini
dalam satu ujian Matematik.

x mempunyai nilai yang
tetap kerana x adalah
markah Zaini dalam satu
ujian Matematik sahaja.

(c) h mewakili jarak di
antara rumah Arman
dengan sekolahnya.

h mempunyai nilai yang
tetap kerana jarak antara
rumah Arman dengan
sekolahnya sama dalam
setiap perjalanan.

(d) c mewakili suhu di puncak
Gunung Kinabalu
dalam sehari.

c mempunyai nilai yang
berubah kerana suhu di
puncak Gunung Kinabalu
sentiasa berubah
dalam sehari.

5.1bLatih Diri
1. (a) x – 7 (b) y + z

9
 (c) 4x (d) mp + nq
 (e) h – 2k

5.1cLatih Diri
1. (a) 12 (b) 30
 (c) 45 (d) 9
2. (a) 8x + 4y
 (b) 80 kg
3. (a) p(m – n) atau p(n – m)
 (b) RM3

5.1dLatih Diri
1. (a) 6k dan 2k
 (b) x2 dan 9xy
 (c) ab

3 , 2a dan 5b

(d) 4pq, 7x
2 , 8p2q dan 1

2. (a) –8 (b) –y2

(c) –8x (d) 8y2

5.1eLatih Diri
1. (a) Sebutan serupa
 (b) Sebutan tidak serupa
 (c) Sebutan serupa
 (d) Sebutan tidak serupa

Mahir Diri  5.1
1. k ialah wang yang dilaburkan oleh
 Encik Gan ke dalam Amanah

Saham dan d ialah dividen yang
diberi oleh Amanah Saham.

k mempunyai nilai yang tetap
kerana sejumlah wang yang
dilaburkan itu merupakan wang
pelaburan awal sahaja manakala
d mempunyai nilai yang
berubah kerana kadar dividen
akan berubah setiap tahun
mengikut ekonomi semasa.

2. 1 m – 5
2 2 kg

3. (xy – 225) m2

4. (a) 4 12  (b) 142
5. (a) n – 4x
 (b) RM22.20
6. (a) p – 3x
 (b) 35

7. Sebutan
algebra Pekali Pemboleh

ubah

–10abc

–10ab c
–10ac b
–10b ac
–10 abc

atau jawapan lain-lain yang
mungkin.

14a Jaw Mate Tg1.indd   312 10/18/16   3:23 PM
313
Jawapan

5.2aLatih Diri
1. (a) 8x + 7y
 (b) 5ab – bc + 12
 (c) 17xy + 7k – 7
 (d) 6p – 3q – 3pq
 (e) fg – 6mn

5.2bLatih Diri
1. (a) (pq)3
 (b) (6a – 1)2
 (c) (8x + 3y)3
2. (a) (2 + 7x)(2 + 7x)
 (b) (h – 4k)(h – 4k)(h – 4k)
 (c) (5p + q)(5p + q)(5p + q)(5p + q)

5.2cLatih Diri
1. (a) 15x4 (b) –28m3n
 (c) 4p5qr

2. (a) 4x5y (b) 2b2

3a
 (c) – 6p4r

5q

3. (a) 10m3

3n 2  (b) – 3p5y2

2x

Mahir Diri  5.2

1. (a) 4
3 x + 3

2 pq – 8y + 11

(b) 8ab – 11mn
2. (2d + 7y) cm
3. 4n + 4
4. n = 3, a = 9, b = –2
5. 6(2 + 3p)2 cm2

6. (a) 12y4

z
 (b) 2pq3

7. (a) 5pr2 (b) 14x3y3z2

8. 12a3b2

3ab
 = 4a2b cm

Marilah Praktis
1. a = 8, b = 4, c = 4
2. RM(120 – 12x – 7y)
3. –11
4. RM4.80
5. 2k + 10

6. (a) mx
5  + 2my

(b) RM33.40

7. Katakan n mewakili
suatu nombor.

n + 7 = x
  n

2  = y

x + y = (n + 7) + 1 n
2 2

= n + 7 + n
2

x + y = 3
2 n + 7

8. RM60(3h + 4k – 2p – 3q)
9. (6xy + 8x + 18) m
10. 27°F

Bab 6 Persamaan Linear

6.1aLatih Diri
1. (a) Ya, kerana persamaan ini

mempunyai satu pemboleh
ubah m dan kuasa bagi m
ialah 1.

(b) Ya, kerana persamaan ini
mempunyai satu pemboleh
ubah p dan kuasa bagi p
ialah 1.

(c) Bukan, kerana persamaan
ini mempunyai dua
pemboleh ubah, x dan y.

(d) Bukan, kerana kuasa
tertinggi bagi pemboleh
ubah k ialah 2.

6.1bLatih Diri
1. (a) x

6  = 12
 (b) 5y = 40
 (c) 4x + 1 000 = 1 400
2. (a) Suatu nombor ditolak

dengan 1, hasilnya ialah 6.
 (b) Apabila markah ujian

Edri ditambah 10, ia akan
menjadi 78 markah.

(c) Jumlah jisim bagi empat
bungkus beras ialah 50 kg.

6.1cLatih Diri
1. (a) 13 (b) 2
 (c) 12 (d) 10
 (e) 3 (f) –15

6.1dLatih Diri
1. 53 markah
2. 266 cm2

Mahir Diri  6.1
1. (a) x – 8 = 15
 (b) 14y = 42
 (c) p + 34 = 3p
2. (a) 16 (b) 4 (c) 2

3. (a) –  12  (b) – 4 (c) 24

4. (a) 10
3  (b) 7 (c) 6

5. 20 orang
6. 1 jam 30 minit
7. Meja kecil = 2.16 m2

Meja besar = 4.32 m2

6.2aLatih Diri
1. (a) Ya, kerana persamaan ini

mempunyai dua pemboleh
ubah, h dan k, dengan kuasa
pemboleh ubah itu ialah 1.

(b) Bukan, kerana persamaan
ini mempunyai satu
pemboleh ubah sahaja.

(c) Ya, kerana persamaan ini
mempunyai dua pemboleh
ubah, x dan y, dengan kuasa
pemboleh ubah itu ialah 1.

(d) Bukan, kerana kuasa
tertinggi bagi pemboleh
ubah p ialah 2.

6.2bLatih Diri
1. (a) x + y = 258
 (b) p – q = 15
 (c) 8x + 5y = 265
 (d) x + 2y = 40
2. (a) Jumlah bilangan tin

aluminium dan bilangan
botol kaca yang dikutip
dalam suatu kempen kitar
semula ialah 465.

(b) Beza antara panjang dan
lebar sebuah segi empat
tepat ialah 3 cm.

6.2cLatih Diri

1. (a) (7, 0), (8, 1), (9, 2)
 (b) (0, 1), (2, –3), (4, –7)
 (c) (2, 0), (6, 24), (1, – 6)
 atau jawapan lain-lain

14a Jaw Mate Tg1.indd   313 10/18/16   3:23 PM
Jawapan
314

2. 1 pingat emas dan 3 pingat gangsa;
 2 pingat emas dan 2 pingat gangsa;
 3 pingat emas dan 1 pingat gangsa.

