KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH

MATEMATIK
TINGKATAN 2

Penulis
Bahariah binti Hj. Baharam
Baharizah binti Hj. Baharam
Nurul Jannah binti Ahmad

Nurazreen binti Mohd Tahir
Mohd Nazri bin Mohd Hanafiah

Editor
Mohan a/l Nanu

Muhammad Nur Syafiq bin Jamaluddin
Nafisah binti Yeop Mohamad Kassim

Pereka Bentuk
Mohamad Zairul bin Mohamad Kassim

Wan Nora Ashikin binti Abd Razak

Ilustrator
Ahmad Fitri bin Tajudin

2017
B
A

B
 1

B
A

B
 1

iiiii

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

PENGHARGAAN

Pendahuluan                            v
Simbol dan Rumus                    vii

Bab 1 Pola dan Jujukan            1

1.1  Pola 2
1.2  Jujukan 7
1.3  Pola dan Jujukan 10

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan
 Algebra 18

2.1  Kembangan 21
2.2  Pemfaktoran 27
2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum
 Operasi Asas Aritmetik 34

Bab 3 Rumus Algebra     42

3.1  Rumus Algebra 44

Bab 4 Poligon     54

4.1  Poligon Sekata 56
4.2  Sudut Pedalaman dan Sudut
 Peluaran Poligon 62

Bab 5  Bulatan 74

5.1  Sifat Bulatan 76
5.2  Sifat Simetri Perentas 81
5.3  Lilitan dan Luas Bulatan 86

Bab 6 Bentuk Geometri
 Tiga Dimensi 98

6.1  Sifat Geometri Bentuk Tiga
 Dimensi  100
6.2  Bentangan Bentuk Tiga Dimensi 102
6.3  Luas Permukaan Bentuk Tiga
 Dimensi 104
6.4  Isi Padu Bentuk Tiga Dimensi 110

Bab 7 Koordinat 120

7.1  Jarak dalam Sistem Koordinat
 Cartes      122
7.2  Titik Tengah dalam Sistem
 Koordinat Cartes 132
7.3  Sistem Koordinat Cartes      140

KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA

NO. SIRI BUKU: 0062

KPM2017 ISBN 978-967-2031-05-5
Cetakan Pertama 2017
© Kementerian Pendidikan Malaysia

Hak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan dalam
buku ini tidak dibenarkan diterbitkan semula,
disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan
lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk
atau cara, baik dengan cara elektronik, mekanik,
penggambaran semula mahupun dengan cara
perakaman tanpa kebenaran terlebih dahulu
daripada Ketua Pengarah Pelajaran Malaysia,
Kementerian Pendidikan Malaysia. Perundingan
tertakluk kepada perkiraan royalti atau honorarium.

Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan
Malaysia oleh:
RIMBUNAN ILMU SDN. BHD.
No. 92-G, 92-1 & 92-2, Blok 2, Wisma Salleh
Saidin, Jalan Dwi Tasik, Dataran Dwi Tasik,
Bandar Sri Permaisuri, 56000 Kuala Lumpur
Tel: 03-91722888     Faks: 03-91734888
Emel: rimbunanilmu@gmail.com

Reka Letak dan Atur Huruf:
RIMBUNAN ILMU SDN. BHD. (676602-W)

Muka taip teks: Times
Saiz taip teks: 11 poin

Dicetak oleh:
BHS BOOK PRINTING SDN. BHD. (95134-K)

Lot 4, Lorong CJ/1B, Kawasan Perindustrian
Cheras, 43200 Cheras,
Selangor Darul Ehsan,
Malaysia

Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama
banyak pihak. Sekalung penghargaan dan
terima kasih ditujukan kepada semua pihak
yang terlibat:

• Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf
Muka Surat, Bahagian Buku Teks,
Kementerian Pendidikan Malaysia.

• Jawatankuasa Penyemakan Pembetulan
Pruf Muka Surat, Bahagian Buku Teks,
Kementerian Pendidikan Malaysia.

• Jawatankuasa Penyemakan Naskhah
Sedia Kamera, Bahagian Buku Teks,
Kementerian Pendidikan Malaysia.

• Pegawai-pegawai Bahagian Buku Teks
dan Bahagian Pembangunan Kurikulum,
Kementerian Pendidikan Malaysia.

• Ahli panel penilaian dan
peningkatan mutu.

• Bahagian Editorial dan Bahagian
Produksi, terutamanya pereka bentuk
dan ilustrator.

• Semua pihak yang terlibat secara
langsung atau tidak langsung dalam
menjayakan penerbitan buku ini.

iii
B
A

B
 1

B
A

B
 1

viv

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

Buku teks Matematik Tingkatan 2 ini ditulis berdasarkan Kurikulum Standard Sekolah Menengah
(KSSM). Buku ini terdiri daripada 13 bab yang disusun dan dirancang secara sistematik berdasarkan
Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik Tingkatan 2.

Pada permulaan bab, murid akan diperkenalkan kepada aktiviti kreatif untuk merangsang
pemikiran murid. Di samping itu juga, objektif pembelajaran dan rangkai kata turut disertakan
untuk memberikan gambaran ringkas tentang kandungan bab.

Buku ini mengandungi ciri-ciri istimewa berikut:

RANGKAI KATA

AKTIVITI KREATIF

INGAT !

Mengandungi standard pembelajaran yang akan
dipelajari dalam setiap bab.

Daftar kata yang terkandung dalam setiap bab.

Sejarah ilmuan terdahulu atau asal usul perkataan
dalam mata pelajaran Matematik.

Bidang pekerjaan yang berkaitan dengan bab ini
atau kegunaan ilmu bab ini.

Aktiviti induksi yang merangsang perbincangan dan
pemahaman dalam kalangan murid.

Membantu murid memahami konsep asas matematik
melalui aktiviti individu atau berkumpulan.

Mengimbas kembali kemahiran dan pengetahuan
yang pernah dipelajari.

Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan
yang perlu diketahui serta fakta penting dalam bab ini.

Menarik perhatian murid kepada fakta tambahan
yang perlu diketahui, kesilapan yang dilakukan
murid dan mengelakkan kecuaian murid.

Bab 12   Sukatan Kecenderungan
                Memusat     244

12.1  Sukatan Kecenderungan
 Memusat 246

Bab 13   Kebarangkalian Mudah 276

13.1  Kebarangkalian Eksperimen 278
13.2  Kebarangkalian Teori yang
 Melibatkan Kesudahan Sama
 Boleh Jadi  280
13.3  Kebarangkalian Peristiwa
 Pelengkap 287
13.4  Kebarangkalian Mudah 290

Jawapan 294
Glosari 308
Rujukan 311
Indeks 312

viv

Bab 8 Graf Fungsi 144

8.1  Fungsi 146
8.2  Graf Fungsi 151

Bab 9 Laju dan Pecutan 168

9.1  Laju 170
9.2  Pecutan 179

Bab 10   Kecerunan Garis Lurus    188

10.1  Kecerunan 190

Bab 11   Transformasi Isometri       206

11.1  Transformasi 208
11.2  Translasi 212
11.3  Pantulan 218
11.4  Putaran 223
11.5  Translasi, Pantulan dan Putaran
 sebagai Isometri 230
11.6  Simetri Putaran 234

PERHATIAN

MASLAHAT BAB INI

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 1

B
A

B
 1

viivi

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

TAHUKAH ANDA ?

Mengutarakan soalan untuk merangsang pemikiran
kreatif dan kritis.

Soalan di akhir subtopik untuk menguji kefahaman
murid.

Quick Response Code ialah data seperti URL dalam
bentuk pola yang dapat diterjemahkan menggunakan
aplikasi dalam peranti mudah alih pintar.

Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan
yang perlu diketahui.

Memberikan pengetahuan am yang dapat
memperkaya bahan teks yang berkaitan.

Latihan sumatif untuk pengukuhan dan pengayaan
di akhir setiap bab.

Soalan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT)
untuk menguji kemahiran murid.

Rangkuman seluruh bab secara ringkas yang telah
dipelajari.

Melihat kembali standard pembelajaran yang telah
dipelajari sama ada tercapai atau tidak.

Aktiviti luar bilik darjah untuk meningkatkan
kefahaman dan kreativiti murid di akhir bab.

QR Code yang boleh diimbas dengan menggunakan
aplikasi imbasan QR Code pada telefon pintar.

QR CODE

MENJANA KECEMERLANGAN

viivi

punca kuasa dua
 punca kuasa tiga

= sama dengan
≠ tidak sama dengan

segi tiga
n bilangan sebutan
π pi

∠	 sudut
T  sebutan ke-n
∑		 hasil tambah keseluruhan
⩾  lebih besar daripada atau sama dengan
⩽  kurang daripada atau sama dengan
n (A)  bilangan unsur peristiwa

RUMUS
Hasil tambah sudut pedalaman
poligon  (n – 2) × 180°

Teorem Pythagoras:

Lilitan  2πj
Luas bulatan  πj 2
Luas sektor

πj 2  = θ
360°

Panjang lengkok
2πj  = θ

360°
Luas permukaan silinder  2πj 2  + 2πjt

Luas permukaan kon  πj 2 + πjs

Luas permukaan sfera  4πj 2

Isi padu prisma  luas keratan rentas × tinggi

Isi padu silinder  πj 2t
Isi padu kon  13  πj 2t

Isi padu sfera  43  πj 3

a
c

b

c 2   a 2 + b 2

b 2   c 2 – a 2

a 2   c 2 – b 2

Jarak dua titik  (x2 – x1)
2 + (y2 – y1)

2

Titik tengah  �
x1 + x2

2 ,
y1 + y2

2 �

Laju  Jarak
Masa

Laju purata  Jumlah jarak
Masa

Kecerunan, m  Jarak mencancang
Jarak mengufuk

m
y2 – y1

x2 – x1

m  – pintasan-y
pintasan-x

Min  Jumlah nilai data
Bilangan data

Kebarangkalian
suatu peristiwa, A =

P(A) =
n (A)
n (S )

Peristiwa pelengkap, P(A' ) = 1 – P(A)

Muat turun aplikasi percuma imbasan QR Code daripada Google Play, App Store
atau layaran lain ke peranti mudah alih pintar anda. Imbas QR Code atau layari
laman sesawang http://rimbunanilmu.my/mat_t2/msvii untuk memuat turun fail
video, GeoGebra, hamparan elektronik dan soalan latihan tambahan. Kemudian
simpan fail yang dimuat turun untuk kegunaan luar talian.
Nota: Murid boleh muat turun perisian GeoGebra yang percuma untuk membuka
fail yang berkenaan. http://www.geogebra.org/

SIMBOL

INTI PATI BAB

REFLEKSI DIRI

Bilangan kesudahan bagi peristiwa A

Jumlah bilangan kesudahan bagi ruang sampel, S
B
A

B
 1

B
A

B
 1

1viii

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

1

Untuk maklumat lanjut:

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms001

Nombor Fibonacci bermula daripada persoalan
seorang ahli matematik berbangsa Itali, iaitu
Leonardo of Pisa atau Fibonacci dalam bukunya
‘Liber Abaci’ tentang populasi arnab. Persoalan
yang dikemukakan adalah jika seekor arnab
betina dan arnab jantan ditempatkan di dalam
sebuah ruang, berapakah pasangan arnab dapat
dihasilkan dalam setahun? Jika setiap pasangan
arnab akan menghasilkan satu pasangan yang
baharu pada setiap bulan, maka penghasilan
populasi arnab ini menghasilkan jujukan seperti
yang berikut 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … . Nombor ini
dikenali sebagai Nombor Fibonacci. Nombor
Fibonacci ini disusun dengan menambah
nombor sebelumnya. Contohnya, pasangan
arnab tadi ialah 1 + 1, maka populasi arnab
telah bertambah menjadi 2. Seterusnya, hasil
tambah dua nombor sebelumnya 1 dan 2, maka
populasi arnab telah bertambah menjadi 3,
begitu juga yang seterusnya.

MASLAHAT BAB INI

Konsep pola dan jujukan boleh diaplikasi
dalam seni bina, rekaan fesyen, sains,
ilmu falak, kimia, fizik dan teknologi.

ANDA AKAN MEMPELAJARI

• Pola nombor
• Nombor ganjil
• Nombor genap
• Nombor Fibonacci
• Segi Tiga Pascal
• Jujukan
• Ungkapan algebra
• Sebutan

• Number pattern
• Odd number
• Even number
• Fibonacci Number
• Pascal's Triangle
• Sequence
• Algebraic expression
• Term

1.1 Pola

1.2 Jujukan

1.3 Pola dan Jujukan

RANGKAI KATA

Bunga matahari ialah bunga yang unik
dari segi pola biji benihnya. Biji benihnya
tersusun secara spiral dan mengikut arah
tertentu. Jumlah biji benih pada spiral
itu boleh dibentuk melalui suatu nombor
yang dikenali sebagai Nombor Fibonacci.
Biji benih ini biasanya terdiri daripada dua
jenis spiral. Misalnya, 21 spiral mengikut
arah jam dan 34 spiral lawan arah jam.
Nombor 21 dan 34 adalah di antara nombor
dalam jujukan Fibonacci.

1

Untuk maklumat lanjut:

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms001

Nombor Fibonacci bermula daripada persoalan
seorang ahli matematik berbangsa Itali, iaitu
Leonardo of Pisa atau Fibonacci dalam bukunya
‘Liber Abaci’ tentang populasi arnab. Persoalan
yang dikemukakan adalah jika seekor arnab
betina dan arnab jantan ditempatkan di dalam
sebuah ruang, berapakah pasangan arnab dapat
dihasilkan dalam setahun? Jika setiap pasangan
arnab akan menghasilkan satu pasangan yang
baharu pada setiap bulan, maka penghasilan
populasi arnab ini menghasilkan jujukan seperti
yang berikut 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … . Nombor ini
dikenali sebagai Nombor Fibonacci. Nombor
Fibonacci ini disusun dengan menambah
nombor sebelumnya. Contohnya, pasangan
arnab tadi ialah 1 + 1, maka populasi arnab
telah bertambah menjadi 2. Seterusnya, hasil
tambah dua nombor sebelumnya 1 dan 2, maka
populasi arnab telah bertambah menjadi 3,
begitu juga yang seterusnya.

MASLAHAT BAB INI

Konsep pola dan jujukan boleh diaplikasi
dalam seni bina, rekaan fesyen, sains,
ilmu falak, kimia, fizik dan teknologi.
B
A

B
 1

B
A

B
 1

32

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

Tujuan: Mengenal corak
Bahan: Kentang, bawang, batang sawi, kertas lukisan dan cat air
Langkah:
1. Sediakan sehelai kertas lukisan.
2. Dengan pengawasan guru, murid dikehendaki memotong kentang, bawang dan batang

sawi seperti gambar yang di bawah.

3. Gunakan bahan-bahan tersebut untuk mengecap pada kertas lukisan.
4. Selepas itu, keringkan cetakan.

5. Nyatakan corak yang diperoleh.

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Mengenal corak
Bahan: Kain batik
Langkah:
1.  Perhatikan rajah di sebelah yang

menunjukkan corak pakaian tradisional
masyarakat di Malaysia.

Perbincangan:
(i) Apakah corak yang dapat dilihat?
(ii)  Bagaimanakah susunan corak tersebut?

1.1  Pola
1.1.1 Mengenal pola nombor

Mengenal dan
memerihalkan pola
pelbagai set nombor dan
objek dalam kehidupan
sebenar, dan seterusnya
membuat rumusan
tentang pola.

Daripada aktiviti di atas, murid dapat mengenal pelbagai jenis corak dari alam semula jadi. Corak
ini disusun sehingga menghasilkan suatu susunan yang lebih menarik.

Daripada aktiviti di atas, dapat diketahui bahawa corak yang dilihat berbentuk poligon dan berulang.

Pola ialah aturan atau corak tertentu dalam senarai nombor atau objek.

Tujuan: Mengenal pola
Bahan: Pensel warna, pembaris, pensel dan kertas grid
Langkah:
1. Murid membentuk kumpulan.
2. Buka fail MS003 untuk memperoleh kertas grid yang telah disediakan.
3. Setiap kumpulan dikehendaki melukis corak seperti yang di

bawah dan warnakannya.
4. Kemudian, lukiskan pula corak yang keempat, kelima dan

keenam. Seterusnya, warnakannya.

5. Lengkapkan jadual di bawah.

Nombor corak 1 2 3 4 5 6 7 8
Bilangan segi empat 1 4 7

6. Bentangkan hasil dapatan anda.

Perbincangan:
(i) Nyatakan susunan corak yang dapat diperhatikan.
(ii) Hitung bilangan segi empat sama untuk corak yang ketujuh dan kelapan.

Daripada aktiviti di atas, bilangan segi empat sama yang dibentuk ialah 1, 4, 7, ... iaitu menambah 3
kepada nombor sebelumnya. Penambahan 3 ini dikenali sebagai pola.

CONTOH 1

Lukis corak seterusnya bagi gambar rajah di bawah dan nyatakan polanya.
(a)  (b)

Penyelesaian:

(a)   (b)

Pola: Menambah dua titik kepada
 corak sebelumnya.

Pola: Menambah satu segi tiga kepada
 corak sebelumnya.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms003 untuk
memperoleh kertas grid.
B
A

B
 1

B
A

B
 1

54

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

(i) ganjil

Penyelesaian:

(i) Nombor ganjil: 7,  17,   27,  37, 47, 57 dan 67

Nombor ganjil diperoleh dengan menambah
10 kepada nombor sebelumnya.

Segi Tiga Pascal di atas bermula dengan nombor 1. Manakala
baris kedua ialah 1, 1. Semua baris Segi Tiga Pascal akan bermula
dan diakhiri dengan nombor 1. Nombor lain diperoleh dengan
menjumlahkan dua nombor pada baris sebelumnya.

Nombor 2 dalam baris ketiga diperoleh dengan menjumlahkan nombor 1
dan nombor 1 pada baris sebelumnya. Seterusnya nombor 3 pada baris
keempat diperoleh dengan menjumlahkan nombor 1 dan nombor 2
pada baris sebelumnya. Nombor 6 di baris kelima diperoleh dengan
menjumlahkan nombor 3 dan nombor 3 pada baris sebelumnya.

Cuba anda lengkapkan baris yang seterusnya.
Daripada segi tiga di atas pelbagai urutan nombor dengan pola
tertentu boleh didapati, antaranya:

Segi Tiga Pascal
Gambar rajah di bawah menunjukkan sebuah Segi Tiga Pascal. Berpandukan segi tiga tersebut,
baris seterusnya diperoleh dengan menambah nombor-nombor pada baris sebelumnya.

CONTOH 3

(ii) genap

(ii) Nombor genap: 12, 22, 32, 42, 52 dan 62

Nombor genap diperoleh dengan
menambah 10 kepada nombor
sebelumnya.

+10 +10+10 +10

Diberi urutan nombor 7, 12, 17, 22, 27, ..., 67. Kenal pasti dan
nyatakan pola bagi urutan nombor

Penyelesaian:

(a)	 −10,			−4,			2,			8,	...

Pola: Menambah 6 kepada
          nombor sebelumnya.

(c) 2,   6,   18,   54, ...

Pola:  Mendarab nombor
   sebelumnya dengan 3.

(e) 1,   3
2

,   2,    5
2

, ...

Pola: Menambah
1
2

kepada

nombor sebelumnya.

+
1
2 +

1
2 +

1
2

×3 ×3 ×3

(d) 81,  27,   9,    3, ...

Pola:  Membahagi nombor
  sebelumnya dengan 3.

(f)	 −2.3,	−2.6,	−2.9,	−3.2,	...

Pola:  Menolak 0.3 daripada
  nombor sebelumnya.

−0.3 −0.3 −0.3

÷3 ÷3 ÷3

+6 +6 +6

(b)	 17,			7,		−3,	−13,	...

Pola: Menolak 10 daripada
  nombor sebelumnya.

−10 −10 −10

Nombor genap: nombor
yang boleh dibahagi
tepat dengan 2 seperti
2, 4, 6, 8, ...
Nombor ganjil: nombor
yang tidak boleh dibahagi
tepat dengan 2 seperti
1, 3, 5, 7, ...

Nombor genap dan nombor ganjil

CONTOH 2

Nyatakan pola bagi set nombor berikut.
(a)	 −10,	−4,	2,	8,	...		 (b)	 17,	7,	−3,	−13,	...

(c) 2, 6, 18, 54, ...  (d) 81, 27, 9, 3, ...

(e) 1, 3
2

, 2, 5
2

, ... 	 (f)	 −2.3,	−2.6,	−2.9,	−3.2,	...

CONTOH 4

Lengkapkan Segi Tiga Pascal di bawah.

1
1

1

1
1

1
1

2
33

1

1

1

4

5

6

6

10

15

4

10

20

1

5

15

1

6 1

1
1

1

1
1

1
1

2
33

Penyelesaian:

7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67

1

1

1

1

1

1

2

3

4

1

3

6

1

4 1

Urutan: 1, 2, 3, 4, ...
Pola: Menambah 1

1
1 1

1 2 1
1 3 3 1

1 4 6 4 1

+ +

+ + +

+ + + +

Kaedah 1 Kaedah 2 1

1

1

1

1

1

2

3

4

1

3

6

1

4 1

Urutan: 1, 3, 6, ...
Pola: Menambah 2, 3, 4, ...

Pola bagi suatu urutan nombor merupakan corak
yang mempunyai urutan yang tertib.

Masyarakat Cina mengenal
Segi Tiga Pascal dengan
nama Segi Tiga Yang Hui
dan digambarkan dengan
menggunakan angka joran
yang dilukiskan dengan
sistem angka tongkat.

Segi Tiga Yang Hui

1 × 1 1
11 × 11 121
111 × 111 12321
1111 × 1111 1234321
11111 × 11111 123454321

Tentukan nilai dua sebutan
yang berikutnya.

Nyatakan dua sebutan
nombor berikutnya.
(i)  3, 8, 15, 24, 35, ...
(ii)  7, 5, 8, 4, 9, 3, ...
(iii)  2, 4, 5, 10, 12, 24, 27, ...
(iv) 1, 4, 9, 18, 35, ...
B
A

B
 1

B
A

B
 1

76

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

Lengkapkan urutan nombor di bawah.

(a) 0, 1, 1,  ,  ,  , 8, 13,  , ...

(b) 1, 3,  ,  , 11, ...

Penyelesaian:

(a) 0, 1, 1, 2  , 3  , 5  , 8, 13, 21  , ...

(b) 1, 3, 4  , 7  , 11, ...

CONTOH 5

1.1JOM CUBA

Nombor Fibonacci

Nombor Fibonacci merupakan suatu corak nombor yang berurutan.

Urutan ini bermula dengan 0, 1, 1 dan sebutan seterusnya diperoleh
dengan menambah dua sebutan sebelumnya.
Misalnya,

1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

0+1    1+1   1+2     2+3    3+5

1. Lakar corak seterusnya bagi gambar di bawah.
 (a)

(b)

0,

1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

1+1     1+2       2+3       3+5

0,

0+1

Pola merupakan suatu corak tertentu dalam sesuatu nombor atau objek. Suatu pola dalam senarai
nombor ditentukan dengan menambah, menolak, mendarab atau membahagi nombor sebelumnya
manakala suatu pola dalam objek ditentukan dengan memerhati susunan objek sebelumnya.

Bagaimanakah anda akan
membentuk segi empat
Fibonacci seterusnya?

3

5
8

2
1 1

1.2 Jujukan
1.2.1 Jujukan

2.   Nyatakan pola bagi urutan berikut.
	 (a)			5,	12,	19,	26,	...		 (b)	 −1,	−4,	−7,	−10,	...
	 (c)			−4,	0,	4,	8,	...		 (d)	 144,	72,	36,	18,	...

(e) 1
2

, 1
4
	,	0	,	−

1
4
	,	...		 (f)	 11.2,	−33.6,	100.8,	−302.4,	...

3. Bagi urutan nombor 28, 37, 46, 55, ... , 145, kenal pasti dan nyatakan pola nombor bagi nombor
 (i) ganjil (ii) genap

4. Lengkapkan urutan Nombor Fibonacci berikut.

1,  , 2,  ,  ,  ,  , ...

5. Lengkapkan rajah di bawah.

Tujuan: Mengenal pasti pola dalam urutan nombor dan corak
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1.  Buka fail MS007 yang telah disediakan.
2. Lengkapkan jadual berikut dengan melukis corak seterusnya.

Perbincangan:
(i) Nyatakan pola yang anda dapati daripada aktiviti 1, 2 dan 3.
(ii)  Senaraikan urutan nombor dalam aktiviti 1, 2 dan 3.

Menerangkan maksud jujukan.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms007 untuk
mendapatkan lembaran
kerja.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms006 untuk
melihat salah satu urutan
Fibonacci.

16
8

44 44

8

8
B
A

B
 1

B
A

B
 1

98

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

1.2.2 Pola suatu jujukan

Mengenal pasti dan
memerihalkan pola suatu
jujukan, dan seterusnya
melengkapkan dan
melanjutkan jujukan
tersebut.

CONTOH 6

Tentukan sama ada urutan nombor berikut suatu jujukan atau bukan.
(a)   –10, –6, –2, 2, 6, ...  (b)   4, 5, –7, 10, –14, ...

Penyelesaian:

(a)   –10,  –6,  –2,    2,    6, ...

Jujukan nombor

CONTOH 7

Lengkapkan jujukan nombor berikut.

(a) 7, 13,  , 25,  ,  , ...

(c)  , 0.3,  , 0.027, 0.0081,  , ...

Penyelesaian:

(a) 7,   13, 19  , 25, 31  , ...

(c) 1  , 0.3, 0.09  , 0.027, 0.0081, 0.00243 , ...

+6 +6 +6 +6

×0.3 ×0.3 ×0.3 ×0.3 ×0.3

1. Tentukan sama ada urutan nombor berikut ialah suatu jujukan atau bukan.
 (a)   3, 18, 33, 48, ...  (b)   100, 116, 132, 148, ...

(c)	 1.0,	−1.7,	−2.4,	3.1,	...		 (d)	 −15,	30,	60,	−120,	...

(e) 1
4

, 1
2

1 , 1
2

2 , 1
3

3 ,	...	 (f)	 −0.32,	−0.16,	−0.8,		−0.4,	...

2. Lengkapkan jujukan nombor di bawah.

(a)   34, 28,  , 16,  ,  , ...  (b)  ,  , 32, 16,  , 4, ...

(c) 0.07,  , 1.12 ,  , 17.92, ...  (d) 1
10

1 , 1,  ,  ,  , ...

(e) 0.2, 2.4, 28.8,   ,   , ...  (f) 	,	−80,	−16,	  ,  , ...

(g)  , 2
3

, 7
12

,  , 	,	...		 (h)	 −8.1,	 	,	−4.1,	−2.1,		  , ...

1.2JOM CUBA

Penyelesaian:

(a) 92, 88, 84, 80, 76, ...
(b) 21, 63, 189, 567, 1 701, ...
(c)	 13.3,	5.3,	−2.7,	−10.7,	−18.7,	...
(d) 80, 16, 3.2, 0.64, 0.128, ...

Daripada aktiviti sebelumnya, susunan corak seterusnya boleh ditentukan dengan mengikut corak
sebelumnya. Suatu susunan nombor atau objek yang mengikut pola ini disebut sebagai jujukan.

Jujukan ialah suatu set nombor atau objek yang disusun mengikut suatu pola.

(b) 4,    5,   –7,   10,  –14, ...

Pola: Menambah 4
Maka, urutan nombor ini
ialah jujukan.

Pola: Tiada
Maka, urutan nombor ini
bukan jujukan.

(b)   88,  , 64, 52,  ,  , ...

(d)  ,  , 1
3

, 4
6

,  , ...

(b) 88,  76  , 64, 52, 40  , 28  , ...

(d) 1
3−  , 0  ,  1

3
, 4

6
, 1  , ...

CONTOH 8

Lengkapkan jujukan berikut berdasarkan pola yang diberikan.

(a)    Menolak 4 daripada nombor sebelumnya.

96,  ,  ,  ,  ,  , ...

(b)   Mendarab nombor sebelumnya dengan 3.

7,  ,  ,  ,  ,  , ...

(c) Mengurangkan 8 daripada nombor sebelumnya.

21.3,  ,  ,   ,  ,  , ...

(d) Membahagi nombor sebelumnya dengan 5.

400,  ,  ,   ,  ,  , ...
+4 +4 +4 +4 +1 –12 –24+17

Ahli astronomi
menggunakan pola untuk
meramal laluan komet.

−12 −12

+ 1
3 + 1

3 + 1
3 + 1

3

−12 −12 −12

Nombor segi tiga ialah
nombor yang dibentuk
dengan pola titik segi tiga.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ...

1

3

6

10

15
B
A

B
 1

B
A

B
 1

1110

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

(iii) Ungkapan Algebra

1 = 1 + 8 (0)
   9 = 1 + 8 (1)
 17 = 1 + 8 (2)
 25 = 1 + 8 (3)
 33 = 1 + 8 (4)

Maka, pola bagi jujukan nombor tersebut boleh ditulis sebagai 1 + 8n dengan keadaan
 n = 0, 1, 2, 3, 4, ... .

Seorang juruhias dalaman
ingin menyusun jubin
pada dinding seperti corak
di bawah.

Apakah corak seterusnya?

Penyelesaian:

(i) Nombor

Maka, pola ialah +8.

(ii) Perkataan

Maka, pola bagi jujukan di atas adalah menambah 8 kepada
nombor sebelumnya.

1,   9,   17,   25,   33, ...

+8 +8 +8 +8

+8 +8 +8 +8

1,   9,   17,   25,   33, ...

+8 +8 +8 +8

1,   9,   17,   25,   33, ...

1.3.2 Sebutan bagi suatu jujukan
Sebutan sesuatu jujukan dikenali sebagai sebutan ke-n dan ditulis
sebagai Tn  iaitu T ialah sebutan manakala n ialah kedudukan sebutan.

Misalnya,
  4, 8, 12, 16, ...

Menentukan sebutan
tertentu bagi suatu jujukan.

Tn = sebutan ke-n

Daripada jujukan di atas,

T1 = 4,

T2 = 8,

T3 = 12,

T4 = 16, ...

Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan pola jujukan nombor tersebut.
 2,   10,   18, ...

Pola nombor: Menambah 8 kepada nombor sebelumnya.

Langkah 2: Senaraikan semua sebutan hingga sebutan kelima
  seperti di bawah.

T1 = 2  T4 = 26
  T2 = 10  T5 = 34
  T3 = 18

  Maka, sebutan kelima ialah 34.

+8 +8

CONTOH 10

CONTOH 11

Nyatakan sebutan kelima bagi jujukan nombor berikut.

2, 10, 18, ...

Diberi jujukan nombor 65, 60, 55, 50, ... . Tentukan nombor 40
ialah sebutan yang keberapa dalam jujukan itu.

3. Lengkapkan jujukan nombor berikut berdasarkan pola yang dinyatakan.

(a)   Menambah 7 kepada nombor sebelumnya.

42,  ,  ,  ,  ,  , ...

(b)   Membahagi nombor sebelumnya dengan 2.

96,  ,  ,  ,  ,  , ...

1.3 Pola dan Jujukan
1.3.1 Pola suatu jujukan menggunakan nombor,

perkataan dan ungkapan algebra
Membuat generalisasi
tentang pola suatu
jujukan menggunakan
nombor, perkataan dan
ungkapan algebra.CONTOH 9

Nyatakan pola bagi jujukan nombor 1, 9, 17, 25, 33, ... menggunakan
nombor, perkataan dan ungkapan algebra.

Langkah 2:

T1 = 65
T2 = 60
T3 = 55

Maka, 40 ialah sebutan ke-6.

T4 = 50
T5 = 45
T6  = 40

Ungkapan Algebra
ialah ungkapan yang
menggabungkan
nombor, pemboleh ubah
atau simbol matematik
lain dengan operasi.

Contoh:
2ab + 3c, 5a + 2b	−	3c

Permaisuri lebah bertelur
di dalam sarangnya.
Sarang lebah mempunyai
pola yang tersendiri, iaitu
berbentuk heksagon.

–5 –5 –5

65, 60, 55, 50, ...

Pola: Menolak 5 daripada
 nombor sebelumnya.

Apakah pola untuk jujukan
berikut?
(i)  1, 4, 9, 18, 35
(ii)  23, 45, 89, 177
(iii)  5, 7, 12, 19, 31
(iv) 0, 4, 2, 6, 4, 8
(v)  4, 7, 15, 29, 59, 117

Nyatakan pasangan
nombor yang sesuai dalam
kedudukan A, B, C, D, E.

Penyelesaian:

Langkah 1:
1(1) 3(2) 5(5) A

B D

C E

2(1) 4(3) 6(8)

22 + (2 + 2 + 1) = 32

32 + (3 + 3 + 1) = 42

42 + (4 + 4 + 1) = 52

52 + (5 + 5 + 1) = 62

(i)  Nyatakan dua sebutan
seterusnya.

(ii) Nyatakan sebutan ke-n.
B
A

B
 1

B
A

B
 1

1312

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

1.3JOM CUBA

MENJANA KECEMERLANGAN

1. Tentukan pola jujukan nombor menggunakan perkataan.
 (a) 4, 12, 36, 108, 324, ...  (b) 256, 128, 64, 32, 16, ...

2. Tentukan pola jujukan nombor di bawah menggunakan ungkapan algebra.
 (a) 2, 4, 8, 16, ...  (b) 5, 8, 11, 14, ...
 (c) 3, 6, 9, 12, ...  (d) 3, 1, –1, –3, ...

3. Hitung sebutan ketujuh dan kesebelas bagi jujukan nombor di bawah.

(a) –3, 5, 13, ...  (b) 4, 1
2

5  , 7, ...  (c) –3.7, –4.3, –4.9, ...

1.3.3 Penyelesaian masalah

CONTOH 12 Menyelesaikan masalah
yang melibatkan jujukan.

4. Jadual di bawah menunjukkan jadual perjalanan lima buah bas dari Kuala Lumpur ke Pulau Pinang.

Bas Masa bertolak
A 8:00 pagi
B 8:30 pagi
C 9:00 pagi
D

E

Berdasarkan jadual di atas, jawab soalan yang berikut.
 (a) Hitung selang masa bertolak antara dua buah bas.
 (b)  Pada pukul berapakah bas E akan bertolak?
 (c) Pada pukul berapakah bas E akan sampai di Pulau Pinang jika perjalanan mengambil

masa selama 5 jam?

Gambar	di	atas	ialah	mesin	pemberi	makanan	ikan	secara	automatik	dan	spesifikasinya.	Eng	Wei
menetapkan pemberian makanan ikannya 4 kali sehari. Pemberian makanan yang pertama pada
pukul 7:35 pagi. Pada pukul berapakah ikan itu diberi makanan untuk kali yang ketiga?

Memahami
masalah

Waktu
memberikan
makanan
kepada ikan
pada kali ketiga.

Melaksanakan strategi

Pola: 6 jam
T1  = 7:35 pagi

T2  = 7:35 pagi + 6 jam
 = 1:35 petang

T3  = 1:35 petang + 6 jam
 = 7:35 petang

Maka, ikan diberi
makanan kali
ketiga pada pukul
7:35 petang.

Merancang strategi Membuat
kesimpulan

1 hari = 24 jam

1 kali  =
24
4

= 6 jam

1. Padankan istilah berikut dengan pernyataan yang betul.

Nombor yang tidak boleh dibahagi
tepat dengan 2.

Urutan ini bermula dengan 0, 1, 1
dan sebutan seterusnya diperoleh
dengan menambah dua sebutan
sebelumnya.

Nombor yang boleh dibahagi tepat
dengan 2.

Aturan geometri pada pekali
binomial dalam sebuah segi tiga.

Segi Tiga Pascal

Nombor ganjil

Nombor Fibonacci

Nombor genap

2. Nyatakan pola bagi jujukan nombor yang diberikan.
 (a)   7, 13, 19, 25, ...  (b)   54, 50, 46, 42, ...
 (c) –13, –39, –117, –351, ...  (d) 1 296, 216, 36, 6, ...

3. Lengkapkan jadual di bawah.

Jujukan  Nombor Perkataan Ungkapan Algebra

(a)  2, 4, 6, 8, ...

(b)  100, 50, 25, 12.5, ...

Mesin Pemberi Makanan Ikan Automatik

Spesifikasi

• Saiz bekas: Sederhana
• Makanan kering dan pelet boleh digunakan
• Pemasa disediakan untuk mengatur jadual pemberian

makanan
• Menggunakan sistem terbaharu untuk mengelakkan

makanan daripada menjadi lembap atau tersumbat
di dalam bekas penyimpanan

• Boleh dikendalikan secara automatik atau manual
• Paparan skrin digital
B
A

B
 1

B
A

B
 1

1514

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

9. Nina menyusun butang baju seperti di bawah.

(a)  Nyatakan pola bagi bilangan butang baju.
 (b)  Nyatakan urutan bilangan butang baju.
 (c)   Lukiskan susunan butang baju untuk sebutan keempat.
 (d)  Hitung nilai T6.

10.	Encik	Hamid	 ingin	melakukan	penanaman	semula	pokok	kelapa	sawit.	 Jarak	bagi	 setiap	pokok
kelapa	sawit	ialah	9	m	dan	jarak	tanaman	tersebut	berbentuk	segi	tiga	sama	sisi.	Encik	Hamid	telah
melakar satu peta tanamannya seperti rajah di bawah.

Jika	Encik	Hamid	menanam	18	batang	pokok	kelapa	sawit,	berapakah	luas	tanah	beliau?

11. Raiyan telah pergi ke klinik untuk berjumpa dengan doktor kerana demam selesema yang
berlanjutan melebihi tiga hari. Doktor telah memberikan tiga jenis ubat, iaitu ubat demam,
antibiotik dan ubat selesema. Bantu Raiyan untuk membuat jadual pemakanan ubat jika dia
bermula makan ubat pada pukul 8:30 pagi.

Ubat demam  = 2 biji 3 kali sehari
Antibiotik  = 1 biji 2 kali sehari
Ubat selesema = 1 biji 1 kali sehari

4. Lengkapkan urutan nombor berikut.

 (a)   1, 3, 5,  , 9,   , ...

 (b)    ,  	,	−20,	−10,	−5,	...

(c) 268,  ,  , 169, 136,  , ...

(d) 1
2

,  , 1
3

,  , 1
6

, ...

5.		 Empat	sebutan	pertama	bagi	suatu	jujukan	ialah		9,	x, –5, –12, ...
 (a)   Hitung nilai x.
 (b)   Nyatakan pola jujukan itu menggunakan

(i) nombor
(ii) perkataan
(iii) ungkapan algebra

6. Lengkapkan Nombor Fibonacci di bawah.

0, 1, 1,  ,  ,  , ...

7. Gambar rajah di bawah menunjukkan lima aras pertama untuk Segi Tiga Pascal. Lengkapkan
Segi Tiga Pascal tersebut. Nyatakan bagaimana Segi Tiga Pascal itu dibentuk.

8.	 Empat	sebutan	pertama	bagi	suatu	jujukan	ialah	11, x, –5, –13,  ...
 (a) Hitung nilai x.
 (b) Nyatakan sebutan ke-10, T10.

1

11

1 1

1 1

11

Ubat 1 2 3

Demam

Antibiotik

Selesema

9 m
B
A

B
 1

B
A

B
 1

1716

Bab 1 Pola dan JujukanBab 1 Pola dan Jujukan

Jujukan ialah suatu susunan
nombor atau objek yang
mengikut pola tertentu.

INTI PATI BAB

Pola ialah suatu aturan atau corak tertentu dalam
senarai nombor atau objek.

Pola sesuatu jujukan merupakan corak yang
mempunyai urutan yang tertib.

Perkataan

4, 7, 10, 13, 16, ...

Jujukan bermula dengan nombor 4 dan
menambah 3 kepada nombor sebelumnya.

−9,		−11,		−13,		−15,		−17,	...
  T1

T2
          T3

T4
       T5

Sebutan pertama, T1		=	−9
Sebutan kedua, T2	 =	−11
Sebutan ketiga, T3		 =	−13
Sebutan keempat, T4 =	−15
Sebutan kelima, T5 =	−17

Pola bagi pelbagai set nombor
(i)  Nombor genap dan nombor ganjil
 4,  9,  14,  19, ...

nombor genap: 4,  14,  24, ...

nombor ganjil: 9,  19,  29, ...

(ii)  Segi Tiga Pascal

(iii) Nombor Fibonacci
 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

1

11

1 12

1 13

4 6 4

3

11

+10 +10

+10 +10

+5 +5 +5

Ungkapan Algebra

3, 6, 9, 12, 15, ...

ditulis sebagai 3n‚

n = 1, 2, 3, ...

Nombor

3,     6,     9,    12,   15, ...

Pola: Penambahan 3

+3 +3 +3 +3

1. Mengenal dan memerihalkan pola pelbagai set nombor dan objek dalam
kehidupan sebenar.

2. Menerangkan maksud jujukan.

3. Mengenal pasti dan memerihalkan pola suatu jujukan.

4. Melengkapkan dan melanjutkan jujukan.

5. Membuat generalisasi tentang pola suatu jujukan menggunakan nombor,
perkataan dan ungkapan algebra.

6. Menentukan sebutan tertentu bagi suatu jujukan.

7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan jujukan.

Tajuk: Blok futuristik
Bahan: Cawan kertas, botol mineral, gam, pembaris dan gunting

Setiap kumpulan dikehendaki menyediakan satu blok bangunan yang bercirikan masa
hadapan (futuristik) menggunakan cawan kertas dan botol mineral.

Warnakan	hasil	binaan	dan	namakan	blok	tersebut.

Bentangkan hasil binaan setiap kumpulan.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

REFLEKSI DIRI

Pola Jujukan

Pola dan Jujukan

Pola Suatu Jujukan

Sebutan bagi Suatu Jujukan
B
A

B
 2

B
A

B
 2

1918

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

2.1 Kembangan

2.2 Pemfaktoran

2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi
Asas Aritmetik

• Kembangan
• Ungkapan algebra
• Faktor
• Faktor Sepunya Terbesar
 (FSTB)
• Pecahan algebra
• Kuasa dua sempurna
• Pendaraban silang
• Pengangka
• Penyebut
• Sebutan terendah
• Gandaan Sepunya
 Terkecil (GSTK)

• Expansion
• Algebraic expression
• Factor
• Highest Common
 Factor (HCF)
• Algebraic fraction
• Perfect square
• Cross multiplication
• Numerator
• Denominator
• Lowest term
• Lowest Common
 Multiple (LCM)

RANGKAI KATA

1918

Umumnya algebra merupakan cabang
matematik yang digunakan bagi menerangkan
perhubungan antara beberapa kuantiti unit,
contohnya jarak dengan laju, berat dengan
tinggi dan lain-lain. Melalui perhubungan
ini, murid boleh mempelajari kemahiran
menyelesaikan masalah dalam pelbagai
situasi.

Menurut buku berjudul ‘al-Jabr w'al-Muqabala’
yang ditulis oleh seorang ahli matematik
berbangsa Arab, Muhammad Ibn Musa al-
Khwarizmi, perkataan algebra berasal daripada
‘al-Jabr’. Beliau juga digelar sebagai ‘Bapa
Algebra’ atas sumbangan beliau dalam bidang
algebra.

MASLAHAT BAB INI

Algebra banyak digunakan dalam perbandingan
harga, proses jual beli, ukuran, perubahan nilai
dan sebagainya.
Algebra juga digunakan dalam bidang seperti
bidang	kimia,	fizik,	forensik	dan	lain-lain.

Untuk maklumat lanjut:

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms019

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 2

B
A

B
 2

2120

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Mengira luas menggunakan kaedah jubin algebra
Bahan: Kertas berwarna hijau dan biru
Langkah:
1.  Potong kertas berwarna biru menjadi segi empat sama berukuran 6 cm panjang dan

6 cm lebar.
2.  Potong kertas berwarna hijau mengikut ukuran saiz 6 cm panjang dan 2 cm lebar.
3. Hitung luas kertas biru dan kertas hijau dengan kaedah 1 dan kaedah 2.

 Kaedah 1: Luas kertas biru + luas kertas hijau

Kaedah 2: Panjang × (lebar biru + lebar hijau)

4. Adakah terdapat persamaan jawapan pada kedua-dua kaedah? Bincangkan.
5. Berdasarkan rajah di bawah, hitung luas segi empat ABCD.

A x cm

x cm

3 cm

D

B

C

(6 cm + 2 cm)

6 cm

Jubin algebra adalah
manipulatif matematik
yang membolehkan murid
untuk lebih memahami
cara pemikiran algebra
dan konsep algebra.

+

6 cm 2 cm

6 cm 6 cm

2.1  Kembangan

2.1.1  Kembangan ungkapan algebra
Kembangan ungkapan algebra bermaksud hasil pendaraban satu atau
dua ungkapan dalam kurungan.

Menerangkan maksud
kembangan dua
ungkapan algebra.

(+) × (+) +
(+) × (–) –
(–) × (+) –
(–) × (–) +

CONTOH 1

Kembangkan setiap ungkapan berikut.
(a)   6(3 + 4w) (b)   3r (r – 2s)

(c)   −5b(a + 3) (d)   −
2y
3

(9y – 3z + 6x)

2.1.2  Kembangan dua ungkapan algebra

Tujuan: Menentukan luas segi empat ABEF
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1.  Hitung luas ABEF dengan menggunakan dua kaedah di bawah.

Melaksanakan kembangan
dua ungkapan algebra.

Kaedah 2:
Luas ABEF
= panjang × lebar
= EF × AF

=  ×

=  cm2

Kaedah 1 :
Luas ABEF
= Luas ACDF – Luas BCDE
=  –
=  cm2

Perbincangan:
Adakah jawapan bagi kaedah 2 sama seperti kaedah 1? Terangkan.

Apabila melakukan kembangan ungkapan algebra, setiap sebutan dalam tanda kurungan mesti
didarabkan dengan sebutan di luar kurungan.

5x cm
A C

F DE

3 cm

3 cm

B
Panjang EF boleh
diperoleh dengan menulis
ungkapan berikut.

EF = (5x − 3) cm

Ungkapan algebra
ialah ungkapan yang
menggabungkan nombor,
pemboleh ubah atau simbol
matematik lain dengan
operasi. Misalnya, 2a + 5.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms020 untuk
menonton video jenis-jenis
jubin algebra.
B
A

B
 2

B
A

B
 2

2322

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Penyelesaian:

(a)   6(3 + 4w)
 = (6 × 3) + (6 × 4w)
 = 18 + 24w

(c)   −5b (a + 3)
	 =	(−5b × a)	+	(−5b × 3)
	 =	−5ab −	15b

(b)   3r (r – 2s)
 = (3r × r) + �3r × (−2s)�
 = 3r 2	−	6rs

(d)   −
2y
3

(9y – 3z + 6x)

= �−
2y
3  × 9y� + �−	2y

3  × (– 3z)� + �−	2y
3  × 6x�

=	−6y 2 + 2yz – 4xy

a b

DCbBA

a

a

b

+

3

1 1

1

1

2

Tujuan: Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Aktiviti berikut dijalankan secara berpasangan.
2. Murid pertama menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 1.
3. Murid kedua menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 2.

Luas segi empat sama RSTU boleh dihitung dengan

S

TU

B

D

A

C

R
a

a

b

b

Kaedah 1

A

a

Ba

b

C

a

b Db

b

Luas segi empat sama RSTU = Luas A + Luas B + Luas C + Luas D

= (  × )  + (  × )  + (  × )  + (  × )

=  +  +  +

=  +  +

(a + 2)(a + 1)

= a(a + 1) + 2(a + 1)
= a 2 + a + 2a + 2

= a 2 + 3a + 2

(a + b)(a + b)  = (a + b) 2

(a – b)(a – b)  = (a – b) 2

(a + b)(a – b)  = (a × a) + �a ×(–b)� + (b × a) + �b × (–b)�
  = a 2 – ab + ba – b 2

= a 2 – b 2

PERHATIAN
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2

(a + b)(a + b)≠a 2 + b 2

(a – b)(a – b)	≠	a 2 – b 2

Apabila melakukan kembangan dua ungkapan algebra dalam dua tanda kurungan, setiap sebutan
dalam tanda kurungan pertama mesti didarabkan dengan setiap sebutan dalam tanda kurungan
kedua. Misalnya,

Perbincangan:
Adakah jawapan bagi kedua-dua kaedah terdapat persamaan?

CONTOH 2

Kembangkan setiap ungkapan berikut.
(a)    (y + 1)(y – 3)         (b) (4 + 3r)(2 + r)
(c)    (3r + 4s)(r – 2s) (d) (3p + 2) 2

Penyelesaian:

(a)   (y + 1)(y – 3)

 = y(y – 3) + 1(y – 3)
 = y 2 – 3y + y – 3
 = y 2 – 2y – 3

Kaedah 2
Asingkan segi empat sama kepada dua bahagian seperti berikut.

Luas segi empat RSTU = Luas A dan B + Luas C dan D

= ( )(a + b)  + ( )(a + b)

=  +  +  +

=  +  +

a

Sebutan serupa
boleh diselesaikan

(b)   (4 + 3r)(2 + r)

= 8 + 4r + 6r + 3r 2

= 8 + 10r + 3r 2

= 3r 2 + 10r + 8

BA

a

a

b

DC

a

b

b

Kaedah alternatif
(i) Pendaraban silang

(ii) Bentuk lazim

Maka, a 2 + 3a + 2

a

a

a2

+2

+1

+2

2a

a

3a

(+)(×)(×)

a
a
a

+ 2
+ 1
+ 2

a 2 + 2a
    a 2 + 3a  + 2

(+)

×
B
A

B
 2

B
A

B
 2

2524

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

(c)   (3r + 4s)(r – 2s)
 = 3r (r – 2s) + 4s(r – 2s)
 = (3r × r) + �3r × (– 2s)� + (4s × r) + �4s × (–2s)�
 = 3r 2 – 6rs + 4sr – 8s 2

= 3r 2 – 2rs – 8s 2

(d)   (3p + 2) 2

= (3p + 2)(3p + 2)
 = 9p 2 + 6p + 6p + 4

= 9p 2 + 12p + 4

2.1.3  Gabungan operasi termasuk kembangan
Penyelesaian gabungan operasi bagi ungkapan algebra
mahupun sebutan algebra mestilah mematuhi hukum 'BODMAS'.

Mempermudah ungkapan
algebra yang melibatkan
gabungan operasi termasuk
kembangan.

Sebutan serupa
sr = rs

Sebutan serupa
boleh diselesaikan

Sebutan serupa
boleh diselesaikan

QR CODE

Imbas QR Code atau layari
http://rimbunanilmu.my/mat_
t2/ms024a untuk menonton
video kaedah pendaraban
silang.

CONTOH 3

B = Brackets
O = Order
D = Division
M = Multiplication
A = Addition
S = Subtraction

Untuk maklumat lanjut:
Imbas QR Code di bawah
atau layari
http://rimbunanilmu.my/
mat_t2/ms025

Permudah.
(a)   (3w – 2)(4w – 1) – 10w   (b)   (r – 3t) 2 + 4rt
(c)   (x + y)(x – y) + x(x – 2y)

Penyelesaian:

(a)   (3w – 2)(4w – 1) – 10w = 3w (4w – 1) – 2 (4w – 1) – 10w

= 12w 2   – 3w – 8w  +  2 – 10w

= 12w 2  – 3w – 8w – 10w + 2

= 12w 2 – 21w + 2

(c) (x + y)(x – y) + x(x – 2y) = x 2 – xy + xy – y 2 + x 2 – 2xy

= x 2 + x 2    – y 2 – xy + xy – 2xy

= 2x 2  – y 2  – 2xy

(b)   (r – 3t) 2 + 4rt = (r – 3t)(r – 3t) + 4rt

= r 2 – 3rt – 3rt  + 9t 2 + 4rt

= r 2 + 9t 2 – 3rt – 3rt + 4rt

= r 2 + 9t 2 – 2rt

CONTOH 4

CONTOH 5

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan kembangan
dua ungkapan algebra.

2.1.4  Penyelesaian masalah

Puan Maria mempunyai sebidang permaidani yang panjangnya
(3r −	2)	meter	 dan	 lebarnya	 ialah	 (r + 1) meter. Hitung luas
permaidani Puan Maria.

Penyelesaian:

Luas  = panjang × lebar
         = (3r – 2)(r + 1)
         = 3r 2 + 3r – 2r – 2
 = 3r 2 + r – 2

Maka, luas permaidani ialah (3r 2 + r – 2) meter persegi.

Ramesh menerima wang saku sebanyak RM50 untuk (y – 8) hari. Setiap hari dia membelanjakan
sebanyak RM(x	−	3)	untuk	secawan	kopi	dan	RM(x + 4) untuk mi rebus. Hitung baki wang Ramesh.

Hukum Kalis Agihan
digunakan apabila
melakukan kembangan.

a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b	−	c) = a × b	−	a × c

Tujuan: Menulis hubungan algebra berdasarkan jubin algebra
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:

1. Buka fail MS024B untuk memperoleh paparan yang menunjukkan
heksagon sekata berwarna kuning serta bentuk lain yang
berwarna merah, biru dan hijau.

2. Pilih gabungan bentuk berwarna merah, biru atau hijau untuk
dimasukkan ke dalam heksagon sekata berwarna kuning tersebut.

3. Tuliskan hubungan algebra yang diperoleh.
4. Pilih gabungan bentuk yang lain untuk dimasukkan ke dalam trapezium hijau.

Perbincangan:
Bandingkan hasil dapatan anda dengan kumpulan lain.

(3r – 2) m

(r + 1) m

Sebutan algebra disusun
daripada kuasa tertinggi
kepada kuasa terendah.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms024b untuk
membina poligon.

Hubungan antara pendaraban
ungkapan Binomial secara
berulang dengan Segi Tiga
Pascal.

Nyatakan dua sebutan
seterusnya.

(a + b) 0

(a + b) 4

(a + b) 3

(a + b) 2

(a + b) 1

1 4 6

1
1

1

1
1

1
1

2
33

a  +    b

a 2  +    ab +   b 2

a 3 +    a 2b +   ab 2 +   b 3

a 4 +    a 3b +    a 2b 2 +    ab 3 +   b 414
B
A

B
 2

B
A

B
 2

2726

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

2.1JOM CUBA

Penyelesaian:

Memahami
masalah

Kenal pasti
jumlah harga
kopi dan mi
rebus.

(x	−	3)	+	(x + 4)
= 2x + 1

Melaksanakan strategi
Menghitung baki
perbelanjaan dengan
proses kembangan.

Wang	saku	−	Jumlah
perbelanjaan

=	50	−	(2xy + y	−	16x	−	8)
=	50	−	2xy	−	y + 16x + 8
=	58	−2xy	−	y + 16x

Merancang strategi Membuat
kesimpulan

Baki wang saku.

RM(58	−	2xy	−	y + 16x)

1.  Berdasarkan jubin algebra berikut, tulis luas kawasan berlorek dalam bentuk pendaraban dua
ungkapan algebra.

(a)       (b)

2.  Kembangkan ungkapan algebra berikut.
 (a) 3(x + 2) (b)  4(8x	−	3)		 (c)	 2(a + 5)

(d)  p(6p	−	8)		 (e)		 −
r
8

(2s	−	8)	 (f)	 −2(pr	−	2pq)

(g) 3(5bc	−	6)	 (h)	 7(2ef + 3e) (i) 8g(2 + gh)

3. Kembangkan ungkapan algebra berikut.
 (a)  (a + 1)(a + 2) (b) (x	−	5)(x + 4) (c) (2 + m)(5	−	m)

(d) (3p	−	2)(4p	−	1)	 (e)	 (3r	−	2)(4r	−	1)	 (f)	 (2r + s)(4r	−	3s)

(g) (2d	−
1
2

b)(3d	−
1
2

b) (h) (r	−	3s) 2 (i) (4e	−	3) 2

4.  Permudah ungkapan berikut.
 (a) (5b + 3) + 4(3b	−	a) (b) 3(4m	−	5mn)	−	2(8m + mn)
 (c) (h	−	j)2	−	2h(3h	−	3j) (d) (x + y)(x	−	y) + 2x(x + 2y)

Tentukan jumlah
perbelanjaan dalam
masa (y	−	8)	hari	dengan
kaedah kembangan.

Hari × Harga

= (y	−	8)(2x + 1)
= 2xy + y	−	16x	−	8

a

a

1

1 1 4x

4x

33

5.  Hitung luas rajah berikut dengan menggunakan ungkapan algebra.

(a) (b)

(c) (d)

6.  Hadila berumur 2 tahun lebih muda daripada Kai Yee. Umur bapa Kai Yee ialah kuasa dua umur
Hadila. Jika Kai Yee berumur p tahun, hitung jumlah umur mereka bertiga. Ungkapkan jawapan
anda dalam bentuk ungkapan algebra.

7. Sebuah permukaan meja berbentuk segi empat tepat mempunyai panjang (5x	−	2)	meter	dan
lebar (x +	2)	meter.	Encik	Phillip	ingin	meletakkan	cermin	kaca	di	atas	meja	tersebut.	Lebar
meja yang tidak ditutupi dengan cermin ialah (x −	3)	meter.	Ungkapkan	luas	permukaan	meja
yang tidak ditutupi dengan cermin kaca tersebut.

8.  Hitungkan panjang LM dalam sebutan y.

2p – 3

5x + 2

2x – 3

7y – 3
4y – 1

K

M L

3y – 2

y – 1

Menghubungkaitkan
pendaraban ungkapan
algebra dengan konsep
faktor dan pemfaktoran,
dan seterusnya
menyenaraikan faktor
bagi hasil darab ungkapan
algebra tersebut.

2.2  Pemfaktoran
2.2.1 Konsep faktor dan pemfaktoran
Pemfaktoran ialah proses mengenal pasti  faktor sebutan dan ungkapan
algebra dan apabila didarabkan akan menghasilkan ungkapan asal.
Pemfaktoran merupakan proses songsangan kepada kembangan.

Misalnya, faktor bagi 3p

Maka, faktor bagi 3p ialah 1, 3, p dan 3p.

1 × 3p      3 × p

w + 3

2w

4w – 2
�

�
B
A

B
 2

B
A

B
 2

2928

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Semak jawapan anda
dengan kaedah kembangan.

4x (2 + 3x)
= 8x + 12x 2

4x + 2 = 2(2x + 1)

2 ialah faktor sepunya bagi 4x dan 2.

Faktor, Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya
Terbesar (FSTB) bagi hasil darab ungkapan algebra

Faktor sepunya ialah faktor bagi sebutan algebra yang membahagi
dengan tepat dua atau lebih sebutan lain. Faktor Sepunya Terbesar
(FSTB) ialah faktor yang terbesar antara semua faktor sepunya.

Perhatikan ungkapan,

CONTOH 6

Faktor sepunya bagi 9c 2d, 3d 2e dan 6def
ialah 1, 3, d dan 3d. 3d ialah faktor sepunya
kerana boleh membahagi semua sebutan di
atas dengan tepat.

Maka, faktor sepunya bagi 6h dan
4gh ialah 1, 2, h dan 2h.

(b)    9c2d, 3d 2e dan 6def
 9c2d  = 1  × 3  × 3 × c × c × d
 3d 2e = 1  × 3  ×  d  × d × e
 6def  = 1  × 2 × 3  ×  d  × e × f

Pemfaktoran ialah
songsangan kepada
kembangan.

Pemfaktoran

Kembangan

a(a + b) = a 2 + ab

PERHATIAN
'1' ialah faktor bagi
semua sebutan algebra.

Menggunakan FSTB

Ungkapan algebra boleh difaktorkan dengan mencari Faktor
Sepunya Terbesar (FSTB).

2.2.2  Pemfaktoran ungkapan algebra

Memfaktorkan ungkapan
algebra dengan
pelbagai kaedah.

8x

12x 2
4x ialah FSTB

FSTB boleh ditentukan
dengan kaedah
pembahagian berulang.

FSTB = 4x

8x , 12x 2

2x , 3x 2

2   , 3x

4
x

Misalnya,

Menggunakan beza antara dua sebutan kuasa dua sempurna

x 2 – y 2 ialah sebutan beza kuasa dua. x 2 – y 2 boleh difaktorkan
dengan beza kuasa dua sempurna. Kaedah ini hanya boleh
digunakan jika kedua-dua sebutan algebra tersebut ialah kuasa
dua sempurna.

Nombor kuasa dua sempurna.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
81, 100, 121, 144, ...

CONTOH 7

Penyelesaian:

2. (a) (b)

1. Tentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi setiap sebutan
 (a)    6h , 4gh (b) 9c 2d , 3d 2e , 6def

2. Faktorkan setiap ungkapan berikut.
 (a)    3x + 15 (b)   7m + 21m 2

Penyelesaian:

1. (a)  (b)

3

2 3
h d

3x + 15
  x + 5

6h , 4gh
3h , 2gh
3   , 2g

9c 2d , 3d 2e , 6def
3c 2d ,   d 2e , 2def
3c 2   ,   de   , 2ef

7
m

7m + 21m 2

m  + 3m 2

1   + 3m

FSTB = 3d

Perhatikan,
x 2  –  4 = x 2 –  2 2

= (x + 2)(x –  2)

Semak semula dengan
kaedah kembangan
(x + 2)(x	−2)
= x(x	−	2)	+	2(x	−	2)
= x 2	−	2x + 2x	−	4
= x 2	−	4

Maka, ungkapan algebra bagi 8x + 12x 2 boleh ditulis sebagai hasil
darab dua faktor seperti,

4x(2 + 3x)
Ini dinamakan pemfaktoran.

FSTB = 2h

FSTB = 3
Maka, 3(x + 5)

FSTB = 7m
Maka, 7m(1 + 3m)

Penyelesaian:

(a)   b 2 – 1
 = b 2 – 12

= (b + 1)(b – 1)

(b)   9m 2 – 100
 = (3m) 2 – 10 2

= (3m + 10)(3m −	10)

CONTOH 8

Faktorkan setiap ungkapan berikut.
(a)   b 2 – 1 (b)   9m 2 – 100
(c)   3y 2 – 147 (d)   5k 2 – 80

Nombor
ganjil

Beza kuasa
dua

1 12 − 0 2

3 22 − 1 2

5 32 − 2 2

7 42 − 3 2

9 52 − 4 2

11 62 − 5 2

13 72 − 6 2

Faktor bagi 16
16 ÷ 1 = 16
16 ÷ 2 = 8
16 ÷ 4 = 4

16 ÷ 8 = 2
16 ÷ 16 = 1

Maka, faktor bagi 16 ialah 1,
2, 4, 8 dan 16.

Senaraikan semua faktor sepunya bagi setiap sebutan berikut.
(a)    6h, 4gh (b)   9c2d, 3d 2e, 6def

Penyelesaian:
(a)    6h  =  1  × 6h

2  × 3h

3 × 2h

h  × 6
       4gh = 1  × 4gh
  4 × gh
  2  × 2gh
  2g × 2h
  g × 4h
  h  × 4g
B
A

B
 2

B
A

B
 2

3130

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Penyelesaian bagi
−2y 2	−	9y + 5 boleh juga
ditulis (−2y + 1 )(y + 5).
Bincangkan.

2m        3    3m

m        2    4m

2m2    +6     7m

x	 	 				−3				−3x

x	 	 				−3				−3x

x2               +9    −6x

(+)

Menggunakan pendaraban silang

Bagi ungkapan algebra berbentuk ax2 + bx + c dengan a≠0	dan	a,
b, c ialah suatu integer boleh difaktorkan dengan kaedah pendaraban
silang.

Perhatikan contoh di bawah berserta penerangannya untuk pemfaktoran
ungkapan algebra x2 + 6x + 8.

(c)   3y 2 – 147
 = 3(y 2 – 49)
 = 3(y 2 – 72)
 = 3(y + 7)(y – 7)

Suatu ungkapan algebra seperti x2 + 2xy + y2 boleh difaktorkan
sebagai (x + y)(x + y).

CONTOH 9

Faktorkan setiap ungkapan berikut.
(a)   x2	−	6x + 9

CONTOH 11

Faktorkan ungkapan berikut.
(a) –2y2 – 9y + 5 (b) –3x2 – 8x – 5

Penyelesaian:
(a)  (b)

Identiti Pemfaktoran
(a)   (x + y)2
 = (x + y)(x + y)
 = x 2 + 2xy + y 2

(b)   (x – y) 2

= (x – y)(x – y)
 = x 2 – 2xy + y 2

(c)   x 2 – y 2
 = (x + y)(x	−	y)

Maka, –2y2 – 9y + 5 = (2y – 1)(–y – 5).

2y	 	 				−1				+y

−y	 	 				−5				−10y

−2y2     +5    −9y

(+)(×)(×)

(b)   m2 −	2m	−	8

QR CODE

Imbas QR Code atau layari
http://rimbunanilmu.my/
mat_t2/ms030 di bawah
untuk menonton video
tentang kaedah pemfaktoran
menggunakan jubin algebra.

CONTOH 10

Faktorkan ungkapan berikut.
2m2 + 7m + 6

Penyelesaian:

Cubaan pertama:        Cubaan kedua:

Pendaraban faktor 6:
1 × 6
2 × 3

Maka, 2m2 + 7m + 6 = (2m + 3)(m + 2).

2m        1     1m

m        6   12m

2m2    +6    13m

(×) (×) (+) (×) (×) (+)

Maka,  x2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3). Maka,  m2 −	2m	−	8	=	(m + 2)(m	−	4).

Penyelesaian:

(a) x2	−	6x +   9 Pendaraban
faktor 9:

(−1) × (−9)
(−3) × (−3)

2 + (− 4)   = −2

Pendaraban
faktor 8:
  1 × (−8)
 −2 × 4
  2 × (−4)

(b)   m2  −	2m	−				8

−3 + (−3)  = −6

m        2      2m

m	 	 			−4				−4m

m2	 														−8				−2m

(d)   5k 2 – 80
 = 5(k 2 – 16)
 = 5(k 2	−	42)
 = 5(k + 4)(k − 4)

FSTB 3 dan 147
ialah 3

FSTB 5 dan 80
ialah 5

Semak jawapan dengan
kaedah kembangan

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms031 untuk
menonton video tentang
pemfaktoran menggunakan
kaedah pendaraban silang.

Langkah 1: Bandingkan pekali

1x2  +  6x   +  8

a x2 + b x + c

Maka, a = 1, b = 6 dan c = 8

Langkah 2: Faktor bagi 8 ialah 1, 2, 4 dan 8. 2 dan 4 dipilih kerana
 menepati c , iaitu 2 × 4 = 8.

Langkah 3: 2 dan 4 dipilih kerana menepati b , iaitu 2 + 4 = 6.

Langkah 4: Lakukan darab silang seperti di bawah.

Langkah 5: Faktor x2 + 6x + 8 ialah (x + 2)(x + 4).

Hasil
Tambah

b

Hasil Darab
c

1  +     8  = 9
−1 + (−8) = −9

1 ×     8    = 8
−1 × (−8)   = 8

2 + 4 = 6
−2 + (−4) = −6

2 × 4 = 8
−2 × (−4) = 8

2 +   4  = 6  2  ×   4  = 8

x      +2        2x

x      +4        4x
x2            +8        6x

c b

(×)(×) (+)

(×)(×)
(×) (×) (+)

Maka, –3x2 – 8x – 5 = (3x + 5)(–x – 1).

3x	 	 						5			−5x

−x	 	 				−1			−3x

−3x2	 			−5				−8x

(×) (×) (+)

Pemfaktoran dan pembahagian

x + 2    x2 + 6x + 8
								(−)	x2 + 2x
    4x + 8
								(−)								4x + 8
     0

x + 4
B
A

B
 2

B
A

B
 2

3332

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

CONTOH 12

CONTOH 13

Faktorkan setiap ungkapan berikut.
(a)    pq + qr + ps + rs

Penyelesaian:

(a)    pq + qr + ps + rs
 = (pq + qr) + (ps + rs)
 = q(p + r) + s(p + r)
 = (q + s)(p + r)

2.2.3  Penyelesaian masalah
Menyelesaikan masalah yang
melibatkan pemfaktoran.

Luas sebuah padang bola sepak berbentuk segi empat tepat ialah (4x2 + 16x) meter persegi. Padang
itu telah ditenggelami air seperti dalam rajah di bawah. Jika lebar padang itu ialah 4x meter dan dua
kawasan yang ditenggelami air ialah segi tiga bersudut tegak yang sama saiz, berapakah luas kawasan
yang tidak ditenggelami air?

(b)    2px + 6qy – 4py – 3qx

(b)    2px – 4py – 3qx + 6qy
 = (2px – 4py) – (3qx – 6qy)
 = 2p(x – 2y) – 3q(x – 2y)
 = (x – 2y)(2p – 3q)

kawasan yang
ditenggelami air

4x
Penyelesaian:

Merancang strategi Memahami masalah

Kenal pasti panjang
padang

Panjang =
luas

lebar

=
4x2 + 16x

4x

=
4x(x + 4)

4x1

1

= (x + 4)
Melaksanakan strategi
Luas kawasan yang tidak ditenggelami air
= Luas padang – luas dua segi tiga bersudut
  tegak
= 4x2 +16x – (2x2 + 8x)
= 4x2 – 2x2 + 16x – 8x
= 2x2 + 8x

Luas dua segi tiga bersudut tegak

Luas = 2 × �
1

2
 × tapak × tinggi�

= 2 × �
1

2
 × 2x × (x + 4)�

= 2x2 + 8x

Membuat kesimpulan

Luas kawasan yang tidak ditenggelami air
= (2x2 + 8x) m2

Tapak segi tiga
bersudut tegak

= 4x ÷ 2

= 2x

Tentukan tapak
segi tiga bersudut
tegak

2.2JOM CUBA

1. Senaraikan faktor sepunya dan FSTB bagi setiap sebutan berikut.

(a)   8y, 12y (b)   2b, 3b (c)   3w, 5w2

(d)   10m2, 15mk (e)   5bc, 2c2, 3cd (f)   4a 2b, 8b 2c, 6bcd

2. Faktorkan ungkapan algebra berikut.

(a)   5e + 10 (b)   2ab	−	8a2 (c)   3abc + 6a 2b

(d)   4x  – 12x2 (e)   ef + f 2  + fg (f)    2x2 – 4xy + 6wx

3. Faktorkan ungkapan algebra berikut.

(a)   b2  – 81 (b)   a2  – b2 (c)   x2  – 1

(d)  16y2  – 49 (e)   (m + 3)2  – 16 (f)   4(x  – 1)2  – 9

4.  Faktorkan ungkapan algebra berikut.

(a)    x2 + 9x + 14 (b) x2 + 7x  – 18 (c)  x2  – 5x  – 24

(d)  m2 + 11m  – 26 (e)   y2 – 2y  – 15 (f) k2  – 8k + 16

(g) 2m2 – 11m – 6 (h) 9f 2  – 12f + 4  (i) 2m2 + 4m – 16

(j) 2x2 – 5x – 7 (k) 12y2 + 8y – 15 (l) 5p2 + 6p – 8

(m) –5m2 – 6m + 8 (n) –3p2  + 8p	−	4	 (o)	 –6x 2 – x + 15

5. Faktorkan ungkapan algebra berikut.

(a)   pq  – qr  – pw + rw (b)   x2 + xy + 6x + 6y

(c)   3ab  – 9ad + bc  – 3cd (d) ah + aj – bh – bj

(e) jm – jn + ym – yn (f) 9xy – 3xz + 12py – 4pz

6.

Lantai di sebuah bilik berbentuk segi empat tepat dan sebidang permaidani berukuran 3 meter
panjang dan 2 meter lebar dibentangkan di dalam sebuah bilik.
(a)  Hitung luas lantai yang tidak ditutupi permaidani.
(b)  Felisa ingin menutupi keseluruhan lantai bilik dengan permaidani yang sama saiz.
 Nyatakan berapa bidang permaidani yang perlu dibeli sekiranya nilai y = 2.

