RM11.80
ISBN 978-967-490-042-7
RUKUN NEGARA
Bahawasanya Negara Kita Malaysia

mendukung cita-cita hendak;

Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan
seluruh masyarakatnya;

Memelihara satu cara hidup demokrasi;

Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;

Menjamin satu cara yang liberal terhadap
tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;

Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan
sains dan teknologi moden;

MAKA KAMI, rakyat Malaysia,
berikrar akan menumpukan

seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tesebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:

KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN
KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA

KELUHURAN DAN PERLEMBAGAAN
KEDAULATAN UNDANG-UNDANG
KESOPANAN DAN KESUSILAAN

(Sumber : Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

Dengan ini SAYA BERJANJI akan menjaga buku ini
dengan baiknya dan bertanggungjawab atas kehilangannya

serta mengembalikannya kepada pihak sekolah pada
tarikh yang ditetapkan

Tahun Tingkatan Nama Penerima Tarikh
Terima

Nombor Perolehan: ________________________________

Tarikh Penerimaan: ________________________________

BUKU INI TIDAK BOLEH DIJUAL

SKIM PINJAMAN BUKU TEKS

Sekolah ____________________________________________
KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH

MATEMATIK
TINGKATAN 3

Penulis
Chiu Kam Choon

Vincent De Selva A/L Santhanasamy
Punithah Krishnan

Raja Devi Raja Gopal

Editor
Premah A/P Rasamanie

Pereka Bentuk
Lim Fay Lee

Nur Syahidah Mohd Sharif

Ilustrator
Asparizal Mohamed Sudin

Mohammad Kamal B Ahmad

Pustaka Yakin Pelajar Sdn. Bhd. (10146 M)

2018
ii

KPM2018 ISBN 978-967-490-042-7
Cetakan Pertama 2018
© Kementerian Pendidikan Malaysia

Hak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan
dalam buku ini tidak dibenarkan diterbitkan
semula, disimpan dalam cara yang boleh
dipergunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam
sebarang bentuk atau cara, baik dengan cara
elektronik, mekanik, penggambaran semula
mahupun dengan cara perakaman tanpa
kebenaran terlebih dahulu daripada Ketua
Pengarah Pelajaran Malaysia, Kementerian
Pendidikan Malaysia. Perundingan tertakluk
kepada perkiraan royalti atau honorarium.

Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan
Malaysia oleh:
PUSTAKA YAKIN PELAJAR SDN. BHD.
Lot 4, Lorong CJ 1/1B,
Kawasan Perindustrian Cheras,
43200 Cheras, Selangor Darul Ehsan,
Malaysia.

Reka Letak dan Atur Huruf:
PUSTAKA YAKIN PELAJAR SDN. BHD.
Muka taip teks: Times New Roman
Saiz taip teks: 11 poin

Dicetak oleh:
BHS BOOK PRINTING SDN. BHD. (95134-K)
Lot 4, Lorong CJ 1/1B, Kawasan Perindustrian
Cheras, 43200 Cheras, Selangor Darul Ehsan,
Malaysia.

No. Siri Buku: FT083001 PENGHARGAAN

Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama
banyak pihak. Sekalung penghargaan dan
terima kasih ditujukan kepada semua pihak
yang terlibat:

•	 Jawatankuasa	Penambahbaikan	Pruf	Muka
Surat, Bahagian Buku Teks, Kementerian
Pendidikan Malaysia.

•	 Jawatankuasa	 Penyemakan	 Pembetulan
Pruf Muka Surat, Bahagian Buku Teks,
Kementerian Pendidikan Malaysia.

•	 Jawatankuasa	 Penyemakan	Naskhah	 Sedia
Kamera, Bahagian Buku Teks, Kementerian
Pendidikan Malaysia.

•	 Pegawai-pegawai	 Bahagian	 Buku	 Teks
dan Bahagian Pembangunan Kurikulum,
Kementerian Pendidikan Malaysia.

•	 Ahli	panel	penilaian	dan	peningkatan	mutu.

•	 Bahagian	Editorial	dan	Bahagian	Produksi,
terutamanya pereka bentuk dan ilustrator.

•	 Semua	pihak	yang	terlibat	secara	langsung
atau tidak langsung dalam menjayakan
penerbitan buku ini.

KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA
Pendahuluan v

Simbol dan Rumus vii

BAB Indeks 1

1.1 Tatatanda Indeks 2

1.2 Hukum Indeks 6

BAB Bentuk Piawai 30

2.1 Angka Bererti 32

2.2 Bentuk Piawai 37

BAB Matematik Pengguna: Simpanan dan Pelaburan, Kredit dan Hutang  50

3.1 Simpanan dan Pelaburan 52

3.2 Pengurusan Kredit dan Hutang 73

BAB Lukisan Berskala 86

4.1 Lukisan Berskala 88

BAB Nisbah Trigonometri 106

5.1 Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga
   Bersudut Tegak 108

Saiz sebenar

iii

Kandungan

1

2

3

4

5
Saiz sebenar

iv

BAB Sudut dan Tangen bagi Bulatan 128

6.1 Sudut pada Lilitan dan Sudut Pusat yang Dicangkum

oleh Suatu Lengkok  130

6.2 Sisi Empat Kitaran 144

6.3 Tangen kepada Bulatan 150

6.4 Sudut dan Tangen bagi Bulatan 160

BAB Pelan dan Dongakan 168

7.1 Unjuran Ortogon 170

7.2 Pelan dan Dongakan 182

BAB Lokus dalam Dua Dimensi 198

8.1 Lokus 200

8.2 Lokus dalam Dua Dimensi 204

BAB Garis Lurus 224

9.1 Garis Lurus 226

Jawapan 252

Glosari 262

Senarai Rujukan 263

Indeks 264

6

7

8

9
Saiz sebenar

v

Pendahuluan
Buku teks Matematik Tingkatan 3 ini ditulis berdasarkan Kurikulum Standard Sekolah
Menengah (KSSM). Buku ini terdiri daripada 9 bab yang disusun dan dirancang secara
sistematik berdasarkan Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik
Tingkatan 3.
 Pada permulaan bab, murid akan diperkenalkan kepada bahan rangsangan yang berkaitan
dengan kehidupan harian untuk merangsang pemikiran murid tentang konsep sesuatu topik.
Di samping itu, Standard Kandungan dan daftar kata turut disertakan untuk memberikan
gambaran ringkas tentang kandungan bab.

Buku ini mengandungi ciri-ciri istimewa seperti berikut:
Penerangan

Mengandungi standard kandungan yang akan
dipelajari dalam setiap bab.

Kegunaan ilmu bab ini termasuk bidang
pekerjaan yang berkaitan dengan bab ini.

Sejarah ilmuan terdahulu atau asal usul
penerokaan bab ini dalam mata pelajaran Matematik.

Daftar kata yang terkandung dalam setiap bab.

Membantu murid memahami konsep asas
matematik melalui aktiviti individu, berpasangan
atau kumpulan.

Soalan untuk menguji sejauh mana kemampuan
murid dalam memahami kemahiran tertentu dalam
setiap bab.

Menarik perhatian murid kepada fakta tambahan
yang perlu diketahui, kesilapan yang sering
dilakukan murid dan mengelakkan kecuaian murid.

Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan
yang perlu diketahui.

Mengemukakan soalan yang merangsang minda
murid	untuk	berfikir	secara	kritis	dan	kreatif.

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

Memberi maklumat tambahan yang menambahkan
info berkaitan dengan bab yang dipelajari.

K U I Z

Apakah yang akan anda pelajari?

Eksplorasi ZamanEksplorasi Zaman

K A ATG E R B A N G

BIJAK MINDA

PERINGATAN

TIP

BULETIN

Kenapa Belajar Bab Ini?
Saiz sebenar

vi

Mendedahkan murid terhadap penggunaan alat
teknologi dalam pembelajaran matematik.

Membina kemahiran berkomunikasi secara
matematik.

Membantu murid untuk mengingat kembali perkara
yang telah dipelajari.

Memaparkan	 cara	 penggunaan	 kalkulator	 saintifik
dalam pengiraan.

Membolehkan murid menjalankan tugasan dan
membentangkan hasil semasa pembelajaran.

Menguji pemahaman murid terhadap konsep yang
telah dipelajari.

Soalan	 Kemahiran	 Berfikir	 Aras	 Tinggi	 (KBAT)
untuk menguji kemahiran murid.

Memberi kepelbagaian soalan latihan yang
berunsurkan KBAR, KBAT, TIMSS dan PISA.

QR Code yang boleh diimbas dengan menggunakan
aplikasi dalam peranti mudah alih pintar.

Merangkumi konsep penggunaan aplikasi digital,
kalkulator, hands on dan permainan yang bertujuan
untuk memberi aktiviti tambahan kepada murid
untuk mempertingkat pemahaman murid dengan
lebih berkesan.

Rumusan keseluruhan bab yang telah dipelajari.

Melihat kembali standard pembelajaran yang telah
dipelajari sama ada tercapai atau tidak.

UJI  MINDA

Cabaran Dinamis

KP R O J E

JELAJAH MATEMATIK

BIJAK

PINTAR JARI
0AC

1 2 3
4 5 6
7 8 9

+
-

x

÷

.

1,234567.89

IMBAS KENDIRI

PETA KONSEP

SUDUT DISKUSI

IMBAS KEMBALI

Penerangan

Semak Jawapan Menyemak jawapan dengan kaedah alternatif.

Aktiviti dengan elemen Science, Technology,
Engineering and Mathemathics.MS T E
Saiz sebenar

vii

Muat turun aplikasi percuma imbasan QR Code ke peranti mudah alih pintar anda.
Imbas QR Code atau layari laman sesawang http://yakin-pelajar.com untuk memuat
turun fail cetusan minda. Kemudian simpan fail yang dimuat turun untuk kegunaan
luar talian.
Nota: Murid boleh muat turun perisian GeoGebra dan Geometer’s Sketchpad
(GSP) yang percuma untuk membuka fail yang berkenaan.

sin	θtan	θ	=	——–
 kos θ
Teorem Pythagoras:
 c2	=	a2 + b2

b2	=	c2	–	a2

a2	=	c2	–	b2

Jarak	dua	titik	=	√(x2	–	x1)
2 + (y2	–	y1)

2

x1 + x2 y1 + y2Titik	tengah	=	(———,	———)
 2 2

Jarak mencancangKecerunan, m	=	————————
 Jarak mengufuk

y2 –	y1m	=	———
 x2 –	x1

pintasan-ym	=	–	—————
 pintasan-x

RUMUS

SIMBOL
 lebih besar daripada atau sama dengan
 kurang daripada
 kurang daripada atau sama dengan
∆ segi tiga
∠ sudut
° darjah
' minit
'' saat

√ punca
π	 pi
a : b nisbah a kepada b
A × 10n bentuk piawai dengan keadaan
 1  A  10 dan n ialah integer
=	 	 sama	dengan
≈	 	 hampir	sama	dengan
≠	 	 tidak	sama	dengan
  lebih besar daripada

am × an = am + n

am ÷ an = am – n

(am)n = amn

a0	= 1

a–n	= —

a—	= n√ a
a—	= (am)— = (a—)m

a—	= n√ am = (n√ a )m

I	= Prt
MV	= P(1	+	—)nt
A	= P + Prt
 sisi bertentangansin	θ	=	———————–
 hipotenus
 sisi bersebelahankos	θ	=	———————–
 hipotenus
 sisi bertentangantan	θ	=	———————–
 sisi bersebelahan

1
an

1
n

r
n

c

a

b

Simbol dan Rumus

m
n

m
n

1
n

1
n

si
si

b
er

te
nt

an
ga

n

hip
ote

nu
s

sisi
bersebelahan

θ

http://yakin-pelajar.com
Indeks
1

BAB
1

BAB

Tasik Kenyir yang terletak di daerah Hulu Terengganu,
Terengganu, merupakan tasik buatan manusia yang

terbesar di Asia Tenggara. Tasik Kenyir terkenal sebagai
satu destinasi pelancongan dunia kerana keindahan alam
semula jadi yang unik. Tasik Kenyir juga merupakan
kawasan tadahan air yang penting. Empangan Kenyir
yang dibina pada tahun 1985, membekalkan air
kepada Stesen Jana Kuasa Sultan Mahmud. Anggaran
keluasan kawasan tadahan air di empangan utama
ialah 2 600 km² dengan isi padu takungan sebanyak
13 600 juta meter padu. Pada musim tengkujuh, isi padu
tadahan air akan meningkat secara mendadak. Apakah
tindakan yang harus diambil dalam situasi sebegini?

Apakah yang akan anda pelajari?

1.1 Tatatanda Indeks

1.2 Hukum Indeks

•	 Penulisan	 suatu	 nombor	 dalam	 bentuk	 indeks
 membolehkan nombor tersebut dinyatakan
 dalam bentuk yang ringkas dan mudah difahami.
 Pelbagai operasi matematik yang melibatkan
 nombor dalam bentuk indeks dapat dijalankan
 dengan  menggunakan hukum-hukum indeks.
•	 Konsep	 indeks	digunakan	dalam	bidang	 sains,
 kejuruteraan, perakaunan, kewangan, astronomi,
 perkomputeraan dan sebagainya.

Kenapa Belajar Bab Ini?
K A ATG E R B A N G

Eksplorasi ZamanEksplorasi ZamanIndeks

•	 asas		 • base

•	 faktor		 •	 factor

•	 indeks	 •	 index

•	 indeks	pecahan	 •	 fractional index

•	 kuasa	 •	power

•	 punca	kuasa	 •	 root

•	 tatatanda	indeks	 •	 index notation

Tatatanda indeks merupakan elemen penting dalam
perkembangan dunia matematik dan pengaturcaraan
komputer. Penggunaan tatatanda bagi indeks integer
positif telah diperkenalkan oleh Rene Descartes,
seorang tokoh matematik berbangsa Perancis (1637).
Sir Issac Newton, seorang lagi tokoh matematik
berbangsa Inggeris telah memperkembangkan lagi
bidang penggunaan tatatanda indeks serta
memperkenalkan indeks negatif dan indeks pecahan.

Saiz sebenar

1

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%201/
1
B

A
B

Saiz sebenar

2

PERINGATAN

BULETIN

STANDARD
PEMBELAJARAN

4 × 4 = 4 2 Nilai indeks ialah 2

Nilai indeks sama dengan bilangan kali 4 didarab secara berulang.

4 × 4 × 4 = 4 3 Nilai indeks ialah 3

Nilai indeks sama dengan bilangan kali 4 didarab secara berulang.

1.1    Tatatanda Indeks

Mewakilkan pendaraban
berulang dalam bentuk indeks
dan menghuraikan maksudnya.

Apakah itu pendaraban berulang dalam bentuk indeks?

Perkembangan bidang teknologi bukan sahaja memudahkan kebanyakan
tugas harian kita, malah turut menjimatkan kos perbelanjaan dalam
pelbagai bidang. Misalnya, penggunaan kad memori di dalam kamera
digital membolehkan pengguna menyimpan gambar dalam bilangan
yang banyak serta memadam atau mengubah suai gambar yang kurang
sesuai sebelum dicetak.

Contoh   1

Pada peringkat awal, kad memori dikeluarkan dengan kapasiti 4MB. Nilai kapasiti ini ditambah
mengikut peredaran zaman dan kehendak pengguna. Tahukah anda, nilai kapasiti kad memori
dihitung dalam satu bentuk khas iaitu 2n?

Di Tingkatan 1, anda telah mempelajari bahawa 43 =  4 × 4 × 4. Nombor 43 ditulis dalam tatatanda
indeks iaitu 4 ialah asas dan 3 ialah indeks atau eksponen. Nombor ini dibaca sebagai ‘4 kuasa 3’.

Maka, nombor dalam tatatanda indeks atau bentuk indeks boleh ditulis sebagai;

Anda sedia tahu bahawa 42 = 4 × 4 dan 43 = 4 × 4 × 4. Misalnya;

Bincang nilai kapasiti
pemacu pena yang
anda tahu.

Penguraian nuklear bagi
uranium U–320 adalah
mengikut pola 30, 31, 32,…

Berulang dua kali

Berulang tiga kali

Tulis pendaraban berulang berikut dalam bentuk indeks an.

(a) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 (b) 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3

1 1 1 1 1(c) (–2) × (–2) × (–2) (d) — × — × — × — × —     4 4 4 4 4

(e) m × m × m × m × m × m × m (f) n × n × n × n × n × n × n × n

an Indeks
Asas

25 ≠ 2 × 5        43 ≠ 4 × 3
an ≠ a × n

SUDUT DISKUSI
1
B

A
B

Bab 1  Indeks

Saiz sebenar

3

Bab 1  Indeks

Penyelesaian:

(a) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56 (b) 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3 = (0.3)4

1 1 1 1 1 1(c) (–2) × (–2) × (–2) = (–2)3 (d) — × — × — × — × — = (—)5

4 4 4 4 4 4

(e) m × m × m × m × m × m × m = m7 (f) n × n × n × n × n × n × n × n = n8

2. Nyatakan pendaraban berulang berikut dalam bentuk indeks an.

(a) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 (b) 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5

1 1 1 1  (c)  — × — × — × —  (d)  (–m) × (–m) × (–m) × (–m) × (–m)   2 2 2 2

2 2 2      1 1 1 1 1 1  (e) 1— × 1— × 1—     (f)  (– –) × (– –) × (– –) × (– –) × (– –) × (– –)
  3 3 3       n n n n n n

3. Tukarkan nombor atau sebutan algebra dalam bentuk indeks kepada pendaraban berulang.
       2   1 (a) (–3)3 (b) (2.5)4 (c) (—)5

(d) (– 2 —)3

3   4
       1 (e) k6 (f) (–p)7 (g) (—)8

(h) (3n)5

m

1. Lengkapkan jadual di bawah dengan asas atau indeks bagi nombor atau sebutan algebra yang
diberi.

berulang enam kali

berulang tiga kali

berulang tujuh kali berulang lapan kali

berulang lima kali

berulang empat kali

Daripada penyelesaian Contoh 1, didapati bahawa nilai indeks dalam suatu bentuk indeks adalah
sama dengan bilangan kali asas didarab secara berulang. Secara generalisasi,

an = a × a × a × … × a

n faktor
;  a ≠ 0

Asas Indeks
5

7
1—2

6
n

9
4

x
2

8

1(—)10               m6
  2

3(– —)4

7

53 (– 4)7

8

n0              (0.2)9

1(2 —)2

3x20

UJI  MINDA 1.1a
1
B

A
B

Saiz sebenar

4

IMBAS KEMBALI

STANDARD
PEMBELAJARAN

4 × 4 × 4 = 43

Kaedah Pembahagian Berulang

(a)  Asas 2
      • 64 dibahagi secara
         berulang dengan 2.

Maka, 64 = 26

(b)  Asas 4
      • 64 dibahagi secara
         berulang dengan 4.

Maka, 64 = 43

(c)  Asas 8
       • 64 dibahagi secara
         berulang dengan 8.

Maka, 64 = 82

Kaedah Pendaraban Berulang

(a)  Asas 2
      2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

         4

8

16

32

64

Maka, 64 = 26

(b)  Asas 4
      4 × 4 × 4

64

Maka, 64 = 43

(c)  Asas 8
      8 × 8 = 64

Maka, 64 = 82

Bagaimanakah anda boleh menukar suatu nombor kepada
nombor dalam bentuk indeks?

Suatu nombor boleh ditulis dalam bentuk indeks jika suatu asas yang
sesuai dipilih. Anda boleh menggunakan kaedah pembahagian berulang
atau kaedah pendaraban berulang untuk menukar suatu nombor kepada
nombor dalam bentuk indeks.

Menukar suatu nombor
kepada nombor
dalam bentuk indeks
dan sebaliknya.

Contoh   2

Tuliskan 64 dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas 2, asas 4
dan asas 8.

Penyelesaian:

2 ) 64
2 ) 32
2 ) 16
2 ) 8
2 ) 4
2 ) 2
 1

4 ) 64
4 ) 16
4 ) 4
 1

8 ) 64
8 ) 8
 1n = 6

n = 3 n = 2

16

Pembahagian
diteruskan sehingga
mendapat nilai 1.

SUDUT DISKUSI
Antara kaedah
pembahagian berulang
dengan kaedah pendaraban
berulang, kaedah manakah
yang lebih mudah untuk
menukar suatu nombor
kepada nombor dalam
bentuk indeks? Bincangkan.
1
B

A
B

Bab 1  Indeks

Saiz sebenar

5

Bab 1  Indeks

Kaedah Pembahagian Berulang Kaedah Pendaraban Berulang

Bagaimanakah anda boleh menentukan nilai bagi nombor dalam bentuk indeks, an ?

Nilai an boleh ditentukan dengan kaedah pendaraban berulang atau dengan menggunakan kalkulator
saintifik.

Hitung nilai bagi nombor dalam bentuk indeks yang diberi.

(a) 25      (b) (0.6)3

2 × 2 × 2 × 2 × 2  0.6 × 0.6 × 0.6

4   ×   2     0.36   ×   0.6

8     ×     2    0.216

16     ×     2  0.63 = 0.216

32

Maka,   25 = 32  Maka,   0.63 = 0.216

Contoh   3

Contoh   4

32  2Tuliskan ——– dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas —. 3 125 5
Penyelesaian:

2 ) 32
2 ) 16
2 ) 8
2 ) 4
2 ) 2
 1

5 ) 3 125
5 ) 625
5 ) 125
5 ) 25
5 ) 5
 1

n = 5 n = 5

32 2——– = (—)5

3 125 5

1.1bUJI  MINDA

1. Tuliskan setiap nombor berikut dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas yang
 dinyatakan dalam kurungan.
         64 4 (a) 81  [asas 3] (b) 15 625  [asas 5]    (c) —–      [asas —]        125 5
          1 1   (d) 0.00032 [asas 0.2] (e) – 16 384 [asas (– 4)] (f) — [asas (– —)]
        16 4

2 2 2 2 2 — × — × — × — × — 5 5 5 5 5

8—–125

4—–25

16—–625Maka,

32 2——– = (—)5

3 125 5Maka,

K U I Z

(m)4 = 16
Apakah nilai-nilai yang
mungkin bagi m?

32 ——–  3 125
1
B

A
B

Saiz sebenar

6

Cetusan Minda

STANDARD
PEMBELAJARAN

PERINGATAN

1

(a) 54 = 625

(b)  (–7)3 = –343
                 2 16   (c) (—)4

= —–  3 81

3 64   (d) (1—)2
= —–  5 25

(e) (– 0.5)6 = 0.015625

Contoh   5

5 ^ 4 =

( (–) 7 ) ^ 3 =

( 2 ab/c 3 ) ^ 4 =

( 1 ab/c 3 ab/c 5 )  ^  2 =

( (–) 0 . 5 )  ^  6 =

Asas bernilai negatif dan
pecahan mesti ditekan
bersama tanda kurung
semasa menggunakan
kalkulator untuk menentukan
nilai nombor tersebut.

1.1cUJI  MINDA

1. Hitung nilai bagi setiap nombor dalam bentuk indeks di bawah.
 (a) 94  (b) (– 4)5 (c) (2.5)3 (d) (– 3.2)3
                   3   1   2    1  (e) (—)5 (f) (– —)4 (g) (1 —)2 (h) (– 2 —)3

8   6   3    3

Apakah kaitan antara pendaraban nombor dalam
bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama dengan
pendaraban berulang?

Pendaraban nombor
dalam bentuk indeks Pendaraban berulang

(a) 23 × 24
(2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27

23 × 24 = 2 7

23 × 24 = 2 3 + 4

(b) 32 × 33
(3 × 3) × (3 × 3 × 3) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35

32 × 33 = 3
32 × 33 = 3

Menghubung kait
pendaraban nombor
dalam bentuk indeks yang
mempunyai asas yang
sama dengan pendaraban
berulang, dan seterusnya
membuat generalisasi.

3 faktor

2 faktor

4 faktor

3 faktor

7 faktor (keseluruhan)

5 faktor (keseluruhan)

Tujuan:  Mengenal pasti hubungan antara pendaraban nombor dalam
bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama dengan
pendaraban berulang.

Langkah:
1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).
2. Bincang bersama rakan anda dan nyatakan tiga contoh lain.
3. Tampal tiga contoh tersebut di sudut matematik supaya kumpulan lain dapat memberi ulasan.

1.2    Hukum Indeks

PINTAR JARI
0AC

1 2 3
4 5 6
7 8 9

+
-

x

÷

.

1,234567.89

Berpasangan

SUDUT DISKUSI
Hitung soalan (c), (d)
dan (e) contoh 5 tanpa
menggunakan tanda
kurung. Adakah jawapan
sama? Bincangkan.

7 = 3 + 4
1
B

A
B

Bab 1  Indeks

Saiz sebenar

7

Bab 1  Indeks

PERINGATAN

Secara generalisasi,     am × an = a m + n

Ringkaskan setiap yang berikut.
         1(a) 72 × 73 (b) (0.2)2 × (0.2)4 × (0.2)5 (c) 2k2 × 4k3 (d) 3m4 × —m5 × 12m
         6
Penyelesaian:

(a) 72 × 73 (b) (0.2)2 × (0.2)4 × (0.2)5

= 72 + 3  = (0.2)2 + 4 + 5

= 75  = (0.2)11

1(c) 2k2 × 4k3 (d) 3m4 × —m5 × 12m      6
 = (2 × 4)(k2 × k3)

 = 8k2 + 3

= 8k5

1.2aUJI  MINDA

1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) 32 × 3 × 34 (b) (– 0.4)4 × (– 0.4)3 × (– 0.4)

(c) (—) × (—)3
 × (—)5

(d) (– 1—)2
 × (– 1—)3

× (– 1—)5

4 5  (e) 4m2 × — m3 × (– 3)m4 (f) n6 × — n2 × — n3 × n     25 4

25  12   1 1 (g) –x4 × — x × — x2 (h) – — y5 × (– 6)y3 × — y4
   4  5   2 3

Pendaraban nombor
dalam bentuk indeks Pendaraban berulang

(c) 54 × 52

(5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5) = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56

54 × 52 = 5
54 × 52 = 5

Contoh   6

Operasi
untuk pekali.

1= (3 × — × 12) (m4 × m5 × m1)  6
= 6m4 + 5 + 1

= 6m10

a = a1

Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda berkaitan hubungan antara pendaraban nombor dalam bentuk indeks
dengan pendaraban berulang?

23 × 24 = 23 + 4

32 × 33 = 32 + 3

54 × 52 = 54 + 2

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

4 faktor 2 faktor 6 faktor (keseluruhan)

4
7

1
2

4
7

2
5

2
5

2
5

4
7

SUDUT DISKUSI
Diberi,

am × an = bm × bn.
Adakah a = b? Bincangkan.

Jika ma × mb = m8,
dengan keadaan a > 0
dan b > 0, apakah
nilai-nilai yang mungkin
bagi a dan b?

BIJAK MINDA
1
B

A
B

Saiz sebenar

8

STANDARD
PEMBELAJARAN

PERINGATAN

Cetusan Minda 2

Apakah kaitan antara pembahagian nombor dalam bentuk
indeks yang mempunyai asas yang sama dengan pendaraban
berulang?

Contoh   7

Ringkaskan setiap yang berikut.

(a) m3 × n2 × m4 × n5 (b) (0.3)2 × (0.2)2 × 0.3 × (0.2)5 × (0.3)3
     1(c)  p2 × m3 × p4 × n3 × m4 × n2  (d)  –m4 × 2n5 × 3m × — n2
     4

Penyelesaian:

(a) m3 × n2 × m4 × n5 (b) (0.3)2 × (0.2)2 × 0.3 × (0.2)5 × (0.3)3

= m3 × m4 × n2 × n5  = (0.3)2 × (0.3)1 × (0.3)3 × (0.2)2 × (0.2)5
 = m3 + 4 × n2 + 5         = (0.3)(2 + 1 + 3) × (0.2)(2 + 5)
 = m7 × n7   = (0.3)6 × (0.2)7
 = m7n7
     1(c)  p2 × m3 × p4 × n3 × m4 × n2 (d) –m4 × 2n5 × 3m × —n2
     4
 = m3 × m4 × n3 × n2 × p2 × p4
 = m3 + 4 × n3 + 2 ×  p2 + 4
 = m7 n5 p6

1= (–1 × 2 × 3 × —) m4 × m1  × n5 × n2
    4
  3 = – —m4 + 1 n5 + 2
  2
  3= – —m5 n7
  2

–an ≠ (–a)n

Contoh:
–32 ≠ (–3)2

–9 ≠ 91.2b UJI  MINDA

1. Nyatakan dalam bentuk indeks paling ringkas.

(a) 54 × 93 × 5 × 92 (b) (0.4)2 × (1.2)3 × (0.4) × (1.2)5 × (1.2)
   1   2   1    (c) 12x5 × y3 × — x × — y4 (d) –2k5 × p6 × — p5 × 3k   2   3   4

Menghubung kait
pembahagian nombor
dalam bentuk indeks
yang mempunyai asas
yang sama dengan
pendaraban berulang,
dan seterusnya
membuat generalisasi.

Bagaimanakah anda boleh permudahkan nombor atau sebutan
algebra dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
berlainan?

Tujuan:  Mengenal pasti hubungan antara pembahagian nombor
dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama
dengan pendaraban berulang.

Langkah:
1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).
2. Beri tiga contoh lain dan bentangkan hasil dapatan anda.

Kumpulkan
asas yang sama.

Tambahkan indeks
bagi asas yang sama.

TIP
Kumpulkan nombor
atau sebutan algebra
dengan asas yang sama
terlebih dahulu. Kemudian,
tambahkan indeks bagi
asas yang sama.

Berpasangan
1
B

A
B

Bab 1  Indeks

Saiz sebenar

9

Bab 1  Indeks

Pembahagian nombor
dalam bentuk indeks Pendaraban berulang

(a) 45 ÷ 42

45 ÷ 42 = 4 3
 45 ÷ 42 = 4 5–2

(b) 26 ÷ 22

26 ÷ 22 = 2
 26 ÷ 22 = 2

(c) (–3)5 ÷ (–3)3

(–3)5 ÷ (–3)3 = (–3)
 (–3)5 ÷ (–3)3 = (–3)

45  4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4 × 4 × 4 = 43
 — = —————–––– 42  4 × 4

26  2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 24
 — = —————––––—– 22  2 × 2

(–3)5  (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = (–3) × (–3) = (–3)2
 —— = —————––––—–––——–– (–3)3  (–3) × (–3)× (–3)

5 faktor

2 faktor

2 faktor

3 faktor

6 faktor

5 faktor

3 faktor (Baki)

4 faktor (Baki)

2 faktor (Baki)

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa;

45 ÷ 42 = 45 – 2

26 ÷ 22 = 26 – 2

(–3)5 ÷ (–3)3 = (–3)5 – 3

Secara generalisasi,      am ÷ an = a m – n

Ringkaskan setiap yang berikut.

(a) 54 ÷ 52  (b) (–3)4 ÷ (–3)2 ÷ (–3) (c) m4n3 ÷ m2n

(d) 25x2y3 ÷ 5xy (e) 12m10 ÷ 4m5 ÷ m2 (f) –16p8 ÷ 2p5 ÷ 4p2

Penyelesaian:

(a) 54 ÷ 52  (b) (–3)4 ÷ (–3)2 ÷ (–3) (c) m4n3 ÷ m2n
 = 54 – 2   = (–3)4 ÷  (–3)2 ÷ (–3)1  = m4n3 ÷ m2n1

= 52   = (–3)4 – 2 – 1  = m4 – 2 n3 – 1

= (–3)1  = m2 n2

= –3

Contoh   8

Perbincangan:
Apakah perkaitan antara pembahagian nombor dalam bentuk indeks dengan pendaraban
berulang?

BIJAK MINDA
Diberi ma – b = m7 dan
0 < a < 10. Jika a > b,
nyatakan nilai-nilai yang
mungkin bagi a dan b.

3 = 5 – 2
1
B

A
B

Saiz sebenar

10

= 25x2y3 ÷ 5x1y1

25= — x2 – 1 y3 – 1
 5

= 5x1y2

= 5xy2

STANDARD
PEMBELAJARAN

Cetusan Minda

1.2c UJI  MINDA

1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) 45 ÷ 44  (b) 710 ÷ 76 ÷ 72 (c) ——

27x4 y5         (d)  ——––  (e) m7 ÷ m2 ÷ m4 (f) –25h4 ÷ 5h2 ÷ h
   9x3y2
2. Salin dan lengkapkan setiap persamaan di bawah.

(a) 8   ÷ 84  ÷ 83 = 8    (b) m4n   ÷ m   n5 = m2n

m10 n4 × m   n2      27x3y6 × xy      (c) —————— = m5n   (d) —————– = 3x   y5
   m7n         x2y3

2x × 3y
3. Jika ——— = 6, tentukan nilai x + y.
  24 × 32

3

Apakah kaitan antara nombor dalam bentuk indeks yang
dikuasakan dengan pendaraban berulang?

Menghubung kait
nombor dalam bentuk
indeks yang dikuasakan
dengan pendaraban
berulang, dan seterusnya
membuat generalisasi.

Bentuk indeks
yang dikuasakan Pendaraban berulang dalam bentuk indeks Kesimpulan

(a) (32)4

32 × 32 × 32 × 32

= 32 + 2 + 2 + 2

= 32(4)

4 faktor

2 ditambah 4 kali4 kali

(d) 25x2y3 ÷ 5xy (e) 12m10 ÷ 4m5 ÷ m2  (f) –16p8 ÷ 2p5 ÷ 4p2

12       –16      = — (m10 ÷ m5 ÷ m2)    = —– (p8 ÷ p5) ÷ 4p2
       4       2

= 3(m10–5) ÷ m2     =  –8p8–5 ÷ 4p2

= 3m5 – 2      =  –8p3 ÷ 4p2

= 3m3
      = –  — (p3 ÷ p2)

= –2p3 – 2
            = –2p1

= –2p

Operasi untuk pekali.

Tujuan:  Mengenal pasti hubungan antara nombor dalam bentuk
indeks yang dikuasakan dengan pendaraban berulang.

Langkah:
1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).
2. Nyatakan tiga contoh lain dan bentangkan hasil dapatan anda.

8
4

m8n6

m4n

Berpasangan

(32)4 = 32(4)

= 38
1
B

A
B

Bab 1  Indeks

Saiz sebenar

11

Bab 1  Indeks

Bentuk indeks
yang dikuasakan Pendaraban berulang dalam bentuk indeks Kesimpulan

(b) (54)3

54 × 54 × 54

= 54 + 4 + 4

= 54(3)

(c) (43)6

43 × 43 × 43 × 43 × 43 × 43

= 43 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

= 43(6)

6 faktor

3 ditambah 6 kali6 kali

Contoh   9

1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a)  (34)2  (b) (h3)10      (c)   ((–y)6)3

2. Tentukan sama ada persamaan berikut benar atau palsu.

(a)  (42)3 = (43)2  (b) (23)4 = (22)6   (c)  (32)6 = (272)4

4 ditambah 3 kali

3 faktor

3 kali

Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda tentang bentuk indeks yang dikuasakan dengan pendaraban berulang
dalam bentuk indeks?

Kesimpulan daripada Cetusan Minda 3, boleh disemak dengan kaedah berikut.

(32)4 = 32 × 32 × 32 × 32

= 32 + 2 + 2 + 2

= 38
 32(4) = 32 × 4

= 38

(54)3 = 54 × 54 × 54

= 54 + 4 + 4

= 512

54(3) = 54 × 3

= 512

(43)6 = 43 × 43 × 43 × 43 × 43 × 43

= 43 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

= 418

43(6) = 43 × 6

= 418

Daripada bahagian kesimpulan Cetusan Minda 3, kita dapati bahawa;

       (32)4 = 32(4)

(54)3 = 54(3)

(43)6 = 43(6)

Secara generalisasi,        (am)n = amn

Contoh (c)Contoh (b)Contoh (a)

(54)3 = 5

= 5

(43)6 = 4

= 4

Diberi,
mrt = 312

Apakah nilai-nilai yang
mungkin bagi m, r dan t
jika r > t ?

BIJAK MINDA
1
B

A
B

Saiz sebenar

12

Penyelesaian:

1. (a) (34)2 (b) (h3)10

= 34(2)  = h3(10)

= 38  = h30

2. (a) (42)3 = (43)2 (b) (23)4 = (22)6 (c) (32)6 = (272)4

Kiri:  Kiri:  Kiri:
  (42)3 = 42(3) = 46  (23)4 = 23(4) = 212  (32)6 = 32(6) = 312

Kanan:  Kanan:  Kanan:
  (43)2 = 43(2) = 46  (22)6 = 22(6) = 212  (272)4 = (33(2))4
     Maka, (42)3= (43)2  Maka, (23)4 = (22)6  = 36(4)
  adalah benar.  adalah benar.  = 324

Maka, (32)6 = (272)4

adalah palsu.

kirikiri kirikanankanan kanan

Sama Sama

1.2d UJI  MINDA

1. Gunakan hukum indeks untuk meringkaskan setiap pernyataan berikut.

(a) (125)2 (b) (310)2      (c) (72)3          (d) ((– 4)3)7

(e) (k8)3         (f)  (g2)13      (g)  ((–m)4)3 (h)  ((–c)7)3

2. Tentukan sama ada persamaan berikut benar atau palsu.

(a) (24)5 = (22)10 (b) (33)7 = (272)4 (c) (52)5 = (1252)3 (d) – (72)4 = (– 492)3

(am × bn)q

= (am)q × (bn)q (ambn)q = amq bnq

= amq × bnq

(am ÷ bn)q

= (am)q ÷ (bn)q

= amq ÷ bnq

am   amq(—–)q
 =  —–

bn   bnq

Contoh  10

1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) (73 × 54)3 (b) (24 × 53 × 112)5 (c) (p2q3r)4 (d) (5m4n3)2

25   2x3  (3m2n3)3  (2x3y4)4 × (3xy2)3
 (e) (—)4

(f)
 (—–)4

(g) ———– (h) ———————    32   3y7   6m3n   36x10y12

(c) ((–y)6)3

= (–y)6(3)

= (–y)18

Bagaimanakah anda menggunakan hukum indeks untuk operasi pendaraban dan
pembahagian?

Tidak
sama
1
B

A
B

Bab 1  Indeks

Saiz sebenar

13

Bab 1  Indeks

Penyelesaian:

(a) (73 × 54)3   (b) (24 × 53 × 112)5

= 73(3) × 54(3)    = 24(5) × 53(5) × 112(5)

= 79 × 512    =  220 × 515 × 1110

(c) (p2q3r)4   (d) (5m4n3)2

= p2(4) q3(4)r1(4)    = 52m4(2)n3(2)

= p8q12r4    = 25m8n6

25       2x3
 (e) (—)4

(f)
 (

—–)4

32       3y7

25(4)       24 x3(4)
  = —–      = —–––
    32(4)       34y7(4)

220       16x12
  = —–     = —–––
     38       81y28

(3m2n3)3     (2x3y4)4 × (3xy2)3
 (g) ———–   (h) ———————
    6m3n     36x10y12

33m2(3)n3(3)      24x3(4)y4(4) × 33x1(3)y2(3)
  = ————    =  ————————–––
      6m3n1                36x10y12

27m6n9      16x12y16 × 27x3y6
  = ———     =  ———————
   6m3n1        36x10y12

9       16 × 27  = — m6 – 3 n9 – 1    =  (———–) x12 + 3 – 10y16 + 6 – 12
   2       36
   9      = 12x5 y10
  = — m3 n8
   2

1.2e UJI  MINDA

1. Ringkaskan setiap yang berikut.
 (a) (2 × 34)2 (b) (113 × 95)3 (c) (133 ÷ 76)2 (d) (53 × 34)5
        –3a5                 2a5
 (e) (m3n4p2)5    (f) (2w2 x 3)4 (g) (——– )6

(h) (—––)3

b4     3b4

2. Permudahkan setiap yang berikut.
   113 × 42                33 × (62)3   42  42  ((– 4)6)2 × (–52)3  (a) (——–—)2

(b)  ————    (c) (—–)3
 ÷ —–  (d) ———————

112   64   63  63   (– 4)6 × (–5)2

x2y6 × x3      (h3k2)4    (m5  n7)3      (b2d4)3
    (e) ———— (f) ———  (g) ———–     (h) ———
   xy2   (hk)2    (m2n3)2   (b2d3)2

3. Permudahkan setiap yang berikut.

(2m2n4)3 × (3mn4)2  (5xy4)2 × 6x10y   24d 3e 5 × (3d 3e 4)2
 (a) ———————– (b) —————— (c) ——————––
   12m7n12   15x4y6   (d

5e
6) × (6de

2)3

IMBAS KEMBALI

am × an = am + n

am ÷ an = am – n

(am)n = amn

K U I Z
mm = 256.
Berapakah nilai m?

SUDUT DISKUSI

Mengapakah 1n = 1
bagi semua nilai n?
Bincangkan.
1
B

A
B

Saiz sebenar

14

Cetusan Minda

Menentusahkan a0 = 1
dan a–n = –– ; a ≠ 0.

1  Bagaimanakah anda menentusahkan a–n = ––– ?
   an

Cetusan Minda 4

5

Tujuan: Menentukan nilai bagi nombor atau sebutan algebra yang
mempunyai indeks sifar.

Langkah:
1. Teliti dan lengkapkan jadual di bawah.
2. Bincang dalam kumpulan berkaitan hasil dapatan anda.

Pembahagian dalam
bentuk indeks

Penyelesaian Kesimpulan
daripada

penyelesaianHukum indeks Pendaraban berulang

(a) 23 ÷ 23  23 – 3 = 20  2 × 2 × 2———–– = 1 2 × 2 × 2 20 = 1

(d) m5 ÷ m5  m5 – 5 = m0  m × m × m × m × m———————––– = 1 m × m × m × m × m m0 = 1

(c) 54 ÷ 54

(d) (–7)2 ÷ (–7)2

(e) n6 ÷ n6

Hasil daripada Cetusan Minda 4, didapati bahawa;

Iaitu suatu nombor atau sebutan algebra yang mempunyai indeks sifar akan memberi nilai 1.

Secara generalisasi,      a0 = 1 ; a ≠ 0

1
an

1       Bagaimanakah anda menentusahkan a0 = 1 dan a–n = — ; a ≠ 0?
  an

Perbincangan:
1. Adakah dapatan kumpulan anda sama dengan kumpulan lain?
2. Apakah kesimpulan anda berkaitan indeks sifar?

1Tujuan: Menentusahkan a–n = —.
     an

Langkah:
1. Teliti dan lengkapkan jadual di sebelah.

20 = 1
m0 = 1

STANDARD
PEMBELAJARAN

Berkumpulan

Berkumpulan
1
B

A
B

Bab 1  Indeks

Saiz sebenar

15

Bab 1  Indeks

PERINGATAN

TIP

BULETIN

Pembahagian
dalam bentuk

indeks

Penyelesaian Kesimpulan
daripada

penyelesaianHukum indeks Pendaraban berulang

(a) 23 ÷ 25 23 – 5 = 2–2         2 × 2 × 2               1        1—————–––– = –––– = –– 2 × 2 × 2 × 2 × 2     2 × 2     22
        12 –2 = ––

2
2

(b) m2 ÷ m5 m2 – 5 = m–3              m × m                        1             1–––——————— = ——––––– = –– m × m × m × m × m      m × m × m     m3
           1m –3 = –––
          m

3

(c) 32 ÷ 36

(d) (– 4)3 ÷ (– 4)7

(e) p4 ÷ p8

Hasil daripada Cetusan Minda 5, didapati bahawa;

Secara generalisasi,
Indeks negatif ialah suatu
nombor atau sebutan
algebra yang mempunyai
indeks bernilai negatif.

1♦ a–n =   ––
    an

1♦ an  =   –––
      a–n

a   b♦ (––)–n
 = (––)n

b   a

1. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks positif.
        1 (a) a –2 (b) x – 4 (c) –––
        8–5

1      3  (d) ––– (e) 2m –3 (f) — n – 8

y
–9     5

Contoh  11

Perbincangan:
1. Adakah dapatan anda sama dengan kumpulan lain?
2. Apakah kesimpulan anda?

2   x  (g) (––)–10
 (h) (––)–7

3   y

2. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks negatif.
   1   1 (a) — (b) — (c) 75
  34  m5

4   m  (d) n20 (e) (––)8
 (f) (––)15

5   n

3. Permudahkan setiap yang berikut.
     (24)2 × (35)3  (4xy2)2 × x5y (a) 32 × 34 ÷ 38 (b) ————— (c) —————

(28 × 36)2   (2x3y)5

12a –n   ≠   —–                 2an

1a–n = –– ; a ≠ 0  an

12–2 = —
  22

1m–3 = —
  m3

4(– —)– 6
 = x y

9
Berapakah nilai x dan
nilai y?

BIJAK MINDA

Imbas QR Code atau layari
http://youto.be/or-mJ85J2i8
untuk menonton video
yang memerihal kaedah
alternatif untuk
menentusahkan a–1 = —.1

an
1
B

A
B

Saiz sebenar

16

Penyelesaian:
     1     1   1   1 1. (a) a–2 = –– (b) x – 4 = –– (c) ––– = 85 (d) ––– = y9
   a2      x4    8–5   y –9

2   3     3   2  3   x      y   (e) 2m–3 =  — (f)  — n– 8 = —– (g) (––)–10
= (––)10

(h) (––)–7
= (––)7

m
3   5     5n8   3  2   y      x

1    1    1     1  2. (a) — = 3– 4 (b) — = m–5 (c) 75 = — (d) n20 = —–
  34  m5     7–5     n–20

4 5   m  n  (e) (––)8
= (––)– 8

(f )  (––)15
= (––)–15

5 4   n  m

(24)2 × (35)3
3. (a) 32 × 34 ÷ 38 (b) —————
      (28 × 36)2

28 × 315                 =  ———–
       216 × 312

= 28 – 16 × 315 – 12

= 2– 8 × 33

33               = —
       28

TIP

Saiz sebenar

16

(4xy2)2 × x5y (c) —————
   (2x3y)5

42x2y4 × x5y1
   = —————
   25x15y5

16    = — x2 + 5 – 15 y4 + 1 – 5
   32
   1   = — x– 8 y0
   2
   1   = —–
   2x8

= 32 + 4 – 8

= 3–2

1= —
 32

y0 = 1

y1 = y

1.2f UJI  MINDA

1. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks positif.

(a) 5–3 (b) 8– 4 (c) x– 8  (d) y–16 (e) —–

1       2      3  (f) —–– (g) 3n– 4 (h) –5n– 6 (i)  — m–5 (j) (– —)m– 4
    20–2       7   8

2    3    x   2x   1  (k) (—)–12
 (l) (– —)–14

(m) (—)–10
 (n) (—–)– 4

(o)  (—)–5

5    7   y   3y   2x

2. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks negatif.

(a) — (b) — (c) — (d) — (e) 102

4   x  (f) (– 4)3 (g) m12 (h) n16 (i) ( —)9
 (j) (—)10

7   y
3. Permudahkan setiap yang berikut.

(42)3 × 45   (23 × 32)3   (52)5
 (a) ———– (b) ———–– (c) ———–––
   (46)2   (2 × 34)5  (23)–2 × (54)2

3m2n4 × (mn3)–2  (2m2n2)–3 × (3mn2)4   (4m2n4)2
 (d) ——————– (e) ——————–––– (f)  ——————–––
   9m3n5   (9m3n)2  (2m–2n)5 × (3m4n)2

1
a– 4

1
54

1
83

1
m7

1
n9
1
B

A
B

Bab 1  IndeksBab 1  Indeks

Saiz sebenar

17

BULETIN

STANDARD
PEMBELAJARAN

Saiz sebenar

17

Bagaimanakah anda menentu dan menyatakan hubungan
antara indeks pecahan dengan punca kuasa dan kuasa?

Hubungan antara n√a dengan a—

Di Tingkatan 1, anda telah belajar tentang kuasa dua dan punca kuasa dua
serta kuasa tiga dan punca kuasa tiga. Tentukan nilai x bagi

(a) x2 = 9 (b) x3 = 64

Penyelesaian:

(a) x2 = 9 (b) x3 = 64

√x2	=	√32  3√x3 = 3√43

x  = 3      x  = 4

Menentu dan menyatakan
hubungan antara indeks
pecahan dengan punca
kuasa dan kuasa.

1
n

Punca kuasa tiga
digunakan untuk
penghapusan kuasa tiga.

♦ 9 = 32        ♦ 64 = 43

Tahukah anda, nilai bagi x dalam contoh (a) dan (b) di atas boleh ditentukan dengan indeks yang
dikuasakan dengan nilai salingannya?

(a) x2 = 9 (b) x3 = 64

x2    = 9  x3      = 64

x1 = 32     x1  = 43

x  = 3      x  = 4

1(—)2
1(—)3

1(—)3

1(—)3

1—2

1(—)2

Salingan bagi 2
ialah

Salingan bagi
3 ialah

1—
2

1—
3

1—n1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a  .

(a) 2√36	 (b)	 3√–27	 (c)	 5√m (d) 7√n

2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk n√a .

(a) 125 (b) 256 (c) (–1 000) (d) n

3. Hitung nilai setiap sebutan berikut.

(a) 5√–32	 (b)	 6√729	 (c)	 512	 (d)	 (–243)

Penyelesaian:

1. (a) 2√36 = 36 (b) 3√–27	=	(–	27)	 (c)	 5√m = m (d) 7√n  = n

2. (a) 125  = 5√125 (b) 256  = 8√256 (c) (–1 000)  = 3√(–1 000) (d) n   = 12√n

Contoh  12

1—5
1—3

1—3

1—8

1— 3
1—5

1—12

Daripada dua kaedah penyelesaian bagi menentukan nilai x pada
contoh di atas didapati bahawa;

1—5
1–8

1—
12

1—2
1—3

1—
5

1—
7

Punca kuasa dua
digunakan untuk
penghapusan kuasa dua.

— merupakan salingan

untuk a.

1
a

Secara generalisasi,   n√a = a– ; a ≠ 0

2√x = x–

3√x = x–

1
2

1
n

1
3

Apakah penyelesaian
untuk √– 4 ? Bincangkan.

TIP

BIJAK MINDA

.

.
1
B

A
B

Saiz sebenar

18

Saiz sebenar

18

TIP

3. (a) 5√–32 = (–32) (b) 6√729 = 729

= (–2)5   = 36

= (–2)1   = 31

= –2   = 3

1—5
1—6

1(—)5

1(–)3
1(—)5

1(—)6

1–3
1—5

1.2g UJI  MINDA

1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a–.

(a) 3√125 (b) 7√2 187 (c) 5√–1 024 (d)  10√n

2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk n√a.

(a) 4— (b) 32— (c) (–729)— (d) n––

3. Hitung nilai setiap sebutan berikut.

(a) 3√343 (b) 5√–7 776 (c) 262 144— (d) (–32 768)—

1
n

1
2

1
3

1
5

1
15

1
5

1
6

m
n

Anda boleh
menggunakan
kalkulator saintifik untuk
menyemak jawapan.

1
n

1
n

1
n

Apakah hubungan antara a— dengan (am)—, (a—)m, n√am dan (n√a)m?

Anda telah pelajari bahawa;

amn = (am)n dan n√a1 = a—

Daripada dua hukum di atas, kita boleh menukarkan a— kepada (am)—, (a—)m, n√am dan (n√a)m.
Hitung nilai setiap yang berikut. Lengkapkan jadual seperti contoh (a).

m
n

1
n

1
n

(c) 512  = 83

= 81

= 8

(d) (–243)  = (–3)5

= (–3)1

= –3

a— (am)— (a—)m n√am (n√a)m

(a) 64—  (642)—
 = 4 096
 = 163
 = 16

(64—)2
 = 43     (2)

= 42

= 16

3√642

= 3√4 096
 = 16

(3√64)2

= 42

= 16

(b) 16—

(c) 243—

m
n

2
3

3
4

1
3

1
3

2
5

1
n

1
n

1(—)3
1(—)3

1(—)3

Adakah jawapan anda untuk contoh (b) dan (c) sama dengan menggunakan kaedah yang berlainan?
Bincangkan.

Daripada aktiviti di atas, didapati bahawa;

a— = (am)—   = (a —)m

a— = n√am     = (n√a)m

m
n

m
n

1
n

1
n
1
B

A
B

Bab 1  IndeksBab 1  Indeks

Saiz sebenar

19

Saiz sebenar

19

1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk (am)– dan (a–)m.

(a) 81 — (b) 27—   (c) h—
2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk n√am dan (n√a)m.

(a) 343— (b) 4 096— (c) m—

Penyelesaian:

1. (a) 81 — = (813)— (b) 27— = (272)— (c) h— = (h3)—

81 — = (81—)3  27— = (27—)2  h— = (h—)3

2. (a) 343— = 3√3432 (b) 4 096— = 6√4	0965 (c) m— = 5√m2

343— = (3√343)2  4 096— = (6√	4 096)5  m— = (5√m)2

1. Hitung nilai setiap sebutan berikut.

(a) 9—   (b) 16—

Penyelesaian:

1. (a) 9—   (b) 16—

9— = (√9)5 = (3)5 = 243    16— = (4√16)5 = 25 = 32

9— = √95 = √59 049 = 243    16— = 4√165 = 4√1 048 576 = 32

Contoh  13

Contoh  14

1
n

1
n

3
2

3
2

3
2

1
2

1
2

1
3

1
3

3
5

3
5

3
5

1
5

1
5

2
3

2
3

2
3

2
3

2
3

2
3

5
6

2
5

2
5

2
5

5
6

5
6

1.2h UJI  MINDA

1. Lengkapkan jadual di bawah.

a— 729— 121— w— x— (—)— (—)—

(am)—

(a—)m

n√ am

(n√ a )m

16
81

h
k

3
4

2
3

5
6

m
n

1
n

1
n

3
2

3
7

2
5

5
2

5
2

5
4

5
4

5
2

5
2

5
4

5
4

Kaedah 1Kaedah 1

Kaedah 2Kaedah 2
1
B

A
B

Saiz sebenar

20

Saiz sebenar

20

STANDARD
PEMBELAJARAN

1. Permudahkan setiap yang berikut.
  (–3x)3 × (2x3y– 4)2  √m n— × (mn3)—
 (a) ——————––– (b)  ——————––
   108x4 y3

(m–1	√n3)—

Penyelesaian:

(–3x)3 × (2x3y– 4)2  √m n— × (mn3)—
 (a) ——————––– (b)  ——————––
   108x4 y3

(m–1	√n3)—

(–3)3x3 × 22x3(2)y– 4(2)  m— n—× m—n3 —
  =  ——————–—–– = ——————––
        108x4 y3

m–1   n—

–27x3× 4x6y–8            =  ——————
    108x4 y3

–27 × 4            = ( ———) x3 + 6 – 4 y – 8 – 3
   108
  = –1 x5  y–11

x5
  = – —–
   y11

1.2i UJI  MINDA

1. Hitung nilai setiap yang berikut.
 (a)  27— (b) 32— (c) 128—   (d) 256—
  (e)  64—     (f)  1 024— (g)  1 296—             (h) 49—

(i)  2 401—       (j) 121— (k) 2 197—                   (l) 10 000—

2. Lengkapkan rajah berikut dengan nilai yang betul.

(a)    (b)

2
5

3
2

3
2

3
4

2
3

2
5

2
7

3
8

4
3

1
4

3
4
2
3

Bagaimanakah anda melaksanakan operasi yang
melibatkan hukum indeks?

Melaksanakan operasi yang
melibatkan hukum indeks.

Contoh  15

1
4

1
6

1
6

1
3

1
3

1
3

1
3

1
3

3
2

3
2

1
6

3
4

3
2

1
3

3
4

1
2

1
6

1
4

1
2

1
2

1
4

3
4

3
4

3
4

1
3

1(–)6
1(–)6

(      )

(     )

= m— + — – – – n— + 1 – —

= m1 n—

= mn—

m— n— × m— n1
= ——————–
   m– — n—

Hukum Indeks
am × an = am + n

am ÷ an = am – n

(am)n = amn

a0 = 1

a–n = —

a–– = n√a
a–– = am(—) = (a—)m

a–– = n√am = (n√a)m

1
n

1
n

1
n

m
n
m
n

(2h)2 × (16h8)—
(c) ——————–
  (8—h)–2

1
4

1
4

1
4

1
4

1
4

1
3

1
3

1(–)3

(2h)2 × (16h8)—
(c) ——————–
  (8—h)–2

22h2 × 16—h8(—)
 =  ——————–
  8—(–2)h(–2)

22h2 × 24(—)h8(—)
 = ——————–
   23      (–2)h(–2)

22h2 × 21h2
 = ————–
  2–2 h–2

= 22 + 1 – (–2) h2 + 2 – (–2)

= 25 h6

= 32 h6

27
�

625
�

3� 5� 125�

9�

81�
243� 3 125�

�√6 561�

�√15 625�

—
3

—
4

4—

25�
3—

3—
81 125

1
an
1
B

A
B

Bab 1  IndeksBab 1  Indeks

Saiz sebenar

21

Saiz sebenar

21

1
33

1
27

1(   )2
1(   )2

3(    )4
    1(       )    4

23

Penyelesaian:

1.2j UJI  MINDA

1. Permudahkan setiap yang berikut.
   3√c2d 3e × c—d 2e—   (mn2)3 × (√mn)4  √25x3yz2 × 4x2z (a) ———————– (b) ——————– (c) ——————–
   (c–3d

2e)2   (m6n3)—   √36x5yz8

2. Hitung nilai setiap yang berikut.
   √7– 4 × 114   (5–3 × 36)— × 4√16          (26 × 34 × 52)—
 (a) ———— (b) ———————––  (c) —————————
   49 × 121   (125 × 729 × 64)– —   4√256 × √729 × 3√125

1
3

2
3

1
3

1
2

1
3

3
4

1
4

3
4

1
3

2
3

3
2

1
5

2
3

Contoh  16

3
41

2

1
2

1
3

1
3

1
4

4
5

3
2

1
2

16— × 81– —    (243— × 5—)2
(b) —————– (c)  —————–
   (26 × 34)— 4√81	×	√254

1. Hitung nilai setiap yang berikut.

49— × 125– —
 (a)  ———————–
        4√2 401 × 5√3 125

3
4

1
4

4
5

3
2

1
2

16— × 81– —  (243— × 5—)2
(b) —————– (c)  —————
    (26 × 34)— 4√81	×	√254

49— × 125– —
 (a)  ———————
        4√2 401 × 5√3 125

72(—) × 53(– —)
=  ——————–
  (74)— × (55)—

71 × 5–1
= ———–
   71 × 51

= 71–1 × 5–1 –1

= 70 × 5–2

1= 1 × —
 52

1= —
 25

1
2

1
4

1
5

1
3      243— (2) × 5— (2)

= ————––––––
      81—  × 25—

35 — × 53
= ————––
    34 —  × 52 —

8(    )5

1(    )4
4(    )2

4
5

1
4

4
2

3
2

38 × 53  = ———
   31 × 54

= 38 – 1 × 53 – 4

= 37 × 5–1

37  = —
   5
     2 187  = ——–

5
    2  = 437 —    5

9√512 × 3√343 × √121   (24 × 36)— × 3√8	×	√81  64— × 3√125 × (2 × —)–3
 (d) ————————––––––  (e) ———————–—–  (f) —————————–
   (64)— × (81)— × (14 641)—   16— × 27—        42 × 4√625

24 —  × 34 – — = —————––
            26  — × 34 —

23 × 3–1  = ———–
   23 × 32

= 23 – 3 × 3–1 – 2

= 20 × 3–3

= 1 × —

= —

3. Diberi bahawa m = 2 dan n = –3. Hitung nilai bagi 64— × 512(– —) ÷ 81— .

4. Diberi bahawa a = — dan b = —. Hitung nilai bagi 144a ÷ 64b × 256— .

m
3

1
n

a
b2

3
1
2

n
2m

1
3
1
B

A
B

Saiz sebenar

22

Saiz sebenar

22

STANDARD
PEMBELAJARAN

PERINGATAN

IMBAS KEMBALI

Contoh  18

Membuat kesimpulan
Jika 3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1,
maka, x = –2

Melaksanakan strategi

3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1
 3x × 32(x + 5) ÷ 34 = 30

3x + 2(x + 5) – 4 = 30

3x + 2x + 10 – 4 = 30

33x + 6 = 30

Hitung nilai x bagi persamaan 3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1.

♦  Jika am = an
 maka, m = n

♦  Jika am = bm

maka, a = b

Merancang strategi

Soalan ini merupakan satu
persamaan. Maka, nilai di kiri
persamaan akan sama dengan
nilai di kanan persamaan.
Tukarkan semua sebutan
kepada bentuk indeks dengan
asas 3.

Anda boleh semak
jawapan dengan
menggantikan nilai x ke
dalam persamaan asal.

3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1

Gantikan x = –2
pada bahagian kiri
persamaan

3–2 × 9–2 + 5 ÷ 34

= 3–2 × 93 ÷ 34

= 3–2 × 32(3) ÷ 34

= 3–2 + 6 – 4

= 30

= 1

Kiri                Kanan

Semak Jawapan

3x + 6 = 0
 3x = – 6
   – 6   x = —–   3
   x = –2

Melaksanakan strategi

√3	×	12— ÷ 6
= 3— × (2 × 2 × 3)— ÷ (2 × 3)
= 3— × 2— × 2— × 3— ÷ (21 × 31)
= 3— + — – 1 × 2— + — – 1

= 31 × 22

= 12

3
2

1
2
1
2

1
2

3
2

3
2

3
2

3
2

3
2

3
2

3
2

Contoh  17 Faktor perdana sepunya
6 dan 12 ialah 2 dan 3.

Hitung	nilai	bagi	√3	×	12— ÷ 6 tanpa menggunakan kalkulator.
3
2

Memahami masalah

Menghitung nilai bagi
nombor dalam bentuk
indeks yang diberi dalam
asas yang berlainan.

3
2

Membuat kesimpulan

√3	×	12— ÷ 6 = 12

Merancang strategi

Tukar setiap asas kepada
faktor perdana dan hitung
nilai dengan mengaplikasi
hukum indeks.

Nilai yang
sama dengan
bahagian kanan
persamaan.

Memahami masalah

Menghitung nilai
bagi pemboleh ubah
x yang merupakan
sebahagian daripada
indeks.

Bagaimanakah anda boleh menyelesaikan masalah yang
melibatkan hukum indeks?

Menyelesaikan masalah yang
melibatkan hukum indeks.

am = an
m = n
1
B

A
B

Bab 1  IndeksBab 1  Indeks

Saiz sebenar

23

Saiz sebenar

23

IMBAS KEMBALI

Kiri             Kanan

Semak Jawapan

Contoh  20

Contoh  19

Selesaikan persamaan serentak berikut.
   1 25m × 5n = 58 dan 2m × — = 2
   2n

Penyelesaian:
  25m × 5n = 58

52(m) × 5n = 58

52m + n = 58

2m + n = 8

Hitung nilai-nilai x yang mungkin bagi persamaan 3x2 × 32x = 315.

Persamaan  1  dan  2  boleh diselesaikan melalui kaedah penggantian.
Daripada      :
2m + n = 8
         n = 8 – 2m

Gantikan  3  ke dalam  2
 m – n = 1
 m – (8 – 2m) = 1
 m – 8 + 2m = 1
 m + 2m  = 1 + 8
 3m = 9
   9       m = —
   3
            m = 3

1

Persamaan linear
serentak dalam dua
pemboleh ubah boleh
diselesaikan dengan
kaedah peggantian atau
kaedah penghapusan.     1 2m × — = 2

2n

2m × 2–n = 21

2m + (–n) = 21

m – n = 1 2

1

Gantikan m = 3  ke dalam  1
 2m + n = 8
 2(3) + n = 8
 6 + n = 8
     n = 8 – 6
    n = 2

Maka, m = 3 dan n = 2.

Semak Jawapan

Kiri          Kanan

Melaksanakan strategi

3x2 × 32x = 315

3x2 + 2x = 315

x2 + 2x = 15
x2 + 2x – 15 = 0
(x – 3)(x + 5) = 0
 x – 3 = 0 atau x + 5 = 0
 x = 0 + 3 x = 0 – 5
 x = 3               x = –5

Memahami
masalah

Menghitung
nilai x yang
merupakan
sebahagian
daripada
indeks.

Membuat kesimpulan

Nilai-nilai x yang mungkin
bagi persamaan 3x2 × 32x= 315

ialah 3 dan –5.

Merancang
strategi

Semua asas
yang terlibat
dalam
persamaan
adalah sama.

Selesaikan
persamaan
kuadratik
dengan kaedah
pemfaktoran.

Sama

Sama

Gantikan nilai-nilai x ke
dalam persamaan asal.

3x2 × 32x = 315

Gantikan x = 3

Kiri: Kanan:

3(3)2 × 32(3) 315

= 39 × 36

= 39 + 6

= 315

Gantikan x = –5

Kiri: Kanan:

3(–5)2 × 32(–5) 315

= 325 × 3–10

= 325 + (–10)

= 315

Anda juga
boleh gantikan
m = 3 ke dalam
persamaan  2
atau  3  .

Jika am = an,
maka, m = n.

Gantikan m = 3 dan n = 2
ke dalam persamaan
serentak yang asal.

25m × 5n = 58

Kiri: Kanan:
25m × 5n 58

= 52(m) × 5n

= 52(3) × 52

= 56 + 2

= 58

12m × — = 2
  2

n

Kiri:  Kanan:
   12m × —    2
   2n

1= 23 × —
     2

2

= 23 × 2–2

= 23 + (–2)

= 21

= 2

Sama

Sama

Kiri          Kanan

3
1
B

A
B

Saiz sebenar

24

Saiz sebenar

24

Chong dan Navin menjalankan dua uji kaji untuk menentukan hubungan antara pemboleh ubah
x dan y. Persamaan yang diperoleh oleh Chong ialah 16(4x) = 16 y, sementara Navin mendapat
3(9x) = 27y sebagai dapatan uji kaji yang dijalankan. Hitung nilai x dan nilai y yang dapat memuaskan
kedua-dua uji kaji yang telah dijalankan oleh Chong dan Navin.

Penyelesaian:

16(4x) = 16y

42(4x) = 42(y)

42 + x = 42y

2 + x = 2y

Persamaan  1  dan  2  boleh diselesaikan dengan
kaedah penghapusan.

1 × 2  : 4 + 2x = 4y
 2  : 1 + 2x = 3y
 3  –   2  :
 3 + 0 = y
        y = 3

Uji Diri
1. Nyatakan sama ada operasi yang melibatkan hukum indeks berikut benar atau palsu. Jika

palsu, nyatakan jawapan yang betul.

(a) a5 = a × a × a × a × a (b) 52 = 10 (c) 30 = 0

(d) (2x3)5 = 2x15 (e) m0n0 = 1 (f) 2a– 4 = —–

(g) 32— = (2√32)5 (h) (—)– 4
= (—)4

(i) (5m—)– 4 = —–

Cabaran Dinamis

Contoh  21

3

3(9x) = 27y

3(32x) = 33(y)

31 + 2x = 33y

1 + 2x = 3y1 2

Gantikan y = 3 dalam persamaan  1

1   :  2 + x = 2y
  2 + x = 2(3)
        x = 6 – 2
        x = 4

Maka, x = 4, y = 3

Darabkan persamaan  1
dengan 2 untuk
menyamakan nilai pekali
pemboleh ubah x.

Anda juga boleh
gantikan y = 3
dalam persamaan  2
atau  3  .