6.2dLatih Diri

1. Rajah (a) dan Rajah (c).

Mahir Diri  6.2
1. (a) 30x – 20y = 8
 (b) x + 2y = 130
 (c) x = 2y
2. (a) (4, 3), (2, 5)
 (b) (1, 7), (2, 12)
 atau jawapan lain-lain
3. (a)

3
2
1
0–1

–2
1 2 3 4 5

x

y

(b) y

x
1
0 1 2–2–1

2
3
4
5
6
7
8

(c) y

x
1

1
0

2
3
4

2–1–2–3–4–5–6

4. 1 helai baju dan 6 helai seluar;
 2 helai baju dan 4 helai seluar;
 3 helai baju dan 2 helai seluar.
 Bilangan maksimum: 3 helai baju
5. 10x + 20y = 500

y

10

5
10
15
20
25

0 20 30 40 50
x

6.3aLatih Diri
1. (a) x + y = 6
  20x + 40y = 160

1
0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

2
3
4
5
6 x + y = 6

20x + 40y = 160

(b) 2x + 2y = 12
  x – y = 2

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6
x

y

2x + 2y = 12

x – y = 2

6.3bLatih Diri

1. (a) x = 2, y = 7
 (b) x = 9, y = – 4
 (c) x = 2, y = 0
 (d) x = –26, y = 68

6.3cLatih Diri

1. 500 naskhah kupon RM30 dan
 300 naskhah kupon RM50.
2. p = 50 m, q = 25 m

Mahir Diri  6.3
1. x – y = 5
 2x + y = 7

x0 1

1
2
3
4
5
6
7

2x + y = 7

x – y = 5

–1
–2
–3
–4
–5

2 3 4 5

y

Penyelesaian unik.
2. (a) x = 2, y = 3
 (b) m = 5, n = –2
 (c) p = 9, q = 1
 (d) f = 10

3 , g = 20
3

3. Dawai pertama = 24 cm

Dawai kedua = 24 cm
 Dawai ketiga = 52 cm
4. Lai Yee: 45 keping
 Khadijah: 15 keping
5. Ayah Devaki: 30 tahun
 Devaki: 6 tahun
6. Sarah: RM35
 Hui Chin: RM15

Marilah Praktis

1. 16 biji
2. 220 mata
3. Ella: RM600
 Zahida: RM960
4. RM310
5. 187 cm2
6. Secawan kopi: RM1.80
 Sebiji karipap: RM0.80
7. 3 orang anak
8. Asnita: 25 tahun
 Reslynna: 19 tahun
9. Tahun 2013
 Populasi pokok = 25
10. 12.7s
11. Nanas: RM2
 Tembikai: RM1.50
12. P : RM287 500
 Q : RM108 000

Bab 7 Ketaksamaan Linear

7.1aLatih Diri
1. (a) ,
  – 6 kurang daripada 0.
 (b) ,

1
7  kurang daripada 1

4 .

(c) .
  0.42 lebih besar

daripada 0.072.
 (d) .
  4.5 lebih besar daripada 4.5.
 (e) .
  10 cm lebih besar

daripada 50 mm.
 (f) ,
  1 200 g kurang

daripada 1.6 kg.

7.1bLatih Diri
1. 12 lebih besar daripada y.
 12 . y

14a Jaw Mate Tg1.indd   314 10/18/16   3:23 PM
315
Jawapan

2. 3 kurang daripada b.
 3 , b

7.1cLatih Diri
1. (a) m kurang daripada atau

sama dengan 8.
  m < 8

5 6 7 8 9 10

m � 8

(b) t lebih besar daripada atau
sama dengan 21.

t > 21

19 20 21 22 23 24

t � 21

7.1dLatih Diri
1. (a) 14 . 5
 (b) –8 , 8
 (c) –32 , –23
 (d) 1.5 , 6.7
 (e) 1

14  , 1
13

(f) –11.8 , –2
2. (a) –2 , 10
 (b) –15 , 0
 (c) –4.56 , 2.01
 (d) –17 2

9  , 20 13
 (e) 1

20  , 1
7

(f) –8 , 1
9

7.1eLatih Diri
1. (a) (i) , (ii) , (iii) ,

(b) (i) . (ii) . (iii) .

(c) (i) . (ii) . (iii) .

2. (a) (i) , (ii) , (iii) ,

(b) 8c , 16c
  8

c
 , 16

c
 (c) 16c . 8c
  16

c
 . 8

c

3. (a) (i) , (ii) . (iii) .

(iv) . (v) .

(b) 6d . 12d
  6

d
 . 12

d
 (c) 12d , 6d
  12

d
 , 6

d

Mahir Diri  7.1

1. (a) , (b) , (c) ,
 (d) . (e) . (f) .

2. (a) y lebih besar daripada x.
 (b) y > x
3. (a) t = simpanan
  t lebih besar daripada atau

sama dengan 100.
 (b)

a � 100

80 90 100 110 120 130

a > 100
4. (a) x � 3

1 2 3 4 5 6

(b) x � 15

12 13 14 15 16 17

(c) x � –19

–21 –20 –19 –18 –17 –16

(d) x � –5

–7 –6 –5 –4 –3 –2

(e) y � 8.3

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

(f) p � –5.7

–5.9 –5.8 –5.7 –5.6 –5.5

(g)

–1 – 4
5 – 3

5 – 2
5 – 1

5

x � – 3
5

(h)

7.6 7.7 7.8 7.9 8.0

q � 7.8

5. (a) . (b) , (c) .
 (d) . (e) , (f) ,

7.2aLatih Diri

1. (a) x > 450 000
 (b) y , 50
 (c) k < 30
 (d) q > 600
2. (a) Bilangan penumpang dalam

sebuah teksi tidak boleh
lebih daripada 4 orang.

(b) Luas bagi sebuah
pangsapuri lebih daripada
1 000 m2.

(c) Jumlah perbelanjaan bagi
empat orang pelanggan
yang mengunjungi restoran
sekurang-kurangnya RM60.

7.2bLatih Diri

1. (a) x > 7 (b) x . –9
 (c) x , –21 (d) x > 4
2. Sekurang-kurangnya 200 tin

minuman dalam sejam.
3. 10 bulan
4. 5 jam

7.2cLatih Diri

1. (a) x . 5
 (b) x < –3
 (c) – 3

2  , x < 2

(d) –1 < x , 1
 (e) x , 1 5

7
 (f) x . 3

Mahir Diri  7.2
1. (a) x > 18 000
 (b) t < 8
 (c) h . 700
2. (a) Kelajuan kenderaan tidak

melebihi 30 km/j apabila
bergerak menghampiri
kawasan sekolah.

(b) Jisim sebuah kereta lebih
besar daripada 1 100 kg.

(c) Murid dengan gaji ibu
bapanya kurang daripada
RM900 layak untuk
memohon biasiswa.

3. (a)

1000 1100 1200 1300 1400

x � 1 200

(b) x > 1 200
4. 2 peket
5. (a) m < 10.50
 (b)

8 9 10 11 12

m � 10.5

6. 21 orang
7. 7 bulan

14a Jaw Mate Tg1.indd   315 10/18/16   3:23 PM
Jawapan
316

8. (a) x , – 5
6

(b) –5 < x , 8
 (c) x < –1

Marilah Praktis
1. (a) , (b) , (c) .