2 m(y + 2) m

(2y	−	1)	m

3 m

Menggunakan faktor sepunya dalam empat sebutan algebra

ab + ac + bd + cd = (ab + ac) + (bd + cd)
  = a(b + c) + d(b + c)
  = (b + c)(a + d)

Hukum Kalis Agihan

Gabungkan sebutan
yang ada faktor

sepunya di dalam
satu kurungan

Faktor sepunya

Pemfaktoran boleh
dilakukan seperti berikut.
2x2 + 7x + 3
= 2x2 + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + (x + 3)
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (2x + 1)(x + 3)
B
A

B
 2

B
A

B
 2

3534

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

1
2

× 2

× 2
 –

1
4

=
2 – 1

4

=
1
4

3
4

– 1
3

=
× 3

× 3

3
4

–
× 4

× 4

1
3

= 9
12

– 4
12

= 5
12

Anda telah mempelajari kembangan, pemfaktoran dan penyelesaian masalah. Cuba selesaikan
gabungan operasi berikut yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

2.3  Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi Asas Aritmetik

Melaksanakan penambahan
dan penolakan ungkapan
algebra yang melibatkan
kembangan dan pemfaktoran.

Menambah atau menolak pecahan algebra dengan penyebut yang sama

CONTOH 14

Permudah.
(a)   2x2 – 2(4x + 5)

Penyelesaian:

(a)   2x2 – 2(4x + 5)  = 2x2 – 8x – 10
  = 2(x2	−	4x	−	5)
  = 2(x – 5)(x + 1)

(b)   4w (w – 2) – 5

(b) 4w (w – 2) – 5 = 4w2 – 8w – 5
  = (2w – 5)(2w + 1)

2.3.1  Penambahan dan penolakan
ungkapan algebra

CONTOH 16

Menambah atau menolak pecahan algebra yang penyebutnya tidak sama

Salah satu daripada penyebutnya ialah gandaan bagi penyebut yang lain

Permudah setiap ungkapan berikut.

(a)
3
4y
	−

1
2y

(b)    4
rs

– 2r
s

Penyelesaian:

          × 2

× 2

× r

× r (a)
3
4y

–
1
2y

= 3 – 2
4y

=
1
4y

Samakan
penyebutnya

Penyelesaian:

(a)    1
4p

+ 4
6p

=
1
4p

+
4
6p

= 3
12p

+ 8
12p

= 11
12p

Penyebut pecahan tersebut tidak mempunyai faktor sepunya

CONTOH 17

Permudah setiap ungkapan berikut.

(a)
5x
3
	−

3x
2

Penyelesaian:

(a)
5x
3

−
3x
2

= 10x – 9x
6

=

x
6

× 2

× 2

× 3

× 3

(b)
2a
3

+
b
2c

(b)
2a
3

+
b
2c

=
2a
3

+
b
2c

=
4ac + 3b

6c

× 2c

× 2c × 3

Penyebut pecahan mempunyai faktor sepunya

CONTOH 18

Permudah setiap ungkapan berikut.

(a)
1
4p  +

4
6p  (b)    m

4r
 – 5m

14rs

2p 4p , 6p

2     , 3

GSTK = 2p × 2 × 3
 = 12p

× 3

× 3

× 2

× 2

× 7s

× 7s
× 2

× 2

2r 4r , 14rs

2    , 7s

GSTK = 2r × 2 × 7s
 = 28rs

(b)
m
4r

– 5m
14rs

=
m
4r

– 5m
14rs

= 7ms – 10m
28rs

× 3

Gandaan Sepunya
Terkecil (GSTK)

Sebelum menyelesaikan
pecahan, langkah pertama
ialah menyamakan
penyebut.
(a)

(b)

(c)

(d)

3
7

+ 2
7

= 5
7

3y
5

+ 8y
5

= 11y
5

7x
5
	−	 x

10

=
× 2

× 2

7x
5

−	 x
10

= 14x
10

−	 x
10

= 13x
10

4
xy2 	−

x
y

= 4
xy2

−
× xy

× xy

x
y

= 4
xy2

−	 x
2y

xy2

= 4	−	x
2y

xy2

CONTOH 15

Permudah setiap yang berikut.

(b)
y

2x
	−

3y

2x

(b)
y
2x
	−

3y
2x

=
y − 3y
2x

=
2y

2x
−

= –
y
x

(c)
x + 2
5w

−
x − 5
5w

(c)
x + 2
5w

−
x − 5
5w

=
x + 2	−	(x − 5)

5w

=
x + 2	−	x + 5

5w

=
7

5w

(a)
4a
5  +

3a
5

Penyelesaian:

(a)
4a
5  +

3a
5

=
7a

5

(−)	×	(−)	=	+

y
x−  =

−y
x

Tanda negatif tidak boleh
berada di bahagian
penyebut

1

1

(b)
4
rs

–
2r
s

=
4	−	2r2

rs
B
A

B
 2

B
A

B
 2

3736

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

3
4 ÷ 5

4

= 3
41

× 4
5

1

= 3
5

2.3.2  Pendaraban dan pembahagian ungkapan
algebra

Melaksanakan pendaraban
dan pembahagian
ungkapan algebra yang
melibatkan kembangan
dan pemfaktoran.

Untuk mendarab dan membahagi ungkapan algebra, anda perlu
memfaktorkan ungkapan tersebut, kemudian memansuhkannya
sekiranya terdapat faktor sepunya pada pengangka dan penyebutnya.
Misalnya,

Proses ini memerlukan kemahiran pemfaktoran yang telah anda pelajari.

CONTOH 19

Permudah.

(a)
a2 – 1
2ab

×
b2

1 + a
                  (b)

(h + k)2

2k – h
 ×

6k – 3h
h2 – k2

(c)
5a

a + 2b
 ÷

2ab
3a + 6b

(d)
a2 – b

10a – 5b
 ÷

(a – b)2

8a – 4b

Penyelesaian:

(a)
a2 – 1
2ab

×
b2

(1 + a)

=
(a + 1)(a – 1)

2ab

1

1
 ×

b(b)
(1 + a)

1

1

 =

b(a – 1)
2a

(b)
(h + k)2

2k – h
 ×

6k – 3h
h2 – k2

=
(h + k)(h + k)

2k – h

1

1
 ×

3(2k – h)
(h + k)(h – k)

1

1
  =

3(h + k)
h – k

(d)
a2 – b2

10a – 5b
 ÷

(a – b)2

8a – 4b

=
(a + b)(a – b)

5(2a – b)

1

1
 ×

4(2a – b)
(a – b)(a – b)

1
1

=

4(a + b)
5(a – b)

Selesaikan gabungan operasi berikut.

(a)    2
5b

(15a + 25b) + a
b

(b)
9k 2 – 12k + 4

(3k + 2)(3k – 2)

(c)
12m – 18m2

4n2 – 16n
 × n

m
 (d)    a – b

3a + b
 ÷

(a – b)2

6a + 2b

CONTOH 20

2.3.3  Gabungan operasi ungkapan algebra

Melaksanakan gabungan
operasi ungkapan
algebra yang melibatkan
kembangan dan pemfaktoran.

(2p + 4) ÷ (p2 − 4) boleh ditulis sebagai
2p + 4
p2 – 4

.

2p + 4
p2 – 4

=
2(p + 2)
p2 – 22

=
2(p + 2)

(p + 2)(p – 2)

1

1

=
2

p – 2

Faktorkan pengangka

Permudah ungkapan atau
sebutan yang sama jika ada

m

mn
1

1  =
1
n

2s2

8sp   =
1

1

2(s)(s)
8(s)(p)

=
s

4p

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2	−	2ab + b2 = (a	−	b)2

a2	−	b2 = (a + b)(a	−	b)

a + 1 = 1 + a
a − b = −(b − a)
(p − q)2 = (q − p)2

Faktorkan

(c)
5a

a + 2b
 ÷

2ab
3a + 6b

=
5a

(a + 2b)
1

1
 ×

3(a + 2b)
2ab

1

1

=
15
2b

Permudah ungkapan
yang sama

Permudah ungkapan
yang sama

Penyelesaian:

(a)    2
5b

(15a + 25b) + a
b

=  2

5b
 × 5(3a + 5b) + a

b1

1

=
2(3a + 5b)

b + a
b

=
6a + 10b

b
 +

a
b

=  7a + 10b
b

2.3JOM CUBA

1.  Permudah setiap yang berikut.
 (a)  4(b −	1)2 − 9  (b) (m + 3)2 − 16 (c) (p −	5)2 − 49
 (d) 7x(x −	1) − 3  (e) (2c −	1)2 + 2(4 + c)

2. Permudah setiap yang berikut.

(a)
3y
5

+
3y
5

(b)
3m + 2n
m – 2n

–
m – 5n
m – 2n

(c)
4r – 3s
2r + 3s

–
3r – 4s
2r + 3s

3. Permudah setiap yang berikut.

(a)
5
p  –

2
p2    (b) 2s

3
 – 4s

9
 (c) 3

x + y  – 3z
4(x + y)

4. Permudah setiap yang berikut.

(a)
3u
4

+
5v
3

(b)
1
6s  – 2

5t
 (c)

2
r – 2 + 4

3s

Permudah ungkapan
yang sama

Permudah ungkapan
yang sama

PERHATIAN
Pemfaktoran dua, tiga dan
empat sebutan:

Empat sebutan

6xy + 2y + 9x +3
Contoh:
(6xy + 2y) + (9x + 3)
= 2y(3x + 1) + 3(3x + 1)
= (2y + 3)(3x + 1)

Tiga sebutan

Faktor dalam dua kurungan
(   )(   )

Contoh:
x2	−	4x	−	21
= (x	−	7)(x + 3)

a2	−	b2 = (a + b)(a	−	b)
Contoh:
x2	−	16	= (x + 4)(x	−	4)

Dua sebutan

(d)
a – b
3a + b

÷
(a – b)2

6a + 2b

= a – b
3a + b

× 6a + 2b
(a – b)2

= (a – b)
(3a + b)

×
2(3a + b)

(a – b)(a – b)

=
2

a – b

1

1

1

1

(c)    12m – 18m2

4n2 – 16n
 × n

m

=
6m(2 – 3m)

4n(n – 4)

3

2  ×
n
m

=
3(2 – 3m)
2(n – 4)

1

1

1

1

(b)
9k 2 – 12k + 4

(3k + 2)(3k – 2)

=
(3k – 2)(3k – 2)
(3k + 2)(3k – 2)

=
3k – 2
3k + 2

1

1

Salingan
1
x

adalah x ÷ 1
dan tukarkan
operasi ÷
kepada ×

1
x  ÷

1
x

= 1
1
x  ×

1x
1

= 1
B
A

B
 2

B
A

B
 2

3938

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

5. Permudah setiap yang berikut.

(a)
m
9  +

n
12  (b) 3

3mn  + n
6m2  (c) 4

d 2g
 + 3

5dg

6. Permudah.

(a) x2 – x
xy

(b) 6a + 15
12

(c) m + n
m2 – n2  (d)

2k – 1
4k 2 – 1

(e) c2 – 9
2c + 6

7. Permudah.

(a)
2

a – 3 ×
3

3 + a  (b)
h

k – 2
 ×

y
h + 3

(c) 3m
(m – n)  ×

2mn
(n – 2m)            (d)

2r
s – 2 ×

s – 4
r + 5

8. Permudah.

(a) m
x + 2

×
2(x + 2)
m2(x – a)  (b) 2r2

rs – s2 × 5r – 5s
2r – 4r2

(c) x
x + 2

× x2 + 5x + 6
5x2  (d)

e + 2f
5e – 2f

×
4 f 2–10ef
3e2 –  9ef

9. Permudah.

(a)
5a

2a + 3 ÷
3b

a + b
 (b)

4
n – 3

÷ 8a
3n – 9

(c)
6y2

x2 + xy
 ÷

18xy
x + y  (d)

f – 1
eg + 2e ÷

fg – g
g + 2

10.  Selesaikan gabungan operasi berikut.

(a)
x2 + x
x 2  – y 2  ×

xy – y2

x + y  (b)
4p2  – 1
p2  – 1

×
pq  + q
4p – 2

(c)
pq – pr
r 2  – 1

÷
q 2 – r2

r 2 + r
 (d) st + tu

4t2 – 1  ÷
s2 – u2

4t2 + 4t + 1

1. Kembangkan setiap ungkapan berikut.

(a)
1
2  (6a + 12b) (b) (n + 2)(n – 5) (c) (a + 2b)2

(d) (4x – y)2 (e) �2v –
1

3w ��3v +
2

3w � (f) (h – k)2 – 4h(2k – 3h)

2. Faktorkan setiap ungkapan berikut.
 (a) 12m – 18m2 (b)  y 2 – 81 (c) 4ab – 8a2 b
 (d) x2 – 16y2 (e)  (s – 3)2 – 1 (f) x2 + 4x + 3
 (g) x2 + 2x – 15 (h)  x2 + 6x + 8 (i)  6cd – 2ce – 3bd + be

3. Permudah setiap ungkapan berikut.

(a)
a + 2

4v  +
a – b

2v  (b) 3e
5ab –

5d
4c  (c) 4

f 2g  –
3

5fg

MENJANA KECEMERLANGAN

(d)
n + 2

m2   +
n

mp  (e)
5x
8yz

+
y – 1
12xz

(f)
rs
4y

+
2 – r
18yz

4. Nenek mempunyai sekeping coklat berukuran (k2 – 16) cm panjang dan dia ingin membahagikannya
kepada cucunya seramai (k – 4) orang. Berapakah ukuran panjang coklat yang akan diterima
oleh setiap cucunya?

5. Gurdip dan Jumrang ialah pekerja sambilan di sebuah kedai runcit. Gurdip mendapat bayaran
gaji RM3 per jam lebih murah daripada dua kali gaji Jumrang. Katakan gaji Jumrang ialah
RMx  per jam, hitung jumlah gaji bagi (x + 2) jam gaji Gurdip dan (2x + 3) jam gaji Jumrang.
Tulis dalam bentuk ungkapan algebra.

6. Luas sebidang tanah untuk membuat parkir kereta di sebuah pasar raya ialah 25(x2 – 8x + 16)
meter persegi.
(i)   Jika luas seunit tapak parkir kereta ialah (x – 4)2 meter persegi, berapa buahkah kereta

yang dapat diparkirkan di tempat tersebut?
(ii) 4 unit tapak parkir telah ditempah oleh pemilik pasar raya tersebut. Berapakah unit tapak

parkir yang tinggal?

7. Khairul ingin menampal dindingnya dengan kertas hiasan dinding. Dindingnya berukuran
(x + 5) meter panjang dan (3x −	2)	meter	lebar.

(i)    Berapakah luas kawasan dinding yang akan ditampal dengan kertas hiasan dinding
  sekiranya ukuran pintu ialah (x – 1) meter panjang dan x meter lebar?

(ii)   Sekiranya harga kertas hiasan dinding tersebut ialah RM8x per meter persegi,
  berapakah jumlah wang yang perlu dibayar oleh Khairul?

8. Swee Lee sepatutnya dapat menyiapkan (28 + 16x) bilangan soalan matematik dalam masa 4 jam.
 (i)    Berapakah bilangan soalan yang dapat disiapkan dalam masa 30 minit?
 (ii)   Sekiranya Swee Lee hanya dapat menyiapkan (14 + 8x) bilangan soalan tersebut, berapa

lamakah masa yang diambilnya?

9. Azimah membuat seloyang kuih lapis berbentuk segi empat tepat berukuran (3x + 2) cm panjang
dan (x + 2) cm lebar. Dia memotong kuih lapis tersebut kepada 6 bahagian panjang dan
3 bahagian lebar. Hitung luas sepotong kuih lapis tersebut dalam bentuk ungkapan algebra.

10.	 Encik	Hanapi	ingin	mendirikan	sebuah	banglo	satu	tingkat	di	sebidang	tanah	berukuran	x meter
lebar dan y meter panjang. Dia perlu menyediakan 2 meter rizab jalan untuk jirannya.
(i)	 Berapakah	luas	tanah	Encik	Hanapi	yang	asal?
(ii) Berapakah perbezaan luas tanah yang asal dengan

luas tanah selepas ditolak rizab jalan?
(iii) Sekiranya harga tanah ialah RM18 per meter persegi,

berapakah	harga	keseluruhan	tanah	Encik	Hanapi?
x

y
2

Rumah
jiran
B
A

B
 2

B
A

B
 2

4140

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraBab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

INTI PATI BAB

Pemfaktoran
Proses menulis suatu ungkapan algebra
sebagai hasil darab dua atau lebih sebutan
atau ungkapan algebra.
Pemfaktoran ialah songsangan kepada
kembangan.

• 2a – a 2 = a(2 – a)
•  a 2 + 4a + 3 = (a + 1)(a + 3)
•  a 2 – 7a + 10 = (a – 5)(a – 2)
•  a 2 – 36 = (a2 – 6 2) = (a – 6)(a + 6)
• ab + ac + bd + cd = (b + c)(a + d)
•  a 2	−	2ab + b 2 = (a	−	b) 2

Penambahan dan Penolakan
Sebelum menambah atau menolak dua
pecahan algebra, semak penyebutnya dahulu.
Jika penyebutnya tidak sama, anda perlulah
samakannya.

•
a
4

+ b
4

= a + b
4

• 1
a  +

1
b

= b + a
ab

• 1
2a

–
1
ab

=
× b

× b
1
2a  –

× 2

× 2

1
ab

= b – 2
2ab

1. Menerangkan maksud kembangan dua ungkapan algebra.

2. Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra.

3. Mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan gabungan operasi
termasuk kembangan.

4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan kembangan dua ungkapan algebra.

5. Menghubungkaitkan pendaraban ungkapan algebra dengan konsep faktor
dan pemfaktoran, dan seterusnya menyenaraikan faktor bagi hasil darab
ungkapan algebra tersebut.

6. Memfaktorkan ungkapan algebra dengan pelbagai kaedah.

7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pemfaktoran.

8. Melaksanakan penambahan dan penolakan ungkapan algebra yang
melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

9. Melaksanakan pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra yang
melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

10. Melaksanakan gabungan operasi ungkapan algebra yang melibatkan
melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

Tajuk:  Berapakah sukatan sebaldi air ini?
Bahan:  Sebaldi air (dilabel z), beberapa botol mineral kecil (dilabel x), beberapa botol

mineral besar (dilabel y) dan corong

Setiap kumpulan diberi beberapa botol mineral yang kosong (berbeza saiz) dan corong. Murid
diminta menuangkan air tersebut ke dalam botol kosong. Tulis hubungan algebra tentang
sukatan air tersebut. Bentangkan hasil jawapan setiap kumpulan. Adakah sukatan setiap
kumpulan sama? Dapatkah anda menentukan isi padu air?

z x x x y y y

REFLEKSI DIRI

Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Kembangan
Pendaraban suatu ungkapan dengan suatu
sebutan lain atau ungkapan algebra yang lain.

• a(x + y) = ax + ay
• (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by
• b(c + d) = bc + bd
• (b + c)(d + e) = bd + be + cd + ce
• (b + c) 2 = b 2 + 2bc + c 2

• (b	−	c) 2 = b 2	−	2bc + c 2

• (b + c)(b 	−	c) = b2		−	c 2

Pendaraban dan Pembahagian
Laksanakan pemfaktoran kepada ungkapan
jika perlu, sebelum pembahagian atau
pendaraban dilakukan.

m + n
x – y  ÷

(m + n)2

x2 – y 2
 =

m + n
x – y  ×

(x + y)(x − y)
(m + n)(m + n)

=
x + y
m + n

11

1 1
B
A

B
 3

B
A

B
 3

4342

Bab 3 Rumus AlgebraBab 3 Rumus Algebra

• Rumus algebra
• Pemboleh ubah
• Pekali
• Perkara rumus

• Algebraic formula
• Variable
• Coefficient
• Subject of formula

3.1 Rumus Algebra

RANGKAI KATA

4342

Sebuah kedai borong menjual pakaian
dengan harga RMy . Pada musim perayaan,
kedai borong tersebut memberikan diskaun
kepada jumlah pembelian pakaian seperti
yang berikut.

Sebagai seorang pengatur cara komputer,
anda diminta untuk membangunkan
satu atur cara yang mengandungi rumus
pengiraan harga jualan pakaian tersebut.

MASLAHAT BAB INI

Rumus algebra diaplikasi oleh jurutera, ahli
statistik, ahli matematik dan ahli astronomi
dalam melaksanakan urusan kerjaya mereka.

Al-Khwarizmi memperkenalkan nombor negatif
dan perpuluhan. Beliau juga mengasaskan satu
pengaturcaraan matematik menggunakan satu
set arahan untuk menyelesaikan suatu pengiraan
yang kompleks.

Untuk maklumat lanjut:

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms043

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 3

B
A

B
 3

4544

Bab 3 Rumus AlgebraBab 3 Rumus Algebra

3.1 Rumus Algebra
Ungkapan algebra ialah gabungan dua atau lebih sebutan algebra menggunakan operasi tambah, tolak,
darab atau bahagi. Rumus algebra ialah ungkapan algebra yang ditulis dalam bentuk persamaan.

Tujuan: Mengenal rumus
Bahan: Kalendar persekolahan
Langkah:
1. Murid melakukan aktiviti ini secara berpasangan.
2. Hitung jumlah wang yang dapat disimpan daripada situasi berikut (anggap pengiraan

bermula dari 1 hari bulan hingga hari terakhir setiap bulan).

Situasi 1
Badrul seorang murid tingkatan 2 yang suka menabung. Dia menerima wang saku sebanyak
RM5 dan berbelanja sebanyak RM4.50 secara tetap pada setiap hari persekolahan.
Berapakah jumlah wang simpanan Badrul pada bulan Januari?

Situasi 2
Sedthu mengumpul wang sebanyak RM15 setiap bulan. Jika dia menerima wang saku
sebanyak RM10 sehari, hitung perbelanjaan Sedthu dalam sehari pada bulan April.

3. Nyatakan kaedah menghitung wang simpanan.

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Membentuk rumus algebra
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Murid melakukan aktiviti ini secara berkumpulan.
 Sebuah kelab kebudayaan akan membuat persembahan pada malam kebudayaan peringkat

sekolah. Jadual di sebelah menunjukkan bilangan penari mengikut jenis tarian dan bangsa
yang diwakili oleh satu abjad seperti dalam jadual berikut.

3.1.1  Membentuk rumus

Jenis tarian
Bangsa

Melayu Cina India
Sumazau a 2c 2a

Kuda Kepang 2b b 5b

Singa 2c 3a c

Abjad a, b dan c dikenali sebagai pemboleh ubah.

2. Terbitkan rumus untuk setiap perkara rumus yang berikut.
 (a) s, bilangan penari berbangsa Cina.
 (b) d, bilangan penari tarian Kuda Kepang.
 (c) w, bilangan penari India dan Melayu.

Perbincangan:
(i) Perbezaan rumus di antara kumpulan di dalam kelas anda.
(ii) Kesimpulan daripada aktiviti di atas.

CONTOH 1

Suzi menjual dua jenis kek pada harga yang berlainan. Kek coklat
dijual pada harga RM3 sepotong manakala kek keju dijual pada harga
dua kali ganda harga kek coklat. Sempena pembukaan cawangan
baru, dia memberikan diskaun 10% untuk semua harga kek. Terbitkan
rumus pengiraan harga jualan kek, jika m potong kek coklat dan n
potong kek keju berjaya dijual.

Penyelesaian:

Harga kek keju  = 2 kali ganda kek coklat
   = 2 × RM3
 = RM6
   Harga jualan, z  = �(bilangan kek coklat × harga) +

(bilangan kek keju × harga)� × diskaun

= �(m × RM3) + (n × RM6)�	×	(100%	−	10%)
          = (RM3m + RM6n) × 90%
          = (3m + 6n) × 0.9
dengan, z  = harga jualan
             m = bilangan kek coklat
             n  = bilangan kek keju

Rumus algebra;   z  = 0.9 (3m + 6n)
                            = 2.7m + 5.4n

Rumus yang diterbitkan s = 2c + b + 3a, d = 8b, w = 3a + 7b + 3c.
Daripada aktiviti di atas, rumus dibentuk dengan menghubungkan
beberapa pemboleh ubah.

Adakah persamaan ini
digelar rumus?

(i)   a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

(ii)
p
a  +

q
a  =

b
a

Bincangkan.

Dalam aktiviti di sebelah, s,
d dan w ialah perkara rumus
dan boleh ditulis di sebelah
kiri atau kanan.

Pemboleh ubah dalam
sesuatu rumus boleh
diwakili dengan huruf a
hingga z (dalam contoh 1, m
dan n mewakili  pemboleh
ubah). z dalam rumus di
sebelah dikenali sebagai
perkara rumus.

Tarian Sumazau ialah tarian
tradisi suku kaum Kadazan
Dusun di Sabah. Tarian
Sumazau dipersembahkan
pada Tadau Kaamatan
yang disambut pada setiap
bulan Mei.

http://www.jkkn.gov.my/
pemetaanbudaya/

Daripada dua situasi di atas, anda perlu menulis persamaan yang menghubungkan nilai wang saku,
nilai wang belanja dan bilangan hari dengan operasi tambah dan darab untuk mendapatkan nilai
wang	simpanan.	Wang	saku,	wang	belanja	dan	bilangan	hari	 ialah	pemboleh	ubah.	Anda	boleh
menentukan jumlah wang simpanan dengan mengubah nilai pemboleh ubah tersebut.

Membentuk rumus
berdasarkan suatu situasi.
B
A

B
 3

B
A

B
 3

4746

Bab 3 Rumus AlgebraBab 3 Rumus Algebra

(c)
p
3   = w

�
p
3 �

2
  = w 2

p
3  = w 2

p
3  × 3 = w 2  × 3

p = 3w 2

Perkara rumus bagi persamaan di atas boleh ditukar seperti berikut.

(i) a = P – 2b (ii)  b = P −	a
2

Perimeter, P bagi sebuah segi tiga sama kaki boleh diungkapkan
dalam sebutan a dan b sebagai P = a + 2b

Ungkapkan m sebagai perkara rumus.

(a)  q = m + p (b) b = 2s – m

(c)  a = 5
2m

(d)  t = m – n
–3

Penyelesaian:

CONTOH 2

a

b b

(b)

(d)(c)

Pemboleh ubah boleh diungkapkan menjadi perkara rumus suatu
rumus algebra. Begitu juga perkara rumus boleh menjadi pemboleh
ubah rumus algebra tersebut.

3.1.2  Menukar perkara rumus

Menukar perkara rumus bagi
suatu persamaan algebra.

(a)  m + p  = q
 m + p –  p  = q –  p
   Maka,  m = q – p

2s – m = b
2s –2s  – m = b – 2s
              –m = b – 2s

1
–1

× (– m) =
1
–1

(b – 2s)

m = –b + 2s
    Maka, m = 2s – b

m – n
–3

= t

m – n
–3   × –3  = t × (–3)

m – n  = – 3t
   m – n + n  = – 3t  + n
                 m = – 3t + n
    Maka, m  = n – 3t

Perkara rumus sebaik-
baiknya ditulis di sebelah
kiri persamaan.

Anda telah belajar
menyelesaikan persamaan
linear dengan tiga kaedah
berikut.
(a)  Kaedah cuba jaya
(b)  Aplikasi konsep
 kesamaan
(c)  Kaedah pematahbalikan

a  =
5

2m

a × 2m  = 5
2m

× 2m

2am = 5

2am
2a

= 5
2a

Maka, m  =
5
2a

m diungkapkan
dalam sebutan a

m diungkapkan dalam
sebutan n dan t

Ungkapkan p sebagai perkara rumus.

Penyelesaian:

CONTOH 3

(a) q =  p    (b) s = p2

(c) w =
p
3   (d) t =

1
p2

(a)                p  = q

( p )2  = (q)2

p  = q2

(d)         t  =
1
p2

t   × p2 =
1
p2  × p2

tp2 = 1

p2 =
1
t

p  =
1
t

(b)    p2  = s

p2  = s

p  = s

Pekali bagi perkara
rumus mesti bernilai 1.

Menentukan nilai suatu
pemboleh ubah apabila
nilai pemboleh ubah
lain diberikan.

Nilai bagi satu perkara rumus boleh diperoleh apabila semua nilai
pemboleh ubah diberikan. Sebaliknya, nilai suatu pemboleh ubah
boleh diperoleh apabila nilai perkara rumus dan pemboleh ubah
lain diberikan.

3.1.3  Menentukan nilai pemboleh ubah

CONTOH 4

Diberi w = 7t – 5u, hitung nilai berikut
(a)  nilai w apabila t = 3 dan u = –2
(b)  nilai t apabila w = 15 dan u = 4

Penyelesaian:

(a)   Gantikan t = 3 dan u = –2 ke dalam rumus.

w =	7(3)	−	5(−2)
  = 21 + 10
  = 31

−a + a = 0
	−a 	−	a	=	−2a
	−a  × a	=	−a 2

(−a )	×	(−a ) = a2

−a  ÷ a	=	−1
(−a )	÷	(−a ) = 1

1 × p  = p

−1 × p  = −p

0 × p  = 0

1
3

× p  =
p
3

− 1
3

× p = −
p
3

m diungkapkan dalam
sebutan p dan q

Kedua-dua belah
persamaan
dikuasaduakan

(�a 2)2  = a2

�a 2  = a

PERHATIAN

�x  = x
1
2

(�x  )2 = (x
1
2)2

= x
1
2

× 2

= x

1

1

1
1

1
1

1

11

1

PERHATIAN

Salingan

Kuasa dua

Punca kuasa dua

(�x )2 = a2,  x = a2

1
x

= a,  x = 1
a

√x2 = √a , x = ±√a

m diungkapkan dalam
sebutan b dan s
B
A

B
 3

B
A

B
 3

4948

Bab 3 Rumus AlgebraBab 3 Rumus Algebra

CONTOH 5

3.1.4  Penyelesaian masalah

Harga seketul ayam goreng di kantin sekolah ialah dua kali ganda harga sebungkus roti. Dengan
wang sebanyak RM5, Azman membeli dua bungkus roti dan seketul ayam. Baki perbelanjaan
tersebut ialah RM1 dan disimpan. Jika Azman membawa RM12, berapa ketulkah ayam goreng
yang dapat dibeli dengan jumlah bilangan roti yang sama?

CONTOH 6

(b)   Gantikan w = 15 dan u = 4 ke dalam rumus.
         7t – 5u   = w
      7t – 5(4)  = 15
                 7t  = 15 + 20

t  = 35
7

t  = 5

Diberi  m = 1
4

(p – q)2, hitung nilai q jika diberi m = 16 dan p = 3.

Penyelesaian:

m × 4   = 1
4

(p – q)2  × 4

4m = (p – q)2

�4m   = √(p – q)2

p – q = �4m

– q = �4m  – p

(– q) × 1
–1

= �√4m  – p� × 1
–1

q = −	√4m   + p

q = p – √4m

q = 3 – √4(16)

q = 3 – 8

q = –5

Gantikan m = 16 dan p = 3

Kedua-dua belah persamaan
dipuncakuasaduakan

Kedua-dua belah persamaan

didarab
1
–1

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan rumus.

3.1JOM CUBA

Kaedah alternatif
Gantikan m = 16 dan p = 3

16 = 1
4

(3 − q ) 2

64  = (3 − q ) 2

√64  = (3 − q )
         8 = 3 − q
        q  = 3 − 8
        q  = −5

Memahami masalah

Bilangan ayam goreng yang boleh
dibeli oleh Azman dengan wang
sebanyak RM12.

Melaksanakan strategi
(a)	 Wakilkan	bilangan	ayam	goreng	dengan	huruf	y.

(b) Jumlah harga roti + Jumlah harga ayam = RM12

(RM1 × 2) + (RM2 × y)  = RM12

2 + 2y  = 12

y  = 12 – 2
2

= 5

Membuat kesimpulan

Azman dapat membeli 5 ketul
ayam goreng.

Penyelesaian:

Merancang strategi

Menentukan harga sebungkus roti
(a)	 Wakilkan	harga	roti	dan	ayam	dengan	huruf	x.

 Harga roti  = RM x
 Harga ayam = RM2x

(b) Jumlah harga roti + Jumlah harga ayam + RM1 = Jumlah belanja
                                    2(RMx) +  RM2x + RM1  = RM5
                                                           2x + 2x + 1 = 5
                                                                   4x + 1 = 5

x  = 5	−	14
  = 1
 Maka, harga sebungkus roti ialah RM1 dan harga seketul ayam ialah RM2.

1. Ungkapkan huruf dalam kurungan sebagai perkara rumus.
 (a) z = m −	qp [ m ]  (b)  v = u + 2 [  u  ]

(c) 3y = 7w
x  [  x ]  (d)  3a = 4

5 + b  [  b  ]

(e) 5q = 3
u 	−	5	 [		u ]  (f )  2w =	−4	+	 5

v  [  v  ]

(g) 2a = √3b + 5 [  b	]	 	 (h)		(−5t)2 = 25w2

36  [  w  ]

(i)	 (−3m)2 = 4p −	8 [ m ]  (j)   √(9r 2) = 4s	−	7			 [		r   ]

2. Harga sehelai kemeja ialah RM35, manakala harga sehelai seluar ialah RM45. Diskaun sebanyak
15% diberikan pada harga sehelai kemeja, manakala diskaun sebanyak 10% diberikan pada
harga sehelai seluar. Tulis rumus jualan, z, jika Syamsul ingin membeli x helai kemeja dan y
helai seluar.

Rumus Algebra

Pemboleh ubah
Pemboleh ubah ialah kuantiti yang
nilainya belum dikenal pasti atau
boleh berubah.

Pemalar
Pemalar ialah kuantiti yang nilainya
tetap.

Rumus Algebra
Rumus algebra ialah persamaan
yang menghubungkan beberapa
pemboleh ubah.

Perkara Rumus
Perkara rumus ialah pemboleh
ubah bersandar yang diungkapkan
dalam sebutan pemboleh ubah tak
bersandar bagi suatu rumus. Perkara
rumus sentiasa mempunyai pekali 1.
Penentuan perkara rumus melibatkan
(a)  satu daripada operasi asas

matematik.
(b)  kuasa atau punca kuasa.
(c)  gabungan operasi asas dan

kuasa atau punca kuasa.
B
A

B
 3

B
A

B
 3

5150

Bab 3 Rumus AlgebraBab 3 Rumus Algebra

3.  Selesaikan yang berikut.
 (a) Diberi c = 4d + 8, hitung (b)   Diberi 4p 	=	18	−	5q, hitung
  (i) nilai c apabila d = 2  (i)    nilai p apabila q = 2
  (ii) nilai d apabila c = 10  (ii)   nilai q apabila p = 2

(c)   Diberi 1
3 m  = 2

3 n + 8, hitung (d)   Diberi  √4m = n2 −	5
2 , hitung

(i)  nilai m apabila n	=	−15	 	 (i)	   nilai n apabila m = 4
        (ii)  nilai n apabila m = 30  (ii)   nilai m apabila n = 2

(e) Diberi 3u = 4r + s, hitung (f)    Diberi 3
5 p = 2

3
q −	 1

4 r , hitung
  (i)    nilai u apabila r = 5 dan s =	−2	 	 (i)				nilai	p apabila q = 3 dan r = 8
  (ii)   nilai r apabila u = 3 dan s = 3  (ii)   nilai q apabila r	=	−12	dan	p = 10
  (iii) nilai s apabila u = 2 dan r = 1

2   (iii)  nilai r apabila p	=	−15	dan	q =	−15

(g) Diberi √3a  = 9b	− 	4c , hitung (h)   Diberi 1 1
2  s = 3

5  t 2 + 1
3  u 2, hitung

(i)  nilai a apabila b = 1
3  dan c = 1

2   (i)     nilai s apabila t  =	−5	dan	u = 3
  (ii)  nilai b apabila c = 3  dan a  = 12  (ii)   nilai t apabila u  =	−6	dan	s = 28
  (iii)  nilai c apabila a = 3  dan b  = 3   (iii)  nilai u apabila s = 4

6  dan t = 5
6

4. Tulis rumus algebra berdasarkan situasi berikut.
(a)  Jumlah harga, RMz yang perlu dibayar oleh seorang pembeli yang membeli x buah buku

kerja dan y kotak set geometri. Setiap buku kerja dan set geometri masing-masing berharga
RM5.90 dan RM3.60.

(b)  Dalam suatu jamuan kelas, seorang guru membeli p karton minuman tin untuk diagihkan
kepada q orang murid. Daripada sejumlah minuman tin tersebut, tujuh tin dikeluarkan untuk
dibahagi kepada guru mata pelajaran. Jika satu karton mengandungi 24 tin minuman,
hitung bilangan tin minuman yang diterima oleh setiap murid, b dalam sebutan p dan q.

(c) Kasut A dijual dengan harga RM35 sepasang, manakala kasut B berharga RM76 sepasang.
Kedai Kasut Cantik menawarkan diskaun sebanyak 15% untuk pembelian dua pasang
kasut. Kasut A dan kasut B boleh dicampur bilangannya. Mei Ling membeli m pasang
kasut A dan n pasang kasut B. Hitung harga yang perlu dibayar, P dalam sebutan m dan n.

(d)  Sebuah kereta mampu bergerak sejauh 10 km dengan isian petrol sebanyak 1 liter.
Ungkapkan kos petrol, RMx yang perlu diisi untuk perjalanan sejauh s km jika satu liter
petrol berharga RMt.

MENJANA KECEMERLANGAN

(b)  Bayaran sewa sebuah gelanggang sepak takraw ialah RM5 bagi satu jam yang pertama.
Bayaran bagi setiap jam yang berikutnya ialah RM3. Tulis rumus yang menghubungkan
jumlah bayaran, p dan jam yang disewa, h.

(c)  Pecutan, a ialah perbezaan antara laju akhir, v2 dan laju awal, v1 yang dibahagikan dengan
masa, t. Tulis hubungan antara a, v2, v1 dan t.

2.  Ungkapkan huruf dalam kurungan sebagai perkara rumus.
(a)  m = –3q + p [q] (b)   x = –p – w [w]

(c)  2e = 4g + 3h         [g] (d)  3
4 m – 6p = 3

4 q           [q]

(e)  w = 3v 2                 [v] (f)  2m = 3
4 n2                              [n]

(g)  3w =
(v + 1)

2

1
2

[v] (h) 5
4 f  = 5

k −	7
                  [k]

(a)  Diberi w =
x + y
1 + x , hitung nilai

(i)    w, jika x = 2 dan y	=	−	8
(ii)   x, jika w = 20 dan y = 5
(iii)  y, jika w = 5   dan x = 6

(c)		 Diberi	−2p =
(q + 1)
(r + q)

, hitung nilai

(i)    p, jika q = 3 dan r = 3q
(ii)   q, jika p = 3 dan r = 2q

(iii)  r, jika p		=	− 1
3  dan q = 2p

3.  Hitung nilai yang berikut.

(b) Diberi 6b  = c −	d 2

9
, hitung nilai

(i)   b, jika  c = 20 dan d = 2

(ii)  c, jika b = 1
9  dan d = 2

(iii)  d, jika  b = 1
2 dan c = 90

(d) Diberi 4s 2 = �3t – 4u
5

�
2
, hitung nilai

(i)    s, jika t  = s −	1 dan u = 2s
(ii)   t, jika s		=	−5u dan u = 3

(iii)  u, jika s = 1
3 t dan t	=	2	−	u

1.  Tulis rumus algebra daripada situasi berikut.
(a)  A mewakili luas, manakala x mewakili panjang sisi sebuah segi empat sama. Tulis rumus

yang menghubungkan A dengan x.

4.  Seorang pengurus cawangan kedai makanan segera dibayar gaji 3 kali ganda berbanding dengan
gaji pekerja sambilan, RMx sehari. Masa bekerja untuk pekerja sambilan ialah separuh dari
masa bekerja pengurus itu, y dalam tempoh sebulan. Jika mereka bekerja 26 hari dalam sebulan,
tulis rumus perbezaan gaji, RMz  antara kedua-dua pekerja tersebut dalam sebutan x dan y.

5. Julia mengambil 40 saat untuk berjalan sejauh 50 meter. Bantu Julia menulis rumus mengira
tempoh perjalanan, t dalam minit, dari rumahnya ke sekolah yang berjarak s kilometer.

6. Luas trapezium di bawah ialah 36 cm2. Jika x + y = 11 cm, hitung nilai x dan y.

x cm

4 cm

2y cm
B
A

B
 3

B
A

B
 3

5352

Bab 3 Rumus AlgebraBab 3 Rumus Algebra

INTI PATI BAB

Rumus algebra menggabungkan
ungkapan algebra dengan operasi tambah,
tolak, darab atau bahagi dalam bentuk
persamaan.

1.  y  = 3x – 5

2.  w  =
6 – 7v

v

3.  A  =
1
2 th

4.  L  = πj 2

Suatu nilai pemboleh ubah dalam rumus algebra
boleh diperoleh apabila diberi suatu nilai pemboleh
ubah yang lain.
Contoh:

Diberi Q =
2v

–v + u
 , hitung nilai u,

jika      v = 2,  Q = 4

Maka,  u = 3

Penyelesaian masalah melibatkan
penukaran perkara rumus, gabungan
operasi asas aritmetik, kuasa dan
punca kuasa.

Perkara rumus diwakili oleh abjad.

Perkara rumus boleh berubah bergantung
kepada nilai pemboleh ubah yang ingin
diperoleh.

w =  – 6 – 8t

t   =
– 6 – w

8

REFLEKSI DIRI

1.  Membentuk rumus berdasarkan suatu situasi.

2.  Menukar perkara rumus bagi suatu persamaan algebra.

3.  Menentukan nilai suatu pemboleh ubah apabila nilai pemboleh ubah
lain diberikan.

4.  Menyelesaikan masalah yang melibatkan rumus.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

Tajuk:  Papan mengira
Bahan: Kad manila, kotak terpakai, kertas warna, gam dan gunting
Langkah:
1.  Buat satu papan mengira untuk mengira harga yang perlu dibayar oleh murid bagi

pembelian tiga barang.
2.  Contoh barang yang hendak dibeli ialah pen, air mineral dan buku tulis.
3. Harga pen, air mineral dan buku tulis ditentukan oleh murid mengikut harga semasa.

Barang

Bilangan
a b c

Harga a × RM  b × RM  c × RM

Jumlah
(i) (ii) (iii)

Jumlah keseluruhan

Contoh papan mengira

++

(i) (ii) (iii)

Rumus Algebra
B
A

B
 4

B
A

B
 4

5554

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

B
A

B

4

B
A

B

4

BAB 4

4.1 Poligon Sekata

4.2 Sudut Pedalaman dan Sudut Peluaran
Poligon

• Poligon
• Poligon sekata
• Poligon tak sekata
• Paksi simetri
• Sisi
• Sudut pedalaman
• Sudut peluaran
• Sudut penggenap
• Origami

• Polygon
• Regular polygon
• Irregular polygon
• Axis of symmetry
• Side
• Interior angle
• Exterior angle
• Supplementary angle
• Origamy

RANGKAI KATA

Dalam kehidupan seharian, terdapat
gabungan bentuk poligon di sekeliling
kita terutamanya dalam reka bentuk
bangunan. Gabungan bentuk poligon dapat
menghasilkan suatu seni yang menarik dan
pelbagai.
 Pola geometri ini dapat dilihat pada
Masjid Terapung Tanjung Bungah, Pulau
Pinang yang memiliki keunikan gabungan
seni bina tempatan dan Asia Barat.

54

Poligon berasal daripada perkataan ‘polygon’
yang bererti ‘poly’, banyak dan ‘gon’ yang
bermaksud sudut. Poligon dinamakan mengikut
jumlah sisinya. Untuk poligon yang lebih besar,
ahli matematik menulis mengikut bilangan sisi,
contohnya 17-gon.

MASLAHAT BAB INI

Poligon diaplikasikan dalam mencipta logo,
membuat mural pada dinding sekolah dan
membuat simetri pada lukisan.
Dalam bidang teknologi, ilmu poligon
d igunakan dalam seni bina bangunan,
bumbung, corak dalaman, rekaan pakaian
dan banyak lagi.
Kerjaya yang terlibat dalam bidang ini
ialah juruukur, juruteknik, jurutera, arkitek,
pereka	grafik	dan	banyak	lagi.

55

Untuk maklumat lanjut:

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms055

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 4

B
A

B
 4

5756

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

Antara rajah berikut, yang manakah merupakan sebuah poligon
sekata atau poligon tak sekata?
(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

4.1  Poligon Sekata

4.1.1  Sifat geometri poligon sekata
Poligon sekata ialah poligon yang semua sisinya sama panjang
dan semua sudut pedalamannya sama saiz.

Mengenal poligon sekata

Tujuan: Meneroka sifat geometri poligon sekata
Bahan: Pembaris dan jangka sudut

J

I K

LH

E F

D G

Poligon ialah bentuk
tertutup pada satu satah
yang dibatasi tiga atau
lebih garis lurus sebagai
sisi-sisinya.

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Menghasilkan pentagon menggunakan lipatan
 kertas (origami)
Bahan: Kertas berbentuk segi empat sama dan gunting

Langkah:
1. Lipat kertas segi empat sama kepada dua bahagian seperti

Rajah A.
2. Labelkan setiap bucu segi empat tepat dengan PQRS.
3. Lipat bucu P rapat ke sisi QR. Pastikan bucu ditemukan dengan

tepat sebelum anda menekan kertas untuk membentuk garisan
lipatan seperti Rajah B. Buka lipatan.

4. Lipat bucu Q ke sisi PS seperti Rajah C. Buka lipatan.
Terdapat kesan lipatan berbentuk X dan tandakan titik tengah.

5. Bawa bucu S ke titik tengah tadi, kemudian lipat.
6. Ambil bucu yang menyentuh titik tengah tadi dan bawa ke

sisi paling kanan dan lipatkan.
7. Ambil bucu P, rapatkan ke sisi tengah TU

menjadi bentuk seperti Rajah D.
8.  Lipatkan ke belakang.
9. Akhir sekali, gunting bahagian atas lipatan seperti

Rajah D.
10. Buka lipatan kertas, nyatakan bentuk origami

yang terhasil.

Q R
T

Q R

P S

Rajah A

Rajah B

Rajah C

SUP

Menghuraikan sifat geometri
poligon sekata menggunakan
pelbagai perwakilan.

CONTOH 1

Segi tiga ABC
Panjang sisi Ukuran sudut

AB ∠CAB

BC ∠ABC

CA ∠BCA

Kesimpulan:

Segi empat DEFG
Panjang sisi Ukuran sudut

DE ∠GDE

EF ∠DEF

FG ∠EFG

GD ∠FGD

Kesimpulan:

Pentagon HIJKL
Panjang sisi Ukuran sudut

HI ∠HIJ

IJ ∠IJK

JK ∠JKL

KL ∠KLH

LH ∠LHI

Kesimpulan:

Perbincangan:
Bincangkan hasil dapatan anda.

Penyelesaian:

(a)  Poligon tak sekata (b) Poligon tak sekata
(c)  Poligon sekata (d)  Poligon sekata
(e)   Poligon tak sekata (f)   Poligon tak sekata

Langkah:
1.  Ukur panjang sisi dan sudut pedalaman semua poligon.
2.  Lengkapkan jadual di bawah.

Poligon sekata ialah poligon yang semua sisinya sama panjang dan
semua sudut pedalamannya sama saiz. Poligon sekata mempunyai
sudut pedalaman yang kongruen. Poligon tak sekata pula ialah
poligon yang tidak semua sisinya sama panjang.

B

CA

QR CODE

Imbas QR Code atau layari
http://rimbunanilmu.my/mat_
t2/ms056 untuk melihat video
tutorial origami berbentuk
pentagon.

Menentukan jenis poligon
Sesuatu poligon boleh mempunyai
tiga atau lebih sisi.
Poligon Sekata
Semua sisi sama panjang. Semua
sudut pedalaman sama saiz.

3  sisi
Segi tiga

6  sisi
Heksagon

4 sisi
Segi empat

7 sisi
Heptagon

5 sisi
Pentagon

8 sisi
Oktagon

Poligon Tak Sekata
Tidak semua sisi sama panjang.

3  sisi
Segi tiga

6  sisi
Heksagon

4 sisi
Sisi empat

7 sisi
Heptagon

5 sisi
Pentagon

8 sisi
Oktagon

Poligon Cengkung
Mempunyai sekurang-
kurangnya satu sudut
lebih daripada 180°.

Poligon Cembung
Tiada sudut pedalaman
lebih daripada 180°.

Poligon Kompleks
Mempunyai garisan
yang bersilang dalam
poligon itu.

Bukan poligon

Bulatan Bentuk yang
mempunyai

garisan
melengkung

Bentuk
tak

tertutup

Objek
tiga

dimensi

Rajah D

Origami berasal daripada
perkataan Jepun yang
bermaksud
‘ori’ = seni, ‘gami’ = kertas

U

RTQ

P S
B
A

B
 4

B
A

B
 4

5958

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

Bilangan paksi simetri bagi sebuah poligon sekata adalah sama
dengan bilangan sisi poligon tersebut.

Menentukan paksi simetri

Tujuan: Menghuraikan paksi simetri poligon sekata
Bahan: Perisian geometri dinamik, pencetak, gunting dan kertas A4
Langkah:
1. Buka fail MS058A untuk memperoleh lembaran kerja yang

telah disediakan. Cetak fail tersebut.
2. Bahagikan kelas kepada dua kumpulan.
3. Kumpulan pertama dikehendaki menggunting bentuk poligon

sekata, manakala kumpulan kedua menggunting bentuk
poligon tak sekata.

4. Dengan cara melipat poligon tersebut, tentukan paksi simetri
bagi semua poligon sekata dan poligon tak sekata itu.

5. Lengkapkan jadual di bawah.

Perbincangan:
(i) Apakah kaitan antara bilangan sisi poligon sekata dengan

bilangan paksi simetri?
(ii)  Buat kesimpulan hasil dapatan kumpulan pertama dan

kumpulan kedua.

4.1.2  Membina Poligon Sekata
Poligon sekata boleh dibina dengan menggunakan pelbagai kaedah.
Terokai aktiviti di bawah. Membina poligon sekata

menggunakan pelbagai
kaedah dan menerangkan
rasional langkah-langkah
pembinaan.Tujuan: Menghasilkan poligon sekata

Bahan: Perisian geometri dinamik, pencetak, kertas dan gunting
Langkah:
1. Buka fail MS059A untuk eksplorasi poligon sekata.
2. Klik arahan polygon dan pilih regular polygon.
3. Klik sebarang titik pada satah Cartes.
4. Klik sebarang titik kedua.
5. Pada tetingkap regular polygon, di ruangan vertices masukkan

bilangan bucu yang hendak dibina. Contohnya, pentagon ada
lima bucu.

6. Ulang langkah yang sama untuk heksagon sekata, heptagon
sekata, oktagon sekata dan nonagon sekata.

7. Cetak dan tampal hasil kerja anda dalam buku.

Perbincangan:
Bincangkan hasil dapatan anda.

Tujuan: Menghasilkan oktagon sekata menggunakan origami
Bahan: Pencetak, kertas warna berbentuk segi empat sama dan gunting
Langkah:
1. Buka fail MS059B untuk menyaksikan tutorial menghasilkan
 origami berbentuk oktagon.
2. Lipat kertas kepada dua bahagian seperti Rajah A. Buka lipatan.
3. Bawa bucu Q ke bucu S dan lipat seperti Rajah B. Buka lipatan
 seperti Rajah C dengan kedudukan T berada di tengah-tengah sisi PS.
4. Bawa sisi PS dengan T berada di atas garisan pepenjuru PR seperti
 Rajah D dan lipat.
5. Guntingkan garisan putus-putus warna hitam.
6. Buka lipatan, maka terhasillah oktagon.

Perbincangan:
Bincangkan hasil dapatan anda.

Tujuan: Membina poligon sekata menggunakan alat geometri
Bahan: Pensel, pembaris, kertas A4 dan jangka lukis

Bilangan Sisi Bilangan Paksi Simetri
Poligon sekata

Poligon tak sekata

QR CODE

Imbas QR Code atau layari
http://rimbunanilmu.my/
mat_t2/ms058b untuk
mendapatkan nama
poligon pelbagai sisi.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms058a untuk
mendapatkan lembaran
kerja.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms059b untuk
menyaksikan tutorial
menghasilkan origami
berbentuk oktagon.

QR CODE

Imbas QR Code atau layari
http://rimbunanilmu.my/mat_
t2/ms059a untuk eksplorasi
rangsangan minda.

Bagi poligon tak sekata bilangan paksi simetri harus diterokai dengan
kaedah lipatan.

Q

P Rajah A

R

S

Q

P Rajah B

R

S

Q

P
Rajah C

R

ST

Q

P
Rajah D

R

S

Oktagon
B
A

B
 4

B
A

B
 4

6160

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

Aktiviti 2:
Bina segi empat sama bersisi 4 cm.

Aktiviti 3:
Bina sebuah heksagon sekata bersisi 3.5 cm.

Poligon sekata juga boleh
dibina dengan kaedah
membahagi sama sudut
di pusat bulatan mengikut
bilangan sisi.

(d)  Lukiskan garisan dari
A ke C dan B ke C.
Terhasillah segi tiga
sama sisi.

(c)  Bina lengkok dengan
jejari 5 cm dari titik
B supaya bersilang
dengan lengkok
pertama tadi. Titik
persilangan dilabel C.

(a) Bina tembereng garis
AB dengan panjang

5 cm.

(b) Bina lengkok dengan
jejari 5 cm dari titik A.

C

(d) Bina dua lengkok
berjarak 4 cm dari
B dan D supaya
kedua-dua lengkok
itu bersilang. Titik
persilangan dilabel C.

(c) Bina satu lengkok
berjarak 4 cm dari A
supaya bersilang dengan
garis serenjang itu. Titik
persilangan dilabel D.

(a) Bina tembereng garis
AB dengan panjang

4 cm.

(b) Bina satu garis serenjang
dengan AB yang melalui
titik A.

A BA B4 cm A B

D

A B

CD

(d) Lukiskan garisan AB,
BC, CD, DE, EF dan
FA untuk membentuk
sebuah heksagon sekata.

(c) Bina lengkok berjarak
3.5 cm dari B dan
tandakannya sebagai
C dan ulang langkah
tersebut sehingga F.

(a) Bina sebuah bulatan
berjejari 3.5 cm.
Tandakan satu titik
pada lilitan dan label
sebagai A.

(b) Bina satu lengkok
berjejari 3.5 cm dari
A dan tandakannya
sebagai B.

4 cm

A

F

CB

D

E

A

F

CB

D

E

A

B

A

Aktiviti 1:
Bina segi tiga sama sisi dengan panjang sisi 5 cm.

4.1JOM CUBA

3. Lengkapkan jadual berikut dengan ciri-ciri poligon.

2. Surih rajah berikut. Tentukan bilangan paksi simetri pada setiap rajah jika ada.
 (a) (b) (c) (d)

1. Tentukan sama ada setiap poligon berikut merupakan poligon sekata atau poligon tak sekata.

(a)    (b)    (c)

(d)    (e)    (f)

(g)    (h)    (i)

60°120°

Poligon sekata Nama poligon Bilangan sisi Bilangan bucu Bilangan paksi
simetri

4. Bina poligon sekata berikut dengan pembaris dan jangka lukis.
 (a) Segi tiga sama sisi dengan panjang sisi 3.4 cm.
 (b) Segi empat sama bersisi 3.6 cm.
 (c) Heksagon sekata bersisi 4 cm.
 (d) Heptagon sekata bersisi 4.2 cm.
 (e) Oktagon sekata bersisi 4.5 cm.

Daripada kesemua aktiviti yang telah
dijalankan, kaedah yang paling jitu dalam
membina poligon sekata adalah dengan
menggunakan perisian geometri dinamik.

QR CODE

Imbas QR Code atau layari
http://rimbunanilmu.my/mat_
t2/ms060 untuk menghasilkan
poligon sekata menggunakan
alat geometri.

Perbincangan:
Bincangkan hasil dapatan anda.

A BA B5 cm A B A B
B
A

B
 4

B
A

B
 4

6362

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

3. Sambungkan bucu setiap poligon untuk membentuk segi tiga dalam poligon seperti contoh
di bawah.

4. Lengkapkan jadual di bawah.

Perbincangan:
(i) Apakah hubungan antara bilangan sisi, n dengan bilangan segi tiga?
(ii)  Apakah hubungan antara bilangan sisi segi tiga dengan hasil tambah sudut pedalaman?

5. Hasil tambah sudut pedalaman suatu poligon
 = Bilangan segi tiga × 180°

=  × 180°

Pentagon boleh dibahagi
kepada 3 segi tiga. Cuba
anda nyatakan jumlah sudut
pedalaman pentagon.

4.2.1 Hasil tambah sudut pedalaman
Terdapat perkaitan antara bilangan sisi sebuah poligon dengan hasil
tambah sudut pedalamannya. Perhatikan aktiviti di bawah.

4.2 Sudut Pedalaman dan Sudut Peluaran
Poligon

Menerbitkan rumus hasil
tambah sudut pedalaman
suatu poligon.

Tujuan: Meneroka bilangan setiap segi tiga di dalam poligon
Bahan: Kertas dan protraktor
Langkah:
1. Buka fail MS062 untuk mendapatkan maklumat tentang

bentuk-bentuk poligon.
2. Cetak segi tiga, segi empat, pentagon, heksagon, heptagon,

oktagon dan nonagon.

5. Lukis poligon sekata yang berikut dengan membahagi sudut pada pusat secara sama saiz.
 (a)  Pentagon sekata   (b)  Heksagon sekata

Hasil tambah sudut pedalaman suatu poligon = (n – 2) × 180°.

CONTOH 2

Nyatakan bilangan segi tiga yang terbentuk bagi setiap poligon
yang berikut.
(a)   Poligon 13 sisi (b) Poligon 18 sisi

Penyelesaian:

(a)			 Bilangan	segi	tiga	=	13	−	2
  = 11

(b)			 Bilangan	segi	tiga	=	18	−	2
                       = 16

Poligon Bilangan sisi (n) Bilangan segi tiga Hasil tambah sudut
pedalaman

Segi tiga 3 1 1 × 180° = 180°

Segi empat 4 2 2 × 180° = 360°
Pentagon
Heksagon
Heptagon
Oktagon
Nonagon
Dekagon

1
1

2

31

2

1
2

3
4

Dalam sebutan n

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms062 untuk
mendapatkan lembaran
kerja bentuk-bentuk poligon.

Sudut pedalaman ialah
sudut yang terbentuk oleh
dua sisi bersebelahan di
dalam sesuatu poligon.

Sudut a, b dan c ialah
sudut pedalaman.

Sudut x, y dan z ialah
sudut peluaran.

Sudut peluaran ialah
sudut yang terbentuk
apabila satu sisi poligon
dipanjangkan. Penggenap
kepada sudut pedalaman.

x
a

by

z
c

Bilangan
sisi Nama Poligon

12 dodekagon

13 tridekagon

14 tetradekagon

15 pentadekagon

16 heksadekagon

17 heptadekagon

18 oktadekagon

19 enneadekagon

20 ikosagon

Hasil tambah sudut
pedalaman satu segi tiga
ialah 180°.

a

cb
a + b + c = 180°

Sudut Peluaran
115°

Sudut
Pedalaman

65°

Sudut peluaran + Sudut
pedalaman = 180°.

180°
B
A

B
 4

B
A

B
 4

6564

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

4.2.2  Hasil tambah sudut peluaran poligon

Tujuan: Meneroka hasil tambah sudut peluaran
Bahan: Perisian geometri dinamik

Hasil tambah sudut peluaran sebuah poligon ialah 360°.

Membuat dan
mengesahkan konjektur
tentang hasil tambah
sudut peluaran poligon.

(b) Hasil tambah sudut pedalaman
 = (n	−	2)	×	180°
	 =	(4	−	2)	×	180°
 = 360°
Maka, x + 130° + 60° + 90° = 360°
    x + 280°  = 360°
       x  =	360°	−	280°
       x  = 80°

CONTOH 4

(a) Hitung nilai x bagi setiap rajah
berikut.

(b) ∠	FCD =
360°

5

=  72°
           x		=		180°	−	72°	−	72°
  =  36°

4.2.3  Nilai sudut pedalaman, sudut peluaran
dan bilangan sisi suatu poligon

CONTOH 5

Hitung nilai sudut pedalaman bagi sebuah heksagon sekata.

Penyelesaian:

Bilangan sisi heksagon sekata, n = 6
Hasil tambah sudut pedalaman  = (n −	2)	×	180°
	 	 =	(6	−	2)	×	180°
  = 4 × 180°
  = 720°

Maka, sudut pedalaman  =
Hasil tambah sudut pedalaman

Bilangan sisi

  =

720°
6

= 120°

Menentukan nilai sudut
pedalaman, sudut
peluaran dan bilangan
sisi suatu poligon.

Sudut pedalaman poligon
 sekata

=
(n − 2) × 180°

n

Penyelesaian:
(a) Hasil tambah sudut pedalaman
 = (n	−	2)	×	180°
	 =	(5	−	2)	×	180°
 = 540°
Maka, x + 100° + 130° + 60° + 90° = 540°
    x + 380°  = 540°
      x  =	540°	−	380°
      x  = 160°

(b) Dalam rajah di bawah, ABCDE ialah sebuah
pentagon sekata. BCF dan EDF ialah garis lurus.
Hitung nilai x.

x

F

CD

E B

A

Penyelesaian:

(a)  Hasil tambah sudut peluaran = 360°
x + 160° + 120° = 360°

x + 280° = 360°
                         x =	360°	−	280°
                         x = 80°

CONTOH 3

Hitung nilai x bagi poligon berikut.
(a)  (b)

100°

130°

60°

x 130°
60°

x

CONTOH 6

Hitung nilai b bagi rajah di sebelah.

Penyelesaian:

360° = (30° + b + b + 50° + 45° + 15° + 60° + 30°)
360° = 230° + 2b
   2b =	360°	−	230°
   2b = 130°
     b = 65°

Langkah:
1. Buka fail MS064 untuk memperoleh lembaran kerja yang telah

disediakan. Cetak fail tersebut.
2. Buat konjektur bagi setiap poligon di ruang yang disediakan

dalam lembaran bercetak.
3. Buka fail hasil tambah sudut peluaran.ggb.
4. Teroka setiap poligon yang disediakan.
5. Seret penggelongsor dilate untuk mengubah saiz sisi poligon

yang dipaparkan.
6. Sahkan hasil tambah sudut peluaran poligon.

Perbincangan:
Bincangkan hasil tambah sudut peluaran poligon.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms064 untuk
mendapatkan lembaran
kerja di sebelah.

Konjektur ialah proposisi atau
teorem yang kelihatan benar.
Keputusan konjektur tidak
dibuktikan secara formal.
Konjektur membolehkan
kita membuat spekulasi
daripada suatu situasi
matematik. Contohnya, jika
kita menambah dua nombor
positif, maka hasilnya
sentiasa lebih besar daripada
nombor tersebut.

30°

60°

b

50°
45°

15°

30° + b

Poligon n
Hasil tambah sudut peluaran

Konjektur Kesahan (Ya / Tidak)

x

160°
120°

Sudut peluaran
poligon sekata

Sudut pedalaman
= 180° − sudut peluaran

= 360°
n
B
A

B
 4

B
A

B
 4

6766

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

PERHATIAN

Jumlah sudut pedalaman

Sudut pedalaman

Sudut peluaran
180° − sudut peluaran

atau

atau

4 × 180° = 540°
bilangan segi tiga

180° − sudut pedalaman

jumlah sudut pedalaman
bilangan sisi

360°
bilangan sisi

(n	−	2)	×	180°

3 4 5 6

segi
tiga

segi
empat

pentagon heksagon

POLIGON SEKATA

3. Hitung nilai x bagi setiap rajah berikut.

 (a)      (b)

(c)      (d)

Memahami masalah

Menghitung sudut y menggunakan rumus

(n	−	2)	× 180°
n

Sudut x berada dalam segi tiga sama kaki.
∠UPQ = ∠TSR = y

180° −	∠UPQ
2

Merancang strategi

(a) y =
(6	−	2)	× 180°

6

y = 120°

(b) x =
180° −	120°

2
      x = 30°
      z = 30°(sudut selang seli)

Melaksanakan strategi

(b) Perbezaan antara y
 dengan (x + z)
 = 120° −	(30° + 30°)
 =  60°

Membuat kesimpulan
(a) y = 120°
(b) y	−	(x + z) = 60°

CONTOH 8

CONTOH 7

CONTOH 9

Hitung bilangan sisi sebuah poligon sekata berikut apabila diberi
nilai sudut pedalaman.
(a) 108° (b) 144°

Penyelesaian:

(a)	 Sudut	peluaran		=	180°	−	108°
  = 72°

Bilangan sisi, n  =
360°

sudut peluaran

n  =
360°
72°

n  = 5

Hitung nilai sudut peluaran bagi sebuah oktagon sekata.

Penyelesaian:

Bilangan sisi sebuah oktagon sekata, n = 8
Hasil tambah sudut peluaran = 360°

Maka, sudut peluaran  =
360°

8
     = 45°

(b)	 Sudut	peluaran		=	180°	−	144°
  = 36°

Bilangan sisi, n  =
360°

sudut peluaran

n  =
360°
36°

n  = 10

4.2.4  Penyelesaian masalah

Gambar rajah di sebelah ialah heksagon sekata yang
dibesarkan daripada corak pada sebiji bola sepak.
(a)  Hitung sudut y.
(b)  Hitung perbezaan antara y dengan (x + z).

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan poligon.

Penyelesaian:

4.2JOM CUBA

1.  Nyatakan bilangan segi tiga yang terhasil dalam poligon berikut dan hitung jumlah sudut
pedalamannya.

Poligon Bilangan segi tiga dalam poligon Jumlah sudut pedalaman

Pentagon

Heksagon

Heptagon

Oktagon

Nonagon

80°

130°

x

x

100°

75°

85°

x
50°

76°

2. Namakan semua sudut pedalaman dan sudut peluaran bagi setiap poligon yang berikut.

(a) (b)

Sudut pedalaman: Sudut pedalaman:

Sudut peluaran: Sudut peluaran:

gh

a

b
d

c

f
e

b
g

c

hi
d

e

j
a

f

70°

60°

50°

x

112°

T

S
y

zx
R

Q

P

U
B
A

B
 4

B
A

B
 4

6968

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

4. Bagi setiap rajah di bawah, hitung nilai p, q dan r.

(a)      (b)

5. Hitung nilai a + b + c.

(a) (b)

(c) (d)

6. Tentukan bilangan sisi bagi poligon yang mempunyai hasil tambah sudut pedalaman
 (a)  900° (b)  1 080° (c)  1 260°

7. Zaidi mempunyai sebuah kebun sayur berbentuk poligon sekata. Garis putus-putus dalam rajah
di bawah merupakan paksi simetri kebun beliau.

(a)  Apakah bentuk sebenar kebun sayur Zaidi?
 (b)  Hitung nilai y.

8. Rajah menunjukkan dua buah kolam renang di sebuah pusat sukan berbentuk oktagon dan
pentagon sekata. Apakah nilai sudut x?

x

1. Bina poligon berikut dengan jangka lukis dan pembaris.
 (a)  Segi tiga sama sisi ABC dengan sisi 4 cm.
 (b)  Segi empat sama PQRS dengan sisi 3 cm.

MENJANA KECEMERLANGAN

y

b

a
c

b

q

r

112°

60°

a

b
c

98°

65°

2. Hitung nilai p, q, dan r dalam rajah yang berikut.

(a) (b) (c)

3. Hitung nilai x bagi poligon berikut.
 (a) (b) (c)

4. Hitung bilangan sisi bagi setiap poligon sekata berikut.

(a) (b)

(c) (d)

5. (a) Hitung nilai bagi x + y dalam
  rajah di bawah.

36°

150° 150°140°140°

(b)  Rajah menunjukkan logo berbentuk
pentagon sekata. FED ialah garis lurus.
Hitung nilai x + y.

A

B

C

DEF

y x

(c)  Dalam rajah di bawah, HIJKL ialah sebuah pentagon. KJM ialah garis lurus. Hitung nilai
a + b + c + d.

H

L

K J M

I
b

a c

d 65°

100°

r
45°

p

q
p80°

b

a

c

60°

80°

85°

r

85°
135°

p
q

40°

p

r

105°

q75°

x

120°

2x

85°

x

60°

100°

130°110°

x

45°

x

y

65°

150°

a

b
c 80°

140°q

45°

p

r
B
A

B
 4

B
A

B
 4

7170

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

6. Azreen ingin melukis logo bagi Kelab Pembimbing Rakan Sebaya di sekolahnya. Dia
memilih bentuk heksagon sekata berjejari 4 cm. Bantu Azreen melukis logonya dengan
menggunakan pembaris, protraktor dan jangka lukis.

7. Hasil tambah semua sudut pedalaman sebuah poligon sekata ialah 2 700°. Nyatakan bilangan
sisi poligon itu.

8. Dalam rajah di bawah, hitung nilai p + q.

9. Berdasarkan rajah di bawah, ABCDEFGH ialah sebuah oktagon sekata dan EFKLM ialah
sebuah pentagon sekata. Hitung ∠CBM.

10. Sudut peluaran sebuah poligon sekata ialah 2h, manakala sudut pedalaman poligon yang sama
ialah 7h.

(a)   Hitung nilai h.
 (b)   Hitung sudut pedalaman dan sudut peluarannya.
 (c)   Hitung bilangan sisi poligon dan namakan poligon tersebut.

11. Rajah di bawah ialah 4 buah pentagon sekata dan sebuah segi empat sama. Hitung nilai x.

x

BA

H

G

F E

D

C
67°

M

L

K

13. Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada corak yang terhasil melalui cantuman jubin.
Terdapat dua jenis jubin, iaitu jubin A dan jubin B yang merupakan poligon sekata. Hitung
bilangan sisi jubin A.

12. Bahar ingin membina sebuah poligon yang mempunyai jumlah sudut pedalaman 300°.
Bolehkah Bahar membina poligon tersebut? Jelaskan jawapan anda.

p

q

80°

92°

60°

98°

70°

14.	 Devaa	adalah	seorang	pelajar	jurusan	reka	grafik	di	sebuah	universiti	tempatan.	Bantu	Devaa
menghitung nilai x untuk membina bingkai gambar bercirikan gabungan poligon yang terdiri
daripada sebuah pentagon sekata dan dua buah rombus.

15. Hitung nilai x.

x

Jubin A

Jubin A

Jubin AJubin A

Jubin
B

Jubin
B

x
B
A

B
 4

B
A

B
 4

7372

Bab 4 PoligonBab 4 Poligon

INTI PATI BAB

Sudut peluaran sebuah poligon ialah
penggenap kepada sudut pedalaman
poligon itu.

Sudut Peluaran + Sudut Pedalaman
= 180°

Hasil tambah sudut peluaran
= 360°

Poligon tak sekata ialah poligon yang
tidak semua sisinya sama panjang.

Poligon sekata ialah poligon yang semua
sisinya sama panjang dan semua sudut
pedalamannya sama saiz.

Sudut
Peluaran

Sudut
Pedalaman

= 360°
3

= 360°
4

= 360°
5

= (3	−	2)	×	180°
3

= (4	−	2)	×	180°
4

= (5	−	2)	×	180°
5

1. Menghuraikan sifat geometri poligon sekata menggunakan pelbagai
perwakilan.

2. Membina poligon sekata menggunakan pelbagai kaedah dan menerangkan
rasional langkah-langkah pembinaan.

3. Menerbitkan rumus hasil tambah sudut pedalaman suatu poligon.

4. Membuat dan mengesahkan konjektur tentang hasil tambah sudut
peluaran poligon.

5. Menentukan nilai sudut pedalaman, sudut peluaran dan bilangan sisi
suatu poligon.

6. Menyelesaikan masalah yang melibatkan poligon.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

Sebagai seorang peniaga kedai makanan, reka cipta sebuah logo perniagaan anda
menggunakan gabungan bentuk dua atau tiga poligon. Anda boleh menggunakan perisian
geometri dinamik, alat geometri atau origami dalam menghasilkan logo anda.