1
2a4

625
m

2
5 m

n
n
m

1
4

Saya dapat persamaan
16(4x) = 16 y.

Persamaan
saya ialah
3(9x) = 27y.

Nilai pemboleh ubah x dan
y boleh ditentukan jika anda
dapat menyelesaikan kedua-dua
persamaan tersebut.
1
B

A
B

Bab 1  IndeksBab 1  Indeks

Saiz sebenar

25

Saiz sebenar

25

2. Salin dan lengkapkan rajah di bawah dengan nilai yang sesuai.

3. Salin dan lengkapkan rajah di bawah.

59

5□ × 55

1(—)□ 5

1(—)3

5□

1—
5□

56 × 5□——––
 52

512 ÷ 5□

(√25)□

(□√125)□(5□)—32

53(□)

as as as

Operasi yang
melibatkan
hukum indeks

Nilai

20
1–—3– 4

3(—)–2

5 72 × 5–3 (5–1 × √25)3
as

Mahir Diri

1. Ringkaskan setiap yang berikut.
     1 (a) (mn4)3 ÷ m4n5 (b) 3x × — y4 × (xy)3  (c)	 √xy × 3√xy2 × 6√xy5
     6

2. Hitung nilai setiap yang berikut.

(a) 64— × 5–3 (b) 7–1 × 125— (c) (256)— × 2–3

(d) 24 × 16– — (e) √49 × 3–2 ÷ (√81)–1 (f) (125)— × (25)– — ÷ (625)– —

3. Hitung nilai x bagi setiap persamaan berikut.

(a) 26 ÷ 2x = 8 (b) 3– 4 × 81 = 3x  (c) axa8 = 1

(d) 4 × 8x + 1 = 22x (e) (ax)2 × a5 = a3x  (f) 2x = —–

 (g) 36 ÷ 3x = 81(x – 1) (h) (m2)x × m(x + 1) = m–2 (i) 25x ÷ 125 = —

1
3

2
3

3
4

3
8

2
3

3
2

1
4

210

16x

1
5x
1
B

A
B

Saiz sebenar

26

Saiz sebenar

26

Masteri Kendiri

1. Hitung nilai setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 4— × 50— × 10— (b)  5— × 20— ÷ 10–2  (c) 60— × 125— ÷ √15

2. Hitung nilai x bagi setiap persamaan berikut.
       27       5    (a) 64x — = 27x– — (b) 3x— = — x– —  (c) 25x– — – — x— = 0
      4       3
3. Hitung nilai-nilai x yang mungkin bagi setiap persamaan berikut.

(a) ax2 ÷ a5x = a6 (b) 2x2 × 26x = 27  (c) 5x2 ÷ 53x = 625

4. Selesaikan persamaan serentak berikut.

(a) 81(x + 1) × 9x = 35 dan 82x × 4(22y) = 128 (b) 4(4x) = 8y + 2 dan 9x × 27y = 1

5. Dalam satu eksperimen yang dijalankan oleh Susan,
didapati	 suhu	 sejenis	 logam	meningkat	 daripada	 25˚C
kepada	 T˚C	 mengikut	 persamaan	 T = 25(1.2)m apabila
logam tersebut dipanaskan selama m saat. Hitung beza
suhu di antara saat kelima dengan saat keenam, dalam
darjah Celsius terdekat.

6. Encik Azmi membeli sebuah kereta buatan tempatan
dengan harga RM55 000. Selepas 6 tahun Encik Azmi
ingin menjual kereta tersebut. Berdasarkan penerangan
pihak pembeli kereta terpakai, harga kereta Encik Azmi

akan dihitung dengan formula RM55 000 (—)n
. Dalam

situasi ini, n ialah bilangan tahun yang dihitung selepas
sebuah kereta dibeli. Berapakah nilai pasaran kereta Encik
Azmi? Nyatakan jawapan anda dalam RM yang terdekat.

7. Puan Kiran Kaur menyimpan RM50 000 pada 1 Mac
2019 di sebuah bank tempatan dengan faedah 3.5%
setahun. Selepas t tahun, jumlah simpanan Puan Kiran
Kaur dalam RM ialah 50 000 (1.035)t. Hitung jumlah
simpanan pada 1 Mac 2025, jika Puan Kiran Kaur tidak
pernah mengeluarkan wang simpanannya.

1
3

2
3

5
3

5
2

2
3

4
3

2
3

1
2

5
2

1
2

2
3

3
2

8
9

RM55 000

1
3
1
B

A
B

Bab 1  IndeksBab 1  Indeks

Saiz sebenar

27

Saiz sebenar

27

Bahan: Kertas A4, gunting, pembaris panjang, pensel.

Arahan: (a) Lakukan projek ini dalam kumpulan kecil.
  (b)  Gunting kertas A4 untuk menghasilkan kertas berbentuk segi empat sama.

(Sebesar yang mungkin)
Langkah:

1. Lukis paksi simetri (menegak dan mengufuk sahaja) seperti Rajah 1.

2. Hitung bilangan segi empat sama yang terbentuk. Tuliskan jawapan anda di dalam
ruangan yang disediakan pada Lembaran A.

3. Lukis paksi simetri menegak dan mengufuk bagi setiap segi empat sama seperti Rajah 2.

4. Hitung bilangan segi empat sama yang terbentuk. Tuliskan jawapan anda di dalam
Lembaran A.

5. Ulangi langkah 3 dan langkah 4 sebanyak yang mungkin.

Rajah 1 Rajah 2

6. Bandingkan dapatan anda dengan kumpulan lain.

7. Apakah yang anda boleh nyatakan tentang pola pada ruangan
 ‘bentuk indeks’ dari Lembaran A?

8. Bincang pola yang anda kenal pasti.

1 1 8

2

2

3

4 5

6

7

Lembaran A

Bilangan paksi
simetri

Bentuk indeks Bilangan segi
empat sama

Bentuk indeks

0 – 1 20

2 21 4 22

8 16

KP R O J E

Imbas QR Code atau
layari http://yakin-pelajar.
com/Bab%201/lemba-
ran%20A/Bab%201%20
lembaran%20A.pdf
untuk memuat turun
Lembaran A.
1
B

A
B

Saiz sebenar

28

Saiz sebenar

28

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Mewakilkan pendaraban berulang dalam bentuk indeks dan menghuraikan maksudnya.

2. Menukar suatu nombor kepada nombor dalam bentuk indeks dan sebaliknya.

3.  Menghubung kait pendaraban nombor dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
sama dengan pendaraban berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.

4.  Menghubung kait pembahagian nombor dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
sama dengan pendaraban berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.

5.  Menghubung kait nombor dalam bentuk indeks yang dikuasakan dengan pendaraban
berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.

6. Menentusahkan a0 = 1 dan a–n  = — ; a	≠	0.

7.  Menentu dan menyatakan hubungan antara indeks pecahan dengan punca kuasa dan kuasa.

8. Melaksanakan operasi yang melibatkan hukum indeks.

9. Menyelesaikan masalah yang melibatkan hukum indeks.

1
an

IMBAS KENDIRI

Indeks negatifIndeks pecahan
 1a–n =  — ; a ≠ 0
 an

15–3 = —
 53

a — = n√a
a— = (am)— = (a—)m

a— = n√am = (n√a)m

8– = 3√8
8– = (82)– = (8–)2

8– = 3√82 = (3√8)2

1
3

1
3

1
3

2
3
2
3

KuasaPendaraban
am × an = am + n

23 × 25 = 23 + 5

(am)n = amn

(34)2= 38

(am × an)p = amp × anp

(3a4)3 = 27a12

an = a × a × a × … × a

n faktor
54 = 5 × 5 × 5 × 5

m × m × m × m × m = m5
an Indeks

Asas

1
n

1
n

1
n

m
n
m
n

Indeks

PETA KONSEP

Pembahagian
am ÷ an = am – n

36 ÷ 34 = 36 – 4

Indeks sifar

a0 = 1 ; a ≠ 0

20 = 1
m0 = 1
1
B

A
B

Bab 1  IndeksBab 1  Indeks

Saiz sebenar

29

Saiz sebenar

29

Adakah anda masih ingat tentang Segi Tiga Pascal yang dipelajari dalam bab Pola dan Jujukan
di Tingkatan 2?

Segi Tiga Pascal yang dicipta oleh Blaise Pascal, seorang ahli matematik Perancis mempunyai
banyak keunikan. Mari kita jelajah dua keunikan yang terdapat dalam Segi Tiga Pascal.

Aktiviti 1

Arahan:
1. Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.
2. Bina satu Segi Tiga Pascal seperti di Lembaran 1.
3. Hitung hasil tambah nombor-nombor pada setiap baris. Tuliskan hasil tambah tersebut

dalam tatatanda indeks dengan asas 2.
4. Lengkapkan Lembaran 1(a). Bincang dengan rakan anda tentang pola jawapan yang wujud.
5. Kemukakan ulasan anda.

Aktiviti 2

Arahan:
1. Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan kecil.
2. Bina satu Segi Tiga Pascal seperti di Lembaran 2.

3. Perhatikan nombor pada setiap baris. Ia merupakan nilai indeks asas 11.
4. Lengkapkan lembaran 2(a) dengan nilai indeks asas 11 tanpa menggunakan kalkulator.
5. Bentang hasil dapatan kumpulan anda.
6. Adakah jawapan anda sama dengan kumpulan lain?

11n Nilai
110 1
111 11
112 121
113 1 331
114

115

116

117

118

119

1110

1

1 2 1
3 3 11

64 4 11
1010 1551

20 15156 6 11
35 35 21217 7 11

708 28 285656 8 11
9 36 368484 126 126 9 11

10 45 45120120 210 210 10252 11

1 1

Hasil
tambah

Bentuk
 indeks

1 20

2 21

4 22

1

1 2 1
3 3 11

64 4 11
1010 1551

20 15156 6 11
35 35 21217 7 11

708 28 285656 8 11
9 36 368484 126 126 9 11

10 45 45120120 210 210 10252 11

1 1

Lembaran 1

Lembaran 2

JELAJAH MATEMATIK

TIP
115 = 161 051

1 5 10 10 5 1

1 6 1 0 5 1

+1 +1—
11

Lembaran 1(a)

Lembaran 2(a)
Apakah yang akan anda pelajari?

Saiz sebenar

30

Bentuk Piawai
2

BAB
2

BAB

Jarak di angkasa lepas, misalnya jarak di antara
dua bintang di cakerawala, diukur dengan unit

tahun cahaya. Tahun cahaya ialah jarak yang dilalui
cahaya dalam satu tahun. Satu tahun cahaya
adalah sama dengan 9 500 000 000 000 km
iaitu 9.5 juta kilometer. Unit kecil seperti nano
meter digunakan untuk jarak yang menghampiri
9.5 juta kilometer. Tahukah anda, 1 nano meter
bersamaan dengan 0.000 000 001 meter?

Apakah yang akan anda pelajari?

2.1  Angka Bererti

2.2 Bentuk Piawai

•	 Dalam	maklumat	saintifik,	nombor	yang	sangat
 besar atau sangat kecil nilainya sering digunakan.
 Misalnya, dalam astronomi, jarak di antara dua
 bintang biasanya berjuta-juta kilometer manakala
 dalam kajian jirim, jarak di antara atom amat kecil.
•	 Penulisan	 nombor	 dalam	 bentuk	 piawai
 digunakan secara meluas dalam bidang kajian
 saintifik, kejuruteraan, astronomi dan sebagainya.

Kenapa Belajar Bab Ini?
K A ATG E R B A N G

Eksplorasi ZamanEksplorasi Zaman

•	 anggaran		 •	 estimation

•	 angka	bererti	 •	 significant figure

•	 bentuk	piawai		 •	 standard form

•	 kejituan	 •	 accuracy

•	 nombor	tunggal	 •	 single number

•	 pembundaran	 •	 round off

•	 penghampiran		 •	 approximation

Orang Yunani pada zaman purba menggunakan
satu sistem berasaskan myriad iaitu sepuluh
ribu. Satu myriad sama dengan seratus ribu.

Archimedes (287 SM – 212 SM) membentuk
satu sistem nombor besar sehingga 108 × 1016.

Saiz sebenar

31

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%202/
2
B

A
B

Saiz sebenar

32

Cetusan Minda

Apakah maksud angka bererti dan bagaimanakah anda
boleh menentukan bilangan angka bererti suatu nombor?

Dalam kehidupan seharian, kita menggunakan ukuran dalam pelbagai
situasi. Jenis-jenis ukuran yang sering digunakan adalah seperti panjang,
jarak, jisim, suhu, luas, kelajuan dan sebagainya.

2.1    Angka Bererti

Menerangkan maksud
angka bererti dan
seterusnya menentukan
bilangan angka bererti
suatu nombor.

1
Tujuan: Mengenal pasti kepentingan membuat anggaran dan penghampiran dalam kehidupan

seharian.
Langkah:
1. Baca dan fahami situasi-situasi berikut.
 Situasi 1
 Hashim tertarik dengan sehelai kemeja yang dijual dengan diskaun 50%

di sebuah pasar raya. Harga asal kemeja itu ialah RM47.90. Hashim
menganggarkan harga kemeja tersebut selepas diskaun dan membawanya ke
kaunter bayaran. Juruwang memberitahu harga kemeja itu ialah RM28.70.
Hashim memberitahu juruwang tersebut bahawa anggaran harga kemeja
itu adalah tidak melebihi RM25. Adakah pernyataan Hashim benar?

Situasi 2
 Puan Tan ingin membeli 30 meter kain yang berharga RM5.85 semeter untuk menjahit

langsir. Beliau membuat anggaran jumlah harga kain itu dan menyediakan RM180.
Adakah jumlah wang yang disediakan oleh Puan Tan mencukupi?

Perbincangan:
1.  Dalam kedua-dua situasi di atas, bagaimanakah Hashim dan Puan Tan dapat membuat

anggaran jumlah bayaran?
2.   Bincang dengan rakan anda tentang kepentingan membuat anggaran dan penghampiran.
3.   Nyatakan dua situasi lain yang memerlukan anda membuat anggaran dan penghampiran.

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

Penghampiran suatu nilai kepada angka bererti tertentu membolehkan kita
membuat anggaran dengan tepat.

Anggaran suatu ukuran boleh dibuat dengan
menggunakan penghampiran. Misalnya jarak di antara bumi
dengan bulan ialah 384 400 km. Nilai jarak ini merupakan
satu anggaran yang dihitung dengan menggunakan kaedah
tertentu dan diberi dalam bentuk penghampiran.

Darjah penghampiran suatu ukuran kepada nilai sebenar menunjukkan tahap ketepatan atau
kejituan ukuran tersebut. Kemahiran membuat anggaran dan penghampiran boleh membantu anda
dalam pelbagai situasi harian.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Berpasangan

384 400 km

Bumi
Bulan

DISKAUN

50%
2
B

A
B

Saiz sebenar

33

Bab 2  Bentuk Piawai

Cetusan Minda 2
Tujuan: Mengenal pasti kesan kedudukan digit sifar dalam integer dan perpuluhan.

Langkah:
1. Perhatikan kad-kad integer di bawah.

3 210

Kad 1

3.210

Kad 9

3 021

Kad 3

3.021

Kad 7

3.21000

Kad 11

3 201

Kad 2

3.201

Kad 6

3.2100

Kad 10

0 321

Kad 4

0.321

Kad 8

3.210000

Kad 12

Adakah kedudukan digit sifar memberi kesan kepada nilai digit 3?
2. Perhatikan kad-kad perpuluhan di bawah.

Adakah kedudukan digit sifar memberi kesan kepada nilai digit 3?
3. Perhatikan kad-kad perpuluhan di bawah.

Adakah bilangan digit sifar memberi kesan kepada nilai digit 2?
4. Bincang bersama rakan anda, tentang kesan kedudukan digit sifar kepada nilai digit bagi

digit 3 pada kad 1 hingga kad 8 dan kesan penambahan digit sifar terhadap nilai digit bagi
digit 2 pada kad 9 hingga kad 12.

5. Bentangkan hasil dapatan anda. Bandingkan hasil dapatan anda dengan kumpulan lain.

Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda tentang kedudukan digit sifar dalam suatu integer atau perpuluhan?

3.210

Kad 5

Anda telah memahami kepentingan membuat anggaran bagi tujuan mendapatkan nilai yang
hampir kepada nilai tepat. Angka bererti digunakan untuk mendapatkan nilai penghampiran tersebut.
  Angka bererti suatu integer atau perpuluhan merujuk kepada digit-digit dalam nombor

tersebut yang dinyatakan tepat kepada suatu darjah ketepatan yang dikehendaki. Bilangan
angka bererti dihitung bermula daripada suatu digit bukan sifar.

Berpasangan

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa;

(a) Kad 1, Kad 2, Kad 3, Kad 5, Kad 6 dan Kad 7
    ●  Kedudukan digit sifar yang terletak di antara atau di bahagian

akhir nombor, mengekalkan nilai tempat digit 3.
  (b) Kad 4 dan Kad 8
   ●  Kedudukan digit sifar sebagai digit pertama telah mengubah

nilai tempat digit 3.
  (c)  Kad 9, Kad 10, Kad 11 dan Kad 12
   ●  Kedudukan digit sifar di bahagian akhir perpuluhan tidak

mengubah nilai tempat digit 2.

IMBAS KEMBALI

Bagi digit 9 dalam
nombor 5 9 2 7;
♦ Nilai tempat – ratus
♦ Nilai digit – 900
2
B

A
B

Saiz sebenar

34

TIP

TIP

Contoh   1

♦		Sifar	yang	berada	di
antara digit-digit bukan
sifar	ialah	angka	bererti.

Misalnya,
 (a) 60 007
  (5 angka bererti).
 (b) 50.0042
  (6 angka bererti).

♦  Bagi	suatu	perpuluhan,
semua digit sebelum

digit	bukan	sifar	bukan
angka bererti.

Misalnya,
 (a) 0.007
  (1 angka bererti).
 (b) 0.005020
  (4 angka bererti).

♦		Bagi	suatu	nombor	bulat,
sifar	yang	berada	di	hujung
nombor itu tidak dianggap
sebagai angka bererti
melainkan dinyatakan.
Misalnya,

(a) 8 750 = 8 800
  (Dibundarkan kepada
  2 angka bererti).
 (b) 8 750 = 9 000
  (Dibundarkan kepada
  1 angka bererti).

Bukan angka bererti:
Hanya digunakan untuk
menentukan nilai tempat
bagi digit 5.

0.0 050140 0

803 0 0 0

Angka bererti:
Digit sifar di antara atau di
bahagian akhir perpuluhan
ialah angka bererti.

Angka bererti.

(a) 2 763  (b) 5 008 (c) 7 409 (d) 15 000
(e) 0.7803 (f) 0.0809 (g) 12.051 (h) 1.2700
Penyelesaian:
(a) 2 763 [4 a.b.]

Digit sifar antara digit bukan sifar ialah angka bererti.

Angka	bererti	boleh
ditulis sebagai a.b.

Digit sifar antara digit bukan sifar ialah angka bererti.
Jika tahap kejituan ialah ribu terhampir.
Jika tahap kejituan ialah ratus terhampir.
Jika tahap kejituan ialah puluh terhampir.
Jika tahap kejituan ialah sa terhampir.

(b) 5 008 [4 a.b.]
(c) 7 409 [4 a.b.]
(d) (i) 15 000 [2 a.b.]
 (ii) 15 000 [3 a.b.]
 (iii) 15 000 [4 a.b.]
 (iv) 15 000 [5 a.b.]
(e) 0.7803 [4 a.b.]
(f) 0.0809 [3 a.b.]
(g) 12.051 [5 a.b.]
(h) 1.2700 [5 a.b.]

Digit sifar sebelum digit bukan sifar yang pertama ialah bukan
angka bererti.
Semua digit sifar selepas digit bukan sifar di akhir perpuluhan
ialah angka bererti.

UJI  MINDA 2.1a

1. Nyatakan bilangan angka bererti bagi nombor-nombor berikut.
 (a) 2 600 (b) 30 004 (c) 4 000 600     (d) 0.5003
 (e) 0.080 (f) 9.0070    (g) 0.002000 (h) 30.0002

Secara generalisasi,
	● Semua digit bukan sifar ialah angka bererti.
 ● Digit sifar antara digit bukan sifar ialah angka bererti.
 ●  Digit sifar di bahagian akhir suatu integer ialah angka bererti

mengikut tahap kejituan yang dikehendaki.
 ●  Digit sifar di bahagian akhir suatu perpuluhan ialah angka bererti

kerana menentukan tahap kejituan perpuluhan tersebut.
 ●  Digit sifar sebelum digit bukan sifar yang pertama bukan angka bererti.

Bagaimanakah anda menentukan bilangan angka bererti?

Perpuluhan

Integer

Angka bererti:
Semua digit bukan sifar ialah angka bererti.

Angka bererti mengikut tahap
kejituan yang dikehendaki.

Tentukan bilangan angka bererti bagi nombor-nombor berikut.
2
B

A
B

Saiz sebenar

35

Bab 2  Bentuk Piawai

TIP

STANDARD
PEMBELAJARAN

Membundarkan suatu
nombor kepada bilangan
angka bererti yang tertentu.

Contoh   2

Bundarkan setiap nombor yang berikut kepada 2 angka bererti.
(a) 63 479 (b) 2 476 (c) 6 953
Penyelesaian:
(a) 4 < 5, maka digit 3 tidak berubah.

4, 7 dan 9 terletak sebelum titik perpuluhan. Maka, gantikan 4, 7
dan 9 dengan sifar.

63 479

Maka, 63 479 = 63 000 (2 a.b.)

Digit yang ingin dibundarkan.

Bagi integer, titik
perpuluhan	terletak	di
belakang	digit	terakhir.

1 2 }}
TIP

IMBAS KEMBALI

(b) Bundarkan 38 279 kepada
(a)	ratus	terhampir.
(b)	ribu	terhampir.
Penyelesaian:
(a) 38 279
      +1 (7 > 5)
 = 38 300
(b) 38 279

= 38 000

2 476

7 > 5, maka tambah 1 kepada 4.

7 dan 6 terletak sebelum titik perpuluhan.
Oleh itu, gantikan 7 dan 6 dengan sifar.

6 953

5 = 5, maka tambah 1 kepada 9.

5 dan 3 terletak sebelum titik perpuluhan.
Oleh itu, gantikan 5 dan 3 dengan sifar.

Maka, 2 476 = 2 500 (2 a.b.)

Maka, 6 953 = 7 000 (2 a.b.)

Bagi integer, digit bukan
sifar	yang	pertama	ialah
angka bererti.

1 2

1 2

(tiada	perubahan)

}
}

}
}

Bagaimanakah anda boleh membundarkan suatu nombor
kepada bilangan angka bererti yang tertentu?

Masihkah anda ingat bagaimana untuk membundarkan suatu nombor
kepada nilai tempat tertentu? Konsep dan kaedah yang sama digunakan
untuk membundarkan suatu nombor kepada bilangan angka bererti
yang tertentu.

Digit yang ingin dibundarkan.

Digit yang ingin dibundarkan.

K U I Z

Digit yang ingin dibundarkan.

9 > 5, maka tambah 1 kepada 7.

Digit 9 terletak selepas titik perpuluhan. Maka, 9 digugurkan.

6 8. 79

Contoh   3

Bundarkan 68.79 kepada
(a) 3 angka bererti (b) 1 angka bererti
Penyelesaian:
(a)

Mengapakah	digit-digit
selepas digit yang
dibundarkan bagi
suatu	perpuluhan
harus	digugurkan?

31 2

}
(c)

Maka, 68.79 = 68.8 (3 a.b.)
2
B

A
B

Saiz sebenar

36

Maka, 0.008025 = 0.00803 (3 a.b.)

(b)

Contoh   4

Bundarkan 0.008025 kepada
(a) 3 angka bererti (b) 2 angka bererti

2 < 5 maka, digit 0 tidak berubah.

Digit 2 dan 5 digugurkan kerana digit tersebut terletak
selepas titik perpuluhan.

Penyelesaian:
(a)

Digit yang ingin dibundarkan.

5 = 5 maka, tambah 1 kepada 2.

Digit 5 digugurkan kerana digit tersebut terletak selepas
titik perpuluhan.

0.00 8  0  2 5

0.00 8  0  2 5

Digit yang ingin dibundarkan.

UJI  MINDA 2.1b

1. Lengkapkan jadual berikut dengan membundarkan setiap nombor berikut betul kepada angka
bererti yang diberi.

2. Hitung setiap operasi berikut. Nyatakan jawapan betul kepada angka bererti yang dinyatakan
dalam kurungan.

(a) 2.57 × 4.5 + 0.45  [4] (b) 8.59 ÷ 2.1 – 1.26  [3]
 (c) 14.23 – 2.6 × 1.2  [3] (d) 15.74 + 20.3 ÷ 2.5  [2]
 (e) 7.63 × 0.5 ÷ 4.2 + 5.7  [3] (f) 10.25 ÷ 0.75 – 4.2 × 0.2  [2]
 (g) 15.62 – 1.72 × 0.2 + 6.3 [1] (h) 4.94 + 5 .76 ÷ 0.26 × 1.4 [3]

Nombor 3 angka bererti 2 angka bererti 1 angka bererti
(a) 47 193
(b) 5 261
(c) 305.72
(d) 20.68
(e) 8.595
(f) 5.9
(g) 0.6937
(h) 0.09184
(i) 0.005709

Maka, 0.008025 = 0.0080 (2 a.b.)

31 2

1 2

}
}

(b)

Digit yang ingin dibundarkan.

8 > 5, maka tambah 1 kepada 6.

Digit 8 terletak sebelum titik perpuluhan. Maka, 8
digantikan dengan sifar. 7 dan 9 digugurkan.

6 8. 79

Maka, 68.79 = 70 (1 a.b.)

1

}

K U I Z
Bundarkan 10.09 kepada
1 angka bererti dan
2 angka bererti.
2
B

A
B

Saiz sebenar

37

Bab 2  Bentuk Piawai

STANDARD
PEMBELAJARAN

2.2    Bentuk Piawai

Bagaimanakah anda boleh mengenal dan menulis nombor
dalam bentuk piawai?

Pelbagai bidang sains seperti astronomi, biologi, fizik dan kejuruteraan

Bentuk piawai ialah cara menulis suatu nombor tunggal dalam bentuk
A × 10n

dengan keadaan 1 ≤ A < 10 dan n ialah integer.

Mengenal dan menulis
nombor dalam bentuk piawai.

Misalnya, keluasan negara Malaysia ialah 330 803 000 000 m2. Nilai ini boleh ditulis sebagai
3.308 × 1011 m2 atau 3.30803 × 1011 m2 atau mengikut bilangan angka bererti yang dikehendaki.

sering menggunakan nombor bernilai terlalu besar atau terlalu kecil dalam kajian mereka.
Nombor-nombor tersebut ditulis dalam bentuk piawai untuk memudahkan cara penulisan.

Contoh   5

Tuliskan nombor tunggal berikut dalam bentuk piawai.
(a) 28   (b) 280 (c) 2 805.3
Penyelesaian:
(a) 28 = 2.8 × 10 (b) 280 = 2.80 × 100

= 2.8 × 102

 Nilai tempat ialah ratus

(c) 2 805.3 = 2.8053 × 1 000
     = 2.8053 × 103

 Nilai tempat ialah ribu

Bagaimanakah anda menukar nombor tunggal kepada bentuk piawai?

Apabila suatu nombor tunggal ditukar kepada bentuk piawai;

• Nombor bernilai lebih daripada 1 akan memberi indeks positif.
 • Nombor bernilai kurang daripada 1 akan memberi indeks negatif.

Contoh   6

Tuliskan perpuluhan berikut dalam bentuk piawai.
(a) 0.325 (b) 0.00325 (c) 0.03025 (d) 0.003005
Penyelesaian:
    1(a) 0.325 = 3.25 × —
    10
  = 3.25 × 10–1

1(b) 0.00325 = 3.25 × —–—
    1 000
   1  = 3.25 × —–
   103

IMBAS KEMBALI

1   —– = a–n

an

= 3.25 × 10–3

IMBAS KEMBALI

♦		an, n	ialah	indeks	positif.
♦		a–n, –n	ialah	indeks	negatif.

SUDUT DISKUSI

Adakah	5.1	× 100 suatu
nombor dalam bentuk
piawai?	Bincangkan.

Titik perpuluhan
selepas digit bukan
sifar yang pertama.

Nilai tempat
ialah puluh

Nilai tempat ialah per sepuluh

Nilai tempat ialah per seribu
2
B

A
B

Saiz sebenar

38

Contoh   7

Contoh   8

Bagaimanakah anda menukar nombor dalam bentuk piawai kepada nombor tunggal?

Apabila suatu nombor dalam bentuk piawai ditukar kepada nombor tunggal;
• Nombor itu bernilai sama atau lebih daripada 10 jika indeksnya positif.
• Nombor itu bernilai kurang daripada 1 jika indeksnya negatif.

1(c) 0.03025 = 3.025 × —–
    100
   1  = 3.025 × —–
   102

= 3.025 × 10–2

1(d) 0.003005 = 3.005 × —–—
    1 000
   1  = 3.005 × —–
   103

= 3.005 × 10–3

Tuliskan 4.17 × 105 sebagai nombor tunggal.

Penyelesaian:
4.17 × 105 = 4.17 × 100 000
 = 417 000

Tuliskan 8.063 × 10−5 sebagai nombor tunggal.

Penyelesaian:
   18.063 × 10−5 = 8.063 × ———–
   100 000
  = 0.00008063

IMBAS KEMBALI

105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10

110–5 = –––
    105

Contoh   9

Contoh  10

Tentukan 3 050 terabait dalam bait. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai.
Penyelesaian:
3 050 terabait = 3 050 × 1012 bait
                        = (3.05 × 103) × 1012 bait
                        = (3.05 × 103 + 12) bait                Gunakan hukum indeks am × an = am + n

= 3.05 × 1015 bait

Tentukan 0.0057 nanometer dalam meter. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai.
Penyelesaian:
0.0057 nanometer = 0.0057 × 10−9 meter.
                            = (5.7 × 10−3) × 10−9 meter
                            = (5.7 × 10−3 + (−9) ) meter
                            = (5.7 × 10−3 −9 ) meter
                     = 5.7 × 10 −12 meter

BULETIN
1 tera = 1 000 000 000 000

1 nano = 0.000 000 001

Gunakan hukum indeks am × an = am + n

BIJAK MINDA
Berapakah	nilai	1	tera
dalam	nano?

Nilai tempat ialah per seratus    Nilai tempat ialah per seribu
2
B

A
B

Saiz sebenar

39

Bab 2  Bentuk Piawai

Cetusan Minda 3

Awalan Simbol
Nilai

Nombor tunggal Bentuk piawai
eksa E 1 000 000 000 000 000 000 1 × 1018

peta P 1 000 000 000 000 000
tera T 1 000 000 000 000
giga G 1 000 000 000
mega M 1 000 000
kilo k 1 000

hekto h 100
deka da 10

– – 1 1 × 100

desi d 0.1 1 × 10–1

centi c 0.01
mili m 0.001

mikro µ 0.000 001
nano n 0.000 000 001
piko p 0.000 000 000 001

femto f 0.000 000 000 000 001
atto a 0.000 000 000 000 000 001

Tujuan: Menulis sistem metrik bagi ukuran dalam bentuk piawai.
Langkah:
1. Lengkapkan jadual di bawah dengan menulis nombor tunggal bagi nilai ukuran sistem

metrik dalam bentuk piawai.

Berpasangan

Perbincangan:
Suatu nombor yang terlalu besar atau terlalu kecil nilainya boleh ditulis dalam bentuk nombor
tunggal atau dalam bentuk piawai. Bentuk manakah yang anda akan pilih untuk suatu operasi
pengiraan? Nyatakan alasan anda.

Hasil daripada Cetusan Minda 3, didapati bahawa;
 Bentuk piawai memudahkan penulisan nombor yang bernilai besar dan nombor yang

bernilai kecil dalam bentuk yang ringkas dan mudah difahami.

UJI  MINDA 2.2a

1. Tuliskan nombor tunggal berikut dalam bentuk piawai.
 (a) 35 (b) 481 (c) 5 075     (d) 97.25
 (e) 3 124.3 (f) 0.9    (g) 0.23 (h) 0.0375
2. Tukarkan nombor dalam bentuk piawai kepada nombor tunggal.
 (a) 2.5 × 100 (b) 3.75 × 101 (c) 4.23 × 102
 (d) 5.07 × 103 (e) 9.1 × 104 (f) 6.2 × 10–1
 (g) 7.29 × 10–2 (h) 1.034 × 10–3 (i) 8.504 × 10– 4

3. Tukarkan ukuran dalam sistem metrik berikut kepada unit yang diberikan dalam kurungan.
Nyatakan jawapan anda dalam bentuk piawai.

(a) 1 050 kilometer [meter] (b) 216 gigabait  [bait]
 (c) 0.75 teraliter  [liter]     (d) 95 mikrometer  [meter]
 (e) 123 nanometer  [meter] (f) 0.089 femtometer [meter]

TIP
Gunakan data
daripada Cetusan
Minda 3 untuk
menyelesaikan
soalan 3.
2
B

A
B

Saiz sebenar

40

TIPKaedah 1

Kaedah 1

Kaedah 2

Kaedah 2

IMBAS KEMBALI

STANDARD
PEMBELAJARAN

9.45 × 106 – 3.24 × 105

= 9.45 × 106 – 3.24 × 10–1 × 106

= 9.45 × 106 – 0.324 × 106

= (9.45 – 0.324) × 106
 = 9.126 × 106

105 ditukarkan kepada
101 × 104 untuk
memudahkan pengiraan.

7.02 × 104 + 2.17 × 105

= 7.02 × 10–1 × 105 + 2.17 × 105

= 0.702 × 105 + 2.17 × 105
 = (0.702 + 2.17) × 105

= 2.872 × 105

Bagaimanakah operasi asas aritmetik yang melibatkan
nombor dalam bentuk piawai boleh dilaksanakan?

Operasi Tambah dan Tolak

Contoh  11

Hitung nilai setiap operasi berikut. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai.
(a) 2.73 × 103 + 5.92 × 103 (b) 4.27 × 105 + 9.35 × 105

(c) 7.02 × 104 + 2.17 × 105 (d) 9.45 × 106 – 3.24 × 105

Penyelesaian:

(a) 2.73 × 103 + 5.92 × 103

= (2.73 + 5.92) × 103
 = 8.65 × 103

(c)
 7.02 × 104 + 2.17 × 105

= 7.02 × 104 + 2.17 × 101 × 104

= 7.02 × 104 + 21.7 × 104
 = (7.02 + 21.7) × 104

= 28.72 × 104

= 2.872 × 101 × 104

= 2.872 × 101 + 4

= 2.872 × 105

(d)
 9.45 × 106 – 3.24 × 105

= 9.45 × 101 × 105 – 3.24 × 105

= 94.5 × 105 – 3.24 × 105

= (94.5 – 3.24) × 105
 = 91.26 × 105

= 9.126 × 101 × 105

= 9.126 × 101 + 5

= 9.126 × 106

Faktorkan 103

(b) 4.27 × 105 + 9.35 × 105

= (4.27 + 9.35) × 105
 = 13.62 × 105

= (1.362 × 10) × 105

= 1.362 × 101 × 105

= 1.362 × 101 + 5

= 1.362 × 106

Bagi	operasi	tambah	dan
tolak, tukarkan indeks
bernilai	kecil	kepada
indeks bernilai besar
seperti	kaedah	2
contoh	(c)	dan	contoh	(d).

Melaksanakan operasi
asas aritmetik yang
melibatkan nombor
dalam bentuk piawai.

♦ 5an + 7an

= (5 + 7)an

= 12an

♦ 5 × 10n + 7 × 10n

= (5 + 7)10n

= 12(10n)

BIJAK MINDA
Hitung nilai operasi
berikut tanpa
menggunakan kalkulator.
♦ 2.4 × 103 + 1.3 × 105

♦ 8.5 × 104 – 1.2 × 102
2
B

A
B

Saiz sebenar

41

Bab 2  Bentuk Piawai

Kaedah 1

Kaedah 1

Kaedah 2

Kaedah 2

2.3 × 10–5 – 4.6 × 10– 6
 = 2.3 × 10–5 – 4.6 × 10–1 × 10–5

= 2.3 × 10–5 – 0.46 × 10–5
 = (2.3 – 0.46) × 10–5

= 1.84 × 10–5

8.21 × 10– 4 + 1.49 × 10–5

= 8.21 × 10– 4 + 1.49 × 10–1 × 10–4

= 8.21 × 10– 4 + 0.149 × 10– 4

= (8.21 + 0.149) × 10– 4

= 8.359 × 10– 4

UJI  MINDA 2.2b

Contoh  12

Hitung nilai setiap operasi berikut. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai.
(a) 3.58 × 10–3 + 9.24 × 10–3 (b) 8.21 × 10– 4 + 1.49 × 10–5

(c) 2.3 × 10–5 – 4.6 × 10– 6

Penyelesaian:
(a) 3.58 × 10–3 + 9.24 × 10–3 = (3.58 + 9.24) × 10–3
  = 12.82 × 10–3

= 1.282 × 101 × 10–3

= 1.282 × 101 + (–3)

= 1.282 × 10–2

(b)
 8.21 × 10– 4 + 1.49 × 10–5

= 8.21 × 101 × 10–5 + 1.49 × 10–5

= 82.1 × 10–5 + 1.49 × 10–5

= (82.1 + 1.49) × 10–5

= 83.59 × 10–5

= 8.359 × 101 × 10–5

= 8.359 × 101 + (–5)

= 8.359 × 10– 4

(c)
 2.3 × 10–5 – 4.6 × 10– 6
 = 2.3 × 101 × 10– 6 – 4.6 × 10– 6

= 23 × 10– 6 – 4.6 × 10– 6
 = (23 – 4.6) × 10– 6

= 18.4 × 10– 6

= 1.84 × 101 × 10– 6

= 1.84 × 101 + (– 6)

= 1.84 × 10–5

1. Hitung nilai setiap operasi berikut. Nyatakan jawapan dalam bentuk
piawai.

(a) 2.4 × 104 + 3.57 × 104 (b) 8.2 × 106 – 4.27 × 106

(c) 5.23 × 107 + 4.98 × 107 (d) 1.2 × 105 + 3.74 × 104

(e) 5.7 × 108 – 2.4 × 107 (f) 5.7 × 103 + 8.02 × 104

(g) 6.5 × 104 − 7.3 × 103 (h) 5.2 × 10−3 − 4.12 × 10−3

(i) 8.74 × 10–5 – 2.65 × 10–5 (j) 4.1 × 10−4 + 9.5 × 10−3
 (k) 8.3 × 10− 4 − 6.2 × 10−5  (l) 9.42 × 10– 6 – 7.35 × 10–7

BIJAK

1.		Tekan	kekunci
	 	beberapa	kali	sehingga

mendapat paparan
 seperti berikut:

2.  Tekan        untuk
	memilih								,	iaitu

bentuk piawai.
    3.  Masukkan bilangan

angka bererti (a.b) yang
 diperlukan, misalnya 9.

4.  Masukkan operasi yang
 diperlukan.

♦	3.2	×	105	−	4.2	×	104

Tekan	3.2							5	−	4.2						4.

Paparan skrin:
	 	3.2	E5	−	4.2	E4
  Tekan       2.78 × 105.

♦	4	×	105 × 3.7 × 104

Tekan 4       5 × 3.7       4.

Paparan skrin:
  4        5 × 3.7       4

Tekan       1.48 × 1010.
    5.			Lanjutkan	penerokaan

anda untuk operasi-
operasi lain yang
melibatkan bentuk

piawai yang lain.
    6.   Bandingkan keputusan

yang	dipaparkan	oleh
kalkulator	dan	jawapan
yang	dihitung	secara
manual.

Fix Sci Norm

1 2 3

Mode

2

Exp

Exp

Exp Exp

Exp

Exp

Sci

=

=
2
B

A
B

Saiz sebenar

42

TIP

UJI  MINDA 2.2c

Operasi Darab dan Bahagi

Selesaikan setiap operasi berikut. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai.

(a) 3 × 105 × 4.9 × 102 (b) 7.5 × 10−3 × 5 × 10− 6

5.9 × 105  6.8 × 10–3
(c) ———— (d) ————
  2 × 102    4 × 10– 6

Penyelesaian:

(a) 3 × 105 × 4.9 × 102 (b) 7.5 × 10−3 × 5 × 10− 6
 = (3 × 4.9) × 105 + 2  = (7.5 × 5) × 10−3 + (− 6)

= 14.7 × 107  = 37.5 × 10−9

= 1.47 × 101 × 107  = 3.75 × 101 × 10−9

= 1.47 × 101 + 7  = 3.75 × 101 + (–9)

= 1.47 × 108  = 3.75 × 10−8

1.  Hitung nilai setiap operasi berikut. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai.
 (a) 4 × 105 × 3.7 × 102 (b) 7.5 × 10−3 × 5 × 10− 6
 (c) 6.3 × 105 × 4.0 × 102 (d) 5.3 × 10−3 × 4 × 105

(e) (1.08 × 102) ÷ (2.4 × 104) (f) (9.6 × 10−2) ÷ (1.5 × 10−5)
 (g) (5.9 × 105) ÷ (2 × 102) (h) (2.58 × 104) ÷ (0.3 × 10– 4)

2.  Sebuah kolam renang mudah alih berukuran 305 cm × 183 cm × 56 cm.
Hitung isi padu maksimum air yang boleh diisi dalam liter.
Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai dan betul kepada empat
angka bererti.

3.  Syazwani ingin memindahkan data berkapasiti
2 terabait kepada pemacu pena yang berkapasiti
32 gigabait. Berapakah bilangan minimum pemacu
pena berkapasiti 32 gigabait yang diperlukan?

4. Diberi 1 milimeter = 10–3 meter dan 1 mikrometer = 10–6 meter.
Hitung nilai 1 milimeter dalam unit mikrometer.

Contoh  13 Hukum Indeks
♦	 Operasi	darab
 (A × 10m) × (B × 10n)
 = (A × B) × 10m + n

♦	 Operasi	bahagi
 (A × 10m) ÷ (B × 10n)
 = (A ÷ B) × 10m – n

BULETIN
1	liter	=	1	000	cm3

1 liter = 0.001 m3

6.8 × 10–3
(d) ————
  4 × 10– 6
   6.8 = —– × 10–3 – (– 6)
   4
 = 1.7 × 103

5.9 × 105
(c) ————
   2 × 102
   5.9 = —– × 105 – 2
   2
 =  2.95 × 103

SUDUT DISKUSI
Antara	operasi	tambah
atau tolak dan operasi
darab	atau	bahagi	yang
melibatkan bentuk
piawai, operasi yang
manakah	mudah	untuk
diselesaikan?	Mengapa?
2
B

A
B

Saiz sebenar

43

Bab 2  Bentuk Piawai

2.1 × 102 mP

Q

R

3.5 × 102 m

Contoh  15

Membuat kesimpulan
(a) Jarak PQ = 2.8 × 102 m (b)  Jumlah kos tanah = RM1 323 000.00

Merancang strategi

(a)   Menghitung PQ dengan
menggunakan teorem Pythagoras.

(b)   Menghitung luas tanah bentuk
ΔPQR. Darabkan jumlah luas tanah
dengan kos 1 m2 tanah.

Memahami masalah

ΔPQR ialah segi tiga bersudut tegak.
QR ialah hipotenus.

Sebuah syarikat hartanah telah membeli sebidang tanah berbentuk
segi tiga bersudut tegak PQR seperti dalam rajah di sebelah.
(a) Hitung nilai PQ, dalam meter dan nyatakan jawapan dalam

bentuk piawai.
(b) Jika kos bagi satu meter persegi tanah ialah RM45, hitung jumlah

kos tanah tersebut dalam RM.

Melaksanakan strategi

(a) PQ2 = [(3.5 × 102)2 − (2.1 × 102)2] m2

= [1.225 × 105 − 4.41 × 104] m2

= (7.84 × 104) m2

PQ = √(7.84 × 104) m2

= 2.8 × 102 m
   1(b) Luas ΔPQR = — × (2.1 × 102) m × (2.8 × 102) m
   2
  = 2.94 × 104 m2

Kos tanah = 2.94 × 104 × RM45
  = RM1 323 000.00

Penyelesaian:

Contoh  14

Satu rim kertas mengandungi 800 helai kertas. Ketebalan sehelai kertas ialah 9.4 × 10–3 cm. Diberi
jumlah ketebalan bagi n rim kertas yang sama ialah 225.6 cm. Hitung nilai n.
Penyelesaian:

Melaksanakan strategi

Ketebalan 1 rim kertas
= 800 × 9.4 × 10–3 cm
= 7.52 cm

ketebalan n rim kertasn = —————————–
 ketebalan 1 rim kertas
 225.6 cmn = ————
 7.52 cm
n = 30

Membuat
kesimpulan

Bilangan rim
kertas ialah 30.

Merancang strategi

• Tentukan ketebalan satu rim kertas.
 ketebalan n rim• n = ——————–
 ketebalan 1 rim

Memahami masalah

Bilangan kertas dalam 1 rim = 800
Ketebalan sehelai kertas = 9.4 × 10–3 cm
Ketebalan n rim kertas = 225.6 cm

STANDARD
PEMBELAJARAN

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
melibatkan nombor dalam bentuk piawai?

Menyelesaikan	 masalah
yang melibatkan nombor
dalam bentuk piawai.

Maka,
2
B

A
B

Saiz sebenar

44

Melaksanakan strategi

1.2742 × 104
Jejari bumi = (—————–) km
  2
 = 6.371 × 103 km

Luas permukaan bumi
= 4πj2
= [4(3.142)(6.371 × 103)2] km2

= 510 130 608.1 km2

= 5.101 × 108 km2 (4 a.b.)

Memahami masalah

•	 Bumi berbentuk sfera.
•	 Diameter bumi ialah

1.2742 × 104 km.
•	 Jawapan dalam bentuk

piawai betul kepada
empat angka bererti.

Membuat kesimpulan

Luas permukaan bumi ialah 5.101 × 108 km2

Merancang strategi

diameter•	 Jejari = ————  .
  2
•	 Menggunakan rumus

luas permukaan sfera
untuk menghitung luas
permukaan bumi.

Contoh  16

UJI  MINDA 2.2d

1. Purata penggunaan air sehari di sebuah kawasan perumahan ialah 6 950 m3. Hitung
jumlah penggunaan air, dalam meter padu, di kawasan perumahan tersebut pada bulan
Februari 2016. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai betul kepada tiga angka bererti.

2.  5.791 × 107 km

Matahari Utarid Bumi Neptun

1.496 × 108 km

4.495 × 109 km
 Gambar rajah di atas menunjukkan anggaran jarak di antara tiga planet dalam sistem Suria dari

matahari pada suatu hari tertentu. Hitung beza jarak, dalam km, di antara
 (a) Utarid dengan Bumi                  (b) Utarid dengan Neptun (c) Bumi dengan Neptun
 Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai dan betul kepada tiga angka bererti.

1.2742 × 104 km

Gambar rajah menunjukkan bumi dengan diameter 1.2742 × 104 km. Hitung luas
permukaan bumi, dalam km2. Nyatakan jawapan anda dalam bentuk piawai, betul
kepada empat angka bererti. [Luas permukaan sfera = 4πj2 dan π = 3.142]

Penyelesaian:
2
B

A
B

Saiz sebenar

45

Bab 2  Bentuk Piawai

Cabaran Dinamis

Uji Diri
1. Bundarkan nombor dan perpuluhan berikut kepada angka bererti yang dinyatakan dalam

kurungan.

(a) 23 725  [2] (b) 54 299  [4] (c) 8 999  [2] (d) 295 197  [2]

(e) 4 854  [1]    (f) 5  [3] (g) 0.2763  [2] (h) 35.074  [1]

(i) 423.575  [2] (j) 10.234  [1] (k) 1.0372  [3] (l) 501.724  [3]

2. Diberi m = 3.2 × 103 dan n = 5.43 × 104. Hitung nilai operasi berikut. Nyatakan jawapan anda
dalam bentuk piawai dan betul kepada tiga angka bererti.

(a) 2 mn (b) m + n (c) n – m (d) m2 + n2

3m  m + n (e) —– (f) ——– (g) m–2 + n–3 (h) n – m–3

2n     mn

3. Lengkapkan langkah penyelesaian bagi operasi berikut.

(a) 2.5 × 102 + 1.35 × 104 (b) 5.74 × 10–3 + 3.4 × 10–6

= 2.5 × 10   × 104 + 1.35 × 104  = 5.74 × 10–3 + 3.4 × 10   × 10
  =               × 104 + 1.35 × 104  = 5.74 × 10–3 +                × 10–3

= (         +         ) × 104  = (         +         ) × 10–3

=                × 104   =                × 10–3

(c) 1.75 × 102  – 4.2 × 10–1 (d) 3.7 × 10–2  – 4.3 × 10–5

= 1.75 × 102  – 4.2 × 10    × 102  = 3.7 × 10–2  – 4.3 × 10    × 10–2

= 1.75 × 102 –                × 102  = 3.7 × 10–2 –                × 10–2

= (         +         ) × 102  = (         –         ) × 10–2

=                × 102   =                × 10–2

4.  Sebuah kilang mengeluarkan 72 ribu paket kerepek setiap
minggu. Jika kilang itu beroperasi 6 hari seminggu dan
18 jam sehari, hitung

(a)  bilangan paket kerepek yang dihasilkan setiap hari.
Nyatakan jawapan anda dalam bentuk piawai.

(b)  keuntungan purata per jam jika untung bersih satu
paket kerepek ialah 32 sen. Nyatakan jawapan dalam
RM terdekat.
2
B

A
B

Saiz sebenar

46

Masteri  Kendiri

5.  Anggaran jumlah penduduk Malaysia pada tahun 2018
ialah 32 juta orang. Diberi keluasan Malaysia ialah
330 803 km2. Hitung kepadatan penduduk Malaysia
bagi setiap kilometer persegi pada tahun 2018.

Nyatakan jawapan tepat kepada integer terdekat.

1. Sebuah dewan orang ramai yang baharu dibina memerlukan 6 185 keping jubin berukuran
30 cm × 30 cm untuk lantai.

(a) Hitung luas lantai dewan dalam meter persegi. Nyatakan jawapan anda dalam bentuk
piawai betul kepada tiga angka bererti.

(b) Diberi kos sekeping jubin ialah RM1.75. Hitung jumlah kos jubin dalam RM terdekat.

2. Encik Hanif memandu kereta dari Kota Bahru ke Kuala
Terengganu untuk melawat anaknya. Dalam perjalanan balik
ke Kota Bahru, Encik Hanif singgah di bandar Setiu. Peta
menunjukkan jarak dan masa perjalanan Encik Hanif.

(a) Hitung purata laju, dalam km j–1, kereta Encik Hanif
bagi perjalanan

(i) dari Kota Bharu ke Kuala Terengganu
   (ii) dari Kuala Terengganu ke Setiu.
   (iii) dari Setiu ke Kota Bharu.
  Nyatakan jawapan anda betul kepada tiga angka bererti.
 (b) Encik Hanif merupakan seorang pemandu yang

mengutamakan keselamatan dan menepati had laju
pemanduan. Adakah pernyataan ini benar? Nyatakan
alasan anda.

1. Gambar rajah menunjukkan tiga planet dalam Sistem Suria.

Utarid Neptun Musytari
 [Diameter = 4 879 km] [Diameter = 49 244 km] [Diameter = 139 822 km]

(a) Hitung luas permukaan, dalam km2, ketiga-tiga planet di atas. Nyatakan jawapan dalam
bentuk piawai, betul kepada tiga angka bererti.

[Luas permukaan sfera = 4 πj2 dan π = 3.142]
 (b) Berdasarkan jawapan anda di (a), hitung beza luas permukaan antara planet terbesar dan

planet terkecil dalam Sistem Suria. Nyatakan jawapan betul kepada empat angka bererti.

Mahir Diri

163 km
(2 jam 18 minit)

51 km
(1 jam 5 minit)

114 km
(1 jam 40 minit)
2
B

A
B

Saiz sebenar

47

Bab 2  Bentuk Piawai

KP R O J E

1. Perhatikan gambar-gambar di bawah. Dapatkan data berkaitan ukuran yang dikehendaki.
Jawapan anda hendaklah dalam bentuk piawai.

2. Anda boleh melayari laman web atau merujuk buku rujukan untuk mendapatkan data
yang menarik berkenaan gambar-gambar di bawah.

(a) Jisim (b) Bilangan penduduk

(c) Jarak (d) Magnitud

3. Dapatkan fakta lain yang menarik yang menggunakan pengiraan dalam bentuk piawai.

4. Bentangkan hasil dapatan anda dengan menggunakan multimedia.

70 GSM 80 GSM

297 mm 297 mm

210 mm 210 mm

2.

Rajah di atas menunjukkan dua jenis kertas bersaiz A4 dengan jisim yang berlainan. GSM
bermaksud Grams per square meter, iaitu gram per meter persegi.

Hitung jisim sehelai kertas A4, dalam gram bagi
 (a) 70 GSM (b) 80 GSM
 Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai dan betul kepada tiga angka bererti.
2
B

A
B

Saiz sebenar

48

Bentuk Piawai

Angka bererti menunjukkan
tahap kejituan suatu ukuran.

Bentuk piawai ditulis sebagai A × 10n dengan
keadaan 1 < A < 10 dan n ialah integer.

Semua digit ialah angka bererti
kecuali sifar sebelum digit bukan
sifar yang pertama.

Bagi integer, nilai angka bererti bagi
sifar sebagai digit terakhir bergantung
pada tahap kejituan dikehendaki.
(a) 93 000 – 5 a.b. (sa terhampir)
(b) 93 000 – 4 a.b. (puluh terhampir)
(c) 93 000 – 3 a.b. (ratus terhampir)
(d) 93 000 – 2 a.b. (ribu terhampir)

Membundarkan suatu nombor kepada
bilangan angka bererti yang tertentu.

Menukarkan nombor tunggal kepada
bentuk piawai dan sebaliknya.
(a) 534 000 = 5.34 × 105

(b) 0.000 534 = 5.34 × 10−4

(c) 2.763 × 104 = 27 630
(d) 2.763 × 10−4 = 0.0 002 763

Operasi asas (+, –, ×, ÷) yang melibatkan
nombor dalam bentuk piawai.
(a) S × 10n + T × 10n

= (S + T )  × 10n

(b) S × 10n – T × 10n

= (S – T )  × 10n

(c) (S × 10m) × (T × 10n)
 = (S × T )  × 10m + n

(d) (S × 10m) ÷ (T × 10n)
 = (S ÷ T )  × 10m – n

(a) 0.023 (2 a.b.)
(c) 1.200 (4 a.b.)

(b) 0.102 (3 a.b.)
(d) 10 518 (5 a.b.)

(a) 2 853
 3 000 (1 a.b.)
 2 900 (2 a.b.)
 2 850 (3 a.b.)
(b) 62.54
 60 (1 a.b.)
 63 (2 a.b.)
 62.5 (3 a.b.)
(c) 0.02704
 0.03 (1 a.b.)
 0.027 (2 a.b.)
 0.0270 (3 a.b.)

PETA KONSEP

Saiz sebenar

48
2
B

A
B

Saiz sebenar

49

Bab 2  Bentuk Piawai

1. Bahagikan kelas kepada beberapa kumpulan.

2. Dengan menggunakan pelbagai sumber yang ada, kenal pasti beberapa nilai ukuran yang
sangat kecil atau yang sangat besar dalam kehidupan seharian. Contohnya,

3. Sediakan satu laporan dengan menggunakan multimedia berkaitan dapatan anda.

4. Bentangkan laporan anda.

5. Dapatkan maklumat tambahan daripada pembentangan kumpulan lain.

6. Bincangkan kelebihan penggunaan nombor dalam bentuk piawai dalam pelbagai bidang.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Menerangkan maksud angka bererti dan seterusnya menentukan bilangan angka
bererti suatu nombor.

2. Membundarkan suatu nombor kepada bilangan angka bererti yang tertentu.

3. Mengenal dan menulis nombor dalam bentuk piawai.

4.  Melaksanakan operasi asas aritmetik yang melibatkan nombor dalam bentuk piawai.

5.  Menyelesaikan masalah yang melibatkan nombor dalam bentuk piawai.

JELAJAH MATEMATIK

IMBAS KENDIRI

Cakera keras
(1 terabait)

Satu molekul air
(0.1 nanometer)

Satu virus
(1 mikrometer)
Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

•	 Pengetahuan	 tentang	 simpanan	 dan	 pelaburan
 dapat membantu seseorang merancang kewangan.
•	 	Konsep	simpanan	dan	pelaburan	digunakan	dalam

bidang perbankan, saham, hartanah, perniagaan,
kewangan, perakaunan dan sebagainya.

Saiz sebenar

50

3.1  Simpanan dan Pelaburan

3.2 Pengurusan Kredit dan Hutang

Matematik Pengguna:
Simpanan dan Pelaburan,
Kredit dan Hutang3

BAB
3

BAB

Sedikit-sedikit, lama-lama menjadi bukit”.
Bak peribahasa di atas, amalan menabung

merupakan satu tabiat menyimpan duit untuk
kegunaan pada masa depan. Sikap menabung
yang diamalkan sejak kecil membantu seseorang
menghadapi sebarang waktu kecemasan. Pelaburan
yang dilakukan oleh seseorang individu haruslah
tepat pada masanya mengikut pasaran semasa.

“
K A ATG E R B A N G

Eksplorasi ZamanEksplorasi Zaman
Matematik Pengguna:
Simpanan dan Pelaburan,
Kredit dan Hutang

• aspek kecairan •	 liquidity

•	 faedah		 • interest

• hutang • debt

•	 kadar	faedah	 • interest rate

• kredit  • credit

•	 pelaburan	 • investment

•	 pinjaman	 • loan

•	 pinjaman	peribadi	 •  personal loan

•	 pulangan	 •  return

•	 simpanan	 • saving

Sistem barter diamalkan sebelum penggunaan
wang wujud dalam ekonomi dan merupakan suatu
bentuk perniagaan yang paling awal di dunia.

Sejarah perkembangan wang bermula dengan
evolusi tamadun manusia itu sendiri iaitu kira-kira
2 000 SM.

Saiz sebenar

51

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%203/
3
B

A
B

Saiz sebenar

52

Akaun Simpanan

STANDARD
PEMBELAJARAN

3.1    Simpanan dan Pelaburan

Apakah yang dimaksudkan dengan simpanan dan pelaburan?

Simpanan merujuk kepada wang lebihan yang disimpan di dalam peti
besi, tabung atau laci. Wang lebihan juga boleh disimpan di bank yang
akan memberi pulangan mengikut kadar faedah dan tempoh simpanan.
Terdapat beberapa jenis cara simpanan yang lazim di bank.

Mengenal pelbagai jenis
simpanan dan pelaburan.

BULETIN
Agensi kaunseling dan
pengurusan kredit
menggalakkan setiap
individu menabung 10%
daripada pendapatan
bulanan mereka.

•	 	Pemegang	akaun	simpanan	boleh	menyimpan
sebarang amaun mengikut kemampuannya.

•	 	Pemegang	 akaun	 menerima	 kadar	 faedah
berdasarkan jumlah simpanan dan tempoh
simpanan.

•	 	Kadar	faedah	adalah	lebih	rendah	berbanding	dengan	akaun	simpanan	tetap.
•	 	Pemegang	akaun	boleh	mengeluarkan	wang	simpanan	pada	bila-bila	masa.
•	 	Wang	 simpanan	 boleh	 dikeluarkan	 dengan	 menggunakan	 kad	 debit

melalui mesin teler automatik (ATM).

•	 	Menyimpan	sejumlah	wang	 tertentu	untuk	satu	 tempoh	masa	 tertentu
seperti 3 bulan, 9 bulan atau 1 tahun.

•	 	Pemegang	akaun	akan	ditawarkan	kadar	faedah	yang	lebih	kompetitif
berbanding dengan akaun simpanan.

•	 	Wang	simpanan	tidak	boleh	dikeluarkan	sehingga	tempoh	matang.
•	 	Sekiranya	 wang	 dikeluarkan	 sebelum	 tempoh	 matang,	 maka	 kadar

faedah yang sepatutnya diterima akan dikurangkan dan akan dibatalkan
pada suatu masa.

•	 	Sijil	simpanan	akan	dikeluarkan	kepada	pemegang	akaun.

Akaun Simpanan Tetap

•	 	Simpanan	dalam	akaun	semasa	boleh	digunakan	untuk	tujuan	peribadi
atau perniagaan.

•	 	Pemegang	 akaun	 boleh	 melakukan	 pembayaran	 kepada	 pihak	 lain
melalui cek.

•	 	Simpanan	 dalam	 akaun	 tidak	 dibayar	 faedah	 sebaliknya	 dikenakan
caj perkhidmatan. Namun terdapat juga bank yang membayar faedah
kepada pemegang akaun semasa. Hal ini tertakluk kepada pihak bank.

•	 	Pemohon	 akaun	 semasa	 perlu	 mengemukakan	 seorang	 perujuk	 iaitu
pemegang akaun semasa di cawangan bank yang sama untuk membuka
akaun.

•	 	Selain	cek,	pengeluaran	biasanya	dibenarkan	melalui	kad	debit	dan	saluran
lain seperti perbankan internet, perbankan telefon dan sebagainya.

•	 	Pemegang	akaun	boleh	menikmati	kemudahan	overdraf	iaitu	pengeluaran
wang yang melebihi baki simpanan, tetapi dengan caj faedah.

Akaun Semasa
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

53

TIP

K U I Z

BULETIN

BULETIN Pelaburan ialah langkah alternatif untuk mendapatkan pulangan
pada masa hadapan dalam bentuk pendapatan semasa dan keuntungan
modal.	Jenis-jenis	pelaburan	adalah	seperti	berikut:

Saham

Sesebuah	syarikat	akan	menerbitkan	saham	bagi	tujuan	mengumpul
modal.	 Individu	 yang	 membeli	 saham	 daripada	 sebuah	 syarikat
merupakan	pemilik	syarikat	dengan	syarat	tertentu.	Pemegang	saham
akan	menerima	pulangan	dalam	bentuk	dividen	dan	keuntungan	modal.

Amanah Saham

Amanah saham dikendalikan oleh syarikat unit amanah yang
diuruskan oleh pengurus profesional yang bertauliah dalam bidang
pelaburan. Mereka yang tidak mempunyai pengetahuan tentang
pembelian saham boleh mendapatkan bantuan dari syarikat unit
amanah	 untuk	 menguruskan	 wang	 mereka.	 Syarikat	 unit	 amanah
mengumpulkan wang daripada para pelabur dan wang itu dilaburkan
dalam pelbagai syarikat yang berpotensi dengan tujuan memberikan
pulangan yang menguntungkan para pelabur.

Hartanah

Pelaburan	 atas	 aset	 tidak	 alih	 seperti	 rumah	 kediaman,	 kedai,
tanah	dan	sebagainya	merupakan	pelaburan	dalam	hartanah.	Pelabur
perlu mengambil kira pelbagai aspek sebelum melabur.

Faktor-faktor	 yang	 akan	 dipertimbangkan	 dalam	 pelaburan
hartanah adalah seperti keadaan ekonomi, keupayaan menjana
pendapatan iaitu sewa, lokasi serta prospek hartanah pada masa
akan	datang.	Individu	yang	melabur	dalam	hartanah	akan	menerima
pulangan pelaburan  dalam bentuk sewa dan keuntungan modal.

♦		Pulangan	pelaburan
terdiri daripada
pendapatan semasa dan
keuntungan modal.

♦		Pulangan	pendapatan
semasa – sewa, dividen,

saham bonus.
♦		Keuntungan	modal

– pertambahan atau
peningkatan nilai
pelaburan daripada
jumlah asalnya.

Contohnya, harga saham
meningkat daripada
RM2.00 kepada RM2.20,
maka peningkatan RM0.20
merupakan peningkatan
nilai pelaburan.

Amanah	Saham Saham

Hartanah

Pelaburan

Saham Mewah (Saham
Blue Chips) ialah saham
syarikat-syarikat besar
yang mempunyai rekod
pencapaian perniagaan
yang cemerlang seperti
Maybank, TNB
dan Petronas.

Adakah pembelian
insurans nyawa dan
insurans kesihatan
merupakan pelaburan
atau simpanan?

Terdapat dua jenis
pelabur iaitu pelabur
agresif dan sederhana

♦	 	Pelabur agresif
  –  melabur di pasaran

saham.
♦	 	Pelabur sederhana

–  membeli amanah
saham, bon dan
dana ekuiti.
3
B

A
B

Saiz sebenar

54

Perbincangan:
Nyatakan kelebihan dan kekurangan bagi setiap jenis simpanan dan pelaburan yang dinyatakan.

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa simpanan dan pelaburan adalah berbeza.

3.1a UJI  MINDA

1. Apakah	tujuan	seseorang	individu	melakukan	simpanan?
2. Bapa anda mempunyai RM5 000 dan tidak menggunakannya untuk satu jangka masa panjang.

Apakah	nasihat	anda	kepada	beliau?	Jelaskan	jawapan	anda.
3.		 Mengapakah	kebanyakan	orang	tidak	berminat	untuk	membuka	akaun	semasa	selain	para	peniaga?

Jenis
simpanan

Jenis
pelaburan Penerangan

1.  Encik Rizal menyimpan sejumlah
RM300 di dalam bank. Simpanan

Akaun simpanan – jumlah
wang yang disimpan adalah
kecil dan akan dikeluarkan
pada	bila-bila	masa.

2.  Cik Zeti merupakan seorang peniaga
yang menyimpan sejumlah wang di dalam
bank dengan tujuan untuk mengeluarkan
cek apabila hendak membayar kepada
pemiutang.

3.		Puan	 Rani	 menggunakan	 wang	 yang
diterima daripada bapanya untuk
membeli satu lot kedai.

4.		Puan	 Faridah	 menyimpan	 sejumlah
wang sebanyak RM20 000 di dalam
bank untuk membiayai pendidikan
anak-anaknya	pada	masa	hadapan.

5.  Encik Lee membeli 1 000 unit amanah
saham.

6.		Cik	 Sharon	membeli	 4	 000	 unit	 syer
Bank Orkid Berhad yang bernilai RM1.00
sesyer	di	Bursa	Saham	Kuala	Lumpur.

Tujuan: Mengenal pasti jenis simpanan dan pelaburan.
Langkah:
1.	 Bahagikan	kelas	kepada	kumpulan	yang	terdiri	daripada	lima	atau	enam	orang	murid.	Setiap

kumpulan harus menyatakan jenis simpanan dan pelaburan mengikut pernyataan yang
diberikan	serta	jelaskan	ciri-ciri	simpanan	dan	pelaburan	yang	dinyatakan.

2. Maklumat yang dikumpul harus dibentangkan dalam bentuk laporan seperti di bawah.

Cetusan Minda 1
Berkumpulan
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

55

STANDARD
PEMBELAJARAN

Apakah yang anda faham tentang faedah simpanan?

Membuat pengiraan yang
melibatkan faedah mudah
dan faedah kompaun bagi
simpanan, dan seterusnya
menerangkan kesan
perubahan tempoh, kadar
faedah atau pulangan dan
kekerapan pengkompaunan
terhadap nilai masa
hadapan simpanan.