2. (a) x . 18
 (b) x + 3 . 21
 (c) x – 5 . 13
3. 20 – 1.20x . 5
4. (a) 170 + n
 (b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
5. (a) x , 4 (b) x , 2
6. 14 g
7. 17 jam
8. (a) 15n + 200 . 290
 (b) 7
9. RM751
10. (a) – 4 < x < 3
 (b) x . 8

3
 (c) 3 < x < 7
 (d) 5

2  < x , 3

Bab 8 Garis dan Sudut

8.1aLatih Diri
1. (a) Kongruen; PQ = RS
 (b) Tidak kongruen; PQ ≠ RS
 (c) Kongruen; PQ = RS
2. (a) Kongruen; ∠PQR = ∠ABC
 (b) Tidak kongruen;

∠PQR ≠ ∠ABC
 (c) Kongruen; ∠PQR = ∠ABC

8.1bLatih Diri
1. (a) 4 cm. Gunakan pemadam
  getah yang panjangnya 4 cm.
 (b) 6 cm. Gunakan klip kertas

yang panjangnya 3 cm.
 (atau objek lain dengan

panjang diketahui)
2. (a) 4.3 cm (b) 5.8 cm
3. (a) Kelihatan lebih sedikit

daripada sudut tegak.
  Maka, saiz anggaran

kira-kira 100°.
 (b) Kelihatan kurang sedikit

daripada sudut tegak.
  Maka, saiz anggaran

kira-kira 80°.

(c) Kelihatan lebih banyak
daripada sudut tegak.
Maka, saiz anggaran
kira-kira 130°.

4. (a) 52°
 (b) 115°
 (c) 146°

8.1cLatih Diri
1. (a) Sudut refleks
 (b) Sudut pada garis lurus
 (c) Sudut putaran lengkap
2. (a) (i)

45°
135°

88°

135° + 45° = 180°
  (ii)

45°
135°

88°

45°
135°

88°

45°
135°

88°

45°
135°

88°

Sudut refleks adalah
 lebih daripada 180° dan
 kurang daripada 360°.

(iii)

45°
135°

88°

Sudut satu putaran
 lengkap ialah 360°.

(b) (i)

78°

78°30°

72°

72 + 30° + 78° = 180°
  (ii)

78°

78°30°

72°

78°

78°30°

72°

78°

78°30°

72°

78°

78°30°

72°

78°

78°30°

72°

Sudut refleks adalah
 lebih daripada 180° dan
 kurang daripada 360°.

(iii)

78°

78°30°

72°

Sudut satu putaran
 lengkap ialah 360°.

14a Jaw Mate Tg1.indd   316 10/18/16   3:23 PM
317
Jawapan

8.1dLatih Diri
1. (a) Benar (b) Palsu
 (c) Benar (d) Benar
 (e) Benar

8.1eLatih Diri

1. a = 44°, b = 136°, c = 77°,
d = 57°

2. p = 116°, q = 64°

8.1fLatih Diri

Rajah berikut tidak dilukis mengikut
skala yang sebenar.
1. (a)

A B6 cm

(b)

5.4 cmP Q

(c)

7.3 cmR S

2. (a)

P Q

(b)

A B

3. (a)

P Q

M

(b)

P

QM

4. (a)

P Q
M

(b)

P

Q

M

8.1gLatih Diri

1. (a)

(b)

45°

(c)

75°

(d)

105°

Mahir Diri  8.1
1. (a) Benar (b) Palsu
 (c) Benar (d) Benar
 (e) Benar
2. p = 45°, q = 45°
3. 7 cm
4. p = 105°, q = 75°
5. p = 72°, q = 288°
6. (a)

P

60°

6 cm

R

Q

(b) 5 cm

7. (a)

A B
30°

7 cm

Q

P

C

(b) 47°

8.2aLatih Diri
1. (a) (i) Sudut bertentang bucu:
   ∠p, ∠q
  (ii) Sudut bersebelahan

pada garis bersilang:
   ∠q dan ∠r; ∠p dan ∠r
 (b) (i) Sudut bertentang bucu:
   ∠a, ∠b
  (ii) Sudut bersebelahan

pada garis bersilang:
   ∠a dan ∠c; ∠b dan ∠c
 (c) (i) Sudut bertentang bucu:
   ∠t, ∠r
  (ii) Sudut bersebelahan

pada garis bersilang:
   ∠t dan ∠s; ∠r dan ∠s

2. (a)
xy

z

z

(b)

y
xz

z

(c)

x

y
zz

8.2bLatih Diri

1. (a) x = 140°, y = 100°
 (b) x = 24°, y = 148°

8.2cLatih Diri

1. x = 66°, y = 58°
2. x = 90°, y = 25°

Mahir Diri  8.2
1. x = 34°, y = 62°
2. 15°
3. 28°

14a Jaw Mate Tg1.indd   317 10/18/16   3:23 PM
Jawapan
318

8.3aLatih Diri

1. (a)

(b)

(c)

2. (a)

A B

P Q

(b)

AP

Q
B

A

B

(c)

P
A

B
Q B

A

3. (a) Ya
 (b) Ya
 (c) Bukan

8.3bLatih Diri

1. (a) Sudut pedalaman;
  ∠a + ∠b = 180°

a c
b d

(b) Sudut sepadan; ∠a = ∠b

a

c

b

d

(c) Sudut selang-seli; ∠a = ∠b

ad
cb

(d) Sudut sepadan; ∠a = ∠b
a

c
b

d

2. (a)

a
b

r
p

q
c

(b) a

r b qp

rcp

8.3cLatih Diri

1. (a) Selari
 (b) Selari
 (c) Tidak selari

8.3dLatih Diri

1. a = 76°, b = 70°, c = 70°, d = 70°
2. a = 67°, b = 42°

8.3eLatih Diri

1. Kapal terbang

Batu

Jasni a
b

8.3fLatih Diri

1. (a) x = 117°, y = 88°
 (b) 88°

Mahir Diri  8.3

1. x = 45°, y = 93°
2. x = 106°, y = 58°
3. x = 125°, y = 100°

4. (a) ∠QOR
 (b) ∠TOU
5. (a) x = 70°, y = 48°
 (b) 250°
 (c) 70°
6. x = 33°, y = 58°

Marilah Praktis
1. x = 65°, y = 118°
2. x = 60°, y = 84°
3.

A

C

B8 cm

5 cm

60°

4. x = 139°, y = 94°
5. x = 72°, y = 108°
6. (a) x = 75°, y = 45°
 (b)

120°

6 cm

105°

4 cm

S R

QP

7. x = 64°, y = 32°
8. x = 72°, y = 120°, z = 60°
9. x = 90°, y = 52°
10. (a) 46°
 (b) 42°

Bab 9 Poligon Asas

9.1aLatih Diri

1. (a) Bilangan bucu: 6
  Bilangan pepenjuru: 9
 (b) Bilangan bucu: 9
  Bilangan pepenjuru: 27
 (c) Bilangan bucu: 12
  Bilangan pepenjuru: 54
 (d) Bilangan bucu: 20
  Bilangan pepenjuru: 170

9.1bLatih Diri

1. (a)

A

E B

D C

Pentagon ABCDE

14a Jaw Mate Tg1.indd   318 10/18/16   3:23 PM
319
Jawapan

(b)

A B

C

D

EF

G

H

Oktagon ABCDEFGH
 (c)

A
B C

D

E
F

GH
I

J

Dekagon ABCDEFGHIJ

Mahir Diri  9.1
1. (a) Benar (b) Benar
2.