Bentangkan rasional pemilihan logo perniagaan anda itu di dalam kelas.

Contoh logo

REFLEKSI DIRI

Bilangan paksi simetri poligon
sekata dengan n sisi ialah n
paksi simetri.

Poligon Tak SekataPoligon Sekata

Hasil tambah sudut
pedalaman
= (n −	2)	×	180°

• Sudut Pedalaman

=
(n	−	2)	×	180°

n

• Sudut Peluaran

=
360°

n

Hasil tambah sudut peluaran
= 360°
B
A

B
 5

B
A

B
 5

7574

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

Pergerakan jarum jam akan menghasilkan
bulatan pada pusingan lengkap 360°. Dalam
bahasa Yunani, pergerakan jarum jam
disebut 'kirkos' yang bermaksud berpusing
dan melengkok.

5.1 Sifat Bulatan

5.2 Sifat Simetri Perentas

5.3 Lilitan dan Luas Bulatan

• Bulatan
• Lilitan
• Jejari
• Pusat
• Diameter
• Perentas
• Tembereng
• Sektor
• Sektor minor
• Sektor major
• Tembereng minor
• Tembereng major
• Simetri

• Circle
• Circumference
• Radius
• Centre
• Diameter
• Chord
• Segment
• Sector
• Minor sector
• Major sector
• Minor segment
• Major segment
• Symmetry

RANGKAI KATA

Bulatan ditakrifkan sebagai lingkaran bagi titik
yang bergerak dari satu titik tetap pada jarak
yang sama. Titik tetap itu dikenali sebagai
pusat bulatan dan jarak yang sentiasa sama ini
disebut sebagai jejari. Bulatan juga merupakan
satu lengkung tertutup yang dinamakan lilitan
bulatan atau perimeter bulatan. Ahli matematik
bernama	 Euclid	 ialah	 orang	 pertama	 yang
mengkaji bulatan. Beliau juga dikenali sebagai
‘Bapa Geometri’ kerana kajiannya.

MASLAHAT BAB INI

Bab ini boleh diaplikasikan dalam seni bina,
ilmu falak, reka bentuk dan astronomi.

Untuk maklumat lanjut:

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms075

7574

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 5

B
A

B
 5

7776

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Mengenal bulatan
Bahan: Kertas warna, gam, gunting, tali dan penebuk
Langkah:
1. Murid membentuk kumpulan.
2. Setiap kumpulan dikehendaki menyediakan seberapa banyak

bulatan dalam pelbagai saiz. Contohnya seperti rajah di sebelah.
3. Bulatan yang dibina akan digunakan untuk menghias kelas.
4. Tulis rumus matematik yang telah dipelajari sebelum ini seperti rumus luas segi

empat, luas segi tiga, isi padu kubus, isi padu kuboid, teorem Pythagoras dan
sebagainya dalam bulatan.

5.1  Sifat Bulatan

5.1.1 Mengenal bahagian bulatan

Mengenal bahagian
bulatan dan menerangkan
sifat bulatan.Tujuan: Mengenal bahagian bulatan

Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS076 yang telah disediakan.
2. Perimeter sebuah bulatan dinamakan  .
3. Seret titik A yang berada di tengah bulatan ke semua arah.
 (i) Titik A dinamakan  bulatan.
4. Seret titik B mengelilingi bulatan.
 (i) Garisan dari pusat bulatan ke sebarang titik pada perimeter bulatan dinamakan  .
5. Seret titik C mengelilingi bulatan, kemudian seret titik C '  mengelilingi bulatan.
 (i) Garisan CC '  yang melalui pusat dan menyentuh lilitan dinamakan  .
6. Seret titik E dan titik D mengelilingi bulatan.
 (i) Garisan yang menyambung dua titik pada lilitan bulatan

dinamakan  .
 (ii) Rantau yang dibatasi itu dinamakan  .
7. Seret titik C dan D.
 (i) Apakah dua garisan yang terhasil? Garisan AC dan  .

(ii) Rantau yang dibatasi oleh dua jejari ini dinamakan  .

Perbincangan:
Bina satu kesimpulan tentang penerokaan anda.

Daripada aktiviti di atas, beberapa bahagian bulatan telah dikenal pasti seperti rajah di sebelah.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms076 di
bawah untuk mengenal
bahagian bulatan.

Dalam rajah, O ialah pusat bulatan.
Kenal pasti bahagian bulatan berikut.

Penyelesaian:

a, Perentas
c, Jejari
e,  Sektor

Diameter ialah perentas
yang paling panjang bagi
sesuatu bulatan.

Bulatan ialah lingkaran
bagi satu titik yang
bergerak sama jarak dari
satu titik tetap.

Tembereng
Rantau yang dibatasi
oleh satu lengkok dan

satu perentas.

Tembereng
Minor

Tembereng
Major

Sektor
Rantau yang dibatasi
oleh satu lengkok dan

dua jejari.

Sektor
MajorSektor

Minor

Lengkok
MajorLengkok

Minor
Lengkok

Lengkok adalah
sebahagian daripada

lilitan.

Diameter
Garis lurus yang
menyentuh lilitan
dan melalui pusat

bulatan.

Perentas
Garis lurus yang

menyambung
sebarang dua titik

pada lilitan.

Bahagian
bulatan

Pusat
Satu titik tetap yang
berjarak sama dari
semua titik pada
lilitan bulatan.

Jejari
Garis lurus dari pusat
bulatan ke sebarang

titik pada lilitan
bulatan.

Lilitan
Perimeter

sebuah bulatan.

CONTOH 1

b, Diameter
d, Lilitan
f, Lengkok

Mengapakah bola, glob
dan guli tidak dikenali
sebagai bulatan?

a b
O

d

f

c

e
B
A

B
 5

B
A

B
 5

7978

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

4. Sambungkan titik P ke titik A
yang telah ditanda pada lilitan.

5. Maka, garisan PA ialah
perentas.

(d)  Bina sektor bulatan
bersudut 60° pada
pusat bulatan yang
berjejari 2 cm.

1. Lukis sebuah bulatan
berpusat O dengan panjang
jejari OA ialah 2 cm.

2. Dengan menggunakan
protraktor, tandakan satu titik
pada sudut 60° dari jejari OA.

3. Lukis jejari OB dengan
menyambung pusat O dari titik
itu dengan garis lurus.

Maka, AOB ialah sektor
bulatan.

Syarat Langkah Penyelesaian

(a)  Bina bulatan apabila
diberi jejari 3 cm
dan berpusat O.

1. Tandakan satu titik O.
2. Ukur jangka lukis berjarak

3 cm pada pembaris.
3. Letakkan hujung tajam

jangka lukis pada titik O dan
lukis sebuah bulatan berjejari
3 cm.

(b)  Bina diameter yang
melalui titik Q
dalam bulatan yang
berpusat di titik O.

1. Sambungkan titik O dan
Q dengan garis lurus
menggunakan pembaris.

2. Lanjutkan garis itu sehingga
menyentuh lilitan. Maka,
garis lurus yang melalui Q
dan pusat yang menyentuh
lilitan ialah diameter.

(c)  Bina dua perentas
dengan panjang 3 cm
dari titik P pada
bulatan.

1. Buka jangka lukis pada
pembaris dan ukur selebar

3 cm.
2. Letakkan hujung tajam

jangka lukis pada titik P.
3. Lukis lengkok yang

memotong lilitan dan
labelkan titik A.

5.1.2 Membina bulatan

Tujuan: Membina suatu bulatan dan bahagian bulatan
 berdasarkan syarat yang diberikan

Bahan: Jangka lukis, protraktor, pembaris dan pensel
Langkah:

Perbincangan:
Daripada aktiviti di atas, apakah bahagian bulatan yang telah dibina?

Daripada aktiviti di atas, murid dapat
(a) membina suatu bulatan apabila diberi panjang jejari atau

diameter.
(b) membina diameter melalui satu titik yang tertentu dalam

suatu bulatan.
(c) membina perentas melalui satu titik yang tertentu dan diberi

panjang  perentas.
(d) membina sektor bulatan apabila diberi sudut sektor dan

panjang jejari suatu bulatan.

Membina suatu bulatan
dan bahagian bulatan
berdasarkan syarat yang
diberi.

O

A

P

O

A

P

3 cm

B

A
O

60°

O
A 2 cm

O

O
3 cm

Langkah 1

O

Q

O

Langkah 2

Langkah 1

Langkah 2

Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3

Q

diameter

Tapak Pusat Skala
dalam

Skala
luar

Untuk mengukur sudut
ABC, letakkan pusat
protraktor di atas bucu
sudut tersebut. Pastikan
garisan yang tertera nilai 0
terletak di atas garisan AB.
Baca sudut menggunakan
skala luar. Maka, sudut
ABC ialah 120°.

A
B

C
B
A

B
 5

B
A

B
 5

8180

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

2. Bina bulatan yang berjejari

(a) 3 cm (b)   4.5 cm

(c) 2.5 cm (d)   6 cm

3. Bina diameter yang melalui titik Q bagi setiap bulatan berpusat di O.

(a)                              (b)

4. Bina perentas sebuah bulatan dengan jejari dan panjang perentas seperti berikut.

Jejari Panjang Perentas

(a)  3 cm 4 cm

(b)  4.5 cm 6.7 cm

5. Dengan menggunakan protraktor, bina sektor AOB dengan O ialah pusat bulatan. Jejari dan ∠AOB
adalah seperti berikut.

Jejari ∠	AOB

(a)  3 cm 70°

(b)  3.6 cm 120°

5.2 Sifat Simetri Perentas

5.2.1 Ciri-ciri bulatan Menentusahkan dan
menerangkan bahawa
(i) diameter ialah paksi

simetri bulatan;
(ii) jejari yang

berserenjang
dengan perentas
membahagi dua
sama perentas itu
dan sebaliknya;

(iii) pembahagi dua
sama serenjang dua

perentas bertemu di
pusat bulatan;

(iv) perentas yang
sama panjang
menghasilkan
lengkok yang sama
panjang; dan

(v) perentas yang sama
panjang adalah
sama jarak dari
pusat bulatan dan
sebaliknya.

O

Q

Tujuan: Menentusahkan
(i)  sifat diameter sebuah bulatan.
(ii)  hubungan jejari yang berserenjang dengan perentas.

Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS081 untuk memperoleh fail yang telah disediakan.
2. Klik kotak Aktiviti.
3. Seret titik Q ke titik P,T, U, B1,V dan Z.
 (i) Namakan diameter bulatan tersebut. Garisan   .
 (ii) Perhatikan nilai sudut yang terdapat di pusat bulatan

apabila diameter QQ' digerakkan. Adakah pergerakan ini
 menghasilkan nilai sudut yang sama? Adakah bentuk
 terhasil juga sama?

(iii) Jika anda melipat bulatan tersebut pada garisan QQ',
 adakah bentuk itu dapat bertindih dengan tepat?

(iv) Diameter pada suatu bulatan dikenali sebagai   .
4. Klik semula kotak Aktiviti untuk aktiviti seterusnya.
5. Seret penggelongsor Gerakkan Saya sehingga selesai.
 (i) Jejari yang membahagi dua sama perentas adalah

dengan perentas tersebut.

(ii) Jejari yang berserenjang dengan perentas
 perentas tersebut.

(iii) Perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang
  .

Perbincangan:
Nyatakan kesimpulan bagi semua aktiviti penerokaan di atas.

Bulatan mempunyai
bilangan paksi simetri yang
tidak terhingga kerana
sebarang garis lurus
yang melalui pusatnya
merupakan paksi simetri
bagi bulatan tersebut.

5.1JOM CUBA

C

O

D

B
A

1. Namakan

(i) titik O.

(ii)  garis AOC.

(iii) sektor AOB.

(iv)  garis OA.

(v) lengkok AB.

(vi) garis BC.

(vii)  kawasan berlorek BCD.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms081 untuk
sifat simetri perentas 1.

O

Q

Jejari yang berserenjang
dengan perentas membahagi
dua sama perentas itu.

Diameter sebuah bulatan
merupakan suatu paksi simetri
bulatan tersebut.

Diameter ialah perentas
yang melalui pusat bulatan.

O
B
A

B
 5

B
A

B
 5

8382

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan dengan perentas MN yang
berserenjang dengan jejari OP.
(a) Adakah panjang MS sama dengan panjang SN? Jelaskan.
(b) Jika jejari bulatan ialah 10 cm dan OS = 8 cm, hitung panjang perentas MN.

Penyelesaian:

(a) Ya, MS = SN

O
P K

M

A

Q

B

N

CONTOH 3

(b) MS = �102	−	82

MS = �100	−	64

MS = �36

MS = SN = 6

Maka, MN = 12 cm.

Jejari OP yang berserenjang
dengan perentas membahagi
dua sama perentas.

Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan
garis MN ialah perentas.
(a) Namakan paksi simetri bagi rajah ini.
(b) Diberi OK = 3 cm dan NK = 4 cm, hitung panjang ON.
(c) Namakan sudut yang sama saiz dengan ∠ONK.

Penyelesaian:

(a)    AOB dan POQ

CONTOH 2

NM

P

S

O

Teorem Pythagoras

AB 2 + BC 2 = AC 2
atau

a 2 + b 2 = c 2

A

B

ca

b C

Tujuan: Menentusahkan
(i)  sifat pembahagi dua sama serenjang dua perentas.
(ii)  sifat-sifat perentas yang sama panjang dalam suatu bulatan.

Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS082 untuk memperoleh fail yang telah disediakan.
2. Seret titik A supaya AB = CD.
3. Klik kotak pada jarak garis berserenjang dari pusat bulatan.
4. Ulang langkah 1 dan 2 jika ingin mendapat nilai jarak yang lain.

Perbincangan:
(i)  Di manakah garisan OP dan OQ bertemu?
(ii)  Adakah panjang lengkok AGB dan CID sama?
(iii)  Jika panjang AB = CD, jarak OP = jarak  .
(iv)  Adakah jarak OP dan OQ sama?

O

O

O

Pembahagi dua sama serenjang dua perentas bertemu di pusat bulatan.

Perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang.

Dua perentas yang sama panjang adalah sama jarak dari pusat
bulatan dan sebaliknya.

(b)

ON2 = 42+ 32

ON = �(16 + 9)

ON   = �25

ON   = 5
Maka, panjang ON ialah 5 cm.

N

K O

4 cm

3 cm

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms082 untuk
sifat simetri perentas 2.

Dua jejari dan perentas
membentuk segi tiga
sama kaki.

O

BA

10 cm 8 cm

(c)   ∠OMK
O ialah pusat bulatan.

Apakah hubungan antara
OP, OQ dan OM?

O

Q

P

M

Berapakah bilangan paksi
simetri untuk separuh
bulatan?

ON = OM
B
A

B
 5

B
A

B
 5

8584

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

5.2JOM CUBA

1. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan. MNOP dan KNL ialah
 garis lurus. Diberi bahawa MN = 8 cm dan NP = 18 cm. Hitung
 panjang KL.

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan yang berpusat O.
 JKL dan KOM ialah garis lurus. Diberi bahawa JK = KL = 15 cm
 dan jejari bulatan 25 cm. Hitung panjang, dalam cm, garis KOM.

5.2.3 Penyelesaian masalah

CONTOH 5 Menyelesaikan masalah
yang melibatkan sifat
simetri perentas.Seorang tukang besi diminta membina sebuah kerangka tingkap

berbentuk bulatan seperti rajah di bawah. Tingkap berbentuk bulatan
itu berdiameter 50 cm. Tiga batang besi, PR, US dan QT yang
tidak sama panjang digunakan untuk menyokong tingkap tersebut.
Hitung panjang PR.

Penyelesaian:

O

M

N P

K

P

O

N L

Rajah di sebelah menunjukkan dua perentas yang sama panjang RS dan
TU. POQ ialah garis lurus yang melalui pusat bulatan O.
Diberi OP = 5 cm dan RS = 24 cm.

(a) Hitung panjang PR.

(b) Adakah lengkok minor RMS dan TNU sama panjang? Jelaskan.

(c) Hitung jejari bulatan itu.

Penyelesaian:
(a) Jejari yang berserenjang dengan perentas, membahagi perentas
 itu kepada dua bahagian yang sama panjang,
 Panjang PR = 24 ÷ 2 = 12 cm
(b)   Ya, perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang
 sama panjang.

(c) OR = �PR2 + OP2

= �122 + 52

= �144 + 25

= �169

= 13 cm

CONTOH 4

Perentas RS dan TU sama panjang

OR, OS, OT dan OU ialah
jejari bulatan

5.2.2 Pusat dan jejari bulatan

Menentukan pusat dan
panjang jejari bagi suatu
bulatan melalui pembinaan
geometri.

Tujuan: Menentukan pusat dan jejari bulatan
Bahan: Jangka lukis, pembaris, pensel, bahan yang berbentuk bulat
Langkah:
1. Surih bentuk bulat pada sehelai kertas.
2.  Bina dua perentas, PQ dan PR dari titik P bulatan itu.
3. Bina garisan pembahagi dua sama serenjang bagi perentas

PQ dan PR.
4. Titik persilangan dua garisan pembahagi dua sama serenjang

ditandakan dengan O.
5. Lukis satu garisan dari O ke lilitan bulatan dan namakannya

sebagai OT.

Perbincangan:
(i)  Bincangkan ciri titik O.
(ii)  Bincangkan ciri garisan OT.

Pembahagi dua sama serenjang bagi sebarang perentas akan sentiasa bersilang di pusat bulatan.

P Q

O

R T

Memahami masalah

Diameter tingkap = 50 cm

QT = 31 cm

US = 48 cm

Hitung panjang PR.

Membuat kesimpulan

Maka, PR ialah 14 cm.

Merancang strategi

jejari =
diameter

2

=
50
2

= 25 cm

OT = �OU 2  −	UT 2

OQ  = QT	−	OT

PQ  = �OP 2  −	OQ 2

PR  = PQ × 2

PQ = �252 −	242

= �625	−	576
 = �49

= 7 cm

OT = �252 −	242

= �625	−	576
 = �49

= 7 cm

PR  = 7 + 7
 = 14 cm

Melaksanakan strategi

Sudut pada lilitan dalam
sebuah semi bulatan ialah
90°.

UQ

SR

T

P

M

N

O

O

M

L

J

K

OQ	=	31	−	7
 = 24 cm

U

P

R

S

Q

31 cm
48 cmTO
B
A

B
 5

B
A

B
 5

8786

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

5.3.2 Rumus luas bulatan

Tujuan: Menerbitkan rumus luas bulatan
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS087 untuk memperoleh fail yang telah disediakan.
2. Seret jejari sehingga nilai 3, dan seret n sehingga mencapai nilai 6.
 Perhatikan perubahan yang berlaku.
3. Ulangi langkah 2 dengan mengubah nilai jejari dan bilangan n yang lain.
 Perhatikan perubahan yang berlaku.

Perbincangan:

(i) Semakin  sektor bulatan itu dibahagikan semakin jelas bentuk segi empat
tepat yang dihasilkan.

(ii) Tinggi segi empat tepat =  bulatan.
(iii) Tapak segi empat tepat  =  lilitan bulatan.

Menerbitkan rumus
luas bulatan.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms087 untuk
menerbitkan luas bulatan.

Daripada aktiviti di atas, didapati bahawa
luas bulatan = luas segi empat tepat
                     = tapak × tinggi

=
1
2

× lilitan bulatan × tinggi

=
1
2

× 2πj × j

=  πj2

Maka, luas	bulatan	=	πj2

Tujuan: Menentukan hubungan antara lilitan bulatan dengan diameter
Bahan:  Jam randik, baldi, tayar basikal, pita pengukur, pensel atau sebarang bahan yang

boleh digunakan untuk diganti dengan bahan berbentuk bulat yang berada di
sekeliling anda

Langkah:
1. Dengan menggunakan pita ukur, ukur lilitan bagi permukaan jam randik, baldi dan tayar

basikal.
2. Ukur diameter bagi ketiga-tiga bahan tersebut.
3. Salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Bahan Lilitan (cm) Diameter (cm)

1.    Jam randik

2.    Baldi

3.    Tayar basikal

Perbincangan:
(i) Bincangkan perkaitan antara diameter dengan lilitan.
(ii) Apakah nilai nisbah lilitan kepada diameter?

Daripada aktiviti di atas didapati nilai nisbah lilitan kepada

diameter, iaitu π suatu bulatan ialah 3.142 atau 22
7

.

Lilitan
Diameter

Lilitan sebuah bulatan ialah π didarab dengan diameter seperti rumus di bawah.

Rumus lilitan juga boleh diterbitkan menggunakan jejari seperti

INGAT !
Diameter = 2 × Jejari

5.3 Lilitan dan Luas Bulatan

5.3.1  Hubungan lilitan bulatan dengan diameter
Lilitan bulatan ialah ukuran sekeliling bagi satu bulatan. Rajah di
bawah menunjukkan sebuah meja bulat yang perlu dipasang skirting
untuk majlis perkahwinan. Berapakah panjang kain skirting yang
diperlukan?

Ukuran untuk skirting itu dapat
dihitung dengan rumus yang
melibatkan	π	(pi).
π	dibaca	sebagai	“pai”.

Menentukan hubungan
antara lilitan dengan
diameter bulatan, dan
seterusnya mentakrifkan

serta menerbitkan
rumus lilitan bulatan.

Lilitan
Diameter

= π

lilitan = π × diameter
 = πd

lilitan = π × 2 × jejari
 = 2πj
B
A

B
 5

B
A

B
 5

8988

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

CONTOH 9

Diberi luas bulatan ialah 616 cm2. Hitung jejari dan diameter. (Guna π =
22
7

)

Penyelesaian:
            Luas  = πj2

πj2 = 616

22
7  × j2 = 616

22
7

1

1
 × 7

22

1

1
 × j2  = 616 ×

7
22

j2 = 616 ×
7
22

j2 = 196

j = �196

j = 14 cm

Diameter = 2 × 14
                 = 28 cm

CONTOH 10

Diberi lilitan bulatan ialah 66 cm. Hitung luas bulatan. (Guna π =
22
7

)

Penyelesaian:

Lilitan  = 66 cm
                2πj = 66

2 ×
22
7

× j  = 66

j = 66 ×
7
44

j = 10.5 cm

Luas = πj2

=
22
7

× 10.52

= 346.5 cm2

CONTOH 11

Diberi luas bulatan ialah 75.46 cm2. Hitung lilitan bulatan.

(Guna π =
22
7

)

Penyelesaian:

Luas  = πj2

πj2 = 75.46

22
7

× j2  = 75.46

j2  = 75.46 ×
7
22

j2 = 24.01

j = �24.01

j = 4.9 cm

Lilitan = 2πj

= 2 × 22
7

× 4.9

= 30.8 cm
Penyelesaian:

(a) Luas = πj2

=
22
7

× �
10
2 �

2

= 78.57 cm2

(b)  Luas = πj2

=
22
7

× 72

= 154 cm2

5.3.3 Lilitan, luas bulatan, panjang lengkok dan
luas sektor

Menentukan lilitan bulatan
Menentukan lilitan, luas
bulatan, panjang lengkok,
luas sektor dan ukuran
lain yang berkaitan.CONTOH 6

Hitung lilitan sebuah bulatan jika

(a) diameter, d = 14 cm. (Guna π =
22
7

)        (b)   jejari, j = 21.3 cm. (Guna π = 3.142)

Penyelesaian:

(a) Lilitan = πd

=
22
7

× 14

= 44 cm

CONTOH 7

(a) Diberi lilitan sebuah bulatan ialah 88 cm. Hitung diameter, dalam cm, bulatan tersebut.

(Guna π =
22
7

)

(b) Diberi lilitan sebuah bulatan ialah 36.8 cm. Hitung jejari bulatan, dalam cm dan bundarkan
kepada dua tempat perpuluhan. (Guna π = 3.142)

Penyelesaian:

(b)               Lilitan = 2πj
																									2πj = 36.8
          2 × 3.142 × j  = 36.8

j =
36.8
6.284

j = 5.86 cm

(a)   Lilitan = πd

88 =
22
7

× d

d = 88 ×
7
22

d = 28 cm

(b) Lilitan = 2πj
         = 2 × 3.142 × 21.3
    = 133.85 cm

CONTOH 8

Hitung luas bulatan yang mempunyai
(a) diameter 10 cm.         (b)  jejari 7 cm.

(Guna π =
22
7  )

Menentukan luas bulatan

INGAT !
jejari, j =

diameter, d = 2j

diameter
2

Rajah menunjukkan dua
bulatan dalam satu bulatan
yang lebih besar. Hitung
luas bulatan kawasan
berlorek.

(a)  Hitung luas bagi suku
bulatan jika jejarinya
ialah 7 cm.

(b) Hitung luas bagi semi
bulatan jika jejarinya
ialah 7 cm.

(c) Hitung luas bagi tiga
suku bulatan jika
jejarinya ialah 7 cm.

O

O

O

4 cm

4 cm

8 cmO
B
A

B
 5

B
A

B
 5

9190

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

CONTOH 14

Diberi panjang lengkok suatu bulatan ialah 11 cm dan sudut pada pusat bulatan ialah 45°. Hitung
panjang, dalam cm, jejari bulatan itu.

Menentukan luas sektor bulatan

Luas sektor bulatan merupakan rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari. Luas sektor
bulatan adalah berkadaran dengan luas bulatan.

Maka,

CONTOH 15

Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 21 mm. Hitung luas sektor
minor MON.

Penyelesaian:

Luas sektor

πj2 = 
360°

Luas sektor MON = 100°
360°

× 22
7

× 212

= 385 mm2

Lengkok bulatan merupakan sebahagian daripada lilitan bulatan. Lengkok bulatan berkadaran
dengan sudut pada pusat bulatan.

Maka,

Menentukan panjang lengkok suatu bulatan

Panjang lengkok

Lilitan bulatan

Sudut pada pusat

360°

Panjang lengkok
2πj



360°

CONTOH 12

Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan jejari 14 cm dan
berpusat di O. Hitung panjang lengkok minor PQ yang mencangkum
60° pada pusat. Tulis jawapan dalam dua tempat perpuluhan.

Penyelesaian:

Panjang lengkok

2πj
  =  

360°

Panjang lengkok  =  
360°

×  2πj

Panjang lengkok =  60°
360°

×  2 ×
22
7

× 14

= 14.67 cm

Simbol  dibaca “theta”,
ialah huruf Yunani yang
digunakan untuk mewakili
sudut.

CONTOH 13

Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan jejari 21 cm dan
berpusat di O. ∠	ROS ialah 72°. Hitung panjang lengkok major RS.

Penyelesaian:

Sudut	pada	pusat		 =	360°	−	72°
 = 288°

Panjang lengkok

2πj
 =


360°

Panjang lengkok  =


360°
 × 2πj

Panjang lengkok  = 288°
360°

× 2 ×
22
7  × 21

= 105.6 cm

O

A

B



Luas sektor bulatan
Luas bulatan

= Sudut pada pusat
360°

Luas sektor AOB
πj2  =


360°

O100°

21 mm

M

N

Sudut boleh diukur
menggunakan radian.
1 radian (1 rad) ialah
ukuran sudut di pusat
bulatan apabila panjang
lengkok sama dengan
jejari.

1 Radian Panjang
lengkok

r

r

Penyelesaian:



360° =
Panjang lengkok

2πj

2πj = Panjang lengkok ×
360°



2 ×  22
7

× j  = 11 ×
360°
45°

j = 11 ×
360°
45° ×

7
22  ×

1
2

j =
27 720
1 980

j = 14 cm

ARC, APB, BSD dan CQD
merupakan lengkok suatu
bulatan dan AB, AC, BD
dan CD ialah diameter
bulatan. Hitung kawasan
berlorek.

S

D

R

A B
C14 cm Q

P

O

B
A



P

Q

60°

O

Sudut tirus
0° <  < 90°

Sudut cakah
90° <  < 180°

Sudut refleks
180° <  < 360°

Sudut tegak 90°







SR

72°

O

14 cm
14 cm
B
A

B
 5

B
A

B
 5

9392

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

5.3JOM CUBA

1. Hitung lilitan bulatan yang mempunyai
 (a) jejari 7 cm. (b)  jejari 56 cm.
 (c)  diameter 9.2 cm. (d)   diameter 98 mm.

Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π =
22
7

)

2. Diberi lilitan bulatan 24.5 cm. Hitung
 (a) diameter (b)   jejari
 Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π = 3.142)

3. Hitung luas bulatan yang mempunyai jejari berikut.
 (a) 21 m (b)   56 mm

(c)  7 cm (d)   1
2
5

cm

Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π =

22
7

)

4. Luas bagi sebuah bulatan ialah 38.5 cm2. Hitung
 (a) jejari (b)   lilitan bagi bulatan

Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π =
22
7

)

5. Hitung luas bulatan, jika lilitan bulatan ialah 15.4 cm.

Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π =
22
7

)

6. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Diberi OF = 6.5 cm dan EG = 5 cm.
Hitung luas, dalam cm2, kawasan berlorek. Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan.

(Guna π = 3.142)

G

F

E

O

CONTOH 16

Diberi luas sektor QOP ialah 18.48 cm2 dan jejari 12 cm. Hitung nilai .

Penyelesaian:

Luas sektor

πj2  =


360°



360°  =
18.48

22
7

× 122

  =
18.48

22
7  × 12 × 12

× 360°

  = 14.7°

5.3.4 Penyelesaian masalah

CONTOH 17

Majlis Bandaraya Melaka Bersejarah bercadang membina sebuah
taman rekreasi yang berbentuk segi empat tepat dengan panjangnya
63 m dan lebarnya 58 m. Setiap penjuru taman tersebut yang
berbentuk sukuan bulatan berjejari 7 m akan ditanam dengan pokok
bunga dan di tengah-tengah taman akan dibina sebuah kolam ikan
yang berbentuk bulat dengan diameter 28 m. Kawasan yang lain
akan ditanam dengan rumput karpet. Hitung luas kawasan yang

ditanam dengan rumput karpet. (Guna π =
22
7  )

Penyelesaian:

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan bulatan.

7. Hitung jejari apabila panjang lengkok dan sudut pada pusat bulatan diberi. Nyatakan jawapan
dalam dua tempat perpuluhan.

Panjang lengkok(cm) Sudut pada pusat
(a) 11 45°
(b) 4.3 35°
(c) 30.8 120°
(d) 110 200°

Merancang strategi

Luas taman rekreasi  = panjang × lebar

Luas tanaman bunga = 4 ×
1
4 	πj2

Luas	kolam	ikan		 	 =	πj2

Kawasan yang ditanam dengan rumput karpet
=	luas	taman	rekreasi	−	luas	tanaman	bunga	−	luas	kolam	ikan

58 m

63 m

(iii) Luas kolam ikan
 = πj2

=
22
7

× 142

= 616 m2

(i) Luas taman rekreasi = 58 × 63
 = 3 654 m2

(ii)  Luas tanaman bunga  = 4 ×
1
4

× πj2

=
22
7

× 72

= 154 m2

Melaksanakan strategi

Memahami masalah

Jejari sukuan bulatan = 7 m

Taman berbentuk segi empat tepat.
Panjang = 63 m
Lebar  = 58 m

Diameter kolam ikan = 28 m

Hitung luas kawasan yang
ditanam dengan rumput karpet.

Membuat kesimpulan

Maka, kawasan yang ditanam
dengan rumput karpet ialah
3 654 m2	−	154	m2 −	616	m2
= 2 884 m2

Hitung luas rantau yang
berlorek. Cuba anda
tentukan satu rumus untuk
menghitung luas anulus.

6 cm

8 cm O

anulus

12 cm

Q

O

P


B
A

B
 5

B
A

B
 5

9594

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah dewan makan yang
berukuran 10 m panjang dan 8 m lebar yang dihamparkan dengan
sembilan bidang permaidani berbentuk bulatan. Diameter satu
permaidani itu berukuran 200 cm. Hitung luas, dalam meter
persegi, kawasan lantai dewan yang tidak diliputi permaidani.

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak
PRT. R ialah pusat bagi sukuan itu. Diberi RS = 14 cm, ST = 10 cm
dan PQ = 4 cm. Hitung perimeter, dalam cm, kawasan berlorek.

(Guna	π	=
22
7

)

4. Rajah di sebelah menunjukkan sebidang tanah berbentuk segi
empat tepat JLNP yang	dimiliki	oleh	Encik	Rashid.	Encik	Rashid
telah membahagikan tanahnya kepada tiga bahagian. K ialah titik
tengah bagi JL dan M ialah titik tengah bagi LN.	Encik	Rashid
bercadang untuk menanam sayur di kawasan berbentuk segi tiga
KLM dan semi bulatan. Hitung luas kawasan yang tidak ditanam
dengan	sayur.	(Guna	π	=	3.142)

5. Kevin ingin membina satu papan panahan yang berbentuk
bulatan. Papan panahan tersebut terdiri daripada dua bulatan
yang berpusat di O dan tiga sektor yang berlorek seperti rajah di
sebelah. Diameter BOD dan AOC adalah berserenjang antara
satu sama lain. Diberi OE = ED = 10 cm. Hitung luas, dalam
cm2, kawasan berlorek.

(Guna	π	=
22
7

)

1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. PQR dan STU ialah garis lurus.
Diberi PQR = STU = 6 cm, hitung panjang yang berikut.

(a) PQ
 (b)  ST
 (c)  OT

MENJANA KECEMERLANGAN

9. Rajah di bawah menunjukkan pelan bagi sebuah taman. ABCD ialah sebuah segi empat tepat.
APB dan DQC ialah semi bulatan yang masing-masing berpusat di X dan Y. Diberi AB = 7 cm
dan AC = 25 cm. Hitung perimeter, dalam cm, taman itu.

P X Y Q

DA

CB

10. Rajah di bawah menunjukkan sukuan OPQ berpusat O. ORST ialah sebuah segi empat sama.
Diberi OP = 10 cm dan OR = 7 cm. Hitung luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek. Berikan
jawapan	dalam	π.

P

R

O

T

S

Q

8 m

10 m

8. Diberi jejari dan luas sektor bulatan berikut, hitung sudut pada pusat bulatan.

Jejari Luas sektor

(a)      14 cm 18.48 cm2

(b)      21 m 27.72 m2

(c)     8.4 cm 15.4 cm2

6. Di sebuah muzium terdapat tingkap berbentuk bulat yang dihiasi
dengan gelung bulatan yang sama saiz seperti rajah di sebelah.
Jejari tingkap tersebut ialah 45 cm. Hitung luas kawasan yang
tidak	dilitupi	hiasan	tersebut.	(Guna	π	=	3.142)

A

B

C

D
O E

S

P
O

Q R

T
U

5 cm

Q

P

R S T

LJ

NP

K

M

O

16 cm

20 cm
B
A

B
 5

B
A

B
 5

9796

Bab 5 BulatanBab 5 Bulatan

Perentas

Lengkok Minor

Lengkok
Major

Sektor Major

Tembereng Minor

Tembereng
 Major

Bulatan

Bahagian Bulatan

Jejari yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama perentas
itu dan begitu juga sebaliknya. Maka, AE = BE.

Dua perentas yang sama panjang adalah sama jarak dari pusat bulatan
dan begitu juga sebaliknya.

Rumus Bulatan

Lilitan	bulatan	=	πd
 =	2πj

INTI PATI BAB

Jejari

Diameter

Sektor
Minor

Lilitan

Perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang
dan begitu juga sebaliknya.

Lengkok AB = Lengkok CD.

Luas	bulatan	=	πj2

1.  Mengenal bahagian bulatan yang betul.

2.  Membina satu bulatan dan bahagian bulatan berdasarkan syarat yang
diberikan.

3.  Menentusahkan dan menerangkan bahawa:

(a)  Diameter ialah paksi simetri bulatan.

(b)  Jejari yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama
perentas itu dan sebaliknya.

(c)  Pembahagi dua sama serenjang dua perentas bertemu di  pusat bulatan.

(d)  Perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang.

(e)  Perentas yang sama panjang adalah sama jarak dari pusat bulatan
dan sebaliknya.

4.  Menentukan pusat dan panjang jejari bagi suatu bulatan melalui
pembinaan geometri.

5.  Menyelesaikan masalah yang melibatkan sifat simetri perentas.

6.  Menentukan hubungan antara lilitan dengan diameter bulatan, dan
seterusnya	mentakrifkan	π	dan	menerbitkan	rumus	lilitan	bulatan.

7.  Menerbitkan rumus bulatan.

8.  Menentukan lilitan, luas bulatan, panjang lengkok, luas sektor dan
ukuran lain yang berkaitan.

9.  Menyelesaikan masalah yang melibatkan bulatan.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

Tajuk: Permainan papan nombor

Anda dikehendaki membina satu papan nombor seperti rajah di sebelah.
Papan nombor itu terdiri daripada empat bulatan yang mempunyai berlainan
jejari seperti 5 cm, 15 cm, 20 cm dan 25 cm yang dibina pada pusat bulatan
yang sama. Bulatan tersebut hendaklah dibahagikan kepada 20 sektor. Setiap
sektor hendaklah dilabelkan dengan markah. Papan nombor ini boleh dibina
menggunakan kad manila, kertas atau polistirena. Anak panah boleh dibina
menggunakan kayu kecil yang dilekat dengan pita pelekat. Permainan ini
boleh dimulakan dengan membaling anak panah ke arah papan tersebut
untuk mendapat markah.

8

11

14

9
12

5 20 1
18

4

13

6

10

15

2
17319

7

16

O

O

E A
B

C D

A

C
D

B

F

O

A

B

E

REFLEKSI DIRI

O O O

Panjang lengkok
2πj

=


360°

Luas sektor
πj2  =


360°
B
A

B
 6

B
A

B
 6

9998

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

6.1 Sifat Geometri Bentuk Tiga Dimensi

6.2 Bentangan Bentuk Tiga Dimensi

6.3 Luas Permukaan Bentuk Tiga Dimensi

6.4 Isi Padu Bentuk Tiga Dimensi

• Bentuk dua
 dimensi
• Bentuk tiga
 dimensi
• Sifat geometri

• Bentangan
• Luas permukaan
• Isi padu
• Rumus
• Keratan rentas

• Two dimensional
 shape
• Three dimensional
 shape
• Geometrical
 characteristics

• Net

• Surface area
• Volume
• Formula
• Cross section

RANGKAI KATA

Perkataan geometri berasal daripada dua
perkataan Yunani, iaitu ‘geo’ yang bermaksud
bumi dan ‘metria’ yang bermaksud ukuran.
Kajian	geometri	direvolusi	oleh	Euclid	yang
mendapat gelaran sebagai ‘Bapa Geometri’.
Buku	 beliau	 yang	 bertajuk	 ‘Elements’
merupakan rujukan utama dalam pengajian
matematik, terutama dalam bidang geometri
pada pertengahan kurun ke-20.

MASLAHAT BAB INI

Pengetahuan dan kemahiran dalam bab
ini dapat membantu arkitek dan jurutera
untuk mereka bentuk dan melukis pelan
sesebuah bangunan.

Pereka dalaman juga mengaplikasikan
ilmu pengetahuan dalam bab ini untuk
menghasilkan landskap dan kerja-kerja
rekaan hiasan dalaman yang menarik
serta sesuai dengan keluasan ruang yang
diperuntukkan.

Untuk maklumat lanjut:

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms099

Menara Tun Mustapha yang berbentuk
silinder merupakan satu daripada mercu
tanda kebanggaan rakyat Sabah. Bolehkah
anda meneka luas permukaan dan isi padu
menara tersebut?
 Silinder merupakan satu daripada
bentuk geometri tiga dimensi yang wujud
di sekeliling kita. Perhatikan sekeliling anda
dan nyatakan bentuk geometri tiga dimensi
yang boleh anda dapati. Bandingkan bentuk
geometri yang diperoleh rakan anda.

9998

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 6

B
A

B
 6

101100

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

B
A

B
 6

Tujuan: Mengklasifikasikan	bentuk	tiga	dimensi
Bahan:

AKTIVITI KREATIF

6.1 Sifat Geometri Bentuk Tiga Dimensi

6.1.1  Bentuk tiga dimensi

Langkah:
1. Namakan bentuk geometri bagi setiap objek di atas.
2. Bandingkan dan nyatakan perbezaan objek di atas dari segi
 (i) sifat permukaan
 (ii)  bentuk

3. Bincangkan pendapat anda dengan kawan.

Setiap objek yang ditunjukkan di atas mempunyai bentuk geometri tiga dimensi dengan sifat
geometri yang tersendiri. Bentuk geometri dua dimensi seperti segi tiga, segi empat tepat dan
poligon mempunyai panjang dan lebar. Selain itu bentuk geometri dua dimensi mempunyai
permukaan yang rata. Bentuk tiga dimensi pula mempunyai panjang, lebar dan kedalaman.
Bentuk ini mempunyai permukaan sama ada rata atau melengkung. Namun berbeza dengan
bulatan kerana ia melibatkan jejari bulatan. Kita akan membincangkan sifat geometri bagi
sesebuah bentuk geometri tiga dimensi dengan lebih lanjut dalam topik ini.

Tujuan: Meneroka konsep bentuk dua dimensi dan tiga dimensi
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS100 yang telah disediakan.
2. Seret penggelongsor Buka sehingga titik Tutup. Perhatikan

perbezaan rajah dua dimensi dan tiga dimensi tersebut.
3. Ulang langkah 2 sehingga penggelongsor berada pada pola = 11.

Perbincangan:
Bincangkan perbezaan bentuk apabila rajah dua dimensi menjadi
tiga dimensi.

Daripada aktiviti di atas, dapat disimpulkan bahawa bentuk tiga
dimensi terbina daripada cantuman bentuk dua dimensi.

Membandingkan,
membezakan dan
mengklasifikasikan bentuk
tiga dimensi termasuk prisma,
piramid, silinder, kon dan
sfera, dan seterusnya
menghuraikan sifat geometri
prisma, piramid, silinder,
kon dan sfera.

6.1JOM CUBA

1. Nyatakan sifat geometri bagi objek tiga dimensi berikut.
 (a)   (b)                      (c)           (d)

Jadual di bawah menerangkan bentuk geometri tiga dimensi dan sifat-sifat geometri.

Kongruen bermaksud
perihal yang mempunyai
saiz dan bentuk yang sama.

Adakah kubus dan kuboid
merupakan sebuah prisma?

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms100 untuk
meneroka bentangan
bentuk tiga dimensi.

Piramid dan prisma
dinamakan mengikut
bentuk tapak.

Tetrahedron

Prisma segi tiga

Prisma
heksagon

Bentuk Geometri Sifat Geometri
Prisma • Mempunyai dua tapak rata

berbentuk poligon yang
kongruen dan selari.

• Permukaan rata dengan
muka lainnya berbentuk
segi empat.

• Mempunyai keratan rentas
yang seragam.

Piramid • Mempunyai satu tapak rata
berbentuk poligon.

• Muka lainnya berbentuk
segi tiga yang bertemu di
puncak.

Silinder                           • Dua tapak rata berbentuk
bulatan yang kongruen dan
selari.

• Satu permukaan sisi
melengkung yang
mencantumkan dua tapak.

Kon • Satu tapak rata berbentuk
bulatan.

• Mempunyai satu puncak
• Satu permukaan

melengkung
menyambungkan tapak
dengan puncak.

Sfera • Semua titik pada permukaan
sfera mempunyai satu titik
tetap berjarak sama dari
pusat sfera.

• Mempunyai satu permukaan
melengkung.

tapak

tapak

puncak

pusat
sfera

Bentuk geometri serongpuncak

tapak

tapak

tapak
B
A

B
 6

B
A

B
 6

103102

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

Bentuk Geometri Bentangan

Silinder

Kon

Piramid segi
empat

Prisma segi tiga

Tujuan: Menganalisis bentangan kon, silinder, prisma dan
 piramid

Bahan: Perisian geometri dinamik, gunting dan pita pelekat
Langkah:

1.  Buka fail MS102A yang telah disediakan.
2.  Seret penggelongsor bagi setiap bentangan dan perhatikan

semua bentangan tersebut.
3.  Buka fail MS102B dan mencetaknya.
4.  Gunting bentangan itu.
5.  Lipat bentangan itu di sepanjang garis putus-putus.
6.  Gunakan pita pelekat untuk menetapkan bentuk tiga dimensi.
  Contohnya:

Langkah 4 Langkah 5 Langkah 6

Bentangan suatu bentuk tiga dimensi diperoleh dengan membuka dan
membentangkan setiap permukaan objek tiga dimensi menjadi dua dimensi.

2. Nyatakan bentuk tiga dimensi yang mempunyai sifat geometri seperti berikut.
 (a) Mempunyai satu puncak dengan satu permukaan melengkung.
 (b) Mempunyai satu puncak dengan tapaknya berbentuk poligon.
 (c)   Semua titik di permukaannya mempunyai jarak yang sama dari pusat objek.

6.2   Bentangan Bentuk Tiga Dimensi

6.2.1  Bentangan

Daripada aktiviti di sebelah dapat disimpulkan bahawa susunan
bentangan bentuk tiga dimensi boleh dipelbagaikan. Jadual di bawah
menunjukkan bentuk geometri tiga dimensi dan bentangannya.

Menganalisis pelbagai
bentangan termasuk
piramid, prisma, silinder
dan kon, dan seterusnya
melukis bentangan dan
membina model.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms102b di
bawah untuk memuat
turun fail bentangan.pdf.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms102a di
bawah untuk menganalisis
bentangan bentuk tiga
dimensi.

CONTOH 1

Lakarkan bentangan bagi bentuk geometri tiga dimensi berikut.

(a) (b)  (c)

Penyelesaian:

(a) (b)  (c)

Bentangan SilinderBentangan Kon

Bentangan PiramidBentangan Prisma

Perbincangan:
(i)  Adakah bentangan bentuk tiga dimensi boleh dipelbagaikan?
(ii) Lakarkan pelbagai bentangan kubus.

Sebuah kubus dapat
memuatkan enam buah
piramid dengan tapak segi
empat yang bersaiz sama.

t t

s

tinggi
sendeng, s

tinggi
sendeng, s

t

Kon dihasilkan
dengan putaran
sebuah segi tiga
bersudut tepat.

s

Apakah bentuk bentangan
sebuah sfera?

Berapakah bentuk
bentangan yang berbeza
bagi sebuah kubus?

Apakah bentuk bentangan
prisma yang berikut?
B
A

B
 6

B
A

B
 6

105104

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

Piramid

× luas segi empat sama +

× luas segi tiga

Prisma

× luas segi tiga +

× luas segi empat

Silinder

× luas bulatan +

× luas segi empat tepat

Kon

× luas bulatan +

× luas permukaan melengkung

6.2JOM CUBA

1. Dengan menggunakan kertas grid 1 cm persegi, lukis bentangan dan bina model setiap bentuk
tiga dimensi berikut.

(a)          (b)               (c)             (d)

2. Nyatakan bentuk tiga dimensi yang boleh dibina daripada bentangan berikut.
 Bina model sebenar.
 (a)          (b)               (c)             (d)

6.3 Luas Permukaan Bentuk Tiga Dimensi
6.3.1  Luas permukaan kubus, kuboid, piramid,
          prisma, silinder dan kon

2 cm

4 cm

8
cm

6 cm
7 cm

10 cm

2 cm

5 cm

6 cm

5 cm

4 cm

Tujuan: Menentukan luas permukaan bentuk geometri tiga dimensi
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
Isi petak kosong dengan bilangan muka setiap bentuk geometri tiga dimensi berikut.

Bentuk Bentangan Luas Permukaan
Kubus

× luas segi empat sama

Kuboid

× luas segi empat tepat +

× luas segi empat sama

Menerbitkan rumus luas
permukaan kubus, kuboid,
piramid, prisma, silinder
dan kon, dan seterusnya
menentukan luas permukaan
bentuk tersebut.

Luas permukaan bentuk geometri tiga dimensi dapat dihitung dengan menjumlahkan luas semua
permukaan bentuk geometri  tiga dimensi tersebut.

Perbincangan:
Rumus luas permukaan setiap bentuk objek tiga dimensi di atas.

6 cm

4 cm

Luas permukaan sebuah silinder tertutup dihitung daripada bentangan silinder

t

j

2πj

j

t

j

5 cm

7 cm 5 cm

6 cm

8 c
m

5 cm

7 cm

Daripada bentangan silinder, panjang segi empat ialah lilitan bulatan dan lebar segi empat ialah
tinggi silinder.

Luas permukaan silinder = (2 × luas bulatan) + luas segi empat
	 =	(2	×	πj 2)	+	(2πj × t)
 = 2πj 2	+	2πjt

Luas bulatan = πj 2

Lilitan bulatan = 2πj

7 cm

t

s

Kubus juga dikenali sebagai
heksahedron kerana kubus
mempunyai enam permukaan.
B
A

B
 6

B
A

B
 6

107106

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

(c)         (d)

Penyelesaian:

(a) Luas permukaan kubus

= 6 × luas segi empat sama

= 6 × (4 cm × 4 cm)

= 6 × 16 cm2

= 96 cm2

(b)  Luas permukaan kuboid

= (4 × luas segi empat tepat) + (2 × luas segi empat sama)

= (4 × 4 cm × 7 cm) + (2 × 4 cm × 4 cm)

= (4 × 28 cm2) + (2 × 16 cm2)

= 144 cm2

(c)  Luas permukaan piramid

= (4 × luas segi tiga) + (luas segi empat sama)
     = 4�	1

2
 × 8 cm × 5 cm� + (8 cm × 8 cm)

= 80 cm2 + 64 cm2

= 144 cm2

8 cm8 cm

5 cm

6 cm

4 cm

7 cm

Rajah berbentuk segi empat ABCD terhasil. Hasil tambah
panjang AB dan CD ialah lilitan tapak kon,
 AB + CD = Lilitan tapak
	 	 =	2πj

Maka, panjang AB = Panjang CD

=
1
2

× 2πj

=	πj

Luas permukaan melengkung = Luas segi empat ABCD
 = panjang × lebar
 = AB × BC
	 =	πj × s
	 =	πjs

Luas	bulatan,	tapak		 =	πj 2

Luas permukaan kon = Luas tapak + Luas permukaan melengkung
	 =	πj 2 +	πjs

Luas segi empat
= panjang × lebar

l

p

Luas permukaan sebuah kon tertutup dihitung daripada bentangan kon

Apakah beza dua
bentangan berikut?

Potong permukaan melengkung kepada 88 sektor yang sama saiz,
kemudian susun seperti dalam rajah di bawah.

A

D

s

B

C
44 sektor

44 sektor

tinggi sendeng
kon,s

j
s

j j

s

Hitung luas permukaan bentuk geometri berikut.

(a)         (b)

CONTOH 2

4 cm
4 cm

4 cm

Semakin kecil bahagian
permukaan melengkung
dipotong, susunan
potongan bahagian
semakin menyerupai
bentuk segi empat dan
ukuran dimensinya
semakin tepat.

Potong permukaan
melengkung kepada 88
sektor yang sama saiz:

Bentuk dua dimensi ialah
bentuk yang mempunyai
dua ukuran asas, iaitu
panjang dan lebar yang
akan membentuk luas
permukaan. Bentuk dua
dimensi tidak mempunyai
isi padu.

Bentuk tiga dimensi
mempunyai tiga ukuran
asas, iaitu panjang, lebar
dan tinggi. Bentuk tiga
dimensi mempunyai isi padu.

s

44 sektor

Perisian Autocad boleh
digunakan untuk mencari
luas permukaan sesuatu
bentuk geometri.

Terdapat dua jenis
pepejal, polihedron dan
bukan polihedron. Sebuah
polihedron ialah pepejal
dengan permukaan rata
dan setiap muka ialah
poligon. Pepejal bukan
polihedron ialah pepejal
dengan permukaan
melengkung seperti sfera,
silinder dan kon.

6 cm

7 cm

4 cm

4 cmj

2πj

s
B
A

B
 6

B
A

B
 6

109108

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

6.3.2   Luas permukaan sfera
Luas permukaan sebuah sfera yang berjejari j boleh ditentukan
dengan menggunakan rumus berikut.

Luas	permukaan	sfera	=	4πj2

Menentukan luas
permukaan sfera dengan
menggunakan rumus.

j

Rajah menunjukkan sebuah sfera. Hitung luas permukaan sfera

tersebut. Diberi jejari = 14 cm. (Guna π	= 22
7

)

Penyelesaian:

Luas	permukaan	 =	4πj2

= 4 ×
22
7

× 142

= 2 464 cm2

CONTOH 5

6.3.3   Penyelesaian masalah

Rajah menunjukkan sebuah bongkah, gabungan piramid dan kubus.
Tinggi bongkah adalah 11 cm. Hitung luas permukaan gabungan
bentuk geometri tiga dimensi tersebut. Nyatakan jawapan dalam
unit m2.

Penyelesaian:

CONTOH 6

1 m   = 100 cm
1 m2   = 1 m × 1 m
 = 100 cm × 100 cm
 = 10 000 cm2

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan luas
permukaan bentuk tiga
dimensi.

j = 14 cm

(d)  Luas permukaan prisma

= (3 × luas tapak segi empat) + (2	× luas segi tiga)

= �(1 × 6 cm × 7 cm) + (2 × 5 cm × 7 cm)�	+

2 �
1
2

× 4 cm × 6 cm�

 = 42 cm2  + 70 cm2 + 24 cm2

= 136 cm2

Hitung	luas	permukaan	silinder	di	sebelah.	Diberi	jejari	bulatan	ialah	7	cm.	(Guna	π	=
22
7

)

Penyelesaian:

Luas	permukaan	silinder	=	2πj2	+	2πjt

= �2 ×
22
7

× 72� + �2 ×
22
7

× 7 × 9�

= 308 cm2 + 396 cm2
  = 704 cm2

CONTOH 3

9 cm

7 cm

Rajah menunjukkan sebuah kon tegak. Diberi jejari bulatan ialah 3 cm. Hitung luas permukaan

kon. (Guna π	=
22
7

)

Penyelesaian:

Luas	permukaan	kon	=	πj2	+	πjs

= �
22
7

× 32� + �
22
7

× 3 × 5�

= 28.29 cm2 + 47.14 cm2
 = 75.43 cm2

CONTOH 4

5 cm
4 cm Memahami masalah

Menghitung luas permukaan bentuk
gabungan geometri tiga dimensi.

Merancang strategi

(i)  Menentukan bentuk yang terlibat.

(ii)  Menentukan rumus luas permukaan bagi
setiap bentuk yang terlibat.

Melaksanakan strategi

Bentuk yang terlibat ialah kubus dan piramid.
Jumlah luas permukaan

= 5 × (luas segi empat) + 4 ×  (luas segi tiga)

= 5(5 × 5) + 4 �1
2  × 5 × 6.5�

= 125 + 65
= 190 cm2

Membuat kesimpulan

1 m2 = 10 000 cm2

∴ 190 cm2

10 000 cm2
 × 1 m2 = 0.019 m2

Luas permukaan bentuk gabungan tersebut
ialah 0.019 m2.

tinggi
tegak
piramid
= 6 cm

s = tinggi sendeng piramid
 = �62 + 2.52

= 6.5 cm

Bolehkah rumus di atas
digunakan untuk menghitung
isi padu?

Sfera

Silinder

Kubus

Segi empat
prisma

a
a

a

d

t

d

v =
πd 3

6

v = a3

v = πd 2t

4

ab

t

v = abt

5 cm

Bagaimanakah cara
menghitung luas permukaan
prisma-prisma berikut?

Bentuk sfera wujud dalam
alam sekitar seperti buih
dan titisan air. Bolehkah
anda fikirkan contoh yang
lain?

2.5 cm

s

s
B
A

B
 6

B
A

B
 6

111110

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

Luas tapak piramid  = p × l

Tinggi piramid  =
t
2

maka, tinggi kubus, t = 2 × tinggi piramid

Isi padu piramid  =
Isi padu kubus

6

=
p × l × t

6

=
p × l × (2 × tinggi piramid)

6

1

3

=
p × l × tinggi piramid

3

=
Luas tapak piramid × tinggi piramid

3

2.  Hitung luas permukaan objek berikut.
 (a)             (b)              (c)

3.  Hitung luas permukaan gabungan bentuk geometri tiga dimensi berikut.
 (a)             (b)              (c)

20 cm
260 mm

j = 5 cm

12 cm
12 cm

10 cm

Diameter hemisfera
= 10 cm

15 cm

45 cm

30 cm
83 cm72 mm

6.4   Isi Padu Bentuk Tiga Dimensi

6.4.1  Menerbitkan rumus

Isi padu prisma dan silinder

Tapak

Tapak

Keratan rentas
Keratan rentas

Isi padu silinder

Isi padu piramid

Perhatikan bentuk kuboid di bawah.
Isi padu kuboid = panjang × lebar × tinggi
 = luas tapak × tinggi

Kuboid tersebut dipotong kepada dua bahagian yang sama saiz melalui pepenjurunya. Dua buah
prisma segi tiga terhasil. Hubungan antara isi padu kuboid dengan isi padu prisma segi tiga ialah

Isi padu prisma segi tiga =
1
2  × isi padu kuboid

=
1
2

× luas tapak × tinggi

=  1
2

× panjang × lebar  × tinggi

Perhatikan sebuah kubus yang mempunyai panjang (p), lebar (l) dan tinggi (t).	Enam	buah	piramid
yang sama saiz boleh dimuatkan ke dalam kubus dengan luas tapak piramid sama seperti luas tapak
kubus dan ketinggian piramid adalah separuh daripada ketinggian kubus.

Isi padu prisma

Isi padu prisma = luas keratan rentas × tinggiMaka,

luas segi tiga

6.3JOM CUBA

1.  Hitung luas permukaan objek bentuk geometri tiga dimensi berikut.
 (a) (b)  (c)

12 cm

5 cm 6 cm

14 cm

6 cm
3 cm

4 cm

Isi padu silinder = πj2t

Kuboid ialah sejenis prisma.

Menerbitkan rumus isi padu
prisma dan silinder, dan
seterusnya membentuk
rumus piramid dan kon.

Isi padu suatu bentuk geometri tiga dimensi ialah ukuran ruang yang
memenuhi bentuk geometri tiga dimensi tersebut. Bentuk ini diukur
dalam unit padu seperti milimeter padu (mm3), sentimeter padu
(cm3) atau meter padu (m3). Perhatikan bentuk geometri tiga dimensi
di bawah. Apakah hubungan antara keratan rentas dengan tapak?

Rajah di atas menunjukkan sekeping syiling berbentuk sebuah bulatan. Jika 10 keping syiling
disusun menegak akan menghasilkan sebuah silinder.

Maka, isi padu silinder = luas tapak × tinggi
	 	 =	πj2 × t

Bolehkah aktiviti yang sama
dijalankan menggunakan
piramid bertapak segi
empat sama dan kuboid?

Isi padu piramid

=
1
3

× luas tapak × tinggi

Maka,

l

t

p
B
A

B
 6

B
A

B
 6

113112

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

Tujuan: Menerbitkan rumus isi padu kon
Bahan: Kad manila, gunting, gam dan sagu halus
Langkah:
1.  Bina sebuah kon terbuka dan silinder terbuka dengan ukuran tinggi tegak dan luas tapak

yang sama seperti dalam rajah di bawah.

2.  Masukkan sagu halus ke dalam kon sehingga penuh.
3.  Tuang sagu dari kon ke dalam silinder.
4.  Ulang langkah 2 dan 3 sehingga sagu penuh di dalam silinder. Berapakah bilangan

kon yang diperlukan?

Perbincangan:
(i)  Bandingkan perbezaan keputusan yang anda peroleh dengan keputusan kawan anda.
(ii) Bincangkan hubungan antara isi padu kon dengan silinder.

Isi padu kon

Daripada aktiviti di atas, didapati anda memerlukan 3 kon sagu halus untuk memenuhkan silinder.
Oleh itu, 3 × isi padu kon = 1 × isi padu silinder

Isi padu kon  =
1
3

× isi padu silinder

Maka,  Isi padu kon =
1
3
	πj2t

Hitung isi padu piramid tegak di sebelah.

Penyelesaian:

Isi padu piramid = 13  × Luas tapak × Tinggi

= 13  × (4 cm × 4 cm) × 3 cm

= 16 cm3

CONTOH 10

Hitung isi padu kon tegak di sebelah. (Guna π	=
22
7

)

Penyelesaian:

Isi padu kon = 13  × Luas tapak × Tinggi

= 13 πj2t

= 1
3  × (

22
7

× 7 cm × 7 cm) × 12 cm

= 616 cm3

CONTOH 9

Hitung isi padu silinder tegak di sebelah. (Guna π	=
22
7

)

Penyelesaian:

Isi padu silinder = Luas keratan rentas × Tinggi
	 =		πj2t

= (
22
7

× 3.5 cm × 3.5 cm) × 12 cm

= 462 cm3

CONTOH 8

7 cm

12 cm

Menentukan isi padu
prisma, silinder, kon,
piramid dan sfera dengan
menggunakan rumus.

6.4.2  Menghitung isi padu

CONTOH 7

Unit SI bagi:
(i) Luas ialah cm2
 (sentimeter persegi)

(ii) Isi padu ialah cm3
 (sentimeter padu)

Hitung isi padu prisma tegak di sebelah.

Penyelesaian:
Isi padu prisma = Luas keratan rentas × Tinggi
 = Luas segi tiga × Tinggi

= (1
2  × 8 cm × 3 cm) × 12 cm

= 144 cm3

8 cm
12 cm

5 cm

7 cm

12 cm

143°

5
cm

4 cm

3 cm

4 cm
3 cm

4 cm

Menggunakan teorem
Pythagoras:
Tinggi segi tiga = �52 − 42
  = 3 cm

35

4

Sfera ialah satu bentuk geometri tiga dimensi yang mempunyai satu titik tetap yang dikenali sebagai
pusat sfera. Semua titik pada permukaannya mempunyai jarak yang sama dari pusat sfera. Isi padu
sfera yang mempunyai jejari, j ialah

Isi padu sfera

Isi padu sfera =
4
3
	πj3

4 cm

A

D

C

V

3 cm

B

j

Isi padu objek tiga dimensi
berbentuk serong.

t  = tinggi kon
B = luas tapak

I  = 13 Bt

I  = 13 πj 2t

Isi padu = 13 Bt

t t

t


t


j
B
A

B
 6

B
A

B
 6

115114

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

Hitung isi padu sfera berjejari 7 cm. (Guna π	=
22
7

)

Penyelesaian:

Isi padu sfera = 43 πj3

= 43  ×
22
7

× 7 cm × 7 cm × 7 cm

= 1 437.33 cm3

Hitung isi padu hemisfera berjejari 5 cm. Berikan jawapan dalam

dua tempat perpuluhan. (Guna π	=
22
7

)

Penyelesaian:

Isi padu hemisfera =
1
2  × Isi padu sfera

=
1
2  ×

4
3 πj3

=
2
3 πj3

=
2
3  ×

22
7

× 5 cm × 5 cm × 5 cm

= 261.90 cm3

CONTOH 11

CONTOH 12

6.4JOM CUBA

1. Hitung isi padu bentuk berikut.
 (a) (b) (c)

4 cm

10 cm 4 cm

CONTOH 13

6.4.3  Penyelesaian masalah

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan isi padu
bentuk tiga dimensi.Salim seorang pengusaha aiskrim secara kecil-kecilan. Dia menjual

aiskrimnya di dalam bekas seperti rajah di bawah. Jika dia menetapkan
sasaran untuk menjual 10 000 bekas sebulan, berapa liter aiskrim yang
diperlukan dalam tempoh sebulan? Bundarkan jawapan kepada liter

yang	terhampir.	(Guna	π	=
22
7

)

5 cm

6 cm

4 cm

Memahami masalah

Menghitung isi padu air yang diperlukan
untuk membuat 10 000 bekas aiskrim
dalam liter yang terhampir.

Merancang strategi

(i) Menentukan isi padu satu bekas.

(ii) Menentukan jumlah isi padu 10 000 bekas.

Melaksanakan strategi
Isi	padu	silinder	=	πj2t

=
22
7

× 2.5 cm × 2.5 cm × 6 cm

= 117.86 cm3

Isi padu kon = 13 	×	πj2t

= 13  ×
22
7

× 2.5 cm × 2.5 cm × 4 cm

= 26.19 cm3

Maka, isi padu bekas = 117.86 cm3 + 26.19 cm3

= 144.05 cm3

Jumlah isi padu 10 000 bekas
= 10 000 × 144.05 cm3

= 1 440 505 cm3

Membuat kesimpulan

1 liter = 1 000 cm3

1 440 500 cm3 = 1 440 500 cm3

1 000 cm3
  × 1 liter

= 1 440.5  liter
Maka, 1 440.5 liter ais krim diperlukan.

5 cm

12 cm

Penyelesaian:

2.  Hitung isi padu kawasan berlorek.
 (a) (b) (c)

12 cm

5 cm

Bola besi yang digunakan
dalam pertandingan lontar
peluru mempunyai jejari
4.9 cm. Ketumpatan logam
yang digunakan untuk
membuat bola besi adalah
7.8 g/cm3. Hitung jisim bola
besi tersebut.

Sistem suria terdiri daripada
matahari dan beberapa
planet yang berbentuk sfera.
Ini termasuk planet Bumi.
Perhatikan kedudukan Bumi
dalam sistem suria.

Kementerian Kesihatan
Malaysia menganjurkan
pemakanan secara sihat dalam
kalangan rakyat Malaysia
dengan pengambilan kalori
yang betul mengikut umur
dan keperluan harian individu.
Nilai kalori makanan yang
diperlukan oleh remaja lelaki
berumur 13 – 15 tahun ialah
2 200 kalori sehari manakala
remaja perempuan berumur
13 – 15 tahun memerlukan
1800 kalori makanan sehari.

Jejari setiap planet,
Merkuri =  2 423 km
Venus   =  6 059 km
Bumi   =  6 378 km
Pluto   =  1 180 km
Marikh   =  3 394 km

10 cm

8 cm

2 cm

5 cm

3 cm

13 cm

8 cm

7 cm

15 cm

5 cm

7 cm

5 cm
B
A

B
 6

B
A

B
 6

117116

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

3.    Ali menuang air ke dalam sebuah bekas berbentuk silinder yang berjejari 7 cm dan tingginya
15 cm sehingga penuh. Setelah itu, sebuah pepejal berbentuk kon dimasukkan sepenuhnya ke
dalam silinder itu seperti rajah. Selepas seketika, pepejal kon tersebut dikeluarkan dari silinder.
Hitung isi padu baki air yang tertinggal di dalam silinder itu.

4.    Sebuah blok logam piramid dengan tapak segi empat sama bersaiz 15 cm dan tinggi 10 cm
dileburkan untuk menghasilkan beberapa biji bebola sfera yang berjejari 5 mm. Berapakah
jumlah blok piramid yang diperlukan untuk menghasilkan 2 850 bebola sfera tersebut?

1. Nyatakan bentuk asal bentangan berikut.
 (a) (b) (c)

2.   Sebuah botol air berbentuk silinder dengan ketinggian 20 cm dan diameter 5.5 cm diisi air
hingga penuh. Vincent ingin memindahkan air di dalam botol itu ke dalam sebuah bekas
berbentuk kubus. Nyatakan panjang minimum sisi kubus tersebut.

MENJANA KECEMERLANGAN

3. Diberi isi padu gabungan bentuk geometri tiga dimensi berikut, hitung nilai t.
 (a) (b) (c)

4. Perhatikan rajah di bawah. Diameter hemisfera tersebut ialah 22 cm, hitung
(a) isi padu gabungan bentuk geometri tiga dimensi di bawah.
(b) jumlah bilangan guli dengan isi padu 343 mm3 yang boleh dimasukkan ke dalam bekas

tersebut.

5.    Seorang pelukis ingin membuat lukisan penuh pada permukaan sebuah tembikar hiasan yang
berbentuk silinder. Tembikar berbentuk silinder tersebut mempunyai ketinggian 10 cm dan
jejari 3.5 cm. Jika satu tiub warna dapat menghasilkan lukisan seluas 100 cm2, berapakah
bilangan tiub warna yang diperlukan untuk membuat lukisan penuh pada 10 buah tembikar
yang sama jenis?

6. Rajah di sebelah menunjukkan gabungan silinder dan kon. 1
2 kg

gula dapat menghasilkan 1 liter air gula untuk dibuat manisan

mengikut bentuk tersebut. Jika tinggi silinder ialah dua kali jejari
silinder, berapakah jumlah manisan yang dapat dihasilkan dengan
100 kg gula?

7. Sebuah silinder terbuka di bahagian atas dengan ketinggian dua kali jejari tapaknya, diisikan
air sehingga tiga perempat penuh. Sebanyak 539 ml air diperlukan lagi untuk memenuhkan

silinder tersebut. Hitung luas, dalam unit cm2, permukaan silinder.  (Guna π	=
22
7

)

8.  Rajah di bawah menunjukkan satu bongkah kon dan satu bongkah piramid. Isi padu piramid

ialah tiga kali ganda isi padu kon. Luas tapak piramid ialah dua kali ganda luas tapak kon.

Hitung jumlah tinggi kon dan tinggi piramid, jika tinggi kon ialah 18 cm.

(Guna	π	=	22
7

)

Isi padu = 122 000 mm3

42 mm

t

Isi padu = 1 540 cm3

14 cm

4.5 cm

t

Isi padu = 6 825 cm3

t

2t

4 cm

7 cm

luas keratan rentas
prisma = 325 cm2

13 cm

14 cm

kon piramid

14 cm

20 cm
B
A

B
 6

B
A

B
 6

119118

Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

INTI PATI BAB

Bentuk geometri Bentangan Luas permukaan Isi padu

Prisma

(2 × luas segi tiga) +

(3 × luas segi empat)
Luas keratan rentas ×
tinggi

Piramid
      Luas tapak +

(4 × luas segi tiga)

= (panjang × lebar) +

4( 1
2

× tapak × tinggi)

1
3  × luas tapak × tinggi

Silinder

2πj2	+	2πjt πj2t

Kon

πj2	+	πjs  1
3
πj2t

Sfera

4πj2 4
3
πj3

j

t

st

j

j

1.     Membandingkan, membezakan dan mengklasifasikan bentuk tiga
dimensi termasuk prisma, piramid, silinder, kon dan sfera, dan seterusnya
menghuraikan sifat geometri prisma, piramid, silinder, kon dan sfera.

2.  Menganalisis pelbagai bentangan termasuk piramid, prisma, silinder dan
kon, dan seterusnya melukis bentangan dan membina model.

3.     Menerbitkan rumus luas permukaan kubus, kuboid, piramid, prisma, silinder
dan kon, dan seterusnya menentukan luas permukaan bentuk tersebut.

4.     Menentukan luas permukaan sfera dengan rumus.

5.  Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas permukaan bentuk tiga dimensi.

6.  Menerbitkan rumus isi padu prisma dan silinder, dan seterusnya membentuk
rumus piramid dan kon.

7.  Menentukan isi padu prisma, silinder, kon, piramid dan sfera dengan rumus.

8.     Menyelesaikan masalah yang melibatkan isi padu bentuk tiga dimensi.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

Cipta sebuah robot yang terdiri daripada bentuk kubus, kuboid, prisma, piramid, silinder,
kon dan sfera. Murid perlu menghasilkan bentuk itu sendiri. Anda boleh menggabungkan
bentuk-bentuk geometri tiga dimensi tersebut.