I = Prt

Encik	Zainal	menyimpan	sebanyak	RM4	000	di	Bank	Bunga	Raya	dengan	kadar	faedah	2%	untuk
setahun.	Berapakah	faedah	yang	diperoleh	Encik	Zainal	selepas	1	tahun?

Encik	Badrul	menyimpan	sebanyak	RM5	000	di	bank	dengan	kadar	faedah	3%	setahun	bagi	tempoh
2 tahun. Hitung jumlah faedah yang akan diperoleh Encik Badrul bagi tempoh 2 tahun tersebut.

Contoh   1

Contoh   2

Penyelesaian:

Prinsipal	yang	disimpan	oleh	Encik	Zainal	ialah	RM4	000.	Maka,	2%	daripada	RM4	000	ialah
   2RM4	000	×	—–	=	RM80
             100
Selepas	1	tahun,	faedah	yang	diperoleh	Encik	Zainal	ialah

Faedah	=	RM80	×	1
	 	 	 =	RM80

Penyelesaian:
   3P = 5 000            r =	3%	=	—–	=	0.03										t = 2
   100
Maka, faedah I = Prt
     3			 	 	 =	RM5	000	×	—–	×	2
               100
     = RM300

Faedah simpanan merupakan ganjaran yang dibayar oleh institusi
kewangan seperti bank kepada penyimpan. Faedah boleh dibahagi
kepada dua jenis iaitu faedah mudah dan faedah kompaun.

Faedah mudah ialah ganjaran yang diberikan kepada penyimpan
mengikut suatu kadar tertentu ke atas jumlah wang simpanan (prinsipal)
untuk suatu tempoh masa (dalam tahun) yang tertentu.

Faedah	mudah	boleh	dihitung	dengan	menggunakan	formula	berikut:

I ialah faedah (interest), P ialah prinsipal (principal), r ialah kadar faedah (rate) dan t ialah masa
(time) dalam tahun.

Faedah mudah

TIP
Kadar diberi dalam bentuk
peratus. Jadi, kita mesti
bahagi kadar dengan
seratus. Jika masa diberi
dalam bulan, jangan
lupa tukar kepada tahun
dengan bahagi dengan
12 bulan.
3
B

A
B

Saiz sebenar

56

Ayah, apakah kesan
kepada jumlah pulangan

tahunan jika kadar faedah
adalah berbeza bagi
prinsipal yang sama?

Apakah kesan terhadap faedah mudah akibat perubahan tempoh simpanan?

Perubahan	dalam	tempoh	simpanan	di	bank	membawa	pulangan	yang	berbeza.

Contoh   4

Encik	Nazrin	menyimpan	 sebanyak	RM8	000	di	Bank	Desa	dengan	kadar	 faedah	3%	setahun.
Hitung jumlah simpanan Encik Nazrin selepas beliau menyimpan selama
(a) 2 tahun                                                              (b)  3 tahun

Penyelesaian:
Rumus untuk mengira faedah,  I = Prt
Prinsipal	 =	 RM8	000
Kadar	faedah	 =	 3%

Berdasarkan contoh di atas, didapati bahawa semakin lama tempoh penyimpanan (di bank), maka
semakin	tinggi	jumlah	faedah	yang	diperoleh.	Dengan	ini	secara	langsung	jumlah	akhir	simpanan
juga bertambah.

Jenis-jenis Faedah
Cik	Wong	menyimpan	 sebanyak	RM10	 000	 di	Bank	Murni	 dengan	 kadar	 faedah	 4%	 setahun.
Hitung	jumlah	faedah	yang	diperoleh	Cik	Wong	selepas	6	bulan?

Contoh   3

Penyelesaian:

I = Prt
	 	 	 4	 6			 =	RM10	000	×	—–	×	—
             100 12
   = RM200

(a) 2 tahun (b) 3 tahun
    3Faedah	 =	 RM8	000	×	—–	×	2	=	RM480

100
Jumlah simpanan pada akhir tahun kedua
=	RM8	000	+	RM480
=	RM8	480

3Faedah	 =	 RM8	000	×	—–	×	3		=	RM720
   100

Jumlah simpanan pada akhir tahun ketiga
=	RM8	000	+	RM720
=	RM8	720

Apakah kesan jika kadar faedah yang diberi berbeza bagi prinsipal yang sama?

Sudah tentu jumlah
pulangan tahunan yang

akan diterima adalah
berbeza.
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

57

Puan	 Vanmathy	 menyimpan	 sebanyak	 RM5	 000	 di	 sebuah	 bank.
Berapakah	jumlah	simpanan	Puan	Vanmathy	selepas	1	tahun	jika	kadar
faedah yang diberikan ialah
(a)	 5%	setahun																																																						(b)	6%	setahun

Apakah	beza	jumlah	faedah	yang	diperoleh	Puan	Vanmathy	dalam	kedua-dua	situasi	di	atas?

Beza jumlah faedah yang diterima ialah RM300 – RM250 = RM50.

Berdasarkan Contoh 5, bagi prinsipal yang sama, apabila kadar faedah
bertambah, maka jumlah simpanan akhir tahun  juga bertambah.

Contoh   5

TIP

K U I Z

Jumlah
simpanan

Kadar
faedah

Tempoh simpanan
(tahun) Jumlah Faedah Jumlah simpanan

selepas 1 tahun

RM5 000 5% 1

RM5 000 6% 1

Faedah kompaun ialah faedah yang dihitung berdasarkan prinsipal asal dan juga faedah yang
terkumpul daripada tempoh penyimpanan sebelumnya.
 Faedah kompaun berbeza daripada faedah mudah dari segi jumlah simpanan yang akan
digunakan untuk penghitungan faedah.
 Bagi faedah kompaun, kekerapan pengkompaunan ke atas prinsipal boleh berbeza. Contohnya,
dikompaun setahun sekali ataupun 3 bulan sekali dan sebagainya.
	 Merujuk	 kepada	 Contoh	 4(a),	 sekiranya	 Encik	 Nazrin	 diberikan	 faedah	 kompaun	 dengan
pengkompaunan	sekali	setahun,	apakah	jumlah	simpanan	beliau	pada	akhir	tahun	kedua?

Pada	tahun	pertama,	jumlah	faedah	yang	diterima	ialah

Dengan	ini,	jumlah	simpanan	Encik	Nazrin	pada	akhir	tahun	kedua	ialah
	 	 RM8	240	+	RM247.20	=	RM8	487.20.

Faedah kompaun

Mengapakah akaun
simpanan tetap
diberikan faedah yang
tinggi berbanding
akaun simpanan?

kadar semakin
 faedah tinggi
  pulangan

kadar semakin
 faedah rendah
  pulangan

RM5	000	+	RM250
= RM5 250

RM5	000	+	RM300
= RM5 300

5RM5	000	×	—–	×	1
   100
= RM250
   6RM5	000	×	—–	×	1
   100
= RM300

Penyelesaian:

3RM8	000	×	—–	=	RM240.
 100

3RM8	240	×	—–	=	RM247.20.
 100

Imbas QR Code atau
layari http://yakin-pelajar.
com/Bab%203%20
Kompaun/Kompaun%20
Bab%203.pdf untuk
mendapatkan maklumat
lebih lanjut tentang
faedah kompaun.

Maka,	jumlah	simpanan	pada	akhir	tahun	pertama	ialah	RM8	240.

Bagi tahun kedua, jumlah simpanan yang digunakan untuk
penghitungan	faedah	ialah	RM8	240	(prinsipal	+	faedah	tahun	pertama).
Maka, faedah pada akhir tahun kedua ialah
3
B

A
B

Saiz sebenar

58

Contoh   7

BULETIN
Faktor	inflasi	juga
mempengaruhi nilai
mata wang. Sekiranya
kadar	inflasi	meningkat,
kuasa membeli yang
diperoleh daripada RM1
akan berkurangan.

Contoh   6

K U I Z
Apakah kesan kepada
jumlah pulangan
terkumpul, jika kadar
pengkompaunan dalam
setahun meningkat?

r MV =  P (1	+	—)nt

n
 MV =  nilai matang (matured value)
 P = prinsipal (principal)
 r = kadar faedah tahunan (the yearly interest rate)

n =  bilangan kali faedah dikompaun
dalam setahun (number of periods
the interest is compound per year)

t  = tempoh dalam tahun (term in years)

Secara	umum,	rumus	penghitungan	yang	melibatkan	faedah	kompaun	ialah:

Berdasarkan contoh Encik Nazrin, didapati bahawa;
P	=	8	000,					r = 0.03,     n = 1,     t = 2.

Maka, jumlah simpanan pada akhir tahun kedua untuk Encik Nazrin ialah

Pada	awal	suatu	tahun,	Puan	Liew	Foong	menyimpan	RM15	000	dalam	akaun	simpanan	dengan
kadar	4%	setahun	dan	pengkompaunan	setiap	6	bulan.	Berapakah	 jumlah	wang	simpanan	Puan
Liew	Foong	pada	akhir	tahun	ketiga?

Penyelesaian:

P = 15 000      r	=	—–	=	0.04						n = 2      t = 3

rMV = P (1	+	  —)nt

n

0.04  = 15 000 (1	+	——	)(2)(3)

2
  = 15 000 (1.1262)
	 	 =	RM16	892.44

Sebuah	bank	menawarkan	kadar	 faedah	5%	setahun	untuk	simpanan
dalam	akaun	 simpanan	 tetap.	 Jika	Puan	Wahidah	menyimpan	RM10
000 pada awal tahun, berapakah jumlah wang dalam akaun simpanan
tetap beliau pada akhir tahun jika faedah dikompaunkan
(a) 3 bulan sekali                         (b) sebulan sekali

Penyelesaian:

P = 10 000      r	=	—–	=	0.05						t = 1

rMV = P (1	+	  —)nt

n

P (1	+	—)nt

r
nMV  =

0.03  	 =	RM8	000	(1	+	——)(1)(2)

1
   = RM8	000	(1.0609)
	 	 =	RM8	487.20

4
100

5
100
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

59

Faedah mudah Faedah kompaun

Daripada	Contoh	7,	 didapati	 bahawa	apabila	kekerapan	pengkompaunan	bertambah,	 nilai	masa
hadapan simpanan juga bertambah.

Encik Charles menyimpan wang sebanyak RM6 000 dalam akaun simpanan tetap di Bank Berjaya
selama	 2	 tahun	 dengan	 kadar	 faedah	 6%	 setahun.	Apakah	 perbezaan	 di	 antara	 jumlah	 faedah
yang diperoleh Encik Charles jika beliau diberikan faedah kompaun (dengan pengkompaunan
4	bulan	sekali)	berbanding	dengan	faedah	mudah?

Penyelesaian:

Maka,	perbezaan	 jumlah	di	antara	 faedah	mudah	dengan	faedah	kompaun	(dengan	kekerapan	4
bulan sekali) ialah

RM756.97	–	RM720	=	RM36.97

Berdasarkan	Contoh	8,	adalah	jelas	bahawa	simpanan	dengan	faedah	kompaun	membawa	pulangan
yang lebih tinggi berbanding simpanan dengan faedah mudah.

Contoh   8

(a) n =	4
 Maka,
     0.05  MV = 10 000 (1	+	——	)(4)(1)                        4
	 	 	 =	RM10	509.45

(b) n = 12
 Maka,
     0.05  MV = 10 000 (1	+	——	)(12)(1)

12
   = RM10 511.62

Faedah,  I = Prt
   6	 	 =	RM6	000	×	—–	×	2
   100
	 	 =	RM720

rMV = P (1	+	  —)nt

n

0.06  = 6 000 (1	+	——	)(3)(2)

3
	 	 =	RM6	756.97

Jumlah faedah yang terkumpul
RM6	756.97	–	RM6	000	=	RM756.97

Berdasarkan
hukum Islam

(syarak).

Risiko
diuruskan
mengikut
perjanjian.

Mengikut prinsip
keadilan, halal dan

perkongsian
keuntungan

dan tanpa riba.

Tidak menentukan
kadar pulangan pada

peringkat awal penyimpanan.
Kadar	pulangan	diketahui	semasa

tempoh matang.

Perbankan Islam

Malaysia	mengamalkan	perbankan	dwisistem	iaitu	sistem	perbankan	konvensional	dan	sistem
perbankan Islam.

Sistem Perbankan Islam
3
B

A
B

Saiz sebenar

60

Encik Osman menyimpan RM20 000 dalam akaun simpanan di sebuah
bank	 Islam,	mengikut	 prinsip	wadiah	 selama	 1	 tahun.	 Pada	 akhir	 tahun
tersebut, beliau menerima sebanyak RM20 500 sebagai pulangan daripada
simpanan tersebut. Tambahan RM500 merupakan hibah (hadiah) dari
bank. Hitung peratus hibah yang diperoleh Encik Osman.

Penyelesaian:

RM500 Peratus	hibah	=	————–	×	100%	=	2.5%
 RM20 000

3.1b UJI  MINDA

1.	 Puan	 Nathania	mendeposit	 RM500	 ke	 dalam	 akaun	 simpanannya	 yang	memberikan	 kadar
faedah	4%	setahun	dan	dikompaun	setiap	suku	tahun.	Berapakah	jumlah	wang	simpanan	Puan
Nathania	pada	akhir	tahun	kelima?

2. Encik Chong mendeposit RM1 000 ke dalam akaun simpanannya yang memberi kadar faedah
5%	setahun	dan	dikompaun	setiap	setengah	tahun.	Berapakah	jumlah	wang	simpanan	Encik
Chong	pada	akhir	tahun	ketiga?

3.	 Puan	Aminah	mendeposit	RM100	ke	dalam	akaun	simpanannya	yang	memberi	kadar	faedah
3%	 setahun	 dan	 dikompaun	 setiap	 bulan.	Berapakah	 jumlah	wang	 simpanan	 Puan	Aminah
pada	akhir	tahun	kedua?

Contoh   9 BULETIN
Prinsip wadiah
Harta atau wang tunai
yang diterima dengan
persetujuan pelanggan
untuk disimpan di dalam
bank. Pihak bank
bertanggungjawab atas
keselamatan harta atau
wang itu.

2.5%	ini	sebagai	rujukan	sahaja	pada
masa akan datang bagi penyimpan dan
bukannya tetap.

BULETIN

Apakah yang anda faham tentang nilai pulangan
 pelaburan (ROI) ?

Nilai pulangan pelaburan merujuk kepada nilai pulangan atas setiap
ringgit	 yang	 dilaburkan	 oleh	 pelabur.	 Dalam	 erti	 kata	 lain,	 nilai
pulangan pelaburan juga merupakan nisbah keuntungan atau kerugian
yang diperoleh daripada suatu pelaburan.
	 Secara	umumnya,	pelabur	lebih	gemar	menilai	pulangan	pelaburan
dalam bentuk peratus. Nilai pulangan pelaburan akan menggambarkan
keuntungan atau kerugian yang dicapai oleh seseorang pelabur dalam
pelaburannya.
	 Sesuatu	 pelaburan	 dianggap	 sebagai	 menguntungkan	 (pelaburan
yang bijak) apabila nilai pelaburan semasa dan jumlah pulangan yang
diterima adalah melebihi nilai pelaburan asal.
 Begitu juga, apabila jumlah pulangan dan nilai pulangan semasa
kurang daripada nilai pelaburan asal maka pelaburan itu tidak
menguntungkan.
 Formula untuk menghitung nilai pulangan pelaburan ialah
    Jumlah pulangan  Nilai	pulangan	pelaburan	 =	 ————————–	×	100%
   Nilai pelaburan awal

STANDARD
PEMBELAJARAN

Koperasi sekolah
mengisytiharkan dividen
pada akhir tahun kewangan
bagi setiap tahun.
Dividen yang diisytiharkan
menentukan nilai pulangan
atas saham yang dibeli oleh
setiap ahli koperasi.

Membuat pengiraan yang
melibatkan nilai pulangan
pelaburan, dan seterusnya
menerangkan faktor yang
mempengaruhi pulangan
pelaburan serta kesannya.
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

61

Dividen (Lazimnya diterima
pada akhir tahun kewangan dan
dihitung berdasarkan wang yang

dilaburkan)

Syer bonus merupakan syer
tambahan yang diberi secara
percuma kepada pemegang

saham yang sedia ada

Pulangan Amanah Saham

Keuntungan modal
(peningkatan harga saham

semasa saham dijual)

Selain	itu,	pelabur	juga	mempunyai	jangkaan	kadar	pulangan	daripada	sesuatu	pelaburan	yang
dilabur.	Contohnya	jika	seseorang	pelabur	menjangkakan	kadar	pulangan	sebanyak	10%	daripada
pelaburan mereka, namun belum pasti kadar pulangan sebenar yang akan diterima pada akhir
sesuatu pelaburan adalah sama seperti yang dijangkakan.
	 Instrumen	pelaburan	terdiri	daripada	amanah	saham,	saham,	hartanah	dan	sebagainya.	Setiap
instrumen pelaburan ini akan membawa pulangan.

Amanah Saham

Amanah saham adalah antara alternatif pelaburan yang baik untuk pelaburan jangka masa
sederhana (3 ke 5 tahun) dan jangka panjang (lebih daripada 5 tahun).
	 Pelaburan	 dalam	 amanah	 saham	 adalah	 berisiko	 rendah	 kerana	 diuruskan	 oleh	 pengurus	 dana
profesional yang dikawal selia oleh suruhanjaya sekuriti dan juga dipantau oleh Bank Negara Malaysia.
	 Pelaburan	 dalam	 amanah	 saham	membolehkan	 pelabur	mempelbagaikan	 pelaburan	mereka
dengan modal yang kecil.
 Berikut merupakan pulangan untuk amanah saham.

Pada	1	Januari	2018,	Puan	Siti	melabur	dalam	Amanah	Saham	Bumiputera	(ASB)	sebanyak	3	000	unit
yang	bernilai	RM2.00	seunit.	Bagi	tahun	kewangan	berakhir	pada	31	Disember	2018,	Amanah	Saham
Bumiputera	membayar	dividen	sebanyak	5%.	Pada	1	Januari	2019	Puan	Siti	menjual	semua	saham
yang	dimiliki	dengan	harga	RM2.20	seunit.	Berapakah	nilai	pulangan	pelaburan	bagi	Puan	Siti?

Penyelesaian:
Langkah pengiraan dividen
Modal	awal	=	3	000	×	RM2.00
   = RM6 000
   5Dividen	=		—–		×	(3	000	unit	×	RM2.00)
                 100
   = RM300
Peningkatan	harga	saham	 =	RM2.20	–	RM2.00	=	RM0.20
Keuntungan	modal	=	RM0.20	×	3	000	unit
 = RM600
Jumlah	pulangan		 =	RM300	+	RM600	=	RM900
 RM900Nilai pulangan pelaburan =	————	×	100%		=	15	%
 RM6 000

Nilai	pulangan	pelaburan	ini	menguntungkan	Puan	Siti	kerana	beliau	memperoleh	dua	jenis	pulangan
iaitu	dividen	dan	keuntungan	modal	daripada	peningkatan	nilai	saham	daripada	RM2.00	kepada	RM2.20.

Contoh   10
3
B

A
B

Saiz sebenar

62

Encik Yusuf membeli satu lot kedai dengan harga RM600 000 pada
1	 Januari	2017	di	Bangi.	Beliau	 telah	membayar	10%	daripada	nilai
belian lot kedai tersebut, iaitu sebanyak  RM60 000. Lot kedai tersebut
disewakan	mulai	1	Januari	2017.	Pada	31	Disember	2026	beliau	menjual
lot kedai tersebut dengan harga RM1 300 000. Jumlah pinjaman masih
berhutang	kepada	pihak	bank	berjumlah	RM486	000.	Manakala,	jumlah
ansuran bulanan  yang telah dilunaskan kepada pihak bank berjumlah
RM450	000.	Caj-caj	 lain	yang	 terlibat	dalam	urusan	 jual	beli	 adalah
seperti	berikut:

Apakah yang anda faham tentang pulangan atas pelaburan bagi hartanah?

Hartanah

Rumah  Lot Komersial

Pu
la

ng
an

Pu
la

ng
an

Pu
la

ng
an

Sewa dan
keuntungan modal

Sewa dan
keuntungan modal

Sewa dan
keuntungan modal

Tanah

Contoh   11

Kos guaman RM15 000

Duti setem (semasa urusan jual beli) RM15 000

Komisen ejen	 RM18	000

BULETIN

Duti setem
Cukai yang dikenakan
atas dokumen atau surat
yang mempunyai kesan
perundangan, komersial
atau kewangan seperti
di bawah Jadual Pertama,
Akta Setem 1949.
Kos guaman
Bayaran kepada peguam
untuk melakukan kerja
pindah milik harta bagi
pihak pembeli.
Komisen
Fee dibayar oleh penjual
hartanah kepada ejen bagi
urusan jualan hartanah.

Pelaburan	atas	hartanah	merupakan	salah	satu	pelaburan	yang	membawa	pulangan	dalam	bentuk
sewa dan keuntungan modal. Apabila suatu hartanah disewakan, pemilik (pelabur) hartanah tersebut
akan menerima pulangan dalam bentuk sewa. Jika hartanah tersebut dijual, pemilik (pelabur) akan
menerima keuntungan modal atau kerugian modal.
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

63

Penyelesaian:

Jumlah sewa  = RM200 000
Keuntungan	modal	=	 RM1	300	000	–	RM486	000	–	RM60	000	–	RM15	000	–	RM15	000
	 	 	 	 –	RM18	000	–	RM450	000
   = RM256 000
Jumlah	pulangan	 =	 RM200	000	+	RM256	000
	 	 	 =	 RM456	000

RM456	000 Nilai	pulangan	pelaburan	=	—————	×	100%
      RM600 000
     =	76%

Contoh  12

Jumlah sewa yang diperoleh sepanjang pegangan lot kedai tersebut ialah sebanyak RM200 000.
Hitung nilai pulangan pelaburan yang diperoleh Encik Yusuf .

Encik Hussein membeli sebuah rumah pada 1 Januari 2015
di	 Cheras	 dengan	 harga	 RM300	 000	 dan	 menjelaskan	 10%
wang pendahuluan sebanyak RM30 000. Beliau mengharapkan
pulangan	sebanyak	30%	dalam	tempoh	20	tahun.

Encik Hussein menjual rumah tersebut pada harga RM600 000 setelah genap memiliki rumah
tersebut selama 20 tahun. Jumlah pinjaman yang telah dilunaskan kepada pihak bank berjumlah
RM475	 000.	 Dalam	 tempoh	 tersebut,	 beliau	 berjaya	 memperoleh	 sewa	 sebanyak	 RM60	 000.
Perbelanjaan-perbelanjaan	lain	yang	terlibat	adalah	seperti	berikut:

Apakah	nilai	pulangan	pelaburan	bagi	Encik	Hussein	selama	20	tahun?	Adakah	beliau	mencapai
hasratnya	untuk	mendapatkan	pulangan	sebanyak	30%?

Penyelesaian:
Jumlah pulangan pelaburan
=	 Sewa	+	Keuntungan	modal
=	 RM60	000	+	(RM600	000	–	RM30	000	–	RM475	000	–	RM4	000	–	RM2	000	–	RM4	000)
=	 RM60	000	+	RM85	000
=	 RM145	000
	 	 	 RM145	000Nilai pulangan pelaburan = –––––––––– ×	100%
   RM300 000
	 	 =	48.33%

Duti setem (semasa urusan jual beli) RM4	000

Komisen ejen RM2 000

Kos guaman semasa urusan jual beli RM4	000

Encik Hussein berjaya memperoleh kadar pulangan
sebanyak	48.33%.	Kadar	ini	melebihi	kadar	pulangan
yang	diharapkan	iaitu	30%.
3
B

A
B

Saiz sebenar

64

Faktor-faktor
yang mempengaruhi

nilai pulangan
pelaburan

bagi hartanah

Situasi politik
•	 	Situasi	politik	yang	stabil	akan	meningkatkan	permintaan	ke	atas	hartanah.
•	 	Hal	ini	secara	tidak	langsung	akan	meningkatkan	harga	hartanah.
•	 Kedudukan	politik	yang	tidak	aman	akan	mengurangkan	permintaan

terhadap hartanah dan secara tidak langsung akan menyebabkan
kejatuhan harga hartanah.

Keadaan ekonomi
•	 			Keadaan	ekonomi	negara
 yang baik akan meningkatkan
 harga hartanah kerana
 permintaan terhadap hartanah
 akan meningkat.

Lokasi
•	 	Kedudukan	hartanah

di lokasi yang strategik seperti
berhampiran dengan pusat
bandar raya yang giat maju
mempunyai harga lebih tinggi
berbanding dengan hartanah
        di kawasan luar bandar.

Dalam	pelaburan	atas	hartanah	terdapat	faktor	yang	mempengaruhi	nilai	pulangan	pelaburan.
Antara	faktor-faktor	yang	mempengaruhi	nilai	pulangan	pelaburan	adalah	seperti	berikut:
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

65

STANDARD
PEMBELAJARAN

Potensi risiko pelaburan Kemungkinan	 sesuatu	 ketidakpastian	 yang	 mungkin	 dialami
daripada pelaburan yang dilakukan.

Tahap pulangan Keuntungan	yang	dinikmati	oleh	pelabur	daripada	aktiviti	pelaburan
yang dilakukan.

Aspek kecairan Berkaitan seberapa segera boleh ditunaikan daripada sesuatu
pelaburan atau simpanan tersebut.

Apakah faktor yang perlu diambil kira sebelum seseorang
membuat pelaburan?

Tiga faktor yang harus diambil kira oleh seseorang pelabur sebelum
membuat	pelaburan	adalah	seperti	berikut:

3.1cUJI  MINDA

1.	 Apakah	yang	dimaksudkan	dengan	nilai	pulangan	pelaburan	atau	ROI?

2.

	 Pada	1	Januari	2019,	Encik	Moses	membeli	sebuah	inap	desa	dengan	harga	RM250	000.
	 	 Kadar	sewa	sehari	ialah	RM100.
	 	 Secara	purata	20	hari	dalam	sebulan	inap	desa	tersebut	akan	diinap	oleh	penghuni.

(a) Hitung sewa bulanan.
	 		 (b)	 	Hitung	jumlah	pulangan	pelaburan	jika	inap	desa	ini	dijual	dengan	harga	RM480	000

pada akhir tahun tersebut.

3.	 Pada	1	Januari	2018,	Rahim	melabur	dalam	Amanah	Saham	Bumiputera	(ASB)	sebanyak	4	000
unit	bernilai	RM1	seunit.	Bagi	tahun	kewangan	berakhir	31	Disember	2018,	ASB	membayar
dividen	sebanyak	8%.

Berapakah	dividen	yang	diterima	oleh	Rahim	pada	tahun	tersebut?

Membanding dan
membeza potensi risiko,
pulangan dan kecairan
pelbagai jenis simpanan
dan pelaburan.
3
B

A
B

Saiz sebenar

66

TIP

1. Jelaskan hubungan antara risiko dengan pulangan dalam pelaburan.

2.	 Potensi	 risiko	 dalam	 simpanan	 di	 bank	 adalah	 sifar	 berbanding	 dengan	 pelaburan.	 Jelaskan
pernyataan ini.

3.	 Mengapakah	amanah	saham	mempunyai	tahap	kecairan	tinggi?

4. Hartanah mempunyai potensi risiko yang rendah. Jelaskan.

5.

Encik Osman mendirikan sebuah inap desa di atas lot tanah yang dibeli dengan harga
RM250	000.	Kos	keseluruhan	bagi	mewujudkan	inap	desa	ini	berjumah	RM500	000.

(a)	 Apakah	jenis	pelaburan	yang	dilakukan	oleh	Encik	Osman?

(b) Nyatakan potensi risiko, pulangan dan kecairan atas pelaburan yang dilakukan oleh
 Encik Osman.

(c)	 Pada	 pendapat	 anda,	 adakah	 pelaburan	 yang	 dilakukan	 oleh	 Encik	 Osman	 merupakan
	 satu	langkah	bijak?	Berikan	justifikasi	jawapan	anda.

• RM150 untuk sehari

Cara yang boleh
digunakan untuk
mengurangkan risiko
pelaburan adalah dengan
mempelbagaikan
portfolio pelaburan. Ini
membantu mengimbangi
risiko antara satu sama
lain dan seterusnya
boleh mengurangkan
risiko dalam portfolio
pelaburan.

Jadual di bawah menunjukkan perbandingan pelbagai jenis simpanan
dan	pelaburan	oleh	individu	dari	segi	tahap	risiko,	tahap	pulangan	dan
tahap kecairan.

Jenis
pelaburan

Tahap
risiko

Tahap
pulangan

Tahap
kecairan

Simpanan	 Bebas risiko Rendah Tinggi

Simpanan	tetap	 Bebas risiko Rendah Tinggi

Saham	syarikat	 Tinggi Tinggi Sederhana

Hartanah Rendah Tinggi Rendah

Unit amanah Rendah Sederhana Tinggi

3.1dUJI  MINDA

BULETIN
Portfolio
Pelbagai tahap jenis
pelaburan.
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

67

STANDARD
PEMBELAJARAN

Apakah yang anda faham tentang strategi pemurataan?

Strategi	pemurataan	merupakan	satu	teknik	yang	biasa	diamalkan	oleh
pelabur yang melabur dalam saham dengan amaun yang tetap untuk
tempoh yang tertentu seperti bulanan, suku bulanan, atau tahunan
tanpa mengambil kira keadaan pasaran saham.
	 Strategi	 pemurataan	 boleh	 membantu	 pelabur	 membeli	 saham
dengan kos purata yang lebih rendah dan jumlah saham yang dimiliki

TIP
Strategi pemurataan
membolehkan seseorang
supaya tidak membeli
saham pada harga yang
tinggi ataupun membeli
unit saham sebelum
mencapai harga yang
paling rendah.

Jadual	 di	 bawah	menunjukkan	 carta	 pelaburan	 Puan	Hasniza	 dalam	 tempoh	 1	 tahun	mengikut
strategi pemurataan iaitu pembelian saham mengikut setiap bulan.

Dengan	 strategi	 pemurataan	 seperti	 di	 atas,	 Puan	 Hasniza	 memperoleh	 6	 741	 unit	 dengan
menggunakan RM12 000.

Bulan Jumlah
pelaburan (RM) Harga seunit (RM)  Jumlah pelaburanBilangan unit = ———————— Harga seunit

Januari 1 000 2.00 500
Februari 1 000 1.80 555

Mac 1 000 1.80 555
April 1 000 1.70 588
Mei 1 000 1.70 588
Jun 1 000 1.60 625
Julai 1 000 1.60 625
Ogos 1 000 1.50 666

September 1 000 1.60 625
Oktober 1 000 2.20 454
November 1 000 2.30 434
Disember 1 000 1.90 526

12 000 1.78
(kos purata seunit syer)

6	741
(bilangan unit yang dimiliki)

Strategi pemurataan

Mengira purata kos sesyer
bagi pelaburan saham
menggunakan strategi
pemurataan kos ringgit
dan menjelaskan manfaat
strategi ini.

RM12 000=  ————– = RM1.78 6 741
Kos purata
seunit saham

juga lebih banyak dalam tempoh masa pelaburan yang sama berbanding dengan pembelian sekali
gus atau dengan pembelian secara tunggal.
	 Contohnya	Puan	Hasniza	mempunyai	RM12	000	dan	membeli	saham	sekali	gus	dari	Syarikat
Sempurna	dengan	harga	RM2.00	seunit	saham.	Dengan	cara	ini,	Puan	Hasniza	hanya	akan	memiliki
6	000	unit	saham	(6	000	unit	saham	×	RM2.00	=	RM12	000).	Namun	keadaan	akan	berbeza	jika
Puan	Hasniza	membeli	saham	mengikut	strategi	pemurataan.

Kos Purata =
Bilangan unit saham

yang dimiliki

Jumlah pelaburan
3
B

A
B

Saiz sebenar

68

Contoh  13

Berikut ialah dua orang pelabur yang melabur dengan cara yang berbeza.

Saya pula ingin
melabur RM20 000

secara sekali gus dengan
membeli saham Syarikat

Pelita yang berharga
RM2.00 seunit.

Saya mempunyai
RM20 000 dan ingin

melabur dalam saham
mengikut bulan-bulan
tertentu dalam amaun

yang sama.

Pembelian saham oleh Puan Esther Wong mengikut bulan-bulan tertentu:
Bulan Januari Mac Mei Ogos Disember

Harga saham
seunit (RM) 2.00 1.80 1.60 2.10 2.00

(a)  Kenal pasti kos purata seunit dan jumlah saham yang dimiliki oleh  Puan Linda dan Puan Esther
Wong.

(b)	 Siapakah	pelabur	yang	bijak?	Berikan	justifikasi	anda.

Penyelesaian:

(a) Puan Linda
     RM20 000 Jumlah saham =  ————— = 10 000 unit saham
     RM2.00
     RM20 000   = —————–––––     10 000 unit saham
   = RM2.00

Puan Esther Wong

Jumlah saham = 10 626 unit saham
     RM20 000    = ————— = RM1.88      10 626 unit

(b)  Puan Esther Wong merupakan seorang pelabur yang bijak kerana mengamalkan strategi
pemurataan yang boleh membantu beliau memiliki lebih banyak saham dengan kos purata
seunit yang lebih rendah.

Puan LindaPuan Esther Wong

Kos purata
seunit saham

Kos purata
seunit saham

Bulan Jumlah pelaburan Harga seunit ( RM) Bilangan unit saham
Januari 4 000 2.00 2 000 unit

Mac 4 000 1.80 2 222 unit
Mei 4 000 1.60 2 500 unit

Ogos 4 000 2.10 1 904 unit
Disember 4 000 2.00 2 000 unit

20 000 10 626 unit saham
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

69

1. Apakah yang anda faham tentang strategi pemurataan dalam pembelian saham?
2. Berikut ialah dua orang pelabur yang melabur dengan cara yang berbeza.

Jadual di atas menunjukkan harga saham yang dibeli oleh Encik Sulaiman mengikut bulan.
	 (a)	 Pelabur	manakah	merupakan	seorang	pelabur	yang	bijak?	Berikan	justifikasi	anda.
  (b) Hitung kos purata seunit dan jumlah saham yang dimiliki oleh Encik Sulaiman.
 (c) Nyatakan kelebihan membeli saham mengikut strategi pemurataan.

Encik Derick melabur RM24 000 secara sekali gus dengan
membeli saham Wawasan yang berharga RM2.00 seunit saham.Pelabur 1

Encik Sulaiman mempunyai RM24 000 dan melabur secara
berkala dan konsisten sebanyak RM2 000 setiap bulan dengan
membeli saham Wawasan.

Pelabur 2

3.1eUJI  MINDA

Bulan Jan Feb Mac April Mei Jun Julai Ogos Sept Okt Nov Dis

Harga
Saham

Seunit (RM)
2.00 1.80 1.70 1.60 2.10 1.50 2.20 2.00 2.00 1.60 1.70 1.80

Kelebihan
strategi

pemurataan
bagi pelabur

Membantu mengambil kesempatan daripada perubahan harga seunit
•	 Apabila	harga	saham	rendah,	lebih	banyak	unit	saham	dapat	dibeli.
•	 	Hal	 ini	 secara	 tidak	 langsung	membantu	pelabur	memiliki	 lebih	 banyak

saham dalam jangka masa panjang.
Purata kos seunit amanah saham yang dibeli oleh pelabur boleh dikurangkan
dalam jangka masa yang panjang.

Tidak dipengaruhi oleh emosi
•	 	Melabur	secara	berkala	dan	konsisten	 tanpa	dipengaruhi	oleh	emosi

yang mungkin berubah-ubah disebabkan harga saham turun naik.

Mengurangkan risiko kerugian
•	 Jumlah pelaburan secara berkala dan konsisten boleh membantu

pelabur membeli mengikut keadaan semasa berbanding dengan
melabur sekali gus dan tidak ada peluang untuk mengelakkan kerugian.
3
B

A
B

Saiz sebenar

70

STANDARD
PEMBELAJARAN

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah berkaitan
simpanan dan pelaburan?

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
simpanan dan pelaburan.Contoh  14

Encik	 Zaidi,	 Encik	 Leong	 dan	 Encik	 Navin	 telah	 bersara	 dan	masing-masing	menerima	 wang
persaraan daripada syarikatnya sebanyak RM400 000. Mereka bertiga melakukan pelaburan
menggunakan cara pelaburan yang berbeza.

Siapakah pelabur yang bijak?

Encik Zaidi membeli sebuah pangsapuri kos sederhana
di Kajang yang bernilai RM150 000 dan menerima sewa
sebanyak RM800 sebulan. Wang selebihnya disimpan
dalam simpanan tetap dengan kadar faedah 4% setahun.

Encik Leong melabur RM400 000 dalam Syarikat Manis
dengan membeli saham yang berharga RM2.00 seunit.
Pada	 tahun	 tersebut,	 syarikat	 itu	mengisytiharkan	dividen
sebanyak 8%.

Encik	 Navin	 menyimpan	 RM200	 000	 dalam	 akaun
simpanan dengan  kadar faedah sebanyak 1% setahun
dan baki RM200 000 disimpan dalam akaun simpanan
tetap dengan kadar faedah 4% setahun.

Encik Zaidi

Encik Leong

Encik Navin
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

71

Tahap risiko Tahap risiko adalah tinggi.

Pulangan atas
pelaburan

Menerima dividen dan bonus bergantung pada prestasi syarikat yang dilabur.
Jika	beliau	menjual	saham,	belum	pasti	beliau	akan	dapat	menjual	saham	tersebut
pada harga yang lebih tinggi berbanding dengan harga pembeliannya. Hal ini
bergantung pada keadaan ekonomi dan prestasi syarikat saham pada ketika itu.

Kecairan Sederhana.

Tahap risiko Tahap risiko bagi hartanah (pangsapuri) dan simpanan tetap adalah rendah.
Pulangan atas
pelaburan

Menerima pulangan atas pelaburan dalam bentuk sewa dan faedah.

Sewa Faedah simpanan Nilai pulangan pelaburan (ROI)

Kecairan Simpanan mudah dijadikan tunai manakala hartanah mengambil masa untuk dijual.

Tahap risiko Tahap risiko adalah rendah.
Pulangan atas
pelaburan

Menerima pulangan atas pelaburan dalam bentuk faedah sahaja.

Faedah simpanan Faedah simpanan tetap Nilai pulangan pelaburan (ROI)

Kecairan Simpanan mudah dijadikan tunai.

Penyelesaian:

Encik Leong

Encik Zaidi

Encik Navin

•		 	Encik	Leong	merupakan pelabur yang bijak kerana nilai pulangan pelaburan beliau adalah
tinggi	berbanding	Encik	Zaidi	dan	Encik	Navin.

•	 	Dalam	contoh	ini,	Encik	Zaidi,	Encik	Leong	dan	Encik	Navin	masing-masing	menggunakan
modal	yang	sama,	 iaitu	RM400	000.	Keberkesanan	pelaburan	mereka	boleh	 juga	dibanding
dengan jumlah pulangan masing-masing untuk tahun tersebut.

8 = 400 000 × —–
                    100
 = RM32 000

4—— × RM250 000
 100
= RM10 000

RM19 600ROI = ——–––––– × 100%
   RM400 000
 = 4.9%

RM32 000ROI = ——–––––– × 100%
   RM400 000
 = 8%

RM10 000ROI = ——–––––– × 100%
   RM400 000
 = 2.5%

4 —– × RM 200 000100
= RM8 000

RM800 × 12 = RM9 600

Dividen

1 RM200 000 × —–
                      100
 = RM2 000
3
B

A
B

Saiz sebenar

72

Encik Nik Izwan menerima wang persaraan dari syarikatnya sebanyak RM600 000.
Beliau menyimpan RM150 000 dalam akaun simpanan tetap di sebuah bank perdagangan
dengan kadar faedah 4% setahun. Beliau juga membeli unit amanah saham bernilai RM150 000.

Pada	 masa	 yang	 sama,	 Encik	 Nik	 Izwan	 juga	 membeli	 saham	 di	 Syarikat	 Cepat	Maju
bernilai RM100 000. Baki wang persaraan digunakan untuk membeli sebuah pangsapuri
kos sederhana di Ampang dan menerima sewa sebanyak RM1 200 sebulan.

1. Berikut ialah dua orang pelabur yang melabur wang persaraan mereka.

Encik Rasamanie menerima wang persaraan dari syarikatnya sebanyak RM600 000.
Beliau	membeli	satu	lot	kedai	dua	tingkat	di	Bangi,	Selangor	dan	menerima	sewa	bulanan
sebanyak RM3 500.

(a)	 Jelaskan	tahap	risiko	pelaburan	kedua-dua	individu	tersebut.
 (b) Pada	pandangan	anda,	siapakah	merupakan	pelabur	yang	bijak?	Berikan	justifikasi	anda.
 (c)  Apakah faktor-faktor yang harus dipertimbangkan sebelum seseorang melabur dalam

hartanah?

2.  Pada	 tahun	2015,	Encik	Wong	membeli	 sebuah	 rumah	dengan	harga	 sebanyak	RM540	000.
Beliau membayar 10% wang pendahuluan dan bakinya dibayar melalui pinjaman. Setelah
menduduki	rumah	tersebut	selama	20	tahun,	Encik	Wong	mengambil	keputusan	untuk	menjual
rumah tersebut dengan harga RM900 000. Berikut ialah perbelanjaan yang terlibat.

Hitung nilai pulangan pelaburan bagi Encik Wong.

3.1fUJI  MINDA

Jumlah ansuran bulanan yang dibayar RM666 000
Duti setem RM15 000
Ejen komisen RM8 000
Perbelanjaan lain RM18 000

Sewa bulanan
RM3 500

Sewa bulanan
RM1 200
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

73

STANDARD
PEMBELAJARAN

3.2    Pengurusan Kredit dan Hutang

Menjelaskan maksud
kredit dan hutang, dan
seterusnya menghuraikan
pengurusan yang
bijaksana tentang kredit
dan hutang.

Bagaimanakah anda menguruskan kredit dan hutang dengan bijaksana?

•	 	Pengguna	kad	kredit	perlu	menjelaskan	bayaran	hutang	dalam	tempoh	yang	ditetapkan	oleh
bank untuk menikmati tempoh tanpa faedah.

•	 	Membayar	jumlah	penuh	yang	tertera	pada	penyata	kad	kredit.

•	 	Jumlah	minimum	yang	 dibayar	 oleh	 pemegang	 kad	 kredit	memberi	 peluang	 kepada	 bank
untuk mengenakan caj atas baki dan juga boleh menyebabkan caj bayaran lewat dikenakan.

•	 	Membayar	pada	tempoh	diskaun	tunai	bagi	pembayaran	hutang.

Apakah yang anda faham tentang kredit dan hutang?

Perkataan kredit boleh membawa beberapa maksud. Dalam dunia
kewangan,	kredit bermaksud satu perjanjian kontrak antara pembekal
(contohnya	 bank	 atau	 institusi	 kewangan)	 dengan	 pengguna,	 yang
mana pengguna boleh meminjam wang daripada pembekal untuk
sesuatu kegunaan atau pembelian dan bersetuju membayar balik dalam
suatu	 tempoh	 tertentu.	 Secara	 ringkas,	 kredit	 ialah	 satu	 kemudahan
penangguhan bayaran yang diberikan oleh pembekal kepada pengguna.

Sebagai	 contoh,	 bank	menawarkan	kemudahan	kredit
kepada pelanggan dalam bentuk kad kredit. Jika pelanggan
atau pemilik kad kredit menggunakan kad kredit tersebut
dalam	suatu	transaksi	urus	niaga,	maka	bank	akan	membayar
dahulu kepada penjual dan pelanggan membayar balik
kepada bank dalam suatu tempoh tertentu kelak.

Kredit	juga	boleh	bermaksud	jumlah	wang	yang	boleh	dipinjam.	Contohnya	untuk	kad	kredit,
jika	had	kad	kredit	 ialah	RM10	000,	maka	pemilik	kad	 tersebut	mempunyai	kemampuan	untuk
membeli barang atau membuat transaksi sehingga RM10 000 dengan kad tersebut.

Hutang biasanya membawa maksud suatu amaun yang telah dipinjam tetapi belum dilunaskan.
Jika	 suatu	 urus	 niaga	 dibuat	 dengan	menggunakan	 kad	 kredit,	 maka	 kredit	 pada	 kad	 itu	 akan
bertukar menjadi hutang.

Belanjawan peribadi ialah anggaran pendapatan dan
perbelanjaan	seseorang	individu	untuk	satu	tempoh	tertentu.
Amalan membuat belanjawan peribadi amat digalakkan
supaya	individu	dapat
(a) merancang perbelanjaan secara berhemah
(b) mengelak daripada berbelanja berlebihan
(c) menabung
3
B

A
B

Saiz sebenar

74

Cetusan Minda 2

Tujuan: Kesan penggunaan kad kredit bagi pembelian barang-barang secara atas talian.

Hasil	 daripada	Cetusan	Minda	2,	 didapati	 bahawa	pembelian	barang-barang	melalui	 atas	 talian
boleh	menyebabkan	pengguna	berbelanja	secara	boros	dan	menyebabkan	mereka	berhutang.	Maka,
kita harus berhati-hati semasa membeli barang-barang secara atas talian.

Berkumpulan

Langkah:
1. Bahagikan kelas kepada empat hingga lima kumpulan.
2.  Setiap murid dalam kumpulan boleh melayari internet atau laman web berkaitan tajuk

perbincangan untuk mendapatkan maklumat lebih lanjut.
3.  Maklumat yang dikumpul harus dibentangkan dalam peta pemikiran yang sesuai di hadapan

kelas.
4. Peta pemikiran yang terbaik akan dipaparkan di sudut matematik.

Perbincangan:
Apakah kesan pembelian barang-barang secara atas talian?

Contoh  15

Encik Syed membeli sebuah pendingin hawa yang berharga RM3 200 pada 15 Julai 2018.
Beliau	kekurangan	wang	tunai	sebanyak	RM1	200	tetapi	memiliki	kad	kredit	dari	Bank	Cemerlang.
Beliau juga tahu bahawa kekurangan wang tunai ini boleh dibayar pada hujung bulan tersebut
apabila beliau mendapat gaji.
(a) Apakah cara kemudahan kredit yang boleh digunakan oleh Encik Syed untuk mengatasi

masalah kekurangan wang tersebut?
(b) Nyatakan kelebihan dan kelemahan cara pembayaran yang anda nyatakan dalam jawapan (a).

Penyelesaian:

(a) Encik Syed boleh menggunakan kemudahan kad kredit.
(b) Penggunaan kad kredit adalah lebih senang sekiranya Encik Syed membayar balik kreditnya

dalam tempoh tanpa faedah supaya beliau tidak akan dikenakan sebarang caj.
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

75

Kelebihan kad kredit Kekurangan kad kredit

•		Pengguna	kad	kredit	boleh	menikmati
sistem ganjaran dalam bentuk rebat tunai
atau penebusan mata.

•	Tidak	perlu	membawa	tunai	yang	banyak.
•	Kaedah	pembayaran	yang	mudah	dan	cekap.
•		Kemudahan	membeli	barangan	dan

perkhidmatan atas talian.

•		Dibebankan	dengan	caj-caj	seperti	yuran
tahunan,	caj	kewangan	(faedah),	caj	faedah
pendahuluan wang tunai dan caj bayaran
lewat.

•	Berbelanja	lebih	daripada	sepatutnya.
•		Sesetengah	kedai	tidak	menerima

pembayaran melalui kad kredit.

3.2aUJI  MINDA

1. Apakah maksud pinjaman peribadi?

2.   Ramai orang muflis disebabkan kad kredit
 Apakah cara untuk mengatasi situasi di atas?

3. Puan Zuraidah ingin membeli sebuah peti sejuk di Kedai Elektrik Hebat
tetapi beliau kekurangan wang sebanyak RM2 500. Kedai Elektrik Hebat
sendiri menyediakan pinjaman segera bagi pembelian dengan kadar faedah
4% setahun. Puan Zuraidah juga memiliki kad kredit. Apakah kemudahan
kredit yang harus digunakan oleh Puan Zuraidah dan nyatakan kelebihannya?

PETI SEJUK NICOL

RM3 200
KEDAI ELEKTRIK HEBAT

Akan	 tetapi,	bukan	 semua	 individu	 layak	untuk	memiliki	kad	kredit.	Terdapat	beberapa	 syarat
yang perlu dipatuhi oleh seseorang pemohon.

•	 21	tahun	ke	atas.
	 •	 	Berpendapatan	minimum	RM24	000	setahun	dan	memenuhi	syarat-syarat	lain	yang	ditetapkan

oleh pihak bank.
	 •		 Perlu	mempunyai	penyata	slip	gaji	atau	dokumen	sokongan.

Pengguna kad kredit perlu mematuhi tanggungjawab sebagai seorang pengguna kad kredit apabila
menandatangani borang permohonan kad kredit.

•	 	Menandatangani kad kredit sebaik sahaja diterima. Simpan kad kredit di dalam dompet supaya
mudah sedar sekiranya hilang.

•	 Tidak memberikan butir-butir kad kredit kepada orang yang tidak dikenali.
	 •	 Hafal nombor pin dan tidak mencatat nombor pin di belakang kad.
	 •	 	Semak urus niaga dalam penyata kad kredit yang diterima pada hujung bulan.

Apakah yang anda faham tentang kelebihan dan
kekurangan kad kredit?

Penggunaan kad kredit semakin lazim pada masa sekarang. Sebagai
pengguna adalah penting untuk kita sedar dan memahami kelebihan
dan kekurangan dalam menggunakan kad kredit.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Mengkaji dan menghuraikan
kelebihan dan kekurangan
kad kredit dan penggunaannya
secara bijaksana.
3
B

A
B

Saiz sebenar

76

Contoh  16

TIP

TIP

Apakah yang anda faham tentang kesan pembayaran
 minimum dan pembayaran lewat bagi penggunaan
kad kredit?

Pemilik kad kredit akan menerima satu penyata kewangan untuk kad
kredit	setiap	bulan.	Dalam	penyata	tersebut,	terdapat	butiran	seperti	had
kredit,	tarikh	penyata,	jumlah	terkini,		jumlah	bayaran	minimum,	jenis-
jenis caj dan sebagainya.
 Pemilik kad seharusnya membayar jumlah terkini (atau hutang kad
kredit) dengan segera supaya tidak dikenakan sebarang caj kewangan.
Tetapi bank memberi kelonggaran dengan membenarkan pengguna
membayar dalam suatu tempoh tertentu yang dikenali sebagai tempoh
tanpa faedah. Biasanya tempoh ini adalah selama 20 hari mulai daripada
tarikh penyata.
	 Untuk	 menikmati	 keistimewaan	 ini	 setiap	 bulan,	 pemilik	 kad
harus menjelaskan semua jumlah baki akhir penyata kad kredit atau
pun membuat bayaran minimum dalam tempoh tanpa faedah. Bayaran
minimum biasanya adalah 5% daripada jumlah baki akhir penyata kad
kredit,	atau	minimum	RM50.
 Jika masih terdapat baki daripada jumlah terkini selepas tamat

Mengkaji dan menghuraikan
kesan pembayaran minimum
dan pembayaran lewat bagi
penggunaan kad kredit.

Pemegang kad kredit
harus membayar
sepenuhnya baki hutang
kad kredit untuk
membolehkan mereka
menikmati tempoh tanpa
faedah 20 hari sejak urus
niaga mula direkodkan
atau tarikh penyata
sehingga tamat tempoh
berakhir bagi semua
transaksi anda.
Namun, jika anda membayar
hanya sebahagian
daripadanya, anda akan
kehilangan tempoh tanpa
faedah tersebut.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Kita hendaklah bijak
menggunakan kad kredit.

tempoh	tanpa	faedah,	caj	kewangan	(atau	faedah)	akan	dikenakan	ke	atas	baki	tersebut	dalam	kadar
harian. Kebanyakan bank mengenakan kadar faedah tahunan di antara 15% hingga 18%.
	 Tambahan	 itu,	 jika	 tiada	 sebarang	 bayaran	 dibuat	 dalam	 tempoh	 tanpa	 faedah,	 maka	 caj
bayaran lewat minimum RM10 atau 1% daripada jumlah baki belum jelas pada tarikh penyata
bulan seterusnya akan dikenakan.

Encik Ahmad menerima penyata kad kredit untuk bulan Januari 2019 dari Bank Sentosa.
Penyata menunjukkan Encik Ahmad mempunyai jumlah terkini (baki tertunggak) RM5 200.
Anggap bahawa Encik Ahmad tidak menggunakan kad kredit dalam bulan Februari.
(a) Berapakah bayaran minimum yang harus dibayar oleh Ahmad?
(b)  Jika Encik Ahmad hanya membuat bayaran minimum untuk bulan Januari dan tarikh penyata

ialah	15	hari	daripada	 tarikh	 tamat	 tempoh	 tanpa	 faedah,	 apakah	baki	dalam	penyata	bulan
Februari untuk Encik Ahmad?

(c)	 	Jika	Encik	Ahmad	terlupa	membuat	sebarang	pembayaran	untuk	bulan	Januari,	apakah	baki
dalam penyata bulan Februari untuk Encik Ahmad?

Penyelesaian:
(a) Jumlah terkini = RM5 200
      5% daripada jumlah terkini = (—– )× RM5 200 = RM260

Jumlah	ini	melebihi	RM50,	jadi	bayaran	minimum	yang	harus	dibayar	oleh	Encik	Ahmad	ialah
RM260.

(b) Baki belum dijelaskan = RM5 200 – RM260 = RM4 940
 Tempoh dikenakan caj kewangan = 15 hari = (15 ÷ 365) tahun
 Faedah yang dikenakan = RM4 940 × [(18 ÷ 100) × (15 ÷ 365)] = RM36.54

Jumlah terkini (Baki tertunggak) dalam bulan Februari = RM4 940 + RM36.54 = RM4 976.54

5
100
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

77

Contoh  17

SGD250

STANDARD
PEMBELAJARAN

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
melibatkan penggunaan kad kredit?

Kita sebagai pengguna kad kredit harus sedar tentang kelebihan dan
kekurangan kad kredit. Kita harus mengambil kira beberapa faktor
sebelum	menggunakan	kad	kredit	seperti	baki	had	limit	yang	sedia	ada,
aliran tunai semasa dan sebagainya.

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan
penggunaan kad kredit.

Cik	Chin	ingin	membeli	satu	beg	tangan	buatan	Perancis	secara	atas	talian.
Beliau melayari internet dan menjumpai dua promosi menarik berikut:
(a)  Syarikat L di Singapura menawarkan harga promosi SGD250. Untuk

tempahan	daripada	luar	Singapura,	caj	kiriman	SGD50	dikenakan.
(b)  Syarikat V di Malaysia menawarkan harga promosi RM799. Penghantaran adalah percuma

untuk semua tempahan ke alamat tempatan.
Cik	 Chin	 bercadang	 membuat	 pembayaran	 dengan	 kad	 kredit	 dan	 beliau	 faham	 bank	 akan
mengenakan caj tambahan 1% ke atas setiap transaksi daripada luar negara. Andaikan kadar semasa
pertukaran mata wang untuk ringgit Malaysia ialah

Sebagai	pengguna	bijak,	tawaran	manakah	yang	Cik	Chin	harus	pilih?	Berikan	justifikasi	anda.
Penyelesaian:
Cik	 Chin	 harus	 membandingkan	 harga	 sebenar	 yang	 akan	 dibayar	 jika	 membeli	 daripada	 dua
syarikat tersebut.

(a) Syarikat L:
 Harga promosi = SGD250 × (1 ÷ 0.34) = RM735.29
	 Caj	kiriman	=	SGD50	×	(1	÷ 0.34) = RM147.06

Caj	tambahan	oleh	bank	=	RM735.29	×	(—–) = RM7.35

Harga sebenar yang akan dibayar = RM735.29 + RM147.06 + RM7.35 = RM889.70

(b)  Syarikat V:
 Harga promosi = RM799

Harga sebenar yang akan dibayar = RM799

1
100

1
100

(c) Baki belum dijelaskan = RM5 200
 Tempoh dikenakan caj kewangan = 15 hari = (15 ÷ 365) tahun
 Faedah yang dikenakan = RM5 200 × [(18 ÷ 100) × (15 ÷ 365)] = RM38.47
	 Caj	bayar	lewat	=	(—–) × (RM5 200 + RM38.47) = RM52.38

Jumlah terkini dalam bulan Februari = RM5 200 + RM38.47 + RM52.38 = RM5 290.85

RM1 = SGD0.34

Walaupun	 harga	 promosi	 yang	 ditawarkan	 oleh	 Syarikat	 V	 adalah	 lebih	 murah,	 namun	 harga
sebenar yang akan dibayar adalah lebih tinggi disebabkan caj-caj tambahan yang dikenakan untuk
pembelian	secara	atas	talian	dari	Syarikat	V.	Jadi,	Cik	Chin	harus	membeli	dari	Syarikat	L	kerana
dapat berjimat RM90.70.
3
B

A
B

Saiz sebenar

78

Contoh  19

Encik Azlan membuat pinjaman peribadi sebanyak RM10 000 dari Bank Mulia dengan kadar
faedah 4% setahun. Tempoh bayaran balik adalah selama 7 tahun.

Berapakah ansuran bulanan yang akan dibayar oleh Encik Azlan?

Penyelesaian:
A = P + Prt
Pinjaman,	P = RM10 000
              r = 4%
              t = 7 tahun

Maka,	jumlah	bayaran	balik
         4A = RM10 000 + (RM10 000 × —– × 7)         100
  = RM10 000 + RM2 800
 = RM12 800
       RM12 800Ansuran bulanan = ————– =  RM152.38
        84 bulan

STANDARD
PEMBELAJARAN

Bagaimanakah anda mengira bayaran balik pinjaman
dan bayaran ansuran?

Mengira jumlah bayaran
balik pinjaman dan
bayaran ansuran,
dengan pelbagai kadar
faedah dan tempoh
pinjaman yang berbeza.

Setiap pinjaman akan dikenakan faedah ke atas pinjaman dari tarikh
pinjaman itu dilakukan. Terdapat dua jenis kaedah pengiraan faedah
pinjaman,	iaitu	faedah	kadar	sama	rata	dan	faedah	atas	baki.
 Baki pinjaman wujud setelah menolak bayaran pendahuluan dan
ditambah dengan jumlah faedah yang dikenakan.
 Ansuran bulanan ialah jumlah amaun yang dibayar oleh peminjam
kepada pihak bank setiap bulan bagi menjelaskan baki pinjaman.

Contoh  18

Jumlah bayaran balik boleh dihitung
dengan formula A = P + Prt

Faedah sama rata

Dalam	kaedah	faedah	sama	rata,	kadar	faedah	akan	dikira	pada	jumlah	pinjaman	asal	sepanjang
tempoh pinjaman. Jadi jumlah faedah yang dikenakan setiap bulan adalah tetap.

Puan Lim membeli sebuah kereta bernilai RM80 000 secara kredit. Beliau membayar bayaran
pendahuluan sebanyak 10% dan bakinya dibayar secara ansuran selama 6 tahun. Kadar faedah
sama rata yang dikenakan oleh bank ialah 4% setahun. Berapakah jumlah bayaran balik dan bayaran
ansuran bulanan yang perlu dibayar oleh Puan Lim?
Penyelesaian:
Jumlah pinjaman = Harga belian – bayaran pendahuluan
 = RM80 000 – RM8 000 = RM72 000
   4Faedah untuk 6 tahun = RM72 000 × —– × 6 tahun = RM17 280
   100
Jumlah bayaran balik = RM72 000 + RM17 280 = RM89 280
   RM89 280Bayaran ansuran = ————– = RM1 240 sebulan
   72 bulanbulanan
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

79

Contoh  20

Encik Harith membuat pinjaman peribadi sebanyak RM10 000 dari Bank Mulia dengan kadar
faedah 6% atas baki. Tempoh bayaran balik adalah selama 7 tahun manakala ansuran bulanan
adalah sebanyak RM150.
Hitung jumlah faedah yang perlu dibayar oleh Encik Harith bagi 3 bulan pertama.

Penyelesaian:
Bulan pertama
     6  1Faedah bulan pertama = RM10 000 × —– × —
     100  12
    = RM50.00
Jumlah pinjaman pada akhir bulan pertama  = RM10 000 + RM50
      = RM10 050
Baki selepas bayaran ansuran bulan pertama  = RM10 050 – RM150
      = RM9 900
Bulan kedua
Jumlah baki pinjaman pada awal bulan kedua = RM9 900
     6  1Faedah bulan kedua = RM9 900 × —– × —
     100  12
   = RM49.50
Jumlah pinjaman bagi akhir bulan kedua  =  RM9 900 + RM49.50
     = RM9 949.50
Baki selepas bayaran ansuran bulan kedua  = RM9 949.50 – RM150
     = RM9 799.50
Bulan ketiga
Jumlah baki pinjaman pada awal bulan ketiga = RM9 799.50
    6  1Faedah bulan ketiga = RM9 799.50 × —– × —
    100  12
   = RM49.00
Jumlah pinjaman bagi akhir bulan ketiga =  RM9 799.50 + RM49.00
     =  RM9 848.50
Baki selepas bayaran ansuran bulan ketiga =  RM9 848.50 – RM150
     =  RM9 698.50
Jumlah faedah bagi tempoh tiga bulan pertama ialah RM50.00 + RM49.50 + RM49.00 = RM148.50

Imbas QR Code atau layari
http://yakin-pelajar.com/
Bab%203/ untuk
mendapatkan maklumat
lanjut tentang pinjaman
faedah sama rata dan
faedah atas baki.

Faedah atas baki

Selain	daripada	faedah	sama	rata,	bank	juga	menawarkan	faedah	atas	baki	untuk	sesetengah	jenis
pinjaman.	Dalam	 kaedah	 faedah	 atas	 baki,	 jumlah	 faedah	 setiap	 bulan	 yang	 dikenakan	 ke	 atas
pinjaman bergantung kepada jumlah baki pinjaman pada bulan tersebut. Oleh kerana terdapat
bayaran	ansuran	 setiap	bulan,	 jumlah	baki	pinjaman	akan	berkurangan,	dan	dengan	 itu,	 jumlah
faedah untuk setiap bulan juga akan berkurangan.

Namun	 perlu	 diingatkan	 bahawa	 untuk	 setiap	 ansuran	 yang	 dibayar	 setiap	 bulan,	 keutamaan
diberikan	untuk	menjelaskan	 jumlah	faedah	pada	bulan	 tersebut,	dan	kemudian	baki	selebihnya
digunakan untuk menjelaskan baki jumlah pinjaman.
3
B

A
B

Saiz sebenar

80

Memahami masalah

Jumlah ansuran bulanan yang perlu
dibayar oleh Encik Vincent dengan syarat
tidak membebankannya.

Merancang strategi

•	 Menghitung	faedah	bulanan.
•	 	Menghitung	ansuran	bulanan	yang	perlu

dibayar.

Penyelesaian:

Contoh  22

Encik	Vincent	mula	berkhidmat	sebagai	seorang	guru	kerajaan,	dengan
pendapatan bulanan sebanyak RM2 800. Beliau membuat keputusan
untuk membeli sebuah kereta baharu untuk berulang alik dari rumah
ke tempat kerjanya. Beliau menghubungi dua buah bank untuk
mendapatkan	 pinjaman	 sebanyak	RM40	 000.	 Selain	 itu,	 setiap	 bulan
beliau juga memerlukan RM1 500 untuk menampung perbelanjaan lain.
Berikut ialah pakej pinjaman yang ditawarkan oleh dua bank kepada
Encik Vincent.

Kemukakan cadangan kepada Encik Vincent bank manakah yang sesuai dipilih untuk pinjaman
keretanya. Nyatakan alasan anda.

Aspek pinjaman Bank A Bank B
Jumlah pinjaman RM40 000 RM40 000
Tempoh bayaran 9 tahun 6 tahun
Kadar faedah 4.5 % 5 %
Penjamin  Tidak perlu perlu

TIP
Jangan meminjam wang
daripada pemberi pinjaman
wang tidak berlesen kerana:
♦		Pinjaman	akan	dibuat

mengikut terma dan
syarat yang tersendiri

♦		Mengenakan	caj	faedah
yang sangat tinggi
dengan kompaun harian.

♦		Meletakkan	diri	dan
keluarga anda dalam
keadaan bahaya
sekiranya anda lewat
membuat bayaran.

♦		Memaksa	anda	membuat
pinjaman tambahan untuk
melunaskan pinjaman
yang terdahulu.

Kelebihan Keburukan
•		Bayaran	balik	pinjaman	kenderaan	secara	ansuran

bulanan membolehkan Ameera memiliki kereta
tersebut.

•		Tidak	perlu	membayar	sekali	gus	dengan	tunai.

•		Kereta	 boleh	 ditarik	 balik	 jika
tidak menjelaskan bayaran ansuran.

•		Jumlah	 bayaran	 balik	 adalah	 tinggi
disebabkan faedah.

Penyelesaian:

STANDARD
PEMBELAJARAN

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
melibatkan pinjaman?

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan pinjaman.

Ameera ingin membeli sebuah kereta dan telah membayar wang pendahuluan sebanyak RM4 800.
Baki bayaran akan dijelaskan melalui pinjaman kenderaan.

Nyatakan kelebihan dan kekurangan pinjaman kenderaan yang dipilih oleh Ameera.

Contoh  21

RM48 000
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

81

(a) Terangkan tiga jenis pulangan yang akan diterima oleh Ramesh.
4. Berikut ialah dua jenis pelaburan.

Terangkan dua perbezaan antara dua jenis pelaburan tersebut.

1. Apakah yang dimaksudkan dengan simpanan?
2. Nyatakan ciri-ciri berkaitan dengan Akaun Simpanan Tetap.
3. Encik Lipong menyimpan wang sebanyak RM8 000 di Bank Pantas dengan kadar faedah

tahunan sebanyak 4% untuk 2 tahun. Berapakah jumlah simpanannya pada akhir tahun kedua?

1.  Bagaimanakah strategi pemurataan boleh membantu seseorang pelabur?
2. Terangkan maksud pelaburan dalam hartanah.
3. Perbualan berikut adalah antara Ramesh dengan Ismail berkenaan pembelian saham.

Cabaran Dinamis

Uji Diri

Mahir Diri

Ramesh, saya
baru sahaja

membeli saham
BHP Berhad.

Bagus Ismail,
anda akan mendapat
pulangan daripada

pelaburan anda.

Lee	Chong	membeli	3	000	unit	syer
syarikat awam berhad.

Mokhtar membeli 3 000 000 unit amanah saham.

Encik Vincent harus memilih Bank A kerana Bank A mengenakan faedah yang lebih rendah
berbanding dengan Bank B. Namun tempoh bayaran yang berlainan menyebabkan amaun faedah
yang	dibayar	adalah	berbeza.	Oleh	itu,	Encik	Vincent	boleh	juga	memilih	Bank	B.