A B

C

D

EF

G

H

Nama poligon: oktagon
 Bilangan pepenjuru: 20

9.2aLatih Diri

1. (a) Segi tiga bersudut cakah;
atau segi tiga tak sama kaki

(b) Segi tiga sama sisi
 (c) Segi tiga bersudut tegak
 (d) Segi tiga bersudut tirus;

atau segi tiga tak sama kaki

9.2bLatih Diri
1. (a) 35° (b) 47°
 (c) 27° (d) 42°
2. (a) 123° (b) 54°
 (c) 82° (d) 76°

9.2cLatih Diri

1. x = 56°, y = 32°
2. x = 60°, y = 89°

Mahir Diri  9.2
1. (a) 1  (b) 3 (c) 1  (d) 1
2. (a) Segi tiga sama sisi
 (b) Segi tiga sama kaki
 (c) Segi tiga bersudut cakah;

atau segi tiga tak sama kaki
 (d) Segi tiga bersudut tegak
3. x = 56°, y = 118°
4. x = 108°, y = 144°
5. x = 160°, y = 62°

9.3aLatih Diri

1. Semua sisi adalah sama
panjang; sisi bertentangan
adalah selari; pepenjuru ialah
pembahagi dua sama serenjang
antara satu sama lain.

2. Segi empat
tepat

Segi empat
selari

Sisi
bertentangan
adalah sama
panjang
dan selari.

Sisi
bertentangan
adalah sama
panjang
dan selari.

Semua sudut
pedalaman
ialah 90°.

Sudut
bertentangan
adalah sama.

Pepenjuru
adalah sama
panjang dan
membahagi dua
sama antara satu
sama lain.

Pepenjuru
membahagi
dua sama
antara satu
sama lain.

Mempunyai dua
paksi simetri.

Tidak
mempunyai
paksi simetri.

9.3bLatih Diri

1. 121°
2. x = 84°, y = 90°

9.3cLatih Diri

1. x = 152°, y = 121°
2. x = 132°, y = 138°

9.3dLatih Diri

1. x = 72°, y = 108°
2. x = 30°, y = 72°

Mahir Diri  9.3

1. Persamaan:
• Sisi bertentangan adalah sama

panjang dan selari.
• Sudut bertentangan

adalah sama.
Perbezaan:
Segi empat selari:
• Sisi bertentangan adalah

sama panjang.
• Pepenjuru membahagi dua

sama antara satu sama lain.
• Tiada paksi simetri.

Rombus:
• Semua sisi adalah

sama panjang.
• Pepenjuru membahagi dua

sama serenjang antara satu
sama lain.

• Mempunyai 2 paksi simetri.
2. (a)

(b)

3. x = 164°, y = 74°
4. x = 34°, y = 66°

Marilah Praktis
1. (a) 3 (b) 3
 (c) 7 (d) 3
2. (a) Segi empat tepat, rombus
 (b) Segi tiga tak sama kaki
 (c) Segi empat sama, rombus
 (d) Segi empat tepat,

segi empat sama
3. (a) 85° (b) 24°
 (c) 50.5° (d) 15°
4. x = 53°, y = 53°
5. x = 15°, y = 60°
6. Nombor terbesar dalam nisbah

ialah 6; 120°
7. 75°
8. x = 112°, y = 44°
9. x = 30°, y = 74°
10. x = 56°, y = 62°
11. x = 53°, y = 127°

Bab 10 Perimeter dan Luas

10.1aLatih Diri
1. (a) 74 cm (b) 71 cm
 (c) 13 cm

10.1bLatih Diri

Jawapan anggaran bergantung
kepada murid.
1. (a) Anggaran: 10 cm
  Perimeter: 9.9 cm
 Beza nilai antara anggaran

dengan ukuran adalah kecil,
maka nilai anggaran itu
adalah tepat.

14a Jaw Mate Tg1.indd   319 10/18/16   3:23 PM
Jawapan
320

(b) Anggaran: 11.5 cm
  Perimeter: 12.3 cm
 Beza nilai antara anggaran

dengan ukuran adalah kecil,
maka nilai anggaran itu
adalah tepat.

10.1cLatih Diri

1. 76 m
2. RM1 720
3. 22 cm

Mahir Diri  10.1

1. 9 m
2. 42 cm
3. Perimeter bentuk A
 = x + y + 6 + (y – 5) + (x – 6) + 5
 = (2x + 2y) cm
 Perimeter bentuk B
 = x + y + 3 + (y – 2) + (x – 3) + 2
 = (2x + 2y) cm
 Maka, perimeter bagi kedua-dua

bentuk A dan B adalah sama.
4. RM24 000
5. 6 cm

10.2bLatih Diri

1. (a) 1
2  mn (b) tk

(c) 1
2  (p + q)r (d) 1

2 st

10.2cLatih Diri
1. (a) 15 cm2
 (b) 24.5 cm2
 (c) 16.8 cm2
 (d) 24 cm2
2. 146 m2

Mahir Diri  10.2
2. 1 550 m2
3. 122.5 cm2
4. 75.25 cm2

10.3aLatih Diri

1. T, S, Q, R, P
 Semakin besar beza antara

panjang dengan lebar segi empat
itu, semakin kecil luasnya.

2. P, R, T, S, Q
 Semakin besar beza antara

panjang dengan lebar segi empat
itu, semakin besar perimeternya.

10.3bLatih Diri
1. 420.25 m2
2. 93.75 cm2
3. 48 cm2

Mahir Diri  10.3
1. 128 cm
2. Melukis sebuah segi empat sama
 dengan panjang sisi 12 cm.

Luasnya ialah 144 cm2.
3. 432 cm2
4. 875 m2

Marilah Praktis

1. 41 cm
2. 30 cm
3. 81 cm2
4. (a) 24 cm2
 (b) 4.8 cm
5. 111.5 cm2

6. 42 cm
7. (a) 4 cm
 (b) 32 cm
8. 25 cm2
9. Membentuk sebuah segi empat

sama dengan sisi 7.5 cm.
10. Memagar satu kawasan

dengan panjang 22.5 m
dan lebar 20 m; 85 m

Bab 11 Pengenalan Set

11.1aLatih Diri

1. Pengangkutan darat – kereta,
lori, van, bas

Pengangkutan laut – sampan,
bot, kapal, feri

Pengangkutan udara – roket,
kapal terbang, helikopter, belon
udara panas

11.1bLatih Diri

1. (a) (i) P ialah set yang terdiri
 daripada warna pelangi

(ii) P = {merah, jingga,
 kuning, hijau, biru,
 indigo, ungu}

(iii) P = {x : x ialah warna
 pelangi}

(b) (i) Q ialah set nombor
 gandaan bagi 3 yang
 kurang daripada 25.