Robot contoh

REFLEKSI DIRI
B
A

B
 7

B
A

B
 7

121120

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

7.1 Jarak dalam Sistem Koordinat Cartes

7.2 Titik Tengah dalam Sistem
 Koordinat Cartes

7.3 Sistem Koordinat Cartes

• Titik tengah
• Jarak
• Kedudukan
• Koordinat
• Paksi-x
• Paksi-y
• Hipotenus
• Asalan
• Plot
• Satah Cartes
• Skala

• Midpoint
• Distance
• Position
• Coordinate
• x-axis
• y-axis
• Hypotenuse
• Origin
• Plot
• Cartesan plane
• Scale

RANGKAI KATA

121120

Sistem koordinat ialah satu kaedah  untuk
menentukan kedudukan suatu titik atau objek
dalam satu dimensi, dua dimensi atau tiga
dimensi.
 Kedudukan dalam satu dimensi ditentukan
oleh satu titik di atas garisan atau suatu
nombor. Kedudukan dalam dua dimensi
ditentukan oleh sistem koordinat di atas satah
atau dua nombor. Kedudukan dalam tiga
dimensi ditentukan oleh tiga nombor.

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms121

Untuk maklumat lanjut:

MASLAHAT BAB INI

Sistem koordinat ini banyak menyumbang
kepada kerjaya yang berkaitan dengan
arkeologi	dan	geografi.

Seorang ahli arkeologi melakukan pencarian
dan penggalian melalui sistem koordinat
daripada pemetaan secara digital.

Pakar astronomi menggunakan sistem
koordinat ini untuk mereka dapat menentukan
kedudukan bintang-bintang.

Lokasi kedudukan ditentukan daripada sistem
koordinat yang membantu ahli geografi
mengenal pasti kawasan dan kedudukan
muka bumi.

Sistem koordinat Cartes telah diperkenal
oleh René Descartes dari Perancis atau lebih
dikenali sebagai Castesius. Ahli matematik
ini telah mencipta satah koordinat yang
terdiri daripada dua garisan berserenjang
digelar ‘paksi’. Koordinat adalah pasangan
nombor yang menunjukkan kedudukan satu
titik dan garis.

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 7

B
A

B
 7

123122

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Mengenal pasti kedudukan suatu titik
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Buka fail MS122A yang disediakan dan cetak lembaran kerja.
2. Dengan menggabungkan jarak mengufuk dan mencancang,

tentukan kedudukan bagi bandar Batu Pahat, Kluang dan
Segamat.

Tujuan: Kenal pasti jarak di antara dua titik pada satah Cartes
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:

1. Buka fail MS122B yang telah disediakan dan cetak lembaran kerja.
2. Secara berpasangan, kenal pasti pergerakan Azri.
3. Pergerakan Azri hendaklah dilukis dalam bentuk perwakilan segi tiga bersudut tegak.
4. Hitung jarak mengufuk dan mencancang berdasarkan 1 kotak grid diwakili 1 km dan

dilabelkan seperti rajah yang diberikan.
5. Jumlahkan jarak perjalanan dan lengkapkan jadual.

7.1  Jarak dalam Sistem Koordinat Cartes

7.1.1  Jarak dua titik pada satah Cartes

Menerangkan maksud
jarak di antara dua titik
pada satah Cartes.

Perbincangan:
(i) Daripada perwakilan segi tiga bersudut tegak, dapatkah anda kenal pasti jarak paling

hampir yang dilalui oleh Azri ke destinasi yang tertentu?
(ii)  Apakah cara yang paling mudah untuk mengira jarak yang terpendek?
(iii) Apakah yang anda fahami tentang jarak pada satah Cartes?

Untuk menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes, kaedah
perwakilan segi tiga bersudut tegak digunakan. Kaedah ini dapat
mengenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang bagi dua titik
pada satah Cartes. Jarak ini dapat ditentukan daripada skala pada
paksi-x dan paksi-y.

Perjalanan terus dari A ke B tanpa melalui C ialah jarak yang terpendek.

Kaedah teorem Pythagoras digunakan untuk menghitung jarak AB, iaitu

AB2 = AC 2 + CB 2

AB  = �AC 2 + CB 2
Koordinat (x, y). Nilai x
ditulis dahulu diikuti nilai y.

Satah Cartes mempunyai
dua paksi seperti dalam
rajah yang berikut. Garis
mengufuk ialah paksi-x  dan
garis mencancang ialah
paksi-y . Kedua-dua paksi
tersebut akan bersilang
antara satu sama lain secara
serenjang. Titik persilangan
tersebut ialah asalan yang
merupakan permulaan
nombor pada kedua-dua
paksi-x  dan paksi-y . Nilai
nombor akan semakin besar
apabila ke kanan dan ke
atas, manakala nilai nombor
akan semakin mengecil
apabila ke kiri dan ke bawah.

TAHUKAH ANDA ?

y

x

(a, b)b

a
Asalan (0, 0)

Koordinat merupakan pasangan nombor yang dapat menentukan kedudukan suatu titik pada satah
Cartes. Koordinat suatu titik ditentukan berdasarkan jarak dari paksi-x, jarak dari paksi-y dan
asalan. Daripada aktiviti di atas, dapatkah anda menentukan jarak di antara dua tempat?

Destinasi
Azri

Perwakilan
segi tiga

Jarak
mengufuk

Jarak
mencancang

Jumlah jarak perjalanan =
jarak mengufuk +
jarak mencancang

Dari sekolah
ke rumah

4 km 3 km 4 km + 3 km = 7 km

Dari rumah
ke padang
futsal
Dari masjid
ke kedai
Dari sekolah
ke masjid
Dari sekolah
ke kedai

3 km

4 km

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms122a untuk
mendapatkan lembaran
kerja di sebelah.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms122b untuk
mendapatkan lembaran
kerja di sebelah.

Rajah menunjukkan pelan
kedudukan tempat yang
sering dilalui oleh Azri.

y

Masjid
Padang
Futsal

KedaiRumah

Sekolah

x

1 km
1 km

y

x

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

B

Jarak mengufuk

Ja
ra

k
m

en
ca

nc
an

g

A
C

O
B
A

B
 7

B
A

B
 7

125124

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

CONTOH 1

Tentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes berikut.
(a)

(c)

Penyelesaian:

(a) Skala pada paksi-x dan paksi-y
 ialah 1 unit.
 Jarak AB  = 6 × 1
  = 6 unit

(c) Skala pada paksi-x ialah 10 unit
 dan paksi-y ialah 1 unit.
 Jarak DE = 4 × 10
  = 40 unit

(b)

(d)

Apakah itu skala? Skala
perlu ditentukan dalam
sistem koordinat Cartes.
Pada paksi-x, unit yang
boleh ditulis ialah 1, 2,
3, −1, −2, −3, ... . Pada
paksi-y boleh juga ditulis 1,
2, 3, ... dan nilai di bawah
asalan ialah −1, −2, −3, ... .
Dengan ini, setiap kotak
diwakili suatu unit. Selain
itu, skala juga boleh ditulis
dalam jujukan seperti 2, 4,
6, 8, ... atau 5, 10, 15, ...
pada kedua-dua paksi.
Keadaan ini berdasarkan
kesesuaian dalam keadaan
yang tertentu.

TAHUKAH ANDA ?

Skala pada paksi-x  ialah 2 unit.
Skala pada paksi-y  ialah 2 unit.

Menerbitkan rumus jarak
di antara dua titik pada
satah Cartes.Tujuan: Menentukan jarak di antara dua titik yang mempunyai

koordinat-x atau koordinat-y yang sama
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Bersama-sama rakan anda, kenal pasti kedudukan koordinat pada satah Cartes.
2. Lengkapkan jadual di bawah dengan menentukan koordinat-x  atau koordinat-y  yang sama.
 Contoh:

Koordinat Koordinat yang sama Jarak
A (2  , 1) B (2 , 4) koordinat-x 4	−	1	=	3	unit
C (–1, 3) D (7 , 3)
E (6  , 5) F (6 , –5)
G (–7, 2) H (1 , 2)

Perbincangan:
Bagaimanakah anda dapat menerbitkan suatu rumus mudah bagi menentukan jarak di antara
dua titik yang mempunyai
(i)  koordinat-x yang sama?
(ii)  koordinat-y yang sama?

7.1.2 Rumus jarak di antara dua titik pada satah

(b) Skala pada paksi-x ialah
 5 unit dan paksi-y ialah 2 unit.
  Jarak PQ = 6 × 5
  = 30 unit

(d) Skala pada paksi-x ialah
 4 unit dan paksi-y ialah 2 unit.
        Jarak FG = 4 × 2
  = 8 unit

Cuba anda perhatikan segi
tiga pada satah Cartes di
bawah.

Tapak segi tiga BC selari
dengan paksi-x. Keadaan
ini menjadikan koordinat
bagi y masing-masing
adalah sama. Ini dinamakan
paksi-y sepunya. Begitu
juga sebaliknya.

3

1

21 4 53

2

4
5

y

x
O

A

B C

Jarak dapat ditentukan sekiranya,
(i) dua titik mempunyai koordinat-y yang sama.

(ii) dua titik mempunyai koordinat-x yang sama.

B

xO

y

A
(x1, y1) (x2, y1)

Jarak AB = (x2	−	x1) unit

D
x

O

y
C (x1, y2)

(x1, y1)

Jarak CD = (y2	−	y1) unit

Sukuan II
(−x, y)

Sukuan III
(−x,	−y)

Jika (x, y) ialah (3, 4) di
sukuan I. Nyatakan nilai
titik tersebut di sukuan II,
III dan IV. Apakah jenis
transformasi yang dilalui
oleh titik tersebut?

Sukuan I
(x, y)

Sukuan IV
(x,	−y)

y

xO

y

4

−2
−2
−4
−6

−4−6 2O 4 6

2

6

x

y

x

3

4

5

2

1

−1

−2

−3

1 2 3

A

B

4−2 −1 O

y

x

6

8

10

4

2

−2

−4

−6

5−5−10−15 10 15

QP

O

y

x

3

4

5

2

1

10−10
−1

−2

−3

−20 20 30 40

D E

O

y

x

6

8

10

4

2

4−4
−2

−4

−6

−8 8 1612
G

F

O
B
A

B
 7

B
A

B
 7

127126

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

Hitung jarak di antara pasangan titik berikut.
(a) (2, –3) dan (4, –3)
(b) (0, 1) dan (0, –2)

Penyelesaian:

(a) Jarak di antara titik itu ialah
  = 4 – 2
 = 2 unit

(b) Jarak di antara titik itu ialah
  = 1 – (–2)
 = 3 unit

CONTOH 2

Jarak mengufuk = x2	−	x1

Jarak mencancang = y2	−	y1

Tujuan: Mengenal pasti jarak di antara dua titik
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS126B yang telah disediakan.

7.1.3  Jarak di antara dua titik pada satah

Menentukan jarak di antara
dua titik pada satah Cartes.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms126b untuk
mengenal pasti jarak di
antara dua titik.

Jarak AB merupakan jarak hipotenus. Rumus teorem Pythagoras digunakan untuk menentukan
jarak di antara dua titik pada satah Cartes.

2. Gerakkan koordinat A dan B pada satah Cartes berpandukan jadual.
3. Kenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang bagi garisan AB.
4. Bandingkan paparan jawapan yang diberikan dengan jawapan anda menggunakan

rumus jarak di antara dua titik.
5. Lengkapkan jadual di bawah dengan membuktikan jawapan dengan memilih Hint.

Perbincangan:
(i)  Apakah yang anda fahami tentang jarak AB?
(ii) Apakah perkaitan rumus teorem Pythagoras?

Hitung jarak di antara titik A dengan titik B pada satah Cartes
dalam rajah di bawah.

CONTOH 4

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms126a untuk
permainan Sasaran
Kapal Selam.

Jika garis lurus yang menyambungkan dua titik pada satah Cartes
tidak selari dengan paksi-x atau paksi-y, maka jarak di antara dua
titik itu dapat ditentukan dengan menggunakan teorem Pythagoras.

Rajah menunjukkan jarak di antara dua titik A dan B. Lengkapkan
koordinat A dan B.

Penyelesaian:

y – 3  = 5 unit
        y  = 5 + 3
           = 8 unit
Maka, koordinat A ialah (1, 8).

CONTOH 3

4 unit

5 unit

A (1, y)

C (1, 3) B (x, 3)

x – 1  = 4 unit
        x  = 4 + 1
            = 5 unit
Maka, koordinat B ialah (5, 3).

Jarak di antara dua titik pada satah Cartes = �(x2 −	x1)
2 + (y2	−	y1)

2

3

−2

1

21 4 5 6 7 83

2

−3

4
5
6
7
8

−1
−1

y

x
O

B

A

Apakah rumus ini?
Teorem yang menyatakan
bahawa bagi sebarang
segi tiga bersudut 90° dan
kuasa dua hipotenusnya
adalah bersamaan dengan
jumlah kuasa dua sisi
yang lain.

ca

b

c = �a2 + b2

Titik Perbezaan Jarak Jarak AB

A B Mengufuk
x2 – x1

Mencancang
y2 – y1

AB =

(a) (1, 5) (1,  7) 1 – 1 = 0 7 – 5 = 2

(b) (4, 1) (1,  1)

(c) (8, 2) (0,	−4)

(d) (6, 7) (2,  4)

�(x2 − x1)
2 + (y2 − y1)

2
B
A

B
 7

B
A

B
 7

129128

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

Hitung jarak di antara titik P dengan titik Q.

(a)    (b)

Penyelesaian:

(a)   PQ 2 = 52 + 32

= 25 + 9

PQ  = �34

= 5.83 cm

Maka, jarak PQ ialah 5.83 cm.

CONTOH 5

(b)  PQ2 = �[4 – (–2)]   2 + (1 – 6) 2

= �62 + (–5) 2

= �36 + 25

= �61

= 7.81 cm
 Maka, jarak PQ ialah 7.81 cm.

Kaedah 2

Jarak      = �(x2
− x1

)2 + ( y2 −	 y1 )
2

Jarak AB = �(5	−	1)2  +	(1	−	7)2
 =  �42  +	(−6)2

= �16 + 36

= �52

= 7.21 unit

Maka, jarak AB ialah 7.21 unit.

Penyelesaian:

Kaedah 1
Berdasarkan rajah di sebelah, lukis sebuah segi tiga bersudut tegak ACB.
AC = 6 unit, BC = 4 unit

Dengan menggunakan teorem Pythagoras, AB

AB2  = BC 2 + AC 2

AB2  = 4 2 + 6 2

AB2  = 16 + 36

AB   = �52

= 7.21 unit

y

x

A (1,7)
x1,  y1

x2 , y2

B (5, 1)

O

x2
− x1

y2
− y1

Hitung perimeter bagi sebuah segi tiga sama kaki jika bucu-bucu
bagi segi tiga tersebut ialah A (1, 1), B (3, 4) dan C (5, 1).

Penyelesaian:

CONTOH 6

CONTOH 7

Diberi bahawa jarak AB = 10 unit. Hitung nilai v.

Penyelesaian:

4 unitC B

A

6 unit

5 cm

3 cm

P

Q

A (v, 3) C

B (6, 9)

10 unit

y

x
O

7.1.4  Penyelesaian masalah

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan jarak di
antara dua titik dalam sistem.

Memahami masalah

ABC adalah segi tiga sama kaki dengan bucu-bucu A (1, 1),
B (3, 4) dan C (5, 1).

Melaksanakan strategi

Jarak AB = �32 + 22

= �9 + 4

= �13

= 3.6 unit

AB  = BC

Melaksanakan strategi

AB  = �(6	−	v)2 + (9 −	3)2

10  = �(6	−	v)2 + 62

10  = �(6	−	v)2 + 36

10 2 = ��(6	−	v)2 + 36 �2

10 2 −	36	=	(6	−	v) 2

�64	=	6	−	v
											8		=	6	−	v
           v		=	6	−	8
           v  = –2

Membuat kesimpulan

Maka, perimeter segi tiga ABC ialah
3.6 + 3.6 + 4 = 11.2 unit.

Membuat kesimpulan

Maka, nilai v ialah –2.

Merancang strategi

• Lukis segi tiga dan tentukan titik-titik tersebut pada
satah Cartes.

• Perimeter	Δ ABC = AB + BC + AC
• Tentukan jarak AC dan AB.

Memahami masalah

Menghitung nilai v.

Merancang strategi

Jarak AB = 10
Rumus jarak

= �(x2
− x1

)2  + ( y2 −	 y1 )
2

Jarak di antara dua titik

Jarak merupakan ukuran
ruang di antara dua titik.

= �(x2
 −	x1)

2 + (y2
 −	y1)

2

x

P

Q

y

1
2
3
4
5
6

−1 1 2 3 4−2 O

(–2, 6)

(4, 1)

3

−2

1

2 3 4 5 61

2

−3

4
5
6
7
8

−1
−3 −2 −1

y

xO
A (1, 1)

C (5, 1)

B (3, 4)

7
B
A

B
 7

B
A

B
 7

131130

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

1. Tentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes  di bawah.

2. Hitung jarak AB.
 (a) (b)

7.1JOM CUBA

1

−2

2 4 6 8 10 12

−3

−4
−5

2
3
4
5
6

−1−2−4−6

y

x
O

(c)

(a)

(d)

(b)

A

C D

E

F

G H

B

A

B
4 cm

2 cm

B

A

1 200 cm

600 cm

(c) (d)

4. Diberi jarak mengufuk 4 unit dan jarak mencancang 3 unit bagi dua titik A dan B, hitung nilai
a dan b.

(a) (b)

(c) (d)

3. Nyatakan jarak di antara pasangan titik berikut.
 (a) (1, 3) dan (1, 7)
	 (b)	 (0,	−9)	dan	(0,	9)
	 (c)	 (5,	−2)	dan	(−2,	−2)
 (d) (7, 4) dan (8, 4)

5. Rajah menunjukkan titik K, L, M, N, P dan Q
      pada satah Cartes.
 Hitung jarak di antara titik yang berikut.
      (a)   KM
 (b)   ML
      (c)   PN
 (d)   KQ

21 4 5 63

N

L

Q

M

K

P

−2 −1 O−4 −3
x

−2
−3

−1

2
3

1

−4

4
5
6
7
8

y

B (5, b)

A (a, 1)
O

y

x

B (2, b)

A (a, –1)
O

y

x
B (0, b)

A (a, 4)

O

y

x

B (−1,	b)

A (a, 0)O

y

x

6. Tentukan jarak KL jika K (2, 2) dan L berada pada paksi-x dengan jarak 7 unit ke kanan dari
paksi-y.

7. Tentukan jarak AB jika masing-masing berada pada paksi-y dengan jarak 5 unit ke atas dan 2 unit
ke bawah dari paksi-x.

8.  Hitung jarak di antara KL jika L berada pada asalan dan K berada 3 unit ke kiri dari paksi-y
dan 5 unit ke atas dari paksi-x.

y

x
−4 −2

1
2

4
3

O 2 4 6 8 10 12

A

B

1

−2

21 43 5

−3

2
3
4

−1−2−3 −1−4−5

y

x
O

B

A

−1
B
A

B
 7

B
A

B
 7

133132

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

10. Diberi jarak mencancang dari titik V yang terletak di utara titik W ialah 4 unit. Tentukan
koordinat W jika koordinat V ialah

(a)	 (4,	–3)	 																																								(b)		 (2,	−5)

(c) (5, –2)  (d) (0, –4)

11. Berdasarkan rajah di bawah, hitung perimeter ABCD.

12. Segi tiga ABC mempunyai bucu A (–2, –1), B (–2, 5) dan C (1, –1). Hitung perimeter bagi segi
tiga itu.

9. Tentukan nilai a dan b berdasarkan maklumat dalam rajah di bawah.

(5, 2)

b

5 unit

3 unit

y

x
a

7.2 Titik Tengah dalam Sistem Koordinat Cartes

7.2.1  Titik tengah di antara dua titik
Anda telah mempelajari cara menentukan jejari bagi suatu diameter
bulatan. Adakah anda fahami konsep titik tengah? Berbincang
dengan rakan anda tentang konsep ini.

Menerangkan maksud titik
tengah di antara dua titik
pada satah Cartes.

Tujuan: Mengenal pasti titik tengah suatu garisan
Bahan: Kertas grid, jangka lukis dan pembaris
Langkah:
1.  Murid A akan membina satah Cartes pada kertas grid.
2.  Murid B akan memilih dua titik koordinat dan membina suatu

garisan yang menyambungkan titik tersebut.
3.   Murid C akan membina pembahagi dua sama serenjang pada

garisan tersebut.

Perbincangan:
Apakah yang anda fahami daripada pembinaan pembahagi dua
sama serenjang bagi garisan tersebut?

Titik
tengah(x1,  y1)

(x2,  y2)

Titik tengah ialah titik yang membahagi dua sama suatu
tembereng garis.

Tentukan titik tengah bagi garis lurus AB.

(a)  (b)

CONTOH 8

Penyelesaian:

(a) Titik tengah bagi garis lurus AB
 ialah P.

A        M        P   Q              B

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms133 untuk
melihat video animasi
tentang bagaimana
menentukan titik tengah
daripada perisian
geometri dinamik.

(b) Titik tengah bagi garis lurus AB ialah D.

A         D          B

A         D          B             C

P ialah titik tengah bagi garis lurus AB.
Tentukan koordinat P.

CONTOH 9 Nyatakan koordinat pusat
bulatan bagi rajah di
bawah. Apakah hubungan
antara pusat bulatan
dengan titik tengah?

O
x

−2

−2 4−4−6−8 2

2

4

6

8

yA

BC

21 4 5 63O
x

2
3

1

4
5
6
7
8

y

O

D

B

A C

21 4 5 63−2 −1 O−4 −3
x

−1

2

3

1

4
5

6

7

8

y

A        M         P  Q              B
4 unit 4 unit
B
A

B
 7

B
A

B
 7

135134

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan titik tengah bagi garis lurus AC dan BC.
Langkah 2: Lukis pembahagi dua sama serenjang bagi AC dan BC.
Langkah 3: Persilangan di antara pembahagi dua sama serenjang AC dan pembahagi dua sama
 serenjang BC merupakan titik tengah bagi garis AB.
Langkah 4: Maka, titik P ialah (3, 4).

Tujuan: Menerbit rumus titik tengah
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS134 yang telah disediakan.
2. Kenal pasti titik A dan B.

7.2.2  Rumus titik tengah

Menerbitkan rumus titik
tengah di antara dua titik
pada satah Cartes.

Perbincangan:
(i) Adakah titik tengah bagi garis lurus AB terhasil daripada

persilangan titik tengah bagi jarak mengufuk dan jarak
mencancang?

(ii) Bina suatu kesimpulan untuk menentukan rumus titik tengah
berdasarkan aktiviti ini.

Titik tengah bagi suatu garis yang condong dapat ditentukan
dengan mengenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang yang
masing-masing dibahagikan kepada dua.

Titik tengah = �
x1 + x2

2
 ,

y1 + y2

2
�QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms134 untuk
mengenal pasti titik tengah.

3. Ubah kedudukan titik A dan titik B dalam jadual yang diberikan.
4. Kenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang.
5. Buka fail MS135 dan lengkapkan jadual yang diberikan.
6. Hitung titik tengah M dengan suatu pengiraan yang melibatkan jarak mengufuk dan jarak

mencancang.

Kedudukan titik tengah dapat ditunjukkan dengan pembinaan
pembahagi dua sama serenjang. Persilangan di antara pembahagi
dua sama serenjang dengan tembereng garis dapat menentukan
koordinat titik tengah pada satah Cartes.

7.2.3  Koordinat titik tengah di antara dua titik
Menentukan koordinat titik
tengah di antara dua titik
pada satah Cartes.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms135 untuk
mendapatkan lembaran
kerja.

Titik Titik tengah bagi jarak: Titik tengah

�
x1 + x2

2
	‚

y1 + y2

2
	�

A B Mengufuk Mencancang

(4  , 5) (2  , 1)

(–1, 5) (3  , 1)

(1  , 3) (7  , 1)

(3  , 4) (–5,	−1)

(1  , 2) (–5, 2)

M = �	6 + 2
2

,  4 + 0
2

�

M = (4 , 2)

21 4 5 63−1 O
x

2
3

1

4
5

y

−2
−1−2

(4, 2)

B(6, 4)

M

A(2, 0)

A

BC

21 4 5 63−1−1
O

x

2
3

1

4
5
6

7

y

(3, 4)
Titik tengah

P

−2

−5
−4
−3

−6

−2−3−4−5−6
B
A

B
 7

B
A

B
 7

137136

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

CONTOH 10

Hitung koordinat titik tengah bagi garis lurus MN.

CONTOH 11

O 4 10

M

N

y

x

7

1

Hitung koordinat titik tengah bagi garis lurus AB dengan A(2, 5) dan B(2, 1).

Penyelesaian:

A (2, 5) ialah (x1 ,  y1) dan B (2, 1) ialah (x2 ,  y2)

Titik tengah AB = �
x1+ x2

2

y1+ y2

2
, �

= �

2 + 2
 2

, 5 + 1
 2 �

= �4
2

6
2

, �

 = (2 , 3)

Maka, titik tengah AB ialah (2, 3).

Penyelesaian:

M (10, 7) ialah (x1 ,  y1) dan N (4, 1) ialah (x2 ,  y2)

Titik tengah MN = �
x1+ x2

2

y1+ y2

2
, �

= �10 + 4

2
,  7 + 1

2  �

= � 14
2

8
2

,     �

= (7, 4)

Maka, titik tengah MN ialah (7, 4).

7.2.4  Penyelesaian masalah

Rajah menunjukkan garis PAQ pada suatu satah
Cartes. A ialah titik tengah bagi garis lurus PQ.
Tentukan koordinat P.

CONTOH 12

Penyelesaian:

P

Q

A

y

x

2

O
2

Menyelesaikan masalah yang
melibatkan titik tengah dalam
sistem koordinat Cartes.

Memahami masalah

Diketahui jarak AP = AQ.
Katakan  P = (x, y).

Melaksanakan strategi

Hitung kedudukan mengufuk dan
mencancang bermula dengan titik A
yang masing-masing 2 unit.

Titik tengah, A (0, 2)

Membuat kesimpulan

Maka koordinat P
ialah	(−2,	4).

Merancang strategi

Jarak AP = AQ, maka

P

Q

A2
un

it

2
un

it2 unit

2 unit

Titik tengah, P = �
−3 + x2

2
 ,

12 + y2

2
�

(2, 9)  = �
−3 + x2

2
 ,

12 + y2

2
�

Maka, koordinat L ialah (7, 6).

Titik P ialah titik tengah bagi garis lurus KL. Diberi koordinat K ialah (–3, 12) dan koordinat
P ialah (2, 9). Hitung koordinat L.

Penyelesaian:

K (–3, 12) ialah (x1 ,  y1) dan L (x2 ,  y2)

CONTOH 13

Menara KLCC setinggi 88
tingkat. Jarak yang paling
sesuai untuk membina
skybridge adalah pada
tingkat ke-42 dan 43.
Mengapa?

Titik tengah ialah titik yang
membahagi dua sama
suatu tembereng.

Jika asalan merupakan titik
tengah bagi garis lurus KL.
Dapatkah anda tentukan
koordinat L?

O x

y
K(4, 5)

L

12 + y2

2
 = 9

−3 + x2

2
 = 2 ,

12 + y2  = 18

y2  = 6

−3 + x2  = 4 ,

x2 = 7 ,

P(x , y)
Q(2 , 0)

x + 2
2

= 0

x + 2  = 0
        x		=	−2

y + 0
2

= 2

y  = 4

,

,

B (2, 1)

A (2, 5)

21 4 5 63−2 −1 O−3
x

−1

2

3

1

4

5

7

6

y

(x , y)

(0 , 2)

(2 , 0)
B
A

B
 7

B
A

B
 7

139138

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

7.2JOM CUBA

1.   Dalam setiap rajah yang berikut, tentukan titik tengah bagi garis lurus PQ.

(a)                                                                                (b) 2.5 m

2 m
5 m

5 m

B Q

P

2.   Berdasarkan rajah di bawah, nyatakan koordinat titik tengah bagi garis lurus
      (a)   AB
      (b)   CD
      (c)   AD

P A DQB C

A

D C

B

21 4 5 63−1O
x

−1

2

3

1

4
5
6
7

8

y

3. Tentukan koordinat titik tengah bagi garis lurus
       (a)   PQ
       (b)  RS
       (c)   TU
       (d)  WV

4.   Tentukan titik tengah bagi pasangan titik berikut.
      (a)   P (–1, 7) dan Q (–1, 1).
 (b)  R (3, –6) dan S (3, 2).
 (c) A (3, 1) dan B (5, 1).
 (d) C (5, 0) dan D (1, 0).

6. Titik tengah bagi segi empat tepat dalam rajah di bawah adalah di asalan. Tentukan
      (a)   nilai a dan b.

(b)   jarak bagi garis lurus BC.

(c)   koordinat B.

21 4 5 63−1O x
−1

2
3

1

4

5
6
7
8

y

−2−3−4

−2
−3

T S

R
Q

W
P

UV

7.  Titik asalan ialah titik tengah bagi tinggi segi empat selari. Hitung
       (a)   nilai m dan n.
       (b)   titik tengah bagi garis lurus PQ.
       (c)   titik tengah bagi garis lurus SR.

5. Rujuk rajah di bawah. A ialah titik tengah bagi garis lurus PQ dan B ialah titik tengah bagi garis
lurus RQ. Tentukan koordinat P dan R.

y

x
O

P (– 4, n)
Q

S R (m, – 6)

P

R

Q

A

B

3

4

–2

y

x
O

y
B

C (b, – 4)

xO

D

A (–3, a)

A
C 2.5 m
B
A

B
 7

B
A

B
 7

141140

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

8. Diberi garis lurus AB = BD dengan D (–1, 3) dan B (1, 1). Hitung koordinat bagi titik A.

9. Garisan yang menyambungkan titik (–8, 3) dan (s, 3) mempunyai titik tengah (0, u). Hitung
nilai s dan u.

10. Garis AB selari dengan paksi-x dengan titik A (3, a) dan titik tengah bagi garis lurus AB ialah (5, 1).
Hitung

(a) nilai a.
 (b) koordinat B.

7.3  Sistem Koordinat Cartes

7.3.1  Menyelesaikan masalah koordinat

Rajah menunjukkan sebuah segi empat selari.
Diberi jarak di antara titik A dengan B ialah 5
unit. Hitung
(a) koordinat A.
(b) titik tengah garis lurus AC.

Penyelesaian:

CONTOH 14

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan sistem
koordinat Cartes.

Memahami masalah

Tentukan titik A apabila AB selari
dengan DC.

(a)
(b)

Melaksanakan strategi

Jarak AB = 5 unit.

Koordinat-x	=	11	−	5
 = 6

Membuat kesimpulan

Maka, koordinat A ialah (6, 6).

Merancang strategi

Garis lurus AB selari dengan paksi-x.
Koordinat-y bagi titik A ialah 6.

7.3JOM CUBA

1. Rajah di sebelah merupakan sebuah segi tiga sama kaki dengan
tinggi segi tiga ialah 4 unit. Hitung

(a) koordinat C.
 (b)   koordinat A.
 (c) koordinat titik tengah bagi garis lurus AB.
 (d)   jarak AC.

2.   Rajah di sebelah merupakan sebuah segi empat tepat.
      Jarak KL ialah 8 unit dan jarak KN ialah 12 unit. Hitung
      (a)    jarak LN.
      (b)   koordinat titik tengah bagi garis lurus NM.
 (c) koordinat T.

3.  Jika garis PQ selari dengan paksi-y dan mempunyai titik tengah, M(4, 0) dengan jarak bagi garis
lurus MP ialah 3 unit, hitung

(a) koordinat P.                               (b)  koordinat Q.                        (c)   jarak PQ.

4.   Jarak AB = KL, iaitu 8 unit dan masing-masing selari dengan paksi-x. Jika titik tengah bagi garis
lurus AB ialah (0, 3) dan jarak titik tengah bagi garis lurus AB ke titik tengah bagi garis lurus KL
ialah 2 unit ke bawah, hitung

(a) koordinat K dan L.
 (b)   koordinat titik tengah bagi garis lurus KL.

5. Diberi P (4, 0) dan Q berada di paksi-y dengan 6 unit ke atas dari paksi-x, hitung
 (a) titik tengah bagi garis lurus PQ.
 (b) jarak di antara titik P dengan titik tengah bagi garis lurus PQ.

1. Antara titik yang berikut, yang manakah mewakili
 (a) (–3, 2)
 (b) (0, 5)
       (c)   (4, –2)
       (d)   (6, 8)

21 4 5 63−1O
x

−1

2
3

1

4

5
6

7
8

y

−2−3

−2

I F

D

C
A

B

GJ

E

K

H

MENJANA KECEMERLANGAN

y

x

N

K

M

L (2, 10)

O

T

y

x
C

O

A

B (2, 1)

Memahami masalah

Garis lurus AC selari dengan paksi-y. Titik
A dan titik C mempunyai koordinat-x yang
sama, iaitu 6.

Melaksanakan strategi

A (6  ,  6)      C (6  ,  2)

�6 + 6
 2

,  6 + 2
 2  � = (6, 4)

Membuat kesimpulan

Maka, titik tengah garis lurus AC ialah (6, 4).

Merancang strategi

x1 ,  y1 x2 ,  y2

Rumus titik tengah = �
x1 + x2

2
,

y1 + y2

2
�.

y

O

A B (11, 6)

2

x

D

1

C
B
A

B
 7

B
A

B
 7

143142

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

2. Jika titik K berada pada paksi-x dan 4 unit ke kiri pada paksi-y. Tentukan koordinat L yang
berada 5 unit ke atas dari titik K.

3.   Jika titik P, Q dan R masing-masing bergerak 2 unit ke selatan dan 1 unit ke timur, nyatakan
kedudukan baharu titik-titik itu. Hitung jarak bagi kedudukan baharu PQ dan RQ.

4.   ABCD ialah sebuah segi empat sama sisi dengan A berada di (0, 0) dan B (–5, 0). Hitung
perimeter bagi segi empat itu.

5. Jika KLM merupakan sebuah segi tiga bersudut tegak dengan K (1, 0) dan L (5, 0) merupakan
tapak dan ML ialah tinggi bagi segi tiga tersebut. Jarak M ke L ialah 5 unit, hitung luas segi
tiga tersebut.

6. Titik tengah bagi pepenjuru sebuah segi empat sama berjarak 2 unit daripada bucu segi empat
itu. Hitung luas segi empat sama itu.

Paksi sepunya
(y2 −	y1) dan (x2 − x1)

�
x1 + x2

2
 ,

y1 + y2

2
�

�(x2 −	x1)
2 + (y2	−	y1)

2

Jarak di antara dua titik
Ukuran jauh atau ruang di
antara dua titik.

Titik Tengah
Titik yang membahagi dua

sama suatu tembereng.

Paksi−x
Paksi yang mengufuk
dan berserenjang
dengan paksi-y dalam
sistem koordinat Cartes.

Paksi−y
Paksi yang mencancang
dan berserenjang
dengan paksi-x dalam
sistem koordinat Cartes.

Asalan
Titik persilangan paksi
mengufuk dan paksi
mencancang. Koordinat
asalan ialah (0, 0).

Satah Cartes
Suatu satah Cartes
terdiri daripada
satu garis nombor
mengufuk (horizontal)
dan satu garis nombor
mencancang (vertikal)
yang bersilang pada
sudut tegak.

INTI PATI BAB

Koordinat

O

pa
ks

i m
en

ca
nc

an
g

paksi mengufuk
asalan

y

x

REFLEKSI DIRI

1. Menerangkan maksud jarak di antara dua titik pada satah Cartes.

2. Menerbitkan rumus jarak di antara dua titik pada satah Cartes.

3. Menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes.

4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan jarak di antara dua titik dalam sistem
koordinat Cartes.

5. Menerangkan maksud titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.

6. Menerbitkan rumus titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.

7. Menentukan koordinat titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.

8. Menyelesaikan masalah yang melibatkan titik tengah dalam sistem koordinat
Cartes.

9. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem koordinat Cartes.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

Hasilkan pelan kedudukan kelas anda di atas kertas grid dengan skala 1 cm kepada 2 meter
pada paksi mengufuk dan paksi mencancang. Jika perlu, anda boleh mengubah skala mengikut
kesesuaian. Anda boleh menentukan kedudukan koordinat tempat rakan anda masing-masing.
Tampal pelan ini di hadapan kelas anda sebagai rujukan.

5

2

4

y

x

−2

−4

R

Q

P

2O
B
A

B
 8

B
A

B
 8

145144

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

8.1 Fungsi

8.2 Graf Fungsi

• Graf fungsi
• Fungsi
• Pemboleh ubah
• Hubungan
• Persamaan linear
• Jadual nilai
• Fungsi linear
• Fungsi bukan linear
• Skala
• Fungsi salingan
• Fungsi kubik
• Fungsi kuadratik

• Graph of function
• Function
• Variable
• Relation
• Linear equation
• Table of value
• Linear function
• Non-linear function
• Scale
• Reciprocal function
• Cubic function
• Quadratic function

RANGKAI KATA

René Descartes (1596-1650), menyatakan
bahawa fungsi ialah hubungan matematik
antara dua pemboleh ubah. Perkataan ‘fungsi’
telah	 diperkenal	 oleh	 Gottfried	 Wilhelm
Leibniz (1646-1716) dalam bukunya. Idea
konsep fungsi ini disambung oleh Leonhard
Euler	 (1707-1783)	 dan	 beliau	memperkenal
tatatanda fungsi, iaitu y = f (x).

Untuk maklumat lanjut:

MASLAHAT BAB INI

Fungsi banyak diaplikasikan dalam bidang
ekonomi, teknologi, sains, kejuruteraan,
perbankan dan matematik. Kerjaya yang
memerlukan pengetahuan tentang fungsi,
antaranya ialah jurutera, ahli ekonomi,
juruaudit, pensyarah dan pegawai bank.

Melalui fungsi indeks pasaran saham, kita
dapat meramalkan masa yang sesuai untuk
membeli atau menjual sesuatu saham.

145144

Indeks Jisim Badan (IJB) ialah satu
ukuran anggaran lemak di dalam badan
berdasarkan berat dan tinggi seseorang.
Ukuran IJB yang tinggi ialah tanda
kandungan lemak yang banyak. Hitungkan
IJB anda.

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms145

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 8

B
A

B
 8

147146

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

Tujuan: Mengenal fungsi
Bahan: Lembaran kerja dan kalkulator
Langkah:
1. Gunakan simbol  (punca kuasa tiga) dalam kalkulator anda untuk mengenal pasti

nombor output bagi beberapa nombor input dan lengkapkan jadual A.
2. Gunakan simbol x 3 (kuasa tiga) dalam kalkulator anda untuk mengenal pasti nombor output

bagi beberapa nombor input dan lengkapkan jadual B.

8.1 Fungsi

8.1.1 Definisi fungsi

AKTIVITI KREATIF

Daripada aktiviti di atas, fungsi merupakan hubungan setiap input mempunyai hanya satu output.

Hubungan ialah padanan unsur dari set A kepada set B. Hubungan dapat diwakili dengan
menggunakan

(a) rajah anak panah
(b) graf
(c) pasangan tertib

Daripada jadual di atas, dapat diketahui bahawa jumlah harga tiket bergantung kepada bilangan dan
kategori ahli keluarga.

Menerangkan maksud
fungsi.

Tujuan: Mengenal hubungan antara dua kuantiti
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Gambar di bawah menunjukkan iklan tiket taman tema air mengikut kategori. Berdasarkan

iklan tersebut, lengkapkan jadual di bawah.

2.

3. Daripada jadual di atas, apakah kaitan antara jumlah bayaran tiket bagi setiap keluarga
dengan kategori ahli keluarganya?

Keluarga
Kategori

Dewasa Kanak-kanak Warga	emas/OKU
1
2
3

Jumlah

Kategori Bilangan Harga Jumlah (RM)
Dewasa 2        2 × 30 60

Kanak-kanak
Warga	emas/OKU

Jumlah

Input Output
64 64 4
27 27 3
0
1
8
1

125

Input x  3 Output
2 2  3 8
3 3  3 27
5
7
10

Perbincangan:
Jika input itu ialah domain manakala output itu julat, tentukan julat untuk

set A = {64, 27, 0,
1
8,

1
125} dan set B = {2, 3, 5, 7, 10}.

Jadual A Jadual B

Terdapat dua jenis hubungan yang menghasilkan fungsi
(a) Hubungan satu kepada satu   (b) Hubungan banyak kepada satu

Mengenal pasti fungsi

•  km

•  ml

•  RM

Jarak •

Isi padu •

Harga •

unit

•  Herbivor

Arnab •

Lembu •

Kuda •

Tabiat
makanan
haiwan

Terdapat dua jenis hubungan yang bukan fungsi
(a) Hubungan satu kepada banyak  (b) Hubungan banyak kepada banyak

• Sains
•  Matematik
•  Bahasa
 Inggeris

Rania •

Jannah •

Subjek kegemaran

• Kereta
•  Motosikal
•  Bas

Fairuz •
Ijah •
Afiq	 •
Ravi •
Siah Meng  •

Kenderaan yang
dinaiki ke sekolah
B
A

B
 8

B
A

B
 8

149148

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

8.1.2 Perwakilan fungsi

Mengenal pasti fungsi
dan memberi justifikasi
berdasarkan perwakilan
fungsi dalam bentuk
pasangan tertib, jadual,
graf dan persamaan.

Rajah di bawah menunjukkan fungsi, f yang memetakan x kepada
 yang ditulis sebagai f (x) = .

(a) Fungsi satu kepada satu
 Fungsi satu kepada satu ialah hubungan yang mana objek dalam domain mempunyai hanya

satu imej.
 (i)       (ii)

(iii) Pasangan tertib, A ={(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}

(c) Hubungan satu kepada banyak
 Hubungan satu kepada banyak ialah hubungan yang mana objek dalam domain mempunyai

lebih dari satu imej.
 (i)       (ii)

(iii) Pasangan tertib, R = {(3, 3), (3, 6), (4, 4), (4, 8)}

Set P = {9, 16, 25, 36} ialah domain dan unsur-unsurnya dinamakan objek. Set Q = {1, 3, 4, 5,
6} ialah kodomain. Unsur-unsur dalam set Q yang dihubungkan kepada objek dalam set P
dinamakan imej. Julat bagi fungsi itu ialah {3, 4, 5, 6}.

CONTOH 2

f : darab 2
P Q

1 •
2 •
3 •
4 •

• 2
• 4
• 6
• 8

f : faktor
P Q

3 •
4 •

• 3
• 4
• 6
• 8

(a)  Rajah anak panah

(b)  Graf

(c) Pasangan tertib
 P = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 6)}

CONTOH 1

1 2 3 4 5

1

O

2
3
4
5
6

Set A

Set B

0 •
1 •
2 •
3 •
5 •

• 1
• 2
• 3
• 4
• 6

f : tambah 1Set A Set B
x memetakan ke f (x)

x f (x)

6 •
5 •
4 •

• 5
• 4
• 3

Hubungan di atas ialah
fungsi ‘tolak 1’, ditulis
dengan tatatanda berikut:
 f : x → x – 1 atau
 f (x) = x – 1

(b) Fungsi banyak kepada satu
 Fungsi banyak kepada satu ialah hubungan yang lebih dari satu objek dihubungkan dengan imej

yang sama.
 (i)       (ii)

(iii) Pasangan tertib, B = {(6, 3), (9, 3), (21, 3)}

f : gandaan
P Q

6 •
9 •

21 •
• 3

3
4

3O 6 9 12 15 18 21

Q

P

2
1

5

(d) Hubungan banyak kepada banyak
 Hubungan banyak kepada banyak ialah hubungan yang mana sekurang-kurangnya satu objek

mempunyai lebih dari satu imej dan lebih dari satu objek mempunyai imej yang sama.
 (i)       (ii)

(iii) Pasangan tertib, S = {(24, 4), (24, 6), (24, 8), (18, 6), (16, 4), (16, 8)}

f : dibahagi
P Q

24 •
18 •
16 •

• 4
• 6
• 8

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

O

4
6
8

P

Q

Berikan	justifikasi	berdasarkan	pemerhatian	hubungan	yang	diwakili
oleh graf dalam contoh di atas. Graf garis lurus diperoleh

apabila semua pasangan
tertib bagi persamaan
linear diplot dan
disambungkan.

9 •
16 •
25 •
36 •

• 3
• 4
• 5
• 6

• 1
f

P Q

Domain Kodomain

1 2 3 4

2

O

4
6
8

P

Q

1 2 3 4 5

1

O

2
3
4
5
6
7
8

P

Q
B
A

B
 8

B
A

B
 8

151150

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

1. Rajah di sebelah menunjukkan hubungan antara set P dan set Q.
 Nyatakan
 (a) jenis hubungan.
 (b) julat hubungan itu.

2. Rajah di sebelah menunjukkan satu fungsi.
 Nyatakan nilai b.

3. Tentukan sama ada set pasangan tertib berikut ialah fungsi.
 (a) P  = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
 (b) Q = {(1, 3), (0, 3), (2, 1), (4, 2)}
 (c) R  = {(1, 6), (2, 5), (1, 9), (4, 3)}

4. Tentukan sama ada hubungan dalam graf berikut ialah fungsi atau bukan fungsi.
 (a)     (b)

8.1
P

3 •
6 •
9 •

• 9
• 18
• 20

Q

x

0 •
3 •
5 •
b •

• 0
• 9
• 15
• 21

p(x)

x

1 •
2 •
3 •
4 •
5 •

• 3
• 6
• a
• 12
• b

f (x)

Fungsi yang memetakan x kepada y boleh ditulis menggunakan tatatanda fungsi iaitu f(x).
Maka, fungsi ini boleh ditulis sebagai f(x) = x + 3.

Diberi set P = {1, 2, 3} dan set Q = {4, 5, 6}. Fungsi, f yang memetakan set P kepada set Q ialah
menambah	3.	Wakilkan	hubungan	di	atas	menggunakan

(a) pasangan tertib        (b) jadual        (c) graf        (d) persamaan

Penyelesaian:

(a) {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}   (b)

(c)       (d)

CONTOH 3

y

1 2 3

1

O
x

2
3
4
5
6

P 1 2 3

Q 4 5 6

4 = 1 + 3
5 = 2 + 3
6 = 3 + 3

y = x + 3  atau  f(x) = x + 3

5. Diberi set S = {10, 12, 18, 20} dan set R = {2, 4, 10, 12}. Hubungan dari set S kepada set R
ialah	tolak	8.	Wakilkan	fungsi	tersebut	menggunakan

(a) pasangan tertib       (b) jadual        (c) graf        (d) persamaan

6. Rajah berikut menunjukkan fungsi f (x) = 3x dalam domain
1 ⩽ x ⩽  5.

Tentukan nilai a dan b.

7. Nyatakan domain dan julat hubungan berikut.
 (a)      (b)

–5 •
2 •
4 •

• 0
• 8
• 15
• 16

3 4

1

–1
–2
–3
–4
–5

O

2
3
4
5

x

y

21–1–2–3– 4–5 5

3

5

O

10
15
20
25
30

x

y

21 3 4

4

O

8
12
16
20

x

y

21 5

8.2 Graf Fungsi
Kita telah mempelajari bahawa perwakilan
fungsi boleh dibuat dalam bentuk graf. Graf
fungsi ialah perwakilan fungsi pada satah
Cartes. Dengan melukis graf, kita dapat
menjelaskan hubungan antara pemboleh
ubah dalam fungsi tersebut. Graf ini juga
akan membantu kita mengenal pasti beberapa
maklumat bagi menyelesaikan masalah.

Gambar menunjukkan seorang pemain bola sepak menyepak bola,
menyebabkan bola itu melambung dan menurun. Lambungan bola
itu membentuk suatu lengkung.

Katakan lengkung itu mewakili fungsi s = 25t – 2.5t 2, dengan t ialah
masa dalam saat dan s ialah tinggi dalam meter. Hubungan antara s
dengan t dapat dilukis dalam bentuk graf. Beberapa maklumat boleh
diperoleh daripada graf itu seperti ketinggian maksimum bola, masa
bola itu sampai ke tanah semula dan jarak dari tempat tendangan.

8.2.1 Membina jadual nilai

Daripada fungsi yang diberikan, suatu jadual nilai dapat dibina
untuk menentukan pasangan tertib (x, y) yang sepadan sebelum
graf dilukiskan.

Membina jadual nilai bagi
fungsi linear dan bukan
linear, dan seterusnya
melukis graf menggunakan
skala yang diberikan.

Bintang bola sepak
Malaysia dari Pulau
Pinang, Mohd Faiz Subri
mendapat penghargaan
Anugerah Puskas (FIFA)
untuk gol terbaik 2016.
B
A

B
 8

B
A

B
 8

153152

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

(a) Bina satu jadual nilai bagi fungsi y = 5 – x, bagi
nilai x = –2, –1, 0, 1.

(b) Bina satu jadual nilai bagi fungsi y = 2x2 – 1, bagi
nilai x = –1 hingga 2.

Penyelesaian:

CONTOH 4

(a) Apabila x = –2
 y = 5 – x
 y = 5 – (–2)
 y = 5 + 2
 y = 7

Apabila x = –1
y = 5 – x
y = 5 – (–1)
y = 5 + 1
y = 6

Apabila x = 0
y = 5 – x
y = 5 – 0
y = 5

Apabila x = 1
y = 5 – x
y = 5 – 1
y = 4

Menggunakan kalkulator
untuk menghitung nilai
bagi jadual nilai.
Untuk  = 2  2 – 1
Tekan

Bagi
  = –1,
 tekan
 jawapan = 1

= 0,
 tekan
 jawapan = –1

= 1,
 tekan
 jawapan = 1

= 2,
 tekan
 jawapan = 7

2 2 - 1) ^ALPHA

-1 =CALC

0 =CALC

1 =CALC

2 =CALC

(b) Apabila x = –1
 y = 2x 2 – 1
 y = 2(–1)2 – 1
 y = 2 – 1
 y = 1

Apabila x = 0
y = 2x 2 – 1
y = 2(0)2 – 1
y = 0 – 1
y = –1

Apabila x = 1
y = 2x 2 – 1
y = 2(1)2 – 1
y = 2 – 1
y = 1

Apabila x = 2
y = 2x 2 – 1
y = 2(2)2 – 1
y = 8 – 1
y = 7

Maka, jadual nilai bagi fungsi y = 2x 2 – 1 ialah

x –1 0 1 2
y 1 –1 1 7

Melukis graf
Seterusnya, pasangan tertib (x, y) tadi boleh diplotkan pada satah
Cartes mengikut skala yang diberikan. Kemudian, titik-titik ini
disambungkan untuk membentuk graf. Bagi memudahkan graf
fungsi dibina, kita boleh mengikuti langkah-langkah ini.

Langkah-langkah melukis graf:

1. Bina jadual nilai bagi fungsi yang diberikan.

2. Lukis setiap paksi dengan skala yang diberikan atau dengan skala
 yang sesuai.

3. Plotkan titik (x, y) bagi pasangan tertib daripada jadual nilai.

4. Sambung titik-titik itu dengan garis lurus atau lengkung yang licin.

• Koordinat (0,0)
disebut juga
sebagai asalan dan
ditandakan dengan O.

• Paksi -  juga
 disebut sebagai paksi

mengufuk.
• Paksi -  juga
 disebut sebagai paksi

mencancang.
y

paksi mencancang

paksi mengufuk

x

x –2 –1 0 1

y 7 6 5 4

Maka, jadual nilai bagi fungsi y = 5 – x ialah

CONTOH 5

Apabila x = –1
y = 2 (–1) + 4
  = –2 + 4
  = 2

Apabila x = 0
y = 2 (0) + 4
  = 0 + 4
  = 4

Apabila x = 2
y = 2 (2) + 4
  = 4 + 4
  = 8

(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = 2x + 4.

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada
paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk nilai x dari	–2	hingga	3.

Penyelesaian:

(a) y = 2x + 4

Maka,

(b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan.

skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit

skala paksi-y : 2 cm kepada 2 unit

Plotkan titik mengikut pasangan tertib daripada jadual nilai
 di atas, iaitu (–2, 0), (–1, 2), (0, 4), (1, 6), (2, 8) dan (3, 10).

Sambungkan titik.

Graf ini disebut juga
sebagai graf fungsi
linear, kuasa tertinggi
bagi pemboleh ubah x
ialah 1.

Melukis graf garis
lurus mestilah dengan
menggunakan pembaris.

x –2 –1 0 1 2 3

y 0 2 4 6 8 10

x –2 –1 0 1 2 3

y 0 6 10

Persamaan garis lurus
y = mx + c, dengan m
ialah kecerunan dan c ialah
pintasan-y merupakan set
fungsi linear.

O 1 2–1

10

2

4

6

8

–2 3

y

x

y = 2x + 4

(1, 6)

(0, 4)

(–1, 2)

(–2, 0)

(2, 8)

(3, 10)

Pasangan tertib

Skala paksi -  :
2 cm kepada 2 unit

Skala paksi-  : 2 cm kepada 1 unit

Apakah jenis graf fungsi
di bawah? Nyatakan fungsi
tersebut.

Free resources from www.mathsphere.co.uk

O

Set nilai ini boleh ditulis dalam
bentuk –2 ⩽  ⩽ 3.
B
A

B
 8

B
A

B
 8

155154

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = x2 – 2x – 3.

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan
2 cm kepada 1 unit pada paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk
–2 ⩽ x ⩽ 4.

Penyelesaian:

(a) y = x 2 – 2x – 3

Maka,

(b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut
jadual nilai di atas dan sambungkan titik tersebut.

skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit
  skala paksi-y : 2 cm kepada 1 unit

CONTOH 6

x –2 –1 0 1 2 3 4

y 5 –3 0 5

x –2 –1 0 1 2 3 4

y 5 0 –3 – 4 –3 0 5

Apabila x = –1
 y = (–1)2 – 2(–1) – 3
  = 1 + 2 – 3
   = 0

Apabila x = 1
 y = 12 – 2(1) – 3
  = 1 – 2 – 3
   = – 4

Apabila x = 2
 y = 22 – 2(2) – 3
  = 4 – 4 – 3
   = –3

• Mata pensel yang tajam
dapat membantu murid
melukis garis atau
lengkung dengan licin.

• Murid dibenarkan
menggunakan pembaris
fleksibel untuk melukis

garis lengkung.

Bentuk graf ini dipanggil
bentuk parabola.

Bagi fungsi kuadratik
f (x) = ax 2 + bx + c,
kuasa tertinggi bagi
pemboleh ubah x ialah 2,
dan a ≠ 0.

O 1 2–1

5

1

–4

2

–3

3

–2

4

–1

–2 3 4

y

x

y = x2 – 2x – 3

(–2, 5) (4, 5)

(–1, 0) (3, 0)

(0, –3)

(1, – 4)

(2, –3) Pasangan tertib

Skala paksi-y :
2 cm kepada 1 unit

Skala paksi-x :
2 cm kepada 1 unit

(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = 12 – x3.

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada
paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk –3 ⩽ x ⩽ 3.

CONTOH 7

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y 39 13 12 –15

Penyelesaian:

(a) y = 12 – x3

Maka,

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y 39 20 13 12 11 4 –15

Apabila x = 1
 y = 12 – (1)3

= 12 – 1
   = 11

Apabila x = 2
 y = 12 – (2)3

= 12 – 8
   = 4

Apabila x = –2
 y = 12 – (–2)3

= 12 + 8
   = 20

Bagi fungsi kubik ax3 + c,
kuasa tertinggi bagi
pemboleh ubah x ialah 3,
dan a ≠ 0.

(b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut
jadual nilai di atas dan sambungkan titik tersebut.

skala paksi-x :
 2 cm kepada 1 unit

skala paksi-y :
 2 cm kepada 5 unit

O 1 2–1

25

30

35

40

5

10

–15

15

–10

20

–5

–2–3 3

y

x

y = 12 – x3

Pasangan tertib

Skala paksi-y :
2 cm kepada 5 unit

Skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit

(–3, 39)

(–2, 20)

(–1, 13) (0, 12)
(1, 11)

(2, 4)

(3, –15)

Apakah jenis graf fungsi
di bawah? Nyatakan fungsi
tersebut.

Apakah jenis graf fungsi
di bawah? Nyatakan fungsi
tersebut.

Free resources from www.mathsphere.co.uk

Free resources from www.mathsphere.co.uk

Free resources from www.mathsphere.co.uk

Titik
persilangan
merupakan
penyelesaian
bagi dua
fungsi tersebut
B
A

B
 8

B
A

B
 8

157156

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

Penyelesaian:

(a) y = 24
x

(b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut jadual nilai di atas dan
sambungkan titik tersebut.

skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit
  skala paksi-y : 2 cm kepada 5 unit

x – 4 –3 –2 –1 1 2 3 4

y – 6 – 8 –12 –24 24 12 8 6

Maka,

Apabila x = –3

y = 24
–3

= –8

Apabila x = 1

y = 24
1

= 24

Apabila x = 4

y = 24
4

= 6

Fungsi salingan y = ax
tidak tertakrif jika x = 0.
Fungsi salingan juga boleh
ditulis sebagai y = ax –1.
Bentuk graf ini dipanggil
bentuk hiperbola.

(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y =
24
x  .

CONTOH 8

x – 4 –3 –2 –1 1 2 3 4

y – 6 –12 –24 12 8

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada
paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk – 4 ⩽ x ⩽ 4.

O 1 2–1

25

5

10

–15

–20

–25

15

–10

20

–5

–2–3– 4 3 4

y

x

y = 24
x

Skala paksi-y :
2 cm kepada 5 unit

Skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit

(1, 24)

(2, 12)

(3, 8)
(4, 6)

(– 4, –  6)
(–3, –8)

(–2, –12)

(–1, –24)

Pasangan
tertib

Apakah jenis graf fungsi
di bawah? Nyatakan fungsi
tersebut.

Free resources from www.mathsphere.co.uk

(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = x –2

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada
paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk – 4 ⩽ x ⩽ 4.

Penyelesaian:

(a) y = x –2

(b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut jadual nilai di atas dan
sambungkan titik tersebut.

skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit
  skala paksi-y : 2 cm kepada 0.5 unit

CONTOH 9

x – 4 –3 –2 –1 – 0.5 0.5 1 2 3 4

y 0.06 0.25 4 1 0.25 0.11 0.06

Apabila x = –3
 y = (–3)–2

= 0.11

x – 4 – 3 –2 –1 – 0.5 0.5 1 2 3 4

y 0.06 0.11 0.25 1 4 4 1 0.25 0.11 0.06

Maka,

Apabila x = –1
 y = (–1)–2

= 1

Apabila x = 0.5
 y = (0.5)–2

= 4

y = ax n dengan n = –1, –2
merupakan fungsi salingan.

Bentuk graf ini juga adalah berbentuk hiperbola.

O

O 1 2–1

2.5

3

3.5

4

0.5

1

1.5

2

–2–3–4 3 4

y

x

y = x –2

Skala paksi-y :
2 cm kepada 0.5 unit

(0.5, 4)(–0.5, 4)

(1, 1)(–1, 1)

(2, 0.25)(–2, 0.25) (3, 0.11)(–3, 0.11) (4, 0.06)(– 4, 0.06)

Pasangan tertib

Skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unit
B
A

B
 8

B
A

B
 8

159158

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

8.2.2 Tafsiran graf fungsi
Daripada graf fungsi yang telah dibina, kita boleh membuat
tafsiran dan ramalan terhadap situasi yang berlaku atau
akan berlaku mengikut hubungan yang diperoleh daripada
pemboleh ubah.

y

O 1 2–1

3

4

5

6

2

1

–1
–2 3

x

y = 2x + 2

Rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi y = x 2 – 2. Berdasarkan graf, tentukan
(a) nilai y, apabila x = 2.
(b) nilai-nilai x, apabila y = 7.

Penyelesaian:

Daripada graf:
(a) Apabila x = 2, maka y = 2
(b) Apabila y = 7, maka x = 3 dan –3

CONTOH 11

Rajah di sebelah menunjukkan graf fungsi y = 2 x + 2.
Berdasarkan graf, tentukan
(a) nilai y apabila x = 2.
(b) nilai x apabila y = 4.

Penyelesaian:

Daripada graf:

(a) Apabila x = 2, maka y = 6

(b) Apabila y = 4, maka x = 1

CONTOH 10

10

12

O 2 4–2

6

8

4

2

–2
–4–6 6

y

x

y = 7

y = 2

x = –3 x = 3

Buat garis mengufuk
y = 7, sehingga
menyentuh kedua-dua
bahagian pada graf
y = x 2 – 2.
Kemudian, buat
garis mencancang
ke bawah menuju
paksi-x.

Mentafsir graf fungsi.

y

O 1 2–1

3

4

5

6

2

1

–1
–2 3

x

y = 2x + 2

x = 2

y = 6

y = 4

x = 1

Pada x = 2, lukis satu
garis mencancang ke atas
sehingga bertemu dengan
garis fungsi y = 2 x + 2.
Kemudian, buat satu garis
mengufuk ke kiri sehingga
bertemu dengan paksi-y.
Baca nilai y.

Pada y = 4, lukis satu
garis mengufuk ke kanan
sehingga bertemu dengan
garis fungsi y = 2 x + 2.
Kemudian, buat satu garis
mencancang ke bawah
sehingga bertemu dengan
paksi-x. Baca nilai x.

Graf fungsi di sebelah menunjukkan pergerakan sebiji bola yang
dijatuhkan dari ketinggian 4 meter. Berdasarkan graf, tentukan
(a) jarak bola itu dari tanah pada minit pertama.
(b) masa bola menyentuh tanah.

Penyelesaian:

Daripada graf:
(a) Apabila x = 1, y = 2
 Maka, jarak bola dari tanah pada minit pertama ialah

2 meter.
(b) Apabila bola menyentuh tanah, tingginya ialah sifar.
 Apabila y = 0, x = 2
 Maka, bola menyentuh tanah pada minit ke-2.

CONTOH 12

Dalam ekspo keusahawanan yang lepas, Anis telah menjual
nasi goreng di gerai Persatuan Pengguna. Graf di sebelah
menunjukkan bilangan bungkus nasi goreng yang dijual
dengan keuntungan yang diperoleh Anis.
Berdasarkan graf:
(a) Berapakah keuntungan yang diperoleh Anis sekiranya

dia berjaya menjual 20 bungkus nasi goreng?
(b) Jika Anis mendapat keuntungan sebanyak RM20,

berapa bungkuskah nasi goreng yang telah dijualnya?
(c) Berapakah keuntungan Anis jika 26 bungkus nasi

gorengnya terjual?
(d) Nyatakan satu inferens yang sesuai bagi graf jualan itu.
(e) Berdasarkan trend graf tersebut, ramalkan keuntungan

Anis jika 60 bungkus nasi gorengnya berjaya dijual.

Penyelesaian:

(a) Keuntungan = RM10
(b) Bilangan nasi goreng = 40 bungkus
(c) Keuntungan = RM13
(d) Jumlah keuntungan Anis meningkat jika bilangan

bungkus nasi goreng yang dijual bertambah.
(e) RM30

CONTOH 13

Masa (minit)

Tinggi (meter)

O 1 2 3 4

3

4

5

2

1

Bilangan bungkus nasi goreng (unit)

10 20 30 40 50 60

10

15

20

25

30

5

Keuntungan (RM)

O
26

13

10 20 30 40 50

10

15

20

25

5

Keuntungan (RM)

Bilangan bungkus nasi goreng (unit)
O 60
B
A

B
 8

B
A

B
 8

161160

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

8.2.3 Penyelesaian masalah

Menyelesaikan
masalah yang
melibatkan graf fungsi.Setiap	hari,	Johan	dan	Erika	menerima	wang	belanja	daripada	bapa

mereka. Mereka akan menyimpan sebahagian daripada wang belanja
itu di dalam tabung. Graf di bawah menunjukkan jumlah wang (RM)
yang disimpan mengikut bilangan hari.
Berdasarkan graf:
(a) Berapakah jumlah wang yang disimpan pada

hari ke-20 di dalam tabung
 (i)	Johan										 (ii)	Erika

(b)	Bilakah	 wang	 Johan	 dan	 Erika	 mempunyai
jumlah simpanan yang sama?

(c)	Bilakah	simpanan	Johan	dan	Erika	mempunyai
perbezaan sebanyak RM30?

(d) Bapa mereka berjanji akan memberikan
hadiah kepada seorang daripada mereka yang
mempunyai wang paling banyak selepas
sebulan. Siapakah yang akan mendapat hadiah
itu?	Berikan	justifikasi	anda.

Penyelesaian:

CONTOH 14

Memahami masalah
(a)  Mengenal pasti nilai wang yang disimpan pada hari ke-20.
(b)	Mengenal	pasti	bilangan	hari	bagi	jumlah	simpanan	yang	sama	bagi	Johan	dan	Erika.
(c) Menghitung perbezaan simpanan mereka sebanyak RM30.
(d) Mengenal pasti siapakah yang akan mendapat hadiah berdasarkan simpanan paling

banyak	dalam	masa	sebulan	dengan	memberikan	justifikasinya.

Merancang strategi
(a) Baca nilai y apabila x	=	20	bagi	graf	Johan	dan	Erika.
(b) Baca nilai x bagi titik persilangan dua garis tersebut.
(c) Hitung perbezaan nilai sebanyak RM30 di antara dua garis tersebut.
(d) Baca nilai y apabila bilangan hari ialah 30.

Melaksanakan strategi
(a)  Daripada graf, pada hari ke-20
	 (i)	Simpanan	Johan	=	RM80						(ii)	Simpanan	Erika	=	RM60
(b) Nilai x	 bagi	 titik	persilangan	graf	 Johan	dan	Erika.	Titik	persilangan	 ialah	 (10,	40).

Maka	pada	hari	ke-10	jumlah	simpanan	Johan	dan	Erika	adalah	sama,	iaitu	RM40.
(c) Pada hari ke-25, RM100 – RM70 = RM30.
(d) Apabila x	=	30,	graf	Erika,	y = RM80; graf Johan, y = RM120. Maka, simpanan Johan

lebih banyak.

Bilangan hari
5 10 15 20 25 30

40

60

80

100

120

20

Wang	(RM)

O

Johan

Erika

Memahami masalah
•  Fungsi y = 6 + x – x2 mewakili lompatan Jibam. Fungsi y = 2x mewakili balingan batu.
•  Mengenal pasti nilai ketinggian maksimum lompatan Jibam, masa batu mengenai Jibam

dan masa Jibam sampai ke tanah.

Merancang strategi
(a) Baca nilai ketinggian maksimum daripada graf y = 6 + x – x2.
(b) Baca nilai x bagi titik persilangan dua graf tersebut.
(c) Baca nilai x jika y = 0.

Melaksanakan strategi
Daripada graf:
(a) Titik maksimum ialah (0.5, 6.25), maka ketinggian maksimum ialah 6.25.
(b) Nilai x ialah titik persilangan dua graf tersebut. Titik persilangan ialah (2, 4).
 Maka, batu itu mengenai Jibam pada saat ke-2.
(c) y = 0, x = 3. Maka, Jibam akan menyentuh tanah pada saat ke-3.

Membuat kesimpulan
Maka:
(a) Ketinggian maksimum lompatan Jibam ialah 6.25 meter.
(b) Batu yang dibaling itu mengenai Jibam pada saat ke-2.
(c) Jibam akan menyentuh tanah pada saat ke-3.

Membuat kesimpulan
(a) Jumlah wang yang disimpan pada hari ke-20 oleh
	 (i)	Johan	=	RM80	 (ii)	Erika	=	RM60
(b)		Simpanan	Johan	dan	Erika	mempunyai	jumlah	yang	sama	pada	hari	ke-10.
(c)  Perbezaan simpanan mereka sebanyak RM30 adalah pada hari ke-25.
(d) Johan akan mendapat hadiah daripada bapanya kerana pada hari ke-30 tabung Johan

mempunyai	RM120	manakala	tabung	Erika	cuma	mempunyai	RM80	sahaja.

Dalam permainan animasi, kartun Jibam melompat dari
sebuah blok batu. Pada masa yang sama, sebiji batu akan
dibaling ke arahnya untuk menjatuhkan Jibam. Graf fungsi
y = 6 + x – x2 mewakili pergerakan Jibam dan graf fungsi
y = 2x mewakili pergerakan batu tersebut. y mewakili jarak
dalam meter dan x ialah masa dalam saat.
Berdasarkan graf:
(a)  Apakah ketinggian maksimum lompatan Jibam?
(b) Pada saat keberapakah batu itu tepat mengenai Jibam?
(c) Pada saat keberapakah Jibam menyentuh permukaan

tanah?

Penyelesaian:

CONTOH 15

O 1

2

3

4

5

6

7

1

2 43

y = 6 + x – x 2

y = 2x

Tinggi (cm)

Masa (s)
B
A

B
 8

B
A

B
 8

163162

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

1. Salin dan lengkapkan jadual nilai berikut bagi fungsi yang diberikan.
 (a) y = 3x + 2              (b) y = 2x2

(c) y = x3 + 2

2. Bina jadual nilai bagi setiap fungsi yang berikut dengan menggunakan nilai x yang diberikan.
 (a) y = 2x – 2 untuk –3 ⩽ x ⩽ 3
 (b) y = 2x2 + x – 5 untuk –1 ⩽ x ⩽ 3
 (c) y = 3x3 – 6 untuk –2 ⩽ x ⩽ 4

3. Salin dan lengkapkan jadual-jadual nilai di bawah mengikut fungsi yang diberikan, seterusnya
lukis graf dengan skala yang dinyatakan.

(a) y = 5 + x

Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit
pada paksi-y, lukis graf fungsi y = 5 + x untuk –3 ⩽ x ⩽ 4.

(b) y = 4 – x 2

Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit
pada paksi-y, lukis graf fungsi y = 4 – x 2 untuk –3 ⩽ x ⩽ 3.

(c) y = 8 – x 3

Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit
pada paksi-y, lukis graf fungsi y = 8 – x 3 untuk –3 ⩽ x ⩽ 3.

(d) y =

Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit
pada paksi-y, lukis graf fungsi y =  untuk – 4 ⩽ x ⩽ 4.

x 0 1 2 3 4

y 5 14

x 0 1 2 3 4

y 8 18

x –2 –1 0 1 2 3

y – 6 2

x –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y 2 4 5 8 9

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y 0 3 0 –5

8.2

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y 35 9 8 –19

x – 4 –3 –2 –1 – 0.5 0.5 1 2 3 4

y –1 –1.33 – 4 –8 4 1.33

4 . Graf menunjukkan penggunaan petrol P liter yang
digunakan oleh sebuah teksi bagi jarak J km.
Berdasarkan graf:
(a) Tentukan jarak teksi itu akan bergerak jika

tangkinya diisi sebanyak
 (i)  30 liter petrol. (ii)  42 liter petrol.
(b) Hitung kos petrol bagi pergerakan teksi

sejauh 36 km jika 1 liter petrol bernilai
RM2.30.

5. Diberi satu fungsi y = 5x2 – 9x – 5.
(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi tersebut untuk –2 ⩽ x ⩽ 3.

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan skala 2 cm kepada 5 unit
pada paksi-y, plotkan semua titik pada graf itu.

(c) Seterusnya, lukis graf fungsi itu.
(d) Daripada graf, tentukan nilai x apabila y = 0.

x –2 –1 0 1 2 3

y 33 –5 –9

1.  Tentukan sama ada setiap hubungan berikut ialah suatu fungsi atau bukan fungsi.
 (a) {(0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12)}
 (b) {(25, 5), (25, –5), (9, 3), (9, –3)}

2. 	 Wakilkan	hubungan	set	yang	diberikan	dalam	bentuk	pasangan	tertib,	jadual,	graf	dan	persamaan.
 (a) Set integer, B = {1, 2, 3, 4, 5}
  Set gandaan dengan 11, A = {11, 22, 33, 44, 55}
 (b) Set integer, I = {1, 2, 3, 4, 5}
  Set kuasa dua sempurna, S = {1, 4, 9, 16, 25}

3.  Luas permukaan sebiji bola, L berbentuk sfera ialah hasil darab 4π dengan kuasa dua jejarinya, j.
 (a) Nyatakan

(i) pemboleh ubah bersandar.
(ii) pemboleh ubah tak bersandar.