Membuat kesimpulan

Melaksanakan strategi

Jumlah bayar balik

Jumlah bayaran balik yang akan dibayar
kepada Bank A

Jumlah bayaran balik yang akan dibayar
kepada Bank B

4.5
100

Jumlah bayaran
balik

Jumlah bayaran
balik

A = P + Prt
A = RM40 000 + RM 40 000 × —– × 9

= RM40 000 + RM16 200
    = RM 56 200
      RM56 200Ansuran bulanan = ————––
       108 bulan
   = RM520.37

A = P + Prt
   5A = RM40 000 + RM40 000 × —– × 6
   100
   = RM40 000 + RM12 000
   = RM52 000
     RM52 000Ansuran bulanan =  —————
     72 bulan
   = RM722.22
3
B

A
B

Saiz sebenar

82

6.	 Pada	tahun	2018,	Encik	Zainal	memiliki	6	000	unit	syer	Syarikat	Vision	Sdn.	Bhd	yang	bernilai
RM1	seunit.	Pada	tahun	tersebut,	syarikat	itu	mengisytiharkan	sebanyak	6%	dividen	di	samping
bonus	pada	kadar	1	syer	baharu	bagi	2	unit	syer	yang	dipegangnya.	Pada	akhir	tahun	2018,
harga saham meningkat kepada RM2.30 seunit.

Hitung
	 (a)	 jumlah	dividen	yang	diterima	oleh	Encik	Zainal.
 (b) jumlah unit syer bonus yang akan diterima oleh Encik Zainal.
 (c) jumlah unit syer yang dipegang oleh Encik Zainal selepas menerima syer bonus tersebut.
7. Lengkapkan jadual berikut.

8. Encik Kishendran menyimpan sebanyak RM5 000 dalam akaun simpanan tetap dengan kadar
faedah 4% dan dikompaunkan 3 bulan sekali untuk tempoh masa 3 tahun. Hitung jumlah faedah
yang terkumpul selepas tahun ketiga.

Masteri  Kendiri

1. Encik Oswald Alphonsus meminjam sebanyak RM15 000 dari Bank Yakin untuk memulakan
perniagaan tukang jahit di Rawang. Bank mengenakan 5% dengan kadar faedah sama
rata untuk tempoh pembayaran balik selama 5 tahun. Berapakah jumlah faedah yang akan
dibayar oleh Encik Oswald Alphonsus kepada pihak bank?

2. Puan	Emily	Francis	menyimpan	RM10	000	di	sebuah	bank.	Pada	akhir	tahun	kelapan,	jumlah
wang yang terkumpul berjumlah RM19 992.71. Jika pihak bank membayar faedah tahunan
sebanyak x% bagi setahun dan dikompaunkan setiap 6 bulan sekali. Hitung nilai x.

3. Puan Noraini Mitis mendepositkan sejumlah wang ke dalam akaun simpanannya yang memberi
kadar faedah 2% setahun dan dikompaun setiap suku tahun. Berapakah deposit Puan Noraini
Mitis sekiranya wang yang terkumpul pada akhir tahun kelima adalah sebanyak RM7 734.26?

4. Puan Zaiton membeli 1 000 unit saham Syarikat Pelita Berhad pada harga RM2.00 seunit.
Pada	akhir	 tahun,	Syarikat	Pelita	Berhad	membayar	dividen	sebanyak	20	sen	seunit	kepada
semua	pemegang	saham	syarikatnya.	Pada	tahun	berikutnya,	Puan	Zaiton	telah	menjual	semua
saham yang dipegang apabila harga saham tersebut meningkat kepada RM2.20 seunit. Hitung
nilai pulangan pelaburan bagi Puan Zaiton.

Jumlah simpanan
(RM)

Kadar faedah
sama rata

Tempoh simpanan
(tahun)

Jumlah faedah
yang terkumpul

10 000 5% 2
5 000  1 150
4 000 6% 720

5. Encik Shah ingin menyimpan wang sebanyak RM10 000 dalam akaun simpanan tetap selama
9 bulan.

Berikut ialah kadar faedah simpanan tetap yang ditawarkan oleh sebuah bank kepada Encik Shah.

Hitung jumlah faedah yang akan diterima oleh Encik Shah jika beliau menyimpan selama
9 bulan.

Kadar faedah tahunan
1 bulan 3.0
3 bulan 3.5
6 bulan 3.75
9 bulan 4.00
12 bulan 4.25
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

83

Nanak Aliong, saya hendak membeli televisyen
seperti di dalam risalah di atas secara ansuran

kerana bayaran bulanan adalah rendah dan
saya mampu untuk membayarnya.

(a) Apakah pandangan anda tentang pendirian Masnah Rasam?
 (b) Hitung jumlah faedah yang dibayar serta kadar faedah yang dikenakan melalui pembayaran

ansuran.
	 (c)	 Sekiranya	anda	hendak	membeli	televisyen,	apakah	pilihan	yang	anda	akan	lakukan?
8.  Cik	 Kayal	 meminjam	 dari	 Bank	 Desa	 sebanyak	 RM	X	 dengan	 kadar	 faedah	 5%	 setahun.

Tempoh	bayar	balik	adalah	selama	8	tahun.	Jika	ansuran	bulanan	yang	dibayar	ialah	RM218.75,
berapakah	jumlah	wang	yang	dipinjam	oleh	Cik	Kayal?

9.  Encik Murugan telah meminjam dari Bank Orkid sebanyak RM16 000 untuk kegunaan peribadi.
Beliau akan membayar balik dalam tempoh 5 tahun dengan ansuran bulanan sebanyak RM320.
Berapakah faedah setahun yang dikenakan oleh pihak bank?

10.  Puan Sapiah meminjam sebanyak RM12 000 dari sebuah bank dengan kadar faedah 3% setahun
bagi	5	tahun.	Manakala,	Puan	Shafiqah	Ira	meminjam	amaun	yang	sama	dari	bank	lain	dengan
kadar 4.5% setahun bagi 5 tahun. Nyatakan perbezaan antara jumlah faedah yang dibayar oleh
Puan	Sapiah	dengan	Puan	Shafiqah	Ira.

Tawaran Hebat!
Televisyen

Harga Tunai
RM4 000

Ansuran
RM120 × 36

137.1 cm

79.2 cm 60 Inch

7.  Berikut merupakan risalah promosi yang ditawarkan oleh Syarikat Seng Hong.

Perbualan berikut adalah antara Masnah Rasam dengan Nanak Aliong selepas mereka meneliti
risalah promosi di atas.

5.  Encik	 Iskandar	membuat	pinjaman	peribadi	 sebanyak	RM20	000	dari	Bank	Cergas	dengan
kadar faedah 4% setahun. Tempoh bayaran balik adalah selama 10 tahun. Berapakah ansuran
bulanan yang patut dibayar oleh Encik Iskandar?

6.  Puan Balkis membuat pinjaman peribadi sebanyak RM8 000 dari Bank Sentosa dengan kadar
faedah 4% setahun atas baki. Tempoh bayar balik adalah selama 4 tahun manakala ansuran
bulanan adalah sebanyak RM110. Hitung jumlah faedah yang perlu dibayar oleh Puan Balkis
dalam masa 2 bulan.

Masnah Rasam, saya ingat lebih baik
anda membeli secara tunai

berbanding dengan secara  ansuran.
Faedah sama rata Faedah atas baki

Pinjaman

Faedah

Simpanan dan Pelaburan

Simpanan Pelaburan

Kredit  Hutang

Kad kredit

Akaun
Simpanan

Akaun
Simpanan

Tetap
Akaun
Semasa

Faedah

Faedah
mudah

Faedah
kompaun

Saham Amanah
Saham Hartanah

Sewa

Pulangan atas pelaburan

Keuntungan
modal

PETA KONSEP

KP R O J E

Andaikan anda memenangi RM1 juta
dalam peraduan teka-teki.

1.   Nyatakan cara-cara pelaburan
yang akan anda lakukan.

2.  Jelaskan sebab anda memilih cara
pelaburan tersebut.

Saiz sebenar

84

3
B

A
B
3
B

A
B

Bab 3 Matematik Pengguna: Simpanan
 dan Pelaburan, Kredit dan Hutang

Saiz sebenar

85

JELAJAH MATEMATIK

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Mengenal pelbagai jenis simpanan dan pelaburan.

2. Membuat pengiraan yang melibatkan faedah mudah dan faedah kompaun bagi
simpanan,	dan	seterusnya	menerangkan	kesan	perubahan	tempoh,	kadar	faedah
atau pulangan dan kekerapan pengkompaunan terhadap nilai masa hadapan
simpanan.

3. Membuat	pengiraan	yang	melibatkan	nilai	pulangan	pelaburan,	dan	seterusnya
menerangkan faktor yang mempengaruhi pulangan pelaburan serta kesannya.

4. Membanding	dan	membeza	potensi	risiko,	pulangan	dan	kecairan	pelbagai	jenis
simpanan dan pelaburan.

5. Mengira purata kos sesyer bagi pelaburan saham menggunakan strategi
pemurataan kos ringgit dan menjelaskan manfaat strategi ini.

6. Menyelesaikan masalah yang melibatkan simpanan dan pelaburan.

7. Menjelaskan	 maksud	 kredit	 dan	 hutang,	 dan	 seterusnya	 menghuraikan
pengurusan yang bijaksana tentang kredit dan hutang.

8. Mengkaji dan menghuraikan kelebihan dan kekurangan kad kredit dan
penggunaannya secara bijaksana.

9. Mengkaji dan menghuraikan kesan pembayaran minimum dan pembayaran
lewat bagi penggunaan kad kredit.

10. Menyelesaikan masalah yang melibatkan penggunaan kad kredit.

11. Mengira	jumlah	bayaran	balik	pinjaman	dan	bayaran	ansuran,	dengan	pelbagai
kadar faedah dan tempoh pinjaman yang berbeza.

12. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pinjaman.

Anda boleh melayari laman web Agensi Kaunseling &
Pengurusan Kredit (AKPK) untuk mengira tempoh masa
yang diperlukan serta jumlah faedah yang perlu dibayar untuk
menyelesaikan hutang kad kredit.

IMBAS KENDIRI
Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

Saiz sebenar

86

Lukisan
Berskala4

BAB
4

BAB

Pemaju perumahan lazimnya akan menyediakan
model taman perumahan yang akan dimajukan.

Model tersebut membolehkan pengguna mendapat
gambaran berkaitan kawasan perumahan tersebut
dan kemudahan lain yang disediakan oleh pemaju.
 Selain itu, pelan setiap rumah yang akan dibina
juga dilukis dengan menggunakan suatu skala
tertentu dengan keadaan ukuran yang digunakan
adalah berkadaran dengan ukuran sebenar rumah.
Lukisan pelan rumah ini membolehkan pembeli
memilih jenis rumah yang ingin dibeli dengan
mengambil kira saiz rumah, kemudahan serta
keperluan dan kemampuan. Pernahkah anda melihat
pelan rumah kediaman anda?

4.1 Lukisan Berskala

•	 Lukisan	 berskala	 digunakan	 untuk	 memberi
 gambaran tentang ukuran objek atau jarak sebenar.
•	 	Lukisan	 berskala	 banyak	 digunakan	 dalam

bidang arkitek, kejuruteraan, fotografi, sains
reka bentuk dan teknologi, dan sebagainya.
K A ATG E R B A N G

Eksplorasi ZamanEksplorasi Zaman

• asal  •	 original

• bentuk geometri •	 geometrical shape

• darjah •	 degree

• grid  •	 grid

• lakar •	 sketch

• objek •	 object

• saiz  •	 size

• skala •	 scale

Angkor Wat di Kemboja merupakan antara monumen
yang terkenal di Asia Tenggara. Angkor Wat dibina
oleh Suryavarman II berikutan kejayaannya dalam
peperangan dengan Champa dan seterusnya menyatukan
Kampuchea. Angkor Wat dibina untuk menunjukkan
kekuatan dan kedaulatan kerajaan Suryavarman II.
Tingginya 213 meter dan luas 208 hektar. Tempat
pemujaan terletak di bahagian tengah. Binaannya
bertingkat empat dengan setiap sudutnya mempunyai
menara tembok berukuran 850 meter lebar dan
panjang 1000 meter yang dibina daripada batu laterit
dan batu pasir yang terdapat di bahagian luarnya.
Ukiran yang menggambarkan cerita daripada epik
Ramayana dan Mahabharata terdapat pada dindingnya.

Saiz sebenar

87

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%204/
Saiz sebenar

88

4
B

A
B

Apakah hubungan antara ukuran sebenar objek dengan
lukisan pelbagai saiz objek tersebut?

Tahukah anda, peta yang terdapat dalam perisian yang dicipta untuk
memudahkan perjalanan adalah dilukis mengikut suatu skala tertentu?
 Gambaran jarak yang ditunjukkan di antara dua buah bandar dalam
perisian tersebut adalah berkadaran dengan jarak sebenar.

Rajah di bawah menunjukkan lukisan yang mewakili objek PQRST yang dilukis dengan saiz
yang berbeza.

Apakah yang anda boleh nyatakan tentang saiz lukisan Rajah 1, Rajah 2 dan Rajah 3 berbanding
objek PQRST?

4.1    Lukisan Berskala

Contoh   1

Q

R

P T

S

45°

45°45°

Mengkaji dan menerangkan
hubungan antara ukuran
sebenar objek dan lukisan
pelbagai saiz objek tersebut,
dan seterusnya menerangkan
maksud lukisan berskala.

45°

Penyelesaian:
Rajah 1: Panjang semua sisi dan saiz semua sudut adalah sama dengan objek.
Rajah 2:  Panjang semua sisi berkurangan dengan suatu kadaran tertentu berbanding objek tetapi

saiz semua sudut tidak berubah.
Rajah 3:  Panjang semua sisi bertambah dengan suatu kadaran tertentu berbanding objek tetapi saiz

semua sudut tidak berubah.
 Kesimpulannya, semua sisi lukisan pada Rajah 1, Rajah 2 dan Rajah 3 adalah mengikut suatu
skala yang berkadaran dengan objek manakala saiz sudut tidak berubah. Maka, Rajah 1, Rajah 2
dan Rajah 3 ialah lukisan berskala bagi objek PQRST.

Contohnya dalam gambar rajah di atas, jarak di antara Johor Bahru dengan Kuala Lumpur
digambarkan dengan menggunakan skala 1 cm : 50 km.

STANDARD
PEMBELAJARAN

20 mi
50 km
Saiz sebenar

89

4
B

A
B

Bab 4 Lukisan Berskala

Lukisan Berskala ialah lukisan suatu objek dengan keadaan semua ukuran dalam lukisan
adalah berkadaran dengan ukuran pada objek.

UJI  MINDA 4.1a

1. Rajah di bawah menunjukkan lukisan yang mewakili objek ABCDE yang dilukis dengan saiz
yang berbeza.

Nyatakan rajah yang merupakan lukisan berskala bagi objek ABCDE.

A

B C

D

E

2. Pada kertas grid lukis semula bentuk di bawah dengan menggunakan
 (a) saiz yang sama  (b) saiz yang lebih kecil (c) saiz yang lebih besar

(i) (ii) (iii) (iv)

Bagaimanakah anda boleh mentafsir skala suatu lukisan
berskala?

Skala yang digunakan untuk melukis suatu lukisan berskala adalah
mengikut nisbah ukuran lukisan berskala kepada ukuran objek, iaitu

STANDARD
PEMBELAJARAN

Nisbah ini juga boleh ditulis dalam bentuk;

Ukuran lukisan berskala : Ukuran objek

Secara lazimnya, untuk lukisan berskala, kita menggunakan skala dalam bentuk nisbah.
1 : n

dengan keadaan n ialah integer positif atau pecahan

1 : n bermaksud satu unit pada lukisan berskala akan mewakili n unit pada objek.

Ukuran lukisan berskala Skala =  ——————————
   Ukuran objek

Mentafsir skala suatu
lukisan berskala.
Saiz sebenar

90

4
B

A
B

Cetusan Minda 1
Tujuan: Mentafsir skala suatu lukisan berskala.
Langkah:
1. Teliti rajah-rajah di bawah.

P Q

R

P' Q'

R'
P' Q'

R'R'

P' Q'

R'

P' Q'

R'

2. Lengkapkan jadual di bawah berdasarkan rajah-rajah di atas.

Rajah Lukisan berskala Objek Skala
Sisi Panjang (unit) Sisi Panjang (unit) Bentuk nisbah 1 : n

Rajah 1
P'Q' 12 PQ 4 12 : 4      11 : —     3
P'R' 24 PR 8 24 : 8      11 : —     3

Rajah 2
P'Q' PQ
P'R' PR

Rajah 3
P'Q' PQ
P'R' PR

Rajah 4
P'Q' PQ
P'R' PR

Rajah 5
P'Q' PQ
P'R' PR

Perbincangan:
Bincangkan dapatan anda berdasarkan jadual di atas.

P' Q'

Berpasangan
Saiz sebenar

91

4
B

A
B

Bab 4 Lukisan Berskala

Rajah di bawah menunjukkan objek PQRS dan lukisan berskala P'Q'R'S' yang dilukis pada grid
segi empat sama. Nyatakan skala yang digunakan dalam bentuk 1 : n.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

Jika n < 1 , maka saiz lukisan berskala lebih besar daripada saiz objek.
   Jika n > 1 , maka saiz lukisan berskala lebih kecil daripada saiz objek.
   Jika n = 1 , maka saiz lukisan berskala sama dengan saiz objek.

Bagaimanakah anda menentukan skala, ukuran objek
atau ukuran lukisan berskala?

Menentukan skala, ukuran
objek atau ukuran lukisan
berskala.

Ukuran lukisan berskala  1Skala =  —————————— = —    Ukuran objek n

Contoh   2

Q

R

P

S

Q'P'

S' R'

Penyelesaian:

P'Q'  2 1   P'S' 3 1Skala = —— = — = — atau  Skala  = —— = — = — Maka, skala = 1 : 2
  PQ 4 2    PS 6 2

Rajah di bawah menunjukkan objek KLM dan lukisan berskala K'L'M' yang dilukis pada grid segi
empat sama. Nyatakan skala yang digunakan dalam bentuk 1 : n.

Penyelesaian:

K'L' 9 3  L'M'  12 3Skala = —— = — = —    atau   Skala = —— = — = —
 KL 3 1  LM 4 1

Contoh   3

Maka, skala = 3 : 1
  3 1 = — : —
  3 3
   1 = 1 : —
   3

3 dibahagi dengan 3
untuk mendapatkan
nilai 1.

K

M

M'L'

L

K'
Saiz sebenar

92

4
B

A
B

Rajah di bawah menunjukkan objek KLMN dan lukisan berskala K'L'M'N' yang dilukis pada grid
segi empat sama yang berlainan saiz. Tentukan skala yang digunakan.

}0.5 cm
K

M

M'

N'

NL

L'

Contoh   5

Contoh   4

P

Q R

P'

Q' R'

2 cm
1 cm }}

Penyelesaian:

Kaedah 1 Kaedah 2

Q' R'  6 cm 2Skala = —— = —–– = —
 QR 3 cm 1
Skala = 2 : 1
  1 = 1 : —
  2

Saiz grid lukisan berskala 2 cm 2Skala = ————————–––— = —–– = —
 Saiz grid objek 1 cm 1
Skala = 2 : 1
  1 = 1 : —
  2

Saiz grid digunakan kerana bilangan unit
sisi objek dan sisi lukisan berskala sama.

Rajah di bawah menunjukkan objek PQR dan lukisan berskala P'Q'R' yang dilukis pada  grid segi
empat sama yang berlainan saiz. Tentukan skala yang digunakan dalam bentuk 1 : n.
                              Objek                           Lukisan berskala

Lukisan berskala

IMBAS KEMBALI

K'N' = √1.52 + 22 = 2.5
KN = √32 + 42 = 5

Objek
K'1 cm}
Saiz sebenar

93

4
B

A
B

Bab 4 Lukisan Berskala

Penyelesaian:

Kaedah 1

K' N'  2.5 cm 0.5    –Skala = —— = —–––– = —– = —
 KN 5 cm 1 1

1
2

1Skala = – : 1  2
   1   – × 2  : 1 × 2   2
        1 : 2

didarab dengan 2 untuk mendapatkan nilai 1.
1–
2

Kaedah 2

Saiz grid lukisan berskala 0.5 cm –
Skala = ————————–––— = —–––– = —
 Saiz grid objek 1 cm 1

1Skala = – : 1
  2
  1 : 2

1
2

Penyelesaian:

Kaedah 1 Kaedah 2

Lukisan Berskala : Objek
                          1 : 300 000
                    1 cm : 300 000 cm
                    1 cm : 3 km
                    3 cm : 9 km

Maka, jarak sebenar sungai
ialah 9 km.

IMBAS KEMBALI

1 km = 1 000 m
1 m = 100 cm
1 km = 100 000 cm

Contoh   6

Sebuah peta dilukis dengan skala 1 : 300 000. Hitung jarak sebenar, dalam km, sebatang sungai yang
panjangnya 3 cm pada peta tersebut.

× 3 × 3

× 2 × 2

Kaedah 1 Kaedah 2

Penyelesaian:

Lukisan berskala : Objek

1 cm : 10 km

2 cm : 20 km

Maka, jarak sebenar ialah 20 km.

Jarak pada lukisanSkala = ———————–
   Jarak sebenar

1 cm  2 cm——– = —————–
10 km Jarak sebenar

2 cm (10 km)Jarak sebenar = —————–
  1 cm
Jarak sebenar =  20 km

Peta negeri Johor dilukis dengan skala 1 cm kepada 10  km. Hitung jarak sebenar di antara Kluang
dengan Ayer Hitam jika jarak di atas peta ialah 2 cm.

Contoh   7

1 cm 3 cm———–—– = —————–
300 000 cm Jarak sebenar
   3 × 300 000 cm Jarak sebenar = —————–––    1 cm

= 900 000 cm
  = 9 km
Saiz sebenar

94

4
B

A
B

Objek   Lukisan berskala
(a)

(b)

(c)

(d)

Lukisan berskala : Objek
     1              1 : —
     3

18 cm : 6 cm

Maka, panjang sisi dalam lukisan berskala
ialah 18 cm.

Kaedah 1 Kaedah 2

Contoh   8
  1Khairul melukis segi empat sama dengan skala 1 : —. Jika panjang sebenar sisi segi empat sama
  3
tersebut ialah 6 cm, berapakah panjang sisi, dalam cm, lukisan berskala?

×18 ×18
1—3

Sisi lukisan berskalaSkala = ————————–—–
    Sisi objek yang sepadan

1   Sisi lukisan berskala     — = ————————–
    6 cm

Sisi lukisan berskala = 3 × 6 cm
Panjang sisi lukisan berskala = 18 cm

Penyelesaian:

4.1b UJI  MINDA

1. Tentukan skala yang digunakan untuk setiap lukisan berskala di bawah dalam bentuk 1 : n.

6 cm

4.5 cm
3 cm

9 cm6 cm

3 cm

1 cm}}0.5 cm

2 cm

1 cm
Saiz sebenar

95

4
B

A
B

Bab 4 Lukisan Berskala

STANDARD
PEMBELAJARAN

Bagaimanakah anda melukis lukisan berskala bagi
suatu objek dan sebaliknya?

Melukis lukisan berskala bagi
suatu objek dan sebaliknya.     Melukis lukisan berskala bagi suatu objek.

Lukisan berskala suatu objek boleh dilukis dengan tiga cara.
(a) Menggunakan kertas grid yang sama saiz bagi skala yang berlainan atau;
(b) Menggunakan kertas grid yang berlainan saiz atau;
(c) Melukis di atas kertas kosong mengikut skala yang diberi.

2. Sekeping poster berukuran 24 cm panjang dan 8 cm lebar. Hitung panjang dan lebar lukisan
berskala poster itu, dalam cm, yang dilukis mengikut skala 1 : 4.

3. Sebuah peta dilukis dengan skala 1 : 400 000. Berapakah jarak sebenar, dalam km, yang diwakili
oleh sebatang sungai yang panjangnya 2.5 cm pada peta tersebut?

1
4. Siew Lin melukis segi tiga bersudut tegak dengan skala 1 : —. Jika panjang hipotenus
     3
 lukisan berskala ialah 18 cm, hitung panjang hipotenus segi tiga asal.

Lukiskan lukisan berskala bagi bentuk PQRS di sebelah pada grid segi empat
sama dengan skala 1 : — .

Penyelesaian:

Skala yang diberi ialah 1 : —. Maka, setiap

sisi lukisan berskala ialah dua kali lebih
panjang berbanding panjang sisi objek
PQRS.

P Q

R

S

P' Q'

R'

S'

Contoh   9

1
2

1
2

Jika anda perlu melukis
lukisan berskala bagi
padang sekolah anda,
apakah skala yang
sesuai dipilih? Kenapa?

K U I Z

Contoh   10

(a)	 Rajah	∆PQR di sebelah dilukis pada grid
1	cm	×	1	cm.	Lukiskan	 semula	∆PQR
di atas kertas grid berukuran

(i) 1.5 cm × 1.5 cm
 (ii) 0.5 cm × 0.5 cm
(b) Hitung skala yang digunakan dalam

soalan (a)(i) dan (a)(ii) dalam bentuk
1 : n. P R

Q 1 cm

1 cm

}
}
Saiz sebenar

96

4
B

A
B

P' R'

Penyelesaian:
(a)(i)

P' R'

Q'

Q'

1.5 cm

1.5 cm

}

}
(a)(ii)

}

}0.5 cm

0.5 cm

(b) (i)     (b) (ii)
    Saiz grid lukisan berskala 1.5 cm    Saiz grid lukisan berskala 0.5 cm Skala =  ——————————– = ——–  Skala =  ——————————– = ———
    Saiz grid objek 1 cm   Saiz grid objek 1 cm

Skala = 1.5 : 1    Skala = 0.5 : 1
    2  = 1 : —   = 1 : 2
    3

Bina lukisan berskala bagi segi tiga PQR dengan skala 1 : 2.

Penyelesaian:

Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala yang dilukis pada
grid segi empat sama mengikut skala 1 : 2. Lukiskan objek sebenar
bagi P'Q'R'S'T'.

Contoh   11

Contoh   12

Melukis objek bagi suatu lukisan berskala.

P' Q'

R'

S'T'

2 cm

P' Q'

R'

3 cm

4 cm

P Q

R

6 cm

30°

Bagi objek yang diberi nilai sudut tertentu, sudut lukisan berskala
perlu dibina dengan tepat dan panjang sisi dilukis mengikut skala.

Imbas QR Code atau layari
http://yakin-pelajar.com/
Kertas%20Grid%20
Bab%204/ untuk
memuat turun kertas grid
pelbagai saiz.

30°
Saiz sebenar

97

4
B

A
B

Bab 4 Lukisan Berskala

Penyelesaian:

Skala yang digunakan ialah 1 : 2 iaitu saiz lukisan
berskala dua kali lebih kecil daripada objek. Maka,
setiap sisi objek sebenar ialah dua kali lebih panjang
daripada sisi lukisan berskala.

P Q

R

ST

}

Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala
sekuntum bunga yang dilukis pada grid berukuran
1 cm × 1 cm. Lukiskan objek sebenar bunga tersebut
pada grid berukuran

(a) 0.5 cm × 0.5 cm

(b) 1.5 cm × 1.5 cm

Contoh   13

Penyelesaian:

Objek perlu dilukis pada grid berlainan
saiz. Maka, bilangan unit bagi sisi objek
adalah sama dengan bilangan unit sisi
lukisan berskala.

(a)

1.5 cm

1.5 cm}

1 cm

1 cm

}
}

(b)

0.5 cm

0.5 cm

}
}
Saiz sebenar

98

4
B

A
B

(b)(a)

11. Lukiskan lukisan berskala untuk setiap objek berikut dengan skala 1: — dan 1 : 3.
       2

4.1cUJI  MINDA

3. Lukiskan lukisan berskala bagi bentuk-bentuk berikut dengan menggunakan skala yang diberi.
      (a) Skala 1 : 3 (b) Skala 1 : 200 (c) Skala 1 : —

2. (a)  Objek pada rajah di sebelah dilukis
pada kertas grid 1 cm × 1 cm. Lukiskan
semula bentuk objek itu pada kertas grid
berukuran

(i) 2 cm × 2 cm

(ii) 0.5 cm × 0.5 cm

(b)  Hitung skala yang digunakan dalam
2 (a)(i) dan (ii).

4. Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala bagi suatu
gabungan bentuk yang dilukis pada grid segi empat sama dengan

skala 1 : —.

Lukiskan objek sebenar bagi bentuk tersebut.

1 cm

1 cm
}}

9 cm

3 cm

8 m

10 m

4 m

=

=

1
2

2 cm

4 cm

=

=

1
2
Saiz sebenar

99

4
B

A
B

Bab 4 Lukisan Berskala

Jarak di antara Bintulu dengan Miri di atas suatu peta ialah 4 cm.
(a) Jika skala yang digunakan untuk melukis peta itu ialah 1 cm : 50 km, hitung jarak sebenar,

dalam km, di antara Bintulu dengan Miri.
(b) Jika peta dilukis semula dengan skala 1 : 2 000 000, hitung jarak di antara Bintulu dengan

Miri di atas peta baru.
(c) Encik Dominic Lajawa bersama keluarganya ingin melawat bandar

Miri. Jika beliau bercadang untuk memandu ke Miri dengan
kelajuan 80 km j–1, hitung masa yang diperlukan untuk perjalanan
dari Bintulu ke Miri dalam jam dan minit.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Contoh   14

Memahami masalah

•   Jarak sebenar bagi jarak 4 cm yang
dilukis dengan skala 1 cm : 50 km.

•  Jarak pada lukisan berskala yang
dilukis dengan skala 1: 2 000 000.

•  Tempoh masa dalam jam dan minit
bagi perjalanan dari Bintulu ke Miri
dengan kelajuan 80 km j–1.

Melaksanakan strategi

Jarak pada lukisan(a) Skala = ——————–––
  Jarak sebenar
  1  4 cm ——–– = —————–
 50 km Jarak sebenar
  4 cm (50 km) Jarak sebenar  = —————–
  1 cm
 Jarak sebenar = 200 km
  Jarak pada lukisan(b) Skala = ——————–––
  Jarak sebenar
  1 Jarak pada lukisan ————– = ——————–––
  2 000 000  200 km
   (200 × 100 000) cm Jarak pada lukisan = ——————––––
   (2 000 000) cm
 Jarak pada lukisan berskala = 10 cm
   Jarak(c) Masa = ——–
   Laju

200 km  = ——––––
   80 km j–1

= 2.5 jam
 Tempoh masa
 = 2 jam 30 minit

Membuat kesimpulan

•  Jarak sebenar di antara Bintulu dengan
Miri ialah 200 km.

•  Jarak di antara Bintulu dengan Miri
pada peta dengan skala 1 : 2 000 000
ialah 10 cm.

•  Tempoh masa yang diperlukan oleh
Encik Dominic Lajawa untuk memandu
dari Bintulu ke Miri dengan kelajuan
80 km j–1 ialah 2 jam dan 30 minit.

Merancang strategi

Jarak pada lukisanSkala = ——————–––
  Jarak sebenar
  JarakMasa = ——–
  Laju

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
melibatkan lukisan berskala?

Menyelesaikan masalah yang
melibatkan lukisan berskala.

Jika skala lukisan
berskala dan kehendak
soalan dalam unit yang
sama, misalnya km
maka, skala tidak perlu
ditukar kepada unit cm.

IMBAS KEMBALI

JarakLaju = ———
 Masa

Penyelesaian:

TIP
Saiz sebenar

100

4
B

A
B

3. Ukuran sebuah bilik berbentuk segi empat tepat pada lukisan berskala ialah 7 cm × 5 cm.
Jika skala yang digunakan ialah 1 : 400, hitung luas sebenar bilik tersebut dalam m2.

4. Suatu poligon sekata dengan sudut peluaran 36° dilukis semula dengan menggunakan skala
1 : 5. Jika panjang sebenar sisi poligon sekata itu ialah 10 cm, hitung perimeter lukisan berskala
poligon sekata itu.

4.1dUJI  MINDA

1. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak.
Suatu lukisan berskala bagi segi tiga tersebut dilukis
mengikut skala 1 : —. Hitung luas, dalam cm2, bagi
lukisan berskala itu.

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bilik berbentuk
segi empat tepat. Hitung perimeter, dalam cm, bagi
lukisan berskala bilik tersebut yang dilukis dengan skala
1 : 50.

3.5 m

5.2 m

24 cm

18 cm1
3

5.

Rajah di atas menunjukkan lukisan berskala bagi sebuah padang yang berbentuk segi empat tepat.

(a)  Jika skala yang digunakan ialah 1 : 2 000, hitung luas sebenar padang itu dalam meter
persegi.

(b)  Encik Dany memotong rumput di padang tersebut dengan kadar 400 meter persegi dalam
masa 8 minit. Hitung tempoh masa, dalam jam dan minit, yang diperlukan oleh Encik Dany
untuk memotong rumput keseluruhan padang tersebut.

3 cm

6 cm
Saiz sebenar

101

4
B

A
B

Bab 4 Lukisan Berskala

Cabaran Dinamis

1. Rajah di bawah menunjukkan segi tiga P yang merupakan lukisan berskala bagi segi tiga Q
dengan skala 1 : n. Hitung nilai n.

2. Rajah di bawah menunjukkan lima segi empat tepat.

Luas P = 112.5 cm2

Luas Q = 4.5 cm2

IV
III

II

(a)  Antara segi empat tepat I, II, III, dan IV, yang manakah merupakan lukisan berskala bagi
segi empat tepat S di bawah skala tertentu?

(b) Bagi setiap jawapan anda di (a), tentukan skala yang digunakan.
 (c)  i.   Hitung luas setiap segi empat tepat, dalam cm2, bagi jawapan anda di (a).
   ii.  Tentukan nisbah luas S kepada luas setiap jawapan anda di (c) i.
   Apakah kesimpulan anda berkaitan nisbah yang diperoleh?

Uji Diri

Q

Uji Diri

2 cm

3 cm

4 cm

6 cm
4.5 cm

2.5 cm

3 cm

5 cm

S

1.5 cm

1 cm

I

3.  Rajah di sebelah menunjukkan suatu lukisan berskala bagi bulatan
berpusat di O dan segi tiga PQR. Diberi bahawa diameter bulatan
ialah 6 cm dan skala lukisan ialah 1 : 3.

(a)  Hitung panjang sebenar PR dalam cm. Nyatakan jawapan anda
betul kepada 3 angka bererti.

(b)  Dengan menggunakan jawapan anda di (a), hitung luas kawasan
berlorek yang sebenar dalam cm². Nyatakan jawapan betul
kepada 4 angka bererti.

P

R

Q

O

2 cm

P
Saiz sebenar

102

4
B

A
B

Mahir Diri

1.

Jarak laluan penerbangan dari Kuching ke Kota Kinabalu di atas suatu peta ialah 5.4 cm.
Diberi bahawa skala peta tersebut ialah 1 cm : 150 km. Jika sebuah pesawat tempatan berlepas
dari Lapangan Terbang Antarabangsa Kuching pada jam 1240 dan tiba di Lapangan Terbang
Antarabangsa Kota Kinabalu pada jam 1410, hitung laju purata pesawat tersebut dalam kmj–1.

2. Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala
ruang tamu Puan Farah. Skala lukisan itu ialah
1 : 50. Puan Farah ingin memasang jubin pada
keseluruhan ruang tamu tersebut. Beliau ingin
menggunakan jubin dengan ukuran 30 cm × 30 cm
yang berharga RM2.80 sekeping. Suami Puan
Farah telah mencadangkan jubin 50 cm × 50 cm
yang berharga RM6 sekeping. Jubin manakah yang
harus dipilih oleh Puan Farah jika beliau ingin
berjimat? Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

3. Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala
bagi kebun milik Pak Hassan yang berbentuk
segi empat tepat. Diberi bahawa skala lukisan
tersebut ialah 1 : 2 000.

(a)  Hitung luas sebenar kolam ikan air tawar
dalam meter persegi terdekat. [π = — ].

(b)  Nisbah luas kawasan penanaman pokok
durian kepada luas kawasan penanaman
pokok pisang.

(c)  Hitung luas, dalam m2, kawasan lapang.

(d)  Pak Hassan ingin memagar kebun beliau.
Jika kos semeter pagar ialah RM5.50, hitung
jumlah kos pembelian pagar, dalam RM.

15 cm

20 cm

8 cm=

=

4 cm

8 cm

10 cm

3 cm

=

=

Kolam ikan
air tawarKawasan lapang

Pokok Durian

22
7

Pokok
Pisang
Saiz sebenar

103

4
B

A
B

Bab 4 Lukisan Berskala

Masteri  Kendiri

7 cm

12 cm

Rajah 1 Rajah 2

2.

Rajah 1 menunjukkan lukisan berskala sebuah padang bola sepak yang berbentuk
segi empat tepat.

(a)  Jika lukisan berskala ini dilukis dengan skala 1 : 1 000, hitung luas sebenar dalam m²
padang bola sepak tersebut.

(b)  Sharon ingin melukis semula lukisan berskala pada Rajah 1 dengan menggunakan
sehelai kertas bersaiz A4. Apakah skala maksimum yang boleh dipilih oleh Sharon?
Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

(c)  Beberapa kanopi akan didirikan di atas padang bola sepak tersebut seperti pada
Rajah 2 untuk suatu karnival.

i.  Jika dimensi tapak sebuah khemah ialah 5 m × 4 m, hitung bilangan maksimum
khemah yang boleh didirikan.

ii.  Sewa sebuah khemah ialah RM100 sehari. Diskaun 25% akan diberikan jika
khemah-khemah itu disewa untuk lima hari atau lebih. Hitung jumlah sewa, dalam RM,
jika majlis itu berlangsung selama seminggu.

1. Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala tapak sebuah
rumah kedai yang dilukis dengan skala 1 : 400.

(a)  Hitung luas sebenar bilik stor, dalam m2.

(b)  Nyatakan nisbah luas rumah kedai kepada luas bilik stor.

(c)  Jika ketinggian sebenar rumah kedai ialah 3.75 m, hitung
isi padu, dalam m3, bentuk tiga dimensi rumah kedai tersebut.

Tapak kanopi

Tapak kanopi

6 cm

4 cm

2 cmStor

1.5 cm
Saiz sebenar

104

4
B

A
B

Lukiskan peta daerah yang anda tinggal dengan
menggunakan skala yang sesuai. Anda boleh
nyatakan kedudukan rumah anda, sekolah dan
kawasan-kawasan menarik yang terdapat di daerah
anda dengan menggunakan simbol atau ilustrasi
yang sesuai. Pamerkan hasil projek anda di kelas.

Ukuran lukisan berskalaSkala = ————————–– —
      Ukuran objek

1Skala 1 : n, atau 1  : —  n
dengan keadaan n = 1, 2, 3,...

Lukisan Berskala

Lukisan Berskala ialah lukisan yang dilukis semula seperti objek asal mengikut skala tertentu

n < 1

Lukisan berskala lebih
besar daripada objek

n = 1

Lukisan berskala sama
saiz dengan objek

1 : 1

n > 1

Lukisan berskala lebih
kecil daripada objek

1 : 2

Objek Objek ObjekLukisan Lukisan Lukisan

1 cm

2 cm

2 cm

11 : —
      2

3 cm
0

3 cm
0

1.4 cm

3.6 cm

0.7 cm

1.8 cm

PETA KONSEP

KP R O J E

4 cm
Saiz sebenar

105

4
B

A
B

Bab 4 Lukisan Berskala

1. Muat turun kertas grid pelbagai saiz.

2. Lukiskan satu gambar kegemaran anda seperti yang ditunjukkan
dalam Rajah 1 atau Rajah 2 pada salah satu kertas grid yang
dipilih.

3. Lukiskan semula gambar tersebut di semua kertas grid yang berlainan saiz.

4. Adakah anda boleh melukis gambar kegemaran anda dengan mudah pada grid yang
berlainan saiz? Bincangkan.

5. Pamerkan hasil anda di sudut matematik kelas anda.

JELAJAH MATEMATIK

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1.
Mengkaji dan menerangkan hubungan antara ukuran sebenar objek dan
lukisan pelbagai saiz objek tersebut, dan seterusnya menerangkan maksud
lukisan berskala.

2. Mentafsirkan skala suatu lukisan berskala.

3. Menentukan skala, ukuran objek atau ukuran lukisan berskala.

4. Melukis lukisan berskala bagi suatu objek dan sebaliknya.

5. Menyelesaikan masalah yang melibatkan lukisan berskala.

IMBAS KENDIRI

Imbas QR Code atau layari
http://yakin-pelajar.com/
Kertas%20Grid%20
Bab%204/ untuk
memuat turun kertas grid
pelbagai saiz.

Rajah 1 Rajah 2
Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?
•	 Nisbah	 trigonometri	 membolehkan	 masalah
 berkaitan panjang, tinggi dan sudut dapat
 ditentukan dengan menggunakan segi tiga
 bersudut tegak.
•	 Konsep	 trigonometri	 digunakan	 dalam	 bidang
 pelayaran, penerbangan, kejuruteraan, astronomi,
 pembinaan dan sebagainya.

Saiz sebenar

106

Nisbah
Trigonometri5

BAB
5

BAB

Sungai merupakan sumber utama air untuk
kegunaan domestik kepada manusia.

Kelebaran sungai di kawasan tertentu dapat
dihitung dengan menggunakan konsep trigonometri.
Sudut dari kedudukan juru ukur ke pokok yang
menjadi tanda rujukan pada titik R seperti pada rajah
di bawah boleh diketahui dengan menggunakan
tiodolit, alat mengukur sudut jarak jauh. Jika
panjang PQ dan sudut PQR diketahui, maka
kelebaran sungai, PR boleh dihitung dengan mudah
melalui kaedah trigonometri.

5.1  Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut
Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

θ P

R

Q
K A ATG E R B A N G

Eksplorasi ZamanEksplorasi Zaman

• darjah •	 degree

•  hipotenus •	 hypotenuse

• kosinus •	 cosine

• sinus •	 sine

•  tangen •	 tangent

• teorem Pythagoras  •	 Pythagoras theorem

Al-Battani atau Muhammad Ibn Jabir Ibn Sinan Abu
Abdullah ialah bapa trigonometri. Beliau dilahirkan
di Battan, Damsyik. Beliau merupakan putera Arab
dan juga pemerintah Syria. Al-Battani diiktiraf
sebagai ahli astronomi dan matematik Islam yang
tersohor. Al-Battani mendapat pendidikan awal
daripada bapanya sendiri Jabir Ibn San’an yang
juga merupakan seorang saintis yang terkenal pada
zamannya. Beliau berjaya meletakkan trigonometri
pada tahap yang tinggi dan merupakan orang
pertama yang menghasilkan jadual cotangents.

Saiz sebenar

107

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%205/
5
B

A
B

Saiz sebenar

108

TIP

TIP

STANDARD
PEMBELAJARAN

5.1     Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus
dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

Berdasarkan ∠PRQ dalam Rajah 1, sisi QR dikenali sebagai sisi
bersebelahan manakala sisi PQ dikenali sebagai sisi bertentangan.

Berdasarkan ∠QPR dalam Rajah 2, sisi PQ ialah sisi bersebelahan
dan sisi QR ialah sisi bertentangan.

Perhatikan juga dalam kedua-dua Rajah 1 dan Rajah 2 hipotenus PR adalah tetap kedudukannya
iaitu bertentangan dengan sudut 90°.

Bagi suatu segi tiga bersudut tegak;

(a)  hipotenus ialah sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut 90°.
 (b)   sisi bersebelahan dan sisi bertentangan berubah mengikut kedudukan sudut tirus yang

dirujuk.

Bagaimanakah anda mengenal pasti sisi bertentangan,
sisi bersebelahan dan hipotenus?

Teliti Rajah 1 dan Rajah 2 di bawah.

Rajah 1 Rajah 2

hipotenus hipotenus

Q

P

R

sisi
bertentangan

sisi bersebelahan Q

P

R

sisi
bersebelahan

sisi bertentangan
x

y

Tahukah anda bagaimana ketinggian suatu
objek yang sukar diukur seperti bangunan
dan gunung dihitung?

Misalnya dalam rajah di sebelah, jika
jarak, s dan sudut dongak diketahui maka,
ketinggian, t bangunan tersebut boleh
dihitung dengan menggunakan konsep
trigonometri.

Q

P

R

Sudut dongak

t

Jarak, s

Rajah di sebelah menunjukkan suatu segi tiga bersudut tegak PQR.
Sebagaimana yang telah anda pelajari dalam bab Teorem Phytagoras di
Tingkatan 1, sisi PR dikenali sebagai hipotenus, iaitu sisi terpanjang
dalam segi tiga bersudut tegak PQR. Adakah dua sisi lain iaitu sisi PQ
dan sisi QR juga mempunyai nama khas seperti sisi terpanjang, PR?

Mengenal pasti sisi
bertentangan dan sisi
bersebelahan berdasarkan
suatu sudut tirus dalam
segi tiga bersudut tegak.

Sudut tirus
0° ˂ θ ˂ 90°

x + y = 90°
∠ x dan ∠ y ialah
sudut tirus

x

y
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

109

A

B

K

L

M
S

D

P

A

Q

B

T

R

C

C

Contoh   1

Kenal pasti sisi bertentangan, sisi bersebelahan dan hipotenus berdasarkan sudut yang diberi
dalam jadual di bawah untuk semua segi tiga bersudut tegak berikut.

(a)    (b)  (c)

Penyelesaian:

Segi tiga Sudut Hipotenus Sisi bertentangan Sisi bersebelahan

∆ABC
∠BAC AC BC AB
∠BCA AC AB BC

∆KLM
∠LKM KM LM KL
∠LMK KM KL LM

∆PQT ∠TPQ PT QT PQ
∆RQS ∠QRS RS QS QR

Segi tiga Sudut Hipotenus Sisi bertentangan Sisi bersebelahan

∆PQR
∠QPR
∠PRQ

∆KMN
∠MNK
∠MKN

∆EFG
∠FEG
∠EGF

∆ABE
∠BAE
∠AEB

∆CBD
∠BCD
∠BDC

UJI  MINDA 5.1a

1. Berdasarkan segi tiga bersudut tegak di bawah, salin dan lengkapkan jadual yang diberi.

P

K

Q MR

N

E

F

G

E
5
B

A
B

Saiz sebenar

110

STANDARD
PEMBELAJARAN

Cetusan Minda 1

Tujuan:  Mengenal pasti hubungan antara sudut tirus dengan nisbah
sisi segi tiga bersudut tegak.

Bahan: Kertas grid segi empat sama, pembaris dan pensel.
Langkah:
1. Lukis segi tiga bersudut tegak PQR, dengan panjang PQ

ialah 16 unit dan panjang QR ialah 12 unit.

2.  Lukiskan beberapa garis lurus yang selari dengan RQ. Labelkan sebagai R1
 Q1, R2

Q2
dan R3

Q3 seperti pada rajah di bawah.

3. Lengkapkan jadual di bawah dengan ukuran yang dikehendaki.

Sudut Tirus Sisi bertentangan ———————–
Hipotenus

Sisi bersebelahan ———————–
Hipotenus

Sisi bertentangan ———————–
Sisi bersebelahan

∠QPR

R1Q1
 3—— = —

PR1
 5

Perbincangan:
1.  Apakah pola jawapan anda untuk nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus,

nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus dan nisbah panjang sisi bertentangan
kepada panjang sisi bersebelahan?

2.	 Apakah	yang	berlaku	sekiranya	saiz	sudut	diubah?	Berikan	justifikasi	anda.

Apakah hubungan antara sudut tirus dengan nisbah sisi
segi tiga bersudut tegak?

PQ1
  4 —— = —   PR1
  5

R1Q1
  3—— = —   PQ1

4
 R2Q2

——  = PR2

R3Q3

——  = PR3

P Q3

—— = P R3

R3Q3

—— = PQ3

R2Q2

—— = PQ2

PQ2

—— = PR2

RQ
—– = PR

PQ
—–  = PR

RQ
—– = PQ

Membuat dan
menentusahkan konjektur
tentang hubungan antara
sudut tirus dan nisbah
sisi segi tiga bersudut
tegak, dan seterusnya
mentakrifkan sinus,
kosinus dan tangen.

P Q

R

Q1

R1

R2

R3

Q2 Q3

TIP
Guna Teorem Phytagoras
untuk menentukan
panjang PR1, PR2, PR3
dan PR.

Berkumpulan
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

111

PERINGATAN

BULETIN

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

Contoh   2

Lengkapkan jadual berdasarkan rajah di sebelah.
sin x kos x tan x sin y kos y tan y

Penyelesaian:

sin x kos x tan x sin y kos y tan y
QR—–PR

PQ—–PR
QR—–PQ

PQ—–PR
QR—–PR

PQ—–QR

Bagi suatu sudut tirus yang ditetapkan dalam pelbagai saiz segi tiga bersudut tegak;
(a)  Nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
(b)  Nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
(c) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan ialah suatu nilai pemalar.

panjang sisi bertentangansinus = ——————————–
  hipotenus
  panjang sisi bersebelahankosinus = ——————————–
  hipotenus
  panjang sisi bertentangantangen = ——————————–
  panjang sisi bersebelahan

♦ sin = sinus
♦ kos = kosinus
♦ tan = tangen

Q

R

P
x

y

D

L

E K

F

M

x

x

y

y

UJI  MINDA 5.1b

1. Lengkapkan jadual berdasarkan segi tiga bersudut tegak di bawah.

Trigonometri berasal
dari bahasa Yunani iaitu,
Trigonon = tiga sudut
Metron = mengukur

Hubungan nisbah yang didapati daripada Cetusan minda 1 ialah
nisbah trigonometri yang dikenali sebagai sinus, kosinus dan
tangen iaitu:

Segi tiga sin x kos x tan x sin y kos y tan y
∆DEF
∆KLM
∆PQR

SP

Q

R
x yx y
5
B

A
B

Saiz sebenar

112

STANDARD
PEMBELAJARAN

Cetusan Minda 2

Tujuan:  Mengenal pasti kesan perubahan saiz sudut terhadap nilai
sinus, kosinus dan tangen.

Bahan: Kertas grid, pembaris, protraktor dan pensel.

Langkah:

1.  Lukis empat segi tiga bersudut tegak seperti di bawah dengan panjang tapak ialah 10 cm.

2.  Pastikan ukuran sudut dan panjang semua segi tiga bersudut tegak adalah tepat seperti
yang diberi.

3.  Lengkapkan jadual di bawah.

Apakah kesan perubahan saiz sudut terhadap nilai sinus,
kosinus dan tangen?

sin 10° sin 20° sin 30° sin 40° sin 50° sin 60° sin 70° sin 80°

kos 10° kos 20° kos 30° kos 40° kos 50° kos 60° kos 70° kos 80°

tan 10° tan 20° tan 30° tan 40° tan 50° tan 60° tan 70° tan 80°

RQ —–  PR
 1.8 = ——
 10.2
= 0.1765

PQ —–  PR
 10 = —–
 10.2
= 0.9804

RQ —–  PQ
 1.8 = —–
 10
= 0.1800

PQ —–  PR
 10 = ——
 10.2
= 0.9804

RQ —–  PR
 1.8 = —–
 10.2
= 0.1765

PQ —–  RQ
 10 = —–
 1.8
= 5.5556

Membuat dan
menentusahkan konjektur
tentang kesan perubahan
saiz sudut terhadap nilai
sinus, kosinus dan tangen.

Berpasangan

R

Q 10 cm 10 cm 10 cm10 cmP

80°
10°

50°

40°

60°

30°20°

70°
R1

Q1 P1

R2

Q2 P2

R3

Q3
P3
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

113

TIP

Perbincangan:
1.  Berdasarkan jadual nilai bagi nisbah trigonometri yang telah anda lengkapkan, apakah

kesimpulan yang anda boleh buat?

2. Apakah konjektur anda bagi
 (a) nilai nisbah sinus yang menghampiri 0° dan 90°?
 (b) nilai nisbah kosinus yang menghampiri 0° dan 90°?
 (c) nilai nisbah tangen yang menghampiri 0° dan 90°?

1. Rajah di sebelah menunjukkan dua segi tiga bersudut tegak.
 Tentukan sama ada semua nisbah trigonometri bagi sudut x

dan sudut y bernilai sama atau tidak. Nyatakan alasan untuk
jawapan anda.

Contoh   3

15 cm

x

9 cm

12 cm

5 cm3 cm
y

4 cm

Rajah di sebelah menunjukkan dua segi tiga bersudut tegak.
Tentukan sama ada semua nisbah trigonometri bagi sudut x
dan sudut y bernilai sama atau tidak. Nyatakan alasan untuk
jawapan anda.

Penyelesaian:

3sin x = —
  5
  1.5 3sin y = —– = —
  2.5 5

4kos x = —
  5
  2 4kos y = —– = —
  2.5 5

3tan x = —
  4
  1.5 3tan y = —– = —
  2 4

Nisbah trigonometri bagi sudut x dan sudut y adalah sama kerana panjang setiap sisi untuk
kedua-dua rajah adalah berkadaran.

UJI  MINDA 5.1c

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa;

Semakin besar saiz sudut tirus
(a) semakin besar nilai sinus dan nilainya menghampiri 1.
(b) semakin kecil nilai kosinus dan nilainya menghampiri

sifar.
(c) semakin besar nilai tangen.

sin 0°  = 0 sin 90°  = 1
kos 0° = 1 kos 90° = 0
tan 0° = 0 tan 90°  = ∞

2.5 cm
1.5 cm

y
2 cm

5 cm

x

3 cm

4 cm
5
B

A
B

Saiz sebenar

114

PERINGATAN

IMBAS KEMBALI

STANDARD
PEMBELAJARAN

2. Rajah di sebelah menunjukkan suatu segi tiga bersudut tegak.

(a) Tentukan nisbah trigonometri bagi
   i. sin 15° ii. kos 15°  iii. tan 15°

iv. sin 30°  v. kos 30° vi. tan 30°

(b)  Adakah pertambahan nilai nisbah trigonometri bagi sudut
15° dan sudut 30° berkadaran dengan pertambahan nilai
sudutnya?

Contoh   4

2.1 cm

1.9 cm

7 cm

15°
15°

P Q

S

R

Bagaimanakah anda menentukan nilai sinus, kosinus
dan tangen suatu sudut tirus?

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQR. Hitung nilai

(a) panjang PR (b) sin ∠PRQ (c) kos ∠PRQ (d) tan ∠QPR

Penyelesaian:
(a) panjang PR (b) sin ∠PRQ (c) kos ∠PRQ (d) tan ∠QPR

PR =	√152 + 82

= √289

= 17 cm

R

Q P15 cm

8 cm

15= —
 17

8= —
 17

8= —
 15

Contoh   5

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQT dan
RQS. PQR ialah garis lurus. Diberi bahawa panjang SQ ialah 6 cm.
Hitung nilai
(a) panjang QR (b) panjang PT (c) sin ∠QRS
(d) kos ∠TPQ (e) tan ∠PTQ (f) tan ∠QSR

Penyelesaian:
(a) panjang QR (b) panjang PT (c) sin ∠QRS

QR =	√102 – 62  PT  =	√42 + 32

= √64     = √25
  = 8 cm   = 5 cm

(d) kos ∠TPQ (e) tan ∠PTQ (f) tan ∠QSR
  4 = —
  5

S

P Q

T

R

10 cm

4 cm 6= —
 10
 3= —
 5

4= —
 3

8= —
 6
 4= —
 3

Nilai nisbah harus diberi
dalam sebutan terendah.

Menentukan nilai sinus,
kosinus dan tangen suatu
sudut tirus.

Teorem Pythagoras
c2 = a2 + b2

a2 = c2 – b2

b2 = c2 – a2

c

a
b
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

115

Apakah hubungan antara sinus, kosinus dan tangen?

Bagi suatu segi tiga bersudut tegak, anda ketahui bahawa;

sisi bertentangan  sisi bersebelahan     sisi bertentangansinus = —————–—–– , kosinus = —————–—–– dan tangen = —————–—––
 hipotenus  hipotenus     sisi bersebelahan

Tahukah anda ketiga-tiga nisbah trigonometri di atas berkaitan antara satu sama lain? Tangen
ialah nisbah sinus kepada kosinus.

Contoh   6

Jika nilai sin θ = 0.6 dan kos θ = 0.8, hitung nilai tan θ.

Penyelesaian:
   sin θ  tan	θ	 =	——–
   kos θ
   0.6  = ——
   0.8
   3  = —
   4
  = 0.75

Contoh   7
  3 3Jika	nilai	sin	θ	=	—	dan	nilai	tan	θ	=	——, hitung nilai kos θ.
  8 √ 55 Penyelesaian:
  sin	θ	tan	θ	=	——–
  kos	θ

3 –
 —— = ——–
√ 55 kos	θ

–
kos	θ	=	——
   —–

√ 55kos	θ	=	——  8

3
8

3
8
3

√ 55

K U I Z
 1Jika tan θ = — ,
 2
nyatakan nilai sin θ dan
kos θ yang mungkin.

Diberi sin θ = x.
Tentukan kos θ dan
tan θ yang mungkin.

BIJAK MINDA

SUDUT DISKUSI
Jika tan θ = 1, apakah
jenis segi tiga yang
diwakili oleh sudut θ
tersebut?

Teliti rajah di bawah.
 Diketahui,
   x   y   x	 (a)	 sin	θ	=	—	 (b)	 kos	θ	=	—	 (c)	 tan	θ	=	—
   1   1   y
  x	=	sin	θ		 	 y	=	kos	θ

Maka,
  	 	 sin	θ	 tan	θ	=	——–
  kos	θ

x

P

R

Qy

1

θ SUDUT DISKUSI

Jika θ ialah ∠QRP, adakah
 sin θnisbah tan θ masih –––––?
 kos θ
Bincangkan.
5
B

A
B

Saiz sebenar

116

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQR.
Diberi bahawa PR = 20 cm dan sin QPR = —. Hitung

(a) panjang QR
(b) kos ∠QPR

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQT dan
RQS. Diberi bahawa PQR dan STQ ialah garis lurus. Hitung nilai
kos x.

Contoh   8

Contoh   9

Penyelesaian:

(a)  sin ∠QPR = — (b) PQ = √ 202 – 1223
5

QR 3 —– = —
 PR 5
 QR 3 —– = —
 20 5
   3(20) QR = ——
    5
QR = 12 cm

Penyelesaian:

RQ kos x = —–
  SR
    TQ = √132 – 122 ; SQ = 2TQ ; RQ = √262 – 102
 =	√25	 	 	 =	2(5)	 	 	 =	√576
    TQ = 5 cm    SQ = 10 cm   = 24 cm

RQMaka, kos x = —–
  SR
  24  = —
  26
  12  = —
  13

Tentukan nilai RQ
terlebih dahulu

R

Q

P 20 cm

S

P Q

T

R

26 cm

12 cm

13 cm

x

=

=

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PRS. Diberi
bahawa PQR ialah garis lurus dan kos 60° = 0.5. Hitung panjang PS.
Nyatakan jawapan betul kepada dua tempat perpuluhan.

Contoh  10

10 cm

30°
P Q

S

R

=

=

3
5

BIJAK MINDA

SUDUT DISKUSI

3Diberi sin θ = — 5
dan panjang hipotenus
ialah 20 cm. Tentukan
kos θ dan tan θ.

Diberi hipotenus suatu
segi tiga bersudut tegak
ialah √8 cm. Tentukan
tan θ	jika kos	θ	= —– . 1

√2

16
20
4
5

= √ 256

PQ = 16 cm

Maka, kos ∠QPR = –—

= —

= —

PQ
PR
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

117

IMBAS KEMBALI

Memahami masalah

Menghitung panjang PS iaitu
hipotenus	bagi	∆PRS.

Membuat kesimpulan
PS = 17.32 cm (2 t.p.)

Merancang strategi

• PS = √PR2 + SR2

•  SR dan QR boleh dihitung jika
∠SQR atau ∠QSR diketahui.

•  Mengenal pasti kedudukan kos
60°.

Melaksanakan strategi

• ∠QSP = ∠QPS = 30°

maka, ∠PQS = 180 – 30° – 30° = 120°

• ∠SQR = 180° – ∠PQS

∠SQR = 180° – 120° = 60°

• Diberi bahawa kos 60° = 0.5

Kos 60° = —

—– = —

QR = —–––

= 5 cm

1
2
1
2

10 (1)
2

QR
10

SR = √102 – 52	=	√75	cm

Maka,

PS	=	√SR2 + PR2

PS = √(√75)2 + 152

PS = 17.32 cm

UJI  MINDA 5.1d

1.	 Hitung	nilai	 sin	θ,	kos	θ	dan	 tan	θ	bagi	 setiap	 segi	 tiga	bersudut
tegak berikut.

(a) (b) (c)

(d)  (e)  (f)

q

15 cm
39 cm

36 cm

q

24 m25 m

7 m

15 m

8 m

17 m

q

0.8 m

0.6 m

1.6 cm 3 cm

q
26 mm

10 mm

q

2.  Hitung nilai x tanpa melukis sebarang segi tiga bersudut tegak atau menggunakan teorem
Pythagoras atau dengan menggunakan kalkulator.

1 √3 	 (a)	 sin	θ	=	—,	kos	θ	=	—–,	tan	θ	=	x
   2 2

1 	 (b)	 sin	θ	=	—,	kos	θ	=	x,	tan	θ	=	1
   √2

5 √39 	 (c)	 sin	θ	=	x,	kos	θ	=	—,	tan	θ	=	—––
   8 5

7 7 	 (d)	 sin	θ	=	—,	kos	θ	=	x,	tan	θ	=	—–
   9 4√2

A B C
3
5
6
8
7
9

4
12
8

15
24
40

5
13
10
17
25
41

Trirangkap Pythagoras

q
5
B

A
B

Saiz sebenar

118

3. Tentukan panjang sisi q untuk setiap segi tiga bersudut tegak berikut.

1   7   2 (a) sin ∠QRP = — (b) sin ∠LKM = — (c) sin ∠ACB = —
   3   8   5

4. Tentukan panjang sisi z untuk setiap segi tiga bersudut tegak berikut.

(a) kos ∠SRT = — (b) kos ∠HJI = —  (c) kos ∠DFE = 0.4

5. Hitung nilai x bagi setiap segi tiga bersudut tegak berikut.

(a) tan ∠BAC = 0.9 (b) tan ∠PRQ = — (c) tan ∠LKM = —

6. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak
PQR dan PRS.		Diberi	bahawa	tan	θ	=	—	dan	PS = — PR.
Hitung panjang, dalam cm,

(a) PR
 (b) RS

7. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak DFE

dan EHI. Jika tan x = —, panjang DF = 21 cm dan nisbah

panjang  EF : EH = 1 : 2, tentukan panjang EI dalam cm.

9 m

24 m
Q

q
10 mm

A

B

C
qq

R

P L

K

M

5
7

3
8

3
4

10
3

14 cm

S

T

R
z

12 mm

z

D

E F

40 cm

I
z

H

J

12 cm

P

Q

R

20 cm B

C

A

x

30 mm

L

K

M

x

x

S

Q R

P

9 cm

qθ

I

E

D

H

F

x

x

5
7

3
4

5
3
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

119

STANDARD
PEMBELAJARAN

TIP

Bagaimanakah anda menentukan nilai sinus, kosinus dan
tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan kalkulator?

Menentukan nilai sinus,
kosinus dan tangen sudut
30°, 45° dan 60° tanpa
menggunakan kalkulator.

R

S

QP RQ

S

√3

30º

60º 60º QS = √22 – 12

QS = √3
KM = √12 + 12

KM = √2

1

2 unit2 unit

1 unit 1 unit

2––

Rajah 1(a) Rajah 1(b) Rajah 2

Rajah 1(b) di atas merupakan separuh daripada segi tiga sama sisi PRS dengan panjang sisi PQR
ialah 2 unit. Rajah 2 menunjukkan segi tiga sama kaki KLM.
 Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi nisbah trigonometri bagi sudut 30°, 45° dan 60°
yang boleh dihitung tanpa menggunakan kalkulator, berdasarkan Rajah 1(b) dan Rajah 2.

Hitung nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator.
(a) sin 45° + kos 45° (b) 3 kos 30° – 2 sin 60° (c) 2 tan 45° – 2 kos 60°
(d) (2 sin 60°)(4kos 30°) – 4 tan 60° (e) (3 tan 30°)(4 sin 60°) + 4 sin 45°

Penyelesaian:

(a) sin 45° + kos 45° (b) 3 kos 30° – 2 sin 60° (c) 2 tan 45° – 2 kos 60°

30° 60° 45°

sin	θ

kos	θ 1–2
tan	θ √3 1

1–2
√3—2

1—
√2
1—
√2

1—
√3

√3—2

Sudut
Nisbah

Contoh  11

√3 √3= 3(—) – 2(—) 2 2

3√3 2√3= —– – ––– 2 2

√3= —–  2

√3 √3= 2(—) (4)(—) – 4√3 2 2

= (√3)(2)(√3) – 4√3
= 2(3) – 4√3
= 6 – 4√3

1 √3 1= 3(—) (4)(—) + 4(—) √3 2 √2
 6 4= — + —
 1 √2
= 6 + 2√2

1= 2(1) – 2(—)  2

= 2 – 1

= 1

60°

30°

60°

TIP

(d) (2 sin 60°)(4kos 30°) – 4 tan 60° (e) (3 tan 30°)(4 sin 60°) + 4 sin 45°

√2 × √2

4 √2= — × —
 √2 √2
 4√2= —–
 2
= 2√2

= √2 × 2
= √4
= 2

M

K

L

√2

1

1

45°

BULETIN
 Surd ialah nombor tak
nisbah dalam bentuk
punca kuasa seperti √2,
√3 dan √17. √3 dibaca
sebagai surd tiga.

1 1= — + —
				√2    √2
 2= —
 √2
= √2

2 √2— × —
√2 √2
 2√2= —–
 2
= √2
5
B

A
B

Saiz sebenar

120

Gunakan	kalkulator	saintifik	untuk	menentukan	nilai-nilai	berikut	kepada	empat	tempat	perpuluhan.

(a) sin 45° 6' (b) kos 20.7°  (c) tan 64° 12'

Contoh  13

Apakah unit ukuran bagi sudut?

Sudut diukur dalam unit darjah ( ° ). Sudut juga boleh dinyatakan dalam unit darjah ( ° ),
minit ( ' ) dan saat ( '' ) iaitu,

(a) Tukarkan 30.2° kepada unit darjah dan minit. (b) Tukarkan nilai sudut 43° 30' kepada

Penyelesaian:

(a) 30.2° = 30° + 0.2°
  = 30° + (0.2 × 60)'
  = 30° + 12'
  = 30° 12'

Contoh  12

UJI  MINDA 5.1f

STANDARD
PEMBELAJARAN

Bagaimanakah anda menentukan nilai sinus, kosinus
dan tangen?

Melakukan pengiraan
yang melibatkan sinus,
kosinus dan tangen.

(b) 43° 30' = 43° + 30'
   30  = 43° + (—–)°
   60
  = 43° + 0.5°
  = 43.5°

1. Tukarkan setiap sudut berikut dalam unit darjah dan minit.

(a) 37.80° (b) 74.6°   (c) 58.1° (d) 60.2°

(e) 41.5° (f) 16.9°   (g) 5.4° (h) 72.3°

2. Nyatakan setiap nilai sudut berikut dalam unit darjah.

(a) 65° 54' (b) 47° 42'  (c) 18° 12' (d) 69° 24'

(e) 70° 6' (f) 36° 36'   (g) 35° 30' (h) 20° 18'

darjah.