(ii) Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18,
 21, 24}

(iii) Q = {x : x ialah nombor
 gandaan bagi 3 dan
 x , 25}

2. (a) Benar (b) Palsu
 (c) Benar (d) Palsu

11.1cLatih Diri

1. (a)  (b) 
 (c)  (d) 

2. (a)  (b) 
 (c)  (d) 
 (e)  (f) 

11.1dLatih Diri

1. (a) n(A) = 5 (b) n(B) = 5
 (c) n(C) = 3 (d) n(D) = 9
2. (a) 6 (b) 7

11.1eLatih Diri

1. (a) Ya (b) Bukan
 (c) Bukan (d) Ya

Mahir Diri  11.1

1. (a) X ialah set semua
huruf vokal.

(b) Y ialah set kuasa dua
sempurna yang kurang
daripada 50.

2. (a) P = {Utarid, Zuhrah, Bumi,
Marikh, Musytari, Zuhal,
Uranus, Neptun}

(b) Q = {2, 3, 5}
3. (a) G = {x : x ialah nama bulan

yang huruf pertamanya
bermula dengan ‘M’}

(b) H = {x : x ialah gandaan 7
dan 1 < x < 100}

4. (a) Ya
 (b) Bukan
 (c) Bukan
 (d) Ya
5. n(A) = 3, n(B) = 13, n(C) = 5
6. 2

11.2aLatih Diri

1. (a) Set semesta
 (b) Bukan set semesta
 (c) Set semesta
2. (a) P9 = {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8}
 (b) Q9 = {0, 1, 4, 6, 8, 9}

14a Jaw Mate Tg1.indd   320 10/18/16   3:23 PM
321
Jawapan

11.2bLatih Diri

1. (a)

7

A

11

1

3 5
9

ξ

(b) B 18
12

14 15

16
11 13

17 19

ξ

2. (a) P 27
3

9 15

21
6 12

18 24

ξ

(b) Q

E
AS

P N
G L

ξ

11.2cLatih Diri

1. (a) , (b) ,
 (c)  (d) 

2. (a) ø, {p}, {q}, {p, q}
 (b) ø, {2}, {3}, {5}, {7}, {2, 3},

{2, 5}, {2, 7}, {3, 5}, {3, 7},
{5, 7}, {2, 3, 5}, {2, 3, 7},

{2, 5, 7}, {3, 5, 7}, {2, 3, 5, 7}

11.2dLatih Diri

1. (a)

20
40

7010

30 50
60

B
A

(b)

A
I

K
B

J

N
M

11.2eLatih Diri

1. ξ P
R Q a

f
g

h

e

b
cd

Mahir Diri  11.2

1. ξ
A B

1 2
6

9

0
4

7
5

8
3

\ A9 = B
2. (a) P , Q
 (b) R , Q
3. (a) { }, {1}, {4}, {9}, {16},
  {1, 4}, {1, 9}, {1, 16}, {4, 9},

{4, 16}, {9, 16}, {1, 4, 9},
  {1, 4, 16}, {1, 9, 16},

{4, 9, 16}, {1, 4, 9, 16}
 (b)

2
20

19
18 17 15 14

13
12
11

1087

1
9

4
16

5 63
K

L

K , L
4. ξ P QR

5. C , B , A , j

Marilah Praktis
1. P ialah set sisi empat.
2. {0}
3. (a) P = {2, 4, 6, 8, …}
  Q = {2, 4, 6, 8, …}
  P = Q
 (b) Set A mengandungi unsur ‘0’,
  maka A bukan set kosong.
  A ≠ B
 (c) E = {1, 3, 5, 15}
  F = {15, 30, 45, 60, …}
  E ≠ F
4. 6
5. ξ

C
A

B

6. (a) R , Q  (b) Q9

7. (a) Set P ialah set semesta.
Sebab set P terdiri
daripada semua unsur
dalam perbincangan.

(b) R ialah set nombor ganjil.
8. 8
9. Tidak benar. Pelengkap bagi set

A ialah murid perempuan yang
bukan pengawas dan murid
lelaki dalam Kelas 1 Bakti.

Bab 12 Pengendalian Data

12.1aLatih Diri

1. (a) Data numerik
 (b) Data numerik
 (c) Data kategori
 (d) Data kategori
 (e) Data numerik
 (f) Data numerik
 (g) Data kategori
 (h) Data numerik

2. Saiz
kemeja-T Gundalan Kekerapan

S | 1
M |||| |||| || 12
L |||| |||| 9

XL |||| 5
Jumlah 27

12.1bLatih Diri
1.

2

0

4

6

8

10

Jenis pengangkutan

Bi
la

ng
an

m
ur

id

Cara Murid ke Sekolah

Ke
re

ta

Ba
s s

ek
ol

ah

Ba
s a

w
am

Ba
sik

al

Be
rja

la
n

ka
ki

Carta palang ini sesuai digunakan
untuk membandingkan bilangan

murid yang datang ke sekolah
dengan jenis pengangkutan
yang berbeza.

14a Jaw Mate Tg1.indd   321 10/18/16   3:23 PM
Jawapan
322

2.

50
100
150
200
250
300
350

0 Hotel

Jenis penginapan

Penginapan di Sekitar
Bandaraya Melaka Bersejarah

Inap
desa

Hotel
bajet

Asrama

H
ar

ga
 (R

M
)

Harga
biasa

Musim
cuti

Carta palang berpasangan
ini sesuai digunakan untuk
membandingkan harga bagi
jenis penginapan semasa hari
biasa dan musim cuti.

3.

Ikan
Kekek

Rasa
Sayang

Dayung
SampanLompat

Si Katak
Lompat

Geylang
Si Paku

Geylang

Bangau
Oh Bangau

120°60°

45°

30° 15°

Lagu Kegemaran Kanak-kanak

Carta pai ini sesuai digunakan
untuk membandingkan lagu
kegemaran bagi sekumpulan
kanak-kanak.

4.

130

Tahun

20
11

20
12

20
13

20
14

20
15

20
16

140

150

160

170

Tinggi Kamil

Ti
ng

gi
 (c

m
)

Graf garis ini sesuai digunakan
untuk memaparkan perubahan
ketinggian Kamil dalam tempoh
6 tahun.

5.

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Bilangan Khidmat
Pesanan Ringkas (SMS)

Plot titik ini sesuai digunakan
untuk memaparkan bilangan
khidmat pesanan ringkas yang

dihantar oleh sekumpulan murid.

6. Umur Pembaca Majalah
Batang Daun

2
3
4
5
6

2 5
0 1 1 2 3 4 6 8 9
2 4 4 7 7
1 1 3 7 8 8
0 5

Kekunci: 2 | 2 bermakna 22 tahun

Plot batang-dan-daun sesuai
digunakan untuk memaparkan
umur setiap pembaca majalah
dalam tinjauan itu.

12.1cLatih Diri

1.

0

100

Ju
la

i
O

go
s

Se
pt

em
be

r

O
kt

ob
er

N
ov

em
be

r
D

ise
m

be
r

200

300

400

Bulan

Pu
ra

ta
 h

uj
an

(m
m

)

Purata Hujan Bulanan
bagi Bandar Impian

Graf garis ini sesuai digunakan
untuk memaparkan perubahan
hujan bulanan bagi Bandar
Impian dalam tempoh
enam bulan.