(b) Tulis hubungan antara L dengan j.

4.  Diberi T = {1, 2, 3, 4} dan U = {1, 8, 27, 64}. Hubungan set T kepada set U ialah kuasa tiga.
	 Wakilkan	fungsi	berikut	menggunakan
 (a) pasangan tertib  (b) jadual  (c) graf  (d) persamaan

MENJANA KECEMERLANGAN

Petrol, P (liter)
10 20 30 40 50 60

20

30

40

50

10

Jarak, J (km)

O
B
A

B
 8

B
A

B
 8

165164

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

6.		 Wilson	ingin	membina	sangkar	arnabnya	yang	berbentuk	segi	empat	tepat	dengan	lebar	p meter
dan panjang 3p meter. Jika A mewakili luas sangkar arnab itu, maka hubungan A dengan panjang
dan lebar sisinya diwakili oleh A = 3p2.

(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi A untuk 0 ⩽ p ⩽ 6.

(b) Lukis graf bagi fungsi A untuk 0 ⩽ p ⩽ 6. Gunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x
dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y.

(c) Daripada graf, tentukan:
(i)  Luas kawasan sangkar arnab itu apabila lebarnya ialah 5.2 m.
(ii)	Luas	kawasan	sangkar	arnab	sekiranya	Wilson	mempunyai	dawai	pagar	sepanjang	40	m.

7.  Raj ialah pengerusi Kelab Komputer. Dia ingin menempah
kemeja-T untuk ahli kelab daripada Puan Aini, guru koperasi
sekolah. Puan Aini telah menyediakan satu graf bagi
menunjukkan kos dalam RM, dengan bilangan kemeja-T.
(a) Lengkapkan jadual di bawah berdasarkan graf.

(b) Setelah Raj mengamati graf tersebut, dia terkejut apabila
mendapati 0 helai kemeja-T kosnya RM50. Jika anda
ialah Puan Aini, apakah penjelasan anda?

(c) Berapakah jumlah kos yang perlu dibayar oleh Raj
untuk 68 helai kemeja-T?

(d) Jika Raj cuma mempunyai bajet sebanyak RM410, nyatakan jumlah kemeja-T yang dapat
ditempah olehnya.

5. Bapa Amirah memberikan wang belanja kepadanya sebanyak RM100.
 (a) Jika dia berbelanja sebanyak RM2 setiap hari, hitung baki wang selepas

(i) 2 hari  (ii) 5 hari  (iii) 10 hari
 (b) Diberi RMy mewakili baki wang Amirah selepas x hari. Lengkapkan jadual

nilai di bawah.

(c) Lukis graf bagi fungsi y = 100 – 2x untuk 5 ⩽ x ⩽ 50. Gunakan skala 2 cm kepada 10 unit
pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y.

(d) Daripada graf:
 (i)  Bilakah semua wang simpanan Amirah habis dibelanjakan?
 (ii) Bilakah wang simpanan Amirah berbaki sebanyak RM44?

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y 70 60 40 20 10

Bilangan kemeja-T 10 30 50 70

Kos (RM)

p 0 1 2 3 4 5 6

A 27 75 108

10 20 30 40 50 60 70 80

200

300

400

100

Kos (RM)

Bilangan kemeja-T (helai)
O

9. Zarul ingin menyewa basikal untuk bersiar-siar di taman
rekreasi. Terdapat dua buah kedai yang menawarkan
perkhidmatan menyewa basikal di situ, iaitu Syarikat A
dan Syarikat B. Graf menunjukkan kadar bayaran dan masa
penggunaan basikal yang ditetapkan oleh kedua-dua buah
syarikat itu.

Berdasarkan graf:
(a) Berapakah bayaran yang dikenakan oleh Syarikat A bagi

3 jam penggunaan basikal itu?
(b) Jika Zarul ingin menyewa basikal untuk 1 jam sahaja,

syarikat basikal yang manakah menawarkan harga yang
lebih murah? Jelaskan jawapan anda.

(c) Zarul mempunyai RM7 sahaja. Basikal syarikat yang
manakah harus dipilih oleh Zarul? Jelaskan.

(d) Untuk tempoh berapa jamkah bayaran sewa basikal bagi 2 buah syarikat itu adalah sama?
(e) Jika Zarul menyewa basikal selama 6 jam daripada Syarikat B, berapakah bayaran yang perlu

dibayar oleh Zarul?

8.  Nizam memukul bola golf yang diberikan kepadanya.
Ketinggian bola itu, y meter dari permukaan tanah selepas
x saat ialah . Graf di sebelah menunjukkan
pergerakan bola golf itu setelah dipukul.

Berdasarkan graf:
(a) Berapakah ketinggian bola itu pada saat ke-3?
(b) Pada saat keberapakah bola itu berada di ketinggian 10 m.
(c) Pada saat keberapakah bola itu akan jatuh ke tanah?
(d) Apakah ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola itu?
(e) Apakah trend bagi pergerakan bola golf itu?

10.  Syarikat Maju dan Syarikat Berjaya ialah dua syarikat
telekomunikasi yang menawarkan pakej pelan
prabayar telefon bimbit. Graf menunjukkan kadar
bayaran dan masa perbualan yang ditawarkan oleh
kedua-dua syarikat itu.

Berdasarkan graf:
(a) Berapakah kadar bayaran bagi 20 minit perbualan bagi
 (i) Syarikat Maju (ii) Syarikat Berjaya
(b)	 Jika	 Erin	 menggunakan	 telefon	 lebih	 daripada

30 minit untuk berbual sebulan, syarikat yang
manakah menawarkan kadar bayaran yang lebih
murah? Jelaskan.

(c) Umai hanya mahu membelanjakan RM4 sahaja untuk perkhidmatan itu. Syarikat manakah
yang harus dipilih oleh Umai? Jelaskan.

1 2 3 4 5 6 7 8O

20

15

10

5

Tinggi (m)

Masa (s)

y = 8x – x2

2 4 6 8 10O

4

5

3

2

1

Syarikat B

Syarikat A

Bayaran (RM)

Masa ( jam)

6

Masa (minit)
5 10 15 20 25 30

2

3

4

5

1

Bayaran (RM)

Syarikat Maju

Syarikat Berjaya

O
B
A

B
 8

B
A

B
 8

167166

Bab 8 Graf FungsiBab 8 Graf Fungsi

Pasangan tertib Jadual Graf Persamaan

INTI PATI BAB

Fungsi
Fungsi ialah hubungan yang mana setiap objek dalam domain

hanya mempunyai satu imej dalam kodomain.

Fungsi satu ke satu
Fungsi banyak ke satu

Perwakilan Fungsi

Graf Fungsi

Perwakilan fungsi dengan graf garis lurus
atau lengkungan pada satah Cartes.

Jadual nilai ialah jadual yang menunjukkan nilai
pemboleh ubah bersandar dan pemboleh ubah tak
bersandar dan dibina sebelum graf dilukis.

Langkah-langkah melukis graf.
1. Bina jadual nilai bagi julat yang dipilih.
2. Lukis paksi dengan skala yang diberikan.
3. Plotkan titik daripada jadual nilai.
4. Sambung titik itu untuk membentuk graf.

Anda dikehendaki membuat satu tugasan, iaitu
menghasilkan kad ucapan dengan menggunakan
corak fungsi yang diberikan. Lengkapkan jadual
nilai di bawah. Lukis lapan graf fungsi di bawah
pada sekeping kertas graf yang sama dengan skala
2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada
2 unit pada paksi-y. Labelkan setiap graf yang
dilukis	dengan	fungsinya.	Warnakan	setiap	rantau
dengan warna-warna yang digemari. Selepas itu,
gunting kertas graf itu mengikut ukuran yang anda
pilih dan pastikan corak yang telah diwarnakan
memenuhi kawasan. Lekatkan graf ini pada kad
manila dan hias mengikut kreativiti anda untuk
menjadikannya sebagai sekeping kad ucapan.

Contoh corak daripada beberapa graf fungsi

Bilangan Fungsi (y)
x

–3 –2 –1 0 1 2 3

1    y = x
2    y = –x + 9
3    y = 2x + 8
4    y = –2x + 4
5    y = x 2 – 3
6    y = –x 2 + 13
7    y = –x 3 + 5
8    y = 2x –2

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1.  Menerangkan maksud fungsi.

2.  Mengenal	 pasti	 fungsi	 dan	memberikan	 justifikasi	 berdasarkan	 perwakilan
fungsi dalam bentuk pasangan tertib, jadual, graf dan persamaan.

3. Membina jadual nilai bagi fungsi linear dan bukan linear, dan seterusnya
melukis graf dengan skala yang diberikan.

4.  Mentafsir graf fungsi.

REFLEKSI DIRI
B
A

B
 9

B
A

B
 9

169168

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

9.1 Laju

9.2 Pecutan

• Laju
• Jarak
• Masa
• Unit
• Pecutan
• Nyahpecutan
• Laju purata
• Laju seragam
• Laju tak seragam
• Pegun

• Speed
• Distance
• Time
• Unit
• Acceleration
• Deceleration
• Average speed
• Uniform speed
• Non-uniform speed
• Stationary

Perhatikan beberapa aktiviti dalam kehidupan
harian kita. Kesemua aktiviti ini melibatkan
laju. Perubahan laju juga berlaku apabila
wujud aktiviti pergerakan.
 Azizulhasni Awang ialah seorang pelumba
basikal trek profesional negara. Beliau telah
melakukan pecutan pada pusingan akhir dan
telah menjuarai Kejohanan Berbasikal Trek
Dunia di Hong Kong bagi acara keirin lelaki
pada 13 April 2017.

Galileo Galilei ialah saintis pertama yang
mengukur kelajuan sebagai jarak per masa.

Untuk maklumat lanjut:

RANGKAI KATA

MASLAHAT BAB INI

Ilmu dalam bab ini boleh diaplikasikan
dalam bidang kerjaya seperti kejuruteraan
automotif, angkasawan, bidang kajian f izik,
sukan, astronomi dan sebagainya.

169168

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms169

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 9

B
A

B
 9

171170

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

9.1 Laju
9.1.1 Laju sebagai suatu kadar
Cuba anda perhatikan di belakang sebuah lori atau bas persiaran,
terdapat simbol had laju bagi setiap kenderaan tersebut. Apakah
maksud simbol tersebut? Apakah akibat yang akan berlaku sekiranya
pemandu tidak mematuhi arahan simbol itu?

Murid yang mendapat tempat pertama telah menamatkan larian dalam masa yang paling singkat
manakala murid yang terakhir menamatkan larian dengan merekodkan masa yang paling lama.

Ketiga-tiga orang murid itu berlari dalam jarak yang sama, maka laju larian murid ialah hasil bahagi
jarak dengan masa larian mereka.

Tujuan: Memperkenal laju dan pecutan
Bahan: Tiga set kereta kawalan jauh, jam randik, trek perlumbaan dan wisel
Langkah:
1. Pilih tiga orang murid.
2. Setiap seorang diberi satu set kereta kawalan jauh yang sama.
3. Gerakkan kereta kawalan jauh masing-masing dengan alat kawalan
 di atas trek yang disediakan apabila wisel dibunyikan.
4. Catatkan masa dan nama pemenang bagi aktiviti ini.
5. Apakah hubungan antara masa, laju dan pecutan dengan
 kemenangan kereta kawalan jauh tersebut? Bincangkan.

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Menerangkan maksud laju sebagai satu kadar yang melibatkan jarak dan masa
Bahan: Jam randik dan kad manila (lembaran keputusan larian 100 m)
Langkah:
1. Murid dibahagikan kepada empat kumpulan.
2. Pilih tiga orang murid sebagai pelari daripada setiap kumpulan.
3. Murid-murid ini akan berlari sejauh 50 m di atas trek yang telah disediakan.
4. Masa larian murid-murid tersebut direkodkan.
5. Keputusan tersebut direkodkan dalam jadual keputusan di atas kad manila yang diberikan.

Seterusnya, hitung nilai jarak dibahagi dengan masa bagi setiap pelari.

6. Paparkan jadual keputusan kumpulan anda.

Perbincangan:
(i) Senaraikan nama pemenang tempat pertama, kedua dan ketiga bagi kumpulan anda.
(ii) Apakah kesimpulan yang dapat dibuat oleh kumpulan berdasarkan keputusan yang diperoleh?

Aida berjalan ke kedai yang jaraknya 100 meter selama 5 minit.
Hitung lajunya.

Penyelesaian:

Laju =
Jarak
Masa

=
100 m
5 min

=	20	m/min

Maka, Aida berjalan sejauh 20 m setiap minit.

CONTOH 1

100 m
5 min

Kedai Runcit

CONTOH 2

Khairul	Hafiz	dan	Badrul	Hisyam	ialah	pelari	pecut	muda	negara.
Semasa	latihan	acara	100	meter,	Khairul	Hafiz	menamatkan
larian dalam masa 10.18 saat manakala Badrul Hisyam
menamatkan larian dalam masa 10.25 saat. Hitung laju larian
Khairul	Hafiz	dan	Badrul	Hisyam.

ML

J J : Jarak
L : Laju
M : Masa

J
M

L =

J
L

M =

J = L x M

Nama Pelari Jarak (m) Masa (s)
Jarak (m)
Masa (s)

50
50
50

m/min boleh disebut
sebagai “meter per minit”.

Jika saya berjalan 10
kilometer dalam tempoh
satu jam, maka laju saya
ialah 10 km/jam. Jika
sesuatu zarah bergerak
1 meter dalam tempoh
satu saat, maka laju zarah
tersebut ialah 1 m/s.

Penyelesaian:

Laju larian
Khairul	Hafiz

=
Jarak
Masa

=
100 m
10.18 s

=	9.82	m/s

=
Jarak
Masa

=
100 m
10.25 s

=	9.76	m/s

Laju larian
Badrul Hisyam

Laju =
Jarak
Masa

Menerangkan maksud
laju sebagai suatu kadar
yang melibatkan jarak
dan masa.
B
A

B
 9

B
A

B
 9

173172

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

Guli A
Guli A bergerak dengan perubahan

jarak yang sama. Maka, guli A bergerak
dengan laju seragam.

Guli B
Guli B bergerak dengan perubahan jarak

yang berbeza. Maka, guli B bergerak
dengan laju tak seragam.

Oleh itu, laju seragam ialah laju
yang mempunyai perubahan jarak
yang sama dalam selang masa

yang sama.

Oleh itu, laju tak seragam ialah laju
yang mempunyai perubahan jarak

yang tidak sama dalam selang masa
yang sama.

Bandingkan jarak yang dilalui oleh guli A dan guli B dalam masa 4 saat. Guli yang
manakah mempunyai laju seragam dan guli yang manakah mempunyai laju tak
seragam? Jelaskan idea anda.

Perhatikan rajah pergerakan guli di bawah. Sebiji guli A dan sebiji
guli B digolekkan di atas meja. Pergerakan guli tersebut digambarkan
seperti yang berikut.

9.1.2 Laju seragam dan laju tak seragam

Guli A

0         2 cm      4 cm     6 cm       8 cm

1 s 1 s 1 s 1 s

Guli B

CONTOH 3

CONTOH 4

Farid memandu sebuah treler sejauh 170 kilometer dalam masa 2 jam yang pertama dan
190 kilometer dalam 4 jam berikutnya. Adakah Farid memandu trelernya dengan laju
seragam? Jelaskan jawapan anda.

Penyelesaian:

Kelajuan pada 2 jam yang pertama =
170 km

2 j

=	85	km/j

Encik	Mahesh	memukul	bola	golf	dari	tiang	P ke tiang S melalui
tiang Q dan tiang R. Adakah kelajuan bola golf itu mempunyai
laju yang seragam? Jelaskan jawapan anda.

Penyelesaian:

Kelajuan bola dari P ke Q =
40 m
2 s

=	20	m/s

Kelajuan bola dari R ke S =
60 m
3 s

=	20	m/s

Maka, kelajuan bola golf itu adalah seragam.

Kelajuan bola dari Q ke R =
70 m
3.5 s

=	20	m/s

Memerihalkan perbezaan
antara laju seragam
dengan laju tak seragam.

km/j boleh juga ditulis

sebagai km
j

atau kmj-1.

9.1.3 Laju purata

Pertimbangkan	perjalanan	Perkhidmatan	Kereta	Api	Elektrik	(ETS)	dari
Kuala Lumpur ke Butterworth. Kereta api itu akan bergerak dengan laju
tak seragam. Dalam situasi sedemikian, laju purata digunakan untuk
memberikan suatu gambaran tentang laju kereta api itu.

Kelajuan pada 4 jam berikutnya =
190 km

4 j

=	47.5	km/j

Maka, kelajuan treler tersebut adalah tak seragam.

Laju purata =
Jumlah jarak
Jumlah masa

Graf Jarak-Masa bagi Guli A
P

Q

R

S40 m
2 s

70 m
3.5 s

60 m
3 s

Masa (saat)

Jarak (cm)

2

4

6

8

1 2 3 4O

Graf Jarak-Masa bagi Guli B

Masa (saat)

Jarak (cm)

2

4

6

8

1 2 3 4O

Melaksanakan pengiraan
yang melibatkan laju
dan laju purata termasuk
penukaran unit.

1 s 1 s 1 s 1 s

0          2 cm    3 cm       5 cm               8 cm Masa (s) 0 1 2 3 4

Jarak (m) 0 10 20 30 40

Masa (s) 0 1 2 3 4

Jarak (m) 0 3 7 16 30

Lukis graf jarak-masa.
Daripada graf tersebut
buat kesimpulan tentang
laju seragam dan laju tak
seragam.
B
A

B
 9

B
A

B
 9

175174

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

CONTOH 5

Amir mula berbasikal dari rumahnya ke bandar A pada pukul 9:00 pagi. Dalam perjalanan, dia
singgah di restoran piza untuk berehat dan makan sebelum dia menyambung perjalanannya
semula ke bandar A. Dia sampai di bandar A pada pukul 12:15 tengah hari. Hitung laju
purata,	dalam	km/j,	perjalanan	itu.

Penyelesaian:

Jumlah jarak = 10 km + 25 km
  = 35 km
 Jumlah masa = 12:15 – 9:00
  = 3 j 15 min

Laju purata =
35 km
3.25 j

=	10.77	km/j

Rumah Amir
9:00 pagi Restoran Piza

Bandar A
12:15 tengah hari

10 km 25 km

CONTOH 7

CONTOH 8

Had	Laju	Kebangsaan	di	Jalan	Persekutuan	ialah	90	km/j.	Nyatakan	had	kelajuan	ini	dalam	unit
(a)	m/s			 	 		 (b)	km/min

Penyelesaian:

(a)	90	km/j	=
90 km

1 j

=
90 × 1 000 m
1 × 3 600 s

=
90 000 m
3 600 s

=	25	m/s

(b)	90	km/j		=
90 km

1 j

= 90 km
1 × 60 min

= 90 km
60 min

=	1.5	km/min

Tukarkan	120	m/s	kepada	km/min.

Penyelesaian:

120	m/s	=	120 m
1 s

= 120 ÷ 1 000 km
1 ÷ 60 min

= 0.12 km
0.017 min

=	7.06	km/min

1 km = 1 000 m
1 m  = 100 cm

×1 000 ×100

km    m     cm

÷1 000 ÷100

1 jam  = 60 minit
1 minit = 60 saat

×60   ×60

 jam  minit  saat

÷60   ÷60

CONTOH 6

Sebuah bas bertolak dari bandar Puchong pada jam 0825 dan tiba di Perai pada jam 1345. Jika
jumlah	jarak	yang	dilaluinya	ialah	354	kilometer,	hitung	laju	purata	bas	itu	dalam	km/j.

Penyelesaian:

Jarak = 354 km
Masa = 1345 – 0825
  = 5 jam 20 min

Laju purata =
Jumlah jarak
Jumlah masa

=
354 km
5.33 j

=	66.42	km/j

CONTOH 9

Karmila telah memenangi pingat emas dalam acara triatlon wanita. Beliau memulakan acara
dengan berlari sejauh 10 kilometer, diikuti dengan acara renang sejauh 1 500 meter dan
diakhiri dengan 40 kilometer acara berbasikal. Dengan masa selama 1 jam 56 minit untuk
keseluruhan	pertandingan	itu,	hitung	laju	purata	dalam	km/j	bagi	seluruh	acara	itu.

Penyelesaian:

Laju purata =
Jumlah jarak
Jumlah masa

= 10 km + 1 500 m + 40 km
1 j 56 min

=
10 km + 1.5 km + 40 km

1.93 j

=
51.5 km
1.93 j

=	26.68	km/j

3 j 15 min

=  3 j + 15
60

j

=  3 j + 0.25 j
=  3.25 j

5 j + 20
60

j

= 5 j + 0.33 j
= 5.33 j

1 j + 56 min

= 1 j + 56
60  j

= 1 j + 0.93 j
= 1.93 j

Kecerunan =

=

Laju = 10 m/s

Perubahan y
Perubahan x
20 m
2 s

GRAF JARAK-MASA
Kecerunan garisan
graf jarak-masa

Masa (s)

Ja
ra

k
(m

)

60
50
40
30
20
10

1O 2 3 4 5 6

Perubahan y

Perubahan x

Luas di bawah graf
laju - masa bersamaan
dengan jarak.

L
aj
u
(k
m
/j)

O

20

40

60

80

100

120

9:00 a.m. 10:00 a.m. 11:00 a.m.

1 500
1 000

m

= 1.5 km

Masa

= laju
B
A

B
 9

B
A

B
 9

177176

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

CONTOH 10

Siti mengikuti rombongan sekolah ke Kuala Lumpur. Bas
sekolah yang dinaiki mereka bertolak dari sekolah
(O) pada pukul 7:00 pagi. Dalam perjalanan, mereka
berhenti di kawasan rehat Ulu Bernam (B) untuk
menikmati sarapan pagi dan berehat. Selepas itu, mereka
meneruskan perjalanan sehingga Kuala Lumpur (C).
Graf menunjukkan pergerakan bas dari sekolah ke Kuala
Lumpur.	Hitung	laju	purata,	dalam	km/j,	perjalanan	itu.

Penyelesaian:

Laju purata =
Jumlah jarak
Jumlah masa

=
203 km

5 j

=	40.6	km/j

CONTOH 11

Khairul Idham Pawi telah mengharumkan nama negara dalam
Kejuaraan Motosikal Dunia (MotoGP) di Grand Prix Jerman
apabila menjuarai kategori Moto3. Beliau mengambil masa
selama 47 minit 8 saat untuk menghabiskan perlumbaan yang
berjarak 40.38 kilometer. Hitung laju

(a)	dalam	km/j,	motosikal	yang	ditunggang	oleh	Khairul	Idham	Pawi.
(b)	jika	kelajuan	pemenang	tempat	kedua	ialah	0.85	km/min,

hitung beza masa antaranya dengan Khairul Idham Pawi.

Penyelesaian:

9.1.4 Penyelesaian masalah

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan laju.

Masa (j)

Jarak (km)

88

203

O

B

C

2 3 5

Waktu	rehat

Memahami masalah
•  Jarak perlumbaan = 40.38 km
•  Masa perlumbaan = 47 minit 8 saat
•  Hitung laju motosikal Khairul Idham Pawi dan beza masa antaranya dengan pemenang

tempat kedua.

Merancang strategi

(a) Masa = Jarak
Laju

(b) Beza masa = Masa pemenang tempat kedua – masa Khairul Idham Pawi

Memahami masalah
•		Purata	laju	=	103	km/j
•  Tempoh perjalanan pergi = 3 jam 7 minit

•  Tempoh perjalanan pulang =
3
4

jam lebih lama daripada masa pergi

•		Hitung	laju	purata	perjalanan	pulang	Encik	Tan.

CONTOH 12

Encik	Tan	memandu	kereta	dengan	purata	laju	103	km/j	dari	Kuala	Lumpur	ke	Skudai.	Perjalanan

itu	mengambil	masa	3	jam	7	minit.	Encik	Tan	mengambil	masa
3
4

jam lebih lama dalam perjalanan

pulang	dari	Skudai	ke	Kuala	Lumpur.	Hitung	laju	purata	dalam	km/j	perjalanan	pulang	Encik	Tan.

Penyelesaian:

(a) Laju motosikal Khairul Idham Pawi =  Jarak
Masa

=

=

=

=

=	51.11	km/j

Penukaran unit:
saat kepada minit

Penukaran unit:
minit kepada jam

40.38 km
47.13 min

40.38 km
0.79 jam

jam

40.38 km

47.13
60

40.38 km

47 min +          min8
60

(b) Masa motosikal pemenang tempat kedua =
Jarak
Laju

= 40.38 km
	0.85	km/min

= 47.5 min

= 47 min 30 s

Melaksanakan strategi

Membuat kesimpulan
(a)		Laju	motosikal	Khairul	Idham	Pawi	ialah	51.11	km/j.
(b) Beza masa antara pemenang tempat kedua dengan Khairul Idham Pawi ialah 22 saat.

Beza masa antara Khairul Idham Pawi
dengan pemenang tempat kedua

0.5 x 60 = 30 saat tukar unit
daripada minit kepada saat

= 47 min 30 s – 47 min 8 s
= 22 s
B
A

B
 9

B
A

B
 9

179178

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

2.  Berdasarkan gambar rajah berikut, hitung jarak yang dilalui bagi setiap situasi yang diberikan.
 (a)       (b)

(c)      (d)

9.2 Pecutan

9.2.1 Pecutan dan nyahpecutan

Menerangkan maksud
pecutan dan nyahpecutan
sebagai suatu kadar
yang melibatkan laju
dan masa.

Laju	=	80	km/j,	Masa	=	1 1
2

jam Laju	=	343	km/min,	Masa	=	4.5	minit

Laju	=	3	m/min,	Masa	=	5.5	minit Laju	=	250	km/j,	Masa	=	2	jam	40	minit

Pelari pecut akan bermula dari garisan
permulaan dan berlepas dari blok permulaan
sebaik sahaja bunyi tembakan pistol
kedengaran. Laju larian semakin bertambah
apabila mereka mula memecut ketika
menuju ke garisan penamat. Peningkatan

1.  Padankan masa yang betul bagi jarak dan laju yang diberikan.

4 saat 3 jam 24 minit 45 minit

Laju	 =	44.1	km/j
Jarak = 150 km

Laju	 =	120	km/j
Jarak = 90 km

Laju	 =	125	m/s
Jarak = 500 m

9.1

Membuat kesimpulan
Laju	purata	perjalanan	pulang	Encik	Tan	ialah	83.04	km/j

Jarak dari Kuala Lumpur ke Skudai

=	103	km/j	×	 7
60

3 +  j

=	103	km/j	×	3.12	j
= 321.36 km

Tukar unit daripada
minit kepada jam

Laju	purata	semasa	Encik	Tan	pulang

= 321.36 km

3 j + 7 + 45
60

j

= 321.36 km
3 j + 0.87 j

= 321.36 km
3.87 j

=	83.04	km/j

Tukar unit daripada
minit kepada jam

j = 45 minit3
4

Merancang strategi

•  Jarak = Laju × Masa

•  Laju purata = Jumlah jarak
Jumlah masa

Melaksanakan strategi

3. Atlet paralimpik Malaysia, Mohamad Ridzuan Mohamad Puzi mencatat masa terpantas dalam
acara 100 meter di Sukan Paralimpik 2016 di Rio de Janeiro, Brazil, iaitu 12.07 saat. Hitung
laju,	dalam	m/s,	lariannya.

4. Jarak dari Tanjung Malim ke Muar ialah 272 km. Sebuah bas bertolak dari Tanjung Malim
pada	jam	0830.	Purata	laju	bas	itu	ialah	80	km/j.	Pukul	berapakah,	dalam	sistem	24	jam,	bas
itu tiba di Muar?

5. Tukarkan unit laju di bawah dengan unit yang dinyatakan.
	 (a)	50	km/j	kepada	m/min				(b)	0.8	m/s	kepada	km/j				(c)	110	km/j	kepada	km/min

6. Umar memandu teksinya dari Ipoh ke Kuala Lumpur melalui lebuh raya. Dia singgah di Tapah
untuk mengambil barang sebelum meneruskan perjalanannya ke Kuala Lumpur. Dia memandu
dari	Ipoh	ke	Tapah	dengan	purata	laju	100	km/j	dengan	jarak	60	km.	Diberi	laju	purata	teksinya
dari	Ipoh	ke	Kuala	Lumpur	ialah	110	km/j	dengan	jarak	220	km.	Hitung	laju	purata	teksi	Umar
dari Tapah ke Kuala Lumpur.

7.	 Larian	seekor	harimau	bintang	boleh	mencecah	kelajuan	25.9	m/s,	terutama	apabila	mengejar
mangsanya.	Nyatakan	kelajuan	itu	dalam	unit	km/j.

Tujuan: Menerangkan
maksud pecutan dan
nyahpecutan

Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Buka fail MS179 yang telah

disediakan.
2. Lengkapkan jadual yang

diberikan berpandukan gambar
meter kereta yang dilampirkan.

3. Nyatakan sama ada ia adalah
pecutan atau nyahpecutan.

Laju enjin kenderaan
biasanya dinyatakan
dalam putaran
per minit (ppm).

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms179 untuk
mendapatkan lembaran
kerja di sebelah.

Masa Bacaan laju awal Bacaan laju akhir

1 20 minit

2 5 saat

3 20 saat

4 30 minit

5 8 saat

Masa Laju awal Laju akhir   Pecutan =

1

2

3

4

5

laju terhadap masa dinamakan pecutan. Selepas melepasi garisan penamat, kelajuan berkurang kerana
pelari memperlahankan larian. Pengurangan laju terhadap masa dinamakan nyahpecutan.
B
A

B
 9

B
A

B
 9

181180

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

Perubahan laju boleh dikenal pasti dengan menghitung perbezaan di antara laju akhir dan laju awal,
sesuatu objek yang bergerak dalam gerakan linear mengikut arah tertentu. Daripada aktiviti di sebelah,
peningkatan kelajuan terhadap masa ialah pecutan dan pengurangan kelajuan terhadap masa ialah
nyahpecutan. Maka, pecutan dan nyahpecutan ialah kadar yang melibatkan laju dan masa.

CONTOH 13

Sebuah	kereta	 lumba	memecut	daripada	keadaan	pegun	dan	mencapai	kelajuan	120	km/j	dalam
masa 6 saat. Hitungkan pecutannya.

Penyelesaian:

Perubahan	laju	=	120	km/j	–	0	km/j
	 	 	 =	120	km/j

120 km
1 j

= 120 km
60 × 60 s

=	0.033	km/s

Pecutan =
0.033	km/s

6 s
	 	 	 =	0.0056	km/s	per	saat	atau	km/s2

PERHATIAN
Keadaan pegun ialah
keadaan objek yang
tidak bergerak. Oleh itu,
kelajuan objek ialah sifar.

CONTOH 14

Selepas brek ditekan, kelajuan motosikal itu semakin perlahan dengan
kadar seragam sehingga berhenti dalam masa 4 saat. Berapakah
pecutan motosikal itu?

Penyelesaian:

Pecutan =
	(0	–	20)m/s

4s

= –20	m/s
4s

= –5	m/s2

Unit ukuran
pecutan yang

biasa digunakan

Unit laju Unit masa Unit pecutan
km/j jam km/j2 atau kmj-2	atau	km/j	per	jam
m/s saat m/s2 atau ms-2	atau	m/s	per	saat

Sebuah motosikal bergerak daripada keadaan pegun dan memecut
secara	 seragam	 sehingga	mencapai	 kelajuan	 20	m/s	 dalam
masa 5 saat. Berapakah pecutan motosikal itu?

Penyelesaian:

Pecutan =
(20	–	0)m/s

5s

= 20	m/s
5s

=	4	m/s2

Apabila objek jatuh
dari kedudukan tinggi,
pecutannya bernilai
9.81 ms–2. Hal ini
disebabkan oleh
berlakunya tarikan graviti.

9.2.2 Penukaran unit

CONTOH 15

Tukarkan	420	m/min	per	min	kepada	unit	km/min	per	minit.

Penyelesaian:

Maka,	nyahpecutan	motosikal	itu	ialah	5	m/s2.

420	m/min
min

=
420 m
min

÷ min

=
420 × 1 m

min
 ÷ min

=
420 × 1

1 000
 km

min
 ÷ min

=

420
1 000

km

min
 ÷ min

= 0.42 km
min

× 1
min

=	0.42	km/min2

Melaksanakan pengiraan
yang melibatkan pecutan
termasuk penukaran unit.

=120 km
1 j

120 km
3 600 s

PERHATIAN
Pecutan = –5 m/s2

atau
Nyahpecutan = 5 m/s2

(Nyahpecutan ditulis tanpa
tanda negatif)

Motosikal

Kawasan perumahan

60 x 1 min

Pecutan seragam bermaksud
kelajuan berubah dengan
jumlah yang sama pada
setiap saat.

Masa (s) Laju (m/s)

0 0

1 4

2 8

3 12

4 16

5 20

Jika sesuatu objek bergerak
dengan laju seragam,
pecutan ialah sifar.
B
A

B
 9

B
A

B
 9

183182

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

CONTOH 16

Rani berbasikal selama 3
4

jam dari rumahnya ke Festival Kebudayaan yang diadakan di bandar

dengan	perubahan	laju	18	km/j.	Perjalanan	ke	Festival	Kebudayaan	mengambil	masa	kurang
40% berbanding dengan masa balik dengan perubahan laju yang sama. Hitungkan beza pecutan
antara pergi dengan balik.

Penyelesaian:

Pecutan semasa pergi =
3
4

18	km/j

j

=	24	km/j2

Masa berkurang = 40
100

× 3
4

j

= 0.3 jam

Masa diambil semasa pulang = 0.75 j – 0.3 j
  = 0.45 j

Pecutan semasa pulang = 18	km/j
0.45 j

=	40	km/j2

Beza	pecutan	 =	40	km/j2	–	24	km/j2

=	16	km/j2

3
4

jam

Unit km/jam2 boleh ditulis
sebagai kmj-2.

9.2.3 Penyelesaian masalah

CONTOH 18

CONTOH 19

Lisnah	memecut	keretanya	4	km/j	per	saat	semasa	memotong	sebuah
kereta.	Jika	dia	mula	memandu	dengan	kelajuan	100	km/j,	hitung	kelajuannya	selepas	5	saat.
Penyelesaian:

Sebuah	 motosikal	 yang	 sedang	 bergerak	 pada	 kelajuan	 40	 km/j	 memperlahankan	 kelajuannya
sebanyak 20% daripada kelajuan awalnya, dalam masa 40 saat. Hitung pecutannya.
Penyelesaian:

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan pecutan.

CONTOH 17

Samy	memandu	dengan	kelajuan	70	km/j.	Dia	menambah	kelajuan	keretanya	kepada	100	km/j
dalam masa 30 minit. Hitung pecutan dalam

(a)	km/j	per	jam	 								(b)	km/j	per	saat

Penyelesaian:

(a)	Perubahan	laju	=	100	km/j	–	70	km/j

=	30	km/j

Pecutan =
30	km/j

30 min

=
30	km/j

1
2 j

=	60	km/j	per	jam

(b) Masa = 30 minit
  = 30 × 60 s
  = 1 800 s

Pecutan =
30	km/j
1 800 s

=	0.0167	km/j	per	saat

30 minit = 1
2  jam

30 x 1 min

Membuat kesimpulan
Laju	selepas	5	saat	ialah	120	km/j.

Memahami masalah
•		Pecutan	=	4	km/j	per	saat
•		Mula	memandu	pada	100	km/j
•  Masa = 5 saat
•  Hitung kelajuannya selepas 5 saat

Merancang strategi

Pecutan ialah peningkatan kelajuan terhadap masa.

Melaksanakan strategi

4	km/j

s  =
Laju	selepas	5	saat	–	100	km/j

5 s
4	km/j

s 	×	5	s	=	Laju	selepas	5	saat	–	100	km/j

20	km/j	=	Laju	selepas	5	saat	–	100	km/j

Laju	selepas	5	saat	=	20	km/j	+	100	km/j

=	120	km/j

Membuat kesimpulan
Pecutan	motosikal	ialah	–	0.2	km/j	per	saat,	iaitu	motosikal	mengalami	pengurangan	kelajuan.

Memahami masalah
•		Mula	bergerak	pada	40	km/j
•  Pengurangan kelajuan 20%,

selepas 40 saat
•  Hitung pecutannya

Melaksanakan strategi

Laju selepas 40 s = 80
100

×	40	km/j

=	32	km/j

Pecutan =
(32	–	40)	km/j

40 s

=	–	0.2	km/j	per	saat

Nyahpecutan	=	0.2	km/j	per	saat

Pengurangan kelajuan:
100% – 20% = 80%

Merancang strategi

Pengurangan laju terhadap masa ialah nyahpecutan.
B
A

B
 9

B
A

B
 9

185184

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

CONTOH 20

Gambar rajah di sebelah menunjukkan graf laju-masa bagi
pergerakan sebuah lori mainan dalam tempoh 27 saat.
Nyahpecutan	bagi	lori	mainan	itu	ialah	0.741	m/s2.

(a) Hitung laju, v,	dalam	m/saat.
(b) Hitung jarak pergerakan lori mainan itu selepas 2.2 saat.

Penyelesaian:

v

Laju	(m/s)

Masa (saat)
27O

1. Tuliskan betul atau salah pada pernyataan di bawah.

Situasi Pecutan Betul/Salah
(a)	Laju	sebiji	bola	yang	bergolek	di	atas	lantai	berkurang	daripada	12	cm/s

kepada	2	cm/s	dalam	masa	4	saat.
–2.5 cms-2

(b)	 Sebuah	 treler	 memecut	 daripada	 90.5	 km/j	 kepada	 123	 km/j

dalam masa 34  jam.
– 43.3 kmj-2

(c)		Sebiji	kelapa	jatuh	dari	atas	pokok	dengan	kelajuan	7	m/s	dalam	masa
0.71 saat.

9.86 ms-2

(d)	 Puan	 Mages	 memperlahankan	 keretanya	 daripada	 80	 km/j
kepada	60	km/j	dalam	masa	0.5	jam.

40	km/j2

9.2

1.  Kategorikan objek di dalam kotak di bawah sama ada mempunyai laju seragam atau laju tak seragam.

2.	 Wafi	menyertai	pertandingan	berkayak
di Sungai Lembing. Dia memulakan
pertandingan dari stesen A seterusnya
ke tiga stesen lain, iaitu di B, C dan
berakhir di stesen D.

Berdasarkan maklumat yang diberikan,
hitung pecutan kayak dari

(a) stesen A ke stesen B.
 (b) stesen B ke stesen C.
 (c) stesen C ke stesen D.

3.  Setiap pagi Shu Mei berbasikal ke sekolah dari rumahnya melalui sebuah pejabat pos. Jarak
dari rumahnya ke pejabat pos ialah 4 km manakala jarak dari pejabat pos ke sekolahnya
ialah	5	km.	Jika	purata	laju	basikalnya	ialah	18	km/j,	hitung
(a) masa dalam minit, keseluruhan perjalanan Shu Mei ke sekolah.
(b) jika Shu Mei mula menunggang basikalnya pada pukul 6:40 pagi, pada pukul berapakah

dia akan sampai ke sekolah?

4. Syahmi memandu kereta sejauh 354 km dari Kuala Lumpur ke Terengganu untuk pulang ke
kampung halamannya. Jadual di bawah menunjukkan catatan perjalanannya.

lif jam ombak kipas angin bas mini

2. Hitung pecutan bagi situasi di bawah.
	 (a)	Sebuah	kereta	memecut	daripada	60	km/j	kepada	110	km/j	dalam	masa	30	minit.
	 (b)	Laju	sebuah	bot	berkurang	daripada	70	km/j	kepada	40	km/j	dalam	masa	5	minit.

5 min

6 min
4 min

35	km/j

C

55	km/j
B

A
40	km/j

43	km/j
D

MENJANA KECEMERLANGAN

3.	 Vinot	mengayuh	basikal	ke	rumah	ibu	saudaranya	dengan	kelajuan	8	m/s.	Dalam	masa	4	saat,
dia	meningkatkan	kelajuan	basikal	kepada	10	m/s.	Hitung	pecutannya	ketika	itu	dalam	ms-2.

4.	 Berdasarkan	suatu	uji	kaji,	laju	sebuah	objek	berkurang	daripada	145	cm/s	kepada	75	cm/s
dalam masa 8 saat. Hitung nyahpecutannya.

O

354

150 405

Jarak (km)

Masa (min)

A

B

Masa 21 Oktober 2017 / Sabtu
7:00 a.m. Memulakan perjalanan

9:30 a.m.
Berhenti di kawasan Rehat dan Rawat
(R&R) Temerloh untuk bersarapan setelah
memandu 185 km

10:05 a.m. Sambung perjalanan ke Terengganu
1:45 p.m. Tiba di kampung

Membuat kesimpulan
(a)		Laju	pergerakan	lori	mainan	ialah	20	m/s.
(b)  Jarak pergerakan lori mainan ialah 44 m.

Memahami masalah
•		Pecutan	=	–	0.741	m/s2

•  Tempoh = 27 saat
•  Hitung laju, v.
•  Hitung jarak selepas 2.2 saat.

Merancang strategi

Jarak = Laju × Masa
Perubahan laju = Pecutan × Masa

Melaksanakan strategi

(b) Jarak = Laju × Masa
	 	 =	20	m/s	×	2.2s
  = 44 m

(a) –	0.741	m/s2 = 0 – v
27 s

–	0.741	m/s2 × 27 s  = 0 – v
                            v =	20	m/s
B
A

B
 9

B
A

B
 9

187186

Bab 9 Laju dan PecutanBab 9 Laju dan Pecutan

(a) Nyatakan nilai A dan nilai B.
 (b) Lengkapkan graf itu untuk keseluruhan perjalanan Syahmi.
	 (c)	Hitung	laju	purata,	dalam	km/j,	bagi	keseluruhan	perjalanan	itu.

5. Rajah di bawah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan dua biji guli dari arah yang
bertentangan. Graf PQR mewakili pergerakan guli hijau dan graf PST mewakili pergerakan
guli ungu. Kedua-dua guli itu melalui laluan yang sama.

(a) Hitung pecutan guli hijau dalam masa 2.6 minit yang pertama.
 (b) Pada minit keberapakah guli ungu akan berhenti bergerak?
 (c) Berapakah laju maksimum guli hijau?
 (d) Nyatakan masa dalam saat kedua-dua guli itu berlanggar.

6. Jarak di antara Tanjung Malim dengan Sungai Petani ialah x km. Sebuah kereta bergerak dari
Tanjung	Malim	ke	Sungai	 Petani	 dengan	 laju	 purata	 90	 km/j.	Dalam	perjalanan	 pulang	 dari
Sungai	Petani	ke	Tanjung	Malim	dengan	laju	purata	105	km/j,	masa	yang	diambilnya	berkurang
sebanyak 30 minit. Hitung nilai x.

O

0.5

P

Q

S

TR

1

5.22.6 3

Laju	(m/min)

Masa (min)

Pada akhir bab ini, saya dapat:

Had laju adalah salah satu daripada peraturan jalan raya. Had laju maksimum ditentukan
mengikut kawasan-kawasan tertentu. Pematuhan had laju ini sangat penting bagi menjamin
keselamatan pengguna jalan raya.

Anda dikehendaki membuat satu laporan tentang had laju
di kawasan-kawasan berikut.
(a) Sekolah
(b)	Hospital	/	klinik
(c) Lebuh raya
(d) Kawasan berbukit

Lampirkan gambar papan tanda had laju di kawasan-kawasan
yang berkaitan untuk menyokong laporan anda.

1.  Menerangkan maksud laju sebagai suatu kadar yang melibatkan jarak
dan masa.

2.  Memerihalkan perbezaan antara laju seragam dengan laju tak seragam.

3. Melaksanakan pengiraan yang melibatkan laju dan laju purata termasuk
pertukaran unit.

4.  Menyelesaikan masalah yang melibatkan laju.

5.  Menerangkan maksud pecutan dan nyahpecutan sebagai satu kadar yang
melibatkan laju dan masa.

6. Melaksanakan pengiraan yang melibatkan pecutan termasuk pertukaran unit.

7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecutan.

REFLEKSI DIRI

INTI PATI BAB

Laju dan Pecutan

Laju = Jarak
Masa

Laju Pecutan

Laju purata =
Jumlah jarak
Jumlah masa

Sekiranya, pecutan dalam arah
pergerakan yang tetap, pecutan
itu adalah kadar perubahan laju
terhadap masa.
B
A

B
 1

0

B
A

B
 1

0

189188

Bab 10 Kecerunan Garis LurusBab 10 Kecerunan Garis Lurus

• Kecuraman
• Garis lurus
• Pintasan
• Kecondongan
• Nisbah
• Jarak mencancang
• Jarak mengufuk
• Kecerunan

• Steepness
• Straight line
• Intercept
• Inclination
• Ratio
• Vertical distance
• Horizontal distance
• Gradient

10.1 Kecerunan

RANGKAI KATA

Edwin	Bidwell	Wilson	(1879-1964)	merupakan
ahli matematik yang mengaplikasikan
konsep garis lurus kepada kecerunan. Beliau
merupakan pakar analisis vektor yang pernah
menerbitkan bukunya yang terkenal bertajuk
‘Vector Analysis’ pada tahun 1901. Kecerunan
diaplikasikan dalam pengiraan vektor untuk
menjelaskan perubahan arah.

Untuk maklumat lanjut:

MASLAHAT BAB INI

Pendekatan ilmu kecerunan ini akan membuka
bidang	kerjaya	dalam	matematik	dan	ahli	fizik.
Rumus yang digunakan dapat memberikan
pengiraan yang tepat kepada permasalahan
dalam reka bentuk produk.

Selain itu, seorang jurutera binaan terutama
yang terlibat dalam ukur tanah menggunakan
pendekatan pengiraan kecerunan untuk
menentukan kestabilan atau ketinggian
sesebuah kawasan.

Kecerunan adalah darjah kecuraman.
Kecerunan biasanya dihubungkan dengan
ketinggian suatu gunung atau bukit.
Gunung tertinggi di Malaysia adalah
Gunung Kinabalu yang terletak di Sabah
dengan ketinggian 4 095 meter dari
aras laut. Kebanyakan pendaki gunung
mengambil masa selama dua hari untuk
sampai ke puncak. Terdapat perhentian
untuk bermalam di Laban Rata, 3 273 meter
dari aras laut. Dari Laban Rata, kecerunan
gunung semakin bertambah.

189188

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms189

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 1

0

B
A

B
 1

0

191190

Bab 10 Kecerunan Garis LurusBab 10 Kecerunan Garis Lurus

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Memahami konsep kecerunan
Bahan: Kad manila berukuran 20 cm × 9 cm, lima hingga enam biji

pemadam dan sebiji guli
Langkah:
1. Bentuk kumpulan, 3 atau 4 orang dalam satu kumpulan.
2. Lipat kad manila yang berukuran 9 cm seperti gambar rajah di sebelah.
3. Susun 3 biji pemadam secara bertindih dan 1 biji pemadam lagi

diletakkan di bawah hujung kiri dan kanan kad manila tersebut.
4. Letak guli pada hujung kad manila yang paling tinggi dan biarkan guli tersebut bergerak di

sepanjang laluan.
5. Tambah ketinggian kad manila dengan menambahkan 1 atau 2 biji lagi pemadam.
6. Perhatikan pergerakan guli yang melalui kad manila tersebut.
7. Anda bersama-sama rakan boleh meneroka keadaan pergerakan guli apabila ketinggian

kedua-dua hujung kad manila berada pada aras ketinggian yang sekata.

10.1 Kecerunan

10.1.1 Kecuraman dan arah kecondongan

Rajah menunjukkan kawasan berbukit yang dilalui oleh Farid dan
Afif	 semasa	berbasikal.	Ketika	mereka	mendaki	di	 laluan	C, mereka berasa sangat sukar untuk
meneruskan kayuhan. Apabila mereka menuruni bukit di laluan E, keadaan basikal sangat laju.
Mengapakah situasi ini berlaku?

Perhatikan gambar di bawah. Kawasan manakah yang dikatakan
curam? Mengapa?

Memerihalkan
kecuraman dan
arah kecondongan
berdasarkan situasi
harian, dan seterusnya
menerangkan
maksud kecerunan
sebagai nisbah jarak
mencancang kepada
jarak mengufuk.

Kecerunan ialah nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk

CONTOH 1

Perhatikan rajah di sebelah. Bandingkan arah kecondongan
dan kecuraman antara garisan MN dengan KL. Buat
kesimpulan daripada kedua-dua rajah tersebut.

Kecuraman suatu garis lurus dapat dilihat dari nilai kecerunan, semakin besar nilai mutlak
kecerunan, semakin curam garis lurus tersebut. Tanda positif atau negatif pada nilai kecerunan
menunjukkan arah kecondongan garis lurus.

Rajah di sebelah menunjukkan kanak-kanak sedang menuruni
papan gelongsor di taman permainan. Panjang garis lurus yang
menyambungkan titik A dan titik B adalah setinggi 2 m. Panjang
garis lurus yang menyambungkan titik C dan titik B ialah 3 m. CB
ialah jarak mengufuk dan AB ialah jarak mencancang. A

A

BC

3 m

2 m

Daripada setiap rajah di bawah, nyatakan jarak mencancang dan
jarak mengufuk di antara titik P dengan titik R.

(a)          Penyelesaian:

Jarak mencancang, PQ = 2 m
   Jarak mengufuk, QR = 4 m

(b)   Penyelesaian:

Jarak mencancang,
   RS = 4 unit

Jarak mengufuk,
   PS = 5 unit

Q

P

2 m

4 m
R

CONTOH 2

Pemandu lori berat akan
menekan pedal minyak
ketika menaiki bukit yang
curam. Ia juga akan
memecut dari bawah
sebelum pendakian.
Mengapa?

Penyelesaian:

Garisan KL mempunyai kecondongan yang lebih tinggi berbanding dengan garisan MN. Semakin besar
nilai sudut, semakin tinggi nilai kecerunan. Maka, garisan KL lebih curam berbanding dengan garisan
MN.

Tujuan: Mengenal pasti kecuraman dan arah kecondongan
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS190 untuk menonton video animasi kecerunan.
2. Gerakkan butang bulat j dan n ke kiri dan ke kanan.
3. Perhatikan kedudukan nilai sudut dan nilai kecerunan yang

dipaparkan.

Perbincangan:
(i) Adakah nilai sudut bagi D dan A mempengaruhi nilai kecerunan?
(ii) Bina suatu perkaitan antara kecuraman garis dengan arah kecondongan.
(iii) Adakah nilai kecerunan yang negatif menunjukkan kecuraman yang rendah?

R

P
S

R

P
S

4 unit

5 unit

Aktiviti di atas menunjukkan pergerakan guli yang berlainan kelajuannya. Kelajuan guli bergantung
pada ketinggian tapak peluncur guli. Apabila ketinggian peluncur itu ditambah dengan pemadam,
guli tersebut semakin laju.

S L
Eskalator

K

45˚
N P

Tangga

30˚

M

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms190 untuk
menonton video animasi
kecerunan.

A

B

C D

E

F

QR CODE
B
A

B
 1

0

B
A

B
 1

0

193192

Bab 10 Kecerunan Garis LurusBab 10 Kecerunan Garis Lurus

Tujuan: Mengenal pasti garis lurus yang berada pada satah Cartes
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Buka fail MS192 untuk menonton video aktiviti.
2. Ubah nilai titik koordinat yang sepadan dalam jadual pada

ruangan koordinat yang diberikan.

Daripada rajah di bawah, tentukan kecerunan garis lurus bagi PQ dan BC. Perihalkan kecuraman
garis PQ dan BC.

(a) Penyelesaian:

Jarak mencancang ialah 4 unit. Jarak mengufuk ialah 3 unit.

Jarak mencancang
Jarak mengufuk

= 4
3

Maka, kecerunan PQ ialah 4
3

.

(b) Penyelesaian:

Jarak mencancang ialah 2 unit.
 Jarak mengufuk ialah 3 unit.

Jarak mencancang
Jarak mengufuk

=

2
3

Maka, kecerunan BC ialah 2
3

.

CONTOH 3

Koordinat
Nilai Kecerunan Kedudukan Garis

LurusA B

(3,1) (3, 9)

(3, −3) (−2, 2)

(−1, 5) (7, 5)

(4, 4) (0, 0)

(0, 6) (−2, 0)

(0, 2) (3, 0)

(x
1, y1) (x2, y2)

10.1.2 Rumus kecerunan garis lurus pada
 satah Cartes
Dalam sistem koordinat Cartesan, kecerunan garis lurus yang
melalui dua titik A (x1, y1) dan B (x2, y2) dapat dikira menggunakan
nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk.

Menerbitkan rumus
kecerunan suatu garis
lurus pada satah Cartes.

Kecerunan, m =
y

2
− y

1

x
2
− x

1
Kecerunan, m = –

pintasan-y
pintasan-x

3. Perhatikan perubahan yang berlaku pada setiap garis lurus tersebut.
4. Nyatakan nilai kecerunan bagi kedua-dua titik.
5. Nyatakan juga kedudukan garis lurus tersebut sama ada melalui asalan atau tidak, selari

dengan paksi-x atau selari dengan paksi-y.

m = dan m	=	−
y2 −	y1

x2 −	x1

pintasan-y
pintasan-x

Perbincangan:
(i) Kenal pasti garis lurus yang memotong paksi-x, dan paksi-y.
(ii) Buktikan dengan menggunakan rumus:

bahawa nilai kecerunan yang anda peroleh sama seperti yang dipaparkan.

P

Q

B

C

Titik persilangan antara garis lurus dengan paksi-x dinamakan pintasan-x, manakala titik persilangan
antara garis lurus dengan paksi-y dinamakan pintasan-y.

y

x

B (x2, y2)

A (x1, y1)

x1               x2

y2

y1

O

y

x
(x, 0)

(0, y)
Pintasan-y

Pintasan-xO

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms192 untuk
menonton video animasi
aktiviti.

Garisan yang mempunyai
kecerunan tinggi
mempunyai sudut yang
lebih besar.

y

x30˚
60˚

O

Kecerunan, m =
Jarak mencancang
Jarak mengufuk

Perubahan y = Jarak mencancang
Perubahan x = Jarak mengufuk

m mewakili kecerunan
garis lurus.

y

xO

QR CODE
B
A

B
 1

0

B
A

B
 1

0

195194

Bab 10 Kecerunan Garis LurusBab 10 Kecerunan Garis Lurus

Penyelesaian:

(b) P (4,	−1) dan Q ( 3, 5)

Kecerunan =
y2	−	y1

x2	−	x1

=
5 − (−1)

3 −	4

=
6
−1

= – 6

Penyelesaian:

(a) A (3, 1) dan B (6, 7)

Kecerunan =
y2	−	y1

x2	−	x1

=  7	−	1	6	−	3

=
6
3

= 2

Tentukan kecerunan bagi pasangan koordinat berikut.
(a) A (3, 1) dan B (6, 7)   (b) P (4,	−1) dan Q (3, 5)

CONTOH 4

Tentukan kecerunan bagi garis lurus berikut.
(a)          (b)

Penyelesaian:    Penyelesaian:

Pintasan-y = 8     Pintasan-y = 4
 Pintasan-x  = –5    Pintasan-x = 3

Kecerunan = – 8
(–5)

Kecerunan = – 4
3

=
8
5

O
x

8

−5

y

O
x

4

3

y

CONTOH 5

Tentukan kecerunan apabila diberi pasangan koordinat.
(a) L (4, 0) dan M (0, 8) (b) G (−3,	0)	dan	K (0, 9)

Penyelesaian:

(a) Pintasan-y  = 8                  (b) Pintasan-y = 9
 Pintasan-x  = 4                   Pintasan-x	 =	−3

Kecerunan = –
8
4

= –2  Kecerunan = –
9

(–3)
 = 3

CONTOH 6

Hitung kecerunan garis lurus AB dan PQ berdasarkan rajah
di sebelah.

Penyelesaian:

Kecerunan, m =	−
pintasan-y
pintasan-x

(i) Kecerunan AB	=	−    2
 (–3)

(ii) Kecerunan PQ	=	−
3
3

=
2
3
	 	 =	−1

Maka, kecerunan AB ialah 2
3

.    Maka, kecerunan PQ	ialah	−1.

CONTOH 7

10.1.3 Kecerunan garis lurus

Tujuan: Mengenal pasti bentuk kecondongan garis lurus
Bahan: Kertas graf dan kad dengan titik koordinat

Langkah:
1. Murid A dikehendaki membina graf dengan skala 1 cm kepada 1 unit pada paksi-x

dan paksi-y.
2. Murid B akan memadankan nilai titik pada kad dengan memplotkan titik koordinat

pada satah Cartes.
3. Murid C akan melukis garis lurus dan menentukan kecerunan pada setiap pasangan

titik koordinat yang diberikan.
4. Murid D akan melengkapkan jadual di bawah. Rakan-rakan lain akan berbincang

dan membuat semakan.

Perbincangan:
(i) Hubungan antara nilai kecerunan dengan arah kecondongan.
(ii) Susun kecerunan garis lurus mengikut nilai kecerunan yang tinggi kepada nilai

kecerunan yang rendah.

R (−2,−2)
S (−2,	8)

W (−	4,	1)
V (−7,	8)

T (−	4,	3)
U (6, 3)

P (1, 1)
Q (3, 5)

Garis
Lurus Kecerunan Arah kecondongan

kanan atau kiri
Nilai kecerunan

positif atau negatif

PQ

RS

WV

TU

Membuat generalisasi
tentang kecerunan
garis lurus.

Koordinat pada pintasan-y
ialah (0, 3).

Koordinat pada pintasan-x
ialah (– 4, 0).

O
x

3

–4

y

P

B

A Q
x

y

O 1

1

2
3

–1–2–3 2 3

x

y

O 1

1

2
3

–1–2–3 2 3

y
=

2x
 +

3
y

=
2x

+
 1

Satu garis lurus yang
diwakili y = mx + c, m
merupakan kecerunan
manakala c ialah
pintasan-y. Nyatakan
kecerunan dan pintasan-y
garis lurus di bawah dan
hubungan antara dua
garis lurus tersebut.

x1 y1 x1     y1x2 y2 x2 y2
B
A

B
 1

0

B
A

B
 1

0

197196

Bab 10 Kecerunan Garis LurusBab 10 Kecerunan Garis Lurus

Kenal pasti garis lurus yang mempunyai nilai kecerunan sama
ada positif, negatif, sifar atau tidak tertakrif dalam rajah di bawah.
Berikan	justifikasi.

Penyelesaian:

Kecerunan garis lurus EF ialah negatif kerana condong ke kiri
Kecerunan garis lurus GH ialah negatif kerana condong ke kiri
Kecerunan garis lurus IJ ialah positif kerana condong ke kanan
Kecerunan garis lurus KL ialah negatif kerana condong ke kiri
Kecerunan garis lurus MN ialah positif kerana condong ke kanan
Kecerunan garis lurus AB ialah sifar kerana garisnya mengufuk
Kecerunan garis lurus PQ ialah tidak tertakrif kerana garisnya mencancang

CONTOH 8

Semakin garis lurus AB menghampiri keadaan mencancang, semakin besar nilai kecerunan dan
sebaliknya. Maka, semakin besar nilai mutlak kecerunan, semakin curam garis lurus.

Kenal pasti garis lurus dalam rajah di sebelah yang mempunyai
nilai kecerunan terbesar dan terkecil serta nyatakan alasannya.

Penyelesaian:

Garis lurus MN merupakan garis lurus yang mempunyai kecerunan
paling besar kerana menghampiri keadaan mencancang.

Garis lurus OJ merupakan garis lurus yang mempunyai kecerunan
paling kecil kerana menghampiri keadaan mengufuk.

I K M

N

J

L

O

y

x

H

CONTOH 9

10.1.4 Menentukan kecerunan

Tujuan: Mengenal pasti kecerunan
Bahan: Tangga, tali, pita pengukur
Langkah:
1. Secara berkumpulan, tentukan kecerunan tangga

yang terdapat di sekolah anda.
2. Pilih mana-mana dua tangga yang sesuai.
3. Pilih dua titik yang sesuai seperti gambar rajah.
4. Gunakan tali untuk mendapatkan jarak mencancang

dan mengufuk. Pastikan sudut pada persilangan
tali itu ialah 90°.

5. Ulang langkah 3 dan 4 untuk tangga kedua.

Nisbah ‘jarak mencancang kepada jarak mengufuk’ digunakan
untuk menentukan kecerunan suatu garis lurus. Semakin besar nilai
kecerunan, semakin curam garis lurus tersebut.

Menentukan kecerunan
suatu garis lurus.

m = 4

x

y

m = 2

x

y

A A

B

B

Koordinat-y bagi mana-mana titik dalam suatu
garis lurus yang selari dengan paksi-x adalah
sama. Oleh itu, kecerunannya ialah sifar.

Koordinat-x bagi mana-mana dua titik dalam
satu garis lurus yang selari dengan paksi-y
adalah sama. Ini akan memberikan kecerunan
yang tidak tertakrif.

y

x

J K

L

A B
P

QN

M
F

E H
G

I

KOD QR

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms197 untuk
melihat aktiviti pembuktian
kecerunan.

Hubungan kecerunan dan
garis lurus.

x

y

x1

y1

x2

(x1 y1) (x2 y1)

Kecerunan = 0

O
x

y

x1

y1

y2 (x1 y2)

Kecerunan tidak tertakrif (∞)(x1 y1)

O

Lihat graf di bawah.
Pada tahun keberapakah
kadar inflasi menunjukkan
kecerunan negatif?
Bincangkan.

Kadar Inflasi (%) di Malaysia
(2010-2014)

2010 2011 2012 2013 2014

Sumber: World Bank
https://www.imoney.my/articles/
realiti-tentang-inflasi

Perbincangan:
(i) Nyatakan jarak mencancang dan jarak mengufuk tangga itu.
(ii) Hitung kecerunan kedua-dua tangga itu.
(iii) Apakah hubungan antara nilai kecerunan dengan nisbah ‘jarak mencancang kepada

jarak mengufuk’ bagi kedua-dua tangga itu?
(iv) Nisbah ‘jarak mengufuk kepada jarak mencancang’ tidak digunakan untuk menentukan

kecerunan. Bincangkan.
B
A

B
 1

0

B
A

B
 1

0

199198

Bab 10 Kecerunan Garis LurusBab 10 Kecerunan Garis Lurus

CONTOH 10

Setiap hari Jamali akan mengambil air di sungai yang
berdekatan dengan rumahnya dan ke hutan untuk mencari
cendawan busut. Hitung kecerunan yang dilalui olehnya dari
(a) rumah ke hutan.
(b) tepi sungai ke rumahnya.

tepi sungai

rumah Jamali

40 m 10 m

20 m

hutan

50
 m

Penyelesaian:

(a)

Kecerunan =
Jarak mencancang
Jarak mengufuk

= 30
10

= 3

Maka, kecerunan dari rumah Jamali ke

hutan ialah 3.

Rumah

Hutan

50 - 20 m

10 m

(b)

Kecerunan =
Jarak mencancang
Jarak mengufuk

= 20
40  = 1

2
 Maka, kecerunan dari tepi sungai ke rumah

ialah 1
2

.

Penyelesaian:

(a) Tentukan pintasan-x dalam suatu garis lurus yang melalui titik
      P (0,	−4)	dengan	kecerunan	−2.

(b) Tentukan koordinat bagi pintasan pada paksi-y yang melalui titik Q (6, 0) dan kecerunan 1
3

.

10.1.5 Penyelesaian masalah

CONTOH 11

Hitung nilai v dalam rajah di sebelah.

Penyelesaian:

y

x
vO

m = 4

−8

CONTOH 12

Diberi A (–9, 2), B (–7, 2), C (– 4, 3), D (– 6, –1) ialah bucu sebuah sisi empat. Tentukan jenis sisi
empat tersebut.

Penyelesaian:

CONTOH 13

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
kecerunan garis lurus.

Merancang strategi Melaksanakan
strategi

Membuat
kesimpulan

Memahami masalah

Tentukan pintasan-x.

Menggunakan rumus:

pintasan-x = –
(pintasan-y)

m

Masukkan nilai
dan hitung,

pintasan-x = –
– 4
–2

= –2

Maka pintasan-x
ialah –2 dengan
koordinat (–2, 0).

y

x
O

P (0,	−4)

m	=	−2
pintasan-x

Merancang strategi Melaksanakan
strategi

Membuat
kesimpulan

Memahami masalah

Tentukan kedudukan
pintasan-y. Menggunakan rumus:

Pintasan-y = – m × (pintasan-x)

Pintasan-x = 6

Masukkan nilai dan
hitung,

pintasan-y = –
1
3  × 6

= –2

Pintasan-y = –2
Maka koordinat
bagi pintasan-y
ialah (0, –2).

y

x
O

Q (6, 0)

m =
1
3

pintasan-y

1
2

(a)

(b)

Merancang strategi Melaksanakan
strategi

Membuat
kesimpulan

Memahami masalah

Menggunakan rumus:

Pintasan-x = –
(pintasan-y)

m

Pintasan-x

= 	− −8
4�     �

= 2

Maka, v ialah 2.Tentukan kedudukan v.

v = pintasan-x

Tepi sungai

20 m

40 m

Rumah

pintasan-y = – 4

2

1

Memahami masalah
 Menentukan jenis sisi empat.

Merancang strategi
•  Menentukan kecerunan garis lurus AD, BC, AB dan DC dengan menggunakan rumus

m =
y2	−	y1

x2	−	x1
.

•  Melukis sisi empat.
B
A

B
 1

0

B
A

B
 1

0

201200

Bab 10 Kecerunan Garis LurusBab 10 Kecerunan Garis Lurus

2. Tentukan jarak mencancang dan jarak mengufuk bagi garis lurus AB, CD dan PQ pada
satah Cartes berikut.

3. Hitung jarak mencancang dan jarak mengufuk, dalam meter, di antara
hujung tangga P dengan hujung tangga Q dalam rajah di sebelah jika lebar
setiap anak tangga 12 cm.

(a)	(3,	0)	dan	(−2,	6) (b) (1, 1) dan (6, 5) (c) (3, 1) dan (1, 5)

(d) (0, 0) dan (4, 4) (e)	(1,	−2)	dan	(2,	4) (f)	(3,	6)	dan	(6,	−3)

Q

P

1. Tentukan jarak mencancang dan jarak mengufuk bagi titik P dan titik Q yang berikut.

(a)    (b)    (c)

Q6 m

P
4 m

P

Q

12 m

3 m

P

Q 2 m

16 m

10.1

O

y

(b)

x

B

D

C

Q

P

A

(a)

(c)

4. Nyatakan jarak mencancang dan jarak mengufuk bagi pasangan titik yang diberikan.

5. Nyatakan nilai pintasan-x dan nilai pintasan-y bagi garis lurus AB.
 (a)    (b)    (c)    (d)

6. Kenal pasti garis lurus yang mempunyai kecerunan terbesar dalam setiap rajah di bawah.
 (a)        (b)y

x

C

A

D
F

E

BO
x

y

F

D

A

B

E

C

O

7. Berdasarkan rajah berikut, nyatakan kecerunan
       sama ada positif atau negatif.
 (a) LM
 (b) MN
 (c) NO
 (d) OQ

8. Hitung kecerunan garis lurus dalam setiap rajah yang berikut.
 (a)                                         (b)                                      (c)

2 unit

7 unit

12 cm

3 cm

100 cm

50 cm

M

x

L

N

O

2

2

4

6

8

4 6 8 10

y

Q

O

A

y

B
x

8

4

O −7

3
x

y

−6

B

A

O

A
−5

x

y

B
3

O

y

x
−1

B

A

–2

O

Melaksanakan strategi
•  Melukis graf.

Membuat kesimpulan
•  m1 = m2, maka garis lurus AD selari dengan garis lurus BC.
•  m3 = m4, maka garis lurus AB selari dengan garis lurus DC.
• Dengan itu segi empat ABCD ialah segi empat selari.

A (–9, –2)
D (– 6, –1)

B (–7, 2)
C (– 4, 3)

x

y

O 1

1

–1

–2

–3

– 4

2

3

–1–2–3– 4–5– 6–7–8–9–10

Kecerunan garis AD

m1 =
y2	−	y1

x2	−	x1

=
–1 – (–2)
– 6 – (– 9)

= 1
3

Kecerunan garis BC

m2 =
y2	−	y1

x2	−	x1

=
3 – 2

– 4 – (– 7)

= 1
3

Kecerunan garis DC

m3 =
y2	−	y1

x2	−	x1

=
3 – (–1)

– 4 – (– 6)

= 2

Kecerunan garis AB

m4 =
y2	−	y1

x2	−	x1

=
2 – (–2)

– 7 – (– 9)

= 2
B
A

B
 1

0

B
A

B
 1

0

203202

Bab 10 Kecerunan Garis LurusBab 10 Kecerunan Garis Lurus

1. Tentukan koordinat dan lukis garis lurus pada satah Cartes
daripada pasangan titik yang diberikan. Tentukan sama ada
kecerunan garis lurus tersebut merupakan nilai positif atau
nilai negatif.

2. Tentukan kecerunan bagi titik PQ dalam rajah di sebelah.

3. Hitung kecerunan semua garis lurus dalam rajah di bawah. Bandingkan dan tentukan garisan
yang mana antara berikut mempunyai kecerunan paling curam.

(a)	(−1,	0)	dan	(−2,	5) (b) (0, 1) dan (3, 5)
(c)	(1,	−3)	dan	(2,	4) (d)	(7,	−2)	dan	(2,	2)
(e) (0, 1) dan (5, 3) (f) (0, 3) dan (5, 0)
(g) (0, 0) dan (6, 5)

MENJANA KECEMERLANGAN

O

x
2 31–1–2

2
1

–1
–2
–3

3
4
5

4 5 6 7

y

O

9. Hitung kecerunan suatu garis lurus yang melalui setiap pasangan titik berikut.
 (a)                                    (b)                                     (c)                              (d)

10. Hitung kecerunan garis lurus yang melalui setiap pasangan titik yang berikut.
   (a) A (4, 5) dan B (3, 2)   (b) E (−1,	−2)	dan	F (0, 7)
   (c) C (6, 6) dan D (3,1)   (d) G (2, 4) dan H (6, 1)

11. Hitung kecerunan garis lurus yang melalui setiap pintasan berikut.
   (a) Pintasan-x = 4, pintasan-y = 1  (b) Pintasan-x = 9, pintasan-y = 10
   (c) Pintasan-x	=	−3,	pintasan-y = 8  (d) Pintasan-x	=	−5,	pintasan-y	=	−5

(e)

x
2

2

4

6

8

4 6 8 10

y

O

(b)

(c)

(d)

(a)

4. Lengkapkan tempat kosong bagi jadual pintasan-x, pintasan-y dan kecerunan.

Pintasan-x Pintasan-y Kecerunan
(a)   4   2
(b) −2 4   2
(c) −4 −3
(d) −1 4   4
(e) −1 2
(f)   5   1

5. Diberi kecerunan garis lurus yang melalui M (1, k) dan N	(−2,	3)	ialah	−2,	hitung	nilai	k.

6. Kecerunan suatu garis lurus PQ	ialah	−1	dengan	titik	P	(2,	−1)	dan	jarak	mengufuk	titik	Q ialah
3 unit ke kiri dari paksi-y. Nyatakan koordinat Q.

7. Jika kecerunan suatu garisan ialah 2 dengan pintasan-y	 ialah	−18.	Tentukan	pintasan-x bagi
garis lurus tersebut.

8.  Hitung kecerunan garis lurus MN, jika jarak mengufuk titik P dari
 paksi-y ialah 6 unit.

9. Jika titik A dan titik B terletak pada garis lurus yang sama dengan kecerunan
4
3 dan koordinat

A ialah (0, 8). Tentukan koordinat B jika B ialah pintasan-x.