1. Tentukan nilai-nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator.
 (a) 2 kos 60° + tan 45° (b) 3 kos 60° + 2 tan 45°  (c) 2 tan 45° + kos 60°
 (d) 3 sin 30° – 2 kos 60° (e) 2 sin 30° – 3 kos 60°  (f) 4 tan 45° – 2 kos 60°
 (g) (2 sin 60°)(3 kos 60°) + 3 tan 30° (h) (3 tan 45°)(4 sin 60°) – (2 kos 30°)(3 sin 30°)
 (i) 4 tan 45° + (2 sin 45°)(6 kos 45°) (j) (5 tan 60°)(2 sin 60°) – (3 sin 45°)(4 kos 45°)

UJI  MINDA 5.1e

1° = 60'
1' = 60''

Tahukah	anda	kalkulator	saintifik	boleh	digunakan	untuk	menentukan
nilai suatu sudut bagi nisbah trigonometri?
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

121

Gunakan	kalkulator	saintifik	untuk	mengira	nilai-nilai	x berikut.

(a) sin x = 0.8377 (b) kos x = 0.7021  (c) tan x = 2.4876

Penyelesaian:
(a)  sin x = 0.8377
  x = sin–1 0.8377
  x = 56. 9°
  x = 56° 54'

BULETIN

56° 53' 52.93''
             > 30
= 56° 54'

+1

}

PERINGATAN

kos 2 0 ∙ 7 =     0.9354440308PINTAR JARI
0AC

1 2 3
4 5 6
7 8 9

+
-

x

÷

.

1,234567.89

sin 4 5 °' '' 6 °' '' =    0.7083398377
Butang  °' ''  hanya perlu
ditekan apabila soalan
diberikan dalam unit
darjah dan minit.

tan 6 4 °' '' 12 °' '' = 2.068599355

shift sin 0 . 8 3 7 7 = 56.89803635

UJI  MINDA 5.1g

1.	 Gunakan	 kalkulator	 saintifik	 untuk	 menentukan	 nilai	 setiap	 berikut	 kepada	 empat	 tempat
perpuluhan.

(a)  sin 44°    (b)  kos 73.5°    (c)  tan 69.5°    (d)  sin 51° 24'    (e)  kos 30° 21'    (f)  tan 56° 24'

Jika	 nilai	 nisbah	 trigonometri	 diberi,	 anda	 boleh	 menggunakan	 kalkulator	 saintifik	 untuk
menentukan saiz sudut yang berkaitan.

Bagaimanakah anda mengira saiz sudut dengan menggunakan nisbah trigonometri sinus,
kosinus dan tangen?

Contoh  14

°' ''    56° 53' 52.93''

Jika unit saat bernilai 30"
atau lebih, unit minit akan
ditambah 1'.

PINTAR JARI
0AC

1 2 3
4 5 6
7 8 9

+
-

x

÷

.

1,234567.89

PINTAR JARI
0AC

1 2 3
4 5 6
7 8 9

+
-

x

÷

.

1,234567.89

PINTAR JARI
0AC

1 2 3
4 5 6
7 8 9

+
-

x

÷

.

1,234567.89

(b) kos 20.7° = 0.9354

(c) tan 64° 12' = 2.0686

Jawapan dalam unit darjah.
Jawapan dalam unit darjah dan minit.

52.93'' menunjukkan nilai dalam unit saat. Ikuti langkah-langkah
berikut untuk membundarkan jawapan kepada unit minit terdekat.

Penyelesaian:

(a) sin 45° 6' = 0.7083
5
B

A
B

Saiz sebenar

122

R

50°
QP

PINTAR JARI
0AC

1 2 3
4 5 6
7 8 9

+
-

x

÷

.

1,234567.89

shift kos 0 . 7 0 2 1 = 45.40426895   °' '' 45° 24' 15.37''

Penyelesaian:

QR sin 50°  = —–
   PR
   2.5 sin 50°  = —–
   PR

2.5        PR  = —––—
   sin 50°

PR = 3.26 m (2 t.p.)

STANDARD
PEMBELAJARAN

UJI  MINDA 5.1h

Contoh  15

1.	 Dengan	menggunakan	kalkulator	saintifik,	hitung	nilai	x berikut.
 (a) tan x = 0.2162 (b) kos x = 0.5878  (c) sin x = 0.4062 (d) sin x = 0.9121
 (e) kos x = 0.9686  (f) tan x = 3.8027 (g) kos x = 0.5604 (h) sin x = 0.1521
 (i) tan x = 0.7199 (j)  sin x = 0.9792 (k) tan x = 1.0088 (l) kos x = 0.099

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
melibatkan sinus, kosinus dan tangen?

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan sinus,
kosinus dan tangen.

Gambar rajah di sebelah menunjukkan satu tangga yang disandarkan
pada dinding. Ia membentuk suatu segi tiga bersudut tegak PQR. Jika
tinggi QR ialah 2.5 m, hitungkan panjang tangga, PR dalam meter.
(Nyatakan jawapan betul kepada dua tempat perpuluhan).

50˚
P Q

D
in

di
ng

Tangga

RR

50˚
P Q

R

2.5 m

Contoh  16

Rajah di sebelah menunjukkan  kuboid ABCDEFGH. Diberi bahawa
BC = 8 cm, CH = 5 cm dan tinggi HE = 4 cm. Jika segi tiga bersudut
tegak FGC dibentuk dalam kuboid, hitung nilai ∠FCG.

4 cm

5 cm
8 cm

E

H

CB

A

F

G
D

PINTAR JARI
0AC

1 2 3
4 5 6
7 8 9

+
-

x

÷

.

1,234567.89

shift tan 2 . 4 8 7 6 = 68.10017426 °' '' 68° 6' 0.63''

(c) tan x = 2.4876
        x = tan–1 2.4876
        x = 68.1°
        x = 68° 6'

(b) kos x = 0.7021
        x = kos–1 0.7021
        x = 45.4°
        x = 45° 24'
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

123

Melaksanakan strategi

• FG = EH
 Maka,
 FG = 4 cm

Memahami masalah

∠FCG boleh dihitung jika
dua daripada mana-mana sisi
CG, CF atau FG diketahui.

Membuat kesimpulan

∠FCG = 22.98°
atau
∠FCG = 22° 59'

Merancang strategi

• FG = EH
•  Panjang CG lebih mudah dihitung berbanding panjang CF.
• tan ∠FCG =

5 cm

8 cmB C

G

4 cm

√89 cm
CG

tan ∠FCG =

∠FCG = tan–1

∠FCG = 22.98°

4—–
√89 4—–

√89

UJI  MINDA 5.1i

1. Sebuah tangga lipat yang diletakkan di atas lantai membentuk
segi tiga sama kaki PQR seperti dalam rajah di sebelah. Diberi
bahawa T ialah titik tengah PR, ∠PQR = 38° dan panjang PR = 1.4 m.
Hitungkan panjang PQ, betul kepada dua tempat perpuluhan.

2. Rajah di sebelah menunjukkan Aisyah yang sedang memerhatikan
sebatang tiang lampu. Diberi bahawa sudut dongak hujung tiang
lampu dari penglihatan Aisyah ialah 55° dan jarak di antara
mata Aisyah dengan hujung tiang lampu ialah 145 meter. Hitung
jarak mengufuk, d dalam meter. Nyatakan jawapan betul kepada
tiga angka bererti.

3. Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan sebuah kapal dan rumah
api. Diberi bahawa sudut tunduk kapal dari rumah api ialah 41°
dan jarak mengufuk di antara rumah api dengan kapal ialah
200 m. Hitung tinggi rumah api, h dalam meter. Nyatakan jawapan
betul kepada empat angka bererti.

1.4 m

Q

P R

T

38º

FG—–
CG

F

CG =	√BC 2 + BG2

= √82 + 52

CG = √89

55°

145 m

d

4. Sebuah piramid tegak PQRST mempunyai tapak segi empat
tepat QRST. Diberi bahawa W ialah titik tengah QS dan RT.
Panjang QT = 8 cm, TS = 6 cm dan titik P terletak tegak di atas
titik W. Hitung

(a) panjang PT, dalam cm, jika PW = 12 cm

(b) nilai ∠PTR

41°
h

200 m

P

Q

T

SW

R

8 cm 6 cm

●

W

R
5
B

A
B

Saiz sebenar

124

4. Dalam rajah di sebelah, DEF ialah segi tiga bersudut tegak dan
DPF ialah garis lurus. Diberi PE = 5 cm. Hitung nilai

(a)  x dalam cm
 (b)  θ dalam darjah dan minit

1. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak KLM. Hitung
 (a)	 θ	dalam	darjah	dan	minit.			(b)  sin (90°– θ)			(c)		kos	(90°– θ)

2. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak ABC. Diberi
bahawa tan θ = —. Hitung

(a) panjang AC, dalam cm
 (b) nilai tan (90°– θ)
	 (c)	 θ	dalam	darjah	betul	kepada	tiga	angka	bererti

Cabaran Dinamis

FD P

13 cm

q

K

L

M
q

15 cm
8 cm

B

B

A

A

C

C

15 cm

21 cm

q

q

q

q

Mahir Diri

1. Hitung nilai operasi berikut tanpa menggunakan kalkulator.
 (a) 8 sin 60° – 3 tan 60° (b) (tan 30°)(2 kos 30°) + 6 sin 30°
 (c) (8 kos 45°)(sin 60°) + (8 sin 45°)(kos 30°)

2. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PRS.
PQR ialah garis lurus. Diberi bahawa QR = RS = 18 cm dan
tan	θ	=	—.	Hitung

(a) panjang PQ, dalam cm
 (b) panjang PS, dalam cm, betul kepada integer terdekat
 (c) nilai y

3. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak ABC. Diberi
bahawa AB = 21	cm	dan	sin	θ	=	—.	Hitung

(a)  panjang AC dalam cm

(b) nilai ∠BAC. Nyatakan jawapan anda dalam darjah terdekat

5
12

2xx

Uji Diri

3
5

18 cm

18 cm

q
P Q

S

R

y

3. Sebuah pintu gerbang mempunyai dua tiang mercu yang
dihubungkan dengan satu jambatan mengufuk dengan
jarak x meter. Jika tinggi tegak jambatan dari permukaan
tanah ialah 5 m dan sudut di antara tiang PQ dengan garis
condong PR ialah 60°, tentukan nilai x, dalam meter.

P

x m

5 m
60º

7
9

E

q

Q R
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

125

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kuboid PQRSTUVW. QRWV
dan PSTU ialah segi empat sama. Diberi bahawa PQ = 12 cm dan
QR = 7 cm. Hitung

(a) tan ∠PQS
 (b) panjang TQ, dalam cm, betul kepada empat angka bererti
 (c) nilai ∠SQT, dalam darjah dan minit

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah heksagon sekata PQRSTU
bersisi 6 cm. Hitung

(a) ∠PTS
 (b) ∠TPS
 (c)  panjang TP, dalam cm, betul kepada tiga angka bererti
 (d) nisbah luas ∆PTU kepada luas ∆PTS

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi empat tepat ABCD. Diberi
bahawa AB = 8 cm, BC = 2 AB dan N ialah titik tengah BC.

(a)  Jika MD =   — AD, hitungkan panjang MN, dalam cm. Nyatakan
jawapan anda dalam bentuk surd

(b)	 Hitung	nilai	θ,	dalam	darjah	dan	minit
 (c)   Shahril menyatakan bahawa nisbah luas trapezium CDMN

kepada luas trapezium ABNM ialah 1 : 2. Adakah pernyataan
Shahril benar? Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

Masteri  Kendiri

1
4

7 cm
12 cm

W

R

QP

U

T

S
V

P 6 cm Q

RU

ST

D

A
8 cm

M

C

B

N
θ

KP R O J E

Bahan: Kertas grid 0.5 cm × 0.5 cm, pensel, pembaris dan pensel warna.
Langkah:
1. Mulakan dengan melukis suatu

bentuk gabungan segi tiga bersudut
tegak (warna merah jambu).

2. Sambungkan setiap bucu gabungan
asal dengan segi tiga bersudut tegak
(warna hijau).

3. Teruskan corak yang didapati
pada langkah 2 sebanyak yang
mungkin.

4. Warnakan hasil kerja anda dan
pamerkan di kelas.

5. Kumpulan lain digalakkan untuk
menggunakan segi tiga bersudut
tegak yang berlainan saiz sebagai
permulaan corak.
5
B

A
B

Saiz sebenar

126

45°

45°

1

1

√2

G F

E

A

O BC

2

q Sudut khas
30° 45° 60°

tan q —– 1 √ 3

sin q — —–

kos q —– —

1
2

1
2

1
√ 3

√ 3
  2

√ 3
  2

1
√ 2

1
√ 2

30°

√3

60°

2

1 1

Menentukan
nilai sudut bagi
sinus, kosinus
dan tangen

θ° 0° 90°
sin q 0 1
kos q 1 0
tan q 0 ∞

Nisbah sinus
 sisi bertentangansin q = ———————
 hipotenus

Nisbah kosinus
 sisi bersebelahankos q = ———————–
 hipotenus

Nisbah tangen
 sisi bertentangantan q = ———————
 sisi bersebelahan

Apabila saiz bagi satu sudut tirus, q bertambah
 • nilai bagi tan q dan sin q bertambah
 • nilai bagi kos q berkurang

Nisbah trigonometri

sisi
bertentangan

sisi bersebelahan

hipotenus

q

PETA KONSEP

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Mengenal pasti sisi bertentangan dan sisi bersebelahan berdasarkan suatu sudut tirus
dalam segi tiga bersudut tegak.

2. Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut tirus dan nisbah
sisi segi tiga bersudut tegak, dan seterusnya mentakrifkan sinus, kosinus dan tangen.

3. Membuat dan menentusahkan konjektur tentang kesan perubahan saiz sudut terhadap
nilai sinus, kosinus dan tangen.

4. Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen suatu sudut tirus.
5. Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan

kalkulator.

6. Melakukan pengiraan yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.

7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.

IMBAS KENDIRI
5
B

A
B

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Saiz sebenar

127

Bagi mengukur ketinggian suatu tiang, kaedah seperti berikut boleh digunakan.

Ambil suatu kadbod dan lukis segi tiga
bersudut tegak ABC seperti rajah di sebelah
dengan  AB = AC = 30 cm.

45°

45°
30 cm

30 cm

B A

C

∠ABC = ∠BCA = 45°. Potong segi tiga dan
aturkan dengan sebatang rod kayu relatif
kepada tiang yang akan diukur.

Pastikan aras mata dari sisi sudut ABC selaras
dengan puncak tiang seperti di sebelah.
Gunakan kayu tersebut untuk memastikan
kedudukan segi tiga ABC adalah tegak.

Jika x mewakili ketinggian aras mata dari permukaan tanah, y mewakili ketinggian tiang
serta z mewakili jarak di antara pemerhati dengan tiang maka,

tan 45° = ——

y =  z tan 45° + x

Tinggi tiang boleh diperoleh dengan mudah tanpa sebarang keperluan untuk mengukur tiang
itu sendiri.

Tiang

Kadbod
ABC

Kayu

C

AB
Mata
pemerhati

y – x
z

Tiang

Kayu

Kadbod
ABC

y

x

z

Mata
pemerhati

JELAJAH MATEMATIK

Langkah 1

Langkah 2

Langkah 4

Langkah 3
•	 	Bulatan	merupakan	suatu	bentuk	yang	unik	dan
mempunyai ciri-ciri yang istimewa. Keunikan
bentuk bulat membolehkan bulatan digunakan
dalam pelbagai bidang.

•	 	Konsep	sudut	dan	tangen	bagi	bulatan	digunakan
dalam bidang perindustrian, pembinaan jalan
raya, lukisan, astronomi, sukan dan sebagainya.

Saiz sebenar

128

Sudut dan Tangen
bagi Bulatan6

BAB
6

BAB

Acara lontar peluru merupakan satu acara olahraga.
Kawasan melontar berbentuk bulatan dengan

diameter 2.135 m. Bulatan tersebut dibahagi kepada
dua bahagian atau dua semi bulatan dengan garisan
putih setebal 50 mm. Dua garis lurus dilukis dari pusat
bulatan yang bersudut 40° di antara satu sama lain
untuk menentukan kawasan lontaran.
Muhammad	 Ziyad	 Zolkefli	 ialah	 seorang	 atlet
paralimpik negara. Beliau meraih pingat emas
acara lontar peluru T20 pada Kejohanan Olahraga
Antarabangsa Fazza ke-10, Grand Prix (GP) olahraga
Para Dunia di Dubai, Emiriah Arab Bersatu.
Pernahkah anda menyertai acara melontar peluru?

Apakah yang akan anda pelajari?

Kenapa Belajar Bab Ini?

6.1  Sudut pada Lilitan dan Sudut Pusat
yang Dicangkum oleh Suatu Lengkok

6.2 Sisi Empat Kitaran

6.3  Tangen kepada Bulatan

6.4  Sudut dan Tangen bagi Bulatan
K A ATG E R B A N G

Eksplorasi ZamanEksplorasi ZamanSudut dan Tangen
bagi Bulatan Thales dan Phythagoras merupakan antara ahli

matematik Greek yang terkenal. Teorem Thales
menyatakan bahawa apabila ketiga-tiga bucu suatu
segi tiga menyentuh lilitan bulatan dan satu daripada
sisi segi tiga itu ialah diameter, maka sudut pada lilitan
yang	 dicangkumi	 oleh	 diameter	 ialah	 90˚.	 Teori	 ini
berasas daripada pengaruh Mesir Purba, India dan
Mesopotamia. Bulatan telah dikaji oleh ahli matematik
purba kerana bentuk ini dianggap sebagai suatu bentuk
yang lengkap.

Saiz sebenar

129

• diameter •	 diameter
•  lengkok •	 arc
•  lilitan •	 circumference
•  paksi simetri •	 axis of symmetry
•  perentas •	 chord
•  semi bulatan •	 semicircle
•  simetri •	 symmetry
•  tangen •	 tangent
•  tembereng •	 alternate segments

selang-seli
•  titik ketangenan •	 point of tangency

34.92°

25 m

50 mm

75 cm

2.135 m

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%206/
Saiz sebenar

130

6
B

A
B

IMBAS KEMBALI

6.1 Sudut Pada Lilitan Dan Sudut Pusat Yang
  Dicangkum Oleh Suatu Lengkok

Apakah sudut-sudut pada lilitan suatu bulatan?

Bulatan merupakan suatu bentuk dua dimensi yang unik. Hal ini
kerana bilangan sisi bulatan adalah tidak terhingga. Keistimewaan
dan keunikan bentuk bulatan ini membolehkan objek yang
berbentuk bulat seperti roda bergerak dengan mudah. Adakah
anda pernah lihat roda kenderaan dalam bentuk lain?

Sudut-sudut yang terbentuk dalam bulatan juga mempunyai
ciri-ciri tersendiri.

Rajah 1 menunjukkan dua perentas, PQ
dan QR yang bertemu di titik Q pada
lilitan bulatan.

∠PQR ialah sudut pada lilitan bulatan
yang dicangkum oleh lengkok PR.

Dalam Rajah 2,

(a) ∠PQS dan ∠PRS ialah sudut-sudut
pada lilitan bulatan yang dicangkum
oleh lengkok major PS.

(b) ∠QPR dan ∠QSR ialah sudut-sudut
pada lilitan bulatan yang dicangkum
oleh lengkok minor RQ.

Perentas

Diameter

Lilitan

Pusat
Bulatan

Je
ja

ri

STANDARD
PEMBELAJARAN

Membuat dan
menentusahkan konjektur
tentang hubungan antara
sudut-sudut pada lilitan
dengan sudut pusat
yang dicangkum oleh
lengkok tertentu, dan
seterusnya menggunakan
hubungan tersebut untuk
menentukan nilai sudut
dalam bulatan.

SUDUT DISKUSI
Cuba bandingkan roda
di bawah. Bincang
dalam kelas, roda
basikal yang manakah
akan membolehkan
anda sampai ke
destinasi anda dengan
lebih cepat?

Rajah 1

Perentas

Lengkok PR

Perentas Q

P

R

Rajah 2

Q
R

S

P

Lengkok major

Lengkok minor

Sektor
major

Sektor
minor

O
Saiz sebenar

131

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Cetusan Minda 1
Berkumpulan

Adakah sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah
 sama besar?

Tujuan: Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama
               adalah sama besar.
Bahan: Kertas A4, jangka lukis, protraktor, pembaris, pensel

Langkah:

1. Lukis satu bulatan yang berjejari 5 cm. Lukis satu perentas PQ (Rajah 1).

2. Lukis perentas QR yang membentuk 30° pada titik Q (Rajah 2). Kumpulan lain digalakkan
untuk membentuk sudut tirus di antara 20° hingga 40°.

3. Tandakan titik S pada lilitan dan lukis perentas PS dan perentas RS (Rajah 3).

4. Ukur ∠PSR dan catatkan pada jadual.

5. Ulangi langkah 3 dengan titik T dan perentas PT dan perentas RT (Rajah 4).

6. Ukur ∠PTR dan catatkan pada jadual.

∠PQR ∠PSR ∠PTR

30°

7. Anda boleh ulangi langkah 3 dengan titik-titik lain pada lengkok major PR. Ukur sudut
yang terbentuk dan catatkan pada jadual.

8. Tampal hasil dapatan kumpulan anda di sudut matematik. Nyatakan pendapat anda
berkaitan hasil dapatan kumpulan lain.

Perbincangan:
Apakah yang boleh anda nyatakan tentang sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum
oleh lengkok PR?

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

Sudut-sudut yang dicangkum oleh lengkok PR, iaitu ∠PQR, ∠PSR dan ∠PTR adalah sama.

QQQQ SS

T

RR
PPPP

R

30°

Rajah 1 Rajah 3Rajah 2 Rajah 4

30°5 cmO
Saiz sebenar

132

6
B

A
B

Sudut-sudut pada suatu lilitan bulatan yang dicangkum
oleh lengkok yang sama adalah sama besar.
∠PRQ = ∠PSQ = ∠PTQ

Anda juga boleh menggunakan perisian dinamik untuk menentusahkan ciri-ciri sudut pada lilitan
bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama.

Cetusan Minda 2
Berpasangan

Tujuan: Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama
 adalah sama besar.

Bahan: Perisian dinamik

Langkah:

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk melukis satu bulatan
(Rajah 1).

2. Klik pada Point Tool dan tandakan tiga titik (Rajah 2).

3. Klik pada Text Tool dan labelkan tiga titik yang ditanda pada langkah 2 (Rajah 3).

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3

4. Klik pada Straightedge Tool dan lukis dua garis lurus yang menyambungkan titik A
dan titik B serta titik B dan titik C (Rajah 4).

5. Klik pada Selection Arrow Tool dan klik pada titik-titik A, B dan C (Rajah 5).

6. Klik Measure dan pilih Angle. Klik dan nilai ∠ABC akan dipaparkan (Rajah 6).

R
S

T

QP

1

Cetusan Minda 2 (Berpasangan)

Tujuan : Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah
sama besar.

Alatan : Sebuah komputer dengan perisian Geometer’s Sketchpad (GSP)

Langkah :

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk melukis satu bulatan
(Rajah 1).

2. Klik pada Point Tool dan tandakan tiga titik  (Rajah 2).
3. Klik pada Text Tool dan labelkan tiga titik yang ditanda pada langkah 2 seperti (Rajah 3).

4. Klik pada Starightedge Tool dan lukis dua garis lurus yang manyambungkan titik  A dan titik
B serta titik  B dan titik C (Rajah 4).

5. Klik pada Selection Arrow Tool dan klik pada titik – titik A, B dan C (Rajah 5).
6. Klik Measure dan pilih Angle. Klik dan nilai sudut ABC akan dipaparkan (Rajah 6).

7. Ulang langkah 2 hingga 4 untuk tanda titik D dan langkah 5 untuk memilih titik-titik A, D dan
C (Rajah 7).

8. Ulang langkah 6. Nilai sudut ADC akan dipaparkan (Rajah 8). Perhatikan, nilai sudut ABC
dan sudut ADC adalah sama.

9. Anda boleh cuba dengan titik lain yang diletakkan pada lengkok major AC untuk menentukan
nilai sudut pada lilitan bulatan.

Rajah 1

Rajah 1

Rajah 2

Rajah 1

Rajah 3

Rajah 1

Rajah 4

Rajah 1

Rajah 5

Rajah 1

Rajah 6

Rajah 1

Rajah 8

Rajah 1

Rajah 7

Rajah 1

A

B

C

Secara generalisasi,
Saiz sebenar

133

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Rajah 4 Rajah 5 Rajah 6

7. Ulangi langkah 2 hingga 4 untuk tanda titik D dan langkah 5 untuk memilih titik-titik
A, D dan C (Rajah 7).

8. Ulangi langkah 6. Nilai ∠ ADC akan dipaparkan (Rajah 8). Perhatikan nilai ∠ ABC dan
∠ ADC adalah sama.

9. Anda boleh cuba dengan titik lain yang diletakkan pada lengkok major AC untuk
menentukan nilai sudut pada lilitan bulatan.

Rajah 7 Rajah 8

Perbincangan:

Apakah yang boleh dirumuskan daripada pemerhatian anda dalam aktiviti di atas?1

Cetusan Minda 2 (Berpasangan)

Tujuan : Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah
sama besar.

Alatan : Sebuah komputer dengan perisian Geometer’s Sketchpad (GSP)

Langkah :

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk melukis satu bulatan
(Rajah 1).

2. Klik pada Point Tool dan tandakan tiga titik  (Rajah 2).
3. Klik pada Text Tool dan labelkan tiga titik yang ditanda pada langkah 2 seperti (Rajah 3).

4. Klik pada Starightedge Tool dan lukis dua garis lurus yang manyambungkan titik  A dan titik
B serta titik  B dan titik C (Rajah 4).

5. Klik pada Selection Arrow Tool dan klik pada titik – titik A, B dan C (Rajah 5).
6. Klik Measure dan pilih Angle. Klik dan nilai sudut ABC akan dipaparkan (Rajah 6).

7. Ulang langkah 2 hingga 4 untuk tanda titik D dan langkah 5 untuk memilih titik-titik A, D dan
C (Rajah 7).

8. Ulang langkah 6. Nilai sudut ADC akan dipaparkan (Rajah 8). Perhatikan, nilai sudut ABC
dan sudut ADC adalah sama.

9. Anda boleh cuba dengan titik lain yang diletakkan pada lengkok major AC untuk menentukan
nilai sudut pada lilitan bulatan.

Rajah 1

Rajah 1

Rajah 2

Rajah 1

Rajah 3

Rajah 1

Rajah 4

Rajah 1

Rajah 5

Rajah 1

Rajah 6

Rajah 1

Rajah 8

Rajah 1

Rajah 7

Rajah 1

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa;

Sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah sama besar.

Contoh   1
A

E

Berdasarkan rajah di sebelah, hitung nilai y.

Penyelesaian:

y = ∠ABE = 40°

BULETIN

y = ∠ABE = 40°.
∠ADE ≠ 40° kerana
∠ADE bukan sudut
pada lilitan bulatan yang
dicangkum oleh lengkok
AE.

40º

y

D

C

B

30º

1

Cetusan Minda 2 (Berpasangan)

Tujuan : Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah
sama besar.

Alatan : Sebuah komputer dengan perisian Geometer’s Sketchpad (GSP)

Langkah :

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk melukis satu bulatan
(Rajah 1).

2. Klik pada Point Tool dan tandakan tiga titik  (Rajah 2).
3. Klik pada Text Tool dan labelkan tiga titik yang ditanda pada langkah 2 seperti (Rajah 3).

4. Klik pada Starightedge Tool dan lukis dua garis lurus yang manyambungkan titik  A dan titik
B serta titik  B dan titik C (Rajah 4).

5. Klik pada Selection Arrow Tool dan klik pada titik – titik A, B dan C (Rajah 5).
6. Klik Measure dan pilih Angle. Klik dan nilai sudut ABC akan dipaparkan (Rajah 6).

7. Ulang langkah 2 hingga 4 untuk tanda titik D dan langkah 5 untuk memilih titik-titik A, D dan
C (Rajah 7).

8. Ulang langkah 6. Nilai sudut ADC akan dipaparkan (Rajah 8). Perhatikan, nilai sudut ABC
dan sudut ADC adalah sama.

9. Anda boleh cuba dengan titik lain yang diletakkan pada lengkok major AC untuk menentukan
nilai sudut pada lilitan bulatan.

Rajah 1

Rajah 1

Rajah 2

Rajah 1

Rajah 3

Rajah 1

Rajah 4

Rajah 1

Rajah 5

Rajah 1

Rajah 6

Rajah 1

Rajah 8

Rajah 1

Rajah 7

Rajah 1

1

Cetusan Minda 2 (Berpasangan)

Tujuan : Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah
sama besar.

Alatan : Sebuah komputer dengan perisian Geometer’s Sketchpad (GSP)

Langkah :

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk melukis satu bulatan
(Rajah 1).

2. Klik pada Point Tool dan tandakan tiga titik  (Rajah 2).
3. Klik pada Text Tool dan labelkan tiga titik yang ditanda pada langkah 2 seperti (Rajah 3).

4. Klik pada Starightedge Tool dan lukis dua garis lurus yang manyambungkan titik  A dan titik
B serta titik  B dan titik C (Rajah 4).

5. Klik pada Selection Arrow Tool dan klik pada titik – titik A, B dan C (Rajah 5).
6. Klik Measure dan pilih Angle. Klik dan nilai sudut ABC akan dipaparkan (Rajah 6).

7. Ulang langkah 2 hingga 4 untuk tanda titik D dan langkah 5 untuk memilih titik-titik A, D dan
C (Rajah 7).

8. Ulang langkah 6. Nilai sudut ADC akan dipaparkan (Rajah 8). Perhatikan, nilai sudut ABC
dan sudut ADC adalah sama.

9. Anda boleh cuba dengan titik lain yang diletakkan pada lengkok major AC untuk menentukan
nilai sudut pada lilitan bulatan.

Rajah 1

Rajah 1

Rajah 2

Rajah 1

Rajah 3

Rajah 1

Rajah 4

Rajah 1

Rajah 5

Rajah 1

Rajah 6

Rajah 1

Rajah 8

Rajah 1

Rajah 7

Rajah 1

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

D

A

B

C

D
Saiz sebenar

134

6
B

A
B

1. Hitung nilai z.

 (a)  (b)

(c)  (d)

25ºz

UJI  MINDA 6.1a SUDUT DISKUSI
Adakah
∠ADB = ∠ACB?
Bincangkan.

D
●

A

B
●

●

C

D

D

●

A

B
●

●

C

2. Dalam rajah di sebelah perentas QW = RW.
Diberi bahawa ∠QWR = 40° dan ∠WRT = 35°.
Tentukan nilai

(a) ∠QSR (b) ∠WQT
 (c) ∠WRQ (d) ∠QRT

3. Dalam rajah di sebelah, ∠BAF = 110°, ∠ACF = 40°,
∠CFD = 10° dan ∠BFC = 20°. Tentukan nilai

(a) ∠ABF (b) ∠BFA
 (c) ∠CAD (d) ∠DAF

E

FA

B

C
D

40º

10º

20º

110º

T

S
P

Q

R

40º

35º

W

35º
z

50º
80º

z

70º

z

4. Dalam rajah di sebelah, ∠QRP = 38°, ∠QUR = 118°
dan ∠SPT = 13°. Tentukan nilai

(a) ∠RPS (b) ∠PTQ

U

118º

13º

38º

Q
R

P

S
T
Saiz sebenar

135

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Cetusan Minda 3
Berkumpulan

Adakah sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama panjang
 adalah sama besar dan adakah sudut-sudut pada lilitan bulatan berkadaran dengan
 panjang lengkok yang dicangkum?

Tujuan: 1.  Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok
 sama panjang adalah sama besar.

2.  Sudut-sudut pada lilitan bulatan adalah berkadaran dengan panjang lengkok
 yang dicangkum.

Bahan: Jangka lukis, protraktor, pensel, pembaris dan kertas A4.

Langkah:
1. Lukis satu bulatan dengan jejari 5 cm. Tanpa mengubah bukaan jangka lukis, bahagikan

lilitan bulatan kepada enam bahagian (Rajah 1 – Rajah 3).

2. Lukiskan dua sudut pada lilitan yang dicangkum oleh dua bahagian berlainan yang sama
panjang dan labelkan (Rajah 4).

C

T

Q

PB

A

R

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3 Rajah 4

3. Ukur ∠BCA dan ∠PRQ. Catatkan dalam jadual.

4. Ulangi langkah 1. Lukiskan perentas dengan panjang
lengkok yang berlainan (Rajah 5). Ukur ∠RPT dan
∠BQR. Catatkan dalam jadual.

Rajah 5

B P

Q

TR

A

Lengkok Lengkok
BA PQ RT BR = 2RT

∠BCA ∠PRQ ∠RPT ∠BQR

Perbincangan:
1. Apakah kesimpulan anda berkaitan sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh

lengkok yang sama panjang?

2. Apakah kesimpulan anda berkaitan kesan perubahan panjang lengkok kepada sudut-sudut
yang dicangkum pada lilitan bulatan?
Saiz sebenar

136

6
B

A
B

Daripada Cetusan Minda 3, didapati bahawa;

(a)  ∠BCA = ∠PRQ [Panjang lengkok AB = Panjang lengkok PQ].

(b)  ∠BQR = 2 × ∠RPT [Panjang lengkok BR = 2 × Panjang lengkok RT].

Sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh
lengkok yang sama panjang adalah sama saiz. Jika panjang
lengkok PQ = panjang lengkok SU maka, ∠PRQ = ∠STU.

Saiz sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh suatu
lengkok adalah berkadaran dengan panjang lengkok
tersebut.

Contoh   2

Contoh   3

Rajah di sebelah menunjukkan bulatan dengan panjang lengkok
PR = QS. Tentukan nilai x. Berikan alasan untuk jawapan anda.

Penyelesaian:

x = 40° kerana ∠ x dan ∠40° berada pada lilitan bulatan dan
panjang lengkok PR = QS.

Berdasarkan rajah di sebelah, tentukan nilai x.

Penyelesaian:

x   6 cm —– = –––––
25°   2 cm
  x = 3 (25°)
  x = 75°

P

Q

R

S
x

40o

P Q

U

T

SR

Q
S U

T

P
R

3xo

3y cm

xo

y cm

3x  x

R

Q

P

x
25o

2 cm
6 cm

Secara generalisasi,
Saiz sebenar

137

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Contoh   4

Diberi panjang lengkok minor PS ialah dua kali panjang lengkok
QR. Tentukan nilai x.

Penyelesaian:

∠PTS = 180° – 2 (48°)

∠PTS = 84°

84°Maka, x = –––
   2
          x = 42°

PSQR = –––
 2

UJI  MINDA 6.1b

1. Berdasarkan rajah-rajah di bawah, hitung nilai x.

(a)  (b)  (c)  (d)

48°

Q

R

ST

P

x

x

60°
4 cm

8 cm

x

56°

28°

5.2 cm

2. Rajah di sebelah menunjukkan suatu bulatan. Diberi
bahawa panjang lengkok RS = 2QR, ∠QPR = 35° dan
∠PSQ = 45°. Tentukan nilai

(a) ∠SPR
 (b) ∠SRP

3. Dalam rajah di sebelah lengkok QPT = 3RS. Diberi
bahawa ∠QRT = 66°, ∠QST = 26° dan ∠PTS = 100°.
Tentukan nilai

(a) ∠RQS
 (b) ∠TUS
 (c) ∠TPS

R

35°

45°

S

P

Q

x
40° 4 cm

4 cm

K U I Z

Jika panjang lengkok
 7RS = —QR, tentukan
 2
nilai x.

x 77°

S
R

P
Q

x

25°

25°

3.6 cm

T

U

R

S

P

Q

66°
26°

100°

Jumlah sudut pedalaman suatu
segi tiga ialah 180°.
Saiz sebenar

138

6
B

A
B

Cetusan Minda 4
Berpasangan

Apakah hubungan antara sudut pada pusat bulatan dengan sudut pada lilitan yang
 dicangkum oleh suatu lengkok?

Tujuan: Menentukan hubungan antara sudut pada pusat bulatan dengan sudut pada lilitan
bulatan yang dicangkum oleh suatu lengkok.

Bahan: Perisian dinamik

Langkah:
1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk melukis suatu bulatan.

2. Gunakan Point Tool untuk meletakkan tiga titik di sekitar lilitannya (Rajah 1).

3. Gunakan Text Tool untuk melabelkan semua titik pada bulatan tersebut dengan A, B, C
dan di pusat sebagai D (Rajah 2).

4. Gunakan Straightedge Tool untuk membina garis dari satu titik ke titik lain (Rajah 3).

Rajah 1 Rajah 2

Rajah 4

Rajah 3

Rajah 5

5. Gunakan Selection Arrow Tool
untuk memilih titik A, B, dan C.

6. Klik pada menu Measure dan
pilih Angle. Nilai ∠ABC akan
dipaparkan.

7. Ulangi langkah 5 dan 6 untuk
mendapatkan ∠ADC. Nilai ∠ADC
akan dipaparkan (Rajah 4).

8. Apakah hubungan antara ∠ABC dengan ∠ADC?

9. Klik pada titik B dan gerakkannya di sepanjang lilitan bulatan itu seperti pada Rajah 5.
Adakah nilai ∠ABC masih sama seperti yang diperoleh pada langkah 6?

Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda berkaitan hubungan antara sudut pada pusat bulatan dengan sudut
pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama?
Saiz sebenar

139

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Daripada Cetusan Minda 4, didapati bahawa;

(a)  ∠ADC = 2 × ∠ ABC

(b)  Nilai ∠ABC tetap walaupun titik B digerakkan sepanjang lilitan bulatan.

Saiz sudut pada pusat bulatan yang dicangkum oleh suatu lengkok yang sama ialah dua
kali ganda saiz sudut pada lilitan bulatan.

Contoh   5

Tentukan nilai x dan nilai y bagi setiap yang berikut.
(a) (b) (c)

Penyelesaian:
  1(a) x = — (80°) (b) x = 35° (c) x = 360° – 140°
  2  y = 2 (35°)
 x = 40°  y = 70°
 y = 40°

x = 220°
 1y = — (220°)
 2
y = 110°

UJI  MINDA 6.1c

1. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
Tentukan nilai

(a) x
 (b) y
 (c) z

y O

x

40º

z

80°

x

y

● ●
140°

y

x
O●

y

x35°
O

2x

x

Q

P R

O

2x

x

Q

P R

O
2x

x
Q

P R

O

x

2x

Q

R
P O

O

Secara generalisasi,
Saiz sebenar

140

6
B

A
B

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
Diberi bahawa panjang lengkok PQ = QR dan sudut major
POQ = 310°. Hitung nilai

(a) x
 (b) y
 (c) z

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
Hitung nilai

(a) x
 (b) y
 (c) z

4. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi
bahawa ∠POR = 112° dan ∠PUT = 88°. Tentukan nilai

(a) ∠PQR
 (b) ∠UST
 (c) ∠RTS

Adakah sudut-sudut pada pusat bulatan berkadaran dengan panjang lengkok yang
 dicangkum?

Anda telah pelajari bahawa;

1. Sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama panjang adalah
sama saiz.

2. Saiz sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh suatu lengkok adalah berkadaran
dengan panjang lengkok tersebut.

Kedua-dua konsep di atas juga boleh diaplikasi untuk sudut pada pusat bulatan.  Secara generalisasi,

Bagi sudut-sudut pada pusat bulatan yang dicangkum oleh suatu
lengkok;
(a) saiz sudut adalah sama jika panjang lengkok sama.
(b) perubahan saiz sudut adalah berkadaran dengan perubahan

panjang lengkok.

250º

x

y

O

z

S

R

Q

y cm

2y cm

P

x x
2x

310º
O

z

x

y

R

Q

P

112º

88º
O

T

P

Q

R

S

U

S

O
Saiz sebenar

141

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

1. Berdasarkan rajah-rajah di bawah, hitung nilai y.
 (a)  (b)  (c)  (d)

UJI  MINDA 6.1d

O
y

45°

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O dengan
panjang lengkok AB = PQ. Tentukan

(a) nilai x
 (b) sudut yang sama nilai dengan x

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi
bahawa panjang lengkok CD = 10 cm dan ∠BOD = 160°.
Jika panjang lengkok BCD = 2CD dan ∠FEG = — ∠BOD,
tentukan

(a) nilai y
 (b) panjang x, dalam cm

Apakah nilai sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh diameter?

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

5
Tujuan: Menentukan sudut yang dicangkum oleh diameter.

Bahan: Jangka lukis, protraktor, pensel, pembaris dan kertas lukisan.

Langkah:
1. Lukiskan sebuah bulatan berpusat di O dan diameter PQ seperti

di sebelah.

2. Lukiskan dua perentas, PR dan QR seperti rajah di sebelah.
Ukur nilai ∠PRQ.

3. Ubah kedudukan titik R pada lilitan bulatan. Ukur nilai ∠PRQ
yang baru.

Perbincangan:
1. Apakah yang boleh anda rumuskan tentang nilai ∠PRQ apabila kedudukan titik R

diubah pada lilitan bulatan?
2. Berapakah nilai sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh diameter?

O

Q

P

●

O

Q

P

●

R

Berpasangan

80°
x

A B

O

P Q

=
=

R

110°

y

10 cm

5 cm

O

y

5 cm

65°

65°

y

58° 58°

O

10 cm

1
4

160°

10 cm

G

F

O

C

B

D

y

x

E

O
Saiz sebenar

142

6
B

A
B

BULETIN

Contoh   6

Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O dengan
titik-titik P, Q, R dan S terletak pada lilitan bulatan. Diberi bahawa
PR dan QS ialah diameter. Hitung nilai y.

Penyelesaian:
PR =  QS
Maka, 2x = 90°
             x = 45°
 y + x + ∠QRS = 180°
 y + 45° + 90° = 180°
 y = 180° – 45° – 90°
 y = 45°

Q

y

P R

S

xx

O

UJI  MINDA 6.1e

1. Rajah-rajah di bawah menunjukkan bulatan berpusat di O. Hitung nilai x.

(a)  (b)  (c)  (d)

2. Rajah di sebelah menunjukkan semi bulatan dengan pusat di O.
 Tentukan nilai x + y.

O

x
50°

x 35°

O

Bagi semua kedudukan titik R pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh diameter PQ,
nilai ∠PRQ ialah 90°.

SUDUT DISKUSI
Adakah diameter
merupakan satu perentas?
Bincangkan.

Sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum
oleh diameter ialah 90°. Jika PQR ialah
semi bulatan maka, ∠PQR = 90°.

Q

P R

Diameter

Jika lengkok PRQ = 2PS
maka, ∠PRQ = ∠POS

QP

R

O

S

y
O

x 18°

O
110°

5 cm

10 cm

x

O
x

120°

O

Hasil daripada Cetusan Minda 5, didapati bahawa;

Secara generalisasi,
Saiz sebenar

143

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Contoh   7

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
Jika panjang lengkok AB = PQ, hitung nilai x + y.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah sudut dalam
 bulatan?

Sebuah arca dibina dalam bentuk bulatan berpusat di O seperti pada
rajah di sebelah. Titik-titik pada lilitan membentuk lengkok PQ yang
sama panjang dengan lengkok QR. Garis SQ melalui O. Tentukan nilai
(a) ∠QSR
(b) ∠PQS

Penyelesaian:

(a) ∠QSR = — ∠QOR            = — (50°)

= 25°

STANDARD
PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan sudut
dalam bulatan.

O 50°

P

Q

RS

(b) ∠PSQ = ∠QSR = 25°
 ∠PQS + 90° + 25° = 180°
   ∠PQS = 180° – 90° – 25°
    = 65°

1
2

1
2

UJI  MINDA 6.1f

1. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. OSU dan
PST ialah garis lurus. Diberi bahawa diameter bulatan ialah 16 cm,
∠ROS = 70°, ∠QRP = 40° dan ST = TU.

(a) Hitung nilai θ
 (b) Panjang PQ, dalam cm, betul kepada 3 angka bererti

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa
PQ = QR, ∠PSQ = 30° dan ∠SPR = 32°. Hitung nilai x + y + z.

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi
bahawa TS adalah selari dengan PO dan ∠TSP = 44°. Hitung
nilai x + y.

P

Q

R

S
T

U

70°
40°

θ

O

R

Q

P

S

T

44°
y

x
O

R

S

Q
P

z x

y

30°

32°

O

O

B

A

Q

P y

x 20°

120°
Saiz sebenar

144

6
B

A
B

Bagi setiap bulatan berikut O ialah pusat bulatan.
(i)            (ii)     (iii) (iv)  (v)

(a) Kenal pasti sisi empat kitaran yang terdapat dalam setiap bulatan di atas dan jelaskan
jawapan anda.

(b) Nyatakan sudut bertentangan yang wujud dalam setiap sisi empat kitaran yang telah anda
kenal pasti.

Penyelesaian:
(a) (i) Bucu D tidak terletak pada lilitan maka, ABCD bukan sisi empat kitaran.
 (ii) Semua bucu terletak pada lilitan maka, DEFG ialah sisi empat kitaran.
 (iii) Bucu O tidak terletak pada lilitan maka, KLON bukan sisi empat kitaran.
 (iv) Semua bucu terletak pada lilitan maka, PQRS ialah sisi empat kitaran.
 (v) Bucu O tidak terletak pada lilitan maka, OTUV bukan sisi empat kitaran.
(b) (i) Tiada (ii) ∠D dan ∠F, ∠E dan ∠G  (iii)  Tiada
 (iv) ∠P dan ∠R, ∠Q dan ∠S (v) Tiada

6.2 Sisi Empat Kitaran

Apakah yang anda tahu tentang sisi empat kitaran?

Sisi empat kitaran ialah suatu sisi empat dalam
bulatan dengan keadaan keempat-empat bucu sisi
empat tersebut terletak pada lilitan bulatan.
 PQRS pada rajah di sebelah ialah sisi empat
kitaran. ∠P dan ∠R serta ∠S dan ∠Q dikenali sebagai
sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran.

Q

P

R

S

Contoh   8

F

E

D G

O

N

K

L
O

S

R
Q

P

T

U

V

O

UJI  MINDA 6.2a
1. Bagi setiap bulatan berikut O ialah pusat bulatan.

(i)  (ii)  (iii)  (iv)

(a) Kenal pasti sisi empat kitaran yang terdapat dalam setiap bulatan di atas dan jelaskan
jawapan anda.

(b) Nyatakan sudut bertentangan yang wujud dalam setiap sisi empat kitaran yang telah anda
kenal pasti.

●

S D

E

F
K

L M
C

D

B

A
F

E
N

PQ

G

T R

O O

Q
P

●

D

C

A

B

STANDARD
PEMBELAJARAN

Mengenal dan memerihalkan
sisi empat kitaran.

OO

O O
Saiz sebenar

145

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

6

Apakah hubungan antara sudut-sudut pada sisi empat kitaran?

Tujuan: Menentukan hubungan antara sudut pedalaman yang
 bertentangan dalam suatu sisi empat kitaran.

Bahan: Perisian dinamik

Langkah:

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk
melukis suatu bulatan.

2. Klik pada Straightedge Tool untuk membina empat garis dari
satu titik ke satu titik lain di lilitannya (Rajah 1).

3. Gunakan Text Tool untuk melabelkan semua titik yang
menyambungkan garisan tersebut dengan A, B, C dan D.

4. Gunakan Selection Arrow Tool untuk memilih D, A dan B.

5. Klik pada menu Measure dan pilih Angle. ∠DAB akan dipaparkan.

6. Ulangi langkah 4 dan 5 untuk mendapatkan ∠ ABC, ∠BCD dan
∠CDA (Rajah 2).

Perbincangan:

1. Apakah hubungan antara ∠DAB, ∠ ABC, ∠BCD dengan ∠ADC?

2. Buat kesimpulan tentang hubungan antara sudut lilitan tersebut.

Secara generalisasi,

(a) ∠DAB + ∠BCD = 180° dan ∠ ABC + ∠ADC = 180°

(b) Jumlah sudut pedalaman yang bertentangan dalam sisi empat kitaran ialah 180°.

Hasil tambah sudut-sudut yang bertentangan dalam suatu sisi
empat kitaran ialah 180°.
∠x + ∠y = 180° dan ∠p + ∠q = 180°

Hasil daripada Cetusan Minda 6, didapati bahawa;

STANDARD
PEMBELAJARAN

Membuat dan
menentusahkan konjektur
tentang hubungan
antara sudut-sudut pada
sisi empat kitaran, dan
seterusnya menggunakan
hubungan tersebut untuk
menentukan nilai sudut
pada sisi empat kitaran.

Berpasangan

p

x

q
y

Rajah 2

Rajah 1
Saiz sebenar

146

6
B

A
B

Contoh   9

Rajah di sebelah menunjukkan sisi empat
kitaran KLMN. Hitung nilai
(a) x (b) y

Penyelesaian:
(a) Sudut-sudut pedalaman ∠LKN dan ∠LMN adalah bertentangan

dalam sisi empat kitaran.
 Maka, ∠LKN + ∠LMN = 180°
  104° + 8x = 180°
  8x = 180° – 104°
  8x = 76°
    76°  x = —–
    8
  x = 9.5°

K
L

N

M

104° 98°

8x
4y

1. Rajah-rajah di bawah ialah bulatan dengan O ialah pusat bulatan. Hitung nilai x.
 (a)  (b) (c)

UJI  MINDA 6.2b

2. Rajah di sebelah menunjukkan sisi empat kitaran ABCD dalam
bulatan. Diberi bahawa ∠ADB = 30° dan ∠ABD = 20°. Hitung
nilai ∠BCD.

=
=

●

140° x

O
●

50°
70°

x

O

IMBAS KEMBALI

Sudut pada garis lurus
ialah 180°.

Sudut satu putaran
lengkap ialah 360°.

360°

180°

(b) Sudut-sudut pedalaman ∠KNM dan ∠KLM adalah bertentangan
 dalam sisi empat kitaran.
 Maka, ∠KNM + ∠KLM = 180°
  4y + 98° = 180°
  4y = 180° – 98°
  4y = 82°
    82°  y = —–
    4
  y = 20.5°

30°20°

B

A D

C

●
40°

50°
60°

x
O

K U I Z

Hitung nilai x + y.

4x

4y

5y

2x
Saiz sebenar

147

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

55°

●

K

L

M
O

N

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. Jika POS ialah
segi tiga sama sisi dan ∠SOR = 20°, hitung nilai ∠PQR.

4. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi bahawa
∠KNM = 55° dan KL = LM. Tentukan nilai

(a) ∠KLM
 (b) ∠LMN

Apakah hubungan antara sudut peluaran dengan sudut pedalaman bertentangan yang
 sepadan?

Rajah menunjukkan sisi empat kitaran PQRS. Perentas PS dipanjangkan
kepada T. ∠TSR, a, ialah sudut peluaran untuk sisi empat kitaran PSRQ.
∠PQR, θ, dikenali sebagai sudut pedalaman bertentangan yang sepadan
dengan a.

Contoh  10

Dalam rajah di sebelah, PQRS ialah sisi empat kitaran. Diberi bahawa
m dan z ialah sudut peluaran. Nyatakan sudut pedalaman bertentangan
yang sepadan dengan m dan z.

Penyelesaian:
y ialah sudut pedalaman bertentangan yang sepadan dengan m.
n ialah sudut pedalaman bertentangan yang sepadan dengan z.

1. Salin dan lengkapkan jadual di bawah berdasarkan rajah di sebelah.

2. Lukis bulatan seperti di sebelah. Labelkan sudut pedalaman
bertentangan yang sepadan untuk sudut peluaran θ dan α dengan
simbol p dan q masing-masing.

UJI  MINDA 6.2c

Sudut peluaran Sudut pedalaman
bertentangan yang sepadan

θ
Q

R

S

T

P

a

P

Q

R

S

x

z

n
m

y

e

dc

b

a f

θ

α

●

Q

20°

OP

S R
Saiz sebenar

148

6
B

A
B

Rajah di sebelah menunjukkan sisi empat kitaran KLMN dan garis
lurus MNP. Hitung nilai
(a) x
(b) y

Penyelesaian:

Contoh  11
C

DE

B

A
a

b

48°

P
Q

R
S

T
2y

4y

Contoh  13
75°

MP N

K

L

x

y

66°

STANDARD
PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan sisi
empat kitaran.

Contoh  12

Bagaimanakah anda boleh menyelesaikan masalah yang
 melibatkan sisi empat kitaran?

Rajah di sebelah menunjukkan sisi empat kitaran
ABCD dan garis lurus CDE. Hitung nilai
(a) a
(b) b

Penyelesaian:
(a) ∠ACB = ∠CAB = 48°
  ∠ACB + ∠CAB + a = 180°
  48° + 48° + a = 180°
  a = 180° – 48° – 48°
  a = 84°

(b) b = a
 Maka, b = 84°

Rajah di sebelah menunjukkan sisi empat kitaran PQRS dan garis
lurus RST. Hitung nilai ∠PST.

Penyelesaian:
∠PQR + ∠PSR = 180°

4y + 2y = 180°
  6y = 180°
  y = 30°

∠PST = ∠PQR
   = 4y
   = 4(30°)
  ∠PST = 120°

(a) ∠PNK ialah sudut peluaran. Sudut
pedalaman bertentangan yang sepadan
dengannya ialah sudut x.

Maka,
  x = 75°

(b) y dan ∠NML ialah sudut pedalaman
bertentangan dalam sisi empat kitaran
KLMN.

Maka, y = 180° – ∠NML
  y = 180° – 66°
  y = 114°
Saiz sebenar

149

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

UJI  MINDA 6.2d

158°

x

A
O

B

E
C

D

O●

=

=126°

A

B

C
D

x

=
=

●
O

36°

R
S

Q

P

T x

1. Rajah di sebelah menunjukkan sisi empat kitaran KLMP
dan garis lurus KPN. Diberi bahawa ∠KNM = 48° dan
∠NMP = 35°. Hitung nilai ∠MLK.

2. Rajah di sebelah menunjukkan sisi empat kitaran PQRT
dan garis lurus TRS. Sisi-sisi PT dan QR adalah selari. Diberi
bahawa ∠PRQ = 54° dan ∠QRS = 92°. Hitung nilai x.

3. Dalam rajah di sebelah, sisi empat kitaran ABCD terletak
dalam bulatan berpusat di O. Hitung nilai x jika DCE
ialah garis lurus dan ∠DOB = 158°.

4. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
PQRS ialah suatu sisi empat kitaran. Diberi ∠QSR = 36°.
Jika panjang sisi PS = PQ dan RST ialah garis lurus, hitung
nilai x.

5. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
Diberi bahawa ∠BCD = 126°, panjang lengkok AB = BC
dan AOD ialah garis lurus. Hitung nilai x.

92°

P Q

SRT

54°

x

M

L

K

P

N

35°

48°

●
Saiz sebenar

150

6
B

A
B

6.3 Tangen Kepada Bulatan

Apakah yang anda faham tentang tangen kepada bulatan?

Anda telah ketahui bahawa bulatan merupakan satu bentuk yang unik
dan  mempunyai banyak ciri yang istimewa.

Q

S

Y
RV

U

P
X

A

B

Dalam gambar rajah di sebelah, titik T pada roda hanya akan
menyentuh jalan raya sekali dalam satu pusingan penuh. Jalan raya
berfungsi sebagai tangen kepada roda yang berbentuk bulat dan
titik T ialah titik ketangenan apabila titik T menyentuh jalan raya.

Dalam rajah di sebelah, garis lurus PQ dan RS masing-masing
menyentuh bulatan pada titik X dan titik Y. Sementara garis lurus
UV melalui titik A dan titik B pada bulatan. Maka,
(a) PQ dan RS  – Tangen kepada bulatan.
(b) X dan Y  – Titik ketangenan bagi PQ dan RS, masing-masing.
(c) UV  – Bukan tangen.
(d) A dan B  – Bukan titik ketangenan bagi UV.

Tangen kepada bulatan ialah suatu garis lurus yang menyentuh bulatan tersebut pada satu
titik sahaja. Titik sentuhan di antara tangen dengan bulatan ialah titik ketangenan.

Contoh  14

Adakah semua garis lurus dan titik yang ditunjukkan dalam
rajah di sebelah ialah tangen kepada bulatan dan titik ketangenan?
Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

Penyelesaian:
PQ dan TU ialah tangen kepada bulatan kerana menyentuh
bulatan hanya pada satu titik. Titik E dan titik U ialah titik
ketangenan bagi PQ dan TU masing-masing.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Mengenal dan
memerihalkan tangen
kepada bulatan.

T

P
E

F G

Q

SR

T
U

M

N

RS bukan tangen kepada bulatan kerana melalui dua titik pada bulatan. Maka, titik F dan titik G
bukan titik ketangenan bagi RS. MN bukan tangen kepada bulatan kerana akan menyentuh dua
titik pada bulatan jika dipanjangkan. Maka, titik M bukan titik ketangenan.
Saiz sebenar

151

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

UJI  MINDA 6.3a

1. Dalam rajah-rajah di bawah, kenal pasti
 (i) tangen (ii) titik ketangenan (iii)  bukan tangen        (iv) bukan titik ketangenan
 Nyatakan alasan untuk jawapan anda.
 (a)   (b)

Apakah yang anda tahu tentang nilai sudut di antara tangen dengan jejari
bulatan pada titik ketangenan?

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

7
Tujuan: Mengukur sudut di antara tangen dengan jejari bulatan
                 pada titik ketangenan.

Alatan: Perisian dinamik

Langkah:

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk
melukis suatu bulatan (Rajah 1).

A

X Y

B
Q

T

S

P

R

2. Klik pada Straightedge Tool untuk
melukis satu garis lurus dari pusat
bulatan ke satu titik pada lilitan
(Rajah 2).

3. Klik pada Arrow Tool untuk memilih
titik pada lilitan dan garis lurus.

4. Klik Construct dan pilih
Perpendicular Line (Rajah 3).

5. Gunakan Point Tool untuk
tandakan titik dan labelkan kesemua
titik tersebut dengan Text tool
sebagai A, B dan C (Rajah 4).

6. Gunakan Selection Arrow Tool
untuk memilih A, B dan C.

Rajah 1

Rajah 3

Rajah 2

Rajah 4

F

C

B

H

G
F

ED

STANDARD
PEMBELAJARAN

Membuat dan
menentusahkan konjektur
tentang sudut di antara
tangen dengan jejari bulatan
pada titik ketangenan.

Berpasangan
Saiz sebenar

152

6
B

A
B

7. Klik pada menu Measure dan pilih Angle. Nilai ∠ABC akan dipaparkan.
8. Ulangi langkah 2 hingga langkah 7 untuk melukis garis tangen di bahagian lain bulatan

dan menentukan sudut di antara tangen dengan jejari pada titik ketangenan.
Perbincangan:
Apakah kesimpulan yang anda boleh buat tentang nilai sudut di antara tangen dengan jejari
pada titik ketangenan?

Contoh  15

UJI  MINDA 6.3b

1. Dalam rajah di sebelah, ABC ialah garis lurus dan O ialah
pusat bulatan. Diberi bahawa AB = OB dan ∠BAO = 28°.
Hitung nilai x.

Hasil daripada Cetusan Minda 7, didapati bahawa;

∠ABC = 90° iaitu sudut di antara tangen dengan jejari yang bersilang pada titik ketangenan
ialah sudut tegak.

Jejari suatu bulatan yang bersilang dengan tangen
kepada bulatan pada titik ketangenan akan membentuk
90°.

x + ∠AOB = 90°
 x = 90° – ∠AOB
 x = 90° – 42°
 x = 48°

Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O
yang bertemu dengan garis lurus ABC pada titik B sahaja.
Hitung nilai x.

Penyelesaian:
Garis ABC ialah tangen kepada bulatan dan bertemu jejari
bulatan di titik B. Maka, sudut ∠OBA = 90°.
 ∠AOB + 138° = 180°
 ∠AOB = 180° – 138°
  = 42°

O

A
Bx

138°
C

P

Tangen

Titik
ketangenan

Jejari

O

Q

28°
C

O

x

BA

Secara generalisasi,
Saiz sebenar

153

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Tujuan: Menentukan sifat-sifat berkaitan dua tangen kepada
  suatu bulatan.

Bahan: Kertas lukisan, jangka lukis, protraktor, pembaris dan pensel.

Langkah:

1. Lukiskan suatu bulatan berjejari 3 cm berpusat di O. Lukis satu garis lurus 8 cm dari
pusat O dan labelkan sebagai OA (Rajah 1).

2. Lukiskan satu lagi bulatan berjejari 7 cm dengan titik A sebagai pusat bulatan. Tandakan
titik persilangan kedua-dua bulatan sebagai B dan C (Rajah 2).

3. Lukiskan garis-garis lurus OB, OC, AB dan AC (Rajah 3).

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

8

Rajah 1

3 cm 8 cm
AO

Rajah 2 Rajah 3

Berpasangan

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat
di O. Diberi bahawa ∆OQS ialah segi tiga sama sisi
dan PQR ialah tangen kepada bulatan. Hitung nilai

(a) x
 (b) y
 (c) z

3. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan dan
PQR ialah tangen kepada bulatan. Diberi bahawa
QT = ST dan ∠QTS = 48°.

Hitung nilai x + y + z.

7 cm
A

B

C

O

B

C

AO

P

Q

T

S

R

O

y
x

z

48°

STANDARD
PEMBELAJARAN

Membuat dan
menentusahkan konjektur
tentang sifat-sifat berkaitan
dengan dua tangen
kepada suatu bulatan.

Apakah sifat-sifat berkaitan dua tangen kepada suatu bulatan?

S

O

R

Q

P

x
y

z
Saiz sebenar

154

6
B

A
B

C

B

x
x

y
y O

∠AOB ∠AOC ∠OBA ∠OCA ∠OAB ∠OAC Panjang
OB OC AB AC

Contoh  16

P

Q

y cm

14 cm

R

x66°
O

A

Jika dua tangen kepada suatu bulatan berpusat di O dengan titik
ketangenan B dan C, masing-masing bertemu pada titik A, maka,
● BA = CA
● ∠BOA = ∠COA
● ∠OAB = ∠OAC

Hasil daripada Cetusan Minda 8, didapati bahawa;

(a) ∠AOB = ∠AOC, ∠OBA = ∠OCA dan ∠OAB = ∠OAC
 (b) Panjang OB = OC dan panjang AB = AC

4. Ukur dan lengkapkan jadual di bawah.

OP(c) tan 24° = —–
  14
  OP  = 14 × tan 24°
 Jejari, OP = 6.233 cm

Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
Tangen PQ dan RQ bertemu di titik Q. Hitung
(a) nilai x
(b) nilai y
(c) panjang jejari bulatan

Penyelesaian:
(a) Segi tiga ∆OPQ bersudut tegak dan
 ∆OPQ = 90°.
 Maka,  x + 66° = 90°
  x = 90° – 66°
   x = 24°

(b) Panjang PQ = QR = y
 Maka, y = 14 cm

Secara generalisasi,

5. Tampal hasil dapatan kumpulan anda di sudut matematik. Bandingkan jawapan kumpulan
anda dengan kumpulan lain.

Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda berkaitan pasangan ∠AOB dan ∠AOC, ∠OBA dan ∠OCA, ∠OAB
dan ∠OAC serta panjang garis OB, OC, AB dan AC?
Saiz sebenar

155

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

UJI  MINDA 6.3c

Dalam Rajah 1(a), PQR ialah tangen kepada bulatan.
∠x ialah sudut di antara perentas QS dengan tangen PQR pada
tembereng minor.

∠y ialah sudut pada tembereng major atau tembereng
selang-seli yang dicangkum oleh perentas QS.

Dalam Rajah 1(b), O ialah pusat bulatan. OQ dan OS ialah
jejari bulatan serta PQR ialah tangen kepada bulatan. Maka,

(a) x + g = 90°
       g = 90° – x
       e = g

(b) f = 180° – 2g
 f = 180° – 2(90° – x)
 f = 180° – 180° + 2x
 f = 2x

1. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berjejari
5 cm dan berpusat di O. Diberi bahawa PQ dan
PR ialah tangen kepada bulatan dan ∠QSR = 60°.
Hitung

(a) nilai x (b) nilai y
 (c) panjang PQ (d) panjang OP

2. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan
dengan jejari 3 cm dan ROS ialah garis lurus.
Diberi bahawa ∠ORP = 25° dan PS ialah tangen
kepada bulatan. Hitung

(a) nilai x (b) panjang PS
 (c) panjang RS

∠x = ∠y dan ∠θ = ∠β kerana sudut di antara perentas
dengan tangen bernilai sama dengan sudut pada tembereng
selang-seli yang dicangkum oleh perentas tersebut.

Berdasarkan pernyataan bagi Rajah 1(a) dan Rajah 1(b), kita boleh merumuskan bahawa;

Rajah 1(b)

TS

Q RP

y

x

●
e

g
f

O=

=

f(c) y = —
  2
 Gantikan      dalam
  2x y = —
  2
 y = x

Gantikan

y
x

60°S

R

P

Q

O
5 cm

25°

R

SP

O

3 cm

x

Rajah 1(a)

TS

Q RP

y

x

Tembereng
major

Tembereng
minor

STANDARD
PEMBELAJARAN

Membuat dan
menentusahkan konjektur
tentang hubungan sudut
di antara tangen dan
perentas dengan sudut
dalam tembereng selang
seli yang dicangkum oleh
perentas itu.

Apakah hubungan sudut di antara tangen dan
perentas dengan sudut dalam tembereng selang-seli
yang dicangkum oleh perentas tersebut?

T

S

Q RP

β

θx

y

21

1

2
Saiz sebenar

156

6
B

A
B

Contoh  18
B

MK
L

A
54°

y

x

60°

UJI  MINDA 6.3d

c

b

e a

d
f

z

y
x

O

S

R
P

Q
x

38°●

=

= 68° L

P
M

K
x

N

Contoh  17
N

M

P

K

L

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga KLM dan PMN ialah tangen
kepada bulatan. Tentukan sudut dalam tembereng selang-seli untuk
(a) ∠PMK (b) ∠NML

Penyelesaian:
(a) ∠KLM  (b) ∠LKM

1. Nyatakan pasangan sudut yang sama nilai di dalam bulatan-bulatan berikut.
 (a)  (b)  (c)

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan dengan AB ialah
tangen kepada bulatan tersebut. Diberi ∠BAC = 42°.
Hitung nilai x.

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di
O. PQ ialah tangen kepada bulatan. Diberi ∠PSR = 38°.
Hitung nilai x.

4. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan dengan PLN ialah
tangen kepada bulatan. ∆KLM ialah segi tiga sama kaki.
Diberi ∠KLN = 68°. Hitung nilai x.

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga ∆ABL dalam bulatan. Diberi
bahawa KLM ialah tangen kepada bulatan. Tentukan nilai
(a) x (b) y

Penyelesaian:
(a) x = 60° kerana x ialah sudut dalam tembereng selang-seli bagi ∠KLA yang dicangkum

oleh perentas AL.
(b) y = 54° kerana ∠LAB ialah sudut dalam tembereng selang-seli bagi y yang dicangkum oleh

perentas BL.

ac

b
z

y
x

=

=

x BA

D

42°

C

z

b

a

yx
Saiz sebenar

157

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan tangen kepada
bulatan?

STANDARD
PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan tangen
kepada bulatan.

Apakah yang anda tahu tentang tangen sepunya?

Tangen sepunya kepada dua bulatan ialah satu garis lurus yang
merupakan tangen kepada kedua-dua bulatan tersebut.

Perhatikan pasangan bulatan berikut dan tangen sepunya.

1.

Rajah 1(a) Rajah 1(b)

2.

Rajah 2(a) Rajah 2(b)

3.

Rajah 3(a) Rajah 3(b) Rajah 3(c)

Daripada rajah-rajah di atas didapati bahawa jika dua bulatan yang sama saiz atau berlainan saiz

(a) tidak bersentuhan seperti pada Rajah 1(a) dan Rajah 1(b) akan menghasilkan empat tangen
sepunya.