2.

2

4

6

8

10

A
Kumpulan darah

B AB O0

Kumpulan Darah Penderma

Bi
la

ng
an

p
en

de
rm

a

Carta palang ini sesuai
digunakan kerana data mengenai
kumpulan darah penderma ialah
data kategori.

12.1dLatih Diri

1. (a) 8 m
 (b) 7.5 m
 (c) Tahun 2013
 (d) Kadar pertambahan

pokok itu hampir seragam
dari tahun 2010 hingga
tahun 2015 atau tiada
pertambahan ketinggian
pokok dari tahun 2015
hingga 2016.

(e) 16 m
2. (a) 30
 (b) Diameter terbesar = 28.6 mm
  Diameter terkecil = 24.5 mm
 (c) 20%
 (d) Taburan diameter gandar
  agak simetri dengan keadaan
  diameter kebanyakan gandar

berada dari 26.0 mm
hingga 26.9 mm.

3. (a) 120
 (b) 12
 (c) Bilangan sampel ujian yang

berjisim 241 g hingga 260 g
  = 28 + 32 + 24 + 12
  = 96
  Peratusan sampel ujian yang

berjisim 241 g hingga 260 g

= 96
120 × 100%

= 80%
  Maka, kelompok

pengeluaran biskut ini
memenuhi piawaian
yang ditetapkan.

14a Jaw Mate Tg1.indd   322 10/18/16   3:23 PM
323
Jawapan

12.1eLatih Diri

1. Tidak, kerana hasil tinjauan bagi
semua murid tidak ditunjukkan
pada carta palang, iaitu:

16 + 6 + 12 + 4 , 40
2. Tidak, kerana graf garis

seolah-olah menunjukkan
perubahan suhu yang mendadak
setiap 2 jam pada hari itu.
Skala pada paksi mencancang
harus dilabel bermula daripada
sifar supaya maklumat yang
ditunjukkan tidak mengelirukan.

Mahir Diri  12.1

1. (a) –3°C
 (b) – 4°C
 (c) Jam 1100 dan jam 1700.
2. (a) (i)

0

20

Haiwan

Kelajuan Maksimum yang Dicapai

40

60

80

100

120

C
ita

h
Ku

da
be

la
ng

Si
ng

a

Ku
da

Ke
la

ju
an

(k
m

/j)

Ru
sa

Bu
ru

ng
un

ta

(ii) Kelajuan maksimum
 yang dicapai

Batang Daun
6
7
8
9

10
11

5
0 5
0
5

0
Kekunci: 6 | 5 bermakna 65 km/j

(b) Oleh kerana jenis data
yang dipaparkan ialah data
kategori, maka carta palang
lebih sesuai digunakan.
Plot batang-dan-daun hanya
memaparkan taburan data
bagi kelajuan tetapi tidak
memaparkan jenis haiwan
yang berkenaan.

3. (a) 35 tempahan. Carta
palang. Beza tempahan
bilik diperoleh dengan
menghitung beza tinggi
palang antara Internet
dengan kaunter.

(b) Carta pai kerana carta
pai menunjukkan 48%
daripada tempahan bilik
dibuat melalui Internet, iaitu
hampir separuh daripada
jumlah tempahan.

(c) Carta palang kerana
bilangan tempahan melalui
Internet boleh dibaca
daripada carta palang
dengan merujuk kepada
tinggi palang Internet. Bagi
carta pai, bilangan tempahan
perlu dicari dengan
melakukan penghitungan.

(d) Tidak sesuai kerana data
ini tidak menunjukkan
perubahan bilangan
tempahan dalam suatu
tempoh masa.

(e) Piktograf

4. (a)

20 2221 23 24 25 26 27 28 29 30

Elaun Harian Pekerja Kilang

Elaun harian(RM)

(b) (i) Data bertaburan dalam
julat 20 hingga 30.

(ii) Data tertumpu di
sekitar 22.

(iii) 30 tersasar jauh dari
data lain dalam taburan
ini, maka data ini
terdapat satu nilai
ekstrim, iaitu 30.

5. (a) Ujian Sains:
45 orang murid

Ujian Matematik:
75 orang murid

(b) Dalam Rajah (a), lebih
palang yang tinggi berada
di bahagian tengah
menunjukkan markah ujian
sains bagi kebanyakan
murid adalah sederhana.

Dalam Rajah (b), lebih
palang yang tinggi berada di
sebelah kanan menunjukkan
lebih ramai murid
memperoleh markah
yang tinggi dalam
ujian Matematik.

(c) Lebih ramai murid
memperoleh markah
yang tinggi dalam ujian
Matematik berbanding
ujian Sains.

6. (a) Bilangan lampu yang dijual
oleh kedai A adalah sama
dengan bilangan lampu
yang dijual oleh kedai B
iaitu 120 biji.

(b) Tidak sah kerana kedai E
menjual 30 biji lampu lebih
daripada kedai C.

Marilah Praktis
1. (a) Rumah A
 (b) Tahun ke-5

2. (a) Drama
 (b)

72°
Sukan

Kartun

Drama

Dokumentari

Rancangan Televisyen
Kegemaran Murid

54°
144°

3. (a) Antara minggu pertama
dengan minggu kedua
dan minggu kedua dengan
minggu ketiga.

Antara minggu keempat
dengan minggu kelima
dan minggu kelima dengan
minggu keenam.

(b) Antara minggu ketiga
dengan minggu keempat.

(c) Graf garis dapat memaparkan
perubahan tinggi anak pokok
selama enam minggu.

14a Jaw Mate Tg1.indd   323 10/18/16   3:23 PM
Jawapan
324

4. (a) Palsu
 (b) Benar
 (c) Benar
5. (a) Bilangan Komputer

Riba yang Dijual

Bulan

Bi
la

ng
an

ko

m
pu

te
r r

ib
a

Ja
nu

ar
i0

1
2
3
4
5
6

Fe
br

ua
ri

M
ac

Ap
ril

M
ei

Ju
n

(b)

1
0

2
3
4
5
6

Bulan

Ja
nu

ar
i

Bi
la

ng
an

ko

m
pu

te
r r

ib
a

Fe
br

ua
ri

M
ac

Ap
ril

M
ei

Ju
n

Bilangan Komputer
Riba yang Dijual

Carta palang sesuai dalam
perwakilan data ini kerana
bilangan komputer riba
yang dijual boleh dibaca
dengan merujuk kepada
tinggi palang.

6. (a) Tahun 2010, RM13 juta
 (b) Tahun 2012, RM2 juta
 (c) Kerugian RM8 juta
 (d) (i)

–10
–8
–6
–4
–2

0
2
4
6
8

10

20
10

20
11

20
12

Tahun

Ke
un

tu
ng

an
 (R

M
 ju

ta
)

20
13

20
14

20
15

12
14

Keuntungan Syarikat Cekap

(ii) Keuntungan RM11 juta
7. (a) 12, 15, 15, 16, 17, 18, 21,

24, 25, 27, 28, 30, 30, 31,

33, 34, 35, 36, 37, 37, 38,
39, 41, 42, 43, 45, 47, 48,
52, 56

(b) 12 minit
 (c) Masa yang diambil untuk

memperbaiki paip bocor
kebanyakannya adalah dari
30 minit hingga 39 minit.