10.

Rajah di atas merupakan bumbung sebuah rumah teres. Jika ketinggian bumbung ialah 5 m,
hitung
(a) kecerunan bumbung.
(b) ukuran panjang permukaan sendeng bumbung.

x

y

−8

P
M

N

O

C	(−6,	5)

O

D	(7,	−4)

O

A (3, 6)

O

B (8, 4)

O

y

x
R

Q (2, 8)

P	(−5,−3)

15 m21 m
B
A

B
 1

0

B
A

B
 1

0

205204

Bab 10 Kecerunan Garis LurusBab 10 Kecerunan Garis Lurus

INTI PATI BAB

Garis Lurus

Kecerunan, m

jarak mencancang

jarak mengufuk
m =

y2–y1

x2–x1

m =
pintasan-y

pintasan-x
m	=	−

x

y

O

pintasan-y

pintasan-x

O 2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

(x2, y2)

(x1, y1)

11. Gambar rajah di sebelah menunjukkan graf
laju-masa bagi pergerakan sebuah motosikal
dalam masa 60 saat.
(a) Nyatakan laju motosikal dalam keadaan

seragam.
(b) Hitung nilai v jika motosikal tersebut

memecut	pada	0.88	m/s2 dengan t = 15.

12. Luas permukaan keratan rentas bagi dinding batu
berbentuk segi tiga bersudut tegak ialah 12 m2 dan
ketinggian 6 meter. Hitung luas dan kecerunan
permukaan condong bagi dinding batu tersebut.

2 m

Murid dikehendaki mencari maklumat gunung di Malaysia. Maklumat tersebut tentang
(i)  ketinggian dari aras laut.
(ii) jarak mengufuk.

Anda boleh mengira kecerunan setiap gunung dan menyusun nilai kecerunan daripada nilai
yang paling tinggi kepada nilai yang paling rendah. Bandingkan maklumat anda bersama-
sama dengan rakan yang lain. Anda juga boleh mencuba projek ini dengan gunung-gunung
yang terdapat di Asia Tenggara.

Gunung Tahan, Pahang Gunung Mulu, SarawakGunung Korbu, Perak

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1.  Memerihalkan kecuraman dan arah kecondongan berdasarkan situasi harian,
dan seterusnya menerangkan maksud kecerunan sebagai nisbah jarak
mencancang kepada jarak mengufuk.

2.  Menerbitkan rumus kecerunan suatu garis lurus pada satah Cartes.

3. Membuat generalisasi tentang kecerunan garis lurus.

4.  Menentukan kecerunan suatu garis lurus.

5.  Menyelesaikan masalah yang melibatkan kecerunan garis lurus.

jarak mengufuk

jarak
mencancang

P

Q

REFLEKSI DIRILaju (ms–1)

60

C

B20

v

15O 40
Masa, t (saat)
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

207206

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

• Objek
• Imej
• Ikut arah jam
• Lawan arah jam
• Isometri
• Kekongruenan
• Orientasi
• Paksi
• Pusat putaran
• Pantulan
• Penjelmaan
• Translasi
• Simetri
• Vektor
• Putaran
• Simetri putaran
• Peringkat simetri
 putaran

• Object
• Image
• Clockwise
• Anticlockwise
• Isometry
• Congruency
• Orientation
• Axis
• Centre of rotation
• Reflection
• Transformation
• Translation
• Symmetry
• Vector
• Rotation
• Rotational symmetry
• Order of  rotational
 symmetry

11.1 Transformasi

11.2 Translasi

11.3 Pantulan

11.4 Putaran

11.5 Translasi, Pantulan dan Putaran
Sebagai Isometri

11.6 Simetri Putaran

RANGKAI KATA

Ahli matematik Felix Klein (1849-1925)
berpendapat bahawa isometri adalah keseimbangan
yang dihasilkan oleh pergerakan sesuatu bentuk
yang sama atau pergerakan oleh sesuatu kumpulan
bentuk yang sama. Isometri dalam sesuatu corak
adalah pergerakan dengan rupa bentuk yang sama.
Terdapat empat jenis isometri iaitu translasi, putaran,
pantulan dan putaran geluncur.

Untuk maklumat lanjut:

MASLAHAT BAB INI

Ilmu dalam bidang transformasi ini dapat
diaplikasikan, antaranya dalam industri
pembuatan dan rekaan fesyen. Reka bentuk
kenderaan seperti motosikal, kereta dan
kapal terbang memerlukan rekaan objek
yang simetri. Pereka fesyen pula akan
menghasilkan corak-corak yang berlainan
dalam setiap rekaan mereka.

207206

Masjid Tuanku Mizan Zainal Abidin
dibina pada 5 April 2004. Masjid ini
berdekatan dengan tepian tasik Putrajaya
yang indah dan jernih airnya. Keadaan
gambar di bawah menunjukkan suatu
transformasi berlaku di tasik tersebut.
Bagaimanakah fenomena ini berlaku?

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms207

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

209208

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Mengenal pasti ciri-ciri transformasi
Bahan: Petikan cerita

Setiap hari sebelum ke sekolah, Akmal akan menyikat rambutnya di
hadapan cermin dan memastikannya dalam keadaan kemas. Sambil
menikmati sarapan pagi, dia akan duduk di bawah kipas siling yang
berpusing untuk mengelakkannya berpeluh semasa sarapan. Selesai
bersarapan, Akmal berjalan dari rumahnya ke perhentian bas untuk
ke sekolah.

Langkah:
1. Secara berkumpulan, bincangkan situasi:

(i) Akmal di hadapan cermin.
(ii) Kipas siling yang berpusing.
(iii) Akmal berjalan dari rumahnya ke perhentian bas.

2.  Adakah situasi tersebut mengubah rupa bentuk Akmal dan bilah
kipas? Daripada situasi tersebut, apakah yang anda fahami tentang
pengertian transformasi dalam kehidupan harian Akmal?

11.1 Transformasi

11.1.1 Transformasi dalam bentuk, saiz,
kedudukan dan orientasi suatu objek

Transformasi melibatkan pemindahan titik pada suatu satah.

Tujuan: Mengenal pasti transformasi melalui kedudukan saiz
   dan rupa bentuk
Bahan: Kad manila, cat air dan lampu suluh
Langkah:
1. Celupkan kedua-dua belah tapak tangan anda ke dalam cat air.

Kemudian, tekapkannya pada kad manila dalam keadaan sebelah-
menyebelah seperti Rajah A.

2. Dalam keadaan tangan kiri berwarna, tekapkan tangan kiri
sebanyak dua kali dalam keadaan sebelah-menyebelah dan ke
bawah sedikit seperti Rajah B.

Sebelum transformasi berlaku, bentuk rajah asal dinamakan objek. Selepas
transformasi, bentuk itu dinamakan imej. Transformasi merupakan
padanan suatu titik pada suatu satah. Apabila objek bergerak dalam suatu
transformasi, setiap titik objek itu mengikut corak pergerakan yang sama.

Transformasi merupakan suatu pergerakan dengan orientasi dan padanan
yang tertentu tanpa mengubah rupa bentuk.
Rajah di sebelah merupakan pergerakan objek ABCD ke imej A'B'C'D'
dengan pergerakan tiga unit ke kanan dan tiga unit ke atas.

Transformasi merupakan proses mengubah kedudukan, orientasi atau saiz imej suatu objek melalui
translasi, pantulan dan putaran. Imej yang dihasilkan oleh transformasi isometri adalah kongruen.

3. Ulangi langkah 2 dengan tekapan kedua
dalam keadaan berpusing seperti Rajah C.

4. Pancarkan lampu suluh ke tapak tangan
dan perhatikan bayangan yang terhasil
di papan tulis. Gerakkan lampu suluh ke
hadapan dan ke belakang untuk melihat
saiz bayangan tangan.

Perbincangan:
Berdasarkan aktiviti di atas, apakah kesimpulan daripada orientasi
pergerakan yang sesuai mengikut pemahaman anda, jika
(i) kedudukan tangan sebelah-menyebelah.
(ii) bentuk tangan serupa tetapi kedudukan satu ke atas dan

satu lagi ke bawah.
(iii) kedudukan bentuk tangan yang melambai.
(iv) saiz bayangan tangan.

Antara berikut, yang manakah menunjukkan transformasi dan mengapa?
(a)           (b)

Penyelesaian:

(a) Transformasi kerana tidak mengubah rupa bentuk.
(b) Transfromasi kerana hanya berubah kedudukan dan tidak berubah bentuk.
(c) Bukan transformasi kerana berubah rupa bentuk.
(d) Bukan transformasi kerana berubah rupa bentuk.

N

M

CONTOH 1

A B

P Q

Memerihalkan perubahan
bentuk, saiz, kedudukan
dan orientasi suatu
objek yang melalui
transformasi, dan
seterusnya menerangkan
idea padanan satu-
dengan-satu antara titik-
titik dalam transformasi.

L K

A' B'
D

C

D'
C'

B
A

Adakah bayang-bayang
merupakan imej?

Rajah A

Rajah B

Rajah C

(c)      (d)
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

211210

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

Rajah di sebelah menunjukkan ABCDEF ialah objek, manakala PQRSTU
ialah imej. Nyatakan imej bagi
(a) titik C  (b) garisan AB  (c) ∠	BCD

Penyelesaian:

(a)  Imej bagi titik C ialah T kerana bentuk yang sama, tetapi kedudukan
yang berlainan.

(b)  Imej bagi garisan AB ialah RS kerana imej itu mempunyai ukuran yang sama panjang.
(c)  Imej bagi ∠	BCD ialah ∠	STU kerana ∠	BCD mempunyai saiz yang sama dengan ∠	STU.

CONTOH 2

A PB Q

C D

E RS

TU

F

11.1.2 Kekongruenan

Tujuan: Mengenal pasti kekongruenan
Bahan: Kertas berwarna biru dan berwarna merah,
 pembaris, protraktor dan gunting
Langkah:

1.  Dalam kumpulan kecil 4 hingga 5 orang, murid dikehendaki
membentuk dua segi tiga.

2. Murid A dan B akan membentuk segi tiga menggunakan kertas
berwarna biru berukuran sisi 5 cm, 8 cm dan 11 cm.

3. Murid C dan D akan membentuk segi tiga menggunakan
kertas berwarna merah dengan ukuran yang sama.

4. Murid E akan mencantumkan kedua-dua segi tiga untuk
menghasilkan cantuman yang serupa.

5. Murid akan mengukur sudut pada setiap bucu segi tiga masing-
masing menggunakan protraktor.

Perbincangan:
(i) Berikan sifat yang diperoleh daripada kedua-dua bentuk segi

tiga tersebut.
(ii) Jika kongruen merupakan kesamaan bentuk dan saiz, adakah

segi tiga tersebut memenuhi pengertian kongruen?

Dua objek adalah kongruen jika kedua-duanya mempunyai bentuk
dan saiz yang sama, tanpa mengambil kira orientasi pergerakannya.

Alat biasa yang digunakan untuk menentukan kekongruenan ialah pembaris, protraktor, jangka
lukis dan kertas surih. Anda boleh menggunakan alatan ini untuk meneroka sifat kekongruenan.

Perhatikan duit syiling 20 sen dan 10 sen. Dapatkah anda membezakannya dari segi rupa bentuk
duit syiling itu? Jika semua duit syiling berbentuk bulat maka duit itu adalah serupa. Adakah
anda setuju dengan pernyataan ini? Semua duit syiling 10 sen adalah kongruen manakala duit
syiling 20 sen dan 10 sen adalah serupa tetapi bukan kongruen.

Menerangkan idea
kekongruenan
dalam transformasi.

Perhatikan objek di atas.
Adakah kedua-dua objek
tersebut kongruen? Jika
berat kedua-dua objek
tersebut adalah sama,
adakah jumlah bagi
syiling yang tersimpan di
dalam tabung tersebut
mempunyai nilai yang
sama? Adakah itu yang
dikatakan kongruen?

Antara dua pasangan rajah di bawah, yang manakah kongruen?
Nyatakan sebabnya.
(a)         (b)

Penyelesaian:

(a) Tidak kongruen kerana saiz yang tidak sama.
(b) Kongruen kerana saiz sama walaupun kedudukan dan orientasi

tidak sama.

CONTOH 3

1. Antara rajah berikut, yang manakah menunjukkan bukan suatu transformasi?

(a)    (b)   (c)   (d)

2. K' ialah imej kepada K di bawah suatu transformasi.
 Kenal pasti

(a) bucu imej N (b) imej panjang BH (c) imej ∠SDB

3. Kenal pasti pasangan yang kongruen dan nyatakan sebabnya.

(a)   (b)    (c)   (d)

B

D S
K K'

H U

V

Q

R
T

N

11.1

Segi tiga Sisi Sisi Sudut Sudut

PQR QP ∠PQR

CBA AB ∠CAB

4. Gambar rajah di bawah merupakan dua segi tiga yang kongruen. Lengkapkan jadual di bawah
dengan padanan garis dan sudut yang serupa.

Q R C

BAP

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms210
untuk melihat video
kekongruenan.

Orientasi ialah hala
sesuatu. Contohnya,
arah jam, lawan arah jam,
sebelah kiri dan sebelah
kanan.

Kongruen ialah perihal sama
bentuk dan sama saiz.
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

213212

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

Di bawah suatu translasi, objek dan imej mempunyai bentuk, saiz dan orientasi yang sama.

11.2 Translasi

11.2.1 Translasi Mengenal translasi.

Tujuan: Mengenal pasti ciri-ciri translasi
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:

1. Buka fail MS212 yang telah disediakan.
2. Anda boleh meneroka sebarang koordinat bagi A, B dan C.
3. Perhatikan imej berwarna biru yang terhasil setelah titik itu diubah.
4. Pergerakan imej bergantung pada ketetapan anak panah E yang diberikan. Anda juga boleh

menggerakkan penggelongsor biru untuk melihat pergerakan imej.
Perbincangan:
(i)  Apakah kesimpulan yang boleh dibuat daripada aktiviti penerokaan di atas?
(ii) Bagaimanakah sifat imej berubah apabila nilai koordinat pada titik objek berubah?

Kenal	pasti	rajah	yang	menunjukkan	translasi.	Berikan	justifikasi.
(a)          (b)

Penyelesaian:

(a) Translasi kerana bentuk, saiz dan orientasi sama.
(b) Bukan translasi kerana orientasi tidak sama.

CONTOH 4

Translasi merupakan pemindahan semua titik pada suatu satah
mengikut arah yang sama dan melalui jarak yang sama.

Tujuan: Meneroka translasi daripada vektor translasi
Bahan:  Perisian geometri dinamik

Langkah:
1. Buka fail MS213 untuk menonton video demonstrasi

translasi vektor. Ikuti cara-cara menentukan imej daripada
vektor yang diberikan.

2. Diberi Vektor 1 dan Vektor 2. Tentukan imej koordinat bagi
A, B, C, D dan E.

3. Anda boleh memilih mana-mana vektor untuk menentukan
imej bagi titik-titik tersebut.

4. Lengkapkan jadual di bawah.

Perbincangan:
(i)  Adakah arah pergerakan objek sama dengan arah pergerakan

anak panah?
(ii) Bagaimanakah penulisan pergerakan unit bagi vektor
 translasi                          dapat dibuat?

11.2.2 Perwakilan translasi dalam bentuk
 vektor translasi

Memerihalkan translasi
menggunakan pelbagai
perwakilan termasuk dalam
bentuk vektor translasi.

Vektor translasi merupakan pergerakan yang mempunyai arah dan
magnitud. Vektor ini juga diwakili dengan anak panah. Penentuan
translasi berdasarkan nilai dan arah suatu vektor.

Koordinat (x, y). Nilai
x ditulis dahulu diikuti
nilai y.

OP dikenali sebagai
suatu vektor.

y

x

P

O

Pergerakan
atas	/	bawah

Pergerakan
kanan	/	kiri

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms212 untuk
melihat video animasi
translasi.

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms213 untuk
melihat video demonstrasi
translasi vektor.

→

Koordinat
Objek

Jumlah Unit
Pergerakan
Kanan/Kiri

a

Jumlah Unit
Pergerakan
Atas/Bawah

b

Bentuk
Vektor Koordinat

Imej

A (        ) A' (        )

B (        ) B' (        )
C (        ) C' (        )
D (        ) D' (        )
E (        ) E' (        )

a
b�		�
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

215214

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

CONTOH 5

Tentukan kedudukan titik P dalam rajah
yang diberikan bagi huraian translasi
dan lukis vektor translasi tersebut.
(a) Titik P bergerak 2 unit ke kiri dan 3

unit ke bawah.
(b) Titik P bergerak 5 unit ke kanan dan

5 unit ke bawah.
(c) Titik P bergerak 6 unit ke bawah.
(d) Titik P bergerak 3 unit ke kanan.

Penyelesaian:

(a)             (b)

(c)                                                  (d)

P

P

P'

P

P'

P

P'

P P'

Tentukan vektor translasi OP berdasarkan rajah di bawah.
(a) (b)  (c)

Penyelesaian:

(a) 3
3

(b) –3
3

(c) 3
–3

CONTOH 6

Translasi boleh dihuraikan dengan menyatakan arah dan jarak pergerakan serta vektor, iaitu:
(a) Arah pergerakan : ke kanan, ke kiri, ke atas, ke bawah.
 Jarak pergerakan : bilangan unit.

(b) Vektor translasi : a
b

b
a

P

O

b
a

P

O

a

b

P

O

Tentukan translasi bagi rajah berikut.

(a) (b)  (c)

Penyelesaian:

(a)  (b)    (c)

CONTOH 7

Q'

Q

P

P'

R

R'

Tujuan: Mengenal pasti imej suatu objek dalam suatu translasi
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Perhatikan rajah di sebelah,

kenal pasti imej bagi objek L
bagi translasi yang diberikan.

2. Lengkapkan jadual berikut.

Perbincangan:
(i) Bandingkan ukuran panjang sisi dan nilai sudut bagi objek serta imej.
(ii) Kesimpulan tentang ciri-ciri translasi.

11.2.3 Imej dan objek dalam suatu translasi

L

A

C B

D

E

x

y

O 1

5

4
3

2

1

2 3 4−1
−1

−2

−2	−3	−4	 5

–3
4

−4
−3P

P'

–4
−3 R

R'

0
−3

Menentukan imej dan
objek bagi suatu translasi.

Translasi Imej
3
2

2
–3
–2
–5

2
−1

6
–1

Imej bagi suatu objek dalam suatu translasi akan sentiasa sama dari segi bentuk, saiz dan orientasi.

Lukis imej bagi objek A dalam rajah dengan translasi berikut.

(a) −2
– 4

(b) 3
–1

CONTOH 8

A

Bentuk vektor translasi
ditulis sebagai a

b
.

a mewakili pergerakan
yang selari dengan paksi-x.
a bernilai positif jika objek
bergerak ke kanan dan
bernilai negatif jika objek
bergerak ke kiri.

b mewakili pergerakan
yang selari dengan paksi-y.
b bernilai positif jika objek
bergerak ke atas dan
bernilai negatif jika objek
bergerak ke bawah.
Oleh itu, translasi bagi imej
yang dihasilkan oleh objek
pada rajah di bawah ialah

3
–2

.

Objek

Imej

+3

–2

−3

Q'

Q

4

–3
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

217216

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

Maka, imej titik Q (3, 1) ialah (−2,	3).

3
1

−5
2

−2
3+ =

Menentukan koordinat imej apabila koordinat
objek diberikan

Untuk menentukan imej di bawah translasi a
b�				� ,

koordinat objek P(x, y) akan dipetakan

P'(x + a, y + b) = P'(x' y' )

CONTOH 9

Tentukan koordinat bagi imej titik Q (3, 1) di bawah translasi −52  .

Penyelesaian:

Kaedah 1: Melukis satah Cartes             Kaedah 2: Mengira

i.   Q (3, 1)          Q'	(3	+	(−5), 1 + 2)
	 	 	 	 	 	 	 	 																		=	(−2,	3)
          ii.

Menentukan koordinat objek apabila koordinat imej diberikan

Untuk menentukan  objek di bawah translasi a
b�				� ,

koordinat objek R'(x', y' ) akan dipetakan

R(x' – a, y'  – b) = R, (x y)

Q'

Q

y

x
O

−2

2

2−4 4−2

4

CONTOH 10

Tentukan koordinat bagi objek titik A jika koordinat imejnya,

A' di bawah translasi 3
−2  adalah seperti yang berikut.

(a)	(−6,	1)	 	 	 	 	 																															(b) (9, 0)

Penyelesaian:

(a) Koordinat A	=	[−6	–	3	,	1	−	(−2)]		(b) Koordinat A	=	[9	−	3	,	0	−	(−2)]
			 			 	 		 	 	 	 	 =	(−9	,	3)	 					 =	(6,	2)

A'

A A
A'

Kaedah alternatif

Berlaku pertukaran
bentuk vektor kepada
pasangan tertib.

a
b
a
b

x
y
x
y

a + x
b + y
a − x
b − y

+

−

=

=

x
y

(x, y)

11.2.4 Penyelesaian masalah

Penyelesaian:

Vektor translasi = x' −	x
y' −	y

= 3 −	2
6 −	9

= 1

−3

Diberi objek (x, y) dan
imej (x', y'). Vektor
translasi ialah x' − x

y' − y

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan translasi.

Menentukan vektor translasi  jika diberi kedudukan imej dan objek

CONTOH 11

Diberi P' (3, 6) ialah imej kepada P (2, 9). Tentukan translasi tersebut.

CONTOH 12

Agnes menggerakkan buah damnya dari A ke B dan kemudian ke
C. Nyatakan pergerakannya dalam bentuk vektor translasi buah dam
bertanda
(a) A ke B.
(b) B ke C.

Penyelesaian:

A

C

B

Anda boleh cuba melontar
peluru dengan dua gaya
yang berlainan. Adakah
gaya mempengaruhi arah
lontaran? Bincangkan
perkaitannya dengan
konsep translasi.

Pergerakan translasi
sentiasa bermula dengan
ke kiri atau ke kanan,
kemudian baru ke atas
atau ke bawah.

Merancang strategi

Melaksanakan strategiMembuat kesimpulan

Memahami masalah

Menggunakan a
b

(a)  – 4
–2

(b)  3
–2

(a) Maka, vektor translasi

A ke B ialah – 4
–2 .

(b) Maka, vektor translasi

B ke C ialah 3
–2 .

Pergerakan translasi ke
kiri atau ke kanan, ke atas
atau ke bawah.

(a) 4 unit ke kiri, 2 unit ke
bawah.

(b) 3 unit ke kanan, 2 unit ke
bawah.

Penyelesaian:

(a)                      (b)

Kaedah alternatif
x
y

x
y

3
–2

3
–2

–6
1

–6
1

–9
3

+ =

=

=

–

3
–2

x
y

x
y

3
2

9
0
9
0
6
2

+ =

=

=

–

(a)

(b)

+b

+a

P '(x + a, y + b)

P(x, y)

R(x' – a, y'  – b)

–b

–a R '(x', y' )

Objek Translasi Imej

A (–3, 4)
2

–3

B (7, 9)
– 4
– 5

–3
2

P'(–5, 2)

0
5

Q'(4, 1)
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

219218

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

1. Antara pasangan bentuk berikut, yang manakah menunjukkan keadaan translasi?

(a)  (b)  (c)  (d)

2.	 Tentukan	koordinat	imej	bagi	objek	(5,	−3)	di	bawah	translasi

(a) 2
2

(b) 4
6

(c) −3
−1

(d) −2
−5

3.	 Tentukan	koordinat	objek	bagi	imej	(−1,	−4)	di	bawah	translasi

(a) 1
4

(b) −3
5

(c) −8
0

(d) 7
2

4. Nyatakan vektor translasi bagi pasangan titik berikut.

(a) A (1, 2), A' (3, 6)    (b) B (5, 7), B' (−1,	−1)

(c) C (4, 4), C' (8, 0)    (d) D (6, 4), D' (3,	−3)

5. Objek L (1, 4) dipetakan kepada kedudukan L' (3,	 −5)	 di	 bawah	 suatu	 translasi.	 Tentukan
kedudukan imej atau objek dengan translasi yang sama bagi titik di bawah.

(a) A (3, 1)     (b) S' (4,	−2)

(c) J' (5,	−	6)		 		 	 (d) D (−7,	−8)

6.  Dengan menggunakan orientasi yang sama dengan rajah di sebelah,
tentukan koordinat imej bagi titik berikut.

(a)	(−1,	−	4)	 		 	 (b)	(5,	−5)

11.2

A

A'

Apabila Preveena melihat cermin sambil menyikat rambutnya, dia akan dapat melihat rupa parasnya
pada cermin tersebut. Imej Preveena dalam cermin ialah hasil pantulan. Pantulan ialah transformasi
yang berlaku apabila semua titik pada satah dibalikkan dalam satah yang sama pada suatu garis.
Garis tersebut dinamakan paksi pantulan.

11.3 Pantulan

11.3.1 Pantulan Mengenal pantulan.

Simetri ialah suatu padanan dari segi saiz dan bentuk di antara satu
bahagian atau sisi suatu arah objek. Garis simetri ialah garisan yang
membahagikan suatu bentuk kepada dua bahagian yang kongruen.
Garis ini ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis yang
menyambungkan objek dan imej. Garis simetri ialah paksi pantulan
bagi imej dan objek.

Tujuan: Mengenal pasti ciri-ciri pantulan
Bahan: Perisian geometri dinamik

Langkah:
1. Buka fail MS219 yang telah disediakan.
2. Perhatikan perubahan paksi pantulan apabila titik G dan titik H berubah.
3. Perhatikan perubahan yang berlaku pada imej.
Perbincangan:
(i)  Apakah yang anda fahami tentang paksi pantulan?
(ii) Apakah yang akan terjadi kepada imej berwarna kuning apabila paksi garisan GH digerakkan?
(iii) Apakah sifat-sifat simetri yang anda fahami daripada aktiviti tersebut?

Di bawah suatu pantulan,
(i) objek dan imej berada pada sebelah yang bertentangan dengan paksi pantulan.
(ii) objek dan imejnya mempunyai jarak serenjang yang sama dari paksi pantulan.
(iii) bentuk dan saiz imej adalah sama dengan objek, tetapi orientasinya songsang.
(iv) imej bagi suatu titik yang ada pada paksi pantulan ialah titik itu sendiri.

CONTOH 13

Antara corak yang berikut, yang manakah menunjukkan orientasi pantulan?
(a)   (b) (c)

Penyelesaian:

(a) Ya  (b) Tidak  (c) Ya

Sifat imej bagi pantulan ialah
(a) sama bentuk dan sama saiz dengan objek.
(b) imej mempunyai orientasi berbeza, bersongsang sisi dan membentuk imej cermin antara satu

sama lain.

Semua titik yang terletak
pada paksi pantulan tidak
berubah kedudukannya
semasa mengalami
suatu transformasi.

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms219 untuk
melihat video demonstrasi
ciri-ciri pantulan.

QR CODE
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

221220

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

–5	−4		−3		−2		−1										1				2			 3					4					5

5
4
3
2
1

−1
−2

−3
−4
–5

x
O

y

CONTOH 14

Lengkapkan lukisan di bawah.

Penyelesaian:

11.3.2 Penerangan tentang pantulan

Memerihalkan pantulan
menggunakan
pelbagai perwakilan.

CONTOH 15

Dalam rajah berikut, segi tiga M' ialah imej kepada segi tiga M
di bawah suatu pantulan. Huraikan pantulan tersebut.
(a)   (b)

Penyelesaian:

(a) Objek M dipantulkan pada paksi-x. (b) Objek M dipantulkan pada paksi-y.

11.3.3 Imej bagi suatu objek

Menentukan imej dan
objek bagi suatu pantulan.

M

M'

−4		−3		−2		−1												1				2				 3					4					5					6

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

x

y

O −4		−3		−2		−1												1				2				 3					4					5					6

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

x

y

O

M M'

CONTOH 16

Lukis imej bagi segi tiga ABC di bawah pantulan pada
garis LM.

C

A B
L

M

Penyelesaian:

Langkah 1:  Pilih mana-mana bucu dan bina garis serenjang
dari bucu tersebut ke garisan LM dan panjangkan
melebihi paksi pantulan tersebut.

Langkah 2: Selarikan garisan tersebut kepada semua bucu
yang lain.

C

A B
L

M

Langkah 3: Tentukan jarak bucu masing-masing dari
paksi pantulan dan tandakan jarak yang sama
dari paksi di atas garisan yang sama. Lakukan
perkara yang sama pada semua bucu.

11.3.4 Penyelesaian masalah

CONTOH 17

Dalam rajah di sebelah, M'
ialah imej bagi M di bawah
suatu pantulan. Tentukan
koordinat P' di bawah paksi
pantulan yang sama.

Penyelesaian:

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan pantulan.

Paksi pantulan
y =1

Merancang strategi

Melaksanakan strategiMembuat kesimpulan

Memahami masalah

Paksi pantulan ditentukan pada y = 1.

Gunakan paksi tersebut untuk
mendapatkan P'.

Dengan paksi pantulan y = 1,
Koordinat P' ialah (–3, –1).

M' ialah imej bagi M.
Tentukan paksi pantulan.

Tentukan pasangan bucu bagi imej dan objek.
Lukis garis serenjang bagi kedua-dua pasangan bucu.
Bina atau tentukan pembahagi dua bagi garis serenjang tersebut.

P
M

−4		−3		−2		−1										1				2			 3					4					5					6

4
3
2
1

−1
−2

−3
−4

x

y

O
M ' P'

(–3, –1)

Objek Transformasi Imej

(3, 4)
Pantulan pada

paksi-x

(–3, –5)
Pantulan pada

paksi-x

(3, 4)
Pantulan pada

paksi-y

(–3, –5)
Pantulan pada

paksi-y

A(–5, 2)
(–1, 3)

(–4, –1) (4, –1)

(5, 2)

(1, 3)

B

CC'

B'
A'

Pantulan titik (x, y) pada
paksi-y ialah titik (–x, y)

Pantulan titik (x, y) pada
paksi-x ialah titik (x, –y)

–5	−4		−3		−2		−1										1				2			 3					4					5

5
4
3
2
1

−1
−2

−3
−4
–5

x
O

A(–2, 1)

(–2, –1)

(1, –4)

(3, –2)

(3, 2)

(1, 4)B

C

C'

B'

A'

y

P
M

−4		−3		−2		−1										1				2			 3					4					5					6

4
3
2
1

−1
−2

−3
−4

x

y

O

M'
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

223222

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

1.  Antara berikut, yang manakah menunjukkan pantulan?

(a)   (b)     (c)    (d)

2.  Lengkapkan lukisan di bawah.
 (a)          (b)

3. Bina imej bagi objek  di bawah pantulan garisan PQ.
 (a)          (b)

4. A 'B'C'D' ialah imej bagi objek ABCD di bawah suatu
paksi pantulan. Tentukan koordinat imej bagi titik objek
P, Q, R dan S menggunakan paksi pantulan yang sama.

5. Lukis paksi pantulan bagi gambar rajah berikut.
 (a)          (b)

6. Merujuk kepada satah Cartes di sebelah, huraikan
pantulan yang memetakan poligon A kepada poligon

(a) K                  b) L                 (c) M          (d) N

7. Kenal pasti paksi pantulan dan huraikan suatu perwakilan pantulan bagi pasangan titik di bawah.
 (a) A (3, 1) dan A' (−3,	1)	 	 (b)	B (−4,	2)	dan	B' (−4,	−2)
 (c) C (5, 6) dan C' (−5,	6)	 	 (d) D (2, 2) dan D' (4, 2)

8. Jika L (4, 1) dipetakan kepada L' (4, 5) di bawah satu pantulan, tentukan
 (a) koordinat imej bagi (−3, −1) di bawah paksi pantulan yang sama.
 (b) koordinat objek bagi (7, 2) di bawah pantulan yang sama.

11.3

P

QP

Q

N

M

A  L

K

x

y

O

8

6

4

2

−2
−2 2 4 6 8−	4−	6−8

−	4

M

M'

A

A'

11.4 Putaran
11.4.1 Putaran
Dapatkah anda mengenal pasti pergerakan objek yang berputar
di sekeliling anda seperti jarum jam, kipas siling dan pergerakan
tayar? Jarum jam melakukan putaran penuh setiap dua belas
jam. Namun begitu, putaran tayar bergantung pada arah pergerakan sama ada ke depan atau ke
belakang. Semua pergerakan tersebut mempunyai pusat putarannya.

Mengenal putaran.

Tujuan: Mengenal putaran
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS223 untuk menonton

video animasi putaran.
2. Seret butang hijau dan perhatikan

animasi putaran.
3. Laraskan butang tersebut untuk

melihat objek yang diputarkan.
Perbincangan:

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms223 untuk
melihat video animasi
putaran.

(i) Dapatkah anda mengenal pasti imej segi tiga yang bergerak apabila sudut putaran
dilaraskan? Apakah kesimpulan yang boleh anda buat terhadap imej segi tiga itu?

(ii) Apakah sifat imej dalam aktiviti di atas?

x

y

O

8

6

4

2

−2
−2 2 4 6 8−4−6−8

−4

S

A'
 A

D'

R

P

Q

T

B B'

C C'

D

QR CODE
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

225224

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

Penyelesaian:

Kaedah 1 (Menggunakan kertas surih)
Langkah 1: Lukiskan garisan pada titik M

ke titik P.

Langkah 2: Tentukan sudut 90° lawan
arah jam.

Langkah 3: Lukis semula bentuk segi tiga
PQR di atas kertas surih.

Langkah 4:  Tekan dengan mata pensel
pada titik M, putarkan kertas
surih 90° lawan arah jam.

11.4.2 Putaran dalam pelbagai perwakilan
Apabila kita memerihalkan suatu putaran, kita perlu
menyatakan pusat, sudut dan arah putaran yang memetakan
objek kepada imej.

CONTOH 18

Perihalkan putaran bagi rajah di bawah.
(a)                                                   (b)

Penyelesaian:

(a) Putaran 90° ikut arah jam pada titik T.
(b) Putaran 90° lawan arah jam pada titik S.

Memerihalkan putaran
menggunakan
pelbagai perwakilan.

11.4.3 Menentukan imej dan objek bagi putaran
Kita boleh menggunakan kertas surih, protraktor dan jangka lukis
untuk menentukan imej atau objek di bawah suatu putaran.

Ikut arah jam Lawan arah jam

CONTOH 19

Menentukan imej dan
objek bagi suatu putaran.

P

M

QR

Imej yang dihasilkan
melalui putaran 180° ikut
arah jam adalah sama
dengan putaran 180°
lawan arah jam.

A

A'

180°

ikut arah jam

lawan arah jam

P

M

Tentukan	 imej	 bagi	 ΔPQR apabila
diputarkan 90° lawan arah jam pada titik M.

M

90°

R Q

P

kertas
surih

M

90°

R Q

P kertas
surih

R'

Q'

P'

90°

lawan arah
jam

P

M

Sifat imej bagi putaran:
(a) Imej yang dihasilkan mempunyai bentuk, saiz dan orientasi yang sama dengan objek.
(b) Pusat putaran ialah satu titik pegun.
(c) Jarak semua titik imej ke pusat putaran adalah sama dengan jarak objek ke pusat putaran.

Objek Transformasi Imej

(5, 2)

Putaran 90°
ikut arah jam

pada titik
(0, 0)

(–3, 4)

Putaran 90°
lawan arah

jam pada titik
(2, 1)

(– 4, 7)
Putaran 180°

pada titik
(–1, 3)

–5	−4		−3		−2		−1										1				2			 3					4					5

6
5
4
3
2
1

−1
−2

−3
−4

x

y

O

A

(–1, 1)

(1, 1)

(–5, 1)

(1, 5)

(–5, 4)

(4, 5)

B C
C'

B' A'

A'

A

B'

B

C'

C

–5	−4		−3		−2		−1										1				2			 3					4					5

5
4
3
2
1

−1
−2

−3
−4
–5

x

y

O

(0, –1)
(–4, –1)
(–2, –5)

A'
B'
C'

B'

C'

A'

(0, 1)
(4, 1)
(2, 5)

A

A

B

B

C

C

–5	−4		−3		−2		−1										1				2			 3					4					5

5
4
3
2
1

−1
−2

−3
−4
–5

x

y

O

(0, 1)

(1, 0)

(–1, 4)

(4, 1)

(3, 4)

(4, –3)

(2, 1)

(1, –2)

A

A'

B

B'

C

C'

D

D'

B'

C'

D'

A'A D

B C

Putaran 90°
lawan arah
jam pada

asalan

(x, y) → (–y, x)

Putaran 180°
pada asalan (x, y) → (–x, –y)

Putaran 270°
lawan arah
jam pada

asalan

(x, y) → (y, –x)

BA

A'

B'C'

D'

CD

T
x

y

O 4321 5 6

S

A'

A
1

–1
–1

2

3

4

R

R

Q

Q
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

227226

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

Kaedah 2 (Menggunakan protraktor)
Langkah 1: Bina garisan MP.

Langkah 2: Dengan menggunakan protraktor, lukis satu garisan MP
berukuran 90° lawan arah jam dengan jarak yang sama
dengan MP'.

Langkah 3: Ulangi langkah 2 dengan garisan MR dan MQ.

Langkah 4: Sambungkan semua titik P', R' dan Q' menjadi sebuah segi tiga yang sama dengan PRQ.

M

P

R Q

M
R'

Q'

P

R Q

M
P' R'

Q'

P'

CONTOH 20

Tentukan objek bagi titik Q' apabila diputarkan
180° ikut arah jam pada titik M.

Penyelesaian:

Langkah 1: Lukis garisan yang menyambungkan
titik M dan Q' serta panjangkannya
dengan jarak yang sama dengan MQ' di
arah yang bertentangan.

Langkah 2: Tandakan titik Q pada garisan yang
dipanjangkan dengan MQ = MQ'.

Jika B ialah pusat putaran,
maka kedudukan imej B
tidak akan berubah.

A

A'

B
C' C

Q'

M

Q'

M

Q'

M

Q

P

M

Jika soalan menggunakan
grid segi empat sama,
maka putaran 90°, 180°
dan 270° tidak perlu
menggunakan protraktor.

11.4.4 Penyelesaian masalah
Tahukah anda sekiranya objek dan imej suatu putaran diberi, pusat,
sudut dan arah putaran dapat ditentukan dengan menggunakan
kaedah pembinaan geometri.

Menentukan pusat, sudut dan arah putaran

CONTOH 21

A'B'C' ialah imej bagi ABC di bawah suatu putaran.
Tentukan pusat, sudut dan arah putaran itu.

Objek
Imej

A'

B' C'

A

B

C

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan putaran.

Penyelesaian:

Langkah 1: Sambungkan titik A ke A'. Bina pembahagi dua
sama serenjang bagi tembereng garis AA'.

Langkah 2: Ulangi langkah 1 bagi garis  BB' atau CC'.
A'

B' C'

A

B

C

A'

B' C'

A

B

C

Objek Transformasi Imej

Putaran 90°
ikut arah jam

pada titik
(–2, 3)

(–3, 1)

Putaran 90°
lawan arah

jam pada titik
(1, 3 )

(3, 2)

Putaran 180°
pada titik

(–3, 4)
(2, 1)

R

R

Q

Q

P

P'
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

229228

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

A'

B' C'

A

B

C

D

A'

B' C'

D

A

B

C
90°

Menentukan koordinat imej apabila koordinat objek diberikan
CONTOH 22

Tentukan koordinat imej bagi titik A (−3,	2)	di	bawah	suatu	putaran	90°	ikut	arah	jam	pada	asalan	O.

Penyelesaian:

Menentukan koordinat objek apabila koordinat imej diberi

CONTOH 23

Sekiranya K' (−2,	−3)	ialah	imej	bagi	K di bawah putaran 90° ikut
arah jam pada titik L (1, 0), tentukan koordinat K.

Penyelesaian:

Langkah 1: Terbalikkan arah putaran untuk mencari koordinat
objek, iaitu titik K.

Langkah 2: Dengan menggunakan protraktor, putar garis K'L
pada titik L, 90° lawan arah jam.

Daripada rajah, koordinat bagi titik K	ialah	(4,−3).

x

y

21

1

2

3

4

–1
–1–2–3 O

A

x

y

4321

1

–4

–3

–2

–1
–1–2 O

K'

L

K

1. Perihalkan putaran di bawah yang berpusat di P jika A ialah objek dan B ialah imej.
 (a)               (b)

(c)               (d)

2. Perihalkan putaran yang memetakan objek kepada imejnya.
 (a)               (b)

(c)               (d)

3. Lukis imej bagi R di bawah satu putaran.

11.4

B

A

P x
4321–1–2–3–4–5–6 O

y

–1

1

2

3
4

BA

P

x
5 6 73 421–1–2 O

y

–1

1

2

3
4

5

Langkah 3: Titik persilangan dua garisan pembahagi dua
serenjang itu ialah pusat putaran. Tandakan pusat
putaran itu sebagai D.

Langkah 4: Ukur sudut CDC' menggunakan protraktor.

Maka, imej di bawah putaran 90° ikut arah jam
pada pusat D.

B A

P
x

5 6 73 421–1–2 O

y

–1

1

2

3
4

5

B A

P

x
5 6 73 421–1–2 O

y

–1

1

2

3
4

5

P
Q

Q'

MM'
T

x
42–2–4 O

y

–2

2

4

S
S'

R O R O

Putaran 90° lawan arah jam pada pusat O. Putaran 180° pada pusat O.

Langkah 1:
Sambung garis OA.

Langkah 2:
Putar garis OA pada asalan O menggunakan protraktor ikut
arah jam dengan sudut 90°.
Daripada rajah, koordinat bagi
imej A' ialah (2, 3).

x

y

21

1

2

3

4

–1
–1–2–3 O

A

A'

R'

R

P
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

231230

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

Titik
Putaran

Koordinat
Pusat Sudut Arah

P (−2,	1) 90° ikut arah jam
Q (0, 0) 90° lawan arah jam
R (0,	−1) 90° lawan arah jam
S (0, 4) 90° ikut arah jam

4. Tentukan koordinat objek bagi titik berikut di bawah putaran
yang diberikan.

O
x

1 2–2 –1–3–4

y

–1

–2

1

2

3

4
5

6

P'

Q'

R'

S'

11.5 Translasi, Pantulan dan Putaran sebagai Isometri

11.5.1 Hubungan translasi, pantulan dan
           putaran dengan isometri

Menyiasat hubungan
antara kesan translasi,
pantulan dan putaran
terhadap jarak di antara
dua titik pada objek dan
imej, dan seterusnya
menerangkan isometri.

CONTOH 24

Antara rajah A, B dan C, yang manakah merupakan imej isometri bagi objek yang berlorek di
bawah suatu isometri?

Objek A

B C

Penyelesaian:

Rajah A ialah imej isometri  kerana bentuk dan saiznya sama.
Rajah B bukan imej isometri  kerana saiznya tidak sama.
Rajah C bukan isometri kerana bentuk dan saiznya tidak sama.

Anda dapat mengenal pasti translasi, pantulan dan putaran ialah isometri.

11.5.2 Hubungan isometri dan kekongruenan

Perhatikan objek yang berwarna ungu. Bolehkah anda nyatakan
imej yang kongruen di bawah suatu transformasi  pantulan?

Dapatkah anda tentukan paksi pantulan bagi transformasi
isometri ini?

Dua rajah adalah
kongruen jika bentuk dan
saiz adalah sama.

ABC dan KLM adalah
kongruen di bawah suatu
translasi.

B L

C MA K

Menerangkan hubungan
antara isometri
dengan kekongruenan.

Objek

Pusat
putaran

Paksi
pantulan

Imej 1

Imej 2

Imej 3

Anda telah mempelajari
transformasi bagi translasi,
pantulan dan putaran bagi
suatu objek. Masing-masing
mempunyai sifat tertentu.
Perhatikan rajah di sebelah, dapatkah anda mengenali
transformasi bagi Imej 1, Imej 2 dan Imej 3? Apakah yang
boleh anda kaitkan dengan jarak di antara objek dengan
imej? Jika objek dipetakan kepada suatu imej yang sentiasa
kongruen, maka itu merupakan suatu isometri. Isometri
ialah suatu transformasi yang mengekalkan jarak di antara
sebarang dua titik pada objek asal. Transformasi isometri
akan mengekalkan bentuk dan saiz asal objek.

Tujuan: Mengenal pasti perkaitan antara isometri dengan kekongruenan
Bahan: Kertas surih dan pembaris

Langkah:
1. Perhatikan gambar rajah di atas. Q ialah objek kepada suatu imej.
2. Bersama-sama dengan rakan, kenal pasti imej yang kongruen.
3. Kenal pasti juga isometri yang memungkinkan kekongruenan pada imej tersebut.
Perbincangan:
(i) Jika imej A dan C bukan kongruen, adakah imej itu boleh dikatakan suatu isometri?
(ii) Apakah perkaitan antara isometri dengan kekongruenan?

x

y

O 54321

1

−1

−2
−3

−4

2

3
4

5

−1−2−3−4−5

A

Q

BC

Di bawah suatu isometri, objek dan imej adalah sama bentuk dan sama saiz. Oleh itu,
objek dan imej adalah kongruen. Isometri ialah transformasi yang imejnya kongruen
dengan objek.
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

233232

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

CONTOH 25

Objek A, B, C dan D adalah kongruen. Nyatakan isometri
yang memetakan
(a) objek A kepada objek B.
(b)  objek A kepada objek C.
(c)  objek A kepada objek D.

Penyelesaian:

(a)  Putaran
(b) Translasi
(c) Pantulan

A

D
C

B

x
5 63 421–1–2–3–4 O

y

1
2
3
4
5
6
7
8

11.5.3 Penyelesaian masalah
Apabila menamakan poligon yang kongruen, tertib huruf mesti
berdasarkan bucu atau sudut yang sepadan.

Sisi empat ABCD dan sisi empat SRQP adalah kongruen.

CONTOH 26
D

A

C

B Q

S

P

50°

QA B

R

P

SD C

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan isometri
dan kekongruenan.

Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah
imej bagi PQCS di bawah suatu
isometri. Diberi DCS ialah garis lurus,
hitung ∠PQC.

Penyelesaian:

1. Tentukan sama ada setiap transformasi yang berikut ialah isometri atau bukan.
 (a)      (b)

(c)          (d)

2. Tentukan sama ada transformasi berikut merupakan suatu isometri.
 (a) Suatu pantulan diikuti suatu pantulan.
 (b) Suatu translasi.
 (c) Suatu putaran secara berturut-turut.

3. Dalam rajah di sebelah, A, B dan C ialah imej bagi objek P.
Nyatakan jenis transformasinya.

4. Rajah di sebelah menunjukkan beberapa bentuk. Nyatakan bentuk
yang kongruen.

5. Dalam rajah di sebelah, Δ	ABC  ialah imej bagi Δ	BCD, di bawah suatu
transformasi isometri. Hitung nilai x.

11.5

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms232 untuk
menonton video animasi
kongruen.

Merancang strategi

Melaksanakan strategiMembuat kesimpulan

Memahami masalah

Oleh itu, ∠PQC ialah 115°.

ABCD ialah imej bagi PQCS.

DCS ialah garis lurus.

∠PQC sebahagian daripada
sudut segi empat PQCS.

Tentukan

∠QCS = 180°– 50°
2

=
130°

2

= 65°

C

Q

S

P

∠PQC = 360° – 90° – 90° – 65°

= 115°

P

C

A

B

K

N M

L

B
15°

35°

A D

C

x
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

235234

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

11.6 Simetri Putaran

11.6.1 Simetri putaran
Suatu bentuk mempunyai simetri putaran jika bentuk tersebut tidak
berubah selepas putaran walaupun kurang daripada satu putaran. Menerangkan

simetri putaran.

Tujuan: Mengenal pasti simetri putaran
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:

CONTOH 27

Kenal pasti objek berikut, yang manakah mempunyai simetri putaran?
(a)  (b)  (c)

Penyelesaian:

(a) Tidak    (b) Ya    (c) Tidak

Simetri merupakan padanan tepat dari segi saiz dan bentuk
antara satu bahagian atau sisi suatu arah atau objek. Bagi
simetri putaran, bentuk atau imej yang diputarkan kurang
daripada 360° pada satu titik tetap, bentuknya masih
kelihatan sama.

1. Buka fail MS234 yang telah disediakan.
2. Gerakkan butang hijau putaran lawan arah jam dengan sudut

120°, 240° dan 360°. Perhatikan perubahan yang berlaku pada
segi tiga berwarna hijau. Gerakkan semula butang tersebut
kepada kedudukan asal.

3. Gerakkan butang hijau putaran arah jam dengan sudut 120°, 240°
dan 360°. Perhatikan perubahan yang berlaku pada segi tiga berwarna merah muda.

Perbincangan:
(i) Dapatkah anda kenal pasti simetri putaran bagi poligon tersebut?
(ii) Jika D ialah pusat putaran, apakah yang anda fahami tentang simetri putaran?

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms234 untuk
menonton video animasi
simetri putaran.

11.6.2 Peringkat simetri putaran bagi objek
Bilangan imej yang boleh dihasilkan dalam suatu pusat putaran yang
sama dan menjadi seperti objek asal adalah dinamakan peringkat
simetri putaran. Peringkat simetri putaran sama dengan bilangan
paksi simetri suatu objek.

Peringkat simetri putaran ialah bilangan kali sesuatu bentuk menepati dirinya sendiri dalam
satu putaran lengkap. Bilangan paksi simetri adalah sama dengan peringkat simetri putaran.

Tujuan: Kenal pasti peringkat simetri putaran
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:

1. Buka fail MS235 yang telah disediakan.
2. Terdapat dua bentuk geometri.
3. Gerakkan butang sudut untuk mendapatkan bentuk asal.
4. Hitung bilangan pergerakan putaran untuk mendapatkan bentuk asal objek.
Perbincangan:
(i) Adakah bilangan peringkat simetri putaran sama dengan bilangan paksi simetri?
(ii) Dapatkah anda tentukan bilangan peringkat simetri putaran?

Menentukan peringkat
simetri putaran bagi
suatu objek.

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms235 untuk
menonton video tentang
aktiviti ini.

A

BC

C

AB

Simbol kitar semula
merupakan contoh suatu
simetri putaran.

QR CODE

QR CODE
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

237236

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

CONTOH 28

Tentukan peringkat simetri putaran apabila kedudukan A berada di
kedudukan D dalam rajah di sebelah.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan kertas surih, lukis dan tentukan pergerakan
peringkat putaran  A kepada D.

A

B

CD

E

B

C

D

EA

A    →    B    →    C    →    D

Peringkat
pertama

Peringkat
kedua

Peringkat
ketiga

1. Antara objek berikut, yang manakah mempunyai simetri putaran?
 (a) (b) (c)  (d)

2.  Tentukan peringkat simetri putaran bagi objek berikut.
 (a) (b) (c)  (d)

3.  Objek simetri berikut diputarkan pada suatu titik. Nyatakan peringkat

simetri putaran jika
 (i)   kedudukan A berada di kedudukan C.
 (ii)  kedudukan B berada di kedudukan D.
 (iii) kedudukan C berada di kedudukan B.

11.6

A

D

F

E

B

C

x
6 842O

y

2

4

6

8 P
4.  Objek tersebut terletak pada satah Cartes. Nyatakan koordinat bagi

P di bawah simetri putaran peringkat ketiga.

1. Rajah di sebelah menunjukkan bentuk poligon
A dipetakan kepada poligon A' di bawah suatu
pantulan. Kenal pasti padanan titik

(a) imej bagi titik P.
 (b) objek bagi titik G.

2. Antara rajah berikut, yang manakah translasi dan nyatakan sebabnya.
 (a)        (b)      (c)

3. Lukis imej bagi objek A di bawah translasi yang diberikan.
 (a) −7

4
            (b) 6

3

(c) 4
–5

(d) −5
–2

Q

P R

A A'
S

TU H

I
J

E

F

G

MENJANA KECEMERLANGAN

A

A A

A
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

239238

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

4. Jika titik K (−2,	−2)	ialah objek, kenal pasti imej di bawah vektor translasi berikut.
 (a) 0

2
     (b) 3

–1
    (c)  −5

4
    (d)  −3

4
    (e)  −2

0
    (f)  4

–3

5. Lukis imej P' bagi objek P di bawah pantulan pada garis MN.
 (a)         (b)                             (c)                    (d)

6.  Tentukan koordinat imej atau objek bagi titik berikut, di bawah paksi pantulan yang diberikan.

7. Tentukan koordinat imej atau objek bagi titik berikut di bawah suatu putaran yang diberikan.

Titik Paksi pantulan pada Koordinat
C Paksi-y C' (           )
D Paksi-x D' (           )
E' Garisan PQ E  (           )
F' Garisan PQ F  (           )

M

N

P

P

M  N P

M

N

M

N

P

2–2–4–6–8–10 4 6 8O

y

2

–2

–4

–6

–8

4

6

8

x

P

Q

C

F'
E'

D

Titik
Putaran

Koordinat
Pusat Sudut Arah

K (0, 0) 90° ikut arah jam K' (         )
L (0, 2) 180° ikut arah jam L' (         )
M' (0, 0) 90° lawan arah  jam M (         )
N' (–3, −4) 180° ikut arah jam N (         )

8. Yang manakah mempunyai simetri putaran?
 (a)            (b)

(c)            (d)

9. (i)  Pada rajah di sebelah, lukis imej bagi M di bawah
 pantulan pada paksi-x.

(ii) Nyatakan koordinat imej bagi titik W di bawah
 pantulan yang sama.

10. Diberi P' ialah imej bagi P di bawah suatu putaran. Huraikan putaran itu selengkapnya.
 (a)             (b)

(c)       (d)

x
5 63 421–1–2–3–4 O

y

1
2
3
4
5
6
7
8

P'
P

x
5 63 421–1–2–3–4 O

y

1
2
3
4
5
6
7
8

P
P'

x
5 63 421–1–2–3–4 O

y

1
2
3
4
5
6
7

–1
–2
–3

P'

P

x
5 63 421–1–2–3–4 O

y

1
2
3
4
5
6
7

–1
–2
–3

P'

P

2–2–4 4 6O

y

2

–2

–4

4

6

x

W

M

2–2–4–6 4 6O

y

2

–2

–4

4

6

x

K

LM'

N'

–8
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

241240

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

11. Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah sebuah segi empat sama. Nyatakan
imej bagi segi tiga OAB di bawah putaran yang berikut.

(i) Putaran 90° ikut arah jam pada titik O.
 (ii) Putaran 180° pada titik O.
 (iii) Putaran 270° lawan arah jam pada titik O.

12. Rajah menunjukkan segi tiga ABC yang mengalami tiga
kali transformasi, iaitu P → Q → R → S.
(a) Huraikan transformasi tersebut.
(b) Sekiranya titik K''' ialah imej bagi titik K, nyatakan

koordinat objek K tersebut di bawah transformasi
yang sama.

14. Rajah di sebelah menunjukkan objek R dan S.

(a)   Lukis imej R di bawah

(i) putaran 90° lawan arah jam pada titik
asalan diikuti translasi  −3

0
.

(ii) pantulan pada garis lurus x = 1.
(b) Lukis imej S di bawah pantulan pada paksi-x

diikuti dengan translasi −4
1

dan putaran
180° pada titik (0, –1).

Seterusnya, nyatakan nama rajah poligon tersebut.

15. Rajah di sebelah menunjukkan segi empat A dan segi empat B yang
dilukis pada grid segi empat sama.

Segi empat A ialah imej bagi segi empat B di bawah suatu
transformasi. Huraikan selengkapnya lima transformasi yang
mungkin.

16. Berdasarkan rajah di sebelah
(a) putarkan objek P sebanyak 180° pada titik (1, 1).

Labelkan imej putaran sebagai Q.
(b)  lakukan translasi −2

–2
 terhadap Q dan labelkannya

sebagai R.

(c)  huraikan  transformasi lain yang memetakan objek
P kepada imej R.

17. Merujuk rajah di bawah, Fauzah dan Zainun masing-masing berkedudukan Tenggara dan Barat
Daya. Jika mereka bercadang untuk berjumpa di suatu kawasan yang terletak di Timur Laut,
nyatakan peringkat simetri putaran yang perlu dilalui oleh mereka berdua.

A

D

C

B
O

1–1 2 3 4 5 6 7 8O

y

2

1

–1

–2

3

4

5

x

A A'

A''C B'

B''

B C'

C''

C'''

B'''

K'''

A'''

P Q

S

R

13. Rajah menunjukkan sebuah peta perairan laut Kejora.

Titik A ialah kedudukan kapal tentera Makdis. Bantu tentera Makdis untuk mengesan lanun
mengikut turutan transformasi berikut.

A (1, –1)

Putaran 90° lawan arah jam
pada titik asalan

Putaran 90° lawan arah jam
pada pusat putaran (5, 1)

Pantulan pada
garis PQ

Pantulan
pada
paksi-x

Pantulan pada
y = –1

Lokasi lanun

Translasi  −1
3

Translasi  4
0

1 2–1–2–3–4–5–6 3 4 5 6O

y

1

–1
–2

–3

2

3

4

5

x

R S

A

B

TIMUR

BARAT

BARAT DAYA

BARAT LAUT

TIMUR LAUT

TENGGARA

UTARA

SELATAN

1 2–1–2–3–4 3 4 5 6O

y

1

–1
–2

–3

2

3

4

x

P
1 2–1–2–3 3 4 5 6 7 8 9 10 11O

y

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

2

3

4

x

A

P

Q
B
A

B
 1

1

B
A

B
 1

1

243242

Bab 11 Transformasi IsometriBab 11 Transformasi Isometri

Transformasi Isometri

INTI PATI BAB

Pemindahan titik pada suatu satah

Translasi
Pemindahan semua
titik pada satu satah
mengikut arah dan
magnitud suatu vektor.
Sifat translasi ialah
(i)  imej tidak berubah.
(ii) imej berada pada

vektor tertentu dari
objek.

Pantulan
Transformasi yang membalikkan
titik-titik pada satu satah terhadap
satu garis yang dikenali sebagai paksi
pantulan. Sifat pantulan ialah
(i)  objek dan imej berada pada

sebelah yang bertentangan
dengan paksi pantulan.

(ii) objek dan imejnya mempunyai
jarak serenjang yang sama dari
paksi pantulan.

(iii) bentuk dan saiz imej adalah
sama dengan objek, tetapi
orientasinya songsang.

(iv) imej bagi suatu titik yang ada
pada paksi pantulan ialah titik
itu sendiri.

Isometri
Transformasi yang menunjukkan objek asal dan imejnya bersifat kongruen. Dalam

isometri, jarak di antara dua titik pada objek asal sama dengan jarak di antara dua titik
yang sama pada imejnya. Pantulan, putaran dan translasi merupakan isometri.

Kekongruenan
Perihal sama bentuk dan sama saiz.

Simetri Putaran
Bentuk atau imej yang diputarkan kurang daripada 360° pada satu titik

tetap, bentuknya masih kelihatan sama.

Putaran
Proses transformasi yang
berlaku apabila setiap
titik berputar pada suatu
titik tetap melalui sudut
tertentu dan mengikut
arah yang tertentu. Sifat
putaran ialah
(i) berputar pada pusat

putaran tertentu.
(ii) mempunyai sudut

putaran.
(iii) imej mengekalkan

rupa bentuk asal
tetapi kedudukan
berubah.

A

A'

A

B

P

P'

y

x
O

1
2
3
4

1 2 3 4

A

Pada akhir bab ini, saya dapat:

Anda diminta untuk mereka bentuk suatu logo kelas anda yang melambangkan ciri-ciri
kerjasama, perpaduan, bertoleransi, menghormati dan keazaman yang kuat. Ciri-ciri ini
hendaklah diterjemahkan dalam bentuk transformasi isometri dengan mempelbagaikan
corak yang bersifat kesederhanaan. Setelah itu, anda perlu memberikan makna yang
mendalam kepada logo tersebut bagi setiap butiran yang anda pilih.

1.  Mengenal translasi, pantulan dan putaran.

2.  Menentukan imej dan objek suatu translasi, pantulan dan putaran.

3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan translasi, putaran dan pantulan.

4.  Menyiasat hubungan antara kesan translasi, pantulan dan putaran terhadap
jarak di antara dua titik pada objek dengan imej, dan seterusnya menerangkan
isometri.

5.  Menerangkan hubungan antara isometri dengan kekongruenan.

6. Menyelesaikan masalah yang melibatkan isometri dan kekongruenan.

7. Menerangkan simetri putaran.

8. Menentukan peringkat simetri putaran bagi suatu objek.

REFLEKSI DIRI
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

245244

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

• Sukatan
 kecenderungan
 memusat
• Mod
• Median
• Min
• Nilai ekstrem
• Data
• Jadual
• Perwakilan data
• Carta pai
• Carta palang
• Plot titik
• Plot batang dan daun
• Jadual kekerapan

• Measure
 of central
 tendency
• Mode
• Median
• Mean
• Extreme value
• Data
• Table
• Data representation
• Pie chart
• Bar chart
• Dot plot
• Stem and leaf plot
• Frequency table

12.1 Sukatan Kecenderungan Memusat

244

Statistik ialah satu bidang matematik
yang menggunakan data. Hal ini demikian
kerana, statistik melibatkan pengumpulan,
penyusunan, penghuraian dan penganalisisan
data serta membuat kesimpulan daripada
hasil analisis data.
 Salah satu contoh penerapan ilmu
statistik ialah pasaran saham. Dalam
pasaran saham, statistik diaplikasikan
dalam pelbagai cara dengan menggunakan
perwakilan data. Dengan cara ini, mereka
dapat mengkaji pelbagai informasi dan
membuat pelbagai inferens daripada set
data keuntungan, perkembangan ekonomi,
perniagaan, inf lasi, kewangan negara dan
lain-lain lagi.

RANGKAI KATA

Untuk maklumat lanjut:

245

John Graunt ialah seorang ahli statistik yang
terkenal. Beliau menggunakan pendekatan
ilmu statistik dalam membuat beberapa
kesimpulan dan ramalan tentang populasi dan
kadar kematian dalam kajian awalnya.

MASLAHAT BAB INI

Sukatan kecenderungan memusat ini
selalunya digunakan dalam bidang-bidang
yang berkaitan dengan data.

Bidang kerjaya yang mengaplikasikan ilmu
ini ialah ekonomi, statistik, perniagaan,
perusahaan, pendidikan dan sebagainya.

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms245

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

247246

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

Mod

Tujuan: Menentukan mod
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Buka fail MS247 yang telah

disediakan.
2. Teliti lirik lagu Negaraku yang

dilampirkan.
3. Lengkapkan jadual.
Perbincangan:
Huruf vokal apakah yang mempunyai
kekerapan yang paling tinggi?

Daripada aktiviti di atas, huruf vokal yang paling kerap berulang dalam lirik lagu Negaraku
digelar mod.

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms247 untuk
mendapatkan lembaran
kerja berikut.

Tajuk:  Lembaran kerja 12.1
Tujuan: Menentukan nilai mod.

1.  Teliti lirik lagu Negaraku. Gundalkan huruf vokal dan hitung kekerapannya.

Negaraku
Tanah tumpahnya darahku,
Rakyat hidup
bersatu dan maju,

Rahmat bahagia
Tuhan kurniakan,
Raja kita
selamat bertakhta

Huruf
vokal Gundalan Kekerapan

a

e

i

o

u

Huruf vokal yang mempunyai kekerapan yang tertinggi =

Tajuk:  Lembaran kerja 12.1
Tujuan: Menentukan nilai mod.

1.  Teliti lirik lagu Negaraku. Gundalkan huruf vokal dan hitung kekerapannya.

Negaraku
Tanah tumpahnya darahku,
Rakyat hidup
bersatu dan maju,

Rahmat bahagia
Tuhan kurniakan,
Raja kita
selamat bertakhta

Huruf
vokal Gundalan Kekerapan

a

e

i

o

u

Huruf vokal yang mempunyai kekerapan yang tertinggi =

Tajuk:  Lembaran kerja 12.1
Tujuan: Menentukan nilai mod.

1.  Teliti lirik lagu Negaraku. Gundalkan huruf vokal dan hitung kekerapannya.

Negaraku
Tanah tumpahnya darahku,
Rakyat hidup
bersatu dan maju,

Rahmat bahagia
Tuhan kurniakan,
Raja kita
selamat bertakhta

Huruf
vokal Gundalan Kekerapan

a

e

i

o

u

Huruf vokal yang mempunyai kekerapan yang tertinggi =

Tajuk:  Lembaran kerja 12.1
Tujuan: Menentukan nilai mod.

1.  Teliti lirik lagu Negaraku. Gundalkan huruf vokal dan hitung kekerapannya.

Negaraku
Tanah tumpahnya darahku,
Rakyat hidup
bersatu dan maju,

Rahmat bahagia
Tuhan kurniakan,
Raja kita
selamat bertakhta

Huruf
vokal Gundalan Kekerapan

a

e

i

o

u

Huruf vokal yang mempunyai kekerapan yang tertinggi =

CONTOH 1

Nyatakan mod bagi setiap set data berikut.
(a) 4, 5, 2, 3, 4, 4, 5     (b) M, N, L, M, L, P, L, L, P
(c) Kopi, Teh, Kopi, Kopi, Susu, Teh, Susu, Teh      (d) 2, 4, 6, 8, 10

Penyelesaian:

(a) 4 ,  5,  2,  3,  4 ,  4 ,  5
 Mod = 4

(b) M,  N,  L ,  M,  L ,  P,  L ,  L ,  P
 Mod = L

(c)  Kopi ,  Teh ,  Kopi ,  Kopi ,  Susu,  Teh ,  Susu,  Teh
 Mod = Kopi dan Teh

(d)  2, 4, 6, 8, 10
 Tiada mod

Tiada nombor yang berulang

Kopi dan teh mempunyai
kekerapan tertinggi, iaitu 3

4 mempunyai kekerapan tertinggi, iaitu 3

L mempunyai kekerapan tertinggi, iaitu 4

AKTIVITI KREATIF

Sebagai contoh, pencapaian Mohd Azizulhasni Awang atau
dikenali sebagai 'pocket rocketman', pelumba basikal trek
profesional Malaysia. Kejayaan terkini yang diraih oleh beliau
adalah dalam acara keirin Kejohanan Trek Berbasikal Dunia
2017 di Hong Kong sebagai juara.

Melalui pencapaian cemerlangnya itu, bolehkah kita
meramalkan bahawa beliau akan memperbaiki atau
mengekalkan rekod pencapaiannya dalam Sukan Olimpik
akan datang? Jangkaan ini boleh dibuat berdasarkan data-data
pencapaian	Mohd	Azizulhasni	melalui	justifikasi	yang	tertentu.
Daripada	justifikasi	ini,	analisis	dan	tafsiran	boleh	dilakukan.

Proses ini sesuai menggunakan sukatan kecenderungan
memusat. Tiga jenis sukatan kecenderungan memusat ini
ialah min, median dan mod.

Tujuan: Mengenal pasti maklumat daripada perwakilan data
Bahan: Buku tulis dan kalkulator
Langkah:
1. Buat bancian bilangan adik-beradik bagi setiap murid di dalam

kelas anda.
2. Organisasikan data itu dengan membina jadual kekerapan

seperti di bawah.

3. Senaraikan maklumat yang diperoleh daripada jadual
kekerapan di atas.

(i)  Kekerapan bilangan adik-beradik yang paling tinggi.
(ii)  Kekerapan bilangan adik-beradik yang paling rendah.

Bilangan adik-beradik Gundalan Kekerapan
1

2

3

4

5

6

7

12.1 Sukatan Kecenderungan Memusat
Sukatan kecenderungan memusat ialah satu sukatan yang dapat menunjukkan kedudukan sesuatu
kumpulan data dan memperihalkan maklumat keseluruhan data itu dengan satu nilai sahaja.

Perwakilan Data
• Carta Pai
• Carta Palang
• Graf garis
• Plot titik
• Plot batang dan daun

12.1.1 Mod, min dan median bagi suatu set
 data tak terkumpul

Kekerapan ialah
bilangan kali sesuatu
item muncul dalam
suatu data.

Jadual kekerapan
ialah satu jadual yang
menyenaraikan setiap
item data dan kekerapan
bagi item tersebut.

Kadang-kadang terdapat dua mod dalam satu set data apabila kekerapan tertingginya sama. Set
data  dikatakan tiada mod apabila nilai kekerapan satu set data adalah sama.

Mod bagi suatu set data ialah nilai yang paling tinggi kekerapannya.

Sumber: http://www.astroawani.
c om / b e r i t a - s u k a n / f a k t a -
tentang-jaguh-pelumba-negara-
azizulhasni-awang-139401

Menentukan mod, min
dan median bagi suatu
set data tak terkumpul.

QR CODE
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

249248

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

Tujuan: Meneroka median bagi suatu set data
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Buka fail MS248 yang telah

disediakan.
2. Terdapat gambar kad seperti

Rajah A. Gunting semua kad itu
satu persatu.

3. Susun kad nombor itu mengikut
tertib menaik.

4. Kenal pasti kad yang berada di
tengah-tengah. Catat nombor
tersebut pada lembaran kerja
yang disediakan.

5. Kemudian, keluarkan 3 kad secara
rawak.

6. Susun semula kad yang tinggal mengikut
tertib menaik.

7. Kenal pasti dua nombor yang berada di
tengah-tengah. Hitung purata dua nombor
tersebut. Catatkannya pada lembaran kerja.

Perbincangan:
Dapatkah anda membezakan cara untuk menentukan nilai yang
berada di tengah bagi set data ganjil dan set data genap?

3

3
1

2
2

1
1

4
2

Cuba anda ulangi aktiviti
ini dengan menyusun
kad itu secara tertib
menurun. Adakah anda
mendapat keputusan
yang sama?

Dalam aktiviti di atas, anda telah menentukan median bagi data dengan bilangan ganjil dan genap.
Perhatikan langkah ke-3. Bilangan semua kad yang anda susun ialah 9 keping (ganjil) dan
dalam langkah ke-6, bilangan kad yang disusun adalah sebanyak 6 keping (genap). Maka,

Median

Genap Ganjil
Data disusun mengikut

tertib menaik atau
menurun

Purata dua nilai data di
tengah-tengah

Nilai data di
tengah-tengah

Bilangan
data

Bilangan
data

Median bagi set data dengan bilangan data yang ganjil ialah nilai yang berada di tengah-tengah,
manakala median bagi set data dengan bilangan data yang genap ialah nilai purata bagi dua
nombor di tengah-tengah data yang telah disusun mengikut tertib menaik atau menurun.

CONTOH 2

Data di bawah ialah wang saku bagi lima orang murid ke sekolah setiap hari. Tentukan median.

    RM5 RM8 RM3 RM7 RM5
Penyelesaian:

Median = 5

CONTOH 3

Data di bawah menunjukkan jumlah bilangan gol pasukan Seladang dalam 10 permainan. Tentukan
median.

1       5       1       1       4       2       5       1       4       4
Penyelesaian:

2 + 4

2           =
6
2           = 3

Median = 3

1 1 1 1 2 4 4 4 5 5

1 1 1 1 2 4 4 4 5 5

3  5 5 7 8

3  5 5 7 8

Susun data mengikut tertib menaik

Susun data mengikut tertib menaik

Tandakan data di tengah-tengah

Tandakan data di tengah-tengah

Hitungkan purata dua nombor itu

Satu kaedah lain untuk menentukan median adalah dengan cara penghapusan data kiri dan kanan
secara berpasangan (menaik atau menurun).