(b) bersentuhan di luar seperti pada Rajah 2(a) dan Rajah 2(b) akan menghasilkan tiga tangen
sepunya.

(c) bersilang seperti pada Rajah 3(a) dan Rajah 3(c) akan menghasilkan dua tangen sepunya.

(d) bertindih di dalam seperti pada Rajah 3(c) akan menghasilkan hanya satu tangen sepunya.

Tangen
Tangen

Tangen

Tangen

Tangen
Tangen

Tangen

Tangen

Tangen
Tangen

Tangen

Tangen

Tangen

Tangen

Tangen

Tangen

Tangen

Tangen

Tangen
Saiz sebenar

158

6
B

A
B

Melaksanakan strategi

Contoh  20

Memahami masalah

(a) VY dan WY ialah tangen
kepada bulatan. Diameter
tayar 50 cm dan jarak WY
ialah 1.2 meter.

(b) Jarak di antara pusat tayar
dengan titik y.

Merancang strategi

Lakar rajah dan labelkannya dengan nilai-nilai
yang diberi.

Diameter = 50 cm = 0.5 meter
Jejari = 25 cm = 0.25 meter
WY = 1.2 meter

Membuat kesimpulan

(a) ∆OWY dan ∆OVY ialah
 kongruen.
 Maka, VY = WY = 1 meter.

(b) Jarak di antara pusat tayar
dengan titik Y, OY = 1.23 m.

Contoh  19

Rajah di sebelah menunjukkan dua bulatan yang
berpusat di A dan di B dengan jejari 4 cm dan 3 cm
masing-masing. Diberi PQRS ialah tangen sepunya
kepada kedua-dua bulatan tersebut. Hitung nilai x.

Penyelesaian:
   1kos x = —
   7
 x = kos–1 (—)
 x = 81.79°

1
7

3 cm3 cm

1 cm 7 cmA
B

RQ

x

(a) VY = WY = 1.2 m.

(b) OY = √ 1.22 + 0.252

OY = √ 1.5025
 OY = 1.23 m (2 t.p.) V

1.2 m

0.25 m

Y

W

O

A B

P Q R S

x
3 cm4 cm

W

Kayu

Tayar

V YJalan

Sebatang kayu disandarkan kepada sebuah tayar seperti
dalam rajah di sebelah. Diberi V ialah titik sentuhan di
antara tayar dengan jalan. W ialah titik sentuhan di antara
kayu dengan tayar sementara Y ialah titik sentuhan di antara
kayu dengan jalan raya. Diameter tayar ialah 50 cm dan
jarak WY ialah 1.2 meter. Dengan menganggap bahawa
jalan raya itu ialah suatu garis lurus, hitung
(a) jarak VY
(b) jarak di antara pusat tayar dengan titik Y dalam meter.

Nyatakan jawapan anda betul kepada dua tempat
perpuluhan.
Saiz sebenar

159

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

UJI  MINDA 6.3e

1. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas dari
pandangan atas sebuah tong berpusat di O. Dinding
lurus KLM menyentuh tong bulat itu di titik L. Diberi
bahawa ∠KLN = 75° dan ∠LNP = 65°. Hitung nilai x.

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di
O. PQ ialah tangen kepada bulatan. Diberi bahawa
PQ = 2OP. Tentukan nilai ∠x dan ∠y. Nyatakan jawapan
dalam minit dan darjah.

3. Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada sistem gear pada suatu mesin. Rantai
lurus AE dan BC bertemu pada kedua-dua gear pada titik-titik A, B, C, dan E. Gear-gear
itu berbentuk bulat dengan pusat-pusat O dan D, masing-masing. Diberi bahawa OA = 6 cm,
DC = 4 cm dan ∠CDE = 130°. Hitung

(a) nilai x
 (b) panjang dalam cm, betul kepada 4 angka bererti
  (i)  AM (ii)  CM (iii)  OD

65°

75°

P

N

L

K

M

x
O●

4. Rajah di sebelah menunjukkan dua bulatan dengan jejari
3 cm dan 2 cm dan berpusat di O dan P masing-masing.
Diberi panjang CD = DP. Hitung panjang, dalam cm,
betul kepada dua tempat perpuluhan.

(a)  OP (b)  BS (c)  BST

130°

C

E

O

A

B

x

6 cm 4 cm
D

M
● ●

●●

3
cm

A

2 c
m

R

P

S
B

O C D
● ●

O

R

x Q

●

y

P

T
Saiz sebenar

160

6
B

A
B

Contoh  21

6.4 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Melaksanakan strategi

∠OAB + 90° + 90° + 108° = 360°

∠OAB = 360°  – 90° – 90° – 108°
             = 72°

AB dan AD ialah jejari. Maka,

∠ABD = ∠ADB = x

180° – 72°x = ————–
  2
x = 54°

Memahami masalah

BC ialah tangen pada bulatan-bulatan
pada titik C dan B.
∠OCB = ∠ABC = 90°
∠AOC  = 108°
Mengenal pasti ∠ABD, x

Merancang strategi

∠OCB + ∠ABC + ∠AOC + ∠OAB = 360°
∠ABD = ∠ADB = x

Membuat kesimpulan

Nilai x = 54°

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
 melibatkan sudut dan tangen bagi bulatan?
Kita sentiasa melihat bentuk
bulatan dalam pelbagai kegunaan
harian. Rajah di sebelah
menunjukkan sebuah basikal.
Bolehkah anda menghitung
panjang y, ∠α dan ∠θ?

Rajah di sebelah menunjukkan dua takal berpusat
O dan A, masing-masing, digantung dari siling rata
BC. Tali ADO menghubungkan kedua-dua takal itu.
Hitung nilai x.

Penyelesaian:

STANDARD
PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan sudut
dan tangen bagi bulatan.

y

θα

O

C

D

108°

B

x

A
Saiz sebenar

161

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

UJI  MINDA 6.4a

1. Rajah di sebelah menunjukkan dua bulatan dengan
pusat C dan D. Diberi jejari kedua-dua bulatan
tersebut ialah 6 cm dan 3 cm masing-masing. PQRS
ialah tangen sepunya kepada kedua-dua bulatan.
Hitung

(a) panjang QR, dalam cm. Nyatakan jawapan betul
 kepada 3 angka bererti.

(b) luas sisi 4 CDRQ dalam cm2. Nyatakan jawapan
 betul kepada 4  angka bererti.

2. Rajah di bawah menunjukkan dua bulatan berpusat di A dan B dengan jejari 4 cm dan 8 cm
masing-masing. Diberi bahawa PQRS dan PTUV ialah tangen sepunya kepada kedua-dua
bulatan tersebut dan ∠PAQ = 70°.

Hitung
 (a) nilai x
 (b) nilai y
 (c) panjang QR, dalam cm betul kepada 4 angka bererti.

Cabaran Dinamis

1. Rajah di sebelah menunjukkan suatu bulatan.
 Hitung nilai x dan y.

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
 Hitung nilai x.

Uji Diri

O
50°10 cm 20 cmx

30°
40°

y

x

C
D

P
Q R

S

●
●

A B
● ●

S

V

70°

T

U

Q
R

P x
4 cm 8 cm

y

●
Saiz sebenar

162

6
B

A
B

Mahir Diri

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
ABC ialah tangen kepada bulatan. Diberi bahawa ∠BDE = 60°.
Hitung nilai

(a) x
 (b) y

4. Rajah di sebelah menunjukkan sisi empat kitaran. Hitung
nilai x + y.

5. Bulatan berpusat di O di sebelah mempunyai dua tangen
kepada bulatan seperti yang ditunjukkan. Apakah hubungan
antara sudut x dan sudut y?

6. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan. Diberi bahawa PQR
ialah tangen kepada bulatan. ∠RQT = 36° dan ∠PQW = 50°.
Hitung nilai sudut TSW.

1. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan dan MN
ialah tangen kepada bulatan. Diberi bahawa ∠LKN = 52°
dan ∠MLO = 136°. Hitung nilai x.

N

x
M

K

O

136°52°

50°

80°

x
y

y

x

O

50°

36°

S

T

W

Q

P

R

60°

y
x

A B C

O●

E

D

L

●

●
Saiz sebenar

163

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

D

E

O

C

B

A

65°

x=
=

Masteri Kendiri

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
ABC ialah tangen kepada bulatan. Diberi bahawa BD = BE
dan ∠CBD = 65°. Hitung nilai x.

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. ABC
dan CDE ialah tangen kepada bulatan. Diberi bahawa
∠BCD = 48°. Hitung nilai x.

4. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. AD
ialah tangen kepada bulatan. Diberi bahawa ∠BSR = 15°.
Hitung nilai x.

1. Rajah di sebelah menunjukkan dua bulatan. PTQ ialah
tangen sepunya kepada kedua-dua bulatan tersebut. Diberi
panjang KT = LT, ∠KLT = 61° dan ∠SNT = 42°. Hitung

(a) ∠LTQ
 (b) nilai x

O

A

B

C
D

Ex
48°

x

B O

C

S15°

R

61°

42°
K

L
M

NS

P

Q

xT

●

●

●

D

A
Saiz sebenar

164

6
B

A
B

2. Rajah di sebelah menunjukkan dua bulatan berpusat
di O dan di P masing-masing. ABCD ialah tangen
sepunya kepada kedua-dua bulatan. Hitung luas
trapezium OBCP, dalam cm2, betul kepada 3 angka
bererti.

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
Diberi bahawa jejari bulatan ialah 3 cm, QR = 8 cm
dan PQR ialah tangen kepada bulatan. Tentukan

(a) ∠TRQ
 (b) panjang ST, dalam cm.

4. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O.
PQ ialah tangen kepada bulatan. Hitung nilai

(a) jejari bulatan, dalam cm
 (b) panjang OP, dalam cm
 (c) luas ∆OPQ, dalam cm2

P
O

CB
A D

5.2 cm 4.5 cm93°

Q

O

12 cmP

8 cm

●

O

50 cm

Layang-layang merupakan suatu permainan tradisional di
negara kita. Layang-layang dapat dibina dengan menggunakan
konsep tangen kepada bulatan. Dengan ilmu kongruen dan
ketangenan yang telah dipelajari, hasilkan satu layang-layang
yang mempunyai panjang 50 cm. Dapatkan panduan daripada
rajah yang telah disediakan di sebelah.

Q

O

P

●

S

R

T

8 cm

3 cm

KP R O J E
Saiz sebenar

165

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Bulatan

OB = jejari
ABC = tangen kepada

bulatan

Sisi empat kitaran

Tangen kepada bulatan

∠ABC + ∠AOC = 180°
BA = BC

∠a = ∠d
∠b = ∠c

∠a + ∠b = 180°
∠c + ∠d = 180° ∠a = ∠e

Ciri-ciri sudut dalam bulatan

PETA KONSEP

θ θ θ
θ

O

d

a

b
c

a

b
e

A B

c

a

d

b

θ

O

2θ

θ

θ

O

A

BO

C

A

B O

C

θ
θ

α
α

AB dan BC ialah tangen.
Saiz sebenar

166

6
B

A
B

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1.
Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut-sudut
pada lilitan dengan sudut pusat yang dicangkum oleh lengkok tertentu, dan
seterusnya menggunakan hubungan tersebut untuk menentukan nilai sudut
dalam bulatan.

2. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut dalam bulatan.

3. Mengenal dan memerihalkan sisi empat kitaran.

4.
Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut-sudut
pada sisi empat kitaran, dan seterusnya menggunakan hubungan tersebut untuk
menentukan nilai sudut pada sisi empat kitaran.

5. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sisi empat kitaran.

6. Mengenal dan memerihalkan tangen kepada bulatan.

7. Membuat dan menentusahkan konjektur tentang sudut di antara tangen dengan
jejari bulatan pada titik ketangenan.

8. Membuat dan menentusahkan konjektur tentang sifat-sifat berkaitan dengan dua
tangen kepada suatu bulatan.

9.
Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan sudut di antara tangen
dengan perentas dengan sudut dalam tembereng selang seli yang dicangkum
oleh perentas itu.

10. Menyelesaikan masalah yang melibatkan tangen kepada bulatan.

11. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut dan tangen bagi bulatan.

IMBAS KENDIRI
Saiz sebenar

167

6
B

A
B

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Bulan akan mengalami perubahan mengikut fasa. Murid boleh melukis bentuk bulan yang
berlainan fasa untuk digunakan sebagai hiasan.

Bahan: Kertas lukisan, jangka lukis, pensel, pembaris dan gunting

1. Lukiskan suatu bulatan dengan jejari 10 cm.

2. Kemudian, kekalkan bukaan jangka lukis pada 10 cm
dan tempatkan jarumnya 2 cm daripada titik O iaitu
titik B. Lukiskan bulatan seperti rajah di sebelah.

3. Bahagian yang berlorek boleh digunting dan digunakan
sebagai bulan sabit. Bahagian yang tidak berlorek
boleh digunakan bulan separa penuh seperti rajah di
sebelah.

4. Langkah (a) dan (b) boleh diulangi dengan mengubah jarak OB. Jarak OB boleh
dipanjangkan kepada 2 cm untuk mendapatkan dua bentuk bulan yang berlainan.
Seterusnya jarak itu boleh dipanjangkan untuk bentuk yang berlainan. Contohnya adalah
seperti berikut:

Bentuk-bentuk ini boleh digunakan sebagai alat untuk mengajar perubahan bentuk bulan atau
hiasan seperti di bawah.

O A10 cm●

10 cm

Jarum

Bukaan
jangka lukis

+ O A●

O
B

A

2 cm

→

Hari 4 8 12 15 19 23 27

Jarak OB Bentuk yang terhasil

1 cm

2 cm +

+

Fasa
bulan

Bulan
sabit

Bulan
separa

Purnama
baru

Purnama Purnama
lama

Bulan
separa

Bulan
sabit

JELAJAH MATEMATIK

→
Apakah yang akan anda pelajari?

Saiz sebenar

168

7.1 Unjuran Ortogon

7.2 Pelan dan Dongakan

Pelan
dan Dongakan7

BAB
7

BAB

Setiap bangunan di Putrajaya mempunyai keunikan
tersendiri. Bangunan Ibu Pejabat Suruhanjaya

Tenaga Malaysia di Putrajaya yang dikenali sebagai
Bangunan Berlian merupakan sebuah bangunan
dengan reka bentuk yang unik dan sangat menarik.
Bangunan Berlian telah menerima anugerah ASEAN
Energy Award kerana struktur dan reka bentuk yang
menggunakan cahaya matahari secara maksimum.
Index Bangunan Hijau Malaysia dan Program Green
Mark Singapura juga telah memberi pengiktirafan
tahap platinum atas reka bentuk yang membolehkan
pengumpulan dan penggunaan air hujan dengan
kadar yang tinggi. Keunikan dan kekreatifan seni
bina Bangunan Berlian ini terserlah apabila dilihat
dari pelbagai arah pandangan. Pernahkah anda
melawat Bangunan Berlian?

•	 	Lukisan	 pelan	 dan	 dongakan	 suatu	 objek
membolehkan bentuk sebenar objek tersebut
dapat dilihat dalam bentuk dua dimensi dari
pelbagai arah pandangan.

•	 Pelan	 dan	 dongakan	 digunakan	 dalam	 bidang
 kejuruteraan, pembinaan perindustrian, rekaan
 grafik, arkitek, perkomputeraan dan sebagainya.

Kenapa Belajar Bab Ini?
K A ATG E R B A N G

Eksplorasi ZamanEksplorasi ZamanPelan
dan Dongakan

Saiz sebenar

169

• asalan • origin

• bentuk geometri • geometrical shape

• dongakan • elevation

•		garis	padu • solid line

•	 garis	sempang • dashed line

•  ortogon • orthogon

•  pelan • plan

• skala • scale

•  sukuan • quadrant

• unjuran • projection

Mimar Sinan merupakan antara arkitek agung
dan paling berpengaruh. Nama sebenar beliau
ialah Sinan bin Abdulmennan bin Dogan Yusuf
(1498-1588). Beliau berasal dari kawasan Anatolia
di	 Agırnas,	 Kayseri	 yang	 berlatarbelakangkan
dari keluarga Turki Kristian. Pada 1539 Sultan
telah menganugerahkan pangkat Ketua Arkitek
Uthmaniyyah kepada Sinan. Sejak itu, beliau
digelar sebagai Mimar Sinan yang bermaksud
Arkitek Sinan. Selepas Hagia Sophia dijadikan
sebagai masjid, para arkitek Uthmaniyyah sering
menjadikan Masjid Aya Sofya sebagai kayu ukur
bagi mereka bentuk masjid-masjid yang lain.
Disebabkan itulah, kita lihat kebanyakan masjid di
Turki mempunyai reka bentuk yang hampir sama.

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%207/
Saiz sebenar

170

7
B

A
B

7.1    Unjuran Ortogon

Apakah satah dan normal kepada satah? STANDARD
PEMBELAJARAN

Melukis unjuran ortogon.Anda telah mempelajari objek dalam dua dimensi dan tiga dimensi.
Setiap objek tersebut terdiri daripada permukaan rata atau permukaan
melengkung atau kedua-duanya.

Satah ialah permukaan rata pada suatu objek. Terdapat tiga jenis satah iaitu satah
mengufuk, satah mencancang dan satah condong.

Normal kepada suatu satah ialah garis lurus yang berserenjang atau bersudut tegak
dengan sebarang garis pada satah tersebut.

Rajah di sebelah menunjukkan kubus. Nyatakan normal kepada satah
berikut.
(a) PQRS (b) PSTU (c) RSTW (d) QRTU

Penyelesaian:
(a) UP, VQ, WR, TS
(b) QP, RS, WT, VU
(c) QR, PS, UT, VW
(d) PV, SW

Contoh   1

Rajah di sebelah menunjukkan suatu prisma tegak dengan ABCD
ialah satah mengufuk. ABF dan CDE ialah satah mencancang.
BCEF dan ADEF ialah satah condong. Garis FM dan EN berserenjang
dengan garis AB dan CD masing-masing. Garis FM dan EN juga
dikenali sebagai normal kepada satah ABCD.

Rajah di sebelah menunjukkan suatu sukuan silinder tegak dengan
tapak mengufuk PQRS. PSTU dan PQRS ialah satah mencancang dan
QRTU ialah permukaan melengkung.

Susunan huruf untuk menyatakan normal
adalah penting. TS bermaksud garis TS
berserenjang dengan satah PQRS pada
titik S.

T W

U

S
V

R

QP

E

D C

BM

N
F

A

permukaan
melengkung

permukaan
rata

permukaan
melengkung

Q

S R

P

T

U
Saiz sebenar

171

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Dalam Rajah 2, garis PR dan QS adalah normal kepada
satah ABCD. RS ialah unjuran ortogon bagi garis
lurus PQ pada satah ABCD.

Dalam Rajah 1 dan Rajah 2, kita telah melihat unjuran ortogon bagi satu garis. Seterusnya ialah
unjuran ortogon bagi satah dua dimensi dan objek tiga dimensi.

Dalam Rajah 1, PQ ialah satu garis lurus dengan
keadaan titik Q berada pada satah mengufuk ABCD.
PR ialah garis normal kepada satah ABCD. Garis
lurus RQ yang terletak pada satah ABCD ialah unjuran
ortogon bagi garis lurus PQ pada satah ABCD.

D C

P

RS

Q

A B
Rajah 2Unjuran ortogon

NormalNormal

Objek

Rajah 1

NormalD C

P

RQ

A B
Unjuran ortogon

Objek

Rajah 4Satah mengufuk

H

E F

G

R S

TU

Rajah 3

Satah mencancang

D C

P

RS

Q

A B

Apakah yang anda faham tentang unjuran ortogon?

Unjuran ortogon ialah imej yang terbentuk pada suatu satah apabila unjuran garis dari
objek berserenjang dengan satah tersebut.

Rajah di sebelah menunjukkan prisma tegak dengan tapak segi empat
tepat ABCD. M dan N ialah titik tengah AB dan CD masing-masing.
Diberi FG = EH = DN = NC = AM = MB.
Nyatakan normal kepada satah berikut.
(a) ABCD (b) ADEF

Penyelesaian:
(a) FA, GM, HN, ED (b) BA, CD, GF, HE

Contoh   2

E H

F

D

G

C

BA M

N
Saiz sebenar

172

7
B

A
B

Dalam Rajah 5, suatu kuboid diunjurkan kepada satah mengufuk dan dalam Rajah 6 suatu
prisma tegak dengan permukaan BCHGKJ sebagai keratan rentas seragamnya diunjurkan
kepada satah mencancang.

Setiap rajah berikut menunjukkan unjuran suatu objek pada satah mencancang atau satah
mengufuk. Tentukan sama ada unjuran yang terhasil ialah unjuran ortogon atau bukan.
(a)  (b) (c)

Penyelesaian:
(a) Ya
(b) Ya
(c)  Bukan kerana garis yang diunjurkan dari objek kepada satah bukan normal.

Contoh   3



Rajah Objek Normal kepada satah Unjuran ortogon pada satah
Rajah 5 Kuboid PA, QB, RC, SD ABCD
Rajah 6 Prisma tegak AP, IU, LT, DQ, FS, ER PQRSTU





Rajah 6

S

R

Q D

E

F

H

G

K

JI

L
C

BAP

U

T

Satah mencancang

Dalam Rajah 3, objek PQRS diunjurkan kepada satah mencancang dan dalam Rajah 4 objek
EFGH diunjurkan kepada satah mengufuk.

Rajah Objek Normal kepada satah Unjuran ortogon pada satah
Rajah 3 PQRS PA, QB, RC, SD ABCD
Rajah 4 EFGH ER, FS, GT, HU RSTU

Rajah 5

S R
V

Q

D
C

BA

P

U

T W

Satah mengufuk
Saiz sebenar

173

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

UJI  MINDA 7.1a

Objek Unjuran ortogon

(a)

(b)





2.  Seorang murid melihat objek berikut dari arah pandangan yang diberi. Antara kombinasi
berikut yang manakah menunjukkan unjuran ortogon yang betul?

1. Setiap rajah di bawah menunjukkan objek dan unjurannya kepada suatu satah. Tentukan
sama ada unjuran itu ialah unjuran ortogon atau bukan.

(a) (b)

(c) (d)
Saiz sebenar

174

7
B

A
B

Arah pandangan Unjuran ortogon

(a)

Bagaimanakah anda melukis unjuran ortogon?

Anda boleh melukis unjuran ortogon suatu objek pada satah mengufuk atau satah mencancang
dengan mengikuti langkah-langkah berikut.

1. Kenal pasti jenis satah dan arah objek perlu diunjurkan.

2. Lukiskan garis normal daripada semua bucu objek tersebut kepada satah. Pastikan garis
normal tersebut lurus dan tegak agar panjang sisi unjuran sama seperti panjang sisi objek.

3. Sambungkan titik-titik persilangan normal dengan satah untuk melukis bentuk unjuran
ortogon.

4. Lukis semula unjuran ortogon tersebut dengan ukuran yang sebenar. Labelkan semua bucu
dan panjang sisi.

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak
berbentuk segi empat tepat ABCD yang terletak pada suatu satah
mengufuk. Permukaan ABKLGF ialah keratan rentas seragam prisma
tersebut. Sisi-sisi AF dan BK adalah tegak.
Lukis unjuran ortogon bagi objek tersebut pada
(a) satah mengufuk sebagaimana dilihat dari arah Z.
(b) satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah X.
(c) satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah Y.

Penyelesaian:

Contoh   4

E/D H I J/C

F/A K/BG L

Susunan huruf adalah mengikut arah
pandangan. Titik D berada di bawah titik E
apabila dipandang dari arah Z.

B

5 cm






6 cm

2 cm

3 cm

2 cm

4 cm
C

A

KL

F

HE

D
G

JI

Y

X

Z

B

5 cm



6 cm

2 cm

3 cm

2 cm

4 cm
C

A

KL

F

HE

D
G

JI

Z

Satah
mengufuk

5 cm

3 cm 2 cm1 cm
Saiz sebenar

175

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Arah pandangan Unjuran ortogon

(b)
G/F H/E

B/A C/D

K/L J/I

Titik A berada di belakang titik B apabila
dilihat dari arah X.

(c)

Titik D berada di belakang titik A apabila
dilihat dari arah Y.

A/D B/C

F/E G/H

L/I K/J

B

5 cm


6 cm

2 cm

3 cm

2 cm

4 cm
C

A

KL

F

HE

D
G

JI

Y

Satah
mencancang

B

5 cm 

6 cm

2 cm

3 cm

2 cm

4 cm

C

A

KL

F

HE

D
G

JI

X

Satah
mencancang

5 cm

2 cm

2 cm

2 cm

6 cm

3 cm

2 cm
4 cm
Saiz sebenar

176

7
B

A
B

Arah pandangan Unjuran ortogon

(a)

(b)

Rajah di sebelah menunjukkan objek berbentuk silinder yang
terletak pada suatu satah mengufuk. Diberi diameter silinder ialah 4 cm
dan tingginya 6 cm.
Lukis unjuran ortogon objek silinder tersebut pada
(a) satah mengufuk sebagaimana dilihat dari arah Z.
(b) satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah Y.

Penyelesaian:

Contoh   5

A B

CD

Z

Y

A B

CD

6 cm

4 cm

Z

A B

CD

Satah
mengufuk

Y

A B

CD

Satah
mencancang

A B



4 cm

4 cm

6 cm


Saiz sebenar

177

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Cetusan Minda 1
Tujuan: Menentukan unjuran ortogon suatu objek.

Bahan: Perisian dinamik, kertas lukisan.

Langkah:
1. Buka pada View        dan pilih 3D graphics.

2. Pilih bentuk piramid         .

3. Paparan asas terbentuk (Rajah 1).

4. Seret pengelonsor ke paparan dan pilih empat titik iaitu:
 (a) Titik (–2, 0) pada garisan merah.
 (b) Titik (–2, 0) pada garisan hijau.
 (c) Titik (2, 0) pada garisan merah.
 (d) Titik  (2, 0) di garisan hijau dan sambungkan ke titik permulaan (–2, 0) di garisan
   merah (Rajah 2).

5. Paparan akan menunjukkan bentuk berwarna coklat (Rajah 3).

6. Seretkan pengelonsor hingga ke atas pada garisan biru (0, 4) (Rajah 4).

7. Pilih icon rotate 3D,        pilih view in front of         .

8.  Letakkan anak panah pada hujung atas garis biru untuk melihat unjuran ortogon pada
satah mengufuk (Rajah 5).

9.  Ulangi langkah 8 pada garis merah dan garis hijau untuk melihat unjuran ortogon pada
satah mencancang.

10. Lukiskan unjuran ortogon yang terhasil pada langkah 8 dan 9 dalam jadual yang diberi.

11. Pilih fail baru. Bina bentuk 3D lain dan lukiskan unjuran ortogon dari arah pandangan
 yang berlainan.

Berkumpulan

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3 Rajah 4 Rajah 5
Saiz sebenar

178

7
B

A
B

1. Setiap objek di bawah terletak pada suatu satah mengufuk. Lukis unjuran ortogon bagi setiap
objek tersebut pada

(a) satah mengufuk sebagaimana dilihat dari arah Z.
 (b) satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah Y.
  (i) (ii) (iii)

UJI  MINDA 7.1b

Hasil Dapatan

Perbincangan:
Bincangkan bentuk unjuran ortogon yang terhasil berbanding bentuk sebenar objek.

Piramid Unjuran ortogon

Pandangan pada satah mengufuk dilihat dari garis biru

Pandangan pada satah mencancang dilihat dari garis merah

Pandangan pada satah mencancang dilihat dari garis hijau

Piramid Unjuran ortogon

Pandangan pada satah mengufuk dilihat dari garis biru

Pandangan pada satah mencancang dilihat dari garis merah

Pandangan pada satah mencancang dilihat dari garis hijau

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

5 cm

C

BA

Z


Y

4 cm

Z

2 cm

6 cm

4 cm

4 cm

1 cm

A B

C

F

E

L

G
J

I

K
D

H


Y

V

4 cmK

M

L

N

5 cm

Z 


Y
Saiz sebenar

179

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Cetusan Minda 2
Tujuan:  Membanding dan membeza suatu objek dengan unjuran

ortogon dari segi panjang sisi tepi dan saiz sudut.

Bahan: Kadbod, pensel, gunting, pelekat dan kertas lukisan.

Langkah:

Bagaimanakah anda membanding dan membeza objek
dengan unjurannya?

1.  Lukis pada kadbod bentuk berikut mengikut ukuran yang diberi (Rajah 1).

2. Gunting bentuk pada Rajah 1 dan gunakan pita pelekat untuk membina prisma tegak (Rajah 2).

Rajah 1 Rajah 2

3. Lukis unjuran ortogon untuk bentuk prisma tegak yang anda bina pada satah mengufuk
sebagaimana dilihat dari arah Z dan pada satah mencancang sebagaimana dilihat dari
arah Y.

4. Hasil unjuran ortogon kepada satah mengufuk dan satah mencancang adalah seperti
berikut:

Unjuran dari arah Z Unjuran dari arah Y
   (Satah mengufuk) (Satah mencancang)

STANDARD
PEMBELAJARAN

Membanding dan membeza
antara objek dan unjuran
ortogon yang sepadan.Berkumpulan

45°

45°

14 cm

19.8 cm

60°

14 cm

19.8 cm

V

B

C

A

Z


Y

45°

19.8 cmC B

V/A

14 cm
19.8 cm

C/A 14 cm B

V
Saiz sebenar

180

7
B

A
B

5. Ukur setiap panjang, sisi dan sudut bagi kedua-dua unjuran ortogon yang anda lukis.
Lengkapkan jadual di bawah.

Perbincangan:

Adakah semua panjang sisi dan saiz sudut unjuran ortogon sama seperti objek?
 Bincangkan.

Panjang sisi Objek Unjuran dari
arah Z Sudut Objek Unjuran dari

arah Z
AC 14 cm 14 cm ∠VCB 60° 45°

AB   ∠VBC

BC 19.8 cm  19.8 cm ∠BAC 90° 90°

VC 19.8 cm 14 cm ∠CAB

VB

Panjang sisi Objek Unjuran dari
arah Y Sudut Objek Unjuran dari

arah Y
AV 14 cm 14 cm ∠VCB 60° 90°

AB   ∠VBC  60° 45°

BC 19.8 cm  14 cm ∠CVB

VC  ∠AVB 45° 45°

VB  19.8 cm  19.8 cm

Panjang sisi dan saiz sudut pada unjuran ortogon suatu objek berbeza mengikut
arah pandangan.

Secara generalisasi,

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa;

(a) Bagi unjuran ortogon pada satah mengufuk dari arah Z, panjang sisi AC, AB dan BC
serta ∠BAC, ∠ACB dan ∠ABC tidak berubah.

(b) Bagi unjuran ortogon pada satah mencancang dari arah Y, panjang sisi AV, AB dan VB
serta ∠AVB dan ∠ABV tidak berubah.
Saiz sebenar

181

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Contoh   6

Rajah di sebelah menunjukkan prisma tegak dengan tapak segi
empat tepat PQRS terletak pada suatu satah mengufuk. Satah URQ ialah
keratan rentas seragam objek.
(a) Lukiskan dengan skala penuh unjuran ortogon prisma itu pada
 (i)  satah mengufuk sebagaimana dilihat dari arah Z.
 (ii)  satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah X.
(b)  Nyatakan kesimpulan anda tentang panjang sisi dan saiz sudut di antara

objek dengan unjuran ortogon masing-masing. Jelaskan kesimpulan
anda.

6 cm

U/RT/S

QP 2 cm R/S6 cm

8 cm

Q/P

U/T

10 cm

UJI  MINDA 7.1c

1.  (a)  Rajah 1 dan Rajah 2 di atas menunjukkan dua prisma tegak yang terletak pada satah
mengufuk. Lukiskan dengan skala penuh unjuran ortogon kedua-dua prisma tersebut pada

(i) satah mengufuk sebagaimana dilihat dari arah Z.
  (ii) satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah X.
 (b)  Nyatakan kesimpulan anda tentang panjang sisi dan saiz sudut antara objek dengan

unjuran ortogon bagi Rajah 1 dan Rajah 2. Jelaskan kesimpulan anda.

(b) (i)  Panjang sisi TU, SR, PQ, PS
dan QR serta saiz sudut tegak
tidak berubah pada unjuran
ortogon sebagaimana dari arah
Z. Panjang sisi TP dan UQ
berubah.

(ii)  Panjang sisi TP, UQ, PS, QR,
TS dan UR serta saiz semua
sudut tidak berubah pada
unjuran ortogon sebagaimana
dilihat dari arah X.

Penyelesaian:

(a) (i)  (ii)

P

T U

RS

Q

8 cm

6 cm

2 cm

Z

X





X

D

B
C

A

E

F

Z

4 cm
2 cm

3 cm

X

RQ

P

T
U

S



Z

1 cm

3 cm

2 cm

2 c
m

1 cm

Rajah 1 Rajah 2
Saiz sebenar

182

7
B

A
B

7.2 Pelan dan Dongakan

Apakah itu pelan dan dongakan?

Bagaimanakah anda melukis pelan dan dongakan suatu objek mengikut skala?

Anda telah pelajari bahawa unjuran ortogon suatu objek atau pepejal
boleh dilukis pada satah mengufuk dan satah mencancang.

Unjuran ortogon pada satah mengufuk yang dilihat dari
pandangan atas dikenali sebagai pelan. Unjuran ortogon pada satah
mencancang yang dilihat dari pandangan sisi atau pandangan depan
dikenali sebagai dongakan. Lukisan unjuran ortogon yang memberi
maklumat tepat berkaitan reka bentuk dan saiz suatu objek.

Rajah di bawah menunjukkan prisma tegak dengan tapak berbentuk segi empat tepat
ABKJ terletak pada suatu satah mengufuk. ABCDEFGH ialah keratan rentas seragam
prisma tersebut. Sisi AH, FG, ED dan BC adalah tegak. Pelan prisma tegak tersebut boleh
dilukis seperti yang dilihat dari arah Z dan dongakan objek tersebut boleh dilukis seperti yang
dilihat dari arah X dan arah Y. Lukisan pelan dan dongakan hendaklah dilukis mengikut
skala penuh.

Nota:
Semua sisi dilukis dengan garis padu
kerana dapat dilihat dari pandangan atas.

Pelan
Sebagaimana dilihat dari arah Z iaitu pandangan
dari atas.

Prisma tegak (objek)

STANDARD
PEMBELAJARAN

Melukis pelan dan
dongakan suatu objek
mengikut skala.

I P

M L

K

B

Y

Z

X

A

H
G

EF 1 cm

3 cm

2 cm

3 cm

4 cm

1 cm C

NO

D
J







I/J P/O M/N L/K

C/BD/EG/FH/A

TIP
Skala penuh bermaksud
ukuran sebenar.

4 cm

1 cm
Saiz sebenar

183

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Contoh   7

Lukisan pelan, dongakan depan dan dongakan sisi suatu objek juga boleh dilukis secara
gabungan pada sehelai kertas yang dibahagikan kepada empat sukuan. Berikut adalah antara dua
kaedah yang lazim digunakan.

Kedudukan dongakan depan adalah pada bahagian atas pelan. Dongakan sisi dilukis pada bahagian
kiri atau bahagian kanan dongakan depan, mengikut arah pandangan.
Dalam kaedah 1, pandangan sisi adalah dari kanan ke kiri seperti dalam contoh 7. Maka, kedudukan
dongakan ini adalah di sebelah kiri dongakan depan seperti kaedah 1. Manakala dalam kaedah 2,
pandangan sisi adalah dari kiri ke kanan seperti dalam contoh 8. Maka, kedudukan dongakan ini
adalah di sebelah kanan dongakan depan seperti kaedah 2.

Rajah di sebelah menunjukkan prisma tegak
dengan tapak berbentuk segi empat tepat
ABCD terletak pada suatu satah mengufuk.
ABHGF ialah keratan rentas seragam prisma
tersebut. Sisi-sisi AF dan BH adalah tegak.
Lukis dengan skala penuh
(a) pelan prisma.
(b)  dongakan prisma dari arah X.
(c)  dongakan prisma dari arah Y.

Nota:
 Semua sisi dilukis dengan garis padu
kerana dapat dilihat dari pandangan mata
sebagaimana dilihat dari arah X.

Nota:
Garis GP, HI, EN dan FO dilukis dengan garis
sempang kerana sisi tersebut terlindung dari
pandangan mata sebagaimana dilihat  dari arah Y.

Dongakan depan
Sebagaimana dilihat dari arah X.

Dongakan sisi
Sebagaimana dilihat dari arah Y.

E J

D

A B

H

5 cm

5 cm

4 cm

3 cm

1.5 cm

GF

C

I

Y

X

3 cm

3 cm

2 cm

1 cm
H/I G/P

A/J B/K

C/LD/M

F/O E/N

1 cm
L/M

P/I

N/O

K/JB/A

E/F

G/H

C/D

4 cm

1 cm

1 cm

1 cm

Kaedah 1

Sukuan
Ketiga

Dongakan
sisi

45°

Dongakan
depan

Pelan

Sukuan
Keempat

Sukuan
Pertama

Sukuan
Kedua

Kaedah 2

Sukuan
Ketiga

Dongakan
depan

Pelan 45°

Dongakan
sisi

Sukuan
Keempat

Sukuan
Pertama

Sukuan
Kedua
Saiz sebenar

184

7
B

A
B

Contoh   8

Rajah di sebelah menunjukkan gabungan
kuboid dan prisma tegak dengan tapak
berbentuk segi empat tepat ABCD yang
terletak pada suatu satah mengufuk. ABGHIF
ialah keratan rentas seragam objek. Sisi-sisi
BH dan FI adalah tegak. Lukis dengan skala
penuh
(a) pelan objek.
(b) dongakan objek dari arah X.
(c) dongakan objek dari arah Y.

J

A

E

I

L

D

K

B

H

G
F

C

4 cm

3 cm

3 cm5 cm

7 cm

Y


X


Dongakan sisi Dongakan depan

Pelan

45°

B/A

G/F J/E

C/D
A/D

B/C

4 cm

5 cm

3 cm

3 cm

5 cm

1.5 cm

3.5 cm

4 cm

2 cm

H/I

G/JF/E

E/D I/C

H/BF/A G

J

H I

Arah dongakan sisi
(arah Y) adalah ke
kiri, maka kedudukan
dongakan sisi pada
sukuan kedua.

Lukiskan pelan dengan
skala penuh pada
sukuan keempat.

Unjurkan sisi pelan
dengan garis pada

halus ke sukuan
 pertama sebagai
 panduan untuk melukis
 dongakan depan
 (arah X).

Unjurkan sisi unjuran
depan dan pelan
sehingga ke sukuan
kedua untuk melukis
dongakan sisi.

Penyelesaian:

TIP
Panduan melukis pelan
dan dongakan.
♦  Garis padu tebal untuk

sisi yang nampak.
♦  Garis sempang untuk
 sisi terlindung.
♦  Garis padu halus

untuk garis binaan.

Langkah-langkah:

4 3

1 2

1

2

3

4
Saiz sebenar

185

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Penyelesaian: TIP
Arah dongakan sisi
(arah Y) adalah dari kiri ke
kanan, maka kedudukan
dongakan sisi adalah
pada sukuan pertama.

UJI  MINDA 7.2a

Y

X

W V

U

QP

R

4 cm

3 cm

1 cm

2 cm

1.  Rajah di bawah menunjukkan prisma dengan tapak segi empat tepat PQUT terletak
pada suatu satah mengufuk. PQSR ialah keratan rentas seragam prisma tersebut. Lukis
dengan skala penuh

(a) pelan prisma.
 (b)  dongakan prisma dari arah X.
 (c)  dongakan prisma dari arah Y.





Dongakan depan

Pelan

45°

I/J

F/E

A/D B/C D/C

E/LG/L

A/B

F/G

H/G/B

K/L/C

A

D

I/F

I/HJ/K

J/E

H/K

3 cm

3 cm

4 cm 5 cm

7 cm

4 cm3 cm

Dongakan sisi

T
S

SUDUT DISKUSI
Dalam mata pelajaran
Reka Bentuk dan
Teknologi (RBT),
pelan dan dongakan
suatu objek dilukis
dengan kaedah unjuran
ortografik. Adakah
kaedah tersebut sama
dengan kaedah yang
anda gunakan dalam
bab ini? Bincangkan.
Saiz sebenar

186

7
B

A
B

2.  Rajah di bawah menunjukkan suatu bongkah dengan tapak segi empat tepat ABCD terletak
pada suatu satah mengufuk. ABVSRONKJGF ialah keratan rentas seragam bongkah tersebut.
Sisi-sisi AF, JG, KN, RS dan BV adalah tegak. Lukis dengan skala penuh

(a) pelan objek.
 (b) dongakan objek dari arah X.
 (c) dongakan objek dari arah Y.

3.  Rajah di bawah menunjukkan gabungan kuboid dan prisma tegak terletak pada suatu satah
mengufuk. Sebuah semi silinder dikeluarkan dari kuboid tersebut. ADEFKJ ialah keratan rentas
seragam objek. Sisi-sisi AD dan FEJ adalah tegak. Lukis dengan skala penuh

(a) pelan objek.
 (b) dongakan objek dari arah X.
 (c) dongakan objek dari arah Y.

H

D

KJ

G

R

S V

QI

E

F

A B

C

UTPM

L

6 cm

3 cm

3 cm

1 cm

Y

X





4 cm

Y


5 cm

2 cm

4 cm

2 cm

I

JC

A F

G
L

K

E

H

B

D

X


N O
Saiz sebenar

187

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Lukisan pelan dan dongakan pada empat sukuan yang dihubungkan
antara satu dengan lain boleh digunakan untuk melakar bentuk tiga
dimensi objek tersebut dengan mudah.

Bagaimanakah anda mensintesis pelan dan dongakan
 suatu objek dan melakar objek tersebut?

STANDARD
PEMBELAJARAN

Mensintesis pelan dan
dongakan suatu objek dan
melakar objek tersebut.

Contoh   9

Rajah di sebelah menunjukkan pelan, dongakan
depan dan dongakan sisi bagi sebuah prisma
tegak dengan tapak berbentuk segi empat tepat.
Suatu bongkah berbentuk kuboid telah
dikeluarkan dari prisma tersebut. Lakar bentuk
tiga dimensi prisma tersebut.

Penyelesaian:
Kedudukan dongakan sisi adalah di sukuan
kedua. Maka, pandangan dongakan sisi adalah
dari arah kanan.

Langkah 1

Lakarkan ketiga-tiga unjuran ortogon
yang diberi pada satah yang berkaitan
dengan menggunakan ukuran sebenar.
Permukaan yang bertanda I, II dan III
adalah permukaan bongkah kuboid.

Dongakan sisi Dongakan depan

Pelan

45°

3 cm

3 cm

1.5 cm

1 cm

1 cm

1 cm1 cm

1 cm

2.5 cm

2 cm

M/N

K/L

B/C

N/C

M/L

K/B

K/J

B/A A/D

F/A G/J

H/I

E/D

F/E G/H

J/I

G/F M/H

L/I

N/E

C/D

I

II

III

Don
ga

ka
n s

isi

Dongakan depan

Langkah 2

Unjurkan permukaan I, II dan III supaya
bertemu seperti rajah di bawah.

II

I
III

>

>

>

> >

>

>
>>

Imbas QR Code atau layari
http://yakin-pelajar.com/
Bab%207%video/ untuk
menonton video tentang
lukisan unjuran ortografik
yang menggunakan
perisian dinamik.

Pelan
Saiz sebenar

188

7
B

A
B

Contoh  10

Rajah di sebelah menunjukkan pelan, dongakan
depan dan dongakan sisi bagi gabungan sebuah
kuboid dan prisma tegak. Lakar bentuk tiga
dimensi gabungan objek tersebut.

Penyelesaian:
Kedudukan dongakan sisi adalah di sukuan
pertama. Maka, pandangan dongakan sisi adalah
dari kiri ke kanan.

Langkah 1

Lakarkan ketiga-tiga unjuran ortogon yang diberi
pada satah yang berkaitan dengan menggunakan
ukuran yang sebenar. Soalan ini mengandungi
sudut 60° pada permukaan berbentuk segi tiga.
Maka, sudut 60° mesti dibina dengan kaedah
yang betul.

Langkah 2

Sambungkan bucu-bucu untuk menghasilkan
objek gabungan. Labelkan bucu mengikut unjuran.

E

2 cm
2 cm

2.5 cm

1.5
 cm

3 cm

2 cm

1 cm

N

C

BA

F G

J K

LI

H

D

M

J K

G

= =

=

=

Dongakan
depan

Dongakan
sisi

Pelan






E N

C

BA

F G

J K

LI

H

D

M

J K

G

I

E

D

A B

G

C

H

J
60°

F

Langkah 4

Lengkapkan lakaran objek dengan
melabelkan panjang sisi.

Dongakan depan

Pelan

45°

J/I I J

F/E

A/D

E/D

F/A J

I

B/C D/C

E/HG/H

G/B

A/B

Dongakan sisi

F/E

H/C

4 cm2 cm

4.4 cm

4.4 cm

3.5 cm

1 cm

4 c
m

1 cm
60°

Langkah 3

Lakarkan objek dan labelkan bucu-bucu
berkaitan dengan huruf dalam unjuran
mengikut warna masing-masing.
Saiz sebenar

189

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Langkah 3

Lukis gabungan objek dengan ukuran yang tepat
dan labelkan bucu dan panjang sisi.

UJI  MINDA 7.2b

1. Rajah di sebelah menunjukkan pelan,
dongakan depan dan dongakan sisi bagi
gabungan sebuah kuboid dan prisma tegak.
Lakar bentuk tiga dimensi gabungan objek
tersebut.

2. Rajah di sebelah menunjukkan pelan,
dongakan depan dan dongakan sisi gabungan
kuboid, prisma tegak dan semi silinder. Lakar
bentuk tiga dimensi gabungan objek tersebut.

I

H

C
J

F
1 cm
G

BA

D
E

6 cm

4.4 cm

4 c
m

60°

60°

I/H H/G
I/J

L/K

C/D

J/EG/F

A/F 6 cm10 cm

6 cm

10
cm

4 cm

4 cm

D/E/FC/B/A

8 cm

2 cm

D

CI/BH/A

L K
Dongakan depanDongakan sisi

Pelan

B/E

J/G

F/E

E

H I/L

D/A 3 cm

2 cm

3 cm

4 cm4 cm

5 cm2 cm

2 cm

J/K

C/B F

G

G/H

J/I

K/L A/L

C/J

F/GE/H

D/IC/D

B/A

45°

B/K

1 cm1 cm

45°

Pelan

Dongakan depanDongakan sisi
Saiz sebenar

190

7
B

A
B

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang
 melibatkan pelan dan dongakan?

STANDARD
PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan pelan
dan dongakan.

Contoh  11

(b) FG = 2.8 cm

(c) Isi padu prisma yang dikeluarkan
  1 = —(2 cm)(3 + 5) cm × 5 cm
  2
 = 40 cm3

(d) Isi padu prisma tegak yang diunjurkan
 = Isi padu kuboid – isi padu prisma EFGHIJKL
 = (7 cm × 5 cm × 4 cm) – 40 cm3

= 140 cm3 – 40 cm3

= 100 cm3

Maka, nisbah
 40 : 100
   2 : 5

F

5 cm

4 cm

2 cm

3 cm
4 cm

7 cm

E

B

C

I

M

A

G

K

J
D

H
N

Rajah di bawah menunjukkan pelan, dongakan depan dan dongakan
sisi suatu prisma tegak.

(a) Lukis dengan skala penuh prisma tegak tersebut.
(b) Nyatakan panjang sisi FG, dalam cm, betul kepada satu tempat perpuluhan.
(c) Pada asalnya, prisma tersebut merupakan sebuah kuboid dengan ukuran 7 cm × 5 cm × 4 cm.

Hitung isi padu prisma tegak EFGHIJKL, dalam cm3, yang telah dikeluarkan dari kuboid
tersebut.

(d) Nyatakan nisbah isi padu prisma tegak yang dikeluarkan berbanding dengan prisma tegak
yang anda lukis di dalam soalan (a).

Penyelesaian:
(a)

N/K/F M/L/E F/E

I/H G/H

N/MK/L

B/CA/DC/DB/A

J/G

E/D L/I M/C

J/I

F/A K/J N/BG

7 cm

4 cm

5 cm

5 cm

2 cm

2 cm

3 cm
45°

H
2 cm

Pelan

Dongakan depanDongakan sisi

L
Saiz sebenar

191

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

UJI  MINDA 7.2c

1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak segi empat sama ABCD
terletak pada suatu satah mengufuk. ABNKJGF ialah keratan rentas seragam prisma tersebut.

(a) Lukiskan dengan skala penuh
   (i) pelan prisma tersebut.

(ii) dongakan pada satah mencancang selari
  dengan AB dari arah X.

(iii) dongakan pada satah mencancang selari
  dengan BC dari arah Y.

(b) Prisma tegak ini merupakan hasil daripada
sebuah kuboid dengan ukuran 5 cm × 5 cm × 6 cm.
Sebuah prisma tegak lain GJKNMLIH telah
dikeluarkan daripada kuboid. Hitung

(i) isi padu prisma yang dikeluarkan.

(ii) nisbah isi padu prisma GJKNMLIH dengan
  isi padu prisma yang tinggal.

2. Rajah di bawah menunjukkan gabungan sebuah prisma tegak dengan tapak berbentuk segi

empat tepat dan sebuah piramid tegak dengan tapak berbentuk segi tiga terletak pada suatu
satah mengufuk. Sisi-sisi AF dan BG adalah tegak.

(a) Lukiskan dengan skala penuh
   (i) pelan gabungan prisma tersebut.

(ii) dongakan pada satah mencancang selari
  dengan AC dari arah X.

(iii) dongakan pada satah mencancang selari
  dengan BD dari arah Y.

(b) Ukur panjang CD, CG dan DG pada pelan,
dongakan X dan dongakan Y.

(c) Gunakan cara lain untuk menghitung panjang
CD, CG dan DG objek asal. Adakah jawapan
anda sama dengan nilai di soalan (b)? Terangkan.

(d) Unjuran ortogon manakah yang mempamerkan
nilai sebenar ∠AEF, ∠AFE, ∠BCG, ∠BGC,
∠BCD dan ∠BDC?

D

4 cm

6 cm

2 cm
B

C

F

G
E

A

X

3 cm

Y


5 cm

1 cm 6 cm

5 cm

1 cm

F

A

D

B

Y

C

G

HE

X





M

N

I
L

KJ
5 cm

2 cm
Saiz sebenar

192

7
B

A
B

Cabaran Dinamis

1. Rajah di sebelah menunjukkan gabungan silinder dan kon
yang terletak pada suatu meja mengufuk. Nyatakan sama
ada pernyataan berikut benar atau palsu berkaitan unjuran
ortogon gabungan objek tersebut.

(a) Pelan berbentuk bulatan berdiameter 4 cm dengan satu
titik di tengah bulatan tersebut.

(b) Unjuran ortogon dongakan adalah kongruen dari semua
arah.

(c) Panjang sisi sendeng kon pada dongakan sisi adalah
kurang daripada 5 cm.

(d) Tiada ada permukaan melengkung pada dongakan depan.

2. Rajah di bawah menunjukkan pelan dan dongakan bagi suatu objek gabungan. Huraikan
reka bentuk asal objek gabungan tersebut.

Pelan  Dongakan

Mahir Diri

C

G

B

H

EF

D

A

X


4 cm

3 cm

5 cm
Y


5 cm

4 cm

5 cm

Uji Diri

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah prisma tegak
dengan tapak berbentuk segi empat sama ABHG
terletak pada suatu satah mengufuk. ABCD ialah
keratan rentas seragam prisma itu.

(a) Lukiskan dengan skala penuh
   (i) pelan prisma tersebut.

(ii) dongakan prisma dari arah X.

(iii) dongakan prisma dari arah Y.

(b) Ukur panjang sisi AD dan ∠ADC pada unjuran
yang merupakan keratan rentas seragam prisma.

1 cm
2 cm
3 cm

4 cm

1 cm

0.5 cm
Saiz sebenar

193

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

6 cm

4 cm

2 cm

3 cm

4 cm

G

F

D

A B

C

I E

J

K

H

Y



X


2. Rajah di sebelah menunjukkan gabungan prisma
tegak dan kuboid terletak pada suatu satah mengufuk.
Sisi-sisi AD, FG, BC dan KJ adalah tegak.

(a) Lukis dengan skala penuh
  (i) pelan objek.

(ii) dongakan dari arah X.

(iii) dongakan dari arah Y.

(b) Hitung isi padu, dalam cm3, gabungan pepejal
tersebut.

3. Rajah di sebelah menunjukkan pelan gabungan
kuboid dan silinder tegak. Jika tinggi kuboid dan
silinder ialah 5 cm, hitung isi padu gabungan
pepejal dalam cm3.

4. Rajah di sebelah menunjukkan pelan bagi gabungan
suatu kubus dan semi silider. Diberi lilitan pelan
semi silinder ialah 11 cm dan tinggi semi silinder
adalah sama dengan panjang sisi kubus. Hitung
isi padu gabungan pepejal tersebut, dalam cm3.

5. Rajah di bawah menunjukkan pelan dan  dongakan depan suatu prisma. Hitung isi padu
prisma tersebut dalam cm3.

Pelan Dongakan depan

9 cm

6 cm

7 cm

6 cm

4 cm

8 cm

3 cm

3 cm
Saiz sebenar

194

7
B

A
B

Masteri Kendiri

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah prisma
tegak dengan tapak segi empat tepat ABCD
terletak pada suatu satah mengufuk, sisi-sisi
AF, BK dan JG adalah tegak.

(a) Lukis pada skala penuh
  (i) pelan prisma tersebut.
   (ii) dongakan pada satah mencancang selari

dengan AB dari arah X.
  (iii) dongakan pada satah mencancang selari

dengan BC dari arah Y.
 (b)  Objek tersebut perlu diperkukuh agar tapak objek sama dengan bentuk pelan. Berapakah

isi padu objek baru yang perlu ditambah?
 (c) Jika kos 1 cm3 objek baru ialah RM2.20, hitung jumlah kos untuk membina keseluruhan

gabungan objek.

2. Rajah di bawah menunjukkan pelan, dongakan depan dan dongakan sisi bagi suatu kuboid
yang berlubang. Lubang tersebut berbentuk silinder tegak.

(a)  Lakar bentuk tiga dimensi objek tersebut.
 (b)  Hitung isi padu objek tersebut.

5 cm
6 cm

3 cm

1 cm

4 cm

E

F

A B

H

Y

X

C
K J

G

L

D

I





Dongakan sisi

B/A

Dongakan depan

G/H F/E

C/D A/D

H/E G/F

B/C

E/D F/C

H/A G/B
Pelan

5 cm

0.5 cm
45°

2 cm

5 cm

3 cm

4 cm

2 cm1 cm 1 cm
0.5 cm
Saiz sebenar

195

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

Rumah impian saya

1. Lukis rumah impian anda dengan skala yang sesuai dengan menggunakan lukisan
berskala yang telah anda pelajari.

2. Lukis pelan, dongakan depan dan dongakan sisi rumah tersebut.

3. Buat model rumah impian anda berpandukan lukisan berskala, pelan dan dongakan
yang telah dilukis.

4. Dapatkan maklumat bahan-bahan binaan yang
diperlukan daripada pelbagai sumber berdasarkan
keluasan rumah yang ingin anda bina.

5. Hitung anggaran kos untuk membina rumah impian
anda.

6. Pamerkan model rumah anda dan bentangkan kajian
yang anda lakukan.

Tujuan:  Membina pondok belajar.

Arahan:
1.  Jalankan aktiviti ini secara berkumpulan.

2. Cadangkan pembinaan satu pondok belajar tertutup
 pada ruang 5 m × 5 m.

3. Cadangan anda perlulah mengambil kira perkara-perkara berikut:
 (a) Penggunaan cahaya matahari maksimum pada waktu siang.
 (b) Peredaran udara yang cukup.
 (c) Mesra alam dan kondusif.
 (d) Kos pembinaan yang minimum.

4. Buat laporan bergambar dengan menggunakan multimedia tentang cadangan kumpulan
anda.

KP R O J E

MS T E
Saiz sebenar

196

7
B

A
B

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1.  Melukis unjuran ortogon.

2.  Membanding dan membeza antara objek dan unjuran ortogon yang sepadan.

3.  Melukis pelan dan dongakan suatu objek mengikut skala.

4.  Mensintesis pelan dan dongakan suatu objek dan melakar objek tersebut.

5.  Menyelesaikan masalah yang melibatkan pelan dan dongakan.

Pelan dan dongakan

Unjuran ortogon Pelan dan dongakan

Pelan

Dongakan dari Y Dongakan dari X

Objek

Satah
mengufuk

PETA KONSEP

IMBAS KENDIRI

X Y 

Objek

45°
Saiz sebenar

197

7
B

A
B

Bab 7 Pelan dan Dongakan

1. Sediakan 15 buah kubus seperti pada
rajah sebelah yang bersisi 5 cm (anda
juga boleh menggunakan rubik kiub).

2. Bina gabungan kubus membentuk suatu
binaan mengikut kreativiti anda.

3. Lukiskan pelan dan dongakan susunan
bongkah tersebut.

4. Kumpulan yang berjaya membina gabungan kubus yang terbanyak dan paling kreatif
adalah pemenangnya.

5 cm

JELAJAH MATEMATIK
Apakah yang akan anda pelajari?

Saiz sebenar

198

8.1 Lokus

8.2 Lokus dalam Dua Dimensi

Lokus dalam Dua
Dimensi8

BAB
8

BAB

Jaguh badminton negara, Datuk Lee Chong Wei
kini memegang rekod pukulan smash paling

kencang sejak September 2015 apabila melakukan
pukulan tersebut dengan kepantasan 408 kilometer
sejam (km/j) ketika menjuarai Kejohanan
Badminton Terbuka Hong Kong 2015 yang
berlangsung di Coliseum Hung Hom ketika itu.
Menurut Persekutuan Badminton Dunia (BWF),
kelajuan pukulan yang dilakukan oleh Chong Wei
itu telah direkod dan diukur dengan menggunakan
teknologi Hawk Eye yang telah diguna pakai
dalam beberapa kejohanan utama sejak September
2015. Tahukah anda, gerakan bulu tangkis adalah
mengikut syarat-syarat tertentu?

•	 Pengetahuan	 tentang	 lokus	 membolehkan
 seseorang menganggar atau meramal sesuatu
 jarak pergerakan atau lokasi berdasarkan syarat
 syarat tertentu.
•	 Konsep	 lokus	 digunakan	 dalam	 bidang
 pembinaan, lukisan kejuruteraan, penerbangan,
 pergerakan satelit dan sebagainya.

Kenapa Belajar Bab Ini?

<<
<
K A ATG E R B A N G

Eksplorasi ZamanEksplorasi Zaman

Apollonius (260-190 SM) merupakan ahli matematik
Yunani purba yang sangat berminat dalam mengkaji
masalah lokus. Beliau telah membuat kajian atas
jenis-jenis lokus seperti yang berbentuk garis lurus
dan lengkung-lengkung tertentu. Manakala ahli
Matematik Yunani yang paling cemerlang dalam
kajian lokus ialah Pappus (-350 TM). Bahan-bahan
lokus Pappus masih menjadi bahan kajian oleh
pakar matematik pada hari ini.

Saiz sebenar

199

• berjarak sama • equal distance

• bulatan • circle

•		lengkok • arc

•	 lengkung	 • curve

• lokus • locus

• lokus-lokus • loci

• pembahagi dua • perpendicular
sama serenjang  bisector

•	 pembahagi	dua	sudut	 • angle bisector

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%208/

<
Saiz sebenar

200

8
B

A
B

8.1    Lokus

Apakah yang anda faham tentang lokus?

Gambar rajah di bawah menunjukkan sebiji bola yang ditendang
oleh seorang pemain bola sepak. Pergerakan suatu titik pada bola
tersebut menghasilkan suatu lengkung.

Bentuk yang dihasilkan oleh pelekat itu ialah suatu bulatan seperti pada
rajah di sebelah. Adakah bentuk ini mematuhi syarat-syarat tertentu?

Dalam rajah di sebelah, sekeping
pelekat warna dilekatkan pada tayar
basikal, seperti yang ditunjukkan.
 Apakah bentuk yang akan
dihasilkan oleh pelekat itu apabila
basikal dikayuh?

STANDARD
PEMBELAJARAN

Mengenal lokus dalam
situasi kehidupan sebenar
dan seterusnya menerangkan
maksud lokus.

Lokus ialah satu surihan atau lintasan oleh satu set titik dalam satu satah atau ruang tiga
dimensi yang memenuhi syarat-syarat tertentu.

Gambar rajah di sebelah menunjukkan suatu roket yang
sedang dilancarkan. Pergerakan suatu titik pada roket
tersebut akan menghasilkan suatu bentuk garis lurus.

BULETIN
Penyokong bola sepak
Malaysia pasti akan
mengingati saat ‘Super
Mokh’, Allahyarham
Datuk Mokhtar Dahari
melepaskan tendangan
kencang dari jarak 40
meter, ketika menentang
skuad England 3 pada
tahun 1978.
Saiz sebenar

201

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

Bentuk lokus dua dimensi boleh dilihat dalam bentuk garis lurus, lengkok dan lengkung.

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

1

Situasi A

Bola yang dijaringkan

Situasi C

Kapal terbang yang
sedang mendarat.

Situasi D

Hujung pengelap cermin
kereta yang sedang bergerak.

Buah durian yang gugur
dari pokok.

Situasi B

Tujuan: Mengenal pasti lokus dua dimensi dalam situasi kehidupan seharian.

Bahan: Kad-kad situasi.

Langkah:

1. Setiap kumpulan diberikan beberapa keping kad situasi dengan pergerakan dalam
aktiviti seharian seperti contoh di bawah.

2. Bincang dalam kumpulan dan lakarkan lokus bagi satu titik pada objek yang terlibat
dalam situasi-situasi yang diberi.

3. Bentangkan hasil lakaran lokus dan bandingkan jawapan dengan kumpulan lain.

Perbincangan:
Bincangkan lima pergerakan lain yang boleh dikategorikan sebagai lokus dalam
aktiviti seharian.

Berkumpulan
Saiz sebenar

202

8
B

A
B

UJI  MINDA 8.1a

Contoh   1

Satu titik C dilukis pada satu sayap sebuah kipas yang sedang
berputar seperti dalam rajah. Terang dan lakarkan lokus bagi titik C.

Penyelesaian:

Lokus itu adalah berbentuk bulatan.

● C ●
C

2. Nyata dan lakarkan lokus bagi satu titik pada;
(a) sebiji kelapa yang jatuh dari pokok.
(b) sebuah kereta yang sedang bergerak di atas sebatang jalan raya yang lurus.
(c) seekor katak yang sedang melompat.

1. Terang dan lakarkan lokus bagi titik C pada setiap objek dalam rajah berikut.

(a) Sebiji bola berpusat C yang berguling
 sepanjang suatu satah condong.

(c) Titik C pada permainan yo-yo yang
 sedang bergerak.

C

C
●

(b) Titik C pada bandul yang berayun.

(d) Titik C pada kasut seorang kanak-kanak
 yang sedang bermain papan gelongsor
 di taman permainan.

C    ●

C
Saiz sebenar

203

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

BULETIN
Bentuk tiga
dimensi ini
dikenali
sebagai
frustum.

UJI  MINDA 8.1b

Contoh   2

Contoh   3

Rajah di sebelah menunjukkan sebatang tiang MN. Sekeping
papan berbentuk segi empat tepat PQRS disambung pada
tiang itu dengan keadaan papan PQRS boleh digerakkan.
Jika sisi PQ diputarkan 360o, mengelilingi tiang MN, apakah
bentuk tiga dimensi yang akan terbentuk?

Penyelesaian:

N

M

Q

P

R

S

Papan
Tiang

Sisi PQ
diputarkan 360°
mengelilingi
tiang MN.

N

M

Q

P

Bentuk yang dihasilkan apabila sisi PQ
diputarkan 360o mengelilingi tiang MN ialah
bentuk silinder tegak.

Rajah di sebelah menunjukkan sebatang tiang MN. Sekeping
papan berbentuk semi bulatan PQR disambung pada tiang itu
dengan keadaan papan PQR itu boleh digerakkan. Jika papan
PQR diputarkan 360o, mengelilingi tiang MN, apakah bentuk
tiga dimensi yang akan terbentuk?

Penyelesaian:
N

M

N

M

R

P

QPapan
Diputarkan 360°
mengelilingi
tiang MN.

Bentuk yang dihasilkan apabila papan
berbentuk semi bulatan diputarkan 360o
mengelilingi tiang MN ialah bentuk sfera.

1. Lakarkan lokus tiga dimensi apabila bentuk dua dimensi yang dilorekkan, diputarkan 360o
mengelilingi tiang ST.

(a)  (b)  (c)  (d) T

S

T T

S S

T

S

IMBAS KEMBALI

Silinder, sfera, kon, prisma
dan piramid merupakan
antara contoh bentuk
tiga dimensi.
Saiz sebenar

204

8
B

A
B

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

2

8.2 Lokus Dalam Dua Dimensi

Apakah lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu titik tetap?

Tujuan: Menentukan lokus bagi suatu titik yang berjarak tetap dari
 satu titik tetap.

Bahan: Kertas kosong, pensel dan pembaris.

Langkah:

1. Tandakan satu titik tetap, O, pada sehelai kertas (Rajah 1).

2. Ukur 5 cm dari titik O dan tandakan ×.

3. Ulangi langkah 2 sebanyak mungkin (Rajah 2).

O

×
5 cm

Rajah 1

4. Perhatikan kedudukan titik-titik × yang ditanda (Rajah 2).

5. Ulangi langkah 1 hingga 3 dengan ukuran yang berlainan dari titik tetap O.

6. Adakah bentuk geometri yang terhasil sama seperti pada langkah 4? Terangkan.

Perbincangan:

Apakah bentuk geometri yang dihasilkan oleh kedudukan titik-titik ×? Terangkan.

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa;

Titik-titik yang ditanda pada jarak yang sama dari titik tetap O, membentuk satu bulatan.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Memerihal lokus bagi titik
yang berjarak tetap dari
satu titik tetap.

Lokus bagi suatu titik yang berjarak tetap dari satu titik tetap
ialah sebuah bulatan yang berpusat di titik tetap tersebut.

Secara generalisasi,

Rajah 2

Berpasangan

×

××

×

×

×
×
×
× ×

× ×

×
×
×
××××

×
×
×
××

×

×
×
×
× × × ×

Imbas QR Code atau layari
http://youtu.be/
ZCYDsfxv88g untuk
menonton video yang
memerihal lokus bagi titik
yang berjarak tetap dari
satu titik tetap.

O
Saiz sebenar

205

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

Contoh   4

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

3

Tajuk: Membina lokus berjarak tetap dari satu titik tetap.

Bahan: Perisian dinamik

Langkah:

1. Mulakan dengan New Sketch.

2. Pilih Compass Tool dan lukiskan satu bulatan.

3. Pilih Point Tool dan tandakan.

4. Buka menu Display dan pilih Trace Point
diikuti dengan Animate Point.

5. Perhatikan animasi pergerakan yang dihasilkan.

Perbincangan:

Apakah bentuk yang terhasil daripada pergerakan titik yang ditanda?