8. (a) Rajah (a)
 (b) Rajah (b). Tidak beretika.

Skala yang digunakan pada
paksi mencancang graf garis
ini adalah lebih besar.

Bab 13 Teorem Pythagoras

13.1aLatih Diri

1. (a) AC
 (b) b
 (c) PR ialah hipotenus

dalam ∆PQR.
  ST ialah hipotenus

dalam ∆SPT.

13.1bLatih Diri

1. (a) AC2 = AB2 + BC2
 (b) LN2 = LM2 + MN2
 (c) r2 = p2 + q2
 (d) z2 = x2 + y2

13.1cLatih Diri

1. (a) 10
 (b) 24
 (c) 16.64
 (d) 0.66
2. (a) 14 cm
 (b) 8 cm
 (c) 25.63 cm

13.1dLatih Diri

1. 54 cm
2. 35.44 km

Mahir Diri  13.1

1. 12 cm
2. 28 cm
3. 5.62 m
4. 540.83 km

13.2aLatih Diri

1. (a) Ya
 (b) Bukan
 (c) Ya

13.2bLatih Diri

1. 1.52 + 2.02 = 2.52
 Maka, dinding itu tegak.
2. 160°

Mahir Diri  13.2

1. (a) Ya; 92 + 402 = 412
 (b) Bukan; 272 + 352 ≠ 452
 (c) Ya; 2.52 + 62 = 6.52
 (d) Ya; 132 + 842 = 852
2. 122 + 162 = 202
 \ Segi tiga tersebut ialah segi

tiga bersudut tegak. Oleh itu,
kepingan kayu boleh dipasang
dengan sempurna.

3. 152 + 202 = 252
 Semua sudut pada bucu sisi

empat ialah sudut tegak,
maka sisi empat itu ialah
segi empat tepat.

Marilah Praktis
1. (a) 10 cm
 (b) 24 cm
2. 22 + 1502 = 150.01 m
3. (a) 15 cm
 (b) Segi tiga bersudut tegak;

82 + 152 = 172
4. 104 cm2
5. 182 + 62 = 18.97 m
6. 82 + 152 = 172

SR = 17 cm
7. 36 cm2
8. 0.4
9. 20 – 152 – 122 = 11 m
10. Dengan menggunakan konsep

trirangkap Pythagoras, (3, 4, 5)
 7 × 5 = 35 cm
 7 × 3 = 21 cm
 7 × 4 = 28 cm
11. Dengan menggunakan konsep

trirangkap Pythagoras,
3 + 4 + 5 = 12

14a Jaw Mate Tg1.indd   324 10/18/16   3:23 PM
325

carta pai (pie chart) Suatu perwakilan data yang menggunakan sektor bulatan untuk
mewakili data.

carta palang (bar chart) Suatu perwakilan data yang menggunakan palang untuk
mewakili data.

faktor (factor) Nombor yang boleh membahagi suatu nombor dengan tepat.

faktor sepunya (common factor) Nombor yang merupakan faktor bagi beberapa nombor.

gambar rajah Venn (Venn diagram) Gambar rajah geometri yang digunakan untuk
mewakili set.

garis rentas lintang (transversal) Garis lurus yang bersilang dengan dua atau lebih
garis lurus.

graf garis (line graph) Perwakilan data yang digunakan untuk memaparkan perubahan
data dalam suatu tempoh masa.

hipotenus (hypotenuse) Sisi terpanjang dalam sebuah segi tiga bersudut tegak yang
bertentangan dengan sudut tegak.

integer (integer) Nombor bulat positif dan negatif termasuk sifar.

kadar (rate) Kes khas nisbah yang melibatkan dua kuantiti yang berbeza unit.

kadaran (proportion) Suatu hubungan yang menyatakan kesamaan antara dua nisbah
atau dua kadar.

ketaksamaan (inequality) Hubungan antara dua kuantiti yang tidak sama nilai.

ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah (linear inequality in one variable)
Hubungan yang tidak sama antara satu pemboleh ubah yang kuasanya satu, dengan
suatu nombor.

nombor negatif (negative number) Nombor kurang daripada sifar yang ditulis dengan
tanda ‘–’. Misalnya, – 8, – 45, –200.

nombor nisbah (rational number) Nombor yang boleh ditulis dalam bentuk pecahan p
q ,

dengan keadaan p dan q ialah integer dan q ≠ 0.

nombor positif (positive number) Nombor lebih besar daripada sifar yang ditulis dengan
tanda ‘+’ atau tiada tanda. Misalnya, +3, +56, +100 atau 3, 56, 100.

pelengkap bagi suatu set (complement of a set) Set dengan unsur-unsur dalam set
semesta yang bukan unsur set itu.

15 Glosari BT Mate Tg1.indd   325 10/17/16   5:46 PM
326

pembinaan geometri (geometrical construction) Kaedah menggunakan alat geometri
atau perisian geometri untuk melukis dengan ukuran jitu.

pemfaktoran perdana (prime factorisation) Proses mengungkapkan nombor sebagai
hasil darab faktor perdananya.

persamaan linear serentak (simultaneous linear equations) Dua persamaan linear yang
mempunyai dua pemboleh ubah yang sama.

sebutan serupa (like terms) Sebutan-sebutan yang mempunyai pemboleh ubah yang
sama dengan kuasa yang sama.

sebutan tidak serupa (unlike terms) Sebutan-sebutan yang tidak mempunyai pemboleh
ubah yang sama dengan kuasa yang sama.

set (set) Kumpulan objek yang mempunyai ciri-ciri sepunya tertentu yang dikelaskan
dalam kumpulan yang sama.

set kosong (empty set) Set yang tidak mengandungi sebarang unsur.

set sama (equal set) Set-set dengan setiap unsur dalamnya adalah sama.

set semesta (universal set) Suatu set yang terdiri daripada semua unsur dalam perbincangan.

statistik (statistics) Bidang matematik yang melibatkan kemahiran untuk mengumpul,
menyusun, mencatat, mewakil, mentafsir dan menganalisis data.

subset bagi suatu set (subset of a set) Unsur bagi suatu set yang terdapat dalam set yang
satu lagi.

sudut bersebelahan (adjacent angles) Hasil tambah sudut bersebelahan ialah 180º.

sudut bertentang bucu (vertically opposite angles) Dua sudut pada garis bersilang yang
sama saiz dan terletak bertentangan titik persilangan.

sudut kongruen (congruent angles) Sudut-sudut dengan saiz yang sama.

sudut konjugat (conjugate angles) Dua sudut dengan hasil tambahnya ialah 360º.

sudut pelengkap (complementary angles) Dua sudut dengan hasil tambahnya ialah 90°.

sudut penggenap (supplementary angles) Dua sudut dengan hasil tambahnya ialah 180°.

sudut refleks (reflex angle) Sudut dengan saiz lebih besar daripada 180° tetapi kurang
daripada 360°.

tembereng garis kongruen  (congruent line segments)  Tembereng garis dengan panjang
yang sama.

unsur (element) Setiap objek dalam set.