CONTOH 4

Tentukan median bagi setiap set data berikut.
(a) 4, 7, 2, 3, 4, 9, 6, 2, 1     (b) 28, 27, 21, 23, 24, 21, 25, 24

Penyelesaian:

(a) Susun data mengikut tertib menaik.
     1, 2, 2, 3, 4 , 4, 6, 7, 9

Median = 4

(b) Susun data mengikut tertib menaik.
     21, 21, 23, 24, 24, 25, 27, 28

Nilai di tengah-tengah Dua nilai di tengah-tengah

Median =
24 + 24

2  = 24

Tajuk:  Lembaran kerja 12.2
Tujuan: Meneroka median bagi suatu set data.

1.  Tuliskan nombor yang terdapat pada kad-kad yang anda susun (seperti langkah 4) di ruang yang
disediakan dan catatkan nombor yang berada di tengah-tengah.

(a) Bilangan kad =   *(genap / ganjil)
        *gariskan jawapan yang betul

(b) Bulat dan catatkan nombor yang berada di tengah-tengah.

2. Tuliskan nombor yang terdapat pada kad-kad yang anda susun (seperti langkah 5) setelah kad
yang anda keluarkan di ruang yang disediakan. Catatkan dua nombor yang berada di tengah-
tengah dan cari purata nombor tersebut.

(a) Bilangan kad =   *(genap / ganjil)
        *gariskan jawapan yang betul

(b) 2 kad yang bernombor apakah yang berada di tengah-tengah?

Purata 2 nombor tersebut =

=

+

2

Median

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms248 untuk
mendapatkan lembaran
kerja berikut.

3

2

1

1

3

4

2

1

2

Rajah A

QR CODE
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

251250

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

Menentukan median bagi bilangan data yang genap atau ganjil dalam jadual
 kekerapan dan perwakilan data

CONTOH 5

1. Jadual menunjukkan masa yang diambil oleh 11 kumpulan murid untuk membina model roket
dalam satu aktiviti Sains.

Tentukan median bagi jadual kekerapan ini.

Masa (minit) 10 20 30 40
Kekerapan 1 6 3 1

MedianGenap Ganjil

Data pada kedudukan ke- n + 1
2

Jumlah
kekerapan (n)

Jumlah
kekerapan (n)

n ialah jumlah kekerapan.

Median = data ke- n + 1
2

= data ke- 11 + 1
2

= data ke-
12
2

= data ke-6

Masa (minit) 10 20 30 40
Kekerapan 1 6 3 1

Kedudukan data 1 2 - 7 8 - 10 11

Data ke-2 hingga ke-7 ialah 20Data pertama ialah 10

Data ke-6 ialah 20, maka median = 20.

Penyelesaian:

Jumlah kekerapan = 11

2. Jadual menunjukkan masa yang diambil untuk menjawab teka silang kata oleh 12 kumpulan
murid dalam aktiviti Persatuan Bahasa Melayu.

Tentukan median bagi jadual kekerapan ini.

Masa (minit) 10 20 30 40
Kekerapan 2 4 5 1

Penyelesaian:

Jumlah kekerapan = 12

Median = Purata data ke-
n
2  dan

n
2

+ 1

= Purata data ke-
12
2  dan

12
2

+ 1

= Purata data ke-(6 dan 7)

=
Data ke-6 + data ke-7

2

Maka, median =
Data ke-6 + data ke-7

2

=
20 + 30

2
  = 25

Data ke-7 hingga ke-11 ialah 30Data ke-3 hingga ke-6 ialah 20

Masa (minit) 10 20 30 40
Kekerapan 2 4 5 1

Kedudukan
data 1 - 2 3 - 6 7 - 11 12

CONTOH 6

Hitung median bagi situasi di sebelah.
1. Plot titik menunjukkan jumlah bilangan kehadiran murid ke

perpustakaan dalam enam hari.
1 2 3 4 5 6

Penyelesaian:

Jumlah kekerapan = 13

Median = data ke-
13 + 1

2

= data ke-7
  = 3

1

1
2
3
4
5
6

K
ek

er
ap

an

Bilangan kupon makanan
yang dijual

2 3 4 5

2. Carta palang menunjukkan bilangan kupon makanan yang telah
dijual oleh guru kelas Tingkatan 2S sempena Hari Kokurikulum.

Penyelesaian:

Jumlah kekerapan = 16

Purata data pada kedudukan ke- n
2

n
2

+ 1dan

Median = Purata data ke-
16
2  dan

16
2

+ 1

= Purata data (ke-8 dan 9)

= Data ke-8 + data ke-9
2

=
3 + 3

2

= 3

Jumlah kekerapan, n
genap

Jumlah kekerapan, n
ganjil
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

253252

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

CONTOH 7

Hitung purata wang jogaton yang telah dipungut oleh Haikal
daripada setiap tingkatan.

Penyelesaian:

Min =
RM373.50 + RM424.00 + RM363.00 + RM485.15 + RM355.10

5

=
RM2 000.75

5
 = RM400.15

Dalam situasi di atas, kita dapat menghitung satu nilai purata wang jogaton yang telah dipungut.
Nilai purata boleh juga disebut sebagai min.

Min bagi suatu set data ialah nilai yang diperoleh apabila jumlah nilai data dibahagikan dengan
bilangan data.

Min =
Jumlah nilai data

Bilangan data

Set data di bawah disebut
sebagai data tak terkumpul.
2, 3, 1, 1, 2, 2, 4, 4

Data ini juga boleh disusun
dalam jadual kekerapan
seperti berikut.

Nombor 1 2 3 4

Kekerapan 2 3 1 2

Kutipan jogaton

Tingkatan
1 2 3 4 5

R
M

37
3.

50

R
M

42
4.

00

R
M

36
3.

00

R
M

48
5.

15

R
M

35
5.

10

Hari ini kita telah
berjaya mengumpulkan

wang jogaton
setiap kelas.

Saya perlu
menghitung purata wang

jogaton itu untuk membuat
laporan kepada Cikgu
Amri. Bagaimanakah
nilai purata ini dapat

saya tentukan?

Haikal Christina

Min

CONTOH 8

Plot titik menunjukkan keputusan kaji selidik berkenaan
dengan pengambilan bilangan tin air berkarbonat yang diambil
oleh 26 orang murid dalam sehari.

Hitung min bilangan tin air berkarbonat yang diambil oleh
mereka dalam sehari. 0 1 2 3 4 5 6

Penyelesaian:

=
(4 × 0) + (3 × 1) + (2 × 2) + (5 × 3) + (7 × 4) + (2 × 5) + (3 × 6)

4 + 3 + 2 + 5 + 7 + 2 + 3

= 78
26

= 3

Maka, bilangan tin air berkarbonat yang diambil oleh mereka dalam sehari ialah 3 tin.

Min bilangan tin
air berkarbonat

CONTOH 9

Jadual menunjukkan masa penggunaan Internet bagi murid Tingkatan 2 Iman dalam sehari.

Hitung min bagi data yang diberikan dalam jadual kekerapan di atas.

Penyelesaian:

Penggunaan Internet (jam) 1 2 3 4 5
Bilangan murid 2 6 11 7 9

Penggunaan
Internet (jam)

Bilangan
murid

Penggunaan Internet
×

Bilangan murid

1 2           1 × 2 = 2

2 6           2 × 6 = 12

3 11         3 × 11 = 33

4 7           4 × 7 = 28

5 9           5 × 9 = 45

Jumlah 35  120

Min =
Hasil tambah (data × kekerapan)

Jumlah kekerapan

=
120 jam

35

= 3.43 jam

Maka, min ialah 3.43 jam.

Hasil tambah (data × kekerapan)Jumlah kekerapan

Min bagi data dalam jadual kekerapan boleh diperoleh dengan mengira jumlah hasil darab data
dengan kekerapan yang sepadan, kemudian dibahagi dengan jumlah kekerapan.

Min =
Hasil tambah (data × kekerapan)

Jumlah kekerapan

CONTOH 10

Kewujudan nilai ekstrem
Nilai ekstrem ialah nilai yang terlalu kecil atau terlalu besar dalam suatu set data, iaitu nilainya
terlalu jauh daripada nilai data-data yang lain dalam setnya.

Masa, dalam minit, yang diambil oleh 7 orang murid untuk menyiapkan model poligon tiga dimensi
menggunakan blok permainan yang dibekalkan ialah
                                             5, 6, 7, 7, 8, 9, 20
Antara data tersebut, yang mana satu merupakan nilai ekstrem? Jelaskan.

Penyelesaian:

20 ialah nilai ekstrem kerana nilainya jauh lebih besar daripada data-data yang lain.
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

255254

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

CONTOH 11

Kenal pasti nilai ekstrem dalam set data di bawah. Jelaskan jawapan anda.
                                            –5, 0, 1, 3, 3, 5, 6
Penyelesaian:

–5 ialah nilai ekstrem kerana nilainya jauh lebih kecil daripada data-data yang lain.

CONTOH 12

Kesan nilai ekstrem

1. Set data di bawah ialah data wang saku yang dibawa oleh lima orang murid ke sekolah.
   RM3, RM4, RM4, RM6, RM8
     Hitung mod, median dan min bagi data tersebut.

2.  Anda dikehendaki menggantikan RM8 dengan RM32, kemudian hitung nilai mod, median dan
min yang baharu.

Penyelesaian:

RM3, RM4, RM4, RM6, RM8

1. Mod = RM4

Median = RM4

Min = RM3 + RM4 + RM4 + RM6 + RM8
5

= RM25
5

= RM5

RM3, RM4, RM4, RM6, RM32

2. Mod = RM4

Median = RM4

Min = RM3 + RM4 + RM4 + RM6 + RM32
5

=  RM49
5

= RM9.80

Nilai ekstrem

12.1.2 Kesan perubahan suatu set data terhadap
nilai mod, min dan median

Data ditukar secara seragam
Jalankan aktiviti yang diberikan untuk mengenal pasti kesan
terhadap mod, median, dan min apabila setiap data ditukar secara
seragam atau tidak seragam.

Membuat kesimpulan
tentang kesan
perubahan suatu set
data terhadap nilai mod,
min dan median.

1. Salin dan lengkapkan jadual yang berikut untuk menentukan min, median dan mod bagi
skor lima orang murid itu.

2. Salin dan lengkapkan jadual di bawah.

Perbincangan:
(i)  Bandingkan jawapan yang diperoleh antara baris 1, baris 2, dan baris 3 dalam Jadual 1.

Apakah kesimpulan yang boleh anda buat mengenai min, median dan mod apabila data itu
diubah secara seragam?

(ii) Bandingkan pula nilai min, median dan mod bagi skor asal dan skor baharu dalam Jadual 2.
Apakah kesimpulan yang boleh anda buat mengenai min, median dan mod apabila setiap data
itu diubah secara tidak seragam?

Tujuan: Menyiasat kesan perubahan terhadap min, median dan mod jika setiap data ditukar
secara seragam

Bahan: Lembaran kerja
Langkah: Lima orang murid A, B, C, D dan E, diberikan soalan Kuiz Matematik dengan
skor minimum 20. Jadual di sebelah menunjukkan keputusan mereka.

Murid Amin Ben Chia Don Eva
Skor 3 4 4 6 8

Skor
Murid

Min Median Mod
Amin Ben Chia Don Eva

n 3 4 4 6 8

n + 1

n  × 2

Baris 1

Baris 2

Baris 3

Jadual 1

Skor
Murid

Min Median Mod
Amin Ben Chia Don Eva

Skor asal 3 4 4 6 8

Penambahan
skor

+1 +2 +3 +4 +5

Skor baru 4
Jadual 2

Hasil daripada pengiraan menunjukkan bahawa, apabila suatu nilai ekstrem wujud dalam set data,
maka data tersebut akan mempengaruhi nilai min. Seperti contoh di atas, nilai min didapati berubah
dengan peningkatan sebanyak RM4.80 manakala nilai median dan mod tidak berubah dengan
adanya nilai ekstrem.

Daripada aktiviti tersebut, apabila data diubah secara seragam seperti dalam Jadual 1 iaitu setiap data
asal ditambah dengan 1 (baris 2) atau didarab dengan 2 (baris 3), kita mendapati nilai min, median
dan mod juga akan ditambah 1 atau didarab dengan 2.

Hal ini bermakna perubahan data secara seragam akan menyebabkan perubahan min, median,
dan mod secara seragam juga.

Namun, apabila data itu diubah secara tidak seragam, maka nilai min, median dan mod juga akan
berubah secara tidak seragam.

CONTOH 13

Kanang membeli 5 jenis alat tulis di koperasi sekolah yang masing-masingnya berharga
RM1, RM2, RM3, RM3 dan RM6.
(a) Hitung min, median dan mod bagi set data tersebut.
(b) Hitung min, median dan mod yang baharu jika setiap harga alat tulis itu
 (i) ditambah RM2  (ii) didarab 3
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

257256

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

(b) (i) Data baharu apabila nilai asal ditambah RM2 ialah RM3, RM4, RM5, RM5 dan RM8.

Min = RM3 + RM4 + RM5 + RM5 + RM8
5

Median = RM5        Mod = RM5

= RM25
5

= RM5

(ii)

Nilai min asal juga ditambah RM2
Nilai median asal juga
ditambah RM2

Nilai mod asal juga
ditambah RM2

Data baharu apabila nilai asal didarab 3 ialah RM3, RM6, RM9, RM9 dan RM18.

Min = RM3 + RM6 + RM9 + RM9 + RM18
5

Median = RM9        Mod = RM9

= RM45
5

= RM9
Nilai median asal
juga didarab 3

Nilai mod asal
juga didarab 3

Berdasarkan contoh tersebut, apabila data diubah secara seragam, nilai min, median dan mod yang
baharu juga berubah secara seragam.

Tujuan: Mengorganisasikan data mengikut kumpulan atau kelas
Bahan: Lembaran kerja, penimbang
Langkah:
1. Setiap murid di dalam kelas dikehendaki menimbang berat masing-masing dan catatkan

berat itu pada papan putih.
2. Organisasikan data berat, dalam kg, yang didapati itu

dalam jadual di sebelah mengikut selang kelas berikut.
  30 - 39, 40 - 49, 50 - 59, 60 - 69, 70 - 79
4. Gundal dan lengkapkan jadual kekerapan di sebelah.
Perbincangan:
Apakah perbezaan antara jadual kekerapan data
terkumpul dengan jadual kekerapan data tak terkumpul yang telah anda pelajari sebelum ini?

Berat (kg) Gundal Kekerapan
30 - 39

40 - 49

50 - 59

60 - 69

70 - 79

CONTOH 14

Skor Raju dalam kuiz bahasa Jepun ialah 3, 6 dan 6.
(a) Hitung min, median dan mod bagi set data itu.
(b) Tambahkan data pertama dengan 1,  tambahkan data kedua dengan 2 dan tambahkan data

ketiga dengan 3. Seterusnya, hitung nilai min, median dan mod yang baharu.

Penyelesaian:

(a) Min = 3 + 6 + 6
3

,   Median = 6,   Mod = 6

= 15
3

= 5

Berdasarkan contoh tersebut, apabila data
diubah secara tidak seragam, nilai min,
median dan mod yang baharu juga berubah
secara tidak seragam.

(b)  Data baharu ialah (3 + 1), (6 + 2), (6 + 3) iaitu
4, 8 dan 9.

Min = 4 + 8 + 9
3

,   Median = 8,   Tiada mod

=
21
3

= 7

12.1.3 Mengorganisasikan data bagi jadual
kekerapan data terkumpul

Jadual kekerapan bagi data terkumpul

Kelas ini dapat mengkategorikan data itu kepada beberapa kumpulan yang sesuai seperti gred
keputusan, lulus atau gagal, tahap pencapaian dan sebagainya. Maklumat-maklumat ini akan
membantu kita membuat rumusan.

Situasi ini sangat penting apabila kita ingin mengorganisasikan set data yang besar.

Daripada aktiviti rangsangan minda di atas, kita mendapati bahawa bagi jadual kekerapan data
terkumpul,	data	diklasifikasikan	dalam	kelas	tertentu	dengan	selang	yang	seragam.

Mengumpul data,
membina dan mentafsir
jadual kekerapan bagi
data terkumpul.

Penyelesaian:

(a) RM1, RM2, RM3, RM3, RM6

Min = RM1 + RM2 + RM3 + RM3 + RM6
5

Median = RM3        Mod = RM3

= RM15
5

= RM3

CONTOH 15

Set data menunjukkan markah
ujian Matematik bagi 30 orang
murid Tingkatan 2 Zuhal
dalam Peperiksaan Pertengahan
Tahun. Organisasikan data
tersebut dalam jadual kekerapan
mengikut kelas yang diberi.

Markah Gundalan Kekerapan
0 - 19

20 - 39

40 - 59

60 - 79

80 - 99

85 58 75 41 53

12 61 63 45 72

37 55 29 42 95

31 22 18 25 19

47 38 50 78 58

90 57 63 49 88

Markah Matematik
Tingkatan 2 Zuhal

Nilai min asal juga didarab 3

Dalam contoh di atas, markah itu telah diklasif ikasikan kepada lima
bahagian yang mempunyai selang kelas yang sama.

INGAT !
Gundalan

= 5

Cara gundalan bagi kelas:

Contohnya, markah 85
terletak dalam kelas 80 - 99.
Maka, gundalkan pada ruang
80 - 99.

Markah Gundalan Kekerapan
0 - 19 3

20 - 39 6

40 - 59 11

60 - 79 6

80 - 99 4

Penyelesaian:

Data dalam kelas 80 - 99
ialah 85, 88, 90 dan 95
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

259258

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

CONTOH 16

Silvia menemu ramah 20 orang kawan-kawannya tentang masa
mereka bangun daripada tidur pada waktu pagi semasa cuti
sekolah yang lepas. Dapatan daripada temu ramah itu adalah
seperti di sebelah.

Organisasikan data masa (a.m.) itu dalam jadual kekerapan
mengikut kelas berikut.

Masa bangun pagi (a.m.)

6:00 6:35

5:01 6:42

6:22 5:40

5:30 7:23

6:03 6:15

6:40 5:41

5:20 6:45

6:50 5:35

6:40 6:05

6:50 6:35

Masa (a.m.) Gundalan Kekerapan
5:00 - 5:29

5:30 - 5:59

6:00 - 6:29

6:30 - 6:59

7:00 - 7:29

Daripada jadual kekerapan tersebut:
(a) Nyatakan bilangan murid yang bangun pada pukul 6:00 a.m. - 6:29 a.m.
(b)  Perihalkan tentang jumlah kekerapan tertinggi dan terendah, masa murid bangun daripada tidur.

Penyelesaian:

(a) 5 orang murid
(b) Daripada jadual kekerapan itu didapati, murid paling

ramai bangun pada pukul 6:30 a.m. - 6:59 a.m. iaitu
8 orang. Hanya seorang sahaja murid  yang bangun
pada pukul 7:00 a.m. - 7:29 a.m..

Masa (a.m.) Gundalan Kekerapan
5:00 - 5:29 2

5:30 - 5:59 4

6:00 - 6:29 5

6:30 - 6:59 8

7:00 - 7:29 1

12.1.4 Kelas mod dan min bagi suatu set
 data terkumpul

Menentukan kelas mod
dan min bagi suatu set
data terkumpul.

CONTOH 17

Hasil kajian tentang wang saku mingguan, dalam RM, yang dibawa
oleh 30 orang murid SMK Tasek Damai ditunjukkan dalam jadual di bawah.

15 21 18 22 35 40 55 40 45 50
25 32 45 15 10 20 35 45 15 25
25 15 60 30 45 50 30 10 12 30

Wang saku (RM) Gundalan Kekerapan
1 - 10 2

11 - 20

21 - 30

31 - 40

41 - 50

51 - 60

1. Lengkapkan jadual taburan kekerapan di bawah.

2. Daripada jadual taburan kekerapan itu, nyatakan kelas yang mempunyai kekerapan tertinggi.

Penyelesaian:

1.

2. Kelas yang mempunyai kekerapan tertinggi ialah kelas 21 - 30.

Setelah data itu diorganisasikan, kita akan mengetahui kelas mod daripada nilai kekerapan yang
paling tinggi. Dalam contoh di atas, kekerapan tertinggi ialah 8 dan kelasnya ialah 21 - 30. Maka,
kelas 21 - 30 dikenali sebagai kelas mod.

CONTOH 18

Jadual kekerapan di bawah menunjukkan markah bagi ujian kecerdasan bagi 30 orang murid. Kenal
pasti kelas mod.

Penyelesaian:

Markah 40 - 44 45 - 49 50 - 54 55 - 59 60 - 64 65 - 69
Kekerapan 7 4 1 4 9 5

Kekerapan tertinggi = 9
Kelas mod = 60 - 64

Markah 40 - 44 45 - 49 50 - 54 55 - 59 60 - 64 65 - 69
Kekerapan 7 4 1 4 9 5

Kelas mod

Kekerapan tertinggi

Wang saku (RM) Gundalan Kekerapan
1 - 10 2

11 - 20 7

21 - 30 8

31 - 40 5

41 - 50 6

51 - 60 2

Kekerapan tertinggiKelas mod
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

261260

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

Bilangan
surat khabar

Bilangan kedai
(kekerapan)

70 - 74 4

75 - 79 10

80 - 84 8

85 - 89 2

Bilangan
surat khabar Titik tengah Bilangan kedai

(kekerapan)

70 - 74                 = 72           4

75 - 79                   = 77 10

80 - 84                   = 82 8

85 - 89                   = 87 2

70 + 74
2

75 + 79
2

80 + 84
2

85 + 89
2

Jadual kekerapan di bawah merekodkan bilangan surat khabar yang dijual oleh kedai yang
berlainan dalam satu minggu. Hitung titik tengah bagi setiap kelas.

Penyelesaian:

Daripada titik tengah yang diperoleh, hitung min dengan rumus berikut.

Min =
Hasil tambah (kekerapan × titik tengah)

Jumlah kekerapan

CONTOH 19

Jadual di bawah merekodkan tinggi 30 batang anak pokok yang dicerap oleh Umeswary dalam satu
eksperimen sains. Hitung min bagi tinggi anak pokok itu.

Tinggi pokok (cm) Kekerapan
5 - 9 4

10 - 14 5

15 - 19 4

20 - 24 8

25 - 29 7

30 - 34 2

CONTOH 20

Untuk mendapatkan min bagi suatu set data terkumpul, titik tengah bagi setiap selang kelas perlu
ditentukan terlebih dahulu.

Had
bawah

Had
atas

Titik
tengah

Had bawah + had atas
2

Penyelesaian:

1. Hitung titik tengah bagi setiap kelas.

2. Darabkan setiap titik tengah itu dengan kekerapan.

Tinggi pokok (cm) Titik tengah Kekerapan

5 - 9              = 7           4

10 - 14                   = 12 5

15 - 19                   = 17 4

20 - 24                   = 22 8

25 - 29 = 27 7

30 - 34 = 32 2

5 + 9
2

10 + 14
2

15 + 19
2

20 + 24
2

25 + 29
2

30 + 34
2

Tinggi
pokok (cm)

Titik tengah,
x

Kekerapan,
f

Kekerapan ×
titik tengah, f x

5 - 9           = 7           4         4 × 7 = 28

10 - 14                  = 12 5       5 × 12 = 60

15 - 19                  = 17 4       4 × 17 = 68

20 - 24                  = 22 8       8 × 22 = 176

25 - 29 = 27 7       7 × 27 = 189

30 - 34 = 32 2       2 × 32 = 64

∑	f = 30 ∑	f x = 585

5 + 9
2

10 + 14
2

15 + 19
2

20 + 24
2

25 + 29
2

30 + 34
2

Min bagi data terkumpul
boleh juga ditulis dalam
bentuk simbol.

∑	f x
∑	f

x =

∑ dibaca sebagai
“sigma”.	∑ ialah
tatatanda bagi
hasil tambah.

fx mewakili
kekerapan darab
titik tengah.

f mewakili
kekerapan.

Tatatanda bagi min,
disebut	“x bar ”.

3. Hitung min ketinggian bagi anak pokok.

Min  =
hasil tambah (kekerapan × titik tengah)

jumlah kekerapan

=
∑	f x
∑	f

= 585
30

= 19.5

Min bagi suatu set data terkumpul
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

263262

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

12.1.5 Pemilihan sukatan kecenderungan
memusat yang paling sesuai

Kita	boleh	memilih	dan	memberikan	justifikasi	kepada	mana-mana
sukatan kecenderungan memusat untuk memerihalkan taburan
sesuatu set data yang diberikan mengikut kesesuaian data tersebut.

Memilih dan
menjustifikasikan sukatan
kecenderungan memusat
yang sesuai untuk
memerihal taburan suatu
set data, termasuk set
data yang mempunyai
nilai ekstrem.

Mod paling sesuai digunakan apabila data yang digunakan ialah data kategori.
Contohnya, item kegemaran atau item popular.

Min dipilih sebagai sukatan kecenderungan memusat kerana melibatkan keseluruhan
data. Apabila terdapat nilai ekstrem, min tidak dapat memberikan tafsiran tepat tentang
data kerana nilai ekstrem itu mempengaruhi min.

Median ialah sukatan kecenderungan memusat yang lebih sesuai digunakan apabila
terdapat nilai ekstrem. Nilai ekstrem tidak mempengaruhi median.

Jenis data adalah sangat penting apabila kita ingin membuat pemilihan
sukatan	kecenderungan	memusat	yang	sesuai.	Justifikasi	pemilihan
juga harus jelas agar tepat dan dapat mewakili keseluruhan data.

Tentukan jenis sukatan kecenderungan memusat yang
sesuai bagi situasi berikut.
1. Plot batang dan daun menunjukkan berat guli dalam 10

balang plastik.

Penyelesaian:

Min kerana tiada nilai ekstrem dalam set data.

2. Piktograf menunjukkan perisa aiskrim yang digemari
murid Tadika Idaman.

Penyelesaian:

Mod kerana data ini ialah data kategori dan ingin
menentukan item kegemaran.

CONTOH 21

Batang

5

6

7

0

1

2

6

1

6

8

4

9

7

Daun

Kekunci:  5 | 0  bermaksud 50 g

Berat guli

Perisa Kekerapan

Coklat

Pandan

Keladi

Strawberi

Perisa aiskrim kegemaran

mewakili 5 murid

4. Jadual menunjukkan masa bagi murid Tingkatan 2 Melor melayari Internet.

Penyelesaian:

Min kerana tiada nilai ekstrem dalam set data.

5. Plot titik menunjukkan masa bagi 10 orang pemandu yang
membuat perjalanan dari Ipoh ke Melaka dengan menaiki
kereta.

Penyelesaian:

Median kerana terdapat nilai ekstrem dalam set data.

6. Carta pai menunjukkan buah-buahan yang menjadi
 kegemaran murid di Tingkatan 2 Gemilang.

Penyelesaian:

Mod kerana data ini ialah data kategori dan ingin
 menentukan item kegemaran.

7. Carta palang menunjukkan masa bagi beberapa orang
murid mengulang kaji pelajaran dalam sehari.

Penyelesaian:

Median kerana terdapat nilai ekstrem dalam set data.

3. Graf garis menunjukkan pengeluaran kelapa sawit
bagi sesebuah kilang dalam tempoh 5 bulan.

Penyelesaian:

Min kerana tiada nilai ekstrem dalam set data.

Pe
ng

el
ua

ra
n

(r
ib

u
ta

n)

10
20
30
40
50
60
70
80

Jan MacFeb Apr MeiO

Pengeluaran kelapa sawit

Bilangan jam
penggunaan Internet 1 2 3 4 5 6 7

Bilangan murid 2 5 5 7 6 4 3
Bilangan jam penggunaan Internet bagi murid Tingkatan 2 Melor

2 3 4 5 6 7 8 9

Masa pemanduan dari Ipoh ke Melaka

masa (jam)

1

14

12

10

8

6

4

2

K
ek

er
ap

an

Bilangan jam ulang kaji
2 3 4 5

Masa mengulang kaji pelajaran

Duku
21%

Pisang
16%

Rambutan
29%

Langsat
10%

Durian
24%

Buah-buahan kegemaran murid
Tingkatan 2 Gemilang
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

265264

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

12.1.6 Mod, min dan median daripada
            perwakilan data
Penggunaan sukatan kecenderungan memusat dalam statistik atau
kegiatan harian.

Menentukan mod, min
dan median daripada
perwakilan data.

CONTOH 22

Tentukan mod bagi setiap perwakilan data berikut.

(a) Carta palang menunjukkan bilangan pelancong ke pulau
peranginan.

Penyelesaian:

Mod ialah Pulau Perhentian dan Pulau Langkawi.

(b) Piktograf menunjukkan jenis buah-buahan yang
digemari oleh murid Tingkatan 2 Bestari.

Penyelesaian:

Tiada mod.

2

Pulau Langkawi

Pulau Pangkor

Pulau Perhentian

Pulau Redang

4 6 8 10
Bilangan pelancong (ribu)

Pulau peranginan

Pisang

Tembikai

Durian

Mangga

Buah-buahan kegemaran murid
Tingkatan 2 Bestari

Item Keuntungan (%)

Buku 87

Perisian komputer 54

Tiket wayang 72

Aksesori wanita 130

Pakej pelancongan 78

Keuntungan jualan

(c) Carta pai menunjukkan pengangkutan yang
digunakan oleh murid ke sekolah.

Penyelesaian:

Mod ialah bas.

(d) Jadual menunjukkan peratus keuntungan jualan
barangan atas talian dalam satu kajian tahunan.

Penyelesaian:

Mod ialah aksesori wanita.

mewakili 3 murid

Berjalan
kaki

Kereta

Bas Motosikal

Pengangkutan murid ke sekolah

110º

20º
140º

CONTOH 23

Carta palang menunjukkan komisen yang diperoleh
sekumpulan pekerja di sebuah restoran dalam seminggu.
(a) Hitung min, median dan mod komisen yang diterima

oleh pekerja itu dalam seminggu.
(b) Hitung pecahan pekerja yang menerima komisen

yang kurang atau sama dengan RM32.

Penyelesaian:

(a) Min =
4(30) + 5(31) + 9(32) + 7(33) + 4(34) + 1(35)

4 + 5 + 9 + 7 + 4 + 1

= 965
30

= RM32.17

Median = Purata data ke- 30
2

+ 130
2

dan

= Purata data ke- (15 dan 16)

= Data ke-15 + data ke-16
2

= 32 + 32
2

= RM32

Mod  = RM32

(b) Pecahan bilangan pekerja yang
menerima komisen kurang atau
sama dengan RM 32

=
4 + 5 + 9

30

= 3
5

CONTOH 24

Jadual menunjukkan bilangan kesalahan ejaan murid di Tingkatan 2 Amanah yang dilakukan ketika
menulis karangan Bahasa Melayu.

(a) Jika min bilangan kesalahan ejaan murid itu ialah 2.4, hitung nilai bagi x.
(b) Jika median bagi taburan kekerapan itu ialah 3, hitung nilai yang maksimum bagi x.
(c) Jika mod bagi kesilapan ejaan yang dilakukan oleh murid ialah 2, tentukan nilai minimum yang

mungkin bagi x.
Penyelesaian:

(a)  Min =
4(0) + 8(1) + x(2) + 6(3) + 5(4) + 4(5)

4 + 8 + x + 6 + 5 + 4
 = 2.4

2x + 66
x + 27

= 2.4

2x + 66 = 2.4(x + 27)
                                                                        2x + 66 = 2.4x + 64.8
                                                                     2.4x – 2x = 66 – 64.8
                                                                             0.4x = 1.2
                                                                                x = 3

Bilangan kesalahan ejaan 0 1 2 3 4 5

Bilangan murid 4 8 x 6 5 4

30

2

4

6

8

10

K
ek

er
ap

an

Komisen (RM)
31 32 33 34 35

Komisen yang diperoleh sekumpulan
pekerja restoran dalam seminggu
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

267266

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

(b) 0, 0, 0, 0   1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1   2,...,2    3    3, 3, 3, 3, 3   4, 4, 4, 4, 4   5, 5, 5, 5

Maka, nilai yang maksimum bagi x ialah 2.

(c) Nilai minimum yang mungkin bagi x ialah 9.

Nilai terbesar bagi x jika
mediannya di sini
4 + 8 + x = 5 + 5 + 4
    12 + x  = 14
            x  = 2
Maka, nilai terbesar bagi x = 2

Dalam membuat perbandingan atau pemilihan sukatan kecenderungan
memusat yang paling sesuai, kepentingan julat juga harus diambil
perhatian.

12.1.7 Sukatan kecenderungan memusat dalam
membuat ramalan, membentuk hujah dan
membuat kesimpulan Mengaplikasikan

kefahaman tentang
sukatan kecenderungan
memusat untuk
membuat ramalan,
membentuk hujah
yang meyakinkan dan
membuat kesimpulan.

4 8 x 5 5 4

CONTOH 25

Cikgu Rahman ingin memilih seorang wakil sekolah ke pertandingan boling peringkat zon.
Ramesh dan Khairil adalah antara pemain yang telah disenaraipendekkan dalam pemilihan ini.
Dalam lima latihan yang terakhir sebelum pemilihan wakil sekolah dijalankan, skor balingan yang
telah diperoleh Ramesh ialah 116, 118, 200, 207 dan 209. Skor balingan yang diperoleh Khairil
ialah 240, 240, 75, 220 dan 75. Pemain yang manakah akan dipilih sebagai wakil sekolah?

Penyelesaian:

=
116 + 118 + 200 + 207 + 209

5

= 850
5

= 170

Kedua-dua orang pemain mempunyai min yang sama. Oleh itu, min tidak boleh digunakan dalam
keputusan pemilihan wakil sekolah.

Julat skor balingan Ramesh = 209 – 116

= 93

Kita mendapati bahawa julat skor balingan Ramesh lebih rendah
berbanding dengan Khairil sebab ada di antara skor Khairil sangat
rendah (nilai ekstrem) menyebabkan julatnya menjadi besar. Oleh
itu, pemilihan Ramesh sebagai wakil sekolah adalah lebih tepat.

Skor min
Ramesh

=
240 + 240 + 75 + 220 + 75

5

= 850
5

= 170

Skor min
Khairil

Julat ialah beza antara nilai
yang terkecil dengan nilai
yang terbesar

Julat skor balingan Khairil = 240 – 75

= 165

(ii) Set data pasukan Kijang ialah 32,  65,  88 ,  95,  96.  Maka, median = 88

Set data pasukan Harimau ialah 50,  65,  87 ,  87,  90.   Maka, median = 87

Set data pasukan Seladang ialah 44,  46,  80 ,  85,  90.  Maka, median = 80

Pasukan Kijang dipilih kerana nilai mediannya paling tinggi, iaitu 88.

(b) Min. Hal ini demikian kerana min menggunakan keseluruhan set data dalam jadual tersebut.
Oleh sebab itu, min sangat sesuai digunakan kerana tiada nilai ekstrem dalam set data itu.

CONTOH 26

Cikgu Johan membentuk tiga pasukan bola keranjang. Jadual di bawah menunjukkan jumlah
jaringan yang dibuat oleh pasukan-pasukan tersebut dalam lima pertandingan yang telah dijalankan.

Pasukan
Pertandingan

1 2 3 4 5

Kijang 65 95 32 96 88

Harimau 50 90 65 87 87

Seladang 90 85 46 44 80

(a) Anda ingin menyertai salah satu daripada pasukan tersebut.
(i) Dengan mengambil kira min, pasukan manakah yang akan anda sertai?
 Jelaskan jawapan anda dengan menunjukkan jalan kerja.
(ii) Jika anda mengambil kira pula median dalam membuat keputusan, pasukan manakah yang

anda pilih? Jelaskan.

(b) Jika Cikgu Johan diminta untuk mengemukakan laporan pencapaian pasukan Harimau kepada
pengetua sekolah, sukatan kecenderungan memusat yang manakah sepatutnya yang dipilih oleh
Cikgu Johan? Jelaskan.

Penyelesaian:

(a) (i) Min Kijang = 65 + 95 + 32 + 96 + 88
5

= 75.2

Min Harimau = 50 + 90 + 65 + 87 + 87
5

= 75.8

Min Seladang = 90 + 85 + 46 + 44 + 80
5

= 69

Pasukan Harimau dipilih kerana nilai min bagi pasukan Harimau adalah yang paling tinggi,
       iaitu 75.8.
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

269268

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

Carta palang di atas menunjukkan pilihan makanan di kantin sekolah pada bulan Januari dan
Februari untuk kajian bagi 400 orang murid.
(a) Sukatan kecenderungan memusat yang manakah sesuai bagi situasi di atas? Jelaskan.

(b) Adakah anda bersetuju dengan pernyataan di atas? Jelaskan.
(c) Anda merupakan ahli jawatankuasa kantin dalam Persatuan Pengguna. Anda diminta untuk

mencadangkan makanan yang perlu dikurangkan penjualannya. Berikan alasan anda.

Penyelesaian:

(a) Daripada graf di atas didapati min dan median tidak sesuai digunakan kerana data yang diberikan
ialah data kategori. Maka, mod adalah lebih sesuai.

(b) Bersetuju kerana nasi lemak ialah mod bagi bulan Januari dan Februari.
(c) Bihun goreng perlu dikurangkan kerana mempunyai kekerapan yang terendah dalam bulan

Januari dan Februari.

Nasi lemak ialah hidangan yang paling digemari oleh murid.

12.1

1. Nyatakan mod bagi setiap set data berikut.
(a) 3, 0, 1, 1, 4, 3, 2, 2, 1      (b) RM10, RM8, RM7, RM7, RM8, RM9
(c) 64, 60, 63, 60, 60, 67

2. Jadual menunjukkan saiz baju 145 orang peserta larian Jom Sihat.

Nyatakan mod bagi saiz baju itu.

Saiz SS S M L XL XXL

Kekerapan 20 17 15 37 31 25

CONTOH 27

20

40

60

80

100

120

140

K
ek

er
ap

an

Makanan
Bihun

Goreng
Mi

Goreng
Nasi

Goreng
Nasi

Lemak
Laksa

Januari

20

40

60

80

100

120

140

K
ek

er
ap

an

Makanan
Bihun

Goreng
Mi

Goreng
Nasi

Goreng
Nasi

Lemak
Laksa

Februari

3. Nyatakan mod bagi perwakilan data di bawah.
(a)               (b)

(c)               (d)

Isi padu minyak di dalam botol

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Isi padu (liter)

1

2

4

6

8

10

K
ek

er
ap

an

Upah (RM)
2 3 4

Upah murid menjual penanda buku

Batang

2

3

4

6

1

0

6

1

2

7

2

5

8

2 2 3 6 7 7 7

Daun

Kekunci:  2 | 6  bermaksud 26 km

Markah ujian kecerdasan

4. Tentukan median bagi set data berikut.
 (a) 7, 5, 7, 8, 3, 12    (b) 37, 38, 27, 28, 48, 47, 58, 68
 (c) 3, 200, 4, 10, 50, 7, 90, 3, 50, 11, 3

5. Jadual menunjukkan bilangan penumpang feri di jeti Pulau Pangkor pada bulan Januari.
 Hitung median.

Bilangan penumpang 10 20 30 40

Kekerapan 5 8 7 10

6. Hitung median bagi perwakilan data berikut.
(a) Plot titik menunjukkan bilangan murid yang

mengunjungi pusat akses dalam masa seminggu.

(b) Carta palang menunjukkan saiz buah mandarin yang
dijual di sebuah kedai semasa Tahun Baru Cina.

3 4 5 6 7 8
Bilangan murid yang mengunjungi
pusat akses dalam masa seminggu

S

15

30

45

60

75

K
ek

er
ap

an

Saiz buah mandarin
M L XL

Jualan buah mandarin

Warna kegemaran ahli
Kumpulan Helang

Merah
75°

KuningBiru

Hijau
100°

120°65°
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

271270

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

7. Hitung min bagi setiap set data yang berikut.
      (a) 9, 5, 2, 3, 11, 12    (b) 3.5, 2.4, 1.7, 3.2, 4.5

8.   (a) Diberi nilai min bagi 4, 7, x, 9, 8 ialah 6. Hitung nilai x.
      (b) Diberi nilai min bagi 7 cm, 15 cm, 12 cm, 5 cm, h cm dan 13 cm ialah 10 cm.
  Hitung nilai h.

9. Jadual menunjukkan bilangan hari ketidakhadiran 40 orang murid pada bulan Januari.

Hitung min ketidakhadiran pada bulan Januari. Bundarkan jawapan anda kepada nombor bulat
terhampir.

Bilangan ketidakhadiran 0 1 2 3 4 5 8

Kekerapan 24 3 4 5 2 1 1

10. Lengkapkan jadual kekerapan berikut.
 (a)              (b)

18   28   18   24
18   23   30   24
26   35   22   13
16   33   19   32
 6    16   34   27

47   34   23   23
47   48   54   42
42   65   43   15
31   32   48   58
35   39   42   31

Data menunjukkan umur bagi
20 orang pelawat Muzium Negara.

Umur (tahun) Gundalan Kekerapan
6 - 10 / 1

11 - 15

16 - 20

21 - 25

26 - 30

31 - 35

Data menunjukkan bilangan bola
ping pong di dalam 20 bakul.

Bilangan bola
ping pong Gundalan Kekerapan

10 - 19 / 1

11.   2, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 16, 17, 40

(a) Hitung min, median dan mod.
(b) Sukatan kecenderungan memusat yang manakah sesuai digunakan? Jelaskan.

12. Jadual menunjukkan skor markah ujian ejaan Bahasa Inggeris bagi sekumpulan murid
Tingkatan 1.

(a) Hitung min, median dan mod.
(b) Sukatan kecenderungan memusat yang manakah sesuai digunakan? Jelaskan.

Skor 5 6 7 8 9 10

Bilangan murid 4 16 12 7 6 5

Batang

2

3

4

13

0

6

1

7

1

7

1

3

1

1

5

1

6

0 1 1 2 3 5

Daun

Kekunci:  2 | 0  bermaksud 20 ml

Isi padu larutan kimia

14. Sukatan kecenderungan memusat yang manakah yang sesuai digunakan untuk menerangkan
situasi berikut?

(a) Bilangan murid bagi setiap persatuan dan kelab uniform di sekolah.
 (b) Rancangan televisyen kegemaran murid di dalam kelas anda.
 (c) Bilangan haiwan peliharaan yang dimiliki oleh murid Tingkatan 2 Amanah.

13. Tentukan sukatan kecenderungan memusat yang sesuai
digunakan dalam situasi berikut. Berikan justifikasi bagi
jawapan anda.
(a) Carta palang menunjukkan bilangan tiket konsert yang dijual

oleh Kelab Teater sekolah mengikut harganya.

(b) Plot batang dan daun menunjukkan
isi padu larutan kimia, dalam ml,
bagi 19 botol yang berbeza.

1. Jadual menunjukkan bilangan anak bagi 40 buah keluarga dalam satu program motivasi.

Kenal pasti mod.

2. Min bagi tujuh nombor ialah 10. Lima daripada nombor itu ialah 6, 5, 14, 10 dan 11. Dua lagi
nombor masing-masing diwakili dengan k. Hitung

(a) jumlah tujuh nombor tersebut.   (b) nilai bagi k.

Bilangan anak 0 1 2 3 4 5

Kekerapan 3 2 8 5 17 5

MENJANA KECEMERLANGAN

Harga tiket (RM)

1
2
3
4
5
6

K
ek

er
ap

an

1 2 3 4 5

Jualan tiket konsert
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

273272

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

Batang

7

8

9

2

1

2

3

1

6

4 5

Daun

Kekunci:  7 | 2  bermaksud 72 markah

Markah ujian Matematik

6 7 8 9 10
Bilangan bungkusan (paket)

Bungkusan mi yang dijual

Markah 5 10 15 20 25 30

Kekerapan 2 7 5 11 9 7

3. Hitung min bagi setiap perwakilan data berikut.
 (a)          (b)

4. Jadual menunjukkan markah ujian kelayakan peserta kuiz Sejarah yang diperoleh sekumpulan
murid. Hitung median.

5. Diberi nombor 2, 4, 6, 6, 8 dan 12.
 (a) Kenal pasti min, median dan mod bagi set data tersebut.
 (b) Hitung min, median dan mod yang baharu jika setiap nombor itu
       (i)  ditambah 2. (ii)  didarab 2.
       (iii) ditolak 2. (iv) dibahagi 2.

6. Diberi min bagi empat nombor ialah 14. Jika dua nombor ditambah dalam set data nombor
tersebut, iaitu x dan x + 2, min baharunya ialah 15. Hitung nilai x.

7. Min bagi empat nombor ialah 71. Dua daripada nombor itu ialah 56 dan 48. Nilai bagi dua
nombor lagi ialah x bagi setiap satu.
(a) Hitung

(i) jumlah keempat-empat nombor itu. (ii) nilai x.
(b) Jika setiap empat nombor itu ditolak dengan 5, hitung nilai min baharu.

8. Plot batang dan daun mewakili jarak larian sekumpulan peserta acara larian amal.

(a) Kenal pasti
  (i) min  (ii) mod  (iii) median

jarak yang dilalui oleh semua peserta.
(b) Berapa peratuskah peserta yang melalui jarak yang lebih dan sama dengan 32 km?

Batang

2

3

4

3

0

2

4

1

2

6

2

9

2 2 4 4 5 8

Daun

Kekunci:  2 | 3  bermaksud 23 km

Jarak larian peserta

Masa (minit) 2 4 6 8 10

Bilangan murid x 2 y 6 14

9. Carta palang menunjukkan bilangan pesanan ringkas
yang dihantar oleh 30 orang murid dalam satu minggu.
(a) Hitung

(i) min  (ii) mod  (iii) median
   pesanan ringkas yang dihantar oleh murid.

(b) Hitung dalam bentuk pecahan, murid yang
menghantar kurang daripada 33 pesanan ringkas
dalam seminggu.

10. Masa bagi 40 orang murid menyelesaikan teka silang kata direkodkan.

(a) Tunjukkan bahawa x + y = 18.
(b) Jika y = 6, hitung min bagi data tersebut.
(c) Kenal pasti: (i) median  (ii) mod
 masa bagi murid-murid itu menyelesaikan teka silang kata tersebut.

11. Malek, Rani dan Yip telah dipilih ke pusingan akhir pertandingan lompat jauh. Mereka telah
membuat lompatan masing-masing sebanyak tiga kali dan jarak lompatan mereka direkodkan,
dalam meter.

Daripada data di atas, sukatan kecenderungan memusat yang manakah anda pilih untuk
menentukan pemenang pingat emas, perak dan gangsa? Jelaskan.

12. Joshua telah mendapat markah 74, 95, 98, 84 dan 74 dalam beberapa kali ujian Sejarah yang
didudukinya.
(a) Bagaimanakah Joshua ingin meyakinkan ibu bapanya bahawa dia sudah berusaha

bersungguh-sungguh untuk mencapai keputusan yang terbaik dalam ujian Sejarah?
Sukatan kecenderungan memusat yang manakah yang harus digunakan oleh Joshua
untuk tujuan ini? Berikan alasan.

(b) Cikgu Shamsudin ialah guru Sejarah Joshua. Dia memujuk Joshua supaya berusaha lebih kuat
lagi kerana markah subjek Sejarahnya masih belum konsisten. Markah manakah yang dirujuk
oleh cikgu Shamsudin semasa menyatakan kerisauannya terhadap pencapaian Joshua?

Bilangan pesanan ringkas

1
2
3
4
5
6
7
8
9

K
ek

er
ap

an

30 31 32 33 34 35

Bilangan pesanan ringkas

Peserta
Lompatan

1 2 3

Malek 3.2 4.5 6.1

Ravi 6.3 3.4 5.2

Yip 4.5 6.7 4.9
B
A

B
 1

2

B
A

B
 1

2

275274

Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat

Sukatan Kecenderungan Memusat

Nilai purata yang mewakili suatu set data

Min
Dipilih mewakili
data apabila
melibatkan
keseluruhan data
sekiranya tidak
wujud nilai ekstrem.

Median
Dipilih mewakili data
apabila wujud nilai
ekstrem.

Mod
Dipilih mewakili data
apabila menentukan
item dengan kekerapan
paling tinggi.

INTI PATI BAB

Min

Min = Jumlah nilai data
Bilangan data

Min = Hasil tambah (kekerapan × titik tengah)
Jumlah kekerapan

Median
Nilai atau data yang berada
di tengah-tengah setelah
data disusun mengikut tertib
menaik atau menurun.

Mod
Nilai atau data yang
paling kerap berulang
dalam set data.

Kelas Mod
Kelas yang mempunyai
kekerapan tertinggi.

Pemilihan sukatan kecenderungan memusat

∑	fx
∑	fx =

Anda dikehendaki mendapatkan maklumat dan menulis laporan tentang ketinggian dan
berat badan murid dalam tiga buah kelas tingkatan 2 yang berbeza. Dapatkan data tentang
jantina, ketinggian dan berat melalui kaedah soal selidik.

Kemudian, organisasikan data anda
dengan menggunakan jadual kekerapan
yang sesuai. Anda boleh menggunakan
perisian komputer atau secara manual
dalam penulisan laporan ini.

Bagi data setiap kelas, analisis data
tersebut dengan menggunakan sukatan
kecenderungan memusat, iaitu mod,
min dan median. Nyatakan sukatan
kecenderungan memusat yang anda pilih
bagi mewakili data tersebut. Seterusnya, hitung IJB bagi setiap murid dan berikan cadangan
berkaitan dengan gaya hidup sihat.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1.  Menentukan nilai mod, min dan median bagi suatu set data tak terkumpul.

2.  Membuat kesimpulan tentang kesan perubahan suatu set data terhadap nilai
mod, min dan median.

3. Mengumpul data, membina dan mentafsir jadual kekerapan bagi data
terkumpul.

4.  Menentukan kelas mod dan min bagi suatu set data terkumpul.

5.		 Memilih	 dan	 menjustifikasi	 sukatan	 kecenderungan	 memusat	 yang
sesuai untuk memerihalkan taburan suatu set data, termasuk set data yang
mempunyai nilai ekstrem.

6. Menentukan nilai mod, min dan median daripada perwakilan data.

7. Mengaplikasikan kefahaman tentang sukatan kecenderungan memusat
untuk  membuat ramalan, membentuk hujah yang meyakinkan dan membuat
kesimpulan.

REFLEKSI DIRI
B
A

B
 1

3

B
A

B
 1

3

277276

Bab 13 Kebarangkalian MudahBab 13 Kebarangkalian Mudah

13.1 Kebarangkalian	Eksperimen

13.2 Kebarangkalian Teori yang Melibatkan
Kesudahan Sama Boleh Jadi

13.3 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap

13.4  Kebarangkalian Mudah

• Probability
• Sample space
• Event
• Complement of
 an event

• Theoretical probability
• Experimental
 probability
• Tree diagram

• Kebarangkalian
• Ruang sampel
• Peristiwa
• Peristiwa pelengkap

• Kebarangkalian teori
• Kebarangkalian
 eksperimen
• Gambar rajah pokok

Pasukan merah jambu menentang
pasukan biru dalam satu perlawanan bola
jaring. Berdasarkan rekod, pasukan merah
jambu melakukan 12 jaringan daripada 18
percubaan. Pasukan biru melakukan 18
jaringan daripada 30 percubaan. Apakah
nisbah bilangan jaringan kepada bilangan
percubaan untuk pasukan merah jambu
dan pasukan biru? Pada pendapat anda,
pasukan manakah yang akan memenangi
perlawanan tersebut?

276

RANGKAI KATA

Untuk maklumat lanjut:

MASLAHAT BAB INI

Ahli ekonomi menggunakan ilmu
kebarangkalian dalam meramalkan kenaikan
atau penurunan nilai saham, bergantung
pada keadaan ekonomi semasa dan faktor
politik sesebuah negara.

Ahli meteorologi menggunakan ilmu
kebarangkalian dalam meramal perubahan
cuaca dan angin untuk keesokan harinya
dan hari-hari mendatang.

Ahli perniagaan juga menggunakan ilmu
kebarangkalian dalam mengkaji statistik
keuntungan perniagaan mereka dan
meramalkan keuntungan yang bakal dan
yang ingin diperoleh.

Richard Carl Jeffrey seorang ahli falsafah
yang inovatif pada abad ke-20. Beliau
juga merupakan salah seorang ahli jabatan
falsafah di Universiti Princeton antara tahun
1974-1999. Beliau banyak menyumbang
idea dalam bidang logik dan statistik. Buku
‘The Logic of Decision’ hasil penulisan
beliau, menceritakan teori baru berkaitan
dengan membuat keputusan dalam keadaan
ketidakpastian dan kepercayaan kepada
kemungkinan. Hasil penulisan beliau
digunakan secara meluas dalam bidang
logik termasuk ‘Formal Logic: Its Space
and Limits’ dan ‘Computability and Logic’.
Beliau juga menghasilkan buku ‘Probability
and the Art of Judgement’ dan ‘Subjective
Probability: The Real Thing’.

277

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms277

ANDA AKAN MEMPELAJARI
B
A

B
 1

3

B
A

B
 1

3

279278

Bab 13 Kebarangkalian MudahBab 13 Kebarangkalian Mudah

Dalam Aktiviti Kreatif, anda telah didedahkan dengan konsep kebarangkalian. Sekarang, mari kita
lihat perkaitan antara kekerapan berlakunya suatu peristiwa dengan bilangan cubaan yang dilakukan.

Situasi di atas menunjukkan peristiwa yang mungkin berlaku, pasti berlaku dan mustahil berlaku.
Ukuran kemungkinan suatu peristiwa berlaku ditentukan oleh nilai antara 0 dengan 1 dikenali
sebagai kebarangkalian.

13.1 Kebarangkalian Eksperimen

13.1.1 Eksperimen kebarangkalian

Melaksanakan
eksperimen
kebarangkalian mudah,
dan seterusnya
menentukan nisbah

sebagai kebarangkalian
eksperimen bagi
suatu peristiwa.

kekerapan berlakunya suatu peristiwa
bilangan cubaan

Tujuan: Melaksana eksperimen kebarangkalian mudah
Bahan: Sekeping duit syiling
Langkah:
1. Lambung duit syiling sebanyak 25 kali.
2. Catat kesudahan sama ada memperoleh ‘angka’ atau ‘gambar’.
3. Ulangi langkah satu sebanyak 50 kali.
4. Ulangi langkah satu sebanyak 100 kali.
5. Tulis kesudahan yang diperoleh bagi eksperimen melambung duit syiling dalam jadual.

Perbincangan:
Bincangkan perkaitan antara nisbah yang diperoleh dengan kebarangkalian eksperimen.

Tujuan: Mengenal kebarangkalian
Bahan: Carta ramalan cuaca dalam tempoh seminggu, guli biru dan merah
Langkah:
1. Pertimbangkan situasi berikut:

(a) Cuaca esok diramalkan hujan.
(b) Pilih seorang murid perempuan daripada pasukan Pandu Puteri untuk permainan bola jaring.
(c) Kemungkinan sebiji guli berwarna hitam diambil dari kotak yang mengandungi 3 biji

guli biru dan 7 biji guli merah.
2. Bincangkan kemungkinan setiap situasi di atas berlaku dan nilai yang sesuai untuk mewakili

setiap kemungkinan.

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Membuat kesimpulan kebarangkalian eksperimen
  suatu peristiwa
Bahan: Perisian geometri dinamik
Langkah:
1. Buka fail MS279 yang telah disediakan.
2. Klik butang Eksperimen Baru.
3. Klik butang Mula. Perhatikan pergerakan penanda selari

dengan bacaan pada graf.
4. Ulangi langkah 2 dan 3 sebanyak 4 kali.
Perbincangan:
(i) Bincangkan perbezaan graf yang terbentuk pada kelima-lima

eksperimen.
(ii) Apakah kesimpulan yang boleh dibuat tentang kebarangkalian

eksperimen apabila cubaan cukup besar?

13.1.2 Kebarangkalian eksperimen
 suatu peristiwa

Kebarangkalian eksperimen ditafsirkan sebagai kebarangkalian yang diperoleh daripada suatu
eksperimen. Nisbah  ‘kekerapan muncul angka terhadap bilangan lambungan’ yang diperoleh
daripada aktiviti tersebut ialah kebarangkalian eksperimen bagi peristiwa mendapat ‘angka’.
Bolehkah anda nyatakan kebarangkalian eksperimen bagi peristiwa mendapat ‘gambar’?
Secara umumnya,

Membuat kesimpulan
tentang kebarangkalian
eksperimen suatu
peristiwa apabila
bilangan cubaan
cukup besar.Kebarangkalian ialah ukuran kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa,

dinyatakan sama ada dalam bentuk pecahan atau peratusan.

Bilangan lambungan
  Nisbah

Kekerapan
muncul 25 50 100

25 50 100

Angka

Gambar

kekerapan muncul
bilangan lambungan

1. Lakukan eksperimen dengan melambung sebiji dadu adil. Tulis nisbah bilangan memperoleh
nombor genap kepada 16 percubaan.

13.1

Diperhatikan, kelima-lima graf menunjukkan bentuk yang hampir sama. Kesimpulan yang dapat
dibuat ialah kebarangkalian eksperimen menuju kepada satu nilai tertentu jika eksperimen diulangi
dengan bilangan cubaan yang cukup besar.

Fail menunjukkan simulasi kebarangkalian mendapat ‘gambar’ daripada eksperimen melambung
duit syiling. Sebanyak 1 200 percubaan melambung duit syiling dilakukan. Daripada graf yang
ditunjukkan, kebarangkalian eksperimen mendapat ‘gambar’ daripada 1 200 percubaan menuju
kepada satu nilai, iaitu 0.5.

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms279 untuk
melihat simulasi bagi
lambungan syiling.

Kekerapan berlakunya peristiwa
Bilangan cubaan

Kebarangkalian eskperimen bagi suatu peristiwa =
B
A

B
 1

3

B
A

B
 1

3

281280

Bab 13 Kebarangkalian MudahBab 13 Kebarangkalian Mudah

13.2 Kebarangkalian Teori yang Melibatkan Kesudahan Sama
Boleh Jadi

13.2.1 Ruang sampel bagi suatu eksperimen
Sebelum memulakan perlawanan bola sepak, pengadil biasanya
akan melambung duit syiling untuk menentukan pasukan yang akan
memulakan perlawanan. Mengapakah pengadil menggunakan duit
syiling, bukan dadu atau benda maujud lain? Apakah ruang sampel
bagi kesudahan yang mungkin bagi lambungan duit syiling?

Tujuan: Menulis kesudahan yang mungkin bagi lambungan dadu
Bahan: Dadu adil
Langkah:
1. Lakukan lambungan sebiji dadu adil dan rekodkan nombor

yang muncul pada dadu.
2. Lengkapkan jadual di bawah.

3. Ulangi beberapa kali langkah 1 sehingga anda pasti bahawa
semua nombor pada dadu adil itu telah diperoleh. (Nombor
dadu adil yang telah direkodkan tidak perlu dicatat lagi.)

4. Senaraikan semua nombor yang muncul setelah dadu adil
dilambung dengan menggunakan tatatanda set, {   }.

5. Nyatakan perkaitan senarai dalam langkah 4 dengan
ruang sampel.

Perbincangan:
Bincangkan kesudahan yang mungkin bagi lambungan sebiji
dadu adil.

Nombor dadu
yang muncul

Menentukan ruang
sampel dan peristiwa
bagi suatu eksperimen.

Tatatanda set, {   }
Set A = {nombor ganjil

kurang daripada 10}
      A  = {1, 3, 5, 7, 9}

Ruang sampel ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen.

Gambar rajah pokok dapat membantu anda menerangkan perbezaan tersebut.

Apabila anda mengambil kad secara rawak, anda mungkin mendapat
pasangan seperti yang tertera pada gambar rajah pokok di atas. Ruang
sampel bagi kesudahan aktiviti di atas ialah, S = {(2,3), (2,5), (2,7)}.

3

5

7

2

Kotak A Kotak B Pasangan nombor yang diperoleh

(2, 3)

(2, 5)

(2, 7)

Apabila sebiji dadu adil dilambung, nombor yang tertera boleh jadi
1,	2,	3,	4,	5	atau	6.	Walaupun	nombor	yang	sama	tertera	berulang
kali, namun masih dalam julat 1 hingga 6. Maka, senarai kesudahan
bagi lambungan dadu adil ialah nombor 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Ruang
sampel bagi lambungan dadu adil ialah, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Duit syiling hanya
mempunyai dua
permukaan, iaitu ‘angka’
dan ‘gambar’. Apakah
ruang sampel bagi satu
lambungan duit syiling?

Tujuan: Menulis kesudahan menggunakan gambar rajah pokok
Bahan: Dua kotak kosong berlabel A dan B, 4 keping kad berlabel 2, 3, 5 dan 7
Langkah:
1. Bentuk satu kumpulan yang terdiri daripada 5 orang ahli.
2. Masukkan kad berlabel 2 ke dalam kotak A.
3. Masukkan kad berlabel 3, 5 dan 7 ke dalam kotak B.
4. Seorang murid mengambil sekeping kad dari kotak A dan sekeping kad dari kotak B.
5. Catat pasangan nombor yang diperoleh dalam jadual di bawah.

6. Masukkan semula kedua-dua kad ke dalam kotak asal.
7. Ulangi langkah 4 hingga 6 sehingga semua ahli kumpulan mempunyai pasangan nombor.

Lengkapkan jadual.
8. Senaraikan kesudahan yang mungkin menggunakan tatatanda set, {   }.

Perbincangan:
Bincangkan persamaan dan perbezaan bagi kesudahan pasangan nombor yang diperoleh
setiap ahli kumpulan.

Ahli 1 Ahli 2 Ahli 3 Ahli 4 Ahli 5

Kotak A

Kotak B

Gambar rajah pokok
boleh digunakan untuk
menunjukkan aliran
proses serta untuk
menyusun atur dan
mengira kebarangkalian
sesuatu peristiwa
berlaku.

1.  Eksperimen ialah
prosedur yang
dilakukan untuk
memerhati kesudahan
yang mungkin.

2.  Kesudahan ialah
keputusan yang
mungkin bagi sesuatu
eksperimen.

3.  Ruang sampel ialah
semua kesudahan yang
mungkin bagi sesuatu
eksperimen.
B
A

B
 1

3

B
A

B
 1

3

283282

Bab 13 Kebarangkalian MudahBab 13 Kebarangkalian Mudah

CONTOH 3

Sebuah koperasi sekolah menjual pensel jenama P manakala pemadam yang dijual berwarna merah,
hijau, biru dan kuning. Palin ingin membeli sebatang pensel dan satu pemadam dari koperasi tersebut.
Dengan bantuan gambar rajah pokok, senaraikan kesudahan yang mungkin dan tulis unsur dalam
ruang sampel pasangan barang yang boleh dibeli oleh Palin. Nyatakan bilangan pasangan tersebut.

Penyelesaian:

Langkah 1: Lukiskan gambar rajah pokok.

Langkah 2: Senaraikan unsur dalam ruang sampel, S = {(P,M), (P,H), (P,B), (P,K)}.

Maka, bilangan unsur dalam ruang sampel, n(S) = 4

CONTOH 2

Satu nombor dipilih secara rawak daripada nombor perdana 20 hingga 40. Senaraikan kesudahan
yang mungkin dan tulis unsur dalam ruang sampel bagi eksperimen ini. Nyatakan bilangan unsur
dalam ruang sampel.

Penyelesaian:

Nombor perdana yang berada di antara 20 hingga 40 ialah 23, 29, 31, 37.

Ruang sampel, S = {23, 29, 31, 37}. Bilangan unsur di dalam ruang sampel, n(S) = 4.

M  (P, M)

H  (P, H)

B  (P, B)

K  (P, K)

P

Peristiwa bagi suatu eksperimen

Tujuan: Mengenal peristiwa
Bahan: Dua bola merah, dua bola kuning dan sebuah kotak
Langkah:
1. Bentuk satu kumpulan yang terdiri daripada 4 orang ahli.
2. Tandakan setiap bola dengan simbol M1 dan M2 untuk bola merah manakala K1 dan K2

untuk bola kuning.
3. Masukkan semua bola ke dalam kotak.
4. Seorang ahli kumpulan mengambil dua biji bola dari kotak tersebut satu persatu.
5. Catat label bola yang diambil dalam jadual di bawah.
6. Masukkan semula kedua-dua bola ke dalam kotak.
7. Ulangi langkah 4 hingga 6 bagi setiap ahli kumpulan. Lengkapkan jadual di bawah.

Perbincangan:
Senaraikan kesudahan yang memenuhi syarat berikut.
(i)		Warna	kedua-dua	bola	adalah	sama.
(ii) Sekurang-kurangnya satu bola berwarna merah.

Ahli 1 Ahli 2 Ahli 3 Ahli 4
  Bola pertama
  Bola kedua
  Kesudahan

Perbincangan dalam aktiviti di atas mengkehendaki anda menyenaraikan kesudahan yang
menepati dua syarat. Syarat pertama ialah kedua-dua bola mempunyai warna yang sama. Syarat
kedua ialah salah satu pasangan bola tersebut berwarna merah. Senarai kesudahan aktiviti di
atas yang memenuhi syarat tersebut digelar peristiwa.

Peristiwa ialah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu bagi
suatu ruang sampel dan merupakan subset bagi ruang sampel.

CONTOH 1

Satu	 huruf	 dipilih	 secara	 rawak	 daripada	 perkataan	 SEMPURNA.
Senaraikan kesudahan yang mungkin dan tulis unsur dalam ruang sampel
bagi eksperimen ini. Nyatakan bilangan unsur dalam ruang sampel.

Penyelesaian:

Perkataan	 SEMPURNA	 terdiri	 daripada	 lapan	 huruf	 yang	 berlainan.	 Maka,	 kesudahan	 yang
mungkin	ialah	S,	E,	M,	P,	U,	R,	N,	A.	Ruang	sampel,	S	=	{S,	E,	M,	P,	U,	R,	N,	A}.	Bilangan	unsur
dalam ruang sampel, n(S) = 8.

CONTOH 4

Sekeping kad telah dipilih secara rawak dari sebuah kotak yang mengandungi kad bernombor 1
hingga 9. Tentukan sama ada peristiwa berikut mungkin berlaku atau tidak mungkin berlaku.
(i) Nombor lebih besar daripada 5.  (ii)  Nombor dengan dua digit.
(iii) Faktor bagi 15.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}
(i) Mungkin berlaku    (ii)  Tidak mungkin berlaku
(iii) Mungkin berlaku

Set A = {1, 3, 5, 7, 9}
Set B = {2, 4, 6, 8}
Bilangan unsur:
Set A, n(A)= 5
Set B, n(B) = 4

Kesudahan
B
A

B
 1

3

B
A

B
 1

3

285284

Bab 13 Kebarangkalian MudahBab 13 Kebarangkalian Mudah

Lambungan sebiji dadu adil mempunyai enam kesudahan yang
mungkin, iaitu nombor 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Diandaikan semua
nombor mendapat kebarangkalian sama rata bagi satu lambungan,
pertimbangkan peristiwa berikut.
(i)  Kebarangkalian mendapat nombor 4.
(ii) Kebarangkalian mendapat nombor ganjil daripada satu

lambungan dadu adil.

CONTOH 5

CONTOH 6

Dalam satu acara sukaneka, peserta perlu mengambil sekeping kad secara rawak dari balang yang
mengandungi kad bertulis huruf K, A, S, U, T. Senaraikan unsur dalam ruang sampel bagi peristiwa memilih
(a) huruf konsonan.    (b) huruf vokal.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S = {K, A, S, U, T}
(a) Huruf konsonan = {K, S, T}   (b) Huruf vokal = {A, U}

Balang A mengandungi kad berlabel huruf I. Balang B mengandungi kad berlabel huruf I, K, A dan
N. Sekeping kad dari balang A dan sekeping kad dari balang B diambil secara rawak.
(a) Senaraikan unsur dalam ruang sampel.
(b)  Senaraikan unsur dalam ruang sampel yang memperoleh
 (i) pasangan huruf yang sama, X.
 (ii)  sekurang-kurangnya satu huruf konsonan, Y.

Penyelesaian:

Langkah 1: Lukis gambar rajah pokok.

I

K

A

N

I

Balang A Balang B Kesudahan

(I, I)

(I, K)

(I, A)

(I, N)

Langkah 2: Senaraikan unsur dalam ruang sampel.

(a) S = {(I, I), (I, K), (I, A), (I, N)}

(b) (i) Peristiwa X = {(I, I)} (ii) Peristiwa Y = {(I, K), (I, N)}

13.2.2 Kebarangkalian suatu peristiwa

Membina model
kebarangkalian suatu
peristiwa, dan seterusnya
membuat perkaitan antara
kebarangkalian teori
dengan kebarangkalian
eksperimen.

Dadu 1
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

D
ad

u
2

Jadual di sebelah menunjukkan hasil tambah dua biji dadu
adil secara teori.

Daripada jadual, hasil tambah dua biji dadu adil yang
bernilai 5 muncul sebanyak 4 kali. Maka, kebarangkalian
memperoleh hasil tambah dua biji dadu yang bernilai 5

daripada jadual ialah 4
36

= 1
9

. Kebarangkalian ini digelar

kebarangkalian teori.

Apabila eksperimen melambung dua biji dadu adil dilakukan

sebanyak tiga puluh enam percubaan, hasil tambah dua biji dadu adil yang bernilai 5 muncul sebanyak

12 kali. Kebarangkalian memperoleh hasil tambah dua biji dadu adil yang bernilai 5 daripada

eksperimen tersebut ialah 12
36

= 1
3

. Kebarangkalian ini digelar kebarangkalian eskperimen.

Daripada senarai kesudahan;

(i) Kejadian mendapat nombor 4 hanya sekali. Kebarangkalian mendapat nombor 4 daripada satu

lambungan ialah sekali daripada 6, iaitu 1
6

.

(ii) Kejadian mendapat nombor ganjil ialah tiga kali, iaitu nombor 1, 3 dan 5. Kebarangkalian

mendapat nombor ganjil bagi satu lambungan ialah 3 kali daripada 6, iaitu 3
6

=  1
2

.

Daripada dua situasi di atas, bilangan kesudahan lambungan dadu adil diwakili oleh n(S) dan
bilangan kejadian suatu peristiwa diwakili oleh n(A). Kebarangkalian suatu peristiwa diwakili
oleh P(A).

Maka,   kebarangkalian suatu peristiwa A diwakili oleh P(A) =
n(A)
n(S)

Jika eksperimen melambung dua biji dadu adil dilakukan dengan bilangan percubaan yang

cukup besar, kebarangkalian eksperimen di atas, � 1
3
�	menghampiri kebarangkalian teori, � 1

9
�

seperti rajah di bawah.

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms285
untuk menganalisis
kebarangkalian teori
dan kebarangkalian
eksperimen.

Sekeping duit syiling
dilambung dua kali berturut-
turut. Gambar rajah pokok
di bawah menunjukkan
kesudahan yang mungkin.
1. Nyatakan unsur dalam

ruang sampel bagi kedua-
dua lambungan tersebut.

2. Apakah kebarangkalian
mendapat ‘gambar’
dalam kedua-dua
lambungan?

Lambungan
kedua

Lambungan
pertama

(      )

(      )

(      )

(      )
B
A

B
 1

3

B
A

B
 1

3

287286

Bab 13 Kebarangkalian MudahBab 13 Kebarangkalian Mudah

Sebiji epal diambil dari sebuah kotak yang mengandungi 25 biji epal hijau dan 35 biji epal merah.
Hitung kebarangkalian epal berwarna hijau diambil.

Penyelesaian:

Bilangan epal hijau = 25 biji
Jumlah epal dalam kotak = 60 biji

Anggap A ialah peristiwa mendapat epal hijau.
Kebarangkalian mendapat epal hijau,

P(epal hijau)  =
bilangan epal hijau

jumlah epal

P(A)  =
n(A)

n(S)

= 25
60

=
5
12

CONTOH 7

13.2.3 Menentukan kebarangkalian
Kebarangkalian bagi suatu peristiwa A berlaku, boleh ditentukan
dengan, n(A)

n(S)
P(A) =

Menentukan
kebarangkalian
suatu peristiwa.

Kebarangkalian boleh
ditulis dalam bentuk
pecahan, peratus atau
nombor perpuluhan.