Lokus P
O

3 cm

Bagaimanakah anda membina lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu titik tetap?

Bina lokus bagi titik P yang sentiasa berjarak 3 cm dari satu titik tetap O.

Penyelesaian:

1. Tandakan titik O.

2. Ukur 3 cm untuk bukaan jangka lukis.

3. Bina bulatan berjejari 3 cm yang berpusat pada titik O.

Hasil daripada Cetusan Minda 3, didapati bahawa;

Satu titik yang sentiasa bergerak dengan jarak yang sama dari suatu titik tetap menghasilkan
suatu bulatan.

Berpasangan
Saiz sebenar

206

8
B

A
B

Apakah lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua titik tetap?

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

4
Tujuan: Menentukan lokus bagi suatu titik yang berjarak sama dari
 dua titik tetap.

Bahan: Kertas kosong, jangka lukis, pembaris dan pensel.

Langkah:

8 cm

4.5 cm
dari P
dan Q.

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3

4. Perhatikan kedudukan tanda-tanda persilangan pada Rajah 3.

5. Ulangi langkah 1 hingga 3 dengan ukuran berbeza di antara
 titik P dengan titik Q.

Adakah jawapan anda sama seperti pada langkah 4?

Perbincangan:
Apakah bentuk yang dihasilkan oleh kedudukan tanda-tanda
persilangan? Terangkan.

Hasil daripada Cetusan Minda 4, didapati bahawa;

1. Tandakan dua titik tetap P dan Q yang berjarak 8 cm (Rajah 1).

2. Dengan menggunakan jangka lukis, tandakan persilangan, 4.5 cm dari titik P dan 4.5 cm
titik Q (Rajah 2).

3. Ulangi langkah 2 dengan jarak-jarak lain yang lebih daripada 4.5 cm dari titik P dan
titik Q (Rajah 3).

Kedudukan tanda-tanda persilangan yang ditanda sama jarak dari titik tetap P dan Q
membentuk satu garis lurus yang melalui titik tengah PQ.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Memerihalkan lokus bagi
titik yang berjarak sama
dari dua titik tetap.

P Q P QP Q

Berpasangan

Imbas QR Code atau layari
http://youtu.be/
nieUGXAg1hE untuk
menonton video yang
memerihal lokus bagi titik
yang berjarak tetap dari
dua titik tetap.

Lokus bagi suatu titik yang berjarak sama dari dua titik tetap
ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang
menyambungkan dua titik tetap itu.

Secara generalisasi,
Saiz sebenar

207

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

Contoh   5

Bagaimanakah anda membina lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua titik tetap?

M N

Bina lokus bagi titik P yang berjarak sama dari dua titik tetap M dan N.

Penyelesaian:
1. Tandakan dua lengkok kecil menggunakan jangka lukis dengan

bukaan lebih separuh daripada panjang MN dari titik M.
2. Dengan bukaan jangka lukis yang sama, tanda persilangan lengkok

dari titik N.
3. Sambungkan kedua-dua titik persilangan dengan garis lurus.

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga sama sisi PQR. Tentukan lokus
bagi titik X yang berjarak sama dari titik P dan titik R.

Contoh   6

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

5
Tajuk: Membina lokus berjarak sama dari dua titik tetap.

Bahan: Perisian dinamik
Langkah:
1. Mulakan dengan New Sketch.

2. Pilih Straightedge Tool untuk melukis satu segmen garis.
Pilih Text Tool untuk melabel titik A dan titik B.

3. Pilih menu Construct untuk membina titik tengah
(midpoint) segmen garis itu.

4. Tandakan kedua-dua segmen garis dan titik tengah
dengan Selection Arrow Tool.

5. Pilih menu Construct untuk membina garis serenjang
(Perpendicular line) (Rajah 1).

Perbincangan:
Apakah bentuk geometri yang terhasil? Terangkan.

Lokus P

M N

IMBAS KEMBALI

Garis AB dikenali sebagai
pembahagi dua sama.

● R

P ●

A

B

Lokus berjarak sama
dari titik A dan titik B

Hasil daripada Cetusan Minda 5, didapati bahawa;

Lokus yang berjarak sama dari dua titik tetap, AB ialah satu garis lurus yang berserenjang
dengan garis lurus tersebut dan melalui titik tengah AB.

Q

RP

Berpasangan

Rajah 1

● B
A ●
Saiz sebenar

208

8
B

A
B

Penyelesaian:
Lokus bagi titik X yang berjarak sama dari titik P dan titik R ialah
pembahagi dua sama serenjang bagi garis yang menyambungkan titik P
dan titik R.

Apakah lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu garis lurus?

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

6
Tujuan: Menentukan lokus bagi suatu titik yang berjarak tetap
 dari satu garis lurus.

Bahan: Kertas grid segi empat sama, pembaris, pensel.

Langkah:
1. Lukis satu garis lurus MN (Rajah 1).

2. Tandakan suatu titik ×, yang berjarak 3 unit tegak dari garis MN (Rajah 2).

3. Ulangi langkah 2 dengan sebanyak mungkin titik-titik × (Rajah 3).

4. Perhatikan kedudukan titik-titik × pada Rajah 3. Apakah pendapat anda tentang kedudukan
titik-titik × tersebut?

5. Ulangi langkah 1 hingga 4 dengan jarak unit yang berbeza.

6. Ulangi langkah 1 hingga 4 dengan garis lurus MN yang dilukis secara mencancang.

Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda tentang kedudukan titik-titik yang ditanda sama jarak dari
satu garis lurus?

Hasil daripada Cetusan Minda 6, didapati bahawa;

Lokus bagi suatu titik yang sentiasa sama jarak dari garis lurus, MN, ialah sepasang garis
lurus yang selari dengan MN.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Memerihalkan lokus bagi
titik yang berjarak tetap
dari satu garis lurus.

Rajah 1

M N

Rajah 2

M N

Rajah 3

M

×

×

N

3 unit

3 unit}
}

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

Lokus X
Q

RP

Berpasangan

Lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu garis lurus ialah
garis lurus yang selari dengan garis lurus tersebut.

Secara generalisasi,
Saiz sebenar

209

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

7

Contoh   7

Rajah di sebelah menunjukkan satu garis AB dilukis pada grid segi
empat sama bersisi 1 unit. Pada rajah, lukiskan lokus bagi titik X
yang sentiasa bergerak 3 unit dari garis AB.

Penyelesaian:
Lokus bagi titik X yang bergerak 3 unit
dari garis AB ialah sepasang garis yang
selari dengan AB dan berjarak 3 unit dari
garis AB.

Apakah lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang selari?

Tujuan: Menentukan lokus bagi titik yang berjarak sama dari
 dua garis lurus yang selari.

Bahan: Kertas kosong, jangka lukis, pembaris dan pensel.

Langkah:
1. Lukiskan dua garis lurus PQ dan MN yang selari (Rajah 1).

2. Dengan menggunakan jangka lukis, tandakan persilangan dari titik P dan titik M.

3. Ulangi langkah 2 untuk titik Q dan titik N (Rajah 2).

4. Sambungkan kesemua titik persilangan yang ditanda dengan melukis satu garis lurus
(Rajah 3).

5. Perihalkan sifat garis lurus yang menyambungkan kesemua titik persilangan (Rajah 3).

Perbincangan:
1. Ulangi langkah 1 hingga 4 dengan melukis dua garis lurus selari dengan kedudukan

menegak dan condong.

2. Adakah hasil yang anda peroleh sama seperti langkah 4?

STANDARD
PEMBELAJARAN

Memerihal lokus bagi
titik yang berjarak sama
dari dua garis lurus
yang selari.

BA

Lokus X

Lokus X

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3

P Q

M N

P Q

M N

P Q

M N

BA

Berkumpulan
Saiz sebenar

210

8
B

A
B

Hasil daripada Cetusan Minda 7, didapati bahawa;

Contoh   8

Rajah di sebelah menunjukkan segi empat tepat, ABCD yang
dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit. Huraikan dan lukis
lokus X yang berjarak sama dari garis AB dan DC.

Penyelesaian:
Lokus bagi titik X yang berjarak sama dari garis AB
dan DC ialah garis yang selari dengan AB dan DC serta
berjarak 3 unit dari garis AB dan DC.

A

D

B

C

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

8
Tujuan: Menentukan lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua
 garis lurus yang bersilang.

Bahan: Kertas grid segi empat sama, pembaris, pensel dan protraktor.

(a) Lokus yang berjarak sama dari dua garis selari PQ dan MN ialah satu garis lurus.
(b) Lokus tersebut adalah selari dengan garis lurus PQ dan MN serta melalui titik tengah
 garis PQ dan MN.

A

D

B

C

Lokus X

Apakah lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang bersilang?

Langkah:
1. Lukiskan paksi y dan paksi x pada satah Cartes pada kertas grid (Rajah 1).

2. Tandakan pasangan koordinat yang bernilai sama. Contoh, (0, 0), (–2, –2), (4, 4) dan
sebagainya (Rajah 2).

3. Sambungkan kesemua titik dengan satu garis lurus. Ukur ∠a, ∠b, ∠c dan ∠d dengan
menggunakan protraktor (Rajah 3).

STANDARD
PEMBELAJARAN

Memerihalkan lokus bagi
titik yang berjarak sama
dari dua garis lurus
yang bersilang.

Berkumpulan

Lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang
selari ialah satu garis lurus yang selari dan melalui titik tengah
bagi pasangan garis lurus selari tersebut.

Secara generalisasi,
Saiz sebenar

211

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

Perbincangan:
1. Apakah kesimpulan anda tentang nilai ∠a, ∠b, ∠c dan ∠d dengan sudut yang terbentuk

pada persilangan paksi x dan paksi y?

2. Apakah kaitan antara garis lurus yang menyambungkan pasangan koordinat bernilai
sama dengan nilai ∠a, ∠b, ∠c dan ∠d?

Contoh   9

Bagaimanakah anda membina lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus
 yang bersilang?

Bina lokus bagi titik X yang berjarak sama dari dua garis lurus,
PQ dan PN yang bersilang di P.

Penyelesaian:
1. Dengan menggunakan jangka lukis, tanda satu lengkok

daripada titik P yang memotong garis lurus PQ dan PN.
2. Tandakan titik persilangan antara lengkok dan garis lurus PQ

dan PN sebagai A1 dan A2 masing-masing.
3. Bina persilangan dari titik A1 dan A2.

4. Lukis satu garis lurus yang menyambungkan titik persilangan
yang dibina pada langkah 3 dan titik P.

Hasil daripada Cetusan Minda 8, didapati bahawa;

(a) ∠a = ∠b = ∠c = ∠d = 45°.
(b) Garis lurus yang menyambungkan pasangan koordinat bernilai sama, membahagi
 dua sama sudut persilangan antara paksi-x dengan paksi-y.

P

Q

N

Q

N

P

Lokus XA1

A2

2

4

2 4–2– 4
–2

– 4

y

x

2

4

2 4–2– 4

–2

– 4

y

x

2

4

2 4–2– 4

–2

– 4

y

x

b
a

c
d

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3

O O O

×
×
×
×
×
×
×
×
×

×
×
×
×
×
×
×
×
×

Lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang
bersilang ialah pembahagi dua sama sudut bagi garis-garis
tersebut.

Secara generalisasi,
Saiz sebenar

212

8
B

A
B

Rajah di sebelah menunjukkan segi empat sama ABCD. Huraikan dan lukis
lokus bagi titik Y yang bergerak sama jarak dari garis AB dan garis AD.

Penyelesaian:
Lokus bagi titik Y yang bergerak sama jarak dari garis
AB dan garis AD ialah garis lurus yang membahagi dua
sama sudut BAD.

Cetusan Minda

Berkumpulan

di Luar Belajar Bilik  Darjah

BerpasanganKendiri

9
Tajuk: Membina lokus berjarak sama dari dua garis lurus yang bersilang.
Bahan: Perisian dinamik
Langkah:
1. Mulakan dengan New Sketch.
2. Pilih Straightedge Tool untuk melukis garis AB dan BC yang bersilang di B.
3. Guna Text Tool untuk melabel titik A, diikuti titik B dan seterusnya titik C (Titik

persilangan mesti ditanda pada giliran yang kedua).
4. Tandakan ketiga-tiga titik di A, B dan C dengan Selection Arrow Tool. (Rajah 1)
5. Pilih menu Construct untuk membina pembahagi dua sama sudut (Angle bisector)

antara dua garis yang bersilang. (Rajah 2)

Contoh  10 A

D

B

C

Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda berkaitan lokus berjarak sama dari dua garis lurus yang bersilang?

Hasil daripada Cetusan Minda 9, didapati bahawa;

Lokus suatu titik yang berjarak sama dari dua garis lurus AB dan BC yang bersilang di
titik B ialah satu garis lurus yang membahagi dua sama ∠ ABC.

Rajah 1 Rajah 2

Berpasangan

A

D

B

C

A

B

C

●

●

●

A

B

C

●

●

●
Saiz sebenar

213

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

UJI  MINDA 8.2a

A

H

D

E B

F

C
G

1. Rajah menunjukkan garis lurus PQ yang berjarak 5 cm.

 (a) X ialah satu titik yang sentiasa berjarak 3 cm dari titik P. Huraikan selengkapnya lokus

bagi titik X.
 (b) Y ialah satu titik yang sentiasa berjarak 4 cm dari titik Q. Huraikan selengkapnya lokus

bagi titik Y.

2. Rajah di sebelah menunjukkan segi empat sama ABCD yang dilukis

pada grid segi empat sama bersisi 1 unit. P, Q, R, S dan T ialah
lima titik yang bergerak di dalam segi empat sama ABCD. Dengan
menggunakan huruf di dalam rajah, nyatakan lokus bagi titik

(a) P yang bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa sama dari
titik A dan titik D.

(b) Q yang bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa sama titik B
dan titik D.

(c) R yang bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa 4 unit dari garis lurus BC.
 (d) S yang bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa sama dari garis lurus AB dan BC.
 (e) T yang bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa 4 unit dari garis lurus EG.

3. Rajah di sebelah menunjukkan garis lurus CD yang
 berjarak 6 cm.
 T ialah satu titik yang sentiasa berjarak 1.5 cm dari garis lurus CD.
 (a) Lukis lokus bagi titik T.
 (b) Huraikan selengkapnya lokus bagi titik T.

4. Bina lokus bagi titik Y bagi situasi yang diberikan.
 (a) Sentiasa berjarak sama dari  (b) YC = YD (c) ∠ PQY = ∠ RQY
  garis lurus PQ dan PR.

5. Rajah di sebelah menunjukkan trek larian. Seorang
olahragawan berlatih dengan keadaan beliau sentiasa lari
selang dua lorong dari lorong 4 trek tersebut. Lukiskan
lokus larian olahragawan tersebut.

5 cm
  QP

6 cm
  DC

P

Q

R
Q

P R C

D
Saiz sebenar

214

8
B

A
B

Bagaimanakah anda menentukan lokus yang memenuhi dua atau lebih syarat?
Persilangan bagi dua atau lebih lokus boleh ditentukan dengan
membina setiap lokus yang dinyatakan pada satu rajah yang sama.

Rajah di sebelah menunjukkan segi empat sama ABCD yang
dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit. Titik X dan
titik Y ialah dua titik yang bergerak di dalam segi empat sama
ABCD tersebut. Pada rajah, lukis
(a) lokus bagi titik X yang bergerak dengan keadaan jaraknya

sentiasa 7 unit dari A.
(b) lokus bagi titik Y yang bergerak dengan keadaan jaraknya

adalah sentiasa sama dari garis AB dan garis CD.
(c) Tandakan kedudukan bagi semua titik persilangan lokus X

dan lokus Y dengan simbol ⊗.

Contoh  11

Contoh  12

B

C

A

D

Rajah di sebelah menunjukkan empat segi empat sama bersisi
2 cm yang digabungkan. Titik X dan titik Y ialah dua titik yang
bergerak dalam segi empat sama PRTV.
Pada rajah, lukis

(a) lokus bagi titik X yang bergerak dengan keadaan jaraknya
sentiasa 2 cm dari M.

(b) lokus bagi titik Y yang bergerak dengan keadaan jaraknya
adalah sentiasa sama dari garis PR dan garis PV.

(c) Tandakan kedudukan bagi semua titik persilangan lokus X
dan lokus Y dengan simbol ⊗.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Menentukan lokus yang
memenuhi dua atau
lebih syarat.

Penyelesaian:

P

W

V

Q

M

U

R

S

T

B

C

A

D

Lokus X

Lokus Y

Persilangan bagi
lokus X dan lokus Y.
Saiz sebenar

215

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

Penyelesaian:

UJI  MINDA 8.2b

1. Dalam rajah di sebelah, segi empat ABCD
mewakili sebahagian daripada satu kawasan
tasik. ABCD dilukis pada grid segi empat sama
bersisi 1 unit. Titik V dan titik W mewakili
perjalanan bot V dan bot W. Pada rajah, lukiskan

(a) lokus bagi bot V yang sentiasa bergerak
5 unit dari titik D.

(b) lokus bagi bot W yang berjarak 3 unit dari
garis BC.

(c) Seterusnya, tandakan persilangan laluan
bot V dan bot W dengan simbol .

2. Rajah di sebelah menunjukkan satah Cartes
yang ditandakan dengan empat titik E, F, G
dan H. Faruk berada pada jarak yang sama dari
paksi-x dan paksi-y. Kedudukan Faruk juga
kurang daripada 5 unit dari pusat O. Antara
titik E, F, G dan H, yang manakah merupakan
kedudukan Faruk?

B

C

A

D

E
F

●

2

2 4

●

●

●

4

6

G

HO
x

y

Lokus X

Lokus Y

P

W

V

Q

M

U

R

S

T
Saiz sebenar

216

8
B

A
B

3. Rajah di sebelah menunjukkan satah Cartes.
Titik F bergerak dengan keadaan jarak tegaknya
sentiasa 3 unit dari paksi-x manakala titik G
bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa 4 unit
dari asalan. Tandakan semua titik persilangan antara
lokus F dan lokus G dengan simbol ⊗.

x

y

1         2       3 4O

4

3

2

1

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan lokus?

Contoh  13

Sebuah klinik akan dibina di sebuah kampung. Klinik itu
hendaklah berjarak sama di antara rumah P dengan rumah Q,
serta berjarak 600 meter dari suatu jalan raya AB. Tentukan
kedudukan yang mungkin bagi klinik itu.
(skala 1 cm = 600 meter)

Penyelesaian:

Memahami masalah

Klinik itu berjarak sama dari P dan Q, iaitu garis lurus pembahagi dua sama untuk P dan Q.
Klinik berjarak 600 meter dari jalan raya AB. Wujud dua garis lurus selari.

Merancang strategi

Melukis dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris.

STANDARD
PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan lokus.

● Q

Jalan raya

●BA ●

● P
Saiz sebenar

217

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

Membuat kesimpulan

Dua kedudukan yang ditandakan
dengan simbol  memenuhi syarat-
syarat untuk membina klinik.

Melaksanakan strategi

UJI  MINDA 8.2c

1. Rajah di sebelah menunjukkan segi empat sama
PQRS dengan sisi 6 cm. Dua semi bulatan
berpusat di M dan N dilukis di dalam segi empat
sama PQRS. Diberi M dan N ialah titik tengah
PS dan QR. Pada rajah, lorekkan rantau yang
memenuhi pergerakan lokus-lokus berikut.

(a) Lokus bagi titik X yang sentiasa bergerak
dengan keadaan XM  3 cm dan lebih daripada
3 cm dari garis SR.

(b) Lokus bagi titik Y yang sentiasa bergerak dengan
keadaan YM  3 cm dan YN  3cm.

(c) Huraikan persilangan antara lokus X dengan
lokus Y.

2. Rajah di sebelah menunjukkan kawasan berpagar
bagi suatu padang rumput berbentuk segi empat
tepat PQRS dengan ukuran 6 m × 8 m. Seekor
kambing diikat pada titik Q dengan seutas tali
yang panjangnya 7 meter.

Lorekkan rantau yang boleh dicapai oleh kambing
itu.

● Rumah Q

Rumah P ●





600 m

600 m

Kedudukan klinik

Kedudukan Klinik

600 m

600 m

Jalan raya
●BA●

6 cm

P Q

S R

M NO

Q

6 m

8 m

P

RS
Saiz sebenar

218

8
B

A
B

3. Khalid melukis pelan untuk permainan
mencari kotak harta karun pada grid segi
empat sama dengan skala 1 cm kepada 1
meter.

Pada rajah di sebelah, lukis

(a) kawasan kotak harta karun jika
 berjarak 3 m dari tiang bendera P.

(b) kawasan kotak harta karun jika berjarak
 5 m dari Jalan Bahagia.

Seterusnya, tandakan kedudukan yang
mungkin bagi kotak harta karun dengan
simbol ⊗.

P

1 cm

1 cm

Ja
la

n
B

ah
ag

ia

1. Rajah di bawah menunjukkan segi tiga sama sisi ABC. S ialah satu titik di atas garis AB.
Titik X dan titik Y ialah dua titik yang bergerak dalam rajah tersebut. Pada rajah,

(a) lukis lokus bagi titik X dengan keadaan AX = AS.
 (b) lukis lokus bagi titik Y dengan keadaan Y adalah sama jarak dari AC dan BC.
 (c) Seterusnya, tandakan dengan simbol  semua persilangan bagi lokus X dan lokus Y itu.

R

M

N

Q P

B

C

A S
●

Cabaran Dinamis

Uji Diri

2. Rajah di bawah menunjukkan pentagon sekata MNPQR. Titik X dan titik Y ialah dua titik yang
bergerak di dalam pentagon tersebut. Pada rajah,

(a) lukis lokus bagi titik X dengan keadaan RX = XN.
 (b) lukis lokus bagi titik Y dengan keadaan RY = RQ.
 (c) tandakan dengan simbol  semua titik persilangan bagi lokus X dan lokus Y.
Saiz sebenar

219

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

3. Rajah di bawah menunjukkan kawasan hutan yang berbentuk segi tiga PQR. Titik X dan
titik Y ialah dua lokus yang menghuraikan kedudukan sebuah helikopter yang terhempas.
Pada rajah

(a) lukis lokus bagi titik X dengan keadaan jaraknya sentiasa sama dari garis QR dan QP.
 (b) lukis lokus bagi titik Y dengan keadaan YP = PR.
 (c) Seterusnya, tandakan dengan simbol  bagi kedudukan yang mungkin bagi helikopter

tersebut. R

PQ

P R

D T

Q

BA S

C

1. Rajah di sebelah dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit. Titik X, titik Y dan titik Z
ialah tiga titik yang bergerak di dalam segi empat sama itu.

2.  Rajah di bawah menunjukkan rombus MNOP. Titik X dan titik Y ialah dua titik yang
bergerak dalam rombus tersebut.

Pada rajah,
 (a) lukis lokus bagi titik X yang bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa sama dari garis

PM dan garis PO.
 (b) lukis lokus bagi titik Y yang bergerak dengan keadaan YP = PO.
 (c) Tandakan dengan simbol  kedudukan bagi semua persilangan bagi lokus X dan lokus Y.

Mahir Diri

(a) X ialah titik yang bergerak dengan keadaan
jaraknya adalah sentiasa sama dari titik Q dan
titik C. Dengan menggunakan huruf dalam rajah,
nyatakan lokus bagi titik X.

(b) Pada rajah,
 (i) lukis lokus bagi titik Y yang bergerak dengan

keadaan jaraknya adalah sentiasa sama dari
garis lurus PD dan DT.

(ii) lukis lokus bagi titik Z yang bergerak dengan
keadaan titik itu sentiasa berjarak 5 unit dari
titik S.

(c) Tandakan dengan simbol  kedudukan bagi semua
persilangan bagi lokus Y dan lokus Z.

M N

P O
Saiz sebenar

220

8
B

A
B

1. Rajah di bawah menunjukkan dua semi bulatan, PKLT dan QNMS berpusat di R, dengan
diameter masing-masing 8 cm dan 4 cm. KNR dan RML ialah lengkok bulatan berpusat di
P dan T masing-masing.

Berdasarkan rajah di atas, nyatakan
 (a) titik yang berjarak 2 cm dari R dan 4 cm dari P.
 (b) titik yang berjarak lebih daripada 2 cm dari R dan 4 cm dari T.
 (c) kedudukan bagi titik X yang bergerak dalam rajah dengan keadaan kurang daripada

4 cm dari P dan lebih daripada 2 cm dari R.
 (d) kedudukan bagi titik Y yang bergerak dalam rajah dengan keadaan YR < 2 cm dan

YP < 4 cm.
 (e) kedudukan bagi titik Z yang bergerak dalam rajah dengan keadaan ZT > 4 cm, ZP > 4 cm

dan ZR > 2 cm.

2. Dalam rajah di bawah, SLMQ, PKLR, QNKS dan RMNP ialah lengkok bulatan berjejari
4 cm dan berpusat di P, Q, R dan S masing-masing.

Berdasarkan rajah di atas, nyatakan
 (a) kedudukan bagi titik X yang bergerak dalam rajah dengan keadaan XS < 4 cm, XP < 4 cm

dan XQ > 4 cm.
 (b) kedudukan bagi titik Y yang bergerak dalam rajah dengan keadaan YR > YP.
 (c) kedudukan bagi titik Z yang bergerak dalam rajah dengan keadaan ZP < 4 cm, ZQ < 4 cm,

ZR < 4 cm dan ZS < 4 cm.

Masteri Kendiri

I

VI

II IV

VIII ●●

K L

P RQ S T

MN

P Q

S R

●

● ●

●

L

K

N

M

I II

IV V

III
Saiz sebenar

221

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

Apabila kita melihat permukaan jam untuk mengetahui waktu, kita mendapati hujung
jarum jam sentiasa bergerak dengan corak yang sama iaitu dengan keadaan hujung
jarum sentiasa berjarak sama dari pusat permukaan jam.

Mengapakah bentuk bulatan yang dipilih untuk mewakili pergerakan masa dalam jam?
Dapatkan maklumat tentang kaitan antara pembahagian jam, minit dan saat dengan bentuk
bulatan. Buat satu laporan bergambar dengan menggunakan multimedia.

3. Rajah di bawah menunjukkan segi empat sama PQRS dengan sisi 4 cm dan suatu bulatan
berpusat di O dengan jejari 1 cm. Titik X dan titik Y ialah dua titik yang sentiasa bergerak
di dalam segi empat sama PQRS.

Huraikan pergerakan yang mungkin bagi lokus titik X dan titik Y bagi titik persilangan
berikut.

(a) B dan D.
 (b) A dan C.

P Q

S R

A B

D C

O

4 cm

KP R O J E
Saiz sebenar

222

8
B

A
B

Lokus dalam Dua Dimensi
Satu set titik yang kedudukannya memenuhi syarat tertentu.

Lokus bagi
titik yang

berjarak tetap
dari satu titik

tetap.

Lokus bagi
titik yang

berjarak tetap
dari satu

garis lurus

Lokus bagi
titik yang
berjarak

sama dari
dua titik tetap

Lokus bagi
titik berjarak
sama dari dua

garis lurus
yang selari

Lokus bagi titik
yang berjarak
sama dari dua

garis lurus yang
bersilang

Bulatan Sepasang
garis lurus

selari

Pembahagi
dua sama
serenjang

Satu
garis lurus

Pembahagi
dua sama sudut

Lokus

Lokus

Lokus

Lokus
Lokus

Lokus

Lokus

(a)

(b)

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Mengenal lokus dalam situasi kehidupan sebenar, dan seterusnya menerangkan
maksud lokus.

2. Memerihal lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu titik tetap.

3. Memerihal lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua titik tetap.

4. Memerihal lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu garis lurus.

5. Memerihal lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang selari.

6. Memerihal lokus bagi  titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang bersilang.

7. Menentukan lokus yang memenuhi dua atau lebih syarat.

8. Menyelesaikan masalah yang melibatkan lokus.

PETA KONSEP

IMBAS KENDIRI
Saiz sebenar

223

8
B

A
B

Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

Kita boleh melakar satu elips dengan langkah-langkah berikut:

1. Ikatkan dua batang paku dengan seutas tali (satu paku pada setiap hujung tali).

2. Letakkan sehelai kertas di atas sekeping papan rata.

3.  Pakukan dua paku tadi di atas kertas itu supaya tali itu tidak berada dalam keadaan tegang.
Dua paku yang ditetapkan itu dipanggil fokus.

4. Kita boleh mula melakar bentuk elips dengan menarik secara tegang tali itu dengan
menggunakan mata pensel di dalam batasan tali itu.

5.  Perhatikan bentuk elips yang terbentuk.

Tali

PakuPaku

JELAJAH MATEMATIK

BIJAK MINDA
Mengapakah elips juga
boleh dikenali sebagai
lokus?

1

2
4

3
Apakah yang akan anda pelajari?

Saiz sebenar

224

9.1 Garis Lurus

Garis Lurus
9

BAB
9

BAB

Kebiasaannya, setiap bangunan dibina secara
menegak. Sesetengah bangunan seperti

Menara Jam Condong Teluk Intan yang telah dibina
pada tahun 1885, menjadi condong disebabkan
struktur tanah. Walaupun berbentuk condong dan
berusia lebih 100 tahun, Menara Jam Condong
Teluk Intan masih kukuh dan menjadi mercu tanda
bandar Teluk Intan. Menara condong ini telah
diisytiharkan sebagai warisan kebangsaan pada
tahun 2015.

•	 Konsep	 garis	 lurus	 digunakan	 dengan	 meluas
 dalam pembinaan pelbagai bentuk geometri
 seperti segi empat sama, segi tiga dan lelayang.
•	 Konsep	 garis	 lurus	 digunakan	 dalam	 bidang
 kejuruteraan, arkitek, pembinaan, pemetaan,
 sains, sukan dan sebagainya.

Kenapa Belajar Bab Ini?
K A ATG E R B A N G

Eksplorasi ZamanEksplorasi Zaman

225

• garis lurus • straight line
• garis selari • parallel line
• jarak mencancang • vertical distance
•	 jarak	mengufuk	 • horizontal distance
• kecerunan • gradient
• paksi • axis
• pintasan • intercept
• persamaan serentak • simultaneous

equation
•	 titik	persilangan	 • intersection point

Euclid ialah seorang pakar matematik dari Yunani.
Beliau telah membuat banyak kajian tentang garis
lurus dan geometri sehingga beliau dikenali sebagai
pengasas geometri.

Bidang geometri yang diberi nama Geometri
Euclid adalah untuk memperingati sumbangan
beliau dalam bidang berkaitan.

Saiz sebenar

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%209/
9
B

A
B

Saiz sebenar

226

Cetusan Minda 1 IMBAS KEMBALI

STANDARD
PEMBELAJARAN

9.1    Garis Lurus

Membuat perkaitan antara
persamaan y = mx + c,
dengan kecerunan
dan pintasan-y, dan
seterusnya membuat
generalisasi tentang
persamaan garis lurus.

Apakah persamaan bagi suatu garis lurus?

Semasa di Tingkatan 2, anda telah mempelajari cara untuk melukis
graf bagi suatu fungsi linear dan fungsi bukan linear dengan membina
jadual nilai bagi fungsi berkaitan.

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3 Rajah 4

y = 3x + 6
y = –2x – 4

y

x
O

y

x

y

x

y

x

Tujuan: Menentukan perkaitan antara persamaan y = mx + c dengan
 kecerunan dan pintasan-y.

Bahan: Kertas graf, kad-kad fungsi linear

Langkah:

1. Bahagikan murid kepada empat kumpulan.

2. Setiap kumpulan diberi kad yang ditulis dengan dua fungsi linear.

Kumpulan 1 Kumpulan 2 Kumpulan 3 Kumpulan 4

3. Lengkapkan jadual nilai di bawah untuk setiap fungsi yang diberi.

x –3 –2 –1 0 1 2 3
  y

4. Berdasarkan jadual nilai lukiskan graf fungsi.

y = 2x + 6

y = – 4x + 8

y = 5x – 10
y = –3x + 9

y = 4x – 8

y = –2x + 2

Setiap graf fungsi di atas dilukis berdasarkan suatu fungsi tertentu. Fungsi tersebut juga
merupakan persamaan bagi bentuk graf berkaitan.

Bolehkah anda bezakan graf fungsi linear dan graf fungsi bukan linear? Bincangkan.

O O O

Kecerunan, m, bagi garis
lurus yang menyambung
dua titik (x1 , y1) dan
(x2 , y2)
  y2 – y1 m = ––––––
  x2 – x1
atau
  pintasan-y
m = – –––––––––
  pintasan-x

Berkumpulan
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

227

Cetusan Minda 2 Berpasangan

5. Daripada graf fungsi, hitung kecerunan dan nyatakan nilai pintasan-y.
6. Bandingkan nilai kecerunan dan pintasan-y daripada graf dengan nilai dalam kad fungsi.
Perbincangan:
1. Bandingkan dapatan anda di langkah 6 dengan fungsi linear y = mx + c. Apakah kesimpulan

anda?
2. Bentangkan hasil dapatan anda. Adakah hasil dapatan anda sama dengan hasil dapatan

kumpulan lain?

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

(a)  Bagi suatu fungsi linear, y = mx + c, m ialah kecerunan dan c ialah pintasan-y garis lurus
tersebut.

(b) Graf untuk fungsi linear, y = mx + c ialah satu garis lurus.

Tujuan: Menghasilkan graf fungsi linear.

Bahan: Perisian dinamik

Langkah:
1. Mulakan dengan New sketch.
2. Pilih ikon graph.
3.  Pilih plot new function dan masukkan persamaan garis lurus yang dikehendaki (Rajah 1).

6

Misalnya

Langkahlangkah:
1.  Mulakan program GSP
2.  Pilih ikon graf
3.  Pilih plot ‘new function’ dan masukkan persamaan garis lurus dikehendaki.

4.    Klik “staright edge tool” lepas itu surih sebahagian graf garis lurus, misalnya AB.

5.    Klik “measure” (ukur) dan seterusnya klik “slop” (Kecerunan)
       Nilai kecerunan (iaitu nilai m) akan dipaparkan.

6

Misalnya

Langkahlangkah:
1.  Mulakan program GSP
2.  Pilih ikon graf
3.  Pilih plot ‘new function’ dan masukkan persamaan garis lurus dikehendaki.

4.    Klik “staright edge tool” lepas itu surih sebahagian graf garis lurus, misalnya AB.

5.    Klik “measure” (ukur) dan seterusnya klik “slop” (Kecerunan)
       Nilai kecerunan (iaitu nilai m) akan dipaparkan.

Persamaan garis lurus
 y = mx + c

Rajah 1Graf garis lurus pertama: y = 2x – 3

kecerunan pintasan-y
Secara generalisasi,
9
B

A
B

Saiz sebenar

228

7

Kecerunan (slope) = 2.00

7

Kecerunan (slope) = 2.00

4.    Klik straightedge tool dan tandakan dua titik di atas graf garis lurus yang terbina.

5.    Klik measure dan seterusnya klik slope (Rajah 2).
       Nilai kecerunan akan dipaparkan (Rajah 3).

6. Ulangi langkah 2 hingga 5 untuk melukis dan menentukan kecerunan graf garis lurus fungsi
y = –2x + 8 (Rajah 4).

9

Contoh paparan skrin.

8

Perhatian:
Beberapa graf juga boleh dipaparkan serentak.

Misalnya:

Graf garis lurus 1: y = 2x  3                           Graf garis lurus 2: y = 2x + 8

7. Garis lurus yang selari dengan paksi-x dan paksi-y.
 Contoh paparan bagi garis lurus seperti
 (a) y = 4 (b) x = 6

TIP
Hubungan nilai m dengan
bentuk graf garis lurus.

Jika m > 0

Jika m < 0

y

x

y

x

Rajah 3

Rajah 4

Rajah 2

h(x) = –2x + 8
g(x) = 2x – 3

Graf garis lurus kedua:
y = –2x + 8

11

Garis lurus yang selari dengan paksix dan paksiy

Contoh bagi garis lurus seperti
(i) y = 4 dan
(ii) x = 6

GENERALISASI

Persamaan bagi satu graf garis lurus diwakili dengan bentuk y = mx + c di mana
m = kecerunan
c = pinyasany

y = 4

x = 6

y = 4

x = 6
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

229

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa;

(a) Graf untuk fungsi linear y = mx + c ialah satu garis lurus.
 (b) Graf untuk fungsi y = h ialah satu garis lurus yang selari dengan paksi-x.
 (c) Graf untuk fungsi x = h ialah satu garis lurus yang selari dengan paksi-y.

Contoh   1

Tentukan kecerunan dan pintasan-y bagi garis lurus
(a) y = 2x + 9 (b) 3y = –2x + 12

Penyelesaian:

(a) Bandingkan y = 2x + 9 dengan y = mx + c;
 m = 2 dan c = 9
 Maka, kecerunan = 2 dan pintasan-y = 9

(b) Diberi 3y = –2x + 12
  3y   2x 12  — = – — + —
   3   3 3
       2    y = – — x + 4
       3         2 Bandingkan y = – — x + 4 dengan y = mx + c;
  3
  2 m = – — dan c = 4
  3
  2 Maka, kecerunan = – — dan pintasan-y = 4.
  3

Perbincangan:
1.  Bandingkan bentuk graf yang terhasil daripada perisian dinamik dengan bentuk graf

daripada Cetusan Minda 1.
2.  Buat kesimpulan bagi nilai-nilai m dan c bagi persamaan garis lurus berbentuk y = mx + c.
 Bincangkan bentuk graf apabila
 (a) m bernilai positif (b) m bernilai negatif
 (c) selari dengan paksi-x (d) selari dengan paksi-y

BULETIN
Dalam persamaan
y = mx + c, pekali bagi
y ialah +1.

÷3

Contoh   2

Nyatakan nilai h bagi graf garis lurus di bawah. Nyatakan alasan untuk jawapan anda.
(a)   (b)

3

6
Q

P(3, 6)

O

y = h

x

y

4

8 P(4, 8)

O

x = h

x

y

–2

(–2, 6) (0, 6)

(4, 4)

Q(4,0)

4

Dibahagi dengan 3
supaya pekali y bernilai +1.

K U I Z

Apakah nilai kecerunan
bagi garis lurus
(a) y = x
(b) y = –x

BIJAK MINDA
Apakah nilai pintasan-y
bagi suatu garis lurus
yang melalui asalan?
9
B

A
B

Saiz sebenar

230

Cetusan Minda

Penyelesaian:
(a) h = 6 kerana garis lurus y = 6 sentiasa

berjarak 6 unit dari paksi-x

STANDARD
PEMBELAJARAN

UJI  MINDA 9.1a

1. Tentukan kecerunan dan pintasan-y bagi garis lurus yang berikut.
 (a) y = 3x + 5 (b) y = 2x – 7 (c) y = –x + 4
 (d) 2y = 8x + 6 (e) 3y = –x + 18 (f) – 4y = –2x + 5

2. Nyatakan nilai k dan nilai h bagi setiap graf garis lurus yang diberi.
 (a)  (b)

3
Tujuan: Menentukan kaitan antara persamaan garis lurus dalam
   x y bentuk ax + by = c, — + — = 1 dengan y = mx + c.
   a b

Bahan: Kertas graf, kad-kad persamaan garis lurus

Langkah:
1. Bahagikan murid kepada empat kumpulan.
2. Setiap kumpulan diberi kad yang ditulis dengan tiga persamaan garis lurus.
  Kumpulan 1 Kumpulan 2 Kumpulan 3 Kumpulan 4

Menyiasat dan mentafsir
persamaan garis lurus
dalam bentuk lain seperti
ax + by = c dan
 x   y
— + — = 1, serta  a  b
menukarkan kepada
bentuk y = mx + c
dan sebaliknya.

Apakah kaitan antara persamaan garis lurus dalam
  x y bentuk ax + by = c, — + — = 1 dengan y = mx + c?

a b

2x + 3y = 6

— + — = 1

y = – —x + 2

x
3

y
2
2
3

4x – 2y = –8

—— + — = 1

y = 2x + 4

x
(–2)

y
4

–3x + 4y = –12

— + —— = 1

y = —x – 3

x
4

y
(–3)
3
4

–x – 4y = 4

—— + —— = 1

y = – —x – 1

x
(–4)

y
(–1)
1
4

(b) h = 4 kerana garis lurus x = 4 sentiasa
berjarak 4 unit dari paksi-y.

O

4

–2

–3 O 4

y y

x

x

y = k

x = hx = k

y = h

Berkumpulan
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

231

Tukarkan persamaan garis lurus di bawah kepada bentuk — + — = 1 dan
y = mx + c.
(a) 2x + 3y = 12 (b) 3x – 5y = 15
Penyelesaian:
(a) 2x + 3y = 12

(i) 2x + 3y = 12
  2x 3y   12 ÷12  —– + —– = —
  12 12   12
  x y  — + — = 1
  6 4

TIP

3. Tentukan nilai sepadan y apabila x = 0 dan nilai sepadan x
apabila y = 0 bagi setiap persamaan.

Contoh: 2x + 3y = 6
  Apabila x = 0 :
  2(0) + 3y = 6
  3y = 6
  y = 2
4. Lukiskan graf garis lurus bagi setiap persamaan.
5. Daripada graf, nyatakan pintasan-x dan pintasan-y serta

tentukan kecerunan graf.
Perbincangan:
1. Apakah kesimpulan anda tentang kaitan antara nilai pintasan-x dengan pintasan-y serta

kecerunan ketiga-tiga graf garis lurus?
2. Apakah kesimpulan anda tentang kaitan antara persamaan garis lurus berlainan bentuk

yang diberikan kepada kumpulan anda?

Bagi persamaan garis lurus
 x y
— + — = 1,
 a b
a = pintasan-x
b = pintasan-y

y

xa

b

O

x y— + — = 1

a b

Contoh   3

Bagaimanakah anda menukarkan persamaan garis lurus
  x y dalam  bentuk ax + by = c, — + — = 1 kepada bentuk

a b
 y = mx + c dan sebaliknya?

x
a

y
b

(ii) 2x + 3y = 12
  3y = –2x + 12
  3y   –2x 12   ÷ 3 —– = —– + —
  3   3 3
    2   y = – —x + 4
    3

Dibahagi dengan
3 supaya pekali y
bernilai +1.

Dibahagi
dengan 12
supaya
mendapat
nilai 1.

(a)  Pintasan-x dan pintasan-y serta nilai kecerunan bagi ketiga-tiga garis lurus adalah sama.
  x y(b) Persamaan garis lurus dalam bentuk ax + by = c, — + — = 1 dan y = mx + c menghasilkan
  a b
  graf garis lurus yang sama jika nilai pintasan-x dan pintasan-y adalah sama.

Hasil daripada Cetusan Minda 3, didapati bahawa;

x yPersamaan garis lurus y = mx + c juga boleh ditulis dalam bentuk ax + by = c dan — + — = 1;
 a b a ≠ 0 dan b ≠ 0

Secara generalisasi,

TIP
Graf garis lurus boleh
dilukis dengan memplotkan
sekurang-kurangnya
dua titik.

TIP
       pintasan-y
Kecerunan = – —————
       pintasan-x

Apabila y = 0 :
  2x + 3(0) = 6
  2x = 6
  x = 3

x
y

0
2

3
0
9
B

A
B

Saiz sebenar

232

Didarab
dengan 4
supaya pekali
y bernilai +1.

(b) 3x – 5y = 15

(i) 3x – 5y = 15
  3x 5y   15 ÷15  —– – —– = —
  15 15   15
  x y  — – — = 1
  5 3

Contoh   4

Tukarkan persamaan garis lurus di bawah kepada bentuk ax + by = c dan y = mx + c.
  x y   x y(a) — + — = 1  (b) – — + — = 1
  6 3   2 4
Penyelesaian:
  x y   x y(a) — + — = 1  (b) – — + — = 1
  6 3   2 4
   x y    (i)  — + — = 1
   6 3
  3x + 6y  —–—– = 1
     6(3)
  3x + 6y = 1(18)
  3x + 6y = 18
    x + 2y = 6

x y    (ii)   — + — = 1
    6 3
   y   x   — = – — + 1
   3   6
   3y   –x(3)  × 3    —– = ——– + 1(3)
   3   6
     1   y = – —x + 3
     2

x y    (i)   – — + — = 1
    2 4
    –4x + 2y   —–—–— = 1
   2(4)
   –4x + 2y = 1(8)
   –4x + 2y = 8
   –2x + y = 4

x y    (ii)   – — + — = 1
    2 4
   y   x   — = — + 1
   4   2
   4y   x(4)  × 4    —– = —— + 1(4)
   4   2
   y = 2x + 4

Contoh   5
  x yTukarkan persamaan garis lurus berikut kepada bentuk ax + by = c dan — + — = 1.
  a b
(a) y = –2x + 8  (b) y = 3x + 6

Penyelesaian:
(a) y = –2x + 8  (b) y = 3x + 6

Kaedah
menyamakan
penyebut.

(ii) 3x – 5y = 15
  –5y = –3x + 15
  –5y   –3x 15 ÷ (–5)  —–– = —— + ——
  (–5)   (–5) (–5)

3   y = —x – 3
    5

(i)           y = –2x + 8
    2x + y = 8

(ii) y = –2x + 8
   2x + y = 8
   2x y   8 ÷ 8   —– + — = —
   8 8   8    x y   — + — = 1
   4 8

(i)           y = 3x + 6
  –3x + y = 6

(ii) y = 3x + 6
   –3x + y = 6
   –3x y   6 ÷ 6   —— + — = —
   6 6   6    x y   – — + — = 1
   2 6

TIP
– 4x + 2y = 8
juga boleh ditulis sebagai
4x – 2y = – 8

SUDUT DISKUSI
Antara tiga bentuk
persamaan garis lurus
yang anda belajar, bentuk
manakah yang paling
mudah diketahui nilai
kecerunan, nilai pintasan-y
dan nilai pintasan-x suatu
garis lurus? Bincangkan.

K U I Z
Apakah nilai kecerunan
bagi garis lurus
 x y
– — – — = 1?
 2 2
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

233

STANDARD
PEMBELAJARAN

UJI  MINDA 9.1b
  x y1. Tuliskan persamaan garis lurus berikut dalam bentuk — + — = 1 dan y = mx + c.
  a b
 (a) 3x – 4y = 24  (b) 7x + 2y = 28 (c) 5x – 3y = 15 (d) –2x + 3y = 9
2. Tuliskan persamaan garis lurus berikut dalam bentuk ax + by = c dan y = mx + c.
   x y   x  y   3x y   2x y (a) — + — = 1  (b) – — + — = 1 (c) —– + — = 1 (d) —– – — = 1
   4 3   3 6    2 6    3 4
  x y3. Tuliskan persamaan garis lurus berikut dalam bentuk ax + by = c dan — + — = 1.
  a b
 (a) y = 2x + 6  (b) y = 3x – 12 (c) y = –x + 5 (d) y = –2x – 4

Menyiasat dan membuat
inferens tentang
hubungan antara titik
pada garis lurus dengan
persamaan garis
lurus tersebut.

Apakah hubungan antara titik pada garis lurus dengan
 persamaan garis lurus tersebut?

Rajah 1 dan Rajah 2 menunjukkan dua garis lurus yang dilukis
pada satah Cartes berdasarkan persamaan garis lurus x + 2y = 4 dan
x – y = –3.

} }Kiri     Kanan

y

x
   –1   1 2 3 4O

3

2

1

–1

R(1, 2)

Q(2, 1)

P(4, 0)

y

x
  –3 –2  –1 1 2O

3

2

1

–1

R(1, 3)

Q(–1, 2)

P(–2, 1)

Sama Sama Tidak Sama

x + 2y = 4

x – y = –3

Rajah 1 Rajah 2

Teliti kedudukan titik-titik P, Q dan R pada Rajah 1 dan Rajah 2. Apakah yang boleh anda nyatakan
tentang titik-titik P, Q dan R serta garis lurus yang dilukis?

(a) Rajah 1
 x + 2y = 4

(i) Gantikan titik P(4, 0) (ii) Gantikan titik Q(2, 1) (iii) Gantikan titik R(1, 2)

Kiri: Kanan:  Kiri: Kanan:  Kiri: Kanan:
  x + 2y = 4  x + 2y = 4  x + 2y = 4
  = 4 + 2(0)   = 2 + 2(1)   = 1 + 2(2)
  = 4   = 4   = 5
9
B

A
B

Saiz sebenar

234

} }Kiri     Kanan

Sama Sama Tidak Sama

Contoh   6

}
} }

}}

} }

}

Kiri     Kanan

Kiri
Kiri

Kiri        Kanan

Sama

Sama

Tidak Sama

Tidak Sama

Kanan Kanan

1. Tentukan sama ada titik P terletak pada garis lurus yang diberikan atau tidak.
 (a) y = 3x + 2, P(2, 8) (b) 3x – 2y = 12, P(– 4, 2)
   x        y (c) — + — = 1, P(6, –2) (d) 2y = –5x – 7, P(4, 3)
   3       2
Penyelesaian:
 (a) y = 3x + 2, P(2, 8) (b) 3x – 2y = 12, P(– 4, 2)

  Kiri:              Kanan:    Kiri:  Kanan:
  = 8 3x + 2    3x – 2y  = 12
   = 3(2) + 2    = 3(– 4) – 2(2)
   = 8    = –16

Maka, P(2, 8) terletak pada    Maka, P(– 4, 2) tidak terletak pada
 garis lurus y = 3x + 2.    garis lurus 3x – 2y = 12

x y (c) — + — = 1 , P(6, –2) (d) 2y = –5x – 7, P(4, 3)
   3 2

Kiri:              Kanan:  Kiri:  Kanan:
   x y     — + — = 1
   3 2

(6) (–2)  = — + —–
   3 2
  = 1
 Maka, P(6, –2) terletak pada
  x y garis lurus — + — = 1.
  3 2

(b) Rajah 2
 x – y = –3

(i) Gantikan titik P(–2, 1) (ii) Gantikan titik Q(–1, 2) (iii) Gantikan titik R(1, 3)
  Kiri: Kanan:  Kiri: Kanan:  Kiri: Kanan:
  x – y = –3  x – y = –3  x – y = –3
  = –2 – 1   = –1 – 2   = 1 – 3
  = –3   = –3   = –2

Daripada aktiviti di atas didapati;
(a) titik-titik pada garis lurus atau titik-titik yang dilalui oleh garis lurus akan memenuhi

persamaan garis lurus.
(b) titik-titik yang tidak terletak pada garis lurus tidak akan memenuhi persamaan garis lurus.

2y     –5x –7
= 2(3)    = –5(4) –7
= 6     = –27

Maka, P(4, 3) tidak terletak pada
garis lurus 2y = –5x – 7.
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

235

UJI  MINDA 9.1c

1. Tentukan sama ada titik berikut terletak pada garis lurus y = 2x + 16.
 (a) M(– 4, 3)  (b) N(1, 18) (c) P(–8, 0) (d) Q(–5, 8)

2. Tentukan sama ada titik berikut terletak pada garis lurus 2x + 3y = 12.
 (a) M(0, 4)  (b) N(3, –2) (c) P(15, – 6) (d) Q(– 4, 8)
  x y3. Tentukan sama ada titik berikut terletak pada garis lurus — + — = 1.
  2 3
 (a) M(2, 0)  (b) N(–2, 12) (c) P(4, –3) (d) Q(0, 6)

4. Rajah menunjukkan dua garis lurus, y = x + 2 dan 2x + 3y = 6.
Diberi bahawa O adalah asalan. Tentukan nilai

(a) h (b) k (c) n

Contoh   7

Rajah menunjukkan garis lurus 3x + 5y = 15. Diberi bahawa O adalah
asalan. Tentukan nilai
(a) h (b) k (c) q (d) kecerunan garis lurus
       3x + 5y = 15
Penyelesaian:

(a) h merupakan pintasan-x.
 Maka, y = 0
 3x + 5y = 15
 3(h) + 5(0) = 15
              3h = 15
      15  h = —
    3
  h = 5

(c) P (2, q) merupakan suatu titik
pada garis lurus 3x + 5y = 15.

Maka,
 3x + 5y = 15
 3(2) + 5(q) = 15
        6 + 5q  = 15
              5q  = 15 – 6
              5q  = 9
     9                q  = –
     5

(b) k merupakan pintasan-y.
 Maka, x = 0
 3x + 5y = 15
 3(0) + 5(k) = 15
              5k = 15
      15  k = —
    5
  k = 3
(d) Kecerunan garis lurus
 3x + 5y = 15
  pintasan-y m = – —————
  pintasan-x
  3 kecerunan = – —
  5

h

k
P(2, q)

O
x

y

TIP
♦	Bagi	titik-titik	pada

paksi-x nilai koordinat-y
ialah sifar.

♦ Bagi titik-titik pada
paksi-y nilai koordinat-x
ialah sifar.

IMBAS KEMBALI
Kecerunan, m
  pintasan-y
m = – —————–
  pintasan-x

n

(0, h)

k O
x

y
y = x + 22x + 3y = 6

BIJAK MINDA
Adakah koordinat (–3, –3)
terletak pada garis lurus
y = x?
9
B

A
B

Saiz sebenar

236

Tujuan: Menentukan kaitan antara kecerunan garis lurus dengan garis selari.
Langkah:
1. Teliti graf-graf garis lurus di bawah yang dilukis berdasarkan persamaan garis lurus dengan

kecerunan yang sama iaitu m = 2.

Cetusan Minda
Berpasangan

STANDARD
PEMBELAJARAN

Menyiasat dan membuat
inferens tentang
kecerunan garis selari.

Apakah yang anda faham tentang kecerunan garis selari?

Anda telah pelajari bahawa kecerunan suatu garis lurus ialah nisbah
jarak mencancang kepada jarak mengufuk dan sudut sepadan garis-garis
selari adalah sama.

4

IMBAS KEMBALI

θ
x

y

2. Berdasarkan Rajah 1 hingga Rajah 5, hitung nilai θ.

3. Adakah nilai θ bagi kelima-lima rajah sama?

y
tan θ =  —  x

1

2
θ θ

2

4

θ
2

4

θ
2

4

1

2
θθ θθ θ θ

2tan θ =  —
   1
      θ  = 63.43°

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3 Rajah 4 Rajah 5

y

x

y = 2x + 2

2

–1 O
θ

y

x

y = 2x + 4

4

–2 O
θ

y

x

y = 2x

4

2

•

θ
O

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3

O

y

x

y = 2x – 2

1

–2 θ

y

x

y = 2x – 4

2

–4
θ

O

Rajah 4 Rajah 5
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

237

TIP

Hasil daripada Cetusan Minda 4, didapati bahawa;

Garis lurus y = 2x + 4, y = 2x + 2, y = 2x, y = 2x – 2 dan y = 2x – 4 adalah selari kerana
mempunyai kecerunan yang sama, iaitu m = 2 dan sudut sepadan yang sama, iaitu 63.43°.

x
–2 –1 1  2

y

4

2

–2

–4

PQ dan RS adalah selari
kerana mempunyai sudut
yang sepadan.

4. Graf-graf pada Rajah 1 hingga Rajah 5 digabungkan seperti di bawah.

Perbincangan:
1. Apakah kaitan antara nilai θ dengan kelima-lima garis lurus di atas?
2. Adakah garis lurus y = 2x + 4, y = 2x + 2, y = 2x, y = 2x – 2 dan y = 2x – 4 selari? Mengapa?
3. Apakah kaitan antara kecerunan dengan garis selari?
4. Adakah dapatan anda sama dengan kumpulan lain?

y = 2x + 4
y = 2x + 2

y = 2x
y = 2x – 2

y = 2x – 4

Secara generalisasi,         Garis lurus yang mempunyai kecerunan yang sama adalah selari.

TIP

Contoh   8

Tentukan sama ada garis lurus y = 3x + 5 adalah selari dengan garis
lurus 6x – 2y = 9.

Penyelesaian:
y = 3x + 5
Bandingkan dengan y = mx + c
Kecerunan = 3

Kecerunan kedua-dua garis lurus adalah sama maka, y = 3x + 5 adalah selari dengan 6x – 2y = 9.

6x – 2y = 9
 –2y = –6x + 9
 –2y   –6x 9  —— = —— + ——
 –2   (–2) (–2)
   9 y = 3x – —
   2
 Kecerunan = 3

Sama

Bagi menentukan nilai
kecerunan garis lurus,
tukarkan persamaan garis
lurus yang diberi kepada
bentuk y = mx + c.

RP

α α

Q S
9
B

A
B

Saiz sebenar

238

Contoh   9

Tentukan sama ada garis lurus y = 3x + 8 adalah selari dengan garis lurus 6y = 3x – 9.

Penyelesaian:
y = 3x + 8
Bandingkan dengan y = mx + c
Kecerunan = 3

Kecerunan kedua-dua garis lurus adalah tidak sama. Maka, y = 3x + 8 tidak selari dengan
6y = 3x – 9.

6y = 3x – 9
  3x 9 y = —– – —
  6 6
  1 3 y = —x – —
  2 2
 1    Kecerunan = —
 2

Diberi bahawa garis lurus 4x + 3y = 18 adalah selari dengan garis lurus 2x + hy = 20. Hitung nilai h.

Penyelesaian:
Jika kedua-dua garis lurus adalah selari maka, kecerunan adalah sama.
Bagi 4x + 3y = 18
              3y = – 4x + 18
   4                y = – —x + 6
   3
  4Kecerunan = – —
  3

Contoh  10

Maka,
 4  2– —  = – —
 3  h
  3     h = 2 × —
  4
  3     h = —
  2

Bagi 2x + hy = 20
              hy = –2x + 20
   2 20                y = – —x + —
   h h
  2Kecerunan = – —
  h

UJI  MINDA 9.1d

1. Tentukan sama ada pasangan garis lurus berikut adalah selari.
 (a) 3y = –6x + 3 dan y + 2x = 14 (b) 2x + 3y = 3 dan 2x + 6y = 12
 (c) y = 2x + 1 dan 8x – 4y = 5 (d) y = –3x + 4 dan 9x + 2y = 12

2. Tentukan nilai k bagi setiap pasangan garis selari berikut.
 (a) y = –3x + 4 dan y + kx = 14 (b) kx + 2y = 7 dan 6x + 2y = 15
 (c) 8y = 5x + 1 dan kx – 3y = 8  (d) 3x + ky = 4 dan 2x + y = 3

Tidak Sama

3. Rajah di sebelah menunjukkan suatu segi empat
selari PQRS. Diberi bahawa garis lurus PQ
adalah selari dengan SR dan garis lurus PS adalah
selari dengan QR. Diberi O ialah asalan. Hitung
nilai h dan nilai k.

y

xO

6y = kx + 12

hx + y = 10

1
y = – x + 6
 2

2y = 5x – 4

>>

>>

>

>

S

Q

R

P

SUDUT DISKUSI
Adakah dua garis
selari akan bersilang?
Bincangkan.
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

239

STANDARD
PEMBELAJARAN

Menentukan persamaan
suatu garis lurus.

Bagaimanakah anda menentukan persamaan suatu garis lurus?
Persamaan suatu garis lurus y = mx + c boleh ditentukan dengan
langkah-langkah berikut:

1 Tentukan nilai kecerunan, m.

2 Tentukan satu titik yang dilalui oleh garis lurus atau pada garis lurus tersebut.

3 Gantikan nilai kecerunan, m, nilai koordinat-x dan nilai koordinat-y dari titik ke dalam
persamaan garis lurus y = mx + c untuk menentukan nilai c iaitu nilai pintasan-y.

y = mx + c

4 Gantikan nilai kecerunan dan nilai pintasan-y yang ditentukan ke dalam persamaan garis lurus
y = mx + c.

Menentukan persamaan suatu garis lurus apabila kecerunan dan suatu titik pada garis
 lurus diberi.

1Tentukan persamaan garis lurus dengan kecerunan — dan melalui titik P(6, 8).
 2
Penyelesaian:
 1 m = —, x = 6, y = 8
 2
Gantikan nilai m, x dan y ke dalam y = mx + c untuk menentukan nilai c.
 18 = —(6) + c
 2
8 = 3 + c
c = 8 – 3
c = 5
   1  Maka, persamaan garis lurus ialah y = —x + 5.
    2

Contoh  11

Nilai kecerunan

Nilai koordinat-y

Nilai koordinat-x

UJI  MINDA 9.1e

1. Tentukan persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan dan melalui titik P yang diberi.
 (a) Kecerunan = 2, P(3, 7)  (b) Kecerunan = –3, P(– 6, 4)
   2   1 (c) Kecerunan = —, P(12, 5) (d) Kecerunan = – —, P(4, – 6)
   3   2

Menentukan persamaan suatu garis lurus yang melalui dua titik.

Apabila dua titik pada suatu garis lurus diberi maka, kecerunan garis lurus tersebut dapat dihitung.
Seterusnya persamaan garis lurus boleh ditentukan.

K U I Z
Tentukan persamaan
garis lurus dengan
kecerunan 0 dan
melalui titik P(1, 5).
9
B

A
B

Saiz sebenar

240

TIP

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik P(–1, 5) dan Q(2, –7).

Penyelesaian:
 –7 – 5 –12 –12m = ———– = ——– = —— = – 4
 2 – (–1) 2 + 1 3

Bagi titik P(–1, 5), x = –1, y = 5.
Gantikan nilai m, x dan y ke dalam y = mx + c untuk menentukan nilai c.
   5 = (– 4)(–1) + c
   5 = 4 + c
   c = 5 – 4
   c = 1
Maka, persamaan garis lurus ialah y = – 4x + 1.

Rajah di sebelah menunjukkan garis lurus PQ
dan garis lurus RS. Diberi bahawa garis lurus
PQ adalah selari dengan paksi-x dan garis lurus
RS adalah selari dengan paksi-y. Tentukan
(a) persamaan garis lurus PQ
(b) persaman garis lurus RS

Penyelesaian:
(a) Kecerunan garis lurus PQ dengan  (b) Kecerunan garis lurus RS dengan A(2, 4)
 A(2, 4) dan M(0, 4)   dan N(2, 0).
   4 – 4  0    4 – 0  4 m = ——– = —  = 0    m = ——– = —  = Tak tertakrif
   2 – 0  2    2 – 2  0
 Pintasan-y = 4    Kecerunan garis lurus RS adalah tak tertakrif
 Maka, persamaan garis lurus PQ ialah  dan sentiasa berjarak 2 unit dari paksi-y.
 y = 0(x) + 4    Maka, persamaan garis lurus RS ialah
 y = 4      x = 2

Anda juga boleh gantikan
nilai titik Q, iaitu x = 2 dan
y = –7 serta m = – 4
dalam y = mx + c untuk
menghitung nilai c dan
seterusnya menentukan
persamaan garis lurus.

UJI  MINDA 9.1f

Contoh  13

Contoh  12

1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui pasangan titik yang diberi.

(a) K(0, 2), L(6, 0) (b) R(–2, 0), S(0, 8) (c) T(3, –1), U(5, 7)
(d) G(– 4, –2), H(8, 6) (e) M(–1, 3), N(1, 5) (f) P(–5, 3), Q(4, – 6)

K U I Z
Tentukan persamaan
garis lurus yang melalui
titik P(– 4, 4) dan Q(5, –5).

O
x

y

QP
M(0, 4) A(2, 4)

N(2, 0)

R

S
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

241

Menentukan persamaan suatu garis lurus yang melalui suatu titik dan selari dengan satu
 garis lurus yang diberi.

Anda telah ketahui bahawa jika dua garis lurus adalah selari maka kecerunan kedua-dua garis
lurus tersebut adalah sama.

Rajah di bawah menunjukkan garis lurus AB dengan persamaan y = –2x + 6. Tentukan persamaan
garis lurus yang selari dengan AB dan melalui titik P(5, 4).

Penyelesaian:
Persamaan garis lurus AB ialah y = –2x + 6, maka kecerunan AB ialah –2.
Garis lurus yang dikehendaki adalah selari dengan AB, maka kecerunan, m bagi garis lurus tersebut
ialah –2.
Gantikan nilai m, x dan y ke dalam y = mx + c untuk menentukan nilai c.
  4 = (–2)(5) + c
  4 = –10 + c
  c  = 4 + 10
  c  = 14
Maka, persamaan garis lurus yang selari dengan AB dan melalui titik P ialah y = –2x + 14.

Tentukan persamaan garis lurus yang selari dengan garis lurus 2x + 3y = 12 dan melalui titik G(6, 8).
Penyelesaian:
Diberi persamaan garis lurus 2x + 3y = 12.
Maka, 3y = –2x + 12
   2   y = – —x + 4
    3
   2Kecerunan garis lurus = – —.
   3
Garis lurus yang dikehendaki adalah selari dengan garis lurus 2x + 3y = 12.
  2Maka, kecerunan garis lurus itu ialah – —.
  3
Gantikan nilai m, x dan y dalam y = mx + c, untuk menentukan nilai c.
   2Maka, 8 = (– —)(6) + c
   3
 8 = – 4 + c
 c = 8 + 4
  c = 12
  2Maka, persamaan garis lurus yang selari dengan 2x + 3y = 12 dan melalui titik G ialah y = – —x + 12.
  3

Contoh  14

Contoh  15

y = –2x + 6

A

B

P(5, 4)

Diberi P(5, 4), maka,
x = 5 dan y = 4.

Diberi Q(6, 8), maka,
x = 6 dan y = 8.
9
B

A
B

Saiz sebenar

242

STANDARD
PEMBELAJARAN

1. Tentukan persamaan garis lurus yang selari dengan garis lurus yang diberi dan melalui titik P.

(a) y = 3x + 9, P(2, 7) (b) y = –2x + 7, P(–3, 4)
     x y  (c) 3x + 2y = 4, P(2, 6) (d) — + — = 1, P(–12, 9)
     2 3

2. Rajah di sebelah menunjukkan garis lurus PQ. Diberi bahawa
persamaan garis lurus PQ ialah y = — x + 2 dan O ialah asalan.
Tentukan persamaan garis lurus yang selari dengan PQ dan
melalui titik

(a) A(2, 4)
 (b) B(4, –2)
 (c) asalan

Bagaimanakah anda menentukan titik persilangan bagi dua
 garis lurus?

Titik persilangan bagi dua garis lurus boleh ditentukan dengan
kaedah-kaedah berikut:
1. Melukis kedua-dua graf garis lurus pada satah Cartes yang sama

dan tentukan titik persilangan daripada graf.
2. Penyelesaian persamaan serentak dengan menggunakan
 (a) kaedah penggantian (b) kaedah penghapusan

Menentukan titik
persilangan bagi dua
garis lurus.

PERINGATAN
Kalkulator hanya
dibenarkan untuk
menyemak jawapan.

UJI  MINDA 9.1g

1
3

y

xO

B(4, –2)

2

–2
2

4

4

A(2, 4)

P

Q

Contoh  16

Tentukan titik persilangan bagi garis lurus 2x + y = 5 dan garis lurus x + 2y = 1.

Kaedah Graf
(a) 2x + y = 5
         y = –2x + 5

(b)  x + 2y = 1
  2y = –x + 1
    1 1  y = – —x + —
    2 2

x
y

–1
7

0
5

1
3

2
1

3
–1

4
–3

x
y

–1
1

0
—

1
0

2
– —

3
–1

4
– —

5
–21

2
1
2

3
2

x
–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

y

8
7
6
5
4
3
2
1

–1
–2
–3

Titik persilangan
= (3, –1)

2x + y = 5

x + 2y = 1
O
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

243

Tujuan:  Menentukan koordinat bagi persilangan dua garis lurus.