15 Glosari BT Mate Tg1.indd   326 10/17/16   5:46 PM
327

Amanda Bearne, Sharon Bolger, Ian Boote, Greg Byrd, Meryl Carter, Gareth Cole,
Crawford Craig, Jackie Fairchild, Anna Grayson, June Hall, Mark Haslam, Fiona
Mapp, Phil Marshall, Avnee Morjaria, Keith Pledger, Robert Ward-Penny, Angela
Wheeler, 2008. Levels 3-5 Level Up Maths. England: Heinemann.

Chow Wai Keung, 2014. Discovering Mathematics 2A Normal (Academic) (2nd Edition).
Singapore: Star Publishing Pte Ltd.

Deborah Barton, 2012. Cambridge Checkpoint And Beyond Complete Mathematics for
Cambridge Secondary 1. Oxford: Oxford University Press.

Dr Joseph Yeo, Teh Keng Seng, Loh Cheng Yee, Ivy Chow, Neo Chai Meng, Jacinth
Liew, Ong Chan Hong, Jeffrey Phua, 2014. New Syllabus Mathematics Normal
(Academic). Singapore: Shinglee Publishers Pte Ltd.

Greg , Lynn Byrd, 2008. Levels 3-5 Level Up Maths Homework Book. England: Heinemann.

Istilah Matematik untuk Sekolah-sekolah Malaysia, 2003. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa
dan Pustaka.

Kamus Dewan Edisi Keempat, 2007. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.

M.J. Tipler, K.M. Vickers, 2002. New National Framework Mathematics 7+. United
Kingdom: Nelson Thornes Ltd.

Nicholas Goldberg, Neva Cameron-Edwards, 2010. Oxford Mathematics for the Caribbean
Fifth Edition. Oxford: Oxford University Press.

Peter Derych, Kevin Evans, Keith Gordon, Michael Kent, Trevor Senior, Brian Speed,
2014. Maths Frameworking 3rd edition Homework Book 3. London: HarperCollins
Publishers Limited.

Ray Allan, Nina Patel, Martin Williams, 2007. 7A Maths Links. Oxford: Oxford University
Press.

Sandra Burns, Shaun Procter-Green, Margaret Thornton, Tony Fisher, June Haighton,
Anne Haworth, Gill Hewlett, Andrew Manning, Ginette McManus, Howard Prior,
David Pritchard, Dave Ridgway, Paul Winters, 2010. AQA Mathematics Unit 3
Foundation. United Kingdom: Nelson Thornes Ltd.

Tay Choon Hung, Mark Riddington, Martin Grier, 2007. New Mathematics Counts
Secondary 1 Normal (Academic) 2nd Edition. Singapore: Marshall Cavendish
Education.

15 Glosari BT Mate Tg1.indd   327 10/17/16   5:46 PM
328

akas teorem Pythagoras 300
bucu 202, 203
carta pai 270, 271
carta palang 268, 269
data kategori 267
data numerik 267
faktor 32
faktor perdana 33
faktor sepunya 35
faktor sepunya terbesar 36
gambar rajah Venn 255, 258,

259
gandaan 38
gandaan sepunya 38
gandaan sepunya terkecil 40
garis bersilang 185, 186
garis rentas lintang 188
garis selari 180, 188
garis serenjang 178
graf garis 271, 272
hipotenus 294
histogram 279
Hukum Identiti 11
Hukum Kalis Agihan 11
Hukum Kalis Sekutuan 11
Hukum Kalis Tukar Tertib 11
integer 3 – 10
jadual kekerapan 267
kadar 81, 82
kadaran 84, 85, 90, 95
kaedah cuba jaya 127
kaedah pematahbalikan 127,

128
kaedah penggantian 140
kaedah penghapusan 140
kekongruenan 170
kesamaan 127, 128, 252
ketaksamaan linear dalam

satu pemboleh ubah 160
ketaksamaan linear serentak

162

konjektur 208, 238
kuasa dua 49, 51
kuasa dua sempurna 49, 50
kuasa tiga 58, 61 – 63
kuasa tiga sempurna 59, 60
lelayang 213, 235
luas 231, 239, 240
nilai berangka 127
nisbah 76
nisbah setara 77
nombor nisbah 23
pecahan 14
pekali 110
pelengkap bagi suatu set 254,

255
pembahagi dua sama

serenjang 177
pembahagi dua sama sudut

182
pemboleh ubah 106
pemfaktoran perdana 33, 36,

41, 50, 60
pepenjuru 202, 203
peratusan 94
perihalan 249
perimeter 226, 227, 239, 240
perpuluhan 19
persamaan linear 125
persamaan linear serentak 138
plot batang-dan-daun 273,

274
plot titik 272, 273
poligon kekerapan 279
punca kuasa dua 51, 56
punca kuasa tiga 61, 62
rombus 213
sebutan 110
sebutan algebra 110
sebutan serupa 111
sebutan tidak serupa 111
segi empat sama 213

segi empat selari 213 – 215,
234

segi empat tepat 213
segi tiga 205, 233
set 248
set kosong 250
set sama 252
set semesta 254, 255
sifat akas 154
sifat transitif 154
sisi empat 212
soalan statistik 266
songsangan terhadap

penambahan 156
songsangan terhadap

pendaraban 157
subset 256 – 258
sudut bersebelahan 186
sudut bertentang bucu 186
sudut cakah 207, 300
sudut dongak 193
sudut konjugat 175
sudut pedalaman 209, 215
sudut pelengkap 175
sudut peluaran 209, 215
sudut penggenap 175
sudut refleks 174
sudut selang-seli 190
sudut sepadan 190
sudut tegak 207, 300
sudut tirus 207, 300
sudut tunduk 193
tatatanda pembina set 249
tatatanda set 249
tembereng garis 170, 176
teorem Pythagoras 295, 296
trapezium 213, 235
trirangkap Pythagoras 297
ungkapan algebra 108, 113
unsur 249 – 251

15 Glosari BT Mate Tg1.indd   328 10/17/16   5:46 PM
1

Dengan ini SAYA BERJANJI akan menjaga buku ini
dengan baik dan bertanggungjawab atas kehilangannya

serta mengembalikannya kepada pihak sekolah pada
tarikh yang ditetapkan

Skim Pinjaman Buku Teks

Sekolah

Tahun Tingkatan Nama Penerima Tarikh
Terima

Nombor Perolehan:

Tarikh Penerimaan:

BUKU INI TIDAK BOLEH DIJUAL

16 skim pinjaman.indd   1 10/17/16   5:50 PM
Cover BT Matematik TG1_BM vers

isi

FT081001 pg IFC

FT081001 pg i

FT081001 pg ii

FT081001 pg iii to iv

FT081001 pg v to vii

FT081001 pg viii to 1

FT081001 pg 2 to 29

FT081001 pg 30 to 45

FT081001 pg 46 to 73

FT081001 pg 74 to 103

FT081001 pg 104 to 121

FT081001 pg 122 to 147

FT081001 pg 148 to 167

FT081001 pg 168 to 199

FT081001 pg 200 to 223

FT081001 pg 224 to 245

FT081001 pg 246 to 263

FT081001 pg 264 to 291

FT081001 pg 292 to 306

FT081001 pg 307 to 324

FT081001 pg 325 to 328

FT081001 pg IBC