Pramjit mendapat wang saku sebanyak RM5 pada setiap hari Selasa, Rabu dan Khamis. Hitung
kebarangkalian dia mendapat wang sebanyak RM5 dalam empat minggu.

Penyelesaian:

Anggap A ialah peristiwa mendapat wang saku.
Jumlah hari Selasa, Rabu dan Khamis dalam 4 minggu, n(A) = 12 hari
Jumlah hari dalam 4 minggu, n(S) = 28 hari

Kebarangkalian mendapat wang saku sebanyak RM5 dalam 4 minggu, P(A) =
n(A)

n(S)

=
12
28

=
3
7

1. Sebuah kedai basikal mempunyai stok sebanyak 35 buah basikal. Jika kedai tersebut menjual
15 buah basikal pada bulan Januari. Hitung kebarangkalian menjual sebuah basikal pada
bulan tersebut.

CONTOH 8

13.2

0 1
tidak
akan
berlaku

pasti
akan
berlaku

0.5
mungkin
berlaku
(antara 0
dengan 1)

Tujuan: Mengenal peristiwa pelengkap
Bahan: Sembilan kad bernombor gandaan 3, papan magnet
  dan bar magnet
Langkah:
1. Susun sembilan nombor gandaan 3 yang pertama pada papan magnet.

2. Senaraikan unsur A. A ialah peristiwa memilih nombor genap.

A = {  ,  ,  ,  }

3. Senaraikan unsur A'. A' ialah peristiwa memilih bukan nombor genap.

A' = {  ,  ,  ,  ,  }

4.  (i)  Hitung kebarangkalian memilih nombor genap, P(A).
 (ii) Hitung kebarangkalian memilih bukan nombor genap, P(A').
Perbincangan:
(i)  Bincangkan hubungan P(A) dan P(A').
(ii) Bincangkan hubungan antara ruang sampel, S dengan set semesta, ξ.

13.3 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap

13.3.1 Memerihalkan peristiwa pelengkap

Memerihalkan peristiwa
pelengkap dalam perkataan
dan dengan menggunakan
tatatanda set.

3 6 9 12 15 18 21 24 27

2. Jabatan Meteorologi meramalkan bahawa hujan akan turun di negeri pantai timur sekali
bagi setiap tiga hari dari bulan November hingga Disember. Hitung kebarangkalian hujan
turun dari bulan November hingga Disember.

3. Sebuah pasar raya mengadakan cabutan bertuah sempena ulang tahun ke-10 selama
seminggu. Pasar raya tersebut mengenakan syarat bahawa setiap pembelian bernilai RM50
layak menghantar satu penyertaan. Pasar raya tersebut merekodkan pemberian kupon
penyertaan secara purata sebanyak 30 keping sehari selama seminggu. Danial, seorang
peniaga gerai makanan, berbelanja sebanyak RM450 sepanjang tempoh pertandingan.
Hitung kebarangkalian Danial memenangi cabutan bertuah tersebut.

Daripada aktiviti di atas, set semesta, ξ terdiri daripada
sembilan nombor pertama gandaan 3. A ialah subset bagi set
semesta. A' ialah pelengkap bagi set A. Hubungan antara set
A dengan set semesta ditunjukkan dalam gambar rajah Venn
di sebelah. Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam suatu
ruang sampel S, adalah terdiri daripada semua kesudahan yang
bukan kesudahan A.

•  3

•  9

•  21

•  27

•  15

•  12

•  18

•  24

•  6A
ξ
B
A

B
 1

3

B
A

B
 1

3

289288

Bab 13 Kebarangkalian MudahBab 13 Kebarangkalian Mudah

CONTOH 9

Seorang  pekerja di kedai bunga menyusun 15 jambak bunga
mengikut bilangan kuntuman bunga dalam kiraan ganjil 1 hingga
30 mengikut tertib menaik. A ialah peristiwa menjual jambak bunga
yang mempunyai bilangan kuntuman bunga dengan nilai kuasa dua
sempurna. Perihalkan peristiwa pelengkap, A' dalam
(i) perkataan.
(ii)  tatatanda set.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
Peristiwa A = {9, 25}
(i) A' = peristiwa memilih nombor bukan kuasa dua sempurna.
(ii) A' = {1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 29}

Dalam kebarangkalian, ruang sampel, S ialah set semesta. Jika set A mewakili peristiwa A, maka
set A' ialah peristiwa pelengkap bagi peristiwa A.

Kebarangkalian memilih nombor genap, P(A) =
4
9

.

Kebarangkalian memilih bukan nombor genap, P(A') =
5
9

.

P(A) + P(A')  =
4
9

+
5
9

=
9
9

= 1
Didapati P(A) + P(A') = 1.
Oleh itu, P(A’)	=	1	−	P(A), 0 ⩽ P(A) ⩽ 1.

Jika P(A) = 0, peristiwa A
pasti tidak berlaku
Jika P(A) = 1, peristiwa A
pasti berlaku

13.3.2 Kebarangkalian peristiwa pelengkap

Satu nombor dipilih secara rawak daripada set integer daripada
1 hingga 20. A ialah peristiwa memilih nombor perdana. Hitung
kebarangkalian peristiwa pelengkap bagi peristiwa A.

CONTOH 10

Penyelesaian:

Ruang sampel, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Peristiwa A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Kebarangkalian peristiwa A , P(A) =
n(A)
n(S)

= 8
20

= 2
5

Menentukan
kebarangkalian
peristiwa pelengkap.

CONTOH 11

Gambar rajah Venn di sebelah menunjukkan unsur dalam set
semesta. Hitung kebarangkalian memilih peristiwa pelengkap A'.

Penyelesaian:

Bilangan unsur peristiwa pelengkap,
n(A') = 5
Bilangan unsur set semesta = 10

1. Sebuah bekas mengandungi 5 biji pau kacang, 8 biji pau sambal dan 4 biji pau coklat. Sebiji pau
diambil secara rawak dari bekas tersebut. Jika A ialah peristiwa mendapat pau coklat, perihalkan
peristiwa pelengkap bagi A dalam

(a) perkataan.    (b) tatatanda set.

2. Sebuah bekas mengandungi sejumlah pen biru dan pen merah. Kebarangkalian memilih satu
batang pen biru dari bekas tersebut ialah 3

5
. Hitung kebarangkalian memilih sebatang pen

merah dari bekas yang sama.

3. Sebuah kedai cenderamata menjual 25 biji cawan kaca, 30 keping bingkai gambar dan 15
rantai kunci dalam masa dua minggu. Hitung kebarangkalian cenderamata yang terjual selain
cawan kaca.

4. Ali mempunyai wang sebanyak RM73. Sebuah kedai menjual kasut memberi Ali pilihan dengan
menawarkan tiga pasang kasut yang berharga kurang RM50 sepasang, empat pasang kasut yang
berharga antara RM50 hingga RM70 sepasang dan lima pasang kasut yang berharga lebih RM70
sepasang. Jika B ialah peristiwa Ali  membeli sepasang kasut, perihalkan peristiwa pelengkap
bagi B dalam

(a) perkataan.    (b) tatatanda set.

5. Sebanyak 10% biji oren daripada tiga kotak oren didapati telah busuk. C ialah peristiwa
memperoleh oren yang tidak busuk. Jika sebuah kotak oren mengandungi 30 biji oren, hitung
kebarangkalian mengambil satu biji oren yang tidak busuk secara rawak.

13.3

Kaedah 1:
Kebarangkalian peristiwa pelengkap,
P(A') = 1 – P(A)

= 1 –  8
20

= 12
20

Maka, P(A') = 12
20

= 3
5

Kaedah 2:
Peristiwa A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

P(A') =
n(A')

n(S)

= 12
20

= 3
5

• 90

• 93

• 91

• 97
• 94

• 95

• 92

• 94

• 96

• 98

A
B

ξ

PERHATIAN
P(A) + P(A') = 1
P(A)  = 1 – P(A')
P(A') = 1 – P(A)

1. Untuk peristiwa
mendapat ‘angka’
apabila duit syiling
dilambung, peristiwa
pelengkapnya adalah
mendapat ‘gambar’.

2. Untuk peristiwa memilih
hari dalam seminggu,
jika {Isnin, Khamis}
dipilih, pelengkapnya
ialah {Ahad, Selasa,
Rabu, Jumaat, Sabtu}.

Set A  = {2, 4}
Set A' = {1, 3, 5, 6}

P(A)  = 26  = 13

P(A')  = 46  = 23

3.

4.

Kebarangkalian peristiwa pelengkap, P(A') =
n(A')

n(S)

= 5
10

= 1
2

A' A
B
A

B
 1

3

B
A

B
 1

3

291290

Bab 13 Kebarangkalian MudahBab 13 Kebarangkalian Mudah

Membuat kesimpulan
(a) Maka, kebarangkalian kemeja terjual dalam masa sebulan

ialah 3
4.

(b) Jumlah keuntungan ialah RM1  080.
(c) Jumlah baju yang tidak terjual dalam masa sebulan ialah

20 helai.

CONTOH 12

13.4 Kebarangkalian Mudah

Seorang usahawan kemeja mampu menghasilkan 80 helai kemeja
dalam masa sebulan. Dia berjaya menjual 15 helai kemeja dalam
masa seminggu. Keuntungan menjual 15 helai kemeja tersebut ialah

Penyelesaian:

RM135. Hitung
(a) kebarangkalian kemeja terjual dalam masa sebulan.
(b) keuntungan yang diperoleh dalam masa dua bulan.
(c) kebarangkalian baju yang tidak terjual dalam masa sebulan.

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
kebarangkalian
suatu peristiwa.

1. Sebuah kotak mengandungi satu set huruf kad yang dapat membentuk perkataan
PEMBELAJARAN.	Satu	kad	diambil	dari	kotak	itu	secara	rawak.

(a) Senaraikan ruang sampel bagi eksperimen itu.
 (b) Senaraikan semua unsur bagi peristiwa mengambil huruf vokal.
 (c) Hitung kebarangkalian mengambil huruf bukan vokal.

2. Sebuah raga mengandungi 6 kon mini berwarna biru, 10 kon mini berwarna kuning dan beberapa
kon mini berwarna hijau. Satu kon diambil secara rawak dari raga tersebut. Kebarangkalian

mendapat kon mini berwarna biru ialah
1
4

. Hitung
 (a) jumlah kon mini di dalam raga tersebut.
 (b) kebarangkalian memilih kon mini bukan berwarna kuning.

3. Kebarangkalian Aiman membidik panah dengan tepat ialah 85%. Dalam masa satu minit,
Aiman mampu membuat 3 bidikan. Hitung bidikan tidak tepat yang dilakukan Aiman dalam
masa sejam.

4. Sebuah kotak mengandungi 3 biji bola yang bertanda tiga huruf vokal a, e dan i. Sebiji bola
diambil secara rawak dari kotak tersebut dan huruf yang diperoleh dicatatkan. Bola tersebut
diletakkan kembali ke dalam kotak dan bola kedua diambil secara rawak dari kotak tersebut.
Dengan bantuan gambar rajah pokok,

(a) senaraikan ruang sampel bagi eksperimen tersebut.
 (b) senaraikan semua unsur peristiwa pelengkap memperoleh huruf yang berlainan.
 (c) hitung kebarangkalian peristiwa pelengkap bagi (b).

13.4

MENJANA KECEMERLANGAN

Gambar di atas
menunjukkan sebuah
roda nombor. Jarum roda
nombor tersebut diputarkan
dan berhenti secara rawak.
Hitung kebarangkalian
jarum berhenti pada
(i) nombor genap
(ii) nombor ganjil
(iii) nombor perdana

2

5

1

6

8
7

3
4

Jadual di bawah
menunjukkan penggunaan
komputer riba dan tablet
mengikut jantina di
sebuah kolej.

Jantina Komputer
riba Tablet Jumlah

Lelaki 19 71 90

Perempuan 84 4 88

Jumlah 103 75 178

• Apakah kebarangkalian
seorang pelajar yang
dipilih ialah pengguna
komputer riba?

• Apakah kebarangkalian
seorang pelajar
perempuan yang
menggunakan tablet
akan terpilih?

13.4.1 Penyelesaian masalah

Merancang strategi

Melaksanakan strategi

Memahami masalah
(a) Kebarangkalian kemeja terjual dalam masa tersebut.
(b) Keuntungan yang diperoleh dalam masa dua bulan.
(c) Kebarangkalian jumlah baju yang tidak terjual dalam masa sebulan.

Ruang sampel, S
                     n(S)
          Peristiwa A
                     n(A)

= Bilangan kemeja yang dihasilkan,
= 80
= Jumlah baju yang terjual dalam masa sebulan
= 60

(a)  P(A) =
n(A)
n(S)

= 60
80

= 3
4

(c) P(A')	 =	1	−	P(A)

=	1	−	 34

= 1
4

= 3
4 × 80 × 2

= 120 helai

= 120
15

× RM135

= RM1  080

(b) Jumlah baju  terjual dalam
 masa dua bulan

Jumlah keuntungan

Jumlah baju tidak terjual = 14 × 80

= 20 helai

1. Dalam satu pertandingan teka silang kata, seorang peserta telah menghantar 15 borang
penyertaan. Kebarangkalian untuk peserta tersebut menang ialah 3

25 . Berapakah jumlah

2.	 Satu	 set	 huruf	 yang	dapat	membentuk	perkataan	MENJUSTIFIKASI	 diletak	 di	 dalam	 satu
kotak. Satu huruf diambil daripada set tersebut secara rawak. Hitung

(a) kebarangkalian  huruf vokal diambil daripada set tersebut.
 (b) kebarangkalian peristiwa pelengkap memilih huruf vokal.

3. Sebuah bekas mengandungi 35 biji guli berwarna merah dan beberapa biji guli berwarna biru.
Sebiji guli diambil secara rawak dari bekas tersebut. Kebarangkalian seorang kanak-kanak

mengambil guli berwarna merah ialah
7
15

. Hitung

(a) kebarangkalian memilih guli berwarna biru.
 (b) bilangan guli berwarna biru.
 (c) kebarangkalian memilih guli biru jika 8 biji guli merah ditambah.

borang penyertaan dalam pertandingan itu?
B
A

B
 1

3

B
A

B
 1

3

293292

Bab 13 Kebarangkalian MudahBab 13 Kebarangkalian Mudah

INTI PATI BAB

KEBARANGKALIAN MUDAH

Peristiwa
Peristiwa ialah set kesudahan yang memenuhi syarat bagi suatu ruang sampel

dan merupakan subset bagi ruang sampel.

Ruang Sampel
Ruang sampel ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen

dan diwakili dengan huruf S.

Kebarangkalian bagi peristiwa pelengkap suatu peristiwa, P(A’)

P(A) + P(A') = 1

P(A') = 1 – P(A)

0 ⩽ P(A) ⩽ 1

P(A)

Bilangan suatu peristiwa berlaku
Bilangan kesudahan yang mungkin

Kebarangkalian
suatu peristiwa

n(A)
n(S)

=

=

Bahagikan kelas anda kepada lima kumpulan. Setiap kumpulan akan membuat lima
jenis permainan dan sediakan lima soalan kebarangkalian untuk setiap permainan.

Kumpulan 1 : Model 2 biji dadu adil.
 Kumpulan 2 : Model 2 keping duit syiling berlainan nilai.
 Kumpulan 3 : Papan putaran.
 Kumpulan 4 : Kotak hitam yang mengandungi kad bernombor.
 Kumpulan 5 : Dam ular dan tangga.

Kumpulkan permainan tersebut di sudut kelas anda.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1.  Melaksanakan eksperimen kebarangkalian mudah, dan seterusnya menentukan

nisbah
kekerapan berlakunya suatu peristiwa

bilangan cubaan  sebagai kebarangkalian

eksperimen bagi suatu peristiwa.

2.  Membuat kesimpulan tentang kebarangkalian eksperimen suatu peristiwa
apabila bilangan cubaan cukup besar.

3. Menentukan ruang sampel dan peristiwa bagi suatu eksperimen.

4.  Membina model kebarangkalian suatu peristiwa, dan seterusnya membuat
perkaitan antara kebarangkalian teori dengan kebarangkalian eksperimen.

5.  Menentukan kebarangkalian suatu peristiwa.

6. Memerihalkan peristiwa pelengkap dalam perkataan dan dengan menggunakan
tatatanda set.

7. Menentukan kebarangkalian peristiwa pelengkap.

8. Menyelesaikan masalah yang melibatkan kebarangkalian suatu peristiwa.

5. Kotak A diisi dengan sekeping kad sebutan pertama gandaan 2 dan kotak B diisi dengan tiga
keping kad, tiga sebutan pertama gandaan 3. Satu kad diambil secara rawak dari kotak A dan
B. Dengan bantuan gambar rajah pokok, senaraikan semua unsur dalam ruang sampel bagi
eksperimen ini dan hitung kebarangkalian peristiwa mendapat

(a) sekurang-kurangnya satu nombor gandaan dua dipilih.
 (b) sekurang-kurangnya satu nombor gandaan tiga dipilih.
 (c) satu nombor ganjil.

6. Hazrin mempunyai hobi mengumpul setem. Dia mempunyai sejumlah 75 keping setem dari
negara Indonesia, Singapura, Thailand, Filipina dan Malaysia. Sekeping setem diambil secara

rawak. Kebarangkalian mendapat setem dari Thailand dan Filipina ialah
3
5

. Jika jumlah setem

dari Singapura dan Indonesia menyamai jumlah setem dari Malaysia, hitung kebarangkalian
mendapat setem dari Malaysia.

REFLEKSI DIRI
295

Jawapan

294

BAB 1  POLA DAN JUJUKAN

1.1JOM CUBA

1.  (a)

(b)

2. (a) Pola: menambah nombor sebelumnya dengan 7.
 (b) Pola: menolak nombor sebelumnya dengan 3.
 (c) Pola: menambah nombor sebelumnya dengan 4.
 (d)  Pola: membahagi nombor sebelumnya dengan 2.
 (e) Pola: menolak nombor sebelumnya dengan 1

4
.

(f) Pola: mendarab nombor sebelumnya dengan –3.

3. (i) 37, 55, 73, 91, 109... Pola: menambah 18

(ii) 28, 46, 64, 82, 100... Pola: menambah 18

4. 1, 1  , 2, 3  , 5  , 8  , 13

5. 2 26 6

1.2JOM CUBA

1. (a) Pola (b) Pola
 (c) Bukan pola (d) Bukan pola
 (e) Bukan pola (f) Bukan Pola

2. (a) 34, 28, 22  , 16, 10  , 4  , ...

(b) 128  , 64  , 32, 16, 8  , 4, ...

(c) 0.07, 0.28  , 1.12, 4.48 , 17.92, ...

(d) 1
1
10

, 1, 9
10

, 4
5

, 7
10

, ...

(e) 0.2, 2.4, 28.8, 345.6  , 4147.2  , ...

(f) −400 , −80, −16, −3.2  , −0.64  , ...

(g) 3
4

, 2
3

, 7
12

, 1
2

, 5
12

, ...

(h) −8.1, −6.1  , −4.1, −2.1, −0.1  , ...

3. (a) 42, 49  , 56 , 63  , 70  , 77  , ...

(b) 96, 48  , 24  , 12  , 6  , 3  , ...

1.3JOM CUBA

1. (a) Mendarab nombor sebelumnya dengan 3.
 (b) Membahagi nombor sebelumnya dengan 2.

2. (a) 2n           n = 1, 2, 3, ...
 (b) 5 + 3n     n = 0, 1, 2, 3, ...
 (c) 3 + 3n    n = 0, 1, 2, 3, ...
 (d) 3 − 2n    n = 0, 1, 2, 3, ...

3. (a)  T7 = 45 (b) T7 = 13 (c) T7 = −7.3
  T11 = 77  T11 = 19  T11 = −9.7

4. (a) 30 minit  (b) 10:00 pagi (c) 3:00 petang

MENJANA KECEMERLANGAN

1.

2. (a) menambah 6 (b) menolak 4
 (c) mendarab 3 (d) membahagi 6

3.  (a) Nombor
  +2

Perkataan
  Menambah nombor sebelumnya dengan 2.

Ungkapan algebra
  2x      x = 1, 2, 3, 4, ...

(b) Nombor
  ÷2

Perkataan
  Membahagi nombor sebelumnya dengan 2.

Ungkapan algebra

100
2n     n = 0, 1, 2, 3, ...

4. (a) 1, 3, 5, 7  , 9, 11  , ...

(b) −80  , −40  , −20, −10, −5

(c) 268, 235  , 202  , 169, 136, 103  , ...

(d) 1
2

, 5
12

, 1
3 ,  1

4
 , 1

6

5. (a) x = 2
 (b)  (i)   Pola ialah −7
  (ii)  Menolak nombor sebelumnya dengan 7
  (iii) 9 − 7n  ,  n = 0, 1, 2, 3, ...

6.    0, 1, 1, 2  , 3  , 5  , ...

7.

1
4

3 3
2

46
5 10 10 5 1

8. (a)  x = 3
 (b) −61

9. (a) Menambah 6
 (b) 6, 12, 18, ...
 (c)

(d) 36 butang

10. 841.86 m2

11.  Ubat 1 2 3
Demam 8:30 pagi 4:30 petang 12:30 pagi

Antibiotik 8:30 pagi 8:30 malam
Selesema 8:30 pagi

BAB 2 PEMFAKTORAN DAN PECAHAN
 ALGEBRA

2.1JOM CUBA

1. (a) (a + 2)(a + 1) (b) (4x – 3)(4x – 3)

2. (a) 3x + 6 (b) 32x − 12
 (c) 2a + 10 (d) 6p 2 − 8p

(e) − rs
4  + r (f) −2pr + 4pq

(g) 15bc − 18 (h) 14ef  + 21e
 (i) 16g + 8g 2h

3. (a) a 2 + 3a + 2 (b) x 2 − x − 20
 (c) 10 + 3m − m 2 (d) 12p2 − 11p + 2
 (e) 12r 2 − 11r + 2 (f) 8r 2 − 3s 2 − 2rs

(g) 6d 2 − 5
2

db + 1
4

b 2 (h) r 2 − 6rs + 9s 2

(i) 16e2 − 24e + 9

4. (a) 17b − 4a + 3 (b) −4m − 17mn
 (c) −5h 2 + 4hj + j 2 (d) 3x 2 − y 2 + 4xy

5. (a) 4p 2 – 12p + 9 (b) 3
2

y 2 – 5
2

y + 1

(c) 10x 2 – 11x – 6 (d) 5w 2 + w

6. p 2 − 2p + 2

7. (5x 2 – 17x + 6) m2

8. √33y2 – 34y + 8

2.2JOM CUBA

1. (a) 1, 2, 4, 4y (b) 1, b
 (c) 1, w (d) 1, 5, m
 (e) 1, c (f) 1, 2, b

2. (a) 5(e + 2) (b) 2a (b – 4a)
 (c) 3ab(c + 2a) (d) 4x (1 – 3x)
 (e) f (e + f + g) (f) 2x (x – 2y + 3w)

3. (a) (b – 9)(b + 9) (b) (a + b)(a – b)
 (c) (x + 1)(x – 1) (d) (4y – 7)(4y + 7)
 (e) (m + 7)(m – 1) (f) (2x + 1)(2x − 5)

4. (a) (x + 2)(x + 7) (b) (x – 2)(x + 9)
 (c) (x – 8)(x + 3) (d) (m – 2)(m + 13)
 (e) (y – 5)(y + 3) (f) (k – 4) 2

(g) (m – 6)(2m + 1) (h) (3f – 2) 2
 (i) (2m − 4)(m + 4) (j) (2x − 7)(x + 1)
 (k) (6y − 5)(2y + 3) (l) (5p − 4)(p + 2)
 (m) (5m − 4)(−m − 2) (n) (− p + 2)(3p − 2)
 (o) (−2x + 3)(3x + 5)

5. (a) (p – r)(q – w) (b) (x + y)(x + 6)
 (c) (3a + c)(b – 3d )  (d) (h + j)(a − b)
 (e) (m − n)( j  + y) (f) (3x + 4p)(3y − z)

6. (a) 2y 2 + 3y − 8 (b) 1 bidang

2.3JOM CUBA

1. (a) (2b – 5)(2b + 1) (b) (m – 1)(m + 7)
 (c) (p – 12)(p + 2) (d) 7x 2 – 7x – 3
 (e) 4c 2 – 2c + 9

2. (a) 6y
5  (b) 2m + 7n

m – 2n  (c) r + s
2r + 3s

3. (a)
5p – 2

p 2  (b) 2s
9

(c) 12 – 3z
4(x + y)

4. (a) 9u + 20v
12

(b) 5t – 12s
30st  (c) 6s + 4r – 8

3rs – 6s

5. (a) 4m + 3n
36

(b) 6m + n 2

6m 2n
 (c) 20 + 3d

5d 2g

6. (a)
x – 1

y  (b)
2a + 5

4  (c)
1

m – n

(d)
1

2k + 1  (e)
c – 3

2

+18

+18
296 297

JawapanJawapan

7. (a)
6

(a – 3)(3 + a)  (b) hy
(k – 2)(h + 3)

(c) 6m 2n

(m – n)(n – 2m)
 (d) 2rs − 8r

rs + 5s − 2r − 10

8. (a)  2
m(x – a)

(b)  5r
s(1 – 2r)

(c)
 x + 3

5x  (d)
–2f (e + 2f )

3e(e – 3f )

9. (a)
5a (a + b)
3b(2a + 3)

(b) 3
2a

(c) y
3x 2

(d) 1
eg

10. (a) xy (x + 1)
(x + y) 2

(b)
2q (p + 1)

2p – 1

(c)
pr

(r – 1)(q + r)
 (d)

t (2t + 1)
(2t – 1)(s – u)

MENJANA KECEMERLANGAN

1. (a) 3a + 6b (b) n 2 – 3n – 10
 (c) a 2 + 4ab + 4b 2 (d) 16x 2 – 8xy + y 2

(e) 6v 2 + v
3w

– 2
9w 2  (f) 13h 2 – 10hk + k 2

2. (a) 6m(2 – 3m) (b) (y + 9)(y – 9)
 (c) 4ab(1 – 2a) (d) (x – 4y)(x + 4y)
 (e) (s – 4)(s – 2) (f) (x + 1)(x + 3)
 (g) (x – 3)(x + 5) (h) (x + 2)(x + 4)
 (i) (2c – b)(3d – e)

3. (a)
3a − 2b + 2

4v
 (b)

12ec − 25abd
20abc

(c)
20 – 3f
5f 2 g  (d) pn + 2p + nm

m 2p

(e) 15x 2 + 2y 2 − 2y
24xyz

(f) 9rsz + 4  – 2r
36yz

4. (k + 4) cm

5. 4x 2 + 4x – 6

6. (i) 25 buah (ii) 21 unit

7. (i) 2x 2 + 14x − 10
 (ii) RM(16x 3 + 112x 2 − 80x)

8. (i) 7 + 4x
2

(ii) 2 jam

9. 3x 2 + 8x + 4
18

cm 2

10. (i)   xy (ii)  (xy − 2x)m (iii)  18xy

BAB 3    RUMUS ALGEBRA

3.1JOM CUBA

1. (a) m = z + qp (b) u = v – 2

(c) x = 7w
3y

(d) b = 4
3a

– 5

(e) u =
3

5q + 5
 (f) v =

5
2w + 4

(g) b =
(2a – 5)2

3  (h) w = 6t

(i) m = –
�4p – 8

3
 (j) r =

4s – 7
3

2. z = 29.75x + 40.5y

3. (a) (i)    c = 16 (b) (i)     p = 2

(ii)   d = 1
2

(ii)   q = 2

(c) (i)   m = −6 (d) (i)    n = 13

(ii)  n = 3  (ii)  m = 1
16

(e) (i) u = 6 (f) (i) p = 0

(ii) r  = 3
2

(ii) q =
9
2

(iii)  s  = 4 (iii) r  = −4

(g) (i) a = 1
3

(h) (i) s  = 12

(ii) b = 2  (ii) t  = 50

(iii) c  = 6  (iii) u  = �
7
4

4. (a) z = 5.9x + 3.6y (b)  b =
24p – 7

q
 (c) P = 0.85(35 m + 76n) (d) x = RM0.1st

MENJANA KECEMERLANGAN

1. (a) A = x 2 (b)  p = 5 + 3h

(c)  a =
v2 – v1

t

2. (a)  q =
m – p

–3
 (b)  w = p – x

(c)  g = 2e – 3h

4
 (d)  q = m – 8p

(e)  v =
w
3  (f)  n =

8m
3

(g)  v = 36w 2 – 1 (h)  k = 16
f 2  + 7

3. (a) (i) w = − 2

(ii)  x = – 15
19

(iii)  y = 29

(c) (i) p = – 1
6

(ii) q = – 1
19

(iii) r = 1 1
6

4. z = 65xy

5. t = 13 1
3

s minit

6. x = 4
 y = 7

BAB 4    POLIGON

4.1JOM CUBA

1. (a)  Poligon tak sekata (b)  Poligon tak sekata
 (c)  Poligon sekata (d) Poligon sekata
 (e) Poligon tak sekata (f) Poligon sekata
 (g) Poligon sekata (h) Poligon sekata
 (i) Poligon sekata

2. (a) satu paksi simetri (b) 2 paksi simetri
 (c) tiada paksi simetri (d) tiada paksi simetri

3.
Nama

Poligon
Bilangan

Sisi
Bilangan

Bucu
Bilangan Paksi

Simetri

Heksagon 6 6 6

Heptagon 7 7 7

Oktagon 8 8 8

Nonagon 9 9 9

4. Jawapan murid

5. Jawapan murid

4.2JOM CUBA

1. Bilangan segi tiga di
dalam poligon Jumlah sudut pedalaman

3 540°
4 720°
5 900°
6 1 080°
7 1 260°

(b) (i)    b = 2
9

(ii)   c = 8

(iii)  d = 3

(d) (i)   s = – 1
5

(ii)  t = −46

(iii)  u = – 2
11

2. (a) Sudut pedalaman: a, g, e, c
  Sudut peluaran: b, d, f, h

(b)  Sudut pedalaman: a, b, c, d, e
  Sudut peluaran: f, g, h, i, j

3. (a) x = 150° (b) x = 100°
 (c) x = 22° (d) x = 54°

4. (a) p = 80° (b) p = 68°
  q = 55°  q = 100°
  r = 125°  r  = 88°

5. (a) a + b + c = 300° (b) a + b + c = 170°
 (c) a + b + c = 265° (d) a + b + c = 254°

6. (a) 7 sisi (b) 8 sisi (c) 9 sisi

7. (a) Dekagon (b) y = 144°

8. x = 117°

MENJANA KECEMERLANGAN

1. (a) Jawapan murid (b) Jawapan murid

2. (a) p = 40° (b) p = 45° (c) p = 75°
  q = 135°  q = 95°  q = 140°
  r  = 95°  r  = 50°  r  = 105°

3. (a) x  = 50° (b) x = 42.5° (c) x = 80°

4. (a) 360°
45°

= 8 sisi (b) 360°
36°

= 10 sisi

(c) 360°

40°
 = 9 sisi (d) 360°

30°
 = 12 sisi

5. (a) x + y = 215° (b) x + y = 180°
 (c) a + b + c + d = 425°

6. Jawapan murid

7. 17 sisi

8. p + q = 276°

9. ∠CBM = 58°

10. (a) h = 20°
 (b) Sudut pedalaman = 140°
  Sudut peluaran = 40°
 (c) Bilangan sisi, n = 360°

40°
 = 9, nonagon

11. x = 54°

12. Tidak boleh, kerana jumlah sudut pedalaman mesti
mempunyai nilai (n − 2) × 180° dengan n = 3, 4, ...

13. 12 sisi

14. x = 72°

15. x = 12°
298 299

JawapanJawapan

BAB 5    BULATAN

5.1JOM CUBA

1.

(i)     pusat bulatan
 (ii) diameter
 (iii) sektor minor
 (iv) jejari
 (v) lengkok minor
 (vi) perentas
 (vii) tembereng minor

2. Jawapan murid

3. (a)
O

Q  (b)
O

Q
4. Jawapan murid

5. Jawapan murid

5.2JOM CUBA

1. KL = 24 cm

2. KOM = 45 cm

5.3JOM CUBA

1. (a) 44.00 cm (b)   352.00 cm
 (c)  28.91 cm (d)   308.00 mm

2. (a) 7.80 cm (b)   3.90 cm

3. (a) 1386.00 m 2 (b)   9 856.00 mm 2
 (c)  154.00 cm 2 (d)   6.16 cm 2

4. (a) 3.50 cm (b)   22.00 cm

5. 18.87 cm 2

6. 102.75 cm 2

7. (a)  14.00 cm (b)   7.04 cm
 (c) 14.70 cm (d) 31.51 cm

8.  (a)  10.8° (b) 7.2° (c) 25°

9. 70 cm

10.  25π − 49

MENJANA KECEMERLANGAN

1. (a) 3 cm (b) 3 cm (c) 4 cm

2. 51.71 m 2

3. 66 cm 2

4. 122.9 cm 2

5. 550 cm 2

6. 2 827.8 cm 2

BAB 6   BENTUK GEOMETRI TIGA DIMENSI

6.1JOM CUBA

1.  (a) (i)   Mempunyai satu tapak berbentuk bulatan.
  (ii)  Mempunyai satu permukaan melengkung yang

bertemu di puncak kon.

(b) (i)  Mempunyai 6 permukaan berbentuk segi empat
  sama.

(ii) Mempunyai sisi dan bucu.

(c) (i)  Mempunyai satu puncak.
   (ii)  Mempunyai sisi dan bucu.

(d) (i)  Dua tapak berbentuk bulatan yang kongruen dan
  selari.

(ii)  Permukaan sisi melengkung yang mencantumkan
  dua tapak.

2. (a) kon (b)  piramid    (c)   sfera

6.2JOM CUBA

1.  (a)      (b)

(c)      (d)

2.  (a)  Prisma heksagon (b)  Piramid
 (c)  Prisma segi tiga  (d) Prisma segi tiga

6.3JOM CUBA

1.  (a)  282.86 cm2 (b)  754.29 cm2

(c)  84 cm2

2.  (a)  1 257.14 cm2 (b)  66 980.57 mm2

(c)  1 5150 cm 2

3.  (a)  455.71 m 2 (b)  361.43 cm 2

(c)  1 428.57 cm 2

6.4JOM CUBA

1. (a)  576.19 cm3 (b)  618.67 cm3 (c)  142.48 cm3

2.  (a)  157.14 cm3 (b)  183.43 cm3 (c)  146.79 cm3

3. 2 192.67 cm 3

4. 2 blok piramid

MENJANA KECEMERLANGAN

1. (a)  Kubus (b)  Piramid segi tiga
(c)  Prisma heksagon

2. 8 cm

3. (a)  60 mm (b)  8.5 cm (c)  t = 9 cm

4. (a)  4 790.76 cm3 (b)  13 967 guli

5. 30 tiub

6. 81 ketul manisan

7. 770 cm2

8. 45 cm

BAB 7    KOORDINAT

7.1JOM CUBA

1. (a)  4 unit (b)   5 unit
 (c)  8 unit (d)   14 unit

2. (a) 4.47 cm (b) 1341.64 cm
  (c) 12.37 unit (d) 11.4 unit

3. (a) 4 unit (b) 18 unit
 (c) 7 unit (d) 1 unit

4. (a) a = 3, b = 3 (b) a = 1, b = 4
 (c) a = −2, b = 2 (d) a = −4, b = 1

5. (a) 5.66 unit (b) 5.83 unit
 (c) 7.07 unit (d) 12.53 unit

6.  5.39 unit

7.  7 unit

8.  5.83 unit

9. a = 2, b = 7

10.  (a) (4, 1) (b) (2, −1)
 (c) (5, 2) (d) (0, 0)

11. 15.91 unit

12. 15.71 unit

7.2JOM CUBA

1.  (a)    B (b)   B

2.    (a)     (4 , 8) (b)    (4 , 2) (c)    (2 , 5)

3.    (a)     (3 , 6) (b)   (6 , 4)
 (c)    (4 , 0) (d) (−2, 3)

4.   (a)    (−1, 4) (b)  (3, −2)
      (c)    (4, 1) (d)   (3, 0)

5. P(−4, 6)
 R(−4, −4)

6.    (a)    a = 4 ,  (b)   8 unit (c)    (3 , 4)
 b = 3

7.   (a)    m = 4 ,   (b)   (−2 , 6) (c)    (2 , −6)
  n = 6

8. A(3,−1)

9. s = 8 , u = 3

10. (a) a = 1 (b) B(7, 1)

7.3JOM CUBA

1. (a) (−2, 1) (b) (0 , 5)
 (c)    (1, 3) (d) 4.47 unit

2. (a) 14.4 unit (b)   (−2, −2) (c) (−2, 4)

3. (a) (4, 3) (b)   (4 , −3) (c) 6 unit

4. (a) K(−4,1)  (b) (0, 1)
  L(4, 1)

5. (2, 3), 3.6 unit

MENJANA KECEMERLANGAN

1.    (a)   K  (b)   A
 (c)    H (d)   D

2.    (−4, 5)

3.    P’(6, 2)
 Q’(3, −4)
 R’(−3, 0)
 Jarak P’ Q’ = 6.7 unit
 Jarak R’ Q’ = 7.2 unit

4.   20 unit 2

5.   10 unit 2

6.    8 unit 2

BAB 8    GRAF FUNGSI

8.1JOM CUBA

1.   (a)  (9, 18) (b)  banyak kepada banyak

2. b = 7

3. (a) fungsi (b) fungsi (c) bukan fungsi

4. (a) fungsi (b) bukan fungsi

5. (a) {(10,2), (12, 4), (18, 10), (20, 12)}
 (b) S 10 12 18 20

R 2 4 10 12

(c)

2O 12 18 20

2

4

10

12

R

S

(d) R = S − 8
300 301

JawapanJawapan

6. a = 9   b = 15

7. (a) domain {−5, 2, 4},  (b) domain { −4, 0, 1, 4},
  julat {0, 8, 15, 16}  julat {−5, −3, 1, 2, 4}

8.2JOM CUBA

1. (a) x 0 1 2 3 4
y 2 5 8 11 14

(b) x 0 1 2 3 4
y 0 2 8 18 32

(c) x –2 –1 0 1 2 3
y –6 1 2 3 10 29

2. (a)
x –3 –2 –1 0 1 2 3

y –8 –6 –4 –2 0 2 4

(b)
x –1 0 1 2 3

y –4 –5 –2 5 16

(c) x –2 –1 0 1 2 3 4

y –30 –9 –6 –3 18 75 186

3. (a)

x –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y 2 3 4 5 6 7 8 9

Free resources from www.mathsphere.co.uk

3

4

5

6

7

8

9

O 1

2

1

–1–2–3 2 3 4

y

x

(b)
 x –3 –2 –1 0 1 2 3

y –5 0 3 4 3 0 –5

Free resources from www.mathsphere.co.uk

–2

–1

1

2

3

4

O 1

–3

–4

–5

–1–2–3 2 3

y

x

(c)
 x –3 –2 –1 0 1 2 3

y 35 16 9 8 7 0 –19

Free resources from www.mathsphere.co.uk

–20

–10

10

20

30

40

O 1–1–2–3 2 3

y

x

(d)

x –4 –3 –2 –1 –0.5 0.5 1 2 3 4
y –1 –1.33 –2 –4 –8 8 4 2 1.33 1

Free resources from www.mathsphere.co.uk

6

8

O 1

4

2

–2

–4

–6

–8

–1–2–3–4 2 3 4

y

x

4. (a)  (i)  30 km          (ii)  42 km
 (b)   RM82.80

5. (a) x –2 –1 0 1 2 3
y 33 9 –5 –9 –3 13

(b)(c)

Free resources from www.mathsphere.co.uk

5

10

15

20

25

30

35

O

–5

–10

–2 –1 1 2 3

y

x

(d) 2.3, −0.4

MENJANA KECEMERLANGAN

1.   (a)  Ya                         (b)  Bukan

2. (a) Pasangan tertib:
  {(1, 11), (2, 22), (3, 33), (4, 44), (5, 55)}

Jadual:

B 1 2 3 4 5

A 11 22 33 44 55
  Graf:

11

22

33

44

55

1
B

A

2 4 53
  Persamaan:  f (x) = 11x

(b) Pasangan tertib:
  {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}

Jadual:

I 1 2 3 4 5

S 1 4 9 16 25

Graf:

3

6

9

12

15

18

21

24

1O

S

I
2 4 53

Persamaan: f (x) = x 2

3. (a)  (i)  L                     (ii)  j
 (b)  L = 4𝜋j 2

4. (a) {(1, 1), (2, 8), (3, 27), (4, 64)}

(b)
T 1 2 3 4

U 1 8 27 64

 (c)

1 2 3 4

10
O

30
20

50
40

70
60

T

U

(d) y = x 3 atau f(x) = x 3

5. (a)  (i)     RM96      (ii)  RM90          (iii)   RM80

 (b)

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
302 303

JawapanJawapan

(c)

Free resources from www.mathsphere.co.uk

30

40

50

60

70

80

90

100

O 40

20

10

2010 30 50

y

x

(d)  (i) Hari ke-50              (ii)  Hari ke-28

6. (a) p 0 1 2 3 4 5 6
A 0 3 12 27 48 75 108

(b)

Free resources from www.mathsphere.co.uk

30

40

50

60

70

80

90

100

110

O 4 6

20

10

21 3 5
P

A

(c) (i) 80 m2                  (ii)  75 m2

7. (a) Bilangan kemeja-T 10 30 50 70
Kos (RM) 100 200 300 400

(b) RM 50 ialah kos penghantaran.
 (c)   RM 390
 (d)  72 helai

8. (a) 15 m                     (b)  1.5 saat dan 6.5 saat
 (c)  8 saat                   (d)  16 m
 (e)  Menaik dan menurun

9. (a) RM8
 (b) Syarikat A kerana Syarikat A hanya mengenakan

bayaran RM4 bagi satu jam penggunaan manakala
 Syarikat B mengenakan bayaran RM5 bagi satu jam
 penggunaan.

(c) Syarikat B kerana dengan RM7, Zarul boleh
 menggunakan basikal itu selama 3 jam manakala
 Syarikat A hanya 2 jam 30 minit sahaja.

(d) 2 jam pertama
 (e) RM10

10. (a) (i)  RM 3          (ii)  RM2.80
 (b) Syarikat Berjaya kerana bayaran yang dikenakan

hanya RM4.40 manakala bagi Syarikat Maju bayaran
 yang dikenakan ialah RM5.

(c) Umai mesti memilih Syarikat Berjaya kerana masa
 perbualannya lebih panjang daripada Syarikat Maju.

BAB 9    LAJU DAN PECUTAN

9.1JOM CUBA

1.

2. (a)  120 km               (b)  1543.5 km
 (c)  16.5 m                 (d)  666.67 km

3. 8.29 m/s

4. jam 1154

5. (a)  833.33 m/min   (b)  2.88 km/j
 (c)  1.83 km/minit

6. 114.29 km/j

7. 93.24 km/j

9.2JOM CUBA

1. Situasi Pecutan Betul/Salah
(a) Betul
(b) Salah
(c) Betul
(d) Salah

2. (a)  100 km/j                    (b)  –360 km/j

3. 0.5 ms –2

4. 8.75 cms –2

MENJANA KECEMERLANGAN

1. Laju Seragam: lif, jam, kipas
 Laju Tak Seragam: ombak, angin, bas mini

2. (a)  180 km/j2          (b)  –200 km/j2

(c)  120 km/j2

3. (a)  30 minit            (b)  7:10 pagi

4. (a)  A = 185 km,       B = 185 min

(b)

O

354

150 405

Jarak (km)

Masa (min)

A

B

(c)  52.44 km/j

5. (a)  0.38 m/min2      (b)  5.2 min
 (c)  1 m/min            (d)  180 saat

6. x = 315 km

BAB 10    KECERUNAN GARIS LURUS

10.1JOM CUBA

1. (a)  Jarak mencancang = 4 m
   Jarak mengufuk  = 6 m
 (b)  Jarak mencancang = 12 m
   Jarak mengufuk  = 3 m
       (c)   Jarak mencancang = 16 m
              Jarak mengufuk  = 2 m

2. (a) AB
              Mencancang = 3 unit
              Mengufuk  = 3 unit

(b)  CD
              Mencancang = 8 unit
              Mengufuk     = 1 unit

(c) PQ
              Mencancang = 6 unit
              Mengufuk     = 4 unit

3.    Mencancang = 36 cm
 Mengufuk     = 36 cm

4. (a) Mencancang  = 6 unit
  Mengufuk      = 5 unit
 (b) Mencancang  = 4 unit
  Mengufuk      = 5 unit
 (c) Mencancang  = 4 unit
  Mengufuk      = 2 unit
 (d) Mencancang  = 4 unit
  Mengufuk      = 4 unit
       (e)   Mencancang  = 6 unit
  Mengufuk      = 1 unit
       (f)   Mencancang  = 9 unit
  Mengufuk      = 3 unit

5.    (a)   Pintasan−y   = 4
              Pintasan−x   = 8

(b)   Pintasan−y   = −7
              Pintasan−x   = 3

(c)   Pintasan−y   = 3
              Pintasan−x   = −5

(d)   Pintasan−y   = –2
               Pintasan−x   = −1

6.   (a)    AB (b)   EF

7.    (a) Negatif (b) Positif
       (c) Negatif (d) Negatif

8.  (a)    2 (b)   4  (c)    2
7

9.  (a)     2  (b)  1
2

(c)   − 5
6    (d)  − 4

7

10. (a)    3 (b) 9

       (c) 5

3  (d)   −
3
4

11.  (a)  − 1

4  (b)   − 10
9

(c)  8
3  (d)   −1

MENJANA KECEMERLANGAN

1.    y

x
−2 −1         1    2    3   4    5    6   7

5

4
   3
         2
1

O
−1
−2
−3

(b) (g)

(e)

(d)(c)

(f)

(a)

(a) Negatif (b) Positif
 (c) Positif (d) Negatif
 (e) Positif (f) Negatif
 (g) Positif

2.    11

7

3.    (c) mempunyai kecerunan paling curam

4.     (a) −8 (c) −12
 (e) 2 (f) −5

5.     −3

6.   Q(−3, 4)

7.  Pintasan−x = 9

8.  4
3

9. (−6, 0)

10.  (a)   0.67 (b)   9.01 m

11. (a) 20 ms−1   (b)   v = 42 m/s

12. Kecerunan = 3
2

Luas permukaan = 14.42 m2
304 305

JawapanJawapan

BAB 11    TRANSFORMASI ISOMETRI

11.1JOM CUBA

1. (a)  Transformasi (b)   Transformasi
 (c)  Bukan Transformasi (d)  Bukan Transformasi

2. (a) T (b) QR (c) ∠UVQ

3. (a)  bukan
 (b)  bukan
 (c)  kongruen kerana sama rupa bentuk
 (d) kongruen kerana sama rupa bentuk

4. Segi tiga Sisi Garis Sudut Sudut

i   RQ ∠PRQ

ii BC ∠CBA

11.2JOM CUBA

1. (a)   Translasi (b)   Bukan
 (c)   Translasi (d) Bukan

2. (a)   (7, −1) (b)   (9, 3)
 (c)   (2, −4) (d) (3, −8)

3. (a)   (−2, −8) (b)   (2, −9)
 (c)   (7, −4) (d) (−8, −6)

4. (a)  2
4

(b)    −6
 −8

(c) 4
−4

(d) −3
−7

5. (a)   (5, −8) (b)   (2, 7)
 (c)   (3, 3) (d) (−5, −17)

6. (a)   (1, −7) (b)   (7, −8)

11.3JOM CUBA

1. (b)    (c)

2. (a)      (b)

3. (a)

P

Q (b) P

Q

4. P(−1, 7) Q(−4, −2)
 R(5, −3) S(8, 7)

5. (a)

M’

M

(b)

A’

A

6. (a) Pantulan pada garis y = 6
 (b) Pantulan pada garis x = −2
 (c) Pantulan pada garis y  = 3
 (d) Pantulan pada garis y  = 1

7. (a)  Pantulan pada paksi−y
 (b)  Pantulan pada paksi−x
 (c) Pantulan pada paksi−y
 (d) Pantulan pada garis x = 3

8.  (a)  (−3, 7) (b)   (7, 4)

11.4JOM CUBA

1. (a)  Berputar 90° ikut arah jam berpusat di P.
 (b)  Putaran 90° lawan arah jam berpusat di P.
 (c)  Putaran 90° lawan arah jam berpusat di P.
 (d) Putaran 90° ikut arah jam berpusat di P.

2. (a)  Putaran 90° ikut arah jam pada titik P.
 (b)  Putaran 180° lawan arah jam / ikut arah jam pada

titik P.
 (c)  Putaran 180° lawan arah jam / ikut arah jam pada

titik T.
 (d) Putaran 90° ikut arah jam berpusat di asalan.

3. Putaran 90° lawan arah jam pada pusat O.

R

R'

O

Putaran 180° pada pusat O.

R R’O

4. Koordinat:
 P(−4, 0)       R(−1, −2)
 Q(0, 2)        S(−1, 6)

11.5JOM CUBA

1. (a)  Transformasi isometri
 (b)  Bukan transformasi isometri
 (c) Transformasi isometri
 (d) Transformasi isometri

2. (a)  Transformasi isometri
 (b)  Transformasi isometri
 (c) Transformasi isometri

3. A: Translasi
 B:  Putaran
 C:  Pantulan

4. K, L dan M

5. x =100°

11.6JOM CUBA

1. (a)     (b)     (c)    (d)    

2. (a)   Tiada  (b)    2 peringkat
 (c)   4 peringkat (d) 1 peringkat

3.
Ikut arah jam Lawan arah jam

(i)   peringkat 2
(ii)  peringkat 2
(iii) peringkat 5

peringkat 4
peringkat 4
peringkat 1

4. (2,8)

MENJANA KECEMERLANGAN

1. (a)   F (b)   U

2. (a) translasi kerana kedudukan berubah
 (b) bukan
 (c) translasi kerana kedudukan berubah

3. (a)

A

A'

(b)

A

A'

(c)

A

A'

(d)

A

A'

4. (a)    (−2, 0) (b)   (1, −3)
 (c)   (−7, 2) (d) (−5, 2)
 (e)   (−4, −2) (f) (2, −5)

5. (a)
 M

N

P

(b)

N M

P

(c)
 M

N

P

(d)  M

N

P

6. Koordinat:
 C’(5, 2)
 D’(7,−2)
 E(2, −4)
 F(3, 1)

7. Koordinat:
 K’(3, −1)
 L’(1, 3)
 M(0, 3)
 N(3, −4)

8. (a)        (b)         (c)       (d)   

9. (i)

−4      −2                   2         4         6

6

4

2

−2

−4

W

M

M'

O

(ii) W'  = (−3, 1)

10. (a)  Putaran 90° ikut arah jam pada pusat (−1, 1).
 (b)  Putaran 180° lawan arah jam pada pusat (0, 2).

(c)  Putaran 180° ikut arah jam pada pusat (1, 0).
(d) Putaran 90° ikut arah jam pada pusat (1, −1 ).

11. (i)  OBC (ii)  OCD (iii) ODA

12. (a) P → Q  Pantulan pada garis x = 4
  Q → R  Translasi 0

−4

R → S   Putaran 90° ikut arah jam pada pusat (5, 1)

 (b) (0,4)

13. (1, 1)

(8, 2)

(7, –5) (6, –2)

(6, –2)(4, 2)

A (1, –1)

(8, –4)

14. (a) (i)

1 2–1–2–3–4–5–6 3 4 5 6O

y

1

–1
–2

–3

2

3

4

5

x

R

R'R''

(ii)

1 2–1–2–3–4–5–6 3 4 5 6O

y

1

–1
–2

–3

2

3

4

5

x

R R'

(b)

1 2–1–2–3–4–5–6 3 4 5 6O

y

1

–1
–2

–3

2

3

4

5

x

S

S'''

S"

S'

R = ialah pentagon manakala S ialah segi empat
306 307

JawapanJawapan

15. (i) Translasi −2
2

(ii) Pantulan pada garis GH seperti rajah di bawah

A

B

G

H

(iii) Putaran 90° ikut arah jam berpusat di P seperti rajah
 di bawah

A

B

P

(iv) Putaran 90° lawan arah jam berpusat di P seperti
 rajah di bawah

A

BP

(v) Putaran 180° lawan arah jam / ikut arah jam berpusat
 di P seperti rajah di bawah

A

BP

16. (a)

1 2–1–2–3–4 3 4 5 6O

y

1

–1
–2

–3

2

3

4

x

P

Q

(b)

1 2–1–2–3–4 3 4 5 6O

y

1

–1
–2

–3

2

3

4

x

P

Q

R

(c) Putaran 180° berpusat di asalan
17. Zainun akan melalui 3 peringkat simetri ikut arah jam atau

1 peringkat simetri lawan arah jam. Fauzah akan melalui
1 peringkat simetri ikut arah jam atau 3 peringkat simetri
lawan arah jam.

BAB 12  SUKATAN KECENDERUNGAN
MEMUSAT

12.1JOM CUBA

1. (a)  1                       (b)  RM7 dan RM8
 (c) 60

2. Saiz L

3. (a) 0.5 (b) 32 dan 37
 (c) RM2 (d) Kuning

4. (a)  7                   (b)  42.5 (c) 10

5. 30

6. (a) 5 (b) L

7. (a)  7 (b) 3.06

8. (a) 2 (b)  8

9. 1 hari

10. (a) Umur
(tahun) Gundalan Kekerapan

6 - 10 / 1
11 - 15 / 1
16 - 20 ////    / 6
21 - 25 //// 4
26 - 30 //// 4
31 - 35 //// 4

(b) Bilangan bola

ping pong Gundalan Kekerapan

10 - 19 / 1
20 - 29 // 2
30 - 39 ////    / 6
40 - 49 ////    /// 8
50 - 59 // 2
60 - 69 / 1

11.  (a)  min = 11.3
  median = 8.5
             mod = 2

 (b)  median kerana mempunyai nilai ekstrem dalam

data, iaitu 40

12.  (a)  min = 7.2
  median = 7
             mod = 6

 (b)  min kerana tiada nilai ekstrem dalam data

13.  (a)  min kerana tiada nilai ekstrem dalam data.
(b)  median kerana data ini data numerik dan terdapat
 nilai ekstrem dalam datanya.

14.  (a) Min atau median (b) Mod
 (c) Min

MENJANA KECEMERLANGAN

1. 4

2. (a)  70                    (b)  12

3. (a)  83 markah                    (b)  8 bungkus

4. 20

5. (a)  min = 6.3
  median = 6
        mod = 6

 (b)  (i)  8.3, 8, 8  (ii)  12.7, 12, 12
  (iii)  4.3, 4, 4 (iv)  3.2, 3, 3

6. 16

7. (a)  (i)  284    (ii)  90
 (b)  66

8. (a)  (i)  32.27          (b)  60%
  (ii)  32
  (iii)  32

9. (a)  (i)   32.17            (b) 3
5  (ii)  32

(iii)  32

10. (a) x + 2 + y + 6 + 14 = 40
               x + y + 22 = 40
                       x + y = 40 − 22
                       x + y = 18
 (b)  6.4
 (c)  (i)  7                   (ii)  10

11. Emas - Yip
 Perak - Ravi
 Gangsa - Malek

12. (a) min kerana markah min ialah 85. Alasannya dia masih
 mendapat A dalam subjek sejarah.

(b) 74 kerana daripada 5 ujian yang diduduki, 2 kali
 Joshua memperoleh 74 markah.

BAB 13    KEBARANGKALIAN  MUDAH

13.1JOM CUBA

1. Jawapan murid

13.2JOM CUBA

1. 3
7

2.   1
3

3.  3
70

13.3JOM CUBA

1. (a)  A' = peristiwa mengambil bukan pau coklat
 (b)  A' = { K1, K2, K3, K4, K5, S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8}

2.  2
5

3.  9
14

4. (a)  B' = peristiwa Ali tidak membeli sepasang kasut
 (b)  B' = {   }

5.  9
10

13.4JOM CUBA

1. 125 borang

2. (a)
3
7                   (b)   4

7

3. (a)   8
 15

(b)  40 biji (c) 40
83

MENJANA KECEMERLANGAN

1. (a)  S = { P, E, M, B, E, L, A, J, A, R, A, N}

 (b)  { E1 , E2 , A1 , A2 , A3 }

(c)
7
12

2. (a)  24 kon (b)  7
12

3. 27 bidikan

4. (a) S = {(a, a), (a, e), (a, i), (e, a), (e, e), (e, i),
  (i, a),(i, e), (i, i)}

(b) S = {(a, a), (e, e), (i, i)}

(c) 2
3

5. (a)  1 (b)  1  (c)  2
3

6. 1
5
B
A

B
 7

B
A

B
 7

309308

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

Asalan (Origin) Titik persilangan paksi mengufuk
dan paksi mencancang dengan koordinat
asalan ialah (0,0).

Bentangan (Net) Hamparan suatu bongkah tiga
dimensi kepada bentuk dua dimensi.

Bentuk dua dimensi (Two dimensional shapes)
Bentuk yang mempunyai dua ukuran iaitu
panjang dan lebar.

Bentuk tiga dimensi (Three dimensional shape)
Bentuk yang mempunyai tiga ukuran iaitu
panjang, lebar dan tinggi.

Bulatan (Circle) Bentuk yang terhasil daripada
semua titik pada satu satah yang jaraknya
sama dari pusat bulatan.

Diameter (Diameter) Garis lurus yang
menghubungkan dua titik pada lilitan bulatan
atau sfera dan melalui pusat bulatan atau
sfera tersebut.

Faktor (Factor) Nombor, sebutan atau ungkapan
algebra yang membahagi tepat suatu nombor,
sebutan atau ungkapan yang diberikan.

Faktor sepunya (Common factor) Faktor yang
membahagi tepat dua atau lebih nombor atau
ungkapan algebra yang lain.

Fungsi (Function) Hubungan antara dua pemboleh
ubah dalam suatu persamaan.

Fungsi bukan linear (Non-linear function)
Fungsi yang mempunyai dua pemboleh ubah
atau lebih dan kuasa tertinggi bagi pemboleh
ubah tak bersandarnya selain satu.

Fungsi linear (Linear function) Fungsi yang
mempunyai dua pemboleh ubah atau lebih
dan kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah tak
bersandarnya ialah satu.

Graf fungsi (Graph of function) Graf yang terhasil
daripada fungsi tertentu.

Hipotenus (Hypotenuse) Sisi yang bertentangan
dengan sudut tegak dalam sesuatu segi tiga
bersudut tegak.

Hubungan (Relation) Perkaitan antara dua atau
lebih pemboleh ubah.

Ikut arah jam (Clockwise) Arah pergerakan atau
putaran seperti arah jarum jam bergerak.

308

Imej (Image)	Refleksi	daripada	objek.
Isometri (Isometry) Penjelmaan yang menunjukkan

objek asal dan imejnya bersifat kongruen.
Jadual kekerapan (Frequency table) Data yang

dikumpul di dalam satu jadual.
Jadual nilai (Value of table) Jadual yang

menunjukkan nilai pemboleh ubah tak
bersandar dan nilai pemboleh ubah bersandar
dalam suatu fungsi.

Jarak (Distance) Panjang atau lebar dua
titik kedudukan.

Jarak mencancang (Vertical distance) Panjang
ukuran menegak.

Jarak mengufuk (Horizontal distance) Panjang
ukuran melintang.

Jejari (Radius) Garis lurus yang menghubungkan
pusat dengan titik pada lilitan bulatan atau
permukaan sfera.

Jujukan (Sequence) Satu set nombor atau objek
yang disusun mengikut pola tertentu.

Keadaan pegun (Stationary) Keadaan tidak bergerak.
Kebarangkalian suatu peristiwa (Probability of

an event) Nisbah kekerapan berlakunya suatu
peristiwa kepada bilangan cubaan.

Kecerunan (Gradient) Nisbah jarak mencancang
kepada jarak mengufuk di antara dua titik
pada suatu garis lurus.

Kecondongan (Inclination) Keadaan garisan
yang bersudut.

Kecuraman (Steepness) Keadaan yang curam
dan condong.

Kedudukan (Position) Suatu titik dan tempat.
Kekongruenan (Congruency) Perihal sama

bentuk dan sama saiz.
Kembangan dua kurungan (Expansion of two

brackets) Apabila dua ungkapan algebra
linear didarabkan.

Kembangan tunggal (Expansion) Apabila satu
ungkapan algebra linear didarab satu sebutan
algebra atau suatu nombor.

Keratan rentas (Cross section) Persilangan suatu
bentuk di dalam ruang dua dimensi dengan
garis, atau suatu jasad dalam bentuk ruang
tiga dimensi dengan satah.

Koordinat (Coordinate) Pasangan nombor yang
menentukan kedudukan sesuatu titik terhadap
paksi-x dan paksi-y.

Kuasa dua sempurna (Perfect square) Nombor
yang boleh ditulis sebagai kuasa dua satu
nombor bulat. Contoh 12 = 1, 22  = 4, 33 = 9.
Oleh itu, 1, 4 dan 9 ialah kuasa dua sempurna.

Laju (Speed) Kadar perubahan jarak berhubung
masa.

Laju purata (Average speed) Hasil bahagi jumlah
jarak yang dilalui dengan jumlah masa yang
sama.

Laju seragam (Uniform speed) Perubahan jarak
yang sama dalam selang masa yang diambil.

Laju tak seragam (Non-uniform speed)
Perubahan jarak yang berbeza dalam selang
masa yang sama.

Lawan arah jam (Anticlockwise) Arah
pergerakan bertentangan jarum jam dari
kanan ke kiri.

Lilitan (Circumference) Perimeter bagi bulatan.
Median (Median) Nilai yang terletak di tengah-

tengah susunan suatu set nombor yang
disusun secara tertib.

Min (Mean) Nilai yang diperoleh apabila jumlah
nilai data dibahagi dengan bilangan data.

Mod (Mode) Nilai yang mempunyai kekerapan
tertinggi bagi suatu set data.

Nilai ekstrem (Extreme value) Nilai melampau
sama ada nilai yang terlalu kecil atau nilai
yang terlalu besar.

Nisbah (Ratio) Pecahan yang membahagi dua
atau lebih kuantiti yang sama unit ukurannya.

Nombor ganjil (Odd numbers) Nombor integer
yang tidak boleh dibahagi tepat dengan
angka 2.

Nombor genap (Even numbers) Nombor integer
yang boleh dibahagi tepat dengan angka 2.

Nyahpecutan (Deceleration) Pecutan negatif
atau pengurangan halaju terhadap masa.

Objek (Object) Bentuk, rajah atau objek asal
dalam pelbagai transformasi.

Paksi simetri (Axis of symmetry) Garis lurus
yang membahagikan sesuatu bentuk atau
rajah kepada dua bahagian yang sama saiz
dan bentuk.

Pantulan (Reflection) Transformasi yang
membalikkan titik-titik pada satu satah.

Pecahan Algebra (Algebraic fraction) Pecahan
yang pengangka atau penyebut atau kedua-
duanya merupakan sebutan atau ungkapan
algebra.

Pecutan (Acceleration) Kadar perubahan laju
berhubung dengan masa.

Pekali (Coefficient) Faktor dalam sesuatu hasil
darab.

Pemboleh ubah (Variable) Kuantiti yang
nilainya tidak diketahui dan tidak tetap, yang
boleh mewakili sebarang nilai.

Pemboleh ubah bersandar (Dependent variable)
Pemboleh ubah yang menjadi perkara dalam
suatu rumus.

Pemboleh ubah tak bersandar (Independent
variable) Pemboleh ubah lain yang bukan
perkara dalam suatu rumus.

Pengangka (Numerator) Angka atau sebutan
yang terletak di bahagian atas suatu pecahan.

Penyebut (Denominator) Sebutan atau ungkapan
di bawah garis pecahan.

Perentas (Chord) Garis lurus yang
menyambungkan sebarang dua titik pada
lilitan bulatan.

Peristiwa (Event) Set kesudahan sesuatu
eksperimen.

Perkara rumus (Subject of a formula) Suatu
pemboleh ubah yang diungkapkan dalam
bentuk suatu pemboleh ubah yang lain dan
menjadi tajuk suatu rumus.

Persamaan linear (Linear equation) Persamaan
yang terdiri daripada ungkapan linear.

Pintasan (Intercept) Nilai x atau nilai y apabila
garis atau lengkung memotong paksi-x atau
paksi-y masing-masing.

Plot (Plot) Perbuatan menanda titik-titik
untuk melukis graf berdasarkan koordinat
yang diberikan.

Pola nombor (Number pattern) Corak nombor
dan urutan nombor yang disusun dalam
corak tertentu.

309
B
A

B
 7

B
A

B
 7

311310

Bab 7 KoordinatBab 7 Koordinat

Poligon sekata (Regular polygon) Poligon yang
mempunyai sisi yang sama panjang dan
sudut pedalaman yang sama besar.

Pusat (Centre) Titik yang terletak di tengah-
tengah ruang.

Pusat putaran (Centre of rotation) Titik tetap
yang padanya setiap titik pada satah berputar
melalui sudut dan arah tertentu.

Ruang sampel (Sample space) Set semua
kesudahan yang mungkin bagi suatu
eksperimen.

Rumus algebra (Algebraic formula) Rumus
yang menggunakan nombor, huruf dan tanda
operasi dalam bentuk persamaan.

Sebutan Algebra (Algebraic expression) Rumus
yang menggunakan nombor, huruf dan tanda
operasi dalam bentuk persamaan.

Sektor (Sector) Bahagian dalam bulatan yang
dibatasi oleh dua jejari dan lengkok yang
menyambungkan titik hujung dua jejari itu.

Sifat geometri (Geometrical characteristic) Sifat
dalam bidang matematik berkenaan dengan
ukuran dan hubungan antara titik, garis,
permukaan dan pepejal.

Simetri (Symmetry) Padanan tepat dari segi saiz
dan bentuk antara satu bahagian atau sisi
suatu arah atau objek.

Sisi lurus (Side) Garisan yang membentuk bentuk
dua dimensi.

Sudut pedalaman (Interior angle) Sudut yang
terbentuk oleh dua sisi bersebelahan di dalam
sesuatu poligon.

Sudut pelengkap (Complementary angle) Dua
sudut dengan hasil tambahnya ialah 90°.

Sudut peluaran (Exterior angle) Sudut yang
terbentuk di antara sisi poligon yang
dipanjangkan dengan sisi bersebelahannya.

Sudut penggenap (Supplementary angle) Dua
sudut dengan hasil tambahnya ialah 180°.

Sukatan kecenderungan memusat (Measure of
central tendency) Perwakilan bagi sekumpulan
data seperti min, median dan mod.

Tembereng (Segment) Bahagian suatu bulatan
yang disempadani oleh satu lengkok dan
perentas yang menghubungkan kedua-dua
hujung lengkok tersebut.

Titik tengah (Midpoint) Titik yang membahagi
dua sama sesuatu tembereng.

Transformasi (Transformation) Proses
mengubah kedudukan, orientasi atau
saiz imej sesuatu objek melalui translasi,
pantulan, putaran dan pembesaran.

Translasi (Translation) Transformasi yang
melibatkan pemindahan semua titik pada
suatu satah melalui arah dan jarak yang sama.

Ungkapan Algebra (Algebraic expression)
Ungkapan yang menggabungkan nombor,
pemboleh ubah atau entiti matematik lain
dengan operasi.

Vektor (Vector) Arah pergerakan.

311

Allan, R., Capewell, D., Pated, N., & Mullarkey, P., 2008. Maths Links 7B. UK: Oxford University
Press.

Barzilai, J. & Borwein, J. M., 1988. Two Point Step Size Gradient Methods. Journal of Numerical
Analysis, 8: 141-148.

Chapin, S.H., Illingworth, M., & Landau, M., 2001. Middle Grades Maths Tools for Success Course 2.
New Jersey: Prentice Hall.

Coxeter, H.S.M., 1969. Introduction to Geometry. Ed-2,	New	York:	John	Wiley	&	Sons.

Edwards, J.T. & John R.B., 2010. Styles and Strategies for Teaching Middle School Mathematics.
USA: Corwin Press.

Howard,	E.,	1953. An Introduction to the History of Mathematics.	USA:	Holt,	Rinchart	and	Winston,
Inc.

Istilah Matematik untuk Sekolah-sekolah Malaysia, 2003. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.

John, M.L., 2013. Axiomatic Geometry, Pure and Applied Undergradute Texts. USA: American
Mathematical Society.

Joseph, Y., Teh, K.H., Loh, C.H., Ivy, C., Neo, C.H., Jacinth L., Ong, C.H., & Jeffrey, P., 2014. New
Syllabus Mathematics.	Ed-7, Singapore: Shinglee Publishers Pte. Ltd.

Kamus Dewan Edisi Keempat, 2005. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.

Paul, B., 2010. Mathematics Pupils' Book. USA: Macmillan.

Reviel., N., 2007. The Transformation of Mathematics in the Early Mediterranean World. Kuala
Lumpur: Cambridge University Press.

Smith,	D.E.,	1958.	History of Mathematics. New York: Dover Publications, Inc.

Tay, C.H., Riddington, M., & Grier, M., 2000. New Mathematics Counts for Secondary 1 Normal
Academic. Singapore: Times Media.

Teh, K.S. & Cooi, C.K., 1982. New Syllabus Mathematics. Singapore: Shinglee Publisher Pte Ltd.

310
B
A

B
 7

PB312

Bab 7 Koordinat

bentangan 103
bentuk tiga dimensi 102
berserenjang 83
bulatan 86
dadu adil 279, 280, 284
data 246, 247
diameter 81
faktor 27
Faktor Sepunya Terbesar

(FSTB) 28
fungsi 146
fungsi bukan linear 144
fungsi linear 144
garis lurus 150
garis serenjang 60
graf fungsi 146, 147
hipotenus 127
hubungan 230
identiti pemfaktoran 30
ikut arah jam 227, 228
imej 210
isi padu 110
isometri 230, 232
jadual kekerapan 246
jarak 272
jarak mencancang 191
jarak mengufuk 191
jejari 76, 77
jubin algebra 20
jujukan 8
kebarangkalian eksperimen

278, 279
kebarangkalian teori 280
kecerunan 190, 191
kecondongan 190, 191
kecuraman 190, 191
kedudukan 135, 208
kembangan 21
kongruen 210

koordinat 132
kuasa dua sempurna 29
laju 170
laju purata 173
laju seragam 172
laju tak seragam 172
lawan arah jam 225
lengkok 60, 77
lilitan 77
luas permukaan 118
masa 170
median 247
min 247
mod 247
nilai ekstrem 253
nisbah 191
Nombor Fibonacci 7
nombor ganjil 13
nombor genap 13
nyahpecutan 179
objek 208
orientasi 210, 212
origami 59
paksi-x 150, 220
paksi-y 150, 220
paksi 222
paksi simetri 235
pantulan 218
pasangan tertib 147
pecahan algebra 35
pecutan 179
pekali 46
pembahagi dua 81
pemboleh ubah 44
pemfaktoran 27
penjelmaan 240
perentas 82
perimeter 46, 94
peristiwa 282

perkara rumus 46
persamaan 153
pintasan 198
pola 2
pola nombor 2
poligon sekata 56
pusat 76, 101
pusat putaran 234
ruang sampel 280, 282
rumus 46
rumus algebra 44
satah Cartes 123, 124
sebutan 11
sebutan algebra 44
sebutan serupa 23
Segi Tiga Pascal 5
sektor 77
set 278
sifat 101
sifat geometri 101
simetri 219
simetri putaran 234
skala 195
songsangan 27
sudut pedalaman 62
sudut pelengkap 62
sudut peluaran 62
sudut penggenap 54
sukatan kecenderungan

memusat 262
tembereng 132
titik tengah 260
translasi 230
ungkapan algebra 10, 21
vektor 213

312