Bahan: Perisian dinamik

Arahan: Lakukan aktiviti secara berpasangan.

Langkah:
1. Mulakan dengan New sketch dan klik Graph seterusnya klik Show Grid.

2.  Klik semula graph dan pilih Plot New Function (Rajah 1).

3.   Gunakan Plot New Function untuk memplot persilangan antara dua garis lurus.

4.   Contoh: y = x + 3 dan y = –x + 5.

5. Gunakan Arrow Tool untuk memilih kedua-dua graf garis lurus. Klik Construct dan pilih
Intersection.

6.   Klik Measure dan pilih Coordinates. Titik persilangan A(1.00, 4.00) akan dipaparkan
(Rajah 2).

7.   Ulangi langkah 1 hingga 6 untuk persilangan antara dua garis lurus lain.
 (a) y = x + 2 dan y = 2x + 4 (Rajah 3)
 (b) y = 4 dan y = 3x – 2 (Rajah 4)

Cetusan Minda
Berpasangan5

Daripada graf, didapati titik persilangan antara garis lurus 2x + y = 5 dengan garis lurus x + 2y = 1
ialah (3, –1).

Kaedah Penggantian Kaedah Penghapusan
2x + y = 5  ----------------
x + 2y = 1  ----------------
Dari 1 , y = 5 – 2x --- 3

Gantikan y = 5 – 2x dalam 2 ,
 x + 2(5 – 2x) = 1
 x + 10 – 4x = 1
 x – 4x = 1 – 10
 –3x = –9
 x = 3

Gantikan x = 3 dalam      ,
     y = 5 – 2(3)
  y = 5 – 6
  y = –1
Maka, titik persilangan ialah (3, –1).

2x + y = 5 ----------------
x + 2y = 1 ----------------

4x + 2y = 10  ------------
  x + 2y = 1  -------------  (tolak)

3x = 9
  x = 3
Gantikan x = 3 dalam 1 ,
2(3) + y = 5
    6 + y = 5
          y = 5 – 6
          y  = –1
Maka, titik persilangan ialah (3, –1).

1  × 2

2

3

1 1

2

2

3
9
B

A
B

Saiz sebenar

244

UJI  MINDA 9.1h

1. Tentukan titik persilangan bagi pasangan garis lurus berikut dengan kaedah penggantian.
 (a) x = 3, 2x + y = 10   (b) y = 4, 3x – 2y = 7
 (c) x + y = 5, 2x – y = 4  (d) 2x + y = 3, 3x – 2y = 8

2. Tentukan titik persilangan bagi pasangan garis lurus berikut dengan kaedah penghapusan.
 (a) x + y = 1, 2x + y = –1  (b) x – y = – 4, 3x + y = 4
 (c) x – y = –5, 2x + 3y = –10 (d) 2x – 3y = 5, 3x + 2y = 14

Hasil daripada Cetusan Minda 5, didapati bahawa;

(a) Dua garis lurus yang tidak selari hanya bersilang pada satu titik sahaja.
 (b)  Titik persilangan bagi dua garis lurus boleh ditentukan dengan memplotkan kedua-dua

garis lurus itu pada satah Cartes.

Rajah 1 Rajah 2

Perbincangan:
Apakah yang boleh dirumuskan daripada pemerhatian anda di dalam aktiviti di atas?

Rajah 3 Rajah 4

1

Cetusan Minda 5 (Berpasangan)

Tujuan : Menentukan koordinat bagi persilangan dua garis lurus. Geometer’s Sketchpad.

Bahan : Geometer’s Sketchpad (GSP)

Langkah:

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik Graph dan seterusnya klik Show Grid.
2. Klik semula Graph dan pilih Plot New Function (Rajah 1).
3. Gunakan Plot New Function untuk memplot persilangan antara dua garis lurus.
4. Contoh : y = x + 3 dan y = - x + 5.
5. Gunakan Arrow Tool untuk memilih kedua-dua graf garis lurus. Klik Construct dan pilih

Intersection.
6. Klik Measure dan pilih Coordinates. Titik persilangan A (1.00, 4.00) akan dipaparkan

(Rajah 2)
7. Ulang langkah 1 hingga 6 untuk persilangan antara dua garis lurus lain (Rajah 3 dan Rajah 4).

Perbincangan :

Apakah yang boleh dirumuskan daripada pemerhatian anda dalam aktiviti di atas?

Rajah 1

Rajah 1

Rajah 2

Rajah 1

Rajah 3

Rajah 1

Rajah 4

Rajah 1

1

Cetusan Minda 5 (Berpasangan)

Tujuan : Menentukan koordinat bagi persilangan dua garis lurus. Geometer’s Sketchpad.

Bahan : Geometer’s Sketchpad (GSP)

Langkah:

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik Graph dan seterusnya klik Show Grid.
2. Klik semula Graph dan pilih Plot New Function (Rajah 1).
3. Gunakan Plot New Function untuk memplot persilangan antara dua garis lurus.
4. Contoh : y = x + 3 dan y = - x + 5.
5. Gunakan Arrow Tool untuk memilih kedua-dua graf garis lurus. Klik Construct dan pilih

Intersection.
6. Klik Measure dan pilih Coordinates. Titik persilangan A (1.00, 4.00) akan dipaparkan

(Rajah 2)
7. Ulang langkah 1 hingga 6 untuk persilangan antara dua garis lurus lain (Rajah 3 dan Rajah 4).

Perbincangan :

Apakah yang boleh dirumuskan daripada pemerhatian anda dalam aktiviti di atas?

Rajah 1

Rajah 1

Rajah 2

Rajah 1

Rajah 3

Rajah 1

Rajah 4

Rajah 1
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

245

STANDARD
PEMBELAJARAN

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah melibatkan
 garis lurus?

Menyelesaikan masalah
yang melibatkan garis lurus.

Contoh  17

Rajah di sebelah menunjukkan segi empat selari PQRS.
Diberi bahawa kecerunan SR ialah  — dan pintasan-y garis
lurus PS ialah – 4. Tentukan
(a) nilai h                (b)  persamaan garis lurus PS
(c)  pintasan-x bagi garis lurus PS

Penyelesaian:

Memahami masalah

● PQRS ialah segi empat
 selari.

●	 Kecerunan	PQ = kecerunan SR
 = —.

●	 Pintasan-y PS ialah – 4.

Merancang strategi

● Nilai h boleh ditentukan dengan menggunakan nilai
kecerunan iaitu kecerunan PQ = kecerunan SR = —.

● Pintasan-y garis lurus PS ialah – 4 maka, koordinat
T(0, – 4).

●  Pintasan-x bagi garis lurus PS boleh ditentukan
dengan menggantikan y = 0 ke dalam persamaan PS.

Melaksanakan strategi

(a) Kecerunan PQ = Kecerunan SR = —

h – 6 1 ———– = —
  0 – (– 4) 2
 h – 6  1 —— = —
 4   2
 h – 6 = 2
 h = 2 + 6
 h = 8.

1
2

1
2

(b) Garis lurus PS melalui titik T (0, – 4)

– 4 – 6 –10 5 Kecerunan PS = ———– = —– = – —
  0 – (– 4) 4 2
 Pintasan-y, garis lurus PS ialah – 4
 Maka, persamaan garis lurus PS ialah
  5 y = – —x – 4.
  2

1
2

1
2

Membuat kesimpulan

(a) Nilai h ialah 8.
(b) Persamaan garis lurus PS ialah
 y = – —x – 4.
(c) Pintasan-x bagi garis lurus PS
 ialah – —.

5(c) Persamaan garis lurus PS ialah y = – —x – 4
  2
 Apabila y = 0
   5 0 = – — x – 4
   2
 5 —x = – 4
 2
   8 x = – —
   5
  8 Pintasan-x bagi garis lurus PS ialah – —.
  5

T R

Q(0, h)

O

P(– 4, 6)

•
•

•

x

y

•

S•

5
2

8
5
9
B

A
B

Saiz sebenar

246

Contoh  18

Diberi garis lurus y = – —x + 3 dan 2x – y = 4 bersilang pada titik A.

Tentukan koordinat bagi titik A dengan menggunakan kaedah graf.

Penyelesaian:
 1Bagi garis lurus y = – —x + 3,
 3
(a) Apabila x = 0,
  1 y = – —(0) + 3
  3
 y = 3
 pintasan-y = 3

Bagi garis lurus 2x – y = 4,

(a) Apabila x = 0,
 2(0) – y = 4
  –y = 4
  y = – 4

Pintasan-y = – 4

UJI  MINDA 9.1i

1. Rajah di sebelah menunjukkan suatu segi empat selari
FGHK. Diberi bahawa O ialah asalan dan titik K
berada pada paksi-x. Diberi persamaan garis lurus FG
ialah 2y = x + 20. Tentukan

(a) kecerunan garis lurus FG.
 (b) pintasan-y garis lurus HK.
 (c) persamaan garis lurus HK.

2. Dalam rajah di sebelah, O ialah asalan dan PQRS
ialah satu trapezium dengan PS dan QR adalah
selari. Garis lurus RS selari dengan paksi-y, dan titik
Q dan S berada pada paksi-x.Tentukan

(a) koordinat S.
 (b) persamaan garis lurus QR.
 (c) pintasan-x garis lurus QR.

y

x

H(8, 2)

F

G

KO

y

x

P(–3, 8)

R(5, –10)

S
Q O

TIP
Suatu garis lurus boleh
dilukis jika pintasan-x dan
pintasan-y garis lurus
tersebut diketahui.

1
3

(b) Apabila y = 0,
  1     0 = – —(x) + 3
  3
  1  —x = 3
  3
     x = 9

pintasan-x = 9

(b) Apabila y = 0,
 2x – (0) = 4
  2x = 4
  x = 2

Pintasan-x = 2

x

y

O

2x – y = 4

1y = – —x + 3
 3

3
2
1

–1
–2
–3
–4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

Dari graf, didapati koordinat A ialah (3, 2).

Cabaran Dinamis
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

247

Uji Diri
1. Diberi bahawa 2x + 5y = 30 ialah persamaan suatu garis lurus. Tentukan
 (a) pintasan-x  (b) pintasan-y           (c) kecerunan

2. Nyatakan persamaan garis lurus bagi setiap rajah berikut.
 (a) (b)

3. Tentukan persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan 3 dan melalui titik R(– 4, 6).

4. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik P(–1, –2) dan titik Q(3, 14).

5. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik M(–3, 5) dan selari dengan garis lurus
6x + 2y = 18.

6. Tentukan titik persilangan bagi garis lurus y = –8 dan garis lurus y = – 4x + 12.

1. Rajah di sebelah menunjukkan dua garis lurus
yang bersilang pada titik P. Diberi O ialah asalan.
Tentukan koordinat P.

2. Dalam rajah di sebelah GH, HK dan KL ialah
garis lurus. Titik H berada pada paksi-x GH selari
dengan KL dan HK selari dengan paksi-y.

Diberi bahawa persamaan GH ialah 2x + y = 6.
 (a) Nyatakan persamaan garis lurus HK.
 (b) Tentukan persamaan garis lurus KL dan
  seterusnya nyatakan pintasan-x bagi KL.

O
x

y

– 6
O

x

y

–8

Uji Diri

Mahir Diri y
2x – y = 5

x

x – 3y = –5 P

O

y

x

L(10, – 4)
O H

K

G

Cabaran Dinamis

Cabaran Dinamis
9
B

A
B

Saiz sebenar

248

y

x

E(7, 21)

G(6, –12)

O

F

x

y D(9, 10)

C A(4, 6)

O

B(12, 2)

y

Klinik
(2, 4)Restoran

x
O (5, 0)

SekolahRumah
Kamal

y

Pekan R
(–3, – 4)

xO

Pekan P
(–9, 4)

Pekan Q
(6, 7)

3. Rajah di sebelah menunjukkan segi empat selari
OEFG. Diberi O ialah asalan. Tentukan

(a) persamaan garis lurus OG.
 (b) persamaan garis lurus EF.
 (c) pintasan-x bagi garis lurus EF.

4. Rajah di sebelah menunjukkan trapezium ABCD
dilukis pada satah Cartes. Diberi AB selari
dengan DC. Tentukan

(a) persamaan garis lurus AB.
 (b) persamaan garis lurus CD.
 (c)   Adakah garis lurus AB dan garis lurus CD

akan bersilang? Nyatakan alasan untuk
jawapan anda.

Masteri Kendiri

1. Rajah di sebelah menunjukkan segi empat selari
yang dilukis pada suatu satah Cartes yang
mewakili kedudukan rumah Kamal, sekolah,
klinik dan restoran. Diberi skala ialah 1 unit = 1 km.

(a)  Hitung jarak, dalam km, di antara rumah
Kamal dengan sekolah.

(b) Tentukan koordinat bagi restoran.
 (c)  Hitung jarak, dalam km, di antara rumah

Kamal dengan restoran.
 (d)  Tentukan persamaan garis lurus yang

menghubungkan sekolah dan klinik.

2. Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan
pekan P, pekan Q dan pekan R yang dilukis
pada suatu satah Cartes. Diberi skala ialah
1 unit = 2 km.

(a)  Hitung jarak dalam km, di antara pekan R
dengan asalan O.

(b)  Tentukan persamaan garis lurus yang
menghubungkan pekan P dengan pekan Q.

(c)  Hitung jarak terdekat, dalam km, di antara
pekan P dengan pekan R.

(d)  Encik Mazlan memandu kereta dari pekan
R ke pekan Q melalui jarak terdekat dengan
purata laju 50 km j–1. Hitung masa yang
diambil, dalam minit oleh Encik Mazlan
untuk tiba di pekan Q.

(–1, 0)

KEDAI MAKAN
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

249

3. Tinggi asal pokok F ialah 9 cm. Tingginya ialah y cm selepas x hari dan dihubungkan oleh
  3 persamaan y =  —x + 9. Pokok G mempunyai kadar pertumbuhan yang sama dengan pokok F.
  16
 Pokok G mencapai tinggi 15 cm selepas 8 hari. Tentukan satu persamaan untuk mewakili

tinggi pokok G. Seterusnya, nyatakan tinggi asal, dalam cm, pokok G.

4. JK ialah sebatang jalan lurus yang melalui titik
tengah di antara bandar E dengan bandar F.
(a) Persamaan bagi jalan lurus JK ialah

y = –2x + k, dengan keadaan k ialah pemalar.
Tentukan nilai k.

(b) Satu jalan lurus yang lain, GH dengan
persamaan y = 2x + 17 akan dibina. Satu
lampu isyarat akan dipasang di persimpangan
kedua-dua jalan JK dan GH. Tentukan
koordinat bagi lampu isyarat tersebut.

y

x

Bandar F
(3, 3)

Bandar E
(–7, –1)

O

J

K

Tajuk: Kecerunan dan kelajuan.

Bahan: Kereta mainan, papan, batu-bata, pembaris panjang dan jam randik.

Langkah:
1. Letak papan di atas dua ketul bata yang disusun seperti dalam rajah di bawah.

2. Ukur jarak mengufuk (tetap) dan tinggi kereta dari permukaan tanah. Hitung kecerunan
papan dan catatkan.

3. Lepaskan kereta mainan. Catatkan masa dalam saat kereta mainan itu sampai ke titik P.

4. Tambahkan bata satu persatu. Ulangi langkah 2 dan 3.

5. Apakah kesimpulan yang boleh anda buat berkaitan kecerunan papan dan kelajuan kereta?

P
•

Kereta mainan

Tinggi bata
Papan

Jarak mengufuk

} }

KP R O J E

TIP
Penyelesaian secara
lukisan berskala
tidak diterima.
9
B

A
B

Saiz sebenar

250

Garis Lurus

Persamaan garis lurus
y = mx + c

m = kecerunan
c = pintasan-y

Kecerunan garis-garis
selari adalah sama.

Menulis semula
persamaan garis lurus

y = mx + c dalam bentuk
 a bax + by = c dan — + — = 1
 x y

dan sebaliknya.

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Menentukan kecerunan dan pintasan-y apabila persamaan garis lurus dalam
bentuk y = mx + c diberi.

2. Menentukan kecerunan dan pintasan-y apabila persamaan garis lurus dalam
bentuk ax + by = c diberi.

3.
Menentukan kecerunan dan pintasan-y apabila persamaan garis lurus dalam
bentuk — + — = 1 diberi.

4. Menentukan sama ada suatu titik terletak pada suatu garis lurus yang diberi
atau tidak.

5. Menentukan sama ada dua garis lurus adalah selari atau tidak.

6. Menentukan persamaan suatu garis lurus.

7. Menentukan titik persilangan bagi dua garis lurus.

8. Menyelesaikan masalah yang melibatkan garis lurus.

x
a

y
b

PETA KONSEP

IMBAS KENDIRI

Garis lurus yang selari dengan paksi-x
y = k; k = pemalar

Garis lurus yang selari dengan paksi-y
x = h; h = pemalar

Titik persilangan
bagi dua garis

lurus.
9
B

A
B

Bab 9 Garis Lurus

Saiz sebenar

251

JELAJAH MATEMATIK

Luas di bawah suatu garis lurus boleh ditentukan
jika maklumat yang cukup diberi.
Misalnya, luas di bawah graf garis lurus y = x
bagi julat 0  x  6 dalam rajah di sebelah boleh
ditentukan dengan kaedah seperti berikut:

1
2
1
2

Lembaran kerja

Luas di bawah graf = — × tapak × tinggi

=  — × 6 unit × 6 unit

= 18 unit2

Langkah:
1. Bahagikan murid kepada beberapa kumpulan.
2. Hitung luas di bawah setiap graf garis lurus yang disediakan.
3. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda.
4. Cadangkan sekurang-kurangnya dua cara untuk menentukan luas di  bawah graf garis lurus.

4. 5. 6.

Luas di bawah graf
garis lurus y = x

y = x

6

O 6

y

x

1. 2. 3.

y = 4

O 6

y

x

y = x + 2

O 6

y

x

y = 2x + 1

O 4

y

x

x + 2y = 12

O

y

x

y = –x + 6

O

y

x
14

1y = – —x + 6
 2

O

y

x
8
253252

Saiz sebenar

252

BAB 1 Indeks

1.

3. (a) (–3) × (–3) × (–3)
 (b) 2.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5
   2 2 2 2 2
 (c) — × — × — × — × —
   3 3 3 3 3
   1 1 1
 (d) (–2—) × (–2—) × (–2—)
   4 4 4
 (e) k × k × k × k × k × k
 (f) (–p) × (–p) × (–p) × (–p) × (–p) × (–p) × (–p)
   1 1 1 1 1 1 1 1
 (g) — × — × — × — × — × — × — × —
    m m m m m m m m
 (h) (3n) × (3n) × (3n) × (3n) × (3n)

       41. (a) 34 (b) 56 (c) (—)3

5
       1 (d) (0.2)5 (e) (– 4)7 (f) (– —)2

4

1. (a) 6 561 (b) –1 024 (c) 15.625
      243   1 (d) –32.768 (e) ——— (f) ——–
     32 768   1 296
     7        19 (g) 2— (h) –12—
     9        27

41. (a) 37 (b) (– 0.4)8 (c) (—)9

7
   2     n12
 (d) (–1—)10

(e) – 6 m9 (f) —–
   5      5

(g) –15x7 (h) y12

1. (a) 55 × 95 (b) (0.4)3 × (1.2)9
     3 (c) 4x6y7  (d) – —k6p11
     2

Asas Indeks
5 3

– 4 7
1—
2 10
m 6
n 0

0.2 9
   3– —
   7 4
x 20

12—
  3 2
8 1

1. (a) 4 (b) 72 (c) m4n5

(d) 3xy3 (e) m (f) –5h
2. (a) 8 8 ÷ 84 ÷ 83 = 8
 (b) m4n 6 ÷ m 2 n5 = m2n
   m10n4 × m 2 n2      (c) —————— = m5n 5
      m7n
   27x3y6 × xy 2
 (d) —————– = 3x 2 y5
   9 x2y3

1. (a) 1210 (b) 320 (c) 76 (d) (– 4)21

(e) k24 (f) g26  (g) (–m)12 (h) (–c)21

2. (a) Benar (b) Palsu (c) Palsu (d) Palsu

1. (a) 22 × 38 (b) 119 × 915 (c) 136 ÷ 712
 (d) 515 × 320 (e) m15n20 p10 (f) 16w8x12

729a30   8a15
 (g) ——— (h)  ——
      b

24  27b12

44
2. (a) 112 × 44 (b) 33 × 62 (c) —
       66

(d) (– 4)6 × (–5)4   (e) x4y4
 (f) h10k6 (g) m11n15 (h) b2d6

3. (a) 6mn8 (b) 10x8y3 (c) de

1   1   1    11. (a) — (b) — (c) — (d) —–
  53  84   x8   y16

3   5  (e) a4 (f) 202 (g) — (h) – —–
          n4   n6

2   3   5   7  (i) —– (j) – –— (k) (—)12
 (l) (– —)14

7m5   8m4   2    3
   y   3y           (m) (—)10

(n) (—–)4
 (o) (2x)5

x    2x

2.  (a) 5–4 (b) 8–3 (c) m–7 (d) n–9

1      1     1    1
  (e) —–– (f) —–— (g) —— (h) ——
   10–2  (–4)–3   m–12   n–16

7    y  (i) (—)–9
 (j) (—)–10

4    x

1   24
3. (a) — (b) —–   (c) 26 × 52

4   314

1    1  m6n (d) ——– (e) —– (f) —–
  3m3n7  8m8    18

1. (a) 125– (b) 2 187– (c) (–1 024)– (d) n—

2. (a) √4 (b) 5√32 (c) 3√–729 (d) 15√n
3. (a) 7 (b) – 6 (c) 8 (d) –8

1
3

1
7

1
5

1
10

1.1aUJI  MINDA

1.1bUJI  MINDA

1.2aUJI  MINDA

1.2bUJI  MINDA

1.2cUJI  MINDA

1.2dUJI  MINDA

1.1cUJI  MINDA

1.2eUJI  MINDA

1.2fUJI  MINDA

1.2gUJI  MINDA

Jawapan

2. (a) 66

(b) (0.5)7

(c) (—)4

(d) (–m)5

(e) (1—)3

(f) (– —)6

1
2

2
3

1
n

3. 8
253252

Saiz sebenar

253

1. (a) 9 (b) 4 (c) 4 (d) 8
 (e) 256 (f) 16 (g) 216 (h) 343
 (i) 7 (j) 1 331 (k) 169 (l) 1 000
2. (a) 2 √6 561 1, 3 4, 9 2, 81 1, 243—, 27—

(b) 25—, 125 1, 625—, 2 √15 625 1, 3 125—, 5 3

c7    10x1. (a) — (b) mn6 (c) —–
  de     3z2

1     2. (a) ——– (b) 648 (c) 86 400
  2 401
   7    125   (d) —  (e) 81 (f) —–
  54      8
3. 3 456 4. 48

1. (a) Benar (b) Palsu (25) (c) Palsu (1)
       2 (d) Palsu (32x15) (e) Benar (f) Palsu (—)
       a4

1
 (g) Palsu [(5√32)2] (h) Benar (i) Palsu  (——–)
       625 m
2.

3.

n7    x4 y7
1. (a) —– (b) —— (c) xy2

m     2
    4  252. (a) —– (b) — (c)  1 (d)  2 (e)  7 (f)  1
  125  7

3. (a) 3 (b) 0 (c) –8
 (d) –5 (e) 5 (f) 2
 (g) 2 (h) –1 (i) 1

1. (a) 1 000 (b) 500 000 (c) 50
   3   32. (a) — (b) — (c) 15
    4   2
3. (a) –1, 6 (b) 1, –7 (c) –1, 4
   1   24. (a) x = —, y = 2 (b) x = 1, y = – —
   6   3
5. 12°C 6.  RM27 130 7.  RM61 462.77

BAB 2 Bentuk Piawai

1. (a) 2 a.b. (b) 5 a.b. (c) 5 a.b. (d) 4 a.b.
  (e) 2 a.b. (f) 5 a.b. (g) 4 a.b. (h) 6 a.b.

1. (a) 47 200 47 000 50 000
 (b) 5 260 5 300 5 000
 (c) 306 310 300
 (d) 20.7 21 20
 (e) 8.60 8.6 9
 (f) 5.90 5.9 6
 (g) 0.694 0.69 0.7
 (h) 0.0918 0.092 0.09
 (i) 0.00571 0.0057 0.006
2. (a) 12.02 (b) 2.83 (c) 11.1
 (d) 24 (e) 6.61 (f) 13
 (g) 20 (h) 36.0

1. (a) 3.5 × 101  (b) 4.81 × 102
 (c) 5.075 × 103  (d) 9.725 × 101
 (e) 3.1243 × 103  (f) 9.0 × 10–1
 (g) 2.3 × 10–1  (h) 3.75 × 10–2
2. (a) 2.5 (b) 37.5 (c) 423
 (d) 5 070 (e) 91 000 (f) 0.62
 (g) 0.0729 (h) 0.001034 (i) 0.0008504
3. (a) 1.05 × 106 meter (b) 2.16 × 1011 bait
 (c) 7.5 × 1011 liter (d) 9.5 × 10–5 meter
 (e) 1.23 × 10–7 meter (f) 8.9 × 10–17 meter

1. (a) 5.97 × 104  (b) 3.93 × 106
 (c) 1.021 × 108  (d) 1.574 × 105
 (e) 5.46 × 108  (f) 8.59 × 104
 (g) 5.77 × 104  (h) 1.08 × 10–3
 (i) 6.09 × 10–5  (j) 9.91 × 10–3
 (k) 7.68 × 10–4   (l) 8.685 × 10–6

1. (a) 1.48 × 108  (b) 3.75 × 10–8
 (c) 2.52 × 108  (d) 2.12 × 103
 (e) 4.5 × 10–3  (f) 6.4 × 103
 (g) 2.95 × 103  (h) 8.6 × 108
2. 3.126 × 103 3.  63         4.  103 mikrometer

5 4 × 55

512 ÷ 5 3

(—) –9

(5 6 )
–

—–

Masteri  Kendiri

1.2hUJI  MINDA

1.2iUJI  MINDA

1.2jUJI  MINDA

2.1aUJI  MINDA

2.1bUJI  MINDA

2.2aUJI  MINDA

2.2bUJI  MINDA

2.2cUJI  MINDA

Mahir Diri

as as as20
1—– 3– 4

3(—)–2

5 72 × 5–3 (5–1 × √25)3
as

341 1 5(—  )2
 3

72
—   53

4
5

4
3

3
2

3
4

3
5

53( 3 )
(√25) 9

( 3 √125) 9

———–

(—–)3
56 × 5 5

52

1
5

3
2

1
5 –9

1
5 –3

729– 16
81

3
45

6 121– w– x– (—)–h
k

2
33

2
3
7

2
5 (—)–m

n

1
n

a–

(am)–

(a–)m

n√ am

(n√ a )m

1
n

(7295)–

(729–)5

6√7295

(6√729)5

(1213)–

(121–)3

√1213

(√121)3

(w3)–

(w–)3

7√ w 3

(7√ w )3

(x2)–

(x–)2

5√ x 2

(5√ x )2

[(—)3]–

[(—)–]3

4   (—)3

(4   —)3

[(—)2]–

[(—)–]2

3  (—)2

(3  —)2

1
6

1
31

7
1
2

1
5

1
4 h

k
16
81

1
6

1
2

1
7

1
5 h

k

h
k

16
81

16
81

1
4

1
3

16
81

h
k

Uji Diri

Cabaran Dinamis
255254

Saiz sebenar

254

1. 2.02 × 105 m3
2. (a) 9.17 × 107 km   (b) 4.44 × 109 km   (c) 4.35 × 109 km

1. (a) 24 000 (b) 54 300 (c) 9 000 (d) 300 000
 (e) 5 000 (f) 5.00 (g) 0.28 (h) 40
 (i) 420 (j) 10 (k) 1.04 (l) 502
2. (a) 3.48 × 108  (b) 5.75 × 104  (c) 5.11 × 104

(d) 2.96 × 109 (e) 8.84 × 10–2  (f) 3.31 × 10–4
 (g) 9.77 × 10–8  (h) 5.43 × 104

3. (a) –2, 0.025, 0.025, 1.35, 1.375
 (b) –3, 0.0034, 5.74, 0.0034, 5.7434
 (c) –3, 0.0042, 1.75, 0.0042, 1.7458
 (d) –3, 0.0043, 3.7, 0.0043, 3.657
4. (a) 1.2 × 104  (b) RM214 5. 97 orang

1. (a) 5.57 × 102 m2  (b) RM10 824
2. (a) (i) 70.9 km j–1    (ii)  47.1 km j–1    (iii)  68.4 km j–1

1. (a) Utarid = 7.48 × 107 km2
  Neptun = 7.62 × 109 km2

Musytari = 6.14 × 1010 km2

(b) 6.133 × 1010 km2

2. (a) 4.37 g  (b) 4.99 g

BAB 3 Matematik Pengguna: Simpanan dan
Pelaburan, Kredit dan Hutang

1. ●  Untuk masa depan
 ●  Sebagai pendapatan tambahan
 ●  Untuk kegunaan masa kecemasan
2. ●  Membuka Akaun Simpanan Tetap
 ●  Hal ini kerana wang tersebut tidak akan digunakan
     untuk suatu janga masa
 ●  Kadar faedah yang tinggi juga ditawarkan
3. Cek lazimnya digunakan oleh para peniaga untuk

urusan perniagaan dalam amaun besar manakala
orang biasa hanya melakukan bayaran harian dalam
amaun yang kecil.

1. RM610.10 2. RM1 159.70 3. RM106.17

1. Pulangan atas pelaburan ialah nilai pulangan
pelaburan.

2.  (a) RM2 000
 (b) RM24 000 + RM230 000 = RM254 000
3. RM320

1. Semakin tinggi risiko, semakin tinggi pulangan.
2. Bank negara memberi jaminan atas simpanan di bank.
3. Boleh ditunaikan dengan serta merta.
4. Biasanya apabila harga hartanah meningkat, jarang

harga jatuh.

5.  (a) Hartanah
 (b) Potensi risiko = Rendah
  Pulangan = Tinggi
  Kecairan = Rendah

(c) Tindakan Encik Osman adalah bijak kerana negara
kita memberi tumpuan kepada sektor pelancongan.
Oleh itu sesuai untuk mendirikan inap desa serta
pelaburan dalam inap desa mempunyai risiko rendah.

1. Pembelian saham setiap bulan ataupun berkala dan

bukan sekali gus.
2.  (a) Pelabur 2. Hal ini kerana pembelian 2 saham

secara berkala membolehkan beliau membeli
banyak unit saham serta kos purata seunit boleh
dikurangkan.

(b) RM1.80. 13 268 unit saham
 (c) ●  Kos purata seunit syer boleh dikurangkan
  ●  Mengurangkan risiko kerugian

1.  (a) Encik Rasamanie – Hartanah (Risiko rendah)
  Encik Nik Izwan – Simpanan (Risiko rendah)
               Hartanah (Risiko rendah)
               Saham (Risiko tinggi)
 (b) Encik Nik Izwan. Hal ini kerana jika ada sesuatu

pulangan pelaburan merugikan mungkin ada
pelaburan lain yang boleh membantu.

(c) Faktor ekonomi, politik kedudukan hartanah tersebut.
2. 23.16%

1. Pinjaman peribadi merupakan pinjaman jangka
pendek untuk kegunaan pengguna.

2.  ● Sediakan belanjawan diri
 ● Rancang perbelanjaan anda
3. Kad kredit – Beliau tidak perlu membayar faedah

jika hutangnya dilunaskan dalam tempoh masa tanpa
faedah berbanding dengan pinjaman.

1. Simpanan merupakan wang baki setelah melakukan
perbelanjaan-perbelanjaan wajib daripada perdapatan.

2. ● Kadar faedah tinggi.
 ● Tempoh simpanan tertakluk kepada masa yang ditentukan.
3. RM8 640

1. Menambahkan jumlah saham yang dibeli dan kos

purata seunit adalah lebih rendah daripada pembelian
sekali gus.

2. Pembelian lot tanah, rumah, kilang dan sebagainya.
3. (a)  Dividen   (b)  Keuntungan modal   (c)  Syer bonus
4. (a) Lee Chong perlu mempunyai ilmu untuk menaksir

dan memilih saham manakala perlaburan
Mokhtar dibantu oleh syarikat profesional.

(b) Risiko Lee Chong adalah tinggi berbanding
dengan Mokhtar risikonya rendah.

5.  RM300   6.  (a)  RM360   (b)  3 000 unit   (c)  9 000 unit
7. RM1 000, 3%, 3 tahun  8.   RM634.12

Mahir Diri

3.1aUJI  MINDA

3.1bUJI  MINDA

3.1cUJI  MINDA

3.1dUJI  MINDA

3.1eUJI  MINDA

3.1fUJI  MINDA

Masteri  Kendiri

Mahir Diri

2.2dUJI  MINDA

Uji Diri

Cabaran Dinamis

Uji Diri

Cabaran Dinamis

3.2aUJI  MINDA
255254

Saiz sebenar

255

1. RM3 750 2. 8.85%
3. RM7 000 4. RM400
5. RM233.33 6. RM52.87
7. (a) Cadangan Masnah Rasam tidak digalakkan

kerana perlu bayar faedah.
 (b) RM320, 8%
 (c) Tunai, tiada faedah.
8. RM15 000
9. 4%
10. RM900

BAB 4 Lukisan Berskala

1. Rajah 1, Rajah 2, Rajah 4

1     1   21. (a) 1 : — (b) 1 : 3 (c) 1 : — (d) 1 : —
   2     2   3
2. Panjang = 6 cm     Lebar = 2 cm
3. 10 km
4. 6 cm

12. (b) (i) 1 : — (ii) 1 : 2
    2

1. 1 944 cm2 2. 34.8 cm
3. 560 m2  4. 20 cm
5. (a) 7 200 m2 (b) 2 jam 24 minit

11. 1 : —
  5
2. (a) I dan III

(c) (i) I = 1.5 cm2

III = 24 cm2

Nisbah luas tidak berkadaran dengan skala
lukisan berskala.

3. (a) 17.0 cm (b) 203.5 m2

1. 540 km j–1

2. Jubin 50 cm × 50 cm. Boleh jimat RM633.20
3. (a) 2 829 m2  (b) 4 : 13
 (c) 1 971 m2 (d) RM3 960

1. (a) 48 m2 (b) 8 : 1 (c) 1 440 m3

2. (a) 8 400 m2

(b) 1 : 500. Nilai yang paling relevan untuk skala.
  (c) (i) 60 buah (ii) RM31 500

Masteri  Kendiri BAB 5 Nisbah Trigonometri

∆DEF
  EF  DE  EF1. sin x = —– kos x = —– tan x = —–
  DF  DF  DE
  DE  EF  DE sin y = —– kos y = —– tan y = —–
  DF  DF  EF
 ∆KLM
  KL  LM  KL  sin x = —– kos x = —– tan x = —–
  KM  KM  LM
  LM  KL  LM sin y = —– kos y = —– tan y = —–
  KM  KM  KL
 ∆PQR
  QS  PS  QS  sin x = —– kos x = —– tan x = —–
  PQ  PQ  PS
  QS  RS  QS sin y = —– kos y = —– tan y = —–
  QR  QR  RS

1. Nisbah trigonometri bagi sudut x dan sudut y
adalah sama. Ini adalah kerana semua panjang sisi
dikurangkan dengan kadar yang sama.

38  28  192. (a) (i) —– (ii) — (iii) —
   145  29  70
    1   7   4  (iv) — (v) — (vi) —
    2   8   7
 (b) Tidak

15  12  151. (a) sin θ = — kos θ = — tan θ = —
   39  13  36
   24  7  24  (b) sin θ = — kos θ = — tan θ = —
   25  25  7
   15  8  15  (c) sin θ = — kos θ = — tan θ = —
   17  17  8
   5  12  5  (d) sin θ = — kos θ = — tan θ = —
   13  13  12
   15  8  15  (e) sin θ = — kos θ = — tan θ = —
   17  17  8
  (f) sin θ = 0.6 kos θ = 0.8 tan θ = 0.75

(b) I = 1 : 2
   1  III = 1 : —
   2

(ii) I = 1 : 4
    1   III = 1 : —
    4

Sudut Hipotenus Sisi Bertentangan Sisi Bersebelahan

∠QPR PR QR PQ
∠PRQ PR PQ QR
∠MNK KN KM MN
∠MKN KN MN KM
∠FEG EG FG EF
∠EGF EG EF FG
∠BAE AE BE AB
∠AEB AE AB BE
∠BCD CD BD BC
∠BDC CD BC BD

Masteri  Kendiri

Mahir Diri

4.1aUJI  MINDA

4.1cUJI  MINDA

4.1dUJI  MINDA

4.1bUJI  MINDA

5.1aUJI  MINDA

5.1bUJI  MINDA

5.1dUJI  MINDA

5.1cUJI  MINDA
Uji Diri

Cabaran Dinamis
257256

Saiz sebenar

256

1   1   √ 39   4√ 22. (a) —– (b) —– (c) —— (d) —––
   √

3   √ 2   8   9
3. (a) 3 m  (b) 21 m (c) 25 mm
4. (a) 10 cm (b) 15 cm (c) 30 mm
5. (a) 18 cm (b) 20 cm (c) 9 mm
6.  (a) 15 cm (b) 20 cm
7. 51.61 cm

1. (a) 2 (b) 3.5 (c) 2.5  (d) 0.5
       5√ 3   9√ 3 (e) –0.5 (f) 3   (g) —— (h) ——
          2     2

(i) 10 (j) 9

1. (a) 37°48' (b) 74°36' (c) 58°6'
  (d) 60°12' (e) 41°30' (f) 16°54'
  (g) 5°24' (h) 72°18'
2. (a) 65.9°  (b) 47.7°  (c) 18.2°
  (d) 69.4°  (e) 70.1°  (f) 36.6°
  (g) 35.5°  (h) 20.3°

1. (a) 0.6947 (b) 0.2840 (c) 2.6746
 (d) 0.7815 (e) 0.8630 (f) 1.5051

1. (a) 12.2° (b) 54° (c) 24°
 (d) 65.8° (e) 14.4° (f) 75.3°
 (g) 55.9° (h) 8.7° (i) 35.8°
 (j) 78.3° (k) 45.3° (l) 84.3°

1. 2.15 m 2. 83.2 m 3. 173.9 m
4.   (a) 13 cm (b) 67.4°

15   81. (a) 28° 4, (b) — (c) —
       17  17
     122. (a) 39 cm (b) — (c) 22.6°
      5
3. (a) 27 cm (b) 39°
4. (a) 6  (b) 39° 48,

1. (a) √ 3  (b) 4 (c) 4√ 6
2. (a) 12 cm (b) 35 cm (c) 45°
3. 8.66 m

71. (a) —  (b) 15.56 cm (c) 26° 45,
  12
2. (a) 90°          (b)  30°          (c)  10.4 m          (d)  1 : 2
3. (a) 4√ 5 cm (b) 63° 26,
 (c) Tidak benar. Nisbah sebenar 3 : 5

BAB 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

1. (a) 35° (b) 25° (c) 30° (d) 35°
2. (a) 40° (b) 35° (c) 70° (d) 105°
3. (a) 40° (b) 30° (c) 10° (d) 80°
4. (a) 24° (b) 25°

1. (a) 40° (b) 30° (c) 3.6 cm (d) 10.4 cm
2. (a) 70°  (b) 30°
3. (a) 22°  (b) 114° (c) 40°

1. (a) 40°  (b) 80° (c) 50°
2. (a) 50°  (b) 65° (c) 50°
3. (a) 110° (b) 55° (c) 125°
4. (a) 124° (b) 34° (c) 54°

1. (a) 45° (b) 5 cm (c) 10 cm (d) 55°
2. (a) 40° (b) ∠ORQ dan ∠OQR
3. (a) 40° (b) 10 cm

1. (a) 55° (b) 25° (c) 27.5° (d) 30°
2. 216° 3. 90°

1. (a)  110°      (b)  10.3 cm      2.  176°      3.  132°

1. (a) (i) Bukan – bucu P bukan pada lilitan bulatan
  (ii) Ya – DEFG
  (iii) Ya – KNPQ dan KLMN
  (iv) Ya – ABDE
 (b) (i) Tiada
  (ii) ∠D dan ∠F, ∠DEF dan ∠DGF
  (iii) ∠KQP dan ∠KNP, ∠NPQ dan ∠NKQ,
   ∠KLM dan ∠KNM, ∠LMN dan ∠LKN
  (iv) ∠BAE dan ∠BDE, ∠ABD dan ∠AED

1. (a) 30°  (b) 20° (c) 120°
2. 50° 3. 40°
4. (a) 125° (b) 117.5°

1. Sudut perluaran = a
 Sudut pedalaman bertentangan yang sepadan = d
 Sudut perluaran = e
 Sudut pedalaman bertentangan yang sepadan = b
2.

θ

α

q

p

Masteri  Kendiri

Mahir Diri

6.1aUJI  MINDA

6.1bUJI  MINDA

6.1dUJI  MINDA

6.1eUJI  MINDA

6.1fUJI  MINDA

6.2aUJI  MINDA

6.1cUJI  MINDA

6.2bUJI  MINDA

6.2cUJI  MINDA

5.1eUJI  MINDA

5.1fUJI  MINDA

5.1gUJI  MINDA

5.1hUJI  MINDA

5.1iUJI  MINDA

Uji Diri

Cabaran Dinamis
257256

Saiz sebenar

257

1. 97° 2. 38° 3. 79° 4. 99° 5. 108°

1. (a) (i) RS dan ST – menyentuh bulatan hanya pada

satu titik.
  (ii) X dan Y.
  (iii) PQ – melalui 2 titik pada bulatan.
  (iv) A dan B.
  (b) (i) BC dan BD – menyentuh bulatan hanya pada

satu titik.
  (ii) H dan E.
  (iii) BF – melalui 2 titik pada bulatan.
  (iv) F dan G.

1. 34°
2. (a) 120° (b) 60° (c) 30° 3. 114°

1. (a) 60° (b) 30° (c) 8.66 cm       (d)  10 cm
2. (a) 40°  (b) 3.575 cm (c) 7.667 cm

1. (a) ∠y = ∠z (b) ∠x = ∠b (c) ∠x = ∠y
  ∠x = ∠a  ∠y = ∠a  ∠f = ∠e
       ∠z = ∠a
2. 27° 3. 52° 4. 44°

1. 50° 2. x = 26°34', y = 31°43'
3. (a) 130°
 (b) (i)  12.87 cm   (ii)  8.578 cm   (iii)  23.66 cm
4. (a) 4 cm (b) 3.87 cm (c) 11.61 cm

1. (a) 8.49 cm (b) 38.21 cm2
2. (a) 35°  (b) 55° (c) 11.31 cm

1. x = 40°, y = 150° 2. 100°
3. x = 30°, y = 60° 4. 230°
5. x + y = 180° 6. 86°

1. 30° 2. 130° 3. 114° 4. 60°

1. (a) 61° (b) 80° 2. 64.8 cm2
3. (a) 36°52' (b) 3.6 cm
4. (a) 5 cm (b) 13 cm (c) 30 cm2

BAB 7 Pelan dan Dongakan

1. (a) Ya (b) Ya (c) Bukan (d) Ya
2. (a) Betul (b) Salah

4 cm

N M

K L

V

4 cm

C

J CE/D H/I

F/A G/L K B

4 cm

2 cm

5 cm

4 cmK/N

V

L/M

5 cm

4 cmA

C

B

4 cm

6 cm

G/H

A/D B/C

F/E
K/J

L/I

1 cm2 cm

6.2dUJI  MINDA

6.3aUJI  MINDA

6.3bUJI  MINDA

6.3cUJI  MINDA

6.3dUJI  MINDA

6.3eUJI  MINDA

7.1aUJI  MINDA

7.1bUJI  MINDA

7.2aUJI  MINDA

7.1cUJI  MINDA

Masteri  Kendiri

Mahir Diri

6.4aUJI  MINDA

Uji Diri

Cabaran Dinamis

Dongakan sisi Dongakan depan

Pelan

S/R V/W

Q/P U/T

45°

4 cm

2 cm

R/W S/V

P/T Q/U1 cm

W

1 cm

VT U

P QR S

3 cm

4 cm

D

1 cm

A E

CB F

1. (a) (i) (ii) (iii)

(b) (i) (ii) (iii)

1. Rajah 1
 (a) (i)  (a)  (ii)

(b) Pandangan arah Z:
   Berubah – panjang sisi AE, ED, BF dan FC.
   Tidak berubah – panjang sisi EF, AB, DC,
   AD, BC dan semua saiz sudut.
   Pandangan arah X:
   Tiada perubahan pada panjang sisi dan saiz sudut.
  Rajah 2
 (a) (i)  (a)  (ii)

(b) Pandangan arah Z:
   Berubah – panjang sisi SP dan UR.
   Tidak berubah – panjang sisi ST, TU, PQ,
   QR dan semua saiz sudut.
   Pandangan arah X:
   Berubah – panjang sisi SP, SU dan PR.
   Tidak berubah – panjang sisi TQ, QR, TU, UR
   dan semua saiz sudut.

1. (a), (b), (c)

2 cm

F/E

C/DB/A

3 cm

1 cm R

P

S

UT/Q
1 cm

R

US/T

P/Q 2 cm

3 cm
259258

Saiz sebenar

258

K
J

DEF
I

B C

G

H

A

L

6 cm

10 cm
8 cm

4 cm

Dongakan
sisi

Dongakan depan

Pelan





2. (a), (b), (c)

3. (a), (b), (c)

1. 2.

1. (a) (i), (ii), (iii)

7.2bUJI  MINDA

7.2cUJI  MINDA

Uji Diri

Cabaran Dinamis

(b) (i) 75 cm3 (ii) 1 : 1
2. (a) (i), (ii), (iii)

(b)  CD CG DG
       Pelan 3.6 cm 2 cm 3 cm
       Dongakan X 2 cm 4.5 cm 4 cm
      Dongakan Y 3 cm 4 cm  5 cm

(c) Objek asal
  CD = 3.61 cm, CG = 4.47 cm, DG = 5 cm.
  (d) Dongakan X = ∠BCG, ∠BGC
  Dongakan Y = ∠AEF, ∠AFE
  Pelan = ∠BCD, ∠BDC.

1. (a) Benar (b) Benar (c) Palsu (d) Benar
2. Tiga silinder tegak dengan diameter 1 cm, 2 cm dan 3

cm. Ketinggian kesemua silinder ialah 4 cm. Ketiga-tiga
silinder itu disusun secara simetri dari semua arah.

1. (a) (i), (ii), (iii)

(b) AD = 4.5 cm, ∠ADC = 116°

Mahir Diri

45°

4 cm

D/E

J

2 cm

4 cm

4 cm

I

K

L

C/H

A/F/KB/G/L

E/H
D/C

J/I

D/A J/E/F

C/B I/H/G

5 cm

2 cm4 cm

5 cm

2 cm

A/B F/G K/L2 cm

Dongakan sisi

Dongakan depan

Pelan

6 cm

B/A

N/G/F
M/H/E

5 cm

5 cm

K/J

C/D

Dongakan XDongakan Y

Pelan

2 cm 2 cm

5 cm

1 cm
N/B

M/CLH/IE/D

N/MF/E G/H

B/C

1 cm

L/I

45°

KF/A G/J

2 cm
K/LJ/I

45°

4 cm

G/F

6 cm

D/E

E

G/B

3 cm

4 cm

6 cm

F/A

C/B/A

2 cm C

C

GF

A/E B/D

D

2 cm

3 cm

Dongakan XDongakan Y

Pelan

45°

5 cm5 cm

4 cm
4 cm

3 cm

5 cm

3 cm2 cm

E/FC/D

E/H

A

G

B/HA/G

D C/B

F

H/GB/A

C/ED/F
Dongakan XDongakan Y

Pelan

45°

B/A C/D3 cm

2 cm

1 cm
Q/L/I

U/T/P/M/H/EV/S/O/N/G/F

R/K/J

6 cm

1 cm

A/D B/C

F/E

3 cm

N/M

K/LJ/I R/Q

V/US/TO/PG/H

F/A G/J N/K S/R V/BO

PE/D H/I M/L T/Q U/C

Dongakan sisi Dongakan depan

Pelan

3 cm 2 cm

5 cm

4 cm

G

H
E

F
J

I
D

C

L
A K

B

2 cm



Pelan

Pandangan
sisi

Pandangan
depan

A/D
259258

Saiz sebenar

259

BAB 8 Lokus dalam dua Dimensi

1. (a) Garis lurus yang selari dengan satah condong.
 (b) Lengkung
 (c) Garis lurus mencancang.
 (d) Garis lurus yang selari dengan papan gelongsor.
2. (a) Garis lurus mencancang     (c)   lengkung
 (b) Garis lurus mengufuk

1.  (a) (b) (c) (d)

1. (a) Lokus X ialah satu bulatan berpusat di P dan

berjejari 3 cm.
 (b) Lokus Y ialah satu bulatan berpusat di Q dan

berjejari 4 cm.
2. (a) HF (b) AC (c) EG
 (d) BD (e) AD dan BC
3. (a)

(b) Lokus bagi titik T ialah sepasang garis lurus
berjarak 6 cm yang selari dengan garis lurus CD
dengan jarak serenjangnya 1.5 cm.

4. (a)    (b)   (c)

5.

1.

2. Titik G

B

C

A

D

lokus V

lokus W
●

●

●

●

lorong 7

T

S

T

S

T

S

T

S

1.5 cm

1.5 cm
●DC● lokus T

P●
Q

R
lokus Y

C●

●D

=

=

lokus Y

P

Q

R
lokus Y

8.1aUJI  MINDA

8.1bUJI  MINDA

8.2bUJI  MINDA

8.2aUJI  MINDA

2. (a) (i), (ii), (iii)

(b) 60 cm3

3. 462.5 cm3 4. 477.75 cm3 5. 96 cm3

1. (a) (i), (ii), (iii)

(b) 45 cm3  (c)  RM264
2. (a)

Masteri  Kendiri

E F

C

G

BA

H

D

3 cm2 cm

4 cm

5 cm

Dongakan Y Dongakan X

Pelan

45°

C/D A/D B/C

E/D L/C H/I

G/JK/BF/A

3 cm

3 cm

3 cm4 cm
1 cm 1 cm

5 cm 6 cm

3 cm 3 cm

5 cm

B/A

J/K

G/F H/E F/E G/H

J/IK/LI/L

2
 (b) 44— cm3

7

45°

2 cm

C/D

2 cm

G/H

E/F

2 cm

4 cm

B/A 6 cm

C/E/J

K/I

3 cm

4 cm

H

2 cm

A/I

G

3 cm

4 cm

B/K

J/KH/I

EG/F

C/BD/A

Dongakan XDongakan Y

Pelan

4 cm J
D/F

lorong 1

lorong 4
261260

Saiz sebenar

260

2.

3.

1. (a) ABS
  (b)

2.

1. (a) N (b) L (c) I  (d) II (e) VI
2. (a) I (b) IV (c) III
3. (a) lokus X – sentiasa bergerak 1 cm dari O.
  lokus Y – sama jarak dari P dan R.
 (b) lokus X – sentiasa bergerak 1 cm dari O.
  lokus Y – sama jarak dari Q dan S.

BAB 9 Garis Lurus

1. (a) kecerunan = 3 (b) kecerunan = 2
  pintasan-y = 5  pintasan-y = –7
 (c) kecerunan = –1 (d) kecerunan = 4
  pintasan-y = 4  pintasan-y = 3
   1   1 (e) kecerunan = – — (f) kecerunan = —
   3   2
     5  pintasan-y = 6  pintasan-y = – —
     4
2.   (a) h = –2, k = 4 (b) h = 4, k = –3

R

M

N

Q P

lokus Y

lokus X

R

PQ

lokus Y lokus X

P R

D T

Q

BA S

C

lokus Y

lokus Z

9.1aUJI  MINDA

M N

P O

lokus X

lokus Y

Masteri  Kendiri

Mahir Diri

8 m

P
6 m Q

S R

7 m

6 cm

P Q

S R

M NO

lokus Y

lokus X

lokus Y

3.

1. (a), (b)

(c) Persilangan antara lokus X dan lokus Y ialah
  lengkok OP.

2.

3.

1.

0

y

lokus G
4

3

2

1

1          2 3          4
x

lokus F

8.2cUJI  MINDA

P

Ja
la

n
B

ah
ag

ia

(b)
(a)

●

B

C

A
S

lokus X

lokus Y

●

Uji Diri

Cabaran Dinamis
261260

Saiz sebenar

261

Masteri  Kendiri

Mahir Diri

9.1bUJI  MINDA

9.1dUJI  MINDA

9.1eUJI  MINDA

9.1fUJI  MINDA

9.1gUJI  MINDA

9.1cUJI  MINDA

9.1hUJI  MINDA

9.1iUJI  MINDA

x y   x y
1. (a) — – — = 1  (b) — + — = 1
   8 6   4 14
   3   7  y = —x – 6  y = – —x + 14
   4   2
   x y   2x y
  (c) — – — = 1  (d) – — + — = 1
   3 5   9 3

5     2  y = —x – 5   y = —x + 3
   3      3
2. (a) 3x + 4y = 12 (b) –6x + 3y = 18
   3  y = – —x + 3  y = 2x + 6
   4
 (c) 9x + y = 6 (d) 8x – 3y = 12
      8  y = –9x + 6  y = —x – 4
      3
3. (a)  –2x + y = 6  3x – y = 12
   x y   x y
  – — + — = 1 (b) — – — = 1
   3 6   4 12

(c) x + y = 5 (d) 2x + y = – 4
   x y    x y
  — + — = 1   – — – — = 1
   5 5    2 4

1. (a) Tidak (b) Ya (c) Ya (d) Tidak
2. (a) Ya (b) Tidak (c) Ya (d) Tidak
3. (a) Ya (b) Tidak (c) Ya (d) Tidak
4. (a) h = 2  (b) k = –2  (c) n = 3

1. (a) Selari (b) Tidak selari
 (c) Selari (d) Tidak selari
2. (a) k = 3 (b) k = 6
   15   3 (c) k = — (d) —
   8   2
  53. h = – —, k = 3
  2

1. (a) y = 2x + 1 (b) y = –3x – 14
   2   1 (c) y = —x – 3 (d) y = – —x – 4
   3   2

1  1. (a) y = – —x + 2 (b) y = 4x + 8
   3
      2 2  (c) y = 4x – 13 (d) y = —x + —
      3 3
 (e) y = x + 4 (f) y = – x – 2

1. (a) y = 3x + 1 (b) y = –2x – 2
   3   3 (c) y = – —x + 9 (d) y = – —x – 9
   2   2
   1 10   1 10
2. (a) y = —x + — (b) y = —x – —
   3 3   3 3
   1
  (c) y = —x
   3

1. (a) (3, 4) (b) (5, 4) (c) (3, 2) (d) (2, –1)
2. (a) (–2, 3) (b) (0, 4) (c) (–5, 0) (d) (4, 1)

1     11. (a) — (b) –2 (c) y = —x – 2
   2     2

2.  (a) (5, 0)  (b) y = –x – 5
 (c) pintasan-x = –5

1. (a) pintasan-x = 15 (b) pintasan-y = 6
   2 (c) kecerunan = – —
   5
2.  (a) x = –6  (b) y = –8
3. y = 3x + 18 4. y = 4x + 2
5. y = –3x – 4 6. (5, –8)

1. (4, 3)

2.  (a) x = 3
 (b)  y = –2x + 16, pintasan-x = 8
3.  (a) y = –2x
 (b)  y = –2x + 35
   35    (c)  pintasan-x = —
   2
   1  4.  (a) y = – —x + 8
   2
   1 29  (b) y = – —x + — atau x + 2y = 29
   2 2
 (c) Tidak kerana kedua-dua garis lurus tersebut

selari.

1.  (a)  6 km    (b) (– 4, 4)
 (c)  5 km    (d) 4x + 3y = 20
     x 29 2.  (a) 10 km (b) y = — + —

5 5
 (c) 20 km (d)  34.11 minit
  3 273.  y =  —x + —, 13.5 cm
  16 2
4. (a) k = –3 (b) (–5, 7)

Uji Diri

Cabaran Dinamis
263262

Saiz sebenar

262

Angka bererti
Digit-digit dalam suatu nombor yang
dinyatakan tepat kepada suatu darjah
ketepatan yang dikehendaki.
Asalan
Titik persilangan paksi mengufuk dan paksi
mencancang. Koordinat asalan ialah
(0, 0).
Bentuk piawai
Kaedah piawai untuk menulis nombor
nyata. Melalui tatatanda saintifik, semua
nombor nyata ditulis dalam bentuk A ×10n,
dengan 1 ≤ A < 10 dan n merupakan
integer.
Darjah
Unit ukuran bagi sudut. Simbol darjah
ditunjukkan sebagai °.
Diameter
Garis lurus yang menghubungkan dua
titik pada lilitan bulatan dan melalui
pusat bulatan.
Dongakan
Lakaran menegak objek yang dipandang
dari sisi tertentu.
Dongakan depan
Unjuran ortogon suatu objek kepada
suatu satah mencancang sebagaimana
dilihat dari hadapan dan merupakan
keratan rentas seragam objek tersebut.
Dongakan sisi
Unjuran ortogon suatu objek kepada
suatu satah mencancang sebagaimana
dilihat dari sisi.
Dua dimensi
Perihal bentuk yang mempunyai dua
ukuran, iaitu panjang dan lebar.
Faktor
Nombor, sebutan atau ungkapan algebra
yang membahagi dengan tepat suatu
nombor, sebutan atau ungkapan algebra
yang diberi.
Fungsi linear
Fungsi yang berbentuk  y = ax + b,
dengan a dan b ialah pemalar serta a ≠ 0.
Graf fungsi linear berbentuk garis lurus.
Garis selari
Garis lurus yang berada pada satah yang
sama dan tidak bersilang antara satu
sama lain. Jarak serenjang antara garis-
garis selari sentiasa sama.
Grid
Satu set garis lurus yang merentasi
antara satu sama lain dan kebiasaanya
berbentuk segi empat sama atau segi tiga
sama sisi.
Hipotenus
Sisi yang bertentangan dengan sudut
tegak dalam suatu segi tiga bersudut
tegak.
Indeks
Nombor yang menyatakan kuasa. Secara
umumnya, an dengan n merupakan
indeks bagi a.

Kadaran
Pernyataan matematik yang menunjukkan
hubungan antara dua kuantiti atau nilai
dalam nisbah yang sama.
Kaedah penggantian
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan
serentak dengan menggantikan salah
satu pemboleh ubah.
Kaedah penghapusan
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan
serentak dengan menghapuskan salah satu
pemboleh ubah.
Kecerunan
Nisbah jarak mencancang kepada jarak
mengufuk
Kejituan
Darjah penghampiran nilai pengukuran
kepada nilai yang sebenar
Keratan rentas seragam
Keratan rentas yang terhasil daripada
pemotongan pada bentuk pepejal, yang
sama saiz dan bentuk seperti tapaknya.
Kosinus
Nisbah panjang sisi bersebelahan sesuatu
sudut terhadap panjang sisi hipotenus segi
tiga bersudut tegak. Singkatannya ialah kos.
Lengkok
Satu garis lengkung yang menyambung
mana-mana dua titik pada lilitan suatu
bulatan.
Lilitan
Lengkung tertutup yang merupakan
sempadan suatu bentuk bulat
Lokus
Lintasan yang dibentuk oleh satu set titik
dalam satu satah atau ruang tiga dimensi
yang memenuhi satu atau lebih syarat.
Lukisan berskala
Lukisan yang mewakili objek sebenar
mengikut skala tertentu. Lukisan berskala
akan lebih besar atau lebih kecil atau
sama saiz dengan sebenar.
Mencangkum
Merangkum suatu sudut pada lilitan atau
pusat bulatan, yang bertentangan dengan
lengkok tertentu.
Nisbah trigonometri
Nisbah yang menghuraikan hubungan
antara sisi-sisi dalam satu segi tiga
bersudut tegak.
Normal kepada satah
Perihal garis yang serenjang atau bersudut
tegak dengan satah yang berkenaan.
Pelan
Lakaran sesuatu objek yang terletak
pada satah mengufuk dan dipandang
dari atas.
Pembahagi dua sama serenjang
Garis yang serenjang dengan sesuatu
tembereng dan membahagikan
tembereng itu kepada dua bahagian
yang sama.

Glosari?

Pembahagi dua sama sudut
Garis yang membahagikan suatu sudut
kepada dua sudut yang sama saiznya.
Perentas
Tembereng garis yang menghubungkan
mana-mana dua titik pada sesuatu
lengkung.
Persamaan serentak
Dua persamaan yang  mempunyai
dua pemboleh ubah yang sama yang
diselesaikan secara serentak
Pintasan -x
Titik tempat garis lurus atau lengkung
memotong paksi-x.
Pintasan -y
Titik tempat garis lurus atau lengkung
memotong paksi-y.
Pusat bulatan
Dua persamaan linear yang mempunyai
pemboleh ubah yang sama.
Satah
Satu permukaan rata dalam semua arah
dan bersifat dua dimensi.
Sinus
Nisbah panjang sisi bertentangan suatu
sudut terhadap hipotenus pada suatu segi
tiga bersudut tegak. Singkatannya, sin.
Sisi empat kitaran
Sisi empat yang terterap di dalam
bulatan dengan semua bucunya terletak
pada lilitan bulatan itu.
Skala
Nisbah ukuran lukisan kepada ukuran
objek sebenar.
Sudut sepadan
Pasangan sudut yang terbentuk apabila
dua garis selari dipotong oleh satu garis.
Kedua-dua sudut ini sama besarnya.
Tangen
Nisbah panjang sisi bertentangan suatu
sudut terhadap panjang sisi bersebelahan
pada suatu segi tiga bersudut tegak.
Singkatannya, tan.
Tangen kepada bulatan
Garis lurus yang menyentuh
bulatan hanya pada suatu titik tanpa
memotongnya.
Tangen sepunya
Suatu garis lurus yang menyentuh dua
bulatan, masing-masing pada satu titik
sahaja.
Tiga dimensi
Bentuk yang mempunyai ukuran
panjang, lebar, tinggi dan isi padu.
Trigonometri
Cabang matematik yang berkaitan dengan
hubungan antara sisi segi tiga dengan
sudutnya serta juga penggunaannya.
Unjuran ortogon
Imej yang terbentuk pada satu satah
hasil daripada unjuran garis dari objek
yang serenjang dengan satah tersebut.
263262

Saiz sebenar

263

Senarai Rujukan
Channon, J. B., McLeish, A. Smith and others, 1972. Malaysian General Mathematics Book

Four. Longman Malaysia Sdn. Bhd.

Chapin, Suzanne H. and others, 2001. Middle Grades Maths Tools for Success Course 2.
Prentice-Hall, Inc.

Chapin, S.H., Illingworth, M., & Landau, M., 2001. Middle Grades Maths Tools for Success
Course 2. New Jersey: Prentice Hall.

Curriculum Development Centre Ministry of Education Kuala Lumpur, 1973. Modern
Mathematics for Malaysia Form Four. Eastern Universities Press Sdn. Bhd.

Eliezer, E.J. and Idaikkadar, N.M., 1096. Mathematics for School Certificate Students in
Malaysia. Dewan Bahasa dan Pustaka.

Istilah Matematik untuk Sekolah-sekolah Malaysia, 2003. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan
Pustaka.

Kamus Dewan Edisi Keempat, 2005. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.

Lim Swee Hock, Samadi bin Hashim, Koo Seng Her, Chong Geok Chuan, 2002. Matematik
Tingkatan 5. Darul Fikir.

Mark Ryan, 2008. Geometry for Dummies. Wiley Publishing Inc.

Spesifikasi Kurikulum Matematik Tingkatan 4 (Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah),
2012. Putrajaya: Bahagian Pembangunan Kurikulum. Kementerian Pelajar Malaysia.

Tay Choon Hung, Mark Riddington, Martin Grier, 2007. New Mathematics Counts Secondary
1 Normal (Academic) 2nd Edition. Singapore: Marshall Cavendish Education.

Teh, K.S., & Cooi, C.K., 1982. New Syllabus Mathematics. Singapore: Shinglee Publisher
Pte Ltd.
PB264

Saiz sebenar

264

Indeks
Anggaran 32
Angka bererti 33
Arah pandangan 180
Asalan 235, 242, 246
Asas 2
Bentuk piawai 37
Berkadaran 136, 142
Cangkum 130
Darjah 120
Darjah penghampiran 32
Diameter 130
Dongakan 182
Dua dimensi 201
Eksponen 2
Faktor 6
Fungsi linear 226
Garis lurus 226
Garis padu 182
Garis sempang 183
Grid 88
Hipotenus 108
Imej 171
Indeks 2
Jarak mencancang 236
Jarak mengufuk 236
Kaedah penggantian 243
Kaedah penghapusan 243
Kecerunan 226
Kejituan 32

Keratan rentas seragam 172
Kosinus 111
Lengkok major 130
Lengkok minor 130
Lilitan 130
Lokus 200
Lukisan berskala 88
Minit 120
Nilai tempat 34, 37
Nisbah trigonometri 111
Nombor tunggal 37
Normal kepada satah 170
Objek 88, 171
Paksi 228
Pekali 229
Pelan 182
Pemalar 111
Pembahagi dua sama
serenjang 206
Pembahagi dua sama sudut
211
Pembundaran 35
Pendaraban berulang 2, 6
Penghampiran 32
Perentas 130
Permukaan 170
Persamaan serentak 242
Pintasan-x 226, 231
Pintasan-y 226, 231

Pusat bulatan 130
Saat 120
Satah condong 170
Satah mencancang 170
Satah mengufuk 170
Selari 228, 236, 237
Sepadan 147
Sinus 111
Sisi bersebelahan 108
Sisi bertentangan 108
Sisi empat kitaran 144
Sistem metrik 39
Skala 89
Sudut pedalaman 147
Sudut peluaran 147
Sudut tirus 108
Tangen 111
Tangen kepada bulatan 150
Tangen sepunya 157
Tatatanda indeks 2
Tembereng selang-seli 155
Tiga dimensi 203
Titik ketangenan 150
Titik persilangan 242
Titik tetap 204
Trigonometri 108
Ukuran 88
Unjuran ortogon 171
Unjuran ortografik 183
RUKUN NEGARA
Bahawasanya Negara Kita Malaysia

mendukung cita-cita hendak;

Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan
seluruh masyarakatnya;

Memelihara satu cara hidup demokrasi;

Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;

Menjamin satu cara yang liberal terhadap
tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;

Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan
sains dan teknologi moden;

MAKA KAMI, rakyat Malaysia,
berikrar akan menumpukan

seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tesebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:

KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN
KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA

KELUHURAN DAN PERLEMBAGAAN
KEDAULATAN UNDANG-UNDANG
KESOPANAN DAN KESUSILAAN

(Sumber : Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

Dengan ini SAYA BERJANJI akan menjaga buku ini
dengan baiknya dan bertanggungjawab atas kehilangannya

serta mengembalikannya kepada pihak sekolah pada
tarikh yang ditetapkan

Tahun Tingkatan Nama Penerima Tarikh
Terima

Nombor Perolehan: ________________________________

Tarikh Penerimaan: ________________________________

BUKU INI TIDAK BOLEH DIJUAL

SKIM PINJAMAN BUKU TEKS

Sekolah ____________________________________________
RM11.80
ISBN 978-967-490-042